Jika \(x\in A\text{,}\) maka \(f(x)\in f(A)\text{,}\) sehingga \(x\in f^{-1}(f(A))\text{.}\) Kesamaan dapat gagal: untuk fungsi konstan \(f:\{0,1\}\to\{*\}\) dan \(A=\{0\}\text{,}\) prapeta citranya adalah seluruh \(\{0,1\}\text{.}\) Jika \(y\in f(f^{-1}(B))\text{,}\) ada \(x\) dengan \(y=f(x)\) dan \(f(x)\in B\text{,}\) jadi \(y\in B\text{.}\) Kesamaan dapat gagal untuk \(f:\{0\}\to\{0,1\}\text{,}\) \(f(0)=0\text{,}\) dan \(B=\{0,1\}\text{.}\)

Jika \(f\) surjektif dan \(y\in B\text{,}\) pilih \(x\) dengan \(f(x)=y\text{;}\) maka \(x\in f^{-1}(B)\) dan \(y\in f(f^{-1}(B))\text{,}\) sehingga kesamaan berlaku. Jika kesamaan berlaku untuk semua \(B\text{,}\) ambil \(B=Y\) untuk memperoleh \(f(X)=Y\text{.}\) Jika \(f\) injektif dan \(x\in f^{-1}(f(A))\text{,}\) ada \(a\in A\) dengan \(f(x)=f(a)\text{,}\) maka \(x=a\in A\text{.}\) Sebaliknya, andaikan kesamaan berlaku untuk semua \(A\text{.}\) Jika \(f(x)=f(x')\text{,}\) ambil \(A=\{x\}\text{;}\) maka \(x'\in f^{-1}(f(A))=A\text{,}\) sehingga \(x'=x\) dan \(f\) injektif.