Faisceaux sur les champs algébriques

Introduction

Il existe une multitude de façons d’envisager les faisceaux sur les champs algébriques. Dans ce chapitre, nous présentons une approche particulièrement bien adaptée à nos fondements pour les champs algébriques. Chaque fois que nous introduirons un type de faisceaux, nous préciserons sa relation exacte avec les notions analogues de la littérature. Le but de ce chapitre est d’énoncer les résultats qui sont soit évidents, soit faciles à démontrer, et de réserver les constructions plus délicates pour plus tard.

En fait, il s’avère que, pour élaborer une théorie pleinement développée des faisceaux étales constructibles, ou encore une étude adéquate des catégories dérivées de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents, il faut un travail considérable ; voir [olsson_sheaves]. Nous y reviendrons dans Cohomologie des champs, section 073Q.

Dans la littérature et les articles de recherche consacrés aux faisceaux sur les champs algébriques, le site lisse-étale d’un champ algébrique joue souvent un rôle majeur. Il s’agit toutefois d’un objet problématique : un morphisme de champs algébriques n’induit pas, en général, de morphisme de topos lisses-étales. Nous avons donc choisi d’éviter toute mention du site lisse-étale aussi longtemps que possible. Les arguments qui utilisent traditionnellement le site lisse-étale seront remplacés par des arguments faisant appel à un recouvrement de Čech dans le site \(\mathcal{X}_{smooth}\) défini ci-dessous.

Certaines notations, conventions et certains termes de ce chapitre sont peu commodes et pourront sembler contraires aux usages au lecteur expérimenté. C’est intentionnel. Voir Quotients, section 05X6, pour une explication.

Conventions

Les conventions employées dans ce chapitre sont les mêmes que dans le chapitre sur les champs algébriques ; voir Champs algébriques, section 026M. Nous les répétons ici par commodité.

Nous travaillons dans un grand site fppf convenable \(\Sch_{fppf}\), comme dans Topologies, Définition 021R. Ainsi, sauf indication contraire explicite, tous les schémas seront des objets de \(\Sch_{fppf}\). Nous indiquerons ailleurs ce qui change lorsqu’on remplace le grand site fppf (insérer ici une référence future).

Nous travaillerons toujours relativement à une base \(S\) appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Nous utiliserons alors le grand site fppf \((\Sch/S)_{fppf}\) ; voir Topologies, Définition 021S. On retrouve le cas absolu en prenant \(S = \Spec(\mathbf{Z})\).

Préfaisceaux

Dans cette section, nous définissons les préfaisceaux sur les catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), mais l’essentiel de la discussion vaut pour les catégories au-dessus d’une catégorie de base quelconque. Cette section sert aussi à introduire les notations que nous emploierons par la suite.

Définition

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes.

1. Un préfaisceau sur \(\mathcal{X}\) est un préfaisceau sur la catégorie sous-jacente à \(\mathcal{X}\).

2. Un morphisme de préfaisceaux sur \(\mathcal{X}\) est un morphisme de préfaisceaux sur la catégorie sous-jacente à \(\mathcal{X}\).

Nous notons \(\textit{PSh}(\mathcal{X})\) la catégorie des préfaisceaux sur \(\mathcal{X}\).

Cela définit les préfaisceaux d’ensembles. On peut bien entendu parler aussi de préfaisceaux d’ensembles pointés, de groupes abéliens, de groupes, de monoïdes, d’anneaux, de modules sur un anneau fixé, d’algèbres de Lie sur un corps fixé, etc. La catégorie des préfaisceaux abéliens, c’est-à-dire des préfaisceaux de groupes abéliens, est notée \(\textit{PAb}(\mathcal{X})\).

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Rappelons que cela signifie simplement que \(f\) est un foncteur au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Les résultats de Sites, section 00XF, nous fournissent une paire de foncteurs adjoints¹ [06TK]\[\begin{equation} f^p : \textit{PSh}(\mathcal{Y}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{X}) \quad\text{et}\quad {}_pf : \textit{PSh}(\mathcal{X}) \longrightarrow \textit{PSh}(\mathcal{Y}). \end{equation}\] L’adjonction s’écrit \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{X})}(f^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{Y})}(\mathcal{G}, {}_pf\mathcal{F})\] où \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{PSh}(\mathcal{X}))\) et \(\mathcal{G} \in \Ob(\textit{PSh}(\mathcal{Y}))\). Nous appelons \(f^p\mathcal{G}\) l’image réciproque de \(\mathcal{G}\). Il résulte des définitions que \[f^p\mathcal{G}(x) = \mathcal{G}(f(x))\] pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{X})\). Le préfaisceau \({}_pf\mathcal{F}\) est appelé l’image directe de \(\mathcal{F}\). Il est décrit par la formule \[({}_pf\mathcal{F})(y) = \lim_{f(x) \to y} \mathcal{F}(x).\] Le reste de cette section devrait probablement être déplacé dans le chapitre sur les sites et peut, en tout cas, être omis en première lecture.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Alors \((g \circ f)^p = f^p \circ g^p\) et il existe un isomorphisme canonique \({}_p(g \circ f) \to {}_pg \circ {}_pf\) compatible aux adjonctions de \((f^p, {}_pf)\), \((g^p, {}_pg)\) et \(((g \circ f)^p, {}_p(g \circ f))\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{H}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{Z}\). Alors \((g \circ f)^p\mathcal{H} = f^p (g^p\mathcal{H})\) est donné par les égalités \[(g \circ f)^p\mathcal{H}(x) = \mathcal{H}((g \circ f)(x)) = \mathcal{H}(g(f(x))) = f^p (g^p\mathcal{H})(x).\] Nous omettons de vérifier la compatibilité avec les applications de restriction.

Définissons ensuite la transformation \({}_p(g \circ f) \to {}_pg \circ {}_pf\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{X}\). Si \(z\) est un objet de \(\mathcal{Z}\), on obtient une catégorie \(\mathcal{J}\) de quadruplets \((x, f(x) \to y, y, g(y) \to z)\) et une catégorie \(\mathcal{I}\) de couples \((x, g(f(x)) \to z)\). Il existe un foncteur canonique \(\mathcal{J} \to \mathcal{I}\) qui envoie l’objet \((x, \alpha : f(x) \to y, y, \beta : g(y) \to z)\) sur \((x, \beta \circ f(\alpha) : g(f(x)) \to z)\). Il fournit la flèche dans \[\begin{align*} ({}_p(g \circ f)\mathcal{F})(z) & = \lim_{g(f(x)) \to z} \mathcal{F}(x) \\ & = \lim_\mathcal{I} \mathcal{F} \\ & \to \lim_\mathcal{J} \mathcal{F} \\ & = \lim_{g(y) \to z} \Big(\lim_{f(x) \to y} \mathcal{F}(x)\Big) \\ & = ({}_pg \circ {}_pf\mathcal{F})(x) \end{align*}\] par Catégories, Lemme 002L. Nous omettons de vérifier la compatibilité avec les applications de restriction. Au lieu de cette construction directe, on peut définir \({}_p(g \circ f) \cong {}_pg \circ {}_pf\) comme l’unique application compatible aux propriétés d’adjonction. Cette méthode présente aussi l’avantage de dispenser de démontrer la compatibilité.

La compatibilité aux adjonctions de \((f^p, {}_pf)\), \((g^p, {}_pg)\) et \(((g \circ f)^p, {}_p(g \circ f))\) signifie que, pour les préfaisceaux \(\mathcal{H}\) et \(\mathcal{F}\) ci-dessus, le diagramme suivant est commutatif : \[\xymatrix{ \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{X})}(f^pg^p\mathcal{H}, \mathcal{F}) \ar@{=}[r] \ar@{=}[d] & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{Y})}(g^p\mathcal{H}, {}_pf\mathcal{F}) \ar@{=}[r] & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{Y})}(\mathcal{H}, {}_pg{}_pf\mathcal{F}) \\ \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{X})}((g \circ f)^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \ar@{=}[rr] & & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{Y})}(\mathcal{G}, {}_p(g \circ f)\mathcal{F}) \ar[u] }\] Démonstration omise.

Lemme

Soient \(f, g : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(t : f \to g\) un \(2\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). À \(t\) sont associés des isomorphismes canoniques de foncteurs \[t^p : g^p \longrightarrow f^p \quad\text{et}\quad {}_pt : {}_pf \longrightarrow {}_pg\] compatibles aux adjonctions de \((f^p, {}_pf)\) et \((g^p, {}_pg)\), ainsi qu’aux compositions verticale et horizontale des \(2\)-morphismes.

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{Y}\). Alors \(t^p : g^p\mathcal{G} \to f^p\mathcal{G}\) est donné par la famille d’applications \[g^p\mathcal{G}(x) = \mathcal{G}(g(x)) \xrightarrow{\mathcal{G}(t_x)} \mathcal{G}(f(x)) = f^p\mathcal{G}(x)\] paramétrée par \(x \in \Ob(\mathcal{X})\). Cela a un sens puisque \(t_x : f(x) \to g(x)\) et que \(\mathcal{G}\) est un foncteur contravariant. Nous omettons de vérifier la compatibilité avec les applications de restriction.

Pour définir la transformation \({}_pt\), posons, pour \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\), que \({}_y^f\mathcal{I}\), resp. \({}_y^g\mathcal{I}\), est la catégorie des couples \((x, \psi : f(x) \to y)\), resp. \((x, \psi : g(x) \to y)\) ; voir Sites, section 00XF. Remarquons que \(t\) définit un foncteur \({}_yt : {}_y^g\mathcal{I} \to {}_y^f\mathcal{I}\) donné par la règle \[(x, g(x) \to y) \longmapsto (x, f(x) \xrightarrow{t_x} g(x) \to y).\] Pour un préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}\), remarquons que le composé de \({}_yt\) avec \(\mathcal{F} : {}_y^f\mathcal{I}^{opp} \to \textit{Ensembles}\), \((x, f(x) \to y) \mapsto \mathcal{F}(x)\), est égal à \(\mathcal{F} : {}_y^g\mathcal{I}^{opp} \to \textit{Ensembles}\). Ainsi, d’après Catégories, Lemme 002L, nous obtenons pour tout \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\) une application canonique \[({}_pf\mathcal{F})(y) = \lim_{{}_y^f\mathcal{I}} \mathcal{F} \longrightarrow \lim_{{}_y^g\mathcal{I}} \mathcal{F} = ({}_pg\mathcal{F})(y)\] Nous omettons de vérifier la compatibilité avec les applications de restriction. Au lieu de cette construction directe, on peut définir \({}_pt\) comme l’unique application compatible aux propriétés d’adjonction des couples \((f^p, {}_pf)\) et \((g^p, {}_pg)\) (voir ci-dessous). Cette méthode présente aussi l’avantage de dispenser de démontrer la compatibilité.

La compatibilité aux adjonctions de \((f^p, {}_pf)\) et \((g^p, {}_pg)\) signifie que, pour les préfaisceaux \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}\) ci-dessus, nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{X})}(f^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \ar@{=}[r] \ar[d]_{- \circ t^p} & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{Y})}(\mathcal{G}, {}_pf\mathcal{F}) \ar[d]^{{}_pt \circ -} \\ \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{X})}(g^p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \ar@{=}[r] & \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{Y})}(\mathcal{G}, {}_pg\mathcal{F}) }\] Démonstration omise. Indication : reprendre la démonstration de Sites, Lemme 00XH, et déduire la compatibilité de la description explicite des applications horizontales et verticales du diagramme.

Nous omettons de vérifier la compatibilité avec les compositions verticale et horizontale. Indication : pour \(t^p\), la démonstration est immédiate, et on peut en déduire que cela vaut pour les applications \({}_pt\) par compatibilité à l’adjonction.

Faisceaux

Commençons par une observation importante et triviale (surtout pour les lecteurs que les questions de théorie des ensembles ne préoccupent pas).

Considérons un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\) comme dans Topologies, Définition 021R, et notons \(\Sch_\alpha\) sa catégorie sous-jacente. Outre qu’elle est la catégorie sous-jacente à un site fppf, la catégorie \(\Sch_\alpha\) peut aussi servir de catégorie sous-jacente à un grand site de Zariski, un grand site étale, un grand site lisse et un grand site syntomique ; voir Topologies, Remarque 03FF. Nous notons ces sites \(\Sch_{Zar}\), \(\Sch_\etale\), \(\Sch_{smooth}\) et \(\Sch_{syntomic}\). Dans cette situation, puisque nous avons défini le grand site de Zariski \((\Sch/S)_{Zar}\) de \(S\), le grand site étale \((\Sch/S)_\etale\) de \(S\), le grand site lisse \((\Sch/S)_{smooth}\) de \(S\), le grand site syntomique \((\Sch/S)_{syntomic}\) de \(S\) et le grand site fppf \((\Sch/S)_{fppf}\) de \(S\) comme les localisations (voir Sites, section 00XZ) \(\Sch_{Zar}/S\), \(\Sch_\etale/S\), \(\Sch_{smooth}/S\), \(\Sch_{syntomic}/S\) et \(\Sch_{fppf}/S\) de ces grands sites (absolus), tous ont la même catégorie sous-jacente, à savoir \(\Sch_\alpha/S\).

Il s’ensuit que, si l’on se donne une catégorie \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) fibrée en groupoïdes, alors \(\mathcal{X}\) hérite de topologies de Zariski, étale, lisse, syntomique et fppf ; voir Champs, Définition 06NV.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\).

1. Le site de Zariski associé, noté \(\mathcal{X}_{Zar}\), est la structure de site sur \(\mathcal{X}\) héritée de \((\Sch/S)_{Zar}\).

2. Le site étale associé, noté \(\mathcal{X}_\etale\), est la structure de site sur \(\mathcal{X}\) héritée de \((\Sch/S)_\etale\).

3. Le site lisse associé, noté \(\mathcal{X}_{smooth}\), est la structure de site sur \(\mathcal{X}\) héritée de \((\Sch/S)_{smooth}\).

4. Le site syntomique associé, noté \(\mathcal{X}_{syntomic}\), est la structure de site sur \(\mathcal{X}\) héritée de \((\Sch/S)_{syntomic}\).

5. Le site fppf associé, noté \(\mathcal{X}_{fppf}\), est la structure de site sur \(\mathcal{X}\) héritée de \((\Sch/S)_{fppf}\).

La discussion précédente donne un sens à cette définition. Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique, la littérature appelle \(\mathcal{X}_{fppf}\) (ou un site qui lui est équivalent) le grand site fppf de \(\mathcal{X}\), et de même pour les autres. Nous emploierons parfois cette terminologie afin de distinguer cette construction d’autres constructions.

Remarque

Nous n’employons cette notation que lorsque le symbole \(\mathcal{X}\) désigne une catégorie fibrée en groupoïdes, et non un schéma, un espace algébrique, etc. Nous éviterons ainsi toute confusion avec le petit site étale d’un schéma ou d’un espace algébrique, que l’on note \(X_\etale\) (auquel cas la lettre capitale est romaine et non calligraphique).

Ces topologies étant définies, nous pouvons préciser ce qu’est un faisceau sur \(\mathcal{X}\), c’est-à-dire définir les topos correspondants.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{X}\).

1. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est un faisceau de Zariski, ou un faisceau pour la topologie de Zariski, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur le site de Zariski associé \(\mathcal{X}_{Zar}\).

2. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est un faisceau étale, ou un faisceau pour la topologie étale, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur le site étale associé \(\mathcal{X}_\etale\).

3. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est un faisceau lisse, ou un faisceau pour la topologie lisse, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur le site lisse associé \(\mathcal{X}_{smooth}\).

4. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est un faisceau syntomique, ou un faisceau pour la topologie syntomique, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur le site syntomique associé \(\mathcal{X}_{syntomic}\).

5. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est un faisceau fppf, ou un faisceau, ou encore un faisceau pour la topologie fppf, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur le site fppf associé \(\mathcal{X}_{fppf}\).

Un morphisme de faisceaux est simplement un morphisme de préfaisceaux. Nous notons ces catégories de faisceaux \(\Sh(\mathcal{X}_{Zar})\), \(\Sh(\mathcal{X}_\etale)\), \(\Sh(\mathcal{X}_{smooth})\), \(\Sh(\mathcal{X}_{syntomic})\) et \(\Sh(\mathcal{X}_{fppf})\).

On peut bien entendu parler aussi de faisceaux d’ensembles pointés, de groupes abéliens, de groupes, de monoïdes, d’anneaux, de modules sur un anneau fixé et d’algèbres de Lie sur un corps fixé, etc. La catégorie des faisceaux abéliens, c’est-à-dire des faisceaux de groupes abéliens, est notée \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_{fppf})\), et de même pour les autres topologies. Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique, alors \(\Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) est équivalente (aux questions ensemblistes près) à ce que la littérature appelle la catégorie des faisceaux sur le grand site fppf de \(\mathcal{X}\). Il en va de même pour les autres topologies. Nous emploierons parfois cette terminologie afin de distinguer cette construction d’autres constructions.

Puisque les topologies sont énumérées par finesse croissante, nous avons les inclusions strictement pleines suivantes : \[\Sh(\mathcal{X}_{fppf}) \subset \Sh(\mathcal{X}_{syntomic}) \subset \Sh(\mathcal{X}_{smooth}) \subset \Sh(\mathcal{X}_\etale) \subset \Sh(\mathcal{X}_{Zar}) \subset \textit{PSh}(\mathcal{X})\] Nous écrivons parfois \(\Sh(\mathcal{X}_{fppf}) = \Sh(\mathcal{X})\) et \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_{fppf}) = \textit{Ab}(\mathcal{X})\) conformément à notre convention selon laquelle un faisceau sur \(\mathcal{X}\) est un faisceau fppf sur \(\mathcal{X}\).

Dans ce cadre, la fonctorialité de ces topos est immédiate et elle est, de plus, compatible aux foncteurs d’inclusion ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Les foncteurs \({}_pf\) et \(f^p\) de (06TK) transforment les faisceaux pour \(\tau\) en faisceaux pour \(\tau\) et définissent un morphisme de topos \(f : \Sh(\mathcal{X}_\tau) \to \Sh(\mathcal{Y}_\tau)\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Champs, Lemme 06NW.

Autrement dit, l’image directe et l’image réciproque des préfaisceaux définies dans la section 06TI donnent aussi l’image directe et l’image réciproque des faisceaux pour \(\tau\). Compte tenu de ce qui précède, nous pouvons écrire \(f^p = f^{-1}\) et \({}_pf = f_*\) sans risque de confusion.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Nous notons \[f = (f^{-1}, f_*) : \Sh(\mathcal{X}_{fppf}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{Y}_{fppf})\] le morphisme de topos fppf associé construit ci-dessus. De même pour les topos de Zariski, étale, lisse et syntomique associés.

Comme expliqué dans Sites, section 00YR, la même formule (appliquée au faisceau d’ensembles sous-jacent) définit l’image directe et l’image réciproque des faisceaux (pour l’une de nos topologies) d’ensembles pointés, de groupes abéliens, de groupes, de monoïdes, d’anneaux, de modules sur un anneau fixé, d’algèbres de Lie sur un corps fixé, etc.

Calcul de l’image directe

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{X}\). Soit \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\). On peut calculer \(f_*\mathcal{F}(y)\) comme suit. Supposons que \(y\) soit au-dessus du schéma \(V\) et, au moyen du lemme de \(2\)-Yoneda, considérons \(y\) comme un \(1\)-morphisme. Considérons la projection \[\text{pr} : (\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X}\] On a alors une identification canonique [06W6]\[\begin{equation} f_*\mathcal{F}(y) = \Gamma\Big( (\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}, \ \text{pr}^{-1}\mathcal{F}\Big) \end{equation}\] En effet, les objets du \(2\)-produit fibré sont les triplets \((h : U \to V, x, f(x) \to h^*y)\). En omettant \(h\) dans la notation, cela équivaut à la donnée d’un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) et d’un morphisme \(\alpha : f(x) \to y\) de \(\mathcal{Y}\). Comme \(f_*\mathcal{F}(y) = \lim_{f(x) \to y} \mathcal{F}(x)\) par définition, l’égalité en résulte.

Nous en déduisons le résultat de « changement de base » suivant pour les images directes. Il est trivial et repose sur le fait que nous utilisons des « grands » sites.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] un diagramme \(2\)-cartésien de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(S\). On a alors un isomorphisme canonique \[g^{-1}f_*\mathcal{F} \longrightarrow f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] fonctoriel en le préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}\).

Démonstration

Pour tout objet \(y'\) de \(\mathcal{Y}'\) au-dessus de \(V\), il existe une équivalence \[(\Sch/V)_{fppf} \times_{g(y'), \mathcal{Y}} \mathcal{X} = (\Sch/V)_{fppf} \times_{y', \mathcal{Y}'} (\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})\] D’où, par (06W6), une bijection \(g^{-1}f_*\mathcal{F}(y') \to f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}(y')\). Nous omettons de vérifier la compatibilité avec les applications de restriction.

Dans le cas d’un morphisme représentable de catégories fibrées en groupoïdes, la formule (06W6) se simplifie. Nous conseillons au lecteur d’omettre le reste de cette section.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est représentable, et

2. pour tout \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\), le foncteur \(\mathcal{X}^{opp} \to \textit{Ensembles}\), \(x \mapsto \Mor_\mathcal{Y}(f(x), y)\) est représentable.

Démonstration

Selon la discussion de Champs algébriques, section 04ST, \(f\) est représentable si et seulement si, pour tout \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U\), le \(2\)-produit fibré \((\Sch/U)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) est représentable, c’est-à-dire de la forme \((\Sch/V_y)_{fppf}\) pour un schéma \(V_y\) au-dessus de \(U\). Les objets de ce \(2\)-produit fibré sont les triplets \((h : V \to U, x, \alpha : f(x) \to h^*y)\) où \(\alpha\) est au-dessus de \(\text{id}_V\). En omettant \(h\) dans la notation, cela équivaut à la donnée d’un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) et d’un morphisme \(f(x) \to y\). Ainsi, le \(2\)-produit fibré est représenté par \(V_y\) et \(f(x_y) \to y\), où \(x_y\) est un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(V_y\), si et seulement si le foncteur de (2) est représenté par \(x_y\), l’objet universel étant une application \(f(x_y) \to y\).

Soit \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & \mathcal{Y} \ar[ld]^q \\ & (\Sch/S)_{fppf} }\] un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes. Supposons \(f\) représentable. Pour tout \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\), choisissons un objet \(u(y) \in \Ob(\mathcal{X})\) représentant le foncteur \(x \mapsto \Mor_\mathcal{Y}(f(x), y)\) du Lemme 06W7 (ce qui est possible par l’axiome du choix). Ces objets sont munis de morphismes canoniques \(f(u(y)) \to y\) par construction. Pour tout morphisme \(\beta : y' \to y\) de \(\mathcal{Y}\), on obtient un unique morphisme \(u(\beta) : u(y') \to u(y)\) de \(\mathcal{X}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ f(u(y')) \ar[d] \ar[rr]_{f(u(\beta))} & & f(u(y)) \ar[d] \\ y' \ar[rr] & & y }\] soit commutatif. Autrement dit, \(u : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) est un foncteur. On peut en fait en dire un peu plus. Supposons en effet que \(V' = q(y')\), \(V = q(y)\), \(U' = p(u(y'))\) et \(U = p(u(y))\). Alors \[\xymatrix{ U' \ar[rr]_{p(u(\beta))} \ar[d] & & U \ar[d] \\ V' \ar[rr]^{q(\beta)} & & V }\] est un carré cartésien. Cela tient à ce que \(U' \to U\) représente le changement de base \((\Sch/V')_{fppf} \times_{y', \mathcal{Y}} \mathcal{X} \to (\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) de \(V' \to V\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme représentable de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Alors le foncteur \(u : \mathcal{Y}_\tau \to \mathcal{X}_\tau\) est continu et définit un morphisme de sites \(\mathcal{X}_\tau \to \mathcal{Y}_\tau\) qui induit le même morphisme de topos \(\Sh(\mathcal{X}_\tau) \to \Sh(\mathcal{Y}_\tau)\) que le morphisme \(f\) construit dans le Lemme 06TS. De plus, \(f_*\mathcal{F}(y) = \mathcal{F}(u(y))\) pour tout préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}\).

Démonstration

Soit \(\{y_i \to y\}\) un recouvrement pour \(\tau\) dans \(\mathcal{Y}\). Par définition, cela signifie simplement que \(\{q(y_i) \to q(y)\}\) est un recouvrement pour \(\tau\) de schémas. La dernière remarque précédant le lemme montre que \(\{p(u(y_i)) \to p(u(y))\}\) est le changement de base du recouvrement pour \(\tau\) \(\{q(y_i) \to q(y)\}\) par \(p(u(y)) \to q(y)\) ; c’est donc lui-même un recouvrement pour \(\tau\) par les axiomes d’un site. Ainsi \(\{u(y_i) \to u(y)\}\) est un recouvrement pour \(\tau\) de \(\mathcal{X}\). Cela démontre que \(u\) est continu.

Employons les notations \(u_p, u_s, u^p, u^s\) de Sites, sections 00VC et 00WU. Si nous démontrons la dernière assertion du lemme, alors \(f_* = u^p = u^s\) (par la continuité de \(u\) établie ci-dessus) ; l’adjonction donne donc \(f^{-1} = u_s\), ce qui prouve que \(u_s\) est exact, puis que \(u\) détermine un morphisme de sites ; l’égalité sera elle aussi claire. Pour voir que \(f_*\mathcal{F}(y) = \mathcal{F}(u(y))\), remarquons que, par définition, \[f_*\mathcal{F}(y) = ({}_pf\mathcal{F})(y) = \lim_{f(x) \to y} \mathcal{F}(x).\] Puisque \(u(y)\) est un objet final de la catégorie sur laquelle la limite est prise, on conclut.

Le faisceau structural

Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. La 2-catégorie des catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) possède un objet final, à savoir \(\text{id} : (\Sch/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\) et \(p\) est un \(1\)-morphisme de \(\mathcal{X}\) vers cet objet final. Ainsi, tout préfaisceau \(\mathcal{G}\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) fournit un préfaisceau \(p^{-1}\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{X}\) défini par la règle \(p^{-1}\mathcal{G}(x) = \mathcal{G}(p(x))\). De plus, la discussion de la section 06TN montre que \(p^{-1}\mathcal{G}\) est un faisceau pour \(\tau\) dès que \(\mathcal{G}\) est un faisceau pour \(\tau\).

Rappelons que le site \((\Sch/S)_{fppf}\) est un site annelé, de faisceau structural \(\mathcal{O}\) défini par la règle \[(\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Rings}, \quad U/S \longmapsto \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] voir Descente, Définition 03DU.

Définition

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Le faisceau structural de \(\mathcal{X}\) est le faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_\mathcal{X} = p^{-1}\mathcal{O}\).

Pour un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), nous avons \(\mathcal{O}_\mathcal{X}(x) = \mathcal{O}(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\). Il va sans dire que \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\) est aussi un faisceau de Zariski, étale, lisse et syntomique ; chacun des sites \(\mathcal{X}_{Zar}\), \(\mathcal{X}_\etale\), \(\mathcal{X}_{smooth}\), \(\mathcal{X}_{syntomic}\) et \(\mathcal{X}_{fppf}\) est donc un site annelé. Cette construction est elle aussi fonctorielle.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Il existe une identification canonique \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{Y} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\) qui fait de \(f : \Sh(\mathcal{X}_\tau) \to \Sh(\mathcal{Y}_\tau)\) un morphisme de topos annelés.

Démonstration

Notons \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) et \(q : \mathcal{Y} \to (\Sch/S)_{fppf}\) les foncteurs structuraux. Alors \(p = q \circ f\), donc \(p^{-1} = f^{-1} \circ q^{-1}\) d’après le Lemme 06TL. Puisque \(\mathcal{O}_\mathcal{X} = p^{-1}\mathcal{O}\) et \(\mathcal{O}_\mathcal{Y} = q^{-1}\mathcal{O}\) le résultat en découle.

Remarque

Dans la situation du Lemme 06TW, le morphisme de topos annelés \(f : \Sh(\mathcal{X}_\tau) \to \Sh(\mathcal{Y}_\tau)\) est plat, comme le montre l’égalité \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{X} = \mathcal{O}_\mathcal{Y}\). Cela est quelque peu contre-intuitif, car, par exemple, une immersion fermée de champs algébriques n’est généralement pas plate (comme morphisme de champs algébriques). Toutefois, il se produit exactement la même chose pour une immersion fermée \(i : X \to Y\) de schémas : dans ce cas, le morphisme associé de grands sites pour \(\tau\) \(i : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) est lui aussi plat.

Faisceaux de modules

Puisque nous disposons d’un faisceau structural, nous disposons de modules.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\).

1. Un préfaisceau de modules sur \(\mathcal{X}\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules. La catégorie des préfaisceaux de modules est notée \(\textit{PMod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

2. Nous disons qu’un préfaisceau de modules \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module, ou plus précisément un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau fppf. La catégorie des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules est notée \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Dans la littérature, ces (pré)faisceaux de modules apparaissent comme des (pré)faisceaux de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules sur le grand site fppf de \(\mathcal{X}\). Nous emploierons parfois cette terminologie pour distinguer ces catégories d’autres catégories. Nous rencontrerons aussi des préfaisceaux de modules qui sont des faisceaux pour les topologies de Zariski, étale, lisse ou syntomique (sans être nécessairement des faisceaux fppf). Au besoin, nous les noterons \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) et de même pour les autres topologies.

Étudions maintenant la fonctorialité, d’abord pour les préfaisceaux de modules. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & \mathcal{Y} \ar[ld]^q \\ & (\Sch/S)_{fppf} }\] un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes. Les foncteurs \(f^{-1}\) et \(f_*\) sur les préfaisceaux abéliens s’étendent en des foncteurs [06WD]\[\begin{equation} f^{-1} : \textit{PMod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \quad\text{et}\quad f_* : \textit{PMod}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \end{equation}\] Cela est immédiat pour \(f^{-1}\), car \(f^{-1}\mathcal{G}(x) = \mathcal{G}(f(x))\), qui est un module sur \(\mathcal{O}_\mathcal{Y}(f(x)) = \mathcal{O}(q(f(x))) = \mathcal{O}(p(x)) = \mathcal{O}_\mathcal{X}(x)\). On peut aussi le déduire de ce que \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{Y} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\) et de ce que \(f^{-1}\) commute aux limites (sur les préfaisceaux). Comme \(f_*\) est un adjoint à droite, il commute à toutes les limites (sur les préfaisceaux), en particulier aux produits. Nous pouvons donc étendre \(f_*\) en un foncteur sur les préfaisceaux de modules comme dans la démonstration de Modules sur les sites, Lemme 03D1. Nous affirmons que les foncteurs (06WD) forment une paire de foncteurs adjoints : \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}( \mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Comme \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{Y} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\), cela résulte de Modules sur les sites, Lemme 03D3, en munissant \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) de la topologie chaotique.

Étudions ensuite la fonctorialité pour les modules, c’est-à-dire pour les faisceaux de modules de la topologie fppf. Notons encore \(f\) le morphisme induit de topos annelés ; voir le Lemme 06TW (pour l’instant appliqué aux topologies fppf). Remarquons que les foncteurs \(f^{-1}\) et \(f_*\) de (06WD) préservent les sous-catégories de faisceaux de modules ; voir le Lemme 06TS. Il s’ensuit immédiatement que [06WE]\[\begin{equation} f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \quad\text{et}\quad f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \end{equation}\] forment une paire de foncteurs adjoints : \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}( \mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] D’après l’unicité des adjoints, nous concluons que \(f^* = f^{-1}\), où \(f^*\) est défini dans Modules sur les sites, section 03D5, pour le morphisme de topos annelés \(f\) ci-dessus. Nous aurions bien entendu pu le voir directement, car \(f^*(-) = f^{-1}(-) \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{Y}} \mathcal{O}_\mathcal{X}\), et puisque \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{Y} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\).

Il en va de même pour les faisceaux de modules des topologies de Zariski, étale, lisse et syntomique.

Catégories représentables

Dans cette courte section, nous comparons nos définitions à la situation où les champs algébriques considérés sont représentables.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)\). Supposons que \(\mathcal{X}\) soit représentable par un schéma \(X\). Pour \(\tau \in \{Zar,\linebreak[0] \etale,\linebreak[0] smooth,\linebreak[0] syntomic,\linebreak[0] fppf\}\) il existe une équivalence canonique \[(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X}) = ((\Sch/X)_\tau, \mathcal{O}_X)\] de sites annelés.

Démonstration

Il suffit de choisir une équivalence \((\Sch/X)_\tau \to \mathcal{X}\) de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) et d’utiliser la fonctorialité de la construction \(\mathcal{X} \leadsto \mathcal{X}_\tau\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(S\). Supposons que \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) soient représentables par des schémas \(X\) et \(Y\). Soit \(f : X \to Y\) le morphisme de schémas correspondant à \(f\). Pour \(\tau \in \{Zar,\linebreak[0] \etale,\linebreak[0] smooth,\linebreak[0] syntomic,\linebreak[0] fppf\}\) le morphisme de topos annelés \(f : (\Sh(\mathcal{X}_\tau), \mathcal{O}_\mathcal{X}) \to (\Sh(\mathcal{Y}_\tau), \mathcal{O}_\mathcal{Y})\) coïncide avec le morphisme de topos annelés \(f : (\Sh((\Sch/X)_\tau), \mathcal{O}_X) \to (\Sh((\Sch/Y)_\tau), \mathcal{O}_Y)\) au moyen des identifications du Lemme 075I.

Démonstration

Il suffit de dérouler les définitions.

Restriction

Une observation triviale mais utile est que la localisation d’une catégorie fibrée en groupoïdes en un objet est équivalente au grand site du schéma au-dessus duquel il se trouve.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) au-dessus de \(U = p(x)\). Le foncteur \(p\) induit une équivalence de sites \(\mathcal{X}_\tau/x \to (\Sch/U)_\tau\).

Démonstration

Cas particulier de Champs, Lemme 0CN0.

Nous utilisons le lemme précédent pour définir l’image réciproque et la restriction d’un (pré)faisceau à un schéma.

Définition

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) au-dessus de \(U = p(x)\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{X}\).

1. L’image réciproque \(x^{-1}\mathcal{F}\) de \(\mathcal{F}\) est la restriction \(\mathcal{F}|_{(\mathcal{X}/x)}\), considérée comme un préfaisceau sur \((\Sch/U)_{fppf}\) au moyen de l’équivalence \(\mathcal{X}/x \to (\Sch/U)_{fppf}\) du Lemme 06W0.

2. La restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_\etale\) est \(x^{-1}\mathcal{F}|_{U_\etale}\), notée abusivement \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\).

Cette notation a un sens, car, à l’objet \(x\), le lemme de \(2\)-Yoneda, voir Champs algébriques, section 04SS, associe un \(1\)-morphisme \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}/x\) quasi-inverse de \(p : \mathcal{X}/x \to (\Sch/U)_{fppf}\). Ainsi, \(x^{-1}\mathcal{F}\) est bien l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) par ce \(1\)-morphisme. En particulier, d’après ce qui précède, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau (ou un faisceau de Zariski, étale, lisse ou syntomique), alors \(x^{-1}\mathcal{F}\) est un faisceau sur \((\Sch/U)_{fppf}\) (ou sur \((\Sch/U)_{Zar}\), \((\Sch/U)_\etale\), \((\Sch/U)_{smooth}\), \((\Sch/U)_{syntomic}\)).

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\varphi : x \to y\) un morphisme de \(\mathcal{X}\) au-dessus du morphisme de schémas \(a : U \to V\). Rappelons que \(a\) induit un morphisme de petits sites étales \(a_{small} : U_\etale \to V_\etale\) ; voir Cohomologie étale, section 04I0. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(\mathcal{X}\). Soient \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\) et \(\mathcal{F}|_{V_\etale}\) les restrictions de \(\mathcal{F}\) par \(x\) et \(y\). Il existe une application naturelle de comparaison [06W2]\[\begin{equation} c_\varphi : \mathcal{F}|_{V_\etale} \longrightarrow a_{small, *}(\mathcal{F}|_{U_\etale}) \end{equation}\] de préfaisceaux sur \(U_\etale\). En effet, si \(V' \to V\) est étale, posons \(U' = V' \times_V U\) et définissons \(c_\varphi\) sur les sections au-dessus de \(V'\) par \[\xymatrix{ a_{small, *}(\mathcal{F}|_{U_\etale})(V') & \mathcal{F}|_{U_\etale}(U') \ar@{=}[l] & \mathcal{F}(x') \ar@{=}[l] \\ \mathcal{F}|_{V_\etale}(V') \ar@{=}[rr] \ar[u]^{c_\varphi} & & \mathcal{F}(y') \ar[u]_{\mathcal{F}(\varphi')} }\] Ici, \(\varphi' : x' \to y'\) est un morphisme de \(\mathcal{X}\) s’inscrivant dans un diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ x' \ar[r] \ar[d]_{\varphi'} & x \ar[d]^\varphi \\ y' \ar[r] & y } } \quad\text{au-dessus de}\quad \vcenter{ \xymatrix{ U' \ar[r] \ar[d] & U \ar[d]^a \\ V' \ar[r] & V } }\] L’existence et l’unicité de \(\varphi'\) résultent des axiomes d’une catégorie fibrée en groupoïdes. Nous omettons de vérifier que \(c_\varphi\) ainsi défini est bien un morphisme de préfaisceaux (c’est-à-dire compatible avec les applications de restriction) et qu’il est fonctoriel en \(\mathcal{F}\). Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie étale, nous obtenons une application de comparaison [06W3]\[\begin{equation} c_\varphi : a_{small}^{-1}(\mathcal{F}|_{V_\etale}) \longrightarrow \mathcal{F}|_{U_\etale} \end{equation}\] que l’on note également \(c_\varphi\), comme indiqué (c’est l’abus de notation usuel qui consiste à ne pas distinguer des applications adjointes).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau étale sur \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\).

1. Si \(\varphi : x \to y\) et \(\psi : y \to z\) sont des morphismes de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(a : U \to V\) et \(b : V \to W\), alors le composé \[a_{small}^{-1}(b_{small}^{-1} (\mathcal{F}|_{W_\etale})) \xrightarrow{a_{small}^{-1}c_\psi} a_{small}^{-1}(\mathcal{F}|_{V_\etale}) \xrightarrow{c_\varphi} \mathcal{F}|_{U_\etale}\] est égal à \(c_{\psi \circ \varphi}\) au moyen de l’identification \[(b \circ a)_{small}^{-1}(\mathcal{F}|_{W_\etale}) = a_{small}^{-1}(b_{small}^{-1} (\mathcal{F}|_{W_\etale})).\]

2. Si \(\varphi : x \to y\) est au-dessus d’un morphisme étale de schémas \(a : U \to V\), alors (06W3) est un isomorphisme.

3. Supposons que \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) soit un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), et que \(y\) soit un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus du schéma \(U\), d’image \(x = f(y)\). Il existe alors une identification canonique \(f^{-1}\mathcal{F}|_{U_\etale} = \mathcal{F}|_{U_\etale}\).

4. De plus, étant donné \(\psi : y' \to y\) dans \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(a : U' \to U\), l’application de comparaison \(c_\psi : a_{small}^{-1}(f^{-1}\mathcal{F}|_{U_\etale}) \to f^{-1}\mathcal{F}|_{U'_\etale}\) est égale à l’application de comparaison \(c_{f(\psi)} : a_{small}^{-1}\mathcal{F}|_{U_\etale} \to \mathcal{F}|_{U'_\etale}\) au moyen des identifications de (3).

Démonstration

La vérification de ces propriétés est omise.

Passons à la restriction des (pré)faisceaux de modules.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) au-dessus de \(U = p(x)\). L’équivalence du Lemme 06W0 s’étend en une équivalence de sites annelés \((\mathcal{X}_\tau/x, \mathcal{O}_\mathcal{X}|_x) \to ((\Sch/U)_\tau, \mathcal{O})\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la construction des faisceaux structuraux.

Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\mathcal{F}\) un (pré)faisceau de modules sur \(\mathcal{X}\) comme dans la Définition 06WB. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Alors le Lemme 06W9 garantit que la restriction \(x^{-1}\mathcal{F}\) est un (pré)faisceau de modules sur \((\Sch/U)_{fppf}\). Dans ce cas, nous écrirons parfois \(x^*\mathcal{F} = x^{-1}\mathcal{F}\). De même, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie de Zariski, étale, lisse ou syntomique, alors \(x^{-1}\mathcal{F}\) en est un aussi. De plus, la restriction \(\mathcal{F}|_{U_\etale} = x^{-1}\mathcal{F}|_{U_\etale}\) à \(U\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}_{U_\etale}\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie étale, alors \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\) est un faisceau de modules. De plus, si \(\varphi : x \to y\) est un morphisme de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(a : U \to V\), alors l’application de comparaison (06W3) est compatible à \(a_{small}^\sharp\) (voir Descente, Remarque 070R) et induit une application de comparaison [06WC]\[\begin{equation} c_\varphi : a_{small}^*(\mathcal{F}|_{V_\etale}) \longrightarrow \mathcal{F}|_{U_\etale} \end{equation}\] de \(\mathcal{O}_{U_\etale}\)-modules. Remarquons que les propriétés (1), (2), (3) et (4) du Lemme 075D valent également pour les faisceaux étales de modules. Nous l’utiliserons dans la suite sans autre mention.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Le site \(\mathcal{X}_\tau\) a suffisamment de points.

Démonstration

D’après Sites, Lemme 06UL, il faut montrer qu’il existe une famille d’objets \(x\) de \(\mathcal{X}\) telle que \(\mathcal{X}_\tau/x\) ait suffisamment de points et que les faisceaux \(h_x^\#\) recouvrent l’objet final de la catégorie des faisceaux. D’après le Lemme 06W0 et Cohomologie étale, Lemme 06VX, \(\mathcal{X}_\tau/x\) a suffisamment de points pour tout objet \(x\), ce qui conclut.

Restriction aux espaces algébriques

Dans cette section, nous considérons les faisceaux sur des catégories représentables par des espaces algébriques. Le lemme suivant est l’analogue de Topologies, Lemme 021G pour les espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Supposons que \(\mathcal{X}\) soit représentable par un espace algébrique \(F\). Il existe alors un foncteur continu et cocontinu \(F_\etale \to \mathcal{X}_\etale\) qui induit un morphisme de sites annelés \[\pi_F : (\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow (F_\etale, \mathcal{O}_F)\] et un morphisme de topos annelés \[i_F : (\Sh(F_\etale), \mathcal{O}_F) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{X}_\etale), \mathcal{O}_\mathcal{X})\] tel que \(\pi_F \circ i_F = \text{id}\). De plus, \(\pi_{F, *} = i_F^{-1}\).

Démonstration

Choisissons une équivalence \(j : \mathcal{S}_F \to \mathcal{X}\) ; voir Champs algébriques, sections 04SU et 02ZV. Un objet de \(F_\etale\) est un schéma \(U\) muni d’un morphisme étale \(\varphi : U \to F\). Alors \(\varphi\) est un objet de \(\mathcal{S}_F\) au-dessus de \(U\). Ainsi \(j(\varphi)\) est un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). De cette façon, \(j\) induit un foncteur \(u : F_\etale \to \mathcal{X}\). Il est clair que \(u\) est continu et cocontinu pour la topologie étale sur \(\mathcal{X}\). Puisque \(j\) est une équivalence, le foncteur \(u\) est pleinement fidèle. En outre, les produits fibrés et les égalisateurs existent dans \(F_\etale\) et \(u\) y commute, car ils se calculent au niveau des schémas sous-jacents dans \(F_\etale\). Ainsi, Sites, Lemmes 00XR, 00XS et 00XT s’appliquent. En particulier, \(u\) définit un morphisme de topos \(i_F : \Sh(F_\etale) \to \Sh(\mathcal{X}_\etale)\) et il existe un adjoint à gauche \(i_{F, !}\) de \(i_F^{-1}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Nous affirmons que \(i_{F, !}\) est exact. Si tel est le cas, nous pouvons définir \(\pi_F\) par les règles \(\pi_F^{-1} = i_{F, !}\) et \(\pi_{F, *} = i_F^{-1}\), et tout est clair. Pour démontrer l’assertion, remarquons que nous savons déjà que \(i_{F, !}\) est exact à droite et préserve les produits fibrés. Il suffit donc de montrer que \(i_{F, !}* = *\), où \(*\) désigne l’objet final de la catégorie des faisceaux d’ensembles. Soit \(U\) un schéma et soit \(\varphi : U \to F\) surjectif et étale. Posons \(R = U \times_F U\). Alors \[\xymatrix{ h_R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_U \ar[r] & {*} }\] est un diagramme coégalisateur dans \(\Sh(F_\etale)\). En utilisant l’exactitude à droite de \(i_{F, !}\), l’égalité \(i_{F, !} = (u_p\ )^\#\) et le Sites, Lemme 04D2 nous voyons que \[\xymatrix{ h_{u(R)} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_{u(U)} \ar[r] & i_{F, !}{*} }\] est un diagramme coégalisateur dans \(\Sh(\mathcal{X}_\etale)\). Puisque \(j\) est une équivalence et que \(F = U/R\), il s’ensuit que le coégalisateur dans \(\Sh(\mathcal{X}_\etale)\) des deux applications \(h_{u(R)} \to h_{u(U)}\) est \(*\). Nous omettons de démontrer que ces morphismes sont compatibles aux faisceaux structuraux.

Remarque

Les constructions du Lemme 073M sont compatibles avec la localisation étale ; en voici une formulation précise. Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) soient représentables par des espaces algébriques \(F\) et \(G\), et que le morphisme induit \(f : F \to G\) d’espaces algébriques soit étale. Notons \(f_{small} : F_\etale \to G_\etale\) le morphisme correspondant de topos annelés. Alors \[\xymatrix{ (\Sh(F_\etale), \mathcal{O}_F) \ar[rr]_{f_{small}} \ar[d]_{i_F} & & (\Sh(G_\etale), \mathcal{O}_G) \ar[d]^{i_G} \\ (\Sh(\mathcal{X}_\etale), \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[d]_{\pi_F} \ar[rr]_f & & (\Sh(\mathcal{Y}_\etale), \mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[d]^{\pi_G} \\ (\Sh(F_\etale), \mathcal{O}_F) \ar[rr]^{f_{small}} & & (\Sh(G_\etale), \mathcal{O}_G) }\] est un diagramme commutatif de topos annelés. Nous omettons les détails.

Supposons que \(\mathcal{X}\) soit un champ algébrique représenté par l’espace algébrique \(F\). Soit \(j : \mathcal{S}_F \to \mathcal{X}\) une équivalence, et notons \(u : F_\etale \to \mathcal{X}_\etale\) le foncteur de la démonstration du Lemme 073M ci-dessus. Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}_\etale\), nous avons \[\pi_{F, *}\mathcal{F}(U) = i_F^{-1}\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(u(U)).\] C’est pourquoi nous considérons souvent \(i_F^{-1}\) comme un foncteur de restriction, par analogie avec la Définition 06W1 et avec la restriction d’un faisceau du grand site étale d’un schéma au petit site étale de ce schéma. Nous employons souvent la notation [075K]\[\begin{equation} \mathcal{F}|_{F_\etale} = i_F^{-1}\mathcal{F} = \pi_{F, *}\mathcal{F} \end{equation}\] dans cette situation.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons que \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) soient représentables par des espaces algébriques \(F\) et \(G\). Notons \(f : F \to G\) le morphisme induit d’espaces algébriques, et \(f_{small} : F_\etale \to G_\etale\) le morphisme correspondant de topos annelés. Alors \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{X}_\etale), \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[d]_{\pi_F} \ar[rr]_f & & (\Sh(\mathcal{Y}_\etale), \mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[d]^{\pi_G} \\ (\Sh(F_\etale), \mathcal{O}_F) \ar[rr]^{f_{small}} & & (\Sh(G_\etale), \mathcal{O}_G) }\] est un diagramme commutatif de topos annelés.

Démonstration

Cela ressemble à Topologies, Lemme 021I (3), mais une petite difficulté vient de ce que \(F \to G\) n’est pas nécessairement représentable par des schémas. En particulier, nous n’obtenons pas un diagramme commutatif de sites annelés, mais seulement un diagramme commutatif de topos annelés.

Avant d’aborder la démonstration proprement dite, choisissons des équivalences \(j : \mathcal{S}_F \to \mathcal{X}\) et \(j' : \mathcal{S}_G \to \mathcal{Y}\) qui induisent des foncteurs \(u : F_\etale \to \mathcal{X}\) et \(u' : G_\etale \to \mathcal{Y}\) comme dans la démonstration du Lemme 073M. Grâce à la 2-fonctorialité des faisceaux sur les catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \(\Sch_{fppf}\) (voir la discussion de la section 06TI), nous pouvons supposer que \(\mathcal{X} = \mathcal{S}_F\) et \(\mathcal{Y} = \mathcal{S}_G\), et que \(f : \mathcal{S}_F \to \mathcal{S}_G\) est le foncteur associé au morphisme \(f : F \to G\). Par conséquent, nous omettrons \(u\) et \(u'\) de la notation : étant donné un objet \(U \to F\) de \(F_\etale\), nous notons \(U/F\) l’objet correspondant de \(\mathcal{X}\). De même pour \(G\).

Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{X}_\etale\). Pour démontrer (2), calculons \(\pi_{G, *}f_*\mathcal{G}\) et \(f_{small, *}\pi_{F, *}\mathcal{G}\). Pour cela, soit \(V \to G\) un objet de \(G_\etale\). Alors \[\pi_{G, *}f_*\mathcal{G}(V) = f_*\mathcal{G}(V/G) = \Gamma\Big( (\Sch/V)_{fppf} \times_{\mathcal{Y}} \mathcal{X}, \ \text{pr}^{-1}\mathcal{G}\Big)\] voir (06W6). Le produit fibré figurant dans la formule est \[(\Sch/V)_{fppf} \times_{\mathcal{Y}} \mathcal{X} = (\Sch/V)_{fppf} \times_{\mathcal{S}_G} \mathcal{S}_F = \mathcal{S}_{V \times_G F}\] c’est-à-dire la catégorie scindée fibrée en groupoïdes associée à l’espace algébrique \(V \times_G F\). Et \(\text{pr}^{-1}\mathcal{G}\) est un faisceau sur \(\mathcal{S}_{V \times_G F}\) pour la topologie étale.

En particulier, si \(V \times_G F\) est représentable, c’est-à-dire s’il est un schéma, alors \(\pi_{G, *}f_*\mathcal{G}(V) = \mathcal{G}(V \times_G F/F)\), et également \[f_{small, *}\pi_{F, *}\mathcal{G}(V) = \pi_{F, *}\mathcal{G}(V \times_G F) = \mathcal{G}(V \times_G F/F)\] ce qui démontre l’égalité voulue dans ce cas particulier.

En général, choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_G F\). Posons \(R = U \times_{V \times_G F} U\). Alors \(U/V \times_G F\) et \(R/V \times_G F\) sont des objets de la catégorie produit fibré ci-dessus. Puisque \(\text{pr}^{-1}\mathcal{G}\) est un faisceau pour la topologie étale sur \(\mathcal{S}_{V \times_G F}\), le diagramme \[\xymatrix{ \Gamma\Big( (\Sch/V)_{fppf} \times_{\mathcal{Y}} \mathcal{X}, \ \text{pr}^{-1}\mathcal{G}\Big) \ar[r] & \text{pr}^{-1}\mathcal{G}(U/V \times_G F) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \text{pr}^{-1}\mathcal{G}(R/V \times_G F) }\] est un diagramme égalisateur. Remarquons que \(\text{pr}^{-1}\mathcal{G}(U/V \times_G F) = \mathcal{G}(U/F)\) et \(\text{pr}^{-1}\mathcal{G}(R/V \times_G F) = \mathcal{G}(R/F)\) par définition des images réciproques. De plus, d’après les résultats de Propriétés des espaces, section 03EB (en particulier, Propriétés des espaces, Remarque 03H7 et Lemme 03G2), nous voyons qu’il existe un diagramme égalisateur \[\xymatrix{ f_{small, *}\pi_{F, *}\mathcal{G}(V) \ar[r] & \pi_{F, *}\mathcal{G}(U/F) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \pi_{F, *}\mathcal{G}(R/F) }\] Comme nous avons aussi \(\pi_{F, *}\mathcal{G}(U/F) = \mathcal{G}(U/F)\) et \(\pi_{F, *}\mathcal{G}(U/F) = \mathcal{G}(U/F)\), nous obtenons une identification canonique \(f_{small, *}\pi_{F, *}\mathcal{G}(V) = \pi_{G, *}f_*\mathcal{G}(V)\). Nous omettons de démontrer la compatibilité avec les applications de restriction et la fonctorialité en \(\mathcal{G}\).

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(f : F \to G\) comme dans la seconde partie du lemme précédent. Le lemme et (075K) donnent [075M]\[\begin{equation} (f_*\mathcal{F})|_{G_\etale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{F_\etale}) \end{equation}\] pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}_\etale\). De plus, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules, alors (075M) est un isomorphisme de \(\mathcal{O}_G\)-modules sur \(G_\etale\).

Enfin, supposons donné un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{U} \ar[r]^a \ar[dr]_f \drtwocell<\omit>{<-2>\varphi} & \mathcal{V} \ar[d]^g \\ & \mathcal{X} }\] de \(1\)-morphismes de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau sur \(\mathcal{X}_\etale\), et que \(\mathcal{U}, \mathcal{V}\) soient représentables par des espaces algébriques \(U, V\). Nous obtenons alors une application de comparaison [076Q]\[\begin{equation} c_\varphi : a_{small}^{-1}(g^{-1}\mathcal{F}|_{V_\etale}) \longrightarrow f^{-1}\mathcal{F}|_{U_\etale} \end{equation}\] où \(a : U \to V\) désigne le morphisme d’espaces algébriques correspondant à \(a\). C’est l’analogue de (06W3). Nous définissons \(c_\varphi\) comme l’adjointe de l’application \[g^{-1}\mathcal{F}|_{V_\etale} \longrightarrow a_{small, *}(f^{-1}\mathcal{F}|_{U_\etale}) = (a_*f^{-1}\mathcal{F})|_{V_\etale}\] (égalité donnée par (075M)) qui est la restriction à \(V\), au sens de (075K), de l’application \[g^{-1}\mathcal{F} \to a_*a^{-1}g^{-1}\mathcal{F} = a_*f^{-1}\mathcal{F}\] où la dernière égalité utilise la \(2\)-commutativité du diagramme ci-dessus. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules, \(c_\varphi\) induit une application de comparaison [076R]\[\begin{equation} c_\varphi : a_{small}^*(g^*\mathcal{F}|_{V_\etale}) \longrightarrow f^*\mathcal{F}|_{U_\etale} \end{equation}\] de \(\mathcal{O}_{U_\etale}\)-modules. C’est l’analogue de (06WC). Remarquons que les propriétés (1), (2), (3) et (4) du Lemme 075D valent aussi dans ce cadre.

Modules quasi-cohérents

Nous pouvons maintenant appliquer la définition générale d’un module quasi-cohérent à la situation étudiée dans ce chapitre.

Définition

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\), ou un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module quasi-cohérent, est un module quasi-cohérent sur le site annelé \((\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) au sens de Modules sur les sites, Définition 03DL. La catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \(\mathcal{X}\) est notée \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique, cette définition coïncide avec toutes les définitions de la littérature, au sens où \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est équivalente (aux questions ensemblistes près) à toute variante de cette catégorie définie dans la littérature. Par exemple, nous comparerons notre définition à celle de [olsson_sheaves, définition 6.1] dans Cohomologie des champs, Lemme 06WK. Nous verrons également plus loin d’autres constructions de cette catégorie.

En général (comme pour les morphismes de schémas), l’image directe d’un faisceau quasi-cohérent par un \(1\)-morphisme n’est pas quasi-cohérente. L’image réciproque, en revanche, préserve la quasi-cohérence.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\). Le foncteur d’image réciproque \(f^* = f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) préserve les faisceaux quasi-cohérents.

Démonstration

C’est un fait général ; voir Modules sur les sites, Lemme 03DO.

Les faisceaux quasi-cohérents admettent une caractérisation très simple en termes de leurs images réciproques. Voir aussi le Lemme 06WK pour une caractérisation en termes de restrictions.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules. Alors \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent si et seulement si \(x^*\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent sur \((\Sch/U)_{fppf}\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\), où \(U = p(x)\).

Démonstration

D’après le Lemme 06WH, la condition est nécessaire. Réciproquement, puisque \(x^*\mathcal{F}\) n’est autre que la restriction à \(\mathcal{X}_{fppf}/x\), la condition est suffisante par la définition même d’un faisceau quasi-cohérent (et par le fait que la quasi-cohérence est une propriété intrinsèque des faisceaux de modules ; voir Modules sur les sites, section 03DG).

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de modules sur \(\mathcal{X}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_{Zar}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) et \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \((\mathcal{X}_{Zar}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) au sens de Modules sur les sites, Définition 03DL,

2. \(\mathcal{F}\) est un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) et \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \((\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) au sens de Modules sur les sites, Définition 03DL, et

3. \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\) au sens de la Définition 06WG.

Démonstration

Supposons que l’une des conditions (1), (2) ou (3) soit satisfaite. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(U\). Rappelons que \(x^*\mathcal{F} = x^{-1}\mathcal{F}\) n’est autre que la restriction à \(\mathcal{X}/x = (\Sch/U)_\tau\), où \(\tau = fppf\), \(\tau = \etale\) ou \(\tau = Zar\) ; voir la section 075C. D’après la définition des modules quasi-cohérents sur un site annelé, cette restriction est quasi-cohérente dès que \(\mathcal{F}\) l’est. D’après Descente, Proposition 03DX, \(x^*\mathcal{F}\) est le faisceau associé à un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent ; c’est donc un module quasi-cohérent pour les topologies fppf, étale et de Zariski ; nous utilisons ici également Descente, Lemme 03DT et Définition 03DU. Comme cela vaut pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour chacune des trois topologies. De plus, \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent pour chacune des trois topologies ; cela résulte directement de la définition de la quasi-cohérence et du fait que \(x\) est un objet arbitraire de \(\mathcal{X}\).

Modules localement quasi-cohérents

Bien qu’il existe une variante pour la topologie de Zariski, la topologie étale semble être la topologie naturelle à employer dans la définition suivante.

Définition

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent² si \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie étale et si, pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\), la restriction \(x^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\) est un faisceau quasi-cohérent. Ici \(U = p(x)\).

Nous notons \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) la catégorie des modules localement quasi-cohérents. Nous avons alors le diagramme suivant de catégories de modules \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[d] & \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[d] \\ \textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) }\] où les flèches sont des plongements strictement pleins. Il se trouve que de nombreux résultats sur les faisceaux quasi-cohérents ont un analogue pour les modules localement quasi-cohérents. De plus, à bien des égards (comme nous le verrons plus loin), c’est une catégorie naturelle à considérer. Par exemple, les faisceaux quasi-cohérents sont exactement les modules localement quasi-cohérents qui sont « cartésiens », c’est-à-dire qui satisfont la seconde condition du lemme ci-dessous.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules. Alors \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent, et

2. pour tout morphisme \(\varphi : x \to y\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(f : U \to V\), le morphisme de comparaison \(c_\varphi : f_{small}^*\mathcal{F}|_{V_\etale} \to \mathcal{F}|_{U_\etale}\) de (06WC) est un isomorphisme.

Démonstration

Supposons \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie fppf, donc un faisceau pour la topologie étale. De plus, toute image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur un topos annelé est quasi-cohérente ; ainsi les restrictions \(x^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\) sont quasi-cohérentes. Cela prouve que \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent. Soit \(y\) un objet de \(\mathcal{X}\) tel que \(V = p(y)\). Nous avons vu que \(\mathcal{X}/y = (\Sch/V)_{fppf}\). D’après Descente, Proposition 03DX, il s’ensuit que \(y^*\mathcal{F}\) est le module quasi-cohérent associé à un module quasi-cohérent (usuel) \(\mathcal{F}_V\) sur le schéma \(V\). Les morphismes de comparaison (06WC) sont donc bien des isomorphismes.

Réciproquement, supposons que \(\mathcal{F}\) satisfasse (1) et (2). Soit \(y\) un objet de \(\mathcal{X}\) tel que \(V = p(y)\). Notons \(\mathcal{F}_V\) le module quasi-cohérent sur le schéma \(V\) correspondant à la restriction \(y^*\mathcal{F}|_{V_\etale}\), laquelle est quasi-cohérente par l’hypothèse (1), voir Descente, Proposition 03DX. La condition (2) signifie alors que les restrictions \(x^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\), pour \(x\) au-dessus de \(y\), sont chacune isomorphes au faisceau étale associé à l’image réciproque de \(\mathcal{F}_V\) par le morphisme de schémas correspondant \(U \to V\). Ainsi \(y^*\mathcal{F}\) est le faisceau sur \((\Sch/V)_{fppf}\) associé à \(\mathcal{F}_V\). Il est donc quasi-cohérent (encore d’après Descente, Proposition 03DX) ; ainsi, nous voyons que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\) d’après le Lemme 06WI.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Le foncteur image réciproque \(f^* = f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{Y}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) préserve les faisceaux localement quasi-cohérents.

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}\) localement quasi-cohérent sur \(\mathcal{Y}\). Choisissons un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(U\). La restriction \(x^*f^*\mathcal{G}|_{U_\etale}\) est égale à \((f \circ x)^*\mathcal{G}|_{U_\etale}\) et est donc un faisceau quasi-cohérent par hypothèse sur \(\mathcal{G}\).

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes.

1. La catégorie \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) admet des limites inductives, qui coïncident avec les limites inductives dans la catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).

2. La catégorie \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est abélienne, les noyaux et conoyaux étant calculés dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), autrement dit, le foncteur d’inclusion est exact.

3. Étant donnée une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) si deux de ces trois modules sont localement quasi-cohérents, le troisième l’est aussi.

4. Étant donnés \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) dans \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) le produit tensoriel \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) est un objet de \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

5. Étant donnés \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) dans \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) avec \(\mathcal{F}\) de présentation finie sur \(\mathcal{X}_\etale\), le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) est un objet de \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

Dans les arguments ci-dessous, \(x\) désigne un objet arbitraire de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(U\). Pour montrer qu’un objet \(\mathcal{H}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) appartient à \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), nous montrerons que la restriction \(x^*\mathcal{H}|_{U_\etale} = \mathcal{H}|_{U_\etale}\) est un objet quasi-cohérent de \(\textit{Mod}(U_\etale, \mathcal{O}_U)\).

Preuve de (1). Soit \(\mathcal{I} \to \textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme. Considérons l’objet \(\mathcal{F} = \colim_i \mathcal{F}_i\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Le foncteur image réciproque \(x^*\) commute à toutes les limites inductives, puisqu’il est adjoint à gauche. Ainsi \(x^*\mathcal{F} = \colim_i x^*\mathcal{F}_i\). De même, \(x^*\mathcal{F}|_{U_\etale} = \colim_i x^*\mathcal{F}_i|_{U_\etale}\). Or, par hypothèse, chaque \(x^*\mathcal{F}_i|_{U_\etale}\) est quasi-cohérent. Par conséquent, \(\colim_i x^*\mathcal{F}_i|_{U_\etale}\) est quasi-cohérent d’après Descente, Lemme 0GNB. Ainsi \(x^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\) est quasi-cohérent, comme voulu.

Preuve de (2). Il résulte de (1) que les conoyaux existent dans \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et coïncident avec ceux calculés dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et soit \(\mathcal{K} = \Ker(\varphi)\) calculé dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Si nous montrons que \(\mathcal{K}\) est un module localement quasi-cohérent, la preuve de (2) sera achevée. Remarquons pour cela que les noyaux se calculent dans la catégorie des préfaisceaux (sans prendre le faisceau associé). Ainsi \(\mathcal{K}|_{U_\etale}\) est le noyau du morphisme \(\mathcal{F}|_{U_\etale} \to \mathcal{G}|_{U_\etale}\), c’est-à-dire le noyau d’un morphisme de faisceaux quasi-cohérents sur \(U_\etale\), donc est quasi-cohérent d’après Descente, Lemme 0GNB. Cela prouve (2).

Preuve de (3). Soit \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) une suite exacte courte de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Puisque nous employons la topologie étale, la restriction \(0 \to \mathcal{F}_1|_{U_\etale} \to \mathcal{F}_2|_{U_\etale} \to \mathcal{F}_3|_{U_\etale} \to 0\) est elle aussi une suite exacte courte. L’assertion (3) résulte donc de l’énoncé correspondant de Descente, Lemme 0GNB.

Preuve de (4). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Comme la restriction à \(U_\etale\) est donnée par l’image réciproque suivant le morphisme de topos annelés \(U_\etale \to (\Sch/U)_\etale \to \mathcal{X}_\etale\) nous voyons que la restriction du produit tensoriel \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}\) à \(U_\etale\) est égale à \(\mathcal{F}|_{U_\etale} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G}|_{U_\etale}\), voir Modules sur les sites, Lemme 03EL. Comme \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\) et \(\mathcal{G}|_{U_\etale}\) sont quasi-cohérents, leur produit tensoriel l’est aussi, voir Descente, Lemme 0GNB.

Preuve de (5). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), avec \(\mathcal{F}\) de présentation finie. Puisque \((\Sch/U)_\etale = \mathcal{X}_\etale/x\) est une localisation de \(\mathcal{X}_\etale\) en un objet, nous voyons que la restriction de \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) à \((\Sch/U)_\etale\) est égale à \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}|_{(\Sch/U)_\etale}}( \mathcal{F}|_{(\Sch/U)_\etale}, \mathcal{G}|_{(\Sch/U)_\etale})\] par Modules sur les sites, Lemme 0E8H. Le morphisme de topos annelés \((U_\etale, \mathcal{O}_U) \to ((\Sch/U)_\etale, \mathcal{O})\) est plat, car l’image réciproque de \(\mathcal{O}\) est \(\mathcal{O}_U\). L’image réciproque de \(\mathcal{H}\) par ce morphisme est donc égale à \(\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_{U_\etale}, \mathcal{G}|_{U_\etale})\) par Modules sur les sites, Lemme 0GN2. Autrement dit, la restriction de \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) à \(U_\etale\) est \(\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_{U_\etale}, \mathcal{G}|_{U_\etale})\). Comme \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\) et \(\mathcal{G}|_{U_\etale}\) sont quasi-cohérents, il en va de même de \(\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_{U_\etale}, \mathcal{G}|_{U_\etale})\), voir Descente, Lemme 0GNB. On conclut comme précédemment.

Dans le degré de généralité considéré ici, la catégorie des faisceaux quasi-cohérents n’est pas abélienne. Voir Exemples, section 0ALF. Voici ce que nous pouvons démontrer sans travail supplémentaire.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes.

1. La catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) admet des limites inductives, qui coïncident avec les limites inductives dans les catégories \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_{Zar}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), et \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

2. Étant donnés \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), les produits tensoriels \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}\) calculés dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_{Zar}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), ou \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) coïncident, et leur valeur commune est un objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

3. Étant donnés \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), avec \(\mathcal{F}\) localement libre de type fini (pour la topologie fppf, ou, de manière équivalente, étale, ou encore, de manière équivalente, de Zariski), les Hom internes \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) calculés dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_{Zar}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), ou \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) coïncident, et leur valeur commune est un objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

Soit \(x\) un objet arbitraire de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(U\). Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, fppf\}\). Pour montrer qu’un objet \(\mathcal{H}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) appartient à \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), il suffit de montrer que la restriction \(x^*\mathcal{H}\) (section 075C) est un objet quasi-cohérent de \(\textit{Mod}((\Sch/U)_\tau, \mathcal{O})\). Voir les Lemmes 06WI et 0EM8. Il en va de même pour la propriété d’être localement libre de type fini. Rappelons que \((\Sch/U)_\tau = \mathcal{X}_\tau/x\) est une localisation de \(\mathcal{X}_\tau\) en un objet. La restriction commute donc aux limites inductives, aux produits tensoriels et à la formation du Hom interne (voir Modules sur les sites, Lemmes 03DC, 03EL, et 0E8H). Le lemme se ramène ainsi à Descente, Lemme 0GNE.

Champification et faisceaux

Il se trouve que la catégorie des faisceaux sur une catégorie fibrée en groupoïdes ne « connaît » que la champification.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(f\) induit une équivalence des champifications, alors le morphisme de topos \(f : \Sh(\mathcal{X}_{fppf}) \to \Sh(\mathcal{Y}_{fppf})\) est une équivalence.

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(\mathcal{Y}\) est la champification de \(\mathcal{X}\). Nous affirmons que \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un foncteur cocontinu spécial, voir Sites, Définition 03CG, ce qui prouvera le lemme. D’après Champs, Lemme 06NW, le foncteur \(f\) est continu et cocontinu. D’après Champs, Lemme 02ZN, nous voyons que les conditions (3), (4) et (5) de Sites, Lemme 03A0, sont satisfaites.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(f\) induit une équivalence des champifications, alors \(f^*\) induit des équivalences \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) et \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\).

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(\mathcal{Y}\) est la champification de \(\mathcal{X}\). La première assertion résulte clairement du Lemme 06WQ et de \(\mathcal{O}_\mathcal{X} = f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{Y}\). Les images réciproques de faisceaux quasi-cohérents sont quasi-cohérentes, voir Lemme 06WH. Il suffit donc de montrer que, si \(f^*\mathcal{G}\) est quasi-cohérent, alors \(\mathcal{G}\) l’est. Pour cela, soit \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\). En explicitant la condition que \(\mathcal{Y}\) est la champification de \(\mathcal{X}\), nous voyons qu’il existe un recouvrement fppf \(\{y_i \to y\}\) dans \(\mathcal{Y}\) tel que \(y_i \cong f(x_i)\) pour un objet \(x_i\) de \(\mathcal{X}\). Disons que \(x_i\) et \(y_i\) sont au-dessus du schéma \(U_i\). La quasi-cohérence de \(f^*\mathcal{G}\) signifie alors que \(x_i^*f^*\mathcal{G}\) est quasi-cohérent. Comme \(x_i^*f^*\mathcal{G}\) est isomorphe à \(y_i^*\mathcal{G}\) (en tant que faisceaux sur \((\Sch/U_i)_{fppf}\)), nous voyons que \(y_i^*\mathcal{G}\) est quasi-cohérent. Il résulte de Modules sur les sites, Lemme 03DN que la restriction de \(\mathcal{G}\) à \(\mathcal{Y}/y\) est quasi-cohérente. Ainsi \(\mathcal{G}\) est quasi-cohérent d’après le Lemme 06WI.

Faisceaux quasi-cohérents et présentations

Commençons par comparer les faisceaux quasi-cohérents aux notions définies précédemment pour les schémas et les espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes représentable par un espace algébrique \(F\). Si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors la restriction \(\mathcal{F}|_{F_\etale}\) (075K) est quasi-cohérente.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma étale sur \(F\). Alors \(\mathcal{F}|_{U_\etale} = (\mathcal{F}|_{F_\etale})|_{U_\etale}\). C’est clair, mais voir aussi la Remarque 0GQA. L’assertion résulte donc des définitions.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes représentable par un espace algébrique \(F\). Le foncteur (075K) définit une équivalence \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \QCoh(\mathcal{O}_F),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}|_{F_\etale}\] dont un quasi-inverse est donné par \(\mathcal{G} \mapsto \pi_F^*\mathcal{G}\). Cette équivalence est compatible aux images réciproques pour les morphismes entre catégories fibrées en groupoïdes représentables par des espaces algébriques.

Démonstration

D’après le Lemme 0EM8, nous pouvons travailler avec la topologie étale. Nous emploierons sans autre mention les notations et résultats du Lemme 073M. Rappelons que le foncteur de restriction \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(F_\etale, \mathcal{O}_F)\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{F_\etale}\) est donné par \(i_F^*\). D’après le Lemme 0GQC, ou d’après Modules sur les sites, Lemme 03DO nous voyons que \(\mathcal{F}|_{F_\etale}\) est quasi-cohérent si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Nous obtenons donc le foncteur indiqué dans l’énoncé du lemme et, dans l’autre sens, un foncteur \(\pi_F^*\). Comme \(\pi_F \circ i_F = \text{id}\), nous avons \(i_F^*\pi_F^*\mathcal{G} = \mathcal{G}\).

Pour \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) il existe un morphisme canonique \(\pi_F^*(\mathcal{F}|_{F_\etale}) \to \mathcal{F}\), à savoir le morphisme adjoint à l’identification \(\mathcal{F}|_{F_\etale} = \pi_{F, *}\mathcal{F}\). Nous montrerons que ce morphisme est un isomorphisme si \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to F\). Notons \(x : U \to \mathcal{X}\) l’objet correspondant de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Il suffit de montrer que \(\pi_F^*(\mathcal{F}|_{F_\etale}) \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme après restriction à \(\mathcal{X}_\etale/x = (\Sch/U)_\etale\). Comme \(U \to F\) est étale, la Remarque 0GQA donne \[\pi_F^*(\mathcal{F}|_{F_\etale})|_{\mathcal{X}_\etale/x} = \pi_U^*(\mathcal{F}|_{U_\etale})\] et montre que la restriction du morphisme \(\pi_F^*(\mathcal{F}|_{F_\etale}) \to \mathcal{F}\) à \(\mathcal{X}_\etale/x = (\Sch/U)_\etale\) est égale au morphisme correspondant \(\pi_U^*(\mathcal{F}|_{U_\etale}) \to \mathcal{F}|_{(\Sch/U)_\etale}\). Puisque nous avons démontré le résultat pour les schémas dans Descente, section 03DR³ nous concluons.

La compatibilité aux images réciproques résulte du fait que le quasi-inverse est donné par \(\pi_F^*\) et du diagramme commutatif de topos annelés du Lemme 073N.

Dans Groupoïdes dans les espaces, Définition 0441 nous avons défini la notion de module quasi-cohérent sur un groupoïde arbitraire. La proposition (formelle) suivante affirme que nous pouvons étudier les faisceaux quasi-cohérents sur les champs quotients en termes de modules quasi-cohérents sur les présentations.

Proposition

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{X} = [U/R]\) le champ quotient. La catégorie des modules quasi-cohérents sur \(\mathcal{X}\) est équivalente à la catégorie des modules quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\).

Démonstration

Nous allons construire des foncteurs quasi-inverses \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longleftrightarrow \QCoh(U, R, s, t, c).\] où \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) désigne la catégorie des modules quasi-cohérents sur le groupoïde \((U, R, s, t, c)\).

Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Notons \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{R}\) les catégories fibrées en groupoïdes correspondant à \(U\) et \(R\). Notons \(x\) l’objet (définissant) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Rappelons que nous avons un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{R} \ar[r]_s \ar[d]_t & \mathcal{U} \ar[d]^x \\ \mathcal{U} \ar[r]^x & \mathcal{X} }\] Voir Groupoïdes dans les espaces, Lemme 044S. D’après le Lemme 06TM, la \(2\)-flèche inhérente au diagramme induit un isomorphisme \(\alpha : t^*x^*\mathcal{F} \to s^*x^*\mathcal{F}\) qui satisfait la condition de cocycle sur \(\mathcal{R} \times_{s, \mathcal{U}, t} \mathcal{R}\) ; c’est une conséquence de Groupoïdes dans les espaces, Lemme 044T. Ainsi, si nous posons \(\mathcal{G} = x^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\), l’équivalence de catégories du Lemme 0GQD (employée plusieurs fois de façon compatible aux images réciproques) donne un isomorphisme \(\alpha : t_{small}^*\mathcal{G} \to s_{small}^*\mathcal{G}\) satisfaisant la condition de cocycle sur \(R \times_{s, U, t} R\), c’est-à-dire que \((\mathcal{G}, \alpha)\) est un objet de \(\QCoh(U, R, s, t, c)\). La règle \(\mathcal{F} \mapsto (\mathcal{G}, \alpha)\) est notre foncteur de gauche à droite.

Construction du foncteur dans l’autre sens. Soit \((\mathcal{G}, \alpha)\) un objet de \(\QCoh(U, R, s, t, c)\). D’après le Lemme 06WR, le morphisme de champification \([U/_{\!p}R] \to [U/R]\) (voir Groupoïdes dans les espaces, Définition 044Q) induit une équivalence des catégories de faisceaux quasi-cohérents. Il suffit donc de construire un module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \([U/_{\!p}R]\).

Rappelons qu’un objet \(x = (T, u)\) de \([U/_{\!p}R]\) est donné par un schéma \(T\) et un morphisme \(u : T \to U\). Un morphisme \((T, u) \to (T', u')\) est donné par une paire \((f, r)\), où \(f : T \to T'\) et \(r : T \to R\), avec \(s \circ r = u\) et \(t \circ r = u' \circ f\). Appelons morphisme spécial tout morphisme de la forme \((f, e \circ u' \circ f) : (T, u' \circ f) \to (T', u')\). La catégorie des \((T, u)\), munie des morphismes spéciaux, n’est autre que la catégorie des schémas sur \(U\).

Avec ces notations, pour un objet \((T, u)\) de \([U/_{\!p}R]\), posons \[\mathcal{F}(T, u) : = \Gamma(T, u_{small}^*\mathcal{G}).\] À un morphisme \((f, r) : (T, u) \to (T', u')\) est associé un morphisme \[\begin{align*} \mathcal{F}(T', u') & = \Gamma(T', (u')_{small}^*\mathcal{G}) \\ & \to \Gamma(T, f_{small}^*(u')_{small}^*\mathcal{G}) = \Gamma(T, (u' \circ f)_{small}^*\mathcal{G}) \\ & = \Gamma(T, (t \circ r)_{small}^*\mathcal{G}) = \Gamma(T, r_{small}^*t_{small}^*\mathcal{G}) \\ & \to \Gamma(T, r_{small}^*s_{small}^*\mathcal{G}) = \Gamma(T, (s \circ r)_{small}^*\mathcal{G}) \\ & = \Gamma(T, u_{small}^*\mathcal{G}) \\ & = \mathcal{F}(T, u) \end{align*}\] où la première flèche est l’image réciproque suivant \(f\) et la seconde est \(\alpha\). Remarquons que si \((f, r)\) est un morphisme spécial, ce morphisme est simplement l’image réciproque suivant \(f\), car \(e_{small}^*\alpha = \text{id}\) par les axiomes d’un faisceau de modules quasi-cohérents sur un groupoïde. La condition de cocycle implique que \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau de modules (détails omis). Nous voyons que la restriction de \(\mathcal{F}\) à \((\Sch/T)_{fppf}\) est quasi-cohérente par la description simple des morphismes de restriction de \(\mathcal{F}\) dans le cas d’un morphisme spécial. Ainsi \(\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent sur \([U/_{\!p}R]\) (Lemme 06WI).

Nous omettons de vérifier que les foncteurs construits ci-dessus sont quasi-inverses l’un de l’autre.

Nous terminons cette section par un lemme technique sur les morphismes ayant pour source un faisceau quasi-cohérent. C’est un analogue de Schémas, Lemme 01I7. Nous verrons plus loin (Critères de représentabilité, Théorème 06FI) que les hypothèses faites sur le groupoïde impliquent que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(s, t\) plats et localement de présentation finie. Soit \(\mathcal{X} = [U/R]\) le champ quotient. Notons \(x\) l’objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module quasi-cohérent, et soit \(\mathcal{H}\) un objet quelconque de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Le morphisme \[\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{H}) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_U}(x^*\mathcal{F}|_{U_\etale}, x^*\mathcal{H}|_{U_\etale}), \quad \phi \longmapsto x^*\phi|_{U_\etale}\] est injectif, et son image est exactement formée des \(\varphi : x^*\mathcal{F}|_{U_\etale} \to x^*\mathcal{H}|_{U_\etale}\) qui donnent lieu à un diagramme commutatif \[\xymatrix{ s_{small}^*(x^*\mathcal{F}|_{U_\etale}) \ar[r] \ar[d]^{s_{small}^*\varphi} & (x \circ s)^*\mathcal{F}|_{R_\etale} = (x \circ t)^*\mathcal{F}|_{R_\etale} & t_{small}^*(x^*\mathcal{F}|_{U_\etale}) \ar[l] \ar[d]_{t_{small}^*\varphi} \\ s_{small}^*(x^*\mathcal{H}|_{U_\etale}) \ar[r] & (x \circ s)^*\mathcal{H}|_{R_\etale} = (x \circ t)^*\mathcal{H}|_{R_\etale} & t_{small}^*(x^*\mathcal{H}|_{U_\etale}) \ar[l] }\] de modules sur \(R_\etale\), où les flèches horizontales sont les morphismes de comparaison (076R).

Démonstration

D’après le Lemme 06WR le morphisme de champification \([U/_{\!p}R] \to [U/R]\) (voir Groupoïdes dans les espaces, Définition 044Q) induit une équivalence des catégories de faisceaux quasi-cohérents et de \(\mathcal{O}\)-modules fppf. Il suffit donc de démontrer le lemme pour \(\mathcal{X} = [U/_{\!p}R]\). D’après la Proposition 06WT et sa preuve, il existe un module quasi-cohérent \((\mathcal{G}, \alpha)\) sur \((U, R, s, t, c)\) tel que \(\mathcal{F}\) soit donné par la règle \(\mathcal{F}(T, u) = \Gamma(T, u^*\mathcal{G})\). En particulier, \(x^*\mathcal{F}|_{U_\etale} = \mathcal{G}\) et il est clair que le morphisme de l’énoncé du lemme est injectif. De plus, étant donnés un morphisme \(\varphi : \mathcal{G} \to x^*\mathcal{H}|_{U_\etale}\) et un objet quelconque \(y = (T, u)\) de \([U/_{\!p}R]\), nous pouvons considérer le morphisme \[\mathcal{F}(y) = \Gamma(T, u^*\mathcal{G}) \xrightarrow{u_{small}^*\varphi} \Gamma(T, u_{small}^*x^*\mathcal{H}|_{U_\etale}) \rightarrow \Gamma(T, y^*\mathcal{H}|_{T_\etale}) = \mathcal{H}(y)\] où la seconde flèche est le morphisme de comparaison (06WC) pour le faisceau \(\mathcal{H}\). Cette construction est compatible aux morphismes de restriction des faisceaux \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) pour les morphismes de \([U/_{\!p}R]\) si la condition de cocycle du lemme est satisfaite. Preuve omise. Indication : les morphismes de restriction de \(\mathcal{F}\) sont explicités en termes de \((\mathcal{G}, \alpha)\) dans la preuve de la Proposition 06WT.

Faisceaux quasi-cohérents sur les champs algébriques

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\). D’après Champs algébriques, Lemme 04T5 il existe une équivalence \([U/R] \to \mathcal{X}\), où \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde lisse en espaces algébriques. Alors \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cong \QCoh(\mathcal{O}_{[U/R]}) \cong \QCoh(U, R, s, t, c)\] où la seconde équivalence est la Proposition 06WT. Ainsi, la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur un champ algébrique est équivalente à la catégorie des modules quasi-cohérents sur un groupoïde lisse en espaces algébriques. En particulier, d’après Groupoïdes dans les espaces, Lemme 06VZ nous voyons que \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est abélienne !

Notre cadre actuel présente un aspect légèrement déconcertant : le plongement pleinement fidèle \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] n’est en général pas exact. Toutefois, il en va exactement de même pour les schémas : pour la plupart des schémas \(X\), le plongement \[\QCoh(\mathcal{O}_X) \cong \QCoh((\Sch/X)_{fppf}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}((\Sch/X)_{fppf}, \mathcal{O}_X)\] n’est pas exact, voir Descente, Lemme 06VE. Incidemment, l’exemple donné dans la preuve de Descente, Lemme 06VE montre qu’en général le plongement strictement plein \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) n’est pas exact non plus.

Nous réunissons tous les résultats obtenus jusqu’ici en un seul énoncé.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\).

1. Si \([U/R] \to \mathcal{X}\) est une présentation de \(\mathcal{X}\), il existe une équivalence canonique \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cong \QCoh(U, R, s, t, c)\).

2. La catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est abélienne.

3. Le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est exact à droite, mais n’est en général pas exact.

4. La catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) admet des limites inductives, qui coïncident avec les limites inductives dans la catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

5. Étant donnés \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) le produit tensoriel \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est un objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

6. Étant donnés \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) avec \(\mathcal{F}\) localement libre de type fini, le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est un objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

7. Étant donnée une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), si \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) sont quasi-cohérents, alors \(\mathcal{F}_2\) est quasi-cohérent.

Démonstration

Les propriétés (4), (5) et (6) ont été démontrées dans le Lemme 06WN. L’assertion (1) est la Proposition 06WT. L’assertion (2) résulte de (1) et de Groupoïdes dans les espaces, Lemme 06VZ comme expliqué ci-dessus. L’exactitude à droite du foncteur d’inclusion dans (3) résulte de (4) ; comparer avec Homologie, Lemme 010N. Pour la non-exactitude du foncteur d’inclusion dans (3), voir Descente, Lemme 06VE. Pour (7), remarquons qu’il suffit de vérifier que la restriction de \(\mathcal{F}_2\) au grand site d’un schéma est quasi-cohérente (Lemme 06WI) ; cela résulte donc de l’assertion correspondante de Descente, Lemme 06VE.

Construisons maintenant le cohérateur des modules sur un champ algébrique.

Proposition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\).

1. La catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est une catégorie abélienne de Grothendieck. Par conséquent, \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) a suffisamment d’injectifs et admet toutes les limites.

2. Le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) admet un adjoint à droite⁴ \[Q : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] tel que, pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), le morphisme d’adjonction \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Cette preuve reprend celle du cas des schémas, voir Propriétés, Proposition 077P et celle du cas des espaces algébriques, voir Propriétés des espaces, Proposition 077V. Nous conseillons au lecteur de lire d’abord l’une de ces preuves.

L’assertion (1) signifie que \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) (a) admet toutes les limites inductives, (b) que les limites inductives filtrantes sont exactes, et (c) qu’elle admet un générateur, voir Injectifs, section 079A. D’après le Lemme 06WV, les limites inductives dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) existent et coïncident avec celles de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). D’après Modules sur les sites, Lemme 03DB les limites inductives filtrantes sont exactes. Ainsi (a) et (b) sont satisfaites.

Choisissons une présentation \(\mathcal{X} = [U/R]\) telle que \((U, R, s, t, c)\) soit un groupoïde lisse en espaces algébriques ; en particulier, \(s\) et \(t\) sont des morphismes plats d’espaces algébriques. D’après le Lemme 06WV ci-dessus, nous avons \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = \QCoh(U, R, s, t, c)\). D’après Groupoïdes dans les espaces, Lemme 0780, il existe un ensemble \(T\) et une famille \((\mathcal{F}_t)_{t \in T}\) de faisceaux quasi-cohérents sur \(\mathcal{X}\) tels que tout faisceau quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\) soit la limite inductive filtrante de ses sous-faisceaux isomorphes à l’un des \(\mathcal{F}_t\). Ainsi \(\bigoplus_t \mathcal{F}_t\) est un générateur de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), et (c) est satisfait. Les assertions sur les limites et les injectifs valent dans toute catégorie abélienne de Grothendieck, voir Injectifs, Théorème 079H et Lemme 07D8.

Preuve de (2). Pour construire \(Q\), nous employons le procédé général suivant. Étant donné un objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), considérons le foncteur \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad \mathcal{G} \longmapsto \Hom_\mathcal{X}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\] Ce foncteur transforme les limites inductives en limites projectives ; il est donc représentable, voir Injectifs, Lemme 07D7. Il existe donc un faisceau quasi-cohérent \(Q(\mathcal{F})\) et un isomorphisme fonctoriel \(\Hom_\mathcal{X}(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_\mathcal{X}(\mathcal{G}, Q(\mathcal{F}))\) pour \(\mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). D’après le lemme de Yoneda (Catégories, Lemme 001P) la construction \(\mathcal{F} \leadsto Q(\mathcal{F})\) est fonctorielle en \(\mathcal{F}\). Par construction, \(Q\) est un adjoint à droite du foncteur d’inclusion. Le fait que \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) soit un isomorphisme lorsque \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent est une conséquence formelle du fait que le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est pleinement fidèle.

Cohomologie

Soit \(S\) un schéma et soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Pour tout \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\), les catégories \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) et \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) ont suffisamment d’injectifs, voir Injectifs, Théorèmes 01DP et 01DU. Nous pouvons donc employer le formalisme de Cohomologie sur les sites, section 01FT pour définir les groupes de cohomologie \[H^p(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{F}) = H^p_\tau(\mathcal{X}, \mathcal{F}) \quad\text{et}\quad H^p(x, \mathcal{F}) = H^p_\tau(x, \mathcal{F})\] pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) et tout objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) ou \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). De plus, si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), on obtient les images directes supérieures \(R^if_*\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(\mathcal{Y}_\tau)\) ou \(\textit{Mod}(\mathcal{Y}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{Y})\). Bien entendu, comme expliqué dans Cohomologie sur les sites, section 071J il existe aussi des versions dérivées de \(H^p(-)\) et de \(R^if_*\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) un objet au-dessus du schéma \(U\). Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) ou de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Alors \[H^p_\tau(x, \mathcal{F}) = H^p((\Sch/U)_\tau, x^{-1}\mathcal{F})\] et, si \(\tau = \etale\), nous avons aussi \[H^p_\etale(x, \mathcal{F}) = H^p(U_\etale, \mathcal{F}|_{U_\etale}).\]

Démonstration

La première assertion résulte de Cohomologie sur les sites, Lemme 03F3 et de l’équivalence du Lemme 06W9. La seconde assertion résulte de la première, combinée avec Cohomologie étale, Lemme 03YX.

Faisceaux injectifs

L’image directe d’un faisceau abélien injectif ou d’un module injectif est injective.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\).

1. \(f_*\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{Y}_\tau)\) pour \(\mathcal{I}\) injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\), et

2. \(f_*\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Mod}(\mathcal{Y}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{Y})\) pour \(\mathcal{I}\) injectif dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

Cela résulte formellement du fait que \(f^{-1}\) est un adjoint à gauche exact de \(f_*\), voir Homologie, Lemme 015Z.

Dans la suite de cette section, nous prouvons que l’image réciproque \(f^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(f_!\) sur les faisceaux abéliens et les modules. Si \(f\) est représentable (par des schémas ou des espaces algébriques), il se trouvera que \(f_!\) est exact et que \(f^{-1}\) préserve les injectifs. Nous démontrons d’abord quelques lemmes préliminaires sur les produits fibrés et les égalisateurs dans les catégories fibrées en groupoïdes, ainsi que sur leur comportement à l’égard des morphismes.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes.

1. La catégorie \(\mathcal{X}\) admet des produits fibrés.

2. Si les préfaisceaux \(\mathit{Isom}\) de \(\mathcal{X}\) sont représentables par des espaces algébriques, alors \(\mathcal{X}\) admet des égalisateurs.

3. Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique (ou, plus généralement, un champ quotient), alors \(\mathcal{X}\) admet des égalisateurs.

Démonstration

L’assertion (1) résulte de Catégories, Lemme 06N6 puisque \((\Sch/S)_{fppf}\) admet des produits fibrés.

Soient \(a, b : x \to y\) des morphismes de \(\mathcal{X}\). Posons \(U = p(x)\) et \(V = p(y)\). La catégorie des schémas admet des égalisateurs ; on peut donc prendre pour \(W \to U\) l’égalisateur de \(p(a)\) et \(p(b)\). Notons \(c : z \to x\) un morphisme de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(W \to U\). L’égalisateur de \(a\) et \(b\), s’il existe, est celui de \(a \circ c\) et \(b \circ c\). Nous pouvons donc supposer que \(p(a) = p(b) = f : U \to V\). Comme \(\mathcal{X}\) est fibrée en groupoïdes, il existe un unique automorphisme \(i : x \to x\) dans la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\) tel que \(a \circ i = b\). De nouveau, l’égalisateur de \(a\) et \(b\) est celui de \(\text{id}_x\) et \(i\). Rappelons que \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x)\) est le préfaisceau sur \((\Sch/U)_{fppf}\) qui associe à \(T/U\) l’ensemble des automorphismes de \(x|_T\) dans la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\), voir Champs, Définition 02ZB. Si \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x)\) est représentable par un espace algébrique \(G \to U\), alors \(\text{id}_x\) et \(i\) définissent des morphismes \(e, i : U \to G\) au-dessus de \(U\). Posons \(M = U \times_{e, G, i} U\), qui, d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03KP est un schéma. Il est alors clair que \(x|_M \to x\) est l’égalisateur des morphismes \(\text{id}_x\) et \(i\) dans \(\mathcal{X}\). Cela prouve (2).

Si \(\mathcal{X} = [U/R]\) pour un groupoïde en espaces algébriques \((U, R, s, t, c)\) sur \(S\), l’hypothèse de (2) est satisfaite d’après Amorçage, Lemme 04TB. Si \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique, nous pouvons choisir une présentation \([U/R] \cong \mathcal{X}\) d’après Champs algébriques, Lemme 04T5.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

1. Le foncteur \(f\) transforme les produits fibrés en produits fibrés.

2. Si \(f\) est fidèle, alors \(f\) transforme les égalisateurs en égalisateurs.

Démonstration

D’après Catégories, Lemme 06N6 un produit fibré dans \(\mathcal{X}\) est tout carré commutatif au-dessus d’un diagramme de produit fibré dans \((\Sch/S)_{fppf}\). Il en va de même pour \(\mathcal{Y}\). L’assertion (1) est donc claire.

Soit \(x \to x'\) l’égalisateur de deux morphismes \(a, b : x' \to x''\) dans \(\mathcal{X}\). Montrons que \(f(x) \to f(x')\) est l’égalisateur de \(f(a)\) et \(f(b)\). Soit \(y \to f(x')\) un morphisme de \(\mathcal{Y}\) égalisant \(f(a)\) et \(f(b)\). Disons que \(x, x', x''\) sont au-dessus des schémas \(U, U', U''\) et que \(y\) est au-dessus de \(V\). Notons \(h : V \to U'\) l’image de \(y \to f(x')\) dans la catégorie des schémas. D’après les axiomes des catégories fibrées, le morphisme \(y \to f(x')\) est isomorphe à \(f(h^*x') \to f(x')\). Comme \(f\) est fidèle, nous voyons donc que \(h^*x' \to x'\) égalise \(a\) et \(b\). Nous obtenons ainsi un unique morphisme \(h^*x' \to x\) dont l’image \(y = f(h^*x') \to f(x)\) est le morphisme cherché dans \(\mathcal{Y}\).

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes fidèles de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

1. le foncteur \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) est fidèle, et

2. si \(\mathcal{X}, \mathcal{Z}\) admettent des égalisateurs, il en va de même de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\).

Démonstration

Nous considérons les objets de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) comme des quadruplets \((U, x, z, \alpha)\), où \(\alpha : f(x) \to g(z)\) est un isomorphisme au-dessus de \(U\), voir Catégories, Lemme 0040. Un morphisme \((U, x, z, \alpha) \to (U', x', z', \alpha')\) est une paire de morphismes \(a : x \to x'\) et \(b : z \to z'\) compatibles à \(\alpha\) et \(\alpha'\). Il est donc clair que, si \(f\) et \(g\) sont fidèles, le foncteur \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) est fidèle. Supposons maintenant que \((a, b), (a', b') : (U, x, z, \alpha) \to (U', x', z', \alpha')\) soient deux morphismes du \(2\)-produit fibré. Considérons l’égalisateur \(x'' \to x\) de \(a\) et \(a'\), et l’égalisateur \(z'' \to z\) de \(b\) et \(b'\). Comme \(f\) commute aux égalisateurs (d’après le Lemme 06WZ) nous voyons que \(f(x'') \to f(x)\) est l’égalisateur de \(f(a)\) et \(f(a')\). De même, \(g(z'') \to g(z)\) est l’égalisateur de \(g(b)\) et \(g(b')\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ f(x'') \ar[r] \ar@{..>}[d]_{\alpha''}& f(x) \ar[d]_\alpha \ar@<0.5ex>[r]^{f(a)} \ar@<-0.5ex>[r]_{f(a')} & f(x') \ar[d]^{\alpha'} \\ g(z'') \ar[r] & g(z) \ar@<0.5ex>[r]^{g(b)} \ar@<-0.5ex>[r]_{g(b')} & g(z') }\] Il est clair que la flèche pointillée existe et est un isomorphisme. Toutefois, il n’est pas assuré a priori que l’image de \(\alpha''\) dans la catégorie des schémas soit l’identité de sa source. D’autre part, l’existence de \(\alpha''\) signifie que nous pouvons supposer que \(x''\) et \(z''\) sont définis sur le même schéma et que les morphismes \(x'' \to x\) et \(z'' \to z\) ont la même image dans la catégorie des schémas. En refaisant le diagramme ci-dessus, nous voyons que la flèche pointillée se projette alors bien sur un morphisme identité, ce qui conclut. Quelques détails sont omis.

Puisque nous travaillons avec de grands sites, nous obtenons le résultat quelque peu contre-intuitif suivant (qui vaut aussi pour les morphismes entre grands sites de schémas). Attention : ce résultat est faux si l’on omet l’hypothèse que \(f\) est fidèle.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Le foncteur \(f^{-1} : \textit{Ab}(\mathcal{Y}_\tau) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) admet un adjoint à gauche \(f_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau) \to \textit{Ab}(\mathcal{Y}_\tau)\). Si \(f\) est fidèle et si \(\mathcal{X}\) admet des égalisateurs, alors

1. \(f_!\) est exact, et

2. \(f^{-1}\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) pour \(\mathcal{I}\) injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{Y}_\tau)\).

Démonstration

D’après Champs, Lemme 06NW le foncteur \(f\) est continu et cocontinu. Par conséquent, d’après Modules sur les sites, Lemme 04BG le foncteur \(f^{-1} : \textit{Ab}(\mathcal{Y}_\tau) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) admet un adjoint à gauche \(f_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau) \to \textit{Ab}(\mathcal{Y}_\tau)\). Pour (1), nous appliquons Modules sur les sites, Lemme 04BH et, pour vérifier les hypothèses de ce lemme, nous employons les Lemmes 06WY et 06WZ ci-dessus. L’assertion (2) en résulte formellement, voir Homologie, Lemme 015Z.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Le foncteur \(f^* : \textit{Mod}(\mathcal{Y}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) admet un adjoint à gauche \(f_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{Y}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{Y})\), qui coïncide avec le foncteur \(f_!\) du Lemme 06X1 sur les faisceaux abéliens sous-jacents. Si \(f\) est fidèle et si \(\mathcal{X}\) admet des égalisateurs, alors

1. \(f_!\) est exact, et

2. \(f^{-1}\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) pour \(\mathcal{I}\) injectif dans \(\textit{Mod}(\mathcal{Y}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

Rappelons que \(f\) est un foncteur continu et cocontinu de sites et que \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{Y} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\). Ainsi Modules sur les sites, Lemme 0797 implique que \(f^*\) admet un adjoint à gauche \(f_!^{Mod}\). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(U\). Alors \(f\) induit une équivalence de sites annelés \[\mathcal{X}/x \longrightarrow \mathcal{Y}/f(x)\] puisque les deux membres sont équivalents à \((\Sch/U)_\tau\), voir Lemme 06W9. Modules sur les sites, Remarque 0798 montre que \(f_!\) coïncide avec le foncteur sur les faisceaux abéliens.

Supposons maintenant que \(\mathcal{X}\) admette des égalisateurs et que \(f\) soit fidèle. Le Lemme 06X1 nous dit que \(f_!\) est exact. Enfin, Homologie, Lemme 015Z implique l’assertion sur les images réciproques de modules injectifs.

Le complexe de Čech

Pour calculer la cohomologie d’un faisceau sur un champ algébrique, nous la comparons à la cohomologie du faisceau restreint à des recouvrements du champ algébrique donné.

Dans toute cette section, la situation sera la suivante. On se donne un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes [06X4]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{U} \ar[rr]_f \ar[rd]_q & & \mathcal{X} \ar[ld]^p \\ & (\Sch/S)_{fppf} } } \end{equation}\] Nous considérerons \(\mathcal{U}\) comme un « recouvrement » de \(\mathcal{X}\). Nous voulons donc considérer l’objet simplicial \[\xymatrix{ \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \ar@<1ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \ar@<0.5ex>[r] \ar@<-0.5ex>[r] & \mathcal{U} }\] dans la catégorie des catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Cependant, comme il s’agit d’une \((2, 1)\)-catégorie et non d’une catégorie, précisons explicitement ce que nous entendons. Soit \(\mathcal{U}_n\) la catégorie dont les objets sont les \((u_0, \ldots, u_n, x, \alpha_0, \ldots, \alpha_n)\) où \(\alpha_i : f(u_i) \to x\) est un isomorphisme dans \(\mathcal{X}\). Nous notons \(f_n : \mathcal{U}_n \to \mathcal{X}\) le \(1\)-morphisme qui associe à \((u_0, \ldots, u_n, x, \alpha_0, \ldots, \alpha_n)\) l’objet \(x\). Remarquons que \(\mathcal{U}_0 = \mathcal{U}\) et \(f_0 = f\). À un morphisme \(\varphi : [m] \to [n]\), nous associons le \(1\)-morphisme \(\mathcal{U}_\varphi : \mathcal{U}_n \longrightarrow \mathcal{U}_n\) donné sur les objets par \[(u_0, \ldots, u_n, x, \alpha_0, \ldots, \alpha_n) \longmapsto (u_{\varphi(0)}, \ldots, u_{\varphi(m)}, x, \alpha_{\varphi(0)}, \ldots, \alpha_{\varphi(m)})\] Tous ces \(1\)-morphismes se composent strictement comme il convient (sans qu’il faille de \(2\)-morphismes), et chacun de ces \(1\)-morphismes est un \(1\)-morphisme sur \(\mathcal{X}\). Nous notons \(\mathcal{U}_\bullet\) cet objet simplicial. Si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{X}\), nous obtenons un ensemble cosimplicial \[\xymatrix{ \Gamma(\mathcal{U}_0, f_0^{-1}\mathcal{F}) \ar@<0.5ex>[r] \ar@<-0.5ex>[r] & \Gamma(\mathcal{U}_1, f_1^{-1}\mathcal{F}) \ar@<1ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Gamma(\mathcal{U}_2, f_2^{-1}\mathcal{F}) }\] Ici, les flèches sont les morphismes d’image réciproque suivant les morphismes donnés de l’objet simplicial. Si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau de groupes abéliens, on obtient un groupe abélien cosimplicial.

Soit \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) comme ci-dessus et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(\mathcal{X}\). Le complexe de Čech associé à cette situation est noté \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U} \to \mathcal{X}, \mathcal{F})\). C’est le complexe de cochaînes associé au groupe abélien cosimplicial ci-dessus, voir Simplicial, section 019H. Ses termes sont \[\check{\mathcal{C}}^n(\mathcal{U} \to \mathcal{X}, \mathcal{F}) = \Gamma(\mathcal{U}_n, f_n^{-1}\mathcal{F}).\] Les différentielles sont les morphismes \[d^n = \sum\nolimits_{i = 0}^{n + 1} (-1)^i \delta^{n + 1}_i : \Gamma(\mathcal{U}_n, f_n^{-1}\mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(\mathcal{U}_{n + 1}, f_{n + 1}^{-1}\mathcal{F})\] où \(\delta^{n + 1}_i\) correspond au morphisme \([n] \to [n + 1]\) qui omet l’indice \(i\). Remarquons que le morphisme \(\Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{F}) \to \Gamma(\mathcal{U}_0, f_0^{-1}\mathcal{F}_0)\) est dans le noyau de la différentielle \(d^0\). Nous définissons donc le complexe de Čech augmenté comme le complexe \[\ldots \to 0 \to \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{F}) \to \Gamma(\mathcal{U}_0, f_0^{-1}\mathcal{F}_0) \to \Gamma(\mathcal{U}_1, f_1^{-1}\mathcal{F}_1) \to \ldots\] où \(\Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{F})\) est placé en degré \(-1\). Le complexe de Čech augmenté est acyclique si et seulement si le morphisme canonique \[\Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{F})[0] \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U} \to \mathcal{X}, \mathcal{F})\] est un quasi-isomorphisme de complexes.

Lemme

Généralités sur les complexes de Čech.

1. Si \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[d]_g \ar[r]_h & \mathcal{U} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y} \ar[r]^e & \mathcal{X} }\] est un diagramme \(2\)-commutatif de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), alors il existe un morphisme de complexes de Čech \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U} \to \mathcal{X}, \mathcal{F}) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}, e^{-1}\mathcal{F})\]

2. si \(h\) et \(e\) sont des équivalences, le morphisme de (1) est un isomorphisme,

3. si \(f, f' : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) sont \(2\)-isomorphes, alors les complexes de Čech associés sont isomorphes.

Démonstration

Dans la situation de (1), soit \(t : f \circ h \to e \circ g\) un \(2\)-morphisme. Le morphisme de complexes est donné en degré \(n\) par l’image réciproque suivant les \(1\)-morphismes \(\mathcal{V}_n \to \mathcal{U}_n\) définis par la règle \[(v_0, \ldots, v_n, y, \beta_0, \ldots, \beta_n) \longmapsto (h(v_0), \ldots, h(v_n), e(y), e(\beta_0) \circ t_{v_0}, \ldots, e(\beta_n) \circ t_{v_n}).\] Pour (2), remarquons que l’image réciproque sur les sections globales est un isomorphisme pour tout préfaisceau d’ensembles lorsqu’elle est prise suivant une équivalence de catégories. L’assertion (3) résulte de la combinaison de (1) et (2).

Lemme

S’il existe un \(1\)-morphisme \(s : \mathcal{X} \to \mathcal{U}\) tel que \(f \circ s\) soit \(2\)-isomorphe à \(\text{id}_\mathcal{X}\), alors le complexe de Čech augmenté est homotope à zéro.

Démonstration

Posons \(\mathcal{U}' = \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{X}\), égal au produit fibré décrit dans Catégories, Lemme 0040. Posons \(f' : \mathcal{U}' \to \mathcal{X}\) égal à la seconde projection. Alors \(\mathcal{U} \to \mathcal{U}'\), \(u \mapsto (u, f(x), 1)\) est une équivalence sur \(\mathcal{X}\) ; nous pouvons donc remplacer \((\mathcal{U}, f)\) par \((\mathcal{U}', f')\) d’après le Lemme 06X5. L’avantage est que \(f'\) admet maintenant une section \(s'\) telle que \(f' \circ s' = \text{id}_\mathcal{X}\) strictement. En effet, si \(t : s \circ f \to \text{id}_\mathcal{X}\) est un \(2\)-isomorphisme, nous pouvons poser \(s'(x) = (s(x), x, t_x)\). Nous pouvons donc supposer que \(f \circ s = \text{id}_\mathcal{X}\).

Lorsque \(f \circ s = \text{id}_\mathcal{X}\), le résultat découle de principes généraux. Explicitons l’homotopie. Pour \(n \geq 0\), définissons \(s_n : \mathcal{U}_n \to \mathcal{U}_{n + 1}\) comme le \(1\)-morphisme donné sur les objets par la règle \[(u_0, \ldots, u_n, x, \alpha_0, \ldots, \alpha_n) \longmapsto (u_0, \ldots, u_n, s(x), x, \alpha_0, \ldots, \alpha_n, \text{id}_x).\] Définissons \[h^{n + 1} : \Gamma(\mathcal{U}_{n + 1}, f_{n + 1}^{-1}\mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(\mathcal{U}_n, f_n^{-1}\mathcal{F})\] comme l’image réciproque suivant \(s_n\). Posons aussi \(s_{-1} = s\) et \(h^0 : \Gamma(\mathcal{U}_0, f_0^{-1}\mathcal{F}) \to \Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{F})\) égal à l’image réciproque suivant \(s_{-1}\). Alors la famille de morphismes \(\{h^n\}_{n \geq 0}\) est une homotopie entre \(1\) et \(0\) sur le complexe de Čech augmenté.

Le complexe de Čech relatif

Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) comme dans (06X4). Considérons l’objet simplicial associé \(\mathcal{U}_\bullet\) et les morphismes \(f_n : \mathcal{U}_n \to \mathcal{X}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Enfin, supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau (d’ensembles) sur \(\mathcal{X}_\tau\). Alors \[\xymatrix{ f_{0, *}f_0^{-1}\mathcal{F} \ar@<0.5ex>[r] \ar@<-0.5ex>[r] & f_{1, *}f_1^{-1}\mathcal{F} \ar@<1ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & f_{2, *}f_2^{-1}\mathcal{F} }\] est un faisceau cosimplicial sur \(\mathcal{X}_\tau\), où nous employons les morphismes d’image réciproque introduits dans Sites, section 06UM. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien, les \(f_{n, *}f_n^{-1}\mathcal{F}\) forment un faisceau abélien cosimplicial sur \(\mathcal{X}_\tau\). Le complexe associé (voir Simplicial, section 019H) \[\ldots \to 0 \to f_{0, *}f_0^{-1}\mathcal{F} \to f_{1, *}f_1^{-1}\mathcal{F} \to f_{2, *}f_2^{-1}\mathcal{F} \to \ldots\] est appelé le complexe de Čech relatif associé à la situation. Nous noterons ce complexe \(\mathcal{K}^\bullet(f, \mathcal{F})\). Le complexe de Čech relatif augmenté est le complexe \[\ldots \to 0 \to \mathcal{F} \to f_{0, *}f_0^{-1}\mathcal{F} \to f_{1, *}f_1^{-1}\mathcal{F} \to f_{2, *}f_2^{-1}\mathcal{F} \to \ldots\] où \(\mathcal{F}\) est en degré \(-1\). Le complexe de Čech relatif augmenté est acyclique si et seulement si le morphisme \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{K}^\bullet(f, \mathcal{F})\) est un quasi-isomorphisme de complexes de faisceaux.

Remarque

Nous pouvons aussi définir le complexe \(\mathcal{K}^\bullet(f, \mathcal{F})\) si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau, mais nous ne pouvons alors employer Sites, section 06UM pour définir les morphismes d’image réciproque. Pour expliquer ceux-ci, supposons donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[rd]_g \ar[rr]_h & & \mathcal{U} \ar[ld]^f \\ & \mathcal{X} }\] de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) et un préfaisceau \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{U}\). Nous pouvons définir le morphisme d’image réciproque \(f_*\mathcal{G} \to g_*h^{-1}\mathcal{G}\) comme la composée \[f_*\mathcal{G} \longrightarrow f_*h_*h^{-1}\mathcal{G} = g_*h^{-1}\mathcal{G}\] où le morphisme provient du morphisme d’adjonction \(\mathcal{G} \to h_*h^{-1}\mathcal{G}\). Cela fonctionne parce que, dans notre situation, les foncteurs \(h_*\) et \(h^{-1}\) sont adjoints sur les préfaisceaux (et coïncident avec leurs homologues sur les faisceaux). Voir les sections 06TI et 06TN.

Lemme

Généralités sur les complexes de Čech relatifs.

1. Si \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[d]_g \ar[r]_h & \mathcal{U} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y} \ar[r]^e & \mathcal{X} }\] est un diagramme \(2\)-commutatif de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), alors il existe un morphisme \(e^{-1}\mathcal{K}^\bullet(f, \mathcal{F}) \to \mathcal{K}^\bullet(g, e^{-1}\mathcal{F})\).

2. si \(h\) et \(e\) sont des équivalences, le morphisme de (1) est un isomorphisme,

3. si \(f, f' : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) sont \(2\)-isomorphes, alors les complexes de Čech relatifs associés sont isomorphes.

Démonstration

Littéralement la même que la preuve du Lemme 06X5 en employant les morphismes d’image réciproque de la Remarque 06X8.

Lemme

S’il existe un \(1\)-morphisme \(s : \mathcal{X} \to \mathcal{U}\) tel que \(f \circ s\) soit \(2\)-isomorphe à \(\text{id}_\mathcal{X}\), alors le complexe de Čech relatif augmenté est homotope à zéro.

Démonstration

Littéralement la même que la preuve du Lemme 06X6.

Remarque

« Calculons » la valeur du complexe de Čech relatif en un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\). Écrivons \(p(x) = U\). Considérons le diagramme de \(2\)-produit fibré (qui sert à introduire la notation \(g : \mathcal{V} \to \mathcal{Y}\)) \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar@{=}[r] \ar[d]_g & (\Sch/U)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{U} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{U} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y} \ar@{=}[r] & (\Sch/U)_{fppf} \ar[r]^-x & \mathcal{X} }\] Remarquons que le morphisme \(\mathcal{V}_n \to \mathcal{U}_n\) de la preuve du Lemme 06X5 induit une équivalence \(\mathcal{V}_n = (\Sch/U)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{U}_n\). Il résulte donc de (06W6) que \[\Gamma(x, \mathcal{K}^\bullet(f, \mathcal{F})) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}, x^{-1}\mathcal{F})\] En d’autres termes : la valeur du complexe de Čech relatif en un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) est le complexe de Čech du changement de base de \(f\) à \(\mathcal{X}/x \cong (\Sch/U)_{fppf}\). Cela implique par exemple que le Lemme 06X6 implique le Lemme 06XA et, plus généralement, que les résultats sur le complexe de Čech (usuel) impliquent les résultats correspondants pour le complexe de Čech relatif.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[d]_g \ar[r]_h & \mathcal{U} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y} \ar[r]^e & \mathcal{X} }\] un \(2\)-produit fibré de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(\mathcal{X}\). Alors le morphisme \(e^{-1}\mathcal{K}^\bullet(f, \mathcal{F}) \to \mathcal{K}^\bullet(g, e^{-1}\mathcal{F})\) du Lemme 06X9 est un isomorphisme de complexes de préfaisceaux abéliens.

Démonstration

Soit \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus du schéma \(T\). Posons \(x = e(y)\). Nous allons montrer que le morphisme induit un isomorphisme sur les sections au-dessus de \(y\). Remarquons que \[\Gamma(y, e^{-1}\mathcal{K}^\bullet(f, \mathcal{F})) = \Gamma(x, \mathcal{K}^\bullet(f, \mathcal{F})) = \check{\mathcal{C}}^\bullet( (\Sch/T)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{U} \to (\Sch/T)_{fppf}, x^{-1}\mathcal{F})\] d’après la Remarque 06XB. D’autre part, \[\Gamma(y, \mathcal{K}^\bullet(g, e^{-1}\mathcal{F})) = \check{\mathcal{C}}^\bullet( (\Sch/T)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{V} \to (\Sch/T)_{fppf}, y^{-1}e^{-1}\mathcal{F})\] également d’après la Remarque 06XB. Remarquons que \(y^{-1}e^{-1}\mathcal{F} = x^{-1}\mathcal{F}\) et que, puisque le diagramme est \(2\)-cartésien, le \(1\)-morphisme \[(\Sch/T)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{V} \to (\Sch/T)_{fppf} \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{U}\] est une équivalence. Le morphisme sur les sections au-dessus de \(y\) est donc un isomorphisme d’après le Lemme 06X5.

L’exactitude peut se vérifier sur un « recouvrement ».

Lemme

Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soit \[\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}\] un complexe dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\). Supposons que

1. pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\), il existe un recouvrement \(\{x_i \to x\}\) dans \(\mathcal{X}_\tau\) tel que chaque \(x_i\) soit isomorphe à \(f(u_i)\) pour un objet \(u_i\) de \(\mathcal{U}\), et

2. \(f^{-1}\mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G} \to f^{-1}\mathcal{H}\) soit exact.

Alors la suite \(\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est exacte.

Démonstration

Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(T\). Considérons la suite \(x^{-1}\mathcal{F} \to x^{-1}\mathcal{G} \to x^{-1}\mathcal{H}\) de faisceaux abéliens sur \((\Sch/T)_\tau\). Il suffit de montrer que cette suite est exacte. Par hypothèse, il existe un \(\tau\)-recouvrement \(\{T_i \to T\}\) tel que \(x|_{T_i}\) soit isomorphe à \(f(u_i)\) pour un objet \(u_i\) de \(\mathcal{U}\) au-dessus de \(T_i\) et que, de plus, la suite \(u_i^{-1}f^{-1}\mathcal{F} \to u_i^{-1}f^{-1}\mathcal{G} \to u_i^{-1}f^{-1}\mathcal{H}\) de faisceaux abéliens sur \((\Sch/T_i)_\tau\) soit exacte. Comme \(u_i^{-1}f^{-1}\mathcal{F} = x^{-1}\mathcal{F}|_{(\Sch/T_i)_\tau}\) nous concluons que la suite \(x^{-1}\mathcal{F} \to x^{-1}\mathcal{G} \to x^{-1}\mathcal{H}\) devient exacte après localisation en chacun des membres d’un recouvrement ; la suite est donc exacte.

Proposition

Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Si

1. \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien sur \(\mathcal{X}_\tau\), et

2. pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\), il existe un recouvrement \(\{x_i \to x\}\) dans \(\mathcal{X}_\tau\) tel que chaque \(x_i\) soit isomorphe à \(f(u_i)\) pour un objet \(u_i\) de \(\mathcal{U}\),

alors le complexe de Čech relatif augmenté \[\ldots \to 0 \to \mathcal{F} \to f_{0, *}f_0^{-1}\mathcal{F} \to f_{1, *}f_1^{-1}\mathcal{F} \to f_{2, *}f_2^{-1}\mathcal{F} \to \ldots\] est exact dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\).

Démonstration

D’après le Lemme 06XD il suffit de vérifier l’exactitude après image réciproque sur \(\mathcal{U}\). D’après le Lemme 06XC l’image réciproque du complexe de Čech relatif augmenté est isomorphe au complexe de Čech relatif augmenté du morphisme \(\mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \to \mathcal{U}\) et d’un faisceau abélien sur \(\mathcal{U}_\tau\). Comme il existe une section \(\Delta_{\mathcal{U}/\mathcal{X}} : \mathcal{U} \to \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U}\), l’exactitude résulte du Lemme 06XA.

Nous pouvons ainsi construire la suite spectrale de Čech vers la cohomologie comme suit. Nous donnons d’abord une version technique précise. Dans la section suivante, nous donnerons une version qui ne concerne que les champs algébriques.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Supposons que

1. \(\mathcal{F}\) soit un faisceau abélien sur \(\mathcal{X}_\tau\),

2. pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\), il existe un recouvrement \(\{x_i \to x\}\) dans \(\mathcal{X}_\tau\) tel que chaque \(x_i\) soit isomorphe à \(f(u_i)\) pour un objet \(u_i\) de \(\mathcal{U}\),

3. la catégorie \(\mathcal{U}\) admette des égalisateurs, et

4. le foncteur \(f\) soit fidèle.

Alors il existe une suite spectrale de groupes abéliens du premier quadrant \[E_1^{p, q} = H^q((\mathcal{U}_p)_\tau, f_p^{-1}\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{F})\] qui converge vers la cohomologie de \(\mathcal{F}\) pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

Avant de commencer la preuve, faisons quelques remarques. D’après le Lemme 06X0 (et par récurrence), toutes les catégories fibrées en groupoïdes \(\mathcal{U}_p\) admettent des égalisateurs et tous les morphismes \(f_p : \mathcal{U}_p \to \mathcal{X}\) sont fidèles. Soit \(\mathcal{I}\) un objet injectif de \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\). D’après le Lemme 06X1 nous voyons que \(f_p^{-1}\mathcal{I}\) est un objet injectif de \(\textit{Ab}((\mathcal{U}_p)_\tau)\). Ainsi \(f_{p, *}f_p^{-1}\mathcal{I}\) est un objet injectif de \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) d’après le Lemme 06WX. Par conséquent, la Proposition 06XE montre que le complexe de Čech relatif augmenté \[\ldots \to 0 \to \mathcal{I} \to f_{0, *}f_0^{-1}\mathcal{I} \to f_{1, *}f_1^{-1}\mathcal{I} \to f_{2, *}f_2^{-1}\mathcal{I} \to \ldots\] est un complexe exact dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) dont tous les termes sont injectifs. La prise des sections globales de ce complexe est exacte, et nous voyons que le complexe de Čech \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U} \to \mathcal{X}, \mathcal{I})\) est quasi-isomorphe à \(\Gamma(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{I})[0]\).

Après ces préliminaires, considérons les deux suites spectrales associées au complexe double (voir Homologie, section 012X) \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U} \to \mathcal{X}, \mathcal{I}^\bullet)\] où \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\). La discussion ci-dessus montre que Homologie, Lemme 0133 s’applique et montre que \(\Gamma(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{I}^\bullet)\) est quasi-isomorphe au complexe total associé au complexe double. D’après les remarques ci-dessus, le complexe \(f_p^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective de \(f_p^{-1}\mathcal{F}\). L’autre suite spectrale est donc celle indiquée dans le lemme.

Il existe bien sûr aussi une version pour les modules.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Supposons que

1. \(\mathcal{F}\) soit un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\),

2. pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\), il existe un recouvrement \(\{x_i \to x\}\) dans \(\mathcal{X}_\tau\) tel que chaque \(x_i\) soit isomorphe à \(f(u_i)\) pour un objet \(u_i\) de \(\mathcal{U}\),

3. la catégorie \(\mathcal{U}\) admette des égalisateurs, et

4. le foncteur \(f\) soit fidèle.

Alors il existe une suite spectrale du premier quadrant de \(\Gamma(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)-modules \[E_1^{p, q} = H^q((\mathcal{U}_p)_\tau, f_p^*\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{F})\] qui converge vers la cohomologie de \(\mathcal{F}\) pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

La preuve de ce lemme est identique à celle du Lemme 06XF si ce n’est qu’elle emploie une résolution injective dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) et qu’elle emploie le Lemme 06X2 au lieu du Lemme 06X1.

Voici un lemme qui ramène un type plus usuel de recouvrement aux types de recouvrements rencontrés ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

1. Supposons \(f\) représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie. Alors, pour tout objet \(y\) de \(\mathcal{Y}\), il existe un recouvrement fppf \(\{y_i \to y\}\) et des objets \(x_i\) de \(\mathcal{X}\) tels que \(f(x_i) \cong y_i\) dans \(\mathcal{Y}\).

2. Supposons \(f\) représentable par des espaces algébriques, surjectif et lisse. Alors, pour tout objet \(y\) de \(\mathcal{Y}\), il existe un recouvrement étale \(\{y_i \to y\}\) et des objets \(x_i\) de \(\mathcal{X}\) tels que \(f(x_i) \cong y_i\) dans \(\mathcal{Y}\).

Démonstration

Preuve de (1). Supposons que \(y\) soit au-dessus du schéma \(V\). Nous pouvons voir \(y\) comme un morphisme \((\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{Y}\). Par définition, le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} (\Sch/V)_{fppf}\) est représenté par un espace algébrique \(W\), et le morphisme \(W \to V\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to W\). Alors \(U \to V\) est aussi surjectif, plat et localement de présentation finie (voir Morphismes d’espaces, Lemmes 0467, 0468, 03MG, 03XQ, et 03MN). Ainsi \(\{U \to V\}\) est un recouvrement fppf. Notons \(x\) l’objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\) correspondant au \(1\)-morphisme \((\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\). Alors \(\{f(x) \to y\}\) est le recouvrement fppf cherché de \(\mathcal{Y}\).

Preuve de (2). Supposons que \(y\) soit au-dessus du schéma \(V\). Nous pouvons voir \(y\) comme un morphisme \((\Sch/V)_{fppf} \to \mathcal{Y}\). Par définition, le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} (\Sch/V)_{fppf}\) est représenté par un espace algébrique \(W\), et le morphisme \(W \to V\) est surjectif et lisse. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to W\). Alors \(U \to V\) est aussi surjectif et lisse (voir Morphismes d’espaces, Lemmes 04XX, 03MG, et 03ZD). Ainsi \(\{U \to V\}\) est un recouvrement lisse. D’après Compléments sur les morphismes, Lemme 055V il existe un recouvrement étale \(\{V_i \to V\}\) tel que chaque \(V_i \to V\) se factorise par \(U\). Notons \(x_i\) l’objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(V_i\) correspondant au \(1\)-morphisme \[(\Sch/V_i)_{fppf} \to (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}.\] Alors \(\{f(x_i) \to y\}\) est le recouvrement étale cherché de \(\mathcal{Y}\).

Lemme

Soient \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) et \(g : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes composables de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, \linebreak[0] fppf\}\). Supposons que

1. \(\mathcal{F}\) soit un faisceau abélien sur \(\mathcal{X}_\tau\),

2. pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\), il existe un recouvrement \(\{x_i \to x\}\) dans \(\mathcal{X}_\tau\) tel que chaque \(x_i\) soit isomorphe à \(f(u_i)\) pour un objet \(u_i\) de \(\mathcal{U}\),

3. la catégorie \(\mathcal{U}\) admette des égalisateurs, et

4. le foncteur \(f\) soit fidèle.

Alors il existe une suite spectrale du premier quadrant de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{Y}_\tau\) \[E_1^{p, q} = R^q(g \circ f_p)_*f_p^{-1}\mathcal{F} \Rightarrow R^{p + q}g_*\mathcal{F}\] où toutes les images directes supérieures sont calculées pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

Remarquons que les hypothèses sur \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) et \(\mathcal{F}\) sont identiques à celles du Lemme 06XF. Les remarques préliminaires faites dans la preuve de ce lemme s’appliquent donc ici aussi. Elles impliquent en particulier que \[0 \to g_*\mathcal{I} \to (g \circ f_0)_*f_0^{-1}\mathcal{I} \to (g \circ f_1)_*f_1^{-1}\mathcal{I} \to \ldots\] est exacte si \(\mathcal{I}\) est un objet injectif de \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\). Cela étant, considérons les deux suites spectrales de Homologie, section 012X associées au complexe double \(\mathcal{C}^{\bullet, \bullet}\) de termes \[\mathcal{C}^{p, q} = (g \circ f_p)_*\mathcal{I}^q\] où \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\). La première suite spectrale implique, par Homologie, Lemme 0133, que \(g_*\mathcal{I}^\bullet\) est quasi-isomorphe au complexe total associé à \(\mathcal{C}^{\bullet, \bullet}\). Comme \(f_p^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective de \(f_p^{-1}\mathcal{F}\) (voir Lemme 06X1) la seconde suite spectrale a pour termes \(E_1^{p, q} = R^q(g \circ f_p)_*f_p^{-1}\mathcal{F}\), comme dans l’énoncé du lemme.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) et \(g : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes composables de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, \linebreak[0] fppf\}\). Supposons que

1. \(\mathcal{F}\) soit un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\),

2. pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\), il existe un recouvrement \(\{x_i \to x\}\) dans \(\mathcal{X}_\tau\) tel que chaque \(x_i\) soit isomorphe à \(f(u_i)\) pour un objet \(u_i\) de \(\mathcal{U}\),

3. la catégorie \(\mathcal{U}\) admette des égalisateurs, et

4. le foncteur \(f\) soit fidèle.

Alors il existe une suite spectrale du premier quadrant dans \(\textit{Mod}(\mathcal{Y}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{Y})\) \[E_1^{p, q} = R^q(g \circ f_p)_*f_p^{-1}\mathcal{F} \Rightarrow R^{p + q}g_*\mathcal{F}\] où toutes les images directes supérieures sont calculées pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

La preuve est identique à celle du Lemme 072D si ce n’est qu’elle emploie une résolution injective dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) et qu’elle emploie le Lemme 06X2 au lieu du Lemme 06X1.

Cohomologie des champs algébriques

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\). Dans les sections précédentes, nous avons vu comment définir les faisceaux pour les topologies étale, ..., fppf sur \(\mathcal{X}\). En fait, nous avons construit un site \(\mathcal{X}_\tau\) pour chaque \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Sur ces sites, on dispose de la notion de faisceau abélien \(\mathcal{F}\). Dans le chapitre sur la cohomologie des sites, nous avons expliqué comment définir la cohomologie. En réunissant ces constructions, définissons les sections globales dérivées, ou la cohomologie totale, \[R\Gamma_{Zar}(\mathcal{X}, \mathcal{F}), R\Gamma_\etale(\mathcal{X}, \mathcal{F}), \ldots, R\Gamma_{fppf}(\mathcal{X}, \mathcal{F})\] comme \(\Gamma(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{I}^\bullet)\), où \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\). Le \(i\)-ème groupe de cohomologie de \(\mathcal{F}\) est la \(i\)-ème cohomologie de la cohomologie totale. Nous le noterons ainsi : \[H^i_{Zar}(\mathcal{X}, \mathcal{F}), H^i_\etale(\mathcal{X}, \mathcal{F}), \ldots, H^i_{fppf}(\mathcal{X}, \mathcal{F}).\] Il se trouvera que \(H^i_\etale = H^i_{smooth}\) en vertu de Compléments sur les morphismes, Lemme 055V.

Si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules qui est un faisceau pour la topologie \(\tau\), nous employons des résolutions injectives dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) pour calculer sa cohomologie totale, resp. ses groupes de cohomologie ; le résultat est quasi-isomorphe, resp. isomorphe à la cohomologie de \(\mathcal{F}\) considéré comme faisceau de groupes abéliens, d’après le très général Cohomologie sur les sites, Lemme 03FD.

Jusqu’ici, notre seul outil de calcul des groupes de cohomologie est le résultat sur les complexes de Čech démontré ci-dessus. Reformulons-le ici dans le langage des champs algébriques pour les topologies étale et fppf. Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme de champs algébriques. Rappelons que \[f_p : \mathcal{U}_p = \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{X}\] est le morphisme structural, avec \((p + 1)\) facteurs. Rappelons aussi qu’un faisceau sur \(\mathcal{X}\) est un faisceau pour la topologie fppf. Remarquons que, si \(\mathcal{U}\) est un espace algébrique, alors \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques, voir Champs algébriques, Lemme 045G. La proposition s’applique donc en particulier à un recouvrement lisse du champ algébrique \(\mathcal{X}\) par un schéma.

Proposition

Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un \(1\)-morphisme de champs algébriques.

1. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien étale sur \(\mathcal{X}\). Supposons \(f\) représentable par des espaces algébriques, surjectif et lisse. Alors il existe une suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^q_\etale(\mathcal{U}_p, f_p^{-1}\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}_\etale(\mathcal{X}, \mathcal{F})\]

2. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{X}\). Supposons \(f\) représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie. Alors il existe une suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^q_{fppf}(\mathcal{U}_p, f_p^{-1}\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}_{fppf}(\mathcal{X}, \mathcal{F})\]

Démonstration

Pour le voir, vérifions les hypothèses (1) – (4) du Lemme 06XF. Le \(1\)-morphisme \(f\) est fidèle d’après Champs algébriques, Lemme 04Y5. Cela prouve (4). L’hypothèse (3) résulte du fait que \(\mathcal{U}\) est un champ algébrique, voir Lemme 06WY. Pour (2), appliquons le Lemme 06XH. La condition (1) est satisfaite par hypothèse.

Images directes supérieures et champs algébriques

Soit \(g : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs algébriques sur \(S\). Dans les sections précédentes, nous avons construit un morphisme de topos annelés \(g : \Sh(\mathcal{X}_\tau) \to \Sh(\mathcal{Y}_\tau)\) pour chaque \(\tau \in \{Zar, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Dans le chapitre sur la cohomologie des sites, nous avons expliqué comment définir les images directes supérieures. Ainsi l’image directe totale \(Rg_*\mathcal{F}\) est définie comme \(g_*\mathcal{I}^\bullet\), où \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\). La \(i\)-ème image directe supérieure \(R^ig_*\mathcal{F}\) est la \(i\)-ème cohomologie de l’image directe totale. Important : le choix de la topologie \(\tau\) importe ici !

Si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules qui est un faisceau pour la topologie \(\tau\), nous employons des résolutions injectives dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) pour calculer l’image directe totale et les images directes supérieures.

Jusqu’ici, notre seul outil de calcul des images directes supérieures de \(g_*\) est le résultat sur les complexes de Čech démontré ci-dessus. Il requiert le choix d’un « recouvrement » \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\). Si \(\mathcal{U}\) est un espace algébrique, alors \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques, voir Champs algébriques, Lemme 045G. La proposition s’applique donc en particulier à un recouvrement lisse du champ algébrique \(\mathcal{X}\) par un schéma.

Proposition

Soient \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) et \(g : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) des \(1\)-morphismes composables de champs algébriques.

1. Supposons \(f\) représentable par des espaces algébriques, surjectif et lisse.

   1. Si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\etale)\), il existe une suite spectrale \[E_1^{p, q} = R^q(g \circ f_p)_*f_p^{-1}\mathcal{F} \Rightarrow R^{p + q}g_*\mathcal{F}\] dans \(\textit{Ab}(\mathcal{Y}_\etale)\), les images directes supérieures étant calculées pour la topologie étale.

   2. Si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors il existe une suite spectrale \[E_1^{p, q} = R^q(g \circ f_p)_*f_p^{-1}\mathcal{F} \Rightarrow R^{p + q}g_*\mathcal{F}\] dans \(\textit{Mod}(\mathcal{Y}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{Y})\).

2. Supposons \(f\) représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie.

   1. Si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{Ab}(\mathcal{X})\), il existe une suite spectrale \[E_1^{p, q} = R^q(g \circ f_p)_*f_p^{-1}\mathcal{F} \Rightarrow R^{p + q}g_*\mathcal{F}\] dans \(\textit{Ab}(\mathcal{Y})\), les images directes supérieures étant calculées pour la topologie fppf.

   2. Si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors il existe une suite spectrale \[E_1^{p, q} = R^q(g \circ f_p)_*f_p^{-1}\mathcal{F} \Rightarrow R^{p + q}g_*\mathcal{F}\] dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\).

Démonstration

Pour le voir, vérifions les hypothèses (1) – (4) du Lemme 072D et du Lemme 072E. Le \(1\)-morphisme \(f\) est fidèle d’après Champs algébriques, Lemme 04Y5. Cela prouve (4). L’hypothèse (3) résulte du fait que \(\mathcal{U}\) est un champ algébrique, voir Lemme 06WY. Pour (2), appliquons le Lemme 06XH. La condition (1) est satisfaite par hypothèse dans les quatre cas.

Voici une description des images directes supérieures pour un morphisme de champs algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un \(1\)-morphisme de champs algébriques⁵ sur \(S\). Soit \(\tau \in \{Zariski,\linebreak[0] \etale,\linebreak[0] smooth,\linebreak[0] syntomic,\linebreak[0] fppf\}\). Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) ou de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Alors le faisceau \(R^if_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[y \longmapsto H^i_\tau\Big((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}, \ \text{pr}^{-1}\mathcal{F}\Big)\] Ici, \(y\) est un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus du schéma \(V\).

Démonstration

Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet\). D’après la formule d’image directe (06W6), \(R^if_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau qui associe à \(y\) la cohomologie du complexe \[\begin{matrix} \Gamma\Big((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}, \ \text{pr}^{-1}\mathcal{I}^{i - 1}\Big) \\ \downarrow \\ \Gamma\Big((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}, \ \text{pr}^{-1}\mathcal{I}^i\Big) \\ \downarrow \\ \Gamma\Big((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}, \ \text{pr}^{-1}\mathcal{I}^{i + 1}\Big) \end{matrix}\] Comme \(\text{pr}^{-1}\) est exact, il suffit de montrer que \(\text{pr}^{-1}\) préserve les injectifs. Cela résulte des Lemmes 06X1 et 06X2 ainsi que du fait que \(\text{pr}\) est un morphisme représentable de champs algébriques (de sorte que \(\text{pr}\) est fidèle d’après Champs algébriques, Lemme 04Y5 et que \((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) admet des égalisateurs d’après le Lemme 06WY).

Voici un résultat immédiat de changement de base.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{Zariski,\linebreak[0] \etale,\linebreak[0] smooth,\linebreak[0] syntomic,\linebreak[0] fppf\}\). Soit \[\xymatrix{ \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] un diagramme \(2\)-cartésien de champs algébriques sur \(S\). Alors le morphisme de changement de base est un isomorphisme \[g^{-1}Rf_*\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] fonctoriel en \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\) ou en \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

L’isomorphisme \(g^{-1}f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) est le Lemme 075B (et vaut pour des préfaisceaux arbitraires). Pour les images directes totales, il existe un morphisme de changement de base parce que les morphismes \(g\) et \(g'\) sont plats, voir Cohomologie sur les sites, section 0735. Pour voir que ce morphisme est un quasi-isomorphisme, nous pouvons employer le fait que, pour un objet \(y'\) de \(\mathcal{Y}'\) au-dessus d’un schéma \(V\), il existe une équivalence \[(\Sch/V)_{fppf} \times_{g(y'), \mathcal{Y}} \mathcal{X} = (\Sch/V)_{fppf} \times_{y', \mathcal{Y}'} (\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})\] Nous concluons que le morphisme induit \(g^{-1}R^if_*\mathcal{F} \to R^if'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) est un isomorphisme d’après le Lemme 075G.

Comparaison

Dans cette section, nous réunissons quelques résultats comparant la cohomologie définie au moyen des champs et celle définie au moyen des espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\) représentable par l’espace algébrique \(F\).

1. Si \(\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\etale)\), alors \(\mathcal{I}|_{F_\etale}\) est injectif dans \(\textit{Ab}(F_\etale)\),

2. Si \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\etale)\), alors \(\mathcal{I}^\bullet|_{F_\etale}\) est un complexe K-injectif dans \(\textit{Ab}(F_\etale)\).

Le même énoncé ne vaut pas pour les modules.

Démonstration

Cela résulte formellement du fait que le foncteur de restriction \(\pi_{F, *} = i_F^{-1}\) (voir Lemme 073M) est adjoint à droite du foncteur exact \(\pi_F^{-1}\), voir Homologie, Lemme 015Z et Catégories dérivées, Lemme 08BJ. Pour voir que le lemme ne vaut pas pour les modules, nous renvoyons le lecteur à Cohomologie étale, Lemme 0758.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques sur \(S\). Supposons \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) représentables par les espaces algébriques \(F\) et \(G\). Notons \(f : F \to G\) le morphisme induit d’espaces algébriques.

1. Pour tout \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(\mathcal{X}_\etale)\), nous avons \[(Rf_*\mathcal{F})|_{G_\etale} = Rf_{small, *}(\mathcal{F}|_{F_\etale})\] dans \(D(G_\etale)\).

2. Pour tout objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) nous avons \[(Rf_*\mathcal{F})|_{G_\etale} = Rf_{small, *}(\mathcal{F}|_{F_\etale})\] dans \(D(\mathcal{O}_G)\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte immédiatement du Lemme 075L et de (075M), après choix d’une résolution injective de \(\mathcal{F}\).

L’assertion (2) se démontre comme suit. Dans le Lemme 073N, nous avons vu que \(\pi_G \circ f = f_{small} \circ \pi_F\) en tant que morphismes de sites annelés. Nous obtenons donc \(R\pi_{G, *} \circ Rf_* = Rf_{small, *} \circ R\pi_{F, *}\) d’après Cohomologie sur les sites, Lemme 0D6E. Comme les foncteurs de restriction \(\pi_{F, *}\) et \(\pi_{G, *}\) sont exacts, nous concluons.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un carré qui est un \(2\)-produit fibré \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] de champs algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) représentable par des espaces algébriques et \(\mathcal{Y}'\) représentable par un espace algébrique \(G'\). Alors \(\mathcal{X}'\) est représentable par un espace algébrique \(F'\) et, en notant \(f' : F' \to G'\) le morphisme induit d’espaces algébriques, nous avons \[g^{-1}(Rf_*\mathcal{F})|_{G'_\etale} = Rf'_{small, *}((g')^{-1}\mathcal{F}|_{F'_\etale})\] pour tout \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(\mathcal{X}_\etale)\) ou dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

Cela résulte formellement de la combinaison des Lemmes 075H et 075N.

Changement de topologie

Voici un lemme technique affirmant que la cohomologie fppf d’un faisceau localement quasi-cohérent est égale à sa cohomologie étale, pourvu que les morphismes de comparaison soient des isomorphismes pour les morphismes de \(\mathcal{X}\) au-dessus de morphismes plats.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules. Supposons que

1. \(\mathcal{F}\) soit localement quasi-cohérent, et

2. pour tout morphisme \(\varphi : x \to y\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un morphisme de schémas \(f : U \to V\) plat et localement de présentation finie, le morphisme de comparaison \(c_\varphi : f_{small}^*\mathcal{F}|_{V_\etale} \to \mathcal{F}|_{U_\etale}\) de (06WC) soit un isomorphisme.

Alors \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie fppf.

Démonstration

Soit \(\{x_i \to x\}\) un recouvrement fppf de \(\mathcal{X}\) au-dessus du recouvrement fppf \(\{f_i : U_i \to U\}\) de schémas sur \(S\). Par hypothèse, la restriction \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_{U_\etale}\) est quasi-cohérente et les morphismes de comparaison \(f_{i, small}^*\mathcal{G} \to \mathcal{F}|_{U_{i, \etale}}\) sont des isomorphismes. La condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) et le recouvrement \(\{x_i \to x\}\) équivaut donc à celle de \(\mathcal{G}^a\) sur \((\Sch/U)_{fppf}\) pour le recouvrement \(\{U_i \to U\}\), laquelle est satisfaite d’après Descente, Lemme 03DT.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module préfaisceau tel que

1. \(\mathcal{F}\) soit localement quasi-cohérent, et

2. pour tout morphisme \(\varphi : x \to y\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un morphisme de schémas \(f : U \to V\) plat et localement de présentation finie, le morphisme de comparaison \(c_\varphi : f_{small}^*\mathcal{F}|_{V_\etale} \to \mathcal{F}|_{U_\etale}\) de (06WC) soit un isomorphisme.

Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module et les assertions suivantes valent :

1. Si \(\epsilon : \mathcal{X}_{fppf} \to \mathcal{X}_\etale\) est le morphisme de comparaison, alors \(R\epsilon_*\mathcal{F} = \epsilon_*\mathcal{F}\).

2. Les groupes de cohomologie \(H^p_{fppf}(\mathcal{X}, \mathcal{F})\) sont égaux aux groupes de cohomologie calculés pour la topologie étale sur \(\mathcal{X}\). Il en va de même des groupes \(H^p_{fppf}(x, \mathcal{F})\) et des versions dérivées \(R\Gamma(\mathcal{X}, \mathcal{F})\) et \(R\Gamma(x, \mathcal{F})\).

3. Si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), alors \(R^if_*\mathcal{F}\) est égal au faisceau fppf associé à l’image directe supérieure calculée en cohomologie étale. Il en va de même pour l’image réciproque dérivée.

Démonstration

L’assertion que \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module résulte du Lemme 076T. Remarquons que \(\epsilon\) est un morphisme de sites donné par le foncteur identité de \(\mathcal{X}\). Le faisceau \(R^p\epsilon_*\mathcal{F}\) est donc le faisceau associé au préfaisceau \(x \mapsto H^p_{fppf}(x, \mathcal{F})\), voir Cohomologie sur les sites, Lemme 072W. Pour prouver (1), il suffit de montrer que \(H^p_{fppf}(x, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 0\) chaque fois que \(x\) est au-dessus d’un schéma affine \(U\). D’après le Lemme 075F nous avons \(H^p_{fppf}(x, \mathcal{F}) = H^p((\Sch/U)_{fppf}, x^{-1}\mathcal{F})\). En combinant Descente, Lemme 0756 avec Cohomologie des schémas, Lemme 01XB nous voyons que ces groupes de cohomologie sont nuls.

Nous avons vu ci-dessus que \(\epsilon_*\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}\) sont les faisceaux sur \(\mathcal{X}_\etale\) et \(\mathcal{X}_{fppf}\) correspondant au même préfaisceau sur \(\mathcal{X}\) (et cela vaut plus généralement pour tout faisceau fppf sur \(\mathcal{X}\)). Nous identifions souvent abusivement \(\mathcal{F}\) et \(\epsilon_*\mathcal{F}\) ; c’est en ce sens qu’il faut comprendre les assertions (2) et (3) du lemme. Ainsi (2) résulte formellement de (1) et de la suite spectrale de Leray, voir Cohomologie sur les sites, Lemme 0733.

Enfin, prouvons (3). Le faisceau \(R^if_*\mathcal{F}\) (resp. \(Rf_{\etale, *}\mathcal{F}\)) est le faisceau associé au préfaisceau \[y \longmapsto H^i_\tau\Big((\Sch/V)_{fppf} \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}, \ \text{pr}^{-1}\mathcal{F}\Big)\] où \(\tau\) vaut \(fppf\) (resp. \(\etale\)), voir le Lemme 075G. Remarquons que \(\text{pr}^{-1}\mathcal{F}\) satisfait aussi les propriétés (a) et (b) (d’après les Lemmes 06WL et 075D) ; ces deux préfaisceaux sont donc égaux par (2). Cela implique immédiatement (3).

Nous emploierons le lemme suivant pour comparer la cohomologie étale des faisceaux sur les champs algébriques à la cohomologie du topos lisse-étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur \(S\). Soit \(\tau = \etale\) (resp. \(\tau = fppf\)). Soit \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) une sous-catégorie pleine possédant les propriétés suivantes :

1. si \(x \to x'\) est un morphisme de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un morphisme lisse (resp. plat et localement de présentation finie) de schémas et \(x' \in \Ob(\mathcal{X}')\), alors \(x \in \Ob(\mathcal{X}')\), et

2. il existe un objet \(x \in \Ob(\mathcal{X}')\) au-dessus d’un schéma \(U\) tel que le \(1\)-morphisme associé \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) soit lisse et surjectif.

On obtient un site \(\mathcal{X}'_\tau\) en déclarant qu’un recouvrement de \(\mathcal{X}'\) est toute famille de morphismes \(\{x_i \to x\}\) dans \(\mathcal{X}'\) qui est un recouvrement dans \(\mathcal{X}_\tau\). Alors le foncteur d’inclusion \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}_\tau\) est pleinement fidèle, cocontinu et continu, et définit donc un morphisme de topos \[g : \Sh(\mathcal{X}'_\tau) \longrightarrow \Sh(\mathcal{X}_\tau)\] et \(H^p(\mathcal{X}'_\tau, g^{-1}\mathcal{F}) = H^p(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{F})\) pour tout \(p \geq 0\) et tout \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(\mathcal{X}_\tau)\).

Démonstration

L’hypothèse (1) implique que, si \(\{x_i \to x\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{X}_\tau\) et \(x \in \Ob(\mathcal{X}')\), alors \(x_i \in \Ob(\mathcal{X}')\). Ainsi \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est continu et cocontinu, puisque les recouvrements des objets de \(\mathcal{X}'_\tau\) coïncident avec leurs recouvrements comme objets de \(\mathcal{X}_\tau\). Nous obtenons le morphisme \(g\), et le foncteur \(g^{-1}\) s’identifie au foncteur de restriction, voir Sites, Lemme 00XR.

En particulier, si \(\{x_i \to x\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{X}'_\tau\), alors, pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}\), \[\check H^p(\{x_i \to x\}, g^{-1}\mathcal{F}) = \check H^p(\{x_i \to x\}, \mathcal{F})\] Ainsi, si \(\mathcal{I}\) est un faisceau abélien injectif sur \(\mathcal{X}_\tau\), les groupes de cohomologie de Čech supérieurs sont nuls (Cohomologie sur les sites, Lemme 03AW). Ainsi \(H^p(x, g^{-1}\mathcal{I}) = 0\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}'\) (Cohomologie sur les sites, Lemme 03F9). Autrement dit, les faisceaux abéliens injectifs sur \(\mathcal{X}_\tau\) sont acycliques à droite pour le foncteur \(H^0(x, g^{-1}-)\). Il s’ensuit que \(H^p(x, g^{-1}\mathcal{F}) = H^p(x, \mathcal{F})\) pour tout \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(\mathcal{X})\) et tout \(x \in \Ob(\mathcal{X}')\).

Choisissons un objet \(x \in \mathcal{X}'\) au-dessus d’un schéma \(U\) comme dans l’hypothèse (2). En particulier, \(\mathcal{X}/x \to \mathcal{X}\) est un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques, surjectif et lisse. (Remarquons que \(\mathcal{X}/x\) est équivalent à \((\Sch/U)_{fppf}\), voir le Lemme 06W0.) Le morphisme de faisceaux \[h_x \longrightarrow *\] dans \(\Sh(\mathcal{X}_\tau)\) est surjectif. En effet, pour tout objet \(x'\) de \(\mathcal{X}\), il existe un \(\tau\)-recouvrement \(\{x'_i \to x'\}\) tel qu’il existe des morphismes \(x'_i \to x\), voir Lemme 06XH. Comme \(g\) est exact, le morphisme de faisceaux \[g^{-1}h_x \longrightarrow * = g^{-1}*\] dans \(\Sh(\mathcal{X}'_\tau)\) est aussi surjectif. Soit \(h_{x, n}\) le produit de \((n + 1)\) facteurs \(h_x \times \ldots \times h_x\). Nous avons alors les suites spectrales [07AL]\[\begin{equation} E_1^{p, q} = H^q(h_{x, p}, \mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{F}) \end{equation}\] et [07AM]\[\begin{equation} E_1^{p, q} = H^q(g^{-1}h_{x, p}, g^{-1}\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}(\mathcal{X}'_\tau, g^{-1}\mathcal{F}) \end{equation}\] voir Cohomologie sur les sites, Lemme 079Z.

Cas I : \(\mathcal{X}\) admet un objet final \(x\) qui appartient aussi à \(\mathcal{X}'\). Ce cas résulte immédiatement de la discussion du deuxième paragraphe ci-dessus.

Cas II : \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique \(F\). Dans ce cas, les faisceaux \(h_{x, n}\) sont représentables par un objet \(x_n\) de \(\mathcal{X}\). (En effet, si \(\mathcal{S}_F = \mathcal{X}\) et si \(x : U \to F\) est l’objet donné, alors \(h_{x, n}\) est représenté par l’objet \(U \times_F \ldots \times_F U \to F\) de \(\mathcal{S}_F\).) Il s’ensuit que \(H^q(h_{x, p}, \mathcal{F}) = H^q(x_p, \mathcal{F})\). Les morphismes \(x_n \to x\) sont au-dessus de morphismes lisses de schémas, donc \(x_n \in \mathcal{X}'\) pour tout \(n\). Ainsi \(H^q(g^{-1}h_{x, p}, g^{-1}\mathcal{F}) = H^q(x_p, g^{-1}\mathcal{F})\). Ainsi, dans les deux suites spectrales (07AL) et (07AM) ci-dessus, les termes \(E_1^{p, q}\) coïncident d’après la discussion du deuxième paragraphe. Le lemme en résulte aussi dans le Cas II.

Cas III : \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique. Nous affirmons que, dans ce cas, les groupes de cohomologie \(H^q(h_{x, p}, \mathcal{F})\) et \(H^q(g^{-1}h_{x, n}, g^{-1}\mathcal{F})\) coïncident d’après le Cas II. Une fois ceci prouvé, le résultat suivra comme précédemment.

Considérons en effet la catégorie \(\mathcal{X}/h_{x, n}\), voir Sites, Lemme 0791. Comme \(h_{x, n}\) est le produit de \((n + 1)\) facteurs \(h_x\), un objet de cette catégorie est un \((n + 2)\)-uplet \((y, s_0, \ldots, s_n)\), où \(y\) est un objet de \(\mathcal{X}\) et chaque \(s_i : y \to x\) est un morphisme de \(\mathcal{X}\). C’est une catégorie sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Il existe une équivalence \[\mathcal{X}/h_{x, n} \longrightarrow (\Sch/U)_{fppf} \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} (\Sch/U)_{fppf} =: \mathcal{U}_n\] sur \((\Sch/S)_{fppf}\). En effet, si \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\) désigne aussi le \(1\)-morphisme associé à \(x\) et \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) le foncteur structural, alors nous pouvons voir \((y, s_0, \ldots, s_n)\) comme \((y, f_0, \ldots, f_n, \alpha_0, \ldots, \alpha_n)\) où \(y\) est un objet de \(\mathcal{X}\), \(f_i : p(y) \to p(x)\) un morphisme de schémas et \(\alpha_i : y \to x(f_i)\) un isomorphisme. La catégorie des \(2n+3\)-uplets \((y, f_0, \ldots, f_n, \alpha_0, \ldots, \alpha_n)\) est une réalisation du produit fibré à \((n + 1)\) facteurs \(\mathcal{U}_n\) de champs algébriques affiché ci-dessus, comme discuté dans la section 06X3. D’après Cohomologie sur les sites, Lemme 07A0 nous avons \[H^p(\mathcal{U}_n, \mathcal{F}|_{\mathcal{U}_n}) = H^p(\mathcal{X}/h_{x, n}, \mathcal{F}|_{\mathcal{X}/h_{x, n}}) = H^p(h_{x, n}, \mathcal{F}).\] Enfin, examinons l’analogue « primé ». La catégorie \(\mathcal{X}'/h_{x, n}\) correspond, par l’équivalence ci-dessus, à la sous-catégorie pleine \(\mathcal{U}'_n \subset \mathcal{U}_n\) formée des uplets \((y, f_0, \ldots, f_n, \alpha_0, \ldots, \alpha_n)\) avec \(y \in \mathcal{X}'\). La propriété (1) de l’énoncé du lemme vaut donc bien pour l’inclusion \(\mathcal{U}'_n \subset \mathcal{U}_n\). Pour la propriété (2), choisissons un objet \(\xi = (y, s_0, \ldots, s_n)\) au-dessus d’un schéma \(W\) tel que \((\Sch/W)_{fppf} \to \mathcal{U}_n\) soit lisse et surjectif (c’est possible puisque \(\mathcal{U}_n\) est un champ algébrique). Alors \((\Sch/W)_{fppf} \to \mathcal{U}_n \to (\Sch/U)_{fppf}\) est lisse comme composée de changements de base du morphisme \(x : (\Sch/U)_{fppf} \to \mathcal{X}\), voir Champs algébriques, Lemmes 045C et 045B. Ainsi l’axiome (1) pour \(\mathcal{X}\) implique que \(y\) est un objet de \(\mathcal{X}'\), donc \(\xi\) est un objet de \(\mathcal{U}'_n\). En employant encore \[H^p(\mathcal{U}'_n, \mathcal{F}|_{\mathcal{U}'_n}) = H^p(\mathcal{X}'/h_{x, n}, \mathcal{F}|_{\mathcal{X}'/h_{x, n}}) = H^p(g^{-1}h_{x, n}, g^{-1}\mathcal{F}).\] nous pouvons maintenant appliquer le Cas II à \(\mathcal{U}'_n \subset \mathcal{U}_n\) et conclure.

Restriction aux affines

Dans cette section, pour une catégorie \(\mathcal{X}\) fibrée en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\), nous considérons la sous-catégorie pleine \(\mathcal{X}_{affine}\) de \(\mathcal{X}\) formée des objets \(x\) au-dessus de schémas affines \(U\). Nous verrons que, pour toute topologie \(\tau\) plus fine que la topologie de Zariski, les catégories de faisceaux sur \(\mathcal{X}\) et sur \(\mathcal{X}_{affine, \tau}\) coïncident.

Définition

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Le site affine associé est la sous-catégorie pleine \(\mathcal{X}_{affine}\) de \(\mathcal{X}\) dont les objets sont les \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) au-dessus d’un schéma \(U\) tel que \(U\) soit affine. La topologie sur \(\mathcal{X}_{affine}\) sera la topologie chaotique, c’est-à-dire que les faisceaux sur \(\mathcal{X}_{affine}\) sont les préfaisceaux.

Ainsi le foncteur \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) se restreint en un foncteur \[p : \mathcal{X}_{affine} \longrightarrow (\textit{Aff}/S)_{fppf}\] où la notation du membre de droite est celle introduite dans Topologies, Définition 021S. Il est clair que \(\mathcal{X}_{affine}\) est fibrée en groupoïdes sur \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\). Il s’ensuit que \(\mathcal{X}_{affine}\) hérite de topologies de Zariski, étale, lisse, syntomique et fppf à partir de \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\), \((\textit{Aff}/S)_\etale\), \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\), \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\) et \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\) ; voir Champs, Définition 06NV.

Définition

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes.

1. Le site affine de Zariski associé \(\mathcal{X}_{affine, Zar}\) est la structure de site sur \(\mathcal{X}_{affine}\) héritée de \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\).

2. Le site affine étale associé \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\) est la structure de site sur \(\mathcal{X}_{affine}\) héritée de \((\textit{Aff}/S)_\etale\).

3. Le site affine lisse associé \(\mathcal{X}_{affine, smooth}\) est la structure de site sur \(\mathcal{X}_{affine}\) héritée de \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\).

4. Le site affine syntomique associé \(\mathcal{X}_{affine, syntomic}\) est la structure de site sur \(\mathcal{X}_{affine}\) héritée de \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\).

5. Le site affine fppf associé \(\mathcal{X}_{affine, fppf}\) est la structure de site sur \(\mathcal{X}_{affine}\) héritée de \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\).

Cette définition a un sens d’après la discussion ci-dessus. Pour chaque \(\tau \in \{Zariski,\allowbreak \etale,\allowbreak smooth,\allowbreak syntomic,\allowbreak fppf\}\), une famille de morphismes \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) de but fixé dans \(\mathcal{X}_{affine}\) est un recouvrement de \(\mathcal{X}_{affine, \tau}\) si et seulement si la famille \(\{p(x_i) \to p(x)\}_{i \in I}\) de morphismes de schémas affines est un \(\tau\)-recouvrement standard au sens de Topologies, Définitions 020R, 0219, 0223, 0229 et 021Q.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Le foncteur \(\mathcal{X}_{affine, \tau} \to \mathcal{X}_\tau\) est un foncteur cocontinu spécial. Il induit donc une équivalence de topos de \(\Sh(\mathcal{X}_{affine, \tau})\) vers \(\Sh(\mathcal{X}_\tau)\).

Démonstration

Omis. Indication : la preuve est exactement la même que celle de Topologies, Lemmes 020W, 021E, 06VC, 06VD et 021V.

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Notons \(\mathcal{O}\) la restriction de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\) à \(\mathcal{X}_{affine}\). Alors \(\mathcal{O}\) est un faisceau pour les topologies de Zariski, étale, lisse, syntomique et fppf sur \(\mathcal{X}_{affine}\). De plus, l’équivalence de topos du Lemme 0H0B s’étend en une équivalence [0H0C]\[\begin{equation} (\Sh(\mathcal{X}_{affine, \tau}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{X}_\tau), \mathcal{O}_\mathcal{X}) \end{equation}\] de topos annelés pour \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\).

Modules quasi-cohérents et affines

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Dans la section 0H08, nous lui avons associé un site annelé \((\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\).

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module sur \(\mathcal{X}_{affine}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout morphisme \(x \to x'\) de \(\mathcal{X}_{affine}\), le morphisme \(\mathcal{F}(x') \otimes_{\mathcal{O}(x')} \mathcal{O}(x) \to \mathcal{F}(x)\) est un isomorphisme,

2. \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \((\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\) au sens de Modules sur les sites, Définition 03DL,

3. \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie de Zariski sur \(\mathcal{X}_{affine}\) et un module quasi-cohérent sur \((\mathcal{X}_{affine, Zar}, \mathcal{O})\) au sens de Modules sur les sites, Définition 03DL,

4. comme en (3) pour la topologie étale,

5. comme en (3) pour la topologie lisse,

6. comme en (3) pour la topologie syntomique,

7. comme en (3) pour la topologie fppf, et

8. \(\mathcal{F}\) correspond à un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\) par l’équivalence (0H0C).

Démonstration

Pour interpréter (2), rappelons que \(\mathcal{X}_{affine}\) est le site obtenu en munissant la catégorie \(\mathcal{X}_{affine}\) de la topologie chaotique (Définition 0H09) ; un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\) est donc la même chose qu’un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Les conditions (1) et (2) sont équivalentes d’après Modules sur les sites, Lemme 0GZN. Remarquons que, pour \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\), le préfaisceau \(\mathcal{F}\) est un \(\tau\)-faisceau si et seulement si, pour tout \(x \in \Ob(\mathcal{X}_{affine})\), sa restriction à \(\mathcal{X}_{affine}/x\) est un \(\tau\)-faisceau. Posons \(U = p(x)\). Comme dans la discussion de la section 075C, l’objet \(x\) de \(\mathcal{X}_{affine}\) induit une équivalence \(\mathcal{X}_{affine, \etale}/x \to (\textit{Aff}/U)_\etale\) de sites. Ainsi, l’équivalence de (1) avec (3) – (7) résulte de Descente, Lemme 0GZV, appliqué à chacun de ces sites. L’équivalence de (8) et (7) résulte immédiatement du fait qu’« être quasi-cohérent » est une propriété intrinsèque des faisceaux de modules, voir Modules sur les sites, section 03DG.

Lemme

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module sur \(\mathcal{X}_{affine}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout morphisme \(x \to x'\) de \(\mathcal{X}_{affine}\) tel que \(p(x) \to p(x')\) soit un morphisme étale (de schémas affines), le morphisme \(\mathcal{F}(x') \otimes_{\mathcal{O}(x')} \mathcal{O}(x) \to \mathcal{F}(x)\) est un isomorphisme,

2. \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie étale sur \(\mathcal{X}_{affine}\) et, pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}_{affine}\), la restriction \(x^*\mathcal{F}|_{U_{affine, \etale}}\) est quasi-cohérente, où \(U = p(x)\),

3. \(\mathcal{F}\) correspond à un module localement quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\) par l’équivalence (0H0C) pour la topologie étale.

Démonstration

Pour interpréter la condition (2), rappelons que \(U_{affine, \etale}\) est la sous-catégorie pleine de \(U_\etale\) formée des objets affines, voir Topologies, Définition 021B. Comme dans la discussion de la section 075C, l’objet \(x\) de \(\mathcal{X}_{affine}\) induit une équivalence \(\mathcal{X}_{affine, \etale}/x \to (\textit{Aff}/U)_\etale\) de sites. Alors \(x^*\mathcal{F}\) est le faisceau de modules sur \((\textit{Aff}/U)_\etale\) correspondant à la restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{X}_{affine, \etale}/x}\). Enfin, au moyen du foncteur d’inclusion continu et cocontinu \(U_{affine, \etale} \to (\textit{Aff}/U)_\etale\), nous pouvons encore restreindre et obtenir \(x^*\mathcal{F}|_{U_{affine, \etale}}\).

L’équivalence de (1) et (2) résulte des remarques ci-dessus et de Descente, Lemme 0GZX appliqué à la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_{affine, \etale}\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma affine \(U\). L’équivalence de (2) et (3) résulte immédiatement des définitions et du fait que les modules quasi-cohérents sur \(U_{affine, \etale}\) et \(U_\etale\) se correspondent (encore d’après Descente, Lemme 0GZX par exemple).

Objets quasi-cohérents de la catégorie dérivée

Depuis des décennies, les géomètres algébristes considèrent des invariants de foncteurs non représentables \(X\) (à valeurs dans les ensembles ou les groupoïdes) sur \(\Sch/S\). Par exemple, avant l’invention de la notion de champ, Mumford a défini [mumford_picard] le groupoïde de Picard \(\Pic(X)\) du foncteur de modules \(X\) des courbes elliptiques comme la \(2\)-limite \(Pic(U)\) sur la catégorie de tous les schémas \(U\) munis d’un morphisme vers \(X\) (c’est-à-dire d’une famille de courbes elliptiques). De même, Beilinson-Drinfeld ont défini [BVGD] la catégorie \(\QCoh(X)\) d’un ind-schéma \(X = \colim X_i\) comme la \(2\)-limite \(\lim \QCoh(X_i)\). Cette stratégie suffit à définir des invariants \(1\)-catégoriques comme \(\QCoh(-)\), mais non des invariants catégoriques dérivés (tels que la catégorie dérivée quasi-cohérente), car les \(2\)-limites de catégories triangulées se comportent mal. Avec l’avènement des techniques de catégories supérieures et de la géométrie algébrique dérivée, ce problème se résout élégamment : on peut définir une \(\infty\)-catégorie dérivée quasi-cohérente \(\mathcal{D}_{qc}(X)\) du foncteur \(X\) comme la limite \(\lim \mathcal{D}_{qc}(U)\), où \(U\) parcourt les affines dérivés sur X (voir [lurie-thesis]).

Le but de cette section est d’associer une catégorie triangulée \(\mathit{QC}(X)\) à un foncteur \(X\) (à valeurs dans les ensembles ou les groupoïdes) comme ci-dessus. En fait, la construction vaut pour toute catégorie \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) fibrée en groupoïdes (et pas seulement pour les catégories scindées). Dans les bons cas, la catégorie \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) coïncide avec la catégorie homotopique de \(\mathcal{D}_{qc}(\mathcal{X})\), mais expliquer cette comparaison dépasse le cadre de ce document. Les principales propriétés de la construction sont les suivantes :

1. \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) est par construction une sous-catégorie pleine de \(D(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\),

2. \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) coïncide avec \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) lorsque \(\mathcal{X}\) est représentable par l’espace algébrique \(X\),

3. \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) coïncide avec \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) lorsque \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique,

4. lorsque \(X = \text{Spf}(A)\) est un espace algébrique formel affine associé à un anneau noethérien \(A\) muni de la topologie \(I\)-adique pour un idéal \(I\), la catégorie triangulée \(\mathit{QC}(X)\) coïncide avec la sous-catégorie pleine \(D_{comp}(A, I) \subset D(A)\) des objets dérivés complets.

Ces résultats sont démontrés dans la Proposition 0H0K, Catégories dérivées des champs, Proposition 0H16 et Proposition 0H0L.

Pour motiver la définition précise de \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\), nous renvoyons le lecteur à la caractérisation, dans le Lemme 0H0E, des modules quasi-cohérents sur \(\mathcal{X}\) comme préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{X}_{affine}\) qui satisfont une propriété de changement de base.

Définition

Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Soit \(\mathcal{O}\) le faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{X}_{affine}\) introduit dans la section 0H08. Nous définissons la catégorie triangulée des objets quasi-cohérents de la catégorie dérivée par la formule \[\mathit{QC}(\mathcal{X}) = \mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\] où le membre de droite est défini dans Cohomologie sur les sites, Définition 0GYV.

Cela a un sens, car \(\mathcal{X}_{affine}\) est une catégorie considérée comme un site en la munissant de la topologie chaotique, et \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux sur cette catégorie, exactement comme requis dans Cohomologie sur les sites, Définition 0GYV.

La relation entre cette définition et la catégorie des modules quasi-cohérents sur \(\mathcal{X}\) n’est pas si claire en général ! Supposons par exemple que \(M\) soit un objet de \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\). Les faisceaux de cohomologie \(H^i(M)\) de \(M\) sont alors des (pré)faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{X}_{affine}\), mais ils ne sont pas quasi-cohérents en général. Toutefois, le dernier faisceau de cohomologie non nul est quasi-cohérent.

Lemme

Dans la situation de la Définition 0H0H, supposons que \(M\) soit un objet de \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) et que \(b \in \mathbf{Z}\) vérifie \(H^i(M) = 0\) pour tout \(i > b\). Alors \(H^b(M)\) est un module quasi-cohérent sur \((\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\) ; voir le Lemme 0H0E.

Démonstration

Cas particulier de Cohomologie sur les sites, Lemme 0GZQ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Le morphisme de comparaison \(\epsilon : \mathcal{X}_{affine, \etale} \to \mathcal{X}_{affine}\) satisfait les hypothèses et les conclusions de Cohomologie sur les sites, Lemme 0GZS.

Démonstration

L’hypothèse (1) vaut par définition de \(\mathcal{X}_{affine}\). Pour la condition (2), nous employons le fait que, pour \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) au-dessus du schéma affine \(U = p(x)\), il existe une équivalence \(\mathcal{X}_{affine, \etale}/x = (\textit{Aff}/U)_\etale\) compatible aux faisceaux structuraux ; voir la discussion de la section 075C. Il suffit donc de montrer ceci : pour un schéma affine \(U = \Spec(R)\) et un complexe de \(R\)-modules \(M^\bullet\), la cohomologie totale du complexe de modules sur \((\textit{Aff}/U)_\etale\) associé à \(M^\bullet\) est quasi-isomorphe à \(M^\bullet\). Cela résulte de la combinaison de : Catégories dérivées des schémas, Lemme 06Z0 (cohomologie totale des complexes de modules sur les affines pour la topologie de Zariski), Catégories dérivées des espaces, Remarque 08GH (coïncidence de la cohomologie totale pour les petites topologies de Zariski et étale des complexes quasi-cohérents de modules), et Cohomologie étale, Lemme 0DDH (pour voir que la cohomologie étale d’un complexe de modules sur le grand site étale d’un schéma se calcule après restriction au petit site étale).

Si nous appliquons la définition lorsque notre catégorie fibrée en groupoïdes \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique \(X\), nous retrouvons \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Nous énoncerons et démontrerons plus loin le résultat analogue pour les champs algébriques (insérer ici une référence future).

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Supposons \(\mathcal{X}\) représentable par un espace algébrique \(X\). Alors \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) est canoniquement équivalente à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Notons \(X_{affine}\) la catégorie des schémas affines étales sur \(X\), munie de la topologie chaotique et de son faisceau structural \(\mathcal{O}_X\), voir Catégories dérivées des espaces, section 0H05. Le foncteur \(u : X_\etale \to \mathcal{X}_\etale\) du Lemme 073M induit un foncteur \(X_{affine} \to \mathcal{X}_{affine}\). Celui-ci est compatible aux faisceaux structuraux et fournit un foncteur \[G : \mathit{QC}(\mathcal{X}) = \mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O}) \longrightarrow \mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\] Voir Cohomologie sur les sites, Lemme 0GZ1. D’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0H06 la catégorie triangulée \(\mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\) est équivalente à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Il suffit donc de prouver que \(G\) est une équivalence.

Considérons les morphismes de comparaison plats \(\epsilon_\mathcal{X} : \mathcal{X}_{affine, \etale} \to \mathcal{X}_{affine}\) et \(\epsilon_X : X_{affine, \etale} \to X_{affine}\) de sites annelés. Le Lemme 0H0J et (la preuve de) Catégories dérivées des espaces, Lemme 0H06 montrent que les foncteurs \(\epsilon_\mathcal{X}^*\) et \(\epsilon_X^*\) identifient \(\mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\) et \(\mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\) à des sous-catégories \(Q_\mathcal{X} \subset D(\mathcal{X}_{affine, \etale}, \mathcal{O})\) et \(Q_X \subset D(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\). Sous ces identifications, le foncteur \(G\) du premier paragraphe est induit par le foncteur \[Li_X^* = R\pi_{X, *}: D(\mathcal{X}_{affine, \etale}, \mathcal{O}) \longrightarrow D(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\] où \(i_X\) et \(\pi_X\) sont les morphismes du Lemme 073M, les sites étales étant remplacés par les sites affines correspondants. Le lecteur peut montrer que ce remplacement est licite soit en redémontrant directement le lemme pour les sites affines, soit en employant les équivalences de topos \(\Sh(\mathcal{X}_{affine, \etale}) = \Sh(\mathcal{X}_\etale)\) et \(\Sh(X_{affine, \etale}) = \Sh(X_\etale)\). Le lemme nous dit aussi que \(Li_X^*\) admet un adjoint à gauche \[L\pi_X^*: D(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{X}_{affine, \etale}, \mathcal{O})\] et, de plus, \(Li_X^* \circ L\pi_X^* = \text{id}\) puisque \(\pi_X \circ i_X\) est l’identité. Il suffit donc de montrer que (a) \(L\pi_X^*\) envoie \(Q_X\) dans \(Q_\mathcal{X}\) et (b) le noyau de \(Li_X^*\) est \(0\). Voir Catégories dérivées, Lemme 09J1.

Preuve de (a). D’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0H06 nous avons \(Q_X = D_\QCoh(X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\). Soit \(K\) un objet de \(Q_X\). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\) au-dessus du schéma affine \(U = p(x)\). Notons \(f : U \to X\) le morphisme correspondant à \(x\). Alors \[R\Gamma(x, L\pi_X^*K) = R\Gamma(U, Lf^*K)\] Cela résulte de la transitivité des images réciproques ; voir la discussion de la section 076P. Supposons ensuite que \(x \to x'\) soit un morphisme de \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\) au-dessus du morphisme \(h : U \to U'\) de schémas affines. Comme précédemment, notons \(f : U \to X\) et \(f' : U' \to X\) les morphismes correspondant à \(x\) et \(x'\), de sorte que \(f = f' \circ h\). Alors \[\begin{align*} R\Gamma(x, L\pi_X^*K) & = R\Gamma(U, Lf^*K) \\ & = R\Gamma(U, Lh^*L(f')^*K) \\ & = R\Gamma(U', L(f')^*K) \otimes_{\mathcal{O}(U')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(U) \\ & = R\Gamma(x', L\pi_X^*K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \end{align*}\] et nous obtenons donc (a) par la note de l’énoncé de Cohomologie sur les sites, Lemme 0GZS. La troisième égalité est Catégories dérivées des schémas, Lemme 08DW.

Preuve de (b). Soit \(M\) un objet de \(Q_\mathcal{X}\) tel que \(Li_X^*M = 0\). Soit \(x'\) un objet de \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\) au-dessus du schéma affine \(U' = p(x')\), et supposons que le morphisme correspondant \(f' : U' \to X\) soit étale. Alors \(f' : U' \to X\) est un objet de \(X_{affine, \etale}\), et la condition \(Li_X^*M = 0\) implique \(M|_{U'_\etale} = 0\). En particulier, \(R\Gamma(x', M) = 0\). Cependant, pour tout objet \(x\) du site \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\), il existe un recouvrement \(\{x_i \to x\}\) tel que, pour chaque \(i\), il existe un morphisme \(x_i \to x'_i\), où \(x'_i\) correspond à un objet de \(X_{affine, \etale}\). Puisque \(M\) appartient à \(Q_\mathcal{X}\), nous avons \[R\Gamma(x_i, M) = R\Gamma(x_i', M) \otimes_{\mathcal{O}(x_i')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x_i) = 0\] et nous concluons que \(M\) est nul, comme voulu.

Pour montrer que la construction produit une catégorie intéressante dans un autre cas, énonçons et démontrons une caractérisation de \(\mathit{QC}(\text{Spf}(A))\) pour le spectre formel d’un anneau adique noethérien \(A\).

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est une \(S\)-algèbre topologique adique noethérienne d’idéal de définition \(I\), voir Compléments d’algèbre, Définition 07E8 et Espaces formels, Définition 0AIF. Soit \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) la catégorie fibrée en ensembles associée au foncteur \(X\), voir Catégories, Exemple 04TM. Alors \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) est canoniquement équivalente à la catégorie \(D_{comp}(A, I)\) des objets de \(D(A)\) qui sont dérivés complets pour \(I\).

Démonstration

Rappelons que \(X = \colim \Spec(A/I^n)\) comme faisceau fppf. Un objet de \(\mathcal{X}_{affine}\) est la même chose qu’un schéma affine \(U = \Spec(R)\) muni d’un morphisme \(f : U \to X\). D’après Espaces formels, Lemme 0AIA, il existe \(n \geq 1\) tel que \(f\) se factorise par le monomorphisme \(\Spec(A/I^n) \to X\). Considérons la sous-catégorie pleine \(\mathcal{C} \subset \mathcal{X}_{affine}\) formée des objets \(\Spec(A/I^n) \to X\). D’après les remarques précédentes et Faisceaux différentiels gradués, Lemme 0GZE la restriction à \(\mathcal{C}\) est une équivalence exacte \(\mathit{QC}(\mathcal{X}) \to \mathit{QC}(\mathcal{C}, \mathcal{O}|_\mathcal{C})\). Pour simplifier, supposons que \(I^n \not = I^{n + 1}\) pour tout \(n \geq 1\). Alors \((\mathcal{C}, \mathcal{O}|_\mathcal{C})\) est isomorphe, comme site annelé, au site annelé \((\mathbf{N}, (A/I^n))\), voir Faisceaux différentiels gradués, section 0GZG. Nous concluons donc par Faisceaux différentiels gradués, Proposition 0GZK.

Le lemme suivant servira à comparer \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) lorsque \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) une catégorie fibrée en groupoïdes. Le morphisme de comparaison \(\epsilon : \mathcal{X}_{affine, fppf} \to \mathcal{X}_{affine}\) satisfait les hypothèses et les conclusions de Cohomologie sur les sites, Lemme 0GZS.

Démonstration

La preuve est exactement la même que celle du Lemme 0H0J. L’hypothèse (1) vaut par définition de \(\mathcal{X}_{affine}\). Pour la condition (2), nous employons le fait que, pour \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) au-dessus du schéma affine \(U = p(x)\), il existe une équivalence \(\mathcal{X}_{affine, \etale}/x = (\textit{Aff}/U)_\etale\) compatible aux faisceaux structuraux ; voir la discussion de la section 075C. Il suffit donc de montrer ceci : pour un schéma affine \(U = \Spec(R)\) et un complexe de \(R\)-modules \(M^\bullet\), la cohomologie totale du complexe de modules sur \((\textit{Aff}/U)_{fppf}\) associé à \(M^\bullet\) est quasi-isomorphe à \(M^\bullet\). C’est Cohomologie étale, Lemme 0H0U.