Topologies sur les schémas

Introduction

Dans ce chapitre, nous décrivons les différentes topologies sur la catégorie des schémas. On pourra consulter, entre autres, [SGA1] et [Ner]. Avant de le faire, nous souhaitons signaler qu’il existe de nombreux choix de sites (au sens de Sites, définition 00VH) qui donnent lieu à la même notion de faisceau sur la catégorie sous-jacente. Ainsi, nos choix peuvent différer légèrement de ceux des références, mais conduisent finalement aux mêmes groupes de cohomologie, etc.

La méthode générale

Dans cette section, nous exposons une méthode générale de construction des sites avec lesquels nous travaillerons. Supposons que l’on veuille étudier les faisceaux sur les schémas relativement à une topologie \(\tau\). Pour obtenir un site, comme dans Sites, définition 00VH, formé de schémas munis de cette topologie, il faut prendre quelques précautions. En effet, on ne peut pas simplement dire « considérons tous les schémas munis de la topologie de Zariski », car on obtiendrait ainsi une catégorie « grande ». Dans chaque section de ce chapitre, nous procéderons plutôt comme suit :

1. On définit une classe \(\text{Cov}_\tau\) de recouvrements de schémas satisfaisant aux axiomes de Sites, définition 00VH. Un recouvrement ouvert de Zariski d’un schéma sera toujours un recouvrement pour \(\tau\).

2. On distingue, dans la catégorie des schémas affines, une notion de \(\tau\)-recouvrement standard.

3. On définit ce qu’est un gros \(\tau\)-site « absolu » \(\Sch_\tau\). Il s’agit des sites obtenus en choisissant convenablement un ensemble de schémas et un ensemble de recouvrements.

4. Pour tout objet \(S\) de \(\Sch_\tau\), on définit le gros \(\tau\)-site \((\Sch/S)_\tau\) et, lorsque \(\tau\) s’y prête, le petit¹ \(\tau\)-site \(S_\tau\).

5. En outre, il existe un site \((\textit{Aff}/S)_\tau\) fondé sur la notion de \(\tau\)-recouvrement standard d’affines² dont la catégorie des faisceaux est équivalente à la catégorie des faisceaux sur \((\Sch/S)_\tau\).

Cette construction est quelque peu malcommode, car elle ne fournit pas de choix canonique du gros \(\tau\)-site d’un schéma, ni même du petit \(\tau\)-site d’un schéma. Si l’on accepte d’ignorer les difficultés ensemblistes, on peut travailler avec des classes et obtenir des gros et petits sites canoniques…

La topologie de Zariski

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement de Zariski de \(T\) est une famille de morphismes de schémas \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que chaque \(f_i\) soit une immersion ouverte et que \(T = \bigcup f_i(T_i)\).

Cela définit une classe (propre) de recouvrements. Montrons à présent que cette notion satisfait aux conditions de Sites, définition 00VH.

Lemme

Soit \(T\) un schéma.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement de Zariski de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement de Zariski et si, pour tout \(i\), on dispose d’un recouvrement de Zariski \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement de Zariski.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement de Zariski et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement de Zariski.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement de Zariski de \(T\). Il existe alors un recouvrement de Zariski \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) et tel que chaque \(U_j\) soit un ouvert principal de \(T\) ; voir Schémas, définition 01HT. On peut en outre choisir chaque \(U_j\) comme ouvert de l’un des \(T_i\).

Démonstration

Cela résulte de ce que \(T\) est quasi-compact et que les ouverts principaux forment une base de sa topologie. C’est également démontré dans Schémas, lemme 01HS.

On définit donc comme suit les recouvrements standards d’affines correspondants.

Définition

Comparer à Schémas, définition 01HT. Soit \(T\) un schéma affine. Un recouvrement de Zariski standard de \(T\) est un recouvrement de Zariski \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) tel que chaque \(U_j \to T\) induise un isomorphisme sur un ouvert affine principal de \(T\).

Définition

Un gros site de Zariski est un site \(\Sch_{Zar}\), au sens de Sites, définition 00VH, construit comme suit :

1. Choisir un ensemble quelconque de schémas \(S_0\), ainsi qu’un ensemble de recouvrements de Zariski \(\text{Cov}_0\) entre ces schémas.

2. Prendre pour catégorie sous-jacente à \(\Sch_{Zar}\) une catégorie \(\Sch_\alpha\) construite comme dans Ensembles, lemme 000J, à partir de l’ensemble \(S_0\).

3. Prendre pour recouvrements de \(\Sch_{Zar}\) un ensemble de recouvrements obtenu comme dans Ensembles, lemme 000X, à partir de la catégorie \(\Sch_\alpha\), de la classe des recouvrements de Zariski et de l’ensemble \(\text{Cov}_0\) choisi ci-dessus.

Sites, lemme 00VY, montre qu’une fois la catégorie \(\Sch_\alpha\) choisie, la catégorie des faisceaux sur \(\Sch_\alpha\) ne dépend pas du choix des recouvrements effectué au point (3) ci-dessus. Autrement dit, le topos \(\Sh(\Sch_{Zar})\) ne dépend que du choix de la catégorie \(\Sch_\alpha\). Il est démontré dans Ensembles, lemme 000R, que ces catégories sont stables par de nombreuses constructions de géométrie algébrique, par exemple les produits fibrés et le passage aux sous-schémas ouverts ou fermés. On peut également montrer que le choix précis de \(\Sch_\alpha\) importe assez peu ; voir la section 022I.

Une autre méthode consisterait à supposer l’existence d’un cardinal fortement inaccessible et à définir \(\Sch_{Zar}\) comme la catégorie des schémas contenus dans un univers choisi, les recouvrements étant les recouvrements de Zariski contenus dans ce même univers.

Avant de poursuivre par l’introduction du gros site de Zariski d’un schéma \(S\), observons que la topologie d’un gros site de Zariski \(\Sch_{Zar}\) est, en un certain sens, induite par la topologie de Zariski sur la catégorie de tous les schémas.

Lemme

Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski comme dans la définition 020S. Soit \(T \in \Ob(\Sch_{Zar})\). Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement de Zariski quelconque de \(T\). Il existe un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{Zar}\) qui soit tautologiquement équivalent (voir Sites, définition 00VU) à \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\).

Démonstration

Puisque chaque \(T_i \to T\) est une immersion ouverte, il résulte de Ensembles, lemme 000R, que chaque \(T_i\) est isomorphe à un objet \(V_i\) de \(\Sch_{Zar}\). Le recouvrement \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) est tautologiquement équivalent à \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) (en utilisant dans les deux sens l’application identité de \(I\)). En outre, \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) est combinatoirement équivalent à un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{Zar}\) d’après Ensembles, lemme 000X.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski contenant \(S\).

1. Le gros site de Zariski de \(S\), noté \((\Sch/S)_{Zar}\), est le site \(\Sch_{Zar}/S\) introduit dans Sites, section 00XZ.

2. Le petit site de Zariski de \(S\), que nous notons \(S_{Zar}\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_{Zar}\) dont les objets sont les \(U/S\) tels que \(U \to S\) soit une immersion ouverte. Un recouvrement de \(S_{Zar}\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_{Zar}\) avec \(U \in \Ob(S_{Zar})\).

3. Le gros site de Zariski affine de \(S\), noté \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_{Zar}\) formée des objets \(U/S\) tels que \(U\) soit un schéma affine. Un recouvrement de \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_{Zar}\) avec \(U \in \Ob((\textit{Aff}/S)_{Zar})\) qui soit un recouvrement de Zariski standard.

4. Le petit site de Zariski affine de \(S\), noté \(S_{affine, Zar}\), est la sous-catégorie pleine de \(S_{Zar}\) dont les objets sont les \(U/S\) tels que \(U\) soit un schéma affine. Un recouvrement de \(S_{affine, Zar}\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(S_{Zar}\) avec \(U \in \Ob(S_{affine, Zar})\) qui soit un recouvrement de Zariski standard.

Il n’est pas tout à fait évident que le petit site de Zariski, le gros site de Zariski affine et le petit site de Zariski affine soient bien des sites. Vérifions-le.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski contenant \(S\). Les structures \(S_{Zar}\), \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) et \(S_{affine, Zar}\) définies ci-dessus sont des sites.

Démonstration

Montrons que \(S_{Zar}\) est un site. C’est une catégorie munie d’un ensemble donné de familles de morphismes de but fixé. Il faut donc établir les propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH. Puisque \((\Sch/S)_{Zar}\) est un site, il suffit de prouver que, pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_{Zar}\) avec \(U \in \Ob(S_{Zar})\), on a aussi \(U_i \in \Ob(S_{Zar})\). Cela résulte des définitions, car la composée de deux immersions ouvertes est une immersion ouverte.

Montrons que \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) est un site. En raisonnant comme ci-dessus, il suffit de montrer que l’ensemble des recouvrements de Zariski standards d’affines satisfait aux propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH. Soit \(R\) un anneau. Soient \(f_1, \ldots, f_n \in R\) engendrant l’idéal unité. Pour chaque \(i \in \{1, \ldots, n\}\), soient \(g_{i1}, \ldots, g_{in_i} \in R_{f_i}\) des éléments engendrant l’idéal unité de \(R_{f_i}\). On peut écrire \(g_{ij} = f_{ij}/f_i^{e_{ij}}\). Après avoir remplacé, si nécessaire, \(f_{ij}\) par \(f_i f_{ij}\), on a \(D(f_{ij}) \subset D(f_i) \cong \Spec(R_{f_i})\) égal à \(D(g_{ij}) \subset \Spec(R_{f_i})\). On voit donc que la famille de morphismes \(\{D(g_{ij}) \to \Spec(R)\}\) est un recouvrement de Zariski standard. Ces considérations montrent que (2) vaut pour les recouvrements de Zariski standards. Nous omettons la vérification de (1) et de (3).

Nous omettons la démonstration du fait que \(S_{affine, Zar}\) est un site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski contenant \(S\). Les catégories sous-jacentes aux sites \(\Sch_{Zar}\), \((\Sch/S)_{Zar}\), \(S_{Zar}\), \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) et \(S_{affine, Zar}\) possèdent des produits fibrés. Dans chaque cas, le foncteur évident vers la catégorie \(\Sch\) de tous les schémas commute aux produits fibrés. Les catégories \((\Sch/S)_{Zar}\) et \(S_{Zar}\) possèdent toutes deux un objet final, à savoir \(S/S\).

Démonstration

Pour \(\Sch_{Zar}\), c’est vrai par construction ; voir Ensembles, lemme 000R. Supposons donnés des morphismes de schémas \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\) avec \(U, V, W \in \Ob(\Sch_{Zar})\). Le produit fibré \(V \times_U W\) dans \(\Sch_{Zar}\) est un produit fibré dans \(\Sch\) ; c’est aussi le produit fibré de \(V/S\) et \(W/S\) au-dessus de \(U/S\) dans la catégorie de tous les schémas au-dessus de \(S\), et donc également un produit fibré dans \((\Sch/S)_{Zar}\). Cela démontre le résultat pour \((\Sch/S)_{Zar}\). Si \(U \to S\), \(V \to U\) et \(W \to U\) sont des immersions ouvertes, alors \(V \times_U W \to S\) l’est aussi, d’où le résultat pour \(S_{Zar}\). Si \(U, V, W\) sont affines, \(V \times_U W\) l’est également, d’où le résultat pour \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\) et \(S_{affine, Zar}\).

Vérifions à présent que le gros, resp. petit, site affine définit le même topos que le gros, resp. petit, site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski contenant \(S\). Le foncteur \((\textit{Aff}/S)_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\) est un foncteur cocontinu spécial. Il induit donc une équivalence de topos de \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{Zar})\) vers \(\Sh((\Sch/S)_{Zar})\).

Démonstration

La notion de foncteur cocontinu spécial est introduite dans Sites, définition 03CG. Il faut donc vérifier les hypothèses (1) – (5) de Sites, lemme 03A0. Notons le foncteur d’inclusion \(u : (\textit{Aff}/S)_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\). La cocontinuité signifie simplement que tout recouvrement de Zariski de \(T/S\), avec \(T\) affine, peut être raffiné par un recouvrement de Zariski standard de \(T\). C’est le contenu du lemme 020Q. Ainsi, (1) est satisfaite. Le foncteur \(u\) est continu, simplement parce qu’un recouvrement de Zariski standard est un recouvrement de Zariski. Ainsi, (2) est satisfaite. Les assertions (3) et (4) résultent immédiatement de ce que \(u\) est pleinement fidèle. Enfin, la condition (5) résulte de ce que tout schéma possède un recouvrement ouvert affine.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski contenant \(S\). Le foncteur \(S_{affine, Zar} \to S_{Zar}\) est un foncteur cocontinu spécial. Il induit donc une équivalence de topos de \(\Sh(S_{affine, Zar})\) vers \(\Sh(S_{Zar})\).

Démonstration

Omis. Indication : comparer à la démonstration du lemme 020W.

Vérifions que la notion de faisceau sur le petit site de Zariski correspond à celle de faisceau sur \(S\).

Lemme

La catégorie des faisceaux sur \(S_{Zar}\) est équivalente à la catégorie des faisceaux sur l’espace topologique sous-jacent à \(S\).

Démonstration

Nous utiliserons à plusieurs reprises le fait que, pour tout objet \(U/S\) de \(S_{Zar}\), le morphisme \(U \to S\) est un isomorphisme sur un sous-schéma ouvert. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(S\). On définit alors un faisceau sur \(S_{Zar}\) par la règle \(\mathcal{F}'(U/S) = \mathcal{F}(\Im(U \to S))\). Réciproquement, choisissons pour tout sous-schéma ouvert \(U \subset S\) un objet \(U'/S \in \Ob(S_{Zar})\) tel que \(\Im(U' \to S) = U\) (il faut ici utiliser Ensembles, lemme 000R). Étant donné un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(S_{Zar}\), on définit un faisceau sur \(S\) en posant \(\mathcal{G}'(U) = \mathcal{G}(U'/S)\). Pour voir que \(\mathcal{G}'\) est un faisceau, on utilise que, pour tout recouvrement ouvert \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\), le recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est combinatoirement équivalent à un recouvrement \(\{U_j' \to U'\}_{j \in J}\) dans \(S_{Zar}\) d’après Ensembles, lemme 000X, et l’on applique Sites, lemme 00VW. Détails omis.

Désormais, nous ne ferons plus de distinction entre un faisceau sur \(S_{Zar}\) et un faisceau sur \(S\). Nous utiliserons toujours les procédés de la démonstration du lemme pour passer d’une notion à l’autre. Établissons maintenant quelques relations entre les topos associés à ces sites.

Lemme

Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski. Soit \(f : T \to S\) un morphisme dans \(\Sch_{Zar}\). Le foncteur \(T_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\) est cocontinu et induit un morphisme de topos \[i_f : \Sh(T_{Zar}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] Pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \((\Sch/S)_{Zar}\), on a la formule \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). Le foncteur \(i_f^{-1}\) possède aussi un adjoint à gauche \(i_{f, !}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Notons le foncteur \(u : T_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\). Autrement dit, étant donnée une immersion ouverte \(j : U \to T\) correspondant à un objet de \(T_{Zar}\), on pose \(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\). Ce foncteur commute aux produits fibrés ; voir le lemme 020V. De plus, \(T_{Zar}\) possède des égalisateurs (car deux morphismes de même source et de même but sont égaux) et \(u\) commute à ceux-ci. Il est manifestement cocontinu. Il est aussi continu, puisque \(u\) transforme les recouvrements en recouvrements et commute aux produits fibrés. Le lemme résulte donc de Sites, lemmes 00XR et 00XS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski contenant \(S\). Le foncteur d’inclusion \(S_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\) satisfait aux hypothèses de Sites, lemme 00XU, et induit donc un morphisme de sites \[\pi_S : (\Sch/S)_{Zar} \longrightarrow S_{Zar}\] et un morphisme de topos \[i_S : \Sh(S_{Zar}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] tels que \(\pi_S \circ i_S = \text{id}\). De plus, \(i_S = i_{\text{id}_S}\), où \(i_{\text{id}_S}\) est celui du lemme 020Y. En particulier, le foncteur \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) est décrit par la règle \(i_S^{-1}(\mathcal{G})(U/S) = \mathcal{G}(U/S)\).

Démonstration

Dans ce cas, le foncteur \(u : S_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\), outre les propriétés relevées dans la démonstration du lemme 020Y ci-dessus, est pleinement fidèle et transforme l’objet final en l’objet final. Le lemme en résulte.

Définition

Dans la situation du lemme 020Z, le foncteur \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) est souvent appelé la restriction au petit site de Zariski et, pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le gros site de Zariski, on note \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\) cette restriction.

Avec cette notation, pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le gros site et un faisceau \(\mathcal{G}\) sur le petit site, on a \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(S_{Zar})}(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_{Zar})}(\mathcal{F}, i_{S, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(S_{Zar})}(\mathcal{G}, \mathcal{F}|_{S_{Zar}}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_{Zar})}(\pi_S^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] De plus, on a \((i_{S, *}\mathcal{G})|_{S_{Zar}} = \mathcal{G}\) et \((\pi_S^{-1}\mathcal{G})|_{S_{Zar}} = \mathcal{G}\).

Lemme

Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski. Soit \(f : T \to S\) un morphisme dans \(\Sch_{Zar}\). Le foncteur \[u : (\Sch/T)_{Zar} \longrightarrow (\Sch/S)_{Zar}, \quad V/T \longmapsto V/S\] est cocontinu et possède un adjoint à droite continu \[v : (\Sch/S)_{Zar} \longrightarrow (\Sch/T)_{Zar}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{Zar}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] On a \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). On a \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\). De plus, \(f_{big}^{-1}\) possède un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs (détails omis ; comparer à la démonstration du lemme 020Y). Par conséquent, Sites, lemmes 00XR et 00XS, s’appliquent et donnent la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est adjoint à droite car, pour \(U/T\) et \(V/S\) donnés, on a \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\), comme voulu. On peut donc appliquer Sites, lemmes 00XX et 00XY, pour obtenir la formule pour \(f_{big, *}\).

Lemme

Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski. Soit \(f : T \to S\) un morphisme dans \(\Sch_{Zar}\).

1. On a \(i_f = f_{big} \circ i_T\), où \(i_f\) est celui du lemme 020Y et \(i_T\) celui du lemme 020Z.

2. Le foncteur \(S_{Zar} \to T_{Zar}\), \((U \to S) \mapsto (U \times_S T \to T)\), est continu et induit un morphisme de sites \[f_{small} : T_{Zar} \longrightarrow S_{Zar}\] Les foncteurs \(f_{small}^{-1}\) et \(f_{small, *}\) coïncident avec les notions usuelles \(f^{-1}\) et \(f_*\) lorsque l’on identifie les faisceaux sur \(T_{Zar}\), resp. \(S_{Zar}\), aux faisceaux sur \(T\), resp. \(S\), au moyen du lemme 020X.

3. On a un diagramme commutatif de morphismes de sites \[\xymatrix{ T_{Zar} \ar[d]_{f_{small}} & (\Sch/T)_{Zar} \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_T} \\ S_{Zar} & (\Sch/S)_{Zar} \ar[l]_{\pi_S} }\] de sorte que \(f_{small} \circ \pi_T = \pi_S \circ f_{big}\) comme morphismes de topos.

4. On a \(f_{small} = \pi_S \circ f_{big} \circ i_T = \pi_S \circ i_f\).

Démonstration

L’égalité \(i_f = f_{big} \circ i_T\) résulte de l’égalité \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\), qui est claire d’après les descriptions de ces foncteurs données ci-dessus. Cela démontre (1).

Assertion (2) : voir Sites, exemple 00X2.

L’assertion (3) résulte de ce que \(\pi_S\) et \(\pi_T\) sont donnés par les foncteurs d’inclusion, tandis que \(f_{small}\) et \(f_{big}\) le sont par le foncteur de changement de base \(U \mapsto U \times_S T\).

L’assertion (4) se déduit de (3) par précomposition avec \(i_T\).

Dans la situation du lemme, avec la terminologie de la définition 04BS, on a, pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur le gros site de Zariski de \(T\), \[(f_{big, *}\mathcal{F})|_{S_{Zar}} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{T_{Zar}}),\] Cette égalité résulte immédiatement de la commutativité du diagramme de sites du lemme, puisque la restriction au petit site de Zariski de \(T\), resp. \(S\), est donnée par \(\pi_{T, *}\), resp. \(\pi_{S, *}\). La formule analogue faisant intervenir images inverses et restrictions est fausse.

Lemme

Étant donnés des schémas \(X\), \(Y\), \(Z\) dans \((\Sch/S)_{Zar}\) et des morphismes \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\), on a \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\) et \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\).

Démonstration

Cela résulte de la description simple de l’image directe et de l’image inverse pour les foncteurs entre gros sites donnée par le lemme 0210. Pour les foncteurs entre petits sites, c’est le contenu de Faisceaux, lemme 008E, via l’identification du lemme 020X.

Lemme

Soit \(\Sch_{Zar}\) un gros site de Zariski. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] dans \(\Sch_{Zar}\). Alors \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) et \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\).

Démonstration

Puisque le diagramme est cartésien, on a, pour \(U'/S'\), l’égalité \(U' \times_{S'} T' = U' \times_S T\). Ainsi, \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\) et \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) envoient tous deux un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/T)_{Zar}\) sur le faisceau \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{S'} T')\) sur \(S'_{Zar}\) (utiliser les lemmes 020Y et 0211). La seconde égalité se démontre de la même manière ou peut se déduire du très général Sites, lemme 03CF.

On peut considérer un faisceau sur le gros site de Zariski de \(S\) comme une collection de faisceaux « usuels » sur tous les schémas au-dessus de \(S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans un gros site de Zariski \(\Sch_{Zar}\). Un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le gros site de Zariski \((\Sch/S)_{Zar}\) est donné par les données suivantes :

1. pour tout \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_{Zar})\), un faisceau \(\mathcal{F}_T\) sur \(T\) ;

2. pour tout \(f : T' \to T\) dans \((\Sch/S)_{Zar}\), une application \(c_f : f^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\).

Ces données sont soumises aux conditions suivantes :

1. pour tous \(f : T' \to T\) et \(g : T'' \to T'\) dans \((\Sch/S)_{Zar}\), la composée \(c_g \circ g^{-1}c_f\) est égale à \(c_{f \circ g}\) ;

2. si \(f : T' \to T\) dans \((\Sch/S)_{Zar}\) est une immersion ouverte, alors \(c_f\) est un isomorphisme.

Démonstration

Ce lemme résulte d’un énoncé purement faisceautique discuté dans Sites, remarque 0GWL. Nous en donnons aussi une démonstration directe dans ce cas.

Étant donné un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\Sh((\Sch/S)_{Zar})\), on pose \(\mathcal{F}_T = i_p^{-1}\mathcal{F}\), où \(p : T \to S\) est le morphisme structural. Remarquons que \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U'/S)\) pour tout ouvert \(U \subset T\) et toute immersion ouverte \(U' \to T\) dans \((\Sch/T)_{Zar}\) d’image \(U\) ; voir les lemmes 020X et 020Y. Ainsi, étant donnés \(f : T' \to T\) au-dessus de \(S\) et \(U, U' \to T\), on obtient une application canonique \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U'/S) \to \mathcal{F}(U'\times_T T'/S) = \mathcal{F}_{T'}(f^{-1}(U))\), celle du milieu étant l’application de restriction de \(\mathcal{F}\) relativement au morphisme \(U' \times_T T' \to U'\) au-dessus de \(S\). La famille de ces applications est compatible aux restrictions et définit donc une \(f\)-application \(c_f\) de \(\mathcal{F}_T\) vers \(\mathcal{F}_{T'}\) ; voir Faisceaux, définition 008J et la discussion qui l’entoure. Il est clair que \(c_{f \circ g}\) est la composée de \(c_f\) et \(c_g\), puisque composer les applications de restriction de \(\mathcal{F}\) donne encore une application de restriction.

Réciproquement, étant donné un système \((\mathcal{F}_T, c_f)\) comme dans le lemme, on peut définir un préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\Sh((\Sch/S)_{Zar})\) en posant simplement \(\mathcal{F}(T/S) = \mathcal{F}_T(T)\). Comme application de restriction, pour \(f : T' \to T\) donné, on définit, pour \(s \in \mathcal{F}(T)\), l’image inverse \(f^*(s)\) comme étant \(c_f(s)\) (où l’on considère de nouveau \(c_f\) comme une \(f\)-application). La condition imposée aux \(c_f\) garantit que les images inverses satisfont à la propriété de fonctorialité requise. Nous omettons la vérification qu’il s’agit d’un faisceau. Il est clair que les constructions ainsi définies sont mutuellement inverses.

La topologie étale

Soit \(S\) un schéma. Nous voulons définir la topologie étale sur la catégorie des schémas au-dessus de \(S\). Conformément à notre principe général, nous introduisons d’abord la notion de recouvrement étale.

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement étale de \(T\) est une famille de morphismes de schémas \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que chaque \(f_i\) soit étale et que \(T = \bigcup f_i(T_i)\).

Lemme

Tout recouvrement de Zariski est un recouvrement étale.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions et du fait qu’une immersion ouverte est un morphisme étale ; voir Morphismes, lemme 02GP.

Montrons maintenant que cette notion satisfait aux conditions de Sites, définition 00VH.

Lemme

Soit \(T\) un schéma.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement étale de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement étale et si, pour tout \(i\), on a un recouvrement étale \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement étale.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement étale et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement étale.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement étale de \(T\). Il existe alors un recouvrement étale \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) et tel que chaque \(U_j\) soit un schéma affine. On peut en outre choisir chaque \(U_j\) comme ouvert affine de l’un des \(T_i\).

Démonstration

Omis.

On définit donc comme suit les recouvrements standards d’affines correspondants.

Définition

Soit \(T\) un schéma affine. Un recouvrement étale standard de \(T\) est une famille \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) telle que chaque \(U_j\) soit affine et étale sur \(T\), et que \(T = \bigcup f_j(U_j)\).

Dans la définition ci-dessus, nous ne supposons pas que les morphismes \(f_j\) soient étales standards. En effet, sous cette hypothèse, les recouvrements étales standards ne définiraient pas un site sur \(\textit{Aff}/S\), notamment à cause de Algèbre, lemme 00UC, partie (4). En revanche, un morphisme étale d’affines est automatiquement lisse standard ; voir Algèbre, lemme 00U9. Ainsi, un recouvrement étale standard est un recouvrement lisse standard et un recouvrement syntomique standard.

Définition

Un gros site étale est un site \(\Sch_\etale\), au sens de Sites, définition 00VH, construit comme suit :

1. Choisir un ensemble quelconque de schémas \(S_0\), ainsi qu’un ensemble de recouvrements étales \(\text{Cov}_0\) entre ces schémas.

2. Prendre comme catégorie sous-jacente une catégorie \(\Sch_\alpha\) construite comme dans Ensembles, lemme 000J, à partir de l’ensemble \(S_0\).

3. Choisir un ensemble de recouvrements comme dans Ensembles, lemme 000X, à partir de la catégorie \(\Sch_\alpha\), de la classe des recouvrements étales et de l’ensemble \(\text{Cov}_0\) choisi ci-dessus.

Voir les remarques suivant la définition 020S pour la motivation et les explications relatives à la définition des gros sites.

Avant de poursuivre par l’introduction du gros site étale d’un schéma \(S\), observons que la topologie d’un gros site étale \(\Sch_\etale\) est, en un certain sens, induite par la topologie étale sur la catégorie de tous les schémas.

Lemme

Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale comme dans la définition 021A. Soit \(T \in \Ob(\Sch_\etale)\). Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement étale quelconque de \(T\).

1. Il existe un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_\etale\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement étale standard, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement dans \(\Sch_\etale\).

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement de Zariski, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement dans \(\Sch_\etale\).

Démonstration

Pour chaque \(i\), choisissons un recouvrement ouvert affine \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\) tel que chaque \(T_{ij}\) s’envoie dans un sous-schéma ouvert affine de \(T\). D’après le lemme 0217, le raffinement \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) est lui aussi un recouvrement étale de \(T\). On peut donc supposer chaque \(T_i\) affine et s’envoyant dans un ouvert affine \(W_i\) de \(T\). En appliquant Ensembles, lemme 000R, on voit que \(W_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_\etale\). Mais alors \(T_i\), en tant que schéma de type fini au-dessus de \(W_i\), est isomorphe à un objet \(V_i\) de \(\Sch_\etale\) par une seconde application de Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) (puisqu’ils sont isomorphes). De plus, \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) est combinatoirement équivalent à un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_\etale\) d’après Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) est un raffinement comme en (1). Dans la situation de (2), (3), chacun des schémas \(T_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_\etale\) d’après Ensembles, lemme 000R, et une nouvelle application de Ensembles, lemme 000X, donne le résultat voulu.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale contenant \(S\).

1. Le gros site étale de \(S\), noté \((\Sch/S)_\etale\), est le site \(\Sch_\etale/S\) introduit dans Sites, section 00XZ.

2. Le petit site étale de \(S\), que nous notons \(S_\etale\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_\etale\) dont les objets sont les \(U/S\) tels que \(U \to S\) soit étale. Un recouvrement de \(S_\etale\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_\etale\) avec \(U \in \Ob(S_\etale)\).

3. Le gros site étale affine de \(S\), noté \((\textit{Aff}/S)_\etale\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_\etale\) dont les objets sont les \(U/S\) tels que \(U\) soit un schéma affine. Un recouvrement de \((\textit{Aff}/S)_\etale\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_\etale\) avec \(U \in \Ob((\textit{Aff}/S)_\etale)\) qui soit un recouvrement étale standard.

4. Le petit site étale affine de \(S\), noté \(S_{affine, \etale}\), est la sous-catégorie pleine de \(S_\etale\) dont les objets sont les \(U/S\) tels que \(U\) soit un schéma affine. Un recouvrement de \(S_{affine, \etale}\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(S_\etale\) avec \(U \in \Ob(S_{affine, \etale})\) qui soit un recouvrement étale standard.

Il n’est pas tout à fait évident que le gros site étale affine, le petit site étale et le petit site étale affine soient des sites. Vérifions-le.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale contenant \(S\). Les structures \(S_\etale\), \((\textit{Aff}/S)_\etale\) et \(S_{affine, \etale}\) sont des sites.

Démonstration

Montrons que \(S_\etale\) est un site. C’est une catégorie munie d’un ensemble donné de familles de morphismes de but fixé. Il faut donc établir les propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH. Puisque \((\Sch/S)_\etale\) est un site, il suffit de prouver que, pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_\etale\) avec \(U \in \Ob(S_\etale)\), on a aussi \(U_i \in \Ob(S_\etale)\). Cela résulte des définitions, car la composée de morphismes étales est un morphisme étale.

Montrons que \((\textit{Aff}/S)_\etale\) est un site. En raisonnant comme ci-dessus, il suffit de montrer que l’ensemble des recouvrements étales standards d’affines satisfait aux propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH. C’est clair : par exemple, étant donné un recouvrement étale standard \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) et, pour chaque \(i\), un recouvrement étale standard \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement étale standard car \(\bigcup_{i\in I} J_i\) est fini et chaque \(T_{ij}\) est affine.

Nous omettons la démonstration du fait que \(S_{affine, \'etale}\) est un site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale contenant \(S\). Les catégories sous-jacentes des sites \(\Sch_\etale\), \((\Sch/S)_\etale\), \(S_\etale\), \((\textit{Aff}/S)_\etale\), et \(S_{affine, \etale}\) admettent des produits fibrés. Dans chaque cas, le foncteur évident vers la catégorie \(\Sch\) de tous les schémas commute à la formation des produits fibrés. Les catégories \((\Sch/S)_\etale\) et \(S_\etale\) possèdent toutes deux un objet final, à savoir \(S/S\).

Démonstration

Pour \(\Sch_\etale\), cela est vrai par construction ; voir Ensembles, lemme 000R. Supposons donnés des morphismes \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\) de schémas, avec \(U, V, W \in \Ob(\Sch_\etale)\). Le produit fibré \(V \times_U W\) dans \(\Sch_\etale\) est un produit fibré dans \(\Sch\) et est le produit fibré de \(V/S\) et \(W/S\) au-dessus de \(U/S\) dans la catégorie de tous les schémas au-dessus de \(S\), donc aussi un produit fibré dans \((\Sch/S)_\etale\). Cela prouve le résultat pour \((\Sch/S)_\etale\). Si \(U \to S\), \(V \to U\) et \(W \to U\) sont étales, alors \(V \times_U W \to S\) l’est aussi, d’où le résultat pour \(S_\etale\). Si \(U, V, W\) sont affines, \(V \times_U W\) l’est aussi, d’où le résultat pour \((\textit{Aff}/S)_\etale\) et \(S_{affine, \etale}\).

Vérifions ensuite que le gros, resp. petit, site affine définit le même topos que le gros, resp. petit, site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale contenant \(S\). Le foncteur \((\textit{Aff}/S)_\etale \to (\Sch/S)_\etale\) est cocontinu spécial et induit une équivalence de topos de \(\Sh((\textit{Aff}/S)_\etale)\) vers \(\Sh((\Sch/S)_\etale)\).

Démonstration

La notion de foncteur cocontinu spécial est introduite dans Sites, définition 03CG. Il faut donc vérifier les hypothèses (1) – (5) de Sites, lemme 03A0. Notons le foncteur d’inclusion \(u : (\textit{Aff}/S)_\etale \to (\Sch/S)_\etale\). La cocontinuité signifie simplement que tout recouvrement étale de \(T/S\), avec \(T\) affine, admet un raffinement par un recouvrement étale standard de \(T\). C’est le contenu du lemme 0218. Ainsi, (1) est vérifiée. Le foncteur \(u\) est continu simplement parce qu’un recouvrement étale standard est un recouvrement étale. Ainsi, (2) est vérifiée. Les points (3) et (4) découlent immédiatement du fait que \(u\) est pleinement fidèle. Enfin, la condition (5) découle du fait que tout schéma admet un recouvrement ouvert affine.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale contenant \(S\). Le foncteur \(S_{affine, \etale} \to S_\etale\) est cocontinu spécial et induit une équivalence de topos de \(\Sh(S_{affine, \etale})\) vers \(\Sh(S_\etale)\).

Démonstration

Omis. Indication : comparer avec la démonstration du lemme 021E.

Établissons maintenant quelques relations entre les topos associés à ces sites.

Lemme

Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale. Soit \(f : T \to S\) un morphisme dans \(\Sch_\etale\). Le foncteur \(T_\etale \to (\Sch/S)_\etale\) est cocontinu et induit un morphisme de topos \[i_f : \Sh(T_\etale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\etale)\] Pour un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \((\Sch/S)_\etale\), on a la formule \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). Le foncteur \(i_f^{-1}\) admet aussi un adjoint à gauche \(i_{f, !}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Notons le foncteur \(u : T_\etale \to (\Sch/S)_\etale\). Autrement dit, à un morphisme étale \(j : U \to T\) correspondant à un objet de \(T_\etale\), on associe \(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\). Ce foncteur commute aux produits fibrés ; voir le lemme 021D. Soient \(a, b : U \to V\) deux morphismes dans \(T_\etale\). Dans ce cas, l’égalisateur de \(a\) et \(b\) (dans la catégorie des schémas) est \[V \times_{\Delta_{V/T}, V \times_T V, (a, b)} U\] qui est un produit fibré de schémas étales au-dessus de \(T\), donc étale au-dessus de \(T\). Ainsi, \(T_\etale\) admet des égalisateurs et \(u\) commute avec eux. Il est clairement cocontinu. Il est aussi continu, car \(u\) envoie les recouvrements sur des recouvrements et commute aux produits fibrés. Le lemme résulte donc de Sites, lemmes 00XR et 00XS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale contenant \(S\). Le foncteur d’inclusion \(S_\etale \to (\Sch/S)_\etale\) satisfait aux hypothèses de Sites, lemme 00XU, et induit donc un morphisme de sites \[\pi_S : (\Sch/S)_\etale \longrightarrow S_\etale\] et un morphisme de topos \[i_S : \Sh(S_\etale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\etale)\] tel que \(\pi_S \circ i_S = \text{id}\). De plus, \(i_S = i_{\text{id}_S}\), où \(i_{\text{id}_S}\) est défini comme dans le lemme 021F. En particulier, le foncteur \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) est décrit par la règle \(i_S^{-1}(\mathcal{G})(U/S) = \mathcal{G}(U/S)\).

Démonstration

Dans ce cas, le foncteur \(u : S_\etale \to (\Sch/S)_\etale\), outre les propriétés établies dans la démonstration du lemme 021F ci-dessus, est pleinement fidèle et envoie l’objet final sur l’objet final. Le lemme résulte de Sites, lemme 00XU.

Définition

Dans la situation du lemme 021G, le foncteur \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) est souvent appelé la restriction au petit site étale et, pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le gros site étale, nous notons \(\mathcal{F}|_{S_\etale}\) cette restriction.

Avec cette notation, pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le gros site et un faisceau \(\mathcal{G}\) sur le petit site, on a \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(S_\etale)}( \mathcal{F}|_{S_\etale}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\etale)}( \mathcal{F}, i_{S, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(S_\etale)}( \mathcal{G}, \mathcal{F}|_{S_\etale}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\etale)}( \pi_S^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] De plus, on a \((i_{S, *}\mathcal{G})|_{S_\etale} = \mathcal{G}\) et \((\pi_S^{-1}\mathcal{G})|_{S_\etale} = \mathcal{G}\).

Lemme

Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale. Soit \(f : T \to S\) un morphisme dans \(\Sch_\etale\). Le foncteur \[u : (\Sch/T)_\etale \longrightarrow (\Sch/S)_\etale, \quad V/T \longmapsto V/S\] est cocontinu et admet un adjoint à droite continu \[v : (\Sch/S)_\etale \longrightarrow (\Sch/T)_\etale, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_\etale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\etale)\] On a \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). On a \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\). En outre, \(f_{big}^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs (détails omis ; comparer à la démonstration du lemme 021F). Par conséquent, Sites, lemmes 00XR et 00XS s’appliquent et donnent la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est un adjoint à droite car, étant donnés \(U/T\) et \(V/S\), on a \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\), comme voulu. On peut donc appliquer Sites, lemmes 00XX et 00XY pour obtenir la formule pour \(f_{big, *}\).

Lemme

Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale. Soit \(f : T \to S\) un morphisme dans \(\Sch_\etale\).

1. On a \(i_f = f_{big} \circ i_T\), où \(i_f\) est défini comme dans le lemme 021F et \(i_T\) comme dans le lemme 021G.

2. Le foncteur \(S_\etale \to T_\etale\), \((U \to S) \mapsto (U \times_S T \to T)\), est continu et induit un morphisme de sites \[f_{small} : T_\etale \longrightarrow S_\etale\] On a \(f_{small, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\).

3. On a un diagramme commutatif de morphismes de sites \[\xymatrix{ T_\etale \ar[d]_{f_{small}} & (\Sch/T)_\etale \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_T}\\ S_\etale & (\Sch/S)_\etale \ar[l]_{\pi_S} }\] de sorte que \(f_{small} \circ \pi_T = \pi_S \circ f_{big}\) comme morphismes de topos.

4. On a \(f_{small} = \pi_S \circ f_{big} \circ i_T = \pi_S \circ i_f\).

Démonstration

L’égalité \(i_f = f_{big} \circ i_T\) résulte de l’égalité \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\), qui découle des descriptions de ces foncteurs données ci-dessus. Cela prouve (1).

Le foncteur \(u : S_\etale \to T_\etale\), \(u(U \to S) = (U \times_S T \to T)\) envoie les recouvrements sur des recouvrements et commute aux produits fibrés ; voir le lemme 0217 (3) et 021D. De plus, \(S_\etale\) et \(T_\etale\) admettent tous deux des objets finaux, à savoir \(S/S\) et \(T/T\), et \(u(S/S) = T/T\). Par conséquent, d’après Sites, proposition 00X6, le foncteur \(u\) correspond à un morphisme de sites \(T_\etale \to S_\etale\). Celui-ci donne à son tour naissance au morphisme de topos ; voir Sites, lemme 00XC. La description de l’image directe résulte immédiatement de ces références.

Le point (3) résulte du fait que \(\pi_S\) et \(\pi_T\) sont donnés par les foncteurs d’inclusion, et \(f_{small}\) et \(f_{big}\) par les foncteurs de changement de base \(U \mapsto U \times_S T\).

L’assertion (4) résulte de (3) en précomposant avec \(i_T\).

Dans la situation du lemme, avec la terminologie de la définition 04BT, on a, pour \(\mathcal{F}\) faisceau sur le gros site étale de \(T\), \[(f_{big, *}\mathcal{F})|_{S_\etale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{T_\etale}),\] Cette égalité résulte de la commutativité du diagramme de sites du lemme, puisque la restriction au petit site étale de \(T\), resp. \(S\), est donnée par \(\pi_{T, *}\), resp. \(\pi_{S, *}\). Une formule analogue faisant intervenir images inverses et restrictions est fausse.

Lemme

Étant donnés des schémas \(X\), \(Y\), \(Y\) de \(\Sch_\etale\) et des morphismes \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\), on a \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\) et \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\).

Démonstration

Cela résulte de la description simple de l’image directe et de l’image inverse pour les foncteurs sur les gros sites donnée par le lemme 021H. Pour les foncteurs sur les petits sites, cela résulte de la description des foncteurs image directe dans le lemme 021I.

Lemme

Soit \(\Sch_\etale\) un gros site étale. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] dans \(\Sch_\etale\). Alors \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) et \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\).

Démonstration

Le diagramme étant cartésien, on a, pour \(U'/S'\), \(U' \times_{S'} T' = U' \times_S T\). Par conséquent, les deux foncteurs \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\) et \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) envoient un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/T)_\etale\) sur le faisceau \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{S'} T')\) sur \(S'_\etale\) (utiliser les lemmes 021F et 021H). La seconde égalité peut se démontrer de la même manière ou se déduire du très général Sites, lemme 03CF.

On peut considérer un faisceau sur le gros site étale de \(S\) comme une collection de faisceaux « usuels » sur tous les schémas au-dessus de \(S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans un gros site étale \(\Sch_\etale\). Un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le gros site étale \((\Sch/S)_\etale\) est décrit par les données suivantes :

1. pour tout \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_\etale)\), un faisceau \(\mathcal{F}_T\) sur \(T_\etale\),

2. pour tout \(f : T' \to T\) dans \((\Sch/S)_\etale\), une application \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\).

Ces données sont soumises aux conditions suivantes :

1. pour tous \(f : T' \to T\) et \(g : T'' \to T'\) dans \((\Sch/S)_\etale\), la composée \(c_g \circ g_{small}^{-1}c_f\) est égale à \(c_{f \circ g}\), et

2. si \(f : T' \to T\) dans \((\Sch/S)_\etale\) est étale, alors \(c_f\) est un isomorphisme.

Démonstration

Ce lemme résulte d’un énoncé purement faisceautique discuté dans Sites, remarque 0GWL. Nous donnons aussi une démonstration directe dans ce cas.

Étant donné un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\Sh((\Sch/S)_\etale)\), on pose \(\mathcal{F}_T = i_p^{-1}\mathcal{F}\), où \(p : T \to S\) est le morphisme structural. Remarquons que \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U/S)\) pour tout \(U \to T\) dans \(T_\etale\) ; voir le lemme 021F. Ainsi, étant donnés \(f : T' \to T\) au-dessus de \(S\) et \(U \to T\), on obtient une application canonique \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U/S) \to \mathcal{F}(U \times_T T'/S) = \mathcal{F}_{T'}(U \times_T T')\), où l’application médiane est l’application de restriction de \(\mathcal{F}\) relativement au morphisme \(U \times_T T' \to U\) au-dessus de \(S\). La famille de ces applications est compatible aux restrictions et définit donc une application \(c'_f : \mathcal{F}_T \to f_{small, *}\mathcal{F}_{T'}\), où \(u : T_\etale \to T'_\etale\) est le foncteur de changement de base associé à \(f\). Par l’adjonction de \(f_{small, *}\) (voir Sites, section 00WU) avec \(f_{small}^{-1}\), cela revient à une application \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\). Il est clair que \(c'_{f \circ g}\) est la composée de \(c'_f\) et \(f_{small, *}c'_g\), puisque la composée d’applications de restriction de \(\mathcal{F}\) est encore une application de restriction ; on obtient ainsi la relation voulue entre \(c_f\), \(c_g\) et \(c_{f \circ g}\).

Réciproquement, étant donné un système \((\mathcal{F}_T, c_f)\) comme dans le lemme, on peut définir un préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\Sh((\Sch/S)_\etale)\) en posant simplement \(\mathcal{F}(T/S) = \mathcal{F}_T(T)\). Comme application de restriction, étant donné \(f : T' \to T\), on définit, pour \(s \in \mathcal{F}(T)\), l’image inverse \(f^*(s)\) comme \(c_f(s)\), où l’on considère de nouveau \(c_f\) comme une application \(\mathcal{F}_T \to f_{small, *}\mathcal{F}_{T'}\). La condition sur les \(c_f\) garantit que les images inverses satisfont à la fonctorialité requise. Nous omettons la vérification qu’il s’agit d’un faisceau. Il est clair que les constructions ainsi définies sont inverses l’une de l’autre.

La topologie lisse

Dans cette section, nous définissons la topologie lisse. Cela est quelque peu gratuit, puisqu’on verra plus loin (voir Compléments sur les morphismes, section 055S) que cette topologie définit le même topos que la topologie étale. Elle demeure néanmoins naturelle et intervient à l’occasion.

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement lisse de \(T\) est une famille de morphismes de schémas \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que chaque \(f_i\) soit lisse et que \(T = \bigcup f_i(T_i)\).

Lemme

Tout recouvrement étale est un recouvrement lisse et, à plus forte raison, tout recouvrement de Zariski est un recouvrement lisse.

Démonstration

Cela résulte des définitions et du fait qu’un morphisme étale est lisse ; voir Morphismes, définition 02GI et le lemme 0216.

Montrons maintenant que cette notion satisfait aux conditions de Sites, définition 00VH.

Lemme

Soit \(T\) un schéma.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement lisse de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement lisse et si, pour tout \(i\), on a un recouvrement lisse \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement lisse.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement lisse et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement lisse.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement lisse de \(T\). Il existe alors un recouvrement lisse \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\), tel que chaque \(U_j\) soit un schéma affine et que chaque morphisme \(U_j \to T\) soit lisse standard ; voir Morphismes, définition 01V5. On peut en outre choisir chaque \(U_j\) comme ouvert affine de l’un des \(T_i\).

Démonstration

Omis ; voir toutefois Algèbre, lemme 00TA.

On définit donc comme suit les recouvrements standards d’affines correspondants.

Définition

Soit \(T\) un schéma affine. Un recouvrement lisse standard de \(T\) est une famille \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) telle que chaque \(U_j\) soit affine, que \(U_j \to T\) soit lisse standard et que \(T = \bigcup f_j(U_j)\).

Définition

Un gros site lisse est un site \(\Sch_{smooth}\) au sens de Sites, définition 00VH, construit comme suit :

1. Choisir un ensemble quelconque de schémas \(S_0\) et un ensemble de recouvrements lisses \(\text{Cov}_0\) entre ces schémas.

2. Prendre comme catégorie sous-jacente une catégorie \(\Sch_\alpha\) construite comme dans Ensembles, lemme 000J, à partir de l’ensemble \(S_0\).

3. Choisir un ensemble de recouvrements comme dans Ensembles, lemme 000X, à partir de la catégorie \(\Sch_\alpha\), de la classe des recouvrements lisses et de l’ensemble \(\text{Cov}_0\) choisi ci-dessus.

Voir les remarques suivant la définition 020S pour la motivation et les explications relatives à la définition des gros sites.

Avant de poursuivre par l’introduction du gros site lisse d’un schéma \(S\), observons que la topologie d’un gros site lisse \(\Sch_{smooth}\) est, en un certain sens, induite par la topologie lisse sur la catégorie de tous les schémas.

Lemme

Soit \(\Sch_{smooth}\) un gros site lisse comme dans la définition 03WY. Soit \(T \in \Ob(\Sch_{smooth})\). Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement lisse quelconque de \(T\).

1. Il existe un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{smooth}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement lisse standard, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement de \(\Sch_{smooth}\).

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement de Zariski, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement de \(\Sch_{smooth}\).

Démonstration

Pour chaque \(i\), choisissons un recouvrement ouvert affine \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\) tel que chaque \(T_{ij}\) s’envoie dans un sous-schéma ouvert affine de \(T\). D’après le lemme 0221, le raffinement \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) est lui aussi un recouvrement lisse de \(T\). On peut donc supposer chaque \(T_i\) affine et s’envoyant dans un ouvert affine \(W_i\) de \(T\). En appliquant Ensembles, lemme 000R, on voit que \(W_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{smooth}\). Mais alors \(T_i\), comme schéma de type fini au-dessus de \(W_i\), est isomorphe à un objet \(V_i\) de \(\Sch_{smooth}\) par une seconde application de Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) (puisqu’ils sont isomorphes). De plus, \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) est combinatoirement équivalent à un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{smooth}\) d’après Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) est un raffinement comme en (1). Dans la situation de (2), (3), chacun des schémas \(T_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{smooth}\) d’après Ensembles, lemme 000R, et une nouvelle application de Ensembles, lemme 000X, donne le résultat voulu.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{smooth}\) un gros site lisse contenant \(S\).

1. Le gros site lisse de \(S\), noté \((\Sch/S)_{smooth}\), est le site \(\Sch_{smooth}/S\) introduit dans Sites, section 00XZ.

2. Le gros site lisse affine de \(S\), noté \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_{smooth}\) dont les objets sont les \(U/S\) affines. Un recouvrement de \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_{smooth}\) qui soit un recouvrement lisse standard.

Vérifions ensuite que le gros site affine définit le même topos que le gros site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{smooth}\) un gros site lisse contenant \(S\). Le foncteur \((\textit{Aff}/S)_{smooth} \to (\Sch/S)_{smooth}\) est cocontinu spécial et induit une équivalence de topos de \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{smooth})\) vers \(\Sh((\Sch/S)_{smooth})\).

Démonstration

La notion de foncteur cocontinu spécial est introduite dans Sites, définition 03CG. Il faut donc vérifier les hypothèses (1) – (5) de Sites, lemme 03A0. Notons le foncteur d’inclusion \(u : (\textit{Aff}/S)_{smooth} \to (\Sch/S)_{smooth}\). La cocontinuité signifie simplement que tout recouvrement lisse de \(T/S\), avec \(T\) affine, admet un raffinement par un recouvrement lisse standard de \(T\). C’est le contenu du lemme 0222. Ainsi, (1) est vérifiée. Le foncteur \(u\) est continu simplement parce qu’un recouvrement lisse standard est un recouvrement lisse. Ainsi, (2) est vérifiée. Les points (3) et (4) découlent immédiatement du fait que \(u\) est pleinement fidèle. Enfin, la condition (5) découle du fait que tout schéma admet un recouvrement ouvert affine.

À suivre...

Lemme

Soit \(\Sch_{smooth}\) un gros site lisse. Soit \(f : T \to S\) un morphisme dans \(\Sch_{smooth}\). Le foncteur \[u : (\Sch/T)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/S)_{smooth}, \quad V/T \longmapsto V/S\] est cocontinu et admet un adjoint à droite continu \[v : (\Sch/S)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/T)_{smooth}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{smooth}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{smooth})\] On a \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). On a \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\). En outre, \(f_{big}^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. Par conséquent, Sites, lemmes 00XR et 00XS s’appliquent et donnent la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est un adjoint à droite car, étant donnés \(U/T\) et \(V/S\), on a \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\), comme voulu. On peut donc appliquer Sites, lemmes 00XX et 00XY pour obtenir la formule pour \(f_{big, *}\).

La topologie syntomique

Dans cette section, nous définissons la topologie syntomique. Cette topologie est assez intéressante : elle possède souvent les mêmes groupes de cohomologie que la topologie fppf, tout en étant techniquement plus facile à manier.

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement syntomique de \(T\) est une famille de morphismes de schémas \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que chaque \(f_i\) soit syntomique et que \(T = \bigcup f_i(T_i)\).

Lemme

Tout recouvrement lisse est un recouvrement syntomique et, à plus forte raison, tout recouvrement étale ou de Zariski est un recouvrement syntomique.

Démonstration

Cela résulte des définitions et du fait qu’un morphisme lisse est syntomique ; voir Morphismes, lemme 01VD et le lemme 0220.

Montrons maintenant que cette notion satisfait aux conditions de Sites, définition 00VH.

Lemme

Soit \(T\) un schéma.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement syntomique de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement syntomique et si, pour tout \(i\), on a un recouvrement syntomique \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement syntomique.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement syntomique et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement syntomique.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement syntomique de \(T\). Il existe alors un recouvrement syntomique \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\), tel que chaque \(U_j\) soit un schéma affine et que chaque morphisme \(U_j \to T\) soit syntomique standard ; voir Morphismes, définition 01UC. On peut en outre choisir chaque \(U_j\) comme ouvert affine de l’un des \(T_i\).

Démonstration

Omis ; voir toutefois Algèbre, lemme 00SY.

On définit donc comme suit les recouvrements standards d’affines correspondants.

Définition

Soit \(T\) un schéma affine. Un recouvrement syntomique standard de \(T\) est une famille \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) telle que chaque \(U_j\) soit affine, que \(U_j \to T\) soit syntomique standard et que \(T = \bigcup f_j(U_j)\).

Définition

Un gros site syntomique est un site \(\Sch_{syntomic}\) au sens de Sites, définition 00VH, construit comme suit :

1. Choisir un ensemble quelconque de schémas \(S_0\) et un ensemble de recouvrements syntomiques \(\text{Cov}_0\) entre ces schémas.

2. Prendre comme catégorie sous-jacente une catégorie \(\Sch_\alpha\) construite comme dans Ensembles, lemme 000J, à partir de l’ensemble \(S_0\).

3. Choisir un ensemble de recouvrements comme dans Ensembles, lemme 000X, à partir de la catégorie \(\Sch_\alpha\), de la classe des recouvrements syntomiques et de l’ensemble \(\text{Cov}_0\) choisi ci-dessus.

Voir les remarques suivant la définition 020S pour la motivation et les explications relatives à la définition des gros sites.

Avant de poursuivre par l’introduction du gros site syntomique d’un schéma \(S\), observons que la topologie d’un gros site syntomique \(\Sch_{syntomic}\) est, en un certain sens, induite par la topologie syntomique sur la catégorie de tous les schémas.

Lemme

Soit \(\Sch_{syntomic}\) un gros site syntomique comme dans la définition 03X1. Soit \(T \in \Ob(\Sch_{syntomic})\). Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement syntomique quelconque de \(T\).

1. Il existe un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{syntomic}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement syntomique standard, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement dans \(\Sch_{syntomic}\).

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement de Zariski, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement dans \(\Sch_{syntomic}\).

Démonstration

Pour chaque \(i\), choisissons un recouvrement ouvert affine \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\) tel que chaque \(T_{ij}\) s’envoie dans un sous-schéma ouvert affine de \(T\). D’après le lemme 0227, le raffinement \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) est lui aussi un recouvrement syntomique de \(T\). On peut donc supposer chaque \(T_i\) affine et s’envoyant dans un ouvert affine \(W_i\) de \(T\). En appliquant Ensembles, lemme 000R, on voit que \(W_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{syntomic}\). Mais alors \(T_i\), comme schéma de type fini au-dessus de \(W_i\), est isomorphe à un objet \(V_i\) de \(\Sch_{syntomic}\) par une seconde application de Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) (puisqu’ils sont isomorphes). De plus, \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) est combinatoirement équivalent à un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{syntomic}\) d’après Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) est un recouvrement comme en (1). Dans la situation de (2), (3), chacun des schémas \(T_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{syntomic}\) d’après Ensembles, lemme 000R, et une nouvelle application de Ensembles, lemme 000X, donne le résultat voulu.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{syntomic}\) un gros site syntomique contenant \(S\).

1. Le gros site syntomique de \(S\), noté \((\Sch/S)_{syntomic}\), est le site \(\Sch_{syntomic}/S\) introduit dans Sites, section 00XZ.

2. Le gros site syntomique affine de \(S\), noté \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_{syntomic}\) dont les objets sont les \(U/S\) affines. Un recouvrement de \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_{syntomic}\) qui soit un recouvrement syntomique standard.

Vérifions ensuite que le gros site affine définit le même topos que le gros site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{syntomic}\) un gros site syntomique contenant \(S\). Le foncteur \((\textit{Aff}/S)_{syntomic} \to (\Sch/S)_{syntomic}\) est cocontinu spécial et induit une équivalence de topos de \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{syntomic})\) vers \(\Sh((\Sch/S)_{syntomic})\).

Démonstration

La notion de foncteur cocontinu spécial est introduite dans Sites, définition 03CG. Il faut donc vérifier les hypothèses (1) – (5) de Sites, lemme 03A0. Notons le foncteur d’inclusion \(u : (\textit{Aff}/S)_{syntomic} \to (\Sch/S)_{syntomic}\). La cocontinuité signifie simplement que tout recouvrement syntomique de \(T/S\), avec \(T\) affine, admet un raffinement par un recouvrement syntomique standard de \(T\). C’est le contenu du lemme 0228. Ainsi, (1) est vérifiée. Le foncteur \(u\) est continu simplement parce qu’un recouvrement syntomique standard est un recouvrement syntomique. Ainsi, (2) est vérifiée. Les points (3) et (4) découlent immédiatement du fait que \(u\) est pleinement fidèle. Enfin, la condition (5) découle du fait que tout schéma admet un recouvrement ouvert affine.

À suivre...

Lemme

Soit \(\Sch_{syntomic}\) un gros site syntomique. Soit \(f : T \to S\) un morphisme dans \(\Sch_{syntomic}\). Le foncteur \[u : (\Sch/T)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/S)_{syntomic}, \quad V/T \longmapsto V/S\] est cocontinu et admet un adjoint à droite continu \[v : (\Sch/S)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/T)_{syntomic}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{syntomic}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{syntomic})\] On a \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). On a \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\). En outre, \(f_{big}^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. Par conséquent, Sites, lemmes 00XR et 00XS s’appliquent et donnent la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est un adjoint à droite car, étant donnés \(U/T\) et \(V/S\), on a \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\), comme voulu. On peut donc appliquer Sites, lemmes 00XX et 00XY pour obtenir la formule pour \(f_{big, *}\).

La topologie fppf

Soit \(S\) un schéma. Nous voulons définir la topologie fppf³ sur la catégorie des schémas au-dessus de \(S\). Conformément à notre principe général, nous introduisons d’abord la notion de recouvrement fppf.

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement fppf de \(T\) est une famille de morphismes de schémas \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que chaque \(f_i\) soit plat, localement de présentation finie, et que \(T = \bigcup f_i(T_i)\).

Lemme

Tout recouvrement syntomique est un recouvrement fppf et, à plus forte raison, tout recouvrement lisse, étale ou de Zariski est un recouvrement fppf.

Démonstration

Cela résulte des définitions et du fait qu’un morphisme syntomique est plat et localement de présentation finie ; voir Morphismes, lemmes 01UK et 01UL, ainsi que le lemme 0226.

Montrons maintenant que cette notion satisfait aux conditions de Sites, définition 00VH.

Lemme

Soit \(T\) un schéma.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement fppf de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement fppf et si, pour tout \(i\), on a un recouvrement fppf \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement fppf.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement fppf et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement fppf.

Démonstration

La première assertion est claire. La deuxième résulte de ce que la composée de morphismes plats est plate (voir Morphismes, lemme 01U7) et que la composée de morphismes de présentation finie est de présentation finie (voir Morphismes, lemme 01TR). La troisième résulte de ce que le changement de base d’un morphisme plat est plat (voir Morphismes, lemme 01U9) et que le changement de base d’un morphisme de présentation finie est de présentation finie (voir Morphismes, lemme 01TS). De plus, le changement de base d’une famille surjective de morphismes est surjectif (démonstration omise).

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf de \(T\). Il existe alors un recouvrement fppf \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) et tel que chaque \(U_j\) soit un schéma affine. On peut en outre choisir chaque \(U_j\) comme ouvert affine de l’un des \(T_i\).

Démonstration

Cela résulte directement des définitions, puisqu’un morphisme plat et localement de présentation finie est ouvert ; voir Morphismes, lemme 01UA.

On définit donc comme suit les recouvrements standards d’affines correspondants.

Définition

Soit \(T\) un schéma affine. Un recouvrement fppf standard de \(T\) est une famille \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) telle que chaque \(U_j\) soit affine, plat et de présentation finie sur \(T\), et que \(T = \bigcup f_j(U_j)\).

Définition

Un gros site fppf est un site \(\Sch_{fppf}\) au sens de Sites, définition 00VH, construit comme suit :

1. Choisir un ensemble quelconque de schémas \(S_0\) et un ensemble de recouvrements fppf \(\text{Cov}_0\) entre ces schémas.

2. Prendre comme catégorie sous-jacente une catégorie \(\Sch_\alpha\) construite comme dans Ensembles, lemme 000J, à partir de l’ensemble \(S_0\).

3. Choisir un ensemble de recouvrements comme dans Ensembles, lemme 000X, à partir de la catégorie \(\Sch_\alpha\), de la classe des recouvrements fppf et de l’ensemble \(\text{Cov}_0\) choisi ci-dessus.

Voir les remarques suivant la définition 020S pour la motivation et les explications relatives à la définition des gros sites.

Avant de poursuivre par l’introduction du gros site fppf d’un schéma \(S\), observons que la topologie d’un gros site fppf \(\Sch_{fppf}\) est, en un certain sens, induite par la topologie fppf sur la catégorie de tous les schémas.

Lemme

Soit \(\Sch_{fppf}\) un gros site fppf comme dans la définition 021R. Soit \(T \in \Ob(\Sch_{fppf})\). Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf quelconque de \(T\).

1. Il existe un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{fppf}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fppf standard, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement de \(\Sch_{fppf}\).

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement de Zariski, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement de \(\Sch_{fppf}\).

Démonstration

Pour chaque \(i\), choisissons un recouvrement ouvert affine \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\) tel que chaque \(T_{ij}\) s’envoie dans un sous-schéma ouvert affine de \(T\). D’après le lemme 021O, le raffinement \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) est lui aussi un recouvrement fppf de \(T\). On peut donc supposer chaque \(T_i\) affine et s’envoyant dans un ouvert affine \(W_i\) de \(T\). En appliquant Ensembles, lemme 000R, on voit que \(W_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{fppf}\). Mais alors \(T_i\), comme schéma de type fini au-dessus de \(W_i\), est isomorphe à un objet \(V_i\) de \(\Sch_{fppf}\) par une seconde application de Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) (puisqu’ils sont isomorphes). De plus, \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) est combinatoirement équivalent à un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{fppf}\) d’après Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) est un raffinement comme en (1). Dans la situation de (2), (3), chacun des schémas \(T_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{fppf}\) d’après Ensembles, lemme 000R, et une nouvelle application de Ensembles, lemme 000X, donne le résultat voulu.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{fppf}\) un gros site fppf contenant \(S\).

1. Le gros site fppf de \(S\), noté \((\Sch/S)_{fppf}\), est le site \(\Sch_{fppf}/S\) introduit dans Sites, section 00XZ.

2. Le gros site fppf affine de \(S\), noté \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_{fppf}\) dont les objets sont les \(U/S\) affines. Un recouvrement de \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_{fppf}\) qui soit un recouvrement fppf standard.

Il n’est pas tout à fait évident que le gros site fppf affine soit un site. Vérifions-le.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{fppf}\) un gros site fppf contenant \(S\). Alors \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) est un site.

Démonstration

Montrons que \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) est un site. En raisonnant comme dans la démonstration du lemme 021C, il suffit de montrer que l’ensemble des recouvrements fppf standards d’affines satisfait aux propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH. C’est clair : par exemple, étant donné un recouvrement fppf standard \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) et, pour chaque \(i\), un recouvrement fppf standard \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement fppf standard car \(\bigcup_{i\in I} J_i\) est fini et chaque \(T_{ij}\) est affine.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{fppf}\) un gros site fppf contenant \(S\). Les catégories sous-jacentes des sites \(\Sch_{fppf}\), \((\Sch/S)_{fppf}\), et \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) admettent des produits fibrés. Dans chaque cas, le foncteur évident vers la catégorie \(\Sch\) de tous les schémas commute à la formation des produits fibrés. La catégorie \((\Sch/S)_{fppf}\) possède un objet final, à savoir \(S/S\).

Démonstration

Pour \(\Sch_{fppf}\), cela est vrai par construction ; voir Ensembles, lemme 000R. Supposons donnés des morphismes \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\) de schémas, avec \(U, V, W \in \Ob(\Sch_{fppf})\). Le produit fibré \(V \times_U W\) dans \(\Sch_{fppf}\) est un produit fibré dans \(\Sch\) et est le produit fibré de \(V/S\) et \(W/S\) au-dessus de \(U/S\) dans la catégorie de tous les schémas au-dessus de \(S\), donc aussi un produit fibré dans \((\Sch/S)_{fppf}\). Cela prouve le résultat pour \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(U, V, W\) sont affines, \(V \times_U W\) l’est aussi, d’où le résultat pour \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\).

Vérifions ensuite que le gros site affine définit le même topos que le gros site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{fppf}\) un gros site fppf contenant \(S\). Le foncteur \((\textit{Aff}/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\) est cocontinu et induit une équivalence de topos de \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{fppf})\) vers \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\).

Démonstration

La notion de foncteur cocontinu spécial est introduite dans Sites, définition 03CG. Il faut donc vérifier les hypothèses (1) – (5) de Sites, lemme 03A0. Notons le foncteur d’inclusion \(u : (\textit{Aff}/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\). La cocontinuité signifie simplement que tout recouvrement fppf de \(T/S\), avec \(T\) affine, admet un raffinement par un recouvrement fppf standard de \(T\). C’est le contenu du lemme 021P. Ainsi, (1) est vérifiée. Le foncteur \(u\) est continu simplement parce qu’un recouvrement fppf standard est un recouvrement fppf. Ainsi, (2) est vérifiée. Les points (3) et (4) découlent immédiatement du fait que \(u\) est pleinement fidèle. Enfin, la condition (5) découle du fait que tout schéma admet un recouvrement ouvert affine.

Établissons maintenant quelques relations entre les topos associés à ces sites.

Lemme

Soit \(\Sch_{fppf}\) un gros site fppf. Soit \(f : T \to S\) un morphisme dans \(\Sch_{fppf}\). Le foncteur \[u : (\Sch/T)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad V/T \longmapsto V/S\] est cocontinu et admet un adjoint à droite continu \[v : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/T)_{fppf}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{fppf})\] On a \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). On a \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\). En outre, \(f_{big}^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. Par conséquent, Sites, lemmes 00XR et 00XS s’appliquent et donnent la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est un adjoint à droite car, étant donnés \(U/T\) et \(V/S\), on a \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\), comme voulu. On peut donc appliquer Sites, lemmes 00XX et 00XY pour obtenir la formule pour \(f_{big, *}\).

Lemme

Étant donnés des schémas \(X\), \(Y\), \(Z\) dans \((\Sch/S)_{fppf}\) et des morphismes \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\), on a \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\).

Démonstration

Cela résulte de la description simple de l’image directe et de l’image inverse pour les foncteurs sur les gros sites donnée par le lemme 021W.

La topologie ph

Dans cette section, nous définissons la topologie ph. C’est la topologie engendrée par les recouvrements de Zariski et les morphismes propres surjectifs, voir le lemme 0DBQ.

Nous reprenons nos notations et notre terminologie de l’article [ph] de Goodwillie et Lichtenbaum. Ces auteurs montrent que, si l’on se restreint à la sous-catégorie des schémas noethériens, la topologie ph coïncide avec la « topologie h » telle que Voevodsky l’a définie à l’origine : c’est la topologie engendrée par les recouvrements ouverts de Zariski et les morphismes de type fini qui sont universellement submersifs. Ils montrent aussi que les deux topologies ne coïncident pas sur les schémas non noethériens, voir [ph, exemple 4.5]. Nous revenons à (notre version de) la topologie h dans Compléments sur la platitude, section 0ETQ.

Avant de pouvoir définir les recouvrements de notre topologie, il nous faut quelques préliminaires.

Définition

Soit \(T\) un schéma affine. Un recouvrement ph standard est une famille \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) construite à partir d’un morphisme propre surjectif \(f : U \to T\) et d’un recouvrement ouvert affine \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\), en posant \(f_j = f|_{U_j}\).

Il résulte immédiatement du lemme de Chow que l’on peut raffiner un recouvrement ph standard par un recouvrement ph standard correspondant à un morphisme projectif surjectif.

Lemme

Soit \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) un recouvrement ph standard. Soit \(T' \to T\) un morphisme de schémas affines. Alors \(\{U_j \times_T T' \to T'\}_{j = 1, \ldots, m}\) est un recouvrement ph standard.

Démonstration

Soient \(f : U \to T\) un morphisme propre surjectif et \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\) un recouvrement ouvert affine comme dans la définition 0DBD. Alors \(U \times_T T' \to T'\) est propre et surjectif (Morphismes, lemmes 01S1 et 01W4). De plus, \(U \times_T T' = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j \times_T T'\) est un recouvrement ouvert affine. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Chacun des types de familles suivants de morphismes de but \(T\) admet un raffinement qui est un recouvrement ph standard :

1. tout recouvrement ouvert de Zariski de \(T\),

2. \(\{W_{ji} \to T\}_{j = 1, \ldots, m, i = 1, \ldots n_j}\) où \(\{W_{ji} \to U_j\}_{i = 1, \ldots, n_j}\) et \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) sont des recouvrements ph standards.

Démonstration

L’assertion (1) résulte du fait que tout recouvrement ouvert de Zariski de \(T\) peut être raffiné par un recouvrement ouvert affine fini.

Preuve de (3). Choisissons \(U \to T\) propre et surjectif et \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\) comme dans la définition 0DBD. Choisissons \(W_j \to U_j\) propre et surjectif et \(W_j = \bigcup W_{ji}\) comme dans la définition 0DBD. Par le lemme de Chow (Limits, lemme 0202), il existe \(W'_j \to W_j\) propre et surjectif et des immersions fermées \(W'_j \to \mathbf{P}^{e_j}_{U_j}\). Ainsi, après avoir remplacé \(W_j\) par \(W'_j\) et \(W_j = \bigcup W_{ji}\) par un recouvrement ouvert affine convenable de \(W'_j\), on peut supposer qu’il existe une immersion fermée \(W_j \subset \mathbf{P}^{e_j}_{U_j}\) pour tout \(j = 1, \ldots, m\).

Soit \(\overline{W}_j \subset \mathbf{P}^{e_j}_U\) l’adhérence schématique de \(W_j\). Alors \(W_j \subset \overline{W}_j\) est un sous-schéma ouvert ; en fait, \(W_j\) est l’image inverse de \(U_j \subset U\) par le morphisme \(\overline{W}_j \to U\). (Pour le voir, utilisons le fait que \(W_j \to \mathbf{P}^{e_j}_U\) est quasi-compact et que, par suite, la formation de l’image schématique commute à la restriction aux ouverts, voir Morphismes, section 01R5.) Munissons \(Z_j = U \setminus U_j\) de la structure de sous-schéma fermé réduit induite. Alors \[V_j = \overline{W}_j \amalg Z_j \to U\] est propre et surjectif, et le sous-schéma ouvert \(W_j \subset V_j\) est l’image inverse de \(U_j\). Ainsi, pour \(v \in V_j\), \(v \not \in W_j\), on peut choisir un voisinage ouvert affine \(v \in V_{j, v} \subset V_j\) dont l’image est contenue dans \(U_{j'}\) pour un certain \(1 \leq j' \leq m\).

Pour achever la démonstration, considérons le morphisme propre surjectif \[V = V_1 \times_U V_2 \times_U \ldots \times_U V_m \longrightarrow U \longrightarrow T\] et le recouvrement de \(V\) par les ouverts affines \[V_{1, v_1} \times_U \ldots \times_U V_{j - 1, v_{j - 1}} \times_U W_{j i} \times_U V_{j + 1, v_{j + 1}} \times_U \ldots \times_U V_{m, v_m}\] Ceux-ci forment bien un recouvrement, car tout point de \(U\) appartient à un certain \(U_j\) et l’image inverse de \(U_j\) dans \(V\) est égale à \(V_1 \times \ldots \times V_{j - 1} \times W_j \times V_{j + 1} \times \ldots \times V_m\). Remarquons que le morphisme de l’ouvert affine ci-dessus vers \(T\) se factorise par \(W_{ji}\) ; on obtient donc un raffinement. Enfin, il suffit d’un nombre fini de ces ouverts affines puisque \(V\) est quasi-compact (comme schéma propre sur le schéma affine \(T\)).

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement ph de \(T\) est une famille de morphismes de schémas \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que \(f_i\) soit localement de type fini et que, pour tout ouvert affine \(U \subset T\), il existe un recouvrement ph standard \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) qui raffine la famille \(\{T_i \times_T U \to U\}_{i \in I}\).

Un recouvrement ph standard est un recouvrement ph d’après le lemme 0DBE.

Lemme

Un recouvrement de Zariski est un recouvrement ph⁴.

Démonstration

Cela résulte du fait qu’un recouvrement de Zariski d’un schéma affine peut être raffiné par un recouvrement ph standard d’après le lemme 0DBF.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre surjectif de schémas. Alors \(\{Y \to X\}\) est un recouvrement ph.

Démonstration

Omise.

Lemme

Soit \(T\) un schéma. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes telle que \(f_i\) soit localement de type fini pour tout \(i\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement ph,

2. il existe un recouvrement ph qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\), et

3. \(\{\coprod_{i \in I} T_i \to T\}\) est un recouvrement ph.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte immédiatement de la définition 0DBG et du fait qu’un raffinement d’un raffinement est un raffinement. En vertu de l’équivalence de (1) et (2), et puisque \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) raffine \(\{\coprod_{i \in I} T_i \to T\}\), on voit que (1) implique (3). Supposons enfin que (3) soit vérifiée. Soit \(U \subset T\) un ouvert affine et soit \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) un recouvrement ph standard qui raffine \(\{U \times_T \coprod_{i \in I} T_i \to U\}\). Cela signifie que, pour tout \(j\), on dispose d’un morphisme \[h_j : U_j \longrightarrow U \times_T \coprod\nolimits_{i \in I} T_i = \coprod\nolimits_{i \in I} U \times_T T_i\] au-dessus de \(U\). Comme \(U_j\) est quasi-compact, on obtient des décompositions en réunion disjointe \(U_j = \coprod_{i \in I} U_{j, i}\) en sous-schémas ouverts et fermés, presque tous vides, telles que \(h_j|_{U_{j, i}}\) envoie \(U_{j, i}\) dans \(U \times_T T_i\). Il s’ensuit que \[\{U_{j, i} \to U\}_{j = 1, \ldots, m,\ i \in I,\ U_{j, i} \not = \emptyset}\] est un recouvrement ph standard (un petit détail est omis) qui raffine \(\{U \times_T T_i \to U\}_{i \in I}\). Ainsi, (1) est vérifiée.

Montrons ensuite que cette notion satisfait les conditions de Sites, définition 00VH.

Lemme

Soit \(T\) un schéma.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement ph de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement ph et si, pour tout \(i\), on a un recouvrement ph \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement ph.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement ph et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement ph.

Démonstration

L’assertion (1) est claire.

Preuve de (3). Le changement de base \(T_i \times_T T' \to T'\) est localement de type fini d’après Morphismes, lemme 01T4. Il suffit donc de vérifier la condition sur les ouverts affines. Soit \(U' \subset T'\) un sous-schéma ouvert affine. Comme \(U'\) est quasi-compact, on peut trouver un recouvrement ouvert affine fini \(U' = U'_1 \cup \ldots \cup U'\) tel que l’image de \(U'_j \to T\) soit contenue dans un ouvert affine \(U_j \subset T\). Choisissons un recouvrement ph standard \(\{U_{jl} \to U_j\}_{l = 1, \ldots, n_j}\) qui raffine \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\). D’après le lemme 0DBE, le changement de base \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'_j\}\) est un recouvrement ph standard. Remarquons que \(\{U'_j \to U'\}\) est lui aussi un recouvrement ph standard. D’après le lemme 0DBF, la famille \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\) peut être raffinée par un recouvrement ph standard. Comme \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\) raffine \(\{T_i \times_T U' \to U'\}\), on conclut.

Preuve de (2). La composition préserve la propriété d’être localement de type fini, voir Morphismes, lemme 01T3. Il suffit donc de vérifier la condition sur les ouverts affines. Soit \(U \subset T\) un ouvert affine. Choisissons d’abord un recouvrement ph standard \(\{U_k \to U\}_{k = 1, \ldots, m}\) qui raffine \(\{T_i \times_T U \to U\}\). Supposons que le raffinement soit donné par des morphismes \(U_k \to T_{i_k}\) sur \(T\). Alors \[\{T_{i_kj} \times_{T_{i_k}} U_k \to U_k\}_{j \in J_{i_k}}\] est un recouvrement ph d’après l’assertion (3). Comme \(U_k\) est affine, on peut trouver un recouvrement ph standard \(\{U_{ka} \to U_k\}_{a = 1, \ldots, b_k}\) qui raffine cette famille. On applique alors le lemme 0DBF pour voir que \(\{U_{ka} \to U\}\) peut être raffiné par un recouvrement ph standard. Comme \(\{U_{ka} \to U\}\) raffine \(\{T_{ij} \times_T U \to U\}\), ceci achève la démonstration.

Définition

Un gros site ph est un site \(\Sch_{ph}\) comme dans Sites, définition 00VH, construit comme suit :

1. Choisir un ensemble quelconque de schémas \(S_0\) et un ensemble quelconque \(\text{Cov}_0\) de recouvrements ph entre ces schémas.

2. Prendre pour catégorie sous-jacente une catégorie quelconque \(\Sch_\alpha\) construite comme dans Ensembles, lemme 000J, à partir de l’ensemble \(S_0\).

3. Choisir un ensemble quelconque de recouvrements comme dans Ensembles, lemme 000X, à partir de la catégorie \(\Sch_\alpha\), de la classe des recouvrements ph et de l’ensemble \(\text{Cov}_0\) choisi ci-dessus.

Voir les remarques qui suivent la définition 020S pour la motivation et les explications concernant la définition des gros sites.

Avant de poursuivre l’introduction du gros site ph d’un schéma \(S\), signalons que la topologie d’un gros site ph \(\Sch_{ph}\) est, en un certain sens, induite par la topologie ph sur la catégorie de tous les schémas.

Lemme

Soit \(\Sch_{ph}\) un gros site ph comme dans la définition 0DBJ. Soit \(T \in \Ob(\Sch_{ph})\). Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement ph quelconque de \(T\).

1. Il existe un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{ph}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement ph standard, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement de \(\Sch_{ph}\).

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement de Zariski, alors il est tautologiquement équivalent à un recouvrement de \(\Sch_{ph}\).

Démonstration

Pour tout \(i\), choisissons un recouvrement ouvert affine \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\) tel que chaque \(T_{ij}\) s’envoie dans un sous-schéma ouvert affine de \(T\). D’après les lemmes 0DBH et 0DBI, le raffinement \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\) est lui aussi un recouvrement ph de \(T\). On peut donc supposer que chaque \(T_i\) est affine et s’envoie dans un ouvert affine \(W_i\) de \(T\). En appliquant Ensembles, lemme 000R on voit que \(W_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{ph}\). Mais alors \(T_i\), comme schéma de type fini sur \(W_i\), est isomorphe à un objet \(V_i\) de \(\Sch_{ph}\) par une seconde application de Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) (car ils sont isomorphes). De plus, \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\) est combinatoirement équivalent à un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_{ph}\) d’après Ensembles, lemme 000R. Le recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) est un raffinement comme en (1). Dans les situations de (2) et (3), chacun des schémas \(T_i\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_{ph}\) d’après Ensembles, lemme 000R, et une autre application de Ensembles, lemme 000X donne le résultat voulu.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{ph}\) un gros site ph contenant \(S\).

1. Le gros site ph de \(S\), noté \((\Sch/S)_{ph}\), est le site \(\Sch_{ph}/S\) introduit dans Sites, section 00XZ.

2. Le gros site ph affine de \(S\), noté \((\textit{Aff}/S)_{ph}\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_{ph}\) dont les objets sont les \(U/S\) affines. Un recouvrement de \((\textit{Aff}/S)_{ph}\) est tout recouvrement fini \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_{ph}\) tel que \(U_i\) et \(U\) soient affines.

Remarquons que les recouvrements de \((\textit{Aff}/S)_{ph}\) ne sont pas donnés par les recouvrements ph standards. La raison en est simplement que le deuxième axiome de Sites, définition 00VH, échouerait. Les recouvrements de \((\textit{Aff}/S)_{ph}\) sont plutôt les familles finies \(\{U_i \to U\}\) de morphismes de type fini entre objets affines de \((\Sch/S)_{ph}\) qui peuvent être raffinées par un recouvrement ph standard. Énonçons et démontrons explicitement que le gros site ph affine est un site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{ph}\) un gros site ph contenant \(S\). Alors \((\textit{Aff}/S)_{ph}\) est un site.

Démonstration

En raisonnant comme dans la démonstration du lemme 021C, il suffit de montrer que la famille des recouvrements ph finis \(\{U_i \to U\}\), où \(U\) et les \(U_i\) sont affines, satisfait les propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH. C’est clair car, par exemple, étant donné un recouvrement ph fini \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) où \(T_i, T\) sont affines, et, pour tout \(i\), un recouvrement ph fini \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\) où \(T_{ij}\) est affine, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est alors un recouvrement ph (lemme 0DBI), \(\bigcup_{i\in I} J_i\) est fini et chaque \(T_{ij}\) est affine.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{ph}\) un gros site ph contenant \(S\). Les catégories sous-jacentes aux sites \(\Sch_{ph}\), \((\Sch/S)_{ph}\) et \((\textit{Aff}/S)_{ph}\) ont des produits fibrés. Dans chaque cas, le foncteur évident vers la catégorie \(\Sch\) de tous les schémas commute aux produits fibrés. La catégorie \((\Sch/S)_{ph}\) a un objet final, à savoir \(S/S\).

Démonstration

Pour \(\Sch_{ph}\), c’est vrai par construction, voir Ensembles, lemme 000R. Supposons donnés des morphismes de schémas \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\) avec \(U, V, W \in \Ob(\Sch_{ph})\). Le produit fibré \(V \times_U W\) dans \(\Sch_{ph}\) est un produit fibré dans \(\Sch\) et est le produit fibré de \(V/S\) et \(W/S\) au-dessus de \(U/S\) dans la catégorie de tous les schémas au-dessus de \(S\), et donc aussi un produit fibré dans \((\Sch/S)_{ph}\). Ceci démontre le résultat pour \((\Sch/S)_{ph}\). Si \(U, V, W\) sont affines, \(V \times_U W\) l’est aussi, d’où le résultat pour \((\textit{Aff}/S)_{ph}\).

Vérifions ensuite que le gros site affine définit le même topos que le gros site.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_{ph}\) un gros site ph contenant \(S\). Le foncteur \((\textit{Aff}/S)_{ph} \to (\Sch/S)_{ph}\) est cocontinu et induit une équivalence de topos de \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{ph})\) vers \(\Sh((\Sch/S)_{ph})\).

Démonstration

La notion de foncteur cocontinu spécial est introduite dans Sites, définition 03CG. Il faut donc vérifier les hypothèses (1) – (5) de Sites, lemme 03A0. Notons le foncteur d’inclusion \(u : (\textit{Aff}/S)_{ph} \to (\Sch/S)_{ph}\). La cocontinuité résulte du fait que tout recouvrement ph de \(T/S\), avec \(T\) affine, peut être raffiné par un recouvrement ph standard de \(T\) par définition. Ainsi, (1) est vérifiée. Le foncteur \(u\) est continu simplement parce qu’un recouvrement ph fini d’un affine par des affines est un recouvrement ph. Ainsi, (2) est vérifiée. Les assertions (3) et (4) résultent immédiatement du fait que \(u\) est pleinement fidèle. Enfin, la condition (5) résulte du fait que tout schéma possède un recouvrement ouvert affine (qui est un recouvrement ph).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \((\Sch/S)_{ph}\). Alors \(\mathcal{F}\) est un faisceau si et seulement si

1. \(\mathcal{F}\) satisfait la condition de faisceau pour les recouvrements de Zariski, et

2. si \(f : V \to U\) est propre et surjectif, alors \(\mathcal{F}(U)\) s’envoie bijectivement sur l’égalisateur des deux applications \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(V \times_U V)\).

De plus, en présence de (1), la propriété (2) équivaut à la propriété

1. de faisceau pour \(\{V \to U\}\) comme en (2), avec \(U\) affine.

Démonstration

Montrons que, si (1) et (2) sont vérifiées, alors \(\mathcal{F}\) est un faisceau. Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement ph, c’est-à-dire un recouvrement dans \((\Sch/S)_{ph}\). Vérifions la condition de faisceau pour ce recouvrement. Soient \(s_i \in \mathcal{F}(T_i)\) des sections dont les restrictions donnent la même section sur \(T_i \times_T T_{i'}\). Montrons qu’il existe une unique section \(s \in \mathcal{F}(T)\) dont la restriction est \(s_i\) sur \(T_i\). Soit \(T = \bigcup U_j\) un recouvrement ouvert affine. D’après la propriété (1), il suffit de produire des sections \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\) qui coïncident sur \(U_j \cap U_{j'}\) pour construire \(s\). Considérons les recouvrements ph \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\). Alors les \(s_{ji} = s_i|_{T_i \times_T U_j}\) sont des sections qui coïncident sur \((T_i \times_T U_j) \times_{U_j} (T_{i'} \times_T U_j)\). Choisissons un morphisme propre surjectif \(V_j \to U_j\) et un recouvrement ouvert affine fini \(V_j = \bigcup V_{jk}\) tel que le recouvrement ph standard \(\{V_{jk} \to U_j\}\) raffine \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\). Si \(s_{jk} \in \mathcal{F}(V_{jk})\) désigne l’image inverse de \(s_{ji}\) sur \(V_{jk}\) par les morphismes sous-entendus, les \(s_{jk}\) se recollent en une section \(s'_j \in \mathcal{F}(V_j)\). En utilisant encore une fois l’accord sur les intersections, on voit que \(s'_j\) appartient à l’égalisateur des deux applications \(\mathcal{F}(V_j) \to \mathcal{F}(V_j \times_{U_j} V_j)\). Ainsi, d’après (2), \(s'_j\) provient d’une unique section \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\). Nous omettons de vérifier que ces sections \(s_j\) possèdent toutes les propriétés voulues.

Preuve de l’équivalence de (2) et (2’) en présence de (1). Supposons que \(V \to U\) soit un morphisme de \((\Sch/S)_{ph}\) qui soit propre et surjectif. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(U = \bigcup U_i\) et posons \(V_i = V \times_U U_i\). On voit alors que \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) est injective, car \(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{F}(V_i)\) est injective d’après (2’) et \(\mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U_i)\) est injective d’après (1). Supposons enfin donné un élément \(t \in \mathcal{F}(V)\) de l’égalisateur des deux applications \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(V \times_U V)\). Alors \(t|_{V_i}\) appartient à l’égalisateur des deux applications \(\mathcal{F}(V_i) \to \mathcal{F}(V_i \times_{U_i} V_i)\) pour tout \(i\). On obtient donc une unique section \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) qui s’envoie sur \(t|_{V_i}\) pour tout \(i\) d’après (2’). Nous omettons de vérifier que \(s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\) pour tous \(i, j\) ; cela utilise la propriété d’unicité que l’on vient d’établir. La propriété de faisceau pour le recouvrement \(U = \bigcup U_i\) fournit une section \(s \in \mathcal{F}(U)\). Nous omettons de démontrer que \(s\) s’envoie sur \(t\) dans \(\mathcal{F}(V)\).

Établissons ensuite quelques relations entre les topos associés à ces sites.

Lemme

Soit \(\Sch_{ph}\) un gros site ph. Soit \(f : T \to S\) un morphisme de \(\Sch_{ph}\). Le foncteur \[u : (\Sch/T)_{ph} \longrightarrow (\Sch/S)_{ph}, \quad V/T \longmapsto V/S\] est cocontinu et admet un adjoint à droite continu \[v : (\Sch/S)_{ph} \longrightarrow (\Sch/T)_{ph}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{ph}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{ph})\] On a \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). On a \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\). De plus, \(f_{big}^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs. Par conséquent, Sites, lemmes 00XR et 00XS s’appliquent et donnent la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est adjoint à droite car, étant donnés \(U/T\) et \(V/S\), on a \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\), comme voulu. On peut donc appliquer Sites, lemmes 00XX et 00XY pour obtenir la formule pour \(f_{big, *}\).

Lemme

Étant donnés des schémas \(X\), \(Y\), \(Y\) dans \((\Sch/S)_{ph}\) et des morphismes \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\), on a \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\).

Démonstration

Cela résulte de la description simple de l’image directe et de l’image inverse des foncteurs sur les gros sites donnée dans le lemme 0DBR.

La topologie fpqc

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement fpqc de \(T\) est une famille de morphismes de schémas \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que chaque \(f_i\) soit plat et que, pour tout ouvert affine \(U \subset T\), il existe \(n \geq 0\), une application \(a : \{1, \ldots, n\} \to I\) et des ouverts affines \(V_j \subset T_{a(j)}\), \(j = 1, \ldots, n\), tels que \(\bigcup_{j = 1}^n f_{a(j)}(V_j) = U\).

Cette condition implique bien que \(T = \bigcup f_i(T_i)\). Il est un peu plus difficile de reconnaître un recouvrement fpqc ; nous donnons donc quelques lemmes à cet effet.

Lemme

Soit \(T\) un schéma. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas de but \(T\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc,

2. chaque \(f_i\) est plat et, pour tout ouvert affine \(U \subset T\), il existe des ouverts quasi-compacts \(U_i \subset T_i\), presque tous vides, tels que \(U = \bigcup f_i(U_i)\),

3. chaque \(f_i\) est plat et il existe un recouvrement ouvert affine \(T = \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha\) et, pour tout \(\alpha \in A\), il existe \(i_{\alpha, 1}, \ldots, i_{\alpha, n(\alpha)} \in I\) et des ouverts quasi-compacts \(U_{\alpha, j} \subset T_{i_{\alpha, j}}\) tels que \(U_\alpha = \bigcup_{j = 1, \ldots, n(\alpha)} f_{i_{\alpha, j}}(U_{\alpha, j})\).

Si \(T\) est quasi-séparé, ces conditions équivalent aussi à

1. chaque \(f_i\) est plat et, pour tout \(t \in T\), il existe \(i_1, \ldots, i_n \in I\) et des ouverts quasi-compacts \(U_j \subset T_{i_j}\) tels que \(\bigcup_{j = 1, \ldots, n} f_{i_j}(U_j)\) soit un voisinage (non nécessairement ouvert) de \(t\) dans \(T\).

Démonstration

Nous omettons la démonstration de l’équivalence de (1), (2) et (3). Supposons désormais que \(T\) soit quasi-séparé. Montrons que (4) implique (2). Soit \(U \subset T\) un ouvert affine. Pour démontrer (2), il suffit de montrer que, pour tout \(t \in U\), il existe un nombre fini d’ouverts quasi-compacts \(U_j \subset T_{i_j}\) tels que \(f_{i_j}(U_j) \subset U\) et que \(\bigcup f_{i_j}(U_j)\) soit un voisinage de \(t\) dans \(U\). Par hypothèse, il existe bien un nombre fini d’ouverts quasi-compacts \(U'_j \subset T_{i_j}\) tels que \(\bigcup f_{i_j}(U'_j)\) soit un voisinage de \(t\) dans \(T\). Puisque \(T\) est quasi-séparé, on voit que \(U_j = U'_j \cap f_{i_j}^{-1}(U) = (f_{i_j}|_{U'_j})^{-1}(U)\) est quasi-compact d’après Schémas, lemme 03GI. Ainsi, (2) est vérifiée. Comme il est clair que (2) implique (4), la démonstration est achevée.

Exemple

Soit \(X = X_1 \cup X_2\), où \(X_1 = X_2 = \Spec(k[t_1,t_2,\dots])\) est le schéma non quasi-séparé de Schémas, exemple 01KL, et soit \(Y = X_1 \amalg \Spec(\mathcal{O}_{X_2, 0})\). Alors le morphisme évident \(f : Y \to X\) est plat et surjectif et, puisque \(Y\) est quasi-compact, satisfait trivialement à (4) du lemme 03L7. Mais \(\{f : Y \to X\}\) n’est pas un recouvrement fpqc. En effet, affirmons qu’il n’existe aucun ouvert quasi-compact \(W\) de \(Y\) dont l’image par \(f\) soit \(X_2\). En effet, \(f^{-1}(X_2) = X_1 \setminus \{0\} \amalg \Spec(\mathcal{O}_{X_2, 0})\). Donc, si \(W\) existe, alors \(W = U \amalg \Spec(\mathcal{O}_{X_2, 0})\) pour un ouvert quasi-compact \(U\) de \(X_1 \setminus \{0\} = X_2 \setminus \{0\}\). Mais on peut alors écrire \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) pour certains \(f_i \in k[t_1, t_2, \ldots]\) qui s’annulent en \(0\). Supposons que \(f_1, \ldots, f_n\) n’utilisent que les variables \(x_1, \ldots, x_m\). Alors \(p = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)\), où \(1\) occupe la \((m + 1)\)-ième place, est un point fermé de \(X_2\) qui n’appartient pas à l’image de \(W\).

Lemme

Soit \(T\) un schéma. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas de but \(T\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc, et

2. en posant \(T' = \coprod_{i \in I} T_i\) et \(f = \coprod_{i \in I} f_i\), la famille \(\{f : T' \to T\}\) est un recouvrement fpqc.

Démonstration

Supposons que \(U \subset T\) soit un ouvert affine. Si (1) est vérifiée, il existe \(i_1, \ldots, i_n \in I\) et des ouverts affines \(U_j \subset T_{i_j}\) tels que \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} f_{i_j}(U_j)\). Alors \(U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \subset T'\) est un ouvert quasi-compact dont l’image est \(U\). Ainsi, \(\{f : T' \to T\}\) est un recouvrement fpqc d’après le lemme 03L7. Réciproquement, si (2) est vérifiée, il existe un ouvert quasi-compact \(U' \subset T'\) tel que \(U = f(U')\). Alors \(U_j = U' \cap T_j\) est un ouvert quasi-compact de \(T_j\) et est vide pour presque tout \(j\). D’après le lemme 03L7, on voit que (1) est vérifiée.

Lemme

Soit \(T\) un schéma. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas de but \(T\). Supposons que

1. chaque \(f_i\) soit plat, et

2. la famille \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) puisse être raffinée par un recouvrement fpqc de \(T\).

Alors \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(T\).

Démonstration

Soit \(\{g_j : X_j \to T\}_{j \in J}\) un recouvrement fpqc qui raffine \(\{f_i : T_i \to T\}\). Supposons que \(U \subset T\) soit un ouvert affine. Choisissons \(j_1, \ldots, j_m \in J\) et des ouverts affines \(V_k \subset X_{j_k}\) tel que \(U = \bigcup g_{j_k}(V_k)\). Pour tout \(j\), choisissons \(i_j \in I\) et un morphisme \(h_j : X_j \to T_{i_j}\) tel que \(g_j = f_{i_j} \circ h_j\). Comme \(h_{j_k}(V_k)\) est quasi-compact, on peut trouver un ouvert quasi-compact \(h_{j_k}(V_k) \subset U_k \subset f_{i_{j_k}}^{-1}(U)\). Alors \(U = \bigcup f_{i_{j_k}}(U_k)\). On en conclut que \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc d’après le lemme 03L7.

Lemme

Soit \(T\) un schéma. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas de but \(T\). Supposons que

1. chaque \(f_i\) soit plat, et

2. il existe un recouvrement fpqc \(\{g_j : S_j \to T\}_{j \in J}\) tel que chacun des \(\{S_j \times_T T_i \to S_j\}_{i \in I}\) soit un recouvrement fpqc.

Alors \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(T\).

Démonstration

Nous utiliserons le lemme 03L7 sans autre mention. Soit \(U \subset T\) un ouvert affine. D’après (2), il existe des ouverts quasi-compacts \(V_j \subset S_j\) pour \(j \in J\), presque tous vides, tels que \(U = \bigcup g_j(V_j)\). Pour tout \(j\), on peut alors choisir des ouverts quasi-compacts \(W_{ij} \subset S_j \times_T T_i\) pour \(i \in I\), presque tous vides, tels que \(V_j = \bigcup_i \text{pr}_1(W_{ij})\). Ainsi, \(\{S_j \times_T T_i \to T\}\) est un recouvrement fpqc. Comme ce recouvrement raffine \(\{f_i : T_i \to T\}\), on conclut par le lemme 03L8.

Lemme

Tout recouvrement fppf est un recouvrement fpqc et, a fortiori, tout recouvrement syntomique, lisse, étale ou de Zariski est un recouvrement fpqc.

Démonstration

Montrons qu’un recouvrement fppf est un recouvrement fpqc ; le reste résultera alors du lemme 021N. Soit \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf. Par définition, les \(f_i\) sont plats, ce qui vérifie la première condition de la définition 022B. Pour vérifier la seconde, soit \(V \subset U\) un sous-ensemble ouvert affine. Écrivons \(f_i^{-1}(V) = \bigcup_{j \in J_i} V_{ij}\) pour des ouverts affines \(V_{ij} \subset U_i\). Comme chaque \(f_i\) est ouvert (Morphismes, lemme 01UA), on voit que \(V = \bigcup_{i\in I} \bigcup_{j \in J_i} f_i(V_{ij})\) est un recouvrement ouvert de \(V\). Comme \(V\) est quasi-compact, ce recouvrement admet un raffinement fini. Ceci achève la démonstration.

La topologie fpqc⁵ ne peut pas être traitée de la même manière que la topologie fppf⁶. En effet, supposons que \(R\) soit un anneau non nul. Nous verrons au lemme 0BBK qu’il n’existe pas d’ensemble \(A\) de recouvrements fpqc de \(\Spec(R)\) tel que tout recouvrement fpqc puisse être raffiné par un élément de \(A\). Si \(R = k\) est un corps, la raison de cette absence de borne est qu’il n’existe aucune extension de corps de \(k\) qui contienne toute extension de corps de \(k\).

Si l’on néglige les difficultés ensemblistes, on rencontre des préfaisceaux qui n’admettent pas de faisceau associé, voir [Waterhouse-fpqc-sheafification, théorème 5.5]. Une option d’un certain intérêt consiste à ne considérer que les extensions d’anneaux fidèlement plates \(R \to R'\) où le cardinal de \(R'\) est convenablement borné. (Et si l’on considère tous les schémas d’un univers fixé, comme dans SGA4, on borne le cardinal par un cardinal fortement inaccessible.) Il n’est toutefois pas très clair de savoir ce qui se passe si l’on remplace ce cardinal par un cardinal plus grand.

Pour ces raisons, nous n’introduisons pas de sites fpqc et ne considérons pas la cohomologie relativement à la topologie fpqc.

En revanche, étant donné un foncteur contravariant \(F : \Sch^{opp} \to \textit{Ensembles}\) il est légitime de demander si \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour la topologie fpqc, voir ci-dessous. On peut en outre s’interroger sur la descente des objets pour la topologie fpqc, etc. En termes simples, pour certains résultats, le bon degré de généralité consiste à travailler avec des recouvrements fpqc.

Lemme

Soit \(T\) un schéma.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement fpqc de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc et si, pour tout \(i\), on a un recouvrement fpqc \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement fpqc.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc.

Démonstration

L’assertion (1) est immédiate. Rappelons que le composé de morphismes plats est plat et que le changement de base d’un morphisme plat est plat (Morphismes, lemmes 01U9 et 01U7). On peut donc appliquer le lemme 03L7 dans chaque cas pour vérifier que nos familles de morphismes sont des recouvrements fpqc.

Preuve de (2). Supposons que \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) soit un recouvrement fpqc et que, pour tout \(i\), on ait un recouvrement fpqc \(\{f_{ij} : T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\). Soit \(U \subset T\) un ouvert affine. On peut trouver des ouverts quasi-compacts \(U_i \subset T_i\) pour \(i \in I\), presque tous vides, tels que \(U = \bigcup f_i(U_i)\). Pour tout \(i\), on peut alors choisir des ouverts quasi-compacts \(U_{ij} \subset T_{ij}\) pour \(j \in J_i\), presque tous vides, tels que \(U_i = \bigcup_j f_{ij}(U_{ij})\). Ainsi, \(\{T_{ij} \to T\}\) est un recouvrement fpqc.

Preuve de (3). Supposons que \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) soit un recouvrement fpqc et que \(T' \to T\) soit un morphisme de schémas. Soit \(U' \subset T'\) un ouvert affine dont l’image est contenue dans l’ouvert affine \(U \subset T\). Choisissons des ouverts quasi-compacts \(U_i \subset T_i\), presque tous vides, tels que \(U = \bigcup f_i(U_i)\). Alors \(U' \times_U U_i\) est un ouvert quasi-compact de \(T' \times_T T_i\) et \(U' = \bigcup \text{pr}_1(U' \times_U U_i)\). Puisque \(T'\) peut être recouvert par de tels ouverts affines \(U' \subset T'\), on voit que \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc d’après le lemme 03L7.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de \(T\). Il existe alors un recouvrement fpqc \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, n}\) qui est un raffinement de \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) tel que chaque \(U_j\) soit un schéma affine. De plus, on peut choisir chaque \(U_j\) ouvert affine dans l’un des \(T_i\).

Démonstration

Cela résulte directement de la définition.

Définition

Soit \(T\) un schéma affine. Un recouvrement fpqc standard de \(T\) est une famille \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, n}\) où chaque \(U_j\) est affine, plat sur \(T\), et \(T = \bigcup f_j(U_j)\).

Puisque nous n’introduisons pas le site affine, il faut montrer directement que la famille de tous les recouvrements fpqc standards satisfait les axiomes.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement fpqc standard de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc standard et si, pour tout \(i\), on a un recouvrement fpqc standard \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement fpqc standard.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc standard et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas affines, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement fpqc standard.

Démonstration

Cela résulte formellement du fait que les composés et les changements de base de morphismes plats sont plats (Morphismes, lemmes 01U9 et 01U7) et que les produits fibrés de schémas affines sont affines (Schémas, lemme 01JQ).

Lemme

Soit \(T\) un schéma. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas de but \(T\). Supposons que

1. chaque \(f_i\) soit plat, et

2. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(h : Z \to T\), il existe un recouvrement fpqc standard \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\) qui raffine la famille \(\{T_i \times_T Z \to Z\}_{i \in I}\).

Alors \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(T\).

Démonstration

Soit \(T = \bigcup U_\alpha\) un recouvrement ouvert affine. Pour tout \(\alpha\), la famille obtenue par image inverse \(\{T_i \times_T U_\alpha \to U_\alpha\}\) peut être raffinée par un recouvrement fpqc standard ; c’est donc un recouvrement fpqc d’après le lemme 03L8. Comme \(\{U_\alpha \to T\}\) est un recouvrement fpqc, on en conclut que \(\{T_i \to T\}\) est un recouvrement fpqc d’après le lemme 03L9.

Définition

Soit \(F\) un foncteur contravariant de la catégorie des schémas vers celle des ensembles.

1. Soit \(\{U_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas de but fixé. On dit que \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour la famille donnée si, pour toute famille d’éléments \(\xi_i \in F(U_i)\) telle que \(\xi_i|_{U_i \times_T U_j} = \xi_j|_{U_i \times_T U_j}\) il existe un unique élément \(\xi \in F(T)\) tel que \(\xi_i = \xi|_{U_i}\) dans \(F(U_i)\).

2. On dit que \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour la topologie fpqc s’il satisfait la propriété de faisceau pour tout recouvrement fpqc.

Nous évitons autant que possible de dire « \(F\) est un faisceau » dans cette situation, puisque nous ne définissons pas de catégorie de faisceaux fpqc, comme nous l’avons expliqué ci-dessus.

Lemme

Soit \(F\) un foncteur contravariant de la catégorie des schémas vers celle des ensembles. Alors \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour la topologie fpqc si et seulement s’il satisfait

1. la propriété de faisceau pour tout recouvrement de Zariski, et

2. la propriété de faisceau pour tout recouvrement fpqc standard.

De plus, en présence de (1), la propriété (2) équivaut à la propriété

1. de faisceau pour \(\{V \to U\}\), où \(V\), \(U\) sont affines et \(V \to U\) est fidèlement plat.

Démonstration

Supposons (1) et (2) vérifiées. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc. Soit \(s_i \in F(T_i)\) une famille d’éléments telle que \(s_i\) et \(s_j\) aient la même image dans \(F(T_i \times_T T_j)\). Soit \(W \subset T\) le plus grand ouvert tel qu’il existe un unique \(s \in F(W)\) satisfaisant \(s|_{f_i^{-1}(W)} = s_i|_{f_i^{-1}(W)}\) pour tout \(i\). Un tel plus grand ouvert existe puisque \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour les recouvrements de Zariski ; en fait, \(W\) est la réunion de tous les ouverts qui ont cette propriété. Soit \(t \in T\). Montrons que \(t \in W\). Pour cela, choisissons un ouvert affine \(t \in U \subset T\) et montrons qu’il existe un unique \(s \in F(U)\) tel que \(s|_{f_i^{-1}(U)} = s_i|_{f_i^{-1}(U)}\) pour tout \(i\).

D’après le lemme 022E, on peut trouver un recouvrement fpqc standard \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, n}\) qui raffine \(\{U \times_T T_i \to U\}\), disons par des morphismes \(h_j : U_j \to T_{i_j}\). D’après (2), on obtient un unique élément \(s \in F(U)\) tel que \(s|_{U_j} = F(h_j)(s_{i_j})\). Remarquons que, pour tout schéma \(V \to U\) sur \(U\), il existe une unique section \(s_V \in F(V)\) dont la restriction vaut \(F(h_j \circ \text{pr}_2)(s_{i_j})\) sur \(V \times_U U_j\) pour \(j = 1, \ldots, n\). En effet, c’est vrai si \(V\) est affine d’après (2), puisque \(\{V \times_U U_j \to V\}\) est un recouvrement fpqc standard, et le cas général résulte de (1) et du cas affine en choisissant un recouvrement ouvert affine de \(V\). En particulier, \(s_V = s|_V\). En prenant maintenant \(V = U \times_T T_i\) et en utilisant \(s_{i_j}|_{T_{i_j} \times_T T_i} = s_i|_{T_{i_j} \times_T T_i}\), on en conclut que \(s|_{U \times_T T_i} = s_V = s_i|_{U \times_T T_i}\), ce qu’il fallait démontrer.

Preuve de l’équivalence de (2) et (2’) en présence de (1). Si \(\{T_i \to T\}\) est un recouvrement fpqc standard, alors \(\coprod T_i \to T\) est un morphisme fidèlement plat de schémas affines. En présence de (1), on a \(F(\coprod T_i) = \prod F(T_i)\) et, de même, \(F((\coprod T_i) \times_T (\coprod T_i)) = \prod F(T_i \times_T T_{i'})\). Ainsi, la condition de faisceau pour \(\{T_i \to T\}\) et pour \(\{\coprod T_i \to T\}\) est la même.

Le lemme suivant sert seulement à signaler que les difficultés ensemblistes se présentent bel et bien et que la plupart des lecteurs devraient les ignorer.

Lemme

Soit \(R\) un anneau non nul. Il n’existe aucun ensemble \(A\) de recouvrements fpqc de \(\Spec(R)\) tel que tout recouvrement fpqc puisse être raffiné par un élément de \(A\).

Démonstration

Expliquons d’abord le cas où \(R = k\) est un corps. Pour tout ensemble \(I\), considérons l’extension transcendante pure \(k_I = k(\{t_i\}_{i \in I})/k\). Comme \(k \to k_I\) est fidèlement plat, on voit que \(\{\Spec(k_I) \to \Spec(k)\}\) est un recouvrement fpqc. Soit \(A\) un ensemble et, pour tout \(\alpha \in A\), soit \(\mathcal{U}_\alpha = \{S_{\alpha, j} \to \Spec(k)\}_{j \in J_\alpha}\) un recouvrement fpqc. Si \(\mathcal{U}_\alpha\) raffine \(\{\Spec(k_I) \to \Spec(k)\}\), alors les morphismes \(S_{\alpha, j} \to \Spec(k)\) se factorisent par \(\Spec(k_I)\). Comme \(\mathcal{U}_\alpha\) est un recouvrement, au moins un certain \(S_{\alpha, j}\) est non vide. Choisissons un point \(s \in S_{\alpha, j}\). Puisque l’on a la factorisation \(S_{\alpha, j} \to \Spec(k_I) \to \Spec(k)\) on obtient un homomorphisme de corps \(k_I \to \kappa(s)\). En particulier, on voit que la cardinalité de \(\kappa(s)\) est au moins celle de \(I\). Ainsi, si l’on choisit pour \(I\) un ensemble de cardinalité supérieure à celles des corps résiduels de tous les schémas \(S_{\alpha, j}\), une telle factorisation n’existe pas et le lemme est démontré pour \(R = k\).

Cas général. Comme \(R\) est non nul, il possède un idéal premier maximal \(\mathfrak m\) de corps résiduel \(\kappa\). Soit \(I\) un ensemble et considérons \(R_I = S_I^{-1} R[\{t_i\}_{i \in I}]\), où \(S_I \subset R[\{t_i\}_{i \in I}]\) est la partie multiplicative formée des \(f \in R[\{t_i\}_{i \in I}]\) tels que l’image de \(f\) soit un élément non nul de \(R/\mathfrak p[\{t_i\}_{i \in I}]\) pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\). Alors \(R_I\) est une \(R\)-algèbre fidèlement plate et \(\{\Spec(R_I) \to \Spec(R)\}\) est un recouvrement fpqc. Nous laissons au lecteur le soin de montrer que \(R_I \otimes_R \kappa \cong \kappa(\{t_i\}_{i \in I}) = \kappa_I\) avec les notations ci-dessus (indication : utiliser la surjectivité de \(R \to \kappa\) et le fait que tout \(f \in R[\{t_i\}_{i \in I}]\) dont l’un des monômes apparaît avec le coefficient \(1\) appartient à \(S_I\)). Soit \(A\) un ensemble et, pour tout \(\alpha \in A\), soit \(\mathcal{U}_\alpha = \{S_{\alpha, j} \to \Spec(R)\}_{j \in J_\alpha}\) un recouvrement fpqc. Si \(\mathcal{U}_\alpha\) raffine \(\{\Spec(R_I) \to \Spec(R)\}\), alors, par changement de base, on en conclut que \(\{S_{\alpha, j} \times_{\Spec(R)} \Spec(\kappa) \to \Spec(\kappa)\}\) raffine \(\{\Spec(\kappa_I) \to \Spec(\kappa)\}\). Par le résultat du paragraphe précédent, il existe donc un \(I\) pour lequel ce n’est pas le cas, ce qui démontre le lemme.

La topologie V

La topologie V est plus fine que toutes les autres topologies de ce chapitre. Grosso modo, elle est engendrée par les recouvrements de Zariski et par les morphismes quasi-compacts satisfaisant une propriété de relèvement des spécialisations (lemme 0ETN). Cependant, le procédé que nous emploierons pour définir les recouvrements V est un peu différent. Nous définirons d’abord les recouvrements V standards des schémas affines, puis nous les utiliserons pour définir les recouvrements V en général. Remarque typographique : dans la littérature, on emploie parfois « \(v\)-recouvrement » au lieu de « recouvrement V ».

Définition

Soit \(T\) un schéma affine. Un recouvrement V standard est une famille finie \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\), où les \(T_j\) sont affines, telle que, pour tout morphisme \(g : \Spec(V) \to T\), où \(V\) est un anneau de valuation, il existe une extension \(V \subset W\) d’anneaux de valuation (Compléments d’algèbre, définition 0ASG), un indice \(1 \leq j \leq m\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & T_j \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r]^g & T }\]

Nous démontrons d’abord quelques lemmes élémentaires sur cette notion.

Lemme

Tout recouvrement fpqc standard est un recouvrement V standard.

Démonstration

Soit \(\{X_i \to X\}_{i = 1, \ldots, n}\) un recouvrement fpqc standard (définition 022F). Soit \(g : \Spec(V) \to X\) un morphisme, où \(V\) est un anneau de valuation. Soit \(x \in X\) l’image du point fermé de \(\Spec(V)\). Choisissons un \(i\) et un point \(x_i \in X_i\) d’image \(x\). Alors \(\Spec(V) \times_X X_i\) possède un point \(x'_i\) dont l’image est le point fermé de \(\Spec(V)\). Comme \(\Spec(V) \times_X X_i \to \Spec(V)\) est plat, on peut trouver une spécialisation \(x''_i \leadsto x'_i\) de points de \(\Spec(V) \times_X X_i\), où \(x''_i\) s’envoie sur le point générique de \(\Spec(V)\) ; voir Morphismes, lemme 03HV. D’après Schémas, lemme 01J8, on peut choisir un anneau de valuation \(W\) et un morphisme \(h : \Spec(W) \to \Spec(V) \times_X X_i\) tels que \(h\) envoie le point générique de \(\Spec(W)\) sur \(x''_i\) et le point fermé de \(\Spec(W)\) sur \(x'_i\). On obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & X_i \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & X }\] où \(V \to W\) est une extension d’anneaux de valuation. Cela démontre le lemme.

Lemme

Tout recouvrement ph standard est un recouvrement V standard.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(f : U \to T\) un morphisme propre surjectif. Soit \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\) un recouvrement ouvert affine fini. Il faut montrer que \(\{U_j \to T\}\) est un recouvrement V standard ; voir la définition 0DBD. Soit \(g : \Spec(V) \to T\) un morphisme, où \(V\) est un anneau de valuation de corps des fractions \(K\). Comme \(U \to T\) est surjectif, on peut choisir une extension de corps \(L/K\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(L) \ar[rr] \ar[d] & & U \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r] & \Spec(V) \ar[r]^g & T }\] D’après Algèbre, lemme 00IA, on peut choisir un anneau de valuation \(W \subset L\) dominant \(V\). Le critère valuatif de propreté (Morphismes, lemme 0BX5) fournit alors le morphisme \(h\) dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(L) \ar[r] \ar[d] & \Spec(W) \ar[r]_h \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r] & \Spec(V) \ar[r]^g & X }\] Comme \(\Spec(W)\) possède un unique point fermé, on voit que \(\Im(h)\) est contenue dans \(U_j\) pour un certain \(j\). Ainsi, \(h : \Spec(W) \to U_j\) est le relèvement cherché, et \(\{U_j \to T\}\) est donc un recouvrement V standard.

Lemme

Soit \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) un recouvrement V standard. Soit \(T' \to T\) un morphisme de schémas affines. Alors \(\{T_j \times_T T' \to T'\}_{j = 1, \ldots, m}\) est un recouvrement V standard.

Démonstration

Soit \(\Spec(V) \to T'\) un morphisme, où \(V\) est un anneau de valuation. Par hypothèse, on peut trouver une extension d’anneaux de valuation \(V \subset W\), un \(i\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & T_i \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & T }\] La propriété universelle des produits fibrés donne le morphisme \(\Spec(W) \to T' \times_T T_i\) voulu.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) un recouvrement V standard. Soit \(\{T_{ji} \to T_j\}_{i = 1, \ldots n_j}\) un recouvrement V standard. Alors \(\{T_{ji} \to T\}_{i, j}\) est un recouvrement V standard.

Démonstration

Cela résulte formellement de l’observation suivante : si \(V \subset W\) et \(W \subset \Omega\) sont des extensions d’anneaux de valuation, alors \(V \subset \Omega\) est une extension d’anneaux de valuation.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) une famille de morphismes telle que \(T_j\) soit affine pour tout \(j\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) est un recouvrement V standard ;

2. il existe un recouvrement V standard qui raffine \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) ;

3. \(\{\coprod_{j = 1, \ldots, m} T_j \to T\}\) est un recouvrement V standard.

Démonstration

Omis. Indications : cela résulte presque immédiatement de la définition. Le seul point qui mérite quelque attention est qu’un morphisme du spectre d’un anneau local vers \(\coprod_{j = 1, \ldots, m} T_j\) se factorise nécessairement par l’un des \(T_j\).

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement V de \(T\) est une famille de morphismes de schémas \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que, pour tout ouvert affine \(U \subset T\), il existe un recouvrement V standard \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) qui raffine la famille \(\{T_i \times_T U \to U\}_{i \in I}\).

La topologie V présente les mêmes problèmes ensemblistes que la topologie fpqc. Nous nous abstiendrons donc de définir des sites V et nous ne considérerons pas de cohomologie pour la topologie V. En revanche, étant donné un foncteur \(F : \Sch^{opp} \to \textit{Ensembles}\) il est légitime de demander si \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour la topologie V ; voir ci-dessous. On peut en outre s’interroger sur la descente d’objets pour la topologie V, etc.

Lemme

Soit \(T\) un schéma. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement V ;

2. il existe un recouvrement V qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) ;

3. \(\{\coprod_{i \in I} T_i \to T\}\) est un recouvrement V.

Démonstration

Omis. Indication : comparer avec la démonstration du lemme 0ET9.

Lemme

Soit \(T\) un schéma.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement V de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement V et si, pour chaque \(i\), on a un recouvrement V \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement V.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement V et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement V.

Démonstration

L’assertion (1) est claire.

Démonstration de (3). Soit \(U' \subset T'\) un sous-schéma ouvert affine. Comme \(U'\) est quasi-compact, on peut trouver un recouvrement ouvert affine fini \(U' = U'_1 \cup \ldots \cup U'\) tel que \(U'_j \to T\) se factorise par un ouvert affine \(U_j \subset T\). Choisissons un recouvrement V standard \(\{U_{jl} \to U_j\}_{l = 1, \ldots, n_j}\) qui raffine \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\). D’après le lemme 0ETE, le changement de base \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'_j\}\) est un recouvrement V standard. Notons que \(\{U'_j \to U'\}\) est un recouvrement V standard (par exemple d’après le lemme 0ETC). D’après le lemme 0ETF, la famille \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\) est un recouvrement V standard. Comme \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\) raffine \(\{T_i \times_T U' \to U'\}\), on conclut.

Démonstration de (2). Soit \(U \subset T\) un ouvert affine. Choisissons d’abord un recouvrement V standard \(\{U_k \to U\}_{k = 1, \ldots, m}\) qui raffine \(\{T_i \times_T U \to U\}\). Supposons que le raffinement soit donné par des morphismes \(U_k \to T_{i_k}\) au-dessus de \(T\). Alors \[\{T_{i_kj} \times_{T_{i_k}} U_k \to U_k\}_{j \in J_{i_k}}\] est un recouvrement V d’après (3). Comme \(U_k\) est affine, on peut trouver un recouvrement V standard \(\{U_{ka} \to U_k\}_{a = 1, \ldots, b_k}\) qui raffine cette famille. On applique alors le lemme 0ETF pour voir que \(\{U_{ka} \to U\}\) est un recouvrement V standard qui raffine \(\{T_{ij} \times_T U \to U\}\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Tout recouvrement fpqc est un recouvrement V. A fortiori, tout recouvrement fppf, syntomique, lisse, étale ou de Zariski est un recouvrement V. De même, tout recouvrement ph est un recouvrement V.

Démonstration

Tout recouvrement fpqc peut, localement sur des ouverts affines, être raffiné par un recouvrement fpqc standard ; voir le lemme 022E. Tout recouvrement fpqc standard est un recouvrement V standard ; voir le lemme 0ETC. La première assertion résulte donc de notre définition des recouvrements V au moyen des recouvrements V standards. La conclusion pour les recouvrements fppf, syntomiques, lisses, étales ou de Zariski résulte de ce que ceux-ci sont des recouvrements fpqc ; voir le lemme 022C.

L’assertion sur les recouvrements ph résulte de la même manière du lemme 0ETD.

Définition

Soit \(F\) un foncteur contravariant de la catégorie des schémas dans celle des ensembles. On dit que \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour la topologie V s’il satisfait la propriété de faisceau pour tout recouvrement V (voir la définition 022G).

Nous évitons d’employer la terminologie « \(F\) est un faisceau » dans cette situation, puisque nous ne définissons pas de catégorie des faisceaux V, comme nous l’avons expliqué plus haut.

Lemme

Soit \(F\) un foncteur contravariant de la catégorie des schémas dans celle des ensembles. Alors \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour la topologie V si et seulement s’il satisfait aux deux conditions suivantes :

1. la propriété de faisceau pour tout recouvrement de Zariski ;

2. la propriété de faisceau pour tout recouvrement V standard.

En outre, sous l’hypothèse (1), la propriété (2) équivaut à la propriété suivante :

1. la propriété de faisceau pour un recouvrement V standard de la forme \(\{V \to U\}\), c’est-à-dire constitué d’une seule flèche.

Démonstration

Supposons (1) et (2) satisfaites. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement V. Soit \(s_i \in F(T_i)\) une famille d’éléments telle que \(s_i\) et \(s_j\) s’envoient sur le même élément de \(F(T_i \times_T T_j)\). Soit \(W \subset T\) le plus grand ouvert tel qu’il existe un unique \(s \in F(W)\) vérifiant \(s|_{f_i^{-1}(W)} = s_i|_{f_i^{-1}(W)}\) pour tout \(i\). Un tel plus grand ouvert existe parce que \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour les recouvrements de Zariski ; en fait, \(W\) est la réunion de tous les ouverts possédant cette propriété. Soit \(t \in T\). Nous allons montrer que \(t \in W\). Pour cela, choisissons un ouvert affine \(t \in U \subset T\) et montrons qu’il existe un unique \(s \in F(U)\) tel que \(s|_{f_i^{-1}(U)} = s_i|_{f_i^{-1}(U)}\) pour tout \(i\).

On peut trouver un recouvrement V standard \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, n}\) qui raffine \(\{U \times_T T_i \to U\}\), disons au moyen de morphismes \(h_j : U_j \to T_{i_j}\). D’après (2), on obtient un unique élément \(s \in F(U)\) tel que \(s|_{U_j} = F(h_j)(s_{i_j})\). Notons que, pour tout schéma \(V \to U\) au-dessus de \(U\), il existe une unique section \(s_V \in F(V)\) qui se restreint en \(F(h_j \circ \text{pr}_2)(s_{i_j})\) sur \(V \times_U U_j\) pour \(j = 1, \ldots, n\). En effet, cela est vrai si \(V\) est affine d’après (2), puisque \(\{V \times_U U_j \to V\}\) est un recouvrement V standard (lemme 0ETE) ; dans le cas général, cela résulte de (1) et du cas affine en choisissant un recouvrement ouvert affine de \(V\). En particulier, \(s_V = s|_V\). En prenant maintenant \(V = U \times_T T_i\) et en utilisant l’égalité \(s_{i_j}|_{T_{i_j} \times_T T_i} = s_i|_{T_{i_j} \times_T T_i}\) on conclut que \(s|_{U \times_T T_i} = s_V = s_i|_{U \times_T T_i}\), ce qu’il fallait démontrer.

Démonstration de l’équivalence de (2) et (2’) sous l’hypothèse (1). Supposons que \(\{T_i \to T\}_{i = 1, \ldots, n}\) soit un recouvrement V standard. Alors \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} T_i \to T\) est un morphisme de schémas affines qui est manifestement aussi un recouvrement V standard. Sous l’hypothèse (1), on a \(F(\coprod T_i) = \prod F(T_i)\) et, de même, \(F((\coprod T_i) \times_T (\coprod T_i)) = \prod F(T_i \times_T T_{i'})\). Ainsi, la condition de faisceau pour \(\{T_i \to T\}\) et pour \(\{\coprod T_i \to T\}\) est la même.

Le lemme suivant montre que la propriété d’être un recouvrement V est liée à la possibilité de relever les spécialisations.

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme quasi-compact de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement V ;

2. pour tout anneau de valuation \(V\) et tout morphisme \(g : \Spec(V) \to Y\), il existe une extension d’anneaux de valuation \(V \subset W\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & Y }\]

3. pour tout morphisme \(Z \to Y\) et toute spécialisation \(z' \leadsto z\) de points de \(Z\), il existe une spécialisation \(w' \leadsto w\) de points de \(Z \times_Y X\) qui s’envoie sur \(z' \leadsto z\).

Démonstration

Supposons (1) et soit \(g : \Spec(V) \to Y\) comme dans (2). Comme \(V\) est un anneau local, il existe un ouvert affine \(U \subset Y\) tel que \(g\) se factorise par \(U\). D’après la définition 0ETH, on peut trouver un recouvrement V standard \(\{U_j \to U\}\) qui raffine \(\{X \times_Y U \to U\}\). D’après la définition 0ETB, on peut trouver un \(j\), une extension d’anneaux de valuation \(V \subset W\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & U_j \ar[d] \ar@{..>}[r] & X \ar[ld] \\ \Spec(V) \ar[r] & Y }\] La propriété de raffinement du recouvrement fournit la flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif, et l’on voit que (2) est satisfaite.

Supposons (2) et soient \(Z \to Y\) et \(z' \leadsto z\) comme dans (3). D’après Schémas, lemme 01J8, on peut trouver un anneau de valuation \(V\) et un morphisme \(\Spec(V) \to Z\) tels que le point fermé de \(\Spec(V)\) s’envoie sur \(z\) et que le point générique de \(\Spec(V)\) s’envoie sur \(z'\). D’après (2), on peut trouver une extension d’anneaux de valuation \(V \subset W\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & Z \ar[r] & Y }\] Les points générique et fermé de \(\Spec(W)\) s’envoient sur des points \(w' \leadsto w\) de \(Z \times_Y X\) par le morphisme induit \(\Spec(W) \to Z \times_Y X\). Cela montre que (3) est satisfaite.

Supposons (3) satisfaite et soit \(U \subset Y\) un ouvert affine. Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(U \times_Y X = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\). C’est possible puisque \(X \to Y\) est quasi-compact. Nous affirmons que \(\{U_j \to U\}\) est un recouvrement V standard. Cette affirmation entraîne (1) et achève la démonstration du lemme. Pour la démontrer, soit \(V\) un anneau de valuation et soit \(g : \Spec(V) \to U\) un morphisme. D’après (3), on trouve une spécialisation \(w' \leadsto w\) de points de \[T = \Spec(V) \times_X Y = \Spec(V) \times_U (U \times_X Y)\] telle que \(w'\) s’envoie sur le point générique de \(\Spec(V)\) et que \(w\) s’envoie sur le point fermé de \(\Spec(V)\). D’après Schémas, lemme 01J8, on peut trouver un anneau de valuation \(W\) et un morphisme \(\Spec(W) \to T\) tels que le point générique de \(\Spec(W)\) s’envoie sur \(w'\) et que le point fermé de \(\Spec(W)\) s’envoie sur \(w\). La composée \(\Spec(W) \to T \to \Spec(V)\) correspond à une inclusion \(V \subset W\) qui fait de \(W\) une extension de l’anneau de valuation \(V\). Comme \(T = \bigcup \Spec(V) \times_U U_j\) est un recouvrement ouvert, on voit que \(\Spec(W) \to T\) se factorise par \(\Spec(V) \times_U U_j\) pour un certain \(j\). On obtient donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[d] \ar[r] & U_j \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & U }\] et la démonstration de l’affirmation est achevée.

Tout recouvrement V fournit une famille de morphismes universellement submersive. La réciproque de ce lemme est fausse ; voir Exemples, section 0EU8.

Lemme

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement V. Alors \[\coprod\nolimits_{i \in I} f_i : \coprod\nolimits_{i \in I} X_i \longrightarrow X\] est un morphisme de schémas universellement submersif (Morphismes, définition 040H).

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention que le changement de base d’un recouvrement V est un recouvrement V (lemme 0ETJ). Il suffit donc de montrer que le morphisme est submersif. Le caractère submersif est manifestement local pour la topologie de Zariski sur la base. On peut donc supposer \(X\) affine. Alors \(\{X_i \to X\}\) peut être raffiné par un recouvrement V standard \(\{Y_j \to X\}\). S’il est possible de montrer que \(\coprod Y_j \to X\) est submersif, alors, puisqu’il existe une factorisation \(\coprod Y_j \to \coprod X_i \to X\), on conclut que \(\coprod X_i \to X\) est submersif. Posons \(Y = \coprod Y_j\) et considérons le morphisme de schémas affines \(f : Y \to X\). D’après le lemme 0ETN, on sait que toute spécialisation \(x' \leadsto x\) dans \(X\) se relève en une spécialisation \(y' \leadsto y\) dans \(Y\). Ainsi, si \(T \subset X\) est une partie telle que \(f^{-1}(T)\) soit fermée dans \(Y\), alors \(T \subset X\) est stable par spécialisation. Comme \(f^{-1}(T) \subset Y\), muni de la structure réduite de sous-schéma fermé induite, est un schéma affine, on conclut que \(T \subset X\) est fermé d’après Algèbre, lemme 00HY. Ainsi, \(f\) est submersif.

Changement de topologies

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas au-dessus d’un schéma de base \(S\). On dispose alors des morphismes de sites suivants⁷ (moyennant des choix convenables de sites comme dans la remarque 03FF ci-dessous) :

1. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{fppf}\),

2. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{syntomic}\),

3. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{smooth}\),

4. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),

5. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

6. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_{syntomic}\),

7. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_{smooth}\),

8. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),

9. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

10. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/Y)_{smooth}\),

11. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),

12. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

13. \((\Sch/X)_\etale \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),

14. \((\Sch/X)_\etale \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

15. \((\Sch/X)_{Zar} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

16. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow Y_\etale\),

17. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow Y_\etale\),

18. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow Y_\etale\),

19. \((\Sch/X)_\etale \longrightarrow Y_\etale\),

20. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow Y_{Zar}\),

21. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow Y_{Zar}\),

22. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow Y_{Zar}\),

23. \((\Sch/X)_\etale \longrightarrow Y_{Zar}\),

24. \((\Sch/X)_{Zar} \longrightarrow Y_{Zar}\),

25. \(X_\etale \longrightarrow Y_\etale\),

26. \(X_\etale \longrightarrow Y_{Zar}\),

27. \(X_{Zar} \longrightarrow Y_{Zar}\),

Dans chaque cas, le foncteur continu sous-jacent \(\Sch/Y \to \Sch/X\), ou \(Y_\tau \to \Sch/X\) est le foncteur \(Y'/Y \mapsto X \times_Y Y'/X\). En effet, dans les sections précédentes, nous avons construit les morphismes \(f_{big} : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) et \(f_{small} : X_\tau \to Y_\tau\) pour \(\tau\) comme ci-dessus. Nous avons aussi construit les morphismes de sites \(\pi_Y : (\Sch/Y)_\tau \to Y_\tau\) pour \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\). D’autre part, il est clair que le foncteur identité \((\Sch/X)_\tau \to (\Sch/X)_{\tau'}\) définit un morphisme de sites lorsque \(\tau\) est une topologie plus fine que \(\tau'\). En composant ces morphismes, on obtient donc la liste des morphismes possibles ci-dessus.

La description simple du foncteur sous-jacent montre clairement que, pour des morphismes de schémas \(X \to Y \to Z\), la composée de deux des morphismes de sites ci-dessus, par exemple \[(\Sch/X)_{\tau_0} \longrightarrow (\Sch/Y)_{\tau_1} \longrightarrow (\Sch/Z)_{\tau_2}\] est le morphisme de sites correspondant associé au morphisme de schémas \(X \to Z\).

Remarque

Prenons une catégorie \(\Sch_\alpha\) construite comme dans Ensembles, lemme 000J, en partant de l’ensemble de schémas \(\{X, Y, S\}\). Choisissons un ensemble de recouvrements \(\text{Cov}_{fppf}\) sur \(\Sch_\alpha\) comme dans Ensembles, lemme 000X, en partant de la catégorie \(\Sch_\alpha\) et de la classe des recouvrements fppf. Notons \(\Sch_{fppf}\) le gros site fppf ainsi obtenu. Ensuite, pour \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic\}\), munissons \(\Sch_\tau\) de la même catégorie sous-jacente que \(\Sch_{fppf}\), avec pour recouvrements \(\text{Cov}_\tau \subset \text{Cov}_{fppf}\), simplement le sous-ensemble des recouvrements \(\tau\). On vérifie immédiatement que cela définit un gros site \(\Sch_\tau\).

Changement de gros sites

Dans cette section, nous expliquons ce qui se passe lorsqu’on change de gros site de Zariski, fppf ou étale.

Soient \(\tau, \tau' \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Étant donnés deux gros sites \(\Sch_\tau\) et \(\Sch'_{\tau'}\), on dit que \(\Sch_\tau\) est contenu dans \(\Sch'_{\tau'}\) si \(\Ob(\Sch_\tau) \subset \Ob(\Sch'_{\tau'})\) et \(\text{Cov}(\Sch_\tau) \subset \text{Cov}(\Sch'_{\tau'})\). Dans ce cas, \(\tau\) est plus fine que \(\tau'\) ; par exemple, aucun site fppf ne peut être contenu dans un site étale.

Lemme

Tout ensemble de gros sites de Zariski est contenu dans un même gros site de Zariski. Il en va de même, mutatis mutandis, pour les gros sites fppf et les gros sites étales.

Démonstration

Cela résulte de ce que la réunion d’un ensemble d’ensembles est un ensemble et que les constructions de Ensembles, lemmes 000J et 000X permettent de partir de n’importe quel ensemble initialement donné de schémas et de recouvrements.

Lemme

Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Supposons donnés deux gros sites \(\Sch_\tau\) et \(\Sch'_\tau\). Supposons que \(\Sch_\tau\) soit contenu dans \(\Sch'_\tau\). Le foncteur d’inclusion \(\Sch_\tau \to \Sch'_\tau\) satisfait aux hypothèses de Sites, lemme 00XU. Il existe des morphismes de topos \[\begin{eqnarray*} g : \Sh(\Sch_\tau) & \longrightarrow & \Sh(\Sch'_\tau) \\ f : \Sh(\Sch'_\tau) & \longrightarrow & \Sh(\Sch_\tau) \end{eqnarray*}\] tels que \(f \circ g \cong \text{id}\). Pour tout objet \(S\) de \(\Sch_\tau\), le foncteur d’inclusion \((\Sch/S)_\tau \to (\Sch'/S)_\tau\) satisfait lui aussi aux hypothèses de Sites, lemme 00XU. On obtient donc de même des morphismes \[\begin{eqnarray*} g : \Sh((\Sch/S)_\tau) & \longrightarrow & \Sh((\Sch'/S)_\tau) \\ f : \Sh((\Sch'/S)_\tau) & \longrightarrow & \Sh((\Sch/S)_\tau) \end{eqnarray*}\] avec \(f \circ g \cong \text{id}\).

Démonstration

Les hypothèses (b), (c) et (e) de Sites, lemme 00XU, sont immédiates pour les foncteurs \(\Sch_\tau \to \Sch'_\tau\) et \((\Sch/S)_\tau \to (\Sch'/S)_\tau\). La propriété (a) résulte du lemme 03WV, 03WW, 03WZ, 03X2, ou 03WX. La propriété (d) est satisfaite parce que les produits fibrés existent dans les catégories \(\Sch_\tau\), \(\Sch'_\tau\) et sont compatibles avec les produits fibrés dans la catégorie des schémas.

Discussion : Le foncteur \(g^{-1} = f_*\) est simplement le foncteur de restriction qui associe à un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\Sch'_\tau\) sa restriction \(\mathcal{G}|_{\Sch_\tau}\). Ainsi, ce lemme affirme simplement qu’étant donné un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\Sch_\tau\), il existe un faisceau canonique \(\mathcal{F}'\) sur \(\Sch'_\tau\) tel que \(\mathcal{F}|_{\Sch'_\tau} = \mathcal{F}'\). En fait, le faisceau \(\mathcal{F}'\) admet la description suivante : c’est le faisceau associé au préfaisceau \[\Sch'_\tau \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad V \longmapsto \colim_{V \to U} \mathcal{F}(U)\] où \(U\) est un objet de \(\Sch_\tau\). Cela résulte de l’égalité \(\mathcal{F}' = f^{-1}\mathcal{F} = (u_p\mathcal{F})^\#\) d’après Sites, lemmes 00XR et 00XU.

Prolongement de foncteurs

Commençons par un exemple simple qui explique notre démarche. Soit \(R\) un anneau. Supposons que \(F\) soit un foncteur défini sur la catégorie \(\mathcal{C}\) des \(R\)-algèbres de la forme \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] où \(n, m \geq 0\) sont des entiers et \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\) des éléments. Pour toute \(R\)-algèbre \(B\), on peut alors définir \[F'(B) = \colim_{A \to B,\ A \in \mathcal{C}} F(A)\] Il se trouve que \(F'\) est l’unique foncteur sur la catégorie de toutes les \(R\)-algèbres qui prolonge \(F\) et commute aux limites inductives filtrantes. Le même procédé fonctionne dans la catégorie des schémas si l’on impose que notre foncteur soit un faisceau de Zariski.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{C}\) une sous-catégorie pleine de la catégorie \(\Sch/S\) de tous les schémas au-dessus de \(S\). Supposons que

1. si \(X \to S\) est un objet de \(\mathcal{C}\) et si \(U \subset X\) est un ouvert affine, alors \(U \to S\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{C}\) ;

2. si \(V\) est un schéma affine au-dessus d’un ouvert affine \(U \subset S\) tel que \(V \to U\) soit de présentation finie, alors \(V \to S\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{C}\).

Soit \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que

1. pour tout recouvrement de Zariski \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) où \(X, X_i\) sont des objets de \(\mathcal{C}\), la condition de faisceau soit satisfaite par \(F\) et cette famille⁸ ;

2. si \(X = \lim X_i\) est une limite projective filtrante de schémas affines au-dessus de \(S\), où \(X, X_i\) sont des objets de \(\mathcal{C}\), alors \(F(X) = \colim F(X_i)\).

Il existe alors une manière unique de prolonger \(F\) en un foncteur \(F' : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) satisfaisant aux analogues de (a) et (b), c’est-à-dire que \(F'\) satisfait la condition de faisceau pour tout recouvrement de Zariski et que \(F'(X) = \colim F'(X_i)\) dès que \(X = \lim X_i\) est une limite projective filtrante de schémas affines au-dessus de \(S\).

Démonstration

L’idée consiste d’abord à prolonger \(F\) à une collection suffisamment grande de schémas affines au-dessus de \(S\), puis à utiliser la propriété de faisceau de Zariski pour le prolonger à tous les schémas.

Supposons que \(V\) soit un schéma affine au-dessus de \(S\) dont le morphisme structural \(V \to S\) se factorise par un ouvert affine \(U \subset S\). Dans ce cas, on peut écrire \[V = \lim V_i\] comme une limite projective filtrante, où \(V_i \to U\) est de présentation finie et \(V_i\) est affine. Voir Algèbre, lemme 00QN. D’après les conditions (1) et (2), on peut remplacer les \(V_i\) par des objets de \(\mathcal{C}\). Observons que \(V_i \to S\) est localement de présentation finie (si \(S\) est quasi-séparé, ces morphismes sont même de présentation finie). Posons alors \[F'(V) = \colim F(V_i)\] On peut en fait donner l’expression plus canonique \[F'(V) = \colim_{V \to V'} F(V')\] où la limite inductive est prise sur la catégorie des morphismes \(V \to V'\) au-dessus de \(S\) pour lesquels \(V'\) est un objet de \(\mathcal{C}\) dont le morphisme structural \(V' \to S\) est localement de présentation finie. Cette expression coïncide avec la première parce que, d’après Limits, proposition 01ZC notre système projectif \(V_i\) est cofinal dans cette catégorie ! Enfin, notons que si \(V\) était un objet de \(\mathcal{C}\), alors \(F'(V) = F(V)\) d’après l’hypothèse (b).

La seconde formule fait de \(F'\) un foncteur contravariant sur la catégorie formée des schémas affines \(V\) au-dessus de \(S\) dont le morphisme structural se factorise par un ouvert affine de \(S\). Soit \(V\) un tel schéma affine au-dessus de \(S\) et supposons que \(V = \bigcup_{k = 1, \ldots, n} V_k\) soit un recouvrement ouvert fini par des schémas affines. Il est alors légitime de demander si la condition de faisceau est satisfaite par \(F'\) et ce recouvrement ouvert. C’est vrai et facile à montrer : écrivons \(V = \lim V_i\) comme au paragraphe précédent. D’après Limits, lemme 01Z4, pour tout \(i\) suffisamment grand, on peut trouver des ouverts affines \(V_{i, k} \subset V_i\) compatibles aux morphismes de transition et dont l’image inverse est \(V_k\) dans \(V\). Ainsi, \[F'(V_k) = \colim F(V_{i, k}) \quad\text{et}\quad F'(V_k \cap V_l) = \colim F(V_{i, k} \cap V_{i, l})\] À strictement parler, il faut, dans ces formules, remplacer \(V_{i, k}\) et \(V_{i, k} \cap V_{i, l}\) par des objets affines isomorphes de \(\mathcal{C}\) avant d’appliquer le foncteur \(F\). Comme \(I\) est filtrant, les limites inductives commutent aux égalisateurs. La condition de faisceau (b) pour \(F\) et les recouvrements de Zariski \(\{V_{i, k} \to V_i\}\) entraîne donc la condition de faisceau pour \(F'\) et ce recouvrement.

Soit \(X\) un schéma quelconque au-dessus de \(S\). Notons \(\mathcal{B}_X\) la collection des ouverts affines de \(X\) dont le morphisme structural vers \(S\) se factorise par un ouvert affine de \(S\). Il est clair que \(\mathcal{B}_X\) est une base de la topologie de \(X\). D’après le résultat du paragraphe précédent et Faisceaux, lemme 009L on voit que \(F'\) est un faisceau sur \(\mathcal{B}_X\). La restriction de \(F'\) à \(\mathcal{B}_X\) se prolonge donc uniquement en un faisceau \(F'_X\) sur \(X\) ; voir Faisceaux, lemme 009N. Si \(X\) est un objet de \(\mathcal{C}\), on dispose d’une identification canonique \(F'_X(X) = F(X)\), car \(F'\) et \(F\) coïncident sur les objets où ils sont tous deux définis et parce que \(F\) satisfait la condition de faisceau pour les recouvrements de Zariski.

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas au-dessus de \(S\). On obtient une unique \(f\)-application de \(F'_Y\) vers \(F'_X\) compatible avec les applications \(F'(V) \to F'(U)\) pour tous \(U \in \mathcal{B}_X\) et \(V \in \mathcal{B}_Y\) tels que \(f(U) \subset V\) ; voir Faisceaux, lemme 009X. Nous omettons la vérification que ces applications se composent correctement pour des morphismes \(X \to Y \to Z\) de schémas au-dessus de \(S\). Nous omettons aussi la vérification que, si \(f\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), alors l’application induite \(F'_Y(Y) \to F'_X(X)\) coïncide avec l’application \(F(Y) \to F(X)\) via les identifications \(F'_X(X) = F(X)\) et \(F'_Y(Y) = F(Y)\) ci-dessus. On voit ainsi que le prolongement cherché de \(F\) est le foncteur qui envoie \(X/S\) sur \(F'_X(X)\).

La propriété (a) pour le foncteur \(X \mapsto F'_X(X)\) est presque immédiate d’après la construction ; nous omettons les détails. Supposons que \(X = \lim_{i \in I} X_i\) soit une limite projective filtrante de schémas affines au-dessus de \(S\). Il faut montrer que \[F'_X(X) = \colim_{i \in I} F'_{X_i}(X_i)\] Supposons d’abord qu’il existe un \(i \in I\) tel que \(X_i \to S\) se factorise par un ouvert affine \(U \subset S\). Alors \(F'\) est défini sur \(X\) et sur \(X_{i'}\) pour \(i' \geq i\), et l’on a \(F'_{X_{i'}}(X_{i'}) = F'(X_{i'})\) pour \(i' \geq i\) ainsi que \(F'_X(X) = F'(X)\). Dans ce cas, toute flèche \(X \to V\), où \(V\) est localement de présentation finie au-dessus de \(S\), se factorise sous la forme \(X \to X_{i'} \to V\) pour un certain \(i' \geq i\) ; voir Limits, proposition 01ZC. On a donc \[\begin{align*} F'_X(X) & = F'(X) \\ & = \colim_{X \to V} F(V) \\ & = \colim_{i' \geq i} \colim_{X_{i'} \to V} F(V) \\ & = \colim_{i' \geq i} F'(X_{i'}) \\ & = \colim_{i' \geq i} F'_{X_{i'}}(X_{i'}) \\ & = \colim_{i' \in I} F'_{X_{i'}}(X_{i'}) \end{align*}\] comme voulu. Enfin, dans le cas général, choisissons un \(i \in I\) et un recouvrement ouvert affine fini \(V_i = V_{i, 1} \cup \ldots \cup V_{i, n}\) tel que \(V_{i, k} \to S\) se factorise par un ouvert affine de \(S\). Soient \(V_k \subset V\) et \(V_{i', k}\), pour \(i' \geq i\), les images inverses de \(V_{i, k}\). Le cas précédent donne \[F'_{V_k}(V_k) = \colim_{i' \geq i} F'_{V_{i', k}}(V_{i', k})\] et \[F'_{V_k \cap V_l}(V_k \cap V_l) = \colim_{i' \geq i} F'_{V_{i', k} \cap V_{i', l}}(V_{i', k} \cap V_{i', l})\] La propriété de faisceau et l’exactitude des limites inductives filtrantes donnent \(F'_X(X) = \colim_{i \in I} F'_{X_i}(X_i)\) également dans ce cas. Cela achève la démonstration de la propriété (b) et donc celle du lemme.

Lemme

Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(T\) un schéma affine écrit comme limite \(T = \lim_{i \in I} T_i\) d’un système projectif filtrant de schémas affines.

1. Soit \(\mathcal{V} = \{V_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\) un recouvrement \(\tau\) standard de \(T\); voir les définitions 020R, 0219, 0223, 0229 et 021Q. Il existe alors un indice \(i\) et un recouvrement \(\tau\) standard \(\mathcal{V}_i = \{V_{i, j} \to T_i\}_{j = 1, \ldots, m}\) dont le changement de base \(T \times_{T_i} \mathcal{V}_i\) à \(T\) est isomorphe à \(\mathcal{V}\).

2. Soient \(\mathcal{V}_i\), \(\mathcal{V}'_i\) deux recouvrements \(\tau\) standards de \(T_i\). Si \(f : T \times_{T_i} \mathcal{V}_i \to T \times_{T_i} \mathcal{V}'_i\) est un morphisme de recouvrements de \(T\), il existe un indice \(i' \geq i\) et un morphisme \(f_{i'} : T_{i'} \times_{T_i} \mathcal{V} \to T_{i'} \times_{T_i} \mathcal{V}'_i\) dont le changement de base à \(T\) est \(f\).

3. Si \(f, g : \mathcal{V} \to \mathcal{V}'_i\) sont des morphismes de recouvrements \(\tau\) standards de \(T_i\) dont les changements de base \(f_T, g_T\) à \(T\) sont égaux, alors il existe un indice \(i' \geq i\) tel que \(f_{T_{i'}} = g_{T_{i'}}\).

Autrement dit, la catégorie des recouvrements \(\tau\) standards de \(T\) est la limite inductive, sur \(I\), des catégories des recouvrements \(\tau\) standards de \(T_i\).

Démonstration

Démontrons l’énoncé pour \(\tau = fppf\). D’après Limits, lemme 01ZM, la catégorie des schémas de présentation finie sur \(T\) est la limite inductive, sur \(I\), des catégories des schémas de présentation finie sur \(T_i\). D’après Limits, lemmes 01ZN et 04AI, il en va de même pour la catégorie des schémas affines, plats et de présentation finie sur \(T\). Pour achever la démonstration du lemme, il suffit de montrer que, si \(\{V_{j, i} \to T_i\}_{j = 1, \ldots, m}\) est une famille finie de morphismes plats de présentation finie, avec \(V_{j, i}\) affine, et si le changement de base \(\coprod_j T \times_{T_i} V_{j, i} \to T\) est surjectif, alors, pour un certain \(i' \geq i\), le morphisme \(\coprod T_{i'} \times_{T_i} V_{j, i} \to T_{i'}\) est surjectif. Notons \(W_{i'} \subset T_{i'}\), respectivement \(W \subset T\), l’image. Par hypothèse, on a bien sûr \(W = T\). Puisque les morphismes sont plats et de présentation finie, \(W_i\) est un ouvert quasi-compact de \(T_i\); voir Morphismes, lemme 01UA. En outre, \(W = T \times_{T_i} W_i\) (la formation de l’image commute au changement de base). Par conséquent, d’après Limits, lemme 01Z4, on a \(W_{i'} = T_{i'}\) pour un indice \(i'\) assez grand, ce qui conclut.

Pour \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic\}\), tout recouvrement \(\tau\) standard est un recouvrement fppf standard. La pleine fidélité du foncteur en résulte. Il reste seulement à montrer que, si un recouvrement fppf standard \(\mathcal{V}_i\) est donné pour un certain \(i\) et si \(\mathcal{V}_i \times_{T_i} T\) est un recouvrement \(\tau\) standard, alors \(\mathcal{V}_i \times_{T_i} T_{i'}\) est un recouvrement \(\tau\) standard pour tout \(i' \gg i\). Cela résulte immédiatement de Limits, lemmes 0EUU, 07RP, 0C0C et 0C3L.

Lemme

Supposons que \(S\), \(\mathcal{C}\) et \(F\) satisfassent aux conditions (1), (2), (a) et (b) du lemme 0EUW, et notons \(F' : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) le prolongement unique construit dans ce lemme. Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Supposons que

1. pour tout recouvrement \(\tau\) standard \(\{V_i \to V\}_{i = 1, \ldots, n}\) par des schémas affines dans \(\Sch/S\), tel que \(V \to S\) se factorise par un ouvert affine \(U \subset S\) et que \(V \to U\) soit de présentation finie, la condition de faisceau vaut pour \(F\) et \(\{V_i \to V\}_{i = 1, \ldots, n}\)⁹.

Alors \(F'\) satisfait à la condition de faisceau pour tout recouvrement \(\tau\).

Démonstration

Soit \(X\) un schéma sur \(S\), et soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement \(\tau\). Soient \(s_i \in F'(X_i)\) des éléments tels que \(s_i\) et \(s_j\) aient même image dans \(F'(X_i \times_X X_j)\) pour tous \(i, j \in I\). Il faut montrer qu’il existe un unique élément \(s \in F'(X)\) dont la restriction est \(s_i \in F'(X_i)\) pour tout \(i \in I\).

Cas particulier : \(X\) est affine, son morphisme structural est à valeurs dans un ouvert affine \(U\) de \(S\), et le recouvrement \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) est un recouvrement \(\tau\) standard. Dans ce cas, on peut écrire \[X = \lim V_k\] comme limite projective filtrante, où \(V_k \to U\) est de présentation finie et \(V_k\) est affine. Voir Algèbre, lemme 00QN. D’après lemme 049N, il existe un \(k\) et un recouvrement \(\tau\) standard \(\{V_{k, i} \to V_k\}_{i \in I}\) dont le changement de base à \(X\) est le recouvrement donné. Pour \(k' \geq k\), notons \(\{V_{k', i} \to V_{k'}\}_{i \in I}\) le changement de base à \(V_{k'}\) de ce recouvrement. On a alors \[\begin{align*} F'(X) & = \colim_{k' \geq k} F(V_k) \\ & = \colim_{k' \geq k} \text{Equalizer}( \xymatrix{ \prod F(V_{k', i}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F(V_{k', i} \times_{V_{k'}} V_{k', j}) } \\ & = \text{Equalizer}( \xymatrix{ \colim_{k' \geq k} \prod F(V_{k', i}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \colim_{k' \geq k} \prod F(V_{k', i} \times_{V_{k'}} V_{k', j}) } \\ & = \text{Equalizer}( \xymatrix{ \prod F'(X_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F'(X_i \times_X X_j) } \end{align*}\] La première égalité résulte de la construction de \(F'\). La deuxième résulte de l’hypothèse (c). La troisième résulte de l’exactitude des limites inductives filtrantes. La quatrième résulte encore de la construction de \(F'\). On obtient ainsi la propriété de faisceau pour \(F'\) relativement à \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\).

Cas général. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(X = \bigcup U_k\) tel que chaque \(U_k\) soit à valeurs dans un ouvert affine de \(S\). Pour tout \(k\), choisissons un recouvrement \(\tau\) standard \(\{V_{k, j} \to U_k\}_{j = 1, \ldots, m_k}\) qui raffine \(\{X_i \times_X U_k \to U_k\}_{i \in I}\). Pour chaque \(j \in \{1, \ldots, m_k\}\), choisissons un indice \(i_{k, j} \in I\) et un morphisme \(g_{k, j} : V_{k, j} \to X_{i_{k, j}}\) au-dessus de \(X\). Soit \(s_{k, j}\) l’élément de \(F'(V_{k, j})\) obtenu en restreignant \(s_{i_{k, j}}\) par \(g_{k, j}\). Observons que \(s_{k, j}\) et \(s_{k', j'}\) ont même restriction dans \(F'(V_{k, j} \times_X V_{k', j'})\) pour tous \(k\) et \(k'\), tout \(j \in \{1, \ldots, m_k\}\) et tout \(j' \in \{1, \ldots, m_{k'}\}\); nous omettons la vérification. En particulier, le paragraphe précédent donne un unique élément \(s_k \in F'(U_k)\) dont la restriction est \(s_{k, j}\) pour tout \(j\). Avec ces notations, nous pouvons achever la démonstration.

Unicité de \(s\) : elle résulte de ce que \(F'\) satisfait à la propriété de faisceau pour les recouvrements de Zariski et que \(s|_{U_k}\) doit être égal à \(s_k\), puisque tous deux ont pour restriction \(s_{k, j}\) pour tout \(j\). Cette unicité montre alors que \(s_k\) et \(s_{k'}\) doivent induire la même section de \(F'\) sur (le schéma non affine) \(U_k \cap U_{k'}\), car ces sections induisent la même section sur le recouvrement \(\tau\) \(\{V_{k, j} \times_X V_{k', j'} \to U_k \cap U_{k'}\}\). La propriété de faisceau pour les recouvrements de Zariski donne donc une unique section \(s\) de \(F'\) sur \(X\) dont la restriction à \(U_k\) est \(s_k\). Nous omettons la vérification (analogue à la précédente) que \(s\) se restreint en \(s_i\) sur \(X_i\).

Lemme

Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(S\) un schéma contenu dans un gros site \(\Sch_\tau\). Soit \(F : (\Sch/S)_\tau^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un \(\tau\)-faisceau satisfaisant à la propriété (b) de lemme 0EUW pour \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_\tau\). Alors le prolongement \(F'\) de \(F\) à la catégorie de tous les schémas sur \(S\) satisfait à la condition de faisceau pour tout recouvrement \(\tau\).

Démonstration

Cela résulte de lemme 0GDW appliqué avec \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_\tau\). Les conditions (1), (2), (a) et (b) de lemme 0EUW sont satisfaites; nous omettons les détails. On obtient ainsi l’unique prolongement \(F'\) à la catégorie de tous les schémas sur \(S\). Observons enfin que tout recouvrement \(\tau\) standard est tautologiquement équivalent à un recouvrement dans \((\Sch/S)_\tau\); voir Ensembles, lemme 000R ainsi que lemmes 03WV, 03WW, 03WZ, 03X2 et 03WX. D’après Sites, lemme 00VW la propriété de faisceau se conserve par équivalence tautologique des recouvrements. Le fait que \(F\) soit un \(\tau\)-faisceau entraîne donc la propriété (c) de lemme 0GDW, ce qui conclut.