Karena \(A,B\) berhingga dan tak kosong, semua maksimum ada. Untuk setiap \(a\in A\) dan \(b\in B\text{,}\) \(a\leq\max A\) dan \(b\leq\max B\text{,}\) jadi \(a+b\leq\max A+\max B\text{.}\) Mengambil maksimum atas semua jumlah membuktikan pertidaksamaan pertama.

Tak-negatif, identitas, dan simetri bagi \(d_M\) mengikuti nilai mutlak. Untuk setiap koordinat, \(|x_i-y_i|\leq|x_i-z_i|+|z_i-y_i|\leq d_M(x,z)+d_M(z,y)\text{.}\) Karena semua \(|x_i-y_i|\) dibatasi ruas kanan yang sama, maksimum mereka juga dibatasi ruas kanan tersebut. Inilah pertidaksamaan segitiga.