Cycles relatifs

Introduction

Une référence fondamentale est [SV].

Dans ce chapitre, nous ne définissons que les cycles relatifs universellement entiers de [SV]. Ce choix permet de développer une théorie un peu plus simple que dans l’article original, au prix toutefois d’une certaine perte.

Fixons un morphisme \(X \to S\) de type fini entre schémas noethériens. Une famille \(\alpha\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) est simplement une famille \(\alpha = (\alpha_s)_{s \in S}\) , où \(\alpha_s \in Z_r(X_s)\). Le changement de base \(g^*\alpha\) de \(\alpha\) se définit immédiatement pour tout morphisme \(g : S' \to S\). On dit alors que \(\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\) si \(\alpha\) est compatible avec les spécialisations : pour tout morphisme \(g : S' \to S\), où \(S'\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète, la fibre générique de \(g^*\alpha\) doit se spécialiser en la fibre fermée de \(g^*\alpha\). Voir la section 0H4Z.

Conventions et notation

On consultera le chapitre Homologie de Chow et classes de Chern pour nos conventions et notations relatives aux cycles sur les schémas localement de type fini sur une base noethérienne fixée ; voir Homologie de Chow, section 02QK et suivantes.

En particulier, si \(X\) est localement de type fini sur un corps \(k\), alors \(Z_r(X)\) désigne le groupe des cycles de dimension \(r\), voir Homologie de Chow, exemple 02QM et section 02QQ. Étant donné un sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) avec \(\dim(Z) = r\) , nous avons \([Z] \in Z_r(X)\) et si \(X\) est quasi-compact, alors \(Z_r(X)\) est le groupe abélien libre engendré par ces classes.

Cycles relatifs aux corps

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma localement algébrique sur \(k\). Soit \(r \geq 0\) un entier. Dans ce cadre, nous avons le groupe \(Z_r(X)\) des \(r\)-cycles sur \(X\), voir la section 0H4D.

Changement de base. Pour toute extension de corps \(k'/k\) il existe une application de changement de base \(Z_r(X) \to Z_r(X_{k'})\), voir Homologie de Chow, section 0FVF. À savoir, étant donné un sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) de dimension \(r\) on envoie \([Z] \in Z_r(X)\) au \(r\)-cycle \([Z_{k'}]_r \in Z_r(X_{k'})\) associé au sous-schéma fermé \(Z_{k'} \subset X_{k'}\) (bien sûr, en général \(Z_{k'}\) n’est ni irréductible ni réduit). L’application de changement de base \(Z_r(X) \to Z_r(X_{k'})\) est toujours injective.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(Z\) un schéma intègre localement algébrique sur \(k\). La multiplicité \(m_{Z', Z_K}\) d’une composante irréductible \(Z' \subset Z_K\) est \(1\) ou une puissance de la caractéristique de \(k\).

Démonstration

Si la caractéristique de \(k\) est zéro, alors \(k\) est parfait et la multiplicité est toujours \(1\) puisque \(X_K\) est réduit d’après Variétés, lemme 035X. Supposons que la caractéristique de \(k\) soit \(p > 0\). Soit \(L\) le corps des fonctions de \(Z\). Puisque \(Z\) est localement algébrique sur \(k\), l’extension de corps \(L/k\) est finiment engendrée. L’anneau \(K \otimes_k L\) est noethérien (Algèbre, lemme 045I). En termes algébriques, il faut montrer que la longueur de l’anneau local artinien \((K \otimes_k L)_\mathfrak q\) est une puissance de \(p\) pour chaque idéal premier minimal \(\mathfrak q\).

Soit \(L'/L\) une extension finie purement inséparable, disons de degré \(p^n\). Alors \(K \otimes_k L \subset K \otimes_k L'\) est un homomorphisme d’anneaux fini et libre de rang \(p^n\) qui induit un homéomorphisme sur les spectres et des extensions de corps résiduels purement inséparables. Ainsi, pour chaque idéal premier minimal \(\mathfrak q\) comme ci-dessus, il existe un unique idéal premier minimal \(\mathfrak q' \subset K \otimes_k L'\) au-dessus de celui-ci et \[p^n \text{longueur}((K \otimes_k L)_\mathfrak q) = [\kappa(\mathfrak q') : \kappa(\mathfrak q)] \text{longueur}((K \otimes_k L')_{\mathfrak q'})\] par Algèbre, lemme 02M0 appliqué à \(M = (K \otimes_k L')_{\mathfrak q'} \cong (K \otimes_k L)_{\mathfrak q}^{\oplus p^n}\). Puisque \([\kappa(\mathfrak q') : \kappa(\mathfrak q)]\) est une puissance de \(p\) , nous concluons qu’il suffit de prouver l’énoncé pour \(L'\) et \(\mathfrak q'\).

D’après le paragraphe précédent et Algèbre, lemme 030R , nous pouvons supposer qu’il existe une tour de corps \(L/k'/k\) telle que \(L/k'\) soit séparable et que \(k'/k\) soit finie purement inséparable. Alors \(K \otimes_k k'\) est un anneau local artinien. L’argument du paragraphe précédent (appliqué à \(L = k\) et \(L' = k'\)) montre que \(\text{longueur}(K \otimes_k k')\) est une puissance de \(p\). Comme \(L/k'\) est la localisation d’une \(k'\)-algèbre lisse (Algèbre, lemme 037X), \(S = (K \otimes_k L)_\mathfrak q\) est la localisation d’une \(R = K \otimes_k k'\)-algèbre lisse en un idéal premier minimal. Donc \(R \to S\) est un homomorphisme local plat d’anneaux locaux artiniens et \(\mathfrak m_R S = \mathfrak m_S\). Il découle de Algèbre, lemme 02M1 que \(\text{longueur}(K \otimes_k k') = \text{longueur}(R) = \text{longueur}(S) = \text{longueur}((K \otimes_k L)_\mathfrak q)\) et la preuve est terminée.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\) avec clôture parfaite \(k^{perf}\). Soit \(X\) un schéma algébrique sur \(k\). Soit \(r \geq 0\) un entier. Le conoyau de l’application injective \(Z_r(X) \to Z_r(X_{k^{perf}})\) est un module de torsion de \(p\)-puissance (Compléments sur l’algèbre, Définition 05E6).

Démonstration

Puisque \(X\) est quasi-compact, le groupe abélien \(Z_r(X)\) est libre avec une base donnée par les sous-schémas fermés intègres de dimension \(r\). De même pour \(Z_r(X_{k^{perf}})\). Puisque \(X_{k^{perf}} \to X\) est un homéomorphisme, il en résulte que \(Z_r(X) \to Z_r(X_{k^{perf}})\) est injectif avec conoyau de torsion. Chaque élément du conoyau est de torsion de \(p\)-puissance d’après le lemme 0H4F.

Spécialisation des cycles

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète avec corps des fractions \(K\) et corps résiduel \(\kappa\). Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(R\). Soit \(r \geq 0\). Il existe une application de spécialisation \[sp_{X/R} : Z_r(X_K) \longrightarrow Z_r(X_\kappa)\] définie comme suit. Pour un sous-schéma fermé et intègre \(Z \subset X_K\) de dimension \(r\) , nous notons \(\overline{Z}\) l’image schématique de \(Z \to X\). On définit alors \(sp_{X/R}\) comme l’unique application \(\mathbf{Z}\)-linéaire telle que \[sp_{X/R}([Z]) = [\overline{Z}_\kappa]_r\] Expliquons brièvement pourquoi cette définition est correcte. Tout d’abord, observons que le morphisme \(X_K \to X\) est quasi-compact et donc le morphisme \(Z \to X\) est quasi-compact. La formation de l’image schématique de \(Z \to X\) commute donc aux changements de base plats d’après Morphismes, lemme 081I. En particulier, après changement de base à \(X_K\), on obtient \(Z = \overline{Z}_K\). Puisque \(Z\) est intègre, bien sûr \(\overline{Z}\) est également intègre et en fait est égal au sous-schéma fermé intègre unique dont le point générique est l’image du point générique de \(Z\). Il résulte de Variétés, lemme 0B2J que \(Z_\kappa\) est équidimensionnel de dimension \(r\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète avec corps des fractions \(K\) et corps résiduel \(\kappa\). Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(R\). Soit \(r \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent plat sur \(R\). Supposons \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_K)) \leq r\). Alors \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_\kappa)) \leq r\) et \[sp_{X/R}([\mathcal{F}_K]_r) = [\mathcal{F}_\kappa]_r\]

Démonstration

L’énoncé sur la dimension découle de Compléments sur les morphismes, lemme 0H3X. Soit \(x\) un point générique d’un sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X_\kappa\) de dimension \(r\). Pour terminer la preuve, nous montrerons que le coefficient de \([Z]\) dans le membre de gauche (L) et le membre de droite (R) de l’égalité est le même.

Posons \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) et \(M = \mathcal{F}_x\). Remarquons que \(M\) est un \(A\)-module fini plat sur \(R\). Soit \(\pi \in R\) une uniformisante de sorte que \(A/\pi A = \mathcal{O}_{X_\kappa, x}\). D’après Homologie de Chow, lemme 02QG , nous avons \[\sum\nolimits_i \text{longueur}_A(A/(\pi, \mathfrak q_i)) \text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}) = \text{longueur}_A(M/\pi M)\] où la somme porte sur les idéaux premiers minimaux \(\mathfrak q_i\) dans le support de \(M\). Puisque \(\pi\) est un non-diviseur de zéro sur \(M\) , nous voyons que \(\pi \not \in \mathfrak q_i\) et donc ces idéaux premiers correspondent aux points génériques \(y_i \in X_K\) du support de \(\mathcal{F}_K\) qui se spécialisent en notre \(x \in X_\kappa\) choisi. Ainsi, le membre de gauche est le coefficient de \([Z]\) dans (L). Bien sûr, \(\text{longueur}_A(M/\pi M)\) est le coefficient de \([Z]\) dans (R). Cela termine la démonstration.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète avec corps des fractions \(K\) et corps résiduel \(\kappa\). Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(R\). Soit \(r \geq 0\). Soit \(W \subset X\) un sous-schéma fermé plat sur \(R\). Supposons \(\dim(W_K) \leq r\). Alors \(\dim(W_\kappa) \leq r\) et \[sp_{X/R}([W_K]_r) = [W_\kappa]_r\]

Démonstration

En prenant \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_W\) , il s’agit d’un cas particulier du lemme 0H4I. Voir Homologie de Chow, lemme 02QY.

Lemme

Soit \(R'/R\) une extension d’anneaux de valuation discrète induisant une extension de corps des fractions \(K'/K\) et une extension de corps résiduels \(\kappa'/\kappa\) (Compléments sur l’algèbre, définition 09E4). Soit \(X\) localement de type fini sur \(R\). On note \(X' = X_{R'}\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ Z_r(X'_{K'}) \ar[rr]_{sp_{X'/R'}} & & Z_r(X'_{\kappa'}) \\ Z_r(X_K) \ar[rr]^{sp_{X/R}} \ar[u] & & Z_r(X_\kappa) \ar[u] }\] est commutatif, où \(r \geq 0\) et les flèches verticales sont des applications de changement de base.

Démonstration

On observe que \(X'_{K'} = X_{K'} = X_K \times_{\Spec(K)} \Spec(K')\) et de même pour les fibres fermées, de sorte que les flèches verticales ont effectivement un sens (voir la section 0H4E). Si \(Z \subset X_K\) est un sous-schéma fermé intègre avec image schématique \(\overline{Z} \subset X\), on voit que \(Z_{K'} \subset X_{K'}\) est un sous-schéma fermé avec image schématique \(\overline{Z}_{R'} \subset X_{R'}\). Le changement de base de \([Z]\) est \([Z_{K'}]_r = [\overline{Z}_{K'}]_r\) par définition. Nous avons \[sp_{X/R}([Z]) = [\overline{Z}_\kappa]_r \quad\text{et}\quad sp_{X'/R'}([\overline{Z}_{K'}]_r) = [(\overline{Z}_{R'})_{\kappa'}]_r\] d’après le lemme 0H4I. Comme \((\overline{Z}_{R'})_{\kappa'} = (\overline{Z}_\kappa)_{\kappa'}\) , nous concluons.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète avec corps des fractions \(K\) et corps résiduel \(\kappa\). Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(R\). Soit \(f : X' \to X\) un morphisme qui est localement de type fini, plat et de dimension relative \(e\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ Z_{r + e}(X'_K) \ar[rr]_{sp_{X'/R}} & & Z_{r + e}(X'_\kappa) \\ Z_r(X_K) \ar[rr]^{sp_{X/R}} \ar[u] & & Z_r(X_\kappa) \ar[u] }\] est commutatif, où \(r \geq 0\) et les flèches verticales sont données par l’image inverse plate.

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre dominant \(R\). Par la construction de \(sp_{X/R}\) , nous avons \(sp_{X/R}([Z_K]) = [Z_\kappa]_r\) ce qui caractérise l’application de spécialisation. Posons \(Z' = f^{-1}(Z) = X' \times_X Z\). Comme \(R\) est un anneau de valuation, \(Z\) est plat sur \(R\). Par conséquent, \(Z'\) est plat sur \(R\) et \(sp_{X'/R}([Z'_K]_{r + e}) = [Z'_\kappa]_{r + e}\) d’après le lemme 0H4J. D’après Homologie de Chow, lemme 02RE, on a \(f_K^*[Z_K] = [Z'_K]_{r + e}\) et \(f_\kappa^*[Z_\kappa]_r = [Z'_\kappa]_{r + e}\). Nous concluons.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\) et de corps résiduel \(\kappa\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre de schémas localement de type fini sur \(R\). Alors le diagramme \[\xymatrix{ Z_r(X_K) \ar[rr]_{sp_{X/R}} \ar[d] & & Z_r(X_\kappa) \ar[d] \\ Z_r(Y_K) \ar[rr]^{sp_{Y/R}} & & Z_r(Y_\kappa) }\] est commutatif, où \(r \geq 0\) et les flèches verticales sont données par l’image directe propre.

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre dominant \(R\). Par la construction de \(sp_{X/R}\) , nous avons \(sp_{X/R}([Z_K]) = [Z_\kappa]_r\) ce qui caractérise l’application de spécialisation. Posons \(Z' = f(Z) \subset Y\). Alors \(Z'\) est un sous-schéma fermé intègre de \(Y\) dominant \(R\). Ainsi \(sp_{Y/R}([Z'_K]) = [Z'_\kappa]_r\).

Nous pouvons considérer \([Z]\) comme un élément de \(Z_{r + 1}(X)\). Par définition, nous avons \(f_*[Z] = 0\) si \(\dim(Z') < r + 1\) et \(f_*[Z] = d[Z']\) si \(Z \to Z'\) est génériquement fini de degré \(d\). Comme l’image directe propre commute avec l’image inverse plate par \(Y_K \to Y\) (Homologie de Chow, lemme 02RG), on obtient respectivement \(f_{K, *}[Z_K] = 0\) ou \(f_{K, *}[Z_K] = d[Z'_K]\). Appliquons Homologie de Chow, lemme 02TA, au diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_\kappa \ar[d] \ar[r]_i & X \ar[d] \\ Y_\kappa \ar[r]^j & Y }\] Nous obtenons que \(f_{\kappa, *}[Z_\kappa]_r = 0\) ou \(f_{\kappa, *}[Z_\kappa] = d[Z'_\kappa]_r\) car \(i^*[Z] = [Z_k]_r\) et \(j^*[Z'] = [Z'_\kappa]_r\). En regroupant le tout, nous concluons.

Familles de cycles sur les fibres

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini et soit \(r \geq 0\) un entier. Une famille \(\alpha\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) est une famille \[\alpha = (\alpha_s)_{s \in S}\] indexée par les points \(s\) de \(S\), où \(\alpha_s \in Z_r(X_s)\) est un \(r\)-cycle sur la fibre schématique \(X_s\) de \(f\) en \(s\). Il existe diverses constructions que nous pouvons effectuer sur des familles de \(r\)-cycles sur les fibres.

Changement de base. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] un carré cartésien de morphismes de schémas avec \(f\) localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Étant donné une famille \(\alpha\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) , nous définissons le changement de base \(g^*\alpha\) de \(\alpha\) comme étant la famille \[g^*\alpha = (\alpha'_{s'})_{s' \in S'}\] où \(\alpha'_{s'} \in Z_r(X'_{s'})\) est le changement de base du cycle \(\alpha_s\) avec \(s = g(s')\) comme à la section 0H4E via l’identification \(X'_{s'} = X_s \times_{\Spec(\kappa(s))} \Spec(\kappa(s'))\) des fibres schématiques.

Restriction. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soient \(U \subset X\) et \(V \subset S\) des sous-schémas ouverts avec \(f(U) \subset V\). Étant donnée une famille \(\alpha\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) , nous pouvons définir la restriction \(\alpha|_U\) de \(\alpha\) comme la famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(U/V\) \[\alpha|_U = (\alpha_s|_{U_s})_{s \in V}\] des restrictions aux fibres schématiques.

Image inverse plate. Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soient \(r, e \geq 0\) des entiers. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme plat, localement de type fini, et de dimension relative \(e\). Étant donnée une famille \(\alpha\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) , nous définissons l’image inverse plate \(f^*\alpha\) de \(\alpha\) comme la famille de \((r + e)\)-cycles sur les fibres \[f^*\alpha = (f_s^*\alpha_s)_{s \in S}\] où \(f_s^*\alpha_s \in Z_{r + e}(X'_s)\) est l’image inverse plate du cycle \(\alpha_s\) dans \(Z_r(X_s)\) par le morphisme plat \(f_s : X'_s \to X_s\) de dimension relative \(e\) induit sur les fibres schématiques.

Image directe propre. Soit \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[rd] & & Y \ar[ld] \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas avec \(X\) et \(Y\) localement de type fini sur \(S\) et \(f\) propre. Soit \(r \geq 0\) un entier. Étant donné une famille \(\alpha\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) , nous définissons l’image directe propre \(f_*\alpha\) de \(\alpha\) comme étant la famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(Y/S\) par \[f_*\alpha = (f_{s, *}\alpha_s)_{s \in S}\] où \(f_{s, *}\alpha_s \in Z_r(Y_s)\) est l’image directe propre du cycle \(\alpha_s\) dans \(Z_r(X_s)\) par le morphisme propre \(f_s : X_s \to Y_s\) des fibres schématiques.

Lemme

Les opérations précédentes vérifient les compatibilités suivantes : (1) le changement de base est fonctoriel ; (2) la restriction est la composée d’un changement de base et d’un cas particulier d’image inverse plate ; (3) l’image inverse plate commute au changement de base ; (4) l’image inverse plate est fonctorielle ; (5) l’image directe propre commute au changement de base ; (6) l’image directe propre est fonctorielle ; (7) l’image directe propre commute à l’image inverse plate.

Démonstration

Chacune de ces compatibilités découle directement des résultats correspondants établis dans le chapitre Homologie de Chow et appliqués aux fibres sur \(S\) des schémas considérés. Nous omettons les énoncés précis et les preuves détaillées. Voici quelques références. Partie (1) : Homologie de Chow, lemme 0FVP. Partie (2) : c’est immédiat. Partie (3) : Homologie de Chow, lemme 0FVK. Partie (4) : Homologie de Chow, lemme 02RD. Partie (5) : Homologie de Chow, lemme 0FVL. Partie (6) : Homologie de Chow, lemme 02R5. Partie (7) : Homologie de Chow, lemme 02RG.

Exemple

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Pour \(s \in S\) notons \(\mathcal{F}_s\) l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(X_s\). Supposons \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) \leq r\) pour tout \(s \in S\). Alors nous pouvons associer à \(\mathcal{F}\) la famille \([\mathcal{F}/X/S]_r\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) définie par la formule \[[\mathcal{F}/X/S]_r = ([\mathcal{F}_s]_r)_{s \in S}\] où \([\mathcal{F}_s]_r\) est donné par Homologie de Chow, définition 02QX.

Lemme

La construction dans l’exemple 0H4Q est compatible avec le changement de base, la restriction et l’image inverse plate.

Démonstration

Voir Homologie de Chow, lemmes 0FVI et 02RE.

Exemple

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. Pour \(s \in S\) , notons \(Z_s\) l’image réciproque de \(Z\) dans \(X_s\) ou, de manière équivalente, la fibre schématique de \(Z\) en \(s\) vue comme un sous-schéma fermé de \(X_s\). Supposons \(\dim(Z_s) \leq r\) pour tout \(s \in S\). Alors nous pouvons associer à \(Z\) la famille \([Z/X/S]_r\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) définie par la formule \[[Z/X/S]_r = ([Z_s]_r)_{s \in S}\] où \([Z_s]_r\) est donné par Homologie de Chow, définition 02QU.

Lemme

La construction dans l’exemple 0H4S est compatible avec le changement de base, la restriction et l’image inverse plate.

Démonstration

En prenant \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{O}_Z\) , il s’agit d’un cas particulier du lemme 0H4R. Voir Homologie de Chow, lemme 02QY.

Remarque

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\). Nous définissons le support de \(\alpha\) comme \[\text{Supp}(\alpha) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{Supp}(\alpha_s) \subset X\] Ici, \(\text{Supp}(\alpha_s) \subset X_s\) est le support du cycle \(\alpha_s\), voir Homologie de Chow, définition 0H46. Le support \(\text{Supp}(\alpha)\) est rarement un sous-ensemble fermé de \(X\).

Lemme

La formation du support comme dans la remarque 0H4U est compatible avec le changement de base, la restriction et l’image inverse plate.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas surjectif. Posons \(S'' = S' \times_S S'\) et soient \(f' : X' \to S'\) et \(f'' : X'' \to S''\) les changements de base de \(f\). Soit \(x \in X\) avec \(\text{trdeg}_{\kappa(f(x))}(\kappa(x)) = r\).

1. Il existe un point \(x' \in X'\) se projetant sur \(x\) avec \(\text{trdeg}_{\kappa(f'(x'))}(\kappa(x')) = r\).

2. Si \(x'_1, x'_2 \in X'\) sont tous deux comme dans (1), alors il existe un \(x'' \in X''\) avec \(\text{trdeg}_{\kappa(f''(x''))}(\kappa(x'')) = r\) et \(\text{pr}_i(x'') = x'_i\).

Démonstration

La partie (1) résulte de Morphismes, lemme 02FY. Soit \(x'_1, x'_2\) comme dans (2). Alors, puisque \(X'' = X' \times_X X'\) , nous voyons qu’il existe un point \(x'' \in X''\) se projetant à la fois sur \(x'_1\) et \(x'_2\) (voir par exemple Descente, lemme 02KI). On note \(s'' \in S''\), \(s'_i \in S'\) et \(s \in S\) les images de \(x''\), \(x'_i\) et \(x\). Posons \(k = \kappa(s)\). Soit \(Z \subset X_k\) le sous-schéma fermé intègre dont le point générique est \(x\). Alors \(x'_i\) est un point générique d’une composante irréductible de \(Z_{\kappa(s'_i)}\). Soit \(Z'' \subset Z_{\kappa(s'')}\) une composante irréductible contenant \(x''\). On note \(\xi'' \in Z''\) le point générique. Comme \(\xi'' \leadsto x''\) , nous voyons que \(\xi''\) doit également se projeter sur \(x'_i\) sous les deux projections. Par ailleurs, nous voyons que \(\text{trdeg}_{\kappa(s'')}(\kappa(\xi'')) = r\) parce que c’est un point générique d’une composante irréductible du changement de base de \(Z\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas et \(X' = S' \times_S X\). Supposons que pour tout \(s \in S\) il existe un point \(s' \in S'\) avec \(g(s') = s\) et tel que \(\kappa(s')/\kappa(s)\) est une extension séparable de corps. Alors

1. Si \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) sont des familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) et si \(g^*\alpha_1 = g^*\alpha_2\), alors \(\alpha_1 = \alpha_2\).

2. Étant donné une famille \(\alpha'\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X'/S'\) , si \(\text{pr}_1^*\alpha' = \text{pr}_2^*\alpha'\) en tant que familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \((S' \times_S S') \times_S X / (S' \times_S S')\), alors il existe une famille unique \(\alpha\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) telle que \(g^*\alpha = \alpha'\).

Démonstration

La partie (1) découle de l’injectivité de l’application de changement de base étudiée à la section 0H4E. (Cet argument fonctionne tant que \(S' \to S\) est surjectif.)

Soit \(\alpha'\) comme dans (2). On note \(\alpha'' = \text{pr}_1^*\alpha' = \text{pr}_2^*\alpha'\) la valeur commune.

Soit \((X/S)^{(r)}\) l’ensemble des \(x \in X\) avec \(\text{trdeg}_{\kappa(f(x))}(\kappa(x)) = r\) et définissons de même \((X'/S')^{(r)}\) et \((X''/S'')^{(r)}\) . En considérant les coefficients, nous pouvons considérer \(\alpha'\) et \(\alpha''\) comme des fonctions \(\alpha' : (X'/S')^{(r)} \to \mathbf{Z}\) et \(\alpha'' : (X''/S'')^{(r)} \to \mathbf{Z}\). Étant donnée une fonction \[\varphi : (X/S)^{(r)} \to \mathbf{Z}\] nous définissons \(g^*\varphi : (X'/S')^{(r)} \to \mathbf{Z}\) par analogie avec notre opération de changement de base. Plus précisément, supposons que \(x' \in (X'/S')^{(r)}\) se projette sur \(x \in X\), \(s' \in S'\) et \(s \in Z\). On note \(Z' \subset X'_{s'}\) et \(Z \subset X_s\) les sous-schémas fermés intègres avec les points génériques \(x'\) et \(x\). Observons que \(\dim(Z') = r\). Si \(\dim(Z) < r\), on pose \((g^*\varphi)(x') = 0\). Si \(\dim(Z) = r\), alors \(Z'\) est une composante irréductible de \(Z_{s'}\) et possède donc une multiplicité \(m_{Z', Z_{s'}}\). Notons cette multiplicité \(m(x', g)\). On définit alors \[(g^*\varphi)(x') = m(x', g) \varphi(x)\] Les coefficients \(m(x', g)\) sont toujours des entiers positifs (voir par exemple le lemme 0H4F). De même, nous avons des applications de changement de base \[\text{pr}_1^*, \text{pr}_2^* : \text{Map}((X'/S')^{(r)}, \mathbf{Z}) \longrightarrow \text{Map}((X''/S'')^{(r)}, \mathbf{Z})\] Il découle de l’associativité du changement de base que nous avons \(\text{pr}_1^* \circ g^* = \text{pr}_2^* \circ g^*\) (petit détail omis). Plus explicitement, en termes d’applications ensemblistes, cette égalité signifie simplement que pour \(x'' \in (X''/S'')^{(r)}\) nous avons \[m(x'', \text{pr}_1) m(\text{pr}_1(x''), g) = m(x'', \text{pr}_2) m(\text{pr}_2(x''), g)\] pourvu que \(\text{pr}_1(x'')\) et \(\text{pr}_2(x'')\) soient dans \((X''/S'')^{(r)}\). Le lemme 0H4W et un argument élémentaire¹, appliqués à l’équation affichée précédente, montrent qu’il existe une application unique \[\alpha : (X/S)^{(r)} \to \mathbf{Q}\] telle que \(g^*\alpha = \alpha'\). Pour terminer la preuve, il suffit de montrer que \(\alpha\) prend des valeurs entières (petit détail omis: il faut voir que \(\alpha\) détermine une somme localement finie sur chaque fibre, ce qui découle du fait correspondant pour \(\alpha'\)). Étant donné un \(x \in (X/S)^{(r)}\) avec image \(s \in S\) , nous pouvons choisir un point \(s' \in S'\) tel que \(\kappa(s')/\kappa(s)\) soit séparable. On peut ensuite choisir \(x' \in (X'/S')^{(r)}\) qui se projette sur \(s\) et \(x\) et nous voyons que \(m(x', g) = 1\) parce que \(Z_{s'}\) est réduit dans ce cas. Ainsi \(\alpha(x) = \alpha'(x')\) est un entier.

Lemme

Soit \(g : S' \to S\) un morphisme bijectif de schémas qui induit des isomorphismes des corps résiduels. Soit \(f : X \to S\) localement de type fini. Posons \(X' = S' \times_S X\). Soit \(r \geq 0\). Alors le changement de base par \(g\) détermine une bijection entre le groupe des familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) et le groupe des familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X'/S'\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Cycles relatifs

Voici la définition que nous utiliserons ; voir la section 0H6T pour une comparaison avec les définitions de [SV].

Définition

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\) est une famille \(\alpha\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) telle que pour tout morphisme \(g : S' \to S\) où \(S'\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète, nous avons \[sp_{X'/S'}(\alpha_\eta) = \alpha_0\] où \(sp_{X'/S'}\) est défini à la section 0H4H et \(\alpha_\eta\) (resp.  \(\alpha_0\)) est la valeur du changement de base \(g^*\alpha\) de \(\alpha\) au point générique (resp. fermé  ) de \(S'\). Le groupe de tous les \(r\)-cycles relatifs sur \(X/S\) est noté \(z(X/S, r)\).

Lemme

Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\) comme dans la définition 0H50. Toute restriction, tout changement de base, toute image inverse plate ou toute image directe propre de \(\alpha\) est alors un \(r\)-cycle relatif.

Démonstration

Pour l’image inverse plate, on applique le lemme 0H4L. La restriction en est un cas particulier. Pour le changement de base, on utilise sa transitivité. Enfin, pour l’image directe propre, on applique le lemme 0H4M.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\). Soit \(\{g_i : S_i \to S\}\) un recouvrement h (voir Compléments sur la platitude, définition 0ETS). Alors \(\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif si et seulement si chaque changement de base \(g_i^*\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif.

Démonstration

Si \(\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif, alors chaque changement de base \(g_i^*\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif d’après le lemme 0H51. Supposons que chaque \(g_i^*\alpha\) soit un \(r\)-cycle relatif. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme où \(S'\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète. Après avoir remplacé \(S\) par \(S'\), \(X\) par \(X' = X \times_S S'\), et \(\alpha\) par \(\alpha' = g^*\alpha\), puis utilisé le fait que le changement de base d’un recouvrement h est un recouvrement h (Compléments sur la platitude, lemme 0ETY), nous revenons au problème étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(S\) soit le spectre d’un anneau de valuation discrète avec le point fermé \(0\) et le point générique \(\eta\). Nous devons montrer que \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\). Puisqu’un recouvrement h est un recouvrement V (par définition), il existe un \(i\) et une spécialisation \(s' \leadsto s\) des points de \(S_i\) avec \(g_i(s') = \eta\) et \(g_i(s) = 0\), voir Topologies, lemme 0ETN. D’après Propriétés, lemme 054F , nous pouvons trouver un morphisme \(h : S' \to S_i\) du spectre \(S'\) d’un anneau de valuation discrète qui envoie le point générique \(\eta'\) sur \(s'\) et envoie le point fermé \(0'\) sur \(s\). Notons \(\alpha' = h^*g_i^*\alpha\). Par hypothèse, nous avons \(sp_{X'/S'}(\alpha'_{\eta'}) = \alpha'_{0'}\). Puisque \(g = g_i \circ h : S' \to S\) est le morphisme de schémas induit par une extension d’anneaux de valuation discrète, nous en déduisons que \(sp_{X/S}\) et \(sp_{X'/S'}\) sont compatibles avec les applications de changement de base sur les fibres, voir le lemme 0H4K. Nous concluons que \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\) car l’application de changement de base \(Z_r(X_0) \to Z_r(X'_{0'})\) est injective comme on l’a vu à la section 0H4E.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soient \(r, e \geq 0\) des entiers. Soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\). Soit \(\{f_i : X_i \to X\}\) une famille de morphismes plats, localement de type fini, et de dimension relative \(e\), qui est conjointement surjective. Alors \(\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif si et seulement si chaque cycle \(f_i^*\alpha\) obtenu par image inverse plate est un \(r\)-cycle relatif.

Démonstration

Si \(\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif, alors chaque \(f_i^*\alpha\) est à son tour un \(r\)-cycle relatif d’après le lemme 0H51. Supposons que chaque \(f_i^*\alpha\) soit un \(r\)-cycle relatif. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme où \(S'\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète. Après avoir remplacé \(S\) par \(S'\), \(X\) par \(X' = X \times_S S'\), et \(\alpha\) par \(\alpha' = g^*\alpha\) , nous réduisons au problème étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(S\) soit le spectre d’un anneau de valuation discrète avec point fermé \(0\) et point générique \(\eta\). Nous devons montrer que \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\). Notons \(f_{i, 0} : X_{i, 0} \to X_0\) le changement de base de \(f_i\) au point fermé de \(S\). De même pour \(f_{i, \eta}\). Observons que \[f_{i, 0}^*sp_{X/S}(\alpha_\eta) = sp_{X_i/S}(f_{i, \eta}^*\alpha_\eta) = f_{i, 0}^*\alpha_0\] En effet, la première égalité résulte du lemme 0H4L et la seconde par hypothèse. Puisque la famille de morphismes \(f_{i, 0}^* : Z_r(X_0) \to Z_r(X_{i, 0})\) est conjointement injective (puisque \(f_{i, 0}\) est conjointement surjective), nous concluons ce que nous voulons.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(i : X \to Y\) une immersion fermée de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(r \geq 0\). Soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\). Alors \(\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\) si et seulement si \(i_*\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif sur \(Y/S\).

Démonstration

Puisque le changement de base commute avec \(i_*\) (lemme 0H4P), il suffit de montrer ceci : si \(S\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète avec point générique \(\eta\) et point fermé \(0\), alors \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\) si et seulement si \(sp_{Y/S}(i_{\eta, *}\alpha_\eta) = i_{0, *}\alpha_0\). Cela résulte de l’injectivité de \(i_{0, *} : Z_r(X_0) \to Z_r(Y_0)\) et de l’égalité \(i_{0, *}sp_{X/S}(\alpha_\eta) = sp_{Y/S}(i_{\eta, *}\alpha_\eta)\) d’après le lemme 0H4M.

Le lemme suivant sera renforcé dans le lemme 0H5C.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Soit \(r \geq 0\). Soient \(\alpha\) et \(\beta\) des \(r\)-cycles relatifs sur \(X/S\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(\alpha = \beta\), et

2. \(\alpha_\eta = \beta_\eta\) pour tout point générique \(\eta \in S\) d’une composante irréductible de \(S\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. Supposons (2). Pour chaque \(s \in S\) nous pouvons trouver un point \(\eta\) comme en (2) qui se spécialise en \(s\). D’après Propriétés, lemme 054F , nous pouvons trouver un morphisme \(g : S' \to S\) depuis le spectre \(S'\) d’un anneau de valuation discrète qui envoie le point générique \(\eta'\) sur \(\eta\) et qui envoie le point fermé \(0\) sur \(s\). Alors \(\alpha_s\) et \(\beta_s\) sont des éléments de \(Z_r(X_s)\) dont les images par changement de base sont égales dans \(Z_r(X_{0'})\), à savoir \(sp_{X_{S'}/S'}(\alpha_{\eta'})\) où \(\alpha_{\eta'}\) est le changement de base de \(\alpha_\eta\). Comme l’application de changement de base \(Z_r(X_s) \to Z_r(X_{0'})\) est injective comme on l’a vu à la section 0H4E , nous en concluons \(\alpha_s = \beta_s\).

Lemme

Dans la situation de l’exemple 0H4Q , supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en dimensions \(\geq r\) (Compléments sur la platitude, définition 0CWG). Alors \([\mathcal{F}/X/S]_r\) est un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\).

Démonstration

D’après Compléments sur la platitude, lemme 0CWF , l’hypothèse sur \(\mathcal{F}\) est conservée par tout changement de base. De plus, la formation de \([\mathcal{F}/X/S]_r\) est compatible avec tout changement de base d’après le lemme 0H4R. Puisque la condition d’être compatible avec les spécialisations est vérifiée après un changement de base par le spectre d’un anneau de valuation discrète, cela nous ramène au cas où \(S\) est le spectre d’un anneau de valuation. Dans ce cas, l’ensemble \(U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ est plat en }x\text{ sur }S\}\) est ouvert dans \(X\) d’après Compléments sur la platitude, lemme 05IQ. Puisque le complément de \(U\) dans \(X\) a des fibres de dimension \(< r\) sur \(S\) par hypothèse, nous voyons que la restriction à l’ouvert \(U \subset X\) induit un isomorphisme sur les groupes de \(r\)-cycles sur les fibres après tout changement de base, compatible avec les applications de spécialisation et avec la formation du cycle relatif associé à \(\mathcal{F}\). Ainsi, il suffit de montrer la compatibilité avec les spécialisations pour \([\mathcal{F}|_U / U /S]_r\). Puisque \(\mathcal{F}|_U\) est plat sur \(S\), cela découle du lemme 0H4I et des définitions.

Lemme

Dans la situation de l’exemple 0H4S , supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(Z\) soit plat sur \(S\) en dimensions \(\geq r\). Alors \([Z/X/S]_r\) est un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\).

Démonstration

L’hypothèse signifie que \(\mathcal{O}_Z\) est plat sur \(S\) en dimensions \(\geq r\). Ainsi, en appliquant le lemme 0H56 avec \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{O}_Z\) , nous en concluons.

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini. Soit \(r \geq 0\). Notons \(Hilb(X/S, r)\) l’ensemble des sous-schémas fermés \(Z \subset X\) tels que \(Z \to S\) soit plat et de dimension relative \(\leq r\). D’après le lemme 0H57 , pour chaque \(Z \in Hilb(X/S, r)\) , nous avons un élément \([Z/X/S]_r \in z(X/S, r)\). Ainsi, nous obtenons un homomorphisme de groupe [0H58]\[\begin{equation} \text{groupe abélien libre engendré par }Hilb(X/S, r) \longrightarrow z(X/S, r) \end{equation}\] qui envoie \(\sum n_i[Z_i]\) sur \(\sum n_i[Z_i/X/S]_r\). Une propriété essentielle des \(r\)-cycles relatifs est qu’ils sont localement (sur \(X\) et \(S\) dans des topologies appropriées) dans l’image de cette application.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini entre schémas, où \(S\) est noethérien. Soit \(r \geq 0\). Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Alors il existe un morphisme propre, complètement décomposé (Compléments sur les morphismes, définition 0GTI) \(g : S' \to S\) tel que \(g^*\alpha\) soit dans l’image de (0H58).

Démonstration

Par induction noethérienne, on peut supposer que le résultat est vrai pour l’image inverse de \(\alpha\) par toute immersion fermée \(g : S' \to S\) qui n’est pas un isomorphisme.

Soit \(S_1 \subset S\) une composante irréductible (vue comme un sous-schéma fermé intègre). Soit \(S_2 \subset S\) l’adhérence du complément de \(S'\) (vue comme un sous-schéma fermé réduit). Si \(S_2 \not = \emptyset\), alors le résultat est vrai pour l’image inverse de \(\alpha\) par \(S_1 \to S\) et \(S_2 \to S\). Si \(g_1 : S'_1 \to S_1\) et \(g_2 : S'_2 \to S_2\) sont les morphismes propres complètement décomposés correspondants, alors \(S' = S'_1 \amalg S'_2 \to S\) est un morphisme propre complètement décomposé et nous voyons que le résultat est valable pour \(S\)² . Ainsi, nous pouvons supposer que \(S' \to S\) est bijectif et nous nous ramenons au cas décrit dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(S\) soit intègre. Soit \(\eta \in S\) le point générique et soit \(K = \kappa(\eta)\) le corps des fonctions de \(S\). Alors \(\alpha_\eta\) est un \(r\)-cycle sur \(X_K\). Écrivons \(\alpha_\eta = \sum n_i[Y_i]\). En prenant l’adhérence de \(Y_i\) , nous obtenons des sous-schémas fermés intègres \(Z_i \subset X\) dont le changement de base à \(\eta\) est \(Y_i\). Par platitude générique (par exemple Morphismes, proposition 052A), nous voyons que \(Z_i\) est plat sur un ouvert non vide \(U\) de \(S\) pour chaque \(i\). En appliquant Compléments sur la platitude, lemme 081R , nous pouvons trouver un éclatement \(U\)-admissible \(g : S' \to S\) tel que la transformée stricte \(Z'_i \subset X_{S'}\) de \(Z_i\) soit plate sur \(S'\). Alors \(\beta = \sum n_i[Z'_i/X_{S'}/S']_r\) est dans l’image de (0H58) et \(\beta = g^*\alpha\) par le lemme 0H55.

Cependant, cela ne termine pas la preuve car \(S' \to S\) peut ne pas être complètement décomposé. Cela se corrige facilement : en notant \(T \subset S\) le complément de \(U\) (vu comme un sous-schéma fermé), par induction noethérienne nous pouvons trouver un morphisme propre complètement décomposé \(T' \to T\) tel que \((T' \to S)^*\alpha\) soit dans l’image de (0H58). Alors \(S' \amalg T' \to S\) convient.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de type fini avec \(S\) le spectre d’un anneau de valuation discrète. Soit \(r \geq 0\). Alors (0H58) est surjectif.

Démonstration

Cela découle bien sûr du lemme 0H59, mais nous pouvons également le voir directement comme suit. Supposons que \(\alpha\) soit un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Écrivons \(\alpha_\eta = \sum n_i[Z_i]\) (la somme est finie). Notons \(\overline{Z}_i \subset X\) l’adhérence de \(Z_i\) comme dans la section 0H4H. Alors \(\alpha = \sum n_i[\overline{Z}_i/X/S]\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(r \geq 0\). Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit lisse de dimension relative \(r\). Soit \(\alpha \in z(X/S, r)\). Alors le support de \(\alpha\) est ouvert et fermé dans \(X\) (voir la preuve pour un résultat plus précis).

Démonstration

Soit \(x \in X\) d’image \(s \in S\). Puisque \(f\) est lisse, il existe une unique composante irréductible \(Z(x)\) de \(X_s\) qui contient \(x\). Alors \(\dim(Z(x)) = r\). Soit \(n_x\) le coefficient de \(Z(x)\) dans le cycle \(\alpha_s\). Nous montrerons que la fonction \(x \mapsto n_x\) est localement constante sur \(X\).

Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas localement noethériens. Soit \(X'\) le changement de base de \(X\) et soit \(\alpha' = g^*\alpha\) le changement de base de \(\alpha\). Soit \(x' \in X'\) se projetant sur \(s' \in S'\), \(x \in X\) et \(s \in S\). Nous affirmons que \(n_{x'} = n_x\). En effet, puisque \(Z(x)\) est lisse sur \(\kappa(s)\) , nous voyons que \(Z(x) \times_{\Spec(\kappa(s))} \Spec(\kappa(s'))\) est réduit. Puisque \(Z(x')\) est une composante irréductible de ce schéma, nous voyons que le coefficient \(n_{x'}\) de \(Z(x')\) dans \(\alpha'_{s'}\) est le même que le coefficient \(n_x\) de \(Z(x)\) dans \(\alpha_s\) par la définition du changement de base dans la section 0H4E, ce qui prouve l’affirmation.

Puisque \(X\) est localement noethérien, pour montrer que \(x \mapsto n_x\) est localement constant, il suffit de montrer: si \(x' \leadsto x\) est une spécialisation dans \(X\), alors \(n_{x'} = n_x\). Choisissons un morphisme \(S' \to X\) où \(S'\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète envoyant le point générique \(\eta\) vers \(x'\) et le point fermé \(0\) vers \(x\). Voir Propriétés, lemme 054F. Ensuite, le changement de base \(X' \to S'\) de \(f\) par \(S' \to S\) a une section \(\sigma : S' \to X'\) telle que \(\sigma(\eta) \leadsto \sigma(0)\) est une spécialisation de points de \(X'\) envoyés vers \(x' \leadsto x\) dans \(X\). Ainsi, nous nous réduisons à l’affirmation du paragraphe suivant.

Soit \(S\) le spectre d’un anneau de valuation discrète dont le point générique est \(\eta\) et le point fermé est \(0\), et soit donnée une section \(\sigma : S \to X\). Nous affirmons que \(n_{\sigma(\eta)} = n_{\sigma(0)}\). D’après la discussion dans Compléments sur les morphismes, section 055K, et en particulier Compléments sur les morphismes, lemme 055R , après avoir remplacé \(X\) par un sous-schéma ouvert, nous pouvons supposer que les fibres de \(X \to S\) sont connexes. Comme ces fibres sont lisses, elles sont irréductibles. Alors nous voyons que \(\alpha_\eta = n[X_\eta]\) avec \(n = n_{\sigma(\eta)}\) et la relation \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\) implique \(\alpha_0 = n[X_0]\), c’est-à-dire \(n_{\sigma(0)} = n\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) et soient \(\alpha, \beta \in z(X/S, r)\). L’ensemble \(E = \{s \in S : \alpha_s = \beta_s\}\) est fermé dans \(S\).

Démonstration

La question est locale sur \(S\), donc nous pouvons supposer que \(S\) est affine. Soit \(X = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert affine. Soit \(E_i = \{s \in S : \alpha_s|_{U_{i, s}} = \beta_s|_{U_{i, s}}\}\). Alors \(E = \bigcap E_i\). Par conséquent, il suffit de prouver le lemme pour \(U_i \to S\) et la restriction de \(\alpha\) et \(\beta\) à \(U_i\). Cela nous ramène au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(X\) et \(S\) soient quasi-compacts. Posons \(\gamma = \alpha - \beta\). Alors \(E = \{s \in S : \gamma_s = 0\}\). D’après le lemme 0H57, il existe une famille finie de morphismes propres conjointement surjective \(\{g_i : S_i \to S\}\) telle que \(g_i^*\gamma\) soit dans l’image de (0H58). On observe que \(E_i = g_i^{-1}(E)\) est l’ensemble des points \(t \in S_i\) tels que \((g_i^*\gamma)_t = 0\). Si \(E_i\) est fermé pour tous les \(i\), alors \(E = \bigcup g_i(E_i)\) est également fermé. Cela nous ramène au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(X\) et \(S\) soient quasi-compacts et \(\gamma = \sum n_i[Z_i/X/S]_r\) pour un nombre fini de sous-schémas fermés \(Z_i \subset X\) plats et de dimension relative \(\leq r\) sur \(S\). Posons \(X' = \bigcup Z_i\) (union schématique). Alors \(i : X' \to X\) est une immersion fermée et \(X'\) a une dimension relative \(\leq r\) sur \(S\). De plus \(\gamma = i_*\gamma'\) où \(\gamma' = \sum n_i[Z_i/X'/S]_r\). Puisque \(E = E' = \{s \in S : \gamma'_s = 0\}\) , nous nous réduisons au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(X\) ait une dimension relative \(\leq r\) sur \(S\). Soit \(s \in S\), avec \(s \not \in E\). Nous allons montrer qu’il existe un voisinage ouvert \(V \subset S\) de \(s\) tel que \(E \cap V\) soit vide. L’hypothèse \(s \not \in E\) signifie qu’il existe un sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X_s\) de dimension \(r\) tel que le coefficient \(n\) de \([Z]\) dans \(\gamma_s\) soit non nul. Soit \(x \in Z\) le point générique. Puisque \(\dim(Z) = r\) , nous voyons que \(x\) est un point générique d’une composante irréductible (à savoir \(Z\)) de \(X_s\). Ainsi, après avoir remplacé \(X\) par un voisinage ouvert de \(x\), nous pouvons supposer que \(Z\) est la seule composante irréductible de \(X_s\). En particulier, nous avons \(\gamma_s = n[Z]\).

À ce stade, nous appliquons Compléments sur les morphismes, lemme 052E, et nous obtenons un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[dd] & X' \ar[l]^g \ar[d]^\pi & x \ar@{|->}[dd] & x' \ar@{|->}[l] \ar@{|->}[d] \\ & Y \ar[d]^h & & y \ar@{|->}[d] \\ S \ar@{=}[r] & S & s & s \ar@{=}[l] }\] avec toutes les propriétés qui y sont énumérées. Soit \(\gamma' = g^*\gamma\) l’image inverse plate. Notons que \(E \subset E' = \{s \in S: \gamma'_s = 0\}\) et que \(s \not \in E'\) parce que le coefficient de \(Z'\) dans \(\gamma'_s\) est non nul, où \(Z' \subset X'_s\) est l’adhérence de \(x'\). De même, posons \(\gamma'' = \pi_*\gamma'\). Alors nous avons \(E' \subset E'' = \{s \in S: \gamma''_s = 0\}\) et \(s \not \in E''\) parce que le coefficient de \(Z''\) dans \(\gamma''_s\) est non nul, où \(Z'' \subset Y_s\) est l’adhérence de \(y\). D’après le lemme 0H5B et l’ouverture de \(Y \to S\) , nous voyons qu’un voisinage ouvert de \(s\) est disjoint de \(E''\) et la démonstration est complète.

Lemme

Soit \(S = \lim_{i \in I} S_i\) la limite d’un système inverse dirigé de schémas noethériens avec des morphismes de transition affines. Soit \(0 \in I\) et soit \(X_0 \to S_0\) un morphisme de schémas de type fini. Pour \(i \geq 0\) , posons \(X_i = S_i \times_{S_0} X_0\) et posons \(X = S \times_{S_0} X_0\). Si \(S\) est également noethérien, alors \[z(X/S, r) = \colim_{i \geq 0} z(X_i/S_i, r)\] où les applications de transition sont données par changement de base des \(r\)-cycles relatifs.

Démonstration

Supposons que \(i \geq 0\) et \(\alpha_i, \beta_i \in z(X_i/S_i, r)\) aient la même image dans \(z(X/S, r)\). Alors l’image de \(S \to S_i\) est contenue dans le sous-ensemble fermé \(E \subset S_i\) du lemme 0H5C. Par conséquent, pour un certain \(j \geq i\) , l’image du morphisme \(S_j \to S_i\) est contenue dans \(E\) ; voir Limites, lemme 05F4. Il s’ensuit que les changements de base de \(\alpha_i\) et \(\beta_i\) à \(S_j\) coïncident. Ainsi, l’application est injective.

Soit \(\alpha \in z(X/S, r)\). En appliquant le lemme 0H59, on obtient un morphisme propre complètement décomposé \(g : S' \to S\) tel que \(g^*\alpha\) soit dans l’image de (0H58). Posons \(X' = S' \times_S X\). Nous écrivons \(g^*\alpha = \sum n_a [Z_a/X'/S']_r\) pour certains sous-schémas fermés \(Z_a \subset X'\) plats et de dimension relative \(\leq r\) sur \(S'\).

Nous appliquons maintenant les résultats de Limites, section 01ZL et suivantes. Nous pouvons trouver un \(i \geq 0\) tel qu’il existe

1. un morphisme propre complètement décomposé \(g_i : S'_i \to S_i\) dont le changement de base à \(S\) est \(g : S' \to S\),

2. en posant \(X'_i = S'_i \times_{S_i} X_i\) , des sous-schémas fermés \(Z_{ai} \subset X'_i\) plats et de dimension relative \(\leq r\) sur \(S'_i\) dont le changement de base à \(S'\) soit \(Z_a\).

Pour ce faire, on utilise Limites, lemmes 01ZM, 01ZP, 04AI, 081F et 05M5, ainsi que Compléments sur les morphismes, lemme 0GTM. Considérons \(\alpha'_i = \sum n_a [Z_{ai}/X'_i/S'_i]_r \in z(X'_i/S'_i, r)\). L’image de \(\alpha'_i\) dans \(z(X'/S', r)\) coïncide par construction avec le changement de base \(g^*\alpha\).

Posons \(S''_i = S'_i \times_{S_i} S'_i\) et \(X''_i = S''_i \times_{S_i} X_i\) et posons \(S'' = S' \times_S S'\) et \(X'' = S'' \times_S X\). Nous notons \(\text{pr}_1, \text{pr}_2 : S'' \to S'\) et \(\text{pr}_1, \text{pr}_2 : S''_i \to S'_i\) les projections. Les deux changements de base \(\text{pr}_1^*\alpha'_i\) et \(\text{pr}_1^*\alpha'_i\) ont la même image dans \(z(X''/S'', r)\) parce que \(\text{pr}_1^*g^*\alpha = \text{pr}_1^*g^*\alpha\). Ainsi, quitte à remplacer \(i\) par un indice plus grand, nous pouvons supposer que \(\text{pr}_1^*\alpha'_i = \text{pr}_1^*\alpha'_i\) d’après le premier paragraphe de la démonstration. Par le lemme 0H4X , nous obtenons une famille unique \(\alpha_i\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X_i/S_i\) avec \(g_i^*\alpha_i = \alpha'_i\) (cela utilise le fait que \(S'_i \to S_i\) est complètement décomposé). Par le lemme 0H52, nous voyons que \(\alpha_i \in z(X_i/S_i, r)\). L’unicité dans le lemme 0H4X implique que l’image de \(\alpha_i\) dans \(z(X/S, r)\) est \(\alpha\) et la démonstration est complète.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(i : X \to X'\) un épaississement de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(r \geq 0\). Alors \(i_* : z(X/S, r) \to z(X'/S, r)\) est une bijection.

Démonstration

Puisque \(i_s : X_s \to X'_s\) est un épaississement, il est clair que \(i_*\) induit une bijection entre les familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) et les familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X'/S\). Étant donnée une famille \(\alpha\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\), on a \(\alpha \in z(X/S, r) \Leftrightarrow i_*\alpha \in z(X'/S, r)\) par le lemme 0H54. Le lemme s’ensuit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(r \geq 0\). Soit \(U \subset X\) un ouvert tel que \(X \setminus U\) ait une dimension relative \(< r\) sur \(S\), c’est-à-dire \(\dim(X_s \setminus U_s) < r\) pour tout \(s \in S\). Alors la restriction définit une bijection \(z(X/S, r) \to z(U/S, r)\).

Démonstration

Étant donné que \(Z_r(X_s) \to Z_r(U_s)\) est une bijection par l’hypothèse de dimension, nous voyons que la restriction induit une bijection entre les familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) et les familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \(U/S\). Ces applications de restriction \(Z_r(X_s) \to Z_r(U_s)\) sont compatibles avec le changement de base et avec les spécialisations ; voir les lemmes 0H4P et 0H4L. Le lemme s’en déduit facilement ; la démonstration est omise.

Lemme

Soit \(g : S' \to S\) un homéomorphisme universel de schémas localement noethériens qui induit des isomorphismes des corps résiduels. Soit \(f : X \to S\) localement de type fini. Posons \(X' = S' \times_S X\). Soit \(r \geq 0\). Alors le changement de base par \(g\) détermine une bijection \(z(X/S, r) \to z(X'/S', r)\).

Démonstration

D’après le lemme 0H4Y, nous avons une bijection entre le groupe des familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) et le groupe des familles de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X'/S'\). Soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) et \(\alpha' = g^*\alpha\) le changement de base. Si \(R\) est un anneau de valuation discrète, alors tout morphisme \(h : \Spec(R) \to S\) se factorise comme \(g \circ h'\) pour un certain morphisme unique \(h' : \Spec(R) \to S'\). En effet, le morphisme \(S' \times_S \Spec(R) \to \Spec(R)\) est un homéomorphisme universel induisant des bijections sur les corps résiduels, et possède donc une section (par exemple parce que \(R\) est un anneau semi-normal ; voir Morphismes, section 0EUK). Ainsi, la condition que \(\alpha\) soit compatible avec les spécialisations (c’est-à-dire qu’il s’agisse d’un \(r\)-cycle relatif) équivaut à la condition que \(\alpha'\) soit compatible avec les spécialisations.

Cycles relatifs équidimensionnels

Voici la définition.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Nous disons qu’un \(r\)-cycle relatif \(\alpha\) sur \(X/S\) est équidimensionnel si le support de \(\alpha\) (remarque 0H4U) est contenu dans un sous-ensemble fermé \(W \subset X\) dont la dimension relative sur \(S\) est \(\leq r\). Le groupe de tous les \(r\)-cycles relatifs équidimensionnels sur \(X/S\) est noté \(z_{equi}(X/S, r)\).

Exemple

Il existe des \(r\)-cycles relatifs qui ne sont pas équidimensionnels. Plus précisément, soit \(k\) un corps et soit \(X = \Spec(k[x, y, t])\) sur \(S = \Spec(k[x, y])\). Soit \(s\) un point de \(S\) et notons \(a, b \in \kappa(s)\) les images de \(x\) et \(y\). Considérons la famille \(\alpha\) de \(0\)-cycles sur \(X/S\) définie par

1. \(\alpha_s = 0\) si \(b = 0\) et sinon

2. \(\alpha_s = [p] - [q]\), où \(p\) (respectivement \(q\)) est le point \(\kappa(s)\)-rationnel de \(\Spec(\kappa(s)[t])\) défini par \(t = a/b\) (respectivement \(t = (a + b^2)/b\)).

Nous laissons au lecteur le soin de montrer que cela est compatible avec les spécialisations ; l’idée est que \(a/b\) et \((a + b^2)/b = a/b + b\) se spécialisent en un même point dans \(\mathbf{P}^1\) sur le corps résiduel de toute valuation \(v\) sur \(\kappa(s)\) avec \(v(b) > 0\). D’autre part, l’adhérence du support de \(\alpha\) contient toute la fibre au-dessus de \((0, 0)\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Si \(\alpha\) est équidimensionnel, alors toute restriction, changement de base ou image inverse plate de \(\alpha\) est équidimensionnel.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Alors, pour vérifier que \(\alpha\) est équidimensionnel, nous pouvons travailler localement pour la topologie de Zariski sur \(X\) et \(S\).

Démonstration

La condition que \(\alpha\) soit équidimensionnel signifie simplement que l’adhérence du support de \(\alpha\) a une dimension relative \(\leq r\) sur \(S\). Comme prendre les adhérences commute avec la restriction aux ouverts, le lemme s’ensuit (un détail mineur est omis).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Soit \(\{g_i : S_i \to S\}\) un recouvrement fppf. Alors \(\alpha\) est équidimensionnel si et seulement si chaque changement de base \(g_i^*\alpha\) est équidimensionnel.

Démonstration

Si \(\alpha\) est équidimensionnel, alors chaque \(g_i^*\alpha\) l’est aussi d’après le lemme 0H5K. Supposons que chaque \(g_i^*\alpha\) soit équidimensionnel. Notons \(W\) l’adhérence de \(\text{Supp}(\alpha)\) dans \(X\). Comme \(g_i : S_i \to S\) est universellement ouvert (étant plat et localement de présentation finie), il en est de même pour le morphisme \(f_i : X_i = S_i \times_S X \to X\). Notons \(\alpha_i = g_i^*\alpha\). Nous avons \(\text{Supp}(\alpha_i) = f_i^{-1}(\text{Supp}(\alpha))\) d’après le lemme 0H4V. Puisque \(f_i\) est ouvert, nous voyons que \(W_i = f_i^{-1}(W)\) est l’adhérence de \(\text{Supp}(\alpha_i)\). Donc, d’après l’hypothèse, le morphisme \(W_i \to S_i\) a une dimension relative \(\leq r\). D’après Morphismes, lemme 02FY (et le fait que les morphismes \(S_i \to S\) sont conjointement surjectifs) nous concluons que \(W \to S\) a une dimension relative \(\leq r\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Soient \(r, e \geq 0\) des entiers. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Soit \(\{f_i : X_i \to X\}\) une famille conjointement surjective de morphismes plats, localement de type fini, et de dimension relative \(e\). Alors \(\alpha\) est équidimensionnel si et seulement si chaque image inverse plate \(f_i^*\alpha\) est équidimensionnel.

Démonstration

La démonstration est omise. Indication : comme dans la démonstration du lemme 0H5M, on montre que l’image inverse par \(f_i\) de l’adhérence \(W\) du support de \(\alpha\) est l’adhérence \(W_i\) du support de \(f_i^*\alpha\). Alors, \(W \to S\) a une dimension relative \(\leq r\) si \(W_i \to S\) a une dimension relative \(\leq r + e\) pour tout \(i\).

Pondérations et zéro-cycles relatifs

Dans cette section, nous montrons que pour un morphisme quasi-fini, les zéro-cycles relatifs sont étroitement liés aux pondérations, telles qu’elles sont définies dans Compléments sur les morphismes, section 0F38.

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme localement quasi-fini de schémas. Alors nous avons \(z(X/S, 0) = z_{equi}(X/S, 0)\) et \(z(X/S, r) = 0\) pour \(r > 0\). Étant donné \(\alpha \in z(X/S, 0)\) , définissons une application \[w_\alpha : X \longrightarrow \mathbf{Z},\quad x \mapsto \alpha(x) [\kappa(x) : \kappa(s)]_i \quad\text{où }s = f(x)\] Ici, \(\alpha(x)\) désigne le coefficient de \(x\) dans le \(0\)-cycle \(\alpha_s\) sur la fibre \(X_s\) et \([K : k]_i\) désigne le degré inséparable d’une extension finie de corps.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(g : S' \to S\) est un morphisme de schémas localement noethériens, alors \(w_{g^*\alpha} = w_\alpha \circ g'\) où \(g' : X' \to X\) est la projection \(X' = S' \times_S X \to X\).

Démonstration

Soit \(x' \in X'\) dont les images sont \(s', s, x\) dans \(S', S, X\). Alors le coefficient de \([x']\) dans le changement de base de \([x]\) par \(\kappa(s')/\kappa(s)\) est la longueur de l’anneau local \((\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak q\). Ici \(\mathfrak q\) est l’idéal premier correspondant à \(x'\). Ainsi, la compatibilité avec le changement de base résulte de l’égalité \[[\kappa(x) : \kappa(s)]_i = \text{longueur}((\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak q) [\kappa(x') : \kappa(s')]_i\] Fixons une clôture algébrique \(k/\kappa(s')\). Choisissons un idéal premier \(\mathfrak p \subset k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\) au-dessus de \(\mathfrak q\). Supposons que nous puissions montrer que \[[\kappa(x) : \kappa(s)]_i = \text{longueur}((k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak p) \quad\text{et}\quad [\kappa(x') : \kappa(s')]_i = \text{longueur}((k \otimes_{\kappa(s')} \kappa(x'))_\mathfrak p)\] Le résultat s’ensuit car \[\text{longueur}((\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak q) \text{longueur}((k \otimes_{\kappa(s')} \kappa(x'))_\mathfrak p) = \text{longueur}((k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))_\mathfrak p)\] d’après Algèbre, lemme 02M1, et la platitude de \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x) \to k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\). Pour montrer les deux égalités, il suffit de prouver la première. Soit \(\kappa(x)/\kappa/\kappa(s)\) le sous-corps construit dans Corps, lemme 030K. On obtient alors \[k \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x) = \prod\nolimits_{\sigma : \kappa \to k} k \otimes_{\sigma, \kappa} \kappa(x)\] et chacun des facteurs est local de degré \([\kappa(x) : \kappa] = [\kappa(x) : \kappa(s)]_i\) , comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement quasi-fini.

1. Pour \(\alpha \in z(X/S, 0)\) , l’application \(w_\alpha : X \to \mathbf{Z}\) construite ci-dessus est une pondération.

2. Si \(X\) est quasi-compact, alors étant donnée une pondération \(w : X \to \mathbf{Z}\) , il existe un entier \(n > 0\) tel que \(nw = w_\alpha\) pour un certain \(\alpha \in z(X/S, 0)\).

3. L’entier \(n\) de (2) peut être choisi égal à une puissance du nombre premier \(p\) si \(S\) est un schéma sur \(\mathbf{F}_p\).

Démonstration

Soit \(\alpha \in z(X/S, 0)\) et choisissons un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & U \ar[l]^h \ar[d]^\pi \\ Y & V \ar[l]_g }\] comme dans Compléments sur les morphismes, définition 0F3A. Notons \(\beta \in z(U/V, 0)\) la restriction du changement de base \(g^*\alpha\). Par la compatibilité avec le changement de base (lemme relative-cycles-lemma-weightings-pre), nous avons \(w_\beta = w_\alpha \circ h\) et il suffit de montrer que \(\int_\pi w_\beta\) est localement constant sur \(V\). Ensuite, notons que \[\begin{align*} \left( \int_\pi w_\beta \right)(v) & = \sum\nolimits_{u \in U, \pi(u) = v} \beta(u) [\kappa(u) : \kappa(v)]_i [\kappa(u) : \kappa(v)]_s \\ & = \sum\nolimits_{u \in U, \pi(u) = v} \beta(u)[\kappa(u) : \kappa(v)] \end{align*}\] Cette dernière expression est le coefficient de \(v\) dans \(\pi_*\beta \in z(V/V, 0)\). D’après le lemme 0H5B, cette fonction est localement constante sur \(V\).

Réciproquement, soit \(w : X \to S\) une pondération et \(X\) quasi-compact. Choisissons un entier \(n\) suffisamment divisible. Soit \(\alpha\) la famille de \(0\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) telle que pour \(s \in S\) nous avons \[\alpha_s = \sum\nolimits_{f(x) = s} \frac{n w(x)}{[\kappa(x) : \kappa(s)]_i} [x]\] comme un zéro-cycle sur \(X_s\). Cela a un sens puisque les fibres de \(f\) sont universellement bornées (Morphismes, lemme 03JA), donc nous pouvons trouver \(n\) de sorte que le membre de droite soit un entier pour tout \(s \in S\). L’énoncé final du lemme en découle également, à condition que nous montrions que \(\alpha\) est un \(0\)-cycle relatif. Pour ce faire, il faut montrer que \(\alpha\) est compatible avec les spécialisations le long des spectres d’anneaux de valuation discrète. Notons que ni la construction de \(w_\alpha\) ni la démonstration du lemme relative-cycles-lemma-weightings-pre ne supposent que \(\alpha\) soit un cycle relatif. Par conséquent, nous avons \(w_\alpha = nw\) et cela reste vrai après un changement de base. De même, le changement de base d’une pondération est une pondération ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 0F3B. Ainsi nous revenons au problème étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(S\) soit le spectre d’un anneau de valuation discrète avec un point générique \(\eta\) et un point fermé \(0\). Soit \(w : X \to S\) une pondération, avec \(X\) quasi-fini sur \(S\). Soit \(\alpha\) la famille de \(0\)-cycles sur les fibres de \(X/S\) construite dans le paragraphe précédent (pour un \(n\) approprié). Nous devons montrer que \(sp_{X/S}(\alpha_\eta) = \alpha_0\). Soit \(\beta \in z(X/S, 0)\) le \(0\)-cycle relatif sur \(X/S\) avec \(\beta_\eta = \alpha_\eta\) et \(\beta_0 = sp_{X/S}(\alpha_\eta)\). Alors \(w' = w_\beta - nw : X \to \mathbf{Z}\) est une pondération (en utilisant le résultat ci-dessus) et nulle aux points de \(X\) qui se projettent sur \(\eta\). Il résulte de Compléments sur les morphismes, lemme more-morphisms-lemma-weighting-specialization que \(w' = 0\). Cela signifie \(w_\beta = nw\), donc \(\alpha = \beta\) comme souhaité.

Exemple

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(k'/k\) une extension purement inséparable de corps de degré \(p^f\). Posons \(X = \Spec(k')\) et \(S = \Spec(k)\). L’application \(w : X \to \mathbf{Z}\) envoyant le point unique \(x\) de \(X\) sur \(1\) est une pondération de \(X \to S\). D’autre part, le groupe \(z(X/S, 0)\) est librement engendré par le cycle \(\alpha = [x]\). Ainsi, nous voyons que le plus petit entier \(n\) qui convient dans le lemme 0H5P est \(n = p^f\) dans ce cas.

Exemple

La discussion ci-dessus peut être utilisée pour « expliquer » un exemple dû à A.S. Merkurjev [SV, exemple 3.5.10]. Soit \(p\) un nombre premier et soit \(k = \mathbf{F}_p(a, b)\) l’extension purement transcendante de \(\mathbf{F}_p\) engendrée par \(a\) et \(b\). Posons \[A = k[x, y, z]/(a x^p + b y^p - z^p)\] L’anneau ainsi obtenu est un anneau intègre normal de type fini sur \(k\). Le spectre \(S = \Spec(A)\) est régulier, à l’exception d’un point singulier unique \(s\) correspondant à l’idéal maximal \((x, y, z)\) de \(A\), de corps résiduel \(k\). Soient \(k' = k(a^{1/p}, b^{1/p})\) et \(B = k'[x, y]\). Considérons l’homomorphisme \(A \to B\) induit par l’inclusion \(k \to k'\) et envoyant \(x\) sur \(x\), \(y\) sur \(y\), et \(z\) sur \(a^{1/p}x + b^{1/p}y\). Posons \(X = \Spec(B)\) et considérons le morphisme \(f : X \to S\) correspondant au morphisme d’anneaux \(A \to B\). La pondération \(w : X \to \mathbf{Z}\) de \(f\) donnée par Compléments sur les morphismes, lemme 0F3E, est constante de valeur \(1\), puisque le corps des fractions de \(B\) est une extension purement inséparable de celui de \(A\). Posons \(V = f^{-1}(U) \subset X\). Par le critère de platitude par miracle, le morphisme \(V \to U\) est plat de degré \(p\). Il s’ensuit que le cycle \(\alpha = [V/V/U]_0 \in z(V/U, 0)\) satisfait \(w_\alpha = pw|_V\). Cependant, puisque le point unique \(x\) de \(X\) situé au-dessus de \(s\) a pour corps résiduel \(k'\) de degré \(p^2\) sur \(k\), nous voyons qu’il ne peut y avoir d’élément \(\beta\) de \(z(X/S, 0)\) se restreignant à \(\alpha\). En effet, la pondération \(pw - w_\beta\) serait nulle d’après Compléments sur les morphismes, lemme more-morphisms-lemma-weighting-specialization, ce qui impliquerait (d’après la formule dans la démonstration du lemme ci-dessus) que \[\beta_s = \frac{pw(x)}{[\kappa(x) : \kappa(s)]_i} [x] = \frac{1}{p}[x]\] dans \(Z_0(X_s)\) et c’est impossible³. Bien sûr, le cycle \(p\alpha\) est la restriction d’un élément unique de \(z(X/S, 0)\).

Cycles relatifs effectifs

Voici la définition.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. On dit qu’un \(r\)-cycle relatif \(\alpha\) sur \(X/S\) est effectif si \(\alpha_s\) est un cycle effectif (Homologie de Chow, définition 0H47) pour tout \(s \in S\). Le monoïde de tous les \(r\)-cycles relatifs effectifs sur \(X/S\) est noté \(z^{eff}(X/S, r)\).

Plus loin, nous montrerons qu’un cycle relatif effectif est équidimensionnel ; voir le lemme 0H5X.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Si \(\alpha\) est effectif, alors l’effectivité est préservée par toute restriction, tout changement de base, toute image inverse plate et toute image directe propre de \(\alpha\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Alors pour vérifier que \(\alpha\) est effectif, nous pouvons travailler localement pour la topologie de Zariski sur \(X\) et \(S\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Soit \(g : S' \to S\) un morphisme surjectif. Alors \(\alpha\) est effectif si et seulement si le changement de base \(g^*\alpha\) est effectif.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Soient \(r, e \geq 0\) des entiers. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Soit \(\{f_i : X_i \to X\}\) une famille conjointement surjective de morphismes plats, localement de type fini et de dimension relative \(e\). Alors \(\alpha\) est effectif si et seulement si chaque cycle \(f_i^*\alpha\) obtenu par image inverse plate est effectif.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Soient \(r, e \geq 0\) des entiers. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Si \(\alpha\) est effectif, alors \(\text{Supp}(\alpha)\) est fermé dans \(X\).

Démonstration

Soit \(g : S' \to S\) l’inclusion d’une composante irréductible vue comme un sous-schéma fermé intègre. D’après les lemmes 0H5S et 0H4V , il suffit de montrer que le support du changement de base \(g^*\alpha\) est fermé dans \(S' \times_S S\). Ainsi nous pouvons supposer que \(S\) est un schéma intègre de point générique \(\eta\). Nous montrerons que \(\text{Supp}(\alpha)\) est l’adhérence de \(\text{Supp}(\alpha_\eta)\). Pour ce faire, choisissons un point \(s \in S\). Nous pouvons trouver un morphisme \(g : S' \to S\) où \(S'\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète envoyant le point générique \(\eta' \in S'\) vers \(\eta\) et le point fermé \(0 \in S'\) vers \(s\), voir Propriétés, lemme 054F. Il suffit alors de prouver que le support de \(g^*\alpha\) est égal à l’adhérence de \(\text{Supp}((g^\alpha)_{\eta'})\). Cela nous ramène au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Ici \(S\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète avec point générique \(\eta\) et point fermé \(0\). Nous devons montrer que \(\text{Supp}(\alpha)\) est l’adhérence de \(\text{Supp}(\alpha_\eta)\). Puisque \(\alpha\) est effectif, nous pouvons écrire \(\alpha_\eta = \sum n_i[Z_i]\) où \(n_i > 0\) et où les \(Z_i \subset X_\eta\) sont des sous-schémas fermés intègres de dimension \(r\). Puisque \(\alpha_0 = sp_{X/S}(\alpha_\eta)\), nous savons que \(\alpha_0 = \sum n_i [\overline{Z}_{i, 0}]_r\), où \(\overline{Z}_i\) est l’adhérence de \(Z_i\). D’après Variétés, lemme 0B2J, nous voyons que \(\overline{Z}_{i, 0}\) est équidimensionnel de dimension \(r\). Puisque \(n_i > 0\), nous en concluons que \(\text{Supp}(\alpha_0)\) est égal à l’union des \(\overline{Z}_{i, 0}\). Cette union est la fibre au-dessus de \(0\) de \(\bigcup \overline{Z}_i\) ; ce dernier ensemble est à son tour l’adhérence de \(\bigcup Z_i\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien et \(f\) localement de type fini. Soient \(r, e \geq 0\) des entiers. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Si \(\alpha\) est effectif, alors \(\alpha\) est équidimensionnel.

Démonstration

Supposons que \(\alpha\) soit effectif. D’après le lemme 0H5W, le support \(\text{Supp}(\alpha)\) est fermé dans \(X\). Ainsi, \(\alpha\) est équidimensionnel car les fibres de \(\text{Supp}(\alpha) \to S\) sont les supports des cycles \(\alpha_s\) et ont donc dimension \(r\).

Remarque

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas avec \(S\) localement noethérien et \(f\) localement de type fini. On peut se demander si le foncteur contravariant \[\begin{matrix} \text{schémas }S'\text{ localement} \\ \text{de type fini sur }S \end{matrix} \longrightarrow z^{eff}(X'/S', r)\text{ où }X' = S' \times_S X\] est représentable. Comme \(z(X'/S', r) = z(X'_{red}/S'_{red}, r)\) , cela ne peut pas être vrai (nous laissons au lecteur le soin de donner un véritable contre-exemple). Une meilleure question serait de savoir si nous pouvons trouver une sous-catégorie du membre de gauche sur laquelle le foncteur est représentable. Le lemme 0H5G suggère que nous devrions au moins nous restreindre à la catégorie des schémas semi-normaux sur \(S\).

Si \(S/\Spec(\mathbf{Q})\) est Nagata et \(f\) est un morphisme projectif, alors il s’avère que \(S' \mapsto z^{eff}(X'/S', r)\) est représentable sur la catégorie dont les objets \(S'\) sont semi-normaux. Essentiellement, c’est le contenu de [KRC, théorème 3.21].

Si \(S\) possède des points de caractéristique positive, cela ne fonctionne plus même si nous remplaçons la semi-normalité par la normalité faible ; un schéma localement noethérien \(T\) est faiblement normal si tout homéomorphisme universel birationnel \(T' \to T\) possède une section. Un exemple consiste à considérer les \(0\)-cycles de degré \(2\) sur \(X = \mathbf{A}^2_k\) au-dessus de \(S = \Spec(k)\) où \(k\) est un corps de caractéristique \(2\). Plus précisément, au-dessus de \(W = X \times_S X\) nous avons un \(0\)-cycle relatif canonique \(\alpha \in z^{eff}(X_W/W, 0)\) : pour \(w = (x_1, x_2) \in W = X^2\) nous avons le cycle \(\alpha_w = [x_1] + [x_2]\). Ce cycle est invariant sous l’involution \(\sigma : W \to W\) échangeant les facteurs. Puisque \(W\) est lisse (donc normal, donc faiblement normal), si \(z(-/-, r)\) était représentable par \(M\) sur la catégorie des schémas faiblement normaux de type fini sur \(k\) , nous obtiendrions un morphisme invariant par \(\sigma\), de \(W\) vers \(M\). Cela définirait à son tour un morphisme du schéma quotient \(\text{Sym}^2_S(X) = W/\langle \sigma \rangle\) vers \(M\). Puisque \(\text{Sym}^2_S(X)\) est normal, nous obtiendrions, par la propriété universelle de l’espace de modules \(M\) , un \(0\)-cycle relatif \(\beta\) sur \(X \times_S \text{Sym}^2_S(X) / \text{Sym}^2_S(X)\) dont l’image inverse sur \(W\) est \(\alpha\). Cependant, il n’existe aucun cycle \(\beta\) de cette sorte. En effet, en écrivant \(X = \Spec(k[u, v])\), le schéma \(\text{Sym}^2_S(X)\) est le spectre de \[k[u_1 + u_2, u_1u_2, v_1 + v_2, v_1v_2, u_1v_1 + u_2v_2] \subset k[u_1, u_2, v_1, v_2]\] L’image de la diagonale \(u_1 = u_2, v_1 = v_2\) dans \(\text{Sym}^2_S(X)\) est le sous-schéma fermé \(V = \Spec(k[u_1^2, v_1^2])\); ici nous utilisons le fait que la caractéristique de \(k\) est \(2\). En regardant le point générique \(\eta\) de \(V\), le cycle \(\beta_\eta\) serait un zéro-cycle de degré \(2\) sur \(\mathbf{A}^2_{k(u_1^2, v_1^2)}\) dont l’image inverse sur \(\mathbf{A}^2_{k(u_1, u_2)}\) serait \(2[\text{le point de coordonnées} (u_1, v_2)]\). Cela est clairement impossible.

La discussion ci-dessus ne contredit pas [KRC, théorème 4.13] car la variété de Chow de ce théorème ne représente un foncteur qu’au sens grossier (en fait deux foncteurs distincts, dont un seul coïncide avec le nôtre pour \(X\) projectif comme on peut le voir avec un peu de travail). De même, dans [SV, section 4.4] il est montré que pour \(X/S\) projectif, la faisceautisation pour la topologie \(h\) du préfaisceau \(S' \mapsto z^{eff}(S' \times_S X/S', r)\) est égale à la faisceautisation pour la topologie \(h\) d’un foncteur représentable.

Remarque

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(r \geq 0\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. Supposons :

1. \(S\) est noethérien et géométriquement unibranche,

2. \(f\) est de type fini, et

3. \(Z \to S\) est de dimension relative \(\leq r\).

Alors, pour tout entier suffisamment divisible \(n \geq 1\), il existe un unique \(r\)-cycle relatif effectif \(\alpha\) sur \(X/S\) tel que \(\alpha_\eta = n[Z_\eta]_r\) pour tout point générique \(\eta\) de \(S\). Il s’agit d’une reformulation de [SV, théorème 3.4.2]. Si nous avons besoin de ce résultat, nous le préciserons et le prouverons ici.

Cycles relatifs propres

Dans notre contexte, la définition suivante est probablement la bonne.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. On dit qu’un \(r\)-cycle relatif \(\alpha\) sur \(X/S\) est un cycle relatif propre si le support de \(\alpha\) (remarque 0H4U) est contenu dans un sous-ensemble fermé \(W \subset X\) propre sur \(S\) (Cohomologie des schémas, définition 0CYM). Le groupe de tous les \(r\)-cycles relatifs propres sur \(X/S\) est noté \(c(X/S, r)\).

D’après Cohomologie des schémas, lemme 0CYN, cela signifie simplement que l’adhérence du support est propre sur la base. Pour voir que ces cycles forment un groupe, on utilise Cohomologie des schémas, lemme 0CYR.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Si \(\alpha\) est propre, alors tout changement de base de \(\alpha\) est propre.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\). Soit \(\{g_i : S_i \to S\}\) un recouvrement h. Alors \(\alpha\) est propre si et seulement si chaque changement de base \(g_i^*\alpha\) est propre.

Démonstration

Si \(\alpha\) est propre, alors chaque \(g_i^*\alpha\) l’est aussi d’après le lemme 0H62. Supposons que chaque \(g_i^*\alpha\) soit propre. Pour prouver que \(\alpha\) est propre, il suffit de travailler localement sur des ouverts affines sur \(S\). Nous pouvons donc supposer que \(S\) est affine. Nous pouvons alors affiner notre recouvrement \(\{S_i \to S\}\) par une famille \(\{T_j \to S\}\) où \(g : T \to S\) est un morphisme propre et surjectif et \(T = \bigcup T_j\) est un recouvrement ouvert. Il s’ensuit que \(\beta = g^*\alpha\) est propre sur \(Y = T \times_S X\) au-dessus de \(T\). D’après le lemme 0H4V, le support de \(\beta\) est l’image inverse du support de \(\alpha\) par le morphisme \(f : Y \to X\). Ainsi, l’adhérence \(W \subset Y\) de \(f^{-1}\text{Supp}(\alpha)\) est propre sur \(T\). Puisque le morphisme \(T \to S\) est propre, il s’ensuit que \(W\) est propre sur \(S\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 0CYQ, l’image \(f(W) \subset X\) est un sous-ensemble fermé propre sur \(S\). Puisque \(f(W)\) contient \(\text{Supp}(\alpha)\) , nous concluons que \(\alpha\) est propre.

Cycles relatifs propres et équidimensionnels

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien et que \(f\) soit localement de type fini. Soit \(r \geq 0\) un entier. On dit qu’un \(r\)-cycle relatif \(\alpha\) sur \(X/S\) est un cycle relatif propre et équidimensionnel si \(\alpha\) est à la fois équidimensionnel (définition 0H5I) et propre (définition 0H61). Le groupe de tous les \(r\)-cycles relatifs propres et équidimensionnels sur \(X/S\) est noté \(c_{equi}(X/S, r)\).

De même, nous disons qu’un \(r\)-cycle relatif \(\alpha\) sur \(X/S\) est un cycle relatif propre et effectif si \(\alpha\) est à la fois effectif (définition 0H5R) et propre (définition 0H61). Le monoïde de tous les \(r\)-cycles relatifs propres et effectifs sur \(X/S\) est noté \(c^{eff}(X/S, r)\). Ces cycles sont équidimensionnels d’après le lemme 0H5X.

Ainsi, nous avons le diagramme suivant des applications d’inclusion \[\xymatrix{ c^{eff}(X/S, r) \ar[r] \ar[d] & c_{equi}(X/S, r) \ar[r] \ar[d] & c(X/S, r) \ar[d] \\ z^{eff}(X/S, r) \ar[r] & z_{equi}(X/S, r) \ar[r] & z(X/S, r) }\]

Action sur les cycles

Soit \(S\) un schéma localement noethérien, universellement caténaire, muni d’une fonction de dimension \(\delta\) ; voir Homologie de Chow, section 02QK. Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\), tous deux localement de type fini sur \(S\). Soit \(r \geq 0\). Enfin, soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/Y\). Pour \(e \in \mathbf{Z}\) , nous allons construire une opération \[\alpha \cap - : Z_e(Y) \longrightarrow Z_{r + e}(X)\] Concrètement, étant donné \(\beta \in Z_e(Y)\), écrivons \(\beta = \sum n_i[Z_i]\) où \(Z_i \subset Y\) est un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(e\) et la famille \(Z_i\) est localement finie dans le schéma \(Y\). Soit \(y_i \in Z_i\) le point générique. Écrivons \(\alpha_{y_i} = \sum m_{ij} [V_{ij}]\). Ainsi \(V_{ij} \subset X_{y_i}\) est un sous-schéma fermé intègre de dimension \(r\) et la famille \(V_{ij}\) est localement finie dans le schéma \(X_{y_i}\). Nous posons alors \[\alpha \cap \beta = \sum n_i m_{ij} [\overline{V}_{ij}] \quad\in\quad Z_{r + e}(X)\] Ici, \(\overline{V}_{ij} \subset X\) est l’image schématique du morphisme \(V_{ij} \to X_{y_i} \to X\) ou, de manière équivalente, \(\overline{V}_{ij} \subset X\) est un sous-schéma fermé intègre qui domine \(Z_i \subset Y\) et dont la fibre générique est \(V_{ij}\). On en déduit aisément que \(\dim_\delta(\overline{V}_{ij}) = r + e\) et que la famille de sous-schémas fermés \(\overline{V}_{ij} \subset X\) est localement finie (nous omettons les vérifications). Ainsi, \(\alpha \cap \beta\) est bien un élément de \(Z_{r + e}(X)\).

Lemme

La construction ci-dessus est bilinéaire, c’est-à-dire que \((\alpha_1 + \alpha_2) \cap \beta = \alpha_1 \cap \beta + \alpha_2 \cap \beta\) et \(\alpha \cap (\beta_1 + \beta_2) = \alpha \cap \beta_1 + \alpha \cap \beta_2\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Si \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) sont ouverts et si \(f(U) \subset V\), alors \((\alpha \cap \beta)|_U\) est égal à \(\alpha|_U \cap \beta|_V\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la description explicite de \(\alpha \cap \beta\) donnée ci-dessus.

Lemme

La formation de \(\alpha \cap \beta\) est compatible avec le changement de base plat et avec l’image inverse plate (voir la démonstration pour plus de précisions).

Démonstration

Soient \((S, \delta)\), \((S', \delta')\), \(g : S' \to S\) et \(c \in \mathbf{Z}\) comme dans Homologie de Chow, situation 0FVG. Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Notons \(X' \to Y'\) le changement de base de \(X \to Y\) par \(g\). Soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/Y\). Soit \(\beta \in Z_e(Y)\). Notons \(\alpha'\) le changement de base de \(\alpha\) par \(Y' \to Y\). Notons \(\beta' = g^*\beta \in Z_{e + c}(Y')\) l’image inverse de \(\beta\) par \(g\); voir Homologie de Chow, section 0FVF. La compatibilité avec le changement de base signifie que \(\alpha' \cap \beta'\) est le changement de base de \(\alpha \cap \beta\).

Démonstration de la compatibilité au changement de base. Puisque nous démontrons une égalité de cycles sur \(X'\), nous pouvons travailler localement sur \(Y\); voir le lemme 0H67. Nous pouvons donc supposer \(Y\) affine. En particulier, \(\beta\) est une combinaison linéaire finie de cycles premiers. Puisque \(- \cap -\) est linéaire en la seconde variable (lemme 0H66), il suffit de démontrer l’égalité lorsque \(\beta = [Z]\) pour un sous-schéma fermé intègre \(Z \subset Y\) de dimension \(\delta\) égale à \(e\).

Soit \(y \in Z\) le point générique. Écrivons \(\alpha_y = \sum m_j [V_j]\). Soit \(\overline{V}_j\) l’adhérence de \(V_j\) dans \(X\). Alors \[\alpha \cap \beta = \sum m_j[\overline{V}_j]\] Le changement de base de \(\beta\) est \(\beta' = \sum [Z \times_S S']_{e + c}\), considéré comme un cycle sur \(Y' = Y \times_S S'\). Soient \(Z'_a \subset Z \times_S S'\) les composantes irréductibles; notons \(y'_a \in Z'_a\) leurs points génériques et \(n_a\) la multiplicité de \(Z'_a\) dans \(Z \times_S S'\). Nous avons \[\beta' = \sum [Z \times_S S']_{e + c} = \sum n_a[Z'_a]\] Nous avons \(\alpha'_{y'_a} = \sum m_j [V_{j, \kappa(y'_a)}]_r\) car \(\alpha'\) est le changement de base de \(\alpha\) par \(Y' \to Y\). Soient \(V'_{jab} \subset V_{j, \kappa(y'_a)}\) les composantes irréductibles, et notons \(m_{jab}\) la multiplicité de \(V'_{jab}\) dans \(V_{j, \kappa(y'_a)}\). Nous avons \[\alpha'_{y'_a} = \sum m_j [V_{j, \kappa(y'_a)}]_r = \sum m_j m_{jab} [V'_{jab}]\] Ainsi, \[\alpha' \cap \beta' = \sum n_a m_j m_{jab} [\overline{V}'_{jab}]\] où \(\overline{V}'_{jab}\) est l’adhérence de \(V'_{jab}\) dans \(X'\). Pour démontrer l’égalité voulue, il suffit donc d’établir que

1. les composantes irréductibles de \(\overline{V}_j \times_S S'\) sont les schémas \(\overline{V}'_{jab}\), et que

2. la multiplicité de \(\overline{V}'_{jab}\) dans \(\overline{V}_j \times_S S'\) est égale à \(n_a m_{jab}\).

Remarquons que \(V_j \to \overline{V}_j\) est un morphisme birationnel de schémas intègres. Les morphismes \(V_j \times_S S' \to V_j\) et \(\overline{V}_j \times_S S' \to \overline{V}_j\) sont plats et envoient donc les points génériques des composantes irréductibles sur les points génériques (uniques) de \(V_j\) et de \(\overline{V}_j\). Il s’ensuit que \(V_j \times_S S' \to \overline{V}_j \times_S S'\) est un morphisme birationnel, donc induit une bijection entre les composantes irréductibles et identifie leurs multiplicités. Il suffit par conséquent de démontrer que les composantes irréductibles de \(V_j \times_S S'\) sont les schémas \(V'_{jab}\) et que la multiplicité de \(V'_{jab}\) dans \(V_j \times_S S'\) est égale à \(n_a m_{jab}\). Mais cela revient précisément à dire que le diagramme \[\xymatrix{ Z_r(V_j) \ar[r] & Z_{r + c}(V_j \times_S S') \\ Z_0(\Spec(\kappa(y))) \ar[r] \ar[u] & Z_c(\Spec(\kappa(y)) \times_S S') \ar[u] }\] est commutatif, où les flèches horizontales sont données par changement de base le long de \(\Spec(\kappa(y)) \times_S S' \to \Spec(\kappa(y))\) et les flèches verticales sont les images inverses plates. Cela a été démontré dans Homologie de Chow, lemme 0FVK.

L’assertion du lemme concernant l’image inverse plate signifie ce qui suit. Soient \((S, \delta)\), \(X \to Y\), \(\alpha\) et \(\beta\) comme dans la construction de \(\alpha \cap \beta\) ci-dessus. Soit \(Y' \to Y\) un morphisme plat, localement de type fini et de dimension relative \(c\). Nous pouvons alors prendre pour \(\alpha'\) le changement de base de \(\alpha\) par \(Y' \to Y\) et pour \(\beta'\) l’image inverse plate de \(\beta\). La compatibilité avec l’image inverse plate signifie que \(\alpha' \cap \beta'\) est l’image inverse plate de \(\alpha \cap \beta\) par \(X \times_Y Y' \to Y\). Il s’agit en fait d’un cas particulier de la discussion précédente si nous posons \(S = Y\) et \(S' = Y'\).

Lemme

Soient \((S, \delta)\) et \(f : X \to Y\) comme ci-dessus. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_y)) \leq r\) pour tout \(y \in Y\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent tel que \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{G})) \leq e\). Posons \(\alpha = [\mathcal{F}/X/Y]_r\) (exemple 0H4Q) et \(\beta = [\mathcal{G}]_e\) (Homologie de Chow, définition 02QX). Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\), alors \(\alpha \cap \beta = [\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}]_{r + e}\).

Démonstration

Observons que \[\text{Supp}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \text{Supp}(\mathcal{F}) \cap f^{-1}\text{Supp}(\mathcal{G}) = \bigcup\nolimits_{y \in \text{Supp}(\mathcal{G})} \text{Supp}(\mathcal{F}_y)\] Il en résulte qu’il s’agit d’un fermé dont la dimension \(\delta\) est \(\leq r + e\). L’expression \([\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}]_{r + e}\) a donc un sens.

Nous utiliserons les notations \(\beta = \sum n_i[Z_i]\), \(y_i \in Z_i\), \(\alpha_{y_i} = \sum m_{ij} [V_{ij}]\) et \(\overline{V}_{ij}\) introduites dans la construction de \(\alpha \cap \beta\). Puisque \(\beta = [\mathcal{G}]_e\) , les \(Z_i\) sont les composantes irréductibles de \(\text{Supp}(\mathcal{G})\) qui sont de dimension \(\delta\) égale à \(e\). De même, les \(V_{ij}\) sont les composantes irréductibles de \(\text{Supp}(\mathcal{F}_{y_i})\) de dimension \(r\). Il résulte de ceci et de l’égalité du premier paragraphe que les \(\overline{V}_{ij}\) sont les composantes irréductibles de \(\text{Supp}(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) de dimension \(\delta\) égale à \(r + e\). Pour démontrer le lemme, il suffit donc désormais de montrer que \[\text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi_{ij}}}( (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})_{\xi_{ij}}) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X_{y_i}, \xi_{ij}}}((\mathcal{F}_{y_i})_{\xi_{ij}}) \cdot \text{longueur}_{\mathcal{O}_{Y, y_i}}(\mathcal{G}_{y_i})\] D’après le premier paragraphe de la démonstration, le membre de gauche est égal à la longueur du \(B = \mathcal{O}_{X, \xi_{ij}}\)-module \[\mathcal{G}_{y_i} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, y_i}} \mathcal{F}_{\xi_{ij}} = M \otimes_A N\] Ici, \(M = \mathcal{G}_{y_i}\) est un \(A = \mathcal{O}_{Y, y_i}\)-module de longueur finie, et \(N = \mathcal{F}_{\xi_{ij}}\) est un \(B\)-module fini tel que \(N/\mathfrak m_AN\) soit de longueur finie. Puisque \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\), le module \(N\) est plat sur \(A\). Le membre de droite de la formule est égal à \[\text{longueur}_B(N/\mathfrak m_A N) \cdot \text{longueur}_A(M)\] Les membres de droite et de gauche de la formule sont donc additifs en \(M\) (on utilise la platitude de \(N\) sur \(A\)). Il suffit ainsi de démontrer la formule pour \(M = \kappa_A\), le corps résiduel ; dans ce cas, elle est immédiate.

Lemme

Soient \((S, \delta)\) et \(f : X \to Y\) comme ci-dessus. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé de dimension relative \(\leq r\) sur \(Y\). Posons \(\alpha = [Z/X/Y]_r\) (exemple 0H4S). Soit \(W \subset Y\) un sous-schéma fermé dont la dimension \(\delta\) est \(\leq e\). Posons \(\beta = [W]_e\) (Homologie de Chow, définition 02QU). Si \(Z\) est plat sur \(Y\), alors \(\alpha \cap \beta = [Z \times_Y W]_{r + e}\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0H69 si l’on prend \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_Z\) et \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_W\).

Lemme

Soient \((S, \delta)\) et \(f : X \to Y\) comme ci-dessus. Supposons que \(f\) soit plat de dimension relative \(e\). Pour \(\beta \in Z_r(Y)\) , nous avons \(f^*\beta = [X/X/Y]_e \cap \beta\) dans \(Z_{e + r}(X)\).

Démonstration

Il suffit de démontrer l’égalité localement sur \(X\). Nous pouvons donc supposer \(Y\) affine. Dans ce cas, \(\beta\) est une combinaison linéaire finie à coefficients entiers de cycles premiers. Puisque les deux membres de l’égalité sont additifs en \(\beta\) , nous pouvons supposer \(\beta = [W]\), où \(W\) est un sous-schéma fermé intègre de \(Y\) de dimension \(\delta\) égale à \(r\). Soit \(f^{-1}(W) = W \times_Y X\) l’image inverse schématique de \(W\) dans \(X\). D’après le lemme 0H6A, nous avons \([X/X/Y]_e \cap \beta = [W \times_Y X]_{r + e}\) et, d’après Homologie de Chow, définition 02RB, nous avons \(f^*\beta = [f^{-1}(W)]_{r + e}\). Nous obtenons ainsi l’égalité voulue.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme ci-dessus. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien de schémas localement de type fini sur \(S\) tel que \(g\) soit propre. Soient \(r, e \geq 0\). Soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/Y\). Soit \(\beta' \in Z_e(Y')\). Alors \(f_*(g^*\alpha \cap \beta') = \alpha \cap g_*\beta'\).

Démonstration

Puisque nous démontrons une égalité de cycles sur \(X\), nous pouvons travailler localement sur \(Y\); voir le lemme 0H67. Nous pouvons donc supposer \(Y\) affine. Alors \(Y'\) est quasi-compact. En particulier, \(\beta'\) est une combinaison linéaire finie de cycles premiers. Puisque \(- \cap -\) est linéaire en la seconde variable (lemme 0H66), il suffit de démontrer l’égalité lorsque \(\beta' = [Z']\) pour un sous-schéma fermé intègre \(Z' \subset Y'\) de dimension \(\delta\) égale à \(e\). Posons \(Z = g(Z')\). C’est un sous-schéma fermé intègre de \(Y\) dont la dimension \(\delta\) est \(\leq e\). Pour simplifier, nous supposerons que \(Z\) est de dimension \(\delta\) égale à \(e\) et laisserons au lecteur l’autre cas (qui est plus facile). Soient \(y \in Z\) et \(y' \in Z'\) les points génériques. Écrivons \(\alpha_y = \sum m_j[V_j]\), où \(V_j \subset X_y\) sont des sous-schémas fermés intègres de dimension \(r\).

Supposons d’abord que \(g\) soit une immersion fermée. Alors \(g_*\beta' = [Z]\) et \((g^*\alpha)_{y'} = \sum n_j[V_j]\); cette expression a un sens car \(V_j\) est contenu dans le sous-schéma fermé \(X'_{y'}\) de \(X_y\). Dans ce cas, l’égalité est donc évidente : dans les deux membres, nous obtenons \(\sum m_j[\overline{V}_j]\), où \(\overline{V}_j\) est l’adhérence de \(V_j\) dans le sous-schéma fermé \(X' \subset X\).

Revenons au cas général où \(\beta' = [Z']\) comme ci-dessus. Posons \(W = Z \times_Y X\) et \(W' = Z' \times_{Y'} X'\). Considérons les carrés cartésiens \[\xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y } \quad \xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ Z' \ar[r] & Y' } \quad \xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ Z' \ar[r] & Z }\] Puisque le résultat est connu pour les deux premiers carrés d’après le paragraphe précédent, un argument formel montre qu’il suffit de démontrer le résultat pour le dernier carré et l’élément \(\beta' = [Z'] \in Z_e(Z')\). Cela nous ramène au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons que \(Y' \to Y\) soit un morphisme génériquement fini entre schémas intègres de dimension \(\delta\) égale à \(e\) et que \(\beta' = [Y']\). Dans ce cas, \(f_*(g^*\alpha \cap \beta')\) et \(\alpha \cap g_*\beta'\) sont tous deux des cycles qui s’écrivent comme des sommes de cycles premiers dominant \(Y\). Nous pouvons donc remplacer \(Y\) par un sous-schéma ouvert non vide afin de vérifier l’égalité. Après un tel remplacement, nous pouvons supposer \(g\) fini et plat, disons de degré \(d \geq 1\). Bien entendu, cela signifie que \(g_*\beta' = g_*[Y'] = d[Y]\). De plus, \(\beta' = [Y'] = g^*[Y]\). Ainsi \[f_*(g^*\alpha \cap \beta') = f_*(g^*\alpha \cap g^*[Y]) = f_*f^*(\alpha \cap [Y]) = d (\alpha \cap [Y]) = \alpha \cap g_*\beta'\] comme souhaité. La deuxième égalité est le lemme 0H68 et la troisième est Homologie de Chow, lemme 02RH.

Action sur les groupes de Chow

Lorsque \(\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif, l’opération \(\alpha \cap -\) de la section 0H65 passe au quotient par l’équivalence rationnelle et définit une classe bivariante.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la section 0H65. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme propre de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans Homologie de Chow, définition 02T8. Formons le diagramme \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] comme dans Homologie de Chow, remarque 0B6Y. Si \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\), alors \(i^*f_*\alpha' = g_*(i')^*\alpha'\) dans \(Z_k(D)\) pour tout \(\alpha' \in Z_{k + 1}(X')\).

Démonstration

L’énoncé a un sens puisque toutes les opérations sont définies au niveau des cycles ; pour les applications de Gysin, voir Homologie de Chow, remarque 0B6Z. Supposons que \(\alpha = [W']\) pour un sous-schéma fermé intègre \(W' \subset X'\). Posons \(W = f(W') \subset X\). Si \(W' \not \subset D'\), alors \(W \not \subset D\) et nous voyons que \[[W' \cap D']_k = \text{div}_{\mathcal{L}'|_{W'}}({s'|_{W'}}) \quad\text{et}\quad [W \cap D]_k = \text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s|_W)\] et donc l’image du premier cycle par \(f_*\) est égale au second d’après Homologie de Chow, lemme 02ST. L’égalité est donc vraie au niveau des cycles. Si \(W' \subset D'\), alors \(W \subset D\) et les deux membres sont nuls par construction.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la section 0H65. Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(r \geq 0\) et soit \(\alpha \in z(X/Y, r)\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/Y\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to Y)\) comme dans Homologie de Chow, définition 02T8. Formons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ E \ar[d] \ar[r]_j & X \ar[d] \\ D \ar[r]^i & Y }\] Voir Homologie de Chow, remarque 0B6Y. Si \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\), alors, pour \(e \in \mathbf{Z}\) , le diagramme \[\xymatrix{ Z_e(D) \ar[rr]_{i^*\alpha \cap -} & & Z_{e + r}(E) \\ Z_{e + 1}(Y) \ar[u]^{i^*} \ar[rr]^{\alpha \cap -} & & Z_{r + e + 1}(X) \ar[u]_{j^*} }\] est commutatif, les flèches verticales \(i^*\) et \(j^*\) étant les applications de Gysin sur les cycles définies dans Homologie de Chow, remarque 0B6Z.

Démonstration

Remarque préliminaire. Supposons que \(g : Y' \to Y\) soit une enveloppe (Homologie de Chow, définition 0GU5). Notons \(D', i', E', j', X', \alpha'\) les changements de base de \(D, i, E, j, X, \alpha\) par \(g\), et notons \(f : X' \to X\) la projection. Supposons le lemme vrai pour \(D', i', E', j', X', Y', \alpha'\). Alors, si \(\beta' \in Z_{e + 1}(Y')\), nous avons \[\begin{align*} i^*\alpha \cap i^*g_*\beta' & = i^*\alpha \cap f_*(i')^*\beta' \\ & = f_*(f^*i^*\alpha \cap (i')^*\beta') \\ & = f_*((i')^*\alpha' \cap (i')^*\beta') \\ & = f_*((j')^*(\alpha' \cap \beta')) \\ & = j^*(f_*(f^*\alpha \cap \beta')) \\ & = j^*(\alpha \cap g_*\beta') \end{align*}\] Ici, la première égalité est le lemme 0H6D, la deuxième le lemme 0H6B, la troisième la définition de \(\alpha'\), la quatrième résulte de l’hypothèse selon laquelle notre lemme est vrai pour \(D', i', E', j', X', \alpha'\), la cinquième est le lemme 0H6D, et la sixième le lemme 0H6B. Nous voyons ainsi que notre lemme est vrai pour tout cycle appartenant à l’image de \(g_* : Z_{e + 1}(Y') \to Z_e(Y)\). Cependant, puisque \(g\) est complètement décomposé, cette application est surjective ; nous en concluons que le lemme est vrai pour \(D, i, E, j, X, Y, \alpha\).

Soit \(\beta \in Z_{e + 1}(Y)\). Nous devons montrer que \((D \to Y)^*\alpha \cap i^*\beta = j^*(\alpha \cap \beta)\) au niveau des cycles sur \(E\). Cette question est locale sur \(E\) ; nous pouvons donc remplacer \(X\) et \(Y\) par des sous-schémas ouverts. (Nous utilisons ici le fait que la formation des opérateurs \(i^*\), \(j^*\), \(\alpha \cap -\) et \((D \to Y)^*\alpha \cap -\) commute à la localisation. Cela est évident pour les applications de Gysin et résulte du lemme 0H67 pour les autres.) Nous pouvons donc supposer que \(X\) et \(Y\) sont affines et nous ramener au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons \(X\) et \(Y\) quasi-compacts. D’après le premier paragraphe de la preuve et le lemme 0H59, nous pouvons en outre supposer que \(\alpha\) appartient à l’image de (0H58). Par linéarité des opérations considérées, nous pouvons supposer que \(\alpha = [Z/X/Y]_r\) pour un sous-schéma fermé \(Z \subset X\), plat et de dimension relative \(\leq r\) sur \(Y\). De plus, puisque \(Y\) est quasi-compact, le cycle \(\beta\) est une combinaison linéaire finie de cycles premiers. Les opérations considérées étant linéaires, il suffit de démontrer l’égalité lorsque \(\beta = [W]\) pour un sous-schéma fermé intègre \(W \subset Y\) de \(\delta\)-dimension \(e + 1\).

Si \(W \subset D\), alors, d’une part, \(i^*[W] = 0\) et, d’autre part, \(\alpha \cap [W]\) est supporté sur \(E\), de sorte que \(j^*(\alpha \cap [W]) = 0\). L’égalité est donc vraie dans ce cas.

Supposons \(W \not \subset D\). Alors \(i^*[W] = [D \cap W]_e\). Notons que l’image inverse \(i^*\alpha\) de \(\alpha = [Z/X/Y]_r\) par \(i\) est \([(E \cap Z)/E/D]_r\) et que \((E \cap Z) = E \times_Y Z = D \times_Y Z\) est plat sur \(D\). Le lemme 0H6A, appliqué deux fois, donne donc \[i^*\alpha \cap i^*[W] = [(E \cap Z) \times_D (D \cap W)]_{r + e} = [E \cap (Z \times_Y W)]_{r + e} = j^*(\alpha \cap [W])\] comme voulu.

Proposition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la section 0H65. Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(r \geq 0\) et soit \(\alpha \in z(X/Y, r)\) un \(r\)-cycle relatif sur \(X/Y\). La règle qui, à tout morphisme \(g : Y' \to Y\) localement de type fini et à tout \(e \in \mathbf{Z}\), associe l’opération \[g^*\alpha \cap - : Z_e(Y') \to Z_{r + e}(X')\] où \(X' = Y' \times_Y X\), passe au quotient par l’équivalence rationnelle et définit une classe bivariante \(c(\alpha) \in A^{-r}(X \to Y)\).

Démonstration

L’opération passe au quotient par l’équivalence rationnelle d’après le lemme 0H6E et Homologie de Chow, lemme 0B7A. L’opération ainsi obtenue sur les groupes de Chow est une classe bivariante d’après Homologie de Chow, lemme 0F9A et les lemmes 0H6B, 0H68, et 0H6E.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la section 0H65. Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(r \geq 0\). Soit \(c\) une règle qui, à tout morphisme \(g : Y' \to Y\) localement de type fini et à tout \(e \in \mathbf{Z}\), associe une opération \[c \cap - : Z_e(Y') \to Z_{r + e}(X')\] compatible avec l’image directe propre et l’image inverse plate, ainsi qu’avec les applications de Gysin comme dans le lemme 0H6E. Nous affirmons qu’il existe un \(r\)-cycle relatif \(\alpha\) sur \(X/Y\) tel que \(c \cap = g^*\alpha \cap -\) pour tout \(g\) comme ci-dessus. Si nous en avons besoin, nous en donnerons ici un énoncé précis et une preuve détaillée.

Composition des familles de cycles sur les fibres

Soient \(X \to Y \to S\) des morphismes de schémas, tous deux localement de type fini. Soient \(r, e \geq 0\). Soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/Y\) et \(\beta\) une famille de \(e\)-cycles sur les fibres de \(Y/S\). Alors nous obtenons une famille de \((r + e)\)-cycles \(\alpha \circ \beta\) sur les fibres de \(X/S\) en posant \[(\alpha \circ \beta)_s = (Y_s \to Y)^*\alpha \cap \beta_s\] Plus précisément, l’expression \((Y_s \to Y)^*\alpha\) désigne le changement de base de \(\alpha\) par \(Y_s \to Y\), qui est une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X_s/Y_s\) ; l’opération \(- \cap -\) a été définie et étudiée dans la section 0H65⁴

Lemme

La construction ci-dessus est bilinéaire, c’est-à-dire que nous avons \((\alpha_1 + \alpha_2) \circ \beta \alpha_1 \circ \beta + \alpha_1 \circ \beta\) et \(\alpha \circ (\beta_1 + \beta_2) = \alpha \circ \beta_1 + \alpha \circ \beta_2\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : sur les fibres, la construction est bilinéaire d’après le lemme 0H66.

Lemme

Si \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) sont ouverts et \(f(U) \subset V\), alors \((\alpha \circ \beta)|_U\) est égal à \(\alpha|_U \circ \beta|_V\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : sur les fibres, appliquer le lemme 0H67.

Lemme

La formation de \(\alpha \circ \beta\) est compatible avec le changement de base.

Démonstration

Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas. Notons \(X' \to Y'\) le changement de base de \(X \to Y\) par \(g\). Notons \(\alpha'\) le changement de base de \(\alpha\) par rapport à \(Y' \to Y\). Notons \(\beta'\) le changement de base de \(\beta\) par rapport à \(S' \to S\). L’assertion signifie que \(\alpha' \circ \beta'\) est le changement de base de \(\alpha \circ \beta\) par \(g : S' \to S\).

Soit \(s' \in S'\) un point d’image \(s \in S\). Alors \[(\alpha' \circ \beta')_{s'} = (Y'_{s'} \to Y')^*\alpha' \cap \beta'_{s'}\] Nous observons que \[(Y'_{s'} \to Y')^*\alpha' = (Y'_{s'} \to Y')^*(Y' \to Y)^*\alpha = (Y'_{s'} \to Y_s)^*(Y_s \to Y)^*\alpha\] et que \(\beta'_{s'}\) est le changement de base de \(\beta_s\) par \(s' = \Spec(\kappa(s')) \to \Spec(\kappa(s)) = s\). Par conséquent, le résultat découle du lemme 0H68 appliqué à \((Y_s \to Y)^*\alpha\), \(\beta_s\), \(X_s \to Y_s \to s\), et au changement de base par \(s' \to s\).

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to S\) des morphismes de schémas, tous deux localement de type fini. Soient \(r, e \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini, avec \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_y)) \leq r\) pour tout \(y \in Y\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent de type fini, avec \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{G}_s)) \leq e\) pour tout \(s \in S\). Si \(\alpha = [\mathcal{F}/X/Y]_r\) et \(\beta = [\mathcal{G}/Y/S]_e\) (Exemple 0H4Q) et \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\), alors \(\alpha \circ \beta = [\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}/X/S]_{r + e}\).

Démonstration

Tout d’abord, nous observons que \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\). Observons que \[(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})_s = \mathcal{F}_s \otimes_{\mathcal{O}_{X_s}} f_s^*\mathcal{G}_s\] par l’exactitude à droite du produit tensoriel. De plus, \(\mathcal{F}_s\) est plat sur \(Y_s\), puisqu’il s’obtient par changement de base d’un module plat. Ainsi, l’égalité \((\alpha \circ \beta)_s = [(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})_s]_{r + e}\) découle du lemme 0H69.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to S\) des morphismes de schémas, tous deux localement de type fini. Soient \(r, e \geq 0\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé de dimension relative \(\leq r\) sur \(Y\). Soit \(W \subset Y\) un sous-schéma fermé de dimension relative \(\leq e\) sur \(S\). Si \(\alpha = [Z/X/Y]_r\) et \(\beta = [W/Y/S]_e\) (Exemple 0H4S) et \(Z\) est plat sur \(Y\), alors \(\alpha \circ \beta = [Z \times_Y W/X/S]_{r + e}\).

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du lemme 0H6L si nous prenons \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_Z\) et \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_W\).

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(Y \to S\) des morphismes de schémas, tous deux localement de type fini. Supposons que \(f\) soit plat de dimension relative \(e\). Soit \(\beta\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(Y/S\). Alors \(f^*\beta = [X/X/Y]_e \circ \beta\) comme familles de \((e + r)\)-cycles sur \(X/S\).

Démonstration

En déroulant les définitions et en utilisant la compatibilité de la formation de \([X/X/Y]_e\) avec le changement de base (lemme 0H4T), on conclut par le lemme relative-cycles-lemma-flat-pullback-as-action.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_f \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien de schémas localement de type fini sur \(S\) avec \(g\) propre. Soient \(r, e \geq 0\). Soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/Y\). Soit \(\beta'\) une famille de \(e\)-cycles sur les fibres de \(Y'/S\). Alors nous avons \(f_*(g^*(\alpha) \circ \beta') = \alpha \circ g_*\beta'\).

Démonstration

En déroulant les définitions, cela découle du lemme 0H6B.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, situation 02QL. Soient \(X \to Y \to Z\) des morphismes de schémas localement de type fini sur \(S\). Soient \(r, s, e \geq 0\). Alors \[(\alpha \circ \beta) \cap \gamma = \alpha \cap (\beta \cap \gamma) \quad\text{dans}\quad Z_{r + s + e}(X)\] où \(\alpha\) est une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/Y\), \(\beta\) est une famille de \(s\)-cycles sur les fibres de \(Y/Z\), et \(\gamma \in Z_e(Z)\).

Démonstration

Puisque nous prouvons une égalité de cycles sur \(X\), nous pouvons travailler localement sur \(Z\) ; voir le lemme 0H67. Ainsi nous pouvons supposer que \(Z\) est affine. En particulier, \(\gamma\) est une combinaison linéaire finie de cycles premiers. Puisque \(- \cap -\) est linéaire en la seconde variable (lemme 0H66), il suffit de prouver l’égalité lorsque \(\gamma = [W]\) pour un sous-schéma fermé intègre \(W \subset Z\) de \(\delta\)-dimension \(e\).

Soit \(z \in W\) le point générique. Écrivons \(\beta_z = \sum m_j[V_j]\) dans \(Z_s(Y_z)\). Alors \(\beta \cap \gamma\) est égal à \(\sum m_j[\overline{V}_j]\) où \(\overline{V}_j \subset Y\) est un sous-schéma fermé intègre dont l’image par \(Y \to Z\) est contenue dans \(W\) et dont la fibre générique est \(V_j\). Soit \(y_j \in V_j\) le point générique. Nous le considérons aussi comme le point générique de \(\overline{V}_j\) (envoyé sur \(z\) dans \(W\)). Écrivons \(\alpha_{y_j} = \sum n_{jk} [W_{jk}]\) dans \(Z_r(X_{y_j})\). Alors \(\alpha \cap (\beta \cap \gamma)\) est égal à \[\sum m_j n_{jk} [\overline{W}_{jk}]\] où \(\overline{W}_{jk} \subset X\) est un sous-schéma fermé intègre dont l’image par \(X \to Y\) est contenue dans \(\overline{V}_j\) et dont la fibre générique est \(W_{jk}\).

D’autre part, considérons \[(\alpha \circ \beta)_z = (Y_z \to Y)^*\alpha \cap \beta_z = (Y_z \to Y)^*\alpha \cap (\sum m_j [V_j])\] Par la construction de \(- \cap -\), ceci est égal au cycle \[\sum m_j n_{jk} [(\overline{W}_{jk})_z]\] sur \(X_z\). Ainsi, par définition, nous obtenons \[(\alpha \circ \beta) \cap [W] = \sum m_j n_{jk} [\widetilde{W}_{jk}]\] où \(\widetilde{W}_{jk} \subset X\) est un sous-schéma fermé intègre dont l’image par \(X \to Z\) est contenue dans \(W\) et dont la fibre générique est \((\overline{W}_{jk})_z\). Il est clair que \(\widetilde{W}_{jk} = \overline{W}_{jk}\) , ce qui achève la preuve.

Composition des cycles relatifs

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Nous allons définir une application \[z(X/Y, r) \otimes_\mathbf{Z} z(Y/S, e) \longrightarrow z(X/S, r + e),\quad \alpha \otimes \beta \longmapsto \alpha \circ \beta\] en utilisant la construction de la section 0H6H. Nous savons déjà que la construction est bilinéaire (lemme 0H6I) ; pour obtenir la flèche affichée, il reste donc à établir le lemme suivant.

Lemme

Si \(\alpha\) et \(\beta\) sont des cycles relatifs, alors il en est de même pour \(\alpha \circ \beta\).

Démonstration

La formation de \(\alpha \circ \beta\) est compatible avec le changement de base d’après le lemme 0H6K. Ainsi, nous pouvons supposer que \(S\) est le spectre d’un anneau de valuation discrète avec point générique \(\eta\) et point fermé \(0\) et nous devons montrer que \(sp_{X/S}((\alpha \circ \beta)_\eta) = (\alpha \circ \beta)_0\). Puisque nous essayons de prouver une égalité de cycles, nous pouvons travailler localement sur \(Y\) et \(X\) (on utilise les lemmes 0H6J et 0H4L pour voir que les constructions commutent avec la restriction). Ainsi, nous pouvons supposer que \(X\) et \(Y\) sont affines. D’après le lemme 0H59, nous pouvons trouver un morphisme propre complètement décomposé \(g : Y' \to Y\) tel que \(g^*\alpha\) soit dans l’image de (0H58).

Comme le morphisme \(g_\eta : Y'_\eta \to Y_\eta\) est complètement décomposé, nous pouvons trouver \(\beta'_\eta \in Z_e(Y'_\eta)\) tel que \(\beta_\eta = \sum g_{\eta, *}\beta'_\eta\) ; voir Homologie de Chow, lemme 0GU8. Posons \(\beta'_0 = sp_{Y'/S}(\beta'_\eta)\), de sorte que \(\beta' = (\beta'_\eta, \beta'_0)\) soit un \(e\)-cycle relatif sur \(Y'/S\). Alors \(g_*\beta'\) et \(\beta\) sont des \(e\)-cycles relatifs sur \(Y/S\) (lemme 0H51) qui ont la même valeur en \(\eta\) et sont donc égaux (lemme 0H55). Par linéarité (lemme 0H6I), il suffit de montrer que \(\alpha \circ g_*\beta'\) est un \((r + e)\)-cycle relatif.

Posons \(X' = X \times_Y Y'\) et notons \(f : X' \to X\) la projection. D’après le lemme 0H6N, on a \(\alpha \circ g_*\beta' = f_*(g^*\alpha \circ \beta')\). D’après le lemme 0H51, il suffit de montrer que \(g^*\alpha \circ \beta'\) est un \((r + e)\)-cycle relatif. En utilisant le lemme 0H5A et la bilinéarité, cela nous ramène au cas discuté dans le paragraphe suivant.

Supposons \(\alpha = [Z/X/Y]_r\) et \(\beta = [W/Y/S]\) où \(Z \subset X\) est un sous-schéma fermé plat et de dimension relative \(\leq r\) sur \(Y\) et \(W \subset Y\) est un sous-schéma fermé plat et de dimension relative \(\leq e\) sur \(S\). D’après le lemme 0H6M, on a \[\alpha \circ \beta = [Z \times_X W/X/S]_{r + e}\] et \(Z \times_X W \subset X\) est un sous-schéma fermé plat sur \(S\) de dimension relative \(\leq r + e\). C’est un \((r + e)\)-cycle relatif d’après le lemme 0H57.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Supposons que \(S\) soit localement noethérien, que \(g\) soit localement de type fini et plat de dimension relative \(e \ge 0\), et \(f\) localement de type fini et plat de dimension relative \(r \geq 0\). Alors \([X/X/Y]_r \circ [Y/Y/S]_e = [X/X/S]_{r + e}\) dans \(z(X/S, r + e)\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0H6M.

Comparaison avec Suslin et Voevodsky

Nous avons cherché à employer les mêmes notations que dans [SV], sauf que notre notation pour les cycles est tirée d’Homologie de Chow, section 02QQ et suivantes. Voici la comparaison :

1. Dans [SV, section 3.1] , il existe une notion de « cycle relatif », de « cycle relatif de dimension \(r\) » et de « cycle relatif équidimensionnel de dimension \(r\) ». Il n’existe pas de notion correspondante dans ce chapitre. Par conséquent, les groupes \(Cycl(X/S, r)\), \(Cycl_{equi}(X/S, r)\), \(PropCycl(X/S, r)\) et \(PropCycl_{equi}(X/S, r)\) n’ont pas de correspondants dans ce chapitre.

2. En bas de [SV, page 36] , les groupes \(z(X/S, r)\), \(c(X/S, r)\), \(z_{equi}(X/S, r)\) et \(c_{equi}(X/S, r)\) sont définis. Ceux-ci correspondent à nos notions lorsque \(S\) est séparé et noethérien, et \(X \to S\) est séparé et de type fini.

3. Dans [SV] , le symbole \(z(X/S, r)\) est parfois utilisé pour le préfaisceau \(S' \mapsto z(S' \times_S X/S', r)\) sur la catégorie des schémas de type fini sur \(S\). De même pour \(c(X/S, r)\), \(z_{equi}(X/S, r)\) et \(c_{equi}(X/S, r)\).

4. Le changement de base, l’image inverse plate et l’image directe propre définis dans [SV] coïncident avec les nôtres lorsque les deux définitions s’appliquent.

5. Pour \(\alpha \in z(X/S, r)\), l’opération \(\alpha \cap - : Z_e(S) \to Z_{e + r}(X)\) définie dans la section 0H65 coïncide avec l’opération \(Cor(\alpha, -)\) de [SV, section 3.7] lorsque les deux sont définies.

6. Pour \(X \to Y \to S\), la loi de composition \(z(X/Y, r) \otimes_\mathbf{Z} z(Y/S, e) \longrightarrow z(X/S, r + e)\) définie dans la section 0H6Q coïncide avec l’opération \(Cor_{X/Y}(-, -)\) de [SV, corollaire 3.7.5].

Cycles relatifs dans le cas non noethérien

Nous recommandons vivement au lecteur de passer cette section.

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas de présentation finie. Soit \(r \geq 0\). On note \(Hilb(X/S, r)\) l’ensemble des sous-schémas fermés \(Z \subset X\) tels que \(Z \to S\) soit plat, de présentation finie, et de dimension relative \(\leq r\). Nous considérons l’homomorphisme de groupes [0H6V]\[\begin{equation} \begin{matrix} \text{groupe abélien libre} \\ \text{engendré par }Hilb(X/S, r) \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{familles de }r\text{-cycles}\\ \text{sur les fibres de }X/S \end{matrix} \end{equation}\] qui envoie \(\sum n_i[Z_i]\) sur \(\sum n_i[Z_i/X/S]_r\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de présentation finie. Soit \(r \geq 0\) et soit \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X/S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & X_0 \ar[d] \\ S \ar[r] & S_0 }\] où \(X_0 \to S_0\) est un morphisme de type fini de schémas noethériens et \(\alpha_0 \in z(X_0/S_0, r)\) tel que \(\alpha\) soit le changement de base de \(\alpha_0\) par \(S \to S_0\)

2. il existe un morphisme propre complètement décomposé \(g : S' \to S\) de présentation finie tel que \(g^*\alpha\) soit dans l’image de (0H6V).

Démonstration

Supposons donnés un diagramme et \(\alpha_0 \in z(X_0/S_0, r)\) comme dans (1). D’après le lemme 0H59, il existe un morphisme propre complètement décomposé \(g_0 : S'_0 \to S_0\) tel que \(g_0^*\alpha_0\) soit dans l’image de (0H6V). En effet, puisque \(S'_0\) est noethérien, tout sous-schéma fermé de \(S'_0 \times_{S_0} X_0\) est de présentation finie sur \(S'_0\). En posant \(S' = S \times_{S_0} S'_0\) et en utilisant le changement de base par \(S' \to S'_0\), on voit que (2) est vérifiée.

Réciproquement, supposons (2) vérifiée. Choisissons un morphisme propre complètement décomposé \(g : S' \to S\) de présentation finie tel que \(g^*\alpha\) soit dans l’image de (0H6V). Posons \(X' = S' \times_S X\). Écrivons \(g^*\alpha = \sum n_a [Z_a/X'/S']_r\) pour certains sous-schémas fermés \(Z_a \subset X'\) , plats, de présentation finie et de dimension relative \(\leq r\) sur \(S'\).

Écrivons \(S = \lim S_i\), où le système d’indices est filtrant, les morphismes de transition sont affines et les \(S_i\) sont de type fini sur \(\mathbf{Z}\) ; voir Limites, proposition 01ZA. Pour \(i\) suffisamment grand, il existe

1. un morphisme propre complètement décomposé \(g_i : S'_i \to S_i\) dont le changement de base à \(S\) est \(g : S' \to S\),

2. en posant \(X'_i = S'_i \times_{S_i} X_i\) , des sous-schémas fermés \(Z_{ai} \subset X'_i\), plats et de dimension relative \(\leq r\) sur \(S'_i\), dont le changement de base à \(S'\) est \(Z_a\).

Pour ce faire, on utilise Limites, lemmes 01ZM, 01ZP, 04AI, 07RR, 081F et 05M5, ainsi que Compléments sur les morphismes, lemme 0GTM. Considérons \(\alpha'_i = \sum n_a [Z_{ai}/X'_i/S_i]_r \in z(X'_i/S'_i, r)\). Le changement de base de \(\alpha'_i\), vu comme une famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X'/S'\), coïncide avec le changement de base \(g^*\alpha\) par construction.

Posons \(S''_i = S'_i \times_{S_i} S'_i\) et \(X''_i = S''_i \times_{S_i} X_i\) , puis \(S'' = S' \times_S S'\) et \(X'' = S'' \times_S X\). Notons \(\text{pr}_1, \text{pr}_2 : S'' \to S'\) et \(\text{pr}_1, \text{pr}_2 : S''_i \to S'_i\) les projections. Les \(r\)-cycles relatifs \(\text{pr}_1^*\alpha'_i\) et \(\text{pr}_1^*\alpha'_i\) sur la base \(X''_i/S''_i\) deviennent après changement de base la même famille de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X''/S''\) parce que \(\text{pr}_1^*g^*\alpha = \text{pr}_1^*g^*\alpha\). Par conséquent, l’image du morphisme \(S'' \to S''_i\) est contenue dans \(E = \{s \in S''_i : (\text{pr}_1^*\alpha'_i)_s = (\text{pr}_1^*\alpha'_i)_s\}\). D’après le lemme 0H5C, il s’agit d’un sous-ensemble fermé. Comme \(S'' = \lim_{i' \geq i} S''_{i'}\), le lemme 05F4 de Limites montre que, pour un certain \(i' \geq i\), l’image du morphisme \(S''_{i'} \to S''_i\) est contenue dans \(E\). Par conséquent, après avoir remplacé \(i\) par \(i'\), nous pouvons supposer que \(\text{pr}_1^*\alpha'_i = \text{pr}_1^*\alpha'_i\). D’après le lemme 0H4X, nous obtenons une famille unique \(\alpha_i\) de \(r\)-cycles sur les fibres de \(X_i/S_i\) avec \(g_i^*\alpha_i = \alpha'_i\) (cela utilise le fait que \(S'_i \to S_i\) est complètement décomposé). D’après le lemme 0H52, on a \(\alpha_i \in z(X_i/S_i, r)\). L’unicité dans le lemme 0H4X implique que le changement de base de \(\alpha_i\) est \(\alpha\) ; ainsi (1) est vérifiée.

Discussion. Si \(f : X \to S\), \(r\) et \(\alpha\) sont comme dans le lemme 0H6W, il est naturel de dire que \(\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\) si les conditions équivalentes (1) et (2) du lemme 0H6W sont satisfaites. Cette définition possède de nombreuses propriétés utiles ; par exemple, elle est compatible avec la définition précédente lorsque \(S\) est noethérien, et la plupart des résultats de la section 0H4Z se généralisent à ce cadre.

Nous pouvons encore généraliser comme suit. Supposons \(S\) arbitraire et \(f : X \to S\) localement de présentation finie. Soient \(r \geq 0\) et \(\alpha\) une famille de \(r\)-cycles, notée \(\alpha\), sur les fibres de \(X/S\). Alors \(\alpha\) est un \(r\)-cycle relatif sur \(X/S\) si, pour tous ouverts affines \(U \subset X\) et \(V \subset S\) tels que \(f(U) \subset V\) , la restriction \(\alpha|_U\) est un \(r\)-cycle relatif sur \(U/V\) au sens du paragraphe précédent. Là encore, beaucoup des résultats antérieurs se généralisent à ce cadre.

Si nous avons besoin de ces généralisations, nous les énoncerons et les prouverons soigneusement ici.