Propriétés des champs algébriques

Introduction

Voir Champs algébriques, section 026L, pour une brève introduction aux champs algébriques, et lire une partie de ce chapitre pour connaître les fondements que nous adoptons. Dans ce chapitre-là, nous nous attachons à distinguer soigneusement les schémas, les espaces algébriques et les champs algébriques ; à partir du présent chapitre, nous emploierons l’abus de langage usuel selon lequel toutes ces notions s’emploient indifféremment.

L’objectif de ce chapitre est d’introduire quelques notions et propriétés fondamentales des champs algébriques. Une référence essentielle pour le cas des champs algébriques quasi-séparés à diagonale représentable est [LM-B].

Conventions et abus de langage

Fixons un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). Tous les schémas appartiennent à \(\Sch_{fppf}\). Et tous les anneaux \(A\) considérés ont la propriété que \(\Spec(A)\) est (isomorphe) à un objet de ce grand site.

Fixons également un schéma de base \(S\), qui, d’après les conventions ci-dessus, est un élément de \(\Sch_{fppf}\). Le lecteur qui ne s’intéresse qu’au cas absolu peut prendre \(S = \Spec(\mathbf{Z})\).

Voici nos conventions concernant les champs algébriques :

1. Lorsque nous dirons champ algébrique, nous entendrons un champ algébrique au-dessus de \(S\), c’est-à-dire une catégorie fibrée en groupoïdes \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) qui satisfait aux conditions de Champs algébriques, Définition 026O.

2. Nous dirons que \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un morphisme de champs algébriques pour désigner un \(1\)-morphisme de champs algébriques au-dessus de \(S\), c’est-à-dire un \(1\)-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\), voir Champs algébriques, Définition 03YP.

3. Un \(2\)-morphisme \(\alpha : f \to g\) désignera un \(2\)-morphisme dans la \(2\)-catégorie des champs algébriques au-dessus de \(S\), voir Champs algébriques, Définition 03YP.

4. Étant donnés des morphismes \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) de champs algébriques, nous appelons abusivement le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) le produit fibré.

5. Nous noterons \(\mathcal{X} \times_S \mathcal{Y}\) le produit des champs algébriques \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\).

6. Nous abuserons souvent de la notation et dirons que deux champs algébriques \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont isomorphes s’ils sont équivalents dans cette \(2\)-catégorie.

Voici nos conventions concernant les espaces algébriques.

1. Si nous disons que \(X\) est un espace algébrique, nous entendons que \(X\) est un espace algébrique au-dessus de \(S\), c’est-à-dire que \(X\) est un préfaisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\) qui satisfait aux conditions de Espaces, Définition 025Y.

2. Un morphisme d’espaces algébriques \(f :X \to Y\) est un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) tel que défini dans Espaces, Définition 0260.

3. Nous ne distinguerons pas un espace algébrique \(X\) du champ algébrique \(\mathcal{S}_X \to (\Sch/S)_{fppf}\) auquel il donne lieu, voir Champs algébriques, Lemme 03YS.

4. En particulier, un morphisme \(f : X \to \mathcal{Y}\) de \(X\) vers un champ algébrique \(\mathcal{Y}\) désigne un morphisme \(f : \mathcal{S}_X \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques. Il en va de même pour les morphismes \(\mathcal{Y} \to X\).

5. De plus, étant donné un champ algébrique \(\mathcal{X}\), nous dirons que \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique pour indiquer que \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique, voir Champs algébriques, Définition 04SV.

6. Nous emploierons la convention de notation suivante : si nous désignons un champ algébrique par une majuscule romaine (telle que \(X, Y, Z, A, B, \ldots\)), son champ d’inertie sera trivial, et ce sera donc un espace algébrique, voir Champs algébriques, Proposition 04SZ.

Voici nos conventions concernant les schémas.

1. Si nous disons que \(X\) est un schéma, nous entendons que \(X\) est un schéma au-dessus de \(S\), c’est-à-dire que \(X\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\).

2. Par morphisme de schémas, nous entendons un morphisme de schémas au-dessus de \(S\).

3. Nous ne distinguerons pas un schéma \(X\) du champ algébrique \(\mathcal{S}_X \to (\Sch/S)_{fppf}\) auquel il donne lieu, voir Champs algébriques, Lemme 03YS.

4. En particulier, un morphisme \(f : X \to \mathcal{Y}\) d’un schéma \(X\) vers un champ algébrique \(\mathcal{Y}\) désigne un morphisme \(f : \mathcal{S}_X \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques. Il en va de même pour les morphismes \(\mathcal{Y} \to X\).

5. De plus, étant donné un champ algébrique \(\mathcal{X}\), nous dirons que \(\mathcal{X}\) est un schéma pour indiquer que \(\mathcal{X}\) est représentable, voir Champs algébriques, section 02ZQ.

Voici nos conventions concernant les morphismes de champs algébriques :

1. Un morphisme \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques est représentable, ou représentable par des schémas, si, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to \mathcal{Y}\), le produit fibré \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un schéma. Voir Champs algébriques, section 04ST.

2. Un morphisme \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques est représentable par des espaces algébriques si, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to \mathcal{Y}\), le produit fibré \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un espace algébrique. Voir Champs algébriques, Définition 02ZW. Dans ce cas, \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un espace algébrique dès que \(Z \to \mathcal{Y}\) est un morphisme dont la source est un espace algébrique, voir Champs algébriques, Lemme 0300.

3. Nous pourrons abuser du langage et dire qu’un diagramme de champs algébriques commute si le diagramme est \(2\)-commutatif dans la \(2\)-catégorie des champs algébriques.

Remarquons que tout morphisme \(X \to \mathcal{Y}\) d’un espace algébrique vers un champ algébrique est représentable par des espaces algébriques, voir Champs algébriques, Lemme 045G. Nous utiliserons ce résultat fondamental sans plus le rappeler.

Propriétés des morphismes représentables par des espaces algébriques

Nous étudierons les propriétés des morphismes (quelconques) de champs algébriques dans un chapitre qui leur est propre. Pour les morphismes représentables par des espaces algébriques, nous savons ce que signifie être surjectif, lisse, ou étale, etc. Cela s’applique en particulier aux morphismes \(X \to \mathcal{Y}\) des espaces algébriques vers les champs algébriques. Dans cette section, nous rappelons le fonctionnement de cette notion, nous dressons la liste des propriétés auxquelles elle s’applique et nous démontrons quelques lemmes faciles.

Notre premier lemme affirme qu’un morphisme est représentable par des espaces algébriques s’il le devient après un changement de base par un morphisme plat, localement de présentation finie et surjectif.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(W\) un espace algébrique et soit \(W \to \mathcal{Y}\) un morphisme surjectif, localement de présentation finie et plat. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est représentable par des espaces algébriques, et

2. \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un espace algébrique.

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est Champs algébriques, Lemme 0300. Réciproquement, soit \(W \to \mathcal{Y}\) comme en (2). Pour démontrer (1), il suffit de montrer que \(f\) est fidèle sur les catégories fibres, voir Champs algébriques, Lemme 04Y5. L’hypothèse (2) implique en particulier que \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) est fidèle. La fidélité de \(f\) résulte donc de Champs, Lemme 06DV.

Soit \(P\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie fppf sur le but et préservée par tout changement de base. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Nous disons alors que \(f\) possède la propriété \(P\) si et seulement si, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to \mathcal{Y}\), le morphisme d’espaces algébriques \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T\) possède la propriété \(P\), voir Champs algébriques, Définition 03YK.

Il se trouve que si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est représentable par des espaces algébriques et possède la propriété \(P\), alors, pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\), le changement de base \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) possède la propriété \(P\), voir Champs algébriques, Lemmes 0302 et 045C. Si la propriété \(P\) est préservée par composition, cela vaut également pour les morphismes de champs algébriques représentables par des espaces algébriques, voir Champs algébriques, Lemmes 0301 et 045B. En outre, dans ce cas, les produits \(\mathcal{X}_1 \times \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}_1 \times \mathcal{Y}_2\) de morphismes représentables par des espaces algébriques et possédant la propriété \(\mathcal{P}\) possèdent la propriété \(\mathcal{P}\), voir Champs algébriques, Lemme 045E.

Enfin, si nous avons deux propriétés \(P, P'\) de morphismes d’espaces algébriques qui sont locales pour la topologie fppf sur le but et préservées par tout changement de base, et si \(P(f) \Rightarrow P'(f)\) pour tout morphisme \(f\), alors la même implication vaut pour les propriétés correspondantes des morphismes de champs algébriques représentables par des espaces algébriques, voir Champs algébriques, Lemme 045F. Nous l’utiliserons sans autre mention ci-dessous et dans les chapitres suivants.

La discussion ci-dessus s’applique à chacune des propriétés suivantes des morphismes d’espaces algébriques :

1. quasi-compact, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03HF et Descente sur les espaces, Lemme 041L,

2. quasi-séparé, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03KL et Descente sur les espaces, Lemme 041N,

3. universellement fermé, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03IS et Descente sur les espaces, Lemme 041O,

4. universellement ouvert, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03Z3 et Descente sur les espaces, Lemme 041P,

5. universellement submersif, voir Morphismes d’espaces, Lemme 0CFR et Descente sur les espaces, Lemme 0CFW,

6. un homéomorphisme universel, voir Morphismes d’espaces, Lemme 0CFT et Descente sur les espaces, Lemme 0CFX,

7. surjectif, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03MH et Descente sur les espaces, Lemme 041Q,

8. universellement injectif, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03MW et Descente sur les espaces, Lemme 041R,

9. localement de type fini, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XH et Descente sur les espaces, Lemme 041S,

10. localement de présentation finie, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XR et Descente sur les espaces, Lemme 041T,

11. de type fini, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XH et Descente sur les espaces, Lemme 041U,

12. de présentation finie, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XR et Descente sur les espaces, Lemme 041V,

13. plat, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03MO et Descente sur les espaces, Lemme 041W,

14. une immersion ouverte, voir Morphismes d’espaces, section 03HB et Descente sur les espaces, Lemme 041X,

15. un isomorphisme, voir Descente sur les espaces, Lemme 041Y,

16. affine, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03WI et Descente sur les espaces, Lemme 041Z,

17. une immersion fermée, voir Morphismes d’espaces, section 03HB et Descente sur les espaces, Lemme 0420,

18. séparé, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03KL et Descente sur les espaces, Lemme 0421,

19. propre, voir Morphismes d’espaces, Lemme 04WP et Descente sur les espaces, Lemme 0422,

20. quasi-affine, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03WO et Descente sur les espaces, Lemme 0423,

21. entier, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03ZS et Descente sur les espaces, Lemme 0425,

22. fini, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03ZS et Descente sur les espaces, Lemme 0426,

23. quasi-fini (localement), voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XL et Descente sur les espaces, Lemme 0427,

24. syntomique, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03Z9 et Descente sur les espaces, Lemme 0428,

25. lisse, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03ZE et Descente sur les espaces, Lemme 0429,

26. non ramifié, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03ZJ et Descente sur les espaces, Lemme 042A,

27. étale, voir Morphismes d’espaces, Lemme 0466 et Descente sur les espaces, Lemme 042B,

28. fini localement libre, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03ZY et Descente sur les espaces, Lemme 042C,

29. un monomorphisme, voir Morphismes d’espaces, Lemme 042P et Descente sur les espaces, Lemme 042D,

30. une immersion, voir Morphismes d’espaces, section 03HB et Descente sur les espaces, Lemme 042U,

31. localement séparé, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03KL et Descente sur les espaces, Lemme 042F,

Lemme

Soit \(P\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques comme ci-dessus. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) possède \(P\),

2. pour tout espace algébrique \(Z\) et tout morphisme \(Z \to \mathcal{Y}\), le morphisme \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) possède \(P\).

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est immédiate. Supposons (1). Soit \(Z \to \mathcal{Y}\) comme en (2). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to Z\). Par hypothèse, le morphisme \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to U\) possède \(P\). Mais le diagramme \[\xymatrix{ U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \\ U \ar[r] & Z }\] est cartésien; la flèche verticale de droite possède donc \(P\), puisque \(\{U \to Z\}\) est un recouvrement fppf.

Le lemme suivant nous dit qu’il suffit de vérifier \(P\) après un changement de base par un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie.

Lemme

Soit \(P\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques comme ci-dessus. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Soit \(W\) un espace algébrique et soit \(W \to \mathcal{Y}\) un morphisme surjectif, localement de présentation finie et plat. Posons \(V = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Alors \[(f\text{ possède }P) \Leftrightarrow (\text{la projection }V \to W\text{ possède }P).\]

Démonstration

L’implication de gauche à droite résulte du Lemme 04XC. Supposons que \(V \to W\) possède \(P\). Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to \mathcal{Y}\) un morphisme. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] & T \times_\mathcal{Y} V \ar[d] \ar[l] \ar[r] & V \ar[d] \\ T & T \times_\mathcal{Y} W \ar[l] \ar[r] & W }\] d’espaces algébriques. Les carrés sont cartésiens. Le morphisme inférieur de gauche est un morphisme surjectif et plat, localement de présentation finie; \(\{T \times_\mathcal{Y} V \to T\}\) est donc un recouvrement fppf. Par conséquent, le fait que la flèche verticale de droite possède la propriété \(P\) implique que la flèche verticale de gauche possède la propriété \(P\).

Lemme

Soit \(P\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques comme ci-dessus. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie. Posons \(\mathcal{W} = \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Alors \[(f\text{ possède }P) \Leftrightarrow (\text{la projection }\mathcal{W} \to \mathcal{Z}\text{ possède }P).\]

Démonstration

Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme \(W \to \mathcal{Z}\) qui soit surjectif, plat et localement de présentation finie. D’après la discussion ci-dessus, le composé \(W \to \mathcal{Y}\) est aussi surjectif, plat et localement de présentation finie. Notons \(V = W \times_\mathcal{Z} \mathcal{W} = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Par le Lemme 04XD, nous voyons que \(f\) possède \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(V \to W\) la possède, et que \(\mathcal{W} \to \mathcal{Z}\) possède \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(V \to W\) la possède. Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(P\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques comme ci-dessus. Soit \(\tau \in \{\etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques représentables par des espaces algébriques. Supposons que

1. \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) soit surjectif et étale, lisse, syntomique, ou plat et localement de présentation finie,

2. le composé possède \(P\), et

3. \(P\) soit locale sur la source pour la topologie \(\tau\).

Alors \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) possède la propriété \(P\).

Démonstration

Soit \(Z\) un schéma et soit \(Z \to \mathcal{Z}\) un morphisme. Posons \(X = \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} Z\), \(Y = \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} Z\). D’après (1), \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement pour la topologie \(\tau\) d’espaces algébriques, et, d’après (2), \(X \to Z\) possède la propriété \(P\). D’après (3), il en résulte que \(Y \to Z\) possède la propriété \(P\), ce qui conclut la démonstration.

Lemme

Soit \(g : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) un morphisme de champs algébriques qui soit représentable par des espaces algébriques. Soit \([U/R] \to \mathcal{X}\) une présentation. Posons \(U' = U \times_\mathcal{X} \mathcal{X}'\), et \(R' = R \times_\mathcal{X} \mathcal{X}'\). Il existe alors un groupoïde en espaces algébriques de la forme \((U', R', s', t', c')\), une présentation \([U'/R'] \to \mathcal{X}'\), et le diagramme \[\xymatrix{ [U'/R'] \ar[d]_{[\text{pr}]} \ar[r] & \mathcal{X}' \ar[d]^g \\ [U/R] \ar[r] & \mathcal{X} }\] est \(2\)-commutatif, où le morphisme \([\text{pr}]\) provient d’un morphisme de groupoïdes \(\text{pr} : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\).

Démonstration

Puisque \(U \to \mathcal{Y}\) est surjectif et lisse, voir Champs algébriques, Lemme 04X0, le changement de base \(U' \to \mathcal{X}'\) est aussi surjectif et lisse. Par suite, d’après Champs algébriques, Lemme 04T5, il suffit de montrer que \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\) afin d’obtenir un groupoïde lisse \((U', R', s', t', c')\) et une présentation \([U'/R'] \to \mathcal{X}'\). Comme \(R = V \times_\mathcal{Y} V\) (voir Groupoïdes en espaces, Lemme 04M9), cela résulte de \[R' = U \times_\mathcal{X} U \times_\mathcal{X} \mathcal{X}' = (U \times_\mathcal{X} \mathcal{X}') \times_{\mathcal{X}'} (U \times_\mathcal{X} \mathcal{X}')\] voir Catégories, Lemmes 02XC et 02XD. Il est clair que les morphismes de projection \(U' \to U\) et \(R' \to R\) donnent le morphisme de groupoïdes désiré \(\text{pr} : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\). On obtient donc le morphisme \([\text{pr}]\) des champs quotients grâce à Groupoïdes en espaces, Lemme 046Q.

Il nous reste à montrer que le diagramme est \(2\)-commutatif. Il est clair que le diagramme \[\xymatrix{ U' \ar[d]_{\text{pr}_U} \ar[r]_{f'} & \mathcal{X}' \ar[d]^g \\ U \ar[r]^f & \mathcal{X} }\] est \(2\)-commutatif, où \(\text{pr}_U : U' \to U\) est la projection. Il existe une \(2\)-flèche canonique \(\tau : f \circ t \to f \circ s\) dans \(\Mor(R, \mathcal{X})\) provenant de \(R = U \times_\mathcal{X} U\), \(t = \text{pr}_0\), et \(s = \text{pr}_1\). En utilisant l’isomorphisme \(R' \to U' \times_{\mathcal{X}'} U'\), nous obtenons de même un isomorphisme \(\tau' : f' \circ t' \to f' \circ s'\). Remarquons que \(g \circ f' \circ t' = f \circ t \circ \text{pr}_R\) et \(g \circ f' \circ s' = f \circ s \circ \text{pr}_R\), où \(\text{pr}_R : R' \to R\) est la projection. Il est donc légitime de se demander si [04Y7]\[\begin{equation} \tau \star \text{id}_{\text{pr}_R} = \text{id}_g \star \tau'. \end{equation}\] Nous avançons maintenant deux assertions : (1) si l’équation (04Y7) est satisfaite, alors le diagramme est \(2\)-commutatif, et (2) l’équation (04Y7) est satisfaite. Nous omettons la démonstration de ces deux assertions. Indications : la partie (1) résulte de la construction de \(f = f_{can}\) et \(f' = f'_{can}\) dans Champs algébriques, Lemme 04T4. La partie (2) résulte d’un examen attentif des définitions.

Remarque

Soit \(\mathcal{Y}\) un champ algébrique. Considérons la \(2\)-catégorie suivante :

1. un objet est un morphisme \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) représentable par des espaces algébriques,

2. un \(1\)-morphisme \((g, \beta) : (f_1 : \mathcal{X}_1 \to \mathcal{Y}) \to (f_2 : \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y})\) consiste en un morphisme \(g : \mathcal{X}_1 \to \mathcal{X}_2\) et un \(2\)-morphisme \(\beta : f_1 \to f_2 \circ g\), et

3. un \(2\)-morphisme entre \((g, \beta), (g', \beta') : (f_1 : \mathcal{X}_1 \to \mathcal{Y}) \to (f_2 : \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y})\) est un \(2\)-morphisme \(\alpha : g \to g'\) tel que \((\text{id}_{f_2} \star \alpha) \circ \beta = \beta'\).

Notons cette \(2\)-catégorie \(\textit{Espaces}/\mathcal{Y}\), par analogie avec la notation de Topologies sur les espaces, section 03Y6. Nous affirmons que, dans cette \(2\)-catégorie, les catégories de morphismes \[\Mor_{\textit{Espaces}/\mathcal{Y}}( (f_1 : \mathcal{X}_1 \to \mathcal{Y}), (f_2 : \mathcal{X}_2 \to \mathcal{Y}))\] sont toutes des setoïdes. En effet, un \(2\)-morphisme \(\alpha\) est une règle qui, à tout objet \(x_1\) de \(\mathcal{X}_1\), associe un isomorphisme \(\alpha_{x_1} : g(x_1) \longrightarrow g'(x_1)\) dans la catégorie fibre correspondante de \(\mathcal{X}_2\), de telle sorte que le diagramme \[\xymatrix{ & f_2(x_1) \ar[ld]_{\beta_{x_1}} \ar[rd]^{\beta'_{x_1}} \\ f_2(g(x_1)) \ar[rr]^{f_2(\alpha_{x_1})} & & f_2(g'(x_1)) }\] commute. Mais, puisque \(f_2\) est fidèle (voir Champs algébriques, Lemme 04Y5), cela signifie que, si \(\alpha_{x_1}\) existe, il est unique ! Autrement dit, la \(2\)-catégorie \(\textit{Espaces}/\mathcal{Y}\) est très proche d’être une catégorie. Plus précisément, si nous remplaçons les \(1\)-morphismes par les classes d’isomorphisme de \(1\)-morphismes, nous obtenons une catégorie. Nous effectuerons souvent ce remplacement sans autre mention.

Points des champs algébriques

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soient \(K, L\) deux corps, et soient \(p : \Spec(K) \to \mathcal{X}\) et \(q : \Spec(L) \to \mathcal{X}\) des morphismes. Nous disons que \(p\) et \(q\) sont équivalents s’il existe un corps \(\Omega\) et un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r] \ar[d] & \Spec(L) \ar[d]^q \\ \Spec(K) \ar[r]^p & \mathcal{X}. }\]

Lemme

La notion ci-dessus définit bien une relation d’équivalence sur les morphismes des spectres de corps vers le champ algébrique \(\mathcal{X}\).

Démonstration

Il est clair que la relation est réflexive et symétrique. Il reste donc à montrer qu’elle est transitive. Cela revient à ceci : étant donné un diagramme \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r]_b \ar[d]_a & \Spec(L) \ar[d]^q & \Spec(\Omega') \ar[l]^{b'} \ar[d]^{a'} \\ \Spec(K) \ar[r]^p & \mathcal{X} & \Spec(K') \ar[l]_{p'} }\] dont les deux carrés sont \(2\)-commutatifs, nous devons montrer que \(p\) est équivalent à \(p'\). Par le lemme de \(2\)-Yoneda (voir Champs algébriques, section 04SS), les morphismes \(p\), \(p'\) et \(q\) sont donnés par des objets \(x\), \(x'\) et \(y\) dans les catégories fibres de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(K)\), \(\Spec(K')\) et \(\Spec(L)\). La \(2\)-commutativité des carrés signifie qu’il existe des isomorphismes \(\alpha : a^*x \to b^*y\) et \(\alpha' : (a')^*x' \to (b')^*y\) dans les catégories fibres de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(\Omega)\) et \(\Spec(\Omega')\). Choisissons un corps \(\Omega''\) et des plongements \(\Omega \to \Omega''\) et \(\Omega' \to \Omega''\) coïncidant sur \(L\). Nous pouvons alors prolonger le diagramme ci-dessus en \[\xymatrix{ & \Spec(\Omega'') \ar[ld]_c \ar[d]^{q'} \ar[rd]^{c'} \\ \Spec(\Omega) \ar[r]_b \ar[d]_a & \Spec(L) \ar[d]^q & \Spec(\Omega') \ar[l]^{b'} \ar[d]^{a'} \\ \Spec(K) \ar[r]^p & \mathcal{X} & \Spec(K') \ar[l]_{p'} }\] avec des triangles commutatifs, et \[(q')^*(\alpha')^{-1} \circ (q')^*\alpha : (a \circ c)^*x \longrightarrow (a' \circ c')^*x'\] est un isomorphisme dans la catégorie fibre au-dessus de \(\Spec(\Omega'')\). Ainsi, \(p\) est équivalent à \(p'\), comme souhaité.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Un point de \(\mathcal{X}\) est une classe d’équivalence de morphismes de spectres de corps vers \(\mathcal{X}\). L’ensemble des points de \(\mathcal{X}\) est noté \(|\mathcal{X}|\).

Cela concorde avec notre définition des points des espaces algébriques, voir Propriétés des espaces, Définition 03BU. De plus, pour un schéma, nous retrouvons la notion usuelle de point, voir Propriétés des espaces, Lemme 03BV. Si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un morphisme de champs algébriques, il existe une application induite \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) qui envoie un représentant \(x : \Spec(K) \to \mathcal{X}\) sur le représentant \(f \circ x : \Spec(K) \to \mathcal{Y}\). Celle-ci est bien définie : en effet, lorsqu’ils sont \(2\)-isomorphes, des \(1\)-morphismes restent \(2\)-isomorphes après pré- ou postcomposition par un \(1\)-morphisme, car on peut les pré- ou postcomposer horizontalement par l’identité du \(1\)-morphisme donné. Cela vaut dans toute \((2, 1)\)-catégorie (stricte). Si \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{Y} \ar[d] \\ \mathcal{W} \ar[r] & \mathcal{Z} }\] est un diagramme \(2\)-commutatif de champs algébriques, alors le diagramme d’ensembles \[\xymatrix{ |\mathcal{X}| \ar[d] \ar[r] & |\mathcal{Y}| \ar[d] \\ |\mathcal{W}| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] est commutatif. En particulier, si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est une équivalence, alors \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est une bijection.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{Z} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] un produit fibré de champs algébriques. Alors l’application d’ensembles de points \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |\mathcal{Z}| \times_{|\mathcal{Y}|} |\mathcal{X}|\] est surjective.

Démonstration

En effet, supposons donnés des corps \(K\), \(L\) et des morphismes \(\Spec(K) \to \mathcal{X}\), \(\Spec(L) \to \mathcal{Z}\). L’hypothèse qu’ils coïncident comme éléments de \(|\mathcal{Y}|\) signifie alors qu’il existe une extension commune \(M/K\) et \(M/L\) telle que \(\Spec(M) \to \Spec(K) \to \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(\Spec(M) \to \Spec(L) \to \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) soient \(2\)-isomorphes. Et c’est exactement la condition qui donne un morphisme \(\Spec(M) \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est surjective, et

2. \(f\) est surjectif (au sens de la section 04XB).

Démonstration

Supposons (1). Soit \(T \to \mathcal{Y}\) un morphisme dont la source est un schéma. Pour démontrer (2), nous devons montrer que le morphisme d’espaces algébriques \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T\) est surjectif. D’après Morphismes d’espaces, Définition 03ME, cela signifie que nous devons montrer que \(|T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |T|\) est surjective. En appliquant le Lemme 04XH, nous voyons que cela résulte de (1).

Réciproquement, supposons (2). Soit \(y : \Spec(K) \to \mathcal{Y}\) un morphisme du spectre d’un corps vers \(\mathcal{Y}\). Par hypothèse, le morphisme \(\Spec(K) \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X} \to \Spec(K)\) d’espaces algébriques est surjectif. D’après Morphismes d’espaces, Définition 03ME, cela signifie qu’il existe une extension de corps \(K'/K\) et un morphisme \(\Spec(K') \to \Spec(K) \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) tels que le carré de gauche du diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(K) \ar@{=}[r] & \Spec(K) \ar[r]^-y & \mathcal{Y} }\] soit commutatif. Cela montre que \(|X| \to |\mathcal{Y}|\) est surjective.

Voici un lemme qui explique comment calculer l’ensemble des points à partir d’une présentation.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(\mathcal{X} = [U/R]\) une présentation de \(\mathcal{X}\), voir Champs algébriques, Définition 04TI. Alors l’image de \(|R| \to |U| \times |U|\) est une relation d’équivalence et \(|\mathcal{X}|\) est le quotient de \(|U|\) par cette relation d’équivalence.

Démonstration

L’hypothèse signifie que nous avons un groupoïde lisse \((U, R, s, t, c)\) en espaces algébriques, et une équivalence \(f : [U/R] \to \mathcal{X}\). Nous pouvons supposer que \(\mathcal{X} = [U/R]\). Le morphisme induit \(p : U \to \mathcal{X}\) est lisse et surjectif, voir Champs algébriques, Lemme 04X0. Par conséquent, \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est surjective d’après le Lemme 04XI. Remarquons que \(R = U \times_\mathcal{X} U\), voir Groupoïdes en espaces, Lemme 04M9. Le Lemme 04XH implique donc que l’application \[|R| \longrightarrow |U| \times_{|\mathcal{X}|} |U|\] est surjective. L’image de \(|R| \to |U| \times |U|\) est donc exactement l’ensemble des couples \((u_1, u_2) \in |U| \times |U|\) tels que \(u_1\) et \(u_2\) aient la même image dans \(|\mathcal{X}|\). En combinant ces deux assertions, nous obtenons le résultat du lemme.

Remarque

Le résultat du Lemme 04XJ se généralise comme suit. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(U\) un espace algébrique et soit \(f : U \to \mathcal{X}\) un morphisme surjectif (ce qui a un sens d’après la section 04XB). Soit \(R = U \times_\mathcal{X} U\), soit \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde en espaces algébriques et soit \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) le morphisme canonique construit dans Champs algébriques, Lemme 04T4. Alors l’image de \(|R| \to |U| \times |U|\) est une relation d’équivalence et \(|\mathcal{X}| = |U|/|R|\). La démonstration du Lemme 04XJ s’applique sans changement. (Bien entendu, en général, \([U/R]\) n’est pas un champ algébrique et, en général, \(f_{can}\) n’est pas un isomorphisme.)

Lemme

Il existe une unique topologie sur les ensembles de points des champs algébriques qui possède les propriétés suivantes :

1. pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\), l’application \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est continue, et

2. pour tout morphisme \(U \to \mathcal{X}\) qui est plat et localement de présentation finie, où \(U\) est un espace algébrique, l’application d’espaces topologiques \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est continue et ouverte.

Démonstration

Choisissons un morphisme \(p : U \to \mathcal{X}\) qui soit surjectif, plat et localement de présentation finie, où \(U\) est un espace algébrique. Un tel morphisme existe par définition d’un champ algébrique, puisqu’un morphisme lisse est plat et localement de présentation finie (voir Morphismes d’espaces, Lemmes 04AJ et 04TA). Nous définissons une topologie sur \(|\mathcal{X}|\) par la règle suivante : \(W \subset |\mathcal{X}|\) est ouvert si et seulement si \(|p|^{-1}(W)\) est ouvert dans \(|U|\). Pour montrer que cette définition est indépendante du choix de \(p\), soit \(p' : U' \to \mathcal{X}\) un autre morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie d’un espace algébrique vers \(\mathcal{X}\). Posons \(U'' = U \times_\mathcal{X} U'\), de sorte que nous avons un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ U'' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d] \\ U \ar[r] & \mathcal{X} }\] Puisque \(U \to \mathcal{X}\) et \(U' \to \mathcal{X}\) sont surjectifs, plats et localement de présentation finie, nous voyons que \(U'' \to U'\) et \(U'' \to U\) sont surjectifs, plats et localement de présentation finie, voir Lemme 04XC. Par conséquent, les applications \(|U''| \to |U'|\) et \(|U''| \to |U|\) sont continues, ouvertes et surjectives, voir Morphismes d’espaces, Définition 03ME et Lemme 042S. Cela implique clairement que notre définition est indépendante du choix de \(p : U \to \mathcal{X}\).

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. D’après Champs algébriques, Lemme 04T1, nous pouvons trouver un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_x \ar[r]_a & V \ar[d]^y \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] dont les flèches verticales sont lisses et surjectives. Considérons le diagramme commutatif associé \[\xymatrix{ |U| \ar[d]_{|x|} \ar[r]_{|a|} & |V| \ar[d]^{|y|} \\ |\mathcal{X}| \ar[r]^{|f|} & |\mathcal{Y}| }\] d’ensembles. Si \(W \subset |\mathcal{Y}|\) est ouvert, alors, par la définition ci-dessus, cela signifie exactement que \(|y|^{-1}(W)\) est ouvert dans \(|V|\). Puisque \(|a|\) est continue, nous en concluons que \(|a|^{-1}|y|^{-1}(W) = |x|^{-1}|f|^{-1}(W)\) est ouvert dans \(|W|\), ce qui signifie, par définition, que \(|f|^{-1}(W)\) est ouvert dans \(|\mathcal{X}|\). Ainsi, \(|f|\) est continue.

Enfin, nous devons montrer que si \(U\) est un espace algébrique et si \(U \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie, alors \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est ouverte. Soit \(V \to \mathcal{X}\) un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie, où \(V\) est un espace algébrique. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ |U \times_\mathcal{X} V| \ar[r]_e \ar[rd]_f & |U| \times_{|\mathcal{X}|} |V| \ar[d]_c \ar[r]_d & |V| \ar[d]^b \\ & |U| \ar[r]^a & |\mathcal{X}| }\] Le morphisme \(U \times_\mathcal{X} V \to U\) est surjectif, c’est-à-dire que \(f : |U \times_\mathcal{X} V| \to |U|\) est surjective. La flèche horizontale supérieure de gauche est surjective, voir Lemme 04XH. Le morphisme \(U \times_\mathcal{X} V \to V\) est plat et localement de présentation finie; \(d \circ e : |U \times_\mathcal{X} V| \to |V|\) est donc ouverte, voir Morphismes d’espaces, Lemme 042S. Choisissons un ouvert \(W \subset |U|\). Les propriétés ci-dessus impliquent que \(b^{-1}(a(W)) = (d \circ e)(f^{-1}(W))\) est ouvert, ce qui, par construction, signifie que \(a(W)\) est ouvert, comme souhaité.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. L’espace topologique sous-jacent à \(\mathcal{X}\) est l’ensemble des points \(|\mathcal{X}|\) muni de la topologie construite dans le Lemme 04XL.

Cette définition n’entre pas en conflit avec la topologie déjà existante sur \(|\mathcal{X}|\) lorsque \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Tout point de \(|\mathcal{X}|\) possède un système fondamental de voisinages ouverts quasi-compacts. En particulier, \(|\mathcal{X}|\) est localement quasi-compact au sens de Topologie, Définition 0068.

Démonstration

Cela résulte formellement du fait qu’il existe un schéma \(U\) et une application surjective, ouverte et continue \(U \to |\mathcal{X}|\) d’espaces topologiques. En effet, si \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif et lisse, alors le Lemme 04XL garantit que \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est continue, surjective et ouverte.

Morphismes surjectifs

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Dans la section 04XB, nous avons déjà défini ce que signifie pour \(f\) d’être surjectif. Dans le Lemme 04XI, nous avons vu que cela équivaut à demander que \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) soit surjective. Cela ouvre la voie à la définition suivante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Nous disons que \(f\) est surjectif si l’application \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) des espaces topologiques associés est surjective.

Voici quelques lemmes.

Lemme

Le composé de morphismes surjectifs est surjectif.

Démonstration

Omis.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme surjectif est surjectif.

Démonstration

Omis. Indication : utiliser le Lemme 04XH.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) un morphisme surjectif de champs algébriques. Si le changement de base \(f' : \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) de \(f\) est surjectif, alors \(f\) est surjectif.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 04XH.

Lemme

Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est surjectif, alors \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) l’est aussi.

Démonstration

Immédiat.

Champs algébriques quasi-compacts

La définition suivante équivaut à la définition pour les espaces algébriques d’après Propriétés des espaces, Lemme 03E4.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est quasi-compact si et seulement si \(|\mathcal{X}|\) est quasi-compact.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{X}\) est quasi-compact,

2. il existe un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un schéma affine,

3. il existe un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un schéma quasi-compact,

4. il existe un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un espace algébrique quasi-compact, et

5. il existe un morphisme surjectif \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) de champs algébriques tel que \(\mathcal{U}\) soit quasi-compact.

Démonstration

Nous utiliserons le Lemme 04XI. Supposons que \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) soient comme en (5). Puisque \(|\mathcal{U}| \to |\mathcal{X}|\) est surjective et continue, nous en concluons que \(|\mathcal{X}|\) est quasi-compact. Ainsi, (5) implique (1). Les implications (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (5) sont immédiates. Supposons (1), c’est-à-dire que \(\mathcal{X}\) est quasi-compact, c’est-à-dire que \(|\mathcal{X}|\) est quasi-compact. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Puisque \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est ouverte, nous voyons qu’il existe un ouvert quasi-compact \(U' \subset U\) tel que \(|U'| \to |X|\) soit surjective (et toujours lisse). Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(U' = U_1 \cup \ldots \cup U_n\). Alors \(U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse surjectif dont la source est un schéma affine (Schémas, Lemme 01I5). Ainsi, (2) est satisfaite.

Lemme

Une réunion disjointe finie de champs algébriques quasi-compacts est un champ algébrique quasi-compact.

Démonstration

Cela résulte clairement du fait topologique correspondant.

Propriétés des champs algébriques définies par des propriétés des schémas

Toute propriété des schémas locale pour la topologie lisse donne naissance à une propriété correspondante des champs algébriques grâce au lemme suivant. Remarquons qu’une propriété des schémas qui est locale pour la topologie lisse est aussi locale pour la topologie étale, puisque tout recouvrement étale est aussi un recouvrement lisse. Ainsi, pour une propriété \(P\) des schémas locale pour la topologie lisse, nous savons ce que signifie dire qu’un espace algébrique possède \(P\), voir Propriétés des espaces, section 03E5.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des schémas qui est locale pour la topologie lisse, voir Descente, Définition 0348. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\) tels que le schéma \(U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\),

2. pour tout schéma \(U\) et tout morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), le schéma \(U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\),

3. il existe un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\) tels que l’espace algébrique \(U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), et

4. pour tout espace algébrique \(U\) et tout morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), l’espace algébrique \(U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Si \(\mathcal{X}\) est un schéma \(U\), cela équivaut à \(\mathcal{P}(U)\). Si \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique \(X\), cela équivaut à ce que \(X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Soit \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme surjectif et lisse, où \(U\) est un espace algébrique. Soit \(V \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse, où \(V\) est un espace algébrique. Choisissons des schémas \(U'\) et \(V'\) et des morphismes étales surjectifs \(U' \to U\) et \(V' \to V\). Enfin, choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to V' \times_\mathcal{X} U'\). Alors \(W \to V'\) et \(W \to U'\) sont des morphismes lisses de schémas, car ce sont des composés de morphismes étales et lisses d’espaces algébriques, voir Morphismes d’espaces, Lemmes 04XX et 03ZD. De plus, \(W \to V'\) est surjectif puisque \(U' \to \mathcal{X}\) est surjectif. Nous avons donc \[\mathcal{P}(U) \Leftrightarrow \mathcal{P}(U') \Rightarrow \mathcal{P}(W) \Rightarrow \mathcal{P}(V') \Leftrightarrow \mathcal{P}(V)\] où les équivalences résultent de la définition de la propriété \(\mathcal{P}\) pour les espaces algébriques, et les deux implications résultent de Descente, Définition 0348. Cela démontre (3) \(\Rightarrow\) (4).

Les implications (2) \(\Rightarrow\) (1), (1) \(\Rightarrow\) (3), et (4) \(\Rightarrow\) (2) sont immédiates.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des schémas qui est locale pour la topologie lisse. Nous disons que \(\mathcal{X}\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) si l’une quelconque des conditions équivalentes du Lemme 04YF est satisfaite.

Remarque

Voici une liste de propriétés qui sont locales pour la topologie lisse (gardons à l’esprit que les topologies fpqc, fppf et syntomique sont plus fines que la topologie lisse) :

1. localement noethérien, voir Descente, Lemme 034C,

2. de Jacobson, voir Descente, Lemme 0368,

3. localement noethérien et \((S_k)\), voir Descente, Lemme 036A,

4. Cohen-Macaulay, voir Descente, Lemme 036B,

5. réduit, voir Descente, Lemme 034E,

6. normal, voir Descente, Lemme 034F,

7. localement noethérien et \((R_k)\), voir Descente, Lemme 036C,

8. régulier, voir Descente, Lemme 036D,

9. de Nagata, voir Descente, Lemme 036E.

Toute propriété des germes de schémas locale pour la topologie lisse donne naissance à une propriété correspondante des champs algébriques. Remarquons qu’une propriété des germes locale pour la topologie lisse est aussi locale pour la topologie étale. Ainsi, pour une propriété \(P\) des germes de schémas locale pour la topologie lisse, nous savons ce que signifie dire qu’un espace algébrique \(X\) possède la propriété \(P\) en \(x \in |X|\), voir Propriétés des espaces, section 04YE.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point de \(\mathcal{X}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des germes de schémas locale pour la topologie lisse, voir Descente, Définition 04N1. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un schéma, et tout \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), on a \(\mathcal{P}(U, u)\),

2. il existe un morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un schéma, et un \(u \in U\) tel que \(a(u) = x\), pour lesquels on a \(\mathcal{P}(U, u)\),

3. pour tout morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un espace algébrique, et tout \(u \in |U|\) tel que \(a(u) = x\), l’espace algébrique \(U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) en \(u\), et

4. il existe un morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\), où \(U\) est un espace algébrique, et un \(u \in |U|\) tel que \(a(u) = x\), tels que l’espace algébrique \(U\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) en \(u\).

Si \(\mathcal{X}\) est représentable, cela équivaut à \(\mathcal{P}(\mathcal{X}, x)\). Si \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique, alors cela équivaut à ce que \(\mathcal{X}\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) en \(x\).

Démonstration

Soient \(a : U \to \mathcal{X}\) et \(u \in |U|\) comme en (3). Soit \(b : V \to \mathcal{X}\) un autre morphisme lisse, où \(V\) est un espace algébrique, et soit \(v \in |V|\) tel que \(b(v) = x\) également. Choisissons un schéma \(U'\), un morphisme étale \(U' \to U\) et \(u' \in U'\) d’image \(u\). Choisissons un schéma \(V'\), un morphisme étale \(V' \to V\) et \(v' \in V'\) d’image \(v\). D’après le Lemme 04XH, il existe un point \(\overline{w} \in |V' \times_\mathcal{X} U'|\) d’images \(u'\) et \(v'\). Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to V' \times_\mathcal{X} U'\). Nous pouvons choisir un \(w \in |W|\) d’image \(\overline{w}\) (voir Propriétés des espaces, Lemme 03H5). Alors \(W \to V'\) et \(W \to U'\) sont des morphismes lisses de schémas, car ce sont des composés de morphismes étales et lisses d’espaces algébriques, voir Morphismes d’espaces, Lemmes 04XX et 03ZD. Par conséquent, \[\mathcal{P}(U, u) \Leftrightarrow \mathcal{P}(U', u') \Leftrightarrow \mathcal{P}(W, w) \Leftrightarrow \mathcal{P}(V', v') \Leftrightarrow \mathcal{P}(V, v)\] Les deux équivalences extérieures résultent de Propriétés des espaces, Définition 04RC, et les deux autres de la définition d’une propriété locale pour la topologie lisse des germes de schémas. Cela démontre (4) \(\Rightarrow\) (3).

Les implications (1) \(\Rightarrow\) (2), (2) \(\Rightarrow\) (4), et (3) \(\Rightarrow\) (1) sont immédiates.

Définition

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des germes de schémas qui est locale pour la topologie lisse. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Nous disons que \(\mathcal{X}\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) en \(x\) si l’une quelconque des conditions équivalentes du Lemme 04YI est satisfaite.

Monomorphismes de champs algébriques

Nous définissons comme suit un monomorphisme de champs algébriques. Nous verrons dans le Lemme 04ZZ que cela est compatible avec la notion \(2\)-catégorique correspondante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Nous disons que \(f\) est un monomorphisme s’il est représentable par des espaces algébriques et est un monomorphisme au sens de la section 04XB.

Commençons par quelques lemmes élémentaires.

Lemme

Soit \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un monomorphisme. Alors \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est un monomorphisme.

Démonstration

Cela résulte de la discussion générale de la section 04XB.

Lemme

Les composés de monomorphismes de champs algébriques sont des monomorphismes.

Démonstration

Cela résulte de la discussion générale de la section 04XB et de Morphismes d’espaces, Lemme 042O.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est un monomorphisme,

2. \(f\) est pleinement fidèle,

3. la diagonale \(\Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est une équivalence, et

4. il existe un espace algébrique \(W\) et un morphisme surjectif et plat \(W \to \mathcal{Y}\), localement de présentation finie, tels que \(V = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} W\) soit un espace algébrique et que le morphisme \(V \to W\) soit un monomorphisme d’espaces algébriques.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (4) résulte de la discussion générale de la section 04XB, et en particulier des Lemmes 04ZP et 04XD.

L’équivalence de (2) et (3) est Catégories, Lemme 04Z7.

Supposons satisfaites les conditions équivalentes (2) et (3). Alors \(f\) est représentable par des espaces algébriques d’après Champs algébriques, Lemme 04Y5. En outre, le lemme de \(2\)-Yoneda, combiné à la pleine fidélité, implique que, pour tout schéma \(T\), le foncteur \[\Mor(T, \mathcal{X}) \longrightarrow \Mor(T, \mathcal{Y})\] est pleinement fidèle. Étant donné un morphisme \(y : T \to \mathcal{Y}\), il existe donc, à un unique \(2\)-isomorphisme près, au plus un morphisme \(x : T \to \mathcal{X}\), tel que \(y \cong f \circ x\). En particulier, étant donné un morphisme de schémas \(h : T' \to T\), il existe au plus un relèvement \(\tilde h : T' \to T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) de \(h\). Ainsi, \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T\) est un monomorphisme d’espaces algébriques, ce qui démontre (1).

Enfin, supposons (1). Alors, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(y : T \to \mathcal{Y}\), le produit fibré \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un espace algébrique, et \(T \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T\) est un monomorphisme. Il existe donc exactement un couple, à isomorphisme unique près, \((x, \alpha)\), où \(x : T \to \mathcal{X}\) est un morphisme et \(\alpha : f \circ x \to y\) est un \(2\)-morphisme. En appliquant le lemme de \(2\)-Yoneda, cela signifie exactement que \(f\) est pleinement fidèle, c’est-à-dire que (2) est satisfaite.

Lemme

Un monomorphisme de champs algébriques induit une application injective entre les ensembles de points.

Démonstration

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un monomorphisme de champs algébriques. Supposons que \(x_i : \Spec(K_i) \to \mathcal{X}\) soient des morphismes tels que \(f \circ x_1\) et \(f \circ x_2\) définissent le même élément de \(|\mathcal{Y}|\). En appliquant la définition, nous trouvons une extension commune \(\Omega\) munie des morphismes correspondants \(c_i : \Spec(\Omega) \to \Spec(K_i)\) et d’un \(2\)-isomorphisme \(\beta : f \circ x_1 \circ c_1 \to f \circ x_1 \circ c_2\). Comme \(f\) est pleinement fidèle, voir Lemme 04ZZ, nous pouvons relever \(\beta\) en un isomorphisme \(\alpha : x_1 \circ c_1 \to x_1 \circ c_2\). Ainsi, \(x_1\) et \(x_2\) définissent le même point de \(|\mathcal{X}|\), comme souhaité.

Lemme

Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est un monomorphisme, alors le diagramme canonique \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{X}' \ar[r] & \mathcal{X}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}' }\] est un carré cartésien.

Démonstration

Nous avons \(\mathcal{X} = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} \mathcal{X}\) d’après le Lemme 04ZZ. Le résultat en découle alors en appliquant Catégories, Lemme 04Z1.

Immersions de champs algébriques

Les immersions de champs algébriques sont définies comme suit.

Définition

Immersions.

1. Un morphisme de champs algébriques est appelé une immersion ouverte s’il est représentable et est une immersion ouverte au sens de la section 04XB.

2. Un morphisme de champs algébriques est appelé une immersion fermée s’il est représentable et est une immersion fermée au sens de la section 04XB.

3. Un morphisme de champs algébriques est appelé une immersion s’il est représentable et est une immersion au sens de la section 04XB.

Ce n’est pas pour nous la manière la plus commode de concevoir les immersions. Il nous est un peu plus commode de considérer une immersion comme un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques et qui est une immersion au sens de la section 04XB. Il en va de même pour les immersions fermées et ouvertes. Comme cela équivaut clairement à la notion qui vient d’être définie, nous utiliserons cette caractérisation sans autre mention. Nous démontrons quelques lemmes simples sur cette notion.

Lemme

Soit \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) une immersion (fermée, resp. ouverte). Alors \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est une immersion (fermée, resp. ouverte).

Démonstration

Cela résulte de la discussion générale de la section 04XB.

Lemme

Les composés d’immersions de champs algébriques sont des immersions. Il en va de même des immersions fermées et des immersions ouvertes.

Démonstration

Cela résulte de la discussion générale de la section 04XB et de Espaces, Lemme 02YV.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(W\) un espace algébrique et soit \(W \to \mathcal{Y}\) un morphisme surjectif et plat, localement de présentation finie. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est une immersion (ouverte, resp. fermée), et

2. \(V = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un espace algébrique, et \(V \to W\) est une immersion (ouverte, resp. fermée).

Démonstration

Cela résulte de la discussion générale de la section 04XB et en particulier des Lemmes 04ZP et 04XD.

Lemme

Une immersion est un monomorphisme.

Démonstration

Voir Morphismes d’espaces, Lemme 042R.

Lemme

Si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est une immersion, alors \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est un homéomorphisme sur une partie localement fermée. Si \(f\) est une immersion fermée, resp. ouverte, alors \(|f|\) est fermée, resp. ouverte.

Démonstration

Omis.

Les deux lemmes suivants expliquent comment considérer les immersions à l’aide de présentations.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde lisse en espaces algébriques. Soit \(i : \mathcal{Z} \to [U/R]\) une immersion. Il existe alors un sous-espace localement fermé \(R\)-invariant \(Z \subset U\) et une présentation \([Z/R_Z] \to \mathcal{Z}\), où \(R_Z\) est la restriction de \(R\) à \(Z\), tels que \[\xymatrix{ [Z/R_Z] \ar[dr] \ar[rr] & & \mathcal{Z} \ar[ld]^i \\ & [U/R] }\] soit \(2\)-commutatif. Si \(i\) est une immersion fermée (resp. ouverte), alors \(Z\) est un sous-espace fermé (resp. ouvert) de \(U\).

Démonstration

D’après le Lemme 04Y6, nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ [U'/R'] \ar[dr] \ar[rr] & & \mathcal{Z} \ar[ld] \\ & [U/R] }\] où \(U' = \mathcal{Z} \times_{[U/R]} U\) et \(R' = \mathcal{Z} \times_{[U/R]} R\). Puisque \(\mathcal{Z} \to [U/R]\) est une immersion, nous voyons que \(U' \to U\) est une immersion d’espaces algébriques. Soit \(Z \subset U\) le sous-espace localement fermé tel que \(U' \to U\) se factorise par \(Z\) et induise un isomorphisme \(U' \to Z\). Il ressort clairement de la construction de \(R'\) que \(R' = U' \times_{U, t} R = R \times_{s, U} U'\). Cela implique que \(Z \cong U'\) est \(R\)-invariant et que l’image de \(R' \to R\) identifie \(R'\) à la restriction \(R_Z = s^{-1}(Z) = t^{-1}(Z)\) de \(R\) à \(Z\). Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde lisse en espaces algébriques. Soit \(\mathcal{X} = [U/R]\) le champ algébrique associé, voir Champs algébriques, Théorème 04TK. Soit \(Z \subset U\) un sous-espace localement fermé \(R\)-invariant. Alors \[[Z/R_Z] \longrightarrow [U/R]\] est une immersion de champs algébriques, où \(R_Z\) est la restriction de \(R\) à \(Z\). Si \(Z \subset U\) est ouvert (resp. fermé), alors le morphisme est une immersion ouverte (resp. fermée) de champs algébriques.

Démonstration

Rappelons que, d’après Groupoïdes en espaces, Définition 044F (voir aussi la discussion qui suit la définition), on a \(R_Z = s^{-1}(Z) = t^{-1}(Z)\) comme sous-espaces localement fermés de \(R\). Les deux morphismes \(R_Z \to Z\) sont donc lisses comme changements de base de \(s\) et \(t\). Par conséquent, \((Z, R_Z, s|_{R_Z}, t|_{R_Z}, c|_{R_Z \times_{s, Z, t} R_Z})\) est un groupoïde lisse en espaces algébriques, et l’on voit que \([Z/R_Z]\) est un champ algébrique, voir Champs algébriques, Théorème 04TK. Les hypothèses de Groupoïdes en espaces, Lemme 04ZN sont toutes satisfaites; il en résulte que l’on a un carré \(2\)-cartésien \[\xymatrix{ Z \ar[d] \ar[r] & [Z/R_Z] \ar[d] \\ U \ar[r] & [U/R] }\] Il résulte de ceci et du Lemme 04ZP que \([Z/R_Z] \to [U/R]\) est représentable par des espaces algébriques; alors, il résulte du Lemme 04XD que la flèche verticale de droite est une immersion (resp. une immersion fermée, resp. une immersion ouverte) si et seulement si la flèche verticale de gauche l’est.

Nous pouvons définir les sous-champs ouverts, fermés et localement fermés comme suit.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique.

1. Un sous-champ ouvert de \(\mathcal{X}\) est une sous-catégorie strictement pleine \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) telle que \(\mathcal{X}'\) soit un champ algébrique et que \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) soit une immersion ouverte.

2. Un sous-champ fermé de \(\mathcal{X}\) est une sous-catégorie strictement pleine \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) telle que \(\mathcal{X}'\) soit un champ algébrique et que \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) soit une immersion fermée.

3. Un sous-champ localement fermé de \(\mathcal{X}\) est une sous-catégorie strictement pleine \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) telle que \(\mathcal{X}'\) soit un champ algébrique et que \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) soit une immersion.

Cette définition doit être employée avec précaution. En effet, si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est une équivalence de champs algébriques et si \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) est un sous-champ ouvert, la sous-catégorie \(f(\mathcal{X}')\) n’est pas nécessairement un sous-champ ouvert de \(\mathcal{Y}\). Le problème vient de ce qu’elle peut ne pas être une sous-catégorie strictement pleine; mais c’est aussi le seul problème. Voici un énoncé formel.

Lemme

Pour toute immersion \(i : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\), il existe un unique sous-champ localement fermé \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) tel que \(i\) se factorise en la composée d’une équivalence \(i' : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}'\) et du morphisme d’inclusion \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\). Si \(i\) est une immersion fermée (resp. ouverte), alors \(\mathcal{X}'\) est un sous-champ fermé (resp. ouvert) de \(\mathcal{X}\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \([U/R] \to \mathcal{X}\) une présentation d’un champ algébrique. Il existe une bijection canonique \[\text{sous-champs localement fermés }\mathcal{Z}\text{ de }\mathcal{X} \longrightarrow R\text{-invariants parmi les sous-espaces localement fermés }Z\text{ de }U\] qui envoie \(\mathcal{Z}\) sur \(U \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}\). De plus, un morphisme de champs algébriques \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) se factorise par \(\mathcal{Z}\) si et seulement si \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} U \to U\) se factorise par \(Z\). Il en va de même des sous-champs fermés et des sous-champs ouverts.

Démonstration

D’après les Lemmes 0505 et 04YN, l’application est une bijection. Si \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) se factorise par \(\mathcal{Z}\), le changement de base \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} U \to U\) se factorise bien sûr par \(Z\). Réciproquement, supposons que \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) soit un morphisme tel que \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} U \to U\) se factorise par \(Z\). Nous allons montrer que, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to \mathcal{Y}\), donné par un objet \(y\) de la catégorie fibre de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\), l’objet \(y\) appartient en fait à la catégorie fibre de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(T\). En effet, le produit fibré \(T \times_\mathcal{X} U\) est un espace algébrique et \(T \times_\mathcal{X} U \to T\) est un morphisme lisse surjectif. Il existe donc un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}\) tel que \(T_i \to T\) se factorise par \(T \times_\mathcal{X} U \to T\) pour tout \(i\). Alors \(T_i \to \mathcal{X}\) se factorise par \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} U\), et donc par \(Z \subset U\). Ainsi, \(y|_{T_i}\) est un objet de \(\mathcal{Z}\) (car \(Z\) est le produit fibré de \(U\) et de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(\mathcal{X}\)). Puisque \(\mathcal{Z}\) est un sous-champ strictement plein, nous concluons que \(y\) est un objet de \(\mathcal{Z}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. La règle \(\mathcal{U} \mapsto |\mathcal{U}|\) définit une bijection qui préserve les inclusions entre les sous-champs ouverts de \(\mathcal{X}\) et les parties ouvertes de \(|\mathcal{X}|\).

Démonstration

Choisissons une présentation \([U/R] \to \mathcal{X}\), voir Champs algébriques, Lemme 04T5. D’après le Lemme 0507, les sous-champs ouverts correspondent aux sous-schémas ouverts \(R\)-invariants de \(U\). D’autre part, les Lemmes 04XJ et 04XL assurent que ceux-ci correspondent bijectivement aux parties ouvertes de \(|\mathcal{X}|\).

Lemme

Soit \(\mathcal X\) un champ algébrique. Soit \(U\) un espace algébrique et \(U \to \mathcal X\) un morphisme lisse surjectif. Pour une immersion ouverte \(V \hookrightarrow U\), il existe un champ algébrique \(\mathcal Y\), une immersion ouverte \(\mathcal Y \to \mathcal X\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal Y\).

Démonstration

Nous définissons une catégorie fibrée en groupoïdes \(\mathcal Y\) en prenant pour catégorie fibre \(\mathcal{Y}_T\) au-dessus d’un objet \(T\) de \((\Sch/S)_{fppf}\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{X}_T\) formée de tous les \(y \in \Ob(\mathcal{X}_T)\) tels que le morphisme de projection \(V \times_{\mathcal X, y} T \to T\) soit surjectif. Or, pour tout morphisme \(x : T \to \mathcal X\), le produit \(2\)-fibré \(T \times_{x, \mathcal X} \mathcal Y\) a pour catégorie fibre au-dessus de \(T'\) celle formée des triplets \((f : T' \to T, y \in \mathcal{X}_{T'}, f^*x \simeq y)\) tels que \(V \times_{\mathcal X, y} T' \to T'\) soit surjectif. Remarquons que \(T \times_{x, \mathcal X} \mathcal Y\) est fibré en setoïdes puisque \(\mathcal Y \to \mathcal X\) est fidèle (voir Champs, Lemme 05UI). L’isomorphisme \(f^*x \simeq y\) donne alors le diagramme \[\xymatrix{ V \times_{\mathcal X, y} T' \ar[d] \ar[r] & V \times_{\mathcal X, x} T \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ T' \ar[r]^f & T \ar[r]^x & \mathcal X }\] où les deux carrés sont cartésiens. Le morphisme \(V \times_{\mathcal X, x} T \to T\) est lisse par changement de base, et donc ouvert. Soit \(T_0 \subset T\) son image. Les carrés cartésiens montrent que \(V \times_{\mathcal X, y} T' \to T'\) est surjectif si et seulement si \(f\) se factorise par \(T_0\). Par conséquent, \(T \times_{x, \mathcal X} \mathcal Y\) est représentable par \(T_0\), de sorte que l’inclusion \(\mathcal Y \to \mathcal X\) est une immersion ouverte. D’après Champs algébriques, Lemme 05UN, nous concluons que \(\mathcal{Y}\) est un champ algébrique. Enfin, si nous désignons le morphisme \(V \to \mathcal X\) par \(g\), alors \(V \times_{\mathcal X} V \to V\) est surjectif (la diagonale fournit une section). Ainsi, \(g\) appartient à l’image de \(\mathcal{Y}_V \to \mathcal{X}_V\), c’est-à-dire que l’on obtient un morphisme \(g' : V \to \mathcal{Y}\) s’inscrivant dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[r] \ar[d]^{g'} & U \ar[d] \\ \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{X} }\] Puisque \(V \times_{g, \mathcal X} \mathcal Y \to V\) est un monomorphisme, c’est en fait un isomorphisme car \((1, g')\) en définit une section. Par conséquent, \(g' : V \to \mathcal Y\) est un morphisme lisse, puisqu’il est le changement de base du morphisme lisse \(g : V \to \mathcal{X}\). Il est surjectif par notre construction de \(\mathcal{Y}\), ce qui achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal X\) un champ algébrique et soient \(\mathcal{X}_i \subset \mathcal X\) une famille de sous-champs ouverts indexée par \(i \in I\). Il existe alors un sous-champ ouvert, que nous notons \(\bigcup_{i\in I} \mathcal{X}_i \subset \mathcal X\), tel que les \(\mathcal{X}_i\) soient des sous-champs ouverts qui le recouvrent.

Démonstration

Nous définissons une sous-catégorie fibrée \(\mathcal{X}' = \bigcup_{i \in I} \mathcal{X}_i\) en prenant pour catégorie fibre au-dessus d’un objet \(T\) de \((\Sch/S)_{fppf}\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{X}_T\) formée de tous les \(x \in \Ob(\mathcal{X}_T)\) tels que le morphisme \(\coprod_{i \in I} (\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} T) \to T\) soit surjectif. Soit \(x_i \in \Ob((\mathcal{X}_i)_T)\). Alors \((x_i, 1)\) définit une section de \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} T \to T\), et donc un isomorphisme. Ainsi, \(\mathcal{X}_i \subset \mathcal{X}'\) est une sous-catégorie pleine. Soit maintenant \(x \in \Ob(\mathcal{X}_T)\). Alors \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} T\) est représentable par un sous-schéma ouvert \(T_i \subset T\). Le produit \(2\)-fibré \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal X} T\) a pour fibre au-dessus de \(T'\) les \((y \in \mathcal{X}_{T'}, f : T' \to T, f^*x \simeq y)\) tels que \(\coprod (\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X, y} T') \to T'\) soit surjectif. L’isomorphisme \(f^*x \simeq y\) induit un isomorphisme \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X, y} T' \simeq T_i \times_T T'\). Alors les \(T_i \times_T T'\) recouvrent \(T'\) si et seulement si \(f\) se factorise par \(\bigcup T_i\). Nous avons donc un diagramme \[\xymatrix{ T_i \ar[r] \ar[d] & \bigcup T_i \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ \mathcal{X}_i \ar[r] & \mathcal{X}' \ar[r] & \mathcal{X} }\] dont les deux carrés sont cartésiens. D’après Champs algébriques, Lemme 05UN, nous concluons que \(\mathcal{X'} \subset \mathcal{X}\) est algébrique et constitue un sous-champ ouvert. Il ressort aussi des carrés cartésiens ci-dessus que le morphisme \(\coprod_{i \in I} \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}'\) est surjectif, ce qui achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal X\) un champ algébrique et soit \(\mathcal X' \subset \mathcal X\) un sous-champ ouvert quasi-compact. Supposons donnée une famille de sous- champs ouverts \(\mathcal{X}_i \subset \mathcal X\) indexée par \(i \in I\) telle que \(\mathcal{X}' \subset \bigcup_{i \in I} \mathcal{X}_i\), où la réunion est définie comme au Lemme 05UQ. Il existe alors une partie finie \(I' \subset I\) telle que \(\mathcal{X}' \subset \bigcup_{i \in I'} \mathcal{X}_i\).

Démonstration

Puisque \(\mathcal X\) est algébrique, il existe un schéma \(U\) muni d’un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal X\). Soit \(U_i \subset U\) le sous-schéma ouvert représentant \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} U\), et \(U' \subset U\) le sous-schéma ouvert représentant \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal X} U\). Par hypothèse, \(U'\subset \bigcup_{i\in I} U_i\). D’après la démonstration du Lemme 04YC, il existe un ouvert quasi-compact \(V \subset U'\) tel que \(V \to \mathcal{X}'\) soit un morphisme lisse surjectif. Il existe donc une partie finie \(I' \subset I\) telle que \(V \subset \bigcup_{i \in I'} U_i\). Nous affirmons que \(\mathcal{X}' \subset \bigcup_{i \in I'} \mathcal{X}_i\). Prenons \(x \in \Ob(\mathcal{X}'_T)\) pour \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\). Comme \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) est un monomorphisme, nous avons les carrés cartésiens \[\xymatrix{ V \times_\mathcal{X} T \ar[r] \ar[d] & T \ar[d]^x \ar@{=}[r] & T \ar[d]^x \\ V \ar[r] & \mathcal{X}' \ar[r] & \mathcal X }\] Par changement de base, \(V \times_{\mathcal X} T \to T\) est surjectif. Par conséquent, \(\bigcup_{i \in I'} U_i \times_{\mathcal X} T \to T\) est lui aussi surjectif. Soit \(T_i \subset T\) le sous-schéma ouvert représentant \(\mathcal{X}_i \times_{\mathcal X} T\). Un argument formel donne le carré cartésien \[\xymatrix{ U_i \times_{\mathcal{X}_i} T_i \ar[r] \ar[d] & U \times_{\mathcal X} T \ar[d] \\ T_i \ar[r] & T }\] où les flèches verticales sont surjectives par changement de base. Puisque \(U_i \times_{\mathcal{X}_i} T_i \simeq U_i \times_{\mathcal X} T\), nous obtenons \(\bigcup_{i \in I'} T_i = T\). Ainsi, \(x\) est un objet de \((\bigcup_{i\in I'} \mathcal{X}_i)_T\) par définition de la réunion. Observons que l’inclusion \(\mathcal{X}' \subset \bigcup_{i \in I'} \mathcal{X}_i\) est automatiquement un sous-champ ouvert.

Lemme

Soit \(\mathcal X\) un champ algébrique. Soit \(\mathcal{X}_i\), \(i \in I\), une famille de sous-champs ouverts de \(\mathcal{X}\). Supposons que

1. \(\mathcal{X} = \bigcup_{i \in I} \mathcal{X}_i\), et que

2. chaque \(\mathcal{X}_i\) soit un espace algébrique.

Alors \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique.

Démonstration

Appliquons Champs, Lemme 05W9 au morphisme \(\coprod_{i \in I} \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) et au morphisme \(\text{id} : \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) pour voir que \(\mathcal{X}\) est un champ en setoïdes. Ainsi, \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique, voir Champs algébriques, Proposition 04SZ.

Lemme

Soit \(\mathcal X\) un champ algébrique. Soit \(\mathcal{X}_i\), \(i \in I\), une famille de sous-champs ouverts de \(\mathcal{X}\). Supposons que

1. \(\mathcal{X} = \bigcup_{i \in I} \mathcal{X}_i\), et que

2. chaque \(\mathcal{X}_i\) soit un schéma.

Alors \(\mathcal{X}\) est un schéma.

Démonstration

D’après le Lemme 05WE, on voit que \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique. Comme tout espace algébrique possède un plus grand sous-espace ouvert qui soit un schéma, voir Propriétés des espaces, Lemme 03JH, on voit que \(\mathcal{X}\) est un schéma.

Le lemme suivant est l’analogue de Compléments sur les groupoïdes, Lemme 04LH.

Lemme

Soient \(\mathcal{P}, \mathcal{Q}, \mathcal{R}\) des propriétés de morphismes d’espaces algébriques. Supposons que

1. \(\mathcal{P}, \mathcal{Q}, \mathcal{R}\) soient locales pour la topologie fppf sur le but et stables par tout changement de base,

2. \(\text{lisse} \Rightarrow \mathcal{R}\),

3. pour tout morphisme \(f : X \to Y\) qui possède \(\mathcal{Q}\), il existe un plus grand sous-espace ouvert \(W(\mathcal{P}, f) \subset X\) tel que \(f|_{W(\mathcal{P}, f)}\) possède \(\mathcal{P}\), et

4. pour tout morphisme \(f : X \to Y\) qui possède \(\mathcal{Q}\), et tout morphisme \(Y' \to Y\) qui possède \(\mathcal{R}\), on ait \(Y' \times_Y W(\mathcal{P}, f) = W(\mathcal{P}, f')\), où \(f' : X_{Y'} \to Y'\) est le changement de base de \(f\).

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Supposons que \(f\) possède \(\mathcal{Q}\). Alors

1. il existe un plus grand sous-champ ouvert \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) tel que \(f|_{\mathcal{X}'}\) possède \(\mathcal{P}\), et

2. si \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) est un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques qui possède \(\mathcal{R}\), alors \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}'\) est le plus grand sous-champ ouvert de \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) au-dessus duquel le changement de base \(\text{id}_\mathcal{Z} \times f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Posons \(U = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) et soit \(f' : U \to V\) le changement de base de \(f\). Le morphisme d’espaces algébriques \(f' : U \to V\) possède la propriété \(\mathcal{Q}\). L’hypothèse (3) fournit donc l’ouvert \(W(\mathcal{P}, f') \subset U\). Remarquons que \(U \times_\mathcal{X} U = (V \times_\mathcal{Y} V) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), si bien que le morphisme \(f'' : U \times_\mathcal{X} U \to V \times_\mathcal{Y} V\) est le changement de base de \(f\) par l’une ou l’autre projection \(V \times_\mathcal{Y} V \to V\). Par notre choix de \(V\), ces projections sont lisses, et possèdent donc la propriété \(\mathcal{R}\) d’après (2). Ainsi, (4) montre que les images inverses de \(W(\mathcal{P}, f')\) par les deux projections \(\text{pr}_i : U \times_\mathcal{X} U \to U\) coïncident. Autrement dit, \(W(\mathcal{P}, f')\) est un sous-espace \(R\)-invariant de \(U\) (où \(R = U \times_\mathcal{X} U\)). Soit \(\mathcal{X}'\) le sous-champ ouvert de \(\mathcal{X}\) qui correspond à \(W(\mathcal{P}, f)\) par le Lemme 0505. Par construction, \(W(\mathcal{P}, f') = \mathcal{X}' \times_\mathcal{Y} V\), donc \(f|_{\mathcal{X}'}\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) d’après le Lemme 04XD. De plus, \(\mathcal{X}'\) est le plus grand sous-champ ouvert tel que \(f|_{\mathcal{X}'}\) possède \(\mathcal{P}\), puisque la même maximalité vaut pour \(W(\mathcal{P}, f)\). Cela prouve (A).

Enfin, si \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) est un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques qui possède \(\mathcal{R}\), posons \(T = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\); on voit alors que \(T \to V\) est un morphisme d’espaces algébriques possédant la propriété \(\mathcal{R}\). Soit \(f'_T : T \times_V U \to T\) le changement de base de \(f'\). De nouveau, (4) montre que \(W(\mathcal{P}, f'_T)\) est l’image inverse de \(W(\mathcal{P}, f)\) dans \(T \times_V U\). Cela implique (B); nous omettons certains détails.

Remarque

Avertissement : Le Lemme 06M3 doit être utilisé avec précaution. Par exemple, il s’applique à \(\mathcal{P}=\)“plat”, \(\mathcal{Q}=\)“vide”, et \(\mathcal{R}=\)“plat et localement de présentation finie”. Mais, étant donné un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\), le plus grand sous- espace ouvert \(W \subset X\) tel que \(f|_W\) soit plat n’est pas l’ensemble des points où \(f\) est plat !

Remarque

Malgré l’avertissement de la Remarque 06M4, il existe des cas où le Lemme 06M3 peut être utilisé sans ambiguïté. Nous en donnons une liste. Dans chaque cas, nous omettons la vérification des hypothèses (1) et (2), et donnons des références qui impliquent (3) et (4). Voici la liste :

1. \(\mathcal{Q} =\)“localement de type fini”, \(\mathcal{R} = \emptyset\), et \(\mathcal{P} =\)“dimension relative \(\leq d\)”. Voir Morphismes d’espaces, Définition 06LR et Morphismes d’espaces, Lemmes 04NT et 04NS.

2. \(\mathcal{Q} =\)“localement de type fini”, \(\mathcal{R} = \emptyset\), et \(\mathcal{P} =\)“localement quasi-fini”. Il s’agit du cas \(d = 0\) du point précédent, voir Morphismes d’espaces, Lemme 04NV. D’autre part, les propriétés (3) et (4) sont explicitées dans Morphismes d’espaces, Lemme 04NW.

3. \(\mathcal{Q} =\)“localement de type fini”, \(\mathcal{R} = \emptyset\), et \(\mathcal{P} =\)“non ramifié”. C’est le Morphismes d’espaces, Lemme 05W2.

4. \(\mathcal{Q} =\)“localement de présentation finie”, \(\mathcal{R} =\)“plat et localement de présentation finie”, et \(\mathcal{P} =\)“plat”. Voir Compléments sur les morphismes d’espaces, Théorème 05WV et Lemme 05WW. Remarquons qu’ici \(W(\mathcal{P}, f)\) est toujours exactement l’ensemble des points où le morphisme \(f\) est plat, car nous ne considérons cet ouvert que lorsque \(f\) possède \(\mathcal{Q}\) (voir loc. cit.).

5. \(\mathcal{Q} =\)“localement de présentation finie”, \(\mathcal{R} =\)“plat et localement de présentation finie”, et \(\mathcal{P}=\)“étale”. Cela résulte de la combinaison de (06M8) et (06M9), puisqu’un morphisme non ramifié qui est plat et localement de présentation finie est étale, voir Morphismes d’espaces, Lemme 06LU.

6. Ajouter ici d’autres cas selon les besoins (comparer avec la liste plus longue de Compléments sur les groupoïdes, Remarque 047W).

Champs algébriques réduits

Nous avons déjà défini les champs algébriques réduits dans la section 04YE.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(T \subset |\mathcal{X}|\) une partie fermée. Il existe un unique sous-champ fermé \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) possédant les propriétés suivantes : (a) on a \(|\mathcal{Z}| = T\), et (b) \(\mathcal{Z}\) est réduit.

Démonstration

Soit \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse surjectif, où \(U\) est un espace algébrique. Posons \(R = U \times_\mathcal{X} U\); on a alors une présentation \([U/R] \to \mathcal{X}\), voir Champs algébriques, Lemme 04T5. Comme d’habitude, nous notons \(s, t : R \to U\) les deux morphismes de projection lisses. D’après le Lemme 04XJ, on voit que \(T\) correspond à une partie fermée \(T' \subset |U|\) telle que \(|s|^{-1}(T') = |t|^{-1}(T')\). Soit \(Z \subset U\) l’espace algébrique obtenu en munissant \(T'\) de la structure réduite induite, voir Propriétés des espaces, Définition 047X. Les produits fibrés \(Z \times_{U, t} R\) et \(R \times_{s, U} Z\) sont des sous-espaces fermés de \(R\) (Espaces, Lemme 02YW). Les projections \(Z \times_{U, t} R \to Z\) et \(R \times_{s, U} Z \to Z\) sont lisses d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03ZE. Ainsi, puisque \(Z\) est réduit, il s’ensuit que \(Z \times_{U, t} R\) et \(R \times_{s, U} Z\) sont réduits, voir Remarque 04YH. Comme \[|Z \times_{U, t} R| = |t|^{-1}(T') = |s|^{-1}(T') = R \times_{s, U} Z\] l’unicité de Propriétés des espaces, Lemme 03IQ entraîne que \(Z \times_{U, t} R = R \times_{s, U} Z\). Ainsi, \(Z\) est un sous-espace fermé \(R\)-invariant de \(U\). Par la correspondance du Lemme 0507, nous obtenons un sous-champ fermé \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) tel que \(Z = \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U\). Alors \([Z/R_Z] \to \mathcal{Z}\) est une présentation (Lemme 0505). Enfin, \(|\mathcal{Z}| = |Z|/|R_Z| = |T'|/\sim\) est la partie fermée donnée \(T\). Nous omettons la démonstration de l’unicité.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Si \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) est un sous-champ fermé, si \(\mathcal{X}\) est réduit et si \(|\mathcal{X}'| = |\mathcal{X}|\), alors \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}\).

Démonstration

Choisissons une présentation \([U/R] \to \mathcal{X}\) avec \(U\) un schéma. Comme \(\mathcal{X}\) est réduit, \(U\) est réduit (par définition des champs algébriques réduits). D’après le Lemme 0507, \(\mathcal{X}'\) correspond à un sous-schéma fermé \(R\)-invariant \(Z \subset U\). Mais \(|Z| \subset |U|\) est l’image inverse de \(|\mathcal{X}'|\), et donc \(|Z| = |U|\). Ainsi, \(Z\) est un sous-schéma fermé de \(U\) dont les ensembles de points sous-jacents coïncident. D’après Schémas, Lemme 0356, l’application \(\text{id}_U : U \to U\) se factorise par \(Z \to U\), et donc \(Z = U\), c’est-à-dire \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}\).

Lemme

Soient \(\mathcal{X}\), \(\mathcal{Y}\) des champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) un sous-champ fermé. Supposons \(\mathcal{Y}\) réduit. Un morphisme \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) se factorise par \(\mathcal{Z}\) si et seulement si \(f(|\mathcal{Y}|) \subset |\mathcal{Z}|\).

Démonstration

Supposons \(f(|\mathcal{Y}|) \subset |\mathcal{Z}|\). Considérons \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\). Il existe une équivalence \(\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}'\) où \(\mathcal{Y}'\) est un sous-champ fermé de \(\mathcal{Y}\), voir les Lemmes 0501 et 0506. À l’aide des Lemmes 04XH, 0500 et 0504, on voit que \(|\mathcal{Y}'| = |\mathcal{Y}|\). Le lemme est donc ramené au Lemme 050A.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(Z \subset |\mathcal{X}|\) une partie fermée. Une structure de champ algébrique sur \(Z\) est donnée par un sous-champ fermé \(\mathcal{Z}\) de \(\mathcal{X}\) tel que \(|\mathcal{Z}|\) soit égal à \(Z\). La structure de champ algébrique réduite induite sur \(Z\) est celle construite au Lemme 0509. La réduction \(\mathcal{X}_{red}\) de \(\mathcal{X}\) est la structure de champ algébrique réduite induite sur \(|\mathcal{X}|\).

En fait, cela permet de définir la structure de champ algébrique réduite induite sur une partie localement fermée.

Remarque

Soit \(X\) un champ algébrique. Soit \(T \subset |\mathcal{X}|\) une partie localement fermée. Soit \(\partial T\) la frontière de \(T\) dans l’espace topologique \(|\mathcal{X}|\). En formule, \[\partial T = \overline{T} \setminus T.\] Soit \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) le sous-champ ouvert de \(X\) tel que \(|\mathcal{U}| = |\mathcal{X}| \setminus \partial T\), voir Lemme 06FJ. Soit \(\mathcal{Z}\) le sous-champ fermé réduit de \(\mathcal{U}\) tel que \(|\mathcal{Z}| = T\), obtenu en prenant la structure réduite induite de sous-espace fermé, voir Définition 050C. Par construction, \(\mathcal{Z} \to \mathcal{U}\) est une immersion fermée de champs algébriques et \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est une immersion ouverte; ainsi, \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) est une immersion de champs algébriques d’après le Lemme 0502. Remarquons que \(\mathcal{Z}\) est un champ algébrique réduit et que \(|\mathcal{Z}| = T\) comme parties de \(|X|\). On dit parfois que \(\mathcal{Z}\) est la structure de sous-champ réduite induite sur \(T\).

Gerbes résiduelles

Dans le projet Champs, nous voudrions définir la gerbe résiduelle d’un champ algébrique \(\mathcal{X}\) en un point \(x \in |\mathcal{X}|\) comme un monomorphisme de champs algébriques \(m_x : \mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) où \(\mathcal{Z}_x\) est un champ algébrique réduit ayant un unique point, envoyé par \(m_x\) sur \(x\). Il s’avère que cette notion soulève de nombreuses difficultés; l’existence n’est pas claire en général, pas plus que l’unicité. Nous résolvons le problème d’unicité en imposant une condition légèrement plus forte aux champs algébriques \(\mathcal{Z}_x\). Nous examinons cela plus en détail au moyen de quelques lemmes simples sur les champs algébriques réduits ayant un unique point.

Lemme

Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique. Soit \(k\) un corps et soit \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) un morphisme plat surjectif. Alors tout morphisme \(\Spec(k') \to \mathcal{Z}\), où \(k'\) est un corps, est plat et surjectif.

Démonstration

Considérons le carré fibré \[\xymatrix{ T \ar[d] \ar[r] & \Spec(k) \ar[d] \\ \Spec(k') \ar[r] & \mathcal{Z} }\] Remarquons que \(T \to \Spec(k')\) est plat et surjectif; ainsi, \(T\) n’est pas vide. D’autre part, \(T \to \Spec(k)\) est plat puisque \(k\) est un corps. Il s’ensuit que \(T \to \mathcal{Z}\) est plat et surjectif. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 05VY (via la discussion de la section 04XB), on en déduit que \(\Spec(k') \to \mathcal{Z}\) est plat. Il est clairement surjectif puisque, par hypothèse, \(|\mathcal{Z}|\) est réduit à un point.

Lemme

Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{Z}\) est réduit et \(|\mathcal{Z}|\) est réduit à un point,

2. il existe un morphisme plat surjectif \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\), où \(k\) est un corps, et

3. il existe un morphisme localement de type fini, surjectif et plat \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\), où \(k\) est un corps.

Démonstration

Supposons (1). Soit \(W\) un schéma et soit \(W \to \mathcal{Z}\) un morphisme lisse surjectif. Alors \(W\) est un schéma réduit. Soit \(\eta \in W\) un point générique d’une composante irréductible de \(W\). Comme \(W\) est réduit, on a \(\mathcal{O}_{W, \eta} = \kappa(\eta)\). Il s’ensuit que le morphisme canonique \(\eta = \Spec(\kappa(\eta)) \to W\) est plat. On voit que le composé \(\eta \to \mathcal{Z}\) est plat (voir Morphismes d’espaces, Lemme 03MN). Il est aussi surjectif puisque \(|\mathcal{Z}|\) est réduit à un point. Autrement dit, (2) est vérifiée.

Supposons (2). Soit \(W\) un schéma et soit \(W \to \mathcal{Z}\) un morphisme lisse surjectif. Choisissons un corps \(k\) et un morphisme plat surjectif \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\). Alors \(W \times_\mathcal{Z} \Spec(k)\) est un espace algébrique lisse sur \(k\), donc régulier (voir Espaces sur les corps, Lemme 06M1) et en particulier réduit. Comme \(W \times_\mathcal{Z} \Spec(k) \to W\) est plat et surjectif, nous concluons que \(W\) est réduit (Descente sur les espaces, Lemme 06MI). Autrement dit, (1) est vérifiée.

Il est clair que (3) implique (2). Enfin, supposons (2). Prenons un schéma affine non vide \(W\) et un morphisme lisse \(W \to \mathcal{Z}\). Prenons un point fermé \(w \in W\) et posons \(k = \kappa(w)\). Le composé \[\Spec(k) \xrightarrow{w} W \longrightarrow \mathcal{Z}\] est localement de type fini d’après Morphismes d’espaces, Lemmes 03XG et 06MH. Il est aussi plat et surjectif d’après le Lemme 06MM. Ainsi, (3) est vérifiée.

Le lemme suivant distingue une classe légèrement meilleure de champs algébriques réduits à un point que celle du lemme précédent.

Lemme

Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{Z}\) est réduit, localement noethérien, et \(|\mathcal{Z}|\) est réduit à un point, et

2. il existe un morphisme localement de présentation finie, surjectif et plat \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\), où \(k\) est un corps.

Démonstration

Supposons (2). D’après le Lemme 06MN, on voit que \(\mathcal{Z}\) est réduit et que \(|\mathcal{Z}|\) est réduit à un point. Soit \(W\) un schéma et soit \(W \to \mathcal{Z}\) un morphisme lisse surjectif. Choisissons un corps \(k\) et un morphisme localement de présentation finie, surjectif et plat \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\). Alors \(W \times_\mathcal{Z} \Spec(k)\) est un espace algébrique lisse sur \(k\), donc localement noethérien (voir Morphismes d’espaces, Lemme 04ZK). Comme \(W \times_\mathcal{Z} \Spec(k) \to W\) est plat, surjectif et localement de présentation finie, on voit que \(\{W \times_\mathcal{Z} \Spec(k) \to W\}\) est un recouvrement fppf, et nous concluons que \(W\) est localement noethérien (Descente sur les espaces, Lemme 06MJ). Autrement dit, (1) est vérifiée.

Supposons (1). Prenons un schéma affine non vide \(W\) et un morphisme lisse \(W \to \mathcal{Z}\). Prenons un point fermé \(w \in W\) et posons \(k = \kappa(w)\). Comme \(W\) est localement noethérien, le morphisme \(w : \Spec(k) \to W\) est de présentation finie, voir Morphismes, Lemme 01TV. Le composé \[\Spec(k) \xrightarrow{w} W \longrightarrow \mathcal{Z}\] est donc localement de présentation finie d’après Morphismes d’espaces, Lemmes 03XQ et 04AJ. Il est aussi plat et surjectif d’après le Lemme 06MM. Ainsi, (2) est vérifiée.

Lemme

Soit \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) un monomorphisme de champs algébriques. Supposons qu’il existe un corps \(k\) et un morphisme localement de présentation finie, surjectif et plat \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\). Alors soit \(\mathcal{Z}'\) est vide, soit \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) est une équivalence.

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(\mathcal{Z}'\) est non vide. Dans ce cas, le produit fibré \(T = \mathcal{Z}' \times_\mathcal{Z} \Spec(k)\) est non vide, voir Lemme 04XH. Or \(T\) est un espace algébrique et la projection \(T \to \Spec(k)\) est un monomorphisme. Ainsi, \(T = \Spec(k)\), voir Morphismes d’espaces, Lemme 06MG. Nous concluons que \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) se factorise par \(\mathcal{Z}'\). Supposons que le morphisme \(z : \Spec(k) \to \mathcal{Z}\) soit donné par l’objet \(\xi\) au-dessus de \(\Spec(k)\). Nous venons de voir que \(\xi\) est isomorphe à un objet \(\xi'\) de \(\mathcal{Z}'\) au-dessus de \(\Spec(k)\). Puisque \(z\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, on voit que tout objet de \(\mathcal{Z}\) au-dessus d’un schéma quelconque est localement pour fppf isomorphe à un tiré en arrière de \(\xi\), et donc aussi à un tiré en arrière de \(\xi'\). Par descente des objets pour les champs en groupoïdes, cela implique que \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) est essentiellement surjectif (et aussi pleinement fidèle, voir Lemme 04ZZ). D’où le résultat.

Lemme

Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique. Supposons que \(\mathcal{Z}\) satisfasse aux conditions équivalentes du Lemme 06MN. Il existe alors une unique sous-catégorie strictement pleine \(\mathcal{Z}' \subset \mathcal{Z}\) telle que \(\mathcal{Z}'\) soit un champ algébrique satisfaisant aux conditions équivalentes du Lemme 06MP. Le morphisme d’inclusion \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) est un monomorphisme de champs algébriques.

Démonstration

La dernière assertion résulte immédiatement de la première et du Lemme 04ZZ. Choisissons un corps \(k\) et un morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) qui soit surjectif, plat et localement de type fini. Posons \(U = \Spec(k)\) et \(R = U \times_\mathcal{Z} U\). Les projections \(s, t : R \to U\) sont localement de type fini. Comme \(U\) est le spectre d’un corps, il s’ensuit que \(s, t\) sont plates et localement de présentation finie (d’après Morphismes d’espaces, Lemme 06G4). On voit que \(\mathcal{Z}' = [U/R]\) est un champ algébrique d’après Critères de représentabilité, Théorème 06FI. D’après Champs algébriques, Lemme 04T4, nous obtenons un morphisme canonique \[f : \mathcal{Z}' \longrightarrow \mathcal{Z}\] qui est pleinement fidèle. Ce morphisme est donc représentable par des espaces algébriques, voir Champs algébriques, Lemme 04Y5, et c’est un monomorphisme, voir Lemme 04ZZ. D’après Critères de représentabilité, Lemme 06FH, le morphisme \(U \to \mathcal{Z}'\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. Ainsi, \(\mathcal{Z}'\) est un champ algébrique qui satisfait aux conditions équivalentes du Lemme 06MP. D’après Champs algébriques, Lemme 03YQ, nous pouvons remplacer \(\mathcal{Z}'\) par son image essentielle dans \(\mathcal{Z}\). Nous avons donc prouvé toutes les assertions du lemme, à l’exception de l’unicité de \(\mathcal{Z}' \subset \mathcal{Z}\). Supposons que \(\mathcal{Z}'' \subset \mathcal{Z}\) soit un second champ algébrique de ce type. Alors les projections \[\mathcal{Z}' \longleftarrow \mathcal{Z}' \times_\mathcal{Z} \mathcal{Z}'' \longrightarrow \mathcal{Z}''\] sont des monomorphismes. Le champ algébrique du milieu est non vide d’après le Lemme 04XH. Les deux projections sont donc des isomorphismes d’après le Lemme 06MQ, d’où le résultat.

Exemple

Voici un exemple où le morphisme construit dans le Lemme 06MR n’est pas un isomorphisme. Cet exemple montre qu’il est nécessaire d’imposer aux gerbes résiduelles d’être localement noethériennes dans la Définition 06MU. En fait, l’exemple est même un espace algébrique ! Soit \(\text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) le groupe de Galois absolu de \(\mathbf{Q}\) muni de la topologie profinie. Soit \[U = \Spec(\overline{\mathbf{Q}}) \times_{\Spec(\mathbf{Q})} \Spec(\overline{\mathbf{Q}}) = \text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q}) \times \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\] (nous omettons une explication précise du sens du dernier signe égal). Notons \(G\) le groupe de Galois absolu \(\text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\) muni de la topologie discrète, considéré comme un schéma en groupes constant sur \(\Spec(\overline{\mathbf{Q}})\), voir Groupoïdes, Exemple 03YW. Alors \(G\) agit librement et transitivement sur \(U\). Soit \(X = U/G\), voir Espaces, Définition 02Z3. Alors \(X\) est un espace algébrique réduit non noethérien ayant exactement un point. De plus, \(X\) possède un point (localement) de type fini : \[x : \Spec(\overline{\mathbf{Q}}) \longrightarrow U \longrightarrow X\] En effet, tout point de \(U\) est en fait fermé ! Comme \(X\) est un espace algébrique sur \(\overline{\mathbf{Q}}\), il s’ensuit que \(x\) est un monomorphisme. Ainsi, \(x\) est le morphisme construit dans le Lemme 06MR, mais \(x\) n’est pas un isomorphisme. En fait, \(\Spec(\overline{\mathbf{Q}}) \to X\) est la gerbe résiduelle de \(X\) en \(x\).

Nous verrons plus loin que, sous des hypothèses modérées sur le champ algébrique \(\mathcal{X}\), les conditions équivalentes du lemme suivant sont satisfaites pour tout point \(x \in |\mathcal{X}|\) (voir Morphismes de champs, section 06UH).

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un champ algébrique \(\mathcal{Z}\) et un monomorphisme \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) tels que \(|\mathcal{Z}|\) soit réduit à un point et que l’image de \(|\mathcal{Z}|\) dans \(|\mathcal{X}|\) soit \(x\),

2. il existe un champ algébrique réduit \(\mathcal{Z}\) et un monomorphisme \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) tels que \(|\mathcal{Z}|\) soit réduit à un point et que l’image de \(|\mathcal{Z}|\) dans \(|\mathcal{X}|\) soit \(x\),

3. il existe un champ algébrique \(\mathcal{Z}\), un monomorphisme \(f : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) et un morphisme plat surjectif \(z : \Spec(k) \to \mathcal{Z}\), où \(k\) est un corps tel que \(x = f(z)\).

De plus, si ces conditions sont satisfaites, il existe une unique sous-catégorie strictement pleine \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) telle que \(\mathcal{Z}_x\) soit un champ algébrique réduit et localement noethérien, et que \(|\mathcal{Z}_x|\) soit réduit à un point envoyé sur \(x\) par l’application \(|\mathcal{Z}_x| \to |\mathcal{X}|\).

Démonstration

Si \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) est comme en (1), alors \(\mathcal{Z}_{red} \to \mathcal{X}\) est comme en (2). (Voir la section 0508 pour la notion de réduction d’un champ algébrique.) Ainsi, (1) implique (2). Il est immédiat que (2) implique (1). L’équivalence de (2) et (3) résulte immédiatement du Lemme 06MN.

À ce stade, nous avons établi l’équivalence de (1) – (3). Choisissons un monomorphisme \(f : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) comme en (2). Remarquons qu’il en résulte que \(f\) est pleinement fidèle, voir Lemme 04ZZ. Notons \(\mathcal{Z}' \subset \mathcal{X}\) l’image essentielle du foncteur \(f\). Alors \(f : \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}'\) est une équivalence, et donc \(\mathcal{Z}'\) est un champ algébrique, voir Champs algébriques, Lemme 03YQ. Appliquons le Lemme 06MR pour obtenir une sous-catégorie strictement pleine \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{Z}'\) comme dans l’énoncé du lemme. Cela prouve toutes les assertions du lemme, sauf l’unicité.

Pour prouver l’unicité, supposons que \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) et \(\mathcal{Z}'_x \subset \mathcal{X}\) soient deux sous-catégories strictement pleines comme dans l’énoncé du lemme. Alors les projections \[\mathcal{Z}'_x \longleftarrow \mathcal{Z}'_x \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}_x \longrightarrow \mathcal{Z}_x\] sont des monomorphismes. Le champ algébrique du milieu est non vide d’après le Lemme 04XH. Les deux projections sont donc des isomorphismes d’après le Lemme 06MQ, d’où le résultat.

Ces explications nous permettent maintenant de poser la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\).

1. On dit que la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe si les conditions équivalentes (1), (2) et (3) du Lemme 06MT sont satisfaites.

2. Si la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe, la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\)¹ est la sous-catégorie strictement pleine \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) construite au Lemme 06MT.

En particulier, nous savons que \(\mathcal{Z}_x\) (si elle existe) est un champ algébrique localement noethérien et réduit, et qu’il existe un corps et un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie \[\Spec(k) \longrightarrow \mathcal{Z}_x.\] Nous verrons dans Morphismes de champs, Lemme 06QK que \(\mathcal{Z}_x\) est une gerbe. L’existence des gerbes résiduelles est étudiée dans Morphismes de champs, section 06UH.

Exemple

Soit \(X\) un schéma et soit \(x \in X\) un point. Alors le monomorphisme \(x \to X\) est la gerbe résiduelle de \(X\) en \(x\), où, comme d’habitude, nous identifions \(x\) au schéma \(x = \Spec(\kappa(x))\). Si \(X\) est un espace algébrique et \(x \in |X|\), alors la gerbe résiduelle en \(x\) (appelée l’espace résiduel) existe toujours, voir Espaces décents, section 06QU.

La gerbe résiduelle, si elle existe, est un champ algébrique régulier d’après le lemme suivant.

Lemme

Un champ algébrique réduit et localement noethérien \(\mathcal{Z}\) tel que \(|\mathcal{Z}|\) soit réduit à un point est régulier.

Démonstration

Soit \(W \to \mathcal{Z}\) un morphisme lisse surjectif, où \(W\) est un schéma. Soit \(k\) un corps et soit \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie (voir Lemme 06MP). L’espace algébrique \(T = W \times_\mathcal{Z} \Spec(k)\) est lisse sur \(k\), donc en particulier régulier, voir Espaces sur les corps, Lemme 06M1. Comme \(T \to W\) est localement de présentation finie, plat et surjectif, il s’ensuit que \(W\) est régulier, voir Descente sur les espaces, Lemme 06MK. Par définition, cela signifie que \(\mathcal{Z}\) est régulier.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Supposons que la gerbe résiduelle \(\mathcal{Z}_x\) de \(\mathcal{X}\) existe. Soit \(f : \Spec(K) \to \mathcal{X}\) un morphisme, où \(K\) est un corps, dans la classe d’équivalence de \(x\). Alors \(f\) se factorise par le morphisme d’inclusion \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\).

Démonstration

Choisissons un corps \(k\) et un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}_x\). Posons \(T = \Spec(K) \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}_x\). D’après le Lemme 04XH, on voit que \(T\) est non vide. Comme \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) est un monomorphisme, on voit que \(T \to \Spec(K)\) est un monomorphisme. Ainsi, d’après Morphismes d’espaces, Lemme 06MG, on voit que \(T = \Spec(K)\), ce qui prouve le lemme.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique satisfaisant aux conditions équivalentes du Lemme 06MP, et soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) un monomorphisme tel que l’image de \(|\mathcal{Z}| \to |\mathcal{X}|\) soit \(x\). Alors la gerbe résiduelle \(\mathcal{Z}_x\) de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe, et \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) se factorise sous la forme \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\), où la première flèche est une équivalence.

Démonstration

Soit \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) la sous-catégorie pleine correspondant à l’image essentielle du foncteur \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\). Alors \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}_x\) est une équivalence, donc \(\mathcal{Z}_x\) est un champ algébrique, voir Champs algébriques, Lemme 03YQ. Comme \(\mathcal{Z}_x\) hérite de toutes les propriétés de \(\mathcal{Z}\) par cette équivalence, il résulte clairement de l’unicité du Lemme 06MT que \(\mathcal{Z}_x\) est la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\), d’image \(y \in |\mathcal{Y}|\). Si les gerbes résiduelles \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) et \(\mathcal{Z}_y \subset \mathcal{Y}\) de \(x\) et de \(y\) existent, alors \(f\) induit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d]_f & \mathcal{Z}_x \ar[l] \ar[d] \\ \mathcal{Y} & \mathcal{Z}_y \ar[l] }\]

Démonstration

Choisissons un corps \(k\) et un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}_x\). Le morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\) se factorise par \(\mathcal{Z}_y\) d’après le Lemme 06MW. Ainsi, \(\mathcal{Z}_x \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}_y\) est un sous-champ non vide de \(\mathcal{Z}_x\), donc égal à \(\mathcal{Z}_x\) d’après le Lemme 06MQ.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) dont l’image est \(y \in |\mathcal{Y}|\). Supposons que les gerbes résiduelles \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) et \(\mathcal{Z}_y \subset \mathcal{Y}\) de \(x\) et de \(y\) existent et qu’il existe un morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) dans la classe d’équivalence de \(x\) tel que \[\Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \longrightarrow \Spec(k) \times_\mathcal{Y} \Spec(k)\] soit un isomorphisme. Alors \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{Z}_y\) est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(k'/k\) une extension de corps. Alors \[\Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k') \longrightarrow \Spec(k') \times_\mathcal{Y} \Spec(k')\] est le changement de base du morphisme du lemme par le morphisme fidèlement plat \(\Spec(k' \otimes k') \to \Spec(k \otimes k)\). Ainsi, la propriété décrite dans le lemme ne dépend pas du choix du morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) dans la classe d’équivalence de \(x\). Ainsi, nous pouvons supposer que \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}_x\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. Dans cette situation, nous avons \[\mathcal{Z}_x = [\Spec(k)/R]\] où \(R = \Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k)\). Voir la démonstration du Lemme 06MR. Comme on a aussi \(R = \Spec(k) \times_\mathcal{Y} \Spec(k)\), nous concluons que le morphisme \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{Z}_y\) du Lemme 0DTH est pleinement fidèle d’après le Lemme sur les champs algébriques 04T4. On conclut, par exemple, à l’aide du Lemme 06MX.

Dimension d’un champ

Nous pouvons définir la dimension d’un champ algébrique \(\mathcal{X}\) en un point \(x\) à l’aide de la notion de dimension d’un espace algébrique en un point (Propriétés des espaces, Définition 04N5). Dans le lemme suivant, le résultat peut être \(\infty\), soit parce que \(\mathcal{X}\) n’est pas quasi-compact, soit parce que nous rencontrons le phénomène décrit dans Exemples, section 02JC.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien sur un schéma \(S\). Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point de \(\mathcal{X}\). Soit \([U/R] \to \mathcal{X}\) une présentation (Champs algébriques, Définition 04TI) où \(U\) est un schéma. Soit \(u \in U\) un point dont l’image est \(x\). Soit \(e : U \to R\) le morphisme « identité » et soit \(s : R \to U\) le morphisme « source », qui est un morphisme lisse d’espaces algébriques. Soit \(R_u\) la fibre de \(s : R \to U\) au-dessus de \(u\). L’élément \[\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(U) - \dim_{e(u)}(R_u) \in \mathbf{Z} \cup \infty\] est indépendant du choix de la présentation et du point \(u\) au-dessus de \(x\).

Démonstration

Puisque \(R \to U\) est lisse, le schéma \(R_u\) est lisse sur \(\kappa(u)\) et est donc de dimension finie. D’autre part, le schéma \(U\) est localement noethérien, mais cela ne garantit pas que \(\dim_u(U)\) soit finie. Ainsi, la différence est un élément de \(\mathbf{Z} \cup \{\infty\}\).

Soient \([U'/R'] \to \mathcal{X}\) et \(u' \in U'\) une seconde présentation où \(U'\) est un schéma et où l’image de \(u'\) est \(x\). Considérons l’espace algébrique \(P = U \times_\mathcal{X} U'\). D’après le Lemme 04XH, il existe \(p \in |P|\) dont les images sont \(u\) et \(u'\). Comme \(P \to U\) et \(P \to U'\) sont lisses, on voit que \(\dim_p(P) = \dim_u(U) + \dim_p(P_u)\) et \(\dim_p(P) = \dim_{u'}(U') + \dim_p(P_{u'})\); voir le Lemme de Morphismes d’espaces 0AFI. Notons que \[R'_{u'} = \Spec(\kappa(u')) \times_\mathcal{X} U' \quad\text{et}\quad P_u = \Spec(\kappa(u)) \times_\mathcal{X} U'\] Représentons \(p \in |P|\) par un morphisme \(\Spec(\Omega) \to P\). Comme \(p\) s’envoie à la fois sur \(u\) et sur \(u'\), il induit un \(2\)-morphisme entre les composées \(\Spec(\Omega) \to \Spec(\kappa(u')) \to \mathcal{X}\) et \(\Spec(\Omega) \to \Spec(\kappa(u)) \to \mathcal{X}\), qui définit à son tour un isomorphisme \[\Spec(\Omega) \times_{\Spec(\kappa(u'))} R'_{u'} \cong \Spec(\Omega) \times_{\Spec(\kappa(u))} P_u\] d’espaces algébriques sur \(\Spec(\Omega)\) envoyant le point \(\Omega\)-rationnel \((1, e'(u'))\) sur \((1, p)\) (certains détails sont omis). On en déduit que \[\dim_{e'(u')}(R'_{u'}) = \dim_p(P_u)\] d’après le Lemme de Morphismes d’espaces 04NS. Par symétrie, on a \(\dim_{e(u)}(R_u) = \dim_p(P_{u'})\). En réunissant toutes ces égalités, on obtient l’indépendance des choix.

Nous pouvons utiliser le lemme précédent pour poser la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien sur un schéma \(S\). Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point de \(\mathcal{X}\). Soit \([U/R] \to \mathcal{X}\) une présentation (Champs algébriques, Définition 04TI) où \(U\) est un schéma, et soit \(u \in U\) un point dont l’image est \(x\). Nous définissons la dimension de \(\mathcal{X}\) en \(x\) comme l’élément \(\dim_x(\mathcal{X}) \in \mathbf{Z} \cup \infty\) tel que \[\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(U)-\dim_{e(u)}(R_u).\] Les notations sont celles du Lemme 0AFM.

La dimension d’un champ en un point coïncide avec la notion usuelle lorsque \(\mathcal{X}\) est un schéma (Topologie, Définition 0055), ou, plus généralement, lorsque \(\mathcal{X}\) est un espace algébrique localement noethérien (Propriétés des espaces, Définition 04N5).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien sur \(S\). La dimension \(\dim(\mathcal{X})\) de \(\mathcal{X}\) est définie par \[\dim(\mathcal{X}) = \sup\nolimits_{x \in |\mathcal{X}|} \dim_x(\mathcal{X})\]

Cette définition de la dimension coïncide avec la notion usuelle si \(\mathcal{X}\) est un schéma (Propriétés, Lemme 04MU) ou un espace algébrique (Propriétés des espaces, Définition 04N6).

Remarque

Si \(\mathcal{X}\) est un champ non vide de type fini sur un corps, alors \(\dim(\mathcal{X})\) est un entier. Pour un champ algébrique localement noethérien quelconque \(\mathcal{X}\), \(\dim(\mathcal{X})\) appartient à \(Z\cup \{\pm \infty\}\), et \(\dim(\mathcal{X}) = -\infty\) si et seulement si \(\mathcal{X}\) est vide.

Exemple

Soit \(X\) un schéma de type fini sur un corps \(k\), et soit \(G\) un schéma en groupes de type fini sur \(k\) qui opère sur \(X\). Alors la dimension du champ quotient \([X/G]\) est égale à \(\dim(X)-\dim(G)\). En particulier, la dimension du champ classifiant \(BG=[\Spec(k)/G]\) est \(-\dim(G)\). Ainsi, la dimension d’un champ algébrique peut être un entier négatif, contrairement à ce qui se produit pour les schémas ou les espaces algébriques.

Irréductibilité locale

Nous avons défini le nombre de branches géométriques d’un schéma en un point dans Propriétés, section 0BQ1, et celui d’un espace algébrique en un point dans Propriétés des espaces, section 06DJ. Soit \(n \in \mathbf{N}\). Pour un anneau local \(A\), posons \[P_n(A) = \text{le nombre de branches géométriques de }A\text{ vaut }n\] Pour un homomorphisme lisse d’anneaux \(A \to B\) et un idéal premier \(\mathfrak q\) de \(B\) situé au-dessus de \(\mathfrak p\) de \(A\), on a \[P_n(A_\mathfrak p) \Leftrightarrow P_n(B_\mathfrak q)\] d’après le Lemme de Compléments d’algèbre 0DQ1. Comme dans Propriétés des espaces, Remarque 0BBL, nous pouvons utiliser \(P_n\) pour définir une propriété locale pour la topologie étale \(\mathcal{P}_n\) des germes \((U, u)\) de schémas en posant \(\mathcal{P}_n(U, u) = P_n(\mathcal{O}_{U, u})\). La propriété correspondante \(\mathcal{P}_n\) d’un espace algébrique \(X\) en un point \(x\) (voir Propriétés des espaces, Définition 04RC) est précisément la propriété “le nombre de branches géométriques de \(X\) en \(x\) est \(n\)”; voir Propriétés des espaces, Définition 0DQ4. De plus, la propriété \(\mathcal{P}_n\) est locale pour la topologie lisse; voir Descente, Définition 04N1. Cela résulte soit de l’équivalence affichée ci-dessus, soit du Lemme de Compléments sur les morphismes 0DQ2. Ainsi, la Définition 04YJ s’applique et nous obtenons une notion pour les champs algébriques en un point.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\).

1. Le nombre de branches géométriques de \(\mathcal{X}\) en \(x\) vaut soit \(n \in \mathbf{N}\) si les conditions équivalentes du Lemme 04YI sont satisfaites pour \(\mathcal{P}_n\) définie ci-dessus, soit \(\infty\).

2. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est géométriquement unibranche en \(x\) si le nombre de branches géométriques de \(\mathcal{X}\) en \(x\) vaut \(1\).

Conditions de finitude et points

Cette section est l’analogue de Espaces décents, section 03JR pour les points des champs algébriques.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. un morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) dans la classe d’équivalence de \(x\) est quasi-compact, et

2. tout morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) dans la classe d’équivalence de \(x\) est quasi-compact.

Démonstration

Soit \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) dans la classe d’équivalence de \(x\). Soit \(k'/k\) une extension de corps. Nous devons alors montrer que \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) est quasi-compact si et seulement si \(\Spec(k') \to \mathcal{X}\) est quasi-compact. Cela résulte du Lemme de Morphismes d’espaces 040W et du principe donné par le Lemme de Champs algébriques 045F.

On dit parfois qu’un point \(x \in |\mathcal{X}|\) satisfaisant aux conditions équivalentes du Lemme 0DTK est un “point quasi-compact”.