Penyegaran: Aljabar Linear

Dalam lampiran ini, kita menyajikan fakta-fakta dasar aljabar linear mengenai matriks, nilai eigen, dan vektor eigen. Bukti tidak disertakan, dan pembaca sebaiknya merujuk pada buku-buku aljabar linear untuk memperoleh rincian lebih lanjut. Walaupun jauh dari lengkap, tinjauan singkat berikut diharapkan memberikan informasi yang cukup agar pembaca dapat mengikuti sebagian besar argumen kestabilan linear yang dikemukakan dalam bab-bab sebelumnya.

Ruang vektor

Definisi

Himpunan bagian tak kosong $\mathcal S$ dari suatu ruang vektor real (atau kompleks) merupakan ruang vektor jika dan hanya jika tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Dengan kata lain,

$\begin{align*} & \forall x, y \in {\mathcal S}, x+y \in {\mathcal S} \\ & \forall x \in {\mathcal S}, \forall \alpha \in \mathbb{R} \text{ (atau }\mathbb{C}), \alpha x \in {\mathcal S}. \end{align*}$

Vektor-vektor dalam $\{u_i\in\mathcal S\mid i=1,\dots,n\}$ disebut bebas linear jika dan hanya jika setiap kombinasi linear yang sama dengan nol memiliki semua koefisien sama dengan nol. Dengan kata lain,

$\begin{align*} &\forall\,\alpha_1,\dots,\alpha_n \in \mathbb{R} \text{ (atau } \mathbb{C}),\\ &\sum_{i=1}^n \alpha_i\,u_i = 0 \Longrightarrow \alpha_i = 0,\ \forall i=1,\dots,n. \end{align*}$

$\mathcal S$ disebut berdimensi hingga jika terdapat suatu himpunan berhingga yang terdiri atas vektor-vektor bebas linear dan merentang $\mathcal S$ .
Himpunan seperti itu disebut basis bagi $\mathcal S$ . Selanjutnya, kita hanya membahas ruang vektor berdimensi hingga.
Nilai dimensi ruang vektor berdimensi hingga $\mathcal S$ adalah banyaknya vektor dalam sebarang basis bagi $\mathcal S$ .

Pemetaan linear

Pemetaan ${\mathcal T}: {\mathcal S} \rightarrow {\mathcal U}$ dari ruang vektor $\mathcal S$ ke ruang vektor $\mathcal U$ disebut linear jika untuk setiap $x,y \in {\mathcal S}$ ,

$\begin{align*} & {\mathcal T}(x+y)={\mathcal T}(x)+{\mathcal T}(y) \\ & {\mathcal T}(\alpha x) = \alpha {\mathcal T}(x), \end{align*}$

di mana $\alpha \in \mathbb{R}$ (atau $\alpha \in \mathbb{C}$ ) apabila $\mathcal S$ dan $\mathcal U$ merupakan ruang vektor atas $\mathbb{R}$ (atau $\mathbb{C}$ ).

Sifat-sifat pemetaan linear

Adapun ruang hasil ${\mathcal R}_{\mathcal T}$ dari $\mathcal T$ , yaitu citra $\mathcal S$ di bawah $\mathcal T$ , merupakan subruang linear dari $\mathcal U$ .
Adapun ruang nol atau kernel dari $\mathcal T$ merupakan subruang linear dari $\mathcal S$ . Ruang ini didefinisikan sebagai himpunan ${\mathcal N}_{\mathcal T}$ yang terdiri atas vektor-vektor dalam $\mathcal S$ yang dipetakan oleh $\mathcal T$ ke nol,

${\mathcal N}_{\mathcal T} = \left\{x \in {\mathcal S} \vert {\mathcal T}(x)=0 \right\}.$

Dimensi ${\mathcal R}_{\mathcal T}$ dan ${\mathcal N}_{\mathcal T}$ memenuhi

$\text{dim}({\mathcal R}_{\mathcal T})+\text{dim}({\mathcal N}_{\mathcal T})=\text{dim}({\mathcal S}).$

Matriks

Setiap pemetaan linear

$\begin{array}{llll} {\mathcal T} : & \mathbb{R}^n & \rightarrow & \mathbb{R}^m \\ & x &\mapsto & u \end{array}$

dapat ditulis sebagai

$u_i = \sum_{j=1}^n A_{ij} x_j \quad i=1,\dots,m; \qquad u=\begin{pmatrix}u_1 \\u_2\\ \vdots \\u_m\end{pmatrix};\quad x=\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\\ \vdots \\x_n\end{pmatrix},$

di mana $A \equiv (A_{ij})$ adalah matriks $m \times n$ ( $m$ baris, $n$ kolom) dengan entri-entri real. Menurut konvensi, $A_{ij}$ adalah entri pada perpotongan baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ dari $A$ .

Perhatikan bahwa setelah suatu basis dipilih, setiap ruang vektor real berdimensi $n$ isomorfik dengan $\mathbb{R}^n$ . Dengan demikian, kita dapat merepresentasikan setiap pemetaan linear antara dua ruang vektor berdimensi hingga dengan sebuah matriks. Selanjutnya, kita hanya akan mempertimbangkan matriks dengan koefisien real.

Definisi

Matriks transpos dari $A$ adalah $A^T$ sedemikian sehingga $(A^T)_{ij}=A_{ji}$ .
Besaran rank matriks $A$ yang terkait dengan transformasi linear $\mathcal T$ adalah dimensi ${\mathcal R}_{\mathcal T}$ . Rank tersebut juga sama dengan rank $A^T$ .
Nilai determinan matriks $2 \times 2$ , $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah

$\det A = \left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| = a d - b c.$

Nilai determinan matriks $n \times n$ , $A = (A_{ij})$ , dapat dihitung dengan rumus di bawah ini, di mana $i$ adalah indeks baris tetap pada $A$ dan $M_{ij}$ adalah matriks yang diperoleh dari $A$ dengan menghapus baris $i$ dan kolom $j$ :

$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i + j} A_{i j} \det M_{ij}.$

Terdapat rumus serupa untuk mengembangkan $\det A$ terhadap salah satu kolom $A$ .
Nilai jejak Tr( $A$ ) dari matriks persegi $A$ adalah jumlah entri diagonal $A$ .

Sifat-sifat

Jika $A$ adalah matriks $m \times n$ , sistem $A x = b$ memiliki setidaknya satu solusi untuk setiap $b$ jika dan hanya jika kolom-kolom $A$ merentang $\mathbb{R}^m$ . Dalam hal ini rank $A$ , yaitu $r$ , memenuhi $r = m$ , yang mengakibatkan $m \le n$ .
Sistem $A x = b$ memiliki paling banyak satu solusi untuk setiap $b$ jika dan hanya jika kolom-kolom $A$ bebas linear, yaitu jika dan hanya jika ruang nol $A$ trivial. Dalam hal ini, $r=n$ , yang mengakibatkan $n \le m$ .
Misalkan $A$ adalah matriks $n \times n$ . Maka, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.
- Persamaan $A x = b$ memiliki tepat satu solusi untuk setiap ruas kanan.
- Ruang hasil $A$ adalah $\mathbb{R}^n$ .
- Ruang nol $A$ trivial.
- Matriks $A$ invertibel.
- Determinan $A$ , yaitu $\det A$ , tak nol.

Nilai eigen dan vektor eigen

Definisi

Misalkan $A$ adalah matriks real berukuran $n \times n$ . Untuk nilai eigen tak real, pembahasan dilakukan dalam ruang vektor kompleks yang diperoleh dengan memperluas skalar.

Vektor $h \in {\mathcal S}$ merupakan vektor eigen dari $A$ dengan nilai eigen $a \in \mathbb{C}$ jika

$A h = a h, \qquad h\ne 0.$

Vektor $f \in {\mathcal S}$ merupakan vektor eigen tergeneralisasi dari $A$ dengan nilai eigen $a$ jika, untuk suatu bilangan bulat positif $m \ge 1$ , vektor tersebut berperingkat tepat m dalam arti bahwa

$(A - a I_n)^{m-1} f \ne 0, \qquad (A - a I_n)^m f = 0, \qquad f \ne 0.$

Pada persamaan di atas, $I_n$ adalah matriks identitas berukuran $n \times n$ . Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks, pertama-tama perhatikan bahwa jika $u$ adalah vektor eigen dari matriks $A$ dengan nilai eigen $a$ , maka persamaan

$(A - a\, I_n) u = 0, \qquad (A1.1)$

memiliki solusi taktrivial. Hal ini menyiratkan bahwa

$\det (A - a I_n)= 0, \qquad (A1.2)$

sehingga nilai-nilai eigen $A$ dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan ini.

Sifat-sifat

Ruas kiri (A1.2) adalah polinom berderajat $n$ dalam $a$ , yang disebut polinom karakteristik dari $A$ .
Polinom karakteristik $A$ memiliki $n$ akar kompleks jika dihitung dengan multiplisitas aljabarnya; akar-akar tersebut merupakan nilai-nilai eigen $A$ .
Karena $A$ memiliki entri-entri real, jika $a$ merupakan nilai eigen dari $A$ , konjugat kompleksnya $a^*$ juga merupakan nilai eigen. Akibatnya, nilai-nilai eigen $A$ adalah real atau muncul dalam pasangan konjugat kompleks.
Jejak $A$ adalah jumlah nilai-nilai eigen $A$ , dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar.
Determinan $A$ adalah hasil kali nilai-nilai eigen $A$ , dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar.

Setelah suatu nilai eigen ditemukan, persamaan (A1.1) perlu diselesaikan untuk memperoleh vektor eigen yang bersesuaian. Himpunan semua solusinya, termasuk vektor nol, membentuk ruang eigen; anggota tak nol ruang ini adalah vektor-vektor eigen. Setiap ruang eigen merupakan subruang invarian dari transformasi linear $\mathcal T$ yang berkaitan dengan matriks $A$ . Jika matriks tersebut dapat didiagonalkan atas medan skalar yang digunakan, ruang vektor $\mathcal S$ , atau $\mathbb{R}^n$ dalam kasus real, merupakan jumlah langsung ruang-ruang eigen $A$ . Secara umum, dekomposisi memerlukan ruang eigen tergeneralisasi pada kompleksifikasi atau blok invarian real; keduanya memberikan gambaran geometris tentang cara $\mathcal T$ bekerja pada $\mathcal S$ .

Bahan Renungan

Soal 1

Tunjukkan bahwa vektor-vektor eigen $u$ dan $v$ dari suatu matriks $A$ yang bersesuaian dengan nilai eigen berbeda bersifat bebas linear.

Soal 2

Hitung determinan matriks berikut.

$C = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 6 \\ 4 & 3 & 12 \\ 6 & 4 & 16 \end{array} \right].$

Soal 3

Tentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen matriks berikut.

$B = \left[\begin{array}{ccc}4 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{array}\right].$

Soal 4

Perhatikan transformasi dari $\mathbb{R}^5$ ke $\mathbb{R}^3$ yang didefinisikan oleh

${\mathcal T}(\vec x) = \left[\substack{ 0 \\ 2 x_1 - 4 x_2 + x_5 \\ x_2 + x_3 + x_5 }\right], \qquad \text{dengan} \qquad \vec x = \left[\substack{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 }\right].$

Apakah $\mathcal T$ merupakan transformasi linear? Mengapa atau mengapa tidak?
Tentukan matriks $\mathcal T$ relatif terhadap basis standar $\mathbb{R}^5$ dan $\mathbb{R}^3$ .

Soal 5

Perhatikan matriks

$A = \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 2 & 3 \end{array}\right].$

Tentukan basis ruang kolom (atau ruang hasil) $A$ . Berikan alasan atas jawaban Anda.
Tentukan basis ruang nol $A$ . Berikan alasan atas jawaban Anda.
Berapakah rank $A$ ?

Soal 6

Perhatikan ruang $\mathbb{P}_2$ yang terdiri atas polinom berderajat paling tinggi 2, dan misalkan ${\mathcal S} = \left\{q_0,\, q_1,\, q_2,\, q_3,\, q_4\right\}$ adalah himpunan polinom dalam $\mathbb{P}_2$ , dengan

$\begin{eqnarray*} && q_0(t) = 6 t - t^2, \qquad q_1(t) = 1 - t, \qquad q_2(t)= t + 1 \\ && q_3(t) = 4, \qquad \qquad \ q_4(t) = 2 - 2 t + t^2. \end{eqnarray*}$

Tentukan koordinat polinom $Q$ relatif terhadap basis standar $\mathbb{P}_2$ , dengan $Q(t)= 4 t^2 - 2 t + 10$ .
Berikan sebuah basis $\mathbb{P}_2$ yang terdiri atas vektor-vektor dalam $\mathcal S$ . Jelaskan cara Anda memilih vektor-vektor tersebut.
Tentukan koordinat polinom $Q$ yang didefinisikan pada butir 1 relatif terhadap basis yang Anda peroleh pada butir 2.

Soal 7

Perhatikan vektor-vektor berikut dalam $\mathbb{R}^4$ .

$\begin{align*} &\vec v_1 = \left[\substack{ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}\right],\qquad \vec v_2 = \left[\substack{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}\right],\qquad \vec v_3 = \left[\substack{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\right],\\ & \vec v_4 = \left[\substack{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ -2}\right],\qquad \vec v_5 = \left[\substack{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}\right]. \end{align*}$

Tunjukkan bahwa $\displaystyle \left\{\vec v_1,\,\vec v_2,\,\vec v_3,\,\vec v_4,\,\vec v_5\right\}$ merupakan himpunan yang bergantung linear.

Petunjuk, pemeriksaan, dan pembahasan

Bagian tambahan ini ditulis untuk edisi Bahasa Indonesia. Bukalah seperlunya setelah Anda berusaha menyelesaikan soal secara mandiri.

Dukungan untuk Soal 1

Petunjuk

Namai nilai eigen yang bersesuaian dengan $u$ dan $v$ sebagai $\lambda$ dan $\mu$ , dengan $\lambda\ne\mu$ . Mulailah dari relasi $c u+d v=0$ , terapkan $A$ , lalu eliminasi salah satu vektor.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Misalkan $Au=\lambda u$ , $Av=\mu v$ , $u,v\ne0$ , dan $\lambda\ne\mu$ . Jika $cu+dv=0$ , maka penerapan $A$ memberi $c\lambda u+d\mu v=0$ . Kurangi persamaan kedua dengan $\mu(cu+dv)=0$ ; diperoleh $c(\lambda-\mu)u=0$ , sehingga $c=0$ . Relasi awal lalu memberi $d=0$ . Jadi, satu-satunya kombinasi linear yang menghasilkan nol adalah kombinasi trivial, sehingga $u$ dan $v$ bebas linear.
Cek cepat: Argumen harus menggunakan tiga fakta: vektor eigen tidak nol, $\lambda-\mu\ne0$ , dan kedua koefisien akhirnya nol. Menunjukkan bahwa $u$ dan $v$ sekadar berbeda belum membuktikan kebebasan linear.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Tuliskan persamaan nilai eigen dengan nilai eigen yang berbeda.
Rumus
$Au=\lambda u,\qquad Av=\mu v,\qquad \lambda\ne\mu$
Penjelasan
Andaikan terdapat kombinasi linear yang sama dengan nol.
Rumus
$cu+dv=0$
Penjelasan
Terapkan $A$ dan gunakan kedua persamaan nilai eigen.
Rumus
$cAu+dAv=0\quad\Longrightarrow\quad c\lambda u+d\mu v=0$
Penjelasan
Eliminasi suku yang mengandung $v$ .
Rumus
$(c\lambda u+d\mu v)-\mu(cu+dv)=c(\lambda-\mu)u=0$
Penjelasan
Karena $u\ne0$ dan $\lambda\ne\mu$ , maka $c=0$ ; relasi semula dan $v\ne0$ kemudian memberi $d=0$ .
Rumus
$c=0,\qquad dv=0\Longrightarrow d=0$

Simpulan

Setiap relasi linear antara $u$ dan $v$ bersifat trivial; oleh karena itu keduanya bebas linear.

Dukungan untuk Soal 2

Petunjuk

Gunakan operasi penggantian baris yang tidak mengubah determinan: kurangi baris kedua dengan dua kali baris pertama dan baris ketiga dengan tiga kali baris pertama. Matriks yang tersisa hampir berbentuk segitiga.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Operasi $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ dan $R_3\leftarrow R_3-3R_1$ tidak mengubah determinan dan menghasilkan $\begin{pmatrix}2&2&6\\0&-1&0\\0&-2&-2\end{pmatrix}$ . Ekspansi terhadap kolom pertama memberi $2\det\begin{pmatrix}-1&0\\-2&-2\end{pmatrix}=2(-1)(-2)=4$ . Jadi, $\det C=4$ .
Cek cepat: Ekspansi kofaktor baris pertama memberi $2(48-48)-2(64-72)+6(16-18)=0+16-12=4$ .

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Mulailah dari matriks yang diberikan.
Rumus
$C=\begin{pmatrix}2&2&6\\4&3&12\\6&4&16\end{pmatrix}$
Penjelasan
Hilangkan entri pertama pada baris kedua tanpa mengubah determinan.
Rumus
$R_2\leftarrow R_2-2R_1\quad\Longrightarrow\quad R_2=(0,-1,0)$
Penjelasan
Hilangkan entri pertama pada baris ketiga dengan jenis operasi yang sama.
Rumus
$R_3\leftarrow R_3-3R_1\quad\Longrightarrow\quad R_3=(0,-2,-2)$
Penjelasan
Ekspansikan terhadap kolom pertama; minor $2\times2$ yang tersisa berbentuk segitiga.
Rumus
$\det C=\det\begin{pmatrix}2&2&6\\0&-1&0\\0&-2&-2\end{pmatrix}=2(-1)(-2)=4$

Simpulan

Determinan matriks tersebut adalah $4$ , sehingga $C$ invertibel.

Dukungan untuk Soal 3

Petunjuk

Faktorkan $\det(\lambda I-B)$ , lalu cari ruang nol $B-3I$ dan $B-4I$ . Ingat bahwa jawaban untuk vektor eigen adalah semua vektor tak nol dalam setiap ruang eigen, bukan hanya satu vektor contoh.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Polinom karakteristik dengan konvensi $\det(\lambda I-B)$ adalah $(\lambda-4)(\lambda-3)^2$ . Jadi nilai eigennya ialah $3$ dengan multiplisitas aljabar dua dan $4$ dengan multiplisitas aljabar satu. Ruang eigennya adalah $E_3=\ker(B-3I)=\operatorname{span}\{(1,1,0)^T,(-1,0,1)^T\}$ dan $E_4=\ker(B-4I)=\operatorname{span}\{(-1,1,1)^T\}$ . Semua vektor eigen adalah vektor tak nol dalam kedua ruang tersebut.
Cek cepat: Jumlah nilai eigen dengan multiplisitas adalah $3+3+4=10=\operatorname{tr}B$ , dan hasil kalinya $3\cdot3\cdot4=36=\det B$ . Substitusi setiap vektor basis harus menghasilkan $Bv=3v$ atau $Bv=4v$ sesuai ruangnya.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Hitung dan faktorkan polinom karakteristik. Dengan konvensi sumber, $\det(B-\lambda I)$ berbeda tanda karena ukurannya ganjil, tetapi mempunyai akar yang sama.
Rumus
$\det(\lambda I-B)=\lambda^3-10\lambda^2+33\lambda-36=(\lambda-4)(\lambda-3)^2$
Penjelasan
Untuk $\lambda=3$ , reduksi sistem $(B-3I)x=0$ menyisakan satu persamaan.
Rumus
$B-3I=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&-1\\-1&1&-1\end{pmatrix},\qquad x_1-x_2+x_3=0$
Penjelasan
Gunakan $x_2$ dan $x_3$ sebagai variabel bebas untuk membentuk basis ruang eigen berdimensi dua.
Rumus
$E_3=\{(s-t,s,t)^T:s,t\in\mathbb R\}=\operatorname{span}\{(1,1,0)^T,(-1,0,1)^T\}$
Penjelasan
Untuk $\lambda=4$ , persamaan memberi $x_2=x_3$ dan $x_1=-x_3$ .
Rumus
$B-4I=\begin{pmatrix}0&-1&1\\-1&0&-1\\-1&1&-2\end{pmatrix},\qquad E_4=\operatorname{span}\{(-1,1,1)^T\}$

Simpulan

Matriks $B$ mempunyai ruang eigen berdimensi dua untuk $\lambda=3$ dan ruang eigen berdimensi satu untuk $\lambda=4$ ; ketiga vektor basis itu juga menunjukkan bahwa $B$ dapat didiagonalkan.

Dukungan untuk Soal 4

Petunjuk

Hitung $\mathcal T(e_j)$ untuk kelima vektor basis standar $e_j$ di $\mathbb R^5$ . Susun kelima hasil tersebut sebagai kolom sebuah matriks $3\times5$ , lalu periksa bahwa perkaliannya dengan $x$ mengembalikan rumus sumber.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Pemetaan tersebut linear karena setiap komponennya merupakan kombinasi linear homogen dari $x_1,\ldots,x_5$ . Matriks relatif terhadap basis standar adalah $M=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\2&-4&0&0&1\\0&1&1&0&1\end{pmatrix}$ , dan $Mx=(0,\,2x_1-4x_2+x_5,\,x_2+x_3+x_5)^T=\mathcal T(x)$ .
Cek cepat: Matriks harus berukuran $3\times5$ . Kolom keempat harus nol karena $x_4$ tidak muncul, sedangkan kolom kelima harus $(0,1,1)^T$ .

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Evaluasi pemetaan pada basis standar domain.
Rumus
$\mathcal T(e_1)=(0,2,0)^T,\quad\mathcal T(e_2)=(0,-4,1)^T,\quad\mathcal T(e_3)=(0,0,1)^T$
Penjelasan
Dua kolom terakhir berasal dari koefisien $x_4$ dan $x_5$ .
Rumus
$\mathcal T(e_4)=(0,0,0)^T,\qquad\mathcal T(e_5)=(0,1,1)^T$
Penjelasan
Susun citra vektor basis sebagai kolom matriks standar.
Rumus
$M=[\mathcal T(e_1)\ \mathcal T(e_2)\ \mathcal T(e_3)\ \mathcal T(e_4)\ \mathcal T(e_5)]=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\2&-4&0&0&1\\0&1&1&0&1\end{pmatrix}$
Penjelasan
Representasi matriks langsung membuktikan sifat linear.
Rumus
$\mathcal T(\alpha x+\beta y)=M(\alpha x+\beta y)=\alpha\mathcal T(x)+\beta\mathcal T(y)$

Simpulan

Jadi $\mathcal T$ merupakan transformasi linear dan matriks standarnya adalah matriks $3\times5$ di atas.

Dukungan untuk Soal 5

Petunjuk

Reduksi $A$ ke bentuk eselon baris tereduksi. Gunakan indeks kolom pivot untuk memilih kolom dari matriks asli sebagai basis ruang kolom; jangan mengambil kolom dari hasil reduksi. Untuk ruang nol, jadikan $x_4$ dan $x_5$ variabel bebas.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Bentuk eselon baris tereduksi adalah $\operatorname{rref}(A)=\begin{pmatrix}1&0&0&-16&-22\\0&1&0&6&7\\0&0&1&4&6\end{pmatrix}$ , sehingga kolom pivotnya adalah kolom $1,2,3$ . Basis ruang kolom harus diambil dari $A$ asli: $\{(1,2,1)^T,(2,4,1)^T,(2,3,3)^T\}$ . Basis ruang nol adalah $\{(16,-6,-4,1,0)^T,(22,-7,-6,0,1)^T\}$ . Terdapat tiga pivot, jadi $\operatorname{rank}A=3$ .
Cek cepat: Determinan tiga kolom pivot asli adalah $-1$ , kedua vektor basis ruang nol harus dipetakan ke nol oleh $A$ , dan teorema rank–nullitas memberi $3+2=5$ .

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Lakukan eliminasi Gauss–Jordan pada matriks.
Rumus
$A\sim\begin{pmatrix}1&0&0&-16&-22\\0&1&0&6&7\\0&0&1&4&6\end{pmatrix}$
Penjelasan
Kolom pivot bernomor $1,2,3$ ; pilih kolom-kolom dengan nomor tersebut dari matriks asli.
Rumus
$\mathcal B_{\operatorname{Col}A}=\{(1,2,1)^T,(2,4,1)^T,(2,3,3)^T\}$
Penjelasan
Persamaan homogen dari bentuk tereduksi menyatakan variabel pivot melalui dua variabel bebas.
Rumus
$x_1=16x_4+22x_5,\qquad x_2=-6x_4-7x_5,\qquad x_3=-4x_4-6x_5$
Penjelasan
Tetapkan $x_4=s$ dan $x_5=t$ , lalu pisahkan kedua parameter.
Rumus
$x=s(16,-6,-4,1,0)^T+t(22,-7,-6,0,1)^T$
Penjelasan
Jumlah pivot menentukan rank, sedangkan dua parameter bebas menentukan dimensi ruang nol.
Rumus
$\operatorname{rank}A=3,\qquad\dim\ker A=2$

Simpulan

Ruang kolom berdimensi tiga dan sama dengan $\mathbb R^3$ ; ruang nol berdimensi dua dengan basis yang diberikan, sesuai teorema rank–nullitas.

Dukungan untuk Soal 6

Petunjuk

Gunakan basis standar terurut $\mathcal E=(1,t,t^2)$ . Tulis setiap $q_j$ sebagai kolom koefisien, pilih tiga kolom dengan determinan tak nol, lalu selesaikan sistem koordinat untuk $Q$ .

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Dalam basis standar terurut $\mathcal E=(1,t,t^2)$ , $[Q]_{\mathcal E}=(10,-2,4)^T$ . Salah satu basis yang seluruh anggotanya berasal dari $\mathcal S$ adalah basis terurut $\mathcal B=(q_0,q_1,q_2)$ , karena matriks kolom koordinatnya $M=\begin{pmatrix}0&1&1\\6&-1&1\\-1&0&0\end{pmatrix}$ mempunyai determinan $-2\ne0$ . Penyelesaian $M[Q]_{\mathcal B}=[Q]_{\mathcal E}$ memberi $[Q]_{\mathcal B}=(-4,-6,16)^T$ .
Cek cepat: Verifikasi langsung harus memberi $-4q_0-6q_1+16q_2=4t^2-2t+10$ . Urutan komponen koordinat harus mengikuti urutan basis yang dinyatakan.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Baca koefisien konstanta, $t$ , dan $t^2$ dari $Q$ .
Rumus
$[Q]_{\mathcal E}=(10,-2,4)^T,\qquad\mathcal E=(1,t,t^2)$
Penjelasan
Tuliskan koordinat tiga kandidat basis sebagai kolom.
Rumus
$[q_0]_{\mathcal E}=(0,6,-1)^T,\quad[q_1]_{\mathcal E}=(1,-1,0)^T,\quad[q_2]_{\mathcal E}=(1,1,0)^T$
Penjelasan
Determinan tak nol membuktikan bahwa ketiganya bebas linear; karena $\dim\mathbb P_2=3$ , ketiganya membentuk basis.
Rumus
$\det\begin{pmatrix}0&1&1\\6&-1&1\\-1&0&0\end{pmatrix}=-2\ne0$
Penjelasan
Selesaikan sistem yang menyatakan $Q$ sebagai kombinasi ketiga polinom.
Rumus
$M\begin{pmatrix}c_0\\c_1\\c_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\-2\\4\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad(c_0,c_1,c_2)=(-4,-6,16)$
Penjelasan
Periksa kombinasi tersebut langsung sebagai polinom.
Rumus
$-4(6t-t^2)-6(1-t)+16(t+1)=4t^2-2t+10$

Simpulan

Dengan urutan basis $(q_0,q_1,q_2)$ , koordinat polinom $Q$ adalah $(-4,-6,16)^T$ .

Dukungan untuk Soal 7

Petunjuk

Lima vektor di ruang berdimensi empat pasti bergantung linear. Untuk bukti yang dapat diperiksa langsung, cari koefisien tak semuanya nol dalam $c_1v_1+\cdots+c_5v_5=0$ ; ada relasi sederhana dengan $c_1=0$ .

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Relasi nontrivial $0v_1-3v_2-3v_3+2v_4+v_5=0$ berlaku. Vektor koefisiennya $(0,-3,-3,2,1)$ tidak nol, sehingga definisi kebergantungan linear langsung terpenuhi. Secara dimensi, hasil ini juga pasti karena terdapat lima vektor di $\mathbb R^4$ .
Cek cepat: Jumlah per komponen adalah $(0-3+2+1,\,-3+0+2+1,\,0-3+2+1,\,3+0-4+1)=(0,0,0,0)$ .

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Bentuk matriks yang kolom-kolomnya adalah kelima vektor. Karena matriks berukuran $4\times5$ , ruang nolnya tidak trivial.
Rumus
$V=[v_1\ v_2\ v_3\ v_4\ v_5],\qquad\operatorname{nullity}(V)\ge5-4=1$
Penjelasan
Salah satu vektor koefisien tak nol di ruang nol matriks tersebut adalah
Rumus
$c=(0,-3,-3,2,1)^T$
Penjelasan
Terjemahkan persamaan $Vc=0$ menjadi relasi antarvektor.
Rumus
$-3v_2-3v_3+2v_4+v_5=0$
Penjelasan
Periksa relasi tersebut langsung per komponen.
Rumus
$-3\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

Simpulan

Karena terdapat kombinasi linear nol dengan koefisien yang tidak semuanya nol, kelima vektor tersebut bergantung linear.