Compléments sur les groupoïdes en espaces algébriques

Introduction

Ce chapitre est consacré à des questions avancées sur les groupoïdes en espaces algébriques. Bien que les résultats soient énoncés en termes de groupoïdes en espaces algébriques, le lecteur doit garder à l’esprit le diagramme \(2\)-cartésien [04P6]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ U \ar[r] & [U/R] } } \end{equation}\] où \([U/R]\) est le champ quotient; voir Groupoïdes dans les espaces, remarque 04M7. Nombre des résultats sont motivés par l’étude de ce diagramme. Voir par exemple le bel article [K-M] de Keel et Mori.

Notations

Nous continuons à suivre les conventions et notations introduites dans Groupoïdes dans les espaces, section 043A.

Diagrammes utiles

Rappelons brièvement les résultats de Groupoïdes dans les espaces, lemmes 043Z et 0450 afin de pouvoir nous y référer aisément dans ce chapitre. Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). Dans le diagramme commutatif [04P9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U } } \end{equation}\] les deux carrés inférieurs sont cartésiens. De plus, le triangle supérieur (qui est en réalité un carré) est lui aussi cartésien.

Le diagramme [0451]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_0 \times c \circ (i, 1)} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } } \end{equation}\] est commutatif. Les deux lignes supérieures sont isomorphes par les flèches verticales indiquées. Les deux carrés inférieurs de gauche sont cartésiens.

Structure locale

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\overline{u}\) un point géométrique de \(U\). Dans cette section, nous décrivons la structure obtenue sur les anneaux locaux (Propriétés des espaces, définition 04KG) \[A = \mathcal{O}_{U, \overline{u}} \quad\text{et}\quad B = \mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}\] Nous convenons de désigner par les lettres correspondantes les homomorphismes d’anneaux locaux induits par les morphismes \(s, t, c, e, i\). En particulier, nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A \ar[rd]_t \ar[rrd]^1 \\ & B \ar[r]^e & A \\ A \ar[ru]^s \ar[rru]_1 }\] d’anneaux locaux. Ainsi, si \(I \subset B\) désigne le noyau de \(e : B \to A\), alors \(B = s(A) \oplus I = t(A) \oplus I\). Posons \[C = \mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R, (e, e)(\overline{u})}\] Alors \[C = (B \otimes_{s, A, t} B)_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B}^h\] car le localisé \((B \otimes_{s, A, t} B)_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B}\) a un corps résiduel séparablement clos. Soit \(J \subset C\) l’idéal de \(C\) engendré par \(I \otimes B + B \otimes I\). Alors \(J\) est aussi le noyau de l’homomorphisme d’anneaux locaux \[(e, e) : C \longrightarrow A\] La loi de composition \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) correspond à un homomorphisme d’anneaux \[c : B \longrightarrow C\] qui envoie \(I\) dans \(J\).

Lemme

L’application \(I/I^2 \to J/J^2\) induite par \(c\) est la composée \[I/I^2 \xrightarrow{(1, 1)} I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\] où la seconde flèche provient de l’égalité \(J = (I \otimes B + B \otimes I)C\). L’application \(i : B \to B\) induit l’application \(-1 : I/I^2 \to I/I^2\).

Démonstration

Pour décrire un homomorphisme local de \(C\) vers un autre anneau local hensélien, il suffit de préciser l’image des éléments de la forme \(b_1 \otimes b_2\), par exemple d’après Algèbre, lemme 04GS. Compte tenu de cela, nous avons les deux applications canoniques \[e_2 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto b_1s(e(b_2)),\quad e_1 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto t(e(b_1))b_2\] correspondant aux immersions \(R \to R \times_{s, U, t} R\) données par \(r \mapsto (r, e(s(r)))\) et \(r \mapsto (e(t(r)), r)\). Ces applications définissent des applications \(J/J^2 \to I/I^2\) qui, prises ensemble, fournissent un inverse de l’application \(I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\) du lemme. Pour démontrer l’assertion, il suffit donc de montrer que \(e_1 \circ c : B \to B\) et \(e_2 \circ c : B \to B\) sont les applications identiques. Cela résulte du fait que les deux composées \(R \to R \times_{s, U, t} R \to R\) sont des identités.

L’assertion concernant \(i\) résulte de celle concernant \(c\) et du fait que \(c \circ (1, i) = e \circ t\). Certains détails sont omis.

Groupoïde des sections

Supposons donné un groupoïde \((\text{Ob}, \text{Flèches}, s, t, c, e, i)\). On peut alors construire un monoïde \(\Gamma\) dont les éléments sont les applications \(\delta : \text{Ob} \to \text{Flèches}\) telles que \(s \circ \delta = \text{id}_{\text{Ob}}\), la composition étant donnée par \[\delta_1 \circ \delta_2 = c(\delta_1 \circ t \circ \delta_2, \delta_2)\] Autrement dit, un élément de \(\Gamma\) est une règle \(\delta\) qui prescrit une flèche issue de chaque objet, et la composition est celle que l’on attend naturellement. Par exemple, \[\vcenter{ \xymatrix{ & \bullet \ar[dl] \\ \bullet \ar@(ul, dl)[] & \bullet \ar[d] \\ & \bullet \ar[lu] } } \quad\circ\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \bullet \ar[d] \\ \bullet \ar[ru] & \bullet \ar[d] \\ & \bullet \ar[lu] } } \quad = \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \bullet \ar@/^/[dd] \\ \bullet \ar@(ul, dl)[] & \bullet \ar[l] \\ & \bullet \ar[lu] } }\] avec des notations évidentes.

Le même procédé s’applique à un groupoïde en espaces algébriques \((U, R, s, t, c, e, i)\) au-dessus d’un schéma \(S\). Plus précisément, on prend pour éléments de \(\Gamma\) l’ensemble \[\Gamma = \{\delta : U \to R \mid s \circ \delta = \text{id}_U\}\] et la composition \(\circ : \Gamma \times \Gamma \to \Gamma\) est donnée par la règle ci-dessus : [0CKC]\[\begin{equation} \delta_1 \circ \delta_2 = c(\delta_1 \circ t \circ \delta_2, \delta_2) \end{equation}\] L’élément neutre est \(e \in \Gamma\). En général, le monoïde \(\Gamma\) n’est pas un groupe, car certains éléments \(\delta \in \Gamma\) peuvent ne pas avoir d’inverse. En effet, il est clair que \(\delta \in \Gamma\) a un inverse si et seulement si \(t \circ \delta\) est un automorphisme de \(U\); dans ce cas, \(\delta^{-1} = i \circ \delta \circ (t \circ \delta)^{-1}\).

Pour un usage ultérieur, examinons le sous-groupe \(\Gamma_0\) de \(\Gamma\) formé des sections infinitésimalement proches de l’identité \(e\). Plus précisément, supposons donné un sous-espace fermé \(R\)-invariant \(U_0 \subset U\) tel que \(U\) soit un épaississement du premier ordre de \(U_0\). Notons \(R_0 = s^{-1}(U_0) = t^{-1}(U_0)\) et soit \((U_0, R_0, s_0, t_0, c_0, e_0, i_0)\) le groupoïde en espaces algébriques correspondant. Posons \[\Gamma_0 = \{\delta \in \Gamma \mid \delta|_{U_0} = e_0\}\] Si \(s\) et \(t\) sont plats, tout élément de \(\Gamma_0\) est inversible. En effet, \(t \circ \delta\) est alors un morphisme \(U \to U\) qui induit l’identité sur \(\mathcal{O}_{U_0}\) et sur \(\mathcal{C}_{U_0/U}\) (lemme 0CKD); on conclut grâce à la suite exacte courte \(0 \to \mathcal{C}_{U_0/U} \to \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_{U_0} \to 0\).

Lemme

Dans la situation étudiée dans cette section, soient \(\delta \in \Gamma_0\) et \(f = t \circ \delta : U \to U\). Si \(s, t\) sont plats, alors l’application canonique \(\mathcal{C}_{U_0/U} \to \mathcal{C}_{U_0/U}\) induite par \(f\) (Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 04CP) est l’application identique.

Démonstration

Pour le voir, prolongeons comme suit la partie inférieure du diagramme (0451) : \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ U \ar[r]_\delta & R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U }\] où le carré de gauche est cartésien; ceci constitue notre définition de \(Y\); nous n’aurons pas besoin d’en savoir davantage sur \(Y\). Un changement de base partout à \(U_0\) donne un diagramme analogue ayant les mêmes propriétés. Nous voulons montrer que \(\text{id}_U = s \circ \delta\) et \(f = t \circ \delta\) induisent les mêmes applications sur les faisceaux conormaux. Comme \(s\) est plat et surjectif, il suffit de démontrer la même chose pour les deux composées \(a, b : Y \to R\) de la ligne supérieure. Observons que \(a_0 = b_0\) et que l’un de \(a\) et \(b\) est un isomorphisme, puisque nous savons que \(s \circ \delta\) est un isomorphisme. Par conséquent, les deux morphismes \(a, b : Y \to R\) sont des morphismes entre espaces algébriques plats au-dessus de \(U\) (par le morphisme \(t : R \to U\) et le morphisme \(t \circ a = t \circ b : Y \to U\)). Cela donne le résultat voulu. En effet, par compatibilité aux compositions dans Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 04G2 on conclut que les deux applications \(a_0^*\mathcal{C}_{R_0/R} \to \mathcal{C}_{Y_0/Y}\) s’insèrent dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ a_0^*\mathcal{C}_{R_0/R} \ar[rr] & & \mathcal{C}_{Y_0/Y} \\ a_0^*t_0^*\mathcal{C}_{U_0/U} \ar[u] \ar@{=}[rr] & & (t_0 \circ a_0)^*\mathcal{C}_{U_0/U} \ar[u] }\] dont les flèches verticales sont des isomorphismes d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 06BH. Le lemme en résulte.

Identifions maintenant le groupe \(\Gamma_0\). Appliquons la discussion de Compléments sur les morphismes d’espaces, remarques 0CK6 et 0CK7 au diagramme \[\xymatrix{ (U_0 \subset U) \ar@{..>}[rr]_{(e_0, \delta)} \ar[rd]_{(\text{id}_{U_0}, \text{id}_U)} & & (R_0 \subset R) \ar[ld]^{(s_0, s)} \\ & (U_0 \subset U) }\] On voit que \(\delta = \theta \cdot e\) pour une unique application \(\mathcal{O}_{U_0}\)-linéaire \(\theta : e_0^*\Omega_{R_0/U_0} \to \mathcal{C}_{U_0/U}\). On obtient ainsi une bijection [0CKE]\[\begin{equation} \Hom_{\mathcal{O}_{U_0}}(e_0^*\Omega_{R_0/U_0}, \mathcal{C}_{U_0/U}) \longrightarrow \Gamma_0 \end{equation}\] en appliquant Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 061C.

Lemme

La bijection (0CKE) est un isomorphisme de groupes.

Démonstration

Soient \(\delta_1, \delta_2 \in \Gamma_0\) correspondant à \(\theta_1, \theta_2\) comme ci-dessus, et la composée \(\delta = \delta_1 \circ \delta_2\) dans \(\Gamma_0\) correspondant à \(\theta\). Il faut montrer que \(\theta = \theta_1 + \theta_2\). Rappelons (Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 04D0) que \(\theta_1, \theta_2, \theta\) correspondent aux dérivations \(D_1, D_2, D : e_0^{-1}\mathcal{O}_{R_0} \to \mathcal{C}_{U_0/U}\) données par \(D_1 = \theta_1 \circ \text{d}_{R_0/U_0}\), et ainsi de suite. Il suffit de vérifier que \(D = D_1 + D_2\).

On peut vérifier l’égalité sur les fibres. Soit \(\overline{u}\) un point géométrique de \(U\) et utilisons les anneaux locaux \(A, B, C\) introduits dans la section 0CK9. Aux morphismes \(\delta_i\) correspondent des homomorphismes d’anneaux \(\delta_i : B \to A\). Soit \(K \subset A\) l’idéal de carré nul tel que \(A/K = \mathcal{O}_{U_0, \overline{u}}\). Autrement dit, \(K\) est la fibre de \(\mathcal{C}_{U_0/U}\) en \(\overline{u}\). La condition \(\delta_i \in \Gamma_0\) signifie exactement que \(\delta_i(I) \subset K\). La dérivation \(D_i\) est simplement l’application \(\delta_i - e : B \to A\). Comme \(B = s(A) \oplus I\), la dérivation \(D_i\) est déterminée par sa restriction à \(I\), laquelle est précisément donnée par \(\delta_i|_I\). De plus, \(D_i\), et donc \(\delta_i\), annule \(I^2\) puisque \(I = \Ker(I)\).

Pour achever la démonstration, observons que \(\delta\) correspond à la composée \[B \to C = (B \otimes_{s, A, t} B)^h_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B} \to A\] où la première flèche est \(c\) et la seconde est déterminée par la règle \(b_1 \otimes b_2 \mapsto \delta_2(t(\delta_1(b_1))) \delta_2(b_2)\) comme il résulte de (0CKC). D’après le lemme 0CKA, on voit qu’un élément \(\zeta\) de \(I\) est envoyé sur \(\zeta \otimes 1 + 1 \otimes \zeta\), à des termes d’ordre supérieur près. On en conclut que \[D(\zeta) = (\delta_2 \circ t)\left(D_1(\zeta)\right) + D_2(\zeta)\] Or, d’après le lemme 0CKD, l’action de \(\delta_2 \circ t\) sur \(K = \mathcal{C}_{U_0/U, \overline{u}}\) est l’identité, ce qui achève la preuve.

Propriétés des groupoïdes

Cette section est l’analogue de Compléments sur les groupoïdes, section 02YD. Il est vivement conseillé au lecteur de commencer par lire cette section.

Le lemme suivant est l’analogue de Compléments sur les groupoïdes, lemme 03JC.

Lemme

Soit \(B \to S\) comme dans la section 04P7. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \(\tau \in \{fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] lisse, \linebreak[0] syntomique\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est \(\tau\)-locale sur le but (Descente sur les espaces, définition 03YH). Supposons que \(\{s : R \to U\}\) et \(\{t : R \to U\}\) soient des recouvrements pour la topologie \(\tau\). Soit \(W \subset U\) le plus grand sous-espace ouvert tel que \(s^{-1}(W) \to W\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Alors \(W\) est \(R\)-invariant (Groupoïdes dans les espaces, définition 044F).

Démonstration

L’existence et les propriétés de l’ouvert \(W \subset U\) sont décrites dans Descente sur les espaces, lemme 06R2. Dans le diagramme (04P9), soit \(W_1 \subset R\) le plus grand sous-schéma ouvert sur lequel le morphisme \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Il résulte du lemme précité de Descente sur les espaces, lemme 06R2, et de l’hypothèse que \(\{s : R \to U\}\) et \(\{t : R \to U\}\) sont des recouvrements pour la topologie \(\tau\), que \(t^{-1}(W)=W_1=s^{-1}(W)\), comme voulu.

Lemme

Soit \(B \to S\) comme dans la section 04P7. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \(G \to U\) son espace algébrique en groupes stabilisateur. Soit \(\tau \in \{fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] lisse, \linebreak[0] syntomique\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est \(\tau\)-locale sur le but. Supposons que \(\{s : R \to U\}\) et \(\{t : R \to U\}\) soient des recouvrements pour la topologie \(\tau\). Soit \(W \subset U\) le plus grand sous-espace ouvert tel que \(G_W \to W\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Alors \(W\) est \(R\)-invariant (voir Groupoïdes dans les espaces, définition 044F).

Démonstration

L’existence et les propriétés de l’ouvert \(W \subset U\) sont décrites dans Descente sur les espaces, lemme 06R2. Le morphisme \[G \times_{U, t} R \longrightarrow R \times_{s, U} G, \quad (g, r) \longmapsto (r, r^{-1} \circ g \circ r)\] est un isomorphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(R\) (où \(\circ\) désigne la composition dans le groupoïde). Ainsi \(s^{-1}(W)=t^{-1}(W)\) d’après les propriétés de \(W\) démontrées dans le lemme précité de Descente sur les espaces, lemme 06R2.

Comparaison des fibres

Cette section est l’analogue de Compléments sur les groupoïdes, section 04LJ. Il est vivement conseillé au lecteur de commencer par lire cette section.

Lemme

Soit \(B \to S\) comme dans la section 04P7. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \(K\) un corps et soient \(r, r' : \Spec(K) \to R\) des morphismes tels que \(t \circ r = t \circ r' : \Spec(K) \to U\). Posons \(u = s \circ r\), \(u' = s \circ r'\) et notons \(F_u = \Spec(K) \times_{u, U, s} R\) et \(F_{u'} = \Spec(K) \times_{u', U, s} R\) les produits fibrés. Alors \(F_u \cong F_{u'}\) comme espaces algébriques au-dessus de \(K\).

Démonstration

Nous utilisons l’existence et les propriétés du diagramme (04P9). Il existe un morphisme \(\xi : \Spec(K) \to R \times_{s, U, t} R\) tel que \(\text{pr}_0 \circ \xi = r\) et \(c \circ \xi = r'\). Soit \(\tilde r = \text{pr}_1 \circ \xi : \Spec(K) \to R\). En examinant alors les deux carrés inférieurs du diagramme (04P9), on voit que \(F_u\) et \(F_{u'}\) s’identifient tous deux à l’espace algébrique \(\Spec(K) \times_{\tilde r, R, \text{pr}_1} (R \times_{s, U, t} R)\).

En fait, dans la situation du lemme, les morphismes de paires \(s : (R, r) \to (U, u)\) et \(s : (R, r') \to (U, u')\) sont localement isomorphes pour la topologie \(\tau\), pourvu que \(\{s: R \to U\}\) soit un recouvrement \(\tau\). Nous insérerons ici un énoncé précis au besoin.

Restriction des groupoïdes

Dans cette section, nous rassemblons plusieurs lemmes sur les propriétés des groupoïdes qui se transmettent aux restrictions. La plupart se démontrent en considérant le diagramme définissant la restriction : [04RN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U } } \end{equation}\] Voir Groupoïdes dans les espaces, lemme 044B.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(g\).

1. Si \(s, t\) sont localement de type fini et \(g\) est localement de type fini, alors \(s', t'\) sont localement de type fini.

2. Si \(s, t\) sont localement de présentation finie et \(g\) est localement de présentation finie, alors \(s', t'\) sont localement de présentation finie.

3. Si \(s, t\) sont plats et \(g\) est plat, alors \(s', t'\) sont plats.

4. Ajouter d’autres cas ici.

Démonstration

La propriété d’être localement de type fini est stable par composition et par changement de base arbitraire; voir Morphismes d’espaces, lemmes 03XG et 03XH. Le point (1) résulte donc du diagramme (04RN). Pour les autres cas, voir Morphismes d’espaces, lemmes 03XQ, 03XR, 03MN et 03MO.

Propriétés des groupes sur les corps et des groupoïdes sur les corps

Il est conseillé au lecteur de consulter d’abord les sections correspondantes pour les schémas en groupoïdes; voir Groupoïdes, section 047J et Compléments sur les groupoïdes, section 04LL.

Situation

Ici, \(S\) est un schéma, \(k\) est un corps au-dessus de \(S\), et \((G, m)\) est un espace algébrique en groupes au-dessus de \(\Spec(k)\).

Situation

Ici, \(S\) est un schéma, \(B\) est un espace algébrique, et \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\) avec \(U = \Spec(k)\) pour un certain corps \(k\).

Remarquons que, dans la situation 06DX, on obtient un groupoïde en espaces algébriques [06DZ]\[\begin{equation} (\Spec(k), G, p, p, m) \end{equation}\] où \(p : G \to \Spec(k)\) est le morphisme structural de \(G\); voir Groupoïdes dans les espaces, lemme 0444. On se trouve alors dans la situation 06DY. Nous l’utiliserons sans autre mention dans la suite de cette section.

Lemme

Dans la situation 06DY, le morphisme de composition \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) est plat et universellement ouvert. Dans la situation 06DX, la loi de groupe \(m : G \times_k G \to G\) est plate et universellement ouverte.

Démonstration

La composition est isomorphe à la projection \(\text{pr}_1 : R \times_{t, U, t} R \to R\) d’après le diagramme (0451). La projection est plate, comme changement de base du morphisme plat \(t\), et ouverte d’après Morphismes d’espaces, lemme 06DN. La seconde assertion résulte aussitôt de la première, puisque \(m\) correspond à \(c\) dans (06DZ).

Remarquons que le lemme suivant s’applique notamment lorsqu’on travaille avec des espaces algébriques quasi-séparés ou localement séparés (Espaces décents, lemme 088J).

Lemme

Dans la situation 06DY, supposons que \(R\) soit un espace décent. Alors \(R\) est un espace algébrique séparé. Dans la situation 06DX, supposons que \(G\) soit un espace algébrique décent. Alors \(G\) est un espace algébrique séparé.

Démonstration

Commençons par démontrer la seconde assertion. D’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 06P6, il faut montrer que \(e : S \to G\) est une immersion fermée. Cela résulte d’Espaces décents, lemme 08AL.

Démontrons ensuite la première assertion. On peut pour cela remplacer \(B\) par \(S\). D’après le paragraphe précédent, le schéma en groupes stabilisateur \(G \to U\) est séparé. D’après Groupoïdes dans les espaces, lemme 0455, le morphisme \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) est séparé. Comme \(U\) est le spectre d’un corps, le schéma \(U \times_S U\) est affine (par la construction des produits fibrés dans Schémas, section 01JO). Par conséquent, \(R\) est séparé; voir Morphismes d’espaces, lemme 04ZH.

Lemme

Dans la situation 06DY. Soit \(k'/k\) une extension de corps, \(U' = \Spec(k')\), et soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(U' \to U\). Dans le diagramme de définition \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'} \ar@{..>}[rd] & R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d] \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r] & U }\] tous les morphismes sont surjectifs, plats et universellement ouverts. La flèche pointillée \(R' \to R\) est de plus affine.

Démonstration

Le morphisme \(U' \to U\) est \(\Spec(k') \to \Spec(k)\); il est donc affine, surjectif et plat. Les morphismes \(s, t : R \to U\) et le morphisme \(U' \to U\) sont universellement ouverts d’après Morphismes, lemme 0383. Comme \(R\) est non vide et \(U\) est le spectre d’un corps, les morphismes \(s, t : R \to U\) sont surjectifs et plats. On conclut alors en utilisant Morphismes d’espaces, lemmes 03MH, 03MG, 03Z4, 03WI, 03WH, 03MO et 03MN.

Lemme

Dans la situation 06DY. Pour tout point \(r \in |R|\), il existe

1. une extension de corps \(k'/k\) avec \(k'\) algébriquement clos,

2. un point \(r' : \Spec(k') \to R'\), où \((U', R', s', t', c')\) est la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(\Spec(k') \to \Spec(k)\),

tels que

1. le point \(r'\) s’envoie sur \(r\) par le morphisme \(R' \to R\), et

2. les applications \(s' \circ r', t' \circ r' : \Spec(k') \to \Spec(k')\) sont des automorphismes.

Démonstration

Représentons \(r\) par un morphisme \(r : \Spec(K) \to R\) pour un certain corps \(K\). Pour démontrer le lemme, il faut trouver un corps algébriquement clos \(k'\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ k' & k' \ar[l]^1 & \\ k' \ar[u]^\tau & K \ar[lu]^\sigma & k \ar[l]^-s \ar[lu]_i \\ & k \ar[lu]^i \ar[u]_t }\] où \(s, t : k \to K\) sont les homomorphismes de corps provenant de \(s \circ r\) et \(t \circ r\). La démonstration de Compléments sur les groupoïdes, lemme 04LR, explique comment construire un tel diagramme.

Lemme

Dans la situation 06DY. Si \(r : \Spec(k) \to R\) est un morphisme tel que \(s \circ r, t \circ r\) soient des automorphismes de \(\Spec(k)\), alors l’application \[R \longrightarrow R, \quad x \longmapsto c(r, x)\] est un automorphisme \(R \to R\) qui envoie \(e\) sur \(r\).

Démonstration

La démonstration est identique à celle de Compléments sur les groupoïdes, lemme 04LS.

Lemme

Dans la situation 06DY, l’espace algébrique \(R\) est géométriquement unibranche. Dans la situation 06DX, l’espace algébrique \(G\) est géométriquement unibranche.

Démonstration

Soit \(r \in |R|\). Il faut montrer que \(R\) est géométriquement unibranche en \(r\). En combinant le lemme 06E1 avec Descente sur les espaces, lemme 06DQ, on voit qu’il suffit de le démontrer lorsque \(k\) est algébriquement clos et que \(r\) provient d’un morphisme \(r : \Spec(k) \to R\) tel que \(s \circ r\) et \(t \circ r\) soient des automorphismes de \(\Spec(k)\). D’après le lemme 06E3, on se ramène au cas où \(r = e\) est l’identité de \(R\) et où \(k\) est algébriquement clos.

Supposons que \(r = e\) et que \(k\) soit algébriquement clos. Soit \(A = \mathcal{O}_{R, e}\) l’anneau local étale de \(R\) en \(e\), et soit \(C = \mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R, (e, e)}\) l’anneau local étale de \(R \times_{s, U, t} R\) en \((e, e)\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 06DU les idéaux premiers minimaux \(\mathfrak q\) de \(C\) correspondent \(1\) à \(1\) aux couples de premiers minimaux \(\mathfrak p, \mathfrak p' \subset A\). D’autre part, la loi de composition induit un homomorphisme plat d’anneaux \[\xymatrix{ A \ar[r]_{c^\sharp} & C & \mathfrak q \\ & A \otimes_{s^\sharp, k, t^\sharp} A \ar[u] & \mathfrak p \otimes A + A \otimes \mathfrak p' \ar@{|}[u] }\] Remarquons que \((c^\sharp)^{-1}(\mathfrak q)\) contient à la fois \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak p'\), puisque les diagrammes \[\xymatrix{ A \ar[r]_{c^\sharp} & C \\ A \otimes_{s^\sharp, k} k \ar[u] & A \otimes_{s^\sharp, k, t^\sharp} A \ar[l]_{1 \otimes e^\sharp} \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ A \ar[r]_{c^\sharp} & C \\ k \otimes_{k, t^\sharp} A \ar[u] & A \otimes_{s^\sharp, k, t^\sharp} A \ar[l]_{e^\sharp \otimes 1} \ar[u] }\] sont commutatifs d’après (04P9). Comme \(c^\sharp\) est plat (puisque \(c\) est un morphisme plat d’après le lemme 06E0), on voit que \((c^\sharp)^{-1}(\mathfrak q)\) est un idéal premier minimal de \(A\). Ainsi \(\mathfrak p = (c^\sharp)^{-1}(\mathfrak q) = \mathfrak p'\).

Dans le lemme suivant, nous utilisons la dimension des espaces algébriques (en un point), telle qu’elle est définie dans Propriétés des espaces, section 04N3. Nous utilisons aussi la dimension de l’anneau local définie dans Propriétés des espaces, section 04N7, ainsi que le degré de transcendance des points; voir Morphismes d’espaces, section 04NH.

Lemme

Dans la situation 06DY, supposons \(s, t\) localement de type fini. Pour tout \(r \in |R|\),

1. \(\dim(R) = \dim_r(R)\),

2. le degré de transcendance de \(r\) sur \(\Spec(k)\) par \(s\) est égal au degré de transcendance de \(r\) sur \(\Spec(k)\) par \(t\), et

3. si le degré de transcendance mentionné en (2) est \(0\), alors \(\dim(R) = \dim(\mathcal{O}_{R, \overline{r}})\).

Démonstration

Soit \(r \in |R|\). Notons \(\text{trdeg}(r/_{\!\! s}k)\) le degré de transcendance de \(r\) sur \(\Spec(k)\) par \(s\). Choisissons un morphisme étale \(\varphi : V \to R\), où \(V\) est un schéma et \(v \in V\) s’envoie sur \(r\). Les définitions rappelées avant le lemme donnent \[\dim_r(R) = \dim_v(V) = \dim(\mathcal{O}_{V, v}) + \text{trdeg}_{s(k)}(\kappa(v)) = \dim(\mathcal{O}_{R, \overline{r}}) + \text{trdeg}(r/_{\!\! s}k)\] et de même pour \(t\) (la deuxième égalité provenant de Morphismes, lemme 02FX). On voit donc que \(\text{trdeg}(r/_{\!\! s}k) = \text{trdeg}(r/_{\!\! t}k)\), c’est-à-dire que (2) est vérifié.

Soit \(k'/k\) une extension de corps. Remarquons que la restriction \(R'\) de \(R\) à \(\Spec(k')\) (voir le lemme 06E1) s’obtient à partir de \(R\) par deux changements de base par des morphismes de corps. Ainsi, Morphismes d’espaces, lemme 04NS, montre que la dimension de \(R\) en un point reste inchangée par cette opération. Pour démontrer (1), on peut donc supposer, d’après le lemme 06E2, que \(r\) est représenté par un morphisme \(r : \Spec(k) \to R\) tel que \(s \circ r\) et \(t \circ r\) soient tous deux des automorphismes de \(\Spec(k)\). Il existe alors un automorphisme \(R \to R\) qui envoie \(r\) sur \(e\) (lemme 06E3). On voit donc que \(\dim_r(R) = \dim_e(R)\) pour tout \(r\). Par définition, cela signifie que \(\dim_r(R) = \dim(R)\).

Le point (3) est une conséquence formelle des résultats obtenus dans la discussion précédente.

Lemme

Dans la situation 06DX, supposons \(G\) localement de type fini. Pour tout \(g \in |G|\),

1. \(\dim(G) = \dim_g(G)\),

2. si le degré de transcendance de \(g\) sur \(k\) est \(0\), alors \(\dim(G) = \dim(\mathcal{O}_{G, \overline{g}})\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 06FD par (06DZ).

Lemme

Dans la situation 06DY, supposons \(s, t\) localement de type fini. Soit \(G = \Spec(k) \times_{\Delta, \Spec(k) \times_B \Spec(k), t \times s} R\) l’espace algébrique en groupes stabilisateur. Alors \(\dim(R) = \dim(G)\).

Démonstration

Comme \(G\) et \(R\) sont équidimensionnels (voir les lemmes 06FD et 06FE) il suffit de montrer que \(\dim_e(R) = \dim_e(G)\). Soit \(V\) un schéma affine, soit \(v \in V\), et soit \(\varphi : V \to R\) un morphisme étale de schémas tel que \(\varphi(v) = e\). Remarquons que \(V\) est noethérien, car \(s \circ \varphi\) est localement de type fini comme composée de morphismes localement de type fini et parce que \(V\) est quasi-compact (utiliser Morphismes d’espaces, lemmes 03XG, 0468, et 0464 et Morphismes, lemme 01T6). Ainsi, \(V\) est localement connexe (voir Propriétés, lemme 01OZ, et Topologie, lemme 04MF). On peut donc remplacer \(V\) par la composante connexe contenant \(v\) (elle reste affine, étant un sous-schéma ouvert et fermé de \(V\)). Posons \(T = V_{red}\), la réduction de \(V\). Considérons les deux morphismes \(a, b : T \to \Spec(k)\) donnés par \(a = s \circ \varphi|_T\) et \(b = t \circ \varphi|_T\). Remarquons que \(a, b\) induisent le même homomorphisme de corps \(k \to \kappa(v)\), car \(\varphi(v) = e\) ! Soit \(k_a \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) la clôture intégrale de \(a^\sharp(k) \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\). De même, soit \(k_b \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) la clôture intégrale de \(b^\sharp(k) \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\). D’après Variétés, proposition 04MK, on a \(k_a = k_b\). On obtient ainsi le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ k \ar[rd]^a \ar[rrrd] \\ & k_a = k_b \ar[r] & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \ar[r] & \kappa(v) \\ k \ar[ru]_b \ar[rrru] }\] Comme on l’a vu ci-dessus, les longues flèches sont égales. Puisque \(k_a = k_b \to \kappa(v)\) est injectif, on en conclut que les deux morphismes \(a\) et \(b\) sont égaux. Ainsi \(T \to R\) se factorise par \(G\). Il s’ensuit que \(R_{red} = G_{red}\) dans un voisinage ouvert de \(e\), ce qui implique bien que \(\dim_e(R) = \dim_e(G)\).

Espaces algébriques en groupes sur les corps

Il existe un espace algébrique en groupes non séparé sur un corps, à savoir \(\mathbf{G}_a/\mathbf{Z}\) sur un corps de caractéristique zéro; voir Exemples, section 06E9. En fait, tout schéma en groupes sur un corps est séparé (lemme 08BH); ainsi, tout espace algébrique en groupes non séparé sur un corps n’est pas représentable. D’autre part, un espace algébrique en groupes sur un corps est séparé dès qu’il est décent; voir le lemme 08BH. Dans cette section, nous allons montrer qu’un espace algébrique en groupes séparé sur un corps est représentable, c’est-à-dire qu’il est un schéma.

Lemme

Soit \(k\) un corps muni d’une clôture algébrique \(\overline{k}\). Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(k\) qui est séparé¹. Alors \(G_{\overline{k}}\) est un schéma.

Démonstration

D’après Espaces sur les corps, lemme 0B84 il suffit de montrer que \(G_K\) est un schéma pour une certaine extension de corps \(K/k\). Notons \(G_K' \subset G_K\) le lieu schématique de \(G_K\), comme dans Propriétés des espaces, lemme 03JH. D’après Propriétés des espaces, proposition 06NH on voit que \(G_K' \subset G_K\) est un ouvert dense, en particulier non vide. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to G\). D’après Variétés, lemme 0479, si \(K\) est un corps algébriquement clos de degré de transcendance assez grand, alors \(U_K\) est un schéma de Jacobson et tout point fermé de \(U_K\) est \(K\)-rationnel. Ainsi \(G_K'\) possède un point \(K\)-rationnel et il suffit de montrer que tout point \(K\)-rationnel de \(G_K\) appartient à \(G_K'\). Si \(g \in G_K(K)\) est un point \(K\)-rationnel et \(g' \in G_K'(K)\) un point \(K\)-rationnel du lieu schématique, alors on voit que \(g\) appartient à l’image de \(G_K'\) par l’automorphisme \[G_K \longrightarrow G_K,\quad h \longmapsto g(g')^{-1}h\] de \(G_K\). Comme les automorphismes de l’espace algébrique \(G_K\) préservent \(G_K'\), on conclut que \(g \in G_K'\), comme voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(k\). Si \(G\) est séparé et localement de type fini sur \(k\), alors \(G\) est un schéma.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0B8E, de Groupoïdes, lemme 0B7S, et d’Espaces sur les corps, lemme 0B88.

Proposition

Soit \(k\) un corps. Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(k\). Si \(G\) est séparé, alors \(G\) est un schéma.

Démonstration

Ce lemme généralise le lemme 0B8F (qui couvre tous les cas utiles en pratique). La démonstration est très semblable à celle d’ Espaces sur les corps, lemme 0B88 utilisé dans la démonstration du lemme 0B8F; nous invitons le lecteur à commencer par lire cette démonstration.

D’après le lemme 0B8E, le changement de base \(G_{\overline{k}}\) est un schéma. Soit \(K/k\) une extension purement transcendante de très grand degré de transcendance. D’après Espaces sur les corps, lemme 0B85 il suffit de montrer que \(G_K\) est un schéma. Soit \(K^{perf}\) la clôture parfaite de \(K\). D’après Espaces sur les corps, lemme 0B83 il suffit de montrer que \(G_{K^{perf}}\) est un schéma. Soit \(K \subset K^{perf} \subset \overline{K}\), cette dernière étant la clôture algébrique de \(K\). On peut choisir un plongement \(\overline{k} \to \overline{K}\) au-dessus de \(k\), de sorte que \(G_{\overline{K}}\) soit le changement de base du schéma \(G_{\overline{k}}\) par \(\overline{k} \to \overline{K}\). D’après Variétés, lemme 0479, on voit que \(G_{\overline{K}}\) est un schéma de Jacobson dont tous les points fermés ont pour corps résiduel \(\overline{K}\).

Comme \(G_{\overline{K}} \to G_{K^{perf}}\) est surjectif, il suffit de montrer que l’image \(g \in |G_{K^{perf}}|\) d’un point fermé arbitraire de \(G_{\overline{K}}\) appartient au lieu schématique de \(G_K\). En particulier, on peut représenter \(g\) par un morphisme \(g : \Spec(L) \to G_{K^{perf}}\), où \(L/K^{perf}\) est algébrique séparable (on peut par exemple prendre \(L = \overline{K}\)). Le schéma \[\begin{align*} T & = \Spec(L) \times_{G_{K^{perf}}} G_{\overline{K}} \\ & = \Spec(L) \times_{\Spec(K^{perf})} \Spec(\overline{K}) \\ & = \Spec(L \otimes_{K^{perf}} \overline{K}) \end{align*}\] est donc le spectre d’une \(\overline{K}\)-algèbre qui est une limite inductive filtrante d’algèbres, produits finis de copies de \(\overline{K}\). Ainsi, d’après Groupoïdes, lemme 0B7U, on peut trouver un ouvert affine \(W \subset G_{\overline{K}}\) contenant l’image de \(g_{\overline{K}} : T \to G_{\overline{K}}\).

Choisissons un ouvert quasi-compact \(V \subset G_{K^{perf}}\) contenant l’image de \(W\). D’après Espaces sur les corps, lemme 0B84, on voit que \(V_{K'}\) est un schéma pour une certaine extension finie \(K'/K^{perf}\). En agrandissant \(K'\), on peut supposer qu’il existe un ouvert affine \(U' \subset V_{K'} \subset G_{K'}\) dont le changement de base à \(\overline{K}\) redonne \(W\) (utiliser que \(V_{\overline{K}}\) est la limite des schémas \(V_{K''}\) pour \(K' \subset K'' \subset \overline{K}\) fini, ainsi que Limites, lemmes 01Z4 et 01Z6). On peut supposer que \(K'/K^{perf}\) est une extension galoisienne (prendre la clôture normale, Corps, lemme 09DT, et utiliser que \(K^{perf}\) est parfait). Posons \(H = \text{Gal}(K'/K^{perf})\). Par construction, le sous-schéma fermé \(H\)-invariant \(\Spec(L) \times_{G_{K^{perf}}} G_{K'}\) est contenu dans \(U'\). D’après Espaces sur les corps, lemmes 0B86 et 0B87, on conclut.

Absence de courbes rationnelles sur les groupes

Dans cette section, nous montrons qu’il n’existe pas de morphisme non constant de \(\mathbf{P}^1\) vers un espace algébrique en groupes localement de type fini sur un corps.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soient \(f : X \to Y\) et \(g : X \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques au-dessus de \(B\). Supposons que

1. \(Y \to B\) soit séparé,

2. \(g\) soit surjectif, plat et localement de présentation finie,

3. il existe un ouvert schématiquement dense \(V \subset Z\) tel que \(f|_{g^{-1}(V)} : g^{-1}(V) \to Y\) se factorise par \(V\).

Alors \(f\) se factorise par \(g\).

Démonstration

Posons \(R = X \times_Z X\). D’après (2), on a \(Z = X/R\) comme faisceaux. De plus, (2) implique que l’image inverse de \(V\) dans \(R\) est schématiquement dense dans \(R\) (Morphismes d’espaces, lemme 089D). On voit alors que les deux composées \(R \to X \to Y\) sont égales d’après Morphismes d’espaces, lemme 084N. Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(n \geq 1\) et soit \((\mathbf{P}^1_k)^n\) le produit de \(n\) copies au-dessus de \(\Spec(k)\). Soit \(f : (\mathbf{P}^1_k)^n \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(k\). Si \(Z\) est séparé et de type fini sur \(k\), alors \(f\) se factorise sous la forme \[(\mathbf{P}^1_k)^n \xrightarrow{projection} (\mathbf{P}^1_k)^m \xrightarrow{fini} Z.\]

Démonstration

On peut supposer \(k\) algébriquement clos (détails omis); nous ne le faisons que pour pouvoir raisonner avec des points rationnels, mais le lecteur peut contourner cet artifice s’il le souhaite. Dans la preuve, les produits sont pris sur \(k\). L’espace algébrique en groupes des automorphismes de \((\mathbf{P}^1_k)^n\) contient \(G = (\text{GL}_{2, k})^n\). Si \(C \subset (\mathbf{P}^1_k)^n\) est une sous-variété fermée (donc en particulier irréductible sur \(k\)) envoyée sur un point, on peut appliquer Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0AEJ au morphisme \[G \times C \to G \times Z,\quad (g, c) \mapsto (g, f(g \cdot c))\] au-dessus de \(G\). Ainsi, \(g(C)\) est envoyé sur un point pour \(g \in G(k)\) appartenant à un ouvert de Zariski \(U \subset G\). Supposons que \(x = (x_1, \ldots, x_n)\), \(y = (y_1, \ldots, y_n)\) soient des points à valeurs dans \(k\) de \((\mathbf{P}^1_k)^n\). Soit \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) l’ensemble des indices \(i\) tels que \(x_i = y_i\). Alors \[\{g(x) \mid g(y) = y,\ g \in U(k)\}\] est dense pour la topologie de Zariski dans la fibre de la projection \(\pi_I : (\mathbf{P}^1_k)^n \to \prod_{i \in I} \mathbf{P}^1_k\) (exercice). Ainsi, si \(x, y \in C(k)\) sont distincts, on conclut que \(f\) envoie sur un seul point toute la fibre de \(\pi_I\) contenant \(x, y\). De plus, l’orbite de \(C\) sous \(U(k)\) rencontre un ensemble ouvert de Zariski de fibres de \(\pi_I\). D’après le lemme 0AEL, le morphisme \(f\) se factorise par \(\pi_I\). Après avoir répété ce procédé un nombre fini de fois, on atteint le stade où toutes les fibres de \(f\) au-dessus des points à valeurs dans \(k\) sont finies. Dans ce cas, \(f\) est fini d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0A4Y et le fait que les points à valeurs dans \(k\) sont denses dans \(Z\) (Espaces sur les corps, lemme 07W4).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(G\) un espace algébrique en groupes séparé, localement de type fini sur \(k\). Il n’existe aucun morphisme non constant \(f : \mathbf{P}^1_k \to G\) au-dessus de \(\Spec(k)\).

Démonstration

Supposons \(f\) non constant. Considérons les morphismes \[\mathbf{P}^1_k \times_{\Spec(k)} \ldots \times_{\Spec(k)} \mathbf{P}^1_k \longrightarrow G, \quad (t_1, \ldots, t_n) \longmapsto f(g_1) \ldots f(g_n)\] où l’on utilise au membre de droite la multiplication du groupe. D’après le lemme 0AEM et l’hypothèse que \(f\) est non constant, ce morphisme est fini sur son image. Ainsi \(\dim(G) \geq n\) pour tout \(n\), ce qui est impossible d’après le lemme 06FE et le fait que \(G\) est localement de type fini sur \(k\).

La partie finie d’un morphisme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Pour un espace algébrique ou un schéma \(T\) au-dessus de \(S\), considérons les couples \((a, Z)\) où [04PC]\[\begin{equation} \begin{matrix} a : T \to Y\text{ est un morphisme au-dessus de }S, \\ Z \subset T \times_Y X\text{ est un sous-espace ouvert} \\ \text{tel que }\text{pr}_0|_Z : Z \to T\text{ soit fini.} \end{matrix} \end{equation}\] Supposons que \(h : T' \to T\) soit un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) et que \((a, Z)\) soit un couple comme dans (04PC) au-dessus de \(T\). Posons \(a' = a \circ h\) et \(Z' = (h \times \text{id}_X)^{-1}(Z) = T' \times_T Z\). Alors \((a', Z')\) est un couple comme dans (04PC) au-dessus de \(T'\). Cela résulte de ce que les morphismes finis sont préservés par changement de base; voir Morphismes d’espaces, lemme 03ZS. On obtient ainsi un foncteur [04PD]\[\begin{equation} \begin{matrix} (X/Y)_{fin} : & (\Sch/S)^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ensembles} \\ & T & \longmapsto & \{(a, Z)\text{ comme ci-dessus}\} \end{matrix} \end{equation}\] Pour les applications, nous nous intéressons surtout à ce foncteur \((X/Y)_{fin}\) lorsque \(f\) est séparé et localement de type fini. Pour se faire une idée de la construction, consulter la remarque 04PJ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Alors

1. Le préfaisceau \((X/Y)_{fin}\) satisfait la condition de faisceau pour la topologie fppf.

2. Si \(T\) est un espace algébrique au-dessus de \(S\), il existe une bijection canonique \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, (X/Y)_{fin}) = \{(a, Z)\text{ satisfaisant \href{spaces-more-groupoids.html#spaces-more-groupoids-equation-finite-conditions}{04PC}}\}\]

Démonstration

Soit \(T\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement fppf (par des espaces algébriques). Soient \(s_i = (a_i, Z_i)\) des couples au-dessus de \(T_i\) satisfaisant 04PC tels que \(s_i|_{T_i \times_T T_j} = s_j|_{T_i \times_T T_j}\). Premièrement, cela implique notamment que \(a_i\) et \(a_j\) définissent le même morphisme \(T_i \times_T T_j \to Y\). D’après Descente sur les espaces, lemme 04P2, on en déduit qu’il existe un unique morphisme \(a : T \to Y\) tel que \(a_i\) soit la composée \(T_i \to T \to Y\). Deuxièmement, cela implique que les \(Z_i \subset T_i \times_Y X\) sont des sous-espaces ouverts dont les images inverses dans \((T_i \times_T T_j) \times_Y X\) sont égales. Comme \(\{T_i \times_Y X \to T \times_Y X\}\) est un recouvrement fppf, on en déduit qu’il existe un unique sous-espace ouvert \(Z \subset T \times_Y X\) dont la restriction à \(T_i\) est \(Z_i\); voir Descente sur les espaces, lemme 04P1. Nous affirmons que la projection \(Z \to T\) est finie. Cela résulte de ce que la finitude est locale pour la topologie fpqc; voir Descente sur les espaces, lemme 0426.

Remarquons que le résultat du paragraphe précédent implique notamment (1).

Soit \(T\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Pour démontrer (2), nous allons construire des applications réciproques entre les ensembles affichés. Dans la suite, le mot « couple » désigne un couple satisfaisant les conditions 04PC.

Soit \(v : T \to (X/Y)_{fin}\) une transformation naturelle. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(p : U \to T\). Alors \(v(p) \in (X/Y)_{fin}(U)\) correspond à un couple \((a_U, Z_U)\) au-dessus de \(U\). Soit \(R = U \times_T U\), de projections \(t, s : R \to U\). Comme \(v\) est une transformation de foncteurs, les images inverses de \((a_U, Z_U)\) par \(s\) et \(t\) sont égales. Puisque \(\{U \to T\}\) est un recouvrement fppf, on peut donc appliquer le résultat du premier paragraphe et en déduire qu’il existe un unique couple \((a, Z)\) au-dessus de \(T\).

Réciproquement, soit \((a, Z)\) un couple au-dessus de \(T\). Soient \(U \to T\), \(R = U \times_T U\) et \(t, s : R \to U\) comme ci-dessus. La restriction \((a, Z)|_U\) donne alors naissance à une transformation de foncteurs \(v : h_U \to (X/Y)_{fin}\) par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P). Comme les deux images inverses \(s^*(a, Z)|_U\) et \(t^*(a, Z)|_U\) sont égales, on voit que \(v\) coégalise les deux applications \(h_t, h_s : h_R \to h_U\). Puisque \(T = U/R\) est le faisceau quotient fppf d’après Espaces, lemme 0262, et que \((X/Y)_{fin}\) est un faisceau fppf d’après (1), on conclut que \(v\) se factorise par une application \(T \to (X/Y)_{fin}\).

Nous omettons la vérification que les deux constructions ci-dessus sont réciproques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[rr]_j \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ & Y }\] d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Si \(j\) est une immersion ouverte, alors il existe une application injective canonique de faisceaux \(j : (X'/Y)_{fin} \to (X/Y)_{fin}\).

Démonstration

Si \((a, Z)\) est un couple au-dessus de \(T\) pour \(X'/Y\), alors \((a, j(Z))\) est un couple au-dessus de \(T\) pour \(X/Y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) qui est localement de type fini. Soit \(X' \subset X\) le plus grand sous-espace ouvert sur lequel \(f\) est localement quasi-fini; voir Morphismes d’espaces, lemme 04NW. Alors \((X/Y)_{fin} = (X'/Y)_{fin}\).

Démonstration

Le lemme 04PF fournit une application injective \((X'/Y)_{fin} \to (X/Y)_{fin}\). Morphismes d’espaces, lemme 04NW, assure que la formation de \(X'\) commute au changement de base. Il suffit donc de montrer que, si \(Z \subset X\) est un sous-espace ouvert tel que \(f|_Z : Z \to Y\) soit fini, alors \(Z \subset X'\). Cela est vrai puisqu’un morphisme fini est localement quasi-fini; voir Morphismes d’espaces, lemme 04NY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(T\) un espace algébrique au-dessus de \(S\), et soit \((a, Z)\) un couple comme dans 04PC. Si \(f\) est séparé, alors \(Z\) est fermé dans \(T \times_Y X\).

Démonstration

Un morphisme fini d’espaces algébriques est universellement fermé d’après Morphismes d’espaces, lemme 04NZ. Comme \(f\) est séparé, le morphisme \(T \times_Y X \to T\) l’est aussi; voir Morphismes d’espaces, lemme 03KL. Le caractère fermé de \(Z\) résulte donc de Morphismes d’espaces, lemme 04NX.

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme séparé d’espaces algébriques. Le faisceau \((X/Y)_{fin}\) est muni d’une application naturelle \((X/Y)_{fin} \to Y\) qui envoie le couple \((a, Z) \in (X/Y)_{fin}(T)\) sur l’élément \(a \in Y(T)\). On peut utiliser le lemme 04PH pour définir les opérations \[\star_i : (X/Y)_{fin} \times_Y (X/Y)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin}\] par les règles \[\begin{align*} \star_1 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_1 \cup Z_2) \\ \star_2 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_1 \cap Z_2) \\ \star_3 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_1 \setminus Z_2) \\ \star_4 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_2 \setminus Z_1). \end{align*}\] Cette construction fonctionne parce que \(Z_1 \cap Z_2\) est à la fois ouvert et fermé dans \(Z_1\) et \(Z_2\) (ce qui implique aussi que \(Z_1 \cup Z_2\) est la réunion disjointe des trois autres morceaux). On peut donc considérer \((X/Y)_{fin}\) comme une \(\mathbf{F}_2\)-algèbre (sans unité) au-dessus de \(Y\), dont la multiplication est donnée par \(ss' = \star_2(s, s')\) et l’addition par \[s + s' = \star_1(\star_3(s, s'), \star_4(s, s'))\] ce qui revient à prendre la différence symétrique. Remarquons que, dans ce faisceau d’algèbres, \(0 = (1_Y, \emptyset)\) et que l’on a bien \(s + s = 0\) pour toute section locale \(s\). Si \(f : X \to Y\) est fini, cette algèbre possède une unité, à savoir \(1 = (1_Y, X)\), et \(\star_3(s, s') = s(1 + s')\), tandis que \(\star_4(s, s') = (1 + s)s'\).

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas séparé et localement quasi-fini. Dans ce cas, le faisceau \((X/Y)_{fin}\) est étroitement lié au faisceau \(f_!\mathbf{F}_2\) (insérer ici une référence future) sur \(Y_\etale\). En effet, si \(V \to Y\) est étale et \(s \in \Gamma(V, f_!\mathbf{F}_2)\), alors \(s \in \Gamma(V \times_Y X, \mathbf{F}_2)\) est une section de support propre \(Z = \text{Supp}(s)\) sur \(V\). Comme \(f\) est aussi localement quasi-fini, la projection \(Z \to V\) est en fait finie. Comme le support d’une section d’un faisceau abélien constant est ouvert, on voit que le couple \((V \to Y, \text{Supp}(s))\) satisfait 04PC. En fait, \(f_!\mathbf{F}_2 \cong (X/Y)_{fin}|_{Y_\etale}\) dans ce cas, ce qui explique aussi la structure de \(\mathbf{F}_2\)-algèbre introduite dans la remarque 04PI.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). La diagonale de \((X/Y)_{fin} \to Y\) \[(X/Y)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin} \times_Y (X/Y)_{fin}\] est représentable (par des schémas) et est une immersion ouverte; la diagonale « absolue » \[(X/Y)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin} \times (X/Y)_{fin}\] est représentable (par des schémas).

Démonstration

La seconde assertion résulte de la première, car la diagonale absolue est la composée de la diagonale relative et d’un changement de base de la diagonale de \(Y\) (qui est représentable par des schémas); voir Espaces, section 025U. Pour démontrer la première assertion, il faut établir ce qui suit. Étant donnés un schéma \(T\) et deux couples \((a, Z_1)\) et \((a, Z_2)\) au-dessus de \(T\) ayant la même première composante et satisfaisant 04PC, il existe un sous-schéma ouvert \(V \subset T\) possédant la propriété suivante : pour tout morphisme de schémas \(h : T' \to T\), on a \[h(T') \subset V \Leftrightarrow \Big(T' \times_T Z_1 = T' \times_T Z_2 \text{ comme sous-espaces de }T' \times_Y X\Big)\] Construisons \(V\). Remarquons que \(Z_1 \cap Z_2\) est ouvert dans \(Z_1\) et dans \(Z_2\). Comme \(\text{pr}_0|_{Z_i} : Z_i \to T\) est fini, donc propre (voir Morphismes d’espaces, lemme 04NZ), on voit que \[E = \text{pr}_0|_{Z_1}\left(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right) \cup \text{pr}_0|_{Z_2}\left(Z_2 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right)\] est fermé dans \(T\). Il est alors clair que \(V = T \setminus E\) convient.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons que \(U\) soit un schéma, que \(U \to Y\) soit un morphisme étale et que \(Z \subset U \times_Y X\) soit un sous-espace ouvert fini sur \(U\). Alors le morphisme induit \(U \to (X/Y)_{fin}\) est étale.

Démonstration

Cela résulte formellement de la description de la diagonale dans le lemme 04PK, mais nous en donnons les détails, car il s’agit d’une étape importante dans le développement de la théorie. Il faut vérifier que, pour tout schéma \(T\) au-dessus de \(S\) et tout morphisme \(T \to (X/Y)_{fin}\), la projection \[T \times_{(X/Y)_{fin}} U \longrightarrow T\] est étale. Remarquons que \[T \times_{(X/Y)_{fin}} U = (X/Y)_{fin} \times_{((X/Y)_{fin} \times_Y (X/Y)_{fin})} (T \times_Y U)\] En appliquant le résultat du lemme 04PK, on voit que \(T \times_{(X/Y)_{fin}} U\) est représenté par un sous-schéma ouvert de \(T \times_Y U\). Comme la projection \(T \times_Y U \to T\) est étale d’après Morphismes d’espaces, lemme 0466, on conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] un carré de produits fibrés d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Alors \[\xymatrix{ (X'/Y')_{fin} \ar[d] \ar[r] & (X/Y)_{fin} \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] est un carré de produits fibrés de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Il résulte immédiatement des définitions que le faisceau \((X'/Y')_{fin}\) est égal au faisceau \(Y' \times_Y (X/Y)_{fin}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Si \(f\) est séparé et localement quasi-fini, il existe un schéma \(U\) étale sur \(Y\) et un morphisme étale surjectif \(U \to (X/Y)_{fin}\) au-dessus de \(Y\).

Démonstration

Remarquons que l’assertion a un sens d’après le résultat du lemme 04PK sur la diagonale de \((X/Y)_{fin}\); voir Espaces, lemme 025W. Soit \(V\) un schéma et soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif. D’après le lemme 04QF, le morphisme \((V \times_Y X/V)_{fin} \to (X/Y)_{fin}\) est un changement de base de l’application \(V \to Y\) et est donc surjectif et étale; voir Espaces, lemme 02WL. Il suffit donc de démontrer le lemme pour \((V \times_Y X/V)_{fin}\). (On utilise ici implicitement que la composée de transformations de foncteurs représentables, surjectives et étales est encore représentable, surjective et étale; voir Espaces, lemmes 02WA et 02WK, ainsi que Morphismes, lemmes 01S0 et 02GN.) Remarquons que les propriétés d’être séparé et localement quasi-fini sont préservées par changement de base; voir Morphismes d’espaces, lemmes 03KL et 03XL. Ainsi \(V \times_Y X \to V\) est lui aussi séparé et localement quasi-fini, et, d’après Morphismes d’espaces, proposition 03XX on voit que \(V \times_Y X\) est également un schéma. On peut donc supposer que \(f : X \to Y\) est un morphisme de schémas séparé et localement quasi-fini.

Choisissons un point \(y \in Y\). Choisissons des points \(x_1, \ldots, x_n \in X\) au-dessus de \(y\). Choisissons un voisinage étale \(a : (U, u) \to (Y, y)\) et une décomposition \[U \times_S X = W \amalg \ \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} V_{i, j}\] comme dans Compléments sur les morphismes, lemme 02LO. Choisissons un sous-ensemble quelconque \[I \subset \{(i, j) \mid 1 \leq i \leq n, \ 1 \leq j \leq m_i\}.\] Ces choix donnent un couple \((a, Z)\) avec \(Z = \bigcup_{(i, j) \in I} V_{i, j}\) qui satisfait les conditions 04PC. Autrement dit, on obtient un morphisme \(U \to (X/Y)_{fin}\). La construction de ce morphisme dépend de tous les choix effectués ci-dessus, de sorte qu’il faudrait écrire \[U(y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I) \longrightarrow (X/Y)_{fin}\] Ce morphisme est étale d’après le lemme 04QE.

Affirmation : leur réunion disjointe est surjective sur \((X/Y)_{fin}\). Il est clair que, si l’affirmation est vraie, le lemme en résulte.

Pour établir la surjectivité, il faut montrer ce qui suit (voir Espaces, remarque 02YN) : étant donnés un schéma \(T\) au-dessus de \(S\), un point \(t \in T\) et une application \(T \to (X/Y)_{fin}\), on peut trouver une donnée \((y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I)\) comme ci-dessus telle que \(t\) appartienne à l’image de la projection \[U(y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I) \times_{(X/Y)_{fin}} T \longrightarrow T.\] Pour le démontrer, on peut clairement remplacer \(T\) par \(\Spec(\overline{\kappa(t)})\) et \(T \to (X/Y)_{fin}\) par la composée \(\Spec(\overline{\kappa(t)}) \to T \to (X/Y)_{fin}\). Autrement dit, on peut supposer que \(T\) est le spectre d’un corps algébriquement clos.

Soit \(T = \Spec(k)\) le spectre d’un corps algébriquement clos \(k\). Le morphisme \(T \to (X/Y)_{fin}\) est donné par un couple \((T \to Y, Z)\) satisfaisant les conditions 04PC. Voici un diagramme : \[\xymatrix{ & Z \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(k) \ar@{=}[r] & T \ar[r] & Y }\] Soit \(y \in Y\) le point image de \(T \to Y\). Comme \(Z\) est fini sur \(k\), il possède un nombre fini de points. Il existe donc des points \(x_1, \ldots, x_n \in X\) en nombre fini tels que l’image de \(Z\) dans \(X\) soit contenue dans \(\{x_1, \ldots, x_n\}\). Choisissons \(a : (U, u) \to (Y, y)\) adapté à \(y\) et \(x_1, \ldots, x_n\) comme ci-dessus; on obtient le diagramme \[\xymatrix{ W \amalg \ \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} V_{i, j} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ U \ar[r] & Y. }\] Comme \(k\) est algébriquement clos et que \(\kappa(y) \subset \kappa(u)\) est une extension finie séparable, on peut factoriser le morphisme \(T = \Spec(k) \to Y\) par le morphisme \(u = \Spec(\kappa(u)) \to \Spec(\kappa(y)) = y \subset Y\). Avec ce choix, on obtient le diagramme commutatif : \[\xymatrix{ Z \ar[d] \ar[r] & W \amalg \ \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} V_{i, j} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & U \ar[r] & Y }\] Nous savons que l’image de la flèche supérieure gauche est contenue dans \(\coprod V_{i, j}\). Rappelons aussi que \(Z\) est un sous-schéma ouvert de \(\Spec(k) \times_Y X\) par définition de \((X/Y)_{fin}\) et que le carré de droite est un carré de produits fibrés. On voit donc que \[Z \subset \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n}\ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} \Spec(k) \times_U V_{i, j}\] est un sous-schéma ouvert. Par construction (voir Compléments sur les morphismes, lemme 02LO) chaque \(V_{i, j}\) possède un unique point \(v_{i, j}\) au-dessus de \(u\) dont l’extension de corps résiduels \(\kappa(v_{i, j})/\kappa(u)\) est purement inséparable. Ainsi, chaque schéma \(\Spec(k) \times_U V_{i, j}\) possède exactement un point. On voit donc que \[Z = \coprod\nolimits_{(i, j) \in I} \Spec(k) \times_U V_{i, j}\] pour un unique sous-ensemble \(I \subset \{(i, j) \mid 1 \leq i \leq n, \ 1 \leq j \leq m_i\}\). En explicitant les définitions, cela montre que \[U(y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I) \times_{(X/Y)_{fin}} T\] avec le \(I\) trouvé ci-dessus est non vide, comme voulu.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) qui est séparé et localement de type fini. Alors \((X/Y)_{fin}\) est un espace algébrique. De plus, le morphisme \((X/Y)_{fin} \to Y\) est étale.

Démonstration

D’après le lemme 04PG, on peut remplacer \(X\) par le sous-schéma ouvert localement quasi-fini sur \(Y\). On peut donc supposer \(f\) séparé et localement quasi-fini. Vérifions les trois conditions de Espaces, définition 025Y. La condition (1) résulte du lemme 04PE. La condition (2) résulte du lemme 04PK. Enfin, la condition (3) résulte du lemme 04QG. Ainsi \((X/Y)_{fin}\) est un espace algébrique. De plus, ce lemme montre qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[rr] \ar[rd] & & (X/Y)_{fin} \ar[ld] \\ & Y }\] dont la flèche horizontale est surjective et étale et la flèche sud-est est étale. D’après Propriétés des espaces, lemme 03FS, cela implique que la flèche sud-ouest est elle aussi étale.

Remarque

L’hypothèse que \(f\) soit séparé ne peut être supprimée dans la proposition 04QH. Un exemple consiste à prendre pour \(X\) la droite affine à origine dédoublée; voir Schémas, exemple 01JD, pour \(Y = \mathbf{A}^1_k\) la droite affine, et pour \(X \to Y\) l’application évidente. Rappelons qu’au-dessus de \(0 \in Y\), il y a deux points \(0_1\) et \(0_2\) dans \(X\). Ainsi, \((X/Y)_{fin}\) possède quatre points au-dessus de \(0\), à savoir \(\emptyset, \{0_1\}, \{0_2\}, \{0_1, 0_2\}\). De ces quatre points, seuls trois peuvent se relever en un sous-schéma ouvert de \(U \times_Y X\) fini sur \(U\) lorsque \(U \to Y\) est étale, à savoir \(\emptyset, \{0_1\}, \{0_2\}\). Cela montre que \((X/Y)_{fin}\), s’il est représentable par un espace algébrique, n’est pas étale sur \(Y\). Des arguments analogues montrent que \((X/Y)_{fin}\) n’est réellement pas un espace algébrique. Les détails sont omis.

Remarque

Soit \(Y = \mathbf{A}^1_{\mathbf{R}}\) la droite affine sur le corps des nombres réels, et soit \(X = \Spec(\mathbf{C})\) envoyé sur le point \(\mathbf{R}\)-rationnel \(0\) de \(Y\). Dans ce cas, le morphisme \(f : X \to Y\) est fini, mais \((X/Y)_{fin}\) n’est pas un schéma. En effet, on peut montrer que, dans ce cas, l’espace algébrique \((X/Y)_{fin}\) est isomorphe à l’espace algébrique d’ Espaces, exemple 03FN, associé à l’extension \(\mathbf{R} \subset \mathbf{C}\). Il est donc réellement nécessaire de sortir de la catégorie des schémas pour représenter le faisceau \((X/Y)_{fin}\), même lorsque \(f\) est un morphisme fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) qui est séparé, plat et localement de présentation finie. Dans ce cas,

1. \((X/Y)_{fin} \to Y\) est séparé, représentable et étale, et

2. si \(Y\) est un schéma, alors \((X/Y)_{fin}\) est (représenté par) un schéma.

Démonstration

Comme \(f\) est en particulier séparé et localement de type fini (voir Morphismes d’espaces, lemme 0464), on voit que \((X/Y)_{fin}\) est un espace algébrique d’après la proposition 04QH. Pour montrer que \((X/Y)_{fin} \to Y\) est séparé, il faut établir ce qui suit : étant donnés un schéma \(T\) et deux couples \((a, Z_1)\) et \((a, Z_2)\) au-dessus de \(T\) ayant la même première composante et satisfaisant 04PC, il existe un sous-schéma fermé \(V \subset T\) possédant la propriété suivante : pour tout morphisme de schémas \(h : T' \to T\), on a \[h \text{ se factorise par } V \Leftrightarrow \Big(T' \times_T Z_1 = T' \times_T Z_2 \text{ comme sous-espaces de }T' \times_Y X\Big)\] Dans la démonstration du lemme 04PK, on a vu que \(V = T' \setminus E\) est un sous-schéma ouvert de \(T'\) de complémentaire fermé \[E = \text{pr}_0|_{Z_1}\left(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right) \cup \text{pr}_0|_{Z_2}\left(Z_2 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right).\] Il suffit donc de montrer que \(E\) est aussi ouvert. D’après le lemme 04PH, on voit que \(Z_1\) et \(Z_2\) sont fermés dans \(T' \times_Y X\). Ainsi, \(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2\) est ouvert dans \(Z_1\). Comme \(f\) est plat et localement de présentation finie, \(\text{pr}_0|_{Z_1}\) l’est aussi. Cela est vrai parce que \(Z_1\) est un sous-espace ouvert du changement de base \(T' \times_Y X\), et d’après Morphismes d’espaces, lemmes 03XR et lemme 03MO. Ainsi \(\text{pr}_0|_{Z_1}\) est ouvert; voir Morphismes d’espaces, lemme 042S. Par conséquent, \(\text{pr}_0|_{Z_1}\left(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right)\) est ouvert et il s’ensuit que \(E\) est ouvert, comme voulu.

Nous avons déjà vu que \((X/Y)_{fin} \to Y\) est étale; voir la proposition 04QH. Nous savons donc qu’il est localement quasi-fini (voir Morphismes d’espaces, lemme 03XU) et séparé, donc représentable d’après Morphismes d’espaces, lemme 0418. La dernière assertion est claire (on peut, si l’on veut, utiliser Morphismes d’espaces, proposition 03XX).

Variante : soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\sigma : Y \to X\) une section de \(f\). Pour un espace algébrique ou un schéma \(T\) au-dessus de \(S\), considérons les couples \((a, Z)\) où [04RQ]\[\begin{equation} \begin{matrix} a : T \to Y\text{ est un morphisme au-dessus de }S, \\ Z \subset T \times_Y X\text{ est un sous-espace ouvert} \\ \text{tel que }\text{pr}_0|_Z : Z \to T\text{ soit fini et} \\ (1_T, \sigma \circ a) : T \to T \times_Y X\text{ se factorise par }Z. \end{matrix} \end{equation}\] Nous noterons \((X/Y, \sigma)_{fin}\) le sous-foncteur de \((X/Y)_{fin}\) qui paramètre ces couples.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\sigma : Y \to X\) une section de \(f\). Considérons la transformation de foncteurs \[t : (X/Y, \sigma)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin}.\] définie ci-dessus. Alors

1. \(t\) est représentable par des immersions ouvertes,

2. si \(f\) est séparé, alors \(t\) est représentable par des immersions ouvertes et fermées,

3. si \((X/Y)_{fin}\) est un espace algébrique, alors \((X/Y, \sigma)_{fin}\) est un espace algébrique et un sous-espace ouvert de \((X/Y)_{fin}\), et

4. si \((X/Y)_{fin}\) est un schéma, alors \((X/Y, \sigma)_{fin}\) en est un sous-schéma ouvert.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : étant donné un couple \((a, Z)\) au-dessus de \(T\) comme dans (04PC), l’image inverse de \(Z\) par \((1_T, \sigma \circ a) : T \to T \times_Y X\) est le sous-schéma ouvert de \(T\) recherché.

Collections finies de flèches

Soit \(\mathcal{C}\) un groupoïde, voir Catégories, définition 0018. Comme expliqué dans Groupoïdes, section 0230, cela correspond à un septuple \((\text{Ob}, \text{Flèches}, s, t, c, e, i)\).

À partir de ces données, nous pouvons construire un autre groupoïde \(\mathcal{C}_{fin}\) comme suit :

1. Un objet de \(\mathcal{C}_{fin}\) consiste en une partie finie \(Z \subset \text{Flèches}\) possédant les propriétés suivantes :

   1. \(s(Z) = \{u\}\) est un singleton, et

   2. \(e(u) \in Z\).

2. Un morphisme de \(\mathcal{C}_{fin}\) consiste en un couple \((Z, z)\), où \(Z\) est un objet de \(\mathcal{C}_{fin}\) et \(z \in Z\).

3. La source de \((Z, z)\) est \(Z\).

4. Le but de \((Z, z)\) est \(t(Z, z) = \{z' \circ z^{-1}; z' \in Z\}\).

5. Étant donnés \((Z_1, z_1)\) et \((Z_2, z_2)\) tels que \(s(Z_1, z_1) = t(Z_2, z_2)\), la composée \((Z_1, z_1) \circ (Z_2, z_2)\) est \((Z_2, z_1 \circ z_2)\).

Nous omettons la vérification que ceci définit un groupoïde. Graphiquement, un objet de \(\mathcal{C}_{fin}\) peut se représenter par un diagramme \[\xymatrix{ & \bullet \\ \bullet \ar@(ul, dl)[]_e \ar[ru] \ar[r] \ar[rd] & \bullet \\ & \bullet }\] Pour construire un morphisme de \(\mathcal{C}_{fin}\), on choisit l’une des flèches et l’on précompose les autres flèches par son inverse. Par exemple, si l’on choisit la flèche horizontale du milieu, le but est représenté par \[\xymatrix{ & \bullet \\ \bullet & \bullet \ar[l] \ar[u] \ar@(dr, ur)[]_e \ar[d] \\ & \bullet }\] Notons que les cardinalités de \(s(Z, z)\) et de \(t(Z, z)\) sont égales. Ainsi, \(\mathcal{C}_{fin}\) est en fait une réunion disjointe dénombrable de groupoïdes.

La partie finie d’un groupoïde

Dans cette section, nous allons utiliser l’idée expliquée dans la section 04RS pour prendre la partie finie d’un groupoïde en espaces algébriques.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). Hypothèse : les morphismes \(s, t\) sont séparés et localement de type fini. Cette notation et cette hypothèse resteront fixées dans toute la section.

Notons \(R_s\) l’espace algébrique \(R\) considéré comme un espace algébrique au-dessus de \(U\) par l’intermédiaire de \(s\). Posons \(U' = (R_s/U, e)_{fin}\). Puisque \(s\) est séparé et localement de type fini, la proposition 04QH et le lemme 04RR montrent que \(U'\) est un espace algébrique muni d’un morphisme étale \(g : U' \to U\). De plus, d’après le lemme 04PE, il existe un sous-espace ouvert universel \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\), fini au-dessus de \(U'\), tel que \((1_{U'}, e \circ g) : U' \to R \times_{s, U, g} U'\) se factorise par \(Z_{univ}\). En outre, d’après le lemme 04PH, le sous-espace ouvert \(Z_{univ}\) est aussi fermé dans \(R \times_{s, U', g} U\). Voici la situation obtenue : \[\xymatrix{ Z_{univ} \ar[d] \ar[rd] & \\ R \times_{s, U, g} U' \ar[d] \ar[r] & U' \ar[d]^g \\ R \ar[r]^s & U }\] Soit \(T\) un schéma au-dessus de \(B\). On voit qu’un point de \(Z_{univ}\) à valeurs dans \(T\) peut être considéré comme un triplet \((u, Z, z)\) où

1. \(u : T \to U\) est un point de \(U\) à valeurs dans \(T\),

2. \(Z \subset R \times_{s, U, u} T\) est un sous-espace ouvert et fermé, fini au-dessus de \(T\), par lequel \((e \circ u, 1_T)\) se factorise, et

3. \(z : T \to R\) est un point de \(R\) à valeurs dans \(T\) tel que \(s \circ z = u\) et tel que \((z, 1_T)\) se factorise par \(Z\).

Cela étant dit, la discussion de la section 04RS montre moralement que l’on peut munir \((Z_{univ}, U')\) d’une structure de groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). Pour nous en assurer, définissons un à un les morphismes \(s', t', c', e', i'\) du point de vue fonctoriel. (Nous invitons le lecteur à ne pas lire ce qui suit avant d’avoir lu et compris la construction simple de la section 04RS.)

Le morphisme \(s' : Z_{univ} \to U'\) correspond à la règle \[s' : (u, Z, z) \mapsto (u, Z).\] Le morphisme \(t' : Z_{univ} \to U'\) est donné par la règle \[t' : (u, Z, z) \mapsto (t \circ z, c(Z, i \circ z)).\] Le terme \(c(Z, i \circ z)\) a un sens, car l’application \(c(-, i \circ z) : R \times_{s, U, u} T \to R \times_{s, U, t \circ z} T\) est un isomorphisme d’inverse \(c(-, z)\). Le morphisme \(e' : U' \to Z_{univ}\) est donné par la règle \[e' : (u, Z) \mapsto (u, Z, (e \circ u, 1_T)).\] Notons que ceci a un sens en vertu de la condition imposant que \((e \circ u, 1_T)\) se factorise par \(Z\). Le morphisme \(i' : Z_{univ} \to Z_{univ}\) est donné par la règle \[i' : (u, Z, z) \mapsto (t \circ z, c(Z, i \circ z), i \circ z).\] Enfin, la composition est définie par la règle \[c' : ((u_1, Z_1, z_1), (u_2, Z_2, z_2)) \mapsto (u_2, Z_2, z_1 \circ z_2).\] Nous omettons la vérification que les axiomes d’un groupoïde en espaces algébriques sont satisfaits par \((U', Z_{univ}, s', t', c', e', i')\).

Enfin, il existe un morphisme canonique de groupoïdes \[(U', Z_{univ}, s', t', c', e', i') \longrightarrow (U, R, s, t, c, e, i)\] En effet, le morphisme \(U' \to U\) est le morphisme \(g : U' \to U\), qui est défini par la règle \((u, Z) \mapsto u\). Le morphisme \(Z_{univ} \to R\) est défini par la règle \((u, Z, z) \mapsto z\). Ceci achève la construction. Résumons les résultats obtenus.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). Supposons que les morphismes \(s, t\) soient séparés et localement de type fini. Il existe un morphisme canonique \[(U', Z_{univ}, s', t', c', e', i') \longrightarrow (U, R, s, t, c, e, i)\] de groupoïdes en espaces algébriques au-dessus de \(B\), où

1. \(g : U' \to U\) s’identifie à \((R_s/U, e)_{fin} \to U\), et

2. \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\) est le sous-espace ouvert (et fermé) universel, fini au-dessus de \(U'\), qui contient le changement de base de l’unité \(e\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Localisation étale des schémas en groupoïdes

Dans cette section, nous démontrons des résultats analogues à [K-M, Proposition 4.2]. Nous cherchons à être un peu plus généraux et à éviter l’emploi des schémas de Hilbert en utilisant plutôt la partie finie d’un morphisme. Le but est de « scinder » un groupoïde en espaces algébriques au-dessus d’un point après localisation étale. Voici la définition (très proche de [K-M, définition 4.1]).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\). Soit \(u \in |U|\) un point.

1. On dit que \(R\) est fortement scindé au-dessus de \(u\) s’il existe un sous-espace ouvert \(P \subset R\) tel que

   1. \((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\) est un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\),

   2. \(s|_P\), \(t|_P\) sont finis, et

   3. \(\{r \in |R| : s(r) = u, t(r) = u\} \subset |P|\).

   Le choix d’un tel \(P\) sera appelé un scindage fort de \(R\) au-dessus de \(u\).

2. On dit que \(R\) est scindé au-dessus de \(u\) s’il existe un sous-espace ouvert \(P \subset R\) tel que

   1. \((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\) est un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\),

   2. \(s|_P\), \(t|_P\) sont finis, et

   3. \(\{g \in |G| : g\text{ est au-dessus de }u\} \subset |P|\), où \(G \to U\) est le stabilisateur.

   Le choix d’un tel \(P\) sera appelé un scindage de \(R\) au-dessus de \(u\).

3. On dit que \(R\) est quasi-scindé au-dessus de \(u\) s’il existe un sous-espace ouvert \(P \subset R\) tel que

   1. \((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\) est un groupoïde en espaces algébriques au-dessus de \(B\),

   2. \(s|_P\), \(t|_P\) sont finis, et

   3. \(e(u) \in |P|\)².

   Le choix d’un tel \(P\) sera appelé un quasi-scindage de \(R\) au-dessus de \(u\).

Notons la similitude entre les conditions imposées à \(P\) et celles imposées aux couples dans (04PC). En particulier, si \(s, t\) sont séparés, alors \(P\) est aussi fermé dans \(R\) (voir le lemme 04PH).

Supposons donné un groupoïde en espaces algébriques \((U, R, s, t, c)\) au-dessus de \(B\) et un point \(u \in |U|\). Puisque le but est de scinder le groupoïde après localisation étale, on peut tout aussi bien remplacer \(U\) par un schéma affine (nous voulons dire que cela est sans conséquence pour toute application éventuelle). En outre, les hypothèses supplémentaires que nous devrons imposer feront de \(R\) un schéma, au moins dans un voisinage de \(\{r \in |R| : s(r) = u, t(r) = u\}\) ou de \(e(u)\). C’est pourquoi nous partons d’un schéma en groupoïdes comme décrit ci-dessous. Cependant, notre méthode de démonstration nous fait sortir de la catégorie des schémas, raison pour laquelle nous avons formulé ci-dessus le scindage pour les groupoïdes en espaces algébriques. D’autre part, nous ne connaissons d’applications que dans le cas où les morphismes \(s\), \(t\) sont aussi plats et de présentation finie ; dans ce cas, nous revenons finalement dans la catégorie des schémas.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Soit \(u \in U\) un point. Supposons que

1. \(s, t : R \to U\) soient séparés,

2. \(s\), \(t\) soient localement de type fini,

3. l’ensemble \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\) soit fini, et

4. \(s\) soit quasi-fini en chaque point de l’ensemble de (3).

Notons que les hypothèses (3) et (4) découlent de l’hypothèse que la fibre \(s^{-1}(\{u\})\) est finie, voir Morphismes, lemme 02NG.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Soit \(u \in U\) un point. Supposons que

1. \(s, t : R \to U\) soient séparés,

2. \(s\), \(t\) soient localement de type fini,

3. l’ensemble \(\{g \in G : g\text{ est au-dessus de }u\}\) soit fini, où \(G \to U\) est le stabilisateur, et

4. \(s\) soit quasi-fini en chaque point de l’ensemble de (3).

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Soit \(u \in U\) un point. Supposons que

1. \(s, t : R \to U\) soient séparés,

2. \(s\), \(t\) soient localement de type fini, et

3. \(s\) soit quasi-fini en \(e(u)\).

Pour notre application aux théorèmes d’existence des espaces algébriques, le cas des quasi-scindages suffit. En outre, le cas du quasi-scindage nous permettra de démontrer, pour les champs quasi-DM, un théorème de structure locale pour la topologie étale. Le cas du scindage servira à démontrer une version du théorème de Keel–Mori. Le cas du scindage fort fournit un théorème de structure locale pour la topologie étale des champs algébriques quasi-DM à diagonale quasi-compacte.

Lemme

Dans la situation 04RL, il existe un espace algébrique \(U'\), un morphisme étale \(U' \to U\) et un point \(u' : \Spec(\kappa(u)) \to U'\) au-dessus de \(u : \Spec(\kappa(u)) \to U\), tels que la restriction \(R' = R|_{U'}\) de \(R\) à \(U'\) soit fortement scindée au-dessus de \(u'\).

Démonstration

Soit \(f : (U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) construit dans le lemme 04RU. Rappelons que \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\). On obtient ainsi un morphisme \((f, t', s') : Z_{univ} \to R'\) de groupoïdes en espaces algébriques \[(U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U', R', s', t', c')\] (par abus de notation, nous désignons les morphismes des deux groupoïdes par les mêmes symboles). Or \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\) est ouvert, et \(R' \to R \times_{s, U, g} U'\) est étale (comme changement de base de \(U' \to U\)) ; ainsi, \(Z_{univ} \to R'\) est une immersion ouverte. Par construction, les morphismes \(s', t' : Z_{univ} \to U'\) sont finis. Il reste à trouver le point \(u'\) de \(U'\).

Considérons \(u\) comme un morphisme \(\Spec(\kappa(u)) \to U\), comme dans l’énoncé du lemme. Posons \(F_u = R \times_{s, U} \Spec(\kappa(u))\). L’ensemble \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\) est fini par hypothèse et \(F_u \to \Spec(\kappa(u))\) est quasi-fini en chacun de ses éléments par hypothèse. On peut donc trouver une décomposition en sous-schémas ouverts et fermés \[F_u = Z_u \amalg Reste\] où \(Z_u\) est un schéma fini au-dessus de \(\kappa(u)\) dont le support est \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\). Notons que \(e(u) \in Z_u\). Par conséquent, d’après la construction de \(U'\) dans la section 04RT, \((u, Z_u)\) définit un point de \(U'\) à valeurs dans \(\Spec(\kappa(u))\), que nous notons \(u'\).

Il nous reste à montrer que l’ensemble \(\{r' \in |R'| : s'(r') = u', t'(r') = u'\}\) est contenu dans \(|Z_{univ}|\). Choisissons un point quelconque \(r'\) de cet ensemble et représentons-le par un morphisme \(z' : \Spec(k) \to R'\). Notons \(z : \Spec(k) \to R\) la composée de \(z'\) et de l’application \(R' \to R\). Il est clair que \(z\) définit un élément de l’ensemble \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\). De plus, les composées \(s \circ z, t \circ z : \Spec(k) \to U\) se factorisent par \(u\) ; nous pouvons donc considérer \(s \circ z, t \circ z\) comme des morphismes \(\Spec(k) \to \Spec(\kappa(u))\). Alors \(z' = (z, u' \circ t \circ z, u'\circ s \circ u)\) comme morphismes vers \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\). Considérons le triplet \[(s \circ z, Z_u \times_{\Spec(\kappa(u)), s \circ z} \Spec(k), z)\] où \(Z_u\) est défini comme ci-dessus. Ceci définit un point de \(Z_{univ}\) à valeurs dans \(\Spec(k)\), dont l’image dans \(U'\) par \(s', t'\) est \(u'\) et dont l’image par \(Z_{univ} \to R'\) est le point \(r'\), en vertu de la relation entre \(z\) et \(z'\) mentionnée ci-dessus. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0DTB, il existe un espace algébrique \(U'\), un morphisme étale \(U' \to U\) et un point \(u' : \Spec(\kappa(u)) \to U'\) au-dessus de \(u : \Spec(\kappa(u)) \to U\), tels que la restriction \(R' = R|_{U'}\) de \(R\) à \(U'\) soit scindée au-dessus de \(u'\).

Démonstration

Soit \(f : (U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) construit dans le lemme 04RU. Rappelons que \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\). On obtient ainsi un morphisme \((f, t', s') : Z_{univ} \to R'\) de groupoïdes en espaces algébriques \[(U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U', R', s', t', c')\] (par abus de notation, nous désignons les morphismes des deux groupoïdes par les mêmes symboles). Or \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\) est ouvert, et \(R' \to R \times_{s, U, g} U'\) est étale (comme changement de base de \(U' \to U\)) ; ainsi, \(Z_{univ} \to R'\) est une immersion ouverte. Par construction, les morphismes \(s', t' : Z_{univ} \to U'\) sont finis. Il reste à trouver le point \(u'\) de \(U'\).

Considérons \(u\) comme un morphisme \(\Spec(\kappa(u)) \to U\), comme dans l’énoncé du lemme. Posons \(F_u = R \times_{s, U} \Spec(\kappa(u))\). Soit \(G_u \subset F_u\) la fibre schématique de \(G \to U\) au-dessus de \(u\). Par hypothèse, \(G_u\) est fini et \(F_u \to \Spec(\kappa(u))\) est quasi-fini en chaque point de \(G_u\). On peut donc trouver une décomposition en sous-schémas ouverts et fermés \[F_u = Z_u \amalg Reste\] où \(Z_u\) est un schéma fini au-dessus de \(\kappa(u)\) dont le support est \(G_u\). Notons que \(e(u) \in Z_u\). Par conséquent, d’après la construction de \(U'\) dans la section 04RT, \((u, Z_u)\) définit un point de \(U'\) à valeurs dans \(\Spec(\kappa(u))\), que nous notons \(u'\).

Il nous reste à montrer que l’ensemble \(\{g' \in |G'| : g'\text{ est au-dessus de }u'\}\) est contenu dans \(|Z_{univ}|\). Choisissons un point \(g'\) de cet ensemble et représentons-le par un morphisme \(z' : \Spec(k) \to G'\). Notons \(z : \Spec(k) \to G\) la composée de \(z'\) et de l’application \(G' \to G\). Il est clair que \(z\) définit un point de \(G_u\). Écrivons plus précisément \(\tilde u : \Spec(k) \to u \to U\) pour l’application correspondante vers \(u\) ou \(U\). Considérons le triplet \[(\tilde u, Z_u \times_{u, \tilde u} \Spec(k), z)\] où \(Z_u\) est défini comme ci-dessus. Ceci définit un point de \(Z_{univ}\) à valeurs dans \(\Spec(k)\), dont l’image dans \(U'\) par \(s', t'\) est \(u'\) et dont l’image par \(Z_{univ} \to R'\) est le point \(z'\) (car son image dans \(R\) est \(z\)). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 04RV, il existe un espace algébrique \(U'\), un morphisme étale \(U' \to U\) et un point \(u' : \Spec(\kappa(u)) \to U'\) au-dessus de \(u : \Spec(\kappa(u)) \to U\), tels que la restriction \(R' = R|_{U'}\) de \(R\) à \(U'\) soit quasi-scindée au-dessus de \(u'\).

Démonstration

Soit \(f : (U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) construit dans le lemme 04RU. Rappelons que \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\). On obtient ainsi un morphisme \((f, t', s') : Z_{univ} \to R'\) de groupoïdes en espaces algébriques \[(U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U', R', s', t', c')\] (par abus de notation, nous désignons les morphismes des deux groupoïdes par les mêmes symboles). Or \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\) est ouvert, et \(R' \to R \times_{s, U, g} U'\) est étale (comme changement de base de \(U' \to U\)) ; ainsi, \(Z_{univ} \to R'\) est une immersion ouverte. Par construction, les morphismes \(s', t' : Z_{univ} \to U'\) sont finis. Il reste à trouver le point \(u'\) de \(U'\).

Considérons \(u\) comme un morphisme \(\Spec(\kappa(u)) \to U\), comme dans l’énoncé du lemme. Posons \(F_u = R \times_{s, U} \Spec(\kappa(u))\). Le morphisme \(F_u \to \Spec(\kappa(u))\) est quasi-fini en \(e(u)\) par hypothèse. On peut donc trouver une décomposition en sous-schémas ouverts et fermés \[F_u = Z_u \amalg Reste\] où \(Z_u\) est un schéma fini au-dessus de \(\kappa(u)\) dont le support est \(e(u)\). Par conséquent, d’après la construction de \(U'\) dans la section 04RT, \((u, Z_u)\) définit un point de \(U'\) à valeurs dans \(\Spec(\kappa(u))\), que nous notons \(u'\). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(e'(u') \in Z_{univ}\), ce qui est clair.

Enfin, sous des hypothèses supplémentaires, nous obtenons des schémas.

Lemme

Dans la situation 04RL, supposons en outre que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie. Alors il existe un schéma \(U'\), un morphisme étale séparé \(U' \to U\) et un point \(u' \in U'\) au-dessus de \(u\), avec \(\kappa(u) = \kappa(u')\), tels que la restriction \(R' = R|_{U'}\) de \(R\) à \(U'\) soit fortement scindée au-dessus de \(u'\).

Démonstration

Ceci résulte de la construction de \(U'\) dans la démonstration du lemme 03FM, car, dans ce cas, \(U' = (R_s/U, e)_{fin}\) est un schéma séparé au-dessus de \(U\) d’après les lemmes 04RI et 04RR.

Lemme

Dans la situation 0DTB, supposons en outre que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie. Alors il existe un schéma \(U'\), un morphisme étale séparé \(U' \to U\) et un point \(u' \in U'\) au-dessus de \(u\), avec \(\kappa(u) = \kappa(u')\), tels que la restriction \(R' = R|_{U'}\) de \(R\) à \(U'\) soit scindée au-dessus de \(u'\).

Démonstration

Ceci résulte de la construction de \(U'\) dans la démonstration du lemme 0DTC, car, dans ce cas, \(U' = (R_s/U, e)_{fin}\) est un schéma séparé au-dessus de \(U\) d’après les lemmes 04RI et 04RR.

Lemme

Dans la situation 04RV, supposons en outre que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie. Alors il existe un schéma \(U'\), un morphisme étale séparé \(U' \to U\) et un point \(u' \in U'\) au-dessus de \(u\), avec \(\kappa(u) = \kappa(u')\), tels que la restriction \(R' = R|_{U'}\) de \(R\) à \(U'\) soit quasi-scindée au-dessus de \(u'\).

Démonstration

Ceci résulte de la construction de \(U'\) dans la démonstration du lemme 04RW, car, dans ce cas, \(U' = (R_s/U, e)_{fin}\) est un schéma séparé au-dessus de \(U\) d’après les lemmes 04RI et 04RR.

En fait, nous pouvons obtenir des schémas affines en appliquant un résultat antérieur sur les groupoïdes finis localement libres.

Lemme

Dans la situation 04RL, supposons en outre que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie et que \(U\) soit affine. Alors il existe un schéma affine \(U'\), un morphisme étale \(U' \to U\) et un point \(u' \in U'\) au-dessus de \(u\), avec \(\kappa(u) = \kappa(u')\), tels que la restriction \(R' = R|_{U'}\) de \(R\) à \(U'\) soit fortement scindée au-dessus de \(u'\).

Démonstration

Soient \(U' \to U\) le morphisme étale séparé de schémas et \(u' \in U'\) le point obtenus dans le lemme 04RX. Soit \(P \subset R'\) le scindage fort de \(R'\) au-dessus de \(u'\). D’après Compléments sur les groupoïdes, lemme 04MP, les morphismes \(s', t' : R' \to U'\) sont plats et localement de présentation finie. Ils sont finis par hypothèse. Ainsi, \(s', t'\) sont finis localement libres, voir Morphismes, lemme 02KB. En particulier, \(t(s^{-1}(u'))\) est un ensemble fini de points \(\{u'_1, u'_2, \ldots, u'_n\}\) de \(U'\). Choisissons un ouvert quasi-compact \(W \subset U'\) contenant chaque \(u'_i\). Puisque \(U\) est affine, le morphisme \(W \to U\) est quasi-compact (voir Schémas, lemme 01K4). Le morphisme \(W \to U\) est aussi localement quasi-fini (voir Morphismes, lemme 03WS) et séparé. Par conséquent, d’après Compléments sur les morphismes, lemme 02LR (une version du théorème principal de Zariski), nous concluons que \(W\) est quasi-affine. D’après Propriétés, lemme 01ZY, l’ensemble \(\{u'_1, \ldots, u'_n\}\) est contenu dans un ouvert affine de \(U'\). Nous pouvons donc appliquer Groupoïdes, lemme 03JE pour conclure qu’il existe un ouvert affine \(U'' \subset U'\), invariant par \(P\), qui contient \(u'\).

Pour achever la démonstration, notons \(R'' = R|_{U''}\) la restriction de \(R\) à \(U''\). C’est aussi la restriction de \(R'\) à \(U''\). Puisque \(P \subset R'\) est un sous-schéma ouvert et fermé, il en va de même de \(P|_{U''} \subset R''\). Par construction, le sous-schéma ouvert \(U'' \subset U'\) est invariant par \(P\), ce qui signifie que \(P|_{U''} = (s'|_P)^{-1}(U'') = (t'|_P)^{-1}(U'')\) (voir la discussion dans Groupoïdes, section 03LN) ; les restrictions de \(s''\) et de \(t''\) à \(P|_{U''}\) sont donc encore finies. Le sous-schéma en groupoïdes \(P|_{U''}\) est encore un scindage fort de \(R''\) au-dessus de \(u''\) : les conditions (a) et (b) ont été vérifiées ci-dessus, et (c) résulte immédiatement de \(\{r' \in R': t'(r') = u', s'(r') = u'\} = \{r'' \in R'': t''(r'') = u', s''(r'') = u'\}\). Le lemme est démontré.

Lemme

Dans la situation 0DTB, supposons en outre que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie et que \(U\) soit affine. Alors il existe un schéma affine \(U'\), un morphisme étale \(U' \to U\) et un point \(u' \in U'\) au-dessus de \(u\), avec \(\kappa(u) = \kappa(u')\), tels que la restriction \(R' = R|_{U'}\) de \(R\) à \(U'\) soit scindée au-dessus de \(u'\).

Démonstration

La démonstration de ce lemme est littéralement la même que celle du lemme 04RZ, si ce n’est que « scindage fort » doit être remplacé par « scindage » (deux fois) et que le renvoi au lemme 04RX doit être remplacé par un renvoi au lemme 0DTD.

Lemme

Dans la situation 04RV, supposons en outre que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie et que \(U\) soit affine. Alors il existe un schéma affine \(U'\), un morphisme étale \(U' \to U\) et un point \(u' \in U'\) au-dessus de \(u\), avec \(\kappa(u) = \kappa(u')\), tels que la restriction \(R' = R|_{U'}\) de \(R\) à \(U'\) soit quasi-scindée au-dessus de \(u'\).

Démonstration

La démonstration de ce lemme est littéralement la même que celle du lemme 04RZ, si ce n’est que « scindage fort » doit être remplacé par « quasi-scindage » (deux fois) et que le renvoi au lemme 04RX doit être remplacé par un renvoi au lemme 04RY.