Introduction
Ce chapitre traite de la résolution des singularités des surfaces en suivant Lipman [Lipman] et, pour l’essentiel, l’exposé d’Artin dans [Artin-Lipman]. Le résultat principal (théorème 0BGP) affirme qu’un schéma noethérien de dimension \(2\), noté \(Y\), admet une résolution des singularités lorsqu’il possède une normalisation finie \(Y^\nu \to Y\) ayant un nombre fini de points singuliers \(y_i \in Y^\nu\) et que, pour tout \(i\), le complété \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^\wedge\) est normal.
En particulier, si \(Y\) est un schéma de dimension \(2\) de type fini sur un anneau de base quasi-excellent \(R\) (par exemple un corps ou un anneau de Dedekind dont le corps des fractions est de caractéristique \(0\), tel que \(\mathbf{Z}\)), alors la normalisation de \(Y\) est finie, possède un nombre fini de points singuliers et les complétés de ses anneaux locaux sont normaux. Voir la discussion dans Compléments d’algèbre, sections 07P6, 07GG et 07QS, ainsi que Compléments d’algèbre, lemme 0BFK. Un tel \(Y\) admet donc une résolution des singularités.
Voici les grandes lignes de la démonstration. Soit \(A\) un anneau local noethérien intègre de dimension \(2\). Les étapes de la démonstration sont les suivantes :
remplacer \(A\) par son normalisé ;
démontrer le théorème de Grauert-Riemenschneider ;
montrer qu’il existe un maximum \(g\) des longueurs de \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) lorsque l’on parcourt toutes les modifications normales \(X \to \Spec(A)\), et se ramener au cas \(g = 0\) ;
on dit que \(A\) définit une singularité rationnelle si \(g = 0\) ; dans ce cas, après un nombre fini d’éclatements, on peut supposer que \(A\) est de Gorenstein et que \(g = 0\) ;
on dit que \(A\) définit un point double rationnel si \(g = 0\) et si \(A\) est de Gorenstein ; dans ce cas, on résout explicitement les singularités.
Chacune de ces étapes nécessite des hypothèses sur l’anneau \(A\). Nous les examinerons successivement.
Étape N : il faut ici supposer que \(A\) possède une normalisation finie (ce qui n’est pas automatique). Dans la majeure partie de ce chapitre, nous supposerons que notre schéma est de Nagata lorsqu’il nous faudra savoir qu’une normalisation est finie. Toutefois, être de Nagata est une condition légèrement plus forte que celle qui figure dans l’énoncé du théorème. Une solution à ce léger problème aurait consisté à utiliser le fait que notre anneau \(A\) est formellement non ramifié (c’est-à-dire que son complété est réduit) et à appliquer le lemme 0BG8. Cependant, avec la démonstration adoptée ici, il s’avère plus simple d’utiliser le lemme 0BG9 pour déduire de la finitude de la normalisation au-dessus du complété celle de la normalisation au-dessus de \(A\).
Étape V : il s’agit de la proposition 0AXD, qui affirme, en substance, que pour une modification normale \(f : X \to \Spec(A)\) on a \(R^1f_*\omega_X = 0\), où \(\omega_X\) est le module dualisant de \(X/A\) (remarque 0B4R). En fait, par dualité, ce résultat équivaut à un énoncé (lemme 0AXC) concernant l’objet \(Rf_*\mathcal{O}_X\) de la catégorie dérivée \(D(A)\). Cela dit, la démonstration utilise le fait classique que les composantes de la fibre spéciale ont des faisceaux conormaux positifs (lemme 0AXA).
Étape B : c’est, en un sens, la partie la plus délicate de la démonstration. Nous n’aurons finalement besoin du résultat de cette étape que lorsque \(A\) est un anneau local noethérien complet, bien que l’exposé soit un peu plus général. La terminologie est fixée dans la définition 0B4N. Si \(g\) (défini ci-dessus) est borné, un argument simple montre que l’on peut trouver une modification normale \(X \to \Spec(A)\) telle que tous les points singuliers de \(X\) soient des singularités rationnelles ; voir le lemme 0B4P. Nous montrons que, pour une extension finie \(A \subset B\), l’invariant \(g\) est borné pour \(B\) s’il l’est pour \(A\) dans les deux cas suivants : (1) lorsque l’extension des corps des fractions est séparable, voir le lemme 0B4P ; (2) lorsque l’extension des corps des fractions est de degré \(p\), que la caractéristique est \(p\) et que \(A\) est régulier et complet, voir le lemme 0B4U.
Étape R : nous ramenons ici le cas \(g = 0\) au cas de Gorenstein. Le fait remarquable qui permet de mener à bien la démonstration est que l’éclatement d’une singularité rationnelle de surface est normal ; voir le lemme 0B4Z.
Étape D : la résolution des points doubles rationnels se fait par des calculs assez explicites ; voir la section 0BGB. Un point double rationnel est une singularité d’hypersurface (c’est vrai, mais nous ne le démontrons pas, car nous n’en avons pas besoin). Son équation locale est de la forme \[a_{11} x_1^2 + a_{12} x_1x_2 + a_{13}x_1x_3 + a_{22} x_2^2 + a_{23} x_2x_3 + a_{33} x_3^2 = \sum a_{ijk} x_ix_jx_k\] Le fait que la partie quadratique ne puisse être nulle, puisque la multiplicité vaut \(2\) et reste égale à \(2\) après tout éclatement, joint à la normalité de chaque éclatement, permet d’obtenir rapidement une résolution. Une particularité est que nous ne disposons pas d’un invariant décroissant à chaque éclatement ; nous nous appuyons sur les résultats relatifs aux arcs formels de la section 0BG1 pour démontrer que le procédé s’arrête.
Pour réunir tous ces éléments, un travail supplémentaire est nécessaire. La difficulté principale consiste à relever une résolution du complété \(A^\wedge\) en une résolution de \(\Spec(A)\). Pour cela, nous montrons d’abord que, s’il existe une résolution, il en existe une par éclatements normalisés (lemme 0BGM). Une suite d’éclatements normalisés peut être relevée à partir du complété grâce au lemme 0BGA. Nous utilisons ensuite ce fait jusque dans la démonstration de la résolution des anneaux locaux complets \(A\), car notre méthode procède par récurrence sur le degré d’une inclusion finie \(A_0 \subset A\) avec \(A_0\) régulier ; voir le lemme 0BGN. Un résultat plus fort à l’étape B (tel que celui démontré dans l’article de Lipman) permettrait d’éviter cette étape.
Une application trace en caractéristique positive
Certains résultats de cette section se déduisent de l’étude beaucoup plus générale des traces sur les formes différentielles dans Cohomologie de de Rham, section 0FK6. Voir la remarque 0FLF pour une discussion.
Fixons un nombre premier \(p\). Soit \(R\) une \(\mathbf{F}_p\)-algèbre. Étant donné \(a \in R\), posons \(S = R[x]/(x^p - a)\). Définissons une application \(R\)-linéaire \[\text{Tr}_x : \Omega_{S/R} \longrightarrow \Omega_R\] par la règle \[x^i\text{d}x \longmapsto \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & 0 \leq i \leq p - 2, \\ \text{d}a & \text{si} & i = p - 1 \end{matrix} \right.\] Cela a un sens, car \(\Omega_{S/R}\) est un \(R\)-module libre de base \(x^i\text{d}x\), \(0 \leq i \leq p - 1\). Le lemme suivant implique que l’application trace est bien définie, c’est-à-dire indépendante du choix de la coordonnée \(x\).
Lemme
Soit \(\varphi : R[x]/(x^p - a) \to R[y]/(y^p - b)\) un homomorphisme de \(R\)-algèbres. Alors \(\text{Tr}_x = \text{Tr}_y \circ \varphi\).
Démonstration
Écrivons \(\varphi(x) = \lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1}\) avec \(\lambda_i \in R\). Dire que l’envoi de \(x\) sur \(\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1}\) induit un homomorphisme de \(R\)-algèbres \(R[x]/(x^p - a) \to R[y]/(y^p - b)\) équivaut à la condition \[a = \lambda_0^p + \lambda_1^p b + \ldots + \lambda_{p - 1}^pb^{p - 1}\] dans l’anneau \(R\). Considérons l’anneau de polynômes \[R_{univ} = \mathbf{F}_p[b, \lambda_0, \ldots, \lambda_{p - 1}]\] muni de l’élément \(a = \lambda_0^p + \lambda_1^p b + \ldots + \lambda_{p - 1}^pb^{p - 1}\) Considérons l’homomorphisme universel d’algèbres \(\varphi_{univ} : R_{univ}[x]/(x^p - a) \to R_{univ}[y]/(y^p - b)\) défini par l’envoi de \(x\) sur \(\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1}\). On obtient une application canonique \[R_{univ} \longrightarrow R\] envoyant \(b, \lambda_i\) sur \(b, \lambda_i\). Par construction, on a un diagramme commutatif \[\xymatrix{ R_{univ}[x]/(x^p - a) \ar[r] \ar[d]_{\varphi_{univ}} & R[x]/(x^p - a) \ar[d]^\varphi \\ R_{univ}[y]/(y^p - b) \ar[r] & R[y]/(y^p - b) }\] dont les flèches horizontales sont compatibles aux applications trace. Il suffit donc de démontrer le lemme pour l’application \(\varphi_{univ}\). On peut ainsi supposer que \(R = \mathbf{F}_p[b, \lambda_0, \ldots, \lambda_{p - 1}]\) est un anneau de polynômes. Nous vérifierons le lemme dans ce cas en calculant \(\text{Tr}_y(\varphi(x)^i\text{d}\varphi(x))\) pour \(i = 0 , \ldots, p - 1\).
Cas \(0 \leq i \leq p - 2\). Développons \[(\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^i (\lambda_1 + 2 \lambda_2 y + \ldots + (p - 1)\lambda_{p - 1}y^{p - 2})\] dans l’anneau \(R[y]/(y^p - b)\). Il faut montrer que le coefficient de \(y^{p - 1}\) est nul. Pour cela, il suffit de montrer que, dans l’expression ci-dessus considérée comme polynôme en \(y\), les coefficients des puissances \(y^{pk - 1}\) sont nuls. Écrivons alors notre polynôme sous la forme \[\frac{\text{d}}{(i + 1)\text{d}y} (\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^{i + 1}\] Les coefficients de \(y^{kp - 1}\) sont effectivement tous nuls.
Cas \(i = p - 1\). Développons \[(\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^{p - 1} (\lambda_1 + 2 \lambda_2 y + \ldots + (p - 1)\lambda_{p - 1}y^{p - 2})\] dans l’anneau \(R[y]/(y^p - b)\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que le coefficient de \(y^{p - 1}\) multiplié par \(\text{d}b\) vaut \(\text{d}a\). Nous utilisons ici le fait que \(R\) est égal à \(S/pS\), où \(S = \mathbf{Z}[b, \lambda_0, \ldots, \lambda_{p - 1}]\). L’expression ci-dessus, considérée comme polynôme en \(y\), vaut alors \[\frac{\text{d}}{p\text{d}y} (\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^p\] Puisque \(\frac{\text{d}}{\text{d}y}(y^{pk}) = pk y^{pk - 1}\), il suffit de déterminer les coefficients de \(y^{pk}\) dans le polynôme \((\lambda_0 + \lambda_1 y + \ldots + \lambda_{p - 1}y^{p - 1})^p\) modulo \(p\). La somme de ces termes donne \[\lambda_0^p + \lambda_1^py^p + \ldots + \lambda_{p - 1}^py^{p(p - 1)} \bmod p\] On voit donc qu’après application de l’opérateur \(\frac{\text{d}}{p\text{d}y}\) et réduction modulo \(y^p - b\), on obtient la valeur \[\lambda_1^p + 2\lambda_2^pb + \ldots + (p - 1)\lambda_{p - 1}b^{p - 2}\] pour le coefficient de \(y^{p - 1}\) que nous voulions calculer. Or, puisque \(a = \lambda_0^p + \lambda_1^p b + \ldots + \lambda_{p - 1}^pb^{p - 1}\) dans \(R\), on obtient \[\text{d}a = (\lambda_1^p + 2 \lambda_2^p b + \ldots + (p - 1) \lambda_{p - 1}^p b^{p - 2}) \text{d}b\] dans \(R\). Le coefficient de \(y^{p - 1}\) est donc bien celui que l’on cherchait.
Lemme
Soient \(\mathbf{F}_p \subset \Lambda \subset R \subset S\) des extensions d’anneaux ; supposons que \(S\) soit isomorphe à \(R[x]/(x^p - a)\) pour un certain \(a \in R\). Il existe alors des applications canoniques \(R\)-linéaires \[\text{Tr} : \Omega^{t + 1}_{S/\Lambda} \longrightarrow \Omega_{R/\Lambda}^{t + 1}\] pour \(t \geq 0\), telles que \[\eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_t \wedge x^i\text{d}x \longmapsto \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & 0 \leq i \leq p - 2, \\ \eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_t \wedge \text{d}a & \text{si} & i = p - 1 \end{matrix} \right.\] pour \(\eta_i \in \Omega_{R/\Lambda}\) et telles que \(\text{Tr}\) annule l’image de \(S \otimes_R \Omega_{R/\Lambda}^{t + 1} \to \Omega_{S/\Lambda}^{t + 1}\).
Démonstration
Pour \(t = 0\), on utilise le composé \[\Omega_{S/\Lambda} \to \Omega_{S/R} \to \Omega_R \to \Omega_{R/\Lambda}\] où la deuxième application est celle du lemme 0ADZ. On a une suite exacte \[H_1(L_{S/R}) \xrightarrow{\delta} \Omega_{R/\Lambda} \otimes_R S \to \Omega_{S/\Lambda} \to \Omega_{S/R} \to 0\] (Algèbre, lemme 00S2). Le module \(\Omega_{S/R}\) est libre sur \(S\) de base \(\text{d}x\), et le module \(H_1(L_{S/R})\) est libre sur \(S\) de base \(x^p - a\), que \(\delta\) envoie sur \(-\text{d}a \otimes 1\) dans \(\Omega_{R/\Lambda} \otimes_R S\). En particulier, si l’on pose \[M = \Coker(R \to \Omega_{R/\Lambda}, 1 \mapsto -\text{d}a)\], on voit que \(\Coker(\delta) = M \otimes_R S\). On obtient une application canonique \[\Omega^{t + 1}_{S/\Lambda} \to \wedge_S^t(\Coker(\delta)) \otimes_S \Omega_{S/R} = \wedge^t_R(M) \otimes_R \Omega_{S/R}\] Or l’image de l’application \(\text{Tr} : \Omega_{S/R} \to \Omega_{R/\Lambda}\) du lemme 0ADZ est contenue dans \(R\text{d}a\) ; le produit extérieur par un élément de cette image annule donc \(\text{d}a\). Il existe par conséquent une application canonique \[\wedge^t_R(M) \otimes_R \Omega_{S/R} \to \Omega_{R/\Lambda}^{t + 1}\] envoyant \(\overline{\eta}_1 \wedge \ldots \wedge \overline{\eta}_t \wedge \omega\) sur \(\eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_t \wedge \text{Tr}(\omega)\).
Remarque
Soient \(\mathbf{F}_p \subset \Lambda \subset R \subset S\) et \(\text{Tr}\) comme dans le lemme 0AX5. D’après Cohomologie de de Rham, proposition 0FLC, il existe un morphisme canonique de complexes \[\Theta_{S/R} : \Omega_{S/\Lambda}^\bullet \longrightarrow \Omega_{R/\Lambda}^\bullet\] Le calcul de Cohomologie de de Rham, exemple 0FLD, montre que \(\Theta_{S/R}(x^i \text{d}x) = \text{Tr}_x(x^i\text{d}x)\) pour tout \(i\). Puisque \(\text{Trace}_{S/R} = \Theta^0_{S/R}\) est identiquement nul et que \[\Theta_{S/R}(a \wedge b) = a \wedge \Theta_{S/R}(b)\] pour \(a \in \Omega^i_{R/\Lambda}\) et \(b \in \Omega^j_{S/\Lambda}\), on en déduit \(\text{Tr} = \Theta_{S/R}\). L’avantage de \(\text{Tr}\) est que sa construction est nettement plus élémentaire.
Lemme
Soit \(S\) un schéma sur \(\mathbf{F}_p\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme fini de schémas noethériens normaux intègres sur \(S\). Supposons que
l’extension des corps de fonctions soit purement inséparable de degré \(p\), et que
\(\Omega_{X/S}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent (par exemple lorsque \(X\) est de type fini sur \(S\)).
Pour \(i \geq 1\), il existe une application canonique \[\text{Tr} : f_*\Omega^i_{Y/S} \longrightarrow (\Omega_{X/S}^i)^{**}\] dont la fibre au point générique de \(X\) est l’application trace du lemme 0AX5.
Démonstration
La suite exacte \(f^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Y/S} \to \Omega_{Y/X} \to 0\) montre que \(\Omega_{Y/S}\), et donc \(f_*\Omega_{Y/S}\), sont également des modules cohérents. Il suffit donc de prouver que l’application trace au point générique se prolonge aux fibres en \(x \in X\) tels que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\) ; voir Diviseurs, lemme 0AY7. On se ramène ainsi au cas traité dans le paragraphe suivant.
Supposons que \(X = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(B)\), où \(A\) est un anneau de valuation discrète et \(B\) est fini sur \(A\). Puisque l’extension induite \(L/K\) des corps des fractions est purement inséparable, \(B\) est lui aussi local. Ainsi \(B\) est également un anneau de valuation discrète. Alors, ou bien
\(B/A\) a pour indice de ramification \(p\), et donc \(B = A[x]/(x^p - a)\), où \(a \in A\) est une uniformisante ; ou bien
\(\mathfrak m_B = \mathfrak m_A B\) et le corps résiduel \(B/\mathfrak m_A B\) est purement inséparable de degré \(p\) sur \(\kappa_A = A/\mathfrak m_A\). Choisissons un élément quelconque \(x \in B\) dont la classe résiduelle n’appartienne pas à \(\kappa_A\) ; on aura alors \(B = A[x]/(x^p - a)\), où \(a \in A\) est inversible.
Soit \(\Spec(\Lambda) \subset S\) un ouvert affine tel que \(X\) ait son image dans \(\Spec(\Lambda)\). On peut alors appliquer le lemme 0AX5 pour voir que l’application trace se prolonge en \(\Omega^i_{B/\Lambda} \to \Omega^i_{A/\Lambda}\) pour tout \(i \geq 1\).
Transformations quadratiques
Dans cette section, nous étudions ce qui se produit lorsqu’on éclate un point non singulier d’une surface. Nous hésitons à définir formellement un tel morphisme comme une transformation quadratique, car, d’une part, on emploie souvent d’autres noms et, d’autre part, l’expression “transformation quadratique” est parfois utilisée dans un autre sens.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local régulier de dimension \(2\). Soit \(f : X \to S = \Spec(A)\) l’éclatement de \(A\) en \(\mathfrak m\), de diviseur exceptionnel \(E\). Il existe une immersion fermée \[r : X \longrightarrow \mathbf{P}^1_S\] au-dessus de \(S\) telle que
\(r|_E : E \to \mathbf{P}^1_\kappa\) soit un isomorphisme,
\(\mathcal{O}_X(E) = \mathcal{O}_X(-1) = r^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(-1)\), et
\(\mathcal{C}_{E/X} = (r|_E)^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(1)\) et \(\mathcal{N}_{E/X} = (r|_E)^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(-1)\).
Démonstration
Puisque \(A\) est régulier de dimension \(2\), on peut écrire \(\mathfrak m = (x, y)\). Alors \(x\) et \(y\), placés en degré \(1\), engendrent l’algèbre de Rees \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n\) sur \(A\). Rappelons que \(X = \text{Proj}(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n)\) ; voir Diviseurs, lemme 0804. La surjection \[A[T_0, T_1] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathfrak m^n, \quad T_0 \mapsto x,\ T_1 \mapsto y\] de \(A\)-algèbres graduées induit donc une immersion fermée \(r : X \to \mathbf{P}^1_S = \text{Proj}(A[T_0, T_1])\) telle que \(\mathcal{O}_X(1) = r^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_S}(1)\) ; voir Constructions, lemme 01N1. Cela prouve (2), car \(\mathcal{O}_X(E) = \mathcal{O}_X(-1)\) d’après Diviseurs, lemme 02OS.
Pour prouver (1), remarquons que \[\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathfrak m^n\right) \otimes_A \kappa = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1} \cong \kappa[\overline{x}, \overline{y}]\] est une algèbre de polynômes ; voir Algèbre, lemme 00NO. Cela prouve que la fibre de \(X \to S\) au-dessus de \(\Spec(\kappa)\) est égale à \(\text{Proj}(\kappa[\overline{x}, \overline{y}]) = \mathbf{P}^1_\kappa\) ; voir Constructions, lemme 01N2. Rappelons que \(E\) est le sous-schéma fermé de \(X\) défini par \(\mathfrak m\mathcal{O}_X\), c’est-à-dire \(E = X_\kappa\). Par le choix du morphisme \(r\), on voit que \(r|_E\) réalise en fait l’identification de \(E = X_\kappa\) avec la fibre spéciale de \(\mathbf{P}^1_S \to S\).
L’assertion (3) résulte de (1), de (2) et de Diviseurs, lemme 0B3P.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local régulier de dimension \(2\). Soit \(f : X \to S = \Spec(A)\) l’éclatement de \(A\) en \(\mathfrak m\). Alors \(X\) est un schéma régulier irréductible.
Démonstration
Remarquons que \(X\) est intègre d’après Diviseurs, lemme 02ND, et Algèbre, lemme 00NP. Pour voir que \(X\) est régulier, il suffit de vérifier que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est régulier aux points fermés \(x \in X\) ; voir Propriétés, lemme 02IT. Soit \(x \in X\) un point fermé. Puisque \(f\) est propre, \(x\) a pour image \(\mathfrak m\) ; autrement dit, \(x\) appartient au diviseur exceptionnel \(E\). Alors \(E\) est un diviseur de Cartier effectif et \(E \cong \mathbf{P}^1_\kappa\). Ainsi, si \(g \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) est une équation locale de \(E\), on a \(\mathcal{O}_{X, x}/(g) \cong \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_\kappa, x}\). Puisque \(\mathbf{P}^1_\kappa\) est recouvert par deux ouverts affines qui sont les spectres d’anneaux de polynômes sur \(\kappa\), l’anneau \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_\kappa, x}\) est régulier d’après Algèbre, lemme 00OP. On conclut par Algèbre, lemme 00NU.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local régulier de dimension \(2\). Soit \(f : X \to S = \Spec(A)\) l’éclatement de \(A\) en \(\mathfrak m\). Alors \(\Pic(X) = \mathbf{Z}\), avec pour générateur \(\mathcal{O}_X(E)\).
Démonstration
Rappelons que \(E = \mathbf{P}^1_\kappa\) a pour groupe de Picard \(\mathbf{Z}\), avec pour générateur \(\mathcal{O}(1)\) ; voir Diviseurs, lemme 0BXJ. D’après le lemme 0AGQ, le \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{O}_X(E)\) se restreint en \(\mathcal{O}(-1)\). Ainsi \(\mathcal{O}_X(E)\) engendre un groupe cyclique infini dans \(\Pic(X)\). Puisque \(A\) est régulier, il est factoriel ; voir Compléments d’algèbre, lemme 0AG0. Le spectre épointé \(U = S \setminus \{\mathfrak m\} = X \setminus E\) a donc un groupe de Picard trivial ; voir Diviseurs, lemme 0BDA. Par conséquent, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\), il existe un isomorphisme \(s : \mathcal{O}_U \to \mathcal{L}|_U\). Alors \(s\) est une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\) et l’on voit que \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = nE\) pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\) (Diviseurs, définition 0BE6). D’après Diviseurs, lemme 0BE8 (et la normalité de \(X\) donnée par le lemme 0AGR), on conclut que \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(nE)\).
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local régulier de dimension \(2\). Soit \(f : X \to S = \Spec(A)\) l’éclatement de \(A\) en \(\mathfrak m\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent.
\(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p \not \in \{0, 1\}\) ;
\(H^1(X, \mathcal{O}_X(n)) = 0\) pour \(n \geq -1\) ;
\(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\) si \(\mathcal{F}\) ou \(\mathcal{F}(1)\) est engendré par ses sections globales ;
\(H^0(X, \mathcal{O}_X(n)) = \mathfrak m^{\max(0, n)}\) ;
\(\text{length}_A H^1(X, \mathcal{O}_X(n)) = -n(-n - 1)/2\) si \(n < 0\).
Démonstration
Si \(\mathfrak m = (x, y)\), alors \(X\) est recouvert par les spectres des algèbres d’éclatement affines \(A[\frac{\mathfrak m}{x}]\) et \(A[\frac{\mathfrak m}{y}]\), car \(x\) et \(y\), placés en degré \(1\), engendrent l’algèbre de Rees \(\bigoplus \mathfrak m^n\) sur \(A\). Voir Diviseurs, lemme 0804, et Constructions, lemme 01MD. Puisque \(X\) est séparé d’après Constructions, lemme 01MC, la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents s’annule en degrés \(\geq 2\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XI.
Soit \(i : E \to X\) le diviseur exceptionnel ; voir Diviseurs, définition 01OG. Rappelons que \(\mathcal{O}_X(-E) = \mathcal{O}_X(1)\) est relativement ample pour \(f\) ; voir Diviseurs, lemme 02OS. On sait donc que \(H^1(X, \mathcal{O}_X(-nE)) = 0\) pour un certain \(n > 0\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 02O1. Considérons la filtration \[\mathcal{O}_X(-nE) \subset \mathcal{O}_X(-(n - 1)E) \subset \ldots \subset \mathcal{O}_X(-E) \subset \mathcal{O}_X \subset \mathcal{O}_X(E)\] Ses quotients successifs sont les faisceaux \[\mathcal{O}_X(-t E)/\mathcal{O}_X(-(t + 1)E) = \mathcal{O}_X(t)/\mathcal{I}(t) = i_*\mathcal{O}_E(t)\] où \(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-E)\) est le faisceau d’idéaux de \(E\). D’après le lemme 0AGQ, on a \(E = \mathbf{P}^1_\kappa\), et \(\mathcal{O}_E(1)\) correspond bien à la torsion de Serre usuelle du faisceau structural sur \(\mathbf{P}^1\). La cohomologie de \(\mathcal{O}_E(t)\) s’annule donc en degré \(1\) pour \(t \geq -1\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XT. Comme elle est égale à \(H^1(X, i_*\mathcal{O}_E(t))\) (d’après Cohomologie des schémas, lemme 089W), on en déduit que \(H^1(X, \mathcal{O}_X(-(t + 1)E)) \to H^1(X, \mathcal{O}_X(-tE))\) est surjective pour \(t \geq -1\). Ainsi \[0 = H^1(X, \mathcal{O}_X(-nE)) \longrightarrow H^1(X, \mathcal{O}_X(-tE)) = H^1(X, \mathcal{O}_X(t))\] est surjective pour \(t \geq -1\), ce qui prouve (2).
Supposons \(\mathcal{F}\) engendré par ses sections globales. Il existe donc une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{G} \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F} \to 0\] Remarquons que \(H^1(X, \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X) = \bigoplus_{i \in I} H^1(X, \mathcal{O}_X)\) d’après Cohomologie, lemme 01FF. Par (2), on a \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\). Si \(\mathcal{F}(1)\) est engendré par ses sections globales, on peut trouver une surjection \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X(-1) \to \mathcal{F}\) et raisonner de même. Autrement dit, (3) résulte de (2).
Pour (4), remarquons que, pour tout \(n\) assez grand, on a \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)) = \mathfrak m^n\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 0AG7. Si \(n \geq 0\), la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_X(n - 1) \to i_*\mathcal{O}_E(n - 1) \to 0\] et l’annulation de \(H^1\) pour le faisceau de gauche donnent un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathfrak m^{\max(0, n)} \ar[r] \ar[d] & \mathfrak m^{\max(0, n - 1)} \ar[r] \ar[d] & \mathfrak m^{\max(0, n)}/\mathfrak m^{\max(0, n - 1)} \ar[r] \ar[d] & 0\\ 0 \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n)) \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n - 1)) \ar[r] & \Gamma(E, \mathcal{O}_E(n - 1)) \ar[r] & 0 }\] à lignes exactes. En fait, les lignes sont également exactes pour \(n < 0\), car les groupes de droite sont alors nuls. Dans la démonstration du lemme 0AGQ, nous avons vu que la flèche verticale de droite est un isomorphisme (détails omis). Si celle de gauche est un isomorphisme, il en est donc de même de celle du milieu. On obtient ainsi (4) par récurrence descendante sur \(n\).
Enfin, on prouve (5) par récurrence descendante sur \(n\) à l’aide des suites \[0 \to \mathcal{O}_X(n) \to \mathcal{O}_X(n - 1) \to i_*\mathcal{O}_E(n - 1) \to 0\] En effet, pour \(n \geq -1\), on sait déjà que \(H^1(X, \mathcal{O}_X(n)) = 0\). Puisque \[H^1(X, i_*\mathcal{O}_E(-2)) = H^1(E, \mathcal{O}_E(-2)) = H^1(\mathbf{P}^1_\kappa, \mathcal{O}(-2)) \cong \kappa\] d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XT, et que ce module est de longueur \(1\) sur \(A\), la suite exacte longue de cohomologie montre que (5) est vrai pour \(n = -2\). On poursuit de même.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local régulier de dimension \(2\). Soit \(f : X \to S = \Spec(A)\) l’éclatement de \(A\) en \(\mathfrak m\). Soit \(\mathfrak m^n \subset I \subset \mathfrak m\) un idéal. Soit \(d \geq 0\) le plus grand entier tel que \[I \mathcal{O}_X \subset \mathcal{O}_X(-dE)\], où \(E\) est le diviseur exceptionnel. Posons \(\mathcal{I}' = I\mathcal{O}_X(dE) \subset \mathcal{O}_X\). Alors \(d > 0\), le faisceau \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}'\) a pour support un ensemble fini de points fermés \(x_1, \ldots, x_r\) de \(X\), et \[\begin{align*} \text{length}_A(A/I) & > \text{length}_A \Gamma(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{I}') \\ & \geq \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, r} \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x_i}} (\mathcal{O}_{X, x_i}/\mathcal{I}'_{x_i}) \end{align*}\]
Démonstration
Puisque \(I \subset \mathfrak m\), tout élément de \(I\) s’annule sur \(E\). On a donc \(d \geq 1\). D’autre part, puisque \(\mathfrak m^n \subset I\), on a \(d \leq n\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to I\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/I\mathcal{O}_X \to 0\] Puisque \(I\mathcal{O}_X\) est engendré par ses sections globales, on a \(H^1(X, I\mathcal{O}_X) = 0\) d’après le lemme 0AGS. On obtient donc une surjection \(A/I \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X/I\mathcal{O}_X)\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/I\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X(-dE) \to 0\] D’après Diviseurs, lemme 0AGB, le faisceau \(\mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X\) a pour support un ensemble fini de points fermés de \(X\). En particulier, ses groupes de cohomologie supérieure sont nuls (détail omis). Dans le diagramme suivant \[\xymatrix{ & & A/I \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X) \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X/I\mathcal{O}_X) \ar[r] & \Gamma(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X(-dE)) \ar[r] & 0 }\], la ligne inférieure est donc exacte et la flèche verticale surjective. On a \[\text{length}_A \Gamma(X, \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X) < \text{length}_A(A/I)\], car \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{O}_X(-dE))\) est non nul. En effet, l’image de \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) est non nulle puisque \(d > 0\).
Pour achever la démonstration, traduisons les résultats ci-dessus en les assertions du lemme. Puisque \(\mathcal{O}_X(dE)\) est inversible, on a \[\mathcal{O}_X/\mathcal{I}' = \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(dE).\] Ainsi \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}'\) et \(\mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X\) ont pour support le même ensemble fini de points fermés, notés \(x_1, \ldots, x_r \in E \subset X\). De plus, on obtient \[\Gamma(X, \mathcal{O}_X(-dE)/I\mathcal{O}_X) = \bigoplus \mathcal{O}_X(-dE)_{x_i}/I\mathcal{O}_{X, x_i} \cong \bigoplus \mathcal{O}_{X, x_i}/\mathcal{I}'_{x_i} = \Gamma(X, \mathcal{O}_X/\mathcal{I}')\], car un module inversible sur un anneau local est trivial. On en déduit l’inégalité stricte. On obtient également la seconde inégalité, car \[\text{length}_A(\mathcal{O}_{X, x_i}/\mathcal{I}'_{x_i}) \geq \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x_i}}(\mathcal{O}_{X, x_i}/\mathcal{I}'_{x_i})\], comme il résulte immédiatement de la définition de la longueur.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local régulier de dimension \(2\). Soit \(f : X \to S = \Spec(A)\) l’éclatement de \(A\) en \(\mathfrak m\). Alors \(\Omega_{X/S} = i_*\Omega_{E/\kappa}\), où \(i : E \to X\) est l’immersion du diviseur exceptionnel.
Démonstration
Écrivons \(\mathbf{P}^1 = \mathbf{P}^1_S\) et soit \(r : X \to \mathbf{P}^1\) comme dans le lemme 0AGQ. On a alors une suite exacte \[\mathcal{C}_{X/\mathbf{P}^1} \to r^*\Omega_{\mathbf{P}^1/S} \to \Omega_{X/S} \to 0\] ; voir Morphismes, lemme 01UZ. Puisque \(\Omega_{\mathbf{P}^1/S}|_E = \Omega_{E/\kappa}\) d’après Morphismes, lemme 01V0, il suffit de voir que la première flèche définit une surjection sur le noyau de l’application canonique \(r^*\Omega_{\mathbf{P}^1/S} \to i_*\Omega_{E/\kappa}\). Cela se vérifie localement. Avec les notations de la démonstration du lemme 0AGQ, sur un ouvert affine de \(X\), le morphisme \(f\) correspond à l’homomorphisme d’anneaux \[A \to A[t]/(xt - y)\], où \(x, y \in \mathfrak m\) sont des générateurs. Ainsi \(\text{d}(xt - y) = x\text{d}t\) et \(y\text{d}t = t \cdot x \text{d}t\), ce qui prouve l’assertion.
Domination par des transformations quadratiques
Le résultat précédent permet de prouver que les éclatements de points dominent toute modification d’un schéma régulier de dimension \(2\).
Soit \(X\) un schéma. Soit \(x \in X\) un point fermé. Comme d’habitude, on considère \(i : x = \Spec(\kappa(x)) \to X\) comme un sous-schéma fermé. L’éclatement \(X' \to X\) de \(X\) au point \(x\) est l’éclatement de \(X\) suivant le sous-schéma fermé \(x \subset X\). Remarquons que, si \(X\) est localement noethérien, alors \(X' \to X\) est projectif (donc propre) d’après Diviseurs, lemme 02NS.
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(T \subset X\) un ensemble fini de points fermés \(x\) tels que \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit régulier de dimension \(2\) pour \(x \in T\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux tel que \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) ait son support dans \(T\). Il existe alors une suite \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\], où \(X_{i + 1} \to X_i\) est l’éclatement de \(X_i\) en un point fermé situé au-dessus d’un point de \(T\), telle que \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\) soit un faisceau d’idéaux inversible.
Démonstration
Écrivons \(T = \{x_1, \ldots, x_r\}\). Notons \(I_i\) la fibre de \(\mathcal{I}\) en \(x_i\). Posons \[n_i = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x_i}}(\mathcal{O}_{X, x_i}/I_i)\] Cet entier est fini, car \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) a son support dans \(T\) et le support de \(\mathcal{O}_{X, x_i}/I_i\) est donc égal à \(\{\mathfrak m_{x_i}\}\) (voir Algèbre, lemme 00L5). Raisonnons par récurrence sur \(\sum n_i\). Si \(n_i = 0\) pour tout \(i\), alors \(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X\) et la démonstration est terminée.
Supposons que \(n_i > 0\). Soit \(X' \to X\) l’éclatement de \(X\) en \(x_i\) (voir la discussion précédant le lemme). Puisque \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}) \to X\) est plat, \(X' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\) est l’éclatement de l’anneau \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) suivant son idéal maximal ; voir Diviseurs, lemme 0805. Le carré du diagramme commutatif \[\xymatrix{ \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathfrak m_{x_i}^d) \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}) \ar[r] & X }\] est donc cartésien. Soient \(E \subset X'\) et \(E' \subset \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathfrak m_{x_i}^d)\) les diviseurs exceptionnels. Soit \(d \geq 1\) l’entier donné par le lemme 0AGT pour l’idéal \(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_{X, x_i}\). Puisque les flèches horizontales du diagramme sont plates, que \(E' \to E\) est surjectif et que \(E'\) est l’image réciproque de \(E\), on voit que \[\mathcal{I}\mathcal{O}_{X'} \subset \mathcal{O}_{X'}(-dE)\] (certains détails sont omis). Posons \(\mathcal{I}' = \mathcal{I}\mathcal{O}_{X'}(dE) \subset \mathcal{O}_{X'}\). Alors \(\mathcal{O}_{X'}/\mathcal{I}'\) a pour support un ensemble fini de points fermés \(T' \subset |X'|\), car c’est le cas au-dessus de \(X \setminus \{x_i\}\) et après image réciproque sur \(\text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathfrak m_{x_i}^d)\). La dernière assertion du lemme 0AGT indique que la somme des longueurs des fibres \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathcal{I}'\mathcal{O}_{X', x'}\), pour \(x'\) situé au-dessus de \(x_i\), est \(< n_i\). La somme des longueurs a donc diminué.
Par l’hypothèse de récurrence, il existe une suite \[X'_n \to \ldots \to X'_1 \to X'\] d’éclatements en des points fermés situés au-dessus de \(T'\) telle que \(\mathcal{I}'\mathcal{O}_{X'_n}\) soit inversible. Puisque \(\mathcal{I}'\mathcal{O}_{X'}(-dE) = \mathcal{I}\mathcal{O}_{X'}\), on voit que \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X'_n} = \mathcal{I}'\mathcal{O}_{X'_n}(-d(f')^{-1}E)\), où \(f' : X'_n \to X'\) est le composé. Remarquons que \((f')^{-1}E\) est un diviseur de Cartier effectif d’après Diviseurs, lemme 0809. On conclut donc par Diviseurs, lemme 01WU.
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(T \subset X\) un ensemble fini de points fermés \(x\) tels que \(\mathcal{O}_{X, x}\) soit un anneau local régulier de dimension \(2\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre de schémas qui soit un isomorphisme au-dessus de \(U = X \setminus T\). Il existe alors une suite \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\], où \(X_{i + 1} \to X_i\) est l’éclatement de \(X_i\) en un point fermé \(x_i\) situé au-dessus d’un point de \(T\), ainsi qu’une factorisation \(X_n \to Y \to X\) du composé.
Démonstration
D’après Compléments de platitude, lemme 081T, il existe un éclatement \(U\)-admissible \(X' \to X\) qui domine \(Y \to X\). On peut donc supposer qu’il existe un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) tel que \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) ait son support dans \(T\) et que \(Y\) soit l’éclatement de \(X\) suivant \(\mathcal{I}\). D’après le lemme 0AHH, il existe une suite \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\], où \(X_{i + 1} \to X_i\) est l’éclatement de \(X_i\) en un point fermé \(x_i\) situé au-dessus d’un point de \(T\), telle que \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\) soit un faisceau d’idéaux inversible. La propriété universelle de l’éclatement (Diviseurs, lemme 0806) fournit la factorisation cherchée.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un schéma sur \(S\), régulier et de dimension \(2\). Soit \(Y\) un schéma propre sur \(S\). Étant donnée une application \(S\)-rationnelle \(f : U \to Y\) de \(X\) vers \(Y\), il existe une suite \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] et un \(S\)-morphisme \(f_n : X_n \to Y\) tels que \(X_{i + 1} \to X_i\) soit l’éclatement de \(X_i\) en un point fermé non situé au-dessus de \(U\) et que \(f_n\) et \(f\) coïncident.
Démonstration
On peut supposer que \(U\) contient tous les points de codimension \(1\) ; voir Morphismes, lemme 0BX7. Le complémentaire \(T \subset X\) de \(U\) est donc un ensemble fini de points fermés dont les anneaux locaux sont réguliers de dimension \(2\). En appliquant Diviseurs, lemme 0C4V, on trouve un morphisme propre \(p : X' \to X\) qui est un isomorphisme au-dessus de \(U\) et un morphisme \(f' : X' \to Y\) coïncidant avec \(f\) au-dessus de \(U\). Appliquons le lemme 0AHI au morphisme \(p : X' \to X\). Le composé \(X_n \to X' \to Y\) est le morphisme cherché.
Domination par des éclatements normalisés
Dans cette section, nous prouvons qu’une modification d’une surface peut être dominée par une suite d’éclatements normalisés de points.
Définition
Soit \(X\) un schéma dont tout ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles. Soit \(x \in X\) un point fermé. L’éclatement normalisé de \(X\) en \(x\) est le composé \(X'' \to X' \to X\), où \(X' \to X\) est l’éclatement de \(X\) en \(x\) et \(X'' \to X'\) est la normalisation de \(X'\).
La normalisation \(X'' \to X'\) est ici définie, car le schéma \(X'\) possède un recouvrement par des ouverts ayant un nombre fini de composantes irréductibles d’après Diviseurs, lemme 0BFM. Voir Morphismes, définition 035N, pour la définition de la normalisation.
En général, l’éclatement normalisé n’est pas nécessairement propre, même si \(X\) est noethérien. Rappelons qu’un schéma est de Nagata s’il possède un recouvrement par des ouverts affines qui sont des spectres d’anneaux de Nagata (Propriétés, définition 033S).
Lemme
Dans la définition 0BBS, si \(X\) est de Nagata, alors l’éclatement normalisé de \(X\) en \(x\) est normal, de Nagata et propre sur \(X\).
Démonstration
Le morphisme d’éclatement \(X' \to X\) est propre (puisque \(X\) est localement noethérien, on peut appliquer Diviseurs, lemme 02NS). Ainsi \(X'\) est de Nagata (Morphismes, lemme 035A). La normalisation \(X'' \to X'\) est donc finie (Morphismes, lemme 035S), d’où la propreté de \(X'' \to X\) (Morphismes, lemmes 01WN et 01W3). Il en résulte que l’éclatement normalisé est un espace algébrique normal (Morphismes, lemme 035Q) et de Nagata.
Dans le lemme suivant, il faut supposer que \(X\) est noethérien pour assurer qu’il possède un nombre fini de composantes irréductibles. La propreté de \(f : Y \to X\) assure alors que \(Y\) possède lui aussi un nombre fini de composantes irréductibles ; on peut donc demander que \(f\) soit birationnel (Morphismes, définition 01RO).
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien de Nagata de dimension \(2\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre birationnel. Il existe alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_n \ar[r] \ar[d] & X_{n - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & X_1 \ar[r] & X_0 \ar[d] \\ Y \ar[rrrr] & & & & X }\], où \(X_0 \to X\) est la normalisation et où \(X_{i + 1} \to X_i\) est l’éclatement normalisé de \(X_i\) en un point fermé.
Démonstration
Nous utiliserons sans autre mention les résultats de Morphismes, sections 0359, 02JT et 035E. On peut remplacer \(Y\) par sa normalisation. Soit \(X_0 \to X\) la normalisation. Le morphisme \(Y \to X\) se factorise par \(X_0\). On peut donc supposer que \(X\) et \(Y\) sont tous deux normaux.
Supposons \(X\) et \(Y\) normaux. Le morphisme \(f : Y \to X\) est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert contenant tous les points de codimension \(0\) et \(1\) de \(Y\), ainsi que tout point de \(Y\) au-dessus duquel la fibre est finie ; voir Variétés, lemme 0BFP. Il existe donc un ensemble fini de points fermés \(T \subset X\) tel que \(f\) soit un isomorphisme au-dessus de \(X \setminus T\). Pour tout \(x \in T\), la fibre \(Y_x\) est un schéma propre géométriquement connexe de dimension \(1\) sur \(\kappa(x)\) ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 0AY8. Ainsi \[BadCurves(f) = \{C \subset Y\text{ fermé} \mid \dim(C) = 1, f(C) = \text{un point}\}\] est un ensemble fini. Nous prouverons le lemme par récurrence sur le nombre d’éléments de \(BadCurves(f)\). Le cas initial est celui où \(BadCurves(f)\) est vide ; alors \(f\) est un isomorphisme.
Fixons \(x \in T\). Soit \(X' \to X\) l’éclatement normalisé de \(X\) en \(x\) et soit \(Y'\) la normalisation de \(Y \times_X X'\). On a le diagramme \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_{f'} \ar[d] & X' \ar[d] \\ Y \ar[r]^f & X }\] Soit \(x' \in X'\) un point fermé situé au-dessus de \(x\) tel que la fibre \(Y'_{x'}\) soit de dimension \(\geq 1\). Soit \(C' \subset Y'\) une composante irréductible de \(Y'_{x'}\), c’est-à-dire \(C' \in BadCurves(f')\). Puisque \(Y' \to Y \times_X X'\) est fini, \(C'\) a nécessairement pour image une composante irréductible \(C \subset Y_x\). Il est clair que \(C \in BadCurves(f)\). Puisque \(Y' \to Y\) est birationnel, donc un isomorphisme au-dessus des points de codimension \(1\) de \(Y\), on obtient une application injective \[BadCurves(f') \longrightarrow BadCurves(f)\] Il suffit donc de montrer qu’après un nombre fini de ces éclatements normalisés, on élimine au moins une des courbes exceptionnelles considérées, c’est-à-dire que l’application affichée n’est pas surjective.
Nous éliminerons une telle courbe au moyen d’un argument dû à Zariski. Choisissons \(C \in BadCurves(f)\) situé au-dessus du point \(x\) fixé. Notons \(\mathcal{O}_{Y, C}\) l’anneau local de \(Y\) au point générique de \(C\). Choisissons un élément \(u \in \mathcal{O}_{X, C}\) dont l’image dans le corps résiduel \(R(C)\) soit transcendante sur \(\kappa(x)\) (cela est possible, car \(R(C)\) est de degré de transcendance \(1\) sur \(\kappa(x)\) d’après Variétés, lemme 0A21). On peut écrire \(u = a/b\) avec \(a, b \in \mathcal{O}_{X, x}\), car \(\mathcal{O}_{Y, C}\) et \(\mathcal{O}_{X, x}\) ont le même corps des fractions. Le choix de \(u\) impose \(a, b \in \mathfrak m_x\). Ainsi \[N_{u, a, b} = \min \{\text{ord}_{\mathcal{O}_{Y, C}}(a), \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y, C}}(b)\} > 0\] On peut donc raisonner par récurrence descendante sur cet entier. Soit \(X' \to X\) l’éclatement normalisé de \(x\) et soit \(Y'\) la normalisation de \(X' \times_X Y\), comme ci-dessus. Nous montrerons que, si \(C\) est l’image d’une courbe exceptionnelle \(C' \subset Y'\) située au-dessus de \(x' \in X'\), il existe un choix de \(a', b' \mathcal{O}_{X', x'}\) tel que \(N_{u, a', b'} < N_{u, a, b}\). Cela achèvera la démonstration. En effet, puisque \(X' \to X\) se factorise par l’éclatement, il existe un élément non nul \(d \in \mathfrak m_{x'}\) tel que \(a = a' d\) et \(b = b' d\) (prendre pour \(d\) une équation locale du diviseur exceptionnel de l’éclatement). Puisque \(Y' \to Y\) est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert contenant le point générique de \(C\) (comme on l’a vu), on a \(\mathcal{O}_{Y', C'} = \mathcal{O}_{Y, C}\). Donc \[\text{ord}_{\mathcal{O}_{Y, C}}(a) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y', C'}}(a' d) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y', C'}}(a') + \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y', C'}}(d) > \text{ord}_{\mathcal{O}_{Y', C'}}(a')\] On raisonne de même pour \(b\), et la démonstration est terminée.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un schéma sur \(S\), noethérien, de Nagata et de dimension \(2\). Soit \(Y\) un schéma propre sur \(S\). Étant donnée une application \(S\)-rationnelle \(f : U \to Y\) de \(X\) vers \(Y\), il existe une suite \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 \to X\] et un \(S\)-morphisme \(f_n : X_n \to Y\) tels que \(X_0 \to X\) soit la normalisation, que \(X_{i + 1} \to X_i\) soit l’éclatement normalisé de \(X_i\) en un point fermé et que \(f_n\) et \(f\) coïncident.
Démonstration
En appliquant Diviseurs, lemme 0C4V, on trouve un morphisme propre \(p : X' \to X\) qui est un isomorphisme au-dessus de \(U\) et un morphisme \(f' : X' \to Y\) coïncidant avec \(f\) au-dessus de \(U\). Appliquons le lemme 0BBT au morphisme \(p : X' \to X\). Le composé \(X_n \to X' \to Y\) est le morphisme cherché.
Modifications au-dessus d’anneaux locaux
Soit \(S\) un schéma. Soient \(s_1, \ldots, s_n \in S\) des points fermés deux à deux distincts. Supposons que l’immersion ouverte \[U = S \setminus \{s_1, \ldots, s_n\} \longrightarrow S\] soit quasi-compacte. Notons \(FP_{S, \{s_1, \ldots, s_n\}}\) la catégorie des morphismes \(f : X \to S\) de présentation finie qui induisent un isomorphisme \(f^{-1}(U) \to U\). Les morphismes sont les morphismes de schémas au-dessus de \(S\). Pour tout \(i\), posons \(S_i = \Spec(\mathcal{O}_{S, s_i})\) et soit \(V_i = S_i \setminus \{s_i\}\). Notons \(FP_{S_i, s_i}\) la catégorie des morphismes \(g_i : Y_i \to S_i\) de présentation finie qui induisent un isomorphisme \(g_i^{-1}(V_i) \to V_i\). Les morphismes sont les morphismes au-dessus de \(S_i\). Le changement de base définit un foncteur [0BFU]\[\begin{equation} F : FP_{S, \{s_1, \ldots, s_n\}} \longrightarrow FP_{S_1, s_1} \times \ldots \times FP_{S_n, s_n} \end{equation}\] Pour ramener au moins certains des problèmes de ce chapitre au cas des anneaux locaux, on dispose du lemme suivant.
Lemme
Le foncteur \(F\) (0BFU) est une équivalence.
Démonstration
Pour \(n = 1\), c’est Limites, lemme 0B3X. Pour \(n > 1\), on peut démontrer le lemme exactement de la même manière, ou le déduire de ce cas. Par exemple, supposons que \(g_i : Y_i \to S_i\) soient des objets de \(FP_{S_i, s_i}\). Le cas \(n = 1\) fournit des morphismes \(f'_i : X'_i \to S\) de présentation finie, isomorphes au-dessus de \(S \setminus \{s_i\}\), dont le changement de base à \(S_i\) est \(g_i\). On peut alors poser \[f : X = X'_1 \times_S \ldots \times_S X'_n \to S\] C’est un objet de \(FP_{S, \{s_1, \ldots, s_n\}}\) dont le changement de base par \(S_i \to S\) redonne \(g_i\). Le foncteur est donc essentiellement surjectif. Nous omettons la preuve de sa pleine fidélité.
Lemme
Soit \(S, s_i, S_i\) comme dans (0BFU). Si \(f : X \to S\) correspond à \(g_i : Y_i \to S_i\) par \(F\), alors \(f\) est séparé, propre, fini, si et seulement si \(g_i\) l’est pour \(i = 1, \ldots, n\).
Démonstration
Cela résulte de Limites, lemme 0BFN.
Lemme
Soit \(S, s_i, S_i\) comme dans (0BFU). Si \(f : X \to S\) correspond à \(g_i : Y_i \to S_i\) par \(F\), alors \(X_{s_i} \cong (Y_i)_{s_i}\) en tant que schémas sur \(\kappa(s_i)\).
Démonstration
C’est clair.
Lemme
Soit \(S, s_i, S_i\) comme dans (0BFU) ; supposons que \(f : X \to S\) corresponde à \(g_i : Y_i \to S_i\) par \(F\). Il existe alors une factorisation \[X = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = S\] de \(f\), où \(Z_{j + 1} \to Z_j\) est l’éclatement de \(Z_j\) en un point fermé \(z_j\) situé au-dessus de \(\{s_1, \ldots, s_n\}\), si et seulement si, pour tout \(i\), il existe une factorisation \[Y_i = Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = S_i\] de \(g_i\), où \(Z_{i, j + 1} \to Z_{i, j}\) est l’éclatement de \(Z_{i, j}\) en un point fermé \(z_{i, j}\) situé au-dessus de \(s_i\).
Démonstration
Partons d’une suite d’éclatements \(Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = S\). Le premier morphisme \(Z_1 \to S\) est obtenu en éclatant l’un des \(s_i\), disons \(s_1\). En appliquant \(F\) à \(Z_1 \to S\), on obtient l’éclatement \(Z_{1, 1} \to S_1\) en \(s_1\) ; il s’agit bien de l’éclatement en \(s_1\), tandis que \(Z_{i, 0} = S_i\) pour \(i > 1\). À l’étape suivante, soit on éclate l’un des \(s_i\), \(i \geq 2\), sur \(Z_1\), soit on choisit un point fermé \(z_1\) de la fibre de \(Z_1 \to S\) au-dessus de \(s_1\). Dans le premier cas, la construction est claire ; dans le second, on utilise \((Z_1)_{s_1} \cong (Z_{1, 1})_{s_1}\) (lemme 0BFX) pour obtenir un point fermé \(z_{1, 1} \in Z_{1, 1}\) correspondant à \(z_1\). On prend alors pour \(Z_{1, 2} \to Z_{1, 1}\) l’éclatement en \(z_{1, 1}\). En poursuivant ainsi, on construit les factorisations de chaque \(g_i\).
Réciproquement, étant données des suites d’éclatements \(Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = S_i\), on construit la suite d’éclatements de \(S\) exactement de la même manière.
Voici l’analogue du lemme 0BFY pour les éclatements normalisés.
Lemme
Soit \(S, s_i, S_i\) comme dans (0BFU) ; supposons que \(f : X \to S\) corresponde à \(g_i : Y_i \to S_i\) par \(F\). Supposons que tout ouvert quasi-compact de \(S\) possède un nombre fini de composantes irréductibles. Il existe alors une factorisation \[X = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = S\] de \(f\), où \(Z_{j + 1} \to Z_j\) est l’éclatement normalisé de \(Z_j\) en un point fermé \(z_j\) situé au-dessus de \(\{x_1, \ldots, x_n\}\), si et seulement si, pour tout \(i\), il existe une factorisation \[Y_i = Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = S_i\] de \(g_i\), où \(Z_{i, j + 1} \to Z_{i, j}\) est l’éclatement normalisé de \(Z_{i, j}\) en un point fermé \(z_{i, j}\) situé au-dessus de \(s_i\).
Démonstration
L’hypothèse sur \(S\) sert à assurer, de proche en proche, que les schémas que l’on normalise possèdent localement un nombre fini de composantes irréductibles, de sorte que l’énoncé a un sens. Cela dit, le lemme se déduit exactement du même argument que celui utilisé pour démontrer le lemme 0BFY.
Annulation
Dans cette section, nous travaillerons souvent dans le cadre suivant. Rappelons qu’une modification est un morphisme propre birationnel entre schémas intègres (Morphismes, définition 0AAZ).
Situation
Ici, \((A, \mathfrak m, \kappa)\) est un anneau local noethérien normal intègre de dimension \(2\). Soit \(s\) le point fermé de \(S = \Spec(A)\) et soit \(U = S \setminus \{s\}\). Soit \(f : X \to S\) une modification. Nous notons \(C_1, \ldots, C_r\) les composantes irréductibles de la fibre spéciale \(X_s\) de \(f\).
D’après Variétés, lemme 0BFP, le morphisme \(f\) définit un isomorphisme \(f^{-1}(U) \to U\). La fibre spéciale \(X_s\) est propre sur \(\Spec(\kappa)\) et de dimension au plus \(1\) d’après Variétés, lemme 0B2K. Par factorisation de Stein (Compléments sur les morphismes, lemme 0AY8), on a \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) et la fibre spéciale \(X_s\) est géométriquement connexe sur \(\kappa\). Si \(X_s\) est de dimension \(0\), alors \(f\) est fini (Compléments sur les morphismes, lemme 02UP), donc un isomorphisme (Morphismes, lemme 0AB1). Nous écartons ce cas sans intérêt et concluons que \(\dim(C_i) = 1\) pour \(i = 1, \ldots, r\).
Lemme
Dans la situation 0AX8, il existe un éclatement \(U\)-admissible \(X' \to S\) qui domine \(X\).
Démonstration
C’est un cas particulier de Compléments sur la platitude, lemme 081T.
Lemme
Dans la situation 0AX8, il existe un élément non nul \(f \in \mathfrak m\) tel que, pour tout \(i = 1, \ldots, r\), il existe
un point fermé \(x_i \in C_i\) vérifiant \(x_i \not \in C_j\) pour \(j \not = i\),
une factorisation \(f = g_i f_i\) de \(f\) dans \(\mathcal{O}_{X, x_i}\) telle que \(g_i \in \mathfrak m_{x_i}\) ait une image non nulle dans \(\mathcal{O}_{C_i, x_i}\).
Démonstration
Nous utiliserons sans autre mention les observations faites après la situation 0AX8. Choisissons un point fermé \(x_i \in C_i\) qui n’appartienne à aucun \(C_j\) pour \(j \not = i\). Choisissons \(g_i \in \mathfrak m_{x_i}\) dont l’image dans \(\mathcal{O}_{C_i, x_i}\) soit non nulle. Puisque le corps des fractions de \(A\) est celui de \(\mathcal{O}_{X_i, x_i}\), on peut écrire \(g_i = a_i/b_i\) pour certains \(a_i, b_i \in A\). Prenons \(f = \prod a_i\).
Lemme
Dans la situation 0AX8, supposons \(X\) normal. Soit \(Z \subset X\) un diviseur de Cartier effectif non vide tel que \(Z \subset X_s\) ensemblistement. Alors le faisceau conormal de \(Z\) n’est pas trivial. Plus précisément, il existe un \(i\) tel que \(C_i \subset Z\) et \(\deg(\mathcal{C}_{Z/X}|_{C_i}) > 0\).
Démonstration
Nous utiliserons sans autre mention les observations faites après la situation 0AX8. Soit \(f\) une fonction comme dans le lemme 0AX9. Soit \(\xi_i \in C_i\) le point générique. Soit \(\mathcal{O}_i\) l’anneau local de \(X\) en \(\xi_i\). Alors \(\mathcal{O}_i\) est un anneau de valuation discrète. Soit \(e_i\) la valuation de \(f\) dans \(\mathcal{O}_i\), de sorte que \(e_i > 0\). Soit \(h_i \in \mathcal{O}_i\) une équation locale de \(Z\) et soit \(d_i\) sa valuation. Alors \(d_i \geq 0\). Choisissons et fixons \(i\) de sorte que \(d_i/e_i\) soit maximal (alors \(d_i > 0\) puisque \(Z\) n’est pas vide). Remplaçons \(f\) par \(f^{d_i}\) et \(Z\) par \(e_iZ\). Cela est permis en vertu de la relation \(\mathcal{O}_X(e_i Z) = \mathcal{O}_X(Z)^{\otimes e_i}\), de la relation entre le faisceau conormal et \(\mathcal{O}_X(Z)\) (voir Diviseurs, lemmes 02OP et 0B3P, et du fait que le degré est multiplié par \(e_i\), voir Variétés, lemme 0AYX. Soit \(\mathcal{I}\) le faisceau d’idéaux de \(Z\), de sorte que \(\mathcal{C}_{Z/X} = \mathcal{I}|_Z\). Considérons l’image \(\overline{f}\) de \(f\) dans \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\). D’après les choix effectués ci-dessus, \(\overline{f}\) s’annule aux points génériques des composantes irréductibles de \(Z\) (ce sont tous des points génériques de \(C_j\) puisque \(Z\) est contenu dans la fibre spéciale). D’autre part, \(Z\) est \((S_1)\) d’après Diviseurs, lemme 0B3S. Ainsi le schéma \(Z\) n’a pas de point associé immergé et nous concluons que \(\overline{f} = 0\) (Diviseurs, lemmes 0346 et 0B3M). Par conséquent, \(f\) est une section globale de \(\mathcal{I}\) qui engendre \(\mathcal{I}_{\xi_i}\) par construction. L’image \(s_i\) de \(f\) dans \(\Gamma(C_i, \mathcal{I}|_{C_i})\) est donc non nulle. Toutefois, notre choix de \(f\) garantit que \(s_i\) possède un zéro en \(x_i\). Le degré de \(\mathcal{I}|_{C_i}\) est donc \(> 0\) d’après Variétés, lemme 0B40.
Lemme
Dans la situation 0AX8, supposons \(X\) normal et \(A\) de Nagata. L’application \[H^1(X, \mathcal{O}_X) \longrightarrow H^1(f^{-1}(U), \mathcal{O}_X)\] est injective.
Démonstration
Soit \(0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{O}_X \to 0\) l’extension correspondant à un élément non trivial \(\xi\) de \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) (Cohomologie, lemme 0B3A). Soit \(\pi : P = \mathbf{P}(\mathcal{E}) \to X\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). La surjection \(\mathcal{E} \to \mathcal{O}_X\) définit une section \(\sigma : X \to P\) dont le faisceau conormal est isomorphe à \(\mathcal{O}_X\) (Diviseurs, lemme 0B3V). Si la restriction de \(\xi\) à \(f^{-1}(U)\) est triviale, on obtient une application \(\mathcal{E}|_{f^{-1}(U)} \to \mathcal{O}_{f^{-1}(U)}\) qui scinde l’injection \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{E}\). Cela définit une seconde section \(\sigma' : f^{-1}(U) \to P\) disjointe de \(\sigma\). Puisque \(\xi\) est non trivial, nous concluons que \(\sigma'\) ne peut pas se prolonger à tout \(X\) tout en restant disjointe de \(\sigma\). Soit \(X' \subset P\) l’image schématique de \(\sigma'\) (Morphismes, définition 01R7). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ & X' \ar[rd]_g \ar[r] & P \ar[d]_\pi \\ f^{-1}(U) \ar[ru]_{\sigma'} \ar[rr] & & X \ar@/_/[u]_\sigma }\] Le morphisme \(P \setminus \sigma(X) \to X\) est affine. Si \(X' \cap \sigma(X) = \emptyset\), alors \(X' \to X\) est à la fois affine et propre, donc fini (Morphismes, lemme 01WN), puis un isomorphisme (car \(X\) est normal ; voir Morphismes, lemme 0AB1). Cela est impossible, comme indiqué ci-dessus.
Soit \(X^\nu\) la normalisation de \(X'\). Puisque \(A\) est de Nagata, \(X^\nu \to X'\) est fini (Morphismes, lemmes 035S et 035B). Soit \(Z \subset X^\nu\) l’image réciproque du diviseur de Cartier effectif \(\sigma(X) \subset P\). D’après ce qui précède, \(Z\) n’est pas vide et est contenu dans la fibre fermée de \(X^\nu \to S\). Puisque \(P \to X\) est lisse, \(\sigma(X)\) est un diviseur de Cartier effectif (Diviseurs, lemme 067R). Par conséquent, \(Z \subset X^\nu\) est lui aussi un diviseur de Cartier effectif. Puisque le faisceau conormal de \(\sigma(X)\) dans \(P\) est \(\mathcal{O}_X\), le faisceau conormal de \(Z\) dans \(X^\nu\) (qui est a priori inversible) est \(\mathcal{O}_Z\) d’après Morphismes, lemme 0473. Cela contredit le lemme 0AXA et achève la démonstration.
Lemme
Dans la situation 0AX8, supposons \(X\) normal et \(A\) de Nagata. Alors \[\Hom_{D(A)}(\kappa[-1], Rf_*\mathcal{O}_X)\] est nul. On utilise ici \(D(A) = D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) pour considérer \(Rf_*\mathcal{O}_X\) comme un objet de \(D(A)\).
Démonstration
Par adjonction entre \(Rf_*\) et \(Lf^*\), une telle application équivaut à une application \(\alpha : Lf^*\kappa[-1] \to \mathcal{O}_X\). Remarquons que \[H^i(Lf^*\kappa[-1]) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i > 1 \\ \mathcal{O}_{X_s} & \text{si} & i = 1 \\ \text{un }\mathcal{O}_{X_s}\text{-module} & \text{si} & i \leq 0 \end{matrix} \right.\] Puisque \(\Hom(H^0(Lf^*\kappa[-1]), \mathcal{O}_X) = 0\), car \(\mathcal{O}_X\) est sans torsion, la suite spectrale pour \(\Ext\) (Cohomologie sur les sites, exemple 07AA) implique que \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Lf^*\kappa[-1], \mathcal{O}_X)\) est égal à \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_{X_s}, \mathcal{O}_X)\). Nous concluons que \(\alpha : Lf^*\kappa[-1] \to \mathcal{O}_X\) est donné par une extension
\[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{O}_{X_s} \to 0\] D’après le lemme 0AXB, l’image réciproque de cette extension par la surjection \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X_s}\) est nulle (car cette image réciproque est manifestement scindée sur \(f^{-1}(U)\)). Ainsi \(1 \in \mathcal{O}_{X_s}\) se relève en une section globale \(s\) de \(\mathcal{E}\). En multipliant \(s\) par le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) de \(X_s\), on obtient une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(c_s : \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X\). En appliquant \(f_*\), on obtient une application \(A\)-linéaire \(f_*c_s : \mathfrak m \to A\). Comme \(A\) est un anneau local noethérien normal intègre, cette application est donnée par la multiplication par un élément \(a \in A\). En remplaçant \(s\) par \(s - a\), on trouve que \(s\) est annulé par \(\mathcal{I}\) et que l’extension est triviale, comme souhaité.
Remarque
Soit \(X\) un schéma intègre noethérien normal de dimension \(2\). Dans ce cas, les propriétés suivantes sont équivalentes :
\(X\) possède un complexe dualisant \(\omega_X^\bullet\) ;
il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\omega_X\) tel que \(\omega_X[n]\) soit un complexe dualisant, où \(n\) peut être un entier quelconque.
Cela résulte du fait que \(X\) est de Cohen–Macaulay (Propriétés, lemme 0B3D) et de Dualité pour les schémas, lemme 0AWT. Dans cette situation, nous dirons que \(\omega_X\) est un module dualisant, conformément à Dualité pour les schémas, section 0AWH. En particulier, lorsque \(A\) est un anneau local noethérien normal intègre de dimension \(2\), nous dirons que \(A\) possède un module dualisant \(\omega_A\) si la propriété ci-dessus est satisfaite. Dans ce cas, si \(X \to \Spec(A)\) est une modification normale, alors \(X\) possède aussi un module dualisant ; voir Dualité pour les schémas, exemple 0AWI. Dans cette situation, nous notons toujours \(\omega_X\) le module dualisant normalisé par rapport à \(\omega_A\), c’est-à-dire tel que \(\omega_X[2]\) soit le complexe dualisant normalisé relativement à \(\omega_A[2]\). Voir Dualité pour les schémas, section 0AU5.
Le théorème d’annulation de Grauert–Riemenschneider énoncé dans la proposition suivante est une conséquence formelle du lemme 0AXC et de la théorie générale de la dualité.
Proposition
Dans la situation 0AX8, supposons que
\(X\) soit un schéma normal,
\(A\) soit de Nagata et possède un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\).
Soit \(\omega_X\) le module dualisant de \(X\) (remarque 0B4R). Alors \(R^1f_*\omega_X = 0\).
Démonstration
Dans cette démonstration, nous utiliserons l’identification \(D(A) = D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) pour identifier les \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents aux \(A\)-modules. De plus, nous pouvons supposer \(\omega_A^\bullet\) normalisé ; voir Complexes dualisants, section 0A7M. Comme \(X\) est un schéma noethérien normal de dimension \(2\), il est de Cohen–Macaulay (Propriétés, lemme 0B3D). Ainsi \(\omega_X^\bullet = \omega_X[2]\) (Dualité pour les schémas, lemme 0AWT, et la normalisation dans Dualité pour les schémas, exemple 0AWI). Si la proposition est fausse, il existe une application non nulle \(R^1f_*\omega_X \to \kappa\). Autrement dit, on obtient une application non nulle \(\alpha : Rf_*\omega_X^\bullet \to \kappa[1]\). En appliquant \(R\Hom_A(-, \omega_A^\bullet)\), on obtient une application non nulle
\[\beta : \kappa[-1] \longrightarrow Rf_*\mathcal{O}_X\], ce qui est impossible d’après le lemme 0AXC. Pour voir que \(R\Hom_A(-, \omega_A^\bullet)\) a bien l’effet annoncé, remarquons d’abord que \[R\Hom_A(\kappa[1], \omega_A^\bullet) = R\Hom_A(\kappa, \omega_A^\bullet)[-1] = \kappa[-1]\] puisque \(\omega_A^\bullet\) est normalisé et que l’on a \[R\Hom_A(Rf_*\omega_X^\bullet, \omega_A^\bullet) = Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\omega_X^\bullet, \omega_X^\bullet) = Rf_*\mathcal{O}_X\] La première égalité résulte de Dualité pour les schémas, exemple 0GEW, et du fait que \(\omega_X^\bullet = f^!\omega_A^\bullet\) par construction ; la seconde, du fait que \(\omega_X^\bullet\) est un complexe dualisant sur \(X\) (ce qui remonte à Dualité pour les schémas, lemme 0AA3).
Bornitude
Dans cette section, nous entamons l’étude qui conduira à une réduction au cas des singularités rationnelles pour les schémas de dimension \(2\).
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien normal intègre de dimension \(2\). Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[rd]_{f'} \ar[rr]_g & & X \ar[ld]^f \\ & \Spec(A) }\] où \(f\) et \(f'\) sont des modifications comme dans la situation 0AX8 et où \(X\) est normal. On a alors une suite exacte courte \[0 \to H^1(X, \mathcal{O}_X) \to H^1(X', \mathcal{O}_{X'}) \to H^0(X, R^1g_*\mathcal{O}_{X'}) \to 0\] De plus, \(\dim(\text{Supp}(R^1g_*\mathcal{O}_{X'})) = 0\) et \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'}\) est engendré par ses sections globales.
Démonstration
Nous utiliserons sans autre mention les observations faites après la situation 0AX8. Comme \(X\) est normal et \(g\) est dominant et birationnel, on a \(g_*\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X\) ; voir par exemple Compléments sur les morphismes, lemme 0AY8. Puisque les fibres de \(g\) sont de dimension \(\leq 1\), on a \(R^pg_*\mathcal{O}_{X'} = 0\) pour \(p > 1\) ; voir par exemple Cohomologie des schémas, lemme 02V7. Le support de \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'}\) est contenu dans l’ensemble des points de \(X\) où les fibres de \(g'\) sont de dimension \(\geq 1\). Il est donc contenu dans l’ensemble des images des composantes irréductibles \(C' \subset X'_s\) qui s’envoient sur des points de \(X_s\) ; c’est un ensemble fini de points fermés (rappelons que \(X'_s \to X_s\) est un morphisme entre schémas propres de dimension \(1\) sur \(\kappa\)). Alors \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'}\) est engendré par ses sections globales d’après Cohomologie des schémas, lemme 0B3J. En utilisant le morphisme \(f : X \to S\) et les références ci-dessus, on obtient \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 1\) et pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\). La suite exacte courte du lemme résulte donc de la suite spectrale de Leray pour \(g\) et \(\mathcal{O}_{X'}\) ; voir Cohomologie, lemme 01F2.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local normal intègre de Nagata et de dimension \(2\). Soit \(a \in A\) non nul. Il existe un entier \(N\) tel que, pour toute modification \(f : X \to \Spec(A)\) avec \(X\) normal, le \(A\)-module \[M_{X, a} = \Coker(A \longrightarrow H^0(Z, \mathcal{O}_Z))\], où \(Z \subset X\) est défini par \(a\), soit de longueur bornée par \(N\).
Démonstration
La suite exacte courte \(0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{a} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Z \to 0\) montre que [0AXK]\[\begin{equation} M_{X, a} = H^1(X, \mathcal{O}_X)[a] \end{equation}\] Ici, \(N[a] = \{n \in N \mid an = 0\}\) pour un \(A\)-module \(N\). Ainsi, si \(a\) divise \(b\), alors \(M_{X, a} \subset M_{X, b}\). Supposons que, pour un certain \(c \in A\), les modules \(M_{X, c}\) soient de longueurs bornées. Alors, pour tout \(X\), on a une suite exacte \[0 \to M_{X, c} \to M_{X, c^2} \to M_{X, c}\] où la deuxième flèche est donnée par la multiplication par \(c\). Il s’ensuit que \(M_{X, c^2}\) est également de longueur bornée. Il suffit donc de trouver un \(c \in A\) pour lequel le lemme est vrai et tel que \(a\) divise \(c^n\) pour un certain \(n > 0\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0AXI, nous pouvons supposer que \(A/(a)\) est un anneau réduit.
Supposons \(A/(a)\) réduit. Soit \(A/(a) \subset B\) la normalisation de \(A/(a)\) dans son anneau total des fractions. Comme \(A\) est de Nagata, \(\Coker(A \to B)\) est fini. Nous affirmons que la longueur de ce module fini constitue une borne. Pour le voir, considérons \(f : X \to \Spec(A)\) comme dans le lemme et soit \(Z' \subset Z\) l’adhérence schématique de \(Z \cap f^{-1}(U)\). Alors \(Z' \to \Spec(A/(a))\) est fini, par exemple d’après Variétés, lemme 0AB7. Par conséquent, \(Z' = \Spec(B')\) avec \(A/(a) \subset B' \subset B\). D’autre part, nous affirmons que l’application \[H^0(Z, \mathcal{O}_Z) \to H^0(Z', \mathcal{O}_{Z'})\] est injective. En effet, si \(s \in H^0(Z, \mathcal{O}_Z)\) appartient au noyau, alors la restriction de \(s\) à \(f^{-1}(U) \cap Z\) est nulle. L’image de \(s\) dans \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) s’annule donc dans \(H^1(f^{-1}(U), \mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 0AXB, \(s\) provient d’un élément \(\tilde s\) de \(A\). Mais, par hypothèse, \(\tilde s\) s’envoie sur zéro dans \(B'\), ce qui entraîne \(s = 0\). En réunissant ces faits, on voit que \(M_{X, a}\) est un sous-quotient de \(B'/A\) : tout élément de \(B'\) ne se prolonge pas nécessairement en une section globale de \(\mathcal{O}_Z\), mais, dans tous les cas, la longueur de \(M_{X, a}\) est bornée par celle de \(B/A\).
Dans certains cas, la résolution des singularités se ramène au cas des singularités rationnelles.
Définition
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local normal intègre de Nagata et de dimension \(2\).
Nous disons que \(A\) définit une singularité rationnelle si, pour toute modification normale \(X \to \Spec(A)\), on a \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\).
Nous disons que la réduction aux singularités rationnelles est possible pour \(A\) si les longueurs des \(A\)-modules \[H^1(X, \mathcal{O}_X)\] sont bornées pour toutes les modifications \(X \to \Spec(A)\) avec \(X\) normal.
Le sens de la terminologie employée en (2) est expliqué par le lemme 0B4P. Le lemme suivant affirme, en termes approximatifs, que les anneaux locaux des modifications de \(\Spec(A)\), lorsque \(A\) définit une singularité rationnelle, définissent eux aussi des singularités rationnelles.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local normal intègre de Nagata et de dimension \(2\) qui définit une singularité rationnelle. Soit \(A \subset B\) une extension locale d’anneaux intègres ayant le même corps des fractions, essentiellement de type fini, telle que \(\dim(B) = 2\) et que \(B\) soit normal. Alors \(B\) définit une singularité rationnelle.
Démonstration
Choisissons une \(A\)-algèbre de type fini \(C\) telle que \(B = C_\mathfrak q\) pour un idéal premier \(\mathfrak q \subset C\). Après avoir remplacé \(C\) par l’image de \(C\) dans \(B\), nous pouvons supposer que \(C\) est un anneau intègre dont le corps des fractions est celui de \(A\). On peut alors choisir une immersion fermée \(\Spec(C) \to \mathbf{A}^n_A\) et prendre l’adhérence dans \(\mathbf{P}^n_A\) pour conclure que \(B\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_{X, x}\) pour un certain point fermé \(x \in X\) d’une modification projective \(X \to \Spec(A)\). (Morphismes, lemme 02JU, montre que \(\kappa(x)\) est fini sur \(\kappa\), puis Morphismes, lemme 01TE, montre que \(x\) est un point fermé.) Soit \(\nu : X^\nu \to X\) la normalisation. Comme \(A\) est de Nagata, le morphisme \(\nu\) est fini (Morphismes, lemme 035S). Ainsi \(X^\nu\) est projectif sur \(A\) d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0B46. Puisque \(B = \mathcal{O}_{X, x}\) est normal, on a \(\mathcal{O}_{X, x} = (\nu_*\mathcal{O}_{X^\nu})_x\). Il existe donc un unique point \(x^\nu \in X^\nu\) au-dessus de \(x\), et \(\mathcal{O}_{X^\nu, x^\nu} = \mathcal{O}_{X, x}\). Nous pouvons ainsi supposer \(X\) normal et projectif sur \(A\). Soit \(Y \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = \Spec(B)\) une modification avec \(Y\) normal. Il faut montrer que \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\). D’après Limites, lemme 0B3X, il existe un morphisme de schémas \(g : X' \to X\) qui est un isomorphisme au-dessus de \(X \setminus \{x\}\) et tel que \(X' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) soit isomorphe à \(Y\). Alors \(g\) est une modification, car il est propre d’après Limites, lemme 0BFN. L’anneau local de \(X'\) en un point de \(x'\) est soit isomorphe à l’anneau local de \(X\) en \(g(x')\) si \(g(x') \not = x\), soit, si \(g(x') = x\), l’anneau local de \(X'\) en \(x'\) est isomorphe à celui de \(Y\) au point correspondant. Ainsi \(X'\) est normal puisque \(X\) et \(Y\) le sont. Par conséquent, \(H^1(X', \mathcal{O}_{X'}) = 0\) d’après notre hypothèse sur \(A\). Le lemme 0AXF donne \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'} = 0\). Cela signifie manifestement que \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\), comme souhaité.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local normal intègre de Nagata et de dimension \(2\). Si la réduction aux singularités rationnelles est possible pour \(A\), alors il existe une suite finie d’éclatements normalisés \[X = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\] en des points fermés telle que, pour tout point fermé \(x \in X\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) définisse une singularité rationnelle. En particulier, \(X \to \Spec(A)\) est une modification et \(X\) est un schéma normal projectif sur \(A\).
Démonstration
Choisissons une modification \(X \to \Spec(A)\) avec \(X\) normal qui maximise la longueur de \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 0AXF, pour toute modification ultérieure \(g : X' \to X\) avec \(X'\) normal, on a \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'} = 0\) et \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = H^1(X', \mathcal{O}_{X'})\).
Soit \(x \in X\) un point fermé. Nous allons montrer que \(\mathcal{O}_{X, x}\) définit une singularité rationnelle. Soit \(Y \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) une modification avec \(Y\) normal. Il faut montrer que \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\). D’après Limites, lemme 0B3X, il existe un morphisme de schémas \(g : X' \to X\) qui est un isomorphisme au-dessus de \(X \setminus \{x\}\) et tel que \(X' \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) soit isomorphe à \(Y\). Alors \(g\) est une modification, car il est propre d’après Limites, lemme 0BFN. L’anneau local de \(X'\) en un point de \(x'\) est soit isomorphe à l’anneau local de \(X\) en \(g(x')\) si \(g(x') \not = x\), soit, si \(g(x') = x\), l’anneau local de \(X'\) en \(x'\) est isomorphe à celui de \(Y\) au point correspondant. Ainsi \(X'\) est normal puisque \(X\) et \(Y\) le sont. Par maximalité, on a \(R^1g_*\mathcal{O}_{X'} = 0\) (voir le premier paragraphe). Cela signifie manifestement que \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\), comme souhaité.
En conclusion, nous avons trouvé une modification normale \(X\) de \(\Spec(A)\) telle que tous les anneaux locaux de \(X\) aux points fermés définissent des singularités rationnelles. Choisissons alors une suite d’éclatements normalisés \(X_n \to \ldots \to X_1 \to \Spec(A)\) telle que \(X_n\) domine \(X\) ; voir le lemme 0BBT. Pour un point fermé \(x' \in X_n\) s’envoyant sur \(x \in X\), on peut appliquer le lemme 0BG0 à l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_n, x'}\) pour voir que \(\mathcal{O}_{X_n, x'}\) définit une singularité rationnelle.
Lemme
Soit \(A \to B\) un homomorphisme local fini injectif entre anneaux locaux normaux intègres de Nagata et de dimension \(2\). Supposons que l’extension induite des corps des fractions soit séparable. Si la réduction aux singularités rationnelles est possible pour \(A\), elle l’est aussi pour \(B\).
Démonstration
Soit \(n\) le degré de l’extension de corps des fractions \(L/K\). Soit \(\text{Trace}_{L/K} : L \to K\) la trace. Puisque l’extension est finie séparable, la forme bilinéaire \((h, g) \mapsto \text{Trace}_{L/K}(fg)\) est non dégénérée sur \(L\), considéré comme \(K\)-espace vectoriel. Voir Corps, lemme 0BIL. Choisissons \(b_1, \ldots, b_n \in B\) qui forment une base de \(L\) sur \(K\). D’après ce qui précède, \(d = \det(\text{Trace}_{L/K}(b_ib_j)) \in A\) est non nul.
Soit \(Y \to \Spec(B)\) une modification avec \(Y\) normal. Il existe un éclatement \(U\)-admissible \(X'\) de \(\Spec(A)\) tel que le transformé strict \(Y'\) de \(Y\) soit fini sur \(X'\) ; voir Compléments sur la platitude, lemme 0B49. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ Y' \ar[d] \ar[r] & Y \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ X' \ar[rr] & & \Spec(A) }\] Après avoir remplacé \(X'\) et \(Y'\) par leurs normalisations, nous pouvons supposer que \(X'\) et \(Y'\) sont des modifications normales de \(\Spec(A)\) et \(\Spec(B)\). On se ramène ainsi au cas où il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d]_\pi \ar[r]_-g & \Spec(B) \ar[d] \\ X \ar[r]^-f & \Spec(A) }\] dans lequel \(X\) et \(Y\) sont des modifications normales de \(\Spec(A)\) et \(\Spec(B)\) et où \(\pi\) est fini.
L’application trace de \(L\) sur \(K\) se prolonge en une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\text{Trace} : \pi_*\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\). Considérons l’application \[\Phi : \pi_*\mathcal{O}_Y \longrightarrow \mathcal{O}_X^{\oplus n},\quad s \longmapsto (\text{Trace}(b_1s), \ldots, \text{Trace}(b_ns))\] Cette application est injective (car elle l’est au point générique) et il existe une application \[\mathcal{O}_X^{\oplus n} \longrightarrow \pi_*\mathcal{O}_Y,\quad (s_1, \ldots, s_n) \longmapsto \sum b_i s_i\] dont le composé avec \(\Phi\) a pour matrice \(\text{Trace}(b_ib_j)\). Le conoyau de \(\Phi\) est donc annulé par \(d\). On obtient ainsi une suite exacte \[H^0(X, \Coker(\Phi)) \to H^1(Y, \mathcal{O}_Y) \to H^1(X, \mathcal{O}_X)^{\oplus n}\] Comme le terme de droite est borné par hypothèse, il suffit de montrer que la \(d\)-torsion de \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y)\) est bornée. C’est le contenu du lemme 0AXJ et de (0AXK).
Lemme
Soit \(A\) un anneau local régulier de Nagata et de dimension \(2\). Alors \(A\) définit une singularité rationnelle.
Démonstration
(L’hypothèse selon laquelle \(A\) est de Nagata n’est pas nécessaire pour cette démonstration, mais nous n’avons défini la notion de singularité rationnelle que pour les anneaux locaux normaux intègres de Nagata et de dimension \(2\).) Soit \(X \to \Spec(A)\) une modification avec \(X\) normal. D’après le lemme 0AHI, on peut dominer \(X\) par un schéma \(X_n\) qui est le dernier terme d’une suite \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\] d’éclatements en des points fermés. D’après le lemme 0AGR, les schémas \(X_i\) sont réguliers, donc en particulier normaux (Algèbre, lemme 0567). Le lemme 0AXF donne \(H^1(X, \mathcal{O}_X) \subset H^1(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\). Il suffit donc de démontrer \(H^1(X_n, \mathcal{O}_{X_n}) = 0\). En utilisant de nouveau le lemme 0AXF, il suffit de montrer \(R^1(X_i \to X_{i - 1})_*\mathcal{O}_{X_i} = 0\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Cela résulte du lemme 0AGS.
Lemme
Soit \(A\) un anneau local normal intègre de Nagata et de dimension \(2\) qui possède un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\). S’il existe un élément non nul \(d \in A\) tel que, pour toute modification normale \(X \to \Spec(A)\), le conoyau de l’application trace \[\Gamma(X, \omega_X) \to \omega_A\] soit annulé par \(d\), alors la réduction aux singularités rationnelles est possible pour \(A\).
Démonstration
Pour \(X \to \Spec(A)\) comme dans l’énoncé, il faut borner \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\). Soit \(\omega_X\) le module dualisant de \(X\) comme dans l’énoncé de Grauert–Riemenschneider (proposition 0AXD). L’application trace est l’application \(Rf_*\omega_X \to \omega_A\) décrite dans Dualité pour les schémas, section 0AWG. D’après Grauert–Riemenschneider, on a \(Rf_*\omega_X = f_*\omega_X\) ; l’application trace induit donc bien une application \(\Gamma(X, \omega_X) \to \omega_A\). Par dualité, on a \(Rf_*\omega_X = R\Hom_A(Rf_*\mathcal{O}_X, \omega_A)\) (on utilise ici que \(\omega_X[2]\) est le complexe dualisant sur \(X\) normalisé relativement à \(\omega_A[2]\) ; voir Dualité pour les schémas, lemme 0AUE, ou plus directement la section 0AU3, voire, encore plus directement, l’exemple 0GEW). Le triangle distingué
\[A \to Rf_*\mathcal{O}_X \to R^1f_*\mathcal{O}_X[-1] \to A[1]\] est transformé par \(R\Hom_A(-, \omega_A)\) en la suite exacte courte \[0 \to f_*\omega_X \to \omega_A \to \Ext_A^2(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A) \to 0\] (et \(\Ext_A^i(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A) = 0\) pour \(i \not = 2\) ; cela résulte aussi de la discussion ci-dessous). Puisque \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est supporté dans \(\{\mathfrak m\}\), le théorème de dualité locale affirme que \[\Ext_A^2(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A) = \Ext_A^0(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A[2]) = \Hom_A(R^1f_*\mathcal{O}_X, E)\] est le dual de Matlis de \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) (et que les autres groupes d’extensions sont nuls) ; voir Complexes dualisants, lemme 0AAK. Par l’équivalence de catégories inhérente à la dualité de Matlis (Complexes dualisants, proposition 08Z9), si \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) n’est pas annulé par \(d\), alors le \(\Ext^2\) ci-dessus ne l’est pas non plus. On voit donc que \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) est annulé par \(d\). La bornitude requise résulte alors du lemme 0AXJ et de (0AXK).
Lemme
Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A\) un anneau local régulier de dimension \(2\) et de caractéristique \(p\). Soit \(A_0 \subset A\) un sous-anneau tel que \(\Omega_{A/A_0}\) soit libre de rang \(r < \infty\). Posons \(\omega_A = \Omega^r_{A/A_0}\). Si \(X \to \Spec(A)\) est obtenu par une suite d’éclatements en des points fermés, alors il existe une application \[\varphi_X : (\Omega^r_{X/\Spec(A_0)})^{**} \longrightarrow \omega_X\] qui prolonge l’identification donnée au point générique.
Démonstration
Remarquons que \(A\) est de Gorenstein (Complexes dualisants, lemme 0AWX) ; le module inversible \(\omega_A\) sert donc bien de module dualisant. En outre, tout \(X\) comme dans le lemme possède un module dualisant inversible \(\omega_X\), puisque \(X\) est régulier (donc de Gorenstein) et propre sur \(A\) ; voir la remarque 0B4R et le lemme 0AGR. Supposons construite l’application \(\varphi_X : (\Omega^r_{X/A_0})^{**} \to \omega_X\) et supposons que \(b : X' \to X\) soit l’éclatement en un point fermé. Posons \(\Omega^r_X = (\Omega^r_{X/A_0})^{**}\) et \(\Omega^r_{X'} = (\Omega^r_{X'/A_0})^{**}\). Puisque \(\omega_{X'} = b^!(\omega_X)\), une application \(\Omega^r_{X'} \to \omega_{X'}\) équivaut à une application \(Rb_*(\Omega^r_{X'}) \to \omega_X\). Voir la discussion de la remarque 0B4R et Dualité pour les schémas, section 0AU3. Il suffit donc à son tour de construire une application \[Rb_*(\Omega^r_{X'}) \longrightarrow \Omega^r_X\] Les faisceaux \(\Omega^r_{X'}\) et \(\Omega^r_X\) sont inversibles ; voir Diviseurs, lemme 0B3N. Considérons la suite exacte \[b^*\Omega_{X/A_0} \to \Omega_{X'/A_0} \to \Omega_{X'/X} \to 0\] Un calcul local montre que \(\Omega_{X'/X}\) est isomorphe à un module inversible sur le diviseur exceptionnel \(E\) ; voir le lemme 0B4L. Il en résulte que l’on a l’une des deux possibilités \[\Omega^r_{X'} \cong (b^*\Omega^r_X)(E) \quad\text{ou}\quad \Omega^r_{X'} \cong b^*\Omega^r_X\] ; voir Diviseurs, lemme 0B3T. (La seconde possibilité ne se produit jamais en caractéristique zéro, mais peut se produire en caractéristique \(p\).) Dans les deux cas, on a \(R^1b_*(\Omega^r_{X'}) = 0\) et \(b_*(\Omega^r_{X'}) = \Omega^r_X\) d’après le lemme 0AGS.
Lemme
Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A\) un anneau local régulier complet de dimension \(2\) et de caractéristique \(p\). Soit \(L/K\) une extension inséparable de degré \(p\) du corps des fractions \(K\) de \(A\). Soit \(B \subset L\) la clôture intégrale de \(A\). Alors la réduction aux singularités rationnelles est possible pour \(B\).
Démonstration
On a \(A = k[[x, y]]\). Écrivons \(L = K[x]/(x^p - f)\) pour un certain \(f \in A\) et notons \(g \in B\) la classe de congruence de \(x\), c’est-à-dire l’élément tel que \(g^p = f\). D’après Algèbre, lemme 031W, \(\text{d}f\) est non nul dans \(\Omega_{K/\mathbf{F}_p}\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 07P5, il existe un sous-corps \(k^p \subset k' \subset k\) avec \(p^e = [k : k'] < \infty\) tel que \(\text{d}f\) soit non nul dans \(\Omega_{K/K_0}\), où \(K_0\) est le corps des fractions de \(A_0 = k'[[x^p, y^p]] \subset A\). Alors \[\Omega_{A/A_0} = A \otimes_k \Omega_{k/k'} \oplus A \text{d}x \oplus A \text{d}y\] est libre fini de rang \(e + 2\). Posons \(\omega_A = \Omega^{e + 2}_{A/A_0}\). Considérons l’application canonique \[\text{Tr} : \Omega^{e + 2}_{B/A_0} \longrightarrow \Omega^{e + 2}_{A/A_0} = \omega_A\] du lemme 0AX6. Par dualité, elle détermine une application \[c : \Omega^{e + 2}_{B/A_0} \to \omega_B = \Hom_A(B, \omega_A)\] Affirmation : le conoyau de \(c\) est annulé par un élément non nul de \(B\).
Puisque \(\text{d}f\) est non nul dans \(\Omega_{A/A_0}\), on peut trouver \(\eta_1, \ldots, \eta_{e + 1} \in \Omega_{A/A_0}\) tels que \(\theta = \eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_{e + 1} \wedge \text{d}f\) soit non nul dans \(\omega_A = \Omega^{e + 2}_{A/A_0}\). Pour démontrer l’affirmation, nous allons construire des éléments \(\omega_i\) de \(\Omega^{e + 2}_{B/A_0}\), \(i = 0, \ldots, p - 1\), qui sont envoyés sur \(\varphi_i \in \omega_B = \Hom_A(B, \omega_A)\) avec \(\varphi_i(g^j) = \delta_{ij}\theta\) pour \(j = 0, \ldots, p - 1\). Puisque \(\{1, g, \ldots, g^{p - 1}\}\) est une base de \(L/K\), cela démontre l’affirmation. Posons \(\eta = \eta_1 \wedge \ldots \wedge \eta_{e + 1}\), de sorte que \(\theta = \eta \wedge \text{d}f\). Posons \(\omega_i = \eta \wedge g^{p - 1 - i}\text{d}g\). Par construction, on a alors \[\varphi_i(g^j) = \text{Tr}(g^j \eta \wedge g^{p - 1 - i}\text{d}g) = \text{Tr}(\eta \wedge g^{p - 1 - i + j}\text{d}g) = \delta_{ij} \theta\] d’après la description explicite de l’application trace dans le lemme 0AX5.
Soit \(Y \to \Spec(B)\) une modification normale. Exactement comme dans la démonstration du lemme 0AXL, on peut se ramener au cas où \(Y\) est fini sur une modification \(X\) de \(\Spec(A)\). D’après le lemme 0AHI, on peut même supposer que \(X \to \Spec(A)\) est obtenu par une suite d’éclatements en des points fermés. Considérons le diagramme : \[\xymatrix{ Y \ar[d]_\pi \ar[r]_-g & \Spec(B) \ar[d] \\ X \ar[r]^-f & \Spec(A) }\] On peut appliquer le lemme 0AX6 à \(\pi\), ce qui fournit la première flèche de \[\pi_*(\Omega^{e + 2}_{Y/A_0}) \xrightarrow{\text{Tr}} (\Omega^{e + 2}_{X/A_0})^{**} \xrightarrow{\varphi_X} \omega_X\] ; la seconde provient du lemme 0B4T (puisque \(f\) est une suite d’éclatements en des points fermés). Par dualité pour le morphisme fini \(\pi\), cela correspond à une application \[c_Y : \Omega^{e + 2}_{Y/A_0} \longrightarrow \omega_Y\] qui prolonge l’application \(c\) ci-dessus. Ainsi, l’image de \(\Gamma(Y, \omega_Y) \to \omega_B\) contient celle de \(c\). Notre affirmation montre que le conoyau est annulé par un élément non nul fixé de \(B\). On conclut par le lemme 0B4S.
Singularités rationnelles
Dans cette section, nous ramenons le cas des points singuliers rationnels à celui des points singuliers rationnels de Gorenstein. Voir [Lipman-rational] et [Mattuck].
Situation
Ici, \((A, \mathfrak m, \kappa)\) est un anneau local normal intègre de Nagata et de dimension \(2\) qui définit une singularité rationnelle. Soit \(s\) le point fermé de \(S = \Spec(A)\) et soit \(U = S \setminus \{s\}\). Soit \(f : X \to S\) une modification avec \(X\) normal. Nous notons \(C_1, \ldots, C_r\) les composantes irréductibles de la fibre spéciale \(X_s\) de \(f\).
Lemme
Dans la situation 0B4W, soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors
\(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p \not \in \{0, 1\}\) ;
\(H^1(X, \mathcal{F}) = 0\) si \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales.
Démonstration
La partie (1) résulte de Cohomologie des schémas, lemme 02V7. Si \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales, il existe une surjection \(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\). D’après la partie (1) et la suite exacte longue de cohomologie, celle-ci induit une surjection sur \(H^1\). Puisque \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\), car \(S\) définit une singularité rationnelle, et puisque \(H^1(X, -)\) commute aux sommes directes (Cohomologie, lemme 01FF), on conclut.
Lemme
Dans la situation 0B4W, supposons que \(E = X_s\) soit un diviseur de Cartier effectif. Soit \(\mathcal{I}\) le faisceau d’idéaux de \(E\). Alors \(H^0(X, \mathcal{I}^n) = \mathfrak m^n\) et \(H^1(X, \mathcal{I}^n) = 0\).
Démonstration
On a \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = A\) ; voir la discussion qui suit la situation 0AX8. Alors \(\mathfrak m \subset H^0(X, \mathcal{I}) \subset H^0(X, \mathcal{O}_X)\). La seconde inclusion n’est pas une égalité, car \(X_s \not = \emptyset\). Ainsi \(H^0(X, \mathcal{I}) = \mathfrak m\). Comme \(\mathcal{I}^n = \mathfrak m^n\mathcal{O}_X\), notre lemme 0B4X montre que \(H^1(X, \mathcal{I}^n) = 0\).
Choisissons des générateurs \(x_1, \ldots, x_{\mu + 1}\) de \(\mathfrak m\). Ils définissent des sections globales de \(\mathcal{I}\) qui l’engendrent. On obtient donc une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_X^{\oplus \mu + 1} \to \mathcal{I} \to 0\] Alors \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre fini de rang \(\mu\) et \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\) est engendré par ses sections globales d’après Constructions, lemme 0B3B. Par conséquent, \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{I}^n\) est engendré par ses sections globales pour tout \(n \geq 1\). Ainsi, pour \(n \geq 2\), on peut considérer la suite exacte \[0 \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}^{n - 1} \to (\mathcal{I}^{n - 1})^{\oplus \mu + 1} \to \mathcal{I}^n \to 0\] En appliquant la suite exacte longue de cohomologie et en utilisant \(H^1(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}^{n - 1}) = 0\) d’après le lemme 0B4X, on obtient que tout élément de \(H^0(X, \mathcal{I}^n)\) est de la forme \(\sum x_i a_i\) pour certains \(a_i \in H^0(X, \mathcal{I}^{n - 1})\). Cela montre par récurrence que \(H^0(X, \mathcal{I}^n) = \mathfrak m^n\).
Lemme
Dans la situation 0B4W, l’éclatement de \(\Spec(A)\) en \(\mathfrak m\) est normal.
Démonstration
Soit \(X' \to \Spec(A)\) l’éclatement ; autrement dit, \[X' = \text{Proj}(A \oplus \mathfrak m \oplus \mathfrak m^2 \oplus \ldots).\] est le Proj de l’algèbre de Rees. Cela montre en particulier que \(X'\) est intègre et que \(X' \to \Spec(A)\) est une modification projective. Soit \(X\) la normalisation de \(X'\). Puisque \(A\) est de Nagata, \(\nu : X \to X'\) est fini (Morphismes, lemme 035S). Soit \(E' \subset X'\) le diviseur exceptionnel et soit \(E \subset X\) son image réciproque. Soient \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{X'}\) et \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) leurs faisceaux d’idéaux. Rappelons que \(\mathcal{I}' = \mathcal{O}_{X'}(1)\) (Diviseurs, lemme 02NS). Remarquons que \(\mathcal{I} = \nu^*\mathcal{I}'\) et que \(E\) est un diviseur de Cartier effectif (Diviseurs, lemme 02OO). Nous cherchons à montrer que \(\nu\) est un isomorphisme. Comme \(\nu\) est fini, il suffit de montrer que \(\mathcal{O}_{X'} \to \nu_*\mathcal{O}_X\) est un isomorphisme. Sinon, il existe un \(n \geq 0\) tel que \[H^0(X', (\mathcal{I}')^n) \not = H^0(X', (\nu_*\mathcal{O}_X) \otimes (\mathcal{I}')^n)\], par exemple parce que l’on peut retrouver les \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules quasi-cohérents à partir de leurs modules gradués associés ; voir Propriétés, lemme 01QJ. La formule de projection donne \[H^0(X', (\nu_*\mathcal{O}_X) \otimes (\mathcal{I}')^n) = H^0(X, \nu^*(\mathcal{I}')^n) = H^0(X, \mathcal{I}^n) = \mathfrak m^n\], la dernière égalité résultant du lemme 0B4Y. D’autre part, il existe manifestement une injection \(\mathfrak m^n \to H^0(X', (\mathcal{I}')^n)\). Puisque \(H^0(X', (\mathcal{I}')^n)\) est sans torsion, nous concluons qu’il y a égalité pour tout \(n\), donc que \(X = X'\).
Lemme
Dans la situation 0B4W, soit \(X\) l’éclatement de \(\Spec(A)\) en \(\mathfrak m\). Soit \(E \subset X\) le diviseur exceptionnel. Avec \(\mathcal{O}_X(1) = \mathcal{I}\) comme d’habitude et \(\mathcal{O}_E(1) = \mathcal{O}_X(1)|_E\), on a :
\(E\) est une courbe propre de Cohen–Macaulay sur \(\kappa\) ;
\(\mathcal{O}_E(1)\) est très ample ;
\(\deg(\mathcal{O}_E(1)) \geq 1\), l’égalité n’ayant lieu que si \(A\) est un anneau local régulier ;
\(H^1(E, \mathcal{O}_E(n)) = 0\) pour \(n \geq 0\) ;
\(H^0(E, \mathcal{O}_E(n)) = \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\) pour \(n \geq 0\).
Démonstration
Puisque \(\mathcal{O}_X(1)\) est très ample par construction, sa restriction à la fibre spéciale \(E\) l’est aussi. D’après le lemme 0B4Z, le schéma \(X\) est normal. Alors \(E\) est de Cohen–Macaulay d’après Diviseurs, lemme 0B3S. Le lemme 0B4Y s’applique, et les suites exactes \[0 \to \mathcal{I}^{n + 1} \to \mathcal{I}^n \to i_*\mathcal{O}_E(n) \to 0\] ainsi que la suite exacte longue de cohomologie donnent (4) et (5). En particulier, on a \[\deg(\mathcal{O}_E(1)) = \chi(E, \mathcal{O}_E(1)) - \chi(E, \mathcal{O}_E) = \dim(\mathfrak m/\mathfrak m^2) - 1\] d’après Variétés, définition 0AYR. Cela donne également (3).
Lemme
Dans la situation 0B4W, supposons que \(A\) possède un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\). Si \(\omega_X\) est le module dualisant de \(X\), alors l’application trace \(H^0(X, \omega_X) \to \omega_A\) est un isomorphisme et, par conséquent, il existe une application canonique \(f^*\omega_A \to \omega_X\).
Démonstration
D’après Grauert–Riemenschneider (proposition 0AXD), on a \(Rf_*\omega_X = f_*\omega_X\). Par dualité, on dispose d’une suite exacte courte
\[0 \to f_*\omega_X \to \omega_A \to \Ext^2_A(R^1f_*\mathcal{O}_X, \omega_A) \to 0\] (voir par exemple la démonstration du lemme 0B4S) et, puisque \(A\) définit une singularité rationnelle, on obtient \(f_*\omega_X = \omega_A\).
Lemme
Dans la situation 0B4W, supposons que \(A\) possède un complexe dualisant \(\omega_A^\bullet\) et ne soit pas régulier. Soit \(X\) l’éclatement de \(\Spec(A)\) en \(\mathfrak m\), de diviseur exceptionnel \(E \subset X\). Soit \(\omega_X\) le module dualisant de \(X\). Alors :
\(\omega_E = \omega_X|_E \otimes \mathcal{O}_E(-1)\) ;
\(H^1(X, \omega_X(n)) = 0\) pour \(n \geq 0\) ;
l’application \(f^*\omega_A \to \omega_X\) du lemme 0BBU est surjective.
Démonstration
Nous utiliserons sans autre mention les résultats du lemme 0B63. Remarquons que \(\omega_E = \omega_X|_E \otimes \mathcal{O}_E(-1)\) d’après Dualité pour les schémas, lemmes 0AA4 et 0A9X. Ainsi \(\omega_X|_E = \omega_E(1)\). Considérons les suites exactes courtes \[0 \to \omega_X(n + 1) \to \omega_X(n) \to i_*\omega_E(n + 1) \to 0\] D’après Courbes algébriques, lemme 0B62, on a \(H^1(E, \omega_E(n + 1)) = 0\) pour \(n \geq 0\). Les applications \[\ldots \to H^1(X, \omega_X(2)) \to H^1(X, \omega_X(1)) \to H^1(X, \omega_X)\] sont donc surjectives. Puisque \(H^1(X, \omega_X(n))\) est nul pour \(n \gg 0\) (Cohomologie des schémas, lemme 02O1), on en déduit (2).
D’après Courbes algébriques, lemme 0B5H, \(\omega_X|_E = \omega_E \otimes \mathcal{O}_E(1)\) est engendré par ses sections globales. Puisque nous avons vu ci-dessus que \(H^1(X, \omega_X(1)) = 0\), l’application \(H^0(X, \omega_X) \to H^0(E, \omega_X|_E)\) est surjective. Nous concluons que \(\omega_X\) est engendré par ses sections globales ; cela donne (3), car \(\Gamma(X, \omega_X) = \omega_A\) est utilisé dans le lemme 0BBU pour définir l’application.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local normal intègre de Nagata et de dimension \(2\) qui définit une singularité rationnelle. Supposons que \(A\) possède un complexe dualisant. Il existe alors une suite finie d’éclatements en des points fermés singuliers \[X = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\] telle que \(X_i\) soit normal pour tout \(i\) et que le faisceau dualisant \(\omega_X\) de \(X\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.
Démonstration
Le module dualisant \(\omega_A\) est un \(A\)-module fini dont le germe au point générique est inversible. En effet, \(\omega_A \otimes_A K\) est un module dualisant pour le corps des fractions \(K\) de \(A\), donc est de rang \(1\). Il existe ainsi un éclatement \(b : Y \to \Spec(A)\) tel que le transformé strict de \(\omega_A\) relativement à \(b\) soit un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible ; voir Diviseurs, lemme 0ESN. D’après le lemme 0BBT, on peut choisir une suite d’éclatements normalisés \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to \Spec(A)\] telle que \(X_n\) domine \(Y\). Le lemme 0B4Z et un raisonnement par récurrence montrent que chaque \(X_i \to X_{i - 1}\) est simplement un éclatement.
Nous affirmons que \(\omega_{X_n}\) est inversible. Puisque \(\omega_{X_n}\) est un \(\mathcal{O}_{X_n}\)-module cohérent, il suffit de vérifier que ses germes sont des modules inversibles. Si \(x \in X_n\) est un point régulier, cela résulte du fait que les schémas réguliers sont de Gorenstein (Complexes dualisants, lemme 0AWX). Si \(x\) est un point singulier de \(X_n\), alors chacune des images \(x_i \in X_i\) de \(x\) est un point singulier (car l’éclatement d’un point régulier est régulier d’après le lemme 0AGR). Considérons l’application canonique \(f_n^*\omega_A \to \omega_{X_n}\) du lemme 0BBU. Pour tout \(i\), le morphisme \(X_{i + 1} \to X_i\) est soit l’éclatement de \(x_i\), soit un isomorphisme en \(x_i\). Puisque \(x_i\) est toujours un point singulier, le lemme 0B64 et une récurrence montrent que les applications \(f_i^*\omega_A \to \omega_{X_i}\) sont toujours surjectives sur les germes en \(x_i\). Par conséquent, \[(f_n^*\omega_A)_x \longrightarrow \omega_{X_n, x}\] est surjective. D’autre part, par notre choix de \(b\), le quotient de \(f_n^*\omega_A\) par son sous-module de torsion est un module inversible \(\mathcal{L}\). De plus, le module dualisant est sans torsion (Dualité pour les schémas, lemme 0AWK). Il s’ensuit que \(\mathcal{L}_x \cong \omega_{X_n, x}\), ce qui achève la démonstration.
Arcs formels
Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Dans cette section, nous appelons arc formel dans \(X\) un morphisme \(a : T \to X\) où \(T\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète complet \(R\) dont le corps résiduel \(\kappa\) est identifié au corps résiduel de l’image \(p\) du point fermé de \(\Spec(R)\). Nous dirons alors que l’arc formel \(a\) est centré en \(p\). Nous disons que l’arc formel \(T \to X\) est non singulier si l’application induite \(\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2 \to \mathfrak m_R/\mathfrak m_R^2\) est surjective.
Soient \(a : T \to X\) et \(T = \Spec(R)\) un arc formel non singulier centré en un point fermé \(p\) de \(X\). Supposons \(X\) localement noethérien. Soit \(b : X_1 \to X\) l’éclatement de \(X\) en \(x\). Comme \(a\) est non singulier, il existe un élément \(f \in \mathfrak m_p\) qui s’envoie sur une uniformisante de \(R\). En particulier, le point générique de \(T\) s’envoie sur un point de \(X\) distinct de \(p\). Autrement dit, si \(K\) désigne le corps des fractions de \(R\), la restriction de \(a\) définit un morphisme \(\Spec(K) \to X \setminus \{p\}\). Puisque le morphisme \(b\) est propre et est un isomorphisme au-dessus de \(X \setminus \{x\}\), le critère valuatif de propreté fournit un unique morphisme \(a_1\) qui rend commutatif le diagramme suivant \[\xymatrix{ T \ar[r]_{a_1} \ar[rd]_a & X_1 \ar[d]^{b} \\ & X }\] Soit \(p_1 \in X_1\) l’image du point fermé de \(T\). Remarquons que \(p_1\) est un point fermé, car c’est un point \(\kappa = \kappa(p)\)-rationnel de la fibre de \(X_1 \to X\) au-dessus de \(x\). Comme on dispose d’une factorisation \[\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_1, p_1} \to R\], on voit que \(a_1\) est lui aussi un arc formel non singulier.
On peut répéter le procédé et obtenir une suite d’éclatements \[\xymatrix{ T \ar[d]_a \ar[rd]_{a_1} \ar[rrd]_{a_2} \ar[rrrd]^{a_3} \\ (X, p) & (X_1, p_1) \ar[l] & (X_2, p_2) \ar[l] & (X_3, p_3) \ar[l] & \ldots \ar[l] }\] Les suites d’éclatements de ce type se caractérisent comme suit.
Lemme
Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \[(X, p) = (X_0, p_0) \leftarrow (X_1, p_1) \leftarrow (X_2, p_2) \leftarrow (X_3, p_3) \leftarrow \ldots\] une suite d’éclatements telle que :
\(p_i\) soit fermé, s’envoie sur \(p_{i - 1}\) et vérifie \(\kappa(p_i) = \kappa(p_{i - 1})\) ;
il existe un élément \(x_1 \in \mathfrak m_p\) dont l’image dans \(\mathfrak m_{p_i}\), pour \(i > 0\), définit le diviseur exceptionnel \(E_i \subset X_i\).
Alors la suite est obtenue, comme ci-dessus, à partir d’un arc non singulier \(a : T \to X\).
Démonstration
Écrivons \(\mathcal{O}_n = \mathcal{O}_{X_n, p_n}\) et \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{X, p}\). Notons \(\mathfrak m \subset \mathcal{O}\) et \(\mathfrak m_n \subset \mathcal{O}_n\) les idéaux maximaux.
Nous affirmons que \(x_1^t \not \in \mathfrak m_n^{t + 1}\). En effet, si ce n’était pas le cas, alors, dans l’anneau local \(\mathcal{O}_{n + 1}\), l’élément \(x_1^t\) appartiendrait à l’idéal de \((t + 1)E_{n + 1}\). Cela contredit l’hypothèse selon laquelle \(x_1\) définit \(E_{n + 1}\).
Pour tout \(n\), choisissons des générateurs \(y_{n, 1}, \ldots, y_{n, t_n}\) de \(\mathfrak m_n\). Comme \(\mathfrak m_n \mathcal{O}_{n + 1} = x_1\mathcal{O}_{n + 1}\) d’après l’hypothèse (2), on peut écrire \(y_{n, i} = a_{n, i} x_1\) pour certains \(a_{n, i} \in \mathcal{O}_{n + 1}\). Puisque l’application \(\mathcal{O}_n \to \mathcal{O}_{n + 1}\) induit, d’après (1), un isomorphisme sur les corps résiduels, on peut choisir \(c_{n, i} \in \mathcal{O}_n\) ayant la même classe résiduelle que \(a_{n, i}\). On voit alors que \[\mathfrak m_n = (x_1, z_{n, 1}, \ldots, z_{n, t_n}), \quad z_{n, i} = y_{n, i} - c_{n, i} x_1\] et que les éléments \(z_{n, i}\) s’envoient sur des éléments de \(\mathfrak m_{n + 1}^2\) dans \(\mathcal{O}_{n + 1}\).
Considérons \[J_n = \Ker(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_n/\mathfrak m_n^{n + 1})\] Nous affirmons que \(\mathcal{O}/J_n\) est de longueur \(n + 1\) et que \(\mathcal{O}/(x_1) + J_n\) est égal au corps résiduel. Pour \(n = 0\), c’est immédiat. Supposons l’assertion vraie pour \(n\). Soit \(f \in J_n\). Alors, dans \(\mathcal{O}_n\), on a \[f = a x_1^{n + 1} + x_1^n A_1(z_{n, i}) + x_1^{n - 1} A_2(z_{n, i}) + \ldots + A_{n + 1}(z_{n, i})\] pour un certain \(a \in \mathcal{O}_n\) et certains \(A_i\) homogènes de degré \(i\) à coefficients dans \(\mathcal{O}_n\). Puisque \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_n\) identifie les corps résiduels, on peut choisir \(a \in \mathcal{O}\) (raisonner comme dans la construction de \(z_{n, i}\) ci-dessus). En prenant l’image dans \(\mathcal{O}_{n + 1}\), on voit que \(f\) et \(a x_1^{n + 1}\) ont la même image modulo \(\mathfrak m_{n + 1}^{n + 2}\). Puisque \(x_n^{n + 1} \not \in \mathfrak m_{n + 1}^{n + 2}\), il s’ensuit que \(J_n/J_{n + 1}\) est de longueur \(1\), ce qui démontre l’affirmation.
Considérons \(R = \lim \mathcal{O}/J_n\). C’est un quotient du complété \(\mathfrak m\)-adique de \(\mathcal{O}\) ; c’est donc un anneau local noethérien complet. D’autre part, il n’est pas de longueur finie et \(x_1\) engendre son idéal maximal. Ainsi \(R\) est un anneau de valuation discrète complet. L’application \(\mathcal{O} \to R\) se relève en un homomorphisme local \(\mathcal{O}_n \to R\) pour tout \(n\). Il y a deux façons de le montrer : (1) pour tout \(n\), on peut employer un procédé analogue pour construire \(\mathcal{O}_n \to R_n\), puis montrer que \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_n \to R_n\) se factorise par un isomorphisme \(R \to R_n\) ; ou (2) on peut utiliser Diviseurs, lemme 0BFL, pour montrer que \(\mathcal{O}_n\) est un localisé d’une algèbre d’éclatement affine itérée et construire explicitement une application \(\mathcal{O}_n \to R\). Cela étant dit, il est clair que notre suite d’éclatements provient de l’arc non singulier \(a : T = \Spec(R) \to X\).
Le lemme suivant est une sorte de lemme de désingularisation de Néron.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien intègre de dimension \(2\). Soit \(A \to R\) une surjection sur un anneau de valuation discrète complet. Elle définit un arc non singulier \(a : T = \Spec(R) \to \Spec(A)\). Soit \[\Spec(A) = X_0 \leftarrow X_1 \leftarrow X_2 \leftarrow X_3 \leftarrow \ldots\] la suite d’éclatements construite à partir de \(a\). Si \(A_\mathfrak p\) est un anneau local régulier, où \(\mathfrak p = \Ker(A \to R)\), alors, pour un certain \(i\), le schéma \(X_i\) est régulier en \(x_i\).
Démonstration
Soit \(x_1 \in \mathfrak m\) un élément qui s’envoie sur une uniformisante de \(R\). Remarquons que \(\kappa(\mathfrak p) = K\) est le corps des fractions de \(R\). Écrivons \(\mathfrak p = (x_2, \ldots, x_r)\) avec \(r\) minimal. Si \(r = 2\), alors \(\mathfrak m = (x_1, x_2)\) et \(A\) est régulier, ce qui démontre le lemme. Supposons \(r > 2\). Après renumérotation si nécessaire, nous pouvons supposer que \(x_2\) s’envoie sur une uniformisante de \(A_\mathfrak p\). Alors \(\mathfrak p/\mathfrak p^2 + (x_2)\) est annulé par une puissance de \(x_1\). Pour \(i > 2\), il existe \(n_i \geq 0\) et \(a_i \in A\) tels que \[x_1^{n_i} x_i - a_i x_2 = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} x_jx_k\] pour certains \(a_{jk} \in A\). Si \(n_i = 0\) pour un certain \(i\), on peut supprimer \(x_i\) de la liste des générateurs de \(\mathfrak p\) et conclure par récurrence sur \(r\). Si, pour un certain \(i\), l’élément \(a_i\) est une unité, on peut supprimer \(x_2\) de la liste des générateurs de \(\mathfrak p\) et conclure de la même manière. Ainsi, soit \(a_i \in \mathfrak p\), soit \(a_i = u_i x_1^{m_1} \bmod \mathfrak p\) pour certains \(m_1 > 0\) et une unité \(u_i \in A\). On se trouve donc dans l’un des deux cas \[x_1^{n_i} x_i = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} x_jx_k \quad\text{ou}\quad x_1^{n_i} x_i - u_i x_1^{m_i} x_2 = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} x_jx_k\] Nous allons montrer qu’après éclatement les entiers \(n_i\) et \(m_i\) diminuent, ce qui achèvera la démonstration.
Examinons ce que deviennent ces équations dans l’algèbre d’éclatement affine \(A' = A[\mathfrak m/x_1]\). Comme \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\), on voit que \(A'\) est engendré sur \(R\) par \(y_i = x_i/x_1\) pour \(i \geq 2\). Manifestement, \(A \to R\) se prolonge en \(A' \to R\), de noyau \((y_2, \ldots, y_r)\). On voit alors que l’on se trouve dans l’un des deux cas \[x_1^{n_i - 1} y_i = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} y_jy_k \quad\text{ou}\quad x_1^{n_i - 1} y_i - u_i x_1^{m_1 - 1} y_2 = \sum\nolimits_{2 \leq j \leq k} a_{jk} y_jy_k\], ce qui achève la démonstration.
Changement de base au complété
Le lemme élémentaire suivant se révélera utile dans la suite.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local dont l’idéal maximal \(\mathfrak m\) est de type fini. Soit \(X\) un schéma sur \(A\). Soit \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\), où \(A^\wedge\) est le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(A\). Pour un point \(q \in Y\), d’image \(p \in X\) situé au-dessus du point fermé de \(\Spec(A)\), l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, p} \to \mathcal{O}_{Y, q}\) induit un isomorphisme sur les complétés.
Démonstration
Nous pouvons supposer \(X\) affine. Écrivons alors \(X = \Spec(B)\). Soit \(\mathfrak q \subset B' = B \otimes_A A^\wedge\) l’idéal premier correspondant à \(q\) et soit \(\mathfrak p \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(p\). D’après Algèbre, lemme 05GG, on a \[B'/(\mathfrak m^\wedge)^n B' = A^\wedge/(\mathfrak m^\wedge)^n \otimes_A B = A/\mathfrak m^n \otimes_A B = B/\mathfrak m^n B\] pour tout \(n\). Puisque \(\mathfrak m B \subset \mathfrak p\) et \(\mathfrak m^\wedge B' \subset \mathfrak q\), on voit que \(B/\mathfrak p^n\) et \(B'/\mathfrak q^n\) sont tous deux des quotients de l’anneau affiché ci-dessus par la \(n\)-ième puissance du même idéal premier. Le lemme en résulte.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(X \to \Spec(A)\) un morphisme localement de type fini. Posons \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\). Soit \(y \in Y\), d’image \(x \in X\). Alors :
si \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est régulier, alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est régulier ;
si \(y\) appartient à la fibre fermée, alors \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est régulier \(\Leftrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\) est régulier ;
si \(X\) est propre sur \(A\), alors \(X\) est régulier si et seulement si \(Y\) est régulier.
Démonstration
Puisque \(A \to A^\wedge\) est fidèlement plat (Algèbre, lemme 00MC), \(Y \to X\) est plat. La partie (1) résulte donc d’Algèbre, lemme 07NG. Le lemme 0BG5 montre que le morphisme \(Y \to X\) induit un isomorphisme sur les anneaux locaux complétés aux points des fibres spéciales. La partie (2) résulte alors de Compléments d’algèbre, lemme 07NY. Si \(X\) est propre sur \(A\), alors \(Y\) est propre sur \(A^\wedge\) (Morphismes, lemme 01W4), et tout point fermé de \(X\) et de \(Y\) appartient à la fibre fermée. Par conséquent, \(Y\) est un schéma régulier si et seulement si \(X\) l’est, d’après Propriétés, lemme 02IT.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de complété \(A^\wedge\). Soient \(U \subset \Spec(A)\) et \(U^\wedge \subset \Spec(A^\wedge)\) les spectres épointés. Si \(Y \to \Spec(A^\wedge)\) est un éclatement \(U^\wedge\)-admissible, alors il existe un éclatement \(U\)-admissible \(X \to \Spec(A)\) tel que \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\).
Démonstration
Par définition, il existe un idéal \(J \subset A^\wedge\) tel que \(V(J) = \{\mathfrak m A^\wedge\}\) et tel que \(Y\) soit l’éclatement de \(S^\wedge\) le long du sous-schéma fermé défini par \(J\) ; voir Diviseurs, définition 080K. Comme \(A^\wedge\) est noethérien, cela entraîne \(\mathfrak m^n A^\wedge \subset J\) pour un certain \(n\). Puisque \(A^\wedge/\mathfrak m^n A^\wedge = A/\mathfrak m^n\), on trouve un idéal \(\mathfrak m^n \subset I \subset A\) tel que \(J = I A^\wedge\). Soit \(X \to S\) l’éclatement en \(I\). Comme \(A \to A^\wedge\) est plat, on conclut que le changement de base de \(X\) est \(Y\) d’après Diviseurs, lemme 0805.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local normal intègre de Nagata et de dimension \(2\). Supposons que \(A\) définisse une singularité rationnelle et que le complété \(A^\wedge\) de \(A\) soit normal. Alors :
\(A^\wedge\) définit une singularité rationnelle ;
si \(X \to \Spec(A)\) est l’éclatement en \(\mathfrak m\), alors, pour tout point fermé \(x \in X\), le complété \(\mathcal{O}_{X, x}\) est normal.
Démonstration
Soit \(Y \to \Spec(A^\wedge)\) une modification avec \(Y\) normal. Il faut montrer que \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\). D’après Variétés, lemme 0BFP, \(Y \to \Spec(A^\wedge)\) est un isomorphisme au-dessus du spectre épointé \(U^\wedge = \Spec(A^\wedge) \setminus \{\mathfrak m^\wedge\}\). D’après le lemme 0B4M, il existe un éclatement \(U^\wedge\)-admissible \(Y' \to \Spec(A^\wedge)\) qui domine \(Y\). Le lemme 0AFK fournit un éclatement \(U\)-admissible \(X \to \Spec(A)\) dont le changement de base à \(A^\wedge\) domine \(Y\). Puisque \(A\) est de Nagata, on peut remplacer \(X\) par sa normalisation ; après quoi \(X \to \Spec(A)\) est une modification normale (mais peut ne plus être un éclatement \(U\)-admissible). Alors \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\) puisque \(A\) définit une singularité rationnelle. Il s’ensuit que \(H^1(X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge), \mathcal{O}_{X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)}) = 0\) par changement de base plat (Cohomologie des schémas, lemme 02KH, et platitude de \(A \to A^\wedge\) d’après Algèbre, lemme 00MB). On obtient \(H^1(Y, \mathcal{O}_Y) = 0\) d’après le lemme 0AXF.
Enfin, soit \(X \to \Spec(A)\) l’éclatement de \(\Spec(A)\) en \(\mathfrak m\). Alors \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\) est l’éclatement de \(\Spec(A^\wedge)\) en \(\mathfrak m^\wedge\). D’après le lemme 0B4Z, \(Y\) et \(X\) sont tous deux normaux. D’autre part, \(A^\wedge\) est excellent (Compléments d’algèbre, proposition 07QW) ; tout ouvert affine de \(Y\) est donc le spectre d’un anneau normal excellent intègre (Compléments d’algèbre, lemme 07QU). Ainsi, pour \(y \in Y\), l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) est régulier et Compléments d’algèbre, lemme 0BFK, montre que \(\mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) est normal. Si \(x \in X\) est un point fermé de la fibre spéciale, il existe un unique point fermé \(y \in Y\) au-dessus de \(x\). Puisque \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) induit un isomorphisme sur les complétés (lemme 0BG5), on conclut.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(X\) un schéma sur \(A\). Supposons que :
\(A\) soit analytiquement non ramifié (Algèbre, définition 032X) ;
\(X\) soit localement de type fini sur \(A\) ;
\(X \to \Spec(A)\) soit étale aux points génériques des composantes irréductibles de \(X\).
Alors la normalisation de \(X\) est finie sur \(X\).
Démonstration
Puisque \(A\) est analytiquement non ramifié, il est réduit d’après Algèbre, lemme 032Y. Comme la normalisation de \(X\) ne dépend que du réduit de \(X\), nous pouvons remplacer \(X\) par son réduit \(X_{red}\) ; remarquons que \(X_{red} \to X\) est un isomorphisme sur l’ouvert \(U\) où \(X \to \Spec(A)\) est étale, car \(U\) est réduit (Descente, lemme 034E), de sorte que la condition (3) reste vraie après ce remplacement. De plus, nous pouvons supposer, et nous le faisons, que \(X = \Spec(B)\) est affine.
L’application \[K = \prod\nolimits_{\mathfrak p \subset A\text{ minimal}} \kappa(\mathfrak p) \longrightarrow K^\wedge = \prod\nolimits_{\mathfrak p^\wedge \subset A^\wedge\text{ minimal}} \kappa(\mathfrak p^\wedge)\] est injective car \(A \to A^\wedge\) est fidèlement plat (Algèbre, lemme 00MC) et induit donc une application surjective entre les ensembles d’idéaux premiers minimaux (par descente pour les homomorphismes plats, voir Algèbre, section 00HU). Les deux membres sont des produits finis de corps puisque nos anneaux sont noethériens. Posons \(L = \prod_{\mathfrak q \subset B\text{ minimal}} \kappa(\mathfrak q)\). Notre hypothèse (3) entraîne que \(L = B \otimes_A K\) et que \(K \to L\) est un homomorphisme d’anneaux fini étale (cela tient au fait que \(A \to B\) est génériquement fini ; on peut par exemple utiliser Algèbre, lemme 02ML, ou les résultats plus détaillés de Morphismes, section 02NV). Puisque \(B\) est réduit, on voit que \(B \subset L\). Cela implique que \[C = B \otimes_A A^\wedge \subset L \otimes_A A^\wedge = L \otimes_K K^\wedge = M\]. Alors \(M\) est l’anneau total des fractions de \(C\) et est un produit fini de corps, car c’est une algèbre séparable finie sur \(K^\wedge\). Il s’ensuit que \(C\) est réduit et que sa normalisation \(C'\) est la clôture intégrale de \(C\) dans \(M\). La normalisation \(B'\) de \(B\) est la clôture intégrale de \(B\) dans \(L\). Par platitude de \(A \to A^\wedge\), on obtient une application injective \(B' \otimes_A A^\wedge \to M\) dont l’image est contenue dans \(C'\). On a ainsi \[B' \otimes_A A^\wedge \longrightarrow C'\]. Comme \(A^\wedge\) est de Nagata (d’après Algèbre, lemme 032W), on voit que \(C'\) est fini sur \(C = B \otimes_A A^\wedge\) (voir Algèbre, lemmes 032W et 03GH). Puisque \(C\) est noethérien, on conclut que \(B' \otimes_A A^\wedge\) est fini sur \(C = B \otimes_A A^\wedge\). Par descente fidèlement plate (Algèbre, lemme 03C4), on voit donc que \(B'\) est fini sur \(B\), ce qu’il fallait démontrer.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(X \to \Spec(A)\) un morphisme localement de type fini. Posons \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\). Si le complémentaire de la fibre spéciale dans \(Y\) est normal, alors la normalisation \(X^\nu \to X\) est finie et le changement de base de \(X^\nu\) à \(\Spec(A^\wedge)\) redonne la normalisation de \(Y\).
Démonstration
On se ramène immédiatement au cas où \(X = \Spec(B)\) est affine, avec \(B\) une \(A\)-algèbre de type fini. Posons \(C = B \otimes_A A^\wedge\), de sorte que \(Y = \Spec(C)\). Puisque \(A \to A^\wedge\) est fidèlement plat, pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) il existe un idéal premier \(\mathfrak r \subset C\) au-dessus de \(\mathfrak q\). Alors \(B_\mathfrak q \to C_\mathfrak r\) est fidèlement plat. Par conséquent, si \(\mathfrak q\) n’est pas situé au-dessus de \(\mathfrak m\), alors \(C_\mathfrak r\) est normal par hypothèse sur \(Y\), et l’on conclut que \(B_\mathfrak q\) est normal d’après Algèbre, lemme 033G. On voit ainsi que \(X\) est normal en dehors de la fibre spéciale.
Rappelons que l’anneau local noethérien complet \(A^\wedge\) est de Nagata (Algèbre, lemme 032W). La normalisation \(Y^\nu \to Y\) est donc finie (Morphismes, lemme 035S) et est un isomorphisme en dehors de la fibre spéciale. Écrivons \(Y^\nu = \Spec(C')\). Alors \(C \to C'\) est fini et est un isomorphisme en dehors de \(V(\mathfrak m C)\). Puisque \(B \to C\) est plat et induit un isomorphisme \(B/\mathfrak m B \to C/\mathfrak m C\), il existe un homomorphisme fini d’anneaux \(B \to B'\) dont le changement de base à \(C\) redonne \(C \to C'\). Voir Compléments d’algèbre, lemme 0ALK et remarque 05EU. On obtient ainsi un morphisme fini \(X' \to X\) qui est un isomorphisme en dehors de la fibre spéciale et dont le changement de base redonne \(Y^\nu \to Y\). D’après la discussion du premier paragraphe, \(X'\) est normal aux points qui ne sont pas sur la fibre spéciale. À un point \(x \in X'\) de la fibre spéciale correspondent un point \(y \in Y^\nu\) et une application plate \(\mathcal{O}_{X', x} \to \mathcal{O}_{Y^\nu, y}\). Puisque \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y}\) est normal, \(\mathcal{O}_{X', x}\) l’est aussi ; voir Algèbre, lemme 033G. Ainsi \(X'\) est normal, et il s’ensuit que c’est la normalisation de \(X\).
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien intègre dont le complété \(A^\wedge\) est normal. Alors, pour toute suite \[Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to \Spec(A^\wedge)\] d’éclatements normalisés, il existe une suite d’éclatements normalisés (propres) \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to \Spec(A)\] dont le changement de base à \(A^\wedge\) redonne la suite donnée.
Démonstration
Étant donnée la suite \(Y_n \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = \Spec(A^\wedge)\), construisons par récurrence \(X_n \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\). Le cas initial est \(i = 0\). Étant donné \(X_i\) dont le changement de base est \(Y_i\), soit \(Y'_i \to Y_i\) l’éclatement au point fermé \(y_i \in Y_i\) tel que \(Y_{i + 1}\) soit la normalisation de \(Y_i\). Puisque les fibres fermées de \(Y_i\) et de \(X_i\) sont isomorphes, le point \(y_i\) correspond à un point fermé \(x_i\) de la fibre spéciale de \(X_i\). Soit \(X'_i \to X_i\) l’éclatement de \(X_i\) en \(x_i\). Alors le changement de base de \(X'_i\) à \(\Spec(A^\wedge)\) est isomorphe à \(Y'_i\). D’après le lemme 0BG9, la normalisation \(X_{i + 1} \to X'_i\) est finie et son changement de base à \(\Spec(A^\wedge)\) est isomorphe à \(Y_{i + 1}\).
Points doubles rationnels
Dans la section 0B4V, nous avons montré que la résolution des singularités rationnelles de dimension \(2\) se ramène au cas de Gorenstein. Une singularité rationnelle de surface qui est de Gorenstein est un point double rationnel. Nous allons les résoudre par des calculs explicites.
D’après la discussion d’Exemples, section 0AL7, il existe un anneau local noethérien normal intègre \(A\) dont le complété est isomorphe à \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(z^2)\). Dans ce cas, on pourrait dire que \(A\) définit un point double rationnel ; en revanche, \(\Spec(A)\) n’admet pas de résolution des singularités. Ce type de comportement ne peut pas se produire si \(A\) est un anneau de Nagata ; voir Algèbre, lemme 0331.
La situation est toutefois pire encore : il existe un anneau local normal intègre de Nagata \(A\) dont le complété est \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(yz)\), et un autre dont le complété est \(\mathbf{C}[[x, y, z]]/(y^2 - z^3)\). Il s’agit de l’exemple 2.5 de [Nishimura-few]. C’est pourquoi, dans cette section, nous devons supposer que le complété de notre anneau est normal.
Situation
Dans ce qui suit, \((A, \mathfrak m, \kappa)\) est un anneau local normal intègre de Nagata, de dimension \(2\), qui définit une singularité rationnelle, dont le complété est normal et qui est de Gorenstein. Nous supposons que \(A\) n’est pas régulier.
Les arguments de cette section montreront que, dans cette situation, l’éclatement répété des points singuliers résout \(\Spec(A)\). Au cours de la démonstration, nous aurons besoin du lemme suivant.
Lemme
Soit \(\kappa\) un corps. Soit \(I \subset \kappa[x, y]\) un idéal. Supposons que \[a + b x + c y + d x^2 + exy + f y^2 \in I^2\] pour des \(a, b, c, d, e, f \in k\) non tous nuls. Si la colongueur de \(I\) dans \(\kappa[x, y]\) est \(> 1\), alors \(a + b x + c y + d x^2 + exy + f y^2 = j(g + hx + iy)^2\) pour certains \(j, g, h, i \in \kappa\).
Démonstration
Considérons les dérivées partielles \(b + 2dx + ey\) et \(c + ex + 2fy\). D’après les règles de Leibniz, elles appartiennent à \(I\). Si l’une d’elles est non nulle, alors, après un changement linéaire de coordonnées, c’est-à-dire de la forme \(x \mapsto \alpha + \beta x + \gamma y\) et \(y \mapsto \delta + \epsilon x + \zeta y\), nous pouvons supposer que \(x \in I\). On voit alors que \(I = (x)\) ou que \(I = (x, F)\), où \(F\) est un polynôme unitaire de degré \(\geq 2\) en \(y\). Dans le premier cas, l’assertion est claire. Dans le second, remarquons que tout élément de \(I^2\) peut s’écrire sous la forme \[A(x, y) x^2 + B(y) x F + C(y) F^2\] pour certains \(A(x, y) \in \kappa[x, y]\) et \(B, C \in \kappa[y]\). Ainsi \[a + b x + c y + d x^2 + exy + f y^2 = A(x, y) x^2 + B(y) x F + C(y) F^2\] et, par des considérations de degré, on voit que \(B = C = 0\) et que \(A\) est une constante.
Pour achever la démonstration, il reste à traiter le cas où les deux dérivées partielles sont nulles. Cela ne peut se produire qu’en caractéristique \(2\), et l’on obtient alors \[a + d x^2 + f y^2 \in I^2\]. Nous pouvons supposer \(f\) non nul (sinon, intervertissons les rôles de \(x\) et de \(y\)). Après division par \(f\), nous nous ramenons au cas où la caractéristique de \(\kappa\) est \(2\) et où \[a + d x^2 + y^2 \in I^2\]. Si \(a\) et \(d\) sont des carrés dans \(\kappa\), c’est terminé. Sinon, il existe une dérivation \(\theta : \kappa \to \kappa\) telle que \(\theta(a) \not = 0\) ou \(\theta(d) \not = 0\) ; voir Algèbre, lemme 031W. Nous pouvons la prolonger en une dérivation de \(\kappa[x, y]\) en posant \(\theta(x) = \theta(y) = 0\). On trouve alors que \[\theta(a) + \theta(d) x^2 \in I\]. Le cas \(\theta(d) = 0\) est absurde. Nous pouvons donc supposer que \(\alpha + x^2 \in I\) pour un certain \(\alpha \in \kappa\). En combinant cela avec ce qui précède, on obtient \(a + \alpha d + y^2 \in I\). Par conséquent, \[J = (\alpha + x^2, a + \alpha d + y^2) \subset I\], de codimension au plus \(2\). Remarquons que \(J/J^2\) est libre sur \(\kappa[x, y]/J\), de base \(\alpha + x^2\) et \(a + \alpha d + y^2\). Ainsi, \(a + d x^2 + y^2 = 1 \cdot (a + \alpha d + y^2) + d \cdot (\alpha + x^2) \in I^2\) implique que l’inclusion \(J \subset I\) est stricte. On trouve donc un élément non nul de la forme \(g + hx + iy + jxy\) dans \(I\). Si \(j = 0\), alors \(I\) contient une forme linéaire et l’on peut conclure comme dans le premier paragraphe. Ainsi \(j \not = 0\) et \(\dim_\kappa(I/J) = 1\) (sinon, on pourrait trouver dans \(I\) un élément comme ci-dessus avec \(j = 0\)). On conclut que \(I\) est de la forme \((\alpha + x^2, \beta + y^2, g + hx + iy + jxy)\), avec \(j \not = 0\), et de colongueur \(3\). Dans ce cas, \(a + dx^2 + y^2 \in I^2\) est impossible. On peut le montrer par un calcul direct, mais nous préférons raisonner comme suit. Pour établir cette assertion, nous pouvons supposer que \(\kappa\) est algébriquement clos. Nous pouvons alors effectuer le changement de coordonnées \(x \mapsto \sqrt{\alpha} + x\) et \(y \mapsto \sqrt{\beta} + y\) et supposer que \(I = (x^2, y^2, g' + h'x + i'y + jxy)\), avec le même \(j\). Alors \(g' = h' = i' = 0\), faute de quoi la colongueur de \(I\) ne serait pas \(3\). On obtient ainsi \(I = (x^2, y^2, xy)\), et le résultat est clair.
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) comme dans la situation 0BGC. Soit \(X \to \Spec(A)\) l’éclatement en \(\mathfrak m\) de \(\Spec(A)\). D’après le lemme 0B4Z, \(X\) est normal. Toutes les singularités de \(X\) sont rationnelles d’après le lemme 0BG0. Puisque \(\omega_A = A\), le lemme 0B64 montre que \(\omega_X \cong \mathcal{O}_X\) (voir la discussion de la remarque 0B4R pour les conventions). Toutes les singularités de \(X\) sont donc de Gorenstein. En outre, les anneaux locaux de \(X\) aux points fermés ont des complétés normaux d’après le lemme 0BG7. Autrement dit, en éclatant \(\Spec(A)\), on obtient une surface normale \(X\) dont les points singuliers sont comme dans la situation 0BGC. Nous l’utiliserons ci-dessous sans plus de commentaires. (Remarque : nous verrons au cours de la discussion ci-dessous que ces points singuliers sont en nombre fini.)
Soit \(E \subset X\) le diviseur exceptionnel. On a \(\omega_E = \mathcal{O}_E(-1)\) d’après le lemme 0B64. Le lemme 0B63 donne \(\kappa = H^0(E, \mathcal{O}_E)\). Ainsi, \(E\) est une courbe de Gorenstein et, par Riemann–Roch tel qu’il est présenté dans Courbes algébriques, section 0B5B, on a \[\chi(E, \mathcal{O}_E) = 1 - g = -(1/2) \deg(\omega_E) = (1/2)\deg(\mathcal{O}_E(1))\], où \(g = \dim_\kappa H^1(E, \mathcal{O}_E) \geq 0\). Puisque \(\deg(\mathcal{O}_E(1))\) est positif d’après Variétés, lemme 0B5Y, on trouve que \(g = 0\) et \(\deg(\mathcal{O}_E(1)) = 2\). Il s’ensuit que \[\dim_\kappa (\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}) = 2n + 1\] d’après le lemme 0B63 et Riemann–Roch sur \(E\).
Choisissons \(x_1, x_2, x_3 \in \mathfrak m\) qui s’envoient sur une base de \(\mathfrak m/\mathfrak m^2\). Comme \(\dim_\kappa(\mathfrak m^2/\mathfrak m^3) = 5\), les images de \(x_i x_j\), \(i \geq j\) dans cet espace vectoriel sur \(\kappa\) satisfont une relation. Autrement dit, on peut trouver \(a_{ij} \in A\), \(i \geq j\), non tous contenus dans \(\mathfrak m\), tels que
\[a_{11} x_1^2 + a_{12} x_1x_2 + a_{13}x_1x_3 + a_{22} x_2^2 + a_{23} x_2x_3 + a_{33} x_3^2 = \sum a_{ijk} x_ix_jx_k\] pour un certain \(a_{ijk} \in A\), où \(i \leq j \leq k\). Notons \(a \mapsto \overline{a}\) l’application \(A \to \kappa\). La forme quadratique \(q = \sum \overline{a}_{ij} t_i t_j \in \kappa[t_1, t_2, t_3]\) est bien définie, compte tenu de nos choix, à multiplication près par un élément de \(\kappa^*\). Si, au cours de nos arguments, nous constatons que \(\overline{a}_{ij} = 0\) dans \(\kappa\), nous pouvons absorber le terme \(a_{ij} x_i x_j\) dans le membre de droite et supposer que \(a_{ij} = 0\) ; cette opération modifie les \(a_{ijk}\), mais pas les autres \(a_{i'j'}\).
L’éclatement est recouvert par \(3\) cartes affines correspondant aux « variables » \(x_1, x_2, x_3\). Par symétrie, il suffit d’étudier l’une de ces cartes. Pour cela, soit \[A' = A[\mathfrak m/x_1]\] l’algèbre affine d’éclatement (comme dans Algèbre, section 052P). Puisque \(x_1, x_2, x_3\) engendrent \(\mathfrak m\), on voit que \(A'\) est engendrée par \(y_2 = x_2/x_1\) et \(y_3 = x_3/x_1\) sur \(A\). Nous utiliserons parfois \(y_1 = 1\) pour simplifier les formules. De plus, en considérant la relation ci-dessus, on trouve que \[a_{11} + a_{12} y_2 + a_{13} y_3 + a_{22} y_2^2 + a_{23} y_2y_3 + a_{33} y_3^2 = x_1 (\sum a_{ijk} y_iy_jy_k)\] dans \(A'\). Rappelons que \(x_1 \in A'\) définit le diviseur exceptionnel \(E\) sur cet ouvert affine de \(X\), lequel est donc donné schématiquement par \[\kappa[y_2, y_3]/ (\overline{a}_{11} + \overline{a}_{12} y_2 + \overline{a}_{13} y_3 + \overline{a}_{22} y_2^2 + \overline{a}_{23} y_2y_3 + \overline{a}_{33} y_3^2)\]. Autrement dit, \(E \subset \mathbf{P}^2_\kappa = \text{Proj}(\kappa[t_1, t_2, t_3])\) est le sous-schéma des zéros de la forme quadratique \(q\) introduite ci-dessus.
La forme quadratique \(q\) est un invariant important de la singularité définie par \(A\). Disons que nous sommes dans le cas II si \(q\) est le carré d’une forme linéaire multiplié par un élément de \(\kappa^*\), et dans le cas I sinon. Remarquons que nous sommes dans le cas II exactement lorsque, après modification de notre choix de \(x_1, x_2, x_3\), on a \[x_3^2 = \sum a_{ijk}x_ix_jx_k\] dans l’anneau local \(A\).
Soit \(\mathfrak m' \subset A'\) un idéal maximal situé au-dessus de \(\mathfrak m\), de corps résiduel \(\kappa'\). Autrement dit, \(\mathfrak m'\) correspond à un point fermé \(p \in E\) du diviseur exceptionnel. Rappelons que la surjection \[\kappa[y_2, y_3] \to \kappa'\] a un noyau engendré par deux éléments \(f_2, f_3 \in \kappa[y_2, y_3]\) (voir par exemple Algèbre, exemple 00F0, ou la démonstration d’Algèbre, lemme 00OP). Soient \(z_2, z_3 \in A'\) des éléments qui s’envoient respectivement sur \(f_2, f_3\) dans \(\kappa[y_2, y_3]\). On voit alors que \(\mathfrak m' = (x_1, z_2, z_3)\), car \(x_2\) et \(x_3\) deviennent divisibles par \(x_1\) dans \(A'\).
Assertion. Si \(X\) est singulier en \(p\), alors \(\kappa' = \kappa\) ou bien nous sommes dans le cas II. En effet, si \(A'_{\mathfrak m'}\) est singulier, alors \(\dim_{\kappa'} \mathfrak m'/(\mathfrak m')^2 = 3\), ce qui implique que \(\dim_{\kappa'} \overline{\mathfrak m}'/(\overline{\mathfrak m}')^2 = 2\), où \(\overline{m}'\) est l’idéal maximal de \(\mathcal{O}_{E, p} = \mathcal{O}_{X, p}/x_1\mathcal{O}_{X, p}\). Cela entraîne que \[q(1, y_2, y_3) = \overline{a}_{11} + \overline{a}_{12} y_2 + \overline{a}_{13} y_3 + \overline{a}_{22} y_2^2 + \overline{a}_{23} y_2y_3 + \overline{a}_{33} y_3^2 \in (f_2, f_3)^2\], sans quoi il existerait une relation entre les classes de \(z_2\) et de \(z_3\) dans \(\overline{\mathfrak m}'/(\overline{\mathfrak m}')^2\). L’assertion résulte maintenant du lemme 0BGD.
Résolution dans le cas I. D’après l’assertion, tout point singulier de \(X\) est \(\kappa\)-rationnel. Choisissons un tel point singulier \(p\). Nous pouvons choisir nos \(x_1, x_2, x_3 \in \mathfrak m\) de sorte que \(p\) appartienne à la carte décrite ci-dessus et ait pour coordonnées \(y_2 = y_3 = 0\). Comme c’est un point singulier, un raisonnement analogue à celui de la démonstration de l’assertion donne \(q(1, y_2, y_3) \in (y_2, y_3)^2\). Nous pouvons donc choisir \(a_{11} = a_{12} = a_{13} = 0\) et \(q(t_1, t_2, t_3) = q(t_2, t_3)\). Il s’ensuit que \[E = V(q) \subset \mathbf{P}^1_\kappa\] est soit la réunion de deux droites distinctes qui se rencontrent en \(p\), soit une courbe de degré \(2\) possédant un unique point \(\kappa\)-rationnel (nous omettons un petit détail ; utiliser que \(q\) n’est pas, à un scalaire près, le carré d’une forme linéaire). Dans les deux cas, on conclut que \(X\) possède un unique point singulier \(p\), qui est \(\kappa\)-rationnel. Nous avons besoin d’un peu plus d’information dans ce cas. Tout d’abord, en examinant les termes de degré supérieur dans l’expression ci-dessus, on trouve que \(\overline{a}_{111} = 0\), car \(p\) est singulier. On peut alors écrire \(a_{111} = b_{111} x_1 \bmod (x_2, x_3)\) pour un certain \(b_{111} \in A\). La forme quadratique en \(p\) associée aux générateurs \(x_1, y_2, y_3\) de \(\mathfrak m'\) est alors \[q' = \overline{b}_{111} t_1^2 + \overline{a}_{112} t_1 t_2 + \overline{a}_{113} t_1 t_3 + \overline{a}_{22} t_2^2 + \overline{a}_{23} t_2 t_3 + \overline{a}_{33} t_3^2\]. On voit que \(E' = V(q')\) rencontre la droite \(t_1 = 0\) soit en deux points, soit en un point de degré \(2\). On conclut que \(p\) relève du cas I.
Supposons que l’éclatement \(X' \to X\) de \(X\) en \(p\) ait de nouveau un point singulier \(p'\). On voit alors que \(p'\) est un point \(\kappa\)-rationnel et l’on peut éclater pour obtenir \(X'' \to X'\). Si ce procédé ne s’arrête pas, on obtient une suite d’éclatements \[\Spec(A) \leftarrow X \leftarrow X' \leftarrow X'' \leftarrow \ldots\]. Nous voulons montrer que le lemme 0BG2 s’applique à cette situation. Pour cela, nous devons préciser le choix de l’élément \(x_1\) de \(\mathfrak m\). Supposons que \(A\) relève du cas I et que \(X\) ait un point singulier. Nous dirons que \(x_1 \in \mathfrak m\) est une bonne coordonnée si, pour tout choix de \(x_2, x_3\) (ou, de manière équivalente, pour un certain choix), la forme quadratique \(q(t_1, t_2, t_3)\) possède la propriété que \(q(0, t_2, t_3)\) n’est pas un carré multiplié par un scalaire. Nous avons vu ci-dessus qu’il existe une bonne coordonnée. Si \(x_1\) est une bonne coordonnée, alors le point singulier \(p \in E\) de \(X\) n’appartient pas à l’hypersurface \(t_1 = 0\), car celle-ci soit ne possède pas de point rationnel, soit, si elle en possède un, n’est pas singulière en ce point sur \(X\). Remarquons que cela équivaut à dire que l’image de \(x_1\) dans \(\mathcal{O}_{X, p}\) définit le diviseur exceptionnel \(E\). Les calculs ci-dessus montrent maintenant que, si \(x_1\) est une bonne coordonnée pour \(A\), alors \(x_1 \in \mathfrak m'\mathcal{O}_{X, p}\) est une bonne coordonnée pour \(p\). Cela utilise bien sûr le fait que la notion de bonne coordonnée ne dépend pas du choix de \(x_2\), \(x_3\) employé pour effectuer le calcul. Ainsi, \(x_1\) s’envoie sur une bonne coordonnée en \(p'\), en \(p''\), etc. Le lemme 0BG2 s’applique donc, et notre suite d’éclatements provient d’un arc non singulier \(A \to R\). Alors l’application \(A^\wedge \to R\) est surjective. Puisque le complété de \(A\) est normal, le lemme 0BG3 montre qu’après un nombre fini d’éclatements \[\Spec(A^\wedge) \leftarrow X^\wedge \leftarrow (X')^\wedge \leftarrow \ldots\], le schéma obtenu \((X^{(n)})^\wedge\) est régulier. Comme \((X^{(n)})^\wedge \to X^{(n)}\) induit des isomorphismes sur les anneaux locaux complétés (lemme 0BG5), on conclut qu’il en va de même pour \(X^{(n)}\).
Résolution dans le cas II. On a ici \[x_3^2 = \sum a_{ijk}x_ix_jx_k\] dans \(A\) pour un certain choix de générateurs \(x_1, x_2, x_3\) de \(\mathfrak m\). Alors \(q = t_3^2\) et \(E = 2C\), où \(C\) est une droite. Rappelons que, dans \(A'\), on obtient \[y_3^2 = x_1(\sum a_{ijk} y_iy_jy_k)\]. Puisque nous savons que \(X\) est normal, l’anneau \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) au point générique \(\xi\) de \(C\) est un anneau de valuation discrète. L’élément \(y_3 \in A'\) s’envoie sur une uniformisante de \(\mathcal{O}_{X, \xi}\). Comme \(x_1\) définit schématiquement \(E\), qui est \(C\) avec multiplicité \(2\), on voit que \(x_1\) est égal à une unité multipliée par \(y_3^2\) dans \(\mathcal{O}_{X, \xi}\). En considérant l’égalité ci-dessus, on conclut que \[h(y_2) = \overline{a}_{111} + \overline{a}_{112} y_2 + \overline{a}_{122} y_2^2 + \overline{a}_{222} y_2^3\] doit être non nul dans le corps résiduel de \(\xi\). Supposons maintenant que \(p \in C\) définisse un point singulier. Alors \(y_3\) s’annule en \(p\) et \(p\) doit correspondre à un zéro de \(h\), d’après le raisonnement employé dans la démonstration de l’assertion ci-dessus. Si \(h\) n’a pas un zéro double en \(p\), alors la forme quadratique \(q'\) en \(p\) n’est pas un carré, et l’on conclut que \(p\) relève du cas I, traité ci-dessus1. Comme le degré de \(h\) est \(3\), il y a au plus un point singulier \(p \in C\) relevant du cas II ; de plus, ce point est \(\kappa\)-rationnel. Après modification de notre choix de \(x_1, x_2, x_3\), nous pouvons supposer qu’il s’agit du point \(y_2 = y_3 = 0\). Alors \(h = \overline{a}_{122} y_2^2 + \overline{a}_{222} y_2^3\). En outre, il faut encore que \(\overline{a}_{113} = 0\) pour que la forme quadratique \(q'\) ait la forme requise. Ainsi, l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, p}\) définit une singularité comme au paragraphe suivant.
Le dernier cas à traiter est celui où l’on peut choisir nos générateurs \(x_1, x_2, x_3\) de \(\mathfrak m\) de sorte que \[x_3^2 + x_1(a x_2^2 + b x_2x_3 + c x_3^2) \in \mathfrak m^4\] pour un certain \(a, b, c \in A\). C’est une sous-classe du cas II. Si \(\overline{a} = 0\), alors on peut écrire \(a = a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3\) et, après éclatement, on obtient \[y_3^2 + x_1(a_1 x_1 y_2^2 + a_2 x_1 y_2^3 + a_3 x_1 y_2^2 y_3 + b y_2 y_3 + c y_3^2) = x_1^2 (\sum a_{ijkl}y_iy_jy_ky_l)\]. Cela signifie que \(X\) n’est pas normal2, contradiction. D’après le résultat du paragraphe précédent, si l’éclatement \(X\) possède un point singulier \(p\) qui relève du cas II, alors ce point est unique et \(\kappa\)-rationnel. En calculant les algèbres affines d’éclatement \(A[\frac{\mathfrak m}{x_2}]\) et \(A[\frac{\mathfrak m}{x_3}]\), le lecteur voit aisément que \(p\) ne peut pas appartenir aux ouverts correspondants de \(X\). Ainsi, \(p\) appartient au spectre de \(A[\frac{\mathfrak m}{x_1}]\). En effectuant l’éclatement comme précédemment, on voit que \(p\) doit être le point de coordonnées \(y_2 = y_3 = 0\) et que la nouvelle équation est de la forme \[y_3^2 + x_1(a y_2^2 + b y_2 y_3 + c y_3^2) \in (\mathfrak m')^4\], qui a la même forme qu’auparavant et possède la propriété que \(x_1\) définit le diviseur exceptionnel. Ainsi, si le procédé ne s’arrête pas, on obtient une suite infinie d’éclatements, et sur chacun d’eux \(x_1\) définit le diviseur exceptionnel dans l’anneau local du point singulier. On peut donc achever la démonstration à l’aide des lemmes 0BG2 et 0BG3 et du même raisonnement que précédemment.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local normal intègre de Nagata, de dimension \(2\), qui définit une singularité rationnelle, dont le complété est normal et qui est de Gorenstein. Il existe alors une suite finie d’éclatements en des points fermés singuliers \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = \Spec(A)\] telle que \(X_n\) soit régulier et que chacun des schémas intermédiaires \(X_i\) soit normal et ne possède qu’un nombre fini de points singuliers du même type.
Démonstration
C’est exactement ce qui a été démontré dans la discussion ci-dessus.
Propriétés impliquées
Dans cette section, nous montrons que, pour un schéma intègre noethérien, l’existence d’une altération régulière a de nombreuses conséquences. Les lecteurs qui ne s’intéressent pas aux « mauvais » anneaux noethériens peuvent omettre cette section.
Lemme
Soit \(Y\) un schéma intègre noethérien. Supposons qu’il existe une altération \(f : X \to Y\) avec \(X\) régulier. Alors la normalisation \(Y^\nu \to Y\) est finie et \(Y\) possède un ouvert dense régulier.
Démonstration
Il suffit de le démontrer lorsque \(Y = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau noethérien intègre. Soit \(B\) la clôture intégrale de \(A\) dans son corps des fractions. Posons \(C = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 02O6, on voit que \(C\) est un \(A\)-module fini. Comme \(X\) est normal (Propriétés, lemme 0569), on voit que \(C\) est un anneau normal intègre (Propriétés, lemme 0358). Ainsi \(B \subset C\), et l’on conclut que \(B\) est fini sur \(A\), puisque \(A\) est noethérien.
Il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}V \to V\) soit fini ; voir Morphismes, définition 0AB0. Après avoir rétréci \(V\), nous pouvons supposer que \(f^{-1}V \to V\) est plat (Morphismes, proposition 052A). Ainsi \(f^{-1}V \to V\) est fidèlement plat. Alors \(V\) est régulier d’après Algèbre, lemme 07NG.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soient \(B \subset C\) des \(A\)-algèbres finies. Supposons que (a) \(B\) soit un anneau normal et que (b) le complété \(\mathfrak m\)-adique \(C^\wedge\) soit un anneau normal. Alors \(B^\wedge\) est un anneau normal.
Démonstration
Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] \ar[d] & C \ar[d] \\ B^\wedge \ar[r] & C^\wedge }\]. Rappelons que la complétion \(\mathfrak m\)-adique est exacte sur la catégorie des \(A\)-modules finis, car elle est donnée par le produit tensoriel avec la \(A\)-algèbre plate \(A^\wedge\) (Algèbre, lemme 00MB). Nous allons utiliser le critère de Serre (Algèbre, lemme 031S) pour démontrer que l’anneau noethérien \(B^\wedge\) est normal. Soit \(\mathfrak q \subset B^\wedge\) un idéal premier situé au-dessus de \(\mathfrak p \subset B\). Si \(\dim(B_\mathfrak p) \geq 2\), alors \(\text{depth}(B_\mathfrak p) \geq 2\) et, puisque \(B_\mathfrak p \to B^\wedge_\mathfrak q\) est plat, on trouve que \(\text{depth}(B^\wedge_\mathfrak q) \geq 2\) (Algèbre, lemme 0337). Si \(\dim(B_\mathfrak p) \leq 1\), alors \(B_\mathfrak p\) est soit un anneau de valuation discrète, soit un corps. Dans ce cas, \(C_\mathfrak p\) est fidèlement plat sur \(B_\mathfrak p\) (car il est fini et sans torsion). Par conséquent, \(B^\wedge_\mathfrak p \to C^\wedge_\mathfrak p\) est fidèlement plat, et il en va de même après localisation en \(\mathfrak q\). Comme \(C^\wedge\), et donc toute localisation de cet anneau, est \((S_2)\), on conclut que \(B^\wedge_\mathfrak p\) est \((S_2)\) d’après Algèbre, lemme 0352. Au total, on trouve que \((S_2)\) est vérifiée pour \(B^\wedge\). Pour démontrer que \(B^\wedge\) est \((R_1)\), il suffit de considérer les idéaux premiers \(\mathfrak q \subset B^\wedge\) tels que \(\dim(B^\wedge_\mathfrak q) \leq 1\). Puisque \(\dim(B^\wedge_\mathfrak q) = \dim(B_\mathfrak p) + \dim(B^\wedge_\mathfrak q/\mathfrak p B^\wedge_\mathfrak q)\) d’après Algèbre, lemme 00OM, on trouve que \(\dim(B_\mathfrak p) \leq 1\) et l’on voit, comme précédemment, que \(B^\wedge_\mathfrak q \to C^\wedge_\mathfrak q\) est fidèlement plat. On conclut à l’aide d’Algèbre, lemme 0353.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien intègre. Supposons qu’il existe une altération \(f : X \to \Spec(A)\) avec \(X\) régulier. Alors :
il existe un élément non nul \(f \in A\) tel que \(A_f\) soit régulier ;
la clôture intégrale \(B\) de \(A\) dans son corps des fractions est finie sur \(A\) ;
le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(B\) est un anneau normal, c’est-à-dire que les complétés de \(B\) en ses idéaux maximaux sont des anneaux normaux intègres ;
la fibre formelle générique de \(A\) est régulière.
Démonstration
Les parties (1) et (2) résultent du lemme 0BGG. Nous devons reprendre une partie de sa démonstration afin de fixer les notations nécessaires à celle de (3). Posons \(C = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 02O6, on voit que \(C\) est un \(A\)-module fini. Comme \(X\) est normal (Propriétés, lemme 0569), on voit que \(C\) est un anneau normal intègre (Propriétés, lemme 0358). Ainsi \(B \subset C\), et l’on conclut que \(B\) est fini sur \(A\), puisque \(A\) est noethérien. D’après le lemme 0BGH, pour prouver (3), il suffit de montrer que le complété \(\mathfrak m\)-adique \(C^\wedge\) est normal.
D’après Algèbre, lemme 07N9, le complété \(C^\wedge\) est le produit des complétés de \(C\) aux idéaux premiers de \(C\) situés au-dessus de \(\mathfrak m\). Ceux-ci sont en nombre fini et sont les idéaux maximaux \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) de \(C\). (Le résultat correspondant pour \(B\) explique la dernière assertion du lemme.) En remplaçant donc \(A\) par \(C_{\mathfrak m_i}\) et \(X\) par \(X_i = X \times_{\Spec(C)} \Spec(C_{\mathfrak m_i})\), on se ramène au cas traité au paragraphe suivant. (Remarquons que \(\Gamma(X_i, \mathcal{O}) = C_{\mathfrak m_i}\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH.)
Dans ce paragraphe, \(A\) est un anneau local noethérien normal intègre et \(f : X \to \Spec(A)\) est une altération régulière avec \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = A\). Il faut montrer que le complété \(A^\wedge\) de \(A\) est un anneau normal intègre. D’après le lemme 0BG6, \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\) est régulier. Puisque \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH, on conclut comme précédemment que \(A^\wedge\) est normal. En effet, \(Y\) est normal d’après Propriétés, lemme 0569. Il est connexe puisque \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\) est local. Ainsi \(Y\) est normal et intègre (car un schéma noethérien connexe et normal est intègre). Par conséquent, \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\) est un anneau normal intègre d’après Propriétés, lemme 0358. Cela démontre (3).
Démonstration de (4). Notons \(\eta \in \Spec(A)\) le point générique et indiquons par un indice \(\eta\) le changement de base à \(\eta\). Puisque \(f\) est une altération, le schéma \(X_\eta\) est fini et fidèlement plat sur \(\eta\). Comme \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\) est régulier d’après le lemme 0BG6, on voit que \(Y_\eta\) est régulier (en tant que limite d’ouverts de \(Y\)). Alors \(Y_\eta \to \Spec(A^\wedge \otimes_A \kappa(\eta))\) est fini et fidèlement plat sur la fibre formelle générique. On conclut par Algèbre, lemme 07NG.
Résolution
Voici une définition.
Définition
Soit \(Y\) un schéma intègre noethérien. Une résolution des singularités de \(Y\) est une modification \(f : X \to Y\) telle que \(X\) soit régulier.
Dans le cas des surfaces, nous souhaitons parfois disposer d’un peu plus d’information.
Définition
Soit \(Y\) un schéma intègre noethérien de dimension \(2\). Nous disons que \(Y\) admet une résolution des singularités par éclatements normalisés s’il existe une suite \[Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 \to Y\] telle que :
\(Y_i\) soit propre sur \(Y\) pour \(i = 0, \ldots, n\) ;
\(Y_0 \to Y\) soit la normalisation ;
\(Y_i \to Y_{i - 1}\) soit un éclatement normalisé pour \(i = 1, \ldots, n\) ;
\(Y_n\) soit régulier.
Remarquons que la condition (1) implique que la normalisation \(Y_0\) de \(Y\) est finie sur \(Y\) et que les normalisations utilisées dans les éclatements normalisés sont elles aussi finies.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Supposons que \(A\) soit normal et de dimension \(2\). Si \(\Spec(A)\) admet une résolution des singularités, alors \(\Spec(A)\) admet une résolution par éclatements normalisés.
Démonstration
D’après le lemme 0BGI, le complété \(A^\wedge\) de \(A\) est normal. Le lemme 0BG6 montre que \(\Spec(A^\wedge)\) admet une résolution. D’après le lemme 0BGA, toute suite \(Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to \Spec(A^\wedge)\) d’éclatements normalisés provient d’une suite d’éclatements normalisés \(X_n \to \ldots \to \Spec(A)\). De plus, si \(Y_n\) est régulier, alors \(X_n\) est régulier d’après le lemme 0BG6. Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(A\) est complet.
Supposons en outre que \(A\) soit complet. Nous utiliserons le fait que \(A\) est de Nagata (Algèbre, proposition 0335), excellent (Compléments d’algèbre, proposition 07QW) et possède un complexe dualisant (Complexes dualisants, lemme 0BFR). Il en va de même pour tout anneau essentiellement de type fini sur \(A\). Si \(B\) est un anneau local normal intègre excellent, alors son complété \(B^\wedge\) est normal (car \(B \to B^\wedge\) est régulier et Compléments d’algèbre, lemme 0BFK, s’applique). Nous l’utiliserons sans plus de commentaires dans la suite de la démonstration.
Soit \(X \to \Spec(A)\) une résolution des singularités. Choisissons une suite d’éclatements normalisés \[Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to \Spec(A)\] qui domine \(X\) (lemme 0BBT). Le morphisme \(Y_n \to X\) est un isomorphisme en dehors d’un nombre fini de points de \(X\). Nous pouvons donc appliquer le lemme 0AHI pour trouver une suite d’éclatements \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X\] en des points fermés telle que \(X_m\) domine \(Y_n\). On a le diagramme \[\xymatrix{ & Y_n \ar[rd] \ar[rr] & & \Spec(A) \\ X_m \ar[rr] \ar[ru] & & X \ar[ru] }\]. Pour démontrer le lemme, il suffit de montrer qu’un nombre fini d’éclatements normalisés de \(Y_n\) produit un schéma régulier. Le diagramme ci-dessus montre que \(Y_n\) admet une résolution, à savoir \(X_m\). Comme \(Y_n\) est une surface normale, cela implique que \(Y_n\) possède au plus un nombre fini de singularités \(y_1, \ldots, y_t\) (car \(X_m \to Y_n\) est un isomorphisme en dehors des fibres de dimension \(1\) ; voir Variétés, lemme 0BFP).
Soit \(x_a \in X\) l’image de \(y_a\). Alors \(\mathcal{O}_{X, x_a}\) est régulier et définit donc une singularité rationnelle (lemme 0B4Q). Appliquons le lemme 0BG0 à \(\mathcal{O}_{X, x_a} \to \mathcal{O}_{Y_n, y_a}\) : il en résulte que \(\mathcal{O}_{Y_n, y_a}\) définit une singularité rationnelle. D’après le lemme 0BBV, il existe une suite finie d’éclatements en des points fermés singuliers \[Y_{a, n_a} \to Y_{a, n_a - 1} \to \ldots \to \Spec(\mathcal{O}_{Y_n, y_a})\] telle que \(Y_{a, n_a}\) soit de Gorenstein, c’est-à-dire possède un module dualisant inversible. D’après le lemme 0BFY (qui est essentiellement trivial), appliqué avec \(n' = \sum n_a\), ces suites correspondent à une suite d’éclatements \[Y_{n + n'} \to Y_{n + n' - 1} \to \ldots \to Y_n\] telle que \(Y_{n + n'}\) soit normal et que les anneaux locaux de \(Y_{n + n'}\) soient de Gorenstein. À l’aide des références données ci-dessus, nous pouvons dominer \(Y_{n + n'}\) par une suite d’éclatements \(X_{m + m'} \to \ldots \to X_m\) dominant \(Y_{n + n'}\), comme dans le diagramme suivant \[\xymatrix{ & Y_{n + n'} \ar[rr] & & Y_n \ar[rd] \ar[rr] & & \Spec(A) \\ X_{m + m'} \ar[ru] \ar[rr] & & X_m \ar[rr] \ar[ru] & & X \ar[ru] }\]. Ainsi, \(Y_{n + n'}\) possède de nouveau un nombre fini de points singuliers \(y'_1, \ldots, y'_s\), mais cette fois les singularités sont des points doubles rationnels ; plus précisément, les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Y_{n + n'}, y'_b}\) sont comme dans le lemme 0BGE. En raisonnant exactement comme ci-dessus, on conclut que le lemme est vrai.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien complet. Supposons que \(A\) soit un anneau normal intègre de dimension \(2\). Alors \(\Spec(A)\) admet une résolution des singularités.
Démonstration
Un anneau local noethérien complet est J-2 (Compléments d’algèbre, proposition 07PJ), de Nagata (Algèbre, proposition 0335), excellent (Compléments d’algèbre, proposition 07QW) et possède un complexe dualisant (Complexes dualisants, lemme 0BFR). Il en va de même pour tout anneau essentiellement de type fini sur \(A\). Si \(B\) est un anneau local normal intègre excellent, alors son complété \(B^\wedge\) est normal (car \(B \to B^\wedge\) est régulier et Compléments d’algèbre, lemme 0BFK, s’applique). Autrement dit, les anneaux locaux rencontrés dans la suite de la démonstration possèdent les propriétés d’excellence dont nous avons besoin.
Choisissons \(A_0 \subset A\) avec \(A_0\) un anneau local régulier complet et \(A_0 \to A\) fini ; voir Algèbre, lemme 032D. Cela induit une extension finie de corps des fractions \(K/K_0\). Nous allons raisonner par récurrence sur \([K : K_0]\). Le cas initial est celui où le degré vaut \(1\) ; alors \(A_0 = A\) et le résultat est vrai.
Supposons qu’il existe un corps intermédiaire \(K_0 \subset L \subset K\), \(K_0 \not = L \not = K\). Soit \(B \subset A\) la clôture intégrale de \(A_0\) dans \(L\). Par récurrence, choisissons une résolution des singularités \(Y \to \Spec(B)\). Soit \(X\) la normalisation de \(Y \times_{\Spec(B)} \Spec(A)\). On a le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & \Spec(A) \ar[d] \\ Y \ar[r] & \Spec(B) }\]. Puisque \(A\) est J-2, le lieu régulier de \(X\) est ouvert. Comme \(X\) est une surface normale, on conclut que \(X\) possède au plus un nombre fini de points singuliers \(x_1, \ldots, x_n\) ; ce sont des points fermés tels que \(\dim(\mathcal{O}_{X, x_i}) = 2\). Pour tout \(i\), soit \(y_i \in Y\) son image. Comme \(\mathcal{O}_{Y, y_i}^\wedge \to \mathcal{O}_{X, x_i}^\wedge\) est fini, de degré inférieur au précédent, l’hypothèse de récurrence montre que \(\mathcal{O}_{X, x_i}^\wedge\) admet une résolution des singularités. D’après le lemme 0BGM, il existe une suite \[Z^\wedge_{i, n_i} \to \ldots \to Z^\wedge_{i, 1} \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}^\wedge)\] d’éclatements normalisés telle que \(Z^\wedge_{i, n_i}\) soit régulier. Le lemme 0BGA fournit une suite correspondante d’éclatements normalisés \[Z_{i, n_i} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\]. Alors \(Z_{i, n_i}\) est un schéma régulier d’après le lemme 0BG6. Le lemme 0BFZ permet d’insérer ces éclatements normalisés dans une suite correspondante \[Z_n \to Z_{n - 1} \to \ldots \to Z_1 \to X\], et bien sûr \(Z_n\) est lui aussi régulier (il suffit de considérer les anneaux locaux). Cela démontre l’étape de récurrence.
Supposons qu’il n’existe aucun corps intermédiaire \(K_0 \subset L \subset K\) avec \(K_0 \not = L \not = K\). Alors, soit \(K/K_0\) est séparable, soit la caractéristique de \(K\) est \(p\) et \([K : K_0] = p\). Le lemme 0AXL ou le lemme 0B4U implique alors que la réduction aux singularités rationnelles est possible. D’après le lemme 0B4P, il existe donc une modification normale \(X \to \Spec(A)\) telle que, pour tout point singulier \(x\) de \(X\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\) définisse une singularité rationnelle. Puisque \(A\) est J-2, on trouve que \(X\) ne possède qu’un nombre fini de points singuliers \(x_1, \ldots, x_n\). D’après le lemme 0BBV, il existe une suite finie d’éclatements en des points fermés singuliers \[X_{i, n_i} \to X_{i, n_i - 1} \to \ldots \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i})\] telle que \(X_{i, n_i}\) soit de Gorenstein, c’est-à-dire possède un module dualisant inversible. D’après le lemme 0BFY (qui est essentiellement trivial), appliqué avec \(n = \sum n_a\), ces suites correspondent à une suite d’éclatements \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X\] telle que \(X_n\) soit normal et que les anneaux locaux de \(X_n\) soient de Gorenstein. De nouveau, \(X_n\) possède un nombre fini de points singuliers \(x'_1, \ldots, x'_s\), mais cette fois les singularités sont des points doubles rationnels ; plus précisément, les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X_n, x'_i}\) sont comme dans le lemme 0BGE. En raisonnant exactement comme ci-dessus, on conclut que le lemme est vrai.
Nous arrivons enfin au théorème principal de ce chapitre.
Théorème
Soit \(Y\) un schéma intègre noethérien de dimension deux. Les assertions suivantes sont équivalentes :
il existe une altération \(X \to Y\) avec \(X\) régulier ;
il existe une résolution des singularités de \(Y\) ;
\(Y\) admet une résolution des singularités par éclatements normalisés ;
la normalisation \(Y^\nu \to Y\) est finie, \(Y^\nu\) ne possède qu’un nombre fini de points singuliers \(y_1, \ldots, y_m\) et, pour tout \(y_i\), le complété de \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}\) est normal.
Démonstration
Les implications (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) sont immédiates.
Soit \(X \to Y\) une altération avec \(X\) régulier. Alors \(Y^\nu \to Y\) est fini d’après le lemme 0BGG. Considérons la factorisation \(f : X \to Y^\nu\) de Morphismes, lemme 035Q. Le morphisme \(f\) est fini au-dessus d’un ouvert \(V \subset Y^\nu\) contenant tout point de codimension \(\leq 1\) de \(Y^\nu\), d’après Variétés, lemme 0AB7. Alors \(f\) est plat sur \(V\) d’après Algèbre, lemme 00R4, et parce qu’un anneau local normal de dimension \(\leq 2\) est de Cohen–Macaulay par le critère de Serre (Algèbre, lemme 031S). Alors \(V\) est régulier d’après Algèbre, lemme 07NG. Comme \(Y^\nu\) est noethérien, on conclut que \(Y^\nu \setminus V = \{y_1, \ldots, y_m\}\) est fini. D’après le lemme 0BGI, le complété de \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}\) est normal. On voit ainsi que (1) \(\Rightarrow\) (4).
Supposons (4). Il faut démontrer (3). Nous pouvons immédiatement remplacer \(Y\) par sa normalisation. Soient \(y_1, \ldots, y_m \in Y\) les points singuliers. En appliquant les lemmes 0BGN et 0BGM, on trouve qu’il existe une suite finie d’éclatements normalisés \[Y_{i, n_i} \to Y_{i, n_i - 1} \to \ldots \to \Spec(\mathcal{O}^\wedge_{Y, y_i})\] telle que \(Y_{i, n_i}\) soit régulier. D’après le lemme 0BGA, il existe une suite correspondante d’éclatements normalisés \[X_{i, n_i} \to \ldots \to X_{i, 1} \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y_i})\]. Alors \(X_{i, n_i}\) est un schéma régulier d’après le lemme 0BG6. Le lemme 0BFZ permet d’insérer ces éclatements normalisés dans une suite correspondante \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to Y\], et bien sûr \(X_n\) est lui aussi régulier (il suffit de considérer les anneaux locaux). Cela achève la démonstration.
Résolution plongée
Étant donnée une courbe sur une surface, il existe un éclatement qui transforme la courbe en un diviseur à croisements normaux stricts. Dans cette section, nous utiliserons le fait qu’un schéma localement noethérien de dimension un est normal si et seulement s’il est régulier (Algèbre, lemme 00PD). Nous utiliserons également le fait que tout point d’un schéma localement noethérien se spécialise en un point fermé (Propriétés, lemme 02IL).
Lemme
Soit \(Y\) un schéma intègre noethérien de dimension un. Les assertions suivantes sont équivalentes :
il existe une altération \(X \to Y\) avec \(X\) régulier ;
il existe une résolution des singularités de \(Y\) ;
il existe une suite finie \(Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y\) d’éclatements en des points fermés telle que \(Y_n\) soit régulier ;
la normalisation \(Y^\nu \to Y\) est finie.
Démonstration
Les implications (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) sont immédiates. L’implication (1) \(\Rightarrow\) (4) résulte du lemme 0BGG. Remarquons qu’un schéma normal de dimension un est régulier ; l’implication (4) \(\Rightarrow\) (2) est donc elle aussi claire. Il reste ainsi à montrer que les conditions équivalentes (1), (2) et (4) impliquent (3).
Soit \(f : X \to Y\) une résolution des singularités. Comme \(Y\) est de dimension un, on voit que \(f\) est fini d’après Variétés, lemme 0AB7. Nous allons construire des factorisations \[X \to \ldots \to Y_2 \to Y_1 \to Y\] dans lesquelles \(Y_i \to Y_{i - 1}\) est l’éclatement d’un point fermé et n’est pas un isomorphisme tant que \(Y_{i - 1}\) n’est pas régulier. Chacun de ces morphismes sera fini (pour la même raison que ci-dessus), et l’on obtiendra un système correspondant \[f_*\mathcal{O}_X \supset \ldots \supset f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2} \supset f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1} \supset \mathcal{O}_Y\], où \(f_i : Y_i \to Y\) est le morphisme structural. Puisque \(Y\) est noethérien, cette suite croissante de sous-modules cohérents doit se stabiliser (Cohomologie des schémas, lemme 01Y8), ce qui montre que, pour un certain \(n\), le schéma \(Y_n\) est régulier, comme souhaité. Pour construire \(Y_i\) à partir de \(Y_{i - 1}\), choisissons un point fermé singulier \(y_{i - 1} \in Y_{i - 1}\) et soit \(Y_i \to Y_{i - 1}\) l’éclatement correspondant. Comme \(X\) est régulier de dimension \(1\) (ses anneaux locaux aux points fermés sont donc des anneaux de valuation discrète, en particulier des anneaux principaux), le faisceau d’idéaux \(\mathfrak m_{y_{i - 1}} \cdot \mathcal{O}_X\) est inversible. La propriété universelle de l’éclatement (Diviseurs, lemme 0806) fournit alors une factorisation \(X \to Y_i\). Enfin, \(Y_i \to Y_{i - 1}\) n’est pas un isomorphisme, puisque \(\mathfrak m_{y_{i - 1}}\) n’est pas un idéal inversible.
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de dimension \(1\) qui satisfait les conditions équivalentes du lemme 0BI4. Il existe alors une suite finie \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X\] d’éclatements en des points fermés telle que le transformé strict de \(Y\) dans \(X_n\) soit une courbe régulière.
Démonstration
Soit \(Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y\) la suite d’éclatements fournie par le lemme 0BI4. Soit \(X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X\) la suite correspondante d’éclatements de \(X\). Cela convient, car le transformé strict est l’éclatement d’après Diviseurs, lemme 080E.
Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soient \(Y, Z \subset X\) des sous-schémas fermés. Soit \(p \in Y \cap Z\) un point fermé. Supposons que \(Y\) soit intègre de dimension \(1\) et que le point générique de \(Y\) ne soit pas contenu dans \(Z\). Dans cette situation, on peut considérer l’invariant [0BI6]\[\begin{equation} m_p(Y \cap Z) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, p}}(\mathcal{O}_{Y \cap Z, p}) \end{equation}\]. C’est un entier \(\geq 1\). En effet, si \(I, J \subset \mathcal{O}_{X, p}\) sont les idéaux correspondant à \(Y, Z\), on voit que \(\mathcal{O}_{Y \cap Z, p} = \mathcal{O}_{X, p}/I + J\) a pour support \(\{\mathfrak m_p\}\), car nous avons supposé que \(Y \cap Z\) ne contient pas l’unique point de \(Y\) qui se spécialise en \(p\). La longueur est donc finie d’après Algèbre, lemme 00L5.
Lemme
Dans la situation ci-dessus, soit \(X' \to X\) l’éclatement de \(X\) en \(p\). Soient \(Y', Z' \subset X'\) les transformés stricts de \(Y, Z\). Si \(\mathcal{O}_{Y, p}\) est régulier, alors :
\(Y' \to Y\) est un isomorphisme ;
\(Y'\) rencontre la fibre exceptionnelle \(E \subset X'\) en un point \(q\) et \(m_q(Y \cap E) = 1\) ;
si \(q \in Z'\) l’est aussi, alors \(m_q(Y \cap Z') < m_p(Y \cap Z)\).
Démonstration
Puisque \(\mathcal{O}_{X, p} \to \mathcal{O}_{Y, p}\) est surjectif et que \(\mathcal{O}_{Y, p}\) est un anneau de valuation discrète, nous pouvons choisir un élément \(x_1 \in \mathfrak m_p\) qui s’envoie sur une uniformisante dans \(\mathcal{O}_{Y, p}\). Choisissons un ouvert affine \(U = \Spec(A)\) contenant \(p\) tel que \(x_1 \in A\). Soit \(\mathfrak m \subset A\) l’idéal maximal correspondant à \(p\). Soient \(I, J \subset A\) les idéaux qui définissent \(Y, Z\) dans \(\Spec(A)\). Après avoir rétréci \(U\), nous pouvons supposer que \(\mathfrak m = I + (x_1)\), autrement dit que \(V(x_1) \cap U \cap Y = \{p\}\) schématiquement. On conclut que \(p\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(Y\) et, puisque \(Y'\) est l’éclatement de \(Y\) en \(p\) (Diviseurs, lemme 080E), on voit que \(Y' \to Y\) est un isomorphisme d’après Diviseurs, lemme 0807. La relation \(\mathfrak m = I + (x_1)\) implique que \(\mathfrak m^n \subset I + (x_1^n)\) ; on peut donc définir une application \[\psi : A[\textstyle{\frac{\mathfrak m}{x_1}}] \longrightarrow A/I\] en envoyant \(y/x_1^n \in A[\frac{\mathfrak m}{x_1}]\) sur la classe de \(a\) dans \(A/I\), où \(a\) est choisi de sorte que \(y \equiv ax_1^n \bmod I\). Alors \(\psi\) correspond au morphisme de \(Y \cap U\) dans \(X'\) au-dessus de \(U\) donné par \(Y' \cong Y\). Puisque l’image de \(x_1\) dans \(A[\frac{\mathfrak m}{x_1}]\) définit le diviseur exceptionnel, on conclut que \(m_q(Y', E) = 1\). Enfin, comme \(J \subset \mathfrak m\), l’idéal \(J' \subset A[\frac{\mathfrak m}{x_1}]\) contient certainement les éléments \(f/x_1\) pour \(f \in J\). Ainsi, si l’on choisit \(f \in J\) dont l’image \(\overline{f}\) dans \(A/I\) a pour valuation minimale \(m_p(Y \cap Z)\), on voit que \(\psi(f/x_1) = \overline{f}/x_1\) dans \(A/I\) a une valuation inférieure d’une unité, ce qui démontre la dernière partie du lemme.
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soient \(Y_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\) des sous-schémas fermés intègres, chacun de dimension \(1\) et satisfaisant les conditions équivalentes du lemme 0BI4. Il existe alors une suite finie \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X\] d’éclatements en des points fermés telle que les transformés stricts \(Y'_i \subset X_n\) de \(Y_i\) dans \(X_n\) soient des courbes régulières deux à deux disjointes.
Démonstration
Il résulte du lemme 0BI5 que nous pouvons supposer que \(Y_i\) est une courbe régulière pour \(i = 1, \ldots, n\). Pour tous \(i \not = j\) et \(p \in Y_i \cap Y_j\), nous disposons de l’invariant \(m_p(Y_i \cap Y_j)\) (0BI6). Si le maximum de ces nombres est \(> 1\), on peut le diminuer (lemme 0BI7) en éclatant tous les points \(p\) où ce maximum est atteint. Si le maximum vaut \(1\), on peut alors séparer les courbes au moyen du même lemme, en éclatant tous ces points \(p\).
Lorsque notre courbe est contenue dans une surface régulière, nous souhaitons souvent la transformer en un diviseur à croisements normaux.
Lemme
Soit \(X\) un schéma régulier de dimension \(2\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé propre. Il existe une suite \[X_n \to \ldots \to X_1 \to X\] d’éclatements en des points fermés telle que l’image inverse \(Z_n\) de \(Z\) dans \(X_n\) soit un diviseur de Cartier effectif.
Démonstration
Soit \(D \subset Z\) le plus grand diviseur de Cartier effectif contenu dans \(Z\). Alors \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{I}_D\), et le quotient est supporté en des points fermés d’après Diviseurs, lemme 0AGB. Nous pouvons donc écrire \(\mathcal{I}_Z = \mathcal{I}_{Z'} \mathcal{I}_D\), où \(Z' \subset X\) est un sous-schéma fermé qui, ensemblistement, consiste en un nombre fini de points fermés. En appliquant le lemme 0AHH, on trouve une suite d’éclatements comme dans l’énoncé du lemme telle que \(\mathcal{I}_{Z'}\mathcal{O}_{X_n}\) soit inversible. Cela démontre le lemme.
Lemme
Soit \(X\) un schéma régulier de dimension \(2\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé propre tel que toute composante irréductible \(Y \subset Z\) de dimension \(1\) satisfasse les conditions équivalentes du lemme 0BI4. Il existe alors une suite \[X_n \to \ldots \to X_1 \to X\] d’éclatements en des points fermés telle que l’image inverse \(Z_n\) de \(Z\) dans \(X_n\) soit un diviseur de Cartier effectif supporté sur un diviseur à croisements normaux stricts.
Démonstration
Soit \(X' \to X\) l’éclatement d’un point fermé \(p\). Alors l’image inverse \(Z' \subset X'\) de \(Z\) est supportée sur le transformé strict de \(Z\) et sur le diviseur exceptionnel. Le diviseur exceptionnel est une courbe régulière (lemme 0AGQ), et le transformé strict \(Y'\) de toute composante irréductible \(Y\) est soit égal à \(Y\), soit l’éclatement de \(Y\) en \(p\). Ainsi, ce procédé ne produit pas de nouvelles composantes singulières de dimension \(1\). Il résulte donc des lemmes 0BIB et 0BI8 que nous pouvons supposer que \(Z\) est un diviseur de Cartier effectif et que toutes les composantes irréductibles \(Y\) de \(Z\) sont régulières. (Bien sûr, nous ne pouvons pas supposer que les composantes irréductibles sont deux à deux disjointes, car chaque fois que nous éclatons un point de \(Z\), nous ajoutons une nouvelle composante irréductible à \(Z\), à savoir le diviseur exceptionnel.)
Supposons que \(Z\) soit un diviseur de Cartier effectif dont les composantes irréductibles \(Y_i\) sont régulières. Pour tous \(i \not = j\) et \(p \in Y_i \cap Y_j\), nous disposons de l’invariant \(m_p(Y_i \cap Y_j)\) (0BI6). Si le maximum de ces nombres est \(> 1\), nous pouvons le diminuer (lemme 0BI7) en éclatant tous les points \(p\) où ce maximum est atteint (remarquons que les « nouveaux » invariants \(m_{q_i}(Y'_i \cap E)\) valent toujours \(1\)). Si le maximum vaut \(1\) et si, par exemple, \(p \in Y_1 \cap \ldots \cap Y_r\) pour un certain \(r > 2\) mais pour aucun des autres, alors, après avoir éclaté \(p\), on voit que \(Y'_1, \ldots, Y'_r\) ne se rencontrent pas aux points situés au-dessus de \(p\), et que \(m_{q_i}(Y'_i, E) = 1\), où \(Y'_i \cap E = \{q_i\}\). En continuant donc à éclater les points où plus de \(3\) composantes de \(Z\) se rencontrent, on atteint une situation dans laquelle, pour tout point fermé \(p \in X\), on a l’un des trois cas suivants : (a) aucune courbe \(Y_i\) ne passe par \(p\) ; (b) exactement une courbe \(Y_i\) passe par \(p\) et \(\mathcal{O}_{Y_i, p}\) est régulier ; (c) exactement deux courbes \(Y_i\), \(Y_j\) passent par \(p\), les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Y_i, p}\), \(\mathcal{O}_{Y_j, p}\) sont réguliers et \(m_p(Y_i \cap Y_j) = 1\). Cela signifie que \(\sum Y_i\) est un diviseur à croisements normaux stricts sur la surface régulière \(X\) ; voir Morphismes étales, lemme 0BIA.
Contraction des courbes exceptionnelles
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(E \subset X\) un sous-schéma fermé possédant les propriétés suivantes :
\(E\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X\) ;
il existe un corps \(k\) et un isomorphisme de schémas \(\mathbf{P}^1_k \to E\) ;
l’image inverse du faisceau normal \(\mathcal{N}_{E/X}\) par cet isomorphisme est isomorphe à \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1}(-1)\).
Un tel sous-schéma fermé est appelé une courbe exceptionnelle de première espèce.
Soit \(X'\) un schéma noethérien et soit \(x \in X'\) un point fermé tel que \(\mathcal{O}_{X', x}\) soit régulier de dimension \(2\). Soit \(b : X \to X'\) l’éclatement de \(X'\) en \(x\). Dans ce cas, la fibre exceptionnelle \(E \subset X\) est une courbe exceptionnelle de première espèce. Cela résulte du lemme 0AGQ.
Question : toute courbe exceptionnelle de première espèce est-elle obtenue comme fibre d’un éclatement comme ci-dessus ? Autrement dit, existe-t-il toujours un morphisme propre de schémas \(X \to X'\) tel que \(E\) soit envoyée sur un point fermé \(x \in X'\), que \(\mathcal{O}_{X', x}\) soit régulier de dimension \(2\) et que \(X\) soit l’éclatement de \(X'\) en \(x\) ? Si tel est le cas, nous disons qu’il existe une contraction de \(E\).
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(E \subset X\) une courbe exceptionnelle de première espèce. S’il existe une contraction \(X \to X'\) de \(E\), celle-ci possède la propriété universelle suivante : pour tout morphisme \(\varphi : X \to Y\) tel que \(\varphi(E)\) soit un point, il existe une unique factorisation \(X \to X' \to Y\) de \(\varphi\).
Démonstration
Soit \(b : X \to X'\) une contraction de \(E\). En tant qu’espace topologique, \(X'\) est le quotient de \(X\) par la relation qui identifie tous les points de \(E\) à un seul point. En effet, \(b\) est propre (Diviseurs, lemme 02NS et Morphismes, lemme 01WC) et surjectif ; il définit donc une application submersive d’espaces topologiques (Topologie, lemme 0AAU). D’autre part, l’application canonique \(\mathcal{O}_{X'} \to b_*\mathcal{O}_X\) est un isomorphisme. Cela est clair sur le complémentaire du point \(x \in X'\), image de \(E\) ; au niveau des germes en \(x\), l’application est un isomorphisme d’après la partie (4) du lemme 0AGS. Ainsi, le couple \((X', \mathcal{O}_{X'})\) s’obtient à partir de \(X\) en prenant le quotient comme espace topologique et en le munissant de \(b_*\mathcal{O}_X\) comme faisceau structural.
Étant donné \(\varphi\), soit \(\varphi' : X' \to Y\) l’unique application d’espaces topologiques telle que \(\varphi = \varphi' \circ b\). L’application \[\varphi^\sharp : \varphi^{-1}\mathcal{O}_Y = b^{-1}((\varphi')^{-1}\mathcal{O}_Y) \to \mathcal{O}_X\] est alors adjointe à une application \[(\varphi')^\sharp : (\varphi')^{-1}\mathcal{O}_Y \to b_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_{X'}\]. Le couple \((\varphi', (\varphi')^\sharp)\) est un morphisme d’espaces annelés de \(X'\) vers \(Y\) qui fournit la factorisation voulue. Comme \(\varphi\) est un morphisme d’espaces localement annelés, il en est de même de \(\varphi'\). En effet, la seule chose à vérifier est que l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X', x}\) est local, où \(y \in Y\) est l’image de \(E\) par \(\varphi\). Cela est vrai, car l’image inverse d’un élément \(f \in \mathfrak m_y\) est une fonction sur \(X\) qui s’annule en tout point de \(E\) ; par conséquent, l’image inverse de \(f\) sur \(X'\) est une fonction définie sur un voisinage de \(x\) dans \(X'\) et possédant la même propriété. Il est alors clair que cette fonction doit s’annuler en \(x\), comme souhaité.
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(E \subset X\) une courbe exceptionnelle de première espèce. S’il existe une contraction de \(E\), alors elle est unique à isomorphisme unique près.
Démonstration
Cela résulte immédiatement de la propriété universelle du lemme 0C5J.
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(E \subset X\) une courbe exceptionnelle de première espèce. Posons \(E_n = nE\) et notons \(\mathcal{O}_n\) son faisceau structural. Alors \[A = \lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n)\] est un anneau local noethérien complet et régulier de dimension \(2\), et \(\Ker(A \to H^0(E_n, \mathcal{O}_n))\) est la \(n\)-ième puissance de son idéal maximal.
Démonstration
Rappelons qu’il existe un isomorphisme \(\mathbf{P}^1_k \to E\) tel que l’image inverse du faisceau normal de \(E\) dans \(X\) soit isomorphe à \(\mathcal{O}(-1)\). Alors \(H^0(E, \mathcal{O}_E) = k\). Nous noterons \(\mathcal{O}_n(iE)\) la restriction du faisceau inversible \(\mathcal{O}_X(iE)\) à \(E_n\), pour tous \(n \geq 1\) et \(i \in \mathbf{Z}\). Rappelons que \(\mathcal{O}_X(-nE)\) est le faisceau d’idéaux de \(E_n\). Ainsi, pour \(d \geq 0\), nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_E(-(d + n)E) \to \mathcal{O}_{n + 1}(-dE) \to \mathcal{O}_n(-dE) \to 0\]. Comme \(\mathcal{O}_E(-(d + n)E) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(d + n)\), le premier groupe de cohomologie s’annule pour tous \(d \geq 0\) et \(n \geq 1\). On en déduit que les applications de transition du système \(H^0(E_n, \mathcal{O}_n(-dE))\) sont surjectives. Pour \(d = 0\), nous obtenons un système projectif de surjections d’anneaux tel que le noyau de chaque application de transition soit un idéal nilpotent. Ainsi, \(A = \lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n)\) est un anneau local de corps résiduel \(k\) et d’idéal maximal \[\lim \Ker(H^0(E_n, \mathcal{O}_n) \to H^0(E, \mathcal{O}_E)) = \lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n(-E))\]. Choisissons \(x, y\) dans ce noyau, dont les images forment une \(k\)-base de \(H^0(E, \mathcal{O}_E(-E)) = H^0(\mathbf{P}^1_k, \mathcal{O}(1))\). Alors \(x^d, x^{d - 1}y, \ldots, y^d\) sont des éléments de \(\lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n(-dE))\) dont les images forment une base de \(H^0(E, \mathcal{O}_E(-dE)) = H^0(\mathbf{P}^1_k, \mathcal{O}(d))\). On voit ainsi que \(A\) est séparé et complet pour la topologie linéaire définie par les noyaux
\[I_n = \Ker(A \longrightarrow H^0(E_n, \mathcal{O}_n))\]. Nous avons \(x, y \in I_1\), \(I_d I_{d'} \subset I_{d + d'}\), et \(I_d/I_{d + 1}\) est un \(k\)-module libre de base \(x^d, x^{d - 1}y, \ldots, y^d\). Nous allons montrer que \(I_d = (x, y)^d\). En effet, si \(z_e \in I_e\) avec \(e \geq d\), alors nous pouvons écrire \[z_e = a_{e, 0} x^d + a_{e, 1} x^{d - 1}y + \ldots + a_{e, d}y^d + z_{e + 1}\], où \(a_{e, j} \in (x, y)^{e - d}\) et \(z_{e + 1} \in I_{e + 1}\) d’après notre description de \(I_d/I_{d + 1}\). Ainsi, en partant d’un certain \(z = z_d \in I_d\), nous pouvons procéder par récurrence et obtenir \[z = \sum\nolimits_{e \geq d} \sum\nolimits_j a_{e, j} x^{d - j} y^j\] avec des \(a_{e, j} \in (x, y)^{e - d}\). Alors \(a_j = \sum_{e \geq d} a_{e, j}\) existe (par complétude et parce que \(a_{e, j} \in I_{e - d}\)), et nous avons \(z = \sum a_{e, j} x^{d - j} y^j\). Par conséquent, \(I_d = (x, y)^d\). Ainsi, \(A\) est complet pour la topologie \((x, y)\)-adique. Alors \(A\) est noethérien d’après Algèbre, lemme 05GH. Il est clair que sa dimension vaut \(2\) d’après la description de \((x, y)^d/(x, y)^{d + 1}\) et Algèbre, proposition 00KQ. Comme son idéal maximal est engendré par deux éléments, il est régulier.
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(E \subset X\) une courbe exceptionnelle de première espèce. S’il existe un morphisme \(f : X \to Y\) tel que
\(Y\) est noethérien,
\(f\) est propre,
\(f\) envoie \(E\) sur un point \(y\) de \(Y\),
\(f\) est quasi-fini en tout point hors de \(E\),
alors il existe une contraction de \(E\), et celle-ci est la factorisation de Stein de \(f\).
Démonstration
Nous appliquons Compléments sur les morphismes, théorème 03H0, pour obtenir une factorisation de Stein \(X \to X' \to Y\). Alors \(X \to X'\) satisfait toutes les hypothèses du lemme (certains détails sont omis). Après avoir remplacé \(Y\) par \(X'\), nous pouvons donc supposer en outre que \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) et que les fibres de \(f\) sont géométriquement connexes.
Supposons que \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) et que les fibres de \(f\) soient géométriquement connexes. Remarquons que \(y \in Y\) est un point fermé, car \(f\) est fermé et \(E\) est fermé. La restriction \(f^{-1}(Y \setminus \{y\}) \to Y \setminus \{y\}\) de \(f\) est un morphisme fini (Compléments sur les morphismes, lemme 02LS). Cette restriction est donc un isomorphisme puisque \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\), les morphismes finis étant affines. Pour montrer que \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est régulier de dimension \(2\), considérons l’isomorphisme \[\mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \longrightarrow \lim H^0(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n), \mathcal{O})\] fourni par Cohomologie des schémas, lemme 02OD. Soit \(E_n = nE\) comme dans le lemme 0C2K. Observons que \[E_n \subset X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^n)\] car \(E \subset X_y = X \times_Y \Spec(\kappa(y))\). D’autre part, puisque \(E = f^{-1}(\{y\})\) ensemblistement (car les fibres de \(f\) sont géométriquement connexes), la fibre schématique \(X_y\) est schématiquement contenue dans \(E_n\) pour un certain \(n > 0\). Plus précisément, appliquons le lemme 01Y9 de Cohomologie des schémas au \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_{X_y}\) et au faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) de \(E\), puis utilisons le fait que \(\mathcal{I}^n\) est le faisceau d’idéaux de \(E_n\). Cela montre que \[X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_y^m) \subset E_{nm}\] La limite projective affichée ci-dessus est donc égale à \(\lim H^0(E_n, \mathcal{O}_n)\), qui est un anneau local régulier de dimension deux d’après le lemme 0C2K. Ainsi, \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est un anneau local régulier de dimension deux, car son complété l’est (Compléments d’algèbre, lemme 07NY et 07NV).
Il reste à démontrer que \(f : X \to Y\) est l’éclatement \(b : Y' \to Y\) de \(Y\) en \(y\). Nous invitons le lecteur à trouver sa propre démonstration. Tout d’abord, le lemme 0C2K entraîne également l’égalité schématique \(X_y = E\). Comme le faisceau d’idéaux de \(E\) est inversible, cela montre que \(f^{-1}\mathfrak m_y \cdot \mathcal{O}_X\) est inversible. La propriété universelle de l’éclatement fournit donc une factorisation \[X \to Y' \to Y\] du morphisme \(f\) ; voir Diviseurs, lemme 0806. Rappelons que la fibre exceptionnelle \(E' \subset Y'\) est une courbe exceptionnelle de première espèce d’après le lemme 0AGQ. Soit \(g : E \to E'\) le morphisme induit. Comme, tant pour \(E'\) que pour \(E\), le faisceau conormal est engendré par les images inverses de \(a\) et \(b\), l’application canonique \(g^*\mathcal{C}_{E'/Y'} \to \mathcal{C}_{E/X}\) (Morphismes, lemme 01R4) est surjective. Les deux faisceaux étant inversibles, cette application est un isomorphisme. Comme \(\mathcal{C}_{E/X}\) est de degré positif, \(g\) ne peut être un morphisme constant. Ainsi, \(g\) est à fibres finies, et \(g\) est donc un morphisme fini (même référence que ci-dessus). Or \(Y'\) est régulier, donc normal, en tout point de \(E'\), tandis que \(X \to Y'\) est birationnel et est un isomorphisme hors de \(E'\) ; on conclut alors que \(X \to Y'\) est un isomorphisme d’après Variétés, lemme 0BFP.
Lemme
Soit \(b : X \to X'\) la contraction d’une courbe exceptionnelle de première espèce \(E \subset X\). Il existe alors une suite exacte courte \[0 \to \Pic(X') \to \Pic(X) \to \mathbf{Z} \to 0\] où la première application est l’image inverse par \(b\) et la seconde associe à \(\mathcal{L}\) le degré de \(\mathcal{L}\) sur la courbe exceptionnelle \(E\). Cette suite est scindée par l’application \(n \mapsto \mathcal{O}_X(-nE)\).
Démonstration
Puisque \(E = \mathbf{P}^1_k\), le groupe de Picard de \(E\) est \(\mathbf{Z}\) ; voir Diviseurs, lemme 0BXJ. Nous pouvons donc considérer la dernière application comme \(\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L}|_E\). Par définition des courbes exceptionnelles de première espèce, le degré de la restriction de \(\mathcal{O}_X(E)\) à \(E\) est \(-1\). En combinant ces remarques, il suffit de montrer que \(\Pic(X') \to \Pic(X)\) est injective et que son image est formée des faisceaux inversibles dont la restriction est isomorphe au faisceau trivial \(\mathcal{O}_E\) sur \(E\).
Étant donné un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module inversible \(\mathcal{L}'\), nous affirmons que l’application \(\mathcal{L}' \to b_*b^*\mathcal{L}'\) est un isomorphisme. Cela est clair partout, sauf éventuellement au point image \(x \in X'\) de \(E\). Pour le vérifier sur les germes en \(x\), nous pouvons remplacer \(X'\) par un voisinage ouvert de \(x\) et supposer que \(\mathcal{L}'\) est \(\mathcal{O}_{X'}\). Il faut alors montrer que l’application \(\mathcal{O}_{X'} \to b_*\mathcal{O}_X\) est un isomorphisme. Cela résulte de la partie (4) du lemme 0AGS.
Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible tel que \(\mathcal{L}|_E = \mathcal{O}_E\). Nous affirmons alors que (1) \(b_*\mathcal{L}\) est inversible et que (2) \(b^*b_*\mathcal{L} \to \mathcal{L}\) est un isomorphisme. Les assertions (1) et (2) sont claires au-dessus de \(X' \setminus \{x\}\). Il suffit donc de les démontrer après le changement de base à \(\Spec(\mathcal{O}_{X', x})\). La formation de \(b_*\) commute aux changements de base plats (Cohomologie des schémas, lemme 02KH), et il en va de même pour \(b^*\) et pour la formation de l’application d’adjonction. Or, si \(X'\) est le spectre d’un anneau local régulier, alors \(\mathcal{L}\) est trivial d’après la description du groupe de Picard donnée au lemme 0C5G. L’affirmation est donc démontrée.
En combinant les affirmations démontrées dans les deux paragraphes précédents, on voit que l’application \(\mathcal{L} \mapsto b_*\mathcal{L}\) est inverse de l’application \[\Pic(X') \longrightarrow \Ker(\Pic(X) \to \Pic(E))\], ce qui démontre le lemme.
Remarque
Soit \(b : X \to X'\) la contraction d’une courbe exceptionnelle de première espèce \(E \subset X\). Le lemme 0C5L fournit une identification \[\Pic(X) = \Pic(X') \oplus \mathbf{Z}\] dans laquelle \(\mathcal{L}\) correspond au couple \((\mathcal{L}', n)\) si et seulement si \(\mathcal{L} = (b^*\mathcal{L}')(-nE)\), c’est-à-dire \(\mathcal{L}(nE) = b^*\mathcal{L}'\). En fait, la preuve du lemme 0C5L montre que \(\mathcal{L}' = b_*\mathcal{L}(nE)\). Bien entendu, l’application \(\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L}'\) est un homomorphisme de groupes.
Lemme
Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(E \subset X\) une courbe exceptionnelle de première espèce. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(n\) l’entier tel que \(\mathcal{L}|_E\) soit de degré \(n\) lorsqu’on le considère comme module inversible sur \(\mathbf{P}^1\). Alors
Si \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\) et \(n \geq 0\), alors \(H^1(X, \mathcal{L}(iE)) = 0\) pour \(0 \leq i \leq n + 1\).
Si \(n \leq 0\), alors \(H^1(X, \mathcal{L}) \subset H^1(X, \mathcal{L}(E))\).
Démonstration
Observons que \(\mathcal{L}|_E = \mathcal{O}(n)\) d’après Diviseurs, lemme 0BXJ. Procédons par récurrence en utilisant la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}(E) \to \mathcal{L}(E)|_E \to 0,\], ainsi que le fait que \(H^1(\mathbf{P}^1, \mathcal{O}(d)) = 0\) pour \(d \geq -1\) et que \(H^0(\mathbf{P}^1, \mathcal{O}(d)) = 0\) pour \(d \leq -1\). Nous omettons quelques détails.
Lemme
Soit \(S = \Spec(R)\) un schéma noethérien affine. Soit \(X \to S\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible ample sur \(X\). Soit \(E \subset X\) une courbe exceptionnelle de première espèce. Alors
il existe une contraction \(b : X \to X'\) de \(E\),
\(X'\) est propre sur \(S\), et
le \(\mathcal{O}_{X'}\)-module inversible \(\mathcal{L}'\) est ample, où \(\mathcal{L}'\) est défini comme dans la remarque 0C5M.
Démonstration
Soit \(n\) le degré de \(\mathcal{L}|_E\) comme dans le lemme 0C2J. Remarquons que \(n > 0\), car \(\mathcal{L}\) est ample sur \(E\) (Variétés, lemme 0B5X, et Propriétés, lemme 01PU). Après avoir remplacé \(\mathcal{L}\) par une puissance, nous pouvons supposer que \(H^i(X, \mathcal{L}^{\otimes e}) = 0\) pour tous \(i > 0\) et \(e > 0\), voir Cohomologie des schémas, lemme 0B5U. Enfin, après avoir remplacé \(\mathcal{L}\) par une autre puissance, nous pouvons supposer qu’il existe des sections globales \(t_0, \ldots, t_n\) de \(\mathcal{L}\) qui définissent une immersion fermée \(\psi : X \to \mathbf{P}^n_S\), voir Morphismes, lemme 01VT.
Posons \(\mathcal{M} = \mathcal{L}(nE)\). Alors \(\mathcal{M}|_E \cong \mathcal{O}_E\). Comme nous avons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{M}(-E) \to \mathcal{M} \to \mathcal{O}_E \to 0\] et que \(H^1(X, \mathcal{M}(-E))\) est nul (d’après le lemme 0C2J et le fait que \(n > 0\)), nous pouvons choisir une section \(s_{n + 1}\) de \(\mathcal{M}\) qui engendre \(\mathcal{M}|_E\). Enfin, notons \(s_0, \ldots, s_n\) les sections de \(\mathcal{M}\) obtenues à partir des sections \(t_0, \ldots, t_n\) de \(\mathcal{L}\) choisies ci-dessus au moyen de \(\mathcal{L} \subset \mathcal{L}(nE) = \mathcal{M}\). Prises ensemble, les sections \(s_0, \ldots, s_n, s_{n + 1}\) engendrent \(\mathcal{M}\) en tout point de \(X\) et définissent donc un morphisme \[\varphi : X \longrightarrow \mathbf{P}^{n + 1}_S\] sur \(S\), voir Constructions, lemme 01NE.
Nous allons vérifier ci-dessous les conditions du lemme 0C2L. Une fois cela fait, nous voyons que la factorisation de Stein \(X \to X' \to \mathbf{P}^{n + 1}_S\) de \(\varphi\) est la contraction cherchée, ce qui démontre (1). De plus, le morphisme \(X' \to \mathbf{P}^{n + 1}_S\) est fini ; par conséquent, \(X'\) est propre sur \(S\) (Morphismes, lemmes 01WN et 01W3). Cela démontre (2). Remarquons que \(X'\) possède un faisceau inversible ample. En effet, l’image inverse \(\mathcal{M}'\) de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^{n + 1}_S}(1)\) est ample d’après Morphismes, lemme 0892. Remarquons que \(\mathcal{M}'\) a pour image inverse \(\mathcal{M}\) sur \(X\) (d’après Constructions, lemme 01NE). Enfin, \(\mathcal{M} = \mathcal{L}(nE)\). Puisque, dans les arguments ci-dessus, nous avons remplacé le faisceau \(\mathcal{L}\) initial par une puissance positive, nous concluons que le \(\mathcal{O}_{X'}\)-module inversible \(\mathcal{L}'\) mentionné en (3) du lemme est ample sur \(X'\) d’après Propriétés, lemme 01PT.
Observations immédiates : \(\mathbf{P}^{n + 1}_S\) est noethérien et \(\varphi\) est propre. Nous omettons les détails.
Remarquons ensuite que tout point de \(U = X \setminus E\) est envoyé dans le sous-schéma ouvert \(W\) de \(\mathbf{P}^{n + 1}_S\) où l’une des \(n + 1\) premières coordonnées homogènes est non nulle. En revanche, tout point de \(E\) est envoyé sur un point dont les \(n + 1\) premières coordonnées homogènes sont toutes nulles, donc en particulier dans le complémentaire de \(W\). De plus, il est clair qu’il existe une factorisation \[U = \varphi^{-1}(W) \xrightarrow{\varphi|_U} W \xrightarrow{\text{pr}} \mathbf{P}^n_S\] de \(\psi|_U\), où \(\text{pr}\) est la projection définie par les \(n + 1\) premières coordonnées et \(\psi : X \to \mathbf{P}^n_S\) est l’immersion choisie ci-dessus. Il s’ensuit que \(\varphi|_U : U \to W\) est quasi-fini.
Enfin, considérons l’application \(\varphi|_E : E \to \mathbf{P}^{n + 1}_S\). Pour tout point \(x \in E\), l’image \(\varphi(x)\) a ses \(n + 1\) premières coordonnées nulles ; autrement dit, le morphisme \(\varphi|_E\) se factorise par le sous-schéma fermé \(\mathbf{P}^0_S \cong S\). Le morphisme \(E \to S = \Spec(R)\) se factorise sous la forme \(E \to \Spec(H^0(E, \mathcal{O}_E)) \to \Spec(R)\) d’après Schémas, lemme 01I1. Comme, par hypothèse, \(H^0(E, \mathcal{O}_E)\) est un corps, nous concluons que \(E\) s’envoie sur un point de \(S \subset \mathbf{P}^{n + 1}_S\), ce qui achève la démonstration.
Lemme
Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini. Soit \(E \subset X\) une courbe exceptionnelle de première espèce contenue dans une fibre de \(f\).
Si \(X\) est projectif sur \(S\), alors il existe une contraction \(X \to X'\) de \(E\) et \(X'\) est projectif sur \(S\).
Si \(X\) est quasi-projectif sur \(S\), alors il existe une contraction \(X \to X'\) de \(E\) et \(X'\) est quasi-projectif sur \(S\).
Démonstration
Les deux cas résultent du lemme 0C2M et des résultats classiques sur les modules inversibles amples et les morphismes (quasi-)projectifs.
Démonstration de (1). La projectivité de \(f\) signifie que \(f\) est propre et qu’il existe un module inversible \(f\)-ample \(\mathcal{L}\), voir Morphismes, lemme 0BCL et définition 01VW. Soit \(U \subset S\) un ouvert affine contenant l’image de \(E\). D’après le lemme 0C2M, il existe une contraction \(c : f^{-1}(U) \to V'\) de \(E\) et un module inversible ample \(\mathcal{N}'\) sur \(V'\) dont l’image inverse sur \(f^{-1}(U)\) est égale à \(\mathcal{L}(nE)|_{f^{-1}(U)}\). Soit \(v \in V'\) le point fermé tel que \(c\) soit l’éclatement de \(v\). Nous pouvons alors recoller \(V'\) et \(X \setminus E\) le long de \(f^{-1}(U) \setminus E = V' \setminus \{v\}\) pour obtenir un schéma \(X'\) sur \(S\). Les morphismes \(c\) et \(\text{id}_{X \setminus E}\) se recollent en un morphisme \(b : X \to X'\) qui est la contraction de \(E\). L’image inverse de \(U\) dans \(X'\) est propre sur \(U\). D’autre part, la restriction de \(X' \to S\) au complémentaire de l’image de \(v\) dans \(S\) est isomorphe à la restriction de \(X \to S\) à cet ouvert. Ainsi, \(X' \to S\) est propre, puisque la propreté est locale sur la base d’après Morphismes, lemme 01W2. Enfin, les restrictions de \(\mathcal{N}'\) et de \(\mathcal{L}|_{X \setminus E}\) à \(f^{-1}(U) \setminus E = V' \setminus \{v\}\) sont isomorphes ; elles se recollent donc en un module inversible \(\mathcal{L}'\) sur \(X'\). La restriction de \(\mathcal{L}'\) à l’image inverse de \(U\) dans \(X'\) est ample, car il en est ainsi de \(\mathcal{N}'\). Sur les ouverts affines de \(S\) qui évitent l’image de \(v\), il en va de même puisque c’est vrai pour \(\mathcal{L}\). Ainsi, \(\mathcal{L}'\) est relativement ample pour \((X' \to S)\) d’après Morphismes, lemme 01VJ, et (1) est démontré.
Démonstration de (2). Nous pouvons écrire \(X\) comme un sous-schéma ouvert d’un schéma \(\overline{X}\) projectif sur \(S\) d’après Morphismes, lemme 07RM. D’après (1), il existe une contraction \(b : \overline{X} \to \overline{X}'\), et \(\overline{X}'\) est projectif sur \(S\). Nous notons alors \(X' \subset \overline{X}\) l’image de \(X \to \overline{X}'\) ; c’est un ouvert puisque \(b\) est un isomorphisme hors de \(E\). Alors \(X \to X'\) est la contraction cherchée. Remarquons que \(X'\) est quasi-projectif sur \(S\), car il possède un module inversible ample relativement à \(S\), par la construction effectuée dans la démonstration de la partie (1).
Lemme
Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme séparé de type fini, avec \(X\) régulier de dimension \(2\). Alors \(X\) est quasi-projectif sur \(S\).
Démonstration
Par le lemme de Chow (Cohomologie des schémas, lemme 0200), il existe un morphisme propre \(\pi : X' \to X\) qui est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert dense \(U \subset X\) tel que \(X' \to S\) soit H-quasi-projectif. D’après le lemme 0C5H, il existe une suite d’éclatements en des points fermés \[X_n \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] et un \(S\)-morphisme \(X_n \to X'\) prolongeant l’application rationnelle \(U \to X'\). Remarquons que \(X_n \to X\) est projectif d’après Diviseurs, lemme 02NS, et Morphismes, lemme 0C4P. Il s’ensuit que \(X_n \to X'\) est projectif d’après Morphismes, lemme 0C4Q. Par conséquent, \(X_n \to S\) est quasi-projectif d’après Morphismes, lemme 0C4M (et le fait qu’un morphisme projectif est quasi-projectif ; voir Morphismes, lemme 07RL). D’après le lemme 0C2N (et l’unicité des contractions, lemme 0C5K), nous concluons que \(X_{n - 1}, \ldots, X_0 = X\) sont quasi-projectifs sur \(S\), comme souhaité.
Lemme
Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre tel que \(X\) soit régulier de dimension \(2\). Alors \(X\) est projectif sur \(S\).
Démonstration
Factorisation des morphismes birationnels
Les morphismes propres birationnels entre surfaces non singulières sont des composés de transformations quadratiques.
Lemme
Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre birationnel entre schémas noethériens intègres réguliers de dimension \(2\). Alors \(f\) est un composé d’éclatements en des points fermés.
Démonstration
Soit \(V \subset Y\) le plus grand ouvert au-dessus duquel \(f\) est un isomorphisme. Alors \(V\) contient tous les points de codimension \(1\) de \(V\) (Variétés, lemme 0BFP). Soit \(y \in Y\) un point fermé qui n’appartient pas à \(V\). Nous voulons montrer que \(f\) se factorise par l’éclatement \(b : Y' \to Y\) de \(Y\) en \(y\). En effet, si tel est le cas, au moins une composante (et, en fait, exactement une) de la fibre \(f^{-1}(y)\) s’enverra isomorphiquement sur la courbe exceptionnelle de \(Y'\), et le nombre de courbes contenues dans les fibres de \(X \to Y'\) sera strictement inférieur au nombre de courbes contenues dans les fibres de \(X \to Y\) ; nous concluons donc par récurrence. Certains détails sont omis.
D’après le lemme 0C5H, il existe une suite d’éclatements \[X' = X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] en des points fermés situés au-dessus de la fibre \(f^{-1}(y)\) et un morphisme \(X' \to Y'\) tels que \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r] & Y }\] soit commutatif. Nous voulons montrer que le morphisme \(X' \to Y'\) se factorise par \(X\) ; nous pourrons alors raisonner par récurrence sur \(n\) pour nous ramener au cas où \(X' \to X\) est l’éclatement de \(X\) en un point fermé \(x \in X\) qui s’envoie sur \(y\).
Soit \(E \subset X'\) la fibre exceptionnelle de l’éclatement \(X' \to X\). Si \(E\) s’envoie sur un point de \(Y'\), alors le lemme 0C5J fournit la factorisation souhaitée. Nous allons montrer que, dans le cas contraire, nous obtenons une contradiction. En effet, si \(f'(E)\) n’est pas un point, alors \(E' = f'(E)\) est nécessairement la courbe exceptionnelle de \(Y'\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ E \ar[r] \ar[d]_g & X' \ar[d]_{f'} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ E' \ar[r] & Y' \ar[r] & Y }\] En raisonnant comme précédemment, \(f'\) est un isomorphisme dans un voisinage ouvert du point générique de \(E'\). Ainsi, \(g : E \to E'\) est un morphisme fini birationnel. L’inverse de \(g\), qui est une application rationnelle, est alors partout défini d’après Morphismes, lemme 0BX7, et \(g\) est un isomorphisme. Considérons l’application \[g^*\mathcal{C}_{E'/Y'} \longrightarrow \mathcal{C}_{E/X'}\] de Morphismes, lemme 01R4. Comme la source et le but sont des modules inversibles de degré \(1\) sur \(E = E' = \mathbf{P}^1_\kappa\) et que l’application est non nulle (puisque \(f'\) est un isomorphisme au point générique de \(E\)), nous concluons que c’est un isomorphisme. D’après Morphismes, lemme 067L, nous concluons que \(\Omega_{X'/Y'}|_E = 0\). Cela signifie que \(f'\) est non ramifié en tout point de \(E\) (Morphismes, lemme 02GF). Ainsi, \(f'\) est quasi-fini en tout point de \(E\) (Morphismes, lemme 02V5). Par conséquent, le plus grand ouvert \(V' \subset Y'\) au-dessus duquel \(f'\) est un isomorphisme contient \(E'\) d’après Variétés, lemme 0BFP. Il s’ensuit que l’image inverse de \(y\) dans \(X'\) est \(E'\). L’image inverse de \(y\) dans \(X\) est donc \(x\). Par conséquent, \(x \in X\) appartient au plus grand ouvert au-dessus duquel \(f\) est un isomorphisme, d’après Variétés, lemme 0BFP. Cela contredit l’hypothèse selon laquelle \(y\) n’appartient pas à cet ouvert.
Lemme
Soit \(S\) un schéma noethérien. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas propres intègres sur \(S\), réguliers de dimension \(2\). Alors \(X\) et \(Y\) sont \(S\)-birationnels si et seulement s’il existe un diagramme de \(S\)-morphismes \[X = X_0 \leftarrow X_1 \leftarrow \ldots \leftarrow X_n = Y_m \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = Y\] dans lequel chaque morphisme est l’éclatement d’un point fermé.
Démonstration
Soit \(U \subset X\) un ouvert et soit \(f : U \to Y\) l’application \(S\)-rationnelle donnée (qui est inversible comme application \(S\)-rationnelle). D’après le lemme 0C5H, nous pouvons factoriser \(f\) sous la forme \(X_n \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\) et \(f_n : X_n \to Y\). Comme \(X_n\) est propre sur \(S\) et \(Y\) séparé sur \(S\), le morphisme \(f_n\) est propre. Il est clair que \(f_n\) est birationnel. Le morphisme \(f_n\) est donc un composé de contractions d’après le lemme 0C5R. Nous omettons la démonstration de la réciproque.
L’idéal maximal en \(p\) dans \(A'\) est engendré par \(y_3, x_1\) et par un troisième élément \(g\) dont l’image dans \(\kappa[y_2]\) est le diviseur premier de \(h\) correspondant à \(p\). Si ce diviseur premier ne divise pas \(h\) deux fois, on voit alors que la forme quadratique en \(p\) est de la forme \[y_3^2 - x_1((\text{un élément})x_1 + (\text{un élément})y_3 + (\text{une unité})g)\], ce qui ne peut jamais être un carré dans \(\kappa[y_3, x_1, g]\).↩︎
En effet, l’équation montre qu’il est singulier le long du lieu de dimension \(1\) donné par \(x_1 = y_3 = 0\), ce qui est impossible pour une surface normale.↩︎