Penyegaran: Kalkulus Vektor

Informasi di bawah ini merupakan ikhtisar elementer mengenai sifat-sifat dasar gradien suatu fungsi, serta divergensi dan rotasi (curl) suatu medan vektor. Topik-topik ini biasanya dibahas dalam mata kuliah kalkulus semester ketiga.

Gradien

Gradien suatu fungsi tiga variabel yang dapat didiferensialkan $f(x,y,z)$ didefinisikan oleh

$\text{grad}f=\vec \nabla f = \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \vec \imath + \frac{\partial f}{\partial y} \vec \jmath + \frac{\partial f}{\partial z} \vec k$

dan memiliki sifat-sifat berikut.

• Pada titik tempat $\vec \nabla f$ tak nol, arahnya merupakan arah pertambahan $f$ yang paling cepat.
• Laju perubahan maksimum $f$ di antara semua arah yang direpresentasikan oleh vektor satuan sama dengan $||\vec \nabla f||$.
• Pada titik tempat $\vec \nabla f$ tak nol, gradien tersebut tegak lurus terhadap permukaan aras reguler fungsi $f$ (yaitu, terhadap permukaan dengan persamaan $f=C$ = konstanta).
• Turunan berarah $f$ dalam arah vektor satuan $\vec u$ sama dengan $\vec \nabla f \cdot \vec u$.
• Pada titik-titik kritis $f$, berlaku $\vec \nabla f = \vec 0$. Titik kritis generik berupa titik minimum, maksimum, dan pelana dari fungsi $f$.
• Ekstremum lokal $f$ dengan kendala $g(x,y,z)=C$ pada titik reguler permukaan $g(x,y,z)=C$ harus memenuhi bahwa gradien $f$ sejajar dengan gradien $g.$ Di sini, titik reguler berarti gradien kendala tidak nol; konstanta kesebandingannya disebut pengali Lagrange.

Integral garis dan medan gradien

Integral garis

Integral garis suatu medan vektor kontinu $\vec F$ di sepanjang lintasan berorientasi $\mathcal C$ dituliskan sebagai

$\displaystyle \int_{\mathcal C} \vec F(\vec r) \cdot d\vec r,$

dengan $\vec r$ sebagai vektor posisi dan $d\vec r$ merupakan vektor tangen terhadap lintasan $\mathcal C$. Jika kita mengetahui suatu parametrisasi $\mathcal C$, yaitu jika $\mathcal C$ ditelusuri oleh $\vec r(t)$ saat $t$ bervariasi antara $t_0$ dan $t_1$, integral garis di atas menjadi

$\displaystyle \int_{\mathcal C} \vec F \cdot d\vec r = \int_{t_0}^{t_1} \vec F(\vec r(t)) \cdot \frac{d \vec r}{d t}\ dt,$

sehingga dapat dihitung.

Contoh 1

Perhatikan medan vektor $\vec F(x,y) = e^x \vec \imath + e^y \vec \jmath$. Misalkan $\mathcal C$ merupakan bagian elips $x^2+4 y^2 = 4$ yang menghubungkan $(0,1)$ ke $(2,0)$ searah jarum jam. Suatu parametrisasi $\mathcal C$ adalah $x = 2 \sin(t)$, $y=\cos(t)$, dengan $t$ bervariasi antara 0 dan $\pi/2$. Oleh karena itu,

$\begin{align*} \int_{\mathcal C} \vec F \cdot d\vec r & = \int_0^{\pi/2} \left[e^{2 \sin(t)} \vec \imath + e^{\cos(t)} \vec \jmath \right] \cdot \left[2 \cos(t) \vec \imath - \sin(t) \vec \jmath \right] dt \\ & = \int_0^{\pi/2} \left[2 \cos(t) e^{2 \sin(t)} - \sin(t) e^{\cos(t)} \right]\ dt \\ & = \left[ e^{2 \sin(t)} + e^{\cos(t)} \right]_0^{\pi/2} = e (e -1).\end{align*}$

Contoh 2

Usaha yang dilakukan oleh gaya $\vec F$ di sepanjang lintasan $\mathcal C$ diberikan oleh $W = \int_{\mathcal C} \vec F \cdot d\vec r$. Jika $\vec r$ bergerak menurut hukum Newton, $\vec F = m \ d^2 \vec r / d t^2$, maka

$\displaystyle W = \int_{t_0}^{t_1} m\ \frac{d^2 \vec r}{d t^2} \cdot \frac{d \vec r}{d t}\ dt = \left[\frac{1}{2} m \left\|\frac{d \vec r}{d t}\right\|^2 \right]_{t_0}^{t_1} = \left[ \frac{1}{2} m v^2 \right]_{t_0}^{t_1},$

di mana $v$ menyatakan kelajuan; dengan demikian, usaha yang dilakukan oleh $\vec F$ ketika suatu massa titik bergerak di sepanjang lintasan $\mathcal C$ sama dengan selisih energi kinetik massa titik tersebut di antara kedua titik ujung $\mathcal C$.

Medan gradien

Suatu medan vektor $\vec F$ disebut medan gradien jika terdapat fungsi $f(x,y,z)$ sedemikian sehingga $\vec F = \vec \nabla f$. Medan vektor $\vec F$ tersebut bersifat konservatif, tidak bergantung pada lintasan, dan bebas sirkulasi.

• Suatu medan vektor $\vec F$ yang tidak bergantung pada lintasan memiliki sifat bahwa integral garis $\vec F$ di sepanjang sebarang lintasan dalam domain $\vec F$ hanya bergantung pada titik-titik ujung lintasan tersebut.
• Suatu medan vektor yang bebas sirkulasi memiliki sirkulasi (yaitu, integral garisnya di sepanjang sebarang kurva tertutup) yang bernilai nol di seluruh domain $\vec F$.

Menurut teorema dasar kalkulus untuk integral garis, suatu medan gradien tidak bergantung pada lintasan, yaitu

$\displaystyle \int_{\mathcal C} \vec \nabla f \cdot d \vec r = f(Q) - f(P),$

dengan $\mathcal C$ sebagai lintasan yang mulus sepotong demi sepotong dan menghubungkan $P$ ke $Q$, serta $\vec \nabla f$ kontinu pada $\mathcal C$. Sebaliknya, setiap medan vektor yang tidak bergantung pada lintasan merupakan medan gradien.

Contoh

Perhatikan gaya $\vec F = m \frac{d^2 \vec r}{d t^2}$ yang dibahas di atas. Jika $\vec F$ memiliki fungsi potensial, yaitu jika terdapat fungsi $V(\vec r)$ sedemikian sehingga $\vec F = - \vec \nabla V$, maka

$\begin{align*} W & = \int_{\mathcal C} \vec F \cdot d\vec r = - \int_{\mathcal C} \vec \nabla V \cdot d\vec r = V(\vec r(t_0)) - V(\vec r(t_1)) \\ & = \left[ \frac{1}{2} m v^2 \right]_{t_0}^{t_1}. \end{align*}$

Dengan demikian, $\displaystyle \frac{1}{2} m v^2(t_0) + V \left(\vec r(t_0) \right) = \frac{1}{2} m v^2(t_1) + V \left(\vec r(t_1) \right),$ yaitu, energi total, yang merupakan jumlah energi kinetik dan energi potensial, bersifat kekal.

• Jika $\vec F = F_1 \vec \imath+ F_2 \vec \jmath + F_3 \vec k$ adalah medan gradien dengan turunan parsial kontinu, maka

$\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial y}, \qquad \frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial z},$

yaitu, $\text{curl} \vec F = \vec 0$.

Rotasi (curl)

Rotasi suatu medan vektor $\vec F = F_1 \vec \imath+ F_2 \vec \jmath + F_3 \vec k$ yang memiliki turunan parsial kontinu adalah vektor yang diberikan oleh

$\begin{align*} \text{curl} \vec F & = \vec \nabla \times \vec F = \left \vert \begin{array}{ccc} \vec \imath & \vec \jmath & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{array} \right \vert \\ & = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} \right) \vec \imath+ \left( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3} {\partial x}\right) \vec \jmath + \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \vec k. \end{align*}$

Rotasi memiliki sifat-sifat berikut.

• Jika $\text{curl}\vec F$ tak nol di titik $P$, arahnya adalah arah sumbu dengan rapat sirkulasi $\vec F$ terbesar di sekeliling sumbu tersebut.
• Nilai maksimum rapat sirkulasi di antara semua arah yang direpresentasikan oleh vektor satuan sama dengan magnitudo $\text{curl} \vec F$.
• Rapat sirkulasi $\vec F$ di sekitar sebarang vektor satuan $\vec n$ sama dengan $\text{curl}\vec F\cdot\vec n$.
• Untuk sebarang fungsi $f$ yang memiliki turunan parsial kedua kontinu,

$\text{curl grad} f = \vec \nabla \times \vec \nabla f = \vec 0.$

• Sebaliknya, setiap medan vektor mulus yang didefinisikan pada domain terbuka terhubung sederhana dan memiliki rotasi nol di setiap titik merupakan medan gradien (inilah uji rotasi).

Teorema Stokes dan Teorema Green

Fluks medan vektor $\vec F$ melalui permukaan berorientasi $S$ adalah $\iint_S \vec F \cdot d\vec S$.

• Jika permukaan $S$ adalah grafik suatu fungsi $f(x,y)$ dan diorientasikan ke atas, maka, jika $R$ adalah domain $f(x,y)$, kita dapat menuliskan

$\displaystyle \iint_S \vec F \cdot d\vec S = \iint_R \vec F\left(x,y,f(x,y)\right)\cdot \left[-\frac{\partial f}{\partial x} \vec \imath - \frac{\partial f}{\partial y} \vec \jmath + \vec k \right] dx dy,$

• Jika $S$ adalah permukaan parametrik yang diparameterkan oleh $\vec r = \vec r(s,t)$, dengan $s$ dan $t$ bervariasi dalam suatu daerah $R$, dan jika kita mengasumsikan bahwa $\displaystyle \frac{\partial \vec r}{\partial s} \times \frac{\partial \vec r} {\partial t}$ searah dengan vektor normal $\vec n$ terhadap permukaan $S$ di setiap titik, maka kita dapat menuliskan

$\displaystyle \int_S \vec F \cdot d\vec S = \int_R \vec F\left(\vec r(s,t)\right) \cdot \left(\frac{\partial \vec r}{\partial s} \times \frac{\partial \vec r} {\partial t} \right) ds dt.$

Teorema Stokes

Teorema Stokes menghubungkan sirkulasi suatu medan vektor mulus di sepanjang kurva tertutup $\mathcal C$ yang mulus sepotong demi sepotong dengan fluks $\text{curl} \vec F$ melalui sebarang permukaan mulus $S$ yang batasnya sama dengan $\mathcal C$. Teorema ini berbunyi:

$\displaystyle \int_{\mathcal C} \vec F \cdot d\vec r = \int_S \text{curl}\vec F \cdot d\vec A,$

di mana orientasi $\mathcal C$ ditentukan dari orientasi $S$ (atau sebaliknya) dengan kaidah tangan kanan. Perhatikan bahwa Teorema Stokes hanya berlaku jika $\vec F$ didefinisikan di setiap titik pada $S$ dan $\mathcal C$.

Teorema Green

Teorema Green adalah versi planar dari Teorema Stokes dan berbunyi

$\displaystyle \int_{\mathcal C} \vec F \cdot d\vec r = \int_R \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \ dx\ dy,$

di mana $\vec F(x,y) = F_1(x,y) \vec \imath + F_2(x,y) \vec \jmath$ adalah medan vektor mulus yang didefinisikan di setiap titik $\mathcal C$ serta di bagian dalam $\mathcal C$, dan $\mathcal C$ adalah kurva tertutup sederhana yang mulus sepotong demi sepotong serta diorientasikan sedemikian rupa sehingga bagian dalamnya, $R$, berada di sebelah kiri ketika kita bergerak di sepanjang $\mathcal C$.

Teorema divergensi

Divergensi suatu medan vektor $\vec F = F_1 \vec \imath+ F_2 \vec \jmath + F_3 \vec k$ yang memiliki turunan parsial kontinu diberikan oleh

$\text{div} \vec F = \vec \nabla \cdot \vec F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2} {\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}.$

Perhatikan bahwa besaran ini adalah besaran skalar. Divergensi memiliki sifat-sifat berikut.

• $\displaystyle \text{div}(\vec \nabla f)= {\vec \nabla}^2 f = \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$.
• $\displaystyle \text{div}(f \vec \nabla g) = f {\vec \nabla}^2 g + \vec \nabla f \cdot \vec \nabla g.$
• $\displaystyle \text{div}(f \vec g)= f \text{div}(\vec g) + \vec \nabla f \cdot \vec g$.
• Divergensi $\vec F$ di titik $P$ sama dengan limit fluks per volume ketika permukaan $S$ yang mengelilingi $P$ menyusut ke titik tersebut: fluks $\vec F$ melalui $S$ yang berorientasi ke luar dibagi dengan volume daerah $W$ yang dibatasi oleh $S$. Dalam rumus berikut, $B_\varepsilon(P)$ adalah bola berpusat di titik itu dengan jari-jari epsilon; $\partial B_\varepsilon(P)$ adalah permukaannya; dan $\vec n$ adalah vektor normal satuan ke luar. Dengan kata lain,

$\text{div} \vec F(P) = \displaystyle \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\iint_{\partial B_\varepsilon(P)} \vec F \cdot \vec n\, dS}{\operatorname{vol}(B_\varepsilon(P))}.$

• Untuk sebarang medan vektor $\vec F$ yang memiliki turunan parsial kedua kontinu,

$\text{div curl} \vec F = \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \times \vec F) = 0.$

• Sebaliknya, pada setiap domain terbuka berbentuk bintang, setiap medan vektor mulus $\vec F$ yang divergensinya nol di setiap titik merupakan medan rotasi; yaitu, terdapat suatu medan vektor $\vec G$ sedemikian sehingga $\vec F = \text{curl} \vec G$ (inilah uji divergensi).

Menurut teorema divergensi, fluks suatu medan vektor mulus melalui permukaan tertutup $S$ yang mulus sepotong demi sepotong dan diorientasikan ke luar sama dengan integral volume divergensinya di seluruh daerah $W$ yang dibatasi oleh $S$; yaitu,

$\displaystyle \int_S \vec F \cdot d \vec A \ = \int_W \text{div}\vec F \ dV,$

dengan asumsi bahwa $\vec F$ didefinisikan di setiap titik di dalam $W$ dan pada $S$.

Contoh: persamaan kontinuitas

Perhatikan aliran $\vec v(\vec r)$ suatu fluida dengan kerapatan $\rho(\vec r,t)$. Misalkan $V$ adalah suatu daerah tetap dalam domain fluida. Massa fluida di dalam $V$ diberikan oleh $\displaystyle m = \int_V \rho dV$, dan laju perubahannya adalah

$\displaystyle \frac{d m}{d t} = \int_V \frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV,$

jika kita mengasumsikan bahwa $\rho$ mulus. Di sisi lain, laju perubahan ini sama dengan lawan dari fluks massa $\rho \vec v$ melalui batas $S$ dari $V$, dan berdasarkan teorema divergensi,

$\displaystyle \frac{d m}{d t} = - \int_S \rho\ \vec v \cdot d\vec A = - \int_V \text{div}(\rho\ \vec v)\ dV.$

Dengan membandingkan kedua ungkapan $dm/dt,$ yang sama untuk setiap daerah $V$, kita memperoleh persamaan kontinuitas, yang berbunyi

$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}(\rho\ \vec v) = 0.$