Solusi C.25.1.
Fungsi \(f(t)=t/(1+t)\) pada \([0,\infty)\) tak negatif, naik, dan bernilai nol tepat ketika \(t=0\text{.}\) Selain itu, untuk \(a,b\geq0\text{,}\) perhitungan langsung memberi
\begin{equation*}
f(a)+f(b)-f(a+b)=\frac{ab(a+b+2)}{(1+a)(1+b)(1+a+b)}\geq0.
\end{equation*}
Jadi \(f(a+b)\leq f(a)+f(b)\text{.}\)
Tak-negatif, identitas, dan simetri bagi \(d=f\circ d_E\) kini langsung. Untuk pertidaksamaan segitiga, \(|x-y|\leq|x-z|+|z-y|\text{.}\) Monotonitas lalu subaditivitas memberi \(f(|x-y|)\leq f(|x-z|+|z-y|)\leq f(|x-z|)+f(|z-y|)\text{,}\) yang merupakan aksioma keempat.