Sommes amalgamées d’espaces algébriques

Introduction

Le but de ce chapitre est d’étudier les sommes amalgamées dans la catégorie des espaces algébriques, sous diverses hypothèses. Une construction assez générale est donnée dans [Temkin-Tyomkin] : l’un des morphismes est affine et l’autre est une immersion fermée. Nous étudions un cas particulier de cette construction dans la section 07SW où nous supposons que l’un des morphismes est affine et l’autre est un épaississement, situation qui apparaît souvent en théorie des déformations.

Dans les sections 0AEP et 0AF2 nous discutons des diagrammes \[\xymatrix{ f^{-1}(X \setminus Z) \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d]^f \\ X \setminus Z \ar[r] & X }\] où \(f\) est un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques, \(Z \to X\) est une immersion fermée de présentation finie, le morphisme \(f^{-1}(Z) \to Z\) est un isomorphisme, et \(f\) est plat le long de \(f^{-1}(Z)\). Dans cette situation, nous recollons des modules quasi-cohérents sur \(X \setminus Z\) et \(Y\) (dans la section 0AEP) à des modules quasi-cohérents sur \(X\) et nous recollons des espaces algébriques sur \(X \setminus Z\) et sur \(Y\) (dans la section 0AF2) à des espaces algébriques sur \(X\).

Dans la section 0AGF, nous discutons de la manière dont les morphismes birationnels propres des espaces algébriques noethériens donnent lieu à des diagrammes de coégalisation dans la catégorie des espaces algébriques, en un sens précisé plus loin.

Dans la section 0F44, nous utilisons la construction des carrés distingués élémentaires dans la section 0DVH pour prouver le théorème de Nagata sur les compactifications dans le cadre des espaces algébriques.

Conventions

Notre convention permanente est que tous les schémas sont contenus dans un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). Tous les anneaux \(A\) considérés ont la propriété que \(\Spec(A)\) est (isomorphe) à un objet de ce grand site.

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et le suivant, nous écrirons \(X \times_S X\) pour le produit de \(X\) avec lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), au lieu de \(X \times X\).

Limites inductives des espaces algébriques

Nous discutons brièvement des limites inductives des espaces algébriques. Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{I} \to (\Sch/S)_{fppf}\), \(i \mapsto X_i\) un diagramme (voir Catégories, section 002D). Pour chaque \(i\), nous pouvons considérer le petit site étale \(X_{i, \etale}\) dont les objets sont des schémas étales sur \(X_i\), voir Propriétés des espaces, section 03EB. Pour chaque morphisme \(i \to j\) de \(\mathcal{I}\), nous avons le morphisme \(X_i \to X_j\) et donc un foncteur de changement de base \(X_{j, \etale} \to X_{i, \etale}\). Ainsi, nous obtenons un pseudo-foncteur de \(\mathcal{I}^{opp}\) dans la \(2\)-catégorie des catégories. Désignons \[\lim_i X_{i, \etale}\] la \(2\)-limite (voir la référence future à insérer ici). Qu’est-ce que cela signifie concrètement ? Un objet de cette limite est un système de morphismes étales \(U_i \to X_i\) sur \(\mathcal{I}\) tel que pour chaque \(i \to j\) dans \(\mathcal{I}\) le diagramme \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & U_j \ar[d] \\ X_i \ar[r] & X_j }\] est cartésien. Les morphismes entre les objets sont définis de manière évidente. Supposons que \(f_i : X_i \to T\) soit une famille de morphismes telle que pour chaque \(i \to j\), la composition \(X_i \to X_j \to T\) soit égale à \(f_i\). Alors nous obtenons un foncteur \(T_\etale \to \lim X_{i, \etale}\). Avec ces notations, nous pouvons formuler notre lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{I} \to (\Sch/S)_{fppf}\), \(i \mapsto X_i\) un diagramme de schémas sur \(S\) comme ci-dessus. Supposons que

\(X = \colim X_i\) existe dans la catégorie des schémas,

\(\coprod X_i \to X\) est surjectif,

si \(U \to X\) est étale et \(U_i = X_i \times_X U\), alors \(U = \colim U_i\) dans la catégorie des schémas, et

chaque objet \((U_i \to X_i)\) de \(\lim X_{i, \etale}\) avec \(U_i \to X_i\) séparé est dans l’image essentielle du foncteur \(X_\etale \to \lim X_{i, \etale}\).

Alors \(X = \colim X_i\) également dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

Soit \(Z\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons que \(f_i : X_i \to Z\) soit une famille de morphismes telle que pour chaque \(i \to j\) la composition \(X_i \to X_j \to Z\) soit égale à \(f_i\). Nous devons construire un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Z\) tel que nous puissions retrouver \(f_i\) comme la composition \(X_i \to X \to Z\). Soit \(W \to Z\) un morphisme étale surjectif d’un schéma vers \(Z\). Nous pouvons supposer que \(W\) est une union disjointe d’affines et en particulier nous pouvons supposer que \(W \to Z\) est séparé. Pour chaque \(i\), posons \(U_i = W \times_{Z, f_i} X_i\) et notons \(h_i : U_i \to W\) la projection. Alors \(U_i \to X_i\) forme un objet de \(\lim X_{i, \etale}\) avec \(U_i \to X_i\) séparé. Par l’hypothèse (4), nous pouvons trouver un morphisme étale \(U \to X\) et des isomorphismes (fonctoriels) \(U_i = X_i \times_X U\). D’après l’hypothèse (3), il existe un morphisme \(h : U \to W\) tel que les compositions \(U_i \to U \to W\) soient \(h_i\). Soit \(g : U \to Z\) la composée de \(h\) avec le morphisme \(W \to Z\). Pour terminer la preuve, nous devons montrer que \(g : U \to Z\) provient d’un morphisme \(X \to Z\). Pour ce faire, considérons le morphisme \((h, h) : U \times_X U \to W \times_S W\). En composant avec \(U_i \times_{X_i} U_i \to U \times_X U\), nous obtenons \((h_i, h_i)\) qui se factorise par \(W \times_Z W\). Comme \(U \times_X U\) est la limite inductive des schémas \(U_i \times_{X_i} U_i\) par (3), nous voyons que \((h, h)\) se factorise par \(W \times_Z W\). Ainsi, les deux compositions \(U \times_X U \to U \to W \to Z\) sont égales. Comme chaque \(U_i \to X_i\) est surjectif et que, d’après l’hypothèse (2), \(U \to X\) est surjectif, le fait que \(Z\) soit un faisceau pour la topologie étale montre que \(g : U \to Z\) provient d’un morphisme \(f : X \to Z\) comme voulu.

La propriété, pour un cocône, d’être une limite inductive se vérifie localement pour la topologie fpqc sur le cocône.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \to (\Sch/S)_{fppf}\), \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \((X, X_i \to X)\) un cocône pour le diagramme dans la catégorie des espaces algébriques sur \(B\) (Catégories, Remarque 0G2U). S’il existe un recouvrement fpqc \(\{U_a \to X\}_{a \in A}\) tel que

pour tout \(a \in A\) nous avons \(U_a = \colim X_i \times_X U_a\) dans la catégorie des espaces algébriques sur \(B\), et

pour tout \(a, b \in A\) nous avons \(U_a \times_X U_b = \colim X_i \times_X U_a \times_X U_b\) dans la catégorie des espaces algébriques sur \(B\),

alors \(X = \colim X_i\) dans la catégorie des espaces algébriques sur \(B\).

Démonstration

En effet, pour un espace algébrique \(Y\) sur \(B\), un morphisme \(X \to Y\) sur \(B\) est la même chose qu’une collection de morphismes \(U_a \to Y\) qui coïncident sur les intersections \(U_a \times_X U_b\) pour tout \(a, b \in A\), voir Descente sur les espaces, Lemme 04P2.

Nous allons trouver une généralisation partielle commune des Lemmes 07SX et 0GFQ qui peut en particulier être utilisée pour réduire une construction de limite inductive à une sous-catégorie de la catégorie de tous les espaces algébriques.

Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices et soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme dans la catégorie des espaces algébriques sur \(B\), voir Catégories, section 002D. Pour chaque \(i\) nous pouvons considérer le petit site étale \(X_{i, spaces, \etale}\) dont les objets sont les espaces algébriques étales sur \(X_i\), voir Propriétés des espaces, section 03EB. Pour chaque morphisme \(i \to j\) de \(\mathcal{I}\) nous avons le morphisme \(X_i \to X_j\) et donc un foncteur d’image inverse \(X_{j, spaces, \etale} \to X_{i, spaces, \etale}\). Ainsi nous obtenons un pseudo-foncteur de \(\mathcal{I}^{opp}\) vers la \(2\)-catégorie des catégories. Notons \[\lim_i X_{i, spaces, \etale}\] la \(2\)-limite (voir la référence future à insérer ici). Que signifie ceci concrètement ? Un objet de cette limite est un diagramme \(i \mapsto (U_i \to X_i)\) dans la catégorie des flèches des espaces algébriques sur \(B\) tel que pour chaque \(i \to j\) dans \(\mathcal{I}\) le diagramme \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & U_j \ar[d] \\ X_i \ar[r] & X_j }\] soit cartésien. Les morphismes entre les objets sont définis de manière évidente. Supposons que \(f_i : X_i \to Z\) soit une famille de morphismes d’espaces algébriques sur \(B\) telle que, pour chaque \(i \to j\), la composée \(X_i \to X_j \to Z\) soit égale à \(f_i\). Alors nous obtenons un foncteur \(Z_{spaces, \etale} \to \lim X_{i, spaces, \etale}\). Avec ces notations, nous pouvons formuler le lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \to (\Sch/S)_{fppf}\), \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \((X, X_i \to X)\) un cocône pour le diagramme dans la catégorie des espaces algébriques sur \(B\) (Catégories, Remarque 0G2U). Supposons que

le foncteur de changement de base \(X_{spaces, \'etale} \to \lim X_{i, spaces, \etale}\), envoyant \(U\) à \(U_i = X_i \times_X U\) est une équivalence,

si l’on se donne

\(B'\) affine et étale sur \(B\),

\(Z\) un schéma affine sur \(B'\),

\(U \to X \times_B B'\) un morphisme étale d’espaces algébriques avec \(U\) affine,

\(f_i : U_i \to Z\) un cocône sur \(B'\) du diagramme \(i \mapsto U_i = U \times_X X_i\),

il existe un morphisme unique \(f : U \to Z\) sur \(B'\) tel que \(f_i\) soit égal à la composition \(U_i \to U \to Z\).

Alors \(X = \colim X_i\) dans la catégorie de tous les espaces algébriques sur \(B\).

Démonstration

Dans ce paragraphe, nous réduisons au cas où \(B\) est un schéma affine. Soit \(B' \to B\) un morphisme étale d’espaces algébriques. Remarquons que les conditions (1) et (2) sont préservées si nous remplaçons \(B\), \(X_i\), \(X\) par \(B'\), \(X_i \times_B B'\), \(X \times_B B'\). Soit \(\{B_a \to B\}_{a \in A}\) un recouvrement étale avec \(B_a\) affine, voir Propriétés des espaces, Lemme 03FX. Pour \(a \in A\), notons \(X_a\), \(X_{a, i}\) les changements de base de \(X\) et le diagramme vers \(B_a\). Pour \(a, b \in A\), notons \(X_{a, b}\) et \(X_{a, b, i}\) les changements de base de \(X\) et le diagramme vers \(B_a \times_B B_b\). D’après le Lemme 0GFQ il suffit de prouver que \(X_a = \colim X_{a, i}\) et \(X_{a, b} = \colim X_{a, b, i}\). Cela nous réduit au cas où \(B = B_a\) (un schéma affine) ou \(B = B_a \times_B B_b\) (un schéma séparé). En répétant l’argument une fois de plus, nous concluons que nous pouvons supposer que \(B\) est un schéma affine (cela utilise le fait que l’intersection d’ouverts affines dans un schéma séparé est affine).

Supposons que \(B\) soit un schéma affine. Soit \(Z\) un espace algébrique sur \(B\). Nous devons montrer que \[\Mor_B(X, Z) \longrightarrow \lim \Mor_B(X_i, Z)\] est une bijection.

Preuve de l’injectivité. Soit \(f, g : X \to Z\) des morphismes tels que les composées \(f_i, g_i : X_i \to Z\) soient les mêmes pour tous les \(i\). Choisissons un schéma affine \(Z'\) et un morphisme étale \(Z' \to Z\). Par Propriétés des espaces, Lemme 03FX, nous savons que nous pouvons recouvrir \(Z\) par de tels schémas affines. Posons \(U = X \times_{f, Z} Z'\) et \(U' = X \times_{g, Z} Z'\) et notons \(p : U \to X\) et \(p' : U' \to X\) les projections. Comme \(f_i = g_i\) pour tous les \(i\), nous voyons que \[U_i = X_i \times_{f_i, Z} Z' = X_i \times_{g_i, Z} Z' = U'_i\] est compatible avec les morphismes de transition. Par (1) il existe un unique isomorphisme \(\epsilon : U \to U'\) comme espaces algébriques sur \(X\), c’est-à-dire avec \(p = p' \circ \epsilon\) qui est compatible avec les identifications affichées. Choisissons un recouvrement étale \(\{h_a : U_a \to U\}\) avec \(U_a\) affine. Par (2) nous voyons que \(f \circ p \circ h_a = g \circ p' \circ \epsilon \circ h_a = g \circ p \circ h_a\). Puisque \(\{h_a : U_a \to U\}\) est un recouvrement étale, nous concluons \(f \circ p = g \circ p\). Puisque la collection de morphismes \(p : U \to X\) que nous obtenons de cette manière est un recouvrement étale, nous concluons que \(f = g\).

Preuve de la surjectivité. Soit \(f_i : X_i \to Z\) un élément du membre de droite de la flèche affichée dans le premier paragraphe de la preuve. Il suffit de trouver un recouvrement étale \(\{U_c \to X\}_{c \in C}\) tel que les familles \(f_{c, i} \in \lim_i \Mor_B(X_i \times_X U_c, Z)\) proviennent de morphismes \(f_c : U_c \to Z\). En effet, par l’unicité prouvée ci-dessus, les morphismes \(f_c\) coïncideront sur \(U_c \times_X U_b\) et se recolleront donc en le morphisme souhaité \(f : X \to Z\). Pour construire ce recouvrement, choisissons d’abord un recouvrement étale \(\{g_a : Z_a \to Z\}_{a \in A}\) où chaque \(Z_a\) est affine. Posons ensuite \(U_{a, i} = X_i \times_{f_i, Z} Z_a\). Par (1), il existe des espaces algébriques \(U_a\), étales sur \(X\), tels que \(U_{a, i} = X_i \times_X U_a\). Choisissons enfin un recouvrement étale \(\{U_{a, b} \to U_a\}_{b \in B_a}\) avec \(U_{a, b}\) affine et considérons les morphismes \[U_{a, b, i} = X_i \times_X U_{a, b} \to X_i \times_X U_a = X_i \times_{f_i, Z} Z_a \to Z_a\]. Par (2), nous obtenons des morphismes \(f_{a, b} : U_{a, b} \to Z_a\) compatibles avec ceux-ci. Posons \(C = \coprod_{a \in A} B_a\) et, si \(c \in C\) correspond à \(b \in B_a\), posons \(U_c = U_{a, b}\) et \(f_c = g_a \circ f_{a, b} : U_c \to Z\). Cela conclut la preuve.

Voici une application de ces idées pour réduire le cas général au cas des espaces algébriques séparés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \to (\Sch/S)_{fppf}\), \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces algébriques sur \(B\). Supposons que

chaque \(X_i\) est séparé sur \(B\),

\(X = \colim X_i\) existe dans la catégorie des espaces algébriques séparés sur \(B\),

\(\coprod X_i \to X\) est surjectif,

si \(U \to X\) est un morphisme étale séparé d’espaces algébriques et \(U_i = X_i \times_X U\), alors \(U = \colim U_i\) dans la catégorie des espaces algébriques séparés sur \(B\), et

chaque objet \((U_i \to X_i)\) de \(\lim X_{i, spaces, \etale}\) avec \(U_i \to X_i\) séparé est de la forme \(U_i = X_i \times_X U\) pour un certain morphisme étale séparé d’espaces algébriques \(U \to X\).

Alors \(X = \colim X_i\) dans la catégorie de tous les espaces algébriques sur \(B\).

Démonstration

Nous encourageons le lecteur à consulter plutôt le Lemme 0GHL et sa démonstration.

Soit \(Z\) un espace algébrique sur \(B\). Supposons que \(f_i : X_i \to Z\) soit une famille de morphismes telle que pour chaque \(i \to j\), la composition \(X_i \to X_j \to Z\) soit égale à \(f_i\). Nous devons construire un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Z\) sur \(B\) de sorte que nous puissions retrouver \(f_i\) comme la composition \(X_i \to X \to Z\). Soit \(W \to Z\) un morphisme surjectif étale d’un schéma vers \(Z\). Nous pouvons supposer que \(W\) est une union disjointe d’affines et en particulier nous pouvons supposer que \(W \to Z\) est séparé et que \(W\) est séparé sur \(B\). Pour chaque \(i\), posons \(U_i = W \times_{Z, f_i} X_i\) et notons \(h_i : U_i \to W\) la projection. Alors \(U_i \to X_i\) forme un objet de \(\lim X_{i, spaces, \etale}\) avec \(U_i \to X_i\) séparé. Par l’hypothèse (5) nous pouvons trouver un morphisme étale séparé \(U \to X\) d’espaces algébriques et des isomorphismes (fonctoriels) \(U_i = X_i \times_X U\). D’après l’hypothèse (4), il existe un morphisme \(h : U \to W\) sur \(B\) tel que les compositions \(U_i \to U \to W\) soient \(h_i\). Soit \(g : U \to Z\) la composée de \(h\) avec le morphisme \(W \to Z\). Pour finir la démonstration, nous devons montrer que \(g : U \to Z\) provient d’un morphisme \(X \to Z\). Pour ce faire, considérons le morphisme \((h, h) : U \times_X U \to W \times_S W\). En composant avec \(U_i \times_{X_i} U_i \to U \times_X U\) nous obtenons \((h_i, h_i)\) qui se factorise par \(W \times_Z W\). Comme \(U \times_X U\) est la limite inductive des espaces algébriques \(U_i \times_{X_i} U_i\) dans la catégorie des espaces algébriques séparés sur \(B\), d’après (4), nous voyons que \((h, h)\) se factorise par \(W \times_Z W\). Ainsi, les deux compositions \(U \times_X U \to U \to W \to Z\) sont égales. Comme chaque \(U_i \to X_i\) est surjectif et que, d’après l’hypothèse (2), \(U \to X\) est surjectif, le fait que \(Z\) soit un faisceau pour la topologie étale montre que \(g : U \to Z\) provient d’un morphisme \(f : X \to Z\) comme voulu.

Descente des faisceaux étales

Cette section est l’analogue pour les espaces algébriques de Cohomologie étale, section 0GEX.

Afin d’exprimer commodément nos résultats, nous avons besoin de quelques notations. Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{U} = \{f_i : X_i \to X\}\) une famille de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) de même but. Une donnée de descente pour les faisceaux étales par rapport à \(\mathcal{U}\) est une famille \(((\mathcal{F}_i)_{i \in I}, (\varphi_{ij})_{i, j \in I})\) où

\(\mathcal{F}_i\) est dans \(\Sh(X_{i, \etale})\), et
\(\varphi_{ij} : \text{pr}_{0, small}^{-1} \mathcal{F}_i \longrightarrow \text{pr}_{1, small}^{-1} \mathcal{F}_j\) est un isomorphisme dans \(\Sh((X_i \times_X X_j)_\etale)\)

et telle que la condition de cocycle soit satisfaite : les diagrammes \[\xymatrix{ \text{pr}_{0, small}^{-1}\mathcal{F}_i \ar[dr]_{\text{pr}_{02, small}^{-1}\varphi_{ik}} \ar[rr]^{\text{pr}_{01, small}^{-1}\varphi_{ij}} & & \text{pr}_{1, small}^{-1}\mathcal{F}_j \ar[dl]^{\text{pr}_{12, small}^{-1}\varphi_{jk}} \\ & \text{pr}_{2, small}^{-1}\mathcal{F}_k }\] commutent dans \(\Sh((X_i \times_X X_j \times_X X_k)_\etale)\). Il existe une notion évidente de morphismes de données de descente et nous obtenons une catégorie de données de descente. Une donnée de descente \(((\mathcal{F}_i)_{i \in I}, (\varphi_{ij})_{i, j \in I})\) est dite effective s’il existe un objet \(\mathcal{F}\) de \(\Sh(X_\etale)\) et des isomorphismes \(\varphi_i : f_{i, small}^{-1} \mathcal{F} \to \mathcal{F}_i\) dans \(\Sh(X_{i, \etale})\) compatibles avec les \(\varphi_{ij}\), c’est-à-dire \[\varphi_{ij} = \text{pr}_{1, small}^{-1} (\varphi_j) \circ \text{pr}_{0, small}^{-1} (\varphi_i^{-1})\] Une autre façon de le dire est la suivante. Étant donné un objet \(\mathcal{F}\) de \(\Sh(X_\etale)\), nous obtenons la donnée de descente canonique \((f_{i, small}^{-1}\mathcal{F}_i, c_{ij})\) où \(c_{ij}\) est l’isomorphisme canonique \[c_{ij} : \text{pr}_{0, small}^{-1} f_{i, small}^{-1}\mathcal{F} \longrightarrow \text{pr}_{1, small}^{-1} f_{j, small}^{-1}\mathcal{F}\] La donnée de descente \(((\mathcal{F}_i)_{i \in I}, (\varphi_{ij})_{i, j \in I})\) est effective si et seulement si elle est isomorphe à la donnée de descente canonique associée à un objet \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(X_\etale)\).

Si la famille consiste en un seul morphisme \(\{X \to Y\}\), alors nous considérons une donnée de descente comme une paire \((\mathcal{F}, \varphi)\) où \(\mathcal{F}\) est un objet de \(\Sh(X_\etale)\) et \(\varphi\) est un isomorphisme \[\text{pr}_{0, small}^{-1} \mathcal{F} \longrightarrow \text{pr}_{1, small}^{-1} \mathcal{F}\] dans \(\Sh((X \times_Y X)_\etale)\) tel que la condition de cocycle soit satisfaite : \[\xymatrix{ \text{pr}_{0, small}^{-1}\mathcal{F} \ar[dr]_{\text{pr}_{02, small}^{-1}\varphi} \ar[rr]^{\text{pr}_{01, small}^{-1}\varphi} & & \text{pr}_{1, small}^{-1}\mathcal{F} \ar[dl]^{\text{pr}_{12, small}^{-1}\varphi} \\ & \text{pr}_{2, small}^{-1}\mathcal{F} }\] commute dans \(\Sh((X \times_Y X \times_Y X)_\etale)\). Il existe une notion de morphismes de données de descente et d’effectivité exactement comme auparavant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}\) un recouvrement étale d’espaces algébriques. Le foncteur \[\Sh(X_\etale) \longrightarrow \text{données de descente pour les faisceaux \'etales relativement à }\{f_i : X_i \to X\}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Dans Propriétés des espaces, section 03EB nous avons défini un site \(X_{spaces, \etale}\) dont les objets sont des espaces algébriques étales sur \(X\) avec des recouvrements étales. De plus, nous avons des identifications \(\Sh(X_\etale) = \Sh(X_{spaces, \etale})\) compatibles avec les morphismes d’espaces algébriques, c’est-à-dire compatibles avec les images directes et les images inverses. Par conséquent, l’énoncé du lemme découle de la discussion beaucoup plus générale dans Sites, section 04TP.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement étale d’espaces algébriques. Si pour chaque \(i \in I\) le foncteur \[\Sh(Y_{i, \etale}) \longrightarrow \text{données de descente pour les faisceaux \'etales relativement à }\{X \times_Y Y_i \to Y_i\}\] est une équivalence de catégories et pour chaque \(i, j \in I\) le foncteur \[\Sh((Y_i \times_Y Y_j)_\etale) \longrightarrow \text{données de descente pour les faisceaux \'etales relativement à } \{X \times_Y Y_i \times_Y Y_j \to Y_i \times_Y Y_j\}\] est une équivalence de catégories, alors \[\Sh(Y_\etale) \longrightarrow \text{données de descente pour les faisceaux \'etales relativement à }\{X \to Y\}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Conséquence formelle du Lemme 0GFS et des définitions.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit représentable (par des schémas) et que \(f\) possède l’une des propriétés suivantes : surjectif et entier, surjectif et propre, ou surjectif, plat et localement de présentation finie. Alors \[\Sh(Y_\etale) \longrightarrow \text{données de descente pour les faisceaux \'etales relativement à }\{X \to Y\}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Chacune des propriétés des morphismes d’espaces algébriques mentionnées dans l’énoncé du lemme est préservée par un changement de base arbitraire, voir les listes dans Espaces, section 02WE. Ainsi, nous pouvons appliquer le Lemme 0GFT pour voir que nous pouvons travailler étale localement sur \(Y\). De cette manière, nous réduisons au cas où \(Y\) est un schéma ; certains détails sont omis. Dans ce cas, \(X\) est également un schéma et le résultat découle de Cohomologie étale, Lemme 0GEZ, 0GF0, ou 0GF2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\pi : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques. Supposons

\(f \circ \pi\) est représentable (par des schémas),

\(f \circ \pi\) possède l’une des propriétés suivantes : surjectif et entier, surjectif et propre, ou surjectif, plat et localement de présentation finie.

Alors \[\Sh(Y_\etale) \longrightarrow \text{données de descente pour les faisceaux \'etales relativement à }\{X \to Y\}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Conséquence formelle du Lemme 0GFU et de Champs, Lemme 0GEA.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui possède l’une des propriétés suivantes : surjectif et entier, surjectif et propre, ou surjectif, plat et localement de présentation finie. Alors le foncteur \[\Sh(Y_\etale) \longrightarrow \text{données de descente pour les faisceaux \'etales relativement à }\{X \to Y\}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Remarquons que le changement de base d’un morphisme propre et surjectif est propre et surjectif, voir Morphismes d’espaces, Lemme 04WP et 03MH. Ainsi, d’après le Lemme 0GFT nous pouvons travailler étale localement sur \(Y\). Ainsi nous nous ramenons au cas où \(Y\) est un schéma affine ; quelques détails sont omis.

Supposons que \(Y\) soit affine. D’après le Lemme 0GFV, il suffit de trouver un morphisme \(X' \to X\), où \(X'\) est un schéma, tel que \(X' \to Y\) soit surjectif et entier, surjectif et propre, ou surjectif, plat et localement de présentation finie.

Dans le cas où \(X \to Y\) est entier et surjectif, nous pouvons prendre \(X' = X\), puisqu’un morphisme entier est représentable.

Si \(f\) est propre et surjectif, alors l’espace algébrique \(X\) est quasi-compact et séparé, voir Morphismes d’espaces, section 03HC et Lemme 04ZH. Choisissons un schéma \(X'\) et un morphisme fini surjectif \(X' \to X\), voir Limites d’espaces, Proposition 09YC. Alors \(X' \to Y\) est surjectif et propre.

Enfin, si \(X \to Y\) est surjectif et plat et localement de présentation finie, alors nous pouvons prendre un recouvrement étale affine \(\{U_i \to X\}\) et définir \(X'\) comme la réunion disjointe \(\coprod U_i\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}\) un recouvrement fppf d’espaces algébriques sur \(S\). Le foncteur \[\Sh(X_\etale) \longrightarrow \text{données de descente pour les faisceaux \'etales relativement à }\{f_i : X_i \to X\}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Nous avons le Lemme 0GFW pour le morphisme \(f : \coprod X_i \to X\). Alors un argument formel montre que les données de descente pour \(f\) reviennent aux données de descente pour le recouvrement ; comparer avec Descente, Lemme 023X. Détails omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y' \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(i : Z \to Y\) une immersion fermée. Posons \(E = Z \times_Y Y'\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ E \ar[d]_g \ar[r]_j & Y' \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^i & Y }\] Si \(f\) est un isomorphisme sur \(Y \setminus Z\), alors le foncteur \[\Sh(Y_\etale) \longrightarrow \Sh(Y'_\etale) \times_{\Sh(E_\etale)} \Sh(Z_\etale)\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Observons que \(X = Y' \coprod Z \to Y\) est un morphisme propre surjectif. Ainsi, il suffit de construire une équivalence de catégories \[\Sh(Y'_\etale) \times_{\Sh(E_\etale)} \Sh(Z_\etale) \longrightarrow \text{données de descente pour les faisceaux \'etales relativement à }\{X \to Y\}\] compatible avec les foncteurs d’image inverse issus de \(Y\) car ensuite nous pouvons utiliser le Lemme 0GFW pour conclure. Soit donc \((\mathcal{G}', \mathcal{G}, \alpha)\) un objet de \(\Sh(Y'_\etale) \times_{\Sh(E_\etale)} \Sh(Z_\etale)\) avec les notations de Catégories, Exemple 003R. Nous pouvons alors considérer le faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\) défini en prenant \(\mathcal{G}'\) sur la composante \(Y'\) et \(\mathcal{G}\) sur la composante \(Z\). Nous avons \[X \times_Y X = Y' \times_Y Y' \amalg Y' \times_Y Z \amalg Z \times_Y Y' \amalg Z \times_Y Z = Y' \times_Y Y' \amalg E \amalg E \amalg Z\] Les isomorphismes des deux images inverses de \(\mathcal{F}\) sur cet espace algébrique sont évidents sur les composantes \(E\), \(E\), \(Z\). La partie intéressante de la preuve est de trouver un isomorphisme \(\text{pr}_{0, small}^{-1}\mathcal{G}' \to \text{pr}_{1, small}^{-1}\mathcal{G}'\) sur \(Y' \times_Y Y'\) satisfaisant la condition de cocycle. Cependant, l’hypothèse que \(Y' \to Y\) soit un isomorphisme sur \(Y \setminus Z\) implique que \[h : Y \coprod E \times_Z E \longrightarrow Y' \times_Y Y'\] est un morphisme propre surjectif. (C’est en fait un morphisme fini car il s’agit de l’union disjointe de deux immersions fermées.) Par conséquent, il suffit de construire un isomorphisme des images inverses de \(\text{pr}_{0, small}^{-1}\mathcal{G}'\) et \(\text{pr}_{1, small}^{-1}\mathcal{G}'\) par \(h_{small}\) satisfaisant une certaine condition de cocycle. Pour la diagonale, il est clair comment procéder. Sur \(E \times_Z E\), nous utilisons le fait que les images inverses des deux faisceaux s’identifient à l’image inverse de \(\mathcal{G}\) par le morphisme \(E \times_Z E \to Z\). Nous omettons les détails.

Descente des morphismes étales d’espaces algébriques

Dans cette section, nous combinons les résultats de recollement pour les faisceaux étales donnés dans la section 0GFR avec la flexibilité des espaces algébriques afin d’obtenir certaines affirmations de descente pour les morphismes étales d’espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre et surjectif d’espaces algébriques sur \(S\). Toute donnée de descente \((U/X, \varphi)\) relative à \(f\) (Descente sur les espaces, Définition 0ADG) avec \(U\) étale sur \(X\) est effective (Descente sur les espaces, Définition 0ADQ). Plus précisément, il existe un morphisme étale \(V \to Y\) d’espaces algébriques dont la donnée de descente canonique correspondante est isomorphe à \((U/X, \varphi)\).

Démonstration

Rappelons que \(U\) donne lieu à un faisceau représentable \(\mathcal{F} = h_U\) dans \(\Sh(X_{spaces, \etale}) = \Sh(X_\etale)\), voir Propriétés des espaces, section 03EB. La donnée de descente sur \(U\) relative à \(f\) donne exactement une donnée de descente \((\mathcal{F}, \varphi)\) pour les faisceaux étales relativement à \(\{X \to Y\}\). D’après le Lemme 0GFW cette donnée de descente est effective. Soit \(\mathcal{G}\) le faisceau correspondant sur \(Y_\etale\). D’après Propriétés des espaces, Lemme 0GF6 nous obtenons un morphisme étale \(V \to Y\) d’espaces algébriques correspondant à \(\mathcal{G}\) ; nous omettons la vérification de la condition ensembliste¹. L’isomorphisme donné \(\mathcal{F} \to f_{small}^{-1}\mathcal{G}\) correspond à un isomorphisme \(U \to V \times_Y X\) compatible avec la donnée de descente.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y' \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(i : Z \to Y\) une immersion fermée. Posons \(E = Z \times_Y Y'\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ E \ar[d]_g \ar[r]_j & Y' \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^i & Y }\] Si \(f\) est un isomorphisme sur \(Y \setminus Z\), alors le foncteur \[Y_{spaces, \etale} \longrightarrow Y'_{spaces, \etale} \times_{E_{spaces, \etale}} Z_{spaces, \etale}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Soit \((V' \to Y', W \to Z, \alpha)\) un objet du membre de droite. Rappelons que \(V'\) et \(W\) donnent lieu respectivement à des faisceaux représentables \(\mathcal{G}' = h_{V'}\) dans \(\Sh(Y'_{spaces, \etale}) = \Sh(Y'_\etale)\), et \(\mathcal{G} = h_W\) dans \(\Sh(Z_{spaces, \etale}) = \Sh(Z_\etale)\), voir Propriétés des espaces, section 03EB. L’isomorphisme \(\alpha : V' \times_{Y'} E \to W \times_Z E\) détermine un isomorphisme \(j_{small}^{-1}\mathcal{G}' \to g_{small}^{-1}\mathcal{G}\) de faisceaux sur \(E\). Par le Lemme 0GFY, nous obtenons un unique faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(Y\) dont les images inverses s’identifient à \(\mathcal{G}'\) et \(\mathcal{G}\) de manière compatible avec l’isomorphisme. D’après Propriétés des espaces, Lemme 0GF6, nous obtenons un morphisme étale \(V \to Y\) d’espaces algébriques correspondant à \(\mathcal{F}\) ; nous omettons la vérification de la condition ensembliste². Les isomorphismes donnés \(\mathcal{G}' \to f_{small}^{-1}\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G} \to i_{small}^{-1}\mathcal{F}\) correspondent aux isomorphismes \(V' \to V \times_Y Y'\) et \(W \to V \times_Y Z\) compatibles avec \(\alpha\) comme voulu.

Sommes amalgamées le long d’épaississements et de morphismes affines

Cette section est l’analogue de Compléments sur les morphismes, section 07RS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to X'\) un épaississement de schémas sur \(S\) et soit \(X \to Y\) un morphisme affine de schémas sur \(S\). Soit \(Y' = Y \amalg_X X'\) la somme amalgamée dans la catégorie des schémas (voir Compléments sur les morphismes, Lemme 07RT). Alors \(Y'\) est aussi une somme amalgamée dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

Ceci est une conséquence immédiate du Lemme 07SX et Compléments sur les morphismes, Lemmes 07RT, 07RV, et 07RX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to X'\) un épaississement d’espaces algébriques sur \(S\) et soit \(X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Alors il existe une somme amalgamée \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r] & Y \amalg_X X' }\] dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\). De plus, \(Y' = Y \amalg_X X'\) est un épaississement de \(Y\) et \[\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y \times_{f_*\mathcal{O}_X} f'_*\mathcal{O}_{X'}\] comme faisceaux sur \(Y_\etale = (Y')_\etale\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Définissons \(U = V \times_Y X\). Il s’agit d’un schéma affine sur \(V\) avec un morphisme étale surjectif \(U \to X\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 05ZS il existe un \(U' \to X'\) étale surjectif avec \(U = U' \times_{X'} X\). En particulier, le morphisme de schémas \(U \to U'\) est aussi un épaississement. Appliquons Compléments sur les morphismes, Lemme 07RT pour obtenir une somme amalgamée \(V' = V \amalg_U U'\) dans la catégorie des schémas.

Nous répétons cette procédure pour construire une somme amalgamée \[\xymatrix{ U \times_X U \ar[d] \ar[r] & U' \times_{X'} U' \ar[d] \\ V \times_Y V \ar[r] & R' }\] dans la catégorie des schémas. Considérons les morphismes \[U \times_X U \to U \to V',\quad U' \times_{X'} U' \to U' \to V',\quad V \times_Y V \to V \to V'\] où nous utilisons la première projection dans chaque cas. Il est clair que ceux-ci se recollent pour donner un morphisme \(t' : R' \to V'\) qui est étale d’après Compléments sur les morphismes, Lemme 07RX. De même, nous obtenons \(s' : R' \to V'\) étale. Le morphisme \(j' = (t', s') : R' \to V' \times_S V'\) est non ramifié (puisque \(t'\) est étale) et un monomorphisme lorsqu’on le restreint au sous-schéma fermé \(V \times_Y V \subset R'\). Comme \(V \times_Y V \subset R'\) est un épaississement, il s’ensuit que \(j'\) est également un monomorphisme. Enfin, \(j'\) définit également une relation d’équivalence, car nous pouvons utiliser la fonctorialité des sommes amalgamées de schémas pour construire un morphisme \(c' : R' \times_{s', V', t'} R' \to R'\) (détails omis). À ce stade, nous posons \(Y' = V'/R'\), voir Espaces, Théorème 02WW.

Nous avons des morphismes \(X' = U'/U' \times_{X'} U' \to V'/R' = Y'\) et \(Y = V/V \times_Y V \to V'/R' = Y'\). Par construction, ceux-ci s’insèrent dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r] & Y' }\] Puisque \(Y \to Y'\) est un épaississement, nous avons \(Y_\etale = (Y')_\etale\), voir Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 05ZS. La commutativité du diagramme fournit un morphisme de faisceaux \[\mathcal{O}_{Y'} \longrightarrow \mathcal{O}_Y \times_{f_*\mathcal{O}_X} f'_*\mathcal{O}_{X'}\] sur ce site. D’après Compléments sur les morphismes, Lemme 07RT ce morphisme est un isomorphisme lorsqu’on le restreint au schéma \(V'\), donc c’est un isomorphisme.

Pour terminer la preuve, nous montrons que le diagramme ci-dessus est une somme amalgamée dans la catégorie des espaces algébriques. Pour voir cela, soit \(Z\) un espace algébrique et soient \(a' : X' \to Z\) et \(b : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques. Par le Lemme 07SY, nous obtenons un morphisme unique \(h : V' \to Z\) s’insérant dans les diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r] & V' \ar[d]^h \\ X' \ar[r]^{a'} & Z } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ V \ar[r] \ar[d] & V' \ar[d]^h \\ Y \ar[r]^b & Z } }\]. L’unicité montre que \(h \circ t' = h \circ s'\). Ainsi, \(h\) se factorise de manière unique sous la forme \(V' \to Y' \to Z\), ce qui conclut.

Dans le lemme suivant, nous utilisons le produit fibré de catégories au sens de Catégories, Exemple 003R.

Lemme

Soit \(S\) un schéma de base. Soit \(X \to X'\) un épaississement d’espaces algébriques sur \(S\) et soit \(X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Y' = Y \amalg_X X'\) la somme amalgamée (voir Lemme 07VX). Le changement de base donne un foncteur \[F : (\textit{Espaces}/Y') \longrightarrow (\textit{Espaces}/Y) \times_{(\textit{Espaces}/Y')} (\textit{Espaces}/X')\] défini par \(V' \longmapsto (V' \times_{Y'} Y, V' \times_{Y'} X', 1)\), qui envoie \((\Sch/Y')\) dans \((\Sch/Y) \times_{(\Sch/Y')} (\Sch/X')\). Le foncteur \(F\) a un adjoint à gauche \[G : (\textit{Espaces}/Y) \times_{(\textit{Espaces}/Y')} (\textit{Espaces}/X') \longrightarrow (\textit{Espaces}/Y')\] qui envoie le triple \((V, U', \varphi)\) vers la somme amalgamée \(V \amalg_{(V \times_Y X)} U'\) dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\). Le foncteur \(G\) envoie \((\Sch/Y) \times_{(\Sch/Y')} (\Sch/X')\) dans \((\Sch/Y')\).

Démonstration

La preuve est complètement formelle. Puisque les morphismes \(X \to X'\) et \(X \to Y\) sont représentables, il est clair que \(F\) envoie \((\Sch/Y')\) dans \((\Sch/Y) \times_{(\Sch/Y')} (\Sch/X')\).

Construisons \(G\). Soit \((V, U', \varphi)\) un objet de la catégorie du produit fibré. Posons \(U = U' \times_{X'} X\). Notons que \(U \to U'\) est un épaississement. Puisque \(\varphi : V \times_Y X \to U' \times_{X'} X = U\) est un isomorphisme, nous avons un morphisme \(U \to V\) sur \(X \to Y\) qui identifie \(U\) avec le produit fibré \(X \times_Y V\). En particulier, \(U \to V\) est affine, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03WI. Ainsi, nous pouvons appliquer le Lemme 07VX pour obtenir une somme amalgamée \(V' = V \amalg_U U'\). La propriété cocartésienne de \(V'\) et les morphismes \(V \to Y\) et \(U' \to X'\), qui coïncident sur \(U\) comme morphismes vers \(Y'\), définissent un morphisme \(V' \to Y'\). En posant \(G(V, U', \varphi) = V'\), on obtient le foncteur \(G\).

Si \((V, U', \varphi)\) est un objet de \((\Sch/Y) \times_{(\Sch/Y')} (\Sch/X')\) alors \(U = U' \times_{X'} X\) est aussi un schéma et nous pouvons former la somme amalgamée \(V' = V \amalg_U U'\) dans la catégorie des schémas par Compléments sur les morphismes, Lemme 07RT. D’après le Lemme 07SY c’est aussi une somme amalgamée dans la catégorie des schémas, donc \(G\) envoie \((\Sch/Y) \times_{(\Sch/Y')} (\Sch/X')\) dans \((\Sch/Y')\).

Prouvons que \(G\) est un adjoint à gauche de \(F\). Soit \(Z\) un espace algébrique sur \(Y'\). Il nous faut montrer que \[\Mor(V', Z) = \Mor((V, U', \varphi), F(Z))\] où les ensembles de morphismes sont pris dans leurs catégories respectives. Soit \(g' : V' \to Z\) un morphisme. Notons \(\tilde g\) et \(\tilde f'\) les composées de \(g'\) avec les morphismes \(V \to V'\) et \(U' \to V'\), respectivement. Effectuons les changements de base de \(\tilde g\) et \(\tilde f'\) le long de \(Y \to Y'\) et \(X' \to Y'\), respectivement, pour obtenir des morphismes \(g : V \to Z \times_{Y'} Y\) et \(f' : U' \to Z \times_{Y'} X'\). Alors \((g, f')\) est un élément du membre de droite de l’équation ci-dessus (détails omis). Inversement, supposons que \((g, f') : (V, U', \varphi) \to F(Z)\) soit un élément du membre de droite. Nous pouvons considérer les composées \(\tilde g : V \to Z\) et \(\tilde f' : U' \to Z\) de \(g\) avec \(Z \times_{Y'} X' \to Z\) et de \(f\) avec \(Z \times_{Y'} Y \to Z\), respectivement. Alors \(\tilde g\) et \(\tilde f'\) coïncident comme morphismes de \(U\) vers \(Z\). Par la propriété universelle du carré cocartésien, nous obtenons un morphisme \(g' : V' \to Z\), c’est-à-dire un élément du membre de gauche. Nous omettons la vérification que ces constructions sont mutuellement inverses.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & C \ar[d] \ar[r] & E \ar[d] \\ B \ar[r] & D \ar[r] & F }\] un diagramme commutatif d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(A, B, C, D\) et \(A, B, E, F\) forment des carrés cartésiens et que \(B \to D\) soit étale surjectif. Alors \(C, D, E, F\) est un carré cartésien.

Démonstration

Ceci est formel.

Lemme

Dans le cas du Lemme 07VY le foncteur \(F \circ G\) est isomorphe au foncteur identité.

Démonstration

Nous allons prouver que \(F \circ G\) est isomorphe à l’identité en réduisant cela à l’énoncé correspondant de Compléments sur les morphismes, Lemme 07RV.

Choisissons un schéma \(Y_1\) et un morphisme étale surjectif \(Y_1 \to Y\). Posons \(X_1 = Y_1 \times_Y X\). C’est un schéma affine sur \(Y_1\) muni d’un morphisme étale surjectif \(X_1 \to X\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 05ZS, il existe un morphisme étale surjectif \(X'_1 \to X'\) tel que \(X_1 = X_1' \times_{X'} X\). En particulier, le morphisme de schémas \(X_1 \to X_1'\) est également un épaississement. Appliquons Compléments sur les morphismes, Lemme 07RT, pour obtenir une somme amalgamée \(Y_1' = Y_1 \amalg_{X_1} X_1'\) dans la catégorie des schémas. Dans la preuve du Lemme 07VX, nous avons construit \(Y'\) comme quotient d’une relation d’équivalence étale sur \(Y_1'\), d’où un diagramme commutatif [07W1]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & X \ar[rr] \ar'[d][dd] & & X' \ar[dd] \\ X_1 \ar[rr] \ar[dd] \ar[ru] & & X_1' \ar[dd] \ar[ru] & \\ & Y \ar'[r][rr] & & Y' \\ Y_1 \ar[rr] \ar[ru] & & Y_1' \ar[ru] } } \end{equation}\] où tous les carrés, sauf les carrés avant et arrière, sont cartésiens (les carrés avant et arrière sont des sommes amalgamées), et où les flèches vers le nord-est sont étales et surjectives. Notons \(F_1\), \(G_1\) les foncteurs construits dans Compléments sur les morphismes, Lemme 07RV pour la face avant. Alors le diagramme de catégories \[\xymatrix{ (\Sch/Y_1') \ar@<-1ex>[r]_-{F_1} \ar[d] & (\Sch/Y_1) \times_{(\Sch/Y_1')} (\Sch/X_1') \ar[d] \ar@<-1ex>[l]_-{G_1} \\ (\textit{Espaces}/Y') \ar@<-1ex>[r]_-F & (\textit{Espaces}/Y) \times_{(\textit{Espaces}/Y')} (\textit{Espaces}/X') \ar@<-1ex>[l]_-G }\] est commutatif par des considérations simples sur les foncteurs de changement de base et parce que les sommes amalgamées dans les schémas coïncident avec les sommes amalgamées dans les espaces du Lemme 07SY.

Soit \((V, U', \varphi)\) un objet de \((\textit{Espaces}/Y) \times_{(\textit{Espaces}/Y')} (\textit{Espaces}/X')\). Notons \(U = U' \times_{X'} X\) de sorte que \(G(V, U', \varphi) = V \amalg_U U'\). Choisissons un schéma \(V_1\) et un morphisme étale surjectif \(V_1 \to Y_1 \times_Y V\). Posons \(U_1 = V_1 \times_Y X\). Alors \[U_1 = V_1 \times_Y X \longrightarrow (Y_1 \times_Y V) \times_Y X = X_1 \times_Y V = X_1 \times_X X \times_Y V = X_1 \times_X U\] est lui aussi étale et surjectif. Par Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 05ZS il existe un épaississement \(U_1 \to U_1'\) et un morphisme étale surjectif \(U_1' \to X_1' \times_{X'} U'\) dont le changement de base à \(X_1 \times_X U\) est le morphisme affiché. À ce stade \((V_1, U'_1, \varphi_1)\) est un objet de \((\Sch/Y_1) \times_{(\Sch/Y_1')} (\Sch/X_1')\). Dans la preuve du Lemme 07VX nous avons construit \(G(V, U', \varphi) = V \amalg_U U'\) comme un quotient d’une relation d’équivalence étale sur \(G_1(V_1, U_1', \varphi_1) = V_1 \amalg_{U_1} U_1'\) de sorte que nous obtenons un diagramme commutatif [07W2]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & U \ar[rr] \ar'[d][dd] & & U' \ar[dd] \\ U_1 \ar[rr] \ar[dd] \ar[ru] & & U_1' \ar[dd] \ar[ru] & \\ & V \ar'[r][rr] & & G(V, U', \varphi) \\ V_1 \ar[rr] \ar[ru] & & G_1(V_1, U_1', \varphi_1) \ar[ru] } } \end{equation}\] où tous les carrés sauf les carrés avant et arrière sont cartésiens (les carrés avant et arrière sont des sommes amalgamées), et où les flèches vers le nord-est sont étales et surjectives. En particulier, \[G_1(V_1, U_1', \varphi_1) \to G(V, U', \varphi)\] est étale et surjectif.

Enfin, démontrons le lemme. Nous devons montrer que le morphisme d’adjonction \((V, U', \varphi) \to F(G(V, U', \varphi))\) est un isomorphisme. Nous savons que \((V_1, U_1', \varphi_1) \to F_1(G_1(V_1, U_1', \varphi_1))\) est un isomorphisme d’après Compléments sur les morphismes, Lemme 07RV. Rappelons que \(F\) et \(F_1\) sont donnés par changement de base. En utilisant les propriétés de (07W2) et le Lemme 07VZ, nous voyons que \(V \to G(V, U', \varphi) \times_{Y'} Y\) et \(U' \to G(V, U', \varphi) \times_{Y'} X'\) sont des isomorphismes, c’est-à-dire que \((V, U', \varphi) \to F(G(V, U', \varphi))\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma de base. Soit \(X \to X'\) un épaississement d’espaces algébriques sur \(S\) et soit \(X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Y' = Y \amalg_X X'\) la somme amalgamée (voir le Lemme 07VX). Soit \(V' \to Y'\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Posons \(V = Y \times_{Y'} V'\), \(U' = X' \times_{Y'} V'\), et \(U = X \times_{Y'} V'\). Il existe une équivalence de catégories entre

\(\mathcal{O}_{V'}\)-modules quasi-cohérents plats sur \(Y'\), et

la catégorie des triplets \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\) où

\(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_V\)-module quasi-cohérent plat sur \(Y\),

\(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{U'}\)-module quasi-cohérent plat sur \(X\), et

\(\varphi : (U \to V)^*\mathcal{G} \to (U \to U')^*\mathcal{F}'\) est un isomorphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules.

L’équivalence envoie \(\mathcal{G}'\) sur \(((V \to V')^*\mathcal{G}', (U' \to V')^*\mathcal{G}', can)\). Supposons que \(\mathcal{G}'\) corresponde au triple \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\). Alors

\(\mathcal{G}'\) est un \(\mathcal{O}_{V'}\)-module de type fini si et seulement si \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}'\) sont des \(\mathcal{O}_Y\)- et \(\mathcal{O}_{U'}\)-modules de type fini.

si \(V' \to Y'\) est localement de présentation finie, alors \(\mathcal{G}'\) est un \(\mathcal{O}_{V'}\)-module de présentation finie si et seulement si \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}'\) sont des \(\mathcal{O}_Y\)- et \(\mathcal{O}_{U'}\)-modules de présentation finie.

Démonstration

Un foncteur quasi-inverse associe au triple \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\) le produit fibré \[(V \to V')_*\mathcal{G} \times_{(U \to V')_*\mathcal{F}} (U' \to V')_*\mathcal{F}'\] où \(\mathcal{F} = (U \to U')^*\mathcal{F}'\). Cette construction convient car, sur les objets affines étales sur \(V'\) et sur \(Y'\), nous retrouvons l’équivalence de Compléments d’algèbre, Lemme 07RW. Détails omis.

Les parties (a) et (b) se réduisent par la localisation étale (Propriétés des espaces, section 05VR) au cas où \(V'\) et \(Y'\) sont affines, auquel cas le résultat suit de Compléments d’algèbre, Lemmes 08IH et 08KP.

Lemme

Dans la situation du Lemme 07W0, Si \(V' = G(V, U', \varphi)\) pour un certain triple \((V, U', \varphi)\), alors

\(V' \to Y'\) est localement de type fini si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont localement de type fini,

\(V' \to Y'\) est plat si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont plats,

\(V' \to Y'\) est plat et localement de présentation finie si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont plats et localement de présentation finie,

\(V' \to Y'\) est lisse si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont lisses,

\(V' \to Y'\) est étale si et seulement si \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) sont étales, et

ajouter plus ici si nécessaire.

Si \(W'\) est plat sur \(Y'\), alors le morphisme d’adjonction \(G(F(W')) \to W'\) est un isomorphisme. Par conséquent, \(F\) et \(G\) définissent des foncteurs quasi-inverses mutuels entre la catégorie des espaces algébriques plats sur \(Y'\) et la catégorie des triples \((V, U', \varphi)\) avec \(V \to Y\) et \(U' \to X'\) plats.

Démonstration

Choisissons un diagramme (07W1) comme dans la démonstration du Lemme 07W0.

Preuve de (1) – (5). Soit \((V, U', \varphi)\) un objet de \((\textit{Espaces}/Y) \times_{(\textit{Espaces}/Y')} (\textit{Espaces}/X')\). Construisons un diagramme (07W2) comme dans la preuve du Lemme 07W0. Alors le changement de base de \(G(V, U', \varphi) \to Y'\) à \(Y'_1\) est \(G_1(V_1, U_1', \varphi_1) \to Y_1'\). Par conséquent, (1) – (5) suivent immédiatement des énoncés correspondants de Compléments sur les morphismes, Lemme 07RX pour les schémas.

Supposons que \(W' \to Y'\) soit plat. Choisissons un schéma \(W'_1\) et un morphisme étale surjectif \(W'_1 \to Y_1' \times_{Y'} W'\). Observons que \(W'_1 \to W'\) est étale et surjectif comme composée de morphismes étales et surjectifs. Nous savons que \(G_1(F_1(W_1')) \to W_1'\) est un isomorphisme par Compléments sur les morphismes, Lemme 07RX, appliqué à \(W'_1\) sur \(Y'_1\) et à la face avant du diagramme (avec les foncteurs \(G_1\) et \(F_1\) comme dans la preuve du Lemme 07W0). Alors la construction de \(G(F(W'))\) (comme somme amalgamée, c’est-à-dire par la construction du Lemme 07VX) montre que \(G_1(F_1(W'_1)) \to G(F(W))\) est étale et surjectif. Nous en concluons que \(G(F(W)) \to W\) est étale, voir par exemple Propriétés des espaces, Lemme 03FS. Mais \(G(F(W)) \to W\) induit un isomorphisme entre les espaces algébriques réduits associés (par construction), donc c’est un isomorphisme.

Sommes amalgamées le long d’immersions fermées et de morphismes entiers

Cette section est l’analogue de Compléments sur les morphismes, section 0ECH.

Lemme

Dans Compléments sur les morphismes, Situation 0ECI soit \(Y \amalg_Z X\) la somme amalgamée dans la catégorie des schémas (Compléments sur les morphismes, Proposition 0E25). Alors \(Y \amalg_Z X\) est également une somme amalgamée dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

Ceci est une conséquence du Lemme 07SX, de la proposition mentionnée dans le lemme, ainsi que de Compléments sur les morphismes, Lemmes 0ECK et 0ECL. Les conditions (1) et (2) du Lemme 07SX suivent immédiatement. Pour voir (3) et (4), remarquons qu’un morphisme étale est localement quasi-fini et utilisons le fait que l’équivalence de catégories de Compléments sur les morphismes, Lemme 0ECL, est construite à l’aide de la construction de la somme amalgamée de Compléments sur les morphismes, Lemme 0ECK. Détails mineurs omis.

Sommes amalgamées et catégories dérivées

Dans cette section, nous discutons du comportement de la catégorie dérivée des modules lors des sommes amalgamées.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons une somme amalgamée \[\xymatrix{ X \ar[r]_i \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^j & Y' }\] dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) comme dans le Lemme 07VX. Supposons que \(i\) soit un épaississement. Alors l’image essentielle du foncteur³ \[D(\mathcal{O}_{Y'}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_Y) \times_{D(\mathcal{O}_X)} D(\mathcal{O}_{X'})\] contient tout triplet \((M, K', \alpha)\) où \(M \in D(\mathcal{O}_Y)\) et \(K' \in D(\mathcal{O}_{X'})\) sont pseudo-cohérents.

Démonstration

Soit \((M, K', \alpha)\) un objet de la cible du foncteur du lemme. Ici \(\alpha : Lf^*M \to Li^*K'\) est un isomorphisme adjoint à un morphisme \(\beta : M \to Rf_*Li^*K'\). Ainsi nous obtenons des morphismes \[Rj_*M \xrightarrow{Rj_*\beta} Rj_*Rf_*Li^*K' = Rf'_*Ri_*Li^*K' \leftarrow Rf'_*K'\] où la flèche pointant vers la gauche provient de \(K' \to Ri_*Li^*K'\). Choisissons un triangle distingué \[M' \to Rj_*M \oplus Rf'_*K' \to Rj_*Rf_*Li^*K' \to M'[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_{Y'})\). La première flèche définit des morphismes canoniques \(Lj^*M' \to M\) et \(L(f')^*M' \to K'\) compatibles avec \(\alpha\). Ainsi, il suffit de montrer que les morphismes \(Lj^*M' \to M\) et \(L(f')^*M' \to K\) sont des isomorphismes. Cette assertion se vérifie localement pour la topologie étale sur \(Y'\), donc nous pouvons supposer que \(Y'\) est étale.

Supposons que \(Y'\) soit affine et que \(M \in D(\mathcal{O}_Y)\) et \(K' \in D(\mathcal{O}_{X'})\) soient pseudo-cohérents. Supposons que notre somme amalgamée corresponde au produit fibré \[\xymatrix{ B & B' \ar[l] \\ A \ar[u] & A' \ar[l] \ar[u] }\] d’anneaux où \(B' \to B\) est surjectif avec un noyau localement nilpotent \(I\) (et donc \(A' \to A\) est également surjectif avec un noyau localement nilpotent \(I\)). Les hypothèses sur \(M\) et \(K'\) impliquent que \(M\) provient d’un objet pseudo-cohérent de \(D(A)\) et que \(K'\) provient d’un objet pseudo-cohérent de \(D(B')\), voir Catégories dérivées des espaces, Lemmes 08JL, 071Q, et 08HE et Catégories dérivées des schémas, Lemme 06Z0 et 08E7. De plus, les foncteurs image directe et image inverse dérivée coïncident avec les opérations correspondantes sur les catégories dérivées de modules, voir Catégories dérivées des espaces, Remarque 08GH et Catégories dérivées des schémas, Lemmes 0DJK et 08DW. Cela nous ramène à l’énoncé formulé dans le paragraphe suivant. (Pour vérifier que ces références montrent que l’objet \(M'\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y'})\), on utilise le fait qu’il s’agit d’une sous-catégorie triangulée de \(D(\mathcal{O}_{Y'})\).)

Étant donné un diagramme d’anneaux comme ci-dessus et un triple \((M, K', \alpha)\) où \(M \in D(A)\), \(K' \in D(B')\) sont pseudo-cohérents et \(\alpha : M \otimes_A^\mathbf{L} B \to K' \otimes_{B'}^\mathbf{L} B\) est un isomorphisme, supposons que nous ayons un triangle distingué \[M' \to M \oplus K' \to K' \otimes_{B'}^\mathbf{L} B \to M'[1]\] dans \(D(A')\). Il s’agit de montrer que les morphismes induits \(M' \otimes_{A'}^\mathbf{L} A \to M\) et \(M' \otimes_{A'}^\mathbf{L} B' \to K'\) sont des isomorphismes. Pour ce faire, choisissons un complexe borné supérieurement \(E^\bullet\) de \(A\)-modules libres finis représentant \(M\). Puisque \((B', I)\) est une paire hensélienne (Compléments d’algèbre, Lemme 0ALI) avec \(B = B'/I\), nous pouvons appliquer Compléments d’algèbre, Lemme 0BCE pour voir qu’il existe un complexe borné supérieurement \(P^\bullet\) de \(B'\)-modules libres tel que \(\alpha\) soit représenté par un isomorphisme \(E^\bullet \otimes_A B \cong P^\bullet \otimes_{B'} B\). Ensuite, nous pouvons considérer la suite exacte courte \[0 \to L^\bullet \to E^\bullet \oplus P^\bullet \to P^\bullet \otimes_{B'} B \to 0\] de complexes de \(B'\)-modules. Compléments d’algèbre, Lemme 0D2J implique que \(L^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(A'\)-modules projectifs finis (en fait, il est assez facile de montrer directement que \(L^n\) est libre fini dans notre cas) et que nous avons \(L^\bullet \otimes_{A'} A = E^\bullet\) et \(L^\bullet \otimes_{A'} B' = P^\bullet\). La suite exacte courte donne un triangle distingué \[L^\bullet \to M \oplus K' \to K' \otimes_{B'}^\mathbf{L} B \to (L^\bullet)[1]\] dans \(D(A')\) (Catégories dérivées, section 014Z) qui est isomorphe au triangle distingué donné par les propriétés générales des catégories triangulées (Catégories dérivées, section 05QN). En d’autres termes, \(L^\bullet\) représente \(M'\) de manière compatible avec les morphismes donnés. Ainsi, les morphismes \(M' \otimes_{A'}^\mathbf{L} A \to M\) et \(M' \otimes_{A'}^\mathbf{L} B' \to K'\) sont des isomorphismes parce que nous venons de voir que l’assertion correspondante est vraie pour \(L^\bullet\).

Construction de carrés distingués élémentaires

Les carrés distingués élémentaires ont été définis dans Catégories dérivées des espaces, section 08GL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U \subset W, f : V \to W)\) un carré distingué élémentaire. Alors \[\xymatrix{ U \times_W V \ar[r] \ar[d] & V \ar[d]^f \\ U \ar[r] & W }\] est un carré cocartésien dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

Observons que \(U \amalg V \to W\) est un morphisme étale surjectif. Le produit fibré \[(U \amalg V) \times_W (U \amalg V)\] est la réunion disjointe de quatre composantes, à savoir \(U = U \times_W U\), \(U \times_W V\), \(V \times_W U\), et \(V \times_W V\). Il existe un morphisme étale surjectif \[V \amalg (U \times_W V) \times_U (U \times_W V) \longrightarrow V \times_W V\] car \(f\) induit un isomorphisme sur \(W \setminus U\) (faisant partie de la définition d’un carré distingué élémentaire). Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\) et soit \(g : V \to B\) et \(h : U \to B\) des morphismes sur \(S\) qui coïncident après restriction à \(U \times_W V\). Alors la description de \((U \amalg V) \times_W (U \amalg V)\) donnée ci-dessus montre que \(h \amalg g : U \amalg V \to B\) égalise les deux projections. Comme \(B\) est un faisceau pour la topologie étale, nous obtenons une factorisation unique de \(h \amalg g\) par \(W\) comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(V\), \(U\) des espaces algébriques sur \(S\). Soit \(V' \subset V\) un sous-espace ouvert et soit \(f' : V' \to U\) un morphisme étale séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Alors il existe une somme amalgamée \[\xymatrix{ V' \ar[r] \ar[d] & V \ar[d]^f \\ U \ar[r] & W }\] dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) et de plus \((U \subset W, f : V \to W)\) est un carré distingué élémentaire.

Démonstration

Nous allons construire \(W\) comme le quotient d’une relation d’équivalence étale \(R\) sur \(U \amalg V\). Un tel quotient est un espace algébrique, par exemple par Amorçage, Théorème 04S6. De plus, la démonstration du Lemme 0DVI nous indique de prendre \[R = U \amalg V' \amalg V' \amalg V \amalg (V' \times_U V' \setminus \Delta_{V'/U}(V'))\]. Puisque nous avons supposé que \(V' \to U\) est séparé, l’image de \(\Delta_{V'/U}\) est fermée et donc le complémentaire est un sous-espace ouvert. Le morphisme \(j : R \to (U \amalg V) \times_S (U \amalg V)\) est donné par \[u,\ v',\ v',\ v,\ (v'_1, v'_2) \mapsto (u, u),\ (f'(v'), v'),\ (v', f'(v')),\ (v, v),\ (v'_1, v'_2)\] avec une notation évidente. On vérifie immédiatement qu’il s’agit d’un monomorphisme et d’une relation d’équivalence, et que les morphismes induits \(s, t : R \to U \amalg V\) sont étales. Soit \(W = (U \amalg V)/R\) l’espace algébrique quotient. Nous obtenons un diagramme commutatif comme dans l’énoncé du lemme. Pour terminer la démonstration, il suffit de montrer que ce diagramme est un carré distingué élémentaire, car alors le Lemme 0DVI implique qu’il s’agit d’une somme amalgamée. Ainsi, nous devons montrer que \(U \to W\) est ouvert et que \(f\) est étale et induit un isomorphisme sur \(W \setminus U\). Cela découle du choix de \(R\) ; nous omettons les détails.

Recollement formel de modules quasi-cohérents

Cette section est l’analogue de Compléments d’algèbre, section 05E5. Dans le cas des morphismes de schémas, le résultat se trouve dans l’article de Joyet [Joyet] ; c’est un bon point de départ pour la lecture. Pour une discussion des applications aux problèmes de descente pour les champs, voir l’article de Moret-Bailly [MB]. Dans le cas d’un morphisme affine de schémas, on trouve un énoncé dans l’appendice de l’article [Ferrand-Raynaud], mais il est nécessaire d’ajouter l’hypothèse que le sous-schéma fermé est défini par un idéal de type fini (comme dans l’article de Joyet), sans quoi l’énoncé est faux. Une généralisation de ce matériel aux catégories dérivées supérieures, avec d’éventuelles applications à des situations non plates, se trouve dans [Bhatt-Algebraize, section 5].

Nous commençons par un lemme sur les faisceaux abéliens supportés sur des sous-ensembles fermés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé tel que \(f^{-1}Z \to Z\) soit entier et universellement injectif. Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\) et \(\overline{x} = f(\overline{y})\). Nous avons \[(Rf_*Q)_{\overline{x}} = Q_{\overline{y}}\] dans \(D(\textit{Ab})\) pour tout objet \(Q\) de \(D(Y_\etale)\) supporté sur \(|f^{-1}Z|\).

Démonstration

Considérons le diagramme commutatif des espaces algébriques \[\xymatrix{ f^{-1}Z \ar[r]_{i'} \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]_f \\ Z \ar[r]^i & X }\] D’après Cohomologie des espaces, Lemme 0AEI nous pouvons écrire \(Q = Ri'_*K'\) pour un certain objet \(K'\) de \(D(f^{-1}Z_\etale)\). D’après Morphismes d’espaces, Lemme 0AEH nous avons \(K' = (f')^{-1}K\) avec \(K = Rf'_*K'\). Alors nous avons \(Rf_*Q = Rf_*Ri'_*K' = Ri_*Rf'_*K' = Ri_*K\). Soit \(\overline{z}\) le point géométrique de \(Z\) correspondant à \(\overline{x}\) et soit \(\overline{z}'\) le point géométrique de \(f^{-1}Z\) correspondant à \(\overline{y}\). Nous obtenons alors le résultat du lemme comme suit \[Q_{\overline{y}} = (Ri'_*K')_{\overline{y}} = K'_{\overline{z}'} = (f')^{-1}K_{\overline{z}'} = K_{\overline{z}} = Ri_*K_{\overline{x}} = Rf_*Q_{\overline{x}}\] L’égalité du milieu tient grâce à la description de la fibre d’une image inverse donnée dans Propriétés des espaces, Lemme 04K2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé tel que \(f^{-1}Z \to Z\) soit entier et universellement injectif. Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\) et \(\overline{x} = f(\overline{y})\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien sur \(Y\). Alors le morphisme entre les complexes à deux termes \[\left(f_*\mathcal{G}_{\overline{x}} \to (f \circ j')_*(\mathcal{G}|_V)_{\overline{x}}\right) \longrightarrow \left(\mathcal{G}_{\overline{y}} \to j'_*(\mathcal{G}|_V)_{\overline{y}}\right)\] induit un isomorphisme sur les noyaux et une injection sur les conoyaux. Ici \(V = Y \setminus f^{-1}Z\) et \(j' : V \to Y\) est l’inclusion.

Démonstration

Choisissons un triangle distingué \[\mathcal{G} \to Rj'_*\mathcal{G}|_V \to Q \to \mathcal{G}[1]\] dans \(D(Y_\etale)\). Les faisceaux de cohomologie de \(Q\) sont supportés sur \(|f^{-1}Z|\). Nous appliquons \(Rf_*\) et nous obtenons \[Rf_*\mathcal{G} \to Rf_*Rj'_*\mathcal{G}|_V \to Rf_*Q \to Rf_*\mathcal{G}[1]\] En prenant les fibres en \(\overline{x}\) nous obtenons une suite exacte \[0 \to (R^{-1}f_*Q)_{\overline{x}} \to f_*\mathcal{G}_{\overline{x}} \to (f \circ j')_*(\mathcal{G}|_V)_{\overline{x}} \to (R^0f_*Q)_{\overline{x}}\] Nous pouvons comparer ceci avec la suite exacte \[0 \to H^{-1}(Q)_{\overline{y}} \to \mathcal{G}_{\overline{y}} \to j'_*(\mathcal{G}|_V)_{\overline{y}} \to H^0(Q)_{\overline{y}}\] Ainsi, nous voyons que le lemme en découle car \(Q_{\overline{y}} = Rf_*Q_{\overline{x}}\) par Lemme 0AEQ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) et soit \(\Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}) \to X\) le morphisme canonique. Pour un module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(Y\), nous avons \[f_*\mathcal{G}_{\overline{x}} = \Gamma(Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}), p^*\mathcal{F})\] où \(p : Y \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}) \to Y\) est la projection.

Démonstration

Observons que \(f_*\mathcal{G}_{\overline{x}} = \Gamma(\Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}), h^*f_*\mathcal{G})\) où \(h : \Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}) \to X\). Par conséquent, le résultat est vrai car \(h\) est plat, si bien que Cohomologie des espaces, Lemme 073K s’applique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de présentation finie. Soit \(Q \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) supporté sur \(|Z|\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) et soit \(I_{\overline{x}} \subset \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) le germe du faisceau d’idéaux de \(Z\). Alors les modules de cohomologie \(H^n(Q_{\overline{x}})\) sont constitués d’éléments annulés par une puissance de \(I_{\overline{x}}\) (voir Compléments d’algèbre, Définition 05E6).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tel que \(\overline{x}\) se relève en un point géométrique \(\overline{u}\) de \(U\). Ensuite, nous pouvons remplacer \(X\) par \(U\), \(Z\) par \(U \times_X Z\), \(Q\) par la restriction \(Q|_U\), et \(\overline{x}\) par \(\overline{u}\). Ainsi, nous pouvons supposer que \(X = \Spec(A)\) est affine. Soit \(I \subset A\) l’idéal définissant \(Z\). Puisque \(i : Z \to X\) est de présentation finie, l’idéal \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) est de type fini. L’objet \(Q\) provient d’un complexe de \(A\)-modules \(M^\bullet\), voir Catégories dérivées des espaces, Lemme 071Q et Catégories dérivées des schémas, Lemme 06Z0. Puisque les faisceaux de cohomologie de \(Q\) sont supportés sur \(Z\), nous voyons que la localisation \(M^\bullet_f\) est acyclique pour chaque \(f \in I\). Prenons \(x \in H^p(M^\bullet)\). D’après ce qui précède, nous pouvons trouver un entier \(n_i\) tel que \(f_i^{n_i} x = 0\) dans \(H^p(M^\bullet)\) pour chaque \(i\). Ensuite, en posant \(n = \sum n_i\), nous voyons que \(I^n\) annule \(x\). Ainsi, tout élément de \(H^p(M^\bullet)\) est annulé par une puissance de \(I\). Comme l’homomorphisme d’anneaux \(A \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est plat et comme \(I_{\overline{x}} = I\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), nous concluons.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé. Supposons que \(f^{-1}Z \to Z\) soit un isomorphisme et que \(f\) soit plat en chaque point de \(f^{-1}Z\). Pour tout \(Q\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) supporté sur \(|f^{-1}Z|\), nous avons \(Lf^*Rf_*Q = Q\).

Démonstration

Nous montrons que le morphisme canonique \(Lf^*Rf_*Q \to Q\) est un isomorphisme en vérifiant sur les germes en \(\overline{y}\). Si \(\overline{y}\) n’est pas dans \(f^{-1}Z\), alors les deux côtés sont nuls et le résultat est vrai. Supposons que l’image \(\overline{x}\) de \(\overline{y}\) soit dans \(Z\). D’après le Lemme 0AEQ nous avons \(Rf_*Q_{\overline{x}} = Q_{\overline{y}}\) et puisque \(f\) est plat en \(\overline{y}\), nous voyons que \[(Lf^*Rf_*Q)_{\overline{y}} = (Rf_*Q)_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} = Q_{\overline{y}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\] Ainsi, nous devons vérifier que le morphisme canonique \[Q_{\overline{y}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \longrightarrow Q_{\overline{y}}\] est un isomorphisme dans la catégorie dérivée. Soit \(I_{\overline{x}} \subset \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) le germe du faisceau d’idéaux définissant \(Z\). Puisque \(Z \to X\) est localement de présentation finie, cet idéal est de type fini et les groupes de cohomologie de \(Q_{\overline{y}}\) sont constitués d’éléments annulés par une puissance de \(I_{\overline{y}} = I_{\overline{x}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) d’après le Lemme 0AET appliqué à \(Q\) sur \(Y\). Il s’ensuit qu’ils sont également constitués d’éléments annulés par une puissance de \(I_{\overline{x}}\). L’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) est plat et induit un isomorphisme après passage aux quotients par \(I_{\overline{x}}\) et \(I_{\overline{y}}\) car nous avons supposé que \(f^{-1}Z \to Z\) est un isomorphisme. Par conséquent, nous voyons que les modules de cohomologie de \(Q_{\overline{y}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) sont égaux aux modules de cohomologie de \(Q_{\overline{y}}\) d’après Compléments d’algèbre, Lemme 05E9 ce qui termine la démonstration.

Situation

Ici \(S\) est un schéma de base, \(f : Y \to X\) est un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\), et \(Z \to X\) est une immersion fermée de présentation finie. Nous supposons que \(f^{-1}(Z) \to Z\) est un isomorphisme et que \(f\) est plat en tout point \(x \in |f^{-1}Z|\). Nous posons \(U = X \setminus Z\) et \(V = Y \setminus f^{-1}(Z)\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ V \ar[r]_{j'} \ar[d]_{f|_V} & Y \ar[d]^f \\ U \ar[r]^j & X }\]

Dans la situation 0AEV, nous définissons \(\textit{QCoh}(Y \to X, Z)\) comme la catégorie des triplets \((\mathcal{H}, \mathcal{G}, \varphi)\) où \(\mathcal{H}\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_U\)-modules, \(\mathcal{G}\) est un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_Y\)-modules, et \(\varphi : f^*\mathcal{H} \to \mathcal{G}|_V\) est un isomorphisme de \(\mathcal{O}_V\)-modules. Il existe un foncteur canonique [0AEW]\[\begin{equation} \QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{QCoh}(Y \to X, Z) \end{equation}\] qui associe \(\mathcal{F}\) au système \((\mathcal{F}|_U, f^*\mathcal{F}, can)\). Par analogie avec la preuve donnée dans le cas affine, nous construisons un foncteur dans la direction opposée. À un objet \((\mathcal{H}, \mathcal{G}, \varphi)\), nous associons le \(\mathcal{O}_X\)-module [0AEX]\[\begin{equation} \Ker(j_*\mathcal{H} \oplus f_*\mathcal{G} \to (f \circ j')_*\mathcal{G}|_V) \end{equation}\]. Remarquons que \(j\) et \(j'\) sont des morphismes quasi-compacts car \(Z \to X\) est de présentation finie. Par conséquent, \(f_*\), \(j_*\) et \((f \circ j')_*\) transforment les modules quasi-cohérents en modules quasi-cohérents (Morphismes d’espaces, Lemme 03M9). Ainsi, le module (0AEX) est quasi-cohérent.

Lemme

Dans la situation 0AEV. Le foncteur (0AEX) est adjoint à droite du foncteur (0AEW).

Démonstration

Cela découle facilement de l’adjonction de \(f^*\) à \(f_*\) et de \(j^*\) à \(j_*\). Détails omis.

Lemme

Dans la situation 0AEV. Soit \(X' \to X\) un morphisme plat d’espaces algébriques. Posons \(Z' = X' \times_X Z\) et \(Y' = X' \times_X Y\). Les images inverses \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) et \(\QCoh(Y \to X, Z) \to \QCoh(Y' \to X', Z')\) sont compatibles avec les foncteurs (0AEX) et (0AEW).

Démonstration

Ceci est vrai parce que les images inverses commutent entre elles et parce que l’image inverse par un morphisme plat commute à l’image directe le long de morphismes quasi-compacts et quasi-séparés, voir Cohomologie des espaces, Lemme 073K.

Proposition

Dans la situation 0AEV, le foncteur (0AEW) est une équivalence avec un quasi-inverse donné par (0AEX).

Démonstration

Nous traitons d’abord le cas particulier où \(X\) et \(Y\) sont des schémas affines et où le morphisme \(f\) est plat. Écrivons \(X = \Spec(R)\) et \(Y = \Spec(S)\). Alors \(f\) correspond à un homomorphisme d’anneaux plat \(R \to S\). De plus, \(Z \subset X\) est découpé par un idéal de type fini \(I \subset R\). Choisissons des générateurs \(f_1, \ldots, f_t \in I\). D’après la description des modules quasi-cohérents en termes de modules (Schémas, section 01I6), nous voyons que la catégorie \(\textit{QCoh}(Y \to X, Z)\) est canoniquement équivalente à la catégorie \(\text{Glue}(R \to S, f_1, \ldots, f_t)\) de Compléments d’algèbre, Remarque 05EL de telle sorte que les foncteurs (0AEW) et (0AEX) correspondent aux foncteurs \(\text{Can}\) et \(H^0\). Ainsi, le résultat suit de Compléments d’algèbre, Proposition 05ER dans ce cas.

Nous revenons au cas général. Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent sur \(X\). Nous allons montrer que \[\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \Ker\left(j_*\mathcal{F}|_U \oplus f_*f^*\mathcal{F} \to (f \circ j')_*f^*\mathcal{F}|_V\right)\] est un isomorphisme. Soit \((\mathcal{H}, \mathcal{G}, \varphi)\) un objet de \(\QCoh(Y \to X, Z)\). Nous allons montrer que \[\beta : f^*\Ker\left( j_*\mathcal{H} \oplus f_*\mathcal{G} \to (f \circ j')_*\mathcal{G}|_V \right) \longrightarrow \mathcal{G}\] et \[\gamma : j^*\Ker\left( j_*\mathcal{H} \oplus f_*\mathcal{G} \to (f \circ j')_*\mathcal{G}|_V \right) \longrightarrow \mathcal{H}\] sont des isomorphismes. Pour voir que ces affirmations sont vraies, il suffit de examiner les germes. Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\) s’envoyant sur le point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\).

Fixons un objet \((\mathcal{H}, \mathcal{G}, \varphi)\) de \(\QCoh(Y \to X, Z)\). Par le Lemme 0AER et une vérification de diagramme (omise), le morphisme canonique \[\Ker(j_*\mathcal{H} \oplus f_*\mathcal{G} \to (f \circ j')_*\mathcal{G}|_V)_{\overline{x}} \longrightarrow \Ker( j_*\mathcal{H}_{\overline{x}} \oplus \mathcal{G}_{\overline{y}} \to j'_*\mathcal{G}_{\overline{y}} )\] est un isomorphisme.

En particulier, si \(\overline{y}\) est un point géométrique de \(V\), alors nous voyons que \(j'_*\mathcal{G}_{\overline{y}} = \mathcal{G}_{\overline{y}}\) et donc que ce noyau est égal à \(\mathcal{H}_{\overline{x}}\). Cela implique facilement que \(\alpha_{\overline{x}}\), \(\beta_{\overline{x}}\), et \(\beta_{\overline{y}}\) sont des isomorphismes dans ce cas.

Ensuite, supposons que \(\overline{y}\) soit un point de \(f^{-1}Z\). Soient \(I_{\overline{x}} \subset \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) et \(I_{\overline{y}} \subset \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) les germes des idéaux définissant respectivement \(Z\) et \(f^{-1}Z\). Alors \(I_{\overline{x}}\) est un idéal de type fini, \(I_{\overline{y}} = I_{\overline{x}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\), et \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) est un homomorphisme local plat induisant un isomorphisme \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/I_{\overline{x}} = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/I_{\overline{y}}\). À ce stade, nous pouvons conclure à l’aide du diagramme de catégories \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[r]_-{(\href{spaces-pushouts.html#spaces-pushouts-equation-formal-glueing-modules}{0AEW})} \ar[d] & \QCoh(Y \to X, Z) \ar[d] \ar@/_2pc/[l]^{(\href{spaces-pushouts.html#spaces-pushouts-equation-reverse}{0AEX})} \\ \text{Mod}_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \ar[r]^-{\text{Can}} & \text{Glue}(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}, f_1, \ldots, f_t) \ar@/^2pc/[l]_{H^0} }\] En effet, comme dans le premier paragraphe de la démonstration, nous identifions \[\text{Glue}(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}, f_1, \ldots, f_t) = \QCoh(\Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}), V(I_{\overline{x}}))\] Le foncteur vertical droit est donné par l’image inverse, et il est clair que le carré intérieur est commutatif. Notre calcul du germe du noyau dans le troisième paragraphe de la démonstration combiné avec le Lemme 0AES implique que le carré extérieur (en utilisant les flèches courbes) commute. Nous concluons alors en appliquant le cas d’un morphisme plat de schémas affines traité dans le premier paragraphe de la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0AEV, le foncteur \(Rf_*\) induit une équivalence entre \(D_{\QCoh, |f^{-1}Z|}(\mathcal{O}_Y)\) et \(D_{\QCoh, |Z|}(\mathcal{O}_X)\) avec quasi-inverse donné par \(Lf^*\).

Démonstration

Puisque \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, nous voyons que \(Rf_*\) définit un foncteur de \(D_{\QCoh, |f^{-1}Z|}(\mathcal{O}_Y)\) vers \(D_{\QCoh, |Z|}(\mathcal{O}_X)\), voir Catégories dérivées des espaces, Lemme 08FA. D’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 08F4 nous voyons que \(Lf^*\) transforme \(D_{\QCoh, |Z|}(\mathcal{O}_X)\) en \(D_{\QCoh, |f^{-1}Z|}(\mathcal{O}_Y)\). Dans le Lemme 0AEU, nous avons vu que \(Lf^*Rf_*Q = Q\) pour \(Q\) dans \(D_{\QCoh, |f^{-1}Z|}(\mathcal{O}_Y)\). Par l’énoncé dual de Catégories dérivées, Lemme 09J1 pour terminer la preuve, il suffit de montrer que \(Lf^*K = 0\) implique \(K = 0\) pour \(K\) dans \(D_{\QCoh, |Z|}(\mathcal{O}_X)\). Ceci découle du fait que \(f\) est plat en tous les points de \(f^{-1}Z\) et que \(f^{-1}Z \to Z\) est surjectif.

Lemme

Dans la situation 0AEV, il existe un recouvrement fpqc \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) affinant la famille \(\{U \to X, Y \to X\}\).

Démonstration

Pour la définition et les propriétés générales des recouvrements fpqc, nous renvoyons à Topologies, section 022A. En particulier, nous pouvons d’abord choisir un recouvrement étale \(\{X_i \to X\}\) avec \(X_i\) affine et en changeant \(Y\), \(Z\) et \(U\) de base par chaque \(X_i\), nous nous ramenons au cas où \(X\) est affine. Dans ce cas, \(U\) est quasi-compact et donc une union finie \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) d’ouverts affines. Alors \(Z\) est quasi-compact donc aussi \(f^{-1}Z\) est quasi-compact. Ainsi nous pouvons choisir un schéma affine \(W\) et un morphisme étale \(h : W \to Y\) tel que \(h^{-1}f^{-1}Z \to f^{-1}Z\) soit surjectif. Écrivons \(W = \Spec(B)\) et \(h^{-1}f^{-1}Z = V(J)\) où \(J \subset B\) est un idéal de type fini. Par Cohomologie pro-étale, Lemme 096V, il existe une localisation \(B \to B'\) telle que les points de \(\Spec(B')\) correspondent exactement aux points de \(W = \Spec(B)\) se spécialisant en \(h^{-1}f^{-1}Z = V(J)\). Il s’ensuit que le morphisme composé \(\Spec(B') \to \Spec(B) = W \to Y \to X\) est plat car, par hypothèse, \(f : Y \to X\) est plat en tous les points de \(f^{-1}Z\). Ensuite, \(\{\Spec(B') \to X, U_1 \to X, \ldots, U_n \to X\}\) est un recouvrement fpqc d’après Topologies, Lemme 03L7.

Recollement formel d’espaces algébriques

Dans la situation 0AEV, nous considérons la catégorie \(\textit{Espaces}(Y \to X, Z)\) des diagrammes commutatifs d’espaces algébriques sur \(S\) de la forme \[\xymatrix{ U' \ar[d] & V' \ar[l] \ar[d] \ar[r] & Y' \ar[d] \\ U & V \ar[l] \ar[r] & Y }\] où les deux carrés sont cartésiens. Il existe un foncteur canonique [0AF3]\[\begin{equation} \textit{Espaces}/X \longrightarrow \textit{Espaces}(Y \to X, Z) \end{equation}\] qui envoie \(X' \to X\) sur les morphismes \(U \times_X X' \leftarrow V \times_X X' \rightarrow Y \times_X X'\).

Lemme

Dans la situation 0AEV, le foncteur (0AF3) se restreint à une équivalence

de la catégorie des espaces algébriques affines sur \(X\) vers la sous-catégorie pleine de \(\textit{Espaces}(Y \to X, Z)\) consistant en \((U' \leftarrow V' \rightarrow Y')\) avec \(U' \to U\), \(V' \to V\), et \(Y' \to Y\) affines,

de la catégorie des immersions fermées \(X' \to X\) vers la sous-catégorie pleine de \(\textit{Espaces}(Y \to X, Z)\) consistant en \((U' \leftarrow V' \rightarrow Y')\) avec \(U' \to U\), \(V' \to V\), et \(Y' \to Y\) immersions fermées, et

même énoncé que dans (2) pour les morphismes finis.

Démonstration

La catégorie des espaces algébriques affines sur \(X\) est équivalente à la catégorie des faisceaux quasi-cohérents \(\mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres. La sous-catégorie pleine de \(\textit{Espaces}(Y \to X, Z)\) consistant en \((U' \leftarrow V' \rightarrow Y')\) avec \(U' \to U\), \(V' \to V\), et \(Y' \to Y\) affines est équivalente à la catégorie des objets en algèbres de \(\QCoh(Y \to X, Z)\). Dans les deux cas, cela découle de Morphismes d’espaces, Lemme 081V avec un quasi-inverse donné par la construction du spectre relatif (Morphismes d’espaces, Définition 081W) qui commute à tout changement de base. Ainsi, la partie (1) du lemme découle de la Proposition 0AF0.

La pleine fidélité dans la partie (2) découle de la partie (1). Pour la surjectivité essentielle, on réduit par la partie (1) à prouver que \(X' \to X\) est une immersion fermée si et seulement si à la fois \(U \times_X X' \to U\) et \(Y \times_X X' \to Y\) sont des immersions fermées. Par le Lemme 0AF1, \(\{U \to X, Y \to X\}\) peut être raffiné par un recouvrement fpqc. Par conséquent, le résultat découle de Descente sur les espaces, Lemme 0420.

Pour (3), le même argument que pour (2), joint à Descente sur les espaces, Lemme 0426.

Lemme

Dans la situation 0AEV, le foncteur (0AF3) reflète les isomorphismes.

Démonstration

Par un argument formel de changement de base, cela se réduit à l’assertion suivante : un morphisme \(a : X' \to X\) d’espaces algébriques pour lequel \(U \times_X X' \to U\) et \(Y \times_X X' \to Y\) sont des isomorphismes est lui-même un isomorphisme. La famille \(\{U \to X, Y \to X\}\) peut être affinée par un recouvrement fpqc d’après le Lemme 0AF1. Par conséquent, le résultat découle de Descente sur les espaces, Lemme 041Y.

Lemme

Dans la situation 0AEV, le foncteur (0AF3) est pleinement fidèle sur les espaces algébriques séparés sur \(X\). Plus précisément, il induit une bijection \[\Mor_X(X'_1, X'_2) \longrightarrow \Mor_{\textit{Espaces}(Y \to X, Z)}(F(X'_1), F(X'_2))\] lorsque \(X'_2 \to X\) est séparé.

Démonstration

Puisque \(X'_2 \to X\) est séparé, le graphe \(i : X'_1 \to X'_1 \times_X X'_2\) d’un morphisme \(X'_1 \to X'_2\) sur \(X\) est une immersion fermée, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03KO. De plus, une immersion fermée \(i : T \to X'_1 \times_X X'_2\) est le graphe d’un morphisme si et seulement si \(\text{pr}_1 \circ i\) est un isomorphisme. Il en est de même pour

le graphe d’un morphisme \(U \times_X X'_1 \to U \times_X X'_2\) sur \(U\),

le graphe d’un morphisme \(V \times_X X'_1 \to V \times_X X'_2\) sur \(V\), et

le graphe d’un morphisme \(Y \times_X X'_1 \to Y \times_X X'_2\) sur \(Y\).

De plus, si des morphismes comme dans (1), (2), (3) se recollent pour former un morphisme dans la catégorie \(\textit{Espaces}(Y \to X, Z)\), alors ces graphes se recollent pour donner un objet de \(\textit{Espaces}(Y \times_X (X'_1 \times_X X'_2) \to X'_1 \times_X X'_2, Z \times_X (X'_1 \times_X X'_2))\) dont les trois morphismes sont des immersions fermées. La preuve est terminée en appliquant les Lemmes 0AF4 et 0AF5.

Recollement et le théorème de Beauville-Laszlo

Soit \(R \to R'\) un homomorphisme d’anneaux et soit \(f \in R\) un élément tel que \[0 \to R \to R_f \oplus R' \to R'_f \to 0\] soit une suite exacte courte. Cela implique que \(R/f^nR \cong R'/f^nR'\) pour tout \(n\) et que \((R \to R', f)\) est une paire de recollement au sens de Compléments d’algèbre, section 0BNI. Posons \(X = \Spec(R)\), \(U = \Spec(R_f)\), \(X' = \Spec(R')\) et \(U' = \Spec(R'_f)\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ U' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ U \ar[r] & X }\] Dans cette situation, nous pouvons considérer la catégorie \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\) dont les objets sont des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ V \ar[d] & V' \ar[l] \ar[d] \ar[r] & Y' \ar[d] \\ U & U' \ar[l] \ar[r] & X' }\] d’espaces algébriques avec les deux carrés cartésiens et dont les morphismes sont définis de manière évidente. Un objet de cette catégorie sera noté \((V, V', Y')\) en omettant les flèches. Il existe un foncteur [0F9N]\[\begin{equation} \textit{Espaces}/X \longrightarrow \textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X') \end{equation}\] donné par le changement de base : \(Y \mapsto (U \times_X Y, U' \times_X Y, X' \times_X Y)\).

Nous avons vu dans Compléments d’algèbre, section 0BNI que les données de recollement ne permettent pas de retrouver tout \(R\)-module \(M\) à partir de ses données de recollement. De même, le foncteur (0F9N) ne sera pas pleinement fidèle sur la catégorie de tous les espaces sur \(X\). Afin de dégager une sous-catégorie appropriée d’espaces algébriques sur \(X\), nous avons besoin d’un lemme.

Lemme

Soit \((R \to R', f)\) une paire de recollement, voir ci-dessus. Soit \(Y\) un espace algébrique sur \(X\). Les énoncés suivants sont équivalents

il existe un recouvrement étale \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) avec \(Y_i\) affine et \(\Gamma(Y_i, \mathcal{O}_{Y_i})\) recollable comme \(R\)-module,

pour tout morphisme étale \(W \to Y\) avec \(W\) affine \(\Gamma(W, \mathcal{O}_W)\) est un \(R\)-module recollable.

Démonstration

Il est immédiat que (2) implique (1). Supposons que \(\{Y_i \to Y\}\) soit comme dans (1) et soit \(W \to Y\) comme dans (2). Alors \(\{Y_i \times_Y W \to W\}_{i \in I}\) est un recouvrement étale, que nous pouvons affiner par un recouvrement étale \(\{W_j \to W\}_{j = 1, \ldots, m}\) avec \(W_j\) affine (Topologies, Lemme 0218). Ainsi, pour terminer la démonstration, il suffit de montrer les trois assertions algébriques suivantes :

si \(R \to A \to B\) sont des homomorphismes d’anneaux avec \(A \to B\) étale et \(A\) est recollable en tant que \(R\)-module, alors \(B\) est recollable en tant que \(R\)-module,

les produits finis de \(R\)-modules recollables sont recollables,

si \(R \to A \to B\) sont des homomorphismes d’anneaux avec \(A \to B\) étale et fidèlement plat et \(B\) est recollable en tant que \(R\)-module, alors \(A\) est recollable en tant que \(R\)-module.

En effet, le premier énoncé implique que \(\Gamma(W_j, \mathcal{O}_{W_j})\) est un \(R\)-module recollable, le deuxième que \(\prod \Gamma(W_j, \mathcal{O}_{W_j})\) est un \(R\)-module recollable, et le troisième que \(\Gamma(W, \mathcal{O}_W)\) est un \(R\)-module recollable.

Considérons un homomorphisme étale de \(R\)-algèbres \(A \to B\). Posons \(A' = A \otimes_R R'\) et \(B' = B \otimes_R R' = A' \otimes_A B\). Les affirmations (1) et (3) découlent alors des faits suivants : (a) \(A\), respectivement \(B\), est recollable si et seulement si la suite \[0 \to A \to A_f \oplus A' \to A'_f \to 0, \quad\text{respectivement}\quad 0 \to B \to B_f \oplus B' \to B'_f \to 0,\] est exacte, (b) la seconde suite s’obtient en appliquant à la première le foncteur \(- \otimes_A B\), et (c) la platitude, respectivement la fidèle platitude, de \(A \to B\). Nous omettons la démonstration de (2).

Soit \((R \to R', f)\) une paire de recollement, voir ci-dessus. Nous dirons qu’un espace algébrique \(Y\) sur \(X = \Spec(R)\) est recollable pour \((R \to R', f)\) si les conditions équivalentes du Lemme 0F9P sont satisfaites.

Lemme

Soit \((R \to R', f)\) une paire de recollement, voir ci-dessus. Le foncteur (0F9N) se restreint à une équivalence entre la catégorie des objets affines \(Y/X\) qui sont recollables pour \((R \to R', f)\) et la sous-catégorie pleine des objets \((V, V', Y')\) de \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\) avec \(V\), \(V'\), \(Y'\) affines.

Démonstration

Soit \((V, V', Y')\) un objet de \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\) avec \(V\), \(V'\), \(Y'\) affines. Écrivons \(V = \Spec(A_1)\) et \(Y' = \Spec(A')\). D’après notre définition de la catégorie \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\), nous trouvons que \(V'\) est le spectre de \(A_1 \otimes_{R_f} R'_f = A_1 \otimes_R R'\) et le spectre de \(A'_f\). Ainsi, nous obtenons un isomorphisme \(\varphi : A'_f \to A_1 \otimes_R R'\) de \(R'_f\)-algèbres. D’après Compléments d’algèbre, Théorème 0BP2 il existe un unique \(R\)-module recollable \(A\) et des isomorphismes \(A_f \to A_1\) et \(A \otimes_R R' \to A'\) de modules compatibles avec \(\varphi\). Puisque la suite \[0 \to A \to A_1 \oplus A' \to A'_f \to 0\] est exacte courte, les multiplications sur \(A_1\) et \(A'\) définissent une structure de \(R\)-algèbre unique sur \(A\) telle que les morphismes \(A \to A_1\) et \(A \to A'\) sont des homomorphismes d’anneaux. Nous omettons la vérification que cette construction définit un quasi-inverse au foncteur (0F9N) restreint aux sous-catégories mentionnées dans l’énoncé du lemme.

Lemme

Soit \(P\) l’une des propriétés suivantes des morphismes : “fini”, “immersion fermée”, “plat”, “de type fini”, “plat et de présentation finie”, “étale”. Sous l’équivalence du Lemme 0F9Q les morphismes ayant \(P\) correspondent à des morphismes de triples dont les composantes ont \(P\).

Démonstration

Soit \(P'\) l’une des propriétés suivantes des homomorphismes d’anneaux : “fini”, “surjectif”, “plat”, “de type fini”, “plat et de présentation finie”, “étale”. En termes algébriques, l’énoncé signifie ce qui suit : Si \(A \to B\) est un homomorphisme de \(R\)-algèbres et que \(A\) et \(B\) sont recollables pour \((R \to R', f)\), alors \(A_f \to B_f\) et \(A \otimes_R R' \to B \otimes_R R'\) ont \(P'\) si et seulement si \(A \to B\) a \(P'\).

Par Compléments d’algèbre, Lemmes 0BNN et 0BP7 l’énoncé algébrique est vrai lorsque \(P'\) est « fini » ou « plat ».

Si \(A_f \to B_f\) et \(A \otimes_R R' \to B \otimes_R R'\) sont surjectifs, alors le conoyau \(N = B/A\) est un \(R\)-module avec \(N_f = 0\) et \(N \otimes_R R' = 0\) et par conséquent est nul d’après Compléments d’algèbre, Lemme 0BNL. Ainsi \(A \to B\) est surjectif.

Si \(A_f \to B_f\) et \(A \otimes_R R' \to B \otimes_R R'\) sont de type fini, alors nous pouvons choisir un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) tel que \(A_f[x_1, \ldots, x_n] \to B_f\) et \((A \otimes_R R')[x_1, \ldots, x_n] \to B \otimes_R R'\) sont surjectifs (détail mineur omis). Nous en concluons que \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) est surjectif d’après le résultat précédent. Ainsi \(A \to B\) est de type fini.

Si \(A_f \to B_f\) et \(A \otimes_R R' \to B \otimes_R R'\) sont plats et de présentation finie, alors nous savons que \(A \to B\) est plat et de type fini grâce à ce que nous avons déjà démontré. Choisissons une surjection \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) et notons \(I\) son noyau. Par la platitude de \(B\) sur \(A\), nous voyons que \(I_f\) est le noyau de \(A_f[x_1, \ldots, x_n] \to B_f\) et que \(I \otimes_R R'\) est le noyau de \(A \otimes_R R'[x_1, \ldots, x_n] \to B \otimes_R R'\). Ainsi, \(I_f\) est un \(A_f[x_1, \ldots, x_n]\)-module de type fini et \(I \otimes_R R'\) est un \((A \otimes_R R')[x_1, \ldots, x_n]\)-module de type fini. D’après Compléments d’algèbre, Lemme 0BNN, appliqué à \(I\) considéré comme module sur \(A[x_1, \ldots, x_n]\), nous concluons que \(I\) est un idéal de type fini, puis que \(A \to B\) est plat et de présentation finie.

Si \(A_f \to B_f\) et \(A \otimes_R R' \to B \otimes_R R'\) sont étales, alors nous savons que \(A \to B\) est plat et de présentation finie d’après ce que nous avons déjà montré. Puisque les fibres de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) sont isomorphes aux fibres de \(\Spec(B_f) \to \Spec(A_f)\) ou de \(\Spec(B/fB) \to \Spec(A/fA)\), nous concluons que \(A \to B\) est non ramifié, voir Morphismes, Lemmes 02G7 et 02G8. Nous concluons que \(A \to B\) est étale d’après Morphismes, Lemme 02GV par exemple.

Lemme

Soit \((R \to R', f)\) une paire de recollement, voir ci-dessus. Le foncteur (0F9N) est fidèle sur la sous-catégorie pleine des espaces algébriques \(Y/X\) recollables pour \((R \to R', f)\).

Démonstration

Soient \(f, g : Y \to Z\) deux morphismes d’espaces algébriques sur \(X\) avec \(Y\) et \(Z\) recollables pour \((R \to R', f)\) de telle sorte que \(f\) et \(g\) soient envoyés sur le même morphisme dans la catégorie \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\). Nous devons montrer que l’égaliseur \(E \to Y\) de \(f\) et \(g\) est un isomorphisme. En travaillant étale localement sur \(Y\), nous pouvons supposer que \(Y\) est un schéma affine. Alors \(E\) est un schéma et le morphisme \(E \to Y\) est un monomorphisme et localement quasi-fini, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03HK. De plus, le changement de base de \(E \to Y\) vers \(U\) et vers \(X'\) est un isomorphisme. Comme l’espace topologique sous-jacent à \(Y\) est la réunion disjointe de l’ouvert affine \(V = U \times_X Y\) et du fermé affine \(V(f) \times_X Y\), nous concluons que \(E\) est l’union disjointe de leurs images inverses isomorphes. Il s’ensuit en particulier que \(E\) est quasi-compact. Par le théorème principal de Zariski (Compléments sur les morphismes, Lemme 05K0) nous concluons que \(E\) est quasi-affine. Posons \(B = \Gamma(E, \mathcal{O}_E)\) et \(A = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) de sorte que nous ayons un homomorphisme de \(R\)-algèbres \(A \to B\). Puisque \(E \to Y\) devient un isomorphisme après changement de base vers \(U\) et \(X'\), nous obtenons des morphismes d’anneaux \(B \to A_f\) et \(B \to A \otimes_R R'\) qui coïncident comme morphismes vers \(A \otimes_R R'_f\). Puisque \(A\) est recollable par rapport à \((R \to R', f)\), nous obtenons un morphisme d’anneaux \(B \to A\) qui est l’inverse à gauche du morphisme \(A \to B\). Le morphisme correspondant \(Y = \Spec(A) \to \Spec(B)\) a son image ensembliste contenue dans le sous-schéma ouvert \(E \subset \Spec(B)\) car cela est vrai après changement de base vers \(U\) et \(X'\). Ainsi, nous obtenons un morphisme \(Y \to E\) sur \(Y\). Puisque \(E \to Y\) est un monomorphisme, nous en concluons que \(Y \to E\) est un isomorphisme comme voulu.

Lemme

Soit \((R \to R', f)\) une paire de recollement, voir ci-dessus. Le foncteur (0F9N) est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des espaces algébriques \(Y/X\) qui sont (a) recollables pour \((R \to R', f)\) et (b) ont une diagonale affine \(Y \to Y \times_X Y\).

Démonstration

Soient \(Y, Z\) deux espaces algébriques sur \(X\) qui sont tous deux recollables pour \((R \to R', f)\) et supposons que la diagonale de \(Z\) soit affine. Soient \(a : U \times_X Y \to U \times_X Z\) sur \(U\) et \(b : X' \times_X Y \to X' \times_X Z\) sur \(X'\) deux morphismes d’espaces algébriques qui induisent le même morphisme \(c : U' \times_X Y \to U' \times_X Z\) sur \(U'\). Nous voulons construire un morphisme \(f : Y \to Z\) sur \(X\) qui induise les morphismes \(a\) et \(b\) après changement de base à \(U\) et à \(X'\). Par la fidélité du Lemme 0F9S, il suffit de construire le morphisme \(f\) étale localement sur \(Y\) (détails omis). Ainsi, nous pouvons supposer que \(Y\) est affine.

Soit \(y \in |Y|\) un point. Si \(y\) s’envoie dans l’ouvert \(U \subset X\), alors \(U \times_X Y\) est un ouvert de \(Y\) sur lequel le morphisme \(f\) est défini (nous pouvons simplement prendre \(a\)). Ainsi nous pouvons supposer que \(y\) s’envoie dans le sous-ensemble fermé \(V(f)\) de \(X\). Puisque \(R/fR = R'/fR'\) il existe un point unique \(y' \in |X' \times_X Y|\) s’envoyant sur \(y\). On note \(z' = b(y') \in |X' \times_X Z|\) et \(z \in |Z|\) les images de \(y'\). Choisissons un voisinage étale \((W, w) \to (Z, z)\) avec \(W\) affine. Remarquons que \[(U \times_X W) \times_{U \times_X Z, a} (U \times_X Y),\quad (U' \times_X W) \times_{U' \times_X Z, c} (U' \times_X Y),\] et \[(X' \times_X W) \times_{X' \times_X Z, b} (X' \times_X Y)\] forment un objet de \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\) dont les composantes sont affines (c’est ici que nous utilisons le fait que \(Z\) a une diagonale affine). Ainsi, par le Lemme 0F9Q il existe un schéma affine unique \(V\) recollable pour \((R \to R', f)\) tel que \[(U \times_X V, U' \times_X V, X' \times_X V)\] est le triple affiché ci-dessus. Par la pleine fidélité dans le cas affine (Lemme 0F9Q), nous obtenons deux morphismes uniques \(V \to W\) et \(V \to Y\) coïncidant avec les morphismes donnés par la première et la seconde projection sur \(U\) et \(X'\) dans la construction ci-dessus. Par le Lemme 0F9R, le morphisme \(V \to Y\) est étale. Pour terminer la preuve, il suffit de montrer qu’il existe un point \(v \in |V|\) se projetant sur \(y\) (car alors \(f\) est défini sur un voisinage étale de \(y\), à savoir \(V\)). Il existe un point unique \(w' \in |X' \times_X W|\) s’envoyant sur \(w\). Par unicité, \(w'\) s’envoie sur \(z'\) par le morphisme \(|X' \times_X W| \to |X' \times_X Z|\). Considérons alors le diagramme cartésien \[\xymatrix{ X' \times_X V \ar[r] \ar[d] & X' \times_X W \ar[d] \\ X' \times_X Y \ar[r] & X' \times_X Z }\] pour voir qu’il existe un point \(v' \in |X' \times_X V|\) s’envoyant sur \(y'\) et \(w'\), voir Propriétés des espaces, Lemme 03H4. Bien sûr, l’image \(v\) de \(v'\) dans \(|V|\) s’envoie bien sur \(y\) et la preuve est complète.

Lemme

Soit \((R \to R', f)\) une paire de recollement, voir ci-dessus. Tout objet \((V, V', Y')\) de \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\) avec \(V\), \(V'\), \(Y'\) quasi-affine est isomorphe à l’image sous le foncteur (0F9N) d’un espace algébrique séparé \(Y\) sur \(X\).

Démonstration

Choisissons \(n'\), \(T' \to Y'\) et \(n_1\), \(T_1 \to V\) comme dans Propriétés, Lemme 0F82. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ & & T_1 \times_V V' \times_Y T' \ar[ld] \ar[rd] \\ T_1 \ar[d] & T_1 \times_V V' \ar[l] \ar[dr] & & V' \times_{Y'} T' \ar[r] \ar[dl] & T' \ar[d] \\ V & & V' \ar[rr] \ar[ll] & & Y' }\] Observons que \(T_1 \times_V V'\) et \(V' \times_{Y'} T'\) sont affines (les morphismes \(V' \to V\) et \(V' \to Y'\) sont affines comme changements de base des morphismes affines \(U' \to U\) et \(U' \to X'\)). Par construction, nous voyons que \[\mathbf{A}^{n'}_{T_1 \times_V V'} \cong T_1 \times_V V' \times_{Y'} T' \cong \mathbf{A}^{n_1}_{V' \times_{Y'} T'}\] En d’autres termes, les schémas affines \(\mathbf{A}^{n'}_{T_1}\) et \(\mathbf{A}^{n_1}_{T'}\) font partie d’un triple formant un objet affine de \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\). D’après le Lemme 0F9Q il existe un morphisme de schémas affines \(T \to X\) et des isomorphismes \(U \times_X T \cong \mathbf{A}^{n'}_{T_1}\) et \(X' \times_X T \cong \mathbf{A}^{n_1}_{T'}\) compatibles avec les isomorphismes affichés ci-dessus. Ces isomorphismes produisent des morphismes \[U \times_X T \longrightarrow V \quad\text{et}\quad X' \times_X T \longrightarrow Y'\] satisfaisant la propriété de Propriétés, Lemme 0F82, avec \(n = n' + n_1\), et définissant en outre un morphisme du triple \((U \times_X T, U' \times_X T, X' \times_X T)\) vers notre triple \((V, V', Y')\) dans la catégorie \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\).

Par le Lemme 0F9Q il existe un schéma affine \(W\) dont l’image dans \(\textit{Espaces}(U \leftarrow U' \to X')\) est isomorphe au triple \[((U \times_X T) \times_V (U \times_X T), (U' \times_X T) \times_{V'} (U' \times_X T), (X' \times_X T) \times_{Y'} (X' \times_X T))\] Par la pleine fidélité de cette construction, nous obtenons deux morphismes \(p_0, p_1 : W \to T\) dont les changements de base à \(U, U', X'\) sont les morphismes de projection. Par le Lemme 0F9R les morphismes \(p_0, p_1\) sont plats et de présentation finie et le morphisme \((p_0, p_1) : W \to T \times_X T\) est une immersion fermée. En fait, \(W \to T \times_X T\) définit une relation d’équivalence : par les lemmes démontrés ci-dessus, nous pouvons vérifier la symétrie, la réflexivité et la transitivité après changement de base à \(U\) et \(X'\), car elles y sont évidentes (détails omis). Ainsi, le faisceau quotient \[Y = T/W\] est un espace algébrique par exemple par Amorçage, Théorème 04S6. Par construction, \(Y/X\) est envoyé sur le triple \((V, V', Y')\). Le changement de base de la diagonale \(\Delta : Y \to Y \times_X Y\) par le morphisme plat, quasi-compact et surjectif \(T \times_X T \to Y \times_X Y\) est l’immersion fermée \(W \to T \times_X T\). Ainsi \(\Delta\) est une immersion fermée par Descente sur les espaces, Lemme 0420. Il s’ensuit que l’espace algébrique \(Y\) est séparé et la preuve est complète.

Coégalisateurs et recollement

Soit \(X\) un espace algébrique noethérien et \(Z \to X\) une immersion fermée. Soit \(X' \to X\) l’éclatement dans \(Z\). Dans cette section, nous montrons que \(X\) peut être reconstitué à partir de \(X'\), \(Z_n\) et des données de recollement, où \(Z_n\) est le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(Z\) dans \(X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[g : Y \longrightarrow X\] un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(X\) soit localement noethérien, et que \(g\) soit propre. Soit \(R = Y \times_X Y\) avec des morphismes de projection \(t, s : R \to Y\). Il existe un coégalisateur \(X'\) de \(s, t : R \to Y\) dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\). De plus

Le morphisme \(X' \to X\) est fini.

Le morphisme \(Y \to X'\) est propre.

Le morphisme \(Y \to X'\) est surjectif.

Le morphisme \(X' \to X\) est universellement injectif.

Si \(g\) est surjectif, le morphisme \(X' \to X\) est un homéomorphisme universel.

Démonstration

Notons \(h : R \to X\) la composée de \(s\) (ou de \(t\)) avec \(g\). Alors \(h\) est propre par Morphismes d’espaces, Lemmes 04WP et 04XY. Les faisceaux \[g_*\mathcal{O}_Y \quad\text{et}\quad h_*\mathcal{O}_R\] sont des \(\mathcal{O}_X\)-algèbres cohérentes par Cohomologie des espaces, Lemme 08AR. Les \(X\)-morphismes \(s\), \(t\) induisent des homomorphismes de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres \(s^\sharp, t^\sharp\) de la première à la seconde. Posons \[\mathcal{A} = \text{Égalisateur}\left(s^\sharp, t^\sharp : g_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow h_*\mathcal{O}_R\right)\] Alors \(\mathcal{A}\) est une \(\mathcal{O}_X\)-algèbre cohérente et nous pouvons définir \[X' = \underline{\Spec}_X(\mathcal{A})\] comme dans Morphismes d’espaces, Définition 081W. Par Morphismes d’espaces, Remarque 081X et par fonctorialité de la construction \(\underline{\Spec}\) il existe une factorisation \[Y \longrightarrow X' \longrightarrow X\] et le morphisme \(g' : Y \to X'\) égalise \(s\) et \(t\).

Avant de montrer que \(X'\) est le coégalisateur de \(s\) et \(t\), nous montrons que \(Y \to X'\) et \(X' \to X\) ont les propriétés souhaitées. Puisque \(\mathcal{A}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent, il est clair que \(X' \to X\) est un morphisme fini d’espaces algébriques. Cela prouve (1). Le morphisme \(Y \to X'\) est propre d’après Morphismes d’espaces, Lemme 04NX. Cela prouve (2). Notons \(Y \to Y' \to X\), avec \(Y' = \underline{\Spec}_X(g_*\mathcal{O}_Y)\), la factorisation de Stein de \(g\) ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces, Théorème 0A1B. Bien sûr, nous obtenons des morphismes \(Y \to Y' \to X' \to X\) correspondant aux morphismes étudiés ci-dessus. Puisque \(\mathcal{O}_{X'} \subset g_*\mathcal{O}_Y\) est une extension finie, nous voyons que \(Y' \to X'\) est fini et surjectif. Quelques détails omis ; indice : utiliser Algèbre, Lemme 00GQ, et réduire au cas affine par localisation étale. Puisque \(Y \to Y'\) est surjectif (avec des fibres géométriquement connexes), nous concluons que \(Y \to X'\) est surjectif. Cela prouve (3). Pour montrer que \(X' \to X\) est universellement injectif, nous devons montrer que \(X' \to X' \times_X X'\) est surjectif, voir Morphismes d’espaces, Définition 03MV et Lemme 040X. Puisque \(Y \to X'\) est surjectif (voir ci-dessus) et que les changements de base et les compositions de morphismes surjectifs sont surjectifs d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03MH et 03MG, nous voyons que \(Y \times_X Y \to X' \times_X X'\) est surjectif. Cependant, puisque \(Y \to X'\) égalise \(s\) et \(t\), nous voyons que \(Y \times_X Y \to X' \times_X X'\) se factorise par \(X' \to X' \times_X X'\) et nous concluons que ce dernier morphisme est surjectif. Cela prouve (4). Enfin, si \(g\) est surjectif, alors puisque \(g\) se factorise par \(X' \to X\), nous voyons que \(X' \to X\) est surjectif. Comme un morphisme surjectif, universellement injectif et fini est un homéomorphisme universel (car il est universellement bijectif et universellement fermé), cela prouve (5).

Dans le reste de la preuve, nous montrons que \(Y \to X'\) est le coégalisateur de \(s\) et \(t\) dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\). Observons que \(X'\) est localement noethérien (Morphismes d’espaces, Lemme 04ZK). Observons aussi que \(Y \times_{X'} Y \to Y \times_X Y\) est un isomorphisme car \(Y \to X'\) égalise \(s\) et \(t\) (c’est une assertion catégorique). Ainsi, afin de prouver que \(Y \to X'\) est le coégalisateur de \(s\) et \(t\), nous pouvons supposer, et supposons, que \(X = X'\). En d’autres termes, \(\mathcal{O}_X\) est l’égaliseur des morphismes \(s^\sharp, t^\sharp : g_*\mathcal{O}_Y \to h_*\mathcal{O}_R\).

Soit \(X_1 \to X\) un morphisme plat d’espaces algébriques sur \(S\) avec \(X_1\) localement noethérien. Notons \(g_1 : Y_1 \to X_1\), \(h_1 : R_1 \to X_1\) et \(s_1, t_1 : R_1 \to Y_1\) les changements de base de \(g, h, s, t\) à \(X_1\). Bien sûr, \(g_1\) est propre et \(R_1 = Y_1 \times_{X_1} Y_1\). Par le théorème de changement de base plat pour les images directes de modules quasi-cohérents, Cohomologie des espaces, Lemme 073K, nous voyons que \(\mathcal{O}_{X_1}\) est l’égaliseur des morphismes \(s_1^\sharp, t_1^\sharp : g_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1} \to h_{1, *}\mathcal{O}_{R_1}\). Ainsi, toutes les hypothèses que nous avons sont préservées par ce changement de base.

À ce stade, nous allons vérifier les conditions (1) et (2) du Lemme 0GHL. La condition (1) suit du Lemme 0GG0 et du fait que \(g\) est propre et surjectif (parce que \(X = X'\)). Pour vérifier la condition (2), compte tenu des remarques sur le changement de base ci-dessus, nous revenons à l’énoncé discuté et prouvé dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(S = \Spec(A)\) soit un schéma affine, que \(X = X'\) soit un schéma affine, et que \(Z\) soit un schéma affine sur \(S\). Nous devons montrer que \[\Mor_S(X, Z) \longrightarrow \text{Égalisateur}(s, t : \Mor_S(Y, Z) \to \Mor_S(R, Z))\] est bijectif. Cela est toutefois clair puisque \(X = X'\), ce qui implique que \(\mathcal{O}_X\) est l’égaliseur des morphismes \(s^\sharp, t^\sharp : g_*\mathcal{O}_Y \to h_*\mathcal{O}_R\), et entraîne à son tour \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = \text{Égalisateur}\left( s^\sharp, t^\sharp : \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \to \Gamma(R, \mathcal{O}_R) \right)\]. En effet, nous avons \[\Mor_S(X, Z) = \Hom_A(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z), \Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] et de même pour \(Y\) et \(R\), voir Propriétés des espaces, Lemme 05Z1.

Nous travaillerons dans la situation suivante.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(Z \to X\) une immersion fermée et soit \(U \subset X\) le sous-espace ouvert complémentaire. Enfin, soit \(f : X' \to X\) un morphisme propre d’espaces algébriques tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme.

Lemme

Dans la situation 0AGH, soit \(Y = X' \amalg Z\) et \(R = Y \times_X Y\) avec des projections \(t, s : R \to Y\). Il existe un coégalisateur \(X_1\) de \(s, t : R \to Y\) dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\). Le morphisme \(X_1 \to X\) est un homéomorphisme universel fini, un isomorphisme sur \(U\), et \(Z \to X\) admet un relèvement à \(X_1\).

Démonstration

L’existence de \(X_1\) et le fait que \(X_1 \to X\) est un homéomorphisme universel fini sont un cas particulier du Lemme 0AGG. La formation de \(X_1\) commute avec la localisation étale sur \(X\) (voir la preuve du Lemme 0AGG). Ainsi, le morphisme \(X_1 \to X\) est un isomorphisme sur \(U\). Il résulte immédiatement de la construction que \(Z \to X\) admet un relèvement à \(X_1\).

Dans la situation 0AGH pour \(n \geq 1\), soit \(Z_n \subset X\) le voisinage infinitésimal d’ordre \(n\) de \(Z\) dans \(X\), c’est-à-dire le sous-espace fermé défini par la \(n\)-ième puissance du faisceau d’idéaux coupant \(Z\). Considérons \(Y_n = X' \amalg Z_n\) et \(R_n = Y_n \times_X Y_n\) et le coégalisateur \[\xymatrix{ R_n \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & Y_n \ar[r] & X_n \ar[r] & X }\] comme dans le Lemme 0AGI. Les morphismes \(Y_n \to Y_{n + 1}\) et \(R_n \to R_{n + 1}\) induisent des morphismes [0AGJ]\[\begin{equation} X_1 \to X_2 \to X_3 \to \ldots \to X \end{equation}\] Chacun de ces morphismes est un homéomorphisme universel puisque les morphismes \(X_n \to X\) sont des homéomorphismes universels.

Lemme

Dans la situation 0AGH, supposons que \(X\) soit quasi-compact. Dans (0AGJ), pour tout \(n\) suffisamment grand, il existe un entier \(m\) tel que \(X_n \to X_{n + m}\) se factorise par une immersion fermée \(X \to X_{n + m}\).

Démonstration

Examinons de plus près la construction de \(X_n\) et comment elle change lorsque nous augmentons \(n\). Nous avons \(X_n = \underline{\Spec}(\mathcal{A}_n)\) où \(\mathcal{A}_n\) est l’égaliseur de \(s_n^\sharp\) et \(t_n^\sharp\) allant de \(g_{n, *}\mathcal{O}_{Y_n}\) à \(h_{n, *}\mathcal{O}_{R_n}\). Ici \(g_n : Y_n = X' \amalg Z_n \to X\) et \(h_n : R_n = Y_n \times_X Y_n \to X\) sont les morphismes donnés. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau cohérent d’idéaux correspondant à \(Z\). Alors \[g_{n, *}\mathcal{O}_{Y_n} = f_*\mathcal{O}_{X'} \times \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\] De même, nous avons une décomposition \[R_n = X' \times_X X' \amalg X' \times_X Z_n \amalg Z_n \times_X X' \amalg Z_n \times_X Z_n\] Comme \(Z_n \to X\) est un monomorphisme, nous voyons que \(X' \times_X Z_n = Z_n \times_X X'\) et que cette identification est compatible avec les deux morphismes vers \(X\), avec les deux morphismes vers \(X'\), et avec les deux morphismes vers \(Z_n\). Notons \(f_n : X' \times_X Z_n \to X\) le morphisme vers \(X\). Posons \[\mathcal{A} = \text{Égalisateur}( \xymatrix{ f_*\mathcal{O}_{X'} \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & (f \times f)_*\mathcal{O}_{X' \times_X X'} } )\] Par les remarques ci-dessus, nous trouvons que \[\mathcal{A}_n = \text{Égalisateur}( \xymatrix{ \mathcal{A} \times \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & f_{n, *}\mathcal{O}_{X' \times_X Z_n} } )\] Nous avons des morphismes canoniques \[\mathcal{O}_X \to \ldots \to \mathcal{A}_3 \to \mathcal{A}_2 \to \mathcal{A}_1\] de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres cohérentes. L’énoncé du lemme signifie que pour \(n\) suffisamment grand, il existe un \(m \geq 0\) tel que l’image de \(\mathcal{A}_{n + m} \to \mathcal{A}_n\) soit isomorphe à \(\mathcal{O}_X\). Cette assertion se vérifie localement pour la topologie étale sur \(X\). Ainsi, d’après Propriétés des espaces, Lemme 03H6 nous pouvons supposer que \(X\) est un schéma noethérien affine.

Puisque \(X_n \to X\) est un isomorphisme sur \(U\), nous voyons que le noyau de \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}_n\) est supporté sur \(|Z|\). Puisque \(X\) est noethérien, la suite des noyaux \(\mathcal{J}_n = \Ker(\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}_n)\) se stabilise (Cohomologie des espaces, Lemme 07UJ). Écrivons \(\mathcal{J}_{n_0} = \mathcal{J}_{n_0 + 1} = \ldots = \mathcal{J}\). D’après Cohomologie des espaces, Lemme 07UK nous trouvons que \(\mathcal{I}^t \mathcal{J} = 0\) pour un entier \(t \geq 0\). D’autre part, il existe un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres \(\mathcal{A}_n \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n\) et donc \(\mathcal{J} \subset \mathcal{I}^n\) pour tout \(n\). Par Artin-Rees (Cohomologie des espaces, Lemme 07UL), nous trouvons que \(\mathcal{J} \cap \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - c}\mathcal{J}\) pour un entier \(c \geq 0\) et tout \(n \gg 0\). Nous concluons que \(\mathcal{J} = 0\).

Choisissons \(n \geq n_0\) comme dans le paragraphe précédent. Ensuite \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}_n\) est injectif. Par conséquent, il suffit maintenant de trouver \(m \geq 0\) tel que l’image de \(\mathcal{A}_{n + m} \to \mathcal{A}_n\) soit égale à l’image de \(\mathcal{O}_X\). Observons que \(\mathcal{A}_n\) s’insère dans une suite exacte courte \[0 \to \Ker(\mathcal{A} \to f_{n, *}\mathcal{O}_{X' \times_X Z_n}) \to \mathcal{A}_n \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I}^n \to 0\] et de même pour \(\mathcal{A}_{n + m}\). Par conséquent, il suffit de montrer \[\Ker(\mathcal{A} \to f_{n + m, *}\mathcal{O}_{X' \times_X Z_{n + m}}) \subset \Im(\mathcal{I}^n \to \mathcal{A})\] pour un entier \(m \geq 0\). Pour ce faire, nous pouvons travailler étale localement sur \(X\) et puisque \(X\) est noethérien, nous pouvons supposer que \(X\) est un schéma affine noethérien. Écrivons \(X = \Spec(R)\) et \(\mathcal{I}\) correspond à l’idéal \(I \subset R\). Soit \(\mathcal{A} = \widetilde{A}\) pour une \(R\)-algèbre finie \(A\). Soit \(f_*\mathcal{O}_{X'} = \widetilde{B}\) pour une \(R\)-algèbre finie \(B\). Alors \(R \to A \subset B\) et ces homomorphismes deviennent des isomorphismes en inversant n’importe quel élément de \(I\).

Notons que \(f_{n, *}\mathcal{O}_{X' \times_X Z_n}\) est égal à \(f_*(\mathcal{O}_{X'}/I^n\mathcal{O}_{X'})\) dans la notation utilisée dans Cohomologie des espaces, section 08AU. D’après la Cohomologie des espaces, Lemme 08AY nous voyons qu’il existe un entier \(c \geq 0\) tel que \[\Ker(B \to \Gamma(X, f_*(\mathcal{O}_{X'}/I^{n + m + c}\mathcal{O}_{X'}))\] est contenu dans \(I^{n + m}B\). D’autre part, comme \(R \to B\) est fini et un isomorphisme après inversion de tout élément de \(I\) nous voyons que \(I^{n + m}B \subset \Im(I^n \to B)\) pour \(m\) assez grand (peut être choisi indépendamment de \(n\)). Cela termine la preuve puisque \(A \subset B\).

Remarque

La signification du Lemme 0AGK est que le système \(X_1 \to X_2 \to X_3 \to \ldots\) est essentiellement constant de valeur \(X\). Voir Catégories, Définition 05PU.

Compactifications

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 0F3T. Le théorème de cette section est le théorème principal de [CLO].

Soit \(B\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur un schéma de base \(S\). Nous dirons qu’un espace algébrique \(X\) sur \(B\) a une compactification sur \(B\) ou est compactifiable sur \(B\) s’il existe une immersion ouverte quasi-compacte \(X \to \overline{X}\) dans un espace algébrique \(\overline{X}\) propre sur \(B\). Si \(X\) a une compactification sur \(B\), alors \(X \to B\) est séparé et de type fini. Le théorème principal de cette section est que la réciproque est également vraie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \((U \subset X, f : V \to X)\) est un carré distingué élémentaire tel que \(U \to Y\) et \(V \to Y\) soient séparés et que \(U \times_X V \to U \times_Y V\) soit fermé, alors \(X \to Y\) est séparé.

Démonstration

Nous devons vérifier que \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est une immersion fermée. Il existe un recouvrement étale de \(X \times_Y X\) donné par les quatre composantes \(U \times_Y U\), \(U \times_Y V\), \(V \times_Y U\) et \(V \times_Y V\). Observons que \((U \times_Y U) \times_{(X \times_Y X), \Delta} X = U\), \((U \times_Y V) \times_{(X \times_Y X), \Delta} X = U \times_X V\), \((V \times_Y U) \times_{(X \times_Y X), \Delta} X = V \times_X U\) et \((V \times_Y V) \times_{(X \times_Y X), \Delta} X = V\). Ainsi, les hypothèses du lemme nous disent exactement que \(\Delta\) est une immersion fermée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact.

Si \(Z_1, Z_2 \subset X\) sont des sous-espaces fermés de présentation finie tels que \(Z_1 \cap Z_2 \cap U = \emptyset\), alors il existe un éclatement \(U\)-admissible \(X' \to X\) tel que les transformées strictes de \(Z_1\) et \(Z_2\) soient disjointes.

Si \(T_1, T_2 \subset |U|\) sont des sous-ensembles constructibles fermés disjoints, alors il existe un éclatement \(U\)-admissible \(X' \to X\) tel que les adhérences de \(T_1\) et \(T_2\) soient disjointes.

Démonstration

Preuve de (1). L’hypothèse que \(Z_i \to X\) est de présentation finie signifie que le faisceau d’idéaux quasi-cohérent \(\mathcal{I}_i\) de \(Z_i\) est de type fini, voir Morphismes d’espaces, Lemme 084Q. Notons \(Z \subset X\) le sous-espace fermé défini par le produit \(\mathcal{I}_1 \mathcal{I}_2\). Observons que \(Z \cap U\) est la réunion disjointe de \(Z_1 \cap U\) et \(Z_2 \cap U\). D’après Diviseurs sur les espaces, Lemme 086F il existe un éclatement \(U \cap Z\)-admissible \(Z' \to Z\) tel que les transformées strictes de \(Z_1\) et \(Z_2\) soient disjointes. Notons \(Y \subset Z\) le centre de cet éclatement. Alors \(Y \to X\) est une immersion fermée de présentation finie comme composée de \(Y \to Z\) et \(Z \to X\) (Diviseurs sur les espaces, Définition 086B et Morphismes d’espaces, Lemme 03XQ). Ainsi, l’éclatement \(X' \to X\) de \(Y\) est un éclatement \(U\)-admissible. D’après les propriétés générales des transformées strictes, les transformées strictes de \(Z_1\) et \(Z_2\) par rapport à \(X' \to X\) sont les mêmes que leurs transformées strictes par rapport à \(Z' \to Z\), voir Diviseurs sur les espaces, Lemme 0864. Ainsi, (1) est démontré.

Preuve de (2). Par Limites d’espaces, Lemme 0855 il existe un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini \(\mathcal{J}_i \subset \mathcal{O}_U\) tel que \(T_i = V(\mathcal{J}_i)\) (au sens ensembliste). Par Limites d’espaces, Lemme 0853 il existe un faisceau quasi-cohérent d’idéaux de type fini \(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_X\) dont la restriction à \(U\) est \(\mathcal{J}_i\). Appliquons le résultat de la partie (1) aux sous-espaces fermés \(Z_i = V(\mathcal{I}_i)\) pour conclure.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\). Soit \(V \subset Y\) un ouvert quasi-compact et \(U = f^{-1}(V)\). Soit \(T \subset |V|\) un sous-ensemble fermé tel que \(f|_U : U \to V\) soit un isomorphisme sur un voisinage ouvert de \(T\) dans \(V\). Alors il existe un éclatement \(V\)-admissible \(Y' \to Y\) tel que la transformée stricte \(f' : X' \to Y'\) de \(f\) soit un isomorphisme sur un voisinage ouvert de l’adhérence de \(T\) dans \(|Y'|\).

Démonstration

Soit \(T' \subset |V|\) le complément de l’ouvert maximal sur lequel \(f|_U\) est un isomorphisme. Alors \(T', T\) sont fermés dans \(|V|\) et \(T \cap T' = \emptyset\). Comme \(|V|\) est un espace topologique spectral (Propriétés des espaces, Lemme 0A4G) nous pouvons trouver des sous-ensembles constructibles fermés \(T_c, T'_c\) de \(|V|\) avec \(T \subset T_c\), \(T' \subset T'_c\) tels que \(T_c \cap T'_c = \emptyset\) (choisir un ouvert quasi-compact \(W\) de \(|V|\) qui contient \(T'\) et ne rencontre pas \(T\) et poser \(T_c = |V| \setminus W\), puis choisir un ouvert quasi-compact \(W'\) de \(|V|\) qui contient \(T_c\) et ne rencontre pas \(T'\) et poser \(T'_c = |V| \setminus W'\)). D’après le Lemme 0F46 nous pouvons, après avoir remplacé \(Y\) par un éclatement \(V\)-admissible, supposer que \(T_c\) et \(T'_c\) ont des adhérences disjointes dans \(|Y|\). Soit \(Y_0\) le sous-espace ouvert de \(Y\) correspondant à l’ouvert \(|Y| \setminus \overline{T}'_c\) et posons \(V_0 = V \cap Y_0\), \(U_0 = U \times_V V_0\) et \(X_0 = X \times_Y Y_0\). Comme \(U_0 \to V_0\) est un isomorphisme, nous pouvons trouver un éclatement \(V_0\)-admissible \(Y'_0 \to Y_0\) tel que la transformée stricte \(X'_0\) de \(X_0\) s’envoie isomorphiquement sur \(Y'_0\), voir Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 087F. D’après Diviseurs sur les espaces, Lemme 086D il existe un éclatement \(V\)-admissible \(Y' \to Y\) dont la restriction à \(Y_0\) est \(Y'_0 \to Y_0\). Si \(f' : X' \to Y'\) désigne la transformée stricte de \(f\), alors l’assertion voulue est vraie puisque \(f'\) se restreint à un isomorphisme sur \(Y'_0\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & U \ar[l] \ar[d]_{f|_U} & A \ar[d] \ar[l] \\ Y & V \ar[l] & B \ar[l] }\] d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\). Supposons que

\(f\) soit propre,

\(V\) soit un ouvert quasi-compact de \(Y\), \(U = f^{-1}(V)\),

\(B \subset V\) et \(A \subset U\) soient des sous-espaces fermés,

\(f|_A : A \to B\) soit un isomorphisme, et que \(f\) soit étale en chaque point de \(A\).

Alors il existe un éclatement \(V\)-admissible \(Y' \to Y\) tel que la transformée stricte \(f' : X' \to Y'\) ait la propriété suivante : pour chaque point géométrique \(\overline{a}\) de l’adhérence de \(|A|\) dans \(|X'|\) il existe un quotient \(\mathcal{O}_{X', \overline{a}} \to \mathcal{O}\) tel que \(\mathcal{O}_{Y', f'(\overline{a})} \to \mathcal{O}\) soit fini et plat.

Comme le montre la preuve, un résultat plus fort est vrai, mais cet énoncé, déjà assez long, suffira par la suite.

Démonstration

Soit \(T' \subset |U|\) le complément de l’ouvert maximal sur lequel \(f|_U\) est étale. Alors \(T'\) est fermé dans \(|U|\) et disjoint de \(|A|\). Comme \(|U|\) est un espace topologique spectral (Propriétés des espaces, Lemme 0A4G) nous pouvons trouver des sous-ensembles constructibles fermés \(T_c, T'_c\) de \(|U|\) avec \(|A| \subset T_c\), \(T' \subset T'_c\) tels que \(T_c \cap T'_c = \emptyset\) (voir la preuve du Lemme 0F47). D’après le Lemme 0F46 il existe un éclatement \(U\)-admissible \(X_1 \to X\) tel que \(T_c\) et \(T'_c\) aient des adhérences disjointes dans \(|X_1|\). Soit \(X_{1, 0}\) le sous-espace ouvert de \(X_1\) correspondant à l’ouvert \(|X_1| \setminus \overline{T}'_c\) et posons \(U_0 = U \cap X_{1, 0}\). Remarquons que l’image schématique \(\overline{A}_1 \subset X_1\) de \(A\) est contenue dans \(X_{1, 0}\) par construction.

Après avoir remplacé \(Y\) par un éclatement \(V\)-admissible et pris les transformées strictes, nous pouvons supposer que \(X_{1, 0} \to Y\) est plat, quasi-fini et de présentation finie, voir Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemmes 087E et 0878. Considérons le diagramme commutatif \[\vcenter{ \xymatrix{ X_1 \ar[rr] \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ & Y } } \quad\text{et le diagramme}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \overline{A}_1 \ar[rr] \ar[rd] & & \overline{A} \ar[ld] \\ & \overline{B} } }\] d’images schématiques. Le morphisme \(\overline{A}_1 \to \overline{A}\) est surjectif : comme il est propre, l’image schématique de \(\overline{A}_1 \to \overline{A}\) est \(\overline{A}\), et nous pouvons alors appliquer Morphismes d’espaces, Lemme 0AGD. L’énoncé sur les anneaux locaux strictement henséliens s’obtient en relevant le point géométrique \(\overline{a}\) en un point géométrique \(\overline{a}_1\) de \(\overline{A}_1\) et en posant \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{X_1, \overline{a}_1}\). En effet, puisque \(X_1 \to Y\) est plat et quasi-fini sur \(X_{1, 0} \supset \overline{A}_1\), l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{Y', f'(\overline{a})} \to \mathcal{O}_{X_1, \overline{a}_1}\) est fini et plat, voir Algèbre, Lemme 05WR et 04GG.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to B\) et \(Y \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert. Soit \(V \to X \times_B Y\) un morphisme quasi-compact dont la composée avec la première projection a son image dans \(U\). Soit \(Z \subset X \times_B Y\) l’image schématique de \(V \to X \times_B Y\). Soit \(X' \to X\) un éclatement \(U\)-admissible. Alors l’image schématique de \(V \to X' \times_B Y\) est la transformée stricte de \(Z\) par rapport à cet éclatement.

Démonstration

Notons \(Z' \to Z\) la transformée stricte. Le morphisme \(Z' \to X'\) induit un morphisme \(Z' \to X' \times_B Y\) qui est une immersion fermée (car \(Z'\) est un sous-espace fermé de \(X' \times_X Z\) par définition). Ainsi, pour terminer la preuve, il suffit de montrer que l’image schématique \(Z''\) de \(V \to Z'\) est \(Z'\). Observons que \(Z'' \subset Z'\) est un sous-espace fermé tel que \(V \to Z'\) se factorise par \(Z''\). Comme \(V \to X \times_B Y\) et \(V \to X' \times_B Y\) sont tous deux quasi-compacts (pour le second, cela découle de Morphismes d’espaces, Lemme 03KS et du fait que \(X' \times_B Y \to X \times_B Y\) est séparé comme un changement de base d’un morphisme propre), d’après Morphismes d’espaces, Lemme 082Z nous voyons que \(Z \cap (U \times_B Y) = Z'' \cap (U \times_B Y)\). Ainsi, le morphisme d’inclusion \(Z'' \to Z'\) est un isomorphisme loin du diviseur exceptionnel \(E\) de \(Z' \to Z\). Cependant, le faisceau structural de \(Z'\) n’a pas de sections non nulles supportées sur \(E\) (par définition des transformées strictes) et nous concluons que la surjection \(\mathcal{O}_{Z'} \to \mathcal{O}_{Z''}\) doit être un isomorphisme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(U\) un espace algébrique de type fini et séparé sur \(B\). Soit \(V \to U\) un morphisme étale. Si \(V\) possède une compactification \(V \subset Y\) sur \(B\), alors il existe un éclatement \(V\)-admissible \(Y' \to Y\) et un ouvert \(V \subset V' \subset Y'\) tel que \(V \to U\) s’étende en un morphisme propre \(V' \to U\).

Démonstration

Considérons l’image schématique \(Z \subset Y \times_B U\) du morphisme “diagonal” \(V \to Y \times_B U\). Si nous remplaçons \(Y\) par un éclatement \(V\)-admissible, alors \(Z\) est remplacé par la transformée stricte par rapport à cet éclatement, voir Lemme 0F49. Ainsi, d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 087F, nous pouvons supposer que \(Z \to Y\) est une immersion ouverte. Si \(V' \subset Y\) désigne l’image, alors nous voyons que le morphisme induit \(V' \to U\) est propre car la projection \(Y \times_B U \to U\) est propre et \(V' \cong Z\) est un sous-espace fermé de \(Y \times_B U\).

Le lemme suivant est formulé pour des espaces algébriques séparés de type fini sur un espace algébrique de type fini sur \(\mathbf{Z}\). La version pour les espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés est également vraie (avec essentiellement la même démonstration), mais sera trivialement impliquée par le théorème principal de cette section. Nous encourageons vivement le lecteur à lire d’abord la démonstration de ce lemme dans le cas des schémas.

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Soit \(U\) un espace algébrique de type fini et séparé sur \(B\). Soit \((U_2 \subset U, f : U_1 \to U)\) un carré distingué élémentaire. Supposons que \(U_1\) et \(U_2\) possèdent des compactifications sur \(B\) et que \(U_1 \times_U U_2 \to U\) ait une image dense. Alors \(U\) a une compactification sur \(B\).

Démonstration

Choisissons une compactification \(U_i \subset X_i\) sur \(B\) pour \(i = 1, 2\). Nous pouvons supposer que \(U_i\) est schématiquement dense dans \(X_i\). Nous pouvons supposer qu’il existe un ouvert \(V_i \subset X_i\) et un morphisme propre \(\psi_i : V_i \to U\) prolongeant \(U_i \to U\), voir le Lemme 0F4A. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & V_i \ar[r] \ar[dl]^{\psi_i} & X_i \\ U }\] Notons \(Z_1 \subset U\) le sous-espace fermé réduit correspondant au sous-ensemble fermé \(|U| \setminus |U_2|\). Rappelons que \(f^{-1}Z_1\) est un sous-espace fermé de \(U_1\) s’envoyant isomorphiquement sur \(Z_1\). Notons \(Z_2 \subset U\) le sous-espace fermé réduit correspondant au sous-ensemble fermé \(|U| \setminus \Im(|f|) = |U_2| \setminus \Im(|U_1 \times_U U_2| \to |U_2|)\). Ainsi nous avons \[U = U_2 \amalg Z_1 = Z_2 \amalg \Im(f) = Z_2 \amalg \Im(U_1 \times_U U_2 \to U_2) \amalg Z_1\] au sens ensembliste. Notons \(Z_{i, i} \subset V_i\) l’image inverse de \(Z_i\) par \(\psi_i\). Observons que \(\psi_2\) est un isomorphisme sur un voisinage ouvert de \(Z_2\). Observons que \(Z_{1, 1} = \psi_1^{-1}Z_1 = f^{-1}Z_1 \amalg T\) pour un certain sous-espace fermé \(T \subset V_1\) disjoint de \(f^{-1}Z_1\) et que \(\psi_1\) est en outre étale le long de \(f^{-1}Z_1\). Notons \(Z_{i, j} \subset V_i\) l’image inverse de \(Z_j\) par \(\psi_i\). Observons que \(\psi_i : Z_{i, j} \to Z_j\) est un morphisme propre. Puisque \(Z_i\) et \(Z_j\) sont des sous-espaces fermés disjoints de \(U\), on voit que \(Z_{i, i}\) et \(Z_{i, j}\) sont des sous-espaces fermés disjoints de \(V_i\).

Notons \(\overline{Z}_{i, i}\) et \(\overline{Z}_{i, j}\) les images schématiques de \(Z_{i, i}\) et \(Z_{i, j}\) dans \(X_i\). Rappelons que \(|Z_{i, j}|\) est dense dans \(|\overline{Z}_{i, j}|\), voir Morphismes d’espaces, Lemme 088G. Après avoir remplacé \(X_i\) par un éclatement \(V_i\)-admissible, nous pouvons supposer que \(\overline{Z}_{i, i}\) et \(\overline{Z}_{i, j}\) sont disjoints, voir Lemme 0F46. Nous supposons que cela vaut pour \(X_1\) et \(X_2\). Remarquons que cette propriété est préservée si nous remplaçons \(X_i\) par un autre éclatement \(V_i\)-admissible. Par conséquent, nous pouvons remplacer \(X_1\) par un autre éclatement \(V_1\)-admissible et supposer que \(|\overline{Z}_{1, 1}|\) est la réunion disjointe des adhérences de \(|T|\) et \(|f^{-1}Z_1|\) dans \(|X_1|\).

Soit \(V_{12} = V_1 \times_U V_2\). Nous avons une immersion \(V_{12} \to X_1 \times_B X_2\) qui est la composée de l’immersion fermée \(V_{12} = V_1 \times_U V_2 \to V_1 \times_B V_2\) (Morphismes d’espaces, Lemme 03KN) et de l’immersion ouverte \(V_1 \times_B V_2 \to X_1 \times_B X_2\). Soit \(X_{12} \subset X_1 \times_B X_2\) l’image schématique de \(V_{12} \to X_1 \times_B X_2\). Les morphismes de projection \[p_1 : X_{12} \to X_1 \quad\text{et}\quad p_2 : X_{12} \to X_2\] sont propres car \(X_1\) et \(X_2\) sont propres sur \(B\). Si nous remplaçons \(X_1\) par un éclatement \(V_1\)-admissible, alors \(X_{12}\) est remplacé par la transformée stricte par rapport à cet éclatement, voir Lemme 0F49.

Notons \(\psi : V_{12} \to U\) les composées \(\psi = \psi_1 \circ p_1|_{V_{12}} = \psi_2 \circ p_2|_{V_{12}}\). Considérons le sous-espace fermé \[Z_{12, 2} = (p_1|_{V_{12}})^{-1}Z_{1, 2} = (p_2|_{V_{12}})^{-1}Z_{2, 2} = \psi^{-1}Z_2 \subset V_{12}\]. Le morphisme \(p_1|_{V_{12}} : V_{12} \to V_1\) est un isomorphisme sur un voisinage ouvert de \(Z_{1, 2}\) parce que \(\psi_2 : V_2 \to U\) est un isomorphisme sur un voisinage ouvert de \(Z_2\) et \(V_{12} = V_1 \times_U V_2\). Par le Lemme 0F47 il existe un éclatement \(V_1\)-admissible \(X_1' \to X_1\) tel que la transformée stricte \(p'_1 : X'_{12} \to X'_1\) de \(p_1\) soit un isomorphisme sur un voisinage ouvert de l’adhérence de \(|Z_{1, 2}|\) dans \(|X'_1|\). Après avoir remplacé \(X_1\) par \(X'_1\) et \(X_{12}\) par \(X'_{12}\) nous pouvons supposer que \(p_1\) est un isomorphisme sur un voisinage ouvert de \(|\overline{Z}_{1, 2}|\).

Le résultat du paragraphe précédent nous dit que \[X_{12} \cap (\overline{Z}_{1, 2} \times_B \overline{Z}_{2, 1}) = \emptyset\] où l’intersection est prise dans \(X_1 \times_B X_2\). En effet, l’image inverse \(p_1^{-1}\overline{Z}_{1, 2}\) dans \(X_{12}\) s’envoie isomorphiquement à \(\overline{Z}_{1, 2}\). En particulier, nous voyons que \(|Z_{12, 2}|\) est dense dans \(|p_1^{-1}\overline{Z}_{1, 2}|\). Ainsi, \(p_2\) envoie \(|p_1^{-1}\overline{Z}_{1, 2}|\) dans \(|\overline{Z}_{2, 2}|\). Puisque \(|\overline{Z}_{2, 2}| \cap |\overline{Z}_{2, 1}| = \emptyset\) nous concluons.

Il s’avère que nous devons effectuer un éclatement supplémentaire avant de pouvoir conclure l’argument. En effet, soit \(V_2 \subset W_2 \subset X_2\) le sous-espace ouvert dont l’espace topologique sous-jacent est \[|W_2| = |V_2| \cup (|X_2| \setminus |\overline{Z}_{2, 1}|) = |X_2| \setminus \left(|\overline{Z}_{2, 1}| \setminus |Z_{2, 1}|\right)\]. Puisque \(p_2(p_1^{-1}\overline{Z}_{1, 2})\) est contenu dans \(W_2\) (voir ci-dessus), nous voyons que remplacer \(X_2\) par un éclatement \(W_2\)-admissible et \(X_{21}\) par la transformée stricte correspondante préserve la propriété de \(p_1\) d’être un isomorphisme sur un voisinage ouvert de \(\overline{Z}_{1, 2}\). Puisque \(\overline{Z}_{2, 1} \cap W_2 = \overline{Z}_{2, 1} \cap V_2 = Z_{2, 1}\), nous voyons que \(Z_{2, 1}\) est un sous-espace fermé de \(W_2\) et \(V_2\). Remarquons que \(V_{12} = V_1 \times_U V_2 = p_1^{-1}(V_1) = p_2^{-1}(V_2)\) comme sous-espaces ouverts de \(X_{12}\) puisqu’il s’agit du plus grand sous-espace ouvert de \(X_{12}\) sur lequel le morphisme \(\psi : V_{12} \to U\) se prolonge ; détails omis⁴. Nous avons les égalités suivantes de sous-espaces fermés de \(V_{12}\) : \[p_2^{-1}Z_{2, 1} = p_2^{-1} \psi_2^{-1} Z_1 = p_1^{-1} \psi_1^{-1} Z_1= p_1^{-1}Z_{1, 1} = p_1^{-1}f^{-1}Z_1 \amalg p_1^{-1}T\]. Ici et ci-dessous, nous utilisons le léger abus de notation consistant à écrire \(p_2\) au lieu de la restriction de \(p_2\) à \(V_{12}\), etc. Puisque \(p_2^{-1}(Z_{2, 1})\) est un sous-espace fermé de \(p_2^{-1}(W_2)\) et que \(Z_{2, 1}\) est un sous-espace fermé de \(W_2\), nous concluons que \(p_1^{-1}f^{-1}Z_1\) est également un sous-espace fermé de \(p_2^{-1}(W_2)\). Enfin, le morphisme \(p_2 : X_{12} \to X_2\) est étale aux points de \(p_1^{-1}f^{-1}Z_1\) car \(\psi_1\) est étale le long de \(f^{-1}Z_1\) et \(V_{12} = V_1 \times_U V_2\). Ainsi, nous pouvons appliquer le Lemme 0F48 au morphisme \(p_2 : X_{12} \to X_2\), à l’ouvert \(W_2\), au sous-espace fermé \(Z_{2, 1} \subset W_2\) et au sous-espace fermé \(p_1^{-1}f^{-1}Z_1 \subset p_2^{-1}(W_2)\). Par conséquent, après avoir remplacé \(X_2\) par un éclatement \(W_2\)-admissible et \(X_{12}\) par la transformée stricte correspondante, nous obtenons pour chaque point géométrique \(\overline{y}\) de l’adhérence de \(|p_1^{-1}f^{-1}Z_1|\) un homomorphisme local d’anneaux \(\mathcal{O}_{X_{12}, \overline{y}} \to \mathcal{O}\) tel que \(\mathcal{O}_{X_2, p_2(\overline{y})} \to \mathcal{O}\) soit fini et plat.

Considérons l’espace algébrique \[W_2 = U \coprod\nolimits_{U_2} (X_2 \setminus \overline{Z}_{2, 1}),\] et, avec \(T \subset V_1\) comme dans le premier paragraphe, l’espace algébrique \[W_1 = U \coprod\nolimits_{U_1} (X_1 \setminus \overline{Z}_{1, 2} \cup \overline{T}),\] Ces deux espaces sont obtenus par somme amalgamée, voir Lemme 0DVJ. Appliquons le Lemme 0F45 pour voir que \(W_i \to B\) est séparé. Tout d’abord, \(U \to B\) et \(X_i \to B\) sont séparés. Vérifions que l’immersion quasi-compacte \(U_i \to U \times_B (X_i \setminus \overline{Z}_{i, j})\) est fermée en utilisant le critère valuatif, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03KA. Choisissons un anneau de valuation \(A\) sur \(B\) avec corps des fractions \(K\) et morphismes compatibles \((u, x_i) : \Spec(A) \to U \times_B X_i\) et \(u_i : \Spec(K) \to U_i\). Puisque \(\psi_i\) est propre, nous pouvons trouver un unique \(v_i : \Spec(A) \to V_i\) compatible avec \(u\) et \(u_i\). Puisque \(X_i\) est propre sur \(B\) nous voyons que \(x_i = v_i\). Si \(v_i\) ne se factorise pas par \(U_i \subset V_i\), alors nous concluons que \(x_i\) envoie le point fermé de \(\Spec(A)\) dans \(Z_{i, j}\) ou \(T\) lorsque \(i = 1\). Cela termine la démonstration car nous avons supprimé \(\overline{Z}_{i, j}\) et \(\overline{T}\) dans la construction de \(W_i\).

D’autre part, pour tout anneau de valuation \(A\) sur \(B\) avec corps des fractions \(K\) et tout morphisme \[\gamma : \Spec(K) \to \Im(U_1 \times_U U_2 \to U)\] sur \(B\), nous affirmons qu’après avoir remplacé \(A\) par une extension d’anneaux de valuation, il existe un \(i\) et un prolongement de \(\gamma\) en un morphisme \(h_i : \Spec(A) \to W_i\). En effet, nous étendons d’abord \(\gamma\) à un morphisme \(g_2 : \Spec(A) \to X_2\) en utilisant le critère valuatif de propreté. Si l’image de \(g_2\) ne rencontre pas \(\overline{Z}_{2, 1}\), alors nous obtenons notre morphisme vers \(W_2\). Sinon, notons \(\overline{z} \in \overline{Z}_{2, 1}\) un point géométrique situé au-dessus de l’image par \(g_2\) du point fermé. Nous pouvons le relever en un point géométrique \(\overline{y}\) de \(X_{12}\) dans l’adhérence de \(|p_1^{-1}f^{-1}Z_1|\) car l’application continue \(|p_1^{-1}f^{-1}Z_1| \to |\overline{Z}_{2, 1}|\) est fermée, avec une image contenant l’ouvert dense \(|Z_{2, 1}|\). Après avoir remplacé \(A\) par sa hensélisation stricte (Compléments d’algèbre, Lemme 0ASK), nous obtenons le diagramme suivant \[\xymatrix{ A \ar@{..>}[rr] & & A' \\ \mathcal{O}_{X_2, \overline{z}} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{O}_{X_{12}, \overline{y}} \ar[r] & \mathcal{O} \ar@{..>}[u] }\] où \(\mathcal{O}_{X_{12}, \overline{y}} \to \mathcal{O}\) est l’homomorphisme que nous avons trouvé au cinquième paragraphe de la preuve. Puisque la composée horizontale est finie et plate, nous pouvons trouver une extension d’anneaux de valuation \(A'/A\) et une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. Après avoir remplacé \(A\) par \(A'\), cela signifie que nous obtenons un relèvement \(g_{12} : \Spec(A) \to X_{12}\) dont le point fermé s’envoie dans l’adhérence de \(|p_1^{-1}f^{-1}Z_1|\). Alors \(g_1 = p_1 \circ g_{12} : \Spec(A) \to X_1\) est un morphisme dont le point fermé s’envoie dans l’adhérence de \(|f^{-1}Z_1|\). Puisque l’adhérence de \(|f^{-1}Z_1|\) est disjointe de l’adhérence de \(|T|\) et contenue dans \(|\overline{Z}_{1, 1}|\) qui est disjoint de \(|\overline{Z}_{1, 2}|\), nous en concluons que \(g_1\) définit un morphisme \(h_1 : \Spec(A) \to W_1\) comme voulu.

Considérons un diagramme \[\xymatrix{ W_1' \ar[d] \ar[r] & W & W_2' \ar[l] \ar[d] \\ W_1 & U \ar[l] \ar[lu] \ar[u] \ar[ru] \ar[r] & W_2 }\] comme dans Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 088Q. D’après le paragraphe précédent, pour tout diagramme dont les flèches pleines forment le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_\gamma \ar[d] & W \ar[d] \\ \Spec(A) \ar@{..>}[ru] \ar[r] & B }\] où \(\Im(\gamma) \subset \Im(U_1 \times_U U_2 \to U)\), il existe un \(i\) et une extension \(h_i : \Spec(A) \to W_i\) de \(\gamma\) après avoir éventuellement remplacé \(A\) par une extension d’anneaux de valuation. En utilisant le critère valuatif de propreté pour \(W'_i \to W_i\), nous pouvons alors relever \(h_i\) en \(h'_i : \Spec(A) \to W'_i\). Ainsi, la flèche en pointillés dans le diagramme existe après avoir éventuellement étendu \(A\). Puisque \(W\) est séparé sur \(B\), nous voyons que le choix de l’extension n’est pas nécessaire et que la flèche est également unique, voir Morphismes d’espaces, Lemmes 0A3W et 03KU. Enfin, l’existence de la flèche en pointillés implique que \(W \to B\) est universellement fermé par Morphismes d’espaces, Lemme 089G. Comme \(W \to B\) est déjà de type fini et séparé, le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert dense, proprement contenu dans l’espace ambiant. Alors il existe un schéma affine \(V\) et un morphisme étale \(V \to X\) tel que

le sous-espace ouvert \(W = U \cup \Im(V \to X)\) est strictement plus grand que \(U\),

\((U \subset W, V \to W)\) est un carré distingué, et

\(U \times_W V \to U\) a une image dense.

Démonstration

Choisissons une stratification \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] et des morphismes \(f_p : V_p \to U_p\) comme dans Espaces décents, Lemme 07ST. Soit \(p\) le plus petit entier tel que \(U_p \not \subset U\) (cela est possible car \(U \not = X\)). Choisissons un ouvert affine \(V \subset V_p\) tel que le morphisme étale \(f_p|_V : V \to X\) ne se factorise pas par \(U\). Considérons l’ouvert \(W = U \cup \Im(V \to X)\) et notons \(Z \subset W\) le sous-espace fermé réduit tel que \(|Z| = |W| \setminus |U|\). Alors \(f^{-1}Z \to Z\) est un isomorphisme car nous avons la propriété correspondante pour le morphisme \(f_p\), voir le lemme cité ci-dessus. Ainsi \((U \subset W, f : V \to W)\) est un carré distingué. Il se peut que l’ouvert \(I = \Im(U \times_W V \to U)\) ne soit pas dense dans \(U\). L’espace algébrique \(U' \subset U\) dont l’ensemble sous-jacent est \(|U| \setminus \overline{|I|}\) est noethérien, et donc nous pouvons trouver un sous-schéma ouvert dense \(U'' \subset U'\), voir par exemple Propriétés des espaces, Proposition 06NH. Ensuite, nous pouvons trouver un ouvert affine dense \(U''' \subset U''\), voir Propriétés, Lemme 0BA8 et 01ZV. Après avoir remplacé \(f\) par \(V \amalg U''' \to X\), tout est clair.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(X \to B\) un morphisme séparé de type fini. Alors \(X\) admet une compactification sur \(B\).

Démonstration

Nous réduisons d’abord au cas noethérien. Nous conseillons vivement au lecteur de passer ce paragraphe. Tout d’abord, nous pouvons remplacer \(S\) par \(\Spec(\mathbf{Z})\) ; voir Espaces, section 03I3, et Propriétés des espaces, Définition 03BS. Il existe une immersion fermée \(X \to X'\) avec \(X' \to B\) de présentation finie et séparée ; voir Limites d’espaces, Proposition 0873. Si nous trouvons une compactification de \(X'\) sur \(B\), alors l’adhérence schématique de \(X\) dans celle-ci donnera une compactification de \(X\) sur \(B\). Ainsi, nous pouvons supposer que \(X \to B\) est séparé et de présentation finie. Nous pouvons écrire \(B = \lim B_i\) comme une limite projective d’un système filtrant d’espaces algébriques noethériens de type fini sur \(\Spec(\mathbf{Z})\), à morphismes de transition affines ; voir Limites des espaces, Proposition 07SU. Nous pouvons choisir un \(i\) et un morphisme \(X_i \to B_i\) de présentation finie dont le changement de base à \(B\) est \(X \to B\), voir Limites des espaces, Lemme 07SK. Après avoir remplacé \(i\) par un indice plus grand, nous pouvons supposer que \(X_i \to B_i\) est séparé, voir Limites des espaces, Lemme 0851. Si nous pouvons trouver une compactification de \(X_i\) sur \(B_i\), alors son changement de base à \(B\) sera une compactification de \(X\) sur \(B\). Cela nous ramène au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(B\) soit de type fini sur \(\mathbf{Z}\) en plus d’être quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(U \to X\) un morphisme étale d’espaces algébriques tel que \(U\) possède une compactification \(Y\) sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Le morphisme \[U \longrightarrow B \times_{\Spec(\mathbf{Z})} Y\] est séparé et quasi-fini d’après Morphismes d’espaces, Lemme 0463 (le morphisme affiché se factorise en une immersion, donc c’est un monomorphisme). Par conséquent, d’après le théorème principal de Zariski (Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 082K), il existe une immersion ouverte de \(U\) dans un espace algébrique \(Y'\) fini sur \(B \times_{\Spec(\mathbf{Z})} Y\). Alors \(Y' \to B\) est propre comme composée \(Y' \to B \times_{\Spec(\mathbf{Z})} Y \to B\) de deux morphismes propres (utiliser Morphismes d’espaces, Lemmes 04NZ, 04XY et 04WP). Nous concluons que \(U\) a une compactification sur \(B\).

Il existe un sous-espace ouvert et dense \(U \subset X\) qui est un schéma (Propriétés des espaces, Proposition 06NH). En fait, nous pouvons choisir \(U\) de façon que ce soit un schéma affine (Propriétés, Lemme 0BA8 et 01ZV). Ainsi, \(U\) possède une compactification sur \(\Spec(\mathbf{Z})\); cela se démontre facilement directement mais découle aussi du théorème pour les schémas, voir Compléments sur la platitude, Théorème 0F41. D’après le paragraphe précédent, \(U\) possède une compactification sur \(B\). Par induction noethérienne, nous pouvons trouver un sous-espace ouvert et dense maximal \(U \subset X\) qui possède une compactification sur \(B\). Nous allons montrer que l’hypothèse que \(U \not = X\) mène à une contradiction. En effet, d’après le Lemme 0F4C nous pouvons trouver un ouvert strictement plus grand \(U \subset W \subset X\) et un carré distingué \((U \subset W, f : V \to W)\) avec \(V\) affine et \(U \times_W V\) ayant une image dense dans \(U\). Puisque \(V\) est affine, comme précédemment, il possède une compactification sur \(B\). Ainsi, le Lemme 0F4B s’applique pour montrer que \(W\) possède une compactification sur \(B\), ce qui est la contradiction désirée.

Cela découle du fait que \(\mathcal{F}\) satisfait la condition correspondante.↩︎
Cela découle du fait que \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{G}'\) satisfont la condition correspondante.↩︎
Tous les foncteurs sont donnés par l’image inverse dérivée.↩︎
En effet, \(V_1 \times_U V_2\) est propre sur \(U\) donc si \(\psi\) s’étend à un ouvert plus grand de \(X_{12}\), alors \(V_1 \times_U V_2\) serait fermé dans cet ouvert par Morphismes d’espaces, Lemme 04NX. Ensuite, nous obtenons l’égalité car \(V_{12} \subset X_{12}\) est dense.↩︎