Cohomologie des champs algébriques

Introduction

Dans ce chapitre, nous traitons de la cohomologie des champs algébriques. Il s’agit notamment de la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents, c’est-à-dire que nous démontrons des analogues des résultats des chapitres intitulés “Cohomologie des schémas” et “Cohomologie des espaces algébriques”. Les résultats de ce chapitre diffèrent de ceux de [LM-B] principalement parce que nous utilisons systématiquement les « grands sites ». Avant de lire ce chapitre, nous invitons le lecteur à parcourir le chapitre “Faisceaux sur les champs algébriques” afin de se familiariser avec la terminologie qui y est introduite ; voir Faisceaux sur les champs, section 06TG.

Conventions et abus de langage

Nous continuons d’employer les conventions et abus de langage introduits dans Propriétés des champs, section 04XA.

Notations

Différentes topologies. Si nous désignons un champ algébrique par une lettre calligraphique, telle que \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \mathcal{Z}\), alors les notations \(\mathcal{X}_{Zar}, \mathcal{X}_\etale, \mathcal{X}_{smooth}, \mathcal{X}_{syntomic}, \mathcal{X}_{fppf}\) désignent les sites introduits dans Faisceaux sur les champs, définition 06TP. (Il faut penser à un « grand site ».) Par conséquent, le faisceau structural de \(\mathcal{X}\) est un faisceau sur \(\mathcal{X}_{fppf}\). En revanche, les espaces algébriques et les schémas sont habituellement désignés par des majuscules romaines, telles que \(X, Y, Z\), et, dans ce cas, \(X_\etale\) désigne le petit site étale de \(X\) (tel qu’il est défini dans Topologies, définition 021B ou Propriétés des espaces, définition 03ED). Cette distinction paraît suffisamment claire.

La topologie sous-entendue est la topologie fppf. Ainsi, nous dirons parfois « faisceau sur \(\mathcal{X}\) » ou « faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules » pour désigner un faisceau sur \(\mathcal{X}_{fppf}\) ou un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un morphisme de champs algébriques, alors les foncteurs \(f_*\) et \(f^{-1}\) définis sur les préfaisceaux préservent les faisceaux pour chacune des topologies mentionnées ci-dessus. En particulier, lorsque nous parlons de l’image directe ou de l’image inverse d’un faisceau, il n’est pas nécessaire de préciser la topologie considérée. Il n’en va pas de même lorsque nous calculons les groupes de cohomologie ou les images directes supérieures. Dans ce cas, nous préciserons toujours la topologie considérée.

Supposons que \(f : X \to \mathcal{Y}\) soit un morphisme d’un espace algébrique \(X\) vers un champ algébrique \(\mathcal{Y}\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{Y}_\tau\) pour une topologie \(\tau\). Alors \(f^{-1}\mathcal{G}\) est un faisceau pour la topologie \(\tau\) sur \(\mathcal{S}_X\) (le champ algébrique associé à \(X\)), car, suivant nos conventions, \(f\) est en fait un \(1\)-morphisme \(f : \mathcal{S}_X \to \mathcal{Y}\). Si \(\tau = \etale\) ou si la topologie est plus fine, nous écrivons \(f^{-1}\mathcal{G}|_{X_\etale}\) pour désigner la restriction au site étale de \(X\) ; voir Faisceaux sur les champs, section 073L. Si \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module, nous écrivons parfois plutôt \(f^*\mathcal{G}\) et \(f^*\mathcal{G}|_{X_\etale}\).

Image inverse des modules quasi-cohérents

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Il est très général que les modules quasi-cohérents sur les topos annelés soient compatibles aux images inverses. En particulier, l’image inverse \(f^*\) préserve les modules quasi-cohérents et nous obtenons un foncteur \[f^* : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}),\] voir Faisceaux sur les champs, lemme 06WH. En général, ce foncteur n’est pas exact, mais il l’est si \(f\) est plat.

Lemme

Si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un morphisme plat de champs algébriques, alors \(f^* : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est un foncteur exact.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Alors \(U \to \mathcal{X}\) est encore lisse et surjectif, comme composé de deux tels morphismes. Du diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_{f'} & V \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] nous déduisons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_U) & \QCoh(\mathcal{O}_V) \ar[l] \\ \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[u] & \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[l] \ar[u] }\] de catégories abéliennes. La démonstration du fait que les deux catégories inférieures de ce diagramme sont abéliennes a montré que les foncteurs verticaux sont des foncteurs exacts et fidèles (voir la démonstration de Faisceaux sur les champs, lemme 06WV). Puisque \(f'\) est un morphisme plat de schémas (d’après notre définition des morphismes plats de champs algébriques), nous voyons que \((f')^*\) est un foncteur exact sur les faisceaux quasi-cohérents de \(V\). Cela conclut.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(I\) un ensemble et, pour \(i \in I\), soit \(x_i : U_i \to \mathcal{X}\) un objet de \(\mathcal{X}\). Supposons que \(x_i\) soit plat et que \(\coprod x_i : \coprod U_i \to \mathcal{X}\) soit surjectif. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une flèche de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Notons \(\varphi_i\) la restriction de \(\varphi\) à \((U_i)_\etale\). Alors \(\varphi\) est injective, resp. surjective, resp. un isomorphisme si et seulement si chaque \(\varphi_i\) l’est.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(x : U \to \mathcal{X}\). Nous pouvons considérer, et considérons, \(x\) comme un objet de \(\mathcal{X}\). On obtient ainsi une présentation \(\mathcal{X} = [U/R]\) par un groupoïde en espaces \((U, R, s, t, c)\) et, par conséquent, une équivalence \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = \QCoh(U, R, s, t, c)\] Voir la discussion dans Faisceaux sur les champs, section 06WU. La structure de catégorie abélienne du membre de droite est telle que \(\varphi\) est injective, resp. surjective, resp. un isomorphisme si et seulement si la restriction \(\varphi|_{U_\etale}\) l’est ; voir Groupoïdes dans les espaces, lemme 06VZ.

Pour chaque \(i\), choisissons un recouvrement étale \(\{W_{i, j} \to V \times_\mathcal{X} U_i\}_{j \in J_i}\) par des schémas. Notons \(g_{i, j} : W_{i, j} \to V\) et \(h_{i, j} : W_{i, j} \to U_i\) les flèches évidentes. Chacun des morphismes de schémas \(g_{i, j} : W_{i, j} \to U\) est plat, et ils sont conjointement surjectifs. De même, pour chaque \(i\) fixé, les morphismes de schémas \(h_{i, j} : W_{i, j} \to U_i\) sont plats et conjointement surjectifs. D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06WK, l’image inverse par \((g_{i, j})_{small}\) de la restriction \(\varphi|_{U_\etale}\) est la restriction \(\varphi|_{(W_{i, j})_\etale}\), et l’image inverse par \((h_{i, j})_{small}\) de la restriction \(\varphi|_{(U_i)_\etale}\) est la restriction \(\varphi|_{(W_{i, j})_\etale}\). L’image inverse des modules quasi-cohérents par un morphisme plat de schémas est exacte, et l’image inverse par une famille conjointement surjective de morphismes plats de schémas reflète les applications injectives, resp. surjectives, resp. bijectives de modules quasi-cohérents (en fait, cela vaut pour tous les modules, car on peut vérifier l’exactitude sur les germes). Ainsi, \[\varphi|_{U_\etale} \text{ injective} \Leftrightarrow \varphi|_{(W_{i, j})_\etale} \text{ injective pour tous }i, j \Leftrightarrow \varphi|_{(U_i)_\etale} \text{ injective pour tout }i\] Ceci achève la démonstration.

Images directes supérieures de certaines classes de modules

Le lemme suivant fonde notre étude des images directes supérieures de certaines classes de faisceaux de modules. Il en existe deux versions : l’une pour la topologie étale et l’autre pour la topologie fppf.

Lemme

Soit \(\mathcal{M}\) une règle qui associe à tout champ algébrique \(\mathcal{X}\) une sous-catégorie \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) telle que

1. \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\) soit une sous-catégorie faible de Serre de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) (voir Homologie, définition 02MO) pour tout champ algébrique \(\mathcal{X}\),

2. pour tout morphisme lisse de champs algébriques \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\), le foncteur \(f^*\) envoie \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\) dans \(\mathcal{M}_\mathcal{Y}\),

3. si \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) est une famille de morphismes lisses de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| = \bigcup |f_i|(|\mathcal{X}_i|)\), alors un objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) appartient à \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\) si et seulement si \(f_i^*\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{M}_{\mathcal{X}_i}\) pour tout \(i\), et

4. si \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) est un morphisme de champs algébriques tel que \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) soient représentables par des schémas affines, alors \(R^if_*\) envoie \(\mathcal{M}_\mathcal{Y}\) dans \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\).

Alors, pour tout morphisme quasi-compact et quasi-séparé \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) de champs algébriques, \(R^if_*\) envoie \(\mathcal{M}_\mathcal{Y}\) dans \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\). (Les images directes supérieures sont calculées pour la topologie étale.)

Démonstration

Soit \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques, et soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\mathcal{M}_\mathcal{Y}\). Choisissons un morphisme lisse surjectif \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\), où \(\mathcal{U}\) est représentable par un schéma. D’après Faisceaux sur les champs, lemme 075H la prise des images directes supérieures commute au changement de base. L’hypothèse (2) montre que l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{Y}\) appartient à \(\mathcal{M}_{\mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{Y}}\) car la projection \(\mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) est lisse comme changement de base d’un morphisme lisse. Ainsi, (3) montre que nous pouvons remplacer \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) par la projection \(\mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{Y} \to \mathcal{U}\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(\mathcal{X}\) est représentable par un schéma. En appliquant encore (3), nous voyons que la question est locale sur \(\mathcal{X}\) pour la topologie de Zariski ; nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{X}\) est représentable par un schéma affine. Comme \(f\) est quasi-compact, il s’ensuit que \(\mathcal{Y}\) est également quasi-compacte. Nous pouvons donc choisir un morphisme lisse surjectif \(g : \mathcal{V} \to \mathcal{Y}\), où \(\mathcal{V}\) est représentable par un schéma affine.

Dans cette situation, nous disposons de la suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^q(f \circ g_p)_*g_p^*\mathcal{F} \Rightarrow R^{p + q}f_*\mathcal{F}\] de Faisceaux sur les champs, proposition 072G. Rappelons qu’il s’agit d’une suite spectrale du premier quadrant ; nous pouvons donc appliquer la dernière partie de Homologie, lemme 0132. Notons que les morphismes \[g_p : \mathcal{V}_p = \mathcal{V} \times_\mathcal{Y} \ldots \times_\mathcal{Y} \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{Y}\] sont lisses comme composés de changements de base du morphisme lisse \(g\). Ainsi, les faisceaux \(g_p^*\mathcal{F}\) appartiennent à \(\mathcal{M}_{\mathcal{V}_p}\) d’après (2). Il suffit donc de démontrer que les images directes supérieures des objets de \(\mathcal{M}_{\mathcal{V}_p}\) par les morphismes \[\mathcal{V}_p = \mathcal{V} \times_\mathcal{Y} \ldots \times_\mathcal{Y} \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{X}\] appartiennent à \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\). Les champs algébriques \(\mathcal{V}_p\) sont quasi-compacts et quasi-séparés d’après Morphismes de champs, lemme 075S. Bien entendu, chaque \(\mathcal{V}_p\) est représentable par un espace algébrique (la diagonale du champ algébrique \(\mathcal{Y}\) est représentable par des espaces algébriques). Nous sommes donc ramenés au cas où \(\mathcal{Y}\) est représentable par un espace algébrique et \(\mathcal{X}\) par un schéma affine.

Lorsque \(\mathcal{Y}\) est représentable par un espace algébrique et \(\mathcal{X}\) par un schéma affine, choisissons de nouveau un morphisme lisse surjectif \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\), où \(\mathcal{V}\) est représentable par un schéma affine. En reprenant l’argument précédent, nous sommes de nouveau ramenés aux morphismes \(\mathcal{V}_p \to \mathcal{X}\). Mais, dans la situation présente, les champs algébriques \(\mathcal{V}_p\) sont représentables par des schémas quasi-compacts et quasi-séparés (car la diagonale d’un espace algébrique est représentable par des schémas).

Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{Y}\) est représentable par un schéma et \(\mathcal{X}\) par un schéma affine. Choisissons (encore) un morphisme lisse surjectif \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\), où \(\mathcal{V}\) est représentable par un schéma affine. Dans ce cas, tous les champs algébriques \(\mathcal{V}_p\) sont représentables par des schémas séparés (car la diagonale d’un schéma est séparée).

Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{Y}\) est représentable par un schéma séparé et \(\mathcal{X}\) par un schéma affine. Choisissons (une fois encore) un morphisme lisse surjectif \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\), où \(\mathcal{V}\) est représentable par un schéma affine. Dans ce cas, tous les champs algébriques \(\mathcal{V}_p\) sont représentables par des schémas affines (car la diagonale d’un schéma séparé est une immersion fermée, donc affine), et ce cas est couvert par l’hypothèse (4). Ceci achève la démonstration.

Voici la version pour la topologie fppf.

Lemme

Soit \(\mathcal{M}\) une règle qui associe à tout champ algébrique \(\mathcal{X}\) une sous-catégorie \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) telle que

1. \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\) soit une sous-catégorie faible de Serre de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) pour tout champ algébrique \(\mathcal{X}\),

2. pour tout morphisme lisse de champs algébriques \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\), le foncteur \(f^*\) envoie \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\) dans \(\mathcal{M}_\mathcal{Y}\),

3. si \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) est une famille de morphismes lisses de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| = \bigcup |f_i|(|\mathcal{X}_i|)\), alors un objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) appartient à \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\) si et seulement si \(f_i^*\mathcal{F}\) appartient à \(\mathcal{M}_{\mathcal{X}_i}\) pour tout \(i\), et

4. si \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) est un morphisme de champs algébriques tel que \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) soient représentables par des schémas affines, alors \(R^if_*\) envoie \(\mathcal{M}_\mathcal{Y}\) dans \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\).

Alors, pour tout morphisme quasi-compact et quasi-séparé \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) de champs algébriques, \(R^if_*\) envoie \(\mathcal{M}_\mathcal{Y}\) dans \(\mathcal{M}_\mathcal{X}\). (Les images directes supérieures sont calculées pour la topologie fppf.)

Démonstration

Identique à la démonstration du lemme 076Z.

Modules localement quasi-cohérents

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules. On peut se demander si \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent ; voir Faisceaux sur les champs, définition 06WJ. En bref, cela signifie que \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module pour la topologie étale tel que, pour tout morphisme \(f : U \to \mathcal{X}\), la restriction \(f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\) soit quasi-cohérente sur \(U_\etale\). (La définition proprement dite est légèrement différente, mais équivalente.) Un fait utile est que \[\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] est une sous-catégorie faible de Serre ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 06WM.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(f_j : \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\) une famille de morphismes lisses de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| =\bigcup |f_j|(|\mathcal{X}_j|)\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules sur \(\mathcal{X}_\etale\). Si chaque \(f_j^{-1}\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent, alors \(\mathcal{F}\) l’est aussi.

Démonstration

Nous pouvons remplacer chacun des champs algébriques \(\mathcal{X}_j\) par un schéma \(U_j\) (en utilisant le fait que tout champ algébrique possède un recouvrement lisse par un schéma et que les composés de morphismes lisses sont lisses ; voir Morphismes de champs, lemme 075V). L’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/U_j)_\etale\) est encore localement quasi-cohérente ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 06WL. Alors \(f = \coprod f_j : U = \coprod U_j \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse surjectif. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\). D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06XH il existe un recouvrement étale \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) tel que chaque \(x_i\) se relève en un objet \(u_i\) de \((\Sch/U)_\etale\). Cela signifie simplement que \(x\), \(x_i\) sont au-dessus de schémas \(V\), \(V_i\), que \(\{V_i \to V\}\) est un recouvrement étale et que \(x_i\) provient d’un morphisme \(u_i : V_i \to U\). La restriction \(x_i^*\mathcal{F}|_{V_{i, \etale}}\) est égale à la restriction de \(f^*\mathcal{F}\) à \(V_{i, \etale}\) ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 075D. Ainsi, \(x^*\mathcal{F}|_{V_\etale}\) est un faisceau sur le petit site étale de \(V\) dont la restriction à \(V_{i, \etale}\) est quasi-cohérente pour tout \(i\). Il est donc quasi-cohérent, comme souhaité, par exemple d’après Propriétés des espaces, lemme 03M0.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module localement quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}_\etale\). Alors \(R^if_*\mathcal{F}\) (calculé pour la topologie étale) est localement quasi-cohérent sur \(\mathcal{Y}_\etale\).

Démonstration

Nous allons utiliser le lemme 076Z pour le démontrer. Vérifions ses hypothèses (1) – (4). Les parties (1) et (2) résultent de Faisceaux sur les champs, lemme 06WM. La partie (3) résulte du lemme 075Y. Il suffit donc de démontrer (4).

Supposons que \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) soit un morphisme de champs algébriques tel que \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) soient représentables par des schémas affines \(X\) et \(Y\). Choisissons un objet quelconque \(y\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus d’un schéma \(V\). Pour plus de clarté, notons \(\mathcal{V} = (\Sch/V)_{fppf}\) le champ algébrique correspondant à \(V\). Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ \mathcal{Z} \ar[d] \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{V} \ar[r]^y & \mathcal{Y} }\] Ainsi, \(\mathcal{Z}\) est représentable par le schéma \(Z = V \times_Y X\) et \(f'\) est quasi-compact et séparé (même affine). D’après Faisceaux sur les champs, lemme 075P nous avons \[R^if_*\mathcal{F}|_{V_\etale} = R^if'_{small, *}\big(g^*\mathcal{F}|_{Z_\etale}\big)\] Le membre de droite est un faisceau quasi-cohérent sur \(V_\etale\) d’après Cohomologie des espaces, lemme 0720. Il s’ensuit que le membre de gauche est quasi-cohérent, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(f_j : \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\) une famille de morphismes plats et localement de présentation finie de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| =\bigcup |f_j|(|\mathcal{X}_j|)\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules sur \(\mathcal{X}_{fppf}\). Si chaque \(f_j^{-1}\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent, alors \(\mathcal{F}\) l’est aussi.

Démonstration

Supposons d’abord qu’il existe un morphisme \(a : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) surjectif, plat, localement de présentation finie, quasi-compact et quasi-séparé, tel que \(a^*\mathcal{F}\) soit localement quasi-cohérent. Il existe alors une suite exacte \[0 \to \mathcal{F} \to a_*a^*\mathcal{F} \to b_*b^*\mathcal{F}\] où \(b\) est le morphisme \(b : \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) ; voir Faisceaux sur les champs, proposition 06XE et lemme 06XH. De plus, l’image inverse \(b^*\mathcal{F}\) est l’image inverse de \(a^*\mathcal{F}\) par l’une des projections ; elle est donc localement quasi-cohérente (Faisceaux sur les champs, lemme 06WL). Les modules \(a_*a^*\mathcal{F}\) et \(b_*b^*\mathcal{F}\) sont localement quasi-cohérents d’après le lemme 075Z. (Notons que \(a_*\) et \(b_*\) ne dépendent pas de la topologie utilisée pour les calculer.) Nous en concluons que \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 06WM.

Nous allons ramener la démonstration du cas général à la situation du premier paragraphe. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(U\). Nous devons montrer que \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent. Il suffit de le faire localement sur \(U\) pour la topologie de Zariski ; nous pouvons donc supposer \(U\) affine. D’après Morphismes de champs, lemme 07AN il existe un recouvrement fppf \(\{a_i : U_i \to U\}\) tel que chaque \(x \circ a_i\) se factorise par un certain \(f_j\). Ainsi, \(a_i^*\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent sur \((\Sch/U_i)_{fppf}\). En raffinant le recouvrement, nous pouvons supposer que \(\{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) est un recouvrement fppf standard. Alors \(x^*\mathcal{F}\) est un module fppf sur \((\Sch/U)_{fppf}\) dont l’image inverse par le morphisme \(a : U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \to U\) est localement quasi-cohérente. Le premier paragraphe montre donc que \(x^*\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent, ce qui implique assurément que \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\) est quasi-cohérent.

Morphismes de comparaison plats

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique et soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Étant donné un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(U\), la restriction \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\) est la restriction de \(x^{-1}\mathcal{F}\) au petit site étale de \(U\) ; voir Faisceaux sur les champs, définition 06W1. Soit ensuite \(\varphi : x \to x'\) un morphisme de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un morphisme de schémas \(f : U \to U'\). Nous avons donc un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ U \ar[rd]_x \ar[rr]_f & & U' \ar[ld]^{x'} \\ & \mathcal{X} }\] À \(\varphi\) est associé un morphisme de comparaison entre les restrictions [0761]\[\begin{equation} c_\varphi : f_{small}^*(\mathcal{F}|_{U'_\etale}) \longrightarrow \mathcal{F}|_{U_\etale} \end{equation}\] voir Faisceaux sur les champs, équation (06WC). Dans cette situation, nous pouvons considérer la propriété suivante de \(\mathcal{F}\).

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique et soit \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\). Nous disons que \(\mathcal{F}\) possède la propriété de changement de base plat¹ si et seulement si \(c_\varphi\) est un isomorphisme dès que \(f\) est plat.

Voici un lemme donnant quelques propriétés de cette notion.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module sur \(\mathcal{X}_\etale\).

1. Si \(\mathcal{F}\) possède la propriété de changement de base plat, alors, pour tout morphisme \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) de champs algébriques, son image inverse \(g^*\mathcal{F}\) la possède aussi.

2. La sous-catégorie pleine de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) formée des modules possédant la propriété de changement de base plat est une sous-catégorie faible de Serre.

3. Soit \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) une famille de morphismes lisses de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| = \bigcup_i |f_i|(|\mathcal{X}_i|)\). Si chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) possède la propriété de changement de base plat, alors \(\mathcal{F}\) la possède aussi.

4. La catégorie des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules sur \(\mathcal{X}_\etale\) possédant la propriété de changement de base plat admet des limites inductives, qui coïncident avec celles de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).

5. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) et possèdent la propriété de changement de base plat, alors le produit tensoriel \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}\) possède cette propriété.

6. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) avec \(\mathcal{F}\) de présentation finie et \(\mathcal{G}\) possédant la propriété de changement de base plat, alors le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) possède la propriété de changement de base plat.

Démonstration

Soit \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) comme en (1). Soit \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus d’un schéma \(V\). D’après Faisceaux sur les champs, lemme 075D nous avons \((g^*\mathcal{F})|_{V_\etale} = \mathcal{F}|_{V_\etale}\). De plus, un morphisme de comparaison pour le faisceau \(g^*\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{Y}\) est un cas particulier d’un morphisme de comparaison pour le faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}\) ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 075D. Ainsi, (1) est clair.

Démonstration de (2). Nous utilisons la caractérisation des sous-catégories faibles de Serre de Homologie, lemme 0754. Les noyaux et conoyaux des morphismes entre faisceaux possédant la propriété de changement de base plat possèdent eux aussi cette propriété. C’est clair, car \(f_{small}^*\) est exact pour un morphisme plat de schémas et les foncteurs de restriction \((-)|_{U_\etale}\) sont exacts (puisque nous travaillons avec la topologie étale). Enfin, si \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) est une suite exacte courte dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) et que les deux faisceaux extrêmes possèdent la propriété de changement de base plat, alors celui du milieu la possède aussi, toujours par l’exactitude de \(f_{small}^*\) et des foncteurs de restriction (ainsi que par le lemme des cinq).

Démonstration de (3). Soit \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) une famille conjointement surjective de morphismes lisses de champs algébriques et supposons que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) possède la propriété de changement de base plat. D’après la partie (1), la définition d’un champ algébrique et le fait que les composés de morphismes lisses sont lisses (voir Morphismes de champs, lemme 075V) nous pouvons supposer que chaque \(\mathcal{X}_i\) est représentable par un schéma. Soit \(\varphi : x \to x'\) un morphisme de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un morphisme plat de schémas \(a : U \to U'\). D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06XH il existe une famille conjointement surjective de morphismes étales \(U'_i \to U'\) telle que \(U'_i \to U' \to \mathcal{X}\) se factorise par \(\mathcal{X}_i\). Nous obtenons ainsi des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ U_i = U \times_{U'} U_i' \ar[r]_-{a_i} \ar[d] & U_i' \ar[r]_{x_i'} \ar[d] & \mathcal{X}_i \ar[d]^{f_i} \\ U \ar[r]^a & U' \ar[r]^{x'} & \mathcal{X} }\] Notons que chaque \(a_i\) est un morphisme plat de schémas, comme changement de base de \(a\). Notons \(\psi_i : x_i \to x'_i\) le morphisme de \(\mathcal{X}_i\) au-dessus de \(a_i\) et de but \(x_i'\). Par hypothèse, le morphisme de comparaison \(c_{\psi_i} : (a_i)_{small}^*\big(f_i^*\mathcal{F}|_{(U'_i)_\etale}\big) \to f_i^*\mathcal{F}|_{(U_i)_\etale}\) est un isomorphisme. Comme les flèches verticales \(U_i' \to U'\) et \(U_i \to U\) sont étales, les faisceaux \(f_i^*\mathcal{F}|_{(U_i')_\etale}\) et \(f_i^*\mathcal{F}|_{(U_i)_\etale}\) sont les restrictions de \(\mathcal{F}|_{U'_\etale}\) et \(\mathcal{F}|_{U_\etale}\), et le morphisme \(c_{\psi_i}\) est la restriction de \(c_\varphi\) à \((U_i)_\etale\) ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 075D. Puisque \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement étale, il s’ensuit que le morphisme de comparaison \(c_\varphi\) est un isomorphisme, ce qu’il fallait démontrer.

Démonstration de (4). Soit \(\mathcal{I} \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\) un diagramme, et supposons que chaque \(\mathcal{F}_i\) possède la propriété de changement de base plat. Soit \(\varphi : x \to x'\) un morphisme de \(\mathcal{X}\) au-dessus du morphisme plat de schémas \(f : U \to U'\). Rappelons que \(\colim_i \mathcal{F}_i\) est le faisceau associé à la limite inductive des préfaisceaux. Comme nous utilisons la topologie étale, il est clair que \[(\colim_i \mathcal{F}_i)|_{U_\etale} = \colim_i {\mathcal{F}_i}|_{U_\etale}\] et de même pour la restriction à \(U'_\etale\). Ainsi, \[\begin{align*} f_{small}^*((\colim_i \mathcal{F}_i)|_{U'_\etale}) & = f_{small}^*(\colim_i {\mathcal{F}_i}|_{U'_\etale}) \\ & = \colim_i f_{small}^*({\mathcal{F}_i}|_{U'_\etale}) \\ & \xrightarrow{\colim c_\varphi} \colim_i \mathcal{F}_i|_{U_\etale} \\ & = (\colim_i \mathcal{F}_i)|_{U_\etale} \end{align*}\] Pour la deuxième égalité, nous avons utilisé que \(f_{small}^*\) commute aux limites inductives (en tant qu’adjoint à gauche). La flèche est un isomorphisme puisque chaque \(\mathcal{F}_i\) possède la propriété de changement de base plat. La limite inductive possède donc cette propriété, et (4) est vraie.

La partie (5) vaut parce que les produits tensoriels commutent aux images inverses ; voir Modules sur les sites, lemme 03EL. Nous omettons les détails.

Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) comme en (6). Puisque \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, il possède la propriété de changement de base plat d’après Faisceaux sur les champs, lemme 06WK. Soit \(\varphi : x \to x'\) un morphisme de \(\mathcal{X}\) au-dessus du morphisme plat de schémas \(f : U \to U'\). Comme nous utilisons la topologie étale, nous avons \[\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})|_{U_\etale} = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_{U_\etale}, \mathcal{G}|_{U_\etale})\] et de même pour la restriction à \(U'_\etale\) (nous omettons les détails). Ainsi, \[\begin{align*} f_{small}^*( \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})|_{U'_\etale}) & = f_{small}^*( \SheafHom_{\mathcal{O}_{U'}}( \mathcal{F}|_{U'_\etale}, \mathcal{G}|_{U'_\etale})) \\ & = \SheafHom_{\mathcal{O}_{U'}}( f_{small}^*(\mathcal{F}|_{U'_\etale}), f_{small}^*(\mathcal{G}|_{U'_\etale})) \\ & \xrightarrow{c_\varphi} \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_{U_\etale}, \mathcal{G}|_{U_\etale}) \\ & = \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})|_{U_\etale} \end{align*}\] Ici, la deuxième égalité est donnée par Modules sur les sites, lemme 0GN2 qui utilise que \(f : U \to U'\) est plat et que, par conséquent, le morphisme de sites annelés \(f_{small}\) est plat lui aussi. La flèche est un isomorphisme puisque \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) possèdent toutes deux la propriété de changement de base plat. Ainsi, notre \(\SheafHom\) possède lui aussi cette propriété, comme souhaité.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) qui soit localement quasi-cohérent et possède la propriété de changement de base plat. Alors chaque \(R^if_*\mathcal{F}\) (calculé pour la topologie étale) possède la propriété de changement de base plat.

Démonstration

Nous allons utiliser le lemme 076Z pour le démontrer. Pour tout champ algébrique \(\mathcal{X}\), notons \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) la sous-catégorie pleine de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) formée des faisceaux localement quasi-cohérents possédant la propriété de changement de base plat. Une fois vérifiées les conditions (1) – (4) du lemme 076Z le lemme en résultera. Les propriétés (1), (2) et (3) résultent de Faisceaux sur les champs, lemmes 06WL et 06WM ainsi que des lemmes 075Y et 0764. Il suffit donc de démontrer la partie (4).

Supposons que \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) soit un morphisme de champs algébriques tel que \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) soient représentables par des schémas affines \(X\) et \(Y\). Dans ce cas, supposons que \(\psi : y \to y'\) soit un morphisme de \(\mathcal{Y}\) au-dessus d’un morphisme plat de schémas \(b : V \to V'\). Pour plus de clarté, notons \(\mathcal{V} = (\Sch/V)_{fppf}\) et \(\mathcal{V}' = (\Sch/V')_{fppf}\) les champs algébriques correspondants. Considérons le diagramme de champs algébriques \[\xymatrix{ \mathcal{Z} \ar[d]_{f''} \ar[r]_a & \mathcal{Z}' \ar[r]_{x'} \ar[d]_{f'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \mathcal{V} \ar[r]^b & \mathcal{V}' \ar[r]^{y'} & \mathcal{Y} }\] dont les deux carrés sont cartésiens. Comme \(f\) est représentable par des schémas (et quasi-compact et séparé – même affine), nous voyons que \(\mathcal{Z}\) et \(\mathcal{Z}'\) sont représentables par des schémas \(Z\) et \(Z'\) et qu’en fait \(Z = V \times_{V'} Z'\). Puisque \(\mathcal{F}\) possède la propriété de changement de base plat, nous voyons que \[a_{small}^*\big(\mathcal{F}|_{Z'_\etale}\big) \longrightarrow \mathcal{F}|_{Z_\etale}\] est un isomorphisme. De plus, \[R^if_*\mathcal{F}|_{V'_\etale} = R^i(f')_{small, *}\big(\mathcal{F}|_{Z'_\etale}\big)\] et \[R^if_*\mathcal{F}|_{V_\etale} = R^i(f'')_{small, *}\big(\mathcal{F}|_{Z_\etale}\big)\] d’après Faisceaux sur les champs, lemme 075P. Nous voyons donc que le morphisme de comparaison \[c_\psi : b_{small}^*(R^if_*\mathcal{F}|_{V'_\etale}) \longrightarrow R^if_*\mathcal{F}|_{V_\etale}\] est un isomorphisme d’après Cohomologie des espaces, lemme 073K. Ainsi, \(R^if_*\mathcal{F}\) possède la propriété de changement de base plat. Puisque \(R^if_*\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent d’après le lemme 075Z nous avons terminé.

Modules localement quasi-cohérents possédant la propriété de changement de base plat

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Nous noterons² \[\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] la sous-catégorie pleine dont les objets sont les \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules étales \(\mathcal{F}\) qui sont à la fois localement quasi-cohérents (section 075X) et possèdent la propriété de changement de base plat (section 0760). Nous avons \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] d’après Faisceaux sur les champs, lemme 06WK.

Proposition

Résumé des résultats sur les modules localement quasi-cohérents possédant la propriété de changement de base plat.

1. Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie fppf, c’est-à-dire un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

2. La catégorie \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est une sous-catégorie faible de Serre à la fois de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).

3. L’image inverse \(f^*\) par tout morphisme de champs algébriques \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) induit un foncteur \(f^* : \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

4. Si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques et si \(\mathcal{F}\) est un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors

   1. l’image directe totale \(Rf_*\mathcal{F}\) et les images directes supérieures \(R^if_*\mathcal{F}\) peuvent être calculées indifféremment pour la topologie étale ou la topologie fppf, avec le même résultat, et

   2. chaque \(R^if_*\mathcal{F}\) est un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\).

5. La catégorie \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) admet des limites inductives, qui coïncident avec celles de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) ainsi qu’avec celles de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

6. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) appartiennent à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors le produit tensoriel \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

7. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et si \(\mathcal{G}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

La partie (1) est Faisceaux sur les champs, lemme 076T.

La partie (2) pour l’inclusion \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) a été établie dans la démonstration du lemme 0765. Démontrons (2) pour l’inclusion \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme entre des objets de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Puisque \(\Ker(\varphi)\) est le même qu’il soit calculé pour la topologie étale ou pour la topologie fppf, nous voyons que \(\Ker(\varphi)\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) d’après le cas étale. D’autre part, le conoyau calculé pour la topologie fppf est le faisceau fppf associé au conoyau calculé pour la topologie étale. Or ce conoyau étale appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), donc il est un faisceau fppf d’après (1), et nous voyons que le conoyau appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Enfin, supposons que \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] soit une suite exacte dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) (c’est-à-dire pour la topologie fppf), avec \(\mathcal{F}_1\), \(\mathcal{F}_2\) dans \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Pour montrer que \(\mathcal{F}_2\) est un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), il suffit de montrer que la suite est aussi exacte pour la topologie étale. Pour cela, il suffit de montrer que tout élément de \(H^1_{fppf}(x, \mathcal{F}_1)\) devient nul sur les membres d’un recouvrement étale de \(x\) (pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\)). Cela est vrai parce que \(H^1_{fppf}(x, \mathcal{F}_1) = H^1_\etale(x, \mathcal{F}_1)\) d’après Faisceaux sur les champs, lemme 075R et par la localité de la cohomologie ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 01FW. Ceci démontre (2).

La partie (3) résulte du lemme 0764 et de Faisceaux sur les champs, lemme 06WL.

La partie (4)(b), pour \(R^if_*\mathcal{F}\) calculé en cohomologie étale, résulte du lemme 0765. La partie (4)(a) résulte alors de Faisceaux sur les champs, lemme 075R combiné avec (1) ci-dessus.

La partie (5), pour la topologie étale, résulte de Faisceaux sur les champs, lemme 06WM et du lemme 0764. La version fppf en résulte, puisque la limite inductive pour la topologie étale est déjà un faisceau fppf d’après la partie (1).

Les parties (6) et (7) résultent des parties correspondantes du lemme 0764 et de Faisceaux sur les champs, lemme 06WM.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique.

1. Soit \(f_j : \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\) une famille de morphismes lisses de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| =\bigcup |f_j|(|\mathcal{X}_j|)\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules sur \(\mathcal{X}_\etale\). Si chaque \(f_j^{-1}\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fpc}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_i})\), alors \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

2. Soit \(f_j : \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\) une famille de morphismes plats et localement de présentation finie de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| =\bigcup |f_j|(|\mathcal{X}_j|)\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules sur \(\mathcal{X}_{fppf}\). Si chaque \(f_j^{-1}\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_i})\), alors \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

La partie (1) résulte de la combinaison des lemmes 075Y et 0764. La démonstration de (2) est analogue à celle du lemme 07AP. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules sur \(\mathcal{X}_{fppf}\).

Supposons d’abord qu’il existe un morphisme \(a : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) surjectif, plat, localement de présentation finie, quasi-compact et quasi-séparé, tel que \(a^*\mathcal{F}\) soit localement quasi-cohérent et possède la propriété de changement de base plat. Il existe alors une suite exacte \[0 \to \mathcal{F} \to a_*a^*\mathcal{F} \to b_*b^*\mathcal{F}\] où \(b\) est le morphisme \(b : \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) ; voir Faisceaux sur les champs, proposition 06XE et lemme 06XH. De plus, l’image inverse \(b^*\mathcal{F}\) est l’image inverse de \(a^*\mathcal{F}\) par l’une des projections ; elle est donc localement quasi-cohérente et possède la propriété de changement de base plat ; voir proposition 0771. Les modules \(a_*a^*\mathcal{F}\) et \(b_*b^*\mathcal{F}\) sont localement quasi-cohérents et possèdent la propriété de changement de base plat d’après la proposition 0771. Nous en concluons que \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent et possède la propriété de changement de base plat d’après la proposition 0771.

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(x : U \to \mathcal{X}\). D’après la partie (1), il suffit de montrer que \(x^*\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent et possède la propriété de changement de base plat. Toujours d’après la partie (1), il suffit de le faire localement sur \(U\) pour la topologie de Zariski ; nous pouvons donc supposer que \(U\) est affine. D’après Morphismes de champs, lemme 07AN il existe un recouvrement fppf \(\{a_i : U_i \to U\}\) tel que chaque \(x \circ a_i\) se factorise par un certain \(f_j\). Ainsi, le module \(a_i^*\mathcal{F}\) sur \((\Sch/U_i)_{fppf}\) est localement quasi-cohérent et possède la propriété de changement de base plat. Après avoir raffiné le recouvrement, nous pouvons supposer que \(\{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) est un recouvrement fppf standard. Alors \(x^*\mathcal{F}\) est un module fppf sur \((\Sch/U)_{fppf}\) dont l’image inverse par le morphisme \(a : U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \to U\) est localement quasi-cohérente et possède la propriété de changement de base plat. Le paragraphe précédent montre donc que \(x^*\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent et possède la propriété de changement de base plat, comme souhaité.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques qui soit quasi-compact, quasi-séparé et représentable par des espaces algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Alors, pour tout objet \(y : V \to \mathcal{Y}\) de \(\mathcal{Y}\), nous avons \[(R^if_*\mathcal{F})|_{V_\etale} = R^if'_{small, *}(\mathcal{F}|_{U_\etale})\] où \(f' : U = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est le changement de base de \(f\).

Démonstration

D’après Faisceaux sur les champs, lemme 075H nous pouvons nous ramener au cas où \(\mathcal{X}\) est représenté par \(U\) et \(\mathcal{Y}\) par \(V\). Cela utilise bien entendu aussi que l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(U\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_U)\) d’après la proposition 0771. Le résultat découle alors de Faisceaux sur les champs, lemme 075N et du fait que \(R^if_*\) peut être calculé pour la topologie étale d’après la proposition 0771.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme affine de champs algébriques. Le foncteur \(f_* : \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) est exact et commute aux sommes directes. Les foncteurs \(R^if_*\) pour \(i > 0\) s’annulent sur \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

Les foncteurs existent d’après la proposition 0771. D’après le lemme 0GQH, on se ramène au cas d’un morphisme affine d’espaces algébriques, les images directes supérieures étant prises dans le cadre des modules quasi-cohérents sur les espaces algébriques. D’après la discussion de Cohomologie des espaces, section 071Y nous nous ramenons au cas d’un morphisme affine de schémas. Pour les morphismes affines de schémas, l’annulation des images directes supérieures sur les modules quasi-cohérents résulte de Cohomologie des schémas, lemme 01XC. L’annulation de \(R^1f_*\) implique l’exactitude de \(f_*\). La commutation aux sommes directes résulte de Morphismes, lemme 01SB par exemple.

Modules parasites

La définition suivante est compatible avec Descente, définition 06ZL.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Un préfaisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules \(\mathcal{F}\) est parasite si \(\mathcal{F}(x) = 0\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma \(U\) tel que le morphisme correspondant \(x : U \to \mathcal{X}\) soit plat.

Voici un lemme donnant quelques propriétés de cette notion.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}\) est parasite et si \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) est un morphisme plat de champs algébriques, alors \(g^*\mathcal{F}\) est parasite.

2. Pour \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\), nous avons :

   1. le faisceau \(\tau\) associé à un préfaisceau parasite de modules est parasite, et

   2. la sous-catégorie pleine de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) formée des modules parasites est une sous-catégorie de Serre.

3. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau pour la topologie étale. Soit \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) une famille de morphismes lisses de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| = \bigcup_i |f_i|(|\mathcal{X}_i|)\). Si chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) est parasite, alors \(\mathcal{F}\) l’est aussi.

4. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau pour la topologie fppf. Soit \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) une famille de morphismes plats et localement de présentation finie de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| = \bigcup_i |f_i|(|\mathcal{X}_i|)\). Si chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) est parasite, alors \(\mathcal{F}\) l’est aussi.

Démonstration

Pour démontrer la partie (1), soit \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus d’un schéma \(V\) tel que le morphisme correspondant \(y : V \to \mathcal{Y}\) soit plat. Alors \(g(y) : V \to \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) est plat comme composé de morphismes plats (voir Morphismes de champs, lemme 06PX) et donc \(\mathcal{F}(g(y))\) est nul par hypothèse. Puisque \(g^*\mathcal{F} = g^{-1}\mathcal{F}(y) = \mathcal{F}(g(y))\), nous en concluons que \(g^*\mathcal{F}\) est parasite.

Pour démontrer la partie (2)(a), notons que si \(\{x_i \to x\}\) est un recouvrement pour la topologie \(\tau\) de \(\mathcal{X}\), alors chacun des morphismes \(x_i \to x\) est au-dessus d’un morphisme plat de schémas. Ainsi, si \(x\) est au-dessus d’un schéma \(U\) tel que \(x : U \to \mathcal{X}\) soit plat, il en va de même de tous les objets \(x_i\). Par conséquent, le préfaisceau \(\mathcal{F}^+\) (voir Sites, section 00W1) est parasite si le préfaisceau \(\mathcal{F}\) est parasite. Cela démontre (2)(a), puisque le faisceau associé à \(\mathcal{F}\) est \((\mathcal{F}^+)^+\).

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\tau\)-module parasite. Il résulte immédiatement des définitions que tout sous-module de \(\mathcal{F}\) est parasite. D’autre part, si \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) est un sous-module, il est également clair que le préfaisceau \(x \mapsto \mathcal{F}(x)/\mathcal{F}'(x)\) est parasite. Ainsi, le quotient \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\) est un module parasite d’après (2)(a). Enfin, il faut montrer que, pour toute suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) dont \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) sont parasites, \(\mathcal{F}_2\) est parasite. Cela résulte immédiatement de l’évaluation en \(x\), lorsque cet objet est au-dessus d’un schéma plat sur \(\mathcal{X}\). Ceci démontre (2)(b) ; voir Homologie, lemme 02MP.

Soit \(f_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) une famille conjointement surjective de morphismes lisses de champs algébriques, et supposons que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit parasite. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma \(U\) tel que \(x : U \to \mathcal{X}\) soit plat. Considérons un recouvrement lisse surjectif \(W_i \to U \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{X}_i\). Notons \(y_i : W_i \to \mathcal{X}_i\) la projection. Il s’ensuit que \(\{f_i(y_i) \to x\}\) est un recouvrement pour la topologie lisse sur \(\mathcal{X}\). Comme un composé de morphismes plats est plat, nous voyons que \(f_i^*\mathcal{F}(y_i) = 0\). D’autre part, comme nous l’avons vu dans la démonstration de (1), nous avons \(f_i^*\mathcal{F}(y_i) = \mathcal{F}(f_i(y_i))\). Ainsi, pour un certain recouvrement lisse \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{X}\), nous avons \(\mathcal{F}(x_i) = 0\). Cela implique \(\mathcal{F}(x) = 0\), car la topologie lisse est la même que la topologie étale ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 055V. En effet, \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) est au-dessus d’un recouvrement lisse \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de schémas. D’après le lemme qui vient d’être cité, il existe un recouvrement étale \(\{V_j \to U\}_{j \in J}\) qui raffine \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\). Notons \(x'_j = x|_{V_j}\). Alors \(\{x'_j \to x\}\) est un recouvrement étale dans \(\mathcal{X}\) raffinant \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\). Cela signifie que l’application \(\mathcal{F}(x) \to \prod_{j \in J} \mathcal{F}(x'_j)\), qui est injective puisque \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie étale, se factorise par \(\mathcal{F}(x) \to \prod_{i \in I} \mathcal{F}(x_i)\), qui est nulle. Ainsi, \(\mathcal{F}(x) = 0\), comme souhaité.

Démonstration de (4) : omise. Indication : elle est semblable, mais plus simple, à celle de (3).

Les modules parasites sont préservés par toute image directe, sans aucune restriction.

Lemme

Soit \(\tau \in \{\etale, fppf\}\). Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(\mathcal{F}\) un objet parasite de \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{X})\).

1. \(H^i_\tau(\mathcal{X}, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(i\).

2. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Alors \(R^if_*\mathcal{F}\) (calculé pour la topologie \(\tau\)) est un objet parasite de \(\textit{Mod}(\mathcal{Y}_\tau, \mathcal{O}_\mathcal{Y})\).

Démonstration

Nous ramenons d’abord (2) à (1). D’après Faisceaux sur les champs, lemme 075G, nous voyons que \(R^if_*\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[y \longmapsto H^i_\tau\Big(V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}, \ \text{pr}^{-1}\mathcal{F}\Big)\] Ici, \(y\) est un objet type de \(\mathcal{Y}\) au-dessus du schéma \(V\). D’après le lemme 0774, il suffit de montrer que ces groupes de cohomologie sont nuls lorsque \(y : V \to \mathcal{Y}\) est plat. Notons que \(\text{pr} : V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est plat comme changement de base de \(y\). Ainsi, d’après le lemme 0774, nous voyons que \(\text{pr}^{-1}\mathcal{F}\) est parasite. Il suffit donc de démontrer (1).

Pour démontrer (1), nous pouvons utiliser la suite spectrale de Faisceaux sur les champs, proposition 06XJ pour nous ramener au cas où \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique représentable par un espace algébrique. Notons que, dans la suite spectrale, chaque \(f_p^{-1}\mathcal{F} = f_p^*\mathcal{F}\) est un module parasite d’après le lemme 0774, car les morphismes \(f_p : \mathcal{U}_p = \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) sont plats. En réutilisant encore une fois cette suite spectrale (comme dans la démonstration du lemme 076Z), nous nous ramenons au cas où le champ algébrique \(\mathcal{X}\) est représentable par un schéma \(X\). Alors \(H^i_\tau(\mathcal{X}, \mathcal{F}) = H^i((\Sch/X)_\tau, \mathcal{F})\). Dans ce cas, l’annulation résulte facilement d’un argument avec des recouvrements de Čech ; voir Descente, lemme 0755.

Le lemme suivant donne l’une des principales raisons de nous intéresser aux modules parasites. Pour en comprendre l’énoncé, rappelons que les foncteurs \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) et \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) ne sont pas exacts en général.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soient \(\alpha : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) et \(\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) des morphismes dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) tels que \(\beta \circ \alpha = 0\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. dans la catégorie abélienne \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), le complexe \(\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est exact en \(\mathcal{G}\) ;

2. \(\Ker(\beta)/\Im(\alpha)\), calculé soit dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\), soit dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) est parasite.

Démonstration

Nous avons \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) ; voir section 0GQG. Ainsi, les objets \(\Ker(\beta)/\Im(\alpha)\) calculés dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) ou dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) coïncident ; voir proposition 0771. Désormais, nous utiliserons la topologie étale sur \(\mathcal{X}\).

Soit \(\mathcal{E}\) la cohomologie de \(\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) calculée dans la catégorie abélienne \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Soit \(x : U \to \mathcal{X}\) un morphisme plat, où \(U\) est un schéma. Comme nous utilisons la topologie étale, le foncteur de restriction \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(U_\etale, \mathcal{O}_U)\) est exact. D’autre part, d’après le lemme 076X et Faisceaux sur les champs, lemme 0GQD le foncteur de restriction \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{x^*} \QCoh((\Sch/U)_\etale, \mathcal{O}) \xrightarrow{{-}|_{U_\etale}} \QCoh(U_\etale, \mathcal{O}_U)\] est lui aussi exact. Nous en concluons que \(\mathcal{E}|_{U_\etale} = (\Ker(\beta)/\Im(\alpha))|_{U_\etale}\).

Si (1) vaut, alors \(\mathcal{E} = 0\) ; ainsi, \(\Ker(\beta)/\Im(\alpha)\) se restreint à zéro sur \(U_\etale\) pour tout \(U\) plat sur \(\mathcal{X}\), et c’est la définition d’un module parasite. Si (2) vaut, alors \(\Ker(\beta)/\Im(\alpha)\) se restreint à zéro sur \(U_\etale\) pour tout \(U\) plat sur \(\mathcal{X}\) ; ainsi, \(\mathcal{E}\) se restreint à zéro sur \(U_\etale\) pour tout \(U\) plat sur \(\mathcal{X}\). Cela implique certainement que le module quasi-cohérent \(\mathcal{E}\) est nul ; on peut par exemple appliquer le lemme 0GQF au morphisme \(0 \to \mathcal{E}\).

Modules quasi-cohérents

Nous avons vu que la catégorie des modules quasi-cohérents sur un champ algébrique est équivalente à la catégorie des modules quasi-cohérents sur une présentation ; voir Faisceaux sur les champs, section 06WU. Ce fait est à la base de ce qui suit.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) la catégorie des modules localement quasi-cohérents possédant la propriété de changement de base plat ; voir section 0GQG. Le foncteur d’inclusion \(i : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) admet un adjoint à droite \[Q : \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] tel que \(Q \circ i\) soit le foncteur identité.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(f : U \to \mathcal{X}\). Posons \(R = U \times_\mathcal{X} U\) ; nous obtenons ainsi un groupoïde lisse \((U, R, s, t, c)\) en espaces algébriques tel que \(\mathcal{X} = [U/R]\) ; voir Champs algébriques, lemme 04T5. Nous pouvons remplacer, et remplaçons, \(\mathcal{X}\) par \([U/R]\). D’après Faisceaux sur les champs, proposition 06WT il existe une équivalence \[q_1 : \QCoh(U, R, s, t, c) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] Construisons un foncteur \[q_2 : \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(U, R, s, t, c)\] par la règle suivante : si \(\mathcal{F}\) est un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), nous posons \[q_2(\mathcal{F}) = (f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}, \alpha)\] où \(\alpha\) est l’isomorphisme \[t_{small}^*(f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}) \to t^*f^*\mathcal{F}|_{R_\etale} \to s^*f^*\mathcal{F}|_{R_\etale} \to s_{small}^*(f^*\mathcal{F}|_{U_\etale})\] où les deux morphismes extrêmes sont les morphismes de comparaison. Notons que \(q_2(\mathcal{F})\) est quasi-cohérent précisément parce que \(\mathcal{F}\) est localement quasi-cohérent, et que nous avons utilisé (et eu besoin de) la propriété de changement de base plat dans la construction de la donnée de descente \(\alpha\). Nous omettons la vérification de la condition de cocycle (voir Groupoïdes dans les espaces, définition 0441). En examinant la démonstration de Faisceaux sur les champs, proposition 06WT nous voyons que \(q_2 \circ i\) est un quasi-inverse de \(q_1\). Définissons \(Q = q_1 \circ q_2\). Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et soit \(\mathcal{G}\) un objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Nous avons \[\begin{align*} \Mor_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})} (i(\mathcal{G}), \mathcal{F}) & = \Mor_{\QCoh(U, R, s, t, c)}(q_2(i(\mathcal{G})), q_2(\mathcal{F})) \\ & = \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{G}, Q(\mathcal{F})) \end{align*}\] où la première égalité résulte de Faisceaux sur les champs, lemme 076S et la deuxième vaut parce que \(q_1 \circ i\) et \(q_2\) sont des équivalences de catégories quasi-inverses. L’assertion \(Q \circ i \cong \text{id}\) est une conséquence formelle du fait que \(i\) est pleinement fidèle.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(Q : \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) le foncteur construit dans le lemme 0778.

1. Le noyau de \(Q\) est exactement la collection des objets parasites de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

2. Pour tout objet \(\mathcal{F}\) de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), le noyau et le conoyau du morphisme d’adjonction \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) sont parasites.

3. Le foncteur \(Q\) est exact et commute à toutes les limites projectives et inductives.

Démonstration

Écrivons \(\mathcal{X} = [U/R]\) comme dans la démonstration du lemme 0778. Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Il ressort de la démonstration du lemme 0778 que \(\mathcal{F}\) appartient au noyau de \(Q\) si et seulement si \(\mathcal{F}|_{U_\etale} = 0\). En particulier, si \(\mathcal{F}\) est parasite, alors \(\mathcal{F}\) appartient au noyau. Soit ensuite \(x : V \to \mathcal{X}\) un morphisme plat, où \(V\) est un schéma. Posons \(W = V \times_\mathcal{X} U\) et considérons le diagramme \[\xymatrix{ W \ar[d]_p \ar[r]_q & V \ar[d] \\ U \ar[r] & \mathcal{X} }\] Notons que la projection \(p : W \to U\) est plate et que la projection \(q : W \to V\) est lisse et surjective. Il s’ensuit que \(q_{small}^*\) est un foncteur fidèle sur les modules quasi-cohérents. Par hypothèse, \(\mathcal{F}\) possède la propriété de changement de base plat, de sorte que nous obtenons \(p_{small}^*\mathcal{F}|_{U_\etale} \cong q_{small}^*\mathcal{F}|_{V_\etale}\). Ainsi, si \(\mathcal{F}\) appartient au noyau de \(Q\), alors \(\mathcal{F}|_{V_\etale} = 0\), ce qui achève la démonstration de (1).

La partie (2) résulte de la discussion précédente et du fait que le morphisme \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) devient un isomorphisme après restriction à \(U_\etale\).

Pour démontrer la partie (3), notons que \(Q\) est exact à gauche comme adjoint à droite. Soit \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\) une suite exacte courte dans \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Considérons le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & Q(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[d]_a & Q(\mathcal{G}) \ar[r] \ar[d]_b & Q(\mathcal{H}) \ar[r] \ar[d]_c & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{H} \ar[r] & 0 }\] Puisque les noyaux et conoyaux de \(a\), \(b\) et \(c\) sont parasites d’après la partie (2), et puisque la ligne inférieure est une suite exacte courte, nous voyons que la ligne supérieure, considérée comme complexe de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules, a des faisceaux de cohomologie parasites (nous omettons les détails ; on utilise ici que la catégorie des modules parasites est une sous-catégorie de Serre de la catégorie de tous les modules). Par l’exactitude à gauche de \(Q\), seule l’exactitude en \(Q(\mathcal{H})\) reste à établir. Or le conoyau \(\mathcal{Q}\) de \(Q(\mathcal{G}) \to Q(\mathcal{H}))\) peut être calculé soit dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), soit dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), avec le même résultat, car le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est un adjoint à gauche, donc est exact à droite. Ainsi, \(\mathcal{Q} = Q(\mathcal{Q})\) est à la fois quasi-cohérent et parasite, donc \(0\) d’après la partie (1), comme souhaité.

Comme adjoint à droite, \(Q\) commute à toutes les limites projectives. Puisque \(Q\) est exact, pour montrer que \(Q\) commute à toutes les limites inductives, il suffit de montrer que \(Q\) commute aux sommes directes ; voir Catégories, lemme 002P. Soit \(\mathcal{F}_i\), \(i \in I\), une famille d’objets de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Pour voir que \(Q(\bigoplus \mathcal{F}_i)\) est égal à \(\bigoplus Q(\mathcal{F}_i)\), considérons la construction de \(Q\) dans la démonstration du lemme 0778. Elle utilise une présentation \(\mathcal{X} = [U/R]\), où \(U\) est un schéma. Alors \(Q(\mathcal{F})\) se calcule en prenant d’abord la paire \((\mathcal{F}|_{U_\etale}, \alpha)\) dans \(\QCoh(U, R, s, t, c)\), puis en utilisant l’équivalence \(\QCoh(U, R, s, t, c) \cong \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Puisque le foncteur de restriction \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_{U_\etale})\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{U_\etale}\) commute aux sommes directes, l’égalité voulue est claire.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme plat de champs algébriques. Alors \(Q_\mathcal{X} \circ f^* = f^* \circ Q_\mathcal{Y}\), où \(Q_\mathcal{X}\) et \(Q_\mathcal{Y}\) sont comme dans le lemme 0778.

Démonstration

Observons que \(f^*\) préserve à la fois \(\QCoh\) et \(\textit{LQCoh}^{fbc}\) ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 06WH et proposition 0771. Si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\), alors \(Q_\mathcal{Y}(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) a un noyau et un conoyau parasites d’après le lemme 0779. Comme \(f\) est plat, nous obtenons que \(f^*Q_\mathcal{Y}(\mathcal{F}) \to f^*\mathcal{F}\) a un noyau et un conoyau parasites d’après le lemme 0774. Ainsi, le morphisme induit \(f^*Q_\mathcal{Y}(\mathcal{F}) \to Q_\mathcal{X}(f^*\mathcal{F})\) a un noyau et un conoyau parasites et est donc un isomorphisme, par exemple d’après le lemme 0776.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(U\) tel que \(x : U \to \mathcal{X}\) soit plat. Alors, pour \(\mathcal{F}\) dans \(\QCoh^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), nous avons \(Q(\mathcal{F})|_{U_\etale} = \mathcal{F}|_{U_\etale}\).

Démonstration

C’est vrai parce que le noyau et le conoyau de \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) sont parasites ; voir le lemme 0779.

Remarque

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. La catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est abélienne, le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est exact à droite, mais n’est pas exact en général ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 06WV. Nous pouvons utiliser le foncteur \(Q\) des lemmes 0778 et 0779 pour comprendre ceci. Plus précisément, soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules quasi-cohérents. Alors

1. le conoyau \(\Coker(\varphi)\) calculé dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est quasi-cohérent et est le conoyau de \(\varphi\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) ;

2. l’image \(\Im(\varphi)\) calculée dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est quasi-cohérente et est l’image de \(\varphi\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) ; et

3. le noyau \(\Ker(\varphi)\) calculé dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) d’après la proposition 0771, et \(Q(\Ker(\varphi))\) est le noyau dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Cela résulte des références indiquées.

Remarque

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Étant donnés deux \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\), le module produit tensoriel \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}\) est quasi-cohérent ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 06WV, partie (5). De même, étant donnés deux modules localement quasi-cohérents possédant la propriété de changement de base plat, leur produit tensoriel possède la même propriété ; voir la proposition 0771. Ainsi, les foncteurs d’inclusion \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] sont des foncteurs de catégories monoïdales symétriques. Plus intéressant encore, le foncteur \[Q : \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] est lui aussi un foncteur de catégories monoïdales symétriques. En effet, étant donnés \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), nous obtenons \[\xymatrix{ Q(\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} Q(\mathcal{G}) \ar[rr] \ar[rd] & & \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G} \\ & Q(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}) \ar[ru] }\] où la flèche sud-ouest provient de la propriété universelle de la flèche nord-ouest (et du fait déjà mentionné que l’objet du coin supérieur gauche est quasi-cohérent). Si nous restreignons ce diagramme à \(U_\etale\) pour \(U \to \mathcal{X}\) plat, alors les trois flèches deviennent des isomorphismes (voir les lemmes 0778 et 0779 et la définition 0773). Ainsi, \(Q(\mathcal{F}) \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} Q(\mathcal{G}) \to Q(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G})\) est un isomorphisme ; voir par exemple le lemme 0GQF.

Remarque

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) la sous-catégorie pleine formée des modules parasites. Les résultats des lemmes 0778 et 0779 impliquent que \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) / \textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] autrement dit : la catégorie des modules quasi-cohérents est la catégorie des modules localement quasi-cohérents possédant la propriété de changement de base plat, quotientée par la sous-catégorie de Serre formée des objets parasites. Voir Homologie, lemme 02MS. L’existence du foncteur d’inclusion \(i : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) qui est adjoint à gauche du foncteur quotient est un trait essentiel de la situation. Dans Catégories dérivées de champs, section 07B5, et en particulier dans le lemme 07BA nous démontrons qu’un résultat analogue vaut au niveau des catégories dérivées.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module de présentation finie et soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module quasi-cohérent. Les Hom internes \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) calculés dans \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) ou dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) coïncident, et leur valeur commune est un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Le module quasi-cohérent \(hom(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = Q(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}))\) possède la propriété universelle suivante \[\Hom_\mathcal{X}(\mathcal{H}, hom(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = \Hom_\mathcal{X}(\mathcal{H} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{F}, \mathcal{G})\] pour \(\mathcal{H}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

La construction de \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) dans Modules sur les sites, section 04TT ne dépend que de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) comme préfaisceaux de modules ; le résultat \(\SheafHom\) est un faisceau pour la topologie fppf parce que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont supposés être des faisceaux pour la topologie fppf ; voir Modules sur les sites, lemme 03EM. D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06WM, nous voyons que \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est localement quasi-cohérent. D’après le lemme 0764, nous voyons que \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) possède la propriété de changement de base plat. Ainsi, \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et il est légitime de lui appliquer le foncteur \(Q\) du lemme 0778. Par la propriété universelle de \(Q\), nous avons \[\Hom_\mathcal{X}(\mathcal{H}, Q(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}))) = \Hom_\mathcal{X}(\mathcal{H}, \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}))\] pour \(\mathcal{H}\) quasi-cohérent ; la formule affichée du lemme résulte donc de Modules sur les sites, lemme 03EO.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme plat de champs algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{Y}\)-module de présentation finie et soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{Y}\)-module quasi-cohérent. Alors \(f^*hom(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = hom(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})\) avec les notations du lemme 0GQN.

Démonstration

Nous avons \(f^*\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{Y}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})\) d’après Modules sur les sites, lemme 0GN2. (Observons que ce n’est pas à cette étape qu’est utilisée la platitude de \(f\), car le morphisme de topos annelés associé à \(f\) est toujours plat ; voir Faisceaux sur les champs, remarque 06TX.) Appliquons alors le lemme 0GQJ (et c’est ici que nous utilisons la platitude de \(f\)).

Image directe des modules quasi-cohérents

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Considérons l’image directe \[f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] Il s’avère que ce foncteur ne préserve presque jamais les sous-catégories de faisceaux quasi-cohérents. Considérons par exemple le morphisme de schémas \[j : X = \mathbf{A}^2_k \setminus \{0\} \longrightarrow \mathbf{A}^2_k = Y.\] Il lui est associé le morphisme correspondant de champs algébriques \[f = j_{big} : \mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf} \to (\Sch/Y)_{fppf} = \mathcal{Y}\] L’image directe \(f_*\mathcal{O}_\mathcal{X}\) du faisceau structural a pour sections globales \(k[x, y]\). Ainsi, si \(f_*\mathcal{O}_\mathcal{X}\) était quasi-cohérent sur \(\mathcal{Y}\), nous aurions \(f_*\mathcal{O}_\mathcal{X} = \mathcal{O}_\mathcal{Y}\). Cependant, considérons \(T = \Spec(k) \to \mathbf{A}^2_k = Y\) envoyé sur \(0\). Alors \(\Gamma(T, f_*\mathcal{O}_\mathcal{X}) = 0\) parce que \(X \times_Y T = \emptyset\), tandis que \(\Gamma(T, \mathcal{O}_\mathcal{Y}) = k\). En revanche, pour tout morphisme plat \(T \to Y\), nous avons l’égalité \(\Gamma(T, f_*\mathcal{O}_\mathcal{X}) = \Gamma(T, \mathcal{O}_\mathcal{Y})\) qui résulte de Cohomologie des schémas, lemme 02KH en utilisant que \(j\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Nous contournons le problème mentionné ci-dessus à l’aide des trois observations suivantes :

1. \(f_*\) préserve bien les modules localement quasi-cohérents (lemme 075Z) ;

2. \(f_*\) transforme un faisceau quasi-cohérent en un faisceau localement quasi-cohérent dont les morphismes de comparaison plats sont des isomorphismes (lemme 0765) ; et

3. les \(\mathcal{O}_\mathcal{Y}\)-modules localement quasi-cohérents possédant la propriété de changement de base plat donnent des modules quasi-cohérents sur une présentation de \(\mathcal{Y}\), et donc des modules quasi-cohérents sur \(\mathcal{Y}\) ; voir Faisceaux sur les champs, section 06WU.

Nous obtenons ainsi un foncteur \[f_{\QCoh, *} : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] qui est adjoint à droite de \(f^* : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et tel que, de plus, \[\Gamma(y, f_*\mathcal{F}) = \Gamma(y, f_{\QCoh, *}\mathcal{F})\] pour tout \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\) tel que le \(1\)-morphisme associé \(y : V \to \mathcal{Y}\) soit plat ; voir lemme 0GQQ. De plus, une construction semblable produira des foncteurs \(R^if_{\QCoh, *}\). Cependant, ces résultats ne suffiront pas à produire un foncteur image directe totale (de complexes à faisceaux de cohomologie quasi-cohérents).

Proposition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Le foncteur \(f^* : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) admet un adjoint à droite \[f_{\QCoh, *} : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] qui peut être défini comme le composé \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{f_*} \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \xrightarrow{Q} \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] où les foncteurs \(f_*\) et \(Q\) sont ceux de la proposition 0771 et du lemme 0778. De plus, si nous définissons \(R^if_{\QCoh, *}\) comme le composé \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{R^if_*} \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \xrightarrow{Q} \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] alors la suite de foncteurs \(\{R^if_{\QCoh, *}\}_{i \geq 0}\) forme un \(\delta\)-foncteur cohomologique.

Démonstration

C’est une combinaison des résultats mentionnés dans l’énoncé. L’adjonction se démontre comme suit. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module quasi-cohérent et soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{Y}\)-module quasi-cohérent. Alors nous avons \[\begin{align*} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = \Mor_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})} (\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ & = \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(\mathcal{G}, Q(f_*\mathcal{F})) \\ & = \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(\mathcal{G}, f_{\QCoh, *}\mathcal{F}) \end{align*}\] la première égalité résultant de l’adjonction de \(f_*\) et \(f^*\) (pour des faisceaux de modules arbitraires). D’après la proposition 0771 nous voyons que \(f_*\mathcal{F}\) est un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) (et peut être calculé pour la topologie fppf comme pour la topologie étale), et nous obtenons la deuxième égalité d’après le lemme 0778. La troisième égalité est la définition de \(f_{\QCoh, *}\).

Pour voir que \(\{R^if_{\QCoh, *}\}_{i \geq 0}\) est un \(\delta\)-foncteur cohomologique au sens de Homologie, définition 010Q soit \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] une suite exacte courte de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Cette suite n’est pas nécessairement exacte dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), mais nous savons qu’elle l’est à des modules parasites près ; voir lemme 0776. Nous pouvons donc décomposer la suite en suites exactes courtes \[\begin{matrix} 0 \to \mathcal{P}_1 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{I}_2 \to 0 \\ 0 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{Q}_2 \to 0 \\ 0 \to \mathcal{P}_2 \to \mathcal{Q}_2 \to \mathcal{I}_3 \to 0 \\ 0 \to \mathcal{I}_3 \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{P}_3 \to 0 \end{matrix}\] de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), les \(\mathcal{P}_i\) étant parasites. Notons que chacun des faisceaux \(\mathcal{P}_j\), \(\mathcal{I}_j\), \(\mathcal{Q}_j\) est un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) ; voir proposition 0771. En appliquant \(R^if_*\), nous obtenons des suites exactes longues \[\begin{matrix} 0 \to f_*\mathcal{P}_1 \to f_*\mathcal{F}_1 \to f_*\mathcal{I}_2 \to R^1f_*\mathcal{P}_1 \to \ldots \\ 0 \to f_*\mathcal{I}_2 \to f_*\mathcal{F}_2 \to f_*\mathcal{Q}_2 \to R^1f_*\mathcal{I}_2 \to \ldots \\ 0 \to f_*\mathcal{P}_2 \to f_*\mathcal{Q}_2 \to f_*\mathcal{I}_3 \to R^1f_*\mathcal{P}_2 \to \ldots \\ 0 \to f_*\mathcal{I}_3 \to f_*\mathcal{F}_3 \to f_*\mathcal{P}_3 \to R^1f_*\mathcal{I}_3 \to \ldots \end{matrix}\] où tous les termes sont des objets de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) d’après la proposition 0771. D’après le lemme 0775, les faisceaux \(R^if_*\mathcal{P}_j\) sont parasites et s’annulent donc après application du foncteur \(Q\) ; voir le lemme 0779. Puisque \(Q\) est exact, les morphismes \[Q(R^if_*\mathcal{F}_3) \cong Q(R^if_*\mathcal{I}_3) \cong Q(R^if_*\mathcal{Q}_2) \rightarrow Q(R^{i + 1}f_*\mathcal{I}_2) \cong Q(R^{i + 1}f_*\mathcal{F}_1)\] peuvent servir de morphisme de connexion qui fait de la famille de foncteurs \(\{R^if_{\QCoh, *}\}_{i \geq 0}\) un \(\delta\)-foncteur cohomologique.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Soit \(y : V \to \mathcal{Y}\) dans \(\Ob(\mathcal{Y})\), avec \(y\) plat. Soit \(\mathcal{F}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Alors \((f_*\mathcal{F})(y) = (f_{\QCoh, *}\mathcal{F})(y)\) et \((R^if_*\mathcal{F})(y) = (R^if_{\QCoh, *}\mathcal{F})(y)\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Cela résulte de la construction des foncteurs \(R^if_{\QCoh, *}\) dans la proposition 077A, de la définition des modules parasites dans définition 0773 et du lemme 0779, partie (2).

Remarque

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Il existe alors un diagramme commutatif canonique \[\xymatrix{ f_{\QCoh, *}\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{Y}} f_{\QCoh, *}\mathcal{G} \ar[r] \ar[d] & f_*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{Y}} f_*\mathcal{G} \ar[d]^c \\ f_{\QCoh, *}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}) \ar[r] & f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{G}) }\] La flèche verticale \(c\) de droite est le cup-produit relatif naïf (en degré \(0\)) ; voir Cohomologie sur les sites, section 0FPJ. La source et le but de \(c\) appartiennent à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) ; voir la proposition 0771. En appliquant \(Q\) à \(c\), nous obtenons la flèche verticale de gauche, car \(Q\) commute aux produits tensoriels ; voir la remarque 0GQM. Cette construction est fonctorielle en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\). Alors il existe une suite spectrale dont la page \(E_2\) est \[E_2^{p, q} = H^p(\mathcal{Y}, R^qf_{\QCoh, *}\mathcal{F})\] et qui converge vers \(H^{p + q}(\mathcal{X}, \mathcal{F})\).

Démonstration

D’après Cohomologie sur les sites, lemme 0732, la suite spectrale de Leray dont la page est \[E_2^{p, q} = H^p(\mathcal{Y}, R^qf_*\mathcal{F})\] converge vers \(H^{p + q}(\mathcal{X}, \mathcal{F})\). Le noyau et le conoyau du morphisme d’adjonction \[R^qf_{\QCoh, *}\mathcal{F} \longrightarrow R^qf_*\mathcal{F}\] sont des modules parasites sur \(\mathcal{Y}\) (lemme 0779) et ont donc une cohomologie nulle (lemme 0775). Il en résulte formellement que \(H^p(\mathcal{Y}, R^qf_{\QCoh, *}\mathcal{F}) = H^p(\mathcal{Y}, R^qf_*\mathcal{F})\), ce qui conclut.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes quasi-compacts et quasi-séparés de champs algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\). Alors il existe une suite spectrale dont la page \(E_2\) est \[E_2^{p, q} = R^pg_{\QCoh, *}(R^qf_{\QCoh, *}\mathcal{F})\] et qui converge vers \(R^{p + q}(g \circ f)_{\QCoh, *}\mathcal{F}\).

Démonstration

D’après Cohomologie sur les sites, lemme 0734, la suite spectrale de Leray dont la page est \[E_2^{p, q} = R^pg_*(R^qf_*\mathcal{F})\] converge vers \(R^{p + q}(g \circ f)_*\mathcal{F}\). D’après les résultats de la proposition 0771 les termes de cette suite spectrale sont tous des objets de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Z})\). En appliquant le foncteur exact \(Q_\mathcal{Z} : \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Z}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Z})\), nous obtenons une suite spectrale dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Z})\) convergeant vers \(R^{p + q}(g \circ f)_{\QCoh, *}\mathcal{F}\). Le résultat en découle donc si nous pouvons montrer que \[Q_\mathcal{Z}(R^pg_*(R^qf_*\mathcal{F})) = Q_\mathcal{Z}(R^pg_*(Q_\mathcal{X}(R^qf_*\mathcal{F}))\] Cela résulte du fait que le noyau et le conoyau du morphisme \[Q_\mathcal{X}(R^qf_*\mathcal{F}) \longrightarrow R^qf_*\mathcal{F}\] sont parasites (lemme 0779) et que \(R^pg_*\) transforme les modules parasites en modules parasites (lemme 0775).

Pour terminer cette section, explicitons les suites spectrales associées à un recouvrement lisse par un schéma. Comparer avec Faisceaux sur les champs, sections 06XI et 072F.

Proposition

Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un morphisme de champs algébriques. Supposons que \(f\) soit représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module quasi-cohérent. Il existe alors une suite spectrale \[E_2^{p, q} = H^q(\mathcal{U}_p, f_p^*\mathcal{F}) \Rightarrow H^{p + q}(\mathcal{X}, \mathcal{F})\] où \(f_p\) est le morphisme \(\mathcal{U} \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) (avec \(p + 1\) facteurs).

Démonstration

C’est un cas particulier de Faisceaux sur les champs, proposition 06XJ.

Proposition

Soient \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) et \(g : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) des morphismes composables de champs algébriques. Supposons que

1. \(f\) soit représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat, localement de présentation finie, quasi-compact et quasi-séparé, et

2. \(g\) soit quasi-compact et quasi-séparé.

Si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^q(g \circ f_p)_{\QCoh, *}f_p^*\mathcal{F} \Rightarrow R^{p + q}g_{\QCoh, *}\mathcal{F}\] dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\).

Démonstration

Notons que chacun des morphismes \(f_p : \mathcal{U} \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est quasi-compact et quasi-séparé ; ainsi, \(g \circ f_p\) est quasi-compact et quasi-séparé, et l’assertion a donc un sens (c’est-à-dire que les foncteurs \(R^q(g \circ f_p)_{\QCoh, *}\) sont définis). Il existe une suite spectrale \[E_2^{p, q} = R^q(g \circ f_p)_*f_p^{-1}\mathcal{F} \Rightarrow R^{p + q}g_*\mathcal{F}\] d’après Faisceaux sur les champs, proposition 072G. En appliquant le foncteur exact \(Q_\mathcal{Y} : \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\), on obtient la suite spectrale voulue dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\).

Remarques supplémentaires sur les modules quasi-cohérents

Dans cette section, nous réunissons quelques résultats qui aident à comprendre comment utiliser les modules quasi-cohérents sur les champs algébriques.

Soit \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) un morphisme de champs algébriques. Supposons que \(\mathcal{U}\) soit représenté par l’espace algébrique \(U\). Considérons le foncteur \[a : \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \textit{Mod}(U_\etale, \mathcal{O}_U),\quad \mathcal{F} \longmapsto f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\] obtenu en faisant suivre l’image inverse (Faisceaux sur les champs, section 06WA) de la restriction (Faisceaux sur les champs, section 076P). En appliquant ce foncteur aux modules localement quasi-cohérents, on obtient un foncteur \[b : \textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(U_\etale, \mathcal{O}_U)\] Voir Faisceaux sur les champs, lemmes 06WL et 0GQC. On peut encore restreindre notre foncteur à des sous-catégories plus petites et obtenir \[c : \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(U_\etale, \mathcal{O}_U)\] ainsi que \[d : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(U_\etale, \mathcal{O}_U)\] Ces foncteurs possèdent les propriétés suivantes :³

1. Le foncteur \(a\) est exact. En effet, l’image inverse \(f^* = f^{-1}\) est exacte (Faisceaux sur les champs, section 06WA), et la restriction à \(U_\etale\) est exacte ; voir Faisceaux sur les champs, équation (075K).

2. Le foncteur \(b\) est exact. En effet, d’après Faisceaux sur les champs, lemme 06WM le foncteur d’inclusion \(\textit{LQCoh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) est exact.

3. Le foncteur \(c\) est exact. En effet, d’après la proposition 0771 le foncteur d’inclusion \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) est exact.

4. Le foncteur \(d\) est exact à droite, mais n’est pas exact en général. En effet, d’après Faisceaux sur les champs, lemme 06WN le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) est exact à droite. Nous omettons de donner un exemple montrant qu’il n’est pas exact.

5. Si \(f\) est plat, alors \(d\) est exact. Cela résulte de la combinaison du Lemme 076X et de Faisceaux sur les champs, lemme 0GQD.

6. Si \(f\) est plat, alors \(c\) annule les objets parasites. En effet, \(f^*\) préserve les objets parasites d’après le Lemme 0774. Pour tout schéma \(V\) étale sur \(U\), et donc plat sur \(\mathcal{X}\), on voit alors que \(0 = f^*\mathcal{F}|_{V_\etale} = c(\mathcal{F})|_{V_\etale}\) par compatibilité de la restriction à la localisation étale (Faisceaux sur les champs, remarque 0GQA). Ainsi, manifestement, \(c(\mathcal{F}) = 0\).

7. Si \(f\) est plat, alors \(c = d \circ Q\). En effet, le noyau et le conoyau de \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) sont parasites d’après le Lemme 0779. Puisque \(c\) est exact (3) et annule les objets parasites (6), on voit que l’image par \(c\) du morphisme \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme.

8. Les foncteurs \(a, b, c, d\) commutent aux limites inductives et aux sommes directes arbitraires. Cela vaut pour \(f^*\) et la restriction, qui sont des adjoints à gauche, et vaut donc pour \(a\). Le résultat pour \(b\), \(c\), \(d\) découle alors des références données ci-dessus.

9. Les foncteurs \(a, b, c, d\) commutent aux produits tensoriels.

10. Si \(f\) est plat et surjectif, si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et si \(c(\mathcal{F}) = 0\), alors \(\mathcal{F}\) est parasite. En effet, (7) donne \(d(Q(\mathcal{F})) = 0\). On peut supposer que \(U\) est un schéma, par compatibilité de la restriction avec la localisation étale (voir la référence ci-dessus). Le Lemme 0GQF, appliqué à \(0 \to Q(\mathcal{F})\) et au morphisme \(f : U \to \mathcal{X}\), montre alors que \(Q(\mathcal{F}) = 0\). Ainsi, \(\mathcal{F}\) est parasite d’après le Lemme 0779.

11. Si \(f\) est plat et surjectif, alors le foncteur \(d\) reflète l’exactitude. Plus précisément, soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Alors \(\mathcal{F}^\bullet\) est exact dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) si et seulement si \(d(\mathcal{F}^\bullet)\) est exact. Nous avons vu une implication en (5). Réciproquement, supposons que \(H^i(d(\mathcal{F}^\bullet)) = 0\). Alors \(\mathcal{G} = H^i(\mathcal{F}^\bullet)\) est un objet de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) tel que \(d(\mathcal{G}) = 0\). Ainsi, \(\mathcal{G}\) est à la fois quasi-cohérent et parasite d’après (10), donc égal à \(0\), par exemple d’après la Remarque 07B2.

12. Si \(f\) est plat, \(\mathcal{F}, \mathcal{G} \in \Ob(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}))\), et si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors on a \[d(hom(\mathcal{F}, \mathcal{G})) = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(d(\mathcal{F}), d(\mathcal{G}))\] avec les notations du Lemme 0GQN. La manière la plus simple de le voir est peut-être la suivante : \[\begin{align*} d(hom(\mathcal{F}, \mathcal{G})) & = d(Q(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}))) \\ & = c(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})) \\ & = f^*\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})|_{U_\etale} \\ & = \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{U}}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})|_{U_\etale} \\ & = \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}, f^*\mathcal{G}|_{U_\etale}) \end{align*}\] La première égalité résulte de la construction de \(hom\). La deuxième résulte de (7). La troisième résulte de la définition de \(c\). La quatrième résulte de Modules sur les sites, lemme 0GN2. La dernière égalité résulte de la même référence appliquée au morphisme plat de topos annelés \(i_U (U_\etale, \mathcal{O}_U) \to (\mathcal{U}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{U})\) de Faisceaux sur les champs, lemme 073M.

13. Ajouter ici d’autres éléments.

Limites inductives et cohomologie

Le lemme suivant s’applique notamment aux diagrammes de faisceaux quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique quasi-compact et quasi-séparé. Alors \[\colim_i H^p(\mathcal{X}, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^p(\mathcal{X}, \colim_i \mathcal{F}_i)\] est un isomorphisme pour tout diagramme filtrant de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{X}\). Il en va de même pour les faisceaux abéliens sur \(\mathcal{X}_\etale\) lorsque la cohomologie est prise pour la topologie étale.

Démonstration

Soit \(\tau = fppf\), resp. \(\tau = \etale\). Le lemme résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 0GN3, appliqué au site \(\mathcal{X}_\tau\). Pour en vérifier les hypothèses, nous utilisons Cohomologie sur les sites, remarque 0GN4. Soit en effet \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{X}_\tau)\) l’ensemble des objets au-dessus de schémas affines. Autrement dit, un élément de \(\mathcal{B}\) est un morphisme \(x : U \to \mathcal{X}\) où \(U\) est affine. Vérifions successivement chacune des conditions (1) – (4) de la remarque :

1. Puisque \(\mathcal{X}\) est quasi-compact, il existe un morphisme lisse et surjectif \(x : U \to \mathcal{X}\) où \(U\) est affine (Propriétés des champs, lemme 04YC). Alors \(h_x^\# \to *\) est un morphisme surjectif de faisceaux sur \(\mathcal{X}_\tau\).

2. Puisque les recouvrements dans \(\mathcal{X}_\tau\) sont des recouvrements fppf, resp. étales, tout recouvrement de \(U \in \mathcal{B}\) est raffiné par un recouvrement fppf affine fini ; voir Topologies, lemme 021P, resp. lemme 0218.

3. Soient \(x : U \to \mathcal{X}\) et \(x' : U' \to \mathcal{X}\) dans \(\mathcal{B}\). Le produit \(h_x^\# \times h_{x'}^\#\) dans \(\Sh(\mathcal{X}_\tau)\) est égal au faisceau sur \(\mathcal{X}_\tau\) déterminé par l’espace algébrique \(W = U \times_{x, \mathcal{X}, x'} U'\) au-dessus de \(\mathcal{X}\) : pour un objet \(y : V \to \mathcal{X}\) de \(\mathcal{X}_\tau\), on a \((h_x^\# \times h_{x'}^\#)(y) = \{f : V \to W \mid y = x \circ \text{pr}_1 \circ f = x' \circ \text{pr}_2 \circ f\}\). L’espace algébrique \(W\) est quasi-compact, car \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé ; voir, par exemple, Morphismes de champs, lemme 075S On peut donc choisir un schéma affine \(U''\) et un morphisme étale surjectif \(U'' \to W\). Notons \(x'' : U'' \to \mathcal{X}\) le composé de \(U'' \to W\) et \(W \to \mathcal{X}\). Alors \(h_{x''}^\# \to h_x^\# \times h_{x'}^\#\) est surjectif, comme voulu.

4. Soient \(x : U \to \mathcal{X}\) et \(x' : U' \to \mathcal{X}\) dans \(\mathcal{B}\). Soient \(a, b : U \to U'\) des morphismes au-dessus de \(\mathcal{X}\), c’est-à-dire \(a, b : x \to x'\) des morphismes dans \(\mathcal{X}_\tau\). Alors l’égalisateur de \(h_a\) et \(h_b\) est représenté par l’égalisateur de \(a, b : U \to U'\), qui est un schéma affine au-dessus de \(\mathcal{X}\) et appartient donc à \(\mathcal{B}\).

Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Soit \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) une limite inductive filtrante de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{X}\). Alors, pour tout \(p \geq 0\), on a \[R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i.\] Il en va de même pour les faisceaux abéliens sur \(\mathcal{X}_\etale\) lorsque les images directes supérieures sont prises pour la topologie étale.

Démonstration

Nous le démontrons pour la topologie fppf ; la démonstration pour la topologie étale est la même. Rappelons que \(R^if_*\mathcal{F}\) est le faisceau sur \(\mathcal{Y}_{fppf}\) associé au préfaisceau \[(y : V \to \mathcal{Y}) \longmapsto H^i(V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}, \text{pr}^{-1}\mathcal{F})\] Voir Faisceaux sur les champs, lemme 075G. Rappelons que la limite inductive est le faisceau associé à la limite inductive des préfaisceaux. Lorsque \(V\) est affine, le produit fibré \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est quasi-compact et quasi-séparé. On peut donc appliquer le Lemme 0GQV à \(H^p(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, -)\) lorsque \(V\) est affine. Puisque tout \(V\) possède un recouvrement fppf par des objets affines, cela démontre le lemme. Nous omettons certains détails.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de champs algébriques. Le foncteur \(f_{\QCoh, *}\) et les foncteurs \(R^if_{\QCoh, *}\) commutent aux sommes directes et aux limites inductives filtrantes.

Démonstration

Les foncteurs \(f_*\) et \(R^if_*\) commutent aux sommes directes et aux limites inductives filtrantes sur tous les modules d’après le Lemme 0GQW. Le lemme en résulte, car \(f_{\QCoh, *} = Q \circ f_*\) et \(R^if_{\QCoh, *} = Q \circ R^if_*\), et \(Q\) commute à toutes les limites inductives ; voir le Lemme 0779.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme affine de champs algébriques. Les foncteurs \(R^if_{\QCoh, *}\), \(i > 0\), sont nuls, et le foncteur \(f_{\QCoh, *}\) est exact et commute aux sommes directes et à toutes les limites inductives.

Démonstration

Puisque \(R^if_{\QCoh, *} = Q \circ R^if_*\), l’annulation résulte du Lemme 0GQI. Cette annulation entraîne que \(f_{\QCoh, *}\) est exact, car \(\{R^if_{\QCoh, *}\}_{i \geq 0}\) forme un \(\delta\)-foncteur ; voir la proposition 077A. Puis \(f_{\QCoh, *}\) commute aux sommes directes, par exemple d’après le Lemme 0GQX. Un foncteur exact qui commute aux sommes directes commute à toutes les limites inductives.

Le lemme suivant affirme que les modules de présentation finie se comportent comme prévu sur les champs algébriques quasi-compacts et quasi-séparés.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant et soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) un système indexé par \(I\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module de présentation finie. Alors on a \[\colim_i \Hom_\mathcal{X}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_i) = \Hom_\mathcal{X}(\mathcal{G}, \colim_i \mathcal{F}_i).\] En particulier, \(\Hom_\mathcal{X}(\mathcal{G}, -)\) commute aux limites inductives filtrantes dans \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Démonstration

L’égalité affichée est un cas particulier de Modules sur les sites, lemme 0GN0. Pour l’appliquer, il faut vérifier les hypothèses de la partie (4) de Sites, lemme 0GMR, pour le site \(\mathcal{X}_{fppf}\). À cette fin, nous vérifions les hypothèses (2)(a), (2)(b), (2)(c) de Sites, remarque 0GMS. Soit en effet \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{X}_{fppf})\) l’ensemble des objets au-dessus de schémas affines. Autrement dit, un élément de \(\mathcal{B}\) est un morphisme \(x : U \to \mathcal{X}\) où \(U\) est affine. Vérifions successivement chacune des conditions (2)(a), (2)(b) et (2)(c) de la remarque :

1. Puisque \(\mathcal{X}\) est quasi-compact, il existe un morphisme lisse et surjectif \(x : U \to \mathcal{X}\) où \(U\) est affine (Propriétés des champs, lemme 04YC). Alors \(h_x^\# \to *\) est un morphisme surjectif de faisceaux sur \(\mathcal{X}_{fppf}\).

2. Puisque les recouvrements dans \(\mathcal{X}_{fppf}\) sont des recouvrements fppf, tout recouvrement de \(U \in \mathcal{B}\) est raffiné par un recouvrement fppf affine fini ; voir Topologies, lemme 021P.

3. Soient \(x : U \to \mathcal{X}\) et \(x' : U' \to \mathcal{X}\) dans \(\mathcal{B}\). Le produit \(h_x^\# \times h_{x'}^\#\) dans \(\Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) est égal au faisceau sur \(\mathcal{X}_{fppf}\) déterminé par l’espace algébrique \(W = U \times_{x, \mathcal{X}, x'} U'\) au-dessus de \(\mathcal{X}\) : pour un objet \(y : V \to \mathcal{X}\) de \(\mathcal{X}_{fppf}\), on a \((h_x^\# \times h_{x'}^\#)(y) = \{f : V \to W \mid y = x \circ \text{pr}_1 \circ f = x' \circ \text{pr}_2 \circ f\}\). L’espace algébrique \(W\) est quasi-compact, car \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé ; voir, par exemple, Morphismes de champs, lemme 075S On peut donc choisir un schéma affine \(U''\) et un morphisme étale surjectif \(U'' \to W\). Notons \(x'' : U'' \to \mathcal{X}\) le composé de \(U'' \to W\) et \(W \to \mathcal{X}\). Alors \(h_{x''}^\# \to h_x^\# \times h_{x'}^\#\) est surjectif, comme voulu.

Pour la dernière assertion, observons que le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) commute aux limites inductives et que les modules de présentation finie sont quasi-cohérents. Voir Faisceaux sur les champs, lemme 06WV.

Les sites lisse-étale et plat-fppf

Dans l’ouvrage [LM-B], beaucoup des résultats ci-dessus sont démontrés à l’aide du site lisse-étale d’un champ algébrique. Nous définissons ici ce site. Dans Exemples, section 07BF, nous montrons que le site lisse-étale n’est pas fonctoriel. Nous définissons aussi son analogue, le site plat-fppf, qui est mieux adapté au développement des champs algébriques adopté dans le projet Champs (car nous prenons la topologie fppf comme topologie de base). Bien entendu, le site plat-fppf n’est pas non plus fonctoriel.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique.

1. Le site lisse-étale de \(\mathcal{X}\) est la sous-catégorie pleine \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\)⁴ de \(\mathcal{X}\) dont les objets sont les \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) au-dessus d’un schéma \(U\) tels que \(x : U \to \mathcal{X}\) soit lisse. Un recouvrement de \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) est une famille de morphismes \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) qui forme un recouvrement de \(\mathcal{X}_\etale\).

2. Le site plat-fppf de \(\mathcal{X}\) est la sous-catégorie pleine \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\) de \(\mathcal{X}\) dont les objets sont les \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) au-dessus d’un schéma \(U\) tels que \(x : U \to \mathcal{X}\) soit plat. Un recouvrement de \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\) est une famille de morphismes \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\) qui forme un recouvrement de \(\mathcal{X}_{fppf}\).

Nous notons \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\) la restriction de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\) au site lisse-étale, et de même pour \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\). La relation entre le site lisse-étale et le site étale est la suivante (nous nous en tenons surtout aux propriétés « topologiques » dans ce lemme).

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique.

1. Le foncteur d’inclusion \(\mathcal{X}_{lisse,\etale} \to \mathcal{X}_\etale\) est pleinement fidèle, continu et cocontinu. Il s’ensuit que

   1. il existe un morphisme de topos \[g : \Sh(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{X}_\etale)\] où \(g^{-1}\) est donné par la restriction,

   2. le foncteur \(g^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(g_!^{Sh}\) sur les faisceaux d’ensembles,

   3. les morphismes d’adjonction \(g^{-1}g_* \to \text{id}\) et \(\text{id} \to g^{-1}g_!^{Sh}\) sont des isomorphismes,

   4. le foncteur \(g^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(g_!\) sur les faisceaux abéliens,

   5. le morphisme d’adjonction \(\text{id} \to g^{-1}g_!\) est un isomorphisme, et

   6. on a \(g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{X} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\) ; ainsi, \(g\) induit un morphisme plat de topos annelés tel que \(g^{-1} = g^*\).

2. Le foncteur d’inclusion \(\mathcal{X}_{flat,fppf} \to \mathcal{X}_{fppf}\) est pleinement fidèle, continu et cocontinu. Il s’ensuit que

   1. il existe un morphisme de topos \[g : \Sh(\mathcal{X}_{flat,fppf}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\] où \(g^{-1}\) est donné par la restriction,

   2. le foncteur \(g^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(g_!^{Sh}\) sur les faisceaux d’ensembles,

   3. les morphismes d’adjonction \(g^{-1}g_* \to \text{id}\) et \(\text{id} \to g^{-1}g_!^{Sh}\) sont des isomorphismes,

   4. le foncteur \(g^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(g_!\) sur les faisceaux abéliens,

   5. le morphisme d’adjonction \(\text{id} \to g^{-1}g_!\) est un isomorphisme, et

   6. on a \(g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{X} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\) ; ainsi, \(g\) induit un morphisme plat de topos annelés tel que \(g^{-1} = g^*\).

Démonstration

Dans les deux cas, il est immédiat que le foncteur est pleinement fidèle, continu et cocontinu (voir Sites, définitions 00WV et 00XJ). Les propriétés (a), (b), (c) résultent donc de Sites, lemmes 00XR et 00XT. Les parties (d), (e) résultent de Modules sur les sites, lemmes 04BG et 077I. La partie (f) est immédiate.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. On reprend les notations du Lemme 0788.

1. Pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}_\etale\), on a

   1. \(H^p(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, g^{-1}\mathcal{F})\), et

   2. \(H^p(x, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{X}_{lisse,\etale}/x, g^{-1}\mathcal{F})\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\).

   Il en va de même pour les faisceaux de modules.

2. Pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}_{fppf}\), on a

   1. \(H^p(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{X}_{flat,fppf}, g^{-1}\mathcal{F})\), et

   2. \(H^p(x, \mathcal{F}) = H^p(\mathcal{X}_{flat,fppf}/x, g^{-1}\mathcal{F})\) pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\).

   Il en va de même pour les faisceaux de modules.

Démonstration

La partie (1)(a) résulte de Faisceaux sur les champs, lemme 07AK, appliqué au foncteur d’inclusion \(\mathcal{X}_{lisse,\etale} \to \mathcal{X}_\etale\). La partie (1)(b) résulte de la partie (1)(a). En effet, si \(x\) est au-dessus du schéma \(U\), alors le site \(\mathcal{X}_\etale/x\) est équivalent à \((\Sch/U)_\etale\), et \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) est équivalent à \(U_{lisse,\etale}\). La partie (2) se démontre de la même manière.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. On reprend les notations du Lemme 0788.

1. Il existe un foncteur \[g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\] qui est adjoint à gauche de \(g^*\). En outre, il coïncide avec le foncteur \(g_!\) sur les faisceaux abéliens, et \(g^*g_! = \text{id}\).

2. Il existe un foncteur \[g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{flat,fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\] qui est adjoint à gauche de \(g^*\). En outre, il coïncide avec le foncteur \(g_!\) sur les faisceaux abéliens, et \(g^*g_! = \text{id}\).

Démonstration

Dans les deux cas, l’existence du foncteur \(g_!\) résulte de Modules sur les sites, lemme 0797. Pour voir que \(g_!\) coïncide avec le foncteur sur les faisceaux abéliens, nous montrons que les morphismes de Modules sur les sites, équation (0799) sont des isomorphismes.

Cas lisse-étale. Soit \(x \in \Ob(\mathcal{X}_{lisse,\etale})\) au-dessus d’un schéma \(U\), avec \(x : U \to \mathcal{X}\) lisse. Considérons le foncteur pleinement fidèle induit \[g' : \mathcal{X}_{lisse,\etale}/x \longrightarrow \mathcal{X}_\etale/x\] Le membre de droite s’identifie à \((\Sch/U)_\etale\), et celui de gauche à la sous-catégorie pleine des schémas \(U'/U\) tels que le composé \(U' \to U \to \mathcal{X}\) soit lisse. Ainsi, Cohomologie étale, lemme 07AJ s’applique.

Cas plat-fppf. Soit \(x \in \Ob(\mathcal{X}_{flat,fppf})\) au-dessus d’un schéma \(U\), avec \(x : U \to \mathcal{X}\) plat. Considérons le foncteur pleinement fidèle induit \[g' : \mathcal{X}_{flat,fppf}/x \longrightarrow \mathcal{X}_{fppf}/x\] Le membre de droite s’identifie à \((\Sch/U)_{fppf}\), et celui de gauche à la sous-catégorie pleine des schémas \(U'/U\) tels que le composé \(U' \to U \to \mathcal{X}\) soit plat. Ainsi, Cohomologie étale, lemme 07AJ s’applique.

Dans les deux cas, l’égalité \(g^*g_! = \text{id}\) résulte de \(g^* = g^{-1}\) et de l’égalité pour les faisceaux abéliens du Lemme 0788.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. On reprend les notations des lemmes 0788 et 0789.

1. On a \(g_!\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\).

2. On a \(g_!\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\).

Démonstration

Dans cette démonstration, nous posons \(\mathcal{C} = \mathcal{X}_\etale\) (resp. \(\mathcal{C} = \mathcal{X}_{fppf}\)) et nous notons \(\mathcal{C}' = \mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{C}' = \mathcal{X}_{flat, fppf}\)). Alors \(\mathcal{C}'\) est une sous-catégorie pleine de \(\mathcal{C}\). Dans cette démonstration, nous regardons les objets \(V\) de \(\mathcal{C}\) comme des schémas au-dessus de \(\mathcal{X}\) et les objets \(U\) de \(\mathcal{C}'\) comme des schémas lisses (resp. plats) au-dessus de \(\mathcal{X}\). Enfin, nous posons \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\) et \(\mathcal{O}' = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\) (resp. \(\mathcal{O}' = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)). Avec ces notations, on a \(\mathcal{O}(V) = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) et \(\mathcal{O}'(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\). Considérons l’homomorphisme de \(\mathcal{O}\)-modules \(g_!\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\) adjoint à l’identification \(\mathcal{O}' = g^{-1}\mathcal{O}\).

Rappelons que \(g_!\mathcal{O}'\) est le faisceau associé au préfaisceau \(g_{p!}\mathcal{O}'\) défini par la règle \[V \longmapsto \colim_{V \to U} \mathcal{O}'(U)\] où la limite inductive est prise dans la catégorie des groupes abéliens (Modules sur les sites, définition 04BF). Nous utiliserons fréquemment ci-dessous le fait que, si \[V \to U \to U'\] sont des morphismes et si \(f' \in \mathcal{O}'(U')\) a pour restriction \(f \in \mathcal{O}'(U)\), alors \((V \to U, f)\) et \((V \to U', f')\) définissent le même élément de la limite inductive. De plus, \(g_!\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\) envoie simplement l’élément \((V \to U, f)\) sur l’image réciproque de \(f\) dans \(V\).

Démontrons que \(g_!\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\) est surjectif. Soit \(h \in \mathcal{O}(V)\) pour un objet \(V\) de \(\mathcal{C}\). Il suffit de montrer que \(h\) appartient localement à l’image. Choisissons un objet \(U\) de \(\mathcal{C}'\) correspondant à un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Puisque \(U \times_\mathcal{X} V \to V\) est lisse et surjectif, après avoir remplacé \(V\) par les membres d’un recouvrement étale de \(V\), nous pouvons supposer qu’il existe un morphisme \(V \to U\) ; voir Topologies sur les espaces algébriques, lemme 0CFV. À l’aide de \(h\), nous obtenons un morphisme \(V \to U \times \mathbf{A}^1\) tel que, si l’on écrit \(\mathbf{A}^1 = \Spec(\mathbf{Z}[t])\), l’élément \(t \in \mathcal{O}(U \times \mathbf{A}^1)\) ait pour image réciproque \(h\). Comme \(U \times \mathbf{A}^1\) est un objet de \(\mathcal{C}'\), \((V \to U \times \mathbf{A}^1, t)\) est un élément de la limite inductive ci-dessus qui s’envoie sur \(h \in \mathcal{O}(V)\), comme voulu.

Supposons que \(s \in g_!\mathcal{O}'(V)\) soit une section dont l’image dans \(\mathcal{O}(V)\) est nulle. Pour achever la démonstration, il reste à montrer que \(s\) est nul. Après avoir remplacé \(V\) par les membres d’un recouvrement, nous pouvons supposer que \(s\) est un élément de la limite inductive \[\colim_{V \to U} \mathcal{O}'(U)\] Écrivons \(s = \sum (\varphi_i, s_i)\) comme une somme finie, où \(\varphi_i : V \to U_i\), les \(U_i\) sont lisses (resp. plats) sur \(\mathcal{X}\) et \(s_i \in \Gamma(U_i, \mathcal{O}_{U_i})\). Choisissons un schéma \(W\) étale et surjectif sur l’espace algébrique \(U = U_1 \times_\mathcal{X} \ldots \times_\mathcal{X} U_n\). Notons que \(W\) est encore lisse (resp. plat) sur \(\mathcal{X}\), c’est-à-dire qu’il définit un objet de \(\mathcal{C}'\). Le produit fibré \[V' = V \times_{(\varphi_1, \ldots, \varphi_n), U} W\] est étale et surjectif sur \(V\) ; il suffit donc de montrer que l’image de \(s\) est nulle dans \(g_!\mathcal{O}'(V')\). La restriction \(\sum (\varphi_i, s_i)|_{V'}\) correspond à la somme des images réciproques des fonctions \(s_i\) sur \(W\). Autrement dit, nous sommes ramenés au cas d’un couple \((\varphi, s)\), où \(\varphi : V \to U\) est un morphisme avec \(U\) dans \(\mathcal{C}'\) et où la restriction de \(s \in \mathcal{O}'(U)\) dans \(\mathcal{O}(V)\) est nulle. D’après le diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[rr]_-{(\varphi, 0)} \ar[rrd]_\varphi & & U \times \mathbf{A}^1 \\ & & U \ar[u]_{(\text{id}, 0)} }\] on voit que \(((\varphi, 0) : V \to U \times \mathbf{A}^1, \text{pr}_2^*x)\) représente zéro dans la limite inductive ci-dessus. Nous pouvons donc remplacer \(U\) par \(U \times \mathbf{A}^1\), \(\varphi\) par \((\varphi, 0)\) et \(s\) par \(\text{pr}_1^*s + \text{pr}_2^*x\). Nous pouvons ainsi supposer que le lieu \(Z : s = 0\) dans \(U\) défini par \(s\) est lisse (resp. plat) sur \(\mathcal{X}\). On voit alors que \((V \to Z, 0)\) et \((\varphi, s)\) ont la même valeur dans la limite inductive, c’est-à-dire que l’élément \(s\) est nul, comme voulu.

Les sites lisse-étale et plat-fppf permettent de caractériser les modules parasites comme suit.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique.

1. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module sur \(\mathcal{X}_\etale\) ayant la propriété de changement de base plat. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est parasite ;

   2. \(g^*\mathcal{F} = 0\), où \(g : \Sh(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \to \Sh(\mathcal{X}_\etale)\) est défini comme dans le lemme 0788.

2. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module sur \(\mathcal{X}_{fppf}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est parasite ;

   2. \(g^*\mathcal{F} = 0\), où \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat,fppf}) \to \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) est défini comme dans le lemme 0788.

Démonstration

La partie (2) résulte immédiatement des définitions (c’est l’un des avantages du site plat-fppf sur le site lisse-étale). L’implication (1)(a) \(\Rightarrow\) (1)(b) est elle aussi immédiate. Pour établir (1)(b) \(\Rightarrow\) (1)(a), soient \(U\) un schéma et \(x : U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse surjectif. Alors \(x\) est un objet du site lisse-étale de \(\mathcal{X}\). La condition (1)(b) implique donc que \(\mathcal{F}|_{U_\etale} = 0\). Soit \(V \to \mathcal{X}\) un morphisme plat, où \(V\) est un schéma. Posons \(W = U \times_\mathcal{X} V\) et considérons le diagramme \[\xymatrix{ W \ar[d]_p \ar[r]_q & V \ar[d] \\ U \ar[r] & \mathcal{X} }\] La projection \(p : W \to U\) est plate, tandis que la projection \(q : W \to V\) est lisse et surjective. Il en résulte que \(q_{small}^*\) est un foncteur fidèle sur les modules quasi-cohérents. Par hypothèse, \(\mathcal{F}\) possède la propriété de changement de base plat, d’où un isomorphisme \(p_{small}^*\mathcal{F}|_{U_\etale} \cong q_{small}^*\mathcal{F}|_{V_\etale}\). Ainsi, si \(\mathcal{F}\) appartient au noyau de \(g^*\), alors \(\mathcal{F}|_{V_\etale} = 0\), comme voulu.

Fonctorialité des sites lisse-étale et plat-fppf

Le site lisse-étale est fonctoriel pour les morphismes lisses de champs algébriques, et le site plat-fppf l’est pour les morphismes plats de champs algébriques. Avertissons le lecteur que les topos lisse-étale et plat-fppf ne sont pas fonctoriels par rapport à tous les morphismes de champs algébriques ; voir Exemples, section 07BF.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Si \(f\) est lisse, alors \(f\) se restreint en un foncteur continu et cocontinu \(\mathcal{X}_{lisse,\etale} \to \mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) qui donne un morphisme de topos annelés s’insérant dans le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{X}_\etale) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}) \ar[r]^g & \Sh(\mathcal{Y}_\etale) }\] On a \(f'_*(g')^{-1} = g^{-1}f_*\) et \(g'_!(f')^{-1} = f^{-1}g_!\).

2. Si \(f\) est plat, alors \(f\) se restreint en un foncteur continu et cocontinu \(\mathcal{X}_{flat,fppf} \to \mathcal{Y}_{flat,fppf}\) qui donne un morphisme de topos annelés s’insérant dans le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{X}_{flat,fppf}) \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & \Sh(\mathcal{X}_{fppf}) \ar[d]^f \\ \Sh(\mathcal{Y}_{flat,fppf}) \ar[r]^g & \Sh(\mathcal{Y}_{fppf}) }\] On a \(f'_*(g')^{-1} = g^{-1}f_*\) et \(g'_!(f')^{-1} = f^{-1}g_!\).

Démonstration

La première assertion résulte du fait que, si \(x \in \Ob(\mathcal{X})\) est au-dessus d’un schéma \(U\), si \(x : U \to \mathcal{X}\) est lisse (resp. plat) et si \(f\) est lisse (resp. plat), alors \(f(x) : U \to \mathcal{Y}\) est lisse (resp. plat) ; voir Morphismes de champs, lemmes 075V et 06PX. Le foncteur induit \(\mathcal{X}_{lisse,\etale} \to \mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf} \to \mathcal{Y}_{flat,fppf}\)) est continu et cocontinu par notre définition des recouvrements dans ces catégories. Enfin, la commutativité du diagramme résulte du fait que les morphismes horizontaux sont donnés par les foncteurs d’inclusion (voir le lemme 0788) et du lemme 03L5 de Sites.

Pour montrer que \(f'_*(g')^{-1} = g^{-1}f_*\), soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{X}_\etale\) (resp. \(\mathcal{X}_{fppf}\)). Il existe un morphisme canonique d’image inverse \[g^{-1}f_*\mathcal{F} \longrightarrow f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] voir Sites, section 06UM. Nous affirmons que ce morphisme est un isomorphisme. Pour le montrer, prenons un objet \(y\) de \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{Y}_{flat,fppf}\)). Supposons que \(y\) soit au-dessus du schéma \(V\) et que \(y : V \to \mathcal{Y}\) soit lisse (resp. plat). Comme \(g^{-1}\) est le foncteur de restriction, on obtient \[\left(g^{-1}f_*\mathcal{F}\right)(y) = \Gamma(V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X},\ \text{pr}^{-1}\mathcal{F})\] d’après Faisceaux sur les champs, équation (06W6). Soit \((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})' \subset V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) la sous-catégorie pleine formée des objets \(z : W \to V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) tels que le morphisme induit \(W \to \mathcal{X}\) soit lisse (resp. plat). Notons \[\text{pr}' : (V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})' \longrightarrow \mathcal{X}_{lisse,\etale} \ (\text{resp. }\mathcal{X}_{flat,fppf})\] la restriction du foncteur \(\text{pr}\) utilisé dans la formule ci-dessus. Exactement le même argument que celui qui démontre Faisceaux sur les champs, équation (06W6), montre que, pour tout faisceau \(\mathcal{H}\) sur \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)), on a [07AU]\[\begin{equation} f'_*\mathcal{H}(y) = \Gamma((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})', \ (\text{pr}')^{-1}\mathcal{H}) \end{equation}\] Comme \((g')^{-1}\) est le foncteur de restriction, on voit que \[\left(f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\right)(y) = \Gamma((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})', \ \text{pr}^{-1}\mathcal{F}|_{(V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})'})\] D’après le lemme 07AK de Faisceaux sur les champs, on voit que \[\Gamma((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})', \ \text{pr}^{-1}\mathcal{F}|_{(V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})'}) = \Gamma(V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X},\ \text{pr}^{-1}\mathcal{F})\] sont égaux, comme voulu ; bien que nous omettions la vérification des hypothèses du lemme, notons que le fait que \(V \to \mathcal{Y}\) soit lisse (resp. plat) sert à vérifier la seconde condition.

Enfin, l’égalité \(g'_!(f')^{-1} = f^{-1}g_!\) découle formellement de l’égalité \(f'_*(g')^{-1} = g^{-1}f_*\) par les adjonctions entre \(f^{-1}\) et \(f_*\), entre \(g_!\) et \(g^{-1}\), et par leurs versions « primées ».

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 07AT, soit \(\mathcal{H}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)). Alors [07AW]\[\begin{equation} R^pf'_*\mathcal{H} = \text{faisceau associé au préfaisceau }y \longmapsto H^p((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})', (\text{pr}')^{-1}\mathcal{H}) \end{equation}\] Ici, \(y\) est un objet de \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{Y}_{flat,fppf}\)) au-dessus du schéma \(V\), et les notations \((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})'\) et \(\text{pr}'\) sont expliquées dans la démonstration.

Démonstration

Comme dans la démonstration du lemme 07AT, soit \((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})' \subset V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X}\) la sous-catégorie pleine formée des objets \((x, \varphi)\), où \(x\) est un objet de \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)) et \(\varphi : f(x) \to y\) est un morphisme dans \(\mathcal{Y}\). D’après l’équation (07AU), on a \[f'_*\mathcal{H}(y) = \Gamma((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})', \ (\text{pr}')^{-1}\mathcal{H})\] où \(\text{pr}'\) est la projection. Pour un objet \((x, \varphi)\) de \((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})'\), on peut considérer \(\varphi\) comme une section de \((f')^{-1}h_y\) au-dessus de \(x\). Ainsi, \((V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})'\) est la localisation du site \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)) en le faisceau d’ensembles \((f')^{-1}h_y\) ; voir Sites, lemme 0791. Le morphisme \[\text{pr}' : (V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})' \to \mathcal{X}_{lisse,\etale} \ (\text{resp. } \text{pr}' : (V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})' \to \mathcal{X}_{flat,fppf})\] est le morphisme de localisation. En particulier, le foncteur image inverse \((\text{pr}')^{-1}\) préserve les faisceaux abéliens injectifs ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 07A0.

Choisissons une résolution injective \(\mathcal{H} \to \mathcal{I}^\bullet\) sur \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)). La formule de l’image directe montre que \(R^if'_*\mathcal{H}\) est le faisceau associé au préfaisceau qui, à \(y\), associe la cohomologie du complexe \[\begin{matrix} \Gamma\Big((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})', (\text{pr}')^{-1}\mathcal{I}^{i - 1}\Big) \\ \downarrow \\ \Gamma\Big((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})', (\text{pr}')^{-1}\mathcal{I}^i\Big) \\ \downarrow \\ \Gamma\Big((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})', (\text{pr}')^{-1}\mathcal{I}^{i + 1}\Big) \end{matrix}\] Comme \((\text{pr}')^{-1}\) est exact et préserve les objets injectifs, le complexe \((\text{pr}')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est une résolution injective de \((\text{pr}')^{-1}\mathcal{H}\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 07AT, le morphisme canonique de changement de base \[g^{-1}Rf_*\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] est un isomorphisme pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{X}_\etale\) (resp. \(\mathcal{X}_{fppf}\)).

Démonstration

En comparant les formules pour \(g^{-1}R^pf_*\mathcal{F}\) et \(R^pf'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) données par le lemme 075G de Faisceaux sur les champs et le lemme 0GR2, on voit qu’il suffit de montrer \[H^p((V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})', \ \text{pr}^{-1}\mathcal{F}|_{(V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X})'}) = H^p_\tau(V \times_{y, \mathcal{Y}} \mathcal{X},\ \text{pr}^{-1}\mathcal{F})\] où \(\tau = \etale\) (resp. \(\tau = fppf\)). Ici, \(y\) est un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus d’un schéma \(V\) tel que le morphisme \(y : V \to \mathcal{Y}\) soit lisse (resp. plat). Cette égalité résulte du lemme 07AK de Faisceaux sur les champs. Bien que nous omettions la vérification des hypothèses du lemme, notons que le fait que \(V \to \mathcal{Y}\) soit lisse (resp. plat) sert à vérifier la seconde condition.

Modules quasi-cohérents et sites lisse-étale et plat-fppf

Dans cette section, nous expliquons comment décrire les modules quasi-cohérents sur un champ algébrique au moyen de son site lisse-étale ou plat-fppf.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique.

1. Soit \(f_j : \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\) une famille de morphismes lisses de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| =\bigcup |f_j|(|\mathcal{X}_j|)\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules sur \(\mathcal{X}_\etale\). Si chaque \(f_j^{-1}\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, alors \(\mathcal{F}\) l’est aussi.

2. Soit \(f_j : \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\) une famille de morphismes plats et localement de présentation finie de champs algébriques telle que \(|\mathcal{X}| =\bigcup |f_j|(|\mathcal{X}_j|)\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules sur \(\mathcal{X}_{fppf}\). Si chaque \(f_j^{-1}\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, alors \(\mathcal{F}\) l’est aussi.

Démonstration

Preuve de (1). Nous pouvons remplacer chacun des champs algébriques \(\mathcal{X}_j\) par un schéma \(U_j\) (puisque tout champ algébrique admet un recouvrement lisse par un schéma et que les composés de morphismes lisses sont lisses ; voir Morphismes de champs, lemme 075V). L’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/U_j)_\etale\) est encore quasi-cohérente ; voir Modules sur les sites, lemme 03DO. Alors \(f = \coprod f_j : U = \coprod U_j \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse surjectif. Soit \(x : V \to \mathcal{X}\) un objet de \(\mathcal{X}\). D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06XH il existe un recouvrement étale \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) tel que chaque \(x_i\) se relève en un objet \(u_i\) de \((\Sch/U)_\etale\). Cela signifie simplement que \(x_i\) est au-dessus d’un schéma \(V_i\), que \(\{V_i \to V\}\) est un recouvrement étale et que \(x_i\) provient d’un morphisme \(u_i : V_i \to U\). Alors \(x_i^*\mathcal{F} = u_i^*f^*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Il s’ensuit que \(x^*\mathcal{F}\) sur \((\Sch/V)_\etale\) est quasi-cohérent, par exemple d’après Modules sur les sites, lemme 03DN. D’après Faisceaux sur les champs, lemme 0EM8 on voit que \(x^*\mathcal{F}\) est un faisceau fppf et, puisque \(x\) était arbitraire, que \(\mathcal{F}\) est un faisceau pour la topologie fppf. En appliquant Faisceaux sur les champs, lemme 06WI on voit que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent.

Preuve de (2). La démonstration emploie exactement le même argument, que nous détaillons ici. Nous pouvons remplacer chacun des champs algébriques \(\mathcal{X}_j\) par un schéma \(U_j\) (puisque tout champ algébrique admet un recouvrement lisse par un schéma et que les morphismes plats et localement de présentation finie sont stables par composition ; voir Morphismes de champs, lemmes 06PX et 06Q3). L’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/U_j)_\etale\) est encore localement quasi-cohérente ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 06WH. Alors \(f = \coprod f_j : U = \coprod U_j \to \mathcal{X}\) est un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie. Soit \(x : V \to \mathcal{X}\) un objet de \(\mathcal{X}\). D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06XH il existe un recouvrement fppf \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) tel que chaque \(x_i\) se relève en un objet \(u_i\) de \((\Sch/U)_\etale\). Cela signifie simplement que \(x_i\) est au-dessus d’un schéma \(V_i\), que \(\{V_i \to V\}\) est un recouvrement fppf et que \(x_i\) provient d’un morphisme \(u_i : V_i \to U\). Alors \(x_i^*\mathcal{F} = u_i^*f^*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Il s’ensuit que \(x^*\mathcal{F}\) sur \((\Sch/V)_\etale\) est quasi-cohérent, par exemple d’après Modules sur les sites, lemme 03DN. D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06WI on voit que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent.

Rappelons que nous avons défini la notion de module quasi-cohérent sur un topos annelé quelconque dans Modules sur les sites, section 03DK.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Les notations sont celles du lemme 0788.

1. Soit \(\mathcal{H}\) un \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\)-module quasi-cohérent sur le site lisse-étale de \(\mathcal{X}\). Alors \(g_!\mathcal{H}\) est un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\).

2. Soit \(\mathcal{H}\) un \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)-module quasi-cohérent sur le site plat-fppf de \(\mathcal{X}\). Alors \(g_!\mathcal{H}\) est un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(x : U \to \mathcal{X}\). D’après Modules sur les sites, définition 03DL, il existe un recouvrement étale (resp. fppf) \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que chaque image inverse \(f_i^{-1}\mathcal{H}\) admette une présentation globale (voir Modules sur les sites, définition 03DE). Ici, \(f_i : U_i \to \mathcal{X}\) est le composé \(U_i \to U \to \mathcal{X}\), qui est un morphisme de champs algébriques. (Rappelons que l’image inverse « est » la restriction à \(\mathcal{X}/f_i\) ; voir Faisceaux sur les champs, définition 06W1 et la discussion qui suit.) Comme chaque \(f_i\) est lisse (resp. plat), le lemme 07AT donne \(f_i^{-1}g_!\mathcal{H} = g_{i, !}(f'_i)^{-1}\mathcal{H}\). Le lemme 07AZ ramène l’énoncé au cas où \(\mathcal{H}\) admet une présentation globale. Écrivons \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{H} \longrightarrow 0\] de \(\mathcal{O}\)-modules, où \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\) (resp. \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)). Comme \(g_!\) commute aux limites inductives arbitraires (en tant que foncteur adjoint à gauche ; voir le lemme 0789 et Catégories, lemme 0038), on en déduit l’existence d’une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} g_!\mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} g_!\mathcal{O} \longrightarrow g_!\mathcal{H} \longrightarrow 0\] Le lemme 078A montre que \(g_!\mathcal{O} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\). Dans le cas (2), la démonstration est terminée. Dans le cas (1), on applique Faisceaux sur les champs, lemme 0EM8 pour conclure.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique.

1. Pour le site lisse-étale, avec \(g\) comme dans le lemme 0788, on a :

   1. les foncteurs \(g^{-1}\) et \(g_!\) définissent des foncteurs quasi-inverses \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^{-1}} & \QCoh(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \ar@<1ex>[l]^-{g_!} }\]

   2. si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors \(g^{-1}\mathcal{F}\) appartient à \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) ;

   3. \(Q(\mathcal{F}) = g_!g^{-1}\mathcal{F}\), où \(Q\) est celui du lemme 0778.

2. Pour le site plat-fppf, avec \(g\) comme dans le lemme 0788, on a :

   1. les foncteurs \(g^{-1}\) et \(g_!\) définissent des foncteurs quasi-inverses \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^{-1}} & \QCoh(\mathcal{X}_{flat,fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \ar@<1ex>[l]^-{g_!} }\]

   2. si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors \(g^{-1}\mathcal{F}\) appartient à \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) et

   3. \(Q(\mathcal{F}) = g_!g^{-1}\mathcal{F}\), où \(Q\) est celui du lemme 0778.

Démonstration

L’image inverse par tout morphisme de topos annelés préserve les catégories de modules quasi-cohérents ; voir Modules sur les sites, lemme 03DO. Par conséquent, \(g^{-1}\) préserve les catégories de modules quasi-cohérents ; nous utilisons ici l’égalité \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = \QCoh(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) fournie par Faisceaux sur les champs, lemme 0EM8. Il en va de même pour \(g_!\) d’après le lemme 07B0. Le lemme 0788 montre que \(\mathcal{H} \to g^{-1}g_!\mathcal{H}\) est un isomorphisme. Réciproquement, si \(\mathcal{F}\) appartient à \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), alors le morphisme \(g_!g^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est un morphisme de modules quasi-cohérents sur \(\mathcal{X}\) dont la restriction à tout schéma lisse sur \(\mathcal{X}\) est un isomorphisme. La discussion de Faisceaux sur les champs, sections 06WS et 06WU (par comparaison avec les modules quasi-cohérents sur des présentations), montre donc qu’il s’agit d’un isomorphisme. Cela démontre (1)(a) et (2)(a).

Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). D’après le lemme 0779, le noyau et le conoyau du morphisme \(Q(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) sont parasites. Par conséquent, d’après le lemme 07AR et puisque \(g^* = g^{-1}\) est exact, on conclut que \(g^*Q(\mathcal{F}) \to g^*\mathcal{F}\) est un isomorphisme. Ainsi, \(g^*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Cela démontre (1)(b) et (2)(b). Enfin, (1)(c) et (2)(c) résultent du fait que \(g_!g^*Q(\mathcal{F}) \to Q(\mathcal{F})\) est un isomorphisme d’après les arguments qui précèdent.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique.

1. \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) est une sous-catégorie faible de Serre de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\).

2. \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) est une sous-catégorie faible de Serre de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\).

Démonstration

Nous allons vérifier les conditions (1), (2), (3) et (4) du lemme 0754 d’Homologie.

Comme \(0\) est un module quasi-cohérent sur tout site annelé, la condition (1) est satisfaite.

Par définition, \(\QCoh(\mathcal{O})\) est une sous-catégorie strictement pleine de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) ; donc (2) est satisfaite.

Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un morphisme de modules quasi-cohérents sur \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) ou \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\). On a \(g^*g_!\mathcal{F} = \mathcal{F}\) et de même pour \(\mathcal{G}\) et \(\varphi\) ; voir le lemme 0789. D’après le lemme 07B0, \(g_!\mathcal{F}\) et \(g_!\mathcal{G}\) sont des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules quasi-cohérents. D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06WV le module \(\Coker(g_!\varphi)\) est quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}\) (et c’est le conoyau dans la catégorie des modules quasi-cohérents sur \(\mathcal{X}\)). Comme \(g^*\) est exact (voir le lemme 0788), \(g^*\Coker(g_!\varphi) = \Coker(g^*g_!\varphi) = \Coker(\varphi)\) est également quasi-cohérent (voir le lemme 07B1). D’après la proposition 0771, le noyau \(\Ker(g_!\varphi)\) appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Comme \(g^*\) est exact, on a \(g^*\Ker(g_!\varphi) = \Ker(g^*g_!\varphi) = \Ker(\varphi)\). Puisque \(g^*\) envoie les objets de \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) sur des modules quasi-cohérents d’après le lemme 07B1, on en déduit que \(\Ker(\varphi)\) est également quasi-cohérent. Cela démontre (3).

Enfin, supposons que \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{E} \to \mathcal{G} \to 0\] soit une extension de \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\)-modules (resp. de \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)-modules), où \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont quasi-cohérents. Pour démontrer (4) et achever la preuve, il nous faut montrer que \(\mathcal{E}\) est quasi-cohérent sur \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (resp. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)) ; nous considérons \(U\) comme un schéma lisse (resp. plat) sur \(\mathcal{X}\). Il faut montrer que la restriction de \(\mathcal{E}\) à \(U_{lisse,\etale}\) (resp. \(=U_{flat,fppf}\)) est quasi-cohérente. Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{X} = U\) est un schéma. Puisque \(\mathcal{G}\) est quasi-cohérent sur \(U_{lisse,\etale}\) (resp. \(U_{flat,fppf}\)), nous pouvons supposer, après avoir remplacé \(U\) par les membres d’un recouvrement étale (resp. fppf), que \(\mathcal{G}\) admet une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{G} \longrightarrow 0\] sur \(U_{lisse,\etale}\) (resp. \(U_{flat,fppf}\)), où \(\mathcal{O}\) est le faisceau structural du site. Nous pouvons aussi supposer \(U\) affine. Comme \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, on a \[H^1(U_{lisse,\etale}, \mathcal{F}) = 0, \quad\text{resp.}\quad H^1(U_{flat,fppf}, \mathcal{F}) = 0\] En effet, \(\mathcal{F}\) est l’image inverse d’un module quasi-cohérent \(\mathcal{F}'\) sur le grand site de \(U\) (d’après le lemme 07B1), les cohomologies de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}'\) coïncident (d’après le lemme 0GR0), et l’on sait que la cohomologie de \(\mathcal{F}'\) sur le grand site du schéma affine \(U\) est nulle (pour l’obtenir dans la situation présente, il faut combiner Descentee, propositions 03DX et 03DW avec Cohomologie des schémas, lemme 01XB). Nous pouvons donc relever le morphisme \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O} \to \mathcal{G}\) à \(\mathcal{E}\). Une chasse au diagramme donne alors une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O} \to \mathcal{F} \oplus \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \to \mathcal{E} \to 0\] D’après (3), démontré ci-dessus, on en conclut que \(\mathcal{E}\) est quasi-cohérent, comme voulu.

Faisceaux cohérents sur les champs localement noethériens

Cette section est l’analogue de Cohomologie des espaces, section 07U9. Nous avons défini la notion de module cohérent sur tout topos annelé dans Modules sur les sites, section 03DK. Cependant, pour tout champ algébrique \(\mathcal{X}\), la catégorie des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules cohérents est nulle, essentiellement parce que le site \(\mathcal{X}\) contient trop d’objets non noethériens (même si \(\mathcal{X}\) est lui-même localement noethérien). Nous définirons plutôt les modules cohérents au moyen du lemme suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module quasi-cohérent de type fini ;

2. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module de présentation finie ;

3. \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent et, pour tout morphisme \(f : U \to \mathcal{X}\) où \(U\) est un espace algébrique localement noethérien, l’image inverse \(f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\) est cohérente ;

4. \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent et il existe un espace algébrique \(U\) et un morphisme \(f : U \to \mathcal{X}\) localement de type fini, plat et surjectif, tels que l’image inverse \(f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\) soit cohérente.

Démonstration

Soit \(f : U \to \mathcal{X}\) comme dans (4). Alors \(U\) est localement noethérien (Morphismes de champs, lemme 06R6) et l’on voit que l’énoncé du lemme a un sens. De plus, \(f\) est localement de présentation finie d’après Morphismes de champs, lemme 0DQJ. Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus du schéma \(V\). Pour démontrer (2), il faut montrer qu’après avoir remplacé \(V\) par les membres d’un recouvrement fppf de \(V\), la restriction \(x^*\mathcal{F}\) admet une présentation globale finie sur \(\mathcal{X}/x \cong (\Sch/V)_{fppf}\). La projection \(W = U \times_\mathcal{X} V \to V\) est localement de présentation finie, plate et surjective. On peut donc remplacer \(V\) par les membres d’un recouvrement étale de \(W\) par des schémas et supposer qu’il existe un morphisme \(h : V \to U\) tel que \(f \circ h = x\). Comme \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, on voit que la restriction \(x^*\mathcal{F}\) est l’image inverse de \(h_{small}^*(f^*\mathcal{F})|_{U_\etale}\) par \(\pi_V\) ; voir Faisceaux sur les champs, lemme 0GQD. Puisque, par hypothèse, \(f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\) admet localement pour la topologie étale une présentation finie, on en conclut (4) \(\Rightarrow\) (2).

La condition (2) implique (1) pour tout topos annelé (cela résulte aussitôt de la définition). Les propriétés « de type fini » et « quasi-cohérent » sont préservées par l’image inverse de tout morphisme de topos annelés ; voir Modules sur les sites, lemme 03DO. Par conséquent, (1) implique (3) ; voir Cohomologie des espaces, lemme 07UB. Enfin, (3) implique trivialement (4).

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module \(\mathcal{F}\) est dit cohérent si \(\mathcal{F}\) satisfait l’une (et donc chacune) des conditions équivalentes du lemme 0GR5. La catégorie des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules cohérents est notée \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Le module \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\) est cohérent, tout \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module inversible est cohérent et, plus généralement, tout \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module localement libre de type fini est cohérent.

Démonstration

Cela résulte de la définition et de Cohomologie des espaces, lemme 07UB.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques localement noethériens. Alors \(f^*\) envoie les modules cohérents sur \(\mathcal{Y}\) sur des modules cohérents sur \(\mathcal{X}\).

Démonstration

Cela résulte aussitôt de la définition et du fait que l’image inverse par tout morphisme de topos annelés préserve les modules de présentation finie ; voir Modules sur les sites, lemme 03DO.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. La catégorie des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules cohérents est abélienne. Si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules cohérents, alors :

1. le conoyau \(\Coker(\varphi)\) calculé dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module cohérent ;

2. l’image \(\Im(\varphi)\) calculée dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module cohérent ;

3. le noyau \(\Ker(\varphi)\) calculé dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) peut ne pas être cohérent, mais il appartient à \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) et \(Q(\Ker(\varphi))\) est cohérent et constitue le noyau de \(\varphi\) dans \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

Le foncteur d’inclusion \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est exact.

Démonstration

Les règles données pour former les noyaux, images et conoyaux dans \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) coïncident avec la prescription pour les modules quasi-cohérents de la remarque 0GQL. Le lemme résultera donc du fait que les modules quasi-cohérents \(\Coker(\varphi)\), \(\Im(\varphi)\) et \(Q(\Ker(\varphi))\) sont cohérents. D’après le lemme 0GR5, il suffit de le montrer après restriction à \(U_\etale\) pour un morphisme lisse surjectif \(f : U \to \mathcal{X}\). Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\) est exact. Par conséquent, \(f^*\Coker(\varphi)\) et \(f^*\Im(\varphi)\) sont le conoyau et l’image d’un morphisme entre \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents, donc sont cohérents comme voulu. Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto f^*\mathcal{F}|_{U_\etale}\) annule les modules parasites d’après le lemme 0774. Ainsi, \(f^*Q(\Ker(\varphi))|_{U_\etale} = f^*\Ker(\varphi)|_{U_\etale}\) d’après la partie (2) du lemme 0779. On conclut donc de même que \(Q(\Ker(\varphi))\) est cohérent.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Étant donnée une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\), si \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) sont cohérents, alors \(\mathcal{F}_2\) est cohérent.

Démonstration

D’après Faisceaux sur les champs, lemme 06WV, partie (7), \(\mathcal{F}_2\) est quasi-cohérent. On peut alors vérifier que \(\mathcal{F}_2\) est cohérent par restriction à \(U_\etale\) pour un morphisme \(U \to \mathcal{X}\) lisse et surjectif. Cela résulte de Cohomologie des espaces, lemme 07UC. Quelques détails sont omis.

Les modules cohérents forment une sous-catégorie de Serre de la catégorie des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules quasi-cohérents. Cela n’est pas vrai pour les modules sur un topos annelé général.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Alors \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est une sous-catégorie de Serre de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules quasi-cohérents. On a :

1. si \(\mathcal{F}\) est cohérent et \(\varphi\) est surjectif, alors \(\mathcal{G}\) est cohérent ;

2. si \(\mathcal{F}\) est cohérent, alors \(\Im(\varphi)\) est cohérente ;

3. si \(\mathcal{G}\) est cohérent et \(\Ker(\varphi)\) est parasite, alors \(\mathcal{F}\) est cohérent.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(f : U \to \mathcal{X}\). Alors le foncteur \(f^* : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\) est exact (lemme 076X) et, en outre, \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) est par définition la sous-catégorie pleine de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) formée des objets \(\mathcal{F}\) tels que \(f^*\mathcal{F}\) appartienne à \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_U)\). Le fait que \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) soit une sous-catégorie de Serre de \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) résulte aussitôt de ceci et du fait correspondant pour \(U\) ; voir Cohomologie des espaces, lemmes 07UC et 07UD. Nous omettons la preuve de (1), (2) et (3). Indication : comparer avec la démonstration du lemme 0GR9.

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Soit \(U\) un espace algébrique et soit \(f : U \to \mathcal{X}\) un morphisme surjectif, localement de présentation finie et plat. Observons que \(U\) est localement noethérien (Morphismes de champs, lemme 06R6). Soit \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde en espaces algébriques et \(f_{can} : [U/R] \to \mathcal{X}\) l’isomorphisme construit dans Champs algébriques, lemme 04T4 et remarque 04WY. Comme dans Faisceaux sur les champs, section 06WU on obtient des équivalences \[\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cong \QCoh(\mathcal{O}_{[U/R]}) \cong \QCoh(U, R, s, t, c)\] où la seconde équivalence est celle de Faisceaux sur les champs, proposition 06WT. Rappelons que, dans Groupoïdes dans les espaces, section 0GPN nous avons défini la sous-catégorie pleine \[\textit{Coh}(U, R, s, t, c) \subset \QCoh(U, R, s, t, c)\] des modules cohérents comme celle des \((\mathcal{G}, \alpha)\) tels que \(\mathcal{G}\) soit un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Lemme

Dans la situation décrite ci-dessus, l’équivalence \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cong \QCoh(U, R, s, t, c)\) envoie les modules cohérents sur les modules cohérents et réciproquement, c’est-à-dire qu’elle induit une équivalence \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cong \textit{Coh}(U, R, s, t, c)\).

Démonstration

Cela résulte aussitôt de la définition des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules cohérents. Pour expliciter les références, ce qui précède utilise Morphismes de champs, lemme 06R6, Champs algébriques, lemme 04T4 et remarque 04WY, Faisceaux sur les champs, section 06WU, Faisceaux sur les champs, proposition 06WT, et Groupoïdes dans les espaces, section 0GPN.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-modules cohérents. Alors le Hom interne \(hom(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) construit dans le lemme 0GQN est un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module cohérent.

Démonstration

Soit \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse surjectif issu d’un schéma. D’après le point (0GQT) de la section 0GQS, la restriction de \(hom(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) à \(U\) est le faisceau Hom des restrictions. Ce lemme résulte donc du cas des espaces algébriques ; voir Cohomologie des espaces, lemme 07UE.

Faisceaux cohérents sur les champs noethériens

Cette section est l’analogue de Cohomologie des espaces, section 07UI.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique noethérien. Tout \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module quasi-cohérent est la colimite filtrante de ses sous-modules cohérents.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-module quasi-cohérent. Si \(\mathcal{G}, \mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) sont des sous-modules \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-cohérents, alors l’image de \(\mathcal{G} \oplus \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) est encore un sous-module \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-cohérent qui les contient tous deux, voir le lemme 0GRB. Le système est donc filtrant. Il suffit dès lors de montrer que \(\mathcal{F}\) s’écrit comme colimite filtrante de modules cohérents : on pourra alors prendre les images de ces modules dans \(\mathcal{F}\) et conclure qu’il y en a suffisamment.

Soient \(U\) un schéma affine et \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse surjectif (Propriétés des champs, lemme 04YC). Posons \(R = U \times_\mathcal{X} U\), de sorte que \(\mathcal{X} = [U/R]\) comme dans Champs algébriques, lemme 04T5. D’après le lemme 0GRC, on a \(\QCoh(\mathcal{O}_X) = \QCoh(U, R, s, t, c)\) et \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) = \textit{Coh}(U, R, s, t, c)\). On est ainsi ramené à établir l’énoncé correspondant pour \(\QCoh(U, R, s, t, c)\). C’est le contenu de Groupoïdes dans les espaces, lemme 0GPS ; nous en vérifions les hypothèses au paragraphe suivant.

Nous invitons le lecteur à passer le reste de la démonstration. Le schéma affine \(U\) est noethérien ; cela résulte de notre définition d’un champ \(\mathcal{X}\) localement noethérien, voir Propriétés des champs, définition 04YG et remarque 04YH. Les morphismes de projection \(s, t : R \to U\) sont lisses (voir la référence ci-dessus), quasi-séparés et quasi-compacts (Morphismes de champs, lemme 075S). En particulier, \(R\) est un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé, lisse sur \(U\), donc noethérien (Morphismes d’espaces, lemme 04ZL).