Untuk \(x_1\in X_1\text{,}\) pilih satu \(x_2\in X_2\text{;}\) maka \(\pi_1(x_1,x_2)=x_1\text{.}\) Argumen simetris berlaku bagi \(\pi_2\text{.}\) Definisikan \(F(x_1,x_2)=(f_1(x_1),f_2(x_2))\text{.}\) Proyeksi ke koordinat \(i\) memberi \(f_i(x_i)\text{,}\) jadi diagram yang diminta komutatif. Sebaliknya, jika \(G\) memenuhi kedua persamaan proyeksi, kedua koordinat \(G(x_1,x_2)\) harus sama dengan koordinat \(F(x_1,x_2)\text{;}\) maka \(G=F\text{,}\) membuktikan ketunggalan.

Pada \((x_1,x_2)\text{,}\) ruas kiri identitas komposisi bernilai \((g_1(f_1(x_1)),g_2(f_2(x_2)))\text{,}\) sama dengan ruas kanan. Jika \(h_i\) adalah invers \(f_i\text{,}\) maka komposisi \((h_1\times h_2)\circ(f_1\times f_2)\) mengirim \((x_1,x_2)\) ke dirinya sendiri, dan komposisi dalam urutan sebaliknya juga identitas pada \(Y_1\times Y_2\text{.}\) Jadi \(h_1\times h_2\) memang fungsi inversnya. Ketakosongan kedua faktor diperlukan pada bukti surjektivitas proyeksi.