Cohomologie des espaces algébriques

Introduction

Dans ce chapitre, nous traitons de la cohomologie des espaces algébriques. Bien que nous démontrions certains résultats sur la cohomologie des faisceaux abéliens, nous nous intéressons principalement à la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents, c’est-à-dire que nous démontrons les analogues des résultats du chapitre “Cohomologie des schémas”. Certains résultats de ce chapitre se trouvent dans [Kn].

Un ingrédient important qui manque dans ce chapitre est le principe d’induction, c’est-à-dire l’analogue, pour les espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés, du chapitre Cohomologie des schémas, lemme 08DR. Ce principe est formulé précisément et démontré en détail dans Catégories dérivées des espaces, section 08GL. Au lieu du principe d’induction, nous utilisons dans ce chapitre le complexe de Čech alterné, voir section 0721. Il est conçu pour démontrer des énoncés d’annulation tels que la proposition 072B, mais, dans certains cas, le principe d’induction est un outil plus puissant et peut-être plus « standard ». Nous encourageons le lecteur à consulter le principe d’induction après avoir lu une partie du contenu de cette section.

Conventions

L’hypothèse générale est que tous les schémas sont contenus dans un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). Tous les anneaux \(A\) considérés ont la propriété que \(\Spec(A)\) est (isomorphe à) un objet de ce grand site.

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Dans ce chapitre et le suivant, nous écrirons \(X \times_S X\) pour le produit de \(X\) par lui-même (dans la catégorie des espaces algébriques sur \(S\)), plutôt que \(X \times X\).

Images directes supérieures

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique représentable sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent sur \(X\) (voir Propriétés des espaces, section 03G5). D’après Descente, proposition 03DW, les groupes de cohomologie \(H^i(X, \mathcal{F})\) coïncident avec le groupe de cohomologie usuel calculé dans la topologie de Zariski du module quasi-cohérent sur le schéma représentant \(X\).

Plus généralement, soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques représentables \(X\) et \(Y\). Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent sur \(X\). D’après Descente, lemme 071N, le faisceau \(R^if_*\mathcal{F}\) coïncide avec l’image directe supérieure usuelle calculée pour la topologie de Zariski du module quasi-cohérent sur le schéma représentant \(X\) qui se déduit vers le schéma représentant \(Y\).

Plus généralement encore, supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme représentable, quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(V\) un schéma et soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif. Posons \(U = V \times_Y X\) et soit \(f' : U \to V\) le changement de base de \(f\). Pour tout Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), nous avons [071Z]\[\begin{equation} R^if'_*(\mathcal{F}|_U) = (R^if_*\mathcal{F})|_V, \end{equation}\] voir Propriétés des espaces, lemme 03LX. Comme \(f' : U \to V\) est un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas, la remarque du paragraphe précédent permet de calculer \(R^if'_*(\mathcal{F}|_U)\) en considérant \(\mathcal{F}|_U\) comme un faisceau quasi-cohérent sur le schéma \(U\), et \(f'\) comme un morphisme de schémas. Nous utiliserons souvent ce fait sans autre mention.

Nous démontrons ensuite que les images directes supérieures de faisceaux quasi-cohérents sont quasi-cohérentes pour tout morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’ espaces algébriques. Dans la démonstration, nous utilisons une astuce ; une démonstration « meilleure » utiliserait un complexe de Čech relatif, comme cela est expliqué dans Faisceaux sur les champs, sections 06X3 et 06X7 ff.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors \(R^if_*\) transforme les \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents en \(\mathcal{O}_Y\)-modules quasi-cohérents.

Démonstration

Soit \(V \to Y\) un morphisme étale où \(V\) est un schéma affine. Posons \(U = V \times_Y X\) et notons \(f' : U \to V\) le morphisme induit. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. D’après Propriétés des espaces, lemme 03LX nous avons \(R^if'_*(\mathcal{F}|_U) = (R^if_*\mathcal{F})|_V\). Puisque la propriété d’être un module quasi-cohérent est locale pour la topologie étale sur \(Y\) (voir Propriétés des espaces, lemme 03M0) nous pouvons remplacer \(Y\) par \(V\), c’est-à-dire supposer que \(Y\) est un schéma affine.

Supposons \(Y\) affine. Comme \(f\) est quasi-compact, \(X\) est quasi-compact. Nous pouvons donc choisir un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(g : U \to X\), voir Propriétés des espaces, lemme 03H6. Figure \[\xymatrix{ U \ar[r]_g \ar[rd]_{f \circ g} & X \ar[d]^f \\ & Y }\] Le morphisme \(g : U \to X\) est représentable, séparé et quasi-compact puisque \(X\) est quasi-séparé. Le lemme s’applique donc à \(g\) (par la discussion précédente). Il s’applique également à \(f \circ g : U \to Y\) (car il s’agit d’un morphisme de schémas affines).

Dans la situation décrite au paragraphe précédent, nous montrerons par récurrence sur \(n\) que \(IH_n\) : pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), les faisceaux \(R^if\mathcal{F}\) sont quasi-cohérents pour \(i \leq n\). Le cas \(n = 0\) résulte de Morphismes des espaces, lemme 03M9. Supposons \(IH_n\). Dans le reste de la démonstration, nous montrons que \(IH_{n + 1}\) est valable.

Soit \(\mathcal{H}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent. Considérons la suite spectrale de Leray \[E_2^{p, q} = R^pf_* R^qg_* \mathcal{H} \Rightarrow R^{p + q}(f \circ g)_*\mathcal{H}\] Cohomologie sur les sites, lemme 0734. Comme \(R^qg_*\mathcal{H}\) est quasi-cohérent par \(IH_n\), les faisceaux \(R^pf_*R^qg_*\mathcal{H}\) sont quasi-cohérents pour \(p \leq n\). Les faisceaux \(R^{p + q}(f \circ g)_*\mathcal{H}\) sont tous quasi-cohérents (en fait nuls pour \(p + q > 0\), mais cela ne nous est pas nécessaire). En degrés \(\leq n + 1\), le seul module dont nous n’avons pas encore établi la quasi-cohérence est \(E_2^{n + 1, 0} = R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H}\). De plus, les différentielles \(d_r^{n + 1, 0} : E_r^{n + 1, 0} \to E_r^{n + 1 + r, 1 - r}\) sont nulles puisque le terme cible est nul. Comme \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) (Propriétés des espaces, lemme 03M1) il s’ensuit que \(R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H}\) est quasi-cohérent (les détails sont omis).

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Posons \(\mathcal{H} = g^*\mathcal{F}\). Le morphisme d’adjonction \(\mathcal{F} \to g_*g^*\mathcal{F} = g_*\mathcal{H}\) est injectif car \(U \to X\) est étale surjectif. Considérons la suite exacte \[0 \to \mathcal{F} \to g_*\mathcal{H} \to \mathcal{G} \to 0\] où \(\mathcal{G}\) est le conoyau de la première flèche et, en particulier, quasi-cohérent. En appliquant la suite exacte longue de cohomologie, on obtient \[R^nf_*g_*\mathcal{H} \to R^nf_*\mathcal{G} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{F} \to R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{G}\] Le conoyau de la première flèche est quasi-cohérent et nous avons vu ci-dessus que \(R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H}\) est quasi-cohérent. Ainsi, \(R^{n + 1}f_*\mathcal{F}\) possède une filtration à \(2\) étapes, dont le premier quotient est quasi-cohérent et le second un sous-module d’un faisceau quasi-cohérent. Comme \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent arbitraire \(\mathcal{O}_X\)-module, le même résultat vaut pour \(\mathcal{G}\). Nous pouvons donc choisir une suite exacte \(0 \to \mathcal{A} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{G} \to \mathcal{B}\) où \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) sont des \(\mathcal{O}_Y\)-modules quasi-cohérents. Alors le noyau \(\mathcal{K}\) de \(R^{n + 1}f_*g_*\mathcal{H} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{G} \to \mathcal{B}\) est quasi-cohérent ; on obtient donc un morphisme \(\mathcal{K} \to \mathcal{A}\) dont le noyau \(\mathcal{K}'\) est également quasi-cohérent. Ainsi \(R^{n + 1}f_*\mathcal{F}\) s’insère dans une suite exacte \[R^nf_*g_*\mathcal{H} \to R^nf_*\mathcal{G} \to R^{n + 1}f_*\mathcal{F} \to \mathcal{K}' \to 0\] où tous les modules sont quasi-cohérents, sauf éventuellement \(R^{n + 1}f_*\mathcal{F}\). Nous concluons que \(R^{n + 1}f_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, c’est-à-dire que \(IH_{n + 1}\) est vérifiée, comme souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-séparé et quasi-compact d’espaces algébriques sur \(S\). Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) et tout objet affine \(V\) de \(Y_\etale\), on a \[H^q(V \times_Y X, \mathcal{F}) = H^0(V, R^qf_*\mathcal{F})\] pour tout \(q \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Comme la formation de \(Rf_*\) commute à la localisation étale, (Propriétés des espaces, lemme 03LX) nous pouvons remplacer \(Y\) par \(V\) et supposer que \(Y = V\) est affine. Considérons la suite spectrale de Leray \(E_2^{p, q} = H^p(Y, R^qf_*\mathcal{F})\) convergeant vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\), voir Cohomologie sur les sites, lemme 0732. Par le lemme 0720, les faisceaux \(R^qf_*\mathcal{F}\) sont quasi-cohérents. D’après Cohomologie des schémas, lemme 01XB on a \(E_2^{p, q} = 0\) lorsque \(p > 0\). La suite spectrale dégénère donc en \(E_2\), ce qui conclut.

Morphismes finis

Voici quelques résultats valables pour tous les faisceaux abéliens (en particulier pour les modules quasi-cohérents). Nous avertissons le lecteur que ces lemmes ne sont pas valables pour les morphismes finis de schémas munis de la topologie de Zariski.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme intégral (par exemple fini) d’espaces algébriques. Alors \(f_* : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) est un foncteur exact et \(R^pf_* = 0\) pour \(p > 0\).

Démonstration

D’après Propriétés des espaces, lemme 03LR nous pouvons calculer les images directes supérieures sur un recouvrement étale de \(Y\). Nous pouvons donc supposer que \(Y\) est un schéma. Cela implique que \(X\) est un schéma (Morphismes des espaces, lemme 03ZQ). Dans ce cas, nous pouvons appliquer Cohomologie étale, lemme 04C2. Dans le cas fini, le lecteur pourra consulter la proposition moins technique de Cohomologie étale, 03QP.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\) dont les relèvements notés \(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_n\) dans \(X\). Alors \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{F}_{\overline{x}_i}\] pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\).

Démonstration

Choisissons un voisinage étale \((V, \overline{v})\) de \(\overline{y}\). Alors la fibre \((f_*\mathcal{F})_{\overline{y}}\) est la fibre de \(f_*\mathcal{F}|_V\) en \(\overline{v}\). D’après Propriétés des espaces, lemme 03LR nous pouvons remplacer \(Y\) par \(V\) et \(X\) par \(X \times_Y V\). Alors \(Z \to X\) est un morphisme fini de schémas et le résultat est la proposition de Cohomologie étale 03QP.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’anneaux sur \(X_\etale\). Soit \(\mathcal{B}\) un faisceau d’anneaux sur \(Y_\etale\). Soit \(\varphi : \mathcal{B} \to \pi_*\mathcal{A}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux, de sorte que l’on obtient un morphisme de topos annelés \[f = (\pi, \varphi) : (\Sh(X_\etale), \mathcal{A}) \longrightarrow (\Sh(Y_\etale), \mathcal{B}).\] Pour un faisceau de \(\mathcal{A}\)-modules \(\mathcal{F}\) et un faisceau de \(\mathcal{B}\)-modules \(\mathcal{G}\), l’application canonique \[\mathcal{G} \otimes_\mathcal{B} f_*\mathcal{F} \longrightarrow f_*(f^*\mathcal{G} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{F}).\] est un isomorphisme.

Démonstration

L’application est adjointe à l’application \[f^*\mathcal{G} \otimes_\mathcal{A} f^* f_*\mathcal{F} = f^*(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{B} f_*\mathcal{F}) \longrightarrow f^*\mathcal{G} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{F}\] provenant de \(\text{id} : f^*\mathcal{G} \to f^*\mathcal{G}\) et du morphisme d’adjonction \(f^* f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\). Pour voir que cette application est un isomorphisme, nous pouvons vérifier sur les fibres (Propriétés des espaces, théorème 04K5). Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\) et soient \(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_n\) les points géométriques de \(X\) situés au-dessus de \(\overline{y}\). En calculant l’effet de nos applications sur les fibres, nous voyons qu’il faut démontrer \[\mathcal{G}_{\overline{y}} \otimes_{\mathcal{B}_{\overline{y}}} \left( \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{F}_{\overline{x}_i} \right) = \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (\mathcal{G}_{\overline{y}} \otimes_{\mathcal{B}_{\overline{x}}} \mathcal{A}_{\overline{x}_i}) \otimes_{\mathcal{A}_{\overline{x}_i}} \mathcal{F}_{\overline{x}_i}\] ce qui est vrai. Nous avons utilisé ici que le produit tensoriel commute au passage aux fibres, ainsi que le comportement des fibres par image inverse, Propriétés des espaces, lemme 04K2, et le comportement des fibres sous poussée le long d’une immersion fermée, voir lemme 0DK3.

Nous terminons cette section par une formule de projection très générale pour les morphismes finis.

Lemme

Avec \(S\), \(X\), \(Y\), \(\pi\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(\varphi\) et \(f\) comme dans le lemme 0DK4, on a \[K \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} Rf_*M = Rf_*(Lf^*K \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} M)\] dans \(D(\mathcal{B})\) pour tout \(K \in D(\mathcal{B})\) et \(M \in D(\mathcal{A})\).

Démonstration

Comme \(f_*\) est exact (lemme 0A4K), le foncteur \(Rf_*\) se calcule en appliquant \(f_*\) à un complexe représentant quelconque. Choisissons un complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) de \(\mathcal{B}\)-modules représentant \(K\), K-plat à termes plats, voir Cohomologie sur les sites, lemme 06YS. Alors \(f^*\mathcal{K}^\bullet\) est K-plat à termes plats, voir Cohomologie sur les sites, lemme 0G7E. Choisissons un complexe quelconque \(\mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{A}\)-modules représentant \(M\). Alors il faut montrer \[\text{Tot}(\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{B} f_*\mathcal{M}^\bullet) = f_*\text{Tot}(f^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_\mathcal{A} \mathcal{M}^\bullet)\] car, par nos choix, ces complexes représentent respectivement les membres de droite et de gauche de la formule du lemme. Comme \(f_*\) commute aux sommes directes (par exemple d’après la description des fibres dans le lemme 0DK3), il suffit de vérifier les égalités \[\mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{B} f_*\mathcal{M}^m = f_*(f^*\mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{A} \mathcal{M}^m)\] qui résultent du lemme 0DK4.

Colimites et cohomologie

Le lemme suivant s’applique en particulier aux diagrammes de faisceaux quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors \[\colim_i H^p(X, \mathcal{F}_i) \longrightarrow H^p(X, \colim_i \mathcal{F}_i)\] est un isomorphisme pour tout diagramme filtrant de faisceaux abéliens sur \(X_\etale\).

Démonstration

C’est une conséquence du lemme Cohomologie sur les sites, 0739. À savoir, soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{spaces, \etale})\) l’ensemble des espaces quasi-compacts et quasi-séparés étales au-dessus de \(X\). Si \(U \in \mathcal{B}\), comme \(U\) est quasi-compact, la famille des recouvrements finis \(\{U_i \to U\}\) avec \(U_i \in \mathcal{B}\) est cofinale dans l’ensemble des recouvrements de \(U\) dans \(X_{spaces, \etale}\). Par le lemme de Morphismes des espaces 073B l’ensemble \(\mathcal{B}\) vérifie toutes les hypothèses du lemme de Cohomologie sur les sites 0739. Comme \(X \in \mathcal{B}\), le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) une colimite filtrante de faisceaux abéliens sur \(X_\etale\). Alors, pour tout \(p \geq 0\), on a \[R^pf_*\mathcal{F} = \colim R^pf_*\mathcal{F}_i.\]

Démonstration

Nous utiliserons le fait que le morphisme de topos \(f_{small} : X_{small} \to Y_{small}\) provient du morphisme de sites \(f_{spaces, \etale} : X_{spaces, \etale} \to Y_{spaces, \etale}\) associé au foncteur continu \(V \longmapsto X \times_Y V\), voir Propriétés des espaces, lemme 03G2. Nous appliquerons le lemme 0H7B à ce morphisme de sites. Comme tout objet de \(Y_{spaces, \etale}\) admet un recouvrement par des objets affines, il suffit de montrer que pour \(V\) affine et étale au-dessus de \(Y\), on a \(H^p(X \times_Y V, \mathcal{F}) = \colim H^p(X \times_Y V, \mathcal{F}_i)\). Comme \(V\) est affine, l’espace algébrique \(X \times_Y V\) est quasi-compact et quasi-séparé. Nous pouvons donc appliquer le lemme 073E pour conclure.

Le lemme suivant montre que les modules de présentation finie se comportent comme attendu sur les espaces algébriques quasi-compacts et quasi-séparés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Soit \(I\) un ensemble dirigé et soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) un système indexé par \(I\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Alors \[\colim_i \Hom_X(\mathcal{G}, \mathcal{F}_i) = \Hom_X(\mathcal{G}, \colim_i \mathcal{F}_i).\] En particulier, \(\Hom_X(\mathcal{G}, -)\) commute aux colimites filtrantes dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

L’égalité affichée est un cas particulier du lemme de Modules sur les sites, lemme 0GN0. Pour l’appliquer, il faut vérifier les hypothèses du lemme de Sites 0GMR, partie (4), pour le site \(X_\etale\). Pour cela, nous vérifierons les hypothèses (2)(a), (2)(b) et (2)(c) de la remarque de Sites 0GMS. À savoir, soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\etale)\) l’ensemble des objets affines. Alors

1. Puisque \(X\) est quasi-compact, il existe un \(U \in \mathcal{B}\) tel que \(U \to X\) soit surjectif (Propriétés des espaces, lemme 03H6), d’où \(h_U^\# \to *\) est surjectif.

2. Pour \(U \in \mathcal{B}\), tout recouvrement étale \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(U\) admet un raffinement par un recouvrement étale fini \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\) avec \(U_j \in \mathcal{B}\) (Topologies, lemme 0218).

3. Pour \(U, U' \in \Ob(X_\etale)\), on a \(h_U^\# \times h_{U'}^\# = h_{U \times_X U'}^\#\). Si \(U, U' \in \mathcal{B}\), alors \(U \times_X U'\) est quasi-compact car \(X\) est quasi-séparé ; voir par exemple le lemme de Morphismes des espaces 073B Par conséquent, il existe un morphisme étale surjectif \(U'' \to U \times_X U'\) avec \(U'' \in \mathcal{B}\) Propriétés des espaces, lemme 03H6). Autrement dit, il existe des morphismes \(U'' \to U\) et \(U'' \to U'\) tels que l’application \(h_{U''}^\# \to h_U^\# \times h_{u'}^\#\) soit surjective.

Pour l’énoncé final, observons que le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) commute aux colimites et que les modules de présentation finie sont quasi-cohérents. Voir Propriétés des Espaces, lemme 03M1.

Le complexe de Čech alterné

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : U \to X\) un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\). Le foncteur \[j : U_{spaces, \etale} \longrightarrow X_{spaces, \etale},\quad V/U \longmapsto V/X\] induit une équivalence entre \(U_{spaces, \etale}\) et la catégorie localisée \(X_{spaces, \etale}/U\), voir Propriétés des espaces, section 04LX. Il existe donc des foncteurs \[f_! : \textit{Ab}(U_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(X_\etale),\quad f_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_X),\] qui sont adjoints à gauche des foncteurs \[f^{-1} : \textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(U_\etale),\quad f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\] voir Modules sur les sites, section 03DH. Avertissement : a priori, ce foncteur n’a rien à voir avec la cohomologie à supports compacts ! Dans la référence ci-dessus, nous avons appelé ce foncteur « extension par zéro ». Notons que les deux versions de \(f_!\) coïncident puisque \(f^* = f^{-1}\) pour les faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Comme nous utiliserons cette construction ci-dessous, rappelons quelques-unes de ses propriétés. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien sur \(U_\etale\) ; le faisceau \(f_!\) est le faisceautisé du préfaisceau \[V/X \longmapsto f_!\mathcal{G}(V) = \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_X(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U),\] voir Modules sur les sites, lemme 03DI. De plus, si \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module, alors \(f_!\mathcal{G}\) est le faisceautisé du même préfaisceau de groupes abéliens, muni de façon évidente d’une structure de \(\mathcal{O}_X\)-module (voir loc. cit.). Soit \(\overline{x} : \Spec(k) \to X\) un point géométrique. Il existe alors une identification canonique \[(f_!\mathcal{G})_{\overline{x}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathcal{G}_{\overline{u}}\] où la somme porte sur tous les \(\overline{u} : \Spec(k) \to U\) tels que \(f \circ \overline{u} = \overline{x}\), voir Modules sur les sites, lemme 0710 et Propriétés des espaces, lemme 04K6. Dans la suite, nous étudions le faisceau \(f_!\underline{\mathbf{Z}}\). Ici, \(\underline{\mathbf{Z}}\) désigne le faisceau constant sur \(X_\etale\) ou \(U_\etale\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f_i : U_i \to X\) des morphismes étales d’espaces algébriques sur \(S\). Alors il existe des isomorphismes \[f_{1, !}\underline{\mathbf{Z}} \otimes_{\mathbf{Z}} f_{2, !}\underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow f_{12, !}\underline{\mathbf{Z}}\] où \(f_{12} : U_1 \times_X U_2 \to X\) est le morphisme structural et \[(f_1 \amalg f_2)_! \underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow f_{1, !}\underline{\mathbf{Z}} \oplus f_{2, !}\underline{\mathbf{Z}}\]

Démonstration

Une fois l’application définie, ce sera un isomorphisme d’après la description des fibres ci-dessus. Pour définir l’application, il suffit de travailler au niveau des préfaisceaux. Nous devons donc définir une application \[\left(\bigoplus\nolimits_{\varphi_1 \in \Mor_X(V, U_1)} \mathbf{Z}\right) \otimes_{\mathbf{Z}} \left(\bigoplus\nolimits_{\varphi_2 \in \Mor_X(V, U_2)} \mathbf{Z}\right) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_X(V, U_1 \times_X U_2)} \mathbf{Z}\] Nous envoyons l’élément \(1_{\varphi_1} \otimes 1_{\varphi_2}\) sur l’élément \(1_{\varphi_1 \times \varphi_2}\), avec les notations évidentes. Nous omettons la preuve de la seconde égalité.

Une autre propriété importante est l’application trace \[\text{Tr}_f : f_!\underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}.\] L’application trace est adjointe à l’application \(\mathbf{Z} \to f^{-1}\underline{\mathbf{Z}}\) (qui est un isomorphisme). Si \(\overline{x}\) est comme ci-dessus, l’application \(\text{Tr}_f\) sur la fibre en \(\overline{x}\) est l’application \[(\text{Tr}_f)_{\overline{x}} : (f_!\underline{\mathbf{Z}})_{\overline{x}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{u}} \mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z} = \underline{\mathbf{Z}}_{\overline{x}}\] qui fait la somme des entiers donnés. Cela résulte de l’adjonction à l’application \(1 : \mathbf{Z} \to f^{-1}\underline{\mathbf{Z}}\). En particulier, si \(f\) est étale et surjectif, alors \(\text{Tr}_f\) est surjectif.

Supposons que \(f : U \to X\) soit un morphisme étale surjectif d’espaces algébriques. Considérons le complexe de Koszul associé à l’application trace définie ci-dessus \[\ldots \to \wedge^3f_!\underline{\mathbf{Z}} \to \wedge^2f_!\underline{\mathbf{Z}} \to f_!\underline{\mathbf{Z}} \to \underline{\mathbf{Z}} \to 0\] Ici, les puissances extérieures sont prises sur le faisceau d’anneaux \(\underline{\mathbf{Z}}\). Les applications sont définies par la règle \[e_1 \wedge \ldots \wedge e_n \longmapsto \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} (-1)^{i + 1} \text{Tr}_f(e_i) e_1 \wedge \ldots \wedge \widehat{e_i} \wedge \ldots \wedge e_n\] où \(e_1, \ldots, e_n\) sont des sections locales de \(f_!\underline{\mathbf{Z}}\). Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) et posons \(M_{\overline{x}} = (f_!\underline{\mathbf{Z}})_{\overline{x}} = \bigoplus_{\overline{u}} \mathbf{Z}\). La fibre du complexe ci-dessus en \(\overline{x}\) est le complexe \[\ldots \to \wedge^3 M_{\overline{x}} \to \wedge^2 M_{\overline{x}} \to M_{\overline{x}} \to \mathbf{Z} \to 0\] qui est exact puisque \(M_{\overline{x}} \to \mathbf{Z}\) est surjectif, voir Compléments d’algèbre, lemme 0626. Ainsi, si \(K^\bullet = K^\bullet(f)\) désigne le complexe défini par \(K^i = \wedge^{i + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\), on obtient un quasi-isomorphisme [0723]\[\begin{equation} K^\bullet \longrightarrow \underline{\mathbf{Z}}[0] \end{equation}\] Nous utilisons le complexe \(K^\bullet\) pour définir ce que nous appelons le complexe de Čech alterné associé à \(f : U \to X\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : U \to X\) un morphisme étale surjectif d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{Ab}(X_\etale)\). Le complexe de Čech alterné¹ \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(f, \mathcal{F})\) associé à \(\mathcal{F}\) et \(f\) est le complexe \[\Hom(K^0, \mathcal{F}) \to \Hom(K^1, \mathcal{F}) \to \Hom(K^2, \mathcal{F}) \to \ldots\] dont les groupes de morphismes sont calculés dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\).

Le lecteur peut vérifier que si \(U = \coprod U_i\) et si \(f|_{U_i} : U_i \to X\) est l’immersion ouverte d’un sous-espace, alors \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(f, \mathcal{F})\) coïncide avec le complexe introduit dans Cohomologie, section 01FG pour le recouvrement de Zariski \(X = \bigcup U_i\) et la restriction de \(\mathcal{F}\) au site de Zariski de \(X\). Mais surtout, il importe cependant de relier la cohomologie du Čech alterné à la cohomologie.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : U \to X\) un morphisme étale surjectif d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{Ab}(X_\etale)\). Il existe une application canonique \[\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(f, \mathcal{F}) \longrightarrow R\Gamma(X, \mathcal{F})\] dans \(D(\textit{Ab})\). De plus, il existe une suite spectrale dont la page \(E_1\) est \[E_1^{p, q} = \Ext_{\textit{Ab}(X_\etale)}^q(K^p, \mathcal{F})\] convergeant vers \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\), où \(K^p = \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\).

Démonstration

Rappelons le quasi-isomorphisme \(K^\bullet \to \underline{\mathbf{Z}}[0]\), voir (0723). Choisissons une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\). Considérons le bicomplexe \(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\) dont les termes sont \(\Hom(K^p, \mathcal{I}^q)\). La différentielle \(d_1^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p + 1, q}\) est induite par la différentielle \(K^{p + 1} \to K^p\) et la différentielle \(d_2^{p, q} : A^{p, q} \to A^{p, q + 1}\) est induite par la différentielle \(\mathcal{I}^q \to \mathcal{I}^{q + 1}\). Notons \(\text{Tot}(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\) le complexe total associé, voir Homologie, section 0FNB. Nous utiliserons les deux suites spectrales \(({}'E_r, {}'d_r)\) et \(({}''E_r, {}''d_r)\) associées à ce bicomplexe, voir Homologie, section 012X.

Comme \(K^\bullet\) est une résolution de \(\underline{\mathbf{Z}}\), on voit que les complexes \[\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^q) : \Hom(K^0, \mathcal{I}^q) \to \Hom(K^1, \mathcal{I}^q) \to \Hom(K^2, \mathcal{I}^q) \to \ldots\] sont acycliques en degrés strictement positifs et ont pour \(H^0\) \(\Gamma(X, \mathcal{I}^q)\). Par conséquent, d’après Homologie, lemme 0133 l’application naturelle \[\mathcal{I}^\bullet(X) \longrightarrow \text{Tot}(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\] est un quasi-isomorphisme de complexes de groupes abéliens. En particulier, on conclut que \(H^n(\text{Tot}(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))) = H^n(X, \mathcal{F})\).

L’application \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(f, \mathcal{F}) \to R\Gamma(X, \mathcal{F})\) du lemme est la composée de \(\check{\mathcal{C}}^\bullet_{alt}(f, \mathcal{F}) \to \text{Tot}(\Hom(K^\bullet, \mathcal{I}^\bullet))\) avec l’inverse du quasi-isomorphisme affiché.

Considérons enfin la suite spectrale \(({}'E_r, {}'d_r)\). Nous avons \[E_1^{p, q} = q\text{-ième cohomologie de } \Hom(K^p, \mathcal{I}^0) \to \Hom(K^p, \mathcal{I}^1) \to \Hom(K^p, \mathcal{I}^2) \to \ldots\] Ceci démontre le lemme.

Il résulte du lemme qu’il est important de comprendre les groupes d’extensions \(\Ext_{\textit{Ab}(X_\etale)}(K^p, \mathcal{F})\), c’est-à-dire les foncteurs dérivés à droite de \(\mathcal{F} \mapsto \Hom(K^p, \mathcal{F})\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : U \to X\) un morphisme étale, surjectif et séparé d’espaces algébriques sur \(S\). Pour \(p \geq 0\), posons \[W_p = U \times_X \ldots \times_X U \setminus \text{toutes les diagonales}\] où le produit fibré comporte \(p + 1\) facteurs. Le groupe \(S_{p + 1}\) agit librement sur \(W_p\) au-dessus de \(X\) et \[\Hom(K^p, \mathcal{F}) = S_{p + 1}\text{-anti-invariants de } \mathcal{F}(W_p)\] fonctoriellement en \(\mathcal{F}\), où \(K^p = \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\).

Démonstration

Comme \(U \to X\) est séparé, la diagonale \(U \to U \times_X U\) est une immersion fermée. Comme \(U \to X\) est étale, cette diagonale \(U \to U \times_X U\) est une immersion ouverte, voir Morphismes des espaces, lemmes 06CR et 05W1. Ainsi \(W_p\) est un sous-espace à la fois ouvert et fermé de \(U^{p + 1} = U \times_X \ldots \times_X U\). L’action de \(S_{p + 1}\) sur \(W_p\) est libre, car nous avons supprimé les points fixes de l’action. D’après lemme 0722 on obtient \[(f_!\underline{\mathbf{Z}})^{\otimes p + 1} = f^{p + 1}_!\underline{\mathbf{Z}} = (W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}} \oplus Rest\] où \(f^{p + 1} : U^{p + 1} \to X\) est le morphisme structural. En examinant les fibres au-dessus d’un point géométrique \(\overline{x}\) de \(X\), on voit que \[\left( \bigoplus\nolimits_{\overline{u} \mapsto \overline{x}} \mathbf{Z} \right)^{\otimes p + 1} \longrightarrow (W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}_{\overline{x}}\] est le quotient dont le noyau est engendré par tous les tenseurs \(1_{\overline{u}_0} \otimes \ldots \otimes 1_{\overline{u}_p}\) où \(\overline{u}_i = \overline{u}_j\) pour certains \(i \not = j\). Ainsi, l’application quotient \[(f_!\underline{\mathbf{Z}})^{\otimes p + 1} \longrightarrow \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\] se factorise par \((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}\) ; on obtient donc \[(f_!\underline{\mathbf{Z}})^{\otimes p + 1} \longrightarrow (W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}} \longrightarrow \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\] Cela montre déjà que \(\Hom(K^p, \mathcal{F})\) est (fonctoriellement) un sous-groupe de \[\Hom((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(W_p)\] Pour l’identifier aux éléments anti-invariants sous \(S_{p + 1}\), il faut montrer que la surjection \((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}} \to \wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\) est le quotient anti-invariant maximal \(S_{p + 1}\)-quotient anti-invariant. Autrement dit, il faut montrer que \(\wedge^{p + 1}f_!\underline{\mathbf{Z}}\) est le quotient de \((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}\) par le sous-faisceau engendré par les sections locales \(s - \text{signature}(\sigma)\sigma(s)\), où \(s\) est une section locale de \((W_p \to X)_!\underline{\mathbf{Z}}\). Cela se vérifie sur les fibres, où c’est clair.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(W\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G\) un groupe fini agissant librement sur \(W\). Soit \(U = W/G\), voir Propriétés des espaces, lemme 071S. Soit \(\chi : G \to \{+1, -1\}\) un caractère. Alors il existe un faisceau de \(\mathbf{Z}\)-modules localement libre de rang 1 \(\underline{\mathbf{Z}}(\chi)\) sur \(U_\etale\) tel que, pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(U_\etale\), on ait \[H^0(W, \mathcal{F}|_W)^\chi = H^0(U, \mathcal{F} \otimes_{\mathbf{Z}} \underline{\mathbf{Z}}(\chi))\]

Démonstration

Le morphisme quotient \(q : W \to U\) est un \(G\)-torseur ; autrement dit, il existe un morphisme étale surjectif \(U' \to U\) tel que \(W \times_U U' = \coprod_{g \in G} U'\) comme espaces munis de l’action de \(G\) au-dessus de \(U'\). (On peut notamment prendre \(U' = W\).) Ainsi, \(q_*\underline{\mathbf{Z}}\) est un module de \(\mathbf{Z}\) localement libre de rang fini muni d’une action de \(G\). Pour tout point géométrique \(\overline{u}\) de \(U\), on obtient des \(G\)-équivariants isomorphismes \[(q_*\underline{\mathbf{Z}})_{\overline{u}} = \bigoplus\nolimits_{\overline{w} \mapsto \overline{u}} \mathbf{Z} = \bigoplus\nolimits_{g \in G} \mathbf{Z} = \mathbf{Z}[G]\] où le second signe \(=\) utilise un point géométrique \(\overline{w}_0\) au-dessus de \(\overline{u}\) et envoie le facteur correspondant à \(g \in G\) sur le facteur correspondant à \(g(\overline{w}_0)\). Nous avons \[H^0(W, \mathcal{F}|_W) = H^0(U, \mathcal{F} \otimes_\mathbf{Z} q_*\underline{\mathbf{Z}})\] car \(q_*\mathcal{F}|_W = \mathcal{F} \otimes_\mathbf{Z} q_*\underline{\mathbf{Z}}\) comme on peut le vérifier après restriction à \(U'\). \[\underline{\mathbf{Z}}(\chi) = (q_*\underline{\mathbf{Z}})^\chi \subset q_*\underline{\mathbf{Z}}\] qui est le sous-faisceau des sections se transformant selon \(\chi\). Pour tout point géométrique \(\overline{u}\) de \(U\), on a \[\underline{\mathbf{Z}}(\chi)_{\overline{u}} = \mathbf{Z} \cdot \sum\nolimits_g \chi(g) g \subset \mathbf{Z}[G] = (q_*\underline{\mathbf{Z}})_{\overline{u}}\] Il s’ensuit que \(\underline{\mathbf{Z}}(\chi)\) est localement libre de rang 1 (plus précisément, cela doit être vérifié après restriction à \(U'\)). Notons que, pour tout \(\mathbf{Z}\)-module \(M\), les \(\chi\)-semi-invariants de \(M[G]\) sont les éléments de la forme \(m \cdot \sum\nolimits_g \chi(g) g\). Ainsi, pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(U\), on a \[\left(\mathcal{F} \otimes_\mathbf{Z} q_*\underline{\mathbf{Z}}\right)^\chi = \mathcal{F} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi)\] car l’égalité se vérifie sur toutes les fibres. Le résultat du lemme s’obtient en prenant les sections globales.

Nous pouvons maintenant tout rassembler et obtenir le résultat suivant particulièrement agréable.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : U \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\), surjectif, étale et séparé. Pour \(p \geq 0\), posons \[W_p = U \times_X \ldots \times_X U \setminus \text{toutes les diagonales}\] (avec \(p + 1\) facteurs), comme dans le lemme 0726. Soit \(\chi_p : S_{p + 1} \to \{+1, -1\}\) le caractère signe. Soient \(U_p = W_p/S_{p + 1}\) et \(\underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)\) les objets définis comme dans le lemme 0727. Alors la suite spectrale du lemme 0725 a pour page \(E_1\) \[E_1^{p, q} = H^q(U_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\] et aboutit à \(H^{p + q}(X, \mathcal{F})\).

Démonstration

Remarquons que, puisque l’action de \(S_{p + 1}\) sur \(W_p\) est au-dessus de \(X\), on obtient bien un morphisme \(U_p \to X\). Puisque \(W_p \to X\) est étale et que \(W_p \to U_p\) est étale surjectif, il s’ensuit que \(U_p \to X\) est lui aussi étale ; voir Morphismes d’espaces, lemme 03XT. Par conséquent, un objet injectif de \(\textit{Ab}(X_\etale)\) devient par restriction un objet injectif de \(\textit{Ab}(U_{p, \etale})\) ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 03F3. De plus, le foncteur \(\mathcal{G} \mapsto \mathcal{G} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\) est une auto-équivalence de \(\textit{Ab}(U_p)\), donc transforme les objets injectifs en objets injectifs et est exact (car \(\underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)\) est un \(\underline{\mathbf{Z}}\)-module inversible). Ainsi, étant donnée une résolution injective \(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) dans \(\textit{Ab}(X_\etale)\), le complexe \[\Gamma(U_p, \mathcal{I}^0|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)) \to \Gamma(U_p, \mathcal{I}^1|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)) \to \Gamma(U_p, \mathcal{I}^2|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)) \to \ldots\] calcule \(H^*(U_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\). D’autre part, d’après le lemme 0727, il est égal au complexe des éléments anti-invariants sous \(S_{p + 1}\) de \[\Gamma(W_p, \mathcal{I}^0) \to \Gamma(W_p, \mathcal{I}^1) \to \Gamma(W_p, \mathcal{I}^2) \to \ldots\] qui, d’après le lemme 0726, est égal au complexe \[\Hom(K^p, \mathcal{I}^0) \to \Hom(K^p, \mathcal{I}^1) \to \Hom(K^p, \mathcal{I}^2) \to \ldots\] qui calcule \(\Ext^*_{\textit{Ab}(X_\etale)}(K^p, \mathcal{F})\). En combinant ce qui précède, on conclut.

Annulation en degrés supérieurs pour les faisceaux quasi-cohérents

Dans cette section, nous montrons que, pour tout espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé \(X\), il existe un entier \(n = n(X)\) tel que la cohomologie de tout faisceau quasi-cohérent sur \(X\) est nulle en degrés strictement supérieurs à \(n\).

Lemme

Soient \(S\), \(W\), \(G\), \(U\) et \(\chi\) comme dans le lemme 0727. Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent, alors \(\mathcal{F} \otimes_{\mathbf{Z}} \underline{\mathbf{Z}}(\chi)\) l’est aussi.

Démonstration

La structure de \(\mathcal{O}_U\)-module est claire. Pour vérifier que \(\mathcal{F} \otimes_{\mathbf{Z}} \underline{\mathbf{Z}}(\chi)\) est quasi-cohérent, il suffit de le vérifier localement pour la topologie étale. Comme \(\underline{\mathbf{Z}}(\chi)\) est un \(\underline{\mathbf{Z}}\)-module localement libre de rang fini, on en déduit le lemme.

La proposition suivante est intéressante même lorsque \(X\) est un schéma. Elle constitue la généralisation naturelle du lemme 01XI du chapitre Cohomologie des schémas. Avant de l’énoncer, remarquons que, pour tout morphisme étale \(f : U \to X\) d’un schéma affine vers un espace algébrique quasi-séparé \(X\), les fibres de \(f\) sont universellement bornées ; en particulier, il existe un entier \(d\) tel que toutes les fibres de \(|U| \to |X|\) soient de cardinal au plus \(d\) ; c’est l’implication \((\eta) \Rightarrow (\delta)\) du lemme 03JX du chapitre Espaces décents.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons \(X\) quasi-compact et séparé. Soit \(U\) un schéma affine, et soit \(f : U \to X\) un morphisme étale surjectif. Soit \(d\) un majorant du cardinal des fibres de \(|U| \to |X|\). Alors, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on a \(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(q \geq d\).

Démonstration

Nous utiliserons la suite spectrale du lemme 0728. Le lemme s’applique, car \(f\) est séparé puisque \(U\) est séparé ; voir Morphismes d’espaces, lemme 03KR. Puisque \(X\) est séparé, le schéma \(U \times_X \ldots \times_X U\) est un sous-schéma fermé de \(U \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \ldots \times_{\Spec(\mathbf{Z})} U\) et est donc affine. Ainsi, \(W_p\) est affine. Par conséquent, \(U_p = W_p/S_{p + 1}\) est un schéma affine d’après Groupoïdes, proposition 03BM. La discussion de la section 071Y montre que la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents sur \(W_p\) (considéré comme espace algébrique) coïncide avec la cohomologie du faisceau quasi-cohérent correspondant sur le schéma affine sous-jacent ; elle est donc nulle en degrés positifs d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XB. D’après le lemme 072A, les faisceaux \(\mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)\) sont quasi-cohérents. Ainsi, \(H^q(W_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\) est nul pour \(q > 0\). Par définition de l’entier \(d\), on voit que \(W_p = \emptyset\) pour \(p \geq d\). Par conséquent, \(H^0(W_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\) est également nul pour \(p \geq d\). Cela démontre la proposition.

Dans le lemme suivant, nous établissons qu’un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé est de dimension cohomologique finie pour les modules quasi-cohérents. Nous ne précisons la borne que parce que nous l’utiliserons plus loin pour démontrer un résultat analogue pour les images directes supérieures.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Supposons \(X\) quasi-compact et quasi-séparé. On peut alors choisir

1. un schéma affine \(U\),

2. un morphisme étale surjectif \(f : U \to X\),

3. un entier \(d\) majorant les degrés des fibres de \(U \to X\),

4. pour tout \(p = 0, 1, \ldots, d\), un morphisme étale surjectif \(V_p \to U_p\), où \(V_p\) est un schéma affine et \(U_p\) est défini comme dans le lemme 0728, et

5. un entier \(d_p\) majorant le degré des fibres de \(V_p \to U_p\).

De plus, chaque fois que l’on dispose de (1) – (5), pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on a \(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(q \geq \max(d_p + p)\).

Démonstration

Puisque \(X\) est quasi-compact, on peut trouver un morphisme étale surjectif \(U \to X\) avec \(U\) affine ; voir Propriétés d’espaces, lemme 03H6. D’après Espaces décents, lemme 03JX, les fibres de \(f\) sont universellement bornées ; on peut donc trouver \(d\). On a \(U_p = W_p/S_{p + 1}\) et \(W_p \subset U \times_X \ldots \times_X U\) est ouvert et fermé. Puisque \(X\) est quasi-séparé, les schémas \(W_p\) sont quasi-compacts, donc \(U_p\) est quasi-compact. Puisque \(U\) est séparé, les schémas \(W_p\) sont séparés ; ainsi, \(U_p\) est séparé d’après (la version absolue du) Espaces, lemme 02Z4. D’après Propriétés d’espaces, lemme 03H6, on peut trouver les morphismes \(V_p \to W_p\). D’après Espaces décents, lemme 03JX, on peut trouver les entiers \(d_p\).

On utilise alors la suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^q(U_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p)) \Rightarrow H^{p + q}(X, \mathcal{F})\] voir le lemme 0728. Par définition de l’entier \(d\), on voit que \(U_p = 0\) pour \(p \geq d\). D’après la proposition 072B et le lemme 072A, on voit que \(H^q(U_p, \mathcal{F}|_{U_p} \otimes_\mathbf{Z} \underline{\mathbf{Z}}(\chi_p))\) est nul pour \(q \geq d_p\) lorsque \(p = 0, \ldots, d\). On en déduit le lemme.

Annulation des images directes supérieures

On applique les résultats de la section 0729 afin d’obtenir l’annulation des images directes supérieures des faisceaux quasi-cohérents pour les morphismes quasi-compacts et quasi-séparés. Ce résultat est utile, car il permet, dans certaines situations, de raisonner par récurrence descendante sur le degré cohomologique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et

2. \(Y\) soit quasi-compact.

Alors il existe un entier \(n(X \to Y)\) tel que, pour tout espace algébrique \(Y'\), tout morphisme \(Y' \to Y\) et tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}'\) sur \(X' = Y' \times_Y X\), les images directes supérieures \(R^if'_*\mathcal{F}'\) soient nulles pour tout \(i \geq n(X \to Y)\).

Démonstration

Soit \(V \to Y\) un morphisme étale surjectif, où \(V\) est un schéma affine ; voir Propriétés d’espaces, lemme 03H6. Supposons le résultat prouvé pour le changement de base \(f_V : V \times_Y X \to V\). Le résultat vaut alors pour \(f\) avec \(n(X \to Y) = n(X_V \to V)\). En effet, si \(Y' \to Y\) et \(\mathcal{F}'\) sont comme dans le lemme, alors \(R^if'_*\mathcal{F}'|_{V \times_Y Y'}\) est égal à \(R^if'_{V, *}\mathcal{F}'|_{X'_V}\), où \(f'_V : X'_V = V \times_Y Y' \times_Y X \to V \times_Y Y' = Y'_V\) ; voir Propriétés d’espaces, lemme 03LX. On peut donc supposer que \(Y\) est un schéma affine.

De plus, pour démontrer l’annulation pour tout \(Y' \to Y\) et toute \(\mathcal{F}'\), il suffit de le faire lorsque \(Y'\) est un schéma affine. Dans ce cas, \(R^if'_*\mathcal{F}'\) est quasi-cohérent d’après le lemme 0720. Il suffit donc de démontrer que \(H^i(X', \mathcal{F}') = 0\), car \(H^i(X', \mathcal{F}') = H^0(Y', R^if'_*\mathcal{F}')\) d’après Cohomologie sur les sites, lemme 0733 et le fait que la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents sur les espaces algébriques affines est nulle en degrés supérieurs (proposition 072B).

Choisissons \(U \to X\), \(d\), \(V_p \to U_p\) et \(d_p\) comme dans le lemme 072C. Pour tout schéma affine \(Y'\) et tout morphisme \(Y' \to Y\), notons \(X' = Y' \times_Y X\), \(U' = Y' \times_Y U\), \(V'_p = Y' \times_Y V_p\). Alors \(U' \to X'\), \(d' = d\), \(V'_p \to U'_p\) et \(d'_p = d\) forment un ensemble de choix comme dans le lemme 072C pour l’espace algébrique \(X'\) (détails omis). On voit donc que \(H^i(X', \mathcal{F}') = 0\) pour \(i \geq \max(p + d_p)\), et l’on gagne.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Alors \(R^if_*\mathcal{F} = 0\) pour \(i > 0\) et tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Rappelons qu’un morphisme affine d’espaces algébriques est représentable. L’assertion résulte donc de (071Z) et du lemme 01XC du chapitre Cohomologie des schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(Y, f_*\mathcal{F})\) pour tout \(i \geq 0\).

Démonstration

L’assertion résulte du lemme 073H et de la suite spectrale de Leray. Voir Cohomologie sur les sites, lemme 0733.

Cohomologie à support dans un sous-espace fermé

Cette section est l’analogue des sections du chapitre Cohomologie 0A39 et 0G6Y et de la section du chapitre Cohomologie étale 09XP pour les faisceaux abéliens sur les espaces algébriques.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\) et soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). On pose \[\Gamma_Z(X, \mathcal{F}) = \{s \in \mathcal{F}(X) \mid \text{Supp}(s) \subset Z\}\] l’ensemble des sections à support dans \(Z\) (Propriétés d’espaces, définition 04KA). C’est un foncteur exact à gauche qui n’est pas exact en général. On obtient donc un foncteur dérivé \[R\Gamma_Z(X, -) : D(X_\etale) \longrightarrow D(\textit{Ab})\] et les groupes de cohomologie à support dans \(Z\) définis par \(H^q_Z(X, \mathcal{F}) = R^q\Gamma_Z(X, \mathcal{F})\).

Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau abélien injectif sur \(X_\etale\). Soit \(U \subset X\) le sous-espace ouvert complémentaire de \(Z\). Alors l’application de restriction \(\mathcal{I}(X) \to \mathcal{I}(U)\) est surjective (Cohomologie sur les sites, lemme 093X) et a pour noyau \(\Gamma_Z(X, \mathcal{I})\). Il s’ensuit immédiatement que pour \(K \in D(X_\etale)\) il existe un triangle distingué \[R\Gamma_Z(X, K) \to R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(U, K) \to R\Gamma_Z(X, K)[1]\] dans \(D(\textit{Ab})\). On obtient ainsi une suite exacte longue de cohomologie \[\ldots \to H^i_Z(X, K) \to H^i(X, K) \to H^i(U, K) \to H^{i + 1}_Z(X, K) \to \ldots\] pour tout \(K\) dans \(D(X_\etale)\).

Pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), on peut considérer le sous-faisceau des sections à support dans \(Z\), noté \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\), défini par la formule \[\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})(U) = \{s \in \mathcal{F}(U) \mid \text{Supp}(s) \subset U \times_X Z\}\] Nous utilisons ici le support d’une section défini dans Propriétés d’espaces, définition 04KA. D’après l’équivalence de Morphismes d’espaces, lemme 04E5 on peut considérer \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) comme un faisceau abélien sur \(Z_\etale\). On obtient ainsi un foncteur \[\textit{Ab}(X_\etale) \longrightarrow \textit{Ab}(Z_\etale),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\] qui est exact à gauche, mais n’est pas exact en général.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau abélien injectif sur \(X_\etale\). Alors \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I})\) est un faisceau abélien injectif sur \(Z_\etale\).

Démonstration

Remarquons que, pour tout faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(Z_\etale\), on a \[\Hom_Z(\mathcal{G}, \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})) = \Hom_X(i_*\mathcal{G}, \mathcal{F})\] car toute section de \(i_*\mathcal{G}\) est à support dans \(Z\). Comme \(i_*\) est exact (lemme 0A4K) et que \(\mathcal{I}\) est injectif sur \(X_\etale\), on conclut que \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{I})\) est injectif sur \(Z_\etale\).

Notons \[R\mathcal{H}_Z : D(X_\etale) \longrightarrow D(Z_\etale)\] le foncteur dérivé. On pose \(\mathcal{H}^q_Z(\mathcal{F}) = R^q\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\), de sorte que \(\mathcal{H}^0_Z(\mathcal{F}) = \mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\). D’après le lemme précédent, on a une suite spectrale de Grothendieck \[E_2^{p, q} = H^p(Z, \mathcal{H}^q_Z(\mathcal{F})) \Rightarrow H^{p + q}_Z(X, \mathcal{F})\]

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien injectif sur \(Z_\etale\). Alors \(\mathcal{H}^p_Z(i_*\mathcal{G}) = 0\) pour \(p > 0\).

Démonstration

Cela résulte du fait que le foncteur \(i_*\) est exact (lemme 0A4K) et transforme les faisceaux abéliens injectifs en faisceaux abéliens injectifs (Cohomologie sur les sites, lemme 0730).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset Y\) un sous-espace fermé tel que \(f^{-1}(Z) \to Z\) soit un isomorphisme d’espaces algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Alors \[\mathcal{H}^q_Z(\mathcal{F}) = \mathcal{H}^q_{f^{-1}(Z)}(f^{-1}\mathcal{F})\] en tant que faisceaux abéliens sur \(Z = f^{-1}(Z)\) et on a \(H^q_Z(Y, \mathcal{F}) = H^q_{f^{-1}(Z)}(X, f^{-1}\mathcal{F})\).

Démonstration

Comme \(f\) est étale, l’image inverse d’une résolution injective de \(\mathcal{F}\) est une résolution injective de \(f^{-1}\mathcal{F}\). Il suffit donc de vérifier l’égalité pour \(\mathcal{H}_Z(-)\), ce qui résulte des définitions. La démonstration pour la cohomologie à support est la même. Certains détails sont omis.

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) un sous-ensemble fermé. On note \(D_T(X_\etale)\) la sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D(X_\etale)\) formée des objets dont les faisceaux de cohomologie sont à support dans \(T\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques sur \(S\). L’application \(Ri_* = i_* : D(Z_\etale) \to D(X_\etale)\) induit une équivalence \(D(Z_\etale) \to D_{|Z|}(X_\etale)\) de quasi-inverse \[i^{-1}|_{D_Z(X_\etale)} = R\mathcal{H}_Z|_{D_{|Z|}(X_\etale)}\]

Démonstration

Rappelons que \(i^{-1}\) et \(i_*\) forment une paire de foncteurs adjoints exacts telle que \(i^{-1}i_*\) est isomorphe au foncteur identité sur les faisceaux abéliens. Voir Propriétés d’espaces, lemme 04K2 et Morphismes d’espaces, lemme 04E5. Ainsi \(i_* : D(Z_\etale) \to D_Z(X_\etale)\) est pleinement fidèle et \(i^{-1}\) fournit un inverse à gauche. D’autre part, supposons que \(K\) soit un objet de \(D_Z(X_\etale)\) et considérons le morphisme d’adjonction \(K \to i_*i^{-1}K\). Par exactitude de \(i_*\) et de \(i^{-1}\), celui-ci induit les morphismes d’adjonction \(H^n(K) \to i_*i^{-1}H^n(K)\) sur les faisceaux de cohomologie. Comme ces faisceaux de cohomologie sont à support dans \(Z\), ces morphismes d’adjonction sont des isomorphismes et on conclut que \(D(Z_\etale) \to D_Z(X_\etale)\) est une équivalence.

Pour terminer la démonstration, il faut montrer que \(R\mathcal{H}_Z(K) = i^{-1}K\) si \(K\) est un objet de \(D_Z(X_\etale)\). Pour cela, on peut utiliser l’égalité \(K = i_*i^{-1}K\) que nous venons de démontrer. On peut alors choisir un représentant K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(i^{-1}K\). Puisque \(i_*\) est l’adjoint à droite du foncteur exact \(i^{-1}\), le complexe \(i_*\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif (Catégories dérivées, lemme 08BJ). On voit que \(R\mathcal{H}_Z(K)\) est calculé par \(\mathcal{H}_Z(i_*\mathcal{I}^\bullet) = \mathcal{I}^\bullet\), comme voulu.

Annulation au-delà de la dimension

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Dans ce cas, \(|X|\) est un espace spectral, voir Propriétés d’espaces, lemme 0A4G. De plus, la dimension de \(X\) (telle qu’elle est définie dans Propriétés d’espaces, définition 04N6) est égale à la dimension de Krull de \(|X|\), voir Espaces décents, lemme 0A4J. Nous allons montrer que, pour les faisceaux quasi-cohérents sur \(X\), la cohomologie s’annule au-delà de la dimension. Ce résultat est déjà intéressant pour les espaces algébriques quasi-séparés de type fini sur un corps.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Supposons que \(\dim(X) \leq d\) pour un entier \(d\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\).

1. \(H^q(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(q > d\),

2. \(H^d(X, \mathcal{F}) \to H^d(U, \mathcal{F})\) est surjective pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\),

3. \(H^q_Z(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(q > d\) pour tout sous-espace fermé \(Z \subset X\) dont le complémentaire est quasi-compact.

Démonstration

D’après Propriétés d’espaces, lemme 0A4H tout espace algébrique \(Y\) étale sur \(X\) est de dimension \(\leq d\). Si \(Y\) est quasi-séparé, la dimension de \(Y\) est égale à la dimension de Krull de \(|Y|\) d’après Espaces décents, lemme 0A4J. De plus, si \(Y\) est un schéma, alors la cohomologie étale de \(\mathcal{F}\) sur \(Y\), resp. la cohomologie étale de \(\mathcal{F}\) à support dans un sous-schéma fermé coïncide avec la cohomologie usuelle de \(\mathcal{F}\), resp. avec la cohomologie usuelle à support dans le sous-schéma fermé. Voir Descente, proposition 03DW et Cohomologie étale, lemme 0A46. Nous utiliserons ces faits sans autre mention.

D’après Espaces décents, lemme 07ST il existe un entier \(n\) et des sous-espaces ouverts \[\emptyset = U_{n + 1} \subset U_n \subset U_{n - 1} \subset \ldots \subset U_1 = X\] ayant la propriété suivante : si l’on pose \(T_p = U_p \setminus U_{p + 1}\) (muni de la structure réduite induite), il existe un schéma séparé quasi-compact \(V_p\) et un morphisme étale surjectif \(f_p : V_p \to U_p\) tel que \(f_p^{-1}(T_p) \to T_p\) soit un isomorphisme.

Comme \(U_n = V_n\) est un schéma, nos remarques initiales montrent que la cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur \(U_n\) s’annule en degrés \(> d\) d’après Cohomologie, proposition 0A3G. Supposons avoir montré, par récurrence, que \(H^q(U_{p + 1}, \mathcal{F}|_{U_{p + 1}}) = 0\) pour \(q > d\). Il suffit de montrer que \(H_{T_p}^q(U_p, \mathcal{F})\) est nul pour \(q > d\) afin d’en déduire l’annulation de la cohomologie de \(\mathcal{F}\) sur \(U_p\) en degrés \(> d\). Cependant, on a \[H^q_{T_p}(U_p, \mathcal{F}) = H^q_{f_p^{-1}(T_p)}(V_p, \mathcal{F})\] d’après le lemme 0A4P et, puisque \(V_p\) est un schéma, l’annulation voulue résulte de Cohomologie, proposition 0A3G. On conclut ainsi que (1) est vraie.

Pour démontrer (2), soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert quasi-compact. Considérons le sous-espace ouvert \(U' = U \cup U_n\). Posons \(Z = U' \setminus U\). Alors \(g : U_n \to U'\) est un morphisme étale tel que \(g^{-1}(Z) \to Z\) soit un isomorphisme. Par conséquent, d’après le lemme 0A4P, on a \(H^q_Z(U', \mathcal{F}) = H^q_Z(U_n, \mathcal{F})\), qui s’annule en degré \(> d\) puisque \(U_n\) est un schéma et que l’on peut appliquer Cohomologie, proposition 0A3G. On conclut que \(H^d(U', \mathcal{F}) \to H^d(U, \mathcal{F})\) est surjective. Supposons, par récurrence, avoir ramené notre problème au cas où \(U\) contient \(U_{p + 1}\). On pose alors \(U' = U \cup U_p\), on pose \(Z = U' \setminus U\), et on raisonne au moyen du morphisme \(f_p : V_p \to U'\) qui est étale et tel que \(f_p^{-1}(Z) \to Z\) soit un isomorphisme. Autrement dit, on voit de nouveau que \[H^q_Z(U', \mathcal{F}) = H^q_{f_p^{-1}(Z)}(V_p, \mathcal{F})\] et l’on voit de nouveau que ce groupe s’annule en degrés \(> d\). On conclut que \(H^d(U', \mathcal{F}) \to H^d(U, \mathcal{F})\) est surjective. On atteint finalement le stade où \(U_1 = X \subset U\), ce qui achève la démonstration.

Un argument formel montre que (2) implique (3).

Cohomologie et changement de base, I

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Supposons en outre que \(g : Y' \to Y\) soit un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Notons \(X' = X_{Y'} = Y' \times_Y X\) le changement de base de \(X\) et notons \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\). Notons aussi \(g' : X' \to X\) la projection, et posons \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\). La situation est représentée par le diagramme suivant : [073J]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F} & X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f & \mathcal{F} \\ Rf'_*\mathcal{F}' & Y' \ar[r]^g & Y & Rf_*\mathcal{F} } } \end{equation}\] Voici le cas le plus simple de la propriété de changement de base que nous avons en vue.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Dans ce cas, \(f_*\mathcal{F} \cong Rf_*\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent, et, pour tout diagramme (073J), on a \[g^*f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^*\mathcal{F}.\]

Démonstration

D’après la discussion autour de (071Z), on se ramène au cas d’un morphisme affine de schémas, qui est traité dans Cohomologie des schémas, lemme 02KG.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme cartésien d’espaces algébriques \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] au-dessus de \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent dont l’image inverse est \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\). Supposons que \(g\) soit plat et que \(f\) soit quasi-compact et quasi-séparé. Pour tout \(i \geq 0\),

1. la flèche de changement de base de Cohomologie sur les sites, lemme 0736 est un isomorphisme \[g^*R^if_*\mathcal{F} \longrightarrow R^if'_*\mathcal{F}',\]

2. si \(Y = \Spec(A)\) et \(Y' = \Spec(B)\), alors \(H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_A B = H^i(X', \mathcal{F}')\).

Démonstration

Le morphisme \(g'\) est plat d’après Morphismes d’espaces, lemme 03MO. Notons que la platitude de \(g\) et de \(g'\) équivaut à la platitude des morphismes de petits sites étales annelés, voir Morphismes d’espaces, lemme 073C. On peut donc appliquer Cohomologie sur les sites, lemme 0736 pour obtenir une flèche de changement de base \[g^*R^pf_*\mathcal{F} \longrightarrow R^pf'_*\mathcal{F}'\] Pour montrer que cette flèche est un isomorphisme, on peut travailler localement pour la topologie étale sur \(Y'\). On peut donc supposer que \(Y\) et \(Y'\) sont des schémas affines. Posons \(Y = \Spec(A)\) et \(Y' = \Spec(B)\). Dans ce cas, il s’agit en fait de montrer que la flèche \[H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \longrightarrow H^p(X_B, \mathcal{F}_B)\] est un isomorphisme, où \(X_B = \Spec(B) \times_{\Spec(A)} X\) et \(\mathcal{F}_B\) est l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(X_B\). Autrement dit, il suffit de démontrer (2).

Fixons un homomorphisme plat d’anneaux \(A \to B\) et soit \(X\) un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(A\). Notons que \(g' : X_B \to X\) est affine en tant que changement de base de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\). Par conséquent, les images directes supérieures \(R^i(g')_*\mathcal{F}_B\) sont nulles d’après le lemme 073H. Ainsi, \(H^p(X_B, \mathcal{F}_B) = H^p(X, g'_*\mathcal{F}_B)\), voir Cohomologie sur les sites, lemme 0733. De plus, on a \[g'_*\mathcal{F}_B = \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{B}\] où \(\underline{A}\) et \(\underline{B}\) désignent les faisceaux constants d’anneaux de valeurs respectives \(A\) et \(B\). En effet, il est clair qu’il existe une flèche du membre de droite vers celui de gauche. Pour tout schéma affine \(U\) étale sur \(X\), on a \[\begin{align*} g'_*\mathcal{F}_B(U) & = \mathcal{F}_B(\Spec(B) \times_{\Spec(A)} U) \\ & = \Gamma(\Spec(B) \times_{\Spec(A)} U, (\Spec(B) \times_{\Spec(A)} U \to U)^*\mathcal{F}|_U) \\ & = B \otimes_A \mathcal{F}(U) \end{align*}\] donc cette flèche est un isomorphisme. Écrivons \(B = \colim M_i\) comme limite inductive filtrante de \(A\)-modules libres de type fini \(M_i\) en utilisant le théorème de Lazard, voir Algèbre, théorème 058G. On en déduit que \[\begin{align*} H^p(X, g'_*\mathcal{F}_B) & = H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{B}) \\ & = H^p(X, \colim_i \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{M_i}) \\ & = \colim_i H^p(X, \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{M_i}) \\ & = \colim_i H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_A M_i \\ & = H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_A \colim_i M_i \\ & = H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_A B \end{align*}\] La première égalité vient de ce que \(g'_*\mathcal{F}_B = \mathcal{F} \otimes_{\underline{A}} \underline{B}\), comme on l’a vu ci-dessus. La deuxième vient de ce que \(\otimes\) commute aux limites inductives. La troisième égalité vient de ce que la cohomologie sur \(X\) commute aux limites inductives (voir le lemme 073E). La quatrième égalité vient de ce que \(M_i\) est libre de type fini (c’est-à-dire de ce que la cohomologie commute aux sommes directes finies). La cinquième vient de ce que \(\otimes\) commute aux limites inductives. La sixième résulte du choix de notre système.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact, séparé et étale d’espaces algébriques. Alors, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), le morphisme \(f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est scindé.

Démonstration

Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ X \times_Y X \ar[r]_-p \ar[d]_q & X \ar[d]^f \\ X \ar[r]^f & Y }\] D’après le Lemme 07U8, on a \(f^*f_*\mathcal{F} = q_*p^*\mathcal{F}\). Le morphisme \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est ouvert (car c’est un morphisme entre espaces algébriques étales sur \(Y\)) et fermé puisque \(f\) est séparé. On voit donc que \(p^*\mathcal{F}\) est somme directe de \(\Delta_*\mathcal{F}\) et d’un module quasi-cohérent à support dans le complémentaire (ouvert et fermé) de \(\Delta(X)\). En suivant les morphismes, le lecteur vérifie que \[\mathcal{F} = q_*\Delta_*\mathcal{F} \to q_*p^*\mathcal{F} = f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\] est le morphisme identité. Nous omettons les détails.

Modules cohérents sur les espaces algébriques localement noethériens

Cette section est l’analogue de Cohomologie des schémas, section 01XY. Dans Modules sur les sites, Définition 03DL, nous avons défini les modules cohérents sur tout topos annelé. Nous employons cette notion pour définir les modules cohérents sur les espaces algébriques localement noethériens. Bien qu’il soit possible de travailler plus généralement avec des modules cohérents, nous nous abstiendrons de le faire.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Un module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) est dit cohérent si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent sur le site \(X_\etale\) au sens de Modules sur les sites, Définition 03DL.

Cette définition est compatible avec la notion déjà existante de module cohérent sur un schéma localement noethérien; voir l’assertion (5) de Propriétés des espaces, section 05VR (ou, plus directement, Descente, Lemme 05VG). Désormais, si \(X\) est un schéma localement noethérien sur \(S\), nous ne distinguerons donc pas un module cohérent sur \(X\) considéré comme schéma d’un module cohérent sur \(X\) considéré comme espace algébrique; ceci est compatible avec les identifications correspondantes des catégories de modules quasi-cohérents décrites dans Propriétés des espaces, section 03G5.

Cela étant, le lemme suivant donne une caractérisation concrète des modules cohérents sur les espaces algébriques localement noethériens.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est cohérent,

2. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini,

3. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie,

4. pour tout morphisme étale \(\varphi : U \to X\), où \(U\) est un schéma, l’image inverse \(\varphi^*\mathcal{F}\) est un module cohérent sur \(U\), et

5. il existe un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\), où \(U\) est un schéma, tel que l’image inverse \(\varphi^*\mathcal{F}\) soit un module cohérent sur \(U\).

En particulier, \(\mathcal{O}_X\) est cohérent, tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible est cohérent et, plus généralement, tout \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini est cohérent.

Démonstration

Notons que, si \(X\) est un espace algébrique localement noethérien et si \(U \to X\) est un morphisme étale, alors \(U\) est localement noethérien; voir Propriétés des espaces, section 03E5. Le lemme résulte alors des points (1) – (5) établis dans Propriétés des espaces, section 05VR, et du résultat correspondant pour les modules cohérents sur les schémas localement noethériens; voir Cohomologie des schémas, Lemme 01XZ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents est abélienne. Plus précisément, le noyau et le conoyau d’un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents sont cohérents. Toute extension de faisceaux cohérents est cohérente.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(f : U \to X\). L’image inverse \(f^*\) est un foncteur exact, car elle est un foncteur de restriction; voir Propriétés des espaces, Équation (03LW). D’après le Lemme 07UB, pour vérifier qu’un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) est cohérent, il suffit de vérifier que \(f^*\mathcal{F}\) est cohérent. Le lemme résulte donc du cas des schémas, qui est Cohomologie des schémas, Lemme 01Y0.

Les modules cohérents forment une sous-catégorie de Serre de la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Cela n’est pas vrai pour les modules sur un topos annelé quelconque.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Tout sous-module quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) est cohérent. Tout module quotient quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) est cohérent.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(f : U \to X\). L’image inverse \(f^*\) est un foncteur exact, car elle est un foncteur de restriction; voir Propriétés des espaces, Équation (03LW). D’après le Lemme 07UB, pour vérifier qu’un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\) est cohérent, il suffit de vérifier que \(f^*\mathcal{H}\) est cohérent. Le lemme résulte donc du cas des schémas, qui est Cohomologie des schémas, Lemme 01Y1.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Les \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) et \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) sont cohérents.

Démonstration

Par le Lemme 07UB, cela résulte du résultat pour les schémas; voir Cohomologie des schémas, Lemme 01Y2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\overline{x}\) un point géométrique de \(X\) au-dessus de \(x \in |X|\).

1. Si \(\mathcal{F}_{\overline{x}} = 0\), il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(\mathcal{F}|_{X'} = 0\).

2. Si \(\varphi_{\overline{x}} : \mathcal{G}_{\overline{x}} \to \mathcal{F}_{\overline{x}}\) est injectif, il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(\varphi|_{X'}\) soit injectif.

3. Si \(\varphi_{\overline{x}} : \mathcal{G}_{\overline{x}} \to \mathcal{F}_{\overline{x}}\) est surjectif, il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(\varphi|_{X'}\) soit surjectif.

4. Si \(\varphi_{\overline{x}} : \mathcal{G}_{\overline{x}} \to \mathcal{F}_{\overline{x}}\) est bijectif, il existe un voisinage ouvert \(X' \subset X\) de \(x\) tel que \(\varphi|_{X'}\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(\varphi : U \to X\) un morphisme étale, où \(U\) est un schéma, et soit \(u \in U\) un point d’image \(x\). D’après Propriétés des espaces, Lemmes 05VP et 04KF ainsi que Compléments d’algèbre, Lemme 07QM, on voit que \(\varphi_{\overline{x}}\) est injectif, surjectif ou bijectif si et seulement si \(\varphi_u : \varphi^*\mathcal{F}_u \to \varphi^*\mathcal{G}_u\) possède la propriété correspondante. On peut donc appliquer la version de ce lemme pour les schémas pour voir que (quitte à restreindre \(U\)) le morphisme \(\varphi^*\mathcal{F} \to \varphi^*\mathcal{G}\) est injectif, surjectif ou un isomorphisme. Soit \(X' \subset X\) le sous-espace ouvert correspondant à \(|\varphi|(|U|) \subset |X|\); voir Propriétés des espaces, Lemme 03BZ. Puisque \(\{U \to X'\}\) est un recouvrement pour la topologie étale, on conclut que \(\varphi|_{X'}\) est injectif, surjectif ou un isomorphisme, ce qui donne le résultat voulu. Enfin, remarquons que (1) résulte de (2) en considérant le morphisme \(\mathcal{F} \to 0\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique localement noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \(i : Z \to X\) le support schématique de \(\mathcal{F}\), et soit \(\mathcal{G}\) le \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent tel que \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\); voir Morphismes d’espaces, Définition 07U1. Alors \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent.

Démonstration

L’énoncé du lemme a un sens, car un module cohérent est en particulier de type fini. De plus, comme \(Z \to X\) est une immersion fermée, ce morphisme est localement de type fini, et \(Z\) est donc localement noethérien; voir Morphismes d’espaces, Lemmes 06ED et 04ZK. Enfin, puisque \(\mathcal{G}\) est de type fini, c’est un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent d’après le Lemme 07UB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques localement noethériens sur \(S\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(Z\). Le foncteur \(i_*\) induit une équivalence entre la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents annulés par \(\mathcal{I}\) et la catégorie des \(\mathcal{O}_Z\)-modules cohérents.

Démonstration

Le foncteur est pleinement fidèle d’après Morphismes d’espaces, Lemme 04CJ. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent annulé par \(\mathcal{I}\). D’après Morphismes d’espaces, Lemme 04CJ, on peut écrire \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) pour un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(Z\). Pour vérifier que \(\mathcal{G}\) est cohérent, on peut travailler localement pour la topologie étale (Lemme 07UB). En choisissant un recouvrement étale par un schéma, on conclut que \(\mathcal{G}\) est cohérent par le cas des schémas (Cohomologie des schémas, Lemme 087T). Ainsi le foncteur est pleinement fidèle, ce qui termine la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini d’espaces algébriques sur \(S\), avec \(Y\) localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Supposons \(f\) fini et \(Y\) localement noethérien. Alors \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour \(p > 0\), et \(f_*\mathcal{F}\) est cohérent.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Alors \(V \times_Y X \to V\) est un morphisme fini de schémas localement noethériens. D’après (071Z), on se ramène au cas des schémas, qui est Cohomologie des schémas, Lemme 01Y6.

Faisceaux cohérents sur les espaces noethériens

Dans cette section, nous donnons quelques propriétés des faisceaux cohérents sur les espaces algébriques noethériens.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Les sous-modules quasi-cohérents de \(\mathcal{F}\) vérifient la condition de chaîne ascendante. Autrement dit, pour toute suite \[\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{F}\] de sous-modules quasi-cohérents, on a \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\) pour un certain \(n \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) (voir Propriétés des espaces, Lemme 03H6). Alors \(U\) est un schéma noethérien (d’après Morphismes d’espaces, Lemme 04ZK). Si \(\mathcal{F}_n|_U = \mathcal{F}_{n + 1}|_U = \ldots\), alors \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1} = \ldots\). Le résultat découle donc du cas des schémas; voir Cohomologie des schémas, Lemme 01Y8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant à un sous-espace fermé \(Z \subset X\). Il existe alors un \(n \geq 0\) tel que \(\mathcal{I}^n\mathcal{F} = 0\) si et seulement si \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \subset Z\) ensemblistement.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) (voir Propriétés des espaces, Lemme 03H6). Alors \(U\) est un schéma noethérien (d’après Morphismes d’espaces, Lemme 04ZK). Notons que \(\mathcal{I}^n\mathcal{F}|_U = 0\) si et seulement si \(\mathcal{I}^n\mathcal{F} = 0\), et il en va de même pour la condition sur le support. Le résultat découle donc du cas des schémas; voir Cohomologie des schémas, Lemme 01Y9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Soit \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) un sous-faisceau quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Il existe alors un \(c \geq 0\) tel que, pour tout \(n \geq c\), on ait \[\mathcal{I}^{n - c}(\mathcal{I}^c\mathcal{F} \cap \mathcal{G}) = \mathcal{I}^n\mathcal{F} \cap \mathcal{G}\]

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\) (voir Propriétés des espaces, Lemme 03H6). Alors \(U\) est un schéma noethérien (d’après Morphismes d’espaces, Lemme 04ZK). L’égalité du lemme est vérifiée si et seulement si elle l’est après restriction à \(U\). Le résultat découle donc du cas des schémas; voir Cohomologie des schémas, Lemme 01YA.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Notons \(Z \subset X\) le sous-espace fermé correspondant et posons \(U = X \setminus Z\). Il existe un isomorphisme canonique \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n\mathcal{G}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}|_U, \mathcal{F}|_U).\] En particulier, on a un isomorphisme \[\colim_n \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I}^n, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(U, \mathcal{F}).\]

Démonstration

Soit \(W\) un schéma affine et soit \(W \to X\) un morphisme étale surjectif (voir Propriétés des espaces, Lemme 03H6). Posons \(R = W \times_X W\). Alors \(W\) et \(R\) sont des schémas noethériens; voir Morphismes d’espaces, Lemme 04ZK. Le résultat vaut donc pour les restrictions de \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), ainsi que de \(\mathcal{I}\), \(U\), \(Z\), à \(W\) et à \(R\), d’après Cohomologie des schémas, Lemme 01YB. Il en résulte formellement que le résultat vaut sur \(X\).

Dévissage des faisceaux cohérents

Cette section est l’analogue de Cohomologie des schémas, section 01YC.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Supposons que \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = Z \cup Z'\), où \(Z\), \(Z'\) sont fermés. Il existe alors une suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{G}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to 0\] avec \(\text{Supp}(\mathcal{G}') \subset Z'\) et \(\text{Supp}(\mathcal{G}) \subset Z\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux définissant sur \(Z\) la structure réduite induite de sous-espace fermé; voir Propriétés des espaces, Lemme 03IQ. Considérons les sous-faisceaux \(\mathcal{G}'_n = \mathcal{I}^n\mathcal{F}\) et les quotients \(\mathcal{G}_n = \mathcal{F}/\mathcal{I}^n\mathcal{F}\). Pour tout \(n\), on a une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{G}'_n \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_n \to 0\] Pour tout point géométrique \(\overline{x}\) de \(Z' \setminus Z\), on a \(\mathcal{I}_{\overline{x}} = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) et donc \(\mathcal{G}_{n, \overline{x}} = 0\). Ainsi, on voit que \(\text{Supp}(\mathcal{G}_n) \subset Z\). Notons que \(X \setminus Z'\) est un espace algébrique noethérien. D’après le Lemme 07UK, il existe donc un \(n\) tel que \(\mathcal{G}'_n|_{X \setminus Z'} = \mathcal{I}^n\mathcal{F}|_{X \setminus Z'} = 0\). Pour un tel \(n\), on voit que \(\text{Supp}(\mathcal{G}'_n) \subset Z'\). Il suffit donc de poser \(\mathcal{G}' = \mathcal{G}'_n\) et \(\mathcal{G} = \mathcal{G}_n\) pour conclure.

Dans la suite, nous emploierons librement le support schématique des modules de type fini défini dans Morphismes d’espaces, Définition 07U1.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Supposons que le support schématique de \(\mathcal{F}\) soit un sous-espace réduit \(Z \subset X\) tel que \(|Z|\) soit irréductible. Il existe alors un entier \(r > 0\), un faisceau non nul d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\) et un morphisme injectif de faisceaux cohérents \[i_*\left(\mathcal{I}^{\oplus r}\right) \to \mathcal{F}\] dont le conoyau est à support dans un sous-espace fermé strict de \(Z\).

Démonstration

Par hypothèse, il existe un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent \(\mathcal{G}\) de support \(Z\) tel que \(\mathcal{F} \cong i_*\mathcal{G}\); voir Lemme 07UG. Il suffit donc de démontrer le lemme dans le cas \(Z = X\) et \(i = \text{id}\).

Par Propriétés des espaces, Proposition 06NH il existe un sous-espace ouvert dense \(U \subset X\) qui est un schéma. Notons que \(U\) est un schéma intègre noethérien. Quitte à restreindre \(U\), on peut supposer que \(\mathcal{F}|_U \cong \mathcal{O}_U^{\oplus r}\) (par exemple d’après Cohomologie des schémas, Lemme 01YE, ou par un argument direct d’algèbre). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux dont le sous-espace fermé associé est le complémentaire de \(U\) dans \(X\) (voir, par exemple, Propriétés des espaces, section 03IP). D’après le Lemme 07UM, il existe un \(n \geq 0\) et un morphisme \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) \to \mathcal{F}\) qui redonne notre isomorphisme sur \(U\). Puisque \(\mathcal{I}^n(\mathcal{O}_X^{\oplus r}) = (\mathcal{I}^n)^{\oplus r}\), on obtient un morphisme comme dans le lemme. Il est injectif : en effet, si \(\sigma\) est une section non nulle de \(\mathcal{I}^{\oplus r}\) sur un schéma \(W\) étale sur \(X\), alors, puisque \(X\), et donc \(W\), est réduit, le support de \(\sigma\) contient un ouvert non vide de \(W\). Or le noyau de \((\mathcal{I}^n)^{\oplus r} \to \mathcal{F}\) est nul sur un ouvert dense; \(\sigma\) ne peut donc pas être une section du noyau.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Il existe une filtration \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] par des sous-faisceaux cohérents telle que, pour chaque \(j = 1, \ldots, m\), il existe un sous-espace fermé réduit \(Z_j \subset X\) tel que \(|Z_j|\) soit irréductible, et un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}_j \subset \mathcal{O}_{Z_j}\) tels que \[\mathcal{F}_j/\mathcal{F}_{j - 1} \cong (Z_j \to X)_* \mathcal{I}_j\]

Démonstration

Considérons l’ensemble \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{matrix} T \subset |X| \text{ fermé tel qu'il existe un faisceau cohérent } \mathcal{F} \\ \text{ avec } \text{Supp}(\mathcal{F}) = T \text{ pour lequel le lemme est faux} \end{matrix} \right\}\] Nous voulons montrer que \(\mathcal{T}\) est vide. Sinon, puisque \(|X|\) est noethérien (Propriétés des espaces, Lemme 04ZF) on peut choisir un élément minimal \(T \in \mathcal{T}\). Cela signifie qu’il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), de support \(T\), pour lequel le lemme n’est pas vrai. Il est clair que \(T \not = \emptyset\), car le seul faisceau de support vide est le faisceau nul, pour lequel le lemme est vrai (avec \(m = 0\)).

Si \(T\) n’est pas irréductible, on peut écrire \(T = Z_1 \cup Z_2\), où \(Z_1, Z_2\) sont fermés et strictement contenus dans \(T\). On peut alors appliquer le Lemme 07UP pour obtenir une suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_2 \to 0\] avec \(\text{Supp}(\mathcal{G}_i) \subset Z_i\). Par minimalité de \(T\), chacun des \(\mathcal{G}_i\) admet une filtration comme dans l’énoncé du lemme. En considérant la filtration induite sur \(\mathcal{F}\), on aboutit à une contradiction. On en conclut que \(T\) est irréductible.

Supposons \(T\) irréductible. Soit \(\mathcal{J}\) le faisceau d’idéaux définissant sur \(T\) la structure réduite induite de sous-espace fermé; voir Propriétés des espaces, Lemme 03IQ. D’après le Lemme 07UK, il existe un \(n \geq 0\) tel que \(\mathcal{J}^n\mathcal{F} = 0\). On obtient donc une filtration \[0 = \mathcal{I}^n\mathcal{F} \subset \mathcal{I}^{n - 1}\mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{I}\mathcal{F} \subset \mathcal{F}\] dont chacun des sous-quotients successifs est annulé par \(\mathcal{J}\). Si chacun de ces sous-quotients admet une filtration comme dans l’énoncé du lemme, il en va de même pour \(\mathcal{F}\). Autrement dit, on peut supposer que \(\mathcal{J}\) annule \(\mathcal{F}\).

Supposons \(T\) irréductible et \(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\), où \(\mathcal{J}\) est comme ci-dessus. Alors le support schématique de \(\mathcal{F}\) est \(T\); voir Morphismes d’espaces, Lemme 04CJ. On peut donc appliquer le Lemme 07UQ. On obtient une suite exacte courte \[0 \to i_*(\mathcal{I}^{\oplus r}) \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] où le support de \(\mathcal{Q}\) est une partie fermée stricte de \(T\). On voit donc que \(\mathcal{Q}\) admet une filtration du type voulu par minimalité de \(T\). Mais il en va alors manifestement de même pour \(\mathcal{F}\), d’où la contradiction finale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\). Supposons que

1. pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] si les \(\mathcal{F}_i\), \(i = 1, 2\), vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour \(\mathcal{F}\);

2. pour tout sous-espace fermé réduit \(Z \subset X\) tel que \(|Z|\) soit irréductible et tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\), la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(i_*\mathcal{I}\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par tout faisceau cohérent sur \(X\).

Démonstration

Notons d’abord que, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau cohérent muni d’une filtration \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{F}\] par des sous-faisceaux cohérents telle que chaque \(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i - 1}\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour \(\mathcal{F}\). Cela résulte de la propriété (1) de \(\mathcal{P}\). D’autre part, d’après le Lemme 07UR, on peut munir tout \(\mathcal{F}\) d’une filtration dont les sous-quotients successifs sont comme dans (2). Le lemme en résulte.

Voici une variante plus utile du lemme précédent.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\). Supposons que

1. pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] si les \(\mathcal{F}_i\), \(i = 1, 2\), vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), il en va de même pour \(\mathcal{F}\);

2. si \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(\mathcal{F}^{\oplus r}\) pour un certain \(r \geq 1\), elle est vérifiée par \(\mathcal{F}\);

3. pour tout sous-espace fermé réduit \(i : Z \to X\) tel que \(|Z|\) soit irréductible, il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(Z\) tel que

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\),

   2. pour tout faisceau quasi-cohérent non nul d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\), il existe un sous-faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{I}\mathcal{G}\) tel que \(\text{Supp}(\mathcal{G}/\mathcal{G}')\) soit une partie fermée stricte de \(|Z|\) et que la propriété \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(i_*\mathcal{G}'\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par tout faisceau cohérent sur \(X\).

Démonstration

Considérons l’ensemble \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{matrix} T \subset |X| \text{ fermé non vide tel qu'il existe un faisceau cohérent } \\ \mathcal{F} \text{ avec } \text{Supp}(\mathcal{F}) = T \text{ pour lequel le lemme est faux} \end{matrix} \right\}\] Nous voulons montrer que \(\mathcal{T}\) est vide. Sinon, puisque \(|X|\) est noethérien (Propriétés des espaces, Lemme 04ZF) on peut choisir un élément minimal \(T \in \mathcal{T}\). Cela signifie qu’il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), de support \(T\), pour lequel le lemme n’est pas vrai.

Si \(T\) n’est pas irréductible, on peut écrire \(T = Z_1 \cup Z_2\), où \(Z_1, Z_2\) sont fermés et strictement contenus dans \(T\). On peut alors appliquer le Lemme 07UP pour obtenir une suite exacte courte de faisceaux cohérents \[0 \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G}_2 \to 0\] avec \(\text{Supp}(\mathcal{G}_i) \subset Z_i\). Par minimalité de \(T\), chacun des \(\mathcal{G}_i\) vérifie \(\mathcal{P}\). Ainsi \(\mathcal{F}\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\) d’après (1), ce qui est une contradiction.

Supposons \(T\) irréductible. Soit \(\mathcal{J}\) le faisceau d’idéaux définissant sur \(T\) la structure réduite induite de sous-espace fermé; voir Propriétés des espaces, Lemme 03IQ. D’après le Lemme 07UK, il existe un \(n \geq 0\) tel que \(\mathcal{J}^n\mathcal{F} = 0\). On obtient donc une filtration \[0 = \mathcal{J}^n\mathcal{F} \subset \mathcal{J}^{n - 1}\mathcal{F} \subset \ldots \subset \mathcal{J}\mathcal{F} \subset \mathcal{F}\] dont chacun des sous-quotients successifs est annulé par \(\mathcal{J}\). Si chacun de ces sous-quotients admet une filtration comme dans l’énoncé du lemme, il en va de même pour \(\mathcal{F}\) d’après (1). Autrement dit, on peut supposer que \(\mathcal{J}\) annule \(\mathcal{F}\).

Supposons \(T\) irréductible et \(\mathcal{J}\mathcal{F} = 0\), où \(\mathcal{J}\) est comme ci-dessus. Notons \(i : Z \to X\) le sous-espace fermé correspondant à \(\mathcal{J}\). Alors \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{H}\) pour un certain \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent \(\mathcal{H}\); voir Morphismes d’espaces, Lemme 04CJ, et Lemme 07UG. Soit \(\mathcal{G}\) le faisceau cohérent sur \(Z\) vérifiant (3)(a) et (3)(b). Appliquons le Lemme 07UQ pour obtenir des morphismes injectifs \[\mathcal{I}_1^{\oplus r_1} \to \mathcal{H} \quad\text{et}\quad \mathcal{I}_2^{\oplus r_2} \to \mathcal{G}\] dont les conoyaux sont à support dans des parties fermées strictes de \(Z\). On trouve donc un ouvert non vide \(V \subset Z\) tel que \[\mathcal{H}^{\oplus r_2}_V \cong \mathcal{G}^{\oplus r_1}_V\] Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(Z \setminus V\); d’après le Lemme 07UM, on obtient un morphisme \[\mathcal{I}^n\mathcal{G}^{\oplus r_1} \longrightarrow \mathcal{H}^{\oplus r_2}\] qui est un isomorphisme sur \(V\). Le noyau est à support dans \(Z \setminus V\), donc est annulé par une puissance de \(\mathcal{I}\); voir Lemme 07UK. Ainsi, quitte à augmenter \(n\), on peut supposer que le morphisme affiché est injectif; voir Lemme 07UL. En appliquant (3)(b), on trouve \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{I}^n\mathcal{G}\) tel que \[(i_*\mathcal{G}')^{\oplus r_1} \longrightarrow i_*\mathcal{H}^{\oplus r_2} = \mathcal{F}^{\oplus r_2}\] soit injectif, avec un conoyau à support dans une partie fermée stricte de \(Z\), et que la propriété \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(i_*\mathcal{G}'\). D’après (1), la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \((i_*\mathcal{G}')^{\oplus r_1}\). D’après (1) et la minimalité de \(T = |Z|\), la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(\mathcal{F}^{\oplus r_2}\). Enfin, d’après (2), la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(\mathcal{F}\), ce qui est la contradiction cherchée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\). Supposons que

1. pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents sur \(X\), si deux des trois termes vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), le troisième la vérifie aussi;

2. si \(\mathcal{P}\) est vérifiée par \(\mathcal{F}^{\oplus r}\) pour un certain \(r \geq 1\), elle est vérifiée par \(\mathcal{F}\);

3. pour tout sous-espace fermé réduit \(i : Z \to X\) tel que \(|Z|\) soit irréductible, il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(X\) dont le support schématique est \(Z\) et tel que \(\mathcal{P}\) soit vérifiée par \(\mathcal{G}\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est vérifiée par tout faisceau cohérent sur \(X\).

Démonstration

Nous allons montrer que les conditions (1) et (2) du Lemme 07US sont vérifiées. C’est clair pour la condition (1). Pour établir (2), posons \[\mathcal{T} = \left\{ \begin{matrix} i : Z \to X \text{ sous-espace fermé réduit tel que }|Z|\text{ soit irréductible et}\\ \text{ que }i_*\mathcal{I}\text{ ne vérifie pas }\mathcal{P} \text{ pour un certain faisceau quasi-cohérent }\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z \end{matrix} \right\}\] Si \(\mathcal{T}\) n’est pas vide, comme \(X\) est noethérien, on peut trouver un \(i : Z \to X\) minimal dans \(\mathcal{T}\). Nous allons montrer que cela conduit à une contradiction.

Soit \(\mathcal{G}\) le faisceau de support schématique \(Z\) dont l’existence est postulée dans l’hypothèse (3). Soit \(\varphi : i_*\mathcal{I}^{\oplus r} \to \mathcal{G}\) comme dans le Lemme 07UQ. Soit \[0 = \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{F}_m = \Coker(\varphi)\] une filtration comme dans le Lemme 07UR. Par minimalité de \(Z\) et d’après l’hypothèse (1), on voit que \(\Coker(\varphi)\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\). Puisque \(\varphi\) est injectif, l’hypothèse (1) montre encore que \(i_*\mathcal{I}^{\oplus r}\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\). L’hypothèse (2) montre alors que \(i_*\mathcal{I}\) vérifie la propriété \(\mathcal{P}\).

Enfin, si \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_Z\) est un second faisceau quasi-cohérent d’idéaux, posons \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \cap \mathcal{J}\) et considérons les suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{I} \to \mathcal{I}/\mathcal{K} \to 0 \quad \text{et} \quad 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{K} \to 0\] En raisonnant comme ci-dessus et en utilisant la minimalité de \(Z\), on voit que \(i_*\mathcal{I}/\mathcal{K}\) et \(i_*\mathcal{J}/\mathcal{K}\) vérifient \(\mathcal{P}\). L’hypothèse (1) montre donc que \(i_*\mathcal{K}\), puis \(i_*\mathcal{J}\), vérifient \(\mathcal{P}\). Autrement dit, \(Z\) n’est pas un élément de \(\mathcal{T}\), ce qui est la contradiction cherchée.

Limites de modules cohérents

Une limite inductive de modules cohérents (sur un espace algébrique localement noethérien) n’est en général pas cohérente. Elle est toutefois quasi-cohérente, car toute limite inductive de modules quasi-cohérents sur un espace algébrique est quasi-cohérente, voir Propriétés des espaces, Lemme 03M1. Réciproquement, si l’espace algébrique est noethérien, tout module quasi-cohérent est une limite inductive filtrante de modules cohérents.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent est la limite inductive filtrante de ses sous-modules cohérents.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(\mathcal{G}, \mathcal{H} \subset \mathcal{F}\) sont des sous-\(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, alors l’image de \(\mathcal{G} \oplus \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) est encore un sous-\(\mathcal{O}_X\)-module cohérent qui les contient tous deux (voir les Lemmes 07UC et 07UD). On voit ainsi que le système est filtrant. Il suffit donc de montrer que \(\mathcal{F}\) peut s’écrire comme une limite inductive filtrante de modules cohérents : en prenant alors les images de ces modules dans \(\mathcal{F}\), on conclut qu’il y en a suffisamment.

Soit \(U\) un schéma affine et \(U \to X\) un morphisme étale surjectif. Posons \(R = U \times_X U\), de sorte que \(X = U/R\) comme d’habitude. D’après Propriétés des espaces, Proposition 03M3, on a \(\QCoh(\mathcal{O}_X) = \QCoh(U, R, s, t, c)\). On se ramène donc à établir l’assertion correspondante pour \(\QCoh(U, R, s, t, c)\). Le résultat découle alors du Lemme plus général 07TU du chapitre Groupoïdes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine d’espaces algébriques sur \(S\), avec \(Y\) noethérien. Alors tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent est une limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Écrivons \(f_*\mathcal{F} = \colim \mathcal{H}_i\), où \(\mathcal{H}_i\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent, voir le Lemme 07UV. D’après le Lemme 07UB, les modules \(\mathcal{H}_i\) sont des \(\mathcal{O}_Y\)-modules de présentation finie. Par conséquent, \(f^*\mathcal{H}_i\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, voir Propriétés des espaces, section 05VR. Nous affirmons que le morphisme \[\colim f^*\mathcal{H}_i = f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\] est surjectif puisque \(f\) est supposé affine. En effet, choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Posons \(U = X \times_Y V\). Alors \(U\) est un schéma, \(f' : U \to V\) est affine, et \(U \to X\) est étale surjectif. D’après Propriétés des espaces, Lemme 03LX, on a \(f'_*(\mathcal{F}|_U) = f_*\mathcal{F}|_V\), et de même pour les images réciproques. Ainsi, la restriction de \(f^*f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) à \(U\) est le morphisme \[f^*f_*\mathcal{F}|_U = (f')^*(f_*\mathcal{F})|_V) = (f')^*f'_*(\mathcal{F}|_U) \to \mathcal{F}|_U\] qui est surjectif puisque \(f'\) est un morphisme affine de schémas. L’affirmation est donc démontrée.

On conclut que tout module quasi-cohérent sur \(X\) est quotient d’une limite inductive filtrante de modules de présentation finie. En particulier, \(\mathcal{F}\) est le conoyau d’un morphisme \[\colim_{j \in J} \mathcal{G}_j \longrightarrow \colim_{i \in I} \mathcal{H}_i\] où les \(\mathcal{G}_j\) et les \(\mathcal{H}_i\) sont de présentation finie. Notons que, pour tout \(j \in I\), il existe \(i \in I\) et un morphisme \(\alpha : \mathcal{G}_j \to \mathcal{H}_i\) tels que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{G}_j \ar[r]_\alpha \ar[d] & \mathcal{H}_i \ar[d] \\ \colim_{j \in J} \mathcal{G}_j \ar[r] & \colim_{i \in I} \mathcal{H}_i }\] soit commutatif, voir le Lemme 07U7. Dans cette situation, \(\Coker(\alpha)\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie muni d’un morphisme \(\Coker(\alpha) \to \mathcal{F}\). Considérons l’ensemble \(K\) des triplets \((i, j, \alpha)\) comme ci-dessus. On pose \((i, j, \alpha) \leq (i', j', \alpha')\) si et seulement si \(i \leq i'\), \(j \leq j'\), et si le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{G}_j \ar[r]_\alpha \ar[d] & \mathcal{H}_i \ar[d] \\ \mathcal{G}_{j'} \ar[r]^{\alpha'} & \mathcal{H}_{i'} }\] est commutatif. Il résulte de ce qui précède que \(K\) est un ensemble ordonné filtrant, \[\mathcal{F} = \colim_{(i, j, \alpha) \in K} \Coker(\alpha),\] ce qui conclut la démonstration.

Annulation de la cohomologie

Dans cette section, nous montrons qu’un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé est affine si sa cohomologie supérieure s’annule pour tout faisceau quasi-cohérent. Nous procédons par une suite de lemmes qui deviendront tous superflus une fois démontrée la Proposition 07V6.

Situation

Ici, \(S\) est un schéma et \(X\) est un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\) ayant la propriété suivante : pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on a \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\). Posons \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\).

Nous voudrions montrer que le morphisme canonique \[p : X \longrightarrow \Spec(A)\] (voir Propriétés des espaces, Lemme 05Z1) est un isomorphisme. Si \(M\) est un \(A\)-module, nous notons \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\) le module quasi-cohérent \(p^*\tilde M\).

Lemme

Dans la Situation 07UY, pour tout \(A\)-module \(M\), on a \(p_*(M \otimes_A \mathcal{O}_X) = \widetilde{M}\) et \(\Gamma(X, M \otimes_A \mathcal{O}_X) = M\).

Démonstration

L’égalité \(p_*(M \otimes_A \mathcal{O}_X) = \widetilde{M}\) résulte de l’égalité \(\Gamma(X, M \otimes_A \mathcal{O}_X) = M\), car \(p_*(M \otimes_A \mathcal{O}_X)\) est un module quasi-cohérent sur \(\Spec(A)\) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03M9. Observons que \(\Gamma(X, \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X) = \bigoplus_{i \in I} A\) d’après le Lemme 073E. Le lemme est donc vrai pour les modules libres. Choisissons une suite exacte courte \(F_1 \to F_0 \to M\), où \(F_0, F_1\) sont des \(A\)-modules libres. Puisque \(H^1(X, -)\) est nul, le foncteur des sections globales est exact à droite. De plus, l’image réciproque \(p^*\) est elle aussi exacte à droite. On voit donc que \[\Gamma(X, F_1 \otimes_A \mathcal{O}_X) \to \Gamma(X, F_0 \otimes_A \mathcal{O}_X) \to \Gamma(X, M \otimes_A \mathcal{O}_X) \to 0\] est exacte. Le résultat en découle.

Le lemme suivant montre que la Situation 07UY est préservée par le changement de base de \(X \to \Spec(A)\) par \(\Spec(A') \to \Spec(A)\).

Lemme

Dans la Situation 07UY.

1. Pour tout morphisme affine \(X' \to X\) d’espaces algébriques, on a \(H^1(X', \mathcal{F}') = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_{X'}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}'\).

2. Pour toute \(A\)-algèbre \(A'\), en posant \(X' = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A')\), le morphisme \(X' \to X\) est affine et \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) = A'\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte du Lemme 073H et de la suite spectrale de Leray (Cohomologie sur les sites, Lemme 0732). Soit \(A \to A'\) comme en (2). Alors \(X' \to X\) est affine, car les morphismes affines sont stables par changement de base (Morphismes d’espaces, Lemme 03WI) et parce que tout morphisme de schémas affines est affine. L’égalité \(\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) = A'\) résulte de \((X' \to X)_*\mathcal{O}_{X'} = A' \otimes_A \mathcal{O}_X\) d’après le Lemme 07U8, puis de \[\Gamma(X', \mathcal{O}_{X'}) = \Gamma(X, (X' \to X)_*\mathcal{O}_{X'}) = \Gamma(X, A' \otimes_A \mathcal{O}_X) = A'\] d’après le Lemme 07UZ.

Lemme

Dans la Situation 07UY, soient \(Z_0, Z_1 \subset |X|\) deux parties fermées disjointes. Il existe alors \(a \in A\) tel que \(Z_0 \subset V(a)\) et \(Z_1 \subset V(a - 1)\).

Démonstration

On peut, et l’on va, munir \(Z_0\), \(Z_1\) de la structure d’espace réduit induite (Propriétés des espaces, Définition 047X); notons \(i_0 : Z_0 \to X\) et \(i_1 : Z_1 \to X\) les immersions fermées correspondantes. Comme \(Z_0 \cap Z_1 = \emptyset\), le morphisme canonique de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents \[\mathcal{O}_X \longrightarrow i_{0, *}\mathcal{O}_{Z_0} \oplus i_{1, *}\mathcal{O}_{Z_1}\] est surjectif (il suffit de regarder les germes aux points géométriques). Puisque \(H^1(X, -)\) est nul sur le noyau de ce morphisme, le morphisme induit sur les sections globales est surjectif. On peut donc trouver \(a \in A\) dont l’image est la section globale \((0, 1)\) du membre de droite.

Lemme

Dans la Situation 07UY, le morphisme \(p : X \to \Spec(A)\) est universellement injectif.

Démonstration

Soit \(A \to k\) un homomorphisme d’anneaux, où \(k\) est un corps. Il suffit de montrer que \(\Spec(k) \times_{\Spec(A)} X\) a au plus un point (voir Morphismes d’espaces, Lemme 03MX). En utilisant le Lemme 07V0, on peut supposer que \(A\) est un corps, et il faut montrer que \(|X|\) a au plus un point.

Considérons \(X\) comme un espace algébrique sur \(\Spec(k)\) et utilisons la notation \(X(K)\) pour désigner les \(K\)-points de \(X\) pour toute extension \(K/k\), voir Morphismes d’espaces, section 0485. Si \(K/k\) est une extension algébriquement close de degré de transcendance assez grand, alors \(X(K) \to |X|\) est surjective, voir Morphismes d’espaces, Lemme 0488. Après avoir remplacé \(k\) par \(K\), il suffit donc de prouver que \(X(k)\) est réduit à un seul élément (dans le cas \(A = k)\).

Soient \(x, x' \in X(k)\). D’après Espaces décents, Lemme 07U5, \(x\) et \(x'\) sont des points fermés de \(|X|\). Ainsi \(x\) et \(x'\) auraient des images distinctes dans \(\Spec(k)\) si \(x \not = x'\), d’après le Lemme 07V1. On conclut que \(x = x'\), comme voulu.

Lemme

Dans la Situation 07UY, le morphisme \(p : X \to \Spec(A)\) est séparé.

Démonstration

D’après Espaces décents, Lemme 09YB, il existe un schéma \(Y\) et un morphisme entier surjectif \(Y \to X\). Comme un morphisme entier est affine, on peut appliquer le Lemme 07V0 pour voir que \(H^1(Y, \mathcal{G}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\). Puisque \(Y \to X\) est quasi-compact et que \(X\) est quasi-compact, \(Y\) est quasi-compact. Comme \(Y\) est un schéma, on peut appliquer Cohomologie des schémas, Lemme 01XF pour voir que \(Y\) est affine. Ainsi \(Y\) est séparé. Notons qu’un morphisme entier est affine et universellement fermé, voir Morphismes d’espaces, Lemme 0415. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 05Z2, \(X\) est un espace algébrique séparé.

Proposition

Un espace algébrique quasi-compact et quasi-séparé est affine si et seulement si tous les groupes de cohomologie supérieure des faisceaux quasi-cohérents s’annulent. Plus précisément, tout espace algébrique comme dans la Situation 07UY est un schéma affine.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U = \Spec(B)\) et un morphisme étale surjectif \(\varphi : U \to X\). Posons \(R = U \times_X U\). Comme \(p\) est séparé (Lemme 07V5), \(R\) est un sous-schéma fermé de \(U \times_{\Spec(A)} U = \Spec(B \otimes_A B)\). Ainsi \(R = \Spec(C)\) est lui aussi affine, et l’homomorphisme d’anneaux \[B \otimes_A B \longrightarrow C\] est surjectif. Notons comme d’habitude \(s, t : B \to C\) les deux homomorphismes. Choisissons \(g_1, \ldots, g_m \in B\) tels que \(s(g_1), \ldots, s(g_m)\) engendrent \(C\) sur \(t : B \to C\) (ce qui est possible puisque \(t : B \to C\) est de présentation finie et que l’homomorphisme affiché est surjectif). Alors \(g_1, \ldots, g_m\) définissent des sections globales de \(\varphi_*\mathcal{O}_U\), et le morphisme \[\mathcal{O}_X[z_1, \ldots, z_n] \longrightarrow \varphi_*\mathcal{O}_U, \quad z_j \longmapsto g_j\] est surjectif : on peut le vérifier après restriction à \(U\). En effet, \(\varphi^*\varphi_*\mathcal{O}_U = t_*\mathcal{O}_R\) (d’après le Lemme 073K); on obtient donc exactement la condition que les \(s(g_i)\) engendrent \(C\) sur \(t : B \to C\). L’annulation de \(H^1\) du noyau montre alors que \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X[x_1, \ldots, x_n]) = A[x_1, \ldots, x_n] \longrightarrow \Gamma(X, \varphi_*\mathcal{O}_U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_U) = B\] est surjectif. On conclut que \(B\) est une \(A\)-algèbre de type fini. Ainsi \(X \to \Spec(A)\) est de type fini et séparé. D’après le Lemme 07V4 et le Lemme 06RW de Morphismes d’espaces, il est aussi localement quasi-fini. Par conséquent, \(X \to \Spec(A)\) est représentable d’après Morphismes d’espaces, Lemme 0418, et \(X\) est un schéma. Enfin, \(X\) est affine, donc égal à \(\Spec(A)\), par application de Cohomologie des schémas, Lemme 01XF.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Supposons que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), on ait \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\). Alors \(X\) est un schéma affine.

Démonstration

L’hypothèse entraîne que \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), d’après les Lemmes 07UV et 073E. Alors \(X\) est affine d’après la Proposition 07V6.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), il existe \(n \geq 1\) tel que \(H^1(X, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\). Alors \(X\) est un schéma et \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\).

Démonstration

Soit \(s \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\) une section globale. Soit \(U \subset X\) le sous-espace ouvert sur lequel \(s\) engendre \(\mathcal{L}^{\otimes d}\). En particulier, on a \(\mathcal{L}^{\otimes d}|_U \cong \mathcal{O}_U\). Nous affirmons que \(U\) est affine.

Démonstration de l’affirmation. Montrons que \(H^1(U, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). Cela démontrera l’affirmation d’après la Proposition 07V6. Notons \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Comme le morphisme \(j\) est étale-localement affine (d’après Morphismes, Lemme 01SF), on voit que \(j\) est affine (Morphismes d’espaces, Lemme 03WG). On a donc \[H^1(U, \mathcal{F}) = H^1(X, j_*\mathcal{F})\] d’après le Lemme 073H (et Cohomologie sur les sites, Lemme 0733). Écrivons \(j_*\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) comme limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, voir le Lemme 07UV. Alors \[H^1(X, j_*\mathcal{F}) = \colim H^1(X, \mathcal{F}_i)\] d’après le Lemme 073E. Il suffit donc de montrer que \(H^1(X, \mathcal{F}_i)\) s’envoie sur zéro dans \(H^1(U, j^*\mathcal{F}_i)\). Par hypothèse, il existe \(n \geq 1\) tel que \[H^1(X, \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{L} \oplus \ldots \oplus \mathcal{L}^{\otimes d - 1}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\] Il existe donc \(a \geq 0\) tel que \(H^1(X, \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes ad}) = 0\). D’autre part, le morphisme \[s^a : \mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes ad}\] est un isomorphisme après restriction à \(U\). En considérant le diagramme commutatif \[\xymatrix{ H^1(X, \mathcal{F}_i) \ar[r] \ar[d]_{s^a} & H^1(U, j^*\mathcal{F}_i) \ar[d]^{\cong} \\ H^1(X, \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes ad}) \ar[r] & H^1(U, j^*(\mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes ad})) }\] on conclut que le morphisme \(H^1(X, \mathcal{F}_i) \to H^1(U, j^*\mathcal{F}_i)\) est nul, et l’affirmation est démontrée.

Soit \(x \in |X|\) un point fermé. D’après Espaces décents, Lemme 0AHB, on peut représenter \(x\) par une immersion fermée \(i : \Spec(k) \to X\) (cela utilise aussi le fait qu’un espace algébrique quasi-séparé est décent, voir Espaces décents, section 03I7). Ainsi \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_{\Spec(k)}\) est surjectif. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) son noyau, et choisissons \(d \geq 1\) tel que \(H^1(X, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\). Alors \[H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d}) \to H^0(X, i_*\mathcal{O}_{\Spec(k)} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = H^0(\Spec(k), i^*\mathcal{L}^{\otimes d}) \cong k\] est surjectif d’après la suite exacte longue de cohomologie. Il existe donc \(s \in H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes d})\) tel que \(x \in U\), où \(U\) est le sous-espace ouvert associé à \(s\) comme ci-dessus. D’après notre affirmation, \(x\) appartient donc au lieu schématique (voir Propriétés des espaces, Lemme 03JH) de \(X\).

Pour conclure que \(X\) est un schéma, il suffit de montrer que toute partie ouverte de \(|X|\) qui contient tous les points fermés est égale à \(|X|\). Cela résulte du fait que \(|X|\) est un espace topologique noethérien, voir Propriétés des espaces, Lemme 04ZG. Enfin, lorsque \(X\) est un schéma, on peut appliquer Cohomologie des schémas, Lemme 0B5P pour conclure que \(\mathcal{L}\) est ample.

Morphismes finis et espaces affines

Cette section est l’analogue de la section 01YN du chapitre Cohomologie des schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons \(f\) fini et surjectif, et \(X\) localement noethérien. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée. Notons \(i' : Z' \to Y\) l’image réciproque de \(Z\) (Morphismes d’espaces, section 03MA) et \(f' : Z' \to Z\) le morphisme induit. Alors \(\mathcal{G} = f'_*\mathcal{O}_{Z'}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent dont le support est \(Z\).

Démonstration

Observons que \(f'\) est le changement de base de \(f\); il est donc fini et surjectif d’après Morphismes d’espaces, Lemmes 03MH et 03ZS. Notons que \(Y\), \(Z\) et \(Z'\) sont localement noethériens d’après Morphismes d’espaces, Lemme 04ZK (et parce que les immersions fermées et les morphismes finis sont de type fini). D’après le Lemme 07UH, \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent. Le support de \(\mathcal{G}\) est fermé dans \(|Z|\), voir Morphismes d’espaces, Lemme 07TZ. Si le support de \(\mathcal{G}\) n’était pas égal à \(|Z|\), on pourrait donc, après avoir remplacé \(X\) par un sous-espace ouvert, supposer \(\mathcal{G} = 0\) mais \(Z \not = \emptyset\). On aurait alors \(f'_*\mathcal{O}_{Z'} = 0\). En particulier, la section \(1 \in \Gamma(Z', \mathcal{O}_{Z'}) = \Gamma(Z, f'_*\mathcal{O}_{Z'})\) serait nulle, ce qui entraînerait que \(Z' = \emptyset\) est l’espace algébrique vide. C’est impossible puisque \(Z' \to Z\) est surjectif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(Y\). Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(X\). Si \(f\) est affine, alors \(\mathcal{I}f_*\mathcal{F} = f_*(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F})\) (avec les notations expliquées dans la démonstration).

Démonstration

Les notations signifient ce qui suit. Puisque \(f^{-1}\) est un foncteur exact, \(f^{-1}\mathcal{I}\) est un faisceau d’idéaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_X\). Par le morphisme \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\) sur \(Y_\etale\), il opère sur \(\mathcal{F}\). Alors \(f^{-1}\mathcal{I}\mathcal{F}\) est le sous-faisceau engendré par les sommes de sections locales de la forme \(as\), où \(a\) est une section locale de \(f^{-1}\mathcal{I}\) et \(s\) une section locale de \(\mathcal{F}\). C’est un sous-\(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\), car c’est aussi l’image d’un morphisme naturel \(f^*\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\).

Cela étant, la démonstration est immédiate. En effet, la question est étale-locale sur \(X\), et l’on peut donc supposer que \(X\) est un schéma affine. Dans ce cas, le résultat découle du résultat correspondant pour les schémas, voir Cohomologie des schémas, Lemme 01YP.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(f\) soit fini,

2. \(f\) soit surjectif,

3. \(Y\) soit affine, et

4. \(X\) soit noethérien.

Alors \(X\) est affine.

Démonstration

Nous allons montrer que, sous les hypothèses du lemme, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), on a \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\). Cela entraîne que \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) d’après les Lemmes 07UV et 073E. Il s’ensuit alors que \(X\) est affine d’après la Proposition 07V6.

Soit \(\mathcal{P}\) la propriété des faisceaux cohérents \(\mathcal{F}\) sur \(X\) définie par \[\mathcal{P}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow H^1(X, \mathcal{F}) = 0.\] Nous allons appliquer le Lemme 07UT. Il faut donc vérifier les propriétés (1), (2) et (3) de ce lemme pour \(\mathcal{P}\). La propriété (1) résulte de la suite exacte longue de cohomologie associée à une suite exacte courte de faisceaux. La propriété (2) résulte du fait que \(H^1(X, -)\) est un foncteur additif. Pour vérifier (3), soit \(i : Z \to X\) un sous-espace fermé réduit tel que \(|Z|\) soit irréductible. Soient \(i' : Z' \to Y\) et \(f' : Z' \to Z\) comme dans le Lemme 0GF7, et posons \(\mathcal{G} = f'_*\mathcal{O}_{Z'}\). Nous affirmons que \(\mathcal{G}\) vérifie les propriétés (3)(a) et (3)(b) du Lemme 07UT, ce qui achèvera la démonstration. La propriété (3)(a) a été établie dans le Lemme 0GF7. Pour vérifier (3)(b), soit \(\mathcal{I}\) un faisceau quasi-cohérent non nul d’idéaux sur \(Z\). Notons \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{Z'}\) l’idéal quasi-cohérent \((f')^{-1}\mathcal{I} \mathcal{O}_{Z'}\), c’est-à-dire l’ image de \((f')^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_{Z'}\). D’après le Lemme 0GF8, on a \(f_*\mathcal{I}' = \mathcal{I} \mathcal{G}\). Nous affirmons que la valeur commune \(\mathcal{G}' = \mathcal{I} \mathcal{G} = f'_*\mathcal{I}'\) satisfait la condition énoncée en (3)(b). Tout d’abord, il est clair que le support de \(\mathcal{G}/\mathcal{G}'\) est contenu dans le support de \(\mathcal{O}_Z/\mathcal{I}\), qui est un sous-espace propre de \(|Z|\), puisque \(\mathcal{I}\) est un faisceau d’idéaux non nul sur l’espace algébrique réduit et irréductible \(Z\). Le morphisme \(f'\) est affine, donc \(R^1f'_*\mathcal{I}' = 0\) d’après le Lemme 073H. Comme \(Z'\) est affine (en tant que sous-schéma fermé d’un schéma affine), on a \(H^1(Z', \mathcal{I}') = 0\). La suite spectrale de Leray (sous la forme du Lemme 0733 de Cohomologie sur les sites) entraîne donc que \(H^1(Z, f'_*\mathcal{I}') = 0\). Comme \(i : Z \to X\) est affine, on conclut que \(R^1i_*f'_*\mathcal{I}' = 0\), puis que \(H^1(X, i_*f'_*\mathcal{I}') = 0\) par une nouvelle application de Leray. Autrement dit, \(H^1(X, i_*\mathcal{G}') = 0\), comme voulu.

Une version faible du lemme de Chow

Dans cette section, nous démontrons rapidement le lemme suivant afin de faciliter la démonstration des résultats fondamentaux sur la cohomologie des modules cohérents sur les espaces algébriques propres.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(\Spec(A)\) dont le morphisme structural \(X \to \Spec(A)\) est séparé et de type fini. Il existe alors un morphisme propre surjectif \(X' \to X\), où \(X'\) est un schéma H-quasi-projectif sur \(\Spec(A)\).

Démonstration

Soit \(W\) un schéma affine et soit \(f : W \to X\) un morphisme étale surjectif. Il existe un entier \(d\) tel que toutes les fibres géométriques de f aient \(\leq d\) points (car \(X\) est un espace algébrique séparé, donc raisonnable, voir Espaces décents, Lemme 03JX). En choisissant \(d\) minimal, on obtient un ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(f^{-1}(U) \to U\) soit fini étale de degré \(d\), voir Espaces décents, Lemme 07S8. Soit \[V \subset W \times_X W \times_X \ldots \times_X W\] (avec \(d\) facteurs dans le produit fibré) le complémentaire de toutes les diagonales. Comme \(W \to X\) est séparé, la diagonale \(W \to W \times_X W\) est une immersion fermée. Comme \(W \to X\) est étale, la diagonale \(W \to W \times_X W\) est une immersion ouverte, voir Morphismes d’espaces, Lemmes 06CR et 05W1. Les diagonales sont donc des sous-schémas ouverts et fermés du schéma quasi-compact \(W \times_X \ldots \times_X W\). On conclut en particulier que \(V\) est un schéma quasi-compact. Choisissons une immersion ouverte \(W \subset Y\), où \(Y\) est H-projectif sur \(A\) (c’est possible puisque \(W\) est affine et de type fini sur \(A\); on peut par exemple utiliser Morphismes, Lemmes 04II et 01WA). Soit \[Z \subset Y \times_A Y \times_A \ldots \times_A Y\] l’image schématique du composé \(V \to W \times_X \ldots \times_X W \to Y \times_A \ldots \times_A Y\). Observons que ce morphisme est quasi-compact, puisque \(V\) est quasi-compact et que \(Y \times_A \ldots \times_A Y\) est séparé. Notons que \(V \to Z\) est une immersion ouverte, car \(V \to Y \times_A \ldots \times_A Y\) est une immersion, voir Morphismes, Lemme 01RG. Les morphismes de projection donnent \(d\) morphismes \(g_i : Z \to Y\). Ces morphismes \(g_i\) sont projectifs puisque \(Y\) est projectif sur \(A\), voir les résultats de Morphismes, section 01W7. Posons \[X' = \bigcup g_i^{-1}(W) \subset Z\] Il existe un morphisme \(X' \to X\) dont la restriction à \(g_i^{-1}(W)\) est le composé \(g_i^{-1}(W) \to W \to X\). En effet, ces morphismes coïncident sur \(V\), donc sur \(g_i^{-1}(W) \cap g_j^{-1}(W)\) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 084N. Affirmation : le morphisme \(X' \to X\) est propre.

Si l’affirmation est vraie, le lemme résulte d’une récurrence sur \(d\). En effet, par construction, \(X'\) est H-quasi-projectif sur \(\Spec(A)\). L’image de \(X' \to X\) contient l’ouvert \(U\), puisque \(V\) se projette surjectivement sur \(U\). Notons \(T\) l’espace algébrique muni de la structure réduite induite sur \(X \setminus U\). Alors \(T \times_X W\) est un sous-schéma fermé de \(W\), donc est affine. De plus, le morphisme \(T \times_X W \to T\) est étale et toute fibre géométrique a \(< d\) points. Par hypothèse de récurrence, il existe un morphisme propre surjectif \(T' \to T\), où \(T'\) est un schéma H-quasi-projectif sur \(\Spec(A)\). Comme \(T\) est un sous-espace fermé de \(X\), \(T' \to X\) est un morphisme propre. Le lemme résulte donc du morphisme propre surjectif \(X' \amalg T' \to X\).

Démonstration de l’affirmation. Par construction, le morphisme \(X' \to X\) est séparé et de type fini. Nous allons vérifier les conditions (1) – (4) de Morphismes d’espaces, Lemme 089G, pour les morphismes \(V \to X'\) et \(X' \to X\). Les conditions (1) et (2) ont été établies ci-dessus. La condition (3) est satisfaite parce que \(X' \to X\) est séparé (son espace algébrique source étant séparé). Il suffit donc de vérifier l’existence d’un relèvement dans \(X'\) pour les diagrammes \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(R) \ar[r] & X }\] où \(R\) est un anneau de valuation de corps des fractions \(K\). Notons que le morphisme horizontal supérieur est donné par \(d\) points à valeurs dans \(K\), deux à deux distincts, \(w_1, \ldots, w_d\), de \(W\). En fait, ils sont exactement les antécédents du point \(x \in X(K)\) provenant du diagramme. Comme \(W \to X\) est surjectif, on peut, après avoir éventuellement remplacé \(R\) par une extension d’anneaux de valuation, relever le morphisme \(\Spec(R) \to X\) en un morphisme \(w : \Spec(R) \to W\), voir Morphismes d’espaces, Lemme 089F. Puisque \(w_1, \ldots, w_d\) forment l’ensemble de tous les antécédents de \(x\), la restriction \(w|_{\Spec(K)}\) est égale à l’un d’eux, disons \(w_i\). On obtient ainsi un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d]_{g_i}\\ \Spec(R) \ar[r]^w & Y }\] D’après le critère valuatif de propreté appliqué au morphisme projectif \(g_i\), on peut relever \(w\) en \(z : \Spec(R) \to Z\), voir Morphismes, Lemme 01WC et Schémas, Proposition 01KF. L’image de \(z\) est contenue dans \(g_i^{-1}(W) \subset X'\), ce qui achève la démonstration.

Critère valuatif noethérien

Nous démontrons une version du critère valuatif de propreté faisant intervenir des anneaux de valuation discrète. On trouvera des versions plus précises (et donc plus techniques) dans Limites d’espaces, section 0CMB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(Y\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit localement de type fini et quasi-séparé,

3. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète et \(K\) son corps des fractions, il existe au plus une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif.

Alors \(f\) est séparé.

Démonstration

Il faut montrer que la diagonale \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est une immersion fermée. On sait déjà que \(\Delta\) est représentable, séparée, un monomorphisme et localement de type fini, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03HK. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X \times_Y X\). Posons \(V = X \times_{\Delta, X \times_Y X} U\). Il suffit de montrer que \(V \to U\) est une immersion fermée (Morphismes d’espaces, Lemme 03M4). Comme \(X \times_Y X\) est localement de type fini sur \(Y\), \(U\) est noethérien (utiliser Morphismes d’espaces, Lemmes 03XG, 03XH et 04ZK). Notons que \(V\) est un schéma, puisque \(\Delta\) est représentable. En outre, \(V\) est quasi-compact puisque \(f\) est quasi-séparé. Ainsi \(V \to U\) est de type fini. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & U }\] de morphismes de schémas, où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). On peut interpréter le composé \(\Spec(A) \to U \to X \times_Y X\) comme une paire de morphismes \(a, b : \Spec(A) \to X\) qui coïncident comme morphismes dans \(Y\) et dont les restrictions à \(\Spec(K)\) sont égales. L’hypothèse (3) garantit donc que \(a = b\), et l’on obtient la flèche pointillée du diagramme. D’après Limites, Lemme 0208, on conclut que \(V \to U\) est propre. Autrement dit, \(\Delta\) est propre. Comme \(\Delta\) est un monomorphisme, on en déduit que \(\Delta\) est une immersion fermée (Morphismes étales, Lemme 04XV), comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que

1. \(Y\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit de type fini et quasi-séparé,

3. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète et \(K\) son corps des fractions, il existe une unique flèche pointillée rendant le diagramme commutatif.

Alors \(f\) est propre.

Démonstration

Il suffit de prouver que \(f\) est universellement fermé, car \(f\) est séparé d’après le Lemme 0ARJ. Pour cela, on peut travailler étale-localement sur \(Y\) (Morphismes d’espaces, Lemme 03IT). On peut donc supposer que \(Y = \Spec(A)\) est un schéma affine noethérien. Choisissons \(X' \to X\) comme dans la version faible du lemme de Chow (Lemme 089J). Nous affirmons que \(X' \to \Spec(A)\) est universellement fermé. L’affirmation entraîne le lemme d’après Morphismes d’espaces, Lemme 08AJ. Pour la démontrer, d’après Limites, Lemme 05JY, il suffit de prouver que, dans tout diagramme commutatif à flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[ru]^a \ar@{-->}[rru]_b & & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), on peut trouver la flèche pointillée \(a\). Par hypothèse, on peut trouver la flèche pointillée \(b\). Alors le morphisme \(X' \times_{X, b} \Spec(A) \to \Spec(A)\) est un morphisme propre de schémas et, d’après le critère valuatif pour les morphismes de schémas, le morphisme \(b\) admet le relèvement voulu \(a\).

Remarque

Dans les Lemmes 0ARJ et 0ARK, il suffit de considérer les anneaux de valuation discrète complets. Plus précisément, dans le Lemme 0ARJ, on peut remplacer la condition (3) par la condition suivante : pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions \(K\), il existe au plus une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. En effet, pour tout diagramme comme dans le Lemme 0ARJ (3), le complété \(A^\wedge\) est un anneau de valuation discrète (Compléments d’algèbre, Lemme 0AP1), et l’unicité de la flèche \(\Spec(A^\wedge) \to X\) entraîne celle de la flèche \(\Spec(A) \to X\), par exemple d’après Propriétés des espaces, Proposition 0APL. De même, dans le Lemme 0ARK, on peut remplacer la condition (3) par la condition suivante : pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions \(K\), il existe une extension \(A \subset A'\) d’anneaux de valuation discrète complets induisant une extension des corps des fractions \(K \subset K'\) telle qu’il existe une unique flèche \(\Spec(A') \to X\) rendant le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] \ar[rru] & \Spec(A) \ar[r] & Y }\] commutatif. En effet, pour tout diagramme comme dans le Lemme 0ARK partie (3), l’existence d’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(L) \ar[r] \ar[d] & \Spec(K) \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(B) \ar[r] \ar[rru] & \Spec(A) \ar[r] & Y }\] pour toute extension \(A \subset B\) d’anneaux de valuation discrète entraîne l’existence d’une flèche \(\Spec(A) \to X\) s’insérant dans le diagramme. Cela a été démontré dans Morphismes d’espaces, Lemme 0ARH. En fait, ces considérations montrent qu’il suffit de chercher les flèches pointillées dans les diagrammes pour toute classe d’anneaux de valuation discrète telle que, pour tout anneau de valuation discrète, il en existe une extension qui appartienne à la classe. On pourrait, par exemple, prendre les anneaux de valuation discrète complets à corps résiduel algébriquement clos.

Images directes supérieures des faisceaux cohérents

Dans cette section, nous démontrons le fait fondamental que les images directes supérieures d’un faisceau cohérent par un morphisme propre sont cohérentes. Commençons par un lemme auxiliaire.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r]_i \ar[rd]_f & \mathbf{P}^n_Y \ar[d] \\ & Y }\] d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons que \(i\) soit une immersion fermée et que \(Y\) soit noethérien. Posons \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_Y}(1)\). Soit \(\mathcal{F}\) un module cohérent sur \(X\). Il existe alors un entier \(d_0\) tel que, pour tout \(d \geq d_0\), on ait \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes d}) = 0\) pour tout \(p > 0\).

Démonstration

La nullité de \(R^pf_*(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d})\) se vérifie localement pour la topologie étale sur \(Y\), voir l’équation (071Z). On peut donc supposer que \(Y\) est le spectre d’un anneau noethérien. Dans ce cas, \(X\) est un schéma et le résultat découle de Cohomologie des schémas, lemme 02O1.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre d’espaces algébriques au-dessus de \(S\), avec \(Y\) localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(R^if_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent pour tout \(i \geq 0\).

Démonstration

Remarquons d’abord que \(X\) est un espace algébrique localement noethérien d’après Morphismes d’espaces, lemme 04ZK. L’énoncé du lemme a donc un sens. De plus, la formation de \(R^if_*\mathcal{F}\) commute à la localisation étale sur \(Y\) (Propriétés des espaces, lemme 03LX) et la cohérence de \(R^if_*\mathcal{F}\) se vérifie localement pour la topologie étale sur \(Y\) (lemme 07UB). On peut donc supposer que \(Y = \Spec(A)\) est un schéma affine noethérien.

Supposons que \(Y = \Spec(A)\) soit un schéma affine. Notons que \(f\) est localement de présentation finie (Morphismes d’espaces, lemme 06G4). Il est donc de présentation finie, et par suite \(X\) est noethérien (Morphismes d’espaces, lemme 04ZL). Le lemme 08AN s’applique donc à la catégorie des modules cohérents sur \(X\). Pour un faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), disons que \(\mathcal{P}\) est vérifiée si et seulement si \(R^if_*\mathcal{F}\) est un module cohérent sur \(\Spec(A)\). Nous allons montrer que les conditions (1), (2) et (3) du lemme 08AN sont vérifiées pour cette propriété, ce qui achèvera la démonstration du lemme.

Vérification de la condition (1). Soit \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] une suite exacte courte de faisceaux cohérents sur \(X\). Considérons la suite exacte longue des images directes supérieures \[R^{p - 1}f_*\mathcal{F}_3 \to R^pf_*\mathcal{F}_1 \to R^pf_*\mathcal{F}_2 \to R^pf_*\mathcal{F}_3 \to R^{p + 1}f_*\mathcal{F}_1\] Il est alors clair que, si deux des trois faisceaux \(\mathcal{F}_i\) vérifient la propriété \(\mathcal{P}\), les images directes supérieures du troisième sont encadrées, dans ce complexe exact, par deux faisceaux cohérents. Ces images directes supérieures sont donc elles aussi cohérentes d’après les lemmes 07UC et 07UD. Ainsi, la propriété \(\mathcal{P}\) est également vérifiée pour le troisième.

Vérification de la condition (2). Elle résulte immédiatement de ce que \(R^if_*(\mathcal{F}_1 \oplus \mathcal{F}_2) = R^if_*\mathcal{F}_1 \oplus R^if_*\mathcal{F}_2\) et de ce qu’un facteur direct d’un module cohérent est cohérent (voir les lemmes cités ci-dessus).

Vérification de la condition (3). Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée, où \(Z\) est réduit et \(|Z|\) irréductible. Posons \(g = f \circ i : Z \to \Spec(A)\). Soit \(\mathcal{G}\) un module cohérent sur \(Z\) dont le support schématique est égal à \(Z\), tel que \(R^pg_*\mathcal{G}\) soit cohérent pour tout \(p\). Alors \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) est un module cohérent sur \(X\), de support schématique \(Z\), tel que \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pg_*\mathcal{G}\). Pour le voir, utilisons la suite spectrale de Leray (Cohomologie sur les sites, lemme 0734) et le fait que \(R^qi_*\mathcal{G} = 0\) pour \(q > 0\) d’après le lemme 073H, ainsi que le fait qu’une immersion fermée est affine (Morphismes d’espaces, lemme 07U2). On se ramène donc à trouver un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(Z\) de support égal à \(Z\), tel que \(R^pg_*\mathcal{G}\) soit cohérent pour tout \(p\).

Appliquons le lemme 089J au morphisme \(Z \to \Spec(A)\). On obtient ainsi un diagramme \[\xymatrix{ Z \ar[rd]_g & Z' \ar[d]^-{g'} \ar[l]^\pi \ar[r]_i & \mathbf{P}^n_A \ar[dl] \\ & \Spec(A) & }\] où \(\pi : Z' \to Z\) est propre et surjectif, et \(i\) une immersion. Puisque \(Z \to \Spec(A)\) est propre, on conclut que \(g'\) est propre (Morphismes d’espaces, lemme 04XY). Par suite, \(i\) est une immersion fermée (Morphismes d’espaces, lemmes 04NX et 04CD). Il s’ensuit que le morphisme \(i' = (i, \pi) : \mathbf{P}^n_A \times_{\Spec(A)} Z' = \mathbf{P}^n_Z\) est une immersion fermée (Morphismes d’espaces, lemme 03KO). Posons \[\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(1) = (i')^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_Z}(1)\] On peut appliquer le lemme 08AQ à \(\mathcal{L}\) et \(\pi\), ainsi qu’à \(\mathcal{L}\) et \(g'\). Ainsi, pour tout \(d \gg 0\), on a \(R^p\pi_*\mathcal{L}^{\otimes d} = 0\) pour tout \(p > 0\) et \(R^p(g')_*\mathcal{L}^{\otimes d} = 0\) pour tout \(p > 0\). Posons \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{L}^{\otimes d}\). D’après la suite spectrale de Leray (Cohomologie sur les sites, lemme 0734), on a \[E_2^{p, q} = R^pg_* R^q\pi_*\mathcal{L}^{\otimes d} \Rightarrow R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes d}\] et, par le choix de \(d\), les seuls termes non nuls de \(E_2^{p, q}\) sont ceux pour lesquels \(q = 0\), tandis que les seuls termes non nuls de \(R^{p + q}(g')_*\mathcal{L}^{\otimes d}\) sont ceux pour lesquels \(p = q = 0\). Il en résulte que \(R^pg_*\mathcal{G} = 0\) pour \(p > 0\) et que \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes d}\). En appliquant Cohomologie des schémas, lemme 02O4 on voit que \(g_*\mathcal{G} = (g')_*\mathcal{L}^{\otimes d}\) est cohérent.

Il reste à vérifier que le support de \(\mathcal{G}\) est \(Z\). Cela résulte du fait que \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) possède beaucoup de sections globales. Donnons les détails. Notons que \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) est engendré par ses sections globales pour tout \(d \geq 0\), car il en est de même de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(d)\). Choisissons un point \(z \in Z'\) s’envoyant sur le point générique \(\xi\) de \(Z\) ; c’est possible puisque \(\pi\) est surjectif. (Observons que \(Z\) possède bien un point générique, car \(|Z|\) est irréductible et \(Z\) est noethérien, donc quasi-séparé ; ainsi \(|Z|\) est un espace topologique sobre d’après Propriétés des espaces, lemme 06NJ.) Choisissons \(s \in \Gamma(Z', \mathcal{L}^{\otimes d})\) qui ne s’annule pas en \(z\). Puisque \(\Gamma(Z, \mathcal{G}) = \Gamma(Z', \mathcal{L}^{\otimes d})\), on peut considérer \(s\) comme une section globale de \(\mathcal{G}\). Choisissons un point géométrique \(\overline{z}\) de \(Z'\) au-dessus de \(z\) et notons \(\overline{\xi} = g' \circ \overline{z}\) le point géométrique correspondant de \(Z\). L’application d’adjonction \[(g')^*\mathcal{G} = (g')^*g'_*\mathcal{L}^{\otimes d} \longrightarrow \mathcal{L}^{\otimes d}\] induit une application entre les fibres \(\mathcal{G}_{\overline{\xi}} \to \mathcal{L}_{\overline{z}}\), voir Propriétés des espaces, lemme 05VQ. De plus, l’application d’adjonction envoie l’image réciproque de \(s\) (vu comme section de \(\mathcal{G}\)) sur \(s\) (vu comme section de \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)). Ainsi, l’image de \(s\) dans l’espace vectoriel source de la flèche \[\mathcal{G}_{\overline{\xi}} \otimes \kappa(\overline{\xi}) \longrightarrow \mathcal{L}^{\otimes d}_{\overline{z}} \otimes \kappa(\overline{z})\] n’est pas nulle, puisque, par le choix de \(s\), son image dans la cible de la flèche est non nulle. Ainsi, \(\xi\) appartient au support de \(\mathcal{G}\) (Morphismes d’espaces, lemme 07TZ). Puisque \(|Z|\) est irréductible et \(Z\) réduit, on conclut que le support schématique de \(\mathcal{G}\) est \(Z\) tout entier, comme voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre d’espaces algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(H^i(X, \mathcal{F})\) est un \(A\)-module de type fini pour tout \(i \geq 0\).

Démonstration

Il s’agit simplement du cas affine du lemme 08AR. En effet, le lemme 0720 montre que \(R^if_*\mathcal{F}\) est un faisceau quasi-cohérent. C’est donc le faisceau quasi-cohérent associé au \(A\)-module \(\Gamma(\Spec(A), R^if_*\mathcal{F}) = H^i(X, \mathcal{F})\). L’égalité résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 0733, et de l’annulation des groupes de cohomologie supérieurs des modules quasi-cohérents sur les schémas affines (Cohomologie des schémas, lemme 01XB). D’après le lemme 07UB, le faisceau \(R^if_*\mathcal{F}\) est cohérent si et seulement si \(H^i(X, \mathcal{F})\) est un \(A\)-module de type fini. Le lemme 08AR donne donc la conclusion.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre graduée de type fini. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre d’espaces algébriques. Posons \(\mathcal{B} = f^*\widetilde B\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{B}\)-module gradué quasi-cohérent de type fini. Pour tout \(p \geq 0\), le \(B\)-module gradué \(H^p(X, \mathcal{F})\) est un \(B\)-module de type fini.

Démonstration

Pour le démontrer, considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ X' = \Spec(B) \times_{\Spec(A)} X \ar[r]_-\pi \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ \Spec(B) \ar[r] & \Spec(A) }\] Notons que \(f'\) est un morphisme propre, voir Morphismes d’espaces, lemme 04WP. De plus, \(B\) est une \(A\)-algèbre de type fini, et est donc noethérienne (Algèbre, lemme 00FN). Il en résulte que \(X'\) est un espace algébrique noethérien (Morphismes d’espaces, lemme 04ZL). Notons que \(X'\) est le spectre relatif de la \(\mathcal{O}_X\)-algèbre quasi-cohérente \(\mathcal{B}\) d’après Morphismes d’espaces, lemme 081V. Puisque \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{B}\)-module quasi-cohérent, il existe un unique \(\mathcal{O}_{X'}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}'\) tel que \(\pi_*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\), voir Morphismes d’espaces, lemme 08AI. Puisque \(\mathcal{F}\) est de type fini comme \(\mathcal{B}\)-module, on conclut que \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module de type fini (détails omis). Autrement dit, \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module cohérent (lemme 07UB). Puisque le morphisme \(\pi : X' \to X\) est affine, on a \[H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(X', \mathcal{F}')\] d’après le lemme 073H et Cohomologie sur les sites, lemme 0733. Le lemme résulte donc du lemme 08AS.

Faisceaux inversibles amples et cohomologie

Voici un critère d’amplitude pour les espaces algébriques propres sur une base affine, exprimé par l’annulation de la cohomologie après tensorisation.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(X\) un espace algébrique propre sur \(R\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est un schéma et \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\) ;

2. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), il existe un \(n_0 \geq 0\) tel que \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) pour tout \(n \geq n_0\) et tout \(p > 0\) ; et

3. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), il existe un \(n \geq 1\) tel que \(H^1(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte de Cohomologie des schémas, lemme 0B5U. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est triviale. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (1) est le lemme 0D2W.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme entre espaces algébriques propres sur \(R\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons \(f\) fini et surjectif. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est un schéma et \(\mathcal{L}\) est ample ; et

2. \(Y\) est un schéma et \(f^*\mathcal{L}\) est ample.

Démonstration

Supposons (1). Alors \(Y\) est un schéma, car un morphisme fini est représentable (par des schémas), voir Morphismes d’espaces, lemme 03ZQ. Par suite, (2) résulte de Cohomologie des schémas, lemme 0B5V.

Supposons (2). Soit \(P\) la propriété suivante des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents \(\mathcal{F}\) : il existe \(n_0\) tel que \(H^p(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\) pour tout \(n \geq n_0\) et tout \(p > 0\). Nous allons montrer que \(P\) est vérifiée par tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), ce qui entraîne que \(\mathcal{L}\) est ample d’après le lemme 0GFA. Nous allons appliquer le lemme 07UT. Il faut donc vérifier les conditions (1), (2) et (3) de ce lemme pour \(P\). La propriété (1) résulte de la suite exacte longue de cohomologie associée à une suite exacte courte de faisceaux et du fait que la tensorisation par un faisceau inversible est un foncteur exact. La propriété (2) résulte de ce que \(H^p(X, -)\) est un foncteur additif.

Pour vérifier (3), soit \(i : Z \to X\) un sous-espace fermé réduit tel que \(|Z|\) soit irréductible. Soient \(i' : Z' \to Y\) et \(f' : Z' \to Z\) comme dans le lemme 0GF7, et posons \(\mathcal{G} = f'_*\mathcal{O}_{Z'}\). Nous affirmons que \(\mathcal{G}\) vérifie les propriétés (3)(a) et (3)(b) du lemme 07UT, ce qui achèvera la démonstration. La propriété (3)(a) a été établie au lemme 0GF7. Pour voir (3)(b), soit \(\mathcal{I}\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux non nul sur \(Z\). Notons \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{Z'}\) l’idéal quasi-cohérent \((f')^{-1}\mathcal{I} \mathcal{O}_{Z'}\), c’est-à-dire l’image de \((f')^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_{Z'}\). D’après le lemme 0GF8, on a \(f_*\mathcal{I}' = \mathcal{I} \mathcal{G}\). Nous affirmons que la valeur commune \(\mathcal{G}' = \mathcal{I} \mathcal{G} = f'_*\mathcal{I}'\) vérifie la condition énoncée en (3)(b). D’abord, il est clair que le support de \(\mathcal{G}/\mathcal{G}'\) est contenu dans celui de \(\mathcal{O}_Z/\mathcal{I}\), qui est un sous-espace propre de \(|Z|\), puisque \(\mathcal{I}\) est un faisceau d’idéaux non nul sur l’espace algébrique réduit et irréductible \(Z\). Rappelons que \(f'_*\), \(i_*\) et \(i'_*\) transforment les modules cohérents en modules cohérents, voir les lemmes 07UH et 08AM. Puisque \(Y\) est un schéma et que \(\mathcal{L}\) est ample, le lemme 0GFA montre qu’il existe \(n_0\) tel que \[H^p(Y, i'_*\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0\] pour \(n \geq n_0\) et \(p > 0\). On obtient alors \[\begin{align*} H^p(X, i_*\mathcal{G}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}) & = H^p(Z, \mathcal{G'} \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n}) \\ & = H^p(Z, f'_*\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Z, f'_*(\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_{Z'}} (f')^*i^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Z, f'_*(\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_{Z'}} (i')^*f^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Z', \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_{Z'}} (i')^*f^*\mathcal{L}^{\otimes n})) \\ & = H^p(Y, i'_*\mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_Y} f^*\mathcal{L}^{\otimes n}) = 0 \end{align*}\] Nous avons utilisé ici la formule de projection et la suite spectrale de Leray (voir Cohomologie sur les sites, sections 0943 et 072X) ainsi que le lemme 0A4K. Cela vérifie la propriété (3)(b) du lemme 07UT, comme voulu.

Le théorème des fonctions formelles

Cette section est l’analogue de Cohomologie des schémas, section 02O7. Nous invitons le lecteur à lire d’abord cette section.

Situation

Ici, \(A\) est un anneau noethérien et \(I \subset A\) un idéal. De plus, \(f : X \to \Spec(A)\) est un morphisme propre d’espaces algébriques et \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\).

Dans cette situation, on note \(I^n\mathcal{F}\) le sous-module quasi-cohérent de \(\mathcal{F}\) engendré, comme \(\mathcal{O}_X\)-module, par les produits de sections locales de \(\mathcal{F}\) et d’éléments de \(I^n\). Autrement dit, c’est l’image de l’application \(f^*\widetilde{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{F}\).

Lemme

Dans la situation 08AV. Posons \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\). Alors, pour tout \(p \geq 0\), le \(B\)-module gradué \(\bigoplus_{n \geq 0} H^p(X, I^n\mathcal{F})\) est un \(B\)-module de type fini.

Démonstration

Posons \(\mathcal{B} = \bigoplus I^n\mathcal{O}_X = f^*\widetilde{B}\). Alors \(\bigoplus I^n\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{B}\)-module gradué de type fini. Le résultat découle donc du lemme 08AT.

Lemme

Dans la situation 08AV. Pour tout \(p \geq 0\), il existe un entier \(c \geq 0\) tel que

1. l’application de multiplication \(I^{n - c} \otimes H^p(X, I^c\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\) soit surjective pour tout \(n \geq c\) ; et

2. l’image de \(H^p(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \to H^p(X, I^n\mathcal{F})\) soit contenue dans le sous-module \(I^{m - c} H^p(X, I^n\mathcal{F})\) pour tout \(n \geq 0\) et tout \(m \geq c\).

Démonstration

D’après le lemme 08AW, on peut trouver \(d_1, \ldots, d_t \geq 0\) et \(x_i \in H^p(X, I^{d_i}\mathcal{F})\) tels que \(\bigoplus_{n \geq 0} H^p(X, I^n\mathcal{F})\) soit engendré par \(x_1, \ldots, x_t\) sur \(B = \bigoplus_{n \geq 0} I^n\). Posons \(c = \max\{d_i\}\). Il est clair que (1) est vérifiée. Pour (2), posons \(b = \max(0, n - c)\). Considérons le diagramme commutatif de \(A\)-modules \[\xymatrix{ I^{n + m - c - b} \otimes I^b \otimes H^p(X, I^c\mathcal{F}) \ar[r] \ar[d] & I^{n + m - c} \otimes H^p(X, I^c\mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[d] \\ I^{n + m - c - b} \otimes H^p(X, I^n\mathcal{F}) \ar[rr] & & H^p(X, I^n\mathcal{F}) }\] D’après la partie (1) du lemme, le composé des flèches horizontales est surjectif si \(n + m \geq c\). D’autre part, il est clair que \(n + m - c - b \geq m - c\). D’où la partie (2).

Lemme

Dans la situation 08AV. Fixons \(p \geq 0\).

1. Il existe \(c_1 \geq 0\) tel que, pour tout \(n \geq c_1\), on ait \[\Ker( H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) ) \subset I^{n - c_1}H^p(X, \mathcal{F}).\]

2. Le système projectif \[\left(H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\right)_{n \in \mathbf{N}}\] vérifie la condition de Mittag-Leffler (voir Homologie, définition 02N0).

3. En fait, quels que soient \(p\) et \(n\), il existe \(c_2(n) \geq n\) tel que \[\Im(H^p(X, \mathcal{F}/I^k\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) = \Im(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}))\] pour tout \(k \geq c_2(n)\).

Démonstration

Posons \(c_1 = \max\{c_p, c_{p + 1}\}\), où \(c_p, c_{p +1}\) sont les entiers obtenus dans le lemme 08AX pour \(H^p\) et \(H^{p + 1}\). Nous utiliserons cette constante dans les démonstrations de (1), (2) et (3).

Démontrons la partie (1). Considérons la suite exacte courte \[0 \to I^n\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \to 0\] La suite exacte longue de cohomologie donne \[\Ker( H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) ) = \Im( H^p(X, I^n\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}) )\] D’après le choix de \(c_1\), ce sous-module est donc contenu dans \(I^{n - c_1}H^p(X, \mathcal{F})\) pour \(n \geq c_1\).

Notons que la partie (3) entraîne la partie (2) par définition de la condition de Mittag-Leffler.

Démontrons la partie (3). Fixons \(n\) pour le reste de la démonstration. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^n\mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F} \ar[r] \ar[u] & 0 }\] Il induit le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ H^p(X, I^n\mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] & H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}) \ar[r]_\delta & H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}) \\ H^p(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & H^p(X, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^1 & H^p(X, \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & H^{p + 1}(X, I^{n + m}\mathcal{F}) \ar[u]^a }\] Si \(m \geq c_1\), on voit que l’image de \(a\) est contenue dans \(I^{m - c_1} H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F})\). D’après le lemme d’Artin–Rees (voir Algèbre, lemme 00IO), il existe un entier \(c_3(n)\) tel que \[I^N H^{p + 1}(X, I^n\mathcal{F}) \cap \Im(\delta) \subset \delta\left(I^{N - c_3(n)}H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\right)\] pour tout \(N \geq c_3(n)\). Comme \(H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\) est annulé par \(I^n\), on voit que, si \(m \geq c_3(n) + c_1 + n\), alors \[\Im(H^p(X, \mathcal{F}/I^{n + m}\mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})) = \Im(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}))\] Autrement dit, la partie (3) est vérifiée avec \(c_2(n) = c_3(n) + c_1 + n\).

Théorème

Dans la situation 08AV. Fixons \(p \geq 0\). Le système d’applications \[H^p(X, \mathcal{F})/I^nH^p(X, \mathcal{F}) \longrightarrow H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] définit un isomorphisme de limites \[H^p(X, \mathcal{F})^\wedge \longrightarrow \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] où le membre de gauche est le complété du \(A\)-module \(H^p(X, \mathcal{F})\) relativement à l’idéal \(I\), voir Algèbre, section 00M9. De plus, c’est un homéomorphisme pour les topologies de limite projective.

Démonstration

Cela résulte en fait immédiatement du lemme 08AY. Donnons les détails. Posons \(M = H^p(X, \mathcal{F})\) et \(M_n = H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\). Notons \(N_n = \Im(M \to M_n)\). D’après la description de la limite dans Homologie, section 02MY, on a \[\lim_n M_n = \{(x_n) \in \prod M_n \mid \varphi_i(x_n) = x_{n - 1}, \ n = 2, 3, \ldots\}\] Choisissons un élément \(x = (x_n) \in \lim_n M_n\). D’après la partie (3) du lemme 08AY, on a \(x_n \in N_n\) pour tout \(n\), puisque, par définition, \(x_n\) est l’image d’un certain \(x_{n + m} \in M_{n + m}\) pour tout \(m\). D’après la partie (1) du lemme 08AY, il existe une factorisation \[M \to N_n \to M/I^{n - c_1}M\] de l’application de réduction. Notons \(y_n \in M/I^{n - c_1}M\) l’image de \(x_n\) pour \(n \geq c_1\). Puisque, pour \(n' \geq n\), le composé \(M \to M_{n'} \to M_n\) est l’application donnée \(M \to M_n\), on voit que \(y_{n'}\) s’envoie sur \(y_n\) par l’application canonique \(M/I^{n' - c_1}M \to M/I^{n - c_1}M\). Ainsi, \(y = (y_{n + c_1})\) définit un élément de \(\lim_n M/I^nM\). Nous omettons de vérifier que \(y\) s’envoie sur \(x\) par l’application \[M^\wedge = \lim_n M/I^nM \longrightarrow \lim_n M_n\] du lemme. Nous omettons également la vérification concernant les topologies.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I \subset A\) un idéal. Supposons \(A\) noethérien et complet pour la topologie \(I\)-adique. Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme propre d’espaces algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Alors \[H^p(X, \mathcal{F}) = \lim_n H^p(X, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] pour tout \(p \geq 0\).

Démonstration

C’est une reformulation du théorème des fonctions formelles (théorème 08AZ) dans le cas d’un anneau de base noethérien complet. En effet, dans ce cas, le \(A\)-module \(H^p(X, \mathcal{F})\) est de type fini (lemme 08AS), donc complet pour la topologie \(I\)-adique (Algèbre, lemme 00MA), et l’on voit qu’il est inutile de compléter le membre de gauche.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\), et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Supposons que

1. \(Y\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit propre, et

3. \(\mathcal{F}\) soit cohérent.

Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\). Considérons les « voisinages infinitésimaux » \[\xymatrix{ X_n = \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/\mathfrak m_{\overline{y}}^n) \times_Y X \ar[r]_-{i_n} \ar[d]_{f_n} & X \ar[d]^f \\ \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}/\mathfrak m_{\overline{y}}^n) \ar[r]^-{c_n} & Y }\] de la fibre \(X_1 = X_{\overline{y}}\), et posons \(\mathcal{F}_n = i_n^*\mathcal{F}\). On a alors \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_{\overline{y}}^\wedge \cong \lim_n H^p(X_n, \mathcal{F}_n)\] comme \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}^\wedge\)-modules.

Démonstration

Il s’agit simplement d’une reformulation d’un cas particulier du théorème des fonctions formelles, théorème 08AZ. Donnons les détails. Notons que \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) est un anneau local noethérien, voir Propriétés des espaces, lemme 08AH. Considérons le morphisme canonique \(c : \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}) \to Y\). C’est un morphisme plat, car il identifie les anneaux locaux. Notons \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}})\) le changement de base de \(f\) à cet anneau local. On a \(c^*R^pf_*\mathcal{F} = R^pf'_*\mathcal{F}'\) d’après le lemme 073K. De plus, on dispose d’identifications canoniques \(X_n = X'_n\) pour tout \(n \geq 1\).

On peut donc supposer que \(Y = \Spec(A)\) est le spectre d’un anneau local noethérien strictement hensélien \(A\), d’idéal maximal \(\mathfrak m\), et que \(\overline{y} \to Y\) est égal à \(\Spec(A/\mathfrak m) \to Y\). Il en résulte que \[\left(R^pf_*\mathcal{F}\right)_{\overline{y}} = \Gamma(Y, R^pf_*\mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F})\] car \((Y, \overline{y})\) est un objet initial de la catégorie des voisinages étales de \(\overline{y}\). Les morphismes \(c_n\) sont tous des immersions fermées. Leurs changements de base \(i_n\) sont donc eux aussi des immersions fermées. Notons que \(i_{n, *}\mathcal{F}_n = i_{n, *}i_n^*\mathcal{F} = \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F}\). La suite spectrale de Leray pour \(i_n\) et le lemme 07UH donnent \[H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = H^p(X, i_{n, *}\mathcal{F}) = H^p(X, \mathcal{F}/\mathfrak m^n\mathcal{F})\] On peut donc bien appliquer le théorème des fonctions formelles pour calculer la limite figurant dans l’énoncé du lemme, ce qui conclut.

Voici un lemme que nous généraliserons ensuite aux fibres de dimension \(> 0\), dans le lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\). Supposons que

1. \(Y\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit propre, et

3. l’espace topologique sous-jacent à \(X_{\overline{y}}\) soit discret.

Alors, pour tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), on a \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\) pour tout \(p > 0\).

Démonstration

Soit \(\kappa(\overline{y})\) le corps résiduel de l’anneau local \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\). Comme dans le lemme 08B1, posons \(X_{\overline{y}} = X_1 = \Spec(\kappa(\overline{y})) \times_Y X\). D’après Morphismes d’espaces, lemme 06LS le morphisme \(f : X \to Y\) est quasi-fini en chacun des points de la fibre de \(X \to Y\) au-dessus de \(\overline{y}\). Il en résulte que \(X_{\overline{y}} \to \overline{y}\) est séparé et quasi-fini. Par suite, \(X_{\overline{y}}\) est un schéma d’après Morphismes d’espaces, proposition 03XX. Comme il est quasi-compact, son espace topologique sous-jacent est un espace discret fini. C’est donc un schéma affine d’après Schémas, lemme 02O0. Le lemme 07VP montre alors que les espaces algébriques \(X_n\) sont eux aussi des schémas affines. De plus, l’espace topologique sous-jacent à chaque \(X_n\) est le même que celui de \(X_1\). Il s’ensuit que \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\) pour tout \(p > 0\). Ainsi, \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}}^\wedge = 0\) d’après le lemme 08B1. Notons que \(R^pf_*\mathcal{F}\) est cohérent d’après le lemme 08AR ; ainsi \(R^pf_*\mathcal{F}_{\overline{y}}\) est un \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-module de type fini. D’après Algèbre, lemme 00MA, cela implique que \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\). Supposons que

1. \(Y\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit propre, et

3. \(\dim(X_{\overline{y}}) = d\).

Alors, pour tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), on a \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\) pour tout \(p > d\).

Démonstration

Soit \(\kappa(\overline{y})\) le corps résiduel de l’anneau local \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\). Comme dans le lemme 08B1, posons \(X_{\overline{y}} = X_1 = \Spec(\kappa(\overline{y})) \times_Y X\). De plus, l’espace topologique sous-jacent à chaque voisinage infinitésimal \(X_n\) est le même que celui de \(X_{\overline{y}}\). Ainsi, \(H^p(X_n, \mathcal{F}_n) = 0\) pour tout \(p > d\) d’après le lemme 0A4R. Ainsi, on voit que \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}}^\wedge = 0\) d’après le lemme 08B1 pour \(p > d\). Notons que \(R^pf_*\mathcal{F}\) est cohérent d’après le lemme 08AR ; ainsi \(R^pf_*\mathcal{F}_{\overline{y}}\) est un \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)-module de type fini. D’après Algèbre, lemme 00MA, cela implique que \((R^pf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = 0\).

Applications du théorème des fonctions formelles

Nous compléterons cette section selon les besoins.

Lemme

(Pour une version plus générale, voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0A4X). Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Supposons \(Y\) localement noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est fini ; et

2. \(f\) est propre et \(|X_k|\) est un espace discret pour tout morphisme \(\Spec(k) \to Y\), où \(k\) est un corps.

Démonstration

Un morphisme fini est propre d’après Morphismes d’espaces, lemme 04NZ. Un morphisme fini est quasi-fini d’après Morphismes d’espaces, lemme 04NY. Un morphisme quasi-fini a des fibres discrètes \(X_k\), voir Morphismes d’espaces, lemme 06RW. Ainsi, un morphisme fini est propre et a des fibres discrètes \(X_k\).

Supposons \(f\) propre, à fibres discrètes \(X_k\). Nous voulons montrer que \(f\) est fini. Il suffit en fait de montrer que \(f\) est affine. En effet, si \(f\) est affine, il s’ensuit que \(f\) est entier d’après Morphismes d’espaces, lemme 0415 puis, d’après Morphismes d’espaces, lemme 0414, que \(f\) est fini.

Pour montrer que \(f\) est affine, on peut supposer \(Y\) affine ; notre but est de montrer que \(X\) est également affine. Puisque \(f\) est propre, \(X\) est séparé et quasi-compact. Nous allons montrer que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), on a \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\). Cela implique que \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) d’après les lemmes 07UV et 073E. On en déduit que \(X\) est affine d’après la proposition 07V6. D’après le lemme 0A4S, on conclut que les fibres de \(R^1f_*\mathcal{F}\) sont nulles en tout point géométrique de \(Y\). Autrement dit, \(R^1f_*\mathcal{F} = 0\). La suite spectrale de Leray pour \(f\) donne donc \(H^1(X , \mathcal{F}) = H^1(Y, f_*\mathcal{F})\). Puisque \(Y\) est affine et \(f_*\mathcal{F}\) quasi-cohérent (Morphismes d’espaces, lemme 03M9), on conclut que \(H^1(Y, f_*\mathcal{F}) = 0\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XB. Ainsi, \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\), comme voulu.

On en déduit le résultat utile suivant.

Lemme

(Pour une version plus générale, voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0A4Y). Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\overline{y}\) un point géométrique de \(Y\). Supposons que

1. \(Y\) soit localement noethérien,

2. \(f\) soit propre, et

3. \(|X_{\overline{y}}|\) soit fini.

Alors il existe un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(\overline{y}\) tel que \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) soit fini.

Démonstration

Le morphisme \(f\) est quasi-fini en tous les points géométriques de \(X\) au-dessus de \(\overline{y}\) d’après Morphismes d’espaces, lemme 06LS. D’après Morphismes d’espaces, lemme 04NW, l’ensemble des points où \(f\) est quasi-fini est un sous-espace ouvert \(U \subset X\). Posons \(Z = X \setminus U\). Alors \(\overline{y} \not \in f(Z)\). Puisque \(f\) est propre, l’ensemble \(f(Z) \subset Y\) est fermé. Choisissons un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(\overline{y}\) tel que \(Z \cap V = \emptyset\). Alors \(f^{-1}(V) \to V\) est localement quasi-fini et propre. Ainsi, \(f^{-1}(V) \to V\) a des fibres discrètes \(X_k\) (Morphismes d’espaces, lemme 06RW) qui sont quasi-compactes, donc finies. Par conséquent, \(f^{-1}(V) \to V\) est fini d’après le lemme 0A4V.