Bidang Euklides dan Kerabatnya

Pendahuluan

Apakah pendekatan aksiomatik itu?

Dalam pendekatan aksiomatik, bidang didefinisikan sebagai apa pun yang memenuhi seperangkat sifat tertentu yang disebut aksioma. Aksioma-aksioma ini pada dasarnya berperan sebagai aturan permainan matematika. Setelah sistem aksioma ditetapkan, suatu pernyataan benar jika pernyataan itu mengikuti secara logis dari aksioma-aksioma tersebut, dan hanya dalam hal itu.

Perumusan aksioma-aksioma pertama sama sekali tidak ketat. Sebagai contoh, Euklides mendeskripsikan sebuah garis sebagai panjang tanpa lebar dan sebuah garis lurus sebagai garis yang terletak merata dengan titik-titik pada dirinya. Namun, perumusan ini cukup jelas bagi para matematikawan untuk saling memahami.

Cara terbaik untuk memahami suatu sistem aksiomatik adalah dengan menyusunnya sendiri. Untuk saat ini, anggaplah kita memahami secara intuitif konsep-konsep seperti garis dan titik. Bayangkan suatu permukaan papan tulis yang tak berhingga dan sempurna. Marilah kita mencoba menghimpun pengamatan-pengamatan utama mengenai model ini.

1. Kita dapat mengukur jarak antartitik.

2. Kita dapat menggambar tepat satu garis yang melalui dua titik yang diberikan.

3. Kita dapat mengukur sudut.

4. Jika kita memutar atau menggeser, kita tidak akan melihat perbedaan.

5. Jika kita mengubah skala, kita tidak akan melihat perbedaan.

Pengamatan-pengamatan ini merupakan awal yang baik. Kelak, kita akan mengembangkan bahasa untuk merumuskannya kembali secara ketat.

Apakah model itu?

Bidang Euklides dapat didefinisikan secara ketat sebagai berikut:

Definisikan sebuah titik pada bidang Euklides sebagai pasangan bilangan real $(x,y)$ dan definisikan jarak antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ dengan rumus berikut:

Itu saja! Kita telah memberikan sebuah model numerik untuk bidang Euklides; model tersebut membangun bidang Euklides dari bilangan real, yang dianggap telah dikenal.

Keringkasan merupakan keunggulan utama pendekatan model, tetapi secara intuitif tidak jelas mengapa kita mendefinisikan titik dan jarak dengan cara ini.

Di sisi lain, pengamatan-pengamatan pada bagian sebelumnya jelas secara intuitif — inilah keunggulan utama pendekatan aksiomatik. Keunggulan lainnya — pendekatan aksiomatik mudah disesuaikan. Sebagai contoh, kita dapat menghapus atau mengganti sebuah aksioma dari daftar. Kita akan melakukannya di Bab 11.

Ruang metrik

Konsep ruang metrik memberikan cara yang ketat untuk mengatakan: “kita dapat mengukur jarak antartitik”. Dengan kata lain, sebagai pengganti (Persamaan di Bab 1) pada Bagian ke-1 di Bab 1, kita dapat mengatakan “bidang Euklides adalah ruang metrik”.

Contoh-contoh

• Metrik diskret. Misalkan $\mathcal X$ suatu himpunan sembarang. Untuk setiap $A,B\z\in\mathcal X$, tetapkan $d(A,B)\z=0$ jika $A=B$ dan $d(A,B)=1$ jika tidak. Metrik $d$ disebut metrik diskret pada $\mathcal X$.

• Garis bilangan real. Himpunan semua bilangan real ($\mathbb{R}$) dengan metrik $d$ yang didefinisikan sebagai

  $$d(A,B)\df|A-B|.$$

• Metrik pada bidang. Misalkan $\mathbb{R}^2$ menyatakan himpunan semua pasangan $(x,y)$ bilangan real. Andaikan $A=(x_A,y_A)$ dan $B=(x_B,y_B)$. Perhatikan metrik-metrik berikut pada $\mathbb{R}^2$:

  • Metrik Euklides, dilambangkan dengan $d_2$, dan didefinisikan sebagai

    $$d_2(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}.$$

  • Metrik Manhattan, dilambangkan dengan $d_1$ dan didefinisikan sebagai

    $$d_1(A,B)=|x_A-x_B|+|y_A-y_B|.$$

  • Metrik maksimum, dilambangkan dengan $d_\infty$ dan didefinisikan sebagai

    $$d_\infty(A,B)=\max\{|x_A-x_B|,|y_A-y_B|\}.$$

Notasi singkat untuk jarak

Biasanya, kita hanya memerlukan satu metrik pada suatu ruang. Oleh karena itu, kita tidak perlu menyebutkan metrik tersebut setiap kali.

Diberikan suatu ruang metrik $\mathcal X$, jarak antara titik $A$ dan $B$ akan dilambangkan dengan

Sebagai contoh, ketaksamaan segitiga dapat ditulis sebagai

Untuk menghindari kerancuan, kita akan selalu menggunakan “$\cdot$” untuk perkalian, agar $AB$ tidak disalahartikan sebagai $A\cdot B$.

Isometri, transformasi isometrik, dan garis

Pada bagian ini, kita mendefinisikan garis dalam ruang metrik. Setelah itu dilakukan, kalimat “Kita dapat menggambar tepat satu garis yang melalui dua titik yang diberikan.” menjadi ketat; lihat (Persamaan di Bab 1) pada Bagian ke-1 di Bab 1.

Ingatlah bahwa suatu pemetaan $f\:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}$ merupakan bijeksi jika pemetaan tersebut memasangkan secara tepat unsur-unsur kedua himpunan. Secara ekuivalen, $f\:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}$ merupakan bijeksi jika memiliki suatu invers; yaitu, suatu pemetaan $g\:\mathcal{Y}\to\mathcal{X}$ sedemikian sehingga $g(f(A))\z=A$ untuk setiap $A\in\mathcal{X}$ dan $f(g(B))\z=B$ untuk setiap $B\in\mathcal{Y}$.

Misalkan $\mathcal X$ dan $\mathcal Y$ dua ruang metrik serta $d_{\mathcal X}$ dan $d_{\mathcal Y}$ metriknya. Suatu pemetaan

Pemetaan bijektif yang mempertahankan jarak disebut isometri.

Dua ruang metrik disebut isometrik jika terdapat suatu isometri di antara keduanya.

Suatu isometri dari ruang metrik ke dirinya sendiri juga disebut transformasi isometrik.

Jika $\mathcal X$ ruang metrik dan $\mathcal Y$ subhimpunan dari $\mathcal X$, maka suatu metrik pada $\mathcal Y$ dapat diperoleh dengan membatasi metrik dari $\mathcal X$. Dengan kata lain, jarak antara dua titik di $\mathcal Y$ didefinisikan sebagai jarak antara kedua titik tersebut di $\mathcal X$. Dengan cara ini, setiap subhimpunan ruang metrik juga dapat dipandang sebagai ruang metrik.

Tripel titik yang terletak pada satu garis disebut segaris. Perhatikan bahwa jika $A$, $B$, dan $C$ segaris, $AC\ge AB$, dan $AC\ge BC$, maka $AC\z= AB+BC$.

Beberapa ruang metrik tidak memiliki garis; sebagai contoh, ruang dengan metrik diskret. Gambar menunjukkan contoh-contoh garis pada bidang Manhattan $(\mathbb{R}^2,d_1)$.

Sinar dan ruas

Andaikan terdapat sebuah garis $\ell$ yang melalui dua titik berbeda $P$ dan $Q$. Dalam hal ini, kita dapat menyatakan $\ell$ sebagai $(PQ)$. Mungkin terdapat lebih dari satu garis yang melalui $P$ dan $Q$, tetapi jika kita menulis $(PQ)$, kita menganggap bahwa kita telah memilih salah satu garis tersebut.

Kita akan menggunakan $[P Q)$ untuk menyatakan sinar yang berawal di $P$ dan memuat $Q$. Secara formal, $[P Q)$ merupakan subhimpunan dari $(P Q)$ yang bersesuaian dengan $[0,\infty)$ melalui suatu isometri $f\:(P Q)\to \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $f(P)=0$ dan $f(Q)>0$.

Subhimpunan garis $(P Q)$ yang berada di antara $P$ dan $Q$ disebut ruas antara $P$ dan $Q$; ruas tersebut dilambangkan dengan $[P Q]$. Secara formal, ruas dapat didefinisikan sebagai irisan dua sinar: $[P Q]=[P Q)\cap[Q P)$.

Sudut

Tujuan kita selanjutnya adalah memperkenalkan sudut dan ukuran sudut; setelah itu, pernyataan “kita dapat mengukur sudut” akan menjadi ketat; lihat (Persamaan di Bab 1) pada Bagian ke-1 di Bab 1.

Pasangan terurut dua sinar yang berawal di titik yang sama disebut sudut. Sudut $AOB$ (juga dilambangkan dengan $\angle AOB$) adalah pasangan sinar $[OA)$ dan $[OB)$; titik $O$ disebut titik sudut dari sudut tersebut.

Secara intuitif, ukuran sudut menyatakan seberapa jauh sinar pertama harus diputar berlawanan arah jarum jam, agar mencapai posisi sinar kedua. Satu putaran penuh dianggap sebesar $2\cdot\pi$; nilai ini bersesuaian dengan ukuran sudut dalam radian. ¹

Ukuran sudut $\angle AOB$ dilambangkan dengan $\measuredangle AOB$; nilainya merupakan bilangan real dalam interval $(-\pi,\pi]$.

Notasi $\angle AOB$ dan $\measuredangle AOB$ tampak serupa; keduanya juga memiliki makna yang berkaitan erat tetapi berbeda dan sebaiknya tidak dirancukan. Sebagai contoh, persamaan $\angle AOB\z=\angle A'O'B'$ berarti bahwa $[OA)=[O'A')$ dan $[OB)\z=[O'B')$; khususnya, $O=O'$. Di sisi lain, persamaan $\measuredangle AOB\z=\measuredangle A'O'B'$ hanya menyatakan kesamaan dua bilangan real; dalam hal ini, $O$ mungkin berbeda dari $O'$.

Berikut adalah sifat pertama ukuran sudut yang akan menjadi bagian dari aksioma. Diberikan suatu sinar $[O A)$ dan $\alpha\in(-\pi,\pi]$, terdapat tepat satu sinar $[O B)$ sedemikian sehingga $\measuredangle A O B= \alpha$.

Bilangan real modulo $\bm{2\cdot\pi}$

Perhatikan tiga sinar yang berawal di titik yang sama, $[O A)$, $[O B)$, dan $[O C)$. Ketiganya membentuk tiga sudut $A O B$, $B O C$, dan $A O C$, sehingga nilai $\measuredangle A O C$ seharusnya sama dengan jumlah $\measuredangle A O B+\measuredangle B O C$ modulo satu putaran penuh. Sifat ini akan dinyatakan dengan rumus

Kita akan menulis $\alpha\equiv\beta\pmod{2\cdot\pi}$, atau secara ringkas

Relasi “$\equiv$” yang diperkenalkan berperilaku seperti tanda sama dengan, tetapi

Dengan “$\equiv$”, kita dapat melakukan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dengan bilangan bulat tanpa menimbulkan masalah. Artinya, jika

Kekontinuan

Ukuran sudut juga diasumsikan kontinu. Tepatnya, sifat ukuran sudut berikut akan menjadi bagian dari aksioma-aksioma:

Fungsi

Untuk memperjelas sifat ini, kita perlu memperluas konsep kekontinuan ke fungsi-fungsi antara ruang-ruang metrik. Definisi ini merupakan perumuman langsung dari definisi baku untuk fungsi real ke real.

Misalkan $\mathcal X$ dan $\mathcal Y$ dua ruang metrik, serta $d_{\mathcal X}$ dan $d_{\mathcal Y}$ metriknya.

Suatu pemetaan $f\:\mathcal X\to\mathcal Y$ disebut kontinu di titik $A\in \mathcal X$ jika, untuk setiap $\epsilon>0$, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga

Suatu pemetaan $f\:\mathcal X\to\mathcal Y$ disebut kontinu jika kontinu di setiap titik $A\in \mathcal X$.

Pemetaan kontinu dengan beberapa variabel dapat didefinisikan dengan cara serupa. Andaikan $f$ suatu fungsi yang menghasilkan sebuah titik di $\mathcal Y$ dari suatu tripel titik $(A,B,C)$ dalam $\mathcal X$. Pemetaan $f$ mungkin hanya didefinisikan untuk beberapa tripel dalam $\mathcal X$.

Andaikan $f(A,B,C)$ terdefinisi. Kemudian, kita mengatakan bahwa $f$ kontinu pada tripel $(A,B,C)$ jika, untuk setiap $\epsilon>0$, terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga

Segitiga kongruen

Tujuan kita selanjutnya adalah menemukan interpretasi yang ketat bagi pernyataan (Persamaan di Bab 1) pada Bagian ke-1 di Bab 1. Untuk itu, kita akan memperkenalkan konsep segitiga kongruen, sehingga sebagai pengganti “jika kita memutar atau menggeser, kita tidak akan melihat perbedaan”, kita dapat mengatakan bahwa kekongruenan sisi-sudut-sisi berlaku untuk segitiga.

Suatu tripel terurut dari titik-titik berbeda dalam ruang metrik $\mathcal{X}$, misalnya $A$, $B$, $C$, disebut segitiga $ABC$ (secara ringkas $\triangle A B C$). Titik-titik $A$, $B$, dan $C$ disebut titik-titik sudut dari $\triangle ABC$. Perhatikan bahwa segitiga $A B C$ dan $A C B$ berbeda.

Dua segitiga $A' B' C'$ dan $A B C$ bersifat kongruen (secara ringkas $\triangle A' B' C'\z\cong\triangle A B C$) jika terdapat transformasi isometrik $f\:\mathcal{X}\to\mathcal{X}$ sedemikian sehingga

Misalkan $\mathcal X$ suatu ruang metrik, dan $f,g\:\mathcal X\to\mathcal X$ dua transformasi isometrik. Perhatikan bahwa invers $f^{-1}:\mathcal X\to\mathcal X$, serta komposisi $f\circ g:\mathcal X\to\mathcal X$, juga merupakan transformasi isometrik.

Oleh karena itu, “$\cong$” merupakan relasi ekuivalensi; yaitu, setiap segitiga kongruen dengan dirinya sendiri, dan dua syarat berikut berlaku:

• Jika $\triangle A' B' C'\z\cong\triangle A B C$, maka $\triangle A B C\z\cong\triangle A' B' C'$.

• Jika $\triangle A'' B'' C''\z\cong\triangle A' B' C'$ dan $\triangle A' B' C'\z\cong\triangle A B C$, maka

  $$\triangle A'' B'' C''\cong\triangle A B C.$$

Jika $\triangle A' B' C'\z\cong\triangle A B C$, maka $AB\z=A'B'$, $BC=B'C'$ dan $CA=C'A'$.

Untuk metrik diskret, serta beberapa metrik lainnya, kebalikannya juga berlaku. Contoh berikut menunjukkan bahwa hal tersebut tidak berlaku pada bidang Manhattan:

Contoh. Perhatikan tiga titik $A=(0,1)$, $B=(1,0)$, dan $C\z=(-1,0)$ pada bidang Manhattan $(\mathbb{R}^2,d_1)$. Maka

Di satu pihak, $\triangle ABC\cong \triangle ACB$. Memang, pemetaan $(x,y)\z\mapsto (-x,y)$ merupakan transformasi isometrik pada $(\mathbb{R}^2,d_1)$ yang memetakan $A\z\mapsto A$, $B\mapsto C$, dan $C\z\mapsto B$.

Di pihak lain, $\triangle ABC\ncong \triangle BCA$. Memang, untuk memperoleh kontradiksi, andaikan $\triangle ABC\cong \triangle BCA$; yaitu, terdapat transformasi isometrik $f$ pada $(\mathbb{R}^2,d_1)$ yang memetakan $A\mapsto B$, $B\mapsto C$, dan $C\mapsto A$.

Kita mengatakan bahwa $M$ merupakan titik tengah $A$ dan $B$ jika

Himpunan titik tengah $A$ dan $B$ tak berhingga; himpunan tersebut memuat semua titik $(t,t)$ untuk $t\in[0,1]$ (himpunan itu merupakan ruas berwarna abu-abu pada gambar di atas). Sebaliknya, titik tengah $B$ dan $C$ tunggal. Oleh karena itu, pemetaan $f$ tidak mungkin bijektif sehingga menghasilkan kontradiksi.

Aksioma

Suatu sistem aksioma sudah terdapat dalam “Elements” karya Euklides — buku pelajaran paling berhasil dan berpengaruh yang pernah ditulis.

Kajian sistematis atas berbagai geometri sebagai sistem aksiomatik dipicu oleh penemuan geometri non-Euklides. Cabang matematika yang muncul dengan cara ini disebut landasan geometri.

Sistem aksioma yang paling populer diusulkan oleh David Hilbert pada tahun 1899. Sistem ini juga merupakan sistem pertama yang ketat menurut standar modern. Sistem tersebut terdiri atas dua puluh aksioma dalam lima kelompok, enam “pengertian pangkal”, dan tiga “istilah pangkal”; semuanya tidak didefinisikan berdasarkan konsep-konsep yang telah didefinisikan sebelumnya.

Kemudian, banyak sistem lain diusulkan. Beberapa yang patut disebut ialah sistem yang dikembangkan oleh Alexandr Alexandrov , yang intuitif dan elementer, sistem karya Friedrich Bachmann yang didasarkan pada konsep simetri, serta sistem karya Alfred Tarski — suatu sistem minimalis yang dirancang untuk dianalisis menggunakan logika matematika.

Kita akan menggunakan sistem lain yang dekat dengan sistem George Birkhoff . Sistem ini bertumpu pada pengamatan utama (Persamaan di Bab 1)–(Persamaan di Bab 1) yang tercantum pada Bagian ke-1 di Bab 1.

Aksioma-aksioma itu memakai gagasan ruang metrik, garis, sudut, segitiga, kesamaan modulo $2\cdot\pi$ ($\equiv$), kekontinuan pemetaan antara ruang-ruang metrik, dan kekongruenan segitiga ($\cong$). Semua konsep ini dibahas dalam bagian pendahuluan.

Sistem kita dibangun di atas ruang metrik. Secara khusus, kita menggunakan bilangan real sebagai unsur pembangun. Karena itu, pendekatan kita tidak sepenuhnya aksiomatik — kita membangun teori ini di atas sesuatu yang lain; pendekatan ini menyerupai pengantar geometri Euklides berbasis model yang dibahas pada Bagian ke-2 di Bab 1. Kita menggunakan pendekatan ini untuk meminimalkan bagian-bagian yang menjemukan, yang tidak dapat dihindari dalam landasan yang sepenuhnya aksiomatik.

Aksioma-aksioma

Mulai sekarang, kita tidak boleh menggunakan informasi apa pun tentang bidang Euklides yang tidak dapat diturunkan dari kelima aksioma di atas.

Garis dan sinar

Bukti. Andaikan dua garis $\ell$ dan $m$ berpotongan di dua titik berbeda $P$ dan $Q$. Dengan menerapkan Aksioma II, kita memperoleh $\ell=m$. $\square$

Sudut nol

Bukti. Menurut Aksioma Rujukan di Bab 2,

Menurut Aksioma III, $-\pi<\measuredangle A O A\le \pi$; oleh karena itu, $\measuredangle A O A \z= 0$. $\square$

Bukti. Menurut Aksioma Rujukan di Bab 2,

Sudut lurus

Jika $\measuredangle A O B=\pi$, kita mengatakan bahwa $\angle A O B$ merupakan sudut lurus. Menurut Proposisi di Bab 2, jika $\angle A O B$ lurus, maka $\angle B O A$ juga lurus.

Kita mengatakan bahwa titik $O$ terletak di antara titik $A$ dan $B$ jika $O\not= A$, $O\not= B$, dan $O\in[A B]$.

Bukti. Menurut Latihan ke-10 di Bab 1, kita dapat mengandaikan bahwa $O A = O B = 1$.

Bagian “jika”. Andaikan $O$ terletak di antara $A$ dan $B$. Tetapkan $\alpha=\measuredangle A O B$.

Dengan menerapkan Aksioma Rujukan di Bab 2, kita memperoleh sinar $[OA')$ sedemikian sehingga $\alpha\z=\measuredangle B O A'$. Menurut Latihan ke-10 di Bab 1, kita dapat mengandaikan bahwa $OA'=1$. Menurut Aksioma IV,

Maka

Menurut definisi garis, $(AB)$ isometrik dengan garis bilangan real $\mathbb{R}$. Oleh karena itu, $(AB)$ memuat tepat dua titik, $A$ dan $B$, yang berjarak $1$ dari $O$. Karena $OA' = 1$, diperoleh $A' = A$ atau $A' = B$. Karena suatu isometri bersifat injektif, $A' = f(B) \ne f(A) = B$. Jadi, $A' \ne B$, sehingga $A = A'$.

Menurut Aksioma Rujukan di Bab 2 dan Proposisi di Bab 2, kita memperoleh

Karena $[OA)\ne [OB)$, kita memiliki $\alpha\ne 0$; lihat Latihan ke-3 di Bab 2. Oleh karena itu, $\alpha=\pi$.

Bagian “hanya jika”. Misalkan $\measuredangle A O B= \pi$. Perhatikan garis $(OA)$ dan pilih titik $B'$ pada $(OA)$ sedemikian sehingga $O$ terletak di antara $A$ dan $B'$.

Dari hasil di atas, $\measuredangle AOB'=\pi$. Aksioma Rujukan di Bab 2 memberikan $[O B)\z=[O B')$. Jadi, $O$ terletak di antara $A$ dan $B$. $\square$

Segitiga $ABC$ disebut degenerat jika $A$, $B$, dan $C$ terletak pada satu garis. Akibat berikut hanyalah perumusan ulang Teorema di Bab 2.

Sudut bertolak belakang

Sepasang sudut $AOB$ dan $A'OB'$ disebut bertolak belakang jika titik $O$ terletak di antara $A$ dan $A'$ sekaligus di antara $B$ dan $B'$.

Bukti. Andaikan sudut $AOB$ dan $A'OB'$ bertolak belakang. Perhatikan bahwa $\angle AOA'$ dan $\angle BOB'$ lurus. Oleh karena itu, $\measuredangle AOA'\z=\measuredangle BOB'=\pi$.

Diperoleh

Pencerminan terhadap suatu titik

Bukti. Titik $O$ merupakan titik tengah ruas $[XX']$ jika dan hanya jika $X'\in [XO)$ dan $XX'=2\cdot XO$.

Menurut Aksioma II, garis $(XO)$ dan dengan demikian sinar $[XO)$ ditentukan secara tunggal. Selanjutnya, menurut Latihan ke-10 di Bab 1, terdapat tepat satu titik $X'\in [XO)$ sedemikian sehingga $XX'=2\cdot XO$. $\square$

Titik $X'$ yang diberikan oleh lema disebut cerminan titik $X$ terhadap $O$. Kita juga menetapkan bahwa $O'=O$; yaitu, $O$ merupakan cerminan dirinya sendiri terhadap dirinya sendiri.

Titik $O$ disebut pusat pencerminan.

Bukti. Misalkan $O$ pusat pencerminan. Perhatikan bahwa jika $X'$ merupakan cerminan $X$ terhadap $O$, maka $X$ merupakan cerminan $X'$. Dengan kata lain, komposisi pencerminan tersebut dengan dirinya sendiri adalah pemetaan identitas. Secara khusus, pencerminan tersebut merupakan bijeksi.

Sekarang pilih dua titik $X$ dan $Y$; misalkan $X'$ dan $Y'$ secara berurutan merupakan cerminan kedua titik tersebut terhadap $O$. Untuk memeriksa bahwa pencerminan tersebut mempertahankan jarak, kita perlu menunjukkan bahwa $X'Y'=XY$.

Kita dapat mengandaikan bahwa $X$, $Y$, dan $O$ berbeda; jika tidak, pernyataan tersebut jelas. Menurut definisi pencerminan, berlaku $OX=OX'$, $OY=OY'$. Perhatikan pula bahwa sudut $XOY$ dan $X'OY'$ bertolak belakang. Menurut Proposisi di Bab 2, $\measuredangle XOY\z=\measuredangle X'OY'$.

Aksioma IV memberikan $\triangle XOY\cong\triangle X'OY'$ dan $X'Y'=XY$. $\square$

Setengah bidang

Bab ini memuat bukti-bukti panjang untuk pernyataan-pernyataan yang secara intuitif sudah jelas. Bab ini boleh dilewati, tetapi pastikan Anda memahami definisi sudut positif/negatif dan bahwa intuisi Anda selaras dengan pernyataan Tanda sudut-sudut suatu segitiga di Bab 3, Proposisi di Bab 3, Akibat di Bab 3, Teorema Pasch di Bab 3, dan Teorema di Bab 3.

Tanda suatu sudut

Sudut positif dan negatif dapat dibayangkan sebagai arah berlawanan arah jarum jam dan searah jarum jam; keduanya didefinisikan sebagai berikut:

• Sudut $A O B$ disebut positif jika $0<\measuredangle A O B<\pi$;

• Sudut $A O B$ disebut negatif jika $\measuredangle A O B<0$.

Menurut definisi di atas, sudut lurus maupun sudut nol tidak positif ataupun negatif.

Bukti. Tetapkan $\alpha=\measuredangle AOX$ dan $\beta=\measuredangle BOX$. Karena $\angle AOB$ lurus,

Akibatnya, $\alpha=\pi$ $\Leftrightarrow$ $\beta=0$ dan $\alpha=0$ $\Leftrightarrow$ $\beta=\pi$. Dalam kedua kasus ini, tanda $\angle AOX$ dan $\angle BOX$ tidak terdefinisi.

Dalam kasus-kasus selebihnya, berlaku $|\alpha|<\pi$ dan $|\beta|<\pi$. Jika $\alpha$ dan $\beta$ bertanda sama, maka $|\alpha-\beta|<\pi$; hal ini bertentangan dengan Persamaan di Bab 3. Dengan demikian, pernyataan terbukti. $\square$

Teorema nilai antara

Teorema nilai antara dianggap sudah dikenal; teorema ini semestinya dibahas dalam setiap mata kuliah kalkulus. Kita hanya akan menggunakan akibat berikut:

Bukti. Tinjau fungsi $f(t)=\measuredangle A_tO_tB_t$.

Karena titik-titik $O_t$, $A_t$, dan $B_t$ tidak segaris, Teorema di Bab 2 menyiratkan bahwa $f(t)=\measuredangle A_tO_tB_t$ bukan $0$ ataupun $\pi$ untuk setiap $t\in[0,1]$.

Oleh karena itu, menurut Aksioma Rujukan di Bab 2 dan Latihan ke-14 di Bab 1, $f$ merupakan fungsi kontinu. Menurut teorema nilai antara, $f(0)$ dan $f(1)$ bertanda sama; dengan demikian, pernyataan terbukti. $\square$

Lema-lema bertanda sama

Bukti. Menurut Latihan ke-10 di Bab 1, untuk setiap $t\in [0,1]$ terdapat tepat satu titik $Q_t\in[PQ)$ sedemikian sehingga

Dengan menerapkan Akibat di Bab 3 pada $P_t=P$, $Q_t$, dan $X_t=X$, kita memperoleh bahwa $\angle PQX$ bertanda sama dengan $\angle PQ'X$. $\square$

Bukti. Pilih titik $Z\in (AB)$ sedemikian sehingga $A$ terletak di antara $B$ dan $Z$.

Menurut Lema di Bab 3, sudut $ZBC$ dan $ZAC$ bertanda sama.

Perhatikan bahwa $\measuredangle ABC=\measuredangle ZBC$ dan

Dengan mengulangi argumen yang sama untuk $\angle BCA$ dan $\angle CAB$, kita memperoleh pernyataan yang dimaksud. $\square$

Buktinya hampir sama dengan bukti di atas.

Bukti. Menurut Latihan ke-10 di Bab 1, untuk setiap $t\z\in [0,1]$ terdapat titik $X_t\in[XY]$ sedemikian sehingga

Dengan menerapkan Akibat di Bab 3 pada $P_t\z=P$, $Q_t\z=Q$, dan $X_t$, kita memperoleh bahwa $\angle PQX$ bertanda sama dengan $\angle PQY$. $\square$

Setengah bidang

Bukti. Bagian “jika” mengikuti dari Lema di Bab 3.

Andaikan $[XY]$ berpotongan dengan $(PQ)$; misalkan $Z$ menyatakan titik potongnya. Tanpa mengurangi keumuman, kita dapat mengandaikan $Z\ne P$.

Perhatikan bahwa $Z$ terletak di antara $X$ dan $Y$. Menurut Lema di Bab 3, $\angle PZX$ dan $\angle PZY$ berlainan tanda. Hal ini membuktikan pernyataan jika $Z=Q$.

Jika $Z\ne Q$, maka $\angle ZQX$ dan $\angle QZX$ berlainan tanda menurut Tanda sudut-sudut suatu segitiga di Bab 3. Dengan cara yang sama, kita memperoleh bahwa $\angle ZQY$ dan $\angle QZY$ berlainan tanda.

Jika $Q$ terletak di antara $Z$ dan $P$, maka menurut Lema di Bab 3, kedua pasangan sudut $\angle PQX$, $\angle ZQX$ dan $\angle PQY$, $\angle ZQY$ berlainan tanda. Akibatnya, $\angle PQX$ dan $\angle PQY$ berlainan tanda, sebagaimana diperlukan.

Dalam kasus selebihnya, $[QZ)=[QP)$ sehingga $\angle PQX=\angle ZQX$ dan $\angle PQY=\angle ZQY$. Jadi, sekali lagi $\angle PQX$ dan $\angle PQY$ berlainan tanda, sebagaimana diperlukan. $\square$

Kita mengatakan bahwa $X$ dan $Y$ terletak pada sisi yang sama dari $(PQ)$ jika keduanya terletak pada salah satu setengah bidang dari $(PQ)$, dan kita mengatakan bahwa $P$ dan $Q$ terletak pada sisi yang berlawanan dari $\ell$ jika keduanya terletak pada setengah bidang yang berbeda dari $\ell$.

Tinjau segitiga $ABC$. Ingatlah bahwa titik-titik sudutnya ialah $A$, $B$, dan $C$; ruas $[AB]$, $[BC]$, dan $[CA]$ akan disebut sisi-sisi segitiga.

Bukti. Andaikan garis $\ell$ berpotongan dengan sisi $[AB]$ dari segitiga $ABC$ dan tidak melalui $A$, $B$, ataupun $C$.

Menurut Akibat di Bab 3, titik sudut $A$ dan $B$ terletak pada sisi yang berlawanan dari $\ell$.

Titik sudut $C$ dapat terletak pada sisi yang sama dengan $A$ dan pada sisi yang berlawanan dari $B$, atau sebaliknya. Menurut Akibat di Bab 3, dalam kasus pertama, $\ell$ berpotongan dengan sisi $[BC]$ dan tidak berpotongan dengan $[AC]$; dalam kasus kedua, $\ell$ berpotongan dengan sisi $[AC]$ dan tidak berpotongan dengan $[BC]$. Dengan demikian, pernyataan terbukti. $\square$

Segitiga dengan sisi-sisi yang diberikan

Untuk $\triangle ABC$, tetapkan

Bukti proposisi berikut diberikan pada akhir bagian ini.

Bukti Teorema di Bab 3 dengan mengandaikan Proposisi di Bab 3. Tetapkan titik $A$ dan $B$ sedemikian sehingga $AB=c$. Untuk $\beta\in [0,\pi]$, misalkan $C_\beta$ menyatakan titik sedemikian sehingga $BC_\beta\z=a$ dan $\measuredangle ABC_\beta=\beta$.