Tentang OpenStax

OpenStax adalah bagian dari Rice University, sebuah badan amal nirlaba berstatus 501(c)(3). Misi kami adalah menghadirkan pendidikan yang luar biasa agar dapat diakses oleh semua orang. Melalui kemitraan kami dengan organisasi filantropi dan aliansi kami dengan perusahaan sumber daya pendidikan lainnya, kami meruntuhkan berbagai hambatan belajar yang paling umum. Semua itu karena kami percaya bahwa setiap orang harus dan dapat memperoleh akses ke pengetahuan.

Tentang Sumber Daya OpenStax

Tentang Elementary Algebra

Elementary Algebra 2e dirancang untuk memenuhi persyaratan cakupan dan urutan materi mata kuliah aljabar dasar selama satu semester. Susunan buku ini membuatnya mudah disesuaikan dengan berbagai silabus mata kuliah. Teks ini memperluas pembahasan konsep-konsep dasar aljabar sekaligus memenuhi kebutuhan mahasiswa dengan beragam latar belakang dan gaya belajar. Setiap topik dibangun di atas materi yang telah dikembangkan sebelumnya untuk memperlihatkan keterpaduan dan struktur matematika.

Fitur Utama dan Kotak Informasi

Contoh

Setiap tujuan pembelajaran didukung oleh satu atau lebih contoh soal yang dikerjakan secara lengkap untuk menunjukkan pendekatan penyelesaian masalah yang harus dikuasai mahasiswa. Biasanya, kami menyertakan beberapa Contoh untuk setiap tujuan pembelajaran guna memperagakan berbagai pendekatan terhadap jenis masalah yang sama, atau memperkenalkan masalah serupa dengan tingkat kerumitan yang makin tinggi.

Semua Contoh menggunakan format sederhana yang terdiri dari dua atau tiga bagian. Pertama, kami mengajukan masalah atau pertanyaan. Selanjutnya, kami memperagakan penyelesaiannya dengan menguraikan setiap langkah. Terakhir (untuk Contoh tertentu), kami menunjukkan kepada mahasiswa cara memeriksa solusi. Sebagian besar Contoh ditulis dalam format dua kolom, dengan penjelasan di sebelah kiri dan matematika di sebelah kanan untuk meniru cara pengajar “menjelaskan sambil mengerjakan” contoh ketika menuliskannya di papan tulis di kelas.

Bersiaplah!

Setiap bagian, mulai dari Bagian 2.1, diawali dengan beberapa latihan “Bersiaplah!” agar mahasiswa dapat menentukan apakah mereka telah menguasai keterampilan prasyarat untuk bagian tersebut. Rujukan diberikan kepada Contoh tertentu dari bagian sebelumnya sehingga mahasiswa yang memerlukan peninjauan lebih lanjut dapat dengan mudah menemukan penjelasan. Jawaban latihan-latihan ini tersedia dalam sumber daya tambahan yang menyertai buku ini.

Cobalah

Latihan “Cobalah” langsung mengikuti sebuah Contoh sehingga mahasiswa segera berkesempatan menyelesaikan masalah serupa. Dalam versi PDF dan tampilan web buku ini, jawaban latihan Cobalah terdapat di Kunci Jawaban.

Cara Mengerjakan

Fitur Cara Mengerjakan biasanya mengikuti latihan Cobalah dan menguraikan serangkaian langkah untuk menyelesaikan masalah pada Contoh sebelumnya.

Media

Ikon “Media” muncul pada akhir setiap bagian, tepat sebelum Latihan Subbab. Ikon ini menandai daftar tautan ke tutorial video daring yang memperkuat konsep dan keterampilan yang diperkenalkan dalam bagian tersebut.

Penafian: Meskipun kami telah memilih tutorial yang sangat selaras dengan tujuan pembelajaran kami, kami tidak memproduksi tutorial tersebut, dan tutorial itu juga tidak secara khusus dibuat atau disesuaikan untuk mendampingi Prealgebra 2e.

Cek Diri mencantumkan tujuan pembelajaran bagian tersebut agar mahasiswa dapat menilai sendiri tingkat penguasaan mereka dan menyusun rencana konkret untuk meningkatkannya.

Program Ilustrasi

Elementary Algebra 2e memuat banyak gambar dan ilustrasi. Karya seni di seluruh teks menggunakan gaya yang jelas dan bersahaja, mengarahkan perhatian pada informasi terpenting dalam setiap gambar sekaligus meminimalkan gangguan visual.

Sumber Daya Tambahan

Tentang Para Penulis

Menggunakan Nilai Tempat pada Bilangan Cacah

Bilangan paling dasar yang digunakan dalam aljabar adalah bilangan yang kita gunakan untuk menghitung benda-benda di sekitar kita: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Bilangan-bilangan ini disebut bilangan asli. Bilangan asli juga disebut bilangan natural. Jika kita menambahkan nol pada bilangan asli, kita memperoleh himpunan bilangan cacah.

$$Bilangan Asli: 1, 2, 3, …

$$Bilangan Cacah: 0, 1, 2, 3, …

Notasi “…” disebut elipsis dan berarti “dan seterusnya,” atau menunjukkan bahwa pola tersebut berlanjut tanpa akhir.

Kita dapat menggambarkan bilangan asli dan bilangan cacah pada sebuah garis bilangan (lihat referensi).

Sistem bilangan kita disebut sistem nilai tempat karena nilai suatu digit bergantung pada posisinya dalam sebuah bilangan. referensi menunjukkan nilai-nilai tempat. Nilai tempat dipisahkan menjadi kelompok-kelompok berisi tiga digit yang disebut periode. Periode-periode tersebut adalah satuan, ribuan, jutaan, miliaran, triliunan, dan seterusnya. Dalam bilangan tertulis, tanda koma memisahkan periode-periode tersebut.

Dalam bilangan 63,407,218, tentukan nilai tempat setiap digit berikut:

1. ⓐ 7
2. ⓑ 0
3. ⓒ 1
4. ⓓ 6
5. ⓔ 3

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Tempatkan bilangan tersebut dalam tabel nilai tempat:

ⓐ Digit 7 berada pada tempat ribuan.
ⓑ Digit 0 berada pada tempat puluhan ribu.
ⓒ Digit 1 berada pada tempat puluhan.
ⓓ Digit 6 berada pada tempat puluhan juta.
ⓔ Digit 3 berada pada tempat jutaan.

Ketika menulis cek, Anda menuliskan bilangan dengan kata-kata sekaligus dengan digit. Untuk menulis bilangan dengan kata-kata, tuliskan bilangan pada setiap periode, lalu tuliskan nama periodenya tanpa imbuhan jumlah (misalnya juta, bukan jutaan). Mulailah dari kiri, tempat periode bernilai paling besar. Periode satuan tidak disebutkan namanya. Tanda koma memisahkan periode, jadi setiap kali ada tanda koma dalam bilangan, bubuhkan tanda koma di antara kata-kata (lihat referensi). Bilangan 74,218,369 ditulis sebagai tujuh puluh empat juta, dua ratus delapan belas ribu, tiga ratus enam puluh sembilan.

Sebutkan bilangan 8,165,432,098,710 dengan kata-kata.

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Sebutkan bilangan pada setiap periode, lalu nama periodenya.

Bubuhkan tanda koma untuk memisahkan periode.

Jadi, $8,165,432,098,710$ disebut delapan triliun, seratus enam puluh lima miliar, empat ratus tiga puluh dua juta, sembilan puluh delapan ribu, tujuh ratus sepuluh.

Sekarang kita akan membalik proses tersebut dengan menuliskan digit berdasarkan nama bilangannya. Untuk menulis bilangan dengan digit, pertama-tama kita mencari kata petunjuk yang menunjukkan periode. Akan membantu jika kita menggambar tiga tempat kosong untuk setiap periode yang diperlukan, lalu mengisinya dengan bilangan dan memisahkan periode dengan tanda koma.

Tuliskan sembilan miliar, dua ratus empat puluh enam juta, tujuh puluh tiga ribu, seratus delapan puluh sembilan sebagai bilangan cacah menggunakan digit.

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Identifikasi kata-kata yang menunjukkan periode.
Kecuali periode pertama, semua periode lainnya harus memiliki tiga tempat. Gambar tiga tempat kosong untuk menunjukkan banyaknya tempat yang diperlukan dalam setiap periode. Pisahkan periode dengan tanda koma.
Kemudian tuliskan digit pada setiap periode.

Bilangan tersebut adalah 9,246,073,189.

Pada 2013, Biro Sensus A.S. memperkirakan populasi negara bagian New York sebesar 19,651,127. Kita dapat mengatakan bahwa populasi New York kira-kira 20 juta. Dalam banyak keadaan, Anda tidak memerlukan nilai yang tepat; bilangan perkiraan sudah memadai.

Proses memperkirakan suatu bilangan disebut pembulatan. Bilangan dibulatkan ke nilai tempat tertentu, bergantung pada tingkat ketelitian yang diperlukan. Mengatakan bahwa populasi New York kira-kira 20 juta berarti kita membulatkannya ke tempat jutaan.

Cara Membulatkan Bilangan Cacah

Bulatkan 23,658 ke ratusan terdekat.

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Bulatkan $\mathrm{103,978}$ ke:

1. ⓐ ratusan terdekat
2. ⓑ ribuan terdekat
3. ⓒ puluhan ribu terdekat

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

ⓐ

Temukan tempat ratusan pada 103,978.
Garisbawahi digit di sebelah kanan tempat ratusan.
Karena 7 lebih besar dari atau sama dengan 5, tambahkan 1 pada 9. Ganti semua digit di sebelah kanan tempat ratusan dengan nol.
	Jadi, 104,000 adalah hasil pembulatan 103,978 ke ratusan terdekat.

ⓑ

Temukan tempat ribuan dan garisbawahi digit di sebelah kanan tempat ribuan.
Karena 9 lebih besar dari atau sama dengan 5, tambahkan 1 pada 3. Ganti semua digit di sebelah kanan tempat ribuan dengan nol.
	Jadi, 104,000 adalah hasil pembulatan 103,978 ke ribuan terdekat.

ⓒ

Temukan tempat puluhan ribu dan garisbawahi digit di sebelah kanan tempat puluhan ribu.	$$
Karena 3 kurang dari 5, kita membiarkan 0 tetap seperti itu, lalu mengganti digit di sebelah kanan dengan nol.	$$
	$$Jadi, 100,000 adalah hasil pembulatan 103,978 ke puluhan ribu terdekat.

Mengidentifikasi Kelipatan dan Menerapkan Uji Keterbagian

Bilangan 2, 4, 6, 8, 10, dan 12 disebut kelipatan 2. Kelipatan 2 dapat ditulis sebagai hasil kali 2 dan suatu bilangan asli.

Serupa dengan itu, kelipatan 3 merupakan hasil kali suatu bilangan asli dan 3.

Kita dapat menentukan kelipatan bilangan apa pun dengan melanjutkan proses ini.

referensi menunjukkan kelipatan 2 sampai 10 untuk 12 bilangan asli pertama.

Cara lain untuk mengatakan bahwa 15 merupakan kelipatan 3 adalah dengan mengatakan bahwa 15 habis dibagi 3. Artinya, ketika kita membagi 15 dengan 3, kita memperoleh bilangan asli. Memang, hasil $15÷3$ adalah 5, sehingga 15 sama dengan $5·3.$

Perhatikan kelipatan 5 pada referensi. Semuanya berakhir dengan 5 atau 0. Bilangan yang digit terakhirnya 5 atau 0 habis dibagi 5. Dengan mencari pola lain pada referensi, yang menunjukkan kelipatan bilangan 2 sampai 10, kita dapat menemukan uji keterbagian berikut:

Menentukan Faktorisasi Prima dan Kelipatan Persekutuan Terkecil

Dalam matematika, sering kali ada beberapa cara untuk membicarakan gagasan yang sama. Sejauh ini, kita telah melihat bahwa jika m merupakan kelipatan n, kita dapat mengatakan bahwa m habis dibagi n. Sebagai contoh, karena 72 merupakan kelipatan 8, kita mengatakan bahwa 72 habis dibagi 8. Karena 72 merupakan kelipatan 9, kita mengatakan bahwa 72 habis dibagi 9. Kita masih dapat menyatakannya dengan cara lain.

Karena $8·9=72,$ kita mengatakan bahwa 8 dan 9 adalah faktor dari 72. Ketika kita menulis $72=8·9,$ kita mengatakan bahwa kita telah memfaktorkan 72.

Cara lain untuk memfaktorkan 72 adalah $1·72,2·36,3·24,4·18,\text{dan}6·12.$ Tujuh puluh dua memiliki banyak faktor: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, dan 72.

Beberapa bilangan, seperti 72, memiliki banyak faktor. Bilangan lain hanya memiliki dua faktor.

Bilangan asli dari 2 sampai 19 beserta faktor-faktornya dicantumkan dalam referensi. Pastikan Anda setuju dengan label “prima” atau “komposit” untuk masing-masing bilangan!

Bilangan prima yang kurang dari 20 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dan 19. Perhatikan bahwa satu-satunya bilangan prima genap adalah 2.

Suatu bilangan komposit dapat ditulis secara unik sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Ini disebut faktorisasi prima bilangan tersebut. Menentukan faktorisasi prima suatu bilangan komposit akan berguna nanti dalam mata kuliah ini.

Untuk menentukan faktorisasi prima suatu bilangan komposit, temukan sembarang dua faktor dari bilangan tersebut dan gunakan keduanya untuk membuat dua cabang. Jika suatu faktor merupakan bilangan prima, cabang tersebut selesai. Lingkari bilangan prima itu!

Jika faktornya bukan bilangan prima, temukan dua faktor dari bilangan tersebut dan lanjutkan prosesnya. Setelah semua cabang berakhir pada bilangan prima yang dilingkari, faktorisasi selesai. Bilangan komposit itu sekarang dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.

Cara Menentukan Faktorisasi Prima Bilangan Komposit

Faktorkan 48.

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Kita mengatakan bahwa $2·2·2·2·3$ adalah faktorisasi prima dari 48. Umumnya, kita menulis bilangan prima dalam urutan menaik. Pastikan Anda mengalikan faktor-faktornya untuk memeriksa jawaban!

Jika mula-mula kita memfaktorkan 48 dengan cara berbeda, misalnya sebagai $6·8,$ hasilnya tetap sama. Selesaikan faktorisasi primanya dan buktikan sendiri.

Tentukan faktorisasi prima dari 252.

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Langkah 1. Temukan dua faktor yang hasil kalinya 252. 12 dan 21 bukan bilangan prima. Uraikan 12 dan 21 menjadi dua faktor lagi. Lanjutkan sampai semua faktor yang tersisa merupakan bilangan prima.
Langkah 2. Tuliskan 252 sebagai hasil kali semua bilangan prima yang dilingkari.	$252=2·2·3·3·7$

Salah satu alasan kita mempelajari kelipatan dan bilangan prima adalah untuk menggunakan teknik ini dalam menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan. Ini akan berguna ketika kita menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Ada dua metode yang paling sering digunakan untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil, dan kita akan mempelajari keduanya.

Metode pertama adalah Metode Mendaftar Kelipatan. Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 12 dan 18, kita mendaftar beberapa kelipatan pertama dari 12 dan 18:

Perhatikan bahwa beberapa bilangan muncul dalam kedua daftar. Bilangan-bilangan tersebut adalah kelipatan persekutuan dari 12 dan 18.

Kita melihat bahwa beberapa kelipatan persekutuan pertama dari 12 dan 18 adalah 36, 72, dan 108. Karena 36 merupakan kelipatan persekutuan yang paling kecil, kita menyebutnya kelipatan persekutuan terkecil. Kita sering menggunakan singkatan KPK.

Kotak prosedur mencantumkan langkah-langkah untuk menentukan KPK dengan metode mendaftar kelipatan yang kita gunakan di atas untuk 12 dan 18.

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 15 dan 20 dengan mendaftar kelipatannya.

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Buat daftar beberapa kelipatan pertama dari 15 dan 20, lalu gunakan daftar tersebut untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil.
Cari bilangan terkecil yang muncul dalam kedua daftar.	Bilangan pertama yang muncul dalam kedua daftar adalah 60, sehingga 60 merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari 15 dan 20.

Perhatikan bahwa 120 juga terdapat dalam kedua daftar. Bilangan tersebut merupakan kelipatan persekutuan, tetapi bukan kelipatan persekutuan terkecil.

Metode kedua untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan adalah Metode Faktor Prima. Mari kita tentukan lagi KPK dari 12 dan 18, kali ini menggunakan faktor-faktor primanya.

Cara Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dengan Metode Faktor Prima

Tentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 12 dan 18 dengan metode faktor prima.

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Perhatikan bahwa faktor-faktor prima dari 12 $\left(2·2·3\right)$ dan faktor-faktor prima dari 18 $\left(2·3·3\right)$ tercakup dalam KPK $(2·2·3·3).$ Jadi, 36 adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 12 dan 18.

Dengan menyejajarkan bilangan prima yang sama, setiap faktor prima yang sama hanya digunakan satu kali. Dengan demikian, Anda dapat memastikan bahwa 36 adalah kelipatan persekutuan terkecil.

Tentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 24 dan 36 dengan metode faktor prima.

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Tentukan faktor-faktor prima dari 24 dan 36. Sejajarkan faktor-faktor prima secara vertikal jika memungkinkan. Turunkan semua kolom.
Kalikan faktor-faktornya.
	KPK dari 24 dan 36 adalah 72.

Konsep Kunci

• Nilai Tempat seperti dalam referensi.
• Menyebutkan Bilangan Cacah dengan Kata-Kata
  1. Mulailah dari kiri dan sebutkan bilangan pada setiap periode, lalu nama periodenya.
  2. Bubuhkan tanda koma pada bilangan untuk memisahkan periode.
  3. Jangan sebutkan nama periode satuan.
• Menulis Bilangan Cacah dengan Digit
  1. Identifikasi kata-kata yang menunjukkan periode. (Ingat, periode satuan tidak pernah disebutkan namanya.)
  2. Gambar 3 tempat kosong untuk menunjukkan banyaknya tempat yang diperlukan dalam setiap periode. Pisahkan periode dengan tanda koma.
  3. Sebutkan bilangan pada setiap periode dan tempatkan digit pada posisi nilai tempat yang benar.
• Membulatkan Bilangan Cacah
  1. Temukan nilai tempat yang diberikan dan tandai dengan panah. Semua digit di sebelah kiri panah tidak berubah.
  2. Garisbawahi digit di sebelah kanan nilai tempat yang diberikan.
  3. Apakah digit ini lebih besar dari atau sama dengan 5?
     • Ya-tambahkan 1 pada digit di nilai tempat yang diberikan.
     • Tidak-jangan ubah digit di nilai tempat yang diberikan.
  4. Ganti semua digit di sebelah kanan nilai tempat yang diberikan dengan nol.
• Uji Keterbagian: Suatu bilangan habis dibagi:
  • 2 jika digit terakhirnya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8.
  • 3 jika jumlah digitnya habis dibagi 3.
  • 5 jika digit terakhirnya adalah 5 atau 0.
  • 6 jika bilangan tersebut habis dibagi 2 sekaligus 3.
  • 10 jika bilangan tersebut berakhir dengan 0.
• Menentukan Faktorisasi Prima Bilangan Komposit
  1. Temukan dua faktor yang hasil kalinya merupakan bilangan yang diberikan, lalu gunakan bilangan-bilangan ini untuk membuat dua cabang.
  2. Jika suatu faktor merupakan bilangan prima, cabang tersebut selesai. Lingkari bilangan prima itu seperti kuncup pada pohon.
  3. Jika suatu faktor bukan bilangan prima, tuliskan sebagai hasil kali dua faktor dan lanjutkan prosesnya.
  4. Tuliskan bilangan komposit sebagai hasil kali semua bilangan prima yang dilingkari.
• Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dengan Mendaftar Kelipatan
  1. Daftarkan beberapa kelipatan dari setiap bilangan.
  2. Cari bilangan terkecil yang muncul dalam kedua daftar.
  3. Bilangan ini adalah KPK.
• Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dengan Metode Faktor Prima
  1. Tuliskan setiap bilangan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.
  2. Daftarkan faktor-faktor prima dari setiap bilangan. Sejajarkan faktor-faktor prima secara vertikal jika memungkinkan.
  3. Turunkan bilangan pada setiap kolom.
  4. Kalikan faktor-faktornya.

Gunakan Variabel dan Simbol Aljabar

Misalkan tahun ini Greg berusia 20 tahun dan Alex berusia 23 tahun. Anda tahu bahwa Alex 3 tahun lebih tua daripada Greg. Ketika Greg berusia 12 tahun, Alex berusia 15 tahun. Ketika Greg berusia 35 tahun, Alex akan berusia 38 tahun. Berapa pun usia Greg, usia Alex akan selalu 3 tahun lebih tua, bukan? Dalam bahasa aljabar, kita mengatakan bahwa usia Greg dan usia Alex adalah variabel, sedangkan 3 adalah konstanta. Usia mereka berubah ("bervariasi"), tetapi selisih 3 tahun di antara keduanya selalu tetap ("konstan"). Karena usia Greg dan usia Alex akan selalu berselisih 3 tahun, 3 adalah konstanta.

Dalam aljabar, kita menggunakan huruf-huruf alfabet untuk mewakili variabel. Jadi, jika usia Greg kita nyatakan dengan g, kita dapat menggunakan $g+3$ untuk mewakili usia Alex. Lihat referensi.

Huruf yang digunakan untuk mewakili usia yang berubah-ubah ini disebut variabel. Huruf yang paling sering digunakan sebagai variabel adalah x, y, a, b, dan c.

Untuk menulis dalam bentuk aljabar, selain bilangan dan variabel kita juga memerlukan simbol operasi. Ada beberapa jenis simbol yang akan kita gunakan.

Ada empat operasi aritmetika dasar: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Simbol-simbol yang digunakan untuk menunjukkan operasi ini tercantum dalam tabel berikut. Anda mungkin sudah mengenali beberapa di antaranya.

Kita melakukan operasi-operasi ini pada dua bilangan. Saat menerjemahkan bentuk simbolis ke bahasa Indonesia, atau bahasa Indonesia ke bentuk simbolis, perhatikan kata “dari” dan “dan”.

• Selisih 9 dan 2 berarti mengurangkan 2 dari 9, dengan kata lain, 9 kurang 2, yang kita tulis secara simbolis sebagai $9-2.$
• Hasil kali 4 dan 8 berarti mengalikan 4 dan 8, dengan kata lain 4 kali 8, yang kita tulis secara simbolis sebagai $4·8.$

Dalam aljabar, tanda silang $\times ,$ tidak digunakan untuk menunjukkan perkalian karena simbol itu dapat menimbulkan kebingungan. Apakah 3xy berarti $3\times y$ (“tiga kali y”) atau $3·x·y$ (tiga kali x kali y)? Agar jelas, gunakan $·$ atau tanda kurung untuk perkalian.

Ketika dua besaran bernilai sama, kita mengatakan keduanya sama dan menghubungkannya dengan tanda sama dengan.

Pada garis bilangan, nilai bilangan semakin besar dari kiri ke kanan. Garis bilangan dapat digunakan untuk menjelaskan simbol “<” dan “>”.

Ekspresi a < b atau a > b dapat dibaca dari kiri ke kanan atau dari kanan ke kiri, meskipun kita biasanya membacanya dari kiri ke kanan (referensi). Secara umum, a < b setara dengan b > a. Misalnya, 7 < 11 setara dengan 11 > 7. Demikian pula, a > b setara dengan b < a. Misalnya, 17 > 4 setara dengan 4 < 17.

Simbol pengelompokan dalam aljabar mirip dengan koma, titik dua, dan tanda baca lainnya dalam bahasa Indonesia. Simbol-simbol ini memperjelas ekspresi mana yang harus dikelompokkan dan dipisahkan dari ekspresi lain. Sekarang kita akan memperkenalkan tiga jenis.

Berikut beberapa contoh ekspresi yang memuat simbol pengelompokan. Nanti dalam subbab ini kita akan menyederhanakan ekspresi seperti ini.

Apa perbedaan antara frasa dan kalimat? Frasa mengungkapkan satu gagasan yang belum lengkap jika berdiri sendiri, sedangkan kalimat menyatakan sesuatu secara lengkap. “Berlari sangat cepat” adalah frasa, tetapi “Pemain sepak bola itu berlari sangat cepat” adalah kalimat. Sebuah kalimat memiliki subjek dan predikat. Dalam aljabar, kita memiliki ekspresi dan persamaan.

Ekspresi mirip dengan frasa dalam bahasa Indonesia. Berikut beberapa contoh ekspresi:

Perhatikan bahwa frasa-frasa dalam bahasa Indonesia tersebut tidak membentuk kalimat lengkap karena tidak memiliki predikat.

Persamaan terdiri atas dua ekspresi yang dihubungkan oleh tanda sama dengan. Ketika Anda membaca kata-kata yang diwakili simbol-simbol dalam suatu persamaan, Anda memperoleh kalimat lengkap dalam bahasa Indonesia. Tanda sama dengan berfungsi sebagai predikat.

Berikut beberapa contoh persamaan.

Misalkan kita perlu membentuk hasil kali sembilan faktor yang masing-masing bernilai 2. Kita dapat menuliskannya sebagai $2·2·2·2·2·2·2·2·2.$ Penulisan ini merepotkan dan banyaknya angka 2 sulit dilacak, sehingga kita menggunakan eksponen. Kita menulis $2·2·2$ sebagai $2^3$ dan $2·2·2·2·2·2·2·2·2$ sebagai $2^9.$ Dalam ekspresi seperti $2^3,$ angka 2 disebut bilangan pokok (basis) dan angka 3 disebut eksponen. Eksponen menunjukkan banyaknya faktor yang masing-masing sama dengan bilangan pokok.

Kita membaca $2^3$ sebagai “dua pangkat tiga” atau “dua kubik”.

Kita mengatakan bahwa $2^3$ ditulis dalam notasi berpangkat dan $2·2·2$ ditulis dalam notasi panjang.

Meskipun kita membaca $a^n$ sebagai “a pangkat $n$”, biasanya kita membaca:

• $a^2$ “a kuadrat”
• $a^3$ “a kubik”

Nanti kita akan melihat mengapa $a^2$ dan $a^3$ memiliki sebutan khusus.

referensi menunjukkan cara membaca beberapa ekspresi yang memuat eksponen.

Sederhanakan Ekspresi dengan Urutan Operasi Hitung

Menyederhanakan ekspresi berarti melakukan semua perhitungan yang mungkin. Misalnya, untuk menyederhanakan $4·2+1$, pertama-tama kita mengalikan $4·2$ sehingga memperoleh 8, lalu menambahkan 1 sehingga memperoleh 9. Biasakan mengerjakan ke arah bawah halaman dengan menuliskan setiap langkah di bawah langkah sebelumnya. Contoh yang baru dijelaskan akan tampak seperti ini:

Dengan tidak menggunakan tanda sama dengan saat menyederhanakan ekspresi, Anda dapat menghindari kekeliruan antara ekspresi dan persamaan.

Kita telah memperkenalkan sebagian besar simbol dan notasi yang digunakan dalam aljabar, tetapi sekarang kita perlu memperjelas urutan operasi hitung. Tanpa urutan yang baku, suatu ekspresi dapat ditafsirkan secara berbeda dan menghasilkan nilai yang berbeda. Sebagai contoh, perhatikan ekspresi berikut:

Jika Anda menyederhanakan ekspresi ini, hasil apa yang Anda peroleh?

Sebagian pelajar mengatakan 49,

Yang lain mengatakan 25,

Bayangkan kekacauan dalam sistem perbankan kita jika setiap soal memiliki beberapa jawaban benar yang berbeda!

Ekspresi yang sama harus menghasilkan nilai yang sama. Karena itu, sejak dahulu matematikawan menetapkan pedoman yang disebut urutan operasi hitung.

Untuk mengingat urutannya, kelompokkan operasi ke dalam empat tingkat prioritas berikut. Operasi pada tingkat yang sama dikerjakan dari kiri ke kanan.

Perkalian dan pembagian memiliki prioritas yang sama. Kita tidak selalu melakukan perkalian sebelum pembagian ataupun pembagian sebelum perkalian; keduanya dikerjakan secara berurutan dari kiri ke kanan.

Penjumlahan dan pengurangan juga memiliki prioritas yang sama. Keduanya dikerjakan secara berurutan dari kiri ke kanan.

Mari kita coba sebuah contoh.

Sederhanakan: ⓐ $4+3·7$ ⓑ $(4+3)·7.$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

ⓐ

Apakah ada tanda kurung? Tidak.
Apakah ada eksponen? Tidak.
Apakah ada perkalian atau pembagian? Ya.
Kalikan terlebih dahulu.
Jumlahkan.

ⓑ

Apakah ada tanda kurung? Ya.
Sederhanakan bagian dalam tanda kurung.
Apakah ada eksponen? Tidak.
Apakah ada perkalian atau pembagian? Ya.
Kalikan.

Sederhanakan: $18÷6+4\left(5-2\right).$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Tanda kurung? Ya, kurangkan terlebih dahulu.	$18÷6+4\left(5-2\right)$ $$
Eksponen? Tidak.
Perkalian atau pembagian? Ya.
Bagi terlebih dahulu karena perkalian dan pembagian dilakukan dari kiri ke kanan.
Masih ada perkalian atau pembagian? Ya.
Kalikan.
Masih ada perkalian atau pembagian? Tidak.
Ada penjumlahan atau pengurangan? Ya.

Jika terdapat beberapa simbol pengelompokan, kita menyederhanakan tanda kurung terdalam terlebih dahulu, lalu bergerak ke luar.

Sederhanakan: $5+2^3+3\left[6-3\left(4-2\right)\right].$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Apakah ada tanda kurung (atau simbol pengelompokan lain)? Ya.
Fokuskan pada tanda kurung biasa di dalam tanda kurung siku.
Kurangkan.
Lanjutkan di dalam tanda kurung siku dan kalikan.
Lanjutkan di dalam tanda kurung siku dan kurangkan.
Ekspresi di dalam tanda kurung siku tidak perlu disederhanakan lagi.
Apakah ada eksponen? Ya.
Sederhanakan eksponen.
Apakah ada perkalian atau pembagian? Ya.
Kalikan.
Apakah ada penjumlahan atau pengurangan? Ya.
Jumlahkan.
Jumlahkan.

Menentukan Nilai Ekspresi

Dalam beberapa contoh terakhir, kita menyederhanakan ekspresi dengan menggunakan urutan operasi hitung. Sekarang kita akan menentukan nilai beberapa ekspresi-sekali lagi dengan mengikuti urutan operasi hitung. Menentukan nilai ekspresi berarti mencari nilai ekspresi ketika variabelnya diganti dengan bilangan tertentu.

Untuk menentukan nilai ekspresi, substitusikan bilangan tersebut sebagai pengganti variabel dalam ekspresi, lalu sederhanakan ekspresinya.

Tentukan nilai $7x-4,$ ketika ⓐ $x=5$ dan ⓑ $x=1.$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

ⓐ

Kalikan.
Kurangkan.

ⓑ

Kalikan.
Kurangkan.

Untuk $x=4,$ tentukan nilai ⓐ $x^2$ ⓑ $3^x.$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

ⓐ

	$x^2$
Gunakan definisi eksponen.	$4·4$
Sederhanakan.	$16$

ⓑ

	$3^{\text{x}}$
Gunakan definisi eksponen.	$3·3·3·3$
Sederhanakan.	$81$

Tentukan nilai $2x^2+3x+8$ ketika $x=4.$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

	$2x^2+3x+8$
Ikuti urutan operasi hitung.	$2\left(16\right)+3\left(4\right)+8$
	$32+12+8$
	$52$

Mengidentifikasi dan Menggabungkan Suku-suku Sejenis

Bentuk aljabar tersusun atas suku-suku. Suku adalah konstanta, atau hasil kali suatu konstanta dengan satu atau beberapa variabel.

Contoh suku adalah $7,y,5x^2,9a,\text{dan}{b}^5.$

Konstanta yang mengalikan variabel disebut koefisien.

Anggaplah koefisien sebagai bilangan di depan variabel. Koefisien suku 3x adalah 3. Ketika kita menulis x, koefisiennya adalah 1 karena $x=1·x.$

Beberapa suku memiliki ciri yang sama. Perhatikan 6 suku berikut. Suku mana yang tampaknya memiliki ciri yang sama?

Baik 7 maupun 4 merupakan suku konstanta.

Baik 5x maupun 3x merupakan suku yang memuat x.

Baik $n^2$ maupun $9n^2$ merupakan suku yang memuat $n^2.$

Jika dua suku merupakan konstanta atau memiliki variabel dan eksponen yang sama, kita menyebut keduanya suku sejenis.

• 7 dan 4 merupakan suku sejenis.
• 5x dan 3x merupakan suku sejenis.
• $n^2$ dan $9n^2$ merupakan suku sejenis.

Menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku membentuk suatu ekspresi. Dalam ekspresi $2x^2+3x+8,$ dari referensi, ketiga sukunya adalah $2x^2,3x,$ dan 8.

Jika suatu ekspresi memuat suku-suku sejenis, Anda dapat menyederhanakan ekspresi itu dengan menggabungkan suku-suku sejenis. Menurut Anda, $4x+7x+x$ dapat disederhanakan menjadi apa? Jika Anda menjawab 12x, Anda benar!

Jumlahkan koefisiennya dan pertahankan variabel yang sama. Nilai x tidak menjadi soal-jika Anda memiliki 4 benda, menambahkan 7 benda sejenis, lalu menambahkan 1 lagi, hasilnya adalah 12 benda. Misalnya, 4 jeruk ditambah 7 jeruk ditambah 1 jeruk sama dengan 12 jeruk. Sifat-sifat matematika yang mendasari hal ini akan kita bahas nanti.

Sederhanakan: $4x+7x+x.$

Jumlahkan koefisiennya. 12x

Cara Menggabungkan Suku Sejenis

Sederhanakan: $2x^2+3x+7+x^2+4x+5.$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Menerjemahkan Frasa dalam Bahasa Indonesia Menjadi Bentuk Aljabar

Dalam bagian sebelumnya, kita mencantumkan berbagai simbol operasi yang digunakan dalam aljabar, lalu menerjemahkan ekspresi dan persamaan menjadi frasa dan kalimat dalam bahasa Indonesia. Sekarang kita akan membalik proses tersebut. Kita akan menerjemahkan frasa dalam bahasa Indonesia menjadi bentuk aljabar. Simbol dan variabel yang telah kita bahas akan membantu kita melakukannya. referensi merangkumnya.

Perhatikan baik-baik frasa-frasa yang menggunakan empat operasi berikut:

Setiap frasa meminta kita melakukan operasi pada dua bilangan. Perhatikan bentuk frasa dan kata dan untuk menemukan kedua bilangan tersebut.

Terjemahkan setiap frasa dalam bahasa Indonesia menjadi bentuk aljabar: ⓐ selisih $17x$ dan $5$ ⓑ hasil bagi $10x^2$ dan $7.$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

1. ⓐ Kata kuncinya adalah selisih, yang menunjukkan bahwa operasinya adalah pengurangan. Perhatikan kata dan untuk menemukan kedua bilangan yang akan dikurangkan.
   
   
   
   
   
2. ⓑ Kata kuncinya adalah “hasil bagi”, yang menunjukkan bahwa operasinya adalah pembagian.

Transkripsi Bahasa Indonesia

Frasa bahasa Inggris “the quotient of 10x kuadrat and 7”, dengan kata “of” dan “and” berwarna merah, ditulis di atas ekspresi “divide 10x kuadrat by 7”. Ekspresi di bawahnya berbunyi “10x kuadrat, tanda bagi, 7”. Kata “of” dan “and” masing-masing berarti “dari” dan “dan”.

ID sumber: fs-id1170655111048. Rekaman koreksi: EA2-C0684.

Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)

Ini juga dapat ditulis sebagai $10x^2\text{/}7\text{atau}\frac{10x^2}{7}.$

Berapa usia Anda delapan tahun lagi? Usia berapa yang delapan tahun lebih banyak daripada usia Anda sekarang? Apakah Anda menambahkan 8 pada usia Anda sekarang? “Delapan lebih banyak daripada” berarti 8 ditambahkan pada usia Anda sekarang. Berapa usia Anda tujuh tahun yang lalu? Usia itu 7 tahun lebih sedikit daripada usia Anda sekarang. Anda mengurangkan 7 dari usia Anda sekarang. “Tujuh lebih sedikit daripada” berarti 7 dikurangkan dari usia Anda sekarang.

Nanti dalam mata kuliah ini, kita akan menerapkan keterampilan aljabar untuk menyelesaikan soal penerapan. Langkah pertama adalah menerjemahkan frasa dalam bahasa Indonesia menjadi bentuk aljabar. Kita akan melihat caranya dalam dua contoh berikut.

Konsep Kunci

• Notasi                      Hasilnya adalah…
  
  $\begin{array}{cccc}\circ a+b\hfill & & & \text{jumlah}a\text{dan}b\hfill \\ \circ a-b\hfill & & & \text{selisih}a\text{dan}b\hfill \\ \circ a·b,ab,\left(a\right)\left(b\right)\left(a\right)b,a\left(b\right)\hfill & & & \text{hasil kali}a\text{dan}b\hfill \\ \circ a÷b,a\text{/}b,\frac{a}{b},b\overline{)a}\hfill & & & \text{hasil bagi}a\text{dan}b\hfill \end{array}$
• Pertidaksamaan
  
  $\begin{array}{cccc}\circ a<b\text{dibaca}\text{“}a\text{kurang dari}b\text{”}\hfill & & & a\text{berada di sebelah kiri}b\text{pada garis bilangan}\hfill \\ \circ a>b\text{dibaca}\text{“}a\text{lebih dari}b\text{”}\hfill & & & a\text{berada di sebelah kanan}b\text{pada garis bilangan}\hfill \end{array}$
• Simbol Pertidaksamaan                 Kata-kata
  
  $\begin{array}{cccc}\circ a\ne b\hfill & & & a\mathbf{\text{tidak sama dengan}}b\hfill \\ \circ a<b\hfill & & & a\mathbf{\text{kurang dari}}b\hfill \\ \circ a\le b\hfill & & & a\mathbf{\text{kurang dari atau sama dengan}}b\hfill \\ \circ a>b\hfill & & & a\mathbf{\text{lebih dari}}b\hfill \\ \circ a\ge b\hfill & & & a\mathbf{\text{lebih dari atau sama dengan}}b\hfill \end{array}$
• Simbol Pengelompokan
  • Tanda kurung biasa $\left(\right)$
  • Tanda kurung siku $\left[\right]$
  • Tanda kurung kurawal $\left\{\right\}$
• Notasi Berpangkat
  • Untuk n bilangan bulat positif, $a^n$ adalah hasil kali faktor-faktor yang masing-masing sama dengan $a$, dengan jumlah faktor sebanyak $n$. Ekspresi $a^n$ dibaca $a$ pangkat $n$.
• Urutan Operasi Hitung: Saat menyederhanakan ekspresi matematika, lakukan operasi dalam urutan berikut:
  1. Tanda Kurung dan Simbol Pengelompokan Lainnya: Sederhanakan semua ekspresi di dalam tanda kurung atau simbol pengelompokan lainnya, mulai dari tanda kurung terdalam.
  2. Eksponen: Sederhanakan semua ekspresi yang memuat eksponen.
  3. Perkalian dan Pembagian: Lakukan semua perkalian dan pembagian secara berurutan dari kiri ke kanan. Kedua operasi ini memiliki prioritas yang sama.
  4. Penjumlahan dan Pengurangan: Lakukan semua penjumlahan dan pengurangan secara berurutan dari kiri ke kanan. Kedua operasi ini memiliki prioritas yang sama.
• Gabungkan Suku Sejenis
  1. Identifikasi suku-suku sejenis.
  2. Susun ulang ekspresi agar suku-suku sejenis berdekatan.
  3. Jumlahkan atau kurangkan koefisiennya dan pertahankan variabel yang sama untuk setiap kelompok suku sejenis.

Menggunakan Bilangan Negatif dan Lawan Bilangan

Pembahasan kita sejauh ini hanya mencakup bilangan asli dan bilangan cacah. Namun, jika Anda pernah mengalami suhu di bawah nol atau tanpa sengaja menarik uang melebihi saldo rekening, Anda sebenarnya sudah mengenal bilangan negatif. Bilangan negatif adalah bilangan yang kurang dari $0.$ Semua bilangan negatif terletak di sebelah kiri nol pada garis bilangan. Lihat referensi.

Transkripsi Bahasa Indonesia

Garis bilangan membentang dari negatif 4 hingga 4. Kurung di bawah nilai negatif 4 sampai 0 berlabel ‘Negative numbers’ (bilangan negatif), sedangkan kurung di bawah 0 sampai 4 berlabel ‘positive numbers’ (bilangan positif). Sebuah panah di antara kedua kurung menunjuk ke nol.

ID sumber: fs-id1170654966725. Rekaman koreksi: EA2-C0684.

Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)

Panah pada kedua ujung garis bilangan menunjukkan bahwa bilangan terus berlanjut tanpa batas. Tidak ada bilangan positif terbesar dan tidak ada bilangan negatif terkecil.

Apakah nol merupakan bilangan positif atau negatif? Bilangan yang lebih besar dari nol adalah positif, sedangkan bilangan yang lebih kecil dari nol adalah negatif. Nol bukan bilangan positif maupun negatif.

Perhatikan urutan bilangan pada garis bilangan. Dari kiri ke kanan, nilainya semakin besar. Dari kanan ke kiri, nilainya semakin kecil. Lihat referensi.

Transkripsi Bahasa Indonesia

Garis bilangan membentang dari negatif 4 hingga 4. Panah di atas garis bergerak dari negatif 1 ke arah 4 dan berlabel ‘larger’ (lebih besar). Panah di bawah garis bergerak dari 1 ke arah negatif 4 dan berlabel ‘smaller’ (lebih kecil).

ID sumber: fs-id1170655161798. Rekaman koreksi: EA2-C0684.

Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)

Ingatlah bahwa kita menggunakan notasi:

a < b (dibaca “a kurang dari b”) jika a terletak di sebelah kiri b pada garis bilangan.

a > b (dibaca “a lebih besar dari b”) jika a terletak di sebelah kanan b pada garis bilangan.

Sekarang kita perlu memperluas garis bilangan untuk bilangan cacah agar juga mencakup bilangan negatif. Bilangan yang ditandai dengan titik pada referensi disebut bilangan bulat. Bilangan bulat adalah $\text{…}-3,\mathrm{-2},\mathrm{-1},0,1,2,3\text{…}$

Urutkan setiap pasangan bilangan berikut dengan menggunakan < atau >: ⓐ $14\_\_\_6$ ⓑ $\mathrm{-1}\_\_\_9$ ⓒ $\mathrm{-1}\_\_\_\mathrm{-4}$ ⓓ $2\_\_\_\mathrm{-20}.$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

Garis bilangan berikut dapat membantu.

Tabel ini menunjukkan hubungan antara posisi relatif bilangan pada garis bilangan dan pertidaksamaan yang sesuai.

ⓐ 14 terletak di sebelah kanan 6 pada garis bilangan.	$\begin{array}{c}14\_\_\_6\\ 14>6\end{array}$
ⓑ −1 terletak di sebelah kiri 9 pada garis bilangan.	$\begin{array}{c}\mathrm{-1}\_\_\_9\\ \mathrm{-1}<9\end{array}$
ⓒ −1 terletak di sebelah kanan −4 pada garis bilangan.	$\begin{array}{c}\mathrm{-1}\_\_\_\mathrm{-4}\\ \mathrm{-1}>\mathrm{-4}\end{array}$
ⓓ 2 terletak di sebelah kanan −20 pada garis bilangan.	$\begin{array}{c}2\_\_\_\mathrm{-20}\\ 2>\mathrm{-20}\end{array}$

Anda mungkin memperhatikan bahwa pada garis bilangan, bilangan negatif merupakan bayangan cermin bilangan positif dengan nol di tengah. Karena 2 dan $\mathrm{-2}$ berjarak sama dari nol, keduanya disebut lawan satu sama lain. Lawan dari 2 adalah $\mathrm{-2},$ dan lawan dari $\mathrm{-2}$ adalah 2.

referensi mengilustrasikan definisi tersebut.

Dalam aljabar, satu simbol kadang-kadang memiliki beberapa makna. Seperti kata-kata dalam bahasa sehari-hari, makna yang dimaksud menjadi jelas dari penggunaannya. Anda telah melihat simbol “−” digunakan dengan tiga cara berbeda.

Tentukan: ⓐ lawan dari 7 ⓑ lawan dari $\mathrm{-10}$ ⓒ $\text{−}\left(\mathrm{-6}\right).$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

ⓐ −7 berjarak sama dari 0 seperti 7, tetapi terletak di sisi 0 yang berlawanan.	Lawan dari 7 adalah −7.
ⓑ 10 berjarak sama dari 0 seperti −10, tetapi terletak di sisi 0 yang berlawanan.	Lawan dari −10 adalah 10.
ⓒ −(−6) (lawan dari −6).	Lawan dari −6 adalah 6.

Pembahasan tentang lawan bilangan memberi kita cara untuk mendefinisikan bilangan bulat. Bilangan cacah beserta lawan-lawannya disebut bilangan bulat. Bilangan bulat adalah $\text{…}-3,\mathrm{-2},\mathrm{-1},0,1,2,3\text{…}$

Saat menentukan lawan suatu variabel, kita harus berhati-hati. Tanpa mengetahui apakah variabel tersebut mewakili bilangan positif atau negatif, kita tidak dapat mengetahui apakah $\text{−}x$ bernilai positif atau negatif. Hal ini terlihat pada referensi.

Menyederhanakan Ekspresi dengan Nilai Mutlak

Kita telah melihat bahwa bilangan seperti $2\text{dan}\mathrm{-2}$ saling berlawanan karena keduanya berjarak sama dari 0 pada garis bilangan. Keduanya berjarak dua satuan dari 0. Jarak antara 0 dan suatu bilangan pada garis bilangan disebut nilai mutlak bilangan tersebut.

Misalnya,

• $\mathrm{-5}\text{berjarak}5$ satuan dari $0,$ sehingga $\left|\mathrm{-5}\right|=5.$
• $5\text{berjarak}5$ satuan dari $0,$ sehingga $\left|5\right|=5.$

referensi menunjukkan gagasan ini.

Nilai mutlak suatu bilangan tidak pernah negatif karena jarak tidak dapat bernilai negatif. Satu-satunya bilangan yang nilai mutlaknya sama dengan nol adalah nol itu sendiri, sebab jarak dari $0\text{ke}0$ pada garis bilangan adalah nol satuan.

Para matematikawan menyatakannya dengan lebih tepat: nilai mutlak selalu nonnegatif. Nonnegatif berarti lebih besar dari atau sama dengan nol.

Dalam contoh berikut, kita akan menyederhanakan ekspresi yang memuat nilai mutlak. Ingat, bilangan positif selalu lebih besar daripada bilangan negatif!

Sekarang kita menambahkan tanda nilai mutlak ke dalam daftar simbol pengelompokan. Saat menggunakan urutan operasi hitung, terlebih dahulu kita menyederhanakan ekspresi di dalam tanda nilai mutlak sejauh mungkin, kemudian menentukan nilai mutlak hasilnya.

Dalam contoh berikut, kita menyederhanakan ekspresi di dalam tanda nilai mutlak terlebih dahulu, seperti ketika menggunakan tanda kurung.

Tentukan nilai: ⓐ $\left|x\right|\text{saat}x=\mathrm{-35}$ ⓑ $\left|\text{−}y\right|\text{saat}y=\mathrm{-20}$ ⓒ $\text{−}\left|u\right|\text{saat}u=12$ ⓓ $\text{−}\left|p\right|\text{saat}p=\mathrm{-14}.$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

ⓐ $\left|x\right|\text{saat}x=\mathrm{-35}$

	$\left|x\right|$
Transkripsi Bahasa Indonesia Teks gambar berbunyi ‘Substitute −35 for x’, yang berarti ‘Substitusikan −35 untuk x’; −35 ditulis merah. ID sumber: eip-id1169747671518. Rekaman koreksi: EA2-C0684. Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)
Ambil nilai mutlak.	35

ⓑ $\left|\text{−}y\right|\text{saat}y=\mathrm{-20}$

	$|-y|$
Transkripsi Bahasa Indonesia Teks gambar berbunyi ‘Substitute −20 for y’, yang berarti ‘Substitusikan −20 untuk y’. ID sumber: eip-id1169749467086. Rekaman koreksi: EA2-C0684. Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)
Sederhanakan.	$\left|20\right|$
Ambil nilai mutlak.	20

ⓒ $\text{−}\left|u\right|\text{saat}u=12$

	$-\left|u\right|$
Transkripsi Bahasa Indonesia Teks gambar berbunyi ‘Substitute 12 for u’, yang berarti ‘Substitusikan 12 untuk u’; 12 ditulis merah. ID sumber: eip-id1169753237141. Rekaman koreksi: EA2-C0684. Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)
Ambil nilai mutlak.	$-12$

ⓓ $\text{−}\left|p\right|\text{saat}p=\mathrm{-14}$

	$-\left|p\right|$
Transkripsi Bahasa Indonesia Teks gambar berbunyi ‘Substitute −14 for p’, yang berarti ‘Substitusikan −14 untuk p’. ID sumber: eip-id1169754142474. Rekaman koreksi: EA2-C0684. Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)
Ambil nilai mutlak.	$-14$

Menjumlahkan Bilangan Bulat

Sebagian besar siswa sudah terbiasa dengan fakta penjumlahan dan pengurangan bilangan positif. Penjumlahan atau pengurangan yang melibatkan bilangan positif dan negatif mungkin terasa lebih menantang.

Kita akan menggunakan keping dua warna untuk memodelkan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, sehingga Anda dapat memvisualisasikan prosedurnya alih-alih sekadar menghafal aturan.

Kita gunakan satu warna (biru) untuk mewakili keping positif dan warna lain (merah) untuk mewakili keping negatif. Satu keping positif dan satu keping negatif bersama-sama bernilai nol. Keduanya membentuk pasangan netral. Nilai setiap pasangan netral adalah nol.

Kita akan menggunakan keping untuk memperagakan empat penjumlahan yang dibentuk dari bilangan $5,\mathrm{-5}$ dan $3,\mathrm{-3}.$

Untuk menghitung $5+3,$ perhatikan bahwa $5+3$ berarti jumlah dari 5 dan 3.

Kita mulai dengan 5 keping positif.
Kemudian kita tambahkan 3 keping positif.
Sekarang terdapat 8 keping positif. Jumlah 5 dan 3 adalah 8.	Transkripsi Bahasa Indonesia Delapan keping biru tersusun mendatar dengan label ‘8 positive’ (8 positif) di bawahnya. ID sumber: eip-id1169753253870. Rekaman koreksi: EA2-C0684. Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)

Sekarang kita akan menghitung $\mathrm{-5}+\left(\mathrm{-3}\right).$ Perhatikan kemiripannya dengan contoh sebelumnya, $5+3=8.$

Untuk menambahkan $\mathrm{-5}+\left(\mathrm{-3}\right),$ kita menyadari ini berarti jumlah $\mathrm{-5}\text{dan}-3.$

Kita mulai dengan 5 keping negatif.
Kemudian kita tambahkan 3 keping negatif.
Sekarang terdapat 8 keping negatif. Jumlah −5 dan −3 adalah −8.	Transkripsi Bahasa Indonesia Delapan keping negatif tersusun mendatar; di bawahnya tertulis ‘8 negatives’ (‘8 negatif’). ID sumber: eip-id1169754029708. Rekaman koreksi: EA2-C0684. Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)

Bagaimana dua contoh pertama ini mirip?

• Contoh pertama menjumlahkan 5 keping positif dan 3 keping positif-keduanya positif.
• Contoh kedua menjumlahkan 5 keping negatif dan 3 keping negatif-keduanya negatif.

Dalam setiap kasus diperoleh 8 keping: 8 keping positif atau 8 keping negatif.

Karena tandanya sama, semua keping berwarna sama sehingga kita menjumlahkannya.

Transkripsi Bahasa Indonesia

Dua model keping berdampingan. Di kiri, delapan keping biru berlabel ‘8 positive’ (‘8 positif’) disertai 5+3=8. Di kanan, delapan keping merah berlabel ‘8 negative’ (‘8 negatif’) disertai −5+(−3)=−8.

ID sumber: fs-id1170655040356. Rekaman koreksi: EA2-C0684.

Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)

Jumlahkan: ⓐ $1+4$ ⓑ $\mathrm{-1}+\left(\mathrm{-4}\right).$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

ⓐ

1 keping positif ditambah 4 keping positif menghasilkan 5 keping positif.

ⓑ

1 keping negatif ditambah 4 keping negatif menghasilkan 5 keping negatif.

Apa yang terjadi jika tandanya berbeda? Mari kita hitung $\mathrm{-5}+3.$ Ekspresi ini berarti jumlah dari $\mathrm{-5}$ dan 3. Jika keping berwarna sama, kita susun dalam satu baris. Jika warnanya berbeda, kita susun keping yang berbeda warna saling berhadapan.

	−5 + 3 berarti jumlah −5 dan 3.
Kita mulai dengan 5 keping negatif.
Kemudian kita tambahkan 3 keping positif.
Kita hapus setiap pasangan netral.
Tersisa 2 keping negatif.	Transkripsi Bahasa Indonesia Dua keping negatif tersisa; di bawahnya tertulis ‘2 negatives’ (‘2 negatif’). ID sumber: eip-id1169747671512. Rekaman koreksi: EA2-C0684. Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)
Jumlah −5 dan 3 adalah −2.	−5 + 3 = −2

Karena terdapat lebih banyak keping negatif daripada keping positif, hasilnya negatif.

Sekarang kita tambahkan kombinasi terakhir, $5+(\text{−}3).$

	5 + (−3) berarti jumlah 5 dan −3.
Kita mulai dengan 5 keping positif.
Kemudian kita tambahkan 3 keping negatif.
Kita hapus setiap pasangan netral.
Tersisa 2 keping positif.	Transkripsi Bahasa Indonesia Dua keping positif tersisa; di bawahnya tertulis ‘2 positives’ (‘2 positif’). ID sumber: eip-id1169748875617. Rekaman koreksi: EA2-C0684. Saksi raster sumber berbahasa Inggris (opsional)
Jumlah 5 dan −3 adalah 2.	5 + (−3) = 2

Dengan model keping, kita dapat langsung melihat apakah keping positif atau keping negatif yang lebih banyak. Dari situ kita mengetahui apakah jumlahnya positif atau negatif.

Jumlahkan: ⓐ $\mathrm{-1}+5$ ⓑ $1+\left(\mathrm{-5}\right).$

Jawaban / penyelesaian

Penyelesaian

ⓐ

	−1 + 5
Ada lebih banyak positif, jadi jumlahnya positif.	4

ⓑ

	1 + (−5)
Ada lebih banyak negatif, jadi jumlahnya negatif.	−4

Setelah menjumlahkan bilangan bulat positif dan negatif yang kecil dengan model, kita dapat membayangkan model tersebut untuk menyederhanakan soal dengan bilangan berapa pun.

Saat menjumlahkan bilangan seperti $37+(\text{−}53),$ tentu kita tidak ingin benar-benar menghitung 37 keping biru dan 53 keping merah. Dengan membayangkan modelnya, dapatkah Anda melihat cara menyelesaikan soal tersebut?

Bayangkan 37 keping biru dengan 53 keping merah tersusun di bawahnya. Karena keping merah (negatif) lebih banyak daripada keping biru (positif), jumlahnya akan negatif. Berapa banyak kelebihan keping merah? Karena $53-37=16,$ terdapat 16 keping merah lebih banyak.

Oleh karena itu, jumlah $37+(\text{−}53)$ adalah $\mathrm{-16}.$