Tentang edisi ini

Ini adalah edisi Bahasa Indonesia yang independen dari mata kuliah Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020) karya Holger Brenner. Cakupannya adalah tepat 30 kuliah dan 30 lembar kerja, Unit 1–30, dalam urutan sumber. Seluruh 495 soal dipertahankan. Dua puluh lima solusi yang tersedia untuk umum diterjemahkan; untuk 470 soal lainnya, edisi menyimpan hasil penelusuran negatif dan tidak mengarang solusi yang tidak ada pada sumber.

Penerjemahan, pemeriksaan, dan produksi edisi dibantu oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra. Pekerjaan dilakukan atas arahan pengguna. Provenans model ini tidak menggantikan kredit kepada penulis sumber atau kontributor manusia. Edisi ini bukan terbitan resmi Holger Brenner, Universitas Osnabrück, Wikiversity, Wikimedia Foundation, atau OpenAI, dan tidak menyiratkan dukungan dari pihak-pihak tersebut.

Otoritas sumber yang dibekukan

Otoritas tekstualnya adalah revisi semantik Wikiversity yang dibekukan. Akar kursus mempunyai pageid 108997, revisi 1052895 bertanggal 2025-08-27T20:02:50Z, dan SHA-1 MediaWiki e881e7c53531765849865454d4d0c643c2066c6d. Indeks kursus yang dibekukan mencatat 30 identitas kuliah dan 30 identitas lembar kerja. Manifes kursus authority/wikiversity-bgk/course/COURSE_AUTHORITY_MANIFEST.json berukuran 34.279 byte dengan SHA-256 ea0bf346e261db8ed80b7565f7746e95c79e0c376d25d9fbce5d96879dff7dd8. PDF resmi dipakai sebagai saksi visual dan penomoran, bukan sebagai pengganti otoritas semantik yang lebih mutakhir.

Seluruh Unit 1–30 mempunyai terjemahan kuliah, lembar kerja, dan cakupan solusi yang lengkap, dengan manifes otoritas, PDF resmi unit, serta catatan hak komponennya. Penutupan sumber memeriksa ulang identitas berkas, urutan soal, solusi publik, dan hasil kandidat negatif. Laporan pemeriksaan pembaca, bangunan yang dapat diulang, serta identitas berkas terbitan disertakan dalam paket rilis; laporan tersebut dibedakan dari bukti otoritas sumber.

Struktur dan rute belajar

Urutan berikut adalah urutan kuliah dan lembar kerja sumber, bukan jalur yang boleh dinomori ulang. Setiap rentang membentuk satu rute baca yang koheren.

Soal dan solusi

Solusi publik terdapat pada Unit 2 (Soal 2.4), Unit 3 (3.1), Unit 5 (5.5), Unit 7 (7.14), Unit 8 (8.3, 8.4, dan 8.11), Unit 11 (11.9, 11.13, dan 11.14), Unit 12 (12.5 dan 12.10), Unit 16 (16.12), Unit 18 (18.6, 18.17, dan 18.18), Unit 19 (19.10), Unit 21 (21.3, 21.9, dan 21.10), Unit 22 (22.19), Unit 25 (25.1), Unit 28 (28.6), serta Unit 29 (29.5 dan 29.12).

Tidak ditemukan solusi publik pada batas sumber untuk Unit 1, 4, 6, 9, 10, 13, 14, 15, 17, 20, 23, 24, 26, 27, dan 30. Untuk unit yang mempunyai sebagian solusi, setiap soal lain juga mempunyai hasil negatif tersendiri. Dengan demikian, angka 470 menyatakan hasil penelusuran negatif yang didokumentasikan, bukan halaman solusi kosong dan bukan bukti bahwa solusi tidak pernah ada di tempat lain.

Media dan aksesibilitas

Delapan posisi media pembaca dengan biner komponen yang tersedia terdapat pada Unit 1, 2, 4, dan 29. Setiap aset itu mempertahankan kredit, pencipta, sumber, teks alternatif, dan lisensi komponennya sendiri. Unit 8 mempunyai satu posisi media yang mendeklarasikan File:Spektrum_von_Z._xcf, tetapi biner sumber itu hilang. Edisi mempertahankan nama pencipta dan label lisensi sebaris sumber, makna keterangan, teks alternatif, serta fakta kehilangan tersebut; edisi tidak mengklaim pemulihan dan tidak membuat aset sumber pengganti.

Unit 3, 5–7, 9–28, serta Unit 30 tidak mempunyai posisi media pembaca. PDF resmi unit dan PDF kursus adalah saksi otoritas, bukan media pembaca, sehingga tidak dihitung sebagai aset ilustrasi. Ketiadaan posisi media pada unit-unit itu bukan kehilangan isi.

Lisensi, atribusi, dan batas hak

Teks semantik mata kuliah yang dibekukan dan terjemahan ini dibagikan dengan Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International. Metadata Commons untuk PDF resmi kursus saat ini menyatakan CC BY-SA 4.0, sedangkan pemberitahuan yang tampak pada halaman 265 PDF tersebut menyatakan CC BY-SA 3.0. Edisi mempertahankan kedua catatan itu dan tidak membuat klaim pelisensian ulang secara menyeluruh.

Media dan komponen lain tetap berada di bawah pemberitahuan hak masing-masing; lisensi teks tidak otomatis melisensikan ulang semuanya. Atribusi, kewajiban berbagi-serupa, catatan komponen, dan pernyataan non-dukungan harus tetap disertakan bila edisi ini disalin, diubah, atau didistribusikan.

Cara memakai pembaca ini

Baca setiap kuliah sebelum mengerjakan lembar kerja bernomor sama. Kerjakan rute secara berurutan: bahasa bundel dan berkas; operasi berkas dan spektrum; skema afin serta projektif; modul dan diferensial; bundel tangen, Picard, dan kelas pembagi; alat homologi dan kohomologi; lalu geometri kurva projektif hingga Riemann–Roch. Gunakan catatan edisi di dekat tempatnya untuk membedakan isi sumber dari koreksi yang dapat diverifikasi, keputusan terjemahan, catatan notasi, atau provenans media. Jangan menafsirkan hasil negatif solusi sebagai isi yang hilang. Panduan istilah sesudah bagian ini membantu mengenali padanan yang berbeda antarsatuan tanpa mengaburkan pembedaan matematisnya.

Panduan istilah

Panduan ini menghubungkan istilah Jerman dengan pemakaiannya dalam Unit 1–30. Beberapa unit menggunakan sinonim Indonesia yang berbeda. Bentuk-bentuk itu tidak menyatakan objek matematis baru: bacalah bersama definisi, hipotesis, dan notasi pada unit bersangkutan. Bentuk pilihan di sini membantu pencarian lintas unit, tanpa mengganti rumus atau istilah dalam kutipan sumber.

Objek yang perlu dibedakan

Padanan lintas unit

Istilah pada bagian akhir

Notasi dan asal panduan

Istilah prosa tidak mengubah notasi sumber. Misalnya, citra tetap dapat ditulis dengan operator sumber bild, dan nama spektrum tidak mengharuskan penggantian Spek oleh Spec di dalam rumus. Perbedaan indeks, tanda kesetaraan, isomorfisme, serta hipotesis bukan varian kosakata.

Panduan penghubung ini disusun dari kursus Holger Brenner dan keputusan terminologi edisi Indonesia. Penyusunan berbantuan AI: OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra. Teks penghubung ini berlisensi CC BY-SA 4.0; kredit dan lisensi setiap komponen sumber tetap dipertahankan. Ini bukan panduan resmi dari penulis atau lembaga sumber dan tidak menyiratkan dukungan mereka.

Kuliah 1: Sistem Persamaan Linear yang Bergantung pada Parameter dan Bundel Vektor

Sistem persamaan linear yang bergantung pada parameter

Kita perhatikan persamaan linear real

$$7u-5v+2w=0.$$

Himpunan penyelesaiannya

$$L=\left\{(u,v,w)\in\mathbb R^3\mid 7u-5v+2w=0\right\} \subset\mathbb R^3$$

merupakan subruang vektor real berdimensi dua dari $\mathbb R^3$. Menyelesaikan persamaan linear semacam itu antara lain berarti menentukan suatu basis bagi $L$. Dalam kasus ini, misalnya,

$$L=\left\langle \begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\0\\-7\end{pmatrix} \right\rangle.$$

Metode penyelesaiannya pada umumnya tidak bergantung pada koefisien konkret persamaan linear itu, meskipun nanti akan kita lihat batas dari pernyataan ini. Jika angka-angka konkret diganti dengan koefisien yang secara fungsional bergantung pada parameter, kita dapat bertanya bagaimana ruang penyelesaian berubah bersama parameter tersebut. Sebagai contoh, perhatikan persamaan linear yang bergantung pada parameter $s$,

$$7u-5v+(s^2-3s-10)w=0.$$

Untuk setiap $s$, ruang penyelesaian $L_s$ bergantung pada $s$, tetapi tetap merupakan subruang berdimensi dua,

$$L_s\subset\mathbb R^3.$$

Dengan kata lain, ruang penyelesaian itu adalah sebuah bidang yang bergerak di dalam ruang ketika $s$ berubah. Kita dapat menanyakan untuk nilai $s$ mana vektor

$$\begin{pmatrix}5\\-3\\8\end{pmatrix}$$

merupakan penyelesaian, yakni termasuk dalam $L_s$. Kita juga dapat bertanya apakah terdapat parameter berbeda $s,t$ dengan

$$L_s=L_t$$

sebagai subruang dari $\mathbb R^3$; apakah selalu ada basis ruang penyelesaian berbentuk

$$\left\langle \begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}c\\0\\d\end{pmatrix} \right\rangle;$$

atau apakah selalu ada vektor penyelesaian berbentuk

$$\begin{pmatrix}1\\0\\e\end{pmatrix}.$$

Ingatlah bahwa algoritme untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, yaitu eliminasi Gauss, bercabang ketika koefisien tertentu bernilai $0$ atau menjadi $0$ selama algoritme berlangsung. Persamaan

$$7u-5v+0w=0$$

mempunyai ruang penyelesaian

$$\left\langle \begin{pmatrix}5\\7\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right\rangle$$

dan tidak memuat vektor berbentuk $\begin{pmatrix}1&0&e\end{pmatrix}^{\mathsf T}$. Karena $s=-2$ dan $s=5$ adalah akar-akar polinom kuadrat $s^2-3s-10$, untuk kedua nilai parameter itu persamaan berparameter di atas berubah menjadi

$$7u-5v+0w=0.$$

Jadi, untuk kedua nilai tersebut, $L_s$ tidak mempunyai vektor berbentuk $\begin{pmatrix}1&0&e\end{pmatrix}^{\mathsf T}$. Untuk semua nilai parameter lainnya, ruang penyelesaiannya memuat vektor

$$\begin{pmatrix} 1\\[2pt]0\\[2pt]-\dfrac{7}{s^2-3s-10} \end{pmatrix}.$$

Dengan demikian, aspek tertentu dari ruang penyelesaian itu sendiri bergantung secara fungsional pada parameter.

Wajar jika ketergantungan sebuah persamaan linear atau sistem persamaan linear pada parameter dipelajari dalam dua tahap. Pada tahap pertama, koefisien-koefisien persamaan diperlakukan sebagai variabel, yaitu sebagai parameter universal, lalu dipelajari bagaimana ruang penyelesaian berubah bersamanya. Secara khusus, kita ingin memahami lompatan kualitatif dalam perilaku ruang penyelesaian. Pada tahap kedua, kita memberikan syarat tambahan yang lebih atau kurang membatasi parameter universal itu, atau membiarkannya bergantung secara fungsional pada parameter lain.

Contoh 1.1: satu persamaan dalam dua variabel

Kita perhatikan persamaan linear real umum

$$su+tv=0$$

dalam variabel $u,v$ dan parameter $s,t$, yang berperan sebagai koefisien tak tentu. Kita ingin memahami ruang penyelesaian

$$L_{(s,t)}=\left\{(u,v)\mid su+tv=0\right\}\subseteq\mathbb R^2$$

sebagai fungsi dari parameter $(s,t)$. Kasus ekstrem terjadi pada $(s,t)=(0,0)$: persamaan dipenuhi oleh setiap $(u,v)$, sehingga ruang penyelesaiannya adalah seluruh $\mathbb R^2$, yang berdimensi dua. Jika $(s,t)\ne(0,0)$, ruang penyelesaiannya berdimensi satu, dan sebuah vektor basis bagi garis penyelesaian itu adalah

$$\begin{pmatrix}t\\-s\end{pmatrix}.$$

Jadi, di atas ruang parameter $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$, ruang penyelesaiannya dapat ditulis seragam sebagai

$$L_{(s,t)}= \left\{c\begin{pmatrix}t\\-s\end{pmatrix}\mathrel{\Big|}c\in\mathbb R\right\}.$$

Penafsiran yang lebih ringkas diperoleh dengan memandang ruang penyelesaian total

$$L=\left\{(s,t,u,v)\mid su+tv=0\right\}\subseteq\mathbb R^4.$$

Perhatikan bahwa $L$ bukan subruang vektor linear dari $\mathbb R^4$. Ruang penyelesaian untuk nilai parameter khusus $(s,t)$ diperoleh dengan memotong $L$ dengan bidang afin $(s,t)\times\mathbb R^2$. Di bawah proyeksi total

$$L\longrightarrow\mathbb R^2\times\mathbb R^2 \stackrel{p_{s,t}}{\longrightarrow}\mathbb R^2, \qquad (s,t,u,v)\longmapsto(s,t),$$

$L_{(s,t)}$ adalah serat di atas $(s,t)$. Di dalam ruang penyelesaian total, terlihat baik perubahan garis penyelesaian terhadap parameter maupun degenerasinya menjadi bidang penyelesaian di atas titik nol. Perilaku di luar titik parameter nol dideskripsikan oleh pembatasan

$$L'=L\setminus\bigl(\{(0,0)\}\times\mathbb R^2\bigr) =p^{-1}\!\left(\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\right) \longrightarrow\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}.$$

Setiap serat proyeksi terbatas ini adalah ruang penyelesaian berdimensi satu. Selain itu, terdapat bijeksi

$$\begin{aligned} \left(\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\right)\times\mathbb R &\longrightarrow L',\\ (s,t;c)&\longmapsto(s,t,ct,-cs), \end{aligned}$$

yang linear pada setiap parameter $(s,t)$. Di ruas kiri terdapat hasil kali langsung ruang basis $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ dan serat $\mathbb R$, yang tidak bergantung pada titik basis. Di ruas kanan terdapat keluarga garis yang berubah-ubah di $\mathbb R^2$, tetapi bijeksi tersebut menerjemahkan satu gambaran ke gambaran yang lain.

Catatan edisi - urutan faktor dan ruang basis. Pada definisi $L'$, sumber mencetak $\mathbb R^2\times(0,0)$, padahal kesamaan dengan $p^{-1}(\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\})$ mengharuskan serat di atas titik nol yang dibuang, yaitu $\{(0,0)\}\times\mathbb R^2$. Prosa sumber kemudian mencetak $\mathbb R^2\times(0,0)$ sekali lagi sebagai ruang basis, sedangkan domain bijeksi yang langsung mendahuluinya adalah $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$. Edisi mengikuti kedua pemetaan yang ditampilkan dan mencatat ketidaksesuaian ini secara terbuka.

Contoh 1.2: satu persamaan dalam tiga variabel

Kita perhatikan persamaan linear real umum

$$ru+sv+tw=0$$

dalam variabel $u,v,w$ dan parameter $r,s,t$, yang berperan sebagai koefisien tak tentu. Kita ingin memahami ruang penyelesaian

$$L_{(r,s,t)}= \left\{(u,v,w)\mid ru+sv+tw=0\right\}\subseteq\mathbb R^3$$

sebagai fungsi dari parameter $(r,s,t)$. Pada $(r,s,t)=(0,0,0)$, ruang penyelesaiannya adalah seluruh $\mathbb R^3$. Jika $(r,s,t)\ne(0,0,0)$, ruang penyelesaiannya berdimensi dua. Kita keluarkan titik nol dari ruang parameter dan perhatikan ruang penyelesaian total

$$\begin{aligned} L={}&\left\{(r,s,t,u,v,w)\mathrel{\Big|} ru+sv+tw=0, (r,s,t)\ne(0,0,0)\right\}\\ &\subseteq\left(\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}\right)\times\mathbb R^3, \end{aligned}$$

bersama proyeksi $p$ ke $\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}$. Serat $p$ di atas parameter khusus $(r,s,t)$ adalah ruang penyelesaian $L_{(r,s,t)}$ untuk persamaan yang ditentukan oleh tupel parameter itu.

Catatan edisi - notasi titik nol dan cakupan hasil kali. Sumber mencetak $\mathbb R^3\setminus\{0,0,0\}\times\mathbb R^3$ pada inklusi ini, tanpa menuliskan titik nol sebagai tupel dan tanpa tanda kurung yang memisahkan ruang basis dari faktor serat. Proyeksi pada kalimat berikutnya menetapkan maksudnya secara unik. Edisi menuliskannya sebagai $(\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\})\times\mathbb R^3$.

Dapatkah kita memberikan basis bagi setiap ruang penyelesaian yang bergantung pada parameter dengan cara aljabar dan komputasional yang jelas? Karena titik nol telah dikeluarkan,

$$\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\} =\{(r,s,t)\mid r\ne0\}\cup \{(r,s,t)\mid s\ne0\}\cup \{(r,s,t)\mid t\ne0\}.$$

Jadi ruang basis dapat ditulis sebagai gabungan tiga himpunan terbuka. Di atas himpunan terbuka $r\ne0$, misalnya, suatu basis diberikan oleh

$$(s,-r,0)\quad\text{dan}\quad(t,0,-r).$$

Syarat $r\ne0$ menjamin bahwa kedua vektor itu bebas linear. Kedua vektor tersebut bahkan merupakan penyelesaian yang terdefinisi di mana-mana, tetapi ketika $r=0$ keduanya kehilangan kebebasan linear sehingga tidak membentuk basis di mana-mana. Bagaimanapun, pemetaan

$$\begin{aligned} \{(r,s,t)\mid r\ne0\}\times\mathbb R^2 &\longrightarrow L|_{\{(r,s,t)\mid r\ne0\}},\\ (r,s,t;c,d)&\longmapsto c(s,-r,0)+d(t,0,-r) \end{aligned}$$

adalah bijeksi yang sederhana secara komputasional antara hasil kali ruang basis dengan $\mathbb R^2$ dan ruang penyelesaian di atas $\{(r,s,t)\mid r\ne0\}$.

Sekarang kita bertanya apakah mungkin memberikan secara global, di seluruh $\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}$, sebuah basis ruang penyelesaian yang berubah bersama titik basis. Yang ditanyakan ialah keberadaan dua fungsi $u(r,s,t)$ dan $v(r,s,t)$ bernilai di $\mathbb R^3$ yang selalu membentuk basis serat terkait, dan khususnya selalu termasuk dalam serat itu. Tanpa syarat lebih lanjut pada $u$ dan $v$, hal ini mungkin dilakukan dengan definisi kasus per kasus. Akan tetapi, hal itu tidak lagi mungkin jika kedua fungsi tersebut disyaratkan kontinu. Karena kontinuitas, fungsi global $u$ dan $v$ sudah ditentukan oleh nilainya pada himpunan terbuka rapat

$$U=\{(r,s,t)\mid r\ne0\} \subseteq\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}.$$

Dengan basis di atas $U$ yang telah diberikan, kita dapat menulis

$$u=\alpha(r,s,t)\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix} +\beta(r,s,t)\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix}$$

dan

$$v=\gamma(r,s,t)\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix} +\delta(r,s,t)\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix},$$

dengan $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ fungsi real kontinu pada $U$. Kita tidak dapat mengharapkan fungsi-fungsi koefisien itu terdefinisi di seluruh $\mathbb R^3$, sehingga argumen dalam kasus kontinu menjadi lebih rumit. Hasilnya akan mengikuti dari Teorema 2.3; lihat Catatan 2.4.

Karena itu, untuk saat ini kita batasi perhatian pada fungsi rasional yang penyebutnya boleh memuat suatu pangkat $r$, yakni fungsi rasional pada $U$. Perhatikan

$$\begin{aligned} u &=\alpha\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix}\\ &=\frac{P}{r^m}\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix} +\frac{Q}{r^n}\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix}, \end{aligned}$$

dengan $P,Q$ polinom dan faktor $r$ telah dicoret jika mungkin. Karena $u$ secara keseluruhan terdefinisi pada seluruh $\mathbb R^3$, pangkat $m$ dan, dengan alasan yang sama, $n$, paling besar $1$; jika tidak, $u$ akan mempunyai sebuah kutub. Untuk $m=n=1$, komponen pertama menghasilkan persamaan polinomial berbentuk

$$rN+sP+tQ=0, \qquad N,P,Q\in\mathbb R[r,s,t].$$

Dalam hal ini, dengan kata kunci resolusi Koszul,

$$(N,P,Q)=A(-s,r,0)+B(t,0,-r)+C(0,t,-s)$$

untuk polinom $A,B,C\in\mathbb R[r,s,t]$. Dengan cara yang sama, $v$ mempunyai representasi melalui $(N',P',Q')$ dan $(A',B',C')$. Tuliskan

$$X=\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}$$

dan perhatikan pemetaan

$$\begin{aligned} \varphi:X\times\mathbb R^3&\longrightarrow L\subseteq X\times\mathbb R^3,\\ (r,s,t;a,b,c)&\longmapsto (r,s,t;\,a(-s,r,0)+b(t,0,-r)+c(0,t,-s)). \end{aligned}$$

Di bawah pemetaan ini, tupel polinom $(A,B,C)$ dan $(A',B',C')$, yang kita pandang sebagai pemetaan $X\to X\times\mathbb R^3$, dipetakan ke $u$ dan $v$. Menurut asumsi, $u$ dan $v$ membentuk basis setiap serat $L$, sehingga $(A,B,C)$ dan $(A',B',C')$ bebas linear pada setiap titik. Tupel $(t,s,-r)$ dipetakan oleh $\varphi$ ke $0$ pada setiap serat. Oleh karena itu,

$$(A,B,C),\qquad(A',B',C'),\qquad(t,s,-r)$$

membentuk basis $\mathbb R^3$ pada setiap titik: $(t,s,-r)$ tidak mungkin merupakan kombinasi linear dari dua tupel pertama, sebab setelah menerapkan $\varphi$ akan diperoleh relasi taktrivial antara $u$ dan $v$. Akan tetapi, determinan matriks

$$\begin{pmatrix} A&B&C\\ A'&B'&C'\\ t&s&-r \end{pmatrix}$$

merupakan kombinasi polinomial dari variabel $r,s,t$, sehingga bukan unit di dalam gelanggang polinom. Dalam kasus real, dari sini belum dapat disimpulkan bahwa determinan itu mempunyai titik nol real di $X$; misalnya, bentuknya mungkin $r^2+s^2+t^2$. Namun, jika $\mathbb R$ diganti dengan $\mathbb C$, argumen aljabarnya tidak berubah, dan dapat disimpulkan bahwa determinan itu mempunyai titik nol pada

$$X_{\mathbb C}=\mathbb C^3\setminus\{(0,0,0)\}.$$

Jadi basis global seperti itu tidak dapat ada di semua titik.

Contoh 1.3: dua persamaan dalam tiga variabel

Kita perhatikan sistem persamaan linear real umum

$$au+bv+cw=0$$

dan

$$du+ev+fw=0$$

dalam variabel $u,v,w$ dan parameter $a,b,c,d,e,f$. Jika parameternya cukup umum, lebih tepatnya jika kedua persamaan tidak berelasi linear, maka ruang penyelesaian

$$L_{(a,b,c,d,e,f)}= \left\{(u,v,w)\mathrel{\Big|} au+bv+cw=0\ \text{dan}\ du+ev+fw=0\right\} \subseteq\mathbb R^3$$

adalah sebuah garis. Jadi, di bawah syarat ini, parameter menentukan suatu keluarga garis yang berubah-ubah di $\mathbb R^3$. Ruang parameter yang relevan bagi keluarga garis tersebut adalah

$$P=\left\{(a,b,c,d,e,f)\mathrel{\Big|} (a,b,c)\ \text{dan}\ (d,e,f)\ \text{bebas linear}\right\}.$$

Secara keseluruhan, kita memperoleh ruang penyelesaian total

$$\begin{aligned} L=\{&(a,b,c,d,e,f,u,v,w)\mid au+bv+cw=0\ \text{dan}\ du+ev+fw=0\}\\ &\subseteq P\times\mathbb R^3, \end{aligned}$$

beserta proyeksinya ke $P$.

Dapatkah garis ini, atau sebuah elemen basisnya, diberikan secara global sebagai fungsi parameter? Jika kedua persamaan dipandang sebagai relasi ortogonalitas, kita mencari vektor taknol yang tegak lurus terhadap kedua vektor syarat

$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \quad\text{dan}\quad \begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}.$$

Vektor hasil kali silang keduanya mempunyai sifat tersebut, yakni

$$\begin{pmatrix} bf-ce\\ -af+cd\\ ae-bd \end{pmatrix}.$$

Untuk sifat-sifat hasil kali silang yang digunakan di sini, sumber merujuk ke Lema 33.3 dalam Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025).

Jadi terdapat bijeksi

$$\begin{aligned} P\times\mathbb R&\longrightarrow L,\\ (a,b,c,d,e,f;s)&\longmapsto (a,b,c,d,e,f;s(bf-ce),s(-af+cd),s(ae-bd)). \end{aligned}$$

Catatan edisi - dua nama koordinat pada sumber. Sumber menampilkan vektor syarat kedua sebagai $(e,f,g)$ meskipun sistem dan ruang parameter mendefinisikannya sebagai $(d,e,f)$. Pada pemetaan terakhir, sumber juga mencetak komponen tengah $-af+ce$, padahal hasil kali silang yang dicetak tepat sebelumnya memberi $-af+cd$. Edisi memakai $(d,e,f)$ dan $-af+cd$, yang dapat diverifikasi langsung dari dua persamaan, sambil mencatat kedua salah ketik sumber tersebut.

Pada Contoh 1.1 dan Contoh 1.3 terdapat trivialisasi polinomial global: dengan fungsi-fungsi polinomial, objek geometris yang rumit diterjemahkan ke objek sederhana $P\times\mathbb R$, dengan $P$ ruang basis. Sebaliknya, trivialisasi global semacam itu tidak mungkin pada Contoh 1.2, walaupun trivialisasi lokal tersedia di atas tiga himpunan terbuka yang diberikan. Objek geometris semacam inilah yang disebut bundel vektor.

Bundel vektor real

Definisi 1.4: bundel vektor real

Misalkan $X$ suatu ruang topologis dan $r\in\mathbb N$. Sebuah bundel vektor real dengan rank $r$ adalah sebuah ruang topologis $V$ beserta pemetaan kontinu

$$p:V\longrightarrow X$$

sedemikian sehingga setiap serat $p^{-1}(x)$ merupakan ruang vektor real berdimensi $r$, dan terdapat suatu penutup terbuka

$$X=\bigcup_{i\in I}U_i$$

beserta homeomorfisme-homeomorfisme di atas $U_i$,

$$\varphi_i:p^{-1}(U_i)\longrightarrow U_i\times\mathbb R^r,$$

yang pada setiap serat menginduksi isomorfisme linear

$$(\varphi_i)_x:p^{-1}(x)\longrightarrow\mathbb R^r.$$

Ruang $V$ juga disebut ruang total, sedangkan $X$ disebut ruang basis bundel vektor. Serat di atas $x$ sering ditulis

$$V_x=p^{-1}(x).$$

Dalam contoh-contoh di atas, $X$ adalah ruang parameter yang relevan, yaitu tempat parameter-parameter yang ruang penyelesaiannya berdimensi minimum. Dimensi ini adalah rank $r$ pada definisi tadi, berturut-turut $1,2,1$. Pada contoh pertama dan ketiga, penutup terbukanya hanya terdiri atas ruang basis sendiri; kedua bundel itu mempunyai trivialisasi global. Pada contoh kedua, terdapat penutup oleh tiga himpunan terbuka yang di atasnya trivialisasi telah diberikan.

Dalam homeomorfisme

$$p^{-1}(U)\longrightarrow U\times\mathbb R^r,$$

ruas kanan diberi topologi produk, $\mathbb R^r$ diberi topologi Euklides alaminya, dan $p^{-1}(U)$ diberi topologi terinduksi dari $V$. Jadi setiap serat $V_x$ membawa topologi alami ruang vektor real berdimensi hingga. Yang dimaksud dengan homeomorfisme di atas $U$ ialah bahwa diagram

$$\begin{array}{ccc} p^{-1}(U)&\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}&U\times\mathbb R^r\\ &\searrow p&\downarrow\operatorname{pr}_1\\ &&U \end{array}$$

komutatif.

Catatan edisi - simbol rank pada diagram. Diagram sumber mencetak $U\times\mathbb R^n$, sedangkan definisi dan semua rumus yang mengapitnya menetapkan rank sebagai $r$. Edisi menampilkan $\mathbb R^r$.

Hasil kali $X\times\mathbb R^r$ adalah sebuah bundel vektor yang disebut bundel vektor trivial.

Lema 1.5: pembatasan bundel vektor

Misalkan

$$p:V\longrightarrow X$$

suatu bundel vektor real di atas ruang topologis $X$. Untuk setiap himpunan terbuka $W\subseteq X$, pembatasan

$$p^{-1}(W)\longrightarrow W$$

juga merupakan bundel vektor.

Bukti

Cukup batasi homeomorfisme-homeomorfisme linear serat demi serat

$$\varphi_i:p^{-1}(U_i)\longrightarrow U_i\times\mathbb R^r$$

menjadi

$$\varphi_i|_{W\cap U_i}: p^{-1}(W\cap U_i)\longrightarrow(W\cap U_i)\times\mathbb R^r.$$

$\square$

Pembatasan sebuah bundel vektor pada setiap $U_i$ bersifat trivial. Jadi, secara lokal setiap bundel vektor bersifat trivial.

Definisi 1.6: homomorfisme bundel vektor

Misalkan $E$ dan $F$ bundel vektor real di atas ruang topologis $X$. Sebuah homomorfisme bundel vektor

$$\varphi:E\longrightarrow F$$

adalah pemetaan kontinu di atas $X$ sedemikian sehingga, untuk setiap $x\in X$, pemetaan terinduksi

$$\varphi_x:E_x\longrightarrow F_x$$

bersifat linear atas $\mathbb R$.

Definisi 1.7: isomorfisme bundel vektor

Misalkan $E$ dan $F$ bundel vektor real di atas ruang topologis $X$. Homomorfisme bundel vektor

$$\varphi:E\longrightarrow F$$

disebut isomorfisme jika terdapat homomorfisme

$$\psi:F\longrightarrow E$$

yang, jika dikomposisikan dengan $\varphi$ dalam kedua urutan, menghasilkan pemetaan identitas.

Bundel tangen pada manifold

Sekarang kita bahas sebuah bundel vektor sangat penting yang terdapat pada setiap manifold, yaitu bundel tangen.

Untuk setiap titik $P\in M$ pada sebuah manifold terdapat ruang tangen $T_PM$. Ruang tangen adalah ruang vektor berdimensi $n$, dengan $n$ dimensi manifold tersebut. Elemen-elemennya adalah vektor tangen, yakni “arah infinitesimal” di titik itu. Pada awalnya, arah tangen di dua titik yang berbeda tidak berhubungan: definisinya hanya bergantung pada lingkungan terbuka sekecil apa pun di sekitar masing-masing titik, dan berkat sifat Hausdorff lingkungan-lingkungan itu dapat dipilih saling lepas.

Gambaran ini sangat berbeda untuk sebuah himpunan terbuka $V\subseteq\mathbb R^n$. Untuk setiap $Q\in V$, ruang tangen $T_QV$ dapat diidentifikasi secara alami dengan ruang vektor ambien $\mathbb R^n$. Sebuah vektor $v\in\mathbb R^n$ dipasangkan dengan vektor tangen yang ditentukan oleh kurva linear $t\mapsto Q+tv$. Karena identifikasi ini berlaku untuk setiap titik, terdapat kesejajaran langsung antara ruang-ruang tangen untuk

$$Q\in V\subseteq\mathbb R^n.$$

Sebuah manifold ditutupi oleh himpunan-himpunan terbuka yang difeomorfik dengan himpunan terbuka dalam ruang Euklides. Karena itu, masuk akal untuk menduga bahwa berbagai ruang tangennya tidak sepenuhnya terisolasi. Konsep bundel tangen menggabungkan semua ruang tangen dan mencerminkan keterkaitan lokal di antara ruang-ruang tersebut.

Ilustrasi sumber - Tangent_bundle.svg. Dua visualisasi bundel tangen sebuah lingkaran. Pada gambar atas, ruang tangen di setiap titik $P$ pada lingkaran diletakkan menyinggung lingkaran dan direalisasikan sebagai subruang afin berdimensi satu di $\mathbb R^2$. Pembenaman ini menimbulkan perpotongan yang sebenarnya tidak ada dalam bundel tangen, karena titik basis $P$ juga harus diperhitungkan. Pada gambar bawah, ruang-ruang tangen disusun sejajar di atas titik-titik lingkaran dan menghasilkan sebuah silinder.

Definisi 1.8: bundel tangen sebagai gabungan lepas

Misalkan $M$ suatu manifold terdiferensial. Himpunan

$$TM=\biguplus_{P\in M}T_PM,$$

beserta pemetaan proyeksi

$$\begin{aligned} \pi:TM&\longrightarrow M,\\ (P,v)&\longmapsto P, \end{aligned}$$

disebut bundel tangen dari $M$.

Sebuah titik $u\in TM$ selalu mempunyai titik basis $P\in M$ dan merupakan elemen ruang tangen $T_PM$. Titik itu biasanya ditulis $(P,v)$ dengan $P\in M$ dan $v\in T_PM$. Untuk suatu himpunan terbuka $V\subseteq\mathbb R^n$,

$$TV=V\times\mathbb R^n,$$

jadi ia merupakan ruang hasil kali. Hal ini tidak berlaku pada manifold sebarang. Mula-mula bundel tangen hanya menggabungkan secara lepas berbagai ruang tangen, tanpa mengidentifikasi ruang tangen yang berbeda satu sama lain. Namun, topologi yang akan segera diberikan pada bundel tangen menambahkan suatu “struktur ketetanggaan” di antara ruang-ruang tangen.

Definisi 1.9: pemetaan tangen

Misalkan $M$ dan $N$ manifold terdiferensial dan

$$\varphi:M\longrightarrow N$$

suatu pemetaan terdiferensial. Misalkan $TM$ dan $TN$ bundel tangen yang bersesuaian. Pemetaan tangen

$$T(\varphi):TM\longrightarrow TN$$

adalah gabungan lepas pemetaan-pemetaan tangen pada setiap titik, yakni

$$T(\varphi)=\biguplus_{P\in M}T_P(\varphi).$$

Contoh 1.10: trivialisasi lokal dari sebuah bagan

Misalkan $M$ suatu manifold terdiferensial dan

$$\alpha:U\longrightarrow V$$

sebuah bagan, dengan $V\subseteq\mathbb R^n$ terbuka. Bagan itu menginduksi bijeksi alami

$$\begin{aligned} T(\alpha^{-1}):TV=V\times\mathbb R^n&\longrightarrow TU,\\ (Q,v)&\longmapsto \left(\alpha^{-1}(Q),[s\mapsto\alpha^{-1}(Q+sv)]\right). \end{aligned}$$

Di sini $s$ bergerak dalam suatu interval real $I$ yang dipilih sehingga $Q+sv\in V$ (bandingkan Lema 77.5 pada Analysis (Osnabrück 2014-2016)). Karena $V\times\mathbb R^n$ merupakan hasil kali ruang-ruang topologis,

$$TV=V\times\mathbb R^n$$

sendiri merupakan ruang topologis. Wajar untuk memindahkan topologi ini ke $TU$, lalu membangun topologi pada seluruh bundel tangen $TM$.

Definisi 1.11: topologi bundel tangen

Misalkan $M$ suatu manifold terdiferensial berdimensi $n$ dan

$$TM=\biguplus_{P\in M}T_PM$$

bundel tangennya, dengan proyeksi

$$\begin{aligned} \pi:TM&\longrightarrow M,\\ (P,v)&\longmapsto P. \end{aligned}$$

Bundel tangen diberi topologi yang didefinisikan sebagai berikut: suatu himpunan bagian $W\subseteq TM$ terbuka jika dan hanya jika, untuk setiap bagan

$$\alpha:U\longrightarrow V,$$

himpunan

$$T(\alpha)\left(W\cap\pi^{-1}(U)\right)$$

terbuka di $V\times\mathbb R^n$.

Khususnya, untuk setiap himpunan terbuka $U\subseteq M$, prabayang

$$\pi^{-1}(U)=TU\subseteq TM$$

terbuka; dengan kata lain, proyeksi $\pi$ kontinu. Dengan ketetapan ini, bundel tangen manifold terdiferensial merupakan bundel vektor real. Jika

$$M=\bigcup_{i\in I}U_i$$

adalah suatu penutup terbuka oleh himpunan-himpunan $U_i$ yang homeomorfik dengan himpunan terbuka $V_i\subseteq\mathbb R^n$, maka bagan-bagan

$$\alpha_i:U_i\longrightarrow V_i$$

langsung memberikan trivialisasi

$$TM|_{U_i}=TU_i \stackrel{T(\alpha_i)}{\longrightarrow} TV_i=V_i\times\mathbb R^n.$$

Sangat banyak sifat manifold tercermin pada sifat bundel tangennya. Bundel tangen dapat bersifat trivial sekalipun $M$ tidak homeomorfik dengan suatu himpunan terbuka di $\mathbb R^n$.

Lembar Kerja 1: Bundel Vektor dan Bundel Tangen

Dalam soal-soal berikut, kita menggunakan notasi

$$D(r)=\left\{(r,s,t)\in\mathbb R^3\mid r\ne0\right\}.$$

Soal 1.1

Untuk bundel vektor

$$\begin{aligned} L={}&\left\{(r,s,t,u,v,w)\mathrel{\Big|} ru+sv+tw=0,\ (r,s,t)\ne(0,0,0)\right\}\\ &\subseteq \left(\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}\right)\times\mathbb R^3 \longrightarrow\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}, \end{aligned}$$

tentukan trivialisasi linear di atas $D(r)$, $D(s)$, dan $D(t)$, yaitu basis-basis yang bergantung pada $r,s,t$ di atas $D(r)$ dan seterusnya. Tentukan pemetaan perubahan basis pada

$$D(rs)=D(r)\cap D(s).$$

Soal 1.2

Untuk bundel vektor

$$\begin{aligned} L={}&\left\{(r,s,t,u,v,w)\mathrel{\Big|} ru+sv+tw=0,\ (r,s,t)\ne(0,0,0)\right\}\\ &\subseteq \left(\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}\right)\times\mathbb R^3 \longrightarrow\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}, \end{aligned}$$

tentukan semua parameter $(r,s,t)$ yang membuat vektor $(3,7,4)$ termasuk dalam serat $L_{(r,s,t)}$.

Soal 1.3

Tunjukkan bahwa, pada Contoh 1.2 dan di atas $D(r)$, rumus

$$u(r,s,t)= \frac{t}{r}\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix} -\frac{s}{r}\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix}$$

mendefinisikan sebuah vektor dalam ruang penyelesaian yang bergantung pada parameter dan dapat diperluas secara polinomial ke seluruh $\mathbb R^3$, meskipun fungsi koefisien $t/r$ dan $-s/r$ hanya terdefinisi pada $D(r)$ dan tidak dapat diperluas. Apakah $u(r,s,t)$ merupakan bagian dari suatu basis di setiap titik?

Soal 1.4

Pada Contoh 1.3, tentukan parameter-parameter yang membuat ruang penyelesaian $L_{(a,b,c,d,e,f)}$ berdimensi satu, dua, atau tiga. Apakah himpunan-himpunan parameter tersebut terbuka atau tertutup?

Soal 1.5

Tunjukkan bahwa, di atas lapangan sebarang $K$, untuk dua vektor bebas linear

$$u=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \quad\text{dan}\quad v=\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix},$$

keluarga yang terdiri atas $u$, $v$, dan hasil kali silangnya

$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}$$

tidak harus membentuk basis bagi $K^3$.

Soal 1.6

Perhatikan ruang topologis

$$Y:=\left\{(s,t,u,v)\in\mathbb R^4\mid su+tv=1\right\}$$

dengan proyeksi

$$\begin{aligned} p:Y&\longrightarrow\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}=X,\\ (s,t,u,v)&\longmapsto(s,t). \end{aligned}$$

1. Tunjukkan bahwa setiap serat $p$ homeomorfik dengan sebuah garis real.

2. Tunjukkan bahwa

   $$\varphi(s,t)=(s,t,u(s,t),v(s,t)) =\left(s,t,\frac{s}{s^2+t^2},\frac{t}{s^2+t^2}\right)$$

   mendefinisikan pemetaan kontinu $\varphi:X\to Y$ dengan

   $$p\circ\varphi=\operatorname{Id}_X.$$

3. Definisikan suatu homeomorfisme antara $Y$ dan $X\times\mathbb R$.

4. Tunjukkan bahwa tidak terdapat pemetaan polinomial $\psi:X\to Y$ dengan

   $$p\circ\psi=\operatorname{Id}_X.$$

Soal 1.7

Tunjukkan bahwa sebuah bundel vektor real di atas satu titik, yakni di atas ruang topologis bertitik tunggal, sama dengan sebuah ruang vektor real berdimensi hingga.

Soal 1.8

Misalkan $p:V\to X$ suatu bundel vektor real di atas ruang topologis $X$. Tunjukkan bahwa $V$ merupakan ruang Hausdorff jika dan hanya jika $X$ merupakan ruang Hausdorff.

Soal 1.9

Misalkan $X$ suatu ruang topologis. Tunjukkan bahwa pemetaan identitas

$$\operatorname{Id}_X:X\longrightarrow X$$

dapat dipandang sebagai bundel vektor real dengan rank $0$.

Soal 1.10

Misalkan $X$ suatu ruang topologis. Tunjukkan bahwa sebuah homomorfisme bundel vektor trivial

$$\varphi:X\times\mathbb R^n\longrightarrow X\times\mathbb R^m$$

sama dengan sebuah matriks $m\times n$ yang entri-entrinya adalah fungsi kontinu dari $X$ ke $\mathbb R$.

Soal 1.11

Misalkan $U\subseteq\mathbb R^n$ terbuka dan $f:U\to\mathbb R^m$ suatu pemetaan terdiferensial secara kontinu. Tunjukkan bahwa diferensial total, dalam bentuk

$$\begin{aligned} U\times\mathbb R^n&\longrightarrow U\times\mathbb R^m,\\ (x,v)&\longmapsto\bigl(x,(Df)_x(v)\bigr), \end{aligned}$$

mendefinisikan homomorfisme dari bundel vektor $U\times\mathbb R^n$ ke bundel vektor $U\times\mathbb R^m$.

Soal 1.12

Tunjukkan bahwa bundel tangen $TS^1$ dari sfera satu $S^1$ homeomorfik dengan hasil kali $S^1\times\mathbb R$.

Apa hubungan soal ini dengan Contoh 1.1?

Soal 1.13

Berikan sebuah contoh kurva terdiferensial

$$\gamma:[0,1)\longrightarrow S^1$$

sedemikian sehingga limit

$$\lim_{t\to1}\gamma(t)$$

ada, tetapi limit

$$\lim_{t\to1}\bigl(\gamma(t),T_t(\gamma)(1)\bigr)$$

tidak ada di $TS^1$.

Soal 1.14

Tunjukkan bahwa pemetaan

$$\begin{aligned} TS^1&\longrightarrow\mathbb R^2,\\ ((a,b),t(-b,a))&\longmapsto(a,b)+t(-b,a) \end{aligned}$$

mempunyai dua prabayang untuk setiap titik $(x,y)\in\mathbb R^2$ di luar cakram satuan, satu prabayang untuk setiap titik pada lingkaran satuan, dan tidak mempunyai prabayang untuk setiap titik di dalam cakram satuan terbuka. Tafsirkan hasil ini secara geometris.

Soal 1.15

Berikan sebuah contoh pemetaan terdiferensial injektif

$$\varphi:M\longrightarrow N$$

antara dua manifold terdiferensial $M$ dan $N$ sedemikian sehingga pemetaan tangen terkait

$$T(\varphi):TM\longrightarrow TN$$

tidak injektif.

Soal 1.16

Berikan sebuah contoh pemetaan terdiferensial surjektif

$$\varphi:M\longrightarrow N$$

antara dua manifold terdiferensial $M$ dan $N$ sedemikian sehingga pemetaan tangen terkait

$$T(\varphi):TM\longrightarrow TN$$

tidak surjektif.

Soal 1.17

Misalkan $M$ dan $N$ manifold terdiferensial dan $\varphi:M\to N$ suatu pemetaan terdiferensial. Tunjukkan bahwa pemetaan tangen terkait

$$T(\varphi):TM\longrightarrow TN$$

bersifat kontinu.

Cakupan Solusi Publik Lembar Kerja 1

Pada batas revisi yang dibekukan, sumber tidak menyediakan solusi publik untuk satu pun dari 17 soal pada Lembar Kerja 1. Kueri kandidat solusi dan peta soal yang dibekukan mencatat hasil negatif untuk Soal 1.1-1.17.

Tidak ada solusi baru yang dibuat untuk edisi ini. Bagian ini hanya mendokumentasikan cakupan sumber agar ketiadaan solusi tidak disalahartikan sebagai kehilangan isi selama penerjemahan.

Kredit media BGK Unit 1

Sumber kursus: Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020), Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 1. Satu posisi media substantif mempertahankan identitas Commons dan lisensi komponennya. Dua PDF resmi adalah saksi authority, bukan posisi media pembaca tambahan.

1. Bundel tangen pada sebuah manifold - File:Tangent bundle.svg; pencipta/atribusi: Oleg Alexandrov; lisensi/status hak: Public domain.

Catatan hak: label sebaris pada sumber BGK adalah PD, sedangkan revisi deskripsi Commons yang dibekukan memuat {{PD-self}} dan metadata Commons menawarkan Public domain. Edisi mengikat opsi Commons tersebut, bukan label sebaris yang berbeda.

Kuliah 2: Seksi, Teorema Bola Berbulu, dan Data Pengeleman

Seksi

Definisi 2.1: seksi kontinu

Misalkan $X$ dan $Y$ ruang-ruang topologis, dan misalkan

$$p:Y\longrightarrow X$$

suatu pemetaan kontinu. Sebuah seksi kontinu dari $p$ adalah pemetaan kontinu

$$s:X\longrightarrow Y$$

sedemikian sehingga

$$p\circ s=\operatorname{Id}_X.$$

Sebagai contoh, kita dapat memikirkan $Y$ sebagai sebuah bundel vektor di atas $X$. Seksi hanya dapat ada jika $p$ surjektif, dan sifat ini selalu dipenuhi oleh sebuah bundel vektor. Kadang-kadang sebuah seksi diidentifikasi dengan citranya. Hal ini tidak menimbulkan masalah karena setiap seksi injektif. Seksi nol mempunyai peran khusus: kepada setiap titik basis $P$, ia memasangkan titik nol di dalam ruang vektor $V_P$. Untuk bundel tangen, seksi mempunyai nama tersendiri.

Definisi 2.2: medan vektor

Misalkan $M$ sebuah manifold terdiferensial. Sebuah pemetaan

$$F:M\longrightarrow TM$$

yang memenuhi

$$F(P)\in T_PM$$

untuk setiap titik $P\in M$ disebut medan vektor (tak bergantung waktu).

Teorema bola berbulu

Ilustrasi sumber - Hairy_ball_one_pole.jpg. Sebuah medan vektor kontinu pada sfera dua harus mempunyai setidaknya satu titik nol.

Teorema 2.3: teorema bola berbulu

Pada sfera dua, setiap medan vektor kontinu

$$f:S^2\longrightarrow TS^2$$

mempunyai setidaknya satu titik nol.

Khususnya, bundel tangen sfera dua tidak trivial. Teorema ini mempunyai berbagai penafsiran. Misalnya, pada permukaan bumi selalu ada suatu titik tanpa angin, jika arah angin horizontal sesaat dipandang sebagai medan vektor kontinu. Demikian pula, semua duri landak tidak mungkin direbahkan rata pada tubuh landak tanpa membentuk satu titik yang tegak.

Catatan 2.4: penerapan pada Contoh 1.2

Teorema bola berbulu menjelaskan mengapa bundel vektor $L$ dari Contoh 1.2, yang terletak di atas

$$\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\},$$

tidak mempunyai trivialisasi kontinu. Pertama,

$$S^2\subset\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\},$$

sehingga $L$ dapat dibatasi pada $S^2$. Jika $L$ sendiri trivial, maka pembatasan ini juga trivial. Akan tetapi, pembatasan $L$ pada sfera satuan adalah bundel tangen sfera satuan. Memang, syarat

$$ru+sv+tw=0$$

dapat dipahami sebagai relasi ortogonalitas, dan ruang tangen ekstrinsik di titik posisi $(r,s,t)$ pada sfera ditentukan oleh relasi tersebut. Jika bundel tangen itu trivial, akan ada dua medan vektor kontinu $u$ dan $v$ yang membentuk basis ruang tangen pada setiap titik sfera. Namun, teorema bola berbulu menyatakan bahwa setiap medan vektor bahkan mempunyai titik nol, sedangkan $0$ tidak dapat menjadi anggota suatu basis.

Data pengeleman untuk ruang topologis

Sebuah bundel vektor $V\to X$ “tersusun” dari bundel-bundel vektor trivial $V|_{U_i}\to U_i$ untuk suatu penutup terbuka dari $X$. Cara potongan-potongan itu disusun justru menentukan bundel vektornya, dan susunan tersebut dapat dideskripsikan secara ringkas dengan data pengeleman. Untuk itu, pertama-tama kita memerlukan data pengeleman bagi ruang topologis secara umum.

Pertanyaan dasarnya ialah: apa yang harus diketahui dari sebuah penutup terbuka

$$X=\bigcup_{i\in I}U_i$$

agar ruang $X$ dapat direkonstruksi? Jawaban singkatnya ialah bahwa kita harus mengetahui $U_i$, irisan dua-dua $U_i\cap U_j$ sebagai himpunan bagian baik dari $U_i$ maupun dari $U_j$, cara kedua salinan itu diidentifikasi, dan sebuah syarat kompatibilitas bagi identifikasi tersebut pada setiap tiga himpunan.

Ilustrasi sumber - Inclusion-exclusion.svg. Tiga himpunan yang saling beririsan menggambarkan perlunya syarat kompatibilitas pada irisan rangkap tiga.

Definisi 2.5: data pengeleman ruang topologis

Sebuah data pengeleman untuk ruang-ruang topologis terdiri atas:

1. sebuah keluarga ruang topologis $(U_i)_{i\in I}$;

2. untuk setiap pasangan $(i,j)$, sebuah himpunan terbuka

   $$U_{ij}\subseteq U_i,$$

   dengan $U_{ii}=U_i$;

3. untuk setiap pasangan $(i,j)$, sebuah homeomorfisme

   $$\varphi_{ji}:U_{ij}\longrightarrow U_{ji},$$

   dengan $\varphi_{ii}=\operatorname{Id}_{U_i}$;

4. untuk semua $i,j,k\in I$, syarat kokikel

   $$\varphi_{kj}\circ\varphi_{ji}=\varphi_{ki}$$

   dipenuhi sebagai pemetaan dari $U_{ik}\cap U_{ij}$ ke $U_k$.

Lema 2.6: merekonstruksi ruang dari data pengeleman

Misalkan diberikan data pengeleman $(U_i)_{i\in I}$ untuk ruang-ruang topologis. Maka terdapat ruang topologis $X$ yang ditentukan secara unik, penutup terbuka

$$X=\bigcup_{i\in I}V_i,$$

dan homeomorfisme

$$\psi_i:U_i\longrightarrow V_i$$

sedemikian sehingga

$$\psi_i(U_{ij})=V_i\cap V_j$$

dan

$$\psi_i|_{U_{ij}} =\psi_j|_{U_{ji}}\circ\varphi_{ji}.$$

Bukti

Misalkan $Y$ gabungan lepas semua $U_i$. Pada $Y$, definisikan relasi ekuivalensi $\sim$ dengan menyatakan bahwa $x_i\in U_i$ dan $x_j\in U_j$ ekuivalen apabila

$$x_i\in U_{ij},\qquad x_j\in U_{ji},\qquad \varphi_{ji}(x_i)=x_j.$$

Sifat-sifat relasi ekuivalensi dijamin oleh syarat kokikel; lihat Soal 2.14. Tetapkan

$$X:=Y/{\sim}$$

dan beri $X$ topologi hasil bagi. Komposisi

$$U_i\longrightarrow Y\longrightarrow X$$

adalah pemetaan $\psi_i$, dan $V_i$ adalah citra pemetaan tersebut. Dengan demikian, $\psi_i:U_i\to V_i$ adalah homeomorfisme. Untuk $x\in U_i$,

$$\psi_i(x)\in V_j$$

jika dan hanya jika $x\in U_{ij}$, karena tepat dalam kasus ini $x$ diidentifikasi dengan $\varphi_{ji}(x)$. Karena itu,

$$\psi_i(U_{ij})=V_i\cap V_j.$$

Catatan edisi - arah indeks dalam bukti. Dengan konvensi pada Definisi 2.5, $\varphi_{ji}:U_{ij}\to U_{ji}$. Pada kalimat sebelumnya, sumber mencetak $\varphi_{ij}(x)$ untuk $x\in U_{ij}$, meskipun pemetaan yang bertipe benar adalah $\varphi_{ji}(x)$. Edisi menampilkan indeks yang bertipe benar di badan bukti dan mempertahankan bentuk sumber dalam catatan ini.

Komutativitas diagram

$$\begin{array}{ccc} U_{ij}&\stackrel{\varphi_{ji}}{\longrightarrow}&U_{ji}\\ &\searrow\psi_i&\downarrow\psi_j\\ &&V_i\cap V_j \end{array}$$

mengikuti dengan cara yang sama. $\square$

Lema 2.7: mengelem pemetaan kontinu

Misalkan diberikan data pengeleman $(U_i)_{i\in I}$ untuk ruang-ruang topologis. Misalkan $Z$ ruang topologis lain dan diberikan pemetaan-pemetaan kontinu

$$\theta_i:U_i\longrightarrow Z$$

yang memenuhi

$$\theta_i|_{U_{ij}} =\bigl(\theta_j|_{U_{ji}}\bigr)\circ\varphi_{ji}.$$

Maka terdapat tepat satu pemetaan kontinu

$$\theta:X\longrightarrow Z$$

sedemikian sehingga

$$\theta|_{V_i}\circ\psi_i=\theta_i,$$

dengan $X$ ruang topologis yang ditentukan oleh data pengeleman seperti pada Lema 2.6, termasuk notasinya.

Catatan edisi - identitas komposisi tidak bertipe. Sumber mencetak $(\psi_i)^{-1}\circ\theta|_{V_i}=\theta_i$, yang tidak dapat dikomposisikan: $\theta|_{V_i}$ bernilai di $Z$, sedangkan $(\psi_i)^{-1}$ berdomain $V_i$. Edisi menampilkan identitas bertipe benar $\theta|_{V_i}\circ\psi_i=\theta_i$ di badan lema dan mempertahankan bentuk sumber dalam catatan ini.

Bukti

Lihat Soal 2.18.

Data pengeleman untuk bundel vektor

Definisi 2.8: data pengeleman bundel vektor real

Sebuah data pengeleman untuk bundel vektor real dengan rank $r$ di atas ruang topologis $X$ terdiri atas:

1. sebuah penutup terbuka

   $$X=\bigcup_{i\in I}U_i;$$

2. sebuah keluarga bundel vektor real dengan rank $r$,

   $$(E_i\longrightarrow U_i)_{i\in I};$$

3. untuk setiap pasangan $(i,j)$, sebuah isomorfisme bundel vektor

   $$\varphi_{ji}:E_i|_{U_i\cap U_j} \longrightarrow E_j|_{U_i\cap U_j}$$

   di atas $U_i\cap U_j$;

4. untuk semua $i,j,k\in I$, syarat kokikel

   $$\varphi_{kj}\circ\varphi_{ji}=\varphi_{ki}$$

   dipenuhi sebagai pemetaan dari $E_i|_{U_i\cap U_j\cap U_k}$ ke $E_k|_{U_i\cap U_j\cap U_k}$.

Catatan 2.9: deskripsi matriks

Biasanya, bundel-bundel vektor pada butir (2) Definisi 2.8 adalah bundel trivial di atas $U_i$, yaitu

$$E_i=\mathbb R^r\times U_i.$$

Isomorfisme pada butir (3) kemudian hanya berupa pemetaan linear bijektif

$$\varphi_{ji}:\mathbb R^r\longrightarrow\mathbb R^r$$

yang bergantung secara kontinu pada titik basis di $U_i\cap U_j$. Pemetaan tersebut dapat dideskripsikan secara ringkas sebagai pemetaan kontinu

$$\varphi_{ji}:U_i\cap U_j\longrightarrow \operatorname{GL}_r(\mathbb R)$$

ke grup linear umum. Jadi, kepada setiap titik basis dipasangkan secara kontinu suatu matriks $r\times r$ yang invertibel; kontinuitas berarti bahwa setiap entri matriks merupakan fungsi kontinu. Ini disebut deskripsi matriks bundel tersebut. Syarat kokikel tetap berlaku.

Lema 2.10: mengelem bundel vektor

Misalkan diberikan data pengeleman $(E_i)_{i\in I}$ di atas ruang topologis

$$X=\bigcup_{i\in I}U_i.$$

Maka terdapat bundel vektor real $E\to X$ yang ditentukan secara unik dan isomorfisme

$$\psi_i:E_i\longrightarrow E|_{U_i}$$

sedemikian sehingga

$$\psi_i|_{E_i|_{U_i\cap U_j}} =\psi_j|_{E_j|_{U_i\cap U_j}}\circ\varphi_{ji}.$$

Bukti

Keberadaan ruang topologis $E$ dengan sifat-sifat tersebut diperoleh dari Lema 2.6. Himpunan terbuka yang harus dilem ialah

$$W_{ij}:=E_i|_{U_i\cap U_j},$$

sedangkan keberadaan pemetaan kontinu ke $X$ diperoleh dari Lema 2.7. Pada setiap serat $E_x$ terdapat struktur ruang vektor yang terdefinisi dengan baik dan berasal dari $E_i$ untuk sebarang lingkungan terbuka $x\in U_i$. Ketidakbergantungannya pada pilihan $i$ mengikuti fakta bahwa, untuk $x\in U_i\cap U_j$, hipotesis memberikan isomorfisme bundel vektor

$$\varphi_{ji}:E_i|_{U_i\cap U_j} \longrightarrow E_j|_{U_i\cap U_j},$$

yang menginduksi isomorfisme ruang vektor

$$(E_i)_x\longrightarrow(E_j)_x.$$

Catatan edisi - arah indeks pada isomorfisme serat. Definisi 2.8 menetapkan $\varphi_{ji}:E_i|_{U_i\cap U_j}\to E_j|_{U_i\cap U_j}$. Sumber mencetak $\varphi_{ij}$ pada kalimat bukti yang mengarah dari $E_i$ ke $E_j$. Edisi menampilkan $\varphi_{ji}$ yang konsisten dengan domain dan kodomain di badan bukti serta mempertahankan bentuk sumber dalam catatan ini.

$\square$

Ilustrasi sumber - Fiddler_crab_mobius_strip.gif. Sebuah pita Möbius, yang muncul dengan membalik satu serat ketika dua trivialisasi lokal dilem.

Contoh 2.11: pita Möbius dari data pengeleman

Pada sfera satu dimensi

$$S^1=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2=1\right\},$$

perhatikan penutup terbuka

$$S^1=U\cup V,$$

dengan

$$U=S^1\setminus\{(0,1)\}, \qquad V=S^1\setminus\{(0,-1)\}.$$

Kita akan mendeskripsikan data pengeleman bagi sebuah bundel vektor real dengan rank $1$. Kedua himpunan terbuka itu homeomorfik dengan garis real. Irisannya ialah

$$\begin{aligned} U\cap V &=S^1\setminus\{(0,1),(0,-1)\}\\ &=\left\{(x,y)\in S^1\mid x\ne0\right\}. \end{aligned}$$

Himpunan ini tidak terhubung, melainkan homeomorfik dengan dua sinar terbuka real yang saling lepas (atau, masing-masing, dengan garis real). Tetapkan

$$L=U\times\mathbb R, \qquad M=V\times\mathbb R.$$

Definisikan isomorfisme

$$\varphi:L|_{U\cap V}\longrightarrow M|_{U\cap V}$$

dengan

$$\varphi(x,y,t):= \begin{cases} (x,y,t),&x>0,\\ (x,y,-t),&x<0. \end{cases}$$

Pemetaan $\varphi$ kontinu karena kedua rumus berlaku pada himpunan-himpunan terbuka yang saling lepas. Pada satu belahan, serat dipetakan secara identik; pada belahan lain, serat dibalik. Dalam pengertian Catatan 2.9, deskripsi matriks kontinu (dan konstan pada setiap komponen)

$$\psi(x,y):= \begin{cases} (1),&x>0,\\ (-1),&x<0 \end{cases}$$

berlaku pada $U\cap V$. Karena hanya ada dua himpunan terbuka, syarat kokikel terpenuhi secara otomatis. Menurut Lema 2.10, data pengeleman ini menentukan sebuah bundel vektor real dengan rank $1$ pada sfera. Bundel itu disebut pita Möbius.

Contoh 2.12: realisasi aljabar pita Möbius

Kita berikan realisasi aljabar langsung dari pita Möbius di $\mathbb R^4$. Perhatikan

$$Y:=\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4\mathrel{\Big|} x^2+y^2=1,\ (1-y)z=xw,\ xz=(1+y)w\right\}$$

beserta proyeksi alaminya ke sfera satu dimensi

$$S^1=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2=1\right\}=U\cup V,$$

dengan

$$U=S^1\setminus\{(0,1)\}, \qquad V=S^1\setminus\{(0,-1)\}.$$

Kita klaim bahwa $Y$ adalah bundel vektor dengan rank $1$ yang isomorfik dengan pita Möbius. Pada $U$, berlaku $y\ne1$, sehingga persamaan kedua dapat diselesaikan terhadap $z$:

$$z=\frac{x}{1-y}w.$$