Apa itu model matematika? Bagaimana model tersebut dikembangkan? Seberapa besar kita patut memercayainya: dapatkah kita yakin pada prediksinya, dan tahukah kita kapan perlu bertindak berdasarkan prediksi itu? Pertanyaan-pertanyaan ini, yang secara rutin dihadapi oleh praktisi pemodelan matematika, juga penting bagi warga masyarakat dan pembuat kebijakan. Masyarakat modern kita memerlukan model yang dapat diandalkan, bukan hanya untuk memperdalam pemahaman kita tentang suatu keadaan, melainkan juga untuk menjadi dasar pengambilan keputusan kebijakan.
Pengantar pemodelan matematika ini disusun untuk mahasiswa tahun terakhir program sarjana matematika yang menekuni matematika terapan, ilmu hayati, atau teknik. Mata kuliah ini bertumpu pada pengetahuan tentang kalkulus, aljabar linear, dan persamaan diferensial untuk membahas teknik dasar serta proses berpikir yang menjadi landasan pemodelan matematika. Gaya penyajiannya sengaja dibuat santai. Tujuan utamanya ialah menjelaskan bagaimana matematika yang dipelajari dalam mata kuliah inti program sarjana dapat digunakan untuk memahami fenomena sederhana dalam fisika dan biologi, serta bagaimana model yang bersangkutan disusun, diuji, dan dianalisis.
Teks ini mencakup semua sistem baku yang lazim dibahas dalam mata kuliah pemodelan: pendulum nonlinear, pemetaan kacau, model pemangsa–mangsa, spesies yang bersaing, reaksi kimia, serta, menjelang akhir, difusi dan sistem yang terbentang secara spasial. Tidak satu pun di antaranya merupakan topik yang rumit, dan orang dapat berpendapat bahwa model semacam itu terlalu sederhana untuk berguna. Namun, semuanya merupakan unsur pembangun pemodelan matematika dan, meskipun sederhana, menyediakan perangkat untuk menangani model yang lebih rumit dan realistis. Penekanan diberikan pada latihan menggunakan metode yang sederhana tetapi umum, seperti analisis dimensi, analisis bidang fase, dasar-dasar teori titik tetap, dan eksplorasi numerik. Jika memungkinkan, keterkaitan antarsistem dibangun dengan menelaah kesamaan di antara model matematika yang menggambarkannya. Meskipun beberapa bagian melibatkan keacakan, sebagian besar teks ini membahas model deterministik yang didasarkan pada persamaan beda atau persamaan diferensial. Pilihan ini disengaja agar materi tersebut dapat dicakup dalam mata kuliah satu semester. Terakhir, karena pemodel perlu menjadi komunikator sains yang baik dan memahami potensi penggunaan maupun penyalahgunaan model matematika, bab pertama teks ini membahas persoalan-persoalan tersebut melalui beberapa contoh.
Banyak buku bermutu tentang sistem dinamik tersedia dalam literatur, dan beberapa di antaranya memotivasi kajian sistem nonlinear melalui model matematika. Karena itu, orang mungkin mempertanyakan kegunaan mata kuliah tersendiri tentang pemodelan matematika. Sudut pandang yang disajikan di sini ialah bahwa pemodelan matematika merupakan seni memanfaatkan pengetahuan matematika untuk menggambarkan dunia dalam bentuk matematis. Hal ini memerlukan daya nalar yang baik dan pemahaman yang kokoh tentang metode matematika, serta kemahiran bermatematika yang melampaui penguasaan persamaan diferensial ataupun pokok matematika inti lainnya. Teks ini bertujuan mengembangkan keterampilan dan cara berpikir tersebut melalui praktik pemodelan matematika dengan contoh-contoh sederhana yang dipilih secara cermat. Lampiran-lampiran disediakan untuk mengulas perangkat matematika dasar yang diperlukan guna menyusun dan menganalisis model. Antarmuka pengguna grafis MATLAB disertakan dalam bahan mata kuliah sehingga pembaca dapat mengeksplorasi peran parameter model melalui antarmuka grafis, tanpa perlu menguasai metode numerik atau paket perangkat lunak numerik tertentu.
Buku ini akan memberi pembaca bekal yang diperlukan untuk memahami artikel penelitian ilmiah yang menggunakan pemodelan matematika, misalnya artikel dalam Science, Nature, dan PNAS. Sejak 2005, berbagai versi catatan ini telah digunakan sebagai teks utama untuk mata kuliah integratif tingkat akhir selama satu semester di University of Arizona. Mahasiswa yang mengambil mata kuliah pemodelan matematika juga bekerja dalam tim untuk mengerjakan proyek sepanjang semester di bawah bimbingan mentor yang sedang atau telah menempuh pendidikan pascasarjana. Setiap proyek bertumpu pada upaya memahami dan mereproduksi hasil suatu artikel penelitian. Tim menulis laporan tengah semester dan laporan akhir, kemudian mempresentasikan pekerjaan mereka dalam sesi poster yang diselenggarakan di tempat terbuka untuk umum pada akhir semester. Untuk versi daring mata kuliah tersebut, poster digantikan dengan presentasi video kelompok yang dinilai oleh anggota komunitas universitas. Sangat dianjurkan untuk menggunakan format penyelenggaraan serupa ketika mengampu mata kuliah dengan teks ini. Daftar proyek terkini beserta artikel terkait disediakan sebagai lampiran.
Saya ingin berterima kasih kepada semua rekan saya di Departemen Matematika, University of Arizona, yang sejak 2007 telah mengajar mata kuliah pemodelan matematika kami dengan teks ini. Saya juga berterima kasih kepada seluruh mentor yang sedang atau telah menempuh pendidikan pascasarjana dan yang selama hampir dua dasawarsa telah membimbing tim mahasiswa sarjana peserta mata kuliah ini dalam mengerjakan proyek pemodelan mereka. Terakhir, pengembangan awal catatan ini dapat terlaksana berkat hibah TRIF (Technology and Research Initiative Fund) dari University of Arizona; atas dukungan tersebut saya menyampaikan penghargaan yang sedalam-dalamnya.
Joceline Lega
University of Arizona
Musim Gugur 2012 & Musim Panas 2024