Tentang edisi ini

Ini adalah edisi Bahasa Indonesia yang independen dan lengkap untuk rangkaian klasik 30 unit Algebraische Kurven karya Holger Brenner. Pembaca memuat tiga puluh kuliah dan tiga puluh lembar kerja beserta semua solusi publik yang tersedia pada batas sumber yang dibekukan. Sumbernya terdiri atas dua batas mata kuliah yang berbeda. Unit 1-23 mengikat revisi beku Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026). Pada batas sumber yang dibekukan, mata kuliah 2025-2026 tidak mempunyai Unit 24 dan seterusnya. Karena itu, Unit 24-30 mengikat kuliah dan lembar kerja resmi dari mata kuliah lengkap yang lebih lama, Algebraische Kurven (Osnabrück 2012). Unit-unit tersebut bukan lanjutan resmi edisi 2025-2026, dan kedua mata kuliah tidak diperlakukan sebagai satu edisi sumber.

Penerjemahan, pemeriksaan, dan produksi edisi dibantu oleh alat berikut: OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra. Pekerjaan dilakukan atas arahan pengguna. Edisi ini bukan terbitan resmi Universitas Osnabrück, Holger Brenner, Wikiversity, OpenAI, atau Wikimedia Foundation, dan tidak menyiratkan dukungan dari pihak-pihak tersebut.

Teks kuliah sumber dibuat oleh Holger Brenner (nama pengguna Wikiversity: Bocardodarapti). Materi sumber Unit 1-23 dinyatakan berlisensi Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International. Unit 24-30 mempertahankan rantai hak yang tercatat untuk komponen sumber 2012, termasuk pernyataan lama Creative Commons Attribution-ShareAlike 2.0 Germany dan pernyataan CC BY-SA 4.0 yang berlaku pada komponen semantik yang dibekukan. Teks terjemahan edisi ini dibagikan dengan CC BY-SA 4.0 sesuai kewajiban atribusi dan ShareAlike; pernyataan itu tidak mengganti atau menghapus lisensi komponen sumber.

Edisi ini menerjemahkan dan menata ulang materi sumber; perubahan bahasa, penataan, koreksi yang diungkapkan, dan jembatan edisi dilakukan pada 2026. Revisi sumber, hash, hubungan setiap unit, setiap koreksi matematis, dan setiap tambahan penghubung dicatat dalam berkas kontrol dan backend yang menyertai edisi. Identitas model di atas adalah catatan provenans alat dan tidak menggantikan kredit penulis sumber atau kontribusi manusia.

Gambar-gambar dari Wikimedia Commons dan Wikiversity serta PDF resmi hulu tidak menerima lisensi tunggal dari pernyataan lisensi teks terjemahan. Setiap komponen mempertahankan pencipta, sumber, dan lisensinya sendiri sebagaimana tercatat dalam authority/RIGHTS.csv, berkas hak dan penutupan aset per unit yang berlaku, serta bagian kredit media pada akhir pembaca. Unit 30 menambah satu gambar domain publik. Pembaca ini adalah himpunan berlisensi campuran, bukan klaim lisensi payung atas semua komponen.

Versi teks yang mengikat untuk setiap unit ialah revisi Wikiversity yang tercantum dalam authority freeze unit tersebut. Unit 24 mengikat Kuliah 24 revisi 933672 dan Lembar Kerja 24 revisi 793492 dari mata kuliah 2012. Unit 25 mengikat Kuliah 25 revisi 793525 dan Lembar Kerja 25 revisi 793493. Unit 26 mengikat Kuliah 26 revisi 793526 dan Lembar Kerja 26 revisi 793494. Unit 27 mengikat Kuliah 27 halaman 50733 revisi 1052572 dan Lembar Kerja 27 halaman 50762 revisi 793496. Unit 28 mengikat Kuliah 28 halaman 50734 revisi 1052516 dan Lembar Kerja 28 halaman 50763 revisi 793497. Unit 29 mengikat Kuliah 29 halaman 51996 revisi 1069408 dan Lembar Kerja 29 halaman 50924 revisi 1052757. Unit 30 mengikat Kuliah 30 halaman 51997 revisi 1112650 dan Lembar Kerja 30 halaman 50925 revisi 1112597. Authority manifest Unit 30 adalah authority/wikiversity/unit-30/UNIT_AUTHORITY_MANIFEST.json dengan SHA-256 756ec1f9ea386b8ad0fac38086b6c97f0b94d6dc7a139dc4663911d48655bbe1.

PDF resmi setiap unit dibekukan sebagai saksi visual/build dan bukan otoritas tekstual pengganti. PDF Unit 30 berasal dari 2012, sedangkan halaman semantik yang mengikat telah diperbarui pada 2026; edisi mencatat perbedaan itu dan tidak menyatakan kedua permukaan tersebut identik revisi.

Cara memakai edisi ini

Baca setiap kuliah lalu kerjakan lembar kerja dengan nomor yang sama. Unit 1-30 memuat 693 soal. Tanda bintang mengikuti sumber dan tidak dengan sendirinya menyatakan bahwa semua soal berbintang mempunyai cakupan solusi yang sama. Edisi ini menerjemahkan semua 122 solusi publik yang tersedia pada batas sumber yang dibekukan; Unit 30 hanya mempunyai solusi publik untuk Soal 30.3 dan 30.4 dan tidak ada solusi baru yang diada-adakan. Rumus, penomoran, nilai soal, petunjuk, tanda bintang, dan urutan unit dipertahankan agar edisi dapat diperiksa terhadap revisi sumber masing-masing.

Catatan edisi menandai secara terbuka setiap koreksi atas kekeliruan atau kekurangan sumber yang akan menyesatkan pembaca. Tambahan yang diperlukan untuk menjembatani langkah pembuktian atau prasyarat selalu diberi label Jembatan edisi; tambahan tersebut bukan bagian dari teks sumber dan tidak diatribusikan kepada penulis sumber.

Kuliah 1: Kurva Aljabar Bidang

Kurva aljabar bidang

Apakah kurva aljabar itu? Misalnya, objek-objek yang tampak pada gambar-gambar indah berikut.

Tentu saja kita dapat menggambar banyak hal. Kurva-kurva berikut juga indah, tetapi bukan kurva aljabar.

Kata “aljabar” dalam kurva aljabar berasal dari pembatasan bahwa definisinya hanya boleh menggunakan operasi aljabar, yakni penjumlahan dan perkalian, bukan proses analitis seperti mengambil limit, membentuk jumlah tak hingga, melakukan hampiran, mendiferensialkan, atau mengintegralkan. Pemetaan yang diizinkan dalam konteks kita diberikan oleh polinom dalam beberapa variabel. Gambar-gambar di atas menampilkan kurva aljabar bidang yang didefinisikan oleh sebuah polinom dalam dua variabel. Dua gambar pertama adalah grafik suatu fungsi polinomial dalam satu variabel; keduanya dideskripsikan oleh

$$Y=P(X).$$

Pada gambar pertama, $P(X)=X$ (jadi polinomnya linear), sedangkan pada gambar kedua bentuknya kurang lebih

$$P(X)=a_4X^4+a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0,$$

dengan koefisien-koefisien $a_i$ dalam suatu lapangan $K$. Dalam geometri aljabar kita menetapkan sebuah lapangan dasar $K$. Lapangan penting bagi kita adalah bilangan real (gambar-gambar tadi terutama harus dipahami dalam arti ini) dan bilangan kompleks $\mathbb C$. Grafik semacam itu merupakan objek yang sederhana dalam arti bahwa setiap nilai $X$ memiliki tepat satu nilai $Y$, yaitu nilai fungsi, dan nilai itu mudah dihitung apabila kita dapat berhitung di lapangan yang diberikan. Dalam arti tertentu, grafik tersebut adalah salinan “melengkung” dari garis dasar, yakni sumbu $X$.

Sekarang perhatikan gambar ketiga. Gambar itu adalah grafik suatu fungsi rasional: kita mengambil dua polinom $P,Q$ dalam variabel $X$, lalu meninjau hasil bagi $P(X)/Q(X)$. Ungkapan ini hanya bermakna ketika penyebutnya tidak nol. Pada akar-akar polinom penyebut, fungsi rasional tidak terdefinisi. Jika pembilang dan penyebut sama-sama nol di suatu titik, kadang-kadang penyederhanaan pecahan membuat hasil bagi itu dapat diberi makna di titik tersebut. Jika penyebut nol tetapi pembilang tidak, titik ketakterdefinisian itu merupakan sebuah kutub: grafik real mendekati $+\infty$ atau $-\infty$. Memang menggoda untuk mengatakan bahwa nilai fungsi rasional pada titik-titik itu adalah “tak hingga”; dalam geometri projektif gagasan ini benar-benar bermakna, sebagaimana akan kita lihat nanti.

Namun, “persamaan grafik” $Y=P(X)/Q(X)$ bukan deskripsi yang ideal karena adanya titik-titik ketakterdefinisian. Jika persamaan itu dikalikan dengan penyebutnya, kita memperoleh syarat, atau persamaan,

$$YQ(X)=P(X), \qquad\text{atau lebih tepatnya}\qquad \{(x,y)\in K^2\mid yQ(x)=P(x)\},$$

yang kedua ruasnya berupa polinom yang terdefinisi dengan baik. Himpunan pemenuh (atau himpunan solusi) terdefinisi secara tunggal. Untuk suatu $x$ dengan $Q(x)=0$, ruas kiri bernilai nol. Jika $P(x)\ne0$, tidak ada solusi pada $x$ itu, seperti pada gambar; jika $P(x)=0$, setiap nilai $Y$ diperbolehkan. Dalam kasus terakhir, objek tersebut memuat garis melalui $(x,0)$ yang tegak lurus terhadap sumbu $X$.

Contoh: hiperbola

Contoh khas dan penting dari fungsi rasional adalah $Y=1/X$. Grafik yang bersesuaian disebut hiperbola $H$. Tanpa penyebut, persamaannya menjadi

$$XY=1, \qquad\text{atau}\qquad H=\{(x,y)\mid xy=1\}.$$

Pada $K^\times=K\setminus\{0\}$, fungsi rasional ini merupakan fungsi sejati, dengan $H$ sebagai grafiknya, dan memberikan bijeksi “alami”

$$K^\times\longrightarrow H, \qquad x\longmapsto\left(x,\frac1x\right).$$

Jadi, dalam pengertian yang akan dibuat presisi nanti, $K^\times$ dan $H$ “ekuivalen” atau “isomorfik”.

Kedua deskripsi tersebut memiliki kelebihan masing-masing. Deskripsi sebagai $K^\times\subset K$ berlangsung pada sebuah garis (jika kita membayangkan $K=\mathbb R$), tetapi titik $0$, yang merupakan titik limit dari $K^\times$, tidak termasuk dalam $K^\times$. Dengan kata lain, $K^\times$ tidak tertutup. Sebaliknya, hiperbola tertutup di $\mathbb R^2$; jadi, untuk mewujudkannya sebagai himpunan tertutup, kita harus berpindah ke dimensi yang lebih tinggi. Pertanyaan mengenai deskripsi yang baik bagi sebuah objek geometri aljabar akan terus muncul.

Dalam kasus real, yakni $K=\mathbb R$, himpunan $\mathbb R^\times$ (dan demikian pula $H_{\mathbb R}$) terdiri atas dua “cabang” yang saling lepas, sehingga tidak terhubung. Dalam kasus kompleks, yakni $K=\mathbb C$, himpunan $\mathbb C^\times$ (dan demikian pula $H_{\mathbb C}$) adalah bidang real dengan satu titik dihilangkan, sehingga terhubung. Ini adalah fenomena khas geometri aljabar: sifat-sifat penting dapat bergantung pada lapangan dasar. Meskipun demikian, sifat-sifat yang hanya bergantung pada persamaan yang mendeskripsikan objek—dan berlaku bagi himpunan solusi di atas semua lapangan—mempunyai arti yang sangat khusus.

Gambar keempat adalah sebuah lingkaran, dengan persamaan

$$K=\{(x,y)\mid x^2+y^2=r^2\},$$

di mana $r$ menyatakan jari-jari lingkaran. Gambar itu sendiri sudah menunjukkan bahwa objek ini tidak mungkin merupakan grafik sebuah fungsi, sebab pada suatu grafik setiap nilai $x$ selalu berpasangan dengan tepat satu nilai $y$. Tidak ada fungsi $y=\varphi(x)$ yang memenuhi

$$K=\{(x,\varphi(x))\mid x\in\mathbb R\}.$$

Pertanyaan apakah suatu objek solusi aljabar dapat diwujudkan sebagai grafik ekuivalen dengan pertanyaan apakah persamaan pendefinisinya dapat “diselesaikan” terhadap $y$. Pada contoh ini kita dapat menulis

$$y^2=r^2-x^2, \qquad y=\sqrt{r^2-x^2}=\sqrt{(r-x)(r+x)}.$$

Jadi, apakah lingkaran itu ternyata sebuah grafik? Ada dua penafsiran.

1. Jika kita membatasi diri pada bilangan real dan akar positif, langkah terakhir bukan transformasi yang ekuivalen: kita telah “menambahkan” informasi yang tidak ada dalam persamaan semula. Mengambil akar positif berarti membatasi diri pada setengah lingkaran atas. Menambahkan informasi atau syarat memperkecil himpunan solusi.

2. Jika sebaliknya $\sqrt{\phantom{x}}$ dipahami sebagai semua solusi—dalam bilangan real, akar kuadrat positif dan negatif, yang sering ditulis $\pm\sqrt{\phantom{x}}$—kita tidak menambahkan informasi, tetapi juga belum menyelesaikan persamaan menjadi sebuah fungsi; kita baru memperoleh apa yang kadang disebut “fungsi bernilai banyak”.

Kedua sudut pandang itu berguna. Upaya mencari deskripsi sederhana sebagai grafik bagi suatu bagian objek geometri, seperti busur atas, muncul kembali dalam teorema fungsi implisit, pendekatan deret pangkat, parametrisasi, dan teori lokal.

Persamaan berbentuk $Y^2=G(X)$

Persamaan lingkaran dapat dipandang sebagai persamaan berbentuk

$$Y^2=G(X),$$

dengan $G$ sebuah polinom dalam satu variabel $X$; untuk lingkaran, $G=-X^2+1$. Objek ini bukan grafik, melainkan “akar” dari sebuah grafik. Secara umum, izinkan $G(X)$ lebih rumit. Himpunan nol (lokus nol) tersebut merepresentasikan akar kuadrat $\sqrt{G(X)}$. Jika kita menetapkan sebarang nilai $x$ bagi $X$, maka dalam bilangan real ada tiga kemungkinan bagi solusi $y$ yang bersesuaian.

1. Jika $G(x)<0$, tidak ada solusi.
2. Jika $G(x)=0$, terdapat tepat satu solusi, yaitu $y=0$.
3. Jika $G(x)>0$, terdapat dua solusi, yaitu $y=\pm\sqrt{G(x)}$.

Ini juga memberi cara untuk membayangkan gambar realnya: untuk setiap $x$, hitung $G(x)$, lalu—jika radikannya taknegatif—tandai titik-titik $(x,\pm\sqrt{G(x)})$.

Di atas bilangan kompleks, kita hanya perlu membedakan kasus $G(x)=0$ dan $G(x)\ne0$. Jika $G$ berderajat dua, kurva yang diperoleh merupakan sebuah irisan kerucut, yang telah dipelajari sejak zaman kuno (lihat Kuliah 7).

Isaac Newton mempelajari secara intensif kasus ketika $G(X)$ adalah polinom kubik real, yaitu berderajat tiga. Bahkan bahan contoh ini saja sudah sangat kaya.

Perhatikan kasus $G(X)=X^3$, yaitu objek yang dideskripsikan oleh

$$\{(x,y)\mid y^2=x^3\}.$$

Objek ini disebut parabola Neil. Di sini muncul fenomena baru: titik asal berbeda dari semua titik lainnya. Kita menyebutnya sebuah singularitas; sebaliknya, titik-titik lain disebut mulus atau nonsingular. Memberikan definisi yang tepat merupakan bagian dari mata kuliah ini. Sebagai rumusan awal yang belum presisi, sebuah kurva di sekitar titik mulus, setelah memilih koordinat yang sesuai, tampak seperti grafik—yang mungkin telah diputar—dari suatu fungsi terdiferensialkan. Singularitas pada parabola Neil juga disebut titik runcing atau kuspa (kata cusp sendiri berarti titik runcing). Sebaliknya, singularitas pada gambar ke-8 adalah titik perpotongan atau titik ganda.

Pada gambar ke-7 di bagian awal, dan juga pada gambar di atas, kita melihat himpunan nol berbentuk $Y^2=G(X)$ dengan $G(X)$ berderajat tiga. Seperti apakah $G(X)$ agar menghasilkan kurva semacam itu? Contoh-contoh terakhir juga menunjukkan bahwa keberadaan singularitas bergantung pada bentuk tepat $G(X)$.

Mari kita tetap meninjau parabola Neil $C$. Jika $t$ adalah sebarang bilangan real atau kompleks, titik dengan koordinat

$$(x,y)=(t^2,t^3)$$

selalu terletak pada parabola Neil, karena $(t^2)^3=t^6=(t^3)^2$. Sebaliknya, dapat pula dibuktikan (lihat Soal 1.6) bahwa setiap titik pada parabola Neil berbentuk demikian: untuk setiap $(x,y)$ dengan $y^2=x^3$, ada tepat satu $t$ dengan $(x,y)=(t^2,t^3)$. Pemetaan

$$\mathbb R\longrightarrow C, \qquad t\longmapsto(t^2,t^3),$$

disebut parametrisasi (polinomial bijektif) dari parabola Neil. Menentukan kurva aljabar mana yang mempunyai parametrisasi polinomial merupakan pertanyaan taktrivial. Kurva mulus berbentuk $Y^2=G(X)$ dengan $\deg G=3$ tidak mempunyai parametrisasi semacam itu. Dalam teori bilangan elementer, kita mempelajari bahwa semua tripel Pythagoras dapat ditulis dalam bentuk sederhana yang seragam; lihat Teorema 10.6 (Teori Bilangan, Osnabrück 2025). Pernyataan yang ekuivalen adalah adanya parametrisasi rasional lingkaran satuan rasional; lihat Teorema 10.4. Kita akan membahas hal ini dengan generalitas yang lebih besar dalam Teorema 7.6.

Sekarang kita sampai pada definisi umum pertama.

Definisi: kurva aljabar bidang afin

Misalkan $K$ suatu lapangan. Sebuah kurva aljabar bidang afin di atas $K$ adalah himpunan nol (lokus nol) $V(F)\subseteq K^2$ dari suatu polinom takkonstan $F$ dalam dua variabel, yaitu

$$F=\sum_{0\le i,j\le m}a_{ij}X^iY^j \qquad (a_{ij}\in K).$$

Dengan kata lain,

$$V(F)=\left\{(x,y)\in K^2\;\middle|\; F(x,y)=\sum_{0\le i,j\le m}a_{ij}x^iy^j=0\right\}.$$

Polinom-polinom favorit dalam variabel $X$ dan $Y$ yang disebutkan di kelas adalah:

1. $X^2-Y^2$;
2. $2X+4Y+3$;
3. $X^2+Y^2-3$;
4. $X^2+Y^2$;
5. $5X^2+12Y^2-26$;
6. $3X^2-15Y^2-3$;
7. $X^3+Y^3+XY$;
8. $X^3-4Y^2-XY$;
9. $X^4$;
10. $X^2Y^2-X^2$.

Tingkat kesulitan memahami himpunan nol $V(F)$ yang bersesuaian berbeda-beda. Dengan identitas selisih dua kuadrat,

$$X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y),$$

dan karena hasil kali dua unsur dalam suatu lapangan sama dengan nol tepat ketika salah satu faktornya nol, lokus nol ini hanyalah gabungan diagonal utama dan diagonal lainnya: gabungan dua garis afin. Lokus nol $2X+4Y+3$ adalah himpunan solusi persamaan linear itu, yakni sebuah garis afin. Lokus nol real $X^2+Y^2-3$ adalah lingkaran berpusat di titik asal dengan jari-jari $\sqrt3$. Sebaliknya, lokus nol real $X^2+Y^2$ hanya terdiri atas titik asal $(0,0)$; di atas $\mathbb C$ keadaannya berbeda. Lokus nol $5X^2+12Y^2-26$ adalah elips yang sumbunya sejajar sumbu koordinat, sedangkan lokus nol $3X^2-15Y^2-3$ adalah hiperbola yang dimampatkan.

Kita akan membahas dan mengklasifikasikan secara rinci himpunan nol polinom kuadratik pada Kuliah 7. Dua polinom $X^3+Y^3+XY$ dan $X^3-4Y^2-XY$ berderajat $3$ dan jauh lebih sulit dipahami. Pertanyaan pertama adalah apakah kurvanya mulus atau memiliki singularitas. Himpunan nol $V(X^4)$ sama dengan $V(X)$, sehingga merupakan sumbu $y$. Polinom terakhir dapat difaktorkan sebagai

$$X^2Y^2-X^2=X^2(Y^2-1)=X^2(Y-1)(Y+1),$$

dan karena itu mudah dipahami. Himpunan nolnya adalah gabungan tiga garis: sumbu $y$ dan dua garis yang sejajar dengan sumbu $x$.

Kita akan membuktikan sebuah lema yang langsung menunjukkan bahwa empat kurva terakhir yang digambarkan di atas bukan kurva aljabar.

Lema: perpotongan dengan garis

Misalkan $C$ suatu kurva aljabar bidang afin dan $L$ suatu garis di $K^2$.

Maka $C\cap L$ adalah seluruh garis $L$, atau hanya terdiri atas berhingga banyak titik.

Bukti

Menurut definisi, sebuah kurva aljabar bidang $C=V(F)$ selalu merupakan himpunan nol suatu polinom $F$ dalam dua variabel. Misalkan garis $L$ diberikan oleh persamaan

$$aX+bY+c=0.$$

Tanpa mengurangi keumuman, anggap $a\ne0$. Kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut terhadap $X$ dan memperoleh $X=\alpha Y+\beta$. Sebuah titik perpotongan $P\in C\cap L$ harus memenuhi $F(P)=0$ sekaligus persamaan garis. Dengan persamaan garis itu, kita dapat mengganti $X$ dalam $F$ dengan $\alpha Y+\beta$. Dengan demikian $F$ menjadi polinom dalam satu variabel $Y$, yang kita namai $\widetilde F$.

Sekarang, $P\in C\cap L$ ekuivalen dengan $P\in L$ dan $\widetilde F(P)=0$. Jadi, himpunan perpotongan dideskripsikan oleh polinom $\widetilde F$. Jika $\widetilde F=0$, seluruh garis merupakan perpotongan. Jika $\widetilde F\ne0$, Korolari 19.9 (Aljabar Linear, Osnabrück 2024–2025) menyatakan bahwa polinom tersebut hanya mempunyai berhingga banyak akar. $\square$

Pada empat contoh nonaljabar di atas, terdapat garis yang memotong kurvanya di tak berhingga banyak titik. Karena itu, kurva-kurva tersebut bukan kurva aljabar.

Gelanggang polinomial

Sesudah contoh-contoh pengantar ini, kita menetapkan beberapa istilah yang barangkali sudah dikenal.

Definisi: gelanggang polinomial dalam satu variabel

Gelanggang polinomial di atas suatu gelanggang komutatif $R$ terdiri atas semua polinom

$$P=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n,$$

dengan $a_i\in R$ untuk $i=0,\ldots,n$ dan $n\in\mathbb N$, dilengkapi penjumlahan per komponen dan perkalian yang didefinisikan dengan memperluas secara distributif aturan

$$X^n\cdot X^m:=X^{n+m}.$$

Berdasarkan definisi ini kita juga dapat mendefinisikan gelanggang polinomial dalam beberapa variabel. Kita menetapkan

$$K[X,Y]:=(K[X])[Y], \qquad K[X,Y,Z]:=(K[X,Y])[Z],$$

dan seterusnya. Sebuah polinom dalam $n$ variabel berbentuk

$$F=\sum_{(\nu_1,\ldots,\nu_n)} a_{(\nu_1,\ldots,\nu_n)}X_1^{\nu_1}\cdots X_n^{\nu_n}.$$

Penjumlahan diambil atas suatu keluarga hingga dari tupel eksponen $(\nu_1,\ldots,\nu_n)$. Ungkapan $X_1^{\nu_1}\cdots X_n^{\nu_n}$ juga disebut monomial. Biasanya sebuah polinom ditulis ringkas sebagai $F=\sum_\nu a_\nu X^\nu$. Perkalian dua monomial berarti menjumlahkan tupel eksponennya:

$$\left(X_1^{\nu_1}\cdots X_n^{\nu_n}\right) \left(X_1^{\mu_1}\cdots X_n^{\mu_n}\right) :=X_1^{\nu_1+\mu_1}\cdots X_n^{\nu_n+\mu_n}.$$

Dalam konteks geometri aljabar, kasus yang terutama menarik bagi kita adalah ketika gelanggang dasar $R$ merupakan lapangan. Geometri aljabar mempelajari bentuk lokus nol polinom dalam beberapa variabel. Kelak kita akan melihat bahwa hubungan antara sifat aljabar dan sifat geometri menjadi sangat kuat apabila lapangan dasarnya tertutup secara aljabar.

Definisi: lapangan tertutup secara aljabar

Sebuah lapangan $K$ disebut tertutup secara aljabar jika setiap polinom takkonstan $F\in K[X]$ mempunyai sebuah akar di $K$.

Apa yang disebut teorema dasar aljabar pertama kali dibuktikan oleh Gauss.

Teorema: teorema dasar aljabar

Lapangan bilangan kompleks $\mathbb C$ tertutup secara aljabar.

Bukti

Kita tidak akan membuktikan teorema ini di sini. Bukti-buktinya menggunakan metode topologis atau analitis. $\square$

Navigasi sumber: mata kuliah · Kuliah 2 · lembar kerja untuk kuliah ini

Lembar Kerja 1

Soal latihan

Soal 1.1

Aljabar linear sering membahas sistem persamaan linear. Persamaan atau sistem persamaan nonlinier apa saja yang muncul dalam aljabar linear?

Soal 1.2

Buat sketsa himpunan solusi di $\mathbb R^2$ untuk persamaan-persamaan berikut.

1. $x^2-y^2-1=0$;
2. $x^2+xy+y^2=0$;
3. $x^2+y^2+1=0$;
4. $x^2+y^2=0$;
5. $x^2+y^3=0$;
6. $x^3-y^5=0$;
7. $x^2-x^3=0$;
8. $x^3+y^3=1$;
9. $x^4+y^4=1$;
10. $-5+3x+4x^2+x^3-y^2=1$.

Soal 1.3

Hitung irisan setiap kurva pada Soal 1.2 dengan garis-garis berikut.

1. $x=0$;
2. $y=0$;
3. $x=1$;
4. $y=-2$;
5. $x=y$;
6. $x=-y$;
7. $2x-3y+4=0$.

Soal 1.4 ★

1. Temukan sebuah solusi bilangan bulat $(x,y)\in\mathbb Z\times\mathbb Z$ bagi persamaan

   $$x^2-y^3+2=0.$$

2. Tunjukkan bahwa

   $$\left(\frac{383}{1000},\frac{129}{100}\right)$$

   adalah solusi persamaan

   $$x^2-y^3+2=0.$$

Soal 1.5 ★

Temukan sebuah titik pada kurva aljabar bidang

$$V(X^3-Y^3+4X^2-2XY+Y+3)\subset\mathbb C^2.$$

Soal 1.6

Misalkan $K$ suatu lapangan. Citra kurva yang didefinisikan oleh

$$K\longrightarrow K^2, \qquad t\longmapsto(t^2,t^3),$$

disebut parabola Neil. Tunjukkan bahwa suatu titik $(x,y)\in K^2$ termasuk dalam citra tersebut jika dan hanya jika titik itu memenuhi persamaan $x^3=y^2$.

Soal 1.7

Misalkan $C\subseteq\mathbb R^2$ adalah citra pemetaan polinomial

$$\mathbb R\longrightarrow\mathbb R^2, \qquad t\longmapsto(t^2-t+2,t^2-3).$$

Tentukan suatu polinom taknol $F$ dalam dua variabel sedemikian rupa sehingga $C$ terletak pada lokus nol $F$.

Soal 1.8

Misalkan $C\subseteq\mathbb R^2$ adalah citra pemetaan polinomial

$$\mathbb R\longrightarrow\mathbb R^2, \qquad t\longmapsto(t^3-1,t^2-1).$$

Tentukan suatu polinom taknol $F$ dalam dua variabel sedemikian rupa sehingga $C$ terletak pada lokus nol $F$.

Soal 1.9

Kita meninjau kurva

$$\mathbb R\longrightarrow\mathbb R^2, \qquad t\longmapsto(t^2-1,t^3-t).$$

1. Tunjukkan bahwa titik-titik citra $(x,y)$ pada kurva memenuhi persamaan

   $$y^2=x^2+x^3.$$

2. Tunjukkan bahwa setiap titik $(x,y)\in\mathbb R^2$ dengan $y^2=x^2+x^3$ termasuk dalam citra kurva.

3. Tunjukkan bahwa tepat ada dua titik parameter $t_1$ dan $t_2$ yang mempunyai titik citra yang sama, dan bahwa pemetaan tersebut injektif selain pada pasangan itu.

Soal 1.10

Bahas hubungan antara kurva aljabar bidang dan teorema fungsi implisit.

Soal 1.11

Misalkan $K=\mathbb Z/(7)$. Tentukan semua titik di $K^2=K\times K$ yang terletak pada kurva dengan persamaan

$$X^2Y+2Y^3+3Y^2=0.$$

Berapa banyak solusinya?

Soal 1.12 ★

Temukan sebuah garis $G\subseteq\mathbb A_{\mathbb C}^2$ yang memotong kurva

$$C=V(X^3+Y^3+1)\subseteq\mathbb A_{\mathbb C}^2$$

di tepat satu titik.

Soal 1.13 ★

Tunjukkan bahwa parabola Neil

$$C=V(Y^2-X^3)\subseteq\mathbb A_{\mathbb C}^2$$

memotong setiap garis yang melalui titik $P=(1,1)\in C$ di sekurang-kurangnya satu titik lain.

Soal 1.14 ★

Berikan alasan analitis bahwa lingkaran satuan $V(x^2+y^2-1)$ dan parabola Neil $V(y^2-x^3)$ mempunyai suatu titik potong real. Tentukan secara numerik koordinat $x$ real dari salah satu titik potong tersebut dengan galat $\le 0{,}1$.

Soal 1.15

Tinjau persamaan-persamaan berbentuk

$$y^2=G(x), \qquad G(x)=x^3+ax^2+bx+c,$$

di atas $\mathbb R$. Buat sketsa berbagai himpunan solusi untuk koefisien $a,b,c\in\{1,-1,0\}$.

Pernyataan pada soal berikut juga dapat diperoleh dari Teorema 6.1 melalui Lema 1.3.

Soal 1.16

Misalkan $K$ suatu lapangan dan

$$K\longrightarrow K^2, \qquad t\longmapsto(P(t),Q(t))$$

suatu pemetaan yang diberikan oleh dua polinom $P(t),Q(t)\in K[t]$. Misalkan $B$ adalah citra pemetaan ini dan $G\subseteq K^2$ suatu garis. Tunjukkan bahwa $B\subseteq G$, atau bahwa irisan $B\cap G$ berhingga.

Soal 1.17

Kalikan kedua polinom berikut dalam $\mathbb Z[x,y,z]$:

$$x^5+3x^2y^2-xyz^3 \qquad\text{dan}\qquad 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y.$$

Soal 1.18

Kalikan kedua polinom berikut dalam $(\mathbb Z/(5))[x,y]$:

$$x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \qquad\text{dan}\qquad x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2.$$

Soal 1.19

Misalkan $R$ suatu daerah integral. Tunjukkan bahwa gelanggang polinomial $R[X]$ juga merupakan daerah integral.

Soal 1.20 ★

Misalkan $R$ suatu daerah integral dan $R[X]$ gelanggang polinomial di atas $R$. Tunjukkan bahwa unsur-unsur satuan dalam $R[X]$ tepat sama dengan unsur-unsur satuan dalam $R$.

Soal 1.21 ★

Misalkan $K$ suatu lapangan. Tunjukkan bahwa kedua sifat berikut ekuivalen.

1. $K$ tertutup secara aljabar.
2. Setiap polinom takkonstan $F\in K[X]$ terurai menjadi faktor-faktor linear.

Soal 1.22

Misalkan $K$ suatu lapangan tertutup secara aljabar. Tentukan semua polinom tak tereduksi dalam $K[X]$.

Soal 1.23

Misalkan $K$ suatu lapangan tertutup secara aljabar. Tunjukkan bahwa $K$ tidak mungkin berhingga.

Soal untuk dikumpulkan

Soal 1.24 — 2 poin

Lakukan pembagian polinom berikut dalam $(\mathbb Z/(7))[X]$:

$$X^4+5X^2+3 \qquad\text{dibagi oleh}\qquad 2X^2+X+6.$$

Soal 1.25 — 5 poin

Tentukan semua polinom monik tak tereduksi berderajat $4$ dalam gelanggang polinomial $\mathbb F_3[X]$.

Soal 1.26 — 3 poin

Tentukan semua solusi persamaan lingkaran

$$x^2+y^2=1$$

untuk lapangan $K=\mathbb Z/(2)$, $\mathbb Z/(5)$, dan $\mathbb Z/(11)$.

Soal 1.27 — 5 poin

Misalkan $C\subseteq\mathbb C^2$ adalah citra pemetaan polinomial

$$\mathbb C\longrightarrow\mathbb C^2, \qquad t\longmapsto(t^3-t^2+4t+3,-t^2+5t-1).$$

Tentukan suatu polinom taknol $F$ dalam dua variabel sedemikian rupa sehingga $C$ terletak pada lokus nol $F$.

Soal 1.28 — 4 poin

Kita meninjau pemetaan

$$f:\mathbb R\longrightarrow S^1\subseteq\mathbb R^2$$

yang mengaitkan setiap $t\in\mathbb R$ dengan titik potong tunggal selain $(0,-1)$ antara garis $G_t$—garis yang melalui $(t,1)$ dan $(0,-1)$—dan lingkaran satuan

$$S^1=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2=1\}.$$

Tunjukkan bahwa pemetaan ini terdefinisi dengan baik dan tentukan rumus-rumus fungsi yang mendeskripsikannya. Tunjukkan bahwa $f$ terdiferensialkan. Apakah $f$ injektif? Apakah $f$ surjektif?

Navigasi sumber: mata kuliah · Lembar Kerja 2 · Kuliah 1

Solusi Lembar Kerja 1

Bagian ini menerjemahkan ketujuh solusi publik yang terhubung dari Lembar Kerja 1. Nomor dan urutannya mengikuti soal sumber. Soal yang tidak mempunyai solusi publik pada revisi sumber yang dibekukan tidak diberi solusi tambahan.

Solusi Soal 1.4

1. $(5,3)$ adalah suatu solusi bilangan bulat.

2. Kita mempunyai

   $$\begin{aligned} \left(\frac{383}{1000}\right)^2 -\left(\frac{129}{100}\right)^3+2 &=\frac{146\,689}{1\,000\,000} -\frac{2\,146\,689}{1\,000\,000}+2\\ &=\frac{146\,689-2\,146\,689}{1\,000\,000}+2\\ &=\frac{-2\,000\,000}{1\,000\,000}+2\\ &=-2+2\\ &=0. \end{aligned}$$

Kembali ke Soal 1.4.

Solusi Soal 1.5

Kita meninjau irisan kurva dengan garis $V(X-Y)$, yakni dengan syarat tambahan $X=Y$. Dengan menyubstitusikan $Y=X$ ke persamaan kurva, kita memperoleh

$$X^3-X^3+4X^2-2X^2+X+3=2X^2+X+3=0.$$

Rumus kuadrat memberikan

$$X=-\frac14\pm\sqrt{-\frac{23}{16}} =-\frac14\pm\frac{\sqrt{23}}4i.$$

Karena itu,

$$\left(\frac{-1+\sqrt{23}\,i}{4}, \frac{-1+\sqrt{23}\,i}{4}\right)$$

adalah sebuah titik pada kurva.

Kembali ke Soal 1.5.

Solusi Soal 1.12

Kita pilih garis

$$G=V(Y+1).$$

Titik-titik irisan $C\cap G$ dapat dihitung dengan menyubstitusikan persamaan $Y=-1$, yang berlaku pada $G$, ke persamaan kurva. Kita memperoleh

$$0=X^3+(-1)^3+1=X^3.$$

Satu-satunya solusi ialah $X=0$. Jadi, $(0,-1)$ adalah satu-satunya titik irisan $G$ dan $C$.

Kembali ke Soal 1.12.

Solusi Soal 1.13

Setiap garis pada bidang dideskripsikan oleh persamaan

$$ax+by=c,$$

dengan $a$ dan $b$ tidak sekaligus nol. Jika garis itu melalui titik $(1,1)$, maka $a+b=c$.

Jika $b=0$, garis tersebut diberikan oleh $x=1$ dan mempunyai titik irisan lain $(1,-1)$ dengan kurva. Karena itu, sekarang misalkan $b\ne0$. Persamaan garis dapat diselesaikan terhadap $y$ sehingga berbentuk

$$y=rx+s, \qquad s=1-r.$$

Pada garis ini, persamaan kurva menjadi

$$\begin{aligned} 0 &=y^2-x^3\\ &=(rx+(1-r))^2-x^3\\ &=-x^3+r^2x^2+2r(1-r)x+(1-r)^2. \end{aligned}$$

Karena $x=1$ adalah salah satu akarnya, kita dapat mengeluarkan faktor $x-1$:

$$-x^3+r^2x^2+2r(1-r)x+(1-r)^2 =(x-1)\bigl(-x^2-(1-r^2)x-(1-r)^2\bigr).$$

Setelah dikalikan dengan $-1$, faktor kuadratik di sebelah kanan merupakan polinom monik berderajat $2$, sehingga mempunyai akar-akar di $\mathbb C$. Kita harus menunjukkan bahwa sekurang-kurangnya salah satu akar tambahan itu bukan $1$. Nilai faktor kuadratik yang ditampilkan di atas pada $x=1$ adalah

$$-1-(1-r^2)-(1-r)^2=2r-3.$$

Jika $r\ne\frac32$, maka $1$ bukan akar faktor kuadratik tersebut. Tinggal kasus $r=\frac32$. Dalam kasus ini,

$$x^2+(1-r^2)x+(1-r)^2 =x^2-\frac54x+\frac14 =(x-1)\left(x-\frac14\right),$$

sehingga terdapat akar lain, yaitu $x=\frac14$. Jadi, setiap garis melalui $(1,1)$ memotong parabola Neil di sekurang-kurangnya satu titik lain.

Kembali ke Soal 1.13.

Solusi Soal 1.14

Kita substitusikan $y^2=x^3$ ke persamaan lingkaran dan memperoleh

$$x^3+x^2-1=0.$$

Pada $x=1$ polinom ini bernilai $1$, sedangkan pada $x=0{,}5$ nilainya negatif. Menurut teorema nilai antara, polinom tersebut mempunyai sebuah akar $x_0$ dalam interval $[0{,}5,1]$. Karena $x_0^3$ positif, akar kuadrat real

$$y_0=\sqrt{x_0^3}$$

ada, dan $(x_0,y_0)$ merupakan titik potong real.

Untuk menghampiri $x_0$ secara numerik, kita hitung

$$(0{,}7)^3+(0{,}7)^2-1 <0{,}49+0{,}49-1<0$$

dan

$$\begin{aligned} (0{,}8)^3+(0{,}8)^2-1 &=0{,}64\cdot0{,}8+0{,}64-1\\ &>0{,}48+0{,}64-1>0. \end{aligned}$$

Jadi, ada titik potong yang koordinat $x$-nya berada dalam interval $[0{,}7,0{,}8]$.

Kembali ke Soal 1.14.

Solusi Soal 1.20

Misalkan $a\in R$ suatu unsur satuan. Ada $b\in R$ dengan $ab=1$, dan identitas yang sama juga berlaku dalam gelanggang polinomial. Jadi,

$$R^\times\subseteq R[X]^\times.$$

Sebaliknya, misalkan

$$P=\sum_{i=0}^d a_iX^i, \qquad a_d\ne0,$$

suatu unsur satuan dalam $R[X]$. Maka terdapat polinom

$$Q=\sum_{j=0}^e b_jX^j, \qquad b_e\ne0,$$

dengan $PQ=1$. Karena $R$ suatu daerah integral, $a_db_e\ne0$, dan suku berderajat tertinggi dalam hasil kali itu adalah

$$a_db_eX^{d+e}+\text{suku-suku berderajat lebih rendah}.$$

Karena $PQ=1$, kita harus mempunyai $d+e=0$ dan $a_db_e=1$. Jadi, $P$ adalah suatu unsur satuan konstan. Dengan demikian, unsur-unsur satuan dalam $R[X]$ tepat sama dengan unsur-unsur satuan dalam $R$.

Kembali ke Soal 1.20.

Solusi Soal 1.21

Misalkan $K$ tertutup secara aljabar dan $F\in K[X]$ takkonstan. Kita buktikan dengan induksi pada $n=\deg F$ bahwa $F$ terurai menjadi faktor-faktor linear.

Untuk $n=1$, kita mempunyai $F=a_1X+a_0$, sehingga $F$ sendiri sudah merupakan satu faktor linear. Misalkan setiap polinom $G\in K[X]$ berderajat $n-1$ terurai menjadi faktor-faktor linear. Karena $K$ tertutup secara aljabar, $F$ mempunyai suatu akar $x_0$. Karena itu, kita dapat menulis

$$F=G(X-x_0)$$

untuk suatu $G\in K[X]$ berderajat $n-1$. Fakta tentang derajat ini mengikuti langsung dari kenyataan bahwa setiap lapangan juga merupakan daerah integral dan dari sedikit penyesuaian terhadap bukti pada Soal 8. Menurut hipotesis induksi, $G$ terurai menjadi faktor-faktor linear; karena itu $G(X-x_0)$ juga demikian. Jadi, setiap polinom takkonstan $F\in K[X]$ terurai menjadi faktor-faktor linear.

Sebaliknya, jika setiap polinom takkonstan terurai menjadi faktor-faktor linear, setiap polinom tersebut mempunyai akar yang direpresentasikan oleh salah satu faktor linearnya. Maka $K$ tertutup secara aljabar.

Kembali ke Soal 1.21.

Kuliah 2: Himpunan Aljabar Afin

Himpunan aljabar afin

Definisi: ruang afin

Misalkan $K$ suatu lapangan. Ruang

$$\mathbb A_K^n=K^n$$

disebut ruang afin berdimensi $n$ di atas $K$.

Jadi, mula-mula ruang afin hanyalah suatu himpunan titik. Sebuah titik dalam ruang afin adalah sebuah $n$-tupel $(a_1,\ldots,a_n)$ yang koordinatnya berasal dari $K$. Mengapa kita memerlukan istilah baru? Istilah “ruang afin” menunjukkan bahwa kita ingin memandang $K^n$ sebagai objek geometri aljabar. Artinya, kita memandang ruang afin berdimensi $n$ sebagai objek geometri alami tempat polinom-polinom dalam $n$ variabel bekerja sebagai fungsi. Secara bertahap kita akan memperkaya ruang afin dengan struktur lain—topologi Zariski dan berkas struktur—yang memperlihatkan bahwa ruang ini “lebih” daripada “sekadar” $K^n$. Untuk $n=1$ kita menyebutnya garis afin, dan untuk $n=2$ kita menyebutnya bidang afin.

Suatu polinom $F\in K[X_1,\ldots,X_n]$ secara alami dapat dipandang sebagai fungsi pada ruang afin. Untuk titik

$$P=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb A_K^n,$$

kita menetapkan nilai

$$F(P)=F(a_1,\ldots,a_n)$$

dengan mengganti variabel $X_i$ oleh $a_i$ dan menghitung semuanya di dalam $K$. Untuk suatu polinom $F\in K[X_1,\ldots,X_n]$, kita dapat menanyakan apakah $F(P)=0$. Karena itu, salah satu objek utama yang dikaitkan dengan $F$ ialah lokus nol yang didefinisikannya,

$$V(F)=\{P\in\mathbb A_K^n\mid F(P)=0\}.$$

Kita sudah menjumpai beberapa contoh dalam kuliah pertama. Namun, kita juga perlu mempelajari lokus nol simultan dari beberapa polinom. Lokus ini adalah irisan lokus-lokus nol setiap polinom yang terlibat—misalnya, pada irisan kerucut, ketika sebuah kerucut dalam ruang tiga dimensi dipotong oleh berbagai bidang.

Karena itu, kita membuat definisi umum berikut.

Definisi: lokus nol suatu keluarga polinom

Misalkan $K$ suatu lapangan dan

$$F_j\in K[X_1,\ldots,X_n],\qquad j\in J,$$

suatu keluarga polinom dalam $n$ variabel. Himpunan

$$\{P\in\mathbb A_K^n\mid F_j(P)=0\text{ untuk setiap }j\in J\}$$

disebut lokus nol (atau himpunan nol) yang didefinisikan oleh keluarga tersebut. Himpunan ini ditulis $V(F_j,j\in J)$.

Subhimpunan ruang afin yang dapat muncul sebagai himpunan nol layak diberi nama tersendiri.

Definisi: himpunan aljabar afin

Misalkan $K$ suatu lapangan dan $K[X_1,\ldots,X_n]$ gelanggang polinomial dalam $n$ variabel. Suatu subhimpunan $V\subseteq\mathbb A_K^n$ disebut aljabar afin apabila merupakan himpunan nol suatu keluarga polinom $F_j$, $j\in J$, dengan $F_j\in K[X_1,\ldots,X_n]$; yaitu, apabila

$$V=V(F_j,j\in J).$$

Contoh-contoh paling sederhana ialah himpunan titik berhingga pada garis afin $\mathbb A_K^1$, yang diberikan oleh sebuah polinom tunggal, serta subruang linear afin dalam $\mathbb A_K^n$, yang merupakan himpunan solusi suatu sistem persamaan linear takhomogen di atas $K$.

Contoh: sumbu dan titik asal

Kita meninjau bidang afin $\mathbb A_K^2$ dan beberapa subhimpunan aljabar afin di dalamnya yang didefinisikan oleh variabel $X$ dan $Y$.

• Lokus nol $V(X,Y)$ hanya terdiri atas titik asal $(0,0)$, sebab kedua variabel harus bernilai nol.

• Himpunan $V(X)$ adalah sumbu $Y$, yakni semua titik berbentuk $(0,y)$.

• Himpunan $V(Y)$ adalah sumbu $X$.

• Himpunan $V(X+Y)$ terdiri atas semua titik $(x,y)$ dengan $y=-x$; ini adalah antidiagonal.

• Himpunan $V(XY)$ terdiri atas titik-titik $(x,y)$ dengan $xy=0$. Karena $K$ suatu lapangan, sebuah hasil kali hanya dapat bernilai nol jika salah satu faktornya nol. Jadi,

  $$V(XY)=V(X)\cup V(Y),$$

  yakni gabungan kedua sumbu koordinat.

Titik-titik dalam ruang afin atau pada suatu himpunan aljabar afin sering ditafsirkan sebagai representasi objek matematika lain yang lebih rumit. Sifat-sifat objek itu tercermin pada apakah titik yang merepresentasikannya memenuhi persamaan aljabar tertentu; dengan kata lain, pada apakah titik tersebut terletak pada himpunan aljabar afin tertentu. Contoh berikut menggambarkan gagasan ini.

Contoh: matriks sebagai titik ruang afin

Sebuah matriks $2\times2$

$$\begin{pmatrix} a_{11}&a_{21}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix}$$

ditentukan secara unik oleh empat bilangan $a_{11},a_{21},a_{12},a_{22}\in K$. Karena itu, matriks tersebut dapat diidentifikasi dengan sebuah titik dalam $\mathbb A_K^4$. Dalam penafsiran ini, wajar jika variabel-variabelnya kita tulis $X_{11},X_{21},X_{12},X_{22}$. Sekarang kita dapat menanyakan sifat matriks mana yang dapat dideskripsikan oleh persamaan aljabar.

Sebuah matriks merupakan matriks segitiga atas tepat ketika $a_{12}=0$. Jadi, himpunan matriks segitiga atas adalah lokus nol $X_{12}$.

Sebuah matriks dapat dibalik apabila

$$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne0.$$

Karena itu, himpunan matriks yang tidak dapat dibalik dideskripsikan oleh syarat determinan aljabar

$$X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=0.$$

Sebuah matriks mendeskripsikan perkalian oleh suatu skalar apabila matriks itu diagonal dengan entri diagonal yang sama. Himpunan ini dideskripsikan oleh tiga persamaan

$$X_{12}=0,\qquad X_{21}=0,\qquad X_{11}-X_{22}=0.$$

Suatu unsur $\lambda\in K$ adalah nilai eigen suatu matriks tepat ketika $\lambda$ merupakan akar polinom karakteristik matriks itu, yakni ketika

$$\det\begin{pmatrix} \lambda-a_{11}&-a_{21}\\ -a_{12}&\lambda-a_{22} \end{pmatrix} =\lambda^2-\lambda(a_{11}+a_{22})+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0.$$

Dalam aljabar linear, biasanya matriks diberikan dan kita mencari akar $\lambda$ dari polinom satu variabel ini. Kita juga dapat membalik sudut pandang: tetapkan $\lambda$, lalu pelajari lokus nol

$$\lambda^2-\lambda(X_{11}+X_{22}) +X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=0$$

dalam empat variabel. Persamaan ini mendeskripsikan semua matriks yang mempunyai $\lambda$ sebagai nilai eigen.

Demikian pula, suatu matriks mempunyai dua nilai eigen berbeda $\lambda\ne\delta$ tepat ketika

$$\lambda^2-\lambda(X_{11}+X_{22}) +X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=0$$

dan

$$\delta^2-\delta(X_{11}+X_{22}) +X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=0.$$

Selisih kedua persamaan itu ialah

$$\lambda^2-\delta^2-(\lambda-\delta)(X_{11}+X_{22})=0.$$

Karena $\lambda\ne\delta$, kita dapat menulisnya sebagai

$$X_{11}+X_{22}=\lambda+\delta.$$

Jumlah entri diagonal sebuah matriks disebut jejak matriks. Persamaan terakhir menyatakan bahwa jejak matriks yang mempunyai nilai eigen $\lambda\ne\delta$ harus sama dengan jumlah kedua nilai eigen itu.

Polinom karakteristik matriks juga dapat ditulis

$$\lambda^2-\lambda\operatorname{Jejak}(M)+\det(M),$$

dengan

$$\operatorname{Jejak}(M)=X_{11}+X_{22},\qquad \det(M)=X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}.$$

Jadi, dua matriks mempunyai polinom karakteristik yang sama tepat ketika jejak dan determinannya sama. Dengan demikian, himpunan matriks dengan polinom karakteristik tertentu dapat dipandang sebagai serat pemetaan

$$\mathbb A_K^4\longrightarrow\mathbb A_K^2, \qquad M\longmapsto(\operatorname{Jejak}(M),\det(M)).$$

Pemetaan ini diberikan oleh ungkapan polinomial sederhana. Apakah pemetaan ini surjektif? Apakah semua seratnya mempunyai bentuk yang sama—apakah himpunan matriks dengan jejak dan determinan tertentu selalu mempunyai struktur yang sama—atau terdapat perbedaan?

Tetapkan $s$ dan $d$. Kita harus mempelajari himpunan solusi sistem

$$X_{11}+X_{22}=s, \qquad X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=d.$$

Variabel $X_{11}$ ditentukan secara unik oleh $X_{22}$, dan sebaliknya. Karena itu, kita dapat mengeliminasi satu variabel dengan menetapkan $X_{22}=s-X_{11}$. Kita memperoleh sistem “ekuivalen” dalam tiga variabel $X_{11},X_{12},X_{21}$ dengan persamaan tunggal

$$X_{11}(s-X_{11})-X_{12}X_{21}=d,$$

atau

$$X_{11}^2-sX_{11}+X_{12}X_{21}+d=0.$$

Di sini “ekuivalen” berarti bahwa himpunan solusi kedua sistem saling berbijeksi melalui pemetaan yang diberikan oleh polinom. Bentuk terakhir menunjukkan bahwa solusi selalu ada: kita dapat menetapkan sebarang nilai bagi $X_{11}$ lalu memperoleh persamaan berbentuk $X_{12}X_{21}=a$, yang mempunyai solusi.

Dengan transformasi variabel linear, persamaan itu dapat disederhanakan lagi. Andaikan $2$ dapat dibalik dalam $K$—jadi karakteristik $K$ bukan $2$. Dengan

$$X=X_{11}-\frac{s}{2},\qquad Y=X_{12},\qquad Z=X_{21},$$

kita memperoleh

$$X^2+YZ+c=0, \qquad c=-\frac{s^2}{4}+d.$$

Karena itu, bentuk himpunan matriks dengan jejak dan determinan tertentu hanya bergantung pada $-s^2/4+d$. Bahkan, lokus nolnya berbeda menurut apakah suku ini nol atau tidak. Dalam kasus pertama lokus itu mempunyai singularitas; dalam kasus kedua tidak, sebagaimana akan kita lihat nanti.

Ideal dan lokus nol

Karena untuk sementara kita mengizinkan keluarga polinom sebarang untuk mendefinisikan lokus nol dan himpunan aljabar afin, objek-objek itu pada awalnya tampak sulit dikendalikan. Namun, tiga pernyataan penting berlaku; kita akan membuktikannya secara bertahap.

1. Lokus nol suatu keluarga polinom sama dengan lokus nol ideal yang dibangkitkan oleh keluarga tersebut.
2. Setiap ideal mempunyai sistem pembangkit berhingga. Jadi, setiap lokus nol dapat dideskripsikan oleh berhingga banyak polinom (teorema basis Hilbert).
3. Di atas lapangan tertutup secara aljabar, lokus-lokus nol berkorespondensi secara bijektif dengan ideal-ideal radikal (teorema Nullstellensatz Hilbert).

Pernyataan pertama dapat segera kita buktikan. Dua pernyataan lainnya memerlukan persiapan aljabar yang akan kita kembangkan dalam kuliah-kuliah berikutnya.

Lema: keluarga polinom dan ideal yang dibangkitkannya

Misalkan $K$ suatu lapangan dan $F_j\in K[X_1,\ldots,X_n]$, $j\in J$, suatu keluarga polinom dalam $n$ variabel. Misalkan $\mathfrak a$ adalah ideal dalam $K[X_1,\ldots,X_n]$ yang dibangkitkan oleh semua $F_j$. Maka

$$V(F_j,j\in J)=V(\mathfrak a).$$

Bukti

Ideal $\mathfrak a$ terdiri atas semua kombinasi linear berhingga dari polinom-polinom $F_j$ dan, khususnya, memuat setiap $F_j$. Karena itu, inklusi

$$V(F_j,j\in J)\supseteq V(\mathfrak a)$$

jelas. Untuk inklusi sebaliknya, ambil $P\in V(F_j,j\in J)$ dan $H\in\mathfrak a$. Terdapat polinom-polinom $A_i\in K[X_1,\ldots,X_n]$ dan indeks $j_1,\ldots,j_k$ sedemikian rupa sehingga

$$H=\sum_{i=1}^k A_iF_{j_i}.$$

Maka

$$H(P)=\sum_{i=1}^k A_i(P)F_{j_i}(P)=0.$$

Jadi, setiap unsur ideal tersebut lenyap di $P$, sehingga $P\in V(\mathfrak a)$. $\square$

Dengan demikian, selanjutnya kita dapat menganggap bahwa setiap himpunan nol diberikan oleh sebuah ideal.

Lema: inklusi ideal membalik inklusi lokus nol

Untuk ideal-ideal $\mathfrak a\subseteq\mathfrak b$ dalam $K[X_1,\ldots,X_n]$, lokus-lokus nol yang bersesuaian memenuhi

$$V(\mathfrak a)\supseteq V(\mathfrak b).$$

Bukti

Ambil $P\in V(\mathfrak b)$. Artinya, $F(P)=0$ bagi setiap $F\in\mathfrak b$. Karena $\mathfrak a\subseteq\mathfrak b$, tentu $F(P)=0$ bagi setiap $F\in\mathfrak a$. Jadi, $P\in V(\mathfrak a)$. $\square$

Subhimpunan aljabar afin dari ruang afin memenuhi sifat-sifat struktural penting berikut.

Proposisi: gabungan dan irisan himpunan aljabar afin

Misalkan $K$ suatu lapangan, $K[X_1,\ldots,X_n]$ gelanggang polinomial dalam $n$ variabel, dan $\mathbb A_K^n$ ruang afin yang bersesuaian. Sifat-sifat berikut berlaku.

1. $V(0)=\mathbb A_K^n$; jadi, seluruh ruang afin adalah himpunan aljabar afin.

2. $V(1)=\varnothing$; jadi, himpunan kosong adalah himpunan aljabar afin.

3. Jika $V_1,\ldots,V_k$ adalah himpunan aljabar afin dengan $V_i=V(\mathfrak a_i)$, maka

   $$V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_k =V(\mathfrak a_1\mathfrak a_2\cdots\mathfrak a_k).$$

   Khususnya, gabungan berhingga himpunan-himpunan aljabar afin juga merupakan himpunan aljabar afin.

4. Jika $V_i$, $i\in I$, adalah himpunan aljabar afin dengan $V_i=V(\mathfrak a_i)$, maka

   $$\bigcap_{i\in I}V_i=V\left(\sum_{i\in I}\mathfrak a_i\right).$$

   Khususnya, irisan sebarang banyak himpunan aljabar afin juga merupakan himpunan aljabar afin.

Bukti

Pernyataan (1) dan (2) jelas: polinom konstan $0$ lenyap di setiap titik, sedangkan polinom konstan $1$ tidak lenyap di titik mana pun.

Untuk (3), ambil titik dalam gabungan tersebut, katakanlah $P\in V(\mathfrak a_1)$. Maka $f(P)=0$ bagi setiap $f\in\mathfrak a_1$. Setiap unsur ideal hasil kali $\mathfrak a_1\cdots\mathfrak a_k$ berbentuk

$$h=\sum_{j=1}^m r_j f_{1j}f_{2j}\cdots f_{kj},$$

dengan $f_{ij}\in\mathfrak a_i$. Karena selalu $f_{1j}(P)=0$, kita memperoleh $h(P)=0$. Jadi, $P$ berada pada lokus nol di ruas kanan.

Sebaliknya, andaikan $P$ tidak berada dalam gabungan di ruas kiri. Maka $P\notin V(\mathfrak a_i)$ untuk setiap $i=1,\ldots,k$. Untuk setiap $i$, terdapat $f_i\in\mathfrak a_i$ dengan $f_i(P)\ne0$. Karena $K$ lapangan,

$$(f_1f_2\cdots f_k)(P)\ne0,$$

padahal $f_1f_2\cdots f_k\in\mathfrak a_1\cdots\mathfrak a_k$. Jadi, $P$ tidak mungkin berada pada lokus nol di ruas kanan.

Untuk (4), ambil $P\in\mathbb A_K^n$. Titik $P$ berada dalam $V(\mathfrak a_i)$ untuk setiap $i\in I$ tepat ketika $f(P)=0$ bagi setiap $f\in\mathfrak a_i$ dan setiap $i\in I$. Hal ini terjadi tepat ketika $f(P)=0$ bagi setiap $f$ dalam jumlah ideal-ideal tersebut. $\square$

Navigasi sumber: mata kuliah · Kuliah 1 · Kuliah 3 (sumber) · Lembar Kerja 2

Lembar Kerja 2

Soal latihan

Soal 2.1

Tinjau dua bidang dalam $\mathbb A_K^3$,

$$E_1=V(3x+4y+5z) \qquad\text{dan}\qquad E_2=V(2x-y+3z).$$

Berikan suatu parametrisasi bagi irisan $E_1\cap E_2$.

Soal 2.2 ★

Tentukan titik-titik potong lingkaran satuan dengan garis yang melalui kedua titik $(-1,1)$ dan $(4,-2)$.

Soal 2.3

Tentukan koordinat kedua titik potong garis $G$ dan lingkaran $K$, dengan $G$ diberikan oleh persamaan

$$3y-4x+2=0,$$

sedangkan $K$ mempunyai pusat $(2,5)$ dan jari-jari $7$.

Soal 2.4

Hitung titik-titik potong kedua kurva

$$C=V(x^2+2y^2+3xy+x-2) \qquad\text{dan}\qquad L=V(4x+3y-5).$$

Soal 2.5

Buktikan: irisan dua lingkaran yang berbeda pada bidang afin sama dengan irisan salah satu lingkaran tersebut dengan sebuah garis.

Soal 2.6 ★

Tentukan titik-titik potong lingkaran satuan $E$ dengan lingkaran $K$ yang berpusat di $(1,0)$ dan berjari-jari $2$.

Soal 2.7 ★

Tentukan titik-titik potong kedua elips

$$\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+xy+3y^2=3\}$$

dan

$$\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid 2x^2-xy+y^2=4\}.$$

Soal 2.8 ★

Tentukan titik-titik potong lingkaran satuan dan parabola standar.

Soal 2.9 ★

Misalkan

$$P=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid y=x^2\}$$

adalah parabola standar, dan $K$ lingkaran yang berpusat di $(0,1)$ dengan jari-jari $1$.

1. Buat sketsa $P$ dan $K$.
2. Tuliskan sebuah persamaan bagi $K$.
3. Tentukan irisan $P\cap K$.
4. Deskripsikan setengah busur bawah lingkaran sebagai grafik suatu fungsi dari $[-1,1]$ ke $\mathbb R$.
5. Deskripsikan posisi parabola relatif terhadap busur bawah lingkaran.

Soal 2.10

Tentukan semua solusi simultan kedua persamaan

$$x^3+y^2=2 \qquad\text{dan}\qquad 2xy=3$$

untuk lapangan $K=\mathbb Z/(3)$, $\mathbb Z/(5)$, dan $\mathbb Z/(7)$.

Soal 2.11 ★

Kita meninjau varietas matriks-matriks $2\times2$ yang saling komutatif, yakni himpunan pasangan matriks

$$V=\{(A,B)\mid A,B\in\operatorname{Mat}_2(K),\ AB=BA\} \subseteq\operatorname{Mat}_2(K)\times\operatorname{Mat}_2(K) \cong\mathbb A_K^8.$$

1. Buktikan bahwa $V$ adalah suatu varietas afin, dan tentukan persamaan yang sesederhana mungkin untuk mendeskripsikan varietas tersebut.

2. Buktikan bahwa pemetaan

   $$\pi:V\longrightarrow\operatorname{Mat}_2(K), \qquad(A,B)\longmapsto A,$$

   bersifat surjektif.

3. Tentukan praimaj

   $$\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$$

   di bawah $\pi$.

Soal 2.12

Buktikan bahwa untuk suatu titik

$$P=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb A_K^n,$$

ideal yang bersesuaian

$$(X_1-a_1,X_2-a_2,\ldots,X_n-a_n)$$

adalah ideal maksimal.

Soal 2.13

Misalkan $K$ suatu lapangan tertutup secara aljabar dan $n\ge2$. Buktikan bahwa sebuah titik $P\in\mathbb A_K^n$ tidak dapat menjadi himpunan nol dari satu polinom saja.

Soal 2.14

Misalkan $K$ suatu lapangan berhingga dan

$$M=\{P_1,P_2,\ldots,P_m\}\subseteq\mathbb A_K^n$$

suatu himpunan titik berhingga. Buktikan bahwa $M$ adalah himpunan nol sebuah polinom tunggal.

Soal 2.15 ★

Misalkan $K$ suatu lapangan. Buktikan bahwa ketiga ideal berikut dalam $K[X,Y,Z,W]$ adalah sama:

$$\mathfrak a=(Z^2+W^2-1,\ X-2Z^2+1,\ Y-2ZW),$$

$$\mathfrak b=(Z^2+W^2-1,\ X^2+Y^2-1,\ (1-X)Z-YW,\ YZ-(1+X)W),$$

dan

$$\mathfrak c=(Z^2+W^2-1,\ (1-X)Z-YW,\ YZ-(1+X)W).$$

Soal 2.16 ★

Kita meninjau polinom

$$F=X^4Y^2+X^2Y^4-3X^2Y^2+1.$$

1. Temukan sebuah akar real dari $F$.

2. Verifikasi identitas

   $$\begin{aligned} F\cdot(X^2+Y^2+1) ={}&(X^2Y-Y)^2+(XY^2-X)^2+(X^2Y^2-1)^2\\ &+\frac14(XY^3-X^3Y)^2 +\frac34(XY^3+X^3Y-2XY)^2. \end{aligned}$$

3. Misalkan $K=\mathbb R$. Simpulkan bahwa

   $$F(x,y)\ge0$$

   untuk setiap titik $(x,y)\in\mathbb A_{\mathbb R}^2$.