Descente et espaces algébriques

Introduction

Dans le chapitre consacré aux topologies sur les espaces algébriques (voir Topologies sur les espaces, section 03Y5) nous avons introduit les recouvrements étales, fppf, lisses, syntomiques et fpqc des espaces algébriques. Dans ce chapitre, nous étudions les structures sur les espaces algébriques dont la descente est possible relativement à de tels recouvrements. Voir par exemple [Gr-I], [Gr-II], [Gr-III], [Gr-IV], [Gr-V] et [Gr-VI].

Conventions

L’hypothèse permanente est que tous les schémas appartiennent à un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). De plus, tous les anneaux \(A\) considérés sont tels que \(\Spec(A)\) est isomorphe à un objet de ce grand site.

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et dans le suivant, nous écrirons \(X \times_S X\) pour le produit de \(X\) avec lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), au lieu de \(X \times X\).

Données de descente pour les faisceaux quasi-cohérents

Cette section est l’analogue de Descente, section 023A pour les espaces algébriques. Il est naturel de lire d’abord cette dernière.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) à cible fixée \(X\).

1. Une donnée de descente \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à la famille donnée consiste en la donnée d’un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}_i\) sur \(X_i\) pour chaque \(i \in I\), et d’un isomorphisme de \(\mathcal{O}_{X_i \times_X X_j}\)-modules quasi-cohérents \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \to \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j\) pour chaque paire \((i, j) \in I^2\) tel que, pour tout triplet d’indices \((i, j, k) \in I^3\), le diagramme \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \ar[rd]_{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} \ar[rr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} & & \text{pr}_2^*\mathcal{F}_k \\ & \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j \ar[ru]_{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} & }\] de \(\mathcal{O}_{X_i \times_X X_j \times_X X_k}\)-modules est commutatif. C’est la condition de cocycle.

2. Un morphisme \(\psi : (\mathcal{F}_i, \varphi_{ij}) \to (\mathcal{F}'_i, \varphi'_{ij})\) de données de descente est donné par une famille \(\psi = (\psi_i)_{i\in I}\) de morphismes de \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules \(\psi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}'_i\) telle que tous les diagrammes \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*\mathcal{F}_i \ar[r]_{\varphi_{ij}} \ar[d]_{\text{pr}_0^*\psi_i} & \text{pr}_1^*\mathcal{F}_j \ar[d]^{\text{pr}_1^*\psi_j} \\ \text{pr}_0^*\mathcal{F}'_i \ar[r]^{\varphi'_{ij}} & \text{pr}_1^*\mathcal{F}'_j \\ }\] soient commutatifs.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) et \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\) des familles de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) à cibles fixées. Soit \((g, \alpha : I \to J, (g_i)) : \mathcal{U} \to \mathcal{V}\) un morphisme de familles de morphismes à cible fixée, voir Sites, définition 00VT. Soit \((\mathcal{F}_j, \varphi_{jj'})\) une donnée de descente pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à la famille \(\{V_j \to V\}_{j \in J}\). Alors

1. Le système \[\left(g_i^*\mathcal{F}_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')}\right)\] est une donnée de descente relativement à la famille \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\).

2. Cette construction est fonctorielle en la donnée de descente \((\mathcal{F}_j, \varphi_{jj'})\).

3. Étant donné un second morphisme \((g', \alpha' : I \to J, (g'_i))\) de familles de morphismes à cible fixée tel que \(g = g'\), il existe un isomorphisme fonctoriel de données de descente \[(g_i^*\mathcal{F}_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')}) \cong ((g'_i)^*\mathcal{F}_{\alpha'(i)}, (g'_i \times g'_{i'})^*\varphi_{\alpha'(i)\alpha'(i')}).\]

Démonstration

Démonstration omise. Indication : les morphismes \(g_i^*\mathcal{F}_{\alpha(i)} \to (g'_i)^*\mathcal{F}_{\alpha'(i)}\) qui donnent l’isomorphisme de données de descente en (3) sont les images réciproques des morphismes \(\varphi_{\alpha(i)\alpha'(i)}\) par les morphismes \((g_i, g'_i) : U_i \to V_{\alpha(i)} \times_V V_{\alpha'(i)}\).

Soit \(g : U \to V\) un morphisme d’espaces algébriques. Le lemme ci-dessus montre qu’il existe un foncteur image réciproque bien défini entre les catégories de données de descente relatives à des familles de morphismes ayant respectivement \(V\) et \(U\) pour buts, pourvu qu’il existe entre ces familles un morphisme qui “vit au-dessus de \(g\)”.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) une famille de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) à cible fixée.

1. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent. L’unique donnée de descente portée par \(\mathcal{F}\) relativement au recouvrement \(\{U \to U\}\) est appelée la donnée de descente triviale.

2. L’image réciproque de la donnée de descente triviale relativement à la famille \(\{U_i \to U\}\) est appelée la donnée de descente canonique. Notation : \((\mathcal{F}|_{U_i}, can)\).

3. Une donnée de descente \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à la famille donnée est dite effective s’il existe un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(U\) tel que \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) soit isomorphe à \((\mathcal{F}|_{U_i}, can)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement de Zariski de \(U\), voir Topologies sur les espaces, définition 041G. Toute donnée de descente pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à la famille \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\) est effective. De plus, le foncteur de la catégorie des \(\mathcal{O}_U\)-modules quasi-cohérents vers la catégorie des données de descente relativement à \(\{U_i \to U\}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Démonstration omise.

Descente fpqc des faisceaux quasi-cohérents

La principale application de la descente plate des modules est l’énoncé de descente correspondant pour les faisceaux quasi-cohérents relativement aux recouvrements fpqc.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to X\}\) un recouvrement fpqc d’espaces algébriques sur \(S\), voir Topologies sur les espaces, définition 03MQ. Toute donnée de descente pour les faisceaux quasi-cohérents relativement à \(\{X_i \to X\}\) est effective. De plus, le foncteur de la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents vers la catégorie des données de descente relativement à \(\{X_i \to X\}\) est pleinement fidèle.

Démonstration

C’est, à peu de chose près, une conséquence formelle du résultat correspondant pour les schémas, voir Descente, proposition 023T. Voici une stratégie de démonstration :

1. Le fait que \(\{X_i \to X\}\) soit un raffinement du recouvrement trivial \(\{X \to X\}\) donne, via le lemme 04W4, un foncteur \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to DD(\{X_i \to X\})\) de la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents vers la catégorie des données de descente pour la famille donnée.

2. Afin de démontrer la proposition, nous allons construire un foncteur quasi-inverse \(back : DD(\{X_i \to X\}) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\).

3. En appliquant à nouveau le lemme 04W4 nous voyons qu’il existe un foncteur \(DD(\{X_i \to X\}) \to DD(\{T_j \to X\})\) si \(\{T_j \to X\}\) est un raffinement de la famille donnée. Ainsi, pour construire le foncteur \(back\), nous pouvons supposer que chaque \(X_i\) est un schéma, voir Topologies sur les espaces, lemme 0419. Cela nous ramène au cas où tous les \(X_i\) sont des schémas.

4. Un faisceau quasi-cohérent sur \(X\) est, par définition, un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent sur \(X_\etale\). Pour tout \(U \in \Ob(X_\etale)\), on obtient alors un recouvrement fppf \(\{U_i \times_X X_i \to U\}\) par des schémas et un morphisme \(g : \{U_i \times_X X_i \to U\} \to \{X_i \to X\}\) de recouvrements au-dessus de \(U \to X\). Étant donnée une donnée de descente \(\xi = (\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\), on obtient un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_{\xi, U}\) correspondant à l’image réciproque \(g^*\xi\) fournie par le lemme 04W4 sur le recouvrement de \(U\), puis on applique l’effectivité de la descente pour les recouvrements fppf de schémas, voir Descente, proposition 023T.

5. Vérifier que \(\xi \mapsto \mathcal{F}_{\xi, U}\) est fonctorielle en \(\xi\). Vérification omise.

6. Vérifier que \(\xi \mapsto \mathcal{F}_{\xi, U}\) est compatible avec les morphismes \(U \to U'\) du site \(X_\etale\), de sorte que le système de faisceaux \(\mathcal{F}_{\xi, U}\) corresponde à un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}_\xi\) sur \(X_\etale\), voir Propriétés des espaces, lemme 03LZ. Détails omis.

7. Vérifier que \(back : \xi \mapsto \mathcal{F}_\xi\) est quasi-inverse du foncteur construit en (1). Vérification omise.

La démonstration est ainsi achevée.

Modules quasi-cohérents et schémas affines

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Rappelons que \(X_{affine, \etale}\) est la sous-catégorie pleine de \(X_\etale\) dont les objets sont les schémas affines; on la munit d’une structure de site en prenant pour recouvrements les recouvrements étales standards. Voir Propriétés des espaces, définition 0H01. D’après Propriétés des espaces, lemme 04JS, on a une équivalence de topos \(g : \Sh(X_{affine, \etale}) \to \Sh(X_\etale)\) dont le foncteur image réciproque est donné par la restriction. Rappelons que \(\mathcal{O}_X\) désigne le faisceau structural sur \(X_\etale\). Nous obtenons alors une équivalence [0H03]\[\begin{equation} (\Sh(X_{affine, \etale}), \mathcal{O}_X|_{X_{affine, \etale}}) \longrightarrow (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \end{equation}\] de topos annelés. Nous écrirons souvent \(\mathcal{O}_X\) au lieu de \(\mathcal{O}_X|_{X_{affine, \etale}}\). Cela permet également de comparer les modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules sur \(X_{affine, \etale}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout morphisme \(U \to U'\) de \(X_{affine, \etale}\) la flèche \(\mathcal{F}(U') \otimes_{\mathcal{O}_X(U')} \mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{F}(U)\) est un isomorphisme,

2. \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur le site annelé \((X_{affine, \etale}, \mathcal{O}_X)\) au sens de Modules sur les sites, définition 03DL,

3. \(\mathcal{F}\) correspond à un module quasi-cohérent sur \(X\) via l’équivalence (0H03),

Démonstration

Supposons que (1) soit satisfaite. Pour montrer que \(\mathcal{F}\) est un faisceau, soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) un recouvrement de \(X_{affine, \etale}\). La condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{U}\), par notre hypothèse sur \(\mathcal{F}\), se réduit à montrer que \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{O}_X(U_i) \to \prod \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{O}_X(U_i \times_U U_j)\] Cette suite est exacte, car \(\mathcal{O}_X(U) \to \prod \mathcal{O}_X(U_i)\) est fidèlement plat (d’après Descente, lemme 03FI, et parce que les recouvrements de \(X_{affine, \etale}\) sont les recouvrements étales standards); on peut alors appliquer Descente, lemme 023M. Ensuite, nous montrons que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent sur \(X_{affine, \etale}\). En effet, pour \(U\) dans \(X_{affine, \etale}\), posons \(R = \mathcal{O}_X(U)\) et choisissons une présentation \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} R \longrightarrow \mathcal{F}(U) \longrightarrow 0\] par des \(R\)-modules libres. D’après la propriété (1) et l’exactitude à droite du produit tensoriel, nous voyons que, pour tout morphisme \(U' \to U\) dans \(X_{affine, \etale}\), on obtient une présentation \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} \mathcal{O}_X(U') \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} \mathcal{O}_X(U') \longrightarrow \mathcal{F}(U') \longrightarrow 0\] Autrement dit, la restriction de \(\mathcal{F}\) à la catégorie localisée \(X_{affine, etale}/U\) possède une présentation \[\bigoplus\nolimits_{k \in K} \mathcal{O}_X|_{X_{affine, \etale}/U} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{l \in L} \mathcal{O}_X|_{X_{affine, \etale}/U} \longrightarrow \mathcal{F}|_{X_{affine, \etale}/U} \longrightarrow 0\] ce qui est la présentation requise pour montrer que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent. Toutes nos excuses pour cette horrible notation; cela achève la démonstration que (1) implique (2).

Puisque la notion de module quasi-cohérent est intrinsèque (Modules sur les sites, lemme 03DM) nous voyons que l’équivalence (0H03) induit une équivalence entre les catégories de modules quasi-cohérents. Ainsi, (2) et (3) sont équivalentes.

Supposons (3) et démontrons (1). Soit \(\mathcal{G}\) un module quasi-cohérent sur \(X\) correspondant à \(\mathcal{F}\). Soit \(h : U \to U' \to X\) un morphisme de \(X_{affine, \etale}\). Notons \(f : U \to X\) et \(f' : U' \to X\) les morphismes structuraux, de sorte que \(f = f' \circ h\). Nous avons \(\mathcal{F}(U') = \Gamma(U', (f')^*\mathcal{G})\) et \(\mathcal{F}(U) = \Gamma(U, f^*\mathcal{G}) = \Gamma(U, h^*(f')^*\mathcal{G})\). Ainsi, (1) résulte de Schémas, lemme 01I9.

Descente des propriétés de finitude des modules

Cette section est, pour les espaces algébriques, l’analogue de Descente, section 05AY. Nous voulons montrer que certaines conditions de finitude portant sur un module quasi-cohérent peuvent se vérifier sur les membres d’un recouvrement. Nous utiliserons à plusieurs reprises le schéma de démonstration suivant. Supposons que \(X\) soit un espace algébrique et que \(\{X_i \to X\}\) soit un recouvrement fppf (resp. fpqc). Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif tel que \(U\) soit un schéma. Il existe alors un recouvrement fppf (resp. fpqc) \(\{Y_j \to X\}\) tel que

1. \(\{Y_j \to X\}\) est un raffinement de \(\{X_i \to X\}\),

2. chaque \(Y_j\) est un schéma, et

3. chaque morphisme \(Y_j \to X\) se factorise par \(U\), et

4. \(\{Y_j \to U\}\) est un recouvrement fppf (resp. fpqc) de \(U\).

En effet, raffinons d’abord \(\{X_i \to X\}\) par un recouvrement fppf (resp. fpqc) tel que chaque \(X_i\) soit un schéma, voir Topologies sur les espaces, lemme 042T, resp. le lemme 0419. Posons alors \(Y_i = U \times_X X_i\). Un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{O}_X\), noté \(\mathcal{F}\), est de type fini, de présentation finie, etc., si et seulement si le module quasi-cohérent sur \(\mathcal{O}_U\), noté \(\mathcal{F}|_U\), est de type fini, de présentation finie, etc. L’existence du raffinement \(\{Y_j \to X\}\) permet donc de ramener la démonstration des lemmes suivants au cas des schémas. Nous l’indiquerons en disant que « le résultat se déduit du cas des schémas par localisation étale ».

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module de type fini. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini.

Démonstration

Ce résultat se déduit du cas des schémas, voir Descente, lemme 05AZ, par localisation étale.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module de présentation finie. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie.

Démonstration

Ce résultat se déduit du cas des schémas, voir Descente, lemme 05B0, par localisation étale.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module plat. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat.

Démonstration

Ce résultat se déduit du cas des schémas, voir Descente, lemme 05B1, par localisation étale.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement libre de type fini. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini.

Démonstration

Ce résultat se déduit du cas des schémas, voir Descente, lemme 05B2, par localisation étale.

La définition d’un faisceau quasi-cohérent localement projectif se trouve dans Propriétés des espaces, section 060P. Il y est également démontré que cette notion est stable par image réciproque.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement projectif. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement projectif.

Démonstration

Ce résultat se déduit du cas des schémas, voir Descente, lemme 05JZ, par localisation étale.

Ajoutons ici deux résultats liés aux précédents, mais de nature légèrement différente.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que \(f\) soit fini. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini si et seulement si \(f_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module de type fini.

Démonstration

Puisque \(f\) est fini, il est représentable. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Alors \(U = V \times_Y X\) est un schéma muni d’un morphisme étale surjectif vers \(X\) et d’un morphisme fini \(\psi : U \to V\) (le changement de base de \(f\)). Puisque \(\psi_*(\mathcal{F}|_U) = f_*\mathcal{F}|_V\), l’assertion se déduit immédiatement de la version pour les schémas, c’est-à-dire du lemme 05B3 de Descente.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que \(f\) soit fini et de présentation finie. Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie si et seulement si \(f_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module de présentation finie.

Démonstration

Puisque \(f\) est fini, il est représentable. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Alors \(U = V \times_Y X\) est un schéma muni d’un morphisme étale surjectif vers \(X\) et d’un morphisme fini \(\psi : U \to V\) (le changement de base de \(f\)). Puisque \(\psi_*(\mathcal{F}|_U) = f_*\mathcal{F}|_V\), l’assertion se déduit immédiatement de la version pour les schémas, c’est-à-dire du lemme 05B4 de Descente.

Recouvrements fpqc

Cette section est l’analogue de la section 023P de Descente. Nous ne savons pas actuellement si tous les résultats valables pour les recouvrements fpqc de schémas le sont aussi pour les espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc d’espaces algébriques sur \(S\). Pour chaque \(i\), soit \(W_i \subset T_i\) un sous-espace ouvert, et supposons que, pour tous \(i, j \in I\), \(\text{pr}_0^{-1}(W_i) = \text{pr}_1^{-1}(W_j)\) en tant que sous-espaces ouverts de \(T_i \times_T T_j\). Alors il existe un unique sous-espace ouvert \(W \subset T\) tel que \(W_i = f_i^{-1}(W)\) pour chaque \(i\).

Démonstration

D’après le lemme 0419 de Topologies sur les espaces, nous pouvons supposer que chaque \(T_i\) est un schéma. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to T\). Alors \(\{T_i \times_T U \to U\}\) est un recouvrement fpqc de \(U\) et \(T_i \times_T U\) est un schéma pour chaque \(i\). La famille des ouverts \(W_i \times_T U\) provient donc d’un unique sous-schéma ouvert \(W' \subset U\), d’après le lemme 03N0 de Descente. Comme \(U \to X\) est ouvert, nous pouvons définir \(W \subset X\) comme l’ouvert de Zariski image de \(W'\); voir Propriétés des espaces, section 03BT. Nous omettons de vérifier que cette construction convient, c’est-à-dire que \(W_i\) est l’image réciproque de \(W\) pour chaque \(i\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{T_i \to T\}\) un recouvrement fpqc d’espaces algébriques sur \(S\); voir Topologies sur les espaces, définition 03MQ. Alors, pour tout espace algébrique \(B\) sur \(S\), la suite \[\xymatrix{ \Mor_S(T, B) \ar[r] & \prod\nolimits_i \Mor_S(T_i, B) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{i, j} \Mor_S(T_i \times_T T_j, B) }\] est un diagramme égalisateur. Autrement dit, tout foncteur représentable sur la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) vérifie la condition de faisceau pour les recouvrements fpqc.

Démonstration

Nous savons que l’assertion est vraie si \(\{T_i \to T\}\) est un recouvrement fpqc de schémas, voir Propriétés des espaces, proposition 0APL. C’est le point essentiel; nous invitons le lecteur à omettre la suite de cette démonstration, qui est formelle. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to T\). Choisissons un schéma \(U_i\) et un morphisme \(U_i \to T_i \times_T U\) étale surjectif. Alors \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement fpqc. Cela découle de Topologies sur les espaces, lemmes 03MR et 03MS. Ce qui précède donne le résultat pour \(\{U_i \to U\}\).

Concrètement, supposons que les \(b_i : T_i \to B\) forment une famille de morphismes telle que \(b_i \circ \text{pr}_0 = b_j \circ \text{pr}_1\) comme morphismes \(T_i \times_T T_j \to B\). Définissons \(a_i : U_i \to B\) comme le composé obtenu en faisant suivre \(U_i \to T_i\) de \(b_i\). D’après ce qui précède, il existe un unique morphisme \(a : U \to B\) tel que \(a_i\) soit le composé de \(a\) avec \(U_i \to U\). L’unicité assure que \(a \circ \text{pr}_0 = a \circ \text{pr}_1\) comme morphismes \(U \times_T U \to B\). Puisque \(T = U/(U \times_T U)\) comme faisceau, \(a\) provient d’un unique morphisme \(b : T \to B\). Une chasse au diagramme montre que \(b\) est le morphisme recherché.

Descente des propriétés de finitude et de lissité des morphismes

Un lemme du type suivant est parfois utile.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques. Soit \(P\) l’une des propriétés suivantes pour un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) : être plat, être localement de type fini ou être localement de présentation finie. Supposons que \(X \to Z\) vérifie \(P\) et que \(X \to Y\) soit une surjection de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Alors \(Y \to Z\) vérifie \(P\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to Z\). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to W \times_Z Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Par hypothèse, il existe un recouvrement fppf \(\{V_i \to V\}\) et des relèvements \(V_i \to X\) du morphisme \(V_i \to Y\). Comme \(U \to X\) est surjectif étale, nous voyons que, sur les membres du recouvrement fppf \(\{V_i \times_X U \to V\}\), il existe des relèvements dans \(U\). Par conséquent, \(U \to V\) induit une surjection de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). D’après la définition de la propriété \(P\) pour un morphisme d’espaces algébriques (voir Morphismes d’espaces, définition 03ML, définition 03XF, et définition 03XP) nous savons que \(U \to W\) vérifie \(P\), et il reste à montrer que \(V \to W\) vérifie \(P\). La question est ainsi ramenée au cas des morphismes de schémas traité dans le lemme 06NB de Descente.

Un cas plus usuel du lemme précédent est le suivant. (La version « plate » découle de Morphismes d’espaces, lemme 05VY.)

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & B }\] de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\), supposé commutatif. Supposons que \(f\) soit surjectif, plat et localement de présentation finie et que \(p\) soit localement de présentation finie (resp. localement de type fini). Alors \(q\) est localement de présentation finie (resp. localement de type fini).

Démonstration

Puisque \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement fppf, il induit une surjection de faisceaux fppf (Topologies sur les espaces, lemme 0469); le lemme est donc un cas particulier du lemme 06NR. On peut aussi le déduire plus directement de l’analogue pour les schémas. La question est en effet locale pour la topologie étale sur \(B\) et sur \(Y\) (Morphismes d’espaces, lemmes 040Y et 0410). Nous pouvons donc supposer que \(B\) et \(Y\) sont des schémas affines. Comme l’application \(|X| \to |Y|\) est ouverte (Morphismes d’espaces, lemme 042S), nous pouvons choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tel que le morphisme composé \(U \to Y\) soit surjectif. Dans ce cas, le résultat se déduit de Descente, lemme 02KL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & B }\] de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\), supposé commutatif. Supposons que

1. \(f\) soit surjectif et syntomique (resp. lisse, resp. étale),

2. \(p\) soit syntomique (resp. lisse, resp. étale).

Alors \(q\) est syntomique (resp. lisse, resp. étale).

Démonstration

Le résultat se déduit de l’analogue pour les schémas. La question est en effet locale pour la topologie étale sur \(B\) et sur \(Y\) (Morphismes d’espaces, lemmes 03ZA, 03ZF, et 03XT). Nous pouvons donc supposer que \(B\) et \(Y\) sont des schémas affines. Comme l’application \(|X| \to |Y|\) est ouverte (Morphismes d’espaces, lemme 042S), nous pouvons choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tel que le morphisme composé \(U \to Y\) soit surjectif. Dans ce cas, le résultat se déduit de Descente, lemme 02KM.

En fait, ce résultat peut être renforcé comme suit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & B }\] de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\), supposé commutatif. Supposons que

1. \(f\) soit surjectif, plat et localement de présentation finie,

2. \(p\) soit lisse (resp. étale).

Alors \(q\) est lisse (resp. étale).

Démonstration

Le résultat se déduit de l’analogue pour les schémas. La question est en effet locale pour la topologie étale sur \(B\) et sur \(Y\) (Morphismes d’espaces, lemmes 03ZF et 03XT). Nous pouvons donc supposer que \(B\) et \(Y\) sont des schémas affines. Comme l’application \(|X| \to |Y|\) est ouverte (Morphismes d’espaces, lemme 042S), nous pouvons choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tel que le morphisme composé \(U \to Y\) soit surjectif. Dans ce cas, le résultat se déduit de Descente, lemme 05B5.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & Y \ar[dl]^q \\ & B }\] de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\), supposé commutatif. Supposons que

1. \(f\) soit surjectif, plat et localement de présentation finie,

2. \(p\) soit syntomique.

Alors \(q\) et \(f\) sont tous deux syntomiques.

Démonstration

Le résultat se déduit de l’analogue pour les schémas. La question est en effet locale pour la topologie étale sur \(B\) et sur \(Y\) (Morphismes d’espaces, lemme 03ZA). Nous pouvons donc supposer que \(B\) et \(Y\) sont des schémas affines. Comme l’application \(|X| \to |Y|\) est ouverte (Morphismes d’espaces, lemme 042S), nous pouvons choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tel que le morphisme composé \(U \to Y\) soit surjectif. Dans ce cas, le résultat se déduit de Descente, lemme 05B7.

Descente de propriétés des espaces

Dans cette section, nous rassemblons quelques résultats du type suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(x \in |X|\). Si \(f\) est plat en \(x\) et si \(X\) est géométriquement unibranche en \(x\), alors \(Y\) est géométriquement unibranche en \(f(x)\).

Démonstration

Considérons l’homomorphisme d’anneaux strictement locaux \(\mathcal{O}_{Y, f(\overline{x})} \to \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\). Par Morphismes d’espaces, lemme 04NG celui-ci est plat. Ainsi, si \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) possède un unique idéal premier minimal, il en va de même de \(\mathcal{O}_{Y, f(\overline{x})}\) (par le théorème de descente des idéaux premiers, voir Algèbre, lemme 00HS).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est plat et surjectif et si \(X\) est réduit, alors \(Y\) est réduit.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\). Comme \(f\) est surjectif et plat, le morphisme de schémas \(U \to V\) est surjectif et plat. Nous nous ramenons ainsi au cas des schémas (le caractère réduit de \(X\) et de \(Y\) étant défini en termes du caractère réduit de \(U\) et de \(V\), voir Propriétés des espaces, section 03E5). Le cas des schémas est traité dans Descente, lemme 06QM.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Si \(f\) est localement de présentation finie, plat et surjectif et si \(X\) est localement noethérien, alors \(Y\) est localement noethérien.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\). Comme \(f\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, le morphisme de schémas \(U \to V\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. Nous nous ramenons ainsi au cas des schémas (la propriété, pour \(X\) et \(Y\), d’être localement noethériens étant définie par la même propriété pour \(U\) et \(V\), voir Propriétés des espaces, section 03E5). Dans le cas des schémas, le résultat découle de Descente, lemme 034C.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Si \(f\) est localement de présentation finie, plat et surjectif et si \(X\) est régulier, alors \(Y\) est régulier.

Démonstration

Par le lemme 06MJ nous savons que \(Y\) est localement noethérien. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Il suffit de montrer que tous les anneaux locaux de \(V\) sont réguliers ; voir Propriétés, lemme 02IT. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\). Comme \(f\) est surjectif et plat, le morphisme de schémas \(U \to V\) est surjectif et plat. Par hypothèse, \(U\) est un schéma régulier et, en particulier, tous ses anneaux locaux sont réguliers (d’après le lemme ci-dessus). Le lemme découle donc de Algèbre, lemme 00OF.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme lisse d’espaces algébriques. Si \(Y\) est réduit, alors \(X\) est réduit. Si \(f\) est surjectif et si \(X\) est réduit, alors \(Y\) est réduit.

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas, les flèches verticales sont surjectives et étales, et \(U \to X \times_Y V\) est surjectif et étale. Observons que \(X\) est un espace algébrique réduit si et seulement si \(U\) est un schéma réduit par notre définition des espaces algébriques réduits dans Propriétés des espaces, section 03E5. De même pour \(Y\) et \(V\). Le morphisme \(U \to V\) est un morphisme lisse de schémas, voir Morphismes d’espaces, lemme 03ZF. Puisque le caractère réduit est local pour la topologie lisse dans la catégorie des schémas (Descente, lemme 034E), il s’ensuit que \(U\) est réduit si \(V\) est réduit. D’autre part, si \(X \to Y\) est surjectif, alors \(U \to V\) est surjectif et, dans ce cas, si \(U\) est réduit, alors \(V\) est réduit.

Descente de propriétés des morphismes

Dans cette section, nous définissons ce que signifie, pour une propriété des morphismes d’espaces algébriques, être locale sur le but pour une topologie. Comparer avec Descente, section 02KN.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\tau \in \{fpqc, fppf, syntomic, smooth, \etale\}\). On dit que \(\mathcal{P}\) est \(\tau\)-locale sur la base, ou \(\tau\)-locale sur le but, ou locale sur la base pour la topologie \(\tau\) si, pour tout \(\tau\)-recouvrement \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) d’espaces algébriques et tout morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\), on a \[f \text{ vérifie }\mathcal{P} \Leftrightarrow \text{chaque }Y_i \times_Y X \to Y_i\text{ vérifie }\mathcal{P}.\]

Bien entendu, puisque les isomorphismes sont toujours des recouvrements, on voit (ou l’on exige) que la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(X \to Y\) si et seulement si toute flèche \(X' \to Y'\) isomorphe à \(X \to Y\) la vérifie. Si une propriété est \(\tau\)-locale sur le but, elle est préservée par changement de base le long de morphismes figurant dans des \(\tau\)-recouvrements. Voici un énoncé formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{fpqc, fppf, syntomic, smooth, \etale\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) qui est \(\tau\)-locale sur le but. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme vérifiant la propriété \(\mathcal{P}\). Pour tout morphisme \(Y' \to Y\) qui est plat, resp. plat et localement de présentation finie, resp. syntomique, resp. étale, le changement de base \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) de \(f\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Cela résulte de ce que l’on peut compléter \(Y' \to Y\) en une famille de morphismes qui constitue un \(\tau\)-recouvrement.

Une conséquence simple et souvent utilisée de ce qui précède est la suivante. Si \(f : X \to Y\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), laquelle est \(\tau\)-locale sur le but, et si \(f(X) \subset V\) pour un certain sous-espace ouvert \(V \subset Y\), alors le morphisme induit \(X \to V\) vérifie encore \(\mathcal{P}\). Démonstration : le changement de base de \(f\) par \(V \to Y\) donne \(X \to V\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{fppf, syntomic, smooth, \etale\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) qui est \(\tau\)-locale sur le but. Pour tout morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) sur \(S\), il existe un plus grand sous-espace ouvert \(W(f) \subset Y\) tel que la restriction \(X_{W(f)} \to W(f)\) vérifie \(\mathcal{P}\). En outre,

1. si \(g : Y' \to Y\) est un morphisme d’espaces algébriques qui est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, et si le changement de base \(f' : X_{Y'} \to Y'\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(g\) se factorise par \(W(f)\),

2. si \(g : Y' \to Y\) est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, alors \(W(f') = g^{-1}(W(f))\), et

3. si \(\{g_i : Y_i \to Y\}\) est un \(\tau\)-recouvrement, alors \(g_i^{-1}(W(f)) = W(f_i)\), où \(f_i\) est le changement de base de \(f\) par \(Y_i \to Y\).

Démonstration

Considérons la réunion \(W_{set} \subset |Y|\) des images \(g(|Y'|) \subset |Y|\) des morphismes \(g : Y' \to Y\) satisfaisant aux conditions suivantes :

1. \(g\) est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, et

2. le changement de base \(Y' \times_{g, Y} X \to Y'\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\).

Comme un tel morphisme \(g\) est ouvert (voir Morphismes d’espaces, lemme 042S), on voit que \(W_{set}\) est une partie ouverte de \(|Y|\). Notons \(W \subset Y\) le sous-espace ouvert dont l’ensemble de points est \(W_{set}\), voir Propriétés des espaces, lemme 03BZ. Comme \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie \(\tau\), la restriction \(X_W \to W\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), car on dispose d’un recouvrement \(\{Y' \to W\}\) de \(W\) tel que les changements de base vérifient \(\mathcal{P}\). Cela établit l’existence et montre que \(W(f)\) satisfait à (1). Pour établir (2), remarquons que \(W(f') \supset g^{-1}(W(f))\), car \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base le long de morphismes plats et localement de présentation finie, syntomiques, lisses ou étales ; voir le lemme 06EM. Réciproquement, si \(Y'' \subset Y'\) est un ouvert tel que \(X_{Y''} \to Y''\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(Y'' \to Y\) se factorise par \(W\) en vertu de la construction, c’est-à-dire \(Y'' \subset g^{-1}(W(f))\). Cela prouve (2). L’assertion (3) découle de (2), car chaque morphisme \(Y_i \to Y\) est plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale d’après notre définition d’un \(\tau\)-recouvrement.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. si les morphismes \(X_i \to Y_i\), \(i = 1, 2\), vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), alors \(X_1 \amalg X_2 \to Y_1 \amalg Y_2\) la vérifie aussi,

2. un morphisme d’espaces algébriques \(f : X \to Y\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\) si et seulement si, pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), et

3. pour tout morphisme plat et surjectif de schémas affines \(Z' \to Z\) sur \(S\) et tout morphisme \(f : X \to Z\) d’un espace algébrique vers \(Z\), on a \[f' : Z' \times_Z X \to Z'\text{ vérifie }\mathcal{P} \Rightarrow f\text{ vérifie }\mathcal{P}.\]

Alors \(\mathcal{P}\) est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Si \(\mathcal{P}\) satisfait à la condition (2), elle est automatiquement stable par tout changement de base. L’implication directe de la définition 03YH est donc acquise.

Soit \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que chaque changement de base \(f_i : Y_i \times_Y X \to Y_i\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\). Nous voulons montrer que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\). Soit \(Z\) un schéma affine et soit \(Z \to Y\) un morphisme. D’après (2), il suffit de montrer que le morphisme d’espaces algébriques \(Z \times_Y X \to Z\) vérifie \(\mathcal{P}\). Puisque \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc, il existe un recouvrement fpqc standard \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots , n}\) et des morphismes \(Z_j \to Y_{i_j}\) au-dessus de \(Y\), pour des indices convenables \(i_j \in I\). Puisque \(f_{i_j}\) vérifie \(\mathcal{P}\), on voit que \[Z_j \times_Y X = Z_j \times_{Y_{i_j}} (Y_{i_j} \times_Y X) \longrightarrow Z_j\] vérifie \(\mathcal{P}\), car c’est un changement de base de \(f_{i_j}\) (voir la première remarque de la démonstration). Posons \(Z' = \coprod_{j = 1, \ldots, n} Z_j\) ; alors \(Z' \to Z\) est un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). D’après (1), on conclut que \(Z' \times_Y X \to Z'\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\). Comme il s’agit du changement de base du morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) par le morphisme \(Z' \to Z\), on conclut que \(Z \times_Y X \to Z\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), comme souhaité.

Descente de propriétés des morphismes pour la topologie fpqc

Dans cette section, nous montrons qu’un grand nombre de propriétés de morphismes d’espaces algébriques sont locales sur la base pour la topologie fpqc. Comparer avec Descente, section 02YJ pour le cas des morphismes de schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est quasi-compact” est locale sur la base pour la topologie fpqc dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03KG. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit quasi-compact. Il faut montrer que \(f\) est quasi-compact. Il résulte de nouveau de Morphismes des espaces, Lemme 03KG, qu’il suffit de montrer que, pour tout schéma affine \(Y\) et tout morphisme \(Y \to Z\), le produit fibré \(Y \times_Z X\) est quasi-compact. Voici le diagramme correspondant : [041M]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ Y \times_Z Z' \times_Z X \ar[dd] \ar[rr] \ar[rd] & & Z' \times_Z X \ar'[d][dd]^{f'} \ar[rd] \\ & Y \times_Z X \ar[dd] \ar[rr] & & X \ar[dd]^f \\ Y \times_Z Z' \ar'[r][rr] \ar[rd] & & Z' \ar[rd] \\ & Y \ar[rr] & & Z } } \end{equation}\] Tous les carrés sont cartésiens, et le carré inférieur est formé de schémas affines. L’hypothèse selon laquelle \(f'\) est quasi-compact, jointe au fait que \(Y \times_Z Z'\) est affine, implique que \(Y \times_Z Z' \times_Z X\) est quasi-compact. Comme \[Y \times_Z Z' \times_Z X \longrightarrow Y \times_Z X\] est surjectif, puisqu’il s’obtient par changement de base à partir de \(Z' \to Z\), on en conclut que \(Y \times_Z X\) est quasi-compact ; voir Morphismes des espaces, Lemme 040W. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est quasi-séparé” est locale sur la base pour la topologie fpqc dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

Tout changement de base d’un morphisme quasi-séparé est quasi-séparé ; voir Morphismes des espaces, Lemme 03KL. On obtient donc le sens direct de la définition 03YH.

Soit \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que chaque changement de base \(X_i := Y_i \times_Y X \to Y_i\) soit quasi-séparé. Cela signifie que chacun des morphismes \[\Delta_i : X_i \longrightarrow X_i \times_{Y_i} X_i = Y_i \times_Y (X \times_Y X)\] est quasi-compact. Le changement de base d’un recouvrement fpqc est un recouvrement fpqc ; voir Topologies sur les espaces, Lemme 03MR ; ainsi, \(\{Y_i \times_Y (X \times_Y X) \to X \times_Y X\}\) est un recouvrement fpqc d’espaces algébriques. De plus, chaque \(\Delta_i\) est le changement de base du morphisme \(\Delta : X \to X \times_Y X\). Il résulte donc du lemme 041L que \(\Delta\) est quasi-compact, c’est-à-dire que \(f\) est quasi-séparé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est universellement fermé” est locale sur la base pour la topologie fpqc dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03IT. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit universellement fermé. Il faut montrer que \(f\) est universellement fermé. Il résulte de nouveau de Morphismes des espaces, Lemme 03IT, qu’il suffit de montrer que, pour tout schéma affine \(Y\) et tout morphisme \(Y \to Z\), l’application \(|Y \times_Z X| \to |Y|\) est fermée. Considérons le cube (041M). L’hypothèse selon laquelle \(f'\) est universellement fermé implique que \(|Y \times_Z Z' \times_Z X| \to |Y \times_Z Z'|\) est fermée. Comme \(Y \times_Z Z' \to Y\) est quasi-compact, surjectif et plat, puisqu’il s’obtient par changement de base à partir de \(Z' \to Z\), l’application \(|Y \times_Z Z'| \to |Y|\) est submersive ; voir Morphismes, Lemme 02JY. De plus, l’application \[|Y \times_Z Z' \times_Z X| \longrightarrow |Y \times_Z Z'| \times_{|Y|} |Y \times_Z X|\] est surjective ; voir Propriétés des espaces, Lemme 03H4. Il résulte de la topologie élémentaire que \(|Y \times_Z X| \to |Y|\) est fermée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est universellement ouvert” est locale sur la base pour la topologie fpqc dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\).

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 041O.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est universellement submersif” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du lemme 041O.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est surjectif” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Démonstration omise. (Indication : utiliser Propriétés des espaces, Lemme 03H4.)

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est universellement injectif” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03IT. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\), et soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’un espace algébrique vers \(Z\). Supposons que le changement de base \(f' : X' \to Z'\) soit universellement injectif. Soit \(K\) un corps, et soient \(a, b : \Spec(K) \to X\) deux morphismes tels que \(f \circ a = f \circ b\). Comme \(Z' \to Z\) est surjectif, il existe une extension de corps \(K'/K\) et un morphisme \(\Spec(K') \to Z'\) de sorte que le diagramme suivant, où les flèches pleines sont données, soit commutatif : \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[rrd] \ar@{-->}[rd]_{a', b'} \ar[dd] \\ & X' \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r]^{a, b} & X \ar[r] & Z }\] Comme le carré est cartésien, on obtient les deux flèches pointillées \(a'\), \(b'\) qui rendent le diagramme commutatif. Puisque \(X' \to Z'\) est universellement injectif, on a \(a' = b'\). Cela entraîne \(a = b\), car \(\{\Spec(K') \to \Spec(K)\}\) est un recouvrement fpqc ; voir Propriétés des espaces, Proposition 0APL. Ainsi, \(f\) est universellement injectif, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est un homéomorphisme universel” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

On peut le démontrer exactement de la même manière que dans le lemme 041O. On peut aussi utiliser le fait qu’une application d’espaces topologiques est un homéomorphisme si et seulement si elle est injective, surjective et ouverte. Ainsi, un homéomorphisme universel équivaut à un morphisme surjectif, universellement injectif et universellement ouvert. Voir Morphismes des espaces, Lemme 03MH et Morphismes des espaces, Définitions 03MV, 03ME, 03Z2, 05Z5. Le lemme résulte donc des lemmes 041Q, 041R et 041P.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est localement de type fini” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 040Y. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit localement de type fini. Il faut montrer que \(f\) est localement de type fini. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. D’après Morphismes des espaces, Lemme 040Y, il suffit encore de montrer que \(U \to Z\) est localement de type fini. Puisque \(f'\) est localement de type fini et que \(Z' \times_Z U\) est un schéma étale sur \(Z' \times_Z X\), on déduit encore du même lemme que \(Z' \times_Z U \to Z'\) est localement de type fini. Comme \(\{Z' \to Z\}\) est un recouvrement fpqc, on en conclut que \(U \to Z\) est localement de type fini d’après Descente, Lemme 02KX, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est localement de présentation finie” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 0410. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit localement de présentation finie. Il faut montrer que \(f\) est localement de présentation finie. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. D’après Morphismes des espaces, Lemme 0410, il suffit encore de montrer que \(U \to Z\) est localement de présentation finie. Puisque \(f'\) est localement de présentation finie et que \(Z' \times_Z U\) est un schéma étale sur \(Z' \times_Z X\), on déduit encore du même lemme que \(Z' \times_Z U \to Z'\) est localement de présentation finie. Comme \(\{Z' \to Z\}\) est un recouvrement fpqc, on en conclut que \(U \to Z\) est localement de présentation finie d’après Descente, Lemme 02KY, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est de type fini” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Il suffit de combiner les lemmes 041L et 041S.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est de présentation finie” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Il suffit de combiner les lemmes 041L, 041N et 041T.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est plat” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03MM. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit plat. Il faut montrer que \(f\) est plat. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. D’après Morphismes des espaces, Lemme 03MM, il suffit encore de montrer que \(U \to Z\) est plat. Puisque \(f'\) est plat et que \(Z' \times_Z U\) est un schéma étale sur \(Z' \times_Z X\), on déduit encore du même lemme que \(Z' \times_Z U \to Z'\) est plat. Comme \(\{Z' \to Z\}\) est un recouvrement fpqc, on en conclut que \(U \to Z\) est plat d’après Descente, Lemme 02L2, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion ouverte” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03M4. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z' \ar[r] & Z }\] d’espaces algébriques sur \(S\) où \(Z' \to Z\) est un morphisme plat et surjectif de schémas affines et \(X' \to Z'\) une immersion ouverte. Il faut montrer que \(X \to Z\) est une immersion ouverte. L’ouvert \(|X'| \subset |Z'|\) correspond à un sous-schéma ouvert \(U' \subset Z'\) (isomorphe à \(X'\)) tel que \(\text{pr}_0^{-1}(U') = \text{pr}_1^{-1}(U')\) comme sous-schémas ouverts de \(Z' \times_Z Z'\). Il existe donc un sous-schéma ouvert \(U \subset Z\) tel que \(X' = (Z' \to Z)^{-1}(U)\) ; voir Descente, Lemme 03N0. D’après Propriétés des espaces, Proposition 0APL, on voit que \(X\) vérifie la condition de faisceau pour la topologie fpqc. Nous avons maintenant le recouvrement fpqc \(\mathcal{U} = \{U' \to U\}\) et l’élément \(U' \to X' \to X \in \check{H}^0(\mathcal{U}, X)\). La condition de faisceau fournit un morphisme \(U \to X\) tel que \[\xymatrix{ U' \ar[r] \ar[d]^{\cong} \ar@/_3ex/[dd] & U \ar[d] \ar@/^3ex/[dd] \\ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z' \ar[r] & Z }\] soit commutatif. D’autre part, pour tout schéma \(T\) sur \(S\) et tout point à valeurs dans \(T\), c’est-à-dire tout morphisme \(T \to X\), le composé \(T \to X \to Z\) est un morphisme tel que \(Z' \times_Z T \to Z'\) se factorise par \(U'\). Cela signifie que \(T \to Z\) se factorise par \(U\). Autrement dit, le morphisme de faisceaux \(U \to X\) est bijectif, ce qui achève la démonstration.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est un isomorphisme” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Il suffit de combiner les lemmes 041Q et 041X.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est affine” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03WG. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit affine. Soit \(X'\) un schéma représentant \(Z' \times_Z X\). On obtient un isomorphisme canonique \[\varphi : X' \times_Z Z' \longrightarrow Z' \times_Z X'\] car les deux schémas représentent l’espace algébrique \(Z' \times_Z Z' \times_Z X\). C’est une donnée de descente pour \(X'/Z'/Z\) ; voir Descente, Définition 023V (vérification omise ; comparer avec Descente, Lemme 02W5). Puisque \(X' \to Z'\) est affine, cette donnée de descente est effective ; voir Descente, Lemme 0245. Il existe donc un schéma \(Y \to Z\) sur \(Z\), ainsi qu’un isomorphisme \(\psi : Z' \times_Z Y \to X'\) compatible avec les données de descente. Bien entendu, \(Y \to Z\) est affine (par construction ou d’après Descente, Lemme 02L5). Remarquons que \(\mathcal{Y} = \{Z' \times_Z Y \to Y\}\) est un recouvrement fpqc. En interprétant \(\psi\) comme un élément de \(X(Z' \times_Z Y)\), on voit que \(\psi \in \check{H}^0(\mathcal{Y}, X)\). La condition de faisceau pour \(X\) relativement à ce recouvrement (voir Propriétés des espaces, Proposition 0APL) fournit un morphisme \(Y \to X\). Par construction, le changement de base de ce morphisme par \(Z'\) est un isomorphisme ; le morphisme lui-même est donc un isomorphisme d’après le lemme 041Y. Cela prouve que \(X\) est représentable par un schéma affine, ce qui achève la démonstration.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion fermée” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03M4. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z' \ar[r] & Z }\] d’espaces algébriques sur \(S\) où \(Z' \to Z\) est un morphisme plat et surjectif de schémas affines et \(X' \to Z'\) une immersion fermée. Il faut montrer que \(X \to Z\) est une immersion fermée. Le morphisme \(X' \to Z'\) est affine. D’après le lemme 041Z, on voit que \(X\) est un schéma et que \(X \to Z\) est affine. Il résulte de Descente, Lemme 02L6, que \(X \to Z\) est une immersion fermée, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est séparé” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Tout changement de base d’un morphisme séparé est séparé ; voir Morphismes des espaces, Lemme 03KL. Cela donne donc l’implication directe de la définition 03YH.

Soit \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que chaque changement de base \(X_i := Y_i \times_Y X \to Y_i\) soit séparé. Cela signifie que chacun des morphismes \[\Delta_i : X_i \longrightarrow X_i \times_{Y_i} X_i = Y_i \times_Y (X \times_Y X)\] est une immersion fermée. Le changement de base d’un recouvrement fpqc est un recouvrement fpqc ; voir Topologies sur les espaces, Lemme 03MR ; ainsi, \(\{Y_i \times_Y (X \times_Y X) \to X \times_Y X\}\) est un recouvrement fpqc d’espaces algébriques. De plus, chaque \(\Delta_i\) est le changement de base du morphisme \(\Delta : X \to X \times_Y X\). Il résulte donc du lemme 0420 que \(\Delta\) est une immersion fermée, c’est-à-dire que \(f\) est séparé.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est propre” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Le lemme résulte de la combinaison des lemmes 041O, 0421 et 041U.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est quasi-affine” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03WM. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit quasi-affine. Soit \(X'\) un schéma représentant \(Z' \times_Z X\). On obtient un isomorphisme canonique \[\varphi : X' \times_Z Z' \longrightarrow Z' \times_Z X'\] car les deux schémas représentent l’espace algébrique \(Z' \times_Z Z' \times_Z X\). C’est une donnée de descente pour \(X'/Z'/Z\) ; voir Descente, Définition 023V (vérification omise ; comparer avec Descente, Lemme 02W5). Puisque \(X' \to Z'\) est quasi-affine, cette donnée de descente est effective ; voir Descente, Lemme 0247. Il existe donc un schéma \(Y \to Z\) sur \(Z\), ainsi qu’un isomorphisme \(\psi : Z' \times_Z Y \to X'\) compatible avec les données de descente. Bien entendu, \(Y \to Z\) est quasi-affine (par construction ou d’après Descente, Lemme 02L7). Remarquons que \(\mathcal{Y} = \{Z' \times_Z Y \to Y\}\) est un recouvrement fpqc. En interprétant \(\psi\) comme un élément de \(X(Z' \times_Z Y)\), on voit que \(\psi \in \check{H}^0(\mathcal{Y}, X)\). La condition de faisceau pour \(X\) (voir Propriétés des espaces, Proposition 0APL) fournit un morphisme \(Y \to X\). Par construction, le changement de base de ce morphisme par \(Z'\) est un isomorphisme ; il est donc un isomorphisme d’après le lemme 041Y. Cela prouve que \(X\) est représentable par un schéma quasi-affine, ce qui achève la démonstration.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion quasi-compacte” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemmes 03M4 et 03KG. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z' \ar[r] & Z }\] d’espaces algébriques sur \(S\) où \(Z' \to Z\) est un morphisme plat et surjectif de schémas affines et \(X' \to Z'\) une immersion quasi-compacte. Il faut montrer que \(X \to Z\) est une immersion quasi-compacte. Le morphisme \(X' \to Z'\) est quasi-affine. D’après le lemme 0423, on voit que \(X\) est un schéma et que \(X \to Z\) est quasi-affine. Il résulte de Descente, Lemme 02L8, que \(X \to Z\) est une immersion quasi-compacte, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est entier” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Un morphisme est entier si et seulement s’il est affine et universellement fermé. Voir Morphismes des espaces, Lemme 0415. Le lemme résulte donc de la combinaison des lemmes 041O et 041Z.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est fini” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Un morphisme est fini si et seulement s’il est entier et localement de type fini. Voir Morphismes des espaces, Lemme 0414. Le lemme résulte donc de la combinaison des lemmes 041S et 0425.

Lemme

Les propriétés \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est localement quasi-fini” et \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est quasi-fini” sont locales sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous avons déjà vu que la propriété “quasi-compact” est locale sur la base pour la topologie fpqc ; voir Lemme 041L. Il suffit donc de démontrer le lemme pour “localement quasi-fini”. Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 040Z. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit localement quasi-fini. Il faut montrer que \(f\) est localement quasi-fini. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. D’après Morphismes des espaces, Lemme 040Z, il suffit encore de montrer que \(U \to Z\) est localement quasi-fini. Puisque \(f'\) est localement quasi-fini et que \(Z' \times_Z U\) est un schéma étale sur \(Z' \times_Z X\), on déduit encore du même lemme que \(Z' \times_Z U \to Z'\) est localement quasi-fini. Comme \(\{Z' \to Z\}\) est un recouvrement fpqc, on en conclut que \(U \to Z\) est localement quasi-fini d’après Descente, Lemme 02VI, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est syntomique” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03ZA. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit syntomique. Il faut montrer que \(f\) est syntomique. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. D’après Morphismes des espaces, Lemme 03ZA, il suffit encore de montrer que \(U \to Z\) est syntomique. Puisque \(f'\) est syntomique et que \(Z' \times_Z U\) est un schéma étale sur \(Z' \times_Z X\), on déduit encore du même lemme que \(Z' \times_Z U \to Z'\) est syntomique. Comme \(\{Z' \to Z\}\) est un recouvrement fpqc, on en conclut que \(U \to Z\) est syntomique d’après Descente, Lemme 02VK, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est lisse” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03ZF. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit lisse. Il faut montrer que \(f\) est lisse. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. D’après Morphismes des espaces, Lemme 03ZF, il suffit encore de montrer que \(U \to Z\) est lisse. Puisque \(f'\) est lisse et que \(Z' \times_Z U\) est un schéma étale sur \(Z' \times_Z X\), on déduit encore du même lemme que \(Z' \times_Z U \to Z'\) est lisse. Comme \(\{Z' \to Z\}\) est un recouvrement fpqc, on en conclut que \(U \to Z\) est lisse d’après Descente, Lemme 02VL, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est non ramifié” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03ZK. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit non ramifié. Il faut montrer que \(f\) est non ramifié. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. D’après Morphismes des espaces, Lemme 03ZK, il suffit encore de montrer que \(U \to Z\) est non ramifié. Puisque \(f'\) est non ramifié et que \(Z' \times_Z U\) est un schéma étale sur \(Z' \times_Z X\), on déduit encore du même lemme que \(Z' \times_Z U \to Z'\) est non ramifié. Comme \(\{Z' \to Z\}\) est un recouvrement fpqc, on en conclut que \(U \to Z\) est non ramifié d’après Descente, Lemme 02VM, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est étale” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Nous appliquerons le lemme 041J. Ses hypothèses (1) et (2) résultent de Morphismes des espaces, Lemme 03XT. Soit \(Z' \to Z\) un morphisme plat et surjectif de schémas affines sur \(S\). Soit \(f : X \to Z\) un morphisme d’espaces algébriques, et supposons que le changement de base \(f' : Z' \times_Z X \to Z'\) soit étale. Il faut montrer que \(f\) est étale. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. D’après Morphismes des espaces, Lemme 03XT, il suffit encore de montrer que \(U \to Z\) est étale. Puisque \(f'\) est étale et que \(Z' \times_Z U\) est un schéma étale sur \(Z' \times_Z X\), on déduit encore du même lemme que \(Z' \times_Z U \to Z'\) est étale. Comme \(\{Z' \to Z\}\) est un recouvrement fpqc, on en conclut que \(U \to Z\) est étale d’après Descente, Lemme 02VN, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est fini localement libre” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Un morphisme est fini localement libre si et seulement s’il est fini, plat et localement de présentation finie (Morphismes des espaces, Lemme 0416). Le résultat découle donc des lemmes 0426, 041W et 041T.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est un monomorphisme” est locale sur la base pour la topologie fpqc.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Soit \(\{Y_i \to Y\}\) un recouvrement fpqc, et supposons que chacun des changements de base \(f_i : X_i \to Y_i\) de \(f\) soit un monomorphisme. Il faut montrer que \(f\) est un monomorphisme.

Première démonstration. Le morphisme \(f\) est un monomorphisme si et seulement si \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est un isomorphisme. En appliquant ce critère aux \(f_i\), on voit que chacun des morphismes \[\Delta_i : X_i \longrightarrow X_i \times_{Y_i} X_i = Y_i \times_Y (X \times_Y X)\] est un isomorphisme. Le changement de base d’un recouvrement fpqc est un recouvrement fpqc ; voir Topologies sur les espaces, Lemme 03MR ; ainsi, \(\{Y_i \times_Y (X \times_Y X) \to X \times_Y X\}\) est un recouvrement fpqc d’espaces algébriques. De plus, chaque \(\Delta_i\) est le changement de base du morphisme \(\Delta : X \to X \times_Y X\). Il résulte donc du lemme 041Y que \(\Delta\) est un isomorphisme, c’est-à-dire que \(f\) est un monomorphisme.

Seconde démonstration. Soit \(V\) un schéma et soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif. Si l’on peut montrer que \(V \times_Y X \to V\) est un monomorphisme, alors \(X \to Y\) est un monomorphisme. En effet, dans tout diagramme cartésien de faisceaux \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{G} \ar[d]^c \\ \mathcal{H} \ar[r]^d & \mathcal{I} } } \quad \quad \mathcal{F} = \mathcal{H} \times_\mathcal{I} \mathcal{G}\] si \(c\) est un morphisme surjectif de faisceaux et si \(a\) est injectif, alors \(d\) est lui aussi injectif. Cela ramène le problème au cas où \(Y\) est un schéma. En outre, dans ce cas, on peut supposer que les espaces algébriques \(Y_i\) sont des schémas, puisqu’on peut toujours raffiner le recouvrement afin de se ramener à cette situation ; voir Topologies sur les espaces, Lemme 0419.

Supposons que \(\{Y_i \to Y\}\) soit un recouvrement fpqc de schémas. Soient \(a, b : T \to X\) deux morphismes tels que \(f \circ a = f \circ b\). Il faut montrer que \(a = b\). Puisque \(f_i\) est un monomorphisme, on a \(a_i = b_i\), où \(a_i, b_i : Y_i \times_Y T \to X_i\) sont les changements de base. En particulier, les composés \(Y_i \times_Y T \to T \to X\) sont égaux. Comme \(\{Y_i \times_Y T \to T\}\) est un recouvrement fpqc, on déduit que \(a = b\) d’après Propriétés des espaces, Proposition 0APL.

Descente des propriétés des morphismes pour la topologie fppf

Nous établissons dans cette section certaines propriétés des morphismes d’espaces algébriques dont nous n’avons pas (encore) pu montrer qu’elles sont locales sur la base pour la topologie fpqc, mais qui sont locales sur la base pour la topologie fppf.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est une immersion” est locale sur la base pour la topologie fppf.

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Soit \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf de \(Y\). Soit \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\).

Si \(f\) est une immersion, alors chaque \(f_i\) est une immersion d’après Espaces, lemme 02YW. Cela démontre l’implication directe de la définition 03YH.

Réciproquement, supposons que chaque \(f_i\) soit une immersion. D’après Morphismes d’espaces, lemme 042R, chaque \(f_i\) est alors séparé. D’après Morphismes d’espaces, lemme 03XM, chaque \(f_i\) est alors localement quasi-fini. Les lemmes 0421 et 0427 montrent donc que \(f\) est localement quasi-fini et séparé. D’après Morphismes d’espaces, lemme 0418, il s’ensuit que \(f\) est représentable !

D’après Morphismes d’espaces, lemme 03M4, il suffit de montrer que, pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) est une immersion. D’après Topologies sur les espaces, lemme 042T, on peut trouver un recouvrement fppf \(\{Z_i \to Z\}\) par des schémas qui raffine le changement de base du recouvrement \(\{Y_i \to Y\}\) à \(Z\). Par conséquent, \(Z \times_Y X \to Z\) (qui est un morphisme de schémas d’après le résultat du paragraphe précédent) devient une immersion après changement de base par chacun des morphismes d’un recouvrement fppf de \(Z\) formé de schémas. Ainsi, \(Z \times_Y X \to Z\) est une immersion d’après le résultat pour les schémas ; voir Descente, lemme 02YM.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f) =\)“\(f\) est localement séparé” est locale sur la base pour la topologie fppf.

Démonstration

Tout changement de base d’un morphisme localement séparé est localement séparé ; voir Morphismes d’espaces, lemme 03KL. Cela établit l’implication directe de la définition 03YH.

Soit \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que chaque changement de base \(X_i := Y_i \times_Y X \to Y_i\) soit localement séparé. Cela signifie que chacun des morphismes \[\Delta_i : X_i \longrightarrow X_i \times_{Y_i} X_i = Y_i \times_Y (X \times_Y X)\] est une immersion. Tout changement de base d’un recouvrement fppf est un recouvrement fppf ; voir Topologies sur les espaces, lemme 03Y9. Par conséquent, \(\{Y_i \times_Y (X \times_Y X) \to X \times_Y X\}\) est un recouvrement fppf d’espaces algébriques. De plus, chaque \(\Delta_i\) est le changement de base du morphisme \(\Delta : X \to X \times_Y X\). Il résulte donc du lemme 042U que \(\Delta\) est une immersion, c’est-à-dire que \(f\) est localement séparé.

Application de la descente des propriétés des morphismes

Cette section est l’analogue de Descente, section 02LB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(\{g_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc. Soit \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\), et soit \(\mathcal{L}_i\) l’image inverse de \(\mathcal{L}\) sur \(X_i\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/Y\) ; et

2. \(\mathcal{L}_i\) est ample sur \(X_i/Y_i\) pour tout \(i \in I\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte de Diviseurs sur les espaces, lemme 0D33. Supposons (2). Pour vérifier que \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/Y\), on peut travailler localement pour la topologie étale sur \(Y\) ; voir Diviseurs sur les espaces, lemme 0D36. On peut donc supposer que \(Y\) est un schéma, puis que chaque \(Y_i\) est également un schéma ; voir Topologies sur les espaces, lemme 0419. Autrement dit, on peut supposer que \(\{Y_i \to Y\}\) est un recouvrement fpqc de schémas.

D’après Diviseurs sur les espaces, lemme 0D34, \(X_i \to Y_i\) est représentable (c’est-à-dire que \(X_i\) est un schéma), quasi-compact et séparé. Les lemmes 041L et 0421 montrent donc que \(f\) est quasi-compact et séparé. Cela signifie que \(\mathcal{A} = \bigoplus_{d \geq 0} f_*\mathcal{L}^{\otimes d}\) est une algèbre graduée quasi-cohérente sur \(\mathcal{O}_Y\) (Morphismes d’espaces, lemme 03M9). De plus, la formation de \(\mathcal{A}\) commute aux changements de base plats d’après Cohomologie des espaces, lemme 073K. En particulier, si l’on pose \(\mathcal{A}_i = \bigoplus_{d \geq 0} f_{i, *}\mathcal{L}_i^{\otimes d}\), alors \(\mathcal{A}_i = g_i^*\mathcal{A}\). Il s’ensuit que les morphismes naturels \(\psi_d : f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}^{\otimes d}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules deviennent, après image inverse, les morphismes naturels \(\psi_{i, d} : f_i^*(\mathcal{A}_i)_d \to \mathcal{L}_i^{\otimes d}\) de \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules. Puisque \(\mathcal{L}_i\) est ample sur \(X_i/Y_i\), pour tout point \(x_i \in X_i\), il existe un \(d \geq 1\) tel que \(f_i^*(\mathcal{A}_i)_d \to \mathcal{L}_i^{\otimes d}\) soit surjectif sur la fibre en \(x_i\). Cela résulte soit directement de la définition d’un module relativement ample, soit de Morphismes, lemme 01VJ. Si \(x \in |X|\), on peut choisir un \(i\) et un \(x_i \in X_i\) dont l’image est \(x\). Comme \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{X_i, \overline{x}_i}\) est plat, donc fidèlement plat, on conclut que, pour tout \(x \in |X|\), il existe un \(d \geq 1\) tel que \(f^*\mathcal{A}_d \to \mathcal{L}^{\otimes d}\) soit surjectif sur la fibre en \(x\). Il s’ensuit que l’ouvert \(U(\psi) \subset X\) du lemme de Diviseurs sur les espaces 0D2Z correspondant au morphisme \(\psi : f^*\mathcal{A} \to \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes d}\) d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_X\) est égal à \(X\). Considérons le morphisme correspondant \[r_{\mathcal{L}, \psi} : X \longrightarrow \underline{\text{Proj}}_Y(\mathcal{A})\] Il ressort clairement de ce qui précède que le changement de base de \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) à \(Y_i\) est le morphisme \(r_{\mathcal{L}_i, \psi_i}\), qui est une immersion ouverte d’après Morphismes, lemme 01VJ. Ainsi, \(r_{\mathcal{L}, \psi}\) est une immersion ouverte d’après le lemme 041X. Par conséquent, \(X\) est un schéma, et l’on conclut que \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X/Y\) d’après Morphismes, lemme 01VJ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Il existe un sous-espace ouvert \(V \subset Y\) caractérisé par la propriété suivante : Un morphisme \(Y' \to Y\) d’espaces algébriques se factorise par \(V\) si et seulement si l’image inverse \(\mathcal{L}'\) de \(\mathcal{L}\) sur \(X' = Y' \times_Y X\) est ample sur \(X'/Y'\) (au sens de Diviseurs sur les espaces, définition 0D31).

Démonstration

Supposons le lemme établi lorsque \(Y\) est un schéma. Soit \(U\) un schéma et soit \(U \to Y\) un morphisme étale surjectif. Soit \(R = U \times_Y U\), avec les projections \(t, s : R \to U\). Notons \(X_U = U \times_Y X\) et désignons par \(\mathcal{L}_U\) l’image inverse correspondante. On obtient alors un sous-schéma ouvert \(V' \subset U\) comme dans le lemme pour \((X_U \to U, \mathcal{L}_U)\). La caractérisation fonctorielle donne \(s^{-1}(V') = t^{-1}(V')\). Il existe donc un sous-espace ouvert \(V \subset Y\) tel que \(V'\) soit l’image inverse de \(V\) dans \(U\). En particulier, \(V' \to V\) est étale et surjectif, et l’on conclut que \(\mathcal{L}_V\) est ample sur \(X_V/V\) (Diviseurs sur les espaces, lemme 0D36). Maintenant, si \(Y' \to Y\) est un morphisme tel que \(\mathcal{L}'\) soit ample sur \(X'/Y'\), alors \(U \times_Y Y' \to Y'\) doit se factoriser par \(V'\), et l’on conclut que \(Y' \to Y\) se factorise par \(V\). Ainsi, \(V \subset Y\) possède la propriété énoncée dans le lemme. On est ainsi ramené au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons que \(Y\) soit un schéma. La question étant locale sur \(Y\), on peut supposer que \(Y\) est un schéma affine. Montrons l’assertion suivante :

1. Si \(\Spec(k) \to Y\) est un morphisme tel que \(\mathcal{L}_k\) soit ample sur \(X_k/k\), alors il existe un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de l’image de \(\Spec(k) \to Y\) tel que \(\mathcal{L}_V\) soit ample sur \(X_V/V\).

Il est clair que (A) entraîne le lemme.

Soient \(X \to Y\), \(\mathcal{L}\) et \(\Spec(k) \to Y\) comme dans (A). D’après le lemme 0D3C, on peut supposer que \(k = \kappa(y)\) est le corps résiduel d’un point \(y\) de \(Y\).

Comme \(Y\) est affine, on peut trouver un ensemble préordonné filtrant \(I\) et un système projectif de morphismes \(X_i \to Y_i\) d’espaces algébriques, où \(Y_i\) est de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\), où les morphismes de transition \(X_i \to X_{i'}\) et \(Y_i \to Y_{i'}\) sont affines, où \(X_i \to Y_i\) est propre et de présentation finie, et tel que \(X \to Y = \lim (X_i \to Y_i)\). Voir Limites d’espaces, lemme 0A0X. Quitte à remplacer \(I\) par une partie cofinale, on peut supposer que \(Y_i\) est un schéma (affine) pour tout \(i\) ; voir Limites d’espaces, lemme 07SQ. Quitte encore à remplacer \(I\) par une partie cofinale, on peut supposer disposer d’un système compatible de \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules inversibles \(\mathcal{L}_i\) dont l’image inverse est \(\mathcal{L}\) ; voir Limites d’espaces, lemme 0D2X. Soit \(y_i \in Y_i\) l’image de \(y\). Alors \(\kappa(y) = \colim \kappa(y_i)\). Par conséquent, \(X_y = \lim X_{i, y_i}\) et, quitte à remplacer \(I\) par une partie cofinale, on peut supposer que \(X_{i, y_i}\) est un schéma pour tout \(i\) ; voir Limites d’espaces, lemme 07SR. Il existe donc un \(i\) tel que \(\mathcal{L}_{i, y_i}\) soit ample sur \(X_{i, y_i}\), d’après Limites, lemme 09MT. D’après Diviseurs sur les espaces, lemme 0D3A, on trouve un voisinage ouvert \(V_i \subset Y_i\) de \(y_i\) tel que la restriction de \(\mathcal{L}_i\) à \(f_i^{-1}(V_i)\) soit ample relativement à \(V_i\). On achève la démonstration en prenant pour \(V \subset Y\) l’image inverse de \(V_i\) (indications : utiliser Morphismes, lemme 0893, le fait que \(X \to Y \times_{Y_i} X_i\) est affine, et le fait que l’image inverse d’un faisceau inversible ample par un morphisme affine est ample, d’après Morphismes, lemme 0892).

Propriétés des morphismes locales sur la source

Dans cette section, nous définissons ce que signifie, pour une propriété des morphismes d’espaces algébriques, être locale sur la source. Comparer avec Descente, section 036F.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\tau \in \{fpqc, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] \etale\}\). Nous disons que \(\mathcal{P}\) est \(\tau\)-locale sur la source, ou locale sur la source pour la topologie \(\tau\), si, pour tout morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(S\) et tout \(\tau\)-recouvrement \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) d’espaces algébriques, on a \[f \text{ vérifie }\mathcal{P} \Leftrightarrow \text{chaque }X_i \to Y\text{ vérifie }\mathcal{P}.\]

Précisons que, puisque les isomorphismes sont toujours couvrants, on voit (ou l’on exige) que la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(X \to Y\) si et seulement si elle est vérifiée par toute flèche \(X' \to Y'\) isomorphe à \(X \to Y\). Si une propriété est \(\tau\)-locale sur la source, elle reste vérifiée après précomposition par tout morphisme figurant dans un \(\tau\)-recouvrement. Voici un énoncé formel.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{fpqc, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] \etale\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) qui est \(\tau\)-locale sur la source. Supposons que \(f : X \to Y\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\). Pour tout morphisme \(a : X' \to X\) qui est respectivement plat, plat et localement de présentation finie, syntomique, lisse ou étale, la composée \(f \circ a : X' \to Y\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Cela résulte du fait que l’on peut compléter \(X' \to X\) en une famille de morphismes formant un recouvrement pour la topologie \(\tau\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\tau \in \{fpqc, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] \etale\}\). Supposons que \(\mathcal{P}\) soit une propriété des morphismes de schémas sur \(S\) qui soit locale sur la source et le but pour la topologie étale. Notons \(\mathcal{P}_{spaces}\) la propriété correspondante des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) ; voir Morphismes d’espaces, définition 04RD. Si \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour la topologie \(\tau\), alors \(\mathcal{P}_{spaces}\) est locale sur la source pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement d’espaces algébriques pour la topologie \(\tau\). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_Y V\). Pour chaque \(i\), choisissons un schéma \(U_i\) et un morphisme étale surjectif \(U_i \to X_i \times_X U\).

Remarquons que \(\{X_i \times_X U \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement pour la topologie \(\tau\). Remarquons que chacune des familles \(\{U_i \to X_i \times_X U\}\) est un recouvrement étale, donc un recouvrement pour la topologie \(\tau\). Ainsi, \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement pour la topologie \(\tau\) dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\). Mais puisque \(U\) et chaque \(U_i\) sont des schémas, \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) est un recouvrement pour la topologie \(\tau\) dans la catégorie des schémas sur \(S\).

On a maintenant \[\begin{align*} f \text{ vérifie }\mathcal{P}_{spaces} & \Leftrightarrow U \to V \text{ vérifie }\mathcal{P} \\ & \Leftrightarrow \text{chaque }U_i \to V \text{ vérifie }\mathcal{P} \\ & \Leftrightarrow \text{chaque }X_i \to Y\text{ vérifie }\mathcal{P}_{spaces}. \end{align*}\] La première et la dernière équivalence résultent de la définition de \(\mathcal{P}_{spaces}\), tandis que l’équivalence intermédiaire résulte de l’hypothèse selon laquelle \(\mathcal{P}\) est locale sur la source pour la topologie \(\tau\).

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie fpqc

Voici quelques propriétés des morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie fpqc.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est plat” est locale sur la source pour la topologie fpqc.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 03ML et Descente, lemme 036K.

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie fppf

Voici quelques propriétés des morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie fppf.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est localement de présentation finie” est locale sur la source pour la topologie fppf.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 03XP et Descente, lemme 036N.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est localement de type fini” est locale sur la source pour la topologie fppf.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 03XF et Descente, lemme 036O.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est ouvert” est locale sur la source pour la topologie fppf.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 03Z2 et Descente, lemme 036P.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est universellement ouvert” est locale sur la source pour la topologie fppf.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 03Z2 et Descente, lemme 036Q.

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie syntomique

Voici quelques propriétés des morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie syntomique.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est syntomique” est locale sur la source pour la topologie syntomique.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 03Z7 et Descente, lemme 036S.

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie lisse

Voici quelques propriétés des morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie lisse.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est lisse” est locale sur la source pour la topologie lisse.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 03ZC et Descente, lemme 036U.

Propriétés des morphismes locales sur la source pour la topologie étale

Voici quelques propriétés des morphismes qui sont locales sur la source pour la topologie étale.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est étale” est locale sur la source pour la topologie étale.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 04RH et Descente, lemme 036W.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est localement quasi-fini” est locale sur la source pour la topologie étale.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 03XJ et Descente, lemme 03X4.

Lemme

La propriété \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\) est non ramifié” est locale sur la source pour la topologie étale.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 06ER en utilisant Morphismes d’espaces, définition 03ZH et Descente, lemme 03YV.

Propriétés des morphismes locales pour la topologie lisse sur la source et le but

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques. La phrase « \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur la source et le but » possède un sens intuitif. Toutefois, cette notion ne revient pas à demander que \(\mathcal{P}\) soit à la fois locale pour la topologie lisse sur la source et locale pour la topologie lisse sur le but. Nous avons étudié très en détail un phénomène analogue (pour la topologie étale et la catégorie des schémas) dans Descente, section 04QW (pour un aperçu rapide, voir Descente, remarque 04R4). Il existe toutefois une différence importante entre le cas de la topologie lisse et celui de la topologie étale. Pour la saisir, nous invitons le lecteur à comparer Descente, lemme 04R0 et le lemme 06F9, ainsi qu’à comparer Descente, lemme 04R1 et le lemme 06FA. En effet, dans le cadre étale, le choix du « recouvrement » étale du but est indifférent, tandis qu’il ne l’est pas dans le cadre lisse.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Nous disons que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur la source et le but si

1. (stabilité par précomposition par des morphismes lisses) si \(f : X \to Y\) est lisse et si \(g : Y \to Z\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\),

2. (stabilité par changement de base lisse) si \(f : X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) et si \(Y' \to Y\) est lisse, alors le changement de base \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) vérifie \(\mathcal{P}\), et

3. (caractère local) pour un morphisme \(f : X \to Y\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\),

   2. pour tout \(x \in |X|\), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] dont les flèches verticales sont lisses et pour lequel il existe \(u \in |U|\) tel que \(a(u) = x\) et que \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Ce qui précède nous sert de définition. Dans les lemmes ci-dessous, nous montrerons que cela équivaut à ce que \(\mathcal{P}\) soit locale pour la topologie lisse sur le but, locale pour la topologie lisse sur la source et stable par postcomposition par des morphismes lisses.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) qui est locale pour la topologie lisse sur la source et le but. Alors :

1. \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur la source,

2. \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur le but,

3. \(\mathcal{P}\) est stable par postcomposition par des morphismes lisses : si \(f : X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) et si \(g : Y \to Z\) est lisse, alors \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Écrivons tous les détails.

Preuve de (1). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement lisse de \(X\). Si chaque composé \(h_i : X_i \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors, pour tout \(|x| \in X\), on peut trouver un indice \(i \in I\) et un point \(x_i \in |X_i|\) qui s’envoie sur \(x\). Alors \((X_i, x_i) \to (X, x)\) est un morphisme lisse de couples, \(\text{id}_Y : Y \to Y\) est un morphisme lisse et \(h_i\) est comme dans la partie (3) de la définition 06F8. On voit donc que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\). Réciproquement, si \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors chaque \(X_i \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) d’après la partie (1) de la définition 06F8.

Preuve de (2). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement lisse de \(Y\). Notons \(X_i = Y_i \times_Y X\) et \(h_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\). Si chaque \(h_i : X_i \to Y_i\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors, pour tout \(x \in |X|\), choisissons un indice \(i \in I\) et un point \(x_i \in |X_i|\) qui s’envoie sur \(x\). Alors \((X_i, x_i) \to (X, x)\) est un morphisme lisse de couples, \(Y_i \to Y\) est lisse et \(h_i\) est comme dans la partie (3) de la définition 06F8. On voit donc que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\). Réciproquement, si \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors chaque \(X_i \to Y_i\) vérifie \(\mathcal{P}\) d’après la partie (2) de la définition 06F8.

Preuve de (3). Supposons que \(f : X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) et que \(g : Y \to Z\) soit lisse. Pour tout \(x \in |X|\), considérons \((X, x) \to (X, x)\) comme un morphisme lisse de couples ; \(Y \to Z\) est un morphisme lisse, et \(h = f\) est comme dans la partie (3) de la définition 06F8. On voit donc que \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Le lemme suivant est l’analogue de Morphismes, lemme 01SU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) qui est locale pour la topologie lisse sur la source et le but. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\),

2. pour tout \(x \in |X|\), il existe un morphisme lisse de couples \(a : (U, u) \to (X, x)\), un morphisme lisse \(b : V \to Y\) et un morphisme \(h : U \to V\) tel que \(f \circ a = b \circ h\) et que \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\),

3. pour un certain diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(a\) et \(b\) sont lisses et \(a\) est surjectif, le morphisme \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\),

4. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(b\) est lisse et \(U \to X \times_Y V\) est lisse, le morphisme \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\),

5. il existe un recouvrement lisse \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) tel que chaque changement de base \(Y_i \times_Y X \to Y_i\) vérifie \(\mathcal{P}\),

6. il existe un recouvrement lisse \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) tel que chaque composé \(X_i \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\),

7. il existe un recouvrement lisse \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) et, pour chaque \(i \in I\), un recouvrement lisse \(\{X_{ij} \to Y_i \times_Y X\}_{j \in J_i}\) tel que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Démonstration

L’équivalence de (a) et (b) fait partie de la définition 06F8. L’équivalence de (a) et (e) est donnée par la partie (2) du lemme 06F9. L’équivalence de (a) et (f) est donnée par la partie (1) du lemme 06F9. Puisque (a) est maintenant équivalente à (e) et à (f), il s’ensuit que (a) est équivalente à (g).

Il est clair que (c) implique (b). Si (b) est vérifiée, alors, pour tout \(x \in |X|\), nous pouvons choisir un morphisme lisse de couples \(a_x : (U_x, u_x) \to (X, x)\), un morphisme lisse \(b_x : V_x \to Y\) et un morphisme \(h_x : U_x \to V_x\) tel que \(f \circ a_x = b_x \circ h_x\) et que \(h_x\) vérifie \(\mathcal{P}\). Alors \(h = \coprod h_x : \coprod U_x \to \coprod V_x\) forme, avec \(a = \coprod a_x\) et \(b = \coprod b_x\), un diagramme comme en (c). (Remarquons que \(h\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), puisque \(\{V_x \to \coprod V_x\}\) est un recouvrement lisse et que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur le but.) Ainsi, (b) et (c) sont équivalentes.

Nous savons maintenant que (a), (b), (c), (e), (f) et (g) sont équivalentes. Supposons (a) vérifiée. Soient \(U, V, a, b, h\) comme en (d). Alors \(X \times_Y V \to V\) vérifie \(\mathcal{P}\) puisque \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base lisse ; il s’ensuit que \(U \to V\) vérifie \(\mathcal{P}\) puisque \(\mathcal{P}\) est stable par précomposition par des morphismes lisses. Réciproquement, si (d) est vérifiée, prendre \(U = X\) et \(V = Y\) montre que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(\mathcal{P}\) soit locale pour la topologie lisse sur la source,

2. \(\mathcal{P}\) soit locale pour la topologie lisse sur le but, et

3. \(\mathcal{P}\) soit stable par postcomposition par des morphismes lisses : si \(f : X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) et si \(Y \to Z\) est un morphisme lisse, alors \(X \to Z\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Alors \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur la source et le but.

Démonstration

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui satisfait aux conditions (1), (2) et (3) du lemme. D’après le lemme 06EQ, on voit que \(\mathcal{P}\) est stable par précomposition par des morphismes lisses. D’après le lemme 06EM, on voit que \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base lisse. Il suffit donc de prouver que la partie (3) de la définition 06F8 est vérifiée.

Plus précisément, supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui vérifie la partie (3)(b) de la définition 06F8. Autrement dit, pour tout \(x \in X\), il existe un morphisme lisse \(a_x : U_x \to X\), un point \(u_x \in |U_x|\) qui s’envoie sur \(x\), un morphisme lisse \(b_x : V_x \to Y\) et un morphisme \(h_x : U_x \to V_x\) tels que \(f \circ a_x = b_x \circ h_x\) et que \(h_x\) vérifie \(\mathcal{P}\). Pour achever la preuve du lemme, il suffit de montrer que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\). Posons \(U = \coprod U_x\), \(a = \coprod a_x\), \(V = \coprod V_x\), \(b = \coprod b_x\) et \(h = \coprod h_x\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(a\) et \(b\) sont lisses et \(a\) est surjectif. Remarquons que \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\) puisque chaque \(h_x\) la vérifie et que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur le but. Comme \(a\) est surjectif et que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur la source, il suffit de prouver que \(b \circ h\) vérifie \(\mathcal{P}\). Cela résulte de l’hypothèse selon laquelle \(\mathcal{P}\) est stable par postcomposition par un morphisme lisse et du fait que \(b\) est lisse.

Remarque

À l’aide du lemme 06FB et des résultats établis dans les sections précédentes de ce chapitre, on dresse aisément une liste de types de morphismes dont la propriété est locale pour la topologie lisse sur la source et le but. Dans chaque cas, nous indiquons le lemme qui implique que la propriété est locale pour la topologie lisse sur la source et celui qui implique qu’elle est locale pour la topologie lisse sur le but. Dans chaque cas, la troisième hypothèse du lemme 06FB se vérifie immédiatement ; nous l’omettons. Voici la liste :

1. plat, voir les lemmes 06ET et 041W,

2. localement de présentation finie, voir les lemmes 06EV et 041T,

3. localement de type fini, voir les lemmes 06EW et 041S,

4. universellement ouvert, voir les lemmes 06EY et 041P,

5. syntomique, voir les lemmes 06F0 et 0428,

6. lisse, voir les lemmes 06F2 et 0429,

7. ajouter ici d’autres cas au besoin.

Propriétés des morphismes locales pour la topologie étale sur la source et la topologie lisse sur le but

Cette section est l’analogue de la section 06F7 pour les propriétés des morphismes qui sont locales pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but. Nous donnons à cette propriété un nom ridiculement long afin de ne pas avoir à l’employer trop souvent.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Nous disons que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but si

1. (stabilité par précomposition par des morphismes étales) si \(f : X \to Y\) est étale et si \(g : Y \to Z\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\),

2. (stabilité par changement de base lisse) si \(f : X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) et si \(Y' \to Y\) est lisse, alors le changement de base \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) vérifie \(\mathcal{P}\), et

3. (caractère local) pour un morphisme \(f : X \to Y\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\),

   2. pour tout \(x \in |X|\), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(b\) est lisse, où \(U \to X \times_Y V\) est étale et où il existe \(u \in |U|\) tel que \(a(u) = x\) et que \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Ce qui précède nous sert de définition. Dans les lemmes ci-dessous, nous montrerons que cela équivaut à ce que \(\mathcal{P}\) soit locale pour la topologie étale sur le but, locale pour la topologie lisse sur la source et stable par postcomposition par des morphismes étales.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) qui est locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but. Alors :

1. \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie étale sur la source,

2. \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur le but,

3. \(\mathcal{P}\) est stable par postcomposition par des morphismes étales : si \(f : X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) et si \(g : Y \to Z\) est étale, alors \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\), et

4. \(\mathcal{P}\) possède la propriété de permanence suivante : si \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) est étale et si \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Écrivons tous les détails.

Preuve de (1). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement étale de \(X\). Si chaque composé \(h_i : X_i \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors, pour tout \(|x| \in X\), on peut trouver un indice \(i \in I\) et un point \(x_i \in |X_i|\) qui s’envoie sur \(x\). Alors \((X_i, x_i) \to (X, x)\) est un morphisme étale de couples, \(\text{id}_Y : Y \to Y\) est un morphisme lisse et \(h_i\) est comme dans la partie (3) de la définition 0CFZ. On voit donc que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\). Réciproquement, si \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors chaque \(X_i \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) d’après la partie (1) de la définition 0CFZ.

Preuve de (2). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) un recouvrement lisse de \(Y\). Notons \(X_i = Y_i \times_Y X\) et \(h_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f\). Si chaque \(h_i : X_i \to Y_i\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors, pour tout \(x \in |X|\), choisissons un indice \(i \in I\) et un point \(x_i \in |X_i|\) qui s’envoie sur \(x\). Alors \(X_i \to X \times_Y Y_i\) est un morphisme étale (puisque c’est un isomorphisme), \(Y_i \to Y\) est lisse et \(h_i\) est comme dans la partie (3) de la définition 06F8. On voit donc que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\). Réciproquement, si \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\), alors chaque \(X_i \to Y_i\) vérifie \(\mathcal{P}\) d’après la partie (2) de la définition 06F8.

Preuve de (3). Supposons que \(f : X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) et que \(g : Y \to Z\) soit étale. Le morphisme \(X \to Y \times_Z X\) est étale en tant que morphisme entre des espaces algébriques étales sur \(X\) ( Propriétés des espaces, lemme 03FV). De plus, \(Y \to Z\) est étale, donc lisse. Ainsi, le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_f & Y \ar[d] \\ X \ar[r]^{g \circ f} & Z }\] convient, pour tout \(x \in |X|\), dans la partie (3) de la définition 06F8, et nous concluons que \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Preuve de (4). Soient \(f : X \to Y\) un morphisme et \(g : Y \to Z\) étale tels que \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\). Alors, d’après la partie (2) de la définition 0CFZ, on voit que \(\text{pr}_Y : Y \times_Z X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\). Mais le morphisme \((f, 1) : X \to Y \times_Z X\) est étale, car c’est une section de la projection étale \(\text{pr}_X : Y \times_Z X \to X\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 05W3. Ainsi, \(f = \text{pr}_Y \circ (f, 1)\) vérifie \(\mathcal{P}\) d’après la partie (1) de la définition 0CFZ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\) qui est locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\),

2. pour tout \(x \in |X|\), il existe un morphisme lisse \(b : V \to Y\), un morphisme étale \(a : U \to V \times_Y X\) et un point \(u \in |U|\) qui s’envoie sur \(x\), de telle sorte que \(U \to V\) vérifie \(\mathcal{P}\),

3. pour un certain diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(b\) est lisse, \(U \to V \times_Y X\) est étale et \(a\) est surjectif, le morphisme \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\),

4. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(b\) est lisse et \(U \to X \times_Y V\) est étale, le morphisme \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\),

5. il existe un recouvrement lisse \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) tel que chaque changement de base \(Y_i \times_Y X \to Y_i\) vérifie \(\mathcal{P}\),

6. il existe un recouvrement étale \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) tel que chaque composé \(X_i \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\),

7. il existe un recouvrement lisse \(\{Y_i \to Y\}_{i \in I}\) et, pour chaque \(i \in I\), un recouvrement étale \(\{X_{ij} \to Y_i \times_Y X\}_{j \in J_i}\) tel que chaque morphisme \(X_{ij} \to Y_i\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Démonstration

L’équivalence de (a) et (b) fait partie de la définition 0CFZ. L’équivalence de (a) et (e) est donnée par la partie (2) du lemme 0CG0. L’équivalence de (a) et (f) est donnée par la partie (1) du lemme 0CG0. Puisque (a) est maintenant équivalente à (e) et à (f), il s’ensuit que (a) est équivalente à (g).

Il est clair que (c) implique (b). Si (b) est vérifiée, alors, pour tout \(x \in |X|\), nous pouvons choisir un morphisme lisse \(b_x : V_x \to Y\), un morphisme étale \(U_x \to V_x \times_Y X\), et un point \(u_x \in |U_x|\) qui s’envoie sur \(x\), de telle sorte que \(U_x \to V_x\) vérifie \(\mathcal{P}\). Alors \(h = \coprod h_x : \coprod U_x \to \coprod V_x\) forme, avec \(a = \coprod a_x\) et \(b = \coprod b_x\), un diagramme comme en (c). (Remarquons que \(h\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), puisque \(\{V_x \to \coprod V_x\}\) est un recouvrement lisse et que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur le but.) Ainsi, (b) et (c) sont équivalentes.

Nous savons maintenant que (a), (b), (c), (e), (f) et (g) sont équivalentes. Supposons (a) vérifiée. Soient \(U, V, a, b, h\) comme en (d). Alors \(X \times_Y V \to V\) vérifie \(\mathcal{P}\) puisque \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base lisse ; il s’ensuit que \(U \to V\) vérifie \(\mathcal{P}\) puisque \(\mathcal{P}\) est stable par précomposition par des morphismes étales. Réciproquement, si (d) est vérifiée, prendre \(U = X\) et \(V = Y\) montre que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(\mathcal{P}\) soit locale pour la topologie étale sur la source,

2. \(\mathcal{P}\) soit locale pour la topologie lisse sur le but, et

3. \(\mathcal{P}\) soit stable par postcomposition par des immersions ouvertes : si \(f : X \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\) et si \(Y \subset Z\) est une immersion ouverte, alors \(X \to Z\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Alors \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but.

Démonstration

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui satisfait aux conditions (1), (2) et (3) du lemme. D’après le lemme 06EQ, on voit que \(\mathcal{P}\) est stable par précomposition par des morphismes étales. D’après le lemme 06EM, on voit que \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base lisse. Il suffit donc de prouver que la partie (3) de la définition 06F8 est vérifiée.

Plus précisément, supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui vérifie la partie (3)(b) de la définition 06F8. Autrement dit, pour tout \(x \in X\), il existe un morphisme lisse \(b_x : V_x \to Y\), un morphisme étale \(U_x \to V_x \times_Y X\) et un point \(u_x \in |U_x|\) qui s’envoie sur \(x\) de telle sorte que \(h_x : U_x \to V_x\) vérifie \(\mathcal{P}\). Pour achever la preuve du lemme, il suffit de montrer que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\).

Soit \(a_x : U_x \to X\) le composé \(U_x \to V_x \times_Y X \to X\). Posons \(U = \coprod U_x\), \(a = \coprod a_x\), \(V = \coprod V_x\), \(b = \coprod b_x\) et \(h = \coprod h_x\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(b\) est lisse, \(U \to V \times_Y X\) est étale et \(a\) est surjectif. Remarquons que \(h\) vérifie \(\mathcal{P}\) puisque chaque \(h_x\) la vérifie et que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur le but. Au paragraphe suivant, nous montrons que l’on peut supposer que \(U, V, X, Y\) sont des schémas ; nous invitons le lecteur à passer ce paragraphe.

Soient \(X, Y, U, V, a, b, f, h\) comme au paragraphe précédent. Il faut montrer que \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\). Soit \(X' \to X\) un morphisme étale surjectif avec \(X_i\) un schéma. Posons \(U' = X' \times_X U\). Alors \(U' \to X'\) est surjectif et \(U' \to X' \times_Y V\) est étale. Comme \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie étale sur la source, on voit que \(U' \to V\) vérifie \(\mathcal{P}\) et qu’il suffit de montrer que \(X' \to Y\) vérifie \(\mathcal{P}\). Autrement dit, on peut supposer que \(X\) est un schéma. Choisissons ensuite un morphisme étale surjectif \(Y' \to Y\), où \(Y'\) est un schéma. Posons \(V' = V \times_Y Y'\), \(X' = X \times_Y Y'\) et \(U' = U \times_Y Y'\). Alors \(U' \to X'\) est surjectif et \(U' \to X' \times_{Y'} V'\) est étale. Comme \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur le but, on voit que \(U' \to V'\) vérifie \(\mathcal{P}\) et qu’il suffit de prouver que \(X' \to Y'\) vérifie \(\mathcal{P}\). Ainsi, on peut supposer que \(X\) et \(Y\) sont tous deux des schémas. Choisissons un morphisme étale surjectif \(V' \to V\) avec \(V'\) un schéma. Posons \(U' = U \times_V V'\). Alors \(U' \to X\) est surjectif et \(U' \to X \times_Y V'\) est étale. Comme \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur la source, on voit que \(U' \to V'\) vérifie \(\mathcal{P}\). Nous pouvons donc remplacer \(U, V\) par \(U', V'\) et supposer que \(X, Y, V\) sont des schémas. Enfin, remplaçons \(U\) par un schéma muni d’un morphisme étale surjectif vers \(U\) ; on voit alors que l’on peut supposer que \(U, V, X, Y\) sont tous des schémas.

Si \(U, V, X, Y\) sont des schémas, alors \(f\) vérifie \(\mathcal{P}\) d’après Descente, lemme 0CF1.

Remarque

À l’aide du lemme 0CG2 et des résultats établis dans les sections précédentes de ce chapitre, on dresse aisément une liste de types de morphismes dont la propriété est locale pour la topologie lisse sur la source et le but. Dans chaque cas, nous indiquons le lemme qui implique que la propriété est locale pour la topologie étale sur la source et celui qui implique qu’elle est locale pour la topologie lisse sur le but. Dans chaque cas, la troisième hypothèse du lemme 0CG2 se vérifie immédiatement ; nous l’omettons. Voici la liste :

1. étale, voir les lemmes 06F4 et 042B,

2. localement quasi-fini, voir les lemmes 06F5 et 0427,

3. non ramifié, voir les lemmes 06F6 et 042A, et

4. ajouter ici d’autres cas au besoin.

Bien entendu, toute propriété énumérée dans la remarque 06FC est a fortiori un exemple que l’on pourrait faire figurer ici.

Données de descente pour des espaces au-dessus d’espaces

Cette section est l’analogue de Descente, section 023U, dans le cas des espaces algébriques. La plupart des arguments de cette section sont formels et ne reposent que sur la définition d’une donnée de descente.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).

1. Soit \(V \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques. Une donnée de descente pour \(V/Y/X\) est un isomorphisme \(\varphi : V \times_X Y \to Y \times_X V\) d’espaces algébriques au-dessus de \(Y \times_X Y\) satisfaisant à la condition de cocycle suivante : le diagramme \[\xymatrix{ V \times_X Y \times_X Y \ar[rd]^{\varphi_{01}} \ar[rr]_{\varphi_{02}} & & Y \times_X Y \times_X V\\ & Y \times_X V \times_X Y \ar[ru]^{\varphi_{12}} }\] est commutatif (avec les notations évidentes).

2. On dit également que le couple \((V/Y, \varphi)\) est une donnée de descente relativement à \(Y \to X\).

3. Un morphisme \(f : (V/Y, \varphi) \to (V'/Y, \varphi')\) de données de descente relativement à \(Y \to X\) est un morphisme \(f : V \to V'\) d’espaces algébriques au-dessus de \(Y\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ V \times_X Y \ar[r]_{\varphi} \ar[d]_{f \times \text{id}_Y} & Y \times_X V \ar[d]^{\text{id}_Y \times f} \\ V' \times_X Y \ar[r]^{\varphi'} & Y \times_X V' }\] soit commutatif.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \((V/Y, \varphi)\) une donnée de descente relativement à \(Y \to X\). On peut considérer l’isomorphisme \(\varphi\) comme un isomorphisme \[(Y \times_X Y) \times_{\text{pr}_0, Y} V \longrightarrow (Y \times_X Y) \times_{\text{pr}_1, Y} V\] d’espaces algébriques au-dessus de \(Y \times_X Y\). Ainsi, de manière informelle, on peut considérer \(\varphi\) comme une application \(\varphi : \text{pr}_0^*V \to \text{pr}_1^*V\)¹. La condition de cocycle exprime alors que \(\text{pr}_{02}^*\varphi = \text{pr}_{12}^*\varphi \circ \text{pr}_{01}^*\varphi\). Elle est ainsi très semblable à celle d’une donnée de descente sur des faisceaux quasi-cohérents.

Voici la définition lorsqu’on dispose d’une famille de morphismes à cible fixée.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille de morphismes d’espaces algébriques au-dessus de \(S\), à cible fixée \(X\).

1. Une donnée de descente \((V_i, \varphi_{ij})\) relativement à la famille \(\{X_i \to X\}\) est constituée d’un espace algébrique \(V_i\) au-dessus de \(X_i\) pour chaque \(i \in I\), et d’un isomorphisme \(\varphi_{ij} : V_i \times_X X_j \to X_i \times_X V_j\) d’espaces algébriques au-dessus de \(X_i \times_X X_j\), pour chaque couple \((i, j) \in I^2\), tel que, pour tout triplet d’indices \((i, j, k) \in I^3\), le diagramme \[\xymatrix{ V_i \times_X X_j \times_X X_k \ar[rd]^{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} \ar[rr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} & & X_i \times_X X_j \times_X V_k\\ & X_i \times_X V_j \times_X X_k \ar[ru]^{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} }\] d’espaces algébriques au-dessus de \(X_i \times_X X_j \times_X X_k\) soit commutatif (avec les notations évidentes).

2. Un morphisme \(\psi : (V_i, \varphi_{ij}) \to (V'_i, \varphi'_{ij})\) de données de descente est constitué d’une famille \(\psi = (\psi_i)_{i \in I}\) de morphismes \(\psi_i : V_i \to V'_i\) d’espaces algébriques au-dessus de \(X_i\) telle que tous les diagrammes \[\xymatrix{ V_i \times_X X_j \ar[r]_{\varphi_{ij}} \ar[d]_{\psi_i \times \text{id}} & X_i \times_X V_j \ar[d]^{\text{id} \times \psi_j} \\ V'_i \times_X X_j \ar[r]^{\varphi'_{ij}} & X_i \times_X V'_j }\] soient commutatifs.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille de morphismes d’espaces algébriques au-dessus de \(S\), à cible fixée \(X\). Soit \((V_i, \varphi_{ij})\) une donnée de descente relativement à \(\{X_i \to X\}\). On peut considérer les isomorphismes \(\varphi_{ij}\) comme des isomorphismes \[(X_i \times_X X_j) \times_{\text{pr}_0, X_i} V_i \longrightarrow (X_i \times_X X_j) \times_{\text{pr}_1, X_j} V_j\] d’espaces algébriques au-dessus de \(X_i \times_X X_j\). Ainsi, de manière informelle, on peut considérer \(\varphi_{ij}\) comme un isomorphisme \(\text{pr}_0^*V_i \to \text{pr}_1^*V_j\) au-dessus de \(X_i \times_X X_j\). La condition de cocycle exprime alors que \(\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik} = \text{pr}_{12}^*\varphi_{jk} \circ \text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}\). Elle est ainsi très semblable à celle d’une donnée de descente sur des faisceaux quasi-cohérents.

La raison pour laquelle nous travaillerons habituellement avec une famille réduite à un seul morphisme est le lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille de morphismes d’espaces algébriques au-dessus de \(S\), à cible fixée \(X\). Posons \(Y = \coprod_{i \in I} X_i\). Il existe une équivalence canonique de catégories \[\begin{matrix} \text{catégorie des données de descente } \\ \text{relativement à la famille } \{X_i \to X\}_{i \in I} \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{ catégorie des données de descente} \\ \text{ relativement à } Y/X \end{matrix}\] qui envoie \((V_i, \varphi_{ij})\) sur \((V, \varphi)\), où \(V = \coprod_{i\in I} V_i\) et \(\varphi = \coprod \varphi_{ij}\).

Démonstration

Remarquons que \(Y \times_X Y = \coprod_{ij} X_i \times_X X_j\) et de même pour les produits fibrés itérés. Se donner un morphisme \(V \to Y\) revient exactement à se donner une famille \(V_i \to X_i\). De même, se donner une donnée de descente \(\varphi\) revient exactement à se donner une famille \(\varphi_{ij}\).

Lemme

Changement de base des données de descente. Soit \(S\) un schéma.

1. Soit \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_f \ar[d]_{a'} & Y \ar[d]^a \\ X' \ar[r]^h & X }\] soit un diagramme commutatif d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). La construction \[(V \to Y, \varphi) \longmapsto f^*(V \to Y, \varphi) = (V' \to Y', \varphi')\] où \(V' = Y' \times_Y V\) et où \(\varphi'\) est définie comme la composée \[\xymatrix{ V' \times_{X'} Y' \ar@{=}[r] & (Y' \times_Y V) \times_{X'} Y' \ar@{=}[r] & (Y' \times_{X'} Y') \times_{Y \times_X Y} (V \times_X Y) \ar[d]^{\text{id} \times \varphi} \\ Y' \times_{X'} V' \ar@{=}[r] & Y' \times_{X'} (Y' \times_Y V) & (Y' \times_X Y') \times_{Y \times_X Y} (Y \times_X V) \ar@{=}[l] }\] définit un foncteur de la catégorie des données de descente relativement à \(Y \to X\) vers la catégorie des données de descente relativement à \(Y' \to X'\).

2. Étant donnés deux morphismes \(f_i : Y' \to Y\), \(i = 0, 1\), rendant le diagramme commutatif, les foncteurs \(f_0^*\) et \(f_1^*\) sont canoniquement isomorphes.

Démonstration

Nous omettons la démonstration de (1), mais remarquons que le morphisme \(\varphi'\) est le morphisme \((f \times f)^*\varphi\) dans les notations introduites dans la remarque 0ADH. Pour (2), indiquons quel morphisme \(f_0^*V \to f_1^*V\) fournit l’isomorphisme fonctoriel. En effet, puisque \(f_0\) et \(f_1\) s’insèrent tous deux dans le diagramme commutatif, il existe un unique morphisme \(r : Y' \to Y \times_X Y\) tel que \(f_i = \text{pr}_i \circ r\). Prenons alors \[\begin{eqnarray*} f_0^*V & = & Y' \times_{f_0, Y} V \\ & = & Y' \times_{\text{pr}_0 \circ r, Y} V \\ & = & Y' \times_{r, Y \times_X Y} (Y \times_X Y) \times_{\text{pr}_0, Y} V \\ & \xrightarrow{\varphi} & Y' \times_{r, Y \times_X Y} (Y \times_X Y) \times_{\text{pr}_1, Y} V \\ & = & Y' \times_{\text{pr}_1 \circ r, Y} V \\ & = & Y' \times_{f_1, Y} V \\ & = & f_1^*V \end{eqnarray*}\] Nous omettons la vérification.

Définition

Avec \(S, X, X', Y, Y', f, a, a', h\) comme dans le lemme 0ADL, le foncteur \[(V, \varphi) \longmapsto f^*(V, \varphi)\] construit dans ce lemme est appelé le foncteur de changement de base des données de descente.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(\mathcal{U}' = \{X'_i \to X'\}_{i \in I'}\) et \(\mathcal{U} = \{X_j \to X\}_{i \in I}\) des familles de morphismes à cible fixée. Soient \(\alpha : I' \to I\), \(g : X' \to X\) et les morphismes \(g_i : X'_i \to X_{\alpha(i)}\) les composantes d’un morphisme de familles de morphismes à cible fixée, voir Sites, définition 00VT.

1. Soit \((V_i, \varphi_{ij})\) une donnée de descente relativement à la famille \(\mathcal{U}\). Le système \[\left( g_i^*V_{\alpha(i)}, (g_i \times g_j)^*\varphi_{\alpha(i) \alpha(j)} \right)\] (avec les notations de la remarque 0ADJ) est une donnée de descente relativement à \(\mathcal{U}'\).

2. Cette construction définit un foncteur de la catégorie des données de descente relativement à \(\mathcal{U}\) vers la catégorie des données de descente relativement à \(\mathcal{U}'\).

3. Soient aussi \(\beta : I' \to I\), \(h : X' \to X\) et les morphismes \(h'_i : X'_i \to X_{\beta(i)}\) les composantes d’un second morphisme de familles de morphismes à cible fixée. Si \(g = h\), alors les deux foncteurs obtenus entre les catégories de données de descente sont canoniquement isomorphes.

4. Via le lemme 0ADK, ces foncteurs coïncident avec les foncteurs de changement de base construits dans le lemme 0ADL.

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 0ADL au moyen de la correspondance du lemme 0ADK.

Définition

Avec \(\mathcal{U}' = \{X'_i \to X'\}_{i \in I'}\), \(\mathcal{U} = \{X_i \to X\}_{i \in I}\), \(\alpha : I' \to I\), \(g : X' \to X\) et \(g_i : X'_i \to X_{\alpha(i)}\) comme dans le lemme 0ADN, le foncteur \[(V_i, \varphi_{ij}) \longmapsto (g_i^*V_{\alpha(i)}, (g_i \times g_j)^*\varphi_{\alpha(i) \alpha(j)})\] construit dans ce lemme est appelé le foncteur de changement de base des données de descente.

Si \(\mathcal{U}\) et \(\mathcal{U}'\) ont la même cible \(X\), et si \(\mathcal{U}'\) raffine \(\mathcal{U}\) (voir Sites, définition 00VT), mais qu’aucun couple explicite \((\alpha, g_i)\) n’est donné, nous pouvons néanmoins parler du foncteur de changement de base, puisque le lemme 0ADN montre que le choix du couple n’importe pas (à isomorphisme canonique près).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\).

1. À tout espace algébrique \(U\) au-dessus de \(X\) est associée la donnée de descente triviale de \(U\) relativement à \(\text{id} : X \to X\), à savoir le morphisme identité de \(U\).

2. Le lemme 0ADL fournit alors une donnée de descente canonique sur \(Y \times_X U\) relativement à \(Y \to X\), obtenue par changement de base de la donnée de descente triviale par \(f\). Cette donnée de descente est souvent notée \((Y \times_X U, can)\).

3. Une donnée de descente \((V, \varphi)\) relativement à \(Y/X\) est dite effective si \((V, \varphi)\) est isomorphe à la donnée de descente canonique \((Y \times_X U, can)\) pour un espace algébrique \(U\) au-dessus de \(X\).

Ainsi, l’effectivité signifie qu’il existe un espace algébrique \(U\) au-dessus de \(X\) et un isomorphisme \(\psi : V \to Y \times_X U\) au-dessus de \(Y\) tels que \(\varphi\) soit égale à la composée \[V \times_X Y \xrightarrow{\psi \times \text{id}_Y} Y \times_X U \times_S Y = Y \times_X Y \times_X U \xrightarrow{\text{id}_Y \times \psi^{-1}} Y \times_X V\] Il existe ici une légère difficulté : cette définition (dans son esprit) entre en conflit avec celle donnée dans Descente, définition 023Z, lorsque \(Y\) et \(X\) sont des schémas. Cependant, le contexte permettra toujours de savoir laquelle des deux est visée.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to X\}\) une famille de morphismes d’espaces algébriques au-dessus de \(S\), à cible fixée \(X\).

1. Étant donné un espace algébrique \(U\) au-dessus de \(X\), il existe une donnée de descente canonique sur la famille des espaces algébriques \(X_i \times_X U\), obtenue par changement de base de la donnée de descente triviale de \(U\) relativement à \(\{\text{id} : S \to S\}\). Nous notons cette donnée de descente \((X_i \times_X U, can)\).

2. Une donnée de descente \((V_i, \varphi_{ij})\) relativement à \(\{X_i \to S\}\) est dite effective s’il existe un espace algébrique \(U\) au-dessus de \(X\) tel que \((V_i, \varphi_{ij})\) soit isomorphe à \((X_i \times_X U, can)\).

Données de descente en termes de faisceaux

Cette section est l’analogue de Descente, section 02W4. Elle diffère légèrement, puisque les espaces algébriques sont déjà des faisceaux.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) un recouvrement fppf d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) (Topologies sur les espaces, définition 03Y8). Il existe une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} \text{données de descente }(V_i, \varphi_{ij})\\ \text{relativement à }\{X_i \to X\} \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{faisceaux }F\text{ sur }(\Sch/S)_{fppf}\text{ munis}\\ \text{d'un morphisme }F \to X\text{ tel que chaque}\\ X_i \times_X F\text{ soit un espace algébrique} \end{matrix} \right\}.\] De plus,

1. l’espace algébrique \(X_i \times_X F\) du membre de droite correspond à \(V_i\) du membre de gauche, et

2. le faisceau \(F\) est un espace algébrique² si et seulement si la donnée de descente \((X_i, \varphi_{ij})\) correspondante est effective.

Démonstration

Construisons le foncteur de droite à gauche. Soit \(F \to X\) un morphisme de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) tel que chaque \(V_i = X_i \times_X F\) soit un espace algébrique. Nous disposons de la projection \(V_i \to X_i\). Alors \(V_i \times_X X_j\) et \(X_i \times_X V_j\) représentent tous deux le faisceau \(X_i \times_X F \times_X X_j\) ; nous obtenons donc un isomorphisme \[\varphi_{ii'} : V_i \times_X X_j \to X_i \times_X V_j\] Il est immédiat que les applications \(\varphi_{ij}\) sont des morphismes au-dessus de \(X_i \times_X X_j\) et satisfont à la condition de cocycle. Le foncteur de droite à gauche est donné par cette construction \(F \mapsto (V_i, \varphi_{ij})\).

Construisons maintenant un foncteur de gauche à droite. Les isomorphismes \(\varphi_{ij}\) fournissent des isomorphismes \[\varphi_{ij} : V_i \times_X X_j \longrightarrow X_i \times_X V_j\] au-dessus de \(X_i \times X_j\). Posons \(F\) égal au coégalisateur du diagramme suivant : \[\xymatrix{ \coprod_{i, i'} V_i \times_X X_j \ar@<1ex>[rr]^-{\text{pr}_0} \ar@<-1ex>[rr]_-{\text{pr}_1 \circ \varphi_{ij}} & & \coprod_i V_i \ar[r] & F }\] La condition de cocycle assure que \(F\) est muni d’un morphisme \(F \to X\) et que \(X_i \times_X F\) est isomorphe à \(V_i\). Le foncteur de gauche à droite est donné par cette construction \((V_i, \varphi_{ij}) \mapsto F\).

Nous omettons de vérifier que ces constructions sont des foncteurs quasi-inverses l’un de l’autre. Les derniers énoncés (1) et (2) résultent des constructions.