Pendahuluan

Buku ini merupakan kelanjutan dari [Li1] (selanjutnya disebut Jilid I). Tujuannya adalah memperkenalkan serangkaian metode, gagasan, dan teknik yang secara wajar dapat dikelompokkan di bawah sebutan aljabar linear, dengan mengandaikan bahwa pembaca telah mengenal struktur-struktur dasar dalam aljabar. Metode-metode ini dipakai di seluruh matematika kontemporer. Agar dapat memenuhi kebutuhan praktis seluas mungkin, teknik-teknik tersebut perlu disarikan ke dalam bentuk yang lebih murni dan ringkas. Kategori dan funktor merupakan bahasa yang tak tergantikan untuk tujuan tersebut. Buku ini terbagi menjadi tiga bagian: bagian dalam, bagian luar, dan lampiran. Sasaran utamanya ialah mahasiswa sarjana tingkat lanjut, mahasiswa pascasarjana, peneliti, pengajar, dan pembelajar mandiri yang menekuni atau berminat pada pokok-pokok ini. Pengetahuan prasyaratnya mencakup grup, gelanggang, modul, medan, dan struktur aljabar lain, serta teori kategori. Jilid I mencakup seluruh landasan tersebut, tetapi buku teks bermutu lainnya juga memadai, meskipun mungkin terdapat sedikit perbedaan notasi. Motivasi penulisan telah dijelaskan dalam pendahuluan Jilid I; tujuannya tetap sama dan tidak perlu diulang di sini.

Apakah Aljabar Linear Itu?

Dalam pengertian yang lazim di kalangan ahli aljabar, kata “linear” secara luas merujuk pada sifat-sifat yang berhubungan dengan struktur yang memiliki penjumlahan beserta operasi inversnya, yaitu pengurangan. Penjumlahan dan pengurangan selanjutnya memberikan operasi perkalian dengan bilangan bulat; generalisasi langsungnya adalah perkalian skalar oleh unsur suatu gelanggang \(R\). Contoh prototipikalnya ialah modul-\(R\) kiri dan kanan, sedangkan modul-\(\ensuremath{\mathbb{Z}}\) tidak lain adalah grup abelian. Untuk suatu modul-\(R\) (mulai sekarang modul kiri, kecuali dinyatakan lain), kita dapat mempelajari submodul dan modul kuosien (modul hasil bagi), serta kernel \(\operatorname{ker}(f)\), kokernel \(\operatorname{coker}(f)\), dan citra \(\operatorname{im}(f)\) dari suatu homomorfisme modul \(f\). Semuanya merupakan objek yang sudah dikenal dari aljabar dasar; setidaknya, kasus ketika \(R\) adalah medan, yakni kasus ruang vektor, telah dikenal luas. Sejak abad ke-20, praktik matematika secara bertahap memperlihatkan bahwa memperluas kajian modul-\(R\) dan homomorfismenya ke kompleks modul bukan hanya bermanfaat dan memudahkan, melainkan sering kali diperlukan. Kompleks semacam itu adalah deretan homomorfisme modul yang memenuhi \(d^{n+1}d^n=0\): \[\cdots \longrightarrow X^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} X^n \xrightarrow{d^n} X^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} \cdots .\] Syarat pada homomorfisme tersebut kadang ditulis \(d^2=0\), sedangkan seluruh data kompleks sering disingkat menjadi \((X^n,d^n)_n\), \((X,d)\), atau \(X\). Karena digunakan indeks atas yang meningkat, kompleks ini juga disebut kompleks kokrantai (cochain complex). Jika digunakan indeks bawah yang menurun, \(\cdots\to X_n\xrightarrow{d_n}X_{n-1}\to\cdots\), objek matematis yang diperoleh disebut kompleks rantai; perbedaannya dengan kompleks di atas hanya bersifat formal. Suatu modul-\(R\) tunggal \(M\) dapat dipandang sebagai kasus khusus kompleks, dengan \(X^0=M\) dan semua suku lainnya nol. Untuk suatu kompleks \(X\), karena \(d^nd^{n-1}=0\), kohomologi ke-\(n\) dapat didefinisikan sebagai modul kuosien \[\operatorname{H}^n(X):=\operatorname{ker}\left(d^n\right)\big/\operatorname{im}\left(d^{n-1}\right).\] Kompleks yang memenuhi \(\operatorname{H}^n(X)=0\) untuk setiap \(n\) disebut barisan eksak atau kompleks asiklik. Untuk kompleks rantai, secara bersesuaian kita memiliki homologi \(\operatorname{H}_n(X):=\operatorname{ker}(d_n)/\operatorname{im}(d_{n+1})\). Kohomologi suatu kompleks (atau homologi suatu kompleks rantai) sering menyimpan informasi penting tentang objek matematis yang dikaji.

Untuk modul atau struktur matematis lain yang memiliki operasi linear, misalnya objek dalam kategori abelian yang akan diperkenalkan kemudian, kajian kompleks beserta kohomologinya merupakan isi klasik bidang yang disebut aljabar homologis. Bidang ini merupakan bagian sejati dari “aljabar linear” dalam arti hakikinya dan sekaligus merupakan inti buku ini. Riwayat singkatnya akan dibahas berikutnya.

Sejarah Singkat Homologi

Matematika tidak harus berpijak pada sejarah. Namun, menelaah masa lalu untuk memahami masa depan tetap bermanfaat. Demi memudahkan pembahasan, kita akan membagi perkembangan teori homologi secara agak artifisial menjadi beberapa tahap.

Masa Perintisan

Pendorong pertama perkembangan aljabar homologis adalah topologi. Pada paruh akhir abad ke-19, B. Riemann dan E. Betti mengkaji genus permukaan beserta generalisasinya ke dimensi lebih tinggi, yang disebut bilangan Betti. Menjelang pergantian abad, gagasan ini dikembangkan oleh H. Poincaré menjadi kerangka yang lebih kukuh secara matematis. Secara kasar, gagasan awal Poincaré ialah menguraikan ruang menjadi poligon, polihedron, atau padanan berdimensi lebih tinggi yang direkatkan satu sama lain, lalu menghitung bilangan Betti atau versi torsinya dari matriks yang merekam cara perekatan tersebut, dan menunjukkan bahwa semuanya merupakan invarian topologis. Dalam tulisan singkat tahun 1925, E. Noether menjelaskan bagaimana homologi dapat didefinisikan sebagai grup abelian, sedangkan bilangan Betti dan versi torsinya hanyalah invarian numerik yang diperoleh darinya. Gagasan ini sudah mendekati definisi modern dalam topologi aljabar: untuk ruang \(E\) yang dilengkapi suatu penguraian dan grup abelian \(A\), didefinisikan kompleks rantai \(C(E, A)\) yang merekam cara bagian-bagian penguraian tersebut direkatkan. Grup homologi \(E\) berkoefisien \(A\) kemudian didefinisikan sebagai \(\operatorname{H}_n(E; A) := \operatorname{H}_n(C(E, A))\), sementara grup kohomologi \(\operatorname{H}^n(E; A)\) didefinisikan secara dual. Sejak saat itu hingga sekitar tahun 1950, topologi aljabar memasuki masa perkembangan yang amat subur. Dari sudut pandang aljabar, perkembangan yang patut dicatat meliputi:

• Teorema koefisien universal untuk homologi (atau kohomologi), yang menyatakan bahwa kasus berkoefisien bilangan bulat sudah cukup untuk menentukan homologi (atau kohomologi) dengan koefisien dalam grup abelian umum \(A\). Uraian konkretnya melibatkan funktor \(\operatorname{Tor}\) (atau \(\operatorname{Ext}\)), yang akan dibahas secara mendalam kelak.

• Hasil kali cawan (cup product) pada kohomologi, yaitu struktur perkalian pada grup kohomologi.

• Ruang yang disebut asferis, yakni ruang terhubung yang memenuhi \(n > 1 \implies \pi_n(E) = 0\); di sini \(E\) menyatakan ruang tersebut, dan \(\pi_n(E)\) menyatakan grup homotopi ke-\(n\) relatif terhadap titik dasar yang dipilih. W. Hurewicz membuktikan bahwa grup homologi dan kohomologi ruang asferis sepenuhnya ditentukan oleh \(\pi_1(E)\) dan dapat diberikan secara aljabar. Inilah cikal bakal teori kohomologi grup.

Pendorong lain bagi aljabar homologis datang dari dalam aljabar sendiri. Contoh klasiknya ialah teorema sizigi Hilbert dalam teori invarian (1890): dalam bahasa modern, teorema sizigi menyatakan bahwa setiap modul atas gelanggang polinomial \(\Bbbk[X_1, \ldots, X_n]\) memiliki resolusi bebas dengan panjang \(\leq n\). Funktor \(\operatorname{Ext}\) juga berkaitan dengan persoalan aljabar. Untuk grup abelian \(A\) dan \(B\), barisan eksak pendek grup abelian \(0 \to A \to E \to B \to 0\) disebut pula ekstensi grup (perluasan grup); hingga isomorfisme, ekstensi-ekstensi tersebut berkorespondensi satu-satu dengan unsur-unsur grup \(\operatorname{Ext}^1(B, A)\). Selain itu, jika \(B\) diganti oleh sembarang grup \(G\), klasifikasi ekstensi grup secara alami menghasilkan definisi aljabar bagi kohomologi grup \(\operatorname{H}^2(G, A)\). Derivasi pada gelanggang sejak awal menarik perhatian para ahli aljabar. Pada tahun 1942, G. Hochschild mendefinisikan invarian untuk gelanggang \(R\) yang kini disebut homologi dan kohomologi Hochschild; suku kohomologi berderajat \(n=1\) mengklasifikasikan derivasi modulo derivasi dalam.¹ Berbagai konstruksi ini dapat diperluas dengan menggunakan sembarang bimodul \((R, R)\) \(M\), dan terus memainkan peranan penting dalam matematika mutakhir. Patut disebut pula karya J. Leray mengenai berkas dan barisan spektral selama Perang Dunia II. Motivasinya bermula dari persoalan titik tetap yang berkaitan dengan persamaan diferensial parsial. Berkas adalah struktur dalam geometri yang memuat informasi lokal–global, sedangkan barisan spektral menyediakan perangkat ampuh untuk menghitung kohomologi berkas. Di bawah pengaruh teori Leray dan karya Kiyoshi Oka dalam teori fungsi beberapa peubah kompleks, H. Cartan dan sejumlah matematikawan lain mulai menulis ulang dasar-dasar topologi aljabar setelah perang; aljabar homologis pun memperoleh wajah yang sama sekali baru.

Revolusi Cartan–Eilenberg

Karya H. Cartan dan S. Eilenberg [CE56] sangat luas dan mendalam, serta untuk waktu yang lama dipandang sebagai rujukan kanonik. Buku itu menandai suatu masa baru dalam perkembangan aljabar homologis. Sumbangan utamanya mencakup:

• definisi modul injektif dan modul projektif, beserta resolusi injektif dan resolusi projektif suatu modul;

• definisi funktor turunan kanan dan funktor turunan kiri dalam kerangka teori modul, yang memberikan definisi umum bagi funktor \(\operatorname{Ext}\) dan \(\operatorname{Tor}\), serta pengenalan dimensi injektif dan dimensi projektif suatu modul; perangkat ini segera menunjukkan kegunaannya dalam teori gelanggang komutatif;

• penjelasan, melalui perangkat tersebut, atas berbagai konstruksi sebelumnya, seperti kohomologi grup serta homologi dan kohomologi Hochschild;

• pengembangan sistematis teori umum barisan spektral dan struktur perkaliannya.

Istilah “aljabar homologis” juga berasal dari [CE56]. Dengan hadirnya teori akbar ini, aljabar homologis memasuki masa mudanya.

Kategori Abelian

Dilihat dari sudut pandang geometri—lebih tepatnya, teori berkas—kerangka teori modul belum memadai bagi aljabar homologis. Di samping kategori modul-\(R\) kiri, yakni \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\), kita ingin mengizinkan suatu kategori yang lebih umum \(\mathcal{A}\) tetapi tetap memiliki makna “linear”. Upaya pertama ke arah ini muncul dalam disertasi doktor D. Buchsbaum pada tahun 1955, yang juga menjadi sebuah lampiran dalam [CE56]; ia mengabstraksikan konsep barisan eksak dari teori modul. Pendekatan yang kini lazim berasal dari makalah A. Grothendieck [Gr57]; kategori yang dihasilkan disebut kategori abelian. Kategori ini adalah kategori aditif yang memiliki kernel dan kokernel, dengan syarat bahwa setiap morfisme \(f: M \to N\) di dalamnya bersifat ketat. Secara kasar, keketatan tersebut bersesuaian dengan teorema isomorfisme yang dikenal dalam teori modul, \(M/\operatorname{ker}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{im}(f)\). Dalam karya itu, Grothendieck juga:

• mendefinisikan funktor-\(\delta\) dan funktor-\(\delta\) universal dengan memakai konsep barisan eksak panjang, mencirikan funktor-\(\delta\) universal, dan menunjukkan bahwa funktor turunan merupakan kasus khusus funktor-\(\delta\) universal;

• memberikan barisan spektral Grothendieck untuk funktor turunan dari komposisi funktor;

• mendefinisikan suatu kelas khusus kategori abelian, yang kini disebut kategori Grothendieck, serta membuktikan keberadaan resolusi injektif di dalamnya.

Teori-teori ini memungkinkan kohomologi berkas dipelajari pada ruang yang lebih umum dan sangat penting bagi perkembangan geometri.

Kategori Turunan

Dalam disertasi doktor tahun 1963, J.-L. Verdier mendefinisikan kategori turunan \(\ensuremath{\mathsf{D}}(\mathcal{A})\) bagi suatu kategori abelian \(\mathcal{A}\). Motivasinya berasal dari kesulitan yang dihadapi Grothendieck ketika mengkaji dualitas dalam geometri aljabar. Hambatan tersebut mendorong pencarian kerangka baru untuk bekerja bukan lagi hanya dengan kohomologi, melainkan dengan kompleks itu sendiri, sambil secara formal menambahkan invers bagi kuasi-isomorfisme ke dalam kategori kompleks \(\ensuremath{\mathsf{C}}(\mathcal{A})\). Kuasi-isomorfisme adalah morfisme kompleks yang menginduksi isomorfisme pada tingkat kohomologi, \(\operatorname{H}^n(f): \operatorname{H}^n(X) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{H}^n(Y)\), dengan \(f: X \to Y\). Konstruksi penambahan invers tersebut disebut lokalisasi Gabriel–Zisman dan merupakan generalisasi lokalisasi gelanggang pada taraf kategori. Kategori turunan \(\ensuremath{\mathsf{D}}(\mathcal{A})\) memuat lebih banyak informasi daripada kohomologi, dan cara bekerja dengannya pun berbeda. Di dalam \(\ensuremath{\mathsf{D}}(\mathcal{A})\), kita harus memakai barisan morfisme tertentu yang disebut segitiga terbedakan (distinguished triangle) \[X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} X[1]\] untuk menggantikan barisan eksak pendek dalam \(\mathcal{A}\) atau kategori kompleks \(\ensuremath{\mathsf{C}}(\mathcal{A})\). Di sini, \(X[1]\) berarti pergeseran kompleks \(X\): \[X[1]^n = X^{n+1}, \quad d_{X[1]}^n = -d_X^n.\] Konstruksi-konstruksi ini selanjutnya diabstraksikan oleh Verdier menjadi suatu kelas struktur yang disebut kategori bertriangulasi (triangulated category). Dari sudut pandang topologi, struktur bertriangulasi kategori turunan juga bersifat alami: segitiga terbedakan dapat dianalogikan dengan barisan kofiber (cofiber sequence) dalam teori homotopi. Hal ini berkaitan dengan aljabar homotopik yang akan dibahas kelak. Atas pertimbangan teori homotopi pula, D. Puppe secara independen menemukan struktur serupa pada tahun 1962, tetapi aksioma yang ia tuliskan tidak memuat aksioma oktahedral Verdier. Meskipun kategori turunan tidak sempurna untuk semua penerapan, bahasa ini tetap menjadi pilihan utama para ahli geometri dan aljabar hingga awal abad ke-21. Sebagai contoh, salah satu penerapannya yang menonjol ialah teori modul-\(\mathscr{D}\), yang terutama dikembangkan oleh Masaki Kashiwara, Z. Mebkhout, dan matematikawan lain; beberapa operasi dasarnya hanya dapat didefinisikan secara wajar pada taraf kategori turunan. Selain itu, kategori turunan suatu gelanggang \(R\), \(\ensuremath{\mathsf{D}}(R) := \ensuremath{\mathsf{D}}(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}})\), dapat pula dipandang sebagai suatu invarian bagi \(R\). Jika kategori turunan dua gelanggang ekuivalen sebagai kategori bertriangulasi, kedua gelanggang itu disebut ekuivalen secara turunan. Berbagai persoalan dan metode seputar ekuivalensi turunan merupakan salah satu arus utama dalam teori representasi aljabar; para perintisnya antara lain D. Happel dan J. Rickard.

Aljabar Homotopik

Pembaca tentu masih ingat bahwa asal-usul topologis aljabar homologis terletak pada penguraian ruang, kemudian pendefinisian kompleks rantai atau kompleks yang sesuai untuk menyarikan invarian topologis. Langkah penguraian pertama dapat dilakukan dengan berbagai cara; himpunan simplisial yang didefinisikan oleh Eilenberg dan Zilber pada tahun 1950 merupakan salah satunya, dan himpunan simplisial dapat diperumum lebih lanjut menjadi objek simplisial dalam suatu kategori tertentu. Bahasa ini memiliki daya penjelas yang sangat luas. Sebagai contoh, teori homotopi ruang topologis dapat dikembangkan dalam kerangka himpunan simplisial, sedangkan konstruksi yang disebut “saraf” (nerve) menafsirkan kategori sebagai suatu jenis khusus himpunan simplisial. Apa yang terjadi jika sedikit “linearitas” ditambahkan ke dalam gambaran ini? Korespondensi Dold–Kan (1958) memberikan hubungan langsung antara objek simplisial dalam kategori abelian dan teori kompleks. Sebagai contoh, untuk kategori grup abelian \(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\), korespondensi Dold–Kan merupakan suatu ekuivalensi adjoin yang diwujudkan secara eksplisit oleh sepasang funktor:

\(\ensuremath{\mathsf{sAb}}\) adalah kategori objek simplisial dalam \(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\), sedangkan \(\ensuremath{\mathsf{Ch}}_{\geq 0}(\ensuremath{\mathsf{Ab}})\) adalah kategori kompleks rantai berderajat tak negatif dalam \(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\). Untuk kategori kompleks, kita dapat menangani konvensi lain dengan membalik pengindeksan atau beralih ke kategori lawan. Korespondensi Dold–Kan memberikan tafsiran topologis bagi banyak definisi dan konstruksi tentang kompleks rantai. Melalui metode simplisial, suatu kelas resolusi yang secara kolektif disebut “konstruksi bar” dalam aljabar homologis juga memperoleh penjelasan terpadu. Homotopi adalah gagasan inti dalam teori simplisial. Metode aljabar yang melibatkan objek simplisial kadang-kadang juga disebut aljabar homotopik. Daya metode ini tampak menonjol dalam teori-\(K\) tingkat tinggi yang dikembangkan D. Quillen, dan penerapannya tidak terbatas pada hal itu. Ringkasnya, metode simplisial dalam aljabar linear dapat dipandang sebagai pertemuan pada tingkat yang lebih tinggi antara topologi—khususnya teori homotopi—dan aljabar homologis. Teori kategori-\(\infty\) merupakan gelombang lain yang diilhami oleh pertemuan tersebut pada awal abad ke-21.

---

1. Catatan penerjemah: teks sumber menyatakan bahwa suku berderajat satu “mengklasifikasikan semua derivasi”. Pernyataan ini dikoreksi di sini: \(\operatorname{H}^1_{\mathrm{Hoch}}(R,R)\) mengklasifikasikan derivasi modulo derivasi dalam; lihat catatan koreksi O014-C001.↩︎

Tujuan Buku Ini

Tujuan Penyusunan

Pengantar sebelumnya menunjukkan bahwa apa yang disebut aljabar linear secara kasar terbagi menjadi dua cabang utama: teori kategori abelian dan teori kompleks yang dibangun di atas kategori abelian. Buku ini berpusat pada kedua cabang tersebut dan berupaya membekali pembaca dengan gagasan serta teknik yang diperlukan untuk memahami matematika kontemporer. Isinya mencakup metode aljabar yang digunakan dalam penerapan sekaligus landasan teoretis yang menopangnya. Karena metode tersebut terutama ditujukan bagi penelitian matematika murni dan dimaksudkan untuk diterapkan seluas mungkin, buku ini dapat pula dicirikan sebagai “matematika terapan murni”. Buku ini juga berupaya memadukan peran sebagai buku ajar dan buku rujukan. Karena itu, perhatian terhadap perincian dan kerangka yang sistematis tidak dapat dihindari. Berbagai tujuan tersebut menimbulkan ketegangan satu sama lain. Selain itu, tujuan harus dirumuskan, uraian ditata, dan pokok bahasan ditegaskan dalam ruang yang terbatas. Semua ini menghadirkan tantangan besar bagi penyusunan buku, tetapi tantangan tersebut memang harus diterima. Pada tataran isi, kategori turunan, funktor turunan, dan barisan spektral merupakan pengetahuan dasar yang wajib dimiliki matematikawan masa kini. Namun, ketiganya tidak mudah bagi pemula; kendala utamanya terletak pada gagasan dan definisi. Bagian Dalam buku ini disusun dengan sasaran tersebut dan sekaligus meletakkan landasan bagi pembahasan dalam Bagian Luar. Demi kelancaran uraian dan penghematan ruang yang wajar, kita tidak akan menapaki kembali sejarah langkah demi langkah, melainkan lebih banyak mengikuti urutan logis yang tampak berkat tinjauan ke belakang. Karena terikat oleh berbagai sasaran di atas, apa yang oleh kritikus seni dan sastra disebut “aura” tak pelak menjadi samar dalam tulisan ini. Sebagai gantinya, bangunan sistematis dan pembuktian ketat sesekali menimbulkan kesan berat. Aura yang berlawanan dengan kesan berat itu adalah ketukan pertama matematika pada batin manusia, dan mungkin juga ketukan terakhirnya. Namun, menurut penulis, gaya yang ringan, lincah, dan langsung ke pokok lazimnya muncul pada masa perintisan suatu teori atau bertumpu pada pustaka rujukan yang lengkap sebagai penopang. Penopang semacam itu harus tertanam dalam budaya bahasa setempat dan dapat dimanfaatkan oleh semua pembaca. Penulis memilih memikul beban ini, dengan harapan bahwa setelah buku ini hadir, para penulis masa depan akan bebas melangkah dengan beban yang lebih ringan. Dalam penyusunannya, buku ini merujuk secara luas pada karya-karya terkait, termasuk, tetapi tidak terbatas pada, [Wei94, ML98, KS06, Rie16, Yek20]. Selain itu, [stacks] dan situs web nLab juga sangat membantu.

Jalur dan Pilihan

Buku ini harus mengakomodasi beragam bidang dan gaya, sekaligus mencari titik keseimbangan antara yang klasik dan yang modern agar isinya tetap cukup mudah dibaca oleh pemula. Karena itu, kompromi menjadi pedoman umum penulis. Akan tetapi, hanya sedikit pembaca yang membuka sebuah buku dengan mengharapkan kompromi. Kompromi mengharuskan jalan memutar; akibatnya, alur pemikiran buku ini tidak menempuh lintasan geodesik bagi pembaca mana pun. Hal tersebut tidak dapat dihindari. Karena alasan yang sama, pilihan isi buku ini pun sulit memuaskan semua orang. Pembaca yang berorientasi geometri, misalnya, tidak akan menjumpai berkas dan struktur-\(t\), sedangkan pembaca yang berorientasi teori representasi aljabar tidak akan menemukan teori tilting. Pokok-pokok tersebut tidak dibahas karena mustahil memberikan motivasi yang memadai bagi teori-teori terkait tanpa terlebih dahulu mendalami bidang-bidang itu. Peminat teori kategori mungkin menilai pendekatan buku ini tak lebih dari semiklasik. Meskipun demikian, pembaca mungkin akan melihat bahwa teks utama dan latihan membuka jalan menuju beberapa sudut pandang yang lebih maju, seperti kategori-dg, teori monad, dan objek simplisial, meskipun semuanya hanya disinggung sepintas. Pokok-pokok tersebut dapat dipandang sebagai pemanasan menuju teori kategori-\(\infty\). Dari sini tampak suatu dunia baru yang lebih mendalam daripada aljabar linear, yang disebut aljabar lanjut atau aljabar tingkat tinggi (higher algebra); dunia itu sudah berada di luar lingkup buku ini. Mengenai pilihan isi, perlu dijelaskan pula bahwa buku ini membahas kategori abelian umum dan membangun sifat-sifat dasarnya langsung dari aksioma. Dalam hal ini, pendekatannya berbeda dari sejumlah buku ajar aljabar homologis yang hanya membahas modul. Mengizinkan kategori abelian umum bukan saja sesuai dengan kelengkapan teoretis dan kebutuhan praktis, melainkan juga diperlukan bagi konstruksi seperti kategori funktor dan kuosien Serre, sekalipun titik tolak kita dibatasi pada modul. Karena pengejaran diagram (diagram chase) dalam teori modul tidak dapat langsung diperluas ke keadaan umum, sejumlah hasil dasar mengenai kategori abelian memerlukan pembuktian yang cukup berliku. Untuk membantu memahami perincian tersebut, buku ini mengandaikan bahwa pembaca setidaknya memiliki pengalaman dasar dengan kompleks modul dan kohomologinya, misalnya materi dalam [Li1]; akan tetapi, pengalaman itu bukan keharusan logis. Teorema pembenaman Freyd–Mitchell yang terkenal menyatakan bahwa setiap kategori abelian kecil dapat dibenamkan ke dalam \(\ensuremath{\mathsf{Mod}\text{-}}R\), dengan \(R\) suatu gelanggang, melalui funktor yang eksak, penuh, dan setia. Dengan menerima hasil ini, banyak fakta dasar tentang kategori abelian cukup diperiksa dalam kategori modul konkret \(\ensuremath{\mathsf{Mod}\text{-}}R\). Kita akan memberikan pembuktian teorema pembenaman itu dalam Lampiran §B.6. Karena pembuktiannya sendiri tidak mudah dan bergantung pada sejumlah sifat dasar kategori abelian, teorema tersebut pada hakikatnya tidak menyederhanakan teori kategori abelian; perannya lebih bersifat heuristik.

Panduan Penggunaan

Fungsi Buku

Untuk memenuhi fungsinya sebagai buku rujukan, buku ini perlu disusun cukup sistematis. Karena itu, setiap bab terutama mengikuti urutan logis. Hubungan ketergantungan antarbagiannya sangat kentara pada Bagian Dalam, sedangkan sejumlah kecil topik yang diperlukan tetapi menyimpang dari jalur utama, atau yang lebih bersifat teknis, ditempatkan dalam lampiran. Bagi pembelajar mandiri, bagian yang perlu dibaca bergantung pada minat dan kebutuhan masing-masing. Pilihan utama terletak pada Bagian Luar, sedangkan Bagian Dalam merupakan kerangka dasar bersama, meskipun pada skala subbab masih ada sejumlah materi pilihan di dalamnya. Beberapa perincian yang lebih abstrak atau teknis dapat dilewati seperlunya ketika pertama kali belajar. Pembahasan yang bergantung pada lampiran sebaiknya dilewati dahulu atau hanya dibaca sekilas. Saran terperinci mengenai pilihan-pilihan tersebut terdapat pada penjelasan di awal setiap bab dan lampiran, terutama dalam bagian Petunjuk Bacaan. Seperti disebutkan sebelumnya ketika membahas tujuan buku, kita terpaksa menyelubungi gagasan matematika dengan lapisan-lapisan teks. Pembelajar mandiri harus mengerahkan upaya sungguh-sungguh untuk mengenali matematika yang sesungguhnya di baliknya, layaknya menangkap kilat di tengah gulungan awan tebal. Bagi pembaca yang menggunakan buku ini sebagai rujukan, penulis telah berusaha menerapkan cara penulisan modular agar bagian-bagiannya mudah dibaca secara terpisah. Hal ini tercermin bukan hanya dalam pembagian bab, melainkan juga dalam dua hal berikut.

• Sedapat mungkin, buku ini menggunakan notasi baku dalam pustaka kontemporer, disertai tinjauan ulang dan penjelasan. Bagian Konvensi pada akhir pendahuluan dan indeks di akhir buku merupakan dua sarana lain yang ampuh untuk memahami notasi.

• Berbagai pernyataan dan pembuktian dilengkapi dengan rujuk silang secara cermat, sehingga pembaca yang sudah memiliki pengetahuan tertentu tentang materinya dapat memahami uraian dengan cepat dan membangun peta konseptual secara efisien.

Secara khusus, penulis berharap buku ini dapat membantu pembaca yang sedang menyiapkan pengajaran atau mengikuti seminar untuk segera menghimpun pengetahuan yang mereka perlukan, lalu mengolahnya dengan bahasa mereka sendiri. Mengenai penggunaan dalam pengajaran, harus diakui terus terang bahwa penjadwalan perkuliahan tidak dapat diatur sesuka hati. Selama menulis buku ini, penulis hampir tidak memperoleh kesempatan untuk menguji materi ini di ruang kelas, sehingga hasilnya belum dapat dinilai. Berdasarkan pengalaman terdahulu, sekalipun perincian dilewati di kelas, seluruh buku ini jelas memuat bahan untuk lebih dari satu tahun akademik; Bagian Dalam mungkin dapat dipadatkan menjadi satu semester dengan penyajian ringkas. Jika buku ini digunakan sebagai buku ajar utama, pengajar harus terlebih dahulu membagi materi buku ini. Penulis berharap rancangan modular yang telah disebutkan dapat mempermudah pekerjaan tersebut. Kurangnya pengujian di ruang kelas membawa dua akibat lain. Pertama, buku ini tak pelak masih mengandung banyak kesalahan yang belum ditemukan. Kedua, buku ini belum memiliki keluwesan dan kematangan khas buku ajar klasik. Hal ini sebagian disebabkan oleh keadaan praktis dan sebagian lagi oleh keterbatasan penulis; penulis hanya dapat memohon pengertian pembaca.

Tentang Latihan

Setiap bab dan lampiran diakhiri dengan latihan yang disusun mengikuti urutan materi terkait dalam teks utama dan kadang-kadang disertai petunjuk. Tujuan utamanya ialah menambahkan sifat-sifat atau hasil pelengkap, menyediakan contoh, dan memperluas wawasan. Sebagian latihan dimaksudkan untuk membantu pembaca membiasakan diri dengan berbagai teknik dan pada umumnya tidak terlalu teknis. Sejumlah kecil latihan meminta pembaca melengkapi perincian yang dihilangkan dari teks utama; perincian itu kadang remeh, kadang mudah, dan lebih sering keduanya sekaligus. Singkatnya, penulis berharap pembaca pemula berusaha mengerjakan sebanyak mungkin latihan, tetapi tidak perlu memaksakan diri atau merasa harus menyelesaikan semuanya.

Kategori dan Ukurannya

Sebagian besar isi buku ini dinyatakan dalam bahasa kategori karena praktik telah membuktikan bahwa teori kategori memang merupakan sarana yang efisien untuk memahami dan menangani persoalan aljabar. Namun, aljabar linear atau apa yang disebut aljabar homologis bukanlah cabang teori kategori, sama seperti teori probabilitas bukanlah cabang teori ukuran. Berbeda dari sejumlah buku ajar lain, buku ini dan Jilid I sama-sama mensyaratkan agar kumpulan semua objek dan kumpulan semua morfisme suatu kategori masing-masing merupakan himpunan; objek tidak boleh hanya membentuk sebuah “kelas”. Karena kelas sejati (proper class) tidak digunakan dalam definisi, secara formal kita harus memperkenalkan konsep semesta Grothendieck (Grothendieck universe) untuk mengukur ukuran himpunan dan mengasumsikan bahwa semua himpunan termasuk dalam suatu semesta \(\mathcal{U}\); lihat [Li1]. Jika setiap persoalan dianalisis secara tersendiri, aksioma mengenai keberadaan cukup banyak semesta—atau, secara ekuivalen, cukup banyak kardinal tak terjangkau kuat (strongly inaccessible cardinal)—sering kali dapat diperlemah. Karena hal ini tidak menyangkut inti buku, kita tidak akan membahasnya lebih jauh.

Ikhtisar Struktur

Pembaca disarankan memulai dari bagian Konvensi pada akhir pendahuluan. Tujuannya ialah mengenali terlebih dahulu simbol dan konvensi yang digunakan di seluruh buku. Selain itu, pembaca pemula tidak dianjurkan mengikuti buku ini secara ketat dari awal hingga akhir, kecuali jika sudah cukup siap menerima metode abstrak. Awal setiap bab menyediakan ikhtisar dan petunjuk bacaan yang terperinci. Bagian pertama ialah Bagian Dalam, yang meletakkan landasan.

Berikutnya ialah Bagian Luar, yang memuat penerapan atau, dengan kata lain, pengembangan lebih lanjut.

Menurut rencana semula, Bagian Luar seharusnya mencakup materi dasar tentang teori representasi, yang diperkirakan akan berperan secara alami dalam keseluruhan susunan buku. Pada tahap akhir, rencana tersebut dibatalkan karena buku ini sudah terlalu panjang dan telah tersedia beberapa buku ajar yang mapan. Isi lampiran dirinci sebagai berikut.

Terakhir, laman pribadi penulis menyediakan informasi tambahan terkini, termasuk daftar ralat, baik untuk buku ini maupun karya lainnya. Pembaca dipersilakan memantau laman tersebut. Jika menemukan kesalahan dalam buku ini, pembaca dimohon mengirimkan koreksi kepada penulis.

Ucapan Terima Kasih

Selama penyusunan buku ini, penulis menerima koreksi dan saran dari para guru, rekan, dan sahabat. Karena prosesnya berlangsung lama, beberapa nama mungkin luput dari ingatan. Berikut daftar yang belum lengkap: 郇真, 黄晨欣, 黎景辉, 雷嘉乐, 李长远, 孙毓泽, 汤一鸣, 薛寒玉, 阳恩林, 张好风, 赵泽龙 (diurutkan menurut Hanyu Pinyin). Sebagian kecil isi buku ini pernah digunakan dalam perkuliahan di University of Chinese Academy of Sciences dan Huazhong University of Science and Technology. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada semua peserta perkuliahan tersebut. Sebagaimana semua karya penulis hingga kini, buku ini ditulis sepenuhnya dalam lingkungan perangkat lunak sumber terbuka, termasuk sistem operasi dan jenis huruf yang digunakan dalam proses pracetak. Penulis menyampaikan penghormatan kepada para pengembang yang berkarya tanpa pamrih; mereka mewujudkan nilai-nilai universal tentang berbagi dan altruisme. Selama penulisan buku ini, penelitian penulis didukung oleh proyek Excellent Young Scientists Fund 11922101 dari National Natural Science Foundation of China, dengan Peking University sebagai institusi tuan rumah. Untuk itu penulis juga menyampaikan terima kasih. Penulis juga berterima kasih kepada editor 赵天夫 dari Higher Education Press atas kesabaran dan profesionalismenya. Buku ini semula dimaksudkan untuk langsung melanjutkan Jilid I, tetapi akibat berbagai hambatan baru dapat diselesaikan pada penghujung 2022. Meskipun tertunda, penyusunan buku ini menguras tenaga dan pikiran penulis lebih daripada Jilid I, terutama selama pemeriksaan dan revisi berulang-ulang pada tahap akhir, seolah menempuh terowongan gelap tanpa ujung. Sebagian besar pekerjaan tahap akhir ini dilakukan di dalam gerbong kereta bawah tanah Beijing. Bekerja di kereta sama sekali tidak nyaman dan secara harfiah menuntut penulis berpacu dengan waktu. Namun, di tengah arus manusia tanpa nama yang terus berulang dari hari ke hari itu, penulis seakan merasakan sesuatu yang jarang dijumpai di dunia kerja—semacam saling pengertian dalam diam—dan menemukan setitik penghiburan dalam keremangan. Benarkah demikian? Penjelasannya mungkin terdengar mengada-ada, tetapi perasaan itu tetap nyata. Preludium ini segera berakhir; hormat kepada kejauhan tanpa batas dan insan-insan tanpa akhir.

Konvensi

Konvensi notasi dalam buku ini sama dengan yang digunakan dalam Jilid I. Walaupun agak panjang, konvensi tersebut dirangkum kembali di sini.

Konvensi Dasar

Buku ini menggunakan simbol logika standar seperti \(\forall\), \(\exists\), \(\implies\), dan sebagainya. Simbol \(\exists !\) berarti “ada tepat satu”, sedangkan \(\iff\) berarti “jika dan hanya jika”. Akhir suatu bukti ditandai dengan \(\Box\). Notasi \(A := B\) berarti “\(A\) didefinisikan sebagai \(B\)”. Apabila definisi suatu objek matematika tidak bergantung pada pilihan data bantu, objek itu disebut terdefinisi dengan baik. Panah \(\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\) menyatakan isomorfisme antara dua objek; kadang-kadang isomorfisme itu ditulis tanpa arah sebagai \(\simeq\). Notasi \(\xrightarrow{1:1}\) atau \(\stackrel{1:1}{\longleftrightarrow}\) menyatakan bijeksi antara dua himpunan, yakni korespondensi satu-satu. Notasi berbentuk \(F(\cdot)\) dimaksudkan untuk menonjolkan peubah pada pemetaan atau funktor \(F\). Notasi \(n \gg m\) berarti bahwa \(n\) cukup jauh lebih besar daripada \(m\). Sebagai contoh, \(n \gg 0\) berarti bahwa \(n\) cukup besar, sedangkan \(n \ll 0\) berarti bahwa \(-n\) cukup besar. Buku ini banyak menggunakan bahasa diagram komutatif. Kasus yang paling sederhana ditunjukkan oleh diagram berikut.

Dalam diagram ini, \(f\), \(g\), dan \(h\) dapat berupa pemetaan, homomorfisme, atau morfisme dalam suatu kategori umum. Diagram komutatif yang lebih rumit dipahami dengan cara serupa.

Himpunan dan Struktur Urutan

Buku ini menggunakan teori himpunan aksiomatik Zermelo–Fraenkel dan menerima aksioma pilihan. Himpunan kosong ditulis \(\emptyset\). Notasi \(A \subset B\) berarti bahwa \(A\) merupakan himpunan bagian dari \(B\), dengan kesamaan diperbolehkan; inklusi sejati ditulis \(A \subsetneq B\). Selisih himpunan ditulis \(A \smallsetminus B := \left\{a \in A: a \notin B \right\}\), sedangkan gabungan saling lepas ditulis \(A \sqcup B\). Untuk suatu pemetaan \(f: A \to B\), notasi \(a \mapsto b\) berarti bahwa \(a \in A\) dipetakan oleh \(f\) ke \(b \in B\), dan \(f|_{A'}\) menyatakan pembatasan \(f\) pada himpunan bagian \(A' \subset A\). Pemetaan identitas pada \(A\) ditulis \(\ensuremath{\mathrm{id}}= \ensuremath{\mathrm{id}}_A\). Banyaknya unsur dalam \(A\)—yakni kardinalitas atau kardinalnya—ditulis \(|A|\). Berdasarkan [Li1], sebuah himpunan terurut parsial ialah himpunan \(P\) yang dilengkapi relasi biner \(\leq\) yang refleksif, transitif, dan antisimetris. Jika sifat antisimetris tidak disyaratkan, diperoleh himpunan praterurut. Notasi \(x < y\) berarti \(x \lneq y\). Himpunan terurut parsial \((P, \leq)\) sering disingkat menjadi \(P\).

• Jika \(m \in P\) memenuhi \(\forall x \in P, \; x \geq m \iff x = m\), maka \(m\) disebut unsur maksimal dalam \(P\). Konsep unsur minimal didefinisikan dengan mengganti \(\geq\) oleh \(\leq\). Pada umumnya, unsur seperti ini tidak tunggal.

• Misalkan \(S\) adalah himpunan bagian dari \(P\). Jika \(b \in P\) memenuhi \(\forall x \in S, \; x \leq b\), maka \(b\) disebut batas atas \(S\) dalam \(P\). Batas bawah \(S\) didefinisikan secara serupa.

• Jika \(b \in P\) merupakan batas atas \(S\) dan setiap batas atas lain \(b'\) memenuhi \(b' \geq b\), maka unsur itu disebut supremum \(S\), ditulis \(\sup S\). Supremum, jika ada, bersifat tunggal. Infimum \(S\), ditulis \(\inf S\), didefinisikan secara serupa.

Suatu pemetaan \(f: P \to Q\) antarhimpunan terurut parsial disebut mempertahankan urutan jika \(a \leq b \implies f(a) \leq f(b)\). Jika \(f: P \to Q\) bijektif serta \(f\) dan \(f^{-1}\) sama-sama mempertahankan urutan, maka \(f\) disebut isomorfisme antarhimpunan terurut parsial, atau bijeksi yang mempertahankan urutan. Jika setiap pasangan unsur dalam himpunan terurut parsial \(P\) dapat dibandingkan, maka \(P\) disebut himpunan terurut total. Jika \(P\) tak kosong dan setiap himpunan bagian tak kosongnya mempunyai unsur terkecil, maka \(P\) disebut himpunan terurut baik . Suatu kelas khusus himpunan terurut baik disebut ordinal, dan setiap dua ordinal dapat dibandingkan. Ringkasnya:

• untuk setiap ordinal \(\alpha\), berlaku \(\alpha = \left\{ \beta: \text{ordinal}, \; \beta < \alpha \right\}\);

• jika ordinal \(\kappa\), sebagai himpunan, tidak ekuipoten dengan ordinal mana pun yang lebih kecil darinya, maka ordinal itu disebut kardinal;

• kardinalitas \(|S|\) suatu himpunan \(S\) didefinisikan sebagai ordinal terkecil dalam kelas ekuipotensinya. Di sini digunakan fakta bahwa setiap himpunan dapat diberi urutan baik (yang memerlukan aksioma pilihan) dan bahwa setiap himpunan terurut baik isomorfik dengan tepat satu ordinal;

• khususnya, \(|\alpha| \leq \alpha\) untuk setiap ordinal \(\alpha\).

Inilah sudut pandang von Neumann; lihat [Li1] atau [Je03]. Pendekatan ini sedikit lebih berliku daripada definisi lazim kardinal sebagai kelas ekuipotensi, tetapi juga mempunyai kegunaan tersendiri. Ordinal hingga dapat diidentifikasi dengan bilangan bulat tak negatif: untuk setiap \(n \in \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 0}\) terdapat himpunan terurut total \(\mathbf{n}\), yang sebagai himpunan didefinisikan secara rekursif oleh \(\mathbf{0} := \emptyset\) dan \(\mathbf{n+1} := \{\mathbf{0}, \ldots, \mathbf{n}\}\); struktur urutannya jelas. Ordinal tak hingga terkecil \(\omega\) ialah himpunan terurut baik \(\mathbf{0} \leq \mathbf{1} \leq \cdots\), dan sekaligus merupakan kardinal terhitung \(\aleph_0\). Kita memilih suatu semesta Grothendieck \(\mathcal{U}\) untuk membedakan ukuran himpunan. Unsur-unsur \(\mathcal{U}\) disebut himpunan-\(\mathcal{U}\); himpunan yang ekuipoten dengan suatu himpunan-\(\mathcal{U}\) disebut himpunan \(\mathcal{U}\)-kecil, atau cukup himpunan kecil . Jika kardinal \(\mu\), sebagai himpunan, merupakan himpunan \(\mathcal{U}\)-kecil, maka kardinal itu disebut kardinal kecil. Kita mengandaikan bahwa setiap himpunan \(X\) termasuk dalam suatu \(\mathcal{U}\); lihat [Li1] dan pembahasan terkait.

Kategori

Konvensi tentang kategori sama dengan [Li1]: semua objek dan semua morfisme suatu kategori \(\mathcal{C}\) masing-masing membentuk himpunan, yang ditulis \(\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) dan \(\operatorname{Mor}(\mathcal{C})\). Himpunan morfisme antara dua objek ditulis \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(\cdot, \cdot)\), atau cukup \(\operatorname{Hom}(\cdot, \cdot)\). Morfisme identitas objek \(X\) ditulis \(\ensuremath{\mathrm{id}}_X\). Monomorfisme ditandai dengan panah \(\hookrightarrow\), sedangkan epimorfisme dengan panah \(\twoheadrightarrow\); monomorfisme juga disebut pembenaman.

• Untuk setiap morfisme \(f: X \to Y\) dalam suatu kategori dan setiap objek \(T\), morfisme \(f\) menginduksi operasi tarikan balik \(f^*\) dan dorongan maju \(f_*\) pada himpunan \(\operatorname{Hom}\): \[\begin{align*} f^*: \operatorname{Hom}(Y, T) & \to \operatorname{Hom}(X, T), & f_*: \operatorname{Hom}(T, X) & \to \operatorname{Hom}(T, Y) \\ \beta & \mapsto \beta f & \alpha & \mapsto f\alpha . \end{align*}\]

• Subkategori ditulis dengan notasi himpunan bagian, \(\mathcal{C}' \subset \mathcal{C}\). Jika \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)\), maka \(\mathcal{C}'\) disebut subkategori penuh.

• Produk dua kategori \(\mathcal{C}_1\) dan \(\mathcal{C}_2\), \(\mathcal{C}_1 \times \mathcal{C}_2\), mempunyai himpunan objek \(\operatorname{Ob}(\mathcal{C}_1) \times \operatorname{Ob}(\mathcal{C}_2)\). Morfisme dari \((X_1, X_2)\) ke \((Y_1, Y_2)\) adalah unsur \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}_1}(X_1, Y_1) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}_2}(X_2, Y_2)\), dan komposisi morfismenya dilakukan per komponen. Definisi ini langsung meluas kepada produk sembarang keluarga kategori \(\prod_i \mathcal{C}_i\). Dengan cara yang sama didefinisikan \(\mathcal{C}^n := \mathcal{C} \times \cdots \times \mathcal{C}\) (sebanyak \(n\) faktor), atau lebih umum \(\mathcal{C}^I\), dengan \(I\) suatu himpunan. Lihat [Li1].

Sebagai contoh, setiap himpunan praterurut \((P, \leq)\) menentukan kategori \(\mathcal{P}\) dengan himpunan objek \(P\) dan \[\forall a,b \in P, \quad \operatorname{Hom}_{\mathcal{P}}(a, b) = \begin{cases} \text{himpunan satu titik} \; \{ \star \}, & a \leq b \\ \emptyset, & \text{selain itu.} \end{cases}\] Sebagai kasus khusus, \(\mathbf{0}\) dapat diidentifikasi dengan kategori kosong, tanpa objek dan tanpa morfisme, sedangkan \(\mathbf{1}\) diidentifikasi dengan kategori dengan tepat satu objek \(\mathbf{0}\) dan satu morfisme \(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathbf{0}}\). Kategori yang memenuhi \(\operatorname{Mor}(\mathcal{C}) = \left\{ \ensuremath{\mathrm{id}}_X : X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C}) \right\}\) disebut kategori diskret. Kategori diskret berkorespondensi satu-satu dengan himpunan melalui \(\mathcal{C} \mapsto \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\).

Terminologi: Kategori Kecil dan Kategori Besar

Buku ini memilih suatu semesta Grothendieck \(\mathcal{U}\). Misalkan \(\mathcal{C}\) suatu kategori. Jika \(\mathrm{Mor}(\mathcal{C})\) merupakan himpunan \(\mathcal{U}\)-kecil, maka kategori itu disebut kategori \(\mathcal{U}\)-kecil. Jika hanya disyaratkan bahwa \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)\) merupakan himpunan \(\mathcal{U}\)-kecil untuk semua \(X, Y \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), maka kategori itu disebut kategori \(\mathcal{U}\). ¹ Sebagai contoh, semua himpunan-\(\mathcal{U}\) beserta pemetaan di antaranya membentuk kategori-\(\mathcal{U}\) yang ditulis \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\); kategori ini bukan kategori \(\mathcal{U}\)-kecil. Di sisi lain, tanpa memilih \(\mathcal{U}\), semua himpunan membentuk kelas sejati, bukan kategori dalam pengertian buku ini. Serupa dengan itu, \(\ensuremath{\mathsf{Grp}}\) (atau \(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\)) dalam buku ini menyatakan kategori semua grup (atau grup abelian) yang direalisasikan pada himpunan-\(\mathcal{U}\); semuanya merupakan kategori-\(\mathcal{U}\). Untuk melihat bahwa ukuran benar-benar menimbulkan persoalan, perhatikan bahwa funktor \(\operatorname{Hom}\), yaitu \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}: \mathcal{C}^{\operatorname{op}} \times \mathcal{C} \to \ensuremath{\mathsf{Set}}\), hanya dapat didefinisikan apabila \(\mathcal{C}\) merupakan kategori-\(\mathcal{U}\). Kecuali dinyatakan lain, kategori yang dibahas dalam buku ini selalu berarti kategori-\(\mathcal{U}\), dan kategori \(\mathcal{U}\)-kecil cukup disebut kategori kecil. Kategori yang belum tentu merupakan kategori-\(\mathcal{U}\) disebut kategori besar. Kategori besar sukar dihindari dalam banyak konstruksi, khususnya dalam teori yang berkaitan dengan kategori funktor atau lokalisasi kategoris. Setiap kali kategori besar mungkin muncul dan benar-benar menimbulkan konsekuensi substantif, hal itu akan ditandai secara eksplisit.

Funktor dan Kategori Funktor

Funktor identitas dari kategori \(\mathcal{C}\) ke dirinya sendiri ditulis \(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\). Suatu funktor \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) memetakan morfisme \(f: X \to Y\) dalam \(\mathcal{C}\) ke morfisme \(Ff: FX \to FY\) dalam \(\mathcal{D}\). Jika pemetaan \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, FY)\) bersifat injektif (atau bijektif) untuk semua \(X\) dan \(Y\), maka \(F\) disebut setia (atau penuh dan setia). Jika setiap objek dalam \(\mathcal{D}\) isomorfik dengan suatu \(FX\), maka \(F\) disebut surjektif secara esensial. Sebagai contoh, bagi kategori-kategori yang terkait dengan himpunan terurut parsial, pemetaan yang mempertahankan urutan \(P \to Q\) tidak lain ialah funktor \(\mathcal{P} \to \mathcal{Q}\).

Dalam sebagian pustaka, suatu morfisme \(\varphi: F \to G\) antara dua funktor juga disebut transformasi alami, dan kadang-kadang ditulis dengan panah ganda \(\varphi: F \Rightarrow G\). Morfisme \(\varphi\) terdiri atas keluarga morfisme yang kompatibel \((\varphi_X: FX \to GX)_{X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})}\), dan dapat pula dinyatakan dengan diagram \(2\)-sel yang diperkenalkan dalam [Li1]:

Ketika kelak membahas kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) (lihat §1.3) atau kategori \(\Bbbk\)-linear (lihat §1.4), funktor akan dikenai syarat tambahan yang sesuai. Untuk funktor-funktor

\(\varphi: F \to G\), secara alami diperoleh morfisme \(L\varphi: LF \to LG\) dan \(\varphi R: FR \to GR\). Di sisi lain, morfisme \(\varphi: F \to G\) dan \(\psi: G \to H\) dapat dikomposisikan menjadi \(\psi\varphi: F \to H\). Operasi-operasi komposisi ini dapat dinyatakan sebagai komposisi \(2\)-sel, yakni dengan menempelkan diagram. Identitas segitiga yang akan segera ditinjau kembali merupakan contoh dasar.

Semua funktor dari kategori \(\mathcal{C}\) ke kategori \(\mathcal{D}\) membentuk kategori funktor \(\mathcal{D}^{\mathcal{C}}\), yang juga ditulis \(\mathrm{Fct}(\mathcal{C}, \mathcal{D})\). Perhatikan bahwa kecuali \(\mathcal{C}\) kecil, \(\mathcal{D}^{\mathcal{C}}\) sering kali merupakan “kategori besar”. Sebagai kasus khusus dari kategori funktor, untuk \(n \in \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 0}\) dan himpunan terurut total terkait \(\mathbf{n}\), kategori \(\mathcal{C}^{\mathbf{n}}\) dapat dijelaskan sebagai berikut.

Dengan demikian, \(\mathbf{0}\) dapat disebut kategori awal, \(\mathbf{1} = [\bullet]\) kategori terminal, dan \(\mathbf{2} = [\bullet \to \bullet]\) dapat dibayangkan sebagai panah berjalan.

Kategori lawan \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\) dari \(\mathcal{C}\) memiliki himpunan objek yang sama dengan \(\mathcal{C}\). Setiap morfisme \(f: X \to Y\) dapat dipandang sebagai morfisme \(Y \to X\) dalam \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\) dan, untuk membedakannya, ditulis \(f^{\operatorname{op}}\). Di sisi lain, \(\mathrm{Fct}(\mathcal{C}, \mathcal{D})^{\operatorname{op}}\) secara alami dapat diidentifikasi dengan \(\mathrm{Fct}(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}, \mathcal{D}^{\operatorname{op}})\). Peralihan dari \(\mathcal{C}\) ke \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\) berarti membalik semua panah; mekanisme ini disebut dualitas dalam teori kategori. Jika sepasang funktor \(F: \mathcal{C} \leftrightarrows \mathcal{D}: G\) memenuhi \(GF \simeq \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\) dan \(FG \simeq \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\), keduanya disebut saling kuasi-invers. Funktor yang mempunyai kuasi-invers disebut ekuivalensi antarkategori, suatu konsep dasar dalam teori kategori. Jika berlaku persamaan ketat \(GF = \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\) dan \(FG = \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\), maka keduanya disebut isomorfisme antarkategori yang saling invers.

Struktur Aljabar

Unsur identitas (atau unsur satuan) suatu grup ditulis \(1\) dalam notasi multiplikatif, sedangkan unsur identitas grup abelian ditulis \(0\) dalam notasi aditif. Grup lawan dari \(G\), yang urutan perkaliannya dibalik, ditulis \(G^{\operatorname{op}}\). Jika \(H\) adalah subgrup dari \(G\), indeks \(H\) dalam \(G\) ditulis \((G:H)\); nilainya juga sama dengan banyaknya koset \(|G/H|\) atau \(|H \backslash G|\). Kecuali dinyatakan lain, gelanggang selalu berarti gelanggang asosiatif dengan unsur satuan; demikian pula untuk aljabar atas gelanggang komutatif. Unsur satuan perkalian gelanggang \(R\) ditulis \(1\) atau \(1_R\), dan semua unsur yang dapat dibalik membentuk grup perkalian \(R^\times\). Karakteristik medan atau daerah integral \(R\) ditulis \(\mathrm{char}(R)\). Gelanggang lawan dari \(R\) ditulis \(R^{\operatorname{op}}\) dan mempunyai urutan perkalian yang berlawanan dengan \(R\). Misalkan \(r\) adalah unsur tak nol dari gelanggang komutatif \(R\). Jika homomorfisme grup aditif \(R \xrightarrow{\text{perkalian dengan}\; r} R\) mempunyai kernel tak nol, maka \(r\) disebut pembagi nol. Ideal dalam gelanggang komutatif yang dihasilkan oleh unsur-unsur \(x, y, \ldots\) ditulis \((x, y, \ldots)\). Aljabar polinomial atas gelanggang komutatif \(R\) dengan peubah \(X_1, X_2, \ldots\) ditulis \(R[X_1, X_2, \ldots]\), sedangkan gelanggang deret pangkat formal ditulis \(R\llbracket X_1, X_2, \ldots \rrbracket\). Jika \(M\) suatu monoid, aljabar monoid atas \(R\) yang terkait ditulis \(R[M]\). Secara konvensi, \(\ensuremath{\mathbb{Z}}\subset \ensuremath{\mathbb{Q}}\subset \ensuremath{\mathbb{R}}\subset \ensuremath{\mathbb{C}}\) berturut-turut menyatakan gelanggang bilangan bulat, medan bilangan rasional, medan bilangan real, dan medan bilangan kompleks. Jika \(q\) merupakan pangkat suatu bilangan prima, maka \(\ensuremath{\mathbb{F}}_q\) menyatakan medan hingga dengan \(q\) unsur. Jika \(F \hookrightarrow E\) adalah pembenaman medan, perluasan medan terkait, atau medan perluasannya, ditulis \(E|F\) dan derajatnya ditulis \([E:F]\). Jika \(E|F\) merupakan perluasan Galois, grup Galoisnya ditulis \(\operatorname{Gal}(E|F)\).

Notasi untuk kategori-kategori umum yang dibentuk oleh beberapa struktur aljabar dasar adalah sebagai berikut.

Jika \(\Bbbk\) telah dipilih dan \(R\) serta \(S\) merupakan aljabar atas \(\Bbbk\), maka ketika membahas bimodul \((R,S)\), struktur bimodul secara baku dianggap berasal dari struktur modul-\(R \ensuremath{\underset{\Bbbk}{\otimes}} S^{\operatorname{op}}\) kiri. Dengan kata lain, aksi kiri dan kanan oleh \(\Bbbk\) disyaratkan berimpit. Grup homomorfisme antara dua modul-\(R\) kiri ataupun dua modul-\(R\) kanan ditulis dalam bentuk \(\operatorname{Hom}_R(X, Y)\). Untuk bimodul \((R,S)\) digunakan notasi serupa, \(\operatorname{Hom}_{(R, S)}(X, Y)\). Untuk gelanggang komutatif \(R\) dan suatu himpunan multiplikatif \(U\), lokalisasi terkait ditulis \(R[U^{-1}]\). Seperti pada kategori himpunan \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\), grup, gelanggang, modul, dan struktur lain di sini secara baku dipahami sebagai struktur pada himpunan-\(\mathcal{U}\), dengan \(\mathcal{U}\) semesta Grothendieck yang telah dipilih. Karena itu, setiap kategori dalam tabel mempunyai funktor pelupa menuju \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\). Contoh lain yang dibahas dalam buku ini, seperti kategori ruang topologis \(\ensuremath{\mathsf{Top}}\) dan kategori ruang Hausdorff kompak \(\ensuremath{\mathsf{CHaus}}\), tunduk pada asumsi yang sama: ruang-ruang yang dibahas direalisasikan pada himpunan-\(\mathcal{U}\).

Adjungsi

Pasangan adjoin \((F, G, \varphi)\) terdiri atas sepasang funktor berikut.

Pasangan tersebut juga dilengkapi dengan keluarga bijeksi kanonik \(\varphi_{X, Y}: \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}\left(FX, Y \right) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\left(X, GY \right)\), yakni isomorfisme antarfunktor berikut: \[\varphi: \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}\left(F(\cdot), \cdot \right) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\left(\cdot, G(\cdot) \right): \; \mathcal{C}^{\operatorname{op}} \times \mathcal{C}' \to \ensuremath{\mathsf{Set}}.\] Pasangan adjoin juga sering ditulis dengan notasi berikut.

Notasi ini menyatakan bahwa \(F\) adalah adjoin kiri dari \(G\), atau bahwa \(G\) adalah adjoin kanan dari \(F\). Data \(\varphi\) sering dihilangkan, dan pasangan adjoin itu kemudian ditulis \((F, G)\). Dalam pasangan adjoin, \(\varphi\) secara ekuivalen dapat dicirikan melalui morfisme unit \(\eta: \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}} \to GF\) dan morfisme kounit \(\varepsilon: FG \to \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}'}\). Data \((F, G, \eta, \varepsilon)\) membentuk pasangan adjoin jika dan hanya jika morfisme-morfisme tersebut memenuhi identitas segitiga : \[G\varepsilon \circ \eta G = \ensuremath{\mathrm{id}}_G, \quad \varepsilon F \circ F\eta = \ensuremath{\mathrm{id}}_F.\] Lihat [Li1]. Secara ekuivalen, identitas tersebut dapat ditulis sebagai persamaan komposisi \(2\)-sel berikut:

Untuk rinciannya, lihat [Li1].

Limit

Tinjau funktor \(\alpha: I \to \mathcal{C}\).

• Limit induktif \(\alpha\), jika ada, ditulis \(\varinjlim \alpha\) atau \(\varinjlim_{i \in \operatorname{Ob}(I)} \alpha(i)\). Limit ini merupakan objek \(\mathcal{C}\) yang dilengkapi suatu keluarga morfisme \(\alpha(i) \to \varinjlim \alpha\) dan ditentukan oleh sifat universal.

• Demikian pula, limit projektif \(\alpha\), jika ada, ditulis \(\varprojlim \alpha\) atau \(\varprojlim_{i \in \operatorname{Ob}(I)} \alpha(i)\). Limit ini dilengkapi suatu keluarga morfisme \(\varprojlim \alpha \to \alpha(i)\) dan ditentukan oleh sifat universal.

Kedua jenis limit tersebut saling dual: \(\varinjlim\) dari \(\alpha: I \to \mathcal{C}\) dapat diidentifikasi dengan \(\varprojlim\) dari \(\alpha^{\operatorname{op}}: I^{\operatorname{op}} \to \mathcal{C}^{\operatorname{op}}\). Oleh karena itu, dalam buku ini funktor yang terkait dengan \(\varprojlim\) sering ditulis dalam bentuk \(I^{\operatorname{op}} \to \mathcal{C}\). Dalam banyak pustaka, \(\varinjlim\) juga disebut kolimit dan ditulis \(\mathrm{colim}\), sedangkan \(\varprojlim\) disebut limit dan ditulis \(\lim\). Kecuali dinyatakan lain, istilah “limit” dalam buku ini mencakup \(\varinjlim\) maupun \(\varprojlim\). Jika \(I\) adalah kategori kecil, maka \(\varinjlim\) atau \(\varprojlim\) terkait disebut limit kecil. Mengikuti terminologi standar dalam [Li1], jika kategori \(\mathcal{C}\) mempunyai semua \(\varprojlim\) kecil (atau semua \(\varinjlim\) kecil), maka \(\mathcal{C}\) disebut lengkap (atau kolengkap). Pengertian ini bergantung pada pilihan \(\mathcal{U}\). Untuk menetapkan notasi, pilih kategori \(\mathcal{C}\) dan tinjau kembali beberapa kasus khusus limit yang lazim. Definisi terperinci dapat ditemukan dalam [Li1] atau buku ajar lain. Dalam sifat-sifat universal berikut, \(T\) menyatakan sembarang objek dalam \(\mathcal{C}\), sedangkan \(I\) menyatakan sembarang himpunan.

Catatan penerjemah. Pada baris koproduk, sumber menulis sasaran injeksi kanonik sebagai \(\prod_{j \in I}X_j\). Notasi itu dikoreksi menjadi \(\coprod_{j \in I}X_j\) sesuai objek pada kolom sebelumnya dan sifat universal di kolom berikutnya; lihat koreksi O014-C003.

Produk hingga (atau koproduk hingga) juga ditulis sebagai \(X_1 \times X_2 \times \cdots\) (atau \(X_1 \sqcup X_2 \sqcup \cdots\)). Jika \(\mathcal{C}\) kategori aditif, koproduk \(\coprod_i\) sering ditulis dengan simbol jumlah langsung \(\bigoplus_i\) dari teori modul. Penyama dan kopenyama, serta produk dan koproduk, masing-masing membentuk pasangan dual. Pencirian melalui sifat universal tersebut juga dapat ditulis sebagai diagram komutatif seperti dalam [Li1], atau ditafsirkan melalui pembenaman Yoneda yang akan ditinjau dalam §A.1. Andaikan \(\coprod_{i \in I} X_i\) dan \(\prod_{j \in J} Y_j\) ada; sifat universal memberikan bijeksi \[\operatorname{Hom}\left( \coprod_{i \in I} X_i, \prod_{j \in J} Y_j \right) \xrightarrow{1:1} \prod_{\substack{i \in I \\ j \in J}} \operatorname{Hom}(X_i, Y_j), \quad \psi \mapsto (p_j \psi \iota_i)_{i,j} .\]

Karena setiap isomorfisme dari objek \(X\) ke objek nol, jika ada, bersifat tunggal, lazim dikatakan bahwa \(X\) adalah objek nol atau ditulis \(X = 0\), alih-alih mengatakan bahwa \(X\) isomorfik dengan objek nol. Selanjutnya kita meninjau dua jenis limit penting yang saling dual.

Dengan mengambil \(\psi = \ensuremath{\mathrm{id}}\) dalam sifat universal produk serat, terlihat bahwa \(f_i p_i = f_j p_j\) untuk semua \(i,j\); dari sini diperoleh morfisme kanonik \(\prod_{i \in I} (X_i \to Z) \to Z\). Demikian pula, dengan mengambil \(\psi = \ensuremath{\mathrm{id}}\) untuk koproduk serat, terlihat bahwa \(\iota_i g_i = \iota_j g_j\) untuk semua \(i,j\); dari sini diperoleh morfisme kanonik \(Z \to \coprod_{i \in I} (Z \to X_i)\). Produk serat yang melibatkan berhingga banyak objek \(X_1 \ensuremath{\underset{Z}{\times}} X_2 \ensuremath{\underset{Z}{\times}} \cdots\), maupun koproduk serat \(X_1 \ensuremath{\underset{Z}{\sqcup}} X_2 \ensuremath{\underset{Z}{\sqcup}} \cdots\), dapat ditangani dengan mengulang kasus dua objek. Perhatikan dua diagram komutatif berikut. \[\text{READERDIAGRAM0019} \quad \text{dan} \quad \text{READERDIAGRAM0020}\] Kedua diagram tersebut masing-masing disebut diagram tarik balik dan diagram dorong keluar. Morfisme \(X \ensuremath{\underset{Z}{\times}} Y \to Y\) disebut tarik balik dari \(X \to Z\), sedangkan \(Y \to X \ensuremath{\underset{Z}{\sqcup}} Y\) disebut dorong keluar dari \(Z \to X\); perhatikan bahwa peran \(X\) dan \(Y\) simetris. Lebih umum, diagram komutatif yang isomorfik dengan diagram-diagram di atas juga masing-masing disebut diagram tarik balik dan diagram dorong keluar; lihat [Li1]. Dalam notasi buku ini, bagian tengah persegi pada diagram tarik balik (atau dorong keluar) diberi tanda \(\Box\) (atau \(\boxplus\)).

Penerjemahan

Dalam edisi sumber berbahasa Tionghoa, konvensi penerjemahan sama dengan [Li1]; pilihan istilah berbahasa Tionghoa tetap diupayakan selaras dengan [ZG], kecuali jika terjemahan dalam rujukan tersebut jelas kurang tepat atau keliru. Dalam indeks sumber, istilah berbahasa Tionghoa disertai padanan bahasa Inggris. Pertama, hal ini membantu pembaca yang perlu membaca atau menulis artikel berbahasa Inggris; kedua, memberikan rujukan bagi pembaca yang bahasa ibunya bukan bahasa Tionghoa; terakhir, karena alasan historis, penguasaan bahasa asing masih diperlukan untuk memahami makna banyak simbol matematika.

Catatan penerjemah. Edisi Indonesia ini mempertahankan padanan bahasa Inggris dalam indeks dan mencatat pilihan istilah Indonesia–Inggris dalam glosarium produksi yang terpisah.

---

1. Dalam banyak pustaka, objek-objek suatu kategori dipahami membentuk kelas, sedangkan himpunan \(\operatorname{Hom}\) antara setiap dua objek merupakan himpunan. Dengan demikian, “kelas” dalam pustaka tersebut berpadanan dengan himpunan dalam buku ini, “himpunan” mereka berpadanan dengan himpunan-\(\mathcal{U}\) dalam buku ini, dan “kategori” mereka pada dasarnya berpadanan dengan kategori \(\mathcal{U}\) dalam buku ini.↩︎

Pelengkap Teori Kategori

Sesuai dengan judulnya, bab ini memperkenalkan sejumlah perangkat teori kategori yang diperlukan dalam bab-bab berikut sebagai penyegaran bagi pembaca. Sebagian materi ini telah dibahas dalam [Li1] atau buku ajar sejenis. Meskipun demikian, materi tersebut disajikan kembali di sini untuk meninjau konsep-konsep itu dan menyeragamkan notasi. Untuk istilah dasar lainnya, pembaca dapat merujuk pada Pendahuluan buku ini.

• Dalam §§ 1.1– 1.2, mula-mula diperkenalkan secara ringkas subobjek dan objek kuosien, termasuk sifat-sifat umum monomorfisme dan epimorfisme. Selanjutnya diperkenalkan citra \(\operatorname{im}(f)\) dan kocitra \(\operatorname{coim}(f)\) suatu morfisme \(f\), serta morfisme yang memenuhi citra sama dengan kocitra, yang disebut morfisme ketat. Semua ini merupakan konsep dasar yang berlaku dalam kategori umum.

• §§ 1.3– 1.4 merupakan bagian linear bab ini. Di sana diperkenalkan jenis khusus kategori yang himpunan morfismenya mempunyai struktur grup abelian, yang disebut kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\); funktor yang mempertahankan penjumlahan morfisme disebut funktor aditif. Dalam kategori-kategori tersebut, kernel dan kokernel suatu morfisme dapat didefinisikan sebagai perumuman kernel dan kokernel homomorfisme modul. Kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) yang mempunyai objek nol dan semua produk hingga disebut kategori aditif. Dalam kategori aditif, kita dapat membahas jumlah langsung hingga dari objek, sedangkan morfisme di antara jumlah-jumlah langsung hingga dapat diolah seperti operasi matriks.

  Lebih jauh, struktur penjumlahan dapat ditingkatkan menjadi perkalian skalar oleh suatu gelanggang komutatif \(\Bbbk\). Dari sini diperoleh pengertian kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) dan kategori \(\Bbbk\)-linear. Kategori-kategori berstruktur linear inilah yang menjadi perhatian utama buku ini.

• §§ 1.5– 1.6 memuat dasar-dasar tentang limit. Secara khusus, Definisi 1.5.2 memperkenalkan istilah untuk menyatakan apakah suatu funktor \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) mempertahankan limit (dari \(\mathcal{C}\) ke \(\mathcal{D}\)) atau menciptakan limit (dari \(\mathcal{D}\) ke \(\mathcal{C}\)). Selain itu dibahas pula funktor kofinal dan limit induktif terfilter; istilah-istilah ini praktis dan penting.

• Ekstensi Kan kiri dan kanan yang dibahas dalam §§ 1.7– 1.8 merupakan operasi dasar dalam teori kategori. Dengan syarat yang sesuai, ekstensi tersebut dapat dibangun menggunakan \(\varinjlim\) atau \(\varprojlim\). Argumennya cukup berliku, tetapi gagasan utamanya sederhana: merumuskan persoalan ekstensi funktor sebagai suatu hampiran terbaik dalam bentuk limit. Dicatat pula Teorema 1.7.7, hasil yang tidak serta-merta jelas dan menerangkan hubungan antara ekstensi Kan kiri/kanan absolut dan pasangan adjoin.

• Lokalisasi Gabriel–Zisman yang diperkenalkan dalam § 1.9 (selanjutnya cukup disebut lokalisasi dalam buku ini) merupakan konstruksi yang secara formal menambahkan invers bagi suatu keluarga morfisme \(S\) dalam kategori. Konstruksi ini serupa dengan lokalisasi gelanggang, tetapi rincian konkretnya jauh lebih rumit. Agar hasil penginversan lebih mudah dikendalikan, dalam praktik \(S\) sering diasumsikan membentuk sistem multiplikatif sebagaimana didefinisikan dalam Definisi 1.9.5. Penerapan utama lokalisasi dalam buku ini ialah membangun kategori turunan; penerapan berikutnya ialah mendefinisikan kuosien Serre suatu kategori abelian dalam § 2.9. § 1.10 akan menerangkan cara melakukan ekstensi Kan sepanjang lokalisasi kategori. Konstruksi itu dapat dibayangkan sebagai lokalisasi funktor dan menjadi kunci untuk memahami funktor turunan.

• Teorema funktor adjoin yang dibahas dalam § 1.11 mencirikan keberadaan adjoin kiri atau adjoin kanan suatu funktor di bawah syarat-syarat yang sesuai. Dalam buku ini, penerapan utamanya terdapat dalam § 2.10, pada kajian kategori Grothendieck. Kegunaan teorema funktor adjoin dalam matematika tidak terbatas pada penerapan tersebut, sehingga bagian ini mempunyai nilai tersendiri. Pengertian generator dan kogenerator (Definisi 1.11.8) yang dibahas di sana juga wajib dikuasai.

Isi bab ini banyak mengambil bahan dari [KS06, Rie16].

Petunjuk Bacaan. Teori dasar kategori abelian dan kompleks hanya memerlukan §§ 1.1– 1.4 dari bab ini. §§ 1.5– 1.6 berperan sebagai materi pendukung dan juga akan berulang kali dirujuk dalam bab-bab lain. Teori kategori turunan melibatkan §§ 1.7– 1.10. Materi tersebut juga berguna di luar topik itu, tetapi pembaca dapat menimbang kebutuhannya sendiri dan menunda pembacaan hingga sebelum mempelajari kategori turunan. Bagian terakhir, § 1.11, hanya diterapkan dalam § 2.10. Namun, pengetahuan tentang generator dan kogenerator di dalamnya bersifat wajib; pembaca dapat kembali merujuknya bila diperlukan.

Subkuosien

Pertama-tama, kita mengingat kembali pengertian monomorfisme dan epimorfisme. Misalkan \(\mathcal{C}\) sebuah kategori.

• Morfisme \(f: X \to Y\) disebut monomorfisme, dan juga ditulis \(f: X \hookrightarrow Y\), jika hukum kanselasi kiri berlaku: \[\forall T \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C}), \; \forall g,h: T \to X , \quad fg=fh \iff g=h;\]

• Morfisme \(f: X \to Y\) disebut epimorfisme, dan juga ditulis \(f: X \twoheadrightarrow Y\), jika hukum kanselasi kanan berlaku: \[\forall T \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C}), \; \forall g,h: Y \to T, \quad gf=hf \iff g=h.\]

Langsung terlihat bahwa \(f: X \to Y\) merupakan monomorfisme jika dan hanya jika \(f_*: \operatorname{Hom}(T, X) \to \operatorname{Hom}(T, Y)\) injektif untuk setiap \(T\); \(f: X \to Y\) merupakan epimorfisme jika dan hanya jika \(f^*: \operatorname{Hom}(Y, T) \to \operatorname{Hom}(X, T)\) injektif untuk setiap \(T\). Sifat monomorfisme dan epimorfisme saling dual: \(f\) merupakan monomorfisme jika dan hanya jika \(f^{\operatorname{op}}\) merupakan epimorfisme.

Contoh. Jika penyama \(\operatorname{ker}(f,g)\) dari sepasang morfisme \(f, g: X \to Y\) ada, maka sifat universal menunjukkan bahwa morfisme kanonik \(\iota: \operatorname{ker}(f,g) \to X\) merupakan monomorfisme. Secara dual, jika kopenyama \(\operatorname{coker}(f,g)\) ada, maka morfisme kanonik \(p: Y \to \operatorname{coker}(f,g)\) merupakan epimorfisme. Pengamatan sederhana lain ialah sebagai berikut: jika \(\mathcal{C}\) mempunyai objek nol, yang menurut konvensi dinotasikan dengan \(0\), maka \(0 \to X\) merupakan monomorfisme dan \(X \to 0\) merupakan epimorfisme. Pembaca dipersilakan memeriksa rincian-rincian ini.

Proposisi. Tinjau morfisme-morfisme \(X \xrightarrow{a} Y \xrightarrow{b} Z\). Andaikan \(b\) merupakan monomorfisme atau \(a\) merupakan epimorfisme. Maka \(ba: X \to Z\) merupakan isomorfisme jika dan hanya jika \(a\) dan \(b\) keduanya merupakan isomorfisme.

Bukti. Salah satu arah sudah jelas. Selanjutnya, andaikan \(ba\) merupakan isomorfisme dan \(b\) merupakan monomorfisme. Definisikan \(c := a(ba)^{-1}: Z \to Y\); maka \(bc = \ensuremath{\mathrm{id}}_Z\). Selain itu, \(b(cb) = (bc)b = b\). Karena \(b\) merupakan monomorfisme, hukum kanselasi kiri memberikan \(cb = \ensuremath{\mathrm{id}}_Y\). Jadi, \(b\) merupakan isomorfisme, dan karena itu \(a\) juga merupakan isomorfisme. Dengan bekerja di \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\), diperoleh kasus ketika \(a\) merupakan epimorfisme.

Dalam kategori yang lazim digunakan dalam aljabar, seperti \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\), \(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\), dan \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\), sifat monomorfisme dan epimorfisme suatu morfisme masing-masing ekuivalen dengan sifat injektif dan surjektifnya sebagai pemetaan. Dalam contoh-contoh tersebut, kita juga dapat membicarakan himpunan bagian, subgrup, dan sebagainya. Konsep itu dapat diperluas ke kategori umum, tetapi diperlukan satu langkah tambahan. Kita akan merumuskannya dengan bahasa himpunan terurut parsial. Tinjau kategori \(\mathcal{C}\) dan sebuah objek \(X\) di dalamnya. Untuk sepasang monomorfisme \(f_i: S_i \hookrightarrow X\), dengan \(i = 1, 2\), jika terdapat \(g: S_1 \to S_2\) sehingga \(f_2 g = f_1\), tuliskan \((S_1, f_1) \subset (S_2, f_2)\), atau cukup \(S_1 \subset S_2\). Perhatikan bahwa sifat monomorfisme \(f_2\) mengakibatkan \(g\), jika ada, bersifat unik dan juga merupakan monomorfisme. Relasi \(\subset\) yang baru didefinisikan ini belum merupakan urutan parsial. Jika \(S_1 \subset S_2\) dan \(S_2 \subset S_1\), kita katakan bahwa \(S_1\) dan \(S_2\) ekuivalen. Hal ini juga setara dengan adanya diagram komutatif

Keunikan memberikan \(g_2 g_1 = \ensuremath{\mathrm{id}}_{S_1}\), dan demikian pula \(g_1 g_2 = \ensuremath{\mathrm{id}}_{S_2}\). Dengan kata lain, \(S_1\) dan \(S_2\) ekuivalen jika dan hanya jika terdapat isomorfisme \(g: S_1 \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}S_2\) sehingga \(f_2 g = f_1\); isomorfisme ini pun unik. Tentu saja, inilah argumen baku dalam aljabar. Secara serupa, untuk sepasang epimorfisme \(f_i: X \twoheadrightarrow Q_i\), dengan \(i = 1, 2\), jika terdapat \(g: Q_2 \to Q_1\) sehingga \(g f_2 = f_1\), maka \(g\) unik dan juga merupakan epimorfisme; tuliskan \(Q_1 \twoheadleftarrow Q_2\). Jika \(Q_1 \twoheadleftarrow Q_2\) dan \(Q_2 \twoheadleftarrow Q_1\), kita katakan bahwa \(Q_1\) dan \(Q_2\) ekuivalen. Hal ini juga setara dengan adanya isomorfisme unik \(g: Q_2 \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}Q_1\) sehingga \(g f_2 = f_1\). Relasi biner \(\subset\) (atau \(\twoheadleftarrow\)) menginduksi urutan parsial pada kelas-kelas ekuivalensi. Di sini kita meminjam simbol inklusi himpunan \(\subset\). Meskipun hal ini dapat menimbulkan kerancuan, notasi tersebut selaras dengan notasi bagi substruktur lain dalam aljabar, seperti subgrup, submodul, dan subruang.

Definisi. Misalkan \(\mathcal{C}\) sebuah kategori dan \(X\) sebuah objek di dalamnya. Kelas ekuivalensi dari monomorfisme berbentuk \(S \hookrightarrow X\) (atau dari epimorfisme berbentuk \(X \twoheadrightarrow Q\)) menurut relasi ekuivalensi di atas disebut subobjek (atau objek kuosien) dari \(X\). Kelas-kelas itu membentuk himpunan terurut parsial \((\mathrm{Sub}_X, \subset)\) (atau \((\mathrm{Quot}_X, \twoheadleftarrow)\)), dengan \(\ensuremath{\mathrm{id}}_X: X \to X\) sebagai unsur maksimal yang tunggal.

Subobjek dan objek kuosien saling dual: \((\mathrm{Sub}_X, \subset)\) yang didefinisikan untuk \(\mathcal{C}\) sama dengan \((\mathrm{Quot}_X, \twoheadleftarrow)\) yang didefinisikan untuk \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\). Demi kemudahan pemaparan, bagian ini terutama membahas subobjek. Karena isomorfisme \(g\) dalam relasi ekuivalensi bersifat unik, dalam argumen kita dapat dengan aman memilih wakil \(f: S \hookrightarrow X\) dari suatu kelas ekuivalensi, atau bahkan menuliskannya cukup sebagai \(S\). Ingatlah bahwa \(f_*: \operatorname{Hom}(\cdot, S) \to \operatorname{Hom}(\cdot, X)\) bersifat injektif.

Lema. Untuk setiap dua subobjek \(S_1\) dan \(S_2\) dari \(X\), berlaku \[\begin{equation*} S_1 \subset S_2 \iff \forall T \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C}), \; \operatorname{Hom}(T, S_1) \subset \operatorname{Hom}(T, S_2), \end{equation*}\] dengan \(\operatorname{Hom}(T, S_1)\) dan \(\operatorname{Hom}(T, S_2)\) pada ruas kanan dipahami sebagai himpunan bagian dari \(\operatorname{Hom}(T, X)\).

Bukti. Arah \(\implies\) mudah. Untuk arah \(\impliedby\), ambil \(T := S_1\) dan perhatikan \(\ensuremath{\mathrm{id}}_{S_1} \in \operatorname{Hom}(S_1, S_1)\). Di bawah penyertaan \(\operatorname{Hom}(S_1,S_1) \subset \operatorname{Hom}(S_1,X)\), unsur ini bersesuaian dengan \(f_1\). Hipotesis lalu memberikan \(g \in \operatorname{Hom}(S_1,S_2)\) yang citranya dalam \(\operatorname{Hom}(S_1,X)\) adalah \(f_1\), yakni \(f_2g=f_1\). Inilah morfisme yang dicari.

Andaikan \(\mathcal{C}\) mempunyai objek nol dan \((X_i)_{i \in I}\) merupakan suatu keluarga objek. Untuk setiap \((i,j) \in I \times I\), definisikan \(\delta_{ij} \in \operatorname{Hom}(X_i, X_j)\) sebagai berikut: jika \(i=j\), ambil \(\delta_{ij} = \ensuremath{\mathrm{id}}\); jika tidak, ambil \(\delta_{ij}\) sebagai morfisme nol. Jika produk dan koproduk dari \((X_i)_{i \in I}\) ada, maka \((\delta_{ij})_{i,j}\) menentukan morfisme kanonik \[\begin{equation} \hypertarget{eqn:coprod-prod-delta}{} \delta: \coprod_{i \in I} X_i \to \prod_{i \in I} X_i. \end{equation}\] Dalam kategori aditif, yang akan segera kita tinjau kembali, \(\delta\) selalu merupakan isomorfisme apabila \(I\) hingga. Hal ini belum tentu berlaku dalam kategori umum.

Lema. Andaikan \(X \to Z\) merupakan monomorfisme. Tarik baliknya sepanjang \(Y \to Z\), yaitu \(X \ensuremath{\underset{Z}{\times}} Y \to Y\) (andaikan ada), juga merupakan monomorfisme. Secara dual, dorong keluar suatu epimorfisme juga merupakan epimorfisme.

Bukti. Berdasarkan dualitas, cukup dibahas kasus monomorfisme. Misalkan \(p_2: X \ensuremath{\underset{Z}{\times}} Y \to Y\) adalah morfisme kanonik yang diberikan oleh produk serat. Untuk setiap objek \(T\), cukup dibuktikan bahwa

\(X \to Z\) merupakan monomorfisme, pemetaan \(\operatorname{Hom}(T, X) \to \operatorname{Hom}(T, Z)\) bersifat injektif, sedangkan pemetaan dari kiri atas ke kanan bawah hanyalah proyeksi alami.

Lema. Andaikan \(\left( f_i: X_i \to Z \right)_{i \in I}\) merupakan suatu keluarga monomorfisme. Maka morfisme kanonik dari \(\prod_{i \in I} (X_i \to Z)\) (andaikan ada) ke \(Z\) juga merupakan monomorfisme. Secara dual, untuk suatu keluarga epimorfisme \(\left( g_i: Z \to X_i \right)_{i \in I}\), morfisme kanonik dari \(Z\) ke \(\coprod_{i \in I} (Z \to X_i)\) (andaikan ada) juga merupakan epimorfisme.

Bukti. Seperti pada Lema rujukan, cukup dibuktikan bahwa baris kedua dalam diagram

\(\operatorname{Hom}(T, X_i) \to \operatorname{Hom}(T, Z)\) bersifat injektif.

Kita kembali ke pembahasan subobjek dan objek kuosien.

Definisi. Misalkan \(\mathcal{C}\) kategori sembarang dan \(X,Y\) objek di dalamnya. Jika \(Y\) dapat direalisasikan sebagai objek kuosien dari suatu subobjek dari \(X\), maka \(Y\) disebut subkuosien dari \(X\).

Jika yang ditinjau adalah subobjek dari objek kuosien, hal itu sama dengan membahas subkuosien dalam \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\). Hasil berikut menunjukkan bahwa, untuk kelas kategori tertentu, kedua cara tersebut memberikan pengertian yang sama. Kelas ini mencakup kategori abelian yang akan dipelajari kemudian; lihat Korolari 2.1.7.

Proposisi. Andaikan kategori \(\mathcal{C}\) mempunyai semua produk serat hingga dan koproduk serat hingga, tarik balik epimorfisme tetap merupakan epimorfisme, dan dorong keluar monomorfisme tetap merupakan monomorfisme. Maka subkuosien dapat didefinisikan secara ekuivalen sebagai subobjek dari objek kuosien.

Bukti. Tinjau diagram subkuosien \(Y \twoheadleftarrow Z \hookrightarrow X\) dalam \(\mathcal{C}\). Definisikan \(W := X \ensuremath{\underset{Z}{\sqcup}} Y\). Morfisme \(X \to W\) adalah dorong keluar dari \(Z \to Y\), sehingga merupakan epimorfisme menurut Lema rujukan; morfisme \(Y \to W\) adalah dorong keluar dari \(Z \to X\), sehingga merupakan monomorfisme menurut hipotesis. Jadi, \(Y \hookrightarrow W \twoheadleftarrow X\), yang memberikan subkuosien dari \(X\) dalam \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\). Karena syarat-syarat tersebut swa-dual, subkuosien dalam \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\) juga memberikan subkuosien dalam \(\mathcal{C}\).

Berdasarkan kesetaraan “objek kuosien dari subobjek = subobjek dari objek kuosien” yang baru dibuktikan, subkuosien dari subkuosien tetap merupakan subkuosien. Definisi subkuosien tidak menentukan bagaimana subkuosien itu direalisasikan sebagai objek kuosien dari suatu subobjek. Misalnya, untuk \(\mathcal{C} = \ensuremath{\mathsf{Ab}}\), \(\ensuremath{\mathbb{Z}}/2\ensuremath{\mathbb{Z}}\) merupakan subkuosien dari \(\ensuremath{\mathbb{Z}}/4\ensuremath{\mathbb{Z}}\): objek tersebut dapat direalisasikan sebagai objek kuosien dari \(\ensuremath{\mathbb{Z}}/4\ensuremath{\mathbb{Z}}\), tetapi juga sebagai subobjek \(2\ensuremath{\mathbb{Z}}/4\ensuremath{\mathbb{Z}}\) dari \(\ensuremath{\mathbb{Z}}/4\ensuremath{\mathbb{Z}}\).

Citra, Kocitra, dan Morfisme Ketat

Misalkan \(\mathcal{C}\) sebuah kategori. Untuk setiap morfisme \(f: X \to Y\), koproduk serat \(Y \ensuremath{\underset{X}{\sqcup}} Y\), jika ada, dilengkapi secara kanonik dengan sepasang morfisme \(Y \rightrightarrows Y \ensuremath{\underset{X}{\sqcup}} Y\). Secara dual, produk serat \(X \ensuremath{\underset{Y}{\times}} X\), jika ada, dilengkapi secara kanonik dengan sepasang morfisme \(X \ensuremath{\underset{Y}{\times}} X \rightrightarrows X\), yang sering disebut morfisme proyeksi.

Definisi (Citra dan Kocitra). Misalkan \(f: X \to Y\) merupakan morfisme dalam kategori \(\mathcal{C}\). Andaikan \(Y \ensuremath{\underset{X}{\sqcup}} Y\) ada. Jika penyama \(\operatorname{ker}\left( Y \rightrightarrows Y \ensuremath{\underset{X}{\sqcup}} Y\right)\) ada, penyama ini disebut citra dari \(f\), dinotasikan dengan \(\operatorname{im}(f)\); citra ini dilengkapi dengan monomorfisme kanonik \(\operatorname{im}(f) \hookrightarrow Y\).

Secara dual, andaikan \(X \ensuremath{\underset{Y}{\times}} X\) ada. Jika kopenyama \(\operatorname{coker}\left( X \ensuremath{\underset{Y}{\times}} X \rightrightarrows X \right)\) ada, kopenyama ini disebut kocitra dari \(f\), dinotasikan dengan \(\operatorname{coim}(f)\); kocitra ini dilengkapi dengan epimorfisme kanonik \(X \twoheadrightarrow\operatorname{coim}(f)\).

Catatan. Dengan menerapkan dualitas antara \(\operatorname{ker}\) dan \(\operatorname{coker}\), langsung terlihat bahwa \(\operatorname{im}(f)\) ada dalam \(\mathcal{C}\) jika dan hanya jika \(\operatorname{coim}(f^{\operatorname{op}})\) ada dalam \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\), dan bahwa \(\operatorname{im}(f) = \operatorname{coim}(f^{\operatorname{op}})\).

Selain berguna, lema berikut memperjelas hakikat citra dan kocitra.

Lema. Andaikan \(f: X \to Y\) mempunyai \(\operatorname{coim}(f)\) (atau \(\operatorname{im}(f)\)). Untuk setiap monomorfisme \(j: Y' \hookrightarrow Y\) (atau epimorfisme \(q: X \twoheadrightarrow X'\)), jika morfisme \(g: X \to Y'\) memenuhi \(j g = f\) (atau \(g: X' \to Y\) memenuhi \(gq = f\)), maka terdapat \(\overline{g}\) yang unik sehingga diagram berikut komutatif:

Bukti. Kedua versi saling dual, sehingga cukup dibahas kasus \(j\). Tuliskan \(p_1, p_2\) untuk morfisme proyeksi produk serat \(X \ensuremath{\underset{Y}{\times}} X \rightrightarrows X\). Karena \(j g p_1 = f p_1 = f p_2 = j g p_2\) dan \(j\) merupakan monomorfisme, maka \(g p_1 = g p_2\). Sifat universal \(\operatorname{coim}(f)\) sebagai kopenyama kemudian secara unik menentukan \(\overline{g}\) yang membuat diagram tersebut komutatif.

Dengan menerapkan Lema rujukan secara berurutan pada \(\operatorname{coim}(f)\) dan \(\operatorname{im}(f)\), mudah terlihat bahwa terdapat morfisme pembanding \(\operatorname{coim}(f) \to \operatorname{im}(f)\) yang membuat diagram berikut komutatif:

Selain itu, berdasarkan hukum kanselasi kiri (atau kanan) untuk monomorfisme (atau epimorfisme), morfisme pembanding tersebut juga unik.

Definisi (Morfisme ketat). Andaikan \(\operatorname{im}(f)\) dan \(\operatorname{coim}(f)\) ada. Jika morfisme \(\operatorname{coim}(f) \to \operatorname{im}(f)\) dalam persamaan merupakan isomorfisme, maka \(f\) disebut morfisme ketat.

Sebagai contoh, untuk \(\mathcal{C} = \ensuremath{\mathsf{Set}}\), semua morfisme bersifat ketat, dan citra serta kocitranya dapat diidentifikasi secara kanonik dengan citra dalam pengertian teori himpunan. Latihan-latihan bab ini memuat lebih banyak contoh.

Proposisi. Untuk morfisme-morfisme \(X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z\), terdapat secara unik morfisme \(\alpha: \operatorname{coim}(f) \to \operatorname{im}(gf)\) dan morfisme \(\beta: \operatorname{coim}(gf) \to \operatorname{im}(g)\) yang membuat diagram berikut komutatif:

\(\operatorname{coim}\) dan \(\operatorname{im}\) yang dibicarakan ada.

Bukti. Untuk \(\alpha\), keunikan berasal dari hukum kanselasi kanan bagi epimorfisme \(X \twoheadrightarrow \operatorname{coim}(f)\), sedangkan keberadaannya diperoleh dengan menerapkan versi diagram kanan dari Lema rujukan pada diagram

\(\operatorname{coim}(f) \to Y\) adalah komposisi \(\operatorname{coim}(f) \to \operatorname{im}(f) \hookrightarrow Y\).

Lema. Tinjau morfisme \(f: X \to Y\) dalam \(\mathcal{C}\). Maka berlaku \[f\;\text{epimorfisme} \iff \operatorname{im}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}Y, \quad f\;\text{monomorfisme} \iff X \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{coim}(f).\]

Bukti. Berdasarkan dualitas, cukup dibuktikan ekuivalensi pertama. Andaikan \(f\) merupakan epimorfisme. Karena morfisme kanonik \(i_1, i_2: Y \rightrightarrows Y \ensuremath{\underset{X}{\sqcup}} Y\) memenuhi \(i_1 f = i_2 f\), maka \(i_1 = i_2\), sehingga \(\operatorname{im}(f) := \operatorname{ker}(i_1, i_2) = Y\).

Sebaliknya, andaikan morfisme kanonik \(\operatorname{im}(f) \to Y\) merupakan isomorfisme. Karena komposisinya dengan \(i_1\) dan \(i_2\) sama, sekali lagi diperoleh \(i_1 = i_2\). Jika \(Z \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) dan \(g_1, g_2: Y \rightrightarrows Z\) memenuhi \(g_1 f = g_2 f\), maka sifat universal menentukan \(g: Y \ensuremath{\underset{X}{\sqcup}} Y \to Z\) sedemikian sehingga \(g_j = g i_j\) untuk \(j=1,2\). Karena itu \(g_1 = g_2\), yang membuktikan bahwa \(f\) merupakan epimorfisme.

Proposisi. Andaikan \(f\) merupakan morfisme ketat. Maka \(f\) merupakan isomorfisme jika dan hanya jika \(f\) sekaligus merupakan monomorfisme dan epimorfisme.

Bukti. Andaikan \(f\) merupakan morfisme ketat yang sekaligus monomorfisme dan epimorfisme. Faktorkan \(f\) sebagai \(X \twoheadrightarrow \operatorname{coim}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{im}(f) \hookrightarrow Y\), lalu terapkan Proposisi rujukan dan Lema rujukan.

Argumen di atas melibatkan diagram berbentuk \(X \twoheadrightarrow C \hookrightarrow Y\) yang komposisinya sama dengan \(f\); diagram ini disebut faktorisasi epi–mono dari morfisme \(f: X \to Y\). Dalam praktiknya, kita tidak hanya berhadapan dengan faktorisasi-faktorisasi ini, tetapi juga dengan morfisme di antaranya.

Lema. Tinjau diagram berikut; bagian dengan anak panah penuh komutatif,

\(e\) dan \(e'\) merupakan epimorfisme (atau \(m\) dan \(m'\) merupakan monomorfisme).

1. Jika terdapat \(\varphi\) seperti yang ditunjukkan oleh panah putus-putus, sedemikian sehingga bagian kiri (atau bagian kanan) diagram komutatif, maka bagian yang lain juga komutatif. Jika \(\varphi\) ada, ia bersifat unik.

2. Jika \(a\) merupakan epimorfisme (atau \(b\) merupakan monomorfisme) dan \(\varphi\) ada, maka \(\varphi\) merupakan epimorfisme (atau monomorfisme).

Bukti. Andaikan \(\varphi: C \to C'\) membuat bagian kiri diagram komutatif, serta \(e\) dan \(e'\) merupakan epimorfisme. Persamaan \(\varphi e = e' a\) dan sifat epimorfisme \(e\) secara unik menentukan \(\varphi\). Karena bingkai luar diagram tersebut komutatif, berlaku \(m' \varphi e = m' e' a = bm e\). Sifat epimorfisme \(e\) selanjutnya memberikan \(m'\varphi = bm\), yakni bagian kanan diagram juga komutatif. Jika \(a\) juga merupakan epimorfisme, maka persamaan \(\varphi e = e' a\) menunjukkan bahwa \(\varphi e\) merupakan epimorfisme, sehingga \(\varphi\) pun merupakan epimorfisme.

Argumen di atas membuktikan separuh pernyataan (i) dan (ii). Untuk kasus ketika \(\varphi\) membuat bagian kanan diagram komutatif dan \(m,m'\) merupakan monomorfisme, argumennya sepenuhnya serupa, atau secara ekuivalen, merupakan argumen dual.

Definisi. Misalkan \(f: X \to Y\). Bentuklah kategori \(\ensuremath{\mathsf{epi.mono}}(f)\) yang objek-objeknya adalah semua faktorisasi epi–mono dari \(f\), dengan morfisme-morfismenya didefinisikan sebagai diagram komutatif

Dengan mengambil \(a = \ensuremath{\mathrm{id}}_X\) dan \(b = \ensuremath{\mathrm{id}}_Y\) dalam Lema rujukan, terlihat bahwa \(\varphi\) pada diagram di atas, jika ada, bersifat unik dan sekaligus merupakan epimorfisme serta monomorfisme. Dengan kata lain, \(\ensuremath{\mathsf{epi.mono}}(f)\) merupakan kategori praterurut. Dalam bagian ini, kita hanya meninjau satu kasus khusus dari faktorisasi epi–mono.

Proposisi. Andaikan semua morfisme dalam kategori \(\mathcal{C}\) bersifat ketat. Maka setiap morfisme \(f: X \to Y\) mempunyai faktorisasi epi–mono \(X \twoheadrightarrow C \hookrightarrow Y\), dan faktorisasi ini unik hingga isomorfisme dalam kategori \(\ensuremath{\mathsf{epi.mono}}(f)\).

Bukti. Ambil \(C = \operatorname{im}(f)\) untuk memperoleh keberadaan faktorisasi. Untuk membuktikan keunikannya, Proposisi rujukan dan pembahasan sebelumnya menunjukkan bahwa setiap morfisme dalam \(\ensuremath{\mathsf{epi.mono}}(f)\) merupakan isomorfisme. Jadi, cukup dibangun sebuah morfisme \(\varphi: C \to \operatorname{im}(f)\) dalam \(\ensuremath{\mathsf{epi.mono}}(f)\). Dengan menerapkan versi diagram kanan dari Lema rujukan kepada \(X \stackrel{q}{\twoheadrightarrow} C \stackrel{g}{\hookrightarrow} Y\), terlihat bahwa terdapat \(\varphi\) yang membuat bagian kanan diagram berikut komutatif:

rujukan, seluruh diagram komutatif. Selesai.

Menurunkan komutativitas suatu subdiagram dari komutativitas bingkai luarnya merupakan teknik umum yang akan digunakan berulang kali selanjutnya.

Kategori Aditif: Kernel dan Kokernel

Bagian ini akan melibatkan gagasan tentang funktor yang mempertahankan \(\varinjlim\) atau \(\varprojlim\). Ini merupakan materi dasar teori kategori; lihat [Li1] atau tinjauan singkat dalam Bagian 1.5. Pertama-tama, kita mengingat kembali definisi kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) dan kategori aditif; lihat [Li1] untuk rincian.

• Kategori \(\mathcal{C}\) disebut kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) atau kategori praaditif jika setiap \(\operatorname{Hom}(X,Y)\) dilengkapi dengan struktur grup abelian, dengan operasi grup ditulis secara aditif (dengan kata lain, semua himpunan \(\operatorname{Hom}\) merupakan modul-\(\ensuremath{\mathbb{Z}}\)), sedemikian sehingga pemetaan komposisi \(\operatorname{Hom}(Y,Z) \times \operatorname{Hom}(X,Y) \to \operatorname{Hom}(X,Z)\) selalu merupakan pemetaan \(\ensuremath{\mathbb{Z}}\)-bilinear. Karena itu, dalam kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) kita dapat membicarakan morfisme \(0 \in \operatorname{Hom}(X,Y)\). Kita juga dapat membicarakan subkategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) dari suatu kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\); setiap subkategori penuh otomatis merupakan subkategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\).

• Misalkan \(\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2\) merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\). Funktor \(F: \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\) disebut funktor aditif jika pemetaan yang diinduksinya pada himpunan-himpunan \(\operatorname{Hom}\) merupakan homomorfisme grup. Ketika membicarakan ekuivalensi antara kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\), funktor terkait beserta kuasi-inversnya selalu dipahami sebagai funktor aditif.

Kita memerlukan pengamatan dasar berikut. Sesuai konvensi, pemetaan linear antara dua modul-\(\ensuremath{\mathbb{Z}}\) berarti homomorfisme modul.

Proposisi. Misalkan \(\mathcal{C}\) dan \(\mathcal{C}'\) merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\).

1. Diberikan sepasang funktor adjoin

   \(F\) dan \(G\) keduanya merupakan funktor aditif, maka isomorfisme adjungsi \(\varphi: \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}(F(\cdot), \cdot) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(\cdot, G(\cdot))\) bersifat linear.

2. Untuk setiap \(\alpha: I \to \mathcal{C}\), isomorfisme dalam sifat universal limit induktif \[\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\left( \varinjlim \alpha, T \right) \simeq \varprojlim_{i \in \operatorname{Ob}(I)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(\alpha(i), T), \quad T \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\] bersifat linear, asalkan \(\varinjlim\alpha\) ada. Pernyataan yang sama berlaku untuk limit projektif \(\varprojlim\).

Bukti. Untuk (i), menurut pembahasan sesudah [Li1], \(\varphi\) ditentukan oleh unit \(\eta\) dan kounit \(\varepsilon\) dari pasangan adjoin tersebut: \[\varphi(f) = Gf \circ \eta_X, \quad \varphi^{-1}(g) = \varepsilon_Y \circ Fg, \quad f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}'}(FX, Y), \; g \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, GY);\] Karena komposisi morfisme bersifat bilinear, \(\varphi\) pun bersifat linear. Argumen untuk (ii) serupa: isomorfisme tersebut dideskripsikan melalui komposisi dengan morfisme-morfisme \(\iota_i: \alpha(i) \to \varinjlim \alpha\), sehingga bersifat linear.

Dalam kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\), \(X_1 \times X_2\) ada jika dan hanya jika \(X_1 \sqcup X_2\) ada. Dalam keadaan ini terdapat isomorfisme kanonik \(X_1 \sqcup X_2 \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}X_1 \times X_2\); struktur ini disebut biproduk. Lihat [Li1]. Secara lebih umum, biproduk dari \(n\) objek \(X_1, \ldots, X_n\) adalah sebuah objek \(Z\) yang dilengkapi dengan keluarga morfisme

\(i = 1, \ldots, n\), sedemikian sehingga \[\begin{equation} \hypertarget{eqn:biproduct-identities}{}\begin{gathered} p_i \iota_j = \begin{cases} \ensuremath{\mathrm{id}}, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases} \qquad \sum_{i=1}^n \iota_i p_i = \ensuremath{\mathrm{id}}_{Z}. \end{gathered} \end{equation}\] Dalam keadaan ini, keluarga morfisme \(\iota_i: X_i \to Z\) dan \(p_i: Z \to X_i\) masing-masing menginduksi isomorfisme \[\coprod_{i=1}^n X_i \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}Z \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\prod_{i=1}^n X_i.\] Menurut konvensi, biproduk yang bersesuaian dengan \(n=0\) ditetapkan sebagai objek nol. Jika kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) \(\mathcal{C}\) mempunyai objek nol, maka [Li1] menjamin bahwa morfisme nol antara sembarang \(X,Y \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) sama dengan \(0 \in \operatorname{Hom}(X,Y)\) yang didefinisikan sebelumnya. Selain itu, morfisme \(\coprod_{i=1}^n X_i \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\prod_{i=1}^n X_i\) di atas tepat merupakan \(\delta\) yang didefinisikan dalam persamaan. Pembaca dipersilakan melakukan verifikasi langsung menggunakan persamaan.

Konvensi. Biproduk \(Z\) dari \(n\) objek dinotasikan dengan \(X_1 \oplus \cdots \oplus X_n\). Jika biproduk biner \(X_1 \oplus X_2\) ada dalam \(\mathcal{C}\), semua biproduk dari \(n\) objek untuk \(n \in \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 1}\) dapat dibentuk secara iteratif melalui isomorfisme kanonik \(X_1 \oplus X_2 \oplus X_3 \simeq (X_1 \oplus X_2) \oplus X_3\). Selain itu, \[X^{\oplus n} := \underbracket{X \oplus \cdots \oplus X}_{n\; \text{suku}}.\] Morfisme diagonal \(\delta_X: X \to X^{\oplus n}\) dari produk dan morfisme kodiagonal \(\check{\delta}_X: X^{\oplus n} \to X\) dari koproduk dicirikan oleh \(p_i \delta_X = \ensuremath{\mathrm{id}}_X = \check{\delta}_X \iota_i\) untuk \(1 \leq i \leq n\). Secara eksplisit, keduanya dapat ditulis sebagai \(\delta_X = \sum_{i=1}^n \iota_i\) dan \(\check{\delta}_X = \sum_{i=1}^n p_i\).

Definisi (Kategori aditif). Kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) \(\mathcal{C}\) disebut aditif jika memenuhi syarat-syarat berikut:

Subkategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) dari suatu kategori aditif disebut subkategori aditif jika subkategori tersebut juga merupakan kategori aditif. Setiap keluarga berhingga yang terdiri atas objek-objek \(X_1, \ldots, X_n\) dalam kategori aditif mempunyai biproduk \(X_1 \oplus \cdots \oplus X_n\), yang juga disebut jumlah langsung dari objek-objek tersebut; \(X_1, \ldots, X_n\) disebut suku-suku jumlah langsungnya.

Funktor aditif \(F: \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2\) antara kategori aditif mempertahankan semua produk hingga dan koproduk hingga, karena:

Jika \(\mathcal{C}\) merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) (atau kategori aditif), kategori lawan \(\mathcal{C}^{\text{op}}\) secara alami juga menjadi kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) (atau kategori aditif), sedemikian sehingga untuk setiap objek \(X,Y\), pemetaan \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\operatorname{op}}}(Y,X) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)\) yang ditulis \(f \mapsto f^{\operatorname{op}}\) merupakan isomorfisme grup. Mulai sekarang, \(0\) akan digunakan sekaligus untuk menyatakan objek nol dan morfisme nol dalam kategori aditif; hal ini tidak akan menimbulkan kerancuan. Setiap keluarga morfisme \(f_i: X_i \to X'_i\) untuk \(i=1,\ldots,n\) secara alami menginduksi \(f_1 \oplus \cdots \oplus f_n: \bigoplus_i X_i \to \bigoplus_i X'_i\), yang secara eksplisit juga dapat ditulis sebagai \(\sum_{i=1}^n \iota'_i f_i p_i\).

Contoh. Kategori \(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) merupakan kategori aditif: struktur grup pada himpunan-himpunan \(\operatorname{Hom}\) diberikan oleh penjumlahan homomorfisme secara titik demi titik, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\); objek nolnya adalah grup nol; dan biproduk \(X_1 \oplus X_2\) didefinisikan dengan cara biasa. Demikian pula, \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) merupakan kategori aditif untuk suatu gelanggang \(R\), dan funktor pelupa \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}} \to \ensuremath{\mathsf{Ab}}\) merupakan funktor aditif. Secara serupa, tinjau kategori \(\ensuremath{\mathsf{Ban}}_{\ensuremath{\mathbb{C}}}\) dari ruang Banach di atas \(\ensuremath{\mathbb{C}}\), dengan morfisme berupa pemetaan linear kontinu. Kategori ini juga merupakan kategori aditif: penjumlahan morfismenya tetap diberikan secara titik demi titik dan objek nolnya adalah ruang nol. Untuk ruang Banach \((X_i, \|\cdot\|_i)\) dengan \(i=1,2\), biproduknya \((X_1 \oplus X_2, \|\cdot\|)\) dapat diambil sebagai jumlah langsung ruang vektor \(X_1 \oplus X_2\) yang dilengkapi dengan norma \(\|(x_1,x_2)\| := \max\{\|x_1\|_1,\|x_2\|_2\}\), dengan \(x_i \in X_i\).

Proposisi. Misalkan \(f,g: X \to Y\) merupakan sepasang morfisme dalam kategori aditif \(\mathcal{C}\). Maka \(f+g\) sama dengan komposisi pada baris pertama dalam diagram komutatif berikut:

\(f \times g\) berasal dari sifat funktorial produk, sedangkan \(Y \times Y \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}Y \sqcup Y\) adalah invers dari \(\delta\) yang didefinisikan dalam persamaan.

Bukti. Notasikan morfisme-morfisme kanonik biproduk dengan \(\iota_i^X, \iota_i^Y\) dan \(p_i^X,p_i^Y\) untuk \(i=1,2\). Dengan menuliskan \(\delta_X\) dan \(\check{\delta}_Y\) menggunakan morfisme-morfisme tersebut, mudah diverifikasi bahwa kedua segitiga di kiri dan kanan komutatif. Komposisi sepanjang baris pertama juga dapat ditentukan dengan cara serupa: tuliskan \(f \oplus g = \iota_1^Y f p^X_1 + \iota_2^Y g p^X_2\) untuk menghitung \[\begin{equation} \check{\delta}_Y (f \oplus g) \delta_X = \check{\delta}_Y \iota_1^Y f p^X_1 \delta_X + \check{\delta}_Y \iota_2^Y g p^X_2 \delta_X = f + g. \end{equation}\]

Untuk membuktikan komutativitas persegi itu, identifikasikan langsung biproduk \(X \oplus X\) dan \(Y \oplus Y\) dengan koproduk. Maka pernyataan tersebut setara dengan komutativitas diagram

\(\delta\) dalam persamaan, sehingga pembuktiannya langsung.

Korolari. Misalkan \(\mathcal{C}\) dan \(\mathcal{C}'\) merupakan kategori aditif, dan \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) suatu funktor.

1. \(F\) mempertahankan produk hingga jika dan hanya jika \(F\) mempertahankan koproduk hingga.

2. Jika \(F\) mempertahankan produk hingga, atau secara ekuivalen koproduk hingga, maka \(F\) merupakan funktor aditif.

3. Jika \(F\) mempertahankan objek nol dan biproduk \(\oplus\), maka \(F\) merupakan funktor aditif.

4. Jika \(F\) merupakan ekuivalensi, maka \(F\) beserta kuasi-inversnya keduanya merupakan funktor aditif.

5. Jika

   \(F\) dan \(G\) keduanya merupakan funktor aditif. Karena itu, Proposisi rujukan berlaku dalam keadaan ini.

Bukti. Untuk (i), karena objek nol sekaligus merupakan produk kosong dan koproduk kosong, cukup ditinjau produk dan koproduk dari sembarang \(X,Y \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\). Hal ini mengikuti pengamatan berikut: isomorfisme kanonik \(\delta: FX \sqcup FY \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}FX \times FY\) terfaktorkan sebagai \[FX \sqcup FY \to F(X \sqcup Y) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}F(X \times Y) \to FX \times FY .\]

Untuk (ii), perhatikan bahwa dalam Proposisi rujukan, komposisi di sepanjang

tidak bergantung pada struktur penjumlahan pada himpunan-himpunan \(\operatorname{Hom}\). Komposisi itu hanya melibatkan produk hingga dan koproduk hingga dalam kategori, termasuk kasus khususnya berupa objek nol, serta morfisme-morfisme kanonik yang terkait dengannya.

Untuk (iii), ingat bahwa semua produk hingga (atau koproduk hingga) dapat dibentuk dari objek nol dan biproduk \(\oplus\).

Jika \((F,G)\) merupakan pasangan adjoin, maka \(F\) mempertahankan \(\varinjlim\), sedangkan \(G\) mempertahankan \(\varprojlim\); lihat [Li1]. Di sisi lain, ekuivalensi mempertahankan semua limit. Karena itu, (iv) dan (v) keduanya merupakan kasus khusus dari (ii).

Sesungguhnya, deskripsi penjumlahan dalam Proposisi rujukan menunjukkan bahwa “keaditifan” suatu kategori aditif \(\mathcal{C}\) merupakan sifat dari kategori \(\mathcal{C}\), bukan struktur tambahan.

Definisi. Misalkan \(\mathcal{C}\) merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) yang mempunyai objek nol, dan \(f: X \to Y\) suatu morfisme dalam \(\mathcal{C}\).

• Jika penyama \(\operatorname{ker}(f,0)\) ada, maka \(\operatorname{ker}(f):=\operatorname{ker}(f,0)\) beserta \(\operatorname{ker}(f) \hookrightarrow X\) disebut kernel dari \(f\).

• Jika kopenyama \(\operatorname{coker}(f,0)\) ada, maka \(\operatorname{coker}(f):=\operatorname{coker}(f,0)\) beserta \(Y \twoheadrightarrow \operatorname{coker}(f)\) disebut kokernel dari \(f\).

Secara khusus, menurut definisi kedua komposisi \(\operatorname{ker}(f) \to X \to Y\) dan \(X \to Y \to \operatorname{coker}(f)\) sama dengan \(0\).

Terdapat beberapa sudut pandang yang saling melengkapi mengenai kernel dan kokernel.

• Pertama, tinjau \(\operatorname{ker}(f)\). Untuk setiap morfisme \(g: T \to X\) dengan \(fg=0\),¹ komposisi \(T \xrightarrow{g} X \xrightarrow{0} Y\) tentu sama dengan \(0\). Karena itu, sifat universal \(\operatorname{ker}(f)=\operatorname{ker}(f,0)\) sebagai penyama dapat dinyatakan oleh diagram komutatif

• Tinjau \(\operatorname{coker}(f)\). Untuk setiap morfisme \(h: Y \to T\) dengan \(hf=0\), komposisi \(X \xrightarrow{0} Y \xrightarrow{h} T\) tentu sama dengan \(0\). Karena itu, sifat universal \(\operatorname{coker}(f)=\operatorname{coker}(f,0)\) sebagai kopenyama dapat dinyatakan oleh diagram komutatif

• Kedua konstruksi di atas jelas saling dual: \(\operatorname{coker}(f)=\operatorname{ker}(f^{\operatorname{op}})\) dan \(\operatorname{ker}(f)=\operatorname{coker}(f^{\operatorname{op}})\).

Karena morfisme yang terfaktorkan melalui objek nol tepat merupakan morfisme \(0\), sifat universal tersebut juga mempunyai karakterisasi melalui diagram tarik balik dan dorong keluar. Pembaca dipersilakan memverifikasi langsung:

Catatan. Penyama umum \(\operatorname{ker}(f,g)\) dapat direduksi menjadi kernel di atas. Tinjau morfisme-morfisme

\(fh=gh\) ekuivalen dengan \((f-g)h=0\), sehingga langsung diperoleh \(\operatorname{ker}(f,g)=\operatorname{ker}(f-g,0)=:\operatorname{ker}(f-g)\). Secara dual, \(\operatorname{coker}(f,g)=\operatorname{coker}(f-g,0)=:\operatorname{coker}(f-g)\).

Mulai sekarang, kita terutama meninjau kasus ketika \(\mathcal{C}\) merupakan kategori aditif.

Proposisi. Untuk morfisme-morfisme \(X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z\) dalam kategori aditif \(\mathcal{C}\), terdapat diagram komutatif

\(X \ensuremath{\underset{Y}{\times}} \operatorname{ker}(g) \to X\) (atau \(Z \to Z \ensuremath{\underset{Y}{\sqcup}} \operatorname{coker}(f)\)) merupakan morfisme kanonik produk serat (atau koproduk serat),² dengan ketentuan bahwa \(\operatorname{ker}\), \(\operatorname{coker}\), dan semua limit yang disebutkan ada.

Bukti. Berdasarkan persamaan, pembentukan produk serat secara bertahap memberikan isomorfisme kanonik \(\operatorname{ker}(gf) \simeq X \ensuremath{\underset{Z}{\times}} 0 \simeq X \ensuremath{\underset{Y}{\times}} (Y \ensuremath{\underset{Z}{\times}} 0) \simeq X \ensuremath{\underset{Y}{\times}} \operatorname{ker}(g)\). Dualitas memberikan kasus \(\operatorname{coker}(gf)\).

Funktorialitas penyama dan kopenyama menginduksi funktorialitas kernel dan kokernel. Konstruksi ini dicirikan oleh diagram komutatif berikut:

Hasil berikut menunjukkan bahwa tarik balik (atau dorong keluar) mempertahankan kernel (atau kokernel).

Proposisi. Jika diagram dalam kategori aditif \(\mathcal{C}\)

\(\operatorname{ker}(f) \to \operatorname{ker}(g)\) (atau \(\operatorname{coker}(f) \to \operatorname{coker}(g)\)) dalam persamaan merupakan isomorfisme, dengan ketentuan bahwa \(\operatorname{ker}\) dan \(\operatorname{coker}\) yang dibicarakan ada.

Bukti. Dengan dualitas, cukup dibahas kasus tarik balik. Untuk setiap objek \(T\), sifat universal memberikan \[\begin{align*} \operatorname{Hom}(T, \operatorname{ker}(f)) & \simeq \operatorname{ker}\left[ \operatorname{Hom}(T, X) \to \operatorname{Hom}(T, Y) \right] \\ & \simeq \operatorname{ker}\left[ \operatorname{Hom}(T, Y) \ensuremath{\underset{\operatorname{Hom}(T, Y')}{\times}} \operatorname{Hom}(T, X') \to \operatorname{Hom}(T, Y) \right] \\ & = \operatorname{ker}\left[ \operatorname{Hom}(T, X') \to \operatorname{Hom}(T, Y') \right] \simeq \operatorname{Hom}(T, \operatorname{ker}(g)), \end{align*}\] dengan setiap panah bersifat kanonik. Lema Yoneda kemudian memberikan \(\operatorname{ker}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{ker}(g)\); lihat tinjauan dalam Teorema A.1.1.

Lema. Misalkan \(\mathcal{C}\) merupakan kategori aditif dan \(f: X \to Y\) suatu morfisme dalam \(\mathcal{C}\). Maka:

1. \(f\) merupakan monomorfisme (atau epimorfisme) jika dan hanya jika \(\operatorname{ker}(f)=0\) (atau \(\operatorname{coker}(f)=0\));

2. \(f\) merupakan morfisme nol jika dan hanya jika \(\operatorname{ker}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}X\), dan ini juga ekuivalen dengan \(Y \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{coker}(f)\);

3. Diberikan \(k: Y \to Z\) (atau \(k': W \to X\)), terdapat secara unik diagram komutatif berikut:

   \(k\) merupakan monomorfisme (atau \(k'\) merupakan epimorfisme), maka \(\operatorname{ker}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{ker}(kf)\) (atau \(\operatorname{coker}(fk') \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{coker}(f)\)).

Bukti. Pertama, tinjau (i). Berdasarkan dualitas, cukup dibahas kasus monomorfisme. Menurut definisi, \(f\) merupakan monomorfisme jika dan hanya jika untuk setiap pasangan morfisme \(g_1,g_2: T \to X\) berlaku \(f(g_1-g_2)=0 \iff g_1-g_2=0\). Ini setara dengan pernyataan bahwa untuk setiap \(g: T \to X\), berlaku \(fg=0\) jika dan hanya jika \(g\) terfaktorkan sebagai \(T \to 0 \to X\). Pernyataan terakhir ini tepat menyatakan bahwa objek nol memenuhi sifat universal \(\operatorname{ker}(f)\).

Untuk (ii), secara serupa cukup dibuktikan \(f=0 \iff \operatorname{ker}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}X\). Akan tetapi, \(\operatorname{ker}(f)=\operatorname{ker}(f,0)\), sehingga ekuivalensi yang diinginkan langsung mengikuti definisi penyama.

Untuk (iii), sekali lagi cukup ditinjau kasus \(\operatorname{ker}\):

\(k\) merupakan monomorfisme, inklusi pada baris pertama merupakan kesamaan. Terapkan Lema Yoneda untuk menyelesaikan pembuktian.

Dalam kategori aditif, citra dan kocitra yang diperkenalkan dalam Definisi rujukan mempunyai deskripsi sederhana.

Proposisi. Misalkan \(f: X \to Y\) merupakan morfisme dalam kategori aditif \(\mathcal{C}\). Maka terdapat isomorfisme kanonik \[\begin{align*} \operatorname{im}(f) & \simeq \operatorname{ker}\left[ Y \to \operatorname{coker}(f) \right] \hookrightarrow Y, \\ \operatorname{coim}(f) & \simeq \operatorname{coker}\left[ \operatorname{ker}(f) \to X \right] \twoheadleftarrow X ; \end{align*}\] dengan ketentuan bahwa kernel dan kokernel yang dibicarakan ada.

Bukti. Berdasarkan dualitas, cukup ditinjau \(\operatorname{im}(f)\). Ambil morfisme kanonik \(i_1,i_2: Y \to Y \ensuremath{\underset{X}{\sqcup}} Y\). Dengan menerapkan Lema Yoneda, cukup dibuktikan, untuk setiap \(T \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), bahwa \[\begin{multline*} \operatorname{Hom}\left( T, \operatorname{im}(f) \right) = \left\{ h: T \to Y \;\middle|\; i_1 h = i_2 h \right\} \\ = \left\{ \begin{array}{r|l} h: T \to Y & \forall S \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C}),\; \forall s_1, s_2: Y \to S, \\ & s_1 f = s_2 f \implies s_1 h = s_2 h \end{array}\right\} \\ \xlongequal{s := s_1 - s_2} \left\{ \begin{array}{r|l} h: T \to Y & \forall S \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C}),\; \forall s: Y \to S, \\ & s f = 0 \implies sh = 0 \end{array}\right\} \\ = \left\{ \begin{array}{r|l} h: T \to Y & T \xrightarrow{h} Y \twoheadrightarrow \operatorname{coker}(f) \\ & \text{komposisinya adalah}\; 0 \end{array}\right\} \ensuremath{\stackrel{\sim}{\leftarrow}}\operatorname{Hom}\left( T, \operatorname{ker}\left[ Y \to \operatorname{coker}(f) \right] \right). \end{multline*}\] Kesamaan pertama di atas berasal dari \(\operatorname{im}(f):=\operatorname{ker}(i_1,i_2)\). Untuk kesamaan kedua, mula-mula tuliskan ulang syarat pada \(h\) sebagai \(s'i_1h=s'i_2h\) bagi setiap \(s': Y \ensuremath{\underset{X}{\sqcup}} Y \to S\), lalu gunakan sifat universal koproduk serat \[\begin{align*} \operatorname{Hom}\left( Y \ensuremath{\underset{X}{\sqcup}} Y, S \right) & \xrightarrow{1:1} \operatorname{Hom}(Y,S) \ensuremath{\underset{\operatorname{Hom}(X,S)}{\times}} \operatorname{Hom}(Y,S) \\ s' & \longmapsto \left( s' i_1, s' i_2 \right) =: (s_1, s_2). \end{align*}\] Kesamaan keempat diperoleh dari sifat universal kokernel, sehingga cukup diambil \(S=\operatorname{coker}(f)\).

Contoh paling sederhana terjadi ketika \(f\) merupakan morfisme nol. Dalam hal ini, Lema rujukan (ii) memberikan \(\operatorname{im}(f)=0=\operatorname{coim}(f)\).

Contoh. Sebagai kelanjutan pembahasan pada Contoh rujukan, pertama-tama kita tinjau kategori \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\). Homomorfisme modul \(f: A \to B\) selalu mempunyai kernel dan kokernel, yang secara klasik diberikan oleh \(\operatorname{ker}(f)=f^{-1}(0)\) dan \(\operatorname{coker}(f)=B/\{f(a):a \in A\}\). Langsung dari definisi, \(\operatorname{im}(f)\) adalah citra \(f\) dalam pengertian teori himpunan, sedangkan \(\operatorname{coim}(f)=A/\operatorname{ker}(f)\). Morfisme kanonik \(\operatorname{coim}(f) \to \operatorname{im}(f)\) dalam persamaan tepat merupakan isomorfisme kanonik dalam teori modul \(A/\operatorname{ker}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{im}(f)\). Karena itu, semua morfisme dalam \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) bersifat ketat.

Selanjutnya, tinjau kategori aditif \(\ensuremath{\mathsf{Ban}}_{\ensuremath{\mathbb{C}}}\) dari Contoh rujukan. Kernel dari pemetaan linear kontinu \(f: X \to Y\) adalah \(\operatorname{ker}(f)=f^{-1}(0)\) seperti biasa, dan tetap merupakan ruang Banach. Di sisi lain, \(\operatorname{coker}(f)=Y/\overline{\left\{f(x):x \in X\right\}}\) dilengkapi dengan norma kuosien. Dalam hal ini, morfisme persamaan menjadi \[\text{READERDIAGRAM0019}\] Ruang di sebelah kanan dilengkapi dengan topologi terinduksi dari \(Y\), sedangkan ruang di sebelah kiri dilengkapi dengan topologi kuosien dari \(X\). Misalkan \(f: X \to Y\) merupakan pemetaan linear kontinu dan injektif antara ruang Banach, dengan citra padat tetapi tidak surjektif. Dalam keadaan ini, \(\operatorname{coim}(f)=X \to Y=\operatorname{im}(f)\) bukan isomorfisme. Jadi, \(\ensuremath{\mathsf{Ban}}_{\ensuremath{\mathbb{C}}}\) mempunyai morfisme yang tidak ketat.

---

1. Catatan penerjemah: teks sumber mengatakan “untuk setiap morfisme” tanpa mencantumkan syarat \(fg=0\) dan, secara dual, \(hf=0\). Kedua syarat itu dipulihkan di sini karena tepat merupakan hipotesis penyama dan kopenyama; lihat koreksi O014-C006.↩︎

2. Catatan penerjemah: teks sumber menulis “koproduk”, tetapi objek yang ditampilkan adalah koproduk serat \(Z \ensuremath{\underset{Y}{\sqcup}} \operatorname{coker}(f)\) dan bukti berikutnya memakai dualitas terhadap produk serat; lihat koreksi O014-C005.↩︎

Perumuman: Kategori Linear atas Gelanggang Komutatif

Himpunan-himpunan \(\operatorname{Hom}\) dalam suatu kategori aditif mempunyai struktur grup abelian. Dalam banyak situasi, himpunan-himpunan \(\operatorname{Hom}\) ini juga dilengkapi dengan perkalian skalar oleh suatu gelanggang komutatif \(\Bbbk\). Sebagai contoh, dalam \(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) setiap himpunan \(\operatorname{Hom}\) secara alami merupakan modul-\(\Bbbk\), dan komposisi morfisme bersifat \(\Bbbk\)-bilinear.

Definisi. Misalkan \(\Bbbk\) merupakan gelanggang komutatif. Andaikan setiap himpunan \(\operatorname{Hom}\) dalam kategori \(\mathcal{A}\) dilengkapi dengan struktur modul-\(\Bbbk\) sedemikian sehingga komposisi morfisme \(\operatorname{Hom}(Y, Z) \times \operatorname{Hom}(X, Y) \to \operatorname{Hom}(X, Z)\) merupakan pemetaan \(\Bbbk\)-bilinear untuk semua objek \(X,Y,Z\); dengan kata lain, diagram berikut komutatif:

\(\mathcal{A}\) disebut kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\).

Misalkan \(F: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) merupakan funktor antara kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\). Jika pemetaan \(\operatorname{Hom}(X,Y) \to \operatorname{Hom}(FX,FY)\) merupakan homomorfisme modul-\(\Bbbk\) untuk semua \(X,Y \in \operatorname{Ob}(\mathcal{A})\), maka \(F\) disebut funktor \(\Bbbk\)-linear.

Perhatikan bahwa \(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) merupakan kategori monoidal terhadap hasil kali tensor \(\otimes := \ensuremath{\underset{\Bbbk}{\otimes}}\). Oleh karena itu, istilah “kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\)” konsisten dengan terminologi pengayaan kategori dalam [Li1]. Kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) yang diperkenalkan sebelumnya tepat merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathbb{Z}}\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\). Sebaliknya, dengan melupakan perkalian skalar pada suatu kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\), kita memperoleh kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\).

Contoh. Kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) yang hanya mempunyai satu objek tepat merupakan aljabar-\(\Bbbk\). Korespondensinya diberikan oleh \(\mathcal{A} \mapsto \operatorname{End}_{\mathcal{A}}(\star)\), dengan \(\operatorname{Ob}(\mathcal{A}) = \{\star\}\).

Argumen dalam Proposisi rujukan dapat diterapkan tanpa perubahan dan memberikan hasil berikut.

Proposisi. Misalkan \(\mathcal{A}\) dan \(\mathcal{A}'\) merupakan kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\).

1. Diberikan sepasang funktor adjoin

   \(F\) dan \(G\) keduanya bersifat \(\Bbbk\)-linear. Maka isomorfisme adjungsi \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}'}(F(\cdot),\cdot) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(\cdot,G(\cdot))\) bersifat \(\Bbbk\)-linear.

2. Untuk setiap \(\alpha: I \to \mathcal{A}\), bijeksi \[\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(\varinjlim \alpha,T\right) \simeq \varprojlim_{i \in \operatorname{Ob}(I)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(\alpha(i),T), \quad T \in \operatorname{Ob}(\mathcal{A})\] bersifat \(\Bbbk\)-linear, asalkan \(\varinjlim \alpha\) ada. Pernyataan yang sama berlaku untuk \(\varprojlim\).

Kecuali dinyatakan lain, mulai sekarang semua funktor dan ekuivalensi antara kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) dipahami bersifat \(\Bbbk\)-linear.

Definisi. Jika suatu kategori aditif \(\mathcal{A}\) dilengkapi dengan struktur \(\Bbbk\)-linear yang kompatibel dengan struktur kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) yang sudah ada, maka \(\mathcal{A}\) beserta data tersebut disebut kategori \(\Bbbk\)-linear.

Hal ini sama artinya dengan mengganti kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) dengan kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) dalam pembahasan §rujukan. Sebagian besar hasil mengenai kategori aditif dalam bab ini dapat diperluas ke situasi \(\Bbbk\)-linear dengan argumen yang sama tanpa perubahan. Satu-satunya pengecualian berkaitan dengan Korolari rujukan: dalam kategori aditif, penjumlahan pada himpunan \(\operatorname{Hom}\) dapat dicirikan oleh sifat kategori itu sendiri, tetapi hal ini tidak berlaku bagi perkalian skalar oleh \(\Bbbk\). Karena itu, tidak ada alasan bagi funktor (bahkan ekuivalensi) antara kategori \(\Bbbk\)-linear untuk otomatis bersifat \(\Bbbk\)-linear. Berikut ini beberapa hasil mengenai sifat \(\Bbbk\)-linear. Ingat bahwa pusat suatu kategori \(\mathcal{A}\) didefinisikan sebagai \(Z(\mathcal{A}) := \operatorname{End}(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{A}})\). Unsur-unsurnya merupakan morfisme dari funktor identitas \(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{A}}\) ke dirinya sendiri, yang ditulis sebagai \((a_X)_{X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{A})}\) dengan \(a_X \in \operatorname{End}_{\mathcal{A}}(X)\). Dengan operasi komposisi morfisme, pusat tersebut merupakan monoid komutatif; lihat [Li1]. Jika \(\mathcal{A}\) merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\), maka \(Z(\mathcal{A})\) menjadi gelanggang komutatif terhadap komposisi dan penjumlahan \((a_X)_X + (b_X)_X := (a_X+b_X)_X\).

Proposisi. Misalkan \(\mathcal{A}\) merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\). Maka terdapat bijeksi \[\left\{\text{struktur kategori-$\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}$ pada $\mathcal{A}$}\right\} \stackrel{1:1}{\longleftrightarrow} \operatorname{Hom}_{\text{gelanggang}}(\Bbbk,Z(\mathcal{A})).\] Pemetaan tersebut diberikan sebagai berikut. Jika struktur kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) pada \(\mathcal{A}\) telah ditetapkan, untuk setiap \(a \in \Bbbk\) dan \(X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{A})\) definisikan \(a_X := a \cdot \ensuremath{\mathrm{id}}_X \in \operatorname{End}_{\mathcal{A}}(X)\). Maka \(a \mapsto (a_X)_{X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{A})} \in Z(\mathcal{A})\) merupakan homomorfisme gelanggang. Sebaliknya, diberikan homomorfisme gelanggang di ruas kanan, \(a \mapsto (a_X)_{X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{A})}\), definisikan struktur kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) pada \(\mathcal{A}\) dengan \(a \cdot f := f \circ a_X = a_Y \circ f\), untuk \(f \in \operatorname{Hom}(X,Y)\).

Bukti. Syarat yang mencirikan \((a_X)_{X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{A})} \in Z(\mathcal{A})\) adalah \(f \circ a_X = a_Y \circ f\) untuk setiap \(f \in \operatorname{Hom}(X,Y)\). Jika \(\mathcal{A}\) dilengkapi dengan struktur kategori-\(\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\), definisikan \(a_X := a \cdot \ensuremath{\mathrm{id}}_X\). Sifat bilinear memberikan \[f \circ a_X = f \circ (a \cdot \ensuremath{\mathrm{id}}_X) = (a f) \circ \ensuremath{\mathrm{id}}_X = (a \cdot \ensuremath{\mathrm{id}}_Y) \circ f = a_Y \circ f,\] sehingga \((a_X)_{X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{A})} \in Z(\mathcal{A})\). Verifikasi lainnya langsung.

Sebagai akibatnya, kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) \(\mathcal{A}\) secara alami menjadi kategori-\(Z(\mathcal{A})\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\).

Meninjau Limit melalui Funktor

Berbagai hubungan antara funktor \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) dan limit secara garis besar dapat dikelompokkan ke dalam dua arah. Ambil \(\varinjlim\) sebagai contoh. Diberikan funktor \(\alpha: I \to \mathcal{C}\), pertanyaannya adalah:

• Andaikan \(\varinjlim \alpha\) ada. Apakah citra \(F\left(\varinjlim \alpha\right)\) memberikan \(\varinjlim (F\alpha)\)?

• Andaikan \(\varinjlim F\alpha\) ada. Dapatkah limit itu “diangkat” ke \(\mathcal{C}\)? Dalam arti apa pengangkatan tersebut unik?

Di sini kita terutama membahas kasus \(\varinjlim\). Hasil-hasil ini tentu juga mempunyai versi yang bersesuaian untuk \(\varprojlim\); berkat dualitas, rinciannya tidak perlu diulang. Kita akan menata pembahasan \(\varinjlim\) dengan bahasa kokonus dan kategori \((\alpha/\Delta)\).

Konvensi. Untuk funktor \(\alpha: I \to \mathcal{C}\) yang telah ditetapkan, data \((L, (f_i)_{i \in \operatorname{Ob}(I)})\) di \(\mathcal{C}\) yang memenuhi syarat-syarat berikut disebut kokonus dengan alas \(\alpha\) dan puncak \(L\):

Dalam terminologi [Li1], kokonus-kokonus ini membentuk suatu kategori¹ \((\alpha / \Delta)\). Secara konkret, setelah alas \(\alpha\) ditetapkan, suatu morfisme dari kokonus \((L, (f_i)_i)\) ke kokonus \((M, (g_i)_i)\) ialah diagram komutatif

\(i \to j\) berkisar pada \(\operatorname{Mor}(I)\); komposisi morfisme didefinisikan sebagaimana biasa. Menurut definisi, \(\varinjlim \alpha\) beserta keluarga morfisme kanonik bawaannya \(\iota_i: \alpha(i) \to \varinjlim \alpha\) merupakan objek awal dari \((\alpha / \Delta)\). Funktor \(F\) secara alami menginduksi funktor \((\alpha/\Delta) \to (F\alpha / \Delta)\), yang memetakan kokonus \((L, (f_i)_i)\) ke \((FL, (Ff_i)_i)\). Andaikan \(\varinjlim \alpha\) ada. Jika \(\varinjlim F\alpha\) juga ada, maka dalam \((F\alpha / \Delta)\) terdapat morfisme tunggal \[\varinjlim F\alpha \to F(\varinjlim \alpha),\] dan morfisme ini merupakan isomorfisme jika dan hanya jika \(\left( F(\varinjlim \alpha), (F\iota_i)_i \right)\) memberikan \(\varinjlim F\alpha\). Dengan membalik panah-panah, \(\varprojlim \alpha\) dapat dicirikan sebagai objek terminal dari \((\Delta/\alpha)\). Dengan asumsi bahwa kedua limit projektif yang dibahas ada, dalam \((\Delta/F\alpha)\) terdapat morfisme tunggal \[F\varprojlim \alpha \to \varprojlim F\alpha.\]

Definisi. Diberikan \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) dan funktor \(\alpha: I \to \mathcal{C}\), tinjau funktor di antara kategori kokonus \((\alpha/\Delta) \to (F\alpha/\Delta)\).

• Funktor \(F\) dikatakan mempertahankan \(\varinjlim\) ini jika \((\alpha/\Delta) \to (F\alpha/\Delta)\) memetakan objek awal (jika ada) ke objek awal.

• Funktor \(F\) dikatakan merefleksikan \(\varinjlim\) ini jika, apabila suatu objek dari \((\alpha/\Delta)\) dipetakan menjadi objek awal dari \((F\alpha/\Delta)\), objek itu sendiri merupakan objek awal.

• Funktor \(F\) dikatakan menciptakan \(\varinjlim\) ini jika, begitu \(\varinjlim F\alpha\) ada, \(\varinjlim \alpha\) juga ada, dan dalam keadaan ini \(F\) mempertahankan \(\varinjlim\) tersebut dan juga merefleksikan \(\varinjlim\) tersebut.

Untuk \(\varprojlim\) terdapat konsep-konsep yang bersesuaian. Konsep-konsep untuk \(\varinjlim\) dan \(\varprojlim\) ini dapat saling diperoleh dengan mengganti \(\mathcal{C}\) dan \(\mathcal{D}\) oleh \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\) dan \(\mathcal{D}^{\operatorname{op}}\).

Perhatikan bahwa konsep-konsep ini bergantung pada \(\alpha\) yang sedang dibahas. Sebagai contoh, sangat mungkin \(F\) mempertahankan semua \(\varinjlim\) berhingga tetapi tidak mempertahankan \(\varinjlim\) secara umum. Untuk \(\alpha\) tertentu, pernyataan bahwa suatu funktor menciptakan \(\varinjlim\) (atau \(\varprojlim\)) berarti bahwa kokonus (atau konus) di \(\mathcal{D}\) yang mendefinisikan limit tersebut dapat diangkat secara unik ke \(\mathcal{C}\), dan hasil pengangkatan itu memberikan limit yang bersesuaian di \(\mathcal{C}\). Keunikan tersebut berasal dari syarat dalam definisi mengenai merefleksikan \(\varinjlim\) (atau \(\varprojlim\)). Sudut pandang ini akan tampak jelas dalam Contoh rujukan dan Proposisi rujukan di bawah.

Proposisi. Setiap funktor penuh dan setia merefleksikan semua \(\varinjlim\) dan \(\varprojlim\).

Bukti. Cukup tinjau \(\varinjlim\). Jika \(F\) penuh dan setia, sifat universal objek awal dari \((\alpha/\Delta)\) dapat diverifikasi di \((F\alpha/\Delta)\) setelah menerapkan \(F\).

Kita juga memperkenalkan konsep berguna berikut.

Definisi. Funktor \(F\) yang memenuhi syarat berikut disebut konservatif: morfisme \(f \in \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) merupakan isomorfisme jika dan hanya jika \(Ff \in \operatorname{Mor}(\mathcal{D})\) merupakan isomorfisme.

Catatan. Jika \(F\) merupakan funktor konservatif, maka asalkan \(\varinjlim \alpha\) ada dan \(F\) mempertahankan \(\varinjlim\) ini, \(F\) juga harus merefleksikan \(\varinjlim\) ini. Alasannya sebagai berikut. Misalkan \(L \in \operatorname{Ob}((\alpha/\Delta))\) dipetakan menjadi objek awal dari \((F\alpha/\Delta)\). Tinjau morfisme tunggal \(\varinjlim \alpha \to L\) dalam \((\alpha/\Delta)\). Karena \(F\) mempertahankan \(\varinjlim\) ini, citra morfisme tersebut di bawah \(F\) harus merupakan isomorfisme. Syarat konservatif kemudian memastikan bahwa \(\varinjlim \alpha \to L\) juga merupakan isomorfisme.

Dengan hipotesis ini, syarat merefleksikan \(\varinjlim\) dapat dihapus dari definisi bahwa \(F\) menciptakan \(\varinjlim\).

Contoh. Kita akan memverifikasi bahwa funktor pelupa \(U\) dari kategori grup \(\ensuremath{\mathsf{Grp}}\) ke kategori himpunan \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\) menciptakan semua \(\varprojlim\) kecil.

Hal ini merupakan akibat konstruksi konkret \(\varprojlim\) dalam \(\ensuremath{\mathsf{Grp}}\) dan \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\); lihat [Li1]. Secara lebih terperinci, ambil kategori kecil \(I\) dan funktor \(\beta: I^{\operatorname{op}} \to \ensuremath{\mathsf{Grp}}\). Sebagai himpunan, \[\varprojlim U\beta = \left\{\begin{array}{r|l} (x_i)_i \in \prod_{i \in \operatorname{Ob}(I)} U\beta(i) & \forall [i \to j] \in \mathrm{Mor}(I), \\ & \beta(i \to j)(x_j) = x_i \end{array}\right\},\] dan proyeksi \(p_i: \varprojlim U\beta \to U\beta(i)\) memetakan \((x_j)_j\) ke \(x_i\). Tugas kita sekarang adalah:

1. melengkapi \(\varprojlim U\beta\) dengan struktur grup sedemikian sehingga setiap \(p_i\) merupakan homomorfisme grup, serta menunjukkan bahwa struktur grup semacam itu unik;

2. memverifikasi sifat universal \(\varprojlim \beta\) bagi grup ini beserta keluarga homomorfisme proyeksi \((p_i)_i\).

Jelas bahwa \(\varprojlim U\beta\) merupakan subgrup dari hasil kali langsung \(\prod_i \beta(i)\). Kita notasikan subgrup ini sebagai \(\varprojlim \beta \in \operatorname{Ob}(\ensuremath{\mathsf{Grp}})\); inilah satu-satunya struktur grup yang membuat setiap \(p_i\) menjadi homomorfisme grup. Dengan demikian, tugas pertama selesai.

Selanjutnya, kita verifikasi sifat universal bagi konus \(\left( \varprojlim \beta, (p_i)_i\right)\). Tinjau sembarang konus \((L, (q_i)_i)\) di \(\ensuremath{\mathsf{Grp}}\), dengan \(q_i: L \to \beta(i)\). Sifat universal memberikan pemetaan tunggal \(\varphi: UL \to \varprojlim U\beta\) sedemikian sehingga \(p_i \varphi = q_i\) berlaku untuk setiap \(i\). Sesungguhnya, \(\varphi\) secara konkret diberikan oleh \(y \mapsto (q_i(y))_{i \in \operatorname{Ob}(I)}\), sehingga pemetaan ini merupakan homomorfisme grup \(L \to \varprojlim \beta\).² Verifikasi selesai.

Dengan argumen yang sepenuhnya serupa, dapat ditunjukkan bahwa funktor pelupa dari kategori ruang Hausdorff kompak \(\ensuremath{\mathsf{CHaus}}\) ke \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\) juga menciptakan semua \(\varprojlim\) kecil. Verifikasi terkait diserahkan sebagai latihan dalam bab ini. Hasil berikutnya melibatkan kategori funktor berbentuk \(\mathcal{C}^J\) (yang mungkin merupakan kategori “besar”, tetapi ini tidak menjadi masalah). Kita memerlukan dua langkah persiapan.

• Misalkan \(J\) merupakan himpunan. Hasil kali \(J\) salinan \(\mathcal{C}\), yakni \(\mathcal{C}^J\), didefinisikan sebagai \(\operatorname{Ob}\left(\mathcal{C}^J\right) = \operatorname{Ob}(\mathcal{C})^J\) dan \(\mathrm{Mor}\left(\mathcal{C}^J \right) = \mathrm{Mor}(\mathcal{C})^J\). Untuk setiap \(j \in J\) terdapat funktor proyeksi yang jelas \(p_j: \mathcal{C}^J \to \mathcal{C}\).

  Diberikan kategori \(I\) dan funktor \(\alpha: I \to \mathcal{C}^J\), jika \(\varinjlim (p_j \alpha)\) ada untuk setiap \(j\), maka \(\varinjlim \alpha\) juga ada. Konstruksinya dilakukan dengan mengambil limit secara “titik demi titik” atau “objek demi objek”: \(\varinjlim \alpha = \left( \varinjlim (p_j \alpha) \right)_{j \in J}\).

• Misalkan \(J\) merupakan kategori. Kita dapat meninjau kategori funktor \(\mathcal{C}^J\). Untuk setiap \(j \in \operatorname{Ob}(J)\) terdapat funktor evaluasi \(\mathrm{ev}_j: \mathcal{C}^J \to \mathcal{C}\), yang memetakan objek \(F\) ke \(Fj\) dan memetakan morfisme \(\varphi = (\varphi_{j'})_{j' \in \operatorname{Ob}(J)}\) ke \(\varphi_j\). Nanti kita akan meninjau funktor berbentuk \(\alpha: I \to \mathcal{C}^J\) beserta \(\varinjlim\)-nya. Perhatikan bahwa \(\alpha\) dapat dipandang sebagai funktor \(I \times J \to \mathcal{C}\), dengan nilainya ditulis \(\alpha(i, j)\).

Kedua sistem notasi tersebut kompatibel. Jika \(J\) merupakan kategori diskret dan dipandang sebagai himpunan, maka \(\mathcal{C}^J\) tidak lain adalah hasil kali yang dibahas sebelumnya. Untuk \(J\) umum, funktor pelupa \(\mathcal{F}: \mathcal{C}^J \to \mathcal{C}^{\operatorname{Ob}(J)}\) memetakan objek \(F\) ke \((Fj)_{j \in \operatorname{Ob}(J)}\) dan memetakan morfisme \(\varphi\) ke \((\varphi_j)_{j \in \operatorname{Ob}(J)}\). Karena itu, \(\mathrm{ev}_j = p_j \mathcal{F}\).

Proposisi. Misalkan \(J\) dan \(\mathcal{C}\) merupakan kategori.

1. Funktor pelupa \(\mathcal{F}: \mathcal{C}^J \to \mathcal{C}^{\operatorname{Ob}(J)}\) menciptakan \(\varinjlim\) dan \(\varprojlim\).

2. Misalkan \(I\) merupakan kategori dan setiap funktor \(I \to \mathcal{C}\) mempunyai \(\varinjlim\) (atau \(\varprojlim\)). Maka semua funktor berbentuk \(I \to \mathcal{C}^J\) juga mempunyai \(\varinjlim\) (atau \(\varprojlim\)) di \(\mathcal{C}^J\).

3. Dengan asumsi pada (ii), untuk setiap \(j \in \operatorname{Ob}(J)\), funktor evaluasi \(\mathrm{ev}_j: \mathcal{C}^J \to \mathcal{C}\) mempertahankan \(\varinjlim\) (atau \(\varprojlim\)) untuk diagram berbentuk \(I\) tersebut. Dengan kata lain, limit di \(\mathcal{C}^J\) juga didefinisikan secara “titik demi titik” atau “objek demi objek”.

Bukti. Cukup tinjau kasus \(\varinjlim\). Untuk (i), misalkan \(\alpha: I \to \mathcal{C}^J\) dan andaikan \(\varinjlim \mathcal{F}\alpha\) ada serta diberikan oleh kokonus \[\left( (X(j))_{j \in \operatorname{Ob}(J)}, \; \left( \iota_i = (\iota_{i, j})_{j \in \operatorname{Ob}(J)} \right)_{i \in \operatorname{Ob}(I)} \right)\] dengan \(\iota_{i,j}: \alpha(i, j) \to X(j)\). Kita ingin mengangkatnya menjadi kokonus di \(\mathcal{C}^J\) yang memberikan \(\varinjlim \alpha\).

Pertama, perhatikan bahwa \(X(j) = \varinjlim \alpha(\cdot, j)\) untuk setiap \(j\). Untuk setiap morfisme \(j \to j'\), sifat funktorial limit (lihat [Li1]) memberikan morfisme tunggal \(X(j \to j'): X(j) \to X(j')\) yang membuat diagram berikut komutatif:

\(j \mapsto X(j)\) diperluas menjadi funktor \(X: J \to \mathcal{C}\), sedangkan \(\iota_i: \alpha(i, \cdot) \to X\) membentuk morfisme di \(\mathcal{C}^J\). Langsung dapat diverifikasi bahwa \((X, (\iota_i)_i) \in \operatorname{Ob}(\alpha/\Delta)\); selanjutnya kita buktikan bahwa objek ini merupakan objek awal. Karena funktor \(\mathcal{F}\) konservatif, syarat merefleksikan \(\varinjlim\) tidak perlu diverifikasi lagi.

Diberikan \((L, (f_i)_i) \in \operatorname{Ob}(\alpha/\Delta)\), sifat universal \(\varinjlim \mathcal{F}\alpha\) menentukan morfisme tunggal \(\varphi = (\varphi_j)_j : \mathcal{F}X \to \mathcal{F}L\) sedemikian sehingga bagian segitiga pada diagram berikut komutatif untuk setiap \((i, j)\):

\(j \to j'\), maka keluarga komponen \(\varphi\) membentuk morfisme \(X \to L\). Bingkai luar sudah diketahui komutatif, sehingga \[\varphi_{j'} X(j \to j') \iota_{i, j} = L(j \to j') f_{i, j} = L(j \to j') \varphi_j \iota_{i, j}\] untuk setiap \(i\). Morfisme dengan domain \(X(j)\) ditentukan oleh komposisinya dengan semua \(\iota_{i,j}\), sehingga bagian persegi tersebut komutatif.

Untuk (ii), tinjau funktor \(\alpha: I \to \mathcal{C}^J\). Menurut pembahasan sebelumnya, \(\mathcal{F}\alpha: I \to \mathcal{C}^{\operatorname{Ob}(J)}\) mempunyai \(\varinjlim\), yang didefinisikan secara objek demi objek. Oleh (i), \(\mathcal{F}\) menciptakan \(\varinjlim \alpha\) di \(\mathcal{C}^J\),³ sedangkan pernyataan pada (iii) bahwa \(\mathrm{ev}_j\) mempertahankan \(\varinjlim\) tersebut merupakan akibat langsung dari konstruksi ini.

---

1. Arti tepat \(\Delta\) di sini ialah funktor diagonal \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}^I\); lihat Contoh 1.6.3. Notasi \(\Delta\) dipilih dari huruf awal pinyin duìjiǎo (“diagonal”). Namun, mengikuti asas piktografis, tidak ada salahnya membayangkan \(\Delta\) sebagai “kokonus”; lihat diagram persamaan.↩︎

2. Catatan penerjemah: sumber menulis \(L \to \varinjlim \beta\); target dikoreksi menjadi \(L \to \varprojlim \beta\) sesuai limit projektif yang sedang dibuktikan (O014-C007).↩︎

3. Catatan penerjemah: teks sumber menulis \(\mathcal{C}\) di sini. Targetnya dikoreksi menjadi \(\mathcal{C}^J\), yaitu domain funktor pelupa \(\mathcal{F}\) dan kategori yang memuat funktor \(X: J \to \mathcal{C}\) yang baru dibangun; lihat koreksi O014-C009.↩︎

Limit Induktif Terfilter

Salah satu fakta umum dalam analisis matematika ialah bahwa, jika suatu barisan konvergen, limitnya dapat dihitung dari subbarisan mana pun. Dalam teori kategori, gagasan ini diwujudkan oleh konsep kofinalitas. Kita mulai dari keterhubungan.

Definisi. Misalkan \(I\) suatu kategori. Jika \(\operatorname{Ob}(I) \neq \emptyset\) dan, untuk setiap \(i, i' \in \operatorname{Ob}(I)\), selalu terdapat \(n \geq 1\) beserta morfisme-morfisme \[i = i_0 \leftarrow i_1 \to i_2 \leftarrow i_3 \to i_4 \leftarrow \cdots \to i_{2n} = i' ,\] maka \(I\) disebut terhubung.

Kita perkenalkan sebuah konsep bantu yang akan digunakan berulang kali dalam beberapa bagian berikutnya.

Definisi (Kategori koma, lihat [Li1).] Diberikan kategori \(I\), \(J\), dan funktor \(H: J \to I\). Misalkan \(i \in \operatorname{Ob}(I)\).

• Menurut definisi, objek kategori koma \((i/H)\) (atau \((H/i)\)) adalah data \((j, i \to Hj)\) (atau \((j, Hj \to i)\)), dengan \(j \in \operatorname{Ob}(J)\) dan \(i \to Hj\) (atau \(Hj \to i\)) merupakan morfisme di \(I\). Morfisme dari data \((j, i \to Hj)\) ke \((j', i \to Hj')\) (atau dari \((j, Hj \to i)\) ke \((j', Hj' \to i)\)) adalah morfisme \(f: j \to j'\) di \(J\) yang membuat diagram berikut komutatif:

• Kedua kategori di atas masing-masing dilengkapi dengan funktor proyeksi \(\Pi_{i/}: (i/H) \to J\) dan \(\Pi_{/i}: (H/i) \to J\), yang memetakan objek \((j, i \to Hj)\) (atau \((j, Hj \to i)\)) ke \(j\) dan memetakan morfisme \(f\) ke \(f\).

• Setiap morfisme \(i \to i'\) di \(I\) secara alami menginduksi funktor \((i'/H) \to (i/H)\) dan \((H/i) \to (H/i')\), sehingga diagram berikut komutatif:

Contoh. Tinjau funktor \(\alpha: I \to \mathcal{C}\) sebagai objek di \(\mathcal{C}^I\), dan tinjau pula funktor diagonal \(\Delta: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^I\) yang memetakan setiap objek ke funktor konstan yang bersesuaian. Menurut Definisi rujukan, \((\alpha/\Delta)\) tepat merupakan kategori “kokonus” yang diperkenalkan dalam Konvensi rujukan, sedangkan funktor \(\Pi_{\alpha/}\) memetakan setiap kokonus ke puncaknya.

Definisi. Untuk funktor \(H: J \to I\), jika \((i/H)\) terhubung untuk setiap \(i \in \operatorname{Ob}(I)\), maka \(H\) disebut kofinal; jika \(H\) merupakan funktor inklusi dari suatu subkategori, subkategori \(J\) disebut kofinal.

Mudah diverifikasi bahwa jika \(I \to J\) dan \(J \to K\) keduanya kofinal, maka funktor komposit \(I \to K\) juga kofinal. Pemeriksaannya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Hasil berikut menunjukkan bahwa limit dapat dihitung dengan membatasi diagram sepanjang funktor kofinal. Ingat bahwa \(H\) menginduksi \(H^{\operatorname{op}}: J^{\operatorname{op}} \to I^{\operatorname{op}}\).

Proposisi. Jika \(H: J \to I\) kofinal, maka:

• untuk funktor \(\alpha: I \to \mathcal{C}\) yang diberikan, \(\varinjlim \alpha\) ada jika dan hanya jika \(\varinjlim \alpha H\) ada; dalam hal ini terdapat isomorfisme kanonik \(\varinjlim \alpha H \simeq \varinjlim \alpha\);

• secara dual, untuk funktor \(\beta: I^{\operatorname{op}} \to \mathcal{C}\) yang diberikan, \(\varprojlim \beta\) ada jika dan hanya jika \(\varprojlim \beta H^{\operatorname{op}}\) ada; dalam hal ini terdapat isomorfisme kanonik \(\varprojlim \beta H^{\operatorname{op}} \simeq \varprojlim \beta\).

Bukti. Kita hanya membahas \(\varinjlim\). Dalam bahasa §rujukan, cukup dibuktikan bahwa funktor \((\alpha/\Delta) \to (\alpha H / \Delta)\) merupakan ekuivalensi; funktor ini memetakan kokonus beralas \(\alpha\), yakni \((L, (f_i)_i)\), ke kokonus beralas \(\alpha H\), yakni \((L, (f_{Hj})_j)\).

Pertama-tama kita buktikan bahwa funktor ini pada hakikatnya surjektif. Tinjau \(L \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) dan keluarga morfisme \((g_j: \alpha H(j) \to L)_{j \in \operatorname{Ob}(J)}\) yang memenuhi syarat kompatibilitas \(g_{j'} \circ \alpha H(j \to j') = g_j\). Untuk setiap \(i \in \operatorname{Ob}(I)\), karena \((i/H)\) tidak kosong, kita dapat memilih \(j\) dan \(i \to H(j)\). Definisikan \(f_i := g_j \circ \alpha(i \to H(j))\). Definisi ini tidak bergantung pada pilihan objek koma \((j,i \to H(j))\): memang, jika terdapat morfisme-morfisme di \((i/H)\) seperti dalam diagram

\[g_j \circ \alpha(i\to H(j)) = g_{j''} \circ \alpha(i\to H(j'')) = g_{j'} \circ \alpha(i\to H(j')).\] Karena \((i/H)\) terhubung, ini cukup untuk menunjukkan bahwa \(f_i\) terdefinisi dengan baik. Pembahasan di atas juga menyiratkan bahwa \((f_i)_i\) memenuhi syarat kompatibilitas \(f_i=f_{i'}\circ\alpha(i\to i')\): untuk setiap \(i \to i'\) dan \(i' \to H(j')\), kita dapat menghitung \(f_i\) menggunakan objek koma \((j',i \to i' \to H(j'))\). Jadi, \((L, (f_i)_i) \in \operatorname{Ob}((\alpha/\Delta))\) dipetakan ke \((L, (g_j)_j)\).

Selanjutnya kita tunjukkan bahwa funktor ini penuh dan setia. Memberikan suatu morfisme di \((\alpha/\Delta)\), yaitu \((L, (f_i)_i) \to (L', (f'_i)_i)\), setara dengan memberikan morfisme di \(\mathcal{C}\), yaitu \(\theta: L \to L'\), sedemikian sehingga \(\theta f_i = f'_i\) selalu berlaku. Cukup memeriksa syarat ini pada objek-objek \(H(j)\) dalam citra kofinal \(H\): untuk setiap \(i\), pilih \(j \in \operatorname{Ob}(J)\) dan \(i \to H(j)\); syarat tersebut kemudian menjadi \(\theta f_{H(j)} = f'_{H(j)}\), yakni bahwa \(\theta\) merupakan morfisme di \((\alpha H / \Delta)\).

Definisi. Menurut [Li1], kategori \(I\) dengan \(\operatorname{Ob}(I)\neq\emptyset\) yang memenuhi syarat-syarat berikut disebut terfilter¹.

Jika \(I\) merupakan kategori terfilter dan \(\alpha: I \to \mathcal{C}\) merupakan funktor, maka \(\varinjlim \alpha\) yang bersesuaian disebut limit induktif terfilter.

Contoh. Salah satu kelas kategori terfilter yang umum berasal dari himpunan terurut parsial terfilter². Setiap himpunan terurut parsial \((P, \leq)\) menentukan kategori \(\mathcal{P}\) yang bersesuaian sedemikian sehingga \(x \leq y \iff \operatorname{Hom}_{\mathcal{P}}(x, y) \neq \emptyset\). Jika \(\mathcal{P}\) merupakan kategori terfilter, maka \((P, \leq)\) disebut himpunan terurut parsial terfilter. Suatu himpunan terurut parsial bersifat terfilter jika dan hanya jika himpunan itu tidak kosong dan setiap dua unsurnya \(i, j\) mempunyai batas atas bersama \(k\). Setiap himpunan terurut total yang tidak kosong jelas terfilter.

Proposisi. Misalkan \(I\) kategori terfilter. Maka subkategori penuh \(J\subset I\) bersifat kofinal jika dan hanya jika untuk setiap \(i \in \operatorname{Ob}(I)\) terdapat \(j \in \operatorname{Ob}(J)\) dan morfisme \(i \to j\); dalam hal ini \(J\) juga terfilter.

Bukti. Arah “hanya jika” jelas. Untuk arah “jika”, diberikan \(j \leftarrow i \to j'\), dengan \(j, j' \in \operatorname{Ob}(J)\), sifat terfilter menjamin adanya diagram komutatif

\(k \in \operatorname{Ob}(J)\). Ini menunjukkan bahwa \(J\) kofinal.

Untuk membuktikan bahwa \(J\) terfilter, ambil sembarang \(i, j \in \operatorname{Ob}(J)\). Karena \(I\) terfilter, terdapat \(k_0 \in \operatorname{Ob}(I)\) beserta morfisme \(i\to k_0\) dan \(j\to k_0\); pilih pula \(k \in \operatorname{Ob}(J)\) beserta morfisme \(k_0 \to k\). Dengan mengomposisikan morfisme-morfisme tersebut, di \(J\) terdapat morfisme \(i \rightarrow k \leftarrow j\). ³ Ini membuktikan syarat pertama untuk kategori terfilter. Syarat kedua dapat dibuktikan dengan gagasan yang sama.

Contoh. Definisikan \(\mathrm{OFin}_I := \left\{ \text{subkategori penuh}\; J \subset I: \operatorname{Ob}(J) \;\text{berhingga} \right\}\). Himpunan ini, terhadap \(\subset\), merupakan himpunan terurut parsial terfilter: untuk setiap \(J, K \in \mathrm{OFin}_I\), subkategori yang diperoleh dengan mengambil gabungan himpunan objeknya merupakan batas atas bersama bagi \(J\) dan \(K\).

Untuk melihat kegunaan konstruksi ini, tinjau sembarang funktor \(\alpha: I \to \mathcal{C}\) (atau \(\beta: I^{\operatorname{op}} \to \mathcal{C}\)). Pembatasannya pada subkategori penuh \(J\) memberikan \(\alpha|_J\) (atau \(\beta|_{J^{\operatorname{op}}}\)). Jika \(J \subset K\), terdapat morfisme alami \(\varinjlim \alpha|_J \to \varinjlim \alpha|_K\) (atau \(\varprojlim \beta|_{K^{\operatorname{op}}} \to \varprojlim \beta|_{J^{\operatorname{op}}}\)), asalkan limit-limit tersebut ada. Hasil berikut menjelaskan cara menghampiri sembarang limit secara “terfilter” melalui kasus dengan objek berhingga.

Proposisi. Dalam situasi di atas, terdapat isomorfisme kanonik \[\varinjlim_{\substack{J \in \mathrm{OFin}_I \\ \subset}} \varinjlim \alpha|_J \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\varinjlim \alpha\] (atau \(\varprojlim \beta \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}} \varprojlim_{J \in \mathrm{OFin}_I^{\operatorname{op}}} \varprojlim \beta|_{J^{\operatorname{op}}}\)), dengan syarat limit rangkap pada ruas kiri (atau ruas kanan) ada.⁴

Bukti. Ambil kasus \(\varinjlim\) sebagai contoh. Sifat universal memberikan bijeksi kanonik \[\begin{aligned} \operatorname{Hom}\left( \varinjlim_{J\in\mathrm{OFin}_I} \varinjlim \alpha|_J, S \right) &\simeq \varprojlim_{J\in\mathrm{OFin}_I^{\operatorname{op}}} \operatorname{Hom}\left( \varinjlim \alpha|_J, S \right) \\ &\simeq \varprojlim_{J\in\mathrm{OFin}_I^{\operatorname{op}}} \varprojlim \operatorname{Hom}(\alpha|_J, S) . \end{aligned}\] dengan \(S \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) sembarang, sedangkan ruas kanan merupakan \(\varprojlim\) rangkap dari himpunan. Cukup diperiksa, untuk keluarga himpunan \((X_i)_{i \in \operatorname{Ob}(I)}\) beserta keluarga morfisme kompatibel \(\left( f_{i \to j}: X_j \to X_i \right)_{[i \to j] \in \operatorname{Mor}(I)}\), bijeksi

Untuk setiap \(J\), konstruksi konkret \(\varprojlim\) dari himpunan ialah \[\varprojlim_{j \in \operatorname{Ob}(J)} X_j = \left\{ (x_j)_j \in \prod_{j \in \operatorname{Ob}(J)} X_j : \forall [i \to j] \in \operatorname{Mor}(J), \; f_{i \to j}(x_j) = x_i \right\},\] sehingga bijeksi tersebut jelas: setiap data dalam \(\varprojlim_i X_i\), baik koordinat \(x_i\) maupun syarat kompatibilitas \(f_{i \to j}(x_j) = x_i\), dapat tercakup oleh suatu \(J \in \mathrm{OFin}_I\).

Ingat bahwa kategori \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\) mempunyai semua \(\varinjlim\) dan \(\varprojlim\) kecil. Limit induktif kecil terfilter mempunyai deskripsi yang sangat baik.

Proposisi. Misalkan \(I\) kategori kecil yang terfilter dan \(\alpha: I \to \ensuremath{\mathsf{Set}}\) funktor. Definisikan relasi biner berikut pada himpunan \(\bigsqcup_{i \in \operatorname{Ob}(I)} \alpha(i)\): untuk \(x \in \alpha(i)\) dan \(y \in \alpha(j)\), relasi \(x \sim y\) berarti bahwa terdapat objek \(k\in\operatorname{Ob}(I)\) beserta morfisme \(i\rightarrow k\) dan \(j\rightarrow k\) sedemikian sehingga \(\alpha(i \to k)(x) = \alpha(j \to k)(y)\). Maka \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi, dan \[\varinjlim \alpha = \left( \bigsqcup_{i \in \operatorname{Ob}(I)} \alpha(i) \right) \big/ \sim .\]

Bukti. Lihat pembahasan setelah [Li1].

Selanjutnya, unsur \(\varinjlim \alpha\) di atas akan kita tuliskan sebagai \([x_{i_0}]\), dengan \(i_0 \in \operatorname{Ob}(I)\) dan \([x_{i_0}]\) merupakan kelas ekuivalensi yang memuat \(x_{i_0} \in \alpha(i_0)\). Di sisi lain, untuk kategori kecil umum \(J\) dan funktor \(\beta: J^{\operatorname{op}} \to \ensuremath{\mathsf{Set}}\), kita akan menuliskan unsur \(\varprojlim \beta\) dalam bentuk \((y_j)_{j \in \operatorname{Ob}(J)}\), dengan \(y_j \in \beta(j)\) memenuhi syarat kompatibilitas \(\beta(j' \to j)(y_j) = y_{j'}\). Berikutnya, tinjau funktor berbentuk \(\alpha: I \times J^{\operatorname{op}} \to \ensuremath{\mathsf{Set}}\), dengan \(I, J\) kategori kecil; menurut peubah \(I\) dan \(J\) masing-masing dapat diambil \(\varinjlim\) dan \(\varprojlim\). Untuk setiap \((i_0, j_0) \in \operatorname{Ob}(I \times J)\), terdapat komposisi pemetaan alami \[\varprojlim_j \alpha(i_0, j) \to \alpha(i_0, j_0) \to \varinjlim_i \alpha(i, j_0);\] komposisi ini alami dalam \(i_0\) dan \(j_0\). Dengan memvariasikan \(j_0\), kita memperoleh pemetaan kanonik \(\varprojlim_j \alpha(i_0, j) \to \varprojlim_j \varinjlim_i \alpha(i, j)\); selanjutnya, dengan memvariasikan \(i_0\), kita memperoleh pemetaan kanonik \[\begin{equation} \hypertarget{eqn:filtered-finite-exchange}{} e: \varinjlim_i \varprojlim_j \alpha(i, j) \to \varprojlim_j \varinjlim_i \alpha(i, j). \end{equation}\] Dengan menggunakan notasi wakil, \(e\) memetakan \(\left[ (x_{i_0, j})_j \right]\) ke \(\left( [ x_{i_0, j}] \right)_j\). Jika \(\operatorname{Mor}(J)\) merupakan himpunan berhingga, kategori \(J\) disebut berhingga; hal ini setara dengan mensyaratkan bahwa himpunan objeknya dan himpunan morfisme di antara setiap dua objek semuanya berhingga. Hasil berikut akan digunakan dalam §1.9.

Proposisi. Misalkan \(I\) kategori kecil yang terfilter, \(J\) kategori berhingga, dan \(\alpha: I \times J^{\operatorname{op}} \to \ensuremath{\mathsf{Set}}\) funktor. Maka pemetaan \(e\) dalam persamaan merupakan bijeksi.

Bukti. Pertama-tama kita tunjukkan bahwa \(e\) surjektif. Diberikan \((b_j)_{j \in \operatorname{Ob}(J)} \in \varprojlim_j \varinjlim_i \alpha(i, j)\), tuliskan setiap \(b_j\) sebagai \([x_{i_j, j}]\). Karena \(I\) terfilter dan \(J\) berhingga, kita dapat memilih objek sasaran bersama \(i\in\operatorname{Ob}(I)\) untuk semua \(i_j\), lalu mengganti setiap wakil dengan citranya sepanjang morfisme \(i_j\to i\). Dengan demikian, semua wakil dapat ditulis \(x_{i,j}\) dengan indeks \(i\) yang sama. Untuk setiap morfisme \(j \to j'\) di \(J\), kita mempunyai \[\left[ \alpha(i, j \to j') (x_{i, j'}) \right] = \left[ x_{i, j} \right].\] Karena \(\operatorname{Mor}(J)\) berhingga dan \(I\) terfilter, kita dapat memilih satu morfisme \(i\to i_1\) yang menyamakan semua pasangan tersebut, mengganti semua wakil dengan citranya di indeks \(i_1\), lalu menamai kembali \(i_1\) sebagai \(i\), sehingga \(\alpha(i, j \to j') (x_{i, j'}) = x_{i, j}\) berlaku untuk semua \([j \to j'] \in \operatorname{Mor}(J)\). Karena itu, \(e\left( [(x_{i, j})_j] \right) = (b_j)_j\).

Selanjutnya kita tunjukkan bahwa \(e\) injektif. Misalkan \(e(x) = e(y)\). Karena \(I\) terfilter, kita dapat mengganti wakil-wakil \(x\) dan \(y\) dengan citranya di satu indeks bersama \(i\in\operatorname{Ob}(I)\), sehingga keduanya mempunyai wakil \((x_{i,j})_j\) dan \((y_{i,j})_j\). Jadi, untuk setiap \(j \in \operatorname{Ob}(J)\), berlaku \([x_{i,j}]=[y_{i,j}]\). Karena \(I\) terfilter dan \(J\) berhingga, kita dapat memilih satu indeks lanjutan bersama, mengganti semua komponen dengan citranya di sana, lalu menamainya kembali sebagai \(i\), sehingga \(x_{i,j}=y_{i,j}\) untuk setiap \(j\). Dengan demikian, \(x=y\).

---

1. Catatan penerjemah: sumber tidak menyatakan syarat \(\operatorname{Ob}(I)\neq\emptyset\), sehingga kategori kosong akan memenuhi kedua butir secara vakum; sumber juga menyebut \(k\in\operatorname{Ob}(I)\) sebagai morfisme pada butir kedua. Target menambahkan syarat ketak-kosongan dan memperbaiki jenis \(k\) menjadi objek (O014-C010 dan O014-C011).↩︎

2. Ketika digunakan sebagai indeks limit, kategori terfilter sering dapat digantikan dengan himpunan terurut parsial terfilter; lihat Catatan A.2.3 dan penjelasan untuk latihan-latihan dalam Lampiran A.↩︎

3. Catatan penerjemah: sumber menulis \(i\rightarrow k_0\leftarrow j\) sebagai morfisme-morfisme di \(J\), padahal \(k_0\) hanya diketahui berada di \(I\). Target menggunakan komposit menuju \(k\in\operatorname{Ob}(J)\) (O014-C012).↩︎

4. Catatan penerjemah: pada rumus dual, sumber menulis limit induktif luar. Namun untuk \(J\subset K\), morfisme transisinya berarah dari suku \(K\) ke suku \(J\), sehingga suku-suku itu membentuk diagram pada \(\mathrm{OFin}_I^{\operatorname{op}}\) dan konstruksi luarnya adalah limit projektif (O014-C013).↩︎

Ekstensi Kan

Bagian ini berangkat dari persoalan memperluas funktor. Tinjau kategori \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\), \(\mathcal{E}\) serta funktor \(K\) dan \(F\) seperti dalam diagram berikut:

\(L\) yang ditunjukkan oleh garis putus-putus, beserta isomorfisme alami \(F \simeq LK\). Persoalan ini pada umumnya tidak memiliki solusi; misalnya, mungkin terdapat \(f \in \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) sedemikian sehingga \(Kf\) merupakan isomorfisme, sedangkan \(Ff\) bukan isomorfisme. Sebagai gantinya, setidaknya kita dapat bertanya: adakah suatu hampiran terbaik? Jawabannya dicirikan oleh sifat universal, dalam versi kiri dan kanan.

Definisi (D. Kan). Tinjau kategori \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\), \(\mathcal{E}\), funktor \(K: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) dan \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}\).

• Ekstensi Kan kiri dari funktor \(F\) di sepanjang \(K\) adalah data \((\operatorname{Lan}_K F, \eta)\) berikut:

  Data ini harus memenuhi sifat universal berikut: untuk setiap data \(L: \mathcal{D} \to \mathcal{E}\) dan \(\xi: F \to LK\), terdapat tepat satu transformasi alami \(\chi: \operatorname{Lan}_K F \to L\) sedemikian sehingga \(\xi = (\chi K) \eta\) (komposisi vertikal/horizontal transformasi alami), atau, dalam diagram \(2\)-sel:

• Ekstensi Kan kanan dari funktor \(F\) di sepanjang \(K\) adalah data \((\operatorname{Ran}_K F, \varepsilon)\) berikut:

  Data ini harus memenuhi sifat universal berikut: untuk setiap data \(R: \mathcal{D} \to \mathcal{E}\) dan \(\delta: RK \to F\), terdapat tepat satu transformasi alami \(\theta: R \to \operatorname{Ran}_K F\) sedemikian sehingga \(\delta = \varepsilon (\theta K)\), atau, dalam diagram \(2\)-sel:

Jika dalam definisi tersebut \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\), dan \(\mathcal{E}\) diganti masing-masing dengan \(\mathcal{C}^{\operatorname{op}}\), \(\mathcal{D}^{\operatorname{op}}\), dan \(\mathcal{E}^{\operatorname{op}}\), pola arah funktornya tetap sama, tetapi arah transformasi alaminya berbalik. Oleh karena itu, ekstensi Kan kiri dan ekstensi Kan kanan merupakan konsep yang saling dual. Dengan menggunakan kategori funktor \(\mathcal{E}^{\mathcal{C}}\) dan \(\mathcal{E}^{\mathcal{D}}\), sifat universal ekstensi Kan kiri dan kanan masing-masing menyatakan bijeksi \[\begin{equation} \hypertarget{eqn:Kan-univ}{}\begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}^{\mathcal{D}}}\left( \operatorname{Lan}_K F, L \right) & \xrightarrow{1:1} \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}^{\mathcal{C}}}\left( F, LK \right) \\ \chi & \longmapsto (\chi K)\eta , \\ \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}^{\mathcal{D}}}\left( R, \operatorname{Ran}_K F \right) & \xrightarrow{1:1} \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}^{\mathcal{C}}}\left( RK, F \right) \\ \theta & \longmapsto \varepsilon (\theta K); \end{aligned} \end{equation}\] inversnya masing-masing adalah pemetaan \((L, \xi) \mapsto \chi\) dan \((R, \delta) \mapsto \theta\) dari Definisi rujukan.

Proposisi. Diberikan kategori \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\), \(\mathcal{E}\) serta funktor \(K: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) dan \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}\). Perkenalkan funktor tarik balik (yakni, funktor prapengomposisian) \(K^*: \mathcal{E}^{\mathcal{D}} \to \mathcal{E}^{\mathcal{C}}\) di antara kategori-kategori funktor.

1. Jika ada, ekstensi Kan kiri \((\operatorname{Lan}_K F, \eta)\) unik hingga isomorfisme unik di \(\mathcal{E}^{\mathcal{D}}\); hal yang sama berlaku untuk ekstensi Kan kanan.

2. Jika ekstensi Kan kiri (atau ekstensi Kan kanan) di sepanjang \(K\) ada untuk setiap \(F\), ekstensi-ekstensi tersebut dapat disusun menjadi funktor adjoin kiri bagi \(K^*\), \(\operatorname{Lan}_K: \mathcal{E}^{\mathcal{C}} \to \mathcal{E}^{\mathcal{D}}\) (atau funktor adjoin kanan \(\operatorname{Ran}_K: \mathcal{E}^{\mathcal{C}} \to \mathcal{E}^{\mathcal{D}}\)); keluarga transformasi alami yang tersusun dari \(\eta\) (atau \(\varepsilon\)) dalam Definisi rujukan tepat merupakan unit (atau kounit) adjungsi tersebut.

Bukti. Untuk (i), cukup terapkan sifat universal dalam Definisi rujukan dengan cara yang lazim.

Untuk (ii), perhatikan bahwa \(LK = K^*(L)\) dan \(RK = K^*(R)\); relasi adjungsi yang dicari tepat merupakan isi persamaan. Pernyataan tentang unit atau kounit diperoleh dengan cara serupa; lihat [Li1].

Menurut konvensi, data \(\eta\) atau \(\varepsilon\) dalam ekstensi Kan sering kita hilangkan dari notasi. Jika ekstensi Kan kiri (atau ekstensi Kan kanan) di sepanjang \(K\) ada untuk setiap \(F\), funktor \(\operatorname{Lan}_K\) (atau \(\operatorname{Ran}_K\)) yang diperoleh dari (ii) juga memiliki sifat keunikan yang bersesuaian, berdasarkan keunikan adjungsi [Li1].

Catatan. Karena definisi ekstensi Kan hanya melibatkan komposisi \(2\)-sel, definisi tersebut dapat diperluas ke \(2\)-kategori umum; situasi di sini merupakan kasus khusus dalam \(2\)-kategori \(\ensuremath{\mathsf{Cat}}\). Lihat [Li1] untuk perinciannya.

Untuk setiap kategori \(\mathcal{C}\), tuliskan funktor tunggal \(\mathcal{C} \to \mathbf{1}\) sebagai \(!\); menentukan funktor \(\mathbf{1} \to \mathcal{C}\) setara dengan menentukan sebuah objek di \(\mathcal{C}\). Untuk setiap kategori \(\mathcal{E}\) dan objeknya \(X\), tuliskan \(\Delta(X): \mathcal{C} \to \mathcal{E}\) untuk komposisi \(\mathcal{C} \xrightarrow{!} \mathbf{1} \xrightarrow{\text{konstan}\; X} \mathcal{E}\); inilah funktor konstan yang memetakan setiap objek ke \(X\) dan setiap morfisme ke \(\ensuremath{\mathrm{id}}_X\).

Contoh (Limit sebagai ekstensi Kan). Misalkan \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}\) suatu funktor. Tinjau diagram

\(\operatorname{Lan}_! F\) (atau \(\operatorname{Ran}_! F\)) ada jika dan hanya jika \(\varinjlim F\) (atau \(\varprojlim F\)) ada di \(\mathcal{E}\), dan dalam hal ini ekstensi Kan tersebut tepat merupakan limit yang bersangkutan.

Sebagai contoh, tinjau \((\operatorname{Lan}_! F, \eta)\). Funktor \(\operatorname{Lan}_! F: \mathbf{1} \to \mathcal{E}\) dapat dipandang sebagai objek di \(\mathcal{E}\), sedangkan \(\eta\) merupakan transformasi alami \(F \to \Delta(\operatorname{Lan}_! F)\) di \(\mathcal{E}^{\mathcal{C}}\). Sifat universalnya setara dengan pernyataan bahwa data \((\operatorname{Lan}_! F, \eta)\) memberikan objek awal dalam kategori \((F/\Delta)\); inilah tepatnya uraian tentang \(\varinjlim F\) dalam §rujukan.

Contoh (Adjungsi sebagai ekstensi Kan). Tinjau sepasang funktor:

\((F, G)\) dilengkapi menjadi adjungsi dengan unit \(\eta: \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}} \to GF\) dan kounit \(\varepsilon: FG \to \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\), maka \((G, \eta)\) memberikan \(\operatorname{Lan}_F (\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}})\) dan \((F, \varepsilon)\) memberikan \(\operatorname{Ran}_G (\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}})\).

Untuk menjelaskan hal ini, mula-mula kita tunjukkan bahwa funktor-funktor tarik balik berikut

\(\eta\) menginduksi \(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}^* = \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}^{\mathcal{C}}} \to F^* G^* = (GF)^*\), dan secara serupa \(\varepsilon\) menginduksi \(G^* F^* \to \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}^{\mathcal{D}}}\); keduanya tetap kita tuliskan sebagai \(\eta\) dan \(\varepsilon\). Kita harus memeriksa identitas segitiga yang mencirikan adjungsi untuk \((G^*, F^*, \eta, \varepsilon)\). Secara ringkas, identitas-identitas ini merupakan konsekuensi formal dari penerapan tarik balik \((-)^*\) dalam kategori funktor pada identitas segitiga untuk \((F, G, \eta, \varepsilon)\); perinciannya diserahkan kepada pembaca.

Adjungsi ini memberikan bijeksi kanonik \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\mathcal{D}}}(\underbracket{G^* \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}}_{= G}, L) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\mathcal{C}}}(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}} , \underbracket{F^* L}_{=LF})\), dengan \(L: \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) sembarang; ketika \(L = G\), \(\ensuremath{\mathrm{id}}_G\) dipetakan ke \(\eta\). Jika sifat universal \(\operatorname{Lan}_F (\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}})\) dituliskan sebagai bijeksi dalam persamaan, segera tampak bahwa \((G, \eta)\) memberikan \(\operatorname{Lan}_F (\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}})\). Argumen untuk \(\operatorname{Ran}_G (\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}})\) sepenuhnya serupa.¹

Dalam praktik, sejumlah situasi menuntut penguatan lebih lanjut terhadap konsep ekstensi Kan², terutama dalam pembahasan funktor turunan nanti.

Definisi. Tinjau kategori \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\), \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) serta funktor \(K: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) dan \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}\).³

• Misalkan ekstensi Kan kanan \((\operatorname{Ran}_K F, \varepsilon)\) ada. Funktor \(M: \mathcal{E} \to \mathcal{F}\) dikatakan mempertahankan \(\operatorname{Ran}_K F\) jika komposisi \(2\)-sel

  \(MF\) di sepanjang \(K\).

• Misalkan ekstensi Kan kiri \((\operatorname{Lan}_K F, \eta)\) ada. Funktor \(M: \mathcal{E} \to \mathcal{F}\) dikatakan mempertahankan \(\operatorname{Lan}_K F\) jika komposisi \(2\)-sel

  \(MF\) di sepanjang \(K\).

• Jika ekstensi Kan kiri \((\operatorname{Lan}_K F, \eta)\) (atau ekstensi Kan kanan \((\operatorname{Ran}_K F, \varepsilon)\)) dipertahankan oleh setiap funktor yang berdomain \(\mathcal{E}\), ekstensi Kan tersebut disebut absolut.

Langkah berikutnya adalah menjelaskan hubungan antara adjungsi dan ekstensi Kan absolut. Hasil ini sangat berguna dalam kajian lanjut tentang funktor turunan; mempelajari buktinya juga membantu membiasakan diri dengan ekstensi Kan dan manipulasi \(2\)-sel. Tinjau sepasang funktor adjoin

\(\eta: \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}} \to GF\) dan kounit \(\varepsilon: FG \to \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}'}\). Diberikan pula funktor \[K: \mathcal{C} \to \mathcal{D}, \quad K': \mathcal{C}' \to \mathcal{D}'.\] Selanjutnya kita akan menggunakan diagram \(2\)-sel secara sistematis untuk menyatakan funktor, transformasi alami di antaranya, dan komposisinya, agar argumen menjadi lebih ringkas. Dalam manipulasi \(2\)-sel, kita akan menukar komposisi vertikal dan horizontal tanpa penjelasan lebih lanjut; langkah ini sah, sebagaimana dijelaskan dalam [Li1].

Teorema (G. Maltsiniotis [Ma07).] Misalkan \(K'F\) mempunyai ekstensi Kan kanan absolut di sepanjang \(K\), yang dinotasikan dengan \(\mathrm{L}F\), sedangkan \(KG\) mempunyai ekstensi Kan kiri absolut di sepanjang \(K'\), yang dinotasikan dengan \(\mathrm{R}G\). Data terkait ditampilkan dalam diagram berikut:

\(\underline{\eta}: \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}} \to \mathrm{R}G \circ \mathrm{L}F\) dan tepat satu \(\underline{\varepsilon}: \mathrm{L}F \circ \mathrm{R}G \to \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}'}\) sedemikian sehingga persamaan komposisi \(2\)-sel berikut berlaku:

\(\underline{\eta}\) dan \(\underline{\varepsilon}\) tersebut membuat \((\mathrm{L}F, \mathrm{R}G)\) menjadi suatu adjungsi.

Bukti. Tugas pertama adalah membuktikan keberadaan dan keunikan \(\underline{\eta}\) serta \(\underline{\varepsilon}\). Karena \(\mathrm{R}G\) merupakan ekstensi Kan kiri absolut, \(2\)-sel

\(\mathrm{L}F \circ \mathrm{R}G\) menjadi ekstensi Kan kiri dari \(\mathrm{L}F \circ K \circ G\) di sepanjang \(K'\). Di sisi lain, kita juga mempunyai

\(\underline{\varepsilon}\) yang memenuhi persamaan komposisi \(2\)-sel dalam pernyataan teorema.

Kasus \(\underline{\eta}\) bersifat dual. Cukup perhatikan bahwa \((\mathrm{R}G)\alpha: \mathrm{R}G \circ \mathrm{L}F \circ K \to \mathrm{R}G \circ K' \circ F\) juga membuat \(\mathrm{R}G \circ \mathrm{L}F\) menjadi ekstensi Kan kanan, sebab \(\mathrm{L}F\) merupakan ekstensi Kan kanan absolut.

Tinggal memeriksa identitas segitiga bagi unit \(\underline{\eta}\) dan kounit \(\underline{\varepsilon}\), yakni persamaan komposisi \(2\)-sel berikut:

\((\mathrm{R}G, \beta)\) sebagai ekstensi Kan kiri, cukup ditunjukkan bahwa \(2\)-sel yang diperoleh dengan mengomposisikan kedua ruas dengan \(\beta\) adalah sama. Untuk ruas kiri persamaan pertama, mulailah dari

\(\underline{\varepsilon}\). Selanjutnya, dengan menggunakan pencirian \(\underline{\eta}\) serta identitas segitiga yang dipenuhi \(\eta\) dan \(\varepsilon\), ruas kanan di atas menjadi

---

1. Catatan penerjemah: sumber menulis \(\operatorname{Ran}_F(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}})\) pada kalimat terakhir, tidak sesuai dengan pernyataan sebelumnya tentang \((F,\varepsilon)\). Target memperbaikinya menjadi \(\operatorname{Ran}_G(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}})\) (O014-C014).↩︎

2. Salah satu penguatan yang lazim disebut ekstensi Kan titik demi titik (pointwise Kan extension), yang tidak dibahas di sini.↩︎

3. Catatan penerjemah: sumber tidak mencantumkan kategori \(\mathcal{F}\) pada daftar awal, padahal kategori tersebut digunakan sebagai kodomain \(M\). Target menambahkannya (O014-C015).↩︎

Konstruksi Ekstensi Kan melalui Limit

Sebagaimana dalam §rujukan, pada bagian ini kita tetap meninjau funktor \(K: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) dan \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}\), dengan tujuan mengkaji keberadaan \(\operatorname{Lan}_K F\) dan \(\operatorname{Ran}_K F\). Ingat kembali pembahasan pada awal §rujukan. Ekstensi Kan dimotivasi oleh upaya mencari funktor \(G: \mathcal{D} \to \mathcal{E}\) sedemikian sehingga \(F \simeq GK\), atau setidaknya hampiran terbaiknya. Bagaimana kita mendefinisikan \(Gd\) untuk \(d \in \operatorname{Ob}(\mathcal{D})\)? Satu-satunya petunjuk ialah bahwa ketika \(d = Kc\), objek \(Gd\) seharusnya diambil sebagai \(Fc\) hingga isomorfisme. Hal ini mengilhami kita untuk menghampiri \(Gd\) dengan \(\varinjlim\) (atau \(\varprojlim\)) dari semua \(Fc\), dengan limit diambil atas semua \(c \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) dan morfisme \(Kc \to d\) (atau \(d \to Kc\)). Kedua arah limit ini akan mempunyai sifat universal yang saling dual. Berikut ini kita uraikan konstruksi tersebut. Diberikan \(d \in \operatorname{Ob}(\mathcal{D})\), definisikan kategori \((K/d)\) dan \((d/K)\) seperti dalam Definisi rujukan, beserta funktor proyeksi \[\Pi_{/d}: (K/d) \to \mathcal{C}, \quad \Pi_{d/}: (d/K) \to \mathcal{C}.\] Selanjutnya kita meninjau funktor komposit \(F \Pi_{/d}: (K/d) \to \mathcal{E}\) dan \(F \Pi_{d/}: (d/K) \to \mathcal{E}\), yang masing-masing memetakan objek \((c, Kc \to d)\) dan \((c, d \to Kc)\) ke \(Fc\). Dengan mengasumsikan bahwa limit-limit yang dibicarakan ada, mula-mula kita catat beberapa pengamatan.

• Setiap morfisme \(d \to d'\) menginduksi morfisme kanonik \(\varinjlim F \Pi_{/d} \to \varinjlim F\Pi_{/d'}\); morfisme ini dicirikan oleh kekomutatifan diagram

  \((c, Kc \to d) \in \operatorname{Ob}((K/d))\) (yang menginduksi \((c, Kc \to d') \in \operatorname{Ob}((K/d'))\)), sedangkan anak panah vertikal adalah morfisme struktur kanonik untuk \(\varinjlim\). Hal ini merupakan perwujudan funktorialitas limit; lihat [Li1]¹ beserta buktinya.

• Dengan meninjau \((c, Kc \xrightarrow{\ensuremath{\mathrm{id}}} Kc) \in \operatorname{Ob}(K/Kc)\), kita memperoleh morfisme kanonik \(\eta_c: Fc \to \varinjlim F \Pi_{/Kc}\).

• Setiap morfisme \(c \to c'\) menginduksi morfisme kanonik \(\varinjlim F \Pi_{/Kc} \to \varinjlim F \Pi_{/Kc'}\) yang membuat diagram berikut komutatif:

Berdasarkan dualitas, \(\varprojlim F \Pi_{d/}\) tentu memiliki sifat-sifat yang bersesuaian, termasuk morfisme kanonik \(\varepsilon_c: \varprojlim F\Pi_{Kc/} \to Fc\). Pernyataan teorema berikut akan didasarkan pada funktorialitas ini.

Teorema. Tinjau funktor \(K: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) dan \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}\).

1. Jika untuk setiap \(d \in \operatorname{Ob}(\mathcal{D})\), limit \(\varinjlim (F \Pi_{/d})\) ada di \(\mathcal{E}\), maka \((\operatorname{Lan}_K F)(d) := \varinjlim (F \Pi_{/d})\), bersama dengan funktorialitas yang diberikan oleh persamaan, menentukan ekstensi Kan kiri \(\operatorname{Lan}_K F: \mathcal{D} \to \mathcal{E}\). Transformasi alami yang bersesuaian, \(\eta: F \to (\operatorname{Lan}_K F) \circ K\), berasal dari \((\eta_c)_{c \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})}\) yang dibahas sebelumnya.

2. Jika untuk setiap \(d \in \operatorname{Ob}(\mathcal{D})\), limit \(\varprojlim (F \Pi_{d/})\) ada di \(\mathcal{E}\), maka \((\operatorname{Ran}_K F)(d) := \varprojlim (F \Pi_{d/})\), bersama dengan versi dual dari persamaan, menentukan ekstensi Kan kanan \(\operatorname{Ran}_K F: \mathcal{D} \to \mathcal{E}\). Transformasi alami yang bersesuaian, \(\varepsilon: (\operatorname{Ran}_K F) \circ K \to F\), berasal dari \((\varepsilon_c)_{c \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})}\) yang dibahas sebelumnya.

3. Jika \(K: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) penuh dan setia, maka \(\eta\) yang dikonstruksi dalam (i) (atau \(\varepsilon\) yang dikonstruksi dalam (ii)) merupakan isomorfisme.

Bukti. Berdasarkan dualitas, berikut ini kita hanya membahas kasus \(\operatorname{Lan}_K F\). Untuk (i), kita akan memeriksa satu per satu sifat universal dalam Definisi rujukan. Diberikan funktor \(L: \mathcal{D} \to \mathcal{E}\) dan transformasi alami \(\xi: F \to LK\). Untuk setiap \(d \in \operatorname{Ob}(\mathcal{D})\), setiap objek \((c, Kc \to d)\) dalam \((K/d)\), serta setiap morfisme dalam \((K/d)\) yang ditentukan oleh \(f: c \to c'\), \((c, Kc \to d) \to (c', Kc' \to d)\), terdapat diagram komutatif

\(\varinjlim\), kita memperoleh \(\chi_d: (\operatorname{Lan}_K F)(d) \to Ld\), yang dicirikan oleh kekomutatifan diagram

\((c, Kc \to d) \in \operatorname{Ob}((K/d))\); anak panah pada baris pertama merupakan morfisme struktur kanonik untuk \(\varinjlim\). Sekarang kita buktikan bahwa \((\chi_d)_{d \in \operatorname{Ob}(\mathcal{D})}\) memberikan transformasi alami \(\chi: \operatorname{Lan}_K F \to L\). Untuk suatu morfisme \(d \to d'\), pilih objek \((c, Kc \to d)\) beserta citranya \((c, Kc \to d')\). Dengan membandingkan persamaan dan persamaan, persoalannya tereduksi menjadi membuktikan kekomutatifan diagram

Langkah berikutnya adalah memeriksa \[\begin{equation} \hypertarget{eqn:Kan-limit-aux-2}{} \forall c \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C}), \quad \xi_c = \chi_{Kc} \eta_c: Fc \to LKc. \end{equation}\] Karena \(\eta_c\) merupakan morfisme kanonik dari \(Fc = F\Pi_{/Kc}(c, Kc \xrightarrow{\ensuremath{\mathrm{id}}} Kc)\) ke \((\operatorname{Lan}_K F)(Kc)\), persamaan persamaan tepat merupakan kasus khusus persamaan. Terakhir, kita tunjukkan bahwa transformasi alami \(\chi: \operatorname{Lan}_K F \to L\) yang memenuhi persamaan bersifat unik. Untuk \(d\) tetap, tinjau sembarang objek \((c, Kc \to d)\) dalam \((K/d)\) beserta diagram terkait

\(Fc \to (\operatorname{Lan}_K F)(d)\) adalah morfisme yang muncul dalam persamaan. Persegi itu komutatif karena kealamian \(\chi\), sedangkan segitiganya komutatif berdasarkan persamaan. Karena \(\chi_{Kc} \eta_c = \xi_c\), komposisi \(Fc \to (\operatorname{Lan}_K F)(d) \xrightarrow{\chi_d} Ld\) sama dengan \(L(Kc \to d) \xi_c\). Dengan memvariasikan \((c, Kc \to d)\), keluarga persamaan ini menentukan \(\chi_d\) secara unik. Dengan demikian, \(\left( \operatorname{Lan}_K F, \eta \right)\) memang merupakan ekstensi Kan kiri. Sekarang tinjau (iii). Misalkan \(c \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\). Karena \(K\) penuh dan setia, mudah dilihat bahwa \((K/Kc)\) mempunyai objek terminal \((c, Kc \xrightarrow{\ensuremath{\mathrm{id}}} Kc)\). Morfisme \(\eta_c: Fc \to \varinjlim F\Pi_{/Kc}\) berasal dari objek terminal ini dan oleh karena itu merupakan isomorfisme.

Catatan. Jika \(\mathcal{C}\) merupakan kategori kecil, maka \((K/d)\) dan \((d/K)\) juga merupakan kategori kecil untuk setiap \(d \in \operatorname{Ob}(\mathcal{D})\). Oleh karena itu, jika \(\mathcal{E}\) kolengkap (atau lengkap), Teorema rujukan dan Proposisi rujukan menunjukkan bahwa \(K^*: \mathcal{E}^{\mathcal{D}} \to \mathcal{E}^{\mathcal{C}}\) mempunyai funktor adjoin kiri \(\operatorname{Lan}_K\) (atau funktor adjoin kanan \(\operatorname{Ran}_K\)).

Contoh (Citra invers praberkas (presheaf)). Ambil \(\mathcal{E} := \ensuremath{\mathsf{Set}}\), yang merupakan kategori lengkap dan kolengkap. Tinjau pemetaan kontinu \(f: X \to Y\) di antara ruang-ruang topologis. Definisikan \(\mathcal{C} := \ensuremath{\mathsf{Open}}_Y\) sebagai kategori yang objeknya adalah subhimpunan terbuka di \(Y\) dan morfismenya adalah pemetaan inklusi di antara subhimpunan terbuka; secara serupa, tetapkan \(\mathcal{D} := \ensuremath{\mathsf{Open}}_X\). Sekarang definisikan funktor \(\ensuremath{\mathsf{Open}}_Y \to \ensuremath{\mathsf{Open}}_X\) yang memetakan subhimpunan terbuka \(V \subset Y\) ke \(f^{-1} V\), dan selanjutnya pandang funktor ini sebagai \(K: \ensuremath{\mathsf{Open}}_Y^{\operatorname{op}} \to \ensuremath{\mathsf{Open}}_X^{\operatorname{op}}\). Pembaca yang mengenal teori berkas akan segera melihat bahwa objek dalam \(\ensuremath{\mathsf{Open}}_Y^\wedge := \ensuremath{\mathsf{Set}}^{\ensuremath{\mathsf{Open}}_Y^{\operatorname{op}}}\), menurut definisi, tepat merupakan praberkas pada \(Y\), sedangkan \(K^*: \ensuremath{\mathsf{Open}}_X^\wedge \to \ensuremath{\mathsf{Open}}_Y^\wedge\) merupakan funktor citra langsung di antara kategori praberkas, yang memetakan praberkas \(\mathcal{F}\) pada \(X\) ke praberkas pada \(Y\) yang diberikan oleh \(V \mapsto \mathcal{F}(f^{-1} V)\). Dalam situasi ini, adjoin kiri dari citra langsung, yaitu \(\operatorname{Lan}_K\), diberikan oleh Teorema rujukan; funktor ini memetakan praberkas \(\mathcal{G}\) pada \(Y\) ke \[\begin{gather*} U \mapsto \varinjlim_{\substack{V \subset Y: \text{subhimpunan terbuka} \\ \text{yang memenuhi}\; U \subset f^{-1} V }} \mathcal{G}(V), \quad U \subset X: \text{subhimpunan terbuka}, \\ U \subset f^{-1}V \;\xleftrightarrow{\text{bersesuaian dengan}}\; \text{morfisme}\; K(V) \to U \;\text{di}\; \ensuremath{\mathsf{Open}}_X^{\operatorname{op}}. \end{gather*}\] Tidak mengherankan, inilah tepatnya citra invers dari \(\mathcal{G}\) dalam teori berkas.

---

1. Catatan penerjemah: sumber menulis lokator Lema 2.7,4; target memperbaikinya menjadi Lema 2.7.4 (O014-C016).↩︎

Lokalisasi Gabriel–Zisman

Lokalisasi Gabriel–Zisman, yang selanjutnya cukup disebut lokalisasi, adalah cara paling ekonomis untuk menambahkan invers pada suatu keluarga morfisme dalam sebuah kategori. Teori ini berasal dari [GZ67] dan dicirikan oleh suatu sifat universal.

Definisi (P. Gabriel, M. Zisman). Misalkan \(\mathcal{C}\) suatu kategori dan \(S\) suatu subhimpunan \(\operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) yang memuat semua morfisme identitas dan tertutup terhadap komposisi morfisme. Yang dimaksud dengan lokalisasi \(\mathcal{C}\) terhadap \(S\) ialah suatu kategori \(\mathcal{C}[S^{-1}]\) (yang boleh berupa kategori besar), bersama dengan funktor \(Q: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[S^{-1}]\), yang disebut funktor lokalisasi, sedemikian sehingga syarat-syarat berikut terpenuhi.

• Untuk setiap \(s \in S\), citranya \(Q(s)\) merupakan isomorfisme dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]\).

• Untuk setiap kategori \(\mathcal{D}\) (yang juga boleh berupa kategori besar) dan funktor \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\), jika setiap morfisme dalam \(S\) dipetakan oleh \(F\) menjadi isomorfisme, maka terdapat funktor unik \(F[S^{-1}]: \mathcal{C}[S^{-1}] \to \mathcal{D}\) sedemikian sehingga \(F = F[S^{-1}] Q\).

Menurut konvensi, kita sering menghilangkan \(Q\) dari data tersebut. Sejumlah literatur, misalnya [KS06], memberikan sifat universal yang agak lebih longgar bagi lokalisasi¹. Berikut ini kita tunjukkan bahwa lokalisasi unik hingga isomorfisme yang unik.

Proposisi. Jika data \((\mathcal{C}[S^{-1}], Q)\) dan \((\mathcal{C}[S^{-1}]', Q')\) keduanya merupakan lokalisasi \(\mathcal{C}\) terhadap \(S\), maka terdapat pasangan funktor unik

\(GQ = Q'\), \(G'Q' = Q\), serta \(G'G = \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}[S^{-1}]}\) dan \(GG' = \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}[S^{-1}]'}\).

Bukti. Karena \(Q'\) memetakan \(S\) menjadi isomorfisme, sifat universal memberikan funktor unik \(G\) sedemikian sehingga \(GQ = Q'\). Demikian pula, terdapat funktor unik \(G'\) sedemikian sehingga \(G'Q' = Q\). Karena \(G'GQ = Q\), dengan mengambil \(\mathcal{D} = \mathcal{C}[S^{-1}]\) dan \(F = Q\) dalam sifat universal, kita memperoleh \(G'G = \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}[S^{-1}]}\). Demikian pula diperoleh \(GG' = \ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}[S^{-1}]'}\)².

Proposisi. Misalkan lokalisasi \((\mathcal{C}[S^{-1}], Q)\) ada. Tuliskan \(S^{\operatorname{op}}\) untuk citra \(S\) yang bersesuaian dalam \(\operatorname{Mor}(\mathcal{C}^{\operatorname{op}})\). Maka terdapat ekuivalensi kategori yang kompatibel dengan \(Q\), \(\mathcal{C}[S^{-1}]^{\operatorname{op}} \leftrightarrows \mathcal{C}^{\operatorname{op}}[(S^{\operatorname{op}})^{-1}]\).

Bukti. Berdasarkan ketunggalan lokalisasi, cukup ambil \((-)^{\operatorname{op}}\) pada semua kategori dan funktor dalam Definisi rujukan, sebab operasi ini tidak mengubah arah funktor.

Kini tinggal dikaji keberadaan dan konstruksi lokalisasi. Untuk \(\mathcal{C}\) dan \(S\) yang umum, \(\mathcal{C}[S^{-1}]\) dapat dikonstruksi dengan menambahkan invers secara formal pada \(\mathcal{C}\), dengan gagasan yang serupa dengan konstruksi grup bebas. Lebih konkret, \(\operatorname{Ob}(\mathcal{C}[S^{-1}]) = \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), sedangkan morfisme dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]\) secara formal berbentuk zigzag berhingga

\(a, b, \ldots \in \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) dan \(s, t, \ldots \in S\). Komposisi dan \(Q\) didefinisikan dengan cara yang jelas, tetapi kita harus mengambil kuosien terhadap relasi ekuivalensi yang dibangkitkan oleh \[s^{-1} t^{-1} = (ts)^{-1}, \quad s s^{-1} = \ensuremath{\mathrm{id}}, \quad s^{-1} s = \ensuremath{\mathrm{id}}\] dan seterusnya; lihat sketsa dalam [GZ67]. Dengan demikian, lokalisasi dapat dipandang sebagai semacam operasi pecahan pada morfisme. Konstruksi tersebut bersifat umum, tetapi kelemahannya juga jelas, terutama karena relasi ekuivalensinya sulit diolah. Sebagai contoh, sukar untuk mencirikan pasangan \(f, g \in \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) yang memenuhi \(Qf = Qg\). Untungnya, dalam praktik, \(S\) sering merupakan sistem multiplikatif kiri (atau kanan) yang akan diperkenalkan dalam Definisi rujukan. Dalam keadaan ini, deskripsi \(\mathcal{C}[S^{-1}]\) dapat disederhanakan: diagram zigzag di atas dapat diluruskan sehingga setiap morfisme dapat ditulis dalam bentuk \(a s^{-1}\) (atau \(s^{-1} a\)). Sebelum memperkenalkan sistem multiplikatif, kita catat dahulu satu sifat sederhana dari konstruksi di atas.

Proposisi. Funktor lokalisasi \(Q: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[S^{-1}]\) selalu pada hakikatnya surjektif. Selain itu, untuk setiap kategori \(\mathcal{D}\) dan funktor \(A, B: \mathcal{C}[S^{-1}] \to \mathcal{D}\), pemetaan yang jelas \[\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{\mathcal{C}[S^{-1}]}}(A, B) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{\mathcal{C}}}\left( AQ, BQ \right)\] merupakan bijeksi. Dengan kata lain, \(Q^*: \mathcal{D}^{\mathcal{C}[S^{-1}]} \to \mathcal{D}^{\mathcal{C}}\) merupakan funktor penuh dan setia.

Bukti. Tanpa mengurangi keumuman, realisasikan lokalisasi secara konkret seperti di atas. Tuliskan pemetaan \(Q\) pada himpunan objek sebagai \(X \mapsto \underline{X}\). Pemetaan ini bijektif, sehingga \(Q\) pada hakikatnya surjektif. Dari sini segera terlihat bahwa \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{\mathcal{C}[S^{-1}]}}(A, B) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{\mathcal{C}}}\left( AQ, BQ \right)\) injektif.

Untuk surjektivitas, misalkan \(\varphi = (\varphi_X)_{X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})} \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{\mathcal{C}}}\left( AQ, BQ \right)\). Bagi setiap \(\underline{X} = QX\), definisikan morfisme \(\tilde{\varphi}_{\underline{X}}: A\underline{X} \to B\underline{X}\) dalam \(\mathcal{D}\) sebagai \(\varphi_X\). Tinggal ditunjukkan bahwa \(\tilde{\varphi} := (\tilde{\varphi}_{\underline{X}})_{\underline{X}} \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{\mathcal{C}[S^{-1}]}}(A, B)\). Dengan kata lain, untuk setiap morfisme \(f: \underline{X} \to \underline{Y}\) dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]\), kita harus memeriksa kekomutatifan diagram berikut dalam \(\mathcal{D}\):

Menurut konstruksi morfisme sebagai zigzag, \(f\) terurai sebagai rangkaian morfisme berbentuk \(Qa\) atau \((Qs)^{-1}\), dengan \(a \in \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) dan \(s \in S\). Karena itu, kekomutatifan diagram di atas cukup diperiksa melalui sifat yang bersesuaian dari \(\varphi\).

Definisi. Subhimpunan \(S \subset \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) yang memenuhi sifat-sifat berikut disebut sistem multiplikatif kiri dalam \(\mathcal{C}\).

1. Untuk setiap \(X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), berlaku \(\ensuremath{\mathrm{id}}_X \in S\).

2. Untuk setiap \(f, g \in S\), jika komposisi \(gf\) terdefinisi, maka \(gf \in S\).

3. Diberikan morfisme \(X \xrightarrow{s \in S} Z \xleftarrow{f} Y\), terdapat morfisme dalam \(\mathcal{C}\), \(X \xleftarrow{f'} W \xrightarrow{s' \in S} Y\), sedemikian sehingga \(sf' = fs'\), yang dapat digambarkan sebagai diagram komutatif

4. Misalkan \(f, g: X \to Y\) morfisme dalam \(\mathcal{C}\) dan \(s: Y \to W\) termasuk dalam \(S\). Jika \(sf = sg\), maka terdapat morfisme \(t: Z \to X\) dalam \(S\) sedemikian sehingga \(ft = gt\). Secara diagramatis,

Bagian bergaris putus-putus dalam diagram-diagram tersebut adalah morfisme yang keberadaannya dinyatakan.

Jika citra \(S^{\operatorname{op}}\) dari \(S\) dalam \(\operatorname{Mor}(\mathcal{C}^{\operatorname{op}})\) merupakan sistem multiplikatif kiri, maka \(S\) disebut sistem multiplikatif kanan dalam \(\mathcal{C}\). Ini sama artinya dengan membalik arah anak panah dalam syarat (S3) dan (S4). Suatu \(S\) yang sekaligus merupakan sistem multiplikatif kiri dan kanan disebut sistem multiplikatif dalam \(\mathcal{C}\).

Konvensi. Untuk suatu sistem multiplikatif kiri atau kanan \(S\), mulai sekarang anak panah yang termasuk dalam \(S\) selalu digambar dalam bentuk \(\rightarrowtail\) pada diagram komutatif agar mudah dibedakan.

Misalkan \(X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\). Sesuai dengan konvensi di atas, bagi sistem multiplikatif kiri (atau kanan) \(S\), definisikan kategori \(S_{/X}\) (atau \(S_{X/}\)) sebagai berikut.

\(S\) merupakan sistem multiplikatif kiri, maka \(\left(S^{\operatorname{op}}\right)_{X/} = (S_{/X})^{\operatorname{op}}\).

Lema. Jika \(S\) merupakan sistem multiplikatif kiri (atau kanan), maka \(S_{/X}^{\operatorname{op}}\) (atau \(S_{X/}\)) merupakan kategori terfilter.

Bukti. Berdasarkan dualitas yang telah diamati, kita cukup membahas kasus sistem multiplikatif kanan. Untuk sembarang objek \(i: X \to Z\) dan \(j: X \to Z'\) dalam \(S_{X/}\), gunakan versi (S3) yang bersesuaian untuk mengkonstruksi diagram komutatif

\(k := i'j \in S\) memberikan suatu objek dalam \(S_{X/}\), bersama dengan morfisme \(i \xrightarrow{j'} k \xleftarrow{i'} j\) dalam \(S_{X/}\).

Misalkan \(i,j\) seperti di atas. Untuk sembarang pasangan morfisme dalam \(S_{X/}\),

\(h: Z' \rightarrowtail W\) sedemikian sehingga \(hf = hg\). Tuliskan \(k := hj: X \rightarrowtail W\) dan pandang ini sebagai objek dalam \(S_{X/}\). Dalam \(S_{X/}\) kita memperoleh diagram komutatif

Misalkan \(X, Y \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\). Berikut ini kita definisikan \(M_{X,Y}^l\) dan \(M_{X,Y}^r\) masing-masing untuk kasus sistem multiplikatif kiri dan kanan. Perhatikan bahwa keduanya belum tentu merupakan himpunan kecil.

• Misalkan \(S\) sistem multiplikatif kiri. Diagram dalam \(\mathcal{C}\) berbentuk

  \((Z; s, a)\). Data-data ini membentuk himpunan \(M_{X,Y}^l\).

• Misalkan \(S\) sistem multiplikatif kanan. Diagram dalam \(\mathcal{C}\) berbentuk

  \((Z; a, s)\). Data-data ini membentuk himpunan \(M_{X,Y}^r\).

Definisikan relasi biner \(\sim\) sebagai berikut: \((Z; s, a) \sim (Z'; s', a')\) (atau \((Z; a, s) \sim (Z'; a', s')\)) jika dan hanya jika terdapat diagram komutatif berbentuk

Perhatikan bahwa untuk setiap \(f: X \to Y\), syarat (S1) mengakibatkan \((X; \ensuremath{\mathrm{id}}_X, f) \in M_{X, Y}^l\) dan \((X; f, \ensuremath{\mathrm{id}}_Y) \in M_{X,Y}^r\). Kedua definisi tersebut jelas saling dual.

Lema. Untuk sistem multiplikatif kiri (atau kanan) \(S\) dan sembarang \(X,Y\), relasi \(\sim\) yang didefinisikan di atas merupakan relasi ekuivalensi pada \(M_{X,Y}^l\) (atau \(M_{X,Y}^r\)). Bahkan, terdapat bijeksi

\([Z; s, a]\) (atau \([Z; a, s]\)) menyatakan kelas ekuivalensi yang memuat \((Z; s, a)\) (atau \((Z; a, s)\)).

Bukti. Tinjau funktor \(\alpha: S_{/X}^{\operatorname{op}} \to \ensuremath{\mathsf{Set}}\) yang memetakan objek \(X \leftarrowtail Z\) ke \(\operatorname{Hom}(Z, Y)\). Menurut definisi, \[M_{X, Y}^l = \bigsqcup_{X \leftarrowtail Z} \alpha(X \leftarrowtail Z),\] dan karena \(S_{/X}^{\operatorname{op}}\) terfilter (Lema rujukan), mudah diperiksa bahwa relasi biner \(\sim\) pada \(M_{X,Y}^l\) yang berasal dari persamaan diterjemahkan menjadi relasi ekuivalensi dalam Proposisi rujukan. Ini sekaligus membuktikan bijeksi dengan \(\varinjlim\). Argumen bagi versi \(M_{X,Y}^r\) sama.

Perhatikan bahwa ketika membahas \(\varinjlim\) terfilter dari himpunan, §rujukan mengandaikan bahwa \(\varinjlim\) tersebut kecil, sehingga \(\varinjlim\) yang bersesuaian tetap berada dalam \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\). Di sini \(S_{/X}\) dan \(S_{Y/}\) belum tentu merupakan kategori kecil. Namun, pembuktian pernyataan di atas tidak melibatkan ukuran himpunan dan dapat dirumuskan dengan tepat agar tidak bergantung pada pilihan semesta Grothendieck.

Kelas ekuivalensi \([Z; s, a]\) (atau \([Z; a, s]\)) harus dipahami sebagai morfisme \(as^{-1}\) (atau \(s^{-1}a\)) dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]\) yang akan dikonstruksi.

Definisi–Proposisi. Untuk sistem multiplikatif kiri \(S\), ambil sembarang \(X,Y\) dan data \((U; s, a) \in M_{X,Y}^l\) serta \((V; t, b) \in M_{Y,Z}^l\). Gunakan (S3) untuk memperluasnya menjadi diagram komutatif berikut:

\([V; t, b] \circ [U; s, a] := [W; sr, bc] \in M_{X,Z}^l /\sim\) hanya bergantung pada \([U; s, a]\) dan \([V; t, b]\). Pernyataan dual juga berlaku bagi sistem multiplikatif kanan.

Bukti. Pertama, biarkan \((V; t, b)\) tetap dan variasikan \((U; s, a)\) di dalam kelas ekuivalensinya. Berdasarkan persamaan, cukup dibuktikan, untuk diagram komutatif

\((W; sr, bc) \sim (W'; s'r', bc')\). Terapkan (S3) untuk memperoleh objek \(Q\) dan morfisme \(q\), \(k\) sedemikian sehingga

Dengan menggabungkan diagram sebelumnya, diperoleh \(tc'k = a'r'k = axr'k = arq = tcq\). Menurut (S4), terdapat \(w: P \rightarrowtail Q\) sedemikian sehingga \(c'kw = cqw\). Dari semua ini, mudah diperiksa bahwa

Untuk kasus ketika \((U; s, a)\) dibiarkan tetap dan \((V; t, b)\) divariasikan dalam kelas ekuivalensinya, argumennya serupa.

Definisi–Teorema. Misalkan \(S\) suatu sistem multiplikatif kiri dalam kategori \(\mathcal{C}\).

1. Dapat didefinisikan suatu kategori \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\) (yang boleh berupa kategori besar) dengan himpunan objek \(\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) dan himpunan \(\operatorname{Hom}\) antara dua objek \(X,Y\) berupa \(M_{X,Y}^l/\sim\). Morfisme identitas objek \(X\) adalah \([X;\ensuremath{\mathrm{id}}_X,\ensuremath{\mathrm{id}}_X]\), sedangkan komposisi morfisme diberikan oleh operasi biner dalam Definisi–Proposisi rujukan.

2. Dapat didefinisikan funktor \(Q^l: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[S^{-1}]^l\) yang merupakan pemetaan identitas pada himpunan objek dan memetakan morfisme \(f:X\to Y\) ke \([X;\ensuremath{\mathrm{id}}_X,f]\) pada himpunan morfisme.

Versi dual dari pernyataan di atas juga berlaku bagi sistem multiplikatif kanan \(S\); data yang bersesuaian ditulis \(Q^r: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[S^{-1}]^r\).

Bukti. Berdasarkan dualitas, kita cukup mengkaji kasus sistem multiplikatif kiri.

Untuk (i), cukup diperiksa aksioma komposisi morfisme dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\). Operasi dalam Definisi–Proposisi rujukan jelas membuat \([X;\ensuremath{\mathrm{id}}_X,\ensuremath{\mathrm{id}}_X]\) memenuhi syarat morfisme identitas, sehingga tinggal memeriksa sifat asosiatif. Tinjau \((A;s,a)\in M_{X,Y}^l\), \((B;t,b)\in M_{Y,Z}^l\), dan \((C;u,c)\in M_{Z,W}^l\). Dengan menerapkan (S3) tiga kali, diperoleh diagram komutatif

\(M_{X,W}^l\), bagian kiri bawah memberikan wakil bagi \([B;t,b]\circ[A;s,a]\), dan bagian kanan bawah memberikan wakil bagi \([C;u,c]\circ[B;t,b]\). Hal ini cukup untuk membuktikan sifat asosiatif \[[C; u, c] \circ ([B; t, b] \circ [A; s, a]) = ([C; u, c] \circ [B; t, b]) \circ [A; s, a].\]

Untuk (ii), cukup periksa bahwa \(Q^l\) mempertahankan struktur morfisme. Jelas bahwa \([X;\ensuremath{\mathrm{id}}_X,\ensuremath{\mathrm{id}}_X]\) memenuhi syarat morfisme identitas. Sekarang tinjau morfisme \(X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z\) dalam \(\mathcal{C}\). Diagram \[\text{READERDIAGRAM0021}\] menunjukkan bahwa \(Q^l(gf)=Q^l(g)Q^l(f)\).

Teorema (P. Gabriel, M. Zisman). Misalkan \(S\) suatu sistem multiplikatif kiri (atau kanan) dalam \(\mathcal{C}\). Maka data \(\left(\mathcal{C}[S^{-1}]^l,Q^l\right)\) (atau \(\left(\mathcal{C}[S^{-1}]^r,Q^r\right)\)) memberikan lokalisasi \(\mathcal{C}\) terhadap \(S\).

Bukti. Berdasarkan dualitas, kita cukup memeriksa syarat-syarat dalam Definisi rujukan bagi kasus sistem multiplikatif kiri. Tuliskan \(Q=Q^l\). Jika \(f:X\to Y\) termasuk dalam \(S\), maka diagram \[\text{READERDIAGRAM0022}\] menunjukkan bahwa \([X;f,f]=[Y;\ensuremath{\mathrm{id}}_Y,\ensuremath{\mathrm{id}}_Y]\). Oleh karena itu, diagram berikut menunjukkan bahwa \([X;f,\ensuremath{\mathrm{id}}_X]=[X;\ensuremath{\mathrm{id}}_X,f]^{-1}\): \[\text{READERDIAGRAM0023} \quad \hypertarget{o014.li2.chapter1.gabriel-zisman-localization.g025}{} \text{READERDIAGRAM0024}\] Dengan demikian, \(Q\) memang memetakan unsur-unsur \(S\) menjadi isomorfisme.

Selanjutnya, tinjau suatu funktor \(F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}\) yang memetakan \(S\) menjadi isomorfisme. Definisikan \(F[S^{-1}]:\mathcal{C}[S^{-1}]^l\to\mathcal{D}\) sebagai berikut: pada objek, funktor ini memetakan \(X\) ke \(FX\), sedangkan pada morfisme, ia memetakan \([U;s,a]\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]^l}(X,Y)\) ke \((Fa)(Fs)^{-1}\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,FY)\)³. Jelas bahwa \(F[S^{-1}]\) memetakan morfisme identitas dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\) ke morfisme identitas dalam \(\mathcal{D}\). Terapkan funktor \(F\) pada diagram dalam Definisi–Proposisi rujukan, lalu ambil invers anak panah dalam \(F(S)\); segera terlihat bahwa \(F[S^{-1}]\) mempertahankan komposisi morfisme. Sifat \(F[S^{-1}]Q=F\) juga jelas. Karena semua morfisme dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\) berbentuk \((Qa)(Qs)^{-1}\), tidak ada pilihan lain bagi definisi \(F[S^{-1}]\).

Konvensi. Jika \(S\) merupakan sistem multiplikatif, Proposisi rujukan menunjukkan bahwa kedua lokalisasi tersebut dapat diidentifikasi satu sama lain; kita menuliskannya sebagai \(Q:\mathcal{C}\to\mathcal{C}[S^{-1}]\).

Korolari. Misalkan \(S\) suatu sistem multiplikatif kiri (atau kanan) dalam \(\mathcal{C}\). Morfisme \(f,g:X\to Y\) dalam \(\mathcal{C}\) memenuhi \(Q^l f=Q^l g\) (atau \(Q^r f=Q^r g\)) jika dan hanya jika terdapat \(s\in S\) sedemikian sehingga \(fs=gs\) (atau \(sf=sg\)).

Bukti. Cukup periksa arah hanya jika untuk sistem multiplikatif kiri \(S\). Jika \(Q^l f=Q^l g\), konstruksi \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\) mengakibatkan adanya diagram komutatif \[\text{READERDIAGRAM0025}\] Dari sini diperoleh \(fs=a=gs\).

Korolari. Misalkan \(S\) suatu sistem multiplikatif kiri (atau kanan) dalam \(\mathcal{C}\). Maka \(Q^l\) (atau \(Q^r\)) memetakan monomorfisme menjadi monomorfisme (atau memetakan epimorfisme menjadi epimorfisme).

Bukti. Kita hanya membuktikan kasus sistem multiplikatif kiri. Misalkan \(f:X\to Y\) suatu monomorfisme dalam \(\mathcal{C}\). Ambil \(\alpha,\beta:Q^lW\rightrightarrows Q^lX\) sedemikian sehingga \((Q^lf)\alpha=(Q^lf)\beta\). Syarat (S2) dan (S3) cukup untuk menyatakan \(\alpha\) dan \(\beta\) masing-masing dengan unsur \((U;s,a)\) dan \((U;s,b)\) dari \(M^l_{W,X}\); rinciannya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Syarat di atas kemudian mengakibatkan \(Q^l(fa)=Q^l(fb)\). Dengan menerapkan Korolari rujukan, terdapat \(t\in S\) sedemikian sehingga \(fat=fbt\). Karena itu \(at=bt\), sehingga \(\alpha=\beta\).

Catatan. Dalam berbagai operasi dasar teori kategori, kita ingin sebisa mungkin menghindari kategori besar. Definisi–Teorema rujukan menyebutkan bahwa \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\) (atau \(\mathcal{C}[S^{-1}]^r\)) mungkin merupakan kategori besar. Alasannya, \(\varinjlim\) dalam Lema rujukan belum tentu kecil, sehingga hasilnya belum tentu berada dalam \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\). Ini merupakan persoalan yang agak rumit.

Namun, jika \(S\) memenuhi syarat berikut, maka \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\) (atau \(\mathcal{C}[S^{-1}]^r\)) memang bukan kategori besar: andaikan \(S_{/X}^{\operatorname{op}}\) (atau \(S_{X/}\)) mempunyai subkategori kecil yang kofinal (Definisi rujukan) untuk setiap \(X\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\). Menurut Proposisi rujukan, \(\varinjlim\) yang dibicarakan dapat dibatasi pada subkategori tersebut, sehingga memberikan objek dalam \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\). Jika \(\mathcal{C}\) sendiri merupakan kategori kecil, syarat ini otomatis terpenuhi.

Lema. Misalkan \(S\) suatu sistem multiplikatif kiri (atau kanan) dalam kategori \(\mathcal{C}\). Maka funktor lokalisasi \(Q^l\) (atau \(Q^r\)) mempertahankan \(\varprojlim\) berhingga (atau \(\varinjlim\) berhingga).

Bukti. Kita hanya membahas kasus ketika \(S\) merupakan sistem multiplikatif kiri. Misalkan \(J\) suatu kategori berhingga dan \(\varprojlim\) yang bersesuaian dengan funktor \(\beta:J^{\operatorname{op}}\to\mathcal{C}\) ada. Menurut Lema rujukan, untuk setiap \(X\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) terdapat bijeksi kanonik \[\begin{multline*} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]^l} \left( Q^l X, Q^l \varprojlim \beta \right) \simeq \varinjlim_{X \leftarrowtail Z} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\left( Z, \varprojlim \beta \right) \\ \simeq \varinjlim_{X \leftarrowtail Z} \varprojlim_{j \in \operatorname{Ob}(J)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\left( Z, \beta(j) \right). \end{multline*}\]

Terapkan Lema rujukan dan Proposisi rujukan pada suku terakhir untuk mengubahnya lebih lanjut menjadi \[\varprojlim_{j \in \operatorname{Ob}(J)} \varinjlim_{X \leftarrowtail Z} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\left( Z, \beta(j) \right) \simeq \varprojlim_{j \in \operatorname{Ob}(J)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]^l} \left(Q^l X, Q^l \beta(j) \right).\] Secara ketat, §rujukan bekerja dalam kategori \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\), sedangkan himpunan-himpunan \(\operatorname{Hom}\) di sini belum tentu berada dalam \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\). Namun, ini hanyalah persoalan teknis kecil; lihat pembahasan terkait dalam bukti Lema rujukan.

Teorema. Misalkan \(\mathcal{C}\) suatu kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) dan \(S\) suatu sistem multiplikatif kiri (atau kanan) di dalamnya.

1. Dalam keadaan ini, \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\) (atau \(\mathcal{C}[S^{-1}]^r\)) mempunyai struktur kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) kanonik yang membuat \(Q^l\) (atau \(Q^r\)) menjadi funktor aditif yang pada hakikatnya surjektif.

2. Jika \(\mathcal{C}\) merupakan kategori aditif dan \(S\) merupakan sistem multiplikatif, maka \(\mathcal{C}[S^{-1}]\) juga merupakan kategori aditif.

3. Pernyataan di atas tetap berlaku jika kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) diperumum menjadi kategori \(\Bbbk\)-linear, dengan \(\Bbbk\) suatu gelanggang komutatif. Jika \(F\) dalam sifat universal Definisi rujukan diambil \(\Bbbk\)-linear, maka funktor \(F[S^{-1}]\) yang bersesuaian juga demikian.

Bukti. Untuk (i), cukup tinjau kasus sistem multiplikatif kiri. Kita harus mendefinisikan penjumlahan pada himpunan-himpunan morfisme dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]\). Misalkan \[f,g\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]^l}(X,Y).\] Karena \(S_{/X}^{\operatorname{op}}\) terfilter (Lema rujukan), terdapat morfisme \(s:U\rightarrowtail X\) dan \(a_1,a_2:U\to Y\) dalam \(\mathcal{C}\) sedemikian sehingga \(f=[U;s,a_1]\) dan \(g=[U;s,a_2]\). Definisikan \[f + g := [U; s, a_1 + a_2] \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]}(X, Y).\] Secara khusus, morfisme nol dapat ditulis sebagai \([U;s,0]\), dan \(-[U;s,a]=[U;s,-a]\). Masih harus dibuktikan bahwa \(f+g\) tidak bergantung pada pilihan wakil; hal ini juga dapat ditangani dengan sifat terfilter dari \(S_{/X}^{\operatorname{op}}\), dan rincian rutinnya dihilangkan. Setelah menerima bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik, mudah untuk memeriksa definisi kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) dan bahwa \(Q\) merupakan funktor aditif.

Berdasarkan Definisi rujukan tentang kategori aditif dan Lema rujukan, pernyataan (ii) mengikuti dari (i).

Untuk (iii), jika \(\mathcal{C}\) bersifat \(\Bbbk\)-linear, definisikan perkalian skalar pada \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]}\) dengan \(t\cdot[U;s,a]=[U;s,ta]\), untuk \(t\in\Bbbk\). Mudah diperiksa bahwa semua syarat yang diperlukan terpenuhi.

Contoh (Lokalisasi gelanggang). Memberikan gelanggang \(R\) sama artinya dengan memberikan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) dengan satu objek \(\star\), katakanlah \(\mathcal{C}\), sedemikian sehingga \(R=\operatorname{End}_{\mathcal{C}}(\star)\). Jika \(R\) komutatif, syarat bahwa \(S\subset R=\operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) merupakan sistem multiplikatif kiri atau kanan berimpit. Dalam keadaan ini, gelanggang yang bersesuaian dengan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) \(\mathcal{C}[S^{-1}]\) tepat merupakan lokalisasi \(R[S^{-1}]\) dari \(R\); lihat [Li1]. Untuk \(R\) yang umum, teori dalam bagian ini memberikan cara mengonstruksi lokalisasi nonkomutatif. Teori terkait juga merupakan salah satu cabang teori gelanggang tak komutatif; lihat [Lam99] untuk uraian terperinci.

Contoh (Lokalisasi sentral). Tuliskan pusat kategori aditif \(\mathcal{C}\) sebagai \(Z(\mathcal{C})\); ini merupakan gelanggang komutatif. Lihat pembahasan sebelum Proposisi rujukan. Untuk sembarang subhimpunan multiplikatif \(S\) dari gelanggang \(Z(\mathcal{C})\), mudah diperiksa bahwa himpunan morfisme \[\{s_X \in \operatorname{End}_{\mathcal{C}}(X): s \in S, \; X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C}) \}\] merupakan sistem multiplikatif. Kategori \(\mathcal{C}[S^{-1}]\) yang bersesuaian tentu dapat dikonstruksi melalui operasi pecahan di atas, tetapi cara yang lebih singkat adalah mengambil \[\operatorname{Ob}(\mathcal{C}[S^{-1}]) := \operatorname{Ob}(\mathcal{C}), \quad \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]}(X, Y) := \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \ensuremath{\underset{Z(\mathcal{C})}{\otimes}} Z(\mathcal{C})[S^{-1}],\] dengan komposisi morfisme didefinisikan sebagaimana biasa. Pemeriksaan yang terkait diserahkan sebagai latihan untuk bab ini.

Catatan. Untuk \(\mathcal{C}\) dan \(S\) yang umum, kasus ketika funktor lokalisasi \(Q:\mathcal{C}\to\mathcal{C}[S^{-1}]\) mempunyai adjoin kanan yang penuh dan setia sangatlah menarik dan penting. Lokalisasi dengan sifat ini disebut lokalisasi reflektif. Teorema Gabriel–Popescu yang akan diperkenalkan dalam Lampiran § A.3 merupakan salah satu contoh khas.

Catatan (Lokalisasi kategori produk). Terakhir, tinjau kategori-kategori \(\mathcal{C}_i\) beserta sistem multiplikatif kiri (atau kanan) \(S_i\) di dalamnya, untuk \(i=1,2\). Tuliskan funktor lokalisasi yang bersesuaian sebagai \(Q_i:\mathcal{C}_i\to\mathcal{C}_i[S_i^{-1}]\). Jelas bahwa \(S_1\times S_2\) juga merupakan sistem multiplikatif kiri (atau kanan) dalam \(\mathcal{C}_1\times\mathcal{C}_2\). Berdasarkan konstruksi dalam Definisi–Teorema rujukan, mudah diperiksa bahwa \[(Q_1, Q_2): \mathcal{C}_1 \times \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1[S_1^{-1}] \times \mathcal{C}_2[S_2^{-1}]\] merupakan lokalisasi yang bersesuaian. Pernyataan ini dapat diperumum menjadi produk dari sebarang keluarga kategori.

---

1. Dari sudut pandang \(2\)-kategori, sifat universal yang lebih alami adalah sebagai berikut: \(Q^*: \mathcal{D}^{\mathcal{C}[S^{-1}]} \to \mathcal{D}^{\mathcal{C}}\) bersifat penuh dan setia untuk setiap \(\mathcal{D}\), dan \(G \in \operatorname{Ob}\left(\mathcal{D}^{\mathcal{C}}\right)\) isomorfik dengan suatu \(Q^*(F) = FQ\) jika dan hanya jika \(G\) memetakan unsur-unsur \(S\) menjadi isomorfisme. Funktor \(Q\) dalam Definisi rujukan secara otomatis mempunyai sifat ini—bagian penuh dan setianya diberikan oleh Proposisi rujukan, sedangkan sisanya mudah.↩︎

2. Catatan penerjemah: sumber menulis \(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}[S^{-1}]}\) pada identitas terakhir; karena \(GG'\) merupakan endofunktor pada \(\mathcal{C}[S^{-1}]'\), terjemahan ini menambahkan tanda prima pada lokalisasi sasaran (O014-C017).↩︎

3. Catatan penerjemah: sumber menulis \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(X,Y)\); karena \((Fa)(Fs)^{-1}:FX\to FY\), terjemahan ini memperbaiki objek sumber dan sasaran menjadi \(FX\) dan \(FY\) (O014-C018).↩︎

Ekstensi Kan sepanjang Lokalisasi

Andaikan lokalisasi \(\mathcal{C}\) terhadap \(S \subset \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\), yakni \(Q: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[S^{-1}]\), ada. Bagian ini menyelidiki masalah ekstensi funktor: untuk suatu kategori \(\mathcal{E}\) dan funktor \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}\) yang diberikan, adakah diagram komutatif berikut?

Karena \(F\) belum tentu memetakan morfisme dalam \(S\) ke isomorfisme, funktor yang ditunjukkan oleh anak panah putus-putus itu belum tentu ada. Meskipun demikian, kita masih dapat mencari hampiran terbaik bagi masalah ekstensi tersebut, yakni ekstensi Kan kiri \((\operatorname{Lan}_Q F, \eta)\) dan ekstensi Kan kanan \((\operatorname{Ran}_Q F, \varepsilon)\). Mulai sekarang, data \(\eta\) dan \(\varepsilon\) akan dihilangkan dari notasi. Tujuan bagian ini ialah mencari syarat-syarat cukup bagi \(\mathcal{C}\), \(S\), dan \(F\) yang dipilih agar \(\operatorname{Lan}_Q F\) dan \(\operatorname{Ran}_Q F\) ada; begitu keduanya ada, Proposisi rujukan menjamin keunikannya. Hasil-hasil ini akan digunakan dalam kajian funktor turunan; lihat § 4.6. Gagasan untuk menangani masalah ini ialah memilih secara saksama suatu subkategori dari \(\mathcal{C}\). Kita melanjutkan konvensi dari §rujukan: morfisme yang termasuk dalam \(S\) ditandai dengan \(\rightarrowtail\). Argumen dalam bagian ini tidak melibatkan asumsi mengenai ukuran himpunan.

Proposisi. Misalkan \(\mathcal{I}\) suatu subkategori penuh dari \(\mathcal{C}\) dan \(S \subset \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) suatu sistem multiplikatif kiri (atau kanan). Definisikan \(T := S \cap \operatorname{Mor}(\mathcal{I})\).

1. Jika \(T\) diasumsikan sebagai sistem multiplikatif kiri (atau kanan) dalam \(\mathcal{I}\), data di atas menginduksi funktor \(\mathcal{I}[T^{-1}]^l \to \mathcal{C}[S^{-1}]^l\) (atau \(\mathcal{I}[T^{-1}]^r \to \mathcal{C}[S^{-1}]^r\)¹).

2. Andaikan syarat berikut berlaku: untuk setiap morfisme dalam \(S\) yang berbentuk \(s: W \to Y\) (atau \(s: Y \to W\)), dengan \(Y \in \operatorname{Ob}(\mathcal{I})\), terdapat morfisme \(g: V \to W\) sedemikian rupa sehingga \(sg \in T\) (atau \(g: W \to V\) sedemikian rupa sehingga \(gs \in T\)). Maka \(T\) merupakan sistem multiplikatif kiri (atau kanan), dan funktor dalam (i) penuh dan setia.

Bukti. Berdasarkan dualitas, cukup tinjau kasus sistem multiplikatif kiri. Funktor dalam (i) berasal dari sifat universal lokalisasi; pada tingkat morfisme, funktor itu memetakan setiap kelas ekuivalensi \([U; s, a]\) (terhadap \(T\)) ke \([U; s, a]\) (terhadap \(S\)).

Untuk (ii), pertama-tama kita periksa bahwa \(T\) merupakan sistem multiplikatif kiri. Syarat (S1) dan (S2) dalam Definisi rujukan sudah jelas. Untuk (S3), jika \(X \stackrel{t}{\rightarrowtail} Z \stackrel{f}{\leftarrow} Y\) diberikan, kita dapat membentuk diagram berikut dalam \(\mathcal{C}\):

\(g: V \to W\) sedemikian rupa sehingga \(s' g \in T\); maka \(s'g\) dan \(f'g\) memenuhi spesifikasi (S3). Argumen untuk (S4) sama.

Misalkan \(X, Y \in \operatorname{Ob}(\mathcal{I})\). Untuk suatu morfisme dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\) yang diwakili oleh \(X \leftarrowtail U \to Y\), syarat di atas memungkinkan kita memilih \(V \to U\) sehingga komposit \(V \to U \to X\) termasuk dalam \(T\); karena itu, \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{I}[T^{-1}]^l}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]^l}(X, Y)\) surjektif. Dengan cara serupa, setiap ekuivalensi dalam \(M_{X, Y}^l\) yang dinyatakan dengan \(\sim\) dapat direalisasikan di dalam \(\mathcal{I}\), sehingga \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{I}[T^{-1}]^l}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]^l}(X, Y)\) injektif.

Lema berikut hanya dinyatakan untuk sistem multiplikatif kanan \(S\); kasus sistem multiplikatif kiri bersifat dual.

Lema. Misalkan \(S \subset \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) suatu sistem multiplikatif kanan. Untuk \(\underline{X} := QX \in \operatorname{Ob}\left(\mathcal{C}[S^{-1}]\right)\) yang diberikan, definisikan, dengan cara dalam Definisi rujukan, kategori \((Q/\underline{X})\). Mulai sekarang, kita mewakili suatu objek dari \((Q/\underline{X})\), yakni \((Y, QY \to \underline{X})\), secara tidak unik dengan suatu diagram dalam \(\mathcal{C}\) yang berbentuk \(Y \xrightarrow{a} U \stackrel{s}{\leftarrowtail} X\).

Definisikan kategori \(S_{X/}\) seperti dalam §rujukan. Funktor \(S_{X/} \to (Q/\underline{X})\) yang memetakan objek \([X \stackrel{t}{\rightarrowtail} V]\) ke diagram \(V = V \stackrel{t}{\leftarrowtail} X\), yang menentukan \((V, QV \to \underline{X})\), merupakan funktor kofinal (Definisi rujukan).

Bukti. Untuk \([X \stackrel{t}{\rightarrowtail} V]\) dalam pernyataan, menentukan suatu morfisme dari \((Y, QY \to \underline{X})\) ke objek terkait \((V, QV \to \underline{X})\) sama dengan menentukan, dalam \(\mathcal{C}\), suatu morfisme \(b: Y \to V\) sedemikian rupa sehingga diagram \(Y \xrightarrow{b} V \stackrel{t}{\leftarrowtail} X\) mewakili, dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]\), morfisme \(QY \to \underline{X}\).

Jika \(Y \xrightarrow{a} U \stackrel{s}{\leftarrowtail} X\) diberikan, diagram berikut memetakan \((Y, QY \to \underline{X})\) ke suatu objek yang berasal dari \(S_{X/}\):

Selanjutnya, tinjau dalam \(S_{X/}\) objek-objek \([X \stackrel{t_i}{\rightarrowtail} V_i]\) beserta morfisme-morfisme dari \((Y, QY \to \underline{X})\) ke citranya, yang masing-masing ditentukan oleh \(b_i: Y \to V_i\) (\(i=1, 2\)). Dengan menggunakan diagram sebelah kanan dalam persamaan, ambil diagram komutatif berikut:

\(u_i: [X \rightarrowtail V_i] \to [X \stackrel{u}{\rightarrowtail} W]\), dan \(b\) juga menentukan morfisme dari \((Y, QY \to \underline{X})\) ke objek yang bersesuaian dengan \(u\), yakni \((W, QW \to \underline{X})\). Dari sini, semua syarat yang diperlukan agar funktor tersebut kofinal segera diperoleh.

Proposisi. Misalkan \(\mathcal{I}\) suatu subkategori penuh dari \(\mathcal{C}\), \(S \subset \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) suatu sistem multiplikatif kiri (atau kanan), dan \(T := S \cap \operatorname{Mor}(\mathcal{I})\). Andaikan “syarat resolusi” berikut berlaku: untuk setiap \(X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), terdapat \(s: U \to X\) (atau \(s: X \to U\)), dengan \(U \in \operatorname{Ob}(\mathcal{I})\) dan \(s \in S\).

1. Maka \(T \subset \operatorname{Mor}(\mathcal{I})\) merupakan sistem multiplikatif kiri (atau kanan), dan \(\mathcal{I}[T^{-1}] \to \mathcal{C}[S^{-1}]\) merupakan ekuivalensi.

2. Andaikan lebih lanjut bahwa funktor \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}\) memetakan unsur-unsur \(T\) ke isomorfisme. Maka \(\operatorname{Ran}_Q F\) (atau \(\operatorname{Lan}_Q F\)) ada, dan diagram berikut komutatif hingga isomorfisme:

   \(\mathcal{I}[T^{-1}] \to \mathcal{E}\) ditentukan oleh sifat universal lokalisasi.

3. Untuk \(X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), definisikan kategori \(S_{/X}\) dan \(S_{X/}\) seperti dalam §rujukan. Di bawah asumsi (ii), terdapat isomorfisme kanonik² \[\begin{align*} \left(\operatorname{Ran}_Q F\right) (QX) & \simeq \varprojlim_{[X \leftarrowtail Y] \in \operatorname{Ob}(S_{/X}^{\operatorname{op}})} FY , \\ \left(\operatorname{Lan}_Q F\right) (QX) & \simeq \varinjlim_{[X \rightarrowtail Y] \in \operatorname{Ob}(S_{X/})} FY. \end{align*}\]

Morfisme bawaan ekstensi Kan \(\varepsilon: (\operatorname{Ran}_Q F) Q \to F\) (atau \(\eta: F \to (\operatorname{Lan}_Q F) Q\)), dalam situasi (iii), ditentukan oleh suku \(FX\) yang bersesuaian dengan objek \(\ensuremath{\mathrm{id}}_X \in \operatorname{Ob}(S_{/X}^{\operatorname{op}})\) (atau \(\ensuremath{\mathrm{id}}_X \in \operatorname{Ob}(S_{X/})\)).

Bukti. Cukup bahas sistem multiplikatif kanan. Syarat dalam Proposisi rujukan (ii) jelas terpenuhi, sehingga \(T\) merupakan sistem multiplikatif kanan. Nyatakan lokalisasinya dengan \(Q': \mathcal{I} \to \mathcal{I}[T^{-1}]\), dan nyatakan funktor penuh dan setia dalam Proposisi rujukan (ii), yakni \(\mathcal{I}[T^{-1}] \to \mathcal{C}[S^{-1}]\), dengan \(\iota_Q\). Syarat resolusi juga memastikan bahwa \(\iota_Q\) pada hakikatnya surjektif, sehingga merupakan ekuivalensi. Ini membuktikan (i).

Sekarang tinjau (ii). Nyatakan funktor inklusi dengan \(\iota: \mathcal{I} \to \mathcal{C}\). Berdasarkan sifat universal, terdapat \(F': \mathcal{I}[T^{-1}] \to \mathcal{E}\) yang membuat diagram berikut komutatif:

Pilih sembarang funktor kuasi-invers dari \(\iota_Q\) dan notasikan funktor itu dengan \(\iota_Q^{-1}\). Kita akan menunjukkan bahwa \(F' \circ \iota_Q^{-1}\) memberikan ekstensi Kan kiri \(\operatorname{Lan}_Q F\), atau secara ekuivalen, bahwa \(\operatorname{Lan}_Q F\) ada dan \(F' \simeq (\operatorname{Lan}_Q F) \circ \iota_Q\).

Untuk membuktikan keberadaan \(\operatorname{Lan}_Q F\), menurut Definisi rujukan, definisikan funktor \(\Pi_{/\underline{X}}: (Q/\underline{X}) \to \mathcal{C}\), dengan \(\underline{X} := QX \in \operatorname{Ob}\left(\mathcal{C}[S^{-1}]\right)\). Berdasarkan Teorema rujukan (i), untuk membuktikan keberadaan \(\operatorname{Lan}_Q F\) cukup dibuktikan bahwa \(\varinjlim F \Pi_{/\underline{X}}\) ada untuk setiap \(\underline{X}\).

Selanjutnya, gunakan, dari Lema rujukan, funktor kofinal \(S_{X/} \to (Q/\underline{X})\), serta Proposisi rujukan; dengan demikian, \(\varinjlim F\Pi_{/\underline{X}}\) tereduksi menjadi \(\varinjlim_{[X \rightarrowtail U]} FU\), dengan \(\varinjlim\) diambil atas \(S_{X/}\).

Lebih lanjut, karena \(S_{X/}\) terfilter (Lema rujukan), syarat resolusi bersama Proposisi rujukan memastikan bahwa objek-objek dengan \(U \in \operatorname{Ob}(\mathcal{I})\), yakni \([X \rightarrowtail U]\), membentuk subkategori penuh kofinal dari \(S_{X/}\). Penerapan lain dari Proposisi rujukan karena itu memungkinkan kita membatasi \(\varinjlim\) pada kasus \(U \in \operatorname{Ob}(\mathcal{I})\).

Tujuan kita ialah membuktikan keberadaan \(\varinjlim F\Pi_{/\underline{X}}\), atau secara ekuivalen, keberadaan \(\varinjlim_{[X \rightarrowtail U]} FU\). Masalah semula hanya bergantung pada kelas isomorfisme \(\underline{X}\), sehingga (i) mereduksinya ke kasus \(X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{I})\). Akan tetapi, diagram berikut memberikan suatu morfisme dalam \(S_{X/}\):

\(\rightarrowtail\) menjadi isomorfisme setelah diterapkan \(F\). Ini menunjukkan bahwa dalam kasus ini \(\varinjlim FU\) bukan saja ada, tetapi juga bernilai konstan \(FX\); perhatikan bahwa hal ini sekaligus menunjukkan \(F' \simeq (\operatorname{Lan}_Q F) \circ \iota_Q\). Dengan demikian, (ii) terbukti.

Terakhir, tinjau (iii). Untuk \(X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), argumen di atas telah menunjukkan bahwa \(\varinjlim_{[X \rightarrowtail Y] \in \operatorname{Ob}(S_{X/})} FY\) ada dan memberikan \((\operatorname{Lan}_Q F)(QX)\). Dalam korespondensi ini, morfisme bawaan ekstensi Kan kiri \(\eta_X\) secara alami ditentukan oleh suku yang bersesuaian dengan \([X \stackrel{\ensuremath{\mathrm{id}}}{\rightarrowtail} X]\); lihat konstruksi dalam §rujukan.

Proposisi. Di bawah syarat-syarat Proposisi rujukan, \(\operatorname{Ran}_Q F\) (atau \(\operatorname{Lan}_Q F\)) merupakan ekstensi Kan kanan absolut (atau ekstensi Kan kiri absolut) dari \(F\) sepanjang \(Q\); lihat Definisi rujukan.

Bukti. Syarat pertama dalam Proposisi rujukan hanya menyangkut \(\mathcal{C}\), yakni sistem multiplikatif kiri (atau kanan) \(S\) dan subkategori \(\mathcal{I}\), bukan \(F\); syarat kedua hanya mengharuskan \(F\) memetakan \(T := S \cap \operatorname{Mor}(\mathcal{I})\) ke isomorfisme. Khususnya, untuk setiap funktor \(M: \mathcal{E} \to \mathcal{F}\), syarat pada \(F\) langsung diwarisi oleh \(MF: \mathcal{C} \to \mathcal{F}\).

Kita hanya membahas kasus \(\operatorname{Lan}_Q F\). Dengan notasi dari bukti Proposisi rujukan, \(\operatorname{Lan}_Q F\) secara konkret diambil sebagai komposit \[\mathcal{C}[S^{-1}] \xrightarrow{\iota_Q^{-1}} \mathcal{I}[T^{-1}] \xrightarrow{F'} \mathcal{E}\] dengan \(\iota_Q\) dan \(F'\) keduanya berasal dari sifat universal lokalisasi. Karena itu, \(M (\operatorname{Lan}_Q F) = MF' \iota_Q^{-1}\). Dari diagram komutatif

\(MF'\) juga diinduksi oleh sifat universal lokalisasi. Untuk \(\mathcal{C} \xrightarrow{MF} \mathcal{F}\), terapkan konstruksi Proposisi rujukan; kita memperoleh \(\operatorname{Lan}_Q (MF) = MF' \iota_Q^{-1}\). Dengan kata lain, \(\operatorname{Lan}_Q F\) dipertahankan oleh \(M\).

---

1. Catatan penerjemah (O014-C019): sasaran pada cabang kanan dikoreksi dari \(\mathcal{C}[T^{-1}]^r\) menjadi \(\mathcal{C}[S^{-1}]^r\), sebab \(T \subset \operatorname{Mor}(\mathcal{I})\), sedangkan \(S \subset \operatorname{Mor}(\mathcal{C})\).↩︎

2. Indeks limit dalam rumus pertama diambil atas \(\operatorname{Ob}(S_{/X}^{\operatorname{op}})\) karena kita memakai konvensi \(\varprojlim_i \beta(i)\) untuk menyatakan, bagi funktor \(\beta: I^{\operatorname{op}} \to \mathcal{C}\), limit \(\varprojlim\).↩︎

Teorema Funktor Adjoin

Dalam praktik, funktor sering muncul sebagai pasangan adjoin. Tinjau kategori \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) dan sepasang funktor

\((F,G)\) membentuk pasangan adjoin. Dalam keadaan ini, \(F\) mempertahankan \(\varinjlim\), sedangkan \(G\) mempertahankan \(\varprojlim\), asalkan limit yang dibicarakan ada. Sebaliknya, muncullah pertanyaan alami berikut: jika funktor \(F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}\) mempertahankan \(\varinjlim\), bagaimana kita dapat menjamin bahwa \(F\) mempunyai adjoin kanan? Jika funktor \(G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}\) mempertahankan \(\varprojlim\), bagaimana kita dapat menjamin bahwa \(G\) mempunyai adjoin kiri? Dalam banyak keadaan, funktor adjoin dapat dituliskan secara eksplisit, tetapi kadang-kadang diperlukan suatu hasil keberadaan yang abstrak. Hasil-hasil semacam ini secara kolektif disebut teorema funktor adjoin. Syarat-syarat yang diperlukan secara kasar terbagi menjadi dua jenis. Pertama, agar syarat mempertahankan \(\varinjlim\) (atau \(\varprojlim\)) dapat digunakan, kita harus mengandaikan bahwa \(\mathcal{C}\) (atau \(\mathcal{D}\)) kolengkap (atau lengkap). Kedua, kita juga memerlukan sejumlah syarat yang berkaitan erat dengan ukuran himpunan. Langkah pertama ialah merumuskan kembali keberadaan funktor adjoin dalam bentuk yang sesuai. Berdasarkan dualitas, berikut ini hanya dinyatakan kasus adjoin kiri. Untuk funktor \(G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}\) dan \(c\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), Definisi rujukan memberikan kategori \((c/G)\); objeknya adalah data berbentuk \((d,c\xrightarrow{f}Gd)\).

Lema. Funktor \(G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}\) mempunyai adjoin kiri jika dan hanya jika, untuk setiap \(c\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), kategori \((c/G)\) mempunyai objek awal.

Bukti. Misalkan \(c\) tetap. Menentukan morfisme \((d_0,c\xrightarrow{\beta_0}Gd_0)\to (d,c\xrightarrow{\beta}Gd)\) dalam \((c/G)\) sama artinya dengan menentukan \(\alpha:d_0\to d\) sedemikian sehingga diagram

\((d_0,\beta_0)\) merupakan objek awal dari \((c/G)\) jika dan hanya jika

\(d\in\operatorname{Ob}(\mathcal{D})\). Fakta ini menjadi dasar argumen berikut.

Andaikan \(G\) mempunyai adjoin kiri \(F\), dan ambil \(c\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\). Kita akan menunjukkan bahwa \(Fc\), bersama dengan morfisme unit adjungsi \(\eta_c:c\to G(Fc)\), memberikan objek awal dari \((c/G)\). Tinjau sembarang \((d,c\xrightarrow{\beta}Gd)\). Pemetaan \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(Fc,d)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(c,Gd)\) dalam persamaan mengirim \(\alpha\) ke \((G\alpha)\eta_c\); tetapi inilah tepatnya bijeksi pada himpunan-himpunan \(\operatorname{Hom}\) yang diberikan oleh adjungsi. Jadi \((Fc,\eta_c)\) memang merupakan objek awal.

Sebaliknya, andaikan \((c/G)\) mempunyai objek awal untuk setiap \(c\), dan tuliskan objek itu sebagai \((Fc,\eta_c:c\to G(Fc))\). Karena objek awal unik hingga isomorfisme unik, objek-objek tersebut membentuk funktor \(F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}\), sedangkan \((\eta_c)_{c\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})}\) memberikan \(\eta:\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\to GF\). Untuk setiap \((c,d)\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\times\operatorname{Ob}(\mathcal{D})\), definisikan bijeksi menurut persamaan: \[\begin{align*} \varphi_{c, d}: \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(Fc, d) & \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(c, Gd) \\ \alpha & \mapsto (G\alpha) \eta_c. \end{align*}\] Bijeksi-bijeksi ini jelas bersifat funktorial dalam \(c\) dan \(d\). Jadi \((F,G,\varphi)\) menentukan pasangan adjoin dengan unit \(\eta\).

Definisi. Misalkan \(\mathcal{E}\) suatu kategori. Subhimpunan kecil tak kosong \(\Gamma\) dari \(\operatorname{Ob}(\mathcal{E})\) disebut keluarga awal lemah apabila, untuk setiap \(e'\in\operatorname{Ob}(\mathcal{E})\), terdapat \(e\in\Gamma\) sedemikian sehingga \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(e,e')\) tidak kosong.¹ Jika \(e\in\operatorname{Ob}(\mathcal{E})\) dan \(\{e\}\) merupakan keluarga awal lemah, kita menyebut \(e\) sendiri sebagai objek awal lemah.

Setiap objek awal merupakan objek awal lemah. Secara serupa, kita dapat mendefinisikan keluarga terminal lemah dan objek terminal lemah.

Lema. Jika \(\Gamma\) merupakan keluarga awal lemah dalam kategori \(\mathcal{E}\) dan produk \(e:=\prod_{x\in\Gamma}x\) ada, maka \(e\) merupakan objek awal lemah.

Bukti. Untuk setiap \(e'\in\operatorname{Ob}(\mathcal{E})\), terdapat \(y\in\Gamma\) dan morfisme \(y\to e'\). Ambil komposit \(e\xrightarrow{\text{proyeksi}}y\to e'\).

Kembali ke pembahasan teorema funktor adjoin. Untuk menerapkan kriteria dalam Lema rujukan, kita harus mengkaji funktor proyeksi \(\Pi_{c/}:(c/G)\to\mathcal{D}\) dari Definisi rujukan.

Proposisi. Misalkan kategori \(\mathcal{D}\) lengkap dan funktor \(G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}\) mempertahankan semua \(\varprojlim\) kecil. Misalkan \(c\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\) tetap.

1. Funktor \(\Pi_{c/}\) bersifat konservatif (Definisi rujukan) dan menciptakan semua \(\varprojlim\) kecil (Definisi rujukan).

2. Kategori \((c/G)\) lengkap.

3. Funktor \(\Pi_{c/}\) memetakan monomorfisme ke monomorfisme.

Bukti. Untuk (i), sifat konservatifnya jelas. Inti argumennya ialah bahwa untuk setiap \(\beta:J\to(c/G)\) yang diberikan, yang memetakan \(j\in\operatorname{Ob}(J)\) ke \((d_j,c\xrightarrow{f_j}Gd_j)\), kita dapat mengangkat \(\varprojlim_jd_j\) beserta morfisme proyeksinya menjadi \((\varprojlim_jd_j,c\xrightarrow{f}G(\varprojlim_jd_j))\), lalu menunjukkan bahwa objek ini memberikan \(\varprojlim\beta\). Secara eksplisit, definisikan \(f\) sebagai komposit pada baris pertama diagram komutatif berikut:

rujukan.

Pernyataan (ii) mengikuti dari kelengkapan \(\mathcal{D}\) dan (i).

Sekarang tinjau (iii). Langkah pertama ialah pengamatan berikut: untuk setiap morfisme \(f:a\to b\) dalam sembarang kategori, manipulasi langsung terhadap definisi memberikan

Sekarang tinjau suatu monomorfisme dalam \((c/G)\) dari \((d',c\to Gd')\) ke \((d,c\to Gd)\), yang ditentukan oleh morfisme \(\iota:d'\to d\) dalam \(\mathcal{D}\). Menurut (i), \[(d', c \to Gd') \ensuremath{\underset{(d, c \to Gd)}{\times}} (d', c \to Gd') = \left( d' \ensuremath{\underset{d}{\times}} d' , \; c \to G\left( d' \ensuremath{\underset{d}{\times}} d' \right) \right) .\] Ruas kiri dapat diidentifikasi dengan \((d',c\to Gd')\), dan kedua morfisme proyeksinya bersesuaian dengan \(\ensuremath{\mathrm{id}}_{d'}\). Akibatnya, \(d'\ensuremath{\underset{d}{\times}}d'\) dapat diidentifikasi dengan \(d'\) melalui identifikasi yang sama. Dengan kata lain, \(\iota\) mono.

Lema. Misalkan kategori \(\mathcal{E}\) lengkap. Jika \(\mathcal{E}\) mempunyai keluarga awal lemah \(\Gamma\), maka \(\mathcal{E}\) mempunyai objek awal.

Bukti. Kelengkapan dan Lema rujukan memastikan bahwa \(\mathcal{E}\) mempunyai objek awal lemah \(e\). Selanjutnya, ambil subkategori penuh \(I\) dari \(\mathcal{E}\) dengan \(\operatorname{Ob}(I)=\{e\}\); ini merupakan kategori kecil. Kelengkapan memastikan bahwa funktor inklusi \(I\to\mathcal{E}\) mempunyai \(\varprojlim\); tuliskan limit itu sebagai \(x\), dengan morfisme kanonik \(i:x\to e\). Sifat universalnya berbunyi

\(t\) sembarang objek dari \(\mathcal{E}\). Dari sini segera terlihat bahwa \(i\) merupakan monomorfisme.

Selanjutnya kita buktikan bahwa \(x\) merupakan objek awal. Untuk \(y\in\operatorname{Ob}(\mathcal{E})\), pilih sembarang morfisme \(e\to y\), dan tuliskan komposit \(x\xrightarrow{i}e\to y\) sebagai \(f\). Untuk sembarang \(g:x\to y\), tinjau penyama \(j:\operatorname{ker}(f,g)\hookrightarrow x\). Terdapat morfisme \(k:e\to\operatorname{ker}(f,g)\). Dengan demikian, diperoleh \(ijk:e\to e\). Jika dalam persamaan kita ambil \(\psi=\ensuremath{\mathrm{id}}_x\), diperoleh \((ijk)i=(\ensuremath{\mathrm{id}}_e)i=i\). Karena \(i\) monomorfisme, pencoretan di ruas kiri memberikan \(jki=\ensuremath{\mathrm{id}}_x\); jadi \(f=fjki=gjki=g\). Ini membuktikan pernyataan.

Hasil berikut berasal dari P. Freyd dan juga disebut teorema funktor adjoin umum.

Teorema (Teorema Funktor Adjoin P. Freyd). Tinjau kategori \(\mathcal{C}\) dan \(\mathcal{D}\).

1. Misalkan \(\mathcal{D}\) kategori lengkap dan funktor \(G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}\) mempertahankan semua \(\varprojlim\) kecil. Maka \(G\) mempunyai funktor adjoin kiri jika dan hanya jika syarat himpunan solusi berikut berlaku: untuk setiap \(c\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), terdapat keluarga morfisme \(\left(f_i:c\to Gd_i\right)_{i\in I}\), dengan \(I\) suatu himpunan kecil, sedemikian sehingga untuk setiap morfisme \(f:c\to Gd\) terdapat \(i\in I\) dan morfisme \(\alpha:d_i\to d\) yang memfaktorkan \(f\) sebagai \(c\xrightarrow{f_i}Gd_i\xrightarrow{G\alpha}Gd\).

2. Misalkan \(\mathcal{C}\) kategori kolengkap dan funktor \(F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}\) mempertahankan semua \(\varinjlim\) kecil. Maka \(F\) mempunyai funktor adjoin kanan jika dan hanya jika syarat himpunan kosolusi berikut berlaku: untuk setiap \(d\in\operatorname{Ob}(\mathcal{D})\), terdapat keluarga morfisme \(\left(g_i:Fc_i\to d\right)_{i\in I}\), dengan \(I\) suatu himpunan kecil, sedemikian sehingga untuk setiap morfisme \(g:Fc\to d\) terdapat \(i\in I\) dan morfisme \(\beta:c\to c_i\) yang memfaktorkan \(g\) sebagai \(Fc\xrightarrow{F\beta}Fc_i\xrightarrow{g_i}d\).

Bukti. Cukup bahas (i). Ambil \(c\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\). Lema rujukan menyatakan bahwa \(G\) mempunyai adjoin kiri jika dan hanya jika \((c/G)\) mempunyai objek awal. Syarat himpunan solusi berarti bahwa \((c/G)\) mempunyai keluarga awal lemah \(\left\{(d_i,c\to Gd_i):i\in I\right\}\), dengan \(I\) suatu himpunan kecil. Karena objek awal merupakan kasus khusus objek awal lemah, arah “hanya jika” jelas. Untuk arah sebaliknya, menurut Lema rujukan tinggal dibuktikan bahwa \((c/G)\) lengkap. Namun, inilah isi Proposisi rujukan (ii).

Contoh. Tinjau kategori grup \(\ensuremath{\mathsf{Grp}}\) dan funktor pelupa \(U:\ensuremath{\mathsf{Grp}}\to\ensuremath{\mathsf{Set}}\). Telah diketahui bahwa \(\ensuremath{\mathsf{Grp}}\) lengkap dan \(U\) mempertahankan semua \(\varprojlim\) kecil. Untuk memperoleh adjoin kiri \(\mathrm{F}:\ensuremath{\mathsf{Set}}\to\ensuremath{\mathsf{Grp}}\) dari \(U\) melalui Teorema rujukan, yaitu funktor yang mengonstruksi grup bebas dari suatu himpunan, pokok persoalannya ialah memeriksa syarat himpunan solusi untuk setiap himpunan kecil \(c\).

Ambil sembarang \(d\in\operatorname{Ob}(\ensuremath{\mathsf{Grp}})\) dan pemetaan \(f:c\to Ud\). Faktorkan \(f\) sebagai \(c\to Us\xrightarrow{U\iota}Ud\), dengan \(s\) subgrup dari \(d\) yang dibangkitkan oleh \(f(c)\) dan \(\iota:s\to d\) homomorfisme inklusi. Dengan menyajikan \(s\) melalui himpunan generator \(f(c)\) beserta relasi-relasinya, terlihat bahwa semua kelas isomorfisme dari data \((s,c\to Us)\) ini membentuk suatu himpunan kecil \(I\). Dengan demikian, syarat himpunan solusi terpenuhi.

Prosedur yang sama berlaku bagi struktur aljabar lain, seperti \(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\), \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\), dan sebagainya, serta kembali memberikan adjoin kiri dari funktor pelupa. Lihat pembahasan pada bagian kedua [ML98]. Demikian pula, untuk setiap gelanggang komutatif \(\Bbbk\), pemetaan suatu \(\Bbbk\)-aljabar ke monoid multiplikatifnya memberikan funktor pelupa \(U:\Bbbk\ensuremath{\text{-}\mathsf{Alg}}\to\ensuremath{\mathsf{Mon}}\). Teknik yang sama menunjukkan bahwa \(U\) mempunyai adjoin kiri yang memetakan monoid \(M\) ke \(\Bbbk[M]\); lihat [Li1].

Pendekatan melalui Teorema Funktor Adjoin rujukan tidak hanya berlaku seragam bagi berbagai struktur aljabar, tetapi dalam kasus grup bebas juga lebih ringkas daripada konstruksi klasik dalam [Li1].

Teorema Funktor Adjoin Khusus rujukan, yang segera diperkenalkan, menggantikan syarat himpunan solusi dengan syarat mengenai generator dan subobjek. Sebagai selingan, kita definisikan terlebih dahulu generator dan kogenerator dalam suatu kategori; konsep-konsep ini juga akan digunakan dalam bagian mendatang tentang kategori Grothendieck.

Definisi. Misalkan \(\mathcal{E}\) suatu kategori dan \(\Sigma\) subhimpunan kecil tak kosong dari \(\operatorname{Ob}(\mathcal{E})\).

• Kita menyebut \(\Sigma\) sebagai keluarga generator apabila syarat berikut berlaku: untuk setiap pasangan morfisme \(f,g:x\to y\) dalam \(\mathcal{E}\), jika \(f\epsilon=g\epsilon\) untuk setiap \(s\in\Sigma\) dan setiap morfisme \(\epsilon:s\to x\), maka \(f=g\). Jika \(\{s\}\) merupakan keluarga generator bagi \(\mathcal{E}\), maka \(s\) disebut generator bagi \(\mathcal{E}\).

• Kita menyebut \(\Sigma\) sebagai keluarga kogenerator apabila syarat berikut berlaku: untuk setiap pasangan morfisme \(f,g:x\to y\) dalam \(\mathcal{E}\), jika \(\delta f=\delta g\) untuk setiap \(s\in\Sigma\) dan setiap morfisme \(\delta:y\to s\), maka \(f=g\). Jika \(\{s\}\) merupakan keluarga kogenerator bagi \(\mathcal{E}\), maka \(s\) disebut kogenerator bagi \(\mathcal{E}\).

Kedua konsep ini jelas saling dual.

Lema. Misalkan \(\Sigma\) subhimpunan kecil dari \(\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\). Jika setiap objek dari \(\mathcal{C}\) dapat dinyatakan sebagai \(\varinjlim\) (atau \(\varprojlim\)) dari objek-objek dalam \(\Sigma\), maka \(\Sigma\) merupakan keluarga generator (atau keluarga kogenerator).

Bukti. Ambil kasus \(\varinjlim\). Morfisme \(\varinjlim\alpha=:x\to y\) ditentukan secara unik oleh kompositnya dengan semua morfisme \(\alpha(i)\xrightarrow{\iota_i}\varinjlim\alpha\).

Contoh. Kita tinjau beberapa contoh awal generator dan kogenerator.

• Dalam \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\), himpunan satu titik \(\{\mathrm{pt}\}\) merupakan generator. Memang, untuk sepasang pemetaan \(f,g:X\to Y\), menentukan \(\epsilon:\{\mathrm{pt}\}\to X\) sama artinya dengan menentukan \(x\in X\); jadi \(f\epsilon=g\epsilon\) untuk setiap \(\epsilon\) setara dengan kesamaan titik demi titik antara \(f\) dan \(g\). Himpunan \(\{0,1\}\) merupakan kogenerator, sebab jika ada \(x\in X\) dengan \(f(x)\neq g(x)\), kita dapat memilih \(\delta:Y\to\{0,1\}\) sedemikian sehingga \(\delta(f(x))\neq\delta(g(x))\).

• Misalkan \(\ensuremath{\mathsf{CHaus}}\) kategori ruang Hausdorff kompak beserta pemetaan kontinu di antaranya. Himpunan satu titik \(\{\mathrm{pt}\}\) tetap merupakan generator. Sebagai kogenerator kita dapat mengambil interval \([0,1]\): untuk setiap ruang Hausdorff kompak \(Y\) dan dua titik berbeda \(a,b\in Y\), Lema Urysohn [Xiong] memberikan pemetaan kontinu \(\delta:Y\to[0,1]\) sedemikian sehingga \(\delta(a)=0\) dan \(\delta(b)=1\).

• Misalkan \(R\) suatu gelanggang. Dalam \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\), \(R\) merupakan generator karena menentukan homomorfisme modul-\(R\) \(R\to M\) sama artinya dengan menentukan suatu unsur dari \(M\). Dengan mengambil koproduk, terlihat bahwa setiap modul-\(R\) bebas tak nol juga merupakan generator.

• Tinjau pembenaman Yoneda \(h_{\mathcal{E}}:\mathcal{E}\to\mathcal{E}^\wedge\) bagi suatu kategori kecil \(\mathcal{E}\). Maka \(h_{\mathcal{E}}(\operatorname{Ob}(\mathcal{E}))\) merupakan keluarga generator bagi \(\mathcal{E}^\wedge\). Ini langsung mengikuti teorema kepadatan Yoneda dalam Lampiran § A.1 bersama Lema rujukan.

Teorema Funktor Adjoin Khusus melibatkan satu lagi konsep mengenai ukuran himpunan. Ingat kembali poset \((\mathrm{Sub}_e,\subset)\) dan \((\mathrm{Quot}_e,\twoheadleftarrow)\) yang diperkenalkan dalam Definisi rujukan, dengan \(e\) suatu objek dari kategori \(\mathcal{E}\).

Definisi. Suatu kategori \(\mathcal{E}\) disebut berdaya-baik (well-powered) atau koberdaya-baik (well-copowered) jika, untuk setiap \(e\in\operatorname{Ob}(\mathcal{E})\), \(\mathrm{Sub}_e\) (atau \(\mathrm{Quot}_e\)) merupakan himpunan kecil.

Dalam bagian ini, sifat berdaya-baik akan dipadukan dengan kelengkapan. Untuk setiap unsur \(\mathrm{Sub}_e\), pilih sebuah wakil \(s\hookrightarrow e\). Dengan demikian, untuk setiap subhimpunan \(S\subset\mathrm{Sub}_e\), kita dapat membicarakan ada atau tidaknya produk serat \(\prod_{s\in S}\left(s\hookrightarrow e\right)\) tanpa bergantung pada pilihan wakil. Secara dual, kita juga dapat membicarakan ada atau tidaknya koproduk serat \(\coprod_{s\in S}\left(e\twoheadrightarrow s\right)\) untuk subhimpunan \(S\subset\mathrm{Quot}_e\).

• Jika \(\mathcal{E}\) lengkap, maka sifat berdaya-baik menyiratkan bahwa, untuk setiap \(e\), semua subhimpunan \(S\subset\mathrm{Sub}_e\) mempunyai produk serat.

• Jika \(\mathcal{E}\) kolengkap, maka sifat koberdaya-baik menyiratkan bahwa, untuk setiap \(e\), semua subhimpunan \(S\subset\mathrm{Quot}_e\) mempunyai koproduk serat.

Lema. Misalkan \(\mathcal{E}\) kategori lengkap yang berdaya-baik. Jika terdapat keluarga kogenerator \(\Sigma\subset\operatorname{Ob}(\mathcal{E})\), maka \(\mathcal{E}\) mempunyai objek awal.

Bukti. Ambil \(e:=\prod_{s\in\Sigma}s\). Misalkan \(x\) produk serat dari semua unsur \(\mathrm{Sub}_e\) (hanya pada langkah ini syarat berdaya-baik digunakan). Kita buktikan bahwa \(x\) merupakan objek awal dari \(\mathcal{E}\).

Menurut konstruksi, \(x\hookrightarrow e\) merupakan infimum dalam poset \((\mathrm{Sub}_e,\subset)\); khususnya, \(\mathrm{Sub}_x=\{x\}\). Untuk setiap objek \(y\) dan \(f,g\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(x,y)\), penyama \(\operatorname{ker}(f,g)\) karena itu hanya mungkin \(x\) sendiri, sehingga \(f=g\). Untuk menunjukkan bahwa \(x\) merupakan objek awal, masih perlu dibuktikan bahwa \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(x,y)\) tak kosong untuk setiap \(y\).

Dalam \(\mathcal{E}\), ambil produk \(\prod_{s\in\Sigma}s^{\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(y,s)}\). Definisikan morfisme \(i:y\to\prod_{s\in\Sigma}s^{\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(y,s)}\) sedemikian sehingga proyeksinya pada komponen yang bersesuaian dengan \(s\in\Sigma\) dan \(\delta\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(y,s)\) tepat sama dengan \(\delta\). Karena \(\Sigma\) merupakan keluarga kogenerator, mudah dibuktikan bahwa \(i\) mono. Sekarang, untuk setiap \(s\in\Sigma\), ambil morfisme diagonal \(d_s:s\to s^{\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(y,s)}\), lalu bentuk diagram tarik balik

rujukan memastikan bahwa \(j\) juga mono, sehingga memberikan suatu subobjek dari \(e\). Namun, \(x\) merupakan infimum dari \(\mathrm{Sub}_e\), sehingga terdapat \(x\hookrightarrow z\). Komposit \(x\hookrightarrow z\to y\) adalah morfisme yang dicari.

Teorema (Teorema Funktor Adjoin Khusus). Misalkan \(\mathcal{C}\) dan \(\mathcal{D}\) kategori.

1. Funktor \(G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}\) mempunyai adjoin kiri jika memenuhi syarat-syarat berikut.

2. Funktor \(F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}\) mempunyai adjoin kanan jika memenuhi syarat-syarat berikut.

Bukti. Berdasarkan dualitas, cukup bahas (i). Sekali lagi, Lema rujukan mereduksi persoalan menjadi pembuktian bahwa \((c/G)\) mempunyai objek awal, dengan \(c\in\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\); strateginya ialah menerapkan Lema rujukan.

Proposisi rujukan (ii) menunjukkan bahwa \((c/G)\) lengkap. Selain itu, dari Definisi rujukan dan definisi \((c/G)\) segera terlihat bahwa semua data berbentuk \((d,c\to Gd)\), dengan \(d\in\Sigma\), membentuk keluarga kogenerator bagi \((c/G)\). Secara khusus, karena \(\Sigma\) kecil, jelas bahwa keluarga ini merupakan himpunan kecil.

Misalkan \(e=(d,c\to Gd)\in\operatorname{Ob}((c/G))\). Subobjek adalah kelas ekuivalensi isomorfisme dari monomorfisme. Menurut Proposisi rujukan, funktor proyeksi \(\Pi_{c/}:(c/G)\to\mathcal{D}\) merupakan funktor konservatif yang mempertahankan monomorfisme; karena itu, \(\Pi_{c/}\) menginduksi pembenaman pelestari urutan \(\mathrm{Sub}_e\hookrightarrow\mathrm{Sub}_d\). Dengan demikian, \((c/G)\) terbukti berdaya-baik.

Korolari. Jika kategori lengkap yang berdaya-baik \(\mathcal{D}\) mempunyai keluarga kogenerator \(\Sigma\), maka \(\mathcal{D}\) kolengkap.

Secara dual, jika kategori kolengkap yang koberdaya-baik \(\mathcal{C}\) mempunyai keluarga generator \(\Sigma\), maka \(\mathcal{C}\) lengkap.

Bukti. Cukup buktikan versi bagi \(\mathcal{D}\). Misalkan \(I\) suatu kategori kecil. Menurut Contoh rujukan, cukup dibuktikan bahwa \((\alpha/\Delta)\) mempunyai objek awal untuk setiap \(\alpha:I\to\mathcal{D}\). Menurut Lema rujukan, ini setara dengan mengatakan bahwa funktor diagonal \(\Delta\) mempunyai adjoin kiri. Jelas bahwa \(\Delta\) mempertahankan semua \(\varprojlim\) kecil dan \(\varinjlim\) kecil, sehingga cukup terapkan Teorema rujukan.

Contoh. Misalkan \(\iota:\ensuremath{\mathsf{CHaus}}\to\ensuremath{\mathsf{Top}}\) funktor inklusi dari kategori ruang Hausdorff kompak ke kategori ruang topologis. Contoh rujukan telah menunjukkan bahwa \(\ensuremath{\mathsf{CHaus}}\) mempunyai kogenerator \([0,1]\). Berdasarkan Teorema Tychonoff [Xiong], mudah dibuktikan bahwa \(\ensuremath{\mathsf{CHaus}}\) lengkap dan bahwa \(\iota\) mempertahankan semua \(\varprojlim\) kecil (rinciannya diserahkan kepada pembaca). Selain itu, himpunan kuasa dari suatu himpunan kecil tetap kecil; jadi \(\ensuremath{\mathsf{CHaus}}\) berdaya-baik. Teorema rujukan (i) karena itu memberikan adjoin kiri \(C:\ensuremath{\mathsf{Top}}\to\ensuremath{\mathsf{CHaus}}\) bagi \(\iota\). Dalam topologi himpunan-titik, \(C(X)\) disebut kompaktifikasi Stone–Čech dari ruang \(X\); unit adjungsi memberikan morfisme kanonik \(\eta_X:X\to\iota C(X)\). Metode konstruksi dalam Lema rujukan dan Teorema rujukan sejalan dengan konstruksi klasik kompaktifikasi Stone–Čech.

Teorema funktor adjoin dapat memberikan syarat cukup bagi keterwakilan suatu funktor. Untuk pengantar tentang funktor terwakili, lihat [Li1] atau definisi funktor terwakili dalam Lampiran § A.1. Intinya ialah pengamatan berikut. Jika funktor \(G:\mathcal{D}\to\ensuremath{\mathsf{Set}}\) mempunyai adjoin kiri \(F\), maka \(G\) terwakili. Memang, tinjau himpunan satu titik \(\{\mathrm{pt}\}\) dan \(r_G:=F(\{\mathrm{pt}\})\); bijeksi kanonik \[\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\left( r_G, d \right) \simeq \operatorname{Hom}_{\ensuremath{\mathsf{Set}}}\left( \{\mathrm{pt}\}, Gd \right) \simeq Gd , \quad d \in \operatorname{Ob}(\mathcal{D})\] menyiratkan \(G\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(r_G,\cdot)\).

Korolari. Jika kategori lengkap yang berdaya-baik \(\mathcal{D}\) mempunyai keluarga kogenerator \(\Sigma\), maka funktor \(G:\mathcal{D}\to\ensuremath{\mathsf{Set}}\) terwakili jika dan hanya jika \(G\) mempertahankan semua \(\varprojlim\) kecil.

Bukti. Arah “hanya jika” merupakan sifat umum funktor terwakili. Untuk arah “jika”, Teorema rujukan memastikan bahwa \(G\) mempunyai adjoin kiri \(F:\ensuremath{\mathsf{Set}}\to\mathcal{D}\); selanjutnya terapkan pengamatan di atas.

Latihan

Tinjau kategori grup \(\ensuremath{\mathsf{Grp}}\). Buktikan bahwa homomorfisme grup \(\varphi:H\to G\) merupakan monomorfisme (atau epimorfisme) dalam \(\ensuremath{\mathsf{Grp}}\) jika dan hanya jika, sebagai pemetaan, ia injektif (atau surjektif). Sejumlah pustaka, termasuk [Li1], tidak menjelaskan fakta ini secara memadai. Petunjuk. Cukup bahas arah “hanya jika”. Untuk kasus monomorfisme, tinjau homomorfisme dari \(\operatorname{ker}\varphi\) ke \(H\). Untuk epimorfisme, persoalannya ialah menunjukkan bahwa jika \(\varphi(H)\neq G\), terdapat homomorfisme grup berbeda \(f,g:G\rightrightarrows K\) yang pembatasannya pada \(\varphi(H)\) sama. Salah satu caranya ialah mengambil \(K\) sebagai produk bebas teramalgamasi yang ditentukan oleh dua salinan pembenaman \(\varphi(H)\hookrightarrow G\) dalam [Li1], lalu mengambil \(f\) dan \(g\) sebagai pembenaman \(G\) ke kedua salinan tersebut. Keunikan bentuk tereduksi dalam [Li1] menyiratkan \(f\neq g\).

Tunjukkan bahwa dalam kategori ruang topologis \(\ensuremath{\mathsf{Top}}\), citra dari \(f:X\to Y\) adalah \(f(X)\) dengan topologi subruang dari \(Y\), sedangkan kocitranya adalah \(f(X)\) dengan topologi kuosien yang berasal dari \(X\). Berikan interpretasi topologis yang bersesuaian bagi monomorfisme ketat dan epimorfisme ketat.

Misalkan kategori \(\mathcal{C}\) mempunyai semua \(\varinjlim\) berhingga dan \(\varprojlim\) berhingga. Buktikan bahwa pernyataan-pernyataan berikut mengenai morfisme \(f:X\to Y\) saling ekuivalen.

1. \(f\) merupakan epimorfisme ketat.

2. Morfisme kanonik \(\operatorname{coim}(f)\to Y\) merupakan isomorfisme.

3. \(X\ensuremath{\underset{Y}{\times}}X\rightrightarrows X\xrightarrow{f}Y\) merupakan diagram kopenyama.

4. \(f:X\to Y\) merupakan kopenyama dari suatu pasangan morfisme \(a,b:W\rightrightarrows X\).

Petunjuk. Ingat bahwa sifat epi setara dengan \(\operatorname{im}(f)\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}Y\) (Lema rujukan), dan gunakan Proposisi rujukan. Tidak sulit membuktikan (i) \(\iff\) (ii) \(\iff\) (iii) \(\implies\) (iv). Untuk membuktikan (iv) \(\implies\) (ii), tinjau bagian bergaris penuh dari diagram komutatif berikut:

\(\operatorname{coim}(f)\to Y\) saling invers.

Misalkan kategori \(\mathcal{C}\) mempunyai semua \(\varinjlim\) berhingga dan \(\varprojlim\) berhingga. Buktikan bahwa jika morfisme \(f\) mempunyai invers kanan (atau invers kiri), maka \(f\) merupakan epimorfisme ketat (atau monomorfisme ketat). Petunjuk. Jika \(fg=\ensuremath{\mathrm{id}}_Y\), maka \(f\) merupakan kopenyama dari \(gf\) dan \(\ensuremath{\mathrm{id}}_X\).

Buktikan bahwa struktur kategori aditif pada suatu kategori, jika ada, bersifat unik. Petunjuk. Terapkan Proposisi rujukan.

Bandingkan dengan keadaan dalam Contoh rujukan. Tinjau funktor pelupa \(U\) dari kategori ruang Hausdorff kompak \(\ensuremath{\mathsf{CHaus}}\) ke kategori himpunan \(\ensuremath{\mathsf{Set}}\). Buktikan bahwa \(U\) menciptakan semua \(\varprojlim\) kecil. Tunjukkan bahwa \(U\) tidak menciptakan semua \(\varinjlim\) kecil.

Misalkan \(\mathcal{I}\) kategori semua himpunan berhingga dengan morfisme berupa pemetaan surjektif. Buktikan bahwa \(\mathcal{I}^{\operatorname{op}}\) bukan kategori terfilter dalam pengertian §rujukan.

Dalam Definisi rujukan tentang ekstensi Kan, buktikan bahwa setiap morfisme \(F\to F'\) menginduksi morfisme kanonik \(\operatorname{Lan}_KF\to\operatorname{Lan}_KF'\) dan \(\operatorname{Ran}_KF\to\operatorname{Ran}_KF'\), asalkan ekstensi Kan tersebut ada. Karakterisasikan morfisme-morfisme terinduksi ini.

Misalkan \(K\) dan \(F\) funktor seperti dalam §rujukan. Buktikan bahwa jika funktor \(M:\mathcal{E}\to\mathcal{F}\) mempunyai adjoin kiri (atau adjoin kanan), maka \(M\) mempertahankan \(\operatorname{Ran}_KF\) (atau \(\operatorname{Lan}_KF\)). Petunjuk. Berdasarkan dualitas, andaikan \(M\) mempunyai adjoin kanan \(N\), dengan unit \(\eta':\ensuremath{\mathrm{id}}\to NM\) dan kounit \(\varepsilon':MN\to\ensuremath{\mathrm{id}}\). Untuk setiap funktor \(L:\mathcal{D}\to\mathcal{F}\), terdapat bijeksi kanonik \[\begin{multline*} \operatorname{Hom}_{\mathcal{F}^{\mathcal{D}}} \left( M (\operatorname{Lan}_K F) , L \right) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}^{\mathcal{D}}} \left( \operatorname{Lan}_K F, N L \right) \\ \stackrel{\text{\href{#eqn:Kan-univ}{persamaan}}}{\simeq} \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}^{\mathcal{C}}} \left( F, NLK \right) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal{F}^{\mathcal{C}}} \left( MF, LK \right). \end{multline*}\]

Gunakan sifat-sifat umum \(\eta'\) dan \(\varepsilon'\) untuk memeriksa bahwa, ketika \(L=M(\operatorname{Lan}_KF)\), bijeksi di atas memetakan \(\ensuremath{\mathrm{id}}\) ke \(M\eta\), dengan \(\eta\) morfisme yang menyertai \(\operatorname{Lan}_KF\).

Untuk \(L\) yang umum, teknik yang lazim (bandingkan dengan bukti Lema Yoneda) menunjukkan bahwa morfisme \[\varphi:M(\operatorname{Lan}_KF)\to L\] berkorespondensi dengan komposit \[\begin{aligned} (\varphi K)(M\eta):\quad MF &\xrightarrow{M\eta} M(\operatorname{Lan}_K F)K, \\ M(\operatorname{Lan}_K F)K &\xrightarrow{\varphi K} LK . \end{aligned}\]

Tinjau diagram funktor

\(EF\) adjoin kiri dari \(G\) dan kounit yang bersesuaian \(\varepsilon:EFG\to\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}'}\). Buktikan bahwa jika, untuk setiap kategori \(\mathcal{X}\), funktor \(F^*:\mathcal{X}^{\mathcal{D}}\to\mathcal{X}^{\mathcal{C}}\) penuh dan setia, maka \(E\) juga dapat dipandang sebagai adjoin kiri dari \(FG\), dengan kounit yang sama, yakni \(\varepsilon\). Petunjuk. Argumen berikut berasal dari [GZ67]. Ambil unit \(\eta:\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\to GEF\) dari adjungsi \((EF,G)\). Dengan mengambil \(\mathcal{X}=\mathcal{D}\), diperoleh \(\eta':\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\to FGE\) sedemikian sehingga \(\eta'F=F\eta\). Cukup periksa identitas segitiga bagi adjungsi \((E,FG)\) untuk \(\eta'\) dan \(\varepsilon\). Pertama, \((FG\varepsilon)(\eta'FG)=(FG\varepsilon)(F\eta G)=\ensuremath{\mathrm{id}}_{FG}\). Di sisi lain, dengan mengambil \(\mathcal{X}=\mathcal{D}'\), terlihat bahwa \((\varepsilon E)(E\eta')=\ensuremath{\mathrm{id}}_E\) setara dengan \((\varepsilon EF)(E\eta'F)=\ensuremath{\mathrm{id}}_{EF}\); tetapi \((\varepsilon EF)(E\eta'F)=(\varepsilon EF)(EF\eta)=\ensuremath{\mathrm{id}}_{EF}\).

Tinjau pasangan adjoin

\[S := \left\{ s \in \operatorname{Mor}(\mathcal{C}): Fs \;\text{invertibel} \right\};\] dengan demikian, \(F\) terfaktor secara unik sebagai \(\mathcal{C}\xrightarrow{Q}\mathcal{C}[S^{-1}]\xrightarrow{H}\mathcal{D}\). Buktikan bahwa pernyataan-pernyataan berikut saling ekuivalen.

1. Funktor \(G\) penuh dan setia.

2. Kounit \(\varepsilon:FG\to\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\) merupakan isomorfisme.

3. \(H\) merupakan ekuivalensi kategori, dengan \(QG\) sebagai kuasi-inversnya.

4. Untuk setiap kategori \(\mathcal{X}\), funktor \(F^*:\mathcal{X}^{\mathcal{D}}\to\mathcal{X}^{\mathcal{C}}\) penuh dan setia.

Nyatakan pula versi dual dari hasil ini. Petunjuk. Argumen berikut berasal dari [GZ67]. Pertama, (i) \(\iff\) (ii) relatif mudah; lihat petunjuk dalam [Li1].

Untuk (ii) \(\implies\) (iii), persoalannya ialah membuktikan \(QGH\simeq\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}[S^{-1}]}\). Proposisi rujukan mereduksi hal ini menjadi pembuktian \(QGHQ\simeq Q\). Tinjau unit adjungsi \(\eta:\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\to GF\). Karena \((\varepsilon F)(F\eta)=\ensuremath{\mathrm{id}}_F\), maka \(F\eta\) merupakan isomorfisme; jadi \(Q\eta:Q\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}QGF=QGHQ\).

Untuk (iii) \(\implies\) (iv), perhatikan bahwa \(H\) merupakan ekuivalensi menyiratkan \(H^*\) penuh dan setia, sedangkan untuk \(Q^*\) kita dapat menggunakan Proposisi rujukan.

Untuk (iv) \(\implies\) (ii), ambil \(E=\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\) dalam latihan sebelumnya. Terlihat bahwa \(FG\) merupakan adjoin kanan dari \(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\), dengan kounit \(\varepsilon\). Karena adjoin kanan dari \(\ensuremath{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\) unik hingga isomorfisme, \(\varepsilon\) merupakan isomorfisme.

Misalkan \(S\) suatu sistem multiplikatif kiri dalam kategori \(\mathcal{C}\). Buktikan bahwa setiap diagram komutatif dalam \(\mathcal{C}[S^{-1}]^l\) yang berbentuk

\(f,g\in\operatorname{Mor}(\mathcal{C})\) telah diberikan, dan seperti biasa \(\rightarrowtail\) menyatakan morfisme yang termasuk dalam \(S\). Nyatakan versi yang bersesuaian bagi sistem multiplikatif kanan. Petunjuk. Nyatakan \(\alpha\) dan \(\beta\) masing-masing dengan data \((U^\dagger;s,a)\) dan \((U';t,b)\). Terapkan (S3) untuk memperoleh \(W\), \(h\), \(r\), dan diagram komutatif dalam \(\mathcal{C}\)

\(Q^l\), lalu gunakan Korolari rujukan untuk memilih \(U\rightarrowtail W\) dan menyesuaikannya menjadi diagram komutatif yang diminta.

Periksa rincian lokalisasi sentral dalam Contoh rujukan. Buktikan bahwa \(\mathcal{C}[S^{-1}]\) yang didefinisikan di sana dan lokalisasi yang diberikan oleh Teorema rujukan saling ekuivalen sebagai kategori \(Z(\mathcal{C})[S^{-1}]\)-linear.

Lengkapi rincian bukti Proposisi rujukan (i).

Gunakan Teorema Funktor Adjoin rujukan untuk mengonstruksi produk bebas \(G\star H\) dari sembarang dua grup \(G\) dan \(H\); lihat [Li1] untuk konsep terkait.

Misalkan \(\mathrm{F}(X)\) grup bebas pada himpunan \(X\). Buktikan bahwa pemetaan kanonik \(\iota:X\to U(\mathrm{F}(X))\) injektif, dengan \(U\) funktor pelupa dari kategori grup ke kategori himpunan. Petunjuk. Misalkan \(x\neq y\) unsur-unsur dari \(X\). Terdapat grup \(H\) beserta pemetaan himpunan \(f:X\to U(H)\) sedemikian sehingga \(f(x)\neq f(y)\).

(P. Freyd) Misalkan kategori \(\mathcal{D}\) lengkap dan funktor \(G:\mathcal{D}\to\ensuremath{\mathsf{Set}}\) mempertahankan semua \(\varprojlim\) kecil serta memenuhi syarat himpunan solusi berikut: terdapat subhimpunan kecil \(\Gamma\subset\operatorname{Ob}(\mathcal{D})\) sedemikian sehingga, untuk setiap \(d\in\operatorname{Ob}(\mathcal{D})\) dan \(p\in Gd\), terdapat \(x\in\Gamma\), \(q\in Gx\), dan morfisme \(f:x\to d\) dengan \((Gf)(q)=p\). Buktikan bahwa \(G\) terwakili. Petunjuk. Nyatakan objek dari \(\left(\{\mathrm{pt}\}/G\right)\) sebagai data \((d,p)\), dengan \(d\in\operatorname{Ob}(\mathcal{D})\) dan \(p\in Gd\). Syarat di atas setara dengan pernyataan bahwa \(\Gamma^\natural:=\left\{(x,q):x\in\Gamma,\;q\in Gx\right\}\) merupakan keluarga awal lemah bagi \(\left(\{\mathrm{pt}\}/G\right)\). Tunjukkan bahwa \(\left(\{\mathrm{pt}\}/G\right)\) mempunyai objek awal \((r_G,u_G)\). Dengan mengikuti argumen dalam persamaan, tunjukkan bahwa untuk setiap \(d\) terdapat bijeksi \[\text{READERDIAGRAM0014}\]

---

1. Catatan penerjemah (O014-C020): subskrip dikoreksi dari \(\mathcal{C}\) menjadi \(\mathcal{E}\), yaitu kategori yang diperkenalkan dalam definisi ini.↩︎

Kategori Abelian

Kategori abelian adalah kategori aditif yang mempunyai kernel dan kokernel, serta semua morfismenya ketat. Untuk suatu gelanggang \(R\), kategori ini memperumum kategori modul kiri \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) atau kategori modul kanan \(\ensuremath{\mathsf{Mod}\text{-}}R\). Di dalamnya dapat dikaji beragam konsep, seperti objek injektif, objek projektif, kompleks, homologi/kohomologi, dan barisan eksak. Kategori modul merupakan purwarupa kategori abelian, tetapi belum menggambarkan keseluruhan hakikatnya. Ada dua alasan.

1. Dalam kategori abelian pada umumnya, objek tidak mempunyai elemen dan morfisme bukan pemetaan. Karena itu, metode pengejaran diagram dari kategori modul tidak lagi dapat digunakan; barisan-barisan eksak paling mendasar harus diturunkan melalui operasi pada objek dan funktor. Contoh yang menonjol ialah lema ular dan lema lima yang dibahas dalam § 2.3; pembuktiannya bertumpu pada semacam pengganti pengejaran diagram (Lema pada § 2.3). Meskipun demikian, argumennya tetap jauh lebih rumit daripada versi untuk kategori modul.

2. Bahkan jika kita berangkat dari kategori modul atau subkategori abeliannya, kategori abelian abstrak tetap muncul ketika kita mengkaji kategori funktor, lokalisasi, atau kuosien Serre. Dalam geometri dan topologi, kajian teori berkas secara alami mengarah pada konstruksi semacam ini.

Teorema pembenaman Freyd–Mitchell dalam Lampiran B.6 menyatakan bahwa setiap kategori abelian kecil dapat dibenamkan secara penuh dan setia ke suatu \(\ensuremath{\mathsf{Mod}\text{-}}R\), dengan funktor pembenaman yang mempertahankan barisan eksak. Setelah hasil ini diterima, banyak pernyataan mengenai barisan eksak dapat dengan mudah direduksi ke kasus \(\ensuremath{\mathsf{Mod}\text{-}}R\). Teknik reduksi tersebut memungkinkan pengejaran diagram tetap digunakan, tetapi manfaat utamanya mungkin berupa ketenangan psikologis: di satu pihak, reduksi itu tidak menyentuh hakikat kategori abelian; di pihak lain, bagaimana pun teorema pembenaman dibuktikan, sejumlah fakta inti mengenai kategori abelian tidak dapat dielakkan dan harus dibangun dari awal. Isi bab ini tidak bergantung pada teorema pembenaman dan, secara logis, juga tidak bergantung pada teori modul. Namun, pembaca diharapkan mempunyai pemahaman dasar tentang aljabar homologis pada kategori modul; keterampilan mengejar diagram tetap berguna dan, dari segi urutan belajar, mungkin masih diperlukan. Pembaca disarankan merujuk pada [Li1] atau bagian terkait dalam buku ajar lain. § B.6 pada lampiran buku ini akan menurunkan teorema pembenaman sebagai suatu penerapan konstruksi Ind. Kategori abelian yang kolengkap, mempunyai generator, serta memiliki \(\varinjlim\) kecil terfilter yang semuanya eksak disebut kategori Grothendieck. Inilah pokok bahasan bagian terakhir, § 2.10; syarat-syarat tersebut berkaitan langsung dengan asumsi mengenai ukuran himpunan. Kategori Grothendieck kerap muncul dalam geometri dan mempunyai sifat-sifat yang lebih baik, misalnya kelengkapan (Korolari pada § 2.10) dan keberadaan resolusi injektif kanonik (Teorema pada § 2.10). Dibandingkan dengan kategori abelian umum, kategori Grothendieck lebih menyerupai kategori modul; makna konkret pernyataan ini akan dijelaskan oleh Teorema Gabriel–Popescu dalam Lampiran A.3. Beberapa teorema isomorfisme dasar dalam teori modul tetap berlaku bagi kategori abelian umum. Hal yang sama berlaku bagi konsep-konsep dasar seperti subobjek, objek kuosien, dekomposisi jumlah langsung, objek tak terurai, objek sederhana, dan deret komposisi; semuanya merupakan pokok penting dalam aljabar. Konsep-konsep ini akan dibahas dalam §§ 2.5– 2.7 pada bab ini. Sebagai contoh, Teorema Krull–Remak–Schmidt tentang dekomposisi jumlah langsung mempunyai perumuman abstrak (Teorema pada § 2.5). Bahasa teori kisi berguna untuk tujuan ini; lihat penjelasan dalam § 2.4. Perlu ditekankan bahwa berbagai pernyataan yang melibatkan jumlah langsung tak hingga sering kali baru berlaku dalam kategori Grothendieck. § 2.9 dalam bab ini dimulai dengan definisi dan karakterisasi subkategori abelian, lalu memperkenalkan pembentukan kuosien suatu kategori abelian terhadap jenis subkategori abelian tertentu, yang disebut subkategori Serre; hasilnya disebut kuosien Serre. Kuosien ini dicirikan oleh sifat universal dan dapat dikonstruksi melalui lokalisasi yang diperkenalkan dalam §rujukan. Bagian tersebut juga memperkenalkan grup \(\mathrm{K}_0\) dari suatu kategori abelian beserta sifat-sifat dasarnya, termasuk prinsip Euler–Poincaré (Teorema pada § 2.9) dan barisan eksak bagi \(\mathrm{K}_0\) dari kuosien Serre (Proposisi pada § 2.9). Teknik-teknik ini lazim dalam penerapan. Perlu dicatat bahwa konstruksi grup \(\mathrm{K}_0\) berlaku bagi kelas struktur yang lebih luas daripada kategori abelian, yaitu kategori eksak; teorinya dapat dipelajari dalam [Bu10]. Grup \(\mathrm{K}_0\) sendiri hanyalah titik awal dari deret grup abelian \(\mathrm{K}_n\) (\(n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 0}\)). Pemahaman yang memadai tentang grup K tingkat tinggi memerlukan sudut pandang teori homotopi, terutama konsep “spektrum”, dan berada di luar cakupan buku ini.

Petunjuk Bacaan. Sebagaimana disebutkan di atas, pembaca sebaiknya memahami sampai tingkat tertentu operasi konkret dalam kategori modul. Untuk teori dasar kompleks beserta kohomologinya, materi §§ 2.1– 2.8 wajib dikuasai. Selain pembahasan subkategori abelian, isi § 2.9 relatif jarang digunakan dalam bagian-bagian berikutnya, tetapi tetap merupakan pengetahuan umum dan berkaitan dengan sejumlah definisi dalam pembahasan kategori turunan. § 2.10 tentang kategori Grothendieck merupakan materi tambahan yang memerlukan argumen relatif rumit dan pengetahuan dari lampiran; pembaca pemula dapat melewatinya terlebih dahulu.

Kompleks yang dinyatakan sebagai data \((X^n,d^n)_n\) (dengan \(d^n:X^n\to X^{n+1}\)) juga disebut kompleks kokrantai. Jika alih-alih itu digunakan indeks bawah, yakni \((X_n,d_n)_n\) dengan \(d_n:X_n\to X_{n-1}\), kompleks itu disebut kompleks rantai. Selain dalam Bab 8, buku ini terutama menggunakan notasi kompleks kokrantai.

Definisi Kategori Abelian

Pada § rujukan telah diperkenalkan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) dan kategori aditif. Kategori abelian yang dikaji dalam bab ini membentuk kelas khusus kategori aditif.

Definisi (Kategori abelian). Misalkan \(\mathcal{A}\) merupakan kategori aditif. Jika setiap morfisme dalam \(\mathcal{A}\) mempunyai kernel dan kokernel, serta semua morfisme tersebut ketat (Definisi rujukan), maka \(\mathcal{A}\) disebut kategori abelian.

Jika \(\mathcal{A}\) juga merupakan kategori \(\Bbbk\)-linear (Definisi rujukan), maka kategori tersebut disebut kategori abelian \(\Bbbk\)-linear.

Catatan. Kategori abelian mempunyai semua \(\varprojlim\) hingga dan semua \(\varinjlim\) hingga. Hal ini karena produk hingga dan koproduk hingga ada (keduanya merupakan biproduk), sedangkan penyama dan kopenyama juga ada (Catatan rujukan); data tersebut cukup untuk membangun semua \(\varprojlim\) hingga dan \(\varinjlim\) hingga. Lihat [Li1].

Menurut Contoh rujukan, untuk setiap gelanggang \(R\), kategori \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\) merupakan kategori abelian. Dengan memakai \(R^{\text{op}}\) sebagai pengganti \(R\), terlihat bahwa kategori modul kanan \(\ensuremath{\mathsf{Mod}\text{-}}R\) juga demikian; dengan mengambil kasus khusus \(R = \ensuremath{\mathbb{Z}}\), terlihat bahwa \(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) merupakan kategori abelian. Sebaliknya, \(\ensuremath{\mathsf{Ban}}_{\ensuremath{\mathbb{C}}}\) yang ditinjau dalam contoh yang sama bukan kategori abelian, karena \(\ensuremath{\mathsf{Ban}}_{\ensuremath{\mathbb{C}}}\) mempunyai morfisme yang tidak ketat.

Proposisi. Jika kategori aditif \(\mathcal{A}\) merupakan kategori abelian, maka \(\mathcal{A}^{\operatorname{op}}\) juga merupakan kategori abelian.

Bukti. Kernel dan kokernel saling dual, sedangkan Catatan rujukan menunjukkan bahwa dalam \(\mathcal{A}\), morfisme \(\operatorname{coim}(f) \to \operatorname{im}(f)\) tidak lain adalah, dalam \(\mathcal{A}^{\operatorname{op}}\), morfisme \(\operatorname{coim}(f^{\operatorname{op}}) \to \operatorname{im}(f^{\operatorname{op}})\).

Salah satu cara abstrak untuk membentuk kategori abelian baru dari kategori abelian yang telah ada ialah dengan mengambil kategori funktor. Pertama-tama perhatikan bahwa, jika \(\mathcal{A}\) merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\), maka untuk setiap¹ kategori \(I\), kategori funktor \(\mathcal{A}^I\) juga secara alami merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\). Untuk funktor \(F, G: I \rightrightarrows \mathcal{A}\), penjumlahan dalam \(\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}^I}(F, G)\) didefinisikan pada setiap objek melalui \((\varphi_i)_i + (\psi_i)_i := (\varphi_i + \psi_i)_i\).

Proposisi. Misalkan \(\mathcal{A}\) merupakan kategori abelian. Untuk setiap kategori \(I\), kategori funktor \(\mathcal{A}^I\) juga merupakan kategori abelian.

Bukti. Berdasarkan Proposisi rujukan, produk dan koproduk hingga, serta kernel dan kokernel, dalam \(\mathcal{A}^I\) dibangun pada setiap objek. Citra dan kocitra suatu morfisme, dan karena itu juga morfisme kanonik \(\operatorname{coim}\to \operatorname{im}\), dibangun dengan cara yang sama. Dengan demikian, semua syarat kategori abelian bagi \(\mathcal{A}^I\) dapat direduksi menjadi syarat-syarat yang sama bagi \(\mathcal{A}\).

Setiap morfisme \(f: X \to Y\) dalam kategori abelian mempunyai faktorisasi epi–mono yang unik (Proposisi rujukan), yang secara eksplisit dapat diambil sebagai \(X \twoheadrightarrow \left(\operatorname{coim}(f) \simeq \operatorname{im}(f)\right) \hookrightarrow Y\). Karena itu, Lema rujukan (iii) langsung memberikan \[\operatorname{ker}(f) = \operatorname{ker}[X \to \operatorname{im}(f)], \quad \operatorname{coker}(f) = \operatorname{coker}[\operatorname{im}(f) \to Y].\]

Catatan. Untuk morfisme-morfisme \(X \xrightarrow{f} Z \xleftarrow{g} Y\) dalam kategori abelian, konstruksi produk serat (lihat Catatan rujukan) menunjukkan bahwa \(X \ensuremath{\underset{Z}{\times}} Y\) tidak lain adalah penyama dari

\(\operatorname{ker}[ X \oplus Y \xrightarrow{(f, -g)} Z ]\). Tentu saja, morfisme \(X \leftarrow X \ensuremath{\underset{Z}{\times}} Y \rightarrow Y\) yang dibawa oleh produk serat berasal dari proyeksi \(X \xleftarrow{p_1} X \oplus Y \xrightarrow{p_2} Y\).

Untuk \(X' \xleftarrow{f'} Z' \xrightarrow{g'} Y'\), konstruksi koproduk serat merealisasikan \(X' \ensuremath{\underset{Z'}{\sqcup}} Y'\) sebagai \(\operatorname{coker}[ Z' \xrightarrow{(-f', g')} X' \oplus Y']\), sedangkan morfisme \(X' \rightarrow X' \ensuremath{\underset{Z'}{\sqcup}} Y' \leftarrow Y'\) berasal dari \(X' \xrightarrow{\iota_1} X' \oplus Y' \xleftarrow{\iota_2} Y'\). Sifat-sifat ini memang jelas dalam kasus modul.

Hasil berikut akan digunakan berulang kali.

Proposisi. Misalkan diagram dalam kategori abelian \(\mathcal{A}\)

\(g\) merupakan epimorfisme (atau \(f\) merupakan monomorfisme). Maka diagram tersebut juga merupakan diagram dorong keluar (atau tarik balik), dan \(f\) merupakan epimorfisme (atau \(g\) merupakan monomorfisme).

Bukti. Cukup ditangani kasus diagram tarik balik. Akan ditunjukkan bahwa

Pernyataan mengenai \(\operatorname{ker}\) langsung mengikuti deskripsi \(X \simeq X' \ensuremath{\underset{Y'}{\times}} Y\) sebagai kernel dalam Catatan rujukan. Selain itu, karena \(g = (g, -b) \iota_1\), sifat epimorfisme \(g\) mengakibatkan \((g, -b)\) juga merupakan epimorfisme.

Dengan demikian, \(Y' = \operatorname{im}((g, -b)) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\leftarrow}} \operatorname{coker}[X \xrightarrow{(a,f)} X' \oplus Y ]\). Dengan mengubah sudut pandang dan memakai deskripsi koproduk serat sebagai kokernel dalam Catatan rujukan, segera terlihat bahwa \[\text{READERDIAGRAM0002}\] merupakan diagram dorong keluar. Dengan mengomposisikan masing-masing kolom dengan automorfisme \(-\ensuremath{\mathrm{id}}_X\) dan \(-\ensuremath{\mathrm{id}}_Y\), diperoleh kembali diagram semula, yang tetap merupakan diagram dorong keluar. Dalam kasus dorong keluar, telah diketahui bahwa \(\operatorname{coker}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{coker}(g)\) (Proposisi rujukan); karena itu, \(f\) merupakan epimorfisme (Lema rujukan).

Korolari. Subkuosien dalam kategori abelian dapat didefinisikan secara ekuivalen sebagai objek kuosien dari suatu subobjek, atau sebagai subobjek dari suatu objek kuosien.

Bukti. Proposisi rujukan menunjukkan bahwa Proposisi rujukan dapat diterapkan pada setiap kategori abelian.

Untuk sebarang gelanggang \(R\), semua hasil di atas sudah lazim bagi kategori modul kiri \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\); hal yang sama berlaku bagi kategori modul kanan.

---

1. Jika tidak ingin \(\mathcal{A}^I\) menjadi kategori besar, anggaplah \(I\) kecil. Hal ini tidak membawa dampak substantif di sini.↩︎

Mengenal Kompleks

Titik pangkal bagian ini adalah morfisme-morfisme dalam kategori abelian yang memenuhi \(gf = 0\), yaitu \(X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z\). Komposisi \(\operatorname{ker}(g) \hookrightarrow Y \twoheadrightarrow \operatorname{coker}(f)\) memberikan morfisme \(\operatorname{ker}(g) \to \operatorname{coker}(f)\); yang menjadi perhatian kita ialah faktorisasi epi–mononya. Ada dua sudut pandang yang saling dual.

Lema. Misalkan dalam kategori abelian \(\mathcal{A}\) terdapat morfisme-morfisme \(f: X \to Y\) dan \(g: Y \to Z\) yang memenuhi \(gf = 0\).

1. Terdapat morfisme-morfisme \(\varphi\) dan \(\psi\) yang unik sehingga diagram-diagram berikut komutatif:

   \(\varphi\) merupakan monomorfisme dan \(\psi\) merupakan epimorfisme.

2. Morfisme \(\operatorname{ker}(g) \to \operatorname{coker}(f)\) mempunyai dua faktorisasi epi–mono yang diperlihatkan dalam diagram berikut; keduanya dihubungkan oleh isomorfisme unik \(\operatorname{coker}(\varphi) \simeq \operatorname{ker}(\psi)\):

Bukti. Pertama-tama tinjau (i). Kedua diagram saling dual (Catatan rujukan dan Proposisi rujukan): diagram kanan sama artinya dengan meninjau dalam \(\mathcal{A}^{\operatorname{op}}\) rangkaian \(Z \xrightarrow{g^{\operatorname{op}}} Y \xrightarrow{f^{\operatorname{op}}} X\). Karena itu, untuk persamaan, cukup ditinjau kasus \(\varphi\).

Syarat \(gf=0\) sama artinya dengan mengatakan bahwa \(f\) berfaktor melalui \(\operatorname{ker}(g) \hookrightarrow Y\). Dengan menerapkan Lema rujukan tentang kocitra pada faktorisasi ini, diperoleh \(\varphi\). Selanjutnya, karena \(X \to \operatorname{coim}(f)\) merupakan epimorfisme, faktorisasi \(f\) sebagai \(X \twoheadrightarrow \operatorname{coim}(f) \xrightarrow{\overline{f}} Y\) bersifat unik. Di sini \(\overline{f}\) dapat diambil sebagai komposisi \(\operatorname{coim}(f) \xrightarrow{\varphi} \operatorname{ker}(g) \hookrightarrow Y\), atau sebagai komposisi \(\operatorname{coim}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{im}(f) \hookrightarrow Y\). Komposisi yang terakhir merupakan monomorfisme, sehingga \(\varphi\) pun merupakan monomorfisme.

Untuk memperoleh (ii), akan ditunjukkan bahwa terdapat monomorfisme unik \(\operatorname{coker}(\varphi) \hookrightarrow \operatorname{coker}(f)\) (atau epimorfisme \(\operatorname{ker}(g) \twoheadrightarrow \operatorname{ker}(\psi)\)) yang membuat diagram berikut komutatif:

rujukan.

Jadi, tinggal membangun diagram di atas. Karena kedua diagram saling dual, cukup dibahas diagram kiri. Lema rujukan (iii) menunjukkan bahwa \(\operatorname{coker}(\varphi)\) juga dapat diidentifikasi dengan kokernel komposisi \(X \to \operatorname{ker}(g)\). Karena itu, morfisme yang dicari berasal dari funktorialitas kokernel dan dicirikan oleh persamaan. Mengapa morfisme tersebut merupakan monomorfisme? Proposisi rujukan menyatakan kokernel morfisme komposit sebagai dorong keluar dari kokernel semula; secara eksplisit, diagramnya ialah

rujukan kemudian menunjukkan bahwa morfisme pada baris kedua merupakan monomorfisme.

Dalam situasi Lema rujukan, tuliskan \[\begin{equation} \hypertarget{eqn:homology-3}{}\begin{aligned} \operatorname{H}\left[ X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \right] & := \operatorname{coker}\left[ \operatorname{im}(f) \xrightarrow{\varphi} \operatorname{ker}(g) \right] \\ & \simeq \operatorname{ker}\left[ \operatorname{coker}(f) \xrightarrow{\psi} \operatorname{im}(g) \right] ; \end{aligned} \end{equation}\] objek ini juga dapat dicirikan sebagai suku tengah dalam faktorisasi epi–mono dari \(\operatorname{ker}(g) \to \operatorname{coker}(f)\). Seperti yang diharapkan, persamaan bersifat funktorial.

Proposisi. Diberikan diagram komutatif dalam kategori abelian

\(\Phi: \operatorname{H}[X \to Y \to Z] \to \operatorname{H}[X' \to Y' \to Z']\) yang membuat diagram berikut komutatif:

rujukan.

Bukti. Dengan argumen seperti dalam Lema rujukan, jika \(\Phi\) ada maka morfisme tersebut unik, dan cukup diperiksa bahwa \(\Phi\) membuat persegi kanan komutatif. Konstruksinya sebagai berikut. Karena \(\operatorname{im}(g) = \operatorname{ker}[Z \to \operatorname{coker}(g)]\) dan \(\operatorname{im}(g') = \operatorname{ker}[Z' \to \operatorname{coker}(g')]\), funktorialitas kernel memberikan morfisme unik \(\operatorname{im}(g) \to \operatorname{im}(g')\) yang membuat separuh kanan diagram berikut komutatif:

rujukan menunjukkan bahwa separuh kiri juga komutatif. Morfisme \(\operatorname{ker}(\psi) \to \operatorname{ker}(\psi')\) yang diinduksi olehnya adalah morfisme yang dicari.

Proposisi. Diberikan morfisme-morfisme yang memenuhi \(gf = 0\) dan \(g' f' = 0\), terdapat isomorfisme kanonik \[\begin{multline*} \operatorname{H}\left[ X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \right] \oplus \operatorname{H}\left[ X' \xrightarrow{f'} Y' \xrightarrow{g'} Z' \right] \\ \simeq \operatorname{H}\left[ X \oplus X' \xrightarrow{f \oplus f'} Y \oplus Y' \xrightarrow{g \oplus g'} Z \oplus Z' \right]. \end{multline*}\]

Bukti. Gunakan morfisme-morfisme \(\iota\), \(p\), dan seterusnya yang terkait dengan biproduk, seperti dalam persamaan. Berdasarkan funktorialitas pada Proposisi rujukan, morfisme-morfisme itu juga menginduksi

Berdasarkan karakterisasi morfisme terinduksi \(\Phi\) dalam Proposisi rujukan, kita juga mengetahui bahwa \((a,b,c) \mapsto \Phi\) serasi dengan komposisi, mempertahankan penjumlahan, memetakan \(0\) ke \(0\), serta memetakan \(\ensuremath{\mathrm{id}}\) ke \(\ensuremath{\mathrm{id}}\). Jadi, morfisme yang diinduksi pada tingkat \(\operatorname{H}[\cdots]\) juga memenuhi identitas-identitas biproduk persamaan.

Perhatikan bahwa pernyataan di atas belum tentu berlaku bagi koproduk tak hingga atau produk tak hingga dalam kategori abelian umum.

Definisi (Kompleks). Misalkan \(\mathcal{A}\) merupakan kategori aditif. Tinjau suatu barisan morfisme dalam \(\mathcal{A}\) \[\cdots \to X^n \xrightarrow{d^n} X^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} X^{n+2} \to \cdots.\] Barisan tersebut dapat terdiri atas berhingga banyak suku, menjulur tak hingga ke satu atau kedua arah, ataupun membentuk siklus. Jika \(d^{n+1} d^n = 0\) untuk setiap \(n\), data \((X^n, d^n)_n\) disebut kompleks; notasi yang lazim ialah \((X^\bullet, d^\bullet)\), \(X^\bullet\), atau \(X\). Suku \(X^n\) secara konvensional disebut suku berderajat \(n\) dari kompleks \(X\).

Bab ini terutama berfokus pada kategori abelian, yang memungkinkan kohomologi dan keeksakan kompleks dikaji.

Definisi (Kohomologi dan barisan eksak). Misalkan \(\mathcal{A}\) merupakan kategori abelian.

• Untuk kompleks \(X\), sesuai dengan persamaan, kohomologi di suku \(X^n\) yang bukan merupakan suku ujung didefinisikan sebagai \[\operatorname{H}^n(X) = \operatorname{H}^n(X^\bullet, d^\bullet) := \operatorname{H}\left[ X^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} X^n \xrightarrow{d^n} X^{n+1} \right].\]

• Jika \(\operatorname{H}^n(X) = 0\), kompleks \(X\) disebut eksak di \(X^n\); hal ini ekuivalen dengan \(\operatorname{im}(d^{n-1}) = \operatorname{ker}(d^n)\). Kompleks yang eksak di setiap suku disebut barisan eksak; kompleks eksak juga disebut asiklik.

Sifat-sifat kohomologi merupakan salah satu tema utama buku ini dan akan dikaji lebih lanjut di § 3.6 (“Kompleks dalam Kategori Abelian”).

Catatan (Homologi kompleks rantai). Dalam Definisi rujukan, pilih penomoran menurun dan gunakan subskrip, yakni \[\cdots \to X_n \xrightarrow{d_n} X_{n-1} \to \cdots, \quad d_{n-1} d_n = 0,\] semua definisi sebelumnya berlaku tanpa perubahan. Karena konvensi yang berasal dari topologi, versi dengan penomoran menaik \((X^\bullet, d^\bullet)\) lazim disebut kompleks kokrantai, sedangkan versi dengan penomoran menurun \((X_\bullet, d_\bullet)\) disebut kompleks rantai. Untuk kompleks rantai \(X\) dalam kategori abelian, objek homologi di suku \(X_n\) didefinisikan sebagai objek \(\mathcal{A}\) \[\operatorname{H}_n(X) = \operatorname{H}_n(X_\bullet, d_\bullet) := \operatorname{H}\left[ X_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} X_n \xrightarrow{d_n} X_{n-1} \right].\]

Dalam aljabar, kompleks (yakni kompleks kokrantai) dan kompleks rantai hanya berbeda dalam notasi, dan peralihan di antara keduanya bersifat langsung. Untuk kategori aditif \(\mathcal{A}\), salah satu cara yang tetap sepenuhnya berada di dalam kategori tersebut ialah mencerminkan indeks dengan menetapkan \[X^n := X_{-n}, \quad d^n := d_{-n}.\] Cara lain ialah membalik anak panah, yang melibatkan kategori lawan. Jika kompleks dalam \(\mathcal{A}\) \[\cdots \to X^n \xrightarrow{d^n} X^{n+1} \to \cdots\] dipandang dalam \(\mathcal{A}^{\operatorname{op}}\), kompleks itu menjadi kompleks rantai \[\begin{gather*} \cdots \leftarrow X_n \xleftarrow{d_{n+1}} X_{n+1} \leftarrow \cdots, \\ X_n := X^n, \quad d_{n+1} := d^{n, \operatorname{op}}. \end{gather*}\]

Jika \(\mathcal{A}\) merupakan kategori abelian dan dalam \(\mathcal{A}^{\operatorname{op}}\) kompleks rantai \((X_\bullet, d_\bullet)\) didefinisikan dengan membalik anak panah, terdapat isomorfisme kanonik \(\operatorname{H}^n(X^\bullet) \simeq \operatorname{H}_n(X_\bullet)\). Khususnya, \(X^\bullet\) eksak jika dan hanya jika \(X_\bullet\) eksak. Untuk melihat hal ini, cukup perhatikan bahwa \(\operatorname{H}[X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z]\) dapat dicirikan sebagai suku tengah dalam faktorisasi epi–mono dari \(\operatorname{ker}(g) \to \operatorname{coker}(f)\). Jika dipandang dalam \(\mathcal{A}^{\operatorname{op}}\), objek yang sama juga merupakan suku tengah dalam faktorisasi epi–mono dari \(\operatorname{ker}(f^{\operatorname{op}}) \to \operatorname{coker}(g^{\operatorname{op}})\).

Keeksakan suatu kompleks dapat diperiksa suku demi suku. Selanjutnya, bentuk-bentuk khas berikut akan digunakan tanpa penjelasan tambahan.

Sebagai penerapan, setiap morfisme \(f: X \to Y\) memberikan barisan-barisan eksak pendek \[0 \to \operatorname{ker}(f) \to X \to \operatorname{im}(f) \to 0, \quad 0 \to \operatorname{im}(f) \to Y \to \operatorname{coker}(f) \to 0,\] yang dapat disambung menjadi barisan eksak \(0 \to \operatorname{ker}(f) \to X \xrightarrow{f} Y \to \operatorname{coker}(f) \to 0\). Selanjutnya, andaikan \(f\) dapat dimasukkan ke dalam suatu barisan eksak berbentuk \[L' \xrightarrow{\lambda} L \to X \xrightarrow{f} Y \to R \xrightarrow{\rho} R''\] dengan \(\lambda, \rho\) keduanya isomorfisme. Keeksakan kemudian memaksa \(L \to X\) dan \(Y \to R\) keduanya bernilai \(0\), sehingga \(\operatorname{ker}(f) = 0\) dan \(\operatorname{im}(f) = Y\); dengan kata lain, \(f\) merupakan isomorfisme. Ini merupakan teknik yang lazim untuk menguji apakah suatu morfisme merupakan isomorfisme. Biproduk yang ditinjau dalam § rujukan menghasilkan suatu kelas barisan eksak pendek yang sangat sederhana; Proposisi pada § 2.5 (bagian “Dekomposisi Jumlah Langsung”) akan memberikan karakterisasinya.

Proposisi. Misalkan \(X_1, X_2\) merupakan objek kategori abelian \(\mathcal{A}\). Maka \(0 \to X_1 \xrightarrow{\iota_1} X_1 \oplus X_2 \xrightarrow{p_2} X_2 \to 0\) merupakan barisan eksak pendek.

Bukti. Ambil barisan-barisan eksak pendek \(0 \to X_1 \xrightarrow{\ensuremath{\mathrm{id}}} X_1 \to 0 \to 0\) dan \(0 \to 0 \to X_2 \xrightarrow{\ensuremath{\mathrm{id}}} X_2 \to 0\). Proposisi rujukan menunjukkan bahwa jumlah langsung keduanya tetap eksak.

Beberapa Lema Diagram

Argumen dalam bagian ini mengikuti [KS06]. Kita mulai dengan suatu kriteria keeksakan yang dapat dipandang sebagai pengganti pengejaran diagram [Li1] dalam kategori abelian umum. Sepanjang bagian ini, tetapkan suatu kategori abelian \(\mathcal{A}\).

Lema. Misalkan \(X' \xrightarrow{f} X \xrightarrow{g} X''\) merupakan kompleks. Kompleks ini eksak jika dan hanya jika, untuk setiap morfisme \(S \xrightarrow{h} X\) yang memenuhi \(gh=0\), terdapat morfisme \(S' \to X'\) dan epimorfisme \(S' \twoheadrightarrow S\) yang membuat diagram berikut komutatif:

Bukti. Pertama, tinjau arah “hanya jika”. Morfisme \(f\) dan \(h\) sama-sama berfaktor melalui \(\operatorname{ker}(g)\). Berdasarkan faktorisasi itu, ambil \(S' := S \ensuremath{\underset{\operatorname{ker}(g)}{\times}} X'\), sedangkan \(S' \to S\) dan \(S' \to X'\) diambil sebagai morfisme alami dari produk serat. Keeksakan mengakibatkan \(X' \twoheadrightarrow \operatorname{ker}(g)\), sehingga Proposisi rujukan mengakibatkan \(S' \to S\) juga merupakan epimorfisme.

Sekarang perhatikan arah “jika”. Untuk \(S := \operatorname{ker}(g)\) dengan morfisme alaminya \(h: S \hookrightarrow X\), hipotesis memberikan bagian bergaris penuh dari diagram berikut:

\(\alpha\), berasal dari faktorisasi \(f\) yang diberikan oleh \(gf=0\). Akan ditunjukkan bahwa diagram tersebut komutatif. Bingkai luar dan segitiga kanan bawah sudah diketahui komutatif. Karena itu, dua morfisme pada segitiga kiri atas menjadi sama setelah dikomposisikan dengan \(h\). Karena \(h\) merupakan monomorfisme, segitiga kiri atas juga komutatif; pernyataan pun terbukti. Terakhir, diagram memperlihatkan bahwa komposisi \(S' \to X' \xrightarrow{\alpha} S\) merupakan epimorfisme, sehingga \(\alpha\) merupakan epimorfisme. Dengan demikian, \(f\) mempunyai faktorisasi epi–mono \(X' \twoheadrightarrow \operatorname{ker}(g) \hookrightarrow X\), yang memberikan \(\operatorname{im}(f) = \operatorname{ker}(g)\). Jadi, kompleks tersebut eksak.

Untuk pendekatan lain yang menggantikan pengejaran diagram dalam kategori abelian umum, lihat [stacks]. Sekarang kita membahas Lema Ular, yang sangat diperlukan dalam penerapan. Tinjau diagram

dengan ketentuan berikut:

• \(X' \xrightarrow{f} X \xrightarrow{g} X'' \to 0\) dan \(0 \to Y' \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Y''\) merupakan barisan eksak yang diberikan;

• \(\operatorname{ker}' := \operatorname{ker}[X' \to Y'] \hookrightarrow X'\), sedangkan \(\operatorname{ker}\) dan \(\operatorname{ker}''\) didefinisikan dengan cara yang sama;

• \(Y' \twoheadrightarrow \operatorname{coker}' := \operatorname{coker}[X' \to Y']\), sedangkan \(\operatorname{coker}\) dan \(\operatorname{coker}''\) didefinisikan dengan cara yang sama;

• morfisme-morfisme \(\operatorname{ker}' \to \operatorname{ker}\), \(\operatorname{coker}' \to \operatorname{coker}\), dan sebagainya berasal dari funktorialitas kernel dan kokernel dalam persamaan.

Dengan demikian, persamaan merupakan diagram komutatif; setiap kolom dan kedua baris tengahnya eksak. Berikut akan dijelaskan cara membangun morfisme penghubung bergaris putus-putus \(\delta: \operatorname{ker}'' \to \operatorname{coker}'\). Langkah pertama ialah menurunkan diagram komutatif berikut dari persamaan; semua barisnya eksak:

Di sini berlaku ketentuan berikut:

Perhatikan bahwa komposisi \(\operatorname{ker}(g) \dashrightarrow Y' \to \operatorname{coker}'\) dalam persamaan bernilai \(0\), karena setelah diprakomposisikan dengan \(X' \twoheadrightarrow \operatorname{im}(f) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{ker}(g)\) hasilnya bernilai \(0\). Secara serupa, komposisi \(\operatorname{ker}'' \to X'' \dashrightarrow \operatorname{coker}(u)\) bernilai \(0\), karena komposisi selanjutnya dengan \(\operatorname{coker}(u) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{im}(v) \hookrightarrow Y''\) bernilai \(0\). Notasikan komposisi sepanjang jalur tengah dalam persamaan sebagai \(\delta_0: X \ensuremath{\underset{X''}{\times}} \operatorname{ker}'' \to \operatorname{coker}' \ensuremath{\underset{Y'}{\sqcup}} Y\). Pengamatan di atas langsung memberikan \[\delta_0 s = 0, \quad t \delta_0 = 0.\] Karena itu, \(\delta_0\) mempunyai faktorisasi unik \[X \ensuremath{\underset{X''}{\times}} \operatorname{ker}'' \twoheadrightarrow \operatorname{coker}(s) \xrightarrow{\exists!} \operatorname{ker}(t) \hookrightarrow \operatorname{coker}' \ensuremath{\underset{Y'}{\sqcup}} Y .\]

Morfisme horizontal di sudut kanan atas dan kiri bawah dalam persamaan masing-masing diketahui merupakan epimorfisme dan monomorfisme. Oleh karena itu, \(\operatorname{coker}(s) \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{ker}''\) dan \(\operatorname{coker}' \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{ker}(t)\). Kesimpulannya, diperoleh morfisme kanonik yang dicari, \(\delta: \operatorname{ker}'' \to \operatorname{coker}'\).

Catatan. Sifat kanonik morfisme penghubung dapat dinyatakan secara lebih eksplisit sebagai berikut. Perhatikan diagram komutatif

\(\operatorname{ker}'\), \(\underline{\operatorname{ker}'}\), dan seterusnya. Morfisme-morfisme penghubung yang bersesuaian, \(\delta\) dan \(\underline{\delta}\), dapat disusun ke dalam diagram komutatif

\(\delta_0\) dan \(\underline{\delta_0}\) juga dapat ditempatkan dalam persegi komutatif yang bersesuaian. Semuanya mengikuti dari funktorialitas kernel, kokernel, produk, dan koproduk. Perinciannya diserahkan kepada pembaca.

Dua pengamatan berikut akan digunakan dalam pembuktian selanjutnya.

• Konstruksi morfisme penghubung bersifat swa-dual: jika persamaan dipandang di dalam \(\mathcal{A}^{\operatorname{op}}\), semua anak panah dibalik, sedangkan peran \(\operatorname{ker}'\) dan \(\operatorname{coker}'\) dan seterusnya dipertukarkan. Diagram yang diperoleh di dalam \(\mathcal{A}^{\operatorname{op}}\) masih menyerupai persamaan, hanya saja diputar setengah putaran; ketika morfisme penghubung yang bersangkutan dipandang kembali di dalam \(\mathcal{A}\), arahnya tetap dari \(\operatorname{ker}''\) ke \(\operatorname{coker}'\), dan morfisme ini berimpit dengan \(\delta\) yang telah dikonstruksi sebelumnya.

• Morfisme \(\operatorname{ker}\to \operatorname{ker}''\) dapat difaktorkan sebagai \(\operatorname{ker}\to X \ensuremath{\underset{X''}{\times}} \operatorname{ker}'' \to \operatorname{ker}''\). Dengan menelaah persamaan, tampak bahwa kedua komposisi morfisme \[\operatorname{ker}\to \operatorname{ker}'' \xrightarrow{\delta} \operatorname{coker}' \hookrightarrow \operatorname{coker}' \ensuremath{\underset{Y'}{\sqcup}} Y, \qquad \operatorname{ker}\to X \ensuremath{\underset{X''}{\times}} \operatorname{ker}'' \xrightarrow{\delta_0} \operatorname{coker}' \ensuremath{\underset{Y'}{\sqcup}} Y\] sama. Namun, komposisi yang kedua juga sama dengan komposisi \(\operatorname{ker}\to X \to Y \to \operatorname{coker}' \ensuremath{\underset{Y'}{\sqcup}} Y\), yaitu \(0\). Dengan demikian diperoleh \[\begin{equation} \hypertarget{eqn:snake-conn-complex}{} \operatorname{ker}\to \operatorname{ker}'' \xrightarrow{\delta} \operatorname{coker}' \quad \text{komposisinya adalah}\; 0. \end{equation}\]

Teorema (Lema Ular). Perhatikan diagram persamaan dalam kategori abelian \(\mathcal{A}\). Maka \(\operatorname{ker}' \to \operatorname{ker}\to \operatorname{ker}'' \xrightarrow{\delta} \operatorname{coker}' \to \operatorname{coker}\to \operatorname{coker}''\) merupakan barisan eksak. Jika dalam diagram tersebut \(f: X' \to X\) merupakan monomorfisme (atau \(v: Y \to Y''\) merupakan epimorfisme), maka \(\operatorname{ker}' \to \operatorname{ker}\) juga merupakan monomorfisme (atau \(\operatorname{coker}\to \operatorname{coker}''\) juga merupakan epimorfisme).

Bukti. Pernyataan terakhir mudah dibuktikan: jika \(f\) merupakan monomorfisme, maka komposisi \(\operatorname{ker}' \hookrightarrow X' \xrightarrow{f} X\) juga merupakan monomorfisme. Karena persamaan komutatif, hal ini menyiratkan bahwa \(\operatorname{ker}' \to \operatorname{ker}\) merupakan monomorfisme. Kasus ketika \(v\) merupakan epimorfisme diperoleh dengan membalik semua anak panah.

Bagian utama pembuktian ialah keeksakan barisan pertama. Berdasarkan sifat dual yang telah diamati, cukup dibuktikan bahwa \(\operatorname{ker}' \to \operatorname{ker}\to \operatorname{ker}'' \to \operatorname{coker}'\) eksak.

Pertama-tama, \(\operatorname{ker}' \to \operatorname{ker}\to \operatorname{ker}''\) merupakan kompleks. Memang, \(\operatorname{ker}' \to \operatorname{ker}\to \operatorname{ker}''\) diinduksi oleh \(X' \to X \to X''\), yang komposisinya adalah \(0\). Selanjutnya, gunakan Lema rujukan untuk membuktikan keeksakannya: andaikan morfisme \(\psi: S \to \operatorname{ker}\) membuat komposisi \(S \xrightarrow{\psi} \operatorname{ker}\to \operatorname{ker}''\) sama dengan \(0\). Kita perlu membangun diagram komutatif

\(\operatorname{ker}' \leftarrow S' \xrightarrow{h} S\) yang masih harus dikonstruksi. Untuk itu, pertama-tama terapkan Lema rujukan pada komposisi \(S \xrightarrow{\psi} \operatorname{ker}\to X\) untuk memperoleh diagram komutatif

\(S' \to X' \to Y' \xrightarrow{u} Y\) sama dengan komposisi \(S' \xrightarrow{\psi h} \operatorname{ker}\to X \to Y\), yakni \(0\). Karena \(u\) merupakan monomorfisme, komposisi \(S' \to X' \to Y'\) juga sama dengan \(0\). Oleh sebab itu, \(S' \to X'\) berfaktor melalui \(\operatorname{ker}'\), dan semua anak panah dalam persamaan pun diperoleh.

Sekarang perhatikan bagian kiri persamaan: bingkai luar dan persegi bawahnya komutatif. Lema rujukan yang sudah dikenal menunjukkan bahwa persegi atasnya juga komutatif. Jadi, \(\operatorname{ker}' \to \operatorname{ker}\to \operatorname{ker}''\) eksak.

Berikutnya, tinjau \(\operatorname{ker}\to \operatorname{ker}'' \xrightarrow{\delta} \operatorname{coker}'\). Persamaan persamaan terlebih dahulu menunjukkan bahwa barisan ini merupakan kompleks. Untuk membuktikan keeksakannya, kita kembali menggunakan Lema rujukan. Andaikan morfisme \(\psi: S \to \operatorname{ker}''\) memenuhi \(\delta \psi = 0\). Kita perlu membangun diagram komutatif berbentuk

\(\delta\) telah menunjukkan bahwa \(X \ensuremath{\underset{X''}{\times}} \operatorname{ker}'' \to \operatorname{ker}'' \to 0\) eksak. Oleh karena itu, terdapat diagram komutatif

Perhatikan komposisi \(S_1 \to X \ensuremath{\underset{X''}{\times}} \operatorname{ker}'' \to X \to Y \xrightarrow{v} Y''\). Dengan membandingkan diagram di atas dengan persamaan dan persamaan, diketahui bahwa komposisi ini sama dengan \(0\). Karenanya, \(S_1 \to X \ensuremath{\underset{X''}{\times}} \operatorname{ker}'' \to X \to Y\) berfaktor sebagai \(S_1 \xrightarrow{\xi} Y' \xrightarrow{u} Y\). Sekarang akan dibuktikan bahwa komposisi \(S_1 \xrightarrow{\xi} Y' \to \operatorname{coker}'\) sama dengan \(0\). Mulailah dengan diagram komutatif

Komposisi baris pertama diagram di atas ialah \(\delta \psi = 0\), sehingga demikian pula komposisi baris kedua. Akibatnya, komposisi \(S_1 \xrightarrow{\xi} Y' \xrightarrow{u} Y \to \operatorname{coker}' \ensuremath{\underset{Y'}{\sqcup}} Y\) sama dengan \(0\). Di sisi lain, komposisi \(Y' \xrightarrow{u} Y \to \operatorname{coker}' \ensuremath{\underset{Y'}{\sqcup}} Y\) sama dengan komposisi \(Y' \to \operatorname{coker}' \to \operatorname{coker}' \ensuremath{\underset{Y'}{\sqcup}} Y\). Dalam konstruksi \(\delta\) telah dibuktikan bahwa \(\operatorname{coker}' \to \operatorname{coker}' \ensuremath{\underset{Y'}{\sqcup}} Y\) merupakan monomorfisme. Jadi, komposisi \(S_1 \xrightarrow{\xi} Y' \to \operatorname{coker}'\) memang sama dengan \(0\).

Langkah berikutnya ialah menerapkan Lema rujukan pada barisan eksak \(X' \to Y' \to \operatorname{coker}'\). Diperoleh diagram komutatif

Tuliskan \(\lambda\) untuk komposisi \(S_0 \twoheadrightarrow S_1 \to X \ensuremath{\underset{X''}{\times}} \operatorname{ker}'' \to X\). Tuliskan pula morfisme \(X' \to Y'\) dan \(X \to Y\) berturut-turut sebagai \(a\) dan \(b\). Dari uraian di atas diperoleh diagram komutatif

\(\lambda\), sedangkan kekomutatifan trapesium di sebelah kanan berasal dari pembahasan sebelumnya tentang \(\xi\).

Dengan demikian, segera diperoleh \(b\lambda = bfk\), sehingga \(\lambda - fk: S_0 \to X\) berfaktor melalui \(\operatorname{ker}= \operatorname{ker}(b) \hookrightarrow X\). Terakhir, perhatikan diagram

persamaan, cukup ditunjukkan bahwa persegi atasnya komutatif. Persegi bawah dan bagian yang melengkung telah diketahui komutatif; argumen yang lazim mereduksi persoalan ini menjadi kekomutatifan bingkai luar. Karena \(g(\lambda - fk) = g\lambda\), kekomutatifan bingkai luar tersebut mereduksi menjadi diagram komutatif yang telah diketahui (lihat persamaan):

Homomorfisme penghubung \(\delta\) dan Teorema rujukan jauh lebih sederhana dalam kategori modul \(R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\); lihat [Li1].

Proposisi (Lema Lima). Perhatikan diagram komutatif dengan baris-baris eksak dalam kategori abelian \(\mathcal{A}\):

1. Jika \(f_1\) merupakan epimorfisme dan \(f_2, f_4\) merupakan monomorfisme, maka \(f_3\) merupakan monomorfisme (hanya empat kolom pertama yang terlibat);

2. jika \(f_5\) merupakan monomorfisme dan \(f_2, f_4\) merupakan epimorfisme, maka \(f_3\) merupakan epimorfisme (hanya empat kolom terakhir yang terlibat);

3. jika \(f_1\) merupakan epimorfisme, \(f_5\) merupakan monomorfisme, dan \(f_2, f_4\) keduanya merupakan isomorfisme, maka \(f_3\) merupakan isomorfisme.

Bukti. Jelas bahwa (i) dan (ii) saling dual, sedangkan (iii) merupakan akibat dari (i)–(ii) dan Proposisi rujukan. Jadi, cukup dibuktikan (i).

Andaikan morfisme \(h: S \to X_3\) memenuhi \(f_3 h = 0\); kita perlu membuktikan bahwa \(h = 0\). Komposisi \(S \xrightarrow{h} X_3 \to X_4 \xrightarrow{f_4} Y_4\) sama dengan \(0\), sehingga komposisi \(S \xrightarrow{h} X_3 \to X_4\) juga sama dengan \(0\). Dengan menerapkan Lema rujukan pada barisan eksak \(X_2 \to X_3 \to X_4\), diperoleh diagram komutatif

Sekarang akan dikonstruksi diagram komutatif

\(f_3 h = 0\), komposisi \(S' \to X_2 \xrightarrow{f_2} Y_2 \to Y_3\) sama dengan \(0\). Penerapan Lema rujukan pada \(S' \to Y_2\) dan barisan eksak \(Y_1 \to Y_2 \to Y_3\) memberikan bagian kanan diagram. Penerapan Lema rujukan pada \(S'' \to Y_1\) dan barisan eksak \(X_1 \xrightarrow{f_1} Y_1 \to 0\) memberikan bagian kirinya.

Ambil komposisi \(S''' \to S'\) dan perhatikan diagram berikut:

dan

di dalam persegi itu dengan \(f_2\) di sebelah kanan. Karena kedua persegi \(\text{READERDIAGRAM0021}\) dan \(\text{READERDIAGRAM0022}\) komutatif dan \(f_2\) merupakan monomorfisme, persegi kiri atas juga komutatif.

Dengan demikian, komposisi \(S''' \twoheadrightarrow S' \twoheadrightarrow S \xrightarrow{h} X_3\) sama dengan \(0\), sehingga \(h=0\). Terbukti.

Bagian ini hanya memperkenalkan dua lema yang paling umum dipakai di antara sekian banyak lema diagram. Dengan bahasa bikompleks, G. Bergman menemukan Lema Salamander yang bersifat menyeluruh; lema ini merangkum Lema Ular dan beberapa lema diagram klasik dalam aljabar homologis. Pembaca yang berminat dipersilakan melihat [Be12].

Sekilas tentang Teori Kisi

Bagian ini memberikan pengantar singkat tentang suatu kelas struktur terurut parsial yang disebut kisi. Pembahasan ini akan membantu memperjelas struktur kategori abelian. Sepanjang bagian ini, kita akan meninjau berbagai himpunan terurut parsial \((P, \leq)\); kategori yang bersesuaian dengannya dilambangkan dengan \(\mathcal{P}\). Untuk setiap himpunan bagian \(S\) dari suatu himpunan terurut parsial \((P, \leq)\), terdapat konsep batas atas, batas bawah, supremum \(\sup S\), dan infimum \(\inf S\). Himpunan bagian \(S \subset P\) mempunyai supremum (atau infimum) jika dan hanya jika koproduk (atau produk) semua objek dalam \(S\) ada dalam kategori \(\mathcal{P}\); dalam hal ini supremum (atau infimum) tersebut adalah koproduk (atau produk) itu.

Definisi. Jika setiap dua unsur \(a,b\) dari himpunan terurut parsial \((P, \leq)\) mempunyai supremum \(a \vee b\) dan infimum \(a \wedge b\), maka \((P, \leq)\) disebut kisi. Jika, sebagai tambahan, \((P, \leq)\) sendiri mempunyai batas atas dan batas bawah, keduanya tunggal dan masing-masing dilambangkan dengan \(1\) dan \(0\); dalam hal ini \(P\) disebut kisi terbatas.

Jika \(a,b\) merupakan unsur himpunan terurut parsial \((P, \leq)\) dan \(a \leq b\), maka \([a, b] := \left\{x \in P: a \leq x \leq b \right\}\) juga merupakan himpunan terurut parsial terhadap \(\leq\) dan disebut interval yang ditentukan oleh \(a,b\).

Jika \(P\) merupakan kisi, setiap interval dalam \(P\) tertutup terhadap \(\vee\) dan \(\wedge\), serta merupakan kisi terbatas. Jika \(P\) merupakan kisi terbatas, maka \(P=[0,1]\), dan untuk setiap \(x \in P\) berlaku \(x \wedge 0=0\), \(x \vee 0=x=x \wedge 1\), serta \(x \vee 1=1\). Dari sudut pandang kategori, \(a \wedge b\), \(a \vee b\), \(1\), dan \(0\) masing-masing bersesuaian dengan produk dua objek, koproduk dua objek, objek terminal (yakni produk kosong), dan objek awal (yakni koproduk kosong) di dalam kategori; hal ini dapat diperiksa langsung. Sebagai ilustrasi operasi \(\wedge\) dan \(\vee\), buktikan fakta berikut. Jika \(a^\flat,a,b \in P\) memenuhi \(a^\flat \leq a\), maka \[\begin{equation} \hypertarget{eqn:modular-inequality}{} a^\flat \vee (a \wedge b) \leq (a^\flat \vee b) \wedge a. \end{equation}\] Berdasarkan definisi supremum, mula-mula cukup dibuktikan \(a^\flat \leq (a^\flat \vee b) \wedge a\) dan \((a \wedge b) \leq (a^\flat \vee b) \wedge a\). Berdasarkan definisi infimum, selanjutnya cukup dibuktikan masing-masing ketaksamaan \[a^\flat \leq a^\flat \vee b, \quad a^\flat \leq a, \quad a \wedge b \leq a^\flat \vee b, \quad a \wedge b \leq a;\] ketaksamaan ketiga mengikuti dari \(a \wedge b \leq b \leq a^\flat \vee b\), sedangkan yang lain sudah jelas.

Definisi. Misalkan \(P\) merupakan kisi.

• \(P\) disebut kisi modular jika sifat berikut berlaku: apabila \(a^\flat,a,b \in P\) memenuhi \(a^\flat \leq a\), maka \[a^\flat \vee (a \wedge b) = (a^\flat \vee b) \wedge a.\]

• Misalkan \(P\) merupakan kisi terbatas. Jika \(x,c \in P\) memenuhi \(x \vee c=1\) dan \(x \wedge c=0\), maka \(c\) disebut komplemen dari \(x\) di \(P\).

Sekarang tinjau beberapa contoh dasar kisi.

• Himpunan bilangan bulat positif \(\ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 1}\) merupakan kisi terhadap relasi keterbagian (\(x \mid y \iff x \leq y\)): \(x \vee y=\mathrm{lcm}(x,y)\) dan \(x \wedge y=\mathrm{gcd}(x,y)\). Pembaca dapat memeriksa bahwa kisi ini modular, mempunyai batas bawah \(1\), tetapi tidak mempunyai batas atas.

• Ambil gelanggang \(R\) dan modul-\(R\) kiri \(M\). Himpunan submodulnya \(\mathrm{Sub}_M\) merupakan kisi modular terbatas terhadap \(\subset\): \(x \vee y=x+y\) dan \(x \wedge y=x \cap y\); batas atasnya adalah \(M\) dan batas bawahnya adalah \(\{0\}\). Inilah asal-usul istilah “kisi modular”.

• Semua subruang tertutup dari ruang Hilbert \(H\) merupakan kisi terbatas terhadap \(\subset\): \(x \vee y:=\overline{x+y}\) dan \(x \wedge y=x \cap y\). Dapat dibuktikan bahwa kisi ini tidak modular jika \(H\) berdimensi tak hingga (Birkhoff–von Neumann).

Catatan. Definisi kisi juga mengandung suatu dualitas. Untuk urutan parsial \(\leq\) yang diberikan pada himpunan \(P\), kita dapat meninjau urutan parsial lawannya \(\leq^{\operatorname{op}}\): \(x \leq^{\operatorname{op}}y \iff x \geq y\); ini sama artinya dengan mengganti \(\mathcal{P}\) dengan \(\mathcal{P}^{\operatorname{op}}\). Jika \((P,\leq)\) merupakan kisi (atau kisi terbatas), maka demikian pula \((P,\leq^{\operatorname{op}})\). Lebih lanjut, \(\wedge,\vee,0,1\) dalam \((P,\leq)\) masing-masing bersesuaian dengan \(\vee,\wedge,1,0\) dalam \((P,\leq^{\operatorname{op}})\).

Lema. Misalkan \(P\) merupakan kisi. Maka \(P\) merupakan kisi modular jika dan hanya jika sifat berikut berlaku untuk setiap interval \(I\) dalam \(P\): jika \(c^\flat,c\) sama-sama merupakan komplemen dari \(x \in I\) di \(I\) dan \(c^\flat \leq c\), maka \(c^\flat=c\).

Bukti. Jika \(P\) merupakan kisi modular, maka setiap interval \(I\) juga merupakan kisi modular. Tanpa mengurangi keumuman, anggap \(I=P\); untuk \(x,c^\flat,c\) dalam pernyataan tersebut, kita mempunyai \[c = c \wedge 1 = c \wedge (x \vee c^\flat) = c^\flat \vee (x \wedge c) = c^\flat \vee 0 = c^\flat .\]

Sebaliknya, anggap syarat tentang komplemen berlaku untuk setiap interval. Misalkan \(a^\flat,a,b \in P\) memenuhi \(a^\flat \leq a\). Tetapkan \[b \wedge a \leq c_1 := a^\flat \vee (b \wedge a) \underset{\because \href{#eqn:modular-inequality}{persamaan}}{\leq} a \wedge (b \vee a^\flat) =: c_2 \leq b \vee a^\flat.\] Kita akan membuktikan bahwa \(c_1,c_2\) sama-sama merupakan komplemen dari \(b\) dalam \(\left[b \wedge a,\; b \vee a^\flat\right]\), sehingga \(c_1=c_2\). Pertama, dari definisi langsung diperoleh \(c_1 \leq a\); oleh karena itu, \[b \wedge a \geq b \wedge c_1 = (a^\flat \vee (b \wedge a)) \wedge b \underset{\because \href{#eqn:modular-inequality}{persamaan}}{\geq} (a^\flat \wedge b) \vee (b \wedge a) = b \wedge a ,\] sehingga \(b \wedge c_1=b \wedge a\). Di sisi lain, \(b \vee c_1=a^\flat \vee (b \wedge a) \vee b=a^\flat \vee b\). Jadi, \(c_1\) memang merupakan komplemen dari \(b\) dalam \(\left[b \wedge a,\; b \vee a^\flat\right]\).

Dualitas kisi (Catatan rujukan) menukar hubungan urutan antara \(a^\flat,a\), menukar \(\wedge\) dan \(\vee\), serta menukar peran \(c_1\) dan \(c_2\). Dengan demikian, argumen di atas yang dijalankan dalam \((P,\leq^{\operatorname{op}})\) memperlihatkan bahwa \(c_2\) merupakan komplemen dari \(b\) dalam \(\left[b \wedge a,\; b \vee a^\flat\right]\).

Proposisi. Misalkan \(a,b\) merupakan unsur kisi modular \((P,\leq)\). Maka terdapat isomorfisme antarhimpunan terurut parsial

isomorfisme standar.

Bukti. Kedua pemetaan jelas terdefinisi dengan baik dan mempertahankan urutan. Untuk \(x \in [a \wedge b,a]\), definisi kisi modular memberikan \((x \vee b) \wedge a=(a \wedge b) \vee x\), dan ruas kanannya adalah \(x\). Secara dual, \(y \in [b,a \vee b]\) mengakibatkan \((y \wedge a) \vee b=y\) (Catatan rujukan); jadi kedua pemetaan itu saling invers.

Lema Zassenhaus dalam aljabar elementer (lihat [Li1], khususnya versi teori modulnya) beserta konsekuensi-konsekuensinya dapat disarikan dengan menggunakan teori kisi.

Teorema (Lema Zassenhaus untuk Kisi Modular). Misalkan \((P,\leq)\) merupakan kisi modular. Untuk unsur-unsur \(u^\flat \leq u\) dan \(v^\flat \leq v\) yang diberikan, terdapat diagram berikut:

\[\begin{multline*} \left[ u^\flat \vee (u \wedge v^\flat), \; u^\flat \vee (u \wedge v) \right] \ensuremath{\stackrel{\sim}{\leftarrow}}\left[ (u^\flat \wedge v) \vee (u \wedge v^\flat), \; u \wedge v \right] \\ \ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\left[ (u^\flat \wedge v) \vee v^\flat, \; (u \wedge v) \vee v^\flat \right], \end{multline*}\] yang direalisasikan oleh pemetaan \(x \vee u^\flat \vee (u \wedge v^\flat) \mapsfrom x \mapsto x \vee (u^\flat \wedge v) \vee v^\flat\) dalam Proposisi rujukan.

Bukti. Isomorfisme pada bagian terakhir diperoleh dengan menerapkan Proposisi rujukan pada kedua jajaran genjang dalam diagram; yang perlu diperiksa ialah relasi-relasi dalam persamaan. Perhatikan bahwa diagram simetris kiri–kanan terhadap \(u \leftrightarrow v\) dan \(u^\flat \leftrightarrow v^\flat\); karena itu, cukup memeriksa bagian kirinya. Relasi urutan parsial di antara unsur-unsurnya langsung terlihat. Selanjutnya, untuk kasus \(\wedge\), definisi kisi modular memberikan \[\begin{equation*} \left( u^\flat \vee (u \wedge v^\flat)\right) \wedge (u \wedge v) = \left( u^\flat \wedge (u \wedge v) \right) \vee (u \wedge v^\flat) = (u^\flat \wedge v) \vee (u \wedge v^\flat). \end{equation*}\] Untuk kasus \(\vee\), ketaksamaan \(u \wedge v^\flat \leq u \wedge v\) langsung memberikan \[\begin{equation*} u^\flat \vee (u \wedge v^\flat) \vee (u \wedge v) = u^\flat \vee (u \wedge v). \end{equation*}\] Dengan demikian, persamaan terbukti.

Selanjutnya, tinjau rantai menurun hingga dalam suatu kisi, yang ditulis \(x_0 \geq x_1 \geq \cdots \geq x_r\) (\(r \in \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 0}\)). Rantai menurun yang diperoleh dengan menyisipkan berhingga banyak unsur perantara disebut penghalusan dari rantai menurun semula; jika unsur-unsur yang disisipkan mencakup suatu \(y \notin \{x_0,\ldots,x_r\}\), penghalusan itu disebut penghalusan sejati.

Definisi. Dua rantai menurun dengan panjang sama dalam suatu kisi modular, \(x_0 \geq \cdots \geq x_r\) dan \(x'_0 \geq \cdots \geq x'_r\), disebut ekuivalen jika kondisi berikut dipenuhi: terdapat bijeksi \(\sigma\) dari \(\{0,\ldots,r-1\}\) ke dirinya sendiri (yakni suatu permutasi)¹ sehingga, untuk setiap \(0\leq i<r\), terdapat isomorfisme antarhimpunan terurut parsial \[\tau_i: \left[ x_{i+1}, x_i \right] \simeq \left[ x'_{\sigma(i) + 1}, x'_{\sigma(i)} \right],\] dan \(\tau_i\) terurai menjadi komposisi berhingga dari isomorfisme standar (Proposisi rujukan) atau invers-inversnya.

Teorema (Teorema Penghalusan Schreier untuk Kisi Modular).

Tinjau rantai-rantai menurun \[x_0 \geq \cdots \geq x_r, \quad y_0 \geq \cdots \geq y_s,\] dalam kisi modular \((P,\leq)\) sedemikian sehingga \(x_0=y_0\) dan \(x_r=y_s\), dengan \(r,s \in \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 0}\). Maka masing-masing rantai mempunyai suatu penghalusan, dan kedua penghalusan itu ekuivalen.

Bukti. Argumennya sama seperti dalam kasus grup [Li1]; keduanya berdasarkan Teorema rujukan. Kita uraikan garis besarnya. Definisikan \[x_{i, j} := x_{i+1} \vee (x_i \wedge y_j), \quad y_{j, i} := (x_i \wedge y_j) \vee y_{j+1},\] dengan \(0 \leq i<r\) dan \(0 \leq j \leq s\) untuk \(x_{i,j}\), serta \(0 \leq i \leq r\) dan \(0 \leq j<s\) untuk \(y_{j,i}\). Maka \(x_{i,j+1} \leq x_{i,j}\), \(x_{i,0}=x_i\), dan \(x_{i,s}=x_{i+1}\), sehingga \(\left(x_{i,j}\right)_{i,j}\), dengan urutan tersebut, memperhalus \(x_0 \geq \cdots \geq x_r\). Demikian pula, \(\left(y_{j,i}\right)_{j,i}\) memperhalus \(y_0 \geq \cdots \geq y_s\). Dengan mengambil \(u^\flat=x_{i+1}\), \(u=x_i\), \(v^\flat=y_{j+1}\), dan \(v=y_j\) dalam Teorema rujukan, kita memperoleh \[\left[ x_{i, j+1}, x_{i,j} \right] \simeq \left[ y_{j, i+1}, y_{j, i} \right],\] dan isomorfisme ini dapat diuraikan menjadi isomorfisme standar beserta inversnya. Terbuktilah pernyataan tersebut.

Mulai sekarang, kita hanya meninjau rantai naik atau rantai menurun yang ketat.

Definisi. Tetapkan himpunan terurut parsial \(P\) dan unsur-unsur \(a\leq b\) di dalamnya.² Jika rantai menurun \(b=x_0>\cdots>x_r=a\) dalam \(P\) tidak mempunyai penghalusan sejati, rantai itu disebut deret komposisi dari \([a,b]\).

Panjang deret komposisi tersebut didefinisikan sebagai \(r \in \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 0}\); perhatikan bahwa \(r=0\) jika dan hanya jika \(a=b\).

Teorema (Teorema Jordan–Hölder untuk Kisi Modular). Misalkan \(a<b\) merupakan unsur kisi modular \((P,\leq)\). Maka setiap dua deret komposisi dari \([a,b]\) mempunyai panjang yang sama dan saling ekuivalen dalam pengertian Definisi rujukan.

Bukti. Pernyataan ini merupakan akibat langsung dari Teorema rujukan.

Pertanyaan penting berikutnya ialah menentukan interval mana dalam suatu himpunan terurut parsial yang mempunyai deret komposisi. Seperti dalam teori modul yang sudah dikenal, keberadaan tersebut dapat dijamin oleh syarat rantai naik dan rantai menurun.

Definisi. Misalkan \((P,\leq)\) merupakan himpunan terurut parsial. Jika di \(P\) tidak ada rantai naik tak hingga \(x_1<x_2<x_3<\cdots\), maka \(P\) disebut Noetherian; jika tidak ada rantai menurun tak hingga \(x_1>x_2>x_3>\cdots\), maka \(P\) disebut Artinian. Himpunan terurut parsial yang sekaligus Artinian dan Noetherian disebut berpanjang hingga.

Jika \((P,\leq)\) bersifat Noetherian (atau Artinian, atau berpanjang hingga), maka setiap himpunan bagiannya juga demikian. Mudah dibuktikan bahwa syarat Noetherian (atau Artinian) ekuivalen dengan pernyataan bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari \(P\) mempunyai unsur maksimal (atau unsur minimal) terhadap \(\leq\). Dalam bab ini, konsep-konsep tersebut terutama akan diterapkan pada himpunan terurut parsial dari subobjek; lihat Definisi rujukan.

Definisi. Tetapkan suatu kategori \(\mathcal{C}\). Objek \(X\) dari \(\mathcal{C}\) disebut Noetherian (atau Artinian, atau berpanjang hingga) jika himpunan terurut parsial subobjeknya \((\mathrm{Sub}_X,\subset)\) bersifat Noetherian (atau Artinian, atau berpanjang hingga).

Sekarang kita kembali membahas himpunan terurut parsial umum.

Lema. Tinjau unsur-unsur \(a \leq b\) dari himpunan terurut parsial \((P,\leq)\).

1. Jika \([a,b]\) berpanjang hingga, maka setiap rantai di dalamnya dapat diperhalus menjadi suatu deret komposisi; khususnya, \([a,b]\) mempunyai deret komposisi.

2. Jika \([a,b]\) merupakan kisi modular dan mempunyai deret komposisi, maka \([a,b]\) berpanjang hingga.

Bukti. Tanpa mengurangi keumuman, anggap \(a<b\). Untuk (i), jika diberikan rantai \(y_0>\cdots>y_r\), cukup ditunjukkan bahwa setiap \([y_{i+1},y_i]\) mempunyai deret komposisi.³ Tanpa mengurangi keumuman, anggap \(y_{i+1}=a\) dan \(y_i=b\). Syarat Artinian menjamin adanya unsur minimal \(x^0 \in [a,b]\) dengan \(x^0>a\). Demikian pula, jika \(x^0 \neq b\), terdapat unsur minimal \(x^1 \in [a,b]\) dengan \(x^1>x^0\), dan seterusnya. Berdasarkan syarat Noetherian, proses ini mesti berhenti setelah berhingga banyak langkah, dan menghasilkan rantai \(b>\cdots>x^0>a\) tanpa penghalusan sejati.

Untuk (ii), pilih suatu deret komposisi \(b=x_0>\cdots>x_r=a\). Teorema rujukan menunjukkan bahwa setiap rantai hingga \(\cdots>y_i>y_{i+1}>\cdots\) mempunyai penghalusan yang ekuivalen dengan deret komposisi di atas; karena itu, panjang rantai tersebut tidak dapat melampaui panjang deret komposisi. Jadi, \([a,b]\) merupakan himpunan terurut parsial berpanjang hingga.

Definisi. Misalkan \((P,\leq)\) merupakan kisi modular terbatas yang berpanjang hingga. Pilih sebarang deret komposisi \(1=x_0>\cdots>x_r=0\) dari \(P\). Bilangan \(r \in \ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 0}\) disebut panjang \((P,\leq)\).

Teorema rujukan menunjukkan bahwa panjang tersebut terdefinisi dengan baik dan tidak bergantung pada deret komposisi yang dipilih; panjang \((P,\leq)\) adalah \(0\) jika dan hanya jika \(P\) merupakan himpunan satu titik.

---

1. Catatan penerjemah (O014-C021): sumber menulis \(\{0,\ldots,r\}\), padahal faktor-faktor berurutan yang dipasangkan berindeks \(0\leq i<r\); indeks \(i=r\) akan membuat \(x_{i+1}\) tidak terdefinisi.↩︎

2. Catatan penerjemah (O014-C022): sumber menulis \(a<b\), tetapi kalimat berikutnya secara eksplisit mencakup \(a=b\) dan \(r=0\); target menggunakan hipotesis lemah yang konsisten dengan kasus tersebut.↩︎

3. Catatan penerjemah (O014-C023): sumber menulis \([y_i,y_{i+1}]\) dan kemudian menetapkan \(y_i=a\), \(y_{i+1}=b\). Karena \(y_i>y_{i+1}\), kedua urutan itu dibalik; target menggunakan interval \([y_{i+1},y_i]\) dan penetapan yang bertipe benar.↩︎

Dekomposisi Jumlah Langsung

Pertama-tama, kita membahas cara merepresentasikan morfisme antarjumlah langsung dengan matriks. Argumennya persis sama seperti dalam teori modul [Li1]; di sini kita hanya memberikan tinjauan singkat. Tetapkan suatu kategori aditif \(\mathcal{A}\). Tinjau objek-objek \(X_1, \ldots, X_n\) dan \(X'_1, \ldots, X'_m\) dari \(\mathcal{A}\). Jumlah langsung \(\bigoplus_{i=1}^n X_i\) yang diperkenalkan dalam Definisi rujukan dilengkapi dengan keluarga morfisme \(X_j \xrightarrow{\iota_j} \bigoplus_{i=1}^n X_i \xrightarrow{p_j} X_j\). Demikian pula, untuk \(\bigoplus_{i=1}^m X'_i\) terdapat \(p'_j,\iota'_j\), dan seterusnya. Sifat universal produk dan koproduk memberikan \[\begin{align*} \operatorname{Hom}\left( \bigoplus_{j=1}^n X_j, \bigoplus_{i=1}^m X'_i \right) & \xrightarrow[\sim]{\phi \mapsto (p'_i \phi)_i } \prod_{i=1}^m \operatorname{Hom}\left(\bigoplus_{j=1}^n X_j , X'_i \right) \\ & \xrightarrow[\sim]{(p'_i \phi)_i \mapsto (p'_i \phi \iota_j)_{i, j}} \prod_{j=1}^n \prod_{i=1}^m \operatorname{Hom}(X_j, X'_i). \end{align*}\] Dengan demikian, setiap morfisme \(\phi: \bigoplus_{j=1}^n X_j \to \bigoplus_{i=1}^m X'_i\) bersesuaian dengan matriks \[\mathcal{M}(\phi) = (\phi_{ij})_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}} = \begin{pmatrix} \phi_{11} & \cdots & \phi_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{m1} & \cdots & \phi_{mn} \end{pmatrix}, \quad \phi_{ij} := p'_i \phi \iota_j: X_j \to X'_i.\] Sebaliknya, setiap matriks \(\mathcal{M} = (\phi_{ij})_{\substack{ 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n }}\) yang tersusun dari \(\phi_{ij}: X_j \to X'_i\) secara unik menentukan morfisme \(\phi\) sedemikian sehingga \(\mathcal{M}=\mathcal{M}(\phi)\). Komposisi morfisme bersesuaian dengan perkalian matriks: \[\mathcal{M}(\psi\phi) = \mathcal{M}(\psi) \mathcal{M}(\phi)\] dengan perkalian entri-entri matriks diberikan oleh komposisi \(\operatorname{Hom}(X'_j, X''_i) \times \operatorname{Hom}(X_k, X'_j) \to \operatorname{Hom}(X_k, X''_i)\).

Lema. Diberikan keluarga morfisme \(\phi_i:X_i\to X'_i\) dalam \(\mathcal{A}\), dengan \(i=1,\ldots,n\), tetapkan \(\phi := (\phi_1, \ldots, \phi_n): \bigoplus_{i=1}^n X_i \to \bigoplus_{i=1}^n X'_i\). Maka \(\phi\) merupakan isomorfisme jika dan hanya jika setiap \(\phi_i\) merupakan isomorfisme.

Bukti. Implikasi \(\impliedby\) sudah jelas. Untuk \(\implies\), tuliskan matriks \(\mathcal{M}(\phi^{-1})\) sebagai \((\psi_{ij})_{i,j}\). Maka \[\mathcal{M}(\phi^{-1}) \mathcal{M}(\phi) = \begin{pmatrix} \psi_{11} \phi_1 & \cdots & \psi_{1n} \phi_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \psi_{n1} \phi_1 & \cdots & \psi_{nn} \phi_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ensuremath{\mathrm{id}}_{X_1} & & \\ & \ddots & \\ & & \ensuremath{\mathrm{id}}_{X_n} \end{pmatrix}\] sehingga \(\phi_1,\ldots,\phi_n\) semuanya memiliki invers kiri. Dengan cara yang sama, semuanya memiliki invers kanan.

Masih dengan dekomposisi jumlah langsung \(X \simeq \bigoplus_{i=1}^n X_i\), dengan \(n\geq 1\) dan \(X_i\neq 0\) untuk setiap \(i\); darinya diperoleh keluarga morfisme \(\iota_i:X_i\to X\) dan \(p_i:X\to X_i\). Untuk setiap \(1\leq i\leq n\), tetapkan \(e_i:=\iota_i p_i\in\operatorname{End}(X)\). Morfisme-morfisme ini mempunyai sifat-sifat berikut. Ingat bahwa suatu idempoten dalam gelanggang \(\operatorname{End}(X)\) berarti unsur \(e\in\operatorname{End}(X)\) yang memenuhi \(e^2=e\); jika tidak menimbulkan kerancuan, kita juga menyebut \(e\) sebagai idempoten dalam \(\mathcal{A}\).

1. Setiap \(e_i\) merupakan idempoten: \(e_i^2=(\iota_i p_i)(\iota_i p_i)=\iota_i(p_i\iota_i)p_i=\iota_i p_i\).

2. Ortogonalitas: \(i\neq j \implies e_i e_j=\iota_i p_i\iota_j p_j=0\).

3. Persamaan \(\sum_{i=1}^n e_i=1\) berlaku dalam gelanggang \(\operatorname{End}(X)\).

Mulai sekarang, kita selalu memandang suku-suku jumlah langsung \(X_i\) sebagai subobjek dari \(X\) dan menuliskan dekomposisinya sebagai persamaan \(X=\bigoplus_{i=1}^n X_i\). Sebaliknya, jika \(\mathcal{A}\) merupakan kategori abelian, suatu keluarga idempoten \(e_1,\ldots,e_n\in\operatorname{End}(X)\) yang memenuhi (E1)—(E3) menentukan subobjek-subobjek dari \(X\) \[X_i := \operatorname{ker}\left( \sum_{j \neq i} e_j \right) = \operatorname{im}(e_i), \quad i=1, \ldots, n.\] Di satu pihak, subobjek-subobjek tersebut dilengkapi dengan monomorfisme \(X_i\xrightarrow{\iota_i}X\); di pihak lain, \(e_i:X\to X\) secara unik terurai sebagai \(X\xrightarrow{p_i}X_i\xrightarrow{\iota_i}X\). Inilah tepatnya data yang diperlukan untuk jumlah langsung. Peralihan dari idempoten-idempoten \(e_1,\ldots,e_n\) ke suku-suku jumlah langsung \(X_1,\ldots,X_n\) tidak memerlukan seluruh sifat kategori abelian; kita hanya perlu mengasumsikan bahwa \(\mathcal{A}\) merupakan kategori-\(\ensuremath{\mathsf{Ab}}\) dengan objek nol dan bahwa setiap idempoten mempunyai kernel. Kategori semacam itu disebut kategori Karoubi atau kategori pseudoabelian. Hal ini dibahas lebih lanjut dalam latihan bab ini.

Proposisi. Diberikan objek \(X\neq 0\) dari kategori abelian (atau, secara lebih umum, kategori Karoubi) \(\mathcal{A}\) dan \(n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 1}\), konstruksi di atas memberikan bijeksi

\(X_1,\ldots,X_n\) bersesuaian dengan pengurutan ulang \(e_1,\ldots,e_n\).

Bukti. Lihat [Li1].

Dalam kasus khusus \(n=2\), dekomposisi jumlah langsung berkaitan dengan suatu kelas khusus barisan eksak pendek, yang disebut barisan eksak pendek terbelah.

Proposisi. Untuk barisan eksak pendek \(0\to X'\xrightarrow{f}X\xrightarrow{g}X''\to 0\) dalam suatu kategori abelian, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.

1. Terdapat \(s:X''\to X\) sedemikian sehingga \(gs=\ensuremath{\mathrm{id}}_{X''}\).

2. Terdapat \(r:X\to X'\) sedemikian sehingga \(rf=\ensuremath{\mathrm{id}}_{X'}\).

3. Terdapat diagram

   \(X\simeq X'\oplus X''\); lihat tinjauan tentang biproduk dalam §rujukan.

4. Pemetaan \(g_*:\operatorname{Hom}(S,X)\to\operatorname{Hom}(S,X'')\) (yang memetakan \(\varphi\) ke \(g\varphi\)) bersifat surjektif untuk setiap objek \(S\).

5. Pemetaan \(f^*:\operatorname{Hom}(X,S)\to\operatorname{Hom}(X',S)\) (yang memetakan \(\psi\) ke \(\psi f\)) bersifat surjektif untuk setiap objek \(S\).

Jika salah satu kondisi di atas berlaku, barisan eksak pendek \(0\to X'\to X\to X''\to 0\) disebut terbelah. Morfisme \(s:X''\to X\) dalam (i), \(r:X\to X'\) dalam (ii),¹ dan isomorfisme \(X\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}X'\oplus X''\) dalam (iii) (yang dilambangkan dengan \(\Phi\)) saling bersesuaian sebagai berikut:

Selain itu, untuk \(s\) yang diberikan atau \(r\) yang bersesuaian dengannya, idempoten-idempoten ortogonal yang bersesuaian dengan dekomposisi jumlah langsung dalam (iii) adalah \[e' := fr = \ensuremath{\mathrm{id}}_X - sg, \quad e'' := sg = \ensuremath{\mathrm{id}}_X - fr.\]

Bukti. Untuk kasus modul, lihat [Li1]. Karena buktinya hanya menggunakan operasi aljabar dalam himpunan-himpunan \(\operatorname{Hom}\) dan karakterisasi biproduk, yang berlaku pula dalam kategori abelian, argumennya dapat diterapkan tanpa perubahan. Rinciannya tidak diulangi di sini.

Dalam situasi Proposisi rujukan, diberikan \(f:X'\to X\) dan \(g:X\to X''\), morfisme \(s\) disebut penampang dari \(g\) jika \(gs=\ensuremath{\mathrm{id}}_{X''}\), sedangkan \(r\) disebut retraksi dari \(f\) jika \(rf=\ensuremath{\mathrm{id}}_{X'}\); istilah-istilah ini berasal dari topologi. Keberadaan penampang dan retraksi masing-masing mengakibatkan bahwa \(g\) merupakan epimorfisme dan \(f\) merupakan monomorfisme, tetapi kebalikannya tidak berlaku. Perhatikan pula bahwa kelima pernyataan (i)—(v) dalam proposisi tersebut bersifat swa-dual.

Definisi. Misalkan \(S\) merupakan objek tak nol dalam kategori abelian \(\mathcal{A}\). Jika \(S=S'\oplus S''\) mengakibatkan \(S'=0\) atau \(S''=0\), maka \(S\) disebut objek tak terurai.

Korolari. Objek tak nol \(X\) dalam kategori abelian merupakan objek tak terurai jika dan hanya jika \[\forall e \in \operatorname{End}(X), \quad e^2 = e \iff (e = 0 \;\vee\; e = 1).\]

Bukti. Terapkan Proposisi rujukan.

Kita ingin mempelajari dekomposisi berbentuk \(X=X_1\oplus\cdots\oplus X_n\), dengan \(X\neq 0\) dan setiap \(X_i\) merupakan objek tak terurai. Ada dua persoalan: keberadaan dan keunikan. Untuk kasus modul, inilah isi Teorema Krull–Remak–Schmidt; lihat [Li1]. Untuk kategori abelian umum, kita memerlukan sejumlah persiapan. Pembahasan berikut mengikuti pendekatan [Kr15].

Definisi. Misalkan \(\mathcal{A}\) merupakan sebarang kategori. Suatu rantai ganda di dalamnya adalah data \((X_n,\alpha_n,\beta_n)_{n=0}^\infty\), dengan \(X_n\) objek dari \(\mathcal{A}\) dan

\(\alpha_n\) epimorfisme dan \(\beta_n\) monomorfisme (\(n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 0}\)). Suatu objek \(X\) dari \(\mathcal{A}\) dikatakan memenuhi syarat rantai ganda jika, untuk setiap rantai ganda \((X_n,\alpha_n,\beta_n)_{n=0}^\infty\) dengan \(X_0=X\), morfisme \(\alpha_n\) dan \(\beta_n\) merupakan isomorfisme untuk \(n\gg 0\).

Hasil berikut merupakan perumuman dari [Li1].

Lema (Lema Fitting dalam Kategori Abelian). Misalkan \(\mathcal{A}\) merupakan kategori abelian, \(X\) merupakan objek tak nol di dalamnya yang memenuhi syarat rantai ganda, dan \(f\in\operatorname{End}(X)\).

1. Untuk \(n\gg 0\), \(\operatorname{ker}(f^n)\) dan \(\operatorname{im}(f^n)\) tidak bergantung pada \(n\); keduanya masing-masing dilambangkan dengan \(\operatorname{ker}(f^\infty)\) dan \(\operatorname{im}(f^\infty)\). Kita mempunyai \(X=\operatorname{ker}(f^\infty)\oplus\operatorname{im}(f^\infty)\).

2. Jika \(X\) tak terurai, maka \(f\) bersifat invertibel atau nilpoten dalam gelanggang \(\operatorname{End}(X)\).

Bukti. Untuk \(n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 0}\), definisikan \(X_n:=\operatorname{im}(f^n)\), sehingga \(X_0=X\). Dengan menerapkan Proposisi rujukan dan \(\operatorname{coim}\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{im}\), diperoleh epimorfisme \(\alpha_n:X_n\to X_{n+1}\) (yang diinduksi oleh \(f\)) dan monomorfisme \(\beta_n:X_{n+1}\to X_n\). Dengan demikian, diperoleh rantai ganda \((X_n,\alpha_n,\beta_n)_{n=0}^\infty\).

Untuk \(n\gg 0\), \(\alpha_n\) dan \(\beta_n\) merupakan isomorfisme. Oleh karena itu, subobjek \(\operatorname{im}(f^\infty):=\operatorname{im}(f^n)\) dari \(X\), dengan \(n\gg 0\), terdefinisi dengan baik; monomorfisme yang bersesuaian dilambangkan dengan \(\iota:\operatorname{im}(f^\infty)\hookrightarrow X\). Selain itu, \(\operatorname{ker}(f^n)=\operatorname{ker}[X\to\operatorname{im}(f^n)]\) juga merupakan subobjek \(\operatorname{ker}(f^\infty)\) yang tidak bergantung pada \(n\) untuk \(n\gg 0\).

Dengan demikian, untuk \(n\gg 0\), morfisme \(\alpha_{2n-1}\cdots\alpha_n:X_n\to X_{2n}\) bersifat invertibel. Notasikan inversnya dengan \(\psi:\operatorname{im}(f^\infty)\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{im}(f^\infty)\), dan tetapkan \[p := \psi f^n: X \to \operatorname{im}(f^\infty), \quad \operatorname{ker}(p) = \operatorname{ker}(f^\infty) \qquad (n \gg 0).\] Dari \(p\iota=\ensuremath{\mathrm{id}}_{\operatorname{im}(f^\infty)}\) diperoleh bahwa \(e:=\iota p\in\operatorname{End}(X)\) merupakan idempoten, dengan \(\operatorname{im}(e)=\operatorname{im}(f^\infty)\) dan \(\operatorname{ker}(e)=\operatorname{ker}(f^\infty)\). Dengan menerapkan Proposisi rujukan, diperoleh dekomposisi dalam (i).

Jika \(X\) tak terurai, maka \(\operatorname{im}(f^\infty)=0\) dan \(\operatorname{ker}(f^\infty)=X\), sehingga \(f\) nilpoten; atau \(\operatorname{im}(f^\infty)=X\) dan \(\operatorname{ker}(f^\infty)=0\), sehingga \(f\) invertibel. Inilah pernyataan (ii).

Ingat dari [Li1]: jika \(S\) merupakan gelanggang dan \(S\smallsetminus S^\times\) merupakan ideal dua sisi, maka \(S\) disebut gelanggang lokal.

Korolari. Misalkan objek tak nol \(X\) dalam suatu kategori abelian memenuhi syarat rantai ganda. Maka \(X\) tak terurai jika dan hanya jika \(\operatorname{End}(X)\) merupakan gelanggang lokal.

Bukti. Lema rujukan menunjukkan bahwa jika \(X\) tak terurai, setiap unsur \(\operatorname{End}(X)\) bersifat nilpoten atau invertibel. Argumen selebihnya hanya menyangkut struktur gelanggang \(\operatorname{End}(X)\) dan sama dengan [Li1].

Sekarang kita dapat menyatakan versi Teorema Krull–Remak–Schmidt untuk kategori abelian.

Teorema (M. Atiyah). Misalkan \(X\) merupakan objek tak nol dalam suatu kategori abelian.

1. Jika \(X\) memenuhi syarat rantai ganda, maka terdapat \(n\in\ensuremath{\mathbb{Z}}_{\geq 1}\) dan subobjek-subobjek tak terurai \(X_1,\ldots,X_n\) sedemikian sehingga \(X=\bigoplus_{i=1}^n X_i\), dan setiap \(\operatorname{End}(X_i)\) merupakan gelanggang lokal.

2. Andaikan \(X\) mempunyai dekomposisi \(\bigoplus_{i=1}^n X_i\) dan \(\bigoplus_{j=1}^m X'_j\), dengan setiap \(X_i\) dan \(X'_j\) tak terurai serta setiap \(\operatorname{End}(X_i)\) dan \(\operatorname{End}(X'_j)\) merupakan gelanggang lokal. Maka \(n=m\), dan terdapat bijeksi \(\sigma\) dari \(\{1,\ldots,n\}\) ke dirinya sendiri sedemikian sehingga \(X_i\simeq X'_{\sigma(i)}\) untuk setiap \(i\).

Bukti. Yang terutama perlu dibuktikan ialah bahwa \(X\) yang memenuhi syarat rantai ganda pasti mempunyai dekomposisi seperti dalam (i). Bagian selebihnya hanya menyangkut operasi aljabar dalam gelanggang-gelanggang \(\operatorname{End}\) dan sama dengan [Li1]. Karena itu, untuk bagian berikut kita asumsikan bahwa syarat rantai ganda berlaku.

Perhatikan bahwa jika \(X=Y\oplus Z\) dengan \(Y\neq 0\), maka \(Y\) juga memenuhi syarat rantai ganda. Memang, untuk rantai ganda \((Y_n,\alpha_n,\beta_n)_{n=0}^\infty\) dengan \(Y_0=Y\), ambil \(X_n:=Y_n\oplus Z\), \(\tilde{\alpha}_n:=\alpha_n\oplus\ensuremath{\mathrm{id}}_Z\), dan \(\tilde{\beta}_n:=\beta_n\oplus\ensuremath{\mathrm{id}}_Z\). Dengan demikian diperoleh rantai ganda dengan \(X_0=X\), sedangkan Lema rujukan menunjukkan bahwa \(\tilde{\alpha}_n\) (atau \(\tilde{\beta}_n\)) merupakan isomorfisme jika dan hanya jika \(\alpha_n\) (atau \(\beta_n\)) juga demikian.

Jika \(X\) sudah tak terurai, Korolari rujukan menunjukkan bahwa \(\operatorname{End}(X)\) merupakan gelanggang lokal; inilah (i). Jika (i) tidak berlaku untuk \(X\), maka pasti terdapat subobjek tak nol \(X_1,Y_1\) sedemikian sehingga \(X=X_1\oplus Y_1\) dan pernyataan (i) tidak berlaku untuk \(X_1\). Mengulangi proses ini pada \(X_1\) memberikan \(X_1=X_2\oplus Y_2\); iterasi menghasilkan rantai ganda \((X_n,\alpha_n,\beta_n)_{n=0}^\infty\), dengan \(\alpha_n:X_n\twoheadrightarrow X_{n+1}\) dan \(\beta_n:X_{n+1}\hookrightarrow X_n\) berasal dari \(X_n=X_{n+1}\oplus Y_{n+1}\). Tidak satu pun morfisme ini merupakan isomorfisme dan \(X_0:=X\), bertentangan dengan syarat rantai ganda. Ini membuktikan pernyataan tersebut.

Dalam penerapan, yang penting adalah mengetahui kapan syarat rantai ganda berlaku. Berikut ini salah satu syarat yang mencukupi.

Proposisi. Misalkan \(X\) merupakan objek berpanjang hingga dalam suatu kategori abelian (Definisi rujukan). Maka \(X\) memenuhi syarat rantai ganda.

Bukti. Ambil rantai ganda \((X_n,\alpha_n,\beta_n)_{n=0}^\infty\) dengan \(X_0=X\). Maka \[\left(\operatorname{im}(\beta_0\cdots\beta_n)\right)_{n=0}^\infty\] merupakan rantai menurun dalam himpunan terurut parsial \(\mathrm{Sub}_X\). Karena setiap \(\beta_n\) merupakan monomorfisme, untuk \(n\gg 0\) syarat Artinian menjamin adanya diagram komutatif \[\text{READERDIAGRAM0003}\] dan \(\beta_n\) merupakan isomorfisme. Demikian pula, terapkan syarat Noetherian pada rantai menaik \(\left(\operatorname{ker}(\alpha_n\cdots\alpha_0)\right)_{n=0}^\infty\) dan gunakan bahwa setiap \(\alpha_n\) merupakan epimorfisme. Untuk \(n\gg 0\), diperoleh diagram komutatif dengan baris-baris eksak \[\text{READERDIAGRAM0004}\] dan \(\alpha_n\) merupakan isomorfisme.

Bagian latihan akan memperkenalkan cara-cara lain untuk memperoleh syarat rantai ganda.

---

1. Catatan penerjemah (O014-C024): sumber menulis \(r:X'\to X\) di sini, tetapi (ii), persamaan \(rf=\ensuremath{\mathrm{id}}_{X'}\), dan konstruksi berikutnya semuanya menentukan \(r:X\to X'\). Target menggunakan arah yang bertipe benar.↩︎

Subobjek dan Teorema Isomorfisme

Pada bagian ini, tetapkan suatu kategori abelian \(\mathcal{A}\). Untuk setiap objek \(X\) dalam \(\mathcal{A}\), himpunan subobjeknya yang terurut parsial dilambangkan dengan \((\mathrm{Sub}_X, \subset)\), mengikuti konvensi dalam §rujukan. Hasil-hasil dalam bagian ini sudah sangat dikenal untuk kasus \(\mathcal{A}=R\ensuremath{\text{-}\mathsf{Mod}}\), dengan \(R\) sebarang gelanggang; tetapi untuk kategori abelian diperlukan argumen yang berbeda.

Definisi. Misalkan \(X\) merupakan objek dari \(\mathcal{A}\).

• Untuk suatu subobjek \(X'\) dari \(X\), kuosien yang bersesuaian didefinisikan sebagai \(X/X':=\operatorname{coker}[X'\to X]\); objek ini secara alami merupakan kuosien dari \(X\). Setiap epimorfisme \(f:X\twoheadrightarrow X''\) dapat dipandang sebagai kuosien \(X\) oleh \(\operatorname{ker}(f)\).

• Untuk keluarga subobjek \(X_1,\ldots,X_n\) dari \(X\), irisan dan jumlah subobjek yang bersesuaian masing-masing didefinisikan sebagai \[\begin{align*} X_1 \cap \cdots \cap X_n & := X_1 \ensuremath{\underset{X}{\times}} \cdots \ensuremath{\underset{X}{\times}} X_n, \\ X_1 + \cdots + X_n & := \operatorname{im}\left[ X_1 \oplus \cdots \oplus X_n \xrightarrow{\sigma} X \right]. \end{align*}\] Di sini, \(\sigma\) diinduksi oleh semua \(X_i\hookrightarrow X\) (dan dapat dipandang sebagai penjumlahan). Keduanya secara alami merupakan subobjek dari \(X\): kasus \(X_1\cap\cdots\cap X_n\) mengikuti Lema rujukan, sedangkan kasus \(X_1+\cdots+X_n\) mengikuti langsung dari definisi.

Sebagai contoh, definisi kohomologi dapat ditulis ulang menggunakan kuosien: \[\operatorname{H}^n(X) := \operatorname{ker}(d_X^n)/\operatorname{im}(d_X^{n-1}).\] Secara lebih umum, untuk sebarang himpunan \(I\) dan keluarga subobjek \((X_i)_{i\in I}\) dari \(X\), metode yang sama memberikan definisi yang baik bagi \(\bigcap_{i\in I}X_i\) (atau \(\sum_{i\in I}X_i\)), asalkan produk seratnya di atas \(X\) (atau koproduknya \(\bigsqcup_{i\in I}X_i\) dalam \(\mathcal{A}\)) ada. Arti penting definisi ini tampak dalam fakta berikut.

Proposisi. Ambil suatu keluarga subobjek \((X_i)_{i\in I}\) dari \(X\). Jika produk seratnya di atas \(X\) (atau koproduknya \(\bigsqcup\) dalam \(\mathcal{A}\)) ada, masing-masing objek tersebut memberikan infimum (atau supremum) dari \((X_i)_{i\in I}\) dalam himpunan terurut parsial \((\mathrm{Sub}_X,\subset)\).

Bukti. Dari konstruksinya, untuk setiap \(i\) berlaku \(\bigcap_{j\in I}X_j\subset X_i\subset\sum_{j\in I}X_j\).

Berikutnya, tinjau suatu subobjek \(Y\hookrightarrow X\). Untuk kasus irisan, andaikan \(\forall i\in I,\;Y\subset X_i\), yakni terdapat keluarga diagram komutatif

\(Y\to\bigcap_{i\in I}X_i\), sehingga \(Y\subset\bigcap_{i\in I}X_i\). Untuk kasus jumlah subobjek, andaikan \(\forall i\in I,\;X_i\subset Y\). Sifat universal koproduk menghasilkan diagram komutatif

Dengan menerapkan Lema rujukan, morfisme \(\bigsqcup_{i\in I}X_i\to Y\) berfaktor secara unik melalui \(\operatorname{coim}(\sigma)\simeq\operatorname{im}(\sigma)\), serasi dengan morfisme menuju \(X\). Dengan demikian, \(\sum_{i\in I}X_i:=\operatorname{im}(\sigma)\subset Y\).

Konvensi. Berdasarkan Proposisi rujukan, kita juga dapat menghindari penggunaan produk serat atau koproduk dan langsung mendefinisikan irisan \(\bigcap_iX_i\) (atau jumlah subobjek \(\sum_iX_i\)) dari suatu keluarga subobjek \((X_i)_{i\in I}\) sebagai infimum (atau supremum) keluarga tersebut dalam \(\mathrm{Sub}_X\), asalkan infimum (atau supremum) itu ada. Di sini selalu diandaikan bahwa himpunan indeks \(I\) merupakan himpunan kecil. Jika \(I\) dilengkapi dengan urutan parsial terfilter dan \(i\leq j\implies X_i\subset X_j\), supremum \(\sum_{i\in I}X_i\) dapat pula dilambangkan secara wajar sebagai gabungan naik \(\bigcup_{i\in I}X_i\).

Korolari. Untuk setiap objek \(X\), himpunan terurut parsial \((\mathrm{Sub}_X,\subset)\) merupakan kisi terbatas dalam pengertian Definisi rujukan.

Bukti. Supremum dari dua subobjek \(Y,Z\) adalah \(Y+Z\), sedangkan infimumnya adalah \(Y\cap Z\); unsur terbesar dalam \(\mathrm{Sub}_X\) adalah \(X\), dan unsur terkecilnya adalah \(0\).

Bagian ini berfokus pada struktur \((\mathrm{Sub}_X,\subset)\), tetapi versi dalam hal objek kuosien \((\mathrm{Quot}_X,\twoheadleftarrow)\) sepenuhnya sepadan. Hal ini mengikuti dari bijeksi pembalik urutan yang jelas \(\mathrm{Sub}_X\simeq\mathrm{Quot}_X\): subobjek \(X'\) dan objek kuosien \(X''\) saling bersesuaian jika dan hanya jika keduanya dapat ditempatkan dalam suatu barisan eksak pendek \(0\to X'\to X\to X''\to0\). Karena itu, versi tersebut tidak akan dibahas secara terpisah.

Definisi. Diberikan morfisme \(f:X\to Y\) serta subobjek-subobjek \(X'\hookrightarrow X\) dan \(Y'\hookrightarrow Y\), tuliskan \[f^{-1}(Y') := X \ensuremath{\underset{Y}{\times}} Y', \quad f(X') := \operatorname{im}\left[ X' \hookrightarrow X \xrightarrow{f} Y \right];\] objek pertama merupakan prabayang \(Y'\) dan subobjek dari \(X\), sedangkan objek kedua merupakan citra \(X'\) dan subobjek dari \(Y\). Konstruksi ini memberikan pemetaan yang mempertahankan urutan dalam dua arah:

Lema. Diberikan \(f:X\to Y\) seperti di atas.

1. Untuk setiap \(X'\in\mathrm{Sub}_X\) dan \(Y'\in\mathrm{Sub}_Y\), berlaku \[X' \subset f^{-1}(Y') \iff f(X') \subset Y'.\]

2. Untuk keluarga subobjek \((X'_i)_{i\in I}\) dari \(\mathrm{Sub}_X\) (atau \((Y'_i)_{i\in I}\) dari \(\mathrm{Sub}_Y\)),¹ kita mempunyai \[f\left( \sum_{i \in I} X'_i \right) = \sum_{i \in I} f(X'_i), \quad f^{-1}\left( \bigcap_{i \in I} Y'_i \right) = \bigcap_{i \in I} f^{-1}(Y'_i),\] asalkan irisan dan jumlah subobjek yang dibicarakan ada.

Bukti. Untuk (i), menurut definisi, \(X'\subset f^{-1}(Y')\) ekuivalen dengan keberadaan diagram komutatif

\(f(X')\) adalah citra dari \(X'\hookrightarrow X\xrightarrow{f}Y\),² Lema rujukan menunjukkan bahwa diagram seperti itu berpadanan secara bijektif dengan

\(\ensuremath{\mathsf{Sub}}_X\) dan seterusnya, (i) menyatakan bahwa \(f(\cdot):\ensuremath{\mathsf{Sub}}_X\to\ensuremath{\mathsf{Sub}}_Y\) merupakan funktor adjoin kiri bagi \(f^{-1}(\cdot):\ensuremath{\mathsf{Sub}}_Y\to\ensuremath{\mathsf{Sub}}_X\). Karena produk (atau koproduk) bersesuaian dengan infimum (atau supremum), (ii) merupakan akibat dari [Li1].

Proposisi. Tinjau subobjek-subobjek \(i:A\hookrightarrow X\) dan \(j:B\hookrightarrow X\). Morfisme \((i,j):A\oplus B\to X\) merupakan isomorfisme jika dan hanya jika \[A \cap B = 0, \quad A + B = X.\] Selain itu, diagram komutatif

\(\delta_1\) dan \(\delta_2\) adalah morfisme kanonik.

Bukti. Definisikan morfisme diagonal \(\Delta:A\cap B\to A\oplus B\) melalui \(p_i\Delta=\delta_i\) untuk \(i=1,2\). Definisikan pula morfisme antidiagonal \(\Delta^-:A\cap B\to A\oplus B\) melalui \(p_1\Delta^-=-\delta_1\) dan \(p_2\Delta^-=\delta_2\).

Catatan rujukan menyatakan bahwa \(\Delta\) memberikan isomorfisme \(A\cap B:=A\ensuremath{\underset{X}{\times}}B\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}} \operatorname{ker}\left[A\oplus B\xrightarrow{(i,-j)}X\right]\). Jika \((i,-j)\) diganti dengan \((i,j)\), citra \(A\oplus B\to X\) tetap \(A+B\), sedangkan morfisme kernelnya berubah dari \(\Delta\) menjadi \(\Delta^-\). Dengan demikian, diperoleh diagram komutatif dengan baris eksak

\((i,j):A\oplus B\to X\) merupakan isomorfisme jika dan hanya jika \(A+B=X\) dan \(A\cap B=0\).

Catatan rujukan juga mengidentifikasi \(A\ensuremath{\underset{A\cap B}{\sqcup}}B\) dengan \((A\oplus B)/\operatorname{im}(\Delta^-)\). Jadi, kita mempunyai diagram komutatif

\(\delta_1\) merupakan monomorfisme, Proposisi rujukan menunjukkan bahwa bingkai luar tersebut juga merupakan diagram tarik balik.

Dengan kata lain, \(B\) merupakan komplemen dari \(A\) dalam kisi \(\mathrm{Sub}_X\) (Definisi rujukan) jika dan hanya jika \((i,j):A\oplus B\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}X\); kondisi terakhir ini juga sering ditulis sebagai persamaan \(A\oplus B=X\). Berdasarkan fakta ini, kita dapat menggunakan bahasa teori kisi secara rekursif untuk menentukan apakah \(X\) dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari sejumlah hingga subobjek yang diberikan, \(X_1,\ldots,X_n\); hasilnya serupa dengan kasus teori modul. Untuk keluarga subobjek tak hingga, pada umumnya kita perlu bekerja dalam kategori Grothendieck; lihat r@sec:Grothendieck-cat§rujukan§2.10. Pembahasan terkait diserahkan kepada latihan bab ini. Teori modul bertumpu pada beberapa teorema isomorfisme dasar; lihat [Li1]. Berikut ini kita memperluasnya ke kategori abelian umum \(\mathcal{A}\).

Teorema. Tetapkan suatu objek \(X\).

1. Untuk setiap morfisme \(f:X\to Y\), terdapat isomorfisme kanonik \(X/\operatorname{ker}(f)\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{im}(f)\) yang membuat diagram

2. Tetapkan subobjek \(Z\hookrightarrow X\), dan lambangkan morfisme alami \(X\twoheadrightarrow\overline{X}:=X/Z\) dengan \(\pi\). Terdapat bijeksi yang mempertahankan urutan

   rujukan. Jika \(Y\supset Z\) seperti di atas, terdapat isomorfisme kanonik \(X/Y\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\overline{X}/\overline{Y}\) yang membuat diagram
   \(\overline{Y_1\cap Y_2}=\overline{Y_1}\cap\overline{Y_2}\) dan \(\overline{Y_1+Y_2}=\overline{Y_1}+\overline{Y_2}\).

3. Untuk \(Y,Z\in\mathrm{Sub}_X\), terdapat isomorfisme kanonik \(Y/(Y\cap Z)\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}(Y+Z)/Z\) yang membuat diagram

Bukti. Mengingat barisan eksak pendek \(0\to\operatorname{ker}(f)\to X\to\operatorname{im}(f)\to0\), pernyataan (i) hanyalah perumusan ulang definisi.

Untuk (ii), setelah \(Y\) diberikan, mula-mula bentuk diagram komutatif dengan baris-baris eksak

persamaan. Dengan menerapkan Teorema rujukan, segera diperoleh \(\operatorname{ker}[Y/Z\to\overline{X}]=0\) dan \(X/Y\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}\operatorname{coker}[Y/Z\to\overline{X}]\). Khususnya, \[Y/Z = \operatorname{im}[Y \to \overline{X}] = \pi(Y) \;\in \mathrm{Sub}_{\overline{X}}, \quad X/Y \simeq \overline{X}/\pi(Y).\]

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kedua pemetaan pada (ii) mempertahankan urutan. Berikutnya akan dibuktikan bahwa keduanya saling invers. Untuk suatu \(Y\), karena \(\overline{Y}\hookrightarrow\overline{X}\) merupakan kernel dari \(\overline{X}\to\overline{X}/\overline{Y}\), Proposisi rujukan menyatakan bahwa \(\pi^{-1}(\overline{Y}):=X\ensuremath{\underset{\overline{X}}{\times}}\overline{Y}\hookrightarrow X\) merupakan kernel dari morfisme komposit \(X\to\overline{X}\to\overline{X}/\overline{Y}\). Berkat isomorfisme di atas, subobjek ini juga merupakan kernel dari \(X\to X/Y\). Hal ini mengidentifikasi \(\pi^{-1}(\overline{Y})\) dengan \(Y\).

Sebaliknya, diberikan \(\overline{Y}\), tetapkan \(Y:=X\ensuremath{\underset{\overline{X}}{\times}}\overline{Y}=\pi^{-1}(\overline{Y})\). Tinjau diagram tarik balik

\(\pi\) pada baris bawah merupakan epimorfisme, Proposisi rujukan menyatakan bahwa morfisme pada baris atas juga merupakan epimorfisme. Ini menunjukkan \(\overline{Y}=\pi(Y)\).

Terakhir, persamaan \(\overline{Y_1\cap Y_2}=\overline{Y_1}\cap\overline{Y_2}\) dan \(\overline{Y_1+Y_2}=\overline{Y_1}+\overline{Y_2}\) merupakan akibat langsung dari bijeksi yang mempertahankan urutan \(Y\leftrightarrow\overline{Y}\).

Untuk (iii), tinjau diagram komutatif dengan baris-baris eksak

\(\theta\) berasal dari funktorialitas kokernel. Proposisi rujukan menyatakan bahwa persegi kirinya merupakan diagram dorong keluar. Karena diagram dorong keluar mempertahankan kokernel (Proposisi rujukan), \(\theta\) merupakan isomorfisme, sebagaimana dikehendaki.

Korolari. Tinjau diagram komutatif

\(k,c\) merupakan morfisme yang dicirikan oleh funktorialitas persamaan. Jika persegi tengah merupakan diagram tarik balik (atau dorong keluar), maka \(c\) merupakan monomorfisme (atau \(k\) merupakan epimorfisme).

Bukti. Cukup menangani kasus diagram tarik balik. Karena penarikan balik sepanjang \(f\) dapat dilakukan secara bertahap, cukup ditinjau dua kasus: \(f\) merupakan epimorfisme atau \(f\) merupakan monomorfisme. Jika \(f\) merupakan epimorfisme, Proposisi rujukan menyatakan bahwa persegi tengah juga merupakan diagram dorong keluar; dalam hal ini \(c\) merupakan isomorfisme. Jika \(f\) merupakan monomorfisme, uraikan penarikan balik sepanjang \(g\) secara bertahap sebagai \[\text{READERDIAGRAM0016}\] Proposisi rujukan menyatakan bahwa \(W\to\operatorname{im}(g)\ensuremath{\underset{Z}{\times}}Y\) merupakan epimorfisme, sehingga \(\operatorname{coker}(g')=\operatorname{coker}(g'')\). Dengan demikian, cukup ditinjau kasus ketika \(f\) dan \(g\) keduanya merupakan monomorfisme. Dalam hal ini \(W=Y\cap X\), dan \(c\) berfaktor sebagai \(Y/(Y\cap X)\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}(Y+X)/X\hookrightarrow Z/X\).

Teorema. Untuk setiap objek \(X\), himpunan terurut parsial \((\mathrm{Sub}_X,\subset)\) merupakan kisi modular terbatas dalam pengertian Definisi rujukan.

Bukti. Kita sudah mengetahui bahwa \((\mathrm{Sub}_X,\subset)\) merupakan kisi terbatas. Sekarang tinjau sebarang interval \([Y_1,Y_2]\) dalam \(\mathrm{Sub}_X\). Lema rujukan mereduksi persoalan menjadi pernyataan berikut: untuk setiap \(A,B,C\in[Y_1,Y_2]\), \[\begin{equation} \hypertarget{eqn:Abel-cat-interval-complement}{} \left( A, B \;\text{keduanya merupakan komplemen dari}\; C, \; A \subset B \right) \implies A = B. \end{equation}\]

Pertama-tama, bijeksi yang mempertahankan urutan dalam Teorema rujukan(ii) mereduksi persamaan ke kasus \(Y_1=0\) dan \(Y_2=X\). Dengan Proposisi rujukan, hipotesis mengenai komplemen menjadi \(A\oplus C\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}X\ensuremath{\stackrel{\sim}{\leftarrow}}B\oplus C\), dengan kedua isomorfisme diinduksi oleh monomorfisme \(\iota_A,\iota_B,\iota_C\) dari \(A,B,C\) menuju \(X\). Menurut hipotesis, terdapat \(\alpha:A\to B\) sedemikian sehingga \(\iota_A=\iota_B\alpha\). Maka terdapat diagram komutatif \[\text{READERDIAGRAM0017}\] Jadi, \((\alpha,\ensuremath{\mathrm{id}}_C)\) merupakan isomorfisme. Menurut Lema rujukan, hal ini selanjutnya mengakibatkan bahwa \(\alpha\) merupakan isomorfisme. Dengan demikian, persamaan terbukti.

Sifat kisi modular merupakan jembatan penting untuk memindahkan sejumlah argumen standar dari teori modul ke kategori abelian.

---

1. Catatan penerjemah (O014-C025): sumber memperkenalkan keluarga \((X_i)\) dan \((Y_i)\) tanpa tanda prima, sedangkan kedua rumus berikut memakai \(X'_i\) dan \(Y'_i\). Target menambahkan tanda prima pada deklarasi agar cocok dengan rumus.↩︎

2. Catatan penerjemah (O014-C026): sumber menyebut \(f(X')\) sebagai kocitra, tetapi Definisi rujukan menetapkannya sebagai \(\operatorname{im}[X'\to X\to Y]\), yakni citra dan subobjek dari \(Y\). Target memakai istilah yang sesuai dengan objek tersebut.↩︎