Pada (a), aksioma identitas titik sudah gagal: jarak suatu titik dari dirinya seharusnya nol. Pada (b), nilai hanya \(0\) atau \(1\text{;}\) identitas dan simetri langsung, dan jika \(x\ne y\text{,}\) sedikitnya satu dari \(d(x,z)\) dan \(d(z,y)\) bernilai \(1\text{,}\) sehingga pertidaksamaan segitiga berlaku. Jarak dari nol sama dengan satu tepat bagi semua titik bukan nol.

Pada (c), tak-negatif, identitas, dan simetri mengikuti nilai mutlak. Untuk tiap koordinat, \(|x_i-y_i|\leq|x_i-z_i|+|z_i-y_i|\leq d_M(x,z)+d_M(z,y)\text{;}\) mengambil maksimum atas \(i\) membuktikan aksioma keempat. Pada (d), integral tak negatif dan simetris. Jika integral \(|f-g|\) nol, fungsi kontinu tak negatif \(|f-g|\) tidak dapat positif di satu titik tanpa positif pada suatu interval; jadi \(f=g\text{.}\) Pertidaksamaan \(|f(x)-g(x)|\leq|f(x)-h(x)|+|h(x)-g(x)|\) yang diintegralkan memberi pertidaksamaan segitiga. Deskripsi lingkaran mengikuti dengan mengambil jarak dari fungsi nol.