Introduction
Nous étudions dans ce chapitre les théories cohomologiques de Weil pour les schémas projectifs lisses sur un corps de base. En bref, nous entendons par là une théorie cohomologique \(H^*\) munie d’une formule de Künneth, d’une dualité de Poincaré et de classes de cycles (satisfaisant aux compatibilités convenables). Nous avertissons le lecteur que la notion de « théorie cohomologique de Weil » ne fait pas l’objet d’un accord universel dans la littérature.
Avant d’aborder ce chapitre, le lecteur consultera Catégories, section 0FFJ, et Homologie, section 0FN9, où nous définissons les catégories monoïdales (symétriques) et développons les rudiments de leur langage nécessaires au présent chapitre. À l’aide de ce langage, nous construisons, à la section 0FFZ, la catégorie graduée monoïdale symétrique dont les objets sont les schémas projectifs lisses et les morphismes les correspondances. À la section 0FG9, nous adjoignons les images des projecteurs et inversons le motif de Lefschetz pour obtenir la catégorie karoubienne monoïdale symétrique \(M_k\) des motifs de Chow. Cette catégorie est munie d’un foncteur contravariant \[h : \{\text{schémas projectifs lisses sur }k\} \longrightarrow M_k\] Comme nous le verrons ci-dessous, une propriété essentielle d’une théorie cohomologique de Weil est de se factoriser par \(h\).
Tout d’abord, lorsque le corps de base est algébriquement clos, nous définissons ce que nous appelons une « théorie cohomologique de Weil classique » ; voir la section 0FGS. Cette notion est celle introduite dans [Kleiman-cycles, section 1.2] et coïncide avec celle de [Kleiman-motives, page 65]. En revanche, elle ne coïncide pas a priori avec celle introduite dans [Kleiman-standard, page 10], car l’auteur y ajoute deux axiomes de type Lefschetz, et l’on ignore si toute théorie cohomologique de Weil classique au sens du présent chapitre satisfait à ces axiomes. À la fin de la section 0FGS, nous montrons qu’une théorie cohomologique de Weil classique est de la forme \(H^* = G \circ h\), où \(G\) est un foncteur monoïdal symétrique de \(M_k\) dans la catégorie des espaces vectoriels gradués sur le corps de coefficients de \(H^*\).
À la section 0FH4, nous démontrons quelques lemmes sur les groupes de cycles sur des corps non clos, qui serviront à étudier les théories cohomologiques de Weil sur les schémas projectifs lisses sur un corps quelconque.
Les propriétés suivantes motivent notre choix d’axiomes pour une théorie cohomologique de Weil \(H^*\) sur un corps de base quelconque \(k\) :
\(H^* = G \circ h\) pour un foncteur monoïdal symétrique \(G\) de \(M_k\) dans la catégorie des espaces vectoriels gradués sur le corps de coefficients \(F\) de \(H^*\) ;
\(G\) doit envoyer le motif de Tate (inverse du motif de Lefschetz) sur un espace vectoriel de dimension \(1\), noté \(F(1)\) et placé en degré \(-2\) ;
lorsque \(k\) est algébriquement clos, on doit retrouver la notion étudiée à la section 0FGS, au choix près d’un élément d’une base de \(F(1)\).
Nous analysons d’abord les deux premières conditions à la section 0FHA. Après avoir établi quelques résultats supplémentaires à la section 0FHN, nous ajoutons, à la section 0FHY, les axiomes nécessaires pour obtenir la propriété (3).
Dans la dernière section 0FID, nous exposons en détail une autre approche des théories cohomologiques de Weil, fondée sur une application de première classe de Chern au lieu des classes de cycles. C’est cette approche qui se prêtera le mieux à la démonstration, dans les chapitres ultérieurs, du fait que certaines théories cohomologiques sont des théories cohomologiques de Weil ; voir Cohomologie de de Rham, section 0FWC.
Conventions et notations
Soit \(F\) un corps. Dans ce chapitre, nous considérons la catégorie des espaces vectoriels gradués sur \(F\) comme une catégorie monoïdale symétrique \(F\)-linéaire, munie de la contrainte d’associativité usuelle et d’une contrainte de commutativité faisant intervenir des signes. Voir Homologie, exemple 0FFX.
Soit \(R\) un anneau. Dans ce chapitre, une \(R\)-algèbre graduée commutative \(A\) est une \(R\)-algèbre différentielle graduée commutative (Algèbre différentielle graduée, définitions 061V et 061W) dont la différentielle est nulle. Ainsi, \(A\) est un \(R\)-module muni d’une graduation \(A = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} A^n\) par des sous-\(R\)-modules. La multiplication \(R\)-bilinéaire \[A^n \times A^m \longrightarrow A^{n + m},\quad \alpha \times \beta \longmapsto \alpha \cup \beta\] sera appelée le cup-produit dans ce chapitre. La contrainte de commutativité s’écrit \(\alpha \cup \beta = (-1)^{nm} \beta \cup \alpha\) si \(\alpha \in A^n\) et \(\beta \in A^m\). Enfin, il existe un élément unité \(1 \in A^0\) pour la multiplication, ou, ce qui revient au même, une application additive et multiplicative \(R \to A^0\), compatible avec la structure de \(R\)-module de \(A\).
Soit \(k\) un corps et soit \(X\) un schéma de type fini sur \(k\). Les groupes de Chow \(\CH_k(X)\) de \(X\), formés des cycles de dimension \(k\) modulo l’équivalence rationnelle, ont été définis dans Homologie de Chow, définition 02RW. Si \(X\) est normal ou de Cohen-Macaulay, on peut aussi considérer les groupes de Chow \(\CH^p(X)\) de cycles de codimension \(p\) (Homologie de Chow, section 0FE2) ; alors \([X] \in \CH^0(X)\) désigne la « classe fondamentale » de \(X\) ; voir Homologie de Chow, remarque 0FE4. Si \(X\) est lisse et si \(\alpha\) et \(\beta\) sont des cycles sur \(X\), \(\alpha \cdot \beta\) désigne le produit d’intersection de \(\alpha\) et \(\beta\) ; voir Homologie de Chow, section 0FC0.
Correspondances
Soit \(k\) un corps. Pour des schémas \(X\) et \(Y\) sur \(k\), nous notons \(X \times Y\) le produit de \(X\) et \(Y\) dans la catégorie des schémas sur \(k\). Nous construisons dans cette section la catégorie graduée sur \(\mathbf{Q}\) dont les objets sont les schémas projectifs lisses sur \(k\) et dont les morphismes sont les correspondances.
Soient \(X\) et \(Y\) des schémas projectifs lisses sur \(k\). Soit \(X = \coprod X_d\) la décomposition de \(X\) en sous-schémas ouverts et fermés équidimensionnels tels que \(\dim(X_d) = d\). Nous définissons l’espace vectoriel sur \(\mathbf{Q}\) des correspondances de degré \(r\) de \(X\) dans \(Y\) par la formule : \[\text{Corr}^r(X, Y) = \bigoplus\nolimits_d \CH^{d + r}(X_d \times Y) \otimes \mathbf{Q} \subset \CH^*(X \times Y) \otimes \mathbf{Q}\] Étant donnés \(c \in \text{Corr}^r(X, Y)\) et \(\beta \in \CH_j(Y) \otimes \mathbf{Q}\), nous définissons l’image réciproque de \(\beta\) par \(c\) par la formule \[c^*(\beta) = \text{pr}_{1, *}(c \cdot \text{pr}_2^*\beta) \quad\text{dans}\quad \CH_{j - r}(X) \otimes \mathbf{Q}\] Cette expression a un sens, car \(\text{pr}_2\) est plat de dimension relative \(d\) sur \(X_d \times Y\) ; ainsi \(\text{pr}_2^*\beta\) est un cycle de dimension \(d + j\) sur \(X_d \times Y\), donc \(c \cdot \text{pr}_2^*\beta\) est un cycle de dimension \(j - r\) sur \(X_d \times Y\), dont l’image directe par le morphisme propre \(\text{pr}_1\) est un cycle de même dimension. De même, en passant à la graduation par la codimension, pour \(\alpha \in \CH^i(X) \otimes \mathbf{Q}\), nous définissons l’image directe de \(\alpha\) par \(c\) par la formule \[c_*(\alpha) = \text{pr}_{2, *}(c \cdot \text{pr}_1^*\alpha) \quad\text{dans}\quad \CH^{i + r}(Y) \otimes \mathbf{Q}\] Cette expression a un sens, car \(\text{pr}_1^*\alpha\) est un cycle de codimension \(i\) sur \(X \times Y\) ; ainsi \(c \cdot \text{pr}_1^*\alpha\) est un cycle de codimension \(i + d + r\) sur \(X_d \times Y\), dont l’image directe est un cycle de codimension \(i + r\) sur \(Y\).
Étant donnés trois schémas projectifs lisses \(X, Y, Z\) sur \(k\), nous définissons une composition des correspondances \[\text{Corr}^s(Y, Z) \times \text{Corr}^r(X, Y) \longrightarrow \text{Corr}^{r + s}(X, Z)\] par la règle \[(c', c) \longmapsto c' \circ c = \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*c \cdot \text{pr}_{23}^*c')\] où \(\text{pr}_{12} : X \times Y \times Z \to X \times Y\) est la projection, et de même pour \(\text{pr}_{13}\) et \(\text{pr}_{23}\).
Lemme
Les correspondances possèdent les propriétés suivantes :
la composition des correspondances est \(\mathbf{Q}\)-bilinéaire et associative ;
il existe un isomorphisme canonique \[\CH_{-r}(X) \otimes \mathbf{Q} = \text{Corr}^r(X, \Spec(k))\] par lequel l’image réciproque par les correspondances correspond à la composition ;
il existe un isomorphisme canonique \[\CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} = \text{Corr}^r(\Spec(k), X)\] par lequel l’image directe par les correspondances correspond à la composition ;
la composition des correspondances est compatible avec l’image directe et l’image réciproque des cycles.
Démonstration
La bilinéarité résulte immédiatement de la linéarité de l’image directe et de l’image réciproque, et de la bilinéarité du produit d’intersection. Pour démontrer l’associativité, donnons-nous \(X, Y, Z, W\) ainsi que \(c \in \text{Corr}(X, Y)\), \(c' \in \text{Corr}(Y, Z)\) et \(c'' \in \text{Corr}(Z, W)\). On a alors \[\begin{align*} c'' \circ (c' \circ c) & = \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{123, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & = \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}(\text{pr}^{123, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{123, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & = \text{pr}^{134}_{14, *}( \text{pr}^{1234}_{134, *} (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{134, *}_{34}c'') \\ & = \text{pr}^{134}_{14, *} \text{pr}^{1234}_{134, *} ((\text{pr}^{1234, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \\ & = \text{pr}^{1234}_{14, *}( (\text{pr}^{1234, *}_{12}c \cdot \text{pr}^{1234, *}_{23}c') \cdot \text{pr}^{1234, *}_{34}c'') \end{align*}\] Nous notons ici \[p^{1234}_{134} : X \times Y \times Z \times W \to X \times Z \times W \quad\text{et}\quad p^{134}_{14} : X \times Z \times W \to X \times W\]
les projections, et de même pour les autres indices. La première égalité est la définition de la composition. La deuxième résulte de l’égalité \(\text{pr}^{134, *}_{13} \text{pr}^{123}_{13, *} = \text{pr}^{1234}_{134, *} \text{pr}^{1234, *}_{123}\), d’après Homologie de Chow, lemme 02RG. La troisième résulte de la compatibilité du produit d’intersection avec le morphisme de Gysin de \(p^{1234}_{123}\) (qui est donné par l’image réciproque plate) ; voir Homologie de Chow, lemme 0FFB. La quatrième égalité résulte de la formule de projection pour \(p^{1234}_{134}\) ; voir Homologie de Chow, lemme 0FFC. La quatrième égalité exprime la compatibilité de l’image directe propre avec la composition ; voir Homologie de Chow, lemme 02R5. Le produit d’intersection étant associatif d’après Homologie de Chow, lemme 0FC1, cela achève la démonstration de l’associativité de la composition des correspondances.
Nous omettons les démonstrations de (2) et (3), qui consistent essentiellement à vérifier avec soin les espaces où vivent les différents cycles et leurs (co)dimensions.
L’assertion relative à l’image directe et à l’image réciproque des cycles signifie que \((c' \circ c)^*(\alpha) = c^*((c')^*(\alpha))\) et \((c' \circ c)_*(\alpha) = (c')_*(c_*(\alpha))\). Elle résulte de la combinaison de (1), (2) et (3).
Exemple
Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas projectifs lisses sur \(k\). Notons \(\Gamma_f \subset X \times Y\) le graphe de \(f\). Plus précisément, \(\Gamma_f\) est l’image de l’immersion fermée \[(f, \text{id}_Y) : Y \longrightarrow X \times Y\] Soit \(X = \coprod X_d\) la décomposition de \(X\) en ses parties ouvertes et fermées \(X_d\), équidimensionnelles de dimension \(d\). Alors \(\Gamma_f \cap (X_d \times Y)\) est de codimension pure \(d\). Par conséquent, \([\Gamma_f] \in \CH^*(X \times Y) \otimes \mathbf{Q}\) appartient à \(\text{Corr}^0(X \times Y)\) ; autrement dit, \([\Gamma_f]\) est une correspondance de degré \(0\) de \(X\) dans \(Y\).
Lemme
Les schémas projectifs lisses sur \(k\), munis des correspondances et de leur composition définies ci-dessus, forment une catégorie graduée sur \(\mathbf{Q}\) (Algèbre différentielle graduée, définition 09L2).
Démonstration
Tout résulte de la construction et du lemme 0FG0, sauf l’existence des morphismes identiques. Pour un schéma projectif lisse \(X\), considérons la classe \([\Delta]\) de la diagonale \(\Delta \subset X \times X\) dans \(\text{Corr}^0(X, X)\). Observons que \(\Delta\) est le graphe de l’identité \(\text{id}_X : X \to X\) ; nous utiliserons ce fait ci-dessous.
Pour démontrer que \([\Delta]\) joue le rôle d’identité, il faut établir \([\Delta] \circ c = c\) et \(c' \circ [\Delta] = c'\) pour toutes correspondances \(c \in \text{Corr}^r(Y, X)\) et \(c' \in \text{Corr}^s(X, Y)\). Dans le deuxième cas, il faut montrer que \[c' = \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*[\Delta] \cdot \text{pr}_{23}^*c')\], où \(\text{pr}_{12} : X \times X \times Y \to X \times X\) est la projection, et de même pour \(\text{pr}_{13}\) et \(\text{pr}_{23}\). On peut écrire \(c' = \sum a_i [Z_i]\), pour certains sous-schémas fermés intègres \(Z_i \subset X \times Y\) et nombres rationnels \(a_i\). Il suffit donc manifestement de montrer que \[[Z] = \text{pr}_{13, *}(\text{pr}_{12}^*[\Delta] \cdot \text{pr}_{23}^*[Z])\] dans le groupe de Chow de \(X \times Y\), pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z\) de \(X \times Y\). En remplaçant \(X\) et \(Y\) par la composante irréductible contenant l’image de \(Z\) par chacune des deux projections, on peut supposer \(X\) et \(Y\) également intègres. Il faut alors montrer \[[Z] = \text{pr}_{13, *}([\Delta \times Y] \cdot [X \times Z])\] Notons \(Z' \subset X \times X \times Y\) l’image de \(Z\) par le morphisme \((\Delta, 1) : X \times Y \to X \times X \times Y\). Alors \(Z'\) est un sous-schéma fermé de \(X \times X \times Y\) isomorphe à \(Z\), et \(Z' = \Delta \times Y \cap X \times Z\) au sens schématique. D’après Homologie de Chow, lemme 0FFD1, on en déduit \[[Z'] = [\Delta \times Y] \cdot [X \times Z]\] Puisque \(Z'\) s’envoie aussi isomorphiquement sur \(Z\) par \(\text{pr}_{13}\), on obtient la conclusion. La vérification de \([\Delta] \circ c = c\) est analogue et nous l’omettons.
Lemme
Il existe un foncteur contravariant de la catégorie des schémas projectifs lisses sur \(k\) dans la catégorie des correspondances, qui est l’identité sur les objets et envoie \(f : Y \to X\) sur l’élément \([\Gamma_f] \in \text{Corr}^0(X, Y)\).
Démonstration
Dans la démonstration du lemme 0FG2, nous avons vu que cette construction envoie les identités sur les identités. Pour achever la démonstration, il faut montrer que, si \(g : Z \to Y\) est un autre morphisme de schémas projectifs lisses sur \(k\), alors \([\Gamma_g] \circ [\Gamma_f] = [\Gamma_{f \circ g}]\) dans \(\text{Corr}^0(X, Z)\). En raisonnant comme dans la démonstration du lemme 0FG2, on voit qu’il suffit de montrer \[[\Gamma_{f \circ g}] = \text{pr}_{13, *}([\Gamma_f \times Z] \cdot [X \times \Gamma_g])\] dans \(\CH^*(X \times Z)\) lorsque \(X\), \(Y\) et \(Z\) sont intègres. Notons \(Z' \subset X \times Y \times Z\) l’image de l’immersion fermée \((f \circ g, g, 1) : Z \to X \times Y \times Z\). Alors \(Z' = \Gamma_f \times Z \cap X \times \Gamma_g\) au sens schématique, et l’on déduit de Homologie de Chow, lemme 0FFD, que \[[Z'] = [\Gamma_f \times Z] \cdot [X \times \Gamma_g]\] Comme il est clair que \(\text{pr}_{13, *}([Z']) = [\Gamma_{f \circ g}]\), la démonstration est terminée.
Remarque
Soient \(X\) et \(Y\) des schémas projectifs lisses sur \(k\). Supposons \(X\) équidimensionnel de dimension \(d\) et \(Y\) équidimensionnel de dimension \(e\). L’isomorphisme \(X \times Y \to Y \times X\) qui échange les facteurs détermine alors un isomorphisme \[\text{Corr}^r(X, Y) \longrightarrow \text{Corr}^{d - e + r}(Y, X),\quad c \longmapsto c^t\], appelé la transposition. Il agit aussi bien sur les cycles que sur leurs classes. Un exemple parfois utile est la transposée \([\Gamma_f]^t = [\Gamma_f^t]\) du graphe d’un morphisme \(f : Y \to X\).
Lemme
Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas projectifs lisses sur \(k\). Soit \([\Gamma_f] \in \text{Corr}^0(X, Y)\) comme dans l’exemple 0FG1. Alors :
l’image directe des cycles par la correspondance \([\Gamma_f]\) coïncide avec le morphisme de Gysin \(f^! : \CH^*(X) \to \CH^*(Y)\) ;
l’image réciproque des cycles par la correspondance \([\Gamma_f]\) coïncide avec l’application image directe \(f_* : \CH_*(Y) \to \CH_*(X)\) ;
si \(X\) et \(Y\) sont équidimensionnels de dimensions \(d\) et \(e\), alors :
Démonstration
Démontrons (1). Rappelons que \([\Gamma_f]_*(\alpha) = \text{pr}_{2, *}([\Gamma_f] \cdot \text{pr}_1^*\alpha)\). On a \[[\Gamma_f] \cdot \text{pr}_1^*\alpha = (f, 1)_*((f, 1)^! \text{pr}_1^*\alpha) = (f, 1)_*((f, 1)^! \text{pr}_1^!\alpha) = (f, 1)_*(f^!\alpha)\] La première égalité résulte de Homologie de Chow, lemme 0FFE. La deuxième résulte de Homologie de Chow, lemme 0FF4. La troisième résulte de \(\text{pr}_1 \circ (f, 1) = f\) et de Homologie de Chow, lemme 0FF5. On conclut alors puisque \(\text{pr}_{2, *} \circ (f, 1)_* = 1_*\), d’après Homologie de Chow, lemme 02R5.
Démontrons (2). Rappelons que \([\Gamma_f]_*(\beta) = \text{pr}_{1, *}([\Gamma_f] \cdot \text{pr}_2^*\beta)\). En raisonnant exactement comme ci-dessus, on a \[[\Gamma_f] \cdot \text{pr}_2^*\beta = (f, 1)_*\beta\] Le résultat s’en déduit comme précédemment.
Démontrons (3). La démonstration est exactement analogue à la précédente.
Exemple
Soit \(X = \mathbf{P}^1_k\). On a alors \[\text{Corr}^0(X, X) = \CH^1(X \times X) \otimes \mathbf{Q} = \CH_1(X \times X) \otimes \mathbf{Q}\] Choisissons un point \(k\)-rationnel \(x \in X\) et considérons les cycles \(c_0 = [x \times X]\) et \(c_2 = [X \times x]\). Un calcul montre que \(1 = [\Delta] = c_0 + c_2\) dans \(\text{Corr}^0(X, X)\) et que l’on a les règles de composition suivantes : \(c_0 \circ c_0 = c_0\), \(c_0 \circ c_2 = 0\), \(c_2 \circ c_0 = 0\) et \(c_2 \circ c_2 = c_2\). Autrement dit, \(c_0\) et \(c_2\) sont des idempotents orthogonaux dans l’algèbre \(\text{Corr}^0(X, X)\) ; en fait, on obtient \[\text{Corr}^0(X, X) = \mathbf{Q} \times \mathbf{Q}\] comme \(\mathbf{Q}\)-algèbre.
La catégorie des correspondances est une catégorie monoïdale symétrique. Pour des schémas projectifs lisses \(X\) et \(Y\) sur \(k\), on pose \(X \otimes Y = X \times Y\). Pour quatre schémas projectifs lisses \(X, X', Y, Y'\) sur \(k\), on définit un produit tensoriel \[\otimes : \text{Corr}^r(X, Y) \times \text{Corr}^{r'}(X', Y') \longrightarrow \text{Corr}^{r + r'}(X \times X', Y \times Y')\] par la règle \[(c, c') \longmapsto c \otimes c' = \text{pr}_{13}^*c \cdot \text{pr}_{24}^*c'\], où \(\text{pr}_{13} : X \times X' \times Y \times Y' \to X \times Y\) et \(\text{pr}_{24} : X \times X' \times Y \times Y' \to X' \times Y'\) sont les projections. Comme contrainte d’associativité \[X \otimes (Y \otimes Z) = (X \otimes Y) \otimes Z\],
on prend la contrainte d’associativité usuelle des produits de schémas. La contrainte de commutativité est donnée par l’isomorphisme \(X \times Y \to Y \times X\) qui échange les facteurs.
Lemme
Le produit tensoriel des correspondances défini ci-dessus fait de la catégorie des correspondances une catégorie monoïdale symétrique d’unité \(\Spec(k)\).
Démonstration
Démonstration omise.
Lemme
Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas projectifs lisses sur \(k\). Supposons \(X\) et \(Y\) équidimensionnels de dimensions \(d\) et \(e\). Notons \(a = [\Gamma_f] \in \text{Corr}^0(X, Y)\) et \(a^t = [\Gamma_f^t] \in \text{Corr}^{d - e}(Y, X)\). Posons \(\eta_X = [\Gamma_{X \to X \times X}] \in \text{Corr}^0(X \times X, X)\), \(\eta_Y = [\Gamma_{Y \to Y \times Y}] \in \text{Corr}^0(Y \times Y, Y)\), \([X] \in \text{Corr}^{-d}(X, \Spec(k))\) et \([Y] \in \text{Corr}^{-e}(Y, \Spec(k))\). Le diagramme \[\xymatrix{ X \otimes Y \ar[r]_{a \otimes \text{id}} \ar[d]_{\text{id} \otimes a^t} & Y \otimes Y \ar[r]_{\eta_Y} & Y \ar[d]^{[Y]} \\ X \otimes X \ar[r]^{\eta_X} & X \ar[r]^{[X]} & \Spec(k) }\] est commutatif dans la catégorie des correspondances.
Démonstration
Rappelons que \(\text{Corr}^r(W, \Spec(k)) = \CH_{-r}(W)\) pour tout schéma projectif lisse \(W\) sur \(k\) et que, pour \(c \in \text{Corr}^s(W', W)\), la composition avec \(c\) coïncide avec l’image réciproque par \(c\), comme application \(\CH_{-r}(W) \to \CH_{-r - s}(W')\) (lemme 0FG0). Enfin, le lemme 0FG5 indique comment exprimer cela au moyen des images directes et réciproques usuelles des cycles. On a \[(a \otimes \text{id})^* \eta_Y^* [Y] = (a \otimes \text{id})^* [\Delta_Y] = (f \times \text{id})_*\Delta_Y = [\Gamma_f]\], et, par l’autre chemin, on obtient \[(\text{id} \otimes a^t)^* \eta_X^* [X] = (\text{id} \otimes a^t)^* [\Delta_X] = (\text{id} \times f)^![\Delta_X] = [\Gamma_f]\] La dernière égalité résulte de Homologie de Chow, lemme 0FF7. Autrement dit, les deux chemins dans le diagramme donnent l’élément de \(\text{Corr}^d(X \times Y, \Spec(k))\) correspondant au cycle \(\Gamma_f \subset X \times Y\).
Motifs de Chow
Fixons un corps de base \(k\). Nous construisons dans cette section une catégorie additive karoubienne \(\mathbf{Q}\)-linéaire \(M_k\), munie d’une structure monoïdale symétrique et d’un foncteur contravariant \[h : \{\text{schémas projectifs lisses sur }k\} \longrightarrow M_k\] qui transforme les produits en produits tensoriels et les réunions disjointes en sommes directes. Notre construction sera caractérisée par le fait que \(h\) se factorise par la catégorie monoïdale symétrique dont les objets sont les variétés projectives lisses et les morphismes les correspondances de degré \(0\), de telle sorte que l’image du projecteur \(c_2\) sur \(h(\mathbf{P}^1_k)\) de l’exemple 0FG6 soit inversible dans \(M_k\) ; voir le lemme 0FGH. À la fin de cette section, nous montrerons que tout motif, c’est-à-dire tout objet de \(M_k\), admet un dual (à gauche) ; voir le lemme 0FGJ.
Un motif, ou motif de Chow, sur \(k\) sera un triplet \((X, p, m)\), où
\(X\) est un schéma projectif lisse sur \(k\) ;
\(p \in \text{Corr}^0(X, X)\) satisfait à \(p \circ p = p\) ;
\(m \in \mathbf{Z}\).
Étant donné un second motif \((Y, q, n)\), nous appelons morphisme de motifs, ou morphisme de motifs de Chow, un élément de \[\Hom((X, p, m), (Y, q, n)) = q \circ \text{Corr}^{n - m}(X, Y) \circ p \subset \text{Corr}^{n - m}(X, Y)\] La composition des morphismes de motifs est définie au moyen de la composition des correspondances définie ci-dessus.
Lemme
La catégorie \(M_k\) dont les objets sont les motifs sur \(k\) et dont les morphismes sont les morphismes de motifs sur \(k\) est une catégorie \(\mathbf{Q}\)-linéaire. Il existe un foncteur contravariant \[h : \{\text{schémas projectifs lisses sur }k\} \longrightarrow M_k\] défini par \(h(X) = (X, 1, 0)\) et \(h(f) = [\Gamma_f]\).
Démonstration
Cela résulte immédiatement du lemme 0FG3.
Lemme
La catégorie \(M_k\) est karoubienne.
Démonstration
Soit \(M = (X, p, m)\) un motif et soit \(a \in \Mor(M, M)\) un projecteur. Alors \(a = a \circ a\) aussi bien dans \(\Mor(M, M)\) que dans \(\text{Corr}^0(X, X)\). Posons \(N = (X, a, m)\). Puisque \(a = p \circ a \circ a\) dans \(\text{Corr}^0(X, X)\), on voit que \(a : N \to M\) est un morphisme de \(M_k\). Supposons ensuite que \(b : (Y, q, n) \to M\) soit un morphisme tel que \((1 - a) \circ b = 0\). Alors \(b = a \circ b\), et l’on a aussi \(b = b \circ q\). Par conséquent, \(b\) est un morphisme \(b : (Y, q, n) \to N\). Le projecteur \(1 - a\) admet donc un noyau, à savoir \(N\), et \(M_k\) est karoubienne ; voir Homologie, définition 09SG.
Nous définissons un foncteur \[\otimes : M_k \times M_k \longrightarrow M_k\] Sur les objets, nous employons la formule \[(X, p, m) \otimes (Y, q, n) = (X \times Y, p \otimes q, m + n)\] Sur les morphismes, nous employons l’application \[\xymatrix{ \Mor((X, p, m), (Y, q, n)) \times \Mor((X', p', m'), (Y', q', n')) \ar[d] \\ \Mor( (X \times X', p \otimes p', m + m'), (Y \times Y', q \otimes q', n + n')) }\], donnée par la règle \((a, a') \longmapsto a \otimes a'\), où \(\otimes\) est le produit des correspondances de la section 0FFZ. Cela a un sens : par définition des morphismes de motifs, on peut écrire \(a = q \circ c \circ p\) et \(a' = q' \circ c' \circ p'\), avec \(c \in \text{Corr}^{n - m}(X, Y)\) et \(c' \in \text{Corr}^{n' - m'}(X', Y')\) ; on obtient alors \[a \otimes a' = (q \circ c \circ p) \otimes (q' \circ c' \circ p') = (q \otimes q') \circ (c \otimes c') \circ (p \otimes p')\], qui est bien un morphisme de motifs de \((X \times X', p \otimes p', m + m')\) dans \((Y \times Y', q \otimes q', n + n')\).
Lemme
La catégorie \(M_k\), munie du produit tensoriel défini ci-dessus, est monoïdale symétrique pour les contraintes évidentes d’associativité et de commutativité, et pour l’unité \(\mathbf{1} = (\Spec(k), 1, 0)\).
Démonstration
Cela résulte aisément du lemme 0FG7. Nous omettons les détails.
Les motifs \(\mathbf{1}(n) = (\Spec(k), 1, n)\) seront utiles. Observons que \[\mathbf{1} = \mathbf{1}(0) \quad\text{et}\quad \mathbf{1}(n + m) = \mathbf{1}(n) \otimes \mathbf{1}(m)\] Le produit tensoriel par \(\mathbf{1}(1)\) est donc une autoéquivalence de la catégorie des motifs. Pour un motif \(M\), nous écrivons parfois \(M(n) = M \otimes \mathbf{1}(n)\). Observons que, si \(M = (X, p, m)\), alors \(M(n) = (X, p, m + n)\).
Lemme
Avec les notations de l’exemple 0FG6 :
le motif \((X, c_0, 0)\) est isomorphe au motif \(\mathbf{1} = (\Spec(k), 1, 0)\) ;
le motif \((X, c_2, 0)\) est isomorphe au motif \(\mathbf{1}(-1) = (\Spec(k), 1, -1)\).
Démonstration
Nous utiliserons le lemme 0FG3 sans le mentionner de nouveau. Le morphisme structural \(X \to \Spec(k)\) donne une correspondance \(a \in \text{Corr}^0(\Spec(k), X)\). D’autre part, le point rationnel \(x\) est un morphisme \(\Spec(k) \to X\), qui donne une correspondance \(b \in \text{Corr}^0(X, \Spec(k))\). On a \(b \circ a = 1\) comme correspondance sur \(\Spec(k)\). La composée \(a \circ b\) correspond au graphe de la composée \(X \to x \to X\), qui est \(c_0 = [x \times X]\). Ainsi, \(a = a \circ b \circ a = c_0 \circ a\) et \(b = b \circ a \circ b = b \circ c_0\). En revenant aux définitions, on voit donc que \(a\) et \(b\) sont des morphismes inverses l’un de l’autre \(a : (\Spec(k), 1, 0) \to (X, c_0, 0)\) et \(b : (X, c_0, 0) \to (\Spec(k), 1, 0)\).
Nous procédons exactement comme ci-dessus pour démontrer la seconde assertion. Notons \[a' \in \text{Corr}^1(\Spec(k), X) = \CH^1(X)\] la classe du point \(x\). Notons \[b' \in \text{Corr}^{-1}(X, \Spec(k)) = \CH_1(X)\] la classe de \([X]\). On a \(b' \circ a' = 1\) comme correspondance sur \(\Spec(k)\), puisque \([x] \cdot [X] = [x]\) sur \(X = \Spec(k) \times X \times \Spec(k)\). Le calcul du produit d’intersection \(\text{pr}_{12}^*b' \cdot \text{pr}_{23}^*a'\) sur \(X \times \Spec(k) \times X\) donne le cycle \(X \times \Spec(k) \times x\). Par conséquent, la composée \(a' \circ b'\) est égale à \(c_2\) comme correspondance sur \(X\). Ainsi, \(a' = a' \circ b \circ a' = c_2 \circ a'\) et \(b' = b' \circ a' \circ b' = b' \circ c_2\). Rappelons que \[\Mor((\Spec(k), 1, -1), (X, c_2, 0)) = c_2 \circ \text{Corr}^1(\Spec(k), X) \subset \text{Corr}^1(\Spec(k), X)\] et \[\Mor((X, c_2, 0), (\Spec(k), 1, -1)) = \text{Corr}^{-1}(X, \Spec(k)) \circ c_2 \subset \text{Corr}^{-1}(X, \Spec(k))\] On voit donc que \(a'\) et \(b'\) sont des morphismes inverses l’un de l’autre \(a' : (\Spec(k), 1, -1) \to (X, c_2, 0)\) et \(b' : (X, c_2, 0) \to (\Spec(k), 1, -1)\).
Remarque
Soient \(X = \mathbf{P}^1_k\) et \(c_2\) comme dans l’exemple 0FG6. Dans la littérature, le motif \((X, c_2, 0)\) est parfois appelé motif de Lefschetz et, selon les références, les notations \(L\), \(\mathbf{L}\), \(\mathbf{Q}(-1)\) ou \(h^2(\mathbf{P}^1_k)\) peuvent le désigner. D’après le lemme 0FGD, le motif de Lefschetz est isomorphe à \(\mathbf{1}(-1)\). Il est donc inversible (Catégories, définition 0FFN), d’inverse \(\mathbf{1}(1)\). Le motif \(\mathbf{1}(1)\) est parfois appelé motif de Tate et, selon les références, les notations \(L^{-1}\), \(\mathbf{L}^{-1}\), \(\mathbf{T}\) ou \(\mathbf{Q}(1)\) peuvent le désigner.
Lemme
La catégorie \(M_k\) est additive.
Démonstration
Soient \((Y, p, m)\) et \((Z, q, n)\) des motifs. Si \(n = m\), une somme directe est donnée par \((Y \amalg Z, p + q, m)\), avec des notations évidentes. Nous omettons les détails.
Supposons \(n < m\). Soient \(X\) et \(c_2\) comme dans l’exemple 0FG6. Considérons alors \[\begin{align*} (Z, q, n) & = (Z, q, m) \otimes (\Spec(k), 1, -1) \otimes \ldots \otimes (\Spec(k), 1, -1) \\ & \cong (Z, q, m) \otimes (X, c_2, 0) \otimes \ldots \otimes (X, c_2, 0) \\ & \cong (Z \times X^{m - n}, q \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, m) \end{align*}\], où nous avons utilisé le lemme 0FGD. Nous sommes ainsi ramenés au cas traité dans le premier paragraphe.
Lemme
Dans \(M_k\), on a \(h(\mathbf{P}^1_k) \cong \mathbf{1} \oplus \mathbf{1}(-1)\).
Démonstration
Lemme
Soient \(X\) et \(c_2\) comme dans l’exemple 0FG6. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie monoïdale symétrique karoubienne \(\mathbf{Q}\)-linéaire. Tout foncteur \(\mathbf{Q}\)-linéaire \[F : \left\{ \begin{matrix} \text{schémas projectifs lisses sur }k\\ \text{les morphismes sont les correspondances de degré }0 \end{matrix} \right\} \longrightarrow \mathcal{C}\] qui est monoïdal symétrique et tel que l’image de \(F(c_2)\) dans \(F(X)\) soit un objet inversible se factorise de manière unique par un foncteur \(F : M_k \to \mathcal{C}\) monoïdal symétrique.
Démonstration
Notons \(U\) l’objet inversible de \(\mathcal{C}\) dont l’existence est supposée dans l’énoncé du lemme. Nous prolongeons \(F\) aux motifs en posant \[F(X, p, m) = \left(\text{l'image du projecteur }F(p)\text{ dans }F(X)\right) \otimes U^{\otimes -m}\], ce qui a un sens puisque \(U\) est inversible et que \(\mathcal{C}\) est karoubienne. Une propriété importante de ce choix est que \(F(X, c_2, 0) = U\). Observons que \[\begin{align*} F((X, p, m) \otimes (Y, q, n)) & = F(X \times Y, p \otimes q, m + n) \\ & = \left(\text{l'image de }F(p \otimes q)\text{ dans }F(X \times Y)\right) \otimes U^{\otimes -m - n} \\ & = F(X, p, m) \otimes F(Y, q, n) \end{align*}\] Notre règle est donc compatible avec les produits tensoriels au niveau des objets (nous omettons les détails).
Prolongeons ensuite \(F\) aux morphismes de motifs. Supposons que \[a \in \Hom((Y, p, m), (Z, q, n)) = q \circ \text{Corr}^{n - m}(Y, Z) \circ p \subset \text{Corr}^{n - m}(Y, Z)\] soit un morphisme. Si \(n = m\), alors \(a\) est une correspondance de degré \(0\) et l’on peut utiliser \(F(a) : F(Y) \to F(Z)\) pour obtenir l’application voulue \(F(Y, p, m) \to F(Z, q, n)\). Si \(n < m\), on a des identifications canoniques \[\begin{align*} s : F((Z, q, n)) & \to F(Z, q, m) \otimes U^{m - n} \\ & \to F(Z, q, m) \otimes F(X, c_2, 0) \otimes \ldots \otimes F(X, c_2, 0) \\ & \to F((Z, q, m) \otimes (X, c_2, 0) \otimes \ldots \otimes (X, c_2, 0)) \\ & \to F((Z \times X^{m - n}, q \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, m)) \end{align*}\] En effet, pour le premier isomorphisme, on utilise la définition de \(F\) sur les motifs donnée ci-dessus. Pour le deuxième, on utilise le choix de \(U\). Pour le troisième, on utilise la compatibilité de \(F\) avec les produits tensoriels de motifs. Le quatrième est la définition du produit tensoriel des motifs. D’autre part, on a de même un isomorphisme \[\sigma : (Z, q, n) \to (Z \times X^{m - n}, q \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, m)\] (voir la démonstration du lemme 0FGF). En composant \(a\) avec cet isomorphisme, on obtient \[\sigma \circ a \in \Hom((Y, p, m), (Z \times X^{m - n}, q \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, m))\] En réunissant ces constructions, on obtient \[s^{-1} \circ F(\sigma \circ a) : F(Y, p, m) \to F(Z, q, n)\] Si \(n > m\), on définit de même des isomorphismes \[t : F((Y, p, m)) \to F((Y \times X^{n - m}, p \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, n))\] et \[\tau : (Y, p, m)) \to (Y \times X^{n - m}, p \otimes c_2 \otimes \ldots \otimes c_2, n)\], et l’on pose \(F(a) = F(a \circ \tau^{-1}) \circ t\). Nous omettons la vérification que cette construction définit un foncteur monoïdal symétrique.
Lemme
Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Alors \(h(X)(d)\) est un dual à gauche de \(h(X)\) dans \(M_k\).
Démonstration
Nous utiliserons le lemme 0FG0 sans le mentionner de nouveau. On calcule \[\Hom(\mathbf{1}, h(X) \otimes h(X)(d)) = \text{Corr}^d(\Spec(k), X \times X) = \CH^d(X \times X)\] On dispose ici de \(\eta = [\Delta]\). D’autre part, on a \[\Hom(h(X)(d) \otimes h(X), \mathbf{1}) = \text{Corr}^{-d}(X \times X, \Spec(k)) = \CH_d(X \times X)\], où l’on dispose également de la classe \(\epsilon = [\Delta]\) de la diagonale. La composition de la correspondance \([\Delta] \otimes 1\) avec \(1 \otimes [\Delta]\), dans un ordre ou dans l’autre, est la correspondance \([\Delta] = 1\) dans \(\text{Corr}^0(X, X)\) ; les diagrammes de Catégories, définition 0FFP, sont donc commutatifs. En effet, observons que \[[\Delta] \otimes 1 \in \text{Corr}^d(X, X \times X \times X) = \CH^{2d}(X \times X \times X \times X)\] est donnée par la classe du cycle \(\text{pr}^{1234, -1}_{23}(\Delta) \cap \text{pr}^{1234, -1}_{14}(\Delta)\), avec des notations évidentes. De même, la classe \[1 \otimes [\Delta] \in \text{Corr}^{-d}(X \times X \times X, X) = \CH^{2d}(X \times X \times X \times X)\] est donnée par la classe du cycle \(\text{pr}^{1234, -1}_{23}(\Delta) \cap \text{pr}^{1234, -1}_{14}(\Delta)\). La composée \((1 \otimes [\Delta]) \circ ([\Delta] \otimes 1)\) est, par définition, l’image directe par \(\text{pr}^{12345}_{15, *}\) du produit d’intersection \[[\text{pr}^{12345, -1}_{23}(\Delta) \cap \text{pr}^{12345, -1}_{14}(\Delta)] \cdot [\text{pr}^{12345, -1}_{34}(\Delta) \cap \text{pr}^{12345, -1}_{15}(\Delta)] = [\text{petite diagonale dans } X^5]\], qui est égale à \(\Delta\), comme voulu. Nous omettons la démonstration de la formule pour la composition dans l’autre ordre.
Lemme
Tout objet de \(M_k\) admet un dual à gauche.
Démonstration
Soit \(M = (X, p, m)\) un objet de \(M_k\). Alors \(M\) est un facteur direct de \((X, 1, m) = h(X)(m)\). D’après Homologie, lemme 0FFU, il suffit de montrer que \(h(X)(m) = h(X) \otimes \mathbf{1}(m)\) admet un dual. Par construction, \(\mathbf{1}(-m)\) est un dual à gauche de \(\mathbf{1}(m)\). Il suffit donc de montrer que \(h(X)\) admet un dual à gauche ; voir Catégories, lemme 0FFS. Soit \(X = \coprod X_i\) la décomposition de \(X\) en composantes irréductibles. Alors \(h(X) = \bigoplus h(X_i)\), et il suffit de montrer que \(h(X_i)\) admet un dual à gauche ; voir Homologie, lemme 0FFT. Cela résulte du lemme 0FGI.
Groupes de Chow des motifs
Nous définissons les groupes de Chow d’un motif comme suit.
Définition
Soit \(k\) un corps de base et soit \(M = (X, p, m)\) un motif de Chow sur \(k\). Pour \(i \in \mathbf{Z}\), nous définissons le \(i\)-ième groupe de Chow de \(M\) par la formule \[\CH^i(M) = p\left(\CH^{i + m}(X) \otimes \mathbf{Q}\right)\]
On a \(\CH^i(h(X)) = \CH^i(X) \otimes \mathbf{Q}\) si \(X\) est un schéma projectif lisse sur \(k\).
Observons que \(\CH^i(-)\) est un foncteur de \(M_k\) dans les espaces vectoriels sur \(\mathbf{Q}\). En effet, si \(c : M \to N\) est un morphisme de motifs \(M = (X, p, m)\) et \(N = (Y, q, n)\), alors \(c\) est une correspondance de degré \(n - m\) de \(X\) dans \(Y\) ; l’image directe par \(c\) (section 0FFZ) est donc une famille d’applications \[c_* : \CH^{i + m}(X) \otimes \mathbf{Q} \longrightarrow \CH^{i + n}(Y) \otimes \mathbf{Q}\] Puisque \(c = q \circ c \circ p\) par définition des morphismes de motifs, on obtient bien \[c_* : \CH^i(M) \to \CH^i(N)\] pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). Cette construction est compatible avec la composition des morphismes de motifs, d’après le lemme 0FG0. Cette fonctorialité des groupes de Chow peut également se déduire du lemme suivant.
Lemme
Soit \(k\) un corps de base. Le foncteur \(\CH^i(-)\) sur la catégorie des motifs \(M_k\) est représentable par \(\mathbf{1}(-i)\) ; autrement dit, on a \[\CH^i(M) = \Hom_{M_k}(\mathbf{1}(-i), M)\], fonctoriellement en \(M\) dans \(M_k\).
Démonstration
Cela résulte immédiatement des définitions et du lemme 0FG0.
Le lecteur peut prévoir que le lemme 0FGM, le lemme de Yoneda et la dualité du lemme 0FGI permettent d’obtenir le résultat suivant.
Lemme
Soit \(k\) un corps de base et soit \(c : M \to N\) un morphisme de motifs. Si, pour tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\), l’application \(c \otimes 1 : M \otimes h(X) \to N \otimes h(X)\) induit un isomorphisme sur les groupes de Chow, alors \(c\) est un isomorphisme.
Démonstration
Tout objet \(L\) de \(M_k\) est un facteur direct de \(h(X)(m)\) pour un schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\) et un entier \(m \in \mathbf{Z}\) convenables. Observons que les groupes de Chow de \(M \otimes h(X)(m)\) sont les mêmes que ceux de \(M \otimes h(X)\), à un décalage des degrés près. Notre hypothèse entraîne donc que \(c \otimes 1 : M \otimes L \to N \otimes L\) induit un isomorphisme sur les groupes de Chow pour tout objet \(L\) de \(M_k\). D’après le lemme 0FGM, l’application \[\Hom_{M_k}(\mathbf{1}, M \otimes L) \to \Hom_{M_k}(\mathbf{1}, N \otimes L)\] est un isomorphisme pour tout \(L\). Tout objet de \(M_k\) admettant un dual à gauche (lemme 0FGJ), il en résulte que \[\Hom_{M_k}(K, M) \to \Hom_{M_k}(K, N)\] est un isomorphisme pour tout objet \(K\) de \(M_k\) ; voir Catégories, lemme 0FFQ. On conclut par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P).
Formule du fibré projectif
Soit \(k\) un corps de base et soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang \(r\). Nous adoptons la convention selon laquelle le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\) est le morphisme \[\xymatrix{ P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_X(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \ar[r]^-p & X }\] sur \(X\), où \(\mathcal{O}_P(1)\) est normalisé de telle sorte que \(p_*(\mathcal{O}_P(1)) = \mathcal{E}\). Rappelons que \[[\Gamma_p] \in \text{Corr}^0(X, P) \subset \CH^*(X \times P) \otimes \mathbf{Q}\] Voir l’exemple 0FG1. Pour \(i = 0, \ldots, r - 1\), considérons les correspondances \[c_i = c_1(\text{pr}_2^*\mathcal{O}_P(1))^i \cap [\Gamma_p] \in \text{Corr}^i(X, P)\] Nous considérons désormais \(c_i\) comme un morphisme \(h(X)(-i) \to h(P)\).
Lemme
Dans la situation ci-dessus, l’application \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} c_i : \bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} h(X)(-i) \longrightarrow h(P)\] est un isomorphisme dans la catégorie des motifs.
Démonstration
D’après le lemme 0FGN, il suffit de montrer que notre application définit un isomorphisme sur les groupes de Chow des motifs après produit par un schéma projectif lisse quelconque \(Z\). Observons que \(P \times Z \to X \times Z\) est le fibré projectif associé à l’image réciproque de \(\mathcal{E}\) sur \(X \times Z\). L’assertion sur les groupes de Chow résulte donc de la formule du fibré projectif donnée dans Homologie de Chow, lemme 02TX. En effet, l’image directe des cycles par \([\Gamma_p]\) est donnée par l’image réciproque des cycles par \(p\), d’après le lemme 0FG5 et Homologie de Chow, lemme 0FF4. L’image directe par \(c_i\) envoie donc \(\alpha\) sur \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap p^*\alpha\). Nous omettons certains détails.
Dans la situation ci-dessus, pour \(j = 0, \ldots, r - 1\), considérons les correspondances \[c'_j = c_1(\text{pr}_1^*\mathcal{O}_P(1))^{r - 1 - j} \cap [\Gamma_p^t] \in \text{Corr}^{-j}(P, X)\] Pour \(i, j \in \{0, \ldots, r - 1\}\), on a \[c'_j \circ c_i = \text{pr}_{13, *}\left( c_1(\text{pr}_2^*\mathcal{O}_P(1))^{i + r - 1 - j} \cap (\text{pr}_{12}^*[\Gamma_p] \cdot \text{pr}_{23}^*[\Gamma_p^t]) \right)\] Les cycles \(\text{pr}_{12}^{-1}\Gamma_p\) et \(\text{pr}_{23}^{-1}\Gamma_p^t\) se coupent transversalement, et leur intersection est l’image de \((p, 1, p) : P \to X \times P \times X\). Observons que les fibres de \((p, p) = \text{pr}_{13} \circ (p, 1, p) : P \to X \times X\) sont de dimension \(r - 1\). On en déduit immédiatement \(c'_j \circ c_i = 0\) pour \(i + r - 1 - j < r - 1\), autrement dit lorsque \(i < j\). D’autre part, d’après la formule du fibré projectif (Homologie de Chow, lemme 02TX), le cycle \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap [P]\) a pour image \([X]\) dans \(X\). Ainsi, pour \(i = j\), l’image directe ci-dessus donne la classe de la diagonale ; on a donc \[c'_i \circ c_i = 1 \in \text{Corr}^0(X, X)\] pour tout \(i \in \{0, \ldots, r - 1\}\). La matrice de la composée \[\bigoplus h(X)(-i) \xrightarrow{\bigoplus c_i} h(P) \xrightarrow{\bigoplus c'_j} \bigoplus h(X)(-j)\] est donc inversible (elle est triangulaire supérieure, avec des \(1\) sur la diagonale). La formule du fibré projectif (lemme 0FGQ) entraîne que la composée dans l’autre ordre est elle aussi inversible, mais une démonstration directe semble un peu plus difficile.
Lemme
Soit \(p : P \to X\) comme dans le lemme 0FGQ. La classe \([\Delta_P]\) de la diagonale de \(P\) dans \(\CH^*(P \times P)\) s’écrit \[[\Delta_P] = \left(\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} {r - 1 \choose i} c_{r - 1 - i}(\text{pr}_1^*\mathcal{S}^\vee) \cap c_1(\text{pr}_2^*\mathcal{O}_P(1))^i\right) \cap (p \times p)^*[\Delta_X]\], où \(\mathcal{S}\) est le noyau de la surjection canonique \(p^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_P(1)\).
Démonstration
Observons que \((p \times p)^*[\Delta_X] = [P \times_X P]\). Puisque \(\Delta_P \subset P \times_X P \subset P \times P\) et que le cap-produit par les classes de Chern commute à l’image directe propre (Homologie de Chow, lemme 02U9), il suffit de montrer que la classe de \(\Delta_P \subset P \times_X P\) dans \(\CH^*(P \times_X P)\) est égale à \[\left(\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} {r - 1 \choose i} c_{r - 1 - i}(q_1^*\mathcal{S}^\vee) \cap c_1(q_2^*\mathcal{O}_P(1))^i\right) \cap [P \times_X P]\], où \(q_i : P \times_X P \to P\), pour \(i = 1, 2\), sont les projections. Posons \(q = p \circ q_1 = p \circ q_2 : P \times_X P \to X\). Considérons les applications \[q_1^*\mathcal{S} \otimes q_2^*\mathcal{O}_P(-1) \to q^*\mathcal{E} \otimes q^*\mathcal{E}^\vee \to \mathcal{O}_{P \times_X P}\], où la dernière flèche est l’image réciproque par \(q\) de l’application d’évaluation \(\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}^\vee \to \mathcal{O}_X\). La source de la composée est un module localement libre de rang \(r - 1\), et un calcul local montre que cette application s’annule exactement le long de \(\Delta_P\). D’après Homologie de Chow, lemme 0FA9, la classe \([\Delta_P]\) est la classe de Chern de degré maximal du dual \[q_1^*\mathcal{S}^\vee \otimes q_2^*\mathcal{O}_P(1)\] Le résultat voulu découle de Homologie de Chow, lemme 02UD.
Théories cohomologiques de Weil classiques
Nous définissons dans cette section ce que nous appellerons une théorie cohomologique de Weil classique. Il s’agit exactement de ce qui est appelé une théorie cohomologique de Weil dans [Kleiman-cycles, section 1.2].
Fixons un corps algébriquement clos \(k\) (le corps de base). Dans cette section, variété signifie variété sur \(k\) ; voir Variétés, section 020C. Fixons un corps \(F\) de caractéristique \(0\) (le corps de coefficients). Une théorie cohomologique de Weil est définie par des données (D1), (D2) et (D3) soumises aux axiomes (A), (B) et (C).
Les données sont les suivantes :
Un foncteur contravariant \(H^*\) de la catégorie des variétés projectives lisses dans la catégorie des \(F\)-algèbres graduées commutatives.
Pour toute variété projective lisse \(X\), un homomorphisme de groupes \(\gamma : \CH^i(X) \to H^{2i}(X)\).
Pour toute variété projective lisse \(X\) de dimension \(d\), une application \(\int_X : H^{2d}(X) \to F\).
Précisons le sens de ces données par quelques remarques et introduisons la terminologie correspondante.
Remarques sur (D1). Pour une variété projective lisse \(X\), on appelle \(H^*(X)\) la cohomologie de \(X\). Pour un morphisme \(f : X \to Y\) de variétés projectives lisses, on note \(f^* : H^*(Y) \to H^*(X)\) l’application \(H^*(f)\) et on l’appelle l’application d’image réciproque.
Remarques sur (D2). L’application \(\gamma\) est appelée l’application classe de cycle. On appelle \(\gamma(\alpha)\) la classe de cohomologie de \(\alpha\). Si \(Z \subset Y \subset X\) sont des sous-schémas fermés, avec \(Y\) et \(X\) des variétés projectives lisses et \(Z\) intègre, alors \([Z]\) peut désigner la classe du cycle \([Z]\) dans \(\CH^*(Y)\) ou dans \(\CH^*(X)\). Dans ce cas, la notation \(\gamma([Z])\) est ambiguë, et son sens doit être déduit du contexte.
Remarques sur (D3). L’application \(\int_X\) est parfois appelée l’application trace et est parfois notée \(\text{Tr}_X\).
Le premier axiome est souvent appelé dualité de Poincaré :
Soit \(X\) une variété projective lisse de dimension \(d\). Alors :
\(\dim_F H^i(X) < \infty\) pour tout \(i\) ;
\(H^i(X) \times H^{2d - i}(X) \rightarrow H^{2d}(X) \rightarrow F\) est un accouplement parfait pour tout \(i\), la dernière application étant l’application trace \(\int_X\) ;
\(H^i(X) = 0\) sauf si \(i \in [0, 2d]\) ;
\(\int_X : H^{2d}(X) \to F\) est un isomorphisme.
Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de variétés projectives lisses, avec \(\dim(X) = d\) et \(\dim(Y) = e\). À l’aide de la dualité de Poincaré, on peut définir une image directe \[f_* : H^{2d - i}(X) \longrightarrow H^{2e - i}(Y)\] comme l’application contragrédiente de l’application linéaire \(f^* : H^i(Y) \to H^i(X)\). Explicitement, pour \(a \in H^{2d - i}(X)\), l’élément \(f_*a \in H^{2e - i}(Y)\) est caractérisé par \[\int_X f^*b \cup a = \int_Y b \cup f_*a\] pour tout \(b \in H^i(Y)\).
Lemme
Supposons que les données (D1) et (D3) satisfassent à (A). Pour \(f : X \to Y\) un morphisme de variétés projectives lisses, on a \(f_*(f^*b \cup a) = b \cup f_*a\). Si \(g : Y \to Z\) est un second morphisme de variétés projectives lisses, alors \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\).
Démonstration
La première égalité résulte de \[\int_Y c \cup b \cup f_*a = \int_X f^*c \cup f^*b \cup a = \int_Y c \cup f_*(f^*b \cup a).\] La seconde résulte de \[\int_Z c \cup (g \circ f)_*a = \int_X (g \circ f)^*c \cup a = \int_X f^* g^* c \cup a = \int_Y g^*c \cup f_*a = \int_Z c \cup g_*f_*a\] Cela achève la démonstration.
Le deuxième axiome exprime que \(H^*\) respecte la structure monoïdale donnée par les produits, au moyen de la formule de Künneth :
Soient \(X\) et \(Y\) des variétés projectives lisses. L’application \[H^*(X) \otimes_F H^*(Y) \to H^*(X \times Y),\quad a \otimes b \mapsto \text{pr}_1^*a \cup \text{pr}_2^*b\] est un isomorphisme.
Le troisième axiome porte sur les applications classes de cycles :
Les applications classes de cycles satisfont aux règles suivantes :
pour un morphisme \(f : X \to Y\) de variétés projectives lisses, on a \(\gamma(f^!\beta) = f^*\gamma(\beta)\) pour \(\beta \in \CH^*(Y)\) ;
pour un morphisme \(f : X \to Y\) de variétés projectives lisses, on a \(\gamma(f_*\alpha) = f_*\gamma(\alpha)\) pour \(\alpha \in \CH^*(X)\) ;
pour toute variété projective lisse \(X\), on a \(\gamma(\alpha \cdot \beta) = \gamma(\alpha) \cup \gamma(\beta)\) pour \(\alpha, \beta \in \CH^*(X)\) ;
\(\int_{\Spec(k)} \gamma([\Spec(k)]) = 1\).
Remarque
Soit \(X\) une variété projective lisse. On obtient des applications \[H^*(X) \otimes_F H^*(X) \longrightarrow H^*(X \times X) \xrightarrow{\Delta^*} H^*(X)\], où la première flèche est celle de l’axiome (B) et \(\Delta^*\) est l’image réciproque par le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times X\). La composée est le cup-produit, puisque l’image réciproque est un homomorphisme d’algèbres et que \(\text{pr}_i \circ \Delta = \text{id}\). D’autre part, pour des cycles \(\alpha, \beta\) sur \(X\), le produit d’intersection est défini par la formule \[\alpha \cdot \beta = \Delta^!(\alpha \times \beta)\] Autrement dit, \(\alpha \cdot \beta\) est l’image réciproque du produit extérieur \(\alpha \times \beta\) sur \(X \times X\) par la diagonale. Notons aussi que \(\alpha \times \beta = \text{pr}_1^*\alpha \cdot \text{pr}_2^*\beta\) dans \(\CH^*(X \times X)\) (nous omettons la démonstration). Ainsi, sous l’axiome (C)(a), l’axiome (C)(c) équivaut à la compatibilité de \(\gamma\) avec le produit extérieur, au sens où \(\gamma(\alpha \times \beta)\) est égal à \(\text{pr}_1^*\gamma(\alpha) \cup \text{pr}_2^*\gamma(\beta)\). C’est ainsi que l’axiome (C)(c) est formulé dans [Kleiman-cycles].
Définition
Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). Une théorie cohomologique de Weil classique sur \(k\) à coefficients dans \(F\) est définie par des données (D1), (D2) et (D3) satisfaisant à la dualité de Poincaré, à la formule de Künneth et à la compatibilité avec les classes de cycles, plus précisément aux axiomes (A), (B) et (C).
Établissons quelques conséquences élémentaires.
Lemme
Soit \(H^*\) une théorie cohomologique de Weil classique (définition 0FGV). Soit \(X\) une variété projective lisse de dimension \(d\). Le diagramme \[\xymatrix{ \CH^d(X) \ar[r]_-\gamma \ar@{=}[d] & H^{2d}(X) \ar[d]^{\int_X} \\ \CH_0(X) \ar[r]^\deg & F }\] est commutatif, où \(\deg : \CH_0(X) \to \mathbf{Z}\) est le degré des zéro-cycles étudié dans Homologie de Chow, section 0AZ0.
Démonstration
Le résultat vaut pour \(\Spec(k)\) d’après l’axiome (C)(d). Soit \(x : \Spec(k) \to X\) un point fermé de \(X\). Alors \(\gamma([x]) = x_*\gamma([\Spec(k)])\) dans \(H^{2d}(X)\), d’après l’axiome (C)(b). Par conséquent, \(\int_X \gamma([x]) = 1\) par définition de \(x_*\).
Lemme
Soit \(H^*\) une théorie cohomologique de Weil classique (définition 0FGV). Soient \(X\) et \(Y\) des variétés projectives lisses. Alors \(\int_{X \times Y} = \int_X \otimes \int_Y\).
Démonstration
Posons \(\dim(X) = d\) et \(\dim(Y) = e\). D’après l’axiome (B), on a \(H^{2d + 2e}(X \times Y) = H^{2d}(X) \otimes H^{2e}(Y)\), et cet espace est de dimension \(1\) d’après l’axiome (A)(d). D’après le lemme 0FGW, cet espace vectoriel de dimension \(1\) est engendré par la classe \(\gamma([x \times y])\) d’un point fermé \((x, y)\), et \(\int_{X \times Y} \gamma([x \times y]) = 1\). Puisque \(\gamma([x \times y]) = \gamma([x]) \otimes \gamma([y])\) d’après les axiomes (C)(a) et (C)(c), et puisque \(\int_X \gamma([x]) = 1\) et \(\int_Y \gamma([y]) = 1\), on obtient la conclusion.
Lemme
Soit \(H^*\) une théorie cohomologique de Weil classique (définition 0FGV). Soient \(X\) et \(Y\) des variétés projectives lisses. Alors \(\text{pr}_{2, *} : H^*(X \times Y) \to H^*(Y)\) envoie \(a \otimes b\) sur \((\int_X a) b\).
Démonstration
Cela équivaut au résultat du lemme 0FGX.
Lemme
Soit \(H^*\) une théorie cohomologique de Weil classique (définition 0FGV). Soit \(X\) une variété projective lisse de dimension \(d\). Choisissons une base \(e_{i, j}, j = 1, \ldots, \beta_i\) de \(H^i(X)\) sur \(F\). À l’aide de la formule de Künneth, écrivons \[\gamma([\Delta]) = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, 2d} \sum\nolimits_j e_{i, j} \otimes e'_{2d - i , j} \quad\text{dans}\quad \bigoplus\nolimits_i H^i(X) \otimes_F H^{2d - i}(X)\] avec \(e'_{2d - i, j} \in H^{2d - i}(X)\). Alors \(\int_X e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j'} = (-1)^i\delta_{jj'}\).
Démonstration
Rappelons que \(\Delta^* : H^*(X \times X) \to H^*(X)\) est l’application donnée par le cup-produit \(H^*(X) \otimes_F H^*(X) \to H^*(X)\) ; voir la remarque 0FGU. D’autre part, on a \(\gamma([\Delta]) = \Delta_*\gamma([X]) = \Delta_*1\) d’après l’axiome (C)(b) et le fait que \(\gamma([X]) = 1\). En effet, \([X] \cdot [X] = [X]\) ; ainsi, par l’axiome (C)(c), la classe de cohomologie \(\gamma([X])\) vaut \(0\) ou \(1\) dans l’algèbre de dimension \(1\) sur \(F\), \(H^0(X)\) ; nous avons aussi utilisé ici les axiomes (A)(d) et (A)(b). Mais \(\gamma([X])\) ne peut être nulle, car \([X] \cdot [x] = [x]\) pour un point fermé \(x\) de \(X\), et \(\gamma([x])\) est non nulle d’après le lemme 0FGW. Par conséquent, \[\int_{X \times X} \gamma([\Delta]) \cup a \otimes b = \int_{X \times X} \Delta_*1 \cup a \otimes b = \int_X a \cup b\], par définition de \(\Delta_*\). D’autre part, on a \[\int_{X \times X} (\sum e_{i, j} \otimes e'_{2d -i , j}) \cup a \otimes b = \sum (\int_X a \cup e_{i, j})(\int_X e'_{2d - i, j} \cup b)\], d’après le lemme 0FGX ; notons que nous avons effectué deux échanges, de sorte que le signe est \(1\). Ainsi, si l’on choisit \(a\) de sorte que \(\int_X a \cup e_{i, j} = 1\) et que tous les autres accouplements soient nuls, on en déduit \(\int_X e'_{2d - i, j} \cup b = \int_X a \cup b\) pour tout \(b\), c’est-à-dire \(e'_{2d - i, j} = a\). Le lemme est démontré.
Lemme
Soit \(H^*\) une théorie cohomologique de Weil classique (définition 0FGV). Soit \(X\) une variété projective lisse. On a \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, 2\dim(X)} (-1)^i\dim_F H^i(X) = \deg([\Delta] \cdot [\Delta]) = \deg(c_d(\mathcal{T}_X) \cap [X])\]
Démonstration
Démontrons l’égalité de droite. On a \([\Delta] \cdot [\Delta] = \Delta_*(\Delta^![\Delta])\) (Homologie de Chow, lemme 0FFE). Puisque \(\Delta_*\) préserve les degrés des \(0\)-cycles, il suffit de calculer le degré de \(\Delta^![\Delta]\). La classe \(\Delta^![\Delta]\) est donnée par le cap-produit de \([\Delta]\) avec la classe de Chern de degré maximal du faisceau normal de \(\Delta \subset X \times X\) (Homologie de Chow, lemme 0FBM). Puisque le faisceau conormal de \(\Delta\) est \(\Omega_{X/k}\) (Morphismes, lemme 08S2), le faisceau normal est égal au faisceau tangent \(\mathcal{T}_X = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X)\), comme voulu.
Démontrons l’égalité de gauche. D’après le lemme 0FGW, on a \[\begin{align*} \deg([\Delta] \cdot [\Delta]) & = \int_{X \times X} \gamma([\Delta]) \cup \gamma([\Delta]) \\ & = \int_{X \times X} \Delta_*1 \cup \gamma([\Delta]) \\ & = \int_{X \times X} \Delta_*(\Delta^*\gamma([\Delta])) \\ & = \int_X \Delta^*\gamma([\Delta]) \end{align*}\] Écrivons \(\gamma([\Delta]) = \sum e_{i, j} \otimes e'_{2d - i , j}\) comme dans le lemme 0FGZ. En rappelant que \(\Delta^*\) est donné par le cup-produit, on obtient \[\int_X \sum\nolimits_{i, j} e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j} = \sum\nolimits_{i, j} \int_X e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j} = \sum\nolimits_{i, j} (-1)^i = \sum (-1)^i\beta_i\], comme voulu.
Relions maintenant les théories cohomologiques de Weil classiques aux motifs.
Lemme
Soit \(k\) un corps algébriquement clos et soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). Considérons un foncteur \(\mathbf{Q}\)-linéaire \[G : M_k \longrightarrow \text{espaces vectoriels gradués sur }F\text{}\] qui est monoïdal symétrique et tel que \(G(\mathbf{1}(1))\) ne soit non nul qu’en degré \(-2\). On obtient alors des données (D1), (D2), (D3) satisfaisant à tous les axiomes (A), (B), (C), sauf peut-être (A)(c) et (A)(d).
Démonstration
On obtient un foncteur contravariant de la catégorie des variétés projectives lisses dans celle des espaces vectoriels gradués sur \(F\) en posant \(H^*(X) = G(h(X))\). Par hypothèse, on dispose d’un isomorphisme canonique \[H^*(X \times Y) = G(h(X \times Y)) = G(h(X) \otimes h(Y)) = G(h(X)) \otimes G(h(Y)) = H^*(X) \otimes H^*(Y)\], compatible avec les images réciproques. L’image réciproque par la diagonale \(\Delta : X \to X \times X\) donne une application canonique \[H^*(X) \otimes H^*(X) = H^*(X \times X) \to H^*(X)\] d’espaces vectoriels gradués, compatible avec les images réciproques. Cela définit une structure fonctorielle de \(F\)-algèbre graduée sur \(H^*(X)\). Puisque \(\Delta\) commute à la contrainte de commutativité \(h(X) \otimes h(X) \to h(X) \otimes h(X)\) (qui échange les facteurs), que \(G\) est un foncteur monoïdal symétrique (donc compatible avec les contraintes de commutativité), et compte tenu de notre convention dans Homologie, exemple 0FFX, on en déduit que \(H^*(X)\) est une algèbre graduée commutative ! Nous obtenons ainsi la donnée (D1).
Puisque \(\mathbf{1}(1)\) est inversible dans la catégorie des motifs, \(G(\mathbf{1}(1))\) est inversible dans la catégorie des espaces vectoriels gradués sur \(F\). Ainsi, \(\sum_i \dim_F G^i(\mathbf{1}(1)) = 1\). Par hypothèse, le seul degré où cet objet est non nul est \(-2\), et l’on peut choisir un isomorphisme \(F[2] \to G(\mathbf{1}(1))\) d’espaces vectoriels gradués sur \(F\). Ici et dans la suite, \(F[n]\) désigne l’espace vectoriel gradué sur \(F\) ayant \(F\) en degré \(-n\) et zéro ailleurs. La compatibilité avec les produits tensoriels donne, pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), un isomorphisme \(F[2n] \to G(\mathbf{1}(n))\) compatible avec les produits tensoriels.
Soit \(X\) une variété projective lisse. D’après le lemme 0FG0, on a \[\CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} = \text{Corr}^r(\Spec(k), X) = \Hom(\mathbf{1}(-r), h(X))\] En appliquant le foncteur \(G\), on obtient \[\gamma : \CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} \longrightarrow \Hom(G(\mathbf{1}(-r)), H^*(X)) = H^{2r}(X)\] C’est la donnée (D2).
Soit \(X\) une variété projective lisse de dimension \(d\). D’après le lemme 0FG0, on a \[\Mor(h(X)(d), \mathbf{1}) = \Mor((X, 1, d), (\Spec(k), 1, 0)) = \text{Corr}^{-d}(X, \Spec(k)) = \CH_d(X)\] La classe du cycle \([X]\) dans \(\CH_d(X)\) définit donc un morphisme \(h(X)(d) \to \mathbf{1}\). En appliquant \(G\), on obtient \[H^*(X) \otimes F[-2d] = G(h(X)(d)) \longrightarrow G(\mathbf{1}) = F\] Cette application est nulle sauf en degré \(0\), où l’on obtient \(\int_X : H^{2d}(X) \to F\). C’est la donnée (D3).
Soit \(X\) une variété projective lisse de dimension \(d\). D’après le lemme 0FGI, \(h(X)(d)\) est un dual à gauche de \(h(X)\). Par conséquent, \(G(h(X)(d)) = H^*(X) \otimes F[-2d]\) est un dual à gauche de \(H^*(X)\) dans la catégorie des espaces vectoriels gradués sur \(F\). D’après Homologie, lemme 0FFV, on a \(\sum_i \dim_F H^i(X) < \infty\), et \(\epsilon : h(X)(d) \otimes h(X) \to \mathbf{1}\) donne des accouplements non dégénérés \(H^{2d - i}(X) \otimes_F H^i(X) \to F\). Dans la démonstration du lemme 0FGI, nous avons vu que \(\epsilon\) est donné par \([\Delta]\) au moyen des identifications \[\Hom(h(X)(d) \otimes h(X), \mathbf{1}) = \text{Corr}^{-d}(X \times X, \Spec(k)) = \CH_d(X \times X)\] Ainsi, \(\epsilon\) est la composée de \([X] : h(X)(d) \to \mathbf{1}\) et de \(h(\Delta)(d) : h(X)(d) \otimes h(X) \to h(X)(d)\). Il s’ensuit que les accouplements ci-dessus sont donnés par le cup-produit suivi de \(\int_X\). Cela démontre les parties (a) et (b) de l’axiome (A).
L’axiome (B) résulte de la compatibilité de \(G\) avec les structures tensorielles, supposée par hypothèse, et de notre construction du cup-produit ci-dessus.
Axiome (C). Notre construction de \(\gamma\) prend un cycle \(\alpha\) sur \(X\), l’interprète comme une correspondance \(a\) de \(\Spec(k)\) dans \(X\) d’un certain degré, puis lui applique \(G\). Si \(f : Y \to X\) est un morphisme de variétés projectives lisses, alors \(f^!\alpha\) est l’image directe (!) de \(\alpha\) par la correspondance \([\Gamma_f]\) de \(X\) dans \(Y\) ; voir le lemme 0FG5. Ainsi, \(f^!\alpha\), considéré comme une correspondance de \(\Spec(k)\) dans \(Y\), est égal à \(a \circ [\Gamma_f]\) ; voir le lemme 0FG0. Puisque \(G\) est un foncteur, on en déduit que \(\gamma\) est compatible avec les images réciproques, ce qui est l’axiome (C)(a).
Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de variétés projectives lisses et soit \(\beta \in \CH^r(Y)\) un cycle sur \(Y\). Il faut montrer que \[\int_Y \gamma(\beta) \cup f^*c = \int_X \gamma(f_*\beta) \cup c\] pour tout \(c \in H^*(X)\). Soient \(a, a^t, \eta_X, \eta_Y, [X], [Y]\) comme dans le lemme 0FG8. Soit \(b\) le cycle \(\beta\) considéré comme une correspondance de \(\Spec(k)\) dans \(Y\) de degré \(r\). Alors \(f_*\beta\), considéré comme une correspondance de \(\Spec(k)\) dans \(X\), est égal à \(a^t \circ b\) ; voir les lemmes 0FG5 et 0FG0. L’égalité affichée ci-dessus sera vérifiée si l’on montre que \[h(X) = \mathbf{1} \otimes h(X) \xrightarrow{b \otimes 1} h(Y)(r) \otimes h(X) \xrightarrow{1 \otimes a} h(Y)(r) \otimes h(Y) \xrightarrow{\eta_Y} h(Y)(r) \xrightarrow{[Y]} \mathbf{1}(r - e)\] est égal à \[h(X) = \mathbf{1} \otimes h(X) \xrightarrow{a^t \circ b \otimes 1} h(X)(r + d - e) \otimes h(X) \xrightarrow{\eta_X} h(X)(r + d - e) \xrightarrow{[X]} \mathbf{1}(r - e)\] Cela résulte immédiatement du lemme 0FG8. L’axiome (C)(b) est donc vérifié.
Pour démontrer l’axiome (C)(c), nous utilisons la discussion de la remarque 0FGU. Il suffit donc de démontrer que \(\gamma\) est compatible avec les produits extérieurs. Soient \(X\) et \(Y\) des variétés projectives lisses et soient \(\alpha\) et \(\beta\) des cycles sur ces variétés. Notons \(a\) et \(b\) les correspondances associées de \(\Spec(k)\) dans \(X\) et \(Y\). Alors \(\alpha \times \beta\) correspond à la correspondance \(a \otimes b\) de \(\Spec(k)\) dans \(X \otimes Y = X \times Y\). La propriété voulue résulte donc de la compatibilité de \(G\) avec les structures tensorielles de part et d’autre.
L’axiome (C)(d) résulte de ce que le cycle \([\Spec(k)]\) correspond au morphisme identique de \(h(\Spec(k))\). Cela achève la démonstration du lemme.
Lemme
Soit \(k\) un corps algébriquement clos et soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). Soit \(H^*\) une théorie cohomologique de Weil classique. On peut alors construire un foncteur \(\mathbf{Q}\)-linéaire \[G : M_k \longrightarrow \text{espaces vectoriels gradués sur }F\text{}\] monoïdal symétrique tel que \(H^*(X) = G(h(X))\).
Démonstration
D’après le lemme 0FGH, il suffit de construire un foncteur \(G\) sur la catégorie des schémas projectifs lisses sur \(k\), dont les morphismes sont les correspondances de degré \(0\), tel que l’image de \(G(c_2)\) dans \(G(\mathbf{P}^1)\) soit un espace vectoriel gradué inversible sur \(F\). Tout schéma projectif lisse étant canoniquement une réunion disjointe de variétés projectives lisses, il suffit de construire \(G\) sur la catégorie dont les objets sont les variétés projectives lisses et les morphismes les correspondances de degré \(0\). (Nous omettons certains détails.)
Pour une variété projective lisse \(X\), nous posons \(G(X) = H^*(X)\).
Pour une correspondance \(c \in \text{Corr}^0(X, Y)\) entre variétés projectives lisses, considérons l’application \(G(c) : G(X) = H^*(X) \to G(Y) = H^*(Y)\) donnée par la règle \[a \longmapsto G(c)(a) = \text{pr}_{2, *}(\gamma(c) \cup \text{pr}_1^*a)\] Il est clair que \(G(c)\) est additive en \(c\), donc \(\mathbf{Q}\)-linéaire. La compatibilité de \(\gamma\) avec les images réciproques, les images directes et les produits d’intersection, donnée par les axiomes (C)(a), (C)(b) et (C)(c), montre que \(G(c' \circ c) = G(c') \circ G(c)\) si \(c' \in \text{Corr}^0(Y, Z)\). En effet, pour \(a \in H^*(X)\), on a \[\begin{align*} (G(c') \circ G(c))(a) & = \text{pr}^{23}_{3, *}(\gamma(c') \cup \text{pr}^{23, *}_2(\text{pr}^{12}_{2, *}(\gamma(c) \cup \text{pr}^{12, *}_1a))) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *}(\gamma(c') \cup \text{pr}^{123}_{23, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}(\gamma(c) \cup \text{pr}^{12, *}_1 a))) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *} \text{pr}^{123}_{23, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}\gamma(c') \cup \text{pr}^{123, *}_{12}\gamma(c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *} \text{pr}^{123}_{23, *}( \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c') \cup \gamma(\text{pr}^{123, *}_{12}c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{13}_{3, *} \text{pr}^{123}_{13, *}( \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{13}_{3, *}( \gamma(\text{pr}^{123}_{13, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c)) \cup \text{pr}^{13, *}_1 a) \\ & = G(c' \circ c)(a) \end{align*}\], avec des notations évidentes. La première égalité résulte des définitions. La deuxième résulte de l’égalité \(\text{pr}^{23, *}_2 \circ \text{pr}^{12}_{2, *} = \text{pr}^{123}_{23, *} \circ \text{pr}^{123, *}_{12}\), qui découle immédiatement de la description de l’image directe par les projections donnée dans le lemme 0FGY. La troisième égalité résulte du lemme 0FGT et du fait que \(H^*\) est un foncteur. La quatrième égalité résulte de l’axiome (C)(a) et du fait que le morphisme de Gysin coïncide avec l’image réciproque plate pour les morphismes plats (Homologie de Chow, lemme 0FF4). La cinquième utilise l’axiome (C)(c), ainsi que le lemme 0FGT, pour obtenir \(\text{pr}^{23}_{3, *} \circ \text{pr}^{123}_{23, *} = \text{pr}^{13}_{3, *} \circ \text{pr}^{123}_{13, *}\). La sixième utilise la formule de projection du lemme 0FGT, ainsi que l’axiome (C)(b), pour obtenir \(\text{pr}^{123}_{13, *} \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c) = \gamma(\text{pr}^{123}_{13, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c))\). Enfin, la dernière égalité est la définition.
Pour achever la démonstration que \(G\) est un foncteur, il faut montrer qu’il préserve les identités. Autrement dit, si \(1 = [\Delta] \in \text{Corr}^0(X, X)\) est l’identité dans la catégorie des correspondances (voir le lemme 0FG2 et sa démonstration), il faut montrer que \(G([\Delta]) = \text{id}\). Cela résulte de la détermination de \(\gamma([\Delta])\) dans le lemme 0FGZ et du lemme 0FGY. La construction de \(G\) comme foncteur sur les variétés projectives lisses et les correspondances de degré \(0\) est ainsi achevée.
Il résulte des axiomes (A)(c) et (A)(d) que \(G(\Spec(k)) = H^*(\Spec(k))\) est canoniquement isomorphe à \(F\) comme \(F\)-algèbre. L’axiome de Künneth (B) montre que notre foncteur est compatible avec les produits tensoriels. Il est donc un foncteur monoïdal symétrique.
Il reste à vérifier que l’image de \(G(c_2)\) dans \(G(\mathbf{P}^1)\) est un espace vectoriel gradué inversible sur \(F\) (en particulier, nous ne savons pas encore que \(G\) se prolonge à \(M_k\)). D’après l’axiome (A)(d), l’application \(\int_{\mathbf{P}^1} : H^2(\mathbf{P}^1) \to F\) est un isomorphisme. D’après l’axiome (A)(b), on a \(\dim_F H^0(\mathbf{P}^1) = 1\). Le lemme 0FH0 et l’axiome (A)(c) donnent \(2 - \dim_F H^1(\mathbf{P}^1) = c_1(T_{\mathbf{P}^1}) = 2\). Ainsi, \(H^1(\mathbf{P}^1) = 0\). Par conséquent, \[G(\mathbf{P}^1) = H^0(\mathbf{P}^1) \oplus H^2(\mathbf{P}^1)\] Rappelons que \(1 = c_0 + c_2\) est une décomposition de l’identité en somme d’idempotents orthogonaux dans \(\text{Corr}^0(\mathbf{P}^1, \mathbf{P}^1)\) ; voir l’exemple 0FG6. On a \(c_0 = a \circ b\), où \(a \in \text{Corr}^0(\Spec(k), \mathbf{P}^1)\) et \(b \in \text{Corr}^0(\mathbf{P}^1, \Spec(k))\), et où \(b \circ a = 1\) dans \(\text{Corr}^0(\Spec(k), \Spec(k))\) ; voir la démonstration du lemme 0FGD. Puisque \(F = G(\Spec(k))\), la fonctorialité entraîne que \(G(c_0)\) est le projecteur sur le facteur direct \(H^0(\mathbf{P}^1) \subset G(\mathbf{P}^1)\). Par conséquent, \(G(c_2)\) est nécessairement la projection sur \(H^2(\mathbf{P}^1)\), ce qui achève la démonstration.
Proposition
Soit \(k\) un corps algébriquement clos et soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). Une théorie cohomologique de Weil classique revient à se donner un foncteur \(\mathbf{Q}\)-linéaire \[G : M_k \longrightarrow \text{espaces vectoriels gradués sur }F\text{}\] monoïdal symétrique, muni d’un isomorphisme \(F[2] \to G(\mathbf{1}(1))\) d’espaces vectoriels gradués sur \(F\), tel que, de plus,
\(G(h(X))\) soit concentré en degrés positifs ou nuls ;
\(\dim_F G^0(h(X)) = 1\)
pour toute variété projective lisse \(X\).
Démonstration
Étant donnés \(G\) et \(F[2] \to G(\mathbf{1}(1))\), on pose \(H^*(X) = G(h(X))\) et l’on obtient des données (D1), (D2) et (D3) satisfaisant à tous les axiomes (A), (B) et (C), sauf peut-être (A)(c) et (A)(d) ; voir le lemme 0FH1 et sa démonstration. Observons que les hypothèses (1) et (2) entraînent les axiomes (A)(c) et (A)(d), compte tenu des axiomes (A)(a) et (A)(b) déjà établis.
Réciproquement, à partir de \(H^*\), on obtient un foncteur \(G\) par la construction du lemme 0FH2. Soient \(X = \mathbf{P}^1, c_0, c_2\) comme dans l’exemple 0FG6. Nous avons construit un isomorphisme \(1(-1) \to (X, c_2, 0)\) de motifs au lemme 0FGD. Dans la démonstration du lemme 0FH2, nous avons vu que \(G(1(-1)) = G(X, c_2, 0) = H^2(\mathbf{P}^1)[-2]\). Ainsi, l’isomorphisme \(\int_{\mathbf{P}^1} : H^2(\mathbf{P}^1) \to F\) de l’axiome (A)(d) donne un isomorphisme \(G(1(-1)) \to F[-2]\), qui détermine un isomorphisme \(F[2] \to G(\mathbf{1}(1))\). Enfin, puisque \(G(h(X)) = H^*(X)\), les hypothèses (1) et (2) résultent de l’axiome (A).
Cycles sur les corps non clos
Voici quelques lemmes qui nous seront utiles pour étudier les motifs sur des corps de base non algébriquement clos.
Lemme
Soit \(k\) un corps et soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). Alors \(\CH_0(X)\) est engendré par les classes de points fermés dont les corps résiduels sont séparables sur \(k\).
Démonstration
Le lemme est immédiat si \(k\) est de caractéristique \(0\) ou s’il est parfait. On peut donc supposer que \(k\) est un corps infini de caractéristique \(p > 0\).
On peut supposer \(X\) irréductible de dimension \(d\). Alors \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) est une extension finie séparable de \(k\) et \(X\) est géométriquement intègre sur \(k'\). Voir Variétés, lemmes 056T, 0BUG et 0FD1. Remplaçons donc \(k\) par \(k'\) et supposons désormais \(X\) géométriquement intègre.
Soit \(x \in X\) un point fermé. Pour démontrer le lemme, nous allons montrer que \([x] \in \CH_0(X)\) est rationnellement équivalent à une combinaison linéaire à coefficients entiers de classes de points fermés dont les corps résiduels sont séparables sur \(k\). Choisissons un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample \(\mathcal{L}\). Posons \[V = \{s \in H^0(X, \mathcal{L}) \mid s(x) = 0 \}\] En remplaçant \(\mathcal{L}\) par une puissance, on peut supposer que (a) \(\mathcal{L}\) est très ample, (b) \(V\) engendre \(\mathcal{L}\) sur \(X \setminus x\), (c) le morphisme \(X \setminus x \to \mathbf{P}(V)\) est une immersion et (d) l’application \(V \to \mathfrak m_x\mathcal{L}_x/\mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x\) est surjective ; voir Morphismes, lemme 01VU, Variétés, lemme 0FD5, et Propriétés, proposition 01Q3. Considérons l’ensemble \[V^d \supset U = \{ (s_1, \ldots, s_d) \in V^d \mid s_1, \ldots, s_d \text{ engendrent } \mathfrak m_x\mathcal{L}_x/\mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x \text{ sur }\kappa(x) \}\] Puisque \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau local régulier de dimension \(d\), on a \(\dim_{\kappa(x)}(\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2) = d\) ; ainsi, \(U\) est un ouvert de Zariski non vide de \(V^d\). Pour \((s_1, \ldots, s_d) \in U\), posons \(H_i = Z(s_i)\). Puisque \(s_1, \ldots, s_d\) engendrent \(\mathfrak m_x\mathcal{L}_x\), on a \[H_1 \cap \ldots \cap H_d = x \amalg Z\] au sens schématique, pour un certain sous-schéma fermé \(Z \subset X\). D’après Bertini (sous la forme de Variétés, lemme 0FD6), pour un élément général \(s_1 \in V\), le schéma \(H_1 \cap (X \setminus x)\) est lisse sur \(k\), de dimension \(d - 1\). Une fois \(s_1\) choisi, pour un élément général \(s_2 \in V\), le schéma \(H_1 \cap H_2 \cap (X \setminus x)\) est lisse sur \(k\), de dimension \(d - 2\). Et ainsi de suite. Il en résulte que, pour un choix suffisamment général de \((s_1, \ldots, s_d) \in U\), le schéma \(Z\) est étale sur \(\Spec(k)\). En particulier, \(H_1 \cap \ldots \cap H_d\) est de dimension \(0\), d’où \[[H_1] \cdot \ldots \cdot [H_d] = [x] + [Z]\] dans \(\CH_0(X)\), par applications successives de Homologie de Chow, lemme 0FFD (nous omettons les détails). Cela achève la démonstration, car on obtient \([x] \sim_{rat} - [Z] + [Z']\), où \(Z' = H'_1 \cap \ldots \cap H'_d\) est une intersection complète générale de lieux d’annulation de sections suffisamment générales de \(\mathcal{L}\), qui est étale sur \(k\) par le même raisonnement que précédemment.
Lemme
Soit \(K/k\) une extension algébrique de corps et soit \(X\) un schéma de type fini sur \(k\). Alors \(\CH_i(X_K) = \colim \CH_i(X_{k'})\), où la limite inductive porte sur les sous-extensions \(K/k'/k\) telles que \(k'/k\) soit finie.
Démonstration
C’est un cas particulier de Homologie de Chow, lemme 0FVQ.
Lemme
Soit \(k\) un corps et soit \(X\) un schéma projectif lisse géométriquement irréductible sur \(k\). Soient \(x, x' \in X\) des points \(k\)-rationnels. Soit \(n\) un entier inversible dans \(k\). Il existe alors une extension finie séparable \(k'/k\) telle que l’image réciproque de \([x] - [x']\) sur \(X_{k'}\) soit divisible par \(n\) dans \(\CH_0(X_{k'})\).
Démonstration
Soit \(k'\) une clôture séparable de \(k\). Supposons que l’on sache montrer que l’image réciproque de \([x] - [x']\) sur \(X_{k'}\) est divisible par \(n\) dans \(\CH_0(X_{k'})\). On conclut alors par le lemme 0FH6. On peut donc supposer désormais \(k\) séparablement clos.
Supposons \(\dim(X) > 1\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible ample sur \(X\). Posons \[V = \{s \in H^0(X, \mathcal{L}) \mid s(x) = 0\text{ et }s(x') = 0 \}\] En remplaçant \(\mathcal{L}\) par une puissance, on voit que, pour un élément général \(v \in V\), le diviseur correspondant \(H_v \subset X\) est lisse en dehors de \(x\) et de \(x'\) ; voir Variétés, lemmes 0FD5 et 0FD6. Pour trouver \(v\), on utilise le fait que \(k\) est infini, car séparablement clos. Si l’on choisit \(s\) général, l’image de \(s\) dans \(\mathfrak m_x\mathcal{L}_x/\mathfrak m_x^2\mathcal{L}_x\) est non nulle, ce qui entraîne que \(H_v\) est lisse en \(x\) (nous omettons les détails). Il en est de même pour \(x'\). Ainsi, \(H_v\) est lisse. D’après Variétés, lemme 0FD9 (appliqué après changement de base de tous les objets à la clôture algébrique de \(k\)), \(H_v\) est géométriquement connexe. Il suffit de démontrer le résultat pour \([x] - [x']\) considéré comme un élément de \(\CH_0(H_v)\). On se ramène ainsi au cas d’une courbe.
Supposons que \(X\) soit une courbe. Alors \(\mathcal{O}_X(x - x')\) définit un point \(k\)-rationnel \(g\) de \(J = \underline{\Pic}^0_{X/k}\) ; voir Schémas de Picard des courbes, lemme 0BA0. Rappelons que \(J\) est une variété propre et lisse sur \(k\), qui est aussi un schéma en groupes sur \(k\) (même référence). Par conséquent, \(J\) est géométriquement intègre (voir Variétés, lemmes 056R et 056T). Autrement dit, \(J\) est une variété abélienne ; voir Groupoïdes, définition 03RO. Ainsi, \([n] : J \to J\) est fini étale d’après Groupoïdes, proposition 03RP (c’est ici que l’on utilise l’inversibilité de \(n\) dans \(k\)). Puisque \(k\) est séparablement clos, on en déduit \(g = [n](g')\) pour un certain \(g' \in J(k)\). Si \(\mathcal{L}\) est le module inversible de degré \(0\) sur \(X\) correspondant à \(g'\), on en déduit \(\mathcal{O}_X(x - x') \cong \mathcal{L}^{\otimes n}\), comme voulu.
Lemme
Soit \(K/k\) une extension algébrique de corps. Soit \(X\) un schéma de type fini sur \(k\). Le noyau de l’application \(\CH_i(X) \to \CH_i(X_K)\) construite au lemme 0FH6 est de torsion.
Démonstration
Il suffit manifestement de montrer que le noyau de l’image réciproque plate \(\CH_i(X) \to \CH_i(X_{k'})\) par \(\pi : X_{k'} \to X\) est de torsion, pour toute extension finie \(k'/k\). Cela résulte de \(\pi_* \pi^* \alpha = [k' : k] \alpha\), d’après Homologie de Chow, lemme 02RH.
Lemme
Soit \(k\) un corps et soit \(X\) un schéma projectif lisse géométriquement irréductible sur \(k\). Soient \(x, x' \in X\) des points \(k\)-rationnels. Pour \(n\) assez grand, la classe du zéro-cycle \[([x] - [x']) \times \ldots \times ([x] - [x']) \in \CH_0(X^n)\] est de torsion.
Démonstration
Si l’on sait le montrer après changement de base à la clôture algébrique de \(k\), le résultat s’ensuit sur \(k\), car le noyau de l’image réciproque est de torsion d’après le lemme 0FH8. On peut donc supposer désormais \(k\) algébriquement clos.
Le théorème de Bertini permet de choisir une courbe lisse \(C \subset X\) passant par \(x\) et \(x'\). Voir la démonstration du lemme 0FH7. On peut donc supposer que \(X\) est une courbe.
Supposons que \(X\) soit une courbe et que \(k\) soit algébriquement clos. Écrivons \(S^n(X) = \underline{\Hilbfunctor}^n_{X/k}\), avec les notations de Schémas de Picard des courbes, sections 0B94 et 0B9C. Il existe un morphisme canonique \[\pi : X^n \longrightarrow S^n(X)\] qui envoie le point \(k\)-rationnel \((x_1, \ldots, x_n)\) sur le point \(k\)-rationnel correspondant au diviseur \([x_1] + \ldots + [x_n]\) sur \(X\). Le groupe symétrique \(S_n\) agit fidèlement sur \(X^n\). Le morphisme \(\pi\) est \(S_n\)-invariant, et les fibres de \(\pi\) sont des orbites sous \(S_n\) (ensemblistement). Enfin, \(\pi\) est fini plat de degré \(n!\) ; voir Schémas de Picard des courbes, lemme 0B9G.
Soit \(\alpha_n\) le zéro-cycle sur \(X^n\) donné par la formule de l’énoncé du lemme. Posons \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(x - x')\). Alors \(c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = [x] - [x']\). Ainsi, \[\alpha_n = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_n) \cap [X^n]\], où \(\mathcal{L}_i = \text{pr}_i^*\mathcal{L}\) et où \(\text{pr}_i : X^n \to X\) est la \(i\)-ième projection. D’après Diviseurs, lemme 0BD2, ou Diviseurs, lemme 0BD3, il existe une norme pour \(\pi\). Posons \(\mathcal{N} = \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}_1)\) ; voir Diviseurs, lemme 0BCY. Un calcul donne \[\pi^*\mathcal{N} = (\mathcal{L}_1 \otimes \ldots \otimes \mathcal{L}_n)^{\otimes (n - 1)!}\] dans \(\Pic(X^n)\). Nous omettons les détails ; indiquons que cela résulte du fait que \(\text{Norm}_\pi : \pi_*\mathcal{O}_{X^n} \to \mathcal{O}_{S^n(X)}\), composé avec l’application naturelle \(\pi_*\mathcal{O}_{S^n(X)} \to \mathcal{O}_{X^n}\), est égal au produit, pour tous les \(\sigma \in S_n\), des actions de \(\sigma\) sur \(\pi_*\mathcal{O}_{X^n}\). Considérons \[\beta_n = c_1(\mathcal{N})^n \cap [S^n(X)]\] dans \(\CH_0(S^n(X))\). Observons que \(c_1(\mathcal{L}_i) \cap c_1(\mathcal{L}_i) = 0\), car \(\mathcal{L}_i\) provient d’une courbe par image réciproque ; voir Homologie de Chow, lemme 0FDX. On obtient donc \[\begin{align*} \pi^*\beta_n & = ((n - 1)!)^n (\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} c_1(\mathcal{L}_i))^n \cap [X^n] \\ & = ((n - 1)!)^n n^n c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_n) \cap [X^n] \\ & = (n!)^n \alpha_n \end{align*}\] Il suffit ainsi de montrer que \(\beta_n\) est de torsion.
Il existe un morphisme canonique \[f : S^n(X) \longrightarrow \underline{\Picardfunctor}^n_{X/k}\] Voir Schémas de Picard des courbes, lemme 0BA0. Pour \(n \geq 2g - 1\), ce morphisme est un fibré projectif (nous omettons les détails ; comparer avec la démonstration de Schémas de Picard des courbes, lemme 0BA0). Le faisceau inversible \(\mathcal{N}\) est trivial sur les fibres de \(f\), comme on le verra ci-dessous. Par la formule du fibré projectif (Homologie de Chow, lemme 02TX), on a donc \(\mathcal{N} = f^*\mathcal{M}\) pour un certain module inversible \(\mathcal{M}\) sur \(\underline{\Picardfunctor}^n_{X/k}\). Il s’ensuit évidemment que \[c_1(\mathcal{N})^n = f^*(c_1(\mathcal{M})^n)\] est nul, puisque \(n > g = \dim(\underline{\Picardfunctor}^n_{X/k})\) et que l’on peut appliquer Homologie de Chow, lemme 0FDX, comme précédemment.
Il reste à montrer que \(\mathcal{N}\) est trivial sur une fibre \(F\) de \(f\). Puisque les fibres de \(f\) sont des espaces projectifs et que \(\Pic(\mathbf{P}^m_k) = \mathbf{Z}\) (Diviseurs, lemme 0BXJ), on pourrait le montrer en calculant le degré de \(\mathcal{N}\) sur une droite contenue dans la fibre. Nous le démontrerons plutôt en établissant que \(\mathcal{N}\) est algébriquement équivalent à zéro. Montrons d’abord qu’il existe un schéma connexe \(T\) de type fini sur \(k\), un module inversible \(\mathcal{L}'\) sur \(T \times X\) et des points \(k\)-rationnels \(p, q \in T\) tels que \(\mathcal{M}_p \cong \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{M}_q = \mathcal{L}\). En effet, puisque \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(x - x')\), on peut prendre \(T = X\), \(p = x'\), \(q = x\) et \(\mathcal{L}' = \mathcal{O}_{X \times X}(\Delta) \otimes \text{pr}_2^*\mathcal{O}_X(-x')\). On note ensuite \(\mathcal{L}'_i\), sur \(T \times X^n\), pour \(i = 1, \ldots, n\), l’image réciproque de \(\mathcal{L}'\) par \(\text{id}_T \times \text{pr}_i : T \times X^n \to T \times X\). Enfin, on pose \(\mathcal{N}' = \text{Norm}_{\text{id}_T \times \pi}(\mathcal{L}'_1)\) sur \(T \times S^n(X)\). Par construction, on a \(\mathcal{N}'_p = \mathcal{O}_{S^n(X)}\) et \(\mathcal{N}'_q = \mathcal{N}\). Il en résulte que \[\mathcal{N}'|_{T \times F}\] est un module inversible sur \(T \times F \cong T \times \mathbf{P}^m_k\), dont la fibre en \(p\) est le module inversible trivial et dont la fibre en \(q\) est \(\mathcal{N}|_F\). Puisque la caractéristique d’Euler du fibré trivial est \(1\) et que cette caractéristique d’Euler est localement constante en famille (Catégories dérivées de schémas, lemme 0B9T), on obtient \(\chi(F, \mathcal{N}^{\otimes s}|_F) = 1\) pour tout \(s \in \mathbf{Z}\). Cela n’est possible que si \(\mathcal{N}|_F \cong \mathcal{O}_F\) (voir Cohomologie des schémas, lemme 01XT), ce qui achève la démonstration. Nous omettons certains détails.
Théories cohomologiques de Weil, I
Cette section est l’analogue de la section 0FGS sur un corps quelconque. Autrement dit, nous déterminons les données et les axiomes qui correspondent aux foncteurs monoïdaux symétriques \(G\) de la catégorie des motifs dans celle des espaces vectoriels gradués, tels que \(G(\mathbf{1}(1))\) soit placé en degré \(-2\). À la section 0FHY, nous définirons une théorie cohomologique de Weil en ajoutant une seule condition supplémentaire.
Fixons un corps \(k\) (le corps de base). Fixons un corps \(F\) de caractéristique \(0\) (le corps de coefficients). Les données sont les suivantes :
Un espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(F\), noté \(F(1)\).
Un foncteur contravariant \(H^*\) de la catégorie des schémas projectifs lisses sur \(k\) dans la catégorie des \(F\)-algèbres graduées commutatives.
Pour tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\), un homomorphisme de groupes \(\gamma : \CH^i(X) \to H^{2i}(X)(i)\).
Pour tout schéma projectif lisse non vide \(X\) sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\), une application \(\int_X : H^{2d}(X)(d) \to F\).
Précisons le sens de ces données par quelques remarques et introduisons la terminologie correspondante.
Remarques sur (D0). L’espace vectoriel \(F(1)\) définit des tordus de Tate sur la catégorie des espaces vectoriels sur \(F\). En effet, pour \(n \in \mathbf{Z}\), on pose \(F(n) = F(1)^{\otimes n}\) si \(n \geq 0\), puis \(F(-1) = \Hom_F(F(1), F)\), et \(F(n) = F(-1)^{\otimes - n}\) si \(n < 0\). Comparer avec Compléments d’algèbre, section 0AFW. Pour un espace vectoriel sur \(F\), noté \(V\), on définit le \(n\)-ième tordu de Tate \[V(n) = V \otimes_F F(n)\] Nous emploierons des notations évidentes : par exemple, pour des espaces vectoriels sur \(F\), notés \(U\), \(V\) et \(W\), et une application linéaire \(U \otimes_F V \to W\), on obtient une application linéaire \(U(n) \otimes_F V(m) \to W(n + m)\) pour \(n, m \in \mathbf{Z}\).
Remarques sur (D1). Pour un schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\), on appelle \(H^*(X)\) la cohomologie de \(X\). Pour un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas projectifs lisses sur \(k\), on note \(f^* : H^*(Y) \to H^*(X)\) l’application \(H^*(f)\) et on l’appelle l’application d’image réciproque.
Remarques sur (D2). L’application \(\gamma\) est appelée l’application classe de cycle. On appelle \(\gamma(\alpha)\) la classe de cohomologie de \(\alpha\). Si \(Z \subset Y \subset X\) sont des sous-schémas fermés, avec \(Y\) et \(X\) projectifs lisses sur \(k\) et \(Z\) intègre, alors \([Z]\) peut désigner la classe du cycle \([Z]\) dans \(\CH^*(Y)\) ou dans \(\CH^*(X)\). Dans ce cas, la notation \(\gamma([Z])\) est ambiguë, et son sens doit être déduit du contexte.
Remarques sur (D3). L’application \(\int_X\) est parfois appelée l’application trace et est parfois notée \(\text{Tr}_X\).
Le premier axiome est souvent appelé dualité de Poincaré :
Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Alors :
\(\dim_F H^i(X) < \infty\) pour tout \(i\) ;
\(H^i(X) \times H^{2d - i}(X)(d) \rightarrow H^{2d}(X)(d) \rightarrow F\) est un accouplement parfait pour tout \(i\), la dernière application étant l’application trace \(\int_X\).
Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas projectifs lisses non vides, avec \(X\) équidimensionnel de dimension \(d\) et \(Y\) équidimensionnel de dimension \(e\). À l’aide de la dualité de Poincaré, on peut définir une image directe \[f_* : H^{2d - i}(X)(d) \longrightarrow H^{2e - i}(Y)(e)\] comme l’application contragrédiente de l’application linéaire \(f^* : H^i(Y) \to H^i(X)\). Explicitement, pour \(a \in H^{2d - i}(X)(d)\), l’élément \(f_*a \in H^{2e - i}(Y)(e)\) est caractérisé par \[\int_X f^*b \cup a = \int_Y b \cup f_*a\] pour tout \(b \in H^i(Y)\).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D3) satisfassent à (A). Pour \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas projectifs lisses non vides et équidimensionnels sur \(k\), on a \(f_*(f^*b \cup a) = b \cup f_*a\). Si \(g : Y \to Z\) est un second morphisme, avec \(Z\) non vide, projectif lisse et équidimensionnel, alors \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\).
Démonstration
La première égalité résulte de \[\int_Y c \cup b \cup f_*a = \int_X f^*c \cup f^*b \cup a = \int_Y c \cup f_*(f^*b \cup a).\] La seconde résulte de \[\int_Z c \cup (g \circ f)_*a = \int_X (g \circ f)^*c \cup a = \int_X f^* g^* c \cup a = \int_Y g^*c \cup f_*a = \int_Z c \cup g_*f_*a\] Cela achève la démonstration.
Le deuxième axiome exprime que \(H^*\) respecte la structure monoïdale donnée par les produits, au moyen de la formule de Künneth :
Soient \(X\) et \(Y\) des schémas projectifs lisses sur \(k\).
L’application \(H^*(X) \otimes_F H^*(Y) \to H^*(X \times Y)\), \(\alpha \otimes \beta \mapsto \text{pr}_1^*\alpha \cup \text{pr}_2^*\beta\), est un isomorphisme ;
si \(X\) et \(Y\) sont non vides et équidimensionnels, alors \(\int_{X \times Y} = \int_X \otimes \int_Y\) par l’identification (a).
L’axiome (B)(b) permet de calculer les images directes par les projections.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D3) satisfassent à (A) et (B). Soient \(X\) et \(Y\) des schémas projectifs lisses non vides sur \(k\), équidimensionnels de dimensions \(d\) et \(e\). Alors \(\text{pr}_{2, *} : H^*(X \times Y)(d + e) \to H^*(Y)(e)\) envoie \(a \otimes b\) sur \((\int_X a) b\).
Démonstration
Cela résulte des axiomes (B)(a) et (B)(b).
Le troisième axiome porte sur les applications classes de cycles :
Les applications classes de cycles satisfont aux règles suivantes :
pour un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas projectifs lisses sur \(k\), on a \(\gamma(f^!\beta) = f^*\gamma(\beta)\) pour \(\beta \in \CH^*(Y)\) ;
pour un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas projectifs lisses non vides et équidimensionnels sur \(k\), on a \(\gamma(f_*\alpha) = f_*\gamma(\alpha)\) pour \(\alpha \in \CH^*(X)\) ;
pour tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\), on a \(\gamma(\alpha \cdot \beta) = \gamma(\alpha) \cup \gamma(\beta)\) pour \(\alpha, \beta \in \CH^*(X)\) ;
\(\int_{\Spec(k)} \gamma([\Spec(k)]) = 1\).
Explicitons l’axiome (C)(b). Soit \(f : X \to Y\) comme dans (C)(b), avec \(\dim(X) = d\) et \(\dim(Y) = e\). L’image directe sur les groupes de Chow donne alors \[f_* : \CH^{d - i}(X) = \CH_i(X) \to \CH_i(Y) = \CH^{e - i}(Y)\] Soit \(\alpha \in \CH^{d - i}(X)\). D’une part, on a \(f_*\alpha \in \CH^{e - i}(Y)\), d’où \(\gamma(f_*\alpha) \in H^{2e - 2i}(Y)(e - i)\). D’autre part, on a \(\gamma(\alpha) \in H^{2d - 2i}(X)(d - i)\), d’où \(f_*\gamma(\alpha) \in H^{2e - 2i}(Y)(e - i)\) également. La condition \(\gamma(f_*\alpha) = f_*\gamma(\alpha)\) a donc bien un sens.
Remarque
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C)(a). Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). On obtient des applications \[H^*(X) \otimes_F H^*(X) \longrightarrow H^*(X \times X) \xrightarrow{\Delta^*} H^*(X)\], où la première flèche est celle de l’axiome (B) et \(\Delta^*\) est l’image réciproque par le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times X\). La composée est le cup-produit, puisque l’image réciproque est un homomorphisme d’algèbres et que \(\text{pr}_i \circ \Delta = \text{id}\). D’autre part, pour des cycles \(\alpha, \beta\) sur \(X\), le produit d’intersection est défini par la formule \[\alpha \cdot \beta = \Delta^!(\alpha \times \beta)\] Autrement dit, \(\alpha \cdot \beta\) est l’image réciproque du produit extérieur \(\alpha \times \beta\) sur \(X \times X\) par la diagonale. Notons aussi que \(\alpha \times \beta = \text{pr}_1^*\alpha \cdot \text{pr}_2^*\beta\) dans \(\CH^*(X \times X)\) (nous omettons la démonstration). Ainsi, sous l’axiome (C)(a), l’axiome (C)(c) équivaut à la compatibilité de \(\gamma\) avec le produit extérieur, au sens où \(\gamma(\alpha \times \beta)\) est égal à \(\text{pr}_1^*\gamma(\alpha) \cup \text{pr}_2^*\gamma(\beta)\).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Alors \(H^i(\Spec(k)) = 0\) pour \(i \not = 0\), et il existe un unique isomorphisme de \(F\)-algèbres \(F = H^0(\Spec(k))\). On a \(\gamma([\Spec(k)]) = 1\) et \(\int_{\Spec(k)} 1 = 1\).
Démonstration
D’après l’axiome (C)(d), \(H^0(\Spec(k))\) est non nul et même \(\gamma([\Spec(k)])\) est non nul. Puisque \(\Spec(k) \times \Spec(k) = \Spec(k)\), on obtient \[H^*(\Spec(k)) \otimes_F H^*(\Spec(k)) = H^*(\Spec(k))\] par l’axiome (B)(a), ce qui entraîne, en considérant les dimensions, que seul \(H^0\) est non nul et qu’il est de dimension \(1\). Ainsi, \(F = H^0(\Spec(k))\) par l’unique isomorphisme de \(F\)-algèbres envoyant \(1 \in F\) sur \(1 \in H^0(\Spec(k))\). Puisque \([\Spec(k)] \cdot [\Spec(k)] = [\Spec(k)]\) dans l’anneau de Chow de \(\Spec(k)\), on obtient \(\gamma([\Spec(k)) \cup \gamma([\Spec(k)]) = \gamma([\Spec(k)])\) par l’axiome (C)(c). Comme nous savons déjà que \(\gamma([\Spec(k)])\) est non nul, il est nécessairement égal à \(1\). Enfin, on a \(\int_{\Spec(k)} 1 = 1\), puisque \(\int_{\Spec(k)} \gamma([\Spec(k)]) = 1\) d’après l’axiome (C)(d).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). Si \(X = \emptyset\), alors \(H^*(X) = 0\). Si \(X\) est non vide, alors \(\gamma([X]) = 1\) et \(1 \not = 0\) dans \(H^0(X)\).
Démonstration
Supposons d’abord \(X\) non vide. Observons que \([X]\) est l’image réciproque de \([\Spec(k)]\) par le morphisme structural \(p : X \to \Spec(k)\). On obtient donc \(\gamma([X]) = 1\) par l’axiome (C)(a) et le lemme 0FHE. Soit \(X' \subset X\) une composante irréductible. Par fonctorialité, il suffit de montrer que \(1 \not = 0\) dans \(H^0(X')\). On peut donc supposer \(X\) irréductible, et en particulier non vide et équidimensionnel, de dimension \(d\). Pour établir \(1 \not = 0\), il suffit de montrer que \(H^*(X)\) est non nul.
Soit \(x \in X\) un point fermé dont le corps résiduel \(k'\) est séparable sur \(k\) ; voir Variétés, lemme 056U. Soit \(i : \Spec(k') \to X\) le morphisme d’inclusion. Notons \(p : X \to \Spec(k)\) le morphisme structural. Observons que \(p_*i_*[\Spec(k')] = [k' : k][\Spec(k)]\) dans \(\CH_0(\Spec(k))\). En appliquant deux fois l’axiome (C)(b), puis le lemme 0FHE, on en déduit que \[p_*i_*\gamma([\Spec(k')]) = \gamma([k' : k][\Spec(k)]) = [k' : k] \in F = H^0(\Spec(k))\] est non nul. Ainsi, \(i_*\gamma([\Spec(k)]) \in H^{2d}(X)(d)\) est non nul, car son image par \(p_*\) est non nulle. Cela achève la démonstration lorsque \(X\) est non vide.
Considérons enfin le cas du schéma vide. L’axiome (B)(a) donne \(H^*(\emptyset) \otimes H^*(\emptyset) = H^*(\emptyset)\), d’où il résulte que \(H^*(\emptyset)\) est soit nul, soit de dimension \(1\) en degré \(0\). L’axiome (B)(a) donne à nouveau \(H^*(\emptyset) \otimes H^*(X) = H^*(\emptyset)\) pour tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\). L’axiome (A)(b) et la non-nullité de \(H^0(X)\) établie ci-dessus entraînent que \(H^*(X)\) est non nul en au moins deux degrés si \(\dim(X) > 0\). Cela force alors \(H^*(\emptyset)\) à être nul.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(i : X \to Y\) une immersion fermée de schémas projectifs lisses non vides et équidimensionnels sur \(k\). Alors \(\gamma([X]) = i_*1\) dans \(H^{2c}(Y)(c)\), où \(c = \dim(Y) - \dim(X)\).
Démonstration
En effet, \(1 = \gamma([X])\) dans \(H^0(X)\) d’après le lemme 0FHF, et il suffit alors d’appliquer l’axiome (C)(b).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Choisissons une base \(e_{i, j}, j = 1, \ldots, \beta_i\) de \(H^i(X)\) sur \(F\). À l’aide de la formule de Künneth, écrivons \[\gamma([\Delta]) = \sum\nolimits_i \sum\nolimits_j e_{i, j} \otimes e'_{2d - i , j} \quad\text{dans}\quad \bigoplus\nolimits_i H^i(X) \otimes_F H^{2d - i}(X)(d)\] avec \(e'_{2d - i, j} \in H^{2d - i}(X)(d)\). Alors \(\int_X e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j'} = (-1)^i\delta_{jj'}\).
Démonstration
Rappelons que \(\Delta^* : H^*(X \times X) \to H^*(X)\) est l’application donnée par le cup-produit \(H^*(X) \otimes_F H^*(X) \to H^*(X)\) ; voir la remarque 0FHD. D’autre part, rappelons que \(\gamma([\Delta]) = \Delta_*1\) (lemme 0FHG), d’où \[\int_{X \times X} \gamma([\Delta]) \cup a \otimes b = \int_{X \times X} \Delta_*1 \cup a \otimes b = \int_X a \cup b\] d’après le lemme 0FHB. D’autre part, on a \[\int_{X \times X} (\sum e_{i, j} \otimes e'_{2d -i , j}) \cup a \otimes b = \sum (\int_X a \cup e_{i, j})(\int_X e'_{2d - i, j} \cup b)\] par l’axiome (B)(b) ; notons que nous avons effectué deux échanges, de sorte que chaque terme a le signe \(1\). Ainsi, si l’on choisit \(a\) de sorte que \(\int_X a \cup e_{i, j} = 1\) et que tous les autres accouplements soient nuls, on obtient \(\int_X e'_{2d - i, j} \cup b = \int_X a \cup b\) pour tout \(b\), c’est-à-dire \(e'_{2d - i, j} = a\). Le lemme est démontré.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Alors \(H^*(\mathbf{P}^1_k)\) est de dimension \(1\) en degrés \(0\) et \(2\) et nul en tout autre degré.
Démonstration
Soit \(x \in \mathbf{P}^1_k\) un point \(k\)-rationnel. Observons que \(\Delta = \text{pr}_1^*x + \text{pr}_2^*x\) comme diviseurs sur \(\mathbf{P}^1_k \times \mathbf{P}^1_k\). L’axiome (C)(a) et l’additivité de \(\gamma\) donnent \[\gamma([\Delta]) = \text{pr}_1^*\gamma([x]) + \text{pr}_2^*\gamma([x]) = \gamma([x]) \otimes 1 + 1 \otimes \gamma([x])\] dans \(H^*(\mathbf{P}^1_k \times \mathbf{P}^1_k) = H^*(\mathbf{P}^1_k) \otimes_F H^*(\mathbf{P}^1_k)\). Or le lemme 0FHH montre que \(\gamma([\Delta])\) ne peut s’écrire comme somme de moins de \(\sum \beta_i\) tenseurs purs, où \(\beta_i = \dim_F H^i(\mathbf{P}^1_k)\). Ainsi, \(\sum \beta_i \leq 2\). D’après le lemme 0FHF, on a \(H^0(\mathbf{P}^1_k) \not = 0\). La dualité de Poincaré, plus précisément l’axiome (A)(b), donne \(\beta_0 = \beta_2\). Le lemme s’ensuit.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Si \(X\) et \(Y\) sont des schémas projectifs lisses sur \(k\), alors \(H^*(X \amalg Y) \to H^*(X) \times H^*(Y)\), \(a \mapsto (i^*a, j^*a)\), est un isomorphisme, où \(i\) et \(j\) sont les coprojections.
Démonstration
Si \(X\) ou \(Y\) est vide, cela résulte de \(H^*(\emptyset) = 0\), d’après le lemme 0FHF. On peut donc supposer \(X\) et \(Y\) tous deux non vides.
Montrons d’abord que l’application est injective. Observons que l’on peut trouver des morphismes \(X' \to X\) et \(Y' \to Y\) de schémas projectifs lisses, tels que \(X'\) et \(Y'\) soient équidimensionnels de même dimension et que \(X' \to X\) et \(Y' \to Y\) admettent chacun une section. En effet, décomposons \(X = \coprod X_d\) et \(Y = \coprod Y_e\) en sous-schémas ouverts et fermés équidimensionnels de dimensions \(d\) et \(e\). On prend alors \(X' = \coprod X_d \times \mathbf{P}^{n - d}\) et \(Y' = \coprod Y_e \times \mathbf{P}^{n - e}\) pour un entier \(n\) assez grand. L’image réciproque par \(X' \amalg Y' \to X \amalg Y\) est donc injective, car ce morphisme admet une section, et il suffit de démontrer l’injectivité pour \(X', Y'\), ce que nous faisons au paragraphe suivant.
Montrons que l’application est injective lorsque \(X\) et \(Y\) sont équidimensionnels de même dimension \(d\). Observons que \([X \amalg Y] = [X] + [Y]\) dans \(\CH^0(X \amalg Y)\) et que \([X]\) et \([Y]\) sont des idempotents orthogonaux dans \(\CH^0(X \amalg Y)\). Ainsi, \[1 = \gamma([X \amalg Y] = \gamma([X]) + \gamma([Y]) = i_*1 + j_*1\] est une décomposition en idempotents orthogonaux. Nous avons utilisé ici les lemmes 0FHF et 0FHG, ainsi que l’axiome (C)(c). On obtient alors \[a = a \cup 1 = a \cup i_*1 + a \cup j_*1 = i_*(i^*a) + j_*(j^*a)\] par la formule de projection (lemme 0FHB), d’où l’injectivité.
Montrons que l’application est surjective. Posons \(e = \gamma([X])\) et \(f = \gamma([Y])\), considérés comme des éléments de \(H^0(X \amalg Y)\). On a \(i^*e = 1\), \(i^*f = 0\), \(j^*e = 0\) et \(j^*f = 1\) d’après l’axiome (C)(a). Ainsi, si \(i^* : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X)\) et \(j^* : H^*(X \amalg Y) \to H^*(Y)\) sont surjectives, \((i^*, j^*)\) l’est aussi. En effet, pour \(a, a' \in H^*(X \amalg Y)\), on a \[(i^*a, j^*a') = (i^*(a \cup e + a' \cup f), j^*(a \cup e + a' \cup f))\] Par symétrie, il suffit de montrer que \(i^* : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X)\) est surjective. S’il existe un morphisme \(Y \to X\), il existe un morphisme \(g : X \amalg Y \to X\) tel que \(g \circ i = \text{id}_X\), et l’on conclut. Pour achever la démonstration, observons que, pour montrer la surjectivité de \(i^*\), il suffit de le faire après produit tensoriel par un espace vectoriel gradué non nul sur \(F\). Ainsi, par l’axiome (B)(b) et la non-nullité de la cohomologie (lemme 0FHF), il suffit de démontrer la surjectivité de \(i^*\) après avoir remplacé \(X\) et \(Y\) par \(X \times \Spec(k')\) et \(Y \times \Spec(k')\) pour une extension finie séparable \(k'/k\) convenable. Si l’on choisit \(k'\) de sorte qu’il existe un point fermé \(x \in X\) tel que \(\kappa(x) = k'\) (ce qui est possible d’après Variétés, lemme 056U), il existe alors un morphisme \(Y \times \Spec(k') \to X \times \Spec(k')\), ce qui achève la démonstration.
Lemme
Soit \(k\) un corps et soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). Supposons donné un foncteur \(\mathbf{Q}\)-linéaire \[G : M_k \longrightarrow \text{espaces vectoriels gradués sur }F\text{}\] qui est monoïdal symétrique et tel que \(G(\mathbf{1}(1))\) ne soit non nul qu’en degré \(-2\). On obtient alors des données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfaisant à tous les axiomes (A), (B) et (C) ci-dessus.
Démonstration
Cette démonstration est la même que celle du lemme 0FH1 ; nous conseillons vivement au lecteur de lire plutôt la démonstration de ce lemme.
On obtient un foncteur contravariant de la catégorie des schémas projectifs lisses sur \(k\) dans celle des espaces vectoriels gradués sur \(F\) en posant \(H^*(X) = G(h(X))\). Par hypothèse, on dispose d’un isomorphisme canonique \[H^*(X \times Y) = G(h(X \times Y)) = G(h(X) \otimes h(Y)) = G(h(X)) \otimes G(h(Y)) = H^*(X) \otimes H^*(Y)\], compatible avec les images réciproques. L’image réciproque par la diagonale \(\Delta : X \to X \times X\) donne une application canonique \[H^*(X) \otimes H^*(X) = H^*(X \times X) \to H^*(X)\] d’espaces vectoriels gradués, compatible avec les images réciproques. Cela définit une structure fonctorielle de \(F\)-algèbre graduée sur \(H^*(X)\). Puisque \(\Delta\) commute à la contrainte de commutativité \(h(X) \otimes h(X) \to h(X) \otimes h(X)\) (qui échange les facteurs), que \(G\) est un foncteur monoïdal symétrique (donc compatible avec les contraintes de commutativité), et compte tenu de notre convention dans Homologie, exemple 0FFX, on en déduit que \(H^*(X)\) est une algèbre graduée commutative ! Nous obtenons ainsi la donnée (D1).
Puisque \(\mathbf{1}(1)\) est inversible dans la catégorie des motifs, \(G(\mathbf{1}(1))\) est inversible dans la catégorie des espaces vectoriels gradués sur \(F\). Ainsi, \(\sum_i \dim_F G^i(\mathbf{1}(1)) = 1\). Par hypothèse, le seul degré où cet objet est non nul est \(-2\). La donnée (D0) est l’espace vectoriel \(F(1) = G^{-2}(\mathbf{1}(1))\). Puisque \(G\) est un foncteur monoïdal symétrique, on a \(F(n) = G^{-2n}(\mathbf{1}(n))\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\). Il s’ensuit que \[H^{2r}(X)(r) = G^{2r}(h(X)) \otimes G^{-2r}(\mathbf{1}(r)) = G^0(h(X)(r))\], formule dont nous ferons fréquemment usage ci-dessous.
Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). D’après le lemme 0FG0, on a \[\CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} = \text{Corr}^r(\Spec(k), X) = \Hom(\mathbf{1}(-r), h(X)) = \Hom(\mathbf{1}, h(X)(r))\] En appliquant le foncteur \(G\), on obtient une application à valeurs dans \(\Hom(G(\mathbf{1}), G(h(X)(r)))\). En prenant l’image de \(1\) dans \(G^0(\mathbf{1}) = F\) à valeurs dans \(G^0(h(X)(r)) = H^{2r}(X)(r)\), on obtient \[\gamma : \CH^r(X) \otimes \mathbf{Q} \longrightarrow H^{2r}(X)(r)\] C’est la donnée (D2).
Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). D’après le lemme 0FG0, on a \[\Mor(h(X)(d), \mathbf{1}) = \Mor((X, 1, d), (\Spec(k), 1, 0)) = \text{Corr}^{-d}(X, \Spec(k)) = \CH_d(X)\] La classe du cycle \([X]\) dans \(\CH_d(X)\) définit donc un morphisme \(h(X)(d) \to \mathbf{1}\). En appliquant \(G\) et en prenant les composantes de degré \(0\), on obtient \[H^{2d}(X)(d) = G^0(h(X)(d)) \longrightarrow G^0(\mathbf{1}) = F\] Cette application \(\int_X : H^{2d}(X)(d) \to F\) est la donnée (D3).
Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\), non vide et équidimensionnel de dimension \(d\). D’après le lemme 0FGI, \(h(X)(d)\) est un dual à gauche de \(h(X)\). Par conséquent, \(G(h(X)(d)) = H^*(X) \otimes_F F(d)[2d]\) est un dual à gauche de \(H^*(X)\) dans la catégorie des espaces vectoriels gradués sur \(F\). Ici, \([n]\) désigne le foncteur de décalage des espaces vectoriels gradués. D’après Homologie, lemme 0FFV, on a \(\sum_i \dim_F H^i(X) < \infty\), et \(\epsilon : h(X)(d) \otimes h(X) \to \mathbf{1}\) donne des accouplements non dégénérés \(H^{2d - i}(X)(d) \otimes_F H^i(X) \to F\). Dans la démonstration du lemme 0FGI, nous avons vu que \(\epsilon\) est donné par \([\Delta]\) au moyen des identifications \[\Hom(h(X)(d) \otimes h(X), \mathbf{1}) = \text{Corr}^{-d}(X \times X, \Spec(k)) = \CH_d(X \times X)\] Ainsi, \(\epsilon\) est la composée de \([X] : h(X)(d) \to \mathbf{1}\) et de \(h(\Delta)(d) : h(X)(d) \otimes h(X) \to h(X)(d)\). Il s’ensuit que les accouplements ci-dessus sont donnés par le cup-produit suivi de \(\int_X\). Cela démontre l’axiome (A).
L’axiome (B) résulte de la compatibilité de \(G\) avec les structures tensorielles, supposée par hypothèse, et de notre construction du cup-produit ci-dessus.
Axiome (C). Notre construction de \(\gamma\) prend un cycle \(\alpha\) sur \(X\), l’interprète comme une correspondance \(a\) de \(\Spec(k)\) dans \(X\) d’un certain degré, puis lui applique \(G\). Si \(f : Y \to X\) est un morphisme de schémas projectifs lisses non vides et équidimensionnels sur \(k\), alors \(f^!\alpha\) est l’image directe (!) de \(\alpha\) par la correspondance \([\Gamma_f]\) de \(X\) dans \(Y\) ; voir le lemme 0FG5. Ainsi, \(f^!\alpha\), considéré comme une correspondance de \(\Spec(k)\) dans \(Y\), est égal à \(a \circ [\Gamma_f]\) ; voir le lemme 0FG0. Puisque \(G\) est un foncteur, on en déduit que \(\gamma\) est compatible avec les images réciproques, ce qui est l’axiome (C)(a).
Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas projectifs lisses non vides et équidimensionnels sur \(k\), et soit \(\beta \in \CH^r(Y)\) un cycle sur \(Y\). Il faut montrer que \[\int_Y \gamma(\beta) \cup f^*c = \int_X \gamma(f_*\beta) \cup c\] pour tout \(c \in H^*(X)\). Soient \(a, a^t, \eta_X, \eta_Y, [X], [Y]\) comme dans le lemme 0FG8. Soit \(b\) le cycle \(\beta\) considéré comme une correspondance de \(\Spec(k)\) dans \(Y\) de degré \(r\). Alors \(f_*\beta\), considéré comme une correspondance de \(\Spec(k)\) dans \(X\), est égal à \(a^t \circ b\) ; voir les lemmes 0FG5 et 0FG0. L’égalité affichée ci-dessus sera vérifiée si l’on montre que \[h(X) = \mathbf{1} \otimes h(X) \xrightarrow{b \otimes 1} h(Y)(r) \otimes h(X) \xrightarrow{1 \otimes a} h(Y)(r) \otimes h(Y) \xrightarrow{\eta_Y} h(Y)(r) \xrightarrow{[Y]} \mathbf{1}(r - e)\] est égal à \[h(X) = \mathbf{1} \otimes h(X) \xrightarrow{a^t \circ b \otimes 1} h(X)(r + d - e) \otimes h(X) \xrightarrow{\eta_X} h(X)(r + d - e) \xrightarrow{[X]} \mathbf{1}(r - e)\] Cela résulte immédiatement du lemme 0FG8. L’axiome (C)(b) est donc vérifié.
Pour démontrer l’axiome (C)(c), nous utilisons la discussion de la remarque 0FGU. Il suffit donc de démontrer que \(\gamma\) est compatible avec les produits extérieurs. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas projectifs lisses non vides sur \(k\), et soient \(\alpha\) et \(\beta\) des cycles sur ces schémas. Notons \(a\) et \(b\) les correspondances associées de \(\Spec(k)\) dans \(X\) et \(Y\). Alors \(\alpha \times \beta\) correspond à la correspondance \(a \otimes b\) de \(\Spec(k)\) dans \(X \otimes Y = X \times Y\). La propriété voulue résulte donc de la compatibilité de \(G\) avec les structures tensorielles de part et d’autre.
L’axiome (C)(d) résulte de ce que le cycle \([\Spec(k)]\) correspond au morphisme identique de \(h(\Spec(k))\). Cela achève la démonstration du lemme.
Lemme
Soit \(k\) un corps et soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). À partir de données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfaisant à (A), (B) et (C), on peut construire un foncteur \(\mathbf{Q}\)-linéaire \[G : M_k \longrightarrow \text{espaces vectoriels gradués sur }F\text{}\] monoïdal symétrique tel que \(H^*(X) = G(h(X))\).
Démonstration
La démonstration de ce lemme est la même que celle du lemme 0FH2 ; nous conseillons vivement au lecteur de lire plutôt la démonstration de ce lemme.
D’après le lemme 0FGH, il suffit de construire un foncteur \(G\) sur la catégorie des schémas projectifs lisses sur \(k\), dont les morphismes sont les correspondances de degré \(0\), tel que l’image de \(G(c_2)\) dans \(G(\mathbf{P}^1_k)\) soit un espace vectoriel gradué inversible sur \(F\).
Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). Il existe une décomposition canonique \[X = \coprod\nolimits_{0 \leq d \le \dim(X)} X_d\] en sous-schémas ouverts et fermés tels que \(X_d\) soit équidimensionnel de dimension \(d\). Le lemme 0FHJ donne alors \[H^*(X) \longrightarrow \prod\nolimits_{0 \leq d \le \dim(X)} H^*(X_d)\] Si \(Y\) est un second schéma projectif lisse sur \(k\) et si l’on décompose de même \(Y = \coprod Y_e\), alors \[\text{Corr}^0(X, Y) = \bigoplus \text{Corr}^0(X_d, Y_e)\] On a aussi \(X \otimes Y = \coprod X_d \otimes Y_e\) dans la catégorie des correspondances. Ces observations montrent qu’il suffit de construire \(G\) sur la catégorie dont les objets sont les schémas projectifs lisses équidimensionnels sur \(k\) et les morphismes les correspondances de degré \(0\). (Nous omettons certains détails.)
Pour un schéma projectif lisse équidimensionnel \(X\) sur \(k\), on pose \(G(X) = H^*(X)\). Observons que \(G(X) = 0\) si \(X = \emptyset\) (lemme 0FHF). Les applications de source ou de but \(G(\emptyset)\) sont donc nulles, et nous pouvons supposer désormais nos schémas non vides dans la discussion ci-dessous.
Pour une correspondance \(c \in \text{Corr}^0(X, Y)\) entre schémas projectifs lisses non vides et équidimensionnels sur \(k\), considérons l’application \(G(c) : G(X) = H^*(X) \to G(Y) = H^*(Y)\) donnée par la règle \[a \longmapsto G(c)(a) = \text{pr}_{2, *}(\gamma(c) \cup \text{pr}_1^*a)\] Il est clair que \(G(c)\) est additive en \(c\), donc \(\mathbf{Q}\)-linéaire. La compatibilité de \(\gamma\) avec les images réciproques, les images directes et les produits d’intersection, donnée par les axiomes (C)(a), (C)(b) et (C)(c), montre que \(G(c' \circ c) = G(c') \circ G(c)\) si \(c' \in \text{Corr}^0(Y, Z)\). En effet, pour \(a \in H^*(X)\), on a \[\begin{align*} (G(c') \circ G(c))(a) & = \text{pr}^{23}_{3, *}(\gamma(c') \cup \text{pr}^{23, *}_2(\text{pr}^{12}_{2, *}(\gamma(c) \cup \text{pr}^{12, *}_1a))) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *}(\gamma(c') \cup \text{pr}^{123}_{23, *}(\text{pr}^{123, *}_{12}(\gamma(c) \cup \text{pr}^{12, *}_1 a))) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *} \text{pr}^{123}_{23, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}\gamma(c') \cup \text{pr}^{123, *}_{12}\gamma(c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{23}_{3, *} \text{pr}^{123}_{23, *}( \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c') \cup \gamma(\text{pr}^{123, *}_{12}c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{13}_{3, *} \text{pr}^{123}_{13, *}( \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c) \cup \text{pr}^{123, *}_1 a) \\ & = \text{pr}^{13}_{3, *}( \gamma(\text{pr}^{123}_{13, *}(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c)) \cup \text{pr}^{13, *}_1 a) \\ & = G(c' \circ c)(a) \end{align*}\], avec des notations évidentes. La première égalité résulte des définitions. La deuxième résulte de l’égalité \(\text{pr}^{23, *}_2 \circ \text{pr}^{12}_{2, *} = \text{pr}^{123}_{23, *} \circ \text{pr}^{123, *}_{12}\), qui découle immédiatement de la description de l’image directe par les projections donnée dans le lemme 0FHC. La troisième égalité résulte du lemme 0FHB et du fait que \(H^*\) est un foncteur. La quatrième égalité résulte de l’axiome (C)(a) et du fait que le morphisme de Gysin coïncide avec l’image réciproque plate pour les morphismes plats (Homologie de Chow, lemme 0FF4). La cinquième utilise l’axiome (C)(c), ainsi que le lemme 0FHB, pour obtenir \(\text{pr}^{23}_{3, *} \circ \text{pr}^{123}_{23, *} = \text{pr}^{13}_{3, *} \circ \text{pr}^{123}_{13, *}\). La sixième utilise la formule de projection du lemme 0FHB, ainsi que l’axiome (C)(b), pour obtenir \(\text{pr}^{123}_{13, *} \gamma(\text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c) = \gamma(\text{pr}^{123}_{13, *}( \text{pr}^{123, *}_{23}c' \cdot \text{pr}^{123, *}_{12}c))\). Enfin, la dernière égalité est la définition.
Pour achever la démonstration que \(G\) est un foncteur, il faut montrer qu’il préserve les identités. Autrement dit, si \(1 = [\Delta] \in \text{Corr}^0(X, X)\) est l’identité dans la catégorie des correspondances (lemme 0FG2), il faut montrer que \(G([\Delta]) = \text{id}\). Cela résulte de la détermination de \(\gamma([\Delta])\) dans le lemme 0FHH et du lemme 0FHC. La construction de \(G\) comme foncteur sur les schémas projectifs lisses sur \(k\) et les correspondances de degré \(0\) est ainsi achevée.
D’après le lemme 0FHE, \(G(\Spec(k)) = H^*(\Spec(k))\) est canoniquement isomorphe à \(F\) comme \(F\)-algèbre. L’axiome de Künneth (B)(a) montre que notre foncteur est compatible avec les produits tensoriels. Il est donc un foncteur monoïdal symétrique.
Il reste à vérifier que l’image de \(G(c_2)\) dans \(G(\mathbf{P}^1_k) = H^*(\mathbf{P}^1_k)\) est un espace vectoriel gradué inversible sur \(F\) (en particulier, nous ne savons pas encore que \(G\) se prolonge à \(M_k\)). D’après le lemme 0FHI, la cohomologie n’est non nulle qu’en degrés \(0\) et \(2\), où elle est de dimension \(1\). L’égalité \(1 = c_0 + c_2\) est une décomposition de l’identité en somme d’idempotents orthogonaux dans \(\text{Corr}^0(\mathbf{P}^1_k, \mathbf{P}^1_k)\) ; voir l’exemple 0FG6. De plus, on a \(c_0 = a \circ b\), où \(a \in \text{Corr}^0(\Spec(k), \mathbf{P}^1_k)\) et \(b \in \text{Corr}^0(\mathbf{P}^1_k, \Spec(k))\), et où \(b \circ a = 1\) dans \(\text{Corr}^0(\Spec(k), \Spec(k))\) ; voir la démonstration du lemme 0FGD. Ainsi, \(G(c_0)\) est le projecteur sur la composante de degré \(0\). Il s’ensuit que \(G(c_2)\) est le projecteur sur la composante de degré \(2\), ce qui achève la démonstration.
Proposition
Soit \(k\) un corps et soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). Il existe une correspondance biunivoque (\(1\) à \(1\)) entre :
les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfaisant à (A), (B) et (C) ;
les foncteurs monoïdaux symétriques \(\mathbf{Q}\)-linéaires \[G : M_k \longrightarrow \text{espaces vectoriels gradués sur }F\text{}\] tels que \(G(\mathbf{1}(1))\) ne soit non nul qu’en degré \(-2\).
Démonstration
Étant donné \(G\) comme dans (2), on pose \(H^*(X) = G(h(X))\) et l’on obtient des données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfaisant à (A), (B) et (C) ; voir le lemme 0FHK et sa démonstration.
Réciproquement, à partir de données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfaisant à (A), (B) et (C), on obtient un foncteur \(G\) comme dans (2) par la construction de la démonstration du lemme 0FHL.
Nous omettons la démonstration détaillée que ces constructions sont inverses l’une de l’autre.
Propriétés complémentaires
Nous démontrons dans cette section quelques conséquences supplémentaires de données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfaisant à (A), (B) et (C), comme à la section 0FHA.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soient \(X, Y\) des schémas projectifs lisses non vides, tous deux équidimensionnels de dimension \(d\) sur \(k\). Alors \(\int_{X \amalg Y} = \int_X + \int_Y\).
Démonstration
Notons \(i : X \to X \amalg Y\) et \(j : Y \to X \amalg Y\) les coprojections. D’après le lemme 0FHJ, l’application \((i^*, j^*) : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X) \times H^*(Y)\) est un isomorphisme. L’énoncé signifie que, par l’isomorphisme \((i^*, j^*) : H^{2d}(X \amalg Y)(d) \to H^{2d}(X)(d) \oplus H^{2d}(Y)(d)\), l’application \(\int_X + \int_Y\) se transforme en \(\int_{X \amalg Y}\). En effet, on a \[\int_{X \amalg Y} a = \int_{X \amalg Y} i_*(i^*a) + j_*(j^*a) = \int_X i^*a + \int_Y j^*a\], où l’égalité \(a = i_*(i^*a) + j_*(j^*a)\) a été établie dans la démonstration du lemme 0FHJ.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(X\) un schéma projectif lisse de dimension zéro sur \(k\). Alors :
\(H^i(X) = 0\) pour \(i \not = 0\) ;
\(H^0(X)\) est une algèbre finie séparable sur \(F\) ;
\(\dim_F H^0(X) = \deg(X \to \Spec(F))\) ;
\(\int_X : H^0(X) \to F\) est l’application trace ;
\(\gamma([X]) = 1\) ;
\(\int_X \gamma([X]) = \deg(X \to \Spec(k))\).
Démonstration
On peut écrire \(X = \Spec(k')\), où \(k'\) est une algèbre finie séparable sur \(k\). Observons que \(\deg(X \to \Spec(k)) = [k' : k]\). Choisissons une extension galoisienne finie \(k''/k\) contenant chacun des facteurs de \(k'\). (Rappelons qu’une \(k\)-algèbre finie séparable est un produit d’extensions finies séparables de \(k\).) Posons \(\Sigma = \Hom_k(k', k'')\). On obtient \[k' \otimes_k k'' = \prod\nolimits_{\sigma \in \Sigma} k''\] En posant \(Y = \Spec(k'')\), l’axiome (B)(a) et le lemme 0FHJ donnent \[H^*(X) \otimes_F H^*(Y) = \prod\nolimits_{\sigma \in \Sigma} H^*(Y)\] comme \(F\)-algèbres graduées commutatives. D’après le lemme 0FHF, la \(F\)-algèbre \(H^*(Y)\) est non nulle. En comparant les dimensions des deux membres de l’égalité affichée, on en déduit que \(H^*(X)\) est concentré en degré \(0\) et que \(\dim_F H^0(X) = [k' : k]\). En appliquant cela à \(Y\), on obtient \(H^*(Y) = H^0(Y)\). Puisque \[H^0(X) \otimes_F H^0(Y) = H^0(Y) \times \ldots \times H^0(Y)\] comme \(F\)-algèbres, il s’ensuit que \(H^0(X)\) est une \(F\)-algèbre séparable, car cela se vérifie après le changement de base fidèlement plat \(F \to H^0(Y)\).
L’isomorphisme affiché ci-dessus est donné par l’application \[H^0(X) \otimes_F H^0(Y) \longrightarrow \prod\nolimits_{\sigma \in \Sigma} H^0(Y),\quad a \otimes b \longmapsto \prod\nolimits_\sigma \Spec(\sigma)^*a \cup b\] Par cet isomorphisme, on a \(\int_{X \times Y} = \sum_\sigma \int_Y\), d’après le lemme 0FHP. Ainsi, \[\int_X a = \text{pr}_{1, *}(a \otimes 1) = \sum \Spec(\sigma)^*a\] dans \(H^0(Y)\) ; la première égalité résulte du lemme 0FHC et la seconde de l’observation précédente. Choisissons une clôture algébrique \(\overline{F}\) et un homomorphisme de \(F\)-algèbres \(\tau : H^0(Y) \to \overline{F}\). Par changement de base, l’isomorphisme ci-dessus devient \[H^0(X) \otimes_F \overline{F} \longrightarrow \prod\nolimits_{\sigma \in \Sigma} \overline{F},\quad a \otimes b \longmapsto \prod\nolimits_\sigma \tau(\Spec(\sigma)^*a) b\] Il s’ensuit que les applications \(a \mapsto \tau(\Spec(\sigma)^*a)\) forment l’ensemble complet des plongements de \(H^0(X)\) dans \(\overline{F}\). En appliquant \(\tau\) à la formule de \(\int_X a\) obtenue ci-dessus, on en déduit que \(\int_X\) est l’application trace. D’après le lemme 0FHF, on a \(\gamma([X]) = 1\). Enfin, on a \(\int_X \gamma([X]) = \deg(X \to \Spec(k))\), puisque \(\gamma([X]) = 1\) et que la trace de \(1\) est égale à \([k' : k]\).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide, équidimensionnel de dimension \(d\) sur \(k\). Le diagramme \[\xymatrix{ \CH^d(X) \ar[r]_-\gamma \ar@{=}[d] & H^{2d}(X)(d) \ar[d]^{\int_X} \\ \CH_0(X) \ar[r]^\deg & F }\] est commutatif, où \(\deg : \CH_0(X) \to \mathbf{Z}\) est le degré des zéro-cycles étudié dans Homologie de Chow, section 0AZ0.
Démonstration
Soit \(x\) un point fermé de \(X\) dont le corps résiduel est séparable sur \(k\). Considérons \(x\) comme un schéma et notons \(i : x \to X\) le morphisme d’inclusion. Pour éviter toute confusion, notons \(\gamma' : \CH_0(x) \to H^0(x)\) l’application classe de cycle de \(x\). On a alors \[\int_X \gamma([x]) = \int_X \gamma(i_*[x]) = \int_X i_*\gamma'([x]) = \int_x \gamma'([x]) = \deg(x \to \Spec(k))\] La deuxième égalité est l’axiome (C)(b), et la troisième la définition de \(i_*\) en cohomologie. La dernière égalité résulte du lemme 0FHQ. Cela démontre le lemme, car \(\CH_0(X)\) est engendré par les classes de points \(x\) comme ci-dessus, d’après le lemme 0FH5.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). On a \[\sum\nolimits_i (-1)^i\dim_F H^i(X) = \deg(\Delta \cdot \Delta) = \deg(c_d(\mathcal{T}_{X/k}))\]
Démonstration
Démontrons l’égalité de droite. On a \([\Delta] \cdot [\Delta] = \Delta_*(\Delta^![\Delta])\) (Homologie de Chow, lemme 0FFE). Puisque \(\Delta_*\) préserve les degrés des \(0\)-cycles, il suffit de calculer le degré de \(\Delta^![\Delta]\). La classe \(\Delta^![\Delta]\) est donnée par le cap-produit de \([\Delta]\) avec la classe de Chern de degré maximal du faisceau normal de \(\Delta \subset X \times X\) (Homologie de Chow, lemme 0FBM). Puisque le faisceau conormal de \(\Delta\) est \(\Omega_{X/k}\) (Morphismes, lemme 08S2), le faisceau normal est égal au faisceau tangent \(\mathcal{T}_{X/k} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X)\), comme voulu.
Démontrons l’égalité de gauche. D’après le lemme 0FHR, on a \[\begin{align*} \deg([\Delta] \cdot [\Delta]) & = \int_{X \times X} \gamma([\Delta]) \cup \gamma([\Delta]) \\ & = \int_{X \times X} \Delta_*1 \cup \gamma([\Delta]) \\ & = \int_{X \times X} \Delta_*(\Delta^*\gamma([\Delta])) \\ & = \int_X \Delta^*\gamma([\Delta]) \end{align*}\] Nous avons utilisé les lemmes 0FHG et 0FHB. Écrivons \(\gamma([\Delta]) = \sum e_{i, j} \otimes e'_{2d - i , j}\) comme dans le lemme 0FHH. En rappelant que \(\Delta^*\) est donné par le cup-produit (remarque 0FHD), on obtient \[\int_X \sum\nolimits_{i, j} e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j} = \sum\nolimits_{i, j} \int_X e_{i, j} \cup e'_{2d - i, j} = \sum\nolimits_{i, j} (-1)^i = \sum (-1)^i\beta_i\], comme voulu.
Lemme
Soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). Soient \(F'\) et \(F_i\), pour \(i = 1, \ldots, r\), des \(F\)-algèbres finies séparables. Soit \(A\) une \(F\)-algèbre finie. Soient \(\sigma, \sigma' : A \to F'\) et \(\sigma_i : A \to F_i\) des homomorphismes de \(F\)-algèbres. Supposons \(\sigma\) et \(\sigma'\) surjectifs. S’il existe une relation \[\text{Tr}_{F'/F} \circ \sigma - \text{Tr}_{F'/F} \circ \sigma' = n(\sum m_i \text{Tr}_{F_i/F} \circ \sigma_i)\], où \(n > 1\) et les \(m_i\) sont des entiers, alors \(\sigma = \sigma'\).
Démonstration
On peut écrire \(A = \prod A_j\) comme un produit fini de \(F\)-algèbres artiniennes locales \((A_j, \mathfrak m_j, \kappa_j)\) ; voir Algèbre, lemme 00J6 et proposition 00KJ. Notons \(A' = \prod \kappa_j\), où le produit porte sur les \(j\) tels que \(\kappa_j/k\) soit séparable. Chacune des applications \(\sigma, \sigma', \sigma_i\) se factorise alors par l’application \(A \to A'\). En remplaçant \(A\) par \(A'\), on peut supposer que \(A\) est une \(F\)-algèbre finie séparable.
Choisissons une clôture algébrique \(\overline{F}\). Posons \(\overline{A} = A \otimes_F \overline{F}\), \(\overline{F}' = F' \otimes_F \overline{F}\) et \(\overline{F}_i = F_i \otimes_F \overline{F}\). Par changement de base de \(\sigma\), \(\sigma'\) et \(\sigma_i\), on obtient des homomorphismes de \(\overline{F}\)-algèbres \(\overline{A} \to \overline{F}'\) et \(\overline{A} \to \overline{F}_i\). De plus, \(\text{Tr}_{\overline{F}'/\overline{F}}\) est le changement de base de \(\text{Tr}_{F'/F}\), et de même pour \(\text{Tr}_{F_i/F}\). On peut donc remplacer \(F\) par \(\overline{F}\) et se ramener au cas traité dans le paragraphe suivant.
Supposons \(F\) algébriquement clos et \(A\) une \(F\)-algèbre finie séparable. Alors chacun de \(A\), \(F'\) et \(F_i\) est un produit de copies de \(F\). Disons qu’un élément \(e\) d’un produit \(F \times \ldots \times F\) de copies de \(F\) est un idempotent minimal s’il engendre l’un des facteurs, c’est-à-dire si \(e = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\). Soit \(e \in A\) un idempotent minimal. Puisque \(\sigma\) et \(\sigma'\) sont surjectifs, \(\sigma(e)\) et \(\sigma'(e)\) sont des idempotents minimaux ou sont nuls. Si \(\sigma \not = \sigma'\), on peut choisir un idempotent minimal \(e \in A\) tel que \(\sigma(e) = 0\) et \(\sigma'(e) \not = 0\), ou inversement. Alors \(\text{Tr}_{F'/F}(\sigma(e)) = 0\) et \(\text{Tr}_{F'/F}(\sigma'(e)) = 1\), ou inversement. D’autre part, \(\sigma_i(e)\) est un idempotent, donc \(\text{Tr}_{F_i/F}(\sigma_i(e)) = r_i\) est un entier. Il en résulte que \[-1 = \sum n m_i r_i = n (\sum m_i r_i) \quad\text{ou}\quad 1 = \sum n m_i r_i = n (\sum m_i r_i)\], ce qui est impossible.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(k'/k\) une extension finie séparable. Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k'\). Soient \(x, x' \in X\) des points \(k'\)-rationnels. Si \(\gamma(x) \not = \gamma(x')\), alors \([x] - [x']\) n’est divisible par aucun entier \(n > 1\) dans \(\CH_0(X)\).
Démonstration
Si \(x\) et \(x'\) appartiennent à des composantes irréductibles distinctes de \(X\), le résultat est évident. On peut donc supposer \(X\) irréductible de dimension \(d\). Supposons \([x] - [x']\) divisible par \(n > 1\) dans \(\CH_0(X)\). On peut écrire \([x] - [x'] = n(\sum m_i [x_i])\) dans \(\CH_0(X)\), pour certains points fermés \(x_i \in X\) dont les corps résiduels sont séparables sur \(k\), d’après le lemme 0FH5. Alors \[\gamma([x]) - \gamma([x']) = n (\sum m_i \gamma([x_i]))\] dans \(H^{2d}(X)(d)\). Notons \(i^*, (i')^*, i_i^*\) les applications d’image réciproque \(H^0(X) \to H^0(x)\), \(H^0(X) \to H^0(x')\) et \(H^0(X) \to H^0(x_i)\). Rappelons que \(H^0(x)\) est une \(F\)-algèbre finie séparable et que \(\int_x : H^0(x) \to F\) est l’application trace (lemme 0FHQ), que nous noterons \(\text{Tr}_x\). Il en est de même pour \(x'\) et \(x_i\). Par la dualité de Poincaré sous la forme de l’axiome (A)(b), l’égalité ci-dessus est duale de \[\text{Tr}_x \circ i^* - \text{Tr}_{x'} \circ (i')^* = n(\sum m_i \text{Tr}_{x_i} \circ i_i^*)\], égalité dans \(\Hom_F(H^0(X), F)\). Enfin, observons que \(i^*\) et \((i')^*\) sont surjectives, puisque \(x\) et \(x'\) sont des points \(k'\)-rationnels et que les composées \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X) \to H^0(x)\) et \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X) \to H^0(x')\) sont donc des isomorphismes. Le lemme 0FHT donne \(i^* = (i')^*\), ce qui contredit l’hypothèse \(\gamma([x]) \not = \gamma([x'])\).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(k'/k\) une extension finie séparable et soit \(X\) un schéma projectif lisse géométriquement irréductible sur \(k'\), de dimension \(d\). Alors \(\gamma : \CH_0(X) \to H^{2d}(X)(d)\) se factorise par \(\deg : \CH_0(X) \to \mathbf{Z}\).
Démonstration
D’après le lemme 0FH5, il suffit de montrer que, pour des points fermés \(x, x' \in X\) dont les corps résiduels sont séparables sur \(k\), on a \(\deg(x') \gamma([x]) = \deg(x) \gamma([x'])\).
Ramenons-nous d’abord au cas de points \(k'\)-rationnels. Soit \(k''/k'\) une extension galoisienne telle que \(\kappa(x)\) et \(\kappa(x')\) se plongent dans \(k''\) sur \(k\). Posons \(Y = X \times_{\Spec(k')} \Spec(k'')\) et notons \(p : Y \to X\) la projection. Par le choix de \(k''/k'\), il existe un point \(k''\)-rationnel \(y\), resp. \(y'\), de \(Y\), d’image \(x\), resp. \(x'\). Alors \(p_*[y] = [k'' : \kappa(x)][x]\) et \(p_*[y'] = [k'' : \kappa(x')][x']\) dans \(\CH_0(X)\). Par la compatibilité avec les images directes de l’axiome (C)(b), il suffit de démontrer \(\gamma([y]) = \gamma([y'])\) dans \(\CH^{2d}(Y)(d)\). On est ainsi ramené à la discussion du paragraphe suivant.
Supposons \(x\) et \(x'\) des points \(k'\)-rationnels. D’après le lemme 0FH7, il existe une extension finie séparable de corps \(k''/k'\) telle que l’image réciproque \([y] - [y']\) de la différence \([x] - [x']\) devienne divisible par un entier \(n > 1\) sur \(Y = X \times_{\Spec(k')} \Spec(k'')\). (Notons que \(y, y' \in Y\) sont des points \(k''\)-rationnels.) D’après le lemme 0FHU, on a \(\gamma([y]) = \gamma([y'])\) dans \(H^{2d}(Y)(d)\). Par la compatibilité avec l’image directe de l’axiome (C)(b), on en déduit la même assertion pour \(x\) et \(x'\).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme dominant de schémas projectifs lisses irréductibles sur \(k\). Alors \(H^*(Y) \to H^*(X)\) est injective.
Démonstration
Il existe un sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) de même dimension que \(Y\) et qui se surjecte sur \(Y\). Ainsi, \(f_*[Z] = m[Y]\) pour un certain \(m > 0\). Alors \(f_* \gamma([Z]) = m \gamma([Y]) = m\) dans \(H^*(Y)\), d’après le lemme 0FHF. Par la formule de projection (lemme 0FHB), on a donc \(f_*(f^*a \cup \gamma([Z])) = m a\), et l’on conclut.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soient \(k''/k'/k\) des algèbres finies séparables et soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k'\). Alors \[H^*(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} H^0(\Spec(k'')) = H^*(X \times_{\Spec(k')} \Spec(k''))\]
Démonstration
Nous utiliserons les résultats du lemme 0FHQ sans le mentionner de nouveau. Écrivons \[k' \otimes_k k'' = k'' \times l\], pour une certaine \(k'\)-algèbre finie séparable \(l\). Posons \(F' = H^0(\Spec(k'))\), \(F'' = H^0(\Spec(k''))\) et \(G = H^0(\Spec(l))\). Puisque \(\Spec(k') \times \Spec(k'') = \Spec(k'') \amalg \Spec(l)\), l’axiome (B)(a) et le lemme 0FHJ donnent \[F' \otimes_F F'' = F'' \times G\] L’application de gauche à droite identifie \(F''\) à \(F' \otimes_{F'} F''\). De même, on a \[H^*(X) \otimes_F F'' = H^*(X \times_{\Spec(k')} \Spec(k'')) \times H^*(X \times_{\Spec(k')} \Spec(l))\] comme modules sur \(F' \otimes_F F'' = F'' \times G\). Le lemme est démontré.
Théories cohomologiques de Weil, II
Pour nous, une théorie cohomologique de Weil sera l’analogue d’une théorie cohomologique de Weil classique (section 0FGS) lorsque le corps de base \(k\) n’est pas algébriquement clos. À la section 0FHA, nous avons énoncé des axiomes garantissant que notre théorie cohomologique provient d’un foncteur monoïdal symétrique sur la catégorie des motifs sur \(k\). Il manque encore à ces axiomes la condition \(H^i(X) = 0\) pour \(i < 0\), ainsi qu’une condition sur \(H^{2d}(X)(d)\) pour \(X\) équidimensionnel de dimension \(d\), correspondant aux axiomes classiques (A)(c) et (A)(d). Montrons d’abord au lecteur qu’il est nécessaire d’imposer de telles conditions.
Exemple
Soient \(k = \mathbf{C}\) et \(F = \mathbf{C}\) tous deux égaux au corps des nombres complexes. Pour \(X\) projectif lisse sur \(k\), notons \(H^{p, q}(X) = H^q(X, \Omega^p_{X/k})\). Soit \((H')^*\) le foncteur qui envoie \(X\) sur \((H')^*(X) = \bigoplus H^{p, q}(X)\), muni du cup-produit usuel. C’est une théorie cohomologique de Weil classique (insérer ici une référence ultérieure). D’après la proposition 0FH3, on obtient un foncteur monoïdal symétrique \(\mathbf{Q}\)-linéaire \(G'\) de \(M_k\) dans la catégorie des espaces vectoriels gradués sur \(F\). Bien entendu, dans ce cas, pour tout \(M\) dans \(M_k\), la valeur \(G'(M)\) est naturellement bigraduée, c’est-à-dire que l’on a \[(G')(M) = \bigoplus (G')^{p, q}(M),\quad (G')^n = \bigoplus\nolimits_{n = p + q} (G')^{p, q}(M)\], où \((G')^{p, q}\) est placé en degré total \(p + q\), comme indiqué. Construisons maintenant un foncteur monoïdal symétrique \(\mathbf{Q}\)-linéaire \(G\) à valeurs dans les espaces vectoriels gradués sur \(F\) en posant \[G^n(M) = \bigoplus\nolimits_{n = 3p - q} (G')^{p, q}(M)\] Nous omettons la vérification que cela définit un foncteur monoïdal symétrique (un point technique est que le choix des nombres impairs \(3\) et \(-1\) ci-dessus assure la compatibilité du foncteur \(G\) avec les contraintes de commutativité). Observons que \(G(\mathbf{1}(1))\) est toujours placé en degré \(-2\) ! Ainsi, par le lemme 0FH1, on obtient un foncteur \(H^*\), des classes de cycles \(\gamma\) et des applications traces satisfaisant à tous les axiomes classiques (A), (B), (C), sauf peut-être aux axiomes classiques (A)(a) et (A)(d). Cependant, si \(E\) est une courbe elliptique sur \(k\), on trouve \(\dim H^{-1}(E) = 1\) : l’axiome (A)(a) est donc effectivement violé.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). Posons \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
il existe un nombre fini de points fermés \(x_1, \ldots, x_r \in X\), dont les corps résiduels sont séparables sur \(k\), tels que \(H^0(X) \to H^0(x_1) \oplus \ldots \oplus H^0(x_r)\) soit injective ;
l’application \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X)\) est un isomorphisme.
Si ces conditions sont vérifiées, \(H^0(X)\) est une algèbre finie séparable sur \(F\). Si \(X\) est équidimensionnel de dimension \(d\), les conditions (1) et (2) équivalent aussi à :
les classes des points fermés engendrent \(H^{2d}(X)(d)\) comme module sur \(H^0(X)\).
Démonstration
Observons que l’énoncé a un sens, car \(k'\) est une algèbre finie séparable sur \(k\) (Variétés, lemme 0BUG) ; ainsi, \(\Spec(k')\) est lisse et projectif sur \(k\). La compatibilité de \(H^*\) avec les sommes directes (lemmes 0FHJ et 0FHP) montre qu’il suffit de démontrer le lemme lorsque \(X\) est connexe. On peut donc supposer \(X\) irréductible, et il faut établir l’équivalence de (1), (2) et (3). Posons \(d = \dim(X)\). Alors \(k'\) est un corps, extension finie séparable de \(k\), et \(X\) est géométriquement irréductible sur \(k'\) ; voir Variétés, lemmes 0BUG et 0FD1.
D’après le lemme 0FH5, on peut supposer que les points fermés de (3) ont des corps résiduels séparables sur \(k\). Les axiomes (A)(a) et (A)(b) montrent que (1) et (3) sont équivalentes.
Si (2) est vérifiée, choisissons un point fermé quelconque \(x \in X\) dont le corps résiduel est fini séparable sur \(k'\). Alors \(H^0(\Spec(k')) = H^0(X) \to H^0(x)\) est injective, par exemple d’après le lemme 0FHW.
Supposons vérifiées les conditions équivalentes (1) et (3). Choisissons \(x_1, \ldots, x_r \in X\) comme dans (1), puis une extension finie séparable \(k''/k'\). D’après le lemme 0FHX, on a \[H^0(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} H^0(\Spec(k'')) = H^0(X \times_{\Spec(k')} \Spec(k''))\] Pour montrer que \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X)\) est un isomorphisme, on peut donc remplacer \(k'\) par \(k''\). On peut ainsi supposer que \(x_1, \ldots, x_r\) sont des points \(k'\)-rationnels (chaque \(x_i\) est remplacé par plusieurs points, de sorte que \(r\) augmente à cette étape). D’après le lemme 0FHV, \(\gamma(x_1) = \gamma(x_2) = \ldots = \gamma(x_r)\). Par l’axiome (A)(b), toutes les applications \(H^0(X) \to H^0(x_i)\) sont égales. Cela signifie que (2) est vérifiée.
Enfin, le lemme 0FHQ entraîne que \(H^0(X)\) est une \(F\)-algèbre séparable si (1) est vérifiée.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfassent à (A), (B) et (C). S’il existe un schéma projectif lisse \(Y\) sur \(k\) tel que \(H^i(Y)\) soit non nul pour un certain \(i < 0\), il existe un schéma projectif lisse équidimensionnel \(X\) sur \(k\) pour lequel les conditions équivalentes du lemme 0FI0 ne sont pas vérifiées pour \(X\).
Démonstration
D’après le lemme 0FHJ, on peut supposer \(Y\) irréductible, donc a fortiori équidimensionnel. Si \(i\) est impair, en remplaçant \(Y\) par \(Y \times Y\), on obtient un exemple où \(Y\) est équidimensionnel et où \(i = -2l\) pour un certain \(l > 0\). Posons \(X = Y \times (\mathbf{P}^1_k)^l\). L’axiome (B)(a) donne \[H^0(X) \supset H^0(Y) \oplus H^i(Y) \otimes_F H^2(\mathbf{P}^1_k)^{\otimes_F l}\], les deux facteurs directs étant non nuls. Il est donc clair que \(H^0(X)\) ne peut être isomorphe à \(H^0\) du spectre de \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\), puisque ce dernier s’envoie dans le premier facteur direct.
Nous sommes ainsi conduits à poser enfin la définition suivante.
Définition
Soit \(k\) un corps et soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). Une théorie cohomologique de Weil sur \(k\) à coefficients dans \(F\) est définie par des données (D0), (D1), (D2) et (D3) satisfaisant à la dualité de Poincaré, à la formule de Künneth et à la compatibilité avec les classes de cycles, plus précisément aux axiomes (A), (B) et (C) de la section 0FHA, et telles que les conditions équivalentes (1) et (2) du lemme 0FI0 soient vérifiées pour tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\).
D’après le lemme 0FI1, cela signifie aussi que tous les groupes de cohomologie de degré négatif sont nuls. En particulier, si \(k\) est algébriquement clos, une théorie cohomologique de Weil ci-dessus, munie d’un isomorphisme \(F \to F(1)\), revient à se donner une théorie cohomologique de Weil classique.
Remarque
Soit \(H^*\) une théorie cohomologique de Weil (définition 0FI2). Soit \(X\) un schéma projectif lisse géométriquement irréductible de dimension \(d\) sur \(k'\), où \(k'/k\) est une extension finie séparable de corps. Supposons \[H^0(\Spec(k')) = F_1 \times \ldots \times F_r\], pour certains corps \(F_i\). On peut alors écrire \[H^*(X) = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, r} H^*(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} F_i\] La dernière hypothèse de la définition 0FI2 signifie que \(H^0(X)\) est libre de rang \(1\) sur \(\prod F_i\). Autrement dit, chacun des facteurs \(H^0(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} F_i\) est de dimension \(1\) sur \(F_i\). La dualité de Poincaré donne la même assertion pour la cohomologie en degré \(2d\). En revanche, on ignore s’il en est de même aux autres degrés. Plus précisément, pour \(0 < n < \dim(X)\), on ne sait pas si les entiers \[\dim_{F_i} H^n(X) \otimes_{H^0(\Spec(k'))} F_i\] sont indépendants de \(i\) ! Cette question est étroitement liée à la question ouverte suivante : étant donnés un corps de base algébriquement clos \(\overline{k}\), un corps de caractéristique zéro \(F\), une théorie cohomologique de Weil classique \(H^*\) sur \(\overline{k}\) de corps de coefficients \(F\) et une variété projective lisse \(X\) sur \(\overline{k}\), les nombres de Betti de \(X\), \[\beta_i = \dim_F H^i(X)\], sont-ils indépendants de \(F\) et de la théorie cohomologique de Weil \(H^*\) ?
Proposition
Soit \(k\) un corps et soit \(F\) un corps de caractéristique \(0\). Une théorie cohomologique de Weil revient à se donner un foncteur monoïdal symétrique \(\mathbf{Q}\)-linéaire \[G : M_k \longrightarrow \text{espaces vectoriels gradués sur }F\text{}\] tel que :
\(G(\mathbf{1}(1))\) ne soit non nul qu’en degré \(-2\) ;
pour tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\), en posant \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\), l’homomorphisme \(G(h(\Spec(k'))) \to G(h(X))\) d’espaces vectoriels gradués sur \(F\) soit un isomorphisme en degré \(0\).
Démonstration
C’est une conséquence immédiate de la proposition 0FHM et de la définition 0FI2. On pourrait bien entendu remplacer (2) par la condition que \(G(h(X)) \to \bigoplus G(h(x_i))\) soit injective en degré \(0\) pour un choix de points fermés \(x_1, \ldots, x_r \in X\) dont les corps résiduels sont séparables sur \(k\).
Classes de Chern
Nous expliquons dans cette section comment une première classe de Chern et une formule du fibré projectif permettent d’obtenir toutes les classes de Chern. On pourra consulter [Grothendieck-chern], bien que nos axiomes soient légèrement différents.
Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie de schémas possédant les propriétés suivantes :
Tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) est quasi-compact et quasi-séparé.
Si \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et si \(U \subset X\) est ouvert et fermé, alors \(U \to X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\). Si \(X' \to X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\) se factorisant par \(U\), alors \(X' \to U\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\).
Si \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et si \(\mathcal{E}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini, alors :
\(p : \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\) ;
pour un morphisme \(f : X' \to X\) de \(\mathcal{C}\), le morphisme induit \(\mathbf{P}(f^*\mathcal{E}) \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\) ;
si \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\) est une surjection sur un autre \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini, l’immersion fermée \(\mathbf{P}(\mathcal{F}) \to \mathbf{P}(\mathcal{E})\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\).
Supposons ensuite donné un foncteur contravariant \(A\) de la catégorie \(\mathcal{C}\) dans la catégorie des algèbres graduées. Ici, une algèbre graduée \(A\) est une \(\mathbf{Z}\)-algèbre unitaire associative, non nécessairement commutative, \(A\), munie d’une graduation \(A = \bigoplus_{i \geq 0} A^i\). Pour un morphisme \(f : X' \to X\) de \(\mathcal{C}\), nous notons \(f^* : A(X) \to A(X')\) l’homomorphisme d’algèbres induit. Nous noterons le produit de \(a, b \in A(X)\) par \(a \cup b\). Enfin, nous supposons donnée, pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), une application additive \[c_1^A : \Pic(X) \longrightarrow A^1(X)\] Nous supposons vérifiés les axiomes suivants :
Pour \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\), l’élément \(c_1^A(\mathcal{L})\) appartient au centre de l’algèbre \(A(X)\).
Si \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et si \(X = U \amalg V\), avec \(U\) et \(V\) ouverts et fermés, alors \(A(X) = A(U) \times A(V)\) par les applications induites \(A(X) \to A(U)\) et \(A(X) \to A(V)\).
Si \(f : X' \to X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\) et si \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible, alors \(f^*c_1^A(\mathcal{L}) = c_1^A(f^*\mathcal{L})\).
Pour \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre \(\mathcal{E}\) de rang constant \(r\), considérons le morphisme \(p : P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\) de \(\mathcal{C}\). Alors l’application \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} A(X) \longrightarrow A(P),\quad (a_0, \ldots, a_{r - 1}) \longmapsto \sum c_1^A(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*(a_i)\] est bijective.
Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et soit \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\) une surjection de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, de rangs \(r + 1\) et \(r\). Notons \(i : P' = \mathbf{P}(\mathcal{F}) \to \mathbf{P}(\mathcal{E}) = P\) le morphisme d’inclusion correspondant. C’est un morphisme de \(\mathcal{C}\) qui présente \(P'\) comme un diviseur de Cartier effectif sur \(P\). Alors, pour \(a \in A(P)\) tel que \(i^*a = 0\), on a \(a \cup c_1^A(\mathcal{O}_P(P')) = 0\).
Pour énoncer notre résultat, rappelons que \(\textit{Vect}(X)\) désigne la catégorie (exacte) des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Dans Catégories dérivées de schémas, section 0FDE, nous avons défini le \(K\)-groupe de degré zéro \(K_0(\textit{Vect}(X))\) de cette catégorie. Nous avons également vu que \(K_0(\textit{Vect}(X))\) est un anneau ; voir Catégories dérivées de schémas, remarque 0FDK.
Proposition
Dans la situation ci-dessus, il existe une unique règle associant à tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) une « classe de Chern totale » \[c^A : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} A^i(X)\] possédant les propriétés suivantes :
Pour \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), on a \(c^A(\alpha + \beta) = c^A(\alpha) c^A(\beta)\) et \(c^A(0) = 1\).
Si \(f : X' \to X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), alors \(f^* \circ c^A = c^A \circ f^*\).
Pour \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\), on a \(c^A([\mathcal{L}]) = 1 + c_1^A(\mathcal{L})\).
Démonstration
Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini. Montrons d’abord comment définir un élément \(c^A(\mathcal{E}) \in A(X)\).
Soit d’abord \(X = \bigcup X_r\) la décomposition en sous-schémas ouverts et fermés tels que \(\mathcal{E}|_{X_r}\) soit de rang constant \(r\). Puisque \(X\) est quasi-compact, cette décomposition est finie. Ainsi, \(A(X) = \prod A(X_r)\). Il suffit donc de définir \(c^A(\mathcal{E})\) lorsque \(\mathcal{E}\) est de rang constant \(r\). Dans ce cas, soit \(p : P \to X\) le fibré projectif de \(\mathcal{E}\). On définit de manière unique des éléments \(c_i^A(\mathcal{E}) \in A^i(X)\) pour \(i \geq 0\), tels que \(c_0^A(\mathcal{E}) = 1\) et que l’équation [0FI6]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*c^A_{r - i}(\mathcal{E}) = 0 \end{equation}\] soit vérifiée. Comme d’habitude, on pose \(c^A(\mathcal{E}) = c_0^A(\mathcal{E}) + c_1^A(\mathcal{E}) + \ldots + c_r^A(\mathcal{E})\) dans \(A(X)\).
Si \(\mathcal{E}\) est inversible, alors \(c^A(\mathcal{E}) = 1 + c_1^A(\mathcal{L})\). Cela résulte immédiatement de la construction ci-dessus.
Les éléments \(c_i^A(\mathcal{E})\) appartiennent au centre de \(A(X)\). Pour le montrer, on peut supposer \(\mathcal{E}\) de rang constant \(r\). Soit \(p : P \to X\) le fibré projectif correspondant. Si \(a \in A(X)\), alors \(p^*a \cup (-1)^r c_1(\mathcal{O}_P(1))^r = (-1)^r c_1(\mathcal{O}_P(1))^r \cup p^*a\) ; la même propriété vaut donc pour tous les autres termes de l’expression définissant \(c_i^A(\mathcal{E})\), ce qui permet de conclure.
Si \(f : X' \to X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), alors \(f^*c_i^A(\mathcal{E}) = c_i^A(f^*\mathcal{E})\). Pour le montrer, on peut supposer \(\mathcal{E}\) de rang constant \(r\). Soient \(p : P \to X\) et \(p' : P' \to X'\) les fibrés projectifs associés à \(\mathcal{E}\) et à \(f^*\mathcal{E}\). Le morphisme induit \(g : P' \to P\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\). L’image réciproque par \(g\) de l’égalité définissant \(c_i^A(\mathcal{E})\) est l’équation correspondante pour \(f^*\mathcal{E}\), d’où la conclusion.
Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Considérons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, avec \(\mathcal{L}\) inversible. Alors \[c^A(\mathcal{E}) = c^A(\mathcal{L}) c^A(\mathcal{F})\] En effet, par la construction de \(c^A_i\), on peut supposer \(\mathcal{E}\) de rang constant \(r + 1\) et \(\mathcal{F}\) de rang constant \(r\). L’inclusion \[i : P' = \mathbf{P}(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathbf{P}(\mathcal{E}) = P\] est un morphisme de \(\mathcal{C}\) et est le schéma des zéros d’une section régulière du module inversible \(\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes \mathcal{O}_P(1)\). L’élément \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1^A(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*c^A_i(\mathcal{F})\] a une image réciproque nulle sur \(P'\) par définition. On obtient donc \[\left(c_1^A(\mathcal{O}_P(1)) - c_1^A(\mathcal{L})\right) \cup \left(\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1^A(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*c^A_i(\mathcal{F})\right) = 0\] dans \(A^*(P)\), par l’hypothèse (5) sur notre cohomologie \(A\). Par définition de \(c_1^A(\mathcal{E})\), cela donne l’égalité voulue.
Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Considérons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Alors \[c^A(\mathcal{F}) = c^A(\mathcal{E}) c^A(\mathcal{G})\] En effet, par la construction de \(c^A_i\), on peut supposer \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) de rangs constants \(r\), \(s\) et \(t\). On raisonne par récurrence sur \(r\). Le cas \(r = 1\) a été traité ci-dessus. Si \(r > 1\), il suffit de vérifier l’égalité après image réciproque par le morphisme \(\mathbf{P}(\mathcal{E}^\vee) \to X\). On peut donc supposer qu’il existe un sous-module inversible \(\mathcal{L} \subset \mathcal{E}\) tel que \(\mathcal{E}' = \mathcal{E}/\mathcal{L}\) et \(\mathcal{F}' = \mathcal{E}/\mathcal{L}\) soient tous deux localement libres de type fini (de rangs \(s - 1\) et \(t - 1\)). Alors \[c^A(\mathcal{E}) = c^A(\mathcal{L}) c^A(\mathcal{E}') \quad\text{et}\quad c^A(\mathcal{F}) = c^A(\mathcal{L}) c^A(\mathcal{F}')\] Puisque l’on a la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{G} \to 0\], l’hypothèse de récurrence donne \[c^A(\mathcal{F}') = c^A(\mathcal{E}') c^A(\mathcal{G})\] Le résultat découle donc d’un calcul formel.
Nous pouvons maintenant, pour \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), définir \(c^A : K_0(\textit{Vect}(X)) \to A(X)\). On envoie le générateur \([\mathcal{E}]\) sur \(c^A(\mathcal{E})\) et l’on prolonge multiplicativement. Ainsi, par exemple, \(c^A(-[\mathcal{E}]) = c^A(\mathcal{E})^{-1}\) est l’inverse formel de \(a^A([\mathcal{E}])\). La multiplicativité sur les suites exactes courtes établie ci-dessus assure que cette définition convient.
Unicité. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini. Nous voulons montrer que les conditions (1), (2) et (3) du lemme déterminent de manière unique \(c^A([\mathcal{E}])\). On peut supposer \(\mathcal{E}\) de rang constant \(r\), ce qui utilise déjà (2). On raisonne alors par récurrence sur \(r\). Si \(r = 1\), l’unicité résulte de (3). Si \(r > 1\), on passe, à l’aide de (2), à l’image réciproque sur le fibré projectif \(p : P \to X\) ; on peut ainsi supposer que l’on dispose d’une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\), où \(\mathcal{E}'\) et \(\mathcal{E}''\) sont de rangs inférieurs. Par l’hypothèse de récurrence, \(c^A(\mathcal{E}')\) et \(c^A(\mathcal{E}'')\) sont déterminés de manière unique. L’unicité pour \(\mathcal{E}\) résulte alors de l’axiome (1).
Lemme
Dans la situation ci-dessus, soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{E}_i\) une famille finie de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de rangs \(r_i\). Il existe un morphisme \(p : P \to X\) dans \(\mathcal{C}\) tel que :
\(p^* : A(X) \to A(P)\) soit injective ;
chaque \(p^*\mathcal{E}_i\) admette une filtration dont les quotients successifs \(\mathcal{L}_{i, 1}, \ldots, \mathcal{L}_{i, r_i}\) soient des \(\mathcal{O}_P\)-modules inversibles.
Démonstration
On peut supposer \(r_i \geq 1\) pour tout \(i\). On démontre le lemme par récurrence sur \(\sum (r_i - 1)\). Si cet entier vaut \(0\), alors \(\mathcal{E}_i\) est inversible pour tout \(i\), et l’on conclut en prenant \(\pi = \text{id}_X\). Sinon, choisissons un \(i\) tel que \(r_i > 1\) et considérons le fibré projectif \(p : P \to X\) associé à \(\mathcal{E}_i\). On a une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F} \to p^*\mathcal{E}_i \to \mathcal{O}_P(1) \to 0\] de \(\mathcal{O}_P\)-modules localement libres de type fini, de rangs \(r_i - 1\), \(r_i\) et \(1\). Observons que \(p^* : A(X) \to A(P)\) est injective par hypothèse. En appliquant l’hypothèse de récurrence aux \(\mathcal{O}_P\)-modules localement libres de type fini \(\mathcal{F}\) et \(p^*\mathcal{E}_{i'}\) pour \(i' \not = i\), on obtient un morphisme \(p' : P' \to P\) possédant les propriétés de l’énoncé. La composée \(p \circ p' : P' \to X\) convient alors.
Lemme
Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini et soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors \[c^A_i({\mathcal E} \otimes {\mathcal L}) = \sum\nolimits_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} c^A_{i - j}({\mathcal E}) \cup c^A_1({\mathcal L})^j\]
Démonstration
Par la construction de \(c^A_i\), on peut supposer \(\mathcal{E}\) de rang constant \(r\). Soient \(p : P \to X\) et \(p' : P' \to X\) les fibrés projectifs associés à \(\mathcal{E}\) et à \(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}\). Il existe alors un isomorphisme \(g : P \to P'\) tel que \(g^*\mathcal{O}_{P'}(1) = \mathcal{O}_P(1) \otimes p^*\mathcal{L}\). Voir Constructions, lemme 02NC. Ainsi, \[g^*c_1^A(\mathcal{O}_{P'}(1)) = c_1^A(\mathcal{O}_P(1)) + p^*c_1^A(\mathcal{L})\] L’égalité voulue en découle formellement, en utilisant la définition des classes de Chern par l’équation (0FI6).
Proposition
Dans la situation ci-dessus, supposons que \(A(X)\) soit une \(\mathbf{Q}\)-algèbre pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Il existe alors une unique règle associant à tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) un « caractère de Chern » \[ch^A : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} A^i(X)\] possédant les propriétés suivantes :
\(ch^A\) est un homomorphisme d’anneaux pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{C})\).
Si \(f : X' \to X\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), alors \(f^* \circ ch^A = ch^A \circ f^*\).
Pour \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(\mathcal{L} \in \Pic(X)\), on a \(ch^A([\mathcal{L}]) = \exp(c_1^A(\mathcal{L}))\).
Démonstration
Soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) et soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini. Montrons d’abord comment définir le rang \(r^A(\mathcal{E}) \in A^0(X)\). Soit \(X = \bigcup X_r\) la décomposition en sous-schémas ouverts et fermés tels que \(\mathcal{E}|_{X_r}\) soit de rang constant \(r\). Puisque \(X\) est quasi-compact, cette décomposition est finie ; écrivons-la \(X = X_0 \amalg X_1 \amalg \ldots \amalg X_n\). Alors \(A(X) = A(X_0) \times A(X_1) \times \ldots \times A(X_n)\). On peut donc définir \(r^A(\mathcal{E}) = (0, 1, \ldots, n) \in A^0(X)\).
Soient \(P_p(c_1, \ldots, c_p)\) les polynômes construits dans Homologie de Chow, exemple 0F9B. On peut alors définir \[ch^A(\mathcal{E}) = r^A(\mathcal{E}) + \sum\nolimits_{i \geq 1} (1/i!) P_i(c^A_1(\mathcal{E}), \ldots, c^A_i(\mathcal{E})) \in \prod\nolimits_{i \geq 0} A^i(X)\], où les \(ci^A\) sont les classes de Chern de la proposition 0FI5. Les propriétés (2) et (3) du lemme sont immédiatement vérifiées.
Il reste à démontrer les trois assertions suivantes :
Si \(0 \to \mathcal{E}_1 \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}_2 \to 0\) est une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini sur \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), alors \(ch^A(\mathcal{E}) = ch^A(\mathcal{E}_1) + ch^A(\mathcal{E}_2)\).
Si \(\mathcal{E}_1\) et \(\mathcal{E}_2 \to 0\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini sur \(X \in \Ob(\mathcal{C})\), alors \(ch^A(\mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2) = ch^A(\mathcal{E}_1) ch^A(\mathcal{E}_2)\).
La première montrera que \(ch^A\) se factorise par \(K_0(\textit{Vect}(X))\), et la première et la seconde ensemble montreront que \(ch^A\) est un homomorphisme d’anneaux.
Pour démontrer ces assertions, on peut se ramener au cas où \(\mathcal{E}_1\) et \(\mathcal{E}_2\) sont de rangs constants \(r_1\) et \(r_2\). Les égalités dans \(A^0(X)\) sont alors immédiates. Pour les égalités en degrés supérieurs, le lemme 0FI7 permet de supposer que \(\mathcal{E}_1\) et \(\mathcal{E}_2\) admettent des filtrations dont les composantes graduées sont des modules inversibles \(\mathcal{L}_{1, j}\), pour \(j = 1, \ldots, r_1\), et \(\mathcal{L}_{2, j}\), pour \(j = 1, \ldots, r_2\). La multiplicativité des classes de Chern donne \[c_i^A(\mathcal{E}_1) = s_i(c_1^A(\mathcal{L}_{1, 1}), \ldots, c_1^A(\mathcal{L}_{1, r_1}))\], où \(s_i\) est la \(i\)-ième fonction symétrique élémentaire, comme dans Homologie de Chow, exemple 0F9B. Il en est de même pour \(c_i^A(\mathcal{E}_2)\). Dans le cas (1), on obtient \[c_i^A(\mathcal{E}) = s_i(c_1^A(\mathcal{L}_{1, 1}), \ldots, c_1^A(\mathcal{L}_{1, r_1}), c_1^A(\mathcal{L}_{2, 1}), \ldots, c_1^A(\mathcal{L}_{2, r_2}))\], et, dans le cas (2), \[c_i^A(\mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2) = s_i(c_1^A(\mathcal{L}_{1, 1}) + c_1^A(\mathcal{L}_{2, 1}), \ldots, c_1^A(\mathcal{L}_{1, r_1}) + c_1^A(\mathcal{L}_{2, r_2}))\] Par définition des polynômes \(P_i\), cela signifie que \[P_i(c^A_1(\mathcal{E}_1), \ldots, c^A_i(\mathcal{E}_1)) = \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, r_1} c_1^A(\mathcal{L}_{1, j})^i\], et de même pour \(\mathcal{E}_2\). Dans le cas (1), on a aussi \[P_i(c^A_1(\mathcal{E}), \ldots, c^A_i(\mathcal{E})) = \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, r_1} c_1^A(\mathcal{L}_{1, j})^i + \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, r_2} c_1^A(\mathcal{L}_{2, j})^i\] Dans le cas (2), on obtient de même \[P_i(c^A_1(\mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2), \ldots, c^A_i(\mathcal{E}_1 \otimes \mathcal{E}_2)) = \sum\nolimits_{j = 1, \ldots, r_1} \sum\nolimits_{j' = 1, \ldots, r_2} (c_1^A(\mathcal{L}_{1, j}) + c_1^A(\mathcal{L}_{2, j'}))^i\] Les égalités voulues découlent donc d’identités élémentaires entre polynômes symétriques.
Nous omettons la démonstration de l’unicité.
Lemme
Dans la situation ci-dessus, soit \(X \in \Ob(\mathcal{C})\). Si \(\psi^2\) est défini comme dans Homologie de Chow, lemme 0FEJ, et si \(c^A\) et \(ch^A\) sont définis comme dans les propositions 0FI5 et 0FI9, alors on a \(c^A_i(\psi^2(\alpha)) = 2^i c^A_i(\alpha)\) et \(ch^A_i(\psi^2(\alpha)) = 2^i ch^A_i(\alpha)\) pour tout \(\alpha \in K_0(\textit{Vect}(X))\).
Démonstration
Observons que l’application \(\prod_{i \geq 0} A^i(X) \to \prod_{i \geq 0} A^i(X)\), qui multiplie par \(2^i\) sur \(A^i(X)\), est un homomorphisme d’anneaux. Puisque \(\psi^2\) est également un homomorphisme d’anneaux, il suffit donc de démontrer les formules sur des générateurs additifs de \(K_0(\textit{Vect}(X))\). On peut ainsi supposer \(\alpha = [\mathcal{E}]\) pour un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\). La construction des classes de Chern de \(\mathcal{E}\) ramène immédiatement au cas où \(\mathcal{E}\) est de rang constant \(r\). On peut alors choisir un morphisme projectif lisse \(p : P \to X\) tel que l’application d’image réciproque \(A^*(X) \to A^*(P)\) soit injective et que \(p^*\mathcal{E}\) admette une filtration finie dont les composantes graduées soient des \(\mathcal{O}_P\)-modules inversibles \(\mathcal{L}_j\) ; voir le lemme 0FI7. Alors \([p^*\mathcal{E}] = \sum [\mathcal{L}_j]\), d’où \(\psi^2([p^*\mathcal{E}]) = \sum [\mathcal{L}_j^{\otimes 2}]\) par définition de \(\psi^2\). En posant \(x_j = c^A_1(\mathcal{L}_j)\), on a \[c^A(\alpha) = \prod (1 + x_j) \quad\text{et}\quad c^A(\psi^2(\alpha)) = \prod (1 + 2 x_j)\] dans \(\prod A^i(P)\), et l’on a \[ch^A(\alpha) = \sum \exp(x_j) \quad\text{et}\quad ch^A(\psi^2(\alpha)) = \sum \exp(2 x_j)\] dans \(\prod A^i(P)\). Le résultat voulu découle de ces formules.
Puissances extérieures et groupes K
Nous nous limitons aux constructions nécessaires pour définir les opérateurs lambda. Soit \(X\) un schéma. Rappelons que \(\textit{Vect}(X)\) désigne la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Rappelons également que nous avons construit un groupe \(K\) de degré zéro \(K_0(\textit{Vect}(X))\) associé à cette catégorie dans Catégories dérivées de schémas, section 0FDE. Enfin, \(K_0(\textit{Vect}(X))\) est un anneau ; voir Catégories dérivées de schémas, remarque 0FDK.
Lemme
Soit \(X\) un schéma. Il existe des applications \[\lambda^r : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow K_0(\textit{Vect}(X))\] qui envoient \([\mathcal{E}]\) sur \([\wedge^r(\mathcal{E})]\) lorsque \(\mathcal{E}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini, et qui sont compatibles avec les images réciproques.
Démonstration
Considérons l’anneau \(R = K_0(\textit{Vect}(X))[[t]]\), où \(t\) est une indéterminée. Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\), posons \[c(\mathcal{E}) = \sum\nolimits_{i = 0}^\infty [\wedge^i(\mathcal{E})] t^i\] dans \(R\). Montrons que, pour une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, on a \(c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{E}') c(\mathcal{E}'')\). Cette assertion entraîne que \(c\) se prolonge en une application \[c : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow R\] qui transforme l’addition dans \(K_0(\textit{Vect}(X))\) en la multiplication dans \(R\). En écrivant \(c(\alpha) = \sum \lambda^i(\alpha) t^i\), on obtient les opérateurs \(\lambda^i\) cherchés.
Pour démontrer l’assertion, considérons la suite exacte courte comme une filtration de \(\mathcal{E}\) à \(2\) crans. On obtient une filtration induite de \(\wedge^r(\mathcal{E})\) à \(r + 1\) crans, dont les sous-quotients sont \[\wedge^r(\mathcal{E}'), \wedge^{r - 1}(\mathcal{E}') \otimes \mathcal{E}'', \wedge^{r - 2}(\mathcal{E}') \otimes \wedge^2(\mathcal{E}''), \ldots \wedge^r(\mathcal{E}'')\] Ainsi, \([\wedge^r(\mathcal{E})]\) est égal à \[\sum\nolimits_{i = 0}^r [\wedge^{r - i}(\mathcal{E}')] [\wedge^i(\mathcal{E}'')]\], et le résultat s’en déduit aisément par un calcul algébrique élémentaire.
Théories cohomologiques de Weil, III
Soit \(k\) un corps et soit \(F\) un corps de caractéristique zéro. Supposons que l’on dispose des données suivantes :
Un espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(F\), noté \(F(1)\).
Un foncteur contravariant \(H^*(-)\) de la catégorie des schémas projectifs lisses sur \(k\) dans la catégorie des \(F\)-algèbres graduées commutatives.
Pour tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\), un homomorphisme \(c_1^H : \Pic(X) \to H^2(X)(1)\) de groupes abéliens.
Nous employons la terminologie, les notations et les conventions relatives à (D0) et (D1) exposées à la section 0FHA. Pour un schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\) et un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\), la classe de cohomologie \(c_1^H(\mathcal{L}) \in H^2(X)(1)\) de (D2’) est parfois appelée la première classe de Chern de \(\mathcal{L}\) en cohomologie.
Voici la liste des axiomes.
\(H^*\) est compatible avec les sommes finies.
\(c_1^H\) est compatible avec les images réciproques.
Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang \(r \geq 1\). Considérons le morphisme \(p : P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\). Alors l’application \[\bigoplus\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} H^*(X)(-i) \longrightarrow H^*(P),\quad (a_0, \ldots, a_{r - 1}) \longmapsto \sum c_1^H(\mathcal{O}_P(1))^i \cup p^*(a_i)\] est un isomorphisme d’espaces vectoriels sur \(F\).
Soit \(i : Y \to X\) l’inclusion d’un diviseur de Cartier effectif sur \(k\), avec \(X\) et \(Y\) lisses et projectifs sur \(k\). Pour \(a \in H^*(X)\) tel que \(i^*a = 0\), on a \(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y)) = 0\).
\(H^*\) est compatible avec les produits finis.
Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Il existe une application \(F\)-linéaire \(\lambda : H^{2d}(X)(d) \to F\) telle que \((\text{id} \otimes \lambda) \gamma([\Delta]) = 1\) dans \(H^*(X)\).
Si \(b : X' \to X\) est l’éclatement d’un centre lisse dans un schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\)2, alors \(b^* : H^*(X) \to H^*(X')\) est injective.
Si \(X\) est un schéma projectif lisse sur \(k\) et si \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\), alors l’application \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(X)\) est un isomorphisme.
Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Soit \(i : Y \to X\) un diviseur de Cartier effectif non vide, lisse sur \(k\). Pour \(a \in H^{2d - 2}(X)(d - 1)\), on a \(\lambda_Y(i^*(a)) = \lambda_X(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y))\), où \(\lambda_Y\) et \(\lambda_X\) sont celles de l’axiome (A6) pour \(X\) et \(Y\).
Précisons le sens de chacun de ces axiomes. Les axiomes (A3), (A4) et (A7) sont clairs tels qu’ils sont énoncés.
À propos de (A1). Cela signifie que \(H^*(\emptyset) = 0\) et que \((i^*, j^*) : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X) \times H^*(Y)\) est un isomorphisme, où \(i\) et \(j\) sont les coprojections.
À propos de (A2). Cela signifie que, pour un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas projectifs lisses sur \(k\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible \(\mathcal{N}\), on a \(f^*c_1^H(\mathcal{L}) = c_1^H(f^*\mathcal{L})\).
À propos de (A5). Cela signifie que \(H^*(\Spec(k)) = F\) et que, pour \(X\) et \(Y\) projectifs lisses sur \(k\), l’application \(H^*(X) \otimes_F H^*(Y) \to H^*(X \times Y)\), \(a \otimes b \mapsto p^*(a) \cup q^*(b)\), est un isomorphisme, où \(p\) et \(q\) sont les projections.
À propos de (A6). Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). D’après le lemme 0FIF, sous les axiomes (A1) – (A4), on peut considérer la classe de la diagonale \[\gamma([\Delta]) \in H^{2d}(X \times X)(d) = \bigoplus\nolimits_i H^i(X) \otimes_F H^{2d - i}(X)(d)\], où la décomposition tensorielle provient de l’axiome (A5). Étant donnée une application \(F\)-linéaire \(\lambda : H^{2d}(X)(d) \to F\), on peut aussi considérer \(\lambda\) comme une application \(F\)-linéaire \(\lambda : H^*(X)(d) \to F\), en la précomposant avec la projection sur \(H^{2d}(X)(d)\). Avec cette convention, l’axiome (A6) a bien un sens.
À propos de (A8). Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\). Alors \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est une \(k\)-algèbre finie séparable (Variétés, lemme 0BUG) ; ainsi, \(\Spec(k')\) est lisse et projectif sur \(k\). On peut donc appliquer \(H^*\) à \(\Spec(k')\), et l’axiome (A8) a bien un sens.
À propos de (A9). Nous verrons dans la remarque 0FIK que, sous les axiomes (A1) – (A7), l’application \(\lambda\) de l’axiome (A6) est unique.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1), (A2), (A3) et (A4). Il existe une unique règle associant à tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\) un homomorphisme d’anneaux \[ch^H : K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \geq 0} H^{2i}(X)(i)\], compatible avec les images réciproques et tel que \(ch^H(\mathcal{L}) = \exp(c_1^H(\mathcal{L}))\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\).
Démonstration
Cela résulte immédiatement de la proposition 0FI9, appliquée à la catégorie des schémas projectifs lisses sur \(k\), au foncteur \(A : X \mapsto \bigoplus_{i \geq 0} H^{2i}(X)(i)\) et à l’application \(c_1^H\).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1), (A2), (A3) et (A4). Il existe une unique règle associant à tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\) un homomorphisme d’anneaux gradués \[\gamma : \CH^*(X) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \geq 0} H^{2i}(X)(i)\], compatible avec les images réciproques et tel que \(ch^H(\alpha) = \gamma(ch(\alpha))\) pour \(\alpha\) dans \(K_0(\textit{Vect}(X))\).
Démonstration
Rappelons que l’on dispose d’un isomorphisme \[K_0(\textit{Vect}(X)) \otimes \mathbf{Q} \longrightarrow \CH^*(X) \otimes \mathbf{Q},\quad \alpha \longmapsto ch(\alpha) \cap [X]\] ; voir Homologie de Chow, lemme 0FEY. C’est un isomorphisme d’anneaux d’après Homologie de Chow, remarque 0FEM. On définit \(\gamma\) par la formule \(\gamma(\alpha) = ch^H(\alpha')\), où \(ch^H\) est celui du lemme 0FIE et où \(\alpha' \in K_0(\textit{Vect}(X))\) est tel que \(ch(\alpha') \cap [X] = \alpha\) dans \(\CH^*(X) \otimes \mathbf{Q}\).
La construction \(\alpha \mapsto \gamma(\alpha)\) est compatible avec les images réciproques, car \(ch^H\) et la formation des classes de Chern le sont tous deux ; voir le lemme 0FIE et Homologie de Chow, remarque 0FF8.
Il reste à voir que \(\gamma\) respecte la graduation. Soit \(\psi^2 : K_0(\textit{Vect}(X)) \to K_0(\textit{Vect}(X))\) le deuxième opérateur d’Adams ; voir Homologie de Chow, lemme 0FEJ. Si \(\alpha \in \CH^i(X)\) et si \(\alpha' \in K_0(\textit{Vect}(X)) \otimes \mathbf{Q}\) est l’unique élément tel que \(ch(\alpha') \cap [X] = \alpha\), nous avons vu dans Homologie de Chow, section 0FEX, que \(\psi^2(\alpha') = 2^i \alpha'\). On en déduit \(ch^H(\alpha') \in H^{2i}(X)(i)\) par le lemme 0FIA, comme voulu.
Lemme
Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement d’un schéma projectif lisse sur \(k\) le long d’un sous-schéma fermé lisse \(Z \subset X\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_\pi & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X }\] Supposons qu’il existe un élément de \(K_0(X)\) dont la restriction à \(Z\) soit égale à la classe de \(\mathcal{C}_{Z/X}\) dans \(K_0(Z)\). Supposons que toute composante irréductible de \(Z\) soit de codimension \(r\) dans \(X\). Il existe alors un cycle \(\theta \in \CH^{r - 1}(X')\) tel que \(b^![Z] = [E] \cdot \theta\) dans \(\CH^r(X')\) et \(\pi_*j^!(\theta) = [Z]\) dans \(\CH^r(Z)\).
Démonstration
Le schéma \(X\) est lisse et projectif sur \(k\), de sorte que \(K_0(X) = K_0(\textit{Vect}(X))\). Voir Catégories dérivées de schémas, lemmes 0F87 et 0FDJ. Soit \(\alpha \in K_0(\text{Vect}(X))\) un élément dont la restriction à \(Z\) est \(\mathcal{C}_{Z/X}\). D’après Homologie de Chow, lemme 0FV8, il existe un élément \(\alpha^\vee\) dont la restriction est \(\mathcal{C}_{Z/X}^\vee\). Par la formule de l’éclatement (Homologie de Chow, lemme 0FVA), on a \[b^![Z] = b^!i_*[Z] = j_* res(b^!)([Z]) = j_*(c_{r - 1}(\mathcal{F}^\vee) \cap \pi^*[Z]) = j_*(c_{r - 1}(\mathcal{F}^\vee) \cap [E])\], où \(\mathcal{F}\) est le noyau de la surjection \(\pi^*\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{E/X'}\). Observons que \(b^*\alpha^\vee - [\mathcal{O}_{X'}(E)]\) est un élément de \(K_0(\text{Vect}(X'))\) dont la restriction est \([\pi^*\mathcal{C}_{Z/X}^\vee] - [\mathcal{C}_{E/X'}^\vee] = [\mathcal{F}^\vee]\) sur \(E\). Puisque le cap-produit par les classes de Chern commute à \(j_*\), l’expression ci-dessus est égale à \[c_{r - 1}(b^*\alpha^\vee - [\mathcal{O}_{X'}(E)]) \cap [E]\] dans le groupe de Chow de \(X'\). Ainsi, en posant \[\theta = c_{r - 1}(b^*\alpha^\vee - [\mathcal{O}_{X'}(E)]) \cap [X']\], on obtient la première relation \(\theta \cdot [E] = b^![Z]\), par exemple d’après Homologie de Chow, lemme 0FC2. Pour la seconde relation, observons que \[j^!\theta = j^!(c_{r - 1}(b^*\alpha^\vee - [\mathcal{O}_{X'}(E)]) \cap [X']) = c_{r - 1}(\mathcal{F}^\vee) \cap j^![X'] = c_{r - 1}(\mathcal{F}^\vee) \cap [E]\] dans les groupes de Chow de \(E\). Pour montrer que son image par \(\pi_*\) est égale à \([Z]\), il suffit de montrer que le degré du cycle de codimension \(r - 1\) \((-1)^{r - 1}c_{r - 1}(\mathcal{F}) \cap [E]\) sur les fibres de \(\pi\) vaut \(1\). Nous omettons ce calcul.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1) – (A4) et (A7). Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\) et soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé lisse, tel que toute composante irréductible de \(Z\) soit de codimension \(r\) dans \(X\). Supposons que la classe de \(\mathcal{C}_{Z/X}\) dans \(K_0(Z)\) soit la restriction d’un élément de \(K_0(X)\). Si \(a \in H^*(X)\) et si \(a|_Z = 0\) dans \(H^*(Z)\), alors \(\gamma([Z]) \cup a = 0\).
Démonstration
Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement. D’après (A7), il suffit de montrer que \[b^*(\gamma([Z]) \cup a) = b^*\gamma([Z]) \cup b^*a = 0\] Par le lemme 0FIH, on a \[b^*\gamma([Z]) = \gamma(b^*[Z]) = \gamma([E] \cdot \theta) = \gamma([E]) \cup \gamma(\theta)\] Puisque \(b^*a\) se restreint à zéro sur \(E\) et que \(\gamma([E]) = c^H_1(\mathcal{O}_{X'}(E))\), l’axiome (A4) donne le résultat voulu.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1) – (A7). Alors l’axiome (A) de la section 0FHA est vérifié avec \(\int_X = \lambda\) comme dans l’axiome (A6).
Démonstration
Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Nous allons montrer que l’espace vectoriel gradué sur \(F\) \(H^*(X)(d)[2d]\) est un dual à gauche de \(H^*(X)\). Cela donnera le résultat voulu par Homologie, lemme 0FFV. Nous utiliserons l’axiome (A5), qui donne en particulier \[H^*(X \times X)(d) = \bigoplus H^i(X) \otimes H^j(X)(d) = \bigoplus H^i(X)(d) \otimes H^j(X)\] Définissons une application \[\eta : F \longrightarrow H^*(X \times X)(d)\] par multiplication par \(\gamma([\Delta]) \in H^{2d}(X \times X)(d)\). D’autre part, définissons une application \[\epsilon : H^*(X \times X)(d) \longrightarrow H^*(X)(d) \xrightarrow{\lambda} F\] en prenant d’abord l’image réciproque \(\Delta^*\) par le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times X\), puis l’application \(F\)-linéaire \(\lambda : H^{2d}(X)(d) \to F\) de l’axiome (A6), précomposée avec la projection \(H^*(X)(d) \to H^{2d}(X)(d)\). Pour montrer que \(H^*(X)(d)\) est un dual à gauche de \(H^*(X)\), il faut montrer que la composée des applications \[\eta \otimes 1 : H^*(X) \longrightarrow H^*(X \times X \times X)(d)\] et \[1 \otimes \epsilon : H^*(X \times X \times X)(d) \longrightarrow H^*(X)\] est l’identité. Pour \(a \in H^*(X)\), la composée envoie \(a\) sur \[(1 \otimes \lambda)(\Delta_{23}^*(q_{12}^*\gamma([\Delta]) \cup q_3^*a)) = (1 \otimes \lambda)(\gamma([\Delta]) \cup p_2^*a)\], où \(q_i : X \times X \times X \to X\) et \(q_{ij} : X \times X \times X \to X \times X\) sont les projections, \(\Delta_{23} : X \times X \to X \times X \times X\) est la diagonale et \(p_i : X \times X \to X\) sont les projections. L’égalité résulte de \(\Delta_{23}^*(q_{12}^*\gamma([\Delta]) = \Delta_{23}^*\gamma([\Delta \times X]) = \gamma([\Delta])\) et de \(\Delta_{23}^* q_3^*a = p_2^*a\). Puisque \(\gamma([\Delta]) \cup p_1^*a = \gamma([\Delta]) \cup p_2^*a\) (voir ci-dessous), l’expression ci-dessus se simplifie en \[(1 \otimes \lambda)(\gamma([\Delta]) \cup p_1^*a) = a\] par notre choix de \(\lambda\), comme voulu. La seconde condition, \((\epsilon \otimes 1) \circ (1 \otimes \eta) = \text{id}\), de Catégories, définition 0FFP, se démontre exactement de la même manière.
Notons que \(p_1^*a\) et \(\text{pr}_2^*a\) se restreignent à la même classe de cohomologie sur \(\Delta \subset X \times X\). De plus, on a \(\mathcal{C}_{\Delta/X \times X} = \Omega^1_\Delta\), qui est la restriction de \(p_1^*\Omega^1_X\). Le lemme 0FII donne donc \(\gamma([\Delta]) \cup p_1^*a = \gamma([\Delta]) \cup p_2^*a\), ce qui achève la démonstration.
Remarque
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1) – (A7). Soit \(X\) un schéma projectif lisse sur \(k\), non vide et équidimensionnel de dimension \(d\). En combinant les arguments des démonstrations du lemme 0FIJ et de Homologie, lemme 0FFV, on voit que \[\gamma([\Delta]) \in \bigoplus\nolimits_i H^i(X) \otimes H^{2d - i}(X)(d)\] définit une dualité parfaite entre \(H^i(X)\) et \(H^{2d - i}(X)(d)\) pour tout \(i\). En particulier, l’application linéaire \(\int_X = \lambda : H^{2d}(X)(d) \to F\) de l’axiome (A6) est unique ! Nous appellerons désormais l’application linéaire \(\int_X\) l’application trace de \(X\).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1) – (A7). Alors l’axiome (B) de la section 0FHA est vérifié.
Démonstration
L’axiome (B)(a) résulte immédiatement de l’axiome (A5). Soient \(X\) et \(Y\) des schémas projectifs lisses non vides sur \(k\), équidimensionnels de dimensions \(d\) et \(e\). Pour établir l’axiome (B)(b), observons que la diagonale \(\Delta_{X \times Y}\) de \(X \times Y\) est le produit d’intersection des images réciproques des diagonales \(\Delta_X\) de \(X\) et \(\Delta_Y\) de \(Y\) par les projections \(p : X \times Y \times X \times Y \to X \times X\) et \(q : X \times Y \times X \times Y \to Y \times Y\). La compatibilité de \(\gamma\) avec les produits d’intersection entraîne alors que \[\gamma([\Delta_{X \times Y}]) \in H^{2d + 2e}(X \times Y \times X \times Y)(d + e)\] est le cup-produit des images réciproques de \(\gamma([\Delta_X])\) et de \(\gamma([\Delta_Y])\) par \(p\) et \(q\). Écrivons \[\gamma([\Delta_{X \times Y}]) = \sum \eta_{X \times Y, i} \text{ avec } \eta_{X \times Y, i} \in H^i(X \times Y) \otimes H^{2d + 2e - i}(X \times Y)(d + e)\], et de même \(\gamma([\Delta_X]) = \sum \eta_{X, i}\) et \(\gamma([\Delta_Y]) = \sum \eta_{Y, i}\). L’observation précédente donne \[\eta_{X \times Y, 0} = \sum\nolimits_{i \in \mathbf{Z}} p^*\eta_{X, i} \cup q^*\eta_{Y, -i}\] (Si notre théorie cohomologique s’annule en degrés négatifs, ce qui sera le cas dans presque toutes les situations, seul le terme \(i = 0\) contribue, et \(\eta_{X \times Y, 0}\) appartient à \(H^0(X) \otimes H^0(Y) \otimes H^{2d}(X)(d) \otimes H^{2e}(Y)(e)\), comme attendu ; mais nous n’en avons pas besoin.) Puisque \(\lambda_X : H^{2d}(X)(d) \to F\) et \(\lambda_Y : H^{2e}(Y)(e) \to F\) envoient \(\eta_{X, 0}\) et \(\eta_{Y, 0}\) sur \(1\) dans \(H^*(X)\) et \(H^*(Y)\), on voit que \(\lambda_X \otimes \lambda_Y\) envoie \(\eta_{X \times Y, 0}\) sur \(1\) dans \(H^*(X) \otimes H^*(Y) = H^*(X \times Y)\), ce qui achève la démonstration.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1) – (A7). Alors l’axiome (C)(d) de la section 0FHA est vérifié.
Démonstration
On a \(\gamma([\Spec(k)]) = 1 \in H^*(\Spec(k))\) par construction. Puisque \[H^0(\Spec(k)) = F,\quad H^0(\Spec(k) \times \Spec(k)) = H^0(\Spec(k)) \otimes_F H^0(\Spec(k))\], l’application \(\int_{\Spec(k)} = \lambda\) de l’axiome (A6) doit envoyer \(1\) sur \(1\), car nous avons vu que \(\int_{\Spec(k) \times \Spec(k)} = \int_{\Spec(k)} \int_{\Spec(k)}\) au lemme 0FIL.
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1) – (A7). On obtient alors les données (D0), (D1), (D2) et (D3) de la section 0FHA, satisfaisant aux axiomes (A), (B), (C)(a), (C)(c) et (C)(d) de la section 0FHA ; voir les lemmes 0FIJ, 0FIL et 0FIM. De plus, on dispose des images directes \(f_* : H^*(X) \to H^*(Y)\) construites à la section 0FHA. Le seul axiome de la section 0FHA qui ne soit pas encore établi est l’axiome (C)(b).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1) – (A7). Soit \(p : P \to X\) comme dans l’axiome (A3), avec \(X\) non vide et équidimensionnel. Alors \(\gamma\) commute à l’image directe par \(p\).
Démonstration
Il suffit de le démontrer sur des générateurs de \(\CH_*(P)\). Il suffit donc de le démontrer pour une classe de cycle de la forme \(\xi^i \cdot p^*\alpha\), où \(0 \leq i \leq r - 1\) et \(\alpha \in \CH_*(X)\). Notons que \(p_*(\xi^i \cdot p^*\alpha) = 0\) si \(i < r - 1\), et que \(p_*(\xi^{r - 1} \cdot p^*\alpha) = \alpha\). D’autre part, on a \(\gamma(\xi^i \cdot p^*\alpha) = c^i \cup p^*\gamma(\alpha)\), et la formule de projection (lemme 0FHB) donne \[p_*\gamma(\xi^i \cdot p^*\alpha) = p_*(c^i) \cup \gamma(\alpha)\] Il suffit ainsi de montrer que \(p_*c^i = 0\) pour \(i < r - 1\) et que \(p_*c^{r - 1} = 1\). De manière équivalente, il suffit de démontrer que \(\lambda_P : H^{2d + 2r - 2}(P)(d + r - 1) \to F\), définie par les règles \[\lambda_P(c^i \cup p^*(a)) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i < r - 1 \\ \int_X(a) & \text{si} & i = r - 1 \end{matrix} \right.\], satisfait à la condition de l’axiome (A5). Cela résulte du calcul de la classe de la diagonale de \(P\) au lemme 0FGR.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1) – (A7). Si \(k'/k\) est une extension galoisienne, on a \(\int_{\Spec(k')} 1 = [k' : k]\).
Démonstration
Observons que \[\Spec(k') \times \Spec(k') = \coprod\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k'/k)} (\Spec(\sigma) \times \text{id})^{-1} \Delta\] comme cycles sur \(\Spec(k') \times \Spec(k')\). Notre construction de \(\gamma\) envoie toujours \([X]\) sur \(1\) dans \(H^0(X)\). Ainsi, \(1 \otimes 1 = 1 = \sum (\Spec(\sigma) \times \text{id})^*\gamma([\Delta])\). Notons \(\lambda : H^0(\Spec(k')) \to F\) l’application de l’axiome (A6), c’est-à-dire que \((\text{id} \otimes \lambda)(\gamma(\Delta)) = 1\) dans \(H^0(\Spec(k'))\). On obtient \[\begin{align*} \lambda(1) 1 & = (\text{id} \otimes \lambda)(1 \otimes 1) \\ & = (\text{id} \otimes \lambda)( \sum (\Spec(\sigma) \times \text{id})^*\gamma([\Delta])) \\ & = \sum (\Spec(\sigma) \times \text{id})^*( (\text{id} \otimes \lambda)(\gamma([\Delta])) \\ & = \sum (\Spec(\sigma) \times \text{id})^*(1) \\ & = [k' : k] \end{align*}\] Puisque \(\lambda\) est une autre notation pour \(\int_{\Spec(k')}\) (remarque 0FIK), la démonstration est achevée.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) satisfassent aux axiomes (A1) – (A7). Pour montrer que \(\gamma\) commute à l’image directe, il suffit de montrer que \(i_*(1) = \gamma([Z])\) lorsque \(i : Z \to X\) est une immersion fermée de schémas projectifs lisses non vides et équidimensionnels sur \(k\).
Démonstration
Nous utiliserons sans le mentionner de nouveau le fait que l’application classe de cycle \(\gamma\) construite au lemme 0FIF est compatible avec les produits d’intersection et les images réciproques, et que nous avons déjà établi les axiomes (A), (B), (C)(a), (C)(c) et (C)(d) de la section 0FHA ; voir le lemme 0FIJ, la remarque 0FIK et les lemmes 0FIL et 0FIM. En particulier, on peut utiliser, par exemple, le lemme 0FHB pour voir que l’image directe sur \(H^*\) est compatible avec la composition et satisfait à la formule de projection.
Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas projectifs lisses non vides et équidimensionnels sur \(k\). Nous cherchons à montrer \(f_*\gamma(\alpha) = \gamma(f_*\alpha)\) pour toute classe de cycle \(\alpha\) sur \(X\). On peut écrire \(\alpha\) comme une combinaison \(\mathbf{Q}\)-linéaire de produits de classes de Chern de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres (Homologie de Chow, lemme 0FEY). On peut donc supposer que \(\alpha\) est un produit de classes de Chern de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini \(\mathcal{E}_1, \ldots, \mathcal{E}_r\). Choisissons \(p : P \to X\) comme dans le principe de scindage (Homologie de Chow, lemme 02UL). D’après Homologie de Chow, remarque 0FVE, \(p\) est une composée de fibrés projectifs et \(\alpha = p_*(\xi_1 \cap \ldots \cap \xi_d \cap \cdot p^*\alpha)\), où les \(\xi_i\) sont des premières classes de Chern de modules inversibles. D’après le lemme 0FIN, \(p_*\) commute aux classes de cycles. Il suffit donc de démontrer la propriété pour la composée \(f \circ p\). Puisque \(p^*\mathcal{E}_1, \ldots, p^*\mathcal{E}_r\) admettent des filtrations dont les quotients successifs sont des modules inversibles, on est ramené au cas où \(\alpha\) est de la forme \(\xi_1 \cap \ldots \cap \xi_t \cap [X]\), pour certaines premières classes de Chern \(\xi_i\) de modules inversibles \(\mathcal{L}_i\).
Supposons \(\alpha = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_t) \cap [X]\), pour certains modules inversibles \(\mathcal{L}_i\) sur \(X\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample. Pour \(n \gg 0\), les \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) et \(\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\) sont tous deux très amples sur \(X\) relativement à \(k\) ; voir Morphismes, lemme 0FVC. Puisque \(c_1(\mathcal{L}_1) = c_1(\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) - c_1(\mathcal{L}^{\otimes n})\), on est ramené au cas où \(\mathcal{L}_1\) est très ample. En répétant ce raisonnement avec \(\mathcal{L}_i\) pour \(i = 2, \ldots, t\), on se ramène au cas où \(\mathcal{L}_i\) est très ample sur \(X\) relativement à \(k\) pour tout \(i = 1, \ldots, t\).
Supposons \(k\) infini et \(\alpha = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_t) \cap [X]\), pour certains modules inversibles très amples \(\mathcal{L}_i\) sur \(X\) relativement à \(k\). Par Bertini, sous la forme de Variétés, lemme 0FD6, on peut trouver successivement des sections régulières \(s_i\) de \(\mathcal{L}_i\) telles que les schémas \(Z(s_1) \cap \ldots \cap Z(s_i)\) soient lisses sur \(k\) et de codimension \(i\) dans \(X\). Par la construction du cap-produit avec la première classe d’un module inversible (qui remonte à Homologie de Chow, définition 02SJ), on est ainsi ramené au cas où \(\alpha = [Z]\), pour un sous-schéma fermé lisse non vide \(Z \subset X\) équidimensionnel.
Supposons \(\alpha = [Z]\), où \(Z \subset X\) est un sous-schéma fermé lisse. Choisissons une immersion fermée \(X \to \mathbf{P}^n\). On peut factoriser \(f\) sous la forme \[X \to Y \times \mathbf{P}^n \to Y\] Puisque le résultat est connu pour le second morphisme par le lemme 0FIN, il suffit de le démontrer lorsque \(\alpha = [Z]\), où \(i : Z \to X\) est une immersion fermée et \(f\) une immersion fermée. Alors \(j = f \circ i\) est également une immersion fermée. L’hypothèse appliquée à \(i\) et à \(j\) donne la conclusion.
Il reste à démontrer le lemme lorsque \(k\) est fini. Nous conseillons vivement au lecteur de passer la fin de la démonstration. Tout ce qui précède reste valable, sauf que nous ne savons pas choisir les sections \(s_i\) qui découpent \(Z\) sur \(k\), puisque \(k\) est fini. Nous savons toutefois que l’on peut trouver \(s_i\) sur la clôture algébrique \(\overline{k}\) de \(k\), par le même lemme. Il existe donc une extension finie \(k'/k\) telle que nos sections \(s_i\) soient définies sur \(k'\). Notons \(\pi : X_{k'} \to X\) la projection. Les arguments ci-dessus donnent la conclusion voulue, sous l’hypothèse du lemme, pour le cycle \(\pi^*\alpha\) et le morphisme \(f \circ \pi : X_{k'} \to Y\). On a \(\pi_*\pi^*\alpha = [k' : k] \alpha\) ; voir Homologie de Chow, lemme 02RH. D’autre part, on a \[\pi_*\gamma(\pi^*\alpha) = \pi_*\pi^*\gamma(\alpha) = \gamma(\alpha) \pi_*1\] par la formule de projection de notre théorie cohomologique. Observons que \(\pi\) est une projection (!) ; on a donc \(\pi_*(1) = \int_{\Spec(k')}(1) 1\) d’après le lemme 0FHC. Pour achever la démonstration dans le cas d’un corps fini, il suffit donc de démontrer \(\int_{\Spec(k')}(1) = [k' : k]\), ce que nous faisons au lemme 0FVR.
Dans les lemmes ci-dessous, nous utilisons les grassmanniennes définies et construites dans Constructions, section 089R.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) vérifient les axiomes (A1) – (A7). Étant donnés des entiers \(0 < l < n\) et un schéma projectif lisse équidimensionnel non vide \(X\) sur \(k\), considérons la projection \(p : X \times \mathbf{G}(l, n) \to X\). Alors \(\gamma\) commute à l’image directe par \(p\).
Démonstration
Si \(l = 1\) ou \(l = n - 1\), alors \(p\) est un fibré projectif et le résultat découle du lemme 0FIN. En général, il existe un morphisme \[h : Y \to X \times \mathbf{G}(l, n)\] tel que \(h\) et \(p \circ h\) soient tous deux des composés de fibrés en espaces projectifs. En effet, notons \(\mathbf{G}(1, 2, \ldots, l; n)\) la variété de drapeaux partiels. Alors le morphisme \[\mathbf{G}(1, 2, \ldots, l; n) \to \mathbf{G}(l, n)\] est un composé de fibrés en espaces projectifs, et le morphisme structural \(\mathbf{G}(1, 2, \ldots, l; n) \to \Spec(k)\) est lui aussi de cette forme. On peut donc poser \(Y = X \times \mathbf{G}(1, 2, \ldots, l; n)\). Puisque tout cycle sur \(X \times \mathbf{G}(l, n)\) est l’image directe d’un cycle sur \(Y\), le résultat pour \(Y \to X\) et celui pour \(Y \to X \times \mathbf{G}(l, n)\) entraînent le résultat pour \(p\).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) vérifient les axiomes (A1) – (A7). Pour montrer que \(\gamma\) commute à l’image directe, il suffit de montrer que \(i_*(1) = \gamma([Z])\) lorsque \(i : Z \to X\) est une immersion fermée de schémas projectifs lisses équidimensionnels non vides sur \(k\) telle que la classe de \(\mathcal{C}_{Z/X}\) dans \(K_0(Z)\) soit l’image réciproque d’une classe de \(K_0(X)\).
Démonstration
D’après le lemme 0FIP, il suffit de montrer que \(i_*(1) = \gamma([Z])\) lorsque \(i : Z \to X\) est une immersion fermée de schémas projectifs lisses équidimensionnels non vides sur \(k\). Supposons \(Z\) de codimension \(r\) dans \(X\). Soit \(\mathcal{L}\) un module inversible suffisamment ample sur \(X\). Choisissons \(n > 0\) et une surjection \[\mathcal{O}_Z^{\oplus n} \to \mathcal{C}_{Z/X} \otimes \mathcal{L}|_Z\] Ceci donne un morphisme \(g : Z \to \mathbf{G}(n - r, n)\) vers la grassmannienne sur \(k\), voir Constructions, section 089R. Considérons la composée \[Z \to X \times \mathbf{G}(n - r, n) \to X\] L’image directe par le second morphisme est compatible avec les classes de cycles d’après le lemme 0FIQ. Le faisceau conormal \(\mathcal{C}\) de l’immersion fermée \(Z \to X \times \mathbf{G}(n - r, n)\) s’insère dans une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C} \to g^*\Omega_{\mathbf{G}(n - r, n)} \to 0\] Voir Compléments sur les morphismes, lemme 067W. Puisque \(\mathcal{C}_{Z/X} \otimes \mathcal{L}|_Z\) est l’image réciproque d’un faisceau localement libre de rang fini sur \(\mathbf{G}(n - r, n)\), on en déduit que la classe de \(\mathcal{C}\) dans \(K_0(Z)\) est l’image réciproque d’une classe de \(K_0(X \times \mathbf{G}(n - r, n))\). On a donc la propriété pour \(Z \to X \times \mathbf{G}(n - r, n)\), ce qui permet de conclure.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) vérifient les axiomes (A1) – (A7). Si \(k''/k'/k\) sont des extensions finies séparables de corps, alors \(H^0(\Spec(k')) \to H^0(\Spec(k''))\) est injective.
Démonstration
On peut remplacer \(k''\) par sa clôture normale sur \(k\), qui est galoisienne sur \(k\), voir Corps, lemme 0EXM. Alors \(k''\) est aussi galoisien sur \(k'\), voir Corps, lemme 09I2. On en déduit un isomorphisme \[k' \otimes_k k'' \longrightarrow \prod\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k''/k')} k'',\quad \eta \otimes \zeta \longmapsto (\eta \sigma(\zeta))_\sigma\] Il donne un isomorphisme \(\coprod_\sigma \Spec(k'') \to \Spec(k') \times \Spec(k'')\) qui induit en cohomologie l’isomorphisme \[H^*(\Spec(k')) \otimes_F H^*(\Spec(k'')) \to \prod\nolimits_\sigma H^*(\Spec(k'')),\quad a' \otimes a'' \longmapsto (\pi^*a' \cup \Spec(\sigma)^*a'')_\sigma\] où \(\pi : \Spec(k'') \to \Spec(k')\) est le morphisme correspondant à l’inclusion de \(k'\) dans \(k''\). On conclut en prenant \(a'' = 1\).
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) vérifient les axiomes (A1) – (A8). Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement d’un schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\), non vide, équidimensionnel de dimension \(d\), le long d’un centre lisse partout non dense \(Z\). Alors \(b_*(1) = 1\).
Démonstration
On peut remplacer \(X\) par une composante connexe de \(X\) (certains détails sont omis). On peut donc supposer \(X\) connexe, donc irréductible. Posons \(k' = \Gamma(X, \mathcal{O}_X) = \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) ; nous omettons la démonstration de cette égalité. Choisissons un point fermé \(x' \in X'\) qui n’appartient pas au diviseur exceptionnel et dont le corps résiduel \(k''\) est séparable sur \(k\) ; ceci est possible d’après Variétés, lemme 056U. Notons \(x \in X\) son image (dont le corps résiduel est bien entendu égal lui aussi à \(k''\)). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ x' \times X' \ar[r] \ar[d] & X' \times X' \ar[d] \\ x \times X \ar[r] & X \times X }\] L’image réciproque de la classe de la diagonale \(\Delta = \Delta_X\) est la classe du « point diagonal » \(\delta_x : x \to x \times X\), et de même pour la classe de la diagonale \(\Delta'\). D’autre part, l’image réciproque du point diagonal \(\delta_x\) par la flèche verticale de gauche est le point diagonal \(\delta_{x'}\). Écrivons \(\gamma([\Delta]) = \sum \eta_i\) avec \(\eta_i \in H^i(X) \otimes H^{2d - i}(X)(d)\) et \(\gamma([\Delta']) = \sum \eta'_i\) avec \(\eta'_i \in H^i(X') \otimes H^{2d - i}(X')(d)\). Les arguments précédents montrent que \(\eta_0\) et \(\eta'_0\) ont pour image la même classe dans \[H^0(x') \otimes_F H^{2d}(X')(d)\] On a \(H^0(\Spec(k')) = H^0(X) = H^0(X')\) d’après l’axiome (A8). D’après le lemme 0FVS, cet espace commun s’injecte dans \(H^0(x')\). On en déduit que \(\eta_0\) a pour image \(\eta'_0\) par l’application \[H^0(X) \otimes_F H^{2d}(X)(d) \longrightarrow H^0(X') \otimes_F H^{2d}(X')(d)\] Cela signifie que \(\int_X\) est égal à \(\int_{X'}\) composé avec l’application d’image réciproque. Le lemme est démontré.
Lemme
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) vérifient les axiomes (A1) – (A8). Alors l’application classe de cycle \(\gamma\) commute à l’image directe.
Démonstration
Soit \(i : Z \to X\) comme dans le lemme 0FIR. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_\pi & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X }\] Soit \(\theta \in \CH^{r - 1}(X')\) comme dans le lemme 0FIH. Alors \(\pi_*j^!\theta = [Z]\) dans \(\CH_*(Z)\) entraîne que \(\pi_*\gamma(j^!\theta) = 1\) d’après le lemme 0FIN, car \(\pi\) est un fibré en espaces projectifs. On obtient donc \[i_*(1) = i_*(\pi_*(\gamma(j^!\theta))) = b_*j_*(j^*\gamma(\theta)) = b_*(j_*(1) \cup \gamma(\theta))\] On a \(j_*(1) = \gamma([E])\) d’après (A9). Ceci est donc égal à \[b_*(\gamma([E]) \cup \gamma(\theta)) = b_*(\gamma([E] \cdot \theta)) = b_*(\gamma(b^*[Z])) = b_*b^*\gamma([Z]) = b_*(1) \cup \gamma([Z])\] Comme \(b_*(1) = 1\) d’après le lemme 0FIS, la démonstration est achevée.
Proposition
Supposons que les données (D0), (D1) et (D2’) vérifient les axiomes (A1) – (A8). On obtient alors une théorie cohomologique de Weil.
Démonstration
Les axiomes (A), (B), (C)(a), (C)(c) et (C)(d) de la section 0FHA résultent des lemmes 0FIJ, 0FIL et 0FIM. L’axiome (C)(b) résulte du lemme 0FIT. Enfin, la condition supplémentaire de la définition 0FI2 est satisfaite, car elle coïncide avec notre axiome (A8).
Le lemme suivant est parfois utile pour montrer que l’on obtient une théorie cohomologique de Weil sur un corps non algébriquement clos, en se ramenant à un corps algébriquement clos.
Lemme
Soit \(k'/k\) une extension de corps. Soit \(F'/F\) une extension de corps de caractéristique \(0\). Supposons donnés
des données (D0), (D1), (D2’) pour \(k\) et \(F\), notées \(F(1), H^*, c_1^H\),
des données (D0), (D1), (D2’) pour \(k'\) et \(F'\), notées \(F'(1), (H')^*, c_1^{H'}\), et
un isomorphisme \(F(1) \otimes_F F' \to F'(1)\), des isomorphismes fonctoriels \(H^*(X) \otimes_F F' \to (H')^*(X_{k'})\) sur la catégorie des schémas projectifs lisses \(X\) sur \(k\), tels que les diagrammes \[\xymatrix{ \Pic(X) \ar[r]_{c_1^H} \ar[d] & H^2(X)(1) \ar[d] \\ \Pic(X_{k'}) \ar[r]^{c_1^{H'}} & (H')^2(X_{k'})(1) }\] commutent.
Dans ce cas, si \(F'(1), (H')^*, c_1^{H'}\) vérifient les axiomes (A1) – (A9), il en est de même de \(F(1), H^*, c_1^H\).
Démonstration
Nous vérifions les axiomes un à un.
Axiome (A1). Il faut montrer que \(H^*(\emptyset) = 0\) et que \((i^*, j^*) : H^*(X \amalg Y) \to H^*(X) \times H^*(Y)\) est un isomorphisme, où \(i\) et \(j\) sont les coprojections. Par fonctorialité des isomorphismes \(H^*(X) \otimes_F F' \to (H')^*(X_{k'})\), cela résulte de l’algèbre linéaire : si \(\varphi : V \to W\) est une application \(F\)-linéaire d’espaces vectoriels sur \(F\), alors \(\varphi\) est un isomorphisme si et seulement si \(\varphi_{F'} : V \otimes_F F' \to W \otimes_F F'\) est un isomorphisme.
Axiome (A2). Cela signifie qu’étant donnés un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas projectifs lisses sur \(k\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible \(\mathcal{N}\), on a \(f^*c_1^H(\mathcal{L}) = c_1^H(f^*\mathcal{L})\). Ceci résulte immédiatement de la propriété correspondante pour \(c_1^{H'}\), des diagrammes commutatifs du lemme et du fait que l’application canonique \(V \to V \otimes_F F'\) est injective pour tout espace vectoriel sur \(F\), noté \(V\).
Axiome (A3). Il découle du principe énoncé dans la démonstration de l’axiome (A1) et de la compatibilité de \(c_1^H\) et \(c_1^{H'}\).
Axiome (A4). Soit \(i : Y \to X\) l’inclusion d’un diviseur de Cartier effectif sur \(k\), où \(X\) et \(Y\) sont tous deux projectifs et lisses sur \(k\). Pour \(a \in H^*(X)\) tel que \(i^*a = 0\), il faut montrer que \(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y)) = 0\). Notons \(a' \in (H')^*(X_{k'})\) l’image de \(a\). L’hypothèse entraîne que \((i')^*a' = 0\), où \(i' : Y_{k'} \to X_{k'}\) est le changement de base de \(i\). On obtient donc \(a' \cup c_1^{H'}(\mathcal{O}_{X_{k'}}(Y_{k'})) = 0\) par l’axiome pour \((H')^*\). Puisque \(a' \cup c_1^{H'}(\mathcal{O}_{X_{k'}}(Y_{k'}))\) est l’image de \(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y))\), on conclut par le principe énoncé dans la démonstration de l’axiome (A2).
Axiome (A5). Cela signifie que \(H^*(\Spec(k)) = F\) et que, pour \(X\) et \(Y\) projectifs lisses sur \(k\), l’application \(H^*(X) \otimes_F H^*(Y) \to H^*(X \times Y)\), \(a \otimes b \mapsto p^*(a) \cup q^*(b)\) est un isomorphisme, où \(p\) et \(q\) sont les projections. Ceci découle du principe énoncé dans la démonstration de l’axiome (A1).
Interrompons le cours de l’argumentation pour montrer que, pour tout schéma projectif lisse \(X\) sur \(k\), le diagramme \[\xymatrix{ \CH^*(X) \ar[r]_-\gamma \ar[d]_{g^*} & \bigoplus H^{2i}(X)(i) \ar[d] \\ \CH^*(X_{k'}) \ar[r]^-{\gamma'} & \bigoplus (H')^{2i}(X_{k'})(i) }\] commute. Remarquons que l’on dispose de \(\gamma\), puisque l’on a déjà établi les axiomes (A1) – (A4) ; voir le lemme 0FIF. La flèche verticale de gauche est d’ailleurs celle qui est étudiée dans Homologie de Chow, section 0FVF, pour le morphisme de schémas de base \(g : \Spec(k') \to \Spec(k)\). Plus précisément, c’est l’application donnée dans Homologie de Chow, lemme 0FVJ. Prenons \(\alpha \in \CH^*(X)\). Écrivons \(\alpha = ch(\beta) \cap [X]\) dans \(\CH^*(X) \otimes \mathbf{Q}\), pour un certain \(\beta \in K_0(\textit{Vect}(X)) \otimes \mathbf{Q}\), de sorte que \(\gamma(\alpha) = ch^{H}(\beta)\) ; telle est notre construction de \(\gamma\). Puisque l’application de Homologie de Chow, lemme 0FVJ, est compatible avec le cap-produit par les classes de Chern d’après Homologie de Chow, lemme 0FVN, on voit que \(g^*\alpha = ch((X_{k'} \to X)^*\beta) \cap [X_{k'}]\). Ainsi \(\gamma'(g^*\alpha) = ch^{H'}((X_{k'} \to X)^*\beta)\). Le diagramme sera donc commutatif si, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre \(\mathcal{E}\) de rang \(r\) et tout \(0 \leq i \leq r\), l’élément \(c_i^H(\mathcal{E})\) de \(H^{2i}(X)(i)\) a pour image l’élément \(c_i^{H'}(\mathcal{E}_{k'})\) de \((H')^{2i}(X_{k'})(i)\). Comme on dispose de la formule du fibré en espaces projectifs aussi bien pour \(X\) que pour \(X'\), on peut, pour le montrer, remplacer \(X\) par un fibré en espaces projectifs sur \(X\) un nombre fini de fois. On peut donc supposer que \(\mathcal{E}\) possède une filtration dont les quotients gradués sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_r\). Voir Homologie de Chow, lemme 02UL et remarque 0FVE. Alors \(c^H_i(\mathcal{E}\) est le \(i\)-ième polynôme symétrique élémentaire en \(c^H_1(\mathcal{L}_1), \ldots, c^H_1(\mathcal{L}_r)\), et l’on conclut par l’hypothèse de compatibilité des premières classes de Chern.
Axiome (A6). Supposons donnés des espaces vectoriels sur \(F\), \(V\), \(W\), un élément \(v \in V\) et un tenseur \(\xi \in V \otimes_F W\). Notons \(V' = V \otimes_F F'\), \(W' = W \otimes_F F'\), et \(v'\), \(\xi'\) les images de \(v\), \(\xi\) dans \(V'\), \(V' \otimes_{F'} W'\). Le principe d’algèbre linéaire utilisé pour démontrer l’axiome (A6) est le suivant : il existe une application \(F\)-linéaire \(\lambda : W \to F\) telle que \((1 \otimes \lambda)\xi = v\) si et seulement s’il existe une application \(F'\)-linéaire \(\lambda' : W \otimes_F F' \to F'\) telle que \((1 \otimes \lambda')\xi' = v'\).
Soit \(X\) un schéma projectif lisse équidimensionnel non vide sur \(k\), de dimension \(d\). Notons \(\gamma = \gamma([\Delta])\) dans \(H^{2d}(X \times X)(d)\) (les produits fibrés sans indication de base seront pris sur \(k\)). Remarquons, ou rappelons, que ceci a un sens, puisque l’on a déjà établi les axiomes (A1) – (A4) ; voir le lemme 0FIF. On peut écrire \[\gamma = \sum \gamma_i, \quad \gamma_i \in H^i(X) \otimes_F H^{2d - i}(X)(d)\] dans la décomposition de Künneth. De même, notons \(\gamma' = \gamma([\Delta']) = \sum \gamma'_i\) dans \((H')^{2d}(X_{k'} \times_{k'} X_{k'})(d)\). D’après le principe d’algèbre linéaire rappelé ci-dessus, il suffit de montrer que \(\gamma_0\) a pour image \(\gamma'_0\) dans \((H')^0(X) \otimes_{F'} (H')^{2d}(X')(d)\). La compatibilité des décompositions de Künneth montre qu’il suffit de vérifier que \(\gamma\) a pour image \(\gamma'\) dans \[(H')^{2d}(X_{k'} \times_{k'} X_{k'})(d) = (H')^{2d}((X \times X)_{k'})(d)\] Puisque \(\Delta_{k'} = \Delta'\), ceci résulte de la discussion précédente.
Axiome (A7). Il résulte du fait d’algèbre linéaire suivant : une application linéaire \(V \to W\) d’espaces vectoriels sur \(F\) est injective si et seulement si \(V \otimes_F F' \to W \otimes_F F'\) est injective.
Axiome (A8). Il résulte du fait d’algèbre linéaire utilisé dans la démonstration de l’axiome (A1).
Axiome (A9). Soit \(X\) un schéma projectif lisse non vide sur \(k\), équidimensionnel de dimension \(d\). Soit \(i : Y \to X\) un diviseur de Cartier effectif non vide, lisse sur \(k\). Soient \(\lambda_Y\) et \(\lambda_X\) comme dans l’axiome (A6) pour \(X\) et \(Y\). Il faut montrer que, pour \(a \in H^{2d - 2}(X)(d - 1)\), on a \(\lambda_Y(i^*(a)) = \lambda_X(a \cup c_1^H(\mathcal{O}_X(Y))\). D’après la remarque 0FIK, on sait que \(\lambda_X : H^{2d}(X)(d) \to F\) et \(\lambda_Y : H^{2d - 2}(Y)(d - 1)\) sont uniquement déterminés par la condition de l’axiome (A6). Cela étant, il résulte de la démonstration de l’axiome (A6) pour \(H^*\) ci-dessus que \(\lambda_X \otimes \text{id}_{F'}\) correspond à \(\lambda_{X_{k'}}\) par l’identification donnée \(H^{2d}(X)(d) \otimes_F F' = H^{2d}(X_{k'})(d)\). Ainsi, le fait que l’axiome (A9) soit vérifié pour \(F'(1), (H')^*, c_1^{H'}\) entraîne qu’il l’est pour \(F(1), H^*, c_1^H\), par une chasse au diagramme. Ceci achève la démonstration du lemme.
Le lecteur vérifiera que \(\dim(Z') = \dim(\Delta \times Y) + \dim(X \times Z) - \dim(X \times X \times Y)\) et que \(Z'\) possède un unique point générique, dont l’image est le point générique de \(Z\) (où l’anneau local est de Cohen-Macaulay) et un point de \(X\) (où l’anneau local est de Cohen-Macaulay). Toutes les hypothèses du lemme sont donc bien vérifiées.↩︎
Alors \(X'\) est également lisse et projectif sur \(k\) ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 0FUT.↩︎