Karena \(y/x>0\text{,}\) logaritma terdefinisi, dan \(|\ln(y/x)|=|\ln y-\ln x|\text{.}\) Nilai ini tak negatif dan simetris. Nilainya nol tepat ketika \(\ln y=\ln x\text{,}\) yang oleh injektivitas logaritma setara dengan \(x=y\text{.}\) Untuk \(z>0\text{,}\) \(|\ln y-\ln x|\leq|\ln z-\ln x|+|\ln y-\ln z|\text{,}\) yaitu tepat \(d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\text{.}\) Jadi semua aksioma terpenuhi.