Schémas

Introduction

Dans ce document, nous définissons les schémas. Une référence fondamentale est [EGA].

Espaces annelés en anneaux locaux

Rappelons que nous avons défini les espaces annelés dans Faisceaux, section 0090. En bref, un espace annelé est un couple \((X, \mathcal{O}_X)\) constitué d’un espace topologique \(X\) et d’un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\). Un morphisme d’espaces annelés \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) est donné par une application continue \(f : X \to Y\) et un \(f\)-morphisme de faisceaux d’anneaux \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\). On peut considérer \(f^\sharp\) comme un morphisme \(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\); voir Faisceaux, définition 008J et le lemme 008K.

Un bon exemple géométrique à garder à l’esprit est celui des variétés \(\mathcal{C}^\infty\) et des morphismes de variétés \(\mathcal{C}^\infty\). En effet, si \(M\) est une variété \(\mathcal{C}^\infty\), alors le faisceau \(\mathcal{C}^\infty_M\) des fonctions lisses est un faisceau d’anneaux sur \(M\). Et toute application \(f : M \to N\) entre variétés est lisse si et seulement si pour toute section locale \(h\) de \(\mathcal{C}^\infty_N\) la composée \(h \circ f\) est une section locale de \(\mathcal{C}^\infty_M\). Ainsi, une application lisse \(f\) définit naturellement un morphisme d’espaces annelés \[f : (M , \mathcal{C}^\infty_M) \longrightarrow (N, \mathcal{C}^\infty_N)\] voir Faisceaux, exemple 0092. Il est instructif d’examiner ce qui arrive aux fibres. Soit donc \(m \in M\) d’image \(f(m) = n \in N\). Rappelons que la fibre \(\mathcal{C}^\infty_{M, m}\) est l’anneau des germes de fonctions lisses en \(m\); voir Faisceaux, exemple 007C. L’anneau des germes de fonctions sur \((M, m)\) est un anneau local dont l’idéal maximal est formé des fonctions qui s’annulent en \(m\). Il en va de même pour \(\mathcal{C}^\infty_{N, n}\). L’application sur les fibres \(f^\sharp : \mathcal{C}^\infty_{N, n} \to \mathcal{C}^\infty_{M, m}\) envoie l’idéal maximal dans l’idéal maximal, tout simplement parce que \(f(m) = n\).

En géométrie algébrique, nous étudions les schémas. Sur un schéma, le faisceau d’anneaux n’est pas déterminé par une propriété intrinsèque de l’espace. Le spectre d’un anneau \(R\) (voir Algèbre, section 00DY) muni d’un faisceau d’anneaux construit à partir de \(R\) (voir ci-dessous), sera notre brique de base. Il apparaîtra que les fibres de \(\mathcal{O}\) sur \(\Spec(R)\) sont les anneaux locaux de \(R\) en ses idéaux premiers. Il y a deux raisons d’introduire les espaces annelés en anneaux locaux dans ce contexte : (1) Il n’existe en général aucun mécanisme associant à une application continue entre spectres un homomorphisme entre les anneaux correspondants. C’est pourquoi nous ajoutons comme donnée supplémentaire le morphisme \(f^\sharp\). (2) Si nous considérons les morphismes de ces spectres dans la catégorie des espaces annelés, alors les homomorphismes sur les fibres peuvent ne pas être locaux. Puisque notre intuition géométrique exige qu’ils le soient, nous introduisons les espaces annelés en anneaux locaux comme suit.

Définition

Espaces annelés en anneaux locaux.

1. Un espace annelé en anneaux locaux \((X, \mathcal{O}_X)\) est un couple formé d’un espace topologique \(X\) et d’un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\) dont toutes les fibres sont des anneaux locaux.

2. Étant donné un espace annelé en anneaux locaux \((X, \mathcal{O}_X)\), nous disons que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est l’anneau local de \(X\) en \(x\). Nous notons \(\mathfrak{m}_{X, x}\) ou simplement \(\mathfrak{m}_x\) l’idéal maximal de \(\mathcal{O}_{X, x}\). En outre, le corps résiduel de \(X\) en \(x\) est le corps résiduel \(\kappa(x) = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak{m}_x\).

3. Un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) est un morphisme d’espaces annelés tel que, pour tout \(x \in X\), l’homomorphisme d’anneaux induit \(\mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) soit un homomorphisme local.

Nous omettrons habituellement le faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\) de la notation lorsque nous parlerons d’espaces annelés en anneaux locaux. Nous dirons simplement « l’espace annelé en anneaux locaux \(X\) ». Par abus de notation, nous identifierons aussi \(X\) à son espace topologique sous-jacent. Enfin, nous appellerons le faisceau d’anneaux correspondant \(\mathcal{O}_X\) le faisceau structural de \(X\). De plus, il est d’usage de noter l’idéal maximal de l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) par \(\mathfrak{m}_{X, x}\) ou simplement \(\mathfrak{m}_x\). Nous dirons « soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux », en omettant ainsi encore davantage les faisceaux structuraux. Dans ce cas, par abus de notation, nous identifierons aussi \(f : X\to Y\) à l’application continue sous-jacente entre espaces topologiques. Le \(f\)-morphisme correspondant à \(f\) sera habituellement noté \(f^\sharp\). La condition que \(f\) soit un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux s’exprime alors en disant que, pour tout \(x\in X\), l’homomorphisme sur les fibres \[f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] envoie l’idéal maximal \(\mathfrak m_{Y, f(x)}\) dans \(\mathfrak m_{X, x}\).

Employons ces conventions de notation pour montrer que la collection des espaces annelés en anneaux locaux et de leurs morphismes forme une catégorie. Pour le voir, il nous faut montrer que la composée de morphismes d’espaces annelés en anneaux locaux est un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. Soient donc \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces annelés en anneaux locaux. La composée de \(f\) et de \(g\) est définie dans Faisceaux, définition 0093. Soit \(x \in X\). D’après Faisceaux, lemme 008M, la composée \[\mathcal{O}_{Z, g(f(x))} \xrightarrow{g^\sharp} \mathcal{O}_{Y, f(x)} \xrightarrow{f^\sharp} \mathcal{O}_{X, x}\] est l’homomorphisme associé sur les fibres du morphisme \(g \circ f\). Le résultat découle de ce que la composée d’homomorphismes locaux est un homomorphisme local.

Un trait agréable de la définition est que le foncteur \[\textit{Espaces annelés en anneaux locaux} \longrightarrow \textit{Espaces annelés}\] reflète les isomorphismes (et même davantage). Voici un énoncé moins abstrait.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des espaces annelés en anneaux locaux. Si \(f : X \to Y\) est un isomorphisme d’espaces annelés, alors \(f\) est un isomorphisme d’espaces annelés en anneaux locaux.

Démonstration

Cela découle immédiatement du fait algébrique correspondant : soient \(A\), \(B\) des anneaux locaux. Tout isomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est un isomorphisme d’anneaux locaux.

Immersions ouvertes d’espaces annelés en anneaux locaux

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. Nous disons que \(f\) est une immersion ouverte si \(f\) est un homéomorphisme de \(X\) sur un sous-ensemble ouvert de \(Y\), et que l’application \(f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) est un isomorphisme.

La construction suivante est parallèle à Faisceaux, définition 00A1 (3).

Exemple

Soit \(X\) un espace annelé en anneaux locaux. Soit \(U \subset X\) un ouvert. Soit \(\mathcal{O}_U = \mathcal{O}_X|_U\) la restriction de \(\mathcal{O}_X\) à \(U\). Pour \(u \in U\), la fibre \(\mathcal{O}_{U, u}\) est égale à la fibre \(\mathcal{O}_{X, u}\), et est donc un anneau local. Ainsi \((U, \mathcal{O}_U)\) est un espace annelé en anneaux locaux et le morphisme \(j : (U, \mathcal{O}_U) \to (X, \mathcal{O}_X)\) est une immersion ouverte.

Définition

Soit \(X\) un espace annelé en anneaux locaux. Soit \(U \subset X\) un ouvert. L’espace annelé en anneaux locaux \((U, \mathcal{O}_U)\) de l’exemple 01HF ci-dessus est le sous-espace ouvert de \(X\) associé à \(U\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une immersion ouverte d’espaces annelés en anneaux locaux. Soit \(j : V = f(X) \to Y\) le sous-espace ouvert de \(Y\) associé à l’image de \(f\). Il existe un isomorphisme unique \(f' : X \cong V\) d’espaces annelés en anneaux locaux tel que \(f = j \circ f'\).

Démonstration

Soit \(f'\) l’homéomorphisme entre \(X\) et \(V\) induit par \(f\). Alors \(f = j \circ f'\) en tant qu’applications d’espaces topologiques. Comme il existe un isomorphisme de faisceaux \(f^\sharp : f^{-1}(\mathcal{O}_Y) \to \mathcal{O}_X\), il existe un isomorphisme d’anneaux \(f^\sharp : \Gamma(U, f^{-1}(\mathcal{O}_Y)) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) pour chaque ouvert \(U \subset X\). Puisque \(\mathcal{O}_V = j^{-1}\mathcal{O}_Y\) et \(f^{-1} = f'^{-1} j^{-1}\) (Faisceaux, lemme 008I) nous voyons que \(f^{-1}\mathcal{O}_Y = f'^{-1}\mathcal{O}_V\), donc \(\Gamma(U, f'^{-1}(\mathcal{O}_V)) \to \Gamma(U, f^{-1}(\mathcal{O}_Y))\) est un isomorphisme pour chaque \(U \subset X\) ouvert. En composant ces derniers, nous obtenons un isomorphisme d’anneaux \[\Gamma(U, f'^{-1}(\mathcal{O}_V)) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\] pour chaque ouvert \(U \subset X\), et donc un isomorphisme de faisceaux \(f^{-1}(\mathcal{O}_V) \to \mathcal{O}_X\). En d’autres termes, nous avons un isomorphisme \(f'^{\sharp} : f'^{-1}(\mathcal{O}_V) \to \mathcal{O}_X\) et donc un isomorphisme d’espaces annelés en anneaux locaux \((f', f'^{\sharp}) : (X, \mathcal{O}_X) \to (V, \mathcal{O}_V)\) (utilisez le lemme 01HC). Notez que \(f = j \circ f'\) en tant que morphismes d’espaces annelés en anneaux locaux par construction.

Supposons que nous ayons un autre morphisme \(f'' : (X, \mathcal{O}_X) \to (V, \mathcal{O}_V)\) tel que \(f = j \circ f''\). En tout point \(x \in X\), nous avons \(j(f'(x)) = j(f''(x))\) d’où il découle que \(f'(x) = f''(x)\) puisque \(j\) est l’application d’inclusion ; par conséquent \(f'\) et \(f''\) sont les mêmes en tant que morphismes d’espaces topologiques. Sur les faisceaux structuraux, pour chaque ouvert \(U \subset X\) nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix @R=5em{ \Gamma(U, f^{-1}(\mathcal{O}_Y)) \ar[d]_\cong\ar[r]^\cong & \Gamma(U, \mathcal{O}_X) \\ \Gamma(U, f'^{-1}(\mathcal{O}_V)) \ar@/^/[ru]^{f'^\sharp} \ar@/_/[ru]_{f''^\sharp} & }\] d’où nous voyons que \(f'^\sharp\) et \(f''^\sharp\) définissent le même morphisme de faisceaux.

Dorénavant, nous ne distinguons plus entre les ouverts et leurs sous-espaces associés.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. Soient \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) des ouverts. Supposons que \(f(U) \subset V\). Il existe un unique morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux \(f|_U : U \to V\) tel que le diagramme suivant soit un carré commutatif d’espaces annelés en anneaux locaux \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ V \ar[r] & Y }\]

Démonstration

Omis.

Dans ce qui suit, nous utiliserons sans autre mention le fait suivant qui découle du lemme ci-dessus. Étant donné un morphisme \(f : Y \to X\) d’espaces annelés en anneaux locaux, et tout ouvert \(U \subset X\) tel que \(f(Y) \subset U\), alors il existe un unique morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux \(Y \to U\) tel que la composée \(Y \to U \to X\) soit égale à \(f\). En fait, nous écrirons même par abus de langage \(f : Y \to U\) puisque ceci donne rarement lieu à confusion.

Immersions fermées d’espaces annelés en anneaux locaux

Nous suivons nos conventions introduites dans Modules, définition 01C2.

Définition

Soit \(i : Z \to X\) un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. Nous disons que \(i\) est une immersion fermée si :

1. L’application \(i\) est un homéomorphisme de \(Z\) sur un sous-ensemble fermé de \(X\).

2. L’application \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est surjective ; notons \(\mathcal{I}\) le noyau.

3. Le \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{I}\) est localement engendré par des sections.

Lemme

Soit \(f : Z \to X\) un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. Pour que \(f\) soit une immersion fermée, il suffit qu’il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup U_i\) tel que chaque \(f : f^{-1}U_i \to U_i\) soit une immersion fermée.

Démonstration

Omis.

Exemple

Soit \(X\) un espace annelé en anneaux locaux. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux qui est localement engendré par des sections en tant que faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(Z\) le support du faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\). Il s’agit d’un sous-ensemble fermé de \(X\), d’après Modules, lemme 01AV. On note \(i : Z \to X\) l’application d’inclusion. D’après Modules, lemme 01AX, il existe un unique faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_Z\) sur \(Z\) avec \(i_*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_X/\mathcal{I}\). Pour tout \(z \in Z\), la fibre \(\mathcal{O}_{Z, z}\) est égale à un quotient \(\mathcal{O}_{X, i(z)}/\mathcal{I}_{i(z)}\) d’un anneau local et non nul, donc un anneau local. Ainsi, \(i : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) est une immersion fermée d’espaces annelés en anneaux locaux.

Définition

Soit \(X\) un espace annelé en anneaux locaux. Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau d’idéaux sur \(X\) qui est localement engendré par des sections. L’espace annelé en anneaux locaux \((Z, \mathcal{O}_Z)\) de l’exemple 01HM ci-dessus est le sous-espace fermé de \(X\) associé au faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une immersion fermée d’espaces annelés en anneaux locaux. Soit \(\mathcal{I}\) le noyau de l’application \(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\). Soit \(i : Z \to Y\) le sous-espace fermé de \(Y\) associé à \(\mathcal{I}\). Il existe un isomorphisme unique \(f' : X \cong Z\) d’espaces annelés en anneaux locaux tel que \(f = i \circ f'\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des espaces annelés en anneaux locaux. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux localement engendré par des sections. Soit \(i : Z \to X\) le sous-espace fermé associé. Un morphisme \(f : Y \to X\) se factorise par \(Z\) si et seulement si l’application \(f^*\mathcal{I} \to f^*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) est nulle. Si tel est le cas, le morphisme \(g : Y \to Z\) tel que \(f = i \circ g\) est unique.

Démonstration

De toute évidence, si \(f\) se factorise en \(Y \to Z \to X\) alors l’application \(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y\) est nulle. Inversement, supposons que \(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y\) soit nulle. Choisissez un \(y \in Y\) et considérez l’application d’anneaux \(f^\sharp_y : \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}\). Puisque la composée \(\mathcal{I}_{f(y)} \to \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) est nulle par hypothèse et puisque \(f^\sharp_y(1) = 1\), nous voyons que \(1 \not \in \mathcal{I}_{f(y)}\), c’est-à-dire \(\mathcal{I}_{f(y)} \not = \mathcal{O}_{X, f(y)}\). Nous en concluons que \(f(Y) \subset Z = \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I})\). Ainsi, \(f = i \circ g\) où \(g : Y \to Z\) est continue. Considérons l’application \(f^\sharp : \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_Y\). L’hypothèse que \(f^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y\) est nulle implique que la composée \(\mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to f_*\mathcal{O}_Y\) est nulle par adjonction de \(f_*\) et \(f^*\). En d’autres termes, nous obtenons un morphisme de faisceaux d’anneaux \(\overline{f^\sharp} : \mathcal{O}_X/\mathcal{I} \to f_*\mathcal{O}_Y\). Notez que \(f_*\mathcal{O}_Y = i_*g_*\mathcal{O}_Y\) et que \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I} = i_*\mathcal{O}_Z\). D’après Faisceaux, lemme 00AH, nous obtenons un morphisme unique de faisceaux d’anneaux \(g^\sharp : \mathcal{O}_Z \to g_*\mathcal{O}_Y\) dont l’image directe sous \(i\) est \(\overline{f^\sharp}\). Nous omettons la vérification que \((g, g^\sharp)\) définit un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux et que \(f = i \circ g\) en tant que morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. L’unicité de \((g, g^\sharp)\) a été signalée ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) un faisceau d’idéaux qui est localement engendré par des sections. Soit \(i : Z \to Y\) le sous-espace fermé associé au faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\). Soit \(\mathcal{J}\) l’image de l’application \(f^*\mathcal{I} \to f^*\mathcal{O}_Y = \mathcal{O}_X\). Alors cet idéal est localement engendré par des sections. De plus, soit \(i' : Z' \to X\) le sous-espace fermé associé de \(X\). Il existe un unique morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux \(f' : Z' \to Z\) tel que le diagramme suivant soit un carré commutatif d’espaces annelés en anneaux locaux \[\xymatrix{ Z' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{i'} & X \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^{i} & Y }\] De plus, ce diagramme est un carré cartésien dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux.

Démonstration

L’idéal \(\mathcal{J}\) est localement engendré par des sections d’après Modules, lemme 01B3. Le reste du lemme découle de la caractérisation, dans le lemme 01HP ci-dessus, de ce que signifie qu’un morphisme se factorise à travers un sous-espace fermé.

Schémas affines

Soit \(R\) un anneau. Considérons l’espace topologique \(\Spec(R)\) associé à \(R\), voir Algèbre, section 00DY. Nous munirons cet espace d’un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\) et la paire résultante \((\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) sera un schéma affine.

Rappelons que \(\Spec(R)\) possède une base d’ouverts \(D(f)\), \(f \in R\) que nous appelons ouverts standards, voir Algèbre, définition 00E1. De plus, l’intersection de deux ouverts standards est un autre ouvert standard : \(D(f) \cap D(g) = D(fg)\), \(f, g\in R\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(f \in R\).

1. Si \(g\in R\) et \(D(g) \subset D(f)\), alors

   1. \(f\) est inversible dans \(R_g\),

   2. \(g^e = af\) pour certains \(e \geq 1\) et \(a \in R\),

   3. il existe un morphisme d’anneaux canonique \(R_f \to R_g\), et

   4. il existe un morphisme de \(R_f\)-modules canonique \(M_f \to M_g\) pour tout \(R\)-module \(M\).

2. Tout recouvrement ouvert de \(D(f)\) peut être affiné en un recouvrement ouvert fini de la forme \(D(f) = \bigcup_{i = 1}^n D(g_i)\).

3. Si \(g_1, \ldots, g_n \in R\), alors \(D(f) \subset \bigcup D(g_i)\) si et seulement si \(g_1, \ldots, g_n\) engendrent l’idéal unité dans \(R_f\).

Démonstration

Rappelons que \(D(g) = \Spec(R_g)\) (voir Algèbre, lemme 00E4). Ainsi (a) est valable parce que l’image de \(f\) dans \(R_g\) n’appartient à aucun idéal premier, et est donc inversible, voir Algèbre, lemme 00E0. Écrivons l’inverse de \(f\) dans \(R_g\) comme \(a/g^d\). Cela signifie que \(g^d - af\) est annihilé par une puissance de \(g\), d’où (b). Pour (c), l’application \(R_f \to R_g\) existe par (a) à cause de la propriété universelle de la localisation, ou nous pouvons la définir en envoyant \(b/f^n\) sur \(a^nb/g^{ne}\). L’égalité \(M_f = M \otimes_R R_f\) peut être utilisée pour obtenir l’application sur les modules, ou nous pouvons définir \(M_f \to M_g\) en envoyant \(x/f^n\) sur \(a^nx/g^{ne}\).

Rappelons que \(D(f)\) est quasi-compact, voir Algèbre, lemme 00F6. Ainsi, la deuxième affirmation découle directement du fait que les ouverts standards forment une base pour la topologie.

La troisième affirmation découle directement d’Algèbre, lemme 00E0.

Dans Faisceaux, section 009H, nous avons défini la notion de faisceau sur une base, et nous avons montré qu’elle est essentiellement équivalente à la notion de faisceau sur l’espace, voir Faisceaux, lemmes 009N et 009Q. De plus, nous avons montré dans Faisceaux, lemme 009L qu’il suffit de vérifier la condition de faisceau sur un système cofinal de recouvrements ouverts pour chaque ouvert standard. Par le lemme ci-dessus, il suffit de vérifier sur les recouvrements finis par des ouverts standards.

Définition

Soit \(R\) un anneau.

1. Un recouvrement ouvert standard de \(\Spec(R)\) est un recouvrement \(\Spec(R) = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\), où \(f_1, \ldots, f_n \in R\).

2. Supposons que \(D(f) \subset \Spec(R)\) soit un ouvert standard. Un recouvrement ouvert standard de \(D(f)\) est un recouvrement \(D(f) = \bigcup_{i = 1}^n D(g_i)\), où \(g_1, \ldots, g_n \in R\).

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Nous définirons un préfaisceau \(\widetilde M\) sur la base des ouverts standards. Supposons que \(U \subset \Spec(R)\) soit un ouvert standard. Si \(f, g \in R\) sont tels que \(D(f) = D(g)\), alors par le lemme 01HS ci-dessus, il existe des applications canoniques \(M_f \to M_g\) et \(M_g \to M_f\) qui sont mutuellement inverses. Par conséquent, nous pouvons choisir n’importe quel \(f\) tel que \(U = D(f)\) et définir \[\widetilde M(U) = M_f.\] Notez que si \(D(g) \subset D(f)\), alors par le lemme 01HS ci-dessus, nous avons une application canonique \[\widetilde M(D(f)) = M_f \longrightarrow M_g = \widetilde M(D(g)).\] Clairement, cela définit un préfaisceau de groupes abéliens sur la base des ouverts standards. Si \(M = R\), alors \(\widetilde R\) est un préfaisceau d’anneaux sur la base des ouverts standards.

Calculons la fibre de \(\widetilde M\) en un point \(x \in \Spec(R)\). Supposons que \(x\) corresponde à l’idéal premier \(\mathfrak p \subset R\). Par définition de la fibre, nous voyons que \[\widetilde M_x = \colim_{f\in R, f\not\in \mathfrak p} M_f\] Ici, l’ensemble \(\{f \in R, f \not \in \mathfrak p\}\) est préordonné par la règle \(f \geq f' \Leftrightarrow D(f) \subset D(f')\). Si \(f_1, f_2 \in R \setminus \mathfrak p\), alors nous avons \(f_1f_2 \geq f_1\) dans cet ordre. Ainsi, par Algèbre, lemme 00CR, nous concluons que \[\widetilde M_x = M_{\mathfrak p}.\]

Ensuite, nous vérifions la condition de faisceau pour les recouvrements ouverts standards. Si \(D(f) = \bigcup_{i = 1}^n D(g_i)\), alors la condition de faisceau pour ce recouvrement est équivalente à l’exactitude de la suite \[0 \to M_f \to \bigoplus M_{g_i} \to \bigoplus M_{g_ig_j}.\] Notez que \(D(g_i) = D(fg_i)\), et donc nous pouvons réécrire cette suite comme la suite \[0 \to M_f \to \bigoplus M_{fg_i} \to \bigoplus M_{fg_ig_j}.\] De plus, d’après le lemme 01HS ci-dessus, nous voyons que \(g_1, \ldots, g_n\) engendrent l’idéal unité dans \(R_f\). Nous pouvons donc appliquer Algèbre, lemme 00EK, au module \(M_f\) sur \(R_f\) et aux éléments \(g_1, \ldots, g_n\). Nous en concluons que la suite est exacte. D’après les remarques faites ci-dessus, nous voyons que \(\widetilde M\) est un faisceau sur la base des ouverts standards.

Ainsi, nous concluons à partir des résultats de Faisceaux, section 009H qu’il existe un unique faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\) qui coïncide avec \(\widetilde R\) sur les ouverts standards. Notez que d’après notre calcul des fibres ci-dessus, toutes les fibres de ce faisceau d’anneaux sont des anneaux locaux.

De même, pour tout \(R\)-module \(M\), il existe un unique faisceau de \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-modules \(\mathcal{F}\) qui coïncide avec \(\widetilde M\) sur les ouverts standards, voir Faisceaux, lemme 009T.

Définition

Soit \(R\) un anneau.

1. Le faisceau structural \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\) du spectre de \(R\) est l’unique faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\) dont la restriction à la base des ouverts standards coïncide avec \(\widetilde R\).

2. L’espace annelé en anneaux locaux \((\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) est appelé le spectre de \(R\) et désigné \(\Spec(R)\).

3. Le faisceau de \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-modules étendant \(\widetilde M\) à tous les ouverts de \(\Spec(R)\) est appelé le faisceau de \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-modules associé à \(M\). Ce faisceau est également noté \(\widetilde M\).

Nous résumons les résultats obtenus jusqu’à présent.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Soit \(\widetilde M\) le faisceau de \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-modules associé à \(M\).

1. Nous avons \(\Gamma(\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)}) = R\).

2. Nous avons \(\Gamma(\Spec(R), \widetilde M) = M\) en tant que \(R\)-module.

3. Pour chaque \(f \in R\) nous avons \(\Gamma(D(f), \mathcal{O}_{\Spec(R)}) = R_f\).

4. Pour chaque \(f\in R\) nous avons \(\Gamma(D(f), \widetilde M) = M_f\) en tant que \(R_f\)-module.

5. Chaque fois que \(D(g) \subset D(f)\), les applications de restriction sur \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\) et \(\widetilde M\) sont les applications \(R_f \to R_g\) et \(M_f \to M_g\) du lemme 01HS.

6. Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de \(R\), et soit \(x \in \Spec(R)\) le point correspondant. Nous avons \(\mathcal{O}_{\Spec(R), x} = R_{\mathfrak p}\).

7. Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de \(R\), et soit \(x \in \Spec(R)\) le point correspondant. Nous avons \(\widetilde M_x = M_{\mathfrak p}\) en tant que \(R_{\mathfrak p}\)-module.

De plus, toutes ces identifications sont fonctorielles par rapport au \(R\)-module \(M\). En particulier, le foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) est un foncteur exact de la catégorie des \(R\)-modules à la catégorie des \(\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)-modules.

Démonstration

Les assertions (1) - (7) sont claires d’après la discussion ci-dessus. L’exactitude du foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) découle du fait que le foncteur \(M \mapsto M_{\mathfrak p}\) est exact et du fait que l’exactitude des suites exactes courtes peut être vérifiée sur les fibres, voir Modules, lemme 01AG.

Définition

Un schéma affine est un espace annelé en anneaux locaux isomorphe en tant qu’espace annelé en anneaux locaux à \(\Spec(R)\) pour un certain anneau \(R\). Un morphisme de schémas affines est un morphisme dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux.

Il s’avère que les schémas affines jouent un rôle particulier parmi tous les espaces annelés en anneaux locaux, ce dont traite la section suivante.

La catégorie des schémas affines

Notez que si \(Y\) est un schéma affine, alors ses points sont en bijection canonique \(1-1\) (une correspondance biunivoque) avec les idéaux premiers de \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\).

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé en anneaux locaux. Soit \(Y\) un schéma affine. Soit \(f \in \Mor(X, Y)\) un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. Étant donné un point \(x \in X\), considérons les homomorphismes d’anneaux \[\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \xrightarrow{f^\sharp} \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_{X, x}\] Soit \(\mathfrak p \subset \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) l’image réciproque de \(\mathfrak m_x\). Soit \(y \in Y\) le point correspondant. Alors \(f(x) = y\).

Démonstration

Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \ar[r] & \mathcal{O}_{X, x} \\ \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{O}_{Y, f(x)} \ar[u] }\] (voir la discussion des \(f\)-morphismes qui suit Faisceaux, définition 008J). Puisque la flèche verticale de droite est locale, nous voyons que \(\mathfrak m_{f(x)}\) est l’image réciproque de \(\mathfrak m_x\). Le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé en anneaux locaux. Soit \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). L’ensemble \[D(f) = \{x \in X \mid \text{l'image de }f \not\in \mathfrak m_x\}\] est ouvert. De plus, \(f|_{D(f)}\) est inversible.

Démonstration

Ceci est un cas particulier de Modules, lemme 01CY, mais nous donnons également une démonstration directe. Supposons que \(U \subset X\) et \(V \subset X\) soient deux sous-ensembles ouverts tels que \(f|_U\) ait un inverse \(g\) et que \(f|_V\) ait un inverse \(h\). Alors clairement \(g|_{U\cap V} = h|_{U\cap V}\). Il suffit donc de montrer que \(f\) est inversible dans un voisinage ouvert de tout \(x \in D(f)\). Cela est clair car \(f \not \in \mathfrak m_x\) implique que \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\) a un inverse \(g \in \mathcal{O}_{X, x}\), ce qui signifie qu’il existe un certain voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) tel que \(g \in \mathcal{O}_X(U)\) et \(g\cdot f|_U = 1\).

Lemme

Dans le lemme 01HZ ci-dessus, si \(X\) est un schéma affine, alors l’ouvert \(D(f)\) correspond à l’ouvert standard \(D(f)\) défini précédemment (en Algèbre, définition 00DZ).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé en anneaux locaux. Soit \(Y\) un schéma affine. L’application \[\Mor(X, Y) \longrightarrow \Hom(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y), \Gamma(X, \mathcal{O}_X))\] qui envoie \(f\) sur \(f^\sharp\) (au niveau des sections globales) est bijective.

Démonstration

Étant donné que \(Y\) est affine, nous avons \((Y, \mathcal{O}_Y) \cong (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) pour un certain anneau \(R\). Au cours de la démonstration, nous utiliserons des faits sur \(Y\) et son faisceau structural qui sont des conséquences directes de ce que nous savons sur le spectre d’un anneau, voir par exemple lemme 01HV.

Motivés par les lemmes ci-dessus, nous construisons l’application inverse. Soit \(\psi_Y : \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) un morphisme d’anneaux. Tout d’abord, nous définissons l’application correspondante des espaces \[\Psi : X \longrightarrow Y\] selon la règle du lemme 01HY. En d’autres termes, étant donné \(x \in X\), nous définissons \(\Psi(x)\) comme le point de \(Y\) correspondant à l’idéal premier dans \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) qui est l’image réciproque de \(\mathfrak m_x\) par la composée \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) \xrightarrow{\psi_Y} \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_{X, x}\).

Nous affirmons que l’application \(\Psi : X \to Y\) est continue. Les ouverts standards \(D(g)\), pour \(g \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) sont une base pour la topologie de \(Y\). Ainsi, il suffit de prouver que \(\Psi^{-1}(D(g))\) est ouvert. Par construction de \(\Psi\), l’image inverse \(\Psi^{-1}(D(g))\) est exactement l’ensemble \(D(\psi_Y(g)) \subset X\) qui est ouvert par le lemme 01HZ. Par conséquent, \(\Psi\) est continue.

Ensuite, nous construisons un \(\Psi\)-morphisme de faisceaux de \(\mathcal{O}_Y\) à \(\mathcal{O}_X\). Par Faisceaux, lemme 009V, il suffit de définir des homomorphismes d’anneaux \(\psi_{D(g)} : \Gamma(D(g), \mathcal{O}_Y) \to \Gamma(\Psi^{-1}(D(g)), \mathcal{O}_X)\) compatibles avec les applications de restriction. Nous avons un isomorphisme canonique \(\Gamma(D(g), \mathcal{O}_Y) = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)_g\), car \(Y\) est un schéma affine. Comme \(\psi_Y(g)\) est inversible sur \(D(\psi_Y(g))\), nous voyons qu’il existe une application canonique \[\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)_g \longrightarrow \Gamma(\Psi^{-1}(D(g)), \mathcal{O}_X) = \Gamma(D(\psi_Y(g)), \mathcal{O}_X)\] en étendant l’application \(\psi_Y\) par la propriété universelle de la localisation. Notez qu’il n’y a pas d’autre choix que de prendre l’application canonique ici ! Après l’identification canonique \(\Gamma(D(g), \mathcal{O}_Y) = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)_g\), nous prenons cette application pour définir \(\psi_{D(g)}\). Cela est compatible avec la localisation puisque les applications de restriction sur les schémas affines sont également définies en termes des propriétés universelles de la localisation, voir les lemmes 01HV et 01HS.

Ainsi, nous avons défini un morphisme d’espaces annelés \((\Psi, \psi) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) induisant \(\psi_Y\) sur les sections globales. Pour montrer qu’il s’agit d’un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux, nous devons démontrer que les applications induites sur les anneaux locaux \[\psi_x : \mathcal{O}_{Y, \Psi(x)} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] sont locales. Cela découle immédiatement du diagramme commutatif de la démonstration du lemme 01HY et de la définition de \(\Psi\).

Enfin, nous devons montrer que les constructions \((\Psi, \psi) \mapsto \psi_Y\) et la construction \(\psi_Y \mapsto (\Psi, \psi)\) sont inverses l’une de l’autre. Clairement, \(\psi_Y \mapsto (\Psi, \psi) \mapsto \psi_Y\). Par conséquent, la seule chose à prouver est que, étant donné \(\psi_Y\), il existe au plus une paire \((\Psi, \psi)\) donnant lieu à celle-ci. L’unicité de \(\Psi\) a été montrée dans le lemme 01HY et étant donné l’unicité de \(\Psi\), l’unicité de l’application \(\psi\) a été soulignée au cours de la démonstration ci-dessus.

Lemme

La catégorie des schémas affines est équivalente à l’opposée de la catégorie des anneaux. L’équivalence est donnée par le foncteur qui associe à un schéma affine les sections globales de son faisceau structural.

Démonstration

Cela découle maintenant clairement de la définition 01HW et du lemme 01I1.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma affine. Soit \(f \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\). Le sous-espace ouvert \(D(f)\) est un schéma affine.

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(Y = \Spec(R)\) et \(f \in R\). Considérons le morphisme de schémas affines \(\phi : U = \Spec(R_f) \to \Spec(R) = Y\) induit par l’homomorphisme d’anneaux \(R \to R_f\). D’après Algèbre, lemme 00E4, nous savons que c’est un homéomorphisme sur \(D(f)\). D’autre part, l’application \(\phi^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_U\) est un isomorphisme sur les fibres, donc un isomorphisme. Ainsi, nous voyons que \(\phi\) est une immersion ouverte. Nous concluons que \(D(f)\) est isomorphe à \(U\) d’après le lemme 01HH.

Lemme

La catégorie des schémas affines a des produits finis et des produits fibrés. En d’autres termes, elle possède des limites finies. De plus, les produits et produits fibrés dans la catégorie des schémas affines sont les mêmes que dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux. Formellement, nous avons (dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux) \[\Spec(R) \times \Spec(S) = \Spec(R \otimes_{\mathbf{Z}} S)\] et étant donné des homomorphismes d’anneaux \(R \to A\), \(R \to B\) nous avons \[\Spec(A) \times_{\Spec(R)} \Spec(B) = \Spec(A \otimes_R B).\]

Démonstration

Ceci est simplement une application du lemme 01I1. Tout d’abord, d’après ce lemme, le schéma affine \(\Spec(\mathbf{Z})\) est l’objet final dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux. Ainsi, la première formule affichée découle de la seconde. Pour prouver la seconde, notez que pour tout espace annelé en anneaux locaux \(X\), nous avons \[\begin{eqnarray*} \Mor(X, \Spec(A \otimes_R B)) & = & \Hom(A \otimes_R B, \mathcal{O}_X(X)) \\ & = & \Hom(A, \mathcal{O}_X(X)) \times_{\Hom(R, \mathcal{O}_X(X))} \Hom(B, \mathcal{O}_X(X)) \\ & = & \Mor(X, \Spec(A)) \times_{\Mor(X, \Spec(R))} \Mor(X, \Spec(B)) \end{eqnarray*}\] Cela prouve la formule. Voir Catégories, section 001U pour les définitions pertinentes.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé en anneaux locaux. Supposons \(X = U \amalg V\) avec \(U\) et \(V\) ouverts et tels que \(U\), \(V\) soient des schémas affines. Alors \(X\) est un schéma affine.

Démonstration

Fixez \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Notez que \(R = \mathcal{O}_X(U) \times \mathcal{O}_X(V)\) par la propriété du faisceau. Par le lemme 01I1, il existe un morphisme canonique d’espaces annelés en anneaux locaux \(X \to \Spec(R)\). Par Algèbre, lemme 00ED, nous voyons que comme espace topologique \(\Spec(\mathcal{O}_X(U)) \amalg \Spec(\mathcal{O}_X(V)) = \Spec(R)\) avec les applications provenant des homomorphismes d’anneaux \(R \to \mathcal{O}_X(U)\) et \(R \to \mathcal{O}_X(V)\). Cela signifie bien sûr que \(\Spec(R)\) est également le coproduit dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux. Par hypothèse, le morphisme \(X \to \Spec(R)\) induit un isomorphisme de \(\Spec(\mathcal{O}_X(U))\) avec \(U\) et de même pour \(V\). Par conséquent, \(X \to \Spec(R)\) est un isomorphisme.

Faisceaux quasi-cohérents sur les schémas affines

Rappelons que nous avons défini la notion abstraite de faisceau quasi-cohérent dans Modules, définition 01BE. Dans cette section, nous montrons que tout faisceau quasi-cohérent sur un schéma affine \(\Spec(R)\) correspond au faisceau \(\widetilde M\) associé à un \(R\)-module \(M\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) un schéma affine. Soit \(M\) un \(R\)-module. Il existe un isomorphisme canonique entre le faisceau \(\widetilde M\) associé au \(R\)-module \(M\) (définition 01HU) et le faisceau \(\mathcal{F}_M\) associé au \(R\)-module \(M\) (Modules, définition 01BI). Cet isomorphisme est fonctoriel en \(M\). En particulier, les faisceaux \(\widetilde M\) sont quasi-cohérents. De plus, ils sont caractérisés par la propriété universelle suivante \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde M, \mathcal{F}) = \Hom_R(M, \Gamma(X, \mathcal{F}))\] pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\). Ici, une application \(\alpha : \widetilde M \to \mathcal{F}\) correspond à son effet sur les sections globales.

Démonstration

Par Modules, lemme 01BH, nous avons un morphisme \(\mathcal{F}_M \to \widetilde M\) correspondant à l’application \(M \to \Gamma(X, \widetilde M) = M\). Soit \(x \in X\) correspondant à l’idéal premier \(\mathfrak p \subset R\). L’homomorphisme induit sur les fibres est le morphisme \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_R M \to M_{\mathfrak p}\) qui est un isomorphisme car \(R_{\mathfrak p} \otimes_R M = M_{\mathfrak p}\). Par conséquent, l’application \(\mathcal{F}_M \to \widetilde M\) est un isomorphisme. La propriété universelle découle de celle des faisceaux \(\mathcal{F}_M\).

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) un schéma affine. Il existe des isomorphismes canoniques

1. \(\widetilde{M \otimes_R N} \cong \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N\), voir Modules, section 01CA.

2. \(\widetilde{\text{T}^n(M)} \cong \text{T}^n(\widetilde M)\), \(\widetilde{\text{Sym}^n(M)} \cong \text{Sym}^n(\widetilde M)\), et \(\widetilde{\wedge^n(M)} \cong \wedge^n(\widetilde M)\), voir Modules, section 01CF.

3. si \(M\) est un \(R\)-module de présentation finie, alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde M, \widetilde N) \cong \widetilde{\Hom_R(M, N)}\), voir Modules, section 01CM.

Démonstration

En utilisant le lemme 01I7 et Modules, lemme 01BH, nous voyons que le foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) peut être vu comme \(\pi^*\) pour un morphisme \(\pi\) d’espaces annelés. Le foncteur image inverse sur les modules commute avec les constructions tensorielles d’après Modules, lemmes 01CD et 01CI. Le morphisme \(\pi : (X, \mathcal{O}_X) \to (\{*\}, R)\) est plat par exemple parce que les fibres de \(\mathcal{O}_X\) sont des localisations de \(R\) (lemme 01HV) et donc plates sur \(R\). Ainsi, l’image inverse par \(\pi\) commute avec le faisceau Hom interne si le premier module est de présentation finie, d’après Modules, lemme 0C6I.

Démonstration

Démonstration de (1). D’après le lemme 01I7, pour donner une application \(\widetilde{M \otimes_R N}\) vers \(\widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N\), nous devons donner une application sur les sections globales \(M \otimes_R N \to \Gamma(X, \widetilde M \otimes_{\mathcal{O}_X} \widetilde N)\) qui existe par définition du produit tensoriel des faisceaux de modules. Pour voir que cette application est un isomorphisme, il suffit de vérifier qu’elle est un isomorphisme sur les fibres. Et cela découle de la description des fibres de \(\widetilde{M}\) (soit dans le lemme 01HV ou dans Modules, lemme 01BH), du fait que le produit tensoriel commute avec la localisation (Algèbre, lemme 00DL) et Modules, lemme 01CB.

Démonstration de (2). C’est similaire à la preuve de (1), en utilisant Algèbre, lemme 0C6F et Modules, lemme 01CH.

Démonstration de (3). Puisque la construction \(M \mapsto \widetilde{M}\) est fonctorielle, il existe une application \(R\)-linéaire \(\Hom_R(M, N) \to \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \widetilde{N})\). La cible de cette application est le module des sections globales de \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde M, \widetilde N)\). Ainsi, par le lemme 01I7, nous obtenons une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\widetilde{\Hom_R(M, N)} \to \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde M, \widetilde N)\). Nous vérifions que c’est un isomorphisme en comparant les fibres. Si \(M\) est de présentation finie en tant que \(R\)-module, alors \(\widetilde M\) a une présentation globale finie en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module. Ainsi, nous concluons en utilisant Algèbre, lemme 0583 et Modules, lemme 01CP.

Démonstration

Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), nous avons les isomorphismes suivants fonctoriels en \(M\), \(N\), et \(\mathcal{F}\) \[\begin{align*} \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M} \otimes _{\mathcal{O} _X} \widetilde{N}, \mathcal{F}) & = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M}, \SheafHom_{\mathcal{O} _X} (\widetilde{N}, \mathcal{F})) \\ & = \Hom_R(M, \Gamma(X, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{N}, \mathcal{F}))) \\ & = \Hom_R(M, \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{N}, \mathcal{F})) \\ & = \Hom_R(M, \Hom_R(N, \Gamma(X, \mathcal{F}))) \\ & = \Hom_R(M \otimes_R N, \Gamma(X, \mathcal{F})) \\ & = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\widetilde{M \otimes_R N}, \mathcal{F}) \end{align*}\] La première égalité est Modules, lemme 01CN. La deuxième égalité est la propriété universelle de \(\widetilde{M}\), voir lemme 01I7. La troisième égalité vaut par définition de \(\SheafHom\). La quatrième égalité est la propriété universelle de \(\widetilde{N}\). La cinquième égalité est Algèbre, lemme 00DE. L’égalité finale est la propriété universelle de \(\widetilde{M \otimes_R N}\). Par le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P) nous obtenons (1).

Lemme

Soient \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(S), \mathcal{O}_{\Spec(S)})\), \((Y, \mathcal{O}_Y) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) des schémas affines. Soit \(\psi : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme de schémas affines, correspondant à l’homomorphisme d’anneaux \(\psi^\sharp : R \to S\) (voir lemme 01I2).

1. Nous avons \(\psi^* \widetilde M = \widetilde{S \otimes_R M}\) fonctoriellement par rapport au \(R\)-module \(M\).

2. Nous avons \(\psi_* \widetilde N = \widetilde{N_R}\) fonctoriellement par rapport au \(S\)-module \(N\).

Démonstration

La première assertion découle de l’identification dans le lemme 01I7 et du résultat des Modules, lemme 01BJ. La deuxième assertion découle du fait que \(\psi^{-1}(D(f)) = D(\psi^\sharp(f))\) et donc \[\psi_* \widetilde N(D(f)) = \widetilde N(D(\psi^\sharp(f))) = N_{\psi^\sharp(f)} = (N_R)_f = \widetilde{N_R}(D(f))\] comme voulu.

Le lemme 01I9 ci-dessus dit en particulier que si vous restreignez le faisceau \(\widetilde M\) à un sous-espace ouvert affine standard \(D(f)\), alors vous obtenez \(\widetilde{M_f}\). Nous utiliserons ceci à partir de maintenant sans autre mention.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) un schéma affine. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est isomorphe au faisceau associé au \(R\)-module \(\Gamma(X, \mathcal{F})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Comme chaque ouvert standard \(D(f)\) est quasi-compact, nous voyons que \(X\) est localement quasi-compact, c’est-à-dire que chaque point possède un système fondamental de voisinages quasi-compacts, voir Topologie, définition 0068. Ainsi, d’après Modules, lemme 01BK, pour chaque idéal premier \(\mathfrak p \subset R\) correspondant à \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit isomorphe au faisceau quasi-cohérent associé à un certain \(\mathcal{O}_X(U)\)-module \(M\). En d’autres termes, nous obtenons un recouvrement ouvert par des \(U\) possédant cette propriété. Par le lemme 01HS, par exemple, nous pouvons affiner ce recouvrement en un recouvrement ouvert standard. Ainsi, nous obtenons un recouvrement \(\Spec(R) = \bigcup D(f_i)\) et des \(R_{f_i}\)-modules \(M_i\) et des isomorphismes \(\varphi_i : \mathcal{F}|_{D(f_i)} \to \mathcal{F}_{M_i}\) pour un certain \(R_{f_i}\)-module \(M_i\). Sur les intersections, nous obtenons des isomorphismes \[\xymatrix{ \mathcal{F}_{M_i}|_{D(f_if_j)} \ar[rr]^{\varphi_i^{-1}|_{D(f_if_j)}} & & \mathcal{F}|_{D(f_if_j)} \ar[rr]^{\varphi_j|_{D(f_if_j)}} & & \mathcal{F}_{M_j}|_{D(f_if_j)}. }\] Notons-les \(\psi_{ij}\). Il est clair que nous avons la condition de cocycle \[\psi_{jk}|_{D(f_if_jf_k)} \circ \psi_{ij}|_{D(f_if_jf_k)} = \psi_{ik}|_{D(f_if_jf_k)}\] sur les triples intersections.

Rappelons que chacun des sous-espaces ouverts \(D(f_i)\), \(D(f_if_j)\), \(D(f_if_jf_k)\) est un schéma affine. Par conséquent, les faisceaux \(\mathcal{F}_{M_i}\) sont isomorphes aux faisceaux \(\widetilde M_i\) d’après le lemme 01I7 ci-dessus. En particulier, nous voyons que \(\mathcal{F}_{M_i}(D(f_if_j)) = (M_i)_{f_j}\), etc. De plus, d’après le lemme 01I7 ci-dessus, nous voyons que \(\psi_{ij}\) correspond à un unique isomorphisme de \(R_{f_if_j}\)-modules \[\psi_{ij} : (M_i)_{f_j} \longrightarrow (M_j)_{f_i}\] à savoir, l’effet de \(\psi_{ij}\) sur les sections au-dessus de \(D(f_if_j)\). De plus, celles-ci satisfont alors la condition de cocycle selon laquelle \[\xymatrix{ (M_i)_{f_jf_k} \ar[rd]_{\psi_{ij}} \ar[rr]^{\psi_{ik}} & & (M_k)_{f_if_j} \\ & (M_j)_{f_if_k} \ar[ru]_{\psi_{jk}} }\] commute (pour tout triple \(i, j, k\)).

Algèbre, lemme 00EQ montre qu’il existe un \(R\)-module \(M\) et des identifications \(M_i = M_{f_i}\) compatibles avec les morphismes \(\psi_{ij}\). Considérons \(\mathcal{F}_M = \widetilde M\). À ce stade, c’est une formalité de montrer que \(\widetilde M\) est isomorphe au faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) avec lequel nous avons commencé. À savoir, les faisceaux \(\mathcal{F}\) et \(\widetilde M\) donnent lieu à des ensembles de données de recollement de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules isomorphes par rapport au recouvrement \(X = \bigcup D(f_i)\), voir Faisceaux, section 00AK et en particulier le lemme 00AN. Explicitement, dans la situation actuelle, cela se ramène à l’argument suivant : construisons un homomorphisme de \(R\)-modules \[M \longrightarrow \Gamma(X, \mathcal{F}).\] À savoir, étant donné \(m \in M\), nous obtenons \(m_i = m/1 \in M_{f_i} = M_i\) par la construction de \(M\). Par la construction de \(M_i\), cela correspond à une section \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\). (À savoir, \(\varphi^{-1}_i(m_i)\).) Nous affirmons que \(s_i|_{D(f_if_j)} = s_j|_{D(f_if_j)}\). Cela résulte de la construction de \(M\), qui donne \(\psi_{ij}(m_i) = m_j\), et de celle des \(\psi_{ij}\). Par la condition de faisceau de \(\mathcal{F}\), cette collection de sections donne lieu à une section unique \(s\) de \(\mathcal{F}\) sur \(X\). Nous laissons au lecteur le soin de montrer que \(m \mapsto s\) est un morphisme de \(R\)-modules. Par le lemme 01I7, nous obtenons un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules associé \[\widetilde M \longrightarrow \mathcal{F}.\] Par construction, ce morphisme se réduit aux isomorphismes \(\varphi_i^{-1}\) sur chaque \(D(f_i)\) et est donc un isomorphisme.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) un schéma affine. Les foncteurs \(M \mapsto \widetilde M\) et \(\mathcal{F} \mapsto \Gamma(X, \mathcal{F})\) définissent des équivalences quasi-inverses de catégories \[\xymatrix{ \QCoh(\mathcal{O}_X) \ar@<1ex>[r] & \text{Mod}_R \ar@<1ex>[l] }\] entre la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents et la catégorie des \(R\)-modules.

Démonstration

Voir les lemmes 01I7 et 01IA ci-dessus.

Dorénavant, nous ne distinguerons pas entre les faisceaux quasi-cohérents sur les schémas affines et les faisceaux de la forme \(\widetilde M\).

Lemme

Soit \(X = \Spec(R)\) un schéma affine. Les noyaux et conoyaux des morphismes de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents sont quasi-cohérents.

Démonstration

Cela découle de l’exactitude du foncteur \(\widetilde{\ }\) puisque d’après le lemme 01I7, nous savons que tout morphisme \(\psi : \widetilde{M} \to \widetilde{N}\) provient d’un morphisme de \(R\)-modules \(\varphi : M \to N\). (Ainsi nous avons \(\Ker(\psi) = \widetilde{\Ker(\varphi)}\) et \(\Coker(\psi) = \widetilde{\Coker(\varphi)}\).)

Lemme

Soit \(X = \Spec(R)\) un schéma affine. La somme directe d’une collection quelconque de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\) est quasi-cohérente. Il en va de même pour les colimites.

Démonstration

Supposons que les \(\mathcal{F}_i\), \(i \in I\), forment une collection de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\). D’après le lemme 01IB ci-dessus, nous pouvons écrire \(\mathcal{F}_i = \widetilde{M_i}\) pour un certain \(R\)-module \(M_i\). Posons \(M = \bigoplus M_i\). Considérons le faisceau \(\widetilde{M}\). Pour chaque ouvert standard \(D(f)\), nous avons \[\widetilde{M}(D(f)) = M_f = \left(\bigoplus M_i\right)_f = \bigoplus M_{i, f}.\] Ainsi nous voyons que le \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\widetilde{M}\) est la somme directe des faisceaux \(\mathcal{F}_i\). Un argument similaire fonctionne pour les colimites générales.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) un schéma affine. Supposons que \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] soit une suite exacte courte de faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si deux sur trois sont quasi-cohérents, alors le troisième l’est aussi.

Démonstration

Cela est clair dans le cas où à la fois \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_2\) sont quasi-cohérents car le foncteur \(M \mapsto \widetilde M\) est exact, voir le lemme 01HV. De même dans le cas où à la fois \(\mathcal{F}_2\) et \(\mathcal{F}_3\) sont quasi-cohérents. Maintenant, supposons que \(\mathcal{F}_1 = \widetilde M_1\) et \(\mathcal{F}_3 = \widetilde M_3\) soient quasi-cohérents. Posons \(M_2 = \Gamma(X, \mathcal{F}_2)\). Nous affirmons qu’il suffit de montrer que la suite \[0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\] est exacte. En effet, si tel est le cas, alors (en utilisant la propriété universelle du lemme 01I7) nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \widetilde M_1 \ar[r] \ar[d] & \widetilde M_2 \ar[r] \ar[d] & \widetilde M_3 \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_1 \ar[r] & \mathcal{F}_2 \ar[r] & \mathcal{F}_3 \ar[r] & 0 }\] et le lemme du serpent permet alors de conclure.

L’argument “correct” ici serait de montrer d’abord que \(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\) pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). Cela n’est en fait pas si difficile, mais il est peut-être préférable de le reporter à plus tard. À la place, nous utilisons une petite astuce.

Choisissez \(m \in M_3 = \Gamma(X, \mathcal{F}_3)\). Considérons l’ensemble suivant \[I = \{ f \in R \mid \text{l'élément }fm\text{ provient de }M_2\}.\] Clairement, il s’agit d’un idéal. Il suffit de montrer \(1 \in I\). Par conséquent, il suffit de montrer que pour tout idéal premier \(\mathfrak p\), il existe un \(f \in I\), \(f \not\in \mathfrak p\). Soit \(x \in X\) le point correspondant à \(\mathfrak p\). Comme la surjectivité peut être vérifiée sur les fibres, il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(m|_U\) provienne d’une section locale \(s \in \mathcal{F}_2(U)\). En fait, nous pouvons supposer que \(U = D(f)\) est un ouvert standard, c’est-à-dire \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\). Nous allons montrer que pour un certain \(N \gg 0\) nous avons \(f^N \in I\), ce qui terminera la preuve.

Prenons un point quelconque \(z \in V(f)\), disons correspondant à l’idéal premier \(\mathfrak q \subset R\). Nous pouvons également trouver un \(g \in R\), \(g \not \in \mathfrak q\) tel que \(m|_{D(g)}\) se relève en un certain \(s' \in \mathcal{F}_2(D(g))\). Considérons la différence \(s|_{D(fg)} - s'|_{D(fg)}\). C’est un élément \(m'\) de \(\mathcal{F}_1(D(fg)) = (M_1)_{fg}\). Pour un certain entier \(n = n(z)\), l’élément \(f^n m'\) provient d’un certain \(m'_1 \in (M_1)_g\). Nous voyons que \(f^n s\) s’étend à une section \(\sigma\) de \(\mathcal{F}_2\) sur \(D(f) \cup D(g)\) parce qu’elle coïncide avec la restriction de \(f^n s' + m'_1\) sur \(D(f) \cap D(g) = D(fg)\). De plus, l’image de \(\sigma\) est la restriction de \(f^n m\) à \(D(f) \cup D(g)\).

Étant donné que \(V(f)\) est quasi-compact, il existe une liste finie d’éléments \(g_1, \ldots, g_m \in R\) telle que \(V(f) \subset \bigcup D(g_j)\), un entier \(n > 0\) et des sections \(\sigma_j \in \mathcal{F}_2(D(f) \cup D(g_j))\) telles que \(\sigma_j|_{D(f)} = f^n s\) et que chaque \(\sigma_j\) ait pour image la section \(f^nm|_{D(f) \cup D(g_j)}\) de \(\mathcal{F}_3\). Considérons les différences \[\sigma_j|_{D(f) \cup D(g_jg_k)} - \sigma_k|_{D(f) \cup D(g_jg_k)}.\] Cela correspond à des sections de \(\mathcal{F}_1\) sur \(D(f) \cup D(g_jg_k)\) qui sont nulles sur \(D(f)\). En particulier, leurs images dans \(\mathcal{F}_1(D(g_jg_k)) = (M_1)_{g_jg_k}\) sont nulles dans \((M_1)_{g_jg_kf}\). Ainsi, une certaine puissance élevée de \(f\) annule chacune d’entre elles. En d’autres termes, les éléments \(f^N \sigma_j\), pour un certain \(N \gg 0\), satisfont à la condition de recollement du faisceau et donnent lieu à une section \(\sigma\) de \(\mathcal{F}_2\) sur \(\bigcup (D(f) \cup D(g_j)) = X\) comme souhaité.

Sous-espaces fermés des schémas affines

Exemple

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Considérons le morphisme de schémas affines \(i : Z = \Spec(R/I) \to \Spec(R) = X\). D’après Algèbre, lemme 00E5, il s’agit d’un homéomorphisme de \(Z\) sur un sous-ensemble fermé de \(X\). De plus, si \(I \subset \mathfrak p \subset R\) est un idéal premier correspondant à un point \(x = i(z)\), \(x \in X\), \(z \in Z\), alors sur les fibres, on obtient l’application \[\mathcal{O}_{X, x} = R_{\mathfrak p} \longrightarrow R_{\mathfrak p}/IR_{\mathfrak p} = \mathcal{O}_{Z, z}\] Ainsi, nous voyons que \(i\) est une immersion fermée d’espaces annelés en anneaux locaux, voir la définition 01HK. Clairement, cela est (isomorphe) au sous-espace fermé associé au faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\widetilde I\), comme dans l’exemple 01HM.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X) = (\Spec(R), \mathcal{O}_{\Spec(R)})\) un schéma affine. Soit \(i : Z \to X\) une quelconque immersion fermée d’espaces annelés en anneaux locaux. Alors il existe un unique idéal \(I \subset R\) tel que le morphisme \(i : Z \to X\) puisse être identifié avec l’immersion fermée \(\Spec(R/I) \to \Spec(R)\) construite dans l’exemple 01IG ci-dessus.

Démonstration

La vérification est immédiate : d’après le lemme 01HO, nous pouvons identifier \(Z \to X\) avec le sous-espace fermé associé à un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) comme dans la définition 01HN et l’exemple 01HM. Selon nos conventions, ce faisceau d’idéaux est localement engendré par des sections en tant que faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Par conséquent, le faisceau quotient \(\mathcal{O}_X / \mathcal{I}\) est localement sur \(X\) le conoyau d’une application \(\bigoplus_{j \in J} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\). Ainsi, par définition, \(\mathcal{O}_X / \mathcal{I}\) est quasi-cohérent. D’après nos résultats de la section 01I6, il est de la forme \(\widetilde S\) pour un certain \(R\)-module \(S\). De plus, comme \(\mathcal{O}_X = \widetilde R \to \widetilde S\) est surjectif, nous voyons d’après le lemme 01IE que \(\mathcal{I}\) est également quasi-cohérent, disons \(\mathcal{I} = \widetilde I\). Bien sûr, \(I \subset R\) et \(S = R/I\) et tout est clair.

Schémas

Définition

Un schéma est un espace annelé en anneaux locaux avec la propriété que chaque point possède un voisinage ouvert qui est un schéma affine. Un morphisme de schémas est un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. La catégorie des schémas sera notée \(\Sch\).

Soit \(X\) un schéma. Nous utiliserons le (très léger) abus de langage suivant. Nous dirons que \(U \subset X\) est une partie ouverte affine, ou un ouvert affine, si le sous-espace ouvert \(U\) est un schéma affine. Nous écrirons souvent \(U = \Spec(R)\) pour indiquer que \(U\) est isomorphe à \(\Spec(R)\) et de plus que nous identifierons (temporairement) \(U\) et \(\Spec(R)\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte d’espaces annelés en anneaux locaux. Alors \(U\) est un schéma. En particulier, tout sous-espace ouvert de \(X\) est un schéma.

Démonstration

Soit \(U \subset X\). Soit \(u \in U\). Choisissez un voisinage ouvert affine \(u \in V \subset X\). Comme les ouverts standards de \(V\) forment une base de la topologie sur \(V\), nous voyons qu’il existe un \(f\in \mathcal{O}_V(V)\) tel que \(u \in D(f) \subset U\). Et \(D(f)\) est un schéma affine d’après le lemme 01I3. Cela prouve que chaque point de \(U\) possède un voisinage ouvert qui est affine.

De toute évidence, le lemme (ou sa preuve) montre que tout schéma \(X\) a une base (voir Topologie, section 004O) pour la topologie constituée d’ouverts affines.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Un exemple de schéma qui n’est pas affine est donné par le sous-espace ouvert \(U = \Spec(k[x, y]) \setminus \{ (x, y)\}\) du schéma affine \(X =\Spec(k[x, y])\). Il est recouvert par deux ouverts affines, à savoir \(D(x) = \Spec(k[x, y, 1/x])\) et \(D(y) = \Spec(k[x, y, 1/y])\) dont l’intersection est \(D(xy) = \Spec(k[x, y, 1/xy])\). Par la propriété du faisceau pour \(\mathcal{O}_U\), il existe une suite exacte \[0 \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U) \to k[x, y, 1/x] \times k[x, y, 1/y] \to k[x, y, 1/xy]\] Nous concluons que l’application \(k[x, y] \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) (provenant du morphisme \(U \to X\)) est un isomorphisme. Par conséquent, \(U\) ne peut pas être affine puisqu’alors, d’après le lemme 01I2, nous aurions \(U \cong X\).

Immersions de schémas

Dans le lemme 01IK, nous avons vu que tout sous-espace ouvert d’un schéma est un schéma. Ci-dessous, nous prouverons que la même chose vaut pour un sous-espace fermé d’un schéma.

Notez que la notion de faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules est définie pour tout espace annelé \(X\), en particulier lorsque \(X\) est un schéma. D’après les résultats de la section 01I6, nous savons qu’un tel faisceau sur tout ouvert affine \(U \subset X\) est de la forme \(\widetilde M\) pour un certain \(\mathcal{O}_X(U)\)-module \(M\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces annelés en anneaux locaux.

1. L’espace annelé en anneaux locaux \(Z\) est un schéma,

2. Le noyau \(\mathcal{I}\) de l’application \(\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z\) est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux,

3. pour tout ouvert affine \(U = \Spec(R)\) de \(X\) le morphisme \(i^{-1}(U) \to U\) peut être identifié à \(\Spec(R/I) \to \Spec(R)\) pour un certain idéal \(I \subset R\), et

4. nous avons \(\mathcal{I}|_U = \widetilde I\).

En particulier, tout faisceau d’idéaux localement engendré par des sections est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux (et réciproquement), et tout sous-espace fermé de \(X\) est un schéma.

Démonstration

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée. Soit \(z \in Z\) un point. Choisissez un voisinage ouvert affine \(i(z) \in U \subset X\) quelconque. Disons \(U = \Spec(R)\). D’après le lemme 01IH, nous savons que \(i^{-1}(U) \to U\) peut être identifié au morphisme de schémas affines \(\Spec(R/I) \to \Spec(R)\). Tout d’abord, cela implique que \(z \in i^{-1}(U) \subset Z\) est un voisinage affine de \(z\). Ainsi, \(Z\) est un schéma. Deuxièmement, cela implique que \(\mathcal{I}|_U\) est \(\widetilde I\). En d’autres termes, pour chaque point \(x \in i(Z)\), il existe un voisinage ouvert tel que \(\mathcal{I}\) soit quasi-cohérent dans ce voisinage. Notez que \(\mathcal{I}|_{X \setminus i(Z)} \cong \mathcal{O}_{X \setminus i(Z)}\). Ainsi, la restriction du faisceau d’idéaux est quasi-cohérente sur \(X \setminus i(Z)\) également. Nous concluons que \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent.

Définition

Soit \(X\) un schéma.

1. Un morphisme de schémas est appelé une immersion ouverte s’il s’agit d’une immersion ouverte d’espaces annelés en anneaux locaux (voir la définition 01HE).

2. Un sous-schéma ouvert de \(X\) est un sous-espace ouvert de \(X\) au sens de la définition 01HG ; un sous-schéma ouvert de \(X\) est un schéma d’après le lemme 01IK.

3. Un morphisme de schémas est appelé une immersion fermée s’il s’agit d’une immersion fermée d’espaces annelés en anneaux locaux (voir la définition 01HK).

4. Un sous-schéma fermé de \(X\) est un sous-espace fermé de \(X\) au sens de la définition 01HN ; un sous-schéma fermé est un schéma d’après le lemme 01IN.

5. Un morphisme de schémas \(f : X \to Y\) est appelé une immersion, ou une immersion localement fermée s’il peut se factoriser sous la forme \(j \circ i\) où \(i\) est une immersion fermée et \(j\) est une immersion ouverte.

Il résulte des lemmes des sections 01HD et 01HJ que toute immersion ouverte (resp.  fermée) de schémas est isomorphe à l’inclusion d’un sous-schéma ouvert (resp.  fermé) de la cible.

Notre définition d’une immersion fermée se situe à mi-chemin entre Hartshorne et l’EGA. Hartshorne définit une immersion fermée comme un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas qui induit un homéomorphisme de \(X\) sur un sous-ensemble fermé de \(Y\) et tel que l’application \(f^\# : \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) soit surjective, voir [H, Page 85]. Nous montrerons que cela est équivalent à notre notion dans le lemme 01LD. Dans [EGA], Grothendieck et Dieudonné définissent d’abord les sous-schémas fermés via la construction de l’exemple 01HM en utilisant des faisceaux quasi-cohérents d’idéaux, puis définissent une immersion fermée comme un morphisme \(f : X \to Y\) qui induit un isomorphisme avec un sous-schéma fermé. Il découle du lemme 01IN que cela correspond à notre notion.

D’un point de vue pédagogique, la définition ci-dessus est un désastre/cauchemar. Lors de l’enseignement de ce matériel aux étudiants, nous avons souvent trouvé pratique de définir une immersion fermée comme un morphisme affine \(f : X \to Y\) de schémas tel que \(f^\# : \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) soit surjectif. En effet, il s’avère que la notion de morphisme affine (Morphismes, section 01S5) est assez naturelle et facile à comprendre.

Pour plus d’informations sur les immersions fermées, nous suggérons au lecteur de consulter Morphismes, sections 01QN et 01QX.

Nous discuterons des sous-schémas localement fermés et des immersions à la fin de cette section.

Remarque

Si \(f : X \to Y\) est une immersion de schémas, il n’est généralement pas possible de factoriser \(f\) en une immersion ouverte suivie d’une immersion fermée. Voir Morphismes, exemple 01QW.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) une immersion de schémas. Alors \(f\) est une immersion fermée si et seulement si \(f(Y) \subset X\) est un sous-ensemble fermé.

Démonstration

Si \(f\) est une immersion fermée, alors \(f(Y)\) est fermé par définition. Réciproquement, supposons que \(f(Y)\) soit fermé. Par définition, il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(f\) soit la composée d’une immersion fermée \(i : Y \to U\) et de l’immersion ouverte \(j : U \to X\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau d’idéaux quasi-cohérent associé à l’immersion fermée \(i\). Notez \(\mathcal{I}|_{U \setminus i(Y)} = \mathcal{O}_{U \setminus i(Y)} = \mathcal{O}_{X \setminus i(Y)}|_{U \setminus i(Y)}\). Ainsi, nous pouvons recoller (voir Faisceaux, section 00AK) \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{O}_{X \setminus i(Y)}\) en un faisceau d’idéaux \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\). Puisque chaque point de \(X\) possède un voisinage où \(\mathcal{J}\) est quasi-cohérent, nous voyons que \(\mathcal{J}\) est quasi-cohérent (en particulier localement engendré par des sections). Par construction, \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\) est supporté sur \(U\) et sa restriction à cet ouvert est égale à \(\mathcal{O}_U/\mathcal{I}\). Ainsi, nous voyons que les sous-espaces fermés associés à \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}\) sont canoniquement isomorphes, voir l’exemple 01HM. En particulier, le sous-espace fermé de \(U\) associé à \(\mathcal{I}\) est isomorphe à un sous-espace fermé de \(X\). Puisque \(Y \to U\) est identifié avec le sous-espace fermé associé à \(\mathcal{I}\), voir le lemme 01HO, nous concluons que \(Y \to U \to X\) est une immersion fermée.

Soit \(f : Y \to X\) une immersion. Soit \(Z = \overline{f(Y)} \setminus f(Y)\) qui est un sous-ensemble fermé de \(X\). Soit \(U = X \setminus Z\). Le lemme implique que \(U\) est le plus grand sous-espace ouvert de \(X\) tel que \(f : Y \to X\) se factorise par une immersion fermée dans \(U\). Nous définissons un sous-schéma localement fermé de \(X\) comme une paire \((Z, U)\) constituée d’un sous-schéma fermé \(Z\) d’un sous-schéma ouvert \(U\) de \(X\) tel qu’en outre \(\overline{Z} \cup U = X\). Nous disons généralement simplement « soit \(Z\) un sous-schéma localement fermé de \(X\) » puisque nous pouvons récupérer \(U\) à partir du morphisme \(Z \to X\). Ce qui précède montre alors que toute immersion \(f : Y \to X\) se factorise de manière unique en \(Y \to Z \to X\) où \(Z\) est un sous-schéma localement fermé de \(X\) et \(Y \to Z\) est un isomorphisme.

L’intérêt de ceci est que la collection de sous-schémas localement fermés de \(X\) forme un ensemble. Nous pouvons définir un ordre partiel sur cet ensemble, que nous appelons inclusion pour des raisons évidentes. Pour être précis, si \(Z \to X\) et \(Z' \to X\) sont deux sous-schémas localement fermés de \(X\), alors nous disons que \(Z\) est contenu dans \(Z'\) simplement si le morphisme \(Z \to X\) se factorise à travers \(Z'\). Si c’est le cas, alors bien sûr \(Z\) est identifié à un sous-schéma localement fermé unique de \(Z'\), et ainsi de suite.

Pour plus d’informations sur les immersions, nous renvoyons le lecteur à Morphismes, section 07RJ.

Topologie de Zariski des schémas

Voir Topologie, section 004D pour quelques notions de base en topologie adaptées à la topologie de Zariski des schémas.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Tout sous-ensemble fermé irréductible de \(X\) a un point générique unique. En d’autres termes, \(X\) est un espace topologique sobre, voir Topologie, définition 004X.

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) un sous-ensemble fermé irréductible. Pour chaque ouvert affine \(U \subset X\), \(U = \Spec(R)\), nous savons que \(Z \cap U = V(I)\) pour un idéal radical unique \(I \subset R\). Notez que \(Z \cap U\) est soit vide, soit irréductible. Dans le second cas (qui se produit pour au moins un \(U\)), nous voyons que \(I = \mathfrak p\) est un idéal premier, qui est un point générique \(\xi\) de \(Z \cap U\). Il s’ensuit que \(Z = \overline{\{\xi\}}\), en d’autres termes \(\xi\) est un point générique de \(Z\). Si \(\xi'\) était un deuxième point générique, alors \(\xi' \in Z \cap U\) et il en découle immédiatement que \(\xi' = \xi\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. La collection des ouverts affines de \(X\) forme une base pour la topologie sur \(X\).

Démonstration

Cela découle de la discussion sur les sous-schémas ouverts dans la section 01II.

Remarque

En général, l’intersection de deux ouverts affines dans \(X\) n’est pas un ouvert affine. Voir l’exemple 01JD.

Lemme

L’espace topologique sous-jacent de tout schéma est localement quasi-compact, voir Topologie, définition 0068.

Démonstration

Cela découle du lemme 01IT ci-dessus et du fait que le spectre d’un anneau est quasi-compact, voir Algèbre, lemme 00E8.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(U, V\) des ouverts affines de \(X\), et soit \(x \in U \cap V\). Il existe un voisinage ouvert affine \(W\) de \(x\) tel que \(W\) soit un ouvert standard à la fois de \(U\) et de \(V\).

Démonstration

Posons \(U = \Spec(A)\) et \(V = \Spec(B)\). Supposons que \(x\) corresponde aux idéaux premiers \(\mathfrak p \subset A\) et \(\mathfrak q \subset B\). Nous pouvons choisir un \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\) tel que \(D(f) \subset U \cap V\). Remarquons que tout ouvert standard de \(D(f)\) est un ouvert standard de \(\Spec(A) = U\). Ainsi, nous pouvons supposer que \(U \subset V\). En d’autres termes, maintenant nous pouvons considérer \(U\) comme un ouvert affine de \(V\). Ensuite, nous choisissons un \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\) tel que \(D(g) \subset U\). Dans ce cas, nous voyons que \(D(g) = D(g_A)\) où \(g_A \in A\) désigne l’image de \(g\) par l’application \(B \to A\). Ainsi le lemme est prouvé.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(X = \bigcup_i U_i\) un recouvrement ouvert affine. Soit \(V \subset X\) un ouvert affine. Il existe un recouvrement ouvert standard \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_j\) (voir définition 01HT) tel que chaque \(V_j\) soit un ouvert standard de l’un des \(U_i\).

Démonstration

Choisissez \(v \in V\). Alors \(v \in U_i\) pour un certain \(i\). D’après le lemme 01IW ci-dessus, il existe un ouvert \(v \in W_v \subset V \cap U_i\) tel que \(W_v\) soit un ouvert standard à la fois dans \(V\) et \(U_i\). Comme \(V\) est quasi-compact, le lemme s’ensuit.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts affines de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{B}\), voir Faisceaux, définition 009I. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(\mathcal{F}\) est la restriction d’un faisceau sur \(X\) à \(\mathcal{B}\),

2. \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(\mathcal{B}\), et

3. \(\mathcal{F}(\emptyset)\) est un singleton et chaque fois que \(U = V \cup W\) avec \(U, V, W \in \mathcal{B}\) et \(V, W \subset U\) ouverts standards (Algèbre, définition 00E1) l’application \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{F}(V) \times \mathcal{F}(W)\] est injective avec pour image l’ensemble des paires \((s, t)\) telles que \(s|_{V \cap W} = t|_{V \cap W}\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est Faisceaux, lemme 009O. Il est clair que (2) implique (3). Par conséquent, il suffit de prouver que (3) implique (2). D’après Faisceaux, lemme 009L, et le lemme 01HS ci-dessus, il suffit de prouver que la condition de faisceau est satisfaite pour les recouvrements ouverts standards (définition 01HT) des éléments de \(\mathcal{B}\). Soit \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) un recouvrement ouvert standard avec \(U \subset X\) ouvert affine. Nous prouverons la condition de faisceau pour ce recouvrement par récurrence sur \(n\). Si \(n = 0\), alors \(U\) est vide et nous obtenons la condition de faisceau par hypothèse. Si \(n = 1\), alors il n’y a rien à prouver. Si \(n = 2\), alors il s’agit de l’hypothèse (3). Si \(n > 2\), alors nous écrivons \(U_i = D(f_i)\) pour \(f_i \in A = \mathcal{O}_X(U)\). Supposons que les \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) soient des sections telles que \(s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\) pour tout \(1 \leq i < j \leq n\). Comme \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\), nous avons \(1 = \sum_{i = 1, \ldots, n} a_i f_i\) dans \(A\) pour certains \(a_i \in A\), voir Algèbre, lemme 00E0. Posons \(g = \sum_{i = 1, \ldots, n - 1} a_if_i\). Alors \(U = D(g) \cup D(f_n)\). Remarquons que \(D(g) = D(gf_1) \cup \ldots \cup D(gf_{n - 1})\) est un recouvrement ouvert standard. Par récurrence, il existe une section unique \(s' \in \mathcal{F}(D(g))\) qui concorde avec \(s_i|_{D(gfi)}\) pour \(i = 1, \ldots, n - 1\). Nous affirmons que \(s'\) et \(s_n\) ont la même restriction à \(D(gf_n)\). Cela est vrai par récurrence, en utilisant le recouvrement \(D(gf_n) = D(gf_nf_1) \cup \ldots \cup D(gf_nf_{n - 1})\). Ainsi, il existe une section unique \(s \in \mathcal{F}(U)\) dont la restriction à \(D(g)\) est \(s'\) et dont la restriction à \(D(f_n)\) est \(s_n\). Nous omettons la vérification que \(s\) se restreint à \(s_i\) sur \(D(f_i)\) pour \(i = 1, \ldots, n - 1\) et nous omettons la vérification que \(s\) est unique.

Lemme

Soit \(X\) un schéma dont l’espace topologique sous-jacent est un ensemble discret fini. Alors \(X\) est affine.

Démonstration

Prenons \(X = \{x_1, \ldots, x_n\}\). Alors \(U_i = \{x_i\}\) est un voisinage ouvert de \(x_i\). Par le lemme 01IT il est affine. Par conséquent, \(X\) est une union disjointe finie de schémas affines, et est donc affine par le lemme 01I5.

Exemple

Il existe un schéma sans points fermés. À savoir, soit \(R\) un anneau local intègre dont le spectre ressemble à \((0) = \mathfrak p_0 \subset \mathfrak p_1 \subset \mathfrak p_2 \subset \ldots \subset \mathfrak m\). Alors le sous-schéma ouvert \(\Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) n’a pas de point fermé. Pour voir qu’un tel anneau \(R\) existe, nous utilisons le fait que pour tout groupe totalement ordonné \((\Gamma, \geq)\), il existe un anneau de valuation \(A\) dont le groupe de valuation est \((\Gamma, \geq)\), voir [Krull]. Voir Algèbre, section 00I8 pour la notation. Nous prenons \(\Gamma = \mathbf{Z}x_1 \oplus \mathbf{Z}x_2 \oplus \mathbf{Z}x_3 \oplus \ldots\) et nous définissons \(\sum_i a_i x_i \geq 0\) si et seulement si le premier \(a_i\) non nul est \(> 0\), ou si tous les coefficients satisfont \(a_i = 0\). Donc \(x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \ldots \geq 0\). Les sous-ensembles \(x_i + \Gamma_{\geq 0}\) sont des idéaux premiers de \((\Gamma, \geq)\), voir Algèbre, notation au-dessus du lemme 00IH. Ceux-ci, ainsi que \(\emptyset\) et \(\Gamma_{\geq 0}\), sont les seuls idéaux premiers. Par conséquent, \(A\) est un exemple d’un anneau avec la structure donnée de son spectre, selon Algèbre, lemme 00IH.

Schémas réduits

Définition

Soit \(X\) un schéma. Nous disons que \(X\) est réduit si chaque anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) est réduit.

Lemme

Un schéma \(X\) est réduit si et seulement si \(\mathcal{O}_X(U)\) est un anneau réduit pour tout \(U \subset X\) ouvert.

Démonstration

Supposons que \(X\) soit réduit. Soit \(f \in \mathcal{O}_X(U)\) une section telle que \(f^n = 0\). Alors l’image de \(f\) dans \(\mathcal{O}_{U, u}\) est nulle pour tout \(u \in U\). Par conséquent, \(f\) est nul, voir Faisceaux, lemme 0079. Inversement, supposons que \(\mathcal{O}_X(U)\) soit réduit pour tous les ouverts \(U\). Prenez un élément non nul \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\). Tout représentant \((U, f \in \mathcal{O}(U))\) de \(f\) est non nul et donc non nilpotent. Par conséquent, \(f\) n’est pas nilpotent dans \(\mathcal{O}_{X, x}\).

Lemme

Un schéma affine \(\Spec(R)\) est réduit si et seulement si \(R\) est réduit.

Démonstration

L’implication directe suit immédiatement du lemme 01J1 ci-dessus. Dans l’autre sens, cela découle du fait que toute localisation d’un anneau réduit est réduite, et en particulier que les anneaux locaux d’un anneau réduit sont réduits.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé. Il existe un sous-schéma fermé unique \(Z \subset X\) possédant les propriétés suivantes : (a) l’espace topologique sous-jacent de \(Z\) est égal à \(T\), et (b) \(Z\) est réduit.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le sous-préfaisceau défini par la règle \[\mathcal{I}(U) = \{f \in \mathcal{O}_X(U) \mid f(t) = 0\text{ pour tout }t \in T\cap U\}\] Ici, nous utilisons \(f(t)\) pour indiquer l’image de \(f\) dans le corps résiduel \(\kappa(t)\) de \(X\) en \(t\). En raison de la nature locale de la condition, il est clair que \(\mathcal{I}\) est un faisceau d’idéaux. De plus, soit \(U = \Spec(R)\) un ouvert affine. Nous pouvons écrire \(T \cap U = V(I)\) pour un idéal radical unique \(I \subset R\). Étant donné un \(\mathfrak p \in V(I)\) premier correspondant à \(t \in T \cap U\) et un élément \(f \in R\), nous avons \(f(t) = 0 \Leftrightarrow f \in \mathfrak p\). Ainsi \(\mathcal{I}(U) = \bigcap_{\mathfrak p \in V(I)} \mathfrak p = I\) par Algèbre, lemme 00E0. De plus, pour tout ouvert standard \(D(g) \subset \Spec(R) = U\), nous avons \(\mathcal{I}(D(g)) = I_g\) par le même raisonnement. Ainsi \(\widetilde I\) et \(\mathcal{I}|_U\) coïncident (en tant qu’idéaux) sur une base d’ouverts et sont donc égaux. Par conséquent, \(\mathcal{I}\) est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux.

À ce stade, nous pouvons définir \(Z\) comme le sous-espace fermé associé au faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\). Pour chaque ouvert affine \(U = \Spec(R)\) de \(X\), nous voyons que \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) où \(I\) est un idéal radical et donc \(Z\) est réduit (d’après le lemme 01J2 ci-dessus). Par construction, le sous-ensemble fermé sous-jacent de \(Z\) est \(T\). Par conséquent, nous avons trouvé un sous-schéma fermé avec les propriétés (a) et (b).

Soit \(Z' \subset X\) un second sous-schéma fermé avec les propriétés (a) et (b). Pour chaque ouvert affine \(U = \Spec(R)\) de \(X\), nous voyons que \(Z' \cap U = \Spec(R/I')\) pour un certain idéal \(I' \subset R\). D’après le lemme 01J2, l’anneau \(R/I'\) est réduit et donc \(I'\) est radical. Puisque \(V(I') = T \cap U = V(I)\), nous en déduisons que \(I = I'\) d’après Algèbre, lemme 00E0. Par conséquent, \(Z'\) et \(Z\) sont définis par le même faisceau d’idéaux et donc sont égaux.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(Z \subset X\) un sous-ensemble fermé. Une structure de schéma sur \(Z\) est donnée par un sous-schéma fermé \(Z'\) de \(X\) dont l’ensemble sous-jacent est égal à \(Z\). Nous disons souvent « soit \((Z, \mathcal{O}_Z)\) une structure de schéma sur \(Z\) » pour indiquer cela. La structure de schéma réduite induite sur \(Z\) est celle construite dans le lemme 01J3. La réduction \(X_{red}\) de \(X\) est la structure de schéma réduite induite sur \(X\) lui-même.

Souvent, lorsque nous disons « soit \(Z \subset X\) une composante irréductible de \(X\) », nous pensons à \(Z\) comme à un sous-schéma fermé réduit de \(X\) en utilisant la structure de schéma réduite induite.

Remarque

Soit \(X\) un schéma. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble localement fermé. Dans cette situation, nous utilisons parfois aussi l’expression « structure de schéma réduite induite sur \(T\) ». Cela se réfère à la structure de schéma réduite induite de la définition 01J4 lorsque nous considérons \(T\) comme un sous-ensemble fermé du sous-schéma ouvert \(X \setminus \partial T\) de \(X\). Ici, \(\partial T = \overline{T} \setminus T\) est la « frontière » de \(T\) dans l’espace topologique de \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. Soit \(Y\) un schéma réduit. Un morphisme \(f : Y \to X\) se factorise à travers \(Z\) si et seulement si \(f(Y) \subset Z\) (au sens des ensembles). En particulier, tout morphisme \(Y \to X\) se factorise comme \(Y \to X_{red} \to X\).

Démonstration

Supposons \(f(Y) \subset Z\) (au sens des ensembles). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux de \(Z\). Pour tous ouverts affines \(U \subset X\) et \(\Spec(B) = V \subset Y\) tels que \(f(V) \subset U\), et pour tout \(g \in \mathcal{I}(U)\), l’image inverse \(b = f^\sharp(g) \in \Gamma(V, \mathcal{O}_Y) = B\) a une image nulle dans le corps résiduel de tout \(y \in V\). En d’autres termes \(b \in \bigcap_{\mathfrak p \subset B} \mathfrak p\). Cela implique \(b = 0\) puisque \(B\) est réduit (lemme 01J1 et Algèbre, lemme 00E0). Ainsi \(f\) se factorise à travers \(Z\) selon le lemme 01HP.

Points des schémas

Étant donné un schéma \(X\), nous pouvons définir un foncteur \[h_X : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longmapsto \Mor(T, X).\] Voir Catégories, exemple 001O. On l’appelle le foncteur des points de \(X\). Un aspect intéressant de la théorie des schémas est de trouver des descriptions de la géométrie interne de \(X\) en termes de ce foncteur \(h_X\). Dans cette section, nous trouvons une manière simple de décrire les points de \(X\).

Soit \(X\) un schéma. Soit \(R\) un anneau local avec un idéal maximal \(\mathfrak m \subset R\). Supposons que \(f : \Spec(R) \to X\) soit un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) l’image du point fermé \(\mathfrak m \in \Spec(R)\). Alors nous obtenons un homomorphisme local d’anneaux \[f^\sharp : \mathcal{O}_{X, x} \longrightarrow \mathcal{O}_{\Spec(R), \mathfrak m} = R.\]

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(R\) un anneau local. La construction ci-dessus donne une correspondance bijective entre les morphismes \(\Spec(R) \to X\) et les paires \((x, \varphi)\) constituées d’un point \(x \in X\) et d’un homomorphisme local d’anneaux \(\varphi : \mathcal{O}_{X, x} \to R\).

Démonstration

Soit \(A\) un anneau. Pour tout homomorphisme d’anneaux \(\psi : A \to R\), il existe un idéal premier unique \(\mathfrak p \subset A\) et une factorisation \(A \to A_{\mathfrak p} \to R\) où la dernière application est un homomorphisme local d’anneaux. À savoir, \(\mathfrak p = \psi^{-1}(\mathfrak m)\). Via le lemme 01I1, cela prouve que le lemme est vrai si \(X\) est un schéma affine.

Soit \(X\) un schéma général. Tout \(x \in X\) est contenu dans un ouvert affine \(U \subset X\). Par le cas affine, nous concluons que chaque paire \((x, \varphi)\) résulte de la construction qui précède le lemme.

Pour terminer la preuve, il suffit de montrer que tout morphisme \(f : \Spec(R) \to X\) a son image contenue dans tout ouvert affine contenant l’image \(x\) du point fermé de \(\Spec(R)\). En fait, soit \(x \in V \subset X\) un voisinage ouvert quelconque contenant \(x\). Alors \(f^{-1}(V) \subset \Spec(R)\) est un ouvert contenant le point fermé unique et donc égal à \(\Spec(R)\).

Comme cas particulier du lemme ci-dessus, nous obtenons pour tout point \(x\) d’un schéma \(X\) un morphisme canonique [02NA]\[\begin{equation} \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \longrightarrow X \end{equation}\] correspondant à l’application identité sur l’anneau local de \(X\) en \(x\). On peut reformuler le lemme ci-dessus en disant que pour tout morphisme \(f : \Spec(R) \to X\), il existe un point unique \(x \in X\) tel que \(f\) se factorise comme \(\Spec(R) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\) où la première application provient d’un homomorphisme local \(\mathcal{O}_{X, x} \to R\).

Dans le cas où nous avons un morphisme de schémas \(f : X \to S\), et un point \(x\) dont l’image est un point \(s \in S\), nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \ar[r] & S }\] où l’application verticale gauche correspond à l’homomorphisme local \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{S, s} \to \mathcal{O}_{X, x}\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(x, x' \in X\) des points de \(X\). Alors \(x' \in X\) est une générisation de \(x\) si et seulement si \(x'\) est dans l’image du morphisme canonique \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\).

Démonstration

Une application continue préserve la relation de spécialisation/générisation. Puisque chaque point de \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) est une générisation du point fermé, nous voyons que chaque point dans l’image de \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\) est une générisation de \(x\). Inversement, supposons que \(x'\) soit une générisation de \(x\). Choisissez un voisinage ouvert affine \(U = \Spec(R)\) de \(x\). Alors \(x' \in U\). Disons que \(\mathfrak p \subset R\) et \(\mathfrak p' \subset R\) sont les idéaux premiers correspondant à \(x\) et \(x'\). Puisque \(x'\) est une générisation de \(x\), nous voyons que \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\). Cela signifie que \(\mathfrak p'\) est dans l’image du morphisme \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = \Spec(R_{\mathfrak p}) \to \Spec(R) = U \subset X\) comme voulu.

Maintenant, discutons des morphismes provenant des spectres des corps. Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local avec un idéal maximal \(\mathfrak m\) et un corps résiduel \(\kappa\). Soit \(K\) un corps. Un homomorphisme local \(R \to K\), par définition, se factorise comme \(R \to \kappa \to K\), c’est-à-dire qu’il revient à un morphisme \(\kappa \to K\). Ainsi, nous voyons que les morphismes \[\Spec(K) \longrightarrow X\] correspondent à des paires \((x, \kappa(x) \to K)\). Nous pouvons définir un préordre sur les morphismes des spectres des corps vers \(X\) en disant que \(\Spec(K) \to X\) domine \(\Spec(L) \to X\) si \(\Spec(K) \to X\) se factorise par \(\Spec(L) \to X\). Cela suggère la notion suivante : disons temporairement que deux morphismes \(p : \Spec(K) \to X\) et \(q : \Spec(L) \to X\) sont équivalents s’il existe un troisième corps \(\Omega\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(\Omega) \ar[r] \ar[d] & \Spec(L) \ar[d]^q \\ \Spec(K) \ar[r]^p & X }\] Bien sûr, cela implique immédiatement que les points uniques des trois schémas \(\Spec(K)\), \(\Spec(L)\) et \(\Spec(\Omega)\) se projettent sur le même \(x \in X\). Ainsi, un diagramme (d’après les remarques ci-dessus) correspond à un point \(x \in X\) et à un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Omega & L \ar[l] \\ K \ar[u] & \kappa(x) \ar[l] \ar[u] }\] de corps. Cela définit une relation d’équivalence, car étant donné un ensemble d’extensions de corps \(K_i/\kappa\), il existe une extension de corps \(\Omega/\kappa\) telle que toutes les extensions de corps \(K_i\) soient contenues dans l’extension \(\Omega\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Les points de \(X\) correspondent bijectivement aux classes d’équivalence de morphismes des spectres de corps dans \(X\). De plus, chaque classe d’équivalence contient un élément minimal (unique à isomorphisme unique près) \(\Spec(\kappa(x)) \to X\).

Démonstration

Cela découle de la discussion ci-dessus.

Bien sûr, les morphismes \(\Spec(\kappa(x)) \to X\) se factorisent par les morphismes canoniques \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\). Et le contenu du lemme 01J7 est, dans ce cadre, que le morphisme \(\Spec(\kappa(x')) \to X\) se factorise comme \(\Spec(\kappa(x')) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to X\) chaque fois que \(x'\) est une générisation de \(x\). Dans le cas où nous avons un morphisme de schémas \(f : X \to S\), et un point \(x\) dont l’image est un point \(s \in S\), nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[d] & \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \ar[r] & S. }\]

Recollement de schémas

Soit \(I\) un ensemble. Pour chaque \(i \in I\), soit \((X_i, \mathcal{O}_i)\) un espace annelé en anneaux locaux. (En réalité, la construction qui suit fonctionne tout aussi bien pour les espaces annelés.) Pour chaque paire \(i, j \in I\) soit \(U_{ij} \subset X_i\) un sous-espace ouvert. Pour chaque paire \(i, j \in I\), soit \[\varphi_{ij} : U_{ij} \to U_{ji}\] un isomorphisme d’espaces annelés en anneaux locaux. Pour plus de commodité, nous supposons que \(U_{ii} = X_i\). Pour chaque triple \(i, j, k \in I\), supposons que

1. nous avons \(\varphi_{ij}^{-1}(U_{ji} \cap U_{jk}) = U_{ij} \cap U_{ik}\), et

2. le diagramme \[\xymatrix{ U_{ij} \cap U_{ik} \ar[rr]_{\varphi_{ik}} \ar[rd]_{\varphi_{ij}} & & U_{ki} \cap U_{kj} \\ & U_{ji} \cap U_{jk} \ar[ru]_{\varphi_{jk}} }\] est commutatif.

(En particulier, il en découle que \(\varphi_{ii} = \text{id}_{X_i}\).) Appelons une collection \((I, (X_i)_{i\in I}, (U_{ij})_{i, j\in I}, (\varphi_{ij})_{i, j\in I})\) satisfaisant les conditions ci-dessus des données de recollement.

Lemme

Étant donnée une famille de données de recollement d’espaces annelés en anneaux locaux, il existe un espace annelé en anneaux locaux \(X\) et des sous-espaces ouverts \(U_i \subset X\) avec des isomorphismes \(\varphi_i : X_i \to U_i\) d’espaces annelés en anneaux locaux tels que

1. \(X=\bigcup_{i\in I} U_i\),

2. \(\varphi_i(U_{ij}) = U_i \cap U_j\), et

3. \(\varphi_{ij} = \varphi_j^{-1}|_{U_i \cap U_j} \circ \varphi_i|_{U_{ij}}\).

L’espace annelé en anneaux locaux \(X\) est caractérisé par les propriétés universelles suivantes : étant donné un espace annelé en anneaux locaux \(Y\), nous avons \[\begin{eqnarray*} \Mor(X, Y) & = & \{ (f_i)_{i\in I} \mid f_i : X_i \to Y, \ f_j \circ \varphi_{ij} = f_i|_{U_{ij}}\} \\ f & \mapsto & (f|_{U_i} \circ \varphi_i)_{i \in I} \\ \Mor(Y, X) & = & \left\{ \begin{matrix} \text{recouvrement ouvert }Y = \bigcup\nolimits_{i \in I} V_i\text{ et } (g_i : V_i \to X_i)_{i \in I} \text{ tels que}\\ g_i^{-1}(U_{ij}) = V_i \cap V_j \text{ et } g_j|_{V_i \cap V_j} = \varphi_{ij} \circ g_i|_{V_i \cap V_j} \end{matrix} \right\} \\ g & \mapsto & V_i = g^{-1}(U_i), \ g_i = \varphi_i^{-1} \circ g|_{V_i} \end{eqnarray*}\]

Démonstration

Nous construisons \(X\) en plusieurs étapes. Comme ensemble, nous prenons \[X = (\coprod X_i) / \sim.\] Ici, étant donné \(x \in X_i\) et \(x' \in X_j\), nous disons \(x \sim x'\) si et seulement si \(x \in U_{ij}\), \(x' \in U_{ji}\) et \(\varphi_{ij}(x) = x'\). Il s’agit d’une relation d’équivalence car si \(x \in X_i\), \(x' \in X_j\), \(x'' \in X_k\), \(x \sim x'\) et \(x' \sim x''\), alors \(x' \in U_{ji} \cap U_{jk}\), donc, d’après la condition (1) des données de recollement, \(x \in U_{ij} \cap U_{ik}\) et \(x'' \in U_{ki} \cap U_{kj}\) ; d’après la condition (2), nous voyons que \(\varphi_{ik}(x) = x''\). (La réflexivité et la symétrie découlent de nos hypothèses que \(U_{ii} = X_i\) et \(\varphi_{ii} = \text{id}_{X_i}\).) On note \(\varphi_i : X_i \to X\) les applications naturelles. On note \(U_i = \varphi_i(X_i) \subset X\). Notez que \(\varphi_i : X_i \to U_i\) est une bijection.

La topologie sur \(X\) est définie par la règle selon laquelle \(U \subset X\) est ouvert si et seulement si \(\varphi_i^{-1}(U)\) est ouvert pour tout \(i\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cela définit effectivement une topologie. Notez qu’en particulier \(U_i\) est ouvert puisque \(\varphi_j^{-1}(U_i) = U_{ji}\) qui est ouvert dans \(X_j\) pour tout \(j\). De plus, pour tout ensemble ouvert \(W \subset X_i\), l’image \(\varphi_i(W) \subset U_i\) est ouverte parce que \(\varphi_j^{-1}(\varphi_i(W)) = \varphi_{ji}^{-1}(W \cap U_{ij})\). Par conséquent, \(\varphi_i : X_i \to U_i\) est un homéomorphisme.

Pour obtenir un espace annelé en anneaux locaux, nous devons construire le faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\). Nous le faisons en recollant les faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}_{U_i} := \varphi_{i, *} \mathcal{O}_i\). Plus précisément, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U_{ij} \ar[rr]_{\varphi_{ij}} \ar[rd]_{\varphi_i|_{U_{ij}}} & & U_{ji} \ar[ld]^{\varphi_j|_{U_{ji}}} \\ & U_i \cap U_j & }\] la flèche du haut est un isomorphisme d’espaces annelés et, par conséquent, nous obtenons des isomorphismes uniques de faisceaux d’anneaux \[\mathcal{O}_{U_i}|_{U_i \cap U_j} \longrightarrow \mathcal{O}_{U_j}|_{U_i \cap U_j}.\] Ces isomorphismes satisfont une condition de cocycle comme dans Faisceaux, section 00AK. D’après les résultats de cette section, nous obtenons un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\) sur \(X\) tel que \(\mathcal{O}_X|_{U_i}\) soit isomorphe à \(\mathcal{O}_{U_i}\) de manière compatible avec les morphismes de recollement affichés ci-dessus. En particulier, \((X, \mathcal{O}_X)\) est un espace annelé en anneaux locaux puisque les fibres de \(\mathcal{O}_X\) sont égales aux fibres de \(\mathcal{O}_i\) aux points correspondants.

La démonstration des propriétés universelles est omise.

Lemme

Dans le lemme 01JB ci-dessus, supposons que tous les \(X_i\) soient des schémas. Alors l’espace annelé en anneaux locaux résultant \(X\) est un schéma.

Démonstration

Cela est clair puisque chacun des \(U_i\) est un schéma et donc chaque \(x \in X\) possède un voisinage affine.

Il est d’usage de considérer \(X_i\) comme un sous-espace ouvert de \(X\) via les isomorphismes \(\varphi_i\). Nous ferons cela dans les deux exemples suivants.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Soit \(n \geq 1\). Soit \(X_1 = \Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\), soit \(X_2 = \Spec(k[y_1, \ldots, y_n])\). Soit \(0_1 \in X_1\) le point correspondant à l’idéal maximal \((x_1, \ldots, x_n) \subset k[x_1, \ldots, x_n]\). Soit \(0_2 \in X_2\) le point correspondant à l’idéal maximal \((y_1, \ldots, y_n) \subset k[y_1, \ldots, y_n]\). Soit \(U_{12} = X_1 \setminus \{0_1\}\) et soit \(U_{21} = X_2 \setminus \{0_2\}\). Soit \(\varphi_{12} : U_{12} \to U_{21}\) l’isomorphisme provenant de l’isomorphisme des \(k\)-algèbres \(k[y_1, \ldots, y_n] \to k[x_1, \ldots, x_n]\) envoyant \(y_i\) sur \(x_i\) (ce qui induit \(X_1 \cong X_2\) envoyant \(0_1\) sur \(0_2\)). Soit \(X\) le schéma obtenu à partir des données de recollement \((X_1, X_2, U_{12}, U_{21}, \varphi_{12}, \varphi_{21} = \varphi_{12}^{-1})\). Par le léger abus de notation introduit ci-dessus dans l’exemple, nous considérons \(X_1, X_2 \subset X\) comme des sous-schémas ouverts. Il existe un morphisme \(f : X \to \Spec(k[t_1, \ldots, t_n])\) qui sur \(X_1\) (resp.  \(X_2\)) correspond à l’homomorphisme de \(k\)-algèbres \(k[t_1, \ldots, t_n] \to k[x_1, \ldots, x_n]\) (resp.  \(k[t_1, \ldots, t_n] \to k[y_1, \ldots, y_n]\)) envoyant \(t_i\) vers \(x_i\) (resp.  \(t_i\) vers \(y_i\)). Il est facile de voir que ce morphisme identifie \(k[t_1, \ldots, t_n]\) avec \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Puisque \(f(0_1) = f(0_2)\), nous voyons que \(X\) n’est pas affine.

Notez que \(X_1\) et \(X_2\) sont des ouverts affines de \(X\). Mais, si \(n = 2\), alors \(X_1 \cap X_2\) est le schéma décrit dans l’exemple 01IL et donc pas affine. Ainsi, en général, l’intersection des ouverts affines d’un schéma n’est pas affine. (Ce fait vaut plus généralement pour tout \(n > 1\).)

Une autre caractéristique curieuse de cet exemple est la suivante. Si \(n > 1\) il y a de nombreux sous-ensembles fermés irréductibles \(T \subset X\) (prenez par exemple l’adhérence de tout point non fermé dans \(X_1\)). Mais à moins que \(T = \{0_1\}\), ou \(T = \{0_2\}\) nous avons \(0_1 \in T \Leftrightarrow 0_2 \in T\). Démonstration omise.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Soit \(X_1 = \Spec(k[x])\), soit \(X_2 = \Spec(k[y])\). Soit \(0 \in X_1\) le point correspondant à l’idéal maximal \((x) \subset k[x]\). Soit \(\infty \in X_2\) le point correspondant à l’idéal maximal \((y) \subset k[y]\). Soit \(U_{12} = X_1 \setminus \{0\} = D(x) = \Spec(k[x, 1/x])\) et soit \(U_{21} = X_2 \setminus \{\infty\} = D(y) = \Spec(k[y, 1/y])\). Soit \(\varphi_{12} : U_{12} \to U_{21}\) l’isomorphisme provenant de l’isomorphisme des \(k\)-algèbres \(k[y, 1/y] \to k[x, 1/x]\) envoyant \(y\) sur \(1/x\). Soit \(\mathbf{P}^1_k\) le schéma obtenu à partir des données de recollement \((X_1, X_2, U_{12}, U_{21}, \varphi_{12}, \varphi_{21} = \varphi_{12}^{-1})\). Via le léger abus de notation introduit ci-dessus dans l’exemple, nous considérons \(X_i \subset \mathbf{P}^1_k\) comme des sous-schémas ouverts. Dans ce cas, nous voyons que \(\Gamma(\mathbf{P}^1_k, \mathcal{O}) = k\) car les seuls polynômes \(g(x)\) en \(x\) tels que \(g(1/y)\) soit également un polynôme en \(y\) sont des polynômes constants. Puisque \(\mathbf{P}^1_k\) est infini, nous voyons que \(\mathbf{P}^1_k\) n’est pas affine.

Nous affirmons qu’il existe un ouvert affine \(U \subset \mathbf{P}^1_k\) qui contient à la fois \(0\) et \(\infty\). À savoir, soit \(U = \mathbf{P}^1_k \setminus \{1\}\), où \(1\) est le point de \(X_1\) correspondant à l’idéal maximal \((x - 1)\) et également le point de \(X_2\) correspondant à l’idéal maximal \((y - 1)\). Il est alors facile de voir que \(s = 1/(x - 1) = y/(1 - y) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\). En fait, vous pouvez montrer que \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) est égal à l’anneau de polynômes \(k[s]\) et que le morphisme correspondant \(U \to \Spec(k[s])\) est un isomorphisme de schémas. Détails omis.

Un critère de représentabilité

Dans cette section, nous reformulons le lemme de recollement de la section 01JA en termes de foncteurs. Nous rappelons certains résultats de Catégories, section 001L. Rappelons qu’étant donné un schéma \(X\), nous pouvons définir un foncteur \[h_X : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longmapsto \Mor(T, X).\] On l’appelle le foncteur des points de \(X\).

Soit \(F\) un foncteur contravariant de la catégorie des schémas vers la catégorie des ensembles. Dans une formule \[F : \Sch^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}.\] Nous utiliserons la même terminologie que dans Sites, section 00V1. À savoir, étant donné un schéma \(T\), un élément \(\xi \in F(T)\) et un morphisme \(f : T' \to T\), nous noterons \(f^*\xi\) l’élément \(F(f)(\xi)\), et parfois nous utiliserons même la notation \(\xi|_{T'}\)

Définition

(Voir Catégories, définition 001Q.) Soit \(F\) un foncteur contravariant de la catégorie des schémas vers la catégorie des ensembles (comme ci-dessus). Nous disons que \(F\) est représentable par un schéma ou représentable s’il existe un schéma \(X\) tel que \(h_X \cong F\).

Supposons que \(F\) soit représentable par le schéma \(X\) et que \(s : h_X \to F\) soit un isomorphisme. D’après le lemme de Yoneda (Catégories, lemme 001P), la paire \((X, s : h_X \to F)\) est unique à isomorphisme unique près si elle existe. De plus, le lemme de Yoneda affirme que pour tout foncteur contravariant \(F\) comme ci-dessus et tout schéma \(Y\), nous avons une bijection \[\Mor_{\text{Fun}(\Sch^{opp}, \textit{Ensembles})} (h_Y, F) \longrightarrow F(Y), \quad s \longmapsto s(\text{id}_Y).\] Voici la construction inverse. Étant donné un \(\xi \in F(Y)\), la transformation de foncteurs \(s_\xi : h_Y \to F\) associe à tout morphisme \(f : T \to Y\) l’élément \(f^*\xi \in F(T)\).

En particulier, dans le cas où \(F\) est représentable, il existe un schéma \(X\) et un élément \(\xi \in F(X)\) tels que le morphisme correspondant \(h_X \to F\) soit un isomorphisme. Dans ce cas, nous disons aussi que la paire \((X, \xi)\) représente \(F\). L’élément \(\xi \in F(X)\) est souvent appelé la “famille universelle” pour des raisons qui deviendront plus claires lorsque nous parlerons des champs algébriques (insérer référence future ici). Pour le moment, observons simplement que, si la paire \((X, \xi)\) représente \(F\), alors tout élément \(\xi' \in F(T)\) pour tout \(T\) est de la forme \(\xi' = f^*\xi\) pour un morphisme unique \(f : T \to X\).

Exemple

Considérons la règle qui associe à chaque schéma \(T\) l’ensemble \(F(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\). Nous pouvons en faire un foncteur contravariant en utilisant, pour un morphisme \(f : T' \to T\), l’homomorphisme d’image inverse \(f^\sharp : \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \to \Gamma(T', \mathcal{O}_{T'})\). Étant donné un anneau \(R\) et un élément \(t \in R\), il existe un unique homomorphisme d’anneaux \(\mathbf{Z}[x] \to R\) qui envoie \(x\) sur \(t\). Ainsi, en utilisant le lemme 01I1, nous constatons que \[\Mor(T, \Spec(\mathbf{Z}[x])) = \Hom(\mathbf{Z}[x], \Gamma(T, \mathcal{O}_T)) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T).\] Cela donne effectivement un isomorphisme \(h_{\Spec(\mathbf{Z}[x])} \to F\). Quelle est la « famille universelle » \(\xi\) ? Pour l’obtenir, nous devons appliquer les identifications ci-dessus à \(\text{id}_{\Spec(\mathbf{Z}[x])}\). Clairement, sous les identifications ci-dessus, cela donne que \(\xi = x \in \Gamma(\Spec(\mathbf{Z}[x]), \mathcal{O}_{\Spec(\mathbf{Z}[x])}) = \mathbf{Z}[x]\) comme prévu.

Définition

Soit \(F\) un foncteur contravariant sur la catégorie des schémas à valeurs dans les ensembles.

1. On dit que \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour la topologie de Zariski si pour tout schéma \(T\) et tout recouvrement ouvert \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\), et pour toute collection d’éléments \(\xi_i \in F(U_i)\) telle que \(\xi_i|_{U_i \cap U_j} = \xi_j|_{U_i \cap U_j}\), il existe un élément unique \(\xi \in F(T)\) tel que \(\xi_i = \xi|_{U_i}\) dans \(F(U_i)\).

2. Un sous-foncteur \(H \subset F\) est une règle qui associe à chaque schéma \(T\) un sous-ensemble \(H(T) \subset F(T)\) tel que les applications \(F(f) : F(T) \to F(T')\) envoient \(H(T)\) dans \(H(T')\) pour tous les morphismes de schémas \(f : T' \to T\).

3. Soit \(H \subset F\) un sous-foncteur. On dit que \(H \subset F\) est représentable par des immersions ouvertes si pour tous les couples \((T, \xi)\), où \(T\) est un schéma et \(\xi \in F(T)\), il existe un sous-schéma ouvert \(U_\xi \subset T\) avec la propriété suivante :

   • Un morphisme \(f : T' \to T\) se factorise à travers \(U_\xi\) si et seulement si \(f^*\xi \in H(T')\).

4. Soit \(I\) un ensemble. Pour chaque \(i \in I\), soit \(H_i \subset F\) un sous-foncteur. Nous disons que la collection \((H_i)_{i \in I}\) recouvre \(F\) si et seulement si pour chaque \(\xi \in F(T)\), il existe un recouvrement ouvert \(T = \bigcup U_i\) tel que \(\xi|_{U_i} \in H_i(U_i)\).

Dans la condition (4), si \(H_i \subset F\) est représentable par des immersions ouvertes pour tous les \(i\), alors pour vérifier que \((H_i)_{i \in I}\) recouvre \(F\), il suffit de vérifier \(F(T) = \bigcup H_i(T)\) chaque fois que \(T\) est le spectre d’un corps.

Lemme

Soit \(F\) un foncteur contravariant sur la catégorie des schémas à valeurs dans la catégorie des ensembles. Supposons que

1. \(F\) satisfasse la propriété de faisceau pour la topologie de Zariski.

2. il existe un ensemble \(I\) et une collection de sous-foncteurs \(F_i \subset F\) tels que

   1. chaque \(F_i\) est représentable,

   2. chaque \(F_i \subset F\) est représentable par des immersions ouvertes, et

   3. la collection \((F_i)_{i \in I}\) recouvre \(F\).

Alors \(F\) est représentable.

Démonstration

Soit \(X_i\) un schéma représentant \(F_i\) et soit \(\xi_i \in F_i(X_i) \subset F(X_i)\) la “famille universelle”. Puisque \(F_j \subset F\) est représentable par des immersions ouvertes, il existe un ouvert \(U_{ij} \subset X_i\) tel que \(T \to X_i\) se factorise par \(U_{ij}\) si et seulement si \(\xi_i|_T \in F_j(T)\). En particulier \(\xi_i|_{U_{ij}} \in F_j(U_{ij})\) et donc nous obtenons un morphisme canonique \(\varphi_{ij} : U_{ij} \to X_j\) tel que \(\varphi_{ij}^*\xi_j = \xi_i|_{U_{ij}}\). Par définition de \(U_{ji}\), cela implique que \(\varphi_{ij}\) se factorise par \(U_{ji}\). Comme \((\varphi_{ij} \circ \varphi_{ji})^*\xi_j =\varphi_{ji}^*(\varphi_{ij}^*\xi_j) = \varphi_{ji}^*\xi_i = \xi_j\), nous concluons que \(\varphi_{ij} \circ \varphi_{ji} = \text{id}_{U_{ji}}\) parce que le couple \((X_j, \xi_j)\) représente \(F_j\). En particulier, les applications \(\varphi_{ij} : U_{ij} \to U_{ji}\) sont des isomorphismes de schémas. Ensuite, nous devons montrer que \(\varphi_{ij}^{-1}(U_{ji} \cap U_{jk}) = U_{ij} \cap U_{ik}\). Cela est vrai parce que (a) \(U_{ji} \cap U_{jk}\) est le plus grand ouvert de \(U_{ji}\) tel que \(\xi_j\) se restreigne à un élément de \(F_k\), (b) \(U_{ij} \cap U_{ik}\) est le plus grand ouvert de \(U_{ij}\) tel que \(\xi_i\) se restreigne à un élément de \(F_k\), et (c) \(\varphi_{ij}^*\xi_j = \xi_i\). De plus, la condition de cocycle dans la section 01JA suit parce que \(\varphi_{jk}|_{U_{ji} \cap U_{jk}} \circ \varphi_{ij}|_{U_{ij} \cap U_{ik}}\) et \(\varphi_{ik}|_{U_{ij} \cap U_{ik}}\) ont tous deux pour image inverse de \(\xi_k\) l’élément \(\xi_i\). Ainsi, nous pouvons appliquer le lemme 01JC pour obtenir un schéma \(X\) avec un recouvrement ouvert \(X = \bigcup U_i\) et des isomorphismes \(\varphi_i : X_i \to U_i\) avec des propriétés comme dans le lemme 01JB. Soit \(\xi_i' = (\varphi_i^{-1})^* \xi_i\). Les conditions du lemme 01JB impliquent que \(\xi_i'|_{U_i \cap U_j} = \xi_j'|_{U_i \cap U_j}\). Par conséquent, d’après la condition que \(F\) satisfait la condition de faisceau dans la topologie de Zariski, nous voyons qu’il existe un élément \(\xi' \in F(X)\) tel que \(\xi_i = \varphi_i^*\xi'|_{U_i}\) pour tout \(i\). Puisque \(\varphi_i\) est un isomorphisme, nous obtenons également que \((U_i, \xi'|_{U_i})\) représente le foncteur \(F_i\).

Nous affirmons que la paire \((X, \xi')\) représente le foncteur \(F\). Pour le montrer, soit \(T\) un schéma et soit \(\xi \in F(T)\). Nous allons construire un morphisme unique \(g : T \to X\) tel que \(g^*\xi' = \xi\). À savoir, d’après la condition que les sous-foncteurs \(F_i\) couvrent \(F\), il existe un recouvrement ouvert \(T = \bigcup V_i\) tel que pour chaque \(i\), la restriction \(\xi|_{V_i} \in F_i(V_i)\). De plus, comme chacune des inclusions \(F_i \subset F\) est représentable par des immersions ouvertes, nous pouvons supposer que chaque \(V_i \subset T\) est le plus grand ouvert possédant cette propriété. Puisque \((U_i, \xi'|_{U_i})\) représente le foncteur \(F_i\), nous obtenons un morphisme unique \(g_i : V_i \to U_i\) tel que \(g_i^*\xi'|_{U_i} = \xi|_{V_i}\). Sur les intersections \(V_i \cap V_j\), les morphismes \(g_i\) et \(g_j\) coïncident, par exemple parce qu’ils ont tous deux pour image inverse de \(\xi'|_{U_i \cap U_j} \in F_i(U_i \cap U_j)\) le même élément. Ainsi les morphismes \(g_i\) se recollent en un unique morphisme \(T \to X\) comme souhaité.

Remarque

Supposons que le foncteur \(F\) soit défini sur tous les espaces annelés en anneaux locaux, et que les conditions du lemme 01JJ soient remplacées par ce qui suit :

1. \(F\) satisfait la propriété de faisceau sur la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux,

2. il existe un ensemble \(I\) et une collection de sous-foncteurs \(F_i \subset F\) tels que

   1. chaque \(F_i\) soit représentable par un schéma,

   2. chaque \(F_i \subset F\) soit représentable par des immersions ouvertes sur la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux, et

   3. la collection \((F_i)_{i \in I}\) recouvre \(F\) en tant que foncteur sur la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux.

Nous laissons au lecteur le soin de développer cela davantage. Le résultat final est alors que le foncteur \(F\) est représentable dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux et que l’objet représentant est un schéma.

Existence des produits fibrés de schémas

Une question élémentaire est de savoir si les produits et les produits fibrés existent dans la catégorie des schémas. Nous prouvons d’abord leur existence de manière abstraite ; dans la section suivante, nous en donnons une description concrète.

Lemme

La catégorie des schémas possède un objet final, des produits et des produits fibrés. En d’autres termes, la catégorie des schémas a des limites finies, voir Catégories, lemme 002O.

Démonstration

On peut omettre cette démonstration. Il est plus important d’apprendre à travailler avec le produit fibré, qui est expliqué dans la section suivante.

D’après le lemme 01I1, le schéma \(\Spec(\mathbf{Z})\) est un objet final dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux. Ainsi, il suffit de prouver que les produits fibrés existent.

Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Nous devons montrer que le foncteur \[\begin{eqnarray*} F : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ensembles} \\ T & \longmapsto & \Mor(T, X) \times_{\Mor(T, S)} \Mor(T, Y) \end{eqnarray*}\] est représentable. Nous affirmons que le lemme 01JJ s’applique au foncteur \(F\). Si nous prouvons cela, alors le lemme est prouvé.

Tout d’abord, nous montrons que \(F\) satisfait la propriété de faisceau pour la topologie de Zariski. À savoir, supposons que \(T\) soit un schéma, \(T = \bigcup_{i \in I} U_i\) soit un recouvrement ouvert, et \(\xi_i \in F(U_i)\) tel que \(\xi_i|_{U_i \cap U_j} = \xi_j|_{U_i \cap U_j}\) pour toutes les paires \(i, j\). Par définition, \(\xi_i\) correspond à une paire \((a_i, b_i)\) où \(a_i : U_i \to X\) et \(b_i : U_i \to Y\) sont des morphismes de schémas tels que \(f \circ a_i = g \circ b_i\). La condition de recollement dit que \(a_i|_{U_i \cap U_j} = a_j|_{U_i \cap U_j}\) et \(b_i|_{U_i \cap U_j} = b_j|_{U_i \cap U_j}\). Ainsi, en recollant les morphismes \(a_i\), nous obtenons un morphisme d’espaces annelés en anneaux locaux (c’est-à-dire un morphisme de schémas) \(a : T \to X\) et de même \(b : T \to Y\) (voir par exemple la propriété universelle du lemme 01JB). De plus, sur les éléments d’un recouvrement ouvert, les compositions \(f \circ a\) et \(g \circ b\) coïncident. Par conséquent, \(f \circ a = g \circ b\) et la paire \((a, b)\) définit un élément de \(F(T)\) qui se restreint aux paires \((a_i, b_i)\) sur chaque \(U_i\). La condition de faisceau est vérifiée.

Ensuite, nous construisons la famille de sous-foncteurs. Choisissez un recouvrement ouvert par des ouverts affines \(S = \bigcup\nolimits_{i \in I} U_i\). Pour chaque \(i \in I\), choisissez des recouvrements ouverts par des ouverts affines \(f^{-1}(U_i) = \bigcup\nolimits_{j \in J_i} V_j\) et \(g^{-1}(U_i) = \bigcup\nolimits_{k \in K_i} W_k\). Notez que \(X = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j \in J_i} V_j\) est un recouvrement ouvert et de même pour \(Y\). Pour tout \(i \in I\) et chaque paire \((j, k) \in J_i \times K_i\), nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & W_k \ar[d] \ar[rd] & \\ V_j \ar[rd] \ar[r] & U_i \ar[rd] & Y \ar[d] \\ & X \ar[r] & S }\] où toutes les flèches obliques sont des immersions ouvertes. Pour un tel triple, nous obtenons un foncteur \[\begin{eqnarray*} F_{i, j, k} : \Sch^{opp} & \longrightarrow & \textit{Ensembles} \\ T & \longmapsto & \Mor(T, V_j) \times_{\Mor(T, U_i)} \Mor(T, W_k). \end{eqnarray*}\] Il existe une transformation évidente de foncteurs \(F_{i, j, k} \to F\) (provenant du grand diagramme commutatif ci-dessus) qui est injective, donc nous pouvons considérer \(F_{i, j, k}\) comme un sous-foncteur de \(F\).

Nous vérifions la condition (2)(a) du lemme 01JJ. Cela découle directement du lemme 01I4. (Notez que nous utilisons ici le fait que les produits fibrés dans la catégorie des schémas affines sont également des produits fibrés dans la catégorie tout entière des espaces annelés en anneaux locaux.)

Nous vérifions la condition (2)(b) du lemme 01JJ. Soit \(T\) un schéma et soit \(\xi \in F(T)\). En d’autres termes, \(\xi = (a, b)\) où \(a : T \to X\) et \(b : T \to Y\) sont des morphismes de schémas tels que \(f \circ a = g \circ b\). Posons \(V_{i, j, k} = a^{-1}(V_j) \cap b^{-1}(W_k)\). Pour tout autre morphisme \(h : T' \to T\) nous avons \(h^*\xi = (a \circ h, b \circ h)\). Par conséquent, nous voyons que \(h^*\xi \in F_{i, j, k}(T')\) si et seulement si \(a(h(T')) \subset V_j\) et \(b(h(T')) \subset W_k\). En d’autres termes, si et seulement si \(h(T') \subset V_{i, j, k}\). Cela prouve la condition (2)(b).

Nous vérifions la condition (2)(c) du lemme 01JJ. Soit \(T\) un schéma et soit \(\xi = (a, b) \in F(T)\) comme ci-dessus. Posons \(V_{i, j, k} = a^{-1}(V_j) \cap b^{-1}(W_k)\) comme ci-dessus. La condition (2)(c) signifie simplement que \(T = \bigcup V_{i, j, k}\) ce qui est évident. Ainsi, le lemme est prouvé et les produits fibrés existent.

Remarque

En utilisant la remarque 01JK, on peut montrer que le produit fibré de morphismes de schémas existe dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux et est un schéma.

Produits fibrés de schémas

Voici un rappel de la définition générale, même si nous avons déjà montré que les produits fibrés de schémas existent.

Définition

Étant donnés des morphismes de schémas \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\), le produit fibré est un schéma \(X \times_S Y\) muni des morphismes de projection \(p : X \times_S Y \to X\) et \(q : X \times_S Y \to Y\) qui s’insèrent dans le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ X \times_S Y \ar[r]_q \ar[d]_p & Y \ar[d]^g \\ X \ar[r]^f & S }\] et qui est universel parmi tous les diagrammes de ce type, voir Catégories, définition 001V.

En d’autres termes, étant donné tout diagramme commutatif de morphismes de schémas dont les flèches pleines sont fixées \[\xymatrix{ T \ar[rrrd] \ar@{-->}[rrd] \ar[rrdd] & & \\ & & X \times_S Y \ar[d] \ar[r] & Y \ar[d] \\ & & X \ar[r] & S }\] il existe une flèche pointillée unique faisant commuter le diagramme. Nous allons prouver quelques lemmes qui nous aideront à comprendre les produits fibrés.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas ayant la même cible. Si \(X, Y, S\) sont tous affines alors \(X \times_S Y\) est affine.

Démonstration

Supposons que \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(B)\) et \(S = \Spec(R)\). D’après le lemme 01I4, le schéma affine \(\Spec(A \otimes_R B)\) est le produit fibré \(X \times_S Y\) dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux. Par conséquent, il est a fortiori le produit fibré dans la catégorie des schémas.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas ayant la même cible. Soient \(X \times_S Y\), \(p\), \(q\) le produit fibré. Supposons que \(U \subset S\), \(V \subset X\), \(W \subset Y\) soient des sous-schémas ouverts tels que \(f(V) \subset U\) et \(g(W) \subset U\). Alors le morphisme canonique \(V \times_U W \to X \times_S Y\) est une immersion ouverte qui identifie \(V \times_U W\) avec \(p^{-1}(V) \cap q^{-1}(W)\).

Démonstration

Soit \(T\) un schéma. Supposons que \(a : T \to V\) et \(b : T \to W\) soient des morphismes tels que \(f \circ a = g \circ b\) comme morphismes dans \(U\). Alors ils coïncident comme morphismes dans \(S\). Par la propriété universelle du produit fibré, nous obtenons un morphisme unique \(T \to X \times_S Y\). Bien sûr, ce morphisme a son image contenue dans l’ouvert \(p^{-1}(V) \cap q^{-1}(W)\). Ainsi \(p^{-1}(V) \cap q^{-1}(W)\) est un produit fibré de \(V\) et \(W\) au-dessus de \(U\). Le résultat découle de l’unicité des produits fibrés, voir Catégories, section 001U.

En particulier, cela montre que \(V \times_U W = V \times_S W\) dans la situation du lemme. De plus, si \(U, V, W\) sont tous affines, alors nous savons que \(V \times_U W\) est affine. Et bien sûr, nous pouvons recouvrir \(X \times_S Y\) par de tels ouverts affines \(V \times_U W\). Nous formulons cela comme un lemme.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas ayant la même cible. Soit \(S = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert affine quelconque de \(S\). Pour chaque \(i \in I\), soit \(f^{-1}(U_i) = \bigcup_{j \in J_i} V_j\) un recouvrement ouvert affine de \(f^{-1}(U_i)\) et soit \(g^{-1}(U_i) = \bigcup_{k \in K_i} W_k\) un recouvrement ouvert affine de \(g^{-1}(U_i)\). Alors \[X \times_S Y = \bigcup\nolimits_{i \in I} \bigcup\nolimits_{j \in J_i, \ k \in K_i} V_j \times_{U_i} W_k\] est un recouvrement ouvert affine de \(X \times_S Y\).

Démonstration

Voir la discussion qui précède le lemme.

En d’autres termes, nous aurions pu utiliser le lemme précédent pour construire le produit fibré directement en recollant les schémas affines. (Ce qui est bien sûr exactement ce que nous avons fait dans la preuve du lemme 01JM.) Voici une manière de décrire l’ensemble des points d’un produit fibré de schémas.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas ayant la même cible. Les points \(z\) de \(X \times_S Y\) sont en correspondance bijective avec les quadruples \[(x, y, s, \mathfrak p)\] où \(x \in X\), \(y \in Y\), \(s \in S\) sont des points tels que \(f(x) = s\), \(g(y) = s\) et \(\mathfrak p\) est un idéal premier de l’anneau \(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y)\). Le corps résiduel de \(z\) correspond au corps résiduel de l’idéal premier \(\mathfrak p\).

Démonstration

Soit \(z\) un point de \(X \times_S Y\) et construisons un quadruple comme ci-dessus. Rappelons que nous pouvons considérer \(z\) comme un morphisme \(\Spec(\kappa(z)) \to X \times_S Y\), voir le lemme 01J9. Ce morphisme correspond aux morphismes \(a : \Spec(\kappa(z)) \to X\) et \(b : \Spec(\kappa(z)) \to Y\) tels que \(f \circ a = g \circ b\). Par le même lemme, nous obtenons à nouveau les points \(x \in X\), \(y \in Y\) au-dessus du même point \(s \in S\) ainsi que les homomorphismes de corps \(\kappa(x) \to \kappa(z)\), \(\kappa(y) \to \kappa(z)\) tels que les compositions \(\kappa(s) \to \kappa(x) \to \kappa(z)\) et \(\kappa(s) \to \kappa(y) \to \kappa(z)\) soient les mêmes. En d’autres termes, nous obtenons un homomorphisme d’anneaux \(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y) \to \kappa(z)\). Nous notons \(\mathfrak p\) le noyau de cette application.

Inversement, étant donné un quadruple \((x, y, s, \mathfrak p)\), nous obtenons un diagramme commutatif aux flèches pleines \[\xymatrix{ X \times_S Y \ar@/_/[dddr] \ar@/^/[rrrd] & & & \\ & \Spec(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y)/\mathfrak p) \ar[r] \ar[d] \ar@{-->}[lu] & \Spec(\kappa(y)) \ar[d] \ar[r] & Y \ar[dd] \\ & \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[d] & \Spec(\kappa(s)) \ar[rd] & \\ & X \ar[rr] & & S }\] voir la discussion dans la section 01J5. Ainsi, nous obtenons la flèche en pointillés. Le point correspondant \(z\) de \(X \times_S Y\) est l’image du point générique de \(\Spec(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y)/\mathfrak p)\). Nous omettons la vérification que les deux constructions sont réciproques l’une de l’autre.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas ayant la même cible.

1. Si \(f : X \to S\) est une immersion fermée, alors \(X \times_S Y \to Y\) est une immersion fermée. De plus, si \(X \to S\) correspond au faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\), alors \(X \times_S Y \to Y\) correspond au faisceau d’idéaux \(\Im(g^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y)\).

2. Si \(f : X \to S\) est une immersion ouverte, alors \(X \times_S Y \to Y\) est une immersion ouverte.

3. Si \(f : X \to S\) est une immersion, alors \(X \times_S Y \to Y\) est une immersion.

Démonstration

Supposons que \(X \to S\) soit une immersion fermée correspondant au faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\). D’après le lemme 01HQ, le sous-espace fermé \(Z \subset Y\) défini par le faisceau d’idéaux \(\Im(g^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_Y)\) est le produit fibré dans la catégorie des espaces annelés en anneaux locaux. D’après le lemme 01IN, \(Z\) est un schéma. Par conséquent, \(Z = X \times_S Y\) et la première affirmation en découle. La deuxième découle par exemple du lemme 01JR. La troisième est une combinaison des deux premières.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé de \(Y\). L’image réciproque \(f^{-1}(Z)\) du sous-schéma fermé \(Z\) est le sous-schéma fermé \(Z \times_Y X\) de \(X\). Voir le lemme 01JU ci-dessus.

Nous pouvons également utiliser occasionnellement cette terminologie pour les sous-schémas localement fermés et ouverts.

Changement de base en géométrie algébrique

Une motivation pour l’introduction du langage des schémas est qu’il donne une notion très précise de ce que signifie définir une variété sur un corps particulier. Par exemple, une variété \(X\) sur \(\mathbf{Q}\) est, par définition (Variétés, définition 020D), un schéma muni d’un morphisme \(X \to \Spec(\mathbf{Q})\) de type fini et séparé, et qui est lui-même irréductible et réduit¹. Dans tous les cas, l’idée est plus généralement de travailler avec des schémas sur un schéma de base donné, souvent noté \(S\). Nous dirons « soit \(X\) un schéma sur \(S\) » pour signifier simplement que \(X\) est muni d’un morphisme \(X \to S\). Dans les diagrammes, nous représenterons le morphisme structural \(X \to S\) par une flèche descendante de \(X\) vers \(S\). Nous nous intéressons souvent davantage aux propriétés de \(X\) relativement à \(S\) qu’à la géométrie interne de \(X\). Par exemple, nous aimerions connaître des choses sur les fibres de \(X \to S\), ce qui se passe pour \(X\) après changement de base, et ainsi de suite.

Nous introduisons une partie du langage couramment utilisé. Bien sûr, ce langage n’est qu’un cas particulier de réflexion sur la catégorie des objets au-dessus d’un objet donné dans une catégorie, voir Catégories, exemple 001G.

Définition

Soit \(S\) un schéma.

1. Nous disons que \(X\) est un schéma sur \(S\) si \(X\) est muni d’un morphisme de schémas \(X \to S\). Le morphisme \(X \to S\) est parfois appelé le morphisme structural.

2. Si \(R\) est un anneau, nous disons que \(X\) est un schéma sur \(R\) pour dire que \(X\) est un schéma sur \(\Spec(R)\).

3. Un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas sur \(S\) est un morphisme de schémas tel que la composée \(X \to Y \to S\) de \(f\) avec le morphisme structural de \(Y\) soit égale au morphisme structural de \(X\).

4. Nous notons \(\Mor_S(X, Y)\) l’ensemble de tous les morphismes de \(X\) vers \(Y\) sur \(S\).

5. Soit \(X\) un schéma sur \(S\). Soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas. Le changement de base de \(X\) est le schéma \(X_{S'} = S' \times_S X\) sur \(S'\).

6. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas. Le changement de base de \(f\) est le morphisme induit \(f' : X_{S'} \to Y_{S'}\) (à savoir le morphisme \(\text{id}_{S'} \times_{\text{id}_S} f\)).

7. Soit \(R\) un anneau. Soit \(X\) un schéma sur \(R\). Soit \(R \to R'\) un morphisme d’anneaux. Le changement de base \(X_{R'}\) est le schéma \(\Spec(R') \times_{\Spec(R)} X\) sur \(R'\).

Voici un résultat typique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) une immersion (resp.  immersion fermée, resp. immersion ouverte) de schémas sur \(S\). Alors tout changement de base de \(f\) est une immersion (resp.  immersion fermée, resp. immersion ouverte).

Démonstration

On peut penser au changement de base de \(f\) via le morphisme \(S' \to S\) comme la flèche verticale en haut à gauche dans le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ X_{S'} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \ar@/^4ex/[dd] \\ Y_{S'} \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ S' \ar[r] & S }\] Le diagramme implique \(X_{S'} \cong Y_{S'} \times_Y X\), et le lemme découle du lemme 01JU.

En fait, ce type de résultat est tellement typique qu’il existe une expression pour l’indiquer. La voici.

Définition

Propriétés et changement de base.

1. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des schémas sur une base. On dit que \(\mathcal{P}\) est préservée par un changement de base arbitraire, ou simplement que \(\mathcal{P}\) est préservée par changement de base si, chaque fois que \(X/S\) possède \(\mathcal{P}\), tout changement de base \(X_{S'}/S'\) possède \(\mathcal{P}\).

2. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes de schémas sur une base. On dit que \(\mathcal{P}\) est préservée par un changement de base arbitraire, ou simplement qu’elle est préservée par changement de base si, chaque fois que \(f : X \to Y\) sur \(S\) possède \(\mathcal{P}\), tout changement de base \(f' : X_{S'} \to Y_{S'}\) sur \(S'\) possède \(\mathcal{P}\).

À ce stade, nous pouvons dire que la propriété « être une immersion fermée » est préservée par un changement de base arbitraire.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(s \in S\) un point. La fibre schématique \(X_s\) de \(f\) au-dessus de \(s\), ou simplement la fibre de \(f\) au-dessus de \(s\), est le schéma qui s’insère dans le diagramme de produit fibré suivant \[\xymatrix{ X_s = \Spec(\kappa(s)) \times_S X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S }\] Nous considérons toujours la fibre \(X_s\) comme un schéma sur \(\kappa(s)\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Considérons les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ X_s \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \times_S X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \ar[r] & S } }\] Dans les deux cas, ces diagrammes induisent des carrés fibrés d’espaces topologiques et en particulier, la flèche horizontale supérieure est un homéomorphisme sur son image.

Démonstration

Choisissez un ouvert affine \(U \subset S\) qui contient \(s\). Les morphismes horizontaux inférieurs se factorisent par \(U\), voir le lemme 01J6 par exemple. Ainsi, nous pouvons supposer que \(S\) est affine. Si \(X\) est également affine, alors le résultat découle d’ Algèbre, remarque 00E6. Dans le cas général, le résultat découle en recouvrant \(X\) par des ouverts affines.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) avec image \(s \in S\). En considérant \(x\) comme un point de \(X_s\) (voir le lemme 01K1), nous avons \[\mathcal{O}_{X_s, x} \cong \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \kappa(s)\]

Démonstration

Comme dans la preuve du lemme 01K1, cela se réduit au cas où \(X\) et \(S\) sont affines. Dans le cas affine, l’énoncé se traduit par Algèbre, remarque 0H9M.

Morphismes quasi-compacts

Un schéma est quasi-compact si son espace topologique sous-jacent est quasi-compact. Il existe une notion relative qui est définie comme suit.

Définition

Un morphisme de schémas est dit quasi-compact si l’application continue sous-jacente entre espaces topologiques est quasi-compacte, voir Topologie, définition 005A.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(f : X \to S\) est quasi-compact,

2. l’image réciproque de chaque ouvert affine est quasi-compacte, et

3. il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) tel que \(f^{-1}(U_i)\) soit quasi-compact pour tout \(i\).

Démonstration

Supposons donné un recouvrement \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) comme dans (3). Tout d’abord, soit \(U \subset S\) un ouvert affine quelconque. Pour tout \(u \in U\), nous pouvons trouver un indice \(i(u) \in I\) tel que \(u \in U_{i(u)}\). Comme les ouverts standards forment une base pour la topologie sur \(U_{i(u)}\), nous pouvons trouver \(W_u \subset U \cap U_{i(u)}\) qui est un ouvert standard dans \(U_{i(u)}\). Par quasi-compacité, nous pouvons trouver un nombre fini de points \(u_1, \ldots, u_n \in U\) tels que \(U = \bigcup_{j = 1}^n W_{u_j}\). Pour chaque \(j\), écrivons \(f^{-1}U_{i(u_j)} = \bigcup_{k \in K_j} V_{jk}\) comme une union finie d’ouverts affines. Puisque \(W_{u_j} \subset U_{i(u_j)}\) est un ouvert standard, nous voyons que \(f^{-1}(W_{u_j}) \cap V_{jk}\) est un ouvert standard de \(V_{jk}\), voir Algèbre, lemme 00E2. Ainsi \(f^{-1}(W_{u_j}) \cap V_{jk}\) est affine, et donc \(f^{-1}(W_{u_j})\) est une union finie d’ouverts affines. Cela prouve que l’image réciproque de tout ouvert affine est une union finie d’ouverts affines.

Ensuite, supposons que l’image réciproque de tout ouvert affine soit une union finie d’ouverts affines. Soit \(K \subset S\) un ouvert quasi-compact quelconque. Comme \(S\) a une base de la topologie constituée d’ouverts affines, nous voyons que \(K\) est une union finie d’ouverts affines. Par conséquent, l’image réciproque de \(K\) est une union finie d’ouverts affines. Par conséquent, \(f\) est quasi-compact.

Enfin, supposons que \(f\) soit quasi-compact. Dans ce cas, l’argument du paragraphe précédent montre que l’image réciproque de tout ouvert affine est une union finie d’ouverts affines.

Lemme

Être quasi-compact est une propriété des morphismes de schémas sur une base qui est préservée par tout changement de base.

Démonstration

Omis.

Lemme

Le composé de morphismes quasi-compacts est quasi-compact.

Démonstration

Cela découle des définitions et de Topologie, lemme 005B.

Lemme

Une immersion fermée est quasi-compacte.

Démonstration

Cela découle des définitions et de Topologie, lemme 005C.

Exemple

Une immersion ouverte n’est généralement pas quasi-compacte. L’exemple standard de ceci est le sous-espace ouvert \(U \subset X\), où \(X = \Spec(k[x_1, x_2, x_3, \ldots])\), où \(U\) est \(X \setminus \{0\}\), et où \(0\) est le point de \(X\) correspondant à l’idéal maximal \((x_1, x_2, x_3, \ldots)\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-compact de schémas. Les affirmations suivantes sont équivalentes

1. \(f(X) \subset S\) est fermé, et

2. \(f(X) \subset S\) est stable par spécialisation.

Démonstration

Nous avons (1) \(\Rightarrow\) (2) par Topologie, lemme 0062. Supposons (2). Soit \(U \subset S\) un ouvert affine. Il suffit de prouver que \(f(X) \cap U\) est fermé. Puisque \(U \cap f(X)\) est stable par spécialisations dans \(U\), nous avons réduit au cas où \(S\) est affine. Comme \(f\) est quasi-compact, nous en déduisons que \(X = f^{-1}(S)\) est quasi-compact puisque \(S\) est affine. Ainsi nous pouvons écrire \(X = \bigcup_{i = 1}^n U_i\) avec \(U_i \subset X\) ouvert affine. Disons \(S = \Spec(R)\) et \(U_i = \Spec(A_i)\) pour une certaine \(R\)-algèbre \(A_i\). Alors \(f(X) = \Im(\Spec(A_1 \times \ldots \times A_n) \to \Spec(R))\). Le résultat découle donc d’Algèbre, lemme 00HY.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-compact de schémas. Alors \(f\) est fermé si et seulement si les spécialisations se relèvent le long de \(f\), voir Topologie, définition 0063.

Démonstration

D’après Topologie, lemme 0066, si \(f\) est fermé, alors les spécialisations se relèvent le long de \(f\). Inversement, supposons que les spécialisations se relèvent le long de \(f\). Soit \(Z \subset X\) un sous-ensemble fermé. Nous pouvons considérer \(Z\) comme un schéma avec la structure de schéma réduite induite, voir définition 01J4. Puisque \(Z \subset X\) est fermé, la restriction de \(f\) à \(Z\) est toujours quasi-compacte. De plus, les spécialisations se relèvent également le long de \(Z \to S\), voir Topologie, lemme 0064. Par conséquent, il suffit de prouver que \(f(X)\) est fermé si les spécialisations se relèvent le long de \(f\). En particulier, \(f(X)\) est stable par spécialisation, voir Topologie, lemme 0065. Ainsi \(f(X)\) est fermé par le lemme 05JL.

Critère valuatif de fermeture universelle

Topologie, section 005M, étudie les applications propres comme des applications fermées entre espaces topologiques dont toutes les fibres sont quasi-compactes, ou comme des applications telles que tous les changements de base sont des applications fermées. Voici la notion correspondante en géométrie algébrique.

Définition

Un morphisme de schémas \(f : X \to S\) est dit universellement fermé si chaque changement de base \(f' : X_{S'} \to S'\) est fermé.

En fait, l’adjectif « universel » est souvent utilisé de cette manière. En d’autres termes, étant donné une propriété \(\mathcal{P}\) des morphismes, on dit que « \(X \to S\) est universellement \(\mathcal{P}\) » si et seulement si chaque changement de base \(X_{S'} \to S'\) possède \(\mathcal{P}\).

Voir Morphismes, section 01W0, pour une discussion plus détaillée des propriétés des morphismes universellement fermés. Dans cette section, nous limitons la discussion à la relation entre les morphismes universellement fermés et les morphismes satisfaisant la partie d’existence du critère valuatif.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

1. Si \(f\) est universellement fermé, alors les spécialisations se relèvent le long de tout changement de base de \(f\), voir Topologie, définition 0063.

2. Si \(f\) est quasi-compact et que les spécialisations se relèvent le long de tout changement de base de \(f\), alors \(f\) est universellement fermé.

Démonstration

La partie (1) est une conséquence directe de Topologie, lemme 0066. La partie (2) découle des lemmes 01K9 et 01K5.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Nous disons que \(f\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif si, étant donné tout diagramme commutatif dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & S }\] où \(A\) est un anneau de valuation avec corps des fractions \(K\), la flèche pointillée existe. Nous disons que \(f\) satisfait la partie d’unicité du critère valuatif s’il existe au plus une flèche pointillée pour tout diagramme comme ci-dessus (sans exiger l’existence bien sûr).

Un anneau de valuation est un anneau local intègre maximal pour la relation de domination dans son corps des fractions, voir Algèbre, définition 00I9. Par conséquent, le spectre d’un anneau de valuation possède un point générique unique \(\eta\) et un point fermé unique \(0\), et bien sûr nous avons la spécialisation \(\eta \leadsto 0\). L’importance des anneaux de valuation réside dans le fait que toute spécialisation de points dans tout schéma est l’image de \(\eta \leadsto 0\) sous un certain morphisme du spectre d’un certain anneau de valuation. Voici le résultat précis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(s' \leadsto s\) une spécialisation de points de \(S\). Alors

1. il existe un anneau de valuation \(A\) et un morphisme \(f : \Spec(A) \to S\) tels que le point générique \(\eta\) de \(\Spec(A)\) ait pour image \(s'\) et le point fermé pour image \(s\), et

2. étant donnée une extension de corps \(K/\kappa(s')\), on peut faire en sorte que l’extension \(\kappa(\eta)/\kappa(s')\) induite par \(f\) soit isomorphe à l’extension donnée.

Démonstration

Soit \(s' \leadsto s\) une spécialisation dans \(S\), et soit \(K/\kappa(s')\) une extension de corps. D’après le lemme 01J7 et la discussion suivant le lemme 01J9, cela conduit à des homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to \kappa(s') \to K\). Soit \(A \subset K\) un quelconque anneau de valuation dont le corps des fractions est \(K\) et qui domine l’image de \(\mathcal{O}_{S, s} \to K\), voir Algèbre, lemme 00IA. L’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) induit le morphisme \(f : \Spec(A) \to S\), voir lemme 01J6. Ce morphisme possède toutes les propriétés souhaitées par construction.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les énoncés suivants sont équivalents :

1. Les spécialisations se relèvent par tout changement de base de \(f\).

2. Le morphisme \(f\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif.

Démonstration

Supposons que (1) soit vrai. Considérons un diagramme dont les flèches pleines sont données, comme dans la définition 01KD. Pour trouver la flèche en pointillés, nous pouvons remplacer \(X \to S\) par \(X_{\Spec(A)} \to \Spec(A)\) puisque, après tout, l’hypothèse est stable par changement de base. Ainsi, nous pouvons supposer \(S = \Spec(A)\). Soit \(x' \in X\) l’image de \(\Spec(K) \to X\), de sorte que nous avons \(\kappa(x') \subset K\), voir le lemme 01J9. D’après l’hypothèse, il existe une spécialisation \(x' \leadsto x\) dans \(X\) telle que \(x\) ait pour image le point fermé de \(S = \Spec(A)\). Nous obtenons un morphisme d’anneaux locaux \(A \to \mathcal{O}_{X, x}\) et un morphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to \kappa(x')\), voir le lemme 01J7 et la discussion qui suit le lemme 01J9. La composée \(A \to \mathcal{O}_{X, x} \to \kappa(x') \to K\) est l’injection donnée \(A \to K\). Comme \(A \to \mathcal{O}_{X, x}\) est local, l’image de \(\mathcal{O}_{X, x} \to K\) domine \(A\) et est donc égale à \(A\), d’après Algèbre, définition 00I9. Ainsi, nous obtenons un homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to A\) et donc un morphisme \(\Spec(A) \to X\) (voir le lemme 01J6 et la discussion qui suit). Cela prouve (2).

En revanche, supposons que (2) soit vérifié. Il est immédiat que la partie d’existence du critère valuatif est vérifiée pour tout changement de base \(X_{S'} \to S'\) de \(f\) en considérant le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_{S'} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] \ar@{-->}[rru] & S' \ar[r] & S }\] En d’autres termes, la flèche pointillée la plus horizontale donnera l’autre par définition du produit fibré. Il suffit donc de montrer que les spécialisations se relèvent le long de \(f\). Soit \(s' \leadsto s\) une spécialisation dans \(S\), et soit \(x' \in X\) un point situé au-dessus de \(s'\). Appliquons le lemme 01J8 à \(s' \leadsto s\) et à l’extension de corps \(K = \kappa(x')/\kappa(s')\). Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[rru] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \ar[r] & S }\] et, par la condition (2), nous obtenons la flèche pointillée. L’image \(x\) du point fermé de \(\Spec(A)\) dans \(X\) sera une solution à notre problème, c’est-à-dire que \(x\) est une spécialisation de \(x'\) et a pour image \(s\).

Proposition

Soit \(f\) un morphisme quasi-compact de schémas. Alors \(f\) est universellement fermé si et seulement si \(f\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif.

Démonstration

Ceci est une conséquence formelle des lemmes 01KC et 01KE ci-dessus.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Considérons le morphisme structural \(p : \mathbf{P}^1_k \to \Spec(k)\) de la droite projective sur \(k\), voir l’exemple 01JE. Utilisons le critère valuatif ci-dessus pour prouver que \(p\) est universellement fermé. Par construction, \(\mathbf{P}^1_k\) est recouvert par deux ouverts affines et donc \(p\) est quasi-compact. Supposons qu’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_\xi \ar[d] & \mathbf{P}^1_k \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r]^\varphi & \Spec(k) }\] soit donné, où \(A\) est un anneau de valuation et \(K\) est son corps des fractions. Rappelons que \(\mathbf{P}^1_k\) est obtenu en recollant \(\Spec(k[x])\) à \(\Spec(k[y])\) en identifiant \(D(x)\) à \(D(y)\) via \(x = y^{-1}\) (ou plus symétriquement \(xy = 1\)). Pour montrer qu’il existe un morphisme \(\Spec(A) \to \mathbf{P}^1_k\) s’insérant en diagonale dans le diagramme ci-dessus, nous pouvons supposer que \(\xi\) ait son image dans l’ouvert \(\Spec(k[x])\) (par symétrie). Cela donne le diagramme commutatif d’anneaux suivant \[\xymatrix{ K & k[x] \ar[l]^{\xi^\sharp} \\ A \ar[u] & k \ar[u] \ar[l]_{\varphi^\sharp} }\] Par Algèbre, lemme 00IB, nous voyons que soit \(\xi^\sharp(x) \in A\), soit \(\xi^\sharp(x)^{-1} \in A\). Dans le premier cas, nous obtenons un morphisme d’anneaux \[k[x] \to A, \ \lambda \mapsto \varphi^\sharp(\lambda), \ x \mapsto \xi^\sharp(x)\] s’insérant dans le diagramme d’anneaux ci-dessus, ce qui conclut. Dans le deuxième cas, nous voyons que nous obtenons un morphisme d’anneaux \[k[y] \to A, \ \lambda \mapsto \varphi^\sharp(\lambda), \ y \mapsto \xi^\sharp(x)^{-1}.\] Cela donne un morphisme \(\Spec(A) \to \Spec(k[y]) \to \mathbf{P}^1_k\) qui s’insère en diagonale dans le diagramme commutatif initial de cet exemple (vérification omise).

Axiomes de séparation

Un espace topologique \(X\) est séparé si et seulement si la diagonale \(\Delta \subset X \times X\) est un sous-ensemble fermé. L’analogue en géométrie algébrique est, étant donné un schéma \(X\) sur un schéma de base \(S\), de considérer le morphisme diagonal \[\Delta_{X/S} : X \longrightarrow X \times_S X.\] C’est le morphisme unique de schémas tel que \(\text{pr}_1 \circ \Delta_{X/S} = \text{id}_X\) et \(\text{pr}_2 \circ \Delta_{X/S} = \text{id}_X\) (il existe dans toute catégorie avec produits fibrés).

Lemme

Le morphisme diagonal d’un morphisme entre schémas affines est fermé.

Démonstration

Le morphisme diagonal associé au morphisme \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) est le morphisme entre spectres correspondant à l’homomorphisme d’anneaux \(S \otimes_R S \to S\), \(a \otimes b \mapsto ab\). Cette application est clairement surjective, donc \(S \cong S \otimes_R S/J\) pour un certain idéal \(J \subset S \otimes_R S\). Par conséquent, \(\Delta\) est une immersion fermée selon l’exemple 01IG.

Lemme

Soit \(X\) un schéma sur \(S\). Le morphisme diagonal \(\Delta_{X/S}\) est une immersion.

Démonstration

Rappelons que si \(V \subset X\) est ouvert affine et se projette dans \(U \subset S\) ouvert affine, alors \(V \times_U V\) est ouvert affine dans \(X \times_S X\), voir les lemmes 01JQ et 01JR. Considérons le sous-schéma ouvert \(W\) de \(X \times_S X\) qui est l’union de ces ouverts affines \(V \times_U V\). D’après le lemme 01HL, il suffit de montrer que chaque morphisme \(\Delta_{X/S}^{-1}(V \times_U V) \to V \times_U V\) est une immersion fermée. Comme \(V = \Delta_{X/S}^{-1}(V \times_U V)\), nous vérifions simplement que \(\Delta_{V/U}\) est une immersion fermée, ce qui est le lemme 01KI.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

1. Nous disons que \(f\) est séparé si le morphisme diagonal \(\Delta_{X/S}\) est une immersion fermée.

2. On dit que \(f\) est quasi-séparé si le morphisme diagonal \(\Delta_{X/S}\) est un morphisme quasi-compact.

3. On dit qu’un schéma \(Y\) est séparé si le morphisme \(Y \to \Spec(\mathbf{Z})\) est séparé.

4. On dit qu’un schéma \(Y\) est quasi-séparé si le morphisme \(Y \to \Spec(\mathbf{Z})\) est quasi-séparé.

D’après les lemmes 01KJ et 01IQ, nous voyons que \(\Delta_{X/S}\) est une immersion fermée si et seulement si \(\Delta_{X/S}(X) \subset X \times_S X\) est un sous-ensemble fermé. De plus, d’après le lemme 01K7, nous voyons qu’un morphisme séparé est quasi-séparé. La raison d’introduire les morphismes quasi-séparés est que les morphismes non séparés apparaissent naturellement dans l’étude des variétés algébriques (en particulier lorsqu’on étudie les problèmes de modules, les champs algébriques, etc.). Mais le plus souvent, ils restent tout de même quasi-séparés.

Exemple

Voici un exemple de morphisme non quasi-séparé. Supposons \(X = X_1 \cup X_2 \to S = \Spec(k)\) avec \(X_1 = X_2 = \Spec(k[t_1, t_2, t_3, \ldots])\) recollés le long du complément de \(\{0\} = \{(t_1, t_2, t_3, \ldots)\}\) (recollés comme dans l’exemple 01JD). Dans ce cas, l’image inverse du schéma affine \(X_1 \times_S X_2\) sous \(\Delta_{X/S}\) est le schéma \(\Spec(k[t_1, t_2, t_3, \ldots]) \setminus \{0\}\) qui n’est pas quasi-compact.

Lemme

Soient \(X\), \(Y\) des schémas sur \(S\). Soient \(a, b : X \to Y\) des morphismes de schémas sur \(S\). Il existe un plus grand sous-schéma localement fermé \(Z \subset X\) tel que \(a|_Z = b|_Z\). En fait, \(Z\) est l’égalisateur de \((a, b)\). De plus, si \(Y\) est séparé sur \(S\), alors \(Z\) est un sous-schéma fermé.

Démonstration

L’égalisateur de \((a, b)\) est, pour des raisons catégoriques, le produit fibré \(Z\) dans le diagramme suivant. \[\xymatrix{ Z = Y \times_{(Y \times_S Y)} X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^{(a , b)} \\ Y \ar[r]^-{\Delta_{Y/S}} & Y \times_S Y }\] Ainsi, le lemme découle des lemmes 01JY, 01KJ et de la définition 01KK.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les affirmations suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est quasi-séparé.

2. Pour chaque paire d’ouverts affines \(U, V \subset X\) qui se projettent dans un ouvert affine commun de \(S\), l’intersection \(U \cap V\) est une union finie d’ouverts affines de \(X\).

3. Il existe un recouvrement par ouverts affines \(S = \bigcup_{i \in I} U_i\) et pour chaque \(i\) un recouvrement par ouverts affines \(f^{-1}U_i = \bigcup_{j \in I_i} V_j\) tel que pour chaque \(i\) et chaque paire \(j, j' \in I_i\) l’intersection \(V_j \cap V_{j'}\) soit une union finie d’ouverts affines de \(X\).

Démonstration

Prouvons que (3) implique (1). D’après le lemme 01JS, le recouvrement \(X \times_S X = \bigcup_i \bigcup_{j, j'} V_j \times_{U_i} V_{j'}\) est un recouvrement par ouverts affines de \(X \times_S X\). De plus, \(\Delta_{X/S}^{-1}(V_j \times_{U_i} V_{j'}) = V_j \cap V_{j'}\). Ainsi, l’implication découle du lemme 01K4.

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) découle du fait que, sous les hypothèses de (2), le produit fibré \(U \times_S V\) est un ouvert affine de \(X \times_S X\). L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est triviale.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas.

1. Si \(f\) est séparé alors pour chaque paire d’ouverts affines \((U, V)\) de \(X\) qui se projettent dans un ouvert affine commun de \(S\) nous avons

   1. l’intersection \(U \cap V\) est affine.

   2. l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_X(U) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathcal{O}_X(V) \to \mathcal{O}_X(U \cap V)\) est surjectif.

2. Si toute paire de points \(x_1, x_2 \in X\) au-dessus d’un point commun \(s \in S\) est contenue dans des ouverts affines \(x_1 \in U\), \(x_2 \in V\) qui se projettent dans un ouvert affine commun de \(S\) tels que (a), (b) sont vérifiés, alors \(f\) est séparé.

Démonstration

Supposons \(f\) séparé. Supposons que \((U, V)\) soit une paire comme dans (1). Soit \(W = \Spec(R)\) un ouvert affine de \(S\) contenant à la fois \(f(U)\) et \(f(V)\). Notons \(U = \Spec(A)\) et \(V = \Spec(B)\) pour les \(R\)-algèbres \(A\) et \(B\). D’après le lemme 01JR, on voit que \(U \times_S V = U \times_W V = \Spec(A \otimes_R B)\) est un ouvert affine de \(X \times_S X\). Par conséquent, d’après le lemme 01IN, on voit que \(\Delta^{-1}(U \times_S V) \to U \times_S V\) peut être identifié à \(\Spec((A \otimes_R B)/J) \to \Spec(A \otimes_R B)\) pour un certain idéal \(J \subset A \otimes_R B\). Ainsi \(U \cap V = \Delta^{-1}(U \times_S V)\) est affine. L’assertion (1)(b) est vérifiée car \(A \otimes_{\mathbf{Z}} B \to (A \otimes_R B)/J\) est surjective.

Supposons que l’hypothèse formulée en (2) soit vérifiée. Il est clair que la collection d’ouverts affines \(U \times_S V\) pour les paires \((U, V)\) comme en (2) forme un recouvrement affine ouvert de \(X \times_S X\) (voir par exemple le lemme 01JS). Il suffit donc de montrer que chaque morphisme \(U \cap V = \Delta_{X/S}^{-1}(U \times_S V) \to U \times_S V\) est une immersion fermée, voir le lemme 01HL. D’après l’hypothèse (a), nous avons \(U \cap V = \Spec(C)\) pour un certain anneau \(C\). Après avoir choisi un ouvert affine \(W = \Spec(R)\) de \(S\) dans lequel les images de \(U\) et de \(V\) sont contenues et en écrivant \(U = \Spec(A)\), \(V = \Spec(B)\), nous voyons que l’hypothèse (b) signifie que la composée \[A \otimes_{\mathbf{Z}} B \to A \otimes_R B \to C\] est surjective. Ainsi \(A \otimes_R B \to C\) est surjective et nous concluons que \(\Spec(C) \to \Spec(A \otimes_R B)\) est une immersion fermée.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Considérons le morphisme structural \(p : \mathbf{P}^1_k \to \Spec(k)\) de la droite projective sur \(k\), voir l’exemple 01JE. Utilisons le lemme ci-dessus pour prouver que \(p\) est séparé. Par construction, \(\mathbf{P}^1_k\) est recouvert par deux ouverts affines \(U = \Spec(k[x])\) et \(V = \Spec(k[y])\) avec intersection \(U \cap V = \Spec(k[x, y]/(xy - 1))\) (en utilisant la notation évidente). Il suffit donc de vérifier que les conditions (2)(a) et (2)(b) du lemme 01KP sont vérifiées pour les paires d’ouverts affines \((U, U)\), \((U, V)\), \((V, U)\) et \((V, V)\). Pour les paires \((U, U)\) et \((V, V)\), c’est trivial. Pour la paire \((U, V)\), cela revient à prouver que \(U \cap V\) est affine, ce qui est vrai, et que l’homomorphisme d’anneaux \[k[x] \otimes_{\mathbf{Z}} k[y] \longrightarrow k[x, y]/(xy - 1)\] est surjectif. C’est évident car tout élément du côté droit peut être écrit comme la somme d’un polynôme en \(x\) et d’un polynôme en \(y\).

Lemme

Soient \(f : X \to T\) et \(g : Y \to T\) des morphismes de schémas ayant la même cible. Soit \(h : T \to S\) un morphisme de schémas. Alors le morphisme induit \(i : X \times_T Y \to X \times_S Y\) est une immersion. Si \(T \to S\) est séparé, alors \(i\) est une immersion fermée. Si \(T \to S\) est quasi-séparé, alors \(i\) est un morphisme quasi-compact.

Démonstration

Par la théorie générale des catégories, le diagramme suivant \[\xymatrix{ X \times_T Y \ar[r] \ar[d] & X \times_S Y \ar[d] \\ T \ar[r]^{\Delta_{T/S}} \ar[r] & T \times_S T }\] est un diagramme de produit fibré. Le lemme découle des lemmes 01KJ, 01JU et 01K5.

Lemme

Soit \(g : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Le morphisme \(i : X \to X \times_S Y\) est une immersion. Si \(Y\) est séparé sur \(S\), c’est une immersion fermée. Si \(Y\) est quasi-séparé sur \(S\), ce morphisme est quasi-compact.

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 01KR appliqué au morphisme \(X = X \times_Y Y \to X \times_S Y\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(s : S \to X\) une section de \(f\) (dans une formule \(f \circ s = \text{id}_S\)). Alors \(s\) est une immersion. Si \(f\) est séparé, alors \(s\) est une immersion fermée. Si \(f\) est quasi-séparé, alors \(s\) est quasi-compact.

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 01KS appliqué à \(g =s\), donc au morphisme \(i = s : S \to S \times_S X\).

Lemme

Propriétés de permanence.

1. Le composé de deux morphismes séparés est séparé.

2. Le composé de deux morphismes quasi-séparés est quasi-séparé.

3. Le changement de base d’un morphisme séparé est séparé.

4. Le changement de base d’un morphisme quasi-séparé est quasi-séparé.

5. Un produit (fibré) de morphismes séparés est séparé.

6. Un produit (fibré) de morphismes quasi-séparés est quasi-séparé.

Démonstration

Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes. Supposons que \(X \to Y\) et \(Y \to Z\) soient séparés. Le composé \[X \to X \times_Y X \to X \times_Z X\] est fermée parce que le premier morphisme l’est par hypothèse et le second d’après le lemme 01KR. Le même argument fonctionne pour « quasi-séparé » (avec les mêmes références).

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur une base \(S\). Soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(f' : X_{S'} \to Y_{S'}\) le changement de base de \(f\). Alors le morphisme diagonal de \(f'\) est un morphisme \[\Delta_{f'} : X_{S'} = S' \times_S X \longrightarrow X_{S'} \times_{Y_{S'}} X_{S'} = S' \times _S (X \times_Y X)\] qui est facilement vu comme étant le changement de base de \(\Delta_f\). Ainsi (3) et (4) découlent du fait que les immersions fermées et les morphismes quasi-compacts sont préservés par tout changement de base (Lemmes 01JU et 01K5).

Si \(f : X \to Y\) et \(g : U \to V\) sont des morphismes de schémas sur une base \(S\), alors \(f \times g\) est le composé de \(X \times_S U \to X \times_S V\) (un changement de base de \(g\)) et \(X \times_S V \to Y \times_S V\) (un changement de base de \(f\)). Ainsi, (5) et (6) suivent de (1) – (4).

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes de schémas. Si \(g \circ f\) est séparé, alors \(f\) l’est aussi. Si \(g \circ f\) est quasi-séparé, alors \(f\) l’est également.

Démonstration

Supposons que \(g \circ f\) soit séparé. Considérons la factorisation \(X \to X \times_Y X \to X \times_Z X\) du morphisme diagonal de \(g \circ f\). D’après le lemme 01KR, le dernier morphisme est une immersion. D’après l’hypothèse, l’image de \(X\) dans \(X \times_Z X\) est fermée. Par conséquent, elle est aussi fermée dans \(X \times_Y X\). Ainsi, nous voyons que \(X \to X \times_Y X\) est une immersion fermée selon le lemme 01IQ.

Supposons que \(g \circ f\) soit quasi-séparé. Soit \(V \subset Y\) un ouvert affine dont l’image est contenue dans un ouvert affine de \(Z\). Soient \(U_1, U_2 \subset X\) des ouverts affines dont les images sont contenues dans \(V\). Alors \(U_1 \cap U_2\) est une union finie d’ouverts affines car \(U_1, U_2\) ont leurs images dans un ouvert affine commun de \(Z\). Puisque nous pouvons recouvrir \(Y\) par des ouverts affines comme \(V\), nous déduisons le lemme du lemme 01KO.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes de schémas. Si \(g \circ f\) est quasi-compact et \(g\) est quasi-séparé, alors \(f\) est quasi-compact.

Démonstration

Ceci est vrai parce que \(f\) est égal au composé \((1, f) : X \to X \times_Z Y \to Y\). La première application est quasi-compacte d’après le lemme 01KT car elle est une section du morphisme quasi-séparé \(X \times_Z Y \to X\) (un changement de base de \(g\), voir le lemme 01KU). La deuxième application est quasi-compacte car elle est le changement de base de \(g \circ f\), voir le lemme 01K5. Et les composés de morphismes quasi-compacts sont quasi-compactes, voir le lemme 01K6.

Lemme

Un schéma affine est séparé. Un morphisme d’un schéma affine vers un autre schéma est séparé.

Démonstration

Soit \(U = \Spec(A)\) un schéma affine. Alors \(U \to \Spec(\mathbf{Z})\) a une diagonale fermée d’après le lemme 01KI. Ainsi \(U\) est séparé selon la définition 01KK. Si \(U \to X\) est un morphisme de schémas, alors nous pouvons appliquer le lemme 01KV aux morphismes \(U \to X \to \Spec(\mathbf{Z})\) pour conclure que \(U \to X\) est séparé.

Vous vous êtes peut-être demandé si la condition de ne considérer que des paires d’ouverts affines dont l’image est contenue dans un ouvert affine est vraiment nécessaire pour pouvoir conclure que leur intersection est affine. Souvent, ce n’est pas le cas !

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons que \(f\) soit séparé et que \(S\) soit un schéma séparé. Supposons que \(U \subset X\) et \(V \subset X\) soient des ouverts affines. Alors \(U \cap V\) est affine (et un sous-schéma fermé de \(U \times V\)).

Démonstration

Dans ce cas, \(X\) est séparé par le lemme 01KU. Ainsi, \(U \cap V\) est affine en appliquant le lemme 01KP au morphisme \(X \to \Spec(\mathbf{Z})\).

D’autre part, l’exemple suivant montre que nous ne pouvons pas nous attendre à ce que l’image d’un ouvert affine soit contenue dans un ouvert affine.

Exemple

Considérons le schéma non affine \(U = \Spec(k[x, y]) \setminus \{(x, y)\}\) de l’exemple 01IL. D’autre part, considérons le schéma \[\mathbf{GL}_{2, k} = \Spec(k[a, b, c, d, 1/ad - bc]).\] Il existe un morphisme \(\mathbf{GL}_{2, k} \to U\) correspondant à l’homomorphisme d’anneaux \(x \mapsto a\), \(y \mapsto b\). Il est facile de voir qu’il s’agit d’un morphisme surjectif, et donc l’image n’est contenue dans aucun ouvert affine de \(U\). En fait, le schéma affine \(\mathbf{GL}_{2, k}\) surjecte également sur \(\mathbf{P}^1_k\), et \(\mathbf{P}^1_k\) n’admet même d’immersion dans aucun schéma affine.

Remarque

Soit \(P\) l’une des \(4\) propriétés suivantes : « quasi-séparé », « séparé », « quasi-compact et quasi-séparé » ou « quasi-compact et séparé ». Alors les énoncés suivants sont vrais

1. Tout schéma affine est \(P\).

2. Étant donné un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas où \(Y\) est \(P\), alors \(f\) est \(P\) si et seulement si \(X\) est \(P\).

3. Si \(X \to Y\) et \(Z \to Y\) sont des morphismes de schémas et \(X\), \(Y\), \(Z\) ont \(P\), alors \(X \times_Y Z\) a \(P\).

L’énoncé (1) est clair. Soit \(f : X \to Y\) comme dans (2). Si \(f\) a \(P\), alors \(X\) l’a aussi par les lemmes 01KU et 01K6 appliqués à \(X \to Y \to \Spec(\mathbf{Z})\). Si \(X\) a \(P\), alors \(f\) l’a aussi par les lemmes 01KV et 03GI appliqués à \(X \to Y \to \Spec(\mathbf{Z})\). Soient \(X \to Y\) et \(Z \to Y\) comme dans (3). Alors la projection \(X \times_Y Z \to Z\) a \(P\) comme changement de base de la flèche \(X \to Y\) qui a \(P\) par (2), voir les lemmes 01KU et 01K5. Par conséquent, \(X \times_Y Z\) a \(P\) par (2).

Critère valuatif de séparation

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est séparé, alors \(f\) satisfait à la partie d’unicité du critère valuatif.

Démonstration

Soit un diagramme comme dans la définition 01KD donné. Supposons qu’il existe deux morphismes \(a, b : \Spec(A) \to X\) s’insérant dans le diagramme. Soit \(Z \subset \Spec(A)\) l’égalisateur de \(a\) et \(b\). D’après le lemme 01KM, ceci est un sous-schéma fermé de \(\Spec(A)\). Par hypothèse, il contient le point générique de \(\Spec(A)\). Comme \(A\) est un anneau intègre, cela implique \(Z = \Spec(A)\). Par conséquent, \(a = b\) comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme. Supposons

1. le morphisme \(f\) est quasi-séparé, et

2. le morphisme \(f\) satisfait la partie d’unicité du critère valuatif.

Alors \(f\) est séparé.

Démonstration

Par l’hypothèse (1), la proposition 01KF, et les lemmes 01KJ et 01IQ, nous voyons qu’il suffit de prouver que le morphisme \(\Delta_{X/S} : X \to X \times_S X\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & X \times_S X }\] dont les flèches pleines sont données. La flèche en bas à droite correspond à une paire de morphismes \(a, b : \Spec(A) \to X\) au-dessus de \(S\). Par (2), nous voyons que \(a = b\). Ainsi, \(a\) fournit la flèche pointillée cherchée.

Monomorphismes

Définition

Un morphisme de schémas est appelé monomorphisme s’il est un monomorphisme dans la catégorie des schémas, voir Catégories, définition 003B.

Lemme

Soit \(j : X \to Y\) un morphisme de schémas. Alors \(j\) est un monomorphisme si et seulement si le morphisme diagonal \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) est un isomorphisme.

Démonstration

Ceci est vrai dans toute catégorie avec des produits fibrés.

Lemme

Un monomorphisme de schémas est séparé.

Démonstration

Cela découle du fait qu’un isomorphisme est une immersion fermée et du lemme 01L3 ci-dessus.

Lemme

Le composé de monomorphismes est un monomorphisme.

Démonstration

Vrai dans toute catégorie.

Lemme

Le changement de base d’un monomorphisme est un monomorphisme.

Démonstration

Vrai dans toute catégorie avec des produits fibrés.

Lemme

Soit \(j : X \to Y\) un morphisme de schémas. Si \(j\) est injectif sur les points, alors \(j\) est séparé.

Démonstration

Soit \(z\) un point de \(X \times_Y X\). Alors \(x = \text{pr}_1(z)\) et \(\text{pr}_2(z)\) sont les mêmes parce que \(j\) envoie ces points sur le même point \(y\) de \(Y\). Alors nous pouvons choisir un voisinage ouvert affine \(V \subset Y\) de \(y\) et un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) de \(x\) avec \(j(U) \subset V\). Alors \(z \in U \times_V U \subset X \times_Y X\). Ainsi \(X \times_Y X\) est l’union des ouverts affines \(U \times_V U\). Puisque \(\Delta_{X/Y}^{-1}(U \times_V U) = U\) et puisque \(U \to U \times_V U\) est une immersion fermée, nous concluons que \(\Delta_{X/Y}\) est une immersion fermée (voir l’argument dans la démonstration du lemme 01KJ).

Lemme

Soit \(j : X \to Y\) un morphisme de schémas. Si

1. \(j\) est injectif sur les points, et

2. pour tout \(x \in X\) l’homomorphisme d’anneaux \(j^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, j(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\) est surjectif,

alors \(j\) est un monomorphisme.

Démonstration

Soient \(a, b : Z \to X\) deux morphismes de schémas tels que \(j \circ a = j \circ b\). Alors (1) implique \(a = b\) en tant qu’applications continues sous-jacentes entre espaces topologiques. Pour tout \(z \in Z\), nous avons \(a^\sharp_z \circ j^\sharp_{a(z)} = b^\sharp_z \circ j^\sharp_{b(z)}\) en tant qu’applications \(\mathcal{O}_{Y, j(a(z))} \to \mathcal{O}_{Z, z}\). La surjectivité des applications \(j^\sharp_x\) impose \(a^\sharp_z = b^\sharp_z\), \(\forall z \in Z\). Cela implique que \(a^\sharp = b^\sharp\). Ainsi, nous concluons \(a = b\) en tant que morphismes de schémas comme voulu.

Lemme

Une immersion de schémas est un monomorphisme. En particulier, toute immersion est séparée.

Démonstration

Nous pouvons le vérifier en constatant que le critère du lemme 01L6 s’applique. Plus élégamment peut-être, nous pouvons utiliser que les lemmes 01HI et 01HP impliquent que les immersions ouvertes et fermées sont des monomorphismes et donc que toute immersion (qui est un composé de celles-ci) est un monomorphisme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme séparé. Tout sous-schéma localement fermé \(Z \subset X\) est séparé sur \(S\).

Démonstration

Résulte du lemme 01L7 et du fait que le composé de morphismes séparés est séparé (lemme 01KU).

Exemple

Le morphisme \(\Spec(\mathbf{Q}) \to \Spec(\mathbf{Z})\) est un monomorphisme. Cela est vrai parce que \(\mathbf{Q} \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q} = \mathbf{Q}\). Plus généralement, pour tout schéma \(S\) et tout point \(s \in S\), le morphisme canonique \[\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \longrightarrow S\] est un monomorphisme.

Lemme

Soient \(k_1, \ldots, k_n\) des corps. Pour tout monomorphisme de schémas \(X \to \Spec(k_1 \times \ldots \times k_n)\), il existe un sous-ensemble \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) tel que \(X \cong \Spec(\prod_{i \in I} k_i)\) en tant que schémas sur \(\Spec(k_1 \times \ldots \times k_n)\). Plus généralement, si \(X = \coprod_{i \in I} \Spec(k_i)\) est une union disjointe de spectres de corps et que \(Y \to X\) est un monomorphisme, alors il existe un sous-ensemble \(J \subset I\) tel que \(Y = \coprod_{i \in J} \Spec(k_i)\).

Démonstration

Réduisons d’abord au cas \(n = 1\) (ou \(\# I = 1\)) en prenant les images inverses des sous-schémas ouverts et fermés \(\Spec(k_i)\). Dans ce cas, \(X\) n’a qu’un seul point, donc il est affine. Le problème algébrique correspondant est le suivant : si \(k \to R\) est un homomorphisme d’algèbres avec \(R \otimes_k R \cong R\), alors \(R \cong k\) ou \(R = 0\). Ceci est vrai pour des raisons de dimension. Voir également Algèbre, lemme 04VV

Fonctorialité pour les modules quasi-cohérents

Soit \(X\) un schéma. Nous notons \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents telle qu’elle est définie dans Modules, définition 01BE. Nous avons vu dans la section 01I6 que la catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) a de nombreuses bonnes propriétés lorsque \(X\) est affine. Puisque la propriété d’être quasi-cohérent est locale sur \(X\), ces propriétés sont héritées par la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur tout schéma \(X\). Nous les énumérons ici.

1. Un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent si et seulement si la restriction de \(\mathcal{F}\) à chaque ouvert affine \(U = \Spec(R)\) est de la forme \(\widetilde M\) pour un certain \(R\)-module \(M\).

2. Un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent si et seulement si la restriction de \(\mathcal{F}\) à chacun des membres d’un recouvrement ouvert affine est quasi-cohérente.

3. Toute somme directe de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente.

4. Toute colimite de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente.

5. Le noyau et le conoyau d’un morphisme de faisceaux quasi-cohérents sont quasi-cohérents.

6. Étant donné une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\), si deux des trois sont quasi-cohérents, le troisième l’est aussi.

7. Étant donné un morphisme de schémas \(f : Y \to X\), l’image inverse d’un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent est un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Voir Modules, lemme 01BG.

8. Étant donné deux \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents, le produit tensoriel est quasi-cohérent, voir Modules, lemme 01CE.

9. Étant donné un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), les algèbres tensorielle, symétrique et extérieure sur \(\mathcal{F}\) sont quasi-cohérentes, voir Modules, lemme 01CL.

10. Étant donné deux \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie, le faisceau Hom interne \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est quasi-cohérent, voir Modules, lemme 01CQ et (01LB) ci-dessus.

En revanche, l’image directe d’un module quasi-cohérent n’est pas quasi-cohérente en général. Voici un cas où elle l’est.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, alors \(f_*\) envoie les \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents en \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents.

Démonstration

La question est locale sur \(S\) et donc nous pouvons supposer que \(S\) est affine. Comme \(X\) est quasi-compact, nous pouvons écrire \(X = \bigcup_{i = 1}^n U_i\) avec chaque \(U_i\) ouvert affine. Comme \(f\) est quasi-séparé, nous pouvons écrire \(U_i \cap U_j = \bigcup_{k = 1}^{n_{ij}} U_{ijk}\) pour des ouverts affines \(U_{ijk}\), voir le lemme 01KO. On note \(f_i : U_i \to S\) et \(f_{ijk} : U_{ijk} \to S\) les restrictions de \(f\). Pour tout ouvert \(V\) de \(S\) et tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\), nous avons \[\begin{eqnarray*} f_*\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(f^{-1}V) \\ & = & \Ker\left( \bigoplus\nolimits_i \mathcal{F}(f^{-1}V \cap U_i) \to \bigoplus\nolimits_{i, j, k} \mathcal{F}(f^{-1}V \cap U_{ijk})\right) \\ & = & \Ker\left( \bigoplus\nolimits_i f_{i, *}(\mathcal{F}|_{U_i})(V) \to \bigoplus\nolimits_{i, j, k} f_{ijk, *}(\mathcal{F}|_{U_{ijk}})(V)\right) \\ & = & \Ker\left( \bigoplus\nolimits_i f_{i, *}(\mathcal{F}|_{U_i}) \to \bigoplus\nolimits_{i, j, k} f_{ijk, *}(\mathcal{F}|_{U_{ijk}})\right)(V) \end{eqnarray*}\] En d’autres termes, il existe une suite exacte de faisceaux \[0 \to f_*\mathcal{F} \to \bigoplus f_{i, *}\mathcal{F}_i \to \bigoplus f_{ijk, *}\mathcal{F}_{ijk}\] où \(\mathcal{F}_i, \mathcal{F}_{ijk}\) désignent les restrictions de \(\mathcal{F}\) à l’ouvert correspondant. Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent alors \(\mathcal{F}_i\) est un \(\mathcal{O}_{U_i}\)-module quasi-cohérent et \(\mathcal{F}_{ijk}\) est un \(\mathcal{O}_{U_{ijk}}\)-module quasi-cohérent. Ainsi, par le lemme 01I9, nous voyons que le deuxième et le troisième terme de la suite exacte sont des \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents. Nous concluons donc que \(f_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent.

En utilisant cela, nous pouvons caractériser les immersions (fermées) de schémas comme suit.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que

1. \(f\) induise un homéomorphisme de \(X\) sur un sous-ensemble fermé de \(Y\), et

2. \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) soit surjectif.

Alors \(f\) est une immersion fermée de schémas.

Démonstration

Supposons (1) et (2). D’après (1), le morphisme \(f\) est quasi-compact (voir Topologie, lemme 005C). Les conditions (1) et (2) impliquent les conditions (1) et (2) du lemme 01L6. Par conséquent, \(f : X \to Y\) est un monomorphisme. En particulier, \(f\) est séparé, voir le lemme 01L4. Ainsi, le lemme 01LC ci-dessus s’applique et nous concluons que \(f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Par conséquent, le noyau de \(\mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) est quasi-cohérent selon le lemme 01IE. Comme un faisceau quasi-cohérent est localement engendré par des sections (voir Modules, définition 01BE), cela implique que \(f\) est une immersion fermée, voir définition 01HK.

Nous pouvons utiliser ce lemme pour démontrer le lemme suivant.

Lemme

Le composé d’immersions de schémas est une immersion, le composé d’immersions fermées de schémas est une immersion fermée, et le composé d’immersions ouvertes de schémas est une immersion ouverte.

Démonstration

Cela est évident dans le cas des immersions ouvertes puisqu’un sous-espace ouvert d’un sous-espace ouvert est également un sous-espace ouvert.

Supposons que \(a : Z \to Y\) et \(b : Y \to X\) soient des immersions fermées de schémas. Nous allons vérifier que \(c = b \circ a\) est également une immersion fermée. L’hypothèse implique que \(a\) et \(b\) sont des homéomorphismes sur des sous-ensembles fermés, et donc \(c = b \circ a\) est aussi un homéomorphisme sur un sous-ensemble fermé. De plus, l’application \(\mathcal{O}_X \to c_*\mathcal{O}_Z\) est surjective puisqu’elle se factorise comme la composée des applications surjectives \(\mathcal{O}_X \to b_*\mathcal{O}_Y\) et \(b_*\mathcal{O}_Y \to b_*a_*\mathcal{O}_Z\) (surjectives car \(b_*\) est exact, voir Modules, lemme 01AX). Ainsi, d’après le lemme 01LD ci-dessus, \(c\) est une immersion fermée.

Enfin, nous arrivons au cas des immersions. Supposons que \(a : Z \to Y\) et \(b : Y \to X\) soient des immersions de schémas. Cela signifie qu’il existe des sous-schémas ouverts \(V \subset Y\) et \(U \subset X\) tels que \(a(Z) \subset V\), \(b(Y) \subset U\) et \(a : Z \to V\) et \(b : Y \to U\) soient des immersions fermées. Puisque la topologie sur \(Y\) est induite à partir de la topologie sur \(U\), nous pouvons trouver un ouvert \(U' \subset U\) tel que \(V = b^{-1}(U')\). Ensuite, nous voyons que \(Z \to V = b^{-1}(U') \to U'\) est un composé d’immersions fermées et est donc une immersion fermée. Cela prouve que \(Z \to X\) est une immersion, ce qui achève la démonstration.