Champs

Introduction

Dans ce très court chapitre, nous introduisons les champs et les champs en groupoïdes. Voir [DM] et [Vis2].

Préfaisceaux de morphismes associés aux catégories fibrées

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée, voir Catégories, section 02XJ. Supposons que \(x, y\in \Ob(\mathcal{S}_U)\) soient des objets de la catégorie fibre au-dessus de \(U\). Nous allons définir un foncteur \[\mathit{Mor}(x, y) : (\mathcal{C}/U)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}.\] Autrement dit, ce sera un préfaisceau sur \(\mathcal{C}/U\), voir Sites, définition 00V3. Faisons un choix d’images inverses comme dans Catégories, définition 02XN. Alors, pour \(f : V \to U\), nous posons \[\mathit{Mor}(x, y)(f : V \to U) = \Mor_{\mathcal{S}_V}(f^\ast x, f^\ast y).\] Soit \(f' : V' \to U\) un second objet de \(\mathcal{C}/U\). Nous devons aussi définir l’application de restriction correspondant à un morphisme \(g : V'/U \to V/U\) dans \(\mathcal{C}/U\), autrement dit \(g : V' \to V\) et \(f' = f \circ g\). Ce sera une application \[\Mor_{\mathcal{S}_V}(f^\ast x, f^\ast y) \longrightarrow \Mor_{\mathcal{S}_{V'}}({f'}^\ast x, {f'}^\ast y), \quad \phi \longmapsto \phi|_{V'}\] Cette application sera essentiellement \(g^\ast\), à ceci près qu’elle transforme un élément \(\phi\) du membre de gauche en un élément \(g^\ast \phi\) de \(\Mor_{\mathcal{S}_{V'}}(g^\ast f^\ast x, g^\ast f^\ast y)\). À ce stade, nous utilisons la transformation \(\alpha_{g, f}\) du lemme 02XO de Catégories. En formule, l’application de restriction est décrite par \[\phi|_{V'} = (\alpha_{g, f})_y^{-1} \circ g^\ast \phi \circ (\alpha_{g, f})_x.\] Bien entendu, personne ne conçoit cette application de restriction de cette manière. Nous ne le ferons qu’une fois, afin de vérifier le lemme suivant.

Lemme

Cela définit effectivement un préfaisceau.

Démonstration

Soient \(g : V'/U \to V/U\) comme ci-dessus et, de même, \(g' : V''/U \to V'/U\) des morphismes de \(\mathcal{C}/U\). Ainsi \(f' = f \circ g\) et \(f'' = f' \circ g' = f \circ g \circ g'\). Soit \(\phi \in \Mor_{\mathcal{S}_V}(f^\ast x, f^\ast y)\). Nous avons alors \[\begin{eqnarray*} & & (\alpha_{g \circ g', f})_y^{-1} \circ (g \circ g')^\ast \phi \circ (\alpha_{g \circ g', f})_x \\ & = & (\alpha_{g \circ g', f})_y^{-1} \circ (\alpha_{g', g})_{f^*y}^{-1} \circ (g')^*g^\ast \phi \circ (\alpha_{g', g})_{f^*x} \circ (\alpha_{g \circ g', f})_x \\ & = & (\alpha_{g', f'})_y^{-1} \circ (g')^*(\alpha_{g, f})_y^{-1} \circ (g')^* g^\ast \phi \circ (g')^*(\alpha_{g, f})_x \circ (\alpha_{g', f'})_x \\ & = & (\alpha_{g', f'})_y^{-1} \circ (g')^*\Big( (\alpha_{g, f})_y^{-1} \circ g^\ast \phi \circ (\alpha_{g, f})_x \Big) \circ (\alpha_{g', f'})_x \end{eqnarray*}\] ce qui est précisément l’égalité voulue, \(\phi|_{V''} = (\phi|_{V'})|_{V''}\). La première égalité vaut parce que \(\alpha_{g', g}\) est une transformation de foncteurs, de sorte que \[\xymatrix{ (g \circ g')^*f^*x \ar[rr]_{(g \circ g')^\ast \phi} \ar[d]_{(\alpha_{g', g})_{f^*x}} & & (g \circ g')^*f^*y \ar[d]^{(\alpha_{g', g})_{f^*y}} \\ (g')^*g^*f^*x \ar[rr]^{(g')^*g^\ast \phi} & & (g')^*g^*f^*y }\] est commutatif. La deuxième égalité résulte de la propriété (d) d’un pseudo-foncteur, puisque \(f' = f \circ g\) (voir Catégories, définition 003N). La dernière égalité découle du fait que \((g')^*\) est un foncteur.

Désormais, nous omettrons souvent de mentionner les transformations \(\alpha_{g, f}\) et identifierons simplement les foncteurs \(g^* \circ f^*\) et \((f \circ g)^*\). En particulier, pour \(g : V'/U \to V/U\), les applications de restriction du préfaisceau \(\mathit{Mor}(x, y)\) seront parfois notées \(\phi \mapsto g^*\phi\). Nous formalisons cette construction dans une définition.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée, voir Catégories, section 02XJ. Étant donnés un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et des objets \(x\), \(y\) de la catégorie fibre, le préfaisceau des morphismes de \(x\) vers \(y\) est le préfaisceau \[(f : V \to U) \longmapsto \Mor_{\mathcal{S}_V}(f^*x, f^*y)\] décrit ci-dessus. On le note \(\mathit{Mor}(x, y)\). Le sous-préfaisceau \(\mathit{Isom}(x, y)\) dont la valeur au-dessus de \(V\) est l’ensemble des isomorphismes \(f^*x \to f^*y\) dans la catégorie fibre \(\mathcal{S}_V\) est appelé le préfaisceau des isomorphismes de \(x\) vers \(y\).

Si \(\mathcal{S}\) est fibrée en groupoïdes, alors bien entendu \(\mathit{Isom}(x, y) = \mathit{Mor}(x, y)\), et il est d’usage d’employer la notation \(\mathit{Isom}\).

Lemme

Soit \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus de la catégorie \(\mathcal{C}\). Soient \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(x, y\in \Ob((\mathcal{S}_1)_U)\). Alors \(F\) définit un morphisme canonique de préfaisceaux \[\mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_2}(F(x), F(y))\] sur \(\mathcal{C}/U\).

Démonstration

D’après la définition 02XP de Catégories, le foncteur \(F\) envoie les morphismes fortement cartésiens sur des morphismes fortement cartésiens. Ainsi, si \(f : V \to U\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), il existe des isomorphismes canoniques \(\alpha_V : f^*F(x) \to F(f^*x)\), \(\beta_V : f^*F(y) \to F(f^*y)\) tels que \(f^*F(x) \to F(f^*x) \to F(x)\) soit le morphisme canonique \(f^*F(x) \to F(x)\), et de même pour \(\beta_V\). Nous pouvons donc définir \[\xymatrix{ \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y)(f : V \to U) \ar@{=}[r] & \Mor_{\mathcal{S}_{1, V}}(f^\ast x, f^\ast y) \ar[d] \\ \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_2}(F(x), F(y))(f : V \to U) \ar@{=}[r] & \Mor_{\mathcal{S}_{2, V}}(f^\ast F(x), f^\ast F(y)) }\] par \(\phi \mapsto \beta_V^{-1} \circ F(\phi) \circ \alpha_V\). Nous omettons la vérification de la compatibilité avec les applications de restriction.

Remarque

Supposons que \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) soit fibrée en groupoïdes. Dans ce cas, nous pouvons démontrer le lemme 026A à l’aide du lemme 004A de Catégories, qui dit que \(\mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est équivalente à la catégorie associée à un foncteur contravariant \(F : \mathcal{C} \to \textit{Groupoïdes}\). Dans le cas de la catégorie fibrée associée à \(F\), nous avons exactement \(g^* \circ f^* = (f \circ g)^*\), et il n’est pas nécessaire d’utiliser les applications \(\alpha_{g, f}\). Dans ce cas, le lemme est (encore plus) trivial. Bien entendu, on utilise alors le fait que le préfaisceau \(\mathit{Mor}(x, y)\) reste inchangé lorsque l’on passe à une catégorie fibrée équivalente, ce qui découle du lemme 042V.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée, voir Catégories, section 02XJ. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et soient \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\). Notons encore \(x, y : \mathcal{C}/U \to \mathcal{S}\) les \(1\)-morphismes correspondants, voir Catégories, lemme 004B. Alors

1. le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{S} \times_{\mathcal{S} \times \mathcal{S}, (x, y)} \mathcal{C}/U\) est fibré en setoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}/U\), et

2. \(\mathit{Isom}(x, y)\) est le préfaisceau d’ensembles correspondant à cette catégorie fibrée en setoïdes, voir Catégories, lemme 04SC.

Démonstration

Omis. Indication : les objets du \(2\)-produit fibré sont \((a : V \to U, z, (\alpha, \beta))\), où \(\alpha : z \to a^*x\) et \(\beta : z \to a^*y\) sont des isomorphismes dans \(\mathcal{S}_V\). Le lien avec \(\mathit{Isom}(x, y)\) s’obtient donc en associant à un tel objet l’isomorphisme \(\beta \circ \alpha^{-1}\).

Données de descente dans les catégories fibrées

Dans cette section, nous définissons la notion de donnée de descente dans le cadre abstrait d’une catégorie fibrée. Signalons auparavant qu’elle est entièrement analogue aux données de descente pour les faisceaux quasi-cohérents (Descente, section 023A) et aux données de descente pour les schémas au-dessus de schémas (Descente, section 023U).

Nous adopterons la convention selon laquelle les projections \(\text{pr}_i : X \times \ldots \times X \to X\) sont numérotées à partir de \(i = 0\). Ainsi, nous avons \(\text{pr}_0, \text{pr}_1 : X \times X \to X\), \(\text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_2 : X \times X \times X \to X\), etc.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. Faisons un choix d’images inverses comme dans Catégories, définition 02XN. Soit \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de \(\mathcal{C}\). Supposons que tous les produits fibrés \(U_i \times_U U_j\) et \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) existent.

1. Une donnée de descente \((X_i, \varphi_{ij})\) dans \(\mathcal{S}\) relative à la famille \(\{f_i : U_i \to U\}\) consiste en un objet \(X_i\) de \(\mathcal{S}_{U_i}\) pour chaque \(i \in I\), et en un isomorphisme \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*X_i \to \text{pr}_1^*X_j\) dans \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_j}\) pour chaque paire \((i, j) \in I^2\), tels que, pour tout triplet d’indices \((i, j, k) \in I^3\), le diagramme \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*X_i \ar[rd]_{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} \ar[rr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} & & \text{pr}_2^*X_k \\ & \text{pr}_1^*X_j \ar[ru]_{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} & }\] dans la catégorie \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_j \times_U U_k}\) soit commutatif. C’est ce qu’on appelle la condition de cocycle.

2. Un morphisme \(\psi : (X_i, \varphi_{ij}) \to (X'_i, \varphi'_{ij})\) de données de descente consiste en une famille \(\psi = (\psi_i)_{i\in I}\) de morphismes \(\psi_i : X_i \to X'_i\) dans \(\mathcal{S}_{U_i}\) telle que tous les diagrammes \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*X_i \ar[r]_{\varphi_{ij}} \ar[d]_{\text{pr}_0^*\psi_i} & \text{pr}_1^*X_j \ar[d]^{\text{pr}_1^*\psi_j} \\ \text{pr}_0^*X'_i \ar[r]^{\varphi'_{ij}} & \text{pr}_1^*X'_j \\ }\] dans les catégories \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_j}\) soient commutatifs.

3. La catégorie des données de descente relatives à \(\mathcal{U}\) est notée \(DD(\mathcal{U})\).

Les produits fibrés \(U_i \times_U U_j\) et \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) existent si chacun des morphismes \(f_i : U_i \to U\) est représentable, voir Catégories, définition 001X. Rappelons que, dans un site, l’une des conditions imposées à un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) est que chacun des morphismes soit représentable, voir Sites, définition 00VH, partie (3). En fait, la définition ci-dessus présente surtout un intérêt lorsque \(\mathcal{C}\) est un site et que \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Une donnée de descente n’est toutefois qu’une construction abstraite que l’on peut définir comme ci-dessus. C’est utile : par exemple, étant donnée une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\), on peut considérer l’ensemble des familles relativement auxquelles les données de descente sont effectives et tenter de les employer comme famille de recouvrements d’un site.

Remarques

Deux remarques au sujet de la définition 026B s’imposent. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. Soient \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) et \((X_i, \varphi_{ij})\) comme dans la définition 026B.

1. Il existe un morphisme diagonal \(\Delta : U_i \to U_i \times_U U_i\). Nous pouvons tirer \(\varphi_{ii}\) en arrière par ce morphisme et obtenir un automorphisme \(\Delta^\ast \varphi_{ii} \in \text{Aut}_{U_i}(X_i)\). En tirant la condition de cocycle pour le triplet \((i, i, i)\) en arrière par \(\Delta_{123} : U_i \to U_i \times_U U_i \times_U U_i\), nous déduisons que \(\Delta^\ast \varphi_{ii} \circ \Delta^\ast \varphi_{ii} = \Delta^\ast \varphi_{ii}\) ; ainsi \(\Delta^\ast \varphi_{ii} = \text{id}_{X_i}\).

2. Il existe un morphisme \(\Delta_{13}: U_i \times_U U_j \to U_i \times_U U_j \times_U U_i\), et nous pouvons tirer en arrière la condition de cocycle pour le triplet \((i, j, i)\) afin d’obtenir l’identité \((\sigma^\ast \varphi_{ji}) \circ \varphi_{ij} = \text{id}_{\text{pr}_0^\ast X_i}\), où \(\sigma : U_i \times_U U_j \to U_j \times_U U_i\) est le morphisme de permutation.

Lemme

(Changement de base des données de descente.) Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. Faisons un choix d’images inverses comme dans Catégories, définition 02XN. Soient \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) et \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) des familles de morphismes de \(\mathcal{C}\) ayant chacune un but fixé. Supposons que tous les produits fibrés \(U_i \times_U U_{i'}\), \(U_i \times_U U_{i'} \times_U U_{i''}\), \(V_j \times_V V_{j'}\) et \(V_j \times_V V_{j'} \times_V V_{j''}\) existent. Les données \(\alpha : I \to J\), \(h : U \to V\) et \(g_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) définissent un morphisme de familles d’applications à but fixé, voir Sites, définition 00VT.

1. Soit \((Y_j, \varphi_{jj'})\) une donnée de descente relative à la famille \(\{V_j \to V\}\). Le système \[\left( g_i^*Y_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')} \right)\] est une donnée de descente relative à \(\mathcal{U}\).

2. Cette construction définit un foncteur des données de descente relatives à \(\mathcal{V}\) vers les données de descente relatives à \(\mathcal{U}\).

3. Étant donné un second morphisme de familles d’applications à but fixé formé de \(\alpha' : I \to J\), \(h' : U \to V\) et \(g'_i : U_i \to V_{\alpha'(i)}\), si \(h = h'\), alors les deux foncteurs obtenus entre catégories de données de descente sont canoniquement isomorphes.

Démonstration

Omis.

Définition

Avec \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\), \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\), \(\alpha : I \to J\), \(h : U \to V\) et \(g_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\) comme dans le lemme 02ZD, le foncteur \[(Y_j, \varphi_{jj'}) \longmapsto (g_i^*Y_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')})\] construit dans ce lemme est appelé le foncteur de changement de base sur les données de descente.

Étant donné \(h : U \to V\), s’il existe un morphisme \(\tilde h : \mathcal{U} \to \mathcal{V}\) au-dessus de \(h\), alors \(\tilde h^*\) ne dépend pas du choix de \(\tilde h\), comme nous l’avons vu dans le lemme 02ZD. Nous écrirons donc parfois simplement \(h^*\) pour désigner le foncteur de changement de base.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. Faisons un choix d’images inverses comme dans Catégories, définition 02XN. Soit \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de but \(U\). Supposons que tous les produits fibrés \(U_i \times_U U_j\) et \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) existent.

1. Étant donné un objet \(X\) de \(\mathcal{S}_U\), la donnée de descente triviale est la donnée de descente \((X, \text{id}_X)\) relative à la famille \(\{\text{id}_U : U \to U\}\).

2. Étant donné un objet \(X\) de \(\mathcal{S}_U\), nous obtenons une donnée de descente canonique sur la famille des objets \(f_i^*X\) en tirant en arrière la donnée de descente triviale \((X, \text{id}_X)\) par l’application évidente \(\{f_i : U_i \to U\} \to \{\text{id}_U : U \to U\}\). Nous notons cette donnée de descente \((f_i^*X, can)\).

3. Une donnée de descente \((X_i, \varphi_{ij})\) relative à \(\{f_i : U_i \to U\}\) est dite effective s’il existe un objet \(X\) de \(\mathcal{S}_U\) tel que \((X_i, \varphi_{ij})\) soit isomorphe à \((f_i^*X, can)\).

Remarquons que la règle qui associe à \(X \in \mathcal{S}_U\) sa donnée de descente canonique relative à \(\mathcal{U}\) définit un foncteur \[\mathcal{S}_U \longrightarrow DD(\mathcal{U}).\] Une donnée de descente est effective si et seulement si elle appartient à l’image essentielle de ce foncteur. Explicitons maintenant la donnée de descente canonique.

Lemme

Dans la situation de la partie (2) de la définition 026E, les applications \(can_{ij} : \text{pr}_0^*f_i^*X \to \text{pr}_1^*f_j^*X\) sont égales à \((\alpha_{\text{pr}_1, f_j})_X \circ (\alpha_{\text{pr}_0, f_i})_X^{-1}\), où \(\alpha_{\cdot, \cdot}\) est comme dans le lemme 02XO de Catégories et où nous utilisons l’égalité \(f_i \circ \text{pr}_0 = f_j \circ \text{pr}_1\) des applications \(U_i \times_U U_j \to U\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J} \to \mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un morphisme de familles d’applications à but fixé de \(\mathcal{C}\), donné par \(\text{id} : U \to U\), \(\alpha : J \to I\) et \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\). Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. Si

1. pour \(0 \leq p \leq 3\) et \(0 \leq q \leq 3\), avec \(p + q \geq 2\), et pour \(i_1, \ldots, i_p \in I\) et \(j_1, \ldots, j_q \in J\), les produits fibrés \(U_{i_1} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} \times_U V_{j_1} \times_U \ldots \times_U V_{j_q}\) existent,

2. le foncteur \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{V})\) est une équivalence,

3. pour tout \(i \in I\), le foncteur \(\mathcal{S}_{U_i} \to DD(\mathcal{V}_i)\) est pleinement fidèle, et

4. pour tous \(i, i' \in I\), le foncteur \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_{i'}} \to DD(\mathcal{V}_{ii'})\) est fidèle.

Ici \(\mathcal{V}_i = \{U_i \times_U V_j \to U_i\}_{j \in J}\) et \(\mathcal{V}_{ii'} = \{U_i \times_U U_{i'} \times_U V_j \to U_i \times_U U_{i'}\}_{j \in J}\). Alors \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{U})\) est une équivalence.

Démonstration

La condition (1) garantit l’existence d’un nombre suffisant de produits fibrés pour que l’énoncé ait un sens. Nous allons montrer que le foncteur \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{U})\) est essentiellement surjectif. Supposons donnée une donnée de descente \((X_i, \varphi_{ii'})\) relative à \(\mathcal{U}\). D’après le lemme 02ZD, nous pouvons la tirer en arrière en une donnée de descente \((X_j, \varphi_{jj'})\) pour \(\mathcal{V}\). D’après l’hypothèse (2), cette donnée de descente est effective ; nous obtenons donc un objet \(X\) de \(\mathcal{S}_U\) tel que l’image inverse de la donnée de descente triviale \((X, \text{id}_X)\) par le morphisme \(\mathcal{V} \to \{U \to U\}\) soit isomorphe à \((X_j, \varphi_{jj'})\). Observons ensuite que nous avons un diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{V}_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{V} \ar[r] & \mathcal{U} \ar[d] \\ \{U_i \to U_i\} \ar[rr] \ar[rru] & & \{U \to U\} }\] de morphismes de familles d’applications à but fixé de \(\mathcal{C}\). Ce diagramme n’est pas commutatif, mais, d’après le lemme 02ZD, les foncteurs de changement de base ainsi obtenus sur les données de descente sont canoniquement isomorphes. Par conséquent, \((X, \text{id}_X)\) et \((X_i, \text{id}_{X_i})\) ont des images inverses isomorphes dans \(DD(\mathcal{V}_i)\). L’hypothèse (3) fournit donc un isomorphisme \((U_i \to U)^*X \to X_i\) dans la catégorie \(\mathcal{S}_{U_i}\). Nous omettons de vérifier que ces flèches sont compatibles avec les morphismes \(\varphi_{ii'}\) ; indication : utiliser la fidélité des foncteurs de la condition (4). Nous omettons également de vérifier que le foncteur \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{U})\) est pleinement fidèle.

Champs

Voici la définition d’un champ. Elle combine la notion de catégorie fibrée et celle de descente.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Un champ sur \(\mathcal{C}\) est une catégorie \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) au-dessus de \(\mathcal{C}\) qui satisfait aux conditions suivantes :

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est une catégorie fibrée, voir Catégories, définition 02XM,

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tous \(x, y \in \mathcal{S}_U\), le préfaisceau \(\mathit{Mor}(x, y)\) (voir Définition 02ZB) est un faisceau sur le site \(\mathcal{C}/U\), et

3. pour tout recouvrement \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) du site \(\mathcal{C}\), toute donnée de descente dans \(\mathcal{S}\) relativement à \(\mathcal{U}\) est effective.

La formulation ci-dessus nous paraît être la façon la plus commode de concevoir un champ. En effet, étant donné une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\), pour vérifier qu’il s’agit d’un champ, on vérifie les propriétés (1), (2) et (3), dans cet ordre. Bien entendu, les propriétés (2) et (3) n’ont pas de sens si la catégorie n’est pas fibrée. Sans (2), nous ne pouvons pas prouver que la descente de (3) est unique à un unique isomorphisme près et fonctorielle.

Le lemme suivant fournit une autre définition.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{S}\) est un champ sur \(\mathcal{C}\), et

2. pour tout recouvrement \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) du site \(\mathcal{C}\), le foncteur \[\mathcal{S}_U \longrightarrow DD(\mathcal{U})\] qui associe à un objet sa donnée de descente canonique est une équivalence.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) un champ sur le site \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{S}'\) une sous-catégorie de \(\mathcal{S}\). Supposons que

1. si \(\varphi : y \to x\) est un morphisme fortement cartésien de \(\mathcal{S}\) et si \(x\) est un objet de \(\mathcal{S}'\), alors \(y\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{S}'\),

2. \(\mathcal{S}'\) est une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{S}\), et

3. si \(\{f_i : U_i \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\) et si \(x\) est un objet de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(U\) tel que \(f_i^*x\) soit isomorphe à un objet de \(\mathcal{S}'\) pour tout \(i\), alors \(x\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{S}'\).

Alors \(\mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) est un champ.

Démonstration

Démonstration omise. Indications : la première condition garantit que \(\mathcal{S}'\) est une catégorie fibrée. La deuxième garantit que les préfaisceaux \(\mathit{Isom}\) de \(\mathcal{S}'\) sont des faisceaux (puisqu’ils sont identiques à leurs homologues dans \(\mathcal{S}\)). La troisième garantit que la condition de descente est satisfaite dans \(\mathcal{S}'\), car nous pouvons d’abord effectuer la descente dans \(\mathcal{S}\), puis (3) implique que l’objet obtenu est isomorphe à un objet de \(\mathcal{S}'\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\) des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Supposons que \(\mathcal{S}_1\) et \(\mathcal{S}_2\) soient équivalentes comme catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{S}_1\) est un champ sur \(\mathcal{C}\) si et seulement si \(\mathcal{S}_2\) est un champ sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Soient \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\), \(G : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\) des foncteurs au-dessus de \(\mathcal{C}\), et soient \(i : F \circ G \to \text{id}_{\mathcal{S}_2}\), \(j : G \circ F \to \text{id}_{\mathcal{S}_1}\) des isomorphismes de foncteurs au-dessus de \(\mathcal{C}\). D’après Catégories, lemme 042G, nous voyons que \(\mathcal{S}_1\) est fibrée si et seulement si \(\mathcal{S}_2\) est fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\). Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{S}_1\) et \(\mathcal{S}_2\) sont toutes deux fibrées. De plus, la démonstration de Catégories, lemme 042G, montre que \(F\) et \(G\) envoient les morphismes fortement cartésiens sur des morphismes fortement cartésiens, c’est-à-dire que \(F\) et \(G\) sont des \(1\)-morphismes de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\). Cela signifie que, étant donnés \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(x, y \in \mathcal{S}_{1, U}\), les préfaisceaux \[\mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y), \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(F(x), F(y)) : (\mathcal{C}/U)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}.\] s’identifient, voir lemme 042V. Par conséquent, le premier est un faisceau si et seulement si le second est un faisceau. Enfin, nous devons montrer que, si toute donnée de descente dans \(\mathcal{S}_1\) est effective, il en va de même de toute donnée de descente dans \(\mathcal{S}_2\). Pour cela, soit \((X_i, \varphi_{ii'})\) une donnée de descente dans \(\mathcal{S}_2\) relativement au recouvrement \(\{U_i \to U\}\) du site \(\mathcal{C}\). Alors \((G(X_i), G(\varphi_{ii'}))\) est une donnée de descente dans \(\mathcal{S}_1\) relativement au recouvrement \(\{U_i \to U\}\). Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{S}_{1, U}\) tel que la donnée de descente \((f_i^*X, can)\) soit isomorphe à \((G(X_i), G(\varphi_{ii'}))\). Alors \(F(X)\) est un objet de \(\mathcal{S}_{2, U}\) tel que la donnée de descente \((f_i^*F(X), can)\) soit isomorphe à \((F(G(X_i)), F(G(\varphi_{ii'})))\), laquelle est à son tour isomorphe à la donnée de descente initiale \((X_i, \varphi_{ii'})\) au moyen de \(i\).

La \(2\)-catégorie des champs sur \(\mathcal{C}\) est définie comme suit.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. La \(2\)-catégorie des champs sur \(\mathcal{C}\) est la sous-\(2\)-catégorie de la \(2\)-catégorie des catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\) (voir Catégories, définition 02XP) définie comme suit :

1. Ses objets sont les champs \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\).

2. Ses \(1\)-morphismes \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les foncteurs \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) tels que \(p' \circ G = p\) et tels que \(G\) envoie les morphismes fortement cartésiens sur des morphismes fortement cartésiens.

3. Ses \(2\)-morphismes \(t : G \to H\), pour \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\), sont les morphismes de foncteurs tels que \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\) pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{S})\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. La \((2, 1)\)-catégorie des champs sur \(\mathcal{C}\) admet des 2-produits fibrés, et ceux-ci sont décrits comme dans Catégories, lemme 0040.

Démonstration

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{S}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{S}\) des \(1\)-morphismes de champs sur \(\mathcal{C}\) au sens de la définition ci-dessus. La catégorie \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) décrite dans Catégories, lemme 0040, est une catégorie fibrée d’après Catégories, lemme 02XQ. (C’est ici que nous utilisons le fait que \(f\) et \(g\) préservent les morphismes fortement cartésiens.) Il reste à montrer que les préfaisceaux de morphismes sont des faisceaux et que la descente relativement aux recouvrements de \(\mathcal{C}\) est effective.

Rappelons qu’un objet de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) est donné par un quadruplet \((U, x, y, \phi)\). Il se trouve au-dessus de l’objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Soit ensuite \((U, x', y', \phi')\) un second objet au-dessus de \(U\). Rappelons que \(\phi : f(x) \to g(y)\) et \(\phi' : f(x') \to g(y')\) sont des isomorphismes dans la catégorie \(\mathcal{S}_U\). Utilisons ces isomorphismes pour identifier \(z = f(x) = g(y)\) et \(z' = f(x') = g(y')\). Avec ces identifications, il est clair que \[\mathit{Mor}((U, x, y, \phi), (U, x', y', \phi')) = \mathit{Mor}(x, x') \times_{\mathit{Mor}(z, z')} \mathit{Mor}(y, y')\] comme préfaisceaux. Or, puisque le produit fibré dans la catégorie des préfaisceaux préserve les faisceaux (Sites, lemme 00W2), nous voyons que c’est un faisceau.

Soit \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement du site \(\mathcal{C}\). Soit \((X_i, \chi_{ij})\) une donnée de descente dans \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) relativement à \(\mathcal{U}\). Écrivons \(X_i = (U_i, x_i, y_i, \phi_i)\) comme ci-dessus. Écrivons \(\chi_{ij} = (\varphi_{ij}, \psi_{ij})\) comme dans la définition de la catégorie \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\) (voir Catégories, lemme 0040). Il est clair que \((x_i, \varphi_{ij})\) est une donnée de descente dans \(\mathcal{X}\) et que \((y_i, \psi_{ij})\) est une donnée de descente dans \(\mathcal{Y}\). Puisque \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont des champs, ces données de descente sont effectives. Nous obtenons donc \(x \in \Ob(\mathcal{X}_U)\) et \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\) avec \(x_i = x|_{U_i}\) et \(y_i = y|_{U_i}\), de façon compatible avec les données de descente. Posons \(z = f(x)\) et \(z' = g(y)\), qui sont tous deux des objets de \(\mathcal{S}_U\). Les morphismes \(\phi_i\) sont des éléments de \(\mathit{Isom}(z, z')(U_i)\) vérifiant \(\phi_i|_{U_i \times_U U_j} = \phi_j|_{U_i \times_U U_j}\). Par la propriété de faisceau de \(\mathit{Isom}(z, z')\), nous obtenons donc un isomorphisme \(\phi : z = f(x) \to z' = g(y)\). Nous omettons la vérification que la donnée de descente canonique associée à l’objet \((U, x, y, \phi)\) de \((\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y})_U\) est isomorphe à la donnée de descente dont nous sommes partis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\) des champs sur \(\mathcal{C}\). Soit \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) un \(1\)-morphisme. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(F\) est pleinement fidèle,

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_{1, U})\), l’application \[F : \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_2}(F(x), F(y))\] est un isomorphisme de faisceaux sur \(\mathcal{C}/U\).

Démonstration

Supposons (1). Pour \(U, x, y\) comme dans (2), l’application affichée \(F\) s’évalue en \(F : \Mor_{\mathcal{S}_{1, V}}(x|_V, y|_V) \to \Mor_{\mathcal{S}_{2, V}}(F(x|_V), F(y|_V))\) sur un objet \(V\) de \(\mathcal{C}\) au-dessus de \(U\). Or, puisque \(F\) est pleinement fidèle, l’application correspondante \(\Mor_{\mathcal{S}_1}(x|_V, y|_V) \to \Mor_{\mathcal{S}_2}(F(x|_V), F(y|_V))\) est une bijection. Les morphismes de la catégorie fibre \(\mathcal{S}_{1, V}\) sont exactement les morphismes entre \(x|_V\) et \(y|_V\) dans \(\mathcal{S}_1\) qui sont au-dessus de \(\text{id}_V\). De même, les morphismes de la catégorie fibre \(\mathcal{S}_{2, V}\) sont exactement les morphismes entre \(F(x|_V)\) et \(F(y|_V)\) dans \(\mathcal{S}_2\) qui sont au-dessus de \(\text{id}_V\). Nous constatons donc que \(F\) induit également une bijection entre ceux-ci. Par conséquent, (2) est satisfaite.

Supposons (2). Soient \(U\), \(V\) des objets de \(\mathcal{C}\), ainsi que \(x \in \Ob(\mathcal{S}_{1, U})\) et \(y \in \Ob(\mathcal{S}_{1, V})\). Pour montrer que \(F\) est pleinement fidèle, il suffit de prouver qu’il induit une bijection sur les morphismes au-dessus d’un \(f : U \to V\) fixé. Choisissons un morphisme fortement cartésien \(f^*y \to y\) dans \(\mathcal{S}_1\) au-dessus de \(f\). Nous obtenons ainsi une bijection entre l’ensemble des morphismes \(x \to y\) dans \(\mathcal{S}_1\) au-dessus de \(f\) et \(\Mor_{\mathcal{S}_{1, U}}(x, f^*y)\). Puisque \(F\) préserve les morphismes fortement cartésiens en tant que \(1\)-morphisme dans la \(2\)-catégorie des champs sur \(\mathcal{C}\), nous obtenons également une bijection entre l’ensemble des morphismes \(F(x) \to F(y)\) dans \(\mathcal{S}_2\) au-dessus de \(f\) et \(\Mor_{\mathcal{S}_{2, U}}(F(x), F(f^*y))\). Comme \(F\) induit une bijection \(\Mor_{\mathcal{S}_{1, U}}(x, f^*y) \to \Mor_{\mathcal{S}_{2, U}}(F(x), F(f^*y))\), nous concluons que (1) est satisfaite.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\) des champs sur \(\mathcal{C}\). Soit \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) un \(1\)-morphisme pleinement fidèle. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(F\) est une équivalence,

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(x \in \Ob(\mathcal{S}_{2, U})\), il existe un recouvrement \(\{f_i : U_i \to U\}\) tel que \(f_i^*x\) appartienne à l’image essentielle du foncteur \(F : \mathcal{S}_{1, U_i} \to \mathcal{S}_{2, U_i}\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. Pour voir que (2) implique (1), nous devons montrer que tout \(x\) comme dans (2) appartient à l’image essentielle du foncteur \(F\). Pour cela, choisissons un recouvrement comme dans (2), \(x_i \in \Ob(\mathcal{S}_{1, U_i})\), et des isomorphismes \(\varphi_i : F(x_i) \to f_i^*x\). Nous obtenons alors une donnée de descente pour \(\mathcal{S}_1\) relativement à \(\{f_i : U_i \to U\}\) en prenant pour \[\varphi_{ij} : x_i|_{U_i \times_U U_j} \longrightarrow x_j|_{U_i \times_U U_j}\] la flèche telle que \(F(\varphi_{ij}) = \varphi_j^{-1} \circ \varphi_i\). Cette donnée de descente est effective par les axiomes d’un champ ; nous obtenons donc un objet \(x_1\) de \(\mathcal{S}_1\) au-dessus de \(U\). Nous omettons la vérification que \(F(x_1)\) est isomorphe à \(x\) au-dessus de \(U\).

Remarque

(Réduction d’un « grand » champ pour obtenir un champ.) Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) soit un foncteur d’une « grande » catégorie vers \(\mathcal{C}\), c’est-à-dire supposons que la collection des objets de \(\mathcal{S}\) forme une classe propre. Supposons enfin que \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) satisfasse aux conditions (1), (2), (3) de la Définition 026F. En général, il n’existe aucun moyen de remplacer \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) par une catégorie équivalente de façon à obtenir un champ. La raison en est qu’il peut arriver qu’une catégorie fibre \(\mathcal{S}_U\) ait une classe propre de classes d’isomorphisme d’objets. Supposons en revanche que

1. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un ensemble \(S_U \subset \Ob(\mathcal{S}_U)\) tel que tout objet de \(\mathcal{S}_U\) soit isomorphe dans \(\mathcal{S}_U\) à un élément de \(S_U\).

Dans ce cas, nous pouvons trouver une sous-catégorie pleine \(\mathcal{S}_{small}\) de \(\mathcal{S}\) telle qu’en posant \(p_{small} = p|_{\mathcal{S}_{small}}\), nous ayons

1. le foncteur \(p_{small} : \mathcal{S}_{small} \to \mathcal{C}\) définit un champ, et

2. l’inclusion \(\mathcal{S}_{small} \to \mathcal{S}\) est pleinement fidèle et essentiellement surjective.

(Indication : pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), notons \(\alpha(U)\) le plus petit ordinal tel que \(\Ob(\mathcal{S}_U) \cap V_{\alpha(U)}\) s’envoie surjectivement sur l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\mathcal{S}_U\), et posons \(\alpha = \sup_{U \in \Ob(\mathcal{C})} \alpha(U)\). Prenons alors \(\Ob(\mathcal{S}_{small}) = \Ob(\mathcal{S}) \cap V_\alpha\). Pour les notations utilisées, voir Ensembles, section 000B.)

Champs en groupoïdes

Parmi les champs, ceux qui sont fibrés en groupoïdes sont un peu plus faciles à appréhender. Nous les redéfinissons comme suit.

Définition

Un champ en groupoïdes sur un site \(\mathcal{C}\) est une catégorie \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) au-dessus de \(\mathcal{C}\) telle que

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) (voir Catégories, définition 003T),

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tous \(x, y\in \Ob(\mathcal{S}_U)\), le préfaisceau \(\mathit{Isom}(x, y)\) est un faisceau sur le site \(\mathcal{C}/U\), et

3. pour tout recouvrement \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\), toute donnée de descente \((x_i, \phi_{ij})\) relative à \(\mathcal{U}\) est effective.

La troisième condition est généralement la plus difficile à vérifier. Voici le lemme qui compare cette notion à celle de champ.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{S}\) est un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\),

2. \(\mathcal{S}\) est un champ sur \(\mathcal{C}\) et toutes ses catégories fibres sont des groupoïdes, et

3. \(\mathcal{S}\) est fibrée en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) et est un champ sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Démonstration omise, mais voir Catégories, lemme 003V.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) un champ. Soit \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) la catégorie fibrée en groupoïdes associée à \(\mathcal{S}\), construite dans Catégories, lemme 03WQ. Alors \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) est un champ en groupoïdes.

Démonstration

Rappelons que les morphismes de \(\mathcal{S}'\) sont exactement les morphismes fortement cartésiens de \(\mathcal{S}\) et que tout isomorphisme de \(\mathcal{S}\) est un tel morphisme. Ainsi, les données de descente dans \(\mathcal{S}'\) sont exactement les mêmes que les données de descente dans \(\mathcal{S}\). Appliquons maintenant le lemme 02ZF. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\) des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Supposons que \(\mathcal{S}_1\) et \(\mathcal{S}_2\) soient équivalentes comme catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{S}_1\) est un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\) si et seulement si \(\mathcal{S}_2\) est un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Cela résulte de la combinaison des lemmes 02ZJ et 042W.

La \(2\)-catégorie des champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\) est définie comme suit.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. La \(2\)-catégorie des champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\) est la sous-\(2\)-catégorie de la \(2\)-catégorie des champs sur \(\mathcal{C}\) (voir Définition 02ZG) définie comme suit :

1. Ses objets sont les champs en groupoïdes \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\).

2. Ses \(1\)-morphismes \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les foncteurs \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) tels que \(p' \circ G = p\). (Puisque tout morphisme est fortement cartésien, tout foncteur les préserve.)

3. Ses \(2\)-morphismes \(t : G \to H\), pour \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\), sont les morphismes de foncteurs tels que \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\) pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{S})\).

Remarquons que tout \(2\)-morphisme est automatiquement un isomorphisme, de sorte que la \(2\)-catégorie des champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\) est en fait une \((2, 1)\)-catégorie (stricte).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. La \(2\)-catégorie des champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\) admet des 2-produits fibrés, et ceux-ci sont décrits comme dans Catégories, lemme 0040.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Catégories, lemme 0041, et des lemmes 02ZJ et 026G.

Champs en setoïdes

Cette brève section se contente d’indiquer qu’un champ en ensembles est la même chose qu’un faisceau d’ensembles. Pour les notations, consulter Catégories, section 04S9.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site.

1. Un champ en setoïdes sur \(\mathcal{C}\) est un champ sur \(\mathcal{C}\) dont toutes les catégories fibres sont des setoïdes.

2. Un champ en ensembles, ou un champ en catégories discrètes, est un champ sur \(\mathcal{C}\) dont toutes les catégories fibres sont discrètes.

D’après la discussion de la section 02ZH, c’est la même chose qu’un champ en groupoïdes dont les catégories fibres sont des setoïdes (resp. discrètes). De plus, c’est aussi la même chose qu’une catégorie fibrée en setoïdes (resp. en ensembles) qui est un champ.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Sous l’équivalence \[\left\{ \begin{matrix} \text{la catégorie des préfaisceaux}\\ \text{d'ensembles sur }\mathcal{C} \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{la catégorie des catégories}\\ \text{fibrées en ensembles au-dessus de }\mathcal{C} \end{matrix} \right\}\] de Catégories, lemme 02Y2, les champs en ensembles correspondent précisément aux faisceaux.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : montrer que l’effectivité de la descente correspond exactement à la condition de faisceau.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{S}\) une catégorie fibrée en setoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{S}\) est un champ en setoïdes si et seulement si l’unique catégorie \(\mathcal{S}'\) fibrée en ensembles qui lui est équivalente (voir Catégories, lemme 0045) est un champ en ensembles. Autrement dit, si et seulement si le préfaisceau \[U \longmapsto \Ob(\mathcal{S}_U)/\!\!\cong\] est un faisceau.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\) des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Supposons que \(\mathcal{S}_1\) et \(\mathcal{S}_2\) soient équivalentes comme catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{S}_1\) est un champ en setoïdes sur \(\mathcal{C}\) si et seulement si \(\mathcal{S}_2\) est un champ en setoïdes sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

D’après Catégories, lemme 0045, nous voyons qu’une catégorie \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(\mathcal{C}\) est fibrée en setoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) si et seulement si elle est équivalente au-dessus de \(\mathcal{C}\) à une catégorie fibrée en ensembles. Nous voyons donc que \(\mathcal{S}_1\) est fibrée en setoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\) si et seulement si \(\mathcal{S}_2\) est fibrée en setoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Le lemme résulte alors du lemme 0432.

La \(2\)-catégorie des champs en setoïdes sur \(\mathcal{C}\) est définie comme suit.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. La \(2\)-catégorie des champs en setoïdes sur \(\mathcal{C}\) est la sous-\(2\)-catégorie de la \(2\)-catégorie des champs sur \(\mathcal{C}\) (voir Définition 02ZG) définie comme suit :

1. Ses objets sont les champs en setoïdes \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\).

2. Ses \(1\)-morphismes \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) sont les foncteurs \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) tels que \(p' \circ G = p\). (Puisque tout morphisme est fortement cartésien, tout foncteur les préserve.)

3. Ses \(2\)-morphismes \(t : G \to H\), pour \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\), sont les morphismes de foncteurs tels que \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\) pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{S})\).

Remarquons que tout \(2\)-morphisme est automatiquement un isomorphisme, de sorte que la \(2\)-catégorie des champs en setoïdes sur \(\mathcal{C}\) est en fait une \((2, 1)\)-catégorie (stricte).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. La \(2\)-catégorie des champs en setoïdes sur \(\mathcal{C}\) admet des 2-produits fibrés, et ceux-ci sont décrits comme dans Catégories, lemme 0040.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Catégories, lemmes 0041 et 04SB, ainsi que des lemmes 02ZJ et 026G.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{S}, \mathcal{T}\) des champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\) et soit \(\mathcal{R}\) un champ en setoïdes sur \(\mathcal{C}\). Soient \(f : \mathcal{T} \to \mathcal{S}\) et \(g : \mathcal{R} \to \mathcal{S}\) des \(1\)-morphismes. Si \(f\) est fidèle, alors le \(2\)-produit fibré \[\mathcal{T} \times_{f, \mathcal{S}, g} \mathcal{R}\] est un champ en setoïdes sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la description explicite du \(2\)-produit fibré dans Catégories, lemme 0040.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{S}\) un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\) et soient \(\mathcal{S}_i\), \(i = 1, 2\), des champs en setoïdes sur \(\mathcal{C}\). Soient \(f_i : \mathcal{S}_i \to \mathcal{S}\) des \(1\)-morphismes. Alors le \(2\)-produit fibré \[\mathcal{S}_1 \times_{f_1, \mathcal{S}, f_2} \mathcal{S}_2\] est un champ en setoïdes sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 05UI, car \(f_2\) est fidèle.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{T}_2 \ar[r] \ar[d]_{G'} & \mathcal{T}_1 \ar[d]^G \\ \mathcal{S}_2 \ar[r]^F & \mathcal{S}_1 }\] un diagramme \(2\)-cartésien de champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Supposons que

1. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(x \in \Ob((\mathcal{S}_1)_U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(x|_{U_i}\) appartienne à l’image essentielle de \(F : (\mathcal{S}_2)_{U_i} \to (\mathcal{S}_1)_{U_i}\), et

2. \(G'\) soit fidèle,

alors \(G\) est fidèle.

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(\mathcal{T}_2\) est la catégorie \(\mathcal{S}_2 \times_{\mathcal{S}_1} \mathcal{T}_1\) décrite dans Catégories, lemme 0040. D’après Catégories, lemme 003Z, la fidélité de \(G, G'\) peut être vérifiée sur les catégories fibres. Supposons que \(y, y'\) soient des objets de \(\mathcal{T}_1\) au-dessus de l’objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Soient \(\alpha, \beta : y \to y'\) des morphismes de \((\mathcal{T}_1)_U\) tels que \(G(\alpha) = G(\beta)\). Notre but est de montrer que \(\alpha = \beta\). En considérant plutôt \(\gamma = \alpha^{-1} \circ \beta\), nous voyons que \(G(\gamma) = \text{id}_{G(y)}\) et nous devons montrer que \(\gamma = \text{id}_y\). Par hypothèse, nous pouvons trouver un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(G(y)|_{U_i}\) appartienne à l’image essentielle de \(F :(\mathcal{S}_2)_{U_i} \to (\mathcal{S}_1)_{U_i}\). Puisqu’il suffit de montrer que \(\gamma|_{U_i} = \text{id}\) pour tout \(i\), nous pouvons donc supposer qu’il existe \(f : F(x) \to G(y)\) pour un objet \(x\) de \(\mathcal{S}_2\) au-dessus de \(U\), la flèche \(f\) étant un morphisme de \((\mathcal{S}_1)_U\). Dans ce cas, nous obtenons un morphisme \[(1, \gamma) : (U, x, y, f) \longrightarrow (U, x, y, f)\] dans la catégorie fibre de \(\mathcal{S}_2 \times_{\mathcal{S}_1} \mathcal{T}_1\) au-dessus de \(U\), dont l’image par \(G'\) dans \(\mathcal{S}_1\) est \(\text{id}_x\). Comme \(G'\) est fidèle, nous concluons que \(\gamma = \text{id}_y\), ce qui termine la preuve.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{T}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{T}_1 \ar[d]^G \\ \mathcal{S}_2 \ar[r]^F & \mathcal{S}_1 }\] un diagramme \(2\)-cartésien de champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Si

1. \(F : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\) est pleinement fidèle,

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(x \in \Ob((\mathcal{S}_1)_U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(x|_{U_i}\) appartienne à l’image essentielle de \(F : (\mathcal{S}_2)_{U_i} \to (\mathcal{S}_1)_{U_i}\), et

3. \(\mathcal{T}_2\) est un champ en setoïdes,

alors \(\mathcal{T}_1\) est un champ en setoïdes.

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(\mathcal{T}_2\) est la catégorie \(\mathcal{S}_2 \times_{\mathcal{S}_1} \mathcal{T}_1\) décrite dans Catégories, lemme 0040. Choisissons \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(y \in \Ob((\mathcal{T}_1)_U)\). Nous devons montrer que le faisceau \(\mathit{Aut}(y)\) sur \(\mathcal{C}/U\) est trivial. Pour cela, nous pouvons remplacer \(U\) par les membres d’un recouvrement de \(U\). Par l’hypothèse (2), nous pouvons donc supposer qu’il existe un objet \(x \in \Ob((\mathcal{S}_2)_U)\) et un isomorphisme \(f : F(x) \to G(y)\). Alors \(y' = (U, x, y, f)\) est un objet de \(\mathcal{T}_2\) au-dessus de \(U\) qui est envoyé sur \(y\) par la projection \(\mathcal{T}_2 \to \mathcal{T}_1\). Puisque \(F\) est pleinement fidèle d’après (1), l’application \(\mathit{Aut}(y') \to \mathit{Aut}(y)\) est surjective, comme le montre la description explicite des morphismes de \(\mathcal{T}_2\) donnée dans Catégories, lemme 0040. Puisque, par (3), le faisceau \(\mathit{Aut}(y')\) est trivial, nous obtenons le résultat du lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{T}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\mathcal{C}\). Supposons que

1. \(\mathcal{T}\) soit un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\),

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), le foncteur \(\mathcal{S}_U \to \mathcal{T}_U\) entre catégories fibres soit fidèle,

3. pour tout \(U\) et tout \(y \in \Ob(\mathcal{T}_U)\), le préfaisceau \[(h : V \to U) \longmapsto \{(x, f) \mid x \in \Ob(\mathcal{S}_V), f : F(x) \to f^*y\text{ au-dessus de }V\}/\cong\] soit un faisceau sur \(\mathcal{C}/U\).

Alors \(\mathcal{S}\) est un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Nous devons démontrer la descente des morphismes et la descente des objets.

Descente des morphismes. Soit \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Soient \(x, x'\) des objets de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(U\). Pour tout \(i\), soit \(\alpha_i : x|_{U_i} \to x'|_{U_i}\) un morphisme au-dessus de \(U_i\) tel que les restrictions de \(\alpha_i\) et de \(\alpha_j\) coïncident comme morphismes \(x|_{U_i \times_U U_j} \to x'|_{U_i \times_U U_j}\). Puisque \(\mathcal{T}\) est un champ en groupoïdes, il existe un morphisme \(\beta : F(x) \to F(x')\) au-dessus de \(U\) dont la restriction à \(U_i\) est \(F(\alpha_i)\). Nous pouvons alors considérer \(\xi = (x, \beta)\) et \(\xi' = (x', \text{id}_{F(x')})\) comme des sections du préfaisceau associé à \(y = F(x')\) au-dessus de \(U\) dans l’hypothèse (3). D’autre part, les restrictions de \(\xi\) et \(\xi'\) à \(U_i\) sont \((x|_{U_i}, F(\alpha_i))\) et \((x'|_{U_i}, \text{id}_{F(x'|_{U_i})})\). Elles sont isomorphes l’une à l’autre par le morphisme \(\alpha_i\). Ainsi, \(\xi\) et \(\xi'\) sont isomorphes d’après l’hypothèse (3). Cela signifie qu’il existe un morphisme \(\alpha : x \to x'\) au-dessus de \(U\) tel que \(F(\alpha) = \beta\). Puisque \(F\) est fidèle sur les catégories fibres, nous obtenons \(\alpha|_{U_i} = \alpha_i\).

Descente des objets. Soit \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Soit \((x_i, \varphi_{ij})\) une donnée de descente pour \(\mathcal{S}\) relativement au recouvrement donné. Puisque \(\mathcal{T}\) est un champ en groupoïdes, il existe un objet \(y\) de \(\mathcal{T}_U\) et des isomorphismes \(\beta_i : F(x_i) \to y|_{U_i}\) tels que \(F(\varphi_{ij}) = \beta_j|_{U_i \times_U U_j} \circ (\beta_i|_{U_i \times_U U_j})^{-1}\). Alors les \((x_i, \beta_i)\) sont des sections du préfaisceau associé à \(y\) au-dessus de \(U\) défini dans l’hypothèse (3). De plus, \(\varphi_{ij}\) définit un isomorphisme de la paire \((x_i, \beta_i)|_{U_i \times_U U_j}\) vers la paire \((x_j, \beta_j)|_{U_i \times_U U_j}\). Ainsi, d’après l’hypothèse (3), il existe une paire \((x, \beta)\) au-dessus de \(U\) dont la restriction à \(U_i\) est isomorphe à \((x_i, \beta_i)\). Cela signifie qu’il existe des morphismes \(\alpha_i : x_i \to x|_{U_i}\) tels que \(\beta_i = \beta|_{U_i} \circ F(\alpha_i)\). Puisque \(F\) est fidèle sur les catégories fibres, un calcul montre que \(\varphi_{ij} = \alpha_j|_{U_i \times_U U_j} \circ (\alpha_i|_{U_i \times_U U_j})^{-1}\). Cela achève la démonstration.

Le champ d’inertie

Soient \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) et \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) des catégories fibrées au-dessus de la catégorie \(\mathcal{C}\). Soit \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{C}\). Rappelons que nous avons défini dans Catégories, définition 034I, une catégorie fibrée d’inertie relative \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \to \mathcal{C}\) comme la catégorie dont les objets sont les paires \((x , \alpha)\) où \(x \in \Ob(\mathcal{S})\) et \(\alpha : x \to x\) vérifie \(F(\alpha) = \text{id}_{F(x)}\). Il existe aussi une version absolue, à savoir l’inertie \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\) de \(\mathcal{S}\). Ces catégories d’inertie sont en fait des champs sur \(\mathcal{C}\) dès que \(\mathcal{S}\) et \(\mathcal{S}'\) sont des champs.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) et \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) des champs sur le site \(\mathcal{C}\). Soit \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) un \(1\)-morphisme de champs sur \(\mathcal{C}\).

1. Les inerties \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\) et \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\) sont des champs sur \(\mathcal{C}\).

2. Si \(\mathcal{S}, \mathcal{S}'\) sont des champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\), alors \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\) et \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\) le sont également.

3. Si \(\mathcal{S}, \mathcal{S}'\) sont des champs en setoïdes sur \(\mathcal{C}\), alors \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\) et \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\) le sont également.

Démonstration

Les trois assertions résultent des lemmes 026G, 02ZL et 0434, ainsi que de l’équivalence de Catégories, lemme 034H, partie (1).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Si \(\mathcal{S}\) est un champ en groupoïdes, alors le \(1\)-morphisme canonique \(\mathcal{I}_\mathcal{S} \to \mathcal{S}\) est une équivalence si et seulement si \(\mathcal{S}\) est un champ en setoïdes.

Démonstration

Cela résulte directement de Catégories, lemme 042J.

Champification des catégories fibrées

Le résultat de la procédure du lemme suivant sera appelé la champification d’une catégorie fibrée sur un site.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée sur \(\mathcal{C}\). Il existe un champ \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) et un \(1\)-morphisme \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) de catégories fibrées sur \(\mathcal{C}\) (voir Catégories, Définition 02XP) tels que

1. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\), l’application \[\mathit{Mor}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}(G(x), G(y))\] induite par \(G\) identifie le membre de droite à la faisceautisation du membre de gauche, et

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(x' \in \Ob(\mathcal{S}'_U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que, pour tout \(i \in I\), l’objet \(x'|_{U_i}\) appartienne à l’image essentielle du foncteur \(G : \mathcal{S}_{U_i} \to \mathcal{S}'_{U_i}\).

De plus, ces conditions déterminent le champ \(\mathcal{S}'\) à un unique \(2\)-isomorphisme près.

Démonstration

Dans cette méthode de démonstration, nous procédons par étapes :

Tout d’abord, étant donnés \(x\) au-dessus de \(U\) et un objet quelconque \(y\) de \(\mathcal{S}\), on dit que deux morphismes \(a, b : x \to y\) de \(\mathcal{S}\) au-dessus d’une même flèche de \(\mathcal{C}\) sont localement égaux s’il existe un recouvrement \(\{f_i : U_i \to U\}\) de \(\mathcal{C}\) tel que les composées \[f_i^*x \to x \xrightarrow{a} y, \quad f_i^*x \to x \xrightarrow{b} y\] soient égales. Cela définit une relation d’équivalence \(\sim\) sur les flèches de \(\mathcal{S}\). Si \(b \sim b'\), alors \(a \circ b \circ c \sim a \circ b' \circ c\) (vérification omise). On peut donc quotienter par cette relation d’équivalence pour obtenir une nouvelle catégorie \(\mathcal{S}^1\) sur \(\mathcal{C}\), ainsi qu’un morphisme \(G^1 : \mathcal{S} \to \mathcal{S}^1\).

On vérifie que \(G^1\) préserve les morphismes fortement cartésiens et que \(\mathcal{S}^1\) est une catégorie fibrée sur \(\mathcal{C}\). Les vérifications sont omises. On se ramène ainsi au cas où des morphismes localement égaux sont égaux.

Ensuite, on ajoute des morphismes comme suit. Étant donnés \(x\) au-dessus de \(U\) et un objet quelconque \(y\) au-dessus de \(V\), un morphisme de \(x\) vers \(y\) défini localement consiste en

1. un morphisme \(f : U \to V\),

2. un recouvrement \(\{f_i : U_i \to U\}\) de \(U\), et

3. des morphismes \(a_i : f_i^*x \to y\) avec \(p(a_i) = f \circ f_i\)

ayant la propriété que les composées \[(f_i \times f_j)^*x \to f_i^*x \xrightarrow{a_i} y, \quad (f_i \times f_j)^*x \to f_j^*x \xrightarrow{a_j} y\] sont égales. Remarquons qu’un morphisme usuel \(a : x \to y\) fournit le morphisme défini localement \((p(a) : U \to V, \{\text{id}_U\}, a)\). On dit que deux morphismes définis localement \((f, \{f_i : U_i \to U\}, a_i)\) et \((g, \{g_j : U'_j \to U\}, b_j)\) sont égaux si \(f = g\) et si les composées \[(f_i \times g_j)^*x \to f_i^*x \xrightarrow{a_i} y, \quad (f_i \times g_j)^*x \to g_j^*x \xrightarrow{b_j} y\] sont égales (c’est la bonne condition puisque nous sommes dans le cas où des morphismes localement égaux sont égaux). Pour composer les morphismes définis localement \((f, \{f_i : U_i \to U\}, a_i)\) de \(x\) vers \(y\) et \((g, \{g_j : V_j \to V\}, b_j)\) de \(y\) vers \(z\) au-dessus de \(W\), il suffit de prendre \(g \circ f : U \to W\), le recouvrement \(\{U_i \times_V V_j \to U\}\) et, comme applications, les composées \[x|_{U_i \times_V V_j} \xrightarrow{\text{pr}_0^*a_i} y|_{V_j} \xrightarrow{b_j} z\] Nous omettons la vérification qu’il s’agit d’un morphisme défini localement.

On vérifie que \(\mathcal{S}^2\), qui a les mêmes objets que \(\mathcal{S}\) et pour morphismes les morphismes définis localement, est une catégorie sur \(\mathcal{C}\), qu’il existe un foncteur \(G^2 : \mathcal{S} \to \mathcal{S}^2\) sur \(\mathcal{C}\), que ce foncteur préserve les objets fortement cartésiens et que \(\mathcal{S}^2\) est une catégorie fibrée sur \(\mathcal{C}\). Les vérifications sont omises. On se ramène ainsi au cas où tous les préfaisceaux de morphismes de \(\mathcal{S}\) sont des faisceaux, en vérifiant que l’emploi de morphismes définis localement a pour effet de faisceautiser les préfaisceaux (séparés) de morphismes.

Enfin, lorsque les préfaisceaux de morphismes sont tous des faisceaux, il faut ajouter des objets afin que les données de descente soient effectives dans le résultat final. La façon la plus simple consiste à considérer la catégorie \(\mathcal{S}'\) dont les objets sont les paires \((\mathcal{U}, \xi)\) où \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\) et \(\xi = (X_i, \varphi_{ii'})\) est une donnée de descente relativement à \(\mathcal{U}\). Supposons données deux telles données \((\mathcal{U}, \xi) = (\{f_i : U_i \to U\}, x_i, \varphi_{ii'})\) et \((\mathcal{V}, \eta) = (\{g_j : V_j \to V\}, y_j, \psi_{jj'})\). On définit \[\Mor_{\mathcal{S}'}((\mathcal{U}, \xi), (\mathcal{V}, \eta))\] comme l’ensemble des \((f, a_{ij})\), où \(f : U \to V\) et \[a_{ij} : x_i|_{U_i \times_V V_j} \longrightarrow y_j\] sont des morphismes de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(U_i \times_V V_j \to V_j\). Ils doivent satisfaire la condition suivante : pour tous \(i, i' \in I\) et \(j, j' \in J\), posons \(W = (U_i \times_U U_{i'}) \times_V (V_j \times_V V_{j'})\). Alors \[\xymatrix{ x_i|_W \ar[r]_{a_{ij}|_W} \ar[d]_{\varphi_{ii'}|_W} & y_j|_W \ar[d]^{\psi_{jj'}|_W} \\ x_{i'}|_W \ar[r]^{a_{i'j'}|_W} & y_{j'}|_W }\] est commutatif. Il faut alors vérifier les points suivants :

1. les morphismes ci-dessus admettent une composition bien définie,

2. cela fait de \(\mathcal{S}'\) une catégorie sur \(\mathcal{C}\),

3. il existe un foncteur \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) sur \(\mathcal{C}\),

4. si \(x, y\) sont des objets de \(\mathcal{S}\), alors \(\Mor_\mathcal{S}(x, y) = \Mor_{\mathcal{S}'}(G(x), G(y))\),

5. tout objet de \(\mathcal{S}'\) provient localement d’un objet de \(\mathcal{S}\), autrement dit l’assertion (2) du lemme est satisfaite,

6. \(G\) préserve les morphismes fortement cartésiens,

7. \(\mathcal{S}'\) est une catégorie fibrée sur \(\mathcal{C}\), et

8. \(\mathcal{S}'\) est un champ sur \(\mathcal{C}\).

Rien de tout cela n’est difficile, mais les vérifications sont nombreuses. Détails omis.

Démonstration

Voici une démonstration moins naïve. D’après Catégories, Lemme 004A, il existe une équivalence de catégories fibrées \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) telle que \(\mathcal{S}'\) soit une catégorie fibrée scindée, c’est-à-dire une catégorie dans laquelle les foncteurs d’image inverse se composent au sens strict. Le lemme pour \(\mathcal{S}'\) implique évidemment le lemme pour \(\mathcal{S}\). On peut donc considérer \(\mathcal{S}\) comme un préfaisceau en catégories.

Considérons temporairement la \(2\)-catégorie \(\textit{Cat}\) comme une catégorie, en oubliant les \(2\)-morphismes. Considérons une catégorie comme un quintuplet \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, \circ)\) comme dans Catégories, section 0013. Considérons le foncteur d’oubli \[forget : \textit{Cat} \to \textit{Ensembles} \times \textit{Ensembles}, \quad (\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, \circ) \mapsto (\text{Ob}, \text{Arrows}).\] Alors \(forget\) est fidèle, \(\textit{Cat}\) admet des limites et \(forget\) commute à celles-ci, \(\textit{Cat}\) admet des colimites filtrantes et \(forget\) commute à celles-ci, et \(forget\) reflète les isomorphismes. On peut faisceautiser les préfaisceaux à valeurs dans \(\textit{Cat}\) et, par un argument analogue à celui de la première partie de Sites, section 00YR, le résultat commute avec \(forget\). En appliquant ceci à \(\mathcal{S}\), on obtient une faisceautisation \(\mathcal{S}^\#\) qui possède un faisceau d’objets et un faisceau de morphismes, tous deux faisceautisations des préfaisceaux correspondants de \(\mathcal{S}\). Dans ce cas, il est assez facile de voir que l’application \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}^\#\) possède les propriétés (1) et (2) du lemme.

Cependant, la catégorie \(\mathcal{S}^\#\) n’est pas nécessairement encore un champ car, bien que le préfaisceau d’objets soit un faisceau, la condition de descente peut ne pas être satisfaite. Pour y remédier, il faut ajouter davantage d’objets. Mais l’argument ci-dessus nous ramène au cas où \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_F\) pour un faisceau (!) de catégories \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Cat}\). Dans ce cas, considérons le foncteur \(F' : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Cat}\) défini comme suit :

1. L’ensemble \(\Ob(F'(U))\) est l’ensemble des paires \((\mathcal{U}, \xi)\) où \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) est un recouvrement de \(U\) et \(\xi = (x_i, \varphi_{ii'})\) est une donnée de descente relativement à \(\mathcal{U}\).

2. Un morphisme dans \(F'(U)\) de \((\mathcal{U}, \xi)\) vers \((\mathcal{V}, \eta)\) est un élément de \[\colim \Mor_{DD(\mathcal{W})}(a^*\xi, b^*\eta)\] où la colimite porte sur tous les raffinements communs \(a : \mathcal{W} \to \mathcal{U}\), \(b : \mathcal{W} \to \mathcal{V}\). Cette colimite est filtrante (vérification omise). La composition des morphismes dans \(F(U)\) est donc définie en choisissant un raffinement commun puis en composant dans \(DD(\mathcal{W})\).

3. Étant donnés \(h : V \to U\) et un objet \((\mathcal{U}, \xi)\) de \(F'(U)\), on définit \(F'(h)(\mathcal{U}, \xi)\) comme \((V \times_U \mathcal{U}, \text{pr}_1^*\xi)\). Plus précisément, si \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) et \(\xi = (x_i, \varphi_{ii'})\), alors \(V \times_U \mathcal{U} = \{V \times_U U_i \to V\}\), muni d’un morphisme canonique \(\text{pr}_1 : V \times_U \mathcal{U} \to \mathcal{U}\), et \(\text{pr}_1^*\xi\) est l’image inverse de \(\xi\) par ce morphisme (voir la Définition 02ZE).

4. Soient \(h : V \to U\), des objets \((\mathcal{U}, \xi)\) et \((\mathcal{V}, \eta)\), ainsi qu’un morphisme entre eux représenté par \(a : \mathcal{W} \to \mathcal{U}\), \(b : \mathcal{W} \to \mathcal{V}\) et \(\alpha : a^*\xi \to b^*\eta\) ; alors \(F'(h)(\alpha)\) est représenté par \(a' : V \times_U\mathcal{W} \to V \times_U\mathcal{U}\), \(b' : V \times_U\mathcal{W} \to V \times_U\mathcal{V}\) et l’image inverse \(\alpha'\) du morphisme \(\alpha\) par l’application \(V \times_U \mathcal{W} \to \mathcal{W}\). Cela fonctionne car les images inverses dans \(\mathcal{S}_F\) commutent au sens strict.

Il existe une application \(F \to F'\) qui associe à un objet \(x\) de \(F(U)\) l’objet \((\{U \to U\}, (x, triv))\) de \(F'(U)\). Il reste alors à vérifier que le foncteur correspondant \(\mathcal{S}_F \to \mathcal{S}_{F'}\) possède les propriétés (1) et (2) du lemme, et enfin que \(\mathcal{S}_{F'}\) est un champ. Détails omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée sur \(\mathcal{C}\). Soient \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) et \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) respectivement le champ et le \(1\)-morphisme construits dans le Lemme 02ZN. Cette construction possède la propriété universelle suivante : étant donnés un champ \(q : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) et un \(1\)-morphisme \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{X}\) de catégories fibrées sur \(\mathcal{C}\), il existe un \(1\)-morphisme \(H : \mathcal{S}' \to \mathcal{X}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{S} \ar[rr]_F \ar[rd]_G & & \mathcal{X} \\ & \mathcal{S}' \ar[ru]_H }\] soit \(2\)-commutatif.

Démonstration

Omis. Indication : supposons que \(x' \in \Ob(\mathcal{S}'_U)\). D’après le Lemme 02ZN, il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que \(x'|_{U_i} = G(x_i)\) pour un certain \(x_i \in \Ob(\mathcal{S}_{U_i})\). De plus, il existe des recouvrements \(\{U_{ijk} \to U_i \times_U U_j\}\) et des isomorphismes \(\alpha_{ijk} : x_i|_{U_{ijk}} \to x_j|_{U_{ijk}}\) tels que \(G(\alpha_{ijk}) = \text{id}_{x'|_{U_{ijk}}}\). Posons \(y_i = F(x_i)\). On peut alors vérifier que les morphismes \[F(\alpha_{ijk}) : y_i|_{U_{ijk}} \to y_j|_{U_{ijk}}\] coïncident sur les intersections et définissent donc (puisque \(\mathcal{X}\) est un champ) un morphisme \(\beta_{ij} : y_i|_{U_i \times_U U_j} \to y_j|_{U_i \times_U U_j}\). On vérifie ensuite que les \(\beta_{ij}\) définissent une donnée de descente. Comme \(\mathcal{X}\) est un champ, ces données de descente sont effectives et l’on trouve un objet \(y\) de \(\mathcal{X}_U\) coïncidant avec \(G(x_i)\) au-dessus de \(U_i\). L’indication consiste à poser \(H(x') = y\).

Lemme

Les notations et les hypothèses sont celles du Lemme 0435. Il existe une équivalence canonique de catégories \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, \mathcal{X}) = \Mor_{\textit{Champs}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}', \mathcal{X})\] donnée par les constructions de la démonstration du lemme précité.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des morphismes de catégories fibrées sur \(\mathcal{C}\). Alors la champification du \(2\)-produit fibré est le \(2\)-produit fibré des champifications.

Démonstration

Notons \(\mathcal{X}', \mathcal{Y}', \mathcal{Z}'\) les champifications et \(\mathcal{W}\) la champification de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\). La construction des \(2\)-produits fibrés fournit un \(1\)-morphisme canonique \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\). Comme le second \(2\)-produit fibré est un champ (voir le Lemme 026G), ce \(1\)-morphisme induit un \(1\)-morphisme \(h : \mathcal{W} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\) par la propriété universelle de la champification, voir le Lemme 0435. Or \(h\) est un morphisme de champs, et l’on peut vérifier que c’est une équivalence à l’aide des Lemmes 04WQ et 046N.

Montrons donc d’abord que \(h\) induit des isomorphismes de faisceaux \(\mathit{Mor}\). Soient \(\xi, \xi'\) des objets de \(\mathcal{W}\) au-dessus de \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Nous voulons montrer que \[h : \mathit{Mor}(\xi, \xi') \longrightarrow \mathit{Mor}(h(\xi), h(\xi'))\] est un isomorphisme. Pour cela, on peut travailler localement sur \(U\) (voir Sites, section 04TP). Par la construction de \(\mathcal{W}\) (voir le Lemme 02ZN), on peut donc supposer que \(\xi, \xi'\) proviennent effectivement des objets \((x, z, \alpha)\) et \((x', z', \alpha')\) de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) au-dessus de \(U\). Le même lemme montre encore que, dans ce cas, \(\mathit{Mor}(\xi, \xi')\) est la faisceautisation de \[V/U \longmapsto \Mor_{\mathcal{X}_V}(x|_V, x'|_V) \times_{\Mor_{\mathcal{Y}_V}(f(x)|_V, f(x')|_V)} \Mor_{\mathcal{Z}_V}(z|_V, z'|_V)\] et que \(\mathit{Mor}(h(\xi), h(\xi'))\) est égal au produit fibré \[\mathit{Mor}(i(x), i(x')) \times_{\mathit{Mor}(j(f(x)), j(f(x'))} \mathit{Mor}(k(z), k(z'))\] où \(i : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\), \(j : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}'\) et \(k : \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}'\) sont les foncteurs canoniques. La première application affichée de ce paragraphe est donc un isomorphisme, car la faisceautisation est exacte (et la faisceautisation d’un produit fibré de préfaisceaux est par conséquent le produit fibré des faisceautisations).

Enfin, il faut vérifier que tout objet de \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\) au-dessus de \(U\) appartient localement sur \(U\) à l’image essentielle de \(h\). Écrivons un tel objet sous la forme d’un triplet \((x', z', \alpha)\). Alors \(x'\) provient localement d’un objet de \(\mathcal{X}\), \(z'\) provient localement d’un objet de \(\mathcal{Z}\) et, après avoir effectué des remplacements convenables de \(x'\) et \(z'\), le morphisme \(\alpha\) de \(\mathcal{Y}'_U\) provient localement d’un morphisme de \(\mathcal{Y}\). Autrement dit, nous avons montré que tout objet de \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\) au-dessus de \(U\) appartient localement sur \(U\) à l’image essentielle de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\) ; il appartient donc a fortiori localement à l’image essentielle de \(h\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée sur \(\mathcal{C}\). La champification de la catégorie fibrée d’inertie \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) est l’inertie de la champification de \(\mathcal{X}\).

Démonstration

Cela résulte du fait que la champification est compatible avec les \(2\)-produits fibrés d’après le Lemme 04Y1, et du fait que l’inertie s’exprime en termes de \(2\)-produits fibrés de catégories sur \(\mathcal{C}\), voir Catégories, Lemme 034H.

Champification des catégories fibrées en groupoïdes

Voici le résultat.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Il existe un champ en groupoïdes \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) et un \(1\)-morphisme \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) de catégories fibrées en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\) (voir Catégories, Définition 02XS) tels que

1. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\), l’application \[\mathit{Mor}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}(G(x), G(y))\] induite par \(G\) identifie le membre de droite à la faisceautisation du membre de gauche, et

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(x' \in \Ob(\mathcal{S}'_U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que, pour tout \(i \in I\), l’objet \(x'|_{U_i}\) appartienne à l’image essentielle du foncteur \(G : \mathcal{S}_{U_i} \to \mathcal{S}'_{U_i}\).

De plus, ces conditions déterminent le champ en groupoïdes \(\mathcal{S}'\) à un unique \(2\)-isomorphisme près.

Démonstration

Appliquons le Lemme 02ZN. Le résultat est un champ en groupoïdes par le Lemme 02ZJ.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Soient \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\) et \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) respectivement le champ en groupoïdes et le \(1\)-morphisme construits dans le Lemme 02ZP. Cette construction possède la propriété universelle suivante : étant donnés un champ en groupoïdes \(q : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) et un \(1\)-morphisme \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{X}\) de catégories sur \(\mathcal{C}\), il existe un \(1\)-morphisme \(H : \mathcal{S}' \to \mathcal{X}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{S} \ar[rr]_F \ar[rd]_G & & \mathcal{X} \\ & \mathcal{S}' \ar[ru]_H }\] soit \(2\)-commutatif.

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 0435.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des morphismes de catégories fibrées en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Alors la champification du \(2\)-produit fibré est le \(2\)-produit fibré des champifications.

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 04Y1.

Topologies héritées

Il s’avère qu’une catégorie fibrée sur un site hérite d’une topologie canonique du site sous-jacent.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. Soit \(\text{Cov}(\mathcal{S})\) l’ensemble des familles \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) de morphismes de \(\mathcal{S}\) de but fixé telles que (a) chaque \(x_i \to x\) soit fortement cartésien et (b) \(\{p(x_i) \to p(x)\}_{i \in I}\) soit un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Alors \((\mathcal{S}, \text{Cov}(\mathcal{S}))\) est un site.

Démonstration

Il faut vérifier les trois conditions de Sites, Définition 00VH.

1. Si \(x \to y\) est un isomorphisme de \(\mathcal{S}\), alors il est fortement cartésien d’après Catégories, Lemme 02XL, et \(p(x) \to p(y)\) est un isomorphisme de \(\mathcal{C}\). Par conséquent, \(\{p(x) \to p(y)\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\), d’où \(\{x \to y\} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\).

2. Si \(\{x_i \to x\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\) et si, pour tout \(i\), on a \(\{y_{ij} \to x_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\), alors chaque composée \(y_{ij} \to x\) est fortement cartésienne d’après Catégories, Lemme 02XL, et \(\{p(y_{ij}) \to p(x)\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\). On a donc aussi \(\{y_{ij} \to x\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\).

3. Supposons \(\{x_i \to x\}_{i\in I}\in \text{Cov}(\mathcal{S})\) et soit \(y \to x\) un morphisme de \(\mathcal{S}\). Puisque \(\{p(x_i) \to p(x)\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\), le produit fibré \(p(x_i) \times_{p(x)} p(y)\) existe. Par conséquent, Catégories, Lemme 06N5 implique que \(x_i \times_x y\) existe, que \(p(x_i \times_x y) = p(x_i) \times_{p(x)} p(y)\) et que \(x_i \times_x y \to y\) est fortement cartésien. Comme, de plus, \(\{p(x_i) \times_{p(x)} p(y) \to p(y) \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\), on en conclut que \(\{x_i \times_x y \to y \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\).

Cela achève la démonstration.

Notons que, si \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est fibré en groupoïdes, alors les recouvrements du site \(\mathcal{S}\) du Lemme 06NU se caractérisent par \[\{x_i \to x\} \in \text{Cov}(\mathcal{S}) \Leftrightarrow \{p(x_i) \to p(x)\} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\] car tout morphisme de \(\mathcal{S}\) est fortement cartésien.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée. On dit que \((\mathcal{S}, \text{Cov}(\mathcal{S}))\), comme dans le Lemme 06NU, est la structure de site sur \(\mathcal{S}\) héritée de \(\mathcal{C}\). On l’exprime parfois en disant que \(\mathcal{S}\) est munie de la topologie héritée de \(\mathcal{C}\).

On obtient en particulier, dans cette situation, un topos de faisceaux \(\Sh(\mathcal{S})\). Il s’avère que ce topos est fonctoriel par rapport aux \(1\)-morphismes de catégories fibrées.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées sur \(\mathcal{C}\). Alors \(F\) est un foncteur continu et cocontinu entre les structures de site héritées de \(\mathcal{C}\). Ainsi, \(F\) induit un morphisme de topos \(f : \Sh(\mathcal{X}) \to \Sh(\mathcal{Y})\) avec \(f_* = {}_sF = {}_pF\) et \(f^{-1} = F^s = F^p\). En particulier, \(f^{-1}(\mathcal{G})(x) = \mathcal{G}(F(x))\) pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{Y}\) et tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\).

Démonstration

Montrons d’abord que \(F\) est continu. Soit \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(\mathcal{X}\). D’après Catégories, Définition 02XP, le foncteur \(F\) transforme les morphismes fortement cartésiens en morphismes fortement cartésiens ; ainsi, \(\{F(x_i) \to F(x)\}_{i \in I}\) est un recouvrement de \(\mathcal{Y}\). Cela prouve la partie (1) de Sites, Définition 00WV. De plus, soit \(x' \to x\) un morphisme de \(\mathcal{X}\). D’après Catégories, Lemme 06N5, le produit fibré \(x_i \times_x x'\) existe et \(x_i \times_x x' \to x'\) est fortement cartésien. Ainsi, \(F(x_i \times_x x') \to F(x')\) est fortement cartésien. D’après Catégories, Lemme 06N5, appliqué à \(\mathcal{Y}\), cela signifie que \(F(x_i \times_x x') = F(x_i) \times_{F(x)} F(x')\). Cela prouve la partie (2) de Sites, Définition 00WV, et l’on en conclut que \(F\) est continu.

Montrons ensuite que \(F\) est cocontinu. Soit \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) et soit \(\{y_i \to F(x)\}_{i \in I}\) un recouvrement de \(\mathcal{Y}\). Notons \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) le recouvrement correspondant de \(\mathcal{C}\). Pour chaque \(i\), choisissons un morphisme fortement cartésien \(x_i \to x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U_i \to U\). Alors \(F(x_i) \to F(x)\) et \(y_i \to F(x)\) sont tous deux des morphismes fortement cartésiens de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U_i \to U\). Il existe donc un unique isomorphisme \(F(x_i) \to y_i\) dans \(\mathcal{Y}_{U_i}\) compatible avec les applications vers \(F(x)\). Ainsi, \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) est un recouvrement de \(\mathcal{X}\) tel que \(\{F(x_i) \to F(x)\}_{i \in I}\) soit isomorphe à \(\{y_i \to F(x)\}_{i \in I}\). Le foncteur \(F\) est donc cocontinu, voir Sites, Définition 00XJ.

L’assertion finale découle des deux premières, voir Sites, Lemmes 00XO, 00XK et 00XR.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) au-dessus de \(U = p(x)\). Le foncteur \(p\) induit une équivalence de sites \(\mathcal{X}/x \to \mathcal{C}/U\), où \(\mathcal{X}\) est munie de la topologie héritée de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Ici, \(\mathcal{C}/U\) est la localisation du site \(\mathcal{C}\) en l’objet \(U\), et de même pour \(\mathcal{X}/x\). Il résulte de Catégories, Définition 003T, que la règle \(x'/x \mapsto p(x')/p(x)\) définit une équivalence de catégories \(\mathcal{X}/x \to \mathcal{C}/U\). Il résulte alors de la Définition 06NV que les recouvrements de \(x'\) dans \(\mathcal{X}/x\) correspondent bijectivement aux recouvrements de \(p(x')\) dans \(\mathcal{C}/U\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) et \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{C}\) des champs en groupoïdes. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories sur \(\mathcal{C}\). Si \(F\) fait de \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \(\mathcal{Y}\), alors \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{Y}\) (pour la topologie héritée de \(\mathcal{C}\)).

Démonstration

Montrons la descente des objets. Soit \(\{y_i \to y\}\) un recouvrement de \(\mathcal{Y}\). Soit \((x_i, \varphi_{ij})\) une donnée de descente dans \(\mathcal{X}\) relativement à ce recouvrement. Alors \((x_i, \varphi_{ij})\) est aussi une donnée de descente relativement au recouvrement \(\{q(y_i) \to q(y)\}\) de \(\mathcal{C}\). Comme \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes, on obtient un objet \(x\) au-dessus de \(q(y)\) et des isomorphismes \(\psi_i : x|_{q(y_i)} \to x_i\) au-dessus de \(q(y_i)\), compatibles avec les \(\varphi_{ij}\), c’est-à-dire tels que \[\varphi_{ij} = \psi_j|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)} \circ \psi_i^{-1}|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)}.\] Considérons le faisceau \(\mathit{I} = \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(F(x), y)\) sur \(\mathcal{C}/p(x)\). Notons que \(s_i = F(\psi_i) \in \mathit{I}(q(x_i))\) car \(F(x_i) = y_i\). Puisque \(F(\varphi_{ij}) = \text{id}\) (car nous sommes partis d’une donnée de descente sur \(\{y_i \to y\}\)), la formule affichée montre que \(s_i|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)} = s_j|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)}\). Les sections locales \(s_i\) se recollent donc en \(s : F(x) \to y\). Comme \(F\) est fibré en groupoïdes, on voit que \(x\) est isomorphe à un objet \(x'\) tel que \(F(x') = y\). Nous omettons de vérifier que \(x'\), dans la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(y\), résout le problème de descente posé par la donnée de descente \((x_i, \varphi_{ij})\). Nous omettons aussi la démonstration de la propriété de faisceau des préfaisceaux \(\mathit{Isom}\) de \(\mathcal{X}/\mathcal{Y}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) un champ. Munissons \(\mathcal{X}\) de la topologie héritée de \(\mathcal{C}\) et soit \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) un champ. Alors \(\mathcal{Y}\) est un champ sur \(\mathcal{C}\). Si \(p\) et \(q\) définissent des champs en groupoïdes, alors \(\mathcal{Y}\) est un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Vérifions les trois conditions de la Définition 026F pour montrer que \(\mathcal{Y}\) est un champ sur \(\mathcal{C}\). D’après Catégories, Lemme 09WV, \(\mathcal{Y}\) est une catégorie fibrée sur \(\mathcal{C}\). La condition (1) est donc satisfaite.

Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soient \(y_1, y_2\) des objets de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U\). Notons \(x_i = q(y_i)\) dans \(\mathcal{X}\). Considérons l’application de préfaisceaux \[q : \mathit{Mor}_{\mathcal{Y}/\mathcal{C}}(y_1, y_2) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\mathcal{X}/\mathcal{C}}(x_1, x_2)\] sur \(\mathcal{C}/U\), voir le Lemme 042V. Soit \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement et soient les \(\varphi_i\) des sections du préfaisceau de gauche sur les \(U_i\), telles que \(\varphi_i\) et \(\varphi_j\) aient la même restriction sur \(U_i \times_U U_j\). Il faut trouver un morphisme \(\varphi : y_1 \to y_2\) dont la restriction soit \(\varphi_i\). Notons que \(q(\varphi_i) = \psi|_{U_i}\) pour un certain morphisme \(\psi : x_1 \to x_2\) au-dessus de \(U\), car le second préfaisceau est un faisceau (par hypothèse). Soit \(y_{12} \to y_2\) le morphisme fortement \(\mathcal{X}\)-cartésien de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(\psi\). Alors \(\varphi_i\) correspond à un morphisme \(\varphi'_i : y_1|_{U_i} \to y_{12}|_{U_i}\) au-dessus de \(x_1|_{U_i}\). Autrement dit, les \(\varphi'_i\) définissent maintenant des sections locales du préfaisceau \[\mathit{Mor}_{\mathcal{Y}/\mathcal{X}}(y_1, y_{12})\] sur les membres du recouvrement \(\{x_1|_{U_i} \to x_1\}\). Par hypothèse, celles-ci se recollent en un unique morphisme \(y_1 \to y_{12}\) qui, composé avec le morphisme donné \(y_{12} \to y_2\), fournit le morphisme recherché \(y_1 \to y_2\).

Enfin, montrons que les données de descente sont effectives. Soit \(\{f_i : U_i \to U\}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\) et soit \((y_i, \varphi_{ij})\) une donnée de descente relativement à ce recouvrement (Définition 026B). En posant \(x_i = q(y_i)\) et \(\psi_{ij} = q(\varphi_{ij})\), on obtient une donnée de descente \((x_i, \psi_{ij})\) pour le recouvrement dans \(\mathcal{X}\). Par l’hypothèse sur \(\mathcal{X}\), on peut supposer que \(x_i = x|_{U_i}\) et que les \(\psi_{ij}\) sont égaux à la donnée de descente canonique (Définition 026E). Dans ce cas, \(\{x|_{U_i} \to x\}\) est un recouvrement et l’on peut considérer \((y_i, \varphi_{ij})\) comme une donnée de descente relativement à ce recouvrement. Notre hypothèse selon laquelle \(\mathcal{Y}\) est un champ sur \(\mathcal{C}\) montre qu’elle est effective, ce qui achève la démonstration de la condition (3).

L’assertion finale résulte de ce que \(\mathcal{Y}\) est un champ sur \(\mathcal{C}\) et est fibrée en groupoïdes d’après Catégories, Lemme 09WW.

Gerbes

Les gerbes sont une classe particulière de champs en groupoïdes.

Définition

Une gerbe sur un site \(\mathcal{C}\) est une catégorie \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) sur \(\mathcal{C}\) telle que

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) soit un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\) (voir la Définition 02ZI),

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{S}_{U_i}\) soit non vide, et

3. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tous \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(x|_{U_i} \cong y|_{U_i}\) dans \(\mathcal{S}_{U_i}\).

Autrement dit, une gerbe est un champ en groupoïdes dans lequel deux objets quelconques sont localement isomorphes et où des objets existent localement.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{S}_1\) et \(\mathcal{S}_2\) des catégories sur \(\mathcal{C}\). Supposons que \(\mathcal{S}_1\) et \(\mathcal{S}_2\) soient équivalentes en tant que catégories sur \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{S}_1\) est une gerbe sur \(\mathcal{C}\) si et seulement si \(\mathcal{S}_2\) est une gerbe sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{S}_1\) soit une gerbe sur \(\mathcal{C}\). D’après le Lemme 042X, \(\mathcal{S}_2\) est un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Soient \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\) et \(G : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\) des équivalences de catégories sur \(\mathcal{C}\). Étant donné \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \((\mathcal{S}_1)_{U_i}\) soit non vide. En appliquant \(F\), on voit que \((\mathcal{S}_2)_{U_i}\) est non vide. Étant donnés \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(x, y \in \Ob((\mathcal{S}_2)_U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(G(x)|_{U_i} \cong G(y)|_{U_i}\) dans \((\mathcal{S}_1)_{U_i}\). D’après Catégories, Lemme 003Z, cela implique que \(x|_{U_i} \cong y|_{U_i}\) dans \((\mathcal{S}_2)_{U_i}\).

Nous voulons généraliser quelque peu la définition des gerbes. Soit donc \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes sur un site \(\mathcal{C}\). Nous voulons préciser ce que signifie pour \(\mathcal{X}\) d’être une gerbe sur \(\mathcal{Y}\). D’après la section 06NT, la catégorie \(\mathcal{Y}\) hérite de \(\mathcal{C}\) d’une structure de site. Une idée naïve serait d’exiger simplement que \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) soit une gerbe au sens ci-dessus. Toutefois, la notion ainsi obtenue n’est pas invariante lorsque l’on remplace \(\mathcal{X}\) par un champ en groupoïdes équivalent sur \(\mathcal{C}\) ; c’est même le cas de la propriété d’être fibrée en groupoïdes sur \(\mathcal{Y}\). Il s’avère cependant que l’on peut remplacer \(\mathcal{X}\) par un champ en groupoïdes équivalent sur \(\mathcal{C}\) qui soit fibré en groupoïdes sur \(\mathcal{Y}\), et que la propriété d’être une gerbe sur \(\mathcal{Y}\) est alors indépendante de ce choix. Voici l’énoncé précis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\) et \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{C}\) des champs en groupoïdes. Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories sur \(\mathcal{C}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Pour une certaine factorisation (de manière équivalente, pour toute factorisation) \(F = F' \circ a\) où \(a : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est une équivalence de catégories sur \(\mathcal{C}\) et où \(F'\) est fibré en groupoïdes, l’application \(F' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) est une gerbe (pour la topologie sur \(\mathcal{Y}\) héritée de \(\mathcal{C}\)).

2. Les deux conditions suivantes sont satisfaites :

   1. pour tout \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\) et des objets \(x_i\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U_i\) tels que \(F(x_i) \cong y|_{U_i}\) dans \(\mathcal{Y}_{U_i}\), et

   2. pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(x, x' \in \Ob(\mathcal{X}_U)\) et \(b : F(x) \to F(x')\) dans \(\mathcal{Y}_U\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\) et des morphismes \(a_i : x|_{U_i} \to x'|_{U_i}\) dans \(\mathcal{X}_{U_i}\) tels que \(F(a_i) = b|_{U_i}\).

Démonstration

D’après Catégories, Lemme 06N7, il existe une factorisation \(F = F' \circ a\) où \(a : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est une équivalence de catégories sur \(\mathcal{C}\) et où \(F'\) est fibré en groupoïdes. D’après Catégories, Lemme 06N8, étant données deux telles factorisations \(F = F' \circ a = F'' \circ b\), on a une équivalence de \(\mathcal{X}'\) et \(\mathcal{X}''\) en tant que catégories sur \(\mathcal{Y}\). Par conséquent, le Lemme 06P0 garantit que la condition (1) ne dépend pas du choix de la factorisation. De plus, cela signifie que l’on peut supposer \(\mathcal{X}' = \mathcal{X} \times_{F, \mathcal{Y}, \text{id}} \mathcal{Y}\) comme dans la démonstration de Catégories, Lemme 06N7.

Montrons que (a) et (b) impliquent que \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) est une gerbe. Tout d’abord, d’après le Lemme 06NX, \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) est un champ en groupoïdes. Ensuite, soit \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). D’après (a), on peut trouver un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\), des objets \(x_i\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U_i\) et des isomorphismes \(f_i : F(x_i) \to y|_{U_i}\) dans \(\mathcal{Y}_{U_i}\). Alors les \((U_i, x_i, y|_{U_i}, f_i)\) sont des objets de \(\mathcal{X}'_{U_i}\) ; la deuxième condition de la Définition 06NZ est donc satisfaite. Enfin, soient \((U, x, y, f)\) et \((U, x', y, f')\) des objets de \(\mathcal{X}'\) au-dessus du même objet \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\). Posons \(b = (f')^{-1} \circ f\). D’après la condition (b), on peut trouver un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et des isomorphismes \(a_i : x|_{U_i} \to x'|_{U_i}\) dans \(\mathcal{X}_{U_i}\) tels que \(F(a_i) = b|_{U_i}\). Alors \[(a_i, \text{id}) : (U, x, y, f)|_{U_i} \to (U, x', y, f')|_{U_i}\] est un morphisme dans \(\mathcal{X}'_{U_i}\) comme voulu. Cela prouve que (2) implique (1).

Pour montrer que (1) implique (2), il suffit de lire à rebours les arguments du paragraphe précédent. Détails omis.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) des champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Soit \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories sur \(\mathcal{C}\). On dit que \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\) si les conditions équivalentes du Lemme 06P1 sont satisfaites.

Cette définition n’entre pas en conflit avec la Définition 06NZ lorsque \(\mathcal{Y} = \mathcal{C}\), car on peut alors prendre \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}\) dans la partie (1) du Lemme 06P1. Notons que les conditions (2)(a) et (2)(b) du Lemme 06P1 sont très proches, dans leur esprit, des conditions (2) et (3) de la Définition 06NZ. En effet, (2)(a) affirme que l’application des préfaisceaux de classes d’isomorphisme d’objets devient une surjection après faisceautisation. De plus, (2)(b) affirme que \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x') \longrightarrow \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(F(x), F(x'))\] est une surjection de faisceaux sur \(\mathcal{C}/U\), pour tous \(U\) et \(x, x' \in \Ob(\mathcal{X}_U)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r]_{G'} \ar[d]_{F'} & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^G & \mathcal{Y} }\] un \(2\)-produit fibré de champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\), alors \(\mathcal{X}'\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}'\).

Démonstration

Par la propriété d’unicité d’un \(2\)-produit fibré, on peut supposer que \(\mathcal{X}' = \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) comme dans Catégories, Lemme 0040. Montrons les propriétés (2)(a) et (2)(b) du Lemme 06P1 pour \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\).

Soit \(y'\) un objet de \(\mathcal{Y}'\) au-dessus de l’objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(U\) et des objets \(x_i \in \mathcal{X}_{U_i}\) munis d’isomorphismes \(\alpha_i : G(y')|_{U_i} \to F(x_i)\). Alors \((U_i, y'|_{U_i}, x_i, \alpha_i)\) est un objet de \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) au-dessus de \(U_i\) dont l’image dans \(\mathcal{Y}'\) est \(y'|_{U_i}\). La condition (2)(a) est donc satisfaite.

Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), soient \(x'_1, x'_2\) des objets de \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et soit \(b' : F'(x'_1) \to F'(x'_2)\) un morphisme dans \(\mathcal{Y}'_U\). Écrivons \(x'_i = (U, y'_i, x_i, \alpha_i)\). Notons que \(F'(x'_i) = x_i\) et \(G'(x'_i) = y'_i\). Par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) dans \(\mathcal{C}\) et des morphismes \(a_i : x_1|_{U_i} \to x_2|_{U_i}\) dans \(\mathcal{X}_{U_i}\) tels que \(F(a_i) = G(b')|_{U_i}\). Alors \((b'|_{U_i}, a_i)\) est un morphisme \(x'_1|_{U_i} \to x'_2|_{U_i}\) comme l’exige (2)(b).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(G : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\) et si \(\mathcal{Y}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Z}\), alors \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Z}\).

Démonstration

Montrons les propriétés (2)(a) et (2)(b) du Lemme 06P1 pour \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\).

Soit \(z\) un objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de l’objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Par l’hypothèse sur \(G\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(U\) et des objets \(y_i \in \mathcal{Y}_{U_i}\) tels que \(G(y_i) \cong z|_{U_i}\). Par l’hypothèse sur \(F\), il existe des recouvrements \(\{U_{ij} \to U_i\}\) et des objets \(x_{ij} \in \mathcal{X}_{U_{ij}}\) tels que \(F(x_{ij}) \cong y_i|_{U_{ij}}\). Alors \(\{U_{ij} \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\) et \((G \circ F)(x_{ij}) \cong z|_{U_{ij}}\). La condition (2)(a) est donc satisfaite.

Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), soient \(x_1, x_2\) des objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et soit \(c : (G \circ F)(x_1) \to (G \circ F)(x_2)\) un morphisme dans \(\mathcal{Z}_U\). Par l’hypothèse sur \(G\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(U\) et des morphismes \(b_i : F(x_1)|_{U_i} \to F(x_2)|_{U_i}\) dans \(\mathcal{Y}_{U_i}\) tels que \(G(b_i) = c|_{U_i}\). Par l’hypothèse sur \(F\), il existe des recouvrements \(\{U_{ij} \to U_i\}\) et des morphismes \(a_{ij} : x_1|_{U_{ij}} \to x_2|_{U_{ij}}\) dans \(\mathcal{X}_{U_{ij}}\) tels que \(F(a_{ij}) = b_i|_{U_{ij}}\). Alors \(\{U_{ij} \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\) et \((G \circ F)(a_{ij}) = c|_{U_{ij}}\), comme l’exige (2)(b).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r]_{G'} \ar[d]_{F'} & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^G & \mathcal{Y} }\] un diagramme \(2\)-cartésien de champs en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\). Si, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(x \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(x|_{U_i}\) appartienne à l’image essentielle de \(G : \mathcal{Y}'_{U_i} \to \mathcal{Y}_{U_i}\) et si \(\mathcal{X}'\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}'\), alors \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\).

Démonstration

Par la propriété d’unicité d’un \(2\)-produit fibré, on peut supposer que \(\mathcal{X}' = \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) comme dans Catégories, Lemme 0040. Montrons les propriétés (2)(a) et (2)(b) du Lemme 06P1 pour \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\).

Soit \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de l’objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(U\) et des objets \(y'_i \in \mathcal{Y}'_{U_i}\) tels que \(G(y'_i) \cong y|_{U_i}\). D’après (2)(a) pour \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\), il existe des recouvrements \(\{U_{ij} \to U_i\}\) et des objets \(x'_{ij}\) de \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(U_{ij}\) tels que \(F'(x'_{ij})\) soit isomorphe à la restriction de \(y'_i\) à \(U_{ij}\). Alors \(\{U_{ij} \to U\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{C}\) et les \(G'(x'_{ij})\) sont des objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U_{ij}\) dont les images dans \(\mathcal{Y}\) sont isomorphes aux restrictions \(y|_{U_{ij}}\). Cela prouve (2)(a) pour \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\).

Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), soient \(x_1, x_2\) des objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et soit \(b : F(x_1) \to F(x_2)\) un morphisme dans \(\mathcal{Y}_U\). Par hypothèse, on peut choisir un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et des objets \(y'_i\) de \(\mathcal{Y}'\) au-dessus de \(U_i\) tels qu’il existe des isomorphismes \(\alpha_i : G(y'_i) \to F(x_1)|_{U_i}\). On obtient alors des objets \[x'_{1i} = (U_i, y'_i, x_1|_{U_i}, \alpha_i) \quad\text{et}\quad x'_{2i} = (U_i, y'_i, x_2|_{U_i}, b|_{U_i} \circ \alpha_i)\] de \(\mathcal{X}'\) au-dessus de \(U_i\). Le morphisme identité de \(y'_i\) est un morphisme \(F'(x'_{1i}) \to F'(x'_{2i})\). D’après (2)(b) pour \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\), il existe des recouvrements \(\{U_{ij} \to U_i\}\) et des morphismes \(a'_{ij} : x'_{1i}|_{U_{ij}} \to x'_{2i}|_{U_{ij}}\) tels que \(F'(a'_{ij}) = \text{id}_{y'_i}|_{U_{ij}}\). En explicitant la définition des morphismes de \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), on voit que les \(G'(a'_{ij}) : x_1|_{U_{ij}} \to x_2|_{U_{ij}}\) sont les morphismes recherchés, c’est-à-dire que (2)(b) est satisfaite pour \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\).

Les gerbes dont tous les faisceaux d’automorphismes sont abéliens jouent un rôle important en géométrie algébrique.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une gerbe sur un site \(\mathcal{C}\). Supposons que, pour tous \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\), le faisceau de groupes \(\mathit{Aut}(x) = \mathit{Isom}(x, x)\) sur \(\mathcal{C}/U\) soit abélien. Alors il existe

1. un faisceau \(\mathcal{G}\) de groupes abéliens sur \(\mathcal{C}\),

2. pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\), un isomorphisme \(\mathcal{G}|_U \to \mathit{Aut}(x)\)

tel que, pour tout \(U\) et tout morphisme \(\varphi : x \to y\) dans \(\mathcal{S}_U\), le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{G}|_U \ar[d] \ar@{=}[rr] & & \mathcal{G}|_U \ar[d] \\ \mathit{Aut}(x) \ar[rr]^{\alpha \mapsto \varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1}} & & \mathit{Aut}(y) }\] soit commutatif.

Démonstration

Soient \(x, y\) deux objets de \(\mathcal{S}\) avec \(U = p(x) = p(y)\).

S’il existe un morphisme \(\varphi : x \to y\) au-dessus de \(U\), c’est un isomorphisme et l’on obtient bien un isomorphisme \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\) qui envoie \(\alpha\) sur \(\varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1}\). De plus, comme on suppose \(\mathit{Aut}(x)\) commutatif, cet isomorphisme ne dépend pas du choix de \(\varphi\), par un calcul immédiat : en effet, si \(\psi\) est une seconde application de ce type, alors \[\varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} = \psi \circ \psi^{-1} \circ \varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} = \psi \circ \alpha \circ \psi^{-1} \circ \varphi \circ \varphi^{-1} = \psi \circ \alpha \circ \psi^{-1}\] Il en résulte un isomorphisme canonique de faisceaux \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\). En outre, s’il existe un troisième objet \(z\) et un morphisme \(y \to z\) (et donc aussi un morphisme \(x \to z\)), alors les isomorphismes canoniques \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\), \(\mathit{Aut}(y) \to \mathit{Aut}(z)\) et \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(z)\) sont compatibles au sens où le diagramme \[\xymatrix{ \mathit{Aut}(x) \ar[rd] \ar[rr] & & \mathit{Aut}(z) \\ & \mathit{Aut}(y) \ar[ru] }\] est commutatif.

S’il n’existe aucun morphisme de \(x\) vers \(y\) au-dessus de \(U\), on peut choisir un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel qu’il existe des morphismes \(x|_{U_i} \to y|_{U_i}\). On obtient ainsi des isomorphismes canoniques \[\mathit{Aut}(x)|_{U_i} \longrightarrow \mathit{Aut}(y)|_{U_i}\] qui coïncident sur \(U_i \times_U U_j\) (par canonicité). Par recollement des faisceaux (Sites, Lemme 04TQ), on obtient un unique isomorphisme \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\) dont la restriction à chaque \(U_i\) est l’isomorphisme canonique du paragraphe précédent. Comme ci-dessus, ces isomorphismes canoniques satisfont une compatibilité en présence d’un troisième objet au-dessus de \(U\).

Que se passe-t-il si la catégorie fibre de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(U\) est vide ? Dans ce cas, on peut trouver un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et des objets \(x_i\) de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(U_i\). Posons alors \(\mathcal{G}_i = \mathit{Aut}(x_i)\). D’après ce qui précède, on obtient des isomorphismes canoniques \[\varphi_{ij} : \mathcal{G}_i|_{U_i \times_U U_j} \longrightarrow \mathcal{G}_j|_{U_i \times_U U_j}\] dont les restrictions à \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) satisfont la condition de cocycle décrite dans Sites, section 04TP. D’après Sites, Lemme 04TR, on obtient un faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(U\) dont la restriction à \(U_i\) donne \(\mathcal{G}_i\) d’une manière compatible avec les applications de recollement \(\varphi_{ij}\).

Si \(\mathcal{C}\) possède un objet final \(U\), cela achève la démonstration, car on peut prendre pour \(\mathcal{G}\) le faisceau que l’on vient de construire. Dans le cas général, il faut vérifier que les faisceaux \(\mathcal{G}\) construits sur les différents \(U\) sont canoniquement compatibles. Cette vérification est omise.

Fonctorialité des champs

Dans cette section, nous étudions ce qui se passe lorsque l’on veut changer le site de base d’un champ. Cette section peut être omise en première lecture.

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre catégories. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{D}\). Dans cette situation, nous notons \(u^p\mathcal{S}\) la catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\) définie comme suit :

1. Un objet de \(u^p\mathcal{S}\) est un couple \((U, y)\) formé d’un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et d’un objet \(y\) de \(\mathcal{S}_{u(U)}\).

2. Un morphisme \((a, \beta) : (U, y) \to (U', y')\) est donné par un morphisme \(a : U \to U'\) de \(\mathcal{C}\) et un morphisme \(\beta : y \to y'\) de \(\mathcal{S}\) tels que \(p(\beta) = u(a)\).

Remarquons qu’avec ces définitions, la catégorie fibre de \(u^p\mathcal{S}\) au-dessus de \(U\) est égale à la catégorie fibre de \(\mathcal{S}\) au-dessus de \(u(U)\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{D}\), alors \(u^p\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Avant de lire cette démonstration, prière de se reporter à la discussion qui entoure Catégories, Définitions 02XK et 02XM. Soit \((a, \beta) : (U, y) \to (U', y')\) un morphisme de \(u^p\mathcal{S}\). Nous affirmons que \((a, \beta)\) est fortement cartésien si et seulement si \(\beta\) est fortement cartésien. Supposons d’abord que \(\beta\) soit fortement cartésien. Considérons un autre morphisme quelconque \((a_1, \beta_1) : (U_1, y_1) \to (U', y')\) de \(u^p\mathcal{S}\). Alors \[\begin{align*} & \Mor_{u^p\mathcal{S}}((U_1, y_1), (U, y)) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U))} \Mor_\mathcal{S}(y_1, y) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U))} \Mor_\mathcal{S}(y_1, y') \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U'))} \Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U)) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(y_1, y') \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U'))} \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \\ & = \Mor_{u^p\mathcal{S}}((U_1, y_1), (U', y')) \times_{\Mor_\mathcal{C}(U_1, U')} \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \end{align*}\] la deuxième égalité résultant de ce que \(\beta\) est fortement cartésien. Nous voyons donc que \((a, \beta)\) est bien fortement cartésien. Réciproquement, supposons que \((a, \beta)\) soit fortement cartésien. Choisissons un morphisme fortement cartésien \(\beta' : y'' \to y'\) dans \(\mathcal{S}\) tel que \(p(\beta') = u(a)\). Alors les deux morphismes \((a, \beta) : (U, y) \to (U, y')\) et \((a, \beta') : (U, y'') \to (U, y)\) sont fortement cartésiens et relèvent \(a\). Par l’unicité des morphismes fortement cartésiens (voir la discussion dans Catégories, section 02XJ), il existe donc un isomorphisme \(\iota : y \to y''\) dans \(\mathcal{S}_{u(U)}\) tel que \(\beta = \beta' \circ \iota\), ce qui implique que \(\beta\) est fortement cartésien dans \(\mathcal{S}\) d’après Catégories, Lemme 02XL.

Enfin, il nous faut montrer qu’étant donnés \((U', y')\) et \(U \to U'\), on peut trouver un morphisme fortement cartésien \((U, y) \to (U', y')\) dans \(u^p\mathcal{S}\) relevant le morphisme \(U \to U'\). Cela résulte de ce qui précède puisque, par hypothèse, on peut trouver un morphisme fortement cartésien \(y \to y'\) relevant le morphisme \(u(U) \to u(U')\).

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu de sites. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\) un champ sur \(\mathcal{D}\). Alors \(u^p\mathcal{S}\) est un champ sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Nous avons vu dans le Lemme 04WB que \(u^p\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\). De plus, dans la démonstration de ce lemme, nous avons vu qu’un morphisme \((a, \beta)\) de \(u^p\mathcal{S}\) est fortement cartésien si et seulement si \(\beta\) est fortement cartésien dans \(\mathcal{S}\). Ainsi, étant donné un morphisme \(a : U \to U'\) de \(\mathcal{C}\), non seulement avons-nous les égalités \((u^p\mathcal{S})_U = \mathcal{S}_U\) et \((u^p\mathcal{S})_{U'} = \mathcal{S}_{U'}\), mais, par ces égalités, les foncteurs de changement de base coïncident ; en formule, \(a^*(U', y') = (U, u(a)^*y')\).

Ceci étant dit, soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Comme \(u\) est continu, nous voyons que \(\mathcal{V} = \{u(U_i) \to u(U)\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{D}\), que \(u(U_i \times_U U_j) = u(U_i) \times_{u(U)} u(U_j)\), et de même pour les produits fibrés triples \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\). Compte tenu des identifications des catégories fibres et des changements de base, les données de descente relatives à \(\mathcal{U}\) sont identiques aux données de descente relatives à \(\mathcal{V}\). Puisque, par hypothèse, la descente est effective dans \(\mathcal{S}\), nous concluons qu’il en est de même dans \(u^p\mathcal{S}\).

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu de sites. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\) un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{D}\). Alors \(u^p\mathcal{S}\) est un champ en groupoïdes sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 04WC et du fait que toutes les catégories fibres sont des groupoïdes.

Définition

Soit \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un morphisme de sites donné par le foncteur continu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\). Soit \(\mathcal{S}\) une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{D}\). Dans ce cadre, nous notons \(f_*\mathcal{S}\) la catégorie fibrée \(u^p\mathcal{S}\) définie ci-dessus. Nous disons que \(f_*\mathcal{S}\) est l’image directe de \(\mathcal{S}\) par \(f\).

D’après les résultats précédents, nous savons que \(f_*\mathcal{S}\) est un champ (en groupoïdes) si \(\mathcal{S}\) est un champ (en groupoïdes). Il est plus difficile de définir l’image inverse d’un champ (et notre construction particulière nécessitera des hypothèses supplémentaires – le lecteur peut rédiger et soumettre une construction plus générale). Nous procédons en plusieurs étapes.

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre catégories. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie au-dessus de \(\mathcal{C}\). Dans ce cadre, nous définissons une catégorie \(u_{pp}\mathcal{S}\) comme suit :

1. Un objet de \(u_{pp}\mathcal{S}\) est un triplet \((U, \phi : V \to u(U), x)\) où \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), l’application \(\phi : V \to u(U)\) est un morphisme de \(\mathcal{D}\), et \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\).

2. Un morphisme \[(U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U_2, \phi_2 : V_2 \to u(U_2), x_2)\] de \(u_{pp}\mathcal{S}\) est donné par un triplet \((a, b, \alpha)\) où \(a : U_1 \to U_2\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), \(b : V_1 \to V_2\) est un morphisme de \(\mathcal{D}\), et \(\alpha : x_1 \to x_2\) est un morphisme de \(\mathcal{S}\), tels que \(p(\alpha) = a\) et que le diagramme \[\xymatrix{ V_1 \ar[d]_{\phi_1} \ar[r]_b & V_2 \ar[d]^{\phi_2} \\ u(U_1) \ar[r]^{u(a)} & u(U_2) }\] soit commutatif dans \(\mathcal{D}\).

Nous considérons \(u_{pp}\mathcal{S}\) comme une catégorie au-dessus de \(\mathcal{D}\) au moyen de \[p_{pp} : u_{pp}\mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{D}, \quad (U, \phi : V \to u(U), x) \longmapsto V.\] La catégorie fibre de \(u_{pp}\mathcal{S}\) au-dessus d’un objet \(V\) de \(\mathcal{D}\) n’admet pas de description simple.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) soit une catégorie fibrée,

2. \(\mathcal{C}\) possède les limites finies non vides, et que

3. \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) commute aux limites finies non vides.

Considérons l’ensemble \(R \subset \text{Flèches}(u_{pp}\mathcal{S})\) des morphismes de la forme \[(a, \text{id}_V, \alpha) : (U', \phi' : V \to u(U'), x') \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] où \(\alpha\) est fortement cartésien. Alors \(R\) est un système multiplicatif à droite.

Démonstration

D’après Catégories, Définition 04VC, nous devons vérifier RMS1, RMS2 et RMS3. La condition RMS1 est satisfaite, car une composée de morphismes fortement cartésiens est fortement cartésienne ; voir Catégories, Lemme 02XL.

Pour vérifier RMS2, supposons donnés un morphisme \[(a, b, \alpha) : (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] de \(u_{pp}\mathcal{S}\) et un morphisme \[(c, \text{id}_V, \gamma) : (U', \phi' : V \to u(U'), x') \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] où \(\gamma\) est fortement cartésien, appartenant à \(R\). Dans cette situation, posons \(U'_1 = U_1 \times_U U'\), et notons \(a' : U'_1 \to U'\) et \(c' : U'_1 \to U_1\) les projections. Puisque \(u(U'_1) = u(U_1) \times_{u(U)} u(U')\), \(\phi'_1 = (\phi_1, \phi') : V_1 \to u(U'_1)\) est un morphisme de \(\mathcal{D}\). Soit \(\gamma_1 : x_1' \to x_1\) un morphisme fortement cartésien de \(\mathcal{S}\) tel que \(p(\gamma_1) = \phi'_1\) (il existe puisque \(\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{C}\)). Comme \(\gamma : x' \to x\) est fortement cartésien, il existe alors un unique morphisme \(\alpha' : x'_1 \to x'\) tel que \(p(\alpha') = a'\). À ce stade, nous voyons que \[(a', b, \alpha') : (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U'_1), x'_1) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U'), x')\] est un morphisme et que \[(c', \text{id}_{V_1}, \gamma_1) : (U'_1, \phi'_1 : V_1 \to u(U'_1), x'_1) \longrightarrow (U_1, \phi : V_1 \to u(U_1), x_1)\] est un élément de \(R\) ; ensemble, ces morphismes donnent une solution au problème d’existence posé par RMS2.

Enfin, supposons que \[(a, b, \alpha), (a', b', \alpha') : (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] soient deux morphismes de \(u_{pp}\mathcal{S}\) et supposons que \[(c, \text{id}_V, \gamma) : (U, \phi : V \to u(U), x) \longrightarrow (U', \phi : V \to u(U'), x')\] soit un élément de \(R\) qui égalise les morphismes \((a, b, \alpha)\) et \((a', b', \alpha')\). Cela implique en particulier que \(b = b'\). Soit \(d : U_2 \to U_1\) l’égalisateur de \(a, a'\), lequel existe (voir Catégories, Lemme 04AU). En outre, \(u(d) : u(U_2) \to u(U_1)\) est l’égalisateur de \(u(a), u(a')\) ; il existe donc (puisque \(b = b'\)) un morphisme \(\phi_2 : V_1 \to u(U_2)\) tel que \(\phi_1 = u(d) \circ \phi_1\). Soit \(\delta : x_2 \to x_1\) un morphisme fortement cartésien de \(\mathcal{S}\) tel que \(p(\delta) = u(d)\). Nous affirmons maintenant que \(\alpha \circ \delta = \alpha' \circ \delta\). C’est vrai parce que \(\gamma\) est fortement cartésien, \(\gamma \circ \alpha \circ \delta = \gamma \circ \alpha' \circ \delta\), et \(p(\alpha \circ \delta) = p(\alpha' \circ \delta)\). Par conséquent, la flèche \[(d, \text{id}_{V_1}, \delta) : (U_2, \phi_2 : V_1 \to u(U_2), x_2) \longrightarrow (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1)\] est un élément de \(R\) et égalise \((a, b, \alpha)\) et \((a', b', \alpha')\). Ainsi, \(R\) satisfait également RMS3.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses du Lemme 04WF, posons \(u_p\mathcal{S} = R^{-1}u_{pp}\mathcal{S}\) ; voir Catégories, section 04VB. Alors \(u_p\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée au-dessus de \(\mathcal{D}\).

Démonstration

Nous utilisons la description de \(u_p\mathcal{S}\) donnée juste avant Catégories, Lemme 04VH. Remarquons que le foncteur \(p_{pp} : u_{pp}\mathcal{S} \to \mathcal{D}\) transforme tout élément de \(R\) en un morphisme identité. Ainsi, d’après Catégories, Lemme 04VK, nous obtenons un foncteur canonique \(p_p : u_p\mathcal{S} \to \mathcal{D}\) qui prolonge le foncteur donné. C’est ainsi que nous considérons \(u_p\mathcal{S}\) comme une catégorie au-dessus de \(\mathcal{D}\).

Nous voulons d’abord caractériser les morphismes fortement cartésiens au-dessus de \(\mathcal{D}\) dans \(u_p\mathcal{S}\). Un morphisme \(f : X \to Y\) de \(u_p\mathcal{S}\) est la classe d’équivalence d’un couple \((f' : X' \to Y, r : X' \to X)\) avec \(r \in R\). En effet, dans \(u_p\mathcal{S}\), nous avons \(f = (f', 1) \circ (r, 1)^{-1}\) avec les notations évidentes. Remarquons qu’un isomorphisme est toujours fortement cartésien, de même qu’une composée de morphismes fortement cartésiens ; voir Catégories, Lemme 02XL. Ainsi, \(f\) est fortement cartésien si et seulement si \((f', 1)\) l’est. L’affirmation suivante caractérise donc complètement les morphismes fortement cartésiens. Affirmation : un morphisme \[(a, b, \alpha) : X_1 = (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U_2, \phi_2 : V_2 \to u(U_2), x_2) = X_2\] de \(u_{pp}\mathcal{S}\) a une image \(f = ((a, b, \alpha), 1)\) fortement cartésienne dans \(u_p\mathcal{S}\) si et seulement si \(\alpha\) est un morphisme fortement cartésien de \(\mathcal{S}\).

Supposons \(\alpha\) fortement cartésien. Soit \(X = (U, \phi : V \to u(U), x)\) un autre objet, et soit \(f_2 : X \to X_2\) un morphisme de \(u_p\mathcal{S}\) tel que \(p_p(f_2) = b \circ b_1\) pour un certain \(b_1 : U \to U_1\). Pour montrer que \(f\) est fortement cartésien, nous devons montrer qu’il existe un unique morphisme \(f_1 : X \to X_1\) dans \(u_p\mathcal{S}\) tel que \(p_p(f_1) = b_1\) et \(f_2 = f \circ f_1\) dans \(u_p\mathcal{S}\). Écrivons \(f_2 = (f'_2 : X' \to X_2, r : X' \to X)\). Là encore, nous pouvons écrire \(f_2 = (f'_2, 1) \circ (r, 1)^{-1}\) dans \(u_p\mathcal{S}\). Puisque \((r, 1)\) est un isomorphisme dont l’image dans \(\mathcal{D}\) est une identité, nous voyons que trouver un morphisme \(f_1 : X \to X_1\) possédant les propriétés requises revient à trouver un morphisme \(f'_1 : X' \to X_1\) dans \(u_p\mathcal{S}\) tel que \(p(f'_1) = b_1\) et \(f'_2 = f \circ f'_1\). Nous pouvons donc supposer que \(f_2\) est de la forme \(f_2 = ((a_2, b_2, \alpha_2), 1)\) avec \(b_2 = b \circ b_1\). Voici un diagramme : \[\xymatrix{ & & (U_1, V_1 \to u(U_1), x_1) \ar[d]^{(a, b, \alpha)} \\ (U, V \to u(U), x) \ar[rr]^{(a_2, b_2, \alpha_2)} & & (U_2, V_2 \to u(U_2), x_2) }\] La construction du morphisme \(f_1\) est maintenant claire. Posons en effet \(U' = U \times_{U_2} U_1\), avec pour projections \(c : U' \to U\) et \(a_1 : U' \to U_1\). Choisissons un morphisme fortement cartésien \(\gamma : x' \to x\) relevant le morphisme \(c\). Puisque \(b_2 = b \circ b_1\) et que \(u(U') = u(U) \times_{u(U_2)} u(U_1)\), nous avons \(\phi' = (\phi, \phi_1 \circ b_1) : V \to u(U')\). Comme \(\alpha\) est fortement cartésien et que \(a \circ a_1 = a_2 \circ c = p(\alpha_2 \circ \gamma)\), il existe un morphisme \(\alpha_1 : x' \to x_1\) relevant \(a_1\) tel que \(\alpha \circ \alpha_1 = \alpha_2 \circ \gamma\). Posons \(X' = (U', \phi' : V \to u(U'), x')\). Nous voyons ainsi que \[f_1 = ((a_1, b_1, \alpha_1) : X' \to X_1, (c, \text{id}_V, \gamma) : X' \to X) : X \longrightarrow X_1\] convient ; en effet, le diagramme \[\xymatrix{ (U', \phi' : V \to u(U'), x') \ar[d]_{(c, \text{id}_V, \gamma)} \ar[rr]_{(a_1, b_1, \alpha_1)} & & (U_1, V_1 \to u(U_1), x_1) \ar[d]^{(a, b, \alpha)} \\ (U, V \to u(U), x) \ar[rr]^{(a_2, b_2, \alpha_2)} & & (U_2, V_2 \to u(U_2), x_2) }\] est commutatif par construction. Cela démontre l’existence.

Démontrons ensuite l’unicité, toujours dans le cas particulier \(f = ((a, b, \alpha), 1)\) et \(f_2 = ((a_2, b_2, \alpha_2), 1)\). Nous recommandons vivement au lecteur de passer cette partie. Supposons que \(g_1, g'_1 : X \to X_1\) soient deux morphismes de \(u_p\mathcal{S}\) tels que \(p_p(g_1) = p_p(g'_1) = b_1\) et \(f_2 = f \circ g_1 = f \circ g'_1\). Notre but est de montrer que \(g_1 = g'_1\). D’après Catégories, Lemme 04VI, nous pouvons représenter \(g_1\) et \(g'_1\) par les classes d’équivalence de \((f_1 : X' \to X_1, r : X' \to X)\) et \((f'_1 : X' \to X_1, r : X' \to X)\) pour un certain \(r \in R\). D’après Catégories, Lemme 04VJ, l’égalité \(f_2 = f \circ g_1 = f \circ g'_1\) signifie qu’il existe un morphisme \(r' : X'' \to X'\) dans \(u_{pp}\mathcal{S}\) tel que \(r' \circ r \in R\) et \[(a, b, \alpha) \circ f_1 \circ r' = (a, b, \alpha) \circ f'_1 \circ r' = (a_2, b_2, \alpha_2) \circ r'\] dans \(u_{pp}\mathcal{S}\). Remarquons que \(g_1\) est maintenant représenté par \((f_1 \circ r', r \circ r')\) et de même pour \(g'_1\). Nous pouvons donc supposer que \[(a, b, \alpha) \circ f_1 = (a, b, \alpha) \circ f'_1 = (a_2, b_2, \alpha_2).\] Écrivons \(r = (c, \text{id}_V, \gamma) : (U', \phi' : V \to u(U'), x')\), \(f_1 = (a_1, b_1, \alpha_1)\) et \(f'_1 = (a'_1, b_1, \alpha'_1)\). Nous avons utilisé ici la condition \(p_p(g_1) = p_p(g'_1)\). Les égalités précédentes équivalent maintenant à \(a \circ a_1 = a \circ a'_1 = a_2 \circ c\) et \(\alpha \circ \alpha_1 = \alpha \circ \alpha'_1 = \alpha_2 \circ \gamma\). Dans cette situation, il n’est pas nécessaire que \(a_1 = a'_1\). Nous devons donc précomposer par un morphisme supplémentaire appartenant à \(R\). Soit en effet \(U'' = \text{Eq}(a_1, a'_1)\) l’égalisateur de \(a_1\) et \(a'_1\), qui est un sous-objet de \(U'\). Notons \(c' : U'' \to U'\) le monomorphisme canonique. En raison des relations entre les morphismes ci-dessus, nous voyons que \(V \to u(U')\) se factorise par \(u(U'') = u(\text{Eq}(a_1, a'_1)) = \text{Eq}(u(a_1), u(a'_1))\). Nous obtenons donc un nouvel objet \((U'', \phi'' : V \to u(U''), x'')\), où \(\gamma' : x'' \to x'\) est un morphisme fortement cartésien relevant \(\gamma\). Nous voyons alors que nous pouvons précomposer \(f_1\) et \(f'_1\) par l’élément \((c', \text{id}_V, \gamma')\) de \(R\). Après cette opération, c’est-à-dire après avoir remplacé \((U', \phi' : V \to u(U'), x')\) par \((U'', \phi'' : V \to u(U''), x'')\), nous nous retrouvons dans la situation précédente, avec en outre \(a_1 = a'_1\). Dans ce cas, il résulte formellement du fait que \(\alpha\) est fortement cartésien (!) que \(\alpha_1 = \alpha'_1\). Cela montre que \(g_1 = g'_1\), comme souhaité.

Nous omettons la démonstration du fait que, pour tout morphisme fortement cartésien de \(u_p\mathcal{S}\) de la forme \(((a, b, \alpha), 1)\), le morphisme \(\alpha\) est fortement cartésien dans \(\mathcal{S}\). (Nous n’avons pas besoin de cette caractérisation des morphismes fortement cartésiens dans la suite de la démonstration, bien que nous l’utilisions plus loin dans cette section.)

Soit \((U, \phi : V \to u(U), x)\) un objet de \(u_p\mathcal{S}\). Soit \(b : V' \to V\) un morphisme de \(\mathcal{D}\). Alors le morphisme \[(\text{id}_U, b, \text{id}_x) : (U, \phi \circ b : V' \to u(U), x) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] est fortement cartésien d’après le résultat des paragraphes précédents, ce qui conclut la démonstration.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses du Lemme 04WG, si \(\mathcal{S}\) est fibrée en groupoïdes, alors \(u_p\mathcal{S}\) est fibrée en groupoïdes.

Démonstration

D’après le Lemme 04WG, nous savons que \(u_p\mathcal{S}\) est une catégorie fibrée. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(u_p\mathcal{S}\) tel que \(p_p(f) = \text{id}_V\). Il suffit de montrer que \(f\) est inversible ; voir Catégories, Lemme 003V. Écrivons \(f\) comme la classe d’équivalence d’un couple \(((a, b, \alpha), r)\) avec \(r \in R\). Alors \(p_p(r) = \text{id}_V\), donc \(p_{pp}((a, b, \alpha)) = \text{id}_V\). Par conséquent, \(b = \text{id}_V\). Or tout morphisme de \(\mathcal{S}\) est fortement cartésien ; voir Catégories, Lemme 003V. Ainsi, \((a, b, \alpha) \in R\) est inversible dans \(u_p\mathcal{S}\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Soient \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) et \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{D}\) des catégories au-dessus de \(\mathcal{C}\) et de \(\mathcal{D}\). Supposons que

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) soit une catégorie fibrée,

2. \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{D}\) soit une catégorie fibrée,

3. \(\mathcal{C}\) possède les limites finies non vides, et que

4. \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) commute aux limites finies non vides.

Alors nous avons une équivalence canonique de catégories \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T}) = \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T})\] entre les catégories de morphismes.

Démonstration

Dans cette démonstration, nous employons la notation \(x/U\) pour désigner un objet \(x\) de \(\mathcal{S}\) situé au-dessus de \(U\) dans \(\mathcal{C}\). De même, \(y/V\) désigne un objet \(y\) de \(\mathcal{T}\) situé au-dessus de \(V\) dans \(\mathcal{D}\). Dans le même esprit, \(\alpha/a : x/U \to x'/U'\) désigne le morphisme \(\alpha : x \to x'\) dont l’image est \(a : U \to U'\) dans \(\mathcal{C}\).

Soit \(G : u_p\mathcal{S} \to \mathcal{T}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées au-dessus de \(\mathcal{D}\). Notons \(G' : u_{pp}\mathcal{S} \to \mathcal{T}\) la composée de \(G\) avec le foncteur canonique (de localisation) \(u_{pp}\mathcal{S} \to u_p\mathcal{S}\). Considérons alors le foncteur \(H : \mathcal{S} \to u^p\mathcal{T}\) donné par \[H(x/U) = (U, G'(U, \text{id}_{u(U)} : u(U) \to u(U), x))\] sur les objets et par \[H((\alpha, a) : x/U \to x'/U') = G'(a, u(a), \alpha)\] sur les morphismes. Comme \(G\) transforme les morphismes fortement cartésiens en morphismes fortement cartésiens, nous voyons que, si \(\alpha\) est fortement cartésien, alors \(H(\alpha)\) est fortement cartésien. En effet, nous avons vu dans la démonstration du Lemme 04WG que, dans ce cas, l’application \((a, u(a), \alpha)\) devient fortement cartésienne dans \(u_p\mathcal{S}\). Cette construction est manifestement fonctorielle en \(G\), et nous obtenons un foncteur \[A : \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T}) \longrightarrow \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T})\]

Réciproquement, soit \(H : \mathcal{S} \to u^p\mathcal{T}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées. Rappelons qu’un objet de \(u^p\mathcal{T}\) est un couple \((U, y)\) avec \(y \in \Ob(\mathcal{T}_{u(U)})\). Notons \(\text{pr} : u^p\mathcal{T} \to \mathcal{T}\) le foncteur \((U, y) \mapsto y\). Dans ce cas, nous définissons un foncteur \(G' : u_{pp}\mathcal{S} \to \mathcal{T}\) par les règles \[G'(U, \phi : V \to u(U), x) = \phi^*\text{pr}(H(x))\] sur les objets et, sur les morphismes, par \[G'((a, b, \alpha) : (U, \phi : V \to u(U), x) \to (U', \phi' : V' \to u(U'), x')) = \beta\] où \(\beta : \phi^*\text{pr}(H(x)) \to (\phi')^*\text{pr}(H(x'))\) est l’unique morphisme tel que \(q(\beta) = b\) et que le diagramme \[\xymatrix{ \phi^*\text{pr}(H(x)) \ar[d] \ar[r]_-{\beta} & (\phi')^*\text{pr}(H(x')) \ar[d] \\ \text{pr}(H(x)) \ar[r]^{\text{pr}(H(a, \alpha))} & \text{pr}(H(x')) }\] soit commutatif. Un tel morphisme existe et est unique parce que \(\mathcal{T}\) est une catégorie fibrée.

Vérifions que \(G'(r)\) est un isomorphisme si \(r \in R\). En effet, si \[(a, \text{id}_V, \alpha) : (U', \phi' : V \to u(U'), x') \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] avec \(\alpha\) fortement cartésien est un élément du système multiplicatif à droite \(R\) du Lemme 04WF, alors \(H(\alpha)\) est fortement cartésien, et \(\text{pr}(H(\alpha))\) est fortement cartésien ; voir la démonstration du Lemme 04WB. Dans ce cas, le morphisme \(\beta\) vérifie donc \(q(\beta) = \text{id}_V\) et est fortement cartésien. Ainsi, \(\beta\) est un isomorphisme d’après Catégories, Lemme 02XL. Par conséquent, d’après Catégories, Lemme 04VK, nous obtenons un prolongement canonique \(G : u_p\mathcal{S} \to \mathcal{T}\).

Montrons ensuite que \(G\) transforme les morphismes fortement cartésiens en morphismes fortement cartésiens. Supposons que \(f : X \to Y\) soit fortement cartésien. D’après la caractérisation des morphismes fortement cartésiens dans \(u_p\mathcal{S}\), nous pouvons écrire \(f\) sous la forme \(((a, b, \alpha) : X' \to Y, r : X' \to Y)\), où \(r \in R\) et où \(\alpha\) est fortement cartésien dans \(\mathcal{S}\). D’après ce qui précède, il suffit de montrer que \(G'(a, b \alpha)\) est fortement cartésien. Comme précédemment, la condition que \(\alpha\) soit fortement cartésien implique que \(\text{pr}(H(a, \alpha)) : \text{pr}(H(x)) \to \text{pr}(H(x'))\) est fortement cartésien dans \(\mathcal{T}\). Puisque, dans le carré commutatif ci-dessus, toutes les flèches sauf peut-être \(\beta\) sont maintenant fortement cartésiennes, il s’ensuit que \(\beta\) est lui aussi fortement cartésien, comme souhaité. La construction \(H \mapsto G\) est manifestement fonctorielle en \(H\), et nous obtenons un foncteur \[B : \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T}) \longrightarrow \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T})\] Pour achever la démonstration du lemme, il faut montrer que les foncteurs \(A\) et \(B\) sont quasi-inverses l’un de l’autre. Nous omettons les vérifications.

Définition

Soit \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un morphisme de sites donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) qui satisfait les hypothèses et les conclusions de Sites, Proposition 00X6. Soit \(\mathcal{S}\) un champ sur \(\mathcal{C}\). Dans ce cadre, nous notons \(f^{-1}\mathcal{S}\) la champification de la catégorie fibrée \(u_p\mathcal{S}\) au-dessus de \(\mathcal{D}\) construite ci-dessus. Nous disons que \(f^{-1}\mathcal{S}\) est l’image inverse de \(\mathcal{S}\) par \(f\).

Bien entendu, si \(\mathcal{S}\) est un champ en groupoïdes, alors \(f^{-1}\mathcal{S}\) est un champ en groupoïdes d’après les Lemmes 02ZP et 04WH.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un morphisme de sites donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) qui satisfait les hypothèses et les conclusions de Sites, Proposition 00X6. Soient \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\) et \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{D}\) des champs. Alors nous avons une équivalence canonique de catégories \[\Mor_{\textit{Champs}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, f_*\mathcal{T}) = \Mor_{\textit{Champs}/\mathcal{D}}(f^{-1}\mathcal{S}, \mathcal{T})\] entre les catégories de morphismes.

Démonstration

Pour \(i = 1, 2\), un \(i\)-morphisme de champs est la même chose qu’un \(i\)-morphisme de catégories fibrées ; voir la Définition 02ZG. D’après le Lemme 04WI, nous avons déjà \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T}) = \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T})\] Le résultat découle donc du Lemme 04W9, puisque \(u^p\mathcal{T} = f_*\mathcal{T}\) et que \(f^{-1}\mathcal{S}\) est la champification de \(u_p\mathcal{S}\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un morphisme de sites donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) qui satisfait les hypothèses et les conclusions de Sites, Proposition 00X6. Soit \(\mathcal{S} \to \mathcal{C}\) une catégorie fibrée, et soit \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) la champification de \(\mathcal{S}\). Alors \(f^{-1}\mathcal{S}'\) est la champification de \(u_p\mathcal{S}\).

Démonstration

Omis. Indication : C’est l’analogue de Sites, Lemme 00WY.

Le lemme suivant nous dit que la \(2\)-catégorie des champs sur \(\Sch_{fppf}\) est une “2-sous-catégorie pleine” de la \(2\)-catégorie des champs sur \(\Sch'_{fppf}\) dès que \(\Sch'_{fppf}\) contient \(\Sch_{fppf}\) (voir Topologies, section 022I).

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur satisfaisant aux hypothèses de Sites, Lemme 00XU. Soit \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) le morphisme de sites correspondant. Alors

1. pour tout champ \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\), le foncteur canonique \(\mathcal{S} \to f_*f^{-1}\mathcal{S}\) est une équivalence de champs ;

2. étant donnés des champs \(\mathcal{S}, \mathcal{S}'\) sur \(\mathcal{C}\), la construction \(f^{-1}\) induit une équivalence \[\Mor_{\textit{Champs}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, \mathcal{S}') \longrightarrow \Mor_{\textit{Champs}/\mathcal{D}}(f^{-1}\mathcal{S}, f^{-1}\mathcal{S}')\] entre les catégories de morphismes.

Démonstration

Remarquons que, d’après le Lemme 04WK, nous avons une équivalence de catégories \[\Mor_{\textit{Champs}/\mathcal{D}}(f^{-1}\mathcal{S}, f^{-1}\mathcal{S}') = \Mor_{\textit{Champs}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, f_*f^{-1}\mathcal{S}')\] Ainsi, (2) découle de (1).

Pour démontrer (1), nous allons utiliser le Lemme 046N. Ce lemme nous dit qu’il faut montrer que \(can : \mathcal{S} \to f_*f^{-1}\mathcal{S}\) est pleinement fidèle et que tous les objets de \(f_*f^{-1}\mathcal{S}\) sont localement dans l’image essentielle.

Décrivons rapidement le foncteur \(can\) ; voir la démonstration du Lemme 04WI. Pour ce faire, introduisons le foncteur \(c'' : \mathcal{S} \to u_{pp}\mathcal{S}\) défini par \(c''(x/U) = (U, \text{id} : u(U) \to u(U), x)\) et \(c''(\alpha/a) = (a, u(a), \alpha)\). Nous définissons \(c' : \mathcal{S} \to u_p\mathcal{S}\) comme la composée de \(c''\) et du foncteur canonique \(u_{pp}\mathcal{S} \to u_p\mathcal{S}\). Nous définissons \(c : \mathcal{S} \to f^{-1}\mathcal{S}\) comme la composée de \(c'\) et du foncteur canonique \(u_p\mathcal{S} \to f^{-1}\mathcal{S}\). Alors \(can : \mathcal{S} \to f_*f^{-1}\mathcal{S}\) est le foncteur qui associe à \(x/U\) le couple \((U, c(x))\) et à \(\alpha/a\) le morphisme \((a, c(\alpha))\).

Pleine fidélité. Pour la démontrer, nous allons utiliser le Lemme 04WQ. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Soient \(x, y \in \mathcal{S}_U\). Tout d’abord, comme \(u\) est pleinement fidèle, nous avons \[\Mor_{(f_*f^{-1}\mathcal{S})_U}(can(x), can(y)) = \Mor_{(f^{-1}\mathcal{S})_{u(U)}}(c(x), c(y))\] directement par la définition de \(f_*\). Il en va de même après changement de base à tout \(U'/U\). Puisque \(f^{-1}\mathcal{S}\) est la champification de \(u_p\mathcal{S}\), et puisque \(u\) est continu et cocontinu, le préfaisceau \[U'/U \longmapsto \Mor_{(f^{-1}\mathcal{S})_{u(U')}}(c(x|_{U'}), c(y|_{U'}))\] est le faisceau associé au préfaisceau \[U'/U \longmapsto \Mor_{(u_p\mathcal{S})_{u(U')}}(c'(x|_{U'}), c'(y|_{U'}))\] Ainsi, pour achever la démonstration de la pleine fidélité, il suffit de montrer que, quels que soient \(U\) et \(x, y\), l’application \[\Mor_{\mathcal{S}_U}(x, y) \longrightarrow \Mor_{(u_p\mathcal{S})_U}(c'(x), c'(y))\] est bijective. Un morphisme \(f : x \to y\) dans \(u_p\mathcal{S}\) au-dessus de \(u(U)\) est donné par une classe d’équivalence de diagrammes \[\xymatrix{ (U', \phi : u(U) \to u(U'), x') \ar[d]_{(c, \text{id}_{u(U)}, \gamma)} \ar[r]_{(a, b, \alpha)} & (U, \text{id} : u(U) \to u(U), y) \\ (U, \text{id} : u(U) \to u(U), x) }\] avec \(\gamma\) fortement cartésien et \(b = \text{id}_{u(U)}\). Mais, puisque \(u\) est pleinement fidèle, nous pouvons écrire \(\phi = u(c')\) pour un morphisme \(c' : U \to U'\) ; nous voyons alors que \(a \circ c' = \text{id}_U\) et \(c \circ c' = \text{id}_{U'}\). Comme \(\gamma\) est fortement cartésien, nous pouvons trouver un morphisme \(\gamma' : x \to x'\) relevant \(c'\) tel que \(\gamma \circ \gamma' = \text{id}_x\). Par définition des classes d’équivalence qui définissent les morphismes dans \(u_p\mathcal{S}\), il s’ensuit que le morphisme \[\xymatrix{ (U, \text{id} : u(U) \to u(U), x) \ar[rr]_{(\text{id}, \text{id}, \alpha \circ \gamma')} & & (U, \text{id} : u(U) \to u(U), y) }\] de \(u_{pp}\mathcal{S}\) induit le morphisme \(f\) dans \(u_p\mathcal{S}\). Cela prouve que l’application est surjective. Nous omettons la démonstration de son injectivité.

Enfin, nous devons montrer que tout objet de \(f_*f^{-1}\mathcal{S}\) provient localement d’un objet de \(\mathcal{S}\). Cela ressort des constructions (détails omis).

Champs et localisation

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Nous voulons interpréter les champs sur \(\mathcal{C}/U\) comme des champs sur \(\mathcal{C}\) munis d’un morphisme vers \(U\). Le lemme suivant explique pourquoi cela est plus facile lorsque le préfaisceau \(h_U\) est un faisceau.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Alors \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) est un champ sur \(\mathcal{C}\) si et seulement si \(h_U\) est un faisceau.

Démonstration

Combiner le Lemme 0432 avec Catégories, Exemple 0044.

Supposons que \(\mathcal{C}\) soit un site et que \(U\) soit un objet de \(\mathcal{C}\) dont le préfaisceau représentable associé soit un faisceau. Nous notons \(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) le foncteur de localisation.

Construction A. Soit \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}/U\) un champ sur le site \(\mathcal{C}/U\). Nous définissons un champ \(j_!p : j_!\mathcal{S} \to \mathcal{C}\) comme suit :

1. En tant que catégorie, \(j_!\mathcal{S} = \mathcal{S}\), et

2. le foncteur \(j_!p : j_!\mathcal{S} \to \mathcal{C}\) est simplement la composée \(j \circ p\).

Nous omettons la vérification qu’il s’agit d’un champ (indication : utiliser le fait que \(h_U\) est un faisceau pour recoller les morphismes vers \(U\)). Il existe un foncteur canonique \[j_!\mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{C}/U\] à savoir le foncteur \(p\), qui est un \(1\)-morphisme de champs sur \(\mathcal{C}\).

Construction B. Soit \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{C}\) un champ sur \(\mathcal{C}\) muni d’un morphisme de champs \(p : \mathcal{T} \to \mathcal{C}/U\) sur \(\mathcal{C}\). Alors \(p : \mathcal{T} \to \mathcal{C}/U\) est automatiquement un champ sur \(\mathcal{C}/U\).

Lemme

Supposons que \(\mathcal{C}\) soit un site et que \(U\) soit un objet de \(\mathcal{C}\) dont le préfaisceau représentable associé soit un faisceau. Les constructions A et B ci-dessus définissent des foncteurs de \(2\)-catégories mutuellement inverses (!) \[\left\{ \begin{matrix} 2\text{-catégorie des}\\ \text{champs sur }\mathcal{C}/U \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2\text{-catégorie des couples }(\mathcal{T}, p) \text{ constitués} \\ \text{d'un champ }\mathcal{T}\text{ sur }\mathcal{C}\text{ et d'un morphisme} \\ p : \mathcal{T} \to \mathcal{C}/U\text{ de champs sur }\mathcal{C} \end{matrix} \right\}\]

Démonstration

C’est clair.