Andaikan \(\bs{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n)\) merupakan sampel acak dari distribusi Bernoulli dengan parameter tak diketahui \(p\in(0,1)\). Dengan demikian, variabel-variabel tersebut saling independen dan masing-masing mengambil nilai 1 dan 0 dengan probabilitas \(p\) dan \(1-p\). Dalam bahasa keandalan, 1 lazim menyatakan sukses dan 0 menyatakan gagal, tetapi keduanya hanyalah istilah umum.
Model ini sering muncul dalam salah satu konteks berikut:
Pada bagian (b), jika pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, variabel-variabel itu benar-benar membentuk sampel acak dari distribusi Bernoulli. Jika dilakukan tanpa pengembalian, variabel-variabelnya dependen, tetapi model Bernoulli masih dapat berlaku secara hampiran apabila ukuran populasi sangat besar dibandingkan ukuran sampel \(n\). Uraian lebih lanjut terdapat pada pembahasan metode pengambilan sampel dalam bab model pengambilan sampel hingga. Pada bagian ini kita membangun uji hipotesis bagi parameter \(p\). Ruang parameter bagi \(p\) ialah interval \((0,1)\), dan semua hipotesis mendefinisikan himpunan bagian dari ruang tersebut. Bagian ini sejajar dengan pendugaan pada model Bernoulli dalam bab pendugaan himpunan.
Ingat bahwa banyaknya sukses \(Y = \sum_{i=1}^n X_i\) mempunyai distribusi binomial dengan parameter \(n\) dan \(p\), serta fungsi massa probabilitas \[ \P(Y = y) = \binom{n}{y} p^y (1 - p)^{n-y}, \quad y \in \{0, 1, \ldots, n\} \] Ingat pula bahwa nilai harapannya ialah \(\E(Y)=np\) dan variansnya \(\var(Y)=np(1-p)\). Selain itu, \(Y\) merupakan statistik cukup bagi \(p\), sehingga menjadi calon alami untuk statistik uji mengenai \(p\). Untuk \(\alpha \in (0,1)\), misalkan \(b_{n,p}(\alpha)\) menyatakan kuantil berorde \(\alpha\) dari distribusi binomial berparameter \(n\) dan \(p\). Karena distribusi binomial diskret, hanya tingkat ekor tertentu yang dapat dicapai tepat. Dalam pembahasan selanjutnya, \(p_0 \in (0,1)\) adalah nilai dugaan bagi \(p\).
Untuk setiap \(\alpha \in (0,1)\), uji berikut mempunyai tingkat signifikansi yang mendekati \(\alpha\):
Pada bagian (a), \(H_0\) merupakan hipotesis sederhana dan, di bawah \(H_0\), statistik uji \(Y\) berdistribusi binomial dengan parameter \(n\) dan \(p_0\). Jika \(H_0\) benar, tingkat nominal \(\alpha\) hanya mendekati peluang menolak \(H_0\) secara keliru untuk batas kuantil yang dinyatakan; karena kisi binomial diskret, ukuran sebenarnya harus dihitung dari peluang ekor. Pada bagian (b) dan (c), \(H_0\) menentukan suatu rentang nilai \(p\). Jika \(H_0\) benar, peluang galat tipe I terbesar mendekati \(\alpha\) pada batas \(p=p_0\).
Uji pada (a) adalah uji dua sisi simetris yang baku, dengan kira-kira \(\alpha/2\) pada masing-masing ekor distribusi binomial di bawah \(H_0\). Uji pada (b) berekor kiri dan uji pada (c) berekor kanan. Secara lebih umum, \(\alpha\) dapat dibagi antara ekor kiri dan kanan dengan cara lain.
Untuk \(\alpha,\,r\in(0,1)\), uji berikut mempunyai tingkat signifikansi yang mendekati \(\alpha\): tolak \(H_0:p=p_0\) melawan \(H_1:p\ne p_0\) jika dan hanya jika \(Y\le b_{n,p_0}(\alpha-r\alpha)\) atau \(Y\ge b_{n,p_0}(1-r\alpha)\).
Sekali lagi, \(H_0\) merupakan hipotesis sederhana dan, di bawah \(H_0\), statistik uji \(Y\) berdistribusi binomial dengan parameter \(n\) dan \(p_0\). Jika \(H_0\) benar, peluang menolak \(H_0\) secara keliru mendekati \(\alpha\); tingkat aktual harus dihitung dari peluang ekor diskret. Bagian (a)–(c) mengikuti sifat-sifat fungsi kuantil.
Jika \(n\) besar dan jumlah harapan sukses maupun gagal di bawah nilai nol cukup besar, distribusi \(Y\) mendekati distribusi normal menurut teorema limit pusat. Karena itu kita dapat membangun uji normal hampiran.
Andaikan ukuran sampel \(n\) besar. Untuk nilai dugaan \(p_0\in(0,1)\), definisikan statistik uji \[ Z = \frac{Y - n p_0}{\sqrt{n p_0 (1 - p_0)}} \]
Seperti biasa, untuk \(\alpha\in(0,1)\), misalkan \(z(\alpha)\) menyatakan kuantil berorde \(\alpha\) dari distribusi normal standar. Untuk nilai \(\alpha\) tertentu, \(z(\alpha)\) dapat diperoleh dari aplikasi kuantil atau sebagian besar perangkat lunak statistika. Menurut simetri, \(z(1-\alpha)=-z(\alpha)\).
Untuk setiap \(\alpha\in(0,1)\), uji berikut mempunyai tingkat signifikansi hampiran \(\alpha\):
Pada bagian (a), \(H_0\) adalah hipotesis sederhana dan, di bawah \(H_0\), statistik uji \(Z\) berdistribusi normal standar secara hampiran. Jika \(H_0\) benar, peluang menolak \(H_0\) secara keliru mendekati \(\alpha\). Pada bagian (b) dan (c), \(H_0\) menentukan suatu rentang nilai \(p\); di bawah \(H_0\), distribusi hampiran \(Z\) dijelaskan pada . Peluang galat tipe I terbesar mendekati \(\alpha\) pada batas \(p=p_0\).
Uji pada (a) adalah uji dua sisi simetris, dengan \(\alpha/2\) pada masing-masing ekor distribusi \(Z\) di bawah \(H_0\). Uji pada (b) berekor kiri dan uji pada (c) berekor kanan. Uji dua sisi yang lebih umum dapat dibangun dengan membagi \(\alpha\) secara lain antara kedua ekor distribusi normal standar.
Untuk setiap \(\alpha,\,r\in(0,1)\), uji berikut mempunyai tingkat signifikansi hampiran \(\alpha\): tolak \(H_0:p=p_0\) melawan \(H_1:p\ne p_0\) jika dan hanya jika \(Z\lt z(\alpha-r\alpha)\) atau \(Z\gt z(1-r\alpha)\).
Hipotesis \(H_0\) sederhana dan, di bawah \(H_0\), statistik uji \(Z\) mempunyai distribusi normal standar secara hampiran. Jika \(H_0\) benar, peluang menolak \(H_0\) secara keliru mendekati \(\alpha\) menurut definisi kuantil.
Dalam eksperimen uji proporsi, tetapkan \(H_0:p=p_0\), ukuran sampel 10, tingkat signifikansi 0,1, dan \(p_0=0.5\). Untuk setiap \(p\in\{0.1,0.2,\ldots,0.9\}\), jalankan eksperimen 1.000 kali, catat frekuensi relatif penolakan hipotesis nol, lalu gambarkan fungsi kuasa empiris.
Dalam eksperimen uji proporsi, ulangi latihan sebelumnya dengan ukuran sampel 20.
Dalam eksperimen uji proporsi, tetapkan \(H_0:p\le p_0\), ukuran sampel 15, tingkat signifikansi 0,05, dan \(p_0=0.3\). Untuk setiap \(p\in\{0.1,0.2,\ldots,0.9\}\), jalankan eksperimen 1.000 kali, catat frekuensi relatif penolakan hipotesis nol, lalu gambarkan fungsi kuasa empiris.
Dalam eksperimen uji proporsi, ulangi latihan sebelumnya dengan ukuran sampel 30.
Dalam eksperimen uji proporsi, tetapkan \(H_0:p\ge p_0\), ukuran sampel 20, tingkat signifikansi 0,01, dan \(p_0=0.6\). Untuk setiap \(p\in\{0.1,0.2,\ldots,0.9\}\), jalankan eksperimen 1.000 kali, catat frekuensi relatif penolakan hipotesis nol, lalu gambarkan fungsi kuasa empiris.
Dalam eksperimen uji proporsi, ulangi latihan sebelumnya dengan ukuran sampel 50.
Dalam jajak pendapat terhadap 1.000 pemilih terdaftar di suatu distrik, 427 orang memilih calon X. Pada tingkat 0,1, apakah bukti cukup untuk menyimpulkan bahwa lebih dari 40% pemilih terdaftar memilih X?
Statistik uji 1,743 dan nilai kritis 1,282. Tolak \(H_0\).
Sebuah koin dilempar 500 kali dan menghasilkan 302 sisi kepala. Pada tingkat 0,05, ujilah apakah koin tersebut tidak seimbang.
Statistik uji 4,651 dan nilai kritis \(\pm1.961\). Tolak \(H_0\); data memberikan bukti yang sangat kuat bahwa probabilitas kepala bukan 0,5.
Sampel 400 cip memori dari suatu lini produksi diuji dan 32 di antaranya cacat. Pada tingkat 0,05, ujilah apakah proporsi cip cacat kurang dari 0,1.
Statistik uji \(-1.333\) dan nilai kritis \(-1.645\). Gagal menolak \(H_0\).
Obat baru diberikan kepada 50 pasien dan efektif dalam 42 kasus. Pada tingkat 0,1, ujilah apakah tingkat keberhasilan obat tersebut lebih besar dari 0,8.
Statistik uji 0,707 dan nilai kritis 1,282. Gagal menolak \(H_0\).
Dengan data M&M, ujilah hipotesis alternatif berikut pada tingkat signifikansi 0,1:
Andaikan kini kita mempunyai eksperimen acak dasar dengan variabel acak bernilai real \(U\) yang menjadi perhatian. Kita mengasumsikan bahwa \(U\) mempunyai distribusi kontinu dengan dukungan pada suatu interval \(S\subseteq\R\), dan bahwa fungsi distribusinya meningkat ketat di sekitar kuantil yang dibandingkan sehingga kuantil tersebut unik. Misalkan \(m\) menyatakan kuantil berorde tertentu \(p_0\in(0,1)\) bagi distribusi \(U\). Dengan demikian, \[ p_0 = \P(U \le m) \] Secara umum, \(m\) tidak diketahui meskipun \(p_0\) ditentukan, sebab distribusi \(U\) tidak diketahui. Kita ingin membangun uji hipotesis bagi \(m\). Untuk nilai uji tertentu \(m_0\), misalkan \[ p = \P(U \le m_0) \] Nilai \(p\) tidak diketahui meskipun \(m_0\) ditentukan, sekali lagi karena distribusi \(U\) tidak diketahui.
Hubungan
Hasil-hasil tersebut mengikuti jika fungsi distribusi \(U\) kontinu dan meningkat ketat pada interval perbandingan \(S\). Dukungan yang berupa interval dan kontinuitas saja tidak cukup jika fungsi distribusi mempunyai bagian datar; dalam kasus itu kuantil harus didefinisikan dan hipotesis ditangani dengan lebih hati-hati.
Seperti biasa, kita mengulang eksperimen dasar \(n\) kali untuk menghasilkan sampel acak \(\bs{U}=(U_1,U_2,\ldots,U_n)\) berukuran \(n\) dari distribusi \(U\). Misalkan \(X_i=\bs{1}(U_i\le m_0)\) menjadi variabel indikator kejadian \(\{U_i\le m_0\}\), untuk \(i\in\{1,2,\ldots,n\}\).
Perhatikan bahwa \(\bs{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n)\) adalah statistik—fungsi teramati dari vektor data \(\bs{U}\)—dan merupakan sampel acak berukuran \(n\) dari distribusi Bernoulli dengan parameter \(p\).
Dari teorema dan , pengujian terhadap kuantil tak diketahui \(m\) dapat diubah menjadi pengujian parameter Bernoulli \(p\), sehingga uji-uji di atas berlaku. Prosedur ini disebut uji tanda karena pada dasarnya hanya tanda \(U_i-m_0\) yang dicatat untuk setiap \(i\). Prosedur ini juga merupakan uji nonparametrik: selain sampel acak, kontinuitas, dan keunikan kuantil, kita tidak membuat asumsi parametrik tentang distribusi \(U\); khususnya, distribusi \(U\) tidak perlu termasuk keluarga parametrik tertentu.
Kasus terpenting adalah \(p_0=\frac{1}{2}\), yakni uji tanda untuk median. Jika distribusi \(U\) simetris terhadap pusatnya dan nilai harapan ada, median, pusat simetri, dan rata-rata berimpit; dalam kondisi ini uji tanda untuk median juga menguji rata-rata. Simetri saja tidak menjamin nilai harapan ada.
Dalam eksperimen uji tanda, tetapkan distribusi sampling normal dengan rata-rata 0 dan simpangan baku 2, ukuran sampel 10, dan tingkat signifikansi 0,1. Untuk masing-masing dari 9 nilai \(m_0\), jalankan simulasi 1.000 kali.
Dalam eksperimen uji tanda, tetapkan distribusi sampling seragam pada interval \([0,5]\), ukuran sampel 20, dan tingkat signifikansi 0,05. Untuk masing-masing dari 9 nilai \(m_0\), jalankan simulasi 1.000 kali.
Dalam eksperimen uji tanda, tetapkan distribusi sampling gamma dengan parameter bentuk 2 dan parameter skala 1, ukuran sampel 30, dan tingkat signifikansi 0,025. Untuk masing-masing dari 9 nilai \(m_0\), jalankan simulasi 1.000 kali.
Dengan data M&M, ujilah apakah median berat melebihi 47,9 gram pada tingkat 0,1.
Dengan konvensi indikator yang didefinisikan di atas, statistik uji adalah −3,286 dan nilai kritis berekor kiri −1,282. Tolak \(H_0\).
Dengan data iris Fisher, lakukan pengujian berikut pada tingkat 0,1: