Introduction
Dans ce chapitre, nous étudions les catégories dérivées associées aux champs algébriques. Il s’agit notamment des catégories dérivées de faisceaux quasi-cohérents : nous démontrons des analogues des résultats pour les schémas (voir Catégories dérivées des schémas, section 08CV) et pour les espaces algébriques (voir Catégories dérivées des espaces, section 08EZ). Les résultats du présent chapitre diffèrent de ceux de [LM-B] principalement parce que nous utilisons systématiquement les « gros sites ». Avant d’aborder ce chapitre, le lecteur est invité à parcourir rapidement les chapitres « Faisceaux sur les champs algébriques » et « Cohomologie des champs algébriques », où est introduite la terminologie employée ici.
Conventions, notations et abus de langage
Nous continuons d’utiliser les conventions et les abus de langage introduits dans Propriétés des champs, section 04XA. Nous adoptons les notations expliquées dans Cohomologie des champs, section 073S.
Les sites lisse-étale et plat-fppf
Cette section est l’analogue, pour les catégories dérivées, de Cohomologie des champs, section 0786.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Nous employons les notations de Cohomologie des champs, lemmes 0788 et 0789.
Le foncteur \(g_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_\etale)\) admet un foncteur dérivé gauche \[Lg_! : D(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_\etale)\] qui est adjoint à gauche de \(g^{-1}\) et tel que \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\).
Le foncteur \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\) admet un foncteur dérivé gauche \[Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] qui est adjoint à gauche de \(g^*\) et tel que \(g^*Lg_! = \text{id}\).
Le foncteur \(g_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_{flat,fppf}) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_{fppf})\) admet un foncteur dérivé gauche \[Lg_! : D(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_{fppf})\] qui est adjoint à gauche de \(g^{-1}\) et tel que \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\).
Le foncteur \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{flat,fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\) admet un foncteur dérivé gauche \[Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] qui est adjoint à gauche de \(g^*\) et tel que \(g^*Lg_! = \text{id}\).
Attention : il n’est pas clair a priori que \(Lg_!\) sur les modules coïncide avec \(Lg_!\) sur les faisceaux abéliens ; voir Cohomologie sur les sites, remarque 07AE.
Démonstration
L’existence du foncteur \(Lg_!\) et son adjonction à \(g^*\) résultent de Cohomologie sur les sites, lemme 07AC. (Dans le cas des faisceaux abéliens, on prend le faisceau constant \(\mathbf{Z}\) comme faisceau structural.) De plus, sa valeur sur un complexe \(\mathcal{H}^\bullet\) se calcule en choisissant une résolution gauche convenable \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\), puis en appliquant le foncteur \(g_!\) à \(\mathcal{K}^\bullet\). Comme \(g^{-1}g_!\mathcal{K}^\bullet = \mathcal{K}^\bullet\) d’après Cohomologie des champs, lemmes 0789 et 0788, la dernière assertion est vérifiée dans chacun des cas.
Lemme
Sous les hypothèses et avec les notations de Cohomologie des champs, lemme 07AT, nous avons \[g^{-1} \circ Rf_* = Rf'_* \circ (g')^{-1} \quad\text{et}\quad L(g')_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ Lg_!\] sur les catégories dérivées non bornées, aussi bien pour les modules que pour les faisceaux abéliens.
Démonstration
Soit \(\tau = \etale\) (resp. \(\tau = fppf\)), et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{X}_\tau\). D’après Cohomologie des champs, lemme 0GR3 l’application canonique de changement de base \[g^{-1}Rf_*\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] est un isomorphisme. La suite de la démonstration est formelle. Puisque la cohomologie des groupes abéliens coïncide avec celle des faisceaux de modules, nous en déduisons également que \(g^{-1} Rf_*\mathcal{F} = Rf'_* (g')^{-1}\mathcal{F}\) lorsque \(\mathcal{F}\) est un faisceau de modules sur \(\mathcal{X}_\tau\).
Montrons ensuite que, pour \(\mathcal{G}\), faisceau de modules ou faisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{Y}_{flat,fppf}\)), l’application canonique \[L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G} \to f^{-1}Lg_!\mathcal{G}\] est un isomorphisme. Il suffit pour cela de démontrer que, pour tout faisceau injectif \(\mathcal{I}\) sur \(\mathcal{X}_\tau\), l’application induite \[\Hom(L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{I}[n]) \leftarrow \Hom(f^{-1}Lg_!\mathcal{G}, \mathcal{I}[n])\] est un isomorphisme pour tout \(n \in \mathbf{Z}\) (les Hom étant pris dans les catégories dérivées appropriées). Par les adjonctions entre \(f^{-1}\) et \(Rf_*\), entre \(Lg_!\) et \(g^{-1}\), et par leurs versions « primées », cela résulte de l’isomorphisme \(g^{-1} Rf_*\mathcal{I} \to Rf'_* (g')^{-1}\mathcal{I}\) démontré ci-dessus.
Dans le cas d’un complexe borné \(\mathcal{G}^\bullet\), de modules ou de groupes abéliens, sur \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{Y}_{fppf}\)), l’application canonique [07AX]\[\begin{equation} L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G}^\bullet \to f^{-1}Lg_!\mathcal{G}^\bullet \end{equation}\] est un isomorphisme. Cela découle du cas d’un faisceau par les arguments usuels de troncature et du fait que les foncteurs \(L(g')_!(f')^{-1}\) et \(f^{-1}Lg_!\) sont des foncteurs exacts de catégories triangulées.
Supposons que \(\mathcal{G}^\bullet\) soit un complexe borné supérieurement, de modules ou de groupes abéliens, sur \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{Y}_{fppf}\)). L’application canonique (07AX) est un isomorphisme, car les troncatures bêtes \(\sigma_{\geq -n}\) (voir Homologie, section 0118) permettent d’écrire \(\mathcal{G}^\bullet\) comme une colimite \(\mathcal{G}^\bullet = \colim \mathcal{G}_n^\bullet\) de complexes bornés. On obtient ainsi un triangle distingué \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathcal{G}_n^\bullet \to \bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathcal{G}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet \to \ldots\] et chacun des foncteurs \(L(g')_!\), \((f')^{-1}\), \(f^{-1}\) et \(Lg_!\) commute aux sommes directes de complexes.
Si \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe arbitraire, de modules ou de groupes abéliens, sur \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{Y}_{fppf}\)), nous employons les troncatures canoniques \(\tau_{\leq n}\) (voir Homologie, section 0118) pour écrire \(\mathcal{G}^\bullet\) comme une colimite de complexes bornés supérieurement, puis nous reprenons l’argument du paragraphe précédent.
Enfin, par les adjonctions entre \(f^{-1}\) et \(Rf_*\), entre \(Lg_!\) et \(g^{-1}\), et par leurs versions « primées », nous concluons en toute généralité que la première identité du lemme résulte de la seconde.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Nous employons les notations de Cohomologie des champs, lemme 0788.
Soit \(\mathcal{H}\) un \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\)-module quasi-cohérent sur le site lisse-étale de \(\mathcal{X}\). Pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), le faisceau \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\) est un module localement quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\) et possède la propriété de changement de base plat.
Soit \(\mathcal{H}\) un \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)-module quasi-cohérent sur le site plat-fppf de \(\mathcal{X}\). Pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), le faisceau \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\) est un module localement quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\) et possède la propriété de changement de base plat.
Démonstration
Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(x : U \to \mathcal{X}\). D’après Modules sur les sites, définition 03DL, il existe un recouvrement étale (resp. fppf) \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que chaque image inverse \(f_i^{-1}\mathcal{H}\) possède une présentation globale (voir Modules sur les sites, définition 03DE). Ici, \(f_i : U_i \to \mathcal{X}\) est le composé \(U_i \to U \to \mathcal{X}\), qui est un morphisme de champs algébriques. (Rappelons que l’image inverse « est » la restriction à \(\mathcal{X}/f_i\) ; voir Faisceaux sur les champs, définition 06W1 et la discussion qui suit.) Après avoir raffiné le recouvrement, nous pouvons supposer que chaque \(U_i\) est un schéma affine. Puisque chaque \(f_i\) est lisse (resp. plat), le lemme 07AV donne \(f_i^{-1}Lg_!\mathcal{H} = Lg_{i, !}(f'_i)^{-1}\mathcal{H}\). À l’aide de Cohomologie des champs, lemme 07AQ, nous ramenons l’énoncé du lemme au cas où \(\mathcal{H}\) possède une présentation globale et où \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\) pour un schéma affine \(X = \Spec(A)\).
Écrivons cette présentation sous la forme \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{H} \longrightarrow 0\] où \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\) (resp. \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)). Remarquons que le site \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)) possède un objet final, à savoir \(X/X\), qui est quasi-compact (voir Cohomologie sur les sites, section 0737). Nous avons donc \[\Gamma(\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}) = \bigoplus\nolimits_{i \in I} A\] d’après Sites, lemme 0738. Par conséquent, l’application de la présentation correspond à une présentation analogue \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} A \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} A \longrightarrow M \longrightarrow 0\] d’un \(A\)-module \(M\). De plus, \(\mathcal{H}\) est égal à la restriction au site lisse-étale (resp. plat-fppf) du faisceau quasi-cohérent \(M^a\) associé à \(M\). Choisissons une résolution \[\ldots \to F_2 \to F_1 \to F_0 \to M \to 0\] par des \(A\)-modules libres. Le complexe \[\ldots \mathcal{O} \otimes_A F_2 \to \mathcal{O} \otimes_A F_1 \to \mathcal{O} \otimes_A F_0 \to \mathcal{H} \to 0\] est une résolution de \(\mathcal{H}\) par des \(\mathcal{O}\)-modules libres, car, pour tout objet \(U/X\) de \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)), le morphisme structural \(U \to X\) est plat. Par construction, la valeur de \(Lg_!\mathcal{H}\) est donc \[\ldots \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_2 \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_1 \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_0 \to 0 \to \ldots\] Comme il s’agit d’un complexe de modules quasi-cohérents sur \(\mathcal{X}_\etale\) (resp. \(\mathcal{X}_{fppf}\)), il résulte de Cohomologie des champs, proposition 0771, que \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\) est quasi-cohérent.
Cohomologie et sites lisse-étale et plat-fppf
Nous avons déjà vu que la cohomologie d’un faisceau sur un champ algébrique \(\mathcal{X}\) peut se calculer sur le site plat-fppf. Dans cette section, nous démontrons qu’il en va de même pour les objets, éventuellement non bornés, de la catégorie dérivée de \(\mathcal{X}\).
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Nous avons \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\), qu’il s’agisse du \(Lg_!\) de la partie (1) du lemme 07AS ou du \(Lg_!\) de la partie (3) du lemme 07AS.
Démonstration
Nous le démontrons pour la comparaison du site plat-fppf au site fppf ; le cas du site lisse-étale est exactement analogue. Il faut montrer que \(H^i(Lg_!\mathbf{Z})\) est \(0\) pour \(i \not = 0\) et que l’application canonique \(H^0(Lg_!\mathbf{Z}) \to \mathbf{Z}\) est un isomorphisme. Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un morphisme plat et surjectif, où \(\mathcal{U}\) est un schéma, et supposons en outre \(f\) localement de présentation finie. (On peut, par exemple, choisir une présentation \(U \to \mathcal{X}\) et prendre pour \(\mathcal{U}\) le champ algébrique correspondant à \(U\).) D’après Faisceaux sur les champs, lemmes 06XD et 06XH il suffit de montrer que l’image inverse \(f^{-1}H^i(Lg_!\mathbf{Z})\) est \(0\) pour \(i \not = 0\) et que l’image inverse \(H^0(Lg_!\mathbf{Z}) \to f^{-1}\mathbf{Z}\) est un isomorphisme. Le lemme 07AV donne \(f^{-1}Lg_!\mathbf{Z} = L(g')_!\mathbf{Z}\), où \(g' : \Sh(\mathcal{U}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{U}_{fppf})\) est le morphisme de comparaison correspondant pour \(\mathcal{U}\). Nous sommes ainsi ramenés au cas étudié au paragraphe suivant.
Supposons \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\) pour un schéma \(X\). La catégorie \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) possède alors un objet final \(e\), à savoir \(X/X\) ; de plus, le foncteur \(u : \mathcal{X}_{flat, fppf} \to \mathcal{X}_{fppf}\) envoie \(e\) sur l’objet final. Puisque \(\mathbf{Z}\) est le faisceau abélien libre sur l’objet final, lorsque celui-ci existe, nous obtenons \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\) par la construction même de \(Lg_!\) dans Cohomologie sur les sites, lemme 07AC.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Nous employons les notations du lemme 07AS.
Pour \(K\) dans \(D(\mathcal{X}_\etale)\), nous avons
\(R\Gamma(\mathcal{X}_\etale, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, g^{-1}K)\), et
\(R\Gamma(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}/x, g^{-1}K)\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\).
Pour \(K\) dans \(D(\mathcal{X}_{fppf})\), nous avons
\(R\Gamma(\mathcal{X}_{fppf}, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat,fppf}, g^{-1}K)\), et
\(H^p(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat,fppf}/x, g^{-1}K)\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\).
Dans les deux cas, les mêmes assertions valent pour les modules, puisque \(g^{-1} = g^*\) et que le calcul de la cohomologie ne présente aucune différence d’après Cohomologie sur les sites, lemme 0D6J.
Démonstration
Nous le démontrons pour la comparaison du site plat-fppf au site fppf ; le cas du site lisse-étale est exactement analogue. D’après le lemme 0H0Z, nous avons \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\). Il vient \[\begin{align*} R\Gamma(\mathcal{X}_{fppf}, K) & = R\Hom(\mathbf{Z}, K) \\ & = R\Hom(Lg_!\mathbf{Z}, K) \\ & = R\Hom(\mathbf{Z}, g^{-1}K) \\ & = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, g^{-1}K) \end{align*}\] Ceci démontre (1)(a). La partie (1)(b) résulte de la partie (1)(a). En effet, si \(x\) est au-dessus du schéma \(U\), alors le site \(\mathcal{X}_\etale/x\) est équivalent à \((\Sch/U)_\etale\), et \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) est équivalent à \(U_{lisse, \etale}\).
Catégories dérivées de modules quasi-cohérents
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Comme le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) n’est pas exact, nous ne pouvons pas définir \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) comme la sous-catégorie pleine de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) formée des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents. Nous définissons plutôt la catégorie dérivée des modules quasi-cohérents comme un quotient, par analogie avec Cohomologie des champs, remarque 07B2.
Rappelons que \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) désigne la sous-catégorie pleine des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules localement quasi-cohérents possédant la propriété de changement de base plat ; voir Cohomologie des champs, section 0GQG. Nous abrégerons \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] Du lemme 06UQ de Catégories dérivées et de la partie (2) de Cohomologie des champs, proposition 0771, nous déduisons que \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).
Notons \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) la sous-catégorie pleine des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules parasites ; voir Cohomologie des champs, section 0772. Abrégeons de même \[D_{\textit{Parasitic}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] Comme précédemment, c’est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), puisque \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est une sous-catégorie de Serre de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) ; voir Cohomologie des champs, lemme 0774.
L’intersection des sous-catégories faiblement de Serre \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est encore une sous-catégorie faiblement de Serre. Nous adoptons de même l’abréviation \[\begin{align*} D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) & = D_{\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ & = D_{\textit{Parasitic}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \end{align*}\] Comme précédemment, c’est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). A fortiori, c’est donc une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).
Définition
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Avec les notations ci-dessus, nous définissons la catégorie dérivée des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules à faisceaux de cohomologie quasi-cohérents comme le quotient de Verdier1 \[D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})/ D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\]
Le quotient de Verdier est défini dans Catégories dérivées, section 05RA. Un morphisme \(a : E \to E'\) de \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) devient un isomorphisme dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) si et seulement si le cône \(C(a)\) a des faisceaux de cohomologie parasites ; voir Catégories dérivées, lemme 05RL.
Considérons les foncteurs \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{H^i} \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{Q} \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] Remarquons que \(Q\) annule la sous-catégorie \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) ; voir Cohomologie des champs, lemme 0779. D’après Catégories dérivées, lemme 05RJ, nous obtenons un foncteur cohomologique [07B7]\[\begin{equation} H^i : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \end{equation}\] De plus, remarquons que \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est nul si et seulement si \(H^i(E) = 0\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), puisque le noyau de \(Q\) est exactement \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) d’après Cohomologie des champs, lemme 0779.
Remarquons que les catégories \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) constituent aussi des sous-catégories faiblement de Serre de la catégorie abélienne \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) des modules pour la topologie étale ; voir Cohomologie des champs, proposition 0771 et lemme 0774. L’énoncé du lemme suivant a donc un sens.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Posons, par abréviation, \(\mathcal{P}_\mathcal{X} = \textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Le morphisme de comparaison \(\epsilon : \mathcal{X}_{fppf} \to \mathcal{X}_\etale\) induit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[u]^{\epsilon^*} & D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[u]^{\epsilon^*} & D(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[u]^{\epsilon^*} }\] De plus, les deux flèches verticales de gauche sont des équivalences de catégories triangulées ; nous obtenons donc aussi une équivalence \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})} (\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) / D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\]
Démonstration
Puisque \(\epsilon^*\) est exact, il est clair que nous obtenons le diagramme de l’énoncé. Montrons que la flèche verticale médiane est une équivalence en appliquant Cohomologie sur les sites, lemme 07A8 à la situation suivante : \(\mathcal{C} = \mathcal{X}\), \(\tau = fppf\), \(\tau' = \etale\), \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\), \(\mathcal{A} = \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), et \(\mathcal{B}\) est l’ensemble des objets de \(\mathcal{X}\) situés au-dessus de schémas affines. Pour appliquer le lemme, il faut vérifier les conditions (1), (2), (3) et (4). Les conditions (1) et (2) résultent clairement de la discussion précédente ; plus précisément, elles découlent de Cohomologie des champs, proposition 0771. La condition (3) est satisfaite parce que tout schéma possède un recouvrement ouvert de Zariski par des schémas affines. La condition (4) résulte de Descente, lemme 0756.
Nous omettons de vérifier que l’équivalence de catégories \(\epsilon^* : D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) induit une équivalence entre les sous-catégories de complexes à faisceaux de cohomologie parasites.
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. D’après Cohomologie des champs, lemme 07B4 la catégorie des modules quasi-cohérents \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) forme une sous-catégorie faiblement de Serre de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) et la catégorie des modules quasi-cohérents \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) forme une sous-catégorie faiblement de Serre de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\). Nous pouvons donc considérer \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) = D_{\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})}( \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \subset D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\] et, de même, \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) = D_{\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})}( \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \subset D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\] Comme ci-dessus, ce sont des sous-catégories triangulées strictement pleines et saturées. Il se trouve que \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est équivalente à chacune d’elles.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Posons \(\mathcal{P}_\mathcal{X} = \textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).
Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un objet de \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})} (\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Pour le site lisse-étale, prenons \(g\) comme dans Cohomologie des champs, lemme 0788. Nous avons
\(g^*\mathcal{F}^\bullet\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\),
\(g^*\mathcal{F}^\bullet = 0\) si et seulement si \(\mathcal{F}^\bullet\) appartient à \(D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\),
\(Lg_!\mathcal{H}^\bullet\) appartient à \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) pour \(\mathcal{H}^\bullet\) appartenant à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\), et
les foncteurs \(g^*\) et \(Lg_!\) définissent des foncteurs mutuellement inverses \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^*} & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \ar@<1ex>[l]^-{Lg_!} }\]
Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un objet de \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Pour le site plat-fppf, prenons \(g\) comme dans Cohomologie des champs, lemme 0788. Nous avons
\(g^*\mathcal{F}^\bullet\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\),
\(g^*\mathcal{F}^\bullet = 0\) si et seulement si \(\mathcal{F}^\bullet\) appartient à \(D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\),
\(Lg_!\mathcal{H}^\bullet\) appartient à \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) pour \(\mathcal{H}^\bullet\) appartenant à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\), et
les foncteurs \(g^*\) et \(Lg_!\) définissent des foncteurs mutuellement inverses \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^*} & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \ar@<1ex>[l]^-{Lg_!} }\]
Démonstration
Le foncteur \(g^* = g^{-1}\) est exact ; (1)(a), (2)(a), (1)(b) et (2)(b) résultent donc de Cohomologie des champs, lemmes 07B1 et 07AR.
Démonstration de (1)(c) et (2)(c). La construction de \(Lg_!\) au lemme 07AS (par l’intermédiaire de Cohomologie sur les sites, lemme 07AC, qui utilise à son tour Catégories dérivées, proposition 0794) montre que \(Lg_!\), sur tout objet \(\mathcal{H}^\bullet\) de \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\), se calcule par \[Lg_!\mathcal{H}^\bullet = \colim g_!\mathcal{K}_n^\bullet = g_! \colim \mathcal{K}_n^\bullet\] (colimites terme à terme), où le quasi-isomorphisme \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\) induit des quasi-isomorphismes \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \tau_{\leq n} \mathcal{H}^\bullet\). Comme les foncteurs d’inclusion \[\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \quad\text{et}\quad \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] sont compatibles aux colimites filtrantes, il suffit de démontrer (c) pour les complexes bornés supérieurement \(\mathcal{H}^\bullet\) appartenant à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) et à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\). Dans ce cas, pour montrer que \(H^n(Lg_!\mathcal{H}^\bullet)\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), nous pouvons raisonner par récurrence sur l’entier \(m\) tel que \(\mathcal{H}^i = 0\) pour \(i > m\). Si \(m < n\), alors \(H^n(Lg_!\mathcal{H}^\bullet) = 0\) et le résultat est établi. Dans le cas général, considérons le triangle distingué \[\tau_{\leq m - 1}\mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet \to H^m(\mathcal{H}^\bullet)[-m] \to \ldots\] (Catégories dérivées, remarque 08J5) et appliquons le foncteur \(Lg_!\). Comme \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est une sous-catégorie faiblement de Serre de la catégorie des modules, il suffit de démontrer (c) pour deux termes sur trois. Le résultat vaut pour \(Lg_!\tau_{\leq m - 1}\mathcal{H}^\bullet\) par récurrence et pour \(Lg_!H^m(\mathcal{H}^\bullet)[-m]\) d’après le lemme 07B3. Par conséquent, (c) est vérifié.
Démontrons (2)(d). D’après (2)(a) et (2)(b), le foncteur \(g^{-1} = g^*\) induit un foncteur \[c : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\] voir Catégories dérivées, lemme 05RJ. Nous avons donc le diagramme suivant de catégories triangulées \[\xymatrix{ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[rd]^{g^{-1}} \ar[rr]_q & & D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[ld]^c \\ & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}}) \ar@<1ex>[lu]^{Lg_!} }\] où \(q\) est le foncteur quotient, le triangle intérieur est commutatif et \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\). Pour tout objet \(E\) de \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), l’image de l’application \(a : Lg_!g^{-1}E \to E\) est un quasi-isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\). Le cône de \(a\) est donc envoyé sur zéro par \(g^{-1}\) et, d’après (2)(b), \(q(a)\) est un isomorphisme. Ainsi, \(q \circ Lg_!\) est un quasi-inverse de \(c\).
Dans le cas du site lisse-étale, le même argument démontre que \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) / D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] est équivalent à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\). L’application de la dernière équivalence du lemme 07B8 achève la démonstration.
Le lemme suivant montre que le foncteur quotient \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) admet un adjoint à gauche. Voir la remarque 0H11.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(E\) un objet de \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Il existe un triangle distingué canonique \[E' \to E \to P \to E'[1]\] dans \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), tel que \(P\) appartienne à \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}} (\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(E', P') = 0\] pour tout \(P'\) appartenant à \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).
Démonstration
Considérons le morphisme de topos annelés \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) étudié dans Cohomologie des champs, section 0786. Posons \(E' = Lg_!g^*E\) et soit \(P\) le cône de l’application d’adjonction \(E' \to E\) ; voir la partie (4) du lemme 07AS. D’après les parties (2)(a) et (2)(c) du lemme 07B9, \(E'\) appartient à \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Par conséquent, \(P\) appartient aussi à \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). L’application \(g^*E' \to g^*E\) est un isomorphisme, car \(g^*Lg_! = \text{id}\) d’après la partie (4) du lemme 07AS. Ainsi, \(g^*P = 0\), de sorte que \(P\) est un objet de \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) d’après la partie (2)(b) du lemme 07B9. Enfin, pour \(P'\) appartenant à \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) nous avons \[\Hom(E', P') = \Hom(Lg_!g^*E, P') = \Hom(g^*E, g^*P') = 0\] car \(g^*P' = 0\) d’après la partie (2)(b) du lemme 07B9. Le triangle distingué \(E' \to E \to P \to E'[1]\) est canonique — plus précisément, il est unique à un isomorphisme de triangles induisant l’identité sur \(E\) près — d’après la discussion de Catégories dérivées, section 0CQP.
Remarque
Le lemme 07BA montre que \[D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] est une sous-catégorie admissible à gauche ; voir Catégories dérivées, section 0CQP. En particulier, si \(\mathcal{A} \subset D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) désigne son orthogonal gauche, alors Catégories dérivées, proposition 0H0P, implique que \(\mathcal{A}\) est admissible à droite dans \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et que le composé \[\mathcal{A} \longrightarrow D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] est une équivalence. Cela signifie que nous pouvons considérer \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) comme une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), ainsi que de \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).
Image directe dérivée des modules quasi-cohérents
Comme première application de ce qui précède, nous construisons l’image directe dérivée. Dans Exemples, section 07DC, le lecteur trouvera un exemple de morphisme quasi-compact et quasi-séparé \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques tel que le foncteur image directe \(Rf_*\) n’induise pas de foncteur \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\). Il est donc nécessaire de se restreindre aux complexes bornés inférieurement.
Proposition
Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Le foncteur \(Rf_*\) induit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D^{+}_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[d]^{Rf_*} & D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[d]^{Rf_*} & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[d]^{Rf_*} \\ D^{+}_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] & D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) }\] et induit donc un foncteur \[Rf_{\QCoh, *} : D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] sur les catégories quotients. De plus, les foncteurs \(R^if_\QCoh\) de Cohomologie des champs, proposition 077A, sont égaux à \(H^i \circ Rf_{\QCoh, *}\), où \(H^i\) est défini dans (07B7).
Démonstration
Il faut montrer que \(Rf_*E\) est un objet de \(D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) pour \(E\) appartenant à \(D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Cela résulte de Cohomologie des champs, proposition 0771, et de la suite spectrale \(R^if_*H^j(E) \Rightarrow R^{i + j}f_*E\). Le cas des modules parasites se traite de la même manière à l’aide de Cohomologie des champs, lemme 0775. La dernière assertion découle immédiatement de la définition de \(H^i\) dans (07B7).
Image inverse dérivée des modules quasi-cohérents
L’image inverse dérivée des complexes à faisceaux de cohomologie quasi-cohérents existe en toute généralité.
Proposition
Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Le foncteur exact \(f^*\) induit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] \ar[u]^{f^*} & D(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[u]^{f^*} }\] Le composé \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \xrightarrow{f^*} D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{q_\mathcal{X}} D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] est dérivable à gauche relativement à la localisation \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) et nous pouvons définir \(Lf^*_\QCoh\) comme son foncteur dérivé gauche \[Lf_\QCoh^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] (voir Catégories dérivées, définitions 05S9 et 05SV). Si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors \(Lf^*_\QCoh\) et \(Rf_{\QCoh, *}\) satisfont à l’adjonction suivante : \[\Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(Lf^*_\QCoh A, B) = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(A, Rf_{\QCoh, *}B)\] pour \(A \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) et \(B \in D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).
Démonstration
Pour démontrer la première assertion, il faut montrer que \(f^*E\) est un objet de \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) pour \(E\) appartenant à \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\). Puisque \(f^* = f^{-1}\) est exact, cela résulte immédiatement du fait que \(f^*\) envoie \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) dans \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) d’après Cohomologie des champs, proposition 0771.
Posons \(\mathcal{D} = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\). Soit \(S\) la collection des morphismes de \(\mathcal{D}\) dont le cône est un objet de \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\). Posons \(\mathcal{D}' = D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Posons \(F = q_\mathcal{X} \circ f^* : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\). Alors \(\mathcal{D}, S, \mathcal{D}', F\) sont comme dans Catégories dérivées, situation 05S8 et définition 05S9. Montrons que \(LF(E)\) est défini pour tout objet \(E\) de \(\mathcal{D}\). Considérons en effet le triangle \[E' \to E \to P \to E'[1]\] construit au lemme 07BA. Remarquons que \(s : E' \to E\) est un élément de \(S\). Nous affirmons que \(E'\) calcule \(LF\). En effet, supposons que \(s' : E'' \to E\) soit un autre élément de \(S\), c’est-à-dire qu’il s’insère dans un triangle \(E'' \to E \to P' \to E''[1]\) avec \(P'\) appartenant à \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\). D’après le lemme 07BA et sa démonstration, \(E' \to E\) se factorise par \(E'' \to E\). Nous voyons ainsi que \(E' \to E\) est cofinal dans le système \(S/E\). Il est donc clair que \(E'\) calcule \(LF\).
Pour établir la dernière assertion, écrivons \(B = q_\mathcal{X}(H)\) et \(A = q_\mathcal{Y}(E)\). Choisissons \(E' \to E\) comme ci-dessus. Nous utiliserons d’une part l’égalité \(Rf_{\QCoh, *}(B) = q_\mathcal{Y}(Rf_*H)\) et d’autre part l’égalité \(Lf^*_\QCoh(A) = q_\mathcal{X}(f^*E')\). \[\begin{align*} \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(Lf^*_\QCoh A, B) & = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(q_\mathcal{X}(f^*E'), q_\mathcal{X}(H)) \\ & = \colim_{H \to H'} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(f^*E', H') \\ & = \colim_{H \to H'} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*H') \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*H) \\ & = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(A, Rf_{\QCoh, *}B) \end{align*}\] Ici, la colimite porte sur les morphismes \(s : H \to H'\) de \(D^+_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) dont le cône \(P(s)\) est un objet de \(D^+_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Nous avons vu la première égalité ci-dessus. La deuxième résulte de la construction du quotient de Verdier. La troisième découle de Cohomologie sur les sites, lemme 07A6. Comme \(Rf_*P(s)\) est un objet de \(D^+_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) d’après la proposition 07BC, nous avons \(\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*P(s)) = 0\). La quatrième égalité est donc vérifiée. La dernière résulte de la construction de \(E'\).
Objets quasi-cohérents dans la catégorie dérivée
Cette section prolonge Faisceaux sur les champs, section 0H0G. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Dans cette section, nous avons défini une catégorie triangulée \[\mathit{QC}(\mathcal{X}) = \mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\] et nous avons démontré que, si \(\mathcal{X}\) est représentable par un espace algébrique \(X\), alors \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) est équivalente à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Il se trouve que la théorie développée jusqu’ici suffit exactement à démontrer le même résultat pour tout champ algébrique.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{X}_{fppf})\) dont les faisceaux de cohomologie sont parasites. Alors \(R\Gamma(x, K) = 0\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) situé au-dessus d’un schéma \(U\) tel que \(U \to \mathcal{X}\) soit plat.
Démonstration
Notons \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) le morphisme de topos considéré à la section 08MZ. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) situé au-dessus d’un schéma \(U\) tel que \(U \to \mathcal{X}\) soit plat, c’est-à-dire un objet \(x\) de \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\). D’après la partie (2)(b) du lemme 0H10, nous avons \(R\Gamma(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat, fppf}/x, g^{-1}K)\). Or notre hypothèse signifie que les faisceaux de cohomologie de l’objet \(g^{-1}K\) de \(D(\mathcal{X}_{flat, fppf})\) sont nuls ; voir Cohomologie des champs, définition 0773. Ainsi, \(g^{-1}K = 0\), ce qui conclut.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(K\) un objet de \(D(\mathcal{X}_{fppf})\) tel que \(R\Gamma(x, K) = 0\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) situé au-dessus d’un schéma affine \(U\) tel que \(U \to \mathcal{X}\) soit plat. Alors \(H^i(\mathcal{X}, K) = 0\) pour tout \(i\).
Démonstration
Notons \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) le morphisme de topos considéré à la section 08MZ. D’après la partie (2)(b) du lemme 0H10, notre hypothèse signifie que \(g^{-1}K\) a une cohomologie nulle sur tout objet de \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) situé au-dessus d’un schéma affine. Comme tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) possède un recouvrement par de tels objets, nous en déduisons que les faisceaux de cohomologie de \(g^{-1}K\) sont nuls, c’est-à-dire que \(g^{-1}K = 0\). Bien entendu, \(R\Gamma(\mathcal{X}_{flat, fppf}, g^{-1}K) = 0\), ce qui donne le résultat voulu d’après la partie (2)(a) du lemme 0H10.
Lemme
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(K\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\). Alors \(Lg_!K\) possède la propriété suivante : pour tout morphisme \(x \to x'\) de \(\mathcal{X}_{affine}\), l’application \[R\Gamma(x', Lg_!K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, Lg_!K)\] est un quasi-isomorphisme.
Démonstration
D’après la partie (2)(c) du lemme 07B9, l’objet \(Lg_!K\) appartient à \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Il en résulte aussitôt que l’application affichée dans le lemme est un isomorphisme lorsque \(\mathcal{O}(x') \to \mathcal{O}(x)\) est un homomorphisme d’anneaux plat ; nous omettons les détails.
Montrons dans ce paragraphe que la question est locale pour la topologie étale. Soit \(x \to x'\) un morphisme arbitraire de \(\mathcal{X}_{affine}\). Soit \(\{x'_i \to x'\}\) un recouvrement dans \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\). Posons \(x_i = x \times_{x'} x'_i\), de sorte que \(\{x_i \to x\}\) soit aussi un recouvrement de \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\). Alors \(\mathcal{O}(x') \to \prod \mathcal{O}(x'_i)\) est un homomorphisme d’anneaux étale fidèlement plat et \[\prod \mathcal{O}(x_i) = \mathcal{O}(x) \otimes_{\mathcal{O}(x')} \left(\prod \mathcal{O}(x'_i)\right)\] Un argument élémentaire d’algèbre, que nous omettons, montre donc qu’il suffit d’établir le résultat de l’énoncé pour chacun des morphismes \(x_i \to x'_i\) de \(\mathcal{X}_{affine}\). Autrement dit, le problème est local pour la topologie étale.
Choisissons un schéma \(X\) et un morphisme lisse surjectif \(f : X \to \mathcal{X}\). Nous pouvons considérer \(f\) comme un objet de \(\mathcal{X}\), conformément à notre abus de notation ; alors \((\Sch/X)_{fppf} = \mathcal{X}/f\) ; voir Faisceaux sur les champs, section 075C. D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06XH par exemple, il existe un recouvrement étale \(\{x'_i \to x'\}\) tel que \(x'_i : U'_i = p(x'_i) \to \mathcal{X}\) se factorise par \(f\). D’après le résultat du paragraphe précédent, nous pouvons supposer que \(x \to x'\) est l’image d’un morphisme \(U \to U'\) de \((\textit{Aff}/X)_{fppf}\) par le foncteur \((\Sch/X)_{fppf} \to \mathcal{X}\). À ce stade, nous utilisons le fait que la restriction à \((\Sch/X)_{fppf}\) de \(Lg_!K\) est égale à \(f^*Lg_!K = L(g')_!(f')^*K\) d’après le lemme 07AV. Nous sommes ainsi ramenés au cas étudié au paragraphe suivant.
Supposons \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\) et que \(x \to x'\) corresponde au morphisme de schémas affines \(U \to U'\). Nous pouvons encore travailler localement pour la topologie étale, ou de Zariski, sur \(U'\) ; nous pouvons donc supposer que \(U' \to X\) se factorise par un ouvert affine de \(X\). Nous sommes ainsi ramenés au cas du paragraphe suivant.
Supposons \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\), où \(X = \Spec(R)\) est un schéma affine, et que \(x \to x'\) corresponde au morphisme de schémas affines \(U \to U'\). Soit \(M^\bullet\) un complexe de \(R\)-modules représentant \(R\Gamma(X, K)\). La construction de Compléments d’algèbre, lemme 06Y4, permet de supposer que \(M^\bullet = \colim P_n^\bullet\), où chaque \(P_n^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(R\)-modules libres. Nous omettons les détails ; voir aussi Compléments d’algèbre, remarque 09PB. Considérons le complexe de modules \(M^\bullet_{flat, fppf}\) sur \(X_{flat, fppf} = (\Sch/X)_{flat, fppf}\) défini par la règle \[U \longmapsto \Gamma(U, M^\bullet \otimes_R \mathcal{O}_U)\] C’est un complexe de faisceaux d’après la discussion de Descente, section 03DR. Il existe une application canonique \(M^\bullet_{flat, fppf} \to K\) qui, d’après les remarques faites au début de la démonstration, induit un isomorphisme sur les sections au-dessus des objets affines de \(X_{flat, fppf}\). Comme tout objet de \(X_{flat, fppf}\) possède un recouvrement par des objets affines, nous voyons que \(M^\bullet_{flat, fppf}\) coïncide avec \(K\).
Soit \(M^\bullet_{fppf}\) le complexe de modules sur \(X_{fppf}\) donné par la même formule que ci-dessus. Rappelons que \(Lg_!\mathcal{O} = g_!\mathcal{O} = \mathcal{O}\). Puisque \(Lg_!\) est le foncteur dérivé gauche de \(g_!\), nous en déduisons que \(Lg_!P_{n, flat, fppf}^\bullet = P_{n, fppf}^\bullet\). Comme le foncteur \(Lg_!\) commute aux colimites homotopiques, ou directement par sa construction dans Cohomologie sur les sites, lemme 07AC, et comme \(M^\bullet = \colim P_n^\bullet\), nous concluons que \(Lg_!M^\bullet_{flat, fppf} = M^\bullet_{fppf}\). Écrivons \(U = \Spec(A)\), \(U' = \Spec(A')\) et supposons que \(U \to U'\) corresponde à l’homomorphisme d’anneaux \(A' \to A\). D’après ce qui précède, \[R\Gamma(U, Lg_!K) = M^\bullet \otimes_R A \quad\text{et}\quad R\Gamma(U', Lg_!K) = M^\bullet \otimes_R A'\] Puisque \(M^\bullet\) est un complexe K-plat de \(R\)-modules, la transitivité du produit tensoriel montre que \[R\Gamma(U', Lg_!K) \otimes_{A'}^\mathbf{L} A \longrightarrow R\Gamma(U, Lg_!K)\] est le quasi-isomorphisme recherché.
Proposition
Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Alors \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) est canoniquement équivalente à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).
Démonstration
D’après Faisceaux sur les champs, lemme 0H0X, l’image inverse par le morphisme de comparaison \(\epsilon : \mathcal{X}_{affine, fppf} \to \mathcal{X}_{affine}\) identifie \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) à une sous-catégorie pleine \(Q_\mathcal{X} \subset D(\mathcal{X}_{affine, fppf}, \mathcal{O})\). À l’aide de l’équivalence de topos annelés de Faisceaux sur les champs, équation (0H0C), nous pouvons et allons considérer \(Q_\mathcal{X}\) comme une sous-catégorie pleine de \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O})\).
De même, le lemme 07BA et la remarque 0H11 montrent que \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) peut être considérée comme l’orthogonal gauche \(\mathcal{A}\) de la sous-catégorie admissible à gauche \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) de \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).
Pour conclure, nous montrerons que \(Q_\mathcal{X}\) est égale à \(\mathcal{A}\) comme sous-catégorie de \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O})\).
Étape 1 : \(Q_\mathcal{X}\) est contenue dans \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Un objet \(K\) de \(Q_\mathcal{X}\) est caractérisé par la propriété suivante : \(K\), considéré comme un objet de \(D(\mathcal{X}_{affine, fppf}, \mathcal{O})\), est tel que \(R\epsilon_*K\) soit un objet de \(\mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\). Cela signifie exactement que, pour tout morphisme \(x \to x'\) de \(\mathcal{X}_{affine}\), l’application \[R\Gamma(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, K)\] est un isomorphisme ; voir la note de bas de page dans l’énoncé de Cohomologie sur les sites, lemme 0GZS. Maintenant, si \(x' \to x\) est situé au-dessus d’un morphisme plat de schémas affines, cela signifie que \[H^i(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')} \mathcal{O}(x) \cong H^i(x, K)\] Cela signifie clairement que \(H^i(K)\) est un faisceau pour la topologie étale (Faisceaux sur les champs, lemme 0H0E) et qu’il possède la propriété de changement de base plat ; nous omettons un petit détail.
Étape 2 : \(Q_\mathcal{X}\) est contenue dans \(\mathcal{A}\). Il suffit pour cela de montrer que, pour \(K\) dans \(Q_\mathcal{X}\), nous avons \(\Hom(K, P) = 0\) pour tout \(P\) dans \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Considérons l’objet \[H = R\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(K, P)\] Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) situé au-dessus d’un schéma affine \(U = p(x)\). D’après Cohomologie sur les sites, lemme 08JA, nous avons la première égalité de \[R\Gamma(x, H) = R\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(K|_{\mathcal{X}/x}, P|_{\mathcal{X}/x}) = R\Hom_{\mathcal{O}}(K|_{\mathcal{X}_{affine}/x}, P|_{\mathcal{X}_{affine}/x})\] La seconde égalité vient de ce que le topos du site \(\mathcal{X}/x\) est équivalent au topos du site \(\mathcal{X}_{affine}/x\) ; voir Faisceaux sur les champs, équation (0H0C). Nous pouvons écrire \(K = \epsilon^*N\) pour un certain \(N\) de \(\mathit{QC}(\mathcal{O})\). Alors Cohomologie sur les sites, lemme 0H0T, donne \[R\Gamma(x, H) = R\Hom_{D(\mathcal{O}(x))}(R\Gamma(x, N), R\Gamma(x, P))\] Le lemme 0H13 montre que \(R\Gamma(x, P) = 0\) si \(U \to \mathcal{X}\) est plat, et donc que \(R\Gamma(x, H) = 0\) sous la même hypothèse. D’après le lemme 0H14, nous concluons que \(R\Gamma(\mathcal{X}, H) = 0\), et par conséquent que \(\Hom(K, P) = 0\).
Étape 3 : \(\mathcal{A}\) est contenue dans \(Q_\mathcal{X}\). Soit \(K\) un objet de \(\mathcal{A}\) et soit \(x \to x'\) un morphisme de \(\mathcal{X}_{affine}\). Il faut montrer que \[R\Gamma(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, K)\] est un quasi-isomorphisme ; voir la note de bas de page dans l’énoncé de Cohomologie sur les sites, lemme 0GZS. La démonstration du lemme 07BA et la discussion de la remarque 0H11 montrent que \(\mathcal{A}\) est l’image de la restriction de \(Lg_!\) à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\). Nous pouvons donc supposer \(K = Lg_!M\) pour un certain \(M\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\). L’égalité recherchée résulte alors du lemme 0H15.
Cette définition diffère de celle de la littérature ; voir [olsson_sheaves, 6.3]. Elle coïncide toutefois avec cette dernière d’après le lemme 07B9.↩︎