Dualité pour les espaces

Introduction

Ce chapitre est l’analogue du chapitre correspondant pour les schémas, voir Dualité pour les schémas, section 0DWF. Le développement est semblable à celui des articles [Neeman-Grothendieck], [LN], [Lipman-notes] et [Neeman-improvement].

Complexes dualisants sur les espaces algébriques

Soit \(U\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{O}_\etale\) le faisceau structural de \(U\) sur le petit site étale de \(U\). Nous dirons qu’un objet \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) est un complexe dualisant sur \(U\) si \(K = \epsilon^*(\omega_U^\bullet)\) pour un complexe dualisant \(\omega_U^\bullet\) au sens de Dualité pour les schémas, section 0A85. Ici, \(\epsilon^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_U) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\etale)\) est l’équivalence de Catégories dérivées des espaces, Lemme 071Q. La plupart des propriétés de \(\omega_U^\bullet\) étudiées dans Dualité pour les schémas, section 0A85, se transmettent à \(K\) grâce à la discussion de Catégories dérivées des espaces, sections 071P et 08HC.

Nous définissons un complexe dualisant sur un espace algébrique localement noethérien comme un complexe qui, localement pour la topologie étale, provient d’un complexe dualisant sur le schéma correspondant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(K\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Pour tout morphisme étale \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, la restriction \(K|_U\) est un complexe dualisant sur \(U\) (au sens expliqué ci-dessus).

2. Il existe un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, tel que \(K|_U\) soit un complexe dualisant sur \(U\).

Démonstration

Supposons que \(U \to X\) soit étale surjectif, où \(U\) est un schéma. Soit \(V \to X\) un morphisme étale, où \(V\) est un schéma. Alors \[U \leftarrow U \times_X V \rightarrow V\] sont des morphismes étales de schémas, celui qui aboutit à \(V\) étant surjectif. Nous pouvons donc appliquer Dualité pour les schémas, Lemme 0E4N, pour voir que, si \(K|_U\) est un complexe dualisant sur \(U\), alors \(K|_V\) est un complexe dualisant sur \(V\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Un objet \(K\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est appelé un complexe dualisant si \(K\) satisfait aux conditions équivalentes du Lemme 0E4Y.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien et soit \(X = \Spec(A)\). Soit \(\mathcal{O}_\etale\) le faisceau structural de \(X\) sur le petit site étale de \(X\). Soient \(K, L\) des objets de \(D(A)\). Si \(K \in D_{\textit{Coh}}(A)\) et si \(L\) est de dimension injective finie, alors \[\epsilon^*\widetilde{R\Hom_A(K, L)} = R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(\epsilon^*\widetilde{K}, \epsilon^*\widetilde{L})\] dans \(D(\mathcal{O}_\etale)\), où \(\epsilon : (X_\etale, \mathcal{O}_\etale) \to (X, \mathcal{O}_X)\) est comme dans Catégories dérivées des espaces, section 071P.

Démonstration

D’après Dualité pour les schémas, Lemme 0A88, nous avons un isomorphisme canonique \[\widetilde{R\Hom_A(K, L)} = R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{K}, \widetilde{L})\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Il existe un morphisme canonique \[\epsilon^*R\Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{K}, \widetilde{L}) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(\epsilon^*\widetilde{K}, \epsilon^*\widetilde{L})\] dans \(D(\mathcal{O}_\etale)\), voir Cohomologie sur les sites, Remarque 08JF. Nous allons montrer que les membres de gauche et de droite de ce morphisme ont des faisceaux de cohomologie isomorphes, mais nous omettrons de vérifier que l’isomorphisme est donné par ce morphisme.

Nous pouvons supposer que \(L\) est donné par un complexe fini \(I^\bullet\) de \(A\)-modules injectifs. Par récurrence sur la longueur de \(I^\bullet\) et par compatibilité des constructions avec les triangles distingués, nous nous ramenons au cas où \(L = I[0]\), avec \(I\) un \(A\)-module injectif. Rappelons que les faisceaux de cohomologie de \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(\epsilon^*\widetilde{K}, \epsilon^*\widetilde{L}))\) sont les faisceaux associés au préfaisceau qui, à \(U\) étale sur \(X\), associe le \(i\)-ème groupe d’Ext entre les restrictions de \(\epsilon^*\widetilde{K}\) et \(\epsilon^*\widetilde{L}\) à \(U_\etale\). Voir Cohomologie sur les sites, Lemme 08JA. Si \(U = \Spec(B)\) est affine, ce groupe d’Ext est égal à \(\text{Ext}^i_B(K \otimes_A B, L \otimes_A B)\) par l’équivalence de Catégories dérivées des espaces, Lemme 071Q, et Catégories dérivées des schémas, Lemme 06Z0 (on utilise aussi les compatibilités détaillées dans Catégories dérivées des espaces, Remarque 08GH). Puisque \(A \to B\) est étale, nous voyons que \(I \otimes_A B\) est un \(B\)-module injectif par Complexes dualisants, Lemme 0E4F. Nous voyons donc que \[\begin{align*} \Ext^n_B(K \otimes_A B, I \otimes_A B) & = \Hom_B(H^{-n}(K \otimes_A B), I \otimes_A B) \\ & = \Hom_{A_f}(H^{-n}(K) \otimes_A B, I \otimes_A B) \\ & = \Hom_A(H^{-n}(K), I) \otimes_A B \\ & = \text{Ext}^n_A(K, I) \otimes_A B \end{align*}\] L’avant-dernière égalité vaut parce que \(H^{-n}(K)\) est un \(A\)-module fini, voir Compléments d’algèbre, Lemme 087R. Par conséquent, les faisceaux de cohomologie des membres de gauche et de droite de l’égalité du lemme sont les mêmes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(K\) un complexe dualisant sur \(X\). Alors \(K\) est un objet de \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et \(D = R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(-, K)\) induit une anti-équivalence \[D : D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\] munie d’un isomorphisme canonique \(\text{id} \to D \circ D\). Si \(X\) est quasi-compact, alors \(D\) échange \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et induit une équivalence \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Soit \(U \to X\) un morphisme étale, avec \(U\) affine. Écrivons \(U = \Spec(A)\) et soit \(\omega_A^\bullet\) un complexe dualisant pour \(A\) correspondant à \(K|_U\) comme dans le Lemme 0E4Y et Dualité pour les schémas, Lemme 0A86. D’après le Lemme 0E50, le diagramme \[\xymatrix{ D_{\textit{Coh}}(A) \ar[r] \ar[d]_{R\Hom_A(-, \omega_A^\bullet)} & D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_\etale) \ar[d]^{R\SheafHom_{\mathcal{O}_\etale}(-, K|_U)} \\ D_{\textit{Coh}}(A) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\etale) }\] est commutatif, où \(\mathcal{O}_\etale\) est le faisceau structural du petit site étale de \(U\). Comme la formation de \(R\SheafHom\) commute à la restriction, nous concluons que \(D\) envoie \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\). De plus, le morphisme canonique \[L \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, K), K)\] (Cohomologie sur les sites, Lemme 0A97) est un isomorphisme pour tout \(L\) de \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), car il en est ainsi au-dessus de tout \(U\) comme ci-dessus, d’après Complexes dualisants, Lemme 0A7C. L’assertion sur les propriétés de bornitude du foncteur \(D\) dans le cas quasi-compact résulte également des assertions correspondantes de Complexes dualisants, Lemme 0A7C.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Rappelons qu’un objet \(L\) de \(D(\mathcal{O})\) est inversible s’il est un objet inversible pour la structure monoïdale symétrique sur \(D(\mathcal{O}_X)\) donnée par le produit tensoriel dérivé. Dans Cohomologie sur les sites, Lemme 0FPY, nous avons vu que cela signifie que \(L\) est parfait et que, si \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est un site localement annelé, alors, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(U\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(L|_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}[-n_i]\) pour certains entiers \(n_i\).

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(L\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) est inversible, il existe une décomposition en réunion disjointe \(X = \coprod_{n \in \mathbf{Z}} X_n\) telle que \(L|_{X_n}\) soit un module inversible placé en degré \(n\). En particulier, il s’ensuit que \(L = \bigoplus H^n(L)[-n]\), ce qui donne un complexe bien défini de \(\mathcal{O}_X\)-modules (à différentielles nulles) représentant \(L\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Si \(K\) et \(K'\) sont des complexes dualisants sur \(X\), alors \(K'\) est isomorphe à \(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) pour un objet inversible \(L\) de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Posons \[L = R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, K')\] C’est un objet inversible de \(D(\mathcal{O}_X)\), car cette assertion est vraie localement sur les affines. Utiliser le Lemme 0E50 et Complexes dualisants, Lemme 0A7F, ainsi que sa démonstration. Le morphisme d’évaluation \(L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K \to K'\) est un isomorphisme pour la même raison.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(\omega_X^\bullet\) un complexe dualisant sur \(X\). Alors la fonction sur \(X\) \(|X| \to \mathbf{Z}\) définie par \[x \longmapsto \delta(x)\text{ tel que } \omega_{X, \overline{x}}^\bullet[-\delta(x)] \text{ soit un complexe dualisant normalisé sur } \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] est une fonction de dimension sur \(|X|\).

Démonstration

Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Soit \(\omega_U^\bullet\) le complexe dualisant sur \(U\) associé à \(\omega_X^\bullet|_U\). Si \(u \in U\) s’envoie sur \(x \in |X|\), alors \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{U, u}\). D’après Complexes dualisants, Lemme 0AWD, nous voyons que, si \(\omega^\bullet\) est un complexe dualisant normalisé pour \(\mathcal{O}_{U, u}\), alors \(\omega^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{U, u}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est un complexe dualisant normalisé pour \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\). Nous voyons donc que la fonction de dimension \(U \to \mathbf{Z}\) de Dualité pour les schémas, Lemme 0AWF, pour le schéma \(U\) et le complexe \(\omega_U^\bullet\) est égale au composé de \(U \to |X|\) et de \(\delta\). En utilisant le fait que les spécialisations dans \(|X|\) se relèvent en des spécialisations dans \(U\) et que les spécialisations non triviales dans \(U\) s’envoient sur des spécialisations non triviales dans \(X\) (Espaces raisonnables, Lemmes 03IL et 03K5), un argument topologique facile montre que \(\delta\) est une fonction de dimension sur \(|X|\).

Adjoint à droite de l’image directe

C’est l’analogue de Dualité pour les schémas, section 0A9D.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme entre espaces algébriques quasi-séparés et quasi-compacts sur \(S\). Le foncteur \(Rf_* : D_\QCoh(X) \to D_\QCoh(Y)\) admet un adjoint à droite.

Démonstration

Nous allons démontrer l’existence d’un adjoint à droite en vérifiant les hypothèses de Catégories dérivées, Proposition 0A8G. Tout d’abord, la catégorie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) admet les sommes directes, voir Catégories dérivées des espaces, Lemme 08F3. La catégorie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est compactement engendrée d’après Catégories dérivées des espaces, Théorème 09IY. Comme \(X\) et \(Y\) sont quasi-compacts et quasi-séparés, il en est de même de \(f\), voir Morphismes d’espaces, Lemmes 03KR et 03KS. Le foncteur \(Rf_*\) commute donc aux sommes directes, voir Catégories dérivées des espaces, Lemme 08FB. Cela achève la démonstration.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans le Lemme 0E55. Soit \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) l’adjoint à droite de \(Rf_*\). Alors \(a\) envoie \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) dans \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). En fait, il existe un entier \(N\) tel que \(H^i(K) = 0\) pour \(i \leq c\) implique \(H^i(a(K)) = 0\) pour \(i \leq c - N\).

Démonstration

D’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 08FA, le foncteur \(Rf_*\) est de dimension cohomologique finie. Autrement dit, il existe un entier \(N\) tel que \(H^i(Rf_*L) = 0\) pour \(i \geq N + c\) si \(H^i(L) = 0\) pour \(i \geq c\). Soit \(K \in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) tel que \(H^i(K) = 0\) pour \(i \leq c\). Alors \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\tau_{\leq c - N}a(K), a(K)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*\tau_{\leq c - N}a(K), K) = 0\] d’après ce qui précède. Cela implique manifestement que \(H^i(a(K)) = 0\) pour \(i \leq c - N\).

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-séparés et quasi-compacts sur \(S\). Notons \(a\) l’adjoint à droite de \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Pour tous \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) et \(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), nous obtenons un morphisme canonique [0E57]\[\begin{equation} Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K) \end{equation}\] Ce morphisme est en effet défini comme le composé \[Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, Rf_*a(K)) \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\] où la première flèche est celle de Cohomologie sur les sites, Remarque 0B6D, et la seconde est la co-unité \(Rf_*a(K) \to K\) de l’adjonction.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\). Soit \(a\) l’adjoint à droite de \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Soient \(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Alors le morphisme (0E57) \[Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\] devient un isomorphisme après application du foncteur \(DQ_Y : D(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) décrit dans Catégories dérivées des espaces, section 0CR3.

Démonstration

L’énoncé a un sens puisque \(DQ_Y\) existe d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CR4. Comme \(DQ_Y\) est l’adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_Y)\), pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que, pour tout \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), le morphisme (0E57) induit une bijection \[\Hom_Y(M, Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) \longrightarrow \Hom_Y(M, R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K))\] Pour le voir, nous utilisons la suite d’égalités suivante : \[\begin{align*} \Hom_Y(M, Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) & = \Hom_X(Lf^*M, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) \\ & = \Hom_X(Lf^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L, a(K)) \\ & = \Hom_Y(Rf_*(Lf^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), K) \\ & = \Hom_Y(M \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*L, K) \\ & = \Hom_Y(M, R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)) \end{align*}\] La première égalité résulte de Cohomologie sur les sites, Lemme 07A6. La deuxième résulte de Cohomologie sur les sites, Lemme 08J9. La troisième résulte de la construction de \(a\). La quatrième résulte de Catégories dérivées des espaces, Lemme 08IN (c’est l’étape importante). La cinquième résulte de Cohomologie sur les sites, Lemme 08J9.

Exemple

L’énoncé du Lemme 0E58 n’est pas vrai sans appliquer le « cohérateur » \(DQ_Y\). Voir Dualité pour les schémas, Exemple 0GEU.

Remarque

Dans la situation du Lemme 0E58, nous avons \[DQ_Y(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) = Rf_* DQ_X(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)))\] d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CR5. Ainsi, si \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), nous pouvons « supprimer » le \(DQ_Y\) du membre de gauche du morphisme. D’autre part, si nous savons que \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K) \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), nous pouvons « supprimer » le \(DQ_Y\) du membre de droite du morphisme. Si ces deux conditions sont satisfaites, nous voyons que (0E57) est un isomorphisme. En combinant ceci avec Catégories dérivées des espaces, Lemme 0A8A, nous voyons que \(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\) est un isomorphisme si

1. \(L\) et \(Rf_*L\) sont parfaits, ou

2. \(K\) est borné inférieurement et \(L\) et \(Rf_*L\) sont pseudo-cohérents.

Pour (2), nous utilisons le fait que \(a(K)\) est borné inférieurement si \(K\) est borné inférieurement, voir Lemme 0E56.

Exemple

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques noethériens sur \(S\), \(L \in D^-_{\textit{Coh}}(X)\) et \(K \in D^+_{\QCoh}(\mathcal{O}_Y)\). Alors le morphisme \(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\) est un isomorphisme. En effet, les complexes \(L\) et \(Rf_*L\) sont pseudo-cohérents d’après Catégories dérivées des espaces, Lemmes 08IK et 08GK, et la discussion de la Remarque 0GG4 s’applique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-séparés et quasi-compacts sur \(S\). Pour tous \(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), (0E57) induit un isomorphisme \(R\Hom_X(L, a(K)) \to R\Hom_Y(Rf_*L, K)\) entre les Hom dérivés globaux.

Démonstration

Par construction (Cohomologie sur les sites, section 0B6E), les complexes \[R\Hom_X(L, a(K)) = R\Gamma(X, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K))) = R\Gamma(Y, Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)))\] et \[R\Hom_Y(Rf_*L, K) = R\Gamma(Y, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(Rf_*L, a(K)))\] Ainsi, le lemme est une conséquence du Lemme 0E58. En effet, un morphisme \(E \to E'\) dans \(D(\mathcal{O}_Y)\) qui induit un isomorphisme \(DQ_Y(E) \to DQ_Y(E')\) induit un quasi-isomorphisme \(R\Gamma(Y, E) \to R\Gamma(Y, E')\). Nous avons en effet \(H^i(Y, E) = \Ext^i_Y(\mathcal{O}_Y, E) = \Hom(\mathcal{O}_Y[-i], E) = \Hom(\mathcal{O}_Y[-i], DQ_Y(E))\), car \(\mathcal{O}_Y[-i]\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) et \(DQ_Y\) est l’adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_Y)\).

Adjoint à droite de l’image directe et changement de base, I

Définissons le morphisme de changement de base entre les adjoints à droite de l’image directe. Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme cartésien [0E5B]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y } } \end{equation}\] où \(Y'\) et \(X\) sont indépendants au sens de Tor sur \(Y\). Notons \[a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \quad\text{et}\quad a' : D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y'}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\] les adjoints à droite de \(Rf_*\) et \(Rf'_*\) (Lemme 0E55). Le morphisme de changement de base de Cohomologie sur les sites, Remarque 07A7, donne une transformation de foncteurs \[Lg^* \circ Rf_* \longrightarrow Rf'_* \circ L(g')^*\] sur les catégories dérivées de faisceaux à cohomologie quasi-cohérente. Il donne donc une transformation entre les adjoints à droite en sens opposé \[a \circ Rg_* \longleftarrow Rg'_* \circ a'\]

Lemme

Dans le diagramme (0E5B), le morphisme \(a \circ Rg_* \leftarrow Rg'_* \circ a'\) est un isomorphisme.

Démonstration

Le morphisme de changement de base \(Lg^* \circ Rf_* K \to Rf'_* \circ L(g')^*K\) est un isomorphisme pour tout \(K\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 08IR (on utilise ici l’hypothèse d’indépendance au sens de Tor). La transformation correspondante entre foncteurs adjoints est donc elle aussi un isomorphisme.

Nous pouvons alors considérer le morphisme de foncteurs \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\) donné par le composé [0E5D]\[\begin{equation} L(g')^* \circ a \to L(g')^* \circ a \circ Rg_* \circ Lg^* \leftarrow L(g')^* \circ Rg'_* \circ a' \circ Lg^* \to a' \circ Lg^* \end{equation}\] La première flèche provient du morphisme d’adjonction \(\text{id} \to Rg_* Lg^*\), et la dernière du morphisme d’adjonction \(L(g')^*Rg'_* \to \text{id}\). Nous avons besoin de l’hypothèse d’indépendance au sens de Tor pour inverser la flèche du milieu, voir Lemme 0E5C. On peut aussi considérer (0E5D), par adjonction entre \(L(g')^*\) et \(R(g')_*\), comme une transformation naturelle \[a \to a \circ Rg_* \circ Lg^* \leftarrow Rg'_* \circ a' \circ Lg^*\] où, là encore, la seconde flèche est inversible. Si \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), alors ce morphisme est donné sur les foncteurs de Yoneda par \[\begin{align*} \Hom_X(M, a(K)) & = \Hom_Y(Rf_*M, K) \\ & \to \Hom_Y(Rf_*M, Rg_* Lg^*K) \\ & = \Hom_{Y'}(Lg^*Rf_*M, Lg^*K) \\ & \leftarrow \Hom_{Y'}(Rf'_* L(g')^*M, Lg^*K) \\ & = \Hom_{X'}(L(g')^*M, a'(Lg^*K)) \\ & = \Hom_X(M, Rg'_*a'(Lg^*K)) \end{align*}\] (la flèche dirigée vers la gauche est inversible par le théorème de changement de base donné dans Catégories dérivées des espaces, Lemme 08IR), ce qui rend les choses un peu plus explicites.

Dans cette section, nous démontrons d’abord que le morphisme de changement de base satisfait à certaines compatibilités naturelles relativement à l’empilement de carrés, comme dans Cohomologie sur les sites, Remarques 0E46 et 0E47, pour le morphisme de changement de base usuel. Nous suggérons au lecteur de sauter le reste de cette section en première lecture.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^m & Z }\] d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\), dans lequel les deux carrés sont cartésiens, et où \(f\) et \(l\) ainsi que \(g\) et \(m\) sont indépendants au sens de Tor. Alors les morphismes (0E5D) des deux carrés se composent pour donner le morphisme de changement de base du rectangle extérieur (voir la démonstration pour un énoncé précis).

Démonstration

Il résulte des hypothèses que \(g \circ f\) et \(m\) sont indépendants au sens de Tor (nous omettons les détails), de sorte que l’énoncé a un sens. Dans cette démonstration, nous écrivons \(k^*\) à la place de \(Lk^*\) et \(f_*\) à la place de \(Rf_*\). Soient \(a\), \(b\) et \(c\) les adjoints à droite du Lemme 0E55 pour \(f\), \(g\) et \(g \circ f\), et de même pour les versions munies d’un prime. La flèche correspondant au carré supérieur est le composé \[\gamma_{top} : k^* \circ a \to k^* \circ a \circ l_* \circ l^* \xleftarrow{\xi_{top}} k^* \circ k_* \circ a' \circ l^* \to a' \circ l^*\] où \(\xi_{top} : k_* \circ a' \to a \circ l_*\) est un isomorphisme (et peut donc être inversé) et est la flèche « duale » du morphisme de changement de base \(l^* \circ f_* \to f'_* \circ k^*\). Les flèches extérieures proviennent des morphismes canoniques \(1 \to l_* \circ l^*\) et \(k^* \circ k_* \to 1\). De même, pour le second carré, nous avons \[\gamma_{bot} : l^* \circ b \to l^* \circ b \circ m_* \circ m^* \xleftarrow{\xi_{bot}} l^* \circ l_* \circ b' \circ m^* \to b' \circ m^*\] Pour le rectangle extérieur, nous obtenons \[\gamma_{rect} : k^* \circ c \to k^* \circ c \circ m_* \circ m^* \xleftarrow{\xi_{rect}} k^* \circ k_* \circ c' \circ m^* \to c' \circ m^*\] Nous avons \((g \circ f)_* = g_* \circ f_*\) et donc \(c = a \circ b\), et de même \(c' = a' \circ b'\). L’assertion du lemme est que \(\gamma_{rect}\) est égal au composé \[k^* \circ c = k^* \circ a \circ b \xrightarrow{\gamma_{top}} a' \circ l^* \circ b \xrightarrow{\gamma_{bot}} a' \circ b' \circ m^* = c' \circ m^*\] Pour le voir, considérons le diagramme suivant : \[\xymatrix{ & & k^* \circ a \circ b \ar[d] \ar[lldd] \\ & & k^* \circ a \circ l_* \circ l^* \circ b \ar[ld] \\ k^* \circ a \circ b \circ m_* \circ m^* \ar[r] & k^* \circ a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* \circ m^* & k^* \circ k_* \circ a' \circ l^* \circ b \ar[u]_{\xi_{top}} \ar[d] \ar[ld] \\ & k^*\circ k_* \circ a' \circ l^* \circ b \circ m_* \circ m^* \ar[u]_{\xi_{top}} \ar[rd] & a' \circ l^* \circ b \ar[d] \\ k^* \circ k_* \circ a' \circ b' \circ m^* \ar[uu]_{\xi_{rect}} \ar[ddrr] & k^*\circ k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \circ m^* \ar[u]_{\xi_{bot}} \ar[l] \ar[dr] & a' \circ l^* \circ b \circ m_* \circ m^* \\ & & a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \circ m^* \ar[u]_{\xi_{bot}} \ar[d] \\ & & a' \circ b' \circ m^* }\] En descendant du côté droit, nous obtenons le composé, et en descendant du côté gauche, nous obtenons \(\gamma_{rect}\). Tous les quadrilatères du côté droit de ce diagramme sont commutatifs d’après Catégories, Lemme 003F, ou, plus simplement, d’après la discussion qui précède Catégories, Définition 003E. Il suffit donc de montrer que le diagramme \[\xymatrix{ a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* & a \circ b \circ m_* \ar[l] \\ k_* \circ a' \circ l^* \circ b \circ m_* \ar[u]_{\xi_{top}} & \\ k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[u]_{\xi_{bot}} \ar[r] & k_* \circ a' \circ b' \ar[uu]_{\xi_{rect}} }\] devient commutatif lorsque nous inversons les flèches \(\xi_{top}\), \(\xi_{bot}\) et \(\xi_{rect}\) (noter que cela diffère du fait de demander que le diagramme soit commutatif). Cependant, le diagramme \[\xymatrix{ & a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* \\ a \circ l_* \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[ru]^{\xi_{bot}} & & k_* \circ a' \circ l^* \circ b \circ m_* \ar[ul]_{\xi_{top}} \\ & k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[ul]^{\xi_{top}} \ar[ur]_{\xi_{bot}} }\] est commutatif d’après Catégories, Lemme 003F. Puisque les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ a \circ l_* \circ l^* \circ b \circ m_* & a \circ b \circ m \ar[l] \\ a \circ l_* \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[u] & a \circ l_* \circ b' \ar[l] \ar[u] } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ a \circ l_* \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[r] & a \circ l_* \circ b' \\ k_* \circ a' \circ l^* \circ l_* \circ b' \ar[u] \ar[r] & k_* \circ a' \circ b' \ar[u] } }\] sont commutatifs (voir les références citées) et puisque le composé de \(l_* \to l_* \circ l^* \circ l_* \to l_*\) est l’identité, nous trouvons qu’il suffit de démontrer que \[k \circ a' \circ b' \xrightarrow{\xi_{bot}} a \circ l_* \circ b \xrightarrow{\xi_{top}} a \circ b \circ m_*\] est égal à \(\xi_{rect}\) (via les identifications \(a \circ b = c\) et \(a' \circ b' = c'\)). C’est l’assertion duale de Cohomologie sur les sites, Remarque 0E46, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_g \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{h'} & Y' \ar[r]^h & Y }\] d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\), dans lequel les deux carrés sont cartésiens, et où \(f\) et \(h\) ainsi que \(f'\) et \(h'\) sont indépendants au sens de Tor. Alors les morphismes (0E5D) des deux carrés se composent pour donner le morphisme de changement de base du rectangle extérieur (voir la démonstration pour un énoncé précis).

Démonstration

Il résulte des hypothèses que \(f\) et \(h \circ h'\) sont indépendants au sens de Tor (nous omettons les détails), de sorte que l’énoncé a un sens. Dans cette démonstration, nous écrivons \(g^*\) à la place de \(Lg^*\) et \(f_*\) à la place de \(Rf_*\). Soient \(a\), \(a'\) et \(a''\) les adjoints à droite du Lemme 0E55 pour \(f\), \(f'\) et \(f''\). La flèche correspondant au carré de droite est le composé \[\gamma_{right} : g^* \circ a \to g^* \circ a \circ h_* \circ h^* \xleftarrow{\xi_{right}} g^* \circ g_* \circ a' \circ h^* \to a' \circ h^*\] où \(\xi_{right} : g_* \circ a' \to a \circ h_*\) est un isomorphisme (et peut donc être inversé) et est la flèche « duale » du morphisme de changement de base \(h^* \circ f_* \to f'_* \circ g^*\). Les flèches extérieures proviennent des morphismes canoniques \(1 \to h_* \circ h^*\) et \(g^* \circ g_* \to 1\). De même, pour le carré de gauche, nous avons \[\gamma_{left} : (g')^* \circ a' \to (g')^* \circ a' \circ (h')_* \circ (h')^* \xleftarrow{\xi_{left}} (g')^* \circ (g')_* \circ a'' \circ (h')^* \to a'' \circ (h')^*\] Pour le rectangle extérieur, nous obtenons \[\gamma_{rect} : k^* \circ a \to k^* \circ a \circ m_* \circ m^* \xleftarrow{\xi_{rect}} k^* \circ k_* \circ a'' \circ m^* \to a'' \circ m^*\] où \(k = g \circ g'\) et \(m = h \circ h'\). Nous avons \(k^* = (g')^* \circ g^*\) et \(m^* = (h')^* \circ h^*\). L’assertion du lemme est que \(\gamma_{rect}\) est égal au composé \[k^* \circ a = (g')^* \circ g^* \circ a \xrightarrow{\gamma_{right}} (g')^* \circ a' \circ h^* \xrightarrow{\gamma_{left}} a'' \circ (h')^* \circ h^* = a'' \circ m^*\] Pour le voir, considérons le diagramme suivant : \[\xymatrix{ & (g')^* \circ g^* \circ a \ar[d] \ar[ddl] \\ & (g')^* \circ g^* \circ a \circ h_* \circ h^* \ar[ld] \\ (g')^* \circ g^* \circ a \circ h_* \circ (h')_* \circ (h')^* \circ h^* & (g')^* \circ g^* \circ g_* \circ a' \circ h^* \ar[u]_{\xi_{right}} \ar[d] \ar[ld] \\ (g')^* \circ g^* \circ g_* \circ a' \circ (h')_* \circ (h')^* \circ h^* \ar[u]_{\xi_{right}} \ar[dr] & (g')^* \circ a' \circ h^* \ar[d] \\ (g')^* \circ g^* \circ g_* \circ (g')_* \circ a'' \circ (h')^* \circ h^* \ar[u]_{\xi_{left}} \ar[ddr] \ar[dr] & (g')^* \circ a' \circ (h')_* \circ (h')^* \circ h^* \\ & (g')^*\circ (g')_* \circ a'' \circ (h')^* \circ h^* \ar[u]_{\xi_{left}} \ar[d] \\ & a'' \circ (h')^* \circ h^* }\] En descendant du côté droit, nous obtenons le composé, et en descendant du côté gauche, nous obtenons \(\gamma_{rect}\). Tous les quadrilatères du côté droit de ce diagramme sont commutatifs d’après Catégories, Lemme 003F, ou, plus simplement, d’après la discussion qui précède Catégories, Définition 003E. Nous voyons donc qu’il suffit de montrer que \[g_* \circ (g')_* \circ a'' \xrightarrow{\xi_{left}} g_* \circ a' \circ (h')_* \xrightarrow{\xi_{right}} a \circ h_* \circ (h')_*\] est égal à \(\xi_{rect}\). C’est l’assertion duale de Cohomologie, Remarque 0ATM, ce qui achève la démonstration.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X'' \ar[r]_{k'} \ar[d]_{f''} & X' \ar[r]_k \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^{l'} \ar[d]_{g''} & Y' \ar[r]^l \ar[d]_{g'} & Y \ar[d]^g \\ Z'' \ar[r]^{m'} & Z' \ar[r]^m & Z }\] d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\), dans lequel tous les carrés sont cartésiens et où \((f, l)\), \((g, m)\), \((f', l')\), \((g', m')\) sont des paires de morphismes indépendants au sens de Tor. Soient \(a\), \(a'\), \(a''\), \(b\), \(b'\) et \(b''\) les adjoints à droite du Lemme 0E55 pour \(f\), \(f'\), \(f''\), \(g\), \(g'\) et \(g''\). Étiquetons les carrés du diagramme \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) comme suit : \[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\] Les morphismes (0E5D) des carrés sont alors les suivants (où nous utilisons \(k^* = Lk^*\), etc.) : \[\begin{matrix} \gamma_A : (k')^* \circ a' \to a'' \circ (l')^* & \gamma_B : k^* \circ a \to a' \circ l^* \\ \gamma_C : (l')^* \circ b' \to b'' \circ (m')^* & \gamma_D : l^* \circ b \to b' \circ m^* \end{matrix}\] Pour les rectangles \(2 \times 1\) et \(1 \times 2\), nous avons quatre autres morphismes de changement de base : \[\begin{matrix} \gamma_{A + B} : (k \circ k')^* \circ a \to a'' \circ (l \circ l')^* \\ \gamma_{C + D} : (l \circ l')^* \circ b \to b'' \circ (m \circ m')^* \\ \gamma_{A + C} : (k')^* \circ (a' \circ b') \to (a'' \circ b'') \circ (m')^* \\ \gamma_{A + C} : k^* \circ (a \circ b) \to (a' \circ b') \circ m^* \end{matrix}\] D’après le Lemme 0E5F, nous avons \[\gamma_{A + B} = \gamma_A \circ \gamma_B, \quad \gamma_{C + D} = \gamma_C \circ \gamma_D\] et d’après le Lemme 0E5E, nous avons \[\gamma_{A + C} = \gamma_C \circ \gamma_A, \quad \gamma_{B + D} = \gamma_D \circ \gamma_B\] Il serait plus correct d’écrire ici \(\gamma_{A + B} = (\gamma_A \star \text{id}_{l^*}) \circ (\text{id}_{(k')^*} \star \gamma_B)\) avec les notations de Catégories, section 003D, et de même pour les autres. Nous continuons toutefois à employer l’abus de notation des démonstrations des Lemmes 0E5E et 0E5F, qui consiste à omettre les produits \(\star\) avec les identités, car on peut déterminer ceux qu’il faut ajouter dès que la source et le but de la transformation sont connus. Cela étant dit, nous trouvons (a priori) deux transformations \[(k')^* \circ k^* \circ a \circ b \longrightarrow a'' \circ b'' \circ (m')^* \circ m^*\] à savoir \[\gamma_C \circ \gamma_A \circ \gamma_D \circ \gamma_B = \gamma_{A + C} \circ \gamma_{B + D}\] et \[\gamma_C \circ \gamma_D \circ \gamma_A \circ \gamma_B = \gamma_{C + D} \circ \gamma_{A + B}\] Le but de cette remarque est de signaler que ces transformations sont égales. Pour le voir, il suffit en effet de montrer que \[\xymatrix{ (k')^* \circ a' \circ l^* \circ b \ar[r]_{\gamma_D} \ar[d]_{\gamma_A} & (k')^* \circ a' \circ b' \circ m^* \ar[d]^{\gamma_A} \\ a'' \circ (l')^* \circ l^* \circ b \ar[r]^{\gamma_D} & a'' \circ (l')^* \circ b' \circ m^* }\] est commutatif. Cela résulte de Catégories, Lemme 003F, ou, plus simplement, de la discussion qui précède Catégories, Définition 003E.

Adjoint à droite de l’image directe et changement de base, II

Dans cette section, nous démontrons que le morphisme de changement de base de la section 0E5A est un isomorphisme dans certains cas.

Lemme

Dans le diagramme (0E5B), supposons en outre que \(g : Y' \to Y\) soit un morphisme de schémas affines et que \(f : X \to Y\) soit propre. Alors le morphisme de changement de base (0E5D) induit un isomorphisme \[L(g')^*a(K) \longrightarrow a'(Lg^*K)\] dans les cas suivants :

1. pour tout \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) si \(f\) est plat et de présentation finie,

2. pour tout \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) si \(f\) est parfait et \(Y\) noethérien,

3. pour \(K \in D_\QCoh^+(\mathcal{O}_X)\) si \(g\) est de dimension de Tor finie et \(Y\) est noethérien.

Démonstration

Écrivons \(Y = \Spec(A)\) et \(Y' = \Spec(A')\). Comme changement de base d’un morphisme affine, le morphisme \(g'\) est affine. Soit \(M\) un générateur parfait de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), voir Catégories dérivées des espaces, Théorème 09IY. Alors \(L(g')^*M\) est un générateur de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\), voir Catégories dérivées des espaces, Remarque 0E4R. Il suffit donc de montrer que (0E5D) induit un isomorphisme [0E5J]\[\begin{equation} R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*a(K)) \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, a'(Lg^*K)) \end{equation}\] de complexes de Hom globaux, voir Cohomologie sur les sites, section 0B6E, car cela impliquera que le cône de \(L(g')^*a(K) \to a'(Lg^*K)\) est nul. La démonstration est structurée comme suit : nous montrerons d’abord que ces complexes de Hom sont isomorphes et, dans sa dernière partie, que l’isomorphisme est induit par (0E5J).

Le membre de gauche. Comme \(M\) est parfait, le morphisme canonique \[R\Hom_X(M, a(K)) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*a(K))\] est un isomorphisme d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0E4S. En le combinant avec l’isomorphisme \(R\Hom_Y(Rf_*M, K) = R\Hom_X(M, a(K))\) du Lemme 0E59, nous obtenons que le membre de gauche est égal à \(R\Hom_Y(Rf_*M, K) \otimes^\mathbf{L}_A A'\).

Le membre de droite. Nous utilisons d’abord ici l’isomorphisme \[R\Hom_{X'}(L(g')^*M, a'(Lg^*K)) = R\Hom_{Y'}(Rf'_*L(g')^*M, Lg^*K)\] du Lemme 0E59. Comme \(f\) et \(g\) sont indépendants au sens de Tor, le morphisme de changement de base \(Lg^*Rf_*M \to Rf'_*L(g')^*M\) est un isomorphisme d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 08IR. Nous pouvons donc le réécrire sous la forme \(R\Hom_{Y'}(Lg^*Rf_*M, Lg^*K)\). Comme \(Y\), \(Y'\) sont affines et que \(K\), \(Rf_*M\) appartiennent à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) (Catégories dérivées des espaces, Lemme 08FA), nous avons un morphisme canonique \[\beta : R\Hom_Y(Rf_*M, K) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Hom_{Y'}(Lg^*Rf_*M, Lg^*K)\] dans \(D(A')\). C’est la flèche de Compléments d’algèbre, Équation (0E1X), où nous avons utilisé Catégories dérivées des schémas, Lemmes 06Z0 et 0A6H, pour passer de la géométrie à l’algèbre et réciproquement.

1. Si \(f\) est plat et de présentation finie, le complexe \(Rf_*M\) est parfait sur \(Y\) d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CTM, et \(\beta\) est un isomorphisme d’après Compléments d’algèbre, Lemme 0A6A, partie (1).

2. Si \(f\) est parfait et \(Y\) noethérien, le complexe \(Rf_*M\) est parfait sur \(Y\) d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 0E4U, et \(\beta\) est un isomorphisme comme précédemment.

3. Si \(g\) est de dimension de Tor finie et \(Y\) est noethérien, le complexe \(Rf_*M\) est pseudo-cohérent sur \(Y\) (Catégories dérivées des espaces, Lemmes 08GK et 08IK), et \(\beta\) est un isomorphisme d’après Compléments d’algèbre, Lemme 0A6A, partie (4).

Nous concluons que nous obtenons le même résultat que dans le paragraphe précédent.

Dans la suite de la démonstration, nous montrons que les identifications des membres de gauche et de droite de (0E5J) données dans les deuxième et troisième paragraphes sont effectivement données par (0E5J). Pour que nos formules restent maniables, nous noterons \((-, -)_X = R\Hom_X(-, -)\), écrirons \(- \otimes A'\) à la place de \(- \otimes_A^\mathbf{L} A'\), et abrégerons \(g^* = Lg^*\) et \(f_* = Rf_*\). Considérons le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ ((g')^*M, (g')^*a(K))_{X'} \ar[d] & (M, a(K))_X \otimes A' \ar[l]^-\alpha \ar[d] & (f_*M, K)_Y \otimes A' \ar@{=}[l] \ar[d] \\ ((g')^*M, (g')^*a(g_*g^*K))_{X'} & (M, a(g_*g^*K))_X \otimes A' \ar[l]^-\alpha & (f_*M, g_*g^*K)_Y \otimes A' \ar@{=}[l] \ar@/_4pc/[dd]_{\mu'} \\ ((g')^*M, (g')^*g'_*a'(g^*K))_{X'} \ar[u] \ar[d] & (M, g'_*a'(g^*K))_X \otimes A' \ar[u] \ar[l]^-\alpha \ar[ld]^\mu & (f_*M, K) \otimes A' \ar[d]^\beta \\ ((g')^*M, a'(g^*K))_{X'} & (f'_*(g')^*M, g^*K)_{Y'} \ar@{=}[l] \ar[r] & (g^*f_*M, g^*K)_{Y'} }\] Les flèches étiquetées \(\alpha\) sont les morphismes de Catégories dérivées des espaces, Lemme 0E4S, pour le diagramme de sommets \(X', X, Y', Y\). La partie supérieure du diagramme est commutative, car les flèches horizontales sont fonctorielles en leurs arguments. Les flèches verticales du milieu proviennent de la transformation inversible \(g'_* \circ a' \to a \circ g_*\) du Lemme 0E5C, et le carré médian est donc commutatif. Descendre le long du côté gauche donne (0E5J). Les flèches horizontales supérieures donnent les identifications utilisées dans le deuxième paragraphe de la démonstration. Les flèches horizontales inférieures, y compris \(\beta\), donnent les identifications utilisées dans le troisième paragraphe de la démonstration. Étant donnés \(E \in D(A)\), \(E' \in D(A')\) et \(c : E \to E'\) dans \(D(A)\), nous noterons \(\mu_c : E \otimes A' \to E'\) le morphisme induit par \(c\) et par l’adjonction entre restriction et changement de base ; si \(c\) est clair, nous écrivons \(\mu = \mu_c\), c’est-à-dire que nous omettons \(c\) de la notation. Le morphisme \(\mu\) du diagramme est de cette forme, avec \(c\) donné par l’identification \((M, g'_*a(g^*K))_X = ((g')^*M, a'(g^*K))_{X'}\) ; le triangle contenant \(\mu\) est commutatif d’après Catégories dérivées des espaces, Remarque 0E4T.

Observons que \[\xymatrix{ (M, a(g_*g^*K))_X & (f_*M, g_* g^*K)_Y \ar@{=}[l] & (g^*f_*M, g^*K)_{Y'} \ar@{=}[l] \\ (M, g'_* a'(g^*K))_X \ar[u] & ((g')^*M, a'(g^*K))_{X'} \ar@{=}[l] & (f'_*(g')^*M, g^*K)_{Y'} \ar@{=}[l] \ar[u] }\] est commutatif par la définition même de la transformation \(g'_* \circ a' \to a \circ g_*\). Si \(\mu'\) désigne, comme ci-dessus, le morphisme correspondant à l’identification \((f_*M, g_*g^*K)_X = (g^*f_*M, g^*K)_{Y'}\), alors l’hexagone est lui aussi commutatif. Il suffit donc de montrer que \(\beta\) est égal au composé de \((f_*M, K)_Y \otimes A' \to (f_*M, g_*g^*K)_X \otimes A'\) et de \(\mu'\). Pour cela, il suffit de démontrer que les deux morphismes induits \((f_*M, K)_Y \to (g^*f_*M, g^*K)_{Y'}\) sont égaux. Autrement dit, il suffit de montrer que le diagramme \[\xymatrix{ R\Hom_A(E, K) \ar[rr]_{\text{induit par }\beta} \ar[rd] & & R\Hom_{A'}(E \otimes_A^\mathbf{L} A', K \otimes_A^\mathbf{L} A') \\ & R\Hom_A(E, K \otimes_A^\mathbf{L} A') \ar[ru] }\] est commutatif pour tous \(E, K \in D(A)\). Puisque c’est ainsi que \(\beta\) est construit dans Compléments d’algèbre, section 0E1V, la démonstration est achevée.

Adjoint à droite de l’image directe et morphismes trace

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\). Soit \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) l’adjoint à droite du Lemme 0E55. D’après Catégories, section 0036, nous obtenons une transformation de foncteurs \[\text{Tr}_f : Rf_* \circ a \longrightarrow \text{id}\] Le morphisme correspondant \(\text{Tr}_{f, K} : Rf_*a(K) \longrightarrow K\) pour \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est parfois appelé le morphisme trace. C’est le morphisme ayant la propriété que la bijection \[\Hom_X(L, a(K)) \longrightarrow \Hom_Y(Rf_*L, K)\] pour \(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) qui caractérise l’adjoint à droite est donnée par \[\varphi \longmapsto \text{Tr}_{f, K} \circ Rf_*\varphi\] Le morphisme canonique (0E57) \[Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(L, a(K)) \longrightarrow R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*L, K)\] est obtenu par composition avec \(\text{Tr}_{f, K}\). Tout morphisme trace que nous considérerons dans cette section sera un cas particulier de celui-ci. Avant d’en étudier quelques cas particuliers, nous montrons que la formation du morphisme trace commute au changement de base.

Lemme

Supposons donné un diagramme (0E5B). Alors les morphismes \(1 \star \text{Tr}_f : Lg^* \circ Rf_* \circ a \to Lg^*\) et \(\text{Tr}_{f'} \star 1 : Rf'_* \circ a' \circ Lg^* \to Lg^*\) coïncident via les morphismes de changement de base \(\beta : Lg^* \circ Rf_* \to Rf'_* \circ L(g')^*\) (Cohomologie sur les sites, Remarque 07A7) et \(\alpha : L(g')^* \circ a \to a' \circ Lg^*\) (0E5D). Plus précisément, le diagramme \[\xymatrix{ Lg^* \circ Rf_* \circ a \ar[d]_{\beta \star 1} \ar[r]_-{1 \star \text{Tr}_f} & Lg^* \\ Rf'_* \circ L(g')^* \circ a \ar[r]^{1 \star \alpha} & Rf'_* \circ a' \circ Lg^* \ar[u]_{\text{Tr}_{f'} \star 1} }\] de transformations de foncteurs est commutatif.

Démonstration

Dans cette démonstration, nous écrivons \(f_*\) pour \(Rf_*\) et \(g^*\) pour \(Lg^*\), et nous omettons les produits \(\star\) avec les identités, puisqu’on peut déterminer ceux qu’il faut ajouter dès que la source et le but de la transformation sont connus. Rappelons que \(\beta : g^* \circ f_* \to f'_* \circ (g')^*\) est un isomorphisme et que \(\alpha\) est défini à l’aide de l’isomorphisme \(\beta^\vee : g'_* \circ a' \to a \circ g_*\), qui est l’adjoint de \(\beta\) ; voir le Lemme 0E5C et sa démonstration. Remarquons d’abord que la flèche horizontale supérieure du diagramme du lemme est égale au composé \[g^* \circ f_* \circ a \to g^* \circ f_* \circ a \circ g_* \circ g^* \to g^* \circ g_* \circ g^* \to g^*\] où la première flèche est l’unité de \((g^*, g_*)\), la deuxième flèche est \(\text{Tr}_f\), et la troisième est la co-unité de \((g^*, g_*)\). C’est une conséquence immédiate du fait que le composé \(g^* \to g^* \circ g_* \circ g^* \to g^*\) de l’unité et de la co-unité est l’identité. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ & g^* \circ f_* \circ a \ar[ld]_\beta \ar[d] \ar[r]_{\text{Tr}_f} & g^* \\ f'_* \circ (g')^* \circ a \ar[dr] & g^* \circ f_* \circ a \circ g_* \circ g^* \ar[d]_\beta \ar[ru] & g^* \circ f_* \circ g'_* \circ a' \circ g^* \ar[l]_{\beta^\vee} \ar[d]_\beta & f'_* \circ a' \circ g^* \ar[lu]_{\text{Tr}_{f'}} \\ & f'_* \circ (g')^* \circ a \circ g_* \circ g^* & f'_* \circ (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ g^* \ar[ru] \ar[l]_{\beta^\vee} }\] Dans ce diagramme, les deux carrés sont commutatifs d’après Catégories, Lemme 003F, ou, plus simplement, d’après la discussion qui précède Catégories, Définition 003E. Le triangle est commutatif d’après la discussion ci-dessus. D’après Catégories, Lemme 0B65, le carré \[\xymatrix{ g^* \circ f_* \circ g'_* \circ a' \ar[d]_{\beta^\vee} \ar[r]_-\beta & f'_* \circ (g')^* \circ g'_* \circ a' \ar[d] \\ g^* \circ f_* \circ a \circ g_* \ar[r] & \text{id} }\] est commutatif, ce qui implique que le pentagone du grand diagramme est commutatif. Comme \(\beta\) et \(\beta^\vee\) sont des isomorphismes, et comme le parcours du bord extérieur du grand diagramme est égal à \(\text{Tr}_f \circ \alpha \circ \beta\) par définition, cela démontre le lemme.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\). Soit \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) l’adjoint à droite de \(Rf_*\) comme dans le Lemme 0E55. D’après Catégories, section 0036, nous obtenons une transformation de foncteurs \[\eta_f : \text{id} \to a \circ Rf_*\] appelée l’unité de l’adjonction.

Lemme

Supposons donné un diagramme (0E5B). Alors les morphismes \(1 \star \eta_f : L(g')^* \to L(g')^* \circ a \circ Rf_*\) et \(\eta_{f'} \star 1 : L(g')^* \to a' \circ Rf'_* \circ L(g')^*\) coïncident via les morphismes de changement de base \(\beta : Lg^* \circ Rf_* \to Rf'_* \circ L(g')^*\) (Cohomologie sur les sites, Remarque 07A7) et \(\alpha : L(g')^* \circ a \to a' \circ Lg^*\) (0E5D). Plus précisément, le diagramme \[\xymatrix{ L(g')^* \ar[r]_-{1 \star \eta_f} \ar[d]_{\eta_{f'} \star 1} & L(g')^* \circ a \circ Rf_* \ar[d]^\alpha \\ a' \circ Rf'_* \circ L(g')^* & a' \circ Lg^* \circ Rf_* \ar[l]_-\beta }\] de transformations de foncteurs est commutatif.

Démonstration

Cette démonstration est duale de celle du Lemme 0E5L. Dans cette démonstration, nous écrivons \(f_*\) pour \(Rf_*\) et \(g^*\) pour \(Lg^*\), et nous omettons les produits \(\star\) avec les identités, puisqu’on peut déterminer ceux qu’il faut ajouter dès que la source et le but de la transformation sont connus. Rappelons que \(\beta : g^* \circ f_* \to f'_* \circ (g')^*\) est un isomorphisme et que \(\alpha\) est défini à l’aide de l’isomorphisme \(\beta^\vee : g'_* \circ a' \to a \circ g_*\), qui est l’adjoint de \(\beta\) ; voir le Lemme 0E5C et sa démonstration. Remarquons d’abord que la flèche verticale gauche du diagramme du lemme est égale au composé \[(g')^* \to (g')^* \circ g'_* \circ (g')^* \to (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ f'_* \circ (g')^* \to a' \circ f'_* \circ (g')^*\] où la première flèche est l’unité de \(((g')^*, g'_*)\), la deuxième flèche est \(\eta_{f'}\), et la troisième est la co-unité de \(((g')^*, g'_*)\). C’est une conséquence immédiate du fait que le composé \((g')^* \to (g')^* \circ (g')_* \circ (g')^* \to (g')^*\) de l’unité et de la co-unité est l’identité. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ & (g')^* \circ a \circ f_* \ar[r] & (g')^* \circ a \circ g_* \circ g^* \circ f_* \ar[ld]_\beta \\ (g')^* \ar[ru]^{\eta_f} \ar[dd]_{\eta_{f'}} \ar[rd] & (g')^* \circ a \circ g_* \circ f'_* \circ (g')^* & (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ g^* \circ f_* \ar[u]_{\beta^\vee} \ar[ld]_\beta \ar[d] \\ & (g')^* \circ g'_* \circ a' \circ f'_* \circ (g')^* \ar[ld] \ar[u]_{\beta^\vee} & a' \circ g^* \circ f_* \ar[lld]^\beta \\ a' \circ f'_* \circ (g')^* }\] Dans ce diagramme, les deux carrés sont commutatifs d’après Catégories, Lemme 003F, ou, plus simplement, d’après la discussion qui précède Catégories, Définition 003E. Le triangle est commutatif d’après la discussion ci-dessus. D’après le dual de Catégories, Lemme 0B65, le carré \[\xymatrix{ \text{id} \ar[r] \ar[d] & g'_* \circ a' \circ g^* \circ f_* \ar[d]^\beta \\ g'_* \circ a' \circ g^* \circ f_* \ar[r]^{\beta^\vee} & a \circ g_* \circ f'_* \circ (g')^* }\] est commutatif, ce qui implique que le pentagone du grand diagramme est commutatif. Comme \(\beta\) et \(\beta^\vee\) sont des isomorphismes, et comme le parcours du bord extérieur du grand diagramme est égal à \(\beta \circ \alpha \circ \eta_f\) par définition, cela démontre le lemme.

Adjoint à droite de l’image directe et image réciproque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\). Soit \(a\) l’adjoint à droite de l’image directe, comme dans le Lemme 0E55. Pour \(K, L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), il existe un morphisme canonique \[Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L) \longrightarrow a(K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} L)\] Ce morphisme est en effet adjoint d’un morphisme \[Rf_*(Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L)) = K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} Rf_*(a(L)) \longrightarrow K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} L\] (l’égalité résulte de Catégories dérivées des espaces, Lemme 08IN), pour lequel nous utilisons le morphisme trace \(Rf_*a(L) \to L\). Lorsque \(L = \mathcal{O}_Y\), nous obtenons un morphisme [0E5P]\[\begin{equation} Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(\mathcal{O}_Y) \longrightarrow a(K) \end{equation}\] fonctoriel en \(K\) et compatible aux triangles distingués.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\). Le morphisme \(Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L) \to a(K \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} L)\) défini ci-dessus pour \(K, L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est un isomorphisme si \(K\) est parfait. En particulier, (0E5P) est un isomorphisme si \(K\) est parfait.

Démonstration

Soit \(K^\vee\) le « dual » de \(K\), voir Cohomologie sur les sites, Lemme 08JJ. Pour \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), nous avons \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*M, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} L) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}( Rf_*M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_Y} K^\vee, L) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}( M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} Lf^*K^\vee, a(L)) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(M, Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(L)) \end{align*}\] La deuxième égalité résulte de la définition de \(a\) et de la formule de projection (Cohomologie sur les sites, Lemme 0944), ou du résultat plus général Catégories dérivées des espaces, Lemme 08IN. Le résultat découle donc du lemme de Yoneda.

Lemme

Supposons donné un diagramme (0E5B). Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Le diagramme \[\xymatrix{ L(g')^*(Lf^*K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} a(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] \ar[d] & L(g')^*a(K) \ar[d] \\ L(f')^*Lg^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X'}}^\mathbf{L} a'(\mathcal{O}_{Y'}) \ar[r] & a'(Lg^*K) }\] est commutatif, où les flèches horizontales sont les morphismes (0E5P) pour \(K\) et \(Lg^*K\), et où les flèches verticales sont construites à l’aide de Cohomologie sur les sites, Remarque 07A7, et de (0E5D).

Démonstration

Dans cette démonstration, nous écrirons \(f_*\) pour \(Rf_*\) et \(f^*\) pour \(Lf^*\), etc., et nous écrirons \(\otimes\) pour \(\otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X}\), etc. Écrivons (0E5P) comme le composé \[\begin{align*} f^*K \otimes a(\mathcal{O}_Y) & \to a(f_*(f^*K \otimes a(\mathcal{O}_Y))) \\ & \leftarrow a(K \otimes f_*a(\mathcal{O}_K)) \\ & \to a(K \otimes \mathcal{O}_Y) \\ & \to a(K) \end{align*}\] Ici, la première flèche est l’unité \(\eta_f\), la deuxième est l’image par \(a\) de Cohomologie sur les sites, Équation (0B56), qui est un isomorphisme d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 08IN ; la troisième flèche est l’image par \(a\) de \(\text{id}_K \otimes \text{Tr}_f\), et la quatrième est l’image par \(a\) de l’isomorphisme \(K \otimes \mathcal{O}_Y = K\). La démonstration du lemme consiste à montrer que chacun de ces morphismes donne un carré commutatif comme dans l’énoncé du lemme. Pour \(\eta_f\) et \(\text{Tr}_f\), cela résulte des Lemmes 0E5M et 0E5L. Pour la flèche qui utilise Cohomologie sur les sites, Équation (0B56), cela résulte de Cohomologie sur les sites, Remarque 0E48. Pour le morphisme de multiplication, c’est clair. Cela achève la démonstration.

Adjoint à droite de l’image directe pour les morphismes propres et plats

Pour les morphismes propres, plats et de présentation finie entre espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés, l’adjoint à droite de l’image directe possède quelques propriétés remarquables.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques propre, plat et de présentation finie. Soit \(a\) l’adjoint à droite de \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) du Lemme 0E55. Alors \(a\) commute aux sommes directes.

Démonstration

Soit \(P\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\). D’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CTM, le complexe \(Rf_*P\) est parfait sur \(Y\). Soit \(K_i\) une famille d’objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Alors \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, a(\bigoplus K_i)) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*P, \bigoplus K_i) \\ & = \bigoplus \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(Rf_*P, K_i) \\ & = \bigoplus \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, a(K_i)) \end{align*}\] car un objet parfait est compact (Catégories dérivées des espaces, Proposition 09M8). Comme \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) possède un générateur parfait (Catégories dérivées des espaces, Théorème 09IY), nous concluons que le morphisme \(\bigoplus a(K_i) \to a(\bigoplus K_i)\) est un isomorphisme, c’est-à-dire que \(a\) commute aux sommes directes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques propre, plat et de présentation finie. Le morphisme (0E5P) est un isomorphisme pour tout objet \(K\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

D’après le Lemme 0E5T, nous savons que \(a\) commute aux sommes directes. La collection des objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) pour lesquels (0E5P) est un isomorphisme est donc une sous-catégorie strictement pleine, saturée et triangulée de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), qui est en outre stable par sommes directes. Comme \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est une catégorie de modules (Catégories dérivées des espaces, Théorème 09MC) engendrée par un unique objet parfait (Catégories dérivées des espaces, Théorème 09IY), nous pouvons raisonner comme dans Compléments d’algèbre, Remarque 09PB, pour voir qu’il suffit de démontrer que (0E5P) est un isomorphisme pour un seul objet parfait. Or le résultat vaut pour les objets parfaits, voir Lemme 0E5Q.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma affine. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques propre, plat et de présentation finie. Soit \(a\) l’adjoint à droite de \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) du Lemme 0E55. Alors

1. \(a(\mathcal{O}_Y)\) est un objet \(Y\)-parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\),

2. les faisceaux de cohomologie de \(Rf_*a(\mathcal{O}_Y)\) sont nuls en degrés positifs,

3. \(\mathcal{O}_X \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y))\) est un isomorphisme.

Démonstration

Pour un objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), nous avons \[\begin{align*} Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \omega_{X/Y}^\bullet) & = Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E^\vee, \omega_{X/Y}^\bullet) \\ & = R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*E^\vee, \mathcal{O}_Y) \\ & = (Rf_*E^\vee)^\vee \end{align*}\] Pour la première égalité, voir Cohomologie sur les sites, Lemme 08JJ. Pour la deuxième égalité, voir le Lemme 0E58, la Remarque 0GG4, et Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CTM. La troisième égalité est la définition du dual. En particulier, ces références montrent aussi que le résultat est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_Y)\). Nous concluons que \(\omega_{X/Y}^\bullet\) est \(Y\)-parfait d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 0GFL. Cela démontre (1).

Soit \(M\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Alors \[\begin{align*} \Hom_Y(M, Rf_*a(\mathcal{O}_Y)) & = \Hom_X(Lf^*M, a(\mathcal{O}_Y)) \\ & = \Hom_Y(Rf_*Lf^*M, \mathcal{O}_Y) \\ & = \Hom_Y(M \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) \end{align*}\] La première égalité résulte de Cohomologie sur les sites, Lemme 07A6. La deuxième égalité résulte de la construction de \(a\). La troisième égalité résulte de Catégories dérivées des espaces, Lemme 08IN. Rappelons que \(Rf_*\mathcal{O}_X\) est parfait, d’amplitude de Tor dans \([0, N]\) pour un certain \(N\), voir Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CTM. Nous pouvons donc représenter \(Rf_*\mathcal{O}_X\) par un complexe de modules projectifs finis placé en degrés \([0, N]\) (en utilisant Compléments d’algèbre, Lemme 0658, et le fait que \(Y\) est affine). Ainsi, si \(M = \mathcal{O}_Y[-i]\) pour un certain \(i > 0\), le dernier groupe est nul. Comme \(Y\) est affine, nous concluons que \(H^i(Rf_*a(\mathcal{O}_Y)) = 0\) pour \(i > 0\). Cela démontre (2).

Soit \(E\) un objet parfait de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Alors nous avons \[\begin{align*} \Hom_X(E, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y)) & = \Hom_X(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y)) \\ & = \Hom_Y(Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} a(\mathcal{O}_Y)), \mathcal{O}_Y) \\ & = \Hom_Y(Rf_*(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E^\vee, a(\mathcal{O}_Y))), \mathcal{O}_Y) \\ & = \Hom_Y(R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*E^\vee, \mathcal{O}_Y), \mathcal{O}_Y) \\ & = R\Gamma(Y, Rf_*E^\vee) \\ & = \Hom_X(E, \mathcal{O}_X) \end{align*}\] La première égalité résulte de Cohomologie sur les sites, Lemme 08J9. La deuxième égalité est la définition de \(a\). La troisième égalité provient de la construction du complexe parfait dual \(E^\vee\), voir Cohomologie sur les sites, Lemme 08JJ. La quatrième égalité résulte de l’égalité \(Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E^\vee, \omega_{X/Y}^\bullet) = R\SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(Rf_*E^\vee, \mathcal{O}_Y)\) démontrée dans le premier paragraphe de la preuve. La cinquième égalité résulte de la bidualité pour les complexes parfaits (Cohomologie sur les sites, Lemme 08JJ) et du fait que \(Rf_*E\) est parfait d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CTM. La dernière égalité est la suite spectrale de Leray pour \(f\). Cette suite d’égalités montre essentiellement que (3) vaut d’après le lemme de Yoneda. En effet, l’objet \(R\SheafHom(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y))\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0A8A. En prenant \(E = \mathcal{O}_X\) ci-dessus, nous obtenons un morphisme \(\alpha : \mathcal{O}_X \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a(\mathcal{O}_Y), a(\mathcal{O}_Y))\) correspondant à \(\text{id}_{\mathcal{O}_X} \in \Hom_X(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\). Comme tous les isomorphismes ci-dessus sont fonctoriels en \(E\), nous voyons que le cône de \(\alpha\) est un objet \(C\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) tel que \(\Hom(E, C) = 0\) pour tout \(E\) parfait. Comme les objets parfaits engendrent (Catégories dérivées des espaces, Théorème 09IY), nous concluons que \(\alpha\) est un isomorphisme.

Complexes dualisants relatifs pour les morphismes propres et plats

Motivés par Dualité pour les schémas, sections 0E4H et 0E2S, ainsi que par les résultats de la section 0E5S, nous posons la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre et plat d’espaces algébriques sur \(S\), de présentation finie. Un complexe dualisant relatif pour \(X/Y\) est un couple \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) formé d’un objet \(Y\)-parfait \(\omega_{X/Y}^\bullet\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) et d’un morphisme \[\tau : Rf_*\omega_{X/Y}^\bullet \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] tel que, pour tout carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] où \(Y'\) est un schéma affine, le couple \((L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet, Lg^*\tau)\) soit isomorphe au couple \((a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\) étudié dans les sections 0E54, 0E5A, 0E5H, 0E5K, 0E5N et 0E5S.

Il convient de faire ici plusieurs remarques.

1. Dans la Définition 0E5X, on peut supprimer l’hypothèse que \(\omega_{X/Y}^\bullet\) est \(Y\)-parfait. En effet, en faisant parcourir à \(Y'\) les membres d’un recouvrement étale de \(Y\) par des affines, le Lemme 0E5V montre que les restrictions de \(\omega_{X/Y}^\bullet\) aux membres d’un recouvrement étale de \(X\) sont \(Y\)-parfaites, ce qui implique que \(\omega_{X/Y}^\bullet\) est \(Y\)-parfait ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0DKM.

2. Considérons un complexe dualisant relatif \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) et un carré cartésien comme dans la Définition 0E5X. Nous interpréterons l’existence de l’isomorphisme \((L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet, Lg^*\tau) \cong (a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\) comme suit : elle affirme que, pour tout \(M' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\), le morphisme \[\Hom_{X'}(M', L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet) \longrightarrow \Hom_{Y'}(Rf'_*M', \mathcal{O}_{Y'}),\quad \varphi' \longmapsto Lg^*\tau \circ Rf'_*\varphi'\] est un isomorphisme. Cela résulte de la définition de \(a'\) et de la discussion de la section 0E5K. En particulier, le lemme de Yoneda garantit l’unicité de l’isomorphisme.

3. Si \(Y\) est lui-même affine, alors un complexe dualisant relatif \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) existe et est canoniquement isomorphe à \((a(\mathcal{O}_Y), \text{Tr}_{f, \mathcal{O}_Y})\), où \(a\) est l’adjoint à droite de \(Rf_*\) comme dans le Lemme 0E55 et \(\text{Tr}_f\) est comme dans la section 0E5K. En effet, un diagramme comme dans la définition donne un isomorphisme \(L(g')^*a(\mathcal{O}_Y) \to a'(\mathcal{O}_{Y'})\) d’après le Lemme 0E5I, compatible aux morphismes trace d’après le Lemme 0E5L.

Cela fournit exactement les données nécessaires pour recoller les complexes dualisants relatifs donnés localement en un complexe global. Nous suggérons au lecteur de sauter les démonstrations des lemmes suivants.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme propre et plat d’espaces algébriques, de présentation finie. Si \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) est un complexe dualisant relatif, alors \(\mathcal{O}_X \to R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\omega_{X/Y}^\bullet, \omega_{X/Y}^\bullet)\) est un isomorphisme et les faisceaux de cohomologie de \(Rf_*\omega_{X/Y}^\bullet\) sont nuls en degrés positifs.

Démonstration

Il suffit de le démontrer après changement de base par un schéma affine étale sur \(Y\) ; cela résulte alors du Lemme 0E5V.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme propre et plat d’espaces algébriques, de présentation finie. Si \((\omega_j^\bullet, \tau_j)\), \(j = 1, 2\), sont deux complexes dualisants relatifs sur \(X/Y\), alors il existe un unique isomorphisme \((\omega_1^\bullet, \tau_1) \to (\omega_2^\bullet, \tau_2)\).

Démonstration

Considérons \(g : Y' \to Y\) étale, avec \(Y'\) un schéma affine, et notons \(X' = Y' \times_Y X\) le changement de base. D’après la Définition 0E5X et la discussion qui la suit, il existe un unique isomorphisme \(\iota : (\omega_1^\bullet|_{X'}, \tau_1|_{Y'}) \to (\omega_2^\bullet|_{X'}, \tau_2|_{Y'})\). Si \(Y'' \to Y'\) est un autre morphisme étale d’affines et \(X'' = Y'' \times_Y X\), alors \(\iota|_{X''}\) est l’unique isomorphisme \((\omega_1^\bullet|_{X''}, \tau_1|_{Y''}) \to (\omega_2^\bullet|_{X''}, \tau_2|_{Y''})\) (par unicité). De plus, nous avons \[\text{Ext}^p_{X'}(\omega_1^\bullet|_{X'}, \omega_2^\bullet|_{X'}) = 0, \quad p < 0\] car \(\mathcal{O}_{X'} \cong R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X'}}(\omega_1^\bullet|_{X'}, \omega_1^\bullet|_{X'}) \cong R\SheafHom_{\mathcal{O}_{X'}}(\omega_1^\bullet|_{X'}, \omega_2^\bullet|_{X'})\) d’après le Lemme 0E5Y.

Choisissons un hyperrecouvrement étale \(b : V \to Y\) tel que chaque \(V_n = \coprod_{i \in I_n} Y_{n, i}\), avec \(Y_{n, i}\) affine. C’est possible d’après Hyperrecouvrements, Lemme 0DAV et Remarque 0DB2 (pour remplacer l’hyperrecouvrement produit dans le lemme par celui qui possède des réunions disjointes en chaque degré). Notons \(X_{n, i} = Y_{n, i} \times_Y X\) et \(U_n = V_n \times_Y X\), de sorte que nous obtenons un hyperrecouvrement étale \(a : U \to X\) (Hyperrecouvrements, Lemme 0DAY) avec \(U_n = \coprod X_{n, i}\). Les hypothèses d’Espaces simpliciaux, Lemme 0DL9, sont satisfaites pour \(a : U \to X\) et les complexes \(\omega_1^\bullet\) et \(\omega_2^\bullet\). Nous obtenons donc un unique morphisme \(\iota : \omega_1^\bullet \to \omega_2^\bullet\) dont la restriction à \(X_{0, i}\) est l’unique isomorphisme \((\omega_1^\bullet|_{X_{0, i}}, \tau_1|_{Y_{0, i}}) \to (\omega_2^\bullet|_{X_{0, i}}, \tau_2|_{Y_{0, i}})\). Il reste à vérifier que le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*\omega_1^\bullet \ar[rd]_{\tau_1} \ar[rr]_{Rf_*\iota} & & Rf_*\omega_1^\bullet \ar[ld]^{\tau_2} \\ & \mathcal{O}_Y }\] est commutatif. Or nous savons que \(Rf_*\omega_1^\bullet\) et \(Rf_*\omega_2^\bullet\) ont leurs faisceaux de cohomologie nuls en degrés positifs (Lemme 0E5Y) ; cette commutativité peut donc se vérifier après restriction aux affines \(Y_{0, i}\), où elle vaut par construction.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme propre et plat d’espaces algébriques, de présentation finie. Soit \((\omega^\bullet, \tau)\) un couple formé d’un objet \(Y\)-parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) et d’un morphisme \(\tau : Rf_*\omega^\bullet \to \mathcal{O}_Y\). Supposons donnés des diagrammes cartésiens \[\xymatrix{ X_i \ar[r]_{g_i'} \ar[d]_{f_i} & X \ar[d]^f \\ Y_i \ar[r]^{g_i} & Y }\] avec \(Y_i\) affine, tels que \(\{g_i : Y_i \to Y\}\) soit un recouvrement étale, et des isomorphismes de couples \((\omega^\bullet|_{X_i}, \tau|_{Y_i}) \to (a_i(\mathcal{O}_{Y_i}), \text{Tr}_{f_i, \mathcal{O}_{Y_i}})\) comme dans la Définition 0E5X. Alors \((\omega^\bullet, \tau)\) est un complexe dualisant relatif pour \(X\) sur \(Y\).

Démonstration

Soient \(g : Y' \to Y\) et \(X', f', g', a'\) comme dans la Définition 0E5X. Posons \(((\omega')^\bullet, \tau') = (L(g')^*\omega^\bullet, Lg^*\tau)\). Nous pouvons trouver un recouvrement étale fini \(\{Y'_j \to Y'\}\) par des affines qui raffine \(\{Y_i \times_Y Y' \to Y'\}\) (Topologies, Lemme 0218). Ainsi, pour chaque \(j\), il existe un \(i_j\) et un morphisme \(k_j : Y'_j \to Y_{i_j}\) sur \(Y\). Considérons les produits fibrés \[\xymatrix{ X'_j \ar[r]_{h_j'} \ar[d]_{f'_j} & X' \ar[d]^{f'} \\ Y'_j \ar[r]^{h_j} & Y' }\] Notons \(k'_j : X'_j \to X_{i_j}\) le morphisme induit (changement de base de \(k_j\) par \(f_{i_j}\)). En restreignant les isomorphismes donnés à \(Y'_j\) par le morphisme \(k'_j\), nous obtenons des isomorphismes de couples \(((\omega')^\bullet|_{X'_j}, \tau'|_{Y'_j}) \to (a_j(\mathcal{O}_{Y'_j}), \text{Tr}_{f'_j, \mathcal{O}_{Y'_j}})\). Après avoir remplacé \(f : X \to Y\) par \(f' : X' \to Y'\), nous nous ramenons au problème résolu dans le paragraphe suivant.

Supposons \(Y\) affine. Problème : montrer que \((\omega^\bullet, \tau)\) est isomorphe à \((\omega_{X/Y}^\bullet, \text{Tr}) = (a(\mathcal{O}_Y), \text{Tr}_{f, \mathcal{O}_Y})\). Nous pouvons supposer que notre recouvrement \(\{Y_i \to Y\}\) est donné par un unique morphisme étale surjectif \(\{g : Y' \to Y\}\) entre schémas affines. En effet, nous pouvons d’abord remplacer \(\{g_i: Y_i \to Y\}\) par un sous-recouvrement fini, puis poser \(g = \coprod g_i : Y' = \coprod Y_i \to Y\) ; nous omettons quelques détails. Posons \(X' = Y' \times_Y X\), avec les morphismes \(f', g'\) de la Définition 0E5X. La seule donnée qui subsiste est alors un isomorphisme \[(\omega^\bullet|_{X'}, \tau|_{Y'}) \to (a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\] Puisque \((\omega_{X/Y}^\bullet, \text{Tr})\) est un complexe dualisant relatif (voir la discussion qui suit la Définition 0E5X), il existe un unique isomorphisme \[(\omega_{X/Y}^\bullet|_{X'}, \text{Tr}|_{Y'}) \to (a'(\mathcal{O}_{Y'}), \text{Tr}_{f', \mathcal{O}_{Y'}})\] L’unicité résulte par exemple du Lemme 0E5Z. En combinant les isomorphismes affichés, nous trouvons un isomorphisme \[\alpha : (\omega^\bullet|_{X'}, \tau|_{Y'}) \to (\omega_{X/Y}^\bullet|_{X'}, \text{Tr}|_{Y'})\] Posons \(Y'' = Y' \times_Y Y'\) et \(X'' = Y'' \times_Y X\) ; les deux images réciproques de \(\alpha\) sur \(X''\) doivent être égales, encore par unicité. Comme les auto-Ext négatifs de \(\omega_{X'/Y'}^\bullet\) sur \(X'\) sont nuls (Lemme 0E5Y) et que cette propriété subsiste après image réciproque par toute projection \(Y' \times_Y \ldots \times_Y Y' \to Y'\) (nous omettons un petit détail – comparer avec la démonstration du Lemme 0E5Z), nous trouvons que \(\alpha\) descend en un isomorphisme \(\omega^\bullet \to \omega_{X/Y}^\bullet\) sur \(X\) d’après Espaces simpliciaux, Lemme 0DL9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme propre et plat d’espaces algébriques, de présentation finie. Il existe un complexe dualisant relatif \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\).

Démonstration

Choisissons un hyperrecouvrement étale \(b : V \to Y\) tel que chaque \(V_n = \coprod_{i \in I_n} Y_{n, i}\), avec \(Y_{n, i}\) affine. C’est possible d’après Hyperrecouvrements, Lemme 0DAV et Remarque 0DB2 (pour remplacer l’hyperrecouvrement produit dans le lemme par celui qui possède des réunions disjointes en chaque degré). Notons \(X_{n, i} = Y_{n, i} \times_Y X\) et \(U_n = V_n \times_Y X\), de sorte que nous obtenons un hyperrecouvrement étale \(a : U \to X\) (Hyperrecouvrements, Lemme 0DAY) avec \(U_n = \coprod X_{n, i}\). Pour chaque \(n, i\), il existe un complexe dualisant relatif \((\omega_{n, i}^\bullet, \tau_{n, i})\) sur \(X_{n, i}/Y_{n, i}\). Voir la discussion qui suit la Définition 0E5X. Pour \(\varphi : [m] \to [n]\) et \(i \in I_n\), considérons les morphismes \(g_{\varphi, i} : Y_{n, i} \to Y_{m, \alpha(\varphi)}\) et \(g'_{\varphi, i} : X_{n, i} \to X_{m, \alpha(\varphi)}\) qui font partie de la structure des hyperrecouvrements donnés (Hyperrecouvrements, section 094J). Nous avons alors un unique isomorphisme \[\iota_{n, i, \varphi} : (L(g'_{n, i})^*\omega_{n, i}^\bullet, Lg_{n, i}^*\tau_{n, i}) \longrightarrow (\omega_{m, \alpha(\varphi)(i)}^\bullet, \tau_{m, \alpha(\varphi)(i)})\] de couples ; voir la discussion qui suit la Définition 0E5X. Observons que les auto-Ext négatifs de \(\omega_{n, i}^\bullet\) sur \(X_{n, i}\) sont nuls d’après le Lemme 0E5Y. Notons \((\omega_n^\bullet, \tau_n)\) le couple sur \(U_n/V_n\) construit à l’aide des couples \((\omega_{n, i}^\bullet, \tau_{n, i})\) pour \(i \in I_n\). Pour \(\varphi : [m] \to [n]\) et \(i \in I_n\), considérons les morphismes \(g_\varphi : V_n \to V_m\) et \(g'_\varphi : U_n \to U_m\) qui font partie de la structure des espaces algébriques simpliciaux \(V\) et \(U\). Nous avons alors des isomorphismes uniques \[\iota_\varphi : (L(g'_\varphi)^*\omega_n^\bullet, Lg_\varphi^*\tau_n) \longrightarrow (\omega_m^\bullet, \tau_m)\] de couples, construits à partir des isomorphismes sur les morceaux. L’unicité garantit que ces isomorphismes satisfont à la condition de transitivité formulée dans Espaces simpliciaux, Définition 0D9N. Les hypothèses d’Espaces simpliciaux, Lemme 0DLA, sont satisfaites pour \(a : U \to X\), les complexes \(\omega_n^\bullet\) et les isomorphismes \(\iota_\varphi\)¹. Nous obtenons ainsi un objet \(\omega^\bullet\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) muni d’un isomorphisme \(\iota_0 : \omega^\bullet|_{U_0} \to \omega_0^\bullet\) compatible aux deux isomorphismes \(\iota_{\delta^1_0}\) et \(\iota_{\delta^1_1}\). Enfin, nous appliquons Espaces simpliciaux, Lemme 0DL9, pour obtenir un unique morphisme \[\tau : Rf_*\omega^\bullet \longrightarrow \mathcal{O}_Y\] dont la restriction à \(V_0\) coïncide avec \(\tau_0\) ; nous omettons quelques détails – comparer par exemple avec la fin de la démonstration du Lemme 0E5Z, pour voir pourquoi nous avons l’annulation requise des Ext négatifs. D’après le Lemme 0E60, le couple \((\omega^\bullet, \tau)\) est un complexe dualisant relatif, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(X \to Y\) soit propre, plat et de présentation finie. Soit \((\omega_{X/Y}^\bullet, \tau)\) un complexe dualisant relatif pour \(f\). Alors \((L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet, Lg^*\tau)\) est un complexe dualisant relatif pour \(f'\).

Démonstration

Observons que \(L(g')^*\omega_{X/Y}^\bullet\) est \(Y'\)-parfait d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 0DKT. L’autre condition de la Définition 0E5X résulte de la transitivité des produits fibrés.

Comparaison avec le cas des schémas

Il faudrait ajouter beaucoup plus de choses dans cette section.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés sur \(S\). Supposons \(X\) et \(Y\) représentables, et soit \(f_0 : X_0 \to Y_0\) un morphisme de schémas représentant \(f\) (notation peu élégante, mais temporaire). Soit \(a : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) l’adjoint à droite de \(Rf_*\) du Lemme 0E55. Soit \(a_0 : D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) l’adjoint à droite de \(Rf_*\) de Dualité pour les schémas, Lemme 0A9E. Alors \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0}) \ar@{=}[rrrrrr]_{\text{Catégories dérivées des espaces, Lemme \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \\ D_\QCoh(\mathcal{O}_{Y_0}) \ar[u]^{a_0} \ar@{=}[rrrrrr]^{\text{Catégories dérivées des espaces, Lemme \href{spaces-perfect.html#spaces-perfect-lemma-derived-quasi-coherent-small-etale-site}{071Q}}} & & & & & & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \ar[u]_a }\] est commutatif.

Démonstration

Cela résulte de l’unicité des adjoints et des compatibilités de Catégories dérivées des espaces, Remarque 08GH.