Modules sur les sites

Introduction

Dans ce chapitre, nous développons les notions de base relatives aux faisceaux de modules sur les topos annelés ou les sites annelés. Nous établissons d’abord quelques faits fondamentaux sur les faisceaux abéliens, puis nous introduisons les sites annelés et les topos annelés. Nous étudions ensuite certaines notions très élémentaires concernant les (pré)faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules, parallèlement au traitement des (pré)faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules dans le chapitre consacré aux faisceaux sur les espaces. Cela fait, nous reprenons une grande partie de la discussion du chapitre sur les faisceaux de modules (voir Faisceaux de modules, section 01AD). Les références de base sont [FAC], [EGA] et [SGA4].

Préfaisceaux abéliens

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Les préfaisceaux abéliens ont été introduits dans Sites, sections 00V1 et 00VL, puis étudiés plus avant dans Sites, section 00YR. Nous suivrons la convention de cette dernière référence : un préfaisceau abélien est un préfaisceau d’ensembles muni, sur chacun de ses ensembles de sections, d’une loi d’addition compatible avec les applications de restriction. Rappelons que la catégorie des préfaisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\) est notée \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\).

La catégorie \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) est abélienne au sens d’Homologie, Définition 0109. Étant donnée une application de préfaisceaux \(\varphi : \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\), le noyau de \(\varphi\) est le préfaisceau abélien \(U \mapsto \Ker(\mathcal{G}_1(U) \to \mathcal{G}_2(U))\), et le conoyau de \(\varphi\) est le préfaisceau \(U \mapsto \Coker(\mathcal{G}_1(U) \to \mathcal{G}_2(U))\). Puisque la catégorie des groupes abéliens est abélienne, il s’ensuit que \(\Coim = \Im\), cette égalité étant vraie au-dessus de chaque \(U\). Une suite de préfaisceaux abéliens \[\mathcal{G}_1 \longrightarrow \mathcal{G}_2 \longrightarrow \mathcal{G}_3\] est exacte si et seulement si \(\mathcal{G}_1(U) \to \mathcal{G}_2(U) \to \mathcal{G}_3(U)\) est une suite exacte de groupes abéliens pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Nous laissons les vérifications au lecteur.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Toutes les limites et toutes les colimites existent dans \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\).

2. Toutes les limites et toutes les colimites commutent à la prise des sections au-dessus des objets de \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \to \textit{PAb}(\mathcal{C})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme. Nous pouvons simplement définir des préfaisceaux abéliens \(L\) et \(C\) par les règles \[L : U \longmapsto \lim_i \mathcal{F}_i(U)\] et \[C : U \longmapsto \colim_i \mathcal{F}_i(U).\] Il existe manifestement des applications de préfaisceaux abéliens \(L \to \mathcal{F}_i\) et \(\mathcal{F}_i \to C\), obtenues à partir des applications correspondantes sur les groupes de sections au-dessus de chaque \(U\). On vérifie immédiatement que \(L\) et \(C\), munis de ces applications, sont respectivement la limite et la colimite du diagramme dans \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\). Cela démontre (1) et (2). Nous omettons les détails.

Faisceaux abéliens

Soit \(\mathcal{C}\) un site. La catégorie des faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\) est notée \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\). C’est la sous-catégorie pleine de \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) formée des préfaisceaux abéliens dont le préfaisceau d’ensembles sous-jacent est un faisceau. Les propriétés (\(\alpha\)) – (\(\zeta\)) de Sites, section 00YR, sont satisfaites ; voir Sites, Proposition 00YV. En particulier, le foncteur d’inclusion \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{PAb}(\mathcal{C})\) admet un adjoint à gauche, à savoir le foncteur de faisceautisation \(\mathcal{G} \mapsto \mathcal{G}^\#\).

Nous suggérons au lecteur de démontrer le lemme sur une feuille de brouillon plutôt que d’en lire la démonstration.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\).

1. La catégorie \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) est une catégorie abélienne.

2. Le noyau \(\Ker(\varphi)\) de \(\varphi\) coïncide avec le noyau de \(\varphi\) comme morphisme de préfaisceaux.

3. Le morphisme \(\varphi\) est injectif (Homologie, Définition 010B) si et seulement si \(\varphi\) est injectif comme application de préfaisceaux (Sites, Définition 00V6), si et seulement si \(\varphi\) est injectif comme application de faisceaux (Sites, Définition 00WM).

4. Le conoyau \(\Coker(\varphi)\) de \(\varphi\) est le faisceau associé au conoyau de \(\varphi\) comme morphisme de préfaisceaux.

5. Le morphisme \(\varphi\) est surjectif (Homologie, Définition 010B) si et seulement si \(\varphi\) est surjectif comme application de faisceaux (Sites, Définition 00WM).

6. Un complexe de faisceaux abéliens \[\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}\] est exact en \(\mathcal{G}\) si et seulement si, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et tout \(s \in \mathcal{G}(U)\) dont l’image dans \(\mathcal{H}(U)\) est nulle, il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque \(s|_{U_i}\) appartienne à l’image de \(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{G}(U_i)\).

Démonstration

Nous affirmons qu’Homologie, Lemme 03A3, s’applique aux catégories \(\mathcal{A} = \textit{Ab}(\mathcal{C})\) et \(\mathcal{B} = \textit{PAb}(\mathcal{C})\), ainsi qu’aux foncteurs \(a : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) (l’inclusion) et \(b : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) (la faisceautisation). Vérifions les hypothèses d’Homologie, Lemme 03A3. L’hypothèse (1) dit que \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) sont des catégories additives, que \(a\) et \(b\) sont des foncteurs additifs, et que \(a\) est adjoint à droite de \(b\). Les deux premières assertions sont claires, et l’adjonction est Sites, section 00YR (\(\epsilon\)). L’hypothèse (2) dit que \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\) est abélienne, ce que nous avons vu à la section 03A6, et que la faisceautisation est exacte à gauche, ce qui est Sites, section 00YR (\(\zeta\)). Enfin, la dernière hypothèse est \(ba \cong \text{id}_\mathcal{A}\), ce qui est Sites, section 00YR (\(\delta\)). Ainsi Homologie, Lemme 03A3, s’applique et nous concluons que \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) est abélienne.

La démonstration d’Homologie, Lemme 03A3, montre que \(\Ker(\varphi)\) et \(\Coker(\varphi)\) sont les faisceaux associés respectivement au noyau et au conoyau de \(\varphi\) comme morphisme de préfaisceaux abéliens. Cela démontre (4). Puisque le noyau est un égalisateur (donc une limite) et que la faisceautisation commute aux limites finies, nous en déduisons (2).

L’assertion (2) implique (3). L’assertion (4) implique (5) d’après notre description de la faisceautisation. La caractérisation de l’exactitude en (6) résulte de (2), de (5), et du fait que la suite est exacte si et seulement si \(\Im(\mathcal{F} \to \mathcal{G}) = \Ker(\mathcal{G} \to \mathcal{H})\).

On peut encore formuler la partie (6) du lemme en disant qu’une suite de faisceaux abéliens \[\mathcal{F}_1 \longrightarrow \mathcal{F}_2 \longrightarrow \mathcal{F}_3\] est exacte si et seulement si le faisceau associé à \(U \mapsto \Im(\mathcal{F}_1(U) \to \mathcal{F}_2(U))\) est égal au noyau de \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site.

1. Toutes les limites et toutes les colimites existent dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\).

2. Les limites coïncident avec les limites correspondantes de préfaisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\) (autrement dit, elles commutent à la prise des sections au-dessus des objets de \(\mathcal{C}\)).

3. Les sommes directes finies coïncident avec les sommes directes finies correspondantes dans la catégorie des préfaisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\).

4. Une colimite est le faisceau associé à la colimite correspondante dans la catégorie des préfaisceaux abéliens.

5. Les colimites filtrantes sont exactes.

Démonstration

D’après le Lemme 03CL, les limites et les colimites de préfaisceaux abéliens existent et s’obtiennent en prenant les limites et les colimites au niveau des sections au-dessus des objets.

Soit \(\mathcal{I} \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme. Soit \(\lim_i \mathcal{F}_i\) sa limite comme préfaisceau abélien. D’après Sites, Lemme 00W2, c’est un faisceau abélien. On voit alors sans difficulté que \(\lim_i \mathcal{F}_i\) est la limite du diagramme dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\). Cela démontre l’existence des limites et (2).

D’après Catégories, Lemme 0038, et puisque la faisceautisation est adjointe à gauche au foncteur d’inclusion, nous voyons que \(\colim_i \mathcal{F}\) existe et est le faisceau associé à la colimite dans \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\). Cela démontre l’existence des colimites et (4).

Dans toute catégorie abélienne, les sommes directes finies coïncident avec les produits finis. Ainsi (3) résulte de (2).

Preuve de (5). L’assertion signifie qu’étant donné un système \(0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i \to \mathcal{H}_i \to 0\) de suites exactes de faisceaux abéliens indexé par un ensemble filtrant \(I\), la suite \(0 \to \colim \mathcal{F}_i \to \colim \mathcal{G}_i \to \colim \mathcal{H}_i \to 0\) est également exacte. Un argument formel utilisant Homologie, Lemme 05AA, et la définition des colimites montre que la suite \(\colim \mathcal{F}_i \to \colim \mathcal{G}_i \to \colim \mathcal{H}_i \to 0\) est exacte. Remarquons que \(\colim \mathcal{F}_i \to \colim \mathcal{G}_i\) est le faisceau associé à l’application entre les colimites de préfaisceaux ; celle-ci est injective puisque chacune des applications \(\mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\) l’est. La faisceautisation étant exacte, on conclut.

Préfaisceaux abéliens libres

Afin de préparer la notation de la définition suivante, convenons de noter le groupe abélien libre sur un ensemble \(S\) par¹ \(\mathbf{Z}[S] = \bigoplus_{s \in S} \mathbf{Z}\). Il est caractérisé par la propriété \[\Mor_{\textit{Ab}}(\mathbf{Z}[S], A) = \Mor_{\textit{Ensembles}}(S, A)\] Autrement dit, la construction \(S \mapsto \mathbf{Z}[S]\) est adjointe à gauche au foncteur d’oubli \(\textit{Ab} \to \textit{Ensembles}\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau d’ensembles. Le préfaisceau abélien libre \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{G}\) est le préfaisceau abélien défini par la règle \[U \longmapsto \mathbf{Z}[\mathcal{G}(U)].\] Dans le cas particulier \(\mathcal{G} = h_X\) d’un préfaisceau représentable associé à un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), nous utilisons la notation \(\mathbf{Z}_X = \mathbf{Z}_{h_X}\). Autrement dit, \[\mathbf{Z}_X(U) = \mathbf{Z}[\Mor_\mathcal{C}(U, X)].\]

Cette construction est manifestement fonctorielle en le préfaisceau \(\mathcal{G}\). Elle est en fait adjointe au foncteur d’oubli \(\textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C})\). Voici l’énoncé précis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soient \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}\) des préfaisceaux d’ensembles. Soit \(\mathcal{A}\) un préfaisceau abélien. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Alors nous avons \[\begin{align*} \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(h_U, \mathcal{F}) & = \mathcal{F}(U), \\ \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_\mathcal{G}, \mathcal{A}) & = \Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, \mathcal{A}), \\ \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_U, \mathcal{A}) & = \mathcal{A}(U). \end{align*}\] Toutes ces égalités sont fonctorielles.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(I\) un ensemble. Pour chaque \(i \in I\), soit \(\mathcal{G}_i\) un préfaisceau d’ensembles. Alors \[\mathbf{Z}_{\coprod_i \mathcal{G}_i} = \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathbf{Z}_{\mathcal{G}_i}\] dans \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\).

Démonstration

Omis.

Faisceaux abéliens libres

Voici la notion de faisceau abélien libre sur un faisceau d’ensembles.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau d’ensembles. Le faisceau abélien libre \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\) sur \(\mathcal{G}\) est le faisceau abélien \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#\) associé au préfaisceau abélien libre sur \(\mathcal{G}\). Dans le cas particulier \(\mathcal{G} = h_X\) d’un préfaisceau représentable associé à un objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), nous utilisons la notation \(\mathbf{Z}_X^\#\).

Cette construction est manifestement fonctorielle en le préfaisceau \(\mathcal{G}\). Elle fournit en fait un adjoint au foncteur d’oubli \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C})\). Voici l’énoncé précis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}\) des faisceaux d’ensembles. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau abélien. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Alors nous avons \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(h_U^\#, \mathcal{F}) & = \mathcal{F}(U), \\ \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_\mathcal{G}^\#, \mathcal{A}) & = \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\mathcal{G}, \mathcal{A}), \\ \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathbf{Z}_U^\#, \mathcal{A}) & = \mathcal{A}(U). \end{align*}\] Toutes ces égalités sont fonctorielles.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau d’ensembles. Alors \(\mathbf{Z}_\mathcal{G}^\# = (\mathbf{Z}_{\mathcal{G}^\#})^\#\).

Démonstration

Omis.

Sites annelés

Dans ce chapitre, nous travaillons principalement avec des faisceaux de modules sur un site annelé. Il nous faut donc définir cette notion.

Définition

Sites annelés.

1. Un site annelé est un couple \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\), où \(\mathcal{C}\) est un site et \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Le faisceau \(\mathcal{O}\) est appelé le faisceau structural du site annelé.

2. Soient \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) et \((\mathcal{C}', \mathcal{O}')\) des sites annelés. Un morphisme de sites annelés \[(f, f^\sharp) : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \longrightarrow (\mathcal{C}', \mathcal{O}')\] est la donnée d’un morphisme de sites \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) (voir Sites, Définition 00X1) et d’une application de faisceaux d’anneaux \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\), ce qui, par adjonction, revient à donner une application de faisceaux d’anneaux \(f^\sharp : \mathcal{O}' \to f_*\mathcal{O}\).

3. Soient \((f, f^\sharp) : (\mathcal{C}_1, \mathcal{O}_1) \to (\mathcal{C}_2, \mathcal{O}_2)\) et \((g, g^\sharp) : (\mathcal{C}_2, \mathcal{O}_2) \to (\mathcal{C}_3, \mathcal{O}_3)\) des morphismes de sites annelés. Nous définissons alors la composition des morphismes de sites annelés par la règle \[(g, g^\sharp) \circ (f, f^\sharp) = (g \circ f, f^\sharp \circ g^\sharp).\] Nous utilisons ici la composition des morphismes de sites définie dans Sites, Définition 03CC, et \(f^\sharp \circ g^\sharp\) désigne le morphisme de faisceaux d’anneaux \[\mathcal{O}_3 \xrightarrow{g^\sharp} g_*\mathcal{O}_2 \xrightarrow{g_*f^\sharp} g_*f_*\mathcal{O}_1 = (g \circ f)_*\mathcal{O}_1\]

Topos annelés

Un topos annelé est simplement un site annelé, à ceci près que la notion de morphisme de topos annelés diffère de celle de morphisme de sites annelés.

Définition

Topos annelés.

1. Un topos annelé est un couple \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) où \(\mathcal{C}\) est un site et \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Le faisceau \(\mathcal{O}\) est appelé le faisceau structural du topos annelé.

2. Soient \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) et \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) des topos annelés. Un morphisme de topos annelés \[(f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\] est la donnée d’un morphisme de topos \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\) (voir Sites, Définition 00XA) et d’une application de faisceaux d’anneaux \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\), ce qui, par adjonction, revient à donner une application de faisceaux d’anneaux \(f^\sharp : \mathcal{O}' \to f_*\mathcal{O}\).

3. Soient \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}_1), \mathcal{O}_1) \to (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2)\) et \((g, g^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2) \to (\Sh(\mathcal{C}_3), \mathcal{O}_3)\) des morphismes de topos annelés. Nous définissons alors la composition des morphismes de topos annelés par la règle \[(g, g^\sharp) \circ (f, f^\sharp) = (g \circ f, f^\sharp \circ g^\sharp).\] Nous utilisons ici la composition des morphismes de topos définie dans Sites, Définition 00XA, et \(f^\sharp \circ g^\sharp\) désigne le morphisme de faisceaux d’anneaux \[\mathcal{O}_3 \xrightarrow{g^\sharp} g_*\mathcal{O}_2 \xrightarrow{g_*f^\sharp} g_*f_*\mathcal{O}_1 = (g \circ f)_*\mathcal{O}_1\]

Tout morphisme de topos annelés est la composée d’une équivalence de topos annelés et d’un morphisme de topos annelés associé à un morphisme de sites annelés. Voici l’énoncé précis.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Il existe une factorisation \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[rr]_{(f, f^\sharp)} \ar[d]_{(g, g^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \ar[d]^{(e, e^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[rr]^{(h, h^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) }\] où

1. \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\) est une équivalence de topos induite par un foncteur cocontinu spécial \(\mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) (voir Sites, Définition 03CG),

2. \(e : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{D}')\) est une équivalence de topos induite par un foncteur cocontinu spécial \(\mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) (voir Sites, Définition 03CG),

3. \(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'} = g_*\mathcal{O}_\mathcal{C}\) et \(g^\sharp\) est l’application évidente,

4. \(\mathcal{O}_{\mathcal{D}'} = e_*\mathcal{O}_\mathcal{D}\) et \(e^\sharp\) est l’application évidente,

5. les sites \(\mathcal{C}'\) et \(\mathcal{D}'\) possèdent des objets finaux et des produits fibrés (autrement dit, toutes les limites finies),

6. \(h\) est un morphisme de sites induit par un foncteur continu \(u : \mathcal{D}' \to \mathcal{C}'\) qui commute à toutes les limites finies (autrement dit, qui satisfait les hypothèses de Sites, Proposition 00X6), et

7. étant données des familles quelconques de faisceaux \(\mathcal{F}_i\) (resp. \(\mathcal{G}_j\)) sur \(\mathcal{C}\) (resp. \(\mathcal{D}\)), nous pouvons supposer que chacun est un faisceau représentable sur \(\mathcal{C}'\) (resp. \(\mathcal{D}'\)).

De plus, si \((f, f^\sharp)\) est une équivalence de topos annelés, nous pouvons choisir le diagramme de sorte que \(\mathcal{C}' = \mathcal{D}'\), \(\mathcal{O}_{\mathcal{C}'} = \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}\) et que \((h, h^\sharp)\) soit l’identité.

Démonstration

Cela résulte de Sites, Lemme 03A2, et de Sites, Remarques 03CJ et 03CK. Il suffit de transporter simultanément les faisceaux d’anneaux. Nous omettons certains détails.

2-morphismes de topos annelés

Cette brève section concerne la notion de \(2\)-morphisme de topos annelés.

Définition

Soient \(f, g : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) deux morphismes de topos annelés. Un 2-morphisme de \(f\) vers \(g\) est la donnée d’une transformation de foncteurs \(t : f_* \to g_*\) telle que \[\xymatrix{ & \mathcal{O}_\mathcal{D} \ar[ld]_{f^\sharp} \ar[rd]^{g^\sharp} \\ f_*\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[rr]^t & & g_*\mathcal{O}_\mathcal{C} }\] soit commutatif.

Nous représentons parfois \(t\) graphiquement de la manière suivante : \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \rrtwocell^f_g{t} & & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] Comme dans Sites, section 04I9 donner un 2-morphisme \(t : f_* \to g_*\) équivaut à donner \(t : g^{-1} \to f^{-1}\) (habituellement noté par le même symbole), de sorte que le diagramme \[\xymatrix{ f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D} \ar[rd]_{f^\sharp} & & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D} \ar[ll]^t \ar[ld]^{g^\sharp} \\ & \mathcal{O}_\mathcal{C} }\] soit commutatif. Comme dans Sites, section 04I9 les axiomes d’une 2-catégorie stricte sont satisfaits pour les compositions horizontale et verticale définies comme dans la référence citée.

Préfaisceaux de modules

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Nous n’avons pas encore défini les préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules ; faisons-le maintenant.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\).

1. Un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules est la donnée d’un préfaisceau abélien \(\mathcal{F}\) et d’une application de préfaisceaux d’ensembles \[\mathcal{O} \times \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] tel que, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), l’application \(\mathcal{O}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) définisse une structure de \(\mathcal{O}(U)\)-module sur le groupe abélien \(\mathcal{F}(U)\).

2. Un morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules est un morphisme de préfaisceaux abéliens \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_{\text{id} \times \varphi} & \mathcal{F} \ar[d]^{\varphi} \\ \mathcal{O} \times \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G} }\] soit commutatif.

3. L’ensemble des morphismes de \(\mathcal{O}\)-modules ci-dessus est noté \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\).

4. La catégorie des préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules est notée \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\).

Supposons que \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) soit un morphisme de préfaisceaux d’anneaux sur la catégorie \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules, nous pouvons alors considérer \(\mathcal{F}\) comme un préfaisceau de \(\mathcal{O}_1\)-modules au moyen de la composée \[\mathcal{O}_1 \times \mathcal{F} \to \mathcal{O}_2 \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}.\] Nous notons parfois ce préfaisceau \(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}\) pour signaler la restriction des scalaires. Nous appelons ce préfaisceau la restriction de \(\mathcal{F}\). Nous obtenons le foncteur de restriction des scalaires \[\textit{PMod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_1)\]

Réciproquement, étant donné un préfaisceau de \(\mathcal{O}_1\)-modules \(\mathcal{G}\), nous pouvons construire un préfaisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules \(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\) par la règle \[U \longmapsto \left(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\right)(U) = \mathcal{O}_2(U) \otimes_{\mathcal{O}_1(U)} \mathcal{G}(U)\] pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), avec les applications de restriction évidentes. L’indice \(p\) signifie « préfaisceau » et non « point ». Ce préfaisceau est appelé le préfaisceau produit tensoriel. Nous obtenons le foncteur d’extension des scalaires \[\textit{PMod}(\mathcal{O}_1) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_2)\]

Lemme

Avec \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\), \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) comme ci-dessus, il existe une bijection canonique \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\] Autrement dit, les foncteurs de restriction et d’extension des scalaires définis ci-dessus sont adjoints l’un de l’autre.

Démonstration

Cela résulte du fait que, pour un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), les foncteurs de restriction et d’extension des scalaires sont adjoints l’un de l’autre.

Faisceaux de modules

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\).

1. Un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules est un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), voir Définition 03CT, tel que le préfaisceau de groupes abéliens sous-jacent à \(\mathcal{F}\) soit un faisceau.

2. Un morphisme de faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules est un morphisme de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules.

3. Étant donnés des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\), nous notons \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) l’ensemble de leurs morphismes de faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules.

4. La catégorie des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules est notée \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Cette définition garde un certain sens lorsque \(\mathcal{O}\) n’est qu’un préfaisceau d’anneaux, bien que nous ne connaissions aucun exemple où cela soit utile. Nous éviterons donc l’expression « faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules » lorsque \(\mathcal{O}\) n’est pas un faisceau d’anneaux.

Faisceautisation des préfaisceaux de modules

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\) et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{O}^\#\) le faisceau associé à \(\mathcal{O}\) comme préfaisceau d’anneaux, voir Sites, section 00YR. Soit \(\mathcal{F}^\#\) le faisceau associé à \(\mathcal{F}\) comme préfaisceau de groupes abéliens. Il existe une unique application de faisceaux d’ensembles \[\mathcal{O}^\# \times \mathcal{F}^\# \longrightarrow \mathcal{F}^\#\] qui rende commutatif le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d] \\ \mathcal{O}^\# \times \mathcal{F}^\# \ar[r] & \mathcal{F}^\# }\] et qui munisse \(\mathcal{F}^\#\) d’une structure de faisceau de \(\mathcal{O}^\#\)-modules. De plus, si \(\mathcal{G}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}^\#\)-modules, tout morphisme de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) (où \(\mathcal{G}\) est considéré par restriction comme un \(\mathcal{O}\)-module) se factorise de façon unique sous la forme \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\), où \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}^\#\)-modules.

Démonstration

Omis.

Cela signifie précisément que le foncteur \(i : \textit{Mod}(\mathcal{O}^\#) \to \textit{PMod}(\mathcal{O})\) (qui combine la restriction des scalaires et l’inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux) et le foncteur de faisceautisation du lemme \({}^\# : \textit{PMod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}^\#)\) sont adjoints. En formule, \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, i\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}^\#)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] Un cas important se présente lorsque \(\mathcal{O}\) est déjà un faisceau d’anneaux. La formule devient alors \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, i\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] puisque \(\mathcal{O} = \mathcal{O}^\#\) dans ce cas.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Le foncteur de faisceautisation \[\textit{PMod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}^\#), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\#\] est exact.

Démonstration

Cela est vrai parce que la faisceautisation \(\textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) est exacte. Voir la discussion de la section 03CM.

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). À la section 03CS, nous avons défini les foncteurs de restriction et d’extension des scalaires correspondants sur les préfaisceaux de modules.

Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules, la restriction \(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}\) de \(\mathcal{F}\) est manifestement un faisceau de \(\mathcal{O}_1\)-modules. Nous obtenons le foncteur de restriction des scalaires \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_1)\]

Réciproquement, étant donné un faisceau de \(\mathcal{O}_1\)-modules \(\mathcal{G}\), le préfaisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules \(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\) n’est en général pas un faisceau. Nous définissons donc le faisceau produit tensoriel \(\mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}\) par la formule \[\mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G} = (\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G})^\#\] comme le faisceau associé à la construction précédente sur les préfaisceaux. Nous obtenons le foncteur d’extension des scalaires \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_1) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_2)\]

Lemme

Avec \(X\), \(\mathcal{O}_1\), \(\mathcal{O}_2\), \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) comme ci-dessus, il existe une bijection canonique \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\] Autrement dit, les foncteurs de restriction et d’extension des scalaires sont adjoints l’un de l’autre.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 03CU et du fait que \(\Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} ) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\) puisque \(\mathcal{F}\) est un faisceau.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) un épimorphisme de faisceaux d’anneaux. Soient \(\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2\) des \(\mathcal{O}'\)-modules. Alors \[\Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2) = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2).\] Autrement dit, le foncteur de restriction \(\textit{Mod}(\mathcal{O}') \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) est pleinement fidèle.

Démonstration

C’est la version faisceautique d’Algèbre, Lemme 08YS, et elle se démontre exactement de la même manière.

Morphismes de topos et faisceaux de modules

Tout ce qui suit est immédiat. Nous formulons les résultats pour les morphismes de topos, mais ils valent bien entendu aussi pour les morphismes de sites.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\) et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Il existe une application naturelle de faisceaux d’ensembles \[f_*\mathcal{O} \times f_*\mathcal{F} \longrightarrow f_*\mathcal{F}\] qui munit \(f_*\mathcal{F}\) d’une structure de faisceau de \(f_*\mathcal{O}\)-modules. Cette construction est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Notons \(\mu : \mathcal{O} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) l’application de multiplication. Rappelons que \(f_*\) (sur les faisceaux d’ensembles) est exact à gauche et commute donc aux produits. Ainsi \(f_*\mu\) est une application du type indiqué, ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{D}\) et soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Il existe une application naturelle de faisceaux d’ensembles \[f^{-1}\mathcal{O} \times f^{-1}\mathcal{G} \longrightarrow f^{-1}\mathcal{G}\] qui munit \(f^{-1}\mathcal{G}\) d’une structure de faisceau de \(f^{-1}\mathcal{O}\)-modules. Cette construction est fonctorielle en \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Notons \(\mu : \mathcal{O} \times \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) l’application de multiplication. Rappelons que \(f^{-1}\) (sur les faisceaux d’ensembles) est exact et commute donc aux produits. Ainsi \(f^{-1}\mu\) est une application du type indiqué, ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{D}\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(f^{-1}\mathcal{O}\)-modules. Alors \[\Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Nous utilisons ici les Lemmes 03D2 et 03D1, et nous considérons \(f_*\mathcal{F}\) comme un \(\mathcal{O}\)-module par restriction des scalaires suivant \(\mathcal{O} \to f_*f^{-1}\mathcal{O}\).

Démonstration

Remarquons d’abord que \[\Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{D})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] d’après Sites, Proposition 00YV. Supposons que \(\alpha : f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) et \(\beta : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\) soient des morphismes de faisceaux abéliens qui se correspondent par la formule ci-dessus. Il faut montrer que \(\alpha\) est \(f^{-1}\mathcal{O}\)-linéaire si et seulement si \(\beta\) est \(\mathcal{O}\)-linéaire. Supposons par exemple que \(\alpha\) soit \(f^{-1}\mathcal{O}\)-linéaire. Alors \(f_*\alpha\) est manifestement \(f_*f^{-1}\mathcal{O}\)-linéaire, donc \(\mathcal{O}\)-linéaire puisque la restriction des scalaires est fonctorielle. Il suffit donc de montrer que l’application d’adjonction \(\mathcal{G} \to f_*f^{-1}\mathcal{G}\) est \(\mathcal{O}\)-linéaire. Comme \(f_*\) et \(f^{-1}\) commutent tous deux aux produits (sur les faisceaux d’ensembles), cela revient à montrer que \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{G} \ar[r] \ar[d] & f_*f^{-1}(\mathcal{O} \times \mathcal{G}) \ar[d] \\ \mathcal{G} \ar[r] & f_*f^{-1}\mathcal{G} }\] est commutatif. Cela résulte de ce que l’application d’adjonction \(\text{id}_{\Sh(\mathcal{D})} \to f_*f^{-1}\) est une transformation de foncteurs. Nous omettons la démonstration de l’implication « \(\beta\) linéaire \(\Rightarrow\) \(\alpha\) linéaire ».

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules et soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(f_*\mathcal{O}\)-modules. Alors \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}f_*\mathcal{O}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Nous utilisons ici les Lemmes 03D2 et 03D1, ainsi que l’application canonique \(f^{-1}f_*\mathcal{O} \to \mathcal{O}\) dans la définition du produit tensoriel.

Démonstration

Remarquons que \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}f_*\mathcal{O}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}f_*\mathcal{O})}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f^{-1}f_*\mathcal{O}})\] d’après le Lemme 03CZ. Le résultat découle donc du Lemme 03D3.

Morphismes de topos annelés et modules

Nous avons maintenant introduit assez de notations pour définir l’image inverse et l’image directe des modules le long d’un morphisme de topos annelés.

Définition

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés ou de sites annelés.

1. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules. Nous définissons l’image directe de \(\mathcal{F}\) comme le faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules dont le faisceau de groupes abéliens sous-jacent est \(f_*\mathcal{F}\) et dont la structure de module est obtenue par restriction des scalaires suivant \(f^\sharp : \mathcal{O}_\mathcal{D} \to f_*\mathcal{O}_\mathcal{C}\) à partir de la structure de module \[f_*\mathcal{O}_\mathcal{C} \times f_*\mathcal{F} \longrightarrow f_*\mathcal{F}\] du Lemme 03D1.

2. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules. Nous définissons l’image inverse \(f^*\mathcal{G}\) comme le faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules donné par la formule \[f^*\mathcal{G} = \mathcal{O}_\mathcal{C} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}} f^{-1}\mathcal{G}\] où l’homomorphisme d’anneaux \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D} \to \mathcal{O}_\mathcal{C}\) est \(f^\sharp\), et où la structure de module est celle du Lemme 03D2.

Nous avons ainsi défini des foncteurs \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \\ f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D}) & \longrightarrow & \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \end{eqnarray*}\] Le dernier résultat sur ces foncteurs affirme qu’ils sont bien adjoints, comme prévu.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés ou de sites annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules et soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules. Il existe une bijection canonique \[\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Autrement dit, le foncteur \(f^*\) est adjoint à gauche de \(f_*\).

Démonstration

Cela résulte des calculs précédents : \[\begin{eqnarray*} \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})}( \mathcal{O}_\mathcal{C} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D})}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}}) \\ & = & \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] Nous utilisons ici les Lemmes 03CZ et 03D3.

Lemme

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}_1), \mathcal{O}_1) \to (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2)\) et \((g, g^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2) \to (\Sh(\mathcal{C}_3), \mathcal{O}_3)\) soient des morphismes de topos annelés. Il existe des isomorphismes canoniques de foncteurs \((g \circ f)_* \cong g_* \circ f_*\) et \((g \circ f)^* \cong f^* \circ g^*\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

La catégorie abélienne des faisceaux de modules

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules, voir Faisceaux, Définition 0077. Soient \(\varphi, \psi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) des morphismes de faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Nous définissons \(\varphi + \psi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) comme la somme de \(\varphi\) et \(\psi\) en tant que morphismes de faisceaux abéliens. C’est manifestement encore une application de \(\mathcal{O}\)-modules. La composition des applications de \(\mathcal{O}\)-modules est en outre bilinéaire pour cette addition. Ainsi, \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) est une catégorie préadditive, voir Homologie, Définition 00ZY.

Nous noterons \(0\) le faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules qui prend la valeur constante \(\{0\}\) sur tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). C’est manifestement à la fois un objet final et un objet initial de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Étant donné un morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), les assertions suivantes sont équivalentes : (a) \(\varphi\) est nul, (b) \(\varphi\) se factorise par \(0\), et (c) \(\varphi\) est nul sur les sections au-dessus de tout objet \(U\).

En outre, étant donnés deux faisceaux \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) de \(\mathcal{O}\)-modules, nous pouvons définir leur somme directe par \[\mathcal{F} \oplus \mathcal{G} = \mathcal{F} \times \mathcal{G}\] munie des applications évidentes \((i, j, p, q)\) comme dans Homologie, Définition 0102. Ainsi \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) est une catégorie additive, voir Homologie, Définition 0104.

Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules. Nous pouvons définir \(\Ker(\varphi)\) comme le noyau de \(\varphi\) en tant qu’application de faisceaux abéliens. D’après la section 03CM, c’est le sous-faisceau de \(\mathcal{F}\) dont les sections sont \[\Ker(\varphi)(U) = \{ s \in \mathcal{F}(U) \mid \varphi(s) = 0 \text{ dans } \mathcal{G}(U)\}\] pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). On vérifie aisément qu’il s’agit bien d’un noyau dans la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules. Autrement dit, un morphisme \(\alpha : \mathcal{H} \to \mathcal{F}\) se factorise par \(\Ker(\varphi)\) si et seulement si \(\varphi \circ \alpha = 0\).

De même, nous définissons \(\Coker(\varphi)\) comme le conoyau de \(\varphi\) en tant qu’application de faisceaux abéliens. Il existe une unique application de multiplication \[\mathcal{O} \times \Coker(\varphi) \longrightarrow \Coker(\varphi)\] qui fait de \(\mathcal{G} \to \Coker(\varphi)\) un morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules (vérification omise). L’application \(\mathcal{G} \to \Coker(\varphi)\) est surjective (comme application de faisceaux d’ensembles, voir section 03CM). Pour montrer que \(\Coker(\varphi)\) est un conoyau dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\), remarquons que si \(\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{H}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules tel que \(\beta \circ \varphi\) soit nul, alors, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), \(\beta\) induit une application de \(\mathcal{G}(U)/\varphi(\mathcal{F}(U))\) vers \(\mathcal{H}(U)\). Par la propriété universelle de la faisceautisation (voir Faisceaux, Lemme 0089), nous obtenons une application canonique \(\Coker(\varphi) \to \mathcal{H}\) telle que \(\beta\) soit la composée \(\mathcal{G} \to \Coker(\varphi) \to \mathcal{H}\). Le morphisme \(\Coker(\varphi) \to \mathcal{H}\) est unique en raison de la surjectivité mentionnée ci-dessus.

Lemme

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) est abélienne. Le foncteur d’oubli \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) est exact ; les noyaux, les conoyaux et l’exactitude des \(\mathcal{O}\)-modules correspondent donc aux notions analogues pour les faisceaux abéliens.

Démonstration

Nous avons vu ci-dessus que \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) est une catégorie additive, qu’elle possède noyaux et conoyaux, et que \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) les préserve. D’après Homologie, Définition 0109, il reste à montrer que l’image et la coimage coïncident. Cela est clair puisque c’est vrai dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\). Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Toutes les limites et toutes les colimites existent dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\), et le foncteur d’oubli \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) commute avec elles. De plus, les colimites filtrantes sont exactes.

Démonstration

La dernière assertion résulte de la première, car les colimites filtrantes sont exactes dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\) d’après le Lemme 03CO. Soit \(\mathcal{I} \to \textit{Mod}(\mathcal{C})\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme. Soit \(\lim_i \mathcal{F}_i\) sa limite dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\). La description de cette limite au Lemme 03CO montre immédiatement qu’il existe une multiplication \[\mathcal{O} \times \lim_i \mathcal{F}_i \longrightarrow \lim_i \mathcal{F}_i\] qui munit \(\lim_i \mathcal{F}_i\) d’une structure de faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. On voit aisément qu’il s’agit de la limite du diagramme dans \(\textit{Mod}(\mathcal{C})\). Soit \(\colim_i \mathcal{F}_i\) la colimite du diagramme dans \(\textit{PAb}(\mathcal{C})\). La description de cette colimite dans la démonstration du Lemme 03CL montre immédiatement qu’il existe une multiplication \[\mathcal{O} \times \colim_i \mathcal{F}_i \longrightarrow \colim_i \mathcal{F}_i\] qui munit \(\colim_i \mathcal{F}_i\) d’une structure de préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. En faisceautisant, nous obtenons le faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \((\colim_i \mathcal{F}_i)^\#\), voir Lemme 03CY. On voit aisément que \((\colim_i \mathcal{F}_i)^\#\) est la colimite du diagramme dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) et que, d’après le Lemme 03CO, l’oubli de sa structure de \(\mathcal{O}\)-module donne la colimite dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\).

L’existence des limites et des colimites permet d’exprimer par celles-ci les propriétés d’exactitude des foncteurs définis sur la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules, comme dans Catégories, section 0033. Voir Homologie, Lemme 010N, pour une description de ces propriétés en termes de suites exactes courtes.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés.

1. Le foncteur \(f_*\) est exact à gauche. En fait, il commute à toutes les limites.

2. Le foncteur \(f^*\) est exact à droite. En fait, il commute à toutes les colimites.

Démonstration

Cela est vrai parce que \((f^*, f_*)\) est un couple de foncteurs adjoints, voir Lemme 03D7. Voir Catégories, section 0036.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Si \(\{p_i\}_{i \in I}\) est une famille conservative de points, l’exactitude d’une suite de faisceaux abéliens peut être vérifiée sur les germes aux points \(p_i\), \(i \in I\). Si \(\mathcal{C}\) possède suffisamment de points, l’exactitude d’une suite de faisceaux abéliens peut être vérifiée sur les germes.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Sites, Lemme 00YL.

Exactitude de l’image directe

Quelques lemmes techniques sur les propriétés d’exactitude de l’image directe.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f^{-1}f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est surjectif pour tout \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\), et

2. \(f_* : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{D})\) reflète les surjections.

Dans ce cas, le foncteur \(f_* : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{D})\) est fidèle.

Démonstration

Supposons (1). Soit \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) une application de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\) telle que \(f_*a\) soit surjective. Puisque \(f^{-1}\) est exact, il s’ensuit que \(f^{-1}f_*a : f^{-1}f_*\mathcal{F} \to f^{-1}f_*\mathcal{F}'\) est surjectif. Avec (1), cela implique que \(a\) est surjectif. Ainsi (2) est satisfaite.

Supposons (2). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). Nous devons montrer que \(f^{-1}f_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est surjectif. D’après (2), il suffit de montrer que \(f_*f^{-1}f_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{F}\) est surjectif. Or cela est vrai, car il existe une application canonique \(f_*\mathcal{F} \to f_*f^{-1}f_*\mathcal{F}\) qui en est un inverse d’un côté.

Nous omettons la démonstration de la dernière assertion.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Supposons qu’au moins l’une des propriétés suivantes soit satisfaite :

1. \(f_*\) transforme les surjections de faisceaux d’ensembles en surjections,

2. \(f_*\) transforme les surjections de faisceaux abéliens en surjections,

3. \(f_*\) commute aux coégalisateurs de faisceaux d’ensembles,

4. \(f_*\) commute aux sommes amalgamées de faisceaux d’ensembles,

Alors \(f_* : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{D})\) est exact.

Démonstration

Puisque \(f_* : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{D})\) est un adjoint à droite, nous savons déjà qu’il transforme une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) de faisceaux abéliens sur \(\mathcal{C}\) en une suite exacte \[0 \to f_*\mathcal{F}_1 \to f_*\mathcal{F}_2 \to f_*\mathcal{F}_3\] voir Catégories, sections 0033 et 0036, ainsi qu’Homologie, section 010M. Il suffit donc de démontrer que l’application \(f_*\mathcal{F}_2 \to f_*\mathcal{F}_3\) est surjective. Si (1) ou (2) est satisfaite, cela découle des définitions. D’après Sites, Lemme 04D6, chacune des propriétés (3) et (4) implique formellement (1), ce qui conclut également dans ces cas.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) un morphisme de sites associé au foncteur continu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\). Supposons que \(u\) soit presque cocontinu. Alors

1. \(f_* : \textit{Ab}(\mathcal{D}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) est exact.

2. si l’on se donne \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \to \mathcal{O}_\mathcal{D}\) de sorte que \(f\) devienne un morphisme de sites annelés, alors \(f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) est exact.

Démonstration

La partie (2) résulte de la partie (1) par le Lemme 03DB. La partie (1) résulte de Sites, Lemmes 04BA et 04D6.

Exactitude de l’adjoint à gauche

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur entre sites. Supposons que

1. \(u\) soit cocontinu, et

2. \(u\) soit continu.

Soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos associé à \(u\), voir Sites, Lemme 00XO. Rappelons que \(g^{-1} = u^p\), c’est-à-dire que \(g^{-1}\) est donné par la formule simple \((g^{-1}\mathcal{G})(U) = \mathcal{G}(u(U))\), voir Sites, Lemme 00XR. Nous voulons montrer que \(g^{-1} : \textit{Ab}(\mathcal{D}) \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\) admet un adjoint à gauche \(g_!\). D’après Sites, Lemme 00XR, le foncteur \(g^{Sh}_! = (u_p\ )^\#\) est un adjoint à gauche sur les faisceaux d’ensembles. De plus, nous savons que \(g^{Sh}_!\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[V \longmapsto \colim_{V \to u(U)} \mathcal{F}(U)\] où la colimite est indexée par \((\mathcal{I}_V^u)^{opp}\) et prise dans la catégorie des ensembles. La définition suivante est donc naturelle.

Définition

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) satisfaisant (a) et (b) ci-dessus. Pour \(\mathcal{F} \in \textit{PAb}(\mathcal{C})\), nous définissons \(g_{p!}\mathcal{F}\) comme le préfaisceau \[V \longmapsto \colim_{V \to u(U)} \mathcal{F}(U)\] où les colimites sur \((\mathcal{I}_V^u)^{opp}\) sont prises dans \(\textit{Ab}\). Pour \(\mathcal{F} \in \textit{PAb}(\mathcal{C})\), nous posons \(g_!\mathcal{F} = (g_{p!}\mathcal{F})^\#\).

Nous sommes si explicites parce que les foncteurs \(g^{Sh}_!\) et \(g_!\) sont différents. Lorsque nous les utilisons tous deux, il faut soigneusement les distinguer.

Lemme

Le foncteur \(g_{p!}\) est adjoint à gauche du foncteur \(u^p\). Le foncteur \(g_!\) est adjoint à gauche du foncteur \(g^{-1}\). Autrement dit, les formules \[\begin{align*} \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, u^p\mathcal{G}) & = \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{D})}(g_{p!}\mathcal{F}, \mathcal{G}), \\ \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, g^{-1}\mathcal{G}) & = \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{D})}(g_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) \end{align*}\] sont bifonctorielles en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

Démonstration

La seconde formule résulte formellement de la première, car si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont des faisceaux abéliens, alors \[\begin{align*} \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{C})}(\mathcal{F}, g^{-1}\mathcal{G}) & = \Mor_{\textit{PAb}(\mathcal{D})}(g_{p!}\mathcal{F}, \mathcal{G}) \\ & = \Mor_{\textit{Ab}(\mathcal{D})}(g_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) \end{align*}\] par la propriété universelle de la faisceautisation.

Pour démontrer la première formule, soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des préfaisceaux abéliens. Nous construirons des applications du groupe de gauche vers celui de droite et omettrons de vérifier qu’elles sont inverses l’une de l’autre.

Il existe une application canonique de préfaisceaux abéliens \(\mathcal{F} \to u^pg_{p!}\mathcal{F}\) qui, sur les sections au-dessus de \(U\), est l’application naturelle \(\mathcal{F}(U) \to \colim_{u(U) \to u(U')} \mathcal{F}(U')\), voir Sites, Lemme 00VD. Étant donnée une application \(\alpha : g_{p!}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), nous obtenons \(u^p\alpha : u^pg_{p!}\mathcal{F} \to u^p\mathcal{G}\), que nous pouvons précomposer par l’application \(\mathcal{F} \to u^pg_{p!}\mathcal{F}\).

Il existe une application canonique de préfaisceaux abéliens \(g_{p!}u^p\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) qui, sur les sections au-dessus de \(V\), est l’application naturelle \(\colim_{V \to u(U)} \mathcal{G}(u(U)) \to \mathcal{G}(V)\). Elle envoie une section \(s \in u(U)\) dans le facteur correspondant à \(t : V \to u(U)\) sur \(t^*s \in \mathcal{G}(V)\). Ainsi, étant donnée une application \(\beta : \mathcal{F} \to u^p\mathcal{G}\), nous obtenons une application \(g_{p!}\beta : g_{p!}\mathcal{F} \to g_{p!}u^p\mathcal{G}\), que nous pouvons postcomposer par l’application \(g_{p!}u^p\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) ci-dessus.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Supposons que

1. \(u\) soit cocontinu,

2. \(u\) soit continu, et

3. les produits fibrés et les égalisateurs existent dans \(\mathcal{C}\) et \(u\) commute à ces constructions.

Dans ce cas, le foncteur \(g_! : \textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}(\mathcal{D})\) est exact.

Démonstration

Comparer avec Sites, Lemme 00XS. Supposons (a), (b) et (c). Nous savons déjà que \(g_!\) est exact à droite puisqu’il est un adjoint à gauche, voir Catégories, Lemme 0039, et Homologie, section 010M. Nous avons \(g_! = (g_{p!}\ )^\#\). Il faut montrer que \(g_!\) transforme les applications injectives de faisceaux abéliens en applications injectives de préfaisceaux abéliens. Rappelons que la faisceautisation des préfaisceaux abéliens est exacte, voir Lemme 03CO. Il suffit donc de montrer que \(g_{p!}\) transforme les applications injectives de préfaisceaux abéliens en applications injectives de préfaisceaux abéliens. Pour cela, il suffit que les colimites sur les catégories \((\mathcal{I}_V^u)^{opp}\) de Sites, section 00VC transforment les applications injectives entre diagrammes en injections. Cela résulte de Sites, Lemme 00X4, et d’Algèbre, Lemme 04B0.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur. Supposons que

1. \(u\) soit cocontinu,

2. \(u\) soit continu, et

3. \(u\) soit pleinement fidèle.

Pour \(g_!, g^{-1}, g_*\) comme ci-dessus, les applications canoniques \(\mathcal{F} \to g^{-1}g_!\mathcal{F}\) et \(g^{-1}g_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) sont des isomorphismes pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

L’application \(g^{-1}g_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme d’après Sites, Lemme 00XT, et puisque les images inverse et directe des faisceaux abéliens coïncident avec celles de leurs faisceaux d’ensembles sous-jacents.

Choisissons \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Nous allons montrer que \(g^{-1}g_!\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(U)\). Remarquons d’abord que \(g^{-1}g_!\mathcal{F}(U) = g_!\mathcal{F}(u(U))\). Il suffit donc de montrer que \(g_!\mathcal{F}(u(U)) = \mathcal{F}(U)\). Nous savons que \(g_!\mathcal{F}\) est le faisceau abélien associé au préfaisceau \(g_{p!}\mathcal{F}\) défini par la règle \[V \longmapsto \colim_{V \to u(U')} \mathcal{F}(U')\] où la colimite est prise dans \(\textit{Ab}\). Si \(V = u(U)\), alors, puisque \(u\) est pleinement fidèle, cette colimite est indexée par les \(U \to U'\). Nous en concluons que \(g_{p!}\mathcal{F}(u(U) = \mathcal{F}(U)\). Comme \(u\) est cocontinu et continu, tout recouvrement de \(u(U)\) dans \(\mathcal{D}\) peut être raffiné par un recouvrement (!) \(\{u(U_i) \to u(U)\}\) de \(\mathcal{D}\), où \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}\). Il s’ensuit également que \((g_{p!}\mathcal{F})^+(u(U)) = \mathcal{F}(U)\), car, dans la colimite qui définit la valeur de \((g_{p!}\mathcal{F})^+\) en \(u(U)\), nous pouvons nous restreindre au système cofinal des recouvrements \(\{u(U_i) \to u(U)\}\) ci-dessus. Ainsi \((g_{p!}\mathcal{F})^+(u(U)) = \mathcal{F}(U)\) pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). En répétant encore une fois cet argument, nous obtenons \((g_{p!}\mathcal{F})^\#(u(U)) = \mathcal{F}(U)\) pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), d’où l’égalité cherchée \(g^{-1}g_!\mathcal{F} = \mathcal{F}\).

Remarque

En général, le foncteur \(g_!\) ne s’étend pas aux catégories de modules lorsque \(g\) est (une partie d’)un morphisme de topos annelés. En effet, pour tout homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), le foncteur \(M \mapsto B \otimes_A M\) admet un adjoint à droite (la restriction des scalaires), mais n’admet pas en général d’adjoint à gauche, car l’existence de celui-ci impliquerait que \(A \to B\) est plat. Nous verrons à la section 03DH qu’il est possible de définir \(j_!\) sur les faisceaux de modules dans le cas d’une localisation de sites. Nous en discuterons avec une plus grande généralité à la section 0796.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos associé à un foncteur continu et cocontinu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\).

1. Si \(u\) admet un adjoint à gauche \(w\), alors \(g_!\) et \(g_!^{\Sh}\) coïncident sur les faisceaux d’ensembles sous-jacents et \(g_!\) est exact.

2. Si, de plus, \(w\) est cocontinu, alors \(g_! = h^{-1}\) et \(g^{-1} = h_*\), où \(h : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) est le morphisme de topos associé à \(w\).

Démonstration

Ce lemme est l’analogue de Sites, Lemme 08NH. D’après Sites, Lemme 09VQ, les catégories \(\mathcal{I}_V^u\) possèdent un objet initial. L’ensemble sous-jacent à la colimite d’un système de groupes abéliens sur \((\mathcal{I}_V^u)^{opp}\) est donc la colimite des ensembles sous-jacents. Il s’ensuit que \(g_!^{\Sh}\) et \(g_!\) coïncident, compte tenu de notre construction de \(g_!\) dans la Définition 04BF. L’exactitude et (2) résultent immédiatement des assertions correspondantes de Sites, Lemme 08NH.

Types globaux de modules

Définition

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules.

1. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module libre si \(\mathcal{F}\) est isomorphe, comme \(\mathcal{O}\)-module, à un faisceau de la forme \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}\).

2. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est libre de rang fini si \(\mathcal{F}\) est isomorphe, comme \(\mathcal{O}\)-module, à un faisceau de la forme \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}\) avec \(I\) fini.

3. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales s’il existe une surjection \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{F}\] depuis un \(\mathcal{O}\)-module libre vers \(\mathcal{F}\).

4. Pour \(r \geq 0\), nous disons que \(\mathcal{F}\) est engendré par \(r\) sections globales s’il existe une surjection \(\mathcal{O}^{\oplus r} \to \mathcal{F}\).

5. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est engendré par un nombre fini de sections globales s’il est engendré par \(r\) sections globales pour un certain \(r \geq 0\).

6. Nous disons que \(\mathcal{F}\) admet une présentation globale s’il existe une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{F} \longrightarrow 0\] de \(\mathcal{O}\)-modules.

7. Nous disons que \(\mathcal{F}\) admet une présentation globale finie s’il existe une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{F} \longrightarrow 0\] de \(\mathcal{O}\)-modules avec \(I\) et \(J\) finis.

Remarquons que, pour tout ensemble \(I\), la somme directe \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}\) existe (Lemme 03DB) et est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}(U)\). Ce module est appelé le \(\mathcal{O}\)-module libre sur l’ensemble \(I\).

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module.

1. Si \(\mathcal{F}\) est libre, alors \(f^*\mathcal{F}\) est libre.

2. Si \(\mathcal{F}\) est libre de rang fini, alors \(f^*\mathcal{F}\) est libre de rang fini.

3. Si \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales, alors \(f^*\mathcal{F}\) l’est aussi.

4. Si \(r \geq 0\) et si \(\mathcal{F}\) est engendré par \(r\) sections globales, alors \(f^*\mathcal{F}\) est engendré par \(r\) sections globales.

5. Si \(\mathcal{F}\) est engendré par un nombre fini de sections globales, alors \(f^*\mathcal{F}\) l’est aussi.

6. Si \(\mathcal{F}\) admet une présentation globale, alors \(f^*\mathcal{F}\) en admet une.

7. Si \(\mathcal{F}\) admet une présentation globale finie, alors \(f^*\mathcal{F}\) en admet une.

Démonstration

Cela est vrai parce que \(f^*\) commute aux colimites quelconques (Lemme 03DC) et que \(f^*\mathcal{O}_\mathcal{D} = \mathcal{O}_\mathcal{C}\).

Propriétés intrinsèques des modules

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux de modules sur les topos annelés. Nous disons que \(\mathcal{P}\) est une propriété intrinsèque si \(\mathcal{P}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow \mathcal{P}(f^*\mathcal{F})\) chaque fois que \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est une équivalence de topos annelés. Par exemple, la propriété d’être libre est intrinsèque. En effet, le \(\mathcal{O}\)-module libre sur l’ensemble \(I\) est caractérisé par la propriété \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}, \mathcal{F}) = \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}(\{*\}, \mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F}\) variable dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). On peut aussi utiliser le Lemme 03DF pour voir que la liberté est intrinsèque. En fait, chacune des propriétés définies dans la Définition 03DE est intrinsèque pour la même raison. Comment définirons-nous d’autres propriétés intrinsèques des \(\mathcal{O}\)-modules ?

La conséquence du Lemme 03CR est la suivante. Supposons que l’on veuille définir une propriété intrinsèque \(\mathcal{P}\) d’un \(\mathcal{O}\)-module sur un topos. On peut procéder comme suit :

1. Pour tout site \(\mathcal{C}\), tout faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}\) sur \(\mathcal{C}\) et tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\), définir la propriété correspondante \(\mathcal{P}(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{F})\).

2. Pour toute paire de sites \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{C}'\), tout foncteur cocontinu spécial \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\), tout faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}\) sur \(\mathcal{C}\) et tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\), montrer que \[\mathcal{P}(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{F}) \Leftrightarrow \mathcal{P}(\mathcal{C}', g_*\mathcal{O}, g_*\mathcal{F})\] où \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\) est l’équivalence de topos associée à \(u\).

Dans ce cas, étant donnés un topos annelé \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) et un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), nous disons simplement que \(\mathcal{F}\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) si \(\mathcal{P}(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{F})\) est vraie. Le Lemme 03CR, combiné à (2), garantit que cette définition est indépendante des choix.

De plus, le même Lemme 03CR garantit que si, en outre,

1. pour tout morphisme de sites annelés \((f, f^\sharp) : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) tel que \(f\) soit donné par un foncteur \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) satisfaisant les hypothèses de Sites, Proposition 00X6, et pour tout \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module \(\mathcal{G}\), on ait \[\mathcal{P}(\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D}, \mathcal{F}) \Rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}, f^*\mathcal{F})\]

alors \(\mathcal{P}\) est préservée par image inverse des modules suivant les morphismes arbitraires de topos annelés.

Dans les sections suivantes, nous utiliserons cette méthode pour montrer que les propriétés suivantes sont intrinsèques : être localement libre, être localement engendré par des sections, être localement engendré par \(r\) sections, être de type fini, être de présentation finie, être quasi-cohérent, et être cohérent.

Une méthode peut-être plus satisfaisante consisterait à donner une définition intrinsèque de ces notions, plutôt qu’à suivre la procédure laborieuse esquissée ici. Cependant, dans de nombreuses situations géométriques où nous voulons appliquer ces définitions, un site annelé précis et un faisceau de modules précis nous sont donnés ; il est alors utile de disposer d’une définition déjà adaptée à ce langage.

Localisation de sites annelés

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Nous exposons dans ce cadre les analogues des résultats de Sites, section 00XZ.

Notons \(\mathcal{O}_U = j_U^{-1}\mathcal{O}\) la restriction de \(\mathcal{O}\) au site \(\mathcal{C}/U\). Elle est décrite par la règle simple \(\mathcal{O}_U(V/U) = \mathcal{O}(V)\). Avec cette notation, le morphisme de localisation \(j_U\) devient un morphisme de topos annelés \[(j_U, j_U^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\] à savoir que l’on prend pour \(j_U^\sharp : j_U^{-1}\mathcal{O} \to \mathcal{O}_U\) l’application identique. On obtient en outre les descriptions suivantes de l’image directe et de l’image inverse des modules.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\).

1. Le site annelé \((\mathcal{C}/U, \mathcal{O}_U)\) est appelé la localisation du site annelé \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) en l’objet \(U\).

2. Le morphisme de topos annelés \((j_U, j_U^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est appelé le morphisme de localisation.

3. Le foncteur \(j_{U*} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) est appelé le foncteur image directe.

4. Pour un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), le faisceau \(j_U^*\mathcal{F}\) est appelé la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(\mathcal{C}/U\). Nous le noterons parfois \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U}\), voire \(\mathcal{F}|_U\). Il est décrit par la règle simple \(j_U^*(\mathcal{F})(X/U) = \mathcal{F}(X)\).

5. L’adjoint à gauche \(j_{U!} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) de la restriction est appelé prolongement par zéro. Il existe et est exact d’après les Lemmes 03DI et 03DJ.

Comme dans le cas topologique, voir Faisceaux, section 009Z, le foncteur de prolongement par zéro \(j_{U!}\) diffère du prolongement par l’ensemble vide \(j_{U!}\) défini sur les faisceaux d’ensembles. Voici le lemme qui définit le prolongement par zéro.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Le foncteur de restriction \(j_U^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) a un adjoint à gauche \(j_{U!} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\). Ainsi, \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{G}, j_U^*\mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(j_{U!}\mathcal{G}, \mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) et \(\mathcal{G} \in \Ob(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U))\). De plus, le prolongement par zéro \(j_{U!}\mathcal{G}\) de \(\mathcal{G}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[V \longmapsto \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\] muni des applications de restriction évidentes et de la structure évidente de \(\mathcal{O}\)-module.

Démonstration

La structure de \(\mathcal{O}\)-module sur le préfaisceau est définie comme suit. Si \(f \in \mathcal{O}(V)\) et \(s \in \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\), on pose \(f \cdot s = fs\), où \(f \in \mathcal{O}_U(\varphi : V \to U) = \mathcal{O}(V)\) (car \(\mathcal{O}_U\) est la restriction de \(\mathcal{O}\) à \(\mathcal{C}/U\)).

De même, soit \(\alpha : \mathcal{G} \to \mathcal{F}|_U\) un morphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules. On peut alors définir une application du préfaisceau du lemme dans \(\mathcal{F}\) en envoyant \[\bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U) \longrightarrow \mathcal{F}(V)\] selon la règle qui à \(s \in \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\) associe \(\alpha(s) \in \mathcal{F}(V)\). Cette application est clairement \(\mathcal{O}\)-linéaire et induit donc un morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules \(\alpha' : j_{U!}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) par les propriétés de la faisceautisation des modules (Lemme 03CY).

Réciproquement, soit \(\beta : j_{U!}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules. Rappelons d’après Sites, section 00XZ, qu’il existe un prolongement par l’ensemble vide \(j^{Sh}_{U!} : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{C})\) sur les faisceaux d’ensembles, adjoint à gauche de \(j_U^{-1}\). De plus, \(j^{Sh}_{U!}\mathcal{G}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[V \longmapsto \coprod\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\] Il existe donc une application naturelle \(j^{Sh}_{U!}\mathcal{G} \to j_{U!}\mathcal{G}\) de faisceaux d’ensembles. En précomposant \(\beta\) avec cette application, on obtient une application de faisceaux d’ensembles \(j^{Sh}_{U!}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) qui correspond par adjonction à une application de faisceaux d’ensembles \(\beta' : \mathcal{G} \to \mathcal{F}|_U\). Nous affirmons que \(\beta'\) est \(\mathcal{O}_U\)-linéaire. Supposons en effet que \(\varphi : V \to U\) soit un objet de \(\mathcal{C}/U\) et que \(s, s' \in \mathcal{G}(\varphi : V \to U)\), et \(f \in \mathcal{O}(V) = \mathcal{O}_U(\varphi : V \to U)\). La discussion précédente montre alors que \(\beta'(s + s')\), resp. \(\beta'(fs)\) dans \(\mathcal{F}|_U(\varphi : V \to U)\), correspond à \(\beta(s + s')\), resp. \(\beta(fs)\) dans \(\mathcal{F}(V)\). On conclut puisque \(\beta\) est un homomorphisme.

Pour achever la preuve du lemme, il reste à montrer que les constructions \(\alpha \mapsto \alpha'\) et \(\beta \mapsto \beta'\) sont inverses l’une de l’autre. Nous omettons les vérifications.

Notons que, dans la situation de la Définition 04IX, on a [0G1V]\[\begin{equation} \Hom_\mathcal{O}(j_{U!}\mathcal{O}_U, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U, j_U^*\mathcal{F}) = \mathcal{F}(U) \end{equation}\] pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\). En effet, la première égalité résulte de l’adjonction entre \(j_{U!}\) et \(j_U^*\), et la seconde du fait que \(\Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{O}_U, j_U^*\mathcal{F}) = j_U^*\mathcal{F}(U/U) = \mathcal{F}|_U(U/U) = \mathcal{F}(U)\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Le foncteur \(j_{U!} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) est exact.

Démonstration

Puisque \(j_{U!}\) est adjoint à gauche de \(j_U^*\), il est exact à droite (voir Catégories, Lemme 0039 et Homology, section 010M). Il suffit donc de montrer que, si \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) est un morphisme injectif de \(\mathcal{O}_U\)-modules, alors \(j_{U!}\mathcal{G}_1 \to j_{U!}\mathcal{G}_2\) est injectif. Le morphisme sur les sections des préfaisceaux au-dessus d’un objet \(V\) (comme dans le Lemme 03DI) est \[\bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}_1(V \xrightarrow{\varphi} U) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}_2(V \xrightarrow{\varphi} U)\] qui est injectif par hypothèse. La faisceautisation étant exacte d’après le Lemme 03EI, on en conclut que \(j_{U!}\mathcal{G}_1 \to j_{U!}\mathcal{G}_2\) est injectif.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Un complexe de \(\mathcal{O}_U\)-modules \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2 \to \mathcal{G}_3\) est exact si et seulement si \(j_{U!}\mathcal{G}_1 \to j_{U!}\mathcal{G}_2 \to j_{U!}\mathcal{G}_3\) est exact comme suite de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Nous savons déjà que \(j_{U!}\) est exact, voir le Lemme 03DJ. Il suffit donc de montrer que \(j_{U!} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) reflète les injections et les surjections.

Pour tout \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\), on dispose de l’unité \(\mathcal{G} \to j_U^*j_{U!}\mathcal{G}\) de l’adjonction. Nous affirmons que cette application est une injection de faisceaux. En examinant la construction du Lemme 03DI, on voit en effet qu’elle est la faisceautisation de la règle qui associe à l’objet \(V/U\) de \(\mathcal{C}/U\) l’application injective \[\mathcal{G}(V/U) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\] donnée par l’inclusion du facteur correspondant au morphisme structural \(V \to U\). L’affirmation résulte alors de l’exactitude de la faisceautisation. Nous omettons quelques détails.

Si \(\mathcal{G} \to \mathcal{G}'\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules tel que \(j_{U!}\mathcal{G} \to j_{U!}\mathcal{G}'\) soit injectif, alors \(j_U^*j_{U!}\mathcal{G} \to j_U^*j_{U!}\mathcal{G}'\) est injectif (la restriction est exacte), donc \(\mathcal{G} \to j_U^*j_{U!}\mathcal{G}'\) est injectif, et par suite \(\mathcal{G} \to \mathcal{G}'\) est injectif. Ainsi \(j_{U!}\) reflète les injections.

Soit \(a : \mathcal{G} \to \mathcal{G}'\) un morphisme de \(\mathcal{O}_U\)-modules tel que \(j_{U!}\mathcal{G} \to j_{U!}\mathcal{G}'\) soit surjectif. Soit \(\mathcal{H}\) le conoyau de \(a\). Alors \(j_{U!}\mathcal{H} = 0\), puisque \(j_{U!}\) est exact. D’après ce qui précède, l’application \(\mathcal{H} \to j^*_U j_{U!}\mathcal{H}\) est injective. Ainsi \(\mathcal{H} = 0\), comme voulu.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(f : V \to U\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Il existe alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}/V), \mathcal{O}_V) \ar[rd]_{(j_V, j_V^\sharp)} \ar[rr]_{(j, j^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \ar[ld]^{(j_U, j_U^\sharp)} \\ & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) & }\] dans la catégorie des topos annelés. Ici \((j, j^\sharp)\) est le morphisme de localisation associé à l’objet \(V/U\) du site annelé \((\mathcal{C}/V, \mathcal{O}_V)\).

Démonstration

Le seul point à vérifier est que \(j_V^\sharp = j^\sharp \circ j^{-1}(j_U^\sharp)\), car tout le reste résulte directement de Sites, Lemme 03EH, et Sites, Équation (04IK). Nous omettons la vérification de cette égalité.

Remarque

Dans la situation du Lemme 03DI, le diagramme \[\xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \ar[r]_{j_{U!}} \ar[d]_{forget} & \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{forget} \\ \textit{Ab}(\mathcal{C}/U) \ar[r]^{j^{Ab}_{U!}} & \textit{Ab}(\mathcal{C}) }\] est commutatif. Cela résulte clairement de la description explicite du foncteur \(j_{U!}\) donnée dans le lemme.

Remarque

Localisation et préfaisceaux de modules ; voir Sites, Remarque 0494. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). À proprement parler, les foncteurs \(j_U^*\), \(j_{U*}\) et \(j_{U!}\) n’ont pas été définis pour les préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. On peut cependant considérer un préfaisceau comme un faisceau pour la topologie chaotique sur \(\mathcal{C}\) (voir Sites, Exemples 07GE). On obtient donc aussi un foncteur \[j_U^* : \textit{PMod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_U)\] et des foncteurs \[j_{U*}, j_{U!} : \textit{PMod}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O})\] qui sont respectivement adjoint à droite et adjoint à gauche de \(j_U^*\). En examinant la preuve du Lemme 03DI, on voit que \(j_{U!}\mathcal{G}\) est le préfaisceau \[V \longmapsto \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U)\] En outre, le foncteur \(j_{U!}\) est exact (d’après le Lemme 03DJ, appliqué aux topologies discrètes). Si de plus \(\mathcal{C}\) est un site et \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux, alors le diagramme \[\xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{O}_U) \ar[r]_{j_{U!}} \ar[d]_{forget} & \textit{Mod}(\mathcal{O}) \\ \textit{PMod}(\mathcal{O}_U) \ar[r]^{j_{U!}} & \textit{PMod}(\mathcal{O}) \ar[u]_{(\ )^\#} }\] est commutatif.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site et \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Supposons que tout \(X\) de \(\mathcal{C}\) admette au plus un morphisme vers \(U\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}/U\). Les applications canoniques \(\mathcal{F} \to j_U^{-1}j_{U!}\mathcal{F}\) et \(j_U^{-1}j_{U*}\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) sont des isomorphismes.

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 077I, car l’hypothèse sur \(U\) équivaut à la pleine fidélité du foncteur de localisation \(\mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\).

Localisation des morphismes de sites annelés

Cette section est l’analogue de Sites, section 04I8.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \longrightarrow (\mathcal{D}, \mathcal{O}')\) un morphisme de sites annelés, où \(f\) est donné par le foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\) et posons \(U = u(V)\). Il existe alors une application canonique de faisceaux d’anneaux \((f')^\sharp\) telle que le diagramme du Lemme 03CF de Sites devienne un diagramme commutatif de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \ar[rr]_{(j_U, j_U^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D}/V), \mathcal{O}'_V) \ar[rr]^{(j_V, j_V^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}'). }\] De plus, dans cette situation, on a \(f'_*j_U^{-1} = j_V^{-1}f_*\) et \(f'_*j_U^* = j_V^*f_*\).

Démonstration

Il suffit de prendre pour \((f')^\sharp\) l’application \[(f')^{-1}\mathcal{O}'_V = (f')^{-1}j_V^{-1}\mathcal{O}' = j_U^{-1}f^{-1}\mathcal{O}' \xrightarrow{j_U^{-1}f^\sharp} j_U^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}_U\] et tout le reste résulte de Sites, Lemme 03CF. (Notons que \(j^{-1} = j^*\) sur les faisceaux de modules lorsque \(j\) est un morphisme de localisation ; la première égalité de foncteurs implique donc la seconde.)

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \longrightarrow (\mathcal{D}, \mathcal{O}')\) un morphisme de sites annelés, où \(f\) est donné par le foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soient \(V \in \Ob(\mathcal{D})\), \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(c : U \to u(V)\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Il existe un diagramme commutatif de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \ar[rr]_{(j_U, j_U^\sharp)} \ar[d]_{(f_c, f_c^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D}/V), \mathcal{O}'_V) \ar[rr]^{(j_V, j_V^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}'). }\] Le morphisme \((f_c, f_c^\sharp)\) est égal au composé du morphisme \[(f', (f')^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}/u(V)), \mathcal{O}_{u(V)}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D}/V), \mathcal{O}'_V)\] du Lemme 04J0 et du morphisme \[(j, j^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \to (\Sh(\mathcal{C}/u(V)), \mathcal{O}_{u(V)})\] du Lemme 04IY. Étant donnés des morphismes \(b : V' \to V\), \(a : U' \to U\) et \(c' : U' \to u(V')\) tels que \[\xymatrix{ U' \ar[r]_-{c'} \ar[d]_a & u(V') \ar[d]^{u(b)} \\ U \ar[r]^-c & u(V) }\] soit commutatif, le diagramme suivant de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}/U'), \mathcal{O}_{U'}) \ar[rr]_{(j_{U'/U}, j_{U'/U}^\sharp)} \ar[d]_{(f_{c'}, f_{c'}^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \ar[d]^{(f_c, f_c^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D}/V'), \mathcal{O}'_{V'}) \ar[rr]^{(j_{V'/V}, j_{V'/V}^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{D}/V), \mathcal{O}'_{V'}) }\] est commutatif.

Démonstration

Au niveau des morphismes de topos, c’est le Lemme 04IN de Sites. Pour vérifier que les diagrammes commutent comme diagrammes de morphismes de topos annelés, on utilise les Lemmes 04IY et 04J0, exactement comme dans la preuve du Lemme 04IN de Sites.

Localisation de topos annelés

Cette section est l’analogue de Sites, section 04GY dans le cadre des topos annelés.

Lemme

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Soit \(\mathcal{F} \in \Sh(\mathcal{C})\) un faisceau. Pour tout faisceau \(\mathcal{H}\) sur \(\mathcal{C}\), notons \(\mathcal{H}_\mathcal{F}\) le faisceau \(\mathcal{H} \times \mathcal{F}\), considéré comme objet de la catégorie \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\). Le couple \((\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F})\) est un topos annelé et il existe un morphisme canonique de topos annelés \[(j_\mathcal{F}, j_\mathcal{F}^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\] qui est une localisation au sens de la section 03DH et tel que

1. le foncteur \(j_\mathcal{F}^{-1}\) est le foncteur \(\mathcal{H} \mapsto \mathcal{H}_\mathcal{F}\),

2. le foncteur \(j_\mathcal{F}^*\) est le foncteur \(\mathcal{H} \mapsto \mathcal{H}_\mathcal{F}\),

3. le foncteur \(j_{\mathcal{F}!}\) sur les faisceaux d’ensembles est le foncteur d’oubli \(\mathcal{G}/\mathcal{F} \mapsto \mathcal{G}\),

4. le foncteur \(j_{\mathcal{F}!}\) sur les faisceaux de modules associe au \(\mathcal{O}_\mathcal{F}\)-module \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) le \(\mathcal{O}\)-module qui est la faisceautisation du préfaisceau \[V \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{F}(V)} \{\sigma \in \mathcal{G}(V) \mid \varphi(\sigma) = s \}\] pour \(V \in \Ob(\mathcal{C})\).

Démonstration

D’après le Lemme 04GZ de Sites, \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\) est un topos et (1) et (3) sont vrais. En particulier, cela montre que \(j_\mathcal{F}^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}_\mathcal{F}\) et que \(\mathcal{O}_\mathcal{F}\) est un faisceau d’anneaux. On peut donc choisir pour \(j_\mathcal{F}^\sharp\) l’application identique ; en particulier, (2) est vrai. De plus, la preuve du Lemme 04GZ de Sites montre que l’on peut supposer que \(\mathcal{C}\) est un site admettant toutes les limites finies et muni d’une topologie sous-canonique, et que \(\mathcal{F} = h_U\) pour un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Alors (4) résulte de la description de \(j_{\mathcal{F}!}\) au Lemme 03DI. On pourrait aussi montrer directement que le foncteur décrit en (4) est adjoint à gauche de \(j_\mathcal{F}^*\).

Définition

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Soit \(\mathcal{F} \in \Sh(\mathcal{C})\).

1. Le topos annelé \((\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F})\) est appelé la localisation du topos annelé \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) en \(\mathcal{F}\).

2. Le morphisme de topos annelés \((j_\mathcal{F}, j_\mathcal{F}^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) of Lemme 04IE est appelé le morphisme de localisation.

Conformément à l’usage établi dans le chapitre sur les sites, nous vérifions, chaque fois que cela a un sens, que les constructions de localisation des topos sont compatibles avec celles des sites.

Lemme

Soient \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) et \(\mathcal{F} \in \Sh(\mathcal{C})\) comme dans le Lemme 04IE. Si \(\mathcal{F} = h_U^\#\) pour un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), alors, via l’identification \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{C})/h_U^\#\) of Sites, Lemme 00Y1 on a

1. canoniquement \(\mathcal{O}_U = \mathcal{O}_\mathcal{F}\), et

2. sous ces identifications, \((j_\mathcal{F}, j_\mathcal{F}^\sharp) = (j_U, j_U^\sharp)\).

Démonstration

L’assertion concernant les topos sous-jacents est le Lemme 04IQ de Sites. Notons que \(\mathcal{O}_U\) est la restriction de \(\mathcal{O}\) qui, d’après Sites, Lemme 03EE correspond à \(\mathcal{O} \times h_U^\#\) sous l’équivalence fournie par Sites, Lemme 00Y1. La définition de \(\mathcal{O}_\mathcal{F}\) donne (1). Il reste à prouver que \(j_\mathcal{F}^\sharp = j_U^\sharp\) sous cette identification. Nous omettons la vérification.

La localisation est fonctorielle de deux manières : on peut « relocaliser » une localisation (voir le Lemme 04J4) ou, étant donné un morphisme de topos annelés, localiser en haut en l’image inverse d’un faisceau d’en bas et obtenir un diagramme commutatif de topos annelés (voir le Lemme 04IF).

Lemme

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Si \(s : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est un morphisme de faisceaux sur \(\mathcal{C}\), il existe un diagramme commutatif naturel de morphismes de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{G}, \mathcal{O}_\mathcal{G}) \ar[rd]_{(j_\mathcal{G}, j_\mathcal{G}^\sharp)} \ar[rr]_{(j, j^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \ar[ld]^{(j_\mathcal{F}, j_\mathcal{F}^\sharp)} \\ & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) & }\] où \((j, j^\sharp)\) est le morphisme de localisation du topos annelé \((\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F})\) en l’objet \(\mathcal{G}/\mathcal{F}\).

Démonstration

Toutes les assertions résultent de Sites, Lemme 04IR excepté l’assertion \(j_\mathcal{G}^\sharp = j^\sharp \circ j^{-1}(j_\mathcal{F}^\sharp)\). Nous omettons la vérification.

Lemme

Soient \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) et \(s : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) comme dans le Lemme 04J4. S’il existe un morphisme \(f : V \to U\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{G} = h_V^\#\), \(\mathcal{F} = h_U^\#\) et que \(s\) soit induit par \(f\), alors les diagrammes du Lemme 04IY et du Lemme 04J4 coïncident via les identifications \((j_\mathcal{F}, j_\mathcal{F}^\sharp) = (j_U, j_U^\sharp)\) et \((j_\mathcal{G}, j_\mathcal{G}^\sharp) = (j_V, j_V^\sharp)\) du Lemme 04J3.

Démonstration

Toutes les assertions résultent de Sites, Lemme 04IS excepté l’assertion selon laquelle les deux applications \(j^\sharp\) coïncident. Elle est vraie puisque, dans les deux cas, \(j^\sharp\) est simplement l’identité. Nous omettons quelques détails.

Localisation des morphismes de topos annelés

Cette section est l’analogue de Sites, section 04IT.

Lemme

Soit \[f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\] soit un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{D}\). Posons \(\mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{G}\). Il existe alors un diagramme commutatif de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \ar[rr]_{(j_\mathcal{F}, j_\mathcal{F}^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}, \mathcal{O}'_\mathcal{G}) \ar[rr]^{(j_\mathcal{G}, j_\mathcal{G}^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') }\] On a \(f'_*j_\mathcal{F}^{-1} = j_\mathcal{G}^{-1}f_*\) et \(f'_*j_\mathcal{F}^* = j_\mathcal{G}^*f_*\). De plus, le morphisme \(f'\) est caractérisé par la règle \[(f')^{-1}(\mathcal{H} \xrightarrow{\varphi} \mathcal{G}) = (f^{-1}\mathcal{H} \xrightarrow{f^{-1}\varphi} \mathcal{F}).\]

Démonstration

Le Lemme 04H1 de Sites donne le diagramme des topos sous-jacents, l’égalité \(f'_*j_\mathcal{F}^{-1} = j_\mathcal{G}^{-1}f_*\) et la description de \((f')^{-1}\). Pour définir \((f')^\sharp\), on utilise l’application \[(f')^\sharp : \mathcal{O}'_\mathcal{G} = j_\mathcal{G}^{-1} \mathcal{O}' \xrightarrow{j_\mathcal{G}^{-1}f^\sharp} j_\mathcal{G}^{-1} f_*\mathcal{O} = f'_* j_\mathcal{F}^{-1}\mathcal{O} = f'_* \mathcal{O}_\mathcal{F}\] ou, de manière équivalente, l’application \[(f')^\sharp : (f')^{-1}\mathcal{O}'_\mathcal{G} = (f')^{-1}j_\mathcal{G}^{-1} \mathcal{O}' = j_\mathcal{F}^{-1}f^{-1}\mathcal{O}' \xrightarrow{j_\mathcal{F}^{-1}f^\sharp} j_\mathcal{F}^{-1} \mathcal{O} = \mathcal{O}_\mathcal{F}.\] Nous omettons la vérification que ces deux applications sont bien adjointes. La seconde construction de \((f')^\sharp\) montre que le diagramme commute dans la \(2\)-catégorie des topos annelés (car les applications \(j_\mathcal{F}^\sharp\) et \(j_\mathcal{G}^\sharp\) sont des identités). Enfin, l’égalité \(f'_*j_\mathcal{F}^* = j_\mathcal{G}^*f_*\) résulte de \(f'_*j_\mathcal{F}^{-1} = j_\mathcal{G}^{-1}f_*\) et du fait que les images inverses de faisceaux de modules et de faisceaux d’ensembles coïncident, voir le Lemme 04IE.

Lemme

Soit \[f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\] soit un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{D}\). Posons \(\mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{G}\). Si \(f\) est donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) et \(\mathcal{G} = h_V^\#\), alors les diagrammes commutatifs du Lemme 04J0 et du Lemme 04IF coïncident via les identifications du Lemme 04J3.

Démonstration

Au niveau des morphismes de topos, c’est le Lemme 04IU de Sites. Cela vaut aussi au niveau des morphismes de topos annelés puisque les formules qui définissent \((f')^\sharp\) dans les preuves du Lemme 04J0 et du Lemme 04IF coïncident.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) soit un morphisme de topos annelés. Soient \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{D}\), \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\) et \(s : \mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\) un morphisme de faisceaux. Il existe un diagramme commutatif de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \ar[rr]_{(j_\mathcal{F}, j_\mathcal{F}^\sharp)} \ar[d]_{(f_c, f_c^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}, \mathcal{O}'_\mathcal{G}) \ar[rr]^{(j_\mathcal{G}, j_\mathcal{G}^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}'). }\] Le morphisme \((f_s, f_s^\sharp)\) est égal au composé du morphisme \[(f', (f')^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C})/f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{O}_{f^{-1}\mathcal{G}}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D})/{\mathcal{G}}, \mathcal{O}'_\mathcal{G})\] du Lemme 04IF et du morphisme \[(j, j^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \to (\Sh(\mathcal{C})/f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{O}_{f^{-1}\mathcal{G}})\] du Lemme 04J4. Étant donnés des morphismes \(b : \mathcal{G}' \to \mathcal{G}\), \(a : \mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) et \(s' : \mathcal{F}' \to f^{-1}\mathcal{G}'\) tels que \[\xymatrix{ \mathcal{F}' \ar[r]_-{s'} \ar[d]_a & f^{-1}\mathcal{G}' \ar[d]^{f^{-1}b} \\ \mathcal{F} \ar[r]^-s & f^{-1}\mathcal{G} }\] soit commutatif, le diagramme suivant de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}', \mathcal{O}_{\mathcal{F}'}) \ar[rr]_{(j_{\mathcal{F}'/\mathcal{F}}, j_{\mathcal{F}'/\mathcal{F}}^\sharp)} \ar[d]_{(f_{s'}, f_{s'}^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \ar[d]^{(f_s, f_s^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}', \mathcal{O}'_{\mathcal{G}'}) \ar[rr]^{(j_{\mathcal{G}'/\mathcal{G}}, j_{\mathcal{G}'/\mathcal{G}}^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}, \mathcal{O}'_{\mathcal{G}'}) }\] est commutatif.

Démonstration

Au niveau des morphismes de topos, c’est le Lemme 04IV de Sites. Pour vérifier que les diagrammes commutent comme diagrammes de morphismes de topos annelés, on utilise les diagrammes commutatifs des Lemmes 04J4 et 04IF.

Lemme

Soient \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\), \(s : \mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\) étant comme dans le Lemme 04J8. Si \(f\) est donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) et si \(\mathcal{G} = h_V^\#\), \(\mathcal{F} = h_U^\#\) et \(s\) provient d’un morphisme \(c : U \to u(V)\), alors les diagrammes commutatifs du Lemme 04J1 et du Lemme 04J8 coïncident via les identifications du Lemme 04J3.

Démonstration

Cela résulte formellement des Lemmes 04J5 et 04J7.

Propriétés locales des modules

Conformément à la stratégie générale expliquée à la section 03DG, nous définissons d’abord les propriétés locales des faisceaux de modules sur un site annelé, puis montrons aussitôt qu’elles sont intrinsèques et ont donc un sens pour les faisceaux de modules sur les topos annelés.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Nous utiliserons librement les notions définies dans la Définition 03DE.

1. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement libre si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module libre.

2. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement libre de rang fini si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module libre de rang fini.

3. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement engendré par des sections si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module engendré par ses sections globales.

4. Étant donné \(r \geq 0\), on dit que \(\mathcal{F}\) est localement engendré par \(r\) sections si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module engendré par \(r\) sections globales.

5. On dit que \(\mathcal{F}\) est de type fini si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module engendré par un nombre fini de sections globales.

6. On dit que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module admettant une présentation globale.

7. On dit que \(\mathcal{F}\) est de présentation finie si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/U_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module admettant une présentation globale finie.

8. On dit que \(\mathcal{F}\) est cohérent si et seulement si \(\mathcal{F}\) est de type fini et si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et tous \(s_1, \ldots, s_n \in \mathcal{F}(U)\), le noyau de l’application \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}|_U\) est de type fini sur \((\mathcal{C}/U, \mathcal{O}_U)\).

Lemme

Chacune des propriétés (1) – (8) de la Définition 03DL est intrinsèque (voir la discussion de la section 03DG).

Démonstration

Soient \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) des sites. Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur cocontinu spécial. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{C}\). Soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) l’équivalence de topos associée à \(u\). Posons \(\mathcal{O}' = g_*\mathcal{O}\) et prenons pour \(g^\sharp : \mathcal{O}' \to g_*\mathcal{O}\) l’identité. Enfin, posons \(\mathcal{F}' = g_*\mathcal{F}\). Soit \(\mathcal{P}_l\) l’une des propriétés (1) – (7) de la Définition 03DL. (Nous traiterons le cas cohérent à la fin de la preuve.) Notons \(\mathcal{P}_g\) la propriété correspondante de la Définition 03DE. Nous avons déjà vu que \(\mathcal{P}_g\) est intrinsèque. Il faut montrer que \(\mathcal{P}_l(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{F})\) est vraie si et seulement si \(\mathcal{P}_l(\mathcal{D}, \mathcal{O}', \mathcal{F}')\) est vraie.

Supposons que \(\mathcal{F}\) possède la propriété \(\mathcal{P}_l\). Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\). L’une des propriétés d’un foncteur cocontinu spécial assure l’existence d’un recouvrement \(\{u(U_i) \to V\}_{i \in I}\) dans le site \(\mathcal{D}\). Par hypothèse, pour chaque \(i\), il existe un recouvrement \(\{U_{ij} \to U_i\}_{j \in J_i}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{U_{ij}}\) possède la propriété \(\mathcal{P}_g\). D’après Sites, Lemme 03CH on a des diagrammes commutatifs de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}/U_{ij}), \mathcal{O}_{U_{ij}}) \ar[r] \ar[d] & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[d] \\ (\Sh(\mathcal{D}/u(U_{ij})), \mathcal{O}'_{u(U_{ij})}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') }\] où les flèches verticales sont des équivalences. Ainsi \(\mathcal{F}'|_{u(U_{ij})}\) possède aussi la propriété \(\mathcal{P}_g\). De plus, \(\{u(U_{ij}) \to V\}_{i \in I, j \in J_i}\) est un recouvrement du site \(\mathcal{D}\). Par conséquent, \(\mathcal{F}'\) possède la propriété \(\mathcal{P}_l\).

Supposons que \(\mathcal{F}'\) possède la propriété \(\mathcal{P}_l\). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{V_i \to u(U)\}_{i \in I}\) tel que \(\mathcal{F}'|_{V_i}\) possède la propriété \(\mathcal{P}_g\). Puisque \(u\) est cocontinu, on peut raffiner ce recouvrement par une famille \(\{u(U_j) \to u(U)\}_{j \in J}\), où \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}\). Notons que le raffinement est donné par \(\alpha : J \to I\) et par des morphismes \(u(U_j) \to V_{\alpha(j)}\). La restriction est transitive, c’est-à-dire \((\mathcal{F}'|_{V_{\alpha(j)}})|_{u(U_j)} = \mathcal{F}'|_{u(U_j)}\). Le Lemme 03DF montre donc que \(\mathcal{F}'|_{u(U_j)}\) possède la propriété \(\mathcal{P}_g\). Ainsi, le diagramme \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}/U_j), \mathcal{O}_{U_j}) \ar[r] \ar[d] & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[d] \\ (\Sh(\mathcal{D}/u(U_j)), \mathcal{O}'_{u(U_j)}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') }\] où les flèches verticales sont des équivalences montre que \(\mathcal{F}|_{U_j}\) possède aussi la propriété \(\mathcal{P}_g\). Ainsi \(\mathcal{F}\) possède la propriété \(\mathcal{P}_l\), comme voulu.

Enfin, prouvons le lemme dans le cas \(\mathcal{P}_l = coherent\)². Supposons \(\mathcal{F}\) cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est de type fini, et la première partie de la preuve montre que \(\mathcal{F}'\) l’est aussi. Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\) et soient \(s_1, \ldots, s_n \in \mathcal{F}'(V)\). Il faut montrer que le noyau \(\mathcal{K}'\) of \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_V \to \mathcal{F}'|_V\) soit de type fini sur \(\mathcal{D}/V\). Il faut donc montrer que, pour tout \(V'/V\), il existe un recouvrement \(\{V'_i \to V'\}\) tel que \(\mathcal{F}'|_{V'_i}\) soit engendré par un nombre fini de sections. En remplaçant \(V\) par \(V'\) (et en restreignant les sections \(s_j\) à \(V'\)), on se ramène au cas \(V' = V\). Puisque \(u\) est un foncteur cocontinu spécial, il existe un recouvrement \(\{u(U_i) \to V\}_{i \in I}\) dans le site \(\mathcal{D}\). En utilisant l’isomorphisme de topos \(\Sh(\mathcal{C}/U_i) = \Sh(\mathcal{D}/u(U_i))\) on voit que \(\mathcal{K}'|_{u(U_i)}\) correspond au noyau \(\mathcal{K}_i\) d’un morphisme \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{U_i} \to \mathcal{F}|_{U_i}\). La cohérence de \(\mathcal{F}\) montre que \(\mathcal{K}_i\) est de type fini. On en conclut (en appliquant à nouveau la première partie de la preuve) que \(\mathcal{K}|_{u(U_i)}\) est de type fini. Il existe donc des recouvrements \(\{V_{il} \to u(U_i)\}\) tels que \(\mathcal{K}|_{V_{il}}\) soit engendré par un nombre fini de sections globales. Comme \(\{V_{il} \to V\}\) est un recouvrement de \(\mathcal{D}\), on conclut que \(\mathcal{K}\) est de type fini, comme voulu.

Supposons \(\mathcal{F}'\) cohérent. Alors \(\mathcal{F}'\) est de type fini et, d’après la première partie de la preuve, \(\mathcal{F}\) l’est aussi. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soient \(s_1, \ldots, s_n \in \mathcal{F}(U)\). Il faut montrer que le noyau \(\mathcal{K}\) of \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_U \to \mathcal{F}|_U\) est de type fini sur \(\mathcal{C}/U\). En utilisant l’isomorphisme de topos \(\Sh(\mathcal{C}/U) = \Sh(\mathcal{D}/u(U))\) on voit que \(\mathcal{K}|_U\) correspond au noyau \(\mathcal{K}'\) d’un morphisme \(\bigoplus_{j = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_{u(U)} \to \mathcal{F}'|_{u(U)}\). Comme \(\mathcal{F}'\) est cohérent, \(\mathcal{K}'\) est de type fini. La première partie de la preuve montre alors que \(\mathcal{K}\) est de type fini.

Désormais, nous pouvons donc parler des propriétés des \(\mathcal{O}\)-modules définies dans la Définition 03DL sans préciser de site.

Lemme

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Supposons que le site \(\mathcal{C}\) admette un objet final \(X\). Alors

1. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est localement libre ;

   2. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement libre ;

   3. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module libre.

2. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est localement libre de rang fini ;

   2. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement libre de rang fini ;

   3. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module libre de rang fini.

3. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est localement engendré par des sections ;

   2. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement engendré par des sections ;

   3. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module engendré par ses sections globales.

4. Étant donné \(r \geq 0\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est localement engendré par \(r\) sections ;

   2. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement engendré par \(r\) sections ;

   3. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module engendré par \(r\) sections globales.

5. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est de type fini ;

   2. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module de type fini ;

   3. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module engendré par un nombre fini de sections globales.

6. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent ;

   2. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module quasi-cohérent ;

   3. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module admettant une présentation globale.

7. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est de présentation finie ;

   2. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module de présentation finie ;

   3. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module admettant une présentation globale finie.

8. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{F}\) est cohérent ;

   2. il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) dans \(\mathcal{C}\) tel que chaque restriction \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module cohérent.

Démonstration

Dans chaque cas, (a) \(\Rightarrow (b)\). Dans chacun des cas (1) – (6), la condition (b) implique la condition (c) par l’axiome (2) d’un site (voir Sites, Définition 00VH) et par la définition des propriétés locales des modules. Supposons que \(\{X_i \to X\}\) soit un recouvrement. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), on obtient alors le recouvrement induit \(\{X_i \times_X U \to U\}\). De plus, la propriété globale de \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i}\) dans (c) implique, d’après le Lemme 03DF, la propriété globale correspondante de \(\mathcal{F}|_{\mathcal{C}/X_i \times_X U}\) ; le faisceau possède donc par définition la propriété (a). Nous omettons la preuve de (b) \(\Rightarrow\) (a) dans le cas (7).

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) soit un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module.

1. Si \(\mathcal{F}\) est localement libre, alors \(f^*\mathcal{F}\) est localement libre.

2. Si \(\mathcal{F}\) est localement libre de rang fini, alors \(f^*\mathcal{F}\) est localement libre de rang fini.

3. Si \(\mathcal{F}\) est localement engendré par des sections, alors \(f^*\mathcal{F}\) est localement engendré par des sections.

4. Si \(\mathcal{F}\) est localement engendré par \(r\) sections, alors \(f^*\mathcal{F}\) est localement engendré par \(r\) sections.

5. Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, alors \(f^*\mathcal{F}\) est de type fini.

6. Si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, alors \(f^*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent.

7. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(f^*\mathcal{F}\) est de présentation finie.

Démonstration

Selon la discussion de la section 03DG, il suffit de vérifier la conservation par image inverse pour un morphisme de sites annelés \((f, f^\sharp) : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) tel que \(f\) soit donné par un foncteur exact à gauche et continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) entre des sites admettant toutes les limites finies. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules possédant l’une des propriétés (1) – (6) de la Définition 03DL. Nous savons que \(\mathcal{D}\) admet un objet final \(Y\) et que \(X = u(Y)\) est un objet final de \(\mathcal{C}\). Par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{Y_i \to Y\}\) tel que \(\mathcal{G}|_{\mathcal{D}/Y_i}\) possède la propriété globale correspondante. Posons \(X_i = u(Y_i)\) ; alors \(\{X_i \to X\}\) est un recouvrement dans \(\mathcal{C}\). On obtient un diagramme commutatif de morphismes de sites annelés \[\xymatrix{ (\mathcal{C}/X_i, \mathcal{O}_\mathcal{C}|_{X_i}) \ar[r] \ar[d] & (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d] \\ (\mathcal{D}/Y_i, \mathcal{O}_\mathcal{D}|_{Y_i}) \ar[r] & (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] d’après Sites, Lemme 03EF. Le Lemme 03DF montre donc que \(f^*\mathcal{G}|_{X_i}\) possède la propriété globale correspondante. Le Lemme 03DN permet alors de conclure que \(\mathcal{G}\) possède la propriété locale considérée.

Résultats élémentaires sur les propriétés locales des modules

Voici quelques lemmes élémentaires relatifs aux définitions précédentes.

Lemme

Soit \((\mathcal{C},\mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module de présentation finie. Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules. Si \(\mathcal{G}\) est de type fini, alors \(\Coker(\varphi)\) est de présentation finie.

Démonstration

La preuve est omise. Indication : voir Modules, Lemme 0H96.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\theta : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un morphisme surjectif de \(\mathcal{O}\)-modules, où \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et \(\mathcal{G}\) de type fini. Alors \(\Ker(\theta)\) est de type fini.

Démonstration

La preuve est omise. Indication : voir Modules, Lemme 01BP.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie considérée comme un site muni de la topologie chaotique, voir Sites, Exemple 07GE. Soient \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Alors \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent si et seulement si, pour tout \(U \to V\) dans \(\mathcal{C}\), l’application canonique \[\mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] est un isomorphisme.

Démonstration

Supposons \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent et soit \(U \to V\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Comme tout recouvrement de \(V\) est donné par un isomorphisme, la Définition 03DL donne une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_V \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_V \longrightarrow \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/V} \longrightarrow 0\] La topologie sur \(\mathcal{C}\) étant chaotique, la prise des sections sur tout objet de \(\mathcal{C}\) est exacte. On obtient donc une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}(V) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(V) \longrightarrow 0\] de \(\mathcal{F}(V)\) comme \(\mathcal{O}(V)\)-module, et de même pour \(\mathcal{F}(U)\). Cela montre aisément que l’application affichée dans l’énoncé du lemme est un isomorphisme.

Supposons que l’application affichée dans l’énoncé du lemme soit un isomorphisme pour tout morphisme \(U \to V\) de \(\mathcal{C}\). Fixons \(V\) et choisissons une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}(V) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(V) \longrightarrow 0\] de \(\mathcal{F}(V)\) comme \(\mathcal{O}(V)\)-module. L’hypothèse sur \(\mathcal{F}\) signifie exactement que la suite correspondante \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O}_V \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_V \longrightarrow \mathcal{F}|_{\mathcal{C}/V} \longrightarrow 0\] est exacte, d’où l’on conclut que \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie considérée comme un site muni de la topologie chaotique, voir Sites, Exemple 07GE. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Supposons que, pour tout \(U \to V\) dans \(\mathcal{C}\), l’application de restriction \(\mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U)\) soit un homomorphisme plat d’anneaux. Alors la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules quasi-cohérents est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Démonstration

Nous allons vérifier la définition d’une sous-catégorie de Serre faible, voir Homology, Définition 02MO. Pour cela, nous utiliserons la caractérisation des modules quasi-cohérents donnée au Lemme 0GZN. Considérons une suite exacte \[\mathcal{F}_0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_4\] dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\), où \(\mathcal{F}_0\), \(\mathcal{F}_1\), \(\mathcal{F}_3\) et \(\mathcal{F}_4\) sont quasi-cohérents. Soit \(U \to V\) un morphisme de \(\mathcal{C}\) et considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix@C=1em{ {\scriptstyle \mathcal{F}_0(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)} \ar[r] \ar[d] & {\scriptstyle \mathcal{F}_1(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)} \ar[r] \ar[d] & {\scriptstyle \mathcal{F}_2(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)} \ar[r] \ar[d] & {\scriptstyle \mathcal{F}_3(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)} \ar[r] \ar[d] & {\scriptstyle \mathcal{F}_4(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U)} \ar[d] \\ {\scriptstyle \mathcal{F}_0(U)} \ar[r] & {\scriptstyle \mathcal{F}_1(U)} \ar[r] & {\scriptstyle \mathcal{F}_2(U)} \ar[r] & {\scriptstyle \mathcal{F}_3(U)} \ar[r] & {\scriptstyle \mathcal{F}_4(U)} }\] Par hypothèse, les flèches verticales d’indices \(0\), \(1\), \(3\), \(4\) sont des isomorphismes. Comme la topologie sur \(\mathcal{C}\) est chaotique, la prise des sections sur un objet de \(\mathcal{C}\) est exacte ; la ligne inférieure est donc exacte. Comme \(\mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U)\) est plat, la ligne supérieure est elle aussi exacte. Le lemme des \(5\) permet alors de conclure que la flèche du milieu est un isomorphisme (Homology, Lemme 05QB).

Immersions fermées de topos annelés

Quand doit-on déclarer qu’un morphisme de topos annelés \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) est une immersion fermée ? Par analogie avec la discussion de Modules, section 01C1, il semble naturel de supposer au moins que :

1. le foncteur \(i\) est une immersion fermée de topos (Sites, Définition 08M0).

2. l’application associée \(\mathcal{O}' \to i_*\mathcal{O}\) est surjective.

Ces conditions impliquent déjà plusieurs résultats satisfaisants, que nous examinons dans cette section. Il paraît toutefois prudent de ne pas définir formellement la notion d’immersion fermée de topos annelés, car plusieurs définitions différentes seraient possibles.

Lemme

Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Supposons que \(i\) soit une immersion fermée de topos et que \(i^\sharp : \mathcal{O}' \to i_*\mathcal{O}\) soit surjectif. Notons \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}'\) le noyau de \(i^\sharp\). Le foncteur \[i_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}')\] est exact et pleinement fidèle ; son image essentielle est formée des \(\mathcal{O}'\)-modules \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\).

Démonstration

Le Lemme 04DB et Sites, Lemme 08M1 montrent que \(i_*\) est exact. Puisque \(i_*\) est pleinement fidèle sur les faisceaux d’ensembles et que \(i^\sharp\) est surjectif, \(i_*\) est pleinement fidèle comme foncteur \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}')\). En effet, supposons que \(\alpha : i_*\mathcal{F}_1 \to i_*\mathcal{F}_2\) soit un morphisme de \(\mathcal{O}'\)-modules. La pleine fidélité de \(i_*\) fournit une application \(\beta : \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2\) de faisceaux d’ensembles. Pour montrer que \(\beta\) est un morphisme de modules, il faut vérifier que \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{F}_1 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}_1 \ar[d] \\ \mathcal{O} \times \mathcal{F}_2 \ar[r] & \mathcal{F}_2 }\] est commutatif. Il suffit de le vérifier après application de \(i_*\). Considérons \[\xymatrix{ \mathcal{O}' \times i_*\mathcal{F}_1 \ar[r] \ar[d] & i_*\mathcal{O} \times i_*\mathcal{F}_1 \ar[r] \ar[d] & i_*\mathcal{F}_1 \ar[d] \\ \mathcal{O}' \times i_*\mathcal{F}_2 \ar[r] & i_*\mathcal{O} \times i_*\mathcal{F}_2 \ar[r] & i_*\mathcal{F}_2 }\] Le rectangle extérieur est commutatif. La conclusion résulte de la surjectivité de \(i^\sharp\).

Pour achever la preuve, il reste à établir l’assertion sur l’image essentielle de \(i_*\). Il est clair que \(i_*\mathcal{F}\) est annulé par \(\mathcal{I}\) pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\). Réciproquement, soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}'\)-module tel que \(\mathcal{I}\mathcal{G} = 0\). Par définition d’un sous-topos fermé, il existe un sous-faisceau \(\mathcal{U}\) de l’objet final de \(\mathcal{D}\) tel que l’image essentielle de \(i_*\) sur les faisceaux d’ensembles soit la classe des faisceaux d’ensembles \(\mathcal{H}\) pour lesquels \(\mathcal{H} \times \mathcal{U} \to \mathcal{U}\) est un isomorphisme. En particulier, \(i_*\mathcal{O} \times \mathcal{U} = \mathcal{U}\), ce qui implique \(\mathcal{I} \times \mathcal{U} = \mathcal{O} \times \mathcal{U}\). Notre module \(\mathcal{G}\) satisfait donc \(\mathcal{G} \times \mathcal{U} = \{0\} \times \mathcal{U} = \mathcal{U}\) (car le module nul est isomorphe à l’objet final de la catégorie des faisceaux d’ensembles). Il existe donc un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) tel que \(i_*\mathcal{F} = \mathcal{G}\). Comme \(i_*\) est pleinement fidèle sur les faisceaux d’ensembles, pour définir l’addition \(\mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) et la multiplication \(\mathcal{O} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\), il suffit d’utiliser l’addition \[\mathcal{G} \times \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}\] (dont on dispose puisque \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}'\)-module) et la multiplication \[i_*\mathcal{O} \times \mathcal{G} \to \mathcal{G}\] dont on dispose car la multiplication par \(\mathcal{O}'\) annule \(\mathcal{I}\) par hypothèse et \(i_*\mathcal{O} = \mathcal{O}'/\mathcal{I}\). Par construction, \(\mathcal{G}\) est isomorphe à l’image directe du \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\) ainsi construit.

Produit tensoriel

Dans les sections 03CS et 03CX, nous avons défini le foncteur de changement d’anneaux au moyen d’un produit tensoriel. Cette construction permet aussi de définir le produit tensoriel de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Plus précisément, supposons que \(\mathcal{C}\) soit une catégorie, \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux et \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. On définit alors \(\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}\) comme le préfaisceau \[U \longmapsto (\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G})(U) = \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{G}(U)\] Si \(\mathcal{C}\) est un site, \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux et \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules, on pose \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} = (\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G})^\#\] qui est le faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules associé au préfaisceau \(\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}\).

Voici quelques formules que nous utiliserons plus loin sans autre mention : \[(\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}) \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{H} = \mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} (\mathcal{G} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{H}),\] et de même pour les faisceaux. Si \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) est un morphisme de préfaisceaux d’anneaux, alors \[(\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}) \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{O}_2 = (\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{O}_2) \otimes_{p, \mathcal{O}_2} (\mathcal{G} \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{O}_2),\] et de même pour les faisceaux. Ces formules résultent de leurs analogues algébriques et de la faisceautisation.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Alors \(\mathcal{F}^\# \otimes_{\mathcal{O}^\#} \mathcal{G}^\#\) est égal à \((\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G})^\#\).

Démonstration

La preuve est omise. Indication : utiliser la caractérisation du produit tensoriel par les applications bilinéaires donnée ci-dessous, ainsi que la propriété universelle de la faisceautisation.

Soit \(\mathcal{C}\) un site, soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux et soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(\mathcal{H}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. On pose \[\text{Bilin}_\mathcal{O}(\mathcal{F} \times \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \{\varphi \in \Mor_{\Sh(\mathcal{C})}( \mathcal{F} \times \mathcal{G}, \mathcal{H}) \mid \varphi \text{ est }\mathcal{O}\text{-bilinéaire}\}.\] Avec cette définition, on a \[\Hom_\mathcal{O} (\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \text{Bilin}_\mathcal{O}(\mathcal{F} \times \mathcal{G}, \mathcal{H}).\] Autrement dit, \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) représente le foncteur qui associe à \(\mathcal{H}\) l’ensemble des applications bilinéaires \(\mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{H}\). En particulier, puisque la notion d’application bilinéaire a un sens pour une paire de modules sur un topos annelé, le produit tensoriel de faisceaux de modules est intrinsèque au topos (comparer la discussion de la section 03DG). On a en fait le résultat suivant.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules. Alors \(f^*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{G}) = f^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*\mathcal{G}\) fonctoriellement en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Pour tout faisceau \(\mathcal{H}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules, on a \[\begin{align*} \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( f^*(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}), \mathcal{H}) & = \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}, f_*\mathcal{H}) \\ & = \text{Bilin}_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( \mathcal{F} \times \mathcal{G}, f_*\mathcal{H}) \\ & = \text{Bilin}_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}}( f^{-1}\mathcal{F} \times f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{H}) \\ & = \Hom_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}}( f^{-1}\mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{H}) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( f^*\mathcal{F} \otimes_{f^*\mathcal{O}_\mathcal{D}} f^*\mathcal{G}, \mathcal{H}) \end{align*}\] Le symbole « \(=\) » intéressant de cette chaîne correspond à la troisième égalité. Elle résulte directement de la définition et de l’adjonction entre \(f_*\) et \(f^{-1}\) (discutée dans les sections précédentes).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont localement libres, alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) l’est aussi.

2. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont localement libres de rang fini, alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) l’est aussi.

3. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont localement engendrés par des sections, alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) l’est aussi.

4. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont de type fini, alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) l’est aussi.

5. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont quasi-cohérents, alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) l’est aussi.

6. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont de présentation finie, alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) l’est aussi.

7. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et \(\mathcal{G}\) cohérent, alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) est cohérent.

8. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont cohérents, alors \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) l’est aussi.

Démonstration

La preuve est omise. Indication : comparer avec Faisceaux de modules, Lemme 01CE.

Hom interne

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Considérons la règle \[U \longmapsto \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U).\] Pour \(\varphi : V \to U\) dans \(\mathcal{C}\), on définit une application de restriction \[\Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_V)\] en restreignant par le morphisme de relocalisation \(j : \mathcal{C}/V \to \mathcal{C}/U\), voir Sites, Lemme 03EH. Cela définit donc un préfaisceau \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\). De plus, étant donnés \(\varphi \in \Hom_{\mathcal{O}|_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\) et une section \(f \in \mathcal{O}(U)\), on peut définir \(f\varphi \in \Hom_{\mathcal{O}|_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\) soit en précomposant par la multiplication par \(f\) sur \(\mathcal{F}|_U\), soit en postcomposant par la multiplication par \(f\) sur \(\mathcal{G}|_U\) (le résultat est le même). On obtient donc en fait un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Il existe un morphisme canonique d’évaluation \[\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \mathcal{G}.\]

Lemme

Si \(\mathcal{C}\) est un site, \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux, \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules et \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules, alors \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

La preuve est omise. Indications : noter d’abord que \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\), ce qui ramène au cas où \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont tous deux des faisceaux. Le résultat pour les faisceaux d’ensembles est Sites, Lemme 04TQ.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Alors la formation de \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) commute à la restriction à \(U\), pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition.

Remarque

Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de sites annelés. Soient \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules. Il existe une application canonique \[f^*\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})\] Cette application est en effet adjointe à l’application \[\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow f_*\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})\] définie comme suit. Supposons que \(f\) soit donné par le foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Sur les sections au-dessus de \(V \in \Ob(\mathcal{D})\), on utilise l’application \[\begin{align*} \Gamma(V, \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})) & = \Hom_{\mathcal{O}_V}(\mathcal{F}|_V, \mathcal{G}|_V) \\ & \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_{u(V)}}(f^*\mathcal{F}|_{u(V)}, f^*\mathcal{G}|_{u(V)}) \\ & = \Gamma(u(V), \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})) \\ & = \Gamma(V, f_*\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})) \end{align*}\] où, pour la flèche, on utilise l’image inverse par le morphisme \((\mathcal{C}/u(V), \mathcal{O}_{u(V)}) \to (\mathcal{D}/V, \mathcal{O}_V)\) induit par \(f\).

Dans la situation du Lemme 03EM, le morphisme d’évaluation se factorise par le produit tensoriel de faisceaux de modules \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \mathcal{G}.\]

Lemme

Hom interne et (co)limites. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux.

1. Pour tout préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), le foncteur \[\textit{PMod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}) , \quad \mathcal{G} \longmapsto \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] commute aux limites arbitraires.

2. Pour tout préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{G}\), le foncteur \[\textit{PMod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O})^{opp} , \quad \mathcal{F} \longmapsto \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] commute aux colimites arbitraires ; en formule, \[\SheafHom_\mathcal{O}(\colim_i \mathcal{F}_i, \mathcal{G}) = \lim_i \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G}).\]

Supposons que \(\mathcal{C}\) soit un site et \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux.

1. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}) , \quad \mathcal{G} \longmapsto \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] commute aux limites arbitraires.

2. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{G}\), le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O})^{opp} , \quad \mathcal{F} \longmapsto \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] commute aux colimites arbitraires ; en formule, \[\SheafHom_\mathcal{O}(\colim_i \mathcal{F}_i, \mathcal{G}) = \lim_i \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}_i, \mathcal{G}).\]

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \to \textit{PMod}(\mathcal{O})\), \(i \mapsto \mathcal{G}_i\), un diagramme. Soit \(U\) un objet de la catégorie \(\mathcal{C}\). Comme \(j_U^*\) est à la fois adjoint à gauche et à droite, on a \(\lim_i j_U^*\mathcal{G}_i = j_U^* \lim_i \mathcal{G}_i\). Par conséquent, \[\begin{align*} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \lim_i \mathcal{G}_i)(U) & = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \lim_i \mathcal{G}_i|_U) \\ & = \lim_i \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}_i|_U) \\ & = \lim_i \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_i)(U) \end{align*}\] par définition d’une limite. Cela prouve (1). La preuve de (2) est exactement la même. L’assertion (3) résulte de (1), car la limite d’un diagramme de faisceaux est la même que sa limite dans la catégorie des préfaisceaux. Enfin, (4) résulte du fait que, dans la formule, on a \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \colim_i \mathcal{F}_i, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \colim^{PSh}_i \mathcal{F}_i, \mathcal{G})\] car la colimite \(\colim_i \mathcal{F}_i\) est la faisceautisation de la colimite \(\colim^{PSh}_i \mathcal{F}_i\) dans \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\). Ainsi (4) résulte de (2) (en utilisant à nouveau la remarque précédente sur les limites).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F} \to 0\) est une suite exacte de \(\mathcal{O}\)-modules, alors \[0 \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}_1, \mathcal{G}) \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}_2, \mathcal{G})\] est exacte.

2. Si \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) est une suite exacte de \(\mathcal{O}\)-modules, alors \[0 \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_1) \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_2)\] est exacte.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 03EN et de Homology, Lemme 010N.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux.

1. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{H}\) des préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Il existe un isomorphisme canonique \[\SheafHom_\mathcal{O} (\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}, \mathcal{H}) \longrightarrow \SheafHom_\mathcal{O} (\mathcal{F}, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\] fonctoriel en ses trois arguments (le Hom est celui des préfaisceaux dans les trois termes). En particulier, \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathcal{F}, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\]

2. Supposons que \(\mathcal{C}\) soit un site, que \(\mathcal{O}\) soit un faisceau d’anneaux et que \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(\mathcal{H}\) soient des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Il existe un isomorphisme canonique \[\SheafHom_\mathcal{O} (\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}, \mathcal{H}) \longrightarrow \SheafHom_\mathcal{O} (\mathcal{F}, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\] fonctoriel en ses trois arguments (le Hom est celui des faisceaux dans les trois termes). En particulier, \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{F}, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\]

Démonstration

Il s’agit de l’analogue de Algèbre, Lemme 00DE. La preuve est la même et est omise.

Lemme

Produit tensoriel et colimites. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux.

1. Pour tout préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), le foncteur \[\textit{PMod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}) , \quad \mathcal{G} \longmapsto \mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}\] commute aux colimites arbitraires.

2. Supposons que \(\mathcal{C}\) soit un site et \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}) , \quad \mathcal{G} \longmapsto \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\] commute aux colimites arbitraires.

Démonstration

Cela tient à ce que le produit tensoriel est adjoint au Hom interne d’après le Lemme 03EO. Voir Catégories, Lemme 0038.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, resp. un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) un morphisme de préfaisceaux, resp. de faisceaux d’anneaux. Alors \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{G}, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}', \mathcal{F}))\] pour tout \(\mathcal{O}'\)-module \(\mathcal{G}\) et tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Il s’agit de l’analogue de Algèbre, Lemme 08YP. La preuve est la même et est omise.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Pour \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\) et \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\), on a \(j_{U!}\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} = j_{U!}(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U)\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{H}\) un objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\). Alors \[\begin{align*} \Hom_\mathcal{O}(j_{U!}(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U), \mathcal{H}) & = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U, \mathcal{H}|_U) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}, \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{H}|_U)) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{G}, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{H})|_U) \\ & = \Hom_\mathcal{O}(j_{U!}\mathcal{G}, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{H})) \\ & = \Hom_\mathcal{O}(j_{U!}\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, \mathcal{H}) \end{align*}\] La première égalité vient de ce que \(j_{U!}\) est adjoint à gauche de la restriction des modules. La deuxième résulte du Lemme 03EO. La troisième résulte du Lemme 0E8H. La quatrième vient à nouveau de ce que \(j_{U!}\) est adjoint à gauche de la restriction des modules. La cinquième résulte du Lemme 03EO. Le lemme découle de ces égalités et du lemme de Yoneda.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\) et considérons le morphisme de localisation \(j : \Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F} \to \Sh(\mathcal{C})\). Voir Sites, Définition 04IP. Nous affirmons que (a) \(j_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#\) et que (b) \(j_!(j^{-1}\mathcal{H}) = j_!\mathbf{Z} \otimes_\mathbf{Z} \mathcal{H}\) pour tout faisceau abélien \(\mathcal{H}\) sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}\). L’assertion (a) résulte du lemme de Yoneda, car \[\Hom(j_!\mathbf{Z}, \mathcal{G}) = \Hom(\mathbf{Z}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Hom(\mathbf{Z}_\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] où la seconde égalité vaut parce que ses deux membres s’identifient à l’ensemble des applications \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), considéré comme groupe abélien. Pour (b), on utilise le lemme de Yoneda et \[\begin{align*} \Hom(j_!(j^{-1}\mathcal{H}), \mathcal{G}) & = \Hom(j^{-1}\mathcal{H}, j^{-1}\mathcal{G}) \\ & = \Hom(\mathbf{Z}, \SheafHom(j^{-1}\mathcal{H}, j^{-1}\mathcal{G})) \\ & = \Hom(\mathbf{Z}, j^{-1}\SheafHom(\mathcal{H}, \mathcal{G})) \\ & = \Hom(j_!\mathbf{Z}, \SheafHom(\mathcal{H}, \mathcal{G})) \\ & = \Hom(j_!\mathbf{Z} \otimes_\mathbf{Z} \mathcal{H}, \mathcal{G}) \end{align*}\] On utilise ici l’adjonction, le fait que la formation de \(\SheafHom\) commute à la localisation, et le Lemme 03EO.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module de présentation finie. Soit \(\mathcal{G} = \colim_{\lambda \in \Lambda} \mathcal{G}_\lambda\) une colimite filtrante de \(\mathcal{O}\)-modules. Alors l’application canonique \[\colim_\lambda \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_\lambda) \longrightarrow \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] est un isomorphisme.

Démonstration

Il suffit de montrer que la flèche devient un isomorphisme après restriction à \(U\), pour tout \(U\) de \(\mathcal{C}\). La formation des colimites de faisceaux de modules et celle du Hom interne commutent toutes deux à la restriction à \(U\). Voir par exemple les Lemmes 03DC et 0E8H. Fixons \(U\). Étant donné un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\), il suffit de prouver que la restriction à chaque \(U_i\) est un isomorphisme. On peut donc supposer que \(\mathcal{F}\) admet une présentation globale \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O} \to \mathcal{F} \to 0\] Le foncteur \(\SheafHom_\mathcal{O}(-, -)\) commute aux sommes directes finies en chacune des variables, et \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{O}, -)\) est le foncteur identité. Avec le Lemme 0GMY, cela donne une suite exacte \[0 \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}\] Comme les colimites filtrantes sont exactes dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) d’après le Lemme 03DB, la ligne supérieure du diagramme commutatif suivant est aussi exacte \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \colim_\lambda \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_\lambda) \ar[r] \ar[d] & \colim_\lambda \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G}_\lambda \ar[r] \ar[d] & \colim_\lambda \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G}_\lambda \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{G} \ar[r] & \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \mathcal{G} }\] On conclut puisque les deux flèches verticales de droite sont des isomorphismes.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{G} = \colim_{\lambda \in \Lambda} \mathcal{G}_\lambda\) une colimite filtrante de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module de présentation finie. Alors on a \[\colim_\lambda \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_\lambda) = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}).\] si les hypothèses de Sites, Lemme 0GMR, partie (4), sont satisfaites pour le site \(\mathcal{C}\) ; voir Sites, Remarque 0GMS.

Démonstration

Posons \(\mathcal{H} = \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \colim \mathcal{G}_\lambda)\) et \(\mathcal{H}_\lambda = \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_\lambda)\). Rappelons que \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{H}) \quad\text{et}\quad \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}_\lambda) = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{H}_\lambda)\] par construction. Le Lemme 0GMZ donne \(\mathcal{H} = \colim \mathcal{H}_\lambda\). Le lemme résulte donc de Sites, Lemme 0GMR.

Modules plats

On peut définir les modules plats exactement comme dans le cas des modules sur un anneau.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux.

1. Un préfaisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}\)-modules est dit plat si le foncteur \[\textit{PMod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}), \quad \mathcal{G} \mapsto \mathcal{G} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{F}\] est exact.

2. Un morphisme \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) de préfaisceaux d’anneaux est dit plat si \(\mathcal{O}'\) est plat comme préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules.

3. Si \(\mathcal{C}\) est un site, si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux et si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules, on dit que \(\mathcal{F}\) est plat si le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}), \quad \mathcal{G} \mapsto \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\] est exact.

4. Un morphisme \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) de faisceaux d’anneaux sur un site est dit plat si \(\mathcal{O}'\) est plat comme faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules.

La notion de module plat ou de morphisme plat d’anneaux est intrinsèque (section 03DG).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie, soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Si chaque \(\mathcal{F}(U)\) est un \(\mathcal{O}(U)\)-module plat, alors \(\mathcal{F}\) est plat.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site, soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(\mathcal{O}\), alors \(\mathcal{F}^\#\) est plat sur \(\mathcal{O}^\#\).

Démonstration

Démonstration omise. (Indication : la faisceautisation est exacte.)

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site, soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux et soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Supposons que tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) admette un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) tel que \(\mathcal{F}(U_i)\) soit un \(\mathcal{O}(U_i)\)-module plat. Alors \(\mathcal{F}^\#\) est un \(\mathcal{O}^\#\)-module plat.

Démonstration

Soit \(\mathcal{G} \subset \mathcal{G}'\) une inclusion de \(\mathcal{O}^\#\)-modules. Il faut montrer que \[\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}^\#} \mathcal{F}^\# \longrightarrow \mathcal{G}' \otimes_{\mathcal{O}^\#} \mathcal{F}^\#\] est injective. D’après le lemme 0GMW, la source de cette flèche est le faisceau associé au préfaisceau \(\mathcal{G} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{F}\), et il en va de même pour la cible. Si \(U\) est un objet de \(\mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{F}(U)\) soit un \(\mathcal{O}(U)\)-module plat, alors \[(\mathcal{G} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{F})(U) = \mathcal{G}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{G}'(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{F}(U) = (\mathcal{G}' \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{F})(U)\] est injective. Il suffit donc d’établir l’assertion suivante : si un morphisme de préfaisceaux \(f : \mathcal{H} \to \mathcal{H}'\) sur \(\mathcal{C}\) est tel que tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) admette un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) pour lequel \(\mathcal{H}(U_i) \to \mathcal{H}'(U_i)\) est injectif, alors \(f^\#\) est injectif. Nous laissons cette vérification au lecteur.

Lemme

Colimites et produit tensoriel.

1. Une colimite filtrante de préfaisceaux de modules plats est plate. Une somme directe de préfaisceaux de modules plats est plate.

2. Une colimite filtrante de faisceaux de modules plats est plate. Une somme directe de faisceaux de modules plats est plate.

Démonstration

La partie (1) découle du lemme 03EP et d’Algèbre, lemme 00DB, en évaluant sur les objets. Pour la partie (2), on utilise le lemme 03EP et le fait qu’une colimite filtrante de complexes exacts est exacte ; cela repose sur l’exactitude de la faisceautisation et sur sa commutation aux colimites. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat, alors \(\mathcal{F}|_U\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module plat.

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2 \to \mathcal{G}_3\) un complexe exact de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Comme \(j_{U!}\) est exact (lemme 03DJ) et que \(\mathcal{F}\) est plat comme \(\mathcal{O}\)-module, le complexe formé des modules \[j_{U!}(\mathcal{G}_i \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U) = j_{U!}\mathcal{G}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\] est exact d’après le lemme 0E8I. On en déduit que \(\mathcal{G}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}_2 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}_3 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U\) est exact par le lemme 0E8G.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie, \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux et \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Considérons le foncteur \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\).

1. Le préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) (voir la remarque 03EJ) est plat.

2. Si \(\mathcal{C}\) est un site, \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux, \(j_{U!}\mathcal{O}_U\) est un faisceau plat de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Preuve de (1). La discussion de la remarque 03EJ donne \[j_{U!}\mathcal{O}_U(V) = \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{O}(V)\] qui est un \(\mathcal{O}(V)\)-module plat. La partie (1) découle donc du lemme 03ES. La partie (2) résulte ensuite de l’égalité \(j_{U!}\mathcal{O}_U = (j_{U!}\mathcal{O}_U)^\#\) (le premier \(j_{U!}\) étant pris sur les faisceaux et le second sur les préfaisceaux) et du lemme 03ET.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux.

1. Tout préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules est quotient d’une somme directe \(\bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\).

2. Tout préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules est quotient d’un préfaisceau plat de \(\mathcal{O}\)-modules.

3. Si \(\mathcal{C}\) est un site et \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux, tout faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules est quotient d’une somme directe \(\bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\).

4. Si \(\mathcal{C}\) est un site et \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux, tout faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules est quotient d’un faisceau plat de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Preuve de (1). Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et toute section \(s \in \mathcal{F}(U)\), on obtient un morphisme \(j_{U!}\mathcal{O}_U \to \mathcal{F}\), adjoint du morphisme \(\mathcal{O}_U \to \mathcal{F}|_U\), \(1 \mapsto s\). L’application \[\bigoplus\nolimits_{(U, s)} j_{U!}\mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{F}\] est surjective. Les lemmes 03EU et 03EV montrent que sa source est plate, ce qui prouve (2). Le cas des faisceaux s’en déduit soit par faisceautisation, soit en répétant le même argument.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux. \[0 \to \mathcal{F}'' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] une suite exacte courte de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules, et soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau plat de modules, alors la suite \[0 \to \mathcal{F}'' \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} \to \mathcal{F}' \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} \to 0\] est exacte.

2. Si \(\mathcal{C}\) est un site, \(\mathcal{O}\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{F}''\), \(\mathcal{G}\) sont des faisceaux et si \(\mathcal{F}\) est plat comme faisceau de modules, alors la suite \[0 \to \mathcal{F}'' \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{F}' \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \to 0\] est exacte.

Démonstration

Choisissons un préfaisceau plat de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{G}'\) surjectant sur \(\mathcal{G}\) ; c’est possible d’après le lemme 03EW. Posons \(\mathcal{G}'' = \Ker(\mathcal{G}' \to \mathcal{G})\). Le résultat s’obtient en appliquant le lemme du serpent au diagramme suivant : \[\begin{matrix} & & 0 & & 0 & & 0 & & \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ & & \mathcal{F}'' \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} & \to & \mathcal{F}' \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} & \to & \mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} & \to & 0 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ 0 & \to & \mathcal{F}'' \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}' & \to & \mathcal{F}' \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}' & \to & \mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}' & \to & 0 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ & & \mathcal{F}'' \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}'' & \to & \mathcal{F}' \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}'' & \to & \mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G}'' & \to & 0 \\ & & & & & & \uparrow & & \\ & & & & & & 0 & & \end{matrix}\] dont les lignes et les colonnes sont exactes. La ligne médiane est exacte parce que le produit tensoriel avec le module plat \(\mathcal{G}'\) est exact. La démonstration dans le cas des faisceaux est identique.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux. \[0 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_0 \to 0\] une suite exacte courte de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules.

1. Si \(\mathcal{F}_2\) et \(\mathcal{F}_0\) sont plats, alors \(\mathcal{F}_1\) l’est aussi.

2. Si \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_0\) sont plats, alors \(\mathcal{F}_2\) l’est aussi.

Si \(\mathcal{C}\) est un site et \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux, le même résultat vaut dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe exact quelconque de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Supposons \(\mathcal{F}_0\) plat. Le lemme 03EX montre que \[0 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{F}_2 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{F}_0 \to 0\] est une suite exacte courte de complexes de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Les assertions (1) et (2) découlent donc du lemme du serpent. Le cas des faisceaux de modules se démontre de la même manière.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}\) une catégorie et \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux. Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_0 \to \mathcal{Q} \to 0\] un complexe exact de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules. Si \(\mathcal{Q}\) et tous les \(\mathcal{F}_i\) sont des \(\mathcal{O}\)-modules plats, alors, pour tout préfaisceau \(\mathcal{G}\) de \(\mathcal{O}\)-modules, le complexe \[\ldots \to \mathcal{F}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_1 \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} \to \mathcal{F}_0 \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{G} \to 0\] est également exact. Si \(\mathcal{C}\) est un site et \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux, le même résultat vaut dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Démonstration

Cela découle du lemme 03EX, en décomposant le complexe en suites exactes courtes et en appliquant le lemme 03EY pour démontrer par récurrence que \(\Im(\mathcal{F}_{i + 1} \to \mathcal{F}_i)\) est plat.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Si \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}\) sont des \(\mathcal{O}\)-modules plats, alors \(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat.

Démonstration

C’est vrai parce que \[(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{H} = \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} (\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{H})\] et une composition de foncteurs exacts est exacte.

Lemme

Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux sur un site \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_1\)-module plat, alors \(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{O}_2\) est un \(\mathcal{O}_2\)-module plat.

Démonstration

C’est vrai parce que \[(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{O}_2) \otimes_{\mathcal{O}_2} \mathcal{H} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{F}\] (par exemple comme faisceaux de groupes abéliens).

Le lemme suivant est l’analogue du critère d’équation de la planéité (Algèbre, lemme 00HK).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat.

2. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \[\mathcal{O}_U \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_n)} \mathcal{O}_U^{\oplus n} \xrightarrow{(s_1, \ldots, s_n)} \mathcal{F}|_U\] un complexe de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Il existe alors un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et, pour chaque \(i\), une factorisation \[\mathcal{O}_{U_i}^{\oplus n} \xrightarrow{B_i} \mathcal{O}_{U_i}^{\oplus l_i} \xrightarrow{(t_{i1}, \ldots, t_{il_i})} \mathcal{F}|_{U_i}\] de \((s_1, \ldots, s_n)|_{U_i}\) telle que \(B_i \circ (f_1, \ldots, f_n)|_{U_i} = 0\).

3. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \[\mathcal{O}_U^{\oplus m} \xrightarrow{A} \mathcal{O}_U^{\oplus n} \xrightarrow{(s_1, \ldots, s_n)} \mathcal{F}|_U\] un complexe de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Il existe alors un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et, pour chaque \(i\), une factorisation \[\mathcal{O}_{U_i}^{\oplus n} \xrightarrow{B_i} \mathcal{O}_{U_i}^{\oplus l_i} \xrightarrow{(t_{i1}, \ldots, t_{il_i})} \mathcal{F}|_{U_i}\] de \((s_1, \ldots, s_n)|_{U_i}\) telle que \(B_i \circ A|_{U_i} = 0\).

Démonstration

Supposons (1). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau d’idéaux engendré par \(f_1, \ldots, f_n\). Alors \(\sum f_j \otimes s_j\) est une section de \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U\) dont l’image dans \(\mathcal{F}|_U\) est nulle. Comme \(\mathcal{F}|_U\) est plat (lemme 0E8J), l’application \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}|_U\) est injective. \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{F}|_U\) est le faisceau associé au préfaisceau produit tensoriel, il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\sum f_j|_{U_i} \otimes s_j|_{U_i}\) soit nul dans \(\mathcal{I}(U_i) \otimes_{\mathcal{O}(U_i)} \mathcal{F}(U_i)\). En explicitant les définitions à l’aide d’Algèbre, lemme 04VX, on trouve \(t_{i1}, \ldots, t_{i l_i} \in \mathcal{F}(U_i)\) et \(a_{ijk} \in \mathcal{O}(U_i)\) de sorte que \(\sum_j a_{ijk}f_j|_{U_i} = 0\) et \(s_j|_{U_i} = \sum_k a_{ijk}t_{ik}\). Ainsi (2) tient.

Supposons (2), et donnons-nous \(U\), \(n\), \(m\), \(A\) et \(s_1, \ldots, s_n\) comme en (3). La matrice \(A\) possède \(m\) colonnes. Nous allons démontrer l’assertion (3) par récurrence sur \(m\). Pour \(m = 0\), on peut prendre le recouvrement \(\{U \to U\}\) et la factorisation \(\mathcal{O}_U^n \to \mathcal{O}_U^n \to \mathcal{F}|_U\), la première flèche étant l’identité et la seconde \((s_1, \ldots, s_n)\). Supposons \(m > 0\). Soit \((f_1, \ldots, f_n)\) la dernière colonne de \(A\) et appliquons (2). On obtient les nouveaux diagrammes \[\mathcal{O}_{U_i}^{\oplus m} \xrightarrow{B_i \circ A|_{U_i}} \mathcal{O}_{U_i}^{\oplus l_i} \xrightarrow{(t_{i1}, \ldots, t_{il_i})} \mathcal{F}|_{U_i}\] dont la dernière colonne de \(A_i = B_i \circ A|_{U_i}\) est nulle. On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à \(U_i\), \(l_i\), \(m - 1\), la matrice composée de la première \(m - 1\) colonnes \(A_i\), \(t_{i1}, \ldots, t_{il_i}\) pour obtenir des recouvrements \(\{U_{ij} \to U_j\}\) et des factorisations \[\mathcal{O}_{U_{ij}}^{\oplus l_i} \xrightarrow{C_{ij}} \mathcal{O}_{U_{ij}}^{\oplus k_{ij}} \xrightarrow{(v_{ij1}, \ldots, v_{ij k_{ij}})} \mathcal{F}|_{U_{ij}}\] de \((t_{i1}, \ldots, t_{il_i})|_{U_{ij}}\) telles que \(C_i \circ B_i|_{U_{ij}} \circ A|_{U_{ij}} = 0\). Alors \(\{U_{ij} \to U\}\) est un recouvrement, et les factorisations cherchées s’obtiennent en prenant \(B_{ij} = C_i \circ B_i|_{U_{ij}}\) et \(v_{ija}\). Cela montre que (2) implique (3).

Supposons (3). Soit \(\mathcal{G} \to \mathcal{H}\) un morphisme injectif de \(\mathcal{O}\)-modules. Il faut montrer que \(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{H} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) est injective. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \(s \in (\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})(U)\) une section dont l’image dans \(\mathcal{H} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) est nulle. Il faut montrer que \(s\) est nulle. Comme \(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) est un faisceau, il suffit de trouver un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(s|_{U_i}\) soit nulle pour tout \(i \in I\). On peut donc remplacer \(U\) par les membres d’un recouvrement. En particulier, puisque \(\mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) est la faisceautisation de \(\mathcal{G} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{F}\) on peut supposer que \(s\) est l’image d’un élément \(s' \in \mathcal{G}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{F}(U)\). En raisonnant de même pour \(\mathcal{H} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\), on peut supposer que l’image de \(s'\) dans \(\mathcal{H}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{F}(U)\) est nulle. Écrivons \(\mathcal{F}(U) = \colim M_\alpha\) comme colimite filtrante de \(\mathcal{O}(U)\)-modules de présentation finie \(M_\alpha\) (Algèbre, lemme 00HA). Puisque le produit tensoriel commute aux colimites filtrantes (Algèbre, lemme 00DD), on peut choisir un \(\alpha\) tel que \(s'\) provienne d’un élément \(s'' \in \mathcal{G}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} M_\alpha\) et que l’image de \(s''\) dans \(\mathcal{H}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} M_\alpha\) soit nulle. Fixons \(\alpha\) et \(s''\), puis choisissons une présentation \[\mathcal{O}(U)^{\oplus m} \xrightarrow{A} \mathcal{O}(U)^{\oplus n} \to M_\alpha \to 0\] Appliquons (3) au complexe correspondant de \(\mathcal{O}_U\)-modules \[\mathcal{O}_U^{\oplus m} \xrightarrow{A} \mathcal{O}_U^{\oplus n} \xrightarrow{(s_1, \ldots, s_n)} \mathcal{F}|_U\] Après avoir remplacé \(U\) par les membres du recouvrement \(U_i\), on obtient que l’application \[M_\alpha \to \mathcal{F}(U)\] se factorise par un module libre \(\mathcal{O}(U)^{\oplus l}\) pour un certain \(l\). Comme \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{H}(U)\) est injective, on en déduit que \[\mathcal{G}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{O}(U)^{\oplus l} \to \mathcal{H}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U)} \mathcal{O}(U)^{\oplus l}\] est également injective. Puisque l’image de \(s''\) dans le module de droite est nulle, son image dans celui de gauche l’est aussi ; autrement dit, \(s\) est nulle, comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\) une surjection de faisceaux d’anneaux dont le noyau \(\mathcal{I}\) est un idéal de carré nul. Soit \(\mathcal{F}'\) un \(\mathcal{O}'\)-module et posons \(\mathcal{F} = \mathcal{F}'/\mathcal{I}\mathcal{F}'\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}'\)-module plat ;

2. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat et \(\mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) est injective.

Démonstration

Si (1) est satisfaite, alors \(\mathcal{F} = \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{O}\) est plat sur \(\mathcal{O}\) d’après le lemme 05V4, et l’application \(\mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) est injective lorsque l’on applique \(- \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F}'\) à la suite exacte \(0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\) ; voir le lemme 03EX. Supposons maintenant (2). Dans la suite, nous utiliserons sans le rappeler l’égalité \(\mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F}' = \mathcal{K} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) pour tout \(\mathcal{O}'\)-module \(\mathcal{K}\) annulé par \(\mathcal{I}\). Soit \(\alpha : \mathcal{G}' \to \mathcal{H}'\) un morphisme injectif de \(\mathcal{O}'\)-modules. Soient \(\mathcal{G} \subset \mathcal{G}'\), respectivement \(\mathcal{H} \subset \mathcal{H}'\), les sous-faisceaux des sections annulées par \(\mathcal{I}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}' \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}'/\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ \mathcal{H} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{H}' \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{H}'/\mathcal{H} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F}' \ar[r] & 0 }\] Notez que \(\mathcal{G}'/\mathcal{G}\) et \(\mathcal{H}'/\mathcal{H}\) sont annulés par \(\mathcal{I}\) et que \(\mathcal{G}'/\mathcal{G} \to \mathcal{H}'/\mathcal{H}\) est injectif. La flèche verticale de droite est donc injective puisque \(\mathcal{F}\) est plat sur \(\mathcal{O}\). Il en va de même de celle de gauche. La flèche verticale médiane est alors injective, et \(\mathcal{F}'\) est plat.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) un morphisme plat de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}\) un faisceau d’idéaux tel que le morphisme induit \(\mathcal{O}/\mathcal{I} \to \mathcal{O}'/\mathcal{I}\mathcal{O}'\) soit un isomorphisme. Pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\) annulé par \(\mathcal{I}^n\) pour un \(n \geq 0\), l’application \(\text{id} \otimes 1 : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}'\) est un isomorphisme.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : voir Compléments sur l’algèbre, lemme 05E9.

Duaux

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. La catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules, munie du produit tensoriel construit à la section 03EK, est une catégorie monoïdale symétrique. Pour un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}\) admet un dual à gauche dans la catégorie monoïdale des \(\mathcal{O}\)-modules ;

2. pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit facteur direct d’un \(\mathcal{O}|_{U_i}\)-module libre de rang fini ;

3. \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et plate comme \(\mathcal{O}\)-module.

Ces équivalences sont établies par l’exemple 0FNY et les lemmes 0FNZ et 08FD de la présente section.

Exemple

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module tel que, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) pour lequel \(\mathcal{F}|_{U_i}\) est facteur direct d’un \(\mathcal{O}|_{U_i}\)-module libre de rang fini. Alors l’application \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{O}) \longrightarrow \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{F})\] est un isomorphisme. En effet, cette assertion est locale ; elle est vraie lorsque \(\mathcal{F}\) est libre de rang fini et reste vraie pour tout facteur direct d’un module pour lequel elle est satisfaite. Nous omettons les détails. Notons \[\eta : \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{O})\] le morphisme qui envoie \(1\) sur la section correspondant à \(\text{id}_\mathcal{F}\) sous l’isomorphisme ci-dessus. Notons également \[\epsilon : \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{O}) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{O}\] le morphisme d’évaluation. On vérifie alors que \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{O}), \eta, \epsilon\) est un dual à gauche de \(\mathcal{F}\) au sens de Catégories, définition 0FFP. Nous omettons la vérification des identités \((1 \otimes \epsilon) \circ (\eta \otimes 1) = \text{id}_\mathcal{F}\) et \((\epsilon \otimes 1) \circ (1 \otimes \eta) = \text{id}_{\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{O})}\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Supposons que \(\mathcal{G}, \eta, \epsilon\) soit un dual à gauche de \(\mathcal{F}\) dans la catégorie monoïdale des \(\mathcal{O}\)-modules ; voir Catégories, définition 0FFP. Alors :

1. pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit facteur direct d’un \(\mathcal{O}|_{U_i}\)-module libre de rang fini ;

2. l’application \(e : \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{O}) \to \mathcal{G}\) qui envoie une section locale \(\lambda\) sur \((\lambda \otimes 1)(\eta)\) est un isomorphisme ;

3. on a \(\epsilon(f, g) = e^{-1}(g)(f)\) pour les sections locales \(f\) et \(g\) de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Les hypothèses signifient que \[\mathcal{F} \xrightarrow{\eta \otimes 1} \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \xrightarrow{1 \otimes \epsilon} \mathcal{F} \quad\text{et}\quad \mathcal{G} \xrightarrow{1 \otimes \eta} \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \xrightarrow{\epsilon \otimes 1} \mathcal{G}\] sont les applications identiques. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Après avoir remplacé \(U\) par les membres d’un recouvrement de \(U\), on peut trouver un nombre fini de sections \(f_1, \ldots, f_n\) et \(g_1, \ldots, g_n\) de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sur \(U\) telles que \(\eta(1) = \sum f_i g_i\). Considérons \[\mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U\] l’application qui envoie le \(i\)-ième vecteur de base sur \(f_i\). On peut alors factoriser \(\eta|_U\) par une application \(\tilde \eta : \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G}|_U\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{F}|_U \ar[rr]_-{\eta \otimes 1} \ar[rrd]_-{\tilde \eta \otimes 1} & & \mathcal{F}|_U \otimes \mathcal{G}|_U \otimes \mathcal{F}|_U \ar[r]_-{1 \otimes \epsilon} & \mathcal{F}|_U \\ & & \mathcal{O}_U^{\oplus n} \otimes \mathcal{G}|_U \otimes \mathcal{F}|_U \ar[u] \ar[r]^-{1 \otimes \epsilon} & \mathcal{O}_U^{\oplus n} \ar[u] }\] Ce diagramme montre que l’identité de \(\mathcal{F}|_U\) se factorise par un \(\mathcal{O}_U\)-module libre de rang fini, ce qui prouve (1). La partie (2) découle de Catégories, lemme 0FFQ, et de sa démonstration. La partie (3) découle de la première identité de la preuve. On peut aussi déduire (2) et (3) de l’unicité des duaux à gauche (Catégories, remarque 0FFR) et de la construction du dual à gauche dans l’exemple 0FNY.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(\mathcal{F}\) localement de présentation finie et plat. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe alors un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit facteur direct d’un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module libre de rang fini.

Démonstration

Choisissons un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Après avoir remplacé \(U\) par les membres d’un recouvrement, on peut supposer qu’il existe une présentation \[\mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U \to 0\] D’après le lemme 08FC, après avoir de nouveau remplacé \(U\) par les membres d’un recouvrement, on peut supposer qu’il existe une factorisation \[\mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n_1} \to \mathcal{F}|_U\] tel que le composé \(\mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n_r}\) est zéro. Cela signifie que la surjection \(\mathcal{O}_U^{\oplus n_r} \to \mathcal{F}|_U\) admet une section, ce qui conclut la preuve.

Vers les modules constructibles

Rappelons qu’un objet quasi-compact d’un site est, grossièrement, un objet dont tout recouvrement admet un raffinement fini ; la définition précise est un peu plus élaborée, voir Sites, section 090G. Si tout objet d’un site admet un recouvrement par des objets quasi-compacts, les modules \(j_!\mathcal{O}_U\), avec \(U\) quasi-compact, forment un ensemble de générateurs particulièrement commode pour la catégorie de tous les modules.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement de \(\mathcal{C}\). Alors la suite \[\bigoplus j_{U_i \times_U U_j!}\mathcal{O}_{U_i \times_U U_j} \to \bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i} \to j_!\mathcal{O}_U \to 0\] est exacte.

Démonstration

Pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\), le foncteur \(\Hom_\mathcal{O}(-, \mathcal{F})\) transforme la suite de l’énoncé en la suite exacte \(0 \to \mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U_i) \to \prod \mathcal{F}(U_i \times_U U_j)\) ; voir (0G1V). Le résultat découle alors d’Homologie, lemme 05AA.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement dans \(\mathcal{C}\). Si \(U\) est quasi-compact, il existe un sous-ensemble fini \(I' \subset I\) tel que la suite \[\bigoplus\nolimits_{i, i' \in I'} j_{U_i \times_U U_{i'}!}\mathcal{O}_{U_i \times_U U_{i'}} \to \bigoplus\nolimits_{i \in I'} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i} \to j_!\mathcal{O}_U \to 0\] est exacte.

Démonstration

Le lemme découle immédiatement du lemme 0934 lorsque \(U\) satisfait la condition (3) de Sites, lemme 0D05. Le lecteur peut ignorer la démonstration du cas général. Par définition, il existe un recouvrement \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J}\) et un morphisme \(\mathcal{V} \to \mathcal{U}\) de familles de morphismes de but fixé, donné par \(\text{id} : U \to U\), \(\alpha : J \to I\) et \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\) (voir Sites, définition 00VT), de sorte que l’image \(I' \subset I\) de \(\alpha\) soit finie. D’après Homologie, lemme 05AA, il suffit de montrer que, pour tout faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), le foncteur \(\Hom_\mathcal{O}(-, \mathcal{F})\) transforme la suite de l’énoncé en une suite exacte. Par (0G1V), on obtient la suite usuelle \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_{i \in I'} \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{i, i' \in I'} \mathcal{F}(U_i \times_U U_{i'})\] Cette suite est exacte d’après Sites, lemme 0G1L, appliqué à la famille de cartes \(\{U_i \to U\}_{i \in I'}\) qui est raffinée par le recouvrement \(\mathcal{V}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(W\) un objet quasi-compact de \(\mathcal{C}\).

1. Le foncteur \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(W)\) commute aux coproduits.

2. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Le foncteur \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(W)\) commute aux sommes directes.

Démonstration

Preuve de (1). D’après Sites, lemme 0738, la prise des sections sur \(W\) commute aux colimites filtrantes dont les morphismes de transition sont injectifs. Soit \(\mathcal{F}_i\) une famille de faisceaux d’ensembles indexée par un ensemble \(I\). Le coproduit \(\coprod \mathcal{F}_i\) est la colimite filtrante, sur l’ensemble ordonné des sous-ensembles finis \(E \subset I\), des coproduits \(\mathcal{F}_E = \coprod_{i \in E} \mathcal{F}_i\). Les morphismes de transition étant injectifs, on conclut.

Preuve de (2). Soit \(\mathcal{F}_i\) une famille de faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules indexée par un ensemble \(I\). Alors \(\bigoplus \mathcal{F}_i\) est la colimite filtrante, sur l’ensemble ordonné des sous-ensembles finis \(E \subset I\), des sommes directes \(\mathcal{F}_E = \bigoplus_{i \in E} \mathcal{F}_i\). Une colimite filtrante de faisceaux abéliens se calcule dans la catégorie des faisceaux d’ensembles. Si \(E \subset E'\), le morphisme de transition \(\mathcal{F}_E \to \mathcal{F}_{E'}\) est injectif, car la faisceautisation est exacte et l’injectivité est claire sur les préfaisceaux sous-jacents. Sites, lemme 0738, ramène donc au cas d’un ensemble fini d’indices. Ce cas est traité par le lemme 03CO, qui vaut sur tout objet de \(\mathcal{C}\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(U\) un objet quasi-compact de \(\mathcal{C}\). Alors le foncteur \(\Hom_\mathcal{O}(j_!\mathcal{O}_U, -)\) commute aux sommes directes.

Démonstration

En effet, \(\Hom_\mathcal{O}(j_!\mathcal{O}_U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U)\) d’après (0G1V), et le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U)\) commute aux sommes directes par le lemme 0935.

Afin d’indiquer les résultats les plus nets possibles dans ce qui suit, nous introduisons une notation.

Situation

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\mathcal{B} \subset \text{Ob}(\mathcal{C})\) un ensemble d’objets. Considérons les conditions suivantes :

1. Tout objet de \(\mathcal{C}\) admet un recouvrement par des éléments de \(\mathcal{B}\).

2. Tout \(U \in \mathcal{B}\) est quasi-compact (Sites, section 090G).

3. Pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) avec \(U_i, U \in \mathcal{B}\), les produits fibrés \(U_i \times_U U_j\) sont quasi-compacts.

Lemme

Dans la situation 0937, supposons (0938) satisfaite.

1. Tout faisceau d’ensembles est le but d’un morphisme surjectif dont la source est un coproduit \(\coprod h_{U_i}^\#\), avec \(U_i\) dans \(\mathcal{B}\).

2. Si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux, tout \(\mathcal{O}\)-module est quotient d’une somme directe \(\bigoplus\nolimits j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\), avec \(U_i\) dans \(\mathcal{B}\).

Démonstration

La partie (1) découle de Sites, lemmes 00WS et 00WT. La partie (2) découle des lemmes 03EW et 0934.

Lemme

Dans la situation 0937, supposons (0938) et (0939) satisfaites.

1. Tout faisceau d’ensembles est une colimite filtrante de faisceaux de la forme

   [09Y7]\[\begin{equation} \text{Coégalisateur}\left( \xymatrix{ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m} h_{V_j}^\# \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} h_{U_i}^\# } \right) \end{equation}\]

   avec \(U_i\) et \(V_j\) dans \(\mathcal{B}\).

2. Si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux, tout \(\mathcal{O}\)-module est une colimite filtrante de faisceaux de la forme

   [093D]\[\begin{equation} \Coker\left( \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} j_{V_j!}\mathcal{O}_{V_j} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i} \right) \end{equation}\]

   avec \(U_i\) et \(V_j\) dans \(\mathcal{B}\).

Démonstration

Preuve de (1). D’après le lemme 093B, tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) est le but d’une surjection dont la source est un coproduit \(\mathcal{F}_0\) de faisceaux de la forme \(h_{U}^\#\), avec \(U \in \mathcal{B}\). En appliquant ce résultat à \(\mathcal{F}_0 \times_\mathcal{F} \mathcal{F}_0\), on obtient que \(\mathcal{F}\) est le coégalisateur d’une paire de morphismes \[\xymatrix{ \coprod\nolimits_{j \in J} h_{V_j}^\# \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \coprod\nolimits_{i \in I} h_{U_i}^\# }\] pour certains ensembles d’indices \(I\), \(J\), et certains \(V_j\), \(U_i\) dans \(\mathcal{B}\). Pour tout sous-ensemble fini \(J' \subset J\), il existe un sous-ensemble fini \(I' \subset I\) tel que les deux morphismes envoient le coproduit indexé par \(j \in J'\) dans celui indexé par \(i \in I'\) ; voir Sites, lemme 0738. Nous omettons les détails ; on utilise qu’un coproduit infini est la colimite filtrante de ses sous-coproduits finis. Notre faisceau est donc la colimite des conoyaux de ces morphismes entre coproduits finis.

Preuve de (2). Par le lemme 093B, tout module est quotient d’une somme directe de modules de la forme \(j_{U!}\mathcal{O}_U\), avec \(U \in \mathcal{B}\). Tout module est donc un conoyau \[\Coker\left( \bigoplus\nolimits_{j \in J} j_{V_j!}\mathcal{O}_{V_j} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i} \right)\] pour certains ensembles d’indices \(I\), \(J\), et certains \(V_j\), \(U_i\) dans \(\mathcal{B}\). Pour tout sous-ensemble fini \(J' \subset J\), il existe un sous-ensemble fini \(I' \subset I\) tel que la somme directe indexée par \(j \in J'\) s’envoie dans celle indexée par \(i \in I'\) ; voir le lemme 0936. Notre module est donc la colimite des conoyaux de ces morphismes entre sommes directes finies.

Lemme

Dans la situation 0937, supposons (0938) et (0939) satisfaites. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux. Le conoyau d’un morphisme entre deux modules de la forme (093D) est encore un module de la forme (093D).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} = \Coker(\bigoplus j_{V_j!}\mathcal{O}_{V_j} \to \bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i})\) comme dans (093D). Il suffit de montrer que le conoyau d’un morphisme \(\varphi : j_{W!}\mathcal{O}_W \to \mathcal{F}\), avec \(W \in \mathcal{B}\), est encore un module du même type. Le morphisme \(\varphi\) correspond à un élément \(s \in \mathcal{F}(W)\). Comme \(\bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i} \to \mathcal{F}\) est surjectif, on peut, par (0938), choisir un recouvrement \(\{W_k \to W\}_{k \in K}\) avec \(W_k \in \mathcal{B}\) tel que \(s|_{W_k}\) soit l’image d’une section \(s_k\) de \(\bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i})\). Par (0939), l’objet \(W\) est quasi-compact. D’après le lemme 0G1W, il existe un sous-ensemble fini \(K' \subset K\) tel que \(\bigoplus_{k \in K'} j_{W_k!}\mathcal{O}_{W_k} \to j_{W!}\mathcal{O}_W\) soit surjectif. On en déduit que \(\Coker(\varphi)\) est égal à \[\Coker\left( \bigoplus\nolimits_{k \in K'} j_{W_k!}\mathcal{O}_{W_k} \oplus \bigoplus j_{V_j!}\mathcal{O}_{V_j} \longrightarrow \bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i} \right)\] où le morphisme \(\bigoplus_{k \in K'} j_{W_k!}\mathcal{O}_{W_k} \to \bigoplus j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\) correspond à \(\sum_{k \in K'} s_k\). Cela termine la preuve.

Lemme

Dans la situation 0937, supposons (0938), (0939) et (093A) satisfaites. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux. Donnons-nous un morphisme \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} j_{V_j!}\mathcal{O}_{V_j} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\] avec \(U_i\) et \(V_j\) dans \(\mathcal{B}\), ainsi que des recouvrements \(\{U_{ik} \to U_i\}_{k \in K_i}\) avec \(U_{ik} \in \mathcal{B}\). Il existe alors des sous-ensembles finis \(K'_i \subset K_i\), un ensemble fini \(L\) d’objets \(W_l \in \mathcal{B}\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \bigoplus_{l \in L} j_{W_l!}\mathcal{O}_{W_l} \ar[d] \ar[r] & \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \bigoplus_{k \in K'_i} j_{U_{ik}!}\mathcal{O}_{U_{ik}} \ar[d] \\ \bigoplus_{j = 1, \ldots, m} j_{V_j!}\mathcal{O}_{V_j} \ar[r] & \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i} }\] induisant un isomorphisme sur les conoyaux des morphismes horizontaux.

Démonstration

Puisque \(U_i\) est quasi-compact, on peut choisir des sous-ensembles finis \(K'_i \subset K_i\) comme dans le lemme 0G1W. Puisque \(\bigoplus_{i = 1, \ldots, n} \bigoplus_{k \in K'_i} j_{U_{ik}!}\mathcal{O}_{U_{ik}} \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\) est surjectif, on peut trouver des recouvrements \(\{V_{jm} \to V_j\}_{m \in M_j}\) avec \(V_{jm} \in \mathcal{B}\) pour lesquels il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \bigoplus_{j = 1, \ldots, m} \bigoplus_{m \in M_j} j_{V_{jm}!}\mathcal{O}_{V_{jm}} \ar[d] \ar[r] & \bigoplus_{i = 1, \ldots n} \bigoplus_{k \in K'_i} j_{U_{ik}!}\mathcal{O}_{U_{ik}} \ar[d] \\ \bigoplus_{j = 1, \ldots, m} j_{V_j!}\mathcal{O}_{V_j} \ar[r] & \bigoplus_{i = 1, \ldots, n} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i} }\] Puisque \(V_j\) est quasi-compact, on peut choisir des sous-ensembles finis \(M'_j \subset M_j\) comme dans le lemme 0G1W. Posons \[L = \left(\coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} K'_i \times K'_i \right) \coprod \left(\coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m} M'_j\right)\] et, pour \(l = (k, k') \in K'_i \times K'_i \subset L\), posons \(W_l = U_{ik} \times_{U_i} U_{ik'}\) ; pour \(l = m \in M'_j \subset L\), posons \(W_l = V_{jm}\). Les suites exactes du lemme 0G1W pour les familles \(\{U_{ik} \to U_i\}_{k \in K'_i}\) montrent que l’on obtient un diagramme comme dans l’énoncé du lemme ; nous omettons les détails. Il reste seulement à assurer que \(W_l \in \mathcal{B}\). Or \(W_l\) est quasi-compact pour tout \(l \in L\). Une nouvelle application du lemme 0G1W fournit des familles finies de morphismes \(\{W_{lt} \to W_l\}_{t \in T_l}\) avec \(W_{lt} \in \mathcal{B}\) telles que \(\bigoplus j_{W_{lt}!}\mathcal{O}_{W_{lt}} \to j_{W_l!}\mathcal{O}_{W_l}\) soit surjectif. On remplace alors \(L\) par \(\coprod_{l \in L} T_l\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0937, supposons (0938), (0939) et (093A) satisfaites. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux. Toute extension de modules de la forme (093D) est encore un module de la forme (093D).

Démonstration

Soit \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{O}\)-modules dans laquelle \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_3\) sont de la forme (093D). Choisissons des présentations \[\bigoplus A_{V_j} \to \bigoplus A_{U_i} \to \mathcal{F}_1 \to 0 \quad\text{et}\quad \bigoplus A_{T_j} \to \bigoplus A_{W_i} \to \mathcal{F}_3 \to 0\] Dans cette preuve, toutes les sommes directes sont finies, et nous écrivons \(A_U = j_{U!}\mathcal{O}_U\) pour \(U \in \mathcal{B}\). Puisque \(\mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3\) est surjectif, on peut choisir des recouvrements \(\{W_{ik} \to W_i\}\) avec \(W_{ik} \in \mathcal{B}\) tels que \(A_{W_{ik}} \to \mathcal{F}_3\) se relève en un morphisme \(A_{W_{ik}} \to \mathcal{F}_2\). D’après le lemme 093F, on peut remplacer la famille \(\{W_i\}\) par une sous-famille finie de la famille \(\{W_{ik}\}\) et supposer que le morphisme \(\bigoplus A_{W_i} \to \mathcal{F}_3\) se relève dans \(\mathcal{F}_2\). Considérons le noyau \[\mathcal{K}_2 = \Ker(\bigoplus A_{U_i} \oplus \bigoplus A_{W_i} \longrightarrow \mathcal{F}_2)\] Le lemme du serpent montre que ce noyau surjecte sur \(\mathcal{K}_3 = \Ker(\bigoplus A_{W_i} \to \mathcal{F}_3)\). En raisonnant comme ci-dessus, et après avoir remplacé chaque \(T_j\) par une famille finie d’éléments de \(\mathcal{B}\), ce que permet le lemme 0G1W, on peut supposer qu’il existe un morphisme \(\bigoplus A_{T_j} \to \mathcal{K}_2\) relevant le morphisme donné \(\bigoplus A_{T_j} \to \mathcal{K}_3\). Alors \(\bigoplus A_{V_j} \oplus \bigoplus A_{T_j} \to \mathcal{K}_2\) est surjectif, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0937, supposons (0938), (0939) et (093A) satisfaites. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux. Soit \(\mathcal{A} \subset \textit{Mod}(\mathcal{O})\) la sous-catégorie pleine des modules isomorphes à un conoyau de la forme (093D). Si le noyau de tout morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules de la forme \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} j_{V_j!}\mathcal{O}_{V_j} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\] avec \(U_i\) et \(V_j\) dans \(\mathcal{B}\) appartient à \(\mathcal{A}\), alors \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Démonstration

Nous utiliserons le critère d’Homologie, lemme 0754. D’après les lemmes 093E et 093G il suffit de montrer que le noyau d’un morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) entre objets de \(\mathcal{A}\) appartient à \(\mathcal{A}\). Pour cela, choisissons des présentations \[\bigoplus A_{V_j} \to \bigoplus A_{U_i} \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{et}\quad \bigoplus A_{T_j} \to \bigoplus A_{W_i} \to \mathcal{G} \to 0\] Dans cette preuve, toutes les sommes directes sont finies, et nous écrivons \(A_U = j_{U!}\mathcal{O}_U\) pour \(U \in \mathcal{B}\). En appliquant les lemmes 0934 et 093F et en raisonnant comme dans la preuve du lemme 093G, on peut supposer que le morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) se relève en un morphisme de présentations \[\xymatrix{ \bigoplus A_{V_j} \ar[r] \ar[d] & \bigoplus A_{U_i} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ \bigoplus A_{T_j} \ar[r] & \bigoplus A_{W_i} \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & 0 }\] On obtient alors \[\Ker(\mathcal{F} \to \mathcal{G}) = \Coker\left(\bigoplus A_{V_j} \to \Ker\left( \bigoplus A_{T_j} \oplus \bigoplus A_{U_i} \to \bigoplus A_{W_i}\right)\right)\] et le résultat découle de l’hypothèse et du lemme 093E.

Morphismes plats

Définition

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. On dit que \((f, f^\sharp)\) est plat si le morphisme d’anneaux \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\) est plat. Nous disons qu’un morphisme de sites annelés est plat si le morphisme de topos annelés associé est plat.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\) un morphisme de topos annelés. Alors \[f^{-1} : \textit{Ab}(\mathcal{C}') \longrightarrow \textit{Ab}(\mathcal{C}), \quad \mathcal{F} \longmapsto f^{-1}\mathcal{F}\] est exact. Si \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) est un morphisme de topos annelés plat, alors \[f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}') \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}), \quad \mathcal{F} \longmapsto f^*\mathcal{F}\] est exact.

Démonstration

Pour un faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}'\), le faisceau d’ensembles sous-jacent à \(f^{-1}\mathcal{G}\) est l’image inverse par \(f^{-1}\) du faisceau d’ensembles sous-jacent à \(\mathcal{G}\) ; voir Sites, section 00YR. L’exactitude de \(f^{-1}\) sur les faisceaux d’ensembles, qui fait partie de la définition d’un morphisme de topos (voir Sites, définition 00XA), implique donc l’exactitude de \(f^{-1}\) sur les faisceaux abéliens.

Pour voir l’énoncé sur les modules, rappelons que \(f^*\mathcal{F}\) est défini comme le produit tensoriel \(f^{-1}\mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}', f^\sharp} \mathcal{O}\). Ainsi, \(f^*\) est le composé de deux foncteurs exacts.

Définition

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. On dit que \(\mathcal{F}\) est plat sur \((\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) si \(\mathcal{F}\) est plat comme \(f^{-1}\mathcal{O}'\)-module.

Ceci est compatible avec la notion telle que définie pour les morphismes des espaces annelés, voir Modules, définition 08KT et la discussion suivante.

Lemme

Soit \(f : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{D}, \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de sites annelés. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et si \(f\) est plat, alors le morphisme canonique \[f^*\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})\] de la remarque 0GMX est un isomorphisme.

Démonstration

Supposons que \(f\) soit donné par le foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Il faut montrer que la restriction du morphisme à \(\mathcal{C}/U\) est un isomorphisme pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). On peut remplacer \(U\) par les membres d’un recouvrement de \(U\). D’après Sites, lemme 08H2, on peut donc supposer qu’il existe un morphisme \(U \to u(V)\) pour un certain \(V \in \Ob(\mathcal{C})\). On peut alors remplacer \(U\) par \(u(V)\). Puisque \(u\) est continu, on peut remplacer \(V\) par les membres d’un recouvrement et supposer qu’il existe une présentation \(\mathcal{O}_V^{\oplus m} \to \mathcal{O}_V^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_V \to 0\) sur \(\mathcal{D}/V\). Comme la formation de \(\SheafHom\) commute à la localisation (lemme 0E8H), on peut remplacer \(f\) par le morphisme \((\mathcal{C}/u(V), \mathcal{O}_{u(V)}) \to (\mathcal{D}/V, \mathcal{O}_V)\) induit par \(f\). On se ramène ainsi au cas où \(\mathcal{F}\) admet une présentation globale \(\mathcal{O}_\mathcal{D}^{\oplus m} \to \mathcal{O}_\mathcal{D}^{\oplus n} \to \mathcal{F} \to 0\). Puisque \(f\) est plat et que \(f^*\mathcal{O}_\mathcal{D} = \mathcal{O}_\mathcal{C}\), on obtient la présentation correspondante \(\mathcal{O}_\mathcal{C}^{\oplus m} \to \mathcal{O}_\mathcal{C}^{\oplus n} \to f^*\mathcal{F} \to 0\) ; voir le lemme 04JC. En utilisant la commutation de \(\SheafHom\) aux sommes directes finies dans la première variable, le fait que les deux foncteurs \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(\mathcal{O}_\mathcal{C}, -)\) et \(\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{O}_\mathcal{D}, -)\) sont le foncteur identité, et la fonctorialité de la construction de la remarque 0GMX, on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \ar[d] \ar[r] & f^*\mathcal{G}^{\oplus n} \ar[d] \ar[r] & f^*\mathcal{G}^{\oplus n} \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G}) \ar[r] & f^*\mathcal{G}^{\oplus n} \ar[r] & f^*\mathcal{G}^{\oplus n} }\] où les deux flèches verticales de droite sont des isomorphismes. Les lignes sont exactes d’après le lemme 0GMY. Le lemme des cinq permet de conclure.

Modules inversibles

Voici la définition.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé.

1. Un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\) localement libre de rang fini est dit de rang \(r\) si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \(U\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit isomorphe à \(\mathcal{O}_{U_i}^{\oplus r}\) comme \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module.

2. Un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{L}\) est dit inversible si le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}),\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}\] est une équivalence.

3. Le faisceau \(\mathcal{O}^*\) est le sous-faisceau de \(\mathcal{O}\) défini par \[U \longmapsto \mathcal{O}^*(U) = \{f \in \mathcal{O}(U) \mid \exists g \in \mathcal{O}(U)\text{ tel que }fg = 1\}\] C’est un faisceau de groupes abéliens pour la multiplication.

Le lemme 0B8Q ci-dessous précise le lien avec les modules localement libres de rang \(1\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{L}\) est inversible ;

2. il existe un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{N}\) tel que \(\mathcal{L} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N} \cong \mathcal{O}\).

Dans ce cas, nous avons

1. \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat de présentation finie ;

2. pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\mathcal{L}|_{U_i}\) soit facteur direct d’un module libre de type fini ;

3. le module \(\mathcal{N}\) en (2) est isomorphe à \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O})\).

Démonstration

Supposons (1). Le foncteur \(- \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}\) est essentiellement surjectif ; il existe donc un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{N}\) comme en (2). Réciproquement, si (2) est satisfaite, le foncteur \(- \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}\) est un quasi-inverse du foncteur \(- \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}\), ce qui donne (1).

Supposons (1) et (2). Puisque \(- \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}\) est une équivalence, ce foncteur est exact et \(\mathcal{L}\) est donc plat. Soit \(\psi : \mathcal{L} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N} \to \mathcal{O}\) l’isomorphisme donné, et soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Nous allons montrer que la restriction de \(\mathcal{L}\) aux membres d’un recouvrement de \(U\) est facteur direct d’un module libre ; cela impliquera en particulier que \(\mathcal{L}\) est de présentation finie. Par construction du produit \(\otimes\), après avoir remplacé \(U\) par les membres d’un recouvrement, on peut supposer qu’il existe un entier \(n \geq 1\), des sections \(x_i \in \mathcal{L}(U)\) et \(y_i \in \mathcal{N}(U)\) telles que \(\psi(\sum x_i \otimes y_i) = 1\). Considérons les isomorphismes \[\mathcal{L}|_U \to \mathcal{L}|_U \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{L}|_U \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{N}|_U \to \mathcal{L}|_U\] où la première flèche envoie \(x\) sur \(\sum x_i \otimes x \otimes y_i\) et la seconde envoie \(x \otimes x' \otimes y\) sur \(\psi(x' \otimes y)x\). On en déduit que \(x \mapsto \sum \psi(x \otimes y_i)x_i\) est un automorphisme de \(\mathcal{L}|_U\). Cet automorphisme se factorise comme \[\mathcal{L}|_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{L}|_U\] où la première flèche est donnée \(x \mapsto (\psi(x \otimes y_1), \ldots, \psi(x \otimes y_n))\) et la seconde par \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_i x_i\). Ainsi, \(\mathcal{L}|_U\) est facteur direct d’un \(\mathcal{O}_U\)-module libre de rang fini.

Toujours sous les hypothèses (1) et (2), considérons le morphisme d’évaluation \[\mathcal{L} \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{O}_X\] Pour achever la démonstration, montrons qu’il s’agit d’un isomorphisme. Le lemme 03EO donne \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{O}, \mathcal{O}) = \Hom_\mathcal{O} (\mathcal{N} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}, \mathcal{O}) \longrightarrow \Hom_\mathcal{O} (\mathcal{N}, \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O}))\] L’image de \(1\) définit un morphisme \(\mathcal{N} \to \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O})\). En prenant le produit tensoriel avec \(\mathcal{L}\), on obtient \[\mathcal{O} = \mathcal{L} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{L} \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O})\] Ce morphisme est l’inverse du morphisme d’évaluation ; nous omettons le calcul.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. L’image inverse \(f^*\mathcal{L}\) d’un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module inversible est inversible.

Démonstration

D’après le lemme 0B8N, il existe un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module \(\mathcal{N}\) tel que \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{N} \cong \mathcal{O}_\mathcal{D}\). Par image inverse, on obtient \(f^*\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{C}} f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_\mathcal{C}\) d’après le lemme 03EL. Le lemme 0B8N montre donc que \(f^*\mathcal{L}\) est inversible.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé.

1. Si \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) sont des \(\mathcal{O}\)-modules inversibles, alors \(\mathcal{L} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}\) est inversible.

2. Si \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}\)-module inversible, alors \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O})\) est inversible et le morphisme d’évaluation \(\mathcal{L} \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O}) \to \mathcal{O}\) est un isomorphisme.

Démonstration

La partie (1) est immédiate d’après la définition, et la partie (2) découle du lemme 0B8N et de sa démonstration.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Il existe un ensemble de modules inversibles \(\{\mathcal{L}_i\}_{i \in I}\) tel que tout module inversible sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est isomorphe à exactement l’un des \(\mathcal{L}_i\).

Démonstration

Démonstration omise ; voir Faisceaux de modules, lemme 01CW.

Le lemme 040B affirme que les classes d’isomorphisme des faisceaux inversibles forment un ensemble. Le lemme 040A montre que le produit tensoriel munit cet ensemble d’une structure de groupe abélien ; l’inverse de \(\mathcal{L}\) y est représenté par \(\SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O})\).

Plus précisément, pour un \(\mathcal{O}\)-module inversible \(\mathcal{L}\) et \(n \in \mathbf{Z}\), on définit la \(n\)-ième puissance tensorielle \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) de \(\mathcal{L}\) comme l’image de \(\mathcal{O}\) par l’équivalence \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}\) itérée \(n\) fois. Cette définition a également un sens pour \(n\) négatif, puisqu’un \(\mathcal{O}\)-module est inversible précisément lorsque le produit tensoriel définit une équivalence. Plus explicitement : \[\mathcal{L}^{\otimes n} = \left\{ \begin{matrix} \mathcal{O} & \text{si} & n = 0 \\ \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O}) & \text{si} & n = -1\\ \mathcal{L} \otimes_\mathcal{O} \ldots \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L} & \text{si} & n > 0 \\ \mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes_\mathcal{O} \ldots \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^{\otimes -1} & \text{si} & n < -1 \end{matrix} \right.\] voir le lemme 040A. Avec cette définition, on dispose d’isomorphismes canoniques \(\mathcal{L}^{\otimes n} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{L}^{\otimes m} \to \mathcal{L}^{\otimes n + m}\) satisfaisant aux contraintes de commutativité et d’associativité ; nous en omettons la formulation.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Le groupe de Picard \(\Pic(\mathcal{O})\) de ce site annelé est le groupe abélien des classes d’isomorphisme de \(\mathcal{O}\)-modules inversibles, dont l’addition correspond au produit tensoriel.

Modules de différentielles

Dans cette section, nous expliquons brièvement comment définir le module des différentielles relatives d’un morphisme de topos annelés. Nous invitons le lecteur à consulter la section correspondante du chapitre d’algèbre commutative (Algèbre, section 00RM).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux, et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_2\)-module. Une \(\mathcal{O}_1\)-dérivation, ou plus précisément une \(\varphi\)-dérivation à valeurs dans \(\mathcal{F}\), est une application \(D : \mathcal{O}_2 \to \mathcal{F}\) additive, qui annule l’image de \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) et satisfait la règle de Leibniz

\[D(ab) = aD(b) + D(a)b\] pour toutes sections locales \(a, b\) de \(\mathcal{O}_2\), là où elles sont toutes deux définies. On note \(\text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F})\) l’ensemble des \(\varphi\)-dérivations à valeurs dans \(\mathcal{F}\).

C’est l’analogue, pour les faisceaux, d’Algèbre, définition 04BK. Pour une dérivation \(D : \mathcal{O}_2 \to \mathcal{F}\) comme dans la définition, l’application sur les sections globales \[D : \Gamma(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \Gamma(\mathcal{F})\] est clairement une \(\Gamma(\mathcal{O}_1)\)-dérivation au sens algébrique. Si \(\alpha : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_2\)-modules, on obtient un morphisme induit \[\text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F}) \longrightarrow \text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{G})\] donné par \(D \mapsto \alpha \circ D\). On obtient ainsi un foncteur.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux. Le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{Ab}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F})\] est représentable.

Démonstration

La démonstration est identique à celle de l’énoncé analogue en algèbre. Au cours de celle-ci, pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\), notons \(\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\) la faisceautisation du préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{F}(U)]\), où le membre de droite désigne le \(\mathcal{O}_2(U)\)-module libre sur l’ensemble \(\mathcal{F}(U)\). Pour \(s \in \mathcal{F}(U)\), notons \([s]\) la section correspondante de \(\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\) au-dessus de \(U\). Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules, il existe un morphisme canonique \[c : \mathcal{O}_2[\mathcal{F}] \longrightarrow \mathcal{F}\] qui, au niveau des préfaisceaux, est donné par la règle \(\sum f_s[s] \mapsto \sum f_s s\). Nous emploierons l’abréviation \([s] \mapsto s\) pour décrire ce morphisme, et procéderons de même pour les autres morphismes ci-dessous. Considérons le morphisme de \(\mathcal{O}_2\)-modules

[04BM]\[\begin{equation} \begin{matrix} \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2 \times \mathcal{O}_2] \oplus \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2 \times \mathcal{O}_2] \oplus \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_1] & \longrightarrow & \mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2] \\ [(a, b)] \oplus [(f, g)] \oplus [h] & \longmapsto & [a + b] - [a] - [b] + \\ & & [fg] - g[f] - f[g] + \\ & & [\varphi(h)] \end{matrix} \end{equation}\]

où nous utilisons la notation abrégée précédente. Posons \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) égal au conoyau de ce morphisme. Il existe alors manifestement un morphisme de faisceaux d’ensembles \[\text{d} : \mathcal{O}_2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\] qui envoie une section locale \(f\) sur l’image de \([f]\) dans \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\). Par construction, \(\text{d}\) est une \(\mathcal{O}_1\)-dérivation. Soit maintenant \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules et soit \(D : \mathcal{O}_2 \to \mathcal{F}\) une \(\mathcal{O}_1\)-dérivation. On peut considérer le morphisme \(\mathcal{O}_2\)-linéaire \(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2] \to \mathcal{F}\) qui envoie \([g]\) sur \(D(g)\). Par définition d’une dérivation, ce morphisme annule les sections appartenant à l’image du morphisme (04BM) et induit donc un morphisme \[\alpha_D : \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \longrightarrow \mathcal{F}\] Comme \(D = \alpha_D \circ \text{d}\), le lemme est démontré.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux. Le module des différentielles du morphisme d’anneaux \(\varphi\) est l’objet représentant le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \text{Der}_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{O}_2, \mathcal{F})\), dont l’existence résulte du lemme 04BL. On le note \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\), et la \(\varphi\)-dérivation universelle est notée \(\text{d} : \mathcal{O}_2 \to \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\).

Comme ce module et cette dérivation forment l’objet universel représentant un foncteur, la notion est intrinsèque : elle ne dépend pas du choix du site sous-jacent au topos annelé ; voir la section 03DG. Le module \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) est le conoyau du morphisme (04BM) de \(\mathcal{O}_2\)-modules. De plus, \(\text{d}\) est caractérisée par le fait que \(\text{d}f\) est l’image de la section locale \([f]\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de préfaisceaux d’anneaux. Alors \(\Omega_{\mathcal{O}_2^\#/\mathcal{O}_1^\#}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \Omega_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)}\).

Démonstration

Considérons le morphisme (04BM). Il existe un morphisme analogue de préfaisceaux dont la valeur en \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) est \[\mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_2(U) \times \mathcal{O}_2(U)] \oplus \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_2(U) \times \mathcal{O}_2(U)] \oplus \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_1(U)] \longrightarrow \mathcal{O}_2(U)[\mathcal{O}_2(U)]\] Le conoyau de ce morphisme vaut \(\Omega_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)}\) en \(U\), par la construction du module des différentielles dans Algèbre, définition 07BK. D’autre part, les faisceaux de (04BM) sont les faisceautisations des préfaisceaux ci-dessus. Le résultat découle donc de l’exactitude de la faisceautisation.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) un morphisme de topos. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Il existe alors une identification canonique \(f^{-1}\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} = \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_2/f^{-1}\mathcal{O}_1}\) compatible avec les dérivations universelles.

Démonstration

Cela résulte du fait que le faisceau \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}\) est le conoyau du morphisme (04BM), qu’il en va de même pour \(\Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_2/f^{-1}\mathcal{O}_1}\), que le foncteur \(f^{-1}\) est exact et que \(f^{-1}(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2]) = f^{-1}\mathcal{O}_2[f^{-1}\mathcal{O}_2]\), \(f^{-1}(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_2 \times \mathcal{O}_2]) = f^{-1}\mathcal{O}_2[f^{-1}\mathcal{O}_2 \times f^{-1}\mathcal{O}_2]\), et \(f^{-1}(\mathcal{O}_2[\mathcal{O}_1]) = f^{-1}\mathcal{O}_2[f^{-1}\mathcal{O}_1]\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un isomorphisme canonique \[\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}|_U = \Omega_{(\mathcal{O}_2|_U)/(\mathcal{O}_1|_U)}\] compatible avec les dérivations universelles.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 08TQ.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \[\xymatrix{ \mathcal{O}_2 \ar[r]_\varphi & \mathcal{O}_2' \\ \mathcal{O}_1 \ar[r] \ar[u] & \mathcal{O}'_1 \ar[u] }\] un diagramme commutatif de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Le morphisme \(\mathcal{O}_2 \to \mathcal{O}'_2\), composé avec le morphisme \(\text{d} : \mathcal{O}'_2 \to \Omega_{\mathcal{O}'_2/\mathcal{O}'_1}\) est une \(\mathcal{O}_1\)-dérivation. On obtient donc un morphisme canonique de \(\mathcal{O}_2\)-modules \(\Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \to \Omega_{\mathcal{O}'_2/\mathcal{O}'_1}\). Il est uniquement caractérisé par la propriété que \(\text{d}(f)\) s’envoie sur \(\text{d}(\varphi(f))\) pour toute section locale \(f\) de \(\mathcal{O}_2\). De cette manière, \(\Omega_{-/-}\) devient un foncteur sur la catégorie des flèches de faisceaux d’anneaux.

Démonstration

Le lemme découle directement des définitions.

Lemme

Dans le lemme 08TR, supposons que \(\mathcal{O}_2 \to \mathcal{O}'_2\) soit surjectif, de noyau \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_2\), et que \(\mathcal{O}_1 = \mathcal{O}'_1\). Il existe alors une suite exacte canonique de \(\mathcal{O}'_2\)-modules \[\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \otimes_{\mathcal{O}_2} \mathcal{O}'_2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}'_2/\mathcal{O}_1} \longrightarrow 0\] Le morphisme de gauche est caractérisé par le fait qu’une section locale \(f\) de \(\mathcal{I}\) s’envoie sur \(\text{d}f \otimes 1\).

Démonstration

Pour une section locale \(f\) de \(\mathcal{I}\), notons \(\overline{f}\) l’image de \(f\) dans \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\). Pour montrer que le morphisme \(\overline{f} \mapsto \text{d}f \otimes 1\) est bien défini, il suffit de vérifier que \(\text{d} f_1f_2 \otimes 1 = 0\) lorsque \(f_1, f_2\) sont des sections locales de \(\mathcal{I}\). Cela résulte immédiatement de la règle de Leibniz : \(\text{d} f_1f_2 \otimes 1 = (f_1 \text{d}f_2 + f_2 \text{d} f_1 )\otimes 1 = \text{d}f_2 \otimes f_1 + \text{d}f_2 \otimes f_1 = 0\). Un calcul analogue montre que ce morphisme est \(\mathcal{O}'_2 = \mathcal{O}_2/\mathcal{I}\)-linéaire. Le morphisme de droite est celui du lemme 08TR.

Pour établir l’exactitude, raisonnons comme suit. Soit \(\mathcal{O}''_2 \subset \mathcal{O}'_2\) le préfaisceau de \(\mathcal{O}_1\)-algèbres dont la valeur en \(U\) est l’image de \(\mathcal{O}_2(U) \to \mathcal{O}'_2(U)\). D’après Algèbre, lemme 00RU, les suites \[\mathcal{I}(U)/\mathcal{I}(U)^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)} \otimes_{\mathcal{O}_2(U)} \mathcal{O}''_2(U) \longrightarrow \Omega_{\mathcal{O}''_2(U)/\mathcal{O}_1(U)} \longrightarrow 0\] sont exactes pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). L’exactitude de la faisceautisation donne donc une suite exacte de faisceaux de \((\mathcal{O}'_2)^\#\)-modules. On conclut par le lemme 08TP et l’égalité \((\mathcal{O}''_2)^\# = \mathcal{O}'_2\).

Voici une situation particulière où les dérivations apparaissent naturellement.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux. Considérons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_2 \to 0\] Ici, \(\mathcal{A}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_1\)-algèbres, \(\pi : \mathcal{A} \to \mathcal{O}_2\) est une surjection de faisceaux de \(\mathcal{O}_1\)-algèbres et \(\mathcal{F} = \Ker(\pi)\) est son noyau. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau d’idéaux de carré nul dans \(\mathcal{A}\). Le faisceau \(\mathcal{F}\) possède alors une structure naturelle de \(\mathcal{O}_2\)-module. Une section \(s : \mathcal{O}_2 \to \mathcal{A}\) de \(\pi\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_1\)-algèbres tel que \(\pi \circ s = \text{id}\). Étant données une section quelconque \(s : \mathcal{O}_2 \to \mathcal{F}\) de \(\pi\) et une \(\varphi\)-dérivation \(D : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{F}\), le morphisme \[s + D : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{A}\] est une section de \(\pi\), et toute section \(s'\) s’écrit de manière unique \(s + D\) pour une \(\varphi\)-dérivation \(D\).

Démonstration

Rappelons que la structure de \(\mathcal{O}_2\)-module sur \(\mathcal{F}\) est donnée par \(h \tau = \tilde h \tau\) (le produit étant pris dans \(\mathcal{A}\)), où \(h\) est une section locale de \(\mathcal{O}_2\), \(\tilde h\) un relèvement local de \(h\) en une section locale de \(\mathcal{A}\), et \(\tau\) une section locale de \(\mathcal{F}\). En présence de \(s\), on peut prendre \(\tilde h = s(h)\). Pour vérifier que \(s + D\) est un morphisme de faisceaux d’anneaux, calculons

\[\begin{eqnarray*} (s + D)(ab) & = & s(ab) + D(ab) \\ & = & s(a)s(b) + aD(b) + D(a)b \\ & = & s(a) s(b) + s(a)D(b) + D(a)s(b) \\ & = & (s(a) + D(a))(s(b) + D(b)) \end{eqnarray*}\]

par la règle de Leibniz. De même, \(s + D\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_1\)-algèbres parce que \(D\) est une \(\mathcal{O}_1\)-dérivation. Réciproquement, pour une section \(s'\), posons \(D = s' - s\). Les détails sont laissés au lecteur.

Définition

Soient \(X = (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) et \(Y = (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) des topos annelés. Soit \((f, f^\sharp) : X \to Y\) un morphisme de topos annelés. Dans cette situation,

1. pour un faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}\)-modules, une \(Y\)-dérivation \(D : \mathcal{O} \to \mathcal{F}\) est simplement une \(f^\sharp\)-dérivation, et

2. le faisceau des différentielles \(\Omega_{X/Y}\) de \(X\) sur \(Y\) est le module des différentielles du morphisme \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\), voir définition 04BN.

Ainsi, \(\Omega_{X/Y}\) est muni d’une dérivation \(Y\)-universelle

\(\text{d}_{X/Y} : \mathcal{O} \longrightarrow \Omega_{X/Y}\). Nous écrivons parfois \(\Omega_{X/Y} = \Omega_f\).

Rappelons que \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\), ce qui donne un sens à cette définition.

Lemme

Soient \(X = (\Sh(\mathcal{C}_X), \mathcal{O}_X)\), \(Y = (\Sh(\mathcal{C}_Y), \mathcal{O}_Y)\), \(X' = (\Sh(\mathcal{C}_{X'}), \mathcal{O}_{X'})\), \(Y' = (\Sh(\mathcal{C}_{Y'}), \mathcal{O}_{Y'})\) des topos annelés. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] un diagramme commutatif de morphismes de topos annelés. Le morphisme \(f^\sharp : \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_{X'}\), composé avec le morphisme \(f_*\text{d}_{X'/Y'} : f_*\mathcal{O}_{X'} \to f_*\Omega_{X'/Y'}\) est un \(Y\)-dérivation. On obtient donc un morphisme canonique de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\Omega_{X/Y} \to f_*\Omega_{X'/Y'}\) et, par adjonction entre \(f_*\) et \(f^*\), un homomorphisme canonique de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules \[c_f : f^*\Omega_{X/Y} \longrightarrow \Omega_{X'/Y'}.\] Il est uniquement caractérisé par la propriété que \(f^*\text{d}_{X/Y}(t)\) s’envoie sur \(\text{d}_{X'/Y'}(f^* t)\) pour toute section locale \(t\) de \(\mathcal{O}_X\).

Démonstration

Tout est clair, sauf la dernière assertion. Précisons son sens. Soient \(U \in \Ob(\mathcal{C}_X)\) et \(t \in \mathcal{O}_X(U)\) ; c’est en ce sens que \(t\) est une section locale de \(\mathcal{O}_X\). On peut voir \(t\) comme un morphisme de faisceaux d’ensembles \(t : h_U^\# \to \mathcal{O}_X\). On a alors \(f^{-1}t : f^{-1}h_U^\# \to f^{-1}\mathcal{O}_X\). Par \(f^*t\), on entend le composé \[\xymatrix{ f^{-1}h_U^\# \ar[rr]^{f^{-1}t} \ar@/^4ex/[rrrr]^{f^*t} & & f^{-1}\mathcal{O}_X \ar[rr]^{f^\sharp} & & \mathcal{O}_{X'} }\] Notons que \(\text{d}_{X/Y}(t) \in \Omega_{X/Y}(U)\). On peut donc voir \(\text{d}_{X/Y}(t)\) comme un morphisme \(\text{d}_{X/Y}(t) : h_U^\# \to \Omega_{X/Y}\). On a alors \(f^{-1}\text{d}_{X/Y}(t) : f^{-1}h_U^\# \to f^{-1}\Omega_{X/Y}\). Par \(f^*\text{d}_{X/Y}(t)\), on entend le composé \[\xymatrix{ f^{-1}h_U^\# \ar[rr]^{f^{-1}\text{d}_{X/Y}(t)} \ar@/^4ex/[rrrr]^{f^*\text{d}_{X/Y}(t)} & & f^{-1}\Omega_{X/Y} \ar[rr]^{1 \otimes \text{id}} & & f^*\Omega_{X/Y} }\] L’énoncé du lemme signifie alors que l’on a \[c_f \circ f^*t = f^*\text{d}_{X/Y}(t)\] comme morphismes de \(f^{-1}h_U^\#\) vers \(\Omega_{X'/Y'}\). Nous omettons la vérification que le morphisme \(c_f\) défini dans le lemme satisfait cette propriété. Indication : le premier morphisme \(c'_f : \Omega_{X/Y} \to f_*\Omega_{X'/Y'}\) satisfait \(c'_f(\text{d}_{X/Y}(t)) = f_*\text{d}_{X'/Y'}(f^\sharp(t))\) en tant que sections de \(f_*\Omega_{X'/Y'}\) au-dessus de \(U\) ; il suffit de traduire cette égalité au moyen de l’adjonction. Cette propriété caractérise uniquement \(c_f\), car les images de \(f^*\text{d}_{X/Y}(t)\) engendrent le \(\mathcal{O}_{X'}\)-module \(f^*\Omega_{X/Y}\), puisque les sections locales \(\text{d}_{X/Y}(t)\) engendrent le \(\mathcal{O}_X\)-module \(\Omega_{X/Y}\).

Opérateurs différentiels d’ordre fini

Dans cette section, nous introduisons les opérateurs différentiels d’ordre fini. Nous conseillons au lecteur de consulter la section correspondante du chapitre consacré à l’algèbre commutative (Algèbre, section 09CH).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\varphi : \mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(k \geq 0\) un entier. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Un opérateur différentiel \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) d’ordre \(k\) est une application \(\mathcal{O}_1\)-linéaire telle que, pour toute section locale \(g\) de \(\mathcal{O}_2\), l’application \(s \mapsto D(gs) - gD(s)\) soit un opérateur différentiel d’ordre \(k - 1\). Pour le cas initial \(k = 0\), nous définissons un opérateur différentiel d’ordre \(0\) comme une application \(\mathcal{O}_2\)-linéaire.

Si \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un opérateur différentiel d’ordre \(k\), alors, pour toute section locale \(g\) de \(\mathcal{O}_2\), l’application \(gD\) est un opérateur différentiel d’ordre \(k\). La somme de deux opérateurs différentiels d’ordre \(k\) en est encore un. Par conséquent, l’ensemble de tous ces opérateurs \[\text{Diff}^k(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \text{Diff}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] est un \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O}_2)\)-module. On a \[\text{Diff}^0(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^1(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^2(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \ldots\] La règle qui associe à \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) le module des opérateurs différentiels \(D : \mathcal{F}|_U \to \mathcal{G}|_U\) d’ordre \(k\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules sur le site \(\mathcal{C}\). On obtient ainsi un faisceau d’opérateurs différentiels (si nous en avons un jour besoin, nous ajouterons ici une définition).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux. Soient \(\mathcal{E}, \mathcal{F}, \mathcal{G}\) des faisceaux de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Si \(D : \mathcal{E} \to \mathcal{F}\) et \(D' : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) sont des opérateurs différentiels d’ordres \(k\) et \(k'\), alors \(D' \circ D\) est un opérateur différentiel d’ordre \(k + k'\).

Démonstration

Soit \(g\) une section locale de \(\mathcal{O}_2\). L’application qui envoie une section locale \(x\) de \(\mathcal{E}\) sur \[D'(D(gx)) - gD'(D(x)) = D'(D(gx)) - D'(gD(x)) + D'(gD(x)) - gD'(D(x))\] est une somme de deux composées d’opérateurs différentiels d’ordre inférieur. Le lemme en résulte par récurrence sur \(k + k'\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Soit \(k \geq 0\). Il existe un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F})\) et un isomorphisme canonique \[\text{Diff}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}), \mathcal{G})\] fonctoriel par rapport au \(\mathcal{O}_2\)-module \(\mathcal{G}\).

Démonstration

L’existence résulte d’arguments généraux de théorie des catégories (insérer ici une référence ultérieure), mais nous donnerons également une construction directe, car elle sera utile dans les démonstrations à venir. Nous emploierons librement les notations introduites dans la démonstration du lemme 04BL. Étant donné un opérateur différentiel \(D : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), nous obtenons une application \(\mathcal{O}_2\)-linéaire \(L_D : \mathcal{O}_2[\mathcal{F}] \to \mathcal{G}\) qui envoie \([m]\) sur \(D(m)\). Si \(D\) est d’ordre \(0\), alors \(L_D\) annule les sections locales \[[m + m'] - [m] - [m'],\quad g_0[m] - [g_0m]\] où \(g_0\) est une section locale de \(\mathcal{O}_2\) et \(m, m'\) sont des sections locales de \(\mathcal{F}\). Si \(D\) est d’ordre \(1\), alors \(L_D\) annule les sections locales \[[m + m'] - [m] - [m'],\quad f[m] - [fm], \quad g_0g_1[m] - g_0[g_1m] - g_1[g_0m] + [g_1g_0m]\] où \(f\) est une section locale de \(\mathcal{O}_1\), \(g_0, g_1\) sont des sections locales de \(\mathcal{O}_2\), et \(m, m'\) sont des sections locales de \(\mathcal{F}\). Si \(D\) est d’ordre \(k\), alors \(L_D\) annule les sections locales \([m + m'] - [m] - [m']\), \(f[m] - [fm]\), ainsi que les sections locales \[g_0g_1\ldots g_k[m] - \sum g_0 \ldots \hat g_i \ldots g_k[g_im] + \ldots +(-1)^{k + 1}[g_0\ldots g_km]\] Réciproquement, si \(L : \mathcal{O}_2[\mathcal{F}] \to \mathcal{G}\) est une application \(\mathcal{O}_2\)-linéaire qui annule toutes les sections locales énumérées dans la phrase précédente, alors \(m \mapsto L([m])\) est un opérateur différentiel d’ordre \(k\). On voit donc que \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F})\) est le quotient de \(\mathcal{O}_2[\mathcal{F}]\) par le sous-\(\mathcal{O}_2\)-module engendré par ces sections locales.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Le module \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F})\) construit dans le lemme 09CT est appelé le module des parties principales d’ordre \(k\) de \(\mathcal{F}\).

Remarquons que les inclusions \[\text{Diff}^0(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^1(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \text{Diff}^2(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \ldots\] correspondent, par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P), aux surjections \[\ldots \to \mathcal{P}^2_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) \to \mathcal{P}^1_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) \to \mathcal{P}^0_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) = \mathcal{F}\]

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de préfaisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Alors \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{O}_2^\#/\mathcal{O}_1^\#}(\mathcal{F}^\#)\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto P^k_{\mathcal{O}_2(U)/\mathcal{O}_1(U)}(\mathcal{F}(U))\).

Démonstration

On peut le démontrer exactement comme pour le faisceau des différentielles dans le lemme 08TP. Une approche peut-être plus élégante consiste à appliquer directement la propriété universelle du lemme 09CT pour obtenir l’égalité. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules. Il existe une suite exacte courte canonique \[0 \to \Omega_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1} \otimes_{\mathcal{O}_2} \mathcal{F} \to \mathcal{P}^1_{\mathcal{O}_2/\mathcal{O}_1}(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to 0\] fonctorielle en \(\mathcal{F}\), appelée la suite des parties principales.

Démonstration

Cela résulte de la version d’algèbre commutative (Algèbre, lemme 09CN) et des lemmes 08TP et 09CV.

Remarque

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons donné un diagramme commutatif de faisceaux d’anneaux \[\xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] }\] un \(\mathcal{B}\)-module \(\mathcal{F}\), un \(\mathcal{B}'\)-module \(\mathcal{F}'\), et une application \(\mathcal{B}\)-linéaire \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\). On obtient alors un système compatible d’applications de modules \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \mathcal{P}^2_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}(\mathcal{F}') \ar[r] & \mathcal{P}^1_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}(\mathcal{F}') \ar[r] & \mathcal{P}^0_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}(\mathcal{F}') \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{P}^2_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{P}^1_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{P}^0_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \ar[u] }\] Ces applications sont compatibles avec toute composition ultérieure d’applications de ce type. Le moyen le plus simple de le voir consiste à utiliser la description des modules \(\mathcal{P}^k_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(\mathcal{M})\) en termes de générateurs et relations (locaux) donnée dans la démonstration du lemme 09CT; cela se voit aussi directement à partir de la propriété universelle de ces modules. De plus, ces applications sont compatibles avec les suites exactes courtes du lemme 09CW.

Le complexe cotangent naïf

Cette section est l’analogue de Algèbre, section 00S0, et de Modules, section 08TG. Nous conseillons au lecteur de lire d’abord ces sections.

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Dans cette section, pour tout faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}\) sur \(\mathcal{C}\), nous notons \(\mathcal{A}[\mathcal{E}]\) le faisceautisé du préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]\). Ici, \(\mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]\) désigne l’algèbre de polynômes sur \(\mathcal{A}(U)\) dont les variables correspondent aux éléments de \(\mathcal{E}(U)\). Nous notons \([e] \in \mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]\) la variable correspondant à \(e \in \mathcal{E}(U)\). Il existe une surjection canonique de \(\mathcal{A}\)-algèbres [08TU]\[\begin{equation} \mathcal{A}[\mathcal{B}] \longrightarrow \mathcal{B},\quad [b] \longmapsto b \end{equation}\] dont nous notons le noyau \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}[\mathcal{B}]\). On observe immédiatement que \(\mathcal{I}\) est engendré par les sections locales \([b][b'] - [bb']\) et \([a] - a\). D’après le lemme 08TS, il existe une application canonique [08TV]\[\begin{equation} \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]} \mathcal{B} \end{equation}\] dont le conoyau est canoniquement isomorphe à \(\Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Le complexe cotangent naïf \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) est le complexe de chaînes (08TV) \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \left(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]} \mathcal{B}\right)\] où \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) est placé en degré \(-1\) et \(\Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{B}]} \mathcal{B}\) est placé en degré \(0\).

Cette construction possède une fonctorialité analogue à celle examinée dans le lemme 08TR pour les modules de différentielles. Plus précisément, étant donné un diagramme commutatif [08TX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] } } \end{equation}\] de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\), il existe une application canonique \(\mathcal{B}\)-linéaire de complexes \[\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow \NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\] En effet, les applications du diagramme commutatif donnent une application canonique \(\mathcal{A}[\mathcal{B}] \to \mathcal{A}'[\mathcal{B}']\) qui envoie \(\mathcal{I}\) dans \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{A}'[\mathcal{B}'] \to \mathcal{B}')\). On obtient ainsi une application \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2\) et une application entre les modules de différentielles; ensemble, elles donnent l’application cherchée entre les complexes cotangents naïfs.

On peut choisir une autre présentation de \(\mathcal{B}\) comme quotient d’une algèbre de polynômes sur \(\mathcal{A}\) et obtenir néanmoins le même objet de \(D(\mathcal{B})\). Pour l’expliquer, supposons que \(\mathcal{E}\) soit un faisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\) et que \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\) soit une application de faisceaux d’ensembles. On obtient alors un homomorphisme de \(\mathcal{A}\)-algèbres \(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B}\). Supposons cette application surjective et notons \(\mathcal{J} \subset \mathcal{A}[\mathcal{E}]\) son noyau. Posons \[\NL(\alpha) = \left( \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B}\right)\] Voici le résultat.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, il existe un isomorphisme canonique \(\NL(\alpha) = \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) dans \(D(\mathcal{B})\).

Démonstration

Remarquons que \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \NL(\text{id}_\mathcal{B})\). Il suffit donc de montrer que, pour deux applications \(\alpha_i : \mathcal{E}_i \to \mathcal{B}\) comme ci-dessus, il existe un quasi-isomorphisme canonique \(\NL(\alpha_1) = \NL(\alpha_2)\) dans \(D(\mathcal{B})\). Pour cela, posons \(\mathcal{E} = \mathcal{E}_1 \amalg \mathcal{E}_2\) et \(\alpha = \alpha_1 \amalg \alpha_2 : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\). Posons \(\mathcal{J}_i = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}_i] \to \mathcal{B})\) et \(\mathcal{J} = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B})\). On obtient des applications \(\mathcal{A}[\mathcal{E}_i] \to \mathcal{A}[\mathcal{E}]\) qui envoient \(\mathcal{J}_i\) dans \(\mathcal{J}\), donc des applications canoniques de complexes \[\NL(\alpha_i) \longrightarrow \NL(\alpha)\] et il suffit de montrer que ces applications sont des quasi-isomorphismes. Pour cela, raisonnons comme suit. Tout d’abord, remarquons que \(H^0(\NL(\alpha_i)) = \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) et \(H^0(\NL(\alpha)) = \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) d’après le lemme 08TS; l’application est donc un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degré \(0\). De même, nous affirmons que \(H^{-1}(\NL(\alpha_i))\) et \(H^{-1}(\NL(\alpha))\) sont les faisceaux associés au préfaisceau \(U \mapsto H_1(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)})\), où où \(H_1(L_{-/-})\) est défini comme dans Algèbre, définition 07BN. Cette assertion achève la démonstration.

Démonstration de l’assertion. Soit \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\) comme ci-dessus. Soit \(\mathcal{B}' \subset \mathcal{B}\) le sous-préfaisceau de \(\mathcal{A}\)-algèbres dont la valeur sur \(U\) est l’image de \(\mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)] \to \mathcal{B}(U)\). Soit \(\mathcal{I}'\) le préfaisceau dont la valeur sur \(U\) est le noyau de \(\mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)] \to \mathcal{B}(U)\). Alors \(\mathcal{I}\) est le faisceautisé de \(\mathcal{I}'\), et \(\mathcal{B}\) celui de \(\mathcal{B}'\). De même, \(H^{-1}(\NL(\alpha))\) est le faisceautisé du préfaisceau \[U \longmapsto \Ker(\mathcal{I}'(U)/\mathcal{I}'(U)^2 \to \Omega_{\mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]/\mathcal{A}(U)} \otimes_{\mathcal{A}(U)[\mathcal{E}(U)]} \mathcal{B}'(U))\] d’après le lemme 08TP. Par Algèbre, lemme 00S1, on en déduit que \(H^{-1}(\NL(\alpha))\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H_1(L_{\mathcal{B}'(U)/\mathcal{A}(U)})\). Il reste donc à montrer que les applications \(H_1(L_{\mathcal{B}'(U)/\mathcal{A}(U)}) \to H_1(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)})\) induisent un isomorphisme \(\mathcal{H}'_1 \to \mathcal{H}_1\) entre faisceautisés.

Injectivité de \(\mathcal{H}'_1 \to \mathcal{H}_1\). Soit \(f \in H_1(L_{\mathcal{B}'(U)/\mathcal{A}(U)})\) d’image nulle dans \(\mathcal{H}_1(U)\). Il faut montrer que \(f\) a une image nulle dans \(\mathcal{H}'_1(U)\) est nulle. L’hypothèse signifie qu’il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(f\) s’annule dans \(H_1(L_{\mathcal{B}(U_i)/\mathcal{A}(U_i)})\) pour tout \(i\). En remplaçant \(U\) par \(U_i\), on se ramène au cas où \(f\) s’annule dans \(H_1(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)})\). Par Algèbre, lemme 07BQ, on peut trouver une sous-algèbre de type fini \(\mathcal{B}'(U) \subset B \subset \mathcal{B}(U)\) telle que \(f\) s’annule dans \(H_1(L_{B/\mathcal{A}(U)})\). Comme \(\mathcal{B} = (\mathcal{B}')^\#\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(B \to \mathcal{B}(U_i)\) se factorise par \(\mathcal{B}'(U_i)\). Ainsi \(f\) s’annule dans \(H_1(L_{\mathcal{B}'(U_i)/\mathcal{A}(U_i)})\), comme voulu.

La surjectivité de \(\mathcal{H}'_1 \to \mathcal{H}_1\) se démontre exactement de la même manière.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{D}\). Alors \(f^{-1}\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = \NL_{f^{-1}\mathcal{B}/f^{-1}\mathcal{A}}\).

Démonstration

La démonstration est omise. Indication : appliquer le lemme 08TQ.

Le complexe cotangent d’un morphisme de topos annelés se définit à l’aide du complexe cotangent introduit ci-dessus.

Définition

Soient \(X = (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) et \(Y = (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) des topos annelés. Soit \((f, f^\sharp) : X \to Y\) un morphisme de topos annelés. Le complexe cotangent naïf \(\NL_f = \NL_{X/Y}\) de ce morphisme de topos annelés est \(\NL_{\mathcal{O}/f^{-1}\mathcal{O}'}\). Nous écrivons parfois \(\NL_{X/Y} = \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}'}\).

Germes des modules

Il faut être quelque peu prudent lorsqu’on prend les germes aux points, car la colimite qui définit un germe (voir Sites, équation 04EH) peut ne pas être filtrante³. En revanche, par définition d’un point d’un site, le foncteur des germes est exact et commute aux colimites arbitraires. Autrement dit, il se comporte exactement comme si la colimite était filtrante.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\).

1. On a \((\mathcal{F}^\#)_p = \mathcal{F}_p\) pour tout préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{C}\).

2. Le foncteur des germes \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est exact (voir Catégories, définition 0034) et commute aux colimites arbitraires.

3. Le foncteur des germes \(\textit{PSh}(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est exact (voir Catégories, définition 0034) et commute aux colimites arbitraires.

Démonstration

Par Sites, lemme 00Y8, on a (1). Par Sites, lemme 00Y7, on voit que \(\textit{PSh}(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est un adjoint à gauche, et, par Sites, lemme 00Y8, il en va de même pour \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\). Le foncteur des germes commute donc aux colimites arbitraires (voir Catégories, lemme 0038). Il résulte de la définition d’un point d’un site, voir Sites, définition 00Y5, que \(\Sh(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est exact. Comme la faisceautisation est exacte (Sites, lemme 00WJ), il s’ensuit que \(\textit{PSh}(\mathcal{C}) \to \textit{Ensembles}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est exact.

En particulier, puisque le foncteur des germes \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) sur les préfaisceaux commute à toutes les limites et colimites finies, on peut appliquer le raisonnement de la démonstration de Sites, proposition 00YV. On obtient ainsi que, si \(\mathcal{F}\) est un (pré)faisceau de structures algébriques figurant dans Sites, proposition 00YV, alors le germe \(\mathcal{F}_p\) porte naturellement une structure algébrique du même type. Détaillons le cas où \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau abélien. L’addition \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) induit une application \[+ : \mathcal{F}_p \times \mathcal{F}_p = (\mathcal{F} \times \mathcal{F})_p \longrightarrow \mathcal{F}_p\] où l’égalité utilise le fait que le foncteur des germes sur les préfaisceaux d’ensembles commute aux limites finies. Ceci définit une structure de groupe sur le germe \(\mathcal{F}_p\). On obtient ainsi le foncteur des germes \[\textit{PAb}(\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Ab}, \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_p\] Par construction, l’ensemble sous-jacent à \(\mathcal{F}_p\) est le germe du préfaisceau d’ensembles sous-jacent. Cela définit aussi le foncteur des germes pour les faisceaux de groupes abéliens, par précomposition avec l’inclusion \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \subset \textit{PAb}(\mathcal{C})\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\).

1. Le foncteur \(\textit{Ab}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est exact.

2. Le foncteur des germes \(\textit{PAb}(\mathcal{C}) \to \textit{Ab}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est exact.

3. Pour \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{PAb}(\mathcal{C}))\), on a \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}^\#_p\).

Démonstration

Cela résulte formellement du lemme 04EN et de la construction précédente du foncteur des germes.

Passons maintenant au cas des faisceaux de modules. Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. (Pour cette discussion, il suffit que \(\mathcal{O}\) soit un préfaisceau d’anneaux.) Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\). On obtient alors une application \[\cdot : \mathcal{O}_p \times \mathcal{O}_p = (\mathcal{O} \times \mathcal{O})_p \longrightarrow \mathcal{O}_p\] qui est le germe de l’application de multiplication, et \[\cdot : \mathcal{O}_p \times \mathcal{F}_p = (\mathcal{O} \times \mathcal{F})_p \longrightarrow \mathcal{F}_p\] qui est le germe de l’application de multiplication. Nous omettons la vérification que ceci définit une structure d’anneau sur \(\mathcal{O}_p\) et une structure de \(\mathcal{O}_p\)-module sur \(\mathcal{F}_p\). On obtient ainsi un foncteur \[\textit{PMod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_p), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_p\] Par construction, l’ensemble sous-jacent à \(\mathcal{F}_p\) est le germe du préfaisceau d’ensembles sous-jacent. Cela définit aussi le foncteur des germes pour les faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules, par précomposition avec l’inclusion \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \subset \textit{PMod}(\mathcal{O})\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\).

1. Le foncteur \(\textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_p)\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est exact.

2. Le foncteur des germes \(\textit{PMod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_p)\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_p\) est exact.

3. Pour \(\mathcal{F} \in \Ob(\textit{PMod}(\mathcal{O}))\), on a \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}^\#_p\).

Démonstration

Cela résulte formellement du lemme 04EP, de la construction précédente du foncteur des germes et du lemme 03DA.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) soit un morphisme de topos annelés ou de sites annelés. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\) ou de \(\Sh(\mathcal{C})\), et posons \(q = f \circ p\). Alors \[(f^*\mathcal{F})_p = \mathcal{F}_q \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{D}, q}} \mathcal{O}_{\mathcal{C}, p}\] pour tout \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module \(\mathcal{F}\).

Démonstration

On a \[f^*\mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}} \mathcal{O}_\mathcal{C}\] par définition. Comme la prise du germe en \(p\) (c’est-à-dire l’application de \(p^{-1}\)) commute à \(\otimes\) par le lemme 03EL, le résultat découle de la relation entre le germe en \(p\) d’une image inverse et les germes en \(q\), exposée dans Sites, lemme 05V1, ou Sites, lemme 05V2.

Faisceaux gratte-ciel

Soit \(p\) un point d’un site \(\mathcal{C}\) ou d’un topos \(\Sh(\mathcal{C})\). Dans cette section, nous étudions les propriétés d’exactitude du foncteur qui associe à un groupe abélien \(A\) le faisceau gratte-ciel \(p_*A\). Rappelons d’abord que \(p_* : \textit{Ensembles} \to \Sh(\mathcal{C})\) possède de nombreuses propriétés d’exactitude; voir Sites, lemmes 05UX et 05UY.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\) ou de son topos associé.

1. Le foncteur \(p_* : \textit{Ab} \to \textit{Ab}(\mathcal{C})\), \(A \mapsto p_*A\), est exact.

2. Il existe une décomposition fonctorielle en somme directe \[p^{-1}p_*A = A \oplus I(A)\] pour \(A \in \Ob(\textit{Ab})\).

Démonstration

Par Sites, lemme 05UX, il existe des applications fonctorielles \(A \to p^{-1}p_*A \to A\) dont la composée est \(\text{id}_A\). On obtient donc une décomposition fonctorielle en somme directe comme en (2), où \(I(A)\) est le noyau de l’application d’adjonction \(p^{-1}p_*A \to A\). Le foncteur \(p_*\) est exact à gauche par le lemme 03DC. Le foncteur \(p_*\) transforme les surjections en surjections par Sites, lemme 05UY. D’où (1).

Pour procéder de même avec les faisceaux de modules, soit \(p\) un point d’un topos annelé \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\). Rappelons que \(p^{-1}\) est précisément le foncteur des germes. On peut donc considérer \(p\) comme un morphisme de topos annelés \[(p, \text{id}_{\mathcal{O}_p}) : (\Sh(pt), \mathcal{O}_p) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}).\] On obtient ainsi un foncteur image inverse \(p^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_p)\) qui coïncide avec le foncteur des germes étudié dans le lemme 04EQ. Dans cette section, nous considérons le foncteur \(p_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_p) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Lemme

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Soit \(p\) un point du topos \(\Sh(\mathcal{C})\).

1. Le foncteur \(p_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_p) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\), \(M \mapsto p_*M\) est exact.

2. La surjection canonique \(p^{-1}p_*M \to M\) est \(\mathcal{O}_p\)-linéaire.

3. La décomposition fonctorielle en somme directe \(p^{-1}p_*M = M \oplus I(M)\) du lemme 05V7 n’est pas \(\mathcal{O}_p\)-linéaire en général.

Démonstration

La partie (1) et la surjectivité dans (2) résultent immédiatement du résultat correspondant pour les faisceaux abéliens dans le lemme 05V7. Comme \(p^{-1}\mathcal{O} = \mathcal{O}_p\), on a \(p^{-1} = p^*\); par conséquent, \(p^{-1}p_*M \to M\) est la co-unité \(p^*p_*M \to M\) de l’adjonction pour les modules, et est donc linéaire.

Démonstration de (3). Soit \(G\) un groupe. Considérons le topos \(G\textit{-Ensembles} = \Sh(\mathcal{T}_G)\) et le point \(p : \textit{Ensembles} \to G\textit{-Ensembles}\). Voir Sites, section 00VZ, et exemple 00YF. Ici, \(p^{-1}\) est le foncteur d’oubli de l’action de \(G\), et \(p_*\) est son adjoint à droite, qui envoie \(M\) sur \(\text{Map}(G, M)\). Les applications de la décomposition en somme directe sont \[M \to \text{Map}(G, M) \to M\] où la première envoie \(m \in M\) sur l’application constante de valeur \(m\), et la seconde est l’évaluation en l’élément neutre \(1\) de \(G\). Supposons ensuite que \(R\) soit un anneau muni d’une action de \(G\). Celle-ci détermine un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}\) sur \(\mathcal{T}_G\). La catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules est celle des \(R\)-modules \(M\) munis d’une action de \(G\) compatible à celle sur \(R\). La structure de \(R\)-module sur \(\text{Map}(G, M)\) est donnée par \[( r f ) (\sigma) = \sigma(r) f(\sigma)\] pour \(r \in R\) et \(f \in \text{Map}(G, M)\). C’est en effet l’unique structure \(G\)-invariante de \(R\)-module compatible avec l’évaluation en \(1\). Le lecteur observera qu’en général l’image de \(M \to \text{Map}(G, M)\) n’est pas un sous-\(R\)-module (prendre par exemple \(M = R\) et supposer l’action de \(G\) non triviale), ce qui achève la démonstration.

Exemple

Soit \(G\) un groupe. Considérons le site \(\mathcal{T}_G\) et son point \(p\); voir Sites, exemple 00YF. Soit \(R\) un anneau muni d’une action de \(G\), correspondant à un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}\) sur \(\mathcal{T}_G\). Alors \(\mathcal{O}_p = R\), où l’on oublie l’action de \(G\). Dans ce cas, \(p^{-1}p_*M = \text{Map}(G, M)\), \(I(M) = \{f : G \to M \mid f(1_G) = 0\}\), et \(M \to \text{Map}(G, M)\) associe à \(m \in M\) la fonction constante de valeur \(m\).

Localisation et points

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\). Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Pour \(\mathcal{G}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U)\), on a \[(j_{U!}\mathcal{G})_p = \bigoplus\nolimits_q \mathcal{G}_q\] où la somme directe porte sur les points \(q\) de \(\mathcal{C}/U\) situés au-dessus de \(p\); voir Sites, lemme 04H3.

Démonstration

Nous utilisons la description de \(j_{U!}\mathcal{G}\) comme faisceau associé au préfaisceau \(V \mapsto \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V/_\varphi U)\) du lemme 03DI. Le germe de \(j_{U!}\mathcal{G}\) en \(p\) est égale à celle de ce préfaisceau; voir le lemme 04EQ. Soit \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) le foncteur correspondant à \(p\) (voir Sites, section 00Y3). On voit alors que \[(j_{U!}\mathcal{G})_p = \colim_{(V, y)} \bigoplus\nolimits_{\varphi : V \to U} \mathcal{G}(V/_\varphi U)\] où la colimite est prise dans la catégorie des groupes abéliens. À un quadruplet \((V, y, \varphi, s)\) intervenant dans cette colimite, on peut associer \(x = u(\varphi)(y) \in u(U)\). On obtient ainsi \[(j_{U!}\mathcal{G})_p = \bigoplus\nolimits_{x \in u(U)} \colim_{(\varphi : V \to U, y), \ u(\varphi)(y) = x} \mathcal{G}(V/_\varphi U).\] C’est l’expression du lemme, d’après la description des points \(q\) situés au-dessus de \(x\) donnée dans Sites, lemme 04H3.

Remarque

Attention : le résultat du lemme 0710 n’a pas d’analogue pour \(j_{U, *}\).

Images inverses de modules plats

L’image inverse d’un module plat par un morphisme de topos annelés est plate. La démonstration demande quelque soin.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) soit un morphisme de topos annelés ou de sites annelés. Alors \(f^*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module plat lorsque \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module plat.

Démonstration

Choisissons un diagramme comme dans le lemme 03CR. Rappelons que la propriété d’être un module plat est intrinsèque (voir la section 03DG et la définition 03ER). Il suffit donc de démontrer le lemme pour le morphisme \((h, h^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \to (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'})\). Autrement dit, on peut supposer que nos sites \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) admettent toutes les limites finies et que \(f\) est un morphisme de sites induit par un foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) qui commute aux limites finies.

Rappelons que \(f^*\mathcal{F} = \mathcal{O}_\mathcal{C} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}} f^{-1}\mathcal{F}\) (définition 03D6). Par le lemme 05V4, il suffit de montrer que \(f^{-1}\mathcal{F}\) est un \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module plat. Avec le paragraphe précédent, cela nous ramène à la situation du paragraphe suivant.

Supposons que \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) soient des sites admettant toutes les limites finies, et que \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\) soit un foncteur continu commutant aux limites finies. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{D}\) et soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module plat. Alors \(u\) définit un morphisme de sites \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) (Sites, proposition 00X6). Il faut montrer que \(f^{-1}\mathcal{F}\) est un \(f^{-1}\mathcal{O}\)-module plat. Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) et soit \[f^{-1}\mathcal{O}|_U \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_n)} f^{-1}\mathcal{O}|_U^{\oplus n} \xrightarrow{(s_1, \ldots, s_n)} f^{-1}\mathcal{F}|_U\] un complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}|_U\)-modules. Notre but est de construire une factorisation de \((s_1, \ldots, s_n)\) sur les membres d’un recouvrement de \(U\), comme dans le lemme 08FC, partie (2). Considérons les éléments \(s_a \in f^{-1}\mathcal{F}(U)\) et \(f_a \in f^{-1}\mathcal{O}(U)\). Comme \(f^{-1}\mathcal{F}\) et, de même, \(f^{-1}\mathcal{O}\) s’obtiennent par faisceautisation de \(u_p\mathcal{F}\), on peut, après avoir remplacé \(U\) par les membres d’un recouvrement, supposer que \(s_a\) est l’image d’un élément \(s'_a \in u_p\mathcal{F}(U)\) et que \(f_a\) est l’image d’un élément \(f'_a \in u_p\mathcal{O}(U)\). Après un nouveau remplacement de \(U\) par les membres d’un recouvrement, on peut supposer que \(\sum f'_as'_a\) est nul dans \(u_p\mathcal{F}(U)\). Rappelons que la catégorie \((\mathcal{I}_U^u)^{opp}\) est filtrante (Sites, lemme 00X3) et que \(u_p\mathcal{F}(U) = \colim_{(\mathcal{I}_U^u)^{opp}} \mathcal{F}(V)\) et \(u_p\mathcal{O}(U) = \colim_{(\mathcal{I}_U^u)^{opp}} \mathcal{O}(V)\). On peut donc supposer qu’il existe une paire \((V, \phi) \in \Ob(\mathcal{I}_U^u)\), où \(V\) est un objet de \(\mathcal{D}\) et \(\phi\) est un morphisme \(\phi : U \to u(V)\) de \(\mathcal{D}\), ainsi que des éléments \(s''_a \in \mathcal{F}(V)\) et \(f''_a \in \mathcal{O}(V)\) dont les images dans \(u_p\mathcal{F}(U)\) et \(u_p\mathcal{O}(U)\) sont \(s'_a\) et \(f'_a\), et tels que \(\sum f''_a s''_a = 0\) dans \(\mathcal{F}(V)\). On obtient alors un complexe \[\mathcal{O}|_V \xrightarrow{(f''_1, \ldots, f''_n)} \mathcal{O}|_V^{\oplus n} \xrightarrow{(s''_1, \ldots, s''_n)} \mathcal{F}|_V\] et l’autre implication du lemme 08FC montre qu’il existe un recouvrement \(\{V_i \to V\}\) dans \(\mathcal{D}\) et, pour chaque \(i\), une factorisation \[\mathcal{O}|_{V_i}^{\oplus n} \xrightarrow{B''_i} \mathcal{O}|_{V_i}^{\oplus l_i} \xrightarrow{(t''_{i1}, \ldots, t''_{il_i})} \mathcal{F}|_{V_i}\] de \((s''_1, \ldots, s''_n)|_{V_i}\) telle que \(B_i \circ (f''_1, \ldots, f''_n)|_{V_i} = 0\). Posons \(U_i = U \times_{\phi, u(V)} u(V_i)\), notons \(B_i \in \text{Mat}(l_i \times n, f^{-1}\mathcal{O}(U_i))\) l’image de \(B''_i\) et \(t_{ij} \in f^{-1}\mathcal{F}(U_i)\) l’image de \(t''_{ij}\). On obtient une factorisation \[f^{-1}\mathcal{O}|_{U_i}^{\oplus n} \xrightarrow{B_i} f^{-1}\mathcal{O}|_{U_i}^{\oplus l_i} \xrightarrow{(t_{i1}, \ldots, t_{il_i})} \mathcal{F}|_{U_i}\] de \((s_1, \ldots, s_n)|_{U_i}\) telle que \(B_i \circ (f_1, \ldots, f_n)|_{U_i} = 0\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé et soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat, alors \(\mathcal{F}_p\) est un \(\mathcal{O}_p\)-module plat.

Démonstration

Dans la section 05V6, nous avons vu que l’on peut considérer \(p\) comme un morphisme de topos annelés \[(p, \text{id}_{\mathcal{O}_p}) : (\Sh(pt), \mathcal{O}_p) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}).\] tel que le foncteur image inverse \(p^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_p)\) coïncide avec le foncteur des germes. Le lemme résulte donc du lemme 05VD.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\{p_i\}_{i \in I}\) une famille conservative de points de \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{F}\) est plat si et seulement si \(\mathcal{F}_{p_i}\) est un \(\mathcal{O}_{p_i}\)-module plat pour tout \(i \in I\).

Démonstration

Le lemme 05VB donne une implication. Pour la réciproque, utilisons l’égalité \((\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G})_p = \mathcal{F}_p \otimes_{\mathcal{O}_p} \mathcal{G}_p\) fournie par le lemme 03EL (puisque le germe en \(p\) est donnée par \(p^{-1}\)), ainsi que le lemme 05V3.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) soit un morphisme de topos annelés. Soit \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{O}\)-modules, où \(\mathcal{H}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat. Alors la suite \(0 \to f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{G} \to f^*\mathcal{H} \to 0\) est elle aussi exacte.

Démonstration

Comme \(f^{-1}\) est exact, on a la suite exacte courte \(0 \to f^{-1}\mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G} \to f^{-1}\mathcal{H} \to 0\) de \(f^{-1}\mathcal{O}\)-modules. Par le lemme 05VD, le \(f^{-1}\mathcal{O}\)-module \(f^{-1}\mathcal{H}\) est plat. Le lemme 03EX montre donc que la suite reste exacte après tensorisation sur \(f^{-1}\mathcal{O}\) par \(\mathcal{O}'\). Comme \(f^*\mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{F} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}} \mathcal{O}'\) et de même pour \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{H}\), on conclut.

Topos localement annelés

Une référence pour cette section est [SGA4, Exposé IV, Exercice 13.9].

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et tout \(f \in \mathcal{O}(U)\), il existe un recouvrement \(\{U_j \to U\}\) tel que, pour chaque \(j\), soit \(f|_{U_j}\), soit \((1 - f)|_{U_j}\) soit inversible.

2. Pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(n \geq 1\), et \(f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{O}(U)\) engendrant l’idéal unité de \(\mathcal{O}(U)\), il existe un recouvrement \(\{U_j \to U\}\) tel que, pour chaque \(j\), il existe \(i\) pour lequel \(f_i|_{U_j}\) est inversible.

3. L’application de faisceaux d’ensembles \[(\mathcal{O} \times \mathcal{O}) \amalg (\mathcal{O} \times \mathcal{O}) \longrightarrow \mathcal{O} \times \mathcal{O}\] qui envoie \((f, a)\) dans la première composante sur \((f, af)\) et \((f, b)\) dans la seconde sur \((f, b(1 - f))\) est surjective.

Démonstration

Il est clair que (2) implique (1). Pour montrer que (1) implique (2), raisonnons par récurrence sur \(n\). Le premier cas est \(n = 2\) (le cas \(n = 1\) étant trivial). On a alors \(a_1f_1 + a_2f_2 = 1\) pour certains \(a_1, a_2 \in \mathcal{O}(U)\). Par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{U_j \to U\}\) tel que, pour chaque \(j\), soit \(a_1f_1|_{U_j}\), soit \(a_2f_2|_{U_j}\) soit inversible. Ainsi \(f_1|_{U_j}\) ou \(f_2|_{U_j}\) est inversible, comme voulu. Pour \(n > 2\), on a \(a_1f_1 + \ldots + a_nf_n = 1\) pour certains \(a_1, \ldots, a_n \in \mathcal{O}(U)\). Le cas \(n = 2\) donne un recouvrement \(\{U_j \to U\}_{j \in J}\) tel que, pour chaque \(j\), soit \(f_n|_{U_j}\), soit \(a_1f_1 + \ldots + a_{n - 1}f_{n - 1}|_{U_j}\) soit inversible. Disons que le premier cas se produit pour \(j \in J_n\) et posons \(J' = J \setminus J_n\). Par l’hypothèse de récurrence, pour chaque \(j \in J'\), il existe un recouvrement \(\{U_{jk} \to U_j\}_{k \in K_j}\) tel que, pour chaque \(k \in K_j\), il existe un \(i \in \{1, \ldots, n - 1\}\) tel que \(f_i|_{U_{jk}}\) soit inversible. Par les axiomes d’un site, la famille de morphismes \(\{U_j \to U\}_{j \in J_n} \cup \{U_{jk} \to U\}_{j \in J', k \in K_j}\) est un recouvrement possédant la propriété voulue.

Supposons (1). Pour voir que l’application de (3) est surjective, soit \((f, c)\) une section de \(\mathcal{O} \times \mathcal{O}\) sur \(U\). Par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{U_j \to U\}\) tel que, pour chaque \(j\), \(f\) ou \(1 - f\) se restreigne en une section inversible. Dans le premier cas, on prend \(a = c|_{U_j} (f|_{U_j})^{-1}\); dans le second, \(b = c|_{U_j} (1 - f|_{U_j})^{-1}\). Ainsi \((f, c)\) appartient à l’image sur chaque membre du recouvrement. Réciproquement, supposons (3). Pour tout \(U\) et \(f \in \mathcal{O}(U)\), il existe un recouvrement \(\{U_j \to U\}\) de \(U\) tel que la section \((f, 1)|_{U_j}\) appartienne à l’image de l’application de (3) sur \(U_j\). Cela signifie précisément que \(f\) ou \(1 - f\) se restreint en une section inversible sur \(U_j\), d’où (1).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Considérons les conditions suivantes :

1. Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\) et tout \(f \in \mathcal{O}(U)\), il existe un recouvrement \(\{U_j \to U\}\) tel que, pour chaque \(j\), soit \(f|_{U_j}\), soit \((1 - f)|_{U_j}\) soit inversible.

2. Pour tout point \(p\) de \(\mathcal{C}\), le germe \(\mathcal{O}_p\) est soit l’anneau nul, soit un anneau local.

On a toujours (1) \(\Rightarrow\) (2). Si \(\mathcal{C}\) a assez de points, alors (1) et (2) sont équivalentes.

Démonstration

Supposons (1). Soit \(p\) un point de \(\mathcal{C}\) donné par un foncteur \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\), et soit \(f_p \in \mathcal{O}_p\). Puisque \(\mathcal{O}_p\) est calculé par Sites, équation (04EH), on peut représenter \(f_p\) par un triplet \((U, x, f)\), où \(x \in U(U)\) et \(f \in \mathcal{O}(U)\). Par hypothèse, il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que, pour chaque \(i\), \(f\) ou \(1 - f\) soit inversible sur \(U_i\). Comme \(u\) définit un point du site, il existe, pour un certain \(i\), un \(x_i \in u(U_i)\) qui s’envoie sur \(x \in u(U)\). La discussion autour de Sites, équation (04EH), montre que \((U, x, f)\) et \((U_i, x_i, f|_{U_i})\) définissent le même élément de \(\mathcal{O}_p\). Ainsi \(f_p\) ou \(1 - f_p\) est inversible. Par conséquent, dans l’anneau \(\mathcal{O}_p\), pour tout élément \(a\), \(a\) ou \(1 - a\) est inversible. Cela signifie que \(\mathcal{O}_p\) est nul ou local; voir Algèbre, lemme 00E9.

Supposons (2) et que \(\mathcal{C}\) ait assez de points. Considérons l’application de faisceaux d’ensembles \[\mathcal{O} \times \mathcal{O} \amalg \mathcal{O} \times \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{O} \times \mathcal{O}\] du lemme 04ES, partie (3). Pour tout anneau local \(R\), l’application correspondante \((R \times R) \amalg (R \times R) \to R \times R\) est surjective; voir par exemple Algèbre, lemme 00E9. Comme chaque \(\mathcal{O}_p\) est un anneau local ou nul, l’application est surjective sur les germes. Puisque \(\mathcal{C}\) a assez de points, elle est donc surjective, ce qui conclut.

Dans Modules, section 01AE, nous avons signalé qu’un espace annelé \((X, \mathcal{O}_X)\) peut avoir un sous-espace ouvert sur lequel le faisceau structural est nul. Pour l’exclure, on peut imposer que les sections \(1\) et \(0\) aient des valeurs distinctes dans tout germe de \(X\). Pour les topos et sites annelés, la condition est que [05D7]\[\begin{equation} \emptyset^\# \longrightarrow \text{Equalizer}(0, 1 : * \longrightarrow \mathcal{O}) \end{equation}\] soit un isomorphisme de faisceaux. Ici, \(*\) est le faisceau singleton et \(\emptyset^\#\) le « faisceau vide », c’est-à-dire respectivement l’objet final et l’objet initial de la catégorie des faisceaux; voir Sites, exemple 00W3, respectivement section 04B4. Autrement dit, si \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) n’est pas vide au sens faisceautique, alors \(1, 0 \in \mathcal{O}(U)\) ne sont pas égaux. Énonçons le lemme obligé.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Considérons les assertions :

1. (05D7) est un isomorphisme, et

2. pour tout point \(p\) de \(\mathcal{C}\), le germe \(\mathcal{O}_p\) n’est pas l’anneau nul.

On a toujours (1) \(\Rightarrow\) (2), et, si \(\mathcal{C}\) a assez de points, alors (1) \(\Leftrightarrow\) (2).

Démonstration

La démonstration est omise.

Les lemmes 04ES, 04ET et 05D8 motivent la définition suivante.

Définition

Un site annelé \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est dit localement annelé si (05D7) est un isomorphisme et si les propriétés équivalentes du lemme 04ES sont satisfaites.

Dans [SGA4, Exposé IV, Exercice 13.9], la condition que (05D7) soit un isomorphisme manque, ce qui conduit à une notion légèrement différente de site et de topos localement annelés. Comme nous sommes guidés par la notion d’espace localement annelé, nous avons choisi d’ajouter cette condition (voir l’explication ci-dessus).

Lemme

Être un site localement annelé est une propriété intrinsèque. Plus précisément :

1. si \(f : \Sh(\mathcal{C}') \to \Sh(\mathcal{C})\) est un morphisme de topos et si \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est un site localement annelé, alors \((\mathcal{C}', f^{-1}\mathcal{O})\) est un site localement annelé; et

2. si \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est une équivalence de topos annelés, alors \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est localement annelé si et seulement si \((\mathcal{C}', \mathcal{O}')\) l’est.

Démonstration

Il est clair que (2) résulte de (1). Pour démontrer (1), remarquons que, comme \(f^{-1}\) est exact, on a \(f^{-1}* = *\) et \(f^{-1}\emptyset^\# = \emptyset^\#\); de plus, \(f^{-1}\) commute aux produits et aux égalisateurs, et transforme isomorphismes et surjections en isomorphismes et surjections. Ainsi, \(f^{-1}\) transforme l’isomorphisme (05D7) en son analogue pour \(f^{-1}\mathcal{O}\), et la surjection du lemme 04ES, partie (3), en la surjection correspondante pour \(f^{-1}\mathcal{O}\).

En fait, le lemme 04H7, partie (2), est l’analogue de Schémas, lemme 01HC. Il garantit que la définition suivante a un sens.

Définition

Un topos annelé \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est dit localement annelé si le site annelé sous-jacent \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est localement annelé.

Voici un exemple de conséquence de la propriété d’être localement annelé.

Lemme

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Tout \(\mathcal{O}\)-module localement libre de rang \(1\) est inversible. Si \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est localement annelé, la réciproque est également vraie (ce qui n’est pas le cas en général).

Démonstration

Supposons \(\mathcal{L}\) localement libre de rang \(1\) et considérons l’application d’évaluation \[\mathcal{L} \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}, \mathcal{O}) \longrightarrow \mathcal{O}\] Pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), en se restreignant aux membres d’un recouvrement qui trivialise \(\mathcal{L}\), on voit que cette application est un isomorphisme (détails omis). Le lemme 0B8N montre donc que \(\mathcal{L}\) est inversible.

Supposons \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) localement annelé et soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Dans la démonstration du lemme 0B8N, nous avons vu qu’il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\mathcal{L}|_{\mathcal{C}/U_i}\) soit facteur direct d’un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module libre fini. Après avoir remplacé \(U\) par \(U_i\), soit \(p : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{O}_U^{\oplus r}\) un projecteur dont l’image est isomorphe à \(\mathcal{L}|_{\mathcal{C}/U}\). Alors \(p\) correspond à une matrice \[P = (p_{ij}) \in \text{Mat}(r \times r, \mathcal{O}(U))\] qui est un projecteur : \(P^2 = P\). Posons \(A = \mathcal{O}(U)\), de sorte que \(P \in \text{Mat}(r \times r, A)\). Par Algèbre, lemme 00NX, l’image de \(P\) est un module \(M\) fini localement libre sur \(A\). Il existe donc \(f_1, \ldots, f_t \in A\) engendrant l’idéal unité tels que \(M_{f_i}\) soit libre fini. Par le lemme 04ES, après avoir remplacé \(U\) par les membres d’un recouvrement ouvert, on peut supposer \(M\) libre. Cela signifie que \(\mathcal{L}|_U\) est libre (détails omis). Puisque \(\mathcal{L}\) est inversible, cela n’est possible que si le rang de \(\mathcal{L}|_U\) vaut \(1\), ce qui achève la démonstration.

Nous voulons maintenant préciser ce que signifie être un morphisme d’espaces localement annelés. Nous utiliserons le lemme suivant.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) soit un morphisme de topos annelés. Considérons les conditions suivantes :

1. Le diagramme de faisceaux \[\xymatrix{ f^{-1}(\mathcal{O}^*_\mathcal{D}) \ar[r]_-{f^\sharp} \ar[d] & \mathcal{O}^*_\mathcal{C} \ar[d] \\ f^{-1}(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \ar[r]^-{f^\sharp} & \mathcal{O}_\mathcal{C} }\] est cartésien.

2. Pour tout point \(p\) de \(\mathcal{C}\), en posant \(q = f \circ p\), le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{O}^*_{\mathcal{D}, q} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O}^*_{\mathcal{C}, p} \ar[d] \\ \mathcal{O}_{\mathcal{D}, q} \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{C}, p} }\] d’ensembles est cartésien.

On a toujours (1) \(\Rightarrow\) (2). Si \(\mathcal{C}\) a assez de points, alors (1) et (2) sont équivalentes. Si \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\) et \((\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) sont des topos localement annelés, alors (2) équivaut à :

1. Pour tout point \(p\) de \(\mathcal{C}\), en posant \(q = f \circ p\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{\mathcal{D}, q} \to \mathcal{O}_{\mathcal{C}, p}\) est local.

En fait, la propriété (2), ou la propriété (3) pour une famille conservative de points, implique (1).

Démonstration

Le lemme se démontre de lui-même : il suffit de développer les définitions.

Définition

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) soit un morphisme de topos annelés. Supposons que \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\) et \((\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) soient des topos localement annelés. On dit que \((f, f^\sharp)\) est un morphisme de topos localement annelés si et seulement si le diagramme de faisceaux \[\xymatrix{ f^{-1}(\mathcal{O}^*_\mathcal{D}) \ar[r]_-{f^\sharp} \ar[d] & \mathcal{O}^*_\mathcal{C} \ar[d] \\ f^{-1}(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \ar[r]^-{f^\sharp} & \mathcal{O}_\mathcal{C} }\] (voir le lemme 04H9) est cartésien. Si \((f, f^\sharp)\) est un morphisme de sites annelés, on dit que c’est un morphisme de sites localement annelés si le morphisme de topos annelés associé est un morphisme de topos localement annelés.

Il est clair qu’un isomorphisme de topos annelés entre topos localement annelés est automatiquement un isomorphisme de topos localement annelés.

Lemme

Soient \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}_1), \mathcal{O}_1) \to (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2)\) et \((g, g^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2) \to (\Sh(\mathcal{C}_3), \mathcal{O}_3)\) soient des morphismes de topos localement annelés. Alors leur composée \((g, g^\sharp) \circ (f, f^\sharp)\) (voir la définition 01D3) est encore un morphisme de topos localement annelés.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}') \to \Sh(\mathcal{C})\) un morphisme de topos. Si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\), alors \[f^{-1}(\mathcal{O}^*) = (f^{-1}\mathcal{O})^*.\] En particulier, si \(\mathcal{O}\) fait de \(\mathcal{C}\) un site localement annelé, alors, en posant \(f^\sharp = \text{id}\), le morphisme de topos annelés \[(f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), f^{-1}\mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}, \mathcal{O})\] est un morphisme de topos localement annelés.

Démonstration

Remarquons que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{O}^* \ar[rr] \ar[d]_{u \mapsto (u, u^{-1})} & & {*} \ar[d]^{1} \\ \mathcal{O} \times \mathcal{O} \ar[rr]^-{(a, b) \mapsto ab} & & \mathcal{O} }\] est cartésien. Comme \(f^{-1}\) est exact, on en déduit que \[\xymatrix{ f^{-1}(\mathcal{O}^*) \ar[d]_{u \mapsto (u, u^{-1})} \ar[rr] & & {*} \ar[d]^{1} \\ f^{-1}\mathcal{O} \times f^{-1}\mathcal{O} \ar[rr]^-{(a, b) \mapsto ab} & & f^{-1}\mathcal{O} }\] est cartésien, ce qui prouve la première assertion. Pour la seconde, remarquons que \((\mathcal{C}', f^{-1}\mathcal{O})\) est un site localement annelé par le lemme 04H7; l’assertion a donc un sens. La première partie montre alors que le morphisme est un morphisme de topos localement annelés.

Lemme

Localisation des sites et topos localement annelés.

1. Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site localement annelé et soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Alors la localisation \((\mathcal{C}/U, \mathcal{O}_U)\) est un site localement annelé, et le morphisme de localisation \[(j_U, j_U^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\] est un morphisme de topos localement annelés.

2. Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site localement annelé et soit \(f : V \to U\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Alors le morphisme \[(j, j^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}/V), \mathcal{O}_V) \to (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U)\] du lemme 04IY est un morphisme de topos localement annelés.

3. Soit \((f, f^\sharp) : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \longrightarrow (\mathcal{D}, \mathcal{O}')\) un morphisme de sites localement annelés, où \(f\) est donné par le foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soit \(V\) un objet de \(\mathcal{D}\) et posons \(U = u(V)\). Alors le morphisme \[(f', (f')^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \to (\Sh(\mathcal{D}/V), \mathcal{O}'_V)\] du lemme 04J0 est un morphisme de sites localement annelés.

4. Soit \((f, f^\sharp) : (\mathcal{C}, \mathcal{O}) \longrightarrow (\mathcal{D}, \mathcal{O}')\) un morphisme de sites localement annelés, où \(f\) est donné par le foncteur continu \(u : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\). Soient \(V \in \Ob(\mathcal{D})\), \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et \(c : U \to u(V)\). Alors le morphisme \[(f_c, (f_c)^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \to (\Sh(\mathcal{D}/V), \mathcal{O}'_V)\] du lemme 04J1 est un morphisme de topos localement annelés.

5. Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos localement annelé et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\). Alors la localisation \((\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F})\) est un topos localement annelé, et le morphisme de localisation \[(j_\mathcal{F}, j_\mathcal{F}^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\] est un morphisme de topos localement annelés.

6. Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos localement annelé. Soit \(s : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) une application de faisceaux sur \(\mathcal{C}\). Alors le morphisme \[(j, j^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{G}, \mathcal{O}_\mathcal{G}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F})\] du lemme 04J4 est un morphisme de topos localement annelés.

7. Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos localement annelés. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{D}\) et posons \(\mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{G}\). Alors le morphisme \[(f', (f')^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}, \mathcal{O}'_\mathcal{G})\] du lemme 04IF est un morphisme de topos localement annelés.

8. Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos localement annelés. Soient \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(\mathcal{C}\), et soit \(s : \mathcal{F} \to f^{-1}\mathcal{G}\) un morphisme de faisceaux. Alors le morphisme \[(f_s, (f_s)^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}, \mathcal{O}_\mathcal{F}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{D})/\mathcal{G}, \mathcal{O}'_\mathcal{G})\] du lemme 04J8 est un morphisme de topos localement annelés.

Démonstration

La partie (1) est claire, puisque \(\mathcal{O}_U\) n’est autre que la restriction de \(\mathcal{O}\); les lemmes 04H7 et 04KR s’appliquent. La partie (2) est claire, car \((j, j^\sharp)\) est une localisation d’un site localement annelé, donc (1) s’applique. La partie (3) est également claire, puisque \((f')^\sharp\) est la restriction de \(f^\sharp\) au topos \(\Sh(\mathcal{C})/\mathcal{F}\); voir la démonstration du lemme 04IF. Le diagramme de la définition 04HA pour \(f'\) est donc la restriction du diagramme correspondant pour \(f\), et la restriction est un foncteur exact. La partie (4) résulte formellement de (2) et (3). Les parties (5), (6), (7) et (8) résultent respectivement de (1), (2), (3) et (4), en agrandissant les sites comme dans le lemme 03CR et en traduisant tout en termes de sites et de morphismes de sites au moyen des comparaisons des lemmes 04J3, 04J5, 04J7 et 04J9. (On pourrait aussi appliquer directement aux parties (5), (6), (7) et (8) les mêmes arguments que dans les démonstrations de (1), (2), (3) et (4).)

Image directe exceptionnelle pour les modules

Dans cette section, nous étendons au cas des faisceaux de modules la construction de \(g_!\) étudiée dans la section 04BE.

Lemme

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu et cocontinu entre sites. Notons \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos associé. Soit \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{D}\) et posons \(\mathcal{O}_\mathcal{C} = g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\). Ainsi \(g\) devient un morphisme de topos annelés tel que \(g^* = g^{-1}\). Il existe alors un foncteur \[g_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D})\] adjoint à gauche de \(g^*\).

Démonstration

Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Pour tout \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module \(\mathcal{G}\), on a \[\begin{align*} \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}(j_{U!}\mathcal{O}_U, g^{-1}\mathcal{G}) & = g^{-1}\mathcal{G}(U) \\ & = \mathcal{G}(u(U)) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}(j_{u(U)!}\mathcal{O}_{u(U)}, \mathcal{G}) \end{align*}\] car \(g^{-1}\) se décrit par restriction; voir Sites, lemme 00XR. Une formule analogue vaut évidemment pour une somme directe de modules de la forme \(j_{U!}\mathcal{O}_U\). Par Homologie, lemme 0793, et par le lemme 03EW, on voit que \(g_!\) existe.

Remarque

Attention ! Soient \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\), \(g\), \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\) et \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) comme dans le lemme 0797. En général, le diagramme \[\xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[r]_{g_!} \ar[d]_{forget} & \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{D}) \ar[d]^{forget} \\ \textit{Ab}(\mathcal{C}) \ar[r]^{g^{Ab}_!} & \textit{Ab}(\mathcal{D}) }\] ne commute pas (ici, \(g^{Ab}_!\) est celui du lemme 04BG). Il existe une transformation de foncteurs \[g_!^{Ab} \circ forget \longrightarrow forget \circ g_!\] La démonstration du lemme 0797 montre que c’est un isomorphisme si et seulement si \(g^{Ab}_!j_{U!}\mathcal{O}_U \to g_!j_{U!}\mathcal{O}_U\) est un isomorphisme pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Comme \(g_!j_{U!}\mathcal{O}_U = j_{u(U)!}\mathcal{O}_{u(U)}\), cette condition équivaut à ce que \[g^{Ab}_!j_{U!}\mathcal{O}_U \longrightarrow j_{u(U)!}\mathcal{O}_{u(U)}\] soit un isomorphisme pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Pour un tel \(U\), on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{C}/U \ar[r]_-{u'} \ar[d]_{j_U} & \mathcal{D}/u(U) \ar[d]^{j_{u(U)}} \\ \mathcal{C} \ar[r]^u & \mathcal{D} }\] de foncteurs cocontinus de sites; voir Sites, lemme 03EG. Par conséquent, \(g^{Ab}_!j_{U!} = j_{u(U)!}(g')^{Ab}_!\), où \(g' : \Sh(\mathcal{C}/U) \to \Sh(\mathcal{D}/u(U))\) est le morphisme de topos induit par le foncteur cocontinu \(u'\). On voit donc que \(g_! = g^{Ab}_!\) si l’application canonique [0799]\[\begin{equation} (g')^{Ab}_!\mathcal{O}_U \longrightarrow \mathcal{O}_{u(U)} \end{equation}\] est un isomorphisme pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\).

Les deux résultats suivants sont de nature légèrement différente.

Lemme

Supposons donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{(g', (g')^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^{(g, g^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] de topos annelés. Supposons que :

1. \(f\), \(f'\), \(g\) et \(g'\) correspondent aux foncteurs cocontinus \(u\), \(u'\), \(v\) et \(v'\) comme dans Sites, lemme 00XO;

2. \(v \circ u' = u \circ v'\),

3. \(v\) et \(v'\) sont à la fois continus et cocontinus;

4. pour tout objet \(V'\) de \(\mathcal{D}'\), le foncteur \({}^{u'}_{V'}\mathcal{I} \to {}^{\ \ \ u}_{v(V')}\mathcal{I}\) induit par \(v\) est cofinal; et

5. \(g^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{D}} = \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}\) et \((g')^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{C}} = \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}\).

Alors, sur les modules, on a \(f'_* \circ (g')^* = g^* \circ f_*\) et \(g'_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ g_!\).

Démonstration

On a \((g')^*\mathcal{F} = (g')^{-1}\mathcal{F}\) et \(g^*\mathcal{G} = g^{-1}\mathcal{G}\) en vertu de (5). La première égalité résulte donc immédiatement de l’égalité correspondante dans Sites, lemme 0FN1. Comme les adjoints à gauche \(g_!\) et \(g'_!\) de \(g^*\) et \((g')^*\) existent par le lemme 0797, la seconde égalité résulte de l’unicité des foncteurs adjoints.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}) \ar[r]_{(g', (g')^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{D}'), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \ar[r]^{(g, g^\sharp)} & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] de topos annelés et supposons donnés des foncteurs \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[r]_{v'} & \mathcal{C} \\ \mathcal{D}' \ar[r]^v \ar[u]^{u'} & \mathcal{D} \ar[u]_u }\] tels que (avec les notations de Sites, sections 00X0 et 00XN) :

1. \(u\) et \(u'\) sont continus et donnent les morphismes \(f\) et \(f'\);

2. \(v\) et \(v'\) sont cocontinus et donnent les morphismes \(g\) et \(g'\);

3. \(u \circ v = v' \circ u'\),

4. \(v\) et \(v'\) sont à la fois continus et cocontinus; et

5. \(g^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{D}} = \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}\) et \((g')^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{C}} = \mathcal{O}_{\mathcal{C}'}\).

Alors, sur les modules, \(f'_* \circ (g')^* = g^* \circ f_*\) et \(g'_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ g_!\).

Démonstration

On a \((g')^*\mathcal{F} = (g')^{-1}\mathcal{F}\) et \(g^*\mathcal{G} = g^{-1}\mathcal{G}\) en vertu de (5). La première égalité résulte immédiatement de l’égalité correspondante dans Sites, lemme 0FN2. Comme les adjoints à gauche \(g_!\) et \(g'_!\) de \(g^*\) et \((g')^*\) existent par le lemme 0797, la seconde égalité résulte de l’unicité des foncteurs adjoints.

Faisceaux constants

Soit \(E\) un ensemble et soit \(\mathcal{C}\) un site. Le faisceau constant de valeur \(E\) est noté \(\underline{E}\); voir Sites, exemple 0H7J. Si \(E\) est un groupe abélien, un anneau, un module, etc., alors \(\underline{E}\) est un faisceau de groupes abéliens, d’anneaux, de modules, etc.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Si \(0 \to A \to B \to C \to 0\) est une suite exacte courte de groupes abéliens, alors \(0 \to \underline{A} \to \underline{B} \to \underline{C} \to 0\) est une suite exacte de faisceaux abéliens; elle est même exacte comme suite de préfaisceaux abéliens.

Démonstration

Comme la faisceautisation est exacte, il est clair que \(0 \to \underline{A} \to \underline{B} \to \underline{C} \to 0\) est une suite exacte de faisceaux abéliens. Ainsi \(0 \to \underline{A} \to \underline{B} \to \underline{C}\) est une suite exacte de préfaisceaux abéliens. Pour voir que \(\underline{B} \to \underline{C}\) est surjective, choisissons une section ensembliste \(s : C \to B\). Elle induit une section \(\underline{s} : \underline{C} \to \underline{B}\) de faisceaux d’ensembles, inverse à droite de la surjection \(\underline{B} \to \underline{C}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\Lambda\) un anneau et soient \(M\) et \(Q\) des \(\Lambda\)-modules. Si \(Q\) est un \(\Lambda\)-module de présentation finie, alors \(\underline{M \otimes_\Lambda Q}(U) = \underline{M}(U) \otimes_\Lambda Q\) pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\).

Démonstration

Choisissons une présentation \(\Lambda^{\oplus m} \to \Lambda^{\oplus n} \to Q \to 0\). Elle donne une suite exacte \(M^{\oplus m} \to M^{\oplus n} \to M \otimes Q \to 0\). Par le lemme 093J, on obtient la suite exacte \[\underline{M}(U)^{\oplus m} \to \underline{M}(U)^{\oplus n} \to \underline{M \otimes Q}(U) \to 0\] ce qui démontre le lemme. (Remarquons que la prise de sections sur \(U\) commute toujours aux sommes directes finies, mais non aux sommes directes arbitraires.)

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\Lambda\) un anneau cohérent et soit \(M\) un \(\Lambda\)-module plat. Pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), le module \(\underline{M}(U)\) est un \(\Lambda\)-module plat.

Démonstration

Soit \(I \subset \Lambda\) un idéal de type fini. Par Algèbre, lemme 00HD, il suffit de montrer que \(\underline{M}(U) \otimes_\Lambda I \to \underline{M}(U)\) est injective. Comme \(\Lambda\) est cohérent, \(I\) est un \(\Lambda\)-module de présentation finie. Par le lemme 093K, \(\underline{M}(U) \otimes I = \underline{M \otimes I}\). Puisque \(M\) est plat, l’application \(M \otimes I \to M\) est injective; il en va donc de même de \(\underline{M \otimes I} \to \underline{M}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Le faisceau \(\underline{\Lambda}^\wedge = \lim \underline{\Lambda/I^n}\) est une \(\underline{\Lambda}\)-algèbre plate. De plus, on a les identifications canoniques \[\underline{\Lambda}/I\underline{\Lambda} = \underline{\Lambda}/\underline{I} = \underline{\Lambda}^\wedge/I\underline{\Lambda}^\wedge = \underline{\Lambda}^\wedge/\underline{I} \cdot \underline{\Lambda}^\wedge = \underline{\Lambda}^\wedge/\underline{I}^\wedge = \underline{\Lambda/I}\] où \(\underline{I}^\wedge = \lim \underline{I/I^n}\).

Démonstration

Pour montrer que \(\underline{\Lambda}^\wedge\) est plat, il suffit de vérifier que \(\underline{\Lambda}^\wedge(U)\) est un \(\Lambda\)-module plat pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\); voir les lemmes 03ES et 03ET. Par le lemme 093L, \[\underline{\Lambda}^\wedge(U) = \lim \underline{\Lambda/I^n}(U)\] est la limite d’un système de \(\Lambda/I^n\)-modules plats. Le lemme 093J montre que les applications de transition sont surjectives. On conclut par Compléments d’algèbre, lemme 0912.

Pour établir les égalités, remarquons que \(\underline{\Lambda}(U)/I\underline{\Lambda}(U) = \underline{\Lambda/I}(U)\) par le lemme 093K. Il s’ensuit que \(\underline{\Lambda}/I\underline{\Lambda} = \underline{\Lambda}/\underline{I} = \underline{\Lambda/I}\). Le système de suites exactes courtes \[0 \to \underline{I/I^n}(U) \to \underline{\Lambda/I^n}(U) \to \underline{\Lambda/I}(U) \to 0\] a des applications de transition surjectives et donne donc une suite exacte courte \[0 \to \lim \underline{I/I^n}(U) \to \lim \underline{\Lambda/I^n}(U) \to \lim \underline{\Lambda/I}(U) \to 0\] voir Homologie, lemme 02N1. Ainsi, \(\underline{\Lambda}^\wedge/\underline{I}^\wedge = \underline{\Lambda/I}\). Comme \[I \underline{\Lambda}^\wedge \subset \underline{I} \cdot \underline{\Lambda}^\wedge \subset \underline{I}^\wedge\] il suffit de montrer que \(I \underline{\Lambda}^\wedge(U) = \underline{I}^\wedge(U)\) pour tout \(U\). Choisissons des générateurs \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Pour tout \(n\), on obtient une suite exacte courte \[0 \to K_n/(I^n)^{\oplus r} \to (\Lambda/I^n)^{\oplus r} \xrightarrow{(f_1, \ldots, f_r)} I/I^{n + 1} \to 0\] où \(K_n = \{(x_1, \ldots, x_r) \in \Lambda^{\oplus r} \mid \sum x_i f_i \in I^{n + 1}\}\). On obtient des suites exactes courtes \[0 \to \underline{K_n/(I^n)^{\oplus r}}(U) \to \underline{(\Lambda/I^n)^{\oplus r}}(U) \to \underline{I/I^{n + 1}}(U) \to 0\] Un calcul donne \(K_n = K + (I^n)^{\oplus r}\); les applications de transition \(K_{n + 1}/(I^{n + 1})^{\oplus r} \to K_n/(I^n)^{\oplus r}\) sont donc surjectives. Le système de modules de gauche a ainsi des applications de transition surjectives et vérifie a fortiori la condition de Mittag–Leffler. On voit donc que \((f_1, \ldots, f_r) : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus r}(U) \to \underline{I}^\wedge(U)\) est surjective par Homologie, lemme 02N1, ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\Lambda\) un anneau et soit \(M\) un \(\Lambda\)-module. Supposons que \(\Sh(\mathcal{C})\) ne soit pas le topos vide. Alors

1. \(\underline{M}\) est un faisceau de \(\underline{\Lambda}\)-modules de type fini si et seulement si \(M\) est un \(\Lambda\)-module fini; et

2. \(\underline{M}\) est un faisceau de \(\underline{\Lambda}\)-modules de présentation finie si et seulement si \(M\) est un \(\Lambda\)-module de présentation finie.

Démonstration

Démonstration de (1). Si \(M\) est engendré par \(x_1, \ldots, x_r\), alors \(x_1, \ldots, x_r\) définissent des sections globales de \(\underline{M}\) qui l’engendrent; ainsi \(\underline{M}\) est de type fini. Réciproquement, supposons \(\underline{M}\) de type fini. Soit \(U \in \mathcal{C}\) un objet qui n’est pas vide au sens faisceautique (Sites, définition 04B5). Un tel objet existe puisque \(\Sh(\mathcal{C})\) n’est pas le topos vide. Il existe alors un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) et un nombre fini de sections \(s_{ij} \in \underline{M}(U_i)\) engendrant \(\underline{M}|_{U_i}\). Après raffinement du recouvrement, on peut supposer que les \(s_{ij}\) proviennent d’éléments \(x_{ij}\) de \(M\). Les \(x_{ij}\) définissent des sections globales de \(\underline{M}\) dont les restrictions à \(U\) engendrent \(\underline{M}\).

Supposons qu’il existe des éléments \(x_1, \ldots, x_r\) de \(M\) définissant des sections globales de \(\underline{M}\) qui engendrent \(\underline{M}\) comme faisceau de \(\underline{\Lambda}\)-modules. Montrons que \(x_1, \ldots, x_r\) engendrent \(M\) comme \(\Lambda\)-module. Soit \(x \in M\). Il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) et des \(f_{i, j} \in \underline{\Lambda}(U_i)\) tels que \(x|_{U_i} = \sum f_{i, j} x_j|_{U_i}\). Après raffinement, on peut supposer \(f_{i, j} \in \Lambda\). Puisque \(U\) n’est pas vide au sens faisceautique, il existe au moins un \(i \in I\) tel que \(U_i\) ne soit pas non plus vide au sens faisceautique. L’application \(M \to \underline{M}(U_i)\) est alors injective (détails omis). On conclut que \(x = \sum f_{i, j}x_j\) dans \(M\), comme voulu.

Démonstration de (2). Supposons \(\underline{M}\) de présentation finie comme \(\underline{\Lambda}\)-module. Par (1), \(M\) est de type fini. Choisissons des générateurs \(x_1, \ldots, x_r\) de \(M\) comme \(\Lambda\)-module. On obtient une suite exacte courte \(0 \to K \to \Lambda^{\oplus r} \to M \to 0\), qui devient \[0 \to \underline{K} \to \underline{\Lambda}^{\oplus r} \to \underline{M} \to 0\] par le lemme 093J. Le lemme 082T montre que \(\underline{K}\) est de type fini. Par (1), \(K\) est donc un \(\Lambda\)-module fini, et \(M\) est donc un \(\Lambda\)-module de présentation finie.

Faisceaux localement constants

Voici la définition générale.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles, de groupes, de groupes abéliens, d’anneaux, de modules sur un anneau fixé \(\Lambda\), etc.

1. On dit que \(\mathcal{F}\) est un faisceau constant d’ensembles, de groupes, de groupes abéliens, d’anneaux, de modules sur \(\Lambda\), etc., s’il est isomorphe, comme faisceau d’ensembles, de groupes, de groupes abéliens, d’anneaux ou de modules sur \(\Lambda\), à un faisceau constant \(\underline{E}\) comme dans la section 093I.

2. On dit que \(\mathcal{F}\) est localement constant si, pour tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), il existe un recouvrement \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit un faisceau constant.

3. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau d’ensembles ou de groupes, on dit que \(\mathcal{F}\) est fini localement constant si les valeurs constantes sont des ensembles finis ou des groupes finis.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) un morphisme de topos. Si \(\mathcal{G}\) est un faisceau localement constant d’ensembles, de groupes, de groupes abéliens, d’anneaux, de modules sur un anneau fixé \(\Lambda\), etc., sur \(\mathcal{D}\), alors \(f^{-1}\mathcal{G}\) possède la même propriété sur \(\mathcal{C}\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site possédant un objet final \(X\).

1. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application de faisceaux d’ensembles localement constants sur \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{F}\) est fini localement constant, il existe un recouvrement \(\{U_i \to X\}\) tel que \(\varphi|_{U_i}\) soit l’application de faisceaux constants associée à une application d’ensembles.

2. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application de faisceaux de groupes abéliens localement constants sur \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{F}\) est fini localement constant, il existe un recouvrement \(\{U_i \to X\}\) tel que \(\varphi|_{U_i}\) soit l’application de faisceaux abéliens constants associée à un homomorphisme de groupes abéliens.

3. Soit \(\Lambda\) un anneau et soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application de faisceaux de \(\Lambda\)-modules localement constants sur \(\mathcal{C}\). Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, il existe un recouvrement \(\{U_i \to X\}\) tel que \(\varphi|_{U_i}\) soit l’application de faisceaux constants de \(\Lambda\)-modules associée à une application de \(\Lambda\)-modules.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\Lambda\) un anneau. Soient \(M\), \(N\) des \(\Lambda\)-modules et \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) des faisceaux localement constants de \(\Lambda\)-modules.

1. Si \(M\) est de présentation finie, alors \[\underline{\Hom_\Lambda(M, N)} = \SheafHom_{\underline{\Lambda}}(\underline{M}, \underline{N})\]

2. Si \(M\) et \(N\) sont tous deux de présentation finie, alors \[\underline{\text{Isom}_\Lambda(M, N)} = \mathit{Isom}_{\underline{\Lambda}}(\underline{M}, \underline{N})\]

3. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(\SheafHom_{\underline{\Lambda}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un faisceau localement constant de \(\Lambda\)-modules.

4. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont tous deux de présentation finie, alors \(\mathit{Isom}_{\underline{\Lambda}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est un faisceau d’ensembles localement constant.

Démonstration

Démonstration de (1). Posons \(E = \Hom_\Lambda(M, N)\). Nous voulons montrer que l’application canonique \[\underline{E} \longrightarrow \SheafHom_{\underline{\Lambda}}(\underline{M}, \underline{N})\] est un isomorphisme. Le module \(M\) admet une présentation \(\Lambda^{\oplus s} \to \Lambda^{\oplus t} \to M \to 0\). Alors \(E\) s’insère dans une suite exacte \[0 \to E \to \Hom_\Lambda(\Lambda^{\oplus t}, N) \to \Hom_\Lambda(\Lambda^{\oplus s}, N)\] et l’on a de même \[0 \to \SheafHom_{\underline{\Lambda}}(\underline{M}, \underline{N}) \to \SheafHom_{\underline{\Lambda}}(\underline{\Lambda^{\oplus t}}, \underline{N}) \to \SheafHom_{\underline{\Lambda}}(\underline{\Lambda^{\oplus s}}, \underline{N})\] Cela ramène la question au cas où \(M\) est libre fini, dans lequel le résultat est clair.

Démonstration de (3). La question est locale sur \(\mathcal{C}\); on peut donc supposer \(\mathcal{F} = \underline{M}\) et \(\mathcal{G} = \underline{N}\) pour des \(\Lambda\)-modules \(M\) et \(N\). Par le lemme 093N, \(M\) est de présentation finie. Le résultat découle alors de (1).

Les parties (2) et (4) résultent de (1) et (3), ainsi que du fait que \(\mathit{Isom}\) peut être vu comme le sous-faisceau des sections de \(\SheafHom_{\underline{\Lambda}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) qui admettent un inverse dans \(\SheafHom_{\underline{\Lambda}}(\mathcal{G}, \mathcal{F})\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site.

1. La catégorie des faisceaux d’ensembles finis localement constants est stable par limites et colimites finies dans \(\Sh(\mathcal{C})\).

2. La catégorie des faisceaux abéliens finis localement constants est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\).

3. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. La catégorie des faisceaux de \(\Lambda\)-modules localement constants et de type fini sur \(\mathcal{C}\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{C}, \Lambda)\).

Démonstration

Démonstration de (1). On peut travailler localement sur \(\mathcal{C}\). Par le lemme 093S, on peut donc supposer donné un diagramme fini d’ensembles finis tel que notre diagramme de faisceaux soit le diagramme associé de faisceaux constants. Il suffit alors de prendre la limite ou la colimite dans la catégorie des ensembles, puis le faisceau constant associé. Certains détails sont omis.

Pour démontrer (2) et (3), appliquons le critère d’Homologie, lemme 0754. L’existence des noyaux et conoyaux s’établit comme ci-dessus. L’hypothèse noethérienne dans (3) garantit que le noyau d’une application de \(\Lambda\)-modules finis est un \(\Lambda\)-module fini. Pour voir que la catégorie est stable par extensions (dans le cas des faisceaux de \(\Lambda\)-modules), considérons une extension de faisceaux de \(\Lambda\)-modules \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{E} \to \mathcal{G} \to 0\] sur \(\mathcal{C}\), où \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont de type fini et localement constants. Après localisation sur \(\mathcal{C}\), on peut supposer \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) constants, c’est-à-dire que l’on obtient \[0 \to \underline{M} \to \mathcal{E} \to \underline{N} \to 0\] pour certains \(\Lambda\)-modules \(M, N\). Choisissons des générateurs \(y_1, \ldots, y_m\) de \(N\), d’où une suite exacte courte \(0 \to K \to \Lambda^{\oplus m} \to N \to 0\) de \(\Lambda\)-modules. Après une nouvelle localisation, on peut supposer que \(y_j\) se relève en une section \(s_j\) de \(\mathcal{E}\). Ainsi \(\mathcal{E}\) est un poussé comme dans le diagramme suivant \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \underline{K} \ar[d] \ar[r] & \underline{\Lambda^{\oplus m}} \ar[d] \ar[r] & \underline{N} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \underline{M} \ar[r] & \mathcal{E} \ar[r] & \underline{N} \ar[r] & 0 }\] Par une nouvelle application du lemme 093S (et parce que \(K\) est un \(\Lambda\)-module fini puisque \(\Lambda\) est noethérien), on voit que l’application \(\underline{K} \to \underline{M}\) est localement constante, ce qui permet de conclure.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site et soit \(\Lambda\) un anneau. Le produit tensoriel de deux faisceaux localement constants de \(\Lambda\)-modules sur \(\mathcal{C}\) est un faisceau localement constant de \(\Lambda\)-modules.

Démonstration

La démonstration est omise.

Localisation des faisceaux d’anneaux

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{S} \subset \mathcal{O}\) un sous-préfaisceau d’ensembles tel que, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), l’ensemble \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}(U)\) soit une partie multiplicative; voir Algèbre, définition 00CN. On peut alors considérer le préfaisceau d’anneaux \[\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O} : U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{O}(U).\] L’application de restriction envoie la section \(f/s\), avec \(f \in \mathcal{O}(U)\) et \(s \in \mathcal{S}(U)\), sur \((f|_V)/(s|_V)\) pour \(V \to U\) dans \(\mathcal{C}\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, l’application vers le faisceautisé \[\mathcal{O} \longrightarrow (\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O})^\#\] est un homomorphisme de faisceaux d’anneaux ayant la propriété universelle suivante : pour tout homomorphisme de faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O} \to \mathcal{A}\) qui envoie chaque section locale de \(\mathcal{S}\) sur une section inversible de \(\mathcal{A}\), il existe une unique factorisation \((\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O})^\# \to \mathcal{A}\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{S} \subset \mathcal{O}\) un sous-préfaisceau d’ensembles tel que, pour tout \(U \in \mathcal{C}\), l’ensemble \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}(U)\) soit une partie multiplicative. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. On peut alors considérer le préfaisceau de \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}\)-modules \[\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F} : U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U).\] L’application de restriction envoie la section \(t/s\), avec \(t \in \mathcal{F}(U)\) et \(s \in \mathcal{S}(U)\), sur \((t|_V)/(s|_V)\) si \(V \to U\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\). Ainsi, \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F}\) est un préfaisceau de \(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O}\)-modules.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, l’application vers le faisceautisé \[\mathcal{F} \longrightarrow (\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F})^\#\] possède la propriété universelle suivante : pour tout homomorphisme de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) tel que chaque section locale de \(\mathcal{S}\) agisse de façon inversible sur \(\mathcal{G}\), il existe une unique factorisation \((\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F})^\# \to \mathcal{G}\). De plus, on a \[(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{F})^\# = (\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O})^\# \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\] comme faisceaux de \((\mathcal{S}^{-1}\mathcal{O})^\#\)-modules.

Démonstration

La démonstration est omise.

Faisceaux d’ensembles pointés

Dans cette section, nous rassemblons quelques faits sur les faisceaux d’ensembles pointés, que nous n’avions jusqu’ici mentionnés que pour les faisceaux abéliens.

Un ensemble pointé est une paire \((S, 0)\), où \(S\) est un ensemble et \(0 \in S\) est un élément de \(S\). Un morphisme \((S, 0) \to (S', 0')\) d’ensembles pointés est simplement une application \(S \to S'\) envoyant \(0\) sur \(0'\). Par abus de notation, nous dirons « soit \(S\) un ensemble pointé » pour signifier que \(S\) est muni d’un élément distingué \(0 \in S\). Un faisceau d’ensembles pointés est la même chose qu’un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) muni d’un « pointage » \(0 : * \to \mathcal{F}\), où \(*\) est le faisceau final (Sites, exemple 00W3).

Pour un morphisme de sites ou de topos, il existe des foncteurs image directe et image inverse sur les catégories de faisceaux d’ensembles pointés; voir Sites, section 00YR. Ils se construisent en prenant l’image directe, respectivement l’image inverse, du faisceau d’ensembles sous-jacent et en le pointant convenablement (en utilisant que l’image inverse du faisceau final est le faisceau final).

Soit \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) un foncteur continu et cocontinu entre sites. Soit \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\) le morphisme de topos associé à \(u\); voir Sites, lemme 00XO. Sur les faisceaux d’ensembles pointés, \(g^{-1}\) admet également un adjoint à gauche \(g_!\). Sa construction est entièrement analogue à celle de \(g_!\) sur les faisceaux abéliens dans la section 04BE.

De même, si \(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) est comme dans la section 03DH, alors il existe un adjoint à gauche \(j_!\) du foncteur \(j^{-1}\) sur les faisceaux d’ensembles pointés.

Si nous avons un jour besoin de ces faits et constructions, nous énoncerons et démontrerons ici précisément les lemmes correspondants.