Pengujian pada Model Normal

Distribusi normal mungkin merupakan distribusi terpenting dalam kajian statistika matematis, antara lain karena teorema limit pusat. Sebagai konsekuensi teorema ini, suatu besaran terukur yang dipengaruhi oleh banyak galat acak kecil akan mempunyai distribusi yang setidaknya mendekati normal. Variabel semacam itu terdapat di mana-mana dalam eksperimen statistika, pada bidang yang membentang dari ilmu fisika dan biologi hingga ilmu sosial.

Karena itu, dalam bagian ini kita mengasumsikan bahwa $\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ adalah sampel acak dari distribusi normal dengan rata-rata $\mu$ dan simpangan baku $\sigma$. Tujuan kita adalah membangun uji hipotesis bagi $\mu$ dan $\sigma$; keduanya termasuk kasus khusus terpenting dalam pengujian hipotesis. Bagian ini sejajar dengan pembahasan pendugaan dalam model normal pada bab pendugaan himpunan. Khususnya, dualitas antara pendugaan interval dan pengujian hipotesis akan berperan penting. Namun, pertama-tama kita perlu meninjau beberapa fakta dasar yang sangat penting bagi analisis kita.

Ingat bahwa rata-rata sampel $ M $ dan varians sampel $ S^2 $ adalah \[ M = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (X_i - M)^2\]

Dari pembahasan pendugaan titik, ingat bahwa $ M $ merupakan penduga tak bias dan konsisten bagi $ \mu $, sedangkan $ S^2 $ merupakan penduga tak bias dan konsisten bagi $ \sigma^2 $. Dari statistik-statistik dasar ini kita dapat membangun statistik uji yang akan digunakan dalam uji hipotesis. Hasil berikut adalah sifat khusus sampel dari distribusi normal.

Definisikan \[ Z = \frac{M - \mu}{\sigma \big/ \sqrt{n}}, \quad T = \frac{M - \mu}{S \big/ \sqrt{n}}, \quad V = \frac{n - 1}{\sigma^2} S^2 \]

$ Z $ mempunyai distribusi normal baku.
$ T $ mempunyai distribusi $ t $ Student dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan.
$ V $ mempunyai distribusi khi-kuadrat dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan.
$ Z $ dan $ V $ saling bebas.

Jadi, setiap variabel acak ini merupakan variabel pivot bagi $ (\mu, \sigma) $: distribusinya tidak bergantung pada parameter, tetapi variabelnya sendiri secara fungsional bergantung pada salah satu atau kedua parameter. Variabel pivot tersebut menghasilkan statistik uji alami yang dapat dipakai untuk menguji hipotesis mengenai parameter. Untuk membangun uji, kita memerlukan kuantil distribusi-distribusi baku ini. Kuantil dapat dihitung dengan aplikasi kuantil atau sebagian besar paket perangkat lunak matematika dan statistika. Notasi yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

Misalkan $ p \in (0, 1) $ dan $ k \in \N_+ $.

$ z(p) $ menyatakan kuantil berorde $ p $ dari distribusi normal baku.
$t_k(p)$ menyatakan kuantil berorde $ p $ dari distribusi $ t $ Student dengan $ k $ derajat kebebasan.
$ \chi^2_k(p) $ menyatakan kuantil berorde $ p $ dari distribusi khi-kuadrat dengan $ k $ derajat kebebasan.

Karena distribusi normal baku dan distribusi $ t $ Student simetris terhadap 0, berlaku $ z(1 - p) = -z(p) $ dan $ t_k(1 - p) = -t_k(p) $ untuk $ p \in (0, 1) $ serta $ k \in \N_+ $. Sebaliknya, distribusi khi-kuadrat tidak simetris.

Uji Rata-Rata dengan Simpangan Baku Diketahui

Dalam pembahasan pertama, kita mengasumsikan bahwa rata-rata distribusi $ \mu $ tidak diketahui, tetapi simpangan baku $ \sigma $ diketahui. Asumsi ini tidak selalu dibuat-buat. Sering ada keadaan ketika $ \sigma $ stabil sepanjang waktu sehingga setidaknya diketahui secara mendekati, sementara $ \mu $ berubah karena perlakuan yang berbeda. Contohnya diberikan dalam latihan komputasi di bawah.

Untuk nilai hipotesis $ \mu_0 \in \R $, definisikan statistik uji \[ Z = \frac{M - \mu_0}{\sigma \big/ \sqrt{n}} \]

Jika $ \mu = \mu_0 $, maka $ Z $ mempunyai distribusi normal baku.
Jika $ \mu \ne \mu_0 $, maka $ Z $ mempunyai distribusi normal dengan rata-rata $ \frac{\mu - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} $ dan varians 1.

Jadi, pada kasus (b), $ \frac{\mu - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} $ dapat dipandang sebagai parameter nonsentral. Grafik fungsi kepadatan peluang $ Z $ berbentuk seperti fungsi kepadatan normal baku, tetapi bergeser ke kanan atau ke kiri sebesar parameter nonsentral, bergantung pada apakah $ \mu \gt \mu_0 $ atau $ \mu \lt \mu_0 $.

Untuk $ \alpha \in (0, 1) $, setiap uji berikut mempunyai tingkat signifikansi $ \alpha $:

Tolak $ H_0: \mu = \mu_0 $ melawan $ H_1: \mu \ne \mu_0 $ jika dan hanya jika $ Z \lt -z(1 - \alpha /2) $ atau $ Z \gt z(1 - \alpha / 2) $; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ M \lt \mu_0 - z(1 - \alpha / 2) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ atau $ M \gt \mu_0 + z(1 - \alpha / 2) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $.
Tolak $ H_0: \mu \le \mu_0 $ melawan $ H_1: \mu \gt \mu_0 $ jika dan hanya jika $ Z \gt z(1 - \alpha) $; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ M \gt \mu_0 + z(1 - \alpha) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $.
Tolak $ H_0: \mu \ge \mu_0 $ melawan $ H_1: \mu \lt \mu_0 $ jika dan hanya jika $ Z \lt -z(1 - \alpha) $; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ M \lt \mu_0 - z(1 - \alpha) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $.

Rincian:

Pada bagian (a), $ H_0 $ merupakan hipotesis sederhana dan, di bawah $ H_0 $, $ Z $ mempunyai distribusi normal baku. Karena itu, menurut definisi kuantil, $ \alpha $ adalah peluang menolak $ H_0 $ secara keliru. Pada bagian (b) dan (c), $ Z $ mempunyai distribusi normal nonsentral di bawah $ H_0 $ seperti dibahas pada . Jika $ H_0 $ benar, peluang galat tipe I maksimum sebesar $ \alpha $ terjadi ketika $ \mu = \mu_0 $. Aturan keputusan dalam $ M $ ekuivalen dengan aturan yang bersesuaian dalam $ Z $ melalui aljabar sederhana.

Bagian (a) adalah uji dua sisi baku, bagian (b) adalah uji sisi kanan, dan bagian (c) adalah uji sisi kiri. Dalam setiap kasus, uji hipotesis tersebut merupakan dual dari dugaan interval yang bersesuaian dalam bagian pendugaan pada model normal.

Untuk setiap uji pada , kita gagal menolak $H_0$ pada tingkat signifikansi $\alpha$ jika dan hanya jika $\mu_0$ berada dalam interval kepercayaan $1 - \alpha$ yang bersesuaian, yaitu

$ M - z(1 - \alpha / 2) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu_0 \le M + z(1 - \alpha / 2) \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $
$ \mu_0 \ge M - z(1 - \alpha) \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$ \mu_0 \le M + z(1 - \alpha) \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Rincian:

Hasil ini mengikuti . Dalam setiap kasus, kita mulai dari pertidaksamaan yang bersesuaian dengan tidak menolak $ H_0 $, lalu menyelesaikannya terhadap $ \mu_0 $.

Uji dua sisi pada (a) menempatkan $ \alpha / 2 $ pada setiap ekor distribusi statistik uji $ Z $ di bawah $ H_0 $. Uji ini disebut tak bias. Kita tentu dapat membangun uji bias lain dengan membagi tingkat signifikansi $ \alpha $ secara tidak simetris antara ekor kiri dan kanan.

Untuk setiap $\alpha, \, p \in (0, 1)$, uji berikut mempunyai tingkat signifikansi $\alpha$: tolak $H_0: \mu = \mu_0$ melawan $H_1: \mu \ne \mu_0$ jika dan hanya jika $Z \lt z(\alpha - p \alpha)$ atau $Z \ge z(1 - p \alpha)$.

$ p = \frac{1}{2} $ menghasilkan uji simetris dan tak bias.
$ p \downarrow 0 $ menghasilkan uji sisi kiri.
$ p \uparrow 1 $ menghasilkan uji sisi kanan.

Rincian:

Seperti sebelumnya, $ H_0 $ merupakan hipotesis sederhana dan, jika $ H_0 $ benar, $ Z $ mempunyai distribusi normal baku. Karena itu, peluang menolak $ H_0 $ secara keliru adalah $ \alpha $ menurut definisi kuantil. Bagian (a)–(c) mengikuti sifat fungsi kuantil normal baku.

Nilai-$P$ untuk uji-uji ini dapat dihitung dengan fungsi distribusi normal baku $\Phi$.

Nilai-$P$ untuk uji baku pada berturut-turut adalah

$ 2 \left[1 - \Phi\left(\left|Z\right|\right)\right]$
$ 1 - \Phi(Z) $
$ \Phi(Z) $

Ingat bahwa fungsi kuasa suatu uji parameter adalah peluang menolak hipotesis nol sebagai fungsi nilai parameter yang sebenarnya. Rangkaian hasil berikut menelaah fungsi kuasa uji pada .

Fungsi kuasa uji dua sisi umum pada adalah \[ Q(\mu) = \Phi \left( z(\alpha - p \alpha) - \frac{\sqrt{n}}{\sigma} (\mu - \mu_0) \right) + \Phi \left( \frac{\sqrt{n}}{\sigma} (\mu - \mu_0) - z(1 - p \alpha) \right), \quad \mu \in \R \]

$Q$ menurun pada $(-\infty, m_0)$ dan meningkat pada $(m_0, \infty)$, dengan $m_0 = \mu_0 + \left[z(\alpha - p \alpha) + z(1 - p \alpha)\right] \frac{\sigma}{2 \sqrt{n}}$.
$Q(\mu_0) = \alpha$.
$Q(\mu) \to 1$ ketika $\mu \uparrow \infty$ dan $Q(\mu) \to 1$ ketika $\mu \downarrow -\infty$.
Jika $p = \frac{1}{2}$, maka $Q$ simetris terhadap $\mu_0$ (dan $ m_0 = \mu_0 $).
Ketika $p$ meningkat, $Q(\mu)$ meningkat jika $\mu \gt \mu_0$ dan menurun jika $\mu \lt \mu_0$.

Jadi, dengan mengubah $ p $, kita dapat menaikkan kuasa uji pada sebagian nilai $ \mu $, tetapi hanya dengan mengorbankan kuasa pada nilai $ \mu $ lainnya.

Fungsi kuasa uji sisi kiri pada adalah \[ Q(\mu) = \Phi \left( z(\alpha) - \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\mu - \mu_0) \right), \quad \mu \in \R \]

$Q$ menurun pada $\R$.
$Q(\mu_0) = \alpha$.
$Q(\mu) \to 0$ ketika $\mu \uparrow \infty$ dan $Q(\mu) \to 1$ ketika $\mu \downarrow -\infty$.

Fungsi kuasa uji sisi kanan pada adalah \[ Q(\mu) = \Phi \left( z(\alpha) + \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\mu - \mu_0) \right), \quad \mu \in \R \]

$Q$ meningkat pada $\R$.
$Q(\mu_0) = \alpha$.
$Q(\mu) \to 1$ ketika $\mu \uparrow \infty$ dan $Q(\mu) \to 0$ ketika $\mu \downarrow -\infty$.

Untuk setiap uji satu sisi, memperbesar ukuran sampel $n$ atau memperkecil simpangan baku $\sigma$ menaikkan kuasa di seluruh arah alternatif yang bersesuaian. Hal yang sama berlaku bagi uji dua sisi simetris pada setiap nilai alternatif; untuk pembagian ekor asimetris umum pada , kenaikan kuasa tidak harus seragam pada kedua sisi.

Dalam eksperimen uji rata-rata, pilih statistik uji normal dan distribusi asal sampel normal dengan simpangan baku $\sigma = 2$, ukuran sampel $n = 20$, serta $\mu_0 = 0$. Jalankan eksperimen 1.000 kali untuk beberapa nilai rata-rata distribusi sebenarnya $\mu$. Untuk setiap nilai $\mu$, perhatikan distribusi nilai-$P$.

Dalam eksperimen pendugaan rata-rata, pilih variabel pivot normal dan distribusi normal dengan $\mu = 0$, simpangan baku $\sigma = 2$, tingkat kepercayaan $1 - \alpha = 0.90$, serta ukuran sampel $n = 10$. Untuk setiap dari ketiga jenis interval kepercayaan, jalankan eksperimen 20 kali. Nyatakan hipotesis dan tingkat signifikansi yang bersesuaian; untuk setiap pengulangan, berikan himpunan $\mu_0$ yang menyebabkan hipotesis nol ditolak.

Dalam banyak kasus, langkah pertama adalah merancang eksperimen agar tingkat signifikansinya $\alpha$ dan agar uji mempunyai kuasa $\beta$ pada alternatif tertentu $\mu_1$.

Untuk salah satu uji satu sisi pada , ukuran sampel $n$ yang diperlukan bagi uji dengan tingkat signifikansi $\alpha$ dan kuasa $\beta$ pada alternatif $\mu_1$—yang harus berada pada arah alternatif yang diuji—adalah \[ n = \left( \frac{\sigma \left[z(\beta) - z(\alpha)\right]}{\mu_1 - \mu_0} \right)^2 \]

Rincian:

Hasil ini diperoleh dengan menyamakan fungsi kuasa dengan $\beta$, lalu menyelesaikannya terhadap $n$. Untuk ukuran sampel aktual, bulatkan ruas kanan ke atas ke bilangan bulat.

Untuk uji dua sisi tak bias, ukuran sampel $n$ yang diperlukan bagi uji dengan tingkat signifikansi $\alpha$ dan kuasa $\beta$ pada alternatif $\mu_1$ secara hampiran adalah \[ n = \left( \frac{\sigma \left[z(\beta) - z(\alpha / 2)\right]}{\mu_1 - \mu_0} \right)^2 \]

Rincian:

Dalam fungsi kuasa uji dua sisi pada , suku kedua dapat diabaikan jika $\mu_1 \lt \mu_0$, sedangkan suku pertama dapat diabaikan jika $\mu_1 \gt \mu_0$. Bulatkan hasil ke atas dan periksa kembali kuasa eksak setelah pembulatan karena rumus ini merupakan hampiran.

Uji Rata-Rata dengan Simpangan Baku Tidak Diketahui

Selanjutnya, kita membangun uji bagi $\mu$ tanpa mengasumsikan bahwa $\sigma$ diketahui. Dalam penerapan, tentu saja, $ \sigma $ biasanya memang tidak diketahui.

Untuk nilai hipotesis $ \mu_0 \in \R $, definisikan statistik uji \[ T = \frac{M - \mu_0}{S \big/ \sqrt{n}} \]

Jika $ \mu = \mu_0 $, statistik $ T $ mempunyai distribusi $ t $ Student dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan.
Jika $ \mu \ne \mu_0 $, maka $ T $ mempunyai distribusi $ t $ nonsentral dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan dan parameter nonsentral $ \frac{\mu - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} $.

Pada kasus (b), grafik fungsi kepadatan peluang $ T $ menyerupai distribusi $ t $ biasa dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan, tetapi bukan sekadar translasi; arah pergeseran massanya ditentukan oleh apakah $ \mu \gt \mu_0 $ atau $ \mu \lt \mu_0 $.

Untuk $ \alpha \in (0, 1) $, setiap uji berikut mempunyai tingkat signifikansi $ \alpha $:

Tolak $ H_0: \mu = \mu_0 $ melawan $ H_1: \mu \ne \mu_0 $ jika dan hanya jika $ T \lt -t_{n-1}(1 - \alpha /2) $ atau $ T \gt t_{n-1}(1 - \alpha / 2) $; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ M \lt \mu_0 - t_{n-1}(1 - \alpha / 2) \frac{S}{\sqrt{n}} $ atau $ M \gt \mu_0 + t_{n-1}(1 - \alpha / 2) \frac{S}{\sqrt{n}} $.
Tolak $ H_0: \mu \le \mu_0 $ melawan $ H_1: \mu \gt \mu_0 $ jika dan hanya jika $ T \gt t_{n-1}(1 - \alpha) $; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ M \gt \mu_0 + t_{n-1}(1 - \alpha) \frac{S}{\sqrt{n}} $.
Tolak $ H_0: \mu \ge \mu_0 $ melawan $ H_1: \mu \lt \mu_0 $ jika dan hanya jika $ T \lt -t_{n-1}(1 - \alpha) $; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ M \lt \mu_0 - t_{n-1}(1 - \alpha) \frac{S}{\sqrt{n}} $.

Rincian:

Pada bagian (a), $ T $ mempunyai distribusi t Student dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan di bawah $ H_0 $. Karena itu, jika $ H_0 $ benar, peluang menolak $ H_0 $ secara keliru adalah $ \alpha $ menurut definisi kuantil. Pada bagian (b) dan (c), $ T $ mempunyai distribusi $ t $ nonsentral dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan di bawah $ H_0 $, sebagaimana pada . Jadi, jika $ H_0 $ benar, peluang galat tipe I maksimum sebesar $ \alpha $ terjadi ketika $ \mu = \mu_0 $. Aturan keputusan dalam $ M $ ekuivalen dengan aturan yang bersesuaian dalam $ T $ melalui aljabar sederhana.

Untuk setiap uji pada , kita gagal menolak $H_0$ pada tingkat signifikansi $\alpha$ jika dan hanya jika $\mu_0$ berada dalam interval kepercayaan $1 - \alpha$ yang bersesuaian.

$ M - t_{n-1}(1 - \alpha / 2) \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu_0 \le M + t_{n-1}(1 - \alpha / 2) \frac{S}{\sqrt{n}} $
$ \mu_0 \ge M - t_{n-1}(1 - \alpha) \frac{S}{\sqrt{n}}$
$ \mu_0 \le M + t_{n-1}(1 - \alpha) \frac{S}{\sqrt{n}}$

Rincian:

Hasil ini mengikuti . Dalam setiap kasus, kita mulai dari pertidaksamaan yang bersesuaian dengan tidak menolak $ H_0 $, lalu menyelesaikannya terhadap $ \mu_0 $.

Uji dua sisi pada (a) menempatkan $ \alpha / 2 $ pada setiap ekor distribusi statistik uji $ T $ di bawah $ H_0 $. Uji ini disebut tak bias. Kita tentu dapat membangun uji bias lain dengan membagi tingkat signifikansi $ \alpha $ secara tidak simetris antara ekor kiri dan kanan.

Untuk setiap $\alpha, \, p \in (0, 1)$, uji berikut mempunyai tingkat signifikansi $\alpha$: tolak $H_0: \mu = \mu_0$ melawan $H_1: \mu \ne \mu_0$ jika dan hanya jika $T \lt t_{n-1}(\alpha - p \alpha)$ atau $T \ge t_{n-1}(1 - p \alpha)$; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ M \lt \mu_0 + t_{n-1}(\alpha - p \alpha) \frac{S}{\sqrt{n}} $ atau $ M \gt \mu_0 + t_{n-1}(1 - p \alpha) \frac{S}{\sqrt{n}} $.

$ p = \frac{1}{2} $ menghasilkan uji simetris dan tak bias.
$ p \downarrow 0 $ menghasilkan uji sisi kiri.
$ p \uparrow 1 $ menghasilkan uji sisi kanan.

Rincian:

Sekali lagi, $ H_0 $ merupakan hipotesis sederhana dan, di bawah $ H_0 $, statistik uji $ T $ mempunyai distribusi $ t $ Student dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan. Karena itu, jika $ H_0 $ benar, peluang menolak $ H_0 $ secara keliru adalah $ \alpha $ menurut definisi kuantil. Bagian (a)–(c) mengikuti sifat fungsi kuantil.

Nilai-$P$ untuk uji-uji ini dapat dihitung dengan fungsi distribusi $\Phi_{n-1}$ dari distribusi $t$ dengan $n - 1$ derajat kebebasan.

Nilai-$P$ untuk uji baku pada berturut-turut adalah

$ 2 \left[1 - \Phi_{n-1}\left(\left|T\right|\right)\right]$
$ 1 - \Phi_{n-1}(T) $
$ \Phi_{n-1}(T) $

Dalam eksperimen uji rata-rata, pilih statistik uji Student dan distribusi asal sampel normal dengan simpangan baku $\sigma = 2$, ukuran sampel $n = 20$, serta $\mu_0 = 1$. Jalankan eksperimen 1.000 kali untuk beberapa nilai rata-rata distribusi sebenarnya $\mu$. Untuk setiap nilai $\mu$, perhatikan distribusi empiris nilai-$P$.

Dalam eksperimen pendugaan rata-rata, pilih variabel pivot Student dan distribusi asal sampel normal dengan rata-rata 0 serta simpangan baku 2. Pilih tingkat kepercayaan 0,90 dan ukuran sampel 10. Untuk setiap dari ketiga jenis interval, jalankan eksperimen 20 kali. Nyatakan hipotesis dan tingkat signifikansi yang bersesuaian; untuk setiap pengulangan, berikan himpunan $\mu_0$ yang menyebabkan hipotesis nol ditolak.

Fungsi kuasa uji $ t $ pada dapat dihitung secara eksplisit memakai fungsi distribusi $t$ nonsentral. Secara kualitatif, grafik fungsi kuasanya serupa dengan kasus ketika $\sigma$ diketahui, yaitu (dua sisi), (sisi kiri), dan (sisi kanan).

Jika batas atas $\sigma_0$ bagi simpangan baku $\sigma$ diketahui, dugaan konservatif ukuran sampel yang diperlukan untuk tingkat signifikansi dan kuasa tertentu dapat diperoleh dengan metode variabel pivot normal: untuk uji dua sisi dan untuk uji satu sisi.

Uji Simpangan Baku

Selanjutnya, kita membangun uji hipotesis bagi simpangan baku distribusi $ \sigma $. Jadi, $ \sigma $ diasumsikan tidak diketahui dan, hampir selalu, $ \mu $ juga tidak diketahui.

Untuk nilai hipotesis $ \sigma_0 \in (0, \infty)$, definisikan statistik uji \[ V = \frac{n - 1}{\sigma_0^2} S^2 \]

Jika $ \sigma = \sigma_0 $, maka $ V $ mempunyai distribusi khi-kuadrat dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan.
Jika $ \sigma \ne \sigma_0 $, maka $ V $ mempunyai distribusi gamma dengan parameter bentuk $ (n - 1) / 2 $ dan parameter skala $ 2 \sigma^2 \big/ \sigma_0^2 $.

Ingat bahwa distribusi khi-kuadrat biasa dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan adalah distribusi gamma dengan parameter bentuk $ (n - 1) / 2 $ dan parameter skala $ 2 $. Jadi, pada kasus (b), distribusi khi-kuadrat biasa dikalikan faktor $ \sigma^2 \big/ \sigma_0^2 $. Khususnya, faktor skala itu lebih besar dari 1 jika $ \sigma \gt \sigma_0 $ dan lebih kecil dari 1 jika $ \sigma \lt \sigma_0 $.

Untuk setiap $\alpha \in (0, 1)$, uji berikut mempunyai tingkat signifikansi $\alpha$:

Tolak $H_0: \sigma = \sigma_0$ melawan $H_1: \sigma \ne \sigma_0$ jika dan hanya jika $V \lt \chi_{n-1}^2(\alpha / 2)$ atau $V \gt \chi_{n-1}^2(1 - \alpha / 2)$; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ S^2 \lt \chi_{n-1}^2(\alpha / 2) \frac{\sigma_0^2}{n - 1} $ atau $ S^2 \gt \chi_{n-1}^2(1 - \alpha / 2) \frac{\sigma_0^2}{n - 1} $.
Tolak $H_0: \sigma \ge \sigma_0$ melawan $H_1: \sigma \lt \sigma_0$ jika dan hanya jika $V \lt \chi_{n-1}^2(\alpha)$; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ S^2 \lt \chi_{n-1}^2(\alpha) \frac{\sigma_0^2}{n - 1} $.
Tolak $H_0: \sigma \le \sigma_0$ melawan $H_1: \sigma \gt \sigma_0$ jika dan hanya jika $V \gt \chi_{n-1}^2(1 - \alpha)$; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ S^2 \gt \chi_{n-1}^2(1 - \alpha) \frac{\sigma_0^2}{n - 1} $.

Rincian:

Logikanya hampir sama dengan uji hipotesis sebelumnya. Pada bagian (a), $ H_0 $ merupakan hipotesis sederhana dan, di bawah $ H_0 $, statistik uji $ V $ mempunyai distribusi khi-kuadrat dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan. Jadi, jika $ H_0 $ benar, peluang menolak $ H_0 $ secara keliru adalah $ \alpha $ menurut definisi kuantil. Pada bagian (b) dan (c), $ V $ mempunyai distribusi gamma yang lebih umum di bawah $ H_0 $, seperti dibahas pada . Jika $ H_0 $ benar, peluang galat tipe I maksimum sebesar $ \alpha $ terjadi ketika $ \sigma = \sigma_0 $.

Bagian (a) adalah uji dua sisi berekor sama yang menempatkan $ \alpha / 2 $ pada setiap ekor distribusi khi-kuadrat statistik uji $ V $ di bawah $ H_0 $; pembagian ekor sama ini tidak dengan sendirinya menjamin uji tak bias. Bagian (b) adalah uji sisi kiri dan bagian (c) uji sisi kanan. Sekali lagi, terdapat dualitas antara uji hipotesis dan dugaan interval yang dibangun dalam bagian pendugaan pada model normal.

Untuk setiap uji pada , kita gagal menolak $H_0$ pada tingkat signifikansi $\alpha$ jika dan hanya jika $\sigma_0^2$ berada dalam interval kepercayaan $1 - \alpha$ yang bersesuaian. Yaitu

$ \frac{n - 1}{\chi_{n-1}^2(1 - \alpha / 2)} S^2 \le \sigma_0^2 \le \frac{n - 1}{\chi_{n-1}^2(\alpha / 2)} S^2 $
$ \sigma_0^2 \le \frac{n - 1}{\chi_{n-1}^2(\alpha)} S^2 $
$ \sigma_0^2 \ge \frac{n - 1}{\chi_{n-1}^2(1 - \alpha)} S^2 $

Rincian:

Hasil ini mengikuti . Dalam setiap kasus, kita mulai dari pertidaksamaan yang bersesuaian dengan tidak menolak $ H_0 $, lalu menyelesaikannya terhadap $ \sigma_0^2 $.

Seperti sebelumnya, kita dapat membangun uji dua sisi yang lebih umum dengan membagi tingkat signifikansi $ \alpha $ secara sembarang antara ekor kiri dan kanan distribusi khi-kuadrat.

Untuk setiap $\alpha, \, p \in (0, 1)$, uji berikut mempunyai tingkat signifikansi $\alpha$: tolak $H_0: \sigma = \sigma_0$ melawan $H_1: \sigma \ne \sigma_0$ jika dan hanya jika $V \lt \chi_{n-1}^2(\alpha - p \alpha)$ atau $V \gt \chi_{n-1}^2(1 - p \alpha)$; secara ekuivalen, jika dan hanya jika $ S^2 \lt \chi_{n-1}^2(\alpha - p \alpha) \frac{\sigma_0^2}{n - 1} $ atau $ S^2 \gt \chi_{n-1}^2(1 - p \alpha) \frac{\sigma_0^2}{n - 1} $.

$ p = \frac{1}{2} $ menghasilkan uji berekor sama.
$ p \downarrow 0 $ menghasilkan uji sisi kiri.
$ p \uparrow 1 $ menghasilkan uji sisi kanan.

Rincian:

Seperti sebelumnya, $ H_0 $ merupakan hipotesis sederhana dan, di bawah $ H_0 $, statistik uji $ V $ mempunyai distribusi khi-kuadrat dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan. Jadi, jika $ H_0 $ benar, peluang menolak $ H_0 $ secara keliru adalah $ \alpha $ menurut definisi kuantil. Bagian (a)–(c) mengikuti sifat fungsi kuantil.

Ingat kembali bahwa fungsi kuasa suatu uji parameter adalah peluang menolak hipotesis nol sebagai fungsi nilai parameter yang sebenarnya. Fungsi kuasa uji bagi $ \sigma $ dapat dinyatakan dengan fungsi distribusi $ G_{n-1} $ dari distribusi khi-kuadrat dengan $ n - 1 $ derajat kebebasan.

Fungsi kuasa uji dua sisi umum pada diberikan oleh rumus berikut dan mempunyai sifat-sifat yang dinyatakan: \[ Q(\sigma) = 1 - G_{n-1} \left( \frac{\sigma_0^2}{\sigma^2} \chi_{n-1}^2(1 - p \, \alpha) \right) + G_{n-1} \left(\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2} \chi_{n-1}^2(\alpha - p \, \alpha) \right)\]

$Q$ mula-mula menurun lalu meningkat pada $(0, \infty)$; titik minimumnya pada umumnya tidak tepat di $\sigma_0$.
$Q(\sigma_0) = \alpha$.
$Q(\sigma) \to 1$ ketika $\sigma \uparrow \infty$ dan $Q(\sigma) \to 1$ ketika $\sigma \downarrow 0$.

Fungsi kuasa uji sisi kanan pada diberikan oleh rumus berikut dan mempunyai sifat-sifat yang dinyatakan: \[ Q(\sigma) = 1 - G_{n-1} \left( \frac{\sigma_0^2}{\sigma^2} \chi_{n-1}^2(1 - \alpha) \right) \]

$Q$ meningkat pada $(0, \infty)$.
$Q(\sigma_0) = \alpha$.
$Q(\sigma) \to 1$ ketika $\sigma \uparrow \infty$ dan $Q(\sigma) \to 0$ ketika $\sigma \downarrow 0$.

Fungsi kuasa uji sisi kiri pada diberikan oleh rumus berikut dan mempunyai sifat-sifat yang dinyatakan: \[ Q(\sigma) = G_{n-1} \left( \frac{\sigma_0^2}{\sigma^2} \chi_{n-1}^2(\alpha) \right) \]

$Q$ menurun pada $(0, \infty)$.
$Q(\sigma_0) =\alpha$.
$Q(\sigma) \to 0$ ketika $\sigma \uparrow \infty$, sedangkan $Q(\sigma) \to 1$ ketika $\sigma \downarrow 0$; jadi, limit pada ujung ini berbeda dari limit pada ujung $\sigma \uparrow \infty$.

Dalam eksperimen uji varians, pilih distribusi normal dengan rata-rata 0, tingkat signifikansi 0,1, ukuran sampel 10, dan simpangan baku hipotesis 1,0. Untuk berbagai nilai simpangan baku sebenarnya, jalankan simulasi 1.000 kali. Catat frekuensi relatif penolakan hipotesis nol dan gambarkan kurva kuasa empiris.

Uji dua sisi
Uji sisi kiri
Uji sisi kanan

Dalam eksperimen pendugaan varians, pilih distribusi normal dengan rata-rata 0 dan simpangan baku 2, tingkat kepercayaan 0,90, serta ukuran sampel 10. Jalankan eksperimen 20 kali. Nyatakan hipotesis dan tingkat signifikansi yang bersesuaian; untuk setiap pengulangan, berikan himpunan simpangan baku hipotesis yang menyebabkan hipotesis nol ditolak.

Interval kepercayaan dua sisi
Batas bawah kepercayaan
Batas atas kepercayaan

Latihan

Robustitas

Asumsi utama kita adalah bahwa distribusi asal sampel bersifat normal. Tentu saja, dalam masalah statistika nyata, kecil kemungkinan kita mengetahui banyak hal tentang distribusi asal sampel, apalagi mengetahui bahwa distribusi itu normal. Jika distribusi asal sebenarnya tidak normal dan ukuran sampel $n$ cukup besar, distribusi rata-rata sampel masih mendekati normal menurut teorema limit pusat, sehingga uji rata-rata $\mu$ juga dapat berlaku secara hampiran. Sebaliknya, uji varians $\sigma^2$ kurang robust terhadap penyimpangan dari asumsi normalitas. Latihan berikut menjelajahi gagasan-gagasan ini.

Dalam eksperimen uji rata-rata, pilih distribusi gamma dengan parameter bentuk 1 dan parameter skala 1. Untuk ketiga uji, berbagai ukuran sampel, dan berbagai nilai $\mu_0$, jalankan eksperimen 1.000 kali. Untuk setiap konfigurasi, perhatikan distribusi empiris nilai-$P$.

Dalam eksperimen uji rata-rata, pilih distribusi seragam pada $[0, 4]$. Untuk ketiga uji serta berbagai ukuran sampel dan nilai $\mu_0$, jalankan eksperimen 1.000 kali. Untuk setiap konfigurasi, perhatikan distribusi empiris nilai-$P$.

Seberapa besar $n$ harus dipilih agar prosedur pengujian bekerja baik bergantung pada distribusi asal; makin jauh distribusi itu menyimpang dari normalitas—terutama dalam kemencengan dan perilaku ekor—makin besar $n$ yang mungkin diperlukan. Konvergensi dalam teorema limit pusat sering cukup cepat, tetapi aturan praktis 30 pengamatan bukan jaminan universal; validitas hampiran harus diperiksa untuk distribusi dan tujuan uji yang bersangkutan.

Dalam eksperimen uji varians, pilih distribusi gamma dengan parameter bentuk 1 dan parameter skala 1. Untuk ketiga uji serta berbagai tingkat signifikansi, ukuran sampel, dan nilai $\sigma_0$, jalankan eksperimen 1.000 kali. Untuk setiap konfigurasi, catat frekuensi relatif penolakan $H_0$. Ketika $H_0$ benar, bandingkan frekuensi relatif itu dengan tingkat signifikansi.

Dalam eksperimen uji varians, pilih distribusi seragam pada $[0, 4]$. Untuk ketiga uji serta berbagai tingkat signifikansi, ukuran sampel, dan nilai $\sigma_0$, jalankan eksperimen 1.000 kali. Untuk setiap konfigurasi, catat frekuensi relatif penolakan $H_0$. Ketika $H_0$ benar, bandingkan frekuensi relatif itu dengan tingkat signifikansi.

Latihan Komputasi

Panjang suatu komponen hasil pemesinan seharusnya 10 sentimeter. Karena proses produksi tidak sempurna, panjang sebenarnya merupakan variabel acak. Simpangan baku disebabkan oleh faktor inheren dalam proses yang relatif stabil sepanjang waktu. Dari data historis, simpangan baku diketahui dengan ketelitian tinggi sebesar 0,3. Sebaliknya, rata-rata dapat diatur dengan menyesuaikan berbagai parameter proses sehingga cukup sering berubah ke nilai yang tidak diketahui. Kita ingin menguji $H_0: \mu = 10$ melawan $H_1: \mu \ne 10$.

Andaikan sampel 100 komponen mempunyai rata-rata 10,1. Lakukan uji pada tingkat signifikansi 0,1.
Hitung nilai-$P$ untuk data pada (a).
Hitung kuasa uji pada (a) ketika $\mu = 10.05$.
Hitung hampiran ukuran sampel yang diperlukan untuk tingkat signifikansi 0,1 dan kuasa 0,8 ketika $\mu = 10.05$.

Rincian:

Statistik uji 3,333, nilai kritis $\pm 1.645$. Tolak $H_0$.
$P \approx 0.0009$
Kuasa uji pada 10,05 kira-kira 0,5092.
Ukuran sampel 223.

Sekantong keripik kentang merek tertentu diiklankan mempunyai berat 250 gram. Berat sebenarnya (dalam gram) merupakan variabel acak. Andaikan sampel 75 kantong mempunyai rata-rata 248 dan simpangan baku 5. Pada tingkat signifikansi 0,05, lakukan uji berikut:

$H_0: \mu \ge 250$ melawan $H_1: \mu \lt 250$
$H_0: \sigma \ge 7$ melawan $H_1: \sigma \lt 7$

Rincian:

Statistik uji $-3.464$, nilai kritis $-1.665$. Tolak $H_0$.
$P \approx 0.00015$, sehingga tolak $H_0$.

Pada sebuah perusahaan pemasaran jarak jauh, durasi panggilan penawaran melalui telepon (dalam detik) merupakan variabel acak. Sampel 50 panggilan mempunyai rata-rata 310 dan simpangan baku 25. Pada tingkat signifikansi 0,1, dapatkah kita menyimpulkan bahwa

$\mu \gt 300$?
$\sigma \gt 20$?

Rincian:

Statistik uji 2,828, nilai kritis 1,2991. Tolak $H_0$.
$P = 0.0071$, sehingga tolak $H_0$.

Di suatu perkebunan, berat buah persik (dalam ounce [oz]) pada saat panen merupakan variabel acak. Sampel 100 buah persik mempunyai rata-rata 8,2 dan simpangan baku 1,0. Pada tingkat signifikansi 0,01, dapatkah kita menyimpulkan bahwa

$\mu \gt 8$?
$\sigma \lt 1.5$?

Rincian:

Statistik uji 2,0, nilai kritis 2,3646. Gagal menolak $H_0$.
$P \lt 0.0001$, sehingga tolak $H_0$.

Upah per jam untuk jenis pekerjaan konstruksi tertentu merupakan variabel acak dengan simpangan baku 1,25. Dalam sampel 25 pekerja, upah rata-ratanya $6,75. Pada tingkat signifikansi 0,01, dapatkah kita menyimpulkan bahwa $\mu \lt 7.00$?

Rincian:

Statistik uji $-1$, nilai kritis $-2.326$. Gagal menolak $H_0$.

Latihan Analisis Data

Dengan data Michelson, ujilah apakah kecepatan cahaya lebih besar dari 730 (+299000) km/detik pada tingkat signifikansi 0,005.

Rincian:

Statistik uji 15,49, nilai kritis 2,6270. Tolak $H_0$.

Dengan data Cavendish, ujilah apakah massa jenis Bumi kurang dari 5,5 kali massa jenis air pada tingkat signifikansi 0,05.

Rincian:

Statistik uji $-1.269$, nilai kritis $-1.7017$. Gagal menolak $H_0$.

Dengan data Short, ujilah apakah paralaks Matahari berbeda dari 9 detik busur pada tingkat signifikansi 0,1.

Rincian:

Statistik uji $-3.730$, nilai kritis $\pm 1.6749$. Tolak $H_0$.

Dengan data iris Fisher, lakukan uji berikut pada tingkat signifikansi 0,1:

Rata-rata panjang mahkota iris Setosa berbeda dari 15 mm.
Rata-rata panjang mahkota iris Virginica lebih besar dari 52 mm.
Rata-rata panjang mahkota iris Versicolor kurang dari 44 mm.

Rincian:

Statistik uji $-1.563$, nilai kritis $\pm 1.6766$. Gagal menolak $H_0$.
Statistik uji 4,556, nilai kritis 1,2991. Tolak $H_0$.
Statistik uji $-1.028$, nilai kritis $-1.2991$. Gagal menolak $H_0$.

2. Pengujian pada Model Normal

Teori Dasar

Model Normal

Uji Rata-Rata dengan Simpangan Baku Diketahui

Uji Rata-Rata dengan Simpangan Baku Tidak Diketahui

Uji Simpangan Baku

Latihan

Robustitas

Latihan Komputasi

Latihan Analisis Data