Faisceaux différentiels gradués

Introduction

Ce chapitre poursuit la discussion commencée dans Algèbre différentielle graduée, section 09JE. On trouvera un article de synthèse dans [Keller-survey].

Conventions

Dans ce chapitre, nous conservons la convention selon laquelle anneau désigne un anneau commutatif possédant un élément unité \(1\). Si \(R\) est un anneau, une \(R\)-algèbre \(A\) sera un \(R\)-module \(A\) muni d’une application \(R\)-bilinéaire \(A \times A \to A\) (la multiplication) telle que la multiplication soit associative et admette un élément unité. Autrement dit, ce sont des \(R\)-algèbres associatives unitaires telles que l’homomorphisme \(R \to A\) définissant la structure d’algèbre a son image dans le centre de \(A\).

Faisceaux d’algèbres graduées

On pourra omettre cette section.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Un faisceau d’\(\mathcal{O}\)-algèbres graduées ou un faisceau d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est la donnée d’une famille \(\mathcal{A}^n\) indexée par \(n \in \mathbf{Z}\) d’\(\mathcal{O}\)-modules munis d’applications \(\mathcal{O}\)-bilinéaires \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{A}^{n + m},\quad (a, b) \longmapsto ab\] appelées applications de multiplication et vérifiant les propriétés suivantes :

1. la multiplication est associative, et

2. il existe une section globale \(1\) de \(\mathcal{A}^0\) qui est un élément unité bilatère pour la multiplication.

Nous notons souvent une telle structure \(\mathcal{A}\). Un homomorphisme d’\(\mathcal{O}\)-algèbres graduées \(f : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est une famille d’homomorphismes \(f^n : \mathcal{A}^n \to \mathcal{B}^n\) d’\(\mathcal{O}\)-modules compatibles avec les applications de multiplication.

Étant donnés une \(\mathcal{O}\)-algèbre graduée \(\mathcal{A}\) et un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous employons la notation \[\mathcal{A}(U) = \Gamma(U, \mathcal{A}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{A}^n(U)\] C’est une \(\mathcal{O}(U)\)-algèbre graduée.

Remarque

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Nous avons :

1. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre graduée. Les applications de multiplication de \(\mathcal{A}\) induisent des applications \(f_*\mathcal{A}^n \times f_*\mathcal{A}^m \to f_*\mathcal{A}^{n + m}\) que, grâce à \(f^\sharp\), nous pouvons considérer comme \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-bilinéaires. Nous noterons \(f_*\mathcal{A}\) la \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre graduée ainsi obtenue.

2. Soit \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre graduée. Les applications de multiplication de \(\mathcal{B}\) induisent des applications \(f^*\mathcal{B}^n \times f^*\mathcal{B}^m \to f^*\mathcal{B}^{n + m}\) que, grâce à \(f^\sharp\), nous pouvons considérer comme \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-bilinéaires. Nous noterons \(f^*\mathcal{B}\) la \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre graduée ainsi obtenue.

3. L’ensemble des homomorphismes \(f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbres graduées est en correspondance biunivoque (\(1\) à \(1\)) avec l’ensemble des homomorphismes \(\mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbres graduées.

La partie (3) résulte immédiatement de l’adjonction usuelle entre \(f^*\) et \(f_*\) sur les faisceaux de modules.

Faisceaux de modules gradués

On pourra omettre cette section.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Un \(\mathcal{A}\)-module gradué (à droite), ou un module gradué (à droite) sur \(\mathcal{A}\), est la donnée d’une famille \(\mathcal{M}^n\), indexée par \(n \in \mathbf{Z}\), de \(\mathcal{O}\)-modules munis d’applications \(\mathcal{O}\)-bilinéaires \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, a) \longmapsto xa\] appelées applications de multiplication et vérifiant les propriétés suivantes :

1. la multiplication vérifie \((xa)a' = x(aa')\),

2. la section unité \(1\) de \(\mathcal{A}^0\) agit comme l’identité sur \(\mathcal{M}^n\) pour tout \(n\).

Nous dirons souvent « soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module gradué » pour désigner cette situation. Un homomorphisme de \(\mathcal{A}\)-modules gradués \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) est une famille d’homomorphismes \(f^n : \mathcal{M}^n \to \mathcal{N}^n\) de \(\mathcal{O}\)-modules, compatible avec les applications de multiplication. La catégorie des \(\mathcal{A}\)-modules gradués (à droite) est notée \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\).

On définit exactement de la même manière les modules gradués à gauche, mais, dans ce chapitre, les modules seront par défaut des modules à droite.

Étant donnés un \(\mathcal{A}\)-module gradué \(\mathcal{M}\) et un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous employons la notation \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] C’est un \(\mathcal{A}(U)\)-module gradué (à droite).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre graduée. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) est une catégorie abélienne possédant les propriétés suivantes :

1. \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) admet les sommes directes arbitraires,

2. \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) admet les limites inductives arbitraires,

3. les limites inductives filtrantes dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) sont exactes,

4. \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) admet les produits arbitraires,

5. \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) admet les limites arbitraires.

Le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}),\quad \mathcal{M} \longmapsto \mathcal{M}^n\] qui envoie un \(\mathcal{A}\)-module gradué sur son terme de degré \(n\) commute à toutes les limites et limites inductives.

Le lemme affirme que les limites et limites inductives se calculent terme à terme. Il affirme aussi (ou l’implique, si l’on préfère) que le foncteur d’oubli \[\textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{les }\mathcal{O}\text{-modules gradués}\] commute à toutes les limites et limites inductives.

Démonstration

Notons \(\text{gr}^n : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) le foncteur de l’énoncé. Considérons un homomorphisme \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) de \(\mathcal{A}\)-modules gradués. Le noyau et le conoyau de \(f\), calculés comme morphismes de \(\mathcal{O}\)-modules gradués, sont eux aussi munis d’applications de multiplication comme dans la définition 0FQZ. Ce sont donc également le noyau et le conoyau dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\). Ainsi, \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) est une catégorie abélienne, et la prise des noyaux et conoyaux commute à \(\text{gr}^n\).

Pour démontrer l’existence des limites et limites inductives, il suffit de démontrer l’existence des produits et des sommes directes, voir Catégories, lemmes 002N et 002P. Les mêmes lemmes montrent que, pour établir que \(\text{gr}^n\) commute aux limites et limites inductives, il suffit d’établir que \(\text{gr}^n\) commute aux sommes directes et aux produits.

Soit \(\mathcal{M}_t\), \(t \in T\), une famille de \(\mathcal{A}\)-modules gradués. Considérons le \(\mathcal{A}\)-module gradué dont le terme de degré \(n\) est \(\bigoplus_{t \in T} \mathcal{M}_t^n\) (muni des applications de multiplication évidentes). Le lecteur vérifie aisément qu’il s’agit d’une somme directe dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\). Il en va de même des produits.

Observons que \(\text{gr}^n\) est un foncteur exact pour tout \(n\) et qu’un complexe \(\mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) est exact si et seulement si \(\text{gr}^n\mathcal{M}_1 \to \text{gr}^n\mathcal{M}_2 \to \text{gr}^n\mathcal{M}_3\) est exact dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) pour tout \(n\). On en déduit (3), puisque les limites inductives filtrantes sont exactes dans \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) ; c’est une catégorie abélienne de Grothendieck, voir Cohomologie sur les sites, section 07A5.

La catégorie graduée des faisceaux de modules gradués

On pourra omettre cette section. Cette section est l’analogue de Algèbre différentielle graduée, exemple 09MN. Pour nos conventions sur les catégories graduées, voir Algèbre différentielle graduée, section 09L1.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Nous allons construire une catégorie graduée \(\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\) sur \(R = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\) dont la catégorie associée \((\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}))^0\) est la catégorie des \(\mathcal{A}\)-modules gradués. Les objets de \(\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\) sont les \(\mathcal{A}\)-modules gradués à droite (voir la section 0FQY). Étant donnés des \(\mathcal{A}\)-modules gradués \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{M}\), posons \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\] où \(\Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\) est l’ensemble des homomorphismes de \(\mathcal{A}\)-modules à droite \(f : \mathcal{L} \to \mathcal{M}\) homogènes de degré \(n\). Plus précisément, \(f\) est la donnée d’une famille d’homomorphismes \(f : \mathcal{L}^i \to \mathcal{M}^{i + n}\), pour \(i \in \mathbf{Z}\), compatible avec les applications de multiplication. En termes de composantes, \[\Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \subset \prod\nolimits_{p + q = n} \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] (remarquer l’inversion des indices) est le sous-ensemble des \(f = (f_{p, q})\) tels que \[f_{p, q}(m a) = f_{p - i, q + i}(m)a\] pour toutes sections locales \(a\) de \(\mathcal{A}^i\) et \(m\) de \(\mathcal{L}^{-q - i}\). Pour des \(\mathcal{A}\)-modules gradués \(\mathcal{K}\), \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{M}\), nous définissons la composition dans \(\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\) au moyen des applications \[\Hom^m(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \times \Hom^n(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \Hom^{n + m}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] par simple composition des applications de \(\mathcal{A}\)-modules : \((g, f) \mapsto g \circ f\).

Produit tensoriel de faisceaux de modules gradués

On pourra omettre cette section. Cette section est analogue à une partie d’Algèbre différentielle graduée, section 09LL.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module gradué à droite et soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{A}\)-module gradué à gauche. Nous définissons alors le produit tensoriel \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) comme le \(\mathcal{O}\)-module gradué dont le terme de degré \(n\) est \[(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^n = \Coker\left( \bigoplus\nolimits_{r + s + t = n} \mathcal{M}^r \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^s \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^t \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{p + q = n} \mathcal{M}^p \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^q \right)\] où l’application envoie la section locale \(x \otimes a \otimes y\) de \(\mathcal{M}^r \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^s \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^t\) sur \(xa \otimes y - x \otimes ay\). Avec cette définition, \((\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^n\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto (\mathcal{M}(U) \otimes_{\mathcal{A}(U)} \mathcal{N}(U))^n\), où le produit tensoriel des modules gradués est celui défini dans Algèbre différentielle graduée, section 09LL.

Si l’on fixe le \(\mathcal{A}\)-module gradué à gauche \(\mathcal{N}\), on obtient un foncteur \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O})) = \text{les }\mathcal{O}\text{-modules gradués}\] Pour la notation \(\text{Gr}(-)\), voir Homologie, définition 0125. La catégorie graduée des \(\mathcal{O}\)-modules gradués est notée \(\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\), voir Algèbre différentielle graduée, exemple 09MM. Le foncteur ci-dessus se relève en un foncteur de catégories graduées \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\] en envoyant les homomorphismes de degré \(n\) de \(\mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) sur l’application induite de degré \(n\) de \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) à \(\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\).

Hom interne de faisceaux de modules gradués

Nous recommandons vivement au lecteur d’omettre cette section.

Nous aurons besoin de la version faisceautisée de la construction de la section 0FR1. Soient \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{L}\) comme dans la section 0FR1. Nous définissons \[\SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] comme le \(\mathcal{O}\)-module gradué dont le terme de degré \(n\) \[\SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L}) \subset \prod\nolimits_{p + q = n} \SheafHom_\mathcal{O}(\mathcal{L}^{-q}, \mathcal{M}^p)\] est le sous-faisceau constitué des sections locales \(f = (f_{p, q})\) telles que \[f_{p, q}(m a) = f_{p - i, q + i}(m)a\] pour toutes sections locales \(a\) de \(\mathcal{A}^i\) et \(m\) de \(\mathcal{L}^{-q - i}\). Comme dans la section 0FR1, il existe une application de composition \[\SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] où le membre de gauche est le produit tensoriel de \(\mathcal{O}\)-modules gradués défini dans la section 0FR2. Cette application est donnée par l’application de composition \[\SheafHom^m_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{n + m}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] définie par simple composition (localement).

Avec ces définitions, nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}))\] comme modules gradués sur \(R\), de manière compatible à la composition.

Faisceaux de bimodules gradués et adjonction tensor-Hom

On pourra omettre cette section.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule gradué est la donnée d’une famille \(\mathcal{M}^n\), indexée par \(n \in \mathbf{Z}\), de \(\mathcal{O}\)-modules munis d’applications \(\mathcal{O}\)-bilinéaires \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{B}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, b) \longmapsto xb\] et \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{M}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (a, x) \longmapsto ax\] appelées applications de multiplication et vérifiant les propriétés suivantes :

1. la multiplication vérifie \(a(a'x) = (aa')x\) et \((xb)b' = x(bb')\),

2. \((ax)b = a(xb)\),

3. la section unité \(1\) de \(\mathcal{A}^0\) agit comme l’identité par multiplication, et

4. la section unité \(1\) de \(\mathcal{B}^0\) agit comme l’identité par multiplication.

Nous notons souvent une telle structure \(\mathcal{M}\). Un homomorphisme de \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodules gradués \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) est une famille d’homomorphismes \(f^n : \mathcal{M}^n \to \mathcal{N}^n\) de \(\mathcal{O}\)-modules, compatible avec les applications de multiplication.

Étant donnés un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule gradué \(\mathcal{M}\) et un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous employons la notation \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] C’est un \((\mathcal{A}(U), \mathcal{B}(U))\)-bimodule gradué.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module gradué à droite et soit \(\mathcal{N}\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule gradué. Dans ce cas, le produit tensoriel gradué défini dans la section 0FR2 \[\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] est un \(\mathcal{B}\)-module gradué à droite, muni des applications de multiplication évidentes. Cette construction définit un foncteur et un foncteur de catégories graduées \[\otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}) \quad\text{et}\quad \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})\] en envoyant les homomorphismes de degré \(n\) de \(\mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) sur les applications induites de degré \(n\) de \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) vers \(\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\).

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{N}\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule gradué. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{B}\)-module gradué à droite. Dans ce cas, le Hom interne gradué défini dans la section 0FR3 \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] est un \(\mathcal{A}\)-module gradué à droite, muni des applications de multiplication¹ \[\SheafHom^n_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L}) \times \mathcal{A}^m \longrightarrow \SheafHom^{n + m}_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] qui envoient une section \(f = (f_{p,q})\) de \(\SheafHom^n_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\) sur \(U\) et une section \(a\) de \(\mathcal{A}^m\) sur \(U\) sur la section \(f a\) de \(\SheafHom^{n + m}_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\) sur \(U\) définie par la famille d’applications \[\mathcal{N}^{-q - m}|_U \xrightarrow{a \cdot -} \mathcal{N}^{-q}|_U \xrightarrow{f_{p, q}} \mathcal{M}^p|_U\] Nous omettons la vérification que cette définition est correcte. Cette construction définit un foncteur et un foncteur de catégories graduées \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}) \quad\text{et}\quad \SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] en envoyant les homomorphismes de degré \(n\) de \(\mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) sur les applications induites de degré \(n\) de \(\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\) vers \(\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L}')\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module gradué à droite. Soit \(\mathcal{N}\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule gradué. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{B}\)-module gradué à droite. Avec les conventions précédentes, nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] et \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{gr}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{gr}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] fonctoriellement en \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{N}\) et \(\mathcal{L}\).

Démonstration

Omis. Indication : cela résulte de l’interprétation des deux membres comme applications graduées \(\mathcal{A}\)-bilinéaires \(\psi : \mathcal{M} \times \mathcal{N} \to \mathcal{L}\), qui sont \(\mathcal{B}\)-linéaires à droite.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Comme cas particulier de ce qui précède, supposons donné un homomorphisme \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) de \(\mathcal{O}\)-algèbres graduées. On obtient alors un foncteur et un foncteur de catégories graduées \[\otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}) \quad\text{et}\quad \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})\] D’autre part, nous avons les foncteurs de restriction \[res_\varphi : \textit{Mod}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}) \quad\text{et}\quad res_\varphi : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] Le lemme précédent permet de montrer que ces foncteurs sont adjoints l’un à l’autre (comme d’habitude pour la restriction et le changement de base). Notons \({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}\) le faisceau \(\mathcal{B}\) considéré comme \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule gradué. Pour tout \(\mathcal{B}\)-module gradué à droite \(\mathcal{L}\), nous avons alors \[\SheafHom_\mathcal{B}^{gr}({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}, \mathcal{L}) = res_\varphi(\mathcal{L})\] comme \(\mathcal{A}\)-modules gradués à droite. Le lemme 0FR6 fournit donc un isomorphisme fonctoriel \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})}( \mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( \mathcal{M}, res_\varphi(\mathcal{L}))\] Lorsque le contexte est clair, nous omettons généralement \(\varphi\) dans cette formule. De la même manière, nous obtenons l’égalité \[\SheafHom^{gr}_\mathcal{B}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{gr}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] de \(\mathcal{O}\)-modules gradués.

Image inverse et image directe des faisceaux de modules gradués

Nous conseillons au lecteur d’omettre cette section.

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre graduée. Soit \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre graduée. Supposons qu’on nous donne une application \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] d’algèbres graduées sur \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\). Par l’adjonction entre restriction et extension des scalaires, cela revient à se donner un morphisme \(\varphi : f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbres graduées ou, de manière équivalente, \(\varphi\) peut être vu comme un morphisme \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\). Voir la remarque 0FQX.

Définissons maintenant un foncteur \[f_* : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B})\] Étant donné un \(\mathcal{A}\)-module gradué \(\mathcal{M}\), nous définissons \(f_*\mathcal{M}\) comme le \(\mathcal{B}\)-module gradué dont le terme de degré \(n\) est \(f_*\mathcal{M}^n\). Comme multiplication, nous utilisons \[f_*\mathcal{M}^n \times \mathcal{B}^m \xrightarrow{(\text{id}, \varphi^m)} f_*\mathcal{M}^n \times f_*\mathcal{A}^m \xrightarrow{f_*\mu_{n, m}} f_*\mathcal{M}^{n + m}\] où \(\mu_{n, m} : \mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m}\) est l’application de multiplication pour \(\mathcal{M}\) sur \(\mathcal{A}\). Nous utilisons ici le fait que \(f_*\) commute aux produits. La construction est clairement fonctorielle en \(\mathcal{M}\) et nous obtenons notre foncteur.

Définissons maintenant un foncteur \[f^* : \textit{Mod}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A})\] Nous définirons ce foncteur comme un composé de foncteurs \[\textit{Mod}(\mathcal{B}) \xrightarrow{f^{-1}} \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{B}) \xrightarrow{ - \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}} \mathcal{A}} \textit{Mod}(\mathcal{A})\] Tout d’abord, étant donné un \(\mathcal{B}\)-module gradué \(\mathcal{N}\), nous définissons \(f^{-1}\mathcal{N}\) comme le \(f^{-1}\mathcal{B}\)-module gradué dont le terme de degré \(n\) est \(f^{-1}\mathcal{N}^n\). Comme multiplication, nous utilisons \[f^{-1}\nu_{n, m} : f^{-1}\mathcal{N}^n \times f^{-1}\mathcal{B}^m \longrightarrow f^{-1}\mathcal{N}^{n + m}\] où \(\nu_{n, m} : \mathcal{N}^n \times \mathcal{B}^m \to \mathcal{N}^{n + m}\) est l’application de multiplication pour \(\mathcal{N}\) sur \(\mathcal{B}\). Nous utilisons ici le fait que \(f^{-1}\) commute aux produits. La construction est clairement fonctorielle en \(\mathcal{N}\) et nous obtenons notre foncteur \(f^{-1}\). Ceci étant dit, nous pouvons utiliser la discussion sur le produit tensoriel dans la section 0FR4 pour définir le foncteur \[- \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}} \mathcal{A} : \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A})\] Enfin, nous posons \[f^*\mathcal{N} = f^{-1}\mathcal{N} \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}, \varphi} \mathcal{A}\] comme déjà prédit ci-dessus.

Les foncteurs \(f_*\) et \(f^*\) se relèvent naturellement en des foncteurs de catégories graduées \[f_* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \quad\text{et}\quad f^* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] qui font la même chose sur les objets sous-jacents et sont définis par la fonctorialité des constructions sur les morphismes homogènes de degré \(n\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{B})}( \mathcal{N}, f_*\mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( f^*\mathcal{N}, \mathcal{M})\]

Démonstration

Omis. Indications : on commence par prouver que \(f^{-1}\) et \(f_*\) sont adjoints en tant que foncteurs entre \(\textit{Mod}(\mathcal{B})\) et \(\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{B})\) en utilisant l’adjonction entre \(f^{-1}\) et \(f_*\) sur les faisceaux de groupes abéliens. On utilise ensuite l’adjonction entre le changement de base et la restriction donnée à la section 0FR4.

Localisation et faisceaux de modules gradués

Nous conseillons au lecteur d’omettre cette section.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et désignons \[j : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\] le morphisme de localisation correspondant (Modules sur les sites, section 03DH). Ci-dessous, nous utiliserons le fait suivant : pour les \(\mathcal{O}_U\)-modules \(\mathcal{M}_i\), \(i = 1, 2\) et un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{A}\), il existe une application canonique \[j_! : \Hom_{\mathcal{O}_U}( \mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U, \mathcal{M}_2) \longrightarrow \Hom_\mathcal{O}( j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}, j_!\mathcal{M}_2)\] À savoir, nous avons \(j_!(\mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U) = j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}\) par Modules sur les sites, lemme 0E8I.

Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre graduée. Nous noterons \(\mathcal{A}_U\) la restriction de \(\mathcal{A}\) à \(\mathcal{C}/U\), en d’autres termes, nous avons \(\mathcal{A}_U = j^*\mathcal{A} = j^{-1}\mathcal{A}\). Dans la section 0FR7 nous avons construit des foncteurs adjoints \[j_* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \quad\text{et}\quad j^* : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U)\] avec \(j^*\) adjoint à gauche à \(j_*\). Nous affirmons qu’il existe en outre un foncteur exact \[j_! : \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U) \longrightarrow \textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})\] adjoint à gauche à \(j^*\). À savoir, étant donné un \(\mathcal{A}_U\)-module gradué \(\mathcal{M}\), nous définissons \(j_!\mathcal{M}\) comme le \(\mathcal{A}\)-module gradué dont le terme de degré \(n\) est \(j_!\mathcal{M}^n\). Comme application de multiplication, nous utilisons \[j_!\mu_{n, m} : j_!\mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to j_!\mathcal{M}^{n + m}\] où \(\mu_{m, n} : \mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m}\) est l’application de multiplication donnée. Étant donnée une application homogène \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) de degré \(n\) de \(\mathcal{A}_U\)-modules gradués, nous obtenons une application homogène \(j_!f : j_!\mathcal{M} \to j_!\mathcal{M}'\) de degré \(n\). Ainsi nous obtenons notre foncteur.

Lemme

Dans la situation ci-dessus nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}( j_!\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A}_U)}( \mathcal{M}, j^*\mathcal{N})\]

Démonstration

D’après la discussion dans Modules sur les sites, section 03DH, les foncteurs \(j_!\) et \(j^*\) sur les \(\mathcal{O}\)-modules sont adjoints. Ainsi, en ne considérant que les structures de \(\mathcal{O}\)-modules, nous savons que \[\Hom_{\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))}( j_!\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_U))}( \mathcal{M}, j^*\mathcal{N})\] (Rappelons que \(\text{Gr}^{gr}(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\) désigne la catégorie graduée des \(\mathcal{O}\)-modules gradués.) Il faut ensuite vérifier que ces identifications envoient les homomorphismes de \(\mathcal{A}\)-modules du côté gauche vers les homomorphismes de \(\mathcal{A}_U\)-modules du côté droit. Pour le vérifier, étant donnés des morphismes \(\mathcal{O}_U\)-linéaires \(f^n : \mathcal{M}^n \to j^*\mathcal{N}^{n + d}\) correspondant à des morphismes \(\mathcal{O}\)-linéaires \(g^n : j_!\mathcal{M}^n \to \mathcal{N}^{n + d}\), il suffit de montrer que \[\xymatrix{ \mathcal{M}^n \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m \ar[r]_{f^n \otimes 1} \ar[d] & j^*\mathcal{N}^{n + d} \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m \ar[d] \\ \mathcal{M}^{n + m} \ar[r]^{f^{n + m}} & j^*\mathcal{N}^{n + m + d} }\] commute si et seulement si \[\xymatrix{ j_!\mathcal{M}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^m \ar[r]_{g^n \otimes 1} \ar[d] & \mathcal{N}^{n + d} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}_U^m \ar[d] \\ j_!\mathcal{M}^{n + m} \ar[r]^{g^{n + m}} & \mathcal{N}^{n + m + d} }\] est commutatif. Cependant, nous savons que \[\begin{align*} \Hom_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{M}^n \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m, j^*\mathcal{N}^{n + d + m}) & = \Hom_\mathcal{O}(j_!(\mathcal{M}^n \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}_U^m), \mathcal{N}^{n + d + m}) \\ & = \Hom_\mathcal{O}(j_!\mathcal{M}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^m, \mathcal{N}^{n + d + m}) \end{align*}\] d’après Modules sur les sites, lemme 0E8I, déjà utilisé. Nous omettons la vérification montrant que l’obstruction à la commutativité du premier diagramme dans le premier groupe est envoyée sur l’obstruction à la commutativité du second diagramme dans le dernier groupe.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}_U\)-module gradué à droite et soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{A}\)-module gradué à gauche. Alors \[j_!\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = j_!(\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}_U} \mathcal{N}|_U)\] en tant que \(\mathcal{O}\)-modules gradués, fonctoriellement en \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{N}\).

Démonstration

Rappelons que la composante de degré \(n\) de \(j_!\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) est le conoyau de l’application canonique \[\bigoplus\nolimits_{r + s + t = n} j_!\mathcal{M}^r \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}^s \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^t \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{p + q = n} j_!\mathcal{M}^p \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N}^q\] Voir la section 0FR2. Par Modules sur les sites, lemme 0E8I ceci est la même chose que le conoyau de \[\bigoplus\nolimits_{r + s + t = n} j_!(\mathcal{M}^r \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}^s|_U \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{N}^t|_U) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{p + q = n} j_!(\mathcal{M}^p \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{N}^q|_U)\] ce qui conclut. Une preuve alternative serait de refaire l’argument de Yoneda donné dans la démonstration du lemme cité ci-dessus.

Foncteurs de décalage sur les faisceaux de modules gradués

Nous recommandons vivement au lecteur d’omettre cette section. Il s’avère que les faisceaux de modules gradués sur une algèbre graduée sont un exemple du phénomène discuté dans Algèbre différentielle graduée, remarque 09P3.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module gradué. Soit \(k \in \mathbf{Z}\). Nous définissons le \(k\)-ième décalage de \(\mathcal{M}\), noté \(\mathcal{M}[k]\), comme le \(\mathcal{A}\)-module gradué dont la composante de degré \(n\) est donnée par \[(\mathcal{M}[k])^n = \mathcal{M}^{n + k}\] c’est-à-dire la composante de degré \((n + k)\) de \(\mathcal{M}\). Pour les applications de multiplication \[(\mathcal{M}[k])^n \times \mathcal{A}^m \longrightarrow (\mathcal{M}[k])^{n + m}\] nous utilisons simplement les applications de multiplication \[\mathcal{M}^{n + k} \times \mathcal{A}^m \longrightarrow \mathcal{M}^{n + m + k}\] de \(\mathcal{M}\). Il est clair que nous avons défini un foncteur \([k]\), que nous avons \([k + l] = [k] \circ [l]\), et que nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}[k]) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M})[k]\] sans intervention de signes, fonctoriellement en \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{L}\). Ainsi, la catégorie graduée des \(\mathcal{A}\)-modules gradués se retrouve bien à partir de la catégorie ordinaire des \(\mathcal{A}\)-modules gradués et des foncteurs de décalage, comme expliqué dans Algèbre différentielle graduée, remarque 09P3.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre graduée. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) est une catégorie abélienne de Grothendieck.

Démonstration

D’après le lemme 0FR0 et la définition d’une catégorie abélienne de Grothendieck (Injectifs, définition 079B), il suffit de montrer que \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) possède un générateur. Nous affirmons que \[\mathcal{G} = \bigoplus\nolimits_{k, U} j_{U!}\mathcal{A}_U[k]\] est un générateur où la somme est effectuée sur tous les objets \(U\) de \(\mathcal{C}\) et \(k \in \mathbf{Z}\). En effet, étant donné un \(\mathcal{A}\)-module gradué \(\mathcal{M}\), s’il n’existe aucun morphisme non nul de \(\mathcal{G}\) vers \(\mathcal{M}\), alors, pour tout \(k\) et tout \(U\), on a \[\Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A})}(j_{U!}\mathcal{A}_U[k], \mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}_U)}(\mathcal{A}_U[k], \mathcal{M}|_U) = \Gamma(U, \mathcal{M}^{-k})\] et ce groupe est nul. Ainsi, \(\mathcal{M}\) est nul.

Faisceaux d’algèbres différentielles graduées

Cette section est l’analogue d’Algèbre différentielle graduée, section 061U.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Un faisceau de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées, ou un faisceau d’algèbres différentielles graduées, sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) est un complexe de cochaînes \(\mathcal{A}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules muni d’applications \(\mathcal{O}\)-bilinéaires \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{A}^{n + m},\quad (a, b) \longmapsto ab\] appelées applications de multiplication et vérifiant les propriétés suivantes :

1. la multiplication est associative,

2. il existe une section globale \(1\) de \(\mathcal{A}^0\) qui est une unité bilatère pour la multiplication,

3. pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(a \in \mathcal{A}^n(U)\) et \(b \in \mathcal{A}^m(U)\), on a \[\text{d}^{n + m}(ab) = \text{d}^n(a)b + (-1)^n a\text{d}^m(b)\]

Nous notons souvent une telle structure \((\mathcal{A}, \text{d})\). Un homomorphisme d’algèbres différentielles graduées sur \(\mathcal{O}\) de \((\mathcal{A}, \text{d})\) vers \((\mathcal{B}, \text{d})\) est un morphisme \(f : \mathcal{A}^\bullet \to \mathcal{B}^\bullet\) de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules compatible avec les applications de multiplication.

Si l’on donne une \(\mathcal{O}\)-algèbre différentielle graduée \((\mathcal{A}, \text{d})\) et un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), on utilise la notation \[\mathcal{A}(U) = \Gamma(U, \mathcal{A}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{A}^n(U)\] Il s’agit d’une \(\mathcal{O}(U)\)-algèbre différentielle graduée.

Dans la mesure du possible, nous considérerons une \(\mathcal{O}\)-algèbre différentielle graduée \((\mathcal{A}, \text{d})\) comme une \(\mathcal{O}\)-algèbre graduée \(\mathcal{A}\) munie de l’opérateur \(\text{d} : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) de degré \(1\) (où \(\mathcal{A}\) est considérée comme un \(\mathcal{O}\)-module gradué), satisfaisant à la règle de Leibniz de la définition.

Remarque

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés.

1. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée. L’image directe est la \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre différentielle graduée \((f_*\mathcal{A}, \text{d})\), où \(f_*\mathcal{A}\) est comme dans la remarque 0FQX et \(\text{d} = f_*\text{d}\) comme morphisme \(f_*\mathcal{A}^n \to f_*\mathcal{A}^{n + 1}\). Nous omettons la vérification que la règle de Leibniz est satisfaite.

2. Soit \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre différentielle graduée. L’image inverse est la \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée \((f^*\mathcal{B}, \text{d})\), où \(f^*\mathcal{B}\) est comme dans la remarque 0FQX et \(\text{d} = f^*\text{d}\) comme morphisme \(f^*\mathcal{B}^n \to f^*\mathcal{B}^{n + 1}\). Nous omettons la vérification que la règle de Leibniz est satisfaite.

3. L’ensemble des homomorphismes \(f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbres différentielles graduées est en correspondance biunivoque (\(1\) à \(1\)) avec l’ensemble des homomorphismes \(\mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées.

La partie (3) découle immédiatement de l’adjonction usuelle entre \(f^*\) et \(f_*\) sur les faisceaux de modules.

Faisceaux de modules différentiels gradués

Cette section est l’analogue de l’Algèbre différentielle graduée, section 09JH.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à droite, ou module différentiel gradué à droite sur \(\mathcal{A}\), est un complexe de cochaînes \(\mathcal{M}^\bullet\) muni d’applications \(\mathcal{O}\)-bilinéaires \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, a) \longmapsto xa\] appelées applications de multiplication, satisfaisant aux propriétés suivantes :

1. la multiplication vérifie \((xa)a' = x(aa')\),

2. la section unité \(1\) de \(\mathcal{A}^0\) agit comme l’identité sur \(\mathcal{M}^n\) pour tout \(n\),

3. pour \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(x \in \mathcal{M}^n(U)\) et \(a \in \mathcal{A}^m(U)\), on a \[\text{d}^{n + m}(xa) = \text{d}^n(x)a + (-1)^n x\text{d}^m(a)\]

Nous disons souvent « soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué » pour indiquer cette situation. Un homomorphisme de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués de \(\mathcal{M}\) vers \(\mathcal{N}\) est un morphisme \(f : \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet\) de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules compatible avec les applications de multiplication. La catégorie des \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués (à droite) est notée \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\).

On définit de même les modules différentiels gradués à gauche, mais, sauf mention contraire, les modules de ce chapitre seront des modules à droite.

Étant donnés un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}\) et un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous utilisons la notation \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] Il s’agit d’un \(\mathcal{A}(U)\)-module différentiel gradué à droite.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre différentielle graduée. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) est une catégorie abélienne qui possède les propriétés suivantes :

1. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) possède des sommes directes arbitraires,

2. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) possède des limites inductives arbitraires,

3. les limites inductives filtrantes dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) sont exactes,

4. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) possède des produits arbitraires,

5. \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) possède des limites arbitraires.

Le foncteur d’oubli \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A})\] qui envoie un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué sur son module gradué sous-jacent commute à toutes les limites et limites inductives.

Démonstration

Notons \(F : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A})\) le foncteur de l’énoncé. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) possède les propriétés (1) – (5) ; voir le lemme 0FR0.

Considérons un homomorphisme \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) de \(\mathcal{A}\)-modules gradués. Le noyau et le conoyau de \(f\), comme morphisme de \(\mathcal{A}\)-modules gradués, sont en outre munis de différentiels comme dans la définition 0FRI. Ce sont donc aussi le noyau et le conoyau dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\). Ainsi, \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) est une catégorie abélienne, et la formation des noyaux et conoyaux commute avec \(F\).

Pour prouver l’existence de limites et de limites inductives, il suffit de prouver l’existence de produits et de sommes directes, voir Catégories, lemmes 002N et 002P. Les mêmes lemmes montrent que, pour prouver que \(F\) commute aux limites et aux limites inductives, il suffit de prouver que \(F\) commute aux sommes directes et aux produits.

Soit \(\mathcal{M}_t\), \(t \in T\), une famille de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués. On peut considérer la somme directe \(\bigoplus \mathcal{M}_t\) comme un \(\mathcal{A}\)-module gradué. Puisque la somme directe des modules gradués se calcule terme à terme, \(\bigoplus \mathcal{M}_t\) est naturellement muni d’un différentiel. Le lecteur vérifie facilement que c’est une somme directe en \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\). Il en va de même pour les produits.

Observons que \(F\) est exact et qu’un complexe \(\mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) est exact si et seulement si \(F(\mathcal{M}_1) \to F(\mathcal{M}_2) \to F(\mathcal{M}_3)\) est exact dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\). On en déduit (3), puisque les limites inductives filtrantes sont exactes dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\).

En combinant les lemmes 0FRJ et 0FR0, on obtient un foncteur exact et fidèle \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \text{Comp}(\mathcal{O})\] entre catégories abéliennes. Pour un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}\), les \(\mathcal{O}\)-modules de cohomologie, notés \(H^i(\mathcal{M})\), sont définis comme les cohomologies du complexe sous-jacent de \(\mathcal{O}\)-modules associé à \(\mathcal{M}\). Par conséquent, une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{M} \to 0\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués donne lieu à une suite exacte longue [0FRK]\[\begin{equation} H^n(\mathcal{K}) \to H^n(\mathcal{L}) \to H^n(\mathcal{M}) \to H^{n + 1}(\mathcal{K}) \end{equation}\] des modules de cohomologie, voir Homologie, lemme 0117.

En outre, à partir de maintenant, nous empruntons toute la terminologie utilisée pour les complexes de modules. Par exemple, nous disons qu’un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}\) est acyclique si \(H^k(\mathcal{M}) = 0\) pour tous les \(k \in \mathbf{Z}\). Un homomorphisme \(\mathcal{M} \to \mathcal{N}\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués est un quasi-isomorphisme s’il induit des isomorphismes \(H^k(\mathcal{M}) \to H^k(\mathcal{N})\) pour tout \(k \in \mathbf{Z}\). Et ainsi de suite.

La catégorie différentielle graduée des modules

Cette section est l’analogue d’Algèbre différentielle graduée, exemple 09LC. Pour nos conventions sur les catégories différentielles graduées, voir Algèbre différentielle graduée, section 09L4.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Nous allons construire une catégorie différentielle graduée \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] sur \(R = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\), dont la catégorie de complexes associée est la catégorie des \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués : \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) = \text{Comp}(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\] Comme objets de \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\), nous prenons les \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués à droite, voir la section 0FRH. Étant donnés des \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{M}\), posons \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}^{gr}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\] comme \(R\)-module gradué, voir la section 0FR1. Autrement dit, la composante graduée de degré \(n\), \(\Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\), est le \(R\)-module des morphismes de \(\mathcal{A}\)-modules à droite homogènes de degré \(n\). Pour \(f \in \Hom^n(\mathcal{L}, \mathcal{M})\), on pose \[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] Pour donner un sens à cette formule, on considère \(\text{d}_\mathcal{M}\) et \(\text{d}_\mathcal{L}\) comme des morphismes gradués de \(\mathcal{O}\)-modules et on utilise la composition de morphismes gradués de \(\mathcal{O}\)-modules. Il est clair que \(\text{d}(f)\) est homogène de degré \(n + 1\) comme morphisme gradué de \(\mathcal{O}\)-modules, et qu’il est \(\mathcal{A}\)-linéaire, car, pour des sections locales homogènes \(x\) et \(a\) de \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{A}\), on a \[\begin{align*} \text{d}(f)(xa) & = \text{d}_\mathcal{M}(f(x) a) - (-1)^n f (\text{d}_\mathcal{L}(xa)) \\ & = \text{d}_\mathcal{M}(f(x)) a + (-1)^{\deg(x) + n} f(x) \text{d}(a) - (-1)^n f(\text{d}_\mathcal{L}(x)) a - (-1)^{n + \deg(x)} f(x) \text{d}(a) \\ & = \text{d}(f)(x) a \end{align*}\] comme souhaité (observons que ce calcul ne fonctionnerait pas sans le signe dans la définition de notre différentiel sur \(\Hom\)).

Pour des \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués \(\mathcal{K}\), \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{M}\), nous avons déjà défini la composition \[\Hom^m(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \times \Hom^n(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \Hom^{n + m}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] dans la section 0FR1 par composition usuelle de morphismes de faisceaux. Cela définit un morphisme de modules différentiels gradués \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_R \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] comme l’exige l’Algèbre différentielle graduée, définition 09L5, comme le montre le calcul suivant : \[\begin{align*} \text{d}(g \circ f) & = \text{d}_\mathcal{M} \circ g \circ f - (-1)^{n + m} g \circ f \circ \text{d}_\mathcal{K} \\ & = \left(\text{d}_\mathcal{M} \circ g - (-1)^m g \circ \text{d}_L\right) \circ f + (-1)^m g \circ \left(\text{d}_\mathcal{L} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{K}\right) \\ & = \text{d}(g) \circ f + (-1)^m g \circ \text{d}(f) \end{align*}\] si \(f\) est de degré \(n\) et \(g\) de degré \(m\), comme souhaité.

Produit tensoriel de faisceaux de modules différentiels gradués

Cette section est l’analogue d’une partie de l’Algèbre différentielle graduée, section 09LL.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soient \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à droite et \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à gauche. Dans cette situation, nous définissons le produit tensoriel \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) comme suit. Comme \(\mathcal{O}\)-module gradué, il est donné par la construction de la section 0FR2. Il est doté d’un différentiel \[\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} : (\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^n \longrightarrow (\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})^{n + 1}\] défini par la règle \[\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}(x \otimes y) = \text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes y + (-1)^{\deg(x)}x \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y)\] pour les sections locales homogènes \(x\) et \(y\) de \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{N}\). Pour vérifier que cette définition est correcte, montrons que \(\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}\) annule les éléments de la forme \(xa \otimes y - x \otimes ay\), pour des sections locales homogènes \(x\), \(a\), \(y\) de \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{N}\). Nous calculons \[\begin{align*} & \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}( xa \otimes y - x \otimes ay) \\ & = \text{d}_\mathcal{M}(xa) \otimes y + (-1)^{\deg(x) + \deg(a)} xa \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) -\text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes ay - (-1)^{\deg(x)} x \otimes \text{d}_\mathcal{N}(ay) \\ & = \text{d}_\mathcal{M}(x)a \otimes y + (-1)^{\deg(x)}x\text{d}(a) \otimes y + (-1)^{\deg(x) + \deg(a)} xa \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) \\ & -\text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes ay - (-1)^{\deg(x)} x \otimes \text{d}(a)y - (-1)^{\deg(x) + \deg(a)} x\otimes a\text{d}_\mathcal{N}(y) \end{align*}\] Nous observons que les éléments \[\text{d}_\mathcal{M}(x)a \otimes y - \text{d}_\mathcal{M}(x) \otimes ay,\quad x\text{d}(a) \otimes y - x \otimes \text{d}(a)y,\quad \text{et}\quad xa \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) - x\otimes a\text{d}_\mathcal{N}(y)\] ont une image nulle dans \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\), ce qui conclut. Nous omettons la vérification que \(\text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} \circ \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} = 0\).

Si nous fixons le \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à gauche \(\mathcal{N}\), nous obtenons un foncteur \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \text{Comp}(\mathcal{O})\] où le membre de droite est la catégorie des complexes de \(\mathcal{O}\)-modules. Ce foncteur se relève en un foncteur de catégories différentielles graduées \[- \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})\] Sur les objets gradués sous-jacents, nous envoyons un homomorphisme \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) de degré \(n\) sur l’application de degré \(n\), \(f \otimes \text{id}_\mathcal{N} : \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\), conformément à la construction de la section 0FR2. Pour montrer que cela fonctionne, nous devons vérifier que l’application \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{M}') \longrightarrow \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O})}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N})\] est compatible avec les différentiels. Pour voir cela pour \(f\) comme ci-dessus nous devons montrer que \[(\text{d}_{\mathcal{M}'} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{M}) \otimes \text{id}_\mathcal{N}\] est égal à \[\text{d}_{\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}} \circ (f \otimes \text{id}_\mathcal{N}) - (-1)^n (f \otimes \text{id}_\mathcal{N}) \circ \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}\] Calculons donc l’effet de ces opérateurs sur une section locale de la forme \(x \otimes y\), où \(x\) et \(y\) sont des sections locales homogènes de \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{N}\). Pour le premier, nous obtenons \[(\text{d}_{\mathcal{M}'}(f(x)) - (-1)^n f(\text{d}_\mathcal{M}(x))) \otimes y\] et pour le second nous obtenons \[\begin{align*} &\text{d}_{\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}(f(x) \otimes y) - (-1)^n (f \otimes \text{id}_\mathcal{N})( \text{d}_{\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}}(x \otimes y) \\ & = \text{d}_{\mathcal{M}'}(f(x)) \otimes y + (-1)^{\deg(x) + n}f(x) \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) \\ & -(-1)^n f(\text{d}_\mathcal{M}(x)) \otimes y -(-1)^n (-1)^{\deg(x)}f(x) \otimes \text{d}_\mathcal{N}(y) \end{align*}\] qui est bien la même section locale.

Hom interne de faisceaux de modules différentiels gradués

Nous aurons besoin de la version faisceautisée de la construction de la section 0FRL. Soient \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{L}\) comme dans la section 0FRL. Nous définissons \[\SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L}) = \SheafHom^{gr}_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] comme \(\mathcal{O}\)-module gradué, voir la section 0FR3. Autrement dit, une section \(f\) de la composante graduée de degré \(n\), \(\SheafHom^n_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M})\), sur \(U\) est un morphisme de \(\mathcal{A}_U\)-modules à droite \(\mathcal{L}|_U \to \mathcal{M}|_U\), homogène de degré \(n\). Pour un tel \(f\), on pose \[\text{d}(f) = \text{d}_\mathcal{M}|_U \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}|_U\] Pour donner un sens à cette formule, on considère \(\text{d}_\mathcal{M}|_U\) et \(\text{d}_\mathcal{L}|_U\) comme des morphismes gradués de \(\mathcal{O}_U\)-modules et on utilise la composition de morphismes gradués de \(\mathcal{O}_U\)-modules. Il est clair que \(\text{d}(f)\) est homogène de degré \(n + 1\) comme morphisme gradué de \(\mathcal{O}_U\)-modules. En utilisant exactement le même calcul que dans la section 0FRL, nous voyons que \(\text{d}(f)\) est \(\mathcal{A}_U\)-linéaire.

Comme dans la section 0FRL, il y a une application de composition \[\SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] où le côté gauche est le produit tensoriel de \(\mathcal{O}\)-modules différentiels gradués défini à la section 0FRM. Cette application est donnée par l’application de composition \[\SheafHom^m(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom^n(\mathcal{K}, \mathcal{L}) \longrightarrow \SheafHom^{n + m}(\mathcal{K}, \mathcal{M})\] définie par simple composition (localement). En appliquant exactement le même calcul que dans la section 0FRL aux sections locales, nous voyons que l’application de composition est un morphisme de \(\mathcal{O}\)-modules différentiels gradués.

Avec ces définitions, nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \Gamma(\mathcal{C}, \SheafHom^{dg}_\mathcal{A}(\mathcal{L}, \mathcal{M}))\] comme \(R\)-modules gradués, compatiblement à la composition.

Faisceaux de bimodules différentiels gradués et adjonction tensor-Hom

Cette section est l’analogue d’une partie de l’Algèbre différentielle graduée, section 09LL.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué est la donnée d’un complexe \(\mathcal{M}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules muni d’applications \(\mathcal{O}\)-bilinéaires \[\mathcal{M}^n \times \mathcal{B}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (x, b) \longmapsto xb\] et \[\mathcal{A}^n \times \mathcal{M}^m \to \mathcal{M}^{n + m},\quad (a, x) \longmapsto ax\] appelées applications de multiplication, avec les propriétés suivantes

1. la multiplication satisfait \(a(a'x) = (aa')x\) et \((xb)b' = x(bb')\),

2. \((ax)b = a(xb)\),

3. \(\text{d}(ax) = \text{d}(a) x + (-1)^{\deg(a)}a \text{d}(x)\) et \(\text{d}(xb) = \text{d}(x) b + (-1)^{\deg(x)}x \text{d}(b)\),

4. la section unité \(1\) de \(\mathcal{A}^0\) agit comme l’identité par multiplication, et

5. la section unité \(1\) de \(\mathcal{B}^0\) agit comme l’identité par multiplication.

Nous désignons souvent une telle structure \(\mathcal{M}\) et parfois nous écrivons \({}_\mathcal{A}\mathcal{M}_\mathcal{B}\). Un homomorphisme de \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodules différentiels gradués \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) est un morphisme de complexes \(f : \mathcal{M}^\bullet \to \mathcal{N}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules compatible avec les applications de multiplication.

Étant donnés un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué \(\mathcal{M}\) et un objet \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), nous utilisons la notation \[\mathcal{M}(U) = \Gamma(U, \mathcal{M}) = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \mathcal{M}^n(U)\] C’est un \((\mathcal{A}(U), \mathcal{B}(U))\)-bimodule différentiel gradué.

Observons qu’un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué \(\mathcal{M}\) revient à se donner un \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué à droite qui est aussi un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à gauche, de sorte que les graduations et les différentiels coïncident et que les structures de \(\mathcal{A}\)-module et de \(\mathcal{B}\)-module commutent. Voici un énoncé précis.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué à droite. Il existe une correspondance biunivoque (\(1\) à \(1\)) entre les structures de \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule sur \(\mathcal{N}\) compatibles avec la structure donnée de \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué et les homomorphismes \[\mathcal{A} \longrightarrow \SheafHom^{dg}_\mathcal{B}(\mathcal{N}, \mathcal{N})\] de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées.

Démonstration

Démonstration omise.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soient \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à droite et \(\mathcal{N}\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué. Dans ce cas, le produit tensoriel différentiel gradué défini à la section 0FRM \[\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] est un \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué à droite, avec les applications de multiplication de la section 0FR4. Cette construction définit un foncteur et un foncteur de catégories graduées \[\otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \quad\text{et}\quad \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})\] en envoyant les homomorphismes de degré \(n\) de \(\mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) sur l’application induite de degré \(n\) de \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) vers \(\mathcal{M}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\).

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{N}\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué et soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué à droite. Dans ce cas, le Hom interne différentiel gradué défini à la section 0FRN \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] est un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à droite dont la structure graduée de \(\mathcal{A}\)-module à droite est celle de la section 0FR4. Une autre définition de la multiplication consiste à utiliser la composition \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A} \to \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}) \otimes_\mathcal{O} \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{N}) \to \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\] où la première flèche provient du lemme 0FRR et la seconde est l’application de composition de la section 0FRN. Puisque ces deux flèches sont compatibles avec les différentiels, nous concluons que nous obtenons en effet un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué. Cette construction définit un foncteur et un foncteur de catégories différentielles graduées \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}) \quad\text{et}\quad \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, -) : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] en envoyant les homomorphismes de degré \(n\) de \(\mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) sur l’application induite de degré \(n\) de \(\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L})\) vers \(\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}')\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soient \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à droite, \(\mathcal{N}\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué et \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué à droite. Avec les conventions ci-dessus, nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] et \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{dg}( \mathcal{M}, \SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, \mathcal{L}))\] fonctoriellement en \(\mathcal{M}\), \(\mathcal{N}\) et \(\mathcal{L}\).

Démonstration

Omis. Indication : au niveau gradué, nous avons établi ce résultat dans le lemme 0FR6. Il suffit donc de vérifier que les isomorphismes sont compatibles avec les différentiels, ce qui se fait par un calcul sur les sections locales.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des faisceaux d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Comme cas particulier de ce qui précède, supposons donné un homomorphisme \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. On obtient alors un foncteur et un foncteur de catégories différentielles graduées \[\otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \quad\text{et}\quad \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B} : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})\] D’autre part, nous avons les foncteurs de restriction \[res_\varphi : \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \quad\text{et}\quad res_\varphi : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] Le lemme ci-dessus montre que ces foncteurs sont adjoints (comme d’habitude pour la restriction et le changement de base). À savoir, écrivons \({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}\) pour \(\mathcal{B}\) considéré comme un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué. Alors, pour tout \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{L}\), nous avons \[\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}({}_\mathcal{A}\mathcal{B}_\mathcal{B}, \mathcal{L}) = res_\varphi(\mathcal{L})\] comme \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués. Ainsi, le lemme 0FR6 fournit un isomorphisme fonctoriel \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})}( \mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}, \varphi} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( \mathcal{M}, res_\varphi(\mathcal{L}))\] Lorsque le contexte est clair, nous omettons généralement \(\varphi\) dans cette formule. De la même manière, nous obtenons l’égalité \[\SheafHom^{dg}_\mathcal{B}( \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{B}, \mathcal{L}) = \SheafHom_\mathcal{A}^{dg}(\mathcal{M}, \mathcal{L})\] de \(\mathcal{O}\)-modules gradués.

Image inverse et image directe des faisceaux de modules différentiels gradués

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soient \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée et \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre différentielle graduée. Supposons qu’on nous donne une application \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] de \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. Par l’adjonction entre restriction et extension des scalaires, cela revient à se donner un morphisme \(\varphi : f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbres différentielles graduées ou, de manière équivalente, \(\varphi\) peut être considéré comme un morphisme \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. Voir la remarque 0FRG.

Définissons maintenant un foncteur \[f_* : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d})\] Étant donné un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}\), nous définissons \(f_*\mathcal{M}\) comme le \(\mathcal{B}\)-module gradué construit dans la section 0FR7, muni du différentiel donné par les morphismes \(f_*d : f_*\mathcal{M}^n \to f_*\mathcal{M}^{n + 1}\). La construction est clairement fonctorielle en \(\mathcal{M}\) et nous obtenons notre foncteur.

Définissons maintenant un foncteur \[f^* : \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\] Étant donné un \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{N}\), nous définissons \(f^*\mathcal{N}\) comme le \(\mathcal{A}\)-module gradué construit dans la section 0FR7. Rappelons que \[f^*\mathcal{N} = f^{-1}\mathcal{N} \otimes_{f^{-1}\mathcal{B}} \mathcal{A}\] Puisque \(f^{-1}\mathcal{N}\) est muni des applications \(f^{-1}\text{d} : f^{-1}\mathcal{N}^n \to f^{-1}\mathcal{N}^{n + 1}\), nous pouvons considérer ce produit tensoriel comme un exemple du produit tensoriel étudié dans la section 0FRP, qui le munit d’un différentiel. La construction est clairement fonctorielle en \(\mathcal{N}\) et nous obtenons notre foncteur \(f^*\).

Les foncteurs \(f_*\) et \(f^*\) se relèvent naturellement en des foncteurs de catégories différentielles graduées \[f_* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \quad\text{et}\quad f^* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] qui agissent de la même façon sur les objets sous-jacents et sont définis sur les morphismes homogènes de degré \(n\) par la fonctorialité des constructions.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d})}( \mathcal{N}, f_*\mathcal{M}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( f^*\mathcal{N}, \mathcal{M})\]

Démonstration

Démonstration omise. Indication : l’énoncé est vrai pour les catégories graduées sous-jacentes par le lemme 0FR8. Un calcul montre que ces isomorphismes sont compatibles avec les différentiels.

Localisation et faisceaux de modules différentiels gradués

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) et notons \[j : (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\] le morphisme de localisation correspondant (Modules sur les sites, section 03DH). Nous utiliserons le fait suivant : pour des \(\mathcal{O}_U\)-modules \(\mathcal{M}_i\), \(i = 1, 2\), et un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{A}\), il existe une application canonique \[j_! : \Hom_{\mathcal{O}_U}( \mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U, \mathcal{M}_2) \longrightarrow \Hom_\mathcal{O}( j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}, j_!\mathcal{M}_2)\] Nous avons notamment \(j_!(\mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{A}|_U) = j_!\mathcal{M}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A}\) par Modules sur les sites, lemme 0E8I.

Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre différentielle graduée. Notons \(\mathcal{A}_U\) la restriction de \(\mathcal{A}\) à \(\mathcal{C}/U\), en d’autres termes, nous avons \(\mathcal{A}_U = j^*\mathcal{A} = j^{-1}\mathcal{A}\). Dans la section 0FRT, nous avons construit des foncteurs adjoints \[j_* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \quad\text{et}\quad j^* : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d})\] avec \(j^*\) adjoint à gauche à \(j_*\). Nous affirmons qu’il existe de plus un foncteur exact \[j_! : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] adjoint à droite de \(j_*\). À savoir, étant donné un \(\mathcal{A}_U\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}\), nous définissons \(j_!\mathcal{M}\) comme le \(\mathcal{A}\)-module gradué construit dans la section 0FR9 avec les différentiels \(j_!\text{d} : j_!\mathcal{M}^n \to j_!\mathcal{M}^{n + 1}\). Étant donnée une application homogène \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\) de degré \(n\) de \(\mathcal{A}_U\)-modules différentiels gradués, nous obtenons une application homogène \(j_!f : j_!\mathcal{M} \to j_!\mathcal{M}'\) de degré \(n\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués. Nous omettons la simple vérification que cette construction est compatible avec les différentiels. Ainsi nous obtenons notre foncteur.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}( j_!\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}_U, \text{d})}( \mathcal{M}, j^*\mathcal{N})\]

Démonstration

Démonstration omise. Nous avons vu dans le lemme 0FRA que le lemme est vrai au niveau gradué. Ainsi, tout ce qui doit être vérifié est que l’isomorphisme résultant est compatible avec les différentiels.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}_U\)-module différentiel gradué à droite et soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à gauche. Alors \[j_!\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = j_!(\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}_U} \mathcal{N}|_U)\] comme complexes de \(\mathcal{O}\)-modules, fonctoriellement en \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{N}\).

Démonstration

Au niveau des modules gradués, cela découle du lemme 0FRB. Nous omettons la vérification que cet isomorphisme est compatible avec les différentiels.

Foncteurs de décalage sur les faisceaux de modules différentiels gradués

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué. Soit \(k \in \mathbf{Z}\). Nous définissons le \(k\)-ième décalage de \(\mathcal{M}\), noté \(\mathcal{M}[k]\), comme suit :

1. le \(\mathcal{A}\)-module gradué \(\mathcal{M}[k]\) est celui défini dans la section 0FRC,

2. le différentiel \(d_{\mathcal{M}[k]} : (\mathcal{M}[k])^n \to (\mathcal{M}[k])^{n + 1}\) est donné par \((-1)^k\text{d}_\mathcal{M} : \mathcal{M}^{n + k} \to \mathcal{M}^{n + k + 1}\).

Pour un homomorphisme \(f : \mathcal{L} \to \mathcal{M}\) de \(\mathcal{A}\)-modules homogène de degré \(n\), définissons \(f[k] : \mathcal{L}[k] \to \mathcal{M}[k]\) par les mêmes applications composantes que \(f\). Alors \(f[k]\) est un homomorphisme de \(\mathcal{A}\)-modules homogène de degré \(n\). Cela définit une application \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \longrightarrow \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{L}[k], \mathcal{M}[k])\] compatible avec les différentiels, car les différentiels de \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{M}\) sont multipliés par le même signe. Ces choix sont compatibles avec le choix en Algèbre différentielle graduée, définition 09JL. Il est clair que nous avons défini un foncteur \[[k] : \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\] Ce foncteur est un foncteur de catégories différentielles graduées et l’on a \([k + l] = [k] \circ [l]\).

Nous affirmons que l’isomorphisme \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M}[k]) = \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{L}, \mathcal{M})[k]\] défini à la section 0FRC sur les modules gradués sous-jacents est compatible avec les différentiels. Pour le voir, soit une application \(\mathcal{A}\)-linéaire \(f : \mathcal{L} \to \mathcal{M}[k]\) homogène de degré \(n\) ; c’est un élément de degré \(n\) du membre de gauche. Notons \(f' : \mathcal{L} \to \mathcal{M}\) l’homomorphisme homogène de \(\mathcal{A}\)-modules de degré \(n + k\) dont les applications composantes sont les mêmes que celles de \(f\). Selon nos conventions, c’est l’élément correspondant de degré \(n\) du membre de droite. Par définition du différentiel du membre de gauche, nous obtenons \[\text{d}_{LHS}(f) = \text{d}_{\mathcal{M}[k]} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L} = (-1)^k\text{d}_\mathcal{M} \circ f - (-1)^n f \circ \text{d}_\mathcal{L}\] et, pour le différentiel du membre de droite, nous obtenons \[\text{d}_{RHS}(f') = (-1)^k\left( \text{d}_\mathcal{M} \circ f' - (-1)^{n + k} f' \circ \text{d}_\mathcal{L} \right) = (-1)^k\text{d}_\mathcal{M} \circ f' - (-1)^n f' \circ \text{d}_\mathcal{L}\] Les applications composantes sont les mêmes, ce qui achève la démonstration.

La catégorie homotopique

Cette section est l’analogue de l’Algèbre différentielle graduée, section 09JM.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soient \(f, g : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) des homomorphismes de modules différentiels gradués sur \(\mathcal{A}\). Une homotopie entre \(f\) et \(g\) est un morphisme gradué de \(\mathcal{A}\)-modules \(h : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\), homogène de degré \(-1\), tel que \[f - g = \text{d}_\mathcal{N} \circ h + h \circ \text{d}_\mathcal{M}\] S’il existe une telle homotopie, nous disons que \(f\) et \(g\) sont homotopes.

Dans la situation de la définition, si nous avons des applications \(a : \mathcal{K} \to \mathcal{M}\) et \(c : \mathcal{N} \to \mathcal{L}\) alors nous voyons que \[\begin{matrix} h\text{ est une homotopie} \\ \text{ entre }f\text{ et } g \end{matrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{matrix} c \circ h \circ a\text{ est une homotopie}\\ \text{entre } c \circ f \circ a\text{ et } c\circ g \circ a \end{matrix}\] Ainsi, nous pouvons définir la composition des classes d’homotopie des morphismes dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\).

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). La catégorie homotopique, notée \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\), est la catégorie dont les objets sont ceux de \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) et dont les morphismes sont les classes d’homotopie d’homomorphismes de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués.

La notation \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) n’est pas standard, mais elle est compatible avec les autres usages de \(K(-)\) dans le projet Champs.

Dans Algèbre différentielle graduée, définition 09L7, nous avons défini la catégorie des complexes \(\text{Comp}(\mathcal{S})\) et la catégorie homotopique \(K(\mathcal{S})\) d’une catégorie différentielle graduée \(\mathcal{S}\). En appliquant cela à la catégorie différentielle graduée \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\), nous obtenons \[\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) = \text{Comp}(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\] (voir la discussion de la section 0FRL) et nous obtenons \[K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) = K(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\] Pour vérifier cette dernière égalité, remarquons que nous avons \[\text{d}_{\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{M}, \mathcal{N})}(h) = \text{d}_\mathcal{N} \circ h + h \circ \text{d}_\mathcal{M}\] lorsque \(h\) est comme dans la définition 0FS0. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). La catégorie homotopique \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) possède des sommes directes et des produits.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : utiliser les sommes directes et les produits du lemme 0FRJ. Cela fonctionne car nous avons vu que ces foncteurs commutent au foncteur d’oubli vers la catégorie des modules gradués sur \(\mathcal{A}\), et car \(\prod\) et \(\bigoplus\) sont des foncteurs exacts sur la catégorie des familles de groupes abéliens.

Cônes et triangles

Dans cette section, nous utilisons les résultats d’Algèbre différentielle graduée, section 09P5, pour conclure que la catégorie homotopique de la catégorie des \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués est triangulée.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). La catégorie différentielle graduée \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\) satisfait aux axiomes (A) et (B) d’Algèbre différentielle graduée, section 09P5.

Démonstration

Supposons donnés des \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{N}\). Considérons le \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) défini de manière évidente. Les coprojections \(i : \mathcal{M} \to \mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) et \(j : \mathcal{N} \to \mathcal{M} \oplus \mathcal{N}\) ainsi que les projections \(p : \mathcal{M} \oplus \mathcal{N} \to \mathcal{N}\) et \(q : \mathcal{M} \oplus \mathcal{N} \to \mathcal{M}\) sont des morphismes de modules différentiels gradués sur \(\mathcal{A}\). Ainsi, \(i, j, p, q\) sont homogènes de degré \(0\) et fermés, c’est-à-dire que \(\text{d}(i) = 0\), etc. Ainsi, cette somme directe est une somme différentielle graduée au sens de l’Algèbre différentielle graduée, définition 09P4. Cela prouve l’axiome (A).

L’axiome (B) a été vérifié dans la section 0FRY.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Rappelons qu’une suite \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \to 0\] dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) est appelée une suite exacte courte admissible (voir Algèbre différentielle graduée, section 09P5) si elle est scindée dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\). Autrement dit, elle est scindée comme suite de \(\mathcal{A}\)-modules gradués. Notons \(s : \mathcal{N} \to \mathcal{L}\) et \(\pi : \mathcal{L} \to \mathcal{K}\) les scindages gradués \(\mathcal{A}\)-linéaires. En combinant le lemme 0FS4 et Algèbre différentielle graduée, lemme 09P6, nous obtenons un triangle \[\mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \to \mathcal{K}[1]\] où la flèche \(\mathcal{N} \to \mathcal{K}[1]\) dans la preuve d’Algèbre différentielle graduée, lemme 09P6 est construite comme \[\delta = \pi \circ \text{d}_{\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{L}, \mathcal{M})}(s) = \pi \circ \text{d}_\mathcal{L} \circ s - \pi \circ s \circ \text{d}_\mathcal{N} = \pi \circ \text{d}_\mathcal{L} \circ s\] avec nos excuses pour cette notation peu lisible. Quoi qu’il en soit, nous voyons que, dans notre situation, l’application de bord \(\delta\) construite dans Algèbre différentielle graduée, lemme 09P6, coïncide sur les complexes sous-jacents de \(\mathcal{O}\)-modules avec l’application de bord usuelle employée dans le projet Champs pour les suites exactes courtes de complexes scindées terme à terme ; voir Catégories dérivées, définition 014I.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(f : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\) un homomorphisme de modules différentiels gradués sur \(\mathcal{A}\). Le cône de \(f\) est le \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(C(f)\) défini comme suit :

1. le complexe sous-jacent de \(\mathcal{O}\)-modules est le cône du morphisme correspondant \(f : \mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{L}^\bullet\) de complexes de \(\mathcal{A}\)-modules ; ainsi, \(C(f)^n = \mathcal{L}^n \oplus \mathcal{K}^{n + 1}\) et le différentiel est \[d_{C(f)} = \left( \begin{matrix} \text{d}_\mathcal{L} & f \\ 0 & -\text{d}_\mathcal{K} \end{matrix} \right)\]

2. l’application de multiplication \[C(f)^n \times \mathcal{A}^m \to C(f)^{n + m}\] est la somme directe de l’application de multiplication \(\mathcal{L}^n \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{L}^{n + m}\) et de l’application de multiplication \(\mathcal{K}^{n + 1} \times \mathcal{A}^m \to \mathcal{K}^{n + 1 + m}\).

Il est équipé d’homomorphismes canoniques de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués \(i : \mathcal{L} \to C(f)\) et \(p : C(f) \to \mathcal{K}[1]\) induits par les applications évidentes.

Remarquons que, dans la situation de la définition, la suite \[0 \to \mathcal{L} \to C(f) \to \mathcal{K}[1] \to 0\] est une suite exacte courte admissible.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). La catégorie différentielle graduée \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\) satisfait à l’axiome (C) formulé dans Algèbre différentielle graduée, situation 09QJ.

Démonstration

Soit \(f : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\) un homomorphisme de modules différentiels gradués sur \(\mathcal{A}\). D’après ce qui précède, nous avons une suite exacte courte admissible \[0 \to \mathcal{L} \to C(f) \to \mathcal{K}[1] \to 0\] Pour achever la démonstration, nous devons vérifier que l’application de bord \[\delta : \mathcal{K}[1] \to \mathcal{L}[1]\] qui lui est associée (voir la discussion ci-dessus) est égale à \(f[1]\). Pour la section \(s : \mathcal{K}[1] \to C(f)\), nous utilisons en degré \(n\) le plongement \(\mathcal{K}^{n + 1} \to C(f)^n\). En degré \(n\), l’application \(\pi\) est donnée par les projections \(C(f)^n \to \mathcal{L}^n\). Alors finalement nous devons calculer \[\delta = \pi \circ \text{d}_{C(f)} \circ s\] (voir discussion ci-dessus). En notation matricielle, cette expression est égale à \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \text{d}_\mathcal{L} & f \\ 0 & -\text{d}_\mathcal{K} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = f\] comme souhaité.

À ce stade, nous savons que tous les lemmes prouvés en Algèbre différentielle graduée, section 09P5 sont valables pour la catégorie différentielle graduée \(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})\). En particulier, nous obtenons la proposition suivante.

Proposition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). La catégorie homotopique \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) est une catégorie triangulée où

1. les foncteurs de décalage sont ceux de la section 0FRY,

2. les triangles distingués sont les triangles de \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) isomorphes, en tant que triangles, à un triangle \[\mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \xrightarrow{\delta} \mathcal{K}[1],\quad\quad \delta = \pi \circ \text{d}_\mathcal{L} \circ s\] construit à partir d’une suite exacte courte admissible \(0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{N} \to 0\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) ci-dessus.

Démonstration

Rappelons que \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) = K(\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}))\), voir la section 0FRZ. La proposition découle alors des lemmes 0FS4 et 0FS6 et d’Algèbre différentielle graduée, proposition 09QY.

Remarque

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(C = C(\text{id}_\mathcal{A})\) le cône de l’application identité \(\mathcal{A} \to \mathcal{A}\), considérée comme un morphisme de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués. Alors \[\Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})}(C, \mathcal{M}) = \{(x, y) \in \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}^0) \times \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}^{-1}) \mid x = \text{d}(y)\}\] où l’application de gauche à droite envoie \(f\) à la paire \((x, y)\) où \(x\) est l’image de la section globale \((0, 1)\) de \(C^{-1} = \mathcal{A}^{-1} \oplus \mathcal{A}^0\) et où \(y\) est l’image de la section globale \((1, 0)\) de \(C^0 = \mathcal{A}^0 \oplus \mathcal{A}^1\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre différentielle graduée. La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) est une catégorie abélienne de Grothendieck.

Démonstration

Par le lemme 0FRJ et la définition d’une catégorie abélienne de Grothendieck (Injectifs, définition 079B), il suffit de montrer que \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) possède un générateur. Pour chaque objet \(U\) de \(\mathcal{C}\), notons \(C_U\) le cône du morphisme identité \(\mathcal{A}_U \to \mathcal{A}_U\), comme dans la remarque 0FS8. Nous affirmons que \[\mathcal{G} = \bigoplus\nolimits_{k, U} j_{U!}C_U[k]\] est un générateur, où la somme porte sur tous les objets \(U\) de \(\mathcal{C}\) et tous les \(k \in \mathbf{Z}\). En effet, étant donné un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}\), s’il n’existe aucun morphisme non nul de \(\mathcal{G}\) vers \(\mathcal{M}\), alors, pour tous \(k\) et \(U\), le groupe \[\begin{align*} \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A})}(j_{U!}C_U[k], \mathcal{M}) \\ & = \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}_U)}(C_U[k], \mathcal{M}|_U) \\ & = \{(x, y) \in \mathcal{M}^{-k}(U) \times \mathcal{M}^{-k - 1}(U) \mid x = \text{d}(y)\} \end{align*}\] est égal à zéro. Ainsi, \(\mathcal{M}\) est nul.

Résolutions plates

Cette section est l’analogue de l’Algèbre différentielle graduée, section 09KK.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Nous dirons qu’un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à droite \(\mathcal{P}\) est bon si

1. le foncteur \(\mathcal{N} \mapsto \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) est exact sur la catégorie des \(\mathcal{A}\)-modules gradués à gauche,

2. si \(\mathcal{N}\) est un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué acyclique à gauche, alors \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) est acyclique,

3. pour tout morphisme \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) de topos annelés, toute \(\mathcal{O}'\)-algèbre différentielle graduée \(\mathcal{A}'\) et tout morphisme \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) d’algèbres différentielles graduées sur \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\), les propriétés (1) et (2) valent pour l’image inverse \(f^*\mathcal{P}\) (section 0FRT), considérée comme un \(\mathcal{A}'\)-module différentiel gradué.

La première condition signifie que \(\mathcal{P}\) est plat comme module gradué à droite sur \(\mathcal{A}\) ; la deuxième signifie que \(\mathcal{P}\) est K-plat au sens de Spaltenstein (voir Cohomologie sur les sites, section 06YL) ; la troisième exige que ces propriétés restent vraies après tout changement de base.

Il est peut-être surprenant qu’il y ait beaucoup de bons modules.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(U \in \Ob(\mathcal{C})\). Alors \(j_!\mathcal{A}_U\) est un bon \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué.

Démonstration

Soit \(\mathcal{N}\) un module gradué à gauche sur \(\mathcal{A}\). Par le lemme 0FRB nous avons \[j_!\mathcal{A}_U \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = j_!(\mathcal{A}_U \otimes_{\mathcal{A}_U} \mathcal{N}|_U) = j_!(\mathcal{N}_U)\] comme modules gradués. Puisque la restriction à \(U\) et le foncteur \(j_!\) sont tous deux exacts, cela prouve (1). Le même argument est valable pour (2) en utilisant le lemme 0FRX.

Considérons un morphisme \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) de topos annelés, une \(\mathcal{O}'\)-algèbre différentielle graduée \(\mathcal{A}'\) et un morphisme \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) de \(f^{-1}\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Nous devons montrer que \[f^*j_!\mathcal{A}_U = f^{-1}j_!\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}'\] satisfait aux points (1) et (2) pour le topos annelé \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) doté du faisceau de \(\mathcal{O}'\)-algèbres différentielles graduées \(\mathcal{A}'\). Pour le prouver, nous pouvons remplacer \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) et \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) par des topos annelés équivalents. Ainsi, par Modules sur les sites, lemme 03CR, nous pouvons supposer que \(f\) provient d’un morphisme de sites \(f : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\) donné par un foncteur continu \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'\). Dans ce cas, posons \(U' = u(U)\) et notons \(j' : \Sh(\mathcal{C}'/U') \to \Sh(\mathcal{C}')\) le morphisme de localisation correspondant. On obtient un carré commutatif de morphismes de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'/U'), \mathcal{O}'_{U'}) \ar[rr]_{(j', (j')^\sharp)} \ar[d]_{(f', (f')^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \ar[d]^{(f, f^\sharp)} \\ (\Sh(\mathcal{C}/U), \mathcal{O}_U) \ar[rr]^{(j, j^\sharp)} & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}). }\] et nous avons \(f'_*(j')^{-1} = j^{-1}f_*\). Voir Modules sur les sites, lemme 04J0. Par l’unicité des adjoints, on obtient \(f^{-1}j_! = j'_!(f')^{-1}\). Ainsi nous obtenons \[\begin{align*} f^*j_!\mathcal{A}_U & = f^{-1}j_!\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}' \\ & = j'_!(f')^{-1}\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}' \\ & = j'_!\left( (f')^{-1}\mathcal{A}_U \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}|_{U'}} \mathcal{A}'|_{U'}\right) \\ & = j'_!\mathcal{A}'_{U'} \end{align*}\] La première équation est la définition de l’image inverse de \(j_!\mathcal{A}_U\) comme module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}'\). La deuxième égalité découle de \(f^{-1}j_! = j'_!(f')^{-1}\). La troisième découle du lemme 0FRX, appliqué au site annelé \((\mathcal{C}', f^{-1}\mathcal{O})\) muni du faisceau d’algèbres différentielles graduées \(f^{-1}\mathcal{A}\), avec les modules différentiels gradués \((f')^{-1}\mathcal{A}_U\) sur \(\mathcal{C}'/U'\) et \(\mathcal{A}'\) sur \(\mathcal{C}'\). La quatrième égalité résulte de \((f')^{-1}\mathcal{A}_U = f^{-1}\mathcal{A}|_{U'}\). Nous voyons donc que l’image inverse est encore un module du même type, et nous avons démontré ci-dessus les conditions (1) et (2) pour celui-ci.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(0 \to \mathcal{P} \to \mathcal{P}' \to \mathcal{P}'' \to 0\) une suite exacte courte admissible de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués. Si deux modules sur trois sont bons, le troisième aussi.

Démonstration

La condition (1) est immédiate, car la suite est scindée au niveau gradué. Pour la condition (2), remarquons que, pour tout module différentiel gradué à gauche sur \(\mathcal{A}\), la suite \[0 \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P}'' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to 0\] est une suite exacte courte admissible de \(\mathcal{O}\)-modules différentiels gradués (puisque, après oubli du différentiel, le produit tensoriel se calcule dans la catégorie des modules gradués). Ainsi, si deux des trois sont exacts comme complexes de \(\mathcal{O}\)-modules, le troisième aussi. Enfin, le même argument montre que, pour un morphisme \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) de topos annelés, une \(\mathcal{O}'\)-algèbre différentielle graduée \(\mathcal{A}'\) et un morphisme \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) de \(f^{-1}\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées, la suite \[0 \to f^*\mathcal{P} \to f^*\mathcal{P}' \to f^*\mathcal{P}'' \to 0\] est une suite exacte courte admissible de \(\mathcal{A}'\)-modules différentiels gradués et le même argument que ci-dessus s’applique ici.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Une somme directe arbitraire de bons \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués est bonne. Une limite inductive filtrante de bons \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués est bonne.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : les sommes directes et les limites inductives filtrantes commutent aux produits tensoriels et aux images inverses.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué. Il existe un homomorphisme \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués avec les propriétés suivantes

1. \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) est surjectif,

2. \(\Ker(\text{d}_\mathcal{P}) \to \Ker(\text{d}_\mathcal{M})\) est surjectif, et

3. \(\mathcal{P}\) est bon.

Démonstration

Considérons les triples \((U, k, x)\) où \(U\) est un objet de \(\mathcal{C}\), \(k \in \mathbf{Z}\), et \(x\) est une section de \(\mathcal{M}^k\) sur \(U\) avec \(\text{d}_\mathcal{M}(x) = 0\). Nous obtenons alors un unique morphisme de \(\mathcal{A}_U\)-modules différentiels gradués \(\varphi_x : \mathcal{A}_U[-k] \to \mathcal{M}|_U\) envoyant \(1\) sur \(x\). Ceci est adjoint à un morphisme \(\psi_x : j_{U!}\mathcal{A}_U[-k] \to \mathcal{M}\). Remarquons que \(1 \in \mathcal{A}_U(U)\) correspond à une section \(1 \in j_{U!}\mathcal{A}_U[-k](U)\) de degré \(k\), dont le différentiel est nul et qui est envoyée sur \(x\) par \(\psi_x\). Ainsi, si nous considérons l’application \[\bigoplus\nolimits_{(U, k, x)} j_{U!}\mathcal{A}_U[-k] \longrightarrow \mathcal{M}\] les conditions (2) et (3) seront satisfaites. À savoir, les objets \(j_{U!}\mathcal{A}_U[-k]\) sont bons (lemme 0FSB) et toute somme directe de bons objets est bonne (lemme 0FSD).

Considérons ensuite les triples \((U, k, x)\) où \(U\) est un objet de \(\mathcal{C}\), \(k \in \mathbf{Z}\) et \(x\) une section de \(\mathcal{M}^k\), pas nécessairement annulée par le différentiel. Ensuite, nous pouvons considérer le cône \(C_U\) de l’application identité \(\mathcal{A}_U \to \mathcal{A}_U\) comme dans la remarque 0FS8. L’élément \(x\) déterminera une application \(\varphi_x : C_U[-k - 1] \to \mathcal{A}_U\), voir remarque 0FS8. Maintenant, puisque nous avons une suite exacte courte admissible \[0 \to \mathcal{A}_U \to C_U \to \mathcal{A}_U[1] \to 0\] nous concluons que \(j_{U!}C_U\) est un bon module par le lemme 0FSC et le lemme 0FSB déjà utilisé. Comme ci-dessus, nous concluons que la somme directe des applications \(\psi_x : j_{U!}C_U \to \mathcal{M}\) adjointes aux \(\varphi_x\) \[\bigoplus\nolimits_{(U, k, x)} j_{U!}C_U \longrightarrow \mathcal{M}\] est surjective. En prenant la somme directe avec l’application produite au premier paragraphe, nous concluons.

Remarque

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Un faisceau d’ensembles gradués sur \(\mathcal{C}\) est un faisceau d’ensembles \(\mathcal{S}\) muni d’un morphisme \(\deg : \mathcal{S} \to \underline{\mathbf{Z}}\) de faisceaux d’ensembles. Notons \(\mathcal{O}[\mathcal{S}]\) le \(\mathcal{O}\)-module gradué qui est le \(\mathcal{O}\)-module libre sur le faisceau d’ensembles gradués \(\mathcal{S}\). Plus précisément, la composante graduée de degré \(n\) de \(\mathcal{O}[\mathcal{S}]\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{S}(U),\ \deg(s) = n} s \cdot \mathcal{O}(U)\] Avec le différentiel nul, nous pouvons aussi le considérer comme un \(\mathcal{O}\)-module différentiel gradué. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’\(\mathcal{O}\)-algèbres graduées. Nous définissons de même \(\mathcal{A}[\mathcal{S}]\) comme le \(\mathcal{A}\)-module gradué dont la composante graduée de degré \(n\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{S}(U)} s \cdot \mathcal{A}^{n - \deg(s)}(U)\] Si \(\mathcal{A}\) est une \(\mathcal{O}\)-algèbre différentielle graduée, nous en faisons un \(\mathcal{O}\)-module différentiel gradué en posant \(\text{d}(s) = 0\) pour tout \(s \in \mathcal{S}(U)\), puis en prenant le faisceau associé.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{A}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\mathcal{S}\) un faisceau d’ensembles gradués sur \(\mathcal{C}\). Alors le module gradué libre \(\mathcal{A}[\mathcal{S}]\) sur \(\mathcal{S}\), muni du différentiel de la remarque 0FSF, est un bon module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{N}\) un module gradué à gauche sur \(\mathcal{A}\). Alors nous avons \[\mathcal{A}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} = \mathcal{O}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N} = \mathcal{N}[\mathcal{S}]\] où \(\mathcal{N}[\mathcal{S}\) est le module gradué sur \(\mathcal{O}\) dont la composante de degré \(n\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \bigoplus\nolimits_{s \in \mathcal{S}(U)} s \cdot \mathcal{N}^{n - \deg(s)}(U)\] Il est clair que \(\mathcal{N} \to \mathcal{N}[\mathcal{S}]\) est un foncteur exact ; ainsi, \(\mathcal{A}[\mathcal{S}\) est plat comme module gradué sur \(\mathcal{A}\). Supposons maintenant que \(\mathcal{N}\) soit un module différentiel gradué à gauche sur \(\mathcal{A}\). Alors nous avons \[H^*(\mathcal{A}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}) = H^*(\mathcal{O}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{O} \mathcal{N})\] comme faisceaux gradués de \(\mathcal{O}\)-modules, ce qui, par platitude (sur \(\mathcal{O})\) est égal à \[H^*(\mathcal{N})[\mathcal{S}]\] comme module gradué sur \(\mathcal{O}\). Par conséquent, si \(\mathcal{N}\) est acyclique, alors \(\mathcal{A}[\mathcal{S}] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) est acyclique.

Enfin, considérons un morphisme \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) de topos annelés, une \(\mathcal{O}'\)-algèbre différentielle graduée \(\mathcal{A}'\), et une application \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) de \(f^{-1}\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Il est donc facile de voir que \[f^*\mathcal{A}[\mathcal{S}] = \mathcal{A}'[f^{-1}\mathcal{S}]\] ce qui achève la démonstration que notre module est bon.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué. Il existe un homomorphisme \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués avec les propriétés suivantes

1. \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) est un quasi-isomorphisme, et

2. \(\mathcal{P}\) est bon.

Démonstration

Soit \(\mathcal{S}_0\) le faisceau d’ensembles gradués (remarque 0FSF) dont la composante de degré \(n\) est \(\Ker(\text{d}_\mathcal{M}^n)\). Considérons l’homomorphisme de modules différentiels gradués \[\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{S}_0] \longrightarrow \mathcal{M}\] où le membre de gauche est défini dans la remarque 0FSF et le morphisme envoie une section locale \(s\) de \(\mathcal{S}_0\) sur la section locale correspondante de \(\mathcal{M}^{\deg(s)}\) ; celle-ci appartient au noyau du différentiel, ce qui assure que nous avons bien un morphisme de modules différentiels gradués. Par construction, les applications induites sur les faisceaux de cohomologie \(H^n(\mathcal{P}_0) \to H^n(\mathcal{M})\) sont surjectives. Nous allons construire par récurrence des applications \[\mathcal{P}_0 \to \mathcal{P}_1 \to \mathcal{P}_2 \to \ldots \to \mathcal{M}\] Notons bien sûr que \(H^*(\mathcal{P}_i) \to H^*(\mathcal{M})\) sera surjectif pour tous les \(i\). Étant donné \(\mathcal{P}_i \to \mathcal{M}\), notons \(\mathcal{S}_{i + 1}\) le faisceau d’ensembles gradués dont la composante de degré \(n\) est \[\Ker(\text{d}_{\mathcal{P}_i}^{n + 1}) \times_{\mathcal{M}^{n + 1}, \text{d}} \mathcal{M}^n\] Posons alors \[\mathcal{P}_{i + 1} = \mathcal{P}_i \oplus \mathcal{A}[\mathcal{S}_{i + 1}]\] comme module gradué sur \(\mathcal{A}\), avec le différentiel et le morphisme vers \(\mathcal{M}\) définis comme suit :

1. sur les sections locales de \(\mathcal{P}_i\), on utilise le différentiel de \(\mathcal{P}_i\) et le morphisme donné vers \(\mathcal{M}\),

2. pour une section locale \(s = (p, m)\) de \(\mathcal{S}_{i + 1}\), on pose \(\text{d}(s)\) égal à \(p\), vu comme une section de \(\mathcal{P}_i\) de degré \(\deg(s) + 1\), et on envoie \(s\) sur \(m\) dans \(\mathcal{M}\), et

3. on prolonge le différentiel de manière unique de façon que la règle de Leibniz soit satisfaite.

Cette construction est bien définie, car \(\text{d}(m)\) est l’image de \(p\) et \(\text{d}(p) = 0\). Enfin, posons \(\mathcal{P} = \colim \mathcal{P}_i\), muni du morphisme induit vers \(\mathcal{M}\).

L’application \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) est un quasi-isomorphisme : nous avons \(H^n(\mathcal{P}) = \colim H^n(\mathcal{P}_i)\) et pour chaque \(i\) l’application \(H^n(\mathcal{P}_i) \to H^n(\mathcal{M})\) est surjective avec le noyau anéanti par l’application \(H^n(\mathcal{P}_i) \to H^n(\mathcal{P}_{i + 1})\) par construction. Chaque \(\mathcal{P}_i\) est bon parce que \(\mathcal{P}_0\) est bon par le lemme 0FSG et chaque \(\mathcal{P}_{i + 1}\) est au milieu de la suite exacte courte admissible \(0 \to \mathcal{P}_i \to \mathcal{P}_{i + 1} \to \mathcal{A}[\mathcal{S}_{i + 1}] \to 0\) dont les termes extérieurs sont bons par induction. Par conséquent, \(\mathcal{P}_{i + 1}\) est bon par le lemme 0FSC. Enfin, nous concluons que \(\mathcal{P}\) est bon par le lemme 0FSD.

Démonstration

Nous invitons le lecteur à lire la preuve d’Algèbre différentielle graduée, lemme 09KP avant de lire cette preuve. Posons \(\mathcal{M} = \mathcal{M}_0\). Nous choisissons par récurrence des suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{M}_{i + 1} \to \mathcal{P}_i \to \mathcal{M}_i \to 0\] où les applications \(\mathcal{P}_i \to \mathcal{M}_i\) sont choisies comme dans le lemme 0FSE. Cela fournit une « résolution » \[\ldots \to \mathcal{P}_2 \xrightarrow{f_2} \mathcal{P}_1 \xrightarrow{f_1} \mathcal{P}_0 \to \mathcal{M} \to 0\] Définissons alors \(\mathcal{P}\) comme le module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}\) suivant

1. comme \(\mathcal{A}\)-module gradué, posons \(\mathcal{P} = \bigoplus_{a \leq 0} \mathcal{P}_{-a}[-a]\) ; sa composante de degré \(n\) est donc \(\mathcal{P}^n = \bigoplus\nolimits_{a + b = n} \mathcal{P}_{-a}^b\),

2. le différentiel sur \(\mathcal{P}\) est, comme dans la construction du complexe total associé à un double complexe, donné par \[\text{d}_\mathcal{P}(x) = f_{-a}(x) + (-1)^a \text{d}_{\mathcal{P}_{-a}}(x)\] pour \(x\) une section locale de \(\mathcal{P}_{-a}^b\).

Avec ces conventions \(\mathcal{P}\) est en effet un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué ; nous omettons les détails. Il existe un morphisme \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués qui est nul sur les facteurs directs \(\mathcal{P}_{-a}[-a]\) pour \(a < 0\) et égal au morphisme donné \(\mathcal{P}_0 \to \mathcal{M}\) pour \(a = 0\). Notons que nous avons \[\mathcal{P} = \colim_i F_i\mathcal{P}\] où \(F_i\mathcal{P} \subset \mathcal{P}\) est le sous-module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}\) dont le module gradué sous-jacent sur \(\mathcal{A}\) est \[F_i\mathcal{P} = \bigoplus\nolimits_{i \geq -a \geq 0} \mathcal{P}_{-a}[-a]\] Il est immédiat que les applications \[0 \to F_1\mathcal{P} \to F_2\mathcal{P} \to F_3\mathcal{P} \to \ldots \to \mathcal{P}\] sont toutes des monomorphismes admissibles, et nous avons des suites exactes courtes admissibles \[0 \to F_i\mathcal{P} \to F_{i + 1}\mathcal{P} \to \mathcal{P}_{i + 1}[i + 1] \to 0\] Par récurrence et par le lemme 0FSC, nous obtenons que \(F_i\mathcal{P}\) est un bon module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}\). Puisque \(\mathcal{P} = \colim F_i\mathcal{P}\) nous trouvons que \(\mathcal{P}\) est bon par le lemme 0FSD.

Enfin, nous devons démontrer que \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) est un quasi-isomorphisme. Si \(\mathcal{C}\) a suffisamment de points, cela découle du lemme élémentaire d’Homologie 09IZ, en vérifiant sur les fibres. En général, on peut raisonner comme suit (cette démonstration est beaucoup trop longue ; on peut aussi utiliser les sections locales, comme dans la démonstration élémentaire, mais cet argument est également assez long). Puisque les limites inductives filtrantes sont exactes dans la catégorie des faisceaux abéliens, nous avons \[H^d(\mathcal{P}) = \colim H^d(F_i\mathcal{P})\] Nous affirmons que, pour tout \(i \geq 0\) et tout \(d \in \mathbf{Z}\), nous avons (a) une suite exacte courte \[0 \to H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \to H^d(F_i\mathcal{P}) \to H^d(\mathcal{M}) \to 0\] où la deuxième flèche provient de \(F_i\mathcal{P} \to \mathcal{P} \to \mathcal{M}\) et b) la composition \[H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \to H^d(F_i\mathcal{P}) \to H^d(F_{i + 1}\mathcal{P})\] est nulle. Cette assertion suffit manifestement à achever la démonstration.

Démontrons l’assertion. Pour tout \(i \geq 0\), il existe une application \(\mathcal{M}_{i + 1}[i] \to F_i\mathcal{P}\) provenant de l’inclusion de \(\mathcal{M}_{i + 1}\) dans \(\mathcal{P}_i\) en tant que noyau de \(f_i\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{M}_{i + 1}[i] \to F_i\mathcal{P} \to C_i \to 0\] de complexes de modules sur \(\mathcal{O}\) définissant \(C_i\). Remarquons que \(C_0 = \mathcal{M}_0 = \mathcal{M}\). Observons de plus que \(C_i\) est le complexe total associé au double complexe \(C_i^{\bullet, \bullet}\) avec des colonnes \[\mathcal{M}_i = \mathcal{P}_i/\mathcal{M}_{i + 1}, \mathcal{P}_{i - 1}, \ldots, \mathcal{P}_0\] en degrés \(-i, -i + 1, \ldots, 0\). Il existe un morphisme de doubles complexes \(C_i^{\bullet, \bullet} \to C_{i - 1}^{\bullet, \bullet}\) qui est \(0\) sur la colonne en degré \(-i\), est la surjection \(\mathcal{P}_{i - 1} \to \mathcal{M}_{i - 1}\) en degré \(-i + 1\), et est l’identité sur les autres colonnes. Nous obtenons donc des morphismes de complexes \[C_i \longrightarrow C_{i - 1}\] Ces morphismes sont des quasi-isomorphismes surjectifs : leur noyau est le complexe total du double complexe ayant pour colonnes \(\mathcal{M}_i, \mathcal{M}_i\) en degrés \(-i, -i + 1\), avec l’identité entre ces deux colonnes. En utilisant les identifications qui en résultent, \(H^d(C_i) = H^d(C_{i - 1} = \ldots = H^d(\mathcal{M})\), nous obtenons déjà une suite exacte longue \[H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \to H^d(F_i\mathcal{P}) \to H^d(\mathcal{M}) \to H^{d + 1}(\mathcal{M}_{i + 1}[i])\] de la suite exacte courte de complexes ci-dessus. Cependant, nous avons aussi le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{M}_{i + 2}[i + 1] \ar[r]_a & T_{i + 1} \ar[r] & F_{i + 1}\mathcal{P} \ar[r] & C_{i + 1} \ar[d] \\ & \mathcal{M}_{i + 1}[i] \ar[r] \ar[u]^b & F_i\mathcal{P} \ar[u] \ar[r] & C_i }\] où \(T_{i + 1}\) est le complexe total du double complexe avec les colonnes \(\mathcal{P}_{i + 1}, \mathcal{M}_{i + 1}\) placées en degrés \(-i - 1\) et \(-i\). Autrement dit, \(T_{i + 1}\) est un décalage du cône du morphisme \(\mathcal{P}_{i + 1} \to \mathcal{M}_{i + 1}\) ; nous voyons que \(a\) est un quasi-isomorphisme et que \(a^{-1} \circ b\) est un décalage du troisième morphisme du triangle distingué de \(D(\mathcal{O})\) associé à la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{M}_{i + 2} \to \mathcal{P}_{i + 1} \to \mathcal{M}_{i + 1} \to 0\] L’application \(H^d(\mathcal{P}_{i + 1}) \to H^d(\mathcal{M}_{i + 1})\) est surjective parce que nous avons choisi nos applications de telle sorte que \(\Ker(\text{d}_{\mathcal{P}_{i + 1}}) \to \Ker(\text{d}_{\mathcal{M}_{i + 1}})\) est surjective. Ainsi, \(a^{-1} \circ b\) induit l’application nulle sur les faisceaux de cohomologie. Cela prouve la partie b) de l’assertion. Puisque \(T_{i + 1}\) est le noyau du morphisme surjectif de complexes \(F_{i + 1}\mathcal{P} \to C_i\), nous obtenons un morphisme de suites exactes longues de cohomologie \[\xymatrix{ H^d(T_{i + 1}) \ar[r] & H^d(F_{i + 1}\mathcal{P}) \ar[r] & H^d(\mathcal{M}) \ar[r] & H^{d + 1}(T_{i + 1}) \\ H^d(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \ar[r] \ar[u] & H^d(F_i\mathcal{P}) \ar[r] \ar[u] & H^d(\mathcal{M}) \ar[r] \ar[u] & H^{d + 1}(\mathcal{M}_{i + 1}[i]) \ar[u] }\] D’après la discussion ci-dessus, les flèches verticales extérieures sont nulles. Ainsi, les applications \(H^d(F_{i + 1}\mathcal{P}) \to H^d(\mathcal{M})\) sont surjectives, ce qui prouve la partie (a) de l’assertion. Plus précisément, cela prouve l’assertion pour \(i > 0\) ; nous laissons le cas \(i = 0\) au lecteur (il suffit en fait de traiter tous les \(i \gg 0\) pour obtenir le lemme).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{P}\) un bon module différentiel gradué acyclique à droite sur \(\mathcal{A}\).

1. pour tout module différentiel gradué à gauche sur \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{N}\), le produit tensoriel \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) est acyclique,

2. pour tout morphisme \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) de topos annelés, toute \(\mathcal{O}'\)-algèbre différentielle graduée \(\mathcal{A}'\) et tout morphisme \(\varphi : f^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) de \(f^{-1}\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées, l’image inverse \(f^*\mathcal{P}\) est acyclique et bonne.

Démonstration

Démontrons (1). Par le lemme 0FSH nous pouvons choisir un bon module différentiel gradué à gauche \(\mathcal{Q}\) et un quasi-isomorphisme \(\mathcal{Q} \to \mathcal{N}\). Alors \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{Q}\) est acyclique parce que \(\mathcal{Q}\) est bon. Soit \(\mathcal{N}'\) le cône du morphisme \(\mathcal{Q} \to \mathcal{N}\). Ensuite, \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}'\) est acyclique parce que \(\mathcal{P}\) est bon et parce que \(\mathcal{N}'\) est acyclique (comme le cône sur un quasi-isomorphisme). Nous avons un triangle distingué \[\mathcal{Q} \to \mathcal{N} \to \mathcal{N}' \to \mathcal{Q}[1]\] dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) par notre construction de la structure triangulée. Puisque \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} -\) envoie les triangles distingués sur des triangles distingués, nous obtenons un triangle distingué \[\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{Q} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}' \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{Q}[1]\] dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{O}))\). C’est ainsi que nous concluons.

Démontrons (2). Notons que \(f^*\mathcal{P}\) est bon selon notre définition de bons modules. Rappelons que \(f^*\mathcal{P} = f^{-1}\mathcal{P} \otimes_{f^{-1}\mathcal{A}} \mathcal{A}'\). Alors \(f^{-1}\mathcal{P}\) est un bon module différentiel gradué acyclique (car \(f^{-1}\) est exact) sur \(f^{-1}\mathcal{A}\). On voit donc que \(f^*\mathcal{P}\) est acyclique par la partie (1).

L’enveloppe différentielle graduée d’un module gradué

L’enveloppe différentielle graduée d’un module gradué \(\mathcal{N}\) est le résultat de l’application du foncteur \(G\) du lemme suivant.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Le foncteur d’oubli \(F : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A})\) a un adjoint à gauche \(G : \textit{Mod}(\mathcal{A}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\).

Démonstration

Pour prouver l’existence de \(G\), nous pouvons utiliser le théorème du foncteur adjoint, voir Catégories, théorème 0AHQ (noter que nous avons interverti les rôles de \(F\) et \(G\)). Les conditions d’exactitude sur \(F\) sont satisfaites par le lemme 0FRJ. La condition ensembliste se vérifie comme suit : supposons donné un \(\mathcal{A}\)-module gradué \(\mathcal{N}\). Pour toute application \[\varphi : \mathcal{N} \longrightarrow F(\mathcal{M})\] nous pouvons considérer le plus petit sous-module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{M}' \subset \mathcal{M}\), tel que \(\Im(\varphi) \subset F(\mathcal{M}')\). Il est clair que \(\mathcal{M}'\) est l’image de l’application de \(\mathcal{A}\)-modules gradués \[\mathcal{N} \oplus \mathcal{N}[-1] \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{M}\] définie par \[(n, \sum n_i \otimes a_i) \longmapsto \varphi(n) + \sum \text{d}(\varphi(n_i)) a_i\] car on vérifie aisément que l’image de cette application est un sous-module différentiel gradué de \(\mathcal{M}\). Le nombre de classes d’isomorphisme possibles de ces \(\mathcal{M}'\) est donc borné, ce qui conclut la démonstration.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué et supposons donnée une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{N} \to F(\mathcal{M}) \to \mathcal{N}' \to 0\] dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\). Nous obtenons alors un homomorphisme canonique de modules gradués sur \(\mathcal{A}\) \[\overline{\text{d}} : \mathcal{N} \to \mathcal{N}'[1]\] de la manière suivante : pour une section locale \(x\) de \(\mathcal{N}\), notons \(\overline{\text{d}}(x)\) l’image dans \(\mathcal{N}'\) de \(\text{d}_\mathcal{M}(x)\), où \(x\) est considéré comme une section locale de \(\mathcal{M}\).

Lemme

Les foncteurs \(F, G\) du lemme 0FSK ont les propriétés suivantes. Pour un \(\mathcal{A}\)-module gradué \(\mathcal{N}\), nous avons

1. l’unité \(\mathcal{N} \to F(G(\mathcal{N}))\) est injective,

2. l’application \(\overline{\text{d}} : \mathcal{N} \to \Coker(\mathcal{N} \to F(G(\mathcal{N})))[1]\) est un isomorphisme, et

3. \(G(\mathcal{N})\) est un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué acyclique.

Démonstration

On observe que la propriété (3) est une conséquence des propriétés (1) et (2). En effet, si \(s\) est une section locale non nulle de \(F(G(\mathcal{N}))\) telle que \(\text{d}(s) = 0\), alors \(s\) ne peut pas appartenir à l’image de \(\mathcal{N} \to F(G(\mathcal{N}))\). Ainsi, nous pouvons écrire l’image \(\overline{s}\) de \(s\) dans le conoyau comme \(\overline{\text{d}}(s')\) pour une section locale \(s'\) de \(\mathcal{N}\). Alors \(s = \text{d}(s')\), car la différence \(s - \text{d}(s')\) appartient encore au noyau de \(\text{d}\) et est contenue dans l’image de l’unité.

Notons provisoirement \(\mathcal{A}_{gr}\), respectivement \(\mathcal{A}_{dg}\), le faisceau \(\mathcal{A}\) considéré comme un module gradué à droite sur lui-même, respectivement comme un module différentiel gradué à droite sur lui-même. Le cas le plus important du lemme est de comprendre ce qu’est \(G(\mathcal{A}_{gr})\). Bien sûr, \(G(\mathcal{A}_{gr})\) est l’objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) représentant le foncteur \[\mathcal{M} \longmapsto \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A})}(\mathcal{A}_{gr}, F(\mathcal{M})) = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M})\] Par la remarque 0FS8, nous voyons que ce foncteur est représenté par \(C[-1]\) où \(C\) est le cône sur l’identité de \(\mathcal{A}_{dg}\). Nous avons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{A}_{dg}[-1] \to C[-1] \to \mathcal{A}_{dg} \to 0\] dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\), scindée par l’unité \(\mathcal{A}_{gr} \to F(C[-1])\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\). Ainsi, \(G(\mathcal{A}_{gr})\) vérifie (1) et (2).

Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Notons \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\) le morphisme de localisation. Notons \(\mathcal{A}_U\) la restriction de \(\mathcal{A}\) à \(U\). Nous noterons \(\mathcal{A}_{U, gr}\) le faisceau \(\mathcal{A}_U\) considéré comme un module gradué sur \(\mathcal{A}_U\). Notons \(F_U : \textit{Mod}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A}_U)\) le foncteur d’oubli et \(G_U\) son adjoint. Nous avons alors les diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[d]_{j_U^*} \ar[r]_F & \textit{Mod}(\mathcal{A}) \ar[d]^{j_U^*} \\ \textit{Mod}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \ar[r]^{F_U} & \textit{Mod}(\mathcal{A}_U) } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{A}_U, \text{d}) \ar[r]_{F_U} \ar[d]_{j_{U!}} & \textit{Mod}(\mathcal{A}_U) \ar[d]^{j_{U!}} \\ \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[r]^F & \textit{Mod}(\mathcal{A}) } }\] par la construction de \(j^*_U\) et \(j_{U!}\) dans les sections 0FR7, 0FRT, 0FR9 et 0FRV. Par l’unicité des adjoints, on obtient \(j_{U!} \circ G_U = G \circ j_{U!}\). Puisque \(j_{U!}\) est exact, les propriétés (1) et (2) pour l’unité \(\mathcal{A}_{U, gr} \to F_U(G_U(\mathcal{A}_{U, gr}))\), établies dans la partie précédente de la démonstration, impliquent les mêmes propriétés pour l’unité \(j_{U!}\mathcal{A}_{U, gr} \to F(G(j_{U!}\mathcal{A}_{U, gr})) = j_{U!}F_U(G_U(\mathcal{A}_{U, gr}))\).

Dans la démonstration du lemme 0FRD, nous avons vu que tout objet de \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) est un quotient d’une somme directe de copies de \(j_{U!}\mathcal{A}_{U, gr}\). Puisque \(G\) est un adjoint à gauche, nous voyons que \(G\) commute aux sommes directes. Ainsi, les propriétés (1) et (2) sont vérifiées pour les sommes directes d’objets qui les vérifient. Par conséquent, tout objet \(\mathcal{N}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) s’insère dans une suite exacte \[\mathcal{N}_1 \to \mathcal{N}_0 \to \mathcal{N} \to 0\] telle que les propriétés (1) et (2) soient vérifiées pour \(\mathcal{N}_1\) et \(\mathcal{N}_0\). Nous laissons au lecteur le soin de déduire (1) et (2) pour \(\mathcal{N}\) en utilisant que \(G\) est exact à droite.

Modules différentiels gradués K-injectifs

Cette section reprend les résultats d’Injectifs, section 079I, dans le cadre des faisceaux de modules différentiels gradués sur un faisceau d’algèbres différentielles graduées.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’algèbres graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Il existe un ensemble \(T\) et, pour chaque \(t \in T\), une application injective \(\mathcal{N}_t \to \mathcal{N}'_t\) de \(\mathcal{A}\)-modules gradués, tels qu’un objet \(\mathcal{I}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) soit injectif si et seulement si, pour tout diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ \mathcal{N}_t \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{N}'_t \ar@{..>}[ru] }\] il existe une flèche pointillée dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

Cet énoncé vaut dans toute catégorie abélienne de Grothendieck ; voir Injectifs, lemme 079G. Par le lemme 0FRD, la catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) est une catégorie abélienne de Grothendieck.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{I}\) est dit injectif gradué² si \(\mathcal{M}\), considéré comme un \(\mathcal{A}\)-module gradué, est un objet injectif de la catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) des \(\mathcal{A}\)-modules gradués.

Remarque

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{I}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué injectif gradué. Soit \[0 \to \mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3 \to 0\] une suite exacte courte de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués. Puisque \(\mathcal{I}\) est injectif gradué, nous obtenons une suite exacte courte de complexes \[0 \to \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_3, \mathcal{I}) \to \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_2, \mathcal{I}) \to \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_1, \mathcal{I}) \to 0\] de modules sur \(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})\). En passant à la cohomologie, nous obtenons une suite exacte longue \[\xymatrix{ \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_3, \mathcal{I}) \ar[d] & \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_3, \mathcal{I})[1] \ar[d] \\ \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_2, \mathcal{I}) \ar[d] & \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_2, \mathcal{I})[1] \ar[d] \\ \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_1, \mathcal{I}) \ar[ruu] & \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}_1, \mathcal{I})[1] }\] de groupes d’homomorphismes dans la catégorie homotopique. Le point est que nous obtenons cela même si nous n’avons pas supposé que notre suite exacte courte est admissible (donc la suite exacte courte en général ne définit pas un triangle distingué dans la catégorie homotopique).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(T\) un ensemble et, pour chaque \(t \in T\), soit \(\mathcal{I}_t\) un module différentiel gradué injectif gradué sur \(\mathcal{A}\). Alors \(\prod \mathcal{I}_t\) est un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué injectif gradué.

Démonstration

Cela résulte du fait que les produits d’objets injectifs sont injectifs, voir Homologie, lemme 0137, et que les produits dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) correspondent aux produits dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A})\) par le foncteur d’oubli.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Il existe un ensemble \(T\) et, pour chaque \(t \in T\), une application injective \(\mathcal{M}_t \to \mathcal{M}'_t\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués acycliques, tels que, pour un objet \(\mathcal{I}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\), les propriétés suivantes soient équivalentes :

1. \(\mathcal{I}\) est injectif gradué, et

2. pour chaque diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ \mathcal{M}_t \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}'_t \ar@{..>}[ru] }\] il existe une flèche pointillée dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

Soient \(T\) et \(\mathcal{N}_t \to \mathcal{N}'_t\) comme dans le lemme 0FSN. Notons \(F : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A})\) le foncteur d’oubli. Soit \(G\) l’adjoint à gauche de \(F\) donné par le lemme 0FSK. Posons \[\mathcal{M}_t = G(\mathcal{N}_t) \to G(\mathcal{N}'_t) = \mathcal{M}'_t\] Il s’agit d’un homomorphisme injectif de modules différentiels gradués acycliques sur \(\mathcal{A}\), par le lemme 0FSL. Puisque \(G\) est l’adjoint à gauche de \(F\) nous voyons qu’il existe une flèche pointillée dans le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{M}_t \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}'_t \ar@{..>}[ru] }\] si et seulement s’il existe une flèche pointillée dans le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{N}_t \ar[r] \ar[d] & F(\mathcal{I}) \\ \mathcal{N}'_t \ar@{..>}[ru] }\] L’assertion résulte donc du choix de notre collection de flèches \(\mathcal{N}_t \to \mathcal{N}_t'\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Il existe un ensemble \(S\) et, pour chaque \(s\), un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué acyclique \(\mathcal{M}_s\), tels que, pour tout \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué acyclique non nul \(\mathcal{M}\), il existe \(s \in S\) et une application injective \(\mathcal{M}_s \to \mathcal{M}\) dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\).

Démonstration

Avant de commencer, rappelons que nos conventions garantissent que le site \(\mathcal{C}\) a un ensemble d’objets et de morphismes et un ensemble \(\text{Cov}(\mathcal{C})\) de couvertures. Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué, définissons \(|\mathcal{F}|\) comme le cardinal de \[\coprod\nolimits_{(U, n)} \mathcal{F}^n(U)\] lorsque \(U\) parcourt les objets de \(\mathcal{C}\) et \(n \in \mathbf{Z}\). Choisissons un cardinal infini \(\kappa\) plus grand que les cardinaux \(|\Ob(\mathcal{C})|\), \(|\text{Arrows}(\mathcal{C})|\), \(|\text{Cov}(\mathcal{C})|\), \(\sup |I|\) pour \(\{U_i \to U\}_{i \in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\) et \(|\mathcal{A}|\).

Soit \(\mathcal{F} \subset \mathcal{M}\) une inclusion de modules différentiels gradués sur \(\mathcal{A}\). Supposons donnés un ensemble \(K\) et, pour chaque \(k \in K\), un triplet \((U_k, n_k, x_k)\) constitué d’un objet \(U_k\) de \(\mathcal{C}\), d’un entier \(n_k\) et d’une section \(x_k \in \mathcal{M}^{n_k}(U_k)\). Nous pouvons alors considérer le plus petit sous-module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{M}\), contenant \(\mathcal{F}\) et les sections \(x_k\) pour \(k \in K\). On peut décrire \[(\mathcal{F}')^n(U) \subset \mathcal{M}^n(U)\] comme l’ensemble des éléments \(x \in \mathcal{M}^n(U)\) pour lesquels il existe un recouvrement \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\) tel que, pour tout \(i \in I\), il existe un ensemble fini \(T_i\) et des morphismes \(g_t : U_i \to U_{k_t}\) vérifiant \[f_i^*x = y_i + \sum\nolimits_{t \in T_i} a_{it}g_t^*x_{k_t} + b_{it}g_t^*\text{d}(x_{k_t})\] pour une section \(y_i \in \mathcal{F}^n(U)\) et des sections \(a_{it} \in \mathcal{A}^{n - n_{k_t}}(U_i)\) et \(b_{it} \in \mathcal{A}^{n - n_{k_t} - 1}(U_i)\). (Détails omis ; indication : ces sections appartiennent à \(\mathcal{F}'\) et, réciproquement, on vérifie que cette règle définit un sous-module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}\).) Cette description donne \(|\mathcal{F}'| \leq \max(|\mathcal{F}|, |K|, \kappa)\).

Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué acyclique non nul. Alors il existe un entier \(n\) et une section non nulle \(x\) de \(\mathcal{M}^n\) sur un objet \(U\) de \(\mathcal{C}\). Soit \[\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{M}\] le plus petit sous-module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}\) contenant \(x\). Par le paragraphe précédent, nous avons \(|\mathcal{F}_0| \leq \kappa\). Par récurrence, étant donnés \(\mathcal{F}_0, \ldots, \mathcal{F}_n\), définissons \(\mathcal{F}_{n + 1}\) comme suit. Considérons l’ensemble \[L = \{(U, n, x)\} \{U_i \to U\}_{i \in I}, (x_i)_{i \in I})\}\] des triples où \(U\) est un objet de \(\mathcal{C}\), \(n \in \mathbf{Z}\) et \(x \in \mathcal{F}_n(U)\) avec \(\text{d}(x) = 0\). Puisque \(\mathcal{M}\) est acyclique pour chaque triple \(l = (U_l, n_l, x_l) \in L\) nous pouvons choisir \(\{(U_{l, i} \to U_l\}_{i \in I_l} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\) et \(x_{l, i} \in \mathcal{M}^{n_l - 1}(U_{l, i})\) tels que \(\text{d}(x_{l, i}) = x|_{U_{l, i}}\). Posons alors \[K = \{(U_{l, i}, n_l - 1, x_{l, i}) \mid l \in L, i \in I_l\}\] et prenons pour \(\mathcal{F}_{n + 1}\) le plus petit sous-module différentiel gradué sur \(\mathcal{A}\) de \(\mathcal{M}\) contenant \(\mathcal{F}_n\) et les sections \(x_{l, i}\). Puisque \(|K| \leq \max(\kappa, |\mathcal{F}_n|)\) nous concluons que \(|\mathcal{F}_{n + 1}| \leq \kappa\) par induction.

Par construction, l’inclusion \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\) induit l’application nulle sur les faisceaux de cohomologie. Ainsi, \(\mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F}_n\) est un sous-module acyclique non nul tel que \(|\mathcal{F}| \leq \kappa\). Puisque les classes d’isomorphisme de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués \(\mathcal{F}\) dont \(|\mathcal{F}|\) est borné forment un ensemble, nous concluons.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{I}\) est dit K-injectif si, pour tout module différentiel gradué acyclique \(\mathcal{M}\), nous avons \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I}) = 0\]

Notons la similitude avec Catégories dérivées, définition 070H.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(T\) un ensemble et, pour chaque \(t \in T\), soit \(\mathcal{I}_t\) un module différentiel gradué K-injectif sur \(\mathcal{A}\). Alors \(\prod \mathcal{I}_t\) est un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué K-injectif.

Démonstration

Soit \(\mathcal{K}\) un module différentiel gradué acyclique sur \(\mathcal{A}\). Alors nous avons \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \prod\nolimits_{t \in T} \mathcal{I}_t) = \prod\nolimits_{t \in T} \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{K}, \mathcal{I}_t)\] car la formation des produits dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) commute au foncteur d’oubli vers les modules gradués sur \(\mathcal{A}\). Puisque la prise de produits est un foncteur exact sur la catégorie des groupes abéliens, nous en concluons.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{I}\) un objet K-injectif et injectif gradué de \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\). Pour chaque diagramme en traits pleins dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) \[\xymatrix{ \mathcal{M} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}' \ar@{..>}[ru] }\] où \(b\) est injectif et \(\mathcal{M}\) acyclique, il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

Puisque \(\mathcal{M}\) est acyclique et \(\mathcal{I}\) est K-injectif, il existe un homomorphisme de \(\mathcal{A}\)-modules gradués \(h : \mathcal{M} \to \mathcal{I}\) de degré \(-1\) tel que \(a = \text{d}(h)\). Puisque \(\mathcal{I}\) est injectif gradué et \(b\) est injectif, il existe un homomorphisme de \(\mathcal{A}\)-modules gradués \(h' : \mathcal{M}' \to \mathcal{I}\) de degré \(-1\) tel que \(h = h' \circ b\). Ensuite, nous pouvons prendre \(a' = \text{d}(h')\) comme la flèche pointillée.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{I}\) un objet K-injectif et injectif gradué de \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\). Pour chaque diagramme en traits pleins dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) \[\xymatrix{ \mathcal{M} \ar[r]_a \ar[d]_b & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}' \ar@{..>}[ru] }\] où \(b\) est un quasi-isomorphisme, il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif à homotopie près.

Démonstration

Après avoir remplacé \(\mathcal{M}'\) par la somme directe de \(\mathcal{M}'\) et du cône de l’identité de \(\mathcal{M}\) (qui est acyclique), nous pouvons supposer que \(b\) est également injectif. Alors le conoyau \(\mathcal{Q}\) de \(b\) est acyclique. Ainsi, nous voyons que \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{Q}, \mathcal{I}) = \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{Q}, \mathcal{I})[1] = 0\] comme \(\mathcal{I}\) est K-injectif. Puisque \(\mathcal{I}\) est injectif gradué, la remarque 0FSQ montre que \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}', \mathcal{I}) \longrightarrow \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I})\] est bijectif et la preuve est complète.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Il existe un ensemble \(R\) et, pour chaque \(r \in R\), une application injective \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués acycliques, tels que, pour un objet \(\mathcal{I}\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\), les propriétés suivantes soient équivalentes :

1. \(\mathcal{I}\) est K-injectif et injectif gradué, et

2. pour chaque diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ \mathcal{M}_r \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I} \\ \mathcal{M}'_r \ar@{..>}[ru] }\] il existe une flèche pointillée dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

Soient \(T\) et \(\mathcal{M}_t \to \mathcal{M}'_t\) comme dans le lemme 0FSS. Soient \(S\) et \(\mathcal{M}_s\) comme dans le lemme 0FST. Choisissons une application injective \(\mathcal{M}_s \to \mathcal{M}'_s\) de modules différentiels gradués acycliques sur \(\mathcal{A}\) qui soit homotope à zéro. Cela est possible parce que nous pouvons considérer que \(\mathcal{M}'_s\) est le cône de l’identité ; dans ce cas, il est même vrai que l’identité sur \(\mathcal{M}'_s\) est homotope à zéro, voir Algèbre différentielle graduée, lemme 09QK, qui s’applique par la discussion de la section 0FS3. Nous affirmons que \(R = T \coprod S\) avec les applications données fonctionne.

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte du lemme 0FSW.

Supposons (2). Tout d’abord, par le lemme 0FSS nous voyons que \(\mathcal{I}\) est injectif gradué. Soit maintenant \(\mathcal{M}\) un module différentiel gradué acyclique sur \(\mathcal{A}\). Nous devons montrer que \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I}) = 0\] La démonstration sera identique à celle d’Injectifs, lemme 079L.

Nous allons construire par récurrence transfinie sur l’ordinal \(\alpha\) un sous-module différentiel gradué acyclique \(\mathcal{K}_\alpha \subset \mathcal{M}\) comme suit. Pour \(\alpha = 0\), posons \(\mathcal{K}_0 = 0\). Pour \(\alpha > 0\), on procède comme suit :

1. Si \(\alpha = \beta + 1\) et \(\mathcal{K}_\beta = \mathcal{M}\), alors nous choisissons \(\mathcal{K}_\alpha = \mathcal{K}_\beta\).

2. Si \(\alpha = \beta + 1\) et \(\mathcal{K}_\beta \not = \mathcal{M}\), alors \(\mathcal{M}/\mathcal{K}_\beta\) est un module différentiel gradué acyclique non nul sur \(\mathcal{A}\). Nous choisissons un sous-\(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{N}_\alpha \subset \mathcal{M}/\mathcal{K}_\beta\) isomorphe à \(\mathcal{M}_s\) pour un certain \(s \in S\) ; voir le lemme 0FST. Enfin, nous définissons \(\mathcal{K}_\alpha \subset \mathcal{M}\) comme l’image inverse de \(\mathcal{N}_\alpha\).

3. Si \(\alpha\) est un ordinal limite, posons \(\mathcal{K}_\beta = \colim \mathcal{K}_\alpha\).

Il est clair que \(\mathcal{M} = \mathcal{K}_\alpha\) pour un ordinal \(\alpha\) suffisamment grand. Nous allons montrer que \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{K}_\alpha, \mathcal{I})\] est nul par récurrence transfinie sur \(\alpha\). C’est vrai pour \(\alpha = 0\), car \(\mathcal{K}_0\) est nul. Supposons-le vrai pour \(\beta\) et \(\alpha = \beta + 1\). Dans le cas (1) de la liste ci-dessus, le résultat est clair. Dans le cas (2), il existe une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{K}_\beta \to \mathcal{K}_\alpha \to \mathcal{N}_\alpha \to 0\] D’après la remarque 0FSQ et puisque nous avons vu que \(\mathcal{I}\) est injectif gradué, nous obtenons une suite exacte \[\Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{K}_\beta, \mathcal{I}) \to \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{K}_\alpha, \mathcal{I}) \to \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{N}_\alpha, \mathcal{I})\] Par récurrence, le terme de gauche est nul. Par l’hypothèse (2), celui de droite est nul : toute application \(\mathcal{M}_s \to \mathcal{I}\) se factorise par \(\mathcal{M}'_s\) et est donc homotope à zéro. Le groupe du milieu est donc nul lui aussi. Enfin, supposons que \(\alpha\) soit un ordinal limite. Puisque nous avons aussi \(\mathcal{K}_\alpha = \colim \mathcal{K}_\alpha\) comme \(\mathcal{A}\)-modules gradués, nous voyons que \[\Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{K}_\alpha, \mathcal{I}) = \lim_{\beta < \alpha} \Hom_{\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d})} (\mathcal{K}_\beta, \mathcal{I})\] comme complexes de groupes abéliens. Les groupes de cohomologie de ces complexes calculent les morphismes dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) entre décalages. Les morphismes de transition du système de complexes sont surjectifs d’après la remarque 0FSQ, car \(\mathcal{I}\) est injectif gradué. De plus, pour tout ordinal limite \(\beta \leq \alpha\), la limite coïncide avec la valeur. Nous pouvons donc appliquer le lemme 0AAT d’Homologie pour conclure.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(R\) un ensemble et, pour chaque \(r \in R\), soit donnée une application injective \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués acycliques. Il existe un foncteur \(M : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) et une transformation naturelle \(j : \text{id} \to M\) telle que

1. \(j_\mathcal{M} : \mathcal{M} \to M(\mathcal{M})\) est injectif et est un quasi-isomorphisme,

2. pour tout diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ \mathcal{M}_r \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M} \ar[d]^{j_\mathcal{M}} \\ \mathcal{M}'_r \ar@{..>}[r] & M(\mathcal{M}) }\] il existe une flèche pointillée dans \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

Définissons \(M(\mathcal{M})\) comme la somme amalgamée du diagramme suivant \[\xymatrix{ \bigoplus_{(r, \varphi)} \mathcal{M}_r \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M} \ar[d] \\ \bigoplus_{(r, \varphi)} \mathcal{M}'_r \ar[r] & M(\mathcal{M}) }\] où la somme directe porte sur toutes les paires \((r, \varphi)\) avec \(r \in R\) et \(\varphi \in \Hom_{\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_r, \mathcal{M})\). Puisque tout changement de cobase d’un morphisme injectif est injectif, nous voyons que \(\mathcal{M} \to M(\mathcal{M})\) est injectif. Puisque le conoyau de la flèche verticale gauche est acyclique, nous voyons que le conoyau, qui lui est isomorphe, de \(\mathcal{M} \to M(\mathcal{M})\) est acyclique ; ainsi \(\mathcal{M} \to M(\mathcal{M})\) est un quasi-isomorphisme. La propriété (2) est vérifiée par construction. Nous omettons la vérification que cette procédure peut être transformée en foncteur.

Théorème

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Pour tout \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}\), il existe un quasi-isomorphisme \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}\) où \(\mathcal{I}\) est un module différentiel gradué injectif gradué et K-injectif sur \(\mathcal{A}\). En outre, la construction est fonctorielle en \(\mathcal{M}\).

Démonstration

Soit \(R\) l’ensemble indexant les morphismes \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\) de \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) considérés dans le lemme 0FSY. Soit \(M\), muni de la transformation \(\text{id} \to M\), le foncteur construit au lemme 0FSZ à partir de \(R\) et des \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\). Par récurrence transfinie, nous définissons une suite de foncteurs \(M_\alpha\) et des transformations naturelles \(M_\beta \to M_\alpha\) pour \(\alpha < \beta\), en posant

1. \(M_0 = \text{id}\),

2. \(M_{\alpha + 1} = M \circ M_\alpha\), avec la transformation naturelle \(M_\beta \to M_{\alpha + 1}\) pour \(\beta < \alpha + 1\) provenant des transformations déjà construites \(M_\beta \to M_\alpha\) et des morphismes \(M_\alpha \to M \circ M_\alpha\) induits par \(\text{id} \to M\), et

3. \(M_\alpha = \colim_{\beta < \alpha} M_\beta\) si \(\alpha\) est un ordinal limite, avec les coprojections comme transformations \(M_\beta \to M_\alpha\) pour \(\alpha < \beta\).

Notons que pour chaque \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué les applications \(\mathcal{M} \to M_\beta(\mathcal{M}) \to M_\alpha(\mathcal{M})\) sont des quasi-isomorphismes injectifs (comme les limites inductives filtrantes sont exactes).

Rappelons que \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) est une catégorie abélienne de Grothendieck. Ainsi, par Injectifs, proposition 079F (appliquée à la somme directe des \(\mathcal{M}_r\) pour tous les \(r \in R\)), il existe un ordinal limite \(\alpha\) tel que \(\mathcal{M}_r\) soit \(\alpha\)-petit par rapport aux injections pour tout \(r \in R\). Nous affirmons que \(\mathcal{M} \to M_\alpha(\mathcal{M})\) est le plongement fonctoriel souhaité de \(\mathcal{M}\) dans un module injectif gradué et K-injectif.

En effet, tout morphisme \(\mathcal{M}_r \to M_\alpha(\mathcal{M})\) se factorise par \(M_\beta(\mathcal{M})\) pour un certain \(\beta < \alpha\). Par la construction de \(M\), cela signifie que \(\mathcal{M}_r \to M_{\beta + 1}(\mathcal{M}) = M(M_\beta(\mathcal{M}))\) se factorise par \(\mathcal{M}'_r\). Puisque \(M_\beta(\mathcal{M}) \subset M_{\beta + 1}(\mathcal{M}) \subset M_\alpha(\mathcal{M})\), on obtient la factorisation souhaitée dans \(M_\alpha(\mathcal{M})\). Nous concluons par notre choix de \(R\) et \(\mathcal{M}_r \to \mathcal{M}'_r\) dans le lemme 0FSY.

La catégorie dérivée

Cette section est l’analogue de l’Algèbre différentielle graduée, section 09KV.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Nous construirons la catégorie dérivée \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) en inversant les quasi-isomorphismes dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\).

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Le foncteur \(H^0 : \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) de la section 0FRH se factorise par un foncteur \[H^0 : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\] qui est homologique au sens des Catégories dérivées, définition 0147.

Démonstration

Il découle immédiatement des définitions qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[r] \ar[d] & K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \ar[d] \\ \text{Comp}(\mathcal{O}) \ar[r] & K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) }\] Puisque \(H^0(\mathcal{M})\) est le faisceau de cohomologie de degré zéro du complexe de \(\mathcal{O}\)-modules sous-jacent à \(\mathcal{M}\), le lemme découle du cas des complexes de \(\mathcal{O}\)-modules, qui est un cas particulier de Catégories dérivées, lemme 05RS.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). La sous-catégorie pleine \(\text{Ac}\) de la catégorie homotopique \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) composée de modules acycliques est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\).

Démonstration

Bien sûr, un objet \(\mathcal{M}\) de \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) est dans \(\text{Ac}\) si et seulement si \(H^i(\mathcal{M}) = H^0(\mathcal{M}[i])\) est nul pour tout \(i\). Le lemme résulte de cette observation, du lemme 0FT2 et de Catégories dérivées, lemme 05RD. Voir aussi Catégories dérivées, définitions 05RB et 05QM et lemme 05QX.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Considérons la sous-classe \(\text{Qis} \subset \text{Arrows}(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})))\) composée de quasi-isomorphismes. Il s’agit d’un système multiplicatif saturé compatible avec la structure triangulée sur \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\).

Démonstration

Observons que si \(f , g : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) sont des morphismes de \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) qui sont homotopes, alors \(f\) est un quasi-isomorphisme si et seulement si \(g\) est un quasi-isomorphisme. À savoir, les applications \(H^i(f) = H^0(f[i])\) et \(H^i(g) = H^0(g[i])\) sont les mêmes par le lemme 0FT2. Il est donc sans ambiguïté de dire qu’un morphisme de la catégorie homotopique \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) est un quasi-isomorphisme. Pour les définitions de « système multiplicatif », « saturé » et « compatible avec la structure triangulée », voir Catégories dérivées, définition 05R2, et Catégories, définitions 04VC et 05Q8.

Pour démontrer le lemme, considérons la composition de foncteurs exacts de catégories triangulées \[K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{O})) \longrightarrow D(\mathcal{O})\] et remarquons qu’un morphisme \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}\) de \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) appartient à \(\text{Qis}\) si et seulement si son image est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O})\). Ainsi, le lemme découle de Catégories dérivées, lemme 05R4.

Dans le cas du lemme 0FT4, nous pouvons appliquer Catégories dérivées, proposition 05R6 pour obtenir un foncteur exact de catégories triangulées \[Q : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \longrightarrow \text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\] Cependant, comme \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) est une « grande » catégorie, c’est-à-dire que ses objets forment une classe propre, il n’est pas immédiatement clair que, pour \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{N}\) donnés, la construction de \(\text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) produise un ensemble \[\Mor_{\text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))} (\mathcal{M}, \mathcal{N})\] de morphismes. La construction de complexes K-injectifs permet toutefois de le démontrer. En effet, par le théorème 0FT0, choisissons un quasi-isomorphisme \(s_0 : \mathcal{N} \to \mathcal{I}\) où \(\mathcal{I}\) est un module différentiel gradué injectif gradué et K-injectif sur \(\mathcal{A}\). Rappelons ensuite que les éléments de l’ensemble affiché sont des classes d’équivalence des paires \((f : \mathcal{M} \to \mathcal{N}', s : \mathcal{N} \to \mathcal{N}')\) où \(f\) est un morphisme arbitraire de \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) et \(s\) est un quasi-isomorphisme, voir la description du calcul gauche des fractions dans Catégories, section 04VB. Par le lemme 0FSX nous pouvons choisir la flèche pointillée \[\xymatrix{ \mathcal{M} \ar[rd]^f & & \mathcal{N} \ar[ld]_s \ar[rd]^{s_0} \\ & \mathcal{N}' \ar@{..>}[rr]^{s'} & & \mathcal{I} }\] rendant le diagramme commutatif (dans la catégorie homotopique). Ainsi, la paire \((f, s)\) est équivalente à la paire \((s' \circ f, s_0)\) et nous trouvons que la collection de classes d’équivalence forme un ensemble.

Définition

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\text{Qis}\) comme dans le lemme 0FT4. La catégorie dérivée de \((\mathcal{A}, \text{d})\) est la catégorie triangulée \[D(\mathcal{A}, \text{d}) = \text{Qis}^{-1}K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\] dont la construction a été discutée plus en détail ci-dessus.

Nous prouvons quelques faits sur cette construction.

Lemme

Dans la définition 0FT5, le noyau du foncteur de localisation \(Q : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) est la catégorie \(\text{Ac}\) du lemme 0FT3.

Démonstration

Cela découle immédiatement de Catégories dérivées, lemme 05R8, et du fait que \(0 \to \mathcal{M}\) est un quasi-isomorphisme si et seulement si \(\mathcal{M}\) est acyclique.

Lemme

Dans la définition 0FT5, le foncteur \(H^0 : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\) se factorise par un foncteur homologique \(H^0 : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Démonstration

Cela découle immédiatement de Catégories dérivées, lemme 05R7.

Voici le lemme annoncé qui calcule les ensembles de morphismes dans la catégorie dérivée.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soient \(\mathcal{M}\) et \(\mathcal{N}\) des \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués. Soit \(\mathcal{N} \to \mathcal{I}\) un quasi-isomorphisme, où \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué injectif gradué et K-injectif. Alors \[\Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I})\]

Démonstration

Puisque \(\mathcal{N} \to \mathcal{I}\) est un quasi-isomorphisme nous voyons que \[\Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) = \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{I})\] Dans la discussion précédant la définition 0FT5, nous avons constaté, en utilisant le lemme 0FSX, que tout morphisme \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}\) dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) peut être représenté par un morphisme \(f : \mathcal{M} \to \mathcal{I}\) dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\). Si \(f, f' : \mathcal{M} \to \mathcal{I}\) sont deux morphismes de \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\), ils définissent le même morphisme dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) si et seulement s’il existe un quasi-isomorphisme \(g : \mathcal{I} \to \mathcal{K}\) dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\) tel que \(g \circ f = g \circ f'\) ; voir Catégories, lemme 04VF. Cependant, par le lemme 0FSX, il existe une application \(h : \mathcal{K} \to \mathcal{I}\) telle que \(h \circ g = \text{id}_\mathcal{I}\) dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\). Ainsi, \(g \circ f = g \circ f'\) signifie \(f = f'\) et la preuve est complète.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Alors

1. \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) possède des sommes directes et des produits,

2. les sommes directes se calculent en prenant les sommes directes de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués,

3. les produits se calculent en prenant les produits de modules différentiels gradués K-injectifs.

Démonstration

Nous utiliserons que \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\) est une catégorie abélienne avec des sommes directes et des produits arbitraires, et que ceux-ci donnent lieu à des sommes directes et des produits dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\). Voir lemmes 0FRJ et 0FS2.

Soit \(\mathcal{M}_j\) une famille de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués. Considérons la somme directe \(\mathcal{M} = \bigoplus \mathcal{M}_j\) comme un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué. Pour un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{N}\), choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{N} \to \mathcal{I}\) où \(\mathcal{I}\) est injectif gradué et K-injectif comme \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué. Voir le théorème 0FT0. En utilisant le lemme 0FT8, nous avons \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) & = \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}, \mathcal{I}) \\ & = \prod \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_j, \mathcal{I}) \\ & = \prod \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{M}_j, \mathcal{I}) \end{align*}\] ce qui prouve l’existence des sommes directes dans \(D(A, \text{d})\), comme indiqué en (2).

Soit \(\mathcal{M}_j\) une famille de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués. Pour chaque \(j\), choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}_j\) où \(\mathcal{I}_j\) est injectif gradué et K-injectif comme \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué. Considérons le produit \(\mathcal{I} = \prod \mathcal{I}_j\) de modules différentiels gradués sur \(\mathcal{A}\). Par les lemmes 0FSV et 0FSR, \(\mathcal{I}\) est injectif gradué et K-injectif comme \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué. Pour un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{N}\), le lemme 0FT8 donne \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{I}) & = \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{I}) \\ & = \prod \Hom_{K(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{I}_j) \\ & = \prod \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{N}, \mathcal{M}_j) \end{align*}\] ce qui prouve l’existence des produits dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\), comme indiqué en (3).

Le foncteur delta canonique

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Considérons le foncteur \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\). Ce foncteur n’est pas un foncteur \(\delta\) en général. Cependant, il s’avère que le foncteur \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(A, \text{d})\) est un foncteur \(\delta\). Pour voir cela, nous devons définir les morphismes \(\delta\) associés à une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{K} \xrightarrow{a} \mathcal{L} \xrightarrow{b} \mathcal{M} \to 0\] dans la catégorie abélienne \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})\). Considérons le cône \(C(a)\) du morphisme \(a\) avec ses morphismes canoniques \(i : \mathcal{L} \to C(a)\) et \(p : C(a) \to \mathcal{K}[1]\), voir définition 0FS5. Il existe un homomorphisme de modules différentiels gradués sur \(\mathcal{A}\) \[q : C(a) \longrightarrow \mathcal{M}\] par Algèbre différentielle graduée, lemme 09P7 (que nous pouvons utiliser dans la discussion de la section 0FS3) appliqué au diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{K} \ar[r]_a \ar[d] & \mathcal{L} \ar[d]^b \\ 0 \ar[r] & \mathcal{M} }\] Le morphisme \(q\) est un quasi-isomorphisme, par exemple parce que c’est le cas pour les complexes sous-jacents de \(\mathcal{O}\)-modules ; voir Catégories dérivées, section 014Z. D’après Algèbre différentielle graduée, lemme 09QU (applicable par la discussion de la section 0FS3), le triangle \[(\mathcal{K}, \mathcal{L}, C(a), a, i, -p)\] est un triangle distingué en \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\). Comme le foncteur de localisation \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) est exact, nous voyons que \((\mathcal{K}, \mathcal{L}, C(a), a, i, -p)\) est un triangle distingué dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\). Puisque \(q\) est un quasi-isomorphisme, nous voyons que \(q\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\). Nous déduisons donc que \[(\mathcal{K}, \mathcal{L}, \mathcal{M}, a, b, -p \circ q^{-1})\] est un triangle distingué de \(D(\mathcal{A}, \text{d})\). Cela conduit au lemme suivant.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Le foncteur de localisation \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) a la structure naturelle d’un foncteur \(\delta\), avec \[\delta_{\mathcal{K} \to \mathcal{L} \to \mathcal{M}} = - p \circ q^{-1}\] avec \(p\) et \(q\) comme expliqué ci-dessus.

Démonstration

Nous avons déjà vu que ce choix conduit à un triangle distingué chaque fois qu’une suite exacte courte de complexes est donnée. Il reste à démontrer la fonctorialité de cette construction ; voir Catégories dérivées, définition 0150. Cela découle, avec quelques vérifications, d’Algèbre différentielle graduée, lemme 09P7, applicable par la discussion de la section 0FS3. Comparer avec Catégories dérivées, lemme 0152.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{M}_n\) un système de modules différentiels gradués sur \(\mathcal{A}\). Ensuite, la limite inductive dérivée \(\text{hocolim} \mathcal{M}_n\) dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) est représentée par le module différentiel gradué \(\colim \mathcal{M}_n\).

Démonstration

Posons \(\mathcal{M} = \colim \mathcal{M}_n\). Nous avons une suite exacte de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués \[0 \to \bigoplus \mathcal{M}_n \to \bigoplus \mathcal{M}_n \to \mathcal{M} \to 0\] par Catégories dérivées, lemme 093W, appliqué aux complexes sous-jacents de \(\mathcal{O}\)-modules. Les sommes directes sont les sommes directes en \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) par le lemme 0FT9. Ainsi, le résultat résulte de la définition des limites inductives dérivées dans Catégories dérivées, définition 090Z et du fait qu’une suite exacte courte de complexes donne un triangle distingué (lemme 0FTB).

Image inverse dérivée

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre différentielle graduée. Supposons donné un morphisme \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] de \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. Par l’adjonction entre restriction et extension des scalaires, cela revient à se donner un morphisme \(\varphi : f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbres différentielles graduées ou, de manière équivalente, \(\varphi\) peut être considéré comme un morphisme \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. Voir la remarque 0FRG.

Supposons de plus que \(\mathcal{A}'\) soit une seconde \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée et que \(\mathcal{N}\) soit un \((\mathcal{A}, \mathcal{A}')\)-bimodule différentiel gradué. Dans ce contexte, nous pouvons considérer le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}} \mathcal{N}\] Notons que cela s’étend à un foncteur \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}', \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}} \mathcal{N}\] des catégories différentielles graduées par la discussion des sections 0FRT et 0FRP. Il s’ensuit formellement que nous obtenons également un foncteur exact [0FTE]\[\begin{equation} K(\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d})),\quad \mathcal{M} \longmapsto f^*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{A}} \mathcal{N} \end{equation}\] de catégories triangulées.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le foncteur (0FTE), composé avec le foncteur de localisation \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d})) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\), possède une extension dérivée à gauche \(D(\mathcal{B}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\) dont la valeur sur un bon \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué à droite \(\mathcal{P}\) est \(f^*\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\).

Démonstration

Rappelons que pour tout \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué à droite \(\mathcal{M}\) il existe un quasi-isomorphisme \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) avec \(\mathcal{P}\) un bon \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué. Voir lemme 0FSH. Par conséquent, d’après Catégories dérivées, lemme 06XN, il suffit de montrer que, pour tout quasi-isomorphisme \(\mathcal{P} \to \mathcal{P}'\) de bons \(\mathcal{B}\)-modules différentiels gradués, l’application induite \[f^*\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \longrightarrow f^*\mathcal{P}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] est un quasi-isomorphisme. Le cône \(\mathcal{P}''\) sur \(\mathcal{P} \to \mathcal{P}'\) est un bon \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué par le lemme 0FSC. Puisque nous avons un triangle distingué \[\mathcal{P} \to \mathcal{P}' \to \mathcal{P}'' \to \mathcal{P}[1]\] dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}))\) nous obtenons un triangle distingué \[f^*\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to f^*\mathcal{P}' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to f^*\mathcal{P}'' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to f^*\mathcal{P}[1] \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\] dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d}))\). Par le lemme 0FSI le module différentiel gradué \(f^*\mathcal{P}'' \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) est acyclique et la preuve est complète.

Définition

Produit tensoriel dérivé et image inverse dérivée.

1. Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(\mathcal{N}\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué. Le foncteur \(D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) construit dans le lemme 0FTF est appelé le produit tensoriel dérivé et noté \(- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}\).

2. Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. Le foncteur \(D(\mathcal{B}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) construit dans le lemme 0FTF est appelé image inverse dérivée et noté \(Lf^*\).

Avec ce langage en place, nous pouvons exprimer certaines compatibilités évidentes.

Lemme

Dans le lemme 0FTF, le foncteur \(D(\mathcal{B}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\) est égal à \(\mathcal{M} \mapsto Lf^*\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du fait que nous pouvons calculer ces foncteurs en représentant les objets par de bons modules différentiels gradués et parce que \(f^*\mathcal{P}\) est un bon \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué si \(\mathcal{P}\) est un bon \(\mathcal{B}\)-module différentiel gradué.

Lemme

Soient \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) et \((g, g^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}'')\) des morphismes de topos annelés. Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}'\) et \(\mathcal{A}''\) des algèbres différentielles graduées respectivement sur \(\mathcal{O}\), \(\mathcal{O}'\) et \(\mathcal{O}''\). Soient \(\varphi : \mathcal{A}' \to f_*\mathcal{A}\) et \(\varphi' : \mathcal{A}'' \to g_*\mathcal{A}'\) des homomorphismes d’algèbres différentielles graduées respectivement sur \(\mathcal{O}'\) et \(\mathcal{O}''\). Alors nous avons \(L(g \circ f)^* = Lf^* \circ Lg^* : D(\mathcal{A}'', \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du calcul de ces foncteurs au moyen de bons modules différentiels gradués, et du fait que \(f^*\mathcal{P}\) est un bon \(\mathcal{A}'\)-module différentiel gradué si \(\mathcal{P}\) est un bon \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(\mathcal{N} \to \mathcal{N}'\) un homomorphisme de bimodules différentiels gradués sur \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\). On obtient alors des applications canoniques \[t : \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}'\] fonctorielles en \(\mathcal{M}\) dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\), qui définissent une transformation naturelle entre les foncteurs exacts \(D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) de catégories triangulées. La valeur de \(t\) sur un bon \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{P}\) est l’application évidente \[\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} = \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}' = \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}'\]

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(\mathcal{N} \to \mathcal{N}'\) est un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie, alors \(t\) est un isomorphisme des foncteurs \((- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}) \to (- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}')\).

Démonstration

Il suffit de démontrer que \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}'\) est un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie pour tout bon \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{P}\). Pour cela, soit \(\mathcal{N}''\) le cône du morphisme \(\mathcal{N} \to \mathcal{N}'\) comme \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à gauche, voir la définition 0FS5. (Bien sûr, \(\mathcal{N}''\) est aussi un bimodule, mais nous n’en avons pas besoin.) Par fonctorialité de la construction tensorielle (c’est un foncteur de catégories différentielles graduées), \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}''\) est le cône, comme complexe de \(\mathcal{O}\)-modules, du morphisme \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}'\). Il suffit donc de démontrer que \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}''\) est acyclique. Cela découle du fait que \(\mathcal{P}\) est bon et du fait que \(\mathcal{N}''\) est acyclique en tant que cône sur un quasi-isomorphisme.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(\mathcal{N}\) un bimodule différentiel gradué sur \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\). Si \(\mathcal{N}\) est bon comme \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à gauche, alors \(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} = \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) pour tout \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) un quasi-isomorphisme où \(\mathcal{P}\) est un bon module différentiel gradué à droite sur \(\mathcal{A}\). Pour prouver le lemme, nous devons montrer que \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) est un quasi-isomorphisme. Le cône \(C\) du morphisme \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\) est un module différentiel gradué acyclique à droite sur \(\mathcal{A}\). Ainsi, \(C \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) est acyclique, car \(\mathcal{N}\) est supposé bon comme module différentiel gradué à gauche sur \(\mathcal{A}\). Puisque \(C \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) est le cône du morphisme \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \to \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}\) comme complexe de \(\mathcal{O}\)-modules, nous concluons.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}'\) et \(\mathcal{A}''\) des \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Soient \(\mathcal{N}\) et \(\mathcal{N}'\) des bimodules différentiels gradués respectivement sur \((\mathcal{A}, \mathcal{A}')\) et \((\mathcal{A}', \mathcal{A}'')\). Supposons que l’application canonique \[\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' \longrightarrow \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] dans \(D(\mathcal{A}'', \text{d})\) soit un quasi-isomorphisme. Alors nous avons \[(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' = \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}')\] en tant que foncteurs \(D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}'', \text{d})\).

Démonstration

Choisissons un bon \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{P}\) et un quasi-isomorphisme \(\mathcal{P} \to \mathcal{M}\), voir lemme 0FSH. Alors \[\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}') = \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] et nous avons \[(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' = (\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}'\] Ainsi, nous devons montrer que l’application canonique \[(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' \longrightarrow \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] est un quasi-isomorphisme. Choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{Q} \to \mathcal{N}'\) où \(\mathcal{Q}\) est un bon module différentiel gradué à gauche sur \(\mathcal{A}'\) (lemme 0FSH). Par le lemme 0FTK, le morphisme ci-dessus, considéré dans la catégorie dérivée des \(\mathcal{O}\)-modules, est le morphisme \[\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{Q} \longrightarrow \mathcal{P} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] Puisque \(\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{Q} \to \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\) est un quasi-isomorphisme par hypothèse et \(\mathcal{P}\) est un bon \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué, cette application est un quasi-isomorphisme par le lemme 0FTJ (le côté gauche et droit calculent \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{Q})\) et \(\mathcal{P} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}')\) ou l’on peut simplement répéter l’argument dans la preuve du lemme).

Image directe dérivée

L’existence de suffisamment d’objets K-injectifs garantit que nous pouvons prendre le foncteur dérivé à droite de tout foncteur exact défini sur la catégorie homotopique.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau d’algèbres différentielles graduées sur \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\). Alors tout foncteur exact \[T : K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d})) \longrightarrow \mathcal{D}\] de catégories triangulées possède une extension dérivée à droite \(RT : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathcal{D}\) dont la valeur sur un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{I}\) injectif gradué et K-injectif est \(T(\mathcal{I})\).

Démonstration

D’après le théorème 0FT0, pour tout module différentiel gradué à droite sur \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{M}\), il existe un quasi-isomorphisme \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}\) où \(\mathcal{I}\) est un module différentiel gradué injectif gradué et K-injectif sur \(\mathcal{A}\). Par conséquent, d’après Catégories dérivées, lemme 06XN, il suffit de montrer que, pour tout quasi-isomorphisme \(\mathcal{I} \to \mathcal{I}'\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués tous deux injectifs gradués et K-injectifs, \(T(\mathcal{I}) \to T(\mathcal{I}')\) est un isomorphisme. En effet, \(\mathcal{I} \to \mathcal{I}'\) est un isomorphisme dans \(K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))\), comme on le voit par exemple par le lemme 0FT8, ou par le lemme 0FSX.

Nous avons déjà vu un certain nombre de foncteurs auxquels cela s’applique. Voici deux exemples.

Définition

Hom interne dérivé et image directe dérivée.

1. Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(\mathcal{N}\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué. L’extension dérivée à droite \[R\SheafHom_\mathcal{B}(\mathcal{N}, -) : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{A}, \text{d})\] du foncteur Hom interne \(\SheafHom_\mathcal{B}^{dg}(\mathcal{N}, -)\) est appelée Hom interne dérivé.

2. Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. L’extension dérivée à droite \[Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d})\] de l’image directe \(f_*\) est appelée image directe dérivée.

Le foncteur \(Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) coïncide avec l’image directe dérivée des complexes sous-jacents de \(\mathcal{O}\)-modules ; voir le lemme 0FTW.

Ces foncteurs sont les adjoints de l’image inverse dérivée et du produit tensoriel dérivé.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Soit \(\mathcal{N}\) un \((\mathcal{A}, \mathcal{B})\)-bimodule différentiel gradué. Alors \[R\SheafHom_\mathcal{B}(\mathcal{N}, -) : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{A}, \text{d})\] est adjoint à droite à \[- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N} : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d})\]

Démonstration

Cela découle de Catégories dérivées, lemme 0FND et lemme 0FRS.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. Alors \[Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d})\] est adjoint à droite à \[Lf^* : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{A}, \text{d})\]

Démonstration

Cela découle de Catégories dérivées, lemme 0FND et lemme 0FRU.

Ensuite, nous discuterons de ce qui se passe dans la situation considérée à la section 0FTD.

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre différentielle graduée. Supposons donné un morphisme \[\varphi : f^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{A}\] de \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. Par l’adjonction entre restriction et extension des scalaires, cela revient à se donner un morphisme \(\varphi : f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbres différentielles graduées ou, de manière équivalente, \(\varphi\) peut être considéré comme un morphisme \[\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\] de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. Voir la remarque 0FRG.

Supposons de plus que \(\mathcal{A}'\) soit une seconde \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée et que \(\mathcal{N}\) soit un \((\mathcal{A}, \mathcal{A}')\)-bimodule différentiel gradué. Dans ce contexte, nous pouvons considérer le foncteur \[\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f_*\SheafHom^{dg}_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, \mathcal{M})\] Notons que cela s’étend à un foncteur \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}', \text{d}) \longrightarrow \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}),\quad \mathcal{M} \longmapsto f_*\SheafHom^{dg}_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, \mathcal{M})\] des catégories différentielles graduées par la discussion des sections 0FRT et 0FRP. Il s’ensuit formellement que nous obtenons également un foncteur exact [0FTS]\[\begin{equation} K(\textit{Mod}(\mathcal{A}', \text{d})) \longrightarrow K(\textit{Mod}(\mathcal{B}, \text{d})),\quad \mathcal{M} \longmapsto f_*\SheafHom^{dg}_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, \mathcal{M}) \end{equation}\] de catégories triangulées.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, notons \(RT : D(\mathcal{A}', \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) l’extension dérivée à droite de (0FTS). Alors nous avons \[RT(\mathcal{M}) = Rf_* R\SheafHom(\mathcal{N}, \mathcal{M})\] fonctoriellement en \(\mathcal{M}\).

Démonstration

Par les lemmes 0FRS et 0FRU, le foncteur (0FTS) est adjoint à droite du foncteur (0FTE). Par Catégories dérivées, lemme 0FND, le foncteur \(RT\) est adjoint à droite au foncteur du lemme 0FTF, lequel est égal à \(Lf^*(-) \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}\) par le lemme 0FTH. Par les lemmes 0FTQ et 0FTR, le foncteur \(Lf^*(-) \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{N}\) est adjoint à gauche à \(Rf_* R\SheafHom(\mathcal{N}, -)\). Nous concluons par unicité des adjoints.

Lemme

Soient \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) et \((g, g^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}''), \mathcal{O}'')\) des morphismes de topos annelés. Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}'\) et \(\mathcal{A}''\) des algèbres différentielles graduées respectivement sur \(\mathcal{O}\), \(\mathcal{O}'\) et \(\mathcal{O}''\). Soient \(\varphi : \mathcal{A}' \to f_*\mathcal{A}\) et \(\varphi' : \mathcal{A}'' \to g_*\mathcal{A}'\) des homomorphismes d’algèbres différentielles graduées respectivement sur \(\mathcal{O}'\) et \(\mathcal{O}''\). Alors nous avons \(R(g \circ f)_* = Rg_* \circ Rf_* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}'', \text{d})\).

Démonstration

Cela découle des lemmes 0FTI et 0FTR et de l’unicité des adjoints.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}'\) et \(\mathcal{A}''\) des \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Soient \(\mathcal{N}\) et \(\mathcal{N}'\) des bimodules différentiels gradués respectivement sur \((\mathcal{A}, \mathcal{A}')\) et \((\mathcal{A}', \mathcal{A}'')\). Supposons que l’application canonique \[\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'}^\mathbf{L} \mathcal{N}' \longrightarrow \mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}'\] dans \(D(\mathcal{A}'', \text{d})\) soit un quasi-isomorphisme. Alors nous avons \[R\SheafHom_{\mathcal{A}''} (\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{A}'} \mathcal{N}', -) = R\SheafHom_{\mathcal{A}'}(\mathcal{N}, R\SheafHom_{\mathcal{A}''}(\mathcal{N}', -))\] en tant que foncteurs \(D(\mathcal{A}'', \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\).

Démonstration

Cela découle des lemmes 0FTL et 0FTQ et de l’unicité des adjoints.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\mathcal{B}\) une \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\varphi : \mathcal{B} \to f_*\mathcal{A}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-algèbres différentielles graduées. Le diagramme \[\xymatrix{ D(\mathcal{A}, \text{d}) \ar[d]_{Rf_*} \ar[rr]_{forget} & & D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\mathcal{B}, \text{d}) \ar[rr]^{forget} & & D(\mathcal{O}_\mathcal{D}) }\] est commutatif.

Démonstration

Une fois certaines catégories identifiées, ce lemme découle immédiatement du lemme 0FTU.

Nous pouvons considérer \((\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0)\) comme une \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbre différentielle graduée en plaçant \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\) dans le degré \(0\) et en lui conférant le différentiel zéro. Il est clair que nous avons \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) = \text{Comp}(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \quad\text{et}\quad D(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) = D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\] Sous cette identification, le foncteur d’oubli \(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \text{Comp}(\mathcal{O}_\mathcal{C})\) est l’« image directe » \(\text{id}_{\mathcal{C}, *}\) définie à la section 0FRT, correspondant au morphisme identité \(\text{id}_\mathcal{C} : (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\mathcal{C}, \mathcal{O}_\mathcal{C})\) de topos annelés et au morphisme \((\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) \to (\mathcal{A}, \text{d})\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-algèbres différentielles graduées. Puisque \(\text{id}_{\mathcal{C}, *}\) est exact, nous voyons immédiatement que \[R\text{id}_{\mathcal{C}, *} = forget : D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) = D(\mathcal{O}_\mathcal{C})\] Le même raisonnement montre que \[R\text{id}_{\mathcal{D}, *} = forget : D(\mathcal{B}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{D}, 0) = D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\] En outre, la construction de \(Rf_* : D(\mathcal{O}_\mathcal{C}) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{D})\) de Cohomologie sur les sites, section 07A5 concorde avec la construction de \(Rf_* : D(\mathcal{O}_\mathcal{C}, 0) \to D(\mathcal{O}_\mathcal{D}, 0)\) dans la définition 0FTP, car les deux foncteurs sont définis comme l’extension dérivée droite de l’image directe sur les complexes sous-jacents de modules. Par le lemme 0FTU, nous voyons que \(Rf_* \circ R\text{id}_{\mathcal{C}, *}\) et \(R\text{id}_{\mathcal{D}, *} \circ Rf_*\) sont les foncteurs dérivés de \(f_* \circ forget = forget \circ f_*\) et sont donc égaux par unicité des adjoints.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\mathcal{A}\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre différentielle graduée. Soit \(\mathcal{M}\) un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué. Soit \(n \in \mathbf{Z}\). Nous avons \[H^n(\mathcal{C}, \mathcal{M}) = \Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{A}, \mathcal{M}[n])\] où sur le côté gauche nous avons la cohomologie de \(\mathcal{M}\) considérée comme un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Pour prouver la formule, observons que \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}) = \Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I})\] où \(\mathcal{M} \to \mathcal{I}\) est un quasi-isomorphisme vers un module différentiel gradué injectif gradué et K-injectif sur \(\mathcal{A}\), noté \(\mathcal{I}\) (en combinant les lemmes 0FTN et 0FTW). Par le lemme 0FT8 nous avons \[\Hom_{D(\mathcal{A}, \text{d})}(\mathcal{A}, \mathcal{M}[n]) = \Hom_{K(\textit{Mod}(\mathcal{A}, \text{d}))}(\mathcal{M}, \mathcal{I}[n]) = H^0(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}[n])) = H^n(\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{I}))\] En combinant ces deux résultats, nous obtenons notre égalité.

Équivalences de catégories dérivées

Cette section est l’analogue de l’Algèbre différentielle graduée, section 09S5.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Si \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées qui induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie, alors \[D(\mathcal{A}, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{B}, \text{d}), \quad \mathcal{M} \longmapsto \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Rappelons que le foncteur de restriction \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}) \to \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}),\quad \mathcal{N} \mapsto res_\varphi \mathcal{N}\] est un adjoint à droite à \[\textit{Mod}^{dg}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Mod}^{dg}(\mathcal{B}, \text{d}),\quad \mathcal{M} \mapsto \mathcal{M} \otimes_\mathcal{A} \mathcal{B}\] Voir la section 0FRP. Puisque la restriction envoie des quasi-isomorphismes sur des quasi-isomorphismes, nous voyons qu’elle a triviellement une extension dérivée à gauche (donnée par restriction). Ce foncteur sera adjoint à droite à \(- \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B}\) par Catégories dérivées, lemme 0FND. L’application de l’adjonction \[\mathcal{M} \to res_\varphi(\mathcal{M} \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B})\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) par notre hypothèse que \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est un quasi-isomorphisme de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués à gauche. En particulier, le foncteur du lemme est pleinement fidèle, voir Catégories, lemme 07RB. Il est clair que le noyau du foncteur de restriction \(D(\mathcal{B}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) est nul. Nous concluons ainsi par Catégories dérivées, lemme 09J1.

Résolutions d’algèbres différentielles graduées

Cette section est l’analogue de l’Algèbre différentielle graduée, section 0BZ6.

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Comme dans la remarque 0FSF, considérons un faisceau d’ensembles gradués \(\mathcal{S}\) sur \(\mathcal{C}\). Considérons le produit de \(r\) copies \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\) comme un faisceau d’ensembles gradués avec la règle \(\deg(s_1 \cdot \ldots \cdot s_r) = \sum \deg(s_i)\). Pour des sections locales \(s_i \in \mathcal{S}(U)\), \(i = 1, \ldots, r\), nous utilisons \(s_1 \cdot \ldots \cdot s_r\) pour désigner la section correspondante de \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\) sur \(U\). Notons \(\mathcal{O}\langle \mathcal{S} \rangle\) la \(\mathcal{O}\)-algèbre graduée libre sur \(\mathcal{S}\). Plus précisément, posons \[\mathcal{O}\langle \mathcal{S} \rangle = \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \mathcal{O}[\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}]\] avec une notation comme dans la remarque 0FSF. Cette construction devient un faisceau de \(\mathcal{O}\)-algèbres graduées par concaténation \[(s_1 \cdot \ldots \cdot s_r) (s'_1 \cdot \ldots \cdot s'_{r'}) = s_1 \cdot \ldots s_r \cdot s'_1 \cdot \ldots \cdot s'_{r'}\] Nous pouvons munir \(\mathcal{O}\langle \mathcal{S} \rangle\) d’un différentiel en posant \(\text{d}(s) = 0\) pour toute section locale \(s\) de \(\mathcal{S}\), puis en prolongeant de manière unique par la règle de Leibniz ; il est toutefois important de considérer aussi d’autres différentiels.

En effet, supposons qu’on nous donne un système du genre suivant :

1. pour \(i = 0, 1, 2, \ldots\), des faisceaux d’ensembles gradués \(\mathcal{S}_i\),

2. pour \(i = 0, 1, 2, \ldots\), des applications \[\delta_{i + 1} : \mathcal{S}_{i + 1} \longrightarrow \mathcal{A}_i = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg \mathcal{S}_i\rangle\] de faisceaux d’ensembles gradués de degré \(1\) dont l’image est contenue dans le noyau du différentiel défini par induction sur la cible.

Plus précisément, posons d’abord \(\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \rangle\) et munissons-la de l’unique différentiel satisfaisant à la règle de Leibniz et tel que \(\text{d}(s) = 0\) pour toute section locale \(s\) de \(\mathcal{S}\). Par récurrence, supposons qu’un différentiel \(\text{d}\) soit donné sur \(\mathcal{A}_i\). Nous le prolongeons alors en l’unique différentiel sur \(\mathcal{A}_{i + 1}\) satisfaisant à la règle de Leibniz et tel que \[\text{d}(s) = \delta(s)\] où \(\delta(s) = \delta_j(s)\) si \(s\) appartient à la composante \(\mathcal{S}_j\) de \(\mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg \mathcal{S}_{i + 1}\). Cela a du sens précisément parce que \(\delta(s)\) est dans le noyau du différentiel défini par induction.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, la \(\mathcal{O}\)-algèbre différentielle graduée \[\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\] possède la propriété suivante : pour tout morphisme \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) de topos annelés, l’image inverse \(f^*\mathcal{A}\) est plate comme module gradué sur \(\mathcal{O}'\) et K-plate comme complexe de \(\mathcal{O}'\)-modules.

Démonstration

Notons que \(f^*\mathcal{A} = \colim f^*\mathcal{A}_i\) et que \[f^*\mathcal{A}_i = \mathcal{O}'\langle f^{-1}\mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg f^{-1}\mathcal{S}_i\rangle\] avec un différentiel donné par la procédure inductive ci-dessus en utilisant \(f^{-1}\delta_{i + 1}\). Il suffit donc de prouver que \(\mathcal{A}\) est plate comme \(\mathcal{O}\)-module gradué et K-plate comme complexe de \(\mathcal{O}\)-modules. Il suffit pour cela de montrer que chaque \(\mathcal{A}_i\) est plate comme module gradué sur \(\mathcal{O}\) et K-plate comme complexe de \(\mathcal{O}\)-modules ; comparer au lemme 0FSD.

Pour \(i \geq 1\), écrivons \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_0 \amalg \ldots \amalg \mathcal{S}_i\), de sorte que \(\mathcal{A}_i = \mathcal{O}\langle \mathcal{S} \rangle\) comme \(\mathcal{O}\)-algèbre graduée. Nous allons filtrer cette algèbre par des sous-modules différentiels gradués sur \(\mathcal{O}\).

Munissons \(W = \mathbf{Z}_{\geq 0}^{i + 1}\) de l’ordre lexicographique. Autrement dit, étant donnés \(w = (w_0, \ldots w_i)\) et \(w' = (w'_0, \ldots, w'_i)\) dans \(W\), nous posons \[w > w' \Leftrightarrow \exists j,\ 0 \leq j \leq i : w_i = w'_i,\ w_{i - 1} = w'_{i - 1},\ \ldots , \ w_{j + 1} = w'_{j + 1},\ w_j > w'_j\] et ainsi de suite. Supposons donnée une section \(s = s_1 \cdot \ldots \cdot s_r\) de \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\) sur \(U\). Nous disons que le poids de \(s\) est défini si \(s_a \in \mathcal{S}_{j_a}(U)\) pour un unique \(0 \leq j_a \leq i\). Dans ce cas, nous définissons le poids \[w(s) = (w_0(s), \ldots, w_i(s)) \in W,\quad w_j(s) = |\{a \mid j_a = j\}|\] Le poids de toute section de \(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\) est défini localement. On vérifie aisément que l’on obtient une décomposition en union disjointe \[\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S} = \coprod\nolimits_{w \in W} \left( \mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w\] en sous-faisceaux de sections de poids donné. Bien entendu, seuls les \(w \in W\) tels que \(\sum_{0 \leq j \leq i} w_j = r\) apparaissent pour un \(r\) donné. Nous obtenons en conséquence une décomposition \[\mathcal{A}_i = \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \bigoplus\nolimits_{w \in W} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w]\] Le reste de la preuve repose sur l’observation immédiate suivante : étant donnés \(r\), \(w\) et une section locale \(s = s_1 \cdot \ldots \cdot s_r\) de \(\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w\), nous avons \[\text{d}(s) \text{ est une section locale de } \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r' \geq 1} \bigoplus\nolimits_{w' \in W,\ w' < w} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_{w'}]\] En effet, dans chacune des expressions \[(-1)^{\deg(s_1) + \ldots + \deg(s_{a - 1})} s_1 \cdot \ldots s_{a - 1} \cdot \delta(s_a) \cdot s_{a + 1} \cdot \ldots \cdot s_r\] dont la somme donne l’élément \(\text{d}(s)\), l’élément \(\delta(s_a)\) est localement une combinaison \(\mathcal{O}\)-linéaire d’éléments \(s'_1 \cdot \ldots \cdot s'_{r'}\), avec \(s'_{a'}\) dans \(\mathcal{S}_{j'_a}\) pour un certain \(0 \leq j'_{a'} < j_a\), où \(j_a\) est tel que \(s_a\) soit une section de \(\mathcal{S}_{j_a}\).

Cela signifie ce qui suit. Pour \(w \in W\), posons \[F_w \mathcal{A}_i = \mathcal{O} \oplus \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \bigoplus\nolimits_{w' \in W,\ w' \leq w} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_{w'}]\] D’après l’observation ci-dessus, c’est un sous-\(\mathcal{O}\)-module différentiel gradué. Nous obtenons des suites exactes courtes admissibles \[0 \to \colim_{w' < w} F_{w'}\mathcal{A}_i \to F_w\mathcal{A}_i \to \bigoplus\nolimits_{r \geq 1} \mathcal{O}[\left(\mathcal{S} \times \ldots \times \mathcal{S}\right)_w] \to 0\] de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués dont le différentiel du membre de droite est nul.

Maintenant, nous terminons la preuve par récurrence transfinie sur l’ensemble ordonné \(W\). Le complexe différentiel gradué \(F_0\mathcal{A}_0\) est le facteur direct \(\mathcal{O}\), qui est K-plat et plat comme module gradué. Pour \(w \in W\), si le résultat est vrai pour \(F_{w'}\mathcal{A}_i\) pour \(w' < w\), alors par les lemmes 0FSD, 0FSC et 0FSG nous obtenons le résultat pour \(w\). Enfin, nous avons \(\mathcal{A}_i = \colim_{w \in W} F_w\mathcal{A}_i\) et nous concluons.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((\mathcal{B}, \text{d})\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre différentielle graduée. Il existe un quasi-isomorphisme de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées \((\mathcal{A}, \text{d}) \to (\mathcal{B}, \text{d})\) tel que \(\mathcal{A}\) soit plate comme module gradué et K-plate comme complexe de \(\mathcal{O}\)-modules, et que ces propriétés restent vraies après image inverse par tout morphisme de topos annelés.

Démonstration

La démonstration est identique à la première démonstration du lemme 0FSH, en utilisant cette fois des algèbres graduées libres au lieu de modules gradués libres.

Nous construirons \(\mathcal{A} = \colim \mathcal{A}_i\) comme dans le lemme 0FU1, en construisant \[\mathcal{A}_0 \to \mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_2 \to \ldots \to \mathcal{B}\] Soit \(\mathcal{S}_0\) le faisceau d’ensembles gradués (remarque 0FSF) dont la composante de degré \(n\) est \(\Ker(\text{d}_\mathcal{B}^n)\). Considérons l’homomorphisme de modules différentiels gradués \[\mathcal{A}_0 = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \rangle \longrightarrow \mathcal{B}\] où le morphisme envoie une section locale \(s\) de \(\mathcal{S}_0\) sur la section locale correspondante de \(\mathcal{A}^{\deg(s)}\) ; celle-ci appartient au noyau du différentiel, ce qui assure la compatibilité du morphisme avec les différentiels. Par construction, les applications induites en cohomologie \(H^n(\mathcal{A}_0) \to H^n(\mathcal{B})\) sont surjectives et le resteront pour tout \(i\).

Étape d’induction de la construction. Étant donné \(\mathcal{A}_i \to \mathcal{B}\), notons \(\mathcal{S}_{i + 1}\) le faisceau d’ensembles gradués dont la composante de degré \(n\) est \[\Ker(\text{d}_{\mathcal{A}_i}^{n + 1}) \times_{\mathcal{B}^{n + 1}, \text{d}} \mathcal{B}^n\] Ce faisceau est muni d’une application canonique \[\delta_{i + 1} : \mathcal{S}_{i + 1} \longrightarrow \mathcal{A}_i\] dont l’image est contenue dans le noyau de \(\text{d}_{\mathcal{A}_i}\) par construction. Par conséquent, \(\mathcal{A}_{i + 1} = \mathcal{O}\langle \mathcal{S}_0 \amalg \ldots \mathcal{S}_{i + 1}\rangle\) a un différentiel étendant le différentiel sur \(\mathcal{A}_i\), voir la discussion au début de cette section. Le morphisme de \(\mathcal{A}_{i + 1}\) vers \(\mathcal{B}\) est l’unique morphisme d’algèbres graduées qui coïncide avec le morphisme donné sur \(\mathcal{A}_i\) et envoie une section locale \(s = (a, b)\) de \(\mathcal{S}_{i + 1}\) sur \(b\) dans \(\mathcal{B}\). Cela est compatible avec les différentiels précisément parce que \(\text{d}(b)\) est l’image de \(a\) dans \(\mathcal{B}\).

L’application \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est un quasi-isomorphisme : nous avons \(H^n(\mathcal{A}) = \colim H^n(\mathcal{A}_i)\) et pour chaque \(i\) l’application \(H^n(\mathcal{A}_i) \to H^n(\mathcal{B})\) est surjective avec le noyau anéanti par l’application \(H^n(\mathcal{A}_i) \to H^n(\mathcal{A}_{i + 1})\) par construction. Enfin, la condition de platitude pour \(\mathcal{A}\) a été établie dans le lemme 0FU1.

Compléments

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. En utilisant la composition³ \[\mathcal{A} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}\] et le cup-produit relatif (voir Cohomologie sur les sites, remarque 0B6C et section 0FPJ), nous obtenons une multiplication⁴ \[\mu : Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \longrightarrow Rf_*\mathcal{A}\] dans \(D(\mathcal{O}')\). Cette multiplication est associative dans le sens où le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu \otimes 1} \ar[d]_{1 \otimes \mu} & & Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[d]^\mu \\ Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-\mu & & Rf_*\mathcal{A} }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}')\) ; cela résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 0FPL. De même, étant donné un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à droite \(\mathcal{M}\), nous obtenons une multiplication \[\mu_\mathcal{M} : Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \longrightarrow Rf_*\mathcal{M}\] dans \(D(\mathcal{O}')\). Cette multiplication est compatible avec \(\mu\) ci-dessus au sens où le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu_\mathcal{M} \otimes 1} \ar[d]_{1 \otimes \mu} & & Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[d]^{\mu_\mathcal{M}} \\ Rf_*\mathcal{M} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_\mathcal{M}} & & Rf_*\mathcal{M} }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}')\) ; cela résulte encore de Cohomologie sur les sites, lemme 0FPL.

Un cas particulier s’obtient en prenant pour \(f\) le morphisme vers le topos ponctuel \(\Sh(pt)\). Dans ce cas, \(\mu\) est simplement l’application du cup-produit \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}), \quad \eta \otimes \theta \mapsto \eta \cup \theta\] et, de même, \(\mu_\mathcal{M}\) est l’application du cup-produit \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \longrightarrow R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}), \quad \eta \otimes \theta \mapsto \eta \cup \theta\] En général, via l’identification \[R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) = R\Gamma(\mathcal{C}', Rf_*\mathcal{A}) \quad\text{et}\quad R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}) = R\Gamma(\mathcal{C}', Rf_*\mathcal{M})\] de Cohomologie sur les sites, remarque 08J6, l’application \(\mu_\mathcal{M}\) induit le cup-produit en cohomologie. Pour le voir, utilisons Cohomologie sur les sites, lemme 0FPN, avec, pour second morphisme de topos, le morphisme de \(\Sh(\mathcal{C}')\) vers le topos ponctuel comme ci-dessus.

Si \(\mathcal{M}_1 \to \mathcal{M}_2\) est un homomorphisme de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués, alors le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{M}_1 \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu_{\mathcal{M}_1}} \ar[d] & & Rf_*\mathcal{M}_1 \ar[d] \\ Rf_*\mathcal{M}_2 \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_{\mathcal{M}_2}} & & Rf_*\mathcal{M}_2 }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}')\) ; cela résulte de la fonctorialité du cup-produit relatif. Supposons que nous ayons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{M}_1 \xrightarrow{a} \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_3 \to 0\] de modules différentiels gradués à droite sur \(\mathcal{A}\). Alors, nous affirmons que le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{M}_3 \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-{\mu_{\mathcal{M}_3}} \ar[d]_{Rf_*\delta \otimes \text{id}} & & Rf_*\mathcal{M}_3 \ar[d]^{Rf_*\delta} \\ Rf_*\mathcal{M}_1[1] \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_{\mathcal{M}_1[1]}} & & Rf_*\mathcal{M}_1[1] }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}')\), où \(\delta : \mathcal{M}_3 \to \mathcal{M}_1[1]\) est le morphisme de \(D(\mathcal{O})\) provenant de la suite exacte courte donnée (voir Catégories dérivées, section 014Z). Cela est clair si la suite est scindée comme suite de modules gradués à droite sur \(\mathcal{A}\) : dans ce cas, \(\delta\) peut être représenté par un homomorphisme de modules à droite sur \(\mathcal{A}\) et la discussion ci-dessus s’applique. En général, nous argumentons en utilisant le cône sur \(a\) et le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{M}_1 \ar[r]_a \ar[d] & \mathcal{M}_2 \ar[r]_i \ar[d] & C(a) \ar[r]_{-p} \ar[d]^q & \mathcal{M}_1[1] \ar[d] \\ \mathcal{M}_1 \ar[r] & \mathcal{M}_2 \ar[r] & \mathcal{M}_3 \ar[r]^\delta & \mathcal{M}_1[1] }\] où le carré de droite est commutatif dans \(D(\mathcal{O})\), par la définition de \(\delta\) dans Catégories dérivées, lemme 0152. Le cône \(C(a)\) est muni d’une structure de \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à droite telle que \(i\), \(p\), \(q\) soient des homomorphismes de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués à droite ; voir la définition 0FS5. Nous savons donc, par ce qui précède, que les diagrammes correspondants sont commutatifs pour les morphismes \(q\) et \(-p\). Puisque \(q\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O})\), nous concluons que la même chose est vraie pour \(\delta\) comme souhaité.

Dans la situation ci-dessus, étant donné un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué à droite \(\mathcal{M}\), soit \[\xi \in H^n(\mathcal{C}, \mathcal{M})\] Autrement dit, \(\xi\) est une classe de cohomologie de degré \(n\) de \(\mathcal{M}\), considéré comme un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules. Par le lemme 0FTX, nous pouvons construire des morphismes \[x : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{M}'[n] \quad\text{et}\quad s : \mathcal{M} \to \mathcal{M}'\] de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués où \(s\) est un quasi-isomorphisme et tels que \(\xi\) soit l’image de \(1 \in H^0(\mathcal{C}, \mathcal{A})\) par le morphisme \(s[n]^{-1} \circ x\) dans la catégorie dérivée \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) et a fortiori dans la catégorie dérivée \(D(\mathcal{O})\). Il s’ensuit que l’application correspondante \[\xi' = (s[n])^{-1} \circ x : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{M}[n]\] dans \(D(\mathcal{O})\) est uniquement caractérisée par les deux propriétés suivantes :

1. \(\xi'\) se relève en un morphisme dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\), et

2. \(\xi = \xi'(1)\) dans \(H^0(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]) = H^n(\mathcal{C}, \mathcal{M})\).

En utilisant les compatibilités de \(x\) et \(s\) avec le cup-produit relatif considéré ci-dessus, il s’ensuit que, pour tout⁵ morphisme de topos annelés \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\), l’image directe dérivée \[Rf_*\xi' : Rf_*\mathcal{A} \longrightarrow Rf_*\mathcal{M}[n]\] de \(\xi'\) est compatible avec les applications \(\mu\) et \(\mu_{\mathcal{M}[n]}\) construites ci-dessus dans le sens où le diagramme \[\xymatrix{ Rf_*\mathcal{A} \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]_-\mu \ar[d]_{Rf_*\xi' \otimes \text{id}} & & Rf_*\mathcal{A} \ar[d]^{Rf_*\xi'} \\ Rf_*\mathcal{M}[n] \otimes_{\mathcal{O}'}^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{A} \ar[rr]^-{\mu_{\mathcal{M}[n]}} & & Rf_*\mathcal{M}[n] }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{O}')\). En utilisant cette compatibilité pour l’application aux topos ponctuels, nous voyons en particulier que \[\xymatrix{ R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar[d]_{\xi' \otimes \text{id}} \ar[r] & R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar[d]^{\xi'} \\ R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]) \otimes_{\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{O})}^\mathbf{L} R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \ar[r] & R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]) }\] est commutatif. Combiné à \(\xi'(1) = \xi\), cela implique que l’application induite sur la cohomologie \[\xi' : R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{A}) \to R\Gamma(\mathcal{C}, \mathcal{M}[n]), \quad \eta \mapsto \xi \cup \eta\] est donnée par le cup-produit à gauche par \(\xi\), comme indiqué.

Modules différentiels gradués sur une catégorie

Cette section prolonge Cohomologie sur les sites, section 0GYU.

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Nous pensons à \(\mathcal{C}\) comme un site avec la topologie chaotique. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Soit \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. En d’autres termes, \(\mathcal{O}\) est un préfaisceau d’anneaux de la catégorie \(\mathcal{C}\) et \((\mathcal{A}, \text{d})\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées sur \(\mathcal{C}\), voir Catégories, définition 02X6.

Définition

Dans la situation ci-dessus, nous notons \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\) la sous-catégorie pleine de \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) formée des objets \(M\) tels que, pour tout morphisme \(U \to V\) de \(\mathcal{C}\), l’application canonique \[R\Gamma(V, M) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) \longrightarrow R\Gamma(U, M)\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, la sous-catégorie \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\) est une sous-catégorie strictement pleine, saturée et triangulée de \(D(\mathcal{A}, \text{d})\), stable par sommes directes arbitraires.

Démonstration

Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\). Puisque la topologie sur \(\mathcal{C}\) est chaotique, le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(U)\) est exact et commute aux sommes directes. Par conséquent, le foncteur exact \(M \mapsto R\Gamma(U, M)\) est calculé en représentant \(K\) par un \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué quelconque \(\mathcal{M}\) et en prenant \(\mathcal{M}(U)\). Ainsi, \(R\Gamma(U, -)\) commute aux sommes directes, voir le lemme 0FT9. De même, pour un morphisme \(U \to V\) de \(\mathcal{C}\), le foncteur de produit tensoriel dérivé \(- \otimes_{\mathcal{O}(A)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) : D(\mathcal{A}(V)) \to D(\mathcal{A}(U))\) est exact et commute aux sommes directes. Le lemme découle directement de ces observations ; les détails sont omis.

Remarque

Comme ci-dessus, soient \(\mathcal{C}\) une catégorie considérée comme un site muni de la topologie chaotique, \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\) et \((\mathcal{A}, \text{d})\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées. Alors l’analogue de Cohomologie sur les sites, proposition 0GZ0, vaut pour \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\) avec presque exactement la même démonstration :

1. tout foncteur cohomologique contravariant \(H : \mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \textit{Ab}\) qui transforme les sommes directes en produits est représentable,

2. tout foncteur exact \(F : \mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathcal{D}\) de catégories triangulées qui transforme les sommes directes en sommes directes possède un adjoint à droite exact, et

3. le foncteur d’inclusion \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}, \text{d})\) possède un adjoint à droite exact.

Si nous en avons besoin, nous le démontrerons ici.

Soit \(u : \mathcal{C}' \to \mathcal{C}\) un foncteur entre catégories. Si nous considérons \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\) comme des sites avec la topologie chaotique, alors \(u\) est un foncteur continu et cocontinu. On obtient donc un morphisme \(g : \Sh(\mathcal{C}') \to \Sh(\mathcal{C})\) de topos, voir Sites, lemme 00XO. En outre, supposons donnés des faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}\) sur \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{O}'\) sur \(\mathcal{C}'\) et une application \(g^\sharp : g^{-1}\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\). Notons simplement le morphisme correspondant de topos annelés \(g : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), voir Modules sur les sites, section 01D2. Enfin, supposons que \((\mathcal{A}, \text{d})\) soit un faisceau de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées, que \((\mathcal{A}', \text{d})\) soit un faisceau de \(\mathcal{O}'\)-algèbres différentielles graduées, et que nous ayons un morphisme \(\varphi : g^*\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) d’algèbres différentielles graduées sur \(\mathcal{O}'\) (voir la section 0FRT).

Lemme

Soient \(g : (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) et \(\varphi : g^*\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) comme ci-dessus. Le foncteur \(Lg^* : D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{A}', \text{d})\) envoie alors \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\) dans \(\mathit{QC}(\mathcal{A}', \text{d})\).

Démonstration

Soit \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\), d’image \(U = u(U')\) dans \(\mathcal{C}\). Notons \(pt\) la catégorie ayant un seul objet et un seul morphisme. Considérons les topos annelés \((\Sh(pt), \mathcal{O}'(U'))\) et \((\Sh(pt), \mathcal{O}(U))\), munis des algèbres différentielles graduées \(\mathcal{A}'(U)\) et \(\mathcal{A}(U)\). Bien sûr, nous identifions la catégorie dérivée des modules différentiels gradués sur ceux-ci avec \(D(\mathcal{A}'(U'), \text{d})\) et \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\). Ensuite, nous avons un diagramme commutatif de topos annelés \[\xymatrix{ (\Sh(pt), \mathcal{O}'(U')) \ar[rr]_{U'} \ar[d] & & (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}') \ar[d]^g \\ (\Sh(pt), \mathcal{O}(U)) \ar[rr]^U & & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) }\] Chacun est doté d’algèbres différentielles graduées correspondantes. L’image inverse par le morphisme horizontal inférieur envoie \(M\) dans \(D(\mathcal{A}, \text{d})\) sur \(R\Gamma(U, K)\), considéré comme un objet de \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\). L’image inverse par la flèche verticale gauche envoie \(M\) sur \(M \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U')\). Les deux parcours du diagramme donnent le même résultat (lemme 0FTI), d’où \[R\Gamma(U', Lg^*K) = R\Gamma(U, K) \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U')\] Enfin, soit \(f' : U' \to V'\) un morphisme de \(\mathcal{C}'\), et notons \(f = u(f') : U = u(U') \to V = u(V')\) son image dans \(\mathcal{C}\). Si \(K\) est dans \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\) alors nous avons \[\begin{align*} R\Gamma(V', Lg^*K) \otimes_{\mathcal{A}'(V')}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') & = R\Gamma(V, K) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(V') \otimes_{\mathcal{A}'(V')}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(V, K) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(V, K) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(U, K) \otimes_{\mathcal{A}(U)}^\mathbf{L} \mathcal{A}'(U') \\ & = R\Gamma(U', Lg^*K) \end{align*}\] comme souhaité. Ici, nous avons utilisé l’observation ci-dessus pour \(U'\) et \(V'\).

Modules différentiels gradués sur une catégorie, bis

Nous développons quelques résultats supplémentaires sur la notion de modules quasi cohérents introduite dans la section 0GZ8.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}, \mathcal{O}, \mathcal{A}\) comme dans la section 0GZ8. Soit \(\mathcal{C}' \subset \mathcal{C}\) une sous-catégorie pleine telle que, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), la catégorie \(U/\mathcal{C}'\) des flèches \(U \to U'\) soit cofiltrée. Notons \(\mathcal{O}', \mathcal{A}'\) les restrictions de \(\mathcal{O}, \mathcal{A}\) à \(\mathcal{C}'\). Les restrictions induisent alors une équivalence \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathit{QC}(\mathcal{A}', \text{d})\).

Démonstration

Construisons un quasi-inverse de ce foncteur. Soit \(M'\) un objet de \(\mathit{QC}(\mathcal{A}', \text{d})\). Nous pouvons représenter \(M'\) par un bon module différentiel gradué \(\mathcal{M}'\), voir lemme 0FSH. Ensuite, pour chaque \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\), le \(\mathcal{A}'(U')\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}'(U)\) est K-plat et plat comme module gradué et, pour chaque morphisme \(U'_1 \to U'_2\) de \(\mathcal{C}'\), l’application \[\mathcal{M}'(U'_2) \otimes_{\mathcal{A}'(U'_2)} \mathcal{A}'(U'_1) \longrightarrow \mathcal{M}'(U'_1)\] est un quasi-isomorphisme (puisque la source représente le produit tensoriel dérivé). Considérons le \(\mathcal{A}\)-module différentiel gradué \(\mathcal{M}\) défini par \[\mathcal{M}(U) = \colim_{U \to U' \in U/\mathcal{C}'} \mathcal{M}'(U') \otimes_{\mathcal{A}'(U')} \mathcal{A}(U)\] Il s’agit d’une limite inductive filtrante de complexes d’après l’hypothèse du lemme. Puisque \(M'\) est dans \(\mathit{QC}(\mathcal{A}', \text{d})\) tous les morphismes de transition dans le système sont des quasi-isomorphismes. Puisque les limites inductives filtrantes sont exactes, nous voyons que \(\mathcal{M}(U)\) dans \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\) est isomorphe à \(\mathcal{M}'(U') \otimes_{\mathcal{A}'(U')} \mathcal{A}(U)\) pour tout morphisme \(U \to U'\) avec \(U' \in \Ob(\mathcal{C}')\).

Nous affirmons que \(\mathcal{M}\) est dans \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\) : à savoir, étant donné \(U \to V\) dans \(\mathcal{C}\), nous choisissons une application \(V \to V'\) avec \(V' \in \Ob(\mathcal{C}')\). Par ce qui précède, nous voyons que l’application \(\mathcal{M}(V) \to \mathcal{M}(U)\) est identifiée avec l’application \[\mathcal{M}'(V') \otimes_{\mathcal{A}'(V')} \mathcal{A}(V) \longrightarrow \mathcal{M}'(V') \otimes_{\mathcal{A}'(V')} \mathcal{A}(U)\] Puisque \(\mathcal{M'}(V')\) est K-plat comme \(\mathcal{A}'(V')\)-module différentiel gradué, nous obtenons l’affirmation.

Le morphisme naturel \(\mathcal{M}|_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{M}'\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{A}', d)\), d’après ce qui précède.

À l’inverse, si nous avons un objet \(E\) de \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\), alors nous le représentons par un bon module différentiel gradué \(\mathcal{E}\). En définissant \(\mathcal{M}' = \mathcal{E}|_{\mathcal{C}'}\) (c’est un autre bon module différentiel gradué) nous voyons qu’il y a une application \[\mathcal{E} \to \mathcal{M}\] qui, sur \(U\) dans \(\mathcal{C}\), est donnée par le morphisme \[\mathcal{E}(U) \longrightarrow \colim_{U \to U' \in U/\mathcal{C}'} \mathcal{E}(U') \otimes_{\mathcal{A}'(U')} \mathcal{A}(U)\] qui est un quasi-isomorphisme pour la même raison. Ainsi, la restriction et la construction ci-dessus sont des foncteurs quasi inverses, comme souhaité.

Lemme

Soient \(\mathcal{C}, \mathcal{O}\) comme dans la section 0GZ8. Si \(\varphi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées qui induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie, alors l’équivalence \(D(\mathcal{A}, \text{d}) \to D(\mathcal{B}, \text{d})\) du lemme 0FTZ induit une équivalence \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d}) \to \mathit{QC}(\mathcal{B}, \text{d})\).

Démonstration

Il suffit de montrer que, pour un morphisme \(U \to V\) de \(\mathcal{C}\) et un objet \(M\) de \(D(\mathcal{A}, \text{d})\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(R\Gamma(V, M) \otimes_{\mathcal{A}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{A}(U) \to \Gamma(U, M)\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{A}(U), \text{d})\), et

2. \(R\Gamma(V, M \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B}) \otimes_{\mathcal{B}(V)}^\mathbf{L} \mathcal{B}(U) \to \Gamma(U, M \otimes_\mathcal{A}^\mathbf{L} \mathcal{B})\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{B}(U), \text{d})\).

Comme la topologie sur \(\mathcal{C}\) est chaotique, cela se résume simplement au fait que \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{B}(U)\) et \(\mathcal{A}(V) \to \mathcal{B}(V)\) sont des quasi-isomorphismes. Les détails sont omis.

Systèmes projectifs d’algèbres différentielles graduées

Dans cette section, nous examinons le cas particulier suivant de la situation décrite dans la section 0GZ8 :

1. \(\mathcal{C}\) est la catégorie \(\mathbf{N}\) avec un morphisme unique \(i \to j\) si et seulement si \(i \leq j\),

2. \(\mathcal{O}\) est le (pré)faisceau constant d’anneaux de valeur l’anneau donné \(R\).

Dans ce cadre, un faisceau \(\mathcal{A}\) de \(\mathcal{O}\)-algèbres différentielles graduées est la même chose qu’un système projectif \((A_n)\) de \(R\)-algèbres différentielles graduées. Un faisceau \(\mathcal{M}\) de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués est la même chose qu’un système projectif \((M_n)\) où \(M_n\) est un \(A_n\)-module différentiel gradué et les morphismes de transition \(M_{n + 1} \to M_n\) sont des morphismes de \(A_{n + 1}\)-modules. Dans cette section, nous omettons le différentiel de la notation et écrivons \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) pour la catégorie notée \(\mathit{QC}(\mathcal{A}, \text{d})\) dans la définition 0GZ9.

Supposons que \(\mathcal{B} = (B_n)\) soit un deuxième système projectif de \(R\)-algèbres différentielles graduées. Étant donné un morphisme \(\varphi : (A_n) \to (B_n)\) de pro-objets, construisons un foncteur exact de \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) vers \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\). D’après Catégories, exemple 0G2W, le morphisme \(\varphi\) est donné par une suite d’entiers \(\ldots \geq m(3) \geq m(2) \geq m(1)\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & A_{m(3)} \ar[d]^{\varphi_3} \ar[r] & A_{m(2)} \ar[d]^{\varphi_2} \ar[r] & A_{m(1)} \ar[d]^{\varphi_1} \\ \ldots \ar[r] & B_3 \ar[r] & B_2 \ar[r] & B_1 }\] de \(R\)-algèbres différentielles graduées. Étant donné un bon faisceau de \(\mathcal{A}\)-modules différentiels gradués \(\mathcal{M} = (M_n)\) représentant un objet de \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\), posons \[N_n = M_{m(n)} \otimes_{A_{m(n)}} B_n\] Ce système projectif détermine un objet de \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) parce que les \(A_{m(n)}\)-modules \(M_{m(n)}\) sont K-plats ; détails omis. Nous laissons également au lecteur le soin de montrer que le foncteur résultant est indépendant des choix faits dans sa construction.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que \(\mathcal{A} = (A_n)\) et \(\mathcal{B} = (B_n)\) soient des systèmes projectifs de \(R\)-algèbres différentielles graduées. Si \(\varphi : (A_n) \to (B_n)\) est un isomorphisme de pro-objets, alors le foncteur \(\mathit{QC}(\mathcal{A}) \to \mathit{QC}(\mathcal{B})\) construit ci-dessus est une équivalence.

Démonstration

Soit \(\psi : (B_n) \to (A_n)\) un morphisme de pro-objets inverse de \(\varphi\). D’après la discussion de Catégories, exemple 0G2W, nous pouvons supposer que \(\varphi\) est donné par un système de morphismes comme ci-dessus, tandis que \(\psi\) est donné par une suite \(n(1) < n(2) < \ldots\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & B_{n(3)} \ar[d]^{\psi_3} \ar[r] & B_{n(2)} \ar[d]^{\psi_2} \ar[r] & B_{n(1)} \ar[d]^{\psi_1} \\ \ldots \ar[r] & A_3 \ar[r] & A_2 \ar[r] & A_1 }\] de \(R\)-algèbres différentielles graduées. Puisque \(\varphi \circ \psi = \text{id}\), nous pouvons, après avoir éventuellement augmenté les valeurs des fonctions \(n(\cdot)\) et \(m(\cdot)\), supposer que \(B_{n(m(i))} \to A_{m(i)} \to B_i\) est l’application de transition. Il s’ensuit que la composition des foncteurs \[\mathit{QC}(\mathcal{B}) \to \mathit{QC}(\mathcal{A}) \to \mathit{QC}(\mathcal{B})\] envoie un bon faisceau de \(\mathcal{B}\)-modules différentiels gradués \(\mathcal{N} = (N_n)\) au système projectif \(\mathcal{N}' = (N'_i)\) à valeurs \[N'_i = N_{n(m(i))} \otimes_{B_{n(m(i))}} B_i\] qui est canoniquement quasi-isomorphe à \(\mathcal{N}\) précisément parce que \(\mathcal{N}\) est un objet de \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) et que \(N_j\) est un module différentiel gradué K-plat pour tout \(j\). Le même argument s’applique à la composition dans l’autre sens, ce qui conclut la démonstration.

Soient \(\mathcal{C} = \mathbf{N}\) et \(\mathcal{O}\) le faisceau constant de valeur un anneau \(R\) ; soit \(\mathcal{A}\) donné par un système projectif \((A_n)\) de \(R\)-algèbres différentielles graduées. Supposons donnés deux modules différentiels gradués à gauche sur \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{N}\) et \(\mathcal{N}'\), par des systèmes projectifs \((N_n)\) et \((N'_n)\). Ainsi, chaque \(N_n\) et \(N'_n\) est un module différentiel gradué à gauche sur \(A_n\). Disons provisoirement que \((N_n)\) et \((N'_n)\) sont pro-isomorphes dans la catégorie dérivée s’il existe une suite d’entiers \[1 = n_0 < n_1 < n_2 < n_3 < \ldots\] et des morphismes \[N_{n_{2i}} \to N'_{n_{2i - 1}} \quad\text{dans}\quad D(A_{n_{2i}}^{opp}, \text{d})\] et \[N'_{n_{2i + 1}} \to N'_{n_{2i}} \quad\text{dans}\quad D(A_{n_{2i + 1}}^{opp}, \text{d})\] de sorte que les compositions \(N_{n_{2i}} \to N_{n_{2i - 2}}\) et \(N'_{n_{2i + 1}} \to N'_{2i - 1}\) sont données par les morphismes de transition des systèmes respectifs.

Lemme

Si \((N_n)\) et \((N'_n)\) sont pro-isomorphes dans la catégorie dérivée au sens défini ci-dessus, alors pour chaque objet \((M_n)\) de \(D(\mathbf{N}, \mathcal{A})\) nous avons \[R\lim (M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N_n) = R\lim (M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N'_n)\] dans \(D(R)\).

Démonstration

L’hypothèse implique que le système projectif \((M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N_n)\) de \(D(R)\) est pro-isomorphe (au sens habituel) au système projectif \((M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} N'_n)\) de \(D(R)\). Le résultat découle donc de Compléments sur l’algèbre, lemme 0H9L.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(f_1, \ldots, f_r \in R\). Soit \(K_n\) le complexe de Koszul sur \(f_1^n, \ldots, f_r^n\), considéré comme une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Soit \((M_n)\) un objet de \(D(\mathbf{N}, (K_n))\). Alors, pour tout \(t \geq 1\), on a \[R\lim (M_n \otimes_R^\mathbf{L} K_t) = R\lim (M_n \otimes_{K_n}^\mathbf{L} K_t)\] dans \(D(R)\).

Démonstration

Fixons \(t \geq 1\). Pour \(n \geq t\), notons \({}_nK_t\) la \(R\)-algèbre différentielle graduée \(K_t\) considérée comme un module différentiel gradué à gauche sur \(K_n\). Observons que \[M_n \otimes_R^\mathbf{L} K_t = M_n \otimes_{K_n}^\mathbf{L} (K_n \otimes_R^\mathbf{L} K_t) = M_n \otimes_{K_n}^\mathbf{L} (K_n \otimes_R K_t)\] Ainsi, d’après le lemme 0GZI, il suffit de montrer que \(({}_nK_t)\) et \((K_n \otimes_R K_t)\) sont pro-isomorphes dans la catégorie dérivée. Les applications de multiplication \[K_n \otimes_R K_t \longrightarrow {}_nK_t\] sont des morphismes de modules différentiels gradués à gauche sur \(K_n\). Ainsi, pour conclure, il suffit de montrer que, pour tout \(n \geq 1\), il existe \(N > n\) et un morphisme \[{}_NK_t \longrightarrow {}_NK_n \otimes_R K_t\] dans \(D(K_N^{opp}, \text{d})\) dont la composée avec l’application de multiplication est l’application de transition (dans l’un ou l’autre sens). Cela est construit dans Algèbre à puissances divisées, lemme 0GZ7, par une construction explicite.

Proposition

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset R\) un idéal. Les trois catégories suivantes sont canoniquement équivalentes :

1. Soit \(\mathcal{A}\) le faisceau de \(R\)-algèbres sur \(\mathbf{N}\) correspondant au système projectif de \(R\)-algèbres \(A_n = R/I^n\). La catégorie \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\).

2. Choisissons des générateurs \(f_1, \ldots, f_r\) de \(I\). Soit \(\mathcal{B}\) le faisceau de \(R\)-algèbres différentielles graduées sur \(\mathbf{N}\) correspondant au système projectif des algèbres de Koszul sur \(f_1^n, \ldots, f_r^n\). La catégorie \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\).

3. La sous-catégorie pleine \(D_{comp}(R, I) \subset D(R)\) des objets complets au sens dérivé, voir Compléments sur l’algèbre, définition 091S et le texte qui suit.

Démonstration

Considérons le morphisme évident \(f : (\Sh(\mathbf{N}), \mathcal{A}) \to (\Sh(pt), R)\) de topos annelés et considérons les foncteurs adjoints \(Lf^*\) et \(Rf_*\). Le premier se restreint à un foncteur \[F : D_{comp}(R, I) \longrightarrow \mathit{QC}(\mathcal{A})\] qui envoie un objet \(K\) de \(D_{comp}(R, I)\) représenté par un complexe K-plat \(K^\bullet\) à l’objet \((K^\bullet \otimes_R R/I^n)\) de \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\). Le second se restreint à un foncteur \[G : \mathit{QC}(\mathcal{A}) \longrightarrow D_{comp}(R, I)\] qui envoie un objet \((M_n^\bullet)\) de \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) à \(R\lim M_n^\bullet\). L’objet obtenu est complet au sens dérivé, par exemple d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 091W. En outre, il résulte de Compléments sur l’algèbre, proposition 0922, que \(G \circ F = \text{id}\). Ainsi, pour voir que \(F\) et \(G\) sont des équivalences quasi-inverses, il suffit de voir que le noyau de \(G\) est nul (voir Catégories dérivées, lemme 09J1). Cependant, il ne semble pas facile de le montrer directement !

Montrons dans ce paragraphe que \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\) et \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) sont équivalentes. Écrivons \(\mathcal{B} = (B_n)\), où \(B_n\) est le complexe de Koszul considéré comme un complexe de cochaînes en degrés \(-r, -r + 1, \ldots, 0\). Par D’après Algèbre à puissances divisées, remarque 0GZ5 (mais avec des complexes de chaînes transformés en complexes de cochaînes) nous pouvons trouver \(1 < n_1 < n_2 < \ldots\) et des applications de \(R\)-algèbres différentielles graduées \(B_{n_i} \to E_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\) et \(E_i \to B_{n_{i - 1}}\) telles que \[\xymatrix{ B_{n_1} \ar[d] & B_{n_2} \ar[d] \ar[l] & B_{n_3} \ar[d] \ar[l] & \ldots \ar[l] \\ E_1 \ar[d] & E_2 \ar[l] \ar[d] & E_3 \ar[l] \ar[d] & \ldots \ar[l] \\ B_1 & B_{n_1} \ar[l] & B_{n_2} \ar[l] & \ldots \ar[l] }\] soit un diagramme commutatif de \(R\)-algèbres différentielles graduées et que \(E_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\) soit un quasi-isomorphisme. Nous concluons

1. il existe une équivalence entre \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) et \(\mathit{QC}((E_i))\),

2. il existe une équivalence entre \(\mathit{QC}((E_i))\) et \(\mathit{QC}((R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})))\),

3. il existe une équivalence entre \(\mathit{QC}((R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})))\) et \(\mathit{QC}(\mathcal{A})\).

À savoir, pour (1) nous pouvons appliquer le lemme 0GZH au diagramme ci-dessus qui montre que \((E_i)\) et \((B_n)\) sont pro-isomorphes. Pour (2) nous pouvons appliquer le lemme 0GZF au système projectif des quasi-isomorphismes \(E_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\). Pour (3) nous pouvons appliquer le lemme 0GZH et le fait élémentaire que les systèmes projectifs \((R/I^n)\) et \((R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\) sont pro-isomorphes.

Comme dans le premier alinéa de la preuve, nous pouvons définir les foncteurs adjoints⁶ \[F' : D_{comp}(R, I) \longrightarrow \mathit{QC}(\mathcal{B}) \quad\text{et}\quad G' : \mathit{QC}(\mathcal{B}) \longrightarrow D_{comp}(R, I).\] Le premier envoie un objet \(K\) de \(D_{comp}(R, I)\) représenté par un complexe K-plat \(K^\bullet\) à l’objet \((K^\bullet \otimes_R B_n)\) de \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\). Le second envoie un objet \((M_n)\) de \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) à \(R\lim M_n\). En raisonnant comme ci-dessus, il suffit de montrer que le noyau de \(G'\) est nul. Soit donc \(\mathcal{M} = (M_n)\) un bon faisceau de modules différentiels gradués sur \(\mathcal{B}\) représentant un objet de \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\) dans le noyau de \(G'\). Alors \[0 = R\lim M_n \Rightarrow 0 = (R\lim M_n) \otimes_R^\mathbf{L} B_t = R\lim (M_n \otimes_R^\mathbf{L} B_t)\] Par le lemme 0GZJ nous avons \(R\lim (M_n \otimes_R^\mathbf{L} B_t) = R\lim (M_n \otimes_{B_n}^\mathbf{L} B_t)\). Puisque \((M_n)\) est un objet de \(\mathit{QC}(\mathcal{B})\), nous voyons que le système projectif \(M_n \otimes_{B_n}^\mathbf{L} B_t\) est constant à partir d’un certain rang, de valeur \(M_t\). Par conséquent, \(M_t = 0\), comme voulu.

Remarque

Soit \(R\) un anneau et soit \(f_1, \ldots, f_r \in R\) une suite d’éléments engendrant un idéal \(I\). Soit \(K_n\) le complexe de Koszul sur \(f_1^n, \ldots, f_r^n\), considéré comme une \(R\)-algèbre différentielle graduée. Nous disons que \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite faiblement prorégulière si, pour tout \(n\), il existe \(m > n\) tel que \(K_m \to K_n\) induise l’application nulle en cohomologie, sauf en degré \(0\). Si tel est le cas, les arguments de la preuve de la proposition 0GZK continuent à fonctionner même lorsque \(R\) n’est pas noethérien. En particulier, nous voyons que \(\mathit{QC}(\{R/I^n\})\) est équivalente, comme catégorie triangulée \(R\)-linéaire, à la catégorie \(D_{comp}(R, I)\) des objets complets au sens dérivé, à condition que \(I\) puisse être engendré par une suite faiblement prorégulière. Si cela s’avère nécessaire, nous en donnerons ici un énoncé et une démonstration précis.