Reaksi Kimia — Joceline Lega

Tujuan Pembelajaran

Pada akhir bab ini, Anda akan mampu melakukan hal-hal berikut.

Menyusun sistem persamaan diferensial biasa nonlinear terkopel yang mendeskripsikan evolusi konsentrasi reaktan kimia terhadap waktu.
Memprediksi dinamika reaksi kimia dengan menerapkan metode analisis (analisis dimensi, penskalaan, titik tetap, dan stabilitas linearnya) yang dibahas dalam bab-bab sebelumnya.
Menjelaskan mengapa reaksi kimia osilatori dapat terjadi.
Menjelaskan bagaimana gelombang kimia dapat diamati pada sistem yang membentang dalam ruang.

Hukum aksi massa

Tinjau suatu reaksi kimia

$\begin{array}{ccc} & k & \\ A + B &\rightarrow& C, \end{array}$

di mana $A$ , $B$ , dan $C$ menyatakan zat kimia, $A$ dan $B$ adalah reaktan, $C$ adalah produk, dan $k > 0$ adalah konstanta laju reaksi. Hukum aksi massa mendeskripsikan bagaimana konsentrasi $A$ , $B$ , dan $C$ berubah akibat reaksi ini. Gagasannya adalah bahwa reaksi akan berlangsung jika zat kimia $A$ dan $B$ bertumbukan, dan jika energinya lebih tinggi daripada energi aktivasi reaksi. Jumlah tumbukan berhasil (yaitu tumbukan yang menghasilkan reaksi) antara $A$ dan $B$ sebanding dengan hasil kali konsentrasi $A$ dan $B.$ Konstanta kesebandingannya adalah konstanta $k$ . Dengan demikian, kita menuliskan persamaan diferensial berikut untuk nilai harapan $[A]$ , $[B]$ , dan $[C]$ (ingat bahwa kita berada dalam keadaan dengan jumlah molekul reaktan dan produk yang besar)

$\displaystyle \frac{d [A]}{d t} = \frac{d [B]}{d t} = - k [A]\,[B] = - \frac{d [C]}{d t},$

di mana $[I]$ menyatakan konsentrasi zat kimia $I$ . Jika $A = B$ , sehingga reaksi kimianya adalah

$\begin{array}{ccc} & k & \\ 2 A &\rightarrow& C, \end{array}$

kita memerlukan dua molekul $A$ untuk membentuk satu molekul produk $C$ , yang menghasilkan

$\displaystyle \frac{1}{2} \frac{d [A]}{d t} = - k [A]^2 = - \frac{d [C]}{d t}.$

Jika suatu reaksi bersifat reversibel, misalnya jika

$\begin{array}{ccc} & k_1 & \\ A + B & \rightleftharpoons & C, \\ & k_2 & \end{array}$

maka $A$ dikonsumsi dengan laju relatif $k_1$ dan diproduksi dengan laju relatif $k_2$ , sehingga

$\displaystyle \frac{d [A]}{d t} = - k_1 [A]\, [B] + k_2 [C],$

dan demikian pula untuk $[B]$ dan $[C]$ .

Terakhir, jika suatu proses reaksi melibatkan lebih dari satu reaksi kimia, laju perubahan suatu zat kimia akibat setiap reaksi dijumlahkan untuk memperoleh laju perubahan total zat kimia tersebut. Misalnya, andaikan kita memiliki sistem yang dideskripsikan oleh

$\begin{array}{ccc} & k_1 & \\ A + B & \rightleftharpoons & C, \\ & k_2 & \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_3 & \\ C + A &\rightarrow & D. \end{array}$

Maka konsentrasi $A$ berevolusi menurut

$\displaystyle \frac{d [A]}{d t} = - k_1 [A]\,[B] + k_2 [C] - k_3 [C]\,[A],$

dan persamaan laju untuk $B$ , $C$ , dan $D$ adalah

$\displaystyle \frac{d [B]}{d t} = - k_1 [A]\,[B] + k_2 [C],$

$\displaystyle \frac{d [C]}{d t} = k_1 [A]\,[B] - k_2 [C] - k_3 [C]\,[A],$

$\displaystyle \frac{d [D]}{d t} = k_3 [C]\,[A].$

Perhatikan bahwa reaksi bersih yang berkaitan dengan proses ini adalah $2 A + B \rightarrow D$ . Persamaan laju harus dituliskan untuk setiap tahap yang terlibat dalam reaksi, bukan berdasarkan reaksi bersihnya.

Dengan demikian, reaksi kimia dapat dideskripsikan dalam bentuk persamaan diferensial biasa nonlinear terkopel, sehingga teori sistem dinamik dapat diterapkan pada analisisnya.

Model Brusselator dan Oregonator

Karena persamaan laju yang mendeskripsikan osilasi kimia bersifat nonlinear, reaksi yang berosilasi terhadap waktu dapat diamati, sebagaimana persamaan Lotka-Volterra dapat mendeskripsikan osilasi dalam sistem pemangsa–mangsa. Reaksi Belousov-Zhabotinsky adalah contoh klasik reaksi kimia osilatori. Ketika ahli biokimia Rusia Boris P. BelousovCatatan: B.P. Belousov, Sb. Ref. Radiats. Med., 1958, Megiz, Moscow, 145 (1950). melaporkan temuannya pada tahun 1951, hasilnya pada awalnya disambut dengan ketidakpercayaan. Baru setelah A.M. ZhabotinskyCatatan: A.M. Zhabotinsky, Oscillatory Processes in Biological and Chemical systems, Science Publ., Moscow, p. 149, 1967. A.N. Zaikin and A.M. Zhabotinsky, Concentration Wave Propagation in Two-dimensional Liquid-phase Self-oscillating System, Nature 225, 535-537 (1970). mereproduksi dan menyempurnakan eksperimen Belousov, keberadaan reaksi osilatori akhirnya diterima. Terdapat dua model klasik untuk reaksi osilatori, yaitu “Brusselator” (diusulkan oleh sebuah kelompok di BrusselsCatatan: P. Glansdorff and I. Prigogine, Thermodynamic Theory of Structure, Stability and Fluctuations, Wiley Interscience, London, 1971. Page 233.) dan “Oregonator” (diusulkan oleh para kimiawan di University of OregonCatatan: R.J. Field and R.M. Noyes, Oscillations in chemical systems. IV. Limit cycle behavior in a model of a real chemical reaction, J. Chem. Phys. 60, 1877-1884 (1974).). Di bawah ini, kita membahas keduanya secara singkat.

Brusselator

Tinjau proses kimia hipotetis berikut (Glansdorff & Prigogine, 1971).

$\begin{array}{ccc} & k_1 & \\ A &\rightarrow& X, \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_2 & \\ 2 X + Y &\rightarrow& 3 X, \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_3 & \\ B + X &\rightarrow& Y + D, \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_4 & \\ X &\rightarrow& E, \end{array}$

dengan semua konstanta laju $k_i$ sama dengan 1. Persamaan laju yang bersesuaian untuk $[X]$ dan $[Y]$ membentuk model Brusselator, yang berbentuk

$\displaystyle \left\{\begin{align*} \displaystyle \frac{d [X]}{d t} & = [A] + [X]^2\,[Y] - [B]\,[X] - [X],\\ \displaystyle \frac{d [Y]}{d t} & = - [Y]\,[X]^2 + [B]\,[X], \end{align*}\right. \qquad (8.1)$

dengan $[A]$ dan $[B]$ sebagai parameter. Model ini memiliki sebuah titik tetap tunggal $P$ , yang diberikan oleh $[X]=[A]$ dan $[Y]=[B]/[A]$ . Dari sudut pandang analisis dimensi, ungkapan-ungkapan ini mungkin tampak aneh, tetapi dimensinya tidak lagi terlacak ketika kita menetapkan semua konstanta laju reaksi (yang memiliki dimensi berbeda) sama dengan satu (lihat soal-soal).

Potret fase Brusselator dengan siklus limit stabil. Deskripsi panjang tersedia. — Gambar 8.1. Bidang fase sistem (8.1), dengan [A]=1 dan [B]=3, yang diplot menggunakan perangkat lunak PPLANE. *Deskripsi Gambar*

Matriks Jacobi dari (8.1) di titik tetap

P

adalah

$J(P) = \begin{pmatrix} [B] - 1 & [A]^2 \\ -[B] & -[A]^2 \end{pmatrix},$

dan determinannya sama dengan $[A]^2 > 0$ . Karena itu, stabilitas titik tetap bergantung pada tanda jejak $J(P)$ , yang sama dengan $T = [B]-1-[A]^2$ . Mudah dilihat bahwa jika $[X]$ atau $[Y]$ cukup besar, maka ${d[Y]} / {d[X]} \simeq -1,$ dan lintasan hampir berupa garis lurus dengan kemiringan -1. Namun, ketika $[Y]$ mendekati 0, lintasan-lintasan ini tidak dapat meninggalkan kuadran pertama karena $d[Y]/d t \gt 0$ jika $[Y]=0$ dan $[X] \gt 0$ . Karena pada saat itu kita juga memiliki $d[X]/dt \lt 0$ jika $[X]$ cukup besar, kita memperkirakan lintasan akan dibawa kembali menuju daerah tempat $[X]$ dan $[Y]$ sama-sama berorde satu.

Grafik [X] dan [Y] terhadap waktu. Deskripsi panjang tersedia. — Gambar 8.2. Kebergantungan [X] dan [Y] terhadap waktu untuk lintasan pada Gambar 8.1, yang diplot menggunakan perangkat lunak PPLANE. *Deskripsi Gambar*

Jika

P

stabil, yaitu jika

T \lt 0

, maka semua lintasan seharusnya berakhir di

P

. Namun, jika

P

adalah simpul tak stabil atau spiral tak stabil, lintasan tidak dapat konvergen menuju

P

, dan dinamika tersebut harus memiliki atraktor lain. Gambar 8.1 memperlihatkan potret fase (8.1) dengan

[A]=1

dan

[B]=3

(sehingga

T = 1 > 0

). Atraktor lain tersebut adalah suatu siklus limit; setiap lintasan dalam daerah tarikannya—kecuali solusi yang dimulai tepat di P—konvergen menuju siklus tersebut. Hanya satu lintasan yang diplot dalam gambar ini. Grafik

[X]

dan

[Y]

sebagai fungsi waktu yang bersesuaian ditampilkan pada Gambar 8.2. Terlihat bahwa pada siklus limit,

[X]

tetap kecil hampir sepanjang waktu, lalu dengan cepat meningkat ke nilai maksimum dan kembali menuju nol secara periodik. Ketika

[X]

meningkat,

[Y]

turun secara mendadak, lalu perlahan meningkat kembali ke nilai maksimumnya sementara

[X]

tetap kecil. Osilasi relaksasi semacam itu merupakan ciri khas banyak reaksi kimia osilatori.

Oregonator

Model Oregonator diusulkan oleh R.J. Field dan R.M. Noyes pada 1974. Model ini bersesuaian dengan reaksi kimia berikut

$\begin{array}{ccc} & k_1 & \\ A + Y &\rightarrow& X, \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_2 & \\ X + Y &\rightarrow& P, \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_3 & \\ B + X &\rightarrow& 2 X + Z, \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_4 & \\ 2 X &\rightarrow& Q, \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_5 & \\ Z &\rightarrow& f Y, \end{array}$

dengan $[A]$ dan $[B]$ konstan, serta $f$ merupakan faktor stoikiometri. Persamaan laju yang bersesuaian adalah

$\displaystyle \left\{\begin{align*} \displaystyle \frac{d [X]}{d t} & = k_1 [A]\, [Y] - k_2 [X]\,[Y] + k_3 [B]\,[X] - 2 k_4 [X]^2,\\ \displaystyle \frac{d [Y]}{d t} & = - k_1 [A]\, [Y] - k_2 [X]\,[Y] + k_5 f [Z], \\ \displaystyle \frac{d [Z]}{d t} & = k_3 [B] \, [X] - k_5 [Z]. \end{align*}\right.$

Field dan Noyes (1974) mendefinisikan besaran tak berdimensi berikut

$x = \displaystyle \frac{[X]}{X_0},\qquad y = \displaystyle \frac{[Y]}{Y_0},\qquad z = \displaystyle \frac{[Z]}{Z_0},\qquad \tau = \displaystyle \frac{t}{T_0},$

dengan

$X_0 = \displaystyle \frac{k_1}{k_2} [A],\quad Y_0 = \displaystyle \frac{k_3}{k_2} [B], \quad Z_0 = \displaystyle \frac{k_1 k_3}{k_2 k_5} [A] [B], \quad \displaystyle T_0 = \frac{1}{\sqrt{k_1 k_3 [A] [B]}}.$

Dengan demikian, bentuk tak berdimensi Oregonator menjadi

$\displaystyle \left\{\begin{align*} \displaystyle \frac{d x}{d \tau} & = s (y - x y + x - q x^2),\\ \displaystyle \frac{d y}{d \tau} & = \frac{1}{s} (- y - x y + f z), \\ \displaystyle \frac{d z}{d \tau} & = \omega (x - z), \end{align*}\right. \qquad (8.2)$

dengan

$s = \displaystyle \sqrt{\frac{k_3 [B]}{k_1 [A]}}, \qquad q = \displaystyle \frac{2 k_1 k_4 [A]}{k_2 k_3 [B]}, \qquad \omega = \displaystyle \frac{k_5}{\sqrt{k_1 k_3 [A] [B]}}.$

Dengan mengasumsikan bahwa $x$ dengan cepat mencapai nilai keadaan tunak, Persamaan (8.2) dapat direduksi menjadi sistem dinamik dua dimensi. Memang, menetapkan $d x / d \tau = 0$ menghasilkan

$x = \displaystyle \frac{1}{2 q} \left(1 - y + \sqrt{(1 - y)^2 + 4 q y}\right),$

dan dengan menyubstitusikan ekspresi ini ke dalam (8.2), diperoleh

$\displaystyle \left\{\begin{align*} \displaystyle \frac{d y}{d \tau} & = \frac{1}{s} \left(- y - \frac{y}{2 q} \left(1 - y + \sqrt{(1 - y)^2 + 4 q y}\right) + f z \right), \\ \displaystyle \frac{d z}{d \tau} & = \omega \left(\frac{1}{2 q} \left(1 - y + \sqrt{(1 - y)^2 + 4 q y}\right) - z \right). \end{align*}\right. \qquad (8.3)$

Potret fase Oregonator tereduksi dengan siklus limit stabil. Deskripsi panjang tersedia. — Gambar 8.3: Bidang fase sistem (8.3), dengan f=1, s=1, q=0.01 dan ω=2, yang diplot menggunakan perangkat lunak PPLANE. *Deskripsi Gambar*

Selanjutnya, kita menetapkan

f = 1

. Field dan Noyes (1974) memperkirakan nilai

s

q

\omega

, serta semua variabel tak berdimensi untuk reaksi Belousov-Zhabotinsky. Rinciannya dapat ditemukan dalam artikel mereka yang berjudul Oscillations in chemical systems. IV. Limit cycle behavior in a model of a real chemical reaction. Mereka juga menyimpulkan bahwa model Oregonator mampu memprediksi osilasi konsentrasi zat-zat kimia yang terlibat dalam proses reaksi. Parameter yang realistis membuat masalah ini sangat kaku (yaitu, terdapat skala waktu karakteristik yang sangat pendek maupun sangat panjang, yang merupakan ciri khas sistem eksitabel), tetapi model (8.3) juga memperlihatkan osilasi dalam kasus yang cukup kaku. Gambar 8.3 menunjukkan bidang fase model (8.3) dengan parameter

s = 1

q = 0.01

, dan

\omega = 2

. Lintasan yang bermula di dekat titik tetap, dengan

y

dan

z

keduanya tak nol, berkonvergensi menuju siklus limit. Akibatnya, variabel

y

dan

z

berosilasi terhadap waktu, demikian pula

[X]

[Y]

, dan

[Z]

dalam model Oregonator.

Gelombang kimia

Ketika reaksi kimia berlangsung dalam sistem yang membentang secara spasial, difusi perlu diperhitungkan. Akibatnya, persamaan laju yang dibahas di atas berubah menjadi persamaan diferensial parsial. Suku-suku reaksi tetap sama, tetapi konsentrasi setiap zat kimia kini berdifusi dengan koefisien difusi yang bergantung pada ukuran dan berat molekul yang bersangkutan. Jika reaksinya bersifat osilatori, muka gelombang, yang misalnya bersesuaian dengan konsentrasi tinggi suatu zat kimia, merambat di dalam sistem. Selain itu, jika reaksi dibatasi pada permukaan dua dimensi dan gelombang dipicu di suatu titik dalam ruang, muka gelombangnya berbentuk lingkaran. Sebagai contoh, artikel tahun 2001 karya C. Sachs et al.Catatan: C. Sachs, M. Hildebrand, S. Völkening, J. Wintterlin, G. Ertl, Spatiotemporal self-organization in a surface reaction: from the atomic to the mesoscopic scale, Science 293, 1635-1638 (2001). menjelaskan bagaimana muka gelombang semacam itu diamati dalam eksperimen dan mengusulkan model reaksi-difusi yang mereproduksi perilaku ini. Para penulis juga membahas keterbatasan model reaksi-difusi ketika parameter makroskopis dipengaruhi oleh rincian interaksi mikroskopis.

Apa yang akan terjadi jika muka gelombang terputus, misalnya jika gelombang melewati wilayah tempat reaksi tidak dapat berlangsung? Jika muka gelombang tertambat pada satu titik, muka tersebut akan melengkung dan akhirnya membentuk gelombang spiral. Gelombang semacam itu sering diamati dalam eksperimen ketika reaksi Belousov-Zhabotinsky dibatasi pada permukaan dua dimensi, seperti film tipis, cakram kaca berpori, atau bahkan selembar kertas saring. Artikel karya S.C. Müller et al.Catatan: S.C. Müller, T. Plesser and B. Hess, The structure of the core of the spiral wave in the Belousov-Zhabotinskii reaction, Science 230, 661-663 (1985). membahas eksperimen yang mengungkap struktur inti gelombang spiral semacam itu.

Ringkasan

Kita memulai dengan hukum aksi massa, yang memungkinkan kita mendeskripsikan dinamika konsentrasi (rata-rata) reaktan dan produk yang terlibat dalam reaksi kimia. Secara khusus, kita meninjau dua rangkaian reaksi kimia hipotetis yang disebut Brusselator dan Oregonator. Dengan menerapkan metode analisis yang dibahas dalam bab-bab sebelumnya, kita menyimpulkan bahwa sistem kimia ini dapat memperlihatkan dinamika osilatori. Hal ini memberikan bukti konsep bagi reaksi osilatori seperti reaksi Belousov-Zhabotinsky. Dalam sistem yang membentang secara spasial, reaksi yang disebut terakhir menghasilkan gelombang kimia dan cacat spiral, yang strukturnya terdokumentasi dengan baik dalam literatur penelitian.

Deskripsi Gambar

Gambar 8.1: Potret fase yang memperlihatkan medan vektor untuk variabel $[X]$ dan $[Y]$ . Ditampilkan satu lintasan yang bermula di dekat titik tetap yang terletak pada $(1, 3)$ . Lintasan tersebut berkonvergensi menuju satu kurva tertutup, yang bersesuaian dengan siklus limit. Panah di dalam kurva tertutup berpilin ke luar mendekatinya, sedangkan panah di luar berpilin ke dalam mendekatinya, yang menunjukkan bahwa siklus tersebut merupakan atraktor. [Kembali ke Gambar 8.1]

Gambar 8.2: Plot deret waktu yang memperlihatkan dua variabel, $[X]$ (garis penuh) dan $[Y]$ (garis putus-putus), terhadap waktu $t$ . Pada awalnya, kedua variabel hampir konstan, tetapi keduanya dengan cepat beralih ke osilasi stabil yang berkelanjutan. Puncak $[X]$ dan $[Y]$ saling bergeser, yang menunjukkan pergeseran fase khas model pemangsa–mangsa atau osilator kimia. [Kembali ke Gambar 8.2]

Gambar 8.3: Potret fase pada bidang $y$ - $z$ yang menampilkan medan vektor dan dua solusi. Sebuah titik hitam merepresentasikan titik tetap tak stabil di sekitar $(0.9, 13.5)$ . Sebuah kurva tertutup tebal berbentuk segitiga (siklus limit stabil) mengelilingi titik ini. Suatu lintasan yang bermula di dekat titik tetap berpilin menuju siklus limit. [Kembali ke Gambar 8.3]

Bahan Renungan

Soal 1

Pertimbangkan reaksi kimia berikut

$\begin{array}{ccccc} & k_1 & & k_3 & \\ A + B & \rightleftharpoons & C &\rightarrow & B + D,\\ & k_2 & & & \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_4 & \\ B + E & \rightleftharpoons & F. \\ & k_5 & \end{array}$

Tuliskan persamaan diferensial yang mendeskripsikan dinamika konsentrasi $A$ , $B$ , $C$ , $E$ , dan $F$ .
Tunjukkan bahwa $[B] + [C] + [F]$ konstan. Apa makna kimiawi fakta ini?

Soal 2

Pertimbangkan reaksi kimia

$\begin{array}{ccc} & k_1 & \\ A + B & \rightleftharpoons & C. \\ & k_2 & \end{array}$

Jelaskan mengapa persamaan laju untuk $A$ adalah $\displaystyle \frac{d [A]}{d t} = - k_1 [A]\, [B] + k_2 [C].$
Apa dimensi $k_1$ dan $k_2$ ?
Tuliskan persamaan ini dalam bentuk tak berdimensi.

Soal 3

Pertimbangkan reaksi kimia

$\begin{array}{ccc} & k & \\ n \, A &\rightarrow& B, \end{array}$

dengan $n$ merupakan bilangan bulat positif.

Apa persamaan laju untuk $A$ ?
Diketahui bahwa $[A](0)=[A]_0$ , tentukan solusi persamaan ini.
Apakah solusi tersebut masuk akal untuk semua waktu? Jika tidak, apa yang terjadi?

Soal 4

Apa dimensi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ , dan $k_4$ dalam reaksi Brusselator?

Soal 5

Asumsikan bahwa konstanta laju $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ , dan $k_4$ dalam reaksi Brusselator tidak sama dengan 1. Dapatkah Anda menskalakan ulang persamaan laju yang bersesuaian untuk menghilangkan parameter-parameter ini dari model tak berdimensi? Jelaskan.

Soal 6

Dengan menggunakan PPLANE, simulasikan model Brusselator (8.1) dengan $[A]=1$ . Jelaskan apa yang terjadi ketika parameter $[B]$ divariasikan dari 1.5 hingga 2.5.

Soal 7

Dengan menggunakan PPLANE, simulasikan model Brusselator (8.1) dengan $[A]=1$ .

Jelaskan apa yang terjadi ketika parameter $[B]$ divariasikan dari 3 hingga 5. Apa yang istimewa pada nilai $[B]=4$ ?
Gambarkan $[X]$ dan $[Y]$ sebagai fungsi $t$ untuk $[B] = 6$ . Jelaskan apa yang terjadi dengan kata-kata Anda sendiri.

Soal 8

Apa dimensi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ , $k_4$ , dan $k_5$ dalam reaksi Oregonator?

Soal 9

Periksa bahwa $x$ , $y$ , $z$ , dan $\tau$ yang didefinisikan dalam pembahasan reaksi Oregonator bersifat tak berdimensi.

Soal 10

Dengan menggunakan PPLANE, simulasikan model Oregonator tereduksi (8.3) dengan $f=1$ , $s=1$ , dan $\omega=2$ . Jelaskan apa yang terjadi ketika parameter $q$ divariasikan dari 0.1 hingga 0.01.

Soal 11

Tentukan titik-titik tetap model Oregonator tereduksi (8.3) dengan $f=1$ , dan analisislah kestabilannya. Anda dapat menggunakan paket komputasi simbolik, seperti MAPLE atau MATHEMATICA.

Soal 12

Pertimbangkan reaksi kimia

$\begin{array}{ccc} & k_1 & \\ A + X & \rightarrow & 2 X, \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_2 & \\ X + Y & \rightarrow & 2 Y, \end{array}$

$\begin{array}{ccc} & k_3 & \\ Y & \rightarrow & P. \end{array}$

Tuliskan persamaan laju untuk $[X]$ dan $[Y]$ .
Tunjukkan bahwa sistem dinamik dua dimensi yang diperoleh dengan demikian merupakan kasus khusus model Lotka-Volterra.
Berdasarkan informasi ini, dinamika seperti apa yang Anda harapkan?

Soal 13

Model Brusselator dan Oregonator memperlihatkan osilasi periodik karena adanya siklus limit. Di sisi lain, persamaan Lotka-Volterra (6.2) dengan $b=0$ memiliki tak hingga banyak solusi periodik. Jika Anda memiliki sistem eksperimental yang memperlihatkan osilasi, bagaimana Anda membedakan keberadaan siklus limit dari keberadaan banyak orbit periodik?

Petunjuk, pemeriksaan, dan pembahasan

Bagian tambahan ini ditulis untuk edisi Bahasa Indonesia. Bukalah seperlunya setelah Anda berusaha menyelesaikan soal secara mandiri.

Dukungan untuk Soal 1

Petunjuk

Beri satu laju aksi massa pada setiap arah panah. Untuk memeriksa kekekalan, jumlahkan tepat tiga persamaan bagi $B,C,F$ ; semua fluks yang hanya memindahkan satu unit gugus pembawa $B$ harus saling hapus.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Dengan $a=[A], b=[B], c=[C], e=[E], f=[F]$ , sistemnya adalah $a'=-k_1ab+k_2c$ , $b'=-k_1ab+(k_2+k_3)c-k_4be+k_5f$ , $c'=k_1ab-(k_2+k_3)c$ , $e'=-k_4be+k_5f$ , dan $f'=k_4be-k_5f$ . Karena $(b+c+f)'=0$ , maka $b(t)+c(t)+f(t)=b(0)+c(0)+f(0)$ . Jumlah ini adalah inventaris total satuan kimia pembawa $B$ : setiap reaksi hanya memindahkannya di antara bentuk bebas $B$ , kompleks $C$ , dan kompleks $F$ .
Cek cepat: Suku $k_3c$ harus muncul positif pada $b'$ dan negatif pada $c'$ ; suku $k_4be$ serta $k_5f$ harus saling hapus dalam jumlah $b'+c'+f'$ .

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Reaksi maju pertama mengonsumsi satu $A$ dan satu $B$ , sedangkan reaksi balik menghasilkan keduanya.
Rumus
$r_1=k_1ab,\qquad r_2=k_2c$
Penjelasan
Peluruhan $C$ menghasilkan satu $B$ , dan pasangan reaksi terakhir memindahkan $B$ serta $E$ ke atau dari $F$ .
Rumus
$r_3=k_3c,\qquad r_4=k_4be,\qquad r_5=k_5f$
Penjelasan
Kalikan setiap laju dengan perubahan stoikiometri spesies terkait.
Rumus
$\begin{aligned}a'&=-r_1+r_2,\\b'&=-r_1+r_2+r_3-r_4+r_5,\\c'&=r_1-r_2-r_3,\\e'&=-r_4+r_5,\\f'&=r_4-r_5.\end{aligned}$
Penjelasan
Jumlahkan tiga persamaan yang mengandung satu unit pembawa $B$ .
Rumus
$(b+c+f)'=(-r_1+r_2+r_3-r_4+r_5)+(r_1-r_2-r_3)+(r_4-r_5)=0$

Simpulan

Hukum kekekalan ini berasal dari stoikiometri jaringan, bukan dari keadaan tunak; ia berlaku sepanjang setiap solusi selama model reaksi tertutup tersebut berlaku.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 1

Dukungan untuk Soal 2

Petunjuk

Tuliskan dimensi konsentrasi sebagai $C$ dan waktu sebagai $T$ . Untuk menghapus kedua konstanta dari persamaan, gunakan skala konsentrasi $C_0=k_2/k_1$ dan waktu $T_0=1/k_2$ .

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Laju maju $k_1[A][B]$ mengonsumsi $A$ , sedangkan laju balik $k_2[C]$ menghasilkannya, sehingga tandanya masing-masing minus dan plus. Dari kesetaraan dengan dimensi $C T^{-1}$ , diperoleh $[k_1]=C^{-1}T^{-1}$ dan $[k_2]=T^{-1}$ . Untuk $k_1,k_2>0$ , ambil $a=k_1[A]/k_2$ , $b=k_1[B]/k_2$ , $c=k_1[C]/k_2$ , serta $\tau=k_2t$ ; persamaan menjadi $da/d\tau=-ab+c$ .
Cek cepat: Skala $k_2/k_1$ harus berdimensi konsentrasi dan $k_2t$ harus tak berdimensi. Substitusi balik ke persamaan berdimensi harus memulihkan kedua suku dengan koefisien asal.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Aksi massa memberi frekuensi tumbukan maju yang sebanding dengan kedua konsentrasi pereaksi.
Rumus
$r_+=k_1[A][B],\qquad r_-=k_2[C]$
Penjelasan
Satu molekul $A$ hilang pada peristiwa maju dan muncul pada peristiwa balik.
Rumus
$\frac{d[A]}{dt}=-r_++r_-=-k_1[A][B]+k_2[C]$
Penjelasan
Samakan dimensi setiap laju dengan konsentrasi per waktu.
Rumus
$[k_1]C^2=CT^{-1},\quad[k_2]C=CT^{-1}$
Penjelasan
Definisikan skala dan variabel tak berdimensi.
Rumus
$C_0=\frac{k_2}{k_1},\quad T_0=\frac1{k_2},\quad [A]=C_0a,\ [B]=C_0b,\ [C]=C_0c,\ t=T_0\tau$
Penjelasan
Bagi persamaan hasil substitusi dengan $C_0/T_0=k_2C_0$ .
Rumus
$\frac{da}{d\tau}=-\frac{k_1C_0}{k_2}ab+c=-ab+c$

Simpulan

Penskalaan ini adalah satu pilihan yang sah; skala konsentrasi umum lain akan menyisakan kelompok tak berdimensi $k_1C_0/k_2$ .

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 2

Dukungan untuk Soal 3

Petunjuk

Laju peristiwa adalah $k[A]^n$ , tetapi setiap peristiwa menghabiskan $n$ molekul $A$ . Pisahkan kasus $n=1$ sebelum mengintegrasikan pangkat $[A]^{-n}$ .

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Jika $a=[A]$ , maka $a'=-nk a^n$ . Untuk $a_0=[A]_0\ge0$ , kasus $n=1$ memberi $a(t)=a_0e^{-kt}$ . Untuk $n>1$ dan $a_0>0$ , $a(t)=a_0[1+n(n-1)ka_0^{n-1}t]^{-1/(n-1)}$ ; jika $a_0=0$ , solusinya identik nol. Semua solusi berkonsentrasi nonnegatif bermakna untuk setiap $t\ge0$ dan mendekati nol saat $t\to\infty$ . Untuk $n>1,a_0>0$ , perpanjangan matematis ke masa lalu berhenti pada $t=-1/[n(n-1)ka_0^{n-1}]$ , ketika rumus menjadi singular; waktu negatif itu bukan prediksi fisik dari masalah nilai awal pada $t=0$ .
Cek cepat: Turunan awal rumus harus sama dengan $-nka_0^n$ . Faktor stoikiometri $n$ tidak boleh hilang, dan untuk $n>1$ penyebut harus bertambah pada waktu maju.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Kalikan laju peristiwa aksi massa dengan kehilangan $n$ unit $A$ per peristiwa.
Rumus
$\frac{da}{dt}=-nka^n$
Penjelasan
Untuk reaksi orde satu, integrasikan turunan logaritma.
Rumus
$n=1:\quad \frac{a'}a=-k\quad\Longrightarrow\quad a=a_0e^{-kt}$
Penjelasan
Untuk $n>1$ , pisahkan variabel dan gunakan kondisi awal.
Rumus
$a^{1-n}=a_0^{1-n}+n(n-1)kt$
Penjelasan
Faktorkan $a_0^{1-n}$ untuk menampilkan domain secara langsung.
Rumus
$a(t)=a_0\left[1+n(n-1)ka_0^{n-1}t\right]^{-1/(n-1)}$
Penjelasan
Untuk data awal positif, faktor dalam kurung positif tepat setelah singularitas waktu balik.
Rumus
$t>-\frac{1}{n(n-1)ka_0^{n-1}}$

Simpulan

Model tidak menghabiskan konsentrasi hingga nol pada waktu maju yang berhingga; peluruhan eksponensial berlaku untuk $n=1$ , sedangkan ekor aljabarnya berlaku untuk $n>1$ .

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 3

Dukungan untuk Soal 4

Petunjuk

Setiap laju volumetrik harus berdimensi $CT^{-1}$ . Hitung jumlah faktor konsentrasi dalam hukum aksi massa untuk tiap langkah, bukan selisih stoikiometri bersihnya.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Dengan $[\text{konsentrasi}]=C$ dan $[t]=T$ , diperoleh $[k_1]=T^{-1}$ , $[k_2]=C^{-2}T^{-1}$ , $[k_3]=C^{-1}T^{-1}$ , dan $[k_4]=T^{-1}$ .
Cek cepat: Produk $k_1[A]$ , $k_2[X]^2[Y]$ , $k_3[B][X]$ , dan $k_4[X]$ semuanya harus berdimensi $CT^{-1}$ .

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Langkah pertama bersifat unimolekuler.
Rumus
$[k_1]C=CT^{-1}\Longrightarrow[k_1]=T^{-1}$
Penjelasan
Langkah autokatalitik memakai tiga faktor konsentrasi dalam laju elementernya.
Rumus
$[k_2]C^3=CT^{-1}\Longrightarrow[k_2]=C^{-2}T^{-1}$
Penjelasan
Langkah ketiga bersifat bimolekuler.
Rumus
$[k_3]C^2=CT^{-1}\Longrightarrow[k_3]=C^{-1}T^{-1}$
Penjelasan
Langkah terakhir kembali unimolekuler.
Rumus
$[k_4]C=CT^{-1}\Longrightarrow[k_4]=T^{-1}$

Simpulan

Menetapkan semua $k_i=1$ sebelum penskalaan menyembunyikan fakta bahwa keempat angka tersebut tidak memiliki dimensi yang sama.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 4

Dukungan untuk Soal 5

Petunjuk

Mulailah dari $\dot X=k_1[A]+k_2X^2Y-k_3[B]X-k_4X$ dan $\dot Y=-k_2X^2Y+k_3[B]X$ . Pilih waktu dari peluruhan $k_4$ , lalu samakan skala $X$ dan $Y$ agar koefisien suku kubik menjadi satu.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Ambil $\tau=k_4t$ , $X=X_0x$ , $Y=Y_0y$ , dan $X_0=Y_0=\sqrt{k_4/k_2}$ . Definisikan $\bar A=k_1[A]\sqrt{k_2}/k_4^{3/2}$ serta $\bar B=k_3[B]/k_4$ . Maka $dx/d\tau=\bar A+x^2y-\bar Bx-x$ dan $dy/d\tau=-x^2y+\bar Bx$ . Keempat konstanta laju tidak muncul sendiri, tetapi pengaruhnya tetap tersimpan dalam dua kelompok tak berdimensi $\bar A,\bar B$ .
Cek cepat: Harus berlaku $k_2X_0^2/k_4=1$ , $[X_0]=[Y_0]=C$ , dan kedua persamaan hasil skala mempunyai bentuk persis (8.1) setelah $[A],[B]$ diganti $\bar A,\bar B$ .

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Tulis model berdimensi dari keempat langkah reaksi dengan $[A]$ dan $[B]$ dipertahankan sebagai reservoir konstan.
Rumus
$\begin{aligned}\dot X&=k_1[A]+k_2X^2Y-k_3[B]X-k_4X,\\\dot Y&=-k_2X^2Y+k_3[B]X.\end{aligned}$
Penjelasan
Gunakan laju unimolekuler $k_4$ sebagai skala waktu.
Rumus
$\tau=k_4t$
Penjelasan
Pilih skala konsentrasi bersama sehingga koefisien autokatalitik menjadi satu.
Rumus
$X_0=Y_0=\sqrt{\frac{k_4}{k_2}},\qquad \frac{k_2X_0Y_0}{k_4}=1$
Penjelasan
Bagi persamaan pertama dengan $k_4X_0$ dan persamaan kedua dengan $k_4Y_0$ .
Rumus
$\frac{dx}{d\tau}=\frac{k_1[A]}{k_4X_0}+x^2y-\frac{k_3[B]}{k_4}x-x,\qquad\frac{dy}{d\tau}=-x^2y+\frac{k_3[B]}{k_4}x$
Penjelasan
Namai dua kombinasi reservoir dan konstanta yang tak dapat dihapus sekaligus.
Rumus
$\bar A=\frac{k_1[A]\sqrt{k_2}}{k_4^{3/2}},\qquad\bar B=\frac{k_3[B]}{k_4}$

Simpulan

Penskalaan mengurangi enam besaran berdimensi yang relevan menjadi dua parameter kendali tak berdimensi tanpa mengubah struktur dinamis Brusselator.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 5

Dukungan untuk Soal 6

Petunjuk

Gunakan titik tetap $P=(A,B/A)$ . Hitung jejak dan determinan matriks Jacobi di $P$ , lalu bandingkan prediksi linearisasi dengan lintasan yang dimulai sedikit di luar titik tetap.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Untuk $A=1$ , titik tetapnya $P=(1,B)$ , jejaknya $T=B-2$ , dan determinannya $D=1$ . Pada $1{,}5\le B<2$ , $P$ adalah spiral stabil; pada $B=2=1+A^2$ , nilai eigen $\pm i$ menandai ambang Hopf; dan pada $2<B\le2{,}5$ , $P$ adalah spiral tak stabil yang dikelilingi siklus limit menarik. Jadi ambang kestabilannya adalah $B_H=1+A^2=2$ .
Cek cepat: Di seluruh rentang, diskriminan $(B-2)^2-4$ negatif, sehingga tipe linearnya memang spiral kecuali tepat di ambang. Integrasi harus cukup lama untuk membedakan transien yang meluruh dari osilasi menetap.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Titik tetap umum model (8.1) diperoleh dengan menjumlahkan kedua persamaan dan menyelesaikan nolklin.
Rumus
$P=(A,B/A)\quad\Longrightarrow\quad P=(1,B)$
Penjelasan
Evaluasi matriks Jacobi sumber pada $A=1$ .
Rumus
$J(P)=\begin{pmatrix}B-1&1\\-B&-1\end{pmatrix},\qquad T=B-2,\quad D=1$
Penjelasan
Tanda jejak menentukan kestabilan karena determinan positif.
Rumus
$B<2:\ T<0;\qquad B=2:\ T=0;\qquad B>2:\ T>0$
Penjelasan
Dalam rentang yang diminta, diskriminan selalu negatif.
Rumus
$\Delta=T^2-4D=(B-2)^2-4<0\qquad(1.5\le B\le2.5)$
Penjelasan
Notebook mengintegrasikan beberapa kondisi awal di sekitar $P$ dan memeriksa amplitudo setelah transien.
Rumus
$B>2:\quad P\text{ menolak lintasan dekat, sedangkan amplitudo akhirnya menuju osilasi periodik yang sama}$

Simpulan

Perubahan pada $B=2$ adalah bifurkasi Hopf superkritis Brusselator standar. Potret dan deret waktu notebook mendukung siklus menarik, sedangkan perhitungan jejak menetapkan ambang kestabilan lokal.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 6

Dukungan untuk Soal 7

Petunjuk

Kestabilan sudah hilang untuk semua $B>2$ . Yang berubah pada $B=4$ adalah apakah dua nilai eigen titik tetap kompleks atau real; gunakan diskriminan, bukan hanya tanda jejak.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Untuk $A=1$ , $T=B-2$ , $D=1$ , dan $\Delta=(B-2)^2-4=B(B-4)$ . Maka $3\le B<4$ memberi fokus tak stabil, $B=4$ memberi nilai eigen ganda positif $\lambda=1$ dengan hanya satu arah eigen (simpul tak wajar), dan $4<B\le5$ memberi simpul tak stabil. Nilai $B=4$ adalah batas fokus–simpul, bukan ambang Hopf; siklus limit menarik tetap menjadi atraktor di luar titik tetap. Untuk $B=6$ , deret waktu menunjukkan osilasi relaksasi: $X$ lama berada pada nilai kecil lalu melonjak dan turun cepat, sedangkan $Y$ tumbuh perlahan ketika $X$ kecil dan jatuh tajam ketika $X$ melonjak.
Cek cepat: Diskriminan harus nol tepat di $B=4$ , sedangkan jejak tetap positif di sana. Pada $B=6$ , puncak $X$ dan penurunan $Y$ harus berimpit secara temporal setelah transien.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Gunakan kembali matriks Jacobi titik tetap $P=(1,B)$ .
Rumus
$J(P)=\begin{pmatrix}B-1&1\\-B&-1\end{pmatrix},\qquad \lambda^2-(B-2)\lambda+1=0$
Penjelasan
Hitung diskriminan polinom karakteristik.
Rumus
$\Delta=(B-2)^2-4=B(B-4)$
Penjelasan
Karena $T>0,D>0$ , tanda diskriminan hanya mengubah geometri ketidakstabilan.
Rumus
$3\le B<4:\text{ fokus tak stabil};\quad B>4:\text{ simpul tak stabil}$
Penjelasan
Pada batas, matriks memiliki akar ganda dan satu ruang eigen berdimensi satu.
Rumus
$B=4:\quad (\lambda-1)^2=0,\qquad \operatorname{rank}(J-I)=1$
Penjelasan
Untuk $B=6$ , integrasi setelah membuang transien membandingkan puncak dan lembah kedua konsentrasi.
Rumus
$X\uparrow\text{ tajam}\Longleftrightarrow Y\downarrow\text{ tajam};\qquad X\text{ kecil}\Longleftrightarrow Y\text{ pulih perlahan}$

Simpulan

Nilai $B=4$ memisahkan fokus dan simpul yang keduanya tak stabil. Nilai $B=6$ menonjolkan pemisahan skala waktu yang menghasilkan bentuk denyut khas osilasi relaksasi.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 7

Dukungan untuk Soal 8

Petunjuk

Empat langkah pertama semuanya melibatkan dua molekul pereaksi dalam hukum aksi massa, termasuk $2X\to Q$ ; langkah terakhir hanya melibatkan satu $Z$ . Koefisien hasil $f$ menghitung jumlah relatif, bukan satuan baru.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Dengan dimensi konsentrasi $C$ dan waktu $T$ , $[k_1]=[k_2]=[k_3]=[k_4]=C^{-1}T^{-1}$ , $[k_5]=T^{-1}$ , dan $[f]=1$ .
Cek cepat: Suku $k_1[A][Y]$ , $k_2[X][Y]$ , $k_3[B][X]$ , $k_4[X]^2$ , dan $k_5[Z]$ semuanya harus berdimensi $CT^{-1}$ ; faktor 2 dan $f$ tidak membawa dimensi.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Tiga reaksi pertama masing-masing mempunyai dua faktor konsentrasi dalam laju aksi massanya.
Rumus
$[k_i]C^2=CT^{-1}\Longrightarrow[k_i]=C^{-1}T^{-1},\qquad i=1,2,3$
Penjelasan
Reaksi $2X\to Q$ juga berorde dua terhadap konsentrasi.
Rumus
$[k_4][X]^2=CT^{-1}\Longrightarrow[k_4]=C^{-1}T^{-1}$
Penjelasan
Peluruhan $Z$ bersifat unimolekuler.
Rumus
$[k_5][Z]=CT^{-1}\Longrightarrow[k_5]=T^{-1}$
Penjelasan
Faktor stoikiometri hanya mengalikan jumlah $Y$ yang dihasilkan per $Z$ .
Rumus
$[f]=1$

Simpulan

Dimensi ini membuat setiap ruas kanan sistem Oregonator berdimensi konsentrasi per waktu dan menjadi dasar pemeriksaan skala pada soal berikutnya.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 8

Dukungan untuk Soal 9

Petunjuk

Gunakan hasil $[k_1]=\cdots=[k_4]=C^{-1}T^{-1}$ , $[k_5]=T^{-1}$ , dan $[A]=[B]=C$ . Periksa setiap skala sebelum membentuk rasionya.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Dimensi skala adalah $[X_0]=[(k_1/k_2)[A]]=C$ , $[Y_0]=[(k_3/k_2)[B]]=C$ , $[Z_0]=[(k_1k_3/(k_2k_5))[A][B]]=C$ , dan $[T_0]=[k_1k_3[A][B]]^{-1/2}=T$ . Karena pembilang dan penyebut setiap rasio memiliki dimensi sama, $[x]=[y]=[z]=[\tau]=1$ .
Cek cepat: Rasio $k_1k_3/(k_2k_5)$ harus berdimensi $C^{-1}$ , bukan tak berdimensi, sehingga setelah dikalikan $[A][B]$ hasilnya tepat $C$ .

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Rasio dua konstanta bimolekuler pertama tidak membawa dimensi.
Rumus
$[X_0]=\frac{C^{-1}T^{-1}}{C^{-1}T^{-1}}C=C$
Penjelasan
Argumen yang sama berlaku untuk skala $Y$ .
Rumus
$[Y_0]=\frac{C^{-1}T^{-1}}{C^{-1}T^{-1}}C=C$
Penjelasan
Pada skala $Z$ , rasio konstanta menyumbang satu pangkat konsentrasi invers.
Rumus
$[Z_0]=\frac{(C^{-1}T^{-1})^2}{(C^{-1}T^{-1})(T^{-1})}C^2=C^{-1}C^2=C$
Penjelasan
Besaran di bawah akar pada skala waktu adalah laju kuadrat.
Rumus
$[k_1k_3[A][B]]=(C^{-1}T^{-1})^2C^2=T^{-2}$
Penjelasan
Bentuk rasio akhirnya tidak membawa satuan.
Rumus
$[x]=\frac CC=[y]=[z]=1,\qquad[\tau]=\frac TT=1$

Simpulan

Keempat definisi merupakan penskalaan yang konsisten. Sebagai pemeriksaan tambahan, kelompok $s,q,\omega$ pada (8.2) juga tak berdimensi.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 9

Dukungan untuk Soal 10

Petunjuk

Gunakan cabang positif $h(y)=[1-y+\sqrt{(1-y)^2+4qy}]/(2q)$ . Ikuti titik tetap positif sambil menghitung jejak matriks Jacobi; integrasikan dari gangguan kecil dan dari kondisi awal yang lebih jauh untuk menguji apakah amplitudo akhir sama.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Pada $q=0{,}1$ , titik tetap positif adalah $(y_*,z_*)=(0{,}8,4)$ dan merupakan fokus stabil karena $T=-3$ , $D=12$ , serta $T^2-4D=-39$ . Saat $q$ turun, jejak melewati nol pada $q_H=(19-5\sqrt{13})/18\approx0{,}0540135$ . Di bawah ambang, titik tetap tidak stabil dan integrasi menunjukkan sebuah siklus limit menarik; pada $q=0{,}01$ , osilasinya besar dan bersifat relaksasi. Nilai ambang lokal berasal dari perhitungan matriks Jacobi, sedangkan keberadaan, daya tarik, dan bentuk siklus dalam sapuan ini adalah diagnosis numerik, bukan bukti global keberadaan atau keunikan siklus.
Cek cepat: Gunakan toleransi ketat dan horizon cukup panjang; hasil harus stabil terhadap pengecilan langkah/toleransi, penggandaan horizon, dan beberapa kondisi awal positif. Jangan menyimpulkan siklus hanya dari transien berosilasi.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Tuliskan sistem tereduksi dengan fungsi cabang positif.
Rumus
$y'=-y-yh(y)+z,\qquad z'=2(h(y)-z)$
Penjelasan
Titik tetap positif memenuhi rumus aljabar dari soal berikutnya.
Rumus
$y_*=\frac{4+q-\sqrt{q(q+8)}}4,\qquad x_*=z_*=\frac{y_*}{1-y_*}$
Penjelasan
Untuk $s=1,\omega=2$ , syarat jejak nol dapat ditulis hanya dalam $y_*$ .
Rumus
$\frac{2y_*^2+2y_*-3}{3(1-y_*)^2}-2=0$
Penjelasan
Pilih akar fisik dan gunakan relasi titik tetap $qy_*=2(1-y_*)^2$ .
Rumus
$y_H=\frac{7-\sqrt{13}}4,\qquad q_H=\frac{2(1-y_H)^2}{y_H}=\frac{19-5\sqrt{13}}{18}$
Penjelasan
Sapuan komputasional mencatat ekstrem setelah transien dan mengulang integrasi dari beberapa keadaan awal.
Rumus
$q>q_H:\text{ amplitudo }\to0;\qquad q<q_H:\text{ amplitudo akhir nonnol dan berulang}$

Simpulan

Sapuan bergerak dari fokus stabil menuju osilasi menarik setelah kehilangan kestabilan lokal. Perhitungan analitik menentukan ambangnya; sifat siklus yang tampak harus dilaporkan bersama pemeriksaan konvergensi numerik.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 10

Dukungan untuk Soal 11

Petunjuk

Namai cabang positif sebagai $x=h(y)$ . Dari $z'=0$ peroleh $z=x$ , dan dari $y'=0$ untuk $f=1$ peroleh $x(1-y)=y$ . Turunkan persamaan implisit $y-xy+x-qx^2=0$ untuk memperoleh $h'(y)$ tanpa mendiferensiasikan akar secara langsung.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Untuk $q,s,\omega>0$ dan cabang positif $h(y)$ , satu-satunya titik tetap fisik adalah $(y_*,z_*)$ dengan $y_*=[(4+q)-\sqrt{q(q+8)}]/4$ dan $x_*=z_*=y_*/(1-y_*)$ . Turunannya ialah $h'(y_*)=(x_*-1)/(1-y_*-2qx_*)$ . Matriks Jacobi memiliki jejak $T=(-1-x_*-y_*h'(y_*))/s-\omega$ dan determinan $D=(\omega/s)[1+x_*+(y_*-1)h'(y_*)]$ . Secara ekuivalen, $h'(y_*)=(1-2y_*)/[3(1-y_*)^2]$ , $D=2\omega(1+y_*)/[3s(1-y_*)]>0$ , dan $T=[2y_*^2+2y_*-3]/[3s(1-y_*)^2]-\omega$ . Jadi titik stabil bila $T<0$ , tak stabil bila $T>0$ , dan nonhiperbolik/Hopf-kandidat bila $T=0$ ; untuk $D>0$ , ia fokus jika $T^2-4D<0$ , simpul jika $T^2-4D>0$ , dan berakar ganda jika sama dengan nol.
Cek cepat: Akar dengan tanda plus pada rumus kuadrat memberi $y>1$ dan bukan titik tetap berkonsentrasi positif karena $x=y/(1-y)<0$ . Determinan cabang fisik harus menyederhana menjadi besaran positif.

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Definisikan cabang keadaan tunak cepat yang dipakai oleh model tereduksi.
Rumus
$x=h(y)=\frac{1-y+\sqrt{(1-y)^2+4qy}}{2q}$
Penjelasan
Pada titik tetap dengan $f=1$ , persamaan kedua memberi $z=x$ , lalu persamaan pertama memberi relasi positif.
Rumus
$z_*=x_*,\qquad -y_*-y_*x_*+x_*=0\Longrightarrow x_*=\frac{y_*}{1-y_*}$
Penjelasan
Substitusikan relasi tersebut ke persamaan implisit cabang cepat.
Rumus
$y-xy+x-qx^2=0\Longrightarrow qy=2(1-y)^2$
Penjelasan
Selesaikan persamaan kuadrat dan pilih akar dalam $(0,1)$ .
Rumus
$2y^2-(4+q)y+2=0,\qquad y_*=\frac{4+q-\sqrt{q(q+8)}}4$
Penjelasan
Diferensiasi implisit cabang memberi turunan yang diperlukan oleh matriks Jacobi.
Rumus
$h'(y)=\frac{x-1}{1-y-2qx}$
Penjelasan
Linearisasi sistem $y'=(-y-yh(y)+z)/s$ , $z'=\omega(h(y)-z)$ .
Rumus
$J_*=\begin{pmatrix}(-1-x_*-y_*h')/s&1/s\\\omega h'&-\omega\end{pmatrix}$
Penjelasan
Ambil jejak dan determinan.
Rumus
$T=\frac{-1-x_*-y_*h'}s-\omega,\qquad D=\frac\omega s\left(1+x_*+(y_*-1)h'\right)$
Penjelasan
Gunakan $qy_*=2(1-y_*)^2$ untuk menunjukkan determinan positif dan memperoleh bentuk jejak yang ringkas.
Rumus
$h'=\frac{1-2y_*}{3(1-y_*)^2},\quad D=\frac{2\omega(1+y_*)}{3s(1-y_*)}>0,\quad T=\frac{2y_*^2+2y_*-3}{3s(1-y_*)^2}-\omega$

Simpulan

Karena determinan selalu positif pada cabang fisik, titik ini tidak pernah menjadi pelana. Tanda jejak menentukan stabilitas, sedangkan $T^2-4D$ membedakan fokus dari simpul; pembuktian bifurkasi Hopf penuh tetap memerlukan syarat transversalitas dan koefisien nonlinear.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 11

Dukungan untuk Soal 12

Petunjuk

Perlakukan $[A]$ sebagai reservoir konstan. Reaksi pertama menambah satu $X$ , reaksi kedua mengubah satu $X$ menjadi satu tambahan $Y$ , dan reaksi ketiga menghilangkan satu $Y$ .

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Dengan $x=[X]$ , $y=[Y]$ , dan $[A]=A_0$ konstan, persamaannya adalah $x'=k_1A_0x-k_2xy=x(\alpha-\beta y)$ dan $y'=k_2xy-k_3y=y(\delta x-\gamma)$ , yaitu Lotka–Volterra dengan $\alpha=k_1A_0$ , $\beta=k_2$ , $\delta=k_2$ , dan $\gamma=k_3$ . Titik koeksistensi $(k_3/k_2,k_1A_0/k_2)$ adalah pusat pada model ideal; setiap keadaan awal interior nonsetimbang berada pada kurva tingkat tertutup dan menghasilkan osilasi netral, bukan siklus limit menarik.
Cek cepat: Tanda pada suku silang harus negatif di $x'$ dan positif di $y'$ . Integral pertama $H=k_2x-k_3\ln x+k_2y-k_1A_0\ln y$ harus memenuhi $dH/dt=0$ untuk $x,y>0$ .

Pembahasan atau rubrik

Langkah penyelesaian

Penjelasan
Tentukan tiga laju aksi massa dengan reservoir $A_0$ dijaga tetap.
Rumus
$r_1=k_1A_0x,\qquad r_2=k_2xy,\qquad r_3=k_3y$
Penjelasan
Gunakan perubahan stoikiometri bersih pada $X$ dan $Y$ .
Rumus
$x'=r_1-r_2,\qquad y'=r_2-r_3$
Penjelasan
Faktorkan konsentrasi untuk mengenali bentuk mangsa–pemangsa.
Rumus
$x'=x(k_1A_0-k_2y),\qquad y'=y(k_2x-k_3)$
Penjelasan
Peta parameter ke notasi Lotka–Volterra standar adalah langsung.
Rumus
$(\alpha,\beta,\delta,\gamma)=(k_1A_0,k_2,k_2,k_3)$
Penjelasan
Titik tetap interior diperoleh dari kedua faktor dalam kurung.
Rumus
$(x_*,y_*)=\left(\frac{k_3}{k_2},\frac{k_1A_0}{k_2}\right)$
Penjelasan
Integral pertama membuktikan bahwa orbit interior tetap pada satu kurva tingkat.
Rumus
$H(x,y)=k_2x-k_3\ln x+k_2y-k_1A_0\ln y,\qquad \dot H=0$

Simpulan

Model memprediksi keluarga kontinu orbit periodik netral di sekitar pusat. Amplitudo ditentukan oleh keadaan awal dan tidak dipilih oleh tarikan menuju satu orbit khusus.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 12

Dukungan untuk Soal 13

Petunjuk

Jangan hanya mengamati bahwa osilasi bertahan. Siapkan beberapa amplitudo awal atau berikan pulsa kecil ke arah melintang orbit, lalu ukur apakah amplitudo kembali ke gelombang yang sama atau menetap pada nilai baru.

Periksa jawaban

Pemeriksaan akhir: Lakukan gangguan kecil terkalibrasi ke dalam dan ke luar dari orbit pada beberapa fase, serta ulangi dari beberapa kondisi awal. Siklus limit menarik ditandai oleh kembalinya bentuk gelombang dan amplitudo ke orbit yang sama setelah transien, walaupun fasenya dapat bergeser. Jika siklus itu menarik secara hiperbolik, simpangan melintang meluruh eksponensial dan kemiringan peta balik Poincaré memenuhi $|R'(u_*)|<1$ ; tarikan nonhiperbolik dapat lebih lambat dengan $|R'(u_*)|=1$ tetapi tetap memperlihatkan pemulihan amplitudo melalui suku orde tinggi. Pada keluarga periodik netral, gangguan melintang memindahkan sistem ke orbit tetangga dengan amplitudo baru yang bertahan; terdapat kontinuum titik tetap peta balik tanpa pemulihan transversal. Ulangi dua arah dan beberapa besar pulsa untuk memisahkan efek ini dari derau atau redaman kecil tak termodelkan.
Cek cepat: Pergeseran fase saja tidak membedakan kedua mekanisme. Bukti diagnostik harus memakai relaksasi amplitudo atau jarak melintang, menunjukkan hasil berulang untuk gangguan masuk dan keluar, serta melaporkan ketidakpastian dan drift eksperimen.

Pembahasan atau rubrik

Criteria

Kriteria
Rancangan kondisi awal atau gangguan
Jawaban lengkap
Menggunakan beberapa keadaan awal dan pulsa kecil ke dua arah melintang orbit pada beberapa fase, dengan besar pulsa yang diketahui.
Kriteria
Prediksi untuk siklus limit menarik
Jawaban lengkap
Menyatakan bahwa amplitudo/bentuk gelombang kembali ke orbit unik setelah transien, dengan fase akhir boleh berbeda; untuk siklus hiperbolik, menghubungkannya dengan pengali Floquet melintang bermodulus kurang dari satu, sambil membolehkan pemulihan orde tinggi yang lebih lambat pada kasus menarik nonhiperbolik.
Kriteria
Prediksi untuk keluarga orbit netral
Jawaban lengkap
Menyatakan bahwa amplitudo baru bertahan pada orbit tetangga dan menghubungkannya dengan kontinuum orbit atau pengali melintang satu.
Kriteria
Pengukuran kuantitatif
Jawaban lengkap
Mengestimasi peluruhan jarak ke orbit atau peta balik Poincaré dari penampang yang sama, bukan hanya menilai osilasi secara visual.
Kriteria
Kontrol eksperimen
Jawaban lengkap
Mengulang percobaan, memvariasikan arah dan besar gangguan, serta membahas derau, drift, redaman lemah, dan keterbatasan observasi sebagian keadaan.

Simpulan

Ciri pembeda adalah seleksi amplitudo secara transversal: atraksi memulihkan satu orbit, sedangkan kenetralan mempertahankan orbit baru. Respons fase saja tidak cukup karena kedua sistem dapat mengalami pergeseran fase.

Unduh notebook Python terbuka untuk Soal 13