Untuk \(k>0\text{,}\) mengalikan setiap aksioma metrik dengan \(k\) mempertahankan tak-negatif, himpunan nol, simetri, dan arah pertidaksamaan segitiga. Jika ada \(x\ne y\text{,}\) maka \(d(x,y)>0\text{.}\) Untuk \(k=0\text{,}\) jarak kedua titik menjadi nol dan identitas gagal; untuk \(k<0\text{,}\) jaraknya negatif. Jadi \(k>0\) perlu pada ruang dengan sedikitnya dua titik.

Pada ruang satu titik, satu-satunya pasangan adalah \((x,x)\) dan \(d(x,x)=0\text{.}\) Maka \(k d\) adalah fungsi nol untuk setiap \(k\text{;}\) semua aksioma tetap terpenuhi. Kasus kosong, jika diizinkan oleh konvensi, juga bersifat vakum.