Kovariansi Translasi dan Kelas Hölder

Catatan 3.2.2. Diberikan $\displaystyle(x_0,y_0,t_0) \in \mathbb{R}^3$, kita mendefinisikan translasi di $\displaystyle\mathbb{R}^3$ dengan

$$\begin{aligned} T:\mathbb{R}^3 &\to \mathbb{R}^3 \\ (x,y,t) &\mapsto (x+x_0,y+y_0, t+t_0 +2y_0x - 2x_0 y) \end{aligned}$$ Jika $L(x,y,\mathrm{D})$ merupakan operator Lewy yang didefinisikan dalam Teorema 3.2.1, maka $\displaystyle L(x,y,\mathrm{D})(u \circ T) = \left(L(x,y,\mathrm{D})u\right) \circ T$ untuk setiap fungsi $\displaystyle u \in C^1(\mathbb{R}^3)$. Dengan demikian, menyelesaikan $L(x,y,\mathrm{D})u = f(t)$ di dekat $(x_0,y_0,t_0)$ ekuivalen dengan menyelesaikan $L(x,y,\mathrm{D})(u\circ T) = f(t+t_0+2y_0x - 2x_0y)$ di dekat titik asal. Namun, ruas kanan yang ditransformasikan bergantung pada ketiga variabel, sehingga Teorema Lewy dalam bentuk satu variabel yang dinyatakan di atas tidak dapat diterapkan langsung untuk menyimpulkan titik analitisitas bergerak yang dinyatakan dalam sumber. Konsekuensi yang dibenarkan langsung adalah kasus $x_0=y_0=0$: adanya solusi lokal kelas $\displaystyle C^1$ di dekat $(0,0,t_0)$ mengharuskan $f$ analitik pada $t_0$.

H. Lewy juga telah menunjukkan bahwa terdapat fungsi-fungsi $\displaystyle f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ sedemikian sehingga $L(x,y,\mathrm{D})u = f$ tidak memiliki solusi $u$ kelas $\displaystyle C^{1,\mu}(\mathbb{R}^3)$ untuk $\mu > 0$ di suatu lingkungan titik asal, dan melalui perluasan tidak memiliki solusi di mana pun di $\displaystyle\mathbb{R}^3$. Ruang $\displaystyle C^{k,\mu}(\mathbb{R}^n)$ yang terdiri atas fungsi-fungsi kontinu Hölder didefinisikan kemudian dalam Definisi 11.7.8 (rujukan ke bab mendatang). Sebuah bukti hasil ini dapat ditemukan dalam Smo.