Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques

Introduction

Dans ce chapitre, nous poursuivons notre étude des propriétés des morphismes d’espaces algébriques. Une référence fondamentale est [Kn].

Conventions

Nous supposons une fois pour toutes que tous les schémas appartiennent à un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). De plus, tous les anneaux \(A\) considérés ont la propriété que \(\Spec(A)\) est (isomorphe) à un objet de ce grand site.

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et les suivants, nous noterons \(X \times_S X\) le produit de \(X\) par lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), au lieu de \(X \times X\).

Morphismes radiciels

Il s’avère qu’un morphisme radiciel n’est pas la même chose qu’un morphisme universellement injectif, contrairement à ce qui se passe pour les morphismes de schémas. En fait, il est un peu plus fort.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). On dit que \(f\) est radiciel si, pour tout morphisme \(\Spec(K) \to Y\) où \(K\) est un corps, la réduction \((\Spec(K) \times_Y X)_{red}\) est soit vide, soit est représentable par le spectre d’une extension de corps purement inséparable de \(K\).

Lemme

Un morphisme radiciel d’espaces algébriques est universellement injectif.

Démonstration

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme radiciel d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Il est clair d’après la définition que, pour un morphisme \(\Spec(K) \to Y\), il existe au plus un relèvement de ce morphisme en un morphisme vers \(X\). Nous concluons donc que \(f\) est universellement injectif par Morphismes d’espaces, lemme 040X.

Exemple

Il n’est plus vrai que « universellement injectif » soit équivalent à « radiciel ». Par exemple, le morphisme \[X = [\Spec(\overline{\mathbf{Q}})/ \text{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})] \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{Q})\] d’Espaces, exemple 02Z6 est universellement injectif, mais n’est pas radiciel au sens ci-dessus.

Néanmoins, il arrive souvent que l’implication réciproque soit vraie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme universellement injectif d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).

1. Si \(f\) est décent, alors \(f\) est radiciel.

2. Si \(f\) est quasi-séparé, alors \(f\) est radiciel.

3. Si \(f\) est localement séparé, alors \(f\) est radiciel.

Démonstration

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est stable par changement de base et composition et qui est satisfaite pour les immersions fermées. Supposons que \(f : X \to Y\) possède \(\mathcal{P}\) et soit universellement injectif. Alors, dans la situation de la définition 0481, le morphisme \((\Spec(K) \times_Y X)_{red} \to \Spec(K)\) est universellement injectif et possède \(\mathcal{P}\). Cela ramène le problème de démontrer \[\mathcal{P} + \text{universellement injectif} \Rightarrow \text{radicial}\] au problème de démontrer que tout espace algébrique réduit non vide \(X\) sur un corps, dont le morphisme structural \(X \to \Spec(K)\) est universellement injectif et possède \(\mathcal{P}\), est représentable par le spectre d’un corps. En effet, alors \(X \to \Spec(K)\) sera un morphisme de schémas et nous concluons par l’équivalence entre radiciel et universellement injectif pour les morphismes de schémas, voir Morphismes, lemme 01S4.

Démontrons (1). Supposons que \(f\) soit décent et universellement injectif. D’après Espaces décents, les lemmes 03L0, 03L1 et 03M5 (pour voir qu’une immersion est décente), nous voyons que la discussion du premier paragraphe s’applique. Soit \(X\) un espace algébrique réduit décent non vide universellement injectif sur un corps \(K\). En particulier, nous voyons que \(|X|\) est un singleton. D’après Espaces décents, lemme 047Z, nous concluons que \(X \cong \Spec(L)\) pour une extension \(K \subset L\), comme souhaité.

Un morphisme quasi-séparé est décent, voir Espaces décents, lemme 03M5. Ainsi, (1) implique (2).

Démontrons (3). Rappelons que les axiomes de séparation sont stables par changement de base et composition et que les immersions fermées sont séparées, voir Morphismes d’espaces, les lemmes 03KL, 03KQ et 042R. La discussion du premier paragraphe de la démonstration s’applique donc. Soit \(X\) un espace algébrique réduit, universellement injectif et localement séparé sur un corps \(K\). En particulier, \(|X|\) est un singleton, donc \(X\) est quasi-compact, voir Propriétés des espaces, lemme 03E4. Nous pouvons trouver un morphisme étale surjectif \(U \to X\) avec \(U\) affine, voir Propriétés des espaces, lemme 03H6. Considérons le morphisme de schémas \[j : U \times_X U \longrightarrow U \times_{\Spec(K)} U\] Comme \(X \to \Spec(K)\) est universellement injectif, \(j\) est surjectif, et comme \(X \to \Spec(K)\) est localement séparé, \(j\) est une immersion. Une immersion surjective est une immersion fermée, voir Schémas, lemme 01IQ. Ainsi \(R = U \times_X U\) est affine comme sous-schéma fermé d’un schéma affine. En particulier, \(R\) est quasi-compact. Il s’ensuit que \(X = U/R\) est quasi-séparé, et le résultat découle de (2).

Remarque

Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Pour certaines applications (des morphismes radiciels), il suffit d’exiger que, pour tout \(\Spec(K) \to Y\) où \(K\) est un corps,

1. l’espace \(|\Spec(K) \times_Y X|\) soit un singleton,

2. il existe un monomorphisme \(\Spec(L) \to \Spec(K) \times_Y X\), et

3. \(K \subset L\) soit purement inséparable.

Si nécessaire, nous appellerons ultérieurement un tel morphisme faiblement radiciel. Par exemple, si \(X \to Y\) est un morphisme faiblement radiciel surjectif, alors \(X(k) \to Y(k)\) est surjectif pour tout corps algébriquement clos \(k\). Remarquons que le changement de base \(X_{\overline{\mathbf{Q}}} \to \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\) du morphisme de l’exemple 0483 est faiblement radiciel, mais pas radiciel. L’analogue du lemme 0484 est que, si \(X \to Y\) possède la propriété (\(\beta\)) et est universellement injectif, alors il est faiblement radiciel (démonstration omise).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de type fini,

2. pour tout morphisme étale \(V \to Y\), l’application \(|X \times_Y V| \to |V|\) soit injective.

Alors \(f\) est universellement injectif.

Démonstration

La question est locale pour la topologie étale sur \(Y\), d’après Morphismes d’espaces, lemme 03MX. Nous pouvons donc supposer que \(Y\) est un schéma. Alors \(Y\) est en particulier décent et, d’après Espaces décents, lemme 0ACB nous voyons que \(f\) est localement quasi-fini. Soit \(y \in Y\) un point et soit \(X_y\) la fibre schématique. Supposons que \(X_y\) ne soit pas vide. D’après Espaces sur les corps, lemme 06S0 nous voyons que \(X_y\) est un schéma localement quasi-fini sur \(\kappa(y)\). Comme \(|X_y| \subset |X|\) est la fibre de \(|X| \to |Y|\) au-dessus de \(y\), nous voyons que \(X_y\) possède un unique point \(x\). Il en est de même pour \(X_y \times_{\Spec(\kappa(y))} \Spec(k)\) pour toute extension finie séparable \(k/\kappa(y)\), car nous pouvons réaliser \(k\) comme corps résiduel en un point au-dessus de \(y\) dans un schéma étale au-dessus de \(Y\), voir Compléments sur les morphismes, lemme 02LF. Ainsi \(X_y\) est géométriquement connexe, voir Variétés, lemme 0389. Cela implique que l’extension finie \(\kappa(x)/\kappa(y)\) est purement inséparable.

Nous concluons (dans le cas où \(Y\) est un schéma) que, pour tout \(y \in Y\), la fibre \(X_y\) est soit vide, soit \((X_y)_{red} = \Spec(\kappa(x))\) avec \(\kappa(y) \subset \kappa(x)\) purement inséparable. Ainsi \(f\) est radiciel (certains détails sont omis), donc universellement injectif par le lemme 0482.

Monomorphismes

Cette section fait suite à Morphismes d’espaces, section 042K. Nous voudrions savoir si tout monomorphisme d’espaces algébriques est représentable. Si vous pouvez démontrer que c’est vrai ou fournir un contre-exemple, veuillez envoyer un courriel à stacks.project@gmail.com. Pour le moment, on connaît les cas suivants

1. pour les monomorphismes qui sont localement de type fini (plus généralement, tout morphisme séparé et localement quasi-fini est représentable par Morphismes d’espaces, lemme 0418 et un monomorphisme localement de type fini est localement quasi-fini par Morphismes d’espaces, lemme 0463),

2. si le but est une union disjointe de spectres d’anneaux locaux de dimension zéro (Espaces décents, lemme 06RZ), et

3. pour les monomorphismes plats (voir ci-dessous).

Lemme

Un monomorphisme plat d’espaces algébriques est représentable par des schémas.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un monomorphisme plat d’espaces algébriques. Pour démontrer que \(f\) est représentable, il faut montrer que \(X \times_Y V\) est un schéma pour tout schéma \(V\) muni d’un morphisme vers \(Y\). Comme la propriété d’être un schéma est locale (Propriétés des espaces, lemme 03JH), nous pouvons supposer que \(V\) est affine. Nous pouvons donc supposer que \(Y = \Spec(B)\) est un schéma affine. Ensuite, nous pouvons supposer que \(X\) est quasi-compact en remplaçant \(X\) par un ouvert quasi-compact. L’espace \(X\) est séparé puisque \(X \to X \times_{\Spec(B)} X\) est un isomorphisme. En appliquant Limites d’espaces, lemme 0B80, nous nous ramenons au cas où \(B\) est local, où \(X \to \Spec(B)\) est un monomorphisme plat et où il existe un point \(x \in X\) s’envoyant sur le point fermé de \(\Spec(B)\). Alors \(X \to \Spec(B)\) est surjectif puisque les générisations se relèvent le long des morphismes plats d’espaces algébriques séparés, voir Espaces décents, lemme 0B7W. Ainsi, \(\{X \to \Spec(B)\}\) est un recouvrement fpqc. Alors \(X \to \Spec(B)\) est un morphisme qui devient un isomorphisme après changement de base par \(X \to \Spec(B)\). Il est donc un isomorphisme par descente fpqc, voir Descente sur les espaces, lemme 041Y.

Le résultat suivant est (en un certain sens) une variante du lemme ci-dessus.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un monomorphisme quasi-compact d’espaces algébriques tel que, pour tout \(T \to Y\), l’application \[\mathcal{O}_T \to f_{T,*}\mathcal{O}_{X \times_Y T}\] soit injective. Alors \(f\) est un isomorphisme (et donc représentable par des schémas).

Démonstration

La question est locale pour la topologie étale sur \(Y\); nous pouvons donc supposer que \(Y = \Spec(A)\) est affine. Alors \(X\) est quasi-compact et nous pouvons choisir un schéma affine \(U = \Spec(B)\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) (Propriétés des espaces, lemme 03H6). Remarquons que \(U \times_X U = \Spec(B \otimes_A B)\). Ainsi, la catégorie des faisceaux quasi-cohérents de \(\mathcal{O}_X\)-modules est équivalente à la catégorie \(DD_{B/A}\) des données de descente sur les modules pour \(A \to B\). Voir Propriétés des espaces, proposition 03M3, Descente, définition 023G, et Descente, sous-section 08WW. D’autre part, \[A \to B\] est une application d’anneaux universellement injective. En effet, étant donné un \(A\)-module \(M\), nous voyons que \(A \oplus M \to B \otimes_A (A \oplus M)\) est injective par l’hypothèse du lemme. Ainsi, \(DD_{B/A}\) est équivalente à la catégorie des \(A\)-modules par Descente, théorème 08XA. Ainsi, le tiré en arrière le long de \(f : X \to \Spec(A)\) détermine une équivalence de catégories des modules quasi-cohérents. En particulier, \(f^*\) est exact sur les modules quasi-cohérents et nous voyons que \(f\) est plat (un petit détail est omis). De plus, il est clair que \(f\) est surjectif (par exemple parce que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est surjectif). Ainsi, \(\{X \to \Spec(A)\}\) est un recouvrement fpqc. Alors \(X \to \Spec(A)\) est un morphisme qui devient un isomorphisme après changement de base par \(X \to \Spec(A)\). Il est donc un isomorphisme par descente fpqc, voir Descente sur les espaces, lemme 041Y.

Lemme

Un monomorphisme quasi-compact, plat et surjectif d’espaces algébriques est un isomorphisme.

Démonstration

Un tel morphisme satisfait les hypothèses du lemme 0B8B.

Faisceau conormal d’une immersion

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant, voir Morphismes d’espaces, lemme 03MB. Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}^2 \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to 0\] de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\). Comme le faisceau \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) est annulé par \(\mathcal{I}\), il correspond à un faisceau sur \(Z\) par Morphismes d’espaces, lemme 04CJ. Ce \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent est le faisceau conormal de \(Z\) dans \(X\) et est souvent noté \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\), par l’abus de notation mentionné dans Morphismes d’espaces, section 04CI.

Dans le cas où \(i : Z \to X\) est une immersion (localement fermée), nous définissons le faisceau conormal de \(i\) comme le faisceau conormal de l’immersion fermée \(i : Z \to X \setminus \partial Z\), voir Morphismes d’espaces, remarque 04CE. Il est souvent noté \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) où \(\mathcal{I}\) est le faisceau d’idéaux de l’immersion fermée \(i : Z \to X \setminus \partial Z\).

Définition

Soit \(i : Z \to X\) une immersion. Le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{Z/X}\) de \(Z\) dans \(X\) ou le faisceau conormal de \(i\) est le \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) décrit ci-dessus.

Dans [EGA, IV, définition 16.1.2], ce faisceau est noté \(\mathcal{N}_{Z/X}\). Nous ne suivrons pas cette convention, car nous souhaitons réserver la notation \(\mathcal{N}_{Z/X}\) au faisceau normal de l’immersion. Il est défini par \[\mathcal{N}_{Z/X} = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{C}_{Z/X}, \mathcal{O}_Z) = \SheafHom_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2, \mathcal{O}_Z)\] pourvu que le faisceau conormal soit de présentation finie (sinon le faisceau normal peut même ne pas être quasi-cohérent). Nous reviendrons sur le faisceau normal ultérieurement (insérer ici une référence future).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion. Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale où \(U\) est un schéma. Posons \(Z_U = U \times_X Z\), qui est un sous-schéma localement fermé de \(U\). Alors \[\mathcal{C}_{Z/X}|_{Z_U} = \mathcal{C}_{Z_U/U}\] canoniquement et fonctoriellement en \(U\).

Démonstration

Soit \(T \subset X\) un sous-espace fermé tel que \(i\) définisse une immersion fermée dans \(X \setminus T\). Soit \(\mathcal{I}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(X \setminus T\) définissant \(Z\). Le lemme affirme simplement que \(\mathcal{I}|_{U \setminus \varphi^{-1}(T)}\) est le faisceau d’idéaux de l’immersion \(Z_U \to U \setminus \varphi^{-1}(T)\). C’est clair d’après la construction de \(\mathcal{I}\) dans Morphismes d’espaces, lemme 03MB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] un diagramme commutatif d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons que \(i\) et \(i'\) soient des immersions. Il existe une application canonique de \(\mathcal{O}_Z\)-modules \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X}\]

Démonstration

D’abord, trouvons des sous-espaces ouverts \(U' \subset X'\) et \(U \subset X\) tels que \(g(U) \subset U'\) et tels que \(i(Z) \subset U\) et \(i(Z') \subset U'\) soient fermés (l’existence est omise). En remplaçant \(X\) par \(U\) et \(X'\) par \(U'\), nous pouvons supposer que \(i\) et \(i'\) sont des immersions fermées. Soient \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\) et \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) les faisceaux quasi-cohérents d’idéaux associés à \(i'\) et \(i\), voir Morphismes d’espaces, lemme 03MB. Considérons la composée \[g^{-1}\mathcal{I}' \to g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{g^\sharp} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} = i_*\mathcal{O}_Z\] Comme \(g(i(Z)) \subset Z'\), nous concluons que cette composée est nulle (voir l’énoncé sur les factorisations dans Morphismes d’espaces, lemme 03MB). Nous obtenons ainsi un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & i_*\mathcal{O}_Z \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{I}' \ar[r] \ar[u] & g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \ar[r] \ar[u] & g^{-1}i'_*\mathcal{O}_{Z'} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] La ligne inférieure est exacte puisque \(g^{-1}\) est un foncteur exact. Par exactitude, nous voyons aussi que \((g^{-1}\mathcal{I}')^2 = g^{-1}((\mathcal{I}')^2)\). Le diagramme induit donc une application \(g^{-1}(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2\). En tirant en arrière (par exemple à l’aide de \(i^{-1}\)) vers \(Z\), nous obtenons \(i^{-1}g^{-1}(\mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2) \to \mathcal{C}_{Z/X}\). Comme \(i^{-1}g^{-1} = f^{-1}(i')^{-1}\), cela donne une application \(f^{-1}\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\), qui induit l’application cherchée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Le faisceau conormal de la définition 04CN et sa fonctorialité du lemme 04CP satisfont les propriétés suivantes :

1. Si \(Z \to X\) est une immersion de schémas au-dessus de \(S\), alors le faisceau conormal coïncide avec celui de Morphismes, définition 01R2.

2. Si, dans le lemme 04CP, tous les espaces sont des schémas, alors l’application \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) est la même que celle construite dans Morphismes, lemme 01R4.

3. Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} \ar[d]_{f'} & X' \ar[d]^{g'} \\ Z'' \ar[r]^{i''} & X'' }\] alors l’application \((f' \circ f)^*\mathcal{C}_{Z''/X''} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) est la même que la composée de \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) avec le tiré en arrière par \(f\) de \((f')^*\mathcal{C}_{Z''/X''} \to \mathcal{C}_{Z'/X'}\).

Démonstration

Démonstration omise. Remarquons que la partie (1) est un cas particulier du lemme 04CO.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] un diagramme de produit fibré d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons que \(i\) et \(i'\) soient des immersions. Alors l’application canonique \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X'} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) du lemme 04CP est surjective. Si \(g\) est plat, c’est un isomorphisme.

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ U' \ar[r] & X' }\] où \(U\) et \(U'\) sont des schémas et où les flèches horizontales sont surjectives et étales, voir Espaces, lemme 02X1. En utilisant alors les lemmes 04CO et 04G2, nous voyons que la question se ramène au cas d’un morphisme de schémas. Dans le cas des schémas, il s’agit du lemme 0473 de Morphismes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to Y \to X\) des immersions d’espaces algébriques. Alors il existe une suite exacte canonique \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] où les applications proviennent du lemme 04CP et où \(i : Z \to Y\) est le premier morphisme.

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Par les lemmes 04CO et 04G2, l’exactitude de la suite se traduit immédiatement par l’exactitude de la suite correspondante pour les immersions de schémas \(Z \times_X U \to Y \times_X U \to U\). Le lemme découle donc du lemme 062S de Morphismes.

Cône normal d’une immersion

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant, voir Morphismes d’espaces, lemme 03MB. Considérons le faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées de \(\mathcal{O}_X\) \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\). Comme les faisceaux \(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) sont tous annulés par \(\mathcal{I}\), cette algèbre graduée correspond à un faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées de \(\mathcal{O}_Z\) par Morphismes d’espaces, lemme 04CJ. Cette algèbre graduée quasi-cohérente de \(\mathcal{O}_Z\) est appelée algèbre conormale de \(Z\) dans \(X\) et est souvent simplement notée \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) par l’abus de notation mentionné dans Morphismes d’espaces, section 04CI.

Dans le cas où \(i : Z \to X\) est une immersion (localement fermée), nous définissons l’algèbre conormale de \(i\) comme l’algèbre conormale de l’immersion fermée \(i : Z \to X \setminus \partial Z\), voir Morphismes d’espaces, remarque 04CE. Elle est souvent notée \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) où \(\mathcal{I}\) est le faisceau d’idéaux de l’immersion fermée \(i : Z \to X \setminus \partial Z\).

Définition

Soit \(i : Z \to X\) une immersion. L’algèbre conormale \(\mathcal{C}_{Z/X, *}\) de \(Z\) dans \(X\) ou l’algèbre conormale de \(i\) est le faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées de \(\mathcal{O}_Z\) \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) décrit ci-dessus.

Ainsi \(\mathcal{C}_{Z/X, 1} = \mathcal{C}_{Z/X}\) est le faisceau conormal de l’immersion. De plus, \(\mathcal{C}_{Z/X, 0} = \mathcal{O}_Z\) et \(\mathcal{C}_{Z/X, n}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent caractérisé par la propriété [09RP]\[\begin{equation} i_*\mathcal{C}_{Z/X, n} = \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \end{equation}\] où \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) et \(\mathcal{I}\) est le faisceau d’idéaux de \(i\) comme ci-dessus. Enfin, remarquons qu’il existe une application canonique surjective [09RQ]\[\begin{equation} \text{Sym}^*(\mathcal{C}_{Z/X}) \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *} \end{equation}\] d’algèbres graduées quasi-cohérentes de \(\mathcal{O}_Z\), qui est un isomorphisme en degrés \(0\) et \(1\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale où \(U\) est un schéma. Posons \(Z_U = U \times_X Z\), qui est un sous-schéma localement fermé de \(U\). Alors \[\mathcal{C}_{Z/X, *}|_{Z_U} = \mathcal{C}_{Z_U/U, *}\] canoniquement et fonctoriellement en \(U\).

Démonstration

Soit \(T \subset X\) un sous-espace fermé tel que \(i\) définisse une immersion fermée dans \(X \setminus T\). Soit \(\mathcal{I}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(X \setminus T\) définissant \(Z\). Le lemme découle du fait que \(\mathcal{I}|_{U \setminus \varphi^{-1}(T)}\) est le faisceau d’idéaux de l’immersion \(Z_U \to U \setminus \varphi^{-1}(T)\). C’est clair d’après la construction de \(\mathcal{I}\) dans Morphismes d’espaces, lemme 03MB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] un diagramme commutatif d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons que \(i\) et \(i'\) soient des immersions. Il existe une application canonique d’algèbres graduées de \(\mathcal{O}_Z\) \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *}\]

Démonstration

Commençons par trouver des sous-espaces ouverts \(U' \subset X'\) et \(U \subset X\) tels que \(g(U) \subset U'\) et tels que \(i(Z) \subset U\) et \(i(Z') \subset U'\) soient fermés (l’existence est omise). En remplaçant \(X\) par \(U\) et \(X'\) par \(U'\), nous pouvons supposer que \(i\) et \(i'\) sont des immersions fermées. Soient \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\) et \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) les faisceaux quasi-cohérents d’idéaux associés à \(i'\) et \(i\), voir Morphismes d’espaces, lemme 03MB. Considérons la composée \[g^{-1}\mathcal{I}' \to g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \xrightarrow{g^\sharp} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} = i_*\mathcal{O}_Z\] Comme \(g(i(Z)) \subset Z'\), nous concluons que cette composée est nulle (voir l’énoncé sur les factorisations dans Morphismes d’espaces, lemme 03MB). Nous obtenons ainsi un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & i_*\mathcal{O}_Z \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{I}' \ar[r] \ar[u] & g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \ar[r] \ar[u] & g^{-1}i'_*\mathcal{O}_{Z'} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] La ligne inférieure est exacte puisque \(g^{-1}\) est un foncteur exact. Par exactitude, nous voyons aussi que \((g^{-1}\mathcal{I}')^n = g^{-1}((\mathcal{I}')^n)\) pour tout \(n \geq 1\). Le diagramme induit donc une application \(g^{-1}((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\). En tirant en arrière (par exemple à l’aide de \(i^{-1}\)) vers \(Z\), nous obtenons \(i^{-1}g^{-1}((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{C}_{Z/X, n}\). Comme \(i^{-1}g^{-1} = f^{-1}(i')^{-1}\), cela donne des applications \(f^{-1}\mathcal{C}_{Z'/X', n} \to \mathcal{C}_{Z/X, n}\), qui induisent l’application cherchée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] un carré cartésien d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) avec \(i\) et \(i'\) immersions. Alors l’application canonique \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \to \mathcal{C}_{Z/X, *}\) du lemme 09RS est surjective. Si \(g\) est plat, c’est un isomorphisme.

Démonstration

Nous pouvons vérifier l’assertion après localisation étale de \(X'\). Dans ce cas, nous pouvons supposer que \(X' \to X\) est un morphisme de schémas, d’où \(Z\) et \(Z'\) sont des schémas, et le résultat découle du cas des schémas, voir Diviseurs, lemme 0635.

Nous utilisons les mêmes conventions pour les cônes et les fibrés vectoriels sur les espaces algébriques que pour les schémas (où nous utilisons les conventions de l’EGA), voir Constructions, sections 062P et 01M1. En particulier, un fibré vectoriel est un objet très général (et n’est pas localement isomorphe à un fibré en espaces affines).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Le cône normal \(C_ZX\) de \(Z\) dans \(X\) est \[C_ZX = \underline{\Spec}_Z(\mathcal{C}_{Z/X, *})\] voir Morphismes d’espaces, définition 081W. Le fibré normal de \(Z\) dans \(X\) est le fibré vectoriel \[N_ZX = \underline{\Spec}_Z(\text{Sym}(\mathcal{C}_{Z/X}))\]

Ainsi \(C_ZX \to Z\) est un cône au-dessus de \(Z\) et \(N_ZX \to Z\) est un fibré vectoriel au-dessus de \(Z\). De plus, la surjection canonique (09RQ) d’algèbres graduées définit une immersion fermée canonique [09RV]\[\begin{equation} C_ZX \longrightarrow N_ZX \end{equation}\] de cônes au-dessus de \(Z\).

Faisceau des différentielles d’un morphisme

Nous invitons le lecteur à consulter la section correspondante dans le chapitre d’algèbre commutative (Algèbre, section 00RM), la section correspondante dans le chapitre sur les morphismes de schémas (Morphismes, section 01UM) ainsi que Modules sur les sites, section 04BJ. Nous montrons d’abord que la notion de faisceau des différentielles pour un morphisme de schémas coïncide avec la notion correspondante pour les petits sites étale (annelés).

Pour énoncer clairement le lemme suivant, nous revenons temporairement à la notation où \(\mathcal{F}^a\) désigne le faisceau de \(\mathcal{O}_{X_\etale}\)-modules associé à un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur le schéma \(X\), voir Descente, définition 03DU.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(f_{small} : X_\etale \to Y_\etale\) le morphisme associé des petits sites étale, voir Descente, remarque 070R. Alors il existe un isomorphisme canonique \[(\Omega_{X/Y})^a = \Omega_{X_\etale/Y_\etale}\] compatible avec les dérivations universelles. Ici, le premier module est le faisceau sur \(X_\etale\) associé au \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\Omega_{X/Y}\), voir Morphismes, définition 01UQ, et le second module est celui de Modules sur les sites, définition 04BN.

Démonstration

Soit \(h : U \to X\) un morphisme étale. Dans ce cas, l’application naturelle \(h^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{U/Y}\) est un isomorphisme, voir Compléments sur les morphismes, lemme 04BX. Cela signifie qu’il existe une \(\mathcal{O}_{Y_\etale}\)-dérivation naturelle \[\text{d}^a : \mathcal{O}_{X_\etale} \longrightarrow (\Omega_{X/Y})^a\] puisque nous venons de voir que la valeur de \((\Omega_{X/Y})^a\) sur tout objet \(U\) de \(X_\etale\) s’identifie canoniquement à \(\Gamma(U, \Omega_{U/Y})\). Par la propriété universelle de \(\text{d}_{X/Y} : \mathcal{O}_{X_\etale} \to \Omega_{X_\etale/Y_\etale}\) il existe une unique application \(\mathcal{O}_{X_\etale}\)-linéaire \(c : \Omega_{X_\etale/Y_\etale} \to (\Omega_{X/Y})^a\) telle que \(\text{d}^a = c \circ \text{d}_{X/Y}\).

Réciproquement, supposons que \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_\etale}\)-module et que \(D : \mathcal{O}_{X_\etale} \to \mathcal{F}\) soit une \(\mathcal{O}_{Y_\etale}\)-dérivation. Nous pouvons simplement restreindre \(D\) au petit site de Zariski \(X_{Zar}\) de \(X\). Comme les faisceaux sur \(X_{Zar}\) coïncident avec les faisceaux sur \(X\), voir Descente, remarque 03FG, nous voyons que \(D|_{X_{Zar}} : \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}|_{X_{Zar}}\) est simplement une dérivation \(Y\) « usuelle ». Nous obtenons donc une application \(\psi : \Omega_{X/Y} \longrightarrow \mathcal{F}|_{X_{Zar}}\) telle que \(D|_{X_{Zar}} = \psi \circ \text{d}\). En particulier, si nous appliquons ceci avec \(\mathcal{F} = \Omega_{X_\etale/Y_\etale}\) nous obtenons une application \[c' : \Omega_{X/Y} \longrightarrow \Omega_{X_\etale/Y_\etale}|_{X_{Zar}}\] Considérons le morphisme de sites annelés \(\text{id}_{small, \etale, Zar} : X_\etale \to X_{Zar}\) décrit dans Descente, remarque 070R et lemme 070S. Comme le foncteur de restriction \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{X_{Zar}}\) est égal à \(\text{id}_{small, \etale, Zar, *}\), comme \(\text{id}_{small, \etale, Zar}^*\) est adjoint à gauche de \(\text{id}_{small, \etale, Zar, *}\) et comme \((\Omega_{X/Y})^a = \text{id}_{small, \etale, Zar}^*\Omega_{X/Y}\), nous voyons que \(c'\) est adjoint à une application \[c'' : (\Omega_{X/Y})^a \longrightarrow \Omega_{X_\etale/Y_\etale}.\] Nous affirmons que \(c''\) et \(c'\) sont inverses l’un de l’autre. Cette assertion achève la démonstration du lemme. Pour le voir, il suffit de montrer que \(c''(\text{d}(f)) = \text{d}_{X/Y}(f)\) et \(c(\text{d}_{X/Y}(f)) = \text{d}(f)\) lorsque \(f\) est une section locale de \(\mathcal{O}_X\) sur un ouvert de \(X\). Nous omettons la vérification.

Cette observation ouvre la voie à la définition suivante. Pour une autre possibilité, voir la remarque 04CW.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Le faisceau des différentielles \(\Omega_{X/Y}\) de \(X\) sur \(Y\) est le faisceau des différentielles (Modules sur les sites, définition 04BQ) pour le morphisme de topoi annelés \[(f_{small}, f^\sharp) : (X_\etale, \mathcal{O}_X) \to (Y_\etale, \mathcal{O}_Y)\] de Propriétés des espaces, lemme 03G8. La dérivation universelle \(Y\) sera notée \(\text{d}_{X/Y} : \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/Y}\).

D’après le lemme 04CS, cela n’entre pas en conflit avec la notion déjà existante dans le cas où \(X\) et \(Y\) sont représentables. Désormais, si \(X\) et \(Y\) sont représentables, nous ne faisons plus de distinction entre le faisceau des différentielles défini ci-dessus et celui défini dans Morphismes, définition 01UQ. Nous voulons relier ceci aux modules usuels des différentielles pour les morphismes de schémas. Voici le lemme clé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Considérons un diagramme commutatif quelconque \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_\psi & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où les flèches verticales sont des morphismes étales d’espaces algébriques. Alors \[\Omega_{X/Y}|_{U_\etale} = \Omega_{U/V}\] En particulier, si \(U\) et \(V\) sont des schémas, ceci est égal au faisceau usuel des différentielles du morphisme de schémas \(U \to V\).

Démonstration

D’après Propriétés des espaces, lemme 03LP et l’Équation (03LQ), on peut considérer la restriction d’un faisceau sur \(X_\etale\) à \(U_\etale\) comme l’image inverse par \(a_{small}\). De même pour \(b\). Par Modules sur les sites, Lemme 04BO, on a \[\Omega_{X/Y}|_{U_\etale} = \Omega_{\mathcal{O}_{U_\etale}/ a_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}}\] Comme \(a_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \psi_{small}^{-1}b_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \psi_{small}^{-1}\mathcal{O}_{V_\etale}\), le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(\Omega_{X/Y}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent.

Démonstration

Choisissons un diagramme comme dans le Lemme 04CU, avec \(a\) et \(b\) surjectifs et \(U\) et \(V\) des schémas. On voit alors que \(\Omega_{X/Y}|_U = \Omega_{U/V}\), qui est quasi-cohérent (par exemple, d’après Morphismes, Lemme 08S2). Nous concluons donc que \(\Omega_{X/Y}\) est quasi-cohérent par Propriétés des espaces, Lemme 03M0.

Remarque

Maintenant que nous savons que \(\Omega_{X/Y}\) est quasi-cohérent, nous pouvons tenter de le construire d’une autre manière. On peut par exemple utiliser le résultat de Propriétés des espaces, section 03M2, pour construire le faisceau des différentielles par recollement. Par exemple, si \(Y\) est un schéma et si \(U \to X\) est un morphisme étale surjectif d’un schéma vers \(X\), alors \(\Omega_{U/Y}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent et, comme \(s, t : R \to U\) sont étales, on obtient un isomorphisme \[\alpha : s^*\Omega_{U/Y} \to \Omega_{R/Y} \to t^*\Omega_{U/Y}\] en utilisant Morphismes, Lemme 02K4. On vérifie qu’il satisfait la condition de cocycle, et c’est terminé. Si \(Y\) n’est pas un schéma, on définit \(\Omega_{U/Y}\) comme le conoyau du morphisme \((U \to Y)^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{U/S}\), puis on procède comme précédemment. Cette procédure en deux étapes est quelque peu disgracieuse. Une autre possibilité consiste à recoller les faisceaux \(\Omega_{U/V}\) pour tout diagramme comme dans le Lemme 04CU, mais cela n’est pas non plus très élégant. Les deux méthodes fonctionnent néanmoins et donnent une construction légèrement plus élémentaire du faisceau des différentielles.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] un diagramme commutatif d’espaces algébriques. Le morphisme \(f^\sharp : \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\), composé avec le morphisme \(f_*\text{d}_{X'/Y'} : f_*\mathcal{O}_{X'} \to f_*\Omega_{X'/Y'}\), est une \(Y\)-dérivation. On obtient donc un morphisme canonique de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\Omega_{X/Y} \to f_*\Omega_{X'/Y'}\) et, par l’adjonction entre \(f_*\) et \(f^*\), un homomorphisme canonique de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules \[c_f : f^*\Omega_{X/Y} \longrightarrow \Omega_{X'/Y'}.\] Il est uniquement caractérisé par la propriété suivante : \(f^*\text{d}_{X/Y}(t)\) est envoyé sur \(\text{d}_{X'/Y'}(f^* t)\) pour toute section locale \(t\) de \(\mathcal{O}_X\).

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier de Modules sur les sites, Lemme 04BR.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X'' \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ Y'' \ar[r] & Y' \ar[r] & Y }\] un diagramme commutatif d’espaces algébriques sur \(S\). Alors on a \[c_{f \circ g} = c_g \circ g^* c_f\] comme morphismes \((f \circ g)^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{X''/Y''}\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : utiliser la caractérisation de \(c_f, c_g, c_{f \circ g}\) par l’effet de ces morphismes sur les sections locales.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Alors il existe une suite exacte canonique \[f^*\Omega_{Y/B} \to \Omega_{X/B} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] où les morphismes proviennent d’applications du Lemme 04CX.

Démonstration

Cela découle de la version de ce résultat pour les schémas, voir Morphismes, Lemme 01UX, par localisation étale, voir le Lemme 04CU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Si \(X \to Y\) est une immersion d’espaces algébriques sur \(S\), alors \(\Omega_{X/S}\) est nul.

Démonstration

Cela découle de la version de ce résultat pour les schémas, voir Morphismes, Lemme 01UY, par localisation étale, voir le Lemme 04CU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques sur \(B\). Il existe une suite exacte canonique \[\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0\] où la première flèche est induite par \(\text{d}_{X/B}\) et où la seconde flèche provient du Lemme 04CX.

Démonstration

Il s’agit de la version pour les espaces algébriques de Morphismes, Lemme 01UZ, et elle découlera de ce lemme par localisation étale, voir les Lemmes 04CU et 04CO. Il faut toutefois s’assurer que l’on peut définir globalement la première flèche. Expliquons donc ici le sens de « induite par \(\text{d}_{X/B}\) ». On peut en effet supposer que \(i\) est une immersion fermée après avoir remplacé \(X\) par un sous-espace ouvert. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant à \(Z \subset X\). Alors \(\text{d}_{X/S} : \mathcal{I} \to \Omega_{X/S}\) envoie le sous-faisceau \(\mathcal{I}^2 \subset \mathcal{I}\) dans \(\mathcal{I}\Omega_{X/S}\). Il induit donc un morphisme \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{X/S}/\mathcal{I}\Omega_{X/S}\) qui est \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)-linéaire. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 04CJ, cela correspond au morphisme \(\mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/S}\) voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques sur \(B\), et supposons que \(i\) admette (localement pour la topologie étale) un inverse à gauche. Alors la suite canonique \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0\] du Lemme 05ZA est (localement pour la topologie étale) exacte scindée.

Démonstration

Précision : nous affirmons que, si \(g : X \to Z\) est un inverse à gauche de \(i\) sur \(B\), alors \(i^*c_g\) est un inverse à droite du morphisme \(i^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B}\). Ceci étant dit, le résultat découle du résultat correspondant pour les morphismes de schémas par localisation étale, voir les Lemmes 04CU et 04CO.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(g : Y' \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(X' = X_{Y'}\) le changement de base de \(X\). Notons \(g' : X' \to X\) la projection. Alors le morphisme \[(g')^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{X'/Y'}\] du Lemme 04CX est un isomorphisme.

Démonstration

Cela découle de la version pour les schémas, voir Morphismes, Lemme 01V0, et de la localisation étale, voir le Lemme 04CU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to B\) et \(g : Y \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) ayant le même but. Soient \(p : X \times_B Y \to X\) et \(q : X \times_B Y \to Y\) les morphismes de projection. Les morphismes du Lemme 04CX \[p^*\Omega_{X/B} \oplus q^*\Omega_{Y/B} \longrightarrow \Omega_{X \times_B Y/B}\] donnent un isomorphisme.

Démonstration

Cela découle de la version pour les schémas, voir Morphismes, Lemme 01V1, et de la localisation étale, voir le Lemme 04CU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est localement de type fini, alors \(\Omega_{X/Y}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini.

Démonstration

Cela découle de la version pour les schémas, voir Morphismes, Lemme 01V2, et de la localisation étale, voir le Lemme 04CU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est localement de présentation finie, alors \(\Omega_{X/Y}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie.

Démonstration

Cela découle de la version pour les schémas, voir Morphismes, Lemme 01V3, et de la localisation étale, voir le Lemme 04CU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme lisse d’espaces algébriques sur \(S\). Alors le module des différentielles \(\Omega_{X/Y}\) est localement libre de type fini.

Démonstration

L’énoncé est local pour la topologie étale sur \(X\) et \(Y\) par le Lemme 04CU. Il découle donc du cas des schémas, voir Morphismes, Lemme 02G1.

Invariance topologique du site étale

Nous montrons que le site \(X_{spaces, \etale}\) est un « invariant topologique ». Il s’ensuit que \(X_\etale\), qui est formé des objets représentables de \(X_{spaces, \etale}\), est lui aussi un invariant topologique, voir le Lemme 07VW.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit entier, universellement injectif et surjectif. Le foncteur \[V \longmapsto V_X = X \times_Y V\] définit une équivalence de catégories \(Y_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\).

Démonstration

Le morphisme \(f\) est représentable et constitue un homéomorphisme universel, voir Morphismes d’espaces, section 05Z3.

Nous montrons d’abord que le foncteur est fidèle. Supposons que \(V', V\) soient des objets de \(Y_{spaces, \etale}\) et que \(a, b : V' \to V\) soient des morphismes distincts sur \(Y\). Comme \(V', V\) sont étales sur \(Y\), l’égalisateur \[E = V' \times_{(a, b), V \times_Y V, \Delta_{V/Y}} V\] de \(a, b\) est lui aussi étale sur \(Y\). Ainsi, \(E \to V'\) est un monomorphisme étale (c’est-à-dire une immersion ouverte) qui est un isomorphisme si et seulement s’il est surjectif. Comme \(X \to Y\) est un homéomorphisme universel, nous voyons que c’est le cas si et seulement si \(E_X = V'_X\), c’est-à-dire si et seulement si \(a_X = b_X\).

Nous montrons ensuite que le foncteur est pleinement fidèle. Supposons que \(V', V\) soient des objets de \(Y_{spaces, \etale}\) et que \(c : V'_X \to V_X\) soit un morphisme sur \(X\). Nous voulons construire un morphisme \(a : V' \to V\) sur \(Y\) tel que \(a_X = c\). Soit \(a' : V'' \to V'\) un morphisme étale surjectif tel que \(V''\) soit un espace algébrique séparé. Si l’on peut construire un morphisme \(a'' : V'' \to V\) tel que \(a''_X = c \circ a'_X\), alors les deux composées \[V'' \times_{V'} V'' \xrightarrow{\text{pr}_i} V'' \xrightarrow{a''} V\] sont égales par la fidélité du foncteur établie au premier paragraphe. Ainsi, \(a''\) se factorise par un unique morphisme \(a : V' \to V\), puisque \(V'\) est (en tant que faisceau) le quotient de \(V''\) par la relation d’équivalence \(V'' \times_{V'} V''\). Nous pouvons donc supposer que \(V'\) est séparé. Dans ce cas, le graphe \[\Gamma_c \subset (V' \times_Y V)_X\] est ouvert et fermé (détails omis). Comme \(X \to Y\) est un homéomorphisme universel, il existe un sous-espace ouvert et fermé \(\Gamma \subset V' \times_Y V\) tel que \(\Gamma_X = \Gamma_c\). La projection \(\Gamma \to V'\) est un morphisme étale dont le changement de base à \(X\) est un isomorphisme. Ainsi, \(\Gamma \to V'\) est étale, universellement injectif et surjectif, donc est un isomorphisme d’après Morphismes d’espaces, Lemme 05W5. Ainsi, \(\Gamma\) est le graphe d’un morphisme \(a : V' \to V\), comme souhaité.

Enfin, nous montrons que le foncteur est essentiellement surjectif. Supposons que \(U\) soit un objet de \(X_{spaces, \etale}\). Il faut trouver un objet \(V\) de \(Y_{spaces, \etale}\) tel que \(V_X \cong U\). Soit \(U' \to U\) un morphisme étale surjectif tel que \(U' \cong V'_X\) et \(U' \times_U U' \cong V''_X\) pour certains objets \(V'', V'\) de \(Y_{spaces, \etale}\). Alors, par la pleine fidélité du foncteur, on obtient des morphismes \(s, t : V'' \to V'\) tels que \(t_X = \text{pr}_0\) et \(s_X = \text{pr}_1\) comme morphismes \(U' \times_U U' \to U'\). Puisque \((\text{pr}_0, \text{pr}_1) : U' \times_U U' \to U' \times_S U'\) est une relation d’équivalence étale et que \(U' \to V'\) et \(U' \times_U U' \to V''\) sont universellement injectifs et surjectifs, on en déduit que \((t, s) : V'' \to V' \times_S V'\) est une relation d’équivalence étale. Alors le quotient \(V = V'/V''\) (voir Espaces, Théorème 02WW) est l’espace algébrique \(V\) sur \(Y\). Il existe un morphisme \(V' \to V\) tel que \(V'' = V' \times_V V'\). On obtient ainsi un morphisme \(V \to Y\) (voir Descente sur les espaces, Lemme 04P2). Après changement de base à \(X\), on voit que l’on a un morphisme \(U' \to V_X\) et un isomorphisme compatible \(U' \times_{V_X} U' = U' \times_U U'\), ce qui implique que \(V_X \cong U\) (en appliquant encore une fois le lemme qui vient d’être cité).

Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Y\). Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to U \times_X W_X\). Notons que \(U'\) et \(U' \times_U U'\) sont des schémas étales sur \(X\) dont le morphisme structural vers \(X\) se factorise par le schéma \(W_X\). Ainsi, d’après Cohomologie étale, Théorème 04DZ, il existe des schémas \(V', V''\) étales sur \(W\) dont les changements de base à \(W_X\) sont respectivement isomorphes à \(U'\) et \(U' \times_U U'\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du Théorème 05ZH, l’équivalence de catégories \(Y_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\) induit par restriction des équivalences de catégories \(Y_\etale \to X_\etale\) et \(Y_{affine, \etale} \to X_{affine, \etale}\).

Démonstration

Il s’agit simplement de dire que, pour tout objet \(V \in Y_{spaces, \etale}\), \(V\) est un schéma (respectivement un schéma affine) si et seulement si \(V \times_Y X\) est un schéma (respectivement un schéma affine). Comme \(V \times_Y X \to V\) est entier, universellement injectif et surjectif (en tant que changement de base de \(X \to Y\)), cela découle du Lemme 07VV de Limites d’espaces et de la Proposition 07VT.

Remarque

Un homéomorphisme universel d’espaces algébriques n’est pas nécessairement représentable, voir Morphismes d’espaces, Exemple 05Z6. En fait, le Théorème 05ZH n’est pas valable pour tous les homéomorphismes universels. Pour le voir, soit \(k\) un corps algébriquement clos de caractéristique \(0\) et soit \[\mathbf{A}^1 \to X \to \mathbf{A}^1\] comme dans Morphismes d’espaces, Exemple 05Z6. Rappelons que le premier morphisme est étale et identifie \(t\) à \(-t\) pour \(t \in \mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\) et que le second morphisme est notre homéomorphisme universel. Comme \(\mathbf{A}^1_k\) n’admet aucun revêtement fini étale connexe non trivial (car \(k\) est algébriquement clos de caractéristique zéro ; détails omis), il suffit de construire un revêtement fini étale connexe non trivial \(Y \to X\). Pour cela, soit \(Y\) la droite affine à origine dédoublée (Schémas, Exemple 01JD). Alors \(Y = Y_1 \cup Y_2\), avec \(Y_i = \mathbf{A}^1_k\), est obtenu par recollement le long de \(\mathbf{A}^1_k \setminus \{0\}\). Pour définir le morphisme \(Y \to X\), nous utilisons les morphismes \[Y_1 \xrightarrow{1} \mathbf{A}^1_k \to X \quad\text{et}\quad Y_2 \xrightarrow{-1} \mathbf{A}^1_k \to X.\] Ces morphismes se recollent sur \(Y_1 \cap Y_2\) par construction de \(X\) et définissent donc un morphisme \(Y \to X\). En fait, nous affirmons que \[\xymatrix{ Y \ar[d] & Y_1 \amalg Y_2 \ar[l] \ar[d] \\ X & \mathbf{A}^1_k \ar[l] }\] est un carré cartésien. Nous omettons les détails ; on peut utiliser par exemple Groupoïdes, Lemme 07S3. Comme \(\mathbf{A}^1_k \to X\) est étale et surjectif, cela montre que \(Y \to X\) est fini étale de degré \(2\), ce qui fournit l’exemple voulu.

Plus simplement, on peut raisonner comme suit. Le schéma \(Y\) est muni de l’action du groupe \(G = \{+1, -1\}\), qui opère librement, l’élément \(-1\) agissant en échangeant \(Y_1\) et \(Y_2\) et en changeant le signe de la coordonnée. Alors \(X = Y/G\) (voir Espaces, Définition 02Z3) et donc \(Y \to X\) est fini étale. On peut aussi montrer directement qu’il existe un homéomorphisme universel \(X \to \mathbf{A}^1_k\) en utilisant \(t \mapsto t^2\) sur les espaces affines. En fait, ce \(X\) est le même que le \(X\) ci-dessus.

Épaississements

La terminologie suivante n’est peut-être pas tout à fait standard, mais elle est commode.

Définition

Épaississements. Soit \(S\) un schéma.

1. Nous disons qu’un espace algébrique \(X'\) est un épaississement d’un espace algébrique \(X\) si \(X\) est un sous-espace fermé de \(X'\) et si les espaces topologiques associés sont égaux.

2. Nous disons que \(X'\) est un épaississement du premier ordre de \(X\) si \(X\) est un sous-espace fermé de \(X'\) et si le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) qui définit \(X\) est de carré nul.

3. Nous disons que \(X'\) est un épaississement d’ordre fini de \(X\) si \(X\) est un sous-espace fermé de \(X\) et si le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) qui définit \(X\) est nilpotent, c’est-à-dire s’il existe un entier \(n \geq 0\) tel que \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\).

4. Nous disons que \(X'\) est un épaississement d’ordre \(n\) de \(X\) si \(X\) est un sous-espace fermé de \(X\) et si \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\), où \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) est le faisceau quasi-cohérent d’idéaux qui définit \(X\).

5. Étant donnés deux épaississements \(X \subset X'\) et \(Y \subset Y'\), un morphisme d’épaississements est un morphisme \(f' : X' \to Y'\) tel que \(f(X) \subset Y\), c’est-à-dire tel que \(f'|_X\) se factorise par le sous-espace fermé \(Y\). Dans cette situation, nous posons \(f = f'|_X : X \to Y\) et disons que \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) est un morphisme d’épaississements.

6. Soit \(B\) un espace algébrique. Nous définissons de même les épaississements sur \(B\) et les morphismes d’épaississements sur \(B\). Cela signifie que les espaces \(X, X', Y, Y'\) ci-dessus sont des espaces algébriques munis d’un morphisme structural vers \(B\) et que les morphismes \(X \to X'\), \(Y \to Y'\) et \(f' : X' \to Y'\) sont des morphismes sur \(B\).

L’équivalence fondamentale. Notons que si \(X \subset X'\) est un épaississement, alors \(X \to X'\) est entier et universellement bijectif. Il en résulte que [05ZL]\[\begin{equation} X_{spaces, \etale} = X'_{spaces, \etale} \end{equation}\] par le foncteur d’image inverse, voir le Théorème 05ZH. Nous pouvons donc considérer \(\mathcal{O}_{X'}\) comme un faisceau sur \(X_{spaces, \etale}\). Nous obtenons ainsi une équivalence canonique de topos localement annelés [05ZM]\[\begin{equation} (\Sh(X'_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{X'}) \cong (\Sh(X_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{X'}) \end{equation}\] Dans la suite, nous la combinerons fréquemment avec le résultat de pleine fidélité de Propriétés des espaces, Théorème 04KL. Par exemple, à l’immersion fermée \(i_X : X \to X'\) correspond le morphisme surjectif \(i_X^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\).

Soit \(S\) un schéma et soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) un morphisme d’épaississements sur \(B\). Notons que le diagramme de foncteurs continus \[\xymatrix{ X_{spaces, \etale} & Y_{spaces, \etale} \ar[l] \\ X'_{spaces, \etale} \ar[u] & Y'_{spaces, \etale} \ar[u] \ar[l] }\] est commutatif et que les flèches verticales sont des équivalences. Ainsi, \(f_{spaces, \etale}\), \(f_{small}\), \(f'_{spaces, \etale}\), et \(f'_{small}\) définissent tous le même morphisme de topos. Nous pouvons donc considérer \[(f')^\sharp : f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \longrightarrow \mathcal{O}_{X'}\] comme un morphisme de faisceaux de \(\mathcal{O}_B\)-algèbres qui s’insère dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]_-{f^\sharp} \ar[r] & \mathcal{O}_X \\ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r]^-{(f')^\sharp} \ar[u]^{i_Y^\sharp} & \mathcal{O}_{X'} \ar[u]_{i_X^\sharp} }\] Ici, \(i_X : X \to X'\) et \(i_Y : Y \to Y'\) désignent les immersions fermées données.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(X \subset X'\) et \(Y \subset Y'\) des épaississements d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(B\). Étant donné un morphisme de \(\mathcal{O}_B\)-algèbres \[\alpha : f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] tel que le diagramme \[\xymatrix{ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r]_-{f^\sharp} \ar[r] & \mathcal{O}_X \\ f_{spaces, \etale}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r]^-\alpha \ar[u]^{i_Y^\sharp} & \mathcal{O}_{X'} \ar[u]_{i_X^\sharp} }\] soit commutatif, il existe un unique morphisme \((f, f')\) d’épaississements sur \(B\) tel que \(\alpha = (f')^\sharp\).

Démonstration

Pour trouver \(f'\), d’après Propriétés des espaces, Théorème 04KL, il suffit de montrer que le morphisme de topos annelés \[(f_{spaces, \etale}, \alpha) : (\Sh(X_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{X'}) \longrightarrow (\Sh(Y_{spaces, \etale}), \mathcal{O}_{Y'})\] est un morphisme de topos localement annelés. Cela découle directement de la définition des morphismes de topos localement annelés (Modules sur les sites, Définition 04HA), du fait que \((f, f^\sharp)\) est un morphisme de topos localement annelés (Propriétés des espaces, Lemme 04KJ), du fait que \(\alpha\) s’insère dans le diagramme commutatif donné et du fait que les noyaux de \(i_X^\sharp\) et de \(i_Y^\sharp\) sont localement nilpotents. Enfin, l’égalité \(f' \circ i_X = i_Y \circ f\) découle de la commutativité du diagramme et d’une nouvelle application de Propriétés des espaces, Théorème 04KL. Nous omettons la vérification que \(f'\) est un morphisme sur \(B\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \subset X'\) un épaississement d’espaces algébriques sur \(S\). Pour tout sous-espace ouvert \(U \subset X\), il existe un unique sous-espace ouvert \(U' \subset X'\) tel que \(U = X \times_{X'} U'\).

Démonstration

Soit \(U' \to X'\) l’objet de \(X'_{spaces, \etale}\) qui correspond à l’objet \(U \to X\) de \(X_{spaces, \etale}\) par (05ZL). Le morphisme \(U' \to X'\) est étale et universellement injectif, donc une immersion ouverte, voir Morphismes d’espaces, Lemme 05W5.

Soit \(i_X : X \to X'\) un épaississement d’espaces algébriques. Toute section locale du noyau \(\mathcal{I} = \Ker(i_X^\sharp) \subset \mathcal{O}_{X'}\) est localement nilpotente. Cela donne un certain contrôle sur le faisceau structural \(\mathcal{O}_{X'}\), mais, techniquement, la classe des épaississements d’ordre fini \(X \subset X'\) est beaucoup plus facile à manier. En effet, si \(X'\) est un épaississement d’ordre \(n\), nous avons une filtration \[0 \subset \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\] et nous voyons que \(X'\) est muni d’une filtration par des sous-espaces fermés \[X = X_0 \subset X_1 \subset \ldots \subset X_{n - 1} \subset X_{n + 1} = X'\] telle que chaque paire \(X_i \subset X_{i + 1}\) est un épaississement du premier ordre sur \(B\). De simples arguments de récurrence permettent de reformuler nombre de résultats démontrés pour les épaississements du premier ordre en des résultats sur les épaississements d’ordre fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \subset X'\) un épaississement d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(U\) un objet affine de \(X_{spaces, \etale}\). Alors \[\Gamma(U, \mathcal{O}_{X'}) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\] est surjectif, où l’on considère \(\mathcal{O}_{X'}\) comme un faisceau sur \(X_{spaces, \etale}\) au moyen de (05ZM).

Démonstration

Soit \(U' \to X'\) le morphisme étale d’espaces algébriques tel que \(U = X \times_{X'} U'\), voir le Théorème 05ZH. D’après Limites d’espaces, Lemme 07VS, nous voyons que \(U'\) est un schéma affine. Par conséquent, \(\Gamma(U, \mathcal{O}_{X'}) = \Gamma(U', \mathcal{O}_{U'}) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) est surjectif, puisque \(U \to U'\) est une immersion fermée de schémas affines. Nous donnons ci-dessous une démonstration directe pour les épaississements d’ordre fini, cas le plus utilisé en pratique.

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(X \subset X'\) est un épaississement du premier ordre, par le principe expliqué ci-dessus. Notons \(\mathcal{I}\) le noyau de la surjection \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\). Comme \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module quasi-cohérent et que \(\mathcal{I}^2 = 0\) par définition d’un épaississement du premier ordre, nous pouvons appliquer Morphismes d’espaces, Lemme 04CJ pour voir que \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Le lemme découle donc de la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] et du fait que \(H^1_\etale(U, \mathcal{I}) = 0\), puisque \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent, voir Descente, Proposition 03DW, et Cohomologie des schémas, Lemme 01XB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \subset X'\) un épaississement d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(X\) est (représentable par) un schéma, alors \(X'\) l’est aussi.

Démonstration

Notons que \(X'_{red} = X_{red}\). Par conséquent, si \(X\) est un schéma, alors \(X'_{red}\) est un schéma. Le résultat découle donc de Limites d’espaces, Lemme 07VU. Nous donnons ci-dessous une démonstration directe pour les épaississements d’ordre fini, cas le plus souvent utilisé en pratique.

Démonstration

Il suffit de le démontrer lorsque \(X'\) est un épaississement du premier ordre de \(X\). D’après Propriétés des espaces, Lemme 03JH, il existe un plus grand sous-espace ouvert de \(X'\) qui soit un schéma. Nous devons donc montrer que tout point \(x\) de \(|X'| = |X|\) est contenu dans un sous-espace ouvert de \(X'\) qui soit un schéma. En utilisant le Lemme 05ZP, nous pouvons remplacer \(X \subset X'\) par \(U \subset U'\), avec \(x \in U\) et \(U\) un schéma affine. Nous pouvons donc supposer que \(X\) est affine. Nous sommes ainsi ramenés au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(X \subset X'\) soit un épaississement du premier ordre, où \(X\) est un schéma affine. Posons \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(A' = \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\). D’après le Lemme 05ZQ, le morphisme \(A' \to A\) est surjectif. Son noyau \(I\) est un idéal de carré nul. D’après Propriétés des espaces, Lemme 05Z1, nous obtenons un morphisme canonique \(f : X' \to \Spec(A')\) qui s’insère dans le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ X \ar@{=}[d] \ar[r] & X' \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(A') }\] Comme les flèches horizontales sont des épaississements, il est clair que \(f\) est universellement injectif et surjectif. Il suffit donc de montrer que \(f\) est étale, car alors Morphismes d’espaces, Lemme 05W5, entraînera que \(f\) est un isomorphisme.

Pour démontrer que \(f\) est étale, choisissons un schéma affine \(U'\) et un morphisme étale \(U' \to X'\). Il suffit de montrer que \(U' \to X' \to \Spec(A')\) est étale, voir Propriétés des espaces, Définition 03FR. Écrivons \(U' = \Spec(B')\). Posons \(U = X \times_{X'} U'\). Comme \(U\) est un sous-espace fermé de \(U'\), c’est un sous-schéma fermé, et donc \(U = \Spec(B)\) avec \(B' \to B\) surjectif. Notons \(J = \Ker(B' \to B)\) et remarquons que \(J = \Gamma(U, \mathcal{I})\), où \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X)\) sur \(X_{spaces, \etale}\), comme dans la démonstration du Lemme 05ZQ. Le morphisme \(U' \to X' \to \Spec(A')\) induit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & J \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] Maintenant, comme \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, nous avons \(\mathcal{I} = (\widetilde I)^a\), voir Descente, Définition 03DU, pour les notations, et Descente, Proposition 03DX, pour la justification. Nous voyons donc que \(J = I \otimes_A B\). Enfin, notons que \(A \to B\) est étale, car \(U \to X\) est étale en tant que changement de base du morphisme étale \(U' \to X'\). Nous concluons que \(A' \to B'\) est étale par Algèbre, Lemme 05YT.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \subset X'\) un épaississement d’espaces algébriques sur \(S\). Le foncteur \[V' \longmapsto V = X \times_{X'} V'\] définit une équivalence de catégories \(X'_\etale \to X_\etale\).

Démonstration

Le foncteur \(V' \mapsto V\) définit une équivalence de catégories \(X'_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\), voir le Théorème 05ZH. Il suffit donc de montrer que \(V\) est un schéma si et seulement si \(V'\) est un schéma. C’est le contenu du Lemme 05ZR.

Les épaississements du premier ordre se décrivent comme suit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Considérons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X \to 0\] de faisceaux sur \(X_\etale\), où \(\mathcal{A}\) est un faisceau de \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-algèbres, \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_X\) est une surjection de faisceaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-algèbres, et \(\mathcal{I}\) son noyau. Si

1. \(\mathcal{I}\) est un idéal de carré nul dans \(\mathcal{A}\), et

2. \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module,

alors il existe un épaississement du premier ordre \(X \subset X'\) sur \(B\) et un isomorphisme \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}\) de \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-algèbres compatible aux surjections vers \(\mathcal{O}_X\).

Démonstration

Dans cette démonstration, nous reprenons certains des arguments employés dans les démonstrations des Lemmes 05ZQ et 05ZR. Nous traitons d’abord le cas \(B = S = \Spec(\mathbf{Z})\). Soit \(U\) un schéma affine et soit \(U \to X\) étale. Alors \[0 \to \mathcal{I}(U) \to \mathcal{A}(U) \to \mathcal{O}_X(U) \to 0\] est exacte, car \(H^1(U_\etale, \mathcal{I}) = 0\) puisque \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent, voir Descente, Proposition 03DW, et Cohomologie des schémas, Lemme 01XB. Si \(V \to U\) est un morphisme d’objets affines de \(X_{spaces, \etale}\), alors \[\mathcal{I}(V) = \mathcal{I}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{O}_X(V)\] puisque \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, voir Descente, Proposition 03DX. Ainsi \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{A}(V)\) est un homomorphisme d’anneaux étale, voir Algèbre, Lemme 05YT. Nous voyons donc que \[U \longmapsto U' = \Spec(\mathcal{A}(U))\] est un foncteur de \(X_{affine, \etale}\) vers la catégorie des schémas affines et des morphismes étales. En fait, nous affirmons que ce foncteur peut s’étendre en un foncteur \(U \mapsto U'\) sur tout \(X_\etale\). Pour le voir, si \(U\) est un objet de \(X_\etale\), notons que \[0 \to \mathcal{I}|_{U_{Zar}} \to \mathcal{A}|_{U_{Zar}} \to \mathcal{O}_X|_{U_{Zar}} \to 0\] et que \(\mathcal{I}|_{U_{Zar}}\) est un faisceau quasi-cohérent sur \(U\), voir Descente, Proposition 03LC. Par conséquent, d’après Compléments sur les morphismes, Lemme 05YV, nous obtenons un épaississement du premier ordre de schémas \(U \subset U'\) tel que \(\mathcal{O}_{U'}\) soit isomorphe à \(\mathcal{A}|_{U_{Zar}}\). Il est clair que cette construction est compatible avec la construction affine ci-dessus.

Choisissons une présentation \(X = U/R\), voir Espaces, Définition 0263, de sorte que \(s, t : R \to U\) définissent une relation d’équivalence étale. En appliquant le foncteur ci-dessus, nous obtenons une relation d’équivalence étale \(s', t' : R' \to U'\) dans les schémas. Considérons l’espace algébrique \(X' = U'/R'\) (voir Espaces, Théorème 02WW). Le morphisme \(X = U/R \to U'/R' = X'\) est un épaississement du premier ordre. Considérons \(\mathcal{O}_{X'}\) comme un faisceau sur \(X_\etale\). Par construction, nous avons un isomorphisme \[\gamma : \mathcal{O}_{X'}|_{U_\etale} \longrightarrow \mathcal{A}|_{U_\etale}\] tel que \(s^{-1}\gamma\) coïncide avec \(t^{-1}\gamma\) sur \(R_\etale\). Par conséquent, d’après Propriétés des espaces, Lemme 05YY, cela implique que \(\gamma\) provient d’un unique isomorphisme \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}\), comme voulu.

Pour traiter le cas d’un espace algébrique de base quelconque \(B\), nous construisons d’abord \(X'\) comme espace algébrique sur \(\mathbf{Z}\), ainsi que ci-dessus. Nous utilisons ensuite l’isomorphisme \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{A}\) pour définir \(f^{-1}\mathcal{O}_B \to \mathcal{O}_{X'}\). D’après le Lemme 05ZN, cela définit un morphisme \(X' \to B\) compatible avec le morphisme donné \(X \to B\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y \subset Y'\) un épaississement d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(X' \to Y'\) un morphisme et posons \(X = Y \times_{Y'} X'\). Alors \((X \subset X') \to (Y \subset Y')\) est un morphisme d’épaississements. Si \(Y \subset Y'\) est un épaississement du premier ordre (respectivement d’ordre fini), alors \(X \subset X'\) est un épaississement du premier ordre (respectivement d’ordre fini).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Si \(X \subset X'\) et \(X' \subset X''\) sont des épaississements d’espaces algébriques sur \(S\), alors \(X \subset X''\) en est un également.

Démonstration

Omis.

Lemme

La propriété d’être un épaississement est locale pour la topologie fpqc. Il en va de même pour les épaississements du premier ordre.

Démonstration

L’énoncé signifie ceci : soit \(S\) un schéma et soit \(X \to X'\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\{g_i : X'_i \to X'\}\) un recouvrement fpqc d’espaces algébriques tel que le changement de base \(X_i \to X'_i\) soit un épaississement pour tout \(i\). Alors \(X \to X'\) est un épaississement. Comme les morphismes \(g_i\) sont conjointement surjectifs, nous concluons que \(X \to X'\) est surjectif. D’après Descente sur les espaces, Lemme 0420, nous concluons que \(X \to X'\) est une immersion fermée. Ainsi \(X \to X'\) est un épaississement. Nous omettons la démonstration dans le cas des épaississements du premier ordre.

Morphismes d’épaississements

Si \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) est un morphisme d’épaississements d’espaces algébriques, les propriétés de \(f\) se transmettent souvent à \(f'\). Il existe plusieurs variantes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) un morphisme d’épaississements d’espaces algébriques sur \(S\). Alors

1. \(f\) est un morphisme affine si et seulement si \(f'\) est un morphisme affine,

2. \(f\) est un morphisme surjectif si et seulement si \(f'\) est un morphisme surjectif,

3. \(f\) est quasi-compact si et seulement si \(f'\) est quasi-compact,

4. \(f\) est universellement fermé si et seulement si \(f'\) est universellement fermé,

5. \(f\) est entier si et seulement si \(f'\) est entier,

6. \(f\) est (quasi-)séparé si et seulement si \(f'\) est (quasi-)séparé,

7. \(f\) est universellement injectif si et seulement si \(f'\) est universellement injectif,

8. \(f\) est universellement ouvert si et seulement si \(f'\) est universellement ouvert,

9. \(f\) est représentable si et seulement si \(f'\) est représentable, et

10. ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Observons que \(Y \to Y'\) et \(X \to X'\) sont des morphismes entiers et des homéomorphismes universels. Cela entraîne immédiatement les assertions (2), (3), (4), (7) et (8). L’assertion (1) découle de Limites d’espaces, Proposition 07VT, qui nous dit qu’il existe une correspondance bijective entre les schémas affines étales sur \(X\) et sur \(X'\), et entre les schémas affines étales sur \(Y\) et sur \(Y'\). L’assertion (5) découle de (1) et (4) par Morphismes d’espaces, Lemme 0415. Enfin, notons que \[X \times_Y X = X \times_{Y'} X \to X \times_{Y'} X' \to X' \times_{Y'} X'\] est un épaississement (les deux flèches sont des épaississements par le Lemme 09ZX). Ainsi, en appliquant (3) et (4) au morphisme \((X \subset X') \to (X \times_Y X \to X' \times_{Y'} X')\) nous obtenons (6). Enfin, l’assertion (9) découle du fait qu’un espace algébrique qui est un épaississement d’un schéma est encore un schéma, voir le Lemme 05ZR.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) un morphisme d’épaississements d’espaces algébriques sur \(S\) tel que \(X = Y \times_{Y'} X'\). Si \(X \subset X'\) est un épaississement d’ordre fini, alors

1. \(f\) est une immersion fermée si et seulement si \(f'\) est une immersion fermée,

2. \(f\) est localement de type fini si et seulement si \(f'\) est localement de type fini,

3. \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f'\) est localement quasi-fini,

4. \(f\) est localement de type fini de dimension relative \(d\) si et seulement si \(f'\) est localement de type fini de dimension relative \(d\),

5. \(\Omega_{X/Y} = 0\) si et seulement si \(\Omega_{X'/Y'} = 0\),

6. \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f'\) est non ramifié,

7. \(f\) est propre si et seulement si \(f'\) est propre,

8. \(f\) est un morphisme fini si et seulement si \(f'\) est un morphisme fini,

9. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(f'\) est un monomorphisme,

10. \(f\) est une immersion si et seulement si \(f'\) est une immersion, et

11. ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to Y'\). Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to X' \times_{Y'} V'\). Posons \(V = Y \times_{Y'} V'\) et \(U = X \times_{X'} U'\). Pour les propriétés des morphismes qui sont locales pour la topologie étale, nous pouvons alors nous ramener au morphisme d’épaississements de schémas \((U \subset U') \to (V \subset V')\) et appliquer Compléments sur les morphismes, Lemme 09ZW. Cela démontre (2), (3), (4), (5) et (6).

Les propriétés des morphismes figurant en (1), (7), (8), (9) et (10) sont stables par changement de base ; par conséquent, si \(f'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(f\) la possède également. Voir Espaces, Lemme 02YW, et Morphismes d’espaces, Lemmes 04WP, 03ZS, et 042P.

Le sens intéressant de (1), (7), (8), (9) et (10) consiste à supposer que \(f\) possède la propriété et à en déduire que \(f'\) la possède aussi. Par récurrence sur l’ordre de l’épaississement, nous pouvons supposer que \(Y \subset Y'\) est un épaississement du premier ordre, voir la discussion ci-dessus sur les épaississements d’ordre fini.

Démonstration de (1). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to Y'\). Posons \(V = Y \times_{Y'} V'\), \(U' = X' \times_{Y'} V'\) et \(U = X \times_Y V\). Alors \(U \to V\) est une immersion fermée, ce qui implique que \(U\) est un schéma, et entraîne à son tour que \(U'\) est un schéma (Lemme 05ZR). Nous pouvons donc appliquer le lemme dans le cas des schémas (Compléments sur les morphismes, Lemme 09ZW) à \((U \subset U') \to (V \subset V')\) pour conclure.

Démonstration de (7). Elle résulte de la combinaison de (2) avec les résultats du Lemme 09ZY et du fait qu’être propre équivaut à être quasi-compact \(+\) séparé \(+\) localement de type fini \(+\) universellement fermé.

Démonstration de (8). Elle résulte de la combinaison de (2) avec les résultats du Lemme 09ZY et du fait qu’être fini équivaut à être entier \(+\) localement de type fini (Morphismes, Lemme 01WJ).

Démonstration de (9). Comme \(f\) est un monomorphisme, nous avons \(X = X \times_Y X\). Nous pouvons appliquer les résultats déjà démontrés au morphisme d’épaississements \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\). Nous concluons par (1) que \(X' \to X' \times_{Y'} X'\) est une immersion fermée. En fait, c’est un épaississement du premier ordre, car l’idéal qui définit l’immersion fermée \(X' \to X' \times_{Y'} X'\) est contenu dans l’image inverse de l’idéal \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{Y'}\) qui définit \(Y\) dans \(Y'\). En effet, \(X = X \times_Y X = (X' \times_{Y'} X') \times_{Y'} Y\) est contenu dans \(X'\). Le faisceau conormal de l’immersion fermée \(\Delta : X' \to X' \times_{Y'} X'\) est égal à \(\Omega_{X'/Y'}\) (c’est l’analogue de Morphismes, Lemme 08S2, pour les espaces algébriques, et cela découle soit d’une localisation étale, soit de la combinaison des Lemmes 05ZB et 05ZD ; certains détails sont omis). Il suffit donc de montrer que \(\Omega_{X'/Y'} = 0\), ce qui découle de (5) et de l’énoncé correspondant pour \(X/Y\).

Démonstration de (10). Si \(f : X \to Y\) est une immersion, elle se factorise sous la forme \(X \to V \to Y\), où \(V \to Y\) est un sous-espace ouvert et \(X \to V\) une immersion fermée, voir Morphismes d’espaces, Remarque 04CE. Soit \(V' \subset Y'\) le sous-espace ouvert dont l’espace topologique sous-jacent \(|V'|\) est égal à \(|V| \subset |Y| = |Y'|\). Alors \(X' \to Y'\) se factorise par \(V'\), et nous concluons par (1) que \(X' \to V'\) est une immersion fermée. Cela achève la démonstration.

Le lemme suivant est une variante du précédent. Au lieu de supposer que les épaississements en jeu sont d’ordre fini (ce qui permet de transférer de \(f\) à \(f'\) la propriété d’être localement de type fini), nous supposons plutôt que \(f\) et \(f'\) sont tous deux localement de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \to Y')\) un morphisme d’épaississements d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) et \(f'\) soient localement de type fini et que \(X = Y \times_{Y'} X'\). Alors

1. \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f'\) est localement quasi-fini,

2. \(f\) est fini si et seulement si \(f'\) est fini,

3. \(f\) est une immersion fermée si et seulement si \(f'\) est une immersion fermée,

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\) si et seulement si \(\Omega_{X'/Y'} = 0\),

5. \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f'\) est non ramifié,

6. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(f'\) est un monomorphisme,

7. \(f\) est une immersion si et seulement si \(f'\) est une immersion,

8. \(f\) est propre si et seulement si \(f'\) est propre, et

9. ajouter d’autres propriétés ici.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to Y'\). Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to X' \times_{Y'} V'\). Posons \(V = Y \times_{Y'} V'\) et \(U = X \times_{X'} U'\). Pour les propriétés des morphismes qui sont locales pour la topologie étale, nous pouvons alors nous ramener au morphisme d’épaississements de schémas \((U \subset U') \to (V \subset V')\) et appliquer Compléments sur les morphismes, Lemme 0BPG. Cela démontre (1), (4) et (5).

Les propriétés figurant en (2), (3), (6), (7) et (8) sont stables par changement de base ; par conséquent, si \(f'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(f\) la possède également. Voir Espaces, Lemme 02YW, et Morphismes d’espaces, Lemmes 04WP, 03ZS, et 042P. Ainsi, dans chaque cas, il suffit de démontrer que, si \(f\) possède la propriété voulue, alors \(f'\) la possède aussi.

Le cas (2) découle du cas (5) du Lemme 09ZY et du fait que les morphismes finis sont exactement les morphismes entiers qui sont localement de type fini (Morphismes d’espaces, Lemme 0414).

Cas (3). Cela découle immédiatement de Limites d’espaces, Lemme 08B2.

Démonstration de (6). Comme \(f\) est un monomorphisme, nous avons \(X = X \times_Y X\). Nous pouvons appliquer les résultats déjà démontrés au morphisme d’épaississements \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\). Nous concluons par (3) que \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\) est une immersion fermée. En fait, \(\Delta_{X'/Y'}\) induit une bijection \(|X'| \to |X' \times_{Y'} X'|\), donc \(\Delta_{X'/Y'}\) est un épaississement. D’autre part, \(\Delta_{X'/Y'}\) est localement de présentation finie d’après Morphismes d’espaces, Lemme 084P. Autrement dit, \(\Delta_{X'/Y'}(X')\) est défini par un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{X' \times_{Y'} X'}\) de type fini. Comme \(\Omega_{X'/Y'} = 0\) par (5), nous voyons que le faisceau conormal de \(X' \to X' \times_{Y'} X'\) est nul. (Le faisceau conormal de l’immersion fermée \(\Delta_{X'/Y'}\) est égal à \(\Omega_{X'/Y'}\) ; c’est l’analogue de Morphismes, Lemme 08S2, pour les espaces algébriques, et cela découle soit d’une localisation étale, soit de la combinaison des Lemmes 05ZB et 05ZD ; certains détails sont omis.) Autrement dit, \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\). Cela implique que \(\Delta_{X'/Y'}\) est un isomorphisme, par exemple par Algèbre, Lemme 00EH.

Démonstration de (7). Si \(f : X \to Y\) est une immersion, elle se factorise sous la forme \(X \to V \to Y\), où \(V \to Y\) est un sous-espace ouvert et \(X \to V\) une immersion fermée, voir Morphismes d’espaces, Remarque 04CE. Soit \(V' \subset Y'\) le sous-espace ouvert dont l’espace topologique sous-jacent \(|V'|\) est égal à \(|V| \subset |Y| = |Y'|\). Alors \(X' \to Y'\) se factorise par \(V'\), et nous concluons par (3) que \(X' \to V'\) est une immersion fermée.

Le cas (8) découle du Lemme 09ZY et de la définition des morphismes propres comme morphismes quasi-compacts, universellement fermés et séparés qui sont localement de type fini.

Groupes de Picard des épaississements

Quelques éléments sur les groupes de Picard des épaississements.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \subset X'\) un épaississement du premier ordre d’espaces algébriques sur \(S\), dont le faisceau d’idéaux est \(\mathcal{I}\). Il existe alors une suite exacte canonique \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}^*_X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^1(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \Pic(X') \ar[r] & \Pic(X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^2(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \ldots }\] de groupes abéliens.

Démonstration

Rappelons que \(X_\etale = X'_\etale\), voir le Lemme 05ZS et, plus généralement, la discussion de la section 05ZJ. La suite du lemme est la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte de faisceaux de groupes abéliens \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] sur \(X_\etale\), où le premier morphisme envoie une section locale \(f\) de \(\mathcal{I}\) sur la section inversible \(1 + f\) de \(\mathcal{O}_{X'}\). Nous utilisons aussi l’identification du groupe de Picard d’un site annelé au premier groupe de cohomologie du faisceau des éléments inversibles, voir Cohomologie sur les sites, Lemme 040E.

Voisinages infinitésimaux

Une construction naturelle d’épaississements d’ordre fini est la suivante. Supposons que \(i : Z \to X\) soit une immersion d’espaces algébriques. Choisissons un sous-espace ouvert \(U \subset X\) tel que \(i\) identifie \(Z\) au sous-espace fermé \(Z \subset U\) (voir Morphismes d’espaces, Remarque 04CE). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux qui définit \(Z\) dans \(U\), voir Morphismes d’espaces, Lemme 03MB. Pour \(n \geq 1\), nous pouvons considérer le sous-espace fermé \(Z_n \subset U\) défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}^{n + 1}\).

Définition

Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques.

1. Le voisinage infinitésimal du premier ordre de \(Z\) dans \(X\) est l’épaississement du premier ordre \(Z \subset Z_1\) sur \(X\) décrit ci-dessus.

2. Le voisinage infinitésimal d’ordre \(n\) de \(Z\) dans \(X\) est l’épaississement d’ordre \(n\) \(Z \subset Z_n\) sur \(X\) décrit ci-dessus.

Cet épaississement possède la propriété universelle suivante (ce qui dissipera toute crainte que la construction ci-dessus ne dépende du choix de l’ouvert \(U\)).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques.

1. Le voisinage infinitésimal du premier ordre \(Z'\) de \(Z\) dans \(X\) possède la propriété universelle suivante : pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre sur \(X\), il existe un unique morphisme \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) d’épaississements sur \(X\).

2. Pour \(n \geq 1\), le voisinage infinitésimal d’ordre \(n\) \(Z_n\) de \(Z\) dans \(X\) possède la propriété universelle suivante : pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement d’ordre \(n\) sur \(X\), il existe un unique morphisme \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z_n)\) d’épaississements sur \(X\).

Démonstration

Nous ne démontrerons que (1). Soit \(U \subset X\) le sous-espace ouvert utilisé dans la construction de \(Z'\), c’est-à-dire un ouvert tel que \(Z\) soit identifié à un sous-espace fermé de \(U\) défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}\). Comme \(|T| = |T'|\), nous voyons que \(|b|(|T'|) \subset |U|\). Nous pouvons donc considérer \(b\) comme un morphisme à valeurs dans \(U\), voir Propriétés des espaces, Lemme 03IE. Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{T'}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux de carré nul qui définit \(T\). La commutativité du diagramme donne \(b|_T = i \circ a\), où \(i : Z \to U\) est l’immersion fermée. Nous en déduisons que \(b^\sharp(b^{-1}\mathcal{I}) \subset \mathcal{J}\) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03MB. Comme \(T'\) est un épaississement du premier ordre de \(T\), nous avons \(\mathcal{J}^2 = 0\), donc \(b^\sharp(b^{-1}(\mathcal{I}^2)) = 0\). D’après Morphismes d’espaces, Lemme 03MB, il s’ensuit que \(b\) se factorise par \(Z'\). En notant \(a' : T' \to Z'\) cette factorisation, nous concluons.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques. Soit \(Z \subset Z'\) le voisinage infinitésimal du premier ordre de \(Z\) dans \(X\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] induit un morphisme de faisceaux conormaux \(\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\) d’après le Lemme 04CP. Ce morphisme est un isomorphisme.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la construction de \(Z'\) ci-dessus.

Transformations formellement lisses, étales et non ramifiées

Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) est dit formellement lisse, resp. formellement étale, resp. formellement non ramifié (voir Algèbre, Définition 00TI, resp. Définition 00UQ, resp. Définition 00UN) si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] où \(I \subset B\) est un idéal de carré nul, il existe une flèche pointillée, resp. il en existe une unique, resp. il en existe au plus une, qui rend le diagramme commutatif. Cela motive l’analogue suivant pour les morphismes d’espaces algébriques et, plus généralement, pour les foncteurs.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(a : F \to G\) une transformation de foncteurs \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Considérons les diagrammes commutatifs de flèches pleines de la forme \[\xymatrix{ F \ar[d]_a & T \ar[d]^i \ar[l] \\ G & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] où \(T\) et \(T'\) sont des schémas affines et \(i\) une immersion fermée définie par un idéal de carré nul.

1. On dit que \(a\) est formellement lisse si, pour tout diagramme de flèches pleines comme ci-dessus, il existe une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif¹.

2. On dit que \(a\) est formellement étale si, pour tout diagramme de flèches pleines comme ci-dessus, il existe exactement une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif.

3. On dit que \(a\) est formellement non ramifiée si, pour tout diagramme de flèches pleines comme ci-dessus, il existe au plus une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(a : F \to G\) une transformation de foncteurs \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Alors \(a\) est formellement étale si et seulement si \(a\) est à la fois formellement lisse et formellement non ramifiée.

Démonstration

Cela résulte formellement de la définition.

Lemme

Composition.

1. Un composé de transformations de foncteurs formellement lisses est formellement lisse.

2. Un composé de transformations de foncteurs formellement étales est formellement étale.

3. Un composé de transformations de foncteurs formellement non ramifiées est formellement non ramifié.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soient \(a : F \to G\), \(b : H \to G\) des transformations de foncteurs. Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ H \times_{b, G, a} F \ar[r]_-{b'} \ar[d]_{a'} & F \ar[d]^a \\ H \ar[r]^b & G }\]

1. Si \(a\) est formellement lisse, alors le changement de base \(a'\) est formellement lisse.

2. Si \(a\) est formellement étale, alors le changement de base \(a'\) est formellement étale.

3. Si \(a\) est formellement non ramifiée, alors le changement de base \(a'\) est formellement non ramifiée.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(F, G : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soit \(a : F \to G\) une transformation de foncteurs représentable.

1. Si \(a\) est lisse, alors \(a\) est formellement lisse.

2. Si \(a\) est étale, alors \(a\) est formellement étale.

3. Si \(a\) est non ramifiée, alors \(a\) est formellement non ramifiée.

Démonstration

Considérons un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ F \ar[d]_a & T \ar[d]^i \ar[l] \\ G & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] comme dans la Définition 049S. Alors \(F \times_G T'\) est un schéma lisse (resp. étale, resp. non ramifié) sur \(T'\). Par conséquent, d’après Compléments sur les morphismes, Lemme 02H6 (resp. Lemme 02HM, resp. Lemme 02HE), nous pouvons tracer (resp. tracer de manière unique, resp. tracer d’au plus une manière) la flèche pointillée du diagramme \[\xymatrix{ F \times_G T' \ar[d] & T \ar[d]^i \ar[l] \\ T' & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] et nous obtenons donc aussi l’assertion correspondante dans le premier diagramme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma appartenant à \(\Sch_{fppf}\). Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soient \(a : F \to G\), \(b : G \to H\) des transformations de foncteurs. Supposons que \(a\) soit représentable, surjective et étale.

1. Si \(b\) est formellement lisse, alors \(b \circ a\) est formellement lisse.

2. Si \(b\) est formellement étale, alors \(b \circ a\) est formellement étale.

3. Si \(b\) est formellement non ramifiée, alors \(b \circ a\) est formellement non ramifiée.

Réciproquement, considérons un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ G \ar[d]_b & T \ar[d]^i \ar[l] \\ H & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] où \(T'\) est un schéma affine sur \(S\) et \(i : T \to T'\) une immersion fermée définie par un idéal de carré nul.

1. Si \(b \circ a\) est formellement lisse, alors, pour tout \(t \in T\), il existe un morphisme étale de schémas affines \(U' \to T'\) et un morphisme \(U' \to G\) tels que \[\xymatrix{ G \ar[d]_b & T \ar[l] & T \times_{T'} U' \ar[d] \ar[l]\\ H & T' \ar[l] & U' \ar[llu] \ar[l] }\] le diagramme soit commutatif et \(t\) appartienne à l’image de \(U' \to T'\).

2. Si \(b \circ a\) est formellement non ramifiée, alors il existe au plus une flèche pointillée dans le diagramme ci-dessus, c’est-à-dire que \(b\) est formellement non ramifiée.

3. Si \(b \circ a\) est formellement étale, alors il existe exactement une flèche pointillée dans le diagramme ci-dessus, c’est-à-dire que \(b\) est formellement étale.

Démonstration

Supposons que \(b\) soit formellement lisse (resp. formellement étale, resp. formellement non ramifiée). Puisqu’un morphisme étale est à la fois lisse et non ramifié, nous voyons que \(a\) est représentable et lisse (resp. étale, resp. non ramifiée). Les assertions (1), (2) et (3) résultent donc de la combinaison du Lemme 04AL et du Lemme 049T.

Supposons que \(b \circ a\) soit formellement lisse. Considérons un diagramme comme dans l’énoncé du lemme. Posons \(W = F \times_G T\). Par hypothèse, \(W\) est un schéma étale surjectif sur \(T\). D’après Morphismes étales, Théorème 039R, il existe un schéma \(W'\) étale sur \(T'\) tel que \(W = T \times_{T'} W'\). Choisissons un sous-schéma ouvert affine \(U' \subset W'\) tel que \(t\) appartienne à l’image de \(U' \to T'\). Puisque \(b \circ a\) est formellement lisse, il existe un morphisme \(U' \to F\) tel que \[\xymatrix{ F \ar[d]_{b \circ a} & W \ar[l] & T \times_{T'} U' \ar[d] \ar[l]\\ H & T' \ar[l] & U' \ar[llu] \ar[l] }\] le diagramme soit commutatif. Le composé \(U' \to F \to G\) fournit un morphisme comme dans l’assertion (5) du lemme.

Supposons que \(f, g : T' \to G\) soient deux flèches pointillées qui complètent le diagramme du lemme. Posons \(W = F \times_G T\). Par hypothèse, \(W\) est un schéma étale surjectif sur \(T\). D’après Morphismes étales, Théorème 039R, il existe un schéma \(W'\) étale sur \(T'\) tel que \(W = T \times_{T'} W'\). Comme \(a\) est formellement étale, les composés \[W' \to T' \xrightarrow{f} G \quad\text{et}\quad W' \to T' \xrightarrow{g} G\] se relèvent en des morphismes \(f', g' : W' \to F\) (on relève sur les ouverts affines et l’on recolle par unicité). Si maintenant \(b \circ a : F \to H\) est formellement non ramifiée, alors \(f' = g'\) et donc \(f = g\), puisque \(W' \to T'\) est un recouvrement étale. Cela démontre l’assertion (6) du lemme.

Supposons que \(b \circ a\) soit formellement étale. D’après l’assertion (4), nous pouvons trouver, localement pour la topologie étale sur \(T'\), une flèche pointillée qui complète le diagramme, et cette flèche est unique d’après l’assertion (5). Nous pouvons donc recoller les solutions locales pour obtenir l’assertion (6). Certains détails sont omis.

Remarque

On pourrait être tenté de penser que, dans la situation du Lemme 04CY, nous avons « \(b\) formellement lisse » \(\Leftrightarrow\) « \(b \circ a\) formellement lisse ». Cependant, cela est vraisemblablement faux en général.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(F, G, H : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}\). Soient \(a : F \to G\), \(b : G \to H\) des transformations de foncteurs. Supposons que \(b\) soit formellement non ramifiée.

1. Si \(b \circ a\) est formellement non ramifiée, alors \(a\) est formellement non ramifiée.

2. Si \(b \circ a\) est formellement étale, alors \(a\) est formellement étale.

3. Si \(b \circ a\) est formellement lisse, alors \(a\) est formellement lisse.

Démonstration

Soit \(T \subset T'\) une immersion fermée de schémas affines définie par un idéal de carré nul. Soient \(g' : T' \to G\) et \(f : T \to F\) tels que \(g'|_T = a \circ f\). Comme \(b\) est formellement non ramifiée, il existe une correspondance bijective entre \[\{f' : T' \to F \mid f = f'|_T\text{ et }a \circ f' = g'\}\] et \[\{f' : T' \to F \mid f = f'|_T\text{ et }b \circ a \circ f' = b \circ g'\}.\] Le lemme en résulte formellement.

Morphismes formellement non ramifiés

Dans cette section, nous précisons ce que signifie, pour un morphisme d’espaces algébriques, d’être formellement non ramifié.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\) est dit formellement non ramifié s’il est formellement non ramifié en tant que transformation de foncteurs au sens de la Définition 049S.

Nous ne répéterons pas les résultats démontrés dans le cadre plus général des transformations de foncteurs formellement non ramifiées à la section 04G3. On peut caractériser cette propriété par l’annulation du module des différentielles relatives, voir le Lemme 04G9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement non ramifié,

2. pour tout diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et les flèches verticales sont étales, le morphisme de schémas \(\psi\) est formellement non ramifié (au sens de Compléments sur les morphismes, Définition 02H8), et

3. pour un tel diagramme dont les flèches verticales sont surjectives, le morphisme \(\psi\) est formellement non ramifié.

Démonstration

Supposons \(f\) formellement non ramifié. D’après le Lemme 04AL, les morphismes \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont formellement non ramifiés. D’après le Lemme 049T, le composé \(U \to Y\) est donc formellement non ramifié. Il résulte alors du Lemme 04G5 que \(U \to V\) est formellement non ramifié. Ainsi, (1) implique (2), et (2) implique trivialement (3).

Supposons donné un diagramme comme en (3). D’après le Lemme 04AL, le morphisme \(V \to Y\) est formellement non ramifié. D’après le Lemme 049T, le composé \(U \to Y\) est donc formellement non ramifié. Il résulte alors du Lemme 04CY que \(X \to Y\) est formellement non ramifié, c’est-à-dire que (1) est vérifiée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Si \(f : X \to Y\) est un morphisme formellement non ramifié d’espaces algébriques sur \(S\), alors, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre d’espaces algébriques sur \(S\), il existe au plus une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif. Autrement dit, dans la Définition 04G7, on peut supprimer la condition que \(T\) soit un schéma affine.

Démonstration

Cela tient au fait qu’il existe un morphisme étale surjectif \(U' \to T'\), où \(U'\) est une réunion disjointe de schémas affines (voir Propriétés des espaces, Lemme 03FX), et qu’un morphisme \(T' \to X\) est déterminé par sa restriction à \(U'\).

Lemme

Un composé de morphismes formellement non ramifiés est formellement non ramifié.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme formellement non ramifié est formellement non ramifié.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement non ramifié, et

2. \(\Omega_{X/Y} = 0\).

Démonstration

Cela résulte de la combinaison du Lemme 04G8, de Compléments sur les morphismes, Lemme 02H9, et du Lemme 04CU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. le morphisme \(f\) est non ramifié,

2. le morphisme \(f\) est localement de type fini et \(\Omega_{X/Y} = 0\), et

3. le morphisme \(f\) est localement de type fini et formellement non ramifié.

Démonstration

Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et les flèches verticales sont étales et surjectives. Nous avons alors \[\begin{align*} f\text{ non ramifié} & \Leftrightarrow \psi\text{ non ramifié} \\ & \Leftrightarrow \psi\text{ localement de type fini et }\Omega_{U/V} = 0 \\ & \Leftrightarrow f\text{ localement de type fini et }\Omega_{X/Y} = 0 \\ & \Leftrightarrow f\text{ localement de type fini et formellement non ramifié} \end{align*}\] Nous avons utilisé ici Morphismes, Lemme 02G5, et le Lemme 04G9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est non ramifié et est un monomorphisme,

2. \(f\) est non ramifié et universellement injectif,

3. \(f\) est localement de type fini et est un monomorphisme,

4. \(f\) est universellement injectif, localement de type fini et formellement non ramifié.

De plus, dans ce cas, \(f\) est aussi représentable, séparé et localement quasi-fini.

Démonstration

Nous avons vu au Lemme 04GA qu’être formellement non ramifié et localement de type fini équivaut à être non ramifié. Ainsi, (4) est équivalente à (2). Un monomorphisme est certainement formellement non ramifié ; ainsi, (3) implique (4). Il est clair que (1) implique (3). Enfin, si (2) est vérifiée, alors \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est à la fois une immersion ouverte (Morphismes d’espaces, Lemme 05W1) et surjective (Morphismes d’espaces, Lemme 040X) ; c’est donc un isomorphisme, c’est-à-dire que \(f\) est un monomorphisme. Nous voyons ainsi que (2) implique (1). Enfin, nous voyons que \(f\) est représentable, séparé et localement quasi-fini d’après Morphismes d’espaces, Lemmes 0463 et 0418.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est une immersion fermée,

2. \(f\) est universellement fermé, non ramifié et est un monomorphisme,

3. \(f\) est universellement fermé, non ramifié et universellement injectif,

4. \(f\) est universellement fermé, localement de type fini et est un monomorphisme,

5. \(f\) est universellement fermé, universellement injectif, localement de type fini et formellement non ramifié.

Démonstration

L’équivalence de (2) – (5) résulte immédiatement du Lemme 05W6. De plus, si (2) – (5) sont vérifiées, alors \(f\) est représentable. De même, si (1) est vérifiée, alors \(f\) est représentable. Le résultat découle donc du cas des schémas, voir Morphismes étales, Lemme 04XV.

Épaississements universels du premier ordre

Soit \(S\) un schéma. Soit \(h : Z \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\) est un épaississement du premier ordre \(Z \subset Z'\) sur \(X\) tel que, pour tout épaississement du premier ordre \(T \subset T'\) sur \(X\) et tout diagramme commutatif de flèches pleines [0602]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & Z \ar[ld] & & T \ar[rd] \ar[ll]^a \\ Z' \ar[rrd] & & & & T' \ar@{..>}[llll]_{a'} \ar[lld]^b \\ & & X } } \end{equation}\] il existe une unique flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif. Notons que, dans cette situation, \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) est un morphisme d’épaississements sur \(X\). Ainsi, s’il existe un épaississement universel du premier ordre, celui-ci est unique à isomorphisme unique près. En général, un épaississement universel du premier ordre n’existe pas, mais il existe lorsque \(h\) est formellement non ramifié. Avant de le démontrer, montrons qu’un épaississement universel du premier ordre dans la catégorie des schémas l’est également dans la catégorie des espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(h : Z \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset Z'\) un épaississement du premier ordre sur \(X\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(Z \subset Z'\) est un épaississement universel du premier ordre,

2. pour tout diagramme (0602) où \(T'\) est un schéma, il existe une unique flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif, et

3. pour tout diagramme (0602) où \(T'\) est un schéma affine, il existe une unique flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif.

Démonstration

Les implications (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) sont formelles. Supposons (3) et considérons un diagramme arbitraire (0602). Choisissons une présentation \(T' = U'/R'\), voir Espaces, Définition 0263. Nous pouvons supposer que \(U' = \coprod U'_i\) est une réunion disjointe de schémas affines, de sorte que \(R' = U' \times_{T'} U' = \coprod_{i, j} U'_i \times_T' U'_j\). Pour chaque paire \((i, j)\), choisissons un recouvrement ouvert affine \(U'_i \times_T' U'_j = \bigcup_k R'_{ijk}\). Notons \(U_i, R_{ijk}\) les produits fibrés avec \(T\) au-dessus de \(T'\). Alors chacun des couples \(U_i \subset U'_i\) et \(R_{ijk} \subset R'_{ijk}\) est un épaississement du premier ordre de schémas affines. Notons \(a_i : U_i \to Z\), resp. \(a_{ijk} : R_{ijk} \to Z\), le composé de \(a : T \to Z\) avec le morphisme \(U_i \to T\), resp. \(R_{ijk} \to T\). En appliquant (3) à \(a_i : U_i \to Z\), nous obtenons des morphismes uniques \(a'_i : U'_i \to Z'\). En appliquant (3) à \(a_{ijk}\), nous voyons que les deux composés \(R'_{ijk} \to R'_i \to Z'\) et \(R'_{ijk} \to R'_j \to Z'\) sont égaux. Ainsi, \(a' = \coprod a'_i : U' = \coprod U'_i \to Z'\) descend au faisceau quotient \(T' = U'/R'\), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to Y \to X\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(Z \subset Z'\) est un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(Y\) et si \(Y \to X\) est formellement étale, alors \(Z \subset Z'\) est un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\).

Démonstration

Cela est formel. En effet, d’après le Lemme 0603, il suffit de considérer les diagrammes commutatifs de flèches pleines (0602) où \(T'\) est un schéma affine. Le composé \(T \to Z \to Y\) se relève de manière unique en \(T' \to Y\), puisque \(Y \to X\) est supposé formellement étale. Par conséquent, le fait que \(Z \subset Z'\) soit un épaississement universel du premier ordre sur \(Y\) fournit le morphisme voulu \(a' : T' \to Z'\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to Y \to X\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(Z \to Y\) soit étale.

1. Si \(Y \subset Y'\) est un épaississement universel du premier ordre de \(Y\) sur \(X\), alors l’unique morphisme étale \(Z' \to Y'\) tel que \(Z = Y \times_{Y'} Z'\) (voir le Théorème 05ZH) est un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\).

2. Si \(Z \to Y\) est surjectif et si \((Z \subset Z') \to (Y \subset Y')\) est un morphisme étale d’épaississements du premier ordre sur \(X\), tandis que \(Z'\) est un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\), alors \(Y'\) est un épaississement universel du premier ordre de \(Y\) sur \(X\).

Démonstration

Démonstration de (1). D’après le Lemme 0603, il suffit de considérer les diagrammes commutatifs de flèches pleines (0602) où \(T'\) est un schéma affine. Le composé \(T \to Z \to Y\) se relève de manière unique en \(T' \to Y'\), puisque \(Y'\) est l’épaississement universel du premier ordre. Le fait que \(Z' \to Y'\) soit étale implique alors (voir le Lemme 04AL) que \(T' \to Y'\) se relève en le morphisme voulu \(a' : T' \to Z'\).

Démonstration de (2). Soit \(T \subset T'\) un épaississement du premier ordre sur \(X\) et soit \(a : T \to Y\) un morphisme. Posons \(W = T \times_Y Z\) et notons \(c : W \to Z\) la projection. Soit \(W' \to T'\) l’unique morphisme étale tel que \(W = T \times_{T'} W'\), voir le Théorème 05ZH. Notons que \(W' \to T'\) est surjectif puisque \(Z \to Y\) est surjectif. Par hypothèse, nous obtenons un unique morphisme \(c' : W' \to Z'\) sur \(X\) et dont \(c\) est la restriction à \(W\). Par unicité, les deux restrictions de \(c'\) à \(W' \times_{T'} W'\) sont égales (puisque les deux restrictions de \(c\) à \(W \times_T W\) sont égales). Ainsi, \(c'\) descend en un unique morphisme \(a' : T' \to Y'\), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(h : Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié d’espaces algébriques sur \(S\). Il existe un épaississement universel du premier ordre \(Z \subset Z'\) de \(Z\) sur \(X\).

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif quelconque \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] où \(V\) et \(U\) sont des schémas et les flèches verticales sont étales. Notons que \(V \to U\) est un morphisme formellement non ramifié de schémas, voir le Lemme 04G8. En combinant le Lemme 0603 et Compléments sur les morphismes, Lemme 04F3, nous voyons qu’il existe un épaississement universel du premier ordre \(V \subset V'\) de \(V\) sur \(U\). D’après le Lemme 0604, partie (1), \(V'\) est un épaississement universel du premier ordre de \(V\) sur \(X\).

Fixons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). L’argument ci-dessus montre que, pour tout \(V \to Z\) étale, où \(V\) est un schéma tel que \(V \to Z \to X\) se factorise par \(U\), il existe un épaississement universel du premier ordre \(V \subset V'\) de \(V\) sur \(X\) (qui ne dépend toutefois pas de la factorisation choisie de \(V \to X\) par \(U\)). Nous pouvons maintenant choisir \(V\) tel que \(V \to Z\) soit étale surjectif (voir Espaces, Lemme 02X1). Alors \(R = V \times_Z V\) est un schéma étale sur \(Z\) tel que \(R \to X\) se factorise lui aussi par \(U\). Nous obtenons donc des épaississements universels du premier ordre \(V \subset V'\) et \(R \subset R'\) sur \(X\). Puisque \(V \subset V'\) est un épaississement universel du premier ordre, les deux projections \(s, t : R \to V\) se relèvent en des morphismes \(s', t': R' \to V'\). D’après le Lemme 0605, puisque \(R'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(R\) sur \(X\), ces morphismes sont étales. Alors \((t', s') : R' \to V'\) est une relation d’équivalence étale, et nous pouvons poser \(Z' = V'/R'\). Puisque \(V' \to Z'\) est étale surjectif et que \(v'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(V\) sur \(X\), nous déduisons du Lemme 0604, partie (2), que \(Z'\) est un épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(h : Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié d’espaces algébriques sur \(S\).

1. L’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\) est l’épaississement \(Z \subset Z'\) construit au Lemme 0606.

2. Le faisceau conormal de \(Z\) sur \(X\) est le faisceau conormal de \(Z\) dans son épaississement universel du premier ordre \(Z'\) sur \(X\).

Dans cette situation, nous notons souvent le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{Z/X}\).

Nous voyons ainsi qu’il existe une suite exacte courte de faisceaux \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{O}_{Z'} \to \mathcal{O}_Z \to 0\] sur \(Z_\etale\), et \(\mathcal{C}_{Z/X}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent. Le lemme suivant montre qu’il n’y a pas de conflit entre cette définition et celle du cas où \(Z \to X\) est une immersion.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion d’espaces algébriques sur \(S\). Alors

1. \(i\) est formellement non ramifié,

2. l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\) est le voisinage infinitésimal du premier ordre de \(Z\) dans \(X\) de la Définition 05ZV,

3. le faisceau conormal de \(i\) au sens de la Définition 04CN coïncide avec le faisceau conormal de \(i\) au sens de la Définition 0607.

Démonstration

Une immersion d’espaces algébriques est, par définition, un morphisme représentable. Par conséquent, d’après Morphismes, Lemmes 02GB et 02GC, une immersion est non ramifiée (par le principe abstrait du chapitre Espaces, Lemme 02YO). Elle est donc formellement non ramifiée d’après le Lemme 04GA. Les autres assertions résultent de la combinaison des Lemmes 05ZW et 05ZX avec les définitions.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié d’espaces algébriques sur \(S\). Alors l’épaississement universel du premier ordre \(Z'\) est formellement non ramifié sur \(X\).

Démonstration

Soit \(T \subset T'\) un épaississement du premier ordre de schémas affines sur \(X\). Soit \[\xymatrix{ Z' \ar[d] & T \ar[l]^c \ar[d] \\ X & T' \ar[l] \ar[lu]^{a, b} }\] un diagramme commutatif. Posons \(T_0 = c^{-1}(Z) \subset T\) et \(T'_a = a^{-1}(Z)\) (au sens schématique). Comme \(Z'\) est un épaississement du premier ordre de \(Z\), nous voyons que \(T'\) est un épaississement du premier ordre de \(T'_a\). De plus, puisque \(c = a|_T\), nous avons \(T_0 = T \cap T'_a\) (au sens schématique). Comme \(T'\) est un épaississement du premier ordre de \(T\), il s’ensuit que \(T'_a\) est un épaississement du premier ordre de \(T_0\). Or \(a|_{T'_a}\) et \(b|_{T'_a}\) sont des morphismes de \(T'_a\) vers \(Z'\) sur \(X\) qui coïncident sur \(T_0\) comme morphismes vers \(Z\). La propriété universelle de \(Z'\) donne donc \(a|_{T'_a} = b|_{T'_a}\). Ainsi, \(a\) et \(b\) sont des morphismes depuis l’épaississement du premier ordre \(T'\) de \(T'_a\) dont les restrictions à \(T'_a\) coïncident comme morphismes vers \(Z\). En utilisant une nouvelle fois la propriété universelle de \(Z'\), nous obtenons \(a = b\). Autrement dit, la propriété qui définit un morphisme formellement non ramifié est vérifiée par \(Z' \to X\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif d’espaces algébriques sur \(S\) \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] où \(h\) et \(h'\) sont formellement non ramifiés. Soit \(Z \subset Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). Soit \(W \subset W'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(W\) sur \(Y\). Il existe un morphisme canonique \((f, f') : (Z, Z') \to (W, W')\) d’épaississements sur \(Y\) qui s’insère dans le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ & & & Z' \ar[ld] \ar[d]^{f'} \\ Z \ar[rr] \ar[d]_f \ar[rrru] & & X \ar[d] & W' \ar[ld] \\ W \ar[rrru]|!{[rr];[rruu]}\hole \ar[rr] & & Y }\] En particulier, le morphisme \((f, f')\) d’épaississements induit un morphisme de faisceaux conormaux \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\).

Démonstration

La première assertion résulte immédiatement de la propriété universelle de \(W'\). Le morphisme induit sur les faisceaux conormaux est celui du Lemme 04CP appliqué à \((Z \subset Z') \to (W \subset W')\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] un diagramme de produit fibré d’espaces algébriques sur \(S\), où \(h'\) est formellement non ramifié. Alors \(h\) est formellement non ramifié et, si \(W \subset W'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(W\) sur \(Y\), alors \(Z = X \times_Y W \subset X \times_Y W'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). En particulier, le morphisme canonique \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) du Lemme 060A est surjectif.

Démonstration

Le morphisme \(h\) est formellement non ramifié d’après le Lemme 0600. Il est clair que \(X \times_Y W'\) est un épaississement du premier ordre. On vérifie immédiatement qu’il possède la propriété universelle, car \(W'\) la possède (d’après les propriétés universelles des produits fibrés). Voir le Lemme 04CQ pour comprendre pourquoi cela implique la surjectivité du morphisme de faisceaux conormaux.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] un diagramme de produit fibré d’espaces algébriques sur \(S\), où \(h'\) est formellement non ramifié et \(g\) plat. Dans ce cas, le morphisme correspondant \(Z' \to W'\) entre les épaississements universels du premier ordre est plat, et \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) est un isomorphisme.

Démonstration

La platitude est préservée par changement de base, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03MO. La première assertion découle donc de la description de \(W'\) au Lemme 060B. Il est clair que \(X \times_Y W'\) est un épaississement du premier ordre. On vérifie immédiatement qu’il possède la propriété universelle, car \(W'\) la possède (d’après les propriétés universelles des produits fibrés). Voir le Lemme 04CQ pour comprendre pourquoi cela implique que le morphisme de faisceaux conormaux est un isomorphisme.

Lemme

La formation des épaississements universels du premier ordre commute à la localisation étale. Plus précisément, soit \(h : Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié d’espaces algébriques sur un schéma de base \(S\). Considérons \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] un diagramme commutatif dont les flèches verticales sont étales. Soit \(Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). Alors \(V \to U\) est formellement non ramifié, et l’épaississement universel du premier ordre \(V'\) de \(V\) sur \(U\) est étale sur \(Z'\). En particulier, \(\mathcal{C}_{Z/X}|_V = \mathcal{C}_{V/U}\).

Démonstration

La première assertion résulte du Lemme 04G8. La compatibilité des épaississements universels du premier ordre résulte des Lemmes 0604 et 0605.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(h : Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié d’espaces algébriques sur \(B\). Soit \(Z \subset Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\), de morphisme structural \(h' : Z' \to X\). Le morphisme canonique \[\text{d}h' : (h')^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z'/B}\] induit un isomorphisme \(h^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z'/B} \otimes \mathcal{O}_Z\).

Démonstration

Le morphisme \(c_{h'}\) est celui qui est défini au Lemme 04CX. Si \(i : Z \to Z'\) est l’immersion fermée donnée, alors \(i^*c_{h'}\) est un morphisme \(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\). Pour vérifier qu’il s’agit d’un isomorphisme, on se ramène au cas des schémas par localisation étale, voir le Lemme 060D et le Lemme 04CU. Dans ce cas, le résultat est Compléments sur les morphismes, Lemme 04FB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(h : Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié d’espaces algébriques sur \(B\). Il existe une suite exacte canonique \[\mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0.\] La première flèche est induite par \(\text{d}_{Z'/B}\), où \(Z'\) est le voisinage universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\).

Démonstration

Nous savons qu’il existe une suite exacte canonique \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] Cela résulte du Lemme 05ZA. Le résultat s’obtient donc en appliquant le Lemme 060E.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] un diagramme commutatif d’espaces algébriques sur \(S\), où \(i\) et \(j\) sont formellement non ramifiés. Il existe alors une suite exacte canonique \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] où la première flèche provient du Lemme 060A et la seconde du Lemme 060F.

Démonstration

Les morphismes étant définis, la vérification de l’exactitude de la suite se ramène au cas des schémas par localisation étale, voir le Lemme 060D et le Lemme 04CU. Dans ce cas, le résultat est Compléments sur les morphismes, Lemme 067V.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(Z \to Y \to X\) des morphismes formellement non ramifiés d’espaces algébriques sur \(S\).

1. Si \(Z \subset Z'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\) et si \(Y \subset Y'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Y\) sur \(X\), alors il existe un morphisme \(Z' \to Y'\) et \(Y \times_{Y'} Z'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(Y\).

2. Il existe une suite exacte canonique \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] où les morphismes proviennent du Lemme 060A et \(i : Z \to Y\) est le premier morphisme.

Démonstration

Le morphisme \(h : Z' \to Y'\) de (1) provient du Lemme 060A. L’assertion selon laquelle \(Y \times_{Y'} Z'\) est l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(Y\) résulte immédiatement des propriétés universelles de \(Z'\) et de \(Y'\). D’après le Lemme 06BD, nous avons une suite exacte \[(i')^*\mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} \to 0\] où \(i' : Z \to Y \times_{Y'} Z'\) est le morphisme donné. D’après le Lemme 04CQ, il existe une surjection \(h^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'}\). Combinée aux égalités \(\mathcal{C}_{Y/Y'} = \mathcal{C}_{Y/X}\), \(\mathcal{C}_{Z/Z'} = \mathcal{C}_{Z/X}\), et \(\mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} = \mathcal{C}_{Z/Y}\), cette surjection démontre le lemme.

Morphismes formellement étales

Dans cette section, nous explicitons ce que signifie pour un morphisme d’espaces algébriques d’être formellement étale.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\) est dit formellement étale s’il est formellement étale en tant que transformation de foncteurs au sens de la Définition 049S.

Nous ne redonnerons pas les résultats démontrés dans le cadre plus général des transformations de foncteurs formellement étales dans la section 04G3.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement étale,

2. pour tout diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, le morphisme de schémas \(\psi\) est formellement étale (au sens de Compléments sur les morphismes, Définition 02HG), et

3. il existe un tel diagramme dont les flèches verticales sont surjectives et dans lequel \(\psi\) est formellement étale.

Démonstration

Supposons \(f\) formellement étale. D’après le Lemme 04AL, les morphismes \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont formellement étales. Ainsi, d’après le Lemme 049T, la composée \(U \to Y\) est formellement étale. Il résulte alors du Lemme 04G5 que \(U \to V\) est formellement étale. Ainsi, (1) implique (2), et (2) implique trivialement (3).

Supposons donné un diagramme comme en (3). D’après le Lemme 04AL, le morphisme \(V \to Y\) est formellement étale. Ainsi, d’après le Lemme 049T, la composée \(U \to Y\) est formellement étale. Il résulte alors du Lemme 04CY que \(X \to Y\) est formellement étale, c’est-à-dire que (1) est vérifiée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme formellement étale d’espaces algébriques sur \(S\). Alors, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]_a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] où \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre d’espaces algébriques sur \(Y\), il existe une unique flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif. Autrement dit, dans la Définition 04GC, on peut supprimer la condition que \(T\) soit affine.

Démonstration

Soit \(U' \to T'\) un morphisme étale surjectif, où \(U' = \coprod U'_i\) est une somme disjointe de schémas affines. Posons \(U_i = T \times_{T'} U'_i\). On obtient alors des morphismes \(a'_i : U'_i \to X\) tels que \(a'_i|_{U_i}\) soit égal à la composée \(U_i \to T \to X\). Par unicité (voir le Lemme 05ZY), on voit que \(a'_i\) et \(a'_j\) coïncident sur le produit fibré \(U'_i \times_{T'} U'_j\). Par suite, \(\coprod a'_i : U' \to X\) descend en un unique morphisme \(a' : T' \to X\).

Lemme

La composée de morphismes formellement étales est formellement étale.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme formellement étale est formellement étale.

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement étale,

2. \(f\) est formellement non ramifié et l’épaississement universel du premier ordre de \(X\) sur \(Y\) est égal à \(X\),

3. \(f\) est formellement non ramifié et \(\mathcal{C}_{X/Y} = 0\), et

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\) et \(\mathcal{C}_{X/Y} = 0\).

Démonstration

En réalité, la dernière assertion n’a de sens que parce que \(\Omega_{X/Y} = 0\) implique que \(\mathcal{C}_{X/Y}\) est défini par le Lemme 04G9 et la Définition 0607. Cela montre aussi que (3) et (4) sont équivalentes.

Chacune des hypothèses (1), (2) et (3) implique que \(f\) est formellement non ramifié. On peut donc supposer \(f\) formellement non ramifié. L’équivalence de (1), (2) et (3) résulte de la propriété universelle de l’épaississement universel du premier ordre \(X'\) de \(X\) sur \(S\) et du fait que \(X = X' \Leftrightarrow \mathcal{C}_{X/Y} = 0\), puisque, par définition, \(\mathcal{C}_{X/Y} = \mathcal{C}_{X/X'}\) est le faisceau d’idéaux de \(X\) dans \(X'\).

Lemme

Un morphisme plat et non ramifié est formellement étale.

Démonstration

Cela résulte du cas des schémas, voir Compléments sur les morphismes, Lemme 04FF, et de la localisation étale, voir les Lemmes 04G8 et 04GD, ainsi que Morphismes d’espaces, Lemme 03MM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. le morphisme \(f\) est étale, et

2. le morphisme \(f\) est localement de présentation finie et formellement étale.

Démonstration

Cela résulte du cas des schémas, voir Compléments sur les morphismes, Lemme 02HM, et de la localisation étale, voir le Lemme 04GD, ainsi que Morphismes d’espaces, Lemmes 0410 et 03XT.

Déformations infinitésimales de morphismes

Dans cette section, nous expliquons comment une dérivation peut servir à déformer infinitésimalement un morphisme. Dans toute la section, nous utilisons le fait qu’un faisceau sur un épaississement \(X'\) de \(X\) peut être considéré comme un faisceau sur \(X\), voir les Équations (05ZL) et (05ZM).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(X \subset X'\) et \(Y \subset Y'\) deux épaississements du premier ordre d’espaces algébriques sur \(B\). Soient \((a, a'), (b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) deux morphismes d’épaississements sur \(B\). Supposons que

1. \(a = b\), et

2. les deux morphismes \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) (Lemme 04CP) soient égaux.

Alors le morphisme \((a')^\sharp - (b')^\sharp\) se factorise sous la forme \[\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \xrightarrow{D} a_*\mathcal{C}_{X/X'} \to a_*\mathcal{O}_{X'}\] où \(D\) est une \(\mathcal{O}_B\)-dérivation.

Démonstration

Au lieu de travailler sur \(Y\), travaillons sur \(X\). L’avantage est que le foncteur d’image inverse \(a^{-1}\) est exact. En utilisant (1) et (2), on obtient un diagramme commutatif à lignes exactes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{X/X'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & a^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] \ar[u] & a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r] \ar@<1ex>[u]^{(a')^\sharp} \ar@<-1ex>[u]_{(b')^\sharp} & a^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r] \ar[u] & 0 }\] Or il est général que, dans une telle situation, la différence des morphismes de \(\mathcal{O}_B\)-algèbres \((a')^\sharp\) et \((b')^\sharp\) est une \(\mathcal{O}_B\)-dérivation de \(a^{-1}\mathcal{O}_Y\) dans \(\mathcal{C}_{X/X'}\). Par adjonction entre les foncteurs \(a^{-1}\) et \(a_*\), cela revient à une \(\mathcal{O}_B\)-dérivation de \(\mathcal{O}_Y\) dans \(a_*\mathcal{C}_{X/X'}\). Nous omettons certains détails.

Notons que, dans la situation du lemme ci-dessus, on peut écrire \(D\) sous la forme [0619]\[\begin{equation} D = \text{d}_{Y/B} \circ \theta \end{equation}\] où \(\theta\) est une application \(\mathcal{O}_Y\)-linéaire \(\theta : \Omega_{Y/B} \to a_*\mathcal{C}_{X/X'}\). Bien entendu, par adjonction encore, on peut alors considérer \(\theta\) comme une application \(\mathcal{O}_X\)-linéaire \(\theta : a^*\Omega_{Y/B} \to \mathcal{C}_{X/X'}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \((a, a') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre sur \(B\). Soit \[\theta : a^*\Omega_{Y/B} \to \mathcal{C}_{X/X'}\] une application \(\mathcal{O}_X\)-linéaire. Il existe alors un unique morphisme d’épaississements \((b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) tel que (1) et (2) du Lemme 0618 soient vérifiées et que la dérivation \(D\) et \(\theta\) soient reliées par l’Équation (0619).

Démonstration

Considérons le morphisme \[\alpha = (a')^\sharp + D : a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] où \(D\) est comme dans l’Équation (0619). Puisque \(D\) est une \(\mathcal{O}_B\)-dérivation, il en résulte que \(\alpha\) est un morphisme de faisceaux de \(\mathcal{O}_B\)-algèbres. Par construction, on a \(i_X^\sharp \circ \alpha = a^\sharp \circ i_Y^\sharp\), où \(i_X : X \to X'\) et \(i_Y : Y \to Y'\) sont les immersions fermées données. D’après le Lemme 05ZN, on obtient un unique morphisme \((a, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) d’épaississements sur \(B\) tel que \(\alpha = (b')^\sharp\). En posant \(b = a\), le résultat est démontré.

Remarque

Mêmes hypothèses et notations qu’au Lemme 04D0. L’action d’une section locale \(\theta\) sur \(a'\) est parfois notée \(\theta \cdot a'\). Notons que cela signifie seulement que \((a')^\sharp\) et \((\theta \cdot a')^\sharp\) diffèrent d’une dérivation \(D\) reliée à \(\theta\) par l’Équation (0619).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(X \subset X'\) et \(Y \subset Y'\) des épaississements du premier ordre sur \(B\). Supposons donnés un morphisme \(a : X \to Y\) et un morphisme \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Pour un objet \(U'\) de \((X')_{spaces, \etale}\) avec \(U = X \times_{X'} U'\) considérons les morphismes \(a' : U' \to Y'\) tels que

1. \(a'\) soit un morphisme sur \(B\),

2. \(a'|_U = a|_U\), et

3. le morphisme induit \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}|_U \to \mathcal{C}_{X/X'}|_U\) soit la restriction de \(A\) à \(U\).

Alors la règle [061B]\[\begin{equation} U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ tels que (1), (2), (3) soient satisfaites.}\} \end{equation}\] définit un faisceau d’ensembles sur \((X')_{spaces, \etale}\).

Démonstration

Notons \(\mathcal{F}\) la règle du lemme. Le morphisme de restriction \(\mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(V')\) associé à \(V' \subset U' \subset X'\) pour la règle \(\mathcal{F}\) est bien le morphisme de restriction \(a' \mapsto a'|_{V'}\). Avec cette définition, il est clair que \(\mathcal{F}\) est un faisceau, car les morphismes d’espaces algébriques vérifient la descente étale, voir Descente sur les espaces, Lemme 04P2.

Lemme

Mêmes notations et hypothèses qu’au Lemme 061A. Nous identifions les faisceaux sur \(X\) et \(X'\) au moyen de (05ZL). Le faisceau \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/B}, \mathcal{C}_{X/X'})\] opère sur le faisceau (061B). En outre, cette action est simplement transitive pour tout objet \(U'\) de \((X')_{spaces, \etale}\) au-dessus duquel le faisceau (061B) possède une section.

Démonstration

C’est la combinaison des Lemmes 0618, 04D0, et 061A.

Remarque

Un cas particulier des Lemmes 0618, 04D0, 061A, et 061C est celui où \(Y = Y'\). Dans ce cas, le morphisme \(A\) est toujours nul. Le faisceau du Lemme 061A est simplement donné par la règle \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y\text{ au-dessus de }B\text{ tel que } a'|_U = a|_U\}\] sur lequel opère le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/B}, \mathcal{C}_{X/X'})\).

Remarque

Un autre cas particulier des Lemmes 0618, 04D0, 061A, et 061C est celui où \(B\) est lui-même l’espace ambiant d’un épaississement \(Z \subset Z' = B\) et où \(Y = Z \times_{Z'} Y'\). Représentons la situation par \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar@{..>}[rr]_{(a, ?)} \ar[rd]_{(g, g')} & & (Y \subset Y') \ar[ld]^{(h, h')} \\ & (Z \subset Z') }\] Dans ce cas, le morphisme \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) est déterminé par \(a\) : le morphisme \(h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Y/Y'}\) est surjectif (car nous avons supposé \(Y = Z \times_{Z'} Y'\)) ; par conséquent, son image inverse \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} = a^*h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}\) est surjective, et la composée \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) doit être le morphisme canonique induit par \(g'\). Ainsi, le faisceau du Lemme 061A est simplement donné par la règle \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ au-dessus de }Z'\text{ tel que } a'|_U = a|_U\}\] sur lequel opère le faisceau \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/Z}, \mathcal{C}_{X/X'})\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif d’épaississements du premier ordre \[\vcenter{ \xymatrix{ (T_2 \subset T_2') \ar[d]_{(h, h')} \ar[rr]_{(a_2, a_2')} & & (X_2 \subset X_2') \ar[d]^{(f, f')} \\ (T_1 \subset T_1') \ar[rr]^{(a_1, a_1')} & & (X_1 \subset X_1') } } \quad \begin{matrix} \text{et un} \\ \text{diagramme commutatif} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ X_2' \ar[r] \ar[d] & B_2 \ar[d] \\ X_1' \ar[r] & B_1 } }\] d’espaces algébriques sur \(S\), où \(X_2 \to X_1\) et \(B_2 \to B_1\) sont étales. Pour toute application \(\mathcal{O}_{T_1}\)-linéaire \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/B_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\), soit \(\theta_2\) la composée \[\xymatrix{ a_2^*\Omega_{X_2/B_2} \ar@{=}[r] & h^*a_1^*\Omega_{X_1/B_1} \ar[r]^-{h^*\theta_1} & h^*\mathcal{C}_{T_1/T'_1} \ar[r] & \mathcal{C}_{T_2/T'_2} }\] (le signe d’égalité est expliqué dans la démonstration). Alors le diagramme \[\xymatrix{ T_2' \ar[rr]_{\theta_2 \cdot a_2'} \ar[d] & & X'_2 \ar[d] \\ T_1' \ar[rr]^{\theta_1 \cdot a_1'} & & X'_1 }\] est commutatif, où les actions \(\theta_2 \cdot a_2'\) et \(\theta_1 \cdot a_1'\) sont celles de la Remarque 0CK6.

Démonstration

Le signe d’égalité provient de l’identification \(f^*\Omega_{X_1/S_1} = \Omega_{X_2/S_2}\) que l’on obtient parce que la construction du faisceau des différentielles est compatible avec la localisation étale (tant à la source qu’au but), voir le Lemme 04CU. En effet, on a ainsi \(a_2^*\Omega_{X_2/S_2} = a_2^*f^*\Omega_{X_1/S_1} = h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1}\) puisque \(f \circ a_2 = a_1 \circ h\). Cela étant, la commutativité du diagramme se vérifie localement pour la topologie étale. On peut donc supposer que \(T'_i\), \(X'_i\), \(B_2\) et \(B_1\) sont des schémas ; dans ce cas, le lemme résulte de Compléments sur les morphismes, Lemme 04BY. Autre démonstration : d’après le Lemme 05ZN, il suffit de montrer qu’un certain diagramme de faisceaux d’anneaux sur \(X_1'\) est commutatif ; on raisonne alors exactement comme dans la démonstration du lemme précité de Compléments sur les morphismes, Lemme 04BY pour voir que c’est bien le cas.

Déformations infinitésimales d’espaces algébriques

Le lemme élémentaire suivant est souvent un outil commode pour vérifier si une déformation infinitésimale d’un morphisme est plate.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit plat. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f'\) est plat et \(X = Y \times_{Y'} X'\), et

2. le morphisme canonique \(f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) est un isomorphisme.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to Y'\). Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to X' \times_{Y'} V'\). Posons \(U = X \times_{X'} U'\) et \(V = Y \times_{Y'} V'\). D’après notre définition d’un morphisme plat d’espaces algébriques, le morphisme induit \(g : U \to V\) est un morphisme plat de schémas, et \(f'\) est plat si et seulement si le morphisme correspondant \(g' : U' \to V'\) est plat. De plus, \(X = Y \times_{Y'} X'\) si et seulement si \(U = V \times_{V'} V'\). Enfin, le morphisme \(f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) est un isomorphisme si et seulement si \(g^*\mathcal{C}_{V/V'} \to \mathcal{C}_{U/U'}\) est un isomorphisme. Le lemme résulte donc de son analogue pour les morphismes de schémas, voir Compléments sur les morphismes, Lemme 063Y.

Le lemme suivant est la version « nilpotente » du « critère de platitude par fibres », voir la section 05WX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] d’épaississements d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(X'\) soit plat sur \(B'\),

2. \(f\) soit plat,

3. \(B \subset B'\) soit un épaississement d’ordre fini, et

4. \(X = B \times_{B'} X'\) et \(Y = B \times_{B'} Y'\).

Alors \(f'\) est plat et \(Y'\) est plat sur \(B'\) en tout point de l’image de \(f'\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to B'\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to U' \times_{B'} Y'\). Choisissons un schéma \(W'\) et un morphisme étale surjectif \(W' \to V' \times_{Y'} X'\). Soient \(U, V, W\) les changements de base de \(U', V', W'\) par \(B \to B'\). Alors la platitude de \(f'\) est équivalente à celle de \(W' \to V'\), et nous savons que \(W \to V\) est plat. Nous pouvons donc appliquer le lemme dans le cas des schémas au diagramme \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] d’épaississements de schémas. Voir Compléments sur les morphismes, Lemme 06AF. L’assertion relative à la platitude de \(Y'/B'\) aux points de l’image de \(f'\) se démontre de la même manière.

De nombreuses propriétés des morphismes de schémas sont préservées par les déformations plates.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] d’épaississements d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(B \subset B'\) soit un épaississement d’ordre fini, que \(X'\) soit plat sur \(B'\), que \(X = B \times_{B'} X'\), et que \(Y = B \times_{B'} Y'\). Alors

1. \(f\) est représentable si et seulement si \(f'\) est représentable, [0CG7]

2. \(f\) est plat si et seulement si \(f'\) est plat, [0CG8]

3. \(f\) est un isomorphisme si et seulement si \(f'\) est un isomorphisme, [0CG9]

4. \(f\) est une immersion ouverte si et seulement si \(f'\) est une immersion ouverte, [0CGA]

5. \(f\) est quasi-compact si et seulement si \(f'\) est quasi-compact, [0CGB]

6. \(f\) est universellement fermé si et seulement si \(f'\) est universellement fermé, [0CGC]

7. \(f\) est (quasi-)séparé si et seulement si \(f'\) est (quasi-)séparé, [0CGD]

8. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(f'\) est un monomorphisme, [0CGE]

9. \(f\) est surjectif si et seulement si \(f'\) est surjectif, [0CGF]

10. \(f\) est universellement injectif si et seulement si \(f'\) est universellement injectif, [0CGG]

11. \(f\) est affine si et seulement si \(f'\) est affine, [0CGH]

12. \(f\) est localement de type fini si et seulement si \(f'\) est localement de type fini,

13. \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f'\) est localement quasi-fini, [0CGJ]

14. \(f\) est localement de présentation finie si et seulement si \(f'\) est localement de présentation finie,

15. \(f\) est localement de type fini de dimension relative \(d\) si et seulement si \(f'\) est localement de type fini de dimension relative \(d\),

16. \(f\) est universellement ouvert si et seulement si \(f'\) est universellement ouvert, [0CGM]

17. \(f\) est syntomique si et seulement si \(f'\) est syntomique, [0CGN]

18. \(f\) est lisse si et seulement si \(f'\) est lisse, [0CGP]

19. \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f'\) est non ramifié, [0CGQ]

20. \(f\) est étale si et seulement si \(f'\) est étale, [0CGR]

21. \(f\) est propre si et seulement si \(f'\) est propre, [0CGS]

22. \(f\) est entier si et seulement si \(f'\) est entier, [0CGT]

23. \(f\) est fini si et seulement si \(f'\) est fini, [0CGU]

24. \(f\) est fini localement libre (de rang \(d\)) si et seulement si \(f'\) est fini localement libre (de rang \(d\)), et

25. ajouter d’autres cas ici.

Démonstration

Le cas (0CG7) résulte du Lemme 09ZY.

Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to B'\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to U' \times_{B'} Y'\). Choisissons un schéma \(W'\) et un morphisme étale surjectif \(W' \to V' \times_{Y'} X'\). Soient \(U, V, W\) les changements de base de \(U', V', W'\) par \(B \to B'\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] d’épaississements de schémas. Pour chacune des propriétés qui sont locales pour la topologie étale à la source et au but, le résultat découle immédiatement du résultat correspondant pour les morphismes d’épaississements de schémas, appliqué au diagramme ci-dessus. Ainsi, les cas (0CG8), (0CGI), (0CGJ), (0CGK), (0CGL), (0CGN), (0CGP), (0CGQ), (0CGR) résultent des cas correspondants de Compléments sur les morphismes, Lemme 06AG.

Puisque \(X \to X'\) et \(Y \to Y'\) sont des homéomorphismes universels, toute question portant sur la topologie des morphismes \(X \to Y\) et \(X' \to Y'\) reçoit la même réponse. Ainsi, les cas (0CGB), (0CGC), (0CGF), (0CGG), et (0CGM) sont vérifiés.

Dans chacun des cas restants, nous démontrons seulement l’implication \(f\text{ possède }P \Rightarrow f'\text{ possède }P\), car l’autre implication résulte du fait que \(P\) est stable par changement de base, voir Espaces, Lemme 02YW et Morphismes d’espaces, Lemmes 03KL, 042P, 03WI, 04WP, 03ZS, et 03ZY.

Le cas (0CGA). Supposons que \(f\) soit une immersion ouverte. Alors \(f'\) est étale d’après (0CGR) et universellement injectif d’après (0CGG) ; ainsi, \(f'\) est une immersion ouverte, voir Morphismes d’espaces, Lemme 05W5. On peut éviter d’utiliser ce lemme en utilisant d’abord (0CG7) pour se ramener au cas des schémas.

Le cas (0CG9) résulte des cas (0CGA) et (0CGF).

Le cas (0CGD). Voir le Lemme 09ZY.

Le cas (0CGE). Supposons que \(f\) soit un monomorphisme. Considérons le morphisme diagonal \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\). Le changement de base de \(\Delta_{X'/Y'}\) par \(B \to B'\) est \(\Delta_{X/Y}\), qui est un isomorphisme par hypothèse. D’après (0CG9), nous concluons que \(\Delta_{X'/Y'}\) est un isomorphisme et donc que \(f'\) est un monomorphisme.

Le cas (0CGH). Voir le Lemme 09ZY.

Le cas (0CGS). Voir le Lemme 09ZZ.

Le cas (0CGT). Voir le Lemme 09ZY.

Le cas (0CGU). Voir le Lemme 09ZZ.

Le cas (0CGV). Supposons \(f\) fini localement libre. D’après (0CGU), \(f'\) est fini. D’après (0CG8), \(f'\) est plat. D’après (0CGK), \(f'\) est localement de présentation finie. Ainsi, \(f'\) est fini localement libre d’après Morphismes d’espaces, Lemme 0416.

Le lemme suivant est la version « localement nilpotente » du « critère de platitude par fibres », voir la section 05WX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] d’épaississements d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(Y' \to B'\) soit localement de type fini,

2. \(X' \to B'\) soit plat et localement de présentation finie,

3. \(f\) soit plat, et

4. \(X = B \times_{B'} X'\) et \(Y = B \times_{B'} Y'\).

Alors \(f'\) est plat et, pour tout \(y' \in |Y'|\) dans l’image de \(|f'|\), le morphisme \(Y' \to B'\) est plat en \(y'\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to B'\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to U' \times_{B'} Y'\). Choisissons un schéma \(W'\) et un morphisme étale surjectif \(W' \to V' \times_{Y'} X'\). Soient \(U, V, W\) les changements de base de \(U', V', W'\) par \(B \to B'\). Alors la platitude de \(f'\) est équivalente à celle de \(W' \to V'\), et nous savons que \(W \to V\) est plat. Nous pouvons donc appliquer le lemme dans le cas des schémas au diagramme \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] d’épaississements de schémas. Voir Compléments sur les morphismes, Lemme 0CF3. L’assertion relative à la platitude de \(Y'/B'\) aux points de l’image de \(f'\) se démontre de la même manière.

De nombreuses propriétés des morphismes de schémas sont préservées par les déformations plates comme dans le lemme ci-dessus.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (B \subset B') }\] d’épaississements d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(Y' \to B'\) soit localement de type fini, que \(X' \to B'\) soit plat et localement de présentation finie, que \(X = B \times_{B'} X'\) et que \(Y = B \times_{B'} Y'\). Alors

1. \(f\) est représentable si et seulement si \(f'\) est représentable, [0CGY]

2. \(f\) est plat si et seulement si \(f'\) est plat, [0CGZ]

3. \(f\) est un isomorphisme si et seulement si \(f'\) est un isomorphisme, [0CH0]

4. \(f\) est une immersion ouverte si et seulement si \(f'\) est une immersion ouverte, [0CH1]

5. \(f\) est quasi-compact si et seulement si \(f'\) est quasi-compact, [0CH2]

6. \(f\) est universellement fermé si et seulement si \(f'\) est universellement fermé, [0CH3]

7. \(f\) est (quasi-)séparé si et seulement si \(f'\) est (quasi-)séparé, [0CH4]

8. \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(f'\) est un monomorphisme, [0CH5]

9. \(f\) est surjectif si et seulement si \(f'\) est surjectif, [0CH6]

10. \(f\) est universellement injectif si et seulement si \(f'\) est universellement injectif, [0CH7]

11. \(f\) est affine si et seulement si \(f'\) est affine, [0CH8]

12. \(f\) est localement quasi-fini si et seulement si \(f'\) est localement quasi-fini, [0CH9]

13. \(f\) est localement de type fini de dimension relative \(d\) si et seulement si \(f'\) est localement de type fini de dimension relative \(d\),

14. \(f\) est universellement ouvert si et seulement si \(f'\) est universellement ouvert, [0CHB]

15. \(f\) est syntomique si et seulement si \(f'\) est syntomique, [0CHC]

16. \(f\) est lisse si et seulement si \(f'\) est lisse, [0CHD]

17. \(f\) est non ramifié si et seulement si \(f'\) est non ramifié, [0CHE]

18. \(f\) est étale si et seulement si \(f'\) est étale, [0CHF]

19. \(f\) est propre si et seulement si \(f'\) est propre, [0CHG]

20. \(f\) est fini si et seulement si \(f'\) est fini, [0CHH]

21. \(f\) est fini localement libre (de rang \(d\)) si et seulement si \(f'\) est fini localement libre (de rang \(d\)), et

22. ajouter d’autres cas ici.

Démonstration

Le cas (0CGY) résulte du Lemme 09ZY.

Choisissons un schéma \(U'\) et un morphisme étale surjectif \(U' \to B'\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme étale surjectif \(V' \to U' \times_{B'} Y'\). Choisissons un schéma \(W'\) et un morphisme étale surjectif \(W' \to V' \times_{Y'} X'\). Soient \(U, V, W\) les changements de base de \(U', V', W'\) par \(B \to B'\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] d’épaississements de schémas. Pour chacune des propriétés qui sont locales pour la topologie étale à la source et au but, le résultat découle immédiatement du résultat correspondant pour les morphismes d’épaississements de schémas, appliqué au diagramme ci-dessus. Ainsi, les cas (0CGZ), (0CH9), (0CHA), (0CHC), (0CHD), (0CHE), (0CHF) résultent des cas correspondants de Compléments sur les morphismes, Lemme 0CF4.

Puisque \(X \to X'\) et \(Y \to Y'\) sont des homéomorphismes universels, toute question portant sur la topologie des morphismes \(X \to Y\) et \(X' \to Y'\) reçoit la même réponse. Ainsi, les cas (0CH2), (0CH3), (0CH6), (0CH7), et (0CHB) sont vérifiés.

Dans chacun des cas restants, nous démontrons seulement l’implication \(f\text{ possède }P \Rightarrow f'\text{ possède }P\), car l’autre implication résulte du fait que \(P\) est stable par changement de base, voir Espaces, Lemme 02YW et Morphismes d’espaces, Lemmes 03KL, 042P, 03WI, 04WP, 03ZS, et 03ZY.

Le cas (0CH1). Supposons que \(f\) soit une immersion ouverte. Alors \(f'\) est étale d’après (0CHF) et universellement injectif d’après (0CH7) ; ainsi, \(f'\) est une immersion ouverte, voir Morphismes d’espaces, Lemme 05W5. On peut éviter d’utiliser ce lemme en utilisant d’abord (0CGY) pour se ramener au cas des schémas.

Le cas (0CH0) résulte des cas (0CH1) et (0CH6).

Le cas (0CH4). Voir le Lemme 09ZY.

Le cas (0CH5). Supposons que \(f\) soit un monomorphisme. Considérons le morphisme diagonal \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\). Le changement de base de \(\Delta_{X'/Y'}\) par \(B \to B'\) est \(\Delta_{X/Y}\), qui est un isomorphisme par hypothèse. D’après (0CH0), nous concluons que \(\Delta_{X'/Y'}\) est un isomorphisme et donc que \(f'\) est un monomorphisme.

Le cas (0CH8). Voir le Lemme 09ZY.

Le cas (0CHG). Voir le Lemme 0BPJ.

Le cas (0CHH). Voir le Lemme 0BPJ.

Le cas (0CHI). Supposons \(f\) fini localement libre. D’après (0CHH), \(f'\) est fini. D’après (0CGZ), \(f'\) est plat. De plus, \(f'\) est localement de présentation finie d’après Morphismes d’espaces, Lemme 05WT. Ainsi, \(f'\) est fini localement libre d’après Morphismes d’espaces, Lemme 0416.

Morphismes formellement lisses

Dans cette section, nous introduisons la notion de morphisme formellement lisse \(X \to Y\) d’espaces algébriques. Un tel morphisme est caractérisé par la propriété que, pour \(T\), les points de \(X\) à valeurs dans ce schéma se relèvent aux épaississements infinitésimaux de \(T\), pourvu que \(T\) soit affine. Le résultat principal affirme qu’un morphisme formellement lisse et localement de présentation finie est lisse, voir le Lemme 04AM. Il se trouve que ce critère est souvent plus facile à utiliser que le critère jacobien.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\) est dit formellement lisse s’il est formellement lisse comme transformation de foncteurs au sens de la Définition 049S.

Dans le cas des morphismes formellement non ramifiés et formellement étales, on pourrait omettre l’hypothèse que \(T'\) soit affine, voir les Lemmes 05ZY et 0611. Ce n’est plus vrai dans le cas des morphismes formellement lisses. En fait, une condition un peu plus naturelle consisterait à pouvoir compléter la flèche pointillée localement pour la topologie étale sur \(T'\). En effet, l’analyse de la démonstration du Lemme 04AM montre que cela serait équivalent à la définition sous sa forme actuelle. Il est aussi vrai qu’exiger l’existence de la flèche pointillée localement pour la topologie fppf sur \(T'\) suffirait, mais cela est un peu plus difficile à démontrer.

Nous ne reformulerons pas les résultats démontrés dans le cadre plus général des transformations de foncteurs formellement lisses à la section 04G3.

Lemme

Une composée de morphismes formellement lisses est formellement lisse.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme formellement lisse est formellement lisse.

Démonstration

Démonstration omise, mais voir Algèbre, Lemme 00TJ pour la version algébrique.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Alors \(f\) est formellement étale si et seulement si \(f\) est formellement lisse et formellement non ramifié.

Démonstration

Démonstration omise.

Voici un lemme auxiliaire qui sera englobé par le Lemme 061K.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] un diagramme commutatif de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Si les flèches verticales sont étales et si \(f\) est formellement lisse, alors \(\psi\) est formellement lisse.

Démonstration

D’après le Lemme 04AL, les morphismes \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont formellement étales. D’après le Lemme 049T, la composée \(U \to Y\) est formellement lisse. D’après le Lemme 04G5, nous voyons que \(\psi : U \to V\) est formellement lisse.

Le lemme suivant est le résultat principal de cette section. Combiné avec la Proposition de Limites d’espaces 04AK, il implique que l’on peut reconnaître si un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) est lisse au moyen de propriétés « simples » de la transformation de foncteurs \(X \to Y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est lisse.

2. Le morphisme \(f\) est localement de présentation finie et formellement lisse.

Démonstration

Supposons que \(f : X \to S\) soit localement de présentation finie et formellement lisse. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales et surjectives. D’après le Lemme 061H, nous voyons que \(\psi : U \to V\) est formellement lisse. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 0410 le morphisme \(\psi\) est localement de présentation finie. Par conséquent, dans le cas des schémas, le morphisme \(\psi\) est lisse, voir Compléments sur les morphismes, Lemme 02H6. Ainsi, \(f\) est lisse, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03ZF.

Réciproquement, supposons que \(f : X \to Y\) soit lisse. Considérons un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] comme dans la Définition 060G. Nous allons montrer que la flèche pointillée existe, ce qui démontrera que \(f\) est formellement lisse. Soit \(\mathcal{F}\) le faisceau d’ensembles sur \((T')_{spaces, \etale}\) du Lemme 061A, dans le cas particulier examiné à la Remarque 061D. Soit \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] le faisceau de \(\mathcal{O}_T\)-modules sur \(T_{spaces, \etale}\) muni de l’action \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) du Lemme 061C. L’action \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) fait de \(\mathcal{F}\) un pseudo-torseur sous \(\mathcal{H}\), voir Cohomologie sur les sites, Définition 03AH. Notre but est de montrer que \(\mathcal{F}\) est un torseur trivial sous \(\mathcal{H}\). Il y a deux étapes : (I) Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est un torseur, nous devons montrer que \(\mathcal{F}\) possède localement pour la topologie étale une section. (II) Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est le torseur trivial, il suffit de montrer que \(H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = 0\), voir Cohomologie sur les sites, Lemme 03AJ.

Démontrons d’abord (I). Pour cela, choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales et surjectives. Comme \(f\) est supposé lisse, nous voyons que \(\psi\) est lisse et donc formellement lisse d’après le Lemme 04AL. D’après le même lemme, le morphisme \(V \to Y\) est formellement étale. Ainsi, d’après le Lemme 049T, la composée \(U \to Y\) est formellement lisse. L’étape (I) résulte alors du Lemme 04CY, partie (4).

Démontrons enfin (II). D’après le Lemme 05ZF, nous voyons que \(\Omega_{X/S}\) est de présentation finie. Ainsi, \(a^*\Omega_{X/S}\) est de présentation finie (voir Propriétés d’espaces, section 05VR). Par conséquent, le faisceau \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\) est quasi-cohérent d’après Propriétés d’espaces, Lemme 03M1. Ainsi, d’après Descente, Proposition 03DW et Cohomologie des schémas, Lemme 01XB nous avons \[H^1(T_{spaces, \etale}, \mathcal{H}) = H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = H^1(T, \mathcal{H}) = 0\] comme voulu.

Les morphismes lisses satisfont une forte propriété locale de relèvement, voir le Lemme 0CHJ. Si, dans le lemme, nous supposons que \(T'\) est affine, alors nous ignorons s’il est nécessaire de prendre un recouvrement étale. Plus précisément, si nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & T \ar[l] \ar[d] \\ Y & T' \ar[l] \ar@{..>}[lu] }\] d’espaces algébriques où \(X \to Y\) est lisse et où \(T \to T'\) est un épaississement de schémas affines, existe-t-il toujours une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif ? Si vous connaissez la réponse ou une référence, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & T \ar[l] \ar[d] \\ Y & T' \ar[l] }\] d’espaces algébriques sur \(S\), où \(X \to Y\) est lisse et où \(T \to T'\) est un épaississement. Alors il existe un recouvrement étale \(\{T'_i \to T'\}\) tel que nous puissions trouver la flèche pointillée dans \[\xymatrix{ X \ar[d] & T \ar[l] \ar[d] & T \times_{T'} T'_i \ar[l] \ar[d] \\ Y & T' \ar[l] & T'_i \ar[l] \ar@{..>}[llu] }\] qui rend le diagramme commutatif (pour tout \(i\)).

Démonstration

Choisissons un recouvrement étale \(\{Y_i \to Y\}\) où chaque \(Y_i\) est affine. Après avoir remplacé \(T'\) par le recouvrement étale induit, nous pouvons supposer que \(Y\) est affine.

Supposons que \(Y\) soit affine. Choisissons un recouvrement étale \(\{X_i \to X\}\). Il donne naissance à un recouvrement étale de \(T\). Ce recouvrement étale de \(T\) provient d’un recouvrement étale de \(T'\) (d’après le Théorème 05ZH, voir la discussion de la section 05ZJ). Nous pouvons donc supposer que \(X\) est affine.

Supposons que \(X\) et \(Y\) soient affines. Nous pouvons encore remplacer \(T'\) par un recouvrement étale et supposer que \(T'\) est affine. Dans ce cas, le lemme résulte de Algèbre, Lemme 07K4.

Nous poursuivons un peu pour montrer que la propriété d’être formellement lisse est locale pour la topologie étale à la source. Pour commencer, nous montrons qu’un morphisme formellement lisse possède un faisceau de différentielles bien comporté. La notion de module quasi-cohérent localement projectif est définie dans Propriétés d’espaces, section 060P.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme formellement lisse d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(\Omega_{X/Y}\) est localement projectif sur \(X\).

Démonstration

Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas affines (!) et où les flèches verticales sont étales. D’après le Lemme 061H, nous voyons que \(\psi : U \to V\) est formellement lisse. Ainsi, \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) est un homomorphisme d’anneaux formellement lisse, voir Compléments sur les morphismes, Lemme 02H4. Par conséquent, d’après Algèbre, Lemme 031I, le \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-module \(\Omega_{\Gamma(U, \mathcal{O}_U)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V)}\) est projectif. Ainsi, \(\Omega_{U/V}\) est localement projectif, voir Propriétés, section 05JN. Puisque \(\Omega_{X/Y}|_U = \Omega_{U/V}\), nous voyons que \(\Omega_{X/Y}\) est lui aussi localement projectif. (En effet, nous pouvons trouver un recouvrement étale de \(X\) par des \(U\) affines s’insérant dans des diagrammes comme ci-dessus — les détails sont omis.)

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_T\)-modules quasi-cohérents sur \(T_\etale\). Considérons le faisceau Hom interne \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) sur \(T_\etale\). Si \(\mathcal{F}\) est localement projectif, alors \(H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = 0\).

Démonstration

D’après la définition d’un faisceau localement projectif sur un espace algébrique (voir Propriétés d’espaces, Définition 060R), nous voyons que \(\mathcal{F}_{Zar} = \mathcal{F}|_{T_{Zar}}\) est un faisceau localement projectif sur le schéma \(T\). Ainsi, \(\mathcal{F}_{Zar}\) est un facteur direct d’un \(\mathcal{O}_{T_{Zar}}\)-module libre. Nous concluons alors (puisque \(\mathcal{F} = (\mathcal{F}_{Zar})^a\), voir Descente, Proposition 03DX) que \(\mathcal{F}\) est un facteur direct d’un \(\mathcal{O}_T\)-module libre sur \(T_\etale\). Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{F} = \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_T\) est un module libre. Dans ce cas, \(\mathcal{H} = \prod_{i \in I} \mathcal{G}\) est un produit de modules quasi-cohérents. D’après Cohomologie sur les sites, Lemme 060L, nous concluons que \(H^1 = 0\), car la cohomologie d’un faisceau quasi-cohérent sur un schéma affine est nulle, voir Descente, Proposition 03DW et Cohomologie des schémas, Lemme 01XB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement lisse,

2. pour tout diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et où les flèches verticales sont étales, le morphisme de schémas \(\psi\) est formellement lisse (au sens de Compléments sur les morphismes, Définition 02H8), et

3. pour un tel diagramme à flèches verticales surjectives, le morphisme \(\psi\) est formellement lisse.

Démonstration

Nous avons vu que (1) implique (2) et (3) dans le Lemme 061H. Supposons (3). La démonstration du fait que \(f\) est formellement lisse est entièrement semblable à la démonstration de (1) \(\Rightarrow\) (2) du Lemme 04AM.

Considérons un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] comme dans la Définition 060G. Nous allons montrer que la flèche pointillée existe, ce qui démontrera que \(f\) est formellement lisse. Soit \(\mathcal{F}\) le faisceau d’ensembles sur \((T')_{spaces, \etale}\) du Lemme 061A, dans le cas particulier examiné à la Remarque 061D. Soit \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] le faisceau de \(\mathcal{O}_T\)-modules sur \(T_{spaces, \etale}\) muni de l’action \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) comme dans le Lemme 061C. L’action \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) fait de \(\mathcal{F}\) un pseudo-torseur sous \(\mathcal{H}\), voir Cohomologie sur les sites, Définition 03AH. Notre but est de montrer que \(\mathcal{F}\) est un torseur trivial sous \(\mathcal{H}\). Il y a deux étapes : (I) Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est un torseur, nous devons montrer que \(\mathcal{F}\) possède localement pour la topologie étale une section. (II) Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est le torseur trivial, il suffit de montrer que \(H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = 0\), voir Cohomologie sur les sites, Lemme 03AJ.

Démontrons d’abord (I). Pour cela, considérons un diagramme (qui existe puisque nous supposons (3)) \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_\psi & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, où les flèches verticales sont étales et surjectives, et où \(\psi\) est formellement lisse. D’après le Lemme 04AL, le morphisme \(V \to Y\) est formellement étale. Ainsi, d’après le Lemme 049T, la composée \(U \to Y\) est formellement lisse. L’étape (I) résulte alors du Lemme 04CY, partie (4).

Démontrons enfin (II). D’après le Lemme 061I, nous voyons que \(\Omega_{U/V}\) est localement projectif. Ainsi, \(\Omega_{X/Y}\) est localement projectif, voir Descente sur les espaces, Lemme 060Y. Par conséquent, \(a^*\Omega_{X/Y}\) est localement projectif, voir Propriétés d’espaces, Lemme 060S. Ainsi, \[H^1(T_\etale, \mathcal{H}) = H^1(T_\etale, \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'}) = 0\] d’après le Lemme 061J, comme voulu.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\) « \(f\) est formellement lisse » est locale pour la topologie fpqc sur la base.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur un schéma \(S\). Choisissons un ensemble d’indices \(I\) et des diagrammes \[\xymatrix{ U_i \ar[d] \ar[r]_{\psi_i} & V_i \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] à flèches verticales étales, où \(U_i\) et \(V_i\) sont des schémas affines. De plus, supposons que \(\coprod U_i \to X\) et \(\coprod V_i \to Y\) soient surjectifs, voir Propriétés d’espaces, Lemme 03FX. D’après le Lemme 061K, nous voyons que \(f\) est formellement lisse si et seulement si chacun des morphismes \(\psi_i\) est formellement lisse. Nous nous ramenons donc au cas d’un morphisme de schémas affines. Dans ce cas, le résultat résulte de Algèbre, Lemme 06CM. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit formellement lisse. Alors la suite \[0 \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] du Lemme 05Z8 est exacte courte.

Démonstration

Cela résulte du cas des schémas, voir Compléments sur les morphismes, Lemme 06B6, par localisation étale, voir les Lemmes 061K et 04CU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(h : Z \to X\) un morphisme formellement non ramifié d’espaces algébriques sur \(B\). Supposons que \(Z\) soit formellement lisse sur \(B\). Alors la suite exacte canonique \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/B} \to \Omega_{Z/B} \to 0\] du Lemme 060F est exacte courte.

Démonstration

Soit \(Z \to Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). La démonstration du Lemme 060F montre que notre suite s’identifie à la suite \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/B} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/B} \to 0.\] Puisque \(Z \to S\) est formellement lisse, nous pouvons, localement pour la topologie étale sur \(Z'\), trouver un inverse à gauche \(Z' \to Z\) sur \(B\) du morphisme d’inclusion \(Z \to Z'\). Ainsi, la suite est localement scindée pour la topologie étale, voir le Lemme 05ZB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d]^f \\ & Y }\] un diagramme commutatif d’espaces algébriques sur \(S\), où \(i\) et \(j\) sont formellement non ramifiés et où \(f\) est formellement lisse. Alors la suite exacte canonique \[0 \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] du Lemme 06BE est exacte et localement scindée.

Démonstration

Notons \(Z \to Z'\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(X\). Notons \(Z \to Z''\) l’épaississement universel du premier ordre de \(Z\) sur \(Y\). D’après le Lemme 060F, il existe un morphisme canonique \(Z' \to Z''\) tel que nous ayons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r]_a \ar[d]^k & X \ar[d]^f \\ & Z'' \ar[r]^b & Y }\] La suite ci-dessus s’identifie à la suite \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] par nos définitions des faisceaux conormaux aux morphismes formellement non ramifiés. Soit \(U'' \to Z''\) un morphisme étale avec \(U''\) affine. Notons \(U \to Z\) et \(U' \to Z'\) les schémas affines correspondants, étales sur \(Z\) et \(Z'\). Comme \(f\) est formellement lisse, il existe un morphisme \(h : U'' \to X\) qui coïncide avec \(i\) sur \(U\) et tel que \(f \circ h\) soit égal à \(b|_{U''}\). Puisque \(Z'\) est l’épaississement universel du premier ordre, nous obtenons un unique morphisme \(g : U'' \to Z'\) tel que \(g = a \circ h\). La propriété universelle de \(Z''\) implique que \(k \circ g\) est le morphisme d’inclusion \(U'' \to Z''\). Ainsi, \(g\) est un inverse à gauche de \(k\). La situation est \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Z' \ar[d]^k \\ U'' \ar[r] \ar[ru]^g & Z'' }\] Ainsi, \(g\) induit un morphisme \(\mathcal{C}_{Z/Z'}|_U \to \mathcal{C}_{Z/Z''}|_U\) qui est un inverse à gauche du morphisme \(\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\) sur \(U\).

Lissité sur une base noethérienne

Cette section est l’analogue de Compléments sur les morphismes, section 02HW.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Supposons que \(Y\) soit localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est lisse en \(x\),

2. pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] où \(B' \to B\) est une surjection d’anneaux locaux telle que \(\Ker(B' \to B)\) soit de carré nul, et où \(\alpha\) envoie le point fermé de \(\Spec(B)\) sur \(x\), il existe une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif, et

3. la même condition qu’en (2), mais où \(B' \to B\) parcourt les petites extensions (voir Algèbre, Définition 02HS).

Démonstration

La condition (1) signifie qu’il existe un sous-espace ouvert \(X' \subset X\) tel que \(X' \to Y\) soit lisse. Ainsi, (1) implique les conditions (2) et (3) d’après le Lemme 04AM. La condition (2) implique trivialement la condition (3). Supposons (3). Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \\ Y & V \ar[l] }\] où \(U\) et \(V\) sont affines, où les flèches horizontales sont étales, et tel qu’il existe un point \(u \in U\) envoyé sur \(x\). Considérons ensuite un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & V \ar[l] & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} }\] comme en (3), mais pour \(u \in U \to V\). Soit \(\gamma : \Spec(B') \to X\) la flèche fournie par notre hypothèse que (3) vaut pour \(X\). Puisque \(U \to X\) est étale et donc formellement étale (Lemme 0616), le morphisme \(\gamma\) possède un unique relèvement à \(U\) compatible avec \(\alpha\). Puisque \(V \to Y\) est étale, donc formellement étale, ce relèvement est compatible avec \(\beta\). Ainsi, (3) vaut pour \(u \in U \to V\), et nous concluons que \(U \to V\) est lisse en \(u\) d’après Compléments sur les morphismes, Lemme 02HX. Cela montre que \(X \to Y\) est lisse en \(x\), et achève la démonstration.

Il est parfois utile de savoir qu’il suffit de vérifier le critère de relèvement pour les petites extensions « centrées » en des points de type fini (voir Morphismes d’espaces, section 06EE).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(Y\) soit localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est lisse,

2. pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] où \(B' \to B\) est une petite extension d’anneaux locaux artiniens et où \(\beta\) est de type fini (!), il existe une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif.

Démonstration

Si \(f\) est lisse, alors le critère infinitésimal de relèvement (Lemme 04AM) affirme que \(f\) est formellement lisse, et (2) est vérifiée.

Supposons que \(f\) ne soit pas lisse. L’ensemble des points \(x \in X\) où \(f\) n’est pas lisse forme une partie fermée \(T\) de \(|X|\). D’après Morphismes d’espaces, Lemme 06EK, il existe un point \(x \in T \subset X\) tel que \(x \in X_{\text{ft-pts}}\). Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] & u \ar@{|->}[d] \\ Y & V \ar[l] & v }\] où \(U\) et \(V\) sont affines, où les flèches horizontales sont étales, et tel qu’il existe un point \(u \in U\) envoyé sur \(x\). Alors \(u\) est un point de type fini de \(U\). Puisque \(U \to V\) n’est pas lisse au point \(u\), d’après Compléments sur les morphismes, Lemme 02HX, il existe un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ Y & V \ar[l] & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] où \(B' \to B\) est une petite extension d’anneaux locaux (artiniens), telle que le corps résiduel de \(B\) soit égal à \(\kappa(v)\) et que la flèche pointillée n’existe pas. Puisque \(U \to V\) est de type fini, nous voyons que \(v\) est un point de type fini de \(V\). D’après Morphismes, Lemme 02HV, le morphisme \(\beta\) est de type fini ; par conséquent, la composée \(\Spec(B) \to Y\) est elle aussi de type fini. En raisonnant exactement comme dans la démonstration du Lemme 0APN (en utilisant que \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont étales, donc formellement étales), nous voyons qu’il ne peut exister de flèche \(\Spec(B) \to X\) s’insérant dans le rectangle extérieur du dernier diagramme affiché. Autrement dit, (2) n’est pas vérifiée, et la démonstration est terminée.

Voici une application utile.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit localement de type fini et \(Y\) localement noethérien. Soit \(Z \subset Y\) un sous-espace fermé dont le voisinage infinitésimal d’ordre \(n\) est \(Z_n \subset Y\). Posons \(X_n = Z_n \times_Y X\).

1. Si \(X_n \to Z_n\) est lisse pour tout \(n\), alors \(f\) est lisse en tout point de \(f^{-1}(Z)\).

2. Si \(X_n \to Z_n\) est étale pour tout \(n\), alors \(f\) est étale en tout point de \(f^{-1}(Z)\).

Démonstration

Supposons que \(X_n \to Z_n\) soit lisse pour tout \(n\). Soit \(x \in X\) un point situé au-dessus d’un point de \(Z\). Étant donnés une petite extension \(B' \to B\) et des morphismes \(\alpha\), \(\beta\) comme dans le Lemme 0APN, partie (3), l’idéal maximal de \(B'\) est nilpotent (puisque \(B'\) est artinien), et le morphisme \(\beta\) se factorise donc par \(Z_n\), tandis que \(\alpha\) se factorise par \(X_n\) pour un \(n\) convenable. Ainsi, la propriété de relèvement pour \(X_n \to Z_n\) s’applique et fournit la flèche pointillée souhaitée dans le diagramme. Cela démontre (1). La partie (2) résulte de (1) et du fait qu’un morphisme est étale si et seulement s’il est lisse de dimension relative \(0\).

Le complexe cotangent naïf

Cette section prolonge Modules sur les sites, section 08TT, qui prolonge à son tour la discussion menée dans Algèbre, section 00S0.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Le complexe cotangent naïf de \(f\) est le complexe défini dans Modules sur les sites, Définition 08U0 pour le morphisme de topos annelés \(f_{small}\) entre les petits sites étales de \(X\) et \(Y\), voir Propriétés d’espaces, Lemme 03G8. Notation : \(\NL_f\) ou \(\NL_{X/Y}\).

Les lemmes suivants montrent que cette définition est compatible avec celle pour les homomorphismes d’anneaux et pour les schémas, et que \(\NL_{X/Y}\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_g & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^f & Y }\] d’espaces algébriques sur \(S\) où \(p\) et \(q\) sont étales. Alors il existe une identification canonique \(\NL_{X/Y}|_{U_\etale} = \NL_{U/V}\) dans \(D(\mathcal{O}_U)\).

Démonstration

La formation du complexe cotangent naïf commute à l’image inverse (Modules sur les sites, Lemme 08TZ) et nous avons \(p_{small}^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_U\) ainsi que \(g_{small}^{-1}\mathcal{O}_{V_\etale} = p_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}\) car \(q_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \mathcal{O}_{V_\etale}\) d’après Propriétés d’espaces, Lemme 03LV. En suivant les définitions, nous concluons que \(\NL_{X/Y}|_{U_\etale} = \NL_{U/V}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(X\) et \(Y\) représentés par des schémas \(X_0\) et \(Y_0\). Alors il existe une identification canonique \(\NL_{X/Y} = \epsilon^*\NL_{X_0/Y_0}\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) où \(\epsilon\) est celui de Catégories dérivées d’espaces, section 071P et \(\NL_{X_0/Y_0}\) est défini dans Compléments sur les morphismes, Définition 0D0H.

Démonstration

Soit \(f_0 : X_0 \to Y_0\) le morphisme de schémas correspondant à \(f\). Il existe un morphisme canonique \(\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0} \to f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y\) compatible avec \(\epsilon^\sharp : \epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0} \to \mathcal{O}_X\) car il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_{0, Zar} \ar[d]_{f_0} & X_\etale \ar[l]^\epsilon \ar[d]^f \\ Y_{0, Zar} & Y_\etale \ar[l]_\epsilon }\] voir Catégories dérivées d’espaces, Remarque 08GH. Nous obtenons ainsi un morphisme canonique \[\epsilon^{-1}\NL_{X_0/Y_0} = \epsilon^{-1}\NL_{\mathcal{O}_{X_0}/f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} = \NL_{\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0}/\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} \to \NL_{\mathcal{O}_X/f^{-1}_{small}\mathcal{O}_Y} = \NL_{X/Y}\] par fonctorialité du complexe cotangent naïf. Pour voir que le morphisme induit \(\epsilon^*\NL_{X_0/Y_0} \to \NL_{X/Y}\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\), il suffit de le vérifier sur les fibres aux points géométriques (Propriétés d’espaces, Théorème 04K5). Soit \(\overline{x} : \Spec(k) \to X_0\) un point géométrique situé au-dessus de \(x \in X_0\), et soit \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) situé au-dessus de \(y \in Y_0\). Alors \[\NL_{X/Y, \overline{x}} = \NL_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}\] Cela est vrai parce que le passage à la fibre en \(\overline{x}\) revient à prendre l’image inverse par \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) et que nous pouvons appliquer Modules sur les sites, Lemme 08TZ. D’autre part, nous avons \[(\epsilon^*\NL_{X_0/Y_0})_{\overline{x}} = \NL_{X_0/Y_0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \NL_{\mathcal{O}_{X_0, x}/\mathcal{O}_{Y_0, y}} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] Certains détails sont omis (indication : utiliser le fait que la fibre d’une image inverse est la fibre au point image, voir Sites, Lemme 05V1, ainsi que le résultat correspondant pour les modules, voir Modules sur les sites, Lemme 05V5). Observons que \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X_0, x}\), et de même pour \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) (Propriétés d’espaces, Lemme 04KF). Le résultat découle donc de Compléments sur l’algèbre, Lemme 0D08.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les faisceaux de cohomologie du complexe \(\NL_{X/Y}\) sont quasi-cohérents et nuls en dehors des degrés \(-1\), \(0\) ; le faisceau \(\Omega_{X/Y}\) est sa cohomologie en degré \(0\).

Démonstration

Par construction du complexe cotangent naïf dans Modules sur les sites, section 08TT, nous savons que \(\NL_{X/Y}\) est un complexe nul en dehors des degrés \(-1\), \(0\) et que sa cohomologie en degré \(0\) est \(\Omega_{X/Y}\) (d’après notre construction de \(\Omega_{X/Y}\) à la section 04CR). Le faisceau des différentielles est quasi-cohérent (d’après le Lemme 04CV). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(H^{-1}(\NL_{X/Y})\) est quasi-cohérent. Cela résulte d’une vérification locale pour la topologie étale (permise par le Lemme 0D0W et Propriétés d’espaces, Lemme 03M0) qui nous ramène au cas des schémas (Lemme 0D0X), puis de l’emploi du résultat dans le cas des schémas (Compléments sur les morphismes, Lemme 0D0J).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est localement de présentation finie, alors \(\NL_{X/Y}\) est, localement pour la topologie étale sur \(X\), quasi-isomorphe à un complexe \[\ldots \to 0 \to \mathcal{F}^{-1} \to \mathcal{F}^0 \to 0 \to \ldots\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents où \(\mathcal{F}^0\) est de présentation finie et \(\mathcal{F}^{-1}\) de type fini.

Démonstration

La formation du complexe cotangent naïf commute à la localisation étale d’après le Lemme 0D0W. Nous nous ramenons ainsi au cas des schémas par le Lemme 0D0X. Dans le cas des schémas, le résultat est Compléments sur les morphismes, Lemme 0D0K.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement lisse,

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) et le module \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) est localement projectif.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 061K, du Lemme 0D0W, du Lemme 0D0X et du cas des schémas, traité dans Compléments sur les morphismes, Lemme 0D0L.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est formellement étale,

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\).

Démonstration

Supposons (1). Tout morphisme formellement étale est formellement lisse. Ainsi \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) d’après le Lemme 0D10. D’autre part, un morphisme formellement étale est formellement non ramifié ; par conséquent, \(\Omega_{X/Y} = 0\) d’après le Lemme 04G9. Réciproquement, si (2) est vérifiée, alors \(f\) est formellement lisse d’après le Lemme 0D10 et formellement non ramifié d’après le Lemme 04G9, et donc formellement étale d’après le Lemme 061G.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est lisse, et

2. \(f\) est localement de présentation finie, \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\), et le module \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) est localement libre de type fini.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 061K, du Lemme 0D0W, du Lemme 0D0X et du cas des schémas, traité dans Compléments sur les morphismes, Lemme 0D0N.

Ouverture du lieu de platitude

Cette section est l’analogue de Compléments sur les morphismes, section 0398. Notons que nous avons défini la notion de platitude pour les modules quasi-cohérents sur les espaces algébriques dans Morphismes d’espaces, section 05VT.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Supposons que \(f\) soit localement de présentation finie et que \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module localement de présentation finie. Alors \[\{x \in |X| : \mathcal{F}\text{ est plat sur }Y\text{ en }x\}\] est ouvert dans \(|X|\).

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_\alpha & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^a & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des schémas et \(p\), \(q\) sont étales et surjectifs comme dans Espaces, Lemme 02X1. D’après Compléments sur les morphismes, Théorème 0399, l’ensemble \(U' = \{u \in |U| : p^*\mathcal{F}\text{ est plat sur }V\text{ en }u\}\) est ouvert dans \(U\). D’après Morphismes d’espaces, Définition 05VV, l’image de \(U'\) dans \(|X|\) est l’ensemble du théorème. La démonstration est donc terminée, car l’application \(|U| \to |X|\) est ouverte, voir Propriétés d’espaces, Lemme 03BX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que \(g\) soit plat, que \(f\) soit localement de présentation finie, et que \(\mathcal{F}\) soit localement de présentation finie. Alors \[\{x' \in |X'| : (g')^*\mathcal{F}\text{ est plat sur }Y'\text{ en }x'\}\] est l’image inverse de la partie ouverte du Théorème 05WV par l’application continue \(|g'| : |X'| \to |X|\).

Démonstration

Cela découle de Morphismes d’espaces, Lemme 05VW.

Critère de platitude par fibres

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif d’espaces algébriques sur \(S\) \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[dr]_g & & Y \ar[dl]^h \\ & Z }\] et un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). Étant donné un point \(x \in |X|\), nous nous demandons si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en \(x\). Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Z\) en \(x\), le théorème ci-dessous affirme que cette question est étroitement liée à celle de savoir si la restriction de \(\mathcal{F}\) à la fibre de \(X \to Z\) au-dessus de \(g(x)\) est plate sur la fibre de \(Y \to Z\) au-dessus de \(g(x)\). Pour donner un sens à cet énoncé, nous proposons le lemme préliminaire suivant.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Choisissons un point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\) situé au-dessus de \(x\). Posons \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) et \(\overline{z} = g \circ \overline{x}\). Alors le module \(\mathcal{F}_{\overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{F}_{\overline{x}}\) est plat sur \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\).

2. Choisissons un morphisme \(x : \Spec(K) \to X\) dans la classe d’équivalence de \(x\). Posons \(z = g \circ x\), \(X_z = \Spec(K) \times_{z, Z} X\), \(Y_z = \Spec(K) \times_{z, Z} Y\), et soit \(\mathcal{F}_z\) l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(X_z\). Alors \(\mathcal{F}_z\) est plat en \(x\) sur \(Y_z\) (au sens de Morphismes d’espaces, Définition 05VV).

3. Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & & & U \ar[llld]_a \ar[rr] \ar[dr] & & V \ar[llld]_>>>>>>>b \ar[dl] \\ X \ar[rr]_f \ar[dr]_g & & Y \ar[dl]^h & & W \ar[llld]_c \\ & Z }\] où \(U, V, W\) sont des schémas et \(a, b, c\) sont étales, ainsi qu’un point \(u \in U\) envoyé sur \(x\). Soit \(w \in W\) l’image de \(u\). Soit \(\mathcal{F}_w\) l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur la fibre \(U_w\) de \(U \to W\) en \(w\). Alors \(\mathcal{F}_w\) est plat sur \(V_w\) en \(u\).

Démonstration

Notons qu’en (2), le morphisme \(x : \Spec(K) \to X\) définit un point \(K\)-rationnel de \(X_z\) ; l’énoncé a donc bien un sens. En outre, la condition de (2) est indépendante du choix de \(\Spec(K) \to X\) dans la classe d’équivalence de \(x\) (les détails sont omis ; cela résultera aussi des arguments ci-dessous, puisque les autres conditions ne dépendent pas de ce choix). Notons également que nous pouvons toujours choisir un diagramme comme en (3) de la manière suivante : choisissons d’abord un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Z\), puis un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to W \times_Z Y\), et enfin un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Ces choix étant faits, nous prenons pour \(U \to W\) la composée \(U \to V \to W\) et pouvons choisir un point \(u \in U\) envoyé sur \(x\), puisque le morphisme \(U \to X\) est surjectif.

Supposons donnés à la fois un diagramme comme en (3) et un point géométrique \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) comme en (1). D’après Propriétés d’espaces, Lemme 05VN nous pouvons choisir un point géométrique \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) au-dessus de \(u\) tel que \(\overline{x} = a \circ \overline{u}\). Notons \(\overline{v} : \Spec(k) \to V\) et \(\overline{w} : \Spec(k) \to W\) les points géométriques induits de \(V\) et \(W\). Dans cette situation, nous savons que \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\) et de même pour \(Y\) et \(Z\), voir Propriétés d’espaces, Lemme 04KF. De même, nous avons \[\mathcal{F}_{\overline{x}} = (a^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\] voir Propriétés d’espaces, Lemme 05VP. Notons que la fibre de \(\mathcal{F}_w\) en \(u\) est donnée par \[(\mathcal{F}_w)_u = (a^*\mathcal{F})_u/\mathfrak m_w(a^*\mathcal{F})_u\] et que l’anneau local de \(V_w\) en \(v\) est donné par \[\mathcal{O}_{V_w, v} = \mathcal{O}_{V, v}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{V, v}.\] Puisque \(\mathfrak m_{\overline{z}} = \mathfrak m_w \mathcal{O}_{Z, \overline{z}} = \mathfrak m_w \mathcal{O}_{W, w}^{sh}\) nous voyons que \[\begin{align*} \mathcal{F}_{\overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{F}_{\overline{x}} & = (a^*\mathcal{F})_u \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \\ & = (\mathcal{F}_w)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U_w, u}} \mathcal{O}_{U, u}^{sh}/\mathfrak m_w\mathcal{O}_{U, u}^{sh} \\ & = (\mathcal{F}_w)_u \otimes_{\mathcal{O}_{U_w, u}} \mathcal{O}_{U_w, \overline{u}}^{sh} \\ & = (\mathcal{F}_w)_{\overline{u}} \end{align*}\] l’avant-dernière égalité résultant du Lemme 05WS d’Algèbre et la dernière du Lemme 05VP de Propriétés d’espaces. Les mêmes arguments appliqués aux faisceaux structuraux de \(V\) et \(Y\) montrent que \[\mathcal{O}_{V_w, \overline{v}}^{sh} = \mathcal{O}_{V, v}^{sh}/\mathfrak m_w \mathcal{O}_{V, v}^{sh} = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}.\] Nous pouvons maintenant appliquer Morphismes d’espaces, Lemme 05VU, pour voir que (1) est équivalente à (3).

Enfin, démontrons l’équivalence de (2) et (3). Pour cela, choisissons une extension de corps \(\tilde K\) de \(K\) et un morphisme \(\tilde x : \Spec(\tilde K) \to U\) qui est situé au-dessus de \(u\) (c’est possible car \(u \times_{X, x} \Spec(K)\) est un schéma non vide). Soit \(\tilde z : \Spec(\tilde K) \to U \to W\) la composée. Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & & & U_w \times_w \tilde z \ar[llld]_a \ar[rr] \ar[dr] & & V_w \times_w \tilde z \ar[llld]_>>>>>>>b \ar[dl] \\ X_z \ar[rr]_f \ar[dr]_g & & Y_z \ar[dl]^h & & \tilde z \ar[llld]_c \\ & z }\] où \(z = \Spec(K)\) et \(w = \Spec(\kappa(w))\). Il est alors clair que \(\mathcal{F}_w\) et \(\mathcal{F}_z\) ont pour images inverses le même module sur \(U_w \times_w \tilde z\). Nous obtenons ainsi un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_z \ar[d] & U_w \times_w \tilde z \ar[l] \ar[d] \ar[r] & U_w \ar[d] \\ Y_z & V_w \times_w \tilde z \ar[l] \ar[r] & V_w }\] dont les deux carrés sont cartésiens et dont les flèches horizontales du bas sont plates : la flèche horizontale inférieure gauche est la composée du morphisme \(Y \times_Z \tilde z \to Y \times_Z z = Y_z\) (changement de base d’un morphisme plat), du morphisme étale \(V \times_Z \tilde z \to Y \times_Z \tilde z\), et du morphisme étale \(V \times_W \tilde z \to V \times_Z \tilde z\). Il résulte donc de Morphismes d’espaces, Lemme 05VW, que \[\mathcal{F}_z\text{ plat en }x\text{ sur }Y_z \Leftrightarrow \mathcal{F}|_{U_w \times_w \tilde z} \text{ plat en }\tilde x\text{ sur }V_w \times_w \tilde z \Leftrightarrow \mathcal{F}_w\text{ plat en }u\text{ sur }V_w\] ce qui conclut.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in |X|\) un point et notons \(z \in |Z|\) son image.

1. Nous disons que la restriction de \(\mathcal{F}\) à sa fibre au-dessus de \(z\) est plate en \(x\) sur la fibre de \(Y\) au-dessus de \(z\) si les conditions équivalentes du Lemme 05WY sont vérifiées.

2. Nous disons que la fibre de \(X\) au-dessus de \(z\) est plate en \(x\) sur la fibre de \(Y\) au-dessus de \(z\) si les conditions équivalentes du Lemme 05WY sont vérifiées pour \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_X\).

3. Nous disons que la fibre de \(X\) au-dessus de \(z\) est plate sur la fibre de \(Y\) au-dessus de \(z\) si, pour tout \(x \in |X|\) situé au-dessus de \(z\), la fibre de \(X\) au-dessus de \(z\) est plate en \(x\) sur la fibre de \(Y\) au-dessus de \(z\).

Cette définition nous permet d’énoncer la version suivante du critère. La version noethérienne se trouve à la section 08VN.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que

1. \(X\) soit localement de présentation finie sur \(Z\),

2. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, et

3. \(Y\) soit localement de type fini sur \(Z\).

Soit \(x \in |X|\) et soient \(y \in |Y|\) et \(z \in |Z|\) les images de \(x\). Si \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0\), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Z\) en \(x\) et la restriction de \(\mathcal{F}\) à sa fibre au-dessus de \(z\) est plate en \(x\) sur la fibre de \(Y\) au-dessus de \(z\), et

2. \(Y\) est plat sur \(Z\) en \(y\) et \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en \(x\).

En outre, l’ensemble des points \(x\) où (1) et (2) sont vérifiées est ouvert dans \(\text{Supp}(\mathcal{F})\).

Démonstration

Choisissons un diagramme comme dans le Lemme 05WY, partie (3). Il résulte des définitions que l’on se ramène au théorème correspondant pour les morphismes de schémas \(U \to V \to W\), le faisceau quasi-cohérent \(a^*\mathcal{F}\) et le point \(u \in U\). Le théorème découle donc du résultat correspondant pour les schémas, à savoir Compléments sur les morphismes, Théorème 039C.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(X\) soit localement de présentation finie sur \(Z\),

2. \(X\) soit plat sur \(Z\),

3. pour tout \(z \in |Z|\), la fibre de \(X\) au-dessus de \(z\) soit plate sur la fibre de \(Y\) au-dessus de \(z\), et

4. \(Y\) soit localement de type fini sur \(Z\).

Alors \(f\) est plat. Si \(f\) est en outre surjectif, alors \(Y\) est plat sur \(Z\).

Démonstration

C’est un cas particulier du Théorème 05X0.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que

1. \(X\) soit localement de présentation finie sur \(Z\),

2. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie,

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(Z\), et

4. \(Y\) soit localement de type fini sur \(Z\).

Alors l’ensemble \[A = \{x \in |X| : \mathcal{F} \text{ plat en }x \text{ sur }Y\}.\] Cet ensemble est ouvert dans \(|X|\) et sa formation commute à tout changement de base : si \(Z' \to Z\) est un morphisme d’espaces algébriques et si \(A'\) est l’ensemble des points de \(X' = X \times_Z Z'\) où \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} \times_Z Z'\) est plat sur \(Y' = Y \times_Z Z'\), alors \(A'\) est l’image inverse de \(A\) par l’application continue \(|X'| \to |X|\).

Démonstration

Une façon de le démontrer consiste à transposer la démonstration donnée dans Compléments sur les morphismes, Lemme 039E, à la catégorie des espaces algébriques. Nous le démontrerons plutôt en nous ramenant au cas des schémas. Choisissons donc un diagramme comme dans le Lemme 05WY, partie (3), tel que \(a\), \(b\) et \(c\) soient surjectifs. Il résulte des définitions que l’on se ramène au théorème correspondant pour les morphismes de schémas \(U \to V \to W\), le faisceau quasi-cohérent \(a^*\mathcal{F}\) et le point \(u \in U\). Le seul point à préciser est que, étant donné un morphisme d’espaces algébriques \(Z' \to Z\), nous choisissons un schéma \(W'\) et un morphisme étale surjectif \(W' \to W \times_Z Z'\). Posons alors \(U' = W' \times_W U\) et \(V' = W' \times_W V\). Notons \(a', b', c'\) les morphismes de \(U', V', W'\) dans \(X', Y', Z'\). Dans ce cas, \(A\), resp. \(A'\) sont les images des parties ouvertes de \(U\), resp. \(U'\) associées à \(a^*\mathcal{F}\), resp. \((a')^*\mathcal{F}'\). Cela ramène bien le lemme à Compléments sur les morphismes, Lemme 039E.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(X\) soit localement de présentation finie sur \(Z\),

2. \(X\) soit plat sur \(Z\), et

3. \(Y\) soit localement de type fini sur \(Z\).

Alors l’ensemble \[\{x \in |X| : X\text{ plat en }x \text{ sur }Y\}.\] Cet ensemble est ouvert dans \(|X|\) et sa formation commute à tout changement de base \(Z' \to Z\).

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 05X2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est localement de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Soit \(x \in |X|\), d’image \(y \in |Y|\). Si \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(Y\), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \((\mathcal{F}_{\overline{y}})_{\overline{x}}\) est un module plat sur \(\mathcal{O}_{X_{\overline{y}}, \overline{x}}\),

2. \((\mathcal{F}_{\overline{y}})_{\overline{x}}\) est un module libre sur \(\mathcal{O}_{X_{\overline{y}}, \overline{x}}\),

3. \(\mathcal{F}_{\overline{y}}\) est libre de type fini sur un voisinage étale de \(\overline{x}\) dans \(X_{\overline{y}}\), et

4. \(\mathcal{F}\) est libre de type fini sur un voisinage étale de \(x\) dans \(X\).

Ici, \(\overline{x}\) est un point géométrique de \(X\) situé au-dessus de \(x\) et \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\).

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et les flèches verticales sont étales, et tel qu’il existe un point \(u \in U\) envoyé sur \(x\). Soit \(v \in V\) l’image de \(u\). En appliquant le Lemme 05WY à \(\text{id} : X \to X\) sur \(Y\), nous voyons que (1) devient la condition « \(\mathcal{F}|_{U_v}\) est plat sur \(U_v\) en \(u\) ». Autrement dit, (1) équivaut à ce que \((\mathcal{F}|_{U_v})_u\) soit un \(\mathcal{O}_{U_v, u}\)-module plat. D’après le cas des schémas (Compléments sur les morphismes, Lemme 080Q), nous voyons que cela implique que \(\mathcal{F}|_U\) est libre de type fini sur un voisinage ouvert de \(u\). Nous voyons ainsi que (1) implique (4). Les implications (4) \(\Rightarrow\) (3) et (2) \(\Rightarrow\) (1) sont immédiates. Pour l’implication (3) \(\Rightarrow\) (2), utilisons la description des anneaux locaux et des fibres dans Propriétés d’espaces, Lemmes 04KF et 05VP.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est localement de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie plat sur \(Y\). Alors l’ensemble \[\{x \in |X| : \mathcal{F}\text{ libre dans un voisinage étale de }x\}\] est ouvert dans \(|X|\) et sa formation commute à tout changement de base \(Y' \to Y\).

Démonstration

L’ouverture est immédiate. Soit \(Y' \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques, posons \(X' = Y' \times_Y X\), et soit \(x' \in |X'|\) un point situé au-dessus de \(x \in |X|\). D’après le Lemme 0CZS, nous voyons que \(x\) appartient à notre ensemble si et seulement si \((\mathcal{F}_{\overline{y}})_{\overline{x}}\) est un module plat sur \(\mathcal{O}_{X_{\overline{y}}, \overline{x}}\). De même, \(x'\) appartient à l’analogue de notre ensemble pour l’image inverse \(\mathcal{F}'\) de \(\mathcal{F}\) sur \(X'\) si et seulement si \((\mathcal{F}'_{\overline{y}'})_{\overline{x}'}\) est un module plat sur \(\mathcal{O}_{X'_{\overline{y}'}, \overline{x}'}\) (avec les notations évidentes). Ces deux assertions sont équivalentes d’après le Lemme 05WY appliqué au morphisme \(\text{id} : X \to X\) sur \(Y\). L’assertion sur le changement de base est donc démontrée.

Platitude sur une base noethérienne

Voici le « critère de platitude par fibres » dans le cas noethérien.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que

1. \(X\), \(Y\), \(Z\) soient localement noethériens, et

2. \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.

Soit \(x \in |X|\) et soient \(y \in |Y|\) et \(z \in |Z|\) les images de \(x\). Si \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \not = 0\), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Z\) en \(x\) et la restriction de \(\mathcal{F}\) à sa fibre au-dessus de \(z\) est plate en \(x\) sur la fibre de \(Y\) au-dessus de \(z\), et

2. \(Y\) est plat sur \(Z\) en \(y\) et \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en \(x\).

Démonstration

Choisissons un diagramme comme dans le Lemme 05WY, partie (3). Il résulte des définitions que l’on se ramène au théorème correspondant pour les morphismes de schémas \(U \to V \to W\), le faisceau quasi-cohérent \(a^*\mathcal{F}\) et le point \(u \in U\). Le théorème découle donc du résultat correspondant pour les schémas, à savoir Compléments sur les morphismes, Théorème 039B.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(X\), \(Y\), \(Z\) soient localement noethériens,

2. \(X\) soit plat sur \(Z\),

3. pour tout \(z \in |Z|\), la fibre de \(X\) au-dessus de \(z\) soit plate sur la fibre de \(Y\) au-dessus de \(z\).

Alors \(f\) est plat. Si \(f\) est en outre surjectif, alors \(Y\) est plat sur \(Z\).

Démonstration

C’est un cas particulier du Théorème 0APR.

Tout comme pour vérifier la lissité, lorsque la base est noethérienne, il suffit de vérifier la platitude sur les anneaux artiniens. Voici un énoncé type.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(X\) un espace algébrique localement de présentation finie sur \(S = \Spec(A)\). Pour \(n \geq 1\), posons \(S_n = \Spec(A/I^n)\) et \(X_n = S_n \times_S X\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Si, pour tout \(n \geq 1\), l’image inverse \(\mathcal{F}_n\) de \(\mathcal{F}\) sur \(X\) est plate sur \(S_n\), alors le lieu (ouvert) où \(\mathcal{F}\) est plate sur \(X\) contient l’image inverse de \(V(I)\) par \(X \to S\).

Démonstration

Le lieu où \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) est ouvert dans \(|X|\) d’après le Théorème 05WV. L’énoncé est invariant lorsqu’on remplace \(X\) par les membres d’un recouvrement étale ; nous pouvons donc supposer que \(X\) est un schéma affine. Dans ce cas, le résultat découle immédiatement du Lemme 0523 d’Algèbre. Certains détails sont omis.

Retour sur la normalisation

La normalisation commute au changement de base lisse.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme lisse d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres. La clôture intégrale de \(\mathcal{O}_Y\) dans \(f^*\mathcal{A}\) est égale à \(f^*\mathcal{A}'\), où \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) est la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_X\) dans \(\mathcal{A}\).

Démonstration

Par notre construction de la clôture intégrale, voir Morphismes d’espaces, Définition 0821, on se ramène immédiatement au cas où \(X\) et \(Y\) sont affines. Dans ce cas, le résultat est le Lemme 03GG d’Algèbre.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ Y_2 \ar[r] \ar[d] & Y_1 \ar[d]^f \\ X_2 \ar[r]^\varphi & X_1 }\] un carré cartésien d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et que \(\varphi\) soit lisse. Soit \(Y_i \to X_i' \to X_i\) la normalisation de \(X_i\) dans \(Y_i\). Alors \(X_2' \cong X_2 \times_{X_1} X_1'\).

Démonstration

La factorisation \(Y_1 \to X_1' \to X_1\), après changement de base à \(X_2\), devient une factorisation \(Y_2 \to X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_1\) et le morphisme \(X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_1\) est entier (Morphismes d’espaces, Lemme 03ZS). Nous obtenons donc un morphisme \(h : X_2' \to X_2 \times_{X_1} X_1'\) par la propriété universelle de Morphismes d’espaces, Lemme 0823. Notons que \(X_2'\) est le spectre relatif de la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{X_2}\) dans \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2}\). Si \(\mathcal{A}' \subset f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\) désigne la clôture intégrale de \(\mathcal{O}_{X_2}\), alors \(X_2 \times_{X_1} X_1'\) est le spectre relatif de \(\varphi^*\mathcal{A}'\), puisque la formation du spectre relatif commute à tout changement de base. D’après Cohomologie des espaces, Lemme 073K nous savons que \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2} = \varphi^*f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\). Le résultat découle donc du Lemme 082E.

Morphismes de Cohen-Macaulay

Ceci est l’analogue de Compléments sur les morphismes, section 045Q.

Lemme

La propriété suivante des morphismes de germes de schémas \[\begin{align*} & \mathcal{P}((X, x) \to (S, s)) = \\ & \text{l'anneau local } \mathcal{O}_{X_s, x} \text{ de la fibre est noethérien et Cohen-Macaulay} \end{align*}\] est de nature locale pour la topologie étale sur la source et le but (Descente, Définition 04NB).

Démonstration

Étant donné un diagramme comme dans Descente, Définition 04NB, nous obtenons un morphisme étale entre les fibres \(U'_{v'} \to U_v\) qui envoie \(u'\) sur \(u\) ; voir Descente, Lemme 04NI. Les hensélisés stricts des anneaux locaux \(\mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}\) et \(\mathcal{O}_{U_v, u}\) sont donc les mêmes. Nous concluons par le Lemme 06LM de Compléments sur l’algèbre.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que les fibres de \(f\) soient localement noethériennes (Diviseurs sur les espaces, Définition 0CUX).

1. Soient \(x \in |X|\) et \(y = f(x)\). Nous disons que \(f\) est Cohen-Macaulay en \(x\) si \(f\) est plat en \(x\) et si les conditions équivalentes de Morphismes d’espaces, Lemme 04NC sont satisfaites pour la propriété \(\mathcal{P}\) décrite dans le Lemme 0E0U.

2. Nous disons que \(f\) est un morphisme de Cohen-Macaulay si \(f\) est Cohen-Macaulay en tout point de \(X\).

Voici une reformulation.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que les fibres de \(f\) soient localement noethériennes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est Cohen-Macaulay,

2. \(f\) est plat et il existe un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) où \(V\) est un schéma, tel que les fibres de \(X_V \to V\) soient des espaces algébriques de Cohen-Macaulay, et

3. \(f\) est plat et, pour tout morphisme étale \(V \to Y\) où \(V\) est un schéma, les fibres de \(X_V \to V\) sont des espaces algébriques de Cohen-Macaulay.

Étant donné \(x \in |X|\) d’image \(y \in |Y|\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est Cohen-Macaulay en \(x\), et

2. \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est plat et \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est Cohen-Macaulay.

Démonstration

Étant donné un morphisme étale \(V \to Y\) où \(V\) est un schéma, choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] Soit \(u \in U\) d’images \(x \in |X|\), \(y \in |Y|\) et \(v \in V\). Alors \(f\) est Cohen-Macaulay en \(x\) si et seulement si \(U \to V\) l’est en \(u\) (par définition). De plus, le morphisme \(U_v \to X_v = (X_V)_v\) est étale surjectif. Par conséquent, le schéma \(U_v\) est Cohen-Macaulay si et seulement si l’espace algébrique \(X_v\) l’est. L’équivalence de (1), (2) et (3) découle donc de l’équivalence correspondante pour les morphismes de schémas ; voir Compléments sur les morphismes, Lemme 045S ; l’argument est formel.

Démonstration de l’équivalence de (a) et (b). L’équivalence correspondante pour la platitude est donnée par Morphismes d’espaces, Lemme 04NG. Nous pouvons donc supposer \(f\) plat en \(x\) pour démontrer l’équivalence. Considérons un diagramme et \(x, y, u, v\) comme ci-dessus. Alors \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est égal à l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{V, v}^{sh} \to \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\) entre les hensélisés stricts des anneaux locaux ; voir Propriétés des espaces, Lemme 04KF. Nous avons donc \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = (\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u})^{sh}\] d’après Algèbre, Lemme 05WS. Il reste donc à montrer que l’anneau local noethérien \(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u}\) est Cohen-Macaulay si et seulement si son hensélisé strict l’est. C’est Compléments sur l’algèbre, Lemme 06LM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que les fibres de \(f\), \(g\) et \(g \circ f\) soient localement noethériennes. Soit \(x \in |X|\) d’images \(y \in |Y|\) et \(z \in |Z|\).

1. Si \(f\) est Cohen-Macaulay en \(x\) et \(g\) est Cohen-Macaulay en \(f(x)\), alors \(g \circ f\) est Cohen-Macaulay en \(x\).

2. Si \(f\) et \(g\) sont Cohen-Macaulay, alors \(g \circ f\) l’est.

3. Si \(g \circ f\) est Cohen-Macaulay en \(x\) et \(f\) est plat en \(x\), alors \(f\) est Cohen-Macaulay en \(x\) et \(g\) l’est en \(f(x)\).

4. Si \(f \circ g\) est Cohen-Macaulay et \(f\) est plat, alors \(f\) est Cohen-Macaulay et \(g\) l’est en tout point de l’image de \(f\).

Démonstration

Le résultat correspondant pour les schémas, appliqué localement pour la topologie étale, donne l’assertion ; voir Compléments sur les morphismes, Lemme 0C0W. On peut aussi utiliser l’équivalence de (a) et (b) du Lemme 0E0W. Nous considérons alors l’homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens \[\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] dont la fibre est \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] et nous appliquons Algèbre, Lemme 045J.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat entre espaces algébriques localement noethériens sur \(S\). Si \(X\) est Cohen-Macaulay, alors \(f\) est Cohen-Macaulay et \(\mathcal{O}_{Y, f(\overline{x})}\) est Cohen-Macaulay pour tout \(x \in |X|\).

Démonstration

En traduisant l’énoncé en algèbre à l’aide du Lemme 0E0W (comparer avec la démonstration du Lemme 0E0X), le résultat découle du Lemme 045J d’Algèbre.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que les fibres de \(f\) soient localement noethériennes. Supposons que \(Y' \to Y\) soit localement de type fini. Soit \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\). Soit \(x' \in |X'|\) un point d’image \(x \in |X|\).

1. Si \(f\) est Cohen-Macaulay en \(x\), alors \(f' : X' \to Y'\) est Cohen-Macaulay en \(x'\).

2. Si \(f\) est plat en \(x\) et \(f'\) est Cohen-Macaulay en \(x'\), alors \(f\) est Cohen-Macaulay en \(x\).

3. Si \(Y' \to Y\) est plat en \(f'(x')\) et \(f'\) est Cohen-Macaulay en \(x'\), alors \(f\) est Cohen-Macaulay en \(x\).

Démonstration

Notons \(y \in |Y|\) et \(y' \in |Y'|\) les images de \(x'\). Choisissons un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) où \(V\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\) où \(U\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale surjectif \(V' \to Y' \times_Y V\) où \(V'\) est un schéma. Alors \(U' = U \times_V V'\) est un schéma muni d’un morphisme étale surjectif \(U' \to X'\). Choisissons \(u' \in U'\) qui s’envoie sur \(x'\). Notons \(u \in U\) l’image de \(u'\). Le lemme découle alors du lemme appliqué à \(U \to V\), à son changement de base \(U' \to V'\) et aux points \(u'\) et \(u\) (cela découle des définitions). Il découle donc du cas des schémas ; voir Compléments sur les morphismes, Lemme 045T.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est plat et localement de présentation finie. Posons \[W = \{x \in |X| : f\text{ est Cohen-Macaulay en }x\}\] Alors \(W\) est ouvert dans \(|X|\) et la formation de \(W\) commute à tout changement de base de \(f\) : pour tout morphisme \(g : Y' \to Y\), considérons le changement de base \(f' : X' \to Y'\) de \(f\) et la projection \(g' : X' \to X\). Alors l’ensemble correspondant \(W'\) pour le morphisme \(f'\) est donné par \(W' = (g')^{-1}(W)\).

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] dont les flèches verticales sont étales et où \(U\) et \(V\) sont des schémas. Soit \(u \in U\) d’image \(x \in |X|\). Alors \(f\) est Cohen-Macaulay en \(x\) si et seulement si \(U \to V\) l’est en \(u\) (par définition). Nous nous ramenons ainsi au cas du morphisme \(U \to V\). Voir Compléments sur les morphismes, Lemme 045U.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit localement de présentation finie et Cohen-Macaulay. Il existe alors des sous-schémas ouverts et fermés \(X_d \subset X\) tels que \(X = \coprod_{d \geq 0} X_d\) et que \(f|_{X_d} : X_d \to Y\) soit de dimension relative \(d\).

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] dont les flèches verticales sont étales et où \(U\) et \(V\) sont des schémas. Alors \(U \to V\) est localement de présentation finie et Cohen-Macaulay (cela résulte immédiatement de nos définitions). Nous avons donc une décomposition \(U = \coprod_{d \geq 0} U_d\) en sous-schémas ouverts et fermés telle que \(f|_{U_d} : U_d \to V\) soit de dimension relative \(d\) ; voir Morphismes, Lemme 02NM. Soit \(u \in U\) d’image \(x \in |X|\). Alors \(f\) est de dimension relative \(d\) en \(x\) si et seulement si \(U \to V\) est de dimension relative \(d\) en \(u\) (cela découle de nos définitions). Nous voyons ainsi que \(U_d\) est l’image inverse d’une partie \(X_d \subset |X|\) qui est nécessairement ouverte et fermée. Notons \(X_d\) le sous-espace algébrique ouvert et fermé correspondant de \(X\) ; le lemme est démontré.

Morphismes de Gorenstein

Ceci est l’analogue de Dualité pour les schémas, section 0C02.

Lemme

La propriété suivante des morphismes de germes de schémas \[\begin{align*} & \mathcal{P}((X, x) \to (S, s)) = \\ & \text{l'anneau local } \mathcal{O}_{X_s, x} \text{ de la fibre est noethérien et de Gorenstein} \end{align*}\] est de nature locale pour la topologie étale sur la source et le but (Descente, Définition 04NB).

Démonstration

Étant donné un diagramme comme dans Descente, Définition 04NB, nous obtenons un morphisme étale entre les fibres \(U'_{v'} \to U_v\) qui envoie \(u'\) sur \(u\) ; voir Descente, Lemme 04NI. Ainsi, \(\mathcal{O}_{U_v, u} \to \mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}\) est la localisation d’un homomorphisme étale d’anneaux. Par conséquent, le premier anneau est noethérien si et seulement si le second l’est ; voir Compléments sur l’algèbre, Lemme 0AGZ. Puisque \(\mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}/\mathfrak m_u \mathcal{O}_{U'_{v'}, u'} = \kappa(u')\) (Algèbre, Lemme 00U4) est un anneau de Gorenstein, nous voyons que \(\mathcal{O}_{U_v, u}\) est de Gorenstein si et seulement si \(\mathcal{O}_{U'_{v'}, u'}\) l’est, d’après Complexes dualisants, Lemme 0BJL.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que les fibres de \(f\) soient localement noethériennes (Diviseurs sur les espaces, Définition 0CUX).

1. Soient \(x \in |X|\) et \(y = f(x)\). Nous disons que \(f\) est de Gorenstein en \(x\) si \(f\) est plat en \(x\) et si les conditions équivalentes de Morphismes d’espaces, Lemme 04NC sont satisfaites pour la propriété \(\mathcal{P}\) décrite dans le Lemme 0E13.

2. Nous disons que \(f\) est un morphisme de Gorenstein si \(f\) est de Gorenstein en tout point de \(X\).

Voici une reformulation.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que les fibres de \(f\) soient localement noethériennes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est de Gorenstein,

2. \(f\) est plat et il existe un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) où \(V\) est un schéma, tel que les fibres de \(X_V \to V\) soient des espaces algébriques de Gorenstein, et

3. \(f\) est plat et, pour tout morphisme étale \(V \to Y\) où \(V\) est un schéma, les fibres de \(X_V \to V\) sont des espaces algébriques de Gorenstein.

Étant donné \(x \in |X|\) d’image \(y \in |Y|\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est de Gorenstein en \(x\), et

2. \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est plat et \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est de Gorenstein.

Démonstration

Étant donné un morphisme étale \(V \to Y\) où \(V\) est un schéma, choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] Soit \(u \in U\) d’images \(x \in |X|\), \(y \in |Y|\) et \(v \in V\). Alors \(f\) est de Gorenstein en \(x\) si et seulement si \(U \to V\) l’est en \(u\) (par définition). De plus, le morphisme \(U_v \to X_v = (X_V)_v\) est étale surjectif. Par conséquent, le schéma \(U_v\) est de Gorenstein si et seulement si l’espace algébrique \(X_v\) l’est. L’équivalence de (1), (2) et (3) découle donc de l’équivalence correspondante pour les morphismes de schémas ; voir Dualité pour les schémas, Lemme 0BFQ ; l’argument est formel.

Démonstration de l’équivalence de (a) et (b). L’équivalence correspondante pour la platitude est donnée par Morphismes d’espaces, Lemme 04NG. Nous pouvons donc supposer \(f\) plat en \(x\) pour démontrer l’équivalence. Considérons un diagramme et \(x, y, u, v\) comme ci-dessus. Alors \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est égal à l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{V, v}^{sh} \to \mathcal{O}_{U, u}^{sh}\) entre les hensélisés stricts des anneaux locaux ; voir Propriétés des espaces, Lemme 04KF. Nous avons donc \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}} = (\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u})^{sh}\] d’après Algèbre, Lemme 05WS. Il reste donc à montrer que l’anneau local noethérien \(\mathcal{O}_{U, u}/\mathfrak m_v \mathcal{O}_{U, u}\) est de Gorenstein si et seulement si son hensélisé strict l’est. Cela découle immédiatement de Complexes dualisants, Lemme 0DWD et de la définition d’un anneau local de Gorenstein comme un anneau local noethérien qui est un complexe dualisant sur lui-même.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que les fibres de \(f\), \(g\) et \(g \circ f\) soient localement noethériennes. Soit \(x \in |X|\) d’images \(y \in |Y|\) et \(z \in |Z|\).

1. Si \(f\) est de Gorenstein en \(x\) et \(g\) est de Gorenstein en \(f(x)\), alors \(g \circ f\) est de Gorenstein en \(x\).

2. Si \(f\) et \(g\) sont de Gorenstein, alors \(g \circ f\) l’est.

3. Si \(g \circ f\) est de Gorenstein en \(x\) et \(f\) est plat en \(x\), alors \(f\) est de Gorenstein en \(x\) et \(g\) l’est en \(f(x)\).

4. Si \(f \circ g\) est de Gorenstein et \(f\) est plat, alors \(f\) est de Gorenstein et \(g\) l’est en tout point de l’image de \(f\).

Démonstration

Le résultat correspondant pour les schémas, appliqué localement pour la topologie étale, donne l’assertion ; voir Dualité pour les schémas, Lemme 0C11. On peut aussi utiliser l’équivalence de (a) et (b) du Lemme 0E15. Nous considérons alors l’homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens \[\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{z}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] dont la fibre est \[\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/ \mathfrak m_{\overline{y}}\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] et nous appliquons Complexes dualisants, Lemme 0BJL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat entre espaces algébriques localement noethériens sur \(S\). Si \(X\) est de Gorenstein, alors \(f\) est de Gorenstein et \(\mathcal{O}_{Y, f(\overline{x})}\) est de Gorenstein pour tout \(x \in |X|\).

Démonstration

En traduisant l’énoncé en algèbre à l’aide du Lemme 0E15 (comparer avec la démonstration du Lemme 0E16), le résultat découle du Lemme 0BJL de Complexes dualisants.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que les fibres de \(f\) soient localement noethériennes. Supposons que \(Y' \to Y\) soit localement de type fini. Soit \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\). Soit \(x' \in |X'|\) un point d’image \(x \in |X|\).

1. Si \(f\) est de Gorenstein en \(x\), alors \(f' : X' \to Y'\) est de Gorenstein en \(x'\).

2. Si \(f\) est plat en \(x\) et \(f'\) est de Gorenstein en \(x'\), alors \(f\) est de Gorenstein en \(x\).

3. Si \(Y' \to Y\) est plat en \(f'(x')\) et \(f'\) est de Gorenstein en \(x'\), alors \(f\) est de Gorenstein en \(x\).

Démonstration

Notons \(y \in |Y|\) et \(y' \in |Y'|\) les images de \(x'\). Choisissons un morphisme étale surjectif \(V \to Y\) où \(V\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\) où \(U\) est un schéma. Choisissons un morphisme étale surjectif \(V' \to Y' \times_Y V\) où \(V'\) est un schéma. Alors \(U' = U \times_V V'\) est un schéma muni d’un morphisme étale surjectif \(U' \to X'\). Choisissons \(u' \in U'\) qui s’envoie sur \(x'\). Notons \(u \in U\) l’image de \(u'\). Le lemme découle alors du lemme appliqué à \(U \to V\), à son changement de base \(U' \to V'\) et aux points \(u'\) et \(u\) (cela découle des définitions). Il découle donc du cas des schémas ; voir Dualité pour les schémas, Lemme 0C07.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est plat et localement de présentation finie. Posons \[W = \{x \in |X| : f\text{ est de Gorenstein en }x\}\] Alors \(W\) est ouvert dans \(|X|\) et la formation de \(W\) commute à tout changement de base de \(f\) : pour tout morphisme \(g : Y' \to Y\), considérons le changement de base \(f' : X' \to Y'\) de \(f\) et la projection \(g' : X' \to X\). Alors l’ensemble correspondant \(W'\) pour le morphisme \(f'\) est donné par \(W' = (g')^{-1}(W)\).

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] Soit \(u \in U\) d’image \(x \in |X|\). Alors \(f\) est de Gorenstein en \(x\) si et seulement si \(U \to V\) l’est en \(u\) (par définition). Nous nous ramenons ainsi au cas du morphisme \(U \to V\) de schémas. L’ouverture est démontrée dans Dualité pour les schémas, Lemme 0C09 et la compatibilité au changement de base dans Dualité pour les schémas, Lemme 0E0Q.

Tranchage des morphismes de Cohen-Macaulay

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Dans ce cas, nous notons \(V(f_1, \ldots, f_r)\) le sous-espace fermé de \(X\) défini par \(f_1, \ldots, f_r\). Plus précisément, on peut définir \(V(f_1, \ldots, f_r)\) comme le sous-espace fermé de \(X\) correspondant au faisceau quasi-cohérent d’idéaux engendré par \(f_1, \ldots, f_r\) ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 03MB. On peut aussi choisir une présentation \(X = U/R\) et considérer le sous-schéma fermé \(Z \subset U\) défini par \(f_1|U, \ldots, f_r|_U\). Il est clair que \(Z\) est un sous-schéma fermé invariant par \(R\) (voir Groupoïdes, Définition 03BC) et l’on peut poser \(V(f_1, \ldots, f_r) = Z/R_Z\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ Y & \Spec(k) \ar[l] }\] où \(X \to Y\) est un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est plat et localement de présentation finie, et où \(k\) est un corps sur \(S\). Soient \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(z \in |F|\) tels que les images de \(f_1, \ldots, f_r\) forment une suite régulière dans l’anneau local \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\). Alors, quitte à remplacer \(X\) par un sous-espace ouvert contenant \(p(z)\), le morphisme \[V(f_1, \ldots, f_r) \longrightarrow Y\] est plat et localement de présentation finie.

Démonstration

Posons \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\). Il est clair que \(Z \to X\) est localement de présentation finie ; la composée \(Z \to Y\) est donc localement de présentation finie ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XQ. Il suffit donc de montrer que \(Z \to Y\) est plat dans un voisinage de \(p(z)\). Soit \(k'/k\) une extension de corps. Alors le morphisme de \(F' = F \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\) vers \(F\) est surjectif et plat ; on peut donc trouver un point \(z' \in |F'|\) qui s’envoie sur \(z\) et l’homomorphisme local \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\) est plat ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 04NG. Par conséquent, les images de \(f_1, \ldots, f_r\) dans \(\mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\) forment encore une suite régulière ; voir Algèbre, Lemme 00LM. Ainsi, au cours de la démonstration, nous pouvons remplacer \(k\) par une extension de corps. En particulier, nous pouvons supposer que \(z \in |F|\) provient d’une section \(z : \Spec(k) \to F\) du morphisme structural \(F \to \Spec(k)\).

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\). Après avoir éventuellement agrandi encore \(k\), nous pouvons supposer que \(\Spec(k) \to F \to X\) se factorise par \(U\) (puisque \(U \to X\) est surjectif). Soit \(u : \Spec(k) \to U\) une telle factorisation et notons \(v \in V\) l’image de \(u\). Notons que les morphismes \[U_v \times_{\Spec(\kappa(v))} \Spec(k) = U \times_V \Spec(k) \to U \times_Y \Spec(k) \to F\] sont étales (le premier comme changement de base de \(V \to V \times_Y V\) et le second comme changement de base de \(U \to X\)). De plus, par construction, le point \(u : \Spec(k) \to U\) définit un point de l’espace tout à gauche qui s’envoie sur \(z\) à droite. Par conséquent, les éléments \(f_1, \ldots, f_r\) ont pour images une suite régulière dans l’anneau local situé à droite de l’homomorphisme suivant \[\mathcal{O}_{U_v, u} \longrightarrow \mathcal{O}_{U_v \times_{\Spec(\kappa(v)} \Spec(k), \overline{u}} = \mathcal{O}_{U \times_V \Spec(k), \overline{u}}.\] Mais, puisque la flèche affichée est plate (en combinant Compléments sur la platitude, Lemme 05VL et Morphismes d’espaces, Lemme 04NG), nous déduisons de Algèbre, Lemme 00LM, que les images de \(f_1, \ldots, f_r\) forment une suite régulière dans \(\mathcal{O}_{U_v, u}\). D’après Compléments sur les morphismes, Lemme 06LI, nous concluons que le morphisme de schémas \[V(f_1, \ldots, f_r) \times_X U = V(f_1|_U, \ldots, f_r|_U) \to V\] est plat dans un voisinage ouvert \(U'\) de \(u\). Soit \(X' \subset X\) le sous-espace ouvert correspondant à l’image de \(|U'| \to |X|\) (voir Propriétés des espaces, Lemmes 03BX et 03BZ). Nous concluons que \(V(f_1, \ldots, f_r) \cap X' \to Y\) est plat (voir Morphismes d’espaces, Définition 03ML), car nous avons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ V(f_1, \ldots, f_r) \times_X U' \ar[d]_a \ar[r] & V \ar[d]^b \\ V(f_1, \ldots, f_r) \cap X' \ar[r] & Y }\] où \(a, b\) sont étales et \(a\) est surjectif.

Fibres réduites

Cette section est l’analogue de Compléments sur les morphismes, section 0574.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour un certain morphisme \(\Spec(k) \to Y\) dans la classe d’équivalence de \(y\), l’espace algébrique \(X_k\) est géométriquement réduit sur \(k\) ;

2. pour tout morphisme \(\Spec(k) \to Y\) dans la classe d’équivalence de \(y\), l’espace algébrique \(X_k\) est géométriquement réduit sur \(k\) ;

3. pour tout morphisme \(\Spec(k) \to Y\) dans la classe d’équivalence de \(y\), l’espace algébrique \(X_k\) est réduit.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 0E04 d’Espaces sur les corps et de la définition de la relation d’équivalence qui définit \(|X|\), donnée dans Propriétés des espaces, section 03BT.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\). Nous disons que la fibre de \(f : X \to Y\) en \(y\) est géométriquement réduite si les conditions équivalentes du Lemme 0E07 sont satisfaites.

Voici les lemmes obligatoires.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y' \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Notons \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\) par \(g\). Alors \[\begin{align*} \{y' \in |Y'| : \text{la fibre de }f' : X' \to Y'\text{ en }y' \text{ est géométriquement réduite}\} \\ = g^{-1}(\{y \in |Y| : \text{la fibre de }f : X \to Y\text{ en }y \text{ est géométriquement réduite}\}). \end{align*}\]

Démonstration

Pour \(y' \in |Y'|\), choisissons un morphisme \(\Spec(k) \to Y'\) dans la classe d’équivalence de \(y'\). Alors \(g(y')\) est représenté par la composée \(\Spec(k) \to Y' \to Y\). Ainsi \(X' \times_{Y'} \Spec(k) = X \times_Y \Spec(k)\) et le résultat découle de la définition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est quasi-compact et localement de présentation finie. Alors l’ensemble \[E = \{y \in |Y| : \text{la fibre de }f : X \to Y\text{ en }y \text{ est géométriquement réduite}\}\] est localement constructible pour la topologie étale.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V\) et un morphisme étale \(V \to Y\). L’énoncé signifie que l’image inverse de \(E\) dans \(|V|\) est constructible. D’après le Lemme 0E09, nous pouvons remplacer \(Y\) par \(V\), c’est-à-dire supposer que \(Y\) est un schéma affine. Alors \(X\) est quasi-compact. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Pour un morphisme \(\Spec(k) \to Y\), le morphisme entre les fibres \(U_k \to X_k\) est étale surjectif. Ainsi \(U_k\) est géométriquement réduit sur \(k\) si et seulement si \(X_k\) est géométriquement réduit sur \(k\) ; voir Espaces sur les corps, Lemme 0E05. Ainsi, l’ensemble \(E\) associé à \(X \to Y\) est le même que l’ensemble \(E\) associé à \(U \to Y\). Nous voyons de cette manière que le lemme découle du cas des schémas ; voir Compléments sur les morphismes, Lemme 0579.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur un anneau de valuation discrète \(R\) dont le morphisme structural \(X \to \Spec(R)\) est propre et plat. Si la fibre spéciale est réduite, alors \(X\) et la fibre générique \(X_\eta\) sont tous deux réduits.

Démonstration

Choisissons un morphisme étale \(U \to X\) où \(U\) est un schéma affine. Alors \(U\) est de type fini sur \(R\). Soit \(u \in U\) un point de la fibre spéciale. L’anneau local \(A = \mathcal{O}_{U, u}\) est essentiellement de type fini sur \(R\), donc noethérien. Soit \(\pi \in R\) une uniformisante. Comme \(X\) est plat sur \(R\), nous voyons que \(\pi \in \mathfrak m_A\) est un non diviseur de zéro dans \(A\) et, comme la fibre spéciale de \(X\) est réduite, l’anneau \(A/\pi A\) est réduit. Si \(a \in A\), \(a \not = 0\), alors il existe un \(n \geq 0\) et un élément \(a' \in A\) tels que \(a = \pi^n a'\) et \(a' \not \in \pi A\). Cela résulte du théorème d’intersection de Krull (Algèbre, Lemme 00IP). Si \(a\) est nilpotent, \(a'\) l’est aussi, car \(\pi\) est un non diviseur de zéro. Mais \(a'\) s’envoie sur un élément non nul de l’anneau réduit \(A/\pi A\), ce qui est impossible. Ainsi \(A\) est réduit. Il s’ensuit qu’il existe un voisinage ouvert de \(u\) dans \(U\) qui est réduit (petit détail omis ; utiliser le fait que \(U\) est noethérien). On peut donc trouver un morphisme étale \(U \to X\) où \(U\) est un schéma réduit, tel que tout point de la fibre spéciale de \(X\) appartienne à l’image. Comme \(X\) est propre sur \(R\), il s’ensuit que \(U \to X\) est surjectif. Ainsi \(X\) est réduit. Comme la fibre générique de \(U \to \Spec(R)\) est également réduite (sur les morceaux affines, elle se calcule par localisation), nous concluons qu’il en est de même de la fibre générique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est plat, propre et de présentation finie, alors l’ensemble \[E = \{y \in |Y| : \text{la fibre de }f : X \to Y\text{ en }y \text{ est géométriquement réduite}\}\] est ouvert dans \(|Y|\).

Démonstration

Par le Lemme 0E09, la formation de \(E\) commute au changement de base. Pour vérifier qu’une partie de \(|Y|\) est ouverte, nous pouvons remplacer \(Y\) par les membres d’un recouvrement étale. Nous pouvons donc supposer \(Y\) affine. Alors \(Y\) est une limite projective filtrante de schémas affines de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Par conséquent, nous pouvons supposer que \(X \to Y\) est le changement de base de \(X_0 \to Y_0\), où \(Y_0\) est le spectre d’une algèbre de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et \(X_0 \to Y_0\) est plat et propre. Voir Limites d’espaces, Lemmes 07SK, 08K0, et 08K1. Puisque la formation de \(E\) commute au changement de base (voir ci-dessus), nous pouvons supposer la base noethérienne.

Supposons \(Y\) noethérien. Cet ensemble est constructible d’après le Lemme 0E0A. Il suffit donc de montrer que l’ensemble est stable par générisation (Topologie, Lemme 0542). D’après Propriétés, Lemme 054F, nous nous ramenons au cas où \(Y = \Spec(R)\), où \(R\) est un anneau de valuation discrète et où la fibre fermée \(X_y\) est géométriquement réduite. Il reste à montrer que la fibre générique \(X_\eta\) est géométriquement réduite.

Sinon, il existe une extension finie \(L\) du corps des fractions de \(R\) telle que \(X_L\) ne soit pas réduit ; voir Espaces sur les corps, Lemmes 0E02 (caractéristique zéro) et 0E03 (caractéristique positive). Il existe un anneau de valuation discrète \(R' \subset L\) de corps des fractions \(L\) qui domine \(R\) ; voir Algèbre, Lemme 09IG. Après avoir remplacé \(R\) par \(R'\), nous nous ramenons au Lemme 0E0B.

Composantes connexes des fibres

Cette section est l’analogue de Compléments sur les morphismes, section 055C.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \[n_{X/Y} : |Y| \to \{0, 1, 2, 3, \ldots, \infty\}\] la fonction qui associe à \(y \in Y\) le nombre de composantes connexes de \(X_k\), où \(\Spec(k) \to Y\) appartient à la classe d’équivalence de \(y\) et où \(k\) est algébriquement clos. Cette fonction est bien définie et, si \(g : Y' \to Y\) est un morphisme, alors \[n_{X'/Y'} = n_{X/Y} \circ g\] où \(X' \to Y'\) est le changement de base de \(f\).

Démonstration

Supposons que \(y' \in Y'\) ait pour image \(y \in Y\). Soit \(\Spec(k') \to Y'\) un morphisme dans la classe d’équivalence de \(y'\), avec \(k'\) algébriquement clos. On peut alors choisir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[rd] & \Spec(k') \ar[r] & Y' \ar[d] \\ & \Spec(k) \ar[r] & Y }\] où \(K\) est un corps algébriquement clos. Le résultat vient de ce que les morphismes de schémas \[\xymatrix{ X'_{k'} & (X'_{k'})_K = (X_k)_K \ar[l] \ar[r] & X_k }\] induisent des bijections entre les composantes connexes ; voir Espaces sur les corps, Lemme 0A12. Pour en déduire que la fonction est bien définie, prendre \(Y' = Y\).

Dimension des fibres

Cette section est l’analogue de Compléments sur les morphismes, section 05F6.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\). Les grandeurs suivantes sont égales :

1. \(d = -\infty\) si \(y\) n’appartient pas à l’image de \(|f|\) et, sinon, le plus petit entier \(d\) tel que \(f\) soit de dimension relative \(\leq d\) en tout \(x \in |X|\) s’envoyant sur \(y\) ;

2. la dimension de l’espace algébrique \(X_k = \Spec(k) \times_Y X\) pour tout morphisme \(\Spec(k) \to Y\) dans la classe d’équivalence qui définit \(y\).

Démonstration

Pour interpréter cet énoncé, il faut consulter Morphismes d’espaces, Définition 04NM, Propriétés des espaces, Définition 04N6, Propriétés des espaces, Définition 04N5. Nous allons montrer que les nombres de (1) et (2) sont égaux pour un morphisme fixé \(\Spec(k) \to Y\). Choisissons un morphisme étale \(V \to Y\), où \(V\) est un schéma affine, ainsi qu’un point \(v \in V\) s’envoyant sur \(y\). Puisque \(V \times_Y \Spec(k) \to \Spec(k)\) est étale surjectif (d’après Propriétés des espaces, Lemme 03H4), on peut trouver une extension séparable finie \(k'/k\) (d’après Morphismes, Lemme 02GL) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & Y }\] Nous pouvons remplacer \(X \to Y\) par \(V \times_Y X \to V\) et \(X_k\) par \(X_{k'} = \Spec(k') \times_V (V \times_Y X)\), car cela ne change pas les dimensions considérées d’après Propriétés des espaces, Lemme 0A4H et Morphismes d’espaces, Lemme 04NS. Ainsi, nous pouvons supposer que \(Y\) est un schéma affine. Dans ce cas, nous pouvons supposer que \(k = \kappa(y)\), car les dimensions de \(X_{\kappa(y)}\) et de \(X_k\) sont égales d’après le Lemme 04NS de Morphismes d’espaces et le fait que, pour un espace algébrique \(Z\) sur un corps \(K\), la dimension relative de \(Z\) en un point \(z \in |Z|\) est égale à \(\dim_z(Z)\) par définition. Supposons \(Y\) affine et \(k = \kappa(y)\). Alors, comme \(X\) est quasi-compact, nous pouvons choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Alors \(\dim(X_k) = \dim(U_k) = \max \dim_u(U_k)\) est égal, par définition, au nombre donné en (1).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \[n_{X/Y} : |Y| \to \{-\infty, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\] la fonction qui associe à \(y \in |Y|\) l’entier étudié au Lemme 0D4M. Si \(g : Y' \to Y\) est un morphisme, alors \[n_{X'/Y'} = n_{X/Y} \circ |g|\] où \(X' \to Y'\) est le changement de base de \(f\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 0D4M.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat et de présentation finie d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(n_{X/Y}\) la fonction sur \(Y\) donnant la dimension des fibres de \(f\) introduite au Lemme 0D4N. Alors \(n_{X/Y}\) est semi-continue inférieurement.

Démonstration

Soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif, où \(V\) est un schéma. Si nous pouvons montrer que la composée \(n_{X/Y} \circ |g|\) est semi-continue inférieurement, alors le lemme en découle, car l’application \(|g|\) est ouverte. Ainsi, nous pouvons supposer que \(Y\) est un schéma. En raisonnant localement, nous pouvons supposer que \(V\) est un schéma affine. On peut alors choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Alors \(n_{X/Y} = n_{U/Y}\). Ainsi, nous pouvons supposer que \(X\) et \(Y\) sont tous deux des schémas. Dans ce cas, le lemme résulte de Compléments sur les morphismes, Lemme 0D4H.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(n_{X/Y}\) la fonction sur \(Y\) donnant la dimension des fibres de \(f\) introduite au Lemme 0D4N. Alors \(n_{X/Y}\) est semi-continue supérieurement.

Démonstration

Soit \(Z_d = \{x \in |X| : \text{la fibre de }f\text{ en }x\text{ est de dimension }> d\}\). Alors \(Z_d\) est une partie fermée de \(|X|\) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 04NT. Puisque \(f\) est propre, \(f(Z_d)\) est fermé dans \(|Y|\). Comme \(y \in f(Z_d) \Leftrightarrow n_{X/Y}(y) > d\), le lemme est démontré.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), propre, plat et de présentation finie. Soit \(n_{X/Y}\) la fonction sur \(Y\) donnant la dimension des fibres de \(f\) introduite au Lemme 0D4N. Alors \(n_{X/Y}\) est localement constante.

Démonstration

Conséquence immédiate des Lemmes 0D4P et 0D4Q.

Espaces algébriques caténaires

Cette section poursuit la discussion commencée dans Espaces décents, section 0ED3. Le lemme qui suit sera utilisé dans la démonstration du suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme entier d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\) un point représentable par une immersion fermée \(y : \Spec(k) \to Y\). Il existe alors une factorisation \(X \to X' \to Y\) de \(f\) telle que

1. \(X' \to Y\) soit entier ;

2. \(X \to X'\) soit un isomorphisme au-dessus de \(X' \setminus X'_y\) ;

3. \(X'_y\) possède un unique point \(x'\) tel que \(\kappa(x') = k\).

De plus, si \(f\) est fini et \(Y\) est localement noethérien, alors \(X' \to Y\) est fini.

Démonstration

D’après Morphismes d’espaces, Lemme 03M9, les faisceaux \(f_*\mathcal{O}_X\), \((X_y \to Y)_*\mathcal{O}_{X_y}\) et \(y_*\mathcal{O}_{\Spec(k)}\) sont des faisceaux quasi-cohérents d’algèbres sur \(\mathcal{O}_Y\). Considérons les applications \[f_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow (X_y \to Y)_*\mathcal{O}_{X_y} \longleftarrow y_*\mathcal{O}_{\Spec(k)}\] Le produit fibré est un faisceau quasi-cohérent d’algèbres sur \(\mathcal{O}_Y\), noté \(\mathcal{A}'\), et l’on peut définir \(X' \to Y\) comme le spectre relatif de \(\mathcal{A}'\) sur \(Y\) ; voir Morphismes, Lemme 01SA. Cette construction commute à tout changement de base. En particulier, il est clair que, sur le sous-espace ouvert \(|Y| \setminus \{y\}\), le morphisme \(X \to X'\) est un isomorphisme et que, sur \(|Y| \setminus \{y\}\), le morphisme \(X' \to Y\) est entier. Il reste à démontrer les assertions dans un petit voisinage de \(y\). Choisissons un schéma affine \(V = \Spec(R)\) et un morphisme étale \(\varphi : V \to Y\) tel que \(y\) appartienne à l’image de \(\varphi\). Alors \(V_y\) est un sous-schéma fermé de \(V\), étale sur \(k\), et se compose donc d’un nombre fini de points dont chacun a un corps résiduel séparable sur \(k\) (voir Espaces décents, Remarque 03II). Après avoir rétréci \(V\), nous pouvons supposer qu’il existe un unique point fermé \(v = \Spec(l) \to V\) s’envoyant sur \(y\), avec \(l/k\) fini séparable. On peut écrire \(V \times_Y X = \Spec(C)\), où \(R \to C\) est un homomorphisme d’anneaux entier. La compatibilité énoncée avec le changement de base donne \(U \times_X Y' = \Spec(C')\), où \[C' = C \times_{C \otimes_R l} l\] Comme \(R \to l\) est surjectif, \(C \to C \otimes_R l\) l’est aussi, et nous voyons qu’il s’agit d’un produit fibré du genre étudié dans Compléments sur l’algèbre, Situation 08KH (où \(A, A', B, B'\) correspondent à \(C \otimes_R l, C, l, C'\)). Remarquons que \(C'\) est une \(R\)-sous-algèbre de \(C\) et est donc entière sur \(R\) ; cela démontre (1). Enfin, Compléments sur l’algèbre, Lemme 0B7J montre que \(V \times_X Y' = \Spec(C')\) possède un unique point \(y''\) au-dessus de \(v\), de corps résiduel \(l\) (cela correspond à l’application surjective évidente \(C' \to l\)). Ainsi, \(X_y \times_{\Spec(k)} \Spec(l)\) possède un unique point de corps résiduel \(l\). Puisque \(l/k\) est fini séparable, cela implique que \(X'_y\) possède un unique point de corps résiduel \(k\), c’est-à-dire que (3) est vérifiée.

Pour démontrer la dernière assertion, remarquons que si \(Y\) est localement noethérien, alors \(R\) est un anneau noethérien et, si \(f\) est fini, \(R \to C\) est fini. Alors \(C'\) est une \(R\)-algèbre de type fini d’après Compléments sur l’algèbre, Lemme 00IT. Cela démontre que \(X' \to Y\) est fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\delta : |B| \to \mathbf{Z}\) une fonction. Supposons que \(B\) soit décent, localement noethérien et universellement caténaire, et que \(\delta\) soit une fonction de dimension. Si \(X\) est un espace algébrique décent sur \(B\) dont le morphisme structural \(f : X \to B\) est localement de type fini, nous définissons \(\delta_X : |X| \to \mathbf{Z}\) par la règle \[\delta_X(x) = \delta(f(x)) + \text{degré de transcendance de }x/f(x)\] (Morphismes d’espaces, Définition 04NM). Alors \(\delta_X\) est une fonction de dimension.

Démonstration

La question est locale sur \(B\). Nous pouvons donc supposer \(B\) quasi-compact. D’après Espaces décents, Lemme 0BB6 nous voyons que \(B\) est quasi-séparé. D’après Limites d’espaces, Proposition 09YC nous pouvons choisir un morphisme fini surjectif \(\pi : Y \to X\), où \(Y\) est un schéma. Affirmation : \(\delta_Y\) est une fonction de dimension.

L’affirmation implique le lemme. Pour \(X \to B\) comme dans le lemme, posons \(Z = Y \times_B X\), de projections \(p : Z \to Y\) et \(q : Z \to X\). Nous avons alors \[\delta_Z(z) = \delta_Y(p(z)) + \text{degré de transcendance de }z/p(z)\] et \(\delta_Z(z) = \delta_X(q(z))\). Cela résulte de Morphismes d’espaces, Lemme 04NR et du fait que ces degrés de transcendance sont nuls pour les morphismes finis. D’après Espaces décents, Lemme 0ED5 et l’affirmation, nous trouvons que \(\delta_Z\) est une fonction de dimension. Nous en déduisons que \(\delta_X\) est une fonction de dimension d’après Espaces décents, Lemme 0ED9.

Démonstration de l’affirmation. Considérons une spécialisation \(y \leadsto y'\), \(y \not = y'\), de points du schéma noethérien \(Y\). Alors \(\delta_Y(y) > \delta_Y(y')\), car il n’existe aucune spécialisation entre deux points d’une même fibre de \(Y\) (voir Espaces décents, Lemme 0ACK). En appliquant ceci à une chaîne de spécialisations, nous obtenons \[\delta_Y(y) - \delta_Y(y') \geq \text{codim}(\overline{\{y'\}}, \overline{\{y\}})\] Il nous reste à démontrer l’égalité. D’après Propriétés, Lemme 02IL, nous pouvons choisir une spécialisation \(y' \leadsto y_0\). Il suffit de montrer que \(\delta_Y(y) - \delta_Y(y_0) = \text{codim}(\overline{\{y_0\}}, \overline{\{y\}})\) car cela entraînera l’égalité à la fois pour \(y \leadsto y'\) et pour \(y' \leadsto y_0\).

Choisissons une chaîne maximale \(y = y_c \leadsto y_{c - 1} \leadsto \ldots \leadsto y_0\) de spécialisations dans \(Y\). Posons \(b = \pi(y)\) et \(b_0 = \pi(y_0)\). Choisissons une chaîne maximale \(b = b_e \leadsto b_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto b_0\) de spécialisations dans \(|B|\). Nous devons montrer que \(e = c\). Puisque \(\pi\) est fermé (Morphismes d’espaces, Lemme 04NZ), nous pouvons trouver une suite de spécialisations \(y = y'_e \leadsto y'_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto y'_0\) s’envoyant sur \(b = b_e \leadsto b_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto b_0\). Remarquons que \(y'_e \leadsto y'_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto y'_0\) est également une chaîne maximale. Si \(y_0 = y'_0\), alors, comme \(Y\) est caténaire, nous concluons que \(e = c\), comme souhaité. Dans le paragraphe suivant, nous nous ramenons à ce cas par une astuce et concluons de la même manière.

Puisque \(\pi\) est fermé, nous voyons que \(b_0\) est un point fermé de \(|B|\). D’après Espaces décents, Lemme 0AHB, nous pouvons représenter \(b_0\) par une immersion fermée \(b_0 : \Spec(k) \to B\). Par le Lemme 0EDM, nous pouvons trouver une factorisation \[Y \to Y' \to X\] où \(\pi' : Y' \to X\) est fini et \(Y \to Y'\) est un morphisme qui envoie \(y_0\) et \(y'_0\) sur le même point et est un isomorphisme hors de l’image inverse de \(b_0\). (Bien entendu, \(Y'\) ne sera pas un schéma, mais cela n’affecte pas l’argument qui suit.) Il est clair que les chaînes maximales de spécialisations \(y_c \leadsto y_{c - 1} \leadsto \ldots \leadsto y_0\) et \(y'_e \leadsto y'_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto y'_0\) s’envoient sur des chaînes maximales de spécialisations dans \(Y'\) ayant le même début et la même fin. Comme \(B\) est universellement caténaire, nous voyons que \(|Y'|\) est caténaire et concluons comme précédemment.

Localisation étale des morphismes

Cette section est l’analogue de Compléments sur les morphismes, section 04HF.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\). Soient \(x_1, \ldots, x_n \in |X|\) des points s’envoyant sur \(y\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de type fini ;

2. \(f\) soit séparé ;

3. \(f\) soit quasi-fini en \(x_1, \ldots, x_n\) ;

4. \(f\) soit quasi-compact ou \(Y\) soit décent.

Il existe alors un morphisme étale \((U, u) \to (Y, y)\) d’espaces algébriques pointés et une décomposition \[U \times_Y X = W \amalg V\] en sous-espaces ouverts et fermés telle que le morphisme \(V \to U\) soit fini, que tout point de la fibre de \(|V| \to |U|\) au-dessus de \(u\) s’envoie sur l’un des \(x_i\), et que la fibre de \(|W| \to |U|\) au-dessus de \(u\) ne contienne aucun point s’envoyant sur l’un des \(x_i\).

Démonstration

Soit \((U, u) \to (Y, y)\) un morphisme étale d’espaces algébriques, et considérons l’ensemble des \(w \in |U \times_Y X|\) s’envoyant sur \(u \in |U|\) et sur l’un des \(x_i \in |X|\). D’après Espaces décents, Lemme 0AC6 (si \(f\) est de type fini) ou Espaces décents, Lemme 0AC7 (si \(Y\) est décent), cet ensemble est fini. Nous pouvons donc remplacer \(f\) par le changement de base \(U \times_Y X \to U\) et \(x_1, \ldots, x_n\) par l’ensemble de ces \(w\). En particulier, nous pouvons supposer, et nous le faisons, que \(Y\) est un schéma affine ; alors \(X\) est un espace algébrique séparé.

Choisissons un schéma affine \(Z\) et un morphisme étale \(Z \to X\) tels que \(x_1, \ldots, x_n\) appartiennent à l’image de \(|Z| \to |X|\). Les fibres de \(|Z| \to |X|\) sont finies ; voir Propriétés des espaces, Lemme 03IJ (ou la discussion plus générale dans Espaces décents, section 03I7). Soit \(\{z_1, \ldots, z_m\} \subset |Z|\) l’image inverse de \(\{x_1, \ldots, x_n\}\). D’après Compléments sur les morphismes, Lemme 02LN il existe un morphisme étale \((U, u) \to (Y, y)\) tel que \(U \times_Y Z = Z_1 \amalg Z_2\), avec \(Z_1 \to U\) fini et \((Z_1)_y = \{z_1, \ldots, z_m\}\). Nous pouvons supposer que \(U\) est affine, et donc que \(Z_1\) est affine lui aussi.

Puisque \(f\) est séparé, l’image \(V\) de \(Z_1 \to X\) est à la fois ouverte et fermée (Morphismes d’espaces, Lemme 04NX). Posons \(W = X \setminus V\) pour obtenir une décomposition comme dans le lemme. Pour achever la démonstration, il reste à montrer que \(V \to U\) est fini. Comme \(Z_1 \to V\) est étale surjectif, \(V\) est le quotient de \(Z_1\) par la relation d’équivalence étale \(R = Z_1 \times_V Z_1\) ; voir Espaces, Lemme 0262. Puisque \(f\) est séparé, \(V \to U\) est séparé et \(R\) est fermé dans \(Z_1 \times_U Z_1\). Puisque \(Z_1 \to U\) est fini, les projections \(s, t : R \to Z_1\) sont finies. Ainsi, \(V\) est un schéma affine d’après Groupoïdes, Proposition 03BM. D’après Morphismes, Lemme 03GN, nous concluons que \(V \to U\) est propre et, d’après Morphismes, Lemme 01WN, nous concluons que \(V \to U\) est fini, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) d’image \(y \in |Y|\). Supposons que

1. \(f\) soit localement de type fini ;

2. \(f\) soit séparé ;

3. \(f\) soit quasi-fini en \(x\).

Il existe alors un morphisme étale \((U, u) \to (Y, y)\) d’espaces algébriques pointés et une décomposition \[U \times_Y X = W \amalg V\] en sous-espaces ouverts et fermés telle que le morphisme \(V \to U\) soit fini et qu’il existe un point \(v \in |V|\) qui s’envoie sur \(x\) dans \(|X|\) et sur \(u\) dans \(|U|\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\), un point \(u \in U\) et un morphisme étale \(U \to Y\) qui envoie \(u\) sur \(y\). Il existe un point \(x' \in |U \times_Y X|\) qui s’envoie sur \(x\) dans \(|X|\) et sur \(u\) dans \(|U|\) (Propriétés des espaces, Lemme 03H4). Pour terminer, appliquons le Lemme 082H au morphisme \(U \times_Y X \to U\) et au point \(x'\). Il s’applique parce que \(U\) est un schéma et que \(u\) est donc représenté par le monomorphisme \(\Spec(\kappa(u)) \to U\).

Théorème principal de Zariski

Dans cette section, nous appliquons les résultats de la section précédente pour démontrer le théorème principal de Zariski pour les morphismes d’espaces algébriques. Cette section est l’analogue de la section 02LQ de Compléments sur les morphismes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), de type fini et séparé. Soit \(Y'\) la normalisation de \(Y\) dans \(X\). Diagramme : \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_{f'} & & Y' \ar[ld]^\nu \\ & Y & }\] Il existe alors un sous-espace ouvert \(U' \subset Y'\) tel que

1. \((f')^{-1}(U') \to U'\) soit un isomorphisme ;

2. \((f')^{-1}(U') \subset X\) soit l’ensemble des points où \(f\) est quasi-fini.

Démonstration

D’après Morphismes d’espaces, Lemme 04NW il existe un sous-espace ouvert \(U \subset X\) correspondant aux points de \(|X|\) où \(f\) est quasi-fini. Nous devons démontrer que

1. l’image de \(|U| \to |Y'|\) est \(|U'|\) pour un certain sous-espace ouvert \(U'\) de \(Y'\) ;

2. \(U = f^{-1}(U')\) ;

3. \(U \to U'\) est un isomorphisme.

Puisque la formation de \(U\) commute à tout changement de base (Morphismes d’espaces, Lemme 04NW), puisque la formation de la normalisation \(Y'\) commute au changement de base lisse (Lemme 082F), puisque les morphismes étales sont ouverts, et puisque la propriété « être un isomorphisme » est locale pour la topologie fpqc sur la base (Descente sur les espaces, Lemme 041Y), il suffit de démontrer (a), (b), (c) localement pour la topologie étale sur \(Y\) (nous omettons certains détails). Ainsi, nous pouvons supposer que \(Y\) est un schéma affine. Cela implique que \(Y'\) est lui aussi un schéma (affine).

Soit \(x \in |U|\). Affirmation : il existe un voisinage ouvert \(f'(x) \in V \subset Y'\) tel que \((f')^{-1}V \to V\) soit un isomorphisme. Montrons d’abord que l’affirmation implique le lemme. En effet, alors \((f')^{-1}V \cong V\) est un schéma (comme ouvert de \(Y'\)), localement de type fini sur \(Y\) (comme sous-espace ouvert de \(X\)), et, pour \(v \in V\), l’extension de corps résiduels \(\kappa(v)/\kappa(\nu(v))\) est algébrique (car \(V \subset Y'\) et \(Y'\) est entier sur \(Y\)). Par conséquent, les fibres de \(V \to Y\) sont discrètes (Morphismes, Lemme 01TE) et \((f')^{-1}V \to Y\) est localement quasi-fini (Morphismes, Lemme 06RT). Cela implique \((f')^{-1}V \subset U\) et \(V \subset U'\). Comme \(x\) était arbitraire, nous voyons que (a), (b) et (c) sont vraies.

Soit \(y = f(x) \in |Y|\). Soit \((T, t) \to (Y, y)\) un morphisme étale de schémas pointés. Notons par un indice inférieur \({}_T\) le changement de base à \(T\). Soit \(z \in X_T\) un point de la fibre \(X_t\) situé au-dessus de \(x\). Remarquons que \(U_T \subset X_T\) est l’ensemble des points où \(f_T\) est quasi-fini ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 04NW. Remarquons que \[X_T \xrightarrow{f'_T} Y'_T \xrightarrow{\nu_T} T\] est la normalisation de \(T\) dans \(X_T\) ; voir Lemme 082F. Supposons l’affirmation vraie pour \(z \in U_T \subset X_T \to Y'_T \to T\), c’est-à-dire supposons que nous puissions trouver un voisinage ouvert \(f'_T(z) \in V' \subset Y'_T\) tel que \((f'_T)^{-1}V' \to V'\) soit un isomorphisme. Le morphisme \(Y'_T \to Y'\) est étale ; par conséquent, l’image \(V \subset Y'\) de \(V'\) est ouverte. Remarquons que \(f'(x) \in V\) puisque \(f'_T(z) \in V'\). Remarquons que \[\xymatrix{ (f'_T)^{-1}V' \ar[r] \ar[d] & (f')^{-1}(V) \ar[d] \\ V' \ar[r] & V }\] est un carré cartésien (car \(Y'_T \times_{Y'} X = X_T\)). Puisque la flèche verticale gauche est un isomorphisme et que \(\{V' \to V\}\) est un recouvrement étale, nous concluons que la flèche verticale droite est un isomorphisme d’après Descente sur les espaces, Lemme 041Y. Autrement dit, l’affirmation est vraie pour \(x \in U \subset X \to Y' \to Y\).

D’après le paragraphe précédent, pour démontrer l’affirmation pour \(x \in |U|\), nous pouvons remplacer \(Y\) par un voisinage étale \(T\) de \(y = f(x)\) et \(x\) par n’importe quel point situé au-dessus de \(x\) dans \(T \times_Y X\). Ainsi, nous pouvons supposer qu’il existe une décomposition \[X = V \amalg W\] en sous-espaces ouverts et fermés, où \(V \to Y\) est fini et \(x \in V\) ; voir le Lemme 082H. Puisque \(X\) est la somme disjointe de \(V\) et \(W\) sur \(Y\) et que \(V \to Y\) est fini, nous voyons que la normalisation de \(Y\) dans \(X\) est le morphisme \[X = V \amalg W \longrightarrow V \amalg W' \longrightarrow S\] où \(W'\) est la normalisation de \(Y\) dans \(W\) ; voir Morphismes d’espaces, Lemmes 0824, 0414, et 0825. L’affirmation en résulte, et la démonstration est terminée.

Le lemme suivant est un doublon de Morphismes d’espaces, Lemme 0ABS. La présence de deux exemplaires du même lemme s’explique par le fait que les démonstrations diffèrent quelque peu. La démonstration donnée ci-dessous repose sur le théorème principal de Zariski pour les morphismes non représentables d’espaces algébriques sous la forme établie ci-dessus, tandis que la démonstration de Morphismes d’espaces, Lemme 0ABS repose sur Morphismes d’espaces, Proposition 03XX pour se ramener au cas des morphismes de schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit quasi-fini et séparé. Soit \(Y'\) la normalisation de \(Y\) dans \(X\). Diagramme : \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_{f'} & & Y' \ar[ld]^\nu \\ & Y & }\] Alors \(f'\) est une immersion ouverte quasi-compacte et \(\nu\) est entier. En particulier, \(f\) est quasi-affine.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 082I. En effet, d’après ce lemme, il existe un sous-espace ouvert \(U' \subset Y'\) tel que \((f')^{-1}(U') = X\) (!) et que \(X \to U'\) soit un isomorphisme ! Autrement dit, \(f'\) est une immersion ouverte. Remarquons que \(f'\) est quasi-compact puisque \(f\) est quasi-compact et que \(\nu : Y' \to Y\) est séparé (Morphismes d’espaces, Lemme 03KS). Ainsi, pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le produit fibré \(Z \times_Y X\) est un sous-schéma ouvert quasi-compact du schéma affine \(Z \times_Y Y'\). Par conséquent, \(f\) est quasi-affine par définition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit quasi-fini et séparé, et que \(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé. Il existe alors une factorisation \[\xymatrix{ X \ar[rd]_f \ar[rr]_j & & T \ar[ld]^\pi \\ & Y & }\] où \(j\) est une immersion ouverte quasi-compacte et \(\pi\) est fini.

Démonstration

Soit \(X \to Y' \to Y\) comme dans la conclusion du Lemme 082J. D’après Limites d’espaces, Lemme 082C nous pouvons écrire \(\nu_*\mathcal{O}_{Y'} = \colim_{i \in I} \mathcal{A}_i\) comme une limite inductive filtrante d’algèbres finies quasi-cohérentes sur \(\mathcal{O}_X\), \(\mathcal{A}_i \subset \nu_*\mathcal{O}_{Y'}\). Alors \(\pi_i : T_i = \underline{\Spec}_Y(\mathcal{A}_i) \to Y\) est un morphisme fini pour tout \(i\). Remarquons que les morphismes de transition \(T_{i'} \to T_i\) sont affines et que \(Y' = \lim T_i\).

D’après Limites d’espaces, Lemme 0827, il existe un \(i\) et un ouvert quasi-compact \(U_i \subset T_i\) dont l’image inverse dans \(Y'\) est \(f'(X)\). Pour \(i' \geq i\), notons \(U_{i'}\) l’image inverse de \(U_i\) dans \(T_{i'}\). Alors \(X \cong f'(X) = \lim_{i' \geq i} U_{i'}\) ; voir Limites d’espaces, Lemme 07SF. D’après Limites d’espaces, Lemme 0828, nous voyons que \(X \to U_{i'}\) est une immersion fermée pour un certain \(i' \geq i\). (En fait, \(X \cong U_{i'}\) pour \(i'\) suffisamment grand, mais nous n’en avons pas besoin.) Ainsi, \(X \to T_{i'}\) est une immersion. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 081U nous pouvons factoriser ce morphisme en \(X \to T \to T_{i'}\), où la première flèche est une immersion ouverte et la seconde une immersion fermée. Cela termine la démonstration.

Lemme

Avec les notations et les hypothèses du Lemme 082K, supposons de plus que \(f\) soit localement de présentation finie. Nous pouvons alors choisir la factorisation de telle sorte que \(T\) soit fini et de présentation finie sur \(Y\).

Démonstration

D’après Limites d’espaces, Lemme 07VR, nous pouvons écrire \(T = \lim T_i\), où tous les \(T_i\) sont finis et de présentation finie sur \(Y\) et où les morphismes de transition \(T_{i'} \to T_i\) sont des immersions fermées. D’après Limites d’espaces, Lemme 0827, il existe un \(i\) et un sous-schéma ouvert \(U_i \subset T_i\) dont l’image inverse dans \(T\) est \(X\). D’après Limites d’espaces, Lemme 0828 nous voyons que \(X \cong U_i\) pour \(i\) assez grand. Remplacer \(T\) par \(T_i\) achève la démonstration.

Applications du théorème principal de Zariski, I

Une première application est la caractérisation des morphismes finis comme morphismes propres à fibres finies.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est fini ;

2. \(f\) est propre et localement quasi-fini ;

3. \(f\) est propre et \(|X_k|\) est un espace discret pour tout morphisme \(\Spec(k) \to Y\), où \(k\) est un corps ;

4. \(f\) est universellement fermé, séparé, localement de type fini, et \(|X_k|\) est un espace discret pour tout morphisme \(\Spec(k) \to Y\), où \(k\) est un corps.

Démonstration

Nous avons (1) \(\Rightarrow\) (2) d’après Morphismes d’espaces, Lemmes 04NZ, 04NY. Nous avons (2) \(\Rightarrow\) (3) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 06RW. Par définition, (3) implique (4).

Supposons (4). Puisque \(f\) est universellement fermé, il est quasi-compact (Morphismes d’espaces, Lemme 04XW). Choisissons un point \(y\) de \(|Y|\). Représentons \(y\) par un morphisme \(\Spec(k) \to Y\). Remarquons que \(|X_k|\) est fini et discret, car il est quasi-compact et discret. L’application \(|X_k| \to |X|\) est surjective sur la fibre de \(|X| \to |Y|\) au-dessus de \(y\) (Propriétés des espaces, Lemme 03H4). D’après Morphismes d’espaces, Lemme 06LS, nous voyons que \(X \to Y\) est quasi-fini en tous les points de la fibre de \(|X| \to |Y|\) au-dessus de \(y\). Choisissons un voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (Y, y)\) et une décomposition \(X_U = V \amalg W\) comme dans le Lemme 082H, adaptée à tous les points de \(|X|\) situés au-dessus de \(y\). Remarquons que \(W_u = \emptyset\), puisque nous avons utilisé tous les points de la fibre de \(|X| \to |Y|\) au-dessus de \(y\). Puisque \(f\) est universellement fermé, nous voyons que l’image de \(|W|\) dans \(|U|\) est un fermé qui ne contient pas \(u\). Après avoir rétréci \(U\), nous pouvons supposer que \(W = \emptyset\). Autrement dit, nous voyons que \(X_U = V\) est fini sur \(U\). Comme \(y \in |Y|\) était arbitraire, il existe donc une famille \(\{U_i \to Y\}\) de morphismes étales dont les images recouvrent \(Y\) et telle que les changements de base \(X_{U_i} \to U_i\) soient finis. Nous concluons que \(f\) est fini d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03ZQ.

Nous en déduisons le résultat utile suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(y \in |Y|\). Supposons que

1. \(f\) soit propre ;

2. \(f\) soit quasi-fini en tout \(x \in |X|\) situé au-dessus de \(y\) (Espaces décents, Lemme 0ACK).

Il existe alors un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(y\) tel que \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) soit fini.

Démonstration

D’après Morphismes d’espaces, Lemme 04NW, l’ensemble des points où \(f\) est quasi-fini est un ouvert \(U \subset X\). Soit \(Z = X \setminus U\). Alors \(y \not \in f(Z)\). Puisque \(f\) est propre, l’ensemble \(f(Z) \subset Y\) est fermé. Choisissons un voisinage ouvert quelconque \(V \subset Y\) de \(y\) tel que \(Z \cap V = \emptyset\). Alors \(f^{-1}(V) \to V\) est localement quasi-fini et propre. Par conséquent, \(f^{-1}(V) \to V\) est fini d’après le Lemme 0A4X.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_h \ar[rd]_f & & Y \ar[ld]^g \\ & B }\] un diagramme commutatif de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(b \in B\) et soit \(\Spec(k) \to B\) un morphisme appartenant à la classe d’équivalence de \(b\). Supposons que

1. \(X \to B\) soit un morphisme propre ;

2. \(Y \to B\) soit séparé et localement de type fini ;

3. l’une des propriétés suivantes soit vraie :

   1. l’image de \(|X_k| \to |Y_k|\) est finie ;

   2. l’image de \(|f|^{-1}(\{b\})\) dans \(|Y|\) est finie et \(B\) est décent.

Il existe alors un sous-espace ouvert \(B' \subset B\) contenant \(b\) tel que \(X_{B'} \to Y_{B'}\) se factorise par un sous-espace fermé \(Z \subset Y_{B'}\) fini sur \(B'\).

Démonstration

Soit \(Z \subset Y\) l’image schématique de \(h\) ; voir Morphismes d’espaces, section 082W. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 0AGD le morphisme \(X \to Z\) est surjectif et \(Z \to B\) est propre. Ainsi, \[\{x \in |X|\text{ situé au-dessus de }b\} \to \{z \in |Z|\text{ situé au-dessus de }b\}\] et \(|X_k| \to |Z_k|\) sont surjectifs. Nous voyons que l’une ou l’autre des conditions (3)(a) et (3)(b) implique que \(Z \to B\) est quasi-fini en tous les points de \(|Z|\) situés au-dessus de \(b\), d’après Espaces décents, Lemme 0ACK. Ainsi, \(Z \to B\) est fini dans un voisinage ouvert de \(b\) d’après le Lemme 0A4Y.

Factorisation de Stein

La factorisation de Stein affirme qu’un morphisme propre \(f : X \to S\) tel que \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) a des fibres connexes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme universellement fermé et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Il existe une factorisation \[\xymatrix{ X \ar[rr]_{f'} \ar[rd]_f & & Y' \ar[dl]^\pi \\ & Y & }\] ayant les propriétés suivantes :

1. le morphisme \(f'\) est universellement fermé, quasi-compact, quasi-séparé et surjectif ;

2. le morphisme \(\pi : Y' \to Y\) est entier ;

3. nous avons \(f'_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{Y'}\) ;

4. nous avons \(Y' = \underline{\Spec}_Y(f_*\mathcal{O}_X)\) ;

5. \(Y'\) est la normalisation de \(Y\) dans \(X\) au sens de Morphismes d’espaces, Définition 0822.

La formation de la factorisation \(f = \pi \circ f'\) commute au changement de base plat.

Démonstration

D’après Morphismes d’espaces, Lemme 04XW le morphisme \(f\) est quasi-compact. Nous définissons simplement \(Y'\) comme la normalisation de \(Y\) dans \(X\) ; (5) et (2) sont donc automatiquement vérifiés. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 0A0Q nous voyons que (4) est vérifié. Le morphisme \(f'\) est universellement fermé d’après Morphismes d’espaces, Lemme 04NX. Il est quasi-compact d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03KS et quasi-séparé d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03KR.

Pour démontrer les assertions restantes, nous pouvons supposer que la base \(Y\) est affine (car la normalisation commute à la localisation étale). Écrivons \(Y = \Spec(R)\). Alors \(Y' = \Spec(A)\), où \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est une \(R\)-algèbre entière. Il est donc clair que \(f'_*\mathcal{O}_X\) est \(\mathcal{O}_{Y'}\) (car \(f'_*\mathcal{O}_X\) est quasi-cohérent d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03M9, et est donc égal à \(\widetilde{A}\)). Cela démontre (3).

Montrons que \(f'\) est surjectif. Comme \(f'\) est universellement fermé (voir ci-dessus), l’image de \(f'\) est un fermé \(V(I) \subset Y' = \Spec(A)\). Choisissons \(h \in I\). Alors \(h|_X = f^\sharp(h)\) est une section globale du faisceau structural de \(X\) qui s’annule en tout point. Puisque \(X\) est quasi-compact, cela signifie que \(h|_X\) est une section nilpotente, c’est-à-dire que \(h^n|X = 0\) pour un certain \(n > 0\). Mais \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\), donc \(h^n = 0\). Autrement dit, \(I\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A\), et nous concluons que \(V(I) = Y'\), comme souhaité.

Lemme

Dans le Lemme 0A19, supposons de plus que \(f\) soit localement de type fini et que \(Y\) soit affine. Alors, pour \(y \in Y\), la fibre \(\pi^{-1}(\{y\}) = \{y_1, \ldots, y_n\}\) est finie et les extensions de corps \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\) sont finies.

Démonstration

Rappelons qu’il n’existe pas de spécialisations entre les points de \(\pi^{-1}(\{y\})\) ; voir Algèbre, Lemme 00GT. Puisque \(f'\) est surjectif, nous obtenons que \(|X_y| \to \pi^{-1}(\{y\})\) est surjectif. Remarquons que \(X_y\) est un espace algébrique quasi-séparé de type fini sur un corps (la quasi-compacité a été démontrée dans la preuve du lemme cité). Ainsi, \(|X_y|\) est un espace topologique noethérien (Morphismes d’espaces, Lemme 04ZL). Un argument topologique (omis) montre alors que \(\pi^{-1}(\{y\})\) est fini. Pour chaque \(i\), nous pouvons choisir un point de type fini \(x_i \in |X_y|\) qui s’envoie sur \(y_i\) (Morphismes d’espaces, Lemme 06EK). Nous concluons que \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\) est finie : \(x_i\) peut être représenté par un morphisme \(\Spec(k_i) \to X_y\) de type fini (d’après notre définition des points de type fini) ; par conséquent, \(\Spec(k_i) \to y = \Spec(\kappa(y))\) est de type fini (comme composée de morphismes de type fini), donc \(k_i/\kappa(y)\) est finie (Morphismes, Lemme 01TA).