Cohomologie pro-étale

Introduction

Le contenu de ce chapitre, et davantage encore, se trouve dans la prépublication [BS].

Le but de ce chapitre est d’introduire la topologie pro-étale et de développer les fondements de la cohomologie des faisceaux abéliens dans cette topologie. Un objectif secondaire est de montrer comment l’emploi de la topologie pro-étale simplifie l’introduction de la cohomologie \(\ell\)-adique en géométrie algébrique.

Voici un bref aperçu de l’histoire de la cohomologie étale \(\ell\)-adique telle que nous l’avons comprise. Dans [SGA5, Exposés V et VI], Grothendieck et ses collaborateurs ont développé une théorie qui traite les faisceaux \(\ell\)-adiques comme des systèmes projectifs de faisceaux de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-modules. Dans son second article sur les conjectures de Weil ([WeilII]), Deligne a introduit une catégorie dérivée de faisceaux \(\ell\)-adiques comme une certaine 2-limite de catégories de complexes de faisceaux de \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\)-modules sur le site étale d’un schéma \(X\). Cette approche sert, dans l’article de Beilinson, Bernstein et Deligne ([BBD]), de fondement à leur belle théorie des faisceaux pervers. Dans un article intitulé “Cohomologie étale continue” ([Jannsen]), Uwe Jannsen examine une variante importante de la cohomologie d’un faisceau \(\ell\)-adique sur une variété sur un corps. Son article est prolongé par un article de Torsten Ekedahl ([Ekedahl]), qui ètudie le formalisme adique nécessaire pour manier commodément les catégories dérivées définies comme des limites.

Il se trouve qu’en travaillant avec le site pro-étale d’un schéma, on peut èviter certaines des difficultés techniques rencontrées par ces auteurs. Cela oblige en contrepartie à travailler avec des schémas non noethériens, même lorsque l’on ne s’intéresse qu’aux faisceaux \(\ell\)-adiques et à leur cohomologie sur des variétés définies sur un corps algébriquement clos.

Une propriété très importante et remarquable du (petit) site pro-étale d’un schéma est qu’il possède assez d’objets quasi-compacts w-contractiles. L’existence de ces objets entraîne plusieurs conséquences utiles et (peut-être) inhabituelles pour la catégorie dérivée des faisceaux abéliens et pour les systèmes projectifs de faisceaux. C’est précisément cette propriété qui nous permettra de traiter les subtilités propres aux faisceaux \(\ell\)-adiques; mais, comme nous le verrons, elle présente aussi plusieurs autres avantages.

Quelques èléments de topologie

Quelques préliminaires. Nous avons défini les espaces spectraux et les applications spectrales entre espaces spectraux dans Topologie, section 08YF. Le spectre d’un anneau est un espace spectral; voir Algèbre, lemme 090M.

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral. Soit \(X_0 \subset X\) l’ensemble des points fermés. Les conditions suivantes sont èquivalentes:

1. Tout recouvrement ouvert de \(X\) peut être raffiné par une décomposition finie en union disjointe \(X = \coprod U_i\), où les \(U_i\) sont ouverts et fermés dans \(X\).

2. L’application composée \(X_0 \to X \to \pi_0(X)\) est bijective.

De plus, si \(X_0\) est fermé dans \(X\) et si tout point de \(X\) se spécialise en un unique point de \(X_0\), alors ces conditions sont satisfaites.

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention le fait que \(X_0\) est quasi-compact (Topologie, lemme 08ZM) et que \(\pi_0(X)\) est profini (Topologie, lemme 0906). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X_0 \ar[rd]_f \ar[r] & X \ar[d]^\pi \\ & \pi_0(X) }\] Si (2) est satisfaite, l’application continue bijective \(f : X_0 \to \pi_0(X)\) est un homéomorphisme d’après Topologie, lemme 08YE. Étant donné un recouvrement ouvert \(X = \bigcup U_i\), on obtient le recouvrement ouvert \(\pi_0(X) = \bigcup f(X_0 \cap U_i)\). D’après Topologie, lemme 08ZZ, il existe un recouvrement ouvert fini de la forme \(\pi_0(X) = \coprod V_j\) qui raffine ce recouvrement. Puisque \(X_0 \to \pi_0(X)\) est bijective, chaque composante connexe de \(X\) possède un unique point fermé et est donc l’ensemble des points qui se spécialisent en ce point fermé. Ainsi \(\pi^{-1}(V_j)\) est l’ensemble des points qui se spécialisent en des points de \(f^{-1}(V_j)\). Or, si \(f^{-1}(V_j) \subset X_0 \cap U_i \subset U_i\), alors \(\pi^{-1}(V_j) \subset U_i\) (car l’ouvert \(U_i\) est stable par générisation). On voit donc que le recouvrement ouvert \(X = \coprod \pi^{-1}(V_j)\) raffine le recouvrement de départ. Cela montre que (2) implique (1).

Supposons (1). Soient \(x, y \in X\) des points fermés. On a alors le recouvrement ouvert \(X = (X \setminus \{x\}) \cup (X \setminus \{y\})\). Il résulte de (1) qu’il existe une décomposition en union disjointe \(X = U \amalg V\), avec \(U\) et \(V\) ouverts (et fermés), \(x \in U\) et \(y \in V\). En particulier, toute composante connexe de \(X\) possède au plus un point fermé. D’après Topologie, lemme 005E, toute composante connexe (qui est fermée) possède aussi un point fermé. Ainsi \(X_0 \to \pi_0(X)\) est bijective. Cela montre que (1) implique (2).

Supposons que \(X_0\) soit fermé dans \(X\) et que tout point se spécialise en un unique point de \(X_0\). Alors \(X_0\) est un espace spectral (Topologie, lemme 0902) constitué de points fermés, donc profini (Topologie, lemme 0905). Soient \(x, y \in X_0\) distincts. D’après Topologie, lemme 08ZZ, il existe une décomposition en union disjointe \(X_0 = U_0 \amalg V_0\), où \(U_0\) et \(V_0\) sont ouverts et fermés, avec \(x \in U_0\) et \(y \in V_0\). Soient \(U \subset X\), resp. \(V \subset X\), les ensembles formés des points qui se spécialisent en un point de \(U_0\), resp. de \(V_0\). On a \(X = U \amalg V\). D’après Topologie, lemme 0A31, \(U\) est une intersection d’ouverts quasi-compacts. Ainsi \(U\) est fermé pour la topologie constructible. Puisque \(U\) est stable par spécialisation, \(U\) est fermé d’après Topologie, lemme 0903. Par symétrie, \(V\) est fermé; ainsi \(U\) et \(V\) sont tous deux ouverts et fermés. Cela prouve que \(x, y\) n’appartiennent pas à la même composante connexe de \(X\). Autrement dit, \(X_0 \to \pi_0(X)\) est injective. Elle est aussi surjective d’après Topologie, lemme 005E et le fait que les composantes connexes sont fermées. On voit ainsi que la dernière condition implique (2).

Exemple

Soit \(T\) un espace profini. Soit \(t \in T\) un point et supposons que \(T \setminus \{t\}\) ne soit pas quasi-compact. Posons \(X = T \times \{0, 1\}\). Munissons \(X\) de la topologie dont une prébase est donnée par les ensembles \(U \times \{0, 1\}\) pour \(U \subset T\) ouvert, \(X \setminus \{(t, 0)\}\), et \(U \times \{1\}\) pour \(U \subset T\) ouvert tel que \(t \not \in U\). L’ensemble des points fermés de \(X\) est \(X_0 = T \times \{0\}\), et \((t, 1)\) appartient à l’adhérence de \(X_0\). De plus, \(X_0 \to \pi_0(X)\) est bijective. Cet exemple montre que les conditions (1) et (2) du lemme 0968 n’impliquent pas que l’ensemble des points fermés soit fermé.

Il est en fait plus commode de travailler avec des espaces spectraux qui possèdent la propriété un peu plus forte mentionnée dans le dernier ènoncé du lemme 0968. Nous donnons un nom à cette propriété.

Définition

Un espace spectral \(X\) est dit w-local si l’ensemble \(X_0\) de ses points fermés est fermé et si tout point de \(X\) se spécialise en un unique point fermé. Une application continue \(f : X \to Y\) entre espaces w-locaux est dite w-locale si elle est spectrale et envoie tout point fermé de \(X\) sur un point fermé de \(Y\).

Nous avons vu dans la démonstration du lemme 0968 que, dans ce cas, \(X_0 \to \pi_0(X)\) est un homéomorphisme et que \(X_0 \cong \pi_0(X)\) est un espace profini. De plus, une composante connexe de \(X\) est exactement l’ensemble des points qui se spécialisent en un \(x \in X_0\) donné.

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral w-local. Si \(Y \subset X\) est fermé, alors \(Y\) est w-local.

Démonstration

Le sous-ensemble \(Y_0 \subset Y\) des points fermés est fermé puisque \(Y_0 = X_0 \cap Y\). Comme \(X\) est \(w\)-local, tout \(y \in Y\) se spécialise en un unique point de \(X_0\). Ce point appartient à \(Y\), et donc aussi à \(Y_0\), puisque \(\overline{\{y\}}\subset Y\). En conclusion, \(Y\) est \(w\)-local.

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral. Supposons que \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] soit un diagramme cartésien dans la catégorie des espaces topologiques, où \(T\) est profini. Alors \(Y\) est spectral et \(T = \pi_0(Y)\). Si de plus \(X\) est w-local, alors \(Y\) est w-local, \(Y \to X\) est w-locale, et l’ensemble des points fermés de \(Y\) est l’image réciproque de l’ensemble des points fermés de \(X\).

Démonstration

Notons que \(Y\) est un sous-espace fermé de \(X \times T\), car \(\pi_0(X)\) est un espace profini, donc séparé (utiliser Topologie, lemmes 0906 et 08ZH). Comme \(X \times T\) est spectral (Topologie, lemme 0907), il s’ensuit que \(Y\) est spectral (Topologie, lemme 0902). Considérons la factorisation canonique \(Y \to \pi_0(Y) \to T\) (Topologie, lemme 08ZL). Il est clair que \(\pi_0(Y) \to T\) est surjective. Les fibres de \(Y \to T\) sont homéomorphes aux fibres de \(X \to \pi_0(X)\). Elles sont donc connexes. Il s’ensuit que \(\pi_0(Y) \to T\) est injective. On en conclut que \(\pi_0(Y) \to T\) est un homéomorphisme d’après Topologie, lemme 08YE.

Supposons ensuite \(X\) w-local et notons \(X_0 \subset X\) l’ensemble des points fermés. L’image réciproque \(Y_0 \subset Y\) de \(X_0\) dans \(Y\) s’identifie à \(T\) par une bijection, car \(X_0 \to \pi_0(X)\) est bijective d’après le lemme 0968. De plus, \(Y_0\) est quasi-compact comme sous-ensemble fermé de l’espace spectral \(Y\). Par conséquent, \(Y_0 \to \pi_0(Y) = T\) est un homéomorphisme d’après Topologie, lemme 08YE. Il s’ensuit que tous les points de \(Y_0\) sont fermés dans \(Y\). Réciproquement, si \(y \in Y\) est un point fermé, alors il est fermé dans la fibre de \(Y \to \pi_0(Y) = T\); son image \(x\) dans \(X\) est donc fermé dans la fibre (homéomorphe) de \(X \to \pi_0(X)\). Cela implique \(x \in X_0\), puis \(y \in Y_0\). Ainsi \(Y_0\) est l’ensemble des points fermés de \(Y\), et, pour tout \(y \in Y_0\), l’ensemble des générisations de \(y\) est la fibre de \(Y \to \pi_0(Y)\). Le lemme en résulte.

Isomorphismes locaux

Commençons par une définition.

Définition

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme d’anneaux.

1. On dit que \(A \to B\) est un isomorphisme local si, pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B\), il existe \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\), tel que \(A \to B_g\) induise une immersion ouverte \(\Spec(B_g) \to \Spec(A)\).

2. On dit que \(A \to B\) identifie les anneaux locaux si, pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B\), l’application canonique \(A_{\varphi^{-1}(\mathfrak q)} \to B_\mathfrak q\) est un isomorphisme.

Énumérons quelques propriétés èlémentaires.

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(A \to A'\) des homomorphismes d’anneaux. Notons \(B' = B \otimes_A A'\), l’algèbre obtenue à partir de \(B\) par changement de base.

1. Si \(A \to B\) est un isomorphisme local, alors \(A' \to B'\) est un isomorphisme local.

2. Si \(A \to B\) identifie les anneaux locaux, alors \(A' \to B'\) identifie les anneaux locaux.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(B \to C\) des homomorphismes d’anneaux.

1. Si \(A \to B\) et \(B \to C\) sont des isomorphismes locaux, alors \(A \to C\) est un isomorphisme local.

2. Si \(A \to B\) et \(B \to C\) identifient les anneaux locaux, alors \(A \to C\) identifie les anneaux locaux.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(B \to C\) un homomorphisme de \(A\)-algèbres.

1. Si \(A \to B\) et \(A \to C\) sont des isomorphismes locaux, alors \(B \to C\) est un isomorphisme local.

2. Si \(A \to B\) et \(A \to C\) identifient les anneaux locaux, alors \(B \to C\) identifie les anneaux locaux.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(A \to B\) un isomorphisme local. Alors

1. \(A \to B\) est étale,

2. \(A \to B\) identifie les anneaux locaux,

3. \(A \to B\) est quasi-fini.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(A \to B\) un isomorphisme local. Il existe alors \(n \geq 0\), \(g_1, \ldots, g_n \in B\) et \(f_1, \ldots, f_n \in A\) tels que \((g_1, \ldots, g_n) = B\) et \(A_{f_i} \cong B_{g_i}\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soient \(p : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (X, \mathcal{O}_X)\) et \(q : (Z, \mathcal{O}_Z) \to (X, \mathcal{O}_X)\) des morphismes d’espaces localement annelés. Si \(\mathcal{O}_Y = p^{-1}\mathcal{O}_X\), alors \[\Mor_{\text{LRS}/(X, \mathcal{O}_X)}((Z, \mathcal{O}_Z), (Y, \mathcal{O}_Y)) \longrightarrow \Mor_{\textit{Top}/X}(Z, Y),\quad (f, f^\sharp) \longmapsto f\] est bijective. Ici \(\text{LRS}/(X, \mathcal{O}_X)\) est la catégorie des espaces localement annelés au-dessus de \(X\), et \(\textit{Top}/X\) la catégorie des espaces topologiques au-dessus de \(X\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Posons \(X = \Spec(A)\). Le foncteur \[B \longmapsto \Spec(B)\] de la catégorie des \(A\)-algèbres \(B\) telles que \(A \to B\) identifie les anneaux locaux vers la catégorie des espaces topologiques au-dessus de \(X\) est pleinement fidèle.

Démonstration

Cela résulte du lemme 096K et du fait que, si \(A \to B\) identifie les anneaux locaux, l’image inverse du faisceau structural de \(\Spec(A)\) par \(p : \Spec(B) \to \Spec(A)\) est ègale au faisceau structural de \(\Spec(B)\).

Algèbres ind-Zariski

Commençons par une définition; voir la remarque 0A0D pour une comparaison avec la définition correspondante donnée dans l’article [BS].

Définition

Un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est dit ind-Zariski si \(B\) peut s’écrire comme une limite inductive filtrante \(B = \colim B_i\), chaque \(A \to B_i\) ètant un isomorphisme local.

Une localisation \(A \to S^{-1}A\) est un exemple d’homomorphisme ind-Zariski; voir Algèbre, lemme 00CR. La catégorie des algèbres ind-Zariski est stable par plusieurs opérations naturelles.

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(A \to A'\) des homomorphismes d’anneaux. Notons \(B' = B \otimes_A A'\), l’algèbre obtenue à partir de \(B\) par changement de base. Si \(A \to B\) est ind-Zariski, alors \(A' \to B'\) est ind-Zariski.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(B \to C\) des homomorphismes d’anneaux. Si \(A \to B\) et \(B \to C\) sont ind-Zariski, alors \(A \to C\) est ind-Zariski.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(B \to C\) un homomorphisme de \(A\)-algèbres. Si \(A \to B\) et \(A \to C\) sont ind-Zariski, alors \(B \to C\) est ind-Zariski.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Une limite inductive filtrante de \(A\)-algèbres ind-Zariski est ind-Zariski sur \(A\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(A \to B\) ind-Zariski. Alors \(A \to B\) identifie les anneaux locaux.

Démonstration

La démonstration est omise.

Construction de schémas affines w-locaux

Un schéma affine \(X\) est dit w-local si son espace topologique sous-jacent est w-local (définition 096A). Pour tout anneau \(A\), il existe en fait un homomorphisme d’anneaux canonique, ind-Zariski et fidèlement plat, \(A \to A_w\), tel que \(\Spec(A_w)\) soit w-local. La construction de \(A_w\) repose sur le lemme simple suivant.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Posons \(X = \Spec(A)\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma localement fermé de la forme \(D(f) \cap V(I)\) pour un \(f \in A\) et un idéal \(I \subset A\). Alors

1. il existe une partie multiplicative \(S \subset A\) telle que \(\Spec(S^{-1}A)\) s’identifie par un homéomorphisme à l’ensemble des points de \(X\) qui se spécialisent en un point de \(Z\),

2. la \(A\)-algèbre \(A_Z^\sim = S^{-1}A\) ne dépend que du sous-ensemble localement fermé sous-jacent \(Z \subset X\),

3. \(Z\) est un sous-schéma fermé de \(\Spec(A_Z^\sim)\),

Si \(A \to A'\) est un homomorphisme d’anneaux et si \(Z' \subset X' = \Spec(A')\) est un sous-schéma localement fermé de la même forme dont l’image est contenue dans \(Z\), alors il existe un unique homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A_Z^\sim \to (A')_{Z'}^\sim\).

Démonstration

Soit \(S \subset A\) la partie multiplicative formée des èléments qui deviennent inversibles dans \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z) = (A/I)_f\). Si \(\mathfrak p\) est un idéal premier de \(A\) qui ne se spécialise pas en un point de \(Z\), alors \(\mathfrak p\) engendre l’idéal unité dans \((A/I)_f\). On peut donc écrire \(f^n = g + h\) pour un \(n \geq 0\), avec \(g \in \mathfrak p\) et \(h \in I\). Alors \(g \in S\), et \(\mathfrak p\) n’appartient pas au spectre de \(S^{-1}A\). Réciproquement, si \(\mathfrak p\) se spécialise en un point de \(Z\), disons \(\mathfrak p \subset \mathfrak q \supset I\) avec \(f \not \in \mathfrak q\), alors il existe un homomorphisme de \(S^{-1}A\) vers \(A_\mathfrak q\); par conséquent, \(\mathfrak p\) appartient au spectre de \(S^{-1}A\). Ceci prouve (1).

La classe d’isomorphisme de la localisation \(S^{-1}A\) ne dépend que du sous-ensemble correspondant \(\Spec(S^{-1}A) \subset \Spec(A)\), d’où (2). Par construction, l’application surjective de \(S^{-1}A\) vers \((A/I)_f\), d’où (3). La dernière assertion résulte de ce que la partie multiplicative \(S' \subset A'\) correspondant à \(Z'\) contient l’image de la partie multiplicative \(S\).

Soit \(A\) un anneau. Soit \(E \subset A\) une partie finie. On obtient une stratification de \(X = \Spec(A)\) en sous-schémas localement fermés en distinguant, pour chaque èlément de \(E\), s’il s’annule ou non. Plus précisément, pour toute décomposition en union disjointe \(E = E' \amalg E''\), posons [096W]\[\begin{equation} Z(E', E'') = \bigcap\nolimits_{f \in E'} D(f) \cap \bigcap\nolimits_{f \in E''} V(f) = D(\prod\nolimits_{f \in E'} f) \cap V( \sum\nolimits_{f \in E''} fA) \end{equation}\] Les points de \(Z(E', E'')\) sont exactement les \(x \in X\) tels que tout \(f \in E'\) ait une image non nulle dans \(\kappa(x)\) et que tout \(f \in E''\) ait une image nulle dans \(\kappa(x)\). Il est donc clair que [096X]\[\begin{equation} X = \coprod\nolimits_{E = E' \amalg E''} Z(E', E'') \end{equation}\] en tant qu’ensembles. Notons que chaque strate est constructible.

Lemme

Soit \(X = \Spec(A)\) comme ci-dessus. Pour toute stratification finie \(X = \coprod T_i\) par des sous-ensembles constructibles, il existe une partie finie \(E \subset A\) telle que la stratification (096X) raffine \(X = \coprod T_i\).

Démonstration

On peut ècrire \(T_i = \bigcup_j U_{i, j} \cap V_{i, j}^c\) comme une union finie, où les \(U_{i, j}\) et \(V_{i, j}\) sont des ouverts quasi-compacts de \(X\). Puis on peut ècrire \(U_{i, j} = \bigcup D(f_{i, j, k})\) et \(V_{i, j} = \bigcup D(g_{i, j, l})\). Posons alors \(E = \{f_{i, j, k}\} \cup \{g_{i, j, l}\}\). Cela convient, car la stratification (096X) est celle dont les strates sont indexées par les conditions d’annulation ou de non-annulation des èléments de \(E\); elle raffine manifestement la stratification donnée.

Poursuivons la discussion. Pour toute partie finie \(E \subset A\), posons [096Z]\[\begin{equation} A_E = \prod\nolimits_{E = E' \amalg E''} A_{Z(E', E'')}^\sim \end{equation}\] avec les notations du lemme 096V. Cette expression est bien définie, car (096W) montre que chaque \(Z(E', E'')\) est de la forme voulue. Prenons le spectre de cet anneau et notons-le [0970]\[\begin{equation} X_E = \Spec(A_E) = \coprod\nolimits_{E = E' \amalg E''} X_{E', E''} \end{equation}\] où \(X_{E', E''} = \Spec(A_{Z(E', E'')}^\sim)\). Notons que [0971]\[\begin{equation} Z_E = \coprod\nolimits_{E = E' \amalg E''} Z(E', E'') \longrightarrow X_E \end{equation}\] est un sous-schéma fermé. Par construction, le sous-schéma fermé \(Z_E\) contient tous les points fermés du schéma affine \(X_E\), puisque tout point de \(X_{E', E''}\) se spécialise en un point de \(Z(E', E'')\).

Soit \(I(A)\) l’ensemble ordonné de toutes les parties finies de \(A\). C’est un ensemble ordonné filtrant. Pour \(E_1 \subset E_2\), il existe un homomorphisme de transition canonique \(A_{E_1} \to A_{E_2}\) de \(A\)-algèbres. Plus précisément, pour une décomposition \(E_2 = E'_2 \amalg E''_2\), posons \(E'_1 = E_1 \cap E'_2\) et \(E''_1 = E_1 \cap E''_2\). On a alors \(Z(E'_2, E''_2) \subset Z(E'_1, E''_1)\), d’où un unique homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A_{Z(E'_1, E''_1)}^\sim \to A_{Z(E'_2, E''_2)}^\sim\) d’après le lemme 096V. En rassemblant ces homomorphismes, on obtient l’homomorphisme d’anneaux voulu \(A_{E_1} \to A_{E_2}\). Notons que le morphisme correspondant de schémas affines [0972]\[\begin{equation} X_{E_2} \longrightarrow X_{E_1} \end{equation}\] envoie \(Z_{E_2}\) dans \(Z_{E_1}\). Par unicité, on obtient un système de \(A\)-algèbres indexé par \(I(A)\), et l’on pose [0973]\[\begin{equation} A_w = \colim_{E \in I(A)} A_E \end{equation}\] Cette \(A\)-algèbre est ind-Zariski et fidèlement plate sur \(A\). Enfin, posons \(X_w = \Spec(A_w)\) et considérons-y le sous-schéma fermé \(Z = \lim_{E \in I(A)} Z_E\). Cela s’écrit [0974]\[\begin{equation} X_w = \lim_{E \in I(A)} X_E \supset Z = \lim_{E \in I(A)} Z_E \end{equation}\]

Lemme

Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine. Considérons \(A \to A_w\), \(X_w = \Spec(A_w)\), ainsi que \(Z \subset X_w\), définis comme ci-dessus.

1. \(A \to A_w\) est ind-Zariski et fidèlement plat,

2. \(X_w \to X\) induit une bijection \(Z \to X\),

3. \(Z\) est l’ensemble des points fermés de \(X_w\),

4. \(Z\) est un schéma réduit, et

5. tout point de \(X_w\) se spécialise en un unique point de \(Z\).

En particulier, \(X_w\) est w-local (définition 096A).

Démonstration

L’homomorphisme \(A \to A_w\) est ind-Zariski par construction. Pour tout \(E\), le morphisme \(Z_E \to X\) est bijectif, d’où (2). Comme \(Z \subset X_w\), on en conclut que \(X_w \to X\) est surjectif et que \(A \to A_w\) est fidèlement plat d’après Algèbre, lemme 00HQ. Ceci prouve (1).

Supposons que \(y \in X_w\) et que \(y \not \in Z\). Il existe alors \(E\) tel que l’image de \(y\) dans \(X_E\) n’appartienne pas à \(Z_E\). Dès que \(E \subset E'\), l’image de \(y\) dans \(X_{E'}\) n’appartient donc pas à \(Z_{E'}\). Soit \(T_{E'} \subset X_{E'}\) le sous-schéma fermé réduit qui est l’adhérence de l’image de \(y\). Il est clair que \(T = \lim_{E \subset E'} T_{E'}\) est l’adhérence de \(y\) dans \(X_w\). Dès que \(E \subset E'\), le schéma \(T_{E'} \cap Z_{E'}\) est non vide par construction de \(X_{E'}\). Par suite, \(\lim T_{E'} \cap Z_{E'}\) est non vide, et l’on en conclut que \(T \cap Z\) est non vide. Ainsi \(y\) n’est pas un point fermé. Il s’ensuit que tout point fermé de \(X_w\) appartient à \(Z\).

Supposons que \(y \in X_w\) se spécialise en \(z, z' \in Z\). Montrons que \(z = z'\), ce qui achèvera la preuve de (3) et impliquera (5). Soient \(x, x' \in X\) les images de \(z\) et \(z'\). Puisque \(Z \to X\) est bijective, il suffit de montrer que \(x = x'\). Si \(x \not = x'\), alors il existe \(f \in A\) tel que \(x \in D(f)\) et \(x' \in V(f)\) (ou inversement). Posons \(E = \{f\}\); alors \[X_E = \Spec(A_f) \amalg \Spec(A_{V(f)}^\sim)\] On voit que \(z\) et \(z'\) ont pour images \(x_E\) et \(x'_E\), qui appartiennent à deux parties différentes de la décomposition ci-dessus de \(X_E\). Il est alors impossible que \(x_E\) et \(x'_E\) soient des spécialisations d’un même point. C’est la contradiction recherchée.

Rappelons que, pour toute partie finie \(E \subset A\), \(Z_E\) est une union disjointe des sous-schémas localement fermés \(Z(E', E'')\), chacun isomorphe au spectre de \((A/I)_f\), où \(I\) est l’idéal engendré par \(E''\) et \(f\) le produit des èléments de \(E'\). Tout èlément nilpotent \(b\) de \((A/I)_f\) est la classe de \(g/f^n\) pour un certain \(g \in A\). En posant alors \(E' = E \cup \{g\}\), le lecteur vérifie que l’image inverse de \(b\) est nulle par le morphisme de transition \(Z_{E'} \to Z_E\) du système. Ceci prouve (4).

Remarque

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\kappa\) un cardinal infini supérieur ou égal au cardinal de \(A\). Alors le cardinal de \(A_w\) (lemme 0975) est au plus \(\kappa\). En effet, chaque \(A_E\) est de cardinal au plus \(\kappa\), et l’ensemble des parties finies de \(A\) est lui aussi de cardinal au plus \(\kappa\). Le résultat en découle puisque \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\); voir Ensembles, section 000D.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(A \to A_w\) l’homomorphisme d’anneaux construit au lemme 0975. Pour tout homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) tel que \(\Spec(B)\) soit w-local, il existe une unique factorisation \(A \to A_w \to B\) telle que \(\Spec(B) \to \Spec(A_w)\) soit w-locale.

Démonstration

Notons \(Y = \Spec(B)\) et \(Y_0 \subset Y\) l’ensemble des points fermés. Notons \(f : Y \to X\) le morphisme donné. Rappelons que \(Y_0\) est profini; en particulier, tout sous-ensemble constructible de \(Y_0\) est ouvert et fermé. Soit \(E \subset A\) une partie finie. Rappelons que \(A_w = \colim A_E\) et que l’ensemble des points fermés de \(\Spec(A_w)\) est la limite des sous-ensembles fermés \(Z_E \subset X_E = \Spec(A_E)\). Il suffit donc de montrer qu’il existe une unique factorisation \(A \to A_E \to B\) telle que \(Y \to X_E\) envoie \(Y_0\) dans \(Z_E\). Puisque \(Z_E \to X = \Spec(A)\) est bijective et que les strates \(Z(E', E'')\) sont constructibles, on voit que \[Y_0 = \coprod f^{-1}(Z(E', E'')) \cap Y_0\] est une décomposition en sous-ensembles ouverts et fermés disjoints. Comme \(Y_0 = \pi_0(Y)\), on obtient une décomposition correspondante de \(Y\) en parties ouvertes et fermées. Il suffit donc de construire la factorisation lorsque \(f(Y_0) \subset Z(E', E'')\) pour une décomposition \(E = E' \amalg E''\). Dans ce cas, \(f(Y)\) est contenu dans l’ensemble des points de \(X\) qui se spécialisent en un point de \(Z(E', E'')\), ensemble homéomorphe à \(X_{E', E''}\). On obtient donc une unique application continue \(Y \to X_{E', E''}\) au-dessus de \(X\). D’après le lemme 096K, elle correspond à un unique morphisme de schémas \(Y \to X_{E', E''}\) au-dessus de \(X\). Ceci achève la démonstration.

Rappelons que le spectre d’un anneau est profini si et seulement si tout point est fermé. Il existe en fait toute une série de conditions équivalentes qui entraînent ce fait. Voir Algèbre, lemme 04MG, ou Topologie, lemme 0905.

Lemme

Soit \(A\) un anneau tel que \(\Spec(A)\) soit profini. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Alors \(\Spec(B)\) est profini dans chacun des cas suivants:

1. si \(\mathfrak q,\mathfrak q' \subset B\) sont au-dessus d’un même idéal premier de \(A\), on n’a ni \(\mathfrak q \subset \mathfrak q'\), ni \(\mathfrak q' \subset \mathfrak q\),

2. \(A \to B\) induit des extensions algébriques des corps résiduels,

3. \(A \to B\) est un isomorphisme local,

4. \(A \to B\) identifie les anneaux locaux,

5. \(A \to B\) est faiblement étale,

6. \(A \to B\) est quasi-fini,

7. \(A \to B\) est non ramifié,

8. \(A \to B\) est étale,

9. \(B\) est une limite inductive filtrante de \(A\)-algèbres satisfaisant à l’une des conditions (1) – (8),

10. etc.

Démonstration

D’après les références mentionnées ci-dessus (Algèbre, lemme 04MG, ou Topologie, lemme 0905), il n’existe pas de spécialisation entre deux points distincts de \(\Spec(A)\), et \(\Spec(B)\) est profini si et seulement s’il n’existe pas de spécialisation entre deux points distincts de \(\Spec(B)\). De telles spécialisations ne peuvent avoir lieu que dans les fibres de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\). On voit ainsi que (1) est vraie.

L’hypothèse de (2) implique que tous les idéaux premiers de \(B\) sont maximaux, d’après Algèbre, lemme 00GA. Ainsi (2) est vraie. Si \(A \to B\) est un isomorphisme local ou identifie les anneaux locaux, alors les extensions des corps résiduels sont triviales; (3) et (4) résultent donc de (2). Si \(A \to B\) est faiblement étale, alors Compléments sur l’algèbre, lemme 092R montre qu’il induit des extensions algébriques séparables des corps résiduels, donc (5) résulte de (2). Si \(A \to B\) est quasi-fini, alors les fibres sont des espaces topologiques finis discrets. Ainsi (6) résulte de (1). Ainsi (3) résulte de (1). Les cas (7) et (8) en découlent, car les homomorphismes d’anneaux non ramifiés et étales sont quasi-finis (Algèbre, lemmes 02UR et 00U5). Si \(B = \colim B_i\) est une limite inductive filtrante de \(A\)-algèbres, alors \(\Spec(B) = \lim \Spec(B_i)\) dans la catégorie des espaces topologiques d’après Limites, lemme 0CUF. Ainsi, si chaque \(\Spec(B_i)\) est profini, \(\Spec(B)\) l’est aussi d’après Topologie, lemme 0ET8. Ceci prouve (9).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(V(I) \subset \Spec(A)\) un sous-ensemble fermé qui est un espace topologique profini. Il existe alors un homomorphisme d’anneaux ind-Zariski \(A \to B\) tel que \(\Spec(B)\) soit w-local, que l’ensemble de ses points fermés soit \(V(IB)\) et que \(A/I \cong B/IB\).

Démonstration

Soient \(A \to A_w\) et \(Z \subset Y = \Spec(A_w)\) comme au lemme 0975. Soit \(T \subset Z\) l’image réciproque de \(V(I)\). Alors \(T \to V(I)\) est un homéomorphisme d’après Topologie, lemme 08YE. Posons \(B = (A_w)_T^\sim\); voir le lemme 096V. Il est clair que \(B\) est w-local et a pour ensemble de points fermés \(V(IB)\). L’homomorphisme d’anneaux \(A/I \to B/IB\) est ind-Zariski et induit un homéomorphisme entre les espaces topologiques sous-jacents. C’est donc un isomorphisme d’après le lemme 096L.

Lemme

Soit \(A\) un anneau tel que \(X = \Spec(A)\) soit w-local. Soit \(I \subset A\) l’idéal radical qui définit l’ensemble \(X_0\) des points fermés de \(X\). Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux qui induit des extensions algébriques des corps résiduels en chaque idéal premier de l’anneau d’arrivée. Alors

1. tout point de \(Z = V(IB)\) est un point fermé de \(\Spec(B)\),

2. il existe un homomorphisme d’anneaux ind-Zariski \(B \to C\) tel que

   1. \(B/IB \to C/IC\) soit un isomorphisme,

   2. l’espace \(Y = \Spec(C)\) soit w-local,

   3. l’application induite \(p : Y \to X\) soit w-locale, et

   4. \(p^{-1}(X_0)\) soit l’ensemble des points fermés de \(Y\).

Démonstration

D’après le lemme 0978 appliqué à \(A/I \to B/IB\), tous les points de \(Z = V(IB) = \Spec(B/IB)\) sont fermés; en fait, \(\Spec(B/IB)\) est un espace profini. Pour achever la démonstration, appliquons le lemme 0979 à \(IB \subset B\).

Identification des anneaux locaux et condition ind-Zariski

Un homomorphisme d’anneaux ind-Zariski \(A \to B\) identifie les anneaux locaux (lemme 096T). La réciproque est fausse (Exemples, section 09AN). Il existe toutefois une sorte de théorème de structure qui décrit les homomorphismes d’anneaux identifiant les anneaux locaux au moyen d’homomorphismes ind-Zariski; voir la proposition 097G.

Soit \(A\) un anneau et posons \(X = \Spec(A)\). L’espace des composantes connexes \(\pi_0(X)\) est un espace profini d’après Topologie, lemme 0906 (et Algèbre, lemme 090M).

Lemme

Soit \(A\) un anneau et posons \(X = \Spec(A)\). Soit \(T \subset \pi_0(X)\) un sous-ensemble fermé. Il existe un homomorphisme d’anneaux surjectif et ind-Zariski \(A \to B\) tel que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) induise un homéomorphisme de \(\Spec(B)\) sur l’image réciproque de \(T\) dans \(X\).

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) l’image réciproque de \(T\). Alors \(Z\) est l’intersection \(Z = \bigcap Z_\alpha\) des sous-ensembles ouverts et fermés de \(X\) qui contiennent \(Z\); voir Topologie, lemme 04PL. Pour tout \(\alpha\), on a \(Z_\alpha = \Spec(A_\alpha)\), où \(A \to A_\alpha\) est un isomorphisme local (une localisation en un idempotent). En posant \(B = \colim A_\alpha\), on démontre le lemme.

Lemme

Soit \(A\) un anneau et posons \(X = \Spec(A)\). Soit \(T\) un espace profini et soit \(T \to \pi_0(X)\) une application continue. Il existe un homomorphisme d’anneaux ind-Zariski \(A \to B\) tel que, en posant \(Y = \Spec(B)\), le diagramme \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & \pi_0(Y) \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] soit cartésien dans la catégorie des espaces topologiques et que \(\pi_0(Y) = T\) comme espaces au-dessus de \(\pi_0(X)\).

Démonstration

Écrivons \(T = \lim T_i\) comme la limite d’un système projectif d’espaces finis discrets indexé par un ensemble ordonné filtrant (voir Topologie, lemme 08ZY). Pour tout \(i\), posons \(Z_i = \Im(T \to \pi_0(X) \times T_i)\). C’est un sous-ensemble fermé. Notons que \(X \times T_i\) est le spectre de \(A_i = \prod_{t \in T_i} A\) et que \(A \to A_i\) est un isomorphisme local. D’après le lemme 097C, le sous-ensemble \(Z_i \subset \pi_0(X \times T_i) = \pi_0(X) \times T_i\) correspond à un homomorphisme d’anneaux surjectif et ind-Zariski \(A_i \to B_i\) tel que \(\Spec(B_i) = X \times_{\pi_0(X)} Z_i\) comme sous-ensemble de \(X \times T_i\). Les applications de transition \(T_i \to T_{i'}\) induisent des applications \(Z_i \to Z_{i'}\) et \(X \times_{\pi_0(X)} Z_i \to X \times_{\pi_0(X)} Z_{i'}\), donc des homomorphismes d’anneaux \(B_{i'} \to B_i\) (lemmes 096L et 096T). Posons \(B = \colim B_i\). Puisque \(T = \lim Z_i\), on a \(X \times_{\pi_0(X)} T = \lim X \times_{\pi_0(X)} Z_i\) et donc \(Y = \Spec(B) = \lim \Spec(B_i)\) s’insère dans le diagramme cartésien \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] d’espaces topologiques. D’après le lemme 096C, on en conclut que \(T = \pi_0(Y)\).

Exemple

Soit \(k\) un corps et soit \(T\) un espace topologique profini. Il existe un homomorphisme d’anneaux ind-Zariski \(k \to A\) tel que \(\Spec(A)\) soit homéomorphe à \(T\). Il suffit en effet d’appliquer le lemme 097D à \(T \to \pi_0(\Spec(k)) = \{*\}\). Dans ce cas, on a même \[A = \colim \text{Map}(T_i, k)\] pour toute ècriture \(T = \lim T_i\) comme limite projective filtrante où chaque \(T_i\) est fini.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux tel que

1. \(A \to B\) identifie les anneaux locaux,

2. les espaces topologiques \(\Spec(B)\) et \(\Spec(A)\) soient w-locaux,

3. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) soit w-locale, et

4. \(\pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\) soit bijective.

Alors \(A \to B\) est un isomorphisme.

Démonstration

Soient \(X_0 \subset X = \Spec(A)\) et \(Y_0 \subset Y = \Spec(B)\) les ensembles de points fermés. Par hypothèse, l’image de \(Y_0\) est contenue dans \(X_0\) et l’application induite \(Y_0 \to X_0\) est bijective. Topologiquement, \(\Spec(A)\) est l’union disjointe des spectres des anneaux locaux de \(A\) en ses points fermés. Il en va de même pour \(B\). Ainsi \(X \to Y\) est bijective. Puisque \(A \to B\) est plat, le théorème de descente des idéaux premiers s’applique (Algèbre, lemme 00HS). Ainsi, le lemme 00EA d’Algèbre montre que, pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset A\), on a \(B_\mathfrak q = B_\mathfrak p\). Comme \(B_\mathfrak q = A_\mathfrak p\) par hypothèse, on obtient \(A_\mathfrak p = B_\mathfrak p\) pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\). Par conséquent, \(A = B\) d’après Algèbre, lemme 00HN.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux tel que

1. \(A \to B\) identifie les anneaux locaux,

2. les espaces topologiques \(\Spec(B)\) et \(\Spec(A)\) soient w-locaux, et

3. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) soit w-locale.

Alors \(A \to B\) est ind-Zariski.

Démonstration

Posons \(X = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(B)\). Soient \(X_0 \subset X\) et \(Y_0 \subset Y\) les ensembles de points fermés. Soit \(A \to A'\) l’homomorphisme d’anneaux ind-Zariski tel que, en posant \(X' = \Spec(A')\), le diagramme \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & \pi_0(X') \ar[d] \\ X \ar[r] & \pi_0(X) }\] soit cartésien dans la catégorie des espaces topologiques et que \(\pi_0(X') = \pi_0(Y)\) comme espaces au-dessus de \(\pi_0(X)\); voir le lemme 097D. D’après le lemme 096C, \(X'\) est w-local et l’ensemble \(X'_0 \subset X'\) de ses points fermés est l’image réciproque de \(X_0\).

On obtient une application continue \(Y \to X'\) entre les espaces topologiques sous-jacents au-dessus de \(X\), laquelle induit l’identification de \(\pi_0(Y)\) avec \(\pi_0(X')\). D’après le lemme 096L (et le lemme 096T), elle correspond à un morphisme de schémas affines \(Y \to X'\) au-dessus de \(X\). Puisque \(Y \to X\) envoie \(Y_0\) dans \(X_0\), on voit que \(Y \to X'\) envoie \(Y_0\) dans \(X'_0\), c’est-à-dire que \(Y \to X'\) est w-locale. D’après le lemme 097E, nous voyons que \(Y \cong X'\) et le résultat s’ensuit.

La proposition suivante est un résultat préparatoire du type de ceux que nous démontrerons plus loin.

Proposition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux qui identifie les anneaux locaux. Alors il existe un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-Zariski \(B \to B'\) tel que \(A \to B'\) soit ind-Zariski.

Démonstration

Soient \(A \to A_w\), resp. \(B \to B_w\), les homomorphismes d’anneaux fidèlement plats et ind-Zariski construits dans le lemme 0975 pour \(A\), resp. \(B\). Puisque \(\Spec(B_w)\) est w-local, il existe une unique factorisation \(A \to A_w \to B_w\) telle que \(\Spec(B_w) \to \Spec(A_w)\) soit w-locale d’après le lemme 0977. Remarquons que \(A_w \to B_w\) identifie les anneaux locaux; voir le lemme 096H. D’après le lemme 097F, cela signifie que \(A_w \to B_w\) est ind-Zariski. Puisque \(B \to B_w\) est fidèlement plat et ind-Zariski (lemme 0975) et que la composée \(A \to B \to B_w\) est ind-Zariski (lemme 096Q), la proposition est démontrée.

La proposition ci-dessus nous permet de caractériser les objets affines faiblement contractiles du site pro-Zariski d’un schéma affine.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. tout homomorphisme d’anneaux fidèlement plat \(A \to B\) qui identifie les anneaux locaux admet une rétraction,

2. tout homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-Zariski \(A \to B\) admet une rétraction, et

3. \(A\) satisfait aux conditions suivantes :

   1. \(\Spec(A)\) est w-local, et

   2. \(\pi_0(\Spec(A))\) est extrêmement discontinu.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) découle immédiatement de la proposition 097G.

Supposons (3)(a) et (3)(b). Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-Zariski. Nous utiliserons, sans plus le mentionner, le fait qu’un homomorphisme plat \(A \to B\) est fidèlement plat si et seulement si tout point fermé de \(\Spec(A)\) appartient à l’image de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\). Nous allons montrer que \(A \to B\) admet une rétraction.

Soit \(I \subset A\) un idéal tel que \(V(I) \subset \Spec(A)\) soit l’ensemble des points fermés de \(\Spec(A)\). Nous pouvons remplacer \(B\) par l’anneau \(C\) construit dans le lemme 097A pour \(A \to B\) et \(I \subset A\). Ainsi, nous pouvons supposer que \(\Spec(B)\) est w-local et que l’ensemble des points fermés de \(\Spec(B)\) est \(V(IB)\).

Supposons que \(\Spec(B)\) soit w-local et que l’ensemble des points fermés de \(\Spec(B)\) soit \(V(IB)\). Choisissons une section continue de l’application continue surjective \(V(IB) \to V(I)\). Cela est possible puisque \(V(I) \cong \pi_0(\Spec(A))\) est extrêmement discontinu ; voir la proposition de Topologie 08YN. Son image est un sous-espace fermé \(T \subset \pi_0(\Spec(B)) \cong V(IB)\) qui est envoyé homéomorphiquement sur \(\pi_0(A)\). En remplaçant \(B\) par l’anneau quotient ind-Zariski construit dans le lemme 097C, nous voyons que nous pouvons supposer que \(\pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\) est bijective. À ce stade, \(A \to B\) est un isomorphisme d’après le lemme 097E.

Supposons (1), ou de manière équivalente (2). Soit \(A \to A_w\) l’homomorphisme d’anneaux construit dans le lemme 0975. D’après (1), il existe une rétraction \(A_w \to A\). Ainsi, \(\Spec(A)\) est homéomorphe à un sous-ensemble fermé de \(\Spec(A_w)\). Par le lemme 096B, nous voyons que (3)(a) est vérifiée. Enfin, soit \(T \to \pi_0(A)\) une application surjective, où \(T\) est un espace topologique extrêmement discontinu, quasi-compact et séparé (Topologie, lemme 090D). Choisissons \(A \to B\) comme dans le lemme 097D, adapté à \(T \to \pi_0(\Spec(A))\). D’après (1), il existe une rétraction \(B \to A\). Ainsi, nous voyons que \(T = \pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\) admet une section. Un argument formel de théorie des catégories, utilisant la proposition de Topologie 08YN, implique que \(\pi_0(\Spec(A))\) est extrêmement discontinu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Il existe un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-Zariski \(A \to B\) tel que \(B\) satisfasse aux conditions équivalentes du lemme 09AZ.

Démonstration

Nous appliquons d’abord le lemme 0975 pour voir que nous pouvons supposer que \(\Spec(A)\) est w-local. Choisissons un espace extrêmement discontinu \(T\) et une application continue surjective \(T \to \pi_0(\Spec(A))\), voir le lemme de Topologie 090D. Remarquons que \(T\) est profini. Appliquons le lemme 097D pour trouver un homomorphisme d’anneaux ind-Zariski \(A \to B\) tel que \(\pi_0(\Spec(B)) \to \pi_0(\Spec(A))\) réalise \(T \to \pi_0(\Spec(A))\) et tel que \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[r] \ar[d] & \pi_0(\Spec(B)) \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \pi_0(\Spec(A)) }\] est cartésien dans la catégorie des espaces topologiques. Remarquons que \(\Spec(B)\) est w-local, que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est w-locale et que l’ensemble des points fermés de \(\Spec(B)\) est l’image réciproque de l’ensemble des points fermés de \(\Spec(A)\), voir le lemme 096C. Ainsi, la condition (3) du lemme 09AZ est satisfaite pour \(B\).

Remarque

Dans les lemmes 097C, 097D, dans la proposition 097G et dans le lemme 09B0, nous construisons un homomorphisme d’anneaux ind-Zariski possédant certaines propriétés. Dans l’article [BS], les auteurs utilisent la notion d’ind-(localisation de Zariski), c’est-à-dire de limite inductive filtrante de produits finis de localisations principales. Dans chacun des résultats énumérés ci-dessus, on peut remplacer ind-Zariski par ind-(localisation de Zariski). Nous n’en avons toutefois pas besoin, et la notion d’homomorphisme ind-Zariski d’anneaux définie ici possède des propriétés formelles légèrement meilleures. De plus, la notion d’homomorphisme d’anneaux ind-Zariski est l’analogue naturel de la notion d’homomorphisme d’anneaux ind-étale définie à la section suivante.

Algèbre ind-étale

Commençons par une définition.

Définition

Un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est dit ind-étale si \(B\) peut s’écrire comme une limite inductive filtrante d’algèbres étales sur \(A\).

La catégorie des algèbres ind-étales est stable par un certain nombre d’opérations naturelles.

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(A \to A'\) des homomorphismes d’anneaux. Soit \(B' = B \otimes_A A'\) l’algèbre obtenue à partir de \(B\) par changement de base. Si \(A \to B\) est ind-étale, alors \(A' \to B'\) est ind-étale.

Démonstration

C’est le lemme d’Algèbre 0BSH.

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(B \to C\) des homomorphismes d’anneaux. Si \(A \to B\) et \(B \to C\) sont ind-étales, alors \(A \to C\) est ind-étale.

Démonstration

C’est le lemme d’Algèbre 0BSI.

Lemme

Une limite inductive filtrante d’algèbres ind-étales sur \(A\) est ind-étale sur \(A\).

Démonstration

C’est le lemme d’Algèbre 0BSJ.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(B \to C\) un homomorphisme entre des \(A\)-algèbres ind-étales sur \(A\). Alors \(C\) est une \(B\)-algèbre ind-étale.

Démonstration

C’est le lemme d’Algèbre 08HS.

Lemme

Soit \(A \to B\) ind-étale. Alors \(A \to B\) est faiblement étale (Compléments d’Algèbre, définition 092B).

Démonstration

Cela résulte du lemme de Compléments d’Algèbre 092N.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal. Le foncteur de changement de base \[\text{algèbres ind-\'etales sur }A\text{} \longrightarrow \text{algèbres ind-\'etales sur }A/I\text{},\quad C \longmapsto C/IC\] admet un adjoint à droite pleinement fidèle \(v\). En particulier, étant donnée une \(A/I\)-algèbre ind-étale \(\overline{C}\), il existe une \(A\)-algèbre ind-étale \(C = v(\overline{C})\) telle que \(\overline{C} = C/IC\).

Démonstration

Soit \(\overline{C}\) une \(A/I\)-algèbre ind-étale. Considérons la catégorie \(\mathcal{C}\) des factorisations \(A \to B \to \overline{C}\) où \(A \to B\) est étale. (Nous laissons de côté certaines questions ensemblistes dans cette démonstration.) Nous allons montrer que cette catégorie est filtrante et que \(C = \colim_\mathcal{C} B\) est une \(A\)-algèbre ind-étale telle que \(\overline{C} = C/IC\).

Montrons d’abord que \(\mathcal{C}\) est filtrante (Catégories, définition 002V). La catégorie est non vide, puisque \(A \to A \to \overline{C}\) en est un objet. Supposons que \(A \to B \to \overline{C}\) et \(A \to B' \to \overline{C}\) soient deux objets de \(\mathcal{C}\). Alors \(A \to B \otimes_A B' \to \overline{C}\) en est un autre (utiliser le lemme d’Algèbre 00U2). Supposons que \(f, g : B \to B'\) soient deux morphismes entre les objets \(A \to B \to \overline{C}\) et \(A \to B' \to \overline{C}\) de \(\mathcal{C}\). Un coégalisateur est alors \(A \to B' \otimes_{f, B, g} B' \to \overline{C}\). C’est un objet de \(\mathcal{C}\) d’après les lemmes d’Algèbre 00U2 et 00U7. Ainsi, la catégorie \(\mathcal{C}\) est filtrante.

Écrivons \(\overline{C} = \colim \overline{B_i}\) comme limite inductive filtrante, avec \(\overline{B_i}\) étale sur \(A/I\). Pour tout \(i\), il existe un homomorphisme \(A \to B_i\) qui est étale, tel que \(\overline{B_i} = B_i/IB_i\), voir le lemme d’Algèbre 04D1. Ainsi, \(C \to \overline{C}\) est surjectif. Comme \(C/IC \to \overline{C}\) est ind-étale (lemme 097M), il est plat. Par conséquent, \(\overline{C}\) est une localisation de \(C/IC\) par une partie multiplicative \(S \subset C/IC\) (Algèbre, lemme 04PS). Soit \(f \in C\) dont l’image appartient à \(S \subset C/IC\). Choisissons \(A \to B \to \overline{C}\) dans \(\mathcal{C}\) et \(g \in B\) dont l’image dans la limite inductive est \(f\). Alors \(A \to B_g \to \overline{C}\) est encore un objet de \(\mathcal{C}\). Ainsi, \(f\) est un élément inversible de \(C\). Il s’ensuit que \(C/IC = \overline{C}\).

Montrons ensuite que, pour toute algèbre ind-étale \(D\) sur \(A\), on a \[\Mor_A(D, C) = \Mor_{A/I}(D/ID, \overline{C})\] En effet, soit \(D/ID \to \overline{C}\) un homomorphisme de \(A/I\)-algèbres. Écrivons \(D = \colim_{i \in I} D_i\) comme limite inductive indexée par un ensemble préordonné filtrant \(I\), avec \(D_i\) étale sur \(A\). Par le choix de \(\mathcal{C}\), nous obtenons un foncteur \(I \to \mathcal{C}\), et donc un homomorphisme \(D \to C\) compatible avec les homomorphismes vers \(\overline{C}\). D’où l’assertion.

Il s’ensuit que le foncteur \(v\) défini par la règle \[\overline{C} \longmapsto v(\overline{C}) = \colim_{A \to B \to \overline{C}} B\] est un adjoint à droite du foncteur de changement de base \(u\), comme l’affirme le lemme. Le foncteur \(v\) est pleinement fidèle car \(u \circ v = \text{id}\) par construction, voir le lemme de Catégories 07RB.

Construction d’algèbres ind-étales

Soit \(A\) un anneau. Rappelons que tout homomorphisme d’anneaux étale \(A \to B\) est isomorphe à un homomorphisme lisse standard de dimension relative \(0\). Un tel homomorphisme est de la forme \[A \longrightarrow A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n)\] où le déterminant de la matrice \(n \times n\) dont les coefficients sont les \(\partial f_i/\partial x_j\) est inversible dans l’anneau quotient. Voir le lemme d’Algèbre 00U9.

Soit \(S(A)\) l’ensemble de toutes les algèbres fidèlement plates¹ lisses standard sur \(A\) et de dimension relative \(0\). Soit \(I(A)\) l’ensemble, partiellement ordonné par inclusion, des sous-ensembles finis \(E\) de \(S(A)\). Remarquons que \(I(A)\) est un ensemble partiellement ordonné filtrant. Pour \(E = \{A \to B_1, \ldots, A \to B_n\}\), posons \[B_E = B_1 \otimes_A \ldots \otimes_A B_n\] Remarquons que \(B_E\) est une \(A\)-algèbre étale fidèlement plate. Pour \(E \subset E'\), il existe un homomorphisme de transition canonique \(B_E \to B_{E'}\) de \(A\)-algèbres étales. En effet, supposons \(E = \{A \to B_1, \ldots, A \to B_n\}\) et \(E' = \{A \to B_1, \ldots, A \to B_{n + m}\}\); alors \(B_E \to B_{E'}\) envoie \(b_1 \otimes \ldots \otimes b_n\) sur l’élément \(b_1 \otimes \ldots \otimes b_n \otimes 1 \otimes \ldots \otimes 1\) de \(B_{E'}\). Cette construction définit un système d’algèbres fidèlement plates étales sur \(A\), indexé par \(I(A)\), et nous posons \[T(A) = \colim_{E \in I(A)} B_E\] Remarquons que \(T(A)\) est une \(A\)-algèbre ind-étale fidèlement plate (Algèbre, lemme 090N). Par construction, pour toute \(A\)-algèbre étale fidèlement plate \(B\), il existe un homomorphisme, non unique, de \(A\)-algèbres \(B \to T(A)\). En effet, choisissons \((A \to B_0) \in S(A)\) et un isomorphisme \(B \cong B_0\). Alors la coprojection canonique \[B \to B_0 \to T(A) = \colim_{E \in I(A)} B_E\] est le morphisme recherché.

Lemme

Pour tout anneau \(A\), il existe une \(A\)-algèbre ind-étale et fidèlement plate \(C\) telle que tout homomorphisme d’anneaux étale et fidèlement plat \(C \to B\) admette une rétraction.

Démonstration

Posons \(T^1(A) = T(A)\) et \(T^{n + 1}(A) = T(T^n(A))\). Soit \[C = \colim T^n(A)\] Cette algèbre est fidèlement plate sur chaque \(T^n(A)\), et en particulier sur \(A\), voir le lemme d’Algèbre 090N. De plus, \(C\) est ind-étale sur \(A\) d’après le lemme 097L. Si \(C \to B\) est étale, il existe alors un entier \(n\) et un homomorphisme d’anneaux étale \(T^n(A) \to B'\) tels que \(B = C \otimes_{T^n(A)} B'\), voir le lemme d’Algèbre 00U2. Si \(C \to B\) est fidèlement plat, alors \(\Spec(B) \to \Spec(C) \to \Spec(T^n(A))\) est surjectif; par conséquent, \(\Spec(B') \to \Spec(T^n(A))\) est surjectif. Autrement dit, \(T^n(A) \to B'\) est fidèlement plat. Par construction, il existe un homomorphisme de \(T^n(A)\)-algèbres \(B' \to T^{n + 1}(A)\). Il induit un homomorphisme de \(C\)-algèbres \(B \to C\), ce qui achève la démonstration.

Remarque

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\kappa\) un cardinal infini supérieur ou égal au cardinal de \(A\). Alors le cardinal de \(T(A)\) est au plus \(\kappa\). En effet, chaque \(B_E\) est de cardinal au plus \(\kappa\), et l’ensemble d’indices \(I(A)\) est lui aussi de cardinal au plus \(\kappa\). Le résultat s’ensuit puisque \(\kappa \otimes \kappa = \kappa\), voir la section d’Ensembles 000D. Il s’ensuit également que l’anneau construit dans la démonstration du lemme 097R est de cardinal au plus \(\kappa\).

Remarque

La construction \(A \mapsto T(A)\) est fonctorielle au sens suivant : si \(A \to A'\) est un homomorphisme d’anneaux, nous pouvons construire un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & T(A) \ar[d] \\ A' \ar[r] & T(A') }\] En effet, étant donné \((A \to A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n))\) dans \(S(A)\), nous pouvons utiliser l’homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to A'\) pour obtenir l’élément correspondant \((A' \to A'[x_1, \ldots, x_n]/(f^\varphi_1, \ldots, f^\varphi_n))\) de \(S(A')\), où \(f^\varphi\) désigne le polynôme obtenu en appliquant \(\varphi\) aux coefficients du polynôme \(f\). De plus, on a un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n) \ar[d] \\ A' \ar[r] & A'[x_1, \ldots, x_n]/(f^\varphi_1, \ldots, f^\varphi_n) }\] dans la catégorie des anneaux. Pour \(E \subset S(A)\) fini, posons \(E' = \varphi(E)\) et définissons \(B_E \to B_{E'}\) de la manière évidente. En passant à la limite inductive, on obtient l’homomorphisme recherché \(T(A) \to T(A')\), voir le lemme de Catégories 002K.

Lemme

Soit \(A\) un anneau tel que tout homomorphisme d’anneaux étale et fidèlement plat \(A \to B\) admette une rétraction. Il en va alors de même pour tout anneau quotient \(A/I\).

Démonstration

Soit \(A/I \to \overline{B}\) étale et fidèlement plat. D’après le lemme d’Algèbre 04D1, on peut écrire \(\overline{B} = B/IB\) pour un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to B\). L’image \(U\) de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est ouverte et contient \(V(I)\). Le complémentaire \(Z = \Spec(A) \setminus U\) est donc quasi-compact et disjoint de \(V(I)\). Par conséquent, \(Z \subset D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r)\) pour un certain \(r \geq 0\) et des \(f_i \in I\). Alors \(A \to B' = B \times \prod A_{f_i}\) est étale et fidèlement plat, et \(\overline{B} = B'/IB'\). La rétraction \(B' \to A\) de \(A \to B'\) induit donc une rétraction de \(A/I \to \overline{B}\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau tel que tout homomorphisme d’anneaux étale et fidèlement plat \(A \to B\) admette une rétraction. Alors tout anneau local de \(A\) en un idéal maximal est strictement hensélien.

Démonstration

Soit \(\mathfrak m\) un idéal maximal de \(A\). Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux étale et soit \(\mathfrak q \subset B\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak m\). D’après la description de l’hensélisé strict \(A_\mathfrak m^{sh}\) donnée dans le lemme d’Algèbre 04GW, il suffit de montrer que \(A_\mathfrak m = B_\mathfrak q\). Remarquons qu’il n’existe qu’un nombre fini d’idéaux premiers \(\mathfrak q = \mathfrak q_1, \mathfrak q_2, \ldots, \mathfrak q_n\) au-dessus de \(\mathfrak m\) et qu’il n’y a pas de spécialisations entre eux, car un homomorphisme d’anneaux étale est quasi-fini, voir le lemme d’Algèbre 00U5. Ainsi, \(\mathfrak q_i\) est un idéal maximal et nous pouvons trouver \(g \in \mathfrak q_2 \cap \ldots \cap \mathfrak q_n\), \(g \not \in \mathfrak q\) (Algèbre, lemme 00DS). Après avoir remplacé \(B\) par \(B_g\), nous voyons que \(\mathfrak q\) est le seul idéal premier de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak m\). L’image \(U \subset \Spec(A)\) de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est ouverte (Algèbre, proposition 00I1). Le complémentaire \(\Spec(A) \setminus U\) est donc fermé, et nous pouvons trouver \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), tel que \(\Spec(A) = U \cup D(f)\). L’homomorphisme d’anneaux \(A \to B \times A_f\) est étale et fidèlement plat; il admet donc une rétraction \(\sigma : B \times A_f \to A\) en vertu de l’hypothèse faite sur \(A\). Remarquons que \(\sigma\) est étale, donc plat comme homomorphisme entre algèbres étales sur \(A\) (Algèbre, lemme 00U7). Puisque \(\mathfrak q\) est le seul idéal premier de \(B \times A_f\) au-dessus de \(A\), nous trouvons que \(A_\mathfrak p \to B_\mathfrak q\) admet une rétraction qui est elle aussi plate. Ainsi, \(A_\mathfrak p \to B_\mathfrak q \to A_\mathfrak p\) sont des homomorphismes locaux plats d’anneaux locaux dont la composée est l’identité. Comme un homomorphisme local plat d’anneaux locaux est injectif, nous en concluons que ces homomorphismes sont les isomorphismes recherchés.

Lemme

Soit \(A\) un anneau tel que tout homomorphisme d’anneaux étale et fidèlement plat \(A \to B\) admette une rétraction. Soit \(Z \subset \Spec(A)\) un sous-schéma fermé. Soit \(A \to A_Z^\sim\) construit comme dans le lemme 096V. Alors tout homomorphisme d’anneaux étale et fidèlement plat \(A_Z^\sim \to C\) admet une rétraction.

Démonstration

Il existe un homomorphisme d’anneaux étale \(A \to B'\) tel que \(C = B' \otimes_A A_Z^\sim\) comme \(A_Z^\sim\)-algèbres. L’image \(U' \subset \Spec(A)\) de \(\Spec(B') \to \Spec(A)\) est ouverte et contient \(V(I)\); il existe donc \(f \in I\) tel que \(\Spec(A) = U' \cup D(f)\). Alors \(A \to B' \times A_f\) est étale et fidèlement plat. Par hypothèse, il existe une rétraction \(B' \times A_f \to A\). En localisant, on obtient la rétraction voulue \(C \to A_Z^\sim\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux induisant des extensions algébriques des corps résiduels. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \ar[r] & D \\ A \ar[r] \ar[u] & C \ar[u] }\] qui possède les propriétés suivantes:

1. \(A \to C\) est fidèlement plat et ind-étale,

2. \(B \to D\) est fidèlement plat et ind-étale,

3. \(\Spec(C)\) est w-local,

4. \(\Spec(D)\) est w-local,

5. \(\Spec(D) \to \Spec(C)\) est w-locale,

6. l’ensemble des points fermés de \(\Spec(D)\) est l’image réciproque de l’ensemble des points fermés de \(\Spec(C)\),

7. l’ensemble des points fermés de \(\Spec(C)\) a pour image tout \(\Spec(A)\),

8. l’ensemble des points fermés de \(\Spec(D)\) a pour image tout \(\Spec(B)\),

9. pour tout idéal maximal \(\mathfrak m \subset C\), l’anneau local \(C_\mathfrak m\) est strictement hensélien.

Démonstration

Il existe un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-Zariski \(A \to A'\) tel que \(\Spec(A')\) soit w-local et que l’ensemble des points fermés de \(\Spec(A')\) a pour image tout \(\Spec(A)\); voir le lemme 0975. Soit \(I \subset A'\) l’idéal tel que \(V(I)\) soit l’ensemble des points fermés de \(\Spec(A')\). Choisissons \(A' \to C'\) comme dans le lemme 097R. Notons que les anneaux locaux \(C'_{\mathfrak m'}\), pour les idéaux maximaux \(\mathfrak m' \subset C'\), sont strictement henséliens d’après le lemme 097V. Appliquons le lemme 097A à \(A' \to C'\) et \(I \subset A'\) pour obtenir \(C' \to C\) avec \(C'/IC' \cong C/IC\). Puisque \(A' \to C'\) est fidèlement plat, \(\Spec(C'/IC')\) se projette sur l’ensemble des points fermés de \(A'\), et donc en particulier sur \(\Spec(A)\). De plus, comme \(V(IC) \subset \Spec(C)\) est l’ensemble des points fermés de \(C\) et que \(C' \to C\) est ind-Zariski (et identifie les anneaux locaux), on obtient les propriétés (1), (3), (7) et (9).

Notons \(J \subset C\) l’idéal tel que \(V(J)\) soit l’ensemble des points fermés de \(\Spec(C)\). Posons \(D' = B \otimes_A C\). L’homomorphisme d’anneaux \(C \to D'\) induit des extensions algébriques des corps résiduels. Remarquons que, puisque \(V(J) \to \Spec(A)\) est surjective, l’application \(T = V(JD') \to \Spec(B)\) est elle aussi surjective. Appliquons le lemme 097A à \(C \to D'\) et \(J \subset C\) pour obtenir \(D' \to D\) avec \(D'/JD' \cong D/JD\). Toutes les autres propriétés de l’énoncé résultent immédiatement du lemme 097A.

Faiblement étale et pro-étale

Rappelons qu’un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est faiblement étale si \(A \to B\) est plat et si \(B \otimes_A B \to B\) est plat. Nous avons établi certaines propriétés de ces homomorphismes dans Compléments d’Algèbre, section 092A. En particulier, si \(A \to B\) est un homomorphisme local et si \(A\) est un anneau local strictement hensélien, alors \(A = B\); voir Compléments d’Algèbre, théorème 092Z. En utilisant ce théorème et le travail accompli ci-dessus, on obtient le théorème de structure suivant pour les homomorphismes d’anneaux faiblement étales.

Proposition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux faiblement étale. Il existe alors un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-étale \(B \to B'\) tel que \(A \to B'\) soit ind-étale.

Démonstration

L’homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) induit des extensions algébriques (séparables) des corps résiduels; voir Compléments d’Algèbre, lemme 092R. On peut donc appliquer le lemme 097X et choisir un diagramme \[\xymatrix{ B \ar[r] & D \\ A \ar[r] \ar[u] & C \ar[u] }\] ayant les propriétés énumérées dans le lemme. Notons que \(C \to D\) est faiblement étale d’après Compléments d’Algèbre, lemme 092L. Choisissons un idéal maximal \(\mathfrak m \subset D\). Par construction, il est au-dessus d’un idéal maximal \(\mathfrak m' \subset C\). D’après Compléments d’Algèbre, théorème 092Z, l’homomorphisme d’anneaux \(C_{\mathfrak m'} \to D_\mathfrak m\) est un isomorphisme. Comme tout point de \(\Spec(C)\) se spécialise en un point fermé, on en conclut que \(C \to D\) identifie les anneaux locaux. La proposition 097G s’applique donc à l’homomorphisme d’anneaux \(C \to D\). Choisissons \(D \to D'\) fidèlement plat et ind-Zariski tel que \(C \to D'\) soit ind-Zariski. Alors \(B \to D'\) résout le problème posé dans la proposition.

La topologie V et la topologie pro-h

La topologie V a été introduite dans Topologies, section 0ETA. La topologie h a été introduite dans Compléments sur la platitude, section 0ETQ. Une sorte de topologie intermédiaire, la topologie ph, a été introduite dans Topologies, section 0DBC.

Étant donnée une topologie \(\tau\) sur une catégorie convenable \(\mathcal{C}\) de schémas, on peut introduire une “topologie pro-\(\tau\)” sur \(\mathcal{C}\) comme suit. Rappelons que, pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{C}\), on note \(h_X\) le préfaisceau représentable associé à \(X\). Disons provisoirement qu’un morphisme \(X \to Y\) de \(\mathcal{C}\) est \(\tau\)-couvrant² si la \(\tau\)-faisceautisation du morphisme \(h_X \to h_Y\) est surjective. On peut alors définir la topologie pro-\(\tau\) comme la topologie la moins fine telle que

1. la topologie pro-\(\tau\) soit plus fine que la topologie \(\tau\), et

2. \(X \to Y\) soit pro-\(\tau\)-couvrant si \(Y\) est affine et si \(X = \lim X_\lambda\) est une limite projective filtrante de schémas affines \(X_\lambda\) au-dessus de \(Y\) telle que \(h_{X_\lambda} \to h_Y\) soit \(\tau\)-couvrant pour tout \(\lambda\).

Nous employons cette formulation minutieuse parce que nous ne voulons pas fixer un choix de recouvrements pro-\(\tau\): selon \(\tau\), différents choix de familles de recouvrements conviennent. Par exemple, nous verrons à la section 0988 que pour définir la topologie pro-étale, il est commode de considérer des familles de morphismes faiblement étales possédant une certaine propriété de finitude. Plus généralement, la construction proposée dans ce paragraphe vise surtout à motiver les résultats de cette section, et nous ne définirons jamais implicitement une topologie pro-\(\tau\) par cette méthode.

Le lemme suivant affirme que la topologie pro-V est égale à la topologie V.

Lemme

Soit \(Y\) un schéma affine. Soit \(X = \lim X_i\) une limite projective filtrante de schémas affines au-dessus de \(Y\). Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement V standard (Topologies, définition 0ETB), et

2. \(\{X_i \to Y\}\) est un recouvrement V standard pour tout \(i\).

Démonstration

Le singleton \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement V standard si et seulement si, pour tout morphisme \(g : \Spec(V) \to Y\), il existe une extension d’anneaux de valuation \(V \subset W\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r]^g & Y }\] L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte donc immédiatement de la définition. Réciproquement, supposons (2) et considérons \(g : \Spec(V) \to Y\) comme ci-dessus. Écrivons \(\Spec(V) \times_Y X_i = \Spec(A_i)\). Puisque \(\{X_i \to Y\}\) est un recouvrement V standard, on peut choisir un anneau de valuation \(W_i\) et un homomorphisme d’anneaux \(A_i \to W_i\) tels que la composée \(V \to A_i \to W_i\) soit une extension d’anneaux de valuation. En particulier, le quotient \(A'_i\) de \(A_i\) par sa \(V\)-torsion est une \(V\)-algèbre fidèlement plate. La platitude résulte de Compléments d’Algèbre, lemme 0539 et la surjectivité sur les spectres du fait que \(A_i \to W_i\) se factorise par \(A'_i\). Ainsi, \[A = \colim A'_i\] est une \(V\)-algèbre fidèlement plate (Algèbre, lemme 090N). Puisque \(\{\Spec(A) \to \Spec(V)\}\) est un recouvrement fpqc standard, c’est un recouvrement V standard (Topologies, lemme 0ETC); on peut donc choisir \(\Spec(W) \to \Spec(A)\) tel que \(V \to W\) soit une extension d’anneaux de valuation. En composant avec le morphisme \(\Spec(A) \to X = \Spec(\colim A_i)\), on achève la démonstration.

Le lemme suivant affirme que la topologie pro-h est égale à la topologie pro-ph, elle-même égale à la topologie V.

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas affines. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. \(\{X \to Y\}\) est un recouvrement V standard (Topologies, définition 0ETB),

2. \(X = \lim X_i\) est une limite projective filtrante de schémas affines sur \(Y\) telle que \(\{X_i \to Y\}\) soit un recouvrement ph pour tout \(i\), et

3. \(X = \lim X_i\) est une limite projective filtrante de schémas affines sur \(Y\) telle que \(\{X_i \to Y\}\) soit un recouvrement h pour tout \(i\).

Démonstration

Démonstration de (2) \(\Rightarrow\) (1). Rappelons qu’un recouvrement V donné par une seule flèche entre schémas affines est un recouvrement V standard; voir Topologies, définition 0ETH et lemme 0ETG. Rappelons que tout recouvrement ph est un recouvrement V; voir Topologies, lemme 0ETK. Ainsi, si \(X = \lim X_i\) comme en (2), alors \(\{X_i \to Y\}\) est un recouvrement V standard pour tout \(i\). Le lemme 0EVN montre donc que (1) est vraie.

Démonstration de (3) \(\Rightarrow\) (2). C’est clair, car un recouvrement h est toujours un recouvrement ph; voir Compléments sur la platitude, définition 0ETS.

Démonstration de (1) \(\Rightarrow\) (3). C’est l’implication intéressante, mais le fond de la démonstration est contenu dans Compléments sur la platitude, lemme 0ETR. Écrivons \(X = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(R)\). On peut écrire \(A = \colim A_i\), où \(A_i\) est de présentation finie sur \(R\); voir Algèbre, lemme 00QN. Posons \(X_i = \Spec(A_i)\). Alors \(\{X_i \to Y\}\) est un recouvrement V standard pour tout \(i\), d’après (1) et Topologies, lemme 0ETG. Ainsi \(\{X_i \to Y\}\) est un recouvrement h d’après Compléments sur la platitude, définition 0ETS. Ceci achève la démonstration.

Le lemme suivant affirme, en gros, qu’un faisceau h qui commute aux limites satisfait la condition de faisceau pour les recouvrements V. Comparer aussi avec la remarque 0EVR.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(F\) un foncteur contravariant défini sur la catégorie de tous les schémas au-dessus de \(S\). Si

1. \(F\) satisfait la condition de faisceau pour la topologie h, et

2. \(F\) commute aux limites (Limites, remarque 05LX),

alors \(F\) satisfait la condition de faisceau pour la topologie V.

Démonstration

Nous allons le prouver en vérifiant (1) et (2’) de Topologies, lemme 0ETM. La condition de faisceau pour les recouvrements de Zariski résulte du fait que \(F\) satisfait la condition de faisceau pour tout recouvrement h. Enfin, supposons que \(X \to Y\) soit un morphisme de schémas affines au-dessus de \(S\) tel que \(\{X \to Y\}\) soit un recouvrement V. D’après le lemme 0EVP, on peut écrire \(X = \lim X_i\) comme une limite projective filtrante de schémas affines au-dessus de \(Y\), telle que \(\{X_i \to Y\}\) soit un recouvrement h pour tout \(i\). On obtient \[\begin{align*} & \text{Égalisateur}( \xymatrix{ F(X) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(X \times_Y X) } ) \\ & = \text{Égalisateur}( \xymatrix{ \colim F(X_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \colim F(X_i \times_Y X_i) } ) \\ & = \colim \text{Égalisateur}( \xymatrix{ F(X_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(X_i \times_Y X_i) } ) \\ & = \colim F(Y) = F(Y) \end{align*}\] ce qui est l’assertion voulue. La première égalité vient de ce que \(F\) commute aux limites, \(X = \lim X_i\) et \(X \times_Y X = \lim X_i \times_Y X_i\). La deuxième vient de l’exactitude des limites inductives filtrantes. La troisième vient de ce que \(F\) satisfait la condition de faisceau pour les recouvrements h.

Remarque

Soit \(S\) un schéma contenu dans un grand site \(\Sch_h\). Soit \(F\) un faisceau d’ensembles sur \((\Sch/S)_h\) tel que \(F(T) = \colim F(T_i)\) chaque fois que \(T = \lim T_i\) est une limite projective filtrante de schémas affines dans \((\Sch/S)_h\). Dans cette situation, \(F\) se prolonge de manière unique en un foncteur contravariant \(F'\) sur la catégorie de tous les schémas au-dessus de \(S\), tel que (a) \(F'\) satisfasse la condition de faisceau pour la topologie h et (b) \(F'\) commute aux limites. Voir Compléments sur la platitude, lemme 0EV3. Dans cette situation, le lemme 0EVQ affirme que \(F'\) satisfait la condition de faisceau pour la topologie V.

Construction de recouvrements w-contractiles

Dans cette section, nous construisons des recouvrements w-contractiles de schémas affines.

Définition

Soit \(A\) un anneau. On dit que \(A\) est w-contractile si tout homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et faiblement étale \(A \to B\) admet une rétraction.

Remarquons que, d’après la proposition 097Z, une définition équivalente consisterait à demander que tout homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-étale \(A \to B\) admet une rétraction. Voici une observation essentielle qui nous permettra de construire des anneaux w-contractiles.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. \(A\) est w-contractile,

2. tout homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-étale \(A \to B\) admet une rétraction, et

3. \(A\) satisfait les conditions suivantes:

   1. \(\Spec(A)\) est w-local,

   2. \(\pi_0(\Spec(A))\) est extrêmement discontinu, et

   3. pour tout idéal maximal \(\mathfrak m \subset A\), l’anneau local \(A_\mathfrak m\) est strictement hensélien.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte immédiatement de la proposition 097Z.

Supposons (3)(a), (3)(b) et (3)(c). Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-étale. Nous utiliserons sans autre mention le fait qu’un homomorphisme plat \(A \to B\) est fidèlement plat si et seulement si tout point fermé de \(\Spec(A)\) appartient à l’image de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\). Montrons que \(A \to B\) admet une rétraction.

Soit \(I \subset A\) un idéal tel que \(V(I) \subset \Spec(A)\) soit l’ensemble des points fermés de \(\Spec(A)\). On peut remplacer \(B\) par l’anneau \(C\) construit au lemme 097A pour \(A \to B\) et \(I \subset A\). On peut ainsi supposer que \(\Spec(B)\) est w-local et que l’ensemble des points fermés de \(\Spec(B)\) est égal à \(V(IB)\). Dans ce cas, \(A \to B\) identifie les anneaux locaux par la condition (3)(c), car il suffit de le vérifier aux idéaux maximaux de \(B\) situés au-dessus d’idéaux maximaux de \(A\). Ainsi \(A \to B\) admet une rétraction d’après le lemme 09AZ.

Supposons (1) ou, ce qui revient au même, (2). On a (3)(c) d’après le lemme 097V. Les propriétés (3)(a) et (3)(b) résultent du lemme 09AZ.

Proposition

Pour tout anneau \(A\), il existe un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-étale \(A \to D\) tel que \(D\) soit w-contractile.

Démonstration

En appliquant le lemme 097X à \(\text{id}_A : A \to A\), on obtient un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-étale \(A \to C\) tel que \(C\) soit w-local et que tout anneau local en un idéal maximal de \(C\) soit strictement hensélien. Choisissons un espace extrêmement discontinu \(T\) et une application continue surjective \(T \to \pi_0(\Spec(C))\); voir Topologie, lemme 090D. Notons que \(T\) est profini. Appliquons le lemme 097D pour obtenir un homomorphisme d’anneaux ind-Zariski \(C \to D\) tel que \(\pi_0(\Spec(D)) \to \pi_0(\Spec(C))\) réalise \(T \to \pi_0(\Spec(C))\) et que \[\xymatrix{ \Spec(D) \ar[r] \ar[d] & \pi_0(\Spec(D)) \ar[d] \\ \Spec(C) \ar[r] & \pi_0(\Spec(C)) }\] soit cartésien dans la catégorie des espaces topologiques. Notons que \(\Spec(D)\) est w-local, que \(\Spec(D) \to \Spec(C)\) est w-locale et que l’ensemble des points fermés de \(\Spec(D)\) est l’image réciproque de l’ensemble des points fermés de \(\Spec(C)\); voir le lemme 096C. Il reste donc vrai que les anneaux locaux de \(D\) en ses idéaux maximaux sont strictement henséliens (puisqu’ils sont isomorphes aux anneaux locaux de \(C\) aux idéaux maximaux correspondants). Il résulte du lemme 0982 que \(D\) est w-contractile.

Remarque

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\kappa\) un cardinal infini supérieur ou égal au cardinal de \(A\). Alors le cardinal de l’anneau \(D\) construit dans la proposition 0983 est au plus \[\kappa^{2^{2^{2^\kappa}}}.\] En effet, l’homomorphisme d’anneaux \(A \to D\) s’obtient comme le composé \[A \to A_w = A' \to C' \to C \to D.\] Les trois premières étapes de la construction sont effectuées dans le premier paragraphe de la démonstration du lemme 097X. Pour la première étape, on a \(|A_w| \leq \kappa\) d’après la remarque 0976. On a \(|C'| \leq \kappa\) d’après la remarque 097S. Puis \(|C| \leq \kappa\), car \(C\) est une localisation de \((C')_w\) (il est construit à partir de \(C'\) par une application du lemme 0979 dans la démonstration du lemme 097A). Ainsi \(C\) possède au plus \(2^\kappa\) idéaux maximaux. Enfin, l’homomorphisme d’anneaux \(C \to D\) identifie les anneaux locaux, et le cardinal de l’ensemble des idéaux maximaux de \(D\) est au plus \(2^{2^{2^\kappa}}\) d’après Topologie, remarque 090E. Puisque \(D \subset \prod_{\mathfrak m \subset D} D_\mathfrak m\), on voit que le cardinal de \(D\) est au plus celui affiché ci-dessus.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux quasi-fini et de présentation finie. Si les corps résiduels de \(A\) sont séparablement clos et si \(\Spec(A)\) est séparé et extrêmement discontinu, alors \(\Spec(B)\) est extrêmement discontinu.

Démonstration

Posons \(X = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(B)\). Choisissons une partition finie \(X = \coprod X_i\) et des morphismes \(X'_i \to X_i\) comme dans Cohomologie étale, lemme 095K. L’application d’espaces topologiques \(\coprod X_i \to X\) (dont la source est la somme disjointe dans la catégorie des espaces topologiques) admet une section d’après la proposition de Topologie 08YN. Ainsi, \(X\) est, comme espace topologique, la somme disjointe des strates \(X_i\). On peut donc remplacer \(X\) par les \(X_i\) et supposer qu’il existe un morphisme fini localement libre et surjectif \(X' \to X\) tel que \((X' \times_X Y)_{red}\) soit isomorphe à une somme disjointe finie de copies de \(X'_{red}\). Représentons la situation par le diagramme \[\xymatrix{ \coprod_{i = 1, \ldots, r} X' \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & X }\] L’hypothèse sur les corps résiduels de \(A\) implique que ce diagramme est cartésien au niveau des ensembles de points sous-jacents (détails omis). Puisque \(X\) est extrêmement discontinu et que \(X'\) est séparé (lemme 0978), l’application continue \(X' \to X\) admet une section continue \(\sigma\). Alors \(\coprod_{i = 1, \ldots, r} \sigma(X) \to Y\) est une application continue bijective. D’après Topologie, lemme 08YE, c’est un homéomorphisme, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux fini et de présentation finie. Si \(A\) est w-contractile, alors \(B\) l’est aussi.

Démonstration

Nous utiliserons le critère du lemme 0982. Posons \(X = \Spec(A)\) et \(Y = \Spec(B)\), et notons \(f : Y \to X\) le morphisme induit. Comme \(f : Y \to X\) est un morphisme fini, l’ensemble des points fermés \(Y_0\) de \(Y\) est l’image réciproque de l’ensemble des points fermés \(X_0\) de \(X\). Soit \(y \in Y\) d’image \(x \in X\). Alors \(x\) se spécialise en un unique point fermé \(x_0 \in X\). Écrivons \(f^{-1}(\{x_0\}) = \{y_1, \ldots, y_n\}\), où les \(y_i\) sont fermés dans \(Y\). Puisque \(R = \mathcal{O}_{X, x_0}\) est strictement hensélien et que \(f\) est fini, \(Y \times_{f, X} \Spec(R)\) est égal à \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} \Spec(R_i)\), où chaque \(R_i\) est un anneau local fini sur \(R\) dont l’idéal maximal correspond à \(y_i\); voir Algèbre, lemme 04GG, partie (10). Alors \(y\) appartient à exactement l’un de ces \(\Spec(R_i)\), et l’on voit que \(y\) se spécialise en exactement l’un des \(y_i\). Autrement dit, tout point de \(Y\) se spécialise en un unique point de \(Y_0\). Ainsi, \(Y\) est w-local. Pour tout \(y \in Y_0\) d’image \(x \in X_0\), l’anneau \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est strictement hensélien d’après le lemme d’Algèbre 04GH, appliqué à \(\mathcal{O}_{X, x} \to B \otimes_A \mathcal{O}_{X, x}\). Il reste à montrer que \(Y_0\) est extrêmement discontinu. Pour cela, considérons \(X_0 \times_X Y \to X_0\), où \(X_0 \subset X\) est muni de la structure de sous-schéma réduite induite. Notons que l’espace topologique sous-jacent à \(X_0 \times_X Y\) coïncide avec \(Y_0\). Le résultat voulu découle alors du lemme 0985.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(Z \subset \Spec(A)\) un sous-ensemble fermé de la forme \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\). Posons \(B = A_Z^\sim\); voir le lemme 096V. Si \(A\) est w-contractile, alors \(B\) l’est aussi.

Démonstration

Soit \(A_Z^\sim \to B\) un homomorphisme d’anneaux faiblement étale et fidèlement plat. Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[A \longrightarrow A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_r} \times B\] qui est fidèlement plat et faiblement étale. Si \(A\) est w-contractile, cet homomorphisme admet une rétraction \(\sigma\). Considérons le morphisme \[\Spec(A_Z^\sim) \to \Spec(A) \xrightarrow{\Spec(\sigma)} \coprod \Spec(A_{f_i}) \amalg \Spec(B)\] Tout point de \(Z \subset \Spec(A_Z^\sim)\) a son image dans la composante \(\Spec(B)\). Puisque tout point de \(\Spec(A_Z^\sim)\) se spécialise en un point de \(Z\), on obtient un morphisme \(\Spec(A_Z^\sim) \to \Spec(B)\) comme on le voulait.

Le site pro-étale

Dans cette section, nous nous bornons à définir et à construire les différents sites pro-étales ainsi que les morphismes entre eux. L’existence d’objets faiblement contractiles sera établie dans la section 0F4N.

La topologie pro-étale ressemble quelque peu à la topologie fpqc (voir Topologies, section 022A), en ce que le topos des faisceaux sur le petit site pro-étale d’un schéma dépend du choix de la catégorie sous-jacente de schémas. On ne peut donc pas parler du topos pro-étale d’un schéma. Toutefois, les groupes de cohomologie d’un faisceau ne changent pas si l’on agrandit la catégorie sous-jacente de schémas; voir la section 0F4R.

Nous définirons les recouvrements pro-étales au moyen de morphismes de schémas faiblement étales; voir Compléments sur les morphismes, section 094N. La raison est que, d’une part, il est quelque peu malaisé de définir la notion de morphisme pro-étale de schémas et que, d’autre part, la proposition 097Z garantit que l’on obtient les mêmes faisceaux³ avec la définition suivante.

Définition

Soit \(T\) un schéma. Un recouvrement pro-étale de \(T\) est une famille de morphismes de schémas \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) telle que chaque \(f_i\) soit faiblement étale et que, pour tout ouvert affine \(U \subset T\), il existe \(n \geq 0\), une application \(a : \{1, \ldots, n\} \to I\) et des ouverts affines \(V_j \subset T_{a(j)}\), \(j = 1, \ldots, n\), tels que \(\bigcup_{j = 1}^n f_{a(j)}(V_j) = U\).

Bien entendu, cette condition implique que \(T = \bigcup f_i(T_i)\). Voici un lemme qui permettra de reconnaître les recouvrements pro-étales. Il permettra aussi de ramener de nombreux lemmes sur les recouvrements pro-étales aux résultats correspondants sur les recouvrements fpqc.

Lemme

Soit \(T\) un schéma. Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de schémas de but \(T\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement pro-étale,

2. chaque \(f_i\) est faiblement étale et \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc,

3. chaque \(f_i\) est faiblement étale et, pour tout ouvert affine \(U \subset T\), il existe des ouverts quasi-compacts \(U_i \subset T_i\), presque tous vides, tels que \(U = \bigcup f_i(U_i)\),

4. chaque \(f_i\) est faiblement étale et il existe un recouvrement ouvert affine \(T = \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha\) tel que, pour chaque \(\alpha \in A\), il existe \(i_{\alpha, 1}, \ldots, i_{\alpha, n(\alpha)} \in I\) et des ouverts quasi-compacts \(U_{\alpha, j} \subset T_{i_{\alpha, j}}\) tels que \(U_\alpha = \bigcup_{j = 1, \ldots, n(\alpha)} f_{i_{\alpha, j}}(U_{\alpha, j})\).

Si \(T\) est quasi-séparé, ces conditions sont encore équivalentes à la suivante :

1. chaque \(f_i\) est faiblement étale et, pour tout \(t \in T\), il existe \(i_1, \ldots, i_n \in I\) et des ouverts quasi-compacts \(U_j \subset T_{i_j}\) tels que \(\bigcup_{j = 1, \ldots, n} f_{i_j}(U_j)\) soit un voisinage de \(t\) dans \(T\) (non nécessairement ouvert).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) découle immédiatement des définitions. Le lemme résulte donc de Topologies, lemme 03L7.

Lemme

Tout recouvrement étale et tout recouvrement de Zariski sont des recouvrements pro-étales.

Démonstration

Cela résulte du résultat correspondant pour les recouvrements fpqc (Topologies, lemme 022C), du lemme 098A et du fait qu’un morphisme étale est faiblement étale; voir Compléments sur les morphismes, lemme 094X.

Lemme

Soit \(T\) un schéma.

1. Si \(T' \to T\) est un isomorphisme, alors \(\{T' \to T\}\) est un recouvrement pro-étale de \(T\).

2. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement pro-étale et si, pour chaque \(i\), on a un recouvrement pro-étale \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\), alors \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\) est un recouvrement pro-étale.

3. Si \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\) est un recouvrement pro-étale et si \(T' \to T\) est un morphisme de schémas, alors \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\) est un recouvrement pro-étale.

Démonstration

Cela résulte du fait que les composés et les changements de base de morphismes faiblement étales sont faiblement étales (Compléments sur les morphismes, lemmes 094T et 094U), du lemme 098A et des résultats correspondants pour les recouvrements fpqc; voir Topologies, lemme 022D.

Lemme

Soit \(T\) un schéma affine. Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement pro-étale de \(T\). Il existe alors un recouvrement pro-étale \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, n}\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) et dans lequel chaque \(U_j\) est un schéma affine. De plus, on peut choisir chaque \(U_j\) comme ouvert affine de l’un des \(T_i\).

Démonstration

Cela résulte directement de la définition.

Nous définissons donc comme suit les recouvrements standards correspondants dans le cas affine.

Définition

Soit \(T\) un schéma affine. Un recouvrement pro-étale standard de \(T\) est une famille \(\{f_i : T_i \to T\}_{i = 1, \ldots, n}\) où chaque \(T_j\) est affine, chaque \(f_i\) est faiblement étale et \(T = \bigcup f_i(T_i)\).

Nous suivons le schéma général donné dans Topologies, section 020M, pour construire le grand site pro-étale avec lequel nous travaillerons. Toutefois, comme nous avons besoin d’anneaux un peu plus grands pour tenir compte de la taille de certaines constructions, nous modifions légèrement celles-ci.

Définition

Un grand site pro-étale est un site \(\Sch_\proetale\) quelconque au sens de Sites, définition 00VH, construit comme suit :

1. Choisir un ensemble quelconque de schémas \(S_0\) et un ensemble quelconque de recouvrements pro-étales \(\text{Cov}_0\) parmi ces schémas.

2. Remplacer la fonction \(Bound\) de Ensembles, équation (046U), par \[Bound(\kappa) = \max\{\kappa^{2^{2^{2^\kappa}}}, \kappa^{\aleph_0}, \kappa^+\}.\]

3. Prendre pour catégorie sous-jacente une catégorie \(\Sch_\alpha\) quelconque construite comme dans Ensembles, lemme 000J, à partir de l’ensemble \(S_0\) et de la fonction \(Bound\).

4. Choisir un ensemble quelconque de recouvrements comme dans Ensembles, lemme 000X, à partir de la catégorie \(\Sch_\alpha\), de la classe des recouvrements pro-étales et de l’ensemble \(\text{Cov}_0\) choisi ci-dessus.

Voir les remarques qui suivent Topologies, définition 020S, pour la motivation et les explications relatives à la définition des grands sites.

Il résultera du lemme 098J que la topologie d’un grand site pro-étale \(\Sch_\proetale\) est, en un certain sens, induite par la topologie pro-étale sur la catégorie de tous les schémas.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale contenant \(S\).

1. Le grand site pro-étale de \(S\), noté \((\Sch/S)_\proetale\), est le site \(\Sch_\proetale/S\) introduit dans Sites, section 00XZ.

2. Le petit site pro-étale de \(S\), que nous notons \(S_\proetale\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_\proetale\) dont les objets sont les \(U/S\) tels que \(U \to S\) soit faiblement étale. Un recouvrement de \(S_\proetale\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_\proetale\) avec \(U \in \Ob(S_\proetale)\).

3. Le grand site pro-étale affine de \(S\), noté \((\textit{Aff}/S)_\proetale\), est la sous-catégorie pleine de \((\Sch/S)_\proetale\) dont les objets sont les \(U/S\) affines. Un recouvrement de \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) est tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_\proetale\) qui est un recouvrement pro-étale standard.

Il n’est pas tout à fait évident que le petit site pro-étale et le grand site pro-étale affine soient des sites. Vérifions-le maintenant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale contenant \(S\). Alors \(S_\proetale\) et \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) sont tous deux des sites.

Démonstration

Montrons que \(S_\proetale\) est un site. C’est une catégorie munie d’un ensemble donné de familles de morphismes à cible fixée. Il faut donc vérifier les propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH. Puisque \((\Sch/S)_\proetale\) est un site, il suffit de montrer que, pour tout recouvrement \(\{U_i \to U\}\) de \((\Sch/S)_\proetale\) avec \(U \in \Ob(S_\proetale)\), on a aussi \(U_i \in \Ob(S_\proetale)\). Cela découle des définitions, car la composée de morphismes faiblement étales est faiblement étale.

Pour montrer que \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) est un site, en raisonnant comme ci-dessus, il suffit de montrer que la famille des recouvrements pro-étales standards de schémas affines satisfait les propriétés (1), (2) et (3) de Sites, définition 00VH. Cela découle du lemme 098A et du résultat correspondant pour les recouvrements fpqc standards (Topologies, lemme 03LA).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale contenant \(S\). Soit \(\Sch\) la catégorie de tous les schémas.

1. Les catégories \(\Sch_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\), \(S_\proetale\) et \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) possèdent des produits fibrés qui coïncident avec les produits fibrés dans \(\Sch\).

2. Les catégories \(\Sch_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\) et \(S_\proetale\) possèdent des égalisateurs qui coïncident avec les égalisateurs dans \(\Sch\).

3. Les catégories \((\Sch/S)_\proetale\) et \(S_\proetale\) possèdent toutes deux un objet final, à savoir \(S/S\).

4. La catégorie \(\Sch_\proetale\) possède un objet final qui coïncide avec l’objet final de \(\Sch\), à savoir \(\Spec(\mathbf{Z})\).

Démonstration

La catégorie \(\Sch_\proetale\) contient \(\Spec(\mathbf{Z})\) et est stable par produits et produits fibrés par construction; voir Ensembles, lemme 000R. Supposons donnés des morphismes \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\) de schémas avec \(U, V, W \in \Ob(\Sch_\proetale)\). Le produit fibré \(V \times_U W\) dans \(\Sch_\proetale\) est un produit fibré dans \(\Sch\) et est le produit fibré de \(V/S\) et \(W/S\) au-dessus de \(U/S\) dans la catégorie de tous les schémas au-dessus de \(S\); c’est donc aussi un produit fibré dans \((\Sch/S)_\proetale\). Cela démontre le résultat pour \((\Sch/S)_\proetale\). Si \(U \to S\), \(V \to U\) et \(W \to U\) sont faiblement étales, alors \(V \times_U W \to S\) l’est aussi (voir Compléments sur les morphismes, section 094N); on obtient donc les produits fibrés dans \(S_\proetale\). Si \(U, V, W\) sont affines, alors \(V \times_U W\) l’est aussi; on obtient donc les produits fibrés dans \((\textit{Aff}/S)_\proetale\).

Soient \(a, b : U \to V\) deux morphismes de \(\Sch_\proetale\). Dans ce cas, l’égalisateur de \(a\) et \(b\) (dans la catégorie des schémas) est \[V \times_{\Delta_{V/\Spec(\mathbf{Z})}, V \times_{\Spec(\mathbf{Z})} V, (a, b)} (U \times_{\Spec(\mathbf{Z})} U)\] qui est un objet de \(\Sch_\proetale\) d’après ce que nous venons de voir. Ainsi, \(\Sch_\proetale\) possède des égalisateurs. Si \(a\) et \(b\) sont des morphismes au-dessus de \(S\), alors l’égalisateur (dans la catégorie des schémas) est aussi donné par \[V \times_{\Delta_{V/S}, V \times_S V, (a, b)} (U \times_S U)\] et l’on voit donc que \((\Sch/S)_\proetale\) possède des égalisateurs. De plus, si \(U\) et \(V\) sont faiblement étales sur \(S\), alors l’égalisateur ci-dessus l’est aussi, puisqu’il est un produit fibré de schémas faiblement étales sur \(S\). Ainsi, \(S_\proetale\) possède des égalisateurs. Les assertions sur les objets finaux sont claires.

Vérifions ensuite que le grand site pro-étale affine définit le même topos que le grand site pro-étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale contenant \(S\). Le foncteur \((\textit{Aff}/S)_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\) est un foncteur spécial cocontinu. Il induit donc une équivalence de topos de \(\Sh((\textit{Aff}/S)_\proetale)\) vers \(\Sh((\Sch/S)_\proetale)\).

Démonstration

La notion de foncteur spécial cocontinu est introduite dans Sites, définition 03CG. Il faut donc vérifier les hypothèses (1) – (5) de Sites, lemme 03A0. Notons le foncteur d’inclusion \(u : (\textit{Aff}/S)_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\). La cocontinuité signifie simplement que tout recouvrement pro-étale de \(T/S\), avec \(T\) affine, peut être raffiné par un recouvrement pro-étale standard de \(T\). C’est le contenu du lemme 098D. Ainsi, (1) est vérifiée. Le foncteur \(u\) est continu simplement parce qu’un recouvrement pro-étale standard est un recouvrement pro-étale. Ainsi, (2) est vérifiée. Les parties (3) et (4) découlent immédiatement du fait que \(u\) est pleinement fidèle. Enfin, la condition (5) résulte du fait que tout schéma admet un recouvrement ouvert affine.

Lemme

Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale. Soit \(f : T \to S\) un morphisme de \(\Sch_\proetale\). Le foncteur \(T_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\) est cocontinu et induit un morphisme de topos \[i_f : \Sh(T_\proetale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\proetale)\] Pour tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \((\Sch/S)_\proetale\), on a la formule \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). Le foncteur \(i_f^{-1}\) admet aussi un adjoint à gauche \(i_{f, !}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Notons \(u : T_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\) ce foncteur. Autrement dit, étant donné un morphisme faiblement étale \(j : U \to T\) correspondant à un objet de \(T_\proetale\), on pose \(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\). Ce foncteur commute aux produits fibrés ; voir le lemme 098M. De plus, \(T_\proetale\) possède des égalisateurs et \(u\) commute avec eux d’après le lemme 098M. Il est manifestement cocontinu. Il est aussi continu, car \(u\) transforme les recouvrements en recouvrements et commute aux produits fibrés. Le lemme résulte donc de Sites, lemmes 00XR et 00XS.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale contenant \(S\). Le foncteur d’inclusion \(S_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\) satisfait aux hypothèses de Sites, lemme 00XU, et induit donc un morphisme de sites \[\pi_S : (\Sch/S)_\proetale \longrightarrow S_\proetale\] et un morphisme de topos \[i_S : \Sh(S_\proetale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\proetale)\] tels que \(\pi_S \circ i_S = \text{id}\). De plus, \(i_S = i_{\text{id}_S}\), où \(i_{\text{id}_S}\) est défini au lemme 098P. En particulier, le foncteur \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) est décrit par la règle \(i_S^{-1}(\mathcal{G})(U/S) = \mathcal{G}(U/S)\).

Démonstration

Dans ce cas, le foncteur \(u : S_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\), outre les propriétés établies dans la démonstration du lemme 098P ci-dessus, est pleinement fidèle et envoie l’objet final sur l’objet final. Le lemme découle de Sites, lemme 00XU.

Définition

Dans la situation du lemme 098Q, le foncteur \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\) est souvent appelé la restriction au petit site pro-étale ; pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le grand site pro-étale, on note \(\mathcal{F}|_{S_\proetale}\) cette restriction.

Avec cette notation, on a, pour un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le grand site et un faisceau \(\mathcal{G}\) sur le petit site, \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(S_\proetale)}(\mathcal{F}|_{S_\proetale}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\proetale)}(\mathcal{F}, i_{S, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(S_\proetale)}(\mathcal{G}, \mathcal{F}|_{S_\proetale}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\proetale)}(\pi_S^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] De plus, \((i_{S, *}\mathcal{G})|_{S_\proetale} = \mathcal{G}\) et \((\pi_S^{-1}\mathcal{G})|_{S_\proetale} = \mathcal{G}\).

Lemme

Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale. Soit \(f : T \to S\) un morphisme de \(\Sch_\proetale\). Le foncteur \[u : (\Sch/T)_\proetale \longrightarrow (\Sch/S)_\proetale, \quad V/T \longmapsto V/S\] est cocontinu et admet un adjoint à droite continu \[v : (\Sch/S)_\proetale \longrightarrow (\Sch/T)_\proetale, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] Ils induisent le même morphisme de topos \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_\proetale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\proetale)\] On a \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\). On a \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\). De plus, \(f_{big}^{-1}\) admet un adjoint à gauche \(f_{big!}\) qui commute aux produits fibrés et aux égalisateurs.

Démonstration

Le foncteur \(u\) est cocontinu, continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs (détails omis ; comparer avec la démonstration du lemme 098P). Par conséquent, Sites, lemmes 00XR et 00XS s’appliquent, et l’on en déduit la formule pour \(f_{big}^{-1}\) ainsi que l’existence de \(f_{big!}\). De plus, le foncteur \(v\) est adjoint à droite, car, pour \(U/T\) et \(V/S\), on a \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\), ce qui est l’assertion voulue. On peut donc appliquer Sites, lemmes 00XX et 00XY pour obtenir la formule pour \(f_{big, *}\).

Lemme

Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale. Soit \(f : T \to S\) un morphisme de \(\Sch_\proetale\).

1. On a \(i_f = f_{big} \circ i_T\), où \(i_f\) est défini au lemme 098P et \(i_T\) au lemme 098Q.

2. Le foncteur \(S_\proetale \to T_\proetale\), \((U \to S) \mapsto (U \times_S T \to T)\) est continu et induit un morphisme de topos \[f_{small} : \Sh(T_\proetale) \longrightarrow \Sh(S_\proetale).\] On a \(f_{small, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\).

3. On a un diagramme commutatif de morphismes de sites \[\xymatrix{ T_\proetale \ar[d]_{f_{small}} & (\Sch/T)_\proetale \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_T}\\ S_\proetale & (\Sch/S)_\proetale \ar[l]_{\pi_S} }\] de sorte que \(f_{small} \circ \pi_T = \pi_S \circ f_{big}\) comme morphismes de topos.

4. On a \(f_{small} = \pi_S \circ f_{big} \circ i_T = \pi_S \circ i_f\).

Démonstration

L’égalité \(i_f = f_{big} \circ i_T\) résulte de l’égalité \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\), qui ressort clairement des descriptions de ces foncteurs ci-dessus. Cela démontre (1).

Le foncteur \(u : S_\proetale \to T_\proetale\), \(u(U \to S) = (U \times_S T \to T)\), transforme les recouvrements en recouvrements et commute aux produits fibrés ; voir les lemmes 098C et 098M. De plus, \(S_\proetale\) et \(T_\proetale\) ont tous deux un objet final, à savoir \(S/S\) et \(T/T\), et \(u(S/S) = T/T\). D’après Sites, proposition 00X6, le foncteur \(u\) correspond donc à un morphisme de sites \(T_\proetale \to S_\proetale\). Celui-ci donne à son tour le morphisme de topos ; voir Sites, lemme 00XC. La description de l’image directe résulte clairement de ces références.

La partie (3) résulte du fait que \(\pi_S\) et \(\pi_T\) sont donnés par les foncteurs d’inclusion, et \(f_{small}\) et \(f_{big}\) par les foncteurs de changement de base \(U \mapsto U \times_S T\).

L’assertion (4) résulte de (3) en précomposant par \(i_T\).

Dans la situation du lemme, avec la terminologie de la définition 098R, on a, pour \(\mathcal{F}\) un faisceau sur le grand site pro-étale de \(T\), [0F60]\[\begin{equation} (f_{big, *}\mathcal{F})|_{S_\proetale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{T_\proetale}), \end{equation}\] Cette égalité résulte clairement de la commutativité du diagramme de sites du lemme, puisque la restriction au petit site pro-étale de \(T\), resp. \(S\), est donnée par \(\pi_{T, *}\), resp. \(\pi_{S, *}\). Une formule analogue faisant intervenir les images inverses et les restrictions est fausse.

Lemme

Étant donnés des schémas \(X\), \(Y\), \(Y\) dans \(\Sch_\proetale\) et des morphismes \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\), on a \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\) et \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\).

Démonstration

Cela découle de la description explicite des foncteurs image directe et image inverse sur les grands sites donnée dans le lemme 098S. Pour les foncteurs sur les petits sites, cela découle de la description des foncteurs image directe du lemme 098T.

Lemme

Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] dans \(\Sch_\proetale\). Alors \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) et \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\).

Démonstration

Puisque le diagramme est cartésien, on a, pour \(U'/S'\), \(U' \times_{S'} T' = U' \times_S T\). Ainsi, \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\) et \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\) associent tous deux à un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/T)_\proetale\) le faisceau \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{S'} T')\) sur \(S'_\proetale\) (d’après les lemmes 098P et 098S). La seconde égalité se démontre de la même manière ou peut se déduire du résultat très général suivant : Sites, lemme 03CF.

On peut considérer un faisceau sur le grand site pro-étale de \(S\) comme une famille de faisceaux sur les petits sites pro-étales des schémas au-dessus de \(S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma contenu dans un grand site pro-étale \(\Sch_\proetale\). Un faisceau \(\mathcal{F}\) sur le grand site pro-étale \((\Sch/S)_\proetale\) est déterminé par les données suivantes :

1. pour tout \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_\proetale)\), un faisceau \(\mathcal{F}_T\) sur \(T_\proetale\),

2. pour tout \(f : T' \to T\) dans \((\Sch/S)_\proetale\), un morphisme \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\).

Ces données sont soumises aux conditions suivantes :

1. pour tous \(f : T' \to T\) et \(g : T'' \to T'\) dans \((\Sch/S)_\proetale\), le composé \(c_g \circ g_{small}^{-1}c_f\) est égal à \(c_{f \circ g}\), et

2. si \(f : T' \to T\) dans \((\Sch/S)_\proetale\) est faiblement étale, alors \(c_f\) est un isomorphisme.

Démonstration

La démonstration est identique à celle du Topologies, lemme 021K.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Notons \(S_{affine, \proetale}\) la sous-catégorie pleine de \(S_\proetale\) formée des objets affines. Un recouvrement de \(S_{affine, \proetale}\) sera un recouvrement pro-étale standard ; voir la définition 098E. Alors la restriction \[\mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}|_{S_{affine, \etale}}\] définit une équivalence de topos \(\Sh(S_\proetale) \cong \Sh(S_{affine, \proetale})\).

Démonstration

On peut le montrer directement à partir des définitions, et c’est un bon exercice. Mais cela découle aussi immédiatement de Sites, lemme 03A0, en vérifiant que le foncteur d’inclusion \(S_{affine, \proetale} \to S_\proetale\) est un foncteur spécial cocontinu (voir Sites, définition 03CG).

Lemme

Soit \(S\) un schéma affine. Notons \(S_{app}\) la sous-catégorie pleine de \(S_\proetale\) formée des objets affines \(U\) tels que \(\mathcal{O}(S) \to \mathcal{O}(U)\) soit ind-étale. Un recouvrement de \(S_{app}\) sera un recouvrement pro-étale standard ; voir la définition 098E. Alors la restriction \[\mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}|_{S_{app}}\] définit une équivalence de topos \(\Sh(S_\proetale) \cong \Sh(S_{app})\).

Démonstration

D’après le lemme 098W, on peut remplacer \(S_\proetale\) par \(S_{affine, \proetale}\). Le lemme découle de Sites, lemme 03A0, en vérifiant que le foncteur d’inclusion \(S_{app} \to S_{affine, \proetale}\) est un foncteur spécial cocontinu ; voir Sites, définition 03CG. Les conditions énoncées dans Sites, lemme 03A0, découlent immédiatement de la définition et des faits suivants : (a) tout objet \(U\) de \(S_{affine, \proetale}\) admet un recouvrement \(\{V \to U\}\) avec \(V\) ind-étale sur \(X\) (proposition 097Z) et (b) le foncteur \(u\) est pleinement fidèle.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. La topologie de chacun des sites pro-étales \(\Sch_\proetale\), \(S_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\), \(S_{affine, \proetale}\) et \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) est sous-canonique.

Démonstration

Il suffit de combiner le lemme 098A avec Descente, lemme 023Q.

Objets faiblement contractiles

Dans cette section, nous démontrons le fait essentiel que nos sites pro-étales contiennent de nombreux objets faiblement contractiles. En fait, la démonstration du lemme 098I explique la forme de la fonction \(Bound\) dans la définition 098G (bien que, pour les lecteurs qui ne se préoccupent pas des questions ensemblistes, cette information soit sans contenu).

Commençons par exprimer la notion d’anneau w-contractile en termes de recouvrements pro-étales.

Lemme

Soit \(T = \Spec(A)\) un schéma affine. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(A\) est w-contractile ;

2. tout recouvrement pro-étale de \(T\) peut être raffiné par un recouvrement de Zariski de la forme \(T = \coprod_{i = 1, \ldots, n} U_i\).

Démonstration

Supposons \(A\) w-contractile. D’après le lemme 098D, il suffit de montrer que tout recouvrement pro-étale standard \(\{f_i : T_i \to T\}_{i = 1, \ldots, n}\) peut être raffiné par un recouvrement de Zariski de \(T\). Le morphisme \(\coprod T_i \to T\) est un morphisme faiblement étale et surjectif de schémas affines. D’après la définition 0981, il existe donc un morphisme \(\sigma : T \to \coprod T_i\) au-dessus de \(T\). Alors le recouvrement de Zariski \(T = \coprod \sigma^{-1}(T_i)\) raffine \(\{f_i : T_i \to T\}\).

Réciproquement, supposons (2). Si \(A \to B\) est fidèlement plat et faiblement étale, alors \(\{\Spec(B) \to T\}\) est un recouvrement pro-étale. Il existe donc un recouvrement de Zariski \(T = \coprod U_i\) et des morphismes \(U_i \to \Spec(B)\) au-dessus de \(T\). Puisque \(T = \coprod U_i\), on obtient \(T \to \Spec(B)\), c’est-à-dire un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(B \to A\). Cela signifie que \(A\) est w-contractile.

Lemme

Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale comme dans la définition 098G. Soit \(T = \Spec(A)\) un objet affine de \(\Sch_\proetale\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(A\) est w-contractile,

2. \(T\) est un objet faiblement contractile (Sites, définition 090L) de \(\Sch_\proetale\), et

3. tout recouvrement pro-étale de \(T\) peut être raffiné par un recouvrement de Zariski de la forme \(T = \coprod_{i = 1, \ldots, n} U_i\).

Démonstration

Nous avons établi l’équivalence de (1) et (3) dans le lemme 098F.

Supposons (3), et soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une surjection de faisceaux sur \(\Sch_\proetale\). Soit \(s \in \mathcal{G}(T)\). Pour démontrer (2), montrons que \(s\) appartient à l’image de \(\mathcal{F}(T) \to \mathcal{G}(T)\). On peut trouver un recouvrement \(\{T_i \to T\}\) de \(\Sch_\proetale\) tel que \(s\) se relève en une section de \(\mathcal{F}\) sur \(T_i\) (Sites, définition 00WM). D’après (3), on peut supposer donné un recouvrement fini \(T = \coprod_{j = 1, \ldots, m} U_j\) par des sous-ensembles ouverts et fermés et des \(t_j \in \mathcal{F}(U_j)\) dont l’image est \(s|_{U_j}\). Puisque les recouvrements de Zariski sont des recouvrements de \(\Sch_\proetale\) (lemme 098B), on en conclut que \(\mathcal{F}(T) = \prod \mathcal{F}(U_j)\). Ainsi, \(t = (t_1, \ldots, t_m) \in \mathcal{F}(T)\) est une section dont l’image est \(s\).

Supposons (2). Soit \(A \to D\) comme dans la proposition 0983. Alors \(\{V \to T\}\) est un recouvrement de \(\Sch_\proetale\). (Notons que \(V = \Spec(D)\) est un objet de \(\Sch_\proetale\) d’après la remarque 0984, combinée avec notre choix de la fonction \(Bound\) dans la définition 098G et le calcul de la taille des schémas affines dans Ensembles, lemme 000Q.) Puisque la topologie de \(\Sch_\proetale\) est sous-canonique (lemme 098Z), \(h_V \to h_T\) est un morphisme surjectif de faisceaux (Sites, lemme 00WT). Puisque \(T\) est supposé faiblement contractile, il existe un élément \(f \in h_V(T) = \Mor(T, V)\) dont l’image dans \(h_T(T)\) est \(\text{id}_T\). Ainsi, \(A \to D\) admet une rétraction \(\sigma : D \to A\). Si maintenant \(A \to B\) est fidèlement plat et faiblement étale, alors \(D \to D \otimes_A B\) possède les mêmes propriétés ; il existe donc une rétraction \(D \otimes_A B \to D\) qui, composée avec \(\sigma\), fournit une rétraction \(B \to D \otimes_A B \to D \to A\) de \(A \to B\). Ainsi, \(A\) est w-contractile et (1) est vérifiée.

Lemme

Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale comme dans la définition 098G. Pour tout objet \(T\) de \(\Sch_\proetale\), il existe un recouvrement \(\{T_i \to T\}\) dans \(\Sch_\proetale\) tel que chaque \(T_i\) soit affine et soit le spectre d’un anneau w-contractile. En particulier, \(T_i\) est faiblement contractile dans \(\Sch_\proetale\).

Démonstration

Pour les lecteurs qui ne se préoccupent pas des questions ensemblistes, ce lemme est une conséquence immédiate du lemme 098H et de la proposition 0983. Voici les détails. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(T = \bigcup U_i\). Écrivons \(U_i = \Spec(A_i)\). Choisissons des homomorphismes d’anneaux fidèlement plats et ind-étales \(A_i \to D_i\) tels que \(D_i\) soit w-contractile comme dans la proposition 0983. La famille de morphismes \(\{\Spec(D_i) \to T\}\) est un recouvrement pro-étale. Si l’on peut montrer que \(\Spec(D_i)\) est isomorphe à un objet, disons \(T_i\), de \(\Sch_\proetale\), alors \(\{T_i \to T\}\) sera combinatoirement équivalente à un recouvrement de \(\Sch_\proetale\) par la construction de \(\Sch_\proetale\) dans la définition 098G et, plus précisément, par l’application de Ensembles, lemme 000X, à la dernière étape. Pour démontrer que \(\Spec(D_i)\) est isomorphe à un objet de \(\Sch_\proetale\), il suffit de montrer que \(|D_i| \leq Bound(\text{size}(T))\) par la construction de \(\Sch_\proetale\) dans la définition 098G et, plus précisément, par l’application de Ensembles, lemme 000J, à l’étape (3). Puisque \(|A_i| \leq \text{size}(U_i) \leq \text{size}(T)\) d’après Ensembles, lemmes 000P et 04T7, on obtient \(|D_i| \leq \kappa^{2^{2^{2^\kappa}}}\), où \(\kappa = \text{size}(T)\), d’après la remarque 0984. Le résultat découle donc de notre choix de la fonction \(Bound\) dans la définition 098G.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Les sites pro-étales \(S_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\), \(S_{affine, \proetale}\), \((\textit{Aff}/S)_\proetale\), ainsi que, lorsque le schéma \(S\) est affine, \(S_{app}\), possèdent suffisamment d’objets quasi-compacts, affines et faiblement contractiles ; voir Sites, définition 090L.

Démonstration

Cela découle immédiatement du lemme 098I.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Les sites pro-étales \(\Sch_\proetale\), \(S_\proetale\) et \((\Sch/S)_\proetale\) possèdent la propriété suivante : pour tout objet \(U\), il existe un recouvrement \(\{V \to U\}\) où \(V\) est un objet faiblement contractile. Si \(U\) est quasi-compact, on peut choisir \(V\) affine et faiblement contractile.

Démonstration

Supposons que \(V = \coprod_{j \in J} V_j\) soit un objet de \((\Sch/S)_\proetale\) qui soit la somme disjointe d’objets faiblement contractiles \(V_j\). Puisqu’une décomposition en somme disjointe est un recouvrement pro-étale, on a \(\mathcal{F}(V) = \prod_{j \in J} \mathcal{F}(V_j)\) pour tout faisceau pro-étale \(\mathcal{F}\). Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme surjectif de faisceaux d’ensembles. Puisque \(V_j\) est faiblement contractile, le morphisme \(\mathcal{F}(V_j) \to \mathcal{G}(V_j)\) est surjectif ; voir Sites, définition 090L. Ainsi, \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{G}(V)\) est surjectif, car c’est un produit de morphismes surjectifs d’ensembles ; on en conclut que \(V\) est faiblement contractile.

Choisissons un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) où les \(U_i\) sont affines et faiblement contractiles, comme dans le lemme 098I. Prenons \(V = \coprod_{i \in I} U_i\) (il y a ici une question ensembliste que nous traiterons ci-dessous). Alors \(\{V \to U\}\) est le recouvrement pro-étale voulu par un objet faiblement contractile (pour vérifier qu’il s’agit d’un recouvrement, on applique le lemme 098A). Si \(U\) est quasi-compact, le lemme 098A montre immédiatement que l’on peut choisir un sous-ensemble fini \(I' \subset I\) tel que \(\{U_i \to U\}_{i \in I'}\) soit encore un recouvrement ; alors \(\{\coprod_{i \in I'} U_i \to U\}\) est le recouvrement voulu par un objet affine et faiblement contractile.

Dans ce paragraphe, que nous conseillons vivement au lecteur de ne pas lire, nous traitons les problèmes ensemblistes. Pour savoir que la somme disjointe appartient à notre univers partiel, il faut borner le cardinal de l’ensemble d’indices \(I\). Il ressort immédiatement de la construction du recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) dans la démonstration du lemme 098I que \(|I| \leq \text{size}(U)\), où la taille d’un schéma est celle définie dans Ensembles, section 000H. De plus, pour tout \(i\), on a \(\text{size}(U_i) \leq Bound(\text{size}(U))\); cela résulte de la borne du cardinal de \(\Gamma(U_i, \mathcal{O}_{U_i})\) donnée dans la démonstration du lemme 098I et d’Ensembles, lemme 000P. Ainsi, \(\text{size}(\coprod_{i \in I} U_i)) \leq Bound(\text{size}(U))\) d’après Ensembles, lemme 000Q. D’après la construction du grand site pro-étale donnée dans Ensembles, lemme 000J, on voit donc que \(\coprod_{i \in I} U_i\) est isomorphe à un objet de notre site, ce qui achève la démonstration.

Hyperrecouvrements faiblement contractiles

Les résultats de la section 0F4N entraînent l’existence d’hyperrecouvrements constitués d’objets faiblement contractiles.

Lemme

Soit \(X\) un schéma.

1. Pour tout objet \(U\) de \(X_\proetale\), il existe un hyperrecouvrement \(K\) de \(U\) dans \(X_\proetale\) tel que chaque terme \(K_n\) soit constitué d’un seul objet faiblement contractile de \(X_\proetale\) qui recouvre \(U\).

2. Pour tout objet quasi-compact et quasi-séparé \(U\) de \(X_\proetale\), il existe un hyperrecouvrement \(K\) de \(U\) dans \(X_\proetale\) tel que chaque terme \(K_n\) soit constitué d’un seul objet affine et faiblement contractile de \(X_\proetale\) qui recouvre \(U\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\proetale)\) l’ensemble des objets faiblement contractiles de \(X_\proetale\). Tout objet \(T\) de \(X_\proetale\) admet un recouvrement \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) où \(I\) est fini et \(T_i \in \mathcal{B}\), d’après le lemme 0F4P. D’après Hyperrecouvrements, lemme 094K, on obtient un hyperrecouvrement \(K\) de \(U\) tel que \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\), où \(I_n\) est fini et \(U_{n, i}\) faiblement contractile. On peut alors remplacer \(K\) par l’hyperrecouvrement de \(U\) donné par \(\{U_n\}\) en degré \(n\), où \(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\). Cette opération est permise d’après Hyperrecouvrements, remarque 0DB2.

Soit \(X_{qcqs, \proetale} \subset X_\proetale\) la sous-catégorie pleine formée des objets quasi-compacts et quasi-séparés. Un recouvrement de \(X_{qcqs, \proetale}\) sera un recouvrement pro-étale fini. Alors \(X_{qcqs, \proetale}\) est un site, admet des produits fibrés et le foncteur d’inclusion \(X_{qcqs, \proetale} \to X_\proetale\) est continu et commute aux produits fibrés. En particulier, si \(K\) est un hyperrecouvrement d’un objet \(U\) dans \(X_{qcqs, \proetale}\), alors \(K\) est un hyperrecouvrement de \(U\) dans \(X_\proetale\) d’après Hyperrecouvrements, lemme 0DAZ. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_{qcqs, \proetale})\) l’ensemble des objets affines et faiblement contractiles. D’après le lemme 098I et le fait qu’une somme disjointe finie de schémas affines est affine, pour tout objet \(U\) de \(X_{qcqs, \proetale}\), il existe un recouvrement \(\{V \to U\}\) de \(X_{qcqs, \proetale}\) tel que \(V \in \mathcal{B}\). D’après Hyperrecouvrements, lemme 094K, on obtient un hyperrecouvrement \(K\) de \(U\) tel que \(K_n = \{U_{n, i}\}_{i \in I_n}\), où \(I_n\) est fini et \(U_{n, i}\) affine et faiblement contractile. On peut alors remplacer \(K\) par l’hyperrecouvrement de \(U\) donné par \(\{U_n\}\) en degré \(n\), où \(U_n = \coprod_{i \in I_n} U_{n, i}\). Cette opération est permise d’après Hyperrecouvrements, remarque 0DB2.

Dans le lemme suivant, nous utilisons le complexe de Čech \(s(\mathcal{F}(K))\) associé à un hyperrecouvrement \(K\) dans un site. Voir Hyperrecouvrements, section 01GU. Si \(K\) est un hyperrecouvrement de \(U\) et \(K_n = \{U_n \to U\}\), alors le complexe de Čech est de la forme suivante : \[s(\mathcal{F}(K)) = \left( \mathcal{F}(U_0) \to \mathcal{F}(U_1) \to \mathcal{F}(U_2) \to \ldots \right)\] où \(s(\mathcal{F}(U_n))\) est placé en degré cohomologique \(n\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(E \in D^+(X_\proetale)\) représenté par un complexe borné inférieurement \(\mathcal{E}^\bullet\) de faisceaux abéliens. Soit \(K\) un hyperrecouvrement de \(U \in \Ob(X_\proetale)\) avec \(K_n = \{U_n \to U\}\), où \(U_n\) est un objet faiblement contractile de \(X_\proetale\). Alors \[R\Gamma(U, E) = \text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet(K)))\] dans \(D(\textit{Ab})\).

Démonstration

Si \(\mathcal{E}\) est un faisceau abélien sur \(X_\proetale\), alors la suite spectrale donnée par Hyperrecouvrements, lemme 01GY, implique que \[R\Gamma(X_\proetale, \mathcal{E}) = s(\mathcal{E}(K))\] car les groupes de cohomologie supérieure de tout faisceau sur \(U_n\) s’annulent; voir Cohomologie sur les sites, lemme 0946.

Si \(\mathcal{E}^\bullet\) est borné inférieurement, on peut choisir une résolution injective \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) et considérer le morphisme de complexes \[\text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet(K))) \longrightarrow \text{Tot}(s(\mathcal{I}^\bullet(K)))\] Pour tout \(n\), le morphisme \(\mathcal{E}^\bullet(U_n) \to \mathcal{I}^\bullet(U_n)\) est un quasi-isomorphisme, car le foncteur des sections sur \(U_n\) est exact. Le morphisme affiché est donc un quasi-isomorphisme d’après l’une des suites spectrales fournies par Homologie, lemme 0132. En utilisant le résultat du premier paragraphe, on voit que pour tout \(p\), le complexe \(s(\mathcal{I}^p(K))\) est acyclique en degrés \(n > 0\) et calcule \(\mathcal{I}^p(U)\) en degré \(0\). L’autre suite spectrale fournie par Homologie, lemme 0132, montre donc que \(\text{Tot}(s(\mathcal{I}^\bullet(K)))\) calcule \(R\Gamma(U, E) = \mathcal{I}^\bullet(U)\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Le foncteur \(R\Gamma(X, -) : D^+(X_\proetale) \to D(\textit{Ab})\) commute aux sommes directes et aux colimites homotopiques.

Démonstration

L’assertion signifie ce qui suit. Supposons donnée une famille d’objets \(E_i\) de \(D^+(X_\proetale)\) telle que \(\bigoplus E_i\) soit un objet de \(D^+(X_\proetale)\). Alors \(R\Gamma(X, \bigoplus E_i) = \bigoplus R\Gamma(X, E_i)\). Pour le voir, choisissons un hyperrecouvrement \(K\) de \(X\) tel que \(K_n = \{U_n \to X\}\), où \(U_n\) est un schéma affine et faiblement contractile; voir le lemme 09A1. Soit \(N\) un entier tel que \(H^p(E_i) = 0\) pour \(p < N\). Choisissons un complexe de faisceaux abéliens \(\mathcal{E}_i^\bullet\) représentant \(E_i\) tel que \(\mathcal{E}_i^p = 0\) pour \(p < N\). La somme directe terme à terme \(\bigoplus \mathcal{E}_i^\bullet\) représente \(\bigoplus E_i\) dans \(D(X_\proetale)\); voir Injectifs, lemme 07D9. D’après le lemme 09A2, on a \[R\Gamma(X, \bigoplus E_i) = \text{Tot}(s((\bigoplus \mathcal{E}^\bullet_i)(K)))\] et \[R\Gamma(X, E_i) = \text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet_i(K)))\] Puisque chaque \(U_n\) est quasi-compact, on voit que \[\text{Tot}(s((\bigoplus \mathcal{E}^\bullet_i)(K))) = \bigoplus \text{Tot}(s(\mathcal{E}^\bullet_i(K)))\] d’après Modules sur les sites, lemme 0935. L’assertion relative aux colimites homotopiques est une conséquence formelle du fait que \(R\Gamma\) est un foncteur exact de catégories triangulées et du fait (que nous venons de démontrer) qu’il commute aux sommes directes.

Remarque

Soit \(X\) un schéma. Puisque \(X_\proetale\) a suffisamment d’objets faiblement contractiles, pour tout \(K\) dans \(D(X_\proetale)\), on a \(K = R\lim \tau_{\geq -n}K\) d’après Cohomologie sur les sites, proposition 0947. Puisque \(R\Gamma\) commute à \(R\lim\) d’après Injectifs, lemme 08U1, on voit que \[R\Gamma(X, K) = R\lim R\Gamma(X, \tau_{\geq -n}K)\] dans \(D(\textit{Ab})\). Cela nous permettra parfois d’étendre à tous les complexes des résultats établis pour les complexes bornés inférieurement.

Engendrement compact

Dans cette section, nous démontrons que diverses catégories dérivées associées à nos sites pro-étales sont compactement engendrées au sens de Catégories dérivées, définition 09SQ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau.

1. \(D(S_\proetale)\) est compactement engendrée,

2. \(D(S_\proetale, \Lambda)\) est compactement engendrée,

3. \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\) est compactement engendrée pour tout faisceau d’anneaux \(\mathcal{A}\) sur \(S_\proetale\),

4. \(D((\Sch/S)_\proetale)\) est compactement engendrée,

5. \(D((\Sch/S)_\proetale, \Lambda)\) est compactement engendrée,

6. \(D((\Sch/S)_\proetale, \mathcal{A})\) est compactement engendrée pour tout faisceau d’anneaux \(\mathcal{A}\) sur \((\Sch/S)_\proetale\).

Démonstration

Démonstration de (3). Soit \(U\) un objet de \(S_\proetale\), affine et faiblement contractile. Alors \(j_{U!}\mathcal{A}_U\) est un objet compact de la catégorie dérivée \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\); voir Cohomologie sur les sites, lemme 094E. Choisissons un ensemble \(I\) et, pour chaque \(i \in I\), un objet \(U_i\) de \(S_\proetale\), affine et faiblement contractile, de telle sorte que tout objet affine et faiblement contractile de \(S_\proetale\) soit isomorphe à l’un des \(U_i\). Cela est possible car \(\Ob(S_\proetale)\) est un ensemble. Pour achever la démonstration de (3), il suffit de montrer que \(\bigoplus j_{U_i, !}\mathcal{A}_{U_i}\) est un générateur de \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\); voir Catégories dérivées, définition 09SJ. Pour le voir, soit \(K\) un objet non nul de \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\). Il existe alors un objet \(T\) de notre site \(S_\proetale\) et un élément non nul \(\xi\) de \(H^n(K)(T)\). Autrement dit, \(\xi\) est une section non nulle du \(n\)-ième faisceau de cohomologie de \(K\). On peut supposer que \(K\) est représenté par un complexe \(\mathcal{K}^\bullet\) de faisceaux de \(\mathcal{A}\)-modules et que \(\xi\) est la classe d’une section \(s \in \mathcal{K}^n(T)\) telle que \(\text{d}(s) = 0\). En effet, \(\xi\) est localement représenté par la classe d’une section (on obtient donc le résultat après avoir remplacé \(T\) par un membre d’un recouvrement de \(T\)). Choisissons ensuite un recouvrement \(\{T_j \to T\}_{j \in J}\) comme dans le lemme 098I. Puisque \(H^n(K)\) est un faisceau, on voit que, pour un certain \(j\), la restriction \(\xi|_{T_j}\) reste non nulle. Ainsi, \(s|_{T_j}\) définit un morphisme non nul \(j_{T_j, !}\mathcal{A}_{T_j} \to K\) dans \(D(S_\proetale, \mathcal{A})\). Comme \(T_j \cong U_i\) pour un certain \(i \in I\), on conclut.

Le même argument s’applique mot pour mot au grand site pro-étale de \(S\).

Comparaison des topologies

Cette section est l’analogue de Cohomologie étale, section 09XL.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(X_\proetale\) qui transforme les sommes disjointes finies en produits. Alors \(\mathcal{F}^\#(W) = \mathcal{F}(W)\) si \(W\) est un objet affine et faiblement contractile de \(X_\proetale\).

Démonstration

Rappelons que \(\mathcal{F}^\#\) est égal à \((\mathcal{F}^+)^+\) ; voir Sites, théorème 00WB, où \(\mathcal{F}^+\) est le préfaisceau qui associe à tout objet \(U\) de \(X_\proetale\) \(\colim H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F})\), où la colimite est prise sur tous les recouvrements pro-étales \(\mathcal{U}\) de \(U\). Il suffit donc de démontrer que (a) \(\mathcal{F}^+\) transforme les sommes disjointes finies en produits et que (b) sa valeur en \(W\) est \(\mathcal{F}(W)\). Si \(U = U_1 \amalg U_2\), alors, étant donné un recouvrement pro-étale \(\mathcal{U} = \{f_j : V_j \to U\}\) de \(U\), on obtient des recouvrements pro-étales \(\mathcal{U}_i = \{f_j^{-1}(U_i) \to U_i\}\) et l’on a clairement \[H^0(\mathcal{U}, \mathcal{F}) = H^0(\mathcal{U}_1, \mathcal{F}) \times H^0(\mathcal{U}_2, \mathcal{F})\] car \(\mathcal{F}\) transforme les sommes disjointes finies en produits (cela comprend la condition selon laquelle \(\mathcal{F}\) associe au schéma vide le singleton). Cela démontre (a). Enfin, tout recouvrement pro-étale de \(W\) peut être raffiné par une décomposition en somme disjointe finie \(W = W_1 \amalg \ldots W_n\) d’après le lemme 098H. Ainsi, \(\mathcal{F}^+(W) = \mathcal{F}(W)\) précisément parce que la valeur de \(\mathcal{F}\) sur \(W\) est le produit des valeurs de \(\mathcal{F}\) sur les \(W_j\). Cela démontre (b).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(Y_\proetale\). Si \(W\) est un objet affine et faiblement contractile de \(X_\proetale\), alors \[f_{small}^{-1}\mathcal{F}(W) = \colim_{W \to V} \mathcal{F}(V)\] où la colimite est prise sur les morphismes \(W \to V\) au-dessus de \(Y\) tels que \(V \in Y_\proetale\).

Démonstration

Rappelons que \(f_{small}^{-1}\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \[u_p\mathcal{F} : U \mapsto \colim_{U \to V} \mathcal{F}(V)\] sur \(X_\etale\) ; voir Sites, sections 00X0 et 00WU ; nous avons omis de la notation le fait que la colimite est prise sur la catégorie opposée de la catégorie \(\{U \to V, V \in Y_\proetale\}\). D’après le lemme 0F63, il suffit de démontrer que \(u_p\mathcal{F}\) transforme les sommes disjointes finies en produits. Supposons que \(U = U_1 \amalg U_2\) soit une somme disjointe de sous-schémas ouverts et fermés. Il existe un foncteur \[\{U_1 \to V_1\} \times \{U_2 \to V_2\} \longrightarrow \{U \to V\},\quad (U_1 \to V_1, U_2 \to V_2) \longmapsto (U \to V_1 \amalg V_2)\] qui est initial (Catégories, définition 09WP). Le foncteur correspondant sur les catégories opposées est donc cofinal ; d’après Catégories, lemme 04E7, on voit que \(u_p\mathcal{F}\) évalué en \(U\) est la colimite des valeurs \(\mathcal{F}(V_1 \amalg V_2)\) indexées par la catégorie produit. Puisque \(\mathcal{F}\) est un faisceau, il transforme les sommes disjointes en produits et on conclut qu’il en est de même pour \(u_p\mathcal{F}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons le morphisme \[\pi_S : (\Sch/S)_\proetale \longrightarrow S_\proetale\] du lemme 098Q. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(S_\proetale\). Alors \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) est donné par la règle \[(\pi_S^{-1}\mathcal{F})(T) = \Gamma(T_\proetale, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\] où \(f : T \to S\). De plus, \(\pi_S^{-1}\mathcal{F}\) satisfait la condition de faisceau relativement aux recouvrements fpqc.

Démonstration

Observons que l’on a un morphisme \(i_f : \Sh(T_\proetale) \to \Sh(\Sch/S)_\proetale)\) tel que \(\pi_S \circ i_f = f_{small}\) en tant que morphismes \(T_\proetale \to S_\proetale\) ; voir le lemme 098P. Puisque l’image inverse est transitive, on voit que \(i_f^{-1} \pi_S^{-1}\mathcal{F} = f_{small}^{-1}\mathcal{F}\), comme souhaité.

Soit \(\{g_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc. L’assertion finale signifie ceci. Soient \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(T_\proetale\) et des sections \(s_i \in \Gamma(T_i, g_{i, small}^{-1}\mathcal{G})\) dont les images inverses sur \(T_i \times_T T_j\) coïncident, il existe une unique section \(s\) de \(\mathcal{G}\) sur \(T\) dont l’image inverse sur \(T_i\) coïncide avec \(s_i\). Nous démontrerons cette assertion lorsque \(T\) est affine et que le recouvrement est donné par un unique morphisme plat surjectif \(T' \to T\) entre schémas affines et nous omettons la réduction du cas général à ce cas.

Soit \(g : T' \to T\) un morphisme plat surjectif entre schémas affines et soit \(s' \in g_{small}^{-1}\mathcal{G}(T')\) une section telle que \(\text{pr}_0^*s' = \text{pr}_1^*s'\) sur \(T' \times_T T'\). Choisissons un morphisme surjectif faiblement étale \(W \to T'\) où \(W\) est affine et faiblement contractile ; voir le lemme 0F4P. D’après le lemme 0F64, la restriction \(s'|_W\) est un élément de \(\colim_{W \to U} \mathcal{G}(U)\). Choisissons \(\phi : W \to U_0\) et \(s_0 \in \mathcal{G}(U_0)\) correspondant à \(s'\). Choisissons un morphisme surjectif faiblement étale \(V \to W \times_T W\) où \(V\) est affine et faiblement contractile. Notons \(a, b : V \to W\) les morphismes induits. Puisque \(a^*(s'|_W) = b^*(s'|_W)\) et que la catégorie \(\{V \to U, U \in T_\proetale\}\) est cofiltrante (ce qui est clair ; voir néanmoins Sites, lemme 00X5, en cas de doute), on voit que les deux morphismes \(\phi \circ a , \phi \circ b : V \to U_0\) doivent être égaux. D’après les résultats de Descente, section 023P (notamment Descente, lemme 023Q), il existe donc un unique morphisme \(T \to U_0\) tel que \(\phi\) soit le composé de ce morphisme avec le morphisme structural \(W \to T\) (nous omettons un petit détail). On peut alors prendre pour \(s\) l’image inverse de \(s_0\) par ce morphisme. Nous omettons de vérifier que \(s\) a pour image inverse \(s'\) sur \(T'\).

Comparaison des grands et des petits topos

Cette section est l’analogue de Cohomologie étale, section 0757. Dans la suite, nous noterons souvent \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{S_\proetale}\) le foncteur image inverse \(i_S^{-1}\) correspondant au morphisme de topos \(i_S : \Sh(S_\proetale) \to \Sh((\Sch/S)_\proetale)\) du lemme 098Q.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(T\) un objet de \((\Sch/S)_\proetale\).

1. Si \(\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Ab}((\Sch/S)_\proetale)\), alors

   1. \(i_f^{-1}\mathcal{I}\) est injectif dans \(\textit{Ab}(T_\proetale)\),

   2. \(\mathcal{I}|_{S_\proetale}\) est injectif dans \(\textit{Ab}(S_\proetale)\),

2. Si \(\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif dans \(\textit{Ab}((\Sch/S)_\proetale)\), alors

   1. \(i_f^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) est un complexe K-injectif dans \(\textit{Ab}(T_\proetale)\),

   2. \(\mathcal{I}^\bullet|_{S_\proetale}\) est un complexe K-injectif dans \(\textit{Ab}(S_\proetale)\),

Démonstration

Démonstration de (1)(a) et (2)(a) : \(i_f^{-1}\) est adjoint à droite au foncteur exact \(i_{f, !}\). En effet, rappelons que \(i_f\) correspond à un foncteur cocontinu \(u : T_\proetale \to (\Sch/S)_\proetale\) qui est continu et commute aux produits fibrés et aux égalisateurs ; voir le lemme 098P et sa démonstration. On obtient donc \(i_{f, !}\) d’après Modules sur les sites, lemme 04BG. Il est montré dans Modules sur les sites, lemme 04BH, que ce foncteur est exact. On conclut alors que (1)(a) et (2)(a) sont vérifiées d’après Homologie, lemme 015Z, et Catégories dérivées, lemme 08BJ.

Les parties (1)(b) et (2)(b) sont des cas particuliers de (1)(a) et (2)(a), puisque \(i_S = i_{\text{id}_S}\).

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. Pour \(K\) dans \(D((\Sch/T)_\proetale)\), on a \[(Rf_{big, *}K)|_{S_\proetale} = Rf_{small, *}(K|_{T_\proetale})\] dans \(D(S_\proetale)\). Plus généralement, soit \(S' \in \Ob((\Sch/S)_\proetale)\) de morphisme structural \(g : S' \to S\). Considérons le produit fibré \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] Alors, pour \(K\) dans \(D((\Sch/T)_\proetale)\), on a \[i_g^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{small, *}(i_{g'}^{-1}K)\] dans \(D(S'_\proetale)\) et \[g_{big}^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{big, *}((g'_{big})^{-1}K)\] dans \(D((\Sch/S')_\proetale)\).

Démonstration

La première égalité découle du lemme 0F67 et de (0F60), en choisissant un complexe K-injectif de faisceaux abéliens représentant \(K\). La deuxième égalité découle du lemme 0F67 et du lemme 0F61, en choisissant un complexe K-injectif de faisceaux abéliens représentant \(K\). La troisième égalité découle de même de Cohomologie sur les sites, lemmes 03F3 et 08FI, ainsi que du lemme 0F61, en choisissant un complexe K-injectif de faisceaux abéliens représentant \(K\).

Soit \(S\) un schéma et soit \(\mathcal{H}\) un faisceau abélien sur \((\Sch/S)_\proetale\). Rappelons que \(H^n_\proetale(U, \mathcal{H})\) désigne la cohomologie de \(\mathcal{H}\) sur un objet \(U\) de \((\Sch/S)_\proetale\).

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. Pour \(K\) dans \(D(S_\proetale)\), on a \[H^n_\proetale(S, \pi_S^{-1}K) = H^n(S_\proetale, K)\] et \[H^n_\proetale(T, \pi_S^{-1}K) = H^n(T_\proetale, f_{small}^{-1}K).\] Pour \(M\) dans \(D((\Sch/S)_\proetale)\), on a \[H^n_\proetale(T, M) = H^n(T_\proetale, i_f^{-1}M).\]

Démonstration

Pour démontrer la dernière égalité, représentons \(M\) par un complexe K-injectif de faisceaux abéliens, puis appliquons le lemme 0F67 et explicitons les définitions. La deuxième égalité en découle, car \(i_f^{-1} \circ \pi_S^{-1} = f_{small}^{-1}\). La première égalité est un cas particulier de la deuxième.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Pour \(K \in D(S_\proetale)\), le morphisme \[K \longrightarrow R\pi_{S, *}\pi_S^{-1}K\] est un isomorphisme.

Démonstration

Cela résulte du fait que \(\pi_S^{-1}\) et \(\pi_{S, *} = i_S^{-1}\) sont tous deux des foncteurs exacts et que le foncteur composé \(\pi_{S, *} \circ \pi_S^{-1}\) est le foncteur identité.

Points du site pro-étale

Nous appliquons d’abord le critère de Deligne pour montrer qu’il y a suffisamment de points.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Les sites pro-étales \(\Sch_\proetale\), \(S_\proetale\), \((\Sch/S)_\proetale\), \(S_{affine, \proetale}\) et \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) ont suffisamment de points.

Démonstration

Le grand topos pro-étale de \(S\) est équivalent au topos défini par \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) ; voir le lemme 098N. Le topos des faisceaux sur \(S_\proetale\) est équivalent au topos associé à \(S_{affine, \proetale}\) ; voir le lemme 098W. Le résultat pour les sites \((\textit{Aff}/S)_\proetale\) et \(S_{affine, \proetale}\) découle immédiatement du résultat de Deligne (Sites, lemme 0DW0). Le cas de \(\Sch_\proetale\) résulte du fait que ce site est égal à \((\Sch/\Spec(\mathbf{Z}))_\proetale\).

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) un point géométrique. On appelle voisinage pro-étale de \(\overline{s}\) un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(k) \ar[r]_-{\overline{u}} \ar[rd]_{\overline{s}} & U \ar[d] \\ & S }\] avec \(U \to S\) faiblement étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(\overline{s} : \Spec(k) \to S\) un point géométrique. La catégorie des voisinages pro-étales de \(\overline{s}\) est cofiltrante.

Démonstration

La démonstration est identique à celle de Cohomologie étale, lemme 03PQ, mais en utilisant les résultats correspondants sur les morphismes faiblement étales démontrés dans Compléments sur les morphismes, lemmes 094T, 094U et 0951.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Soit \(\mathcal{U} = \{\varphi_i : S_i \to S\}_{i\in I}\) un recouvrement pro-étale. Il existe alors \(i \in I\) et un point géométrique \(\overline{s}_i\) de \(S_i\) dont l’image est \(\overline{s}\).

Démonstration

Cela découle immédiatement du fait que \(\coprod \varphi_i\) est surjectif et que les extensions de corps résiduels induites par des morphismes faiblement étales sont algébriques séparables (voir, par exemple, Compléments sur les morphismes, lemme 094Z).

Soit \(S\) un schéma et soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Pour \(\mathcal{F}\) dans \(\Sh(S_\proetale)\), définissons la fibre de \(\mathcal{F}\) en \(\overline{s}\) par la formule \[\mathcal{F}_{\overline{s}} = \colim_{(U, \overline{u})} \mathcal{F}(U)\] où la colimite est prise sur tous les voisinages pro-étales \((U, \overline{u})\) de \(\overline{s}\) tels que \(U \in \Ob(S_\proetale)\). Il résulte des deux lemmes précédents que le foncteur \[S_\proetale \textit{Ens},\quad U \longmapsto \{\overline{u}\text{ point géométrique de }U\text{ dont l'image est }\overline{s}\}\] définit un point du site \(S_\proetale\) ; voir Sites, définition 00Y5 et le lemme 0F4E. Le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) définit donc un point du topos \(\Sh(S_\proetale)\) ; voir Sites, définition 00Y4 et le lemme 00YA. En particulier, ce foncteur est exact et commute aux colimites quelconques. En fait, ce foncteur admet une autre description.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le schéma \(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})\) est un objet de \(X_\proetale\) et il existe un isomorphisme canonique \[\mathcal{F}(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})) = \mathcal{F}_{\overline{s}}\] fonctoriel en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

La première assertion résulte clairement de la construction de l’hensélisé strict comme limite inductive filtrante d’algèbres étales sur \(S\), ou de la caractérisation des morphismes faiblement étales donnée dans Compléments sur les morphismes, lemme 094Z. La deuxième assertion découle du théorème d’Olivier (Compléments d’Algèbre, théorème 092Z), selon lequel le schéma \(\Spec(\mathcal{O}_{S, \overline{s}}^{sh})\) est un objet initial de la catégorie des voisinages pro-étales de \(\overline{s}\).

Contrairement au cas du topos étale de \(S\), il n’est pas vrai que tout point de \(\Sh(S_\proetale)\) soit de cette forme, ni que la famille des points associés aux points géométriques soit conservative. En effet, supposons que \(S = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps algébriquement clos. Soit \(A\) un groupe abélien non nul. Considérons le faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(S_\proetale\) défini par \[\mathcal{F}(U) = \frac{\{\text{applications }U \to A\}}{\{\text{applications localement constantes}\}}\] pour \(U\) affine et, en général, par passage au faisceau associé ; voir l’exemple 0F6D. Alors \(\mathcal{F}(U) = 0\) si \(U = S = \Spec(k)\), mais, en général, \(\mathcal{F}\) n’est pas nul. En effet, \(S_\proetale\) contient des objets affines ayant une infinité de points. Par exemple, soit \(E = \lim E_n\) une limite projective d’ensembles finis dont les morphismes de transition sont surjectifs ; on peut prendre \(E = \mathbf{Z}_p = \lim \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}\). Le schéma \(U = \Spec(\colim \text{Map}(E_n, k))\) est un objet de \(S_\proetale\) car \(\colim \text{Map}(E_n, k)\) est faiblement étale (et même ind-Zariski) sur \(k\). Ainsi, \(\mathcal{F}(U)\) est non nul, car il existe des applications \(E \to A\) qui ne sont pas localement constantes. Ainsi, \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien non nul dont la fibre en l’unique point géométrique de \(S\) est nulle. Puisque nous savons que \(S_\proetale\) a suffisamment de points, on conclut qu’il doit exister un point du site pro-étale qui ne provient pas de la construction expliquée ci-dessus.

Pour remplacer les arguments qui utilisent les points, on emploie des objets affines faiblement contractiles. D’une part, il y a suffisamment d’objets affines faiblement contractiles d’après le lemme 0990. D’autre part, si \(W \in \Ob(S_\proetale)\) est affine et faiblement contractile, alors le foncteur \[\Sh(S_\proetale) \longrightarrow \textit{Ens},\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}(W)\] est un foncteur exact \(\Sh(S_\proetale) \to \textit{Ens}\) qui commute à toutes les limites. Le foncteur \[\textit{Ab}(S_\proetale) \longrightarrow \textit{Ab},\quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}(W)\] est exact et commute aux sommes directes (car \(W\) est quasi-compact ; voir Sites, lemme 0738) ; il commute donc à toutes les limites et à toutes les colimites. De plus, on peut vérifier l’exactitude d’un complexe de faisceaux abéliens par évaluation sur ces objets affines faiblement contractiles de \(S_\proetale\) ; voir Cohomologie sur les sites, proposition 0947.

Remarquons enfin que le foncteur \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(W)\), pour \(W\) affine et faiblement contractile, n’est en général pas le foncteur fibre associé à un point de \(S_\proetale\), car il ne préserve pas les coproduits de faisceaux d’ensembles si \(W\) est non connexe. En fait, \(W\) est non connexe dès que \(W\) possède plus de \(1\) point fermé, c’est-à-dire lorsque \(W\) n’est pas le spectre d’un anneau local strictement hensélien (qui est le cas particulier examiné ci-dessus).

Comparaison avec le site étale

Soit \(X\) un schéma. Avec des choix convenables de sites⁴, le foncteur \(u : X_\etale \to X_\proetale\) qui associe \(U/X\) à \(U/X\) définit un morphisme de sites \[\epsilon : X_\proetale \longrightarrow X_\etale\] Cela résulte de Sites, proposition 00X6.

Lemme

Avec les notations ci-dessus, soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(X_\etale\). La règle \[X_\proetale \longrightarrow \textit{Ens},\quad (f : Y \to X) \longmapsto \Gamma(Y_\etale, f_\etale^{-1}\mathcal{F})\] définit un faisceau égal à \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}\). Ici, \(f_\etale : Y_\etale \to X_\etale\) est le morphisme entre les petits sites étales construit dans Cohomologie étale, section 04I0.

Démonstration

D’après le lemme 098A, tout recouvrement pro-étale est un recouvrement fpqc. La formule définit donc un faisceau sur \(X_\proetale\) d’après Cohomologie étale, lemme 09XN. Soit \(a : \Sh(X_\etale) \to \Sh(X_\proetale)\) le foncteur qui associe à \(\mathcal{F}\) le faisceau donné par la formule du lemme. Pour montrer que \(a = \epsilon^{-1}\), il suffit de montrer que \(a\) est un adjoint à gauche de \(\epsilon_*\).

Soit \(\mathcal{G}\) un objet de \(\Sh(X_\proetale)\). Rappelons que \(\epsilon_*\mathcal{G}\) n’est autre que la restriction de \(\mathcal{G}\) à la sous-catégorie pleine \(X_\etale\). Soit \(f : Y \to X\) un objet de \(X_\proetale\). Nous considérons \(Y_\etale\) comme une sous-catégorie de \(X_\proetale\). Les morphismes de restriction du faisceau \(\mathcal{G}\) définissent un morphisme \[\epsilon_*\mathcal{G} = \mathcal{G}|_{X_\etale} \longrightarrow f_{\etale, *}(\mathcal{G}|_{Y_\etale})\] En effet, pour \(U\) dans \(X_\etale\), la valeur de \(f_{\etale, *}(\mathcal{G}|_{Y_\etale})\) en \(U\) est \(\mathcal{G}(Y \times_X U)\) et il existe un morphisme de restriction \(\mathcal{G}(U) \to \mathcal{G}(Y \times_X U)\). Par adjonction, cela détermine un morphisme \[f_\etale^{-1}(\epsilon_*\mathcal{G}) \to \mathcal{G}|_{Y_\etale}\] En réunissant ces morphismes pour tous les \(f : Y \to X\) dans \(X_\proetale\), on obtient un morphisme canonique \(a(\epsilon_*\mathcal{G}) \to \mathcal{G}\).

Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\Sh(X_\etale)\). On a manifestement \(\mathcal{F} = \epsilon_*a(\mathcal{F})\).

Nous affirmons que les morphismes \(\mathcal{F} \to \epsilon_*a(\mathcal{F})\) et \(a(\epsilon_*\mathcal{G}) \to \mathcal{G}\) sont l’unité et la co-unité de l’adjonction (voir Catégories, section 0036). Pour le voir, il suffit de montrer que les morphismes correspondants \[\Mor_{\Sh(X_\proetale)}(a(\mathcal{F}), \mathcal{G}) \to \Mor_{\Sh(X_\etale)}(\mathcal{F}, \epsilon^{-1}\mathcal{G})\] et \[\Mor_{\Sh(X_\etale)}(\mathcal{F}, \epsilon^{-1}\mathcal{G}) \to \Mor_{\Sh(X_\proetale)}(a(\mathcal{F}), \mathcal{G})\] sont inverses l’un de l’autre. Nous omettons la vérification détaillée.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), le morphisme d’adjonction \(\mathcal{F} \to \epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}\) est un isomorphisme, c’est-à-dire que \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(U)\) pour \(U\) dans \(X_\etale\).

Démonstration

Cela découle immédiatement de la description de \(\epsilon^{-1}\) donnée dans le lemme 0GLZ.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(Y = \lim Y_i\) la limite d’un système projectif filtrant d’objets quasi-compacts et quasi-séparés de \(X_\proetale\) dont les morphismes de transition sont affines. Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), on a \[\epsilon^{-1}\mathcal{F}(Y) = \colim \epsilon^{-1}\mathcal{F}(Y_i)\] De plus, si chaque \(Y_i\) appartient à \(X_\etale\), on a \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}(Y) = \colim \mathcal{F}(Y_i)\).

Démonstration

D’après la description de \(\epsilon^{-1}\mathcal{F}\) dans le lemme 0GLZ, la formule affichée est un cas particulier de Cohomologie étale, théorème 09YQ. (Lorsque \(X\), \(Y\) et les \(Y_i\) sont tous affines, voir Cohomologie étale, lemme 03Q6, dont l’énoncé est plus facile à lire.) La dernière assertion découle immédiatement de ce qui précède et du lemme 099T.

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine. Pour tout faisceau abélien injectif \(\mathcal{I}\) sur \(X_\etale\), on a \(H^p(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = 0\) pour \(p > 0\).

Démonstration

Pour le démontrer, nous allons utiliser Cohomologie sur les sites, lemme 03F9. Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(X_\proetale)\) l’ensemble des objets affines \(U\) de \(X_\proetale\) tels que \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(U)\) soit ind-étale. Soit \(\text{Cov}\) l’ensemble des recouvrements pro-étales \(\{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) avec \(U \in \mathcal{B}\) tels que \(\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(U_i)\) soit ind-étale pour \(i = 1, \ldots, n\). Les propriétés (1) et (2) énoncées dans Cohomologie sur les sites, lemme 03F9, sont vérifiées pour \(\mathcal{B}\) et \(\text{Cov}\) d’après les lemmes 097K, 097J et 098D, ainsi que la proposition 097Z.

Pour vérifier la condition (3), supposons que \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) soit un élément de \(\text{Cov}\). Il faut montrer que les groupes de cohomologie supérieure de Čech de \(\epsilon^{-1}\mathcal{I}\) relativement à \(\mathcal{U}\) sont nuls. Écrivons d’abord \(U_i = \lim_{a \in A_i} U_{i, a}\) sous la forme d’une limite projective filtrante, avec \(U_{i, a} \to U\) étale et \(U_{i, a}\) affine. Considérons \(A_1 \times \ldots \times A_n\) comme un ensemble ordonné filtrant pour l’ordre \((a_1, \ldots, a_n) \geq (a_1', \ldots, a_n')\) si et seulement si \(a_i \geq a_i'\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Observons que \(\mathcal{U}_{(a_1, \ldots, a_n)} = \{U_{i, a_i} \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) est un recouvrement étale pour tous \(a_1, \ldots, a_n \in A_1 \times \ldots \times A_n\). Observons que \[U_{i_0} \times_U U_{i_1} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} = \lim_{(a_1, \ldots, a_n) \in A_1 \times \ldots \times A_n} U_{i_0, a_{i_0}} \times_U U_{i_1, a_{i_1}} \times_U \ldots \times_U U_{i_p, a_{i_p}}\] pour tous \(i_0, \ldots, i_p \in \{1, \ldots, n\}\), car les limites commutent aux produits fibrés. Ainsi, d’après le lemme 099S et l’exactitude des colimites filtrantes, on a \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = \colim \check{H}^p(\mathcal{U}_{(a_1, \ldots, a_n)}, \epsilon^{-1}\mathcal{I})\] Il suffit donc de démontrer l’annulation pour les recouvrements étales de \(U\)!

Soit \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) un recouvrement étale avec \(U_i\) affine. Écrivons \(U = \lim_{b \in B} U_b\) comme limite projective filtrante, avec \(U_b\) affine et \(U_b \to X\) étale. D’après Limites, lemmes 01ZM, 01Z6 et 07RP, on peut choisir \(b_0 \in B\) tel que, pour \(i = 1, \ldots, n\), il existe un morphisme étale \(U_{i, b_0} \to U_{b_0}\) entre schémas affines tel que \(U_i = U \times_{U_{b_0}} U_{i, b_0}\). Posons \(U_{i, b} = U_b \times_{U_{b_0}} U_{i, b_0}\) pour \(b \geq b_0\). Pour \(b\) assez grand, la famille \(\mathcal{U}_b = \{U_{i, b} \to U_b\}_{i = 1, \ldots, n}\) est un recouvrement étale ; voir Limites, lemme 07RR. Comme précédemment, on obtient \[\check{H}^p(\mathcal{U}, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = \colim \check{H}^p(\mathcal{U}_b, \epsilon^{-1}\mathcal{I}) = \colim \check{H}^p(\mathcal{U}_b, \mathcal{I})\] où la dernière égalité résulte du lemme 099T. Puisque chacun des complexes de Čech du membre de droite est acyclique en degrés strictement positifs (Cohomologie sur les sites, lemme 03AW), celui du membre de gauche l’est également. Cela démontre la condition (3) de Cohomologie sur les sites, lemme 03F9. Puisque \(X \in \mathcal{B}\), le lemme en découle.

Lemme

Soit \(X\) un schéma.

1. Pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), on a \(R\epsilon_*(\epsilon^{-1}\mathcal{F}) = \mathcal{F}\).

2. Pour \(K \in D^+(X_\etale)\), le morphisme \(K \to R\epsilon_*\epsilon^{-1}K\) est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I}\) un faisceau abélien injectif sur \(X_\etale\). Rappelons que \(R^q\epsilon_*(\epsilon^{-1}\mathcal{I})\) est le faisceau associé à \(U \mapsto H^q(U_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{I})\) ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 072W. D’après le lemme 099U, on voit qu’il est nul pour \(q > 0\) et \(U\) affine et étale sur \(X\). Puisque tout objet de \(X_\etale\) admet un recouvrement par des objets affines, il s’ensuit que \(R^q\epsilon_*(\epsilon^{-1}\mathcal{I}) = 0\) pour \(q > 0\).

Soit \(K \in D^+(X_\etale)\). Choisissons un complexe borné inférieurement \(\mathcal{I}^\bullet\) de faisceaux abéliens injectifs sur \(X_\etale\) représentant \(K\). Alors \(\epsilon^{-1}K\) est représenté par \(\epsilon^{-1}\mathcal{I}^\bullet\). Le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) montre que \(R\epsilon_*\epsilon^{-1}K\) est représenté par \(\epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{I}^\bullet\). D’après le lemme 099T, on conclut que \(R\epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{I}^\bullet = \mathcal{I}^\bullet\), ce qui achève la démonstration de (2). La partie (1) est un cas particulier de (2).

Lemme

Soit \(X\) un schéma.

1. Pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X_\etale\), on a \[H^i(X_\etale, \mathcal{F}) = H^i(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{F})\] pour tout \(i\).

2. Pour \(K \in D^+(X_\etale)\), on a \[R\Gamma(X_\etale, K) = R\Gamma(X_\proetale, \epsilon^{-1}K)\]

Démonstration

Conséquence immédiate du lemme 099V et de la suite spectrale de Leray (Cohomologie sur les sites, lemme 0733).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de groupes (non nécessairement commutatifs) sur \(X_\etale\). On a \[H^1(X_\etale, \mathcal{G}) = H^1(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{G})\] où \(H^1\) désigne l’ensemble des classes d’isomorphisme de torseurs (voir Cohomologie sur les sites, section 03AG).

Démonstration

Comme le foncteur \(\epsilon^{-1}\) est pleinement fidèle d’après le lemme 099T, il est clair que l’application \(H^1(X_\etale, \mathcal{G}) \to H^1(X_\proetale, \epsilon^{-1}\mathcal{G})\) est injective. Pour montrer la surjectivité, il suffit de montrer que tout \(\epsilon^{-1}\mathcal{G}\)-torseur \(\mathcal{F}\) est localement trivial pour la topologie étale. Pour le voir, nous pouvons supposer que \(X\) est affine. Nous nous ramenons donc à démontrer la surjectivité lorsque \(X\) est affine.

Choisissons un recouvrement \(\{U \to X\}\) tel que (a) \(U\) soit affine, (b) que \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(U)\) soit ind-étale, et (c) que \(\mathcal{F}(U)\) soit non vide. C’est possible d’après la proposition 097Z et parce que les recouvrements pro-étales standards de \(X\) sont cofinaux parmi tous les recouvrements pro-étales de \(X\) (lemme 098D). Écrivons \(U = \lim U_i\) comme une limite de schémas affines, chacun étant étale sur \(X\). Choisissons \(s \in \mathcal{F}(U)\). Soit \(g \in \epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U)\) l’unique section telle que \(g \cdot \text{pr}_1^*s = \text{pr}_2^*s\) dans \(\mathcal{F}(U \times_X U)\). Alors \(g\) satisfait la condition de cocycle \[\text{pr}_{12}^*g \cdot \text{pr}_{23}^*g = \text{pr}_{13}^*g\] dans \(\epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U \times_X U)\). D’après le lemme 099S, on a \[\epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U) = \colim \mathcal{G}(U_i \times_X U_i)\] et \[\epsilon^{-1}\mathcal{G}(U \times_X U \times_X U) = \colim \mathcal{G}(U_i \times_X U_i \times_X U_i)\] il existe donc un indice \(i\) et un élément \(g_i \in \mathcal{G}(U_i \times_X U_i)\) dont l’image est \(g\) et qui satisfait la condition de cocycle. Le cocycle \(g_i\) définit alors un torseur sous \(\mathcal{G}\) sur \(X_\etale\) dont l’image inverse est isomorphe à \(\mathcal{F}\) par construction. Nous omettons certains détails, plus précisément le lien entre les torseurs et les 1-cocycles, qu’il conviendrait d’ajouter au chapitre Cohomologie sur les sites.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau.

1. L’image essentielle du foncteur pleinement fidèle \(\epsilon^{-1} : \textit{Mod}(X_\etale, \Lambda) \to \textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda)\) est une sous-catégorie de Serre faible \(\mathcal{C}\).

2. Le foncteur \(\epsilon^{-1}\) définit une équivalence de catégories entre \(D^+(X_\etale, \Lambda)\) et \(D^+_\mathcal{C}(X_\proetale, \Lambda)\) dont un quasi-inverse est donné par \(R\epsilon_*\).

Démonstration

Pour démontrer (1), nous allons vérifier les conditions (1) – (4) de Homologie, lemme 0754. Comme \(\epsilon^{-1}\) est pleinement fidèle (lemme 099T) et exact, tout est clair sauf la condition (4). Cependant, si \[0 \to \epsilon^{-1}\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G} \to \epsilon^{-1}\mathcal{F}_2 \to 0\] est une suite exacte courte de faisceaux de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\), alors on obtient \[0 \to \epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}_1 \to \epsilon_*\mathcal{G} \to \epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}_2 \to R^1\epsilon_*\epsilon^{-1}\mathcal{F}_1\] D’après le lemme 099V, cette suite se réduit à la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \epsilon_*\mathcal{G} \to \mathcal{F}_2 \to 0\] En prenant l’image inverse, on trouve que \(\mathcal{G} = \epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{G}\). Cela démontre (1).

L’assertion (2) découle de l’assertion (1) et de Cohomologie sur les sites, lemme 0D7U.

Soit \(\Lambda\) un anneau. Dans Modules sur les sites, section 093P, nous avons défini la notion de faisceau localement constant de \(\Lambda\)-modules sur un site. Si \(M\) est un \(\Lambda\)-module, alors le faisceau \(\underline{M}\) est de présentation finie comme faisceau de \(\underline{\Lambda}\)-modules si et seulement si \(M\) est de présentation finie comme \(\Lambda\)-module ; voir Modules sur les sites, lemme 093N.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau. Le foncteur \(\epsilon^{-1}\) définit une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} \text{faisceaux localement constants}\\ \text{de }\Lambda\text{-modules sur }X_\etale\\ \text{de présentation finie} \end{matrix} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{faisceaux localement constants}\\ \text{de }\Lambda\text{-modules sur }X_\proetale\\ \text{de présentation finie} \end{matrix} \right\}\]

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau localement constant de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\) et de présentation finie. Choisissons un recouvrement pro-étale \(\{U_i \to X\}\) tel que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit constant, disons \(\mathcal{F}|_{U_i} \cong \underline{M_i}_{U_i}\). Remarquons que \(U_i \times_X U_j\) est vide si \(M_i\) n’est pas isomorphe à \(M_j\). Pour tout \(\Lambda\)-module \(M\), posons \(I_M = \{i \in I \mid M_i \cong M\}\). Comme tout recouvrement pro-étale est un recouvrement fpqc et que Descente, lemme 03N0, on voit que \(U_M = \bigcup_{i \in I_M} \Im(U_i \to X)\) est un ouvert de \(X\). Alors \(X = \coprod U_M\) est une décomposition en ouverts disjoints de \(X\). Nous pouvons remplacer \(X\) par \(U_M\), pour un certain \(M\), et supposer que \(M_i = M\) pour tout \(i\).

Considérons le faisceau \(\mathcal{I} = \mathit{Isom}(\underline{M}, \mathcal{F})\). Ce faisceau est un torseur sous \(\mathcal{G} = \mathit{Isom}(\underline{M}, \underline{M})\). D’après Modules sur les sites, lemme 093T, on a \(\mathcal{G} = \underline{G}\), où \(G = \mathit{Isom}_\Lambda(M, M)\). Puisque les torseurs pour la topologie étale et pour la topologie pro-étale coïncident d’après le lemme 099X, il s’ensuit que \(\mathcal{I}\) admet localement sur \(X\) des sections pour la topologie étale. Ainsi, \(\mathcal{F}\) est localement, pour la topologie étale, un faisceau constant, ce qui est précisément ce qu’il fallait démontrer.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soient \(D_{flc}(X_\etale, \Lambda)\), resp. \(D_{flc}(X_\proetale, \Lambda)\), les sous-catégories pleines respectives de \(D(X_\etale, \Lambda)\), resp. \(D(X_\proetale, \Lambda)\), formées des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont localement constants et de type fini comme faisceaux de \(\Lambda\)-modules. Alors \[\epsilon^{-1} : D_{flc}^+(X_\etale, \Lambda) \longrightarrow D_{flc}^+(X_\proetale, \Lambda)\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Les catégories \(D_{flc}(X_\etale, \Lambda)\) et \(D_{flc}(X_\proetale, \Lambda)\) sont des sous-catégories triangulées strictement pleines et saturées de \(D(X_\etale, \Lambda)\) et \(D(X_\proetale, \Lambda)\) d’après Modules sur les sites, lemme 093U et Catégories dérivées, section 06UP. L’énoncé du lemme s’obtient en combinant les lemmes 09B1 et 099Y.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(K\) un objet de \(D(X_\proetale, \Lambda)\). Posons \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\). Si \(K_1\) est

1. dans l’image essentielle de \(\epsilon^{-1} :D(X_\etale, \Lambda/I) \to D(X_\proetale, \Lambda/I)\), et

2. d’amplitude de Tor dans \([a,\infty)\) pour un certain \(a \in \mathbf{Z}\),

alors \(K_n\), considéré comme objet de \(D(X_\proetale, \Lambda/I^n)\), vérifie (1) et (2).

Démonstration

Pour \(K_n\), l’assertion (2) résulte du résultat plus général de Cohomologie sur les sites, lemme 0942. Pour \(K_n\), l’assertion (1) résulte, par récurrence sur \(n\), des triangles distingués \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} \to K_{n + 1} \to K_n \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}[1]\] et de l’isomorphisme \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} = K_1 \otimes_{\Lambda/I}^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}\] ainsi que du fait démontré dans le lemme 09B1, que l’image essentielle de \(\epsilon^{-1}\) est une sous-catégorie triangulée de \(D^+(X_\proetale, \Lambda/I^n)\).

Exemple

Soit \(X\) un schéma. Soit \(A\) un groupe abélien. Notons \(fun(-, A)\) le faisceau sur \(X_\proetale\) qui associe à \(U\) l’ensemble de toutes les applications \(U \to A\) (au niveau des ensembles de points). Considérons la suite de faisceaux \[0 \to \underline{A} \to fun(-, A) \to \mathcal{F} \to 0\] sur \(X_\proetale\). Puisque le faisceau constant provient par image inverse du topos final, on voit que \(\underline{A} = \epsilon^{-1}\underline{A}\). Cependant, si \(A\) possède plus d’un élément, ni \(fun(-, A)\) ni \(\mathcal{F}\) ne proviennent du site étale de \(X\) par image inverse. Pour déterminer les valeurs de \(\mathcal{F}\) dans certains cas, supposons que tous les points de \(X\) soient fermés et aient un corps résiduel séparablement clos, et que \(U\) soit affine. Alors tous les points de \(U\) sont fermés et ont un corps résiduel séparablement clos, et l’on a \[H^1_\proetale(U, \underline{A}) = H^1_\etale(U, \underline{A}) = 0\] d’après le lemme 099W et le Cohomologie étale, lemme 09AY. On a donc, dans ce cas, \[\mathcal{F}(U) = fun(U, A)/\underline{A}(U)\]

Complétion dérivée dans le cas noethérien constant

Nous poursuivons la discussion commencée dans Géométrie algébrique et formelle, section 0995; nous supposons que le lecteur a lu au moins une partie de cette section.

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Rappelons, d’après Modules sur les sites, lemme 093M, que \[\underline{\Lambda}^\wedge = \lim \underline{\Lambda/I^n}\] est une \(\underline{\Lambda}\)-algèbre plate et que le morphisme \(\underline{\Lambda} \to \underline{\Lambda}^\wedge\) identifie les quotients modulo \(I\). Ainsi, Géométrie algébrique et formelle, lemme 099I donne \[D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda) = D_{comp}(\mathcal{C}, \underline{\Lambda}^\wedge)\] En particulier, les faisceaux de cohomologie \(H^i(K)\) d’un objet \(K\) de \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) sont des faisceaux de \(\underline{\Lambda}^\wedge\)-modules. Pour simplifier les notations, nous travaillons souvent avec \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. L’adjoint à gauche du foncteur d’inclusion \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda) \to D(\mathcal{C}, \Lambda)\) de Géométrie algébrique et formelle, proposition 099F, associe à \(K\) le complexe \[K^\wedge = R\lim(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\] En particulier, \(K\) est complet au sens dérivé si et seulement si \(K = R\lim(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\).

Démonstration

Choisissons des générateurs \(f_1, \ldots, f_r\) de \(I\). D’après Géométrie algébrique et formelle, lemme 0A0E, on a \[K^\wedge = R\lim (K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{K_n})\] où \(K_n = K(\Lambda, f_1^n, \ldots, f_r^n)\). Dans Compléments d’algèbre, lemme 0921, nous avons vu que les pro-systèmes \(\{K_n\}\) et \(\{\Lambda/I^n\}\) de \(D(\Lambda)\) sont isomorphes. Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) un morphisme de topos. Alors

1. \(Rf_*\) envoie \(D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda)\) dans \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\),

2. le foncteur \(Rf_* : D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda) \to D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) admet un adjoint à gauche \(Lf_{comp}^* : D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda) \to D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda)\) qui s’obtient en faisant suivre \(Lf^*\) de la complétion dérivée,

3. \(Rf_*\) commute à la complétion dérivée,

4. pour \(K\) dans \(D_{comp}(\mathcal{D}, \Lambda)\), on a \(Rf_*K = R\lim Rf_*(K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n})\).

5. pour \(M\) dans \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\), on a \(Lf^*_{comp}M = R\lim Lf^*(M \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n})\).

Démonstration

Nous avons établi (1) et (2) dans Géométrie algébrique et formelle, lemme 099K. Le point (3) résulte de Géométrie algébrique et formelle, lemme 0A0G. Pour (4), soit \(K\) complet au sens dérivé. Alors \[Rf_*K = Rf_*( R\lim K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n}) = R\lim Rf_*(K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n})\] où la première égalité résulte du lemme 099M, et la seconde du fait que \(Rf_*\) commute à \(R\lim\) (Cohomologie sur les sites, lemme 0A07). Cela démontre (4). Pour démontrer (5), le lemme 099M donne \[Lf_{comp}^*M = R\lim ( Lf^*M \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\] Comme \(Lf^*\) commute au produit tensoriel dérivé d’après Cohomologie sur les sites, lemme 07A4, et que \(Lf^*\underline{\Lambda/I^n} = \underline{\Lambda/I^n}\), on obtient (5).

Complétion dérivée et objets faiblement contractiles

Nous poursuivons la discussion entreprise à la section 099L. Dans cette section, nous verrons comment l’existence d’objets faiblement contractiles simplifie l’étude des modules complets au sens dérivé.

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Bien que la théorie générale de \(D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) soit tout à fait satisfaisante, il est difficile de donner explicitement des exemples de complexes complets au sens dérivé. Nous savons que

1. tout objet \(M\) de \(D(\mathcal{C}, \Lambda/I^n)\) devient par restriction un objet complet au sens dérivé de \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\), et

2. pour tout \(K \in D(\mathcal{C}, \Lambda)\), la complétion dérivée \(K^\wedge = R\lim (K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n})\) est complet au sens dérivé.

Les objets du premier type sont trivialement complets et ne sont peut-être pas intéressants. Le problème de (2) est que la complétion dérivée est en général assez mystérieuse, même dans le cas \(K = \underline{\Lambda}\). En effet, la définition des limites homotopiques fournit un triangle distingué \[R\lim(\underline{\Lambda/I^n}) \to \prod \underline{\Lambda/I^n} \to \prod \underline{\Lambda/I^n} \to R\lim(\underline{\Lambda/I^n})[1]\] dans \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\), où les produits sont pris dans \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\). Ces produits se calculent en prenant les produits de résolutions injectives (Injectifs, lemme 07D9), et l’on voit donc que le faisceau \(H^p(\prod \underline{\Lambda/I^n})\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \longmapsto \prod H^p(U, \Lambda/I^n).\] Comme exemple explicite, si \(X = \Spec(\mathbf{C}[t, t^{-1}])\), \(\mathcal{C} = X_\etale\), \(\Lambda = \mathbf{Z}\), \(I = (2)\) et \(p = 1\), on obtient le faisceau associé au préfaisceau \[U \mapsto \prod H^1(U_\etale, \mathbf{Z}/2^n\mathbf{Z})\] pour \(U\) étale sur \(X\). Observons que \(H^1(X_\etale, \mathbf{Z}/m\mathbf{Z})\) est cyclique d’ordre \(m\) et admet pour générateur \(\alpha_m\), donné par le revêtement étale fini de groupe \(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}\) défini par l’équation \(t = s^m\) (voir Cohomologie étale, section 03N8). Alors la section \[\alpha = (\alpha_{2^n}) \in \prod H^1(X_\etale, \mathbf{Z}/2^n\mathbf{Z})\] du préfaisceau ci-dessus ne devient nulle par restriction à aucun schéma étale non vide au-dessus de \(X\); ainsi, le faisceau associé au préfaisceau n’est pas nul.

Cependant, ce phénomène ne se produit pas sur le site pro-étale. La raison en est que nous avons suffisamment d’objets (quasi-compacts) faiblement contractiles. Dans la proposition suivante, nous rassemblons quelques résultats sur la complétion dérivée dans le cas d’un anneau noethérien constant, pour les sites qui possèdent suffisamment d’objets faiblement contractiles (voir Sites, définition 090L).

Proposition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Supposons que \(\mathcal{C}\) possède suffisamment d’objets faiblement contractiles. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset \Lambda\) un idéal.

1. La catégorie des faisceaux de \(\Lambda\)-modules complets au sens dérivé est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(\mathcal{C}, \Lambda)\).

2. Un faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\Lambda\)-modules vérifie \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est complet au sens dérivé et \(\bigcap I^n\mathcal{F} = 0\).

3. Le faisceau \(\underline{\Lambda}^\wedge\) est complet au sens dérivé.

4. Si \(\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\) est un système projectif de faisceaux de \(\Lambda\)-modules complets au sens dérivé, alors \(\lim \mathcal{F}_n\) est complet au sens dérivé.

5. Un objet \(K \in D(\mathcal{C}, \Lambda)\) est complet au sens dérivé si et seulement si chaque faisceau de cohomologie \(H^p(K)\) est complet au sens dérivé.

6. Un objet \(K \in D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) est borné supérieurement si et seulement si \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) est borné supérieurement.

7. Un objet \(K \in D_{comp}(\mathcal{C}, \Lambda)\) est borné si \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) est de dimension de Tor finie.

Démonstration

Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) un sous-ensemble tel que tout \(U \in \mathcal{B}\) soit faiblement contractile et que tout objet de \(\mathcal{C}\) admette un recouvrement par des éléments de \(\mathcal{B}\). Nous utiliserons les résultats de Cohomologie sur les sites, lemme 0946 et proposition 0947, sans autre mention.

Rappelons que \(R\lim\) commute à \(R\Gamma(U, -)\) (Injectifs, lemme 08U1). Soit \(f \in I\). Rappelons que \(T(K, f)\) est la limite homotopique du système \[\ldots \xrightarrow{f} K \xrightarrow{f} K \xrightarrow{f} K\] dans \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\). Ainsi, \[R\Gamma(U, T(K, f)) = T(R\Gamma(U, K), f).\] Puisque les isomorphismes entre objets de \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) se détectent par évaluation sur les \(U \in \mathcal{B}\), nous concluons qu’un objet \(K\) de \(D(\mathcal{C}, \Lambda)\) est complet au sens dérivé si et seulement si, pour tout \(U \in \mathcal{B}\), l’objet \(R\Gamma(U, K)\) est complet au sens dérivé en tant qu’objet de \(D(\Lambda)\).

La remarque ci-dessus montre que les points (1) et (5) découlent des résultats correspondants pour les modules sur les anneaux; voir Compléments d’algèbre, lemmes 091P et 091U. De même, (2) se déduit de Compléments d’algèbre, proposition 091T, puisque \((I^n\mathcal{F})(U) = I^n \cdot \mathcal{F}(U)\) pour \(U \in \mathcal{B}\) (par exactitude de l’évaluation en \(U\)).

Démonstration de (4). La limite homotopique \(R\lim \mathcal{F}_n\) appartient à \(D_{comp}(X, \Lambda)\) (voir la discussion qui suit Géométrie algébrique et formelle, définition 0999). D’après le point (5) que nous venons de démontrer, nous concluons que \(\lim \mathcal{F}_n = H^0(R\lim \mathcal{F}_n)\) est complet au sens dérivé. Le point (3) est un cas particulier de (4).

Démonstration de (6) et (7). Cela résulte du lemme 099M, du lemme de Cohomologie sur les sites 0942 et du calcul des limites homotopiques dans Cohomologie sur les sites, proposition 0947.

Cohomologie d’un point

Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien complet pour la topologie adique définie par un idéal \(I \subset \Lambda\). Soit \(k\) un corps. Dans cette section, nous “calculons” \[H^i(\Spec(k)_\proetale, \underline{\Lambda}^\wedge)\] où \(\underline{\Lambda}^\wedge = \lim_m \underline{\Lambda/I^m}\) comme précédemment. Soit \(k^{sep}\) une clôture séparable de \(k\). Alors \[\mathcal{U} = \{\Spec(k^{sep}) \to \Spec(k)\}\] est un recouvrement pro-étale de \(\Spec(k)\). Nous utiliserons, pour ce recouvrement, la suite spectrale de Čech aboutissant à la cohomologie. Posons \(U_0 = \Spec(k^{sep})\) et \[\begin{align*} U_n & = \Spec(k^{sep}) \times_{\Spec(k)} \Spec(k^{sep}) \times_{\Spec(k)} \ldots \times_{\Spec(k)} \Spec(k^{sep}) \\ & = \Spec(k^{sep} \otimes_k k^{sep} \otimes_k \ldots \otimes_k k^{sep}) \end{align*}\] (\(n + 1\) facteurs). Observons que l’espace topologique sous-jacent \(|U_0|\) de \(U_0\) est réduit à un point et que, pour \(n \geq 1\), on a \[|U_n| = G \times \ldots \times G\quad (n\text{ facteurs})\] comme espaces profinis, où \(G = \text{Gal}(k^{sep}/k)\). En effet, tout point de \(U_n\) a pour corps résiduel \(k^{sep}\) et nous identifions \((\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) au point correspondant à la surjection \[k^{sep} \otimes_k k^{sep} \otimes_k \ldots \otimes_k k^{sep} \longrightarrow k^{sep}, \quad \lambda_0 \otimes \lambda_1 \otimes \ldots \lambda_n \longmapsto \lambda_0 \sigma_1(\lambda_1) \ldots \sigma_n(\lambda_n)\] On calcule alors \[\begin{align*} R\Gamma((U_n)_\proetale, \underline{\Lambda}^\wedge) & = R\lim_m R\Gamma((U_n)_\proetale, \underline{\Lambda/I^m}) \\ & = R\lim_m R\Gamma((U_n)_\etale, \underline{\Lambda/I^m}) \\ & = \lim_m H^0(U_n, \underline{\Lambda/I^m}) \\ & = \text{Maps}_{cont}(G \times \ldots \times G, \Lambda) \end{align*}\] La première égalité résulte du fait que \(R\Gamma\) commute aux limites dérivées et que \(\Lambda^\wedge\) est la limite dérivée des faisceaux \(\underline{\Lambda/I^m}\) d’après la proposition 099Q. La deuxième égalité résulte du lemme 099W. La troisième égalité résulte de Cohomologie étale, lemme 09AY. Pour la quatrième égalité, on utilise Cohomologie étale, remarque 03P5 pour identifier les sections du faisceau constant \(\underline{\Lambda/I^m}\). Elle utilise ensuite le fait que \(\Lambda\) est complet pour la topologie \(I\)-adique et donc égal à \(\lim_m \Lambda/I^m\) comme espace topologique, pour voir que \(\lim_m \text{Map}_{cont}(G, \Lambda/I^m) = \text{Map}_{cont}(G, \Lambda)\) et de même pour les puissances supérieures de \(G\). À ce stade, Cohomologie sur les sites, lemmes 03AX et 03F7 montrent que \[\Lambda \to \text{Maps}_{cont}(G, \Lambda) \to \text{Maps}_{cont}(G \times G, \Lambda) \to \ldots\] calcule la cohomologie pro-étale. En d’autres termes, nous voyons que \[H^i(\Spec(k)_\proetale, \underline{\Lambda}^\wedge) = H^i_{cont}(G, \Lambda)\] où le membre de droite est la cohomologie continue de Tate; voir Cohomologie étale, section 0DVG. Bien entendu, il devait en être ainsi.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(G = \text{Gal}(k^{sep}/k)\) son groupe de Galois absolu. Considérons en outre l’un des deux cas suivants :

1. soit \(M\) un groupe abélien profini muni d’une action continue de \(G\), ou

2. soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et \(I \subset \Lambda\) un idéal, et soit \(M\) un module \(I\)-adiquement complet sur \(\Lambda\), muni d’une action continue de \(G\).

Il existe alors un faisceau canonique \(\underline{M}^\wedge\) sur \(\Spec(k)_\proetale\) associé à \(M\) tel que \[H^i(\Spec(k), \underline{M}^\wedge) = H^i_{cont}(G, M)\] comme groupes abéliens ou comme \(\Lambda\)-modules.

Démonstration

Démonstration dans le cas (2). Posons \(M_n = M/I^nM\). Alors \(M = \lim M_n\), car \(M\) est supposé complet pour la topologie \(I\)-adique. Puisque l’action de \(G\) est continue, on obtient des actions continues de \(G\) sur \(M_n\). D’après Cohomologie étale, théorème 03QT, cette action correspond à un faisceau (localement constant) \(\underline{M_n}\) de \(\Lambda/I^n\)-modules sur \(\Spec(k)_\etale\). Prenons son image inverse sur \(\Spec(k)_\proetale\) par le morphisme de comparaison \(\epsilon\) et prenons la limite \[\underline{M}^\wedge = \lim \epsilon^{-1}\underline{M_n}\] pour obtenir le faisceau annoncé dans le lemme. Le même argument que dans l’introduction de cette section fournit la comparaison avec la cohomologie galoisienne continue de Tate.

Fonctorialité du site pro-étale

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Le foncteur \(Y_\proetale \to X_\proetale\), \(V \mapsto X \times_Y V\) induit un morphisme de sites \(f_\proetale : X_\proetale \to Y_\proetale\); voir Sites, proposition 00X6. En fait, on obtient un diagramme commutatif de morphismes de sites \[\xymatrix{ X_\proetale \ar[r]_\epsilon \ar[d]_{f_\proetale} & X_\etale \ar[d]^{f_\etale} \\ Y_\proetale \ar[r]^\epsilon & Y_\etale }\] où \(\epsilon\) est défini comme dans la section 099R. En particulier, on a \(\epsilon^{-1} f_\etale^{-1} = f_\proetale^{-1} \epsilon^{-1}\). Voici le résultat correspondant pour le foncteur image directe.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas, supposé quasi-compact et quasi-séparé.

1. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(X_\etale\). Alors on a \(f_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}f_{\etale, *}\mathcal{F}\).

2. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(X_\etale\). Alors on a \(Rf_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}Rf_{\etale, *}\mathcal{F}\).

Démonstration

Démonstration de (1). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(X_\etale\). Il existe un morphisme canonique \(\epsilon^{-1}f_{\etale, *}\mathcal{F} \to f_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F}\); voir Sites, section 06UM. Pour montrer que c’est un isomorphisme, on peut travailler localement sur \(Y\) pour la topologie de Zariski; ainsi, on peut supposer \(Y\) affine. Dans ce cas, tout objet de \(Y_\proetale\) admet un recouvrement par des objets \(V = \lim V_i\) qui sont des limites de schémas affines \(V_i\) étales sur \(Y\) (d’après la proposition 097Z, par exemple). En évaluant le morphisme \(\epsilon^{-1}f_{\etale, *}\mathcal{F} \to f_{\proetale, *}\epsilon^{-1}\mathcal{F}\) en \(V\), on obtient un morphisme \[\colim \Gamma(X \times_Y V_i, \mathcal{F}) \longrightarrow \Gamma(X \times_Y V, \epsilon^*\mathcal{F})\] Le membre de gauche est décrit dans le lemme 099S. D’après le lemme 0GLZ, on a \[\Gamma(X \times_Y V, \epsilon^*\mathcal{F}) = \Gamma(X \times_Y V, g_\etale^{-1}\mathcal{F})\] où \(g : X \times_Y V \to X\) est la projection. Le résultat découle donc de Cohomologie étale, lemme 03Q6.

Démonstration de (2). En raisonnant exactement comme ci-dessus, on voit qu’il suffit de montrer que le morphisme \[\colim H^i_\etale(X \times_Y V_i, \mathcal{F}) \longrightarrow H^i_\etale(X \times_Y V, \mathcal{F})\] est un isomorphisme, ce qui résulte encore de Cohomologie étale, lemme 03Q6.

Morphismes finis et sites pro-étales

Il n’est pas clair qu’un morphisme fini de schémas détermine un foncteur image directe exact sur les faisceaux abéliens pro-étales.

Lemme

Soit \(f : Z \to X\) un morphisme fini de schémas qui est localement de présentation finie. Alors \(f_{\proetale, *} : \textit{Ab}(Z_\proetale) \to \textit{Ab}(X_\proetale)\) est exact.

Démonstration

Pour le démontrer, on peut travailler localement sur \(X\) pour la topologie de Zariski et supposer que \(X\) est affine, écrivons \(X = \Spec(A)\). Alors \(Z = \Spec(B)\) pour une certaine \(A\)-algèbre \(B\) finie et de présentation finie. La construction donnée dans la démonstration de la proposition 0983 produit un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-étale \(A \to D\) avec \(D\) w-contractile. On peut vérifier l’exactitude d’une suite de faisceaux par évaluation sur un tel objet \(U = \Spec(D)\). Alors \(f_{\proetale, *}\mathcal{F}\) évalué en \(U\) est égal à \(\mathcal{F}\) évalué en \(V = \Spec(D \otimes_A B)\). Puisque \(D \otimes_A B\) est w-contractile d’après le lemme 0986, l’évaluation en \(V\) est exacte.

Immersions fermées et sites pro-étales

Il n’est pas clair (et c’est probablement faux) qu’une immersion fermée de schémas détermine un foncteur image directe exact sur les faisceaux abéliens pro-étales.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas affines. Notons \(X_{app}\) et \(Z_{app}\) les sites introduits dans le lemme 098X. Le foncteur de changement de base \[u : X_{app} \to Z_{app},\quad U \longmapsto u(U) = U \times_X Z\] est continu et admet un adjoint à gauche pleinement fidèle \(v\). Pour \(V\) dans \(Z_{app}\), le morphisme \(V \to v(V)\) est une immersion fermée qui identifie \(V\) à \(u(v(V)) = v(V) \times_X Z\), et tout point de \(v(V)\) se spécialise en un point de \(V\). Le foncteur \(v\) est cocontinu et transforme les recouvrements en recouvrements.

Démonstration

L’existence de l’adjoint découle immédiatement du lemme 097P et des définitions. Il est clair que \(u\) est continu d’après la définition des recouvrements dans \(X_{app}\).

Écrivons \(X = \Spec(A)\) et \(Z = \Spec(A/I)\). Soit \(V = \Spec(\overline{C})\) un objet de \(Z_{app}\), et soit \(v(V) = \Spec(C)\). Nous avons vu dans l’énoncé du lemme 097P que \(V\) est égal à \(v(V) \times_X Z = \Spec(C/IC)\). Tout \(g \in C\) dont l’image dans \(C/IC = \overline{C}\) est inversible est lui-même inversible dans \(C\). En effet, on a les homomorphismes de \(A\)-algèbres \(C \to C_g \to C/IC\) et, par adjonction, on obtient un homomorphisme de \(C\)-algèbres \(C_g \to C\). Ainsi, tout point de \(v(V)\) se spécialise en un point de \(V\).

Supposons que \(\{V_i \to V\}\) soit un recouvrement dans \(Z_{app}\). Alors \(\{v(V_i) \to v(V)\}\) est une famille finie de morphismes de \(Z_{app}\) telle que tout point de \(V \subset v(V)\) appartienne à l’image de l’un des morphismes \(v(V_i) \to v(V)\). Comme les morphismes \(v(V_i) \to v(V)\) sont plats (puisqu’ils sont faiblement étales), on conclut que \(\{v(V_i) \to v(V)\}\) est conjointement surjective. Cela démontre que \(v\) transforme les recouvrements en recouvrements.

Soit \(V\) un objet de \(Z_{app}\), et soit \(\{U_i \to v(V)\}\) un recouvrement dans \(X_{app}\). On voit alors que \(\{u(U_i) \to u(v(V)) = V\}\) est un recouvrement dans \(Z_{app}\). Par adjonction, on obtient des morphismes \(v(u(U_i)) \to U_i\). Ainsi, la famille \(\{v(u(U_i)) \to v(V)\}\) raffine le recouvrement donné, et l’on conclut que \(v\) est cocontinu.

Lemme

Soit \(Z \to X\) une immersion fermée de schémas affines. Le morphisme de topos correspondant \(i = i_\proetale\) est égal au morphisme de topos associé au foncteur pleinement fidèle et cocontinu \(v : Z_{app} \to X_{app}\) du lemme 09BK. Il en résulte que

1. \(i^{-1}\mathcal{F}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(V \mapsto \mathcal{F}(v(V))\),

2. pour un objet faiblement contractile \(V\) de \(Z_{app}\), on a \(i^{-1}\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(v(V))\),

3. \(i^{-1} : \Sh(X_\proetale) \to \Sh(Z_\proetale)\) admet un adjoint à gauche \(i^{Sh}_!\),

4. \(i^{-1} : \textit{Ab}(X_\proetale) \to \textit{Ab}(Z_\proetale)\) admet un adjoint à gauche \(i_!\),

5. \(\text{id} \to i^{-1}i^{Sh}_!\), \(\text{id} \to i^{-1}i_!\), et \(i^{-1}i_* \to \text{id}\) sont des isomorphismes, et

6. \(i_*\), \(i^{Sh}_!\) et \(i_!\) sont pleinement fidèles.

Démonstration

D’après le lemme 098X, on peut décrire \(i_\proetale\) au moyen du morphisme de sites \(u : X_{app} \to Z_{app}\), \(V \mapsto V \times_X Z\). La première assertion du lemme découle de Sites, lemmes 00XX et 00XY (mais en inversant les rôles de \(u\) et \(v\)).

Démonstration de (1). D’après la description de \(i\) comme morphisme de topos associé à \(v\), cela résulte de la construction; voir Sites, lemme 00XO.

Démonstration de (2). Puisque le foncteur \(v\) transforme les recouvrements en recouvrements d’après le lemme 09BK, on voit que le préfaisceau \(\mathcal{G} : V \mapsto \mathcal{F}(v(V))\) est un préfaisceau séparé (Sites, définition 00WA). Par conséquent, le faisceau associé à \(\mathcal{G}\) est \(\mathcal{G}^+\); voir Sites, théorème 00WB. Soit ensuite \(V\) un objet contractile de \(Z_{app}\). Soit \(\mathcal{V} = \{V_i \to V\}_{i = 1, \ldots, n}\) un recouvrement quelconque dans \(Z_{app}\). Posons \(\mathcal{V}' = \{\coprod V_i \to V\}\). Puisque \(v\) commute aux sommes disjointes finies (en tant qu’adjoint à gauche ou par construction) et que \(\mathcal{F}\) transforme les sommes disjointes finies en produits, on voit que \[H^0(\mathcal{V}, \mathcal{G}) = H^0(\mathcal{V}', \mathcal{G})\] (notations de Sites, section 00W1; comparer avec Cohomologie étale, lemme 03OZ). On peut donc supposer que le recouvrement est donné par un unique morphisme, disons \(\{V' \to V\}\). Puisque \(V\) est faiblement contractile, ce recouvrement peut être raffiné par le recouvrement trivial \(\{V \to V\}\). Il en résulte que la valeur de \(\mathcal{G}^+ = i^{-1}\mathcal{F}\) en \(V\) est simplement \(\mathcal{F}(v(V))\), ce qui démontre (2).

Démonstration de (3). Tout objet de \(Z_{app}\) admet un recouvrement par des objets contractiles (lemme 0990). D’après ce qui précède, on aurait \(i^{Sh}_!h_V = h_{v(V)}\) pour \(V\) faiblement contractile si \(i^{Sh}_!\) existait. L’existence de \(i^{Sh}_!\) découle alors de Sites, lemme 09YX.

Démonstration de (4). L’existence de \(i_!\) s’obtient de la même manière en posant \(i_!\mathbf{Z}_V = \mathbf{Z}_{v(V)}\) pour \(V\) faiblement contractile dans \(Z_{app}\), en procédant de même pour les sommes directes, et en appliquant le lemme d’Homologie 0793. Nous omettons les détails.

Démonstration de (5). Soit \(V\) un objet contractile de \(Z_{app}\). Alors \(i^{-1}i^{Sh}_!h_V = i^{-1}h_{v(V)} = h_{u(v(V))} = h_V\). (C’est un fait général que \(i^{-1}h_U = h_{u(U)}\).) Puisque les faisceaux \(h_V\), pour \(V\) contractile, engendrent \(\Sh(Z_{app})\) (Sites, lemme 00WS), on conclut que \(\text{id} \to i^{-1}i^{Sh}_!\) est un isomorphisme. Il en va de même du morphisme \(\text{id} \to i^{-1}i_!\). Ensuite, \((i^{-1}i_*\mathcal{H})(V) = i_*\mathcal{H}(v(V)) = \mathcal{H}(u(v(V))) = \mathcal{H}(V)\), et l’on trouve que \(i^{-1}i_* \to \text{id}\) est un isomorphisme.

Les assertions de pleine fidélité de (6) résultent alors de Catégories, lemme 07RB.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas. Alors

1. \(i_\proetale^{-1}\) commute aux limites,

2. \(i_{\proetale, *}\) est pleinement fidèle, et

3. \(i_\proetale^{-1}i_{\proetale, *} \cong \text{id}_{\Sh(Z_\proetale)}\).

Démonstration

Les assertions (2) et (3) sont équivalentes d’après le lemme de Sites 04D6. Les parties (1) et (3) sont locales sur \(X\) pour la topologie de Zariski; on peut donc supposer que \(X\) est affine. Dans ce cas, le résultat découle du lemme 09BL.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) un morphisme de schémas entier, universellement injectif et surjectif. Alors \(i_{\proetale, *}\) et \(i_\proetale^{-1}\) définissent des équivalences de catégories quasi inverses entre les topos pro-étales.

Démonstration

On se ramène immédiatement au cas où \(X\) est affine. Alors \(Z\) est également affine. Posons \(A = \mathcal{O}(X)\) et \(B = \mathcal{O}(Z)\). Les catégories des algèbres étales sur \(A\) et \(B\) sont alors équivalentes; voir Cohomologie étale, théorème 04DZ et la remarque 05YX. Les catégories des algèbres ind-étales sur \(A\) et \(B\) sont donc équivalentes. Autrement dit, les catégories \(X_{app}\) et \(Z_{app}\) du lemme 098X sont équivalentes. Nous omettons de vérifier que cette équivalence transforme les recouvrements en recouvrements et réciproquement. Le résultat découle alors du lemme 098X, qui identifie le topos pro-étale au topos des faisceaux sur \(X_{app}\).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas. Soit \(U \to X\) un objet de \(X_\proetale\) tel que

1. \(U\) soit affine et faiblement contractile, et

2. tout point de \(U\) se spécialise en un point de \(U \times_X Z\).

Alors \(i_\proetale^{-1}\mathcal{F}(U \times_X Z) = \mathcal{F}(U)\) pour tout faisceau abélien sur \(X_\proetale\).

Démonstration

Puisque l’image inverse commute à la restriction, on peut remplacer \(X\) par \(U\). Nous pouvons donc supposer que \(X\) est affine et faiblement contractile et que tout point de \(X\) se spécialise en un point de \(Z\). D’après le lemme 09BL, partie (1), il suffit de montrer que \(v(Z) = X\) dans ce cas. Nous devons donc montrer ceci : si \(A\) est un anneau w-contractile, si \(I \subset A\) est un idéal contenu dans le radical de Jacobson de \(A\) et si \(A \to B \to A/I\) est une factorisation telle que \(A \to B\) soit ind-étale, alors il existe une unique rétraction \(B \to A\) compatible avec les morphismes vers \(A/I\). Observons que \(B/IB = A/I \times R\) comme \(A/I\)-algèbres. Après avoir remplacé \(B\) par une localisation, nous pouvons supposer que \(B/IB = A/I\). Notons que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est surjectif, puisque son image contient \(V(I)\), donc tous les points fermés, et qu’elle est stable par spécialisation. Comme \(A\) est w-contractile, il existe une rétraction \(B \to A\). Puisque \(B/IB = A/I\), cette rétraction est compatible avec le morphisme vers \(A/I\). Nous omettons la démonstration de l’unicité (indication : utiliser le fait que \(A\) et \(B\) ont des anneaux locaux isomorphes en tout idéal maximal de \(A\)).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas. Si \(X \setminus i(Z)\) est un ouvert rétrocompact de \(X\), alors \(i_{\proetale, *}\) est exact.

Démonstration

La question est locale sur \(X\); nous pouvons donc supposer que \(X\) est affine. Écrivons \(X = \Spec(A)\) et \(Z = \Spec(A/I)\). Il existe \(f_1, \ldots, f_r \in I\) tels que \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\) en tant qu’ensembles ; voir Algèbre, lemme 00F6. D’après le lemme 09AB, nous pouvons supposer que \(Z = \Spec(A/(f_1, \ldots, f_r))\). Dans ce cas, le foncteur \(i_{\proetale, *}\) est exact d’après le lemme 09A8.

Prolongement par zéro

Les résultats généraux de Modules sur les sites, section 03DH, nous permettent de poser la définition suivante.

Définition

Soit \(j : U \to X\) un morphisme de schémas faiblement étale.

1. Le foncteur de restriction \(j^{-1} : \Sh(X_\proetale) \to \Sh(U_\proetale)\) admet pour adjoint à gauche \(j_!^{Sh} : \Sh(X_\proetale) \to \Sh(U_\proetale)\).

2. Le foncteur de restriction \(j^{-1} : \textit{Ab}(X_\proetale) \to \textit{Ab}(U_\proetale)\) admet un adjoint à gauche, noté \(j_! : \textit{Ab}(U_\proetale) \to \textit{Ab}(X_\proetale)\) et appelé prolongement par zéro.

3. Soit \(\Lambda\) un anneau. Le foncteur \(j^{-1} : \textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda) \to \textit{Mod}(U_\proetale, \Lambda)\) admet un adjoint à gauche, noté \(j_! : \textit{Mod}(U_\proetale, \Lambda) \to \textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda)\) et appelé prolongement par zéro.

Comme d’habitude, comparons cette situation au cas étale.

Lemme

Soit \(j : U \to X\) un morphisme de schémas étale. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien sur \(U_\etale\). Alors \(\epsilon^{-1} j_!\mathcal{G} = j_!\epsilon^{-1}\mathcal{G}\) comme faisceaux sur \(X_\proetale\).

Démonstration

Cela est vrai parce que les deux foncteurs sont adjoints à gauche de \(j_\proetale^{-1} \epsilon_* = \epsilon_* j_\etale^{-1}\). L’égalité résulte de la discussion à la section 09A5.

Lemme

Soit \(j : U \to X\) un morphisme de schémas faiblement étale. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée telle que \(U \times_X Z = \emptyset\). Soit \(V \to X\) un objet affine de \(X_\proetale\) tel que tout point de \(V\) se spécialise en un point de \(V_Z = Z \times_X V\). Alors \(j_!\mathcal{F}(V) = 0\) pour tout faisceau abélien sur \(U_\proetale\).

Démonstration

Soit \(\{V_i \to V\}\) un recouvrement pro-étale. Il suffit de pouvoir raffiner ce recouvrement en un recouvrement dont les membres n’admettent aucun morphisme vers \(U\) au-dessus de \(X\) (voir la construction de \(j_!\) dans Modules sur les sites, section 03DH). Raffinons d’abord le recouvrement pour obtenir un recouvrement fini dont les \(V_i\) sont affines. Pour tout \(i\), écrivons \(V_i = \Spec(A_i)\) et notons \(Z_i \subset V_i\) le sous-schéma image inverse de \(Z\). Posons \(W_i = \Spec(A_{i, Z_i}^\sim)\) avec les notations du lemme 096V. Alors \(\coprod W_i \to V\) est faiblement étale et son image contient tous les points de \(V_Z\). Elle contient donc tous les points de \(V\) d’après notre hypothèse sur les spécialisations. Ainsi, \(\{W_i \to V\}\) est un recouvrement pro-étale qui raffine le recouvrement donné. Mais tout point de \(W_i\) se spécialise en un point situé au-dessus de \(Z\); il n’existe donc aucun morphisme \(W_i \to U\) au-dessus de \(X\).

Lemme

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte de schémas. Alors \(\text{id} \cong j^{-1}j_!\) et \(j^{-1}j_* \cong \text{id}\), et les foncteurs \(j_!\) et \(j_*\) sont pleinement fidèles.

Démonstration

Voir Modules sur les sites, lemme 0F6Z (et Sites, lemme 00Y2 pour le cas des faisceaux d’ensembles), ainsi que Catégories, lemme 07RB.

Voici la relation entre le prolongement par zéro et la restriction au sous-schéma fermé complémentaire.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé et soit \(U \subset X\) son complémentaire. Notons \(i : Z \to X\) et \(j : U \to X\) les morphismes d’inclusion. Supposons que \(j\) soit quasi-compact. Pour tout faisceau abélien sur \(X_\proetale\), il existe une suite exacte courte canonique \[0 \to j_!j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F} \to 0\] sur \(X_\proetale\), où tous les foncteurs se rapportent à la topologie pro-étale.

Démonstration

Les propriétés d’adjonction des foncteurs en jeu fournissent les morphismes. Il suffit de montrer que \(X_\proetale\) admet suffisamment d’objets (Sites, définition 090L) sur lesquels la suite s’évalue en une suite exacte courte. Soit \(V = \Spec(A)\) un objet affine de \(X_\proetale\) tel que \(A\) soit w-contractile (il y a suffisamment d’objets de ce type). Alors \(V \times_X Z\) est défini par un idéal \(I \subset A\). L’hypothèse que \(j\) est quasi-compact implique qu’il existe \(f_1, \ldots, f_r \in I\) tels que \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_r)\). Nous obtenons un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat et ind-Zariski \[A \longrightarrow A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_r} \times A_{V(I)}^\sim\] où \(A_{V(I)}^\sim\) est défini comme dans le lemme 096V. Puisque \(V_i = \Spec(A_{f_i}) \to X\) se factorise par \(U\), on a \[j_!j^{-1}\mathcal{F}(V_i) = \mathcal{F}(V_i) \quad\text{et}\quad i_*i^{-1}\mathcal{F}(V_i) = 0\] D’autre part, pour le schéma \(V^\sim = \Spec(A_{V(I)}^\sim)\), on a \[j_!j^{-1}\mathcal{F}(V^\sim) = 0 \quad\text{et}\quad \mathcal{F}(V^\sim) = i_*i^{-1}\mathcal{F}(V^\sim)\] La première égalité résulte du lemme 09AG, et la seconde des lemmes 09AC et 0987. La suite s’évalue donc en une suite exacte sur \(\Spec(A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_r} \times A_{V(I)}^\sim)\), ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte quasi-compacte de schémas. Le foncteur \(j_! : \textit{Ab}(U_\proetale) \to \textit{Ab}(X_\proetale)\) commute aux limites.

Démonstration

Puisque \(j_!\) est exact, il suffit de montrer que \(j_!\) commute aux produits. La question est locale sur \(X\); nous pouvons donc supposer que \(X\) est affine. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien sur \(U_\proetale\). On a \(j^{-1}j_*\mathcal{G} = \mathcal{G}\). En appliquant alors la suite exacte du lemme 09AH, on obtient \[0 \to j_!\mathcal{G} \to j_*\mathcal{G} \to i_*i^{-1}j_*\mathcal{G} \to 0\] où \(i : Z \to X\) est l’inclusion du schéma muni de la structure réduite induite sur le complément \(Z = X \setminus U\). Les foncteurs \(j_*\) et \(i_*\) commutent aux produits en tant qu’adjoints à droite. Le foncteur \(i^{-1}\) commute aux produits d’après le lemme 09AA. Il en va donc de même pour \(j_!\), car, sur le site pro-étale, les produits sont exacts (Cohomologie sur les sites, proposition 0947).

Faisceaux constructibles sur le site pro-étale

Nous nous limitons aux faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules pour un anneau noethérien. Nous envisageons d’étudier ultérieurement les faisceaux constructibles d’ensembles, de groupes, etc.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Un faisceau de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\) est constructible si, pour tout ouvert affine \(U \subset X\), il existe une décomposition finie de \(U\) en sous-schémas localement fermés constructibles \(U = \coprod_i U_i\) telle que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit de type fini et localement constant pour tout \(i\).

Là encore, cela ne donne rien de “nouveau”.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Le foncteur \(\epsilon^{-1}\) définit une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} \text{faisceaux constructibles de}\\ \Lambda\text{-modules sur }X_\etale\\ \end{matrix} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{faisceaux constructibles de}\\ \Lambda\text{-modules sur }X_\proetale\\ \end{matrix} \right\}\] entre les faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\etale\) et les faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\).

Démonstration

D’après le lemme 099T, le foncteur \(\epsilon^{-1}\) est pleinement fidèle et commute à l’image inverse, c’est-à-dire à la restriction aux strates. Ainsi, l’image par \(\epsilon^{-1}\) d’un faisceau étale constructible est un faisceau pro-étale constructible. Pour achever la démonstration, soit \(\mathcal{F}\) un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\) comme dans la définition 09AJ. Il existe un morphisme canonique \[\epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] Nous allons montrer que ce morphisme est un isomorphisme. Cela prouvera que \(\mathcal{F}\) appartient à l’image essentielle de \(\epsilon^{-1}\) et achèvera la démonstration (nous omettons les détails).

Puisqu’il suffit de le démontrer localement sur \(X\), on peut supposer que \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé et que l’on dispose d’une partition finie \(X = \coprod_{i = 1, \ldots, n} X_i\) en strates localement fermées constructibles telles que \(\mathcal{F}|_{X_i}\) soit localement constant de type fini. Nous raisonnons par récurrence sur \(n\). Le cas initial \(n = 1\) résulte du lemme 099Y. Prenons un point \(x \in X\); alors \(x \in X_k\) pour un certain \(k\). Il suffit de montrer que le morphisme affiché est un isomorphisme dans un voisinage ouvert de \(x\). On peut donc supposer que \(X_k\) est fermé dans \(X\). Posons \(Z = X_k\) et notons \(U \subset X\) le complément de \(Z\). Observons que l’hypothèse de récurrence s’applique à la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(Z\) et à \(U\). D’après le lemme 09AH, on a une suite exacte courte \[0 \to j_!j^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \to i_*i^{-1}\mathcal{F} \to 0\] sur \(X_\proetale\). La fonctorialité donne un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \epsilon^{-1}\epsilon_*j_!j^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \epsilon^{-1}\epsilon_*\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \epsilon^{-1}\epsilon_*i_*i^{-1}\mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & j_!j^{-1}\mathcal{F} \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & i_*i^{-1}\mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] Par récurrence, on sait, d’une part, que \(\epsilon^{-1}\epsilon_*i^{-1}\mathcal{F} \to i^{-1}\mathcal{F}\) et \(\epsilon^{-1}\epsilon_*j^{-1}\mathcal{F} \to j^{-1}\mathcal{F}\) sont des isomorphismes et, d’autre part, que \(i^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{A}\) et \(j^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{B}\) pour certains faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules \(\mathcal{A}\) sur \(Z_\etale\) et \(\mathcal{B}\) sur \(U_\etale\). Alors \[\epsilon^{-1}\epsilon_*j_!j^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\epsilon_*j_!\epsilon^{-1}\mathcal{B} = \epsilon^{-1}\epsilon_*\epsilon^{-1}j_!\mathcal{B} = \epsilon^{-1}j_!\mathcal{B} = j_!\epsilon^{-1}\mathcal{B} = j_!j^{-1}\mathcal{F}\] où la deuxième égalité résulte du lemme 09AF, la troisième du lemme 099T, et la quatrième, à nouveau, du lemme 09AF. De même, on a \[\epsilon^{-1}\epsilon_*i_*i^{-1}\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\epsilon_*i_*\epsilon^{-1}\mathcal{A} = \epsilon^{-1}\epsilon_*\epsilon^{-1}i_*\mathcal{A} = \epsilon^{-1}i_*\mathcal{A} = i_*\epsilon^{-1}\mathcal{A} = i_*i^{-1}\mathcal{F}\] Cette fois, on utilise le lemme 09A6. Le lemme des cinq permet de conclure que le morphisme vertical médian du grand diagramme est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. La catégorie des faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(X_\proetale, \Lambda)\).

Démonstration

C’est une conséquence formelle des lemmes 09AK et 09B1 et du résultat correspondant pour le site étale (Cohomologie étale, lemme 03RZ).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soient \(D_c(X_\etale, \Lambda)\), resp. \(D_c(X_\proetale, \Lambda)\), les sous-catégories pleines de \(D(X_\etale, \Lambda)\), resp. \(D(X_\proetale, \Lambda)\), formées des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont des faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules. Alors \[\epsilon^{-1} : D_c^+(X_\etale, \Lambda) \longrightarrow D_c^+(X_\proetale, \Lambda)\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

Les catégories \(D_c(X_\etale, \Lambda)\) et \(D_c(X_\proetale, \Lambda)\) sont des sous-catégories strictement pleines, saturées et triangulées de \(D(X_\etale, \Lambda)\) et \(D(X_\proetale, \Lambda)\) d’après Cohomologie étale, lemme 03RZ et le lemme 09B5 et Catégories dérivées, section 06UP. L’énoncé du lemme s’obtient en combinant les lemmes 09B1 et 09AK.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soient \(K, L \in D_c^-(X_\proetale, \Lambda)\). Alors \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} L\) appartient à \(D_c^-(X_\proetale, \Lambda)\).

Démonstration

Remarquons que \(H^i(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} L)\) s’identifie à \(H^i(\tau_{\geq i - 1}K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \tau_{\geq i - 1}L)\). On peut donc supposer que \(K\) et \(L\) sont bornés. Dans ce cas, le lemme 09AL permet de se ramener au cas du site étale, voir Cohomologie étale, lemme 0961.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(K\) un objet de \(D(X_\proetale, \Lambda)\). Posons \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\). Si \(K_1\) appartient à \(D^-_c(X_\proetale, \Lambda/I)\), alors \(K_n\) appartient à \(D^-_c(X_\proetale, \Lambda/I^n)\) pour tout \(n\).

Démonstration

Considérons les triangles distingués \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} \to K_{n + 1} \to K_n \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}[1]\] et les isomorphismes \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}} = K_1 \otimes_{\Lambda/I}^\mathbf{L} \underline{I^n/I^{n + 1}}\] D’après le lemme 09BQ, ce produit tensoriel possède des faisceaux de cohomologie constructibles (et nuls lorsque la cohomologie de \(K_1\) est nulle). Une récurrence sur \(n\) utilisant le lemme 09B5 montre donc que chaque \(K_n\) possède des faisceaux de cohomologie constructibles.

Faisceaux adiques constructibles

Dans cette section, nous définissons la notion de faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules, ainsi que quelques variantes.

Définition

Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\).

1. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules si \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) et si chaque \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) est un faisceau constructible de \(\Lambda/I^n\)-modules.

2. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules, nous disons que \(\mathcal{F}\) est lisse si chaque \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) est localement constant.

3. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est lisse adique⁵ s’il existe un module complet pour la topologie \(I\)-adique, muni d’une structure de \(\Lambda\)-module, noté \(M\), tel que \(M/IM\) soit fini et que \(\mathcal{F}\) soit localement isomorphe à \[\underline{M}^\wedge = \lim \underline{M/I^nM}.\]

4. Nous disons que \(\mathcal{F}\) est adique constructible⁶ si, pour tout ouvert affine \(U \subset X\), il existe une décomposition \(U = \coprod U_i\) en sous-schémas localement fermés constructibles tels que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) soit lisse adique.

La définition d’un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules équivaut à celle de [SGA5, Exposé VI, définition 1.1.1] lorsque \(\Lambda = \mathbf{Z}_\ell\) et \(I = (\ell)\). Il est clair que l’on a les implications \[\xymatrix{ \text{lisse adique} \ar@{=>}[r] \ar@{=>}[d] & \text{adique constructible} \ar@{=>}[d] \\ \text{faisceau constructible lisse de }\Lambda\text{-modules} \ar@{=>}[r] & \text{faisceau constructible de }\Lambda\text{-modules} }\] Les flèches verticales peuvent être inversées dans certains cas (voir les lemmes 09BU et 09BX). En général, ni la catégorie des faisceaux adiques constructibles, ni la catégorie des faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules ne sont stables par noyaux et conoyaux.

En effet, soit \(X\) un schéma affine dont l’espace topologique sous-jacent \(|X|\) est homéomorphe à \(\Lambda = \mathbf{Z}_\ell\); voir l’exemple 09BJ. Notons \(f : |X| \to \mathbf{Z}_\ell = \Lambda\) un homéomorphisme. Nous pouvons considérer \(f\) comme une section de \(\underline{\Lambda}^\wedge\) sur \(X\); la multiplication par \(f\) définit alors un complexe à deux termes \[\underline{\Lambda}^\wedge \xrightarrow{f} \underline{\Lambda}^\wedge\] sur \(X_\proetale\). Le faisceau \(\underline{\Lambda}^\wedge\) est lisse adique. Cependant, le conoyau du morphisme ci-dessus n’est pas adique constructible, car le type d’isomorphisme de ses fibres prend une infinité de valeurs : \(\mathbf{Z}/\ell^n\mathbf{Z}\) et \(\mathbf{Z}_\ell\). Le conoyau est un faisceau constructible de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules. Cependant, le noyau n’est même pas un faisceau constructible de \(\mathbf{Z}_\ell\)-modules, car il est nul sur un ouvert non quasi-compact, mais n’est pas nul.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\). Il existe alors une partition finie \(X = \coprod X_i\) en sous-schémas localement fermés tels que la restriction \(\mathcal{F}|_{X_i}\) soit lisse.

Démonstration

Posons \(R = \bigoplus I^n/I^{n + 1}\). Observons que \(R\) est un anneau noethérien. Puisque chacun des faisceaux \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) est un faisceau constructible de \(\Lambda/I^n\Lambda\)-modules, \(I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F}\) est également un faisceau constructible de \(\Lambda/I\)-modules, donc l’image inverse d’un faisceau constructible \(\mathcal{G}_n\) sur \(X_\etale\), d’après le lemme 09AK. Posons \(\mathcal{G} = \bigoplus \mathcal{G}_n\). C’est un faisceau de \(R\)-modules sur \(X_\etale\), et le morphisme \[\mathcal{G}_0 \otimes_{\Lambda/I} \underline{R} \longrightarrow \mathcal{G}\] est surjectif parce que les morphismes \[\mathcal{F}/I\mathcal{F} \otimes \underline{I^n/I^{n + 1}} \to I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F}\] sont surjectifs. Ainsi, \(\mathcal{G}\) est un faisceau constructible de \(R\)-modules d’après Cohomologie étale, proposition 09BH. Choisissons une partition \(X = \coprod X_i\) telle que \(\mathcal{G}|_{X_i}\) soit un faisceau localement constant de \(R\)-modules de type fini (Cohomologie étale, lemme 095E). Nous affirmons que cette partition possède la propriété de l’énoncé. En effet, en remplaçant \(X\) par \(X_i\), nous pouvons supposer que \(\mathcal{G}\) est localement constant. Il s’ensuit que chacun des faisceaux \(I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F}\) est localement constant. À l’aide des suites exactes courtes \[0 \to I^n\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \to 0\] et, par récurrence, du lemme de Modules sur les sites 093U on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine faiblement contractile. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien, soit \(I \subset \Lambda\) un idéal et soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\) tel que

1. \(\mathcal{F} = \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\),

2. \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) soit un faisceau constant de \(\Lambda/I^n\)-modules,

3. \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) soit de type fini.

Alors \(\mathcal{F} \cong \underline{M}^\wedge\), où \(M\) est un module de type fini sur \(\Lambda^\wedge\).

Démonstration

Choisissons un \(\Lambda/I^n\)-module \(M_n\) tel que \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F} \cong \underline{M_n}\). Puisque nous disposons des surjections \(\mathcal{F}/I^{n + 1}\mathcal{F} \to \mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\), nous concluons qu’il existe des surjections \(M_{n + 1} \to M_n\) induisant des isomorphismes \(M_{n + 1}/I^nM_{n + 1} \to M_n\). Fixons un choix de telles surjections et posons \(M = \lim M_n\). Alors \(M\), complet pour la topologie \(I\)-adique, est un \(\Lambda\)-module vérifiant \(M/I^nM = M_n\); voir le lemme Algèbre, 09B8. Puisque \(M_1\) est un \(\Lambda\)-module de type fini (Modules sur les sites, lemme 093N), nous voyons que \(M\) est un module de type fini sur \(\Lambda^\wedge\). Considérons les faisceaux \[\mathcal{I}_n = \mathit{Isom}(\underline{M_n}, \mathcal{F}/I^n\mathcal{F})\] sur \(X_\proetale\). Le passage au quotient par \(I^n\) définit un morphisme de transition \[\mathcal{I}_{n + 1} \longrightarrow \mathcal{I}_n\] D’après notre choix de \(M_n\), le faisceau \(\mathcal{I}_n\) est un torseur sous \[\mathit{Isom}(\underline{M_n}, \underline{M_n}) = \underline{\text{Isom}_\Lambda(M_n, M_n)}\] (Modules sur les sites, lemme 093T), puisque \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F}\) est localement isomorphe pour la topologie étale à \(\underline{M_n}\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 09BB, que le système de faisceaux \((\mathcal{I}_n)\) vérifie la condition de Mittag-Leffler. Pour tout \(n\), soit \(\mathcal{I}'_n \subset \mathcal{I}_n\) l’image de \(\mathcal{I}_N \to \mathcal{I}_n\) pour tout \(N \gg n\). Alors \[\ldots \to \mathcal{I}'_3 \to \mathcal{I}'_2 \to \mathcal{I}'_1 \to *\] est une suite de faisceaux d’ensembles sur \(X_\proetale\) dont les morphismes de transition sont surjectifs. Puisque \(*(X)\) est réduit à un élément (et donc non vide) et que l’évaluation en \(X\) transforme les morphismes surjectifs de faisceaux d’ensembles en surjections d’ensembles, nous pouvons choisir \(s \in \lim \mathcal{I}'_n(X)\). Ces sections définissent des isomorphismes \(\underline{M}^\wedge \to \lim \mathcal{F}/I^n\mathcal{F} = \mathcal{F}\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un schéma connexe. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau constructible lisse de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\), alors \(\mathcal{F}\) est lisse adique.

Démonstration

D’après le lemme 099Y, on a \(\mathcal{F}/I^n\mathcal{F} = \epsilon^{-1}\mathcal{G}_n\) pour un certain faisceau localement constant \(\mathcal{G}_n\) de \(\Lambda/I^n\)-modules. D’après le lemme de Cohomologie étale 09BF, il existe un module de type fini sur \(\Lambda/I^n\), noté \(M_n\), tel que \(\mathcal{G}_n\) soit localement isomorphe à \(\underline{M_n}\). Choisissons un recouvrement \(\{W_t \to X\}_{t \in T}\) où chaque \(W_t\) est affine et faiblement contractile. Alors \(\mathcal{F}|_{W_t}\) satisfait aux hypothèses du lemme 09BV, et donc \(\mathcal{F}|_{W_t} \cong \underline{N_t}^\wedge\) pour un module de type fini sur \(\Lambda^\wedge\), noté \(N_t\). Remarquons que \(N_t/I^nN_t \cong M_n\) pour tous \(t\) et \(n\). Ainsi, \(N_t \cong N_{t'}\) pour tous \(t, t' \in T\); voir le lemme de Compléments d’algèbre 09BC. Cela démontre que \(\mathcal{F}\) est lisse adique.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau constructible de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\). Alors \(\mathcal{F}\) est adique constructible.

Démonstration

C’est une conséquence des lemmes 09BU et 09BW, du fait qu’un schéma noethérien est localement connexe (Topologie, lemme 04MF), et des définitions.

Il sera utile d’identifier les faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules dans la catégorie des faisceaux de \(\Lambda\)-modules complets au sens dérivé. Il se trouve que l’analogue naïf de Compléments d’algèbre, lemme 09BA, est faux dans ce contexte. Cependant, voici l’analogue de Compléments d’algèbre, lemme 09B9.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\Lambda\)-modules sur \(X_\proetale\). Si \(\mathcal{F}\) est complet au sens dérivé et si \(\mathcal{F}/I\mathcal{F} = 0\), alors \(\mathcal{F} = 0\).

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) soit nul. Écrivons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Soit \(i < r\) le plus grand entier tel que \(\mathcal{G} = \mathcal{F}/(f_1, \ldots, f_i)\mathcal{F}\) soit non nul. Si un tel \(i\) n’existe pas, alors \(\mathcal{F} = 0\), ce que nous voulions montrer. Alors \(\mathcal{G}\) est complet au sens dérivé, comme conoyau d’un morphisme entre modules complets au sens dérivé; voir la proposition 099Q. D’après le choix de \(i\), le morphisme \(f_{i + 1} : \mathcal{G} \to \mathcal{G}\) est surjectif. Ainsi, \[\lim (\ldots \to \mathcal{G} \xrightarrow{f_{i + 1}} \mathcal{G} \xrightarrow{f_{i + 1}} \mathcal{G})\] est non nul, ce qui contredit le fait que \(\mathcal{G}\) soit complet au sens dérivé.

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine faiblement contractile. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\Lambda\)-modules complet au sens dérivé sur \(X_\proetale\), tel que \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) soit un faisceau localement constant de \(\Lambda/I\)-modules de type fini. Alors il existe un entier \(t\) et un morphisme surjectif \[(\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \to \mathcal{F}\]

Démonstration

Puisque \(X\) est faiblement contractile, il existe un recouvrement fini par des ouverts disjoints \(X = \coprod U_i\) tel que \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}|_{U_i}\) soit isomorphe au faisceau constant associé à un module de type fini sur \(\Lambda/I\) \(M_i\). Choisissons un nombre fini de générateurs \(m_{ij}\) de \(M_i\). Nous pouvons trouver des sections \(s_{ij} \in \mathcal{F}(X)\) dont les restrictions sont les \(m_{ij}\) considérés comme sections de \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) sur \(U_i\). Soit \(t\) le nombre total des \(s_{ij}\). Nous obtenons alors un morphisme \[\alpha : \underline{\Lambda}^{\oplus t} \longrightarrow \mathcal{F}\] qui est surjectif modulo \(I\) par construction. D’après le lemme 099M, la complétion dérivée de \(\underline{\Lambda}^{\oplus t}\) est le faisceau \((\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}\). Puisque \(\mathcal{F}\) est complet au sens dérivé, on voit que \(\alpha\) se factorise par un morphisme \[\alpha^\wedge : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \longrightarrow \mathcal{F}\] Alors \(\mathcal{Q} = \Coker(\alpha^\wedge)\) est un faisceau de \(\Lambda\)-modules complet au sens dérivé d’après la proposition 099Q. Par construction, \(\mathcal{Q}/I\mathcal{Q} = 0\). Il résulte du lemme 09BY que \(\mathcal{Q} = 0\), ce que nous voulions montrer.

Une catégorie dérivée appropriée

Soit \(X\) un schéma. Il s’avérera que, pour de nombreux schémas \(X\), on peut obtenir une catégorie dérivée appropriée de faisceaux \(\ell\)-adiques en considérant les objets \(K\) de \(D(X_\proetale, \Lambda)\) complets au sens dérivé tels que \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \mathbf{F}_\ell\) soit borné et possède des faisceaux de cohomologie constructibles. Voici la définition générale.

Définition

Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(X\) un schéma. Un objet \(K\) de \(D(X_\proetale, \Lambda)\) est dit constructible si

1. \(K\) est complet au sens dérivé relativement à \(I\),

2. \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) possède des faisceaux de cohomologie constructibles et a localement une dimension de Tor finie.

Nous notons \(D_{cons}(X, \Lambda)\) la sous-catégorie pleine formée des objets constructibles \(K\) de \(D(X_\proetale, \Lambda)\).

Rappelons qu’avec nos conventions, un complexe de dimension de Tor finie est borné (Cohomologie sur les sites, définition 08FZ). En fait, rassemblons dans un lemme tout ce que nous avons démontré jusqu’ici.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que \(K\) appartienne à \(D_{cons}(X, \Lambda)\) et que \(X\) soit quasi-compact. Posons \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\). Il existe \(a, b\) tels que

1. \(K = R\lim K_n\) et \(H^i(K) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\),

2. chaque \(K_n\) est d’amplitude de Tor dans \([a, b]\),

3. chaque \(K_n\) possède des faisceaux de cohomologie constructibles,

4. pour tout indice, \(K_n = \epsilon^{-1}L_n\) pour un certain \(L_n \in D_{ctf}(X_\etale, \Lambda/I^n)\) (Cohomologie étale, définition 03TQ).

Démonstration

Puisque \(K\) est complet au sens dérivé, nous avons \(K = R\lim K_n\) d’après le lemme 099M. Par définition de la finitude locale de la dimension de Tor, nous pouvons trouver \(a, b\) tels que \(K_1\) soit d’amplitude de Tor dans \([a, b]\). La partie (2) résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 0942. Ensuite, (1) résulte du fait que \(K\) est complet au sens dérivé, par la description des limites dans Cohomologie sur les sites, proposition 0947, et du fait que \(H^b(K_{n + 1}) \to H^b(K_n)\) est surjective, puisque \(K_n = K_{n + 1} \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n}\). La partie (3) résulte du lemme 09BR. La partie (4) résulte du lemme 09AL et du fait que \(L_n\) est de dimension de Tor finie parce que \(K_n\) l’est (nous omettons un court argument).

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine faiblement contractile. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(K\) un objet de \(D_{cons}(X, \Lambda)\) tel que les faisceaux de cohomologie de \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) soient localement constants. Alors il existe un recouvrement fini par des ouverts disjoints \(X = \coprod U_i\) et, pour chaque \(i\), une famille finie de modules projectifs de type fini sur \(\Lambda^\wedge\), notés \(M^a, \ldots, M^b\), telle que \(K|_{U_i}\) soit représenté par un complexe \[(\underline{M^a})^\wedge \to \ldots \to (\underline{M^b})^\wedge\] dans \(D(U_{i, \proetale}, \Lambda)\), pour certains morphismes de faisceaux de \(\Lambda\)-modules \((\underline{M^i})^\wedge \to (\underline{M^{i + 1}})^\wedge\).

Démonstration

Nous utilisons librement les résultats du lemme 09C2. Choisissons \(a, b\) comme dans ce lemme. Nous allons démontrer le lemme par récurrence sur \(b - a\). Posons \(\mathcal{F} = H^b(K)\). Remarquons que \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\Lambda\)-modules complet au sens dérivé, d’après la proposition 099Q. De plus, \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) est un faisceau localement constant de \(\Lambda/I\)-modules de type fini. Appliquons le lemme 09BZ pour obtenir une surjection \(\rho : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \to \mathcal{F}\).

Si \(a = b\), alors \(K = \mathcal{F}[-b]\). Dans ce cas, nous voyons que \[\mathcal{F} \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I} = \mathcal{F}/I\mathcal{F}\] Comme \(X\) est faiblement contractile et que \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) est localement constant, nous pouvons trouver une décomposition finie \(X = \coprod U_i\) en ouverts affines disjoints \(U_i\) et des \(\Lambda/I\)-modules \(\overline{M}_i\) tels que \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) se restreigne à \(\underline{\overline{M}_i}\) sur \(U_i\). Après avoir raffiné le recouvrement, nous pouvons supposer que le morphisme \[\rho|_{U_i} \bmod I : \underline{\Lambda/I}^{\oplus t} \longrightarrow \underline{\overline{M}_i}\] est égal à \(\underline{\alpha_i}\) pour un certain morphisme surjectif de modules \(\alpha_i : \Lambda/I^{\oplus t} \to \overline{M}_i\) ; voir Modules sur les sites, lemme 093S. Remarquons que chaque \(\overline{M}_i\) est un module de type fini sur \(\Lambda/I\). Puisque \(\mathcal{F}/I\mathcal{F}\) est d’amplitude de Tor dans \([0, 0]\), nous en concluons que \(\overline{M}_i\) est un \(\Lambda/I\)-module plat. Ainsi, \(\overline{M}_i\) est projectif de type fini (Algèbre, lemme 00NX). Nous pouvons donc trouver un projecteur \(\overline{p}_i : (\Lambda/I)^{\oplus t} \to (\Lambda/I)^{\oplus t}\) dont l’image est envoyée isomorphiquement sur \(\overline{M}_i\) par le morphisme \(\alpha_i\). Nous pouvons relever \(\overline{p}_i\) en un projecteur \(p_i : (\Lambda^\wedge)^{\oplus t} \to (\Lambda^\wedge)^{\oplus t}\)⁷. Alors \(M_i = \Im(p_i)\) est complet pour la topologie \(I\)-adique et de type fini comme \(\Lambda^\wedge\)-module ; de plus, \(M_i/IM_i = \overline{M}_i\). Sur \(U_i\), considérons les morphismes \[\underline{M_i}^\wedge \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t} \to \mathcal{F}|_{U_i}\] Par construction, leur composé induit un isomorphisme modulo \(I\). La source et le but sont complets au sens dérivé ; il en va donc de même du conoyau \(\mathcal{Q}\) et du noyau \(\mathcal{K}\). Nous avons \(\mathcal{Q}/I\mathcal{Q} = 0\) par construction ; ainsi, \(\mathcal{Q}\) est nul d’après le lemme 09BY. Alors \[0 \to \mathcal{K}/I\mathcal{K} \to \underline{\overline{M}_i} \to \mathcal{F}/I\mathcal{F} \to 0\] est exacte grâce à l’annulation de \(\text{Tor}_1\) rappelée au début de ce paragraphe. On utilise aussi l’expression \(\underline{\Lambda}^\wedge/I\overline{\Lambda}^\wedge\), ainsi que Modules sur les sites, lemme 093M, pour voir que \(\underline{M_i}^\wedge/I\underline{M_i}^\wedge = \underline{\overline{M}_i}\). Ainsi, \(\mathcal{K}/I\mathcal{K} = 0\) par construction, et nous concluons que \(\mathcal{K} = 0\) comme précédemment. Cela démontre le résultat lorsque \(a = b\).

Si \(b > a\), nous relevons le morphisme \(\rho\) en un morphisme \[\tilde \rho : (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b] \longrightarrow K\] dans \(D(X_\proetale, \Lambda)\). Cela est possible car nous pouvons considérer \(K\) comme un complexe de \(\underline{\Lambda}^\wedge\)-modules, d’après la discussion dans l’introduction de la section 099L, et parce que \(X_\proetale\) est faiblement contractile ; il n’y a donc aucune obstruction à relever les éléments \(\rho(e_s) \in H^0(X, \mathcal{F})\) en des éléments de \(H^b(X, K)\). En insérant \(\tilde \rho\) dans un triangle distingué \[(\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b] \to K \to L \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b + 1]\] nous voyons que \(L\) est un objet de \(D_{cons}(X, \Lambda)\) tel que \(L \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) soit d’amplitude de Tor contenue dans \([a, b - 1]\) (nous omettons les détails). Par récurrence, nous pouvons décrire \(L\) localement comme dans l’énoncé du lemme ; disons que \(L\) est isomorphe à \[(\underline{M^a})^\wedge \to \ldots \to (\underline{M^{b - 1}})^\wedge\] Le morphisme \(L \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}[-b + 1]\) correspond à un morphisme \((\underline{M^{b - 1}})^\wedge \to (\underline{\Lambda}^\wedge)^{\oplus t}\), qui nous permet de prolonger le complexe d’un terme. Le complexe correspondant est isomorphe à \(K\) dans la catégorie dérivée, par les propriétés des catégories triangulées. Cela achève la démonstration.

Motivés par ce qui se passe pour les faisceaux constructibles de \(\Lambda\)-modules, nous introduisons la notion suivante.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(K \in D(X_\proetale, \Lambda)\).

1. Nous disons que \(K\) est lisse adique⁸ s’il existe un complexe borné de modules projectifs de type fini sur \(\Lambda^\wedge\), noté \(M^\bullet\), tel que \(K\) soit localement isomorphe à \[\underline{M^a}^\wedge \to \ldots \to \underline{M^b}^\wedge\]

2. Nous disons que \(K\) est adique constructible⁹ si, pour tout ouvert affine \(U \subset X\), il existe une décomposition \(U = \coprod U_i\) en sous-schémas localement fermés constructibles telle que \(K|_{U_i}\) soit lisse adique.

La différence entre la structure locale obtenue dans le lemme 09C3 et la structure d’un complexe lisse adique tient à ce que les morphismes \(\underline{M^i}^\wedge \to \underline{M^{i + 1}}^\wedge\) du lemme 09C3 ne sont pas nécessairement constants, tandis que, dans la définition ci-dessus, ils doivent être constants.

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine faiblement contractile. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(K\) un objet de \(D_{cons}(X, \Lambda)\) tel que \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\) soit isomorphe dans \(D(X_\proetale, \Lambda/I^n)\) à un complexe de faisceaux constants de \(\Lambda/I^n\)-modules. Alors \[H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^n)\] satisfait à la condition de Mittag-Leffler.

Démonstration

Supposons que \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\) soit isomorphe à \(\underline{E_n}\) pour un objet \(E_n\) de \(D(\Lambda/I^n)\). Puisque \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I}\) a une dimension de Tor finie et possède des faisceaux de cohomologie de type fini, on voit que \(E_1\) est parfait (voir Compléments d’algèbre, lemme 0658). Les morphismes de transition \[K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^{n + 1}} \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\] proviennent localement de morphismes de complexes (éventuellement nombreux et distincts) \(E_{n + 1} \to E_n\) dans \(D(\Lambda/I^{n + 1})\) ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 09BE. Pour chaque \(n\), choisissons un tel morphisme et observons qu’il induit un isomorphisme \(E_{n + 1} \otimes_{\Lambda/I^{n + 1}}^\mathbf{L} \Lambda/I^n \to E_n\) dans \(D(\Lambda/I^n)\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 09AW il existe un complexe borné \(M^\bullet\) de modules projectifs de type fini sur \(\Lambda^\wedge\) et des isomorphismes \(M^\bullet/I^nM^\bullet \to E_n\) dans \(D(\Lambda/I^n)\) compatibles avec les morphismes de transition.

Observons maintenant que, pour toute famille finie d’indices \(n > m > k\), le triplet de morphismes \[H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^n) \to H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^m) \to H^0(X, K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^k)\] est isomorphe à \[H^0(X, \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}) \to H^0(X, \underline{M^\bullet/I^mM^\bullet}) \to H^0(X, \underline{M^\bullet/I^kM^\bullet})\] En effet, tout isomorphisme \[\underline{M^\bullet/I^nM^\bullet} \to K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \Lambda/I^n\] induit des isomorphismes analogues modulo \(I^m\) et \(I^k\); l’assertion est donc vraie. Ainsi, pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que le système \(H^0(X, \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet})\) vérifie la condition de Mittag-Leffler. Comme la prise des sections sur \(X\) est exacte, il suffit de montrer que le système de \(\Lambda\)-modules \[H^0(M^\bullet/I^nM^\bullet)\] vérifie la condition de Mittag-Leffler. Posons \(A = \Lambda^\wedge\) et considérons la suite spectrale \[\text{Tor}_{-p}^A(H^q(M^\bullet), A/I^nA) \Rightarrow H^{p + q}(M^\bullet/I^nM^\bullet)\] D’après Compléments d’algèbre, lemme 0911 les pro-systèmes \(\{\text{Tor}_{-p}^A(H^q(M^\bullet), A/I^nA)\}\) sont nuls pour \(p > 0\). Le pro-système \(\{H^0(M^\bullet/I^nM^\bullet)\}\) est donc égal au pro-système \(\{H^0(M^\bullet)/I^nH^0(M^\bullet)\}\) et le lemme est démontré.

Lemme

Soit \(X\) un schéma connexe. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Si \(K\) appartient à \(D_{cons}(X, \Lambda)\) et si \(K \otimes_\Lambda \underline{\Lambda/I}\) a des faisceaux de cohomologie localement constants, alors \(K\) est lisse adique (définition 09C4).

Démonstration

Posons \(K_n = K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\). Nous utiliserons les résultats du lemme 09C2 sans autre mention. D’après Cohomologie sur les sites, lemme 094I on voit que \(K_n\) a des faisceaux de cohomologie localement constants pour tout \(n\). On a \(K_n = \epsilon^{-1}L_n\) pour un certain \(L_n\) appartenant à \(D_{ctf}(X_\etale, \Lambda/I^n)\) à faisceaux de cohomologie localement constants. D’après Cohomologie étale, lemme 09BI il existe des complexes parfaits \(M_n \in D(\Lambda/I^n)\) tels que \(L_n\) soit localement isomorphe à \(\underline{M_n}\) pour la topologie étale. Les morphismes \(L_{n + 1} \to L_n\) correspondant à \(K_{n + 1} \to K_n\) induisent des isomorphismes \(L_{n + 1} \otimes_{\Lambda/I^{n + 1}}^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n} \to L_n\). En raisonnant localement sur \(X\), on conclut qu’il existe des morphismes \(M_{n + 1} \to M_n\) dans \(D(\Lambda/I^{n + 1})\) induisant des isomorphismes \(M_{n + 1} \otimes_{\Lambda/I^{n + 1}} \Lambda/I^n \to M_n\) ; voir Cohomologie sur les sites, lemme 09BE. Fixons un choix de tels morphismes. D’après Compléments d’algèbre, lemme 09AW il existe un complexe borné \(M^\bullet\) de modules projectifs de type fini sur \(\Lambda^\wedge\) et des isomorphismes \(M^\bullet/I^nM^\bullet \to M_n\) dans \(D(\Lambda/I^n)\) compatibles avec les morphismes de transition. Pour achever la démonstration, nous allons montrer que \(K\) est localement isomorphe à \[\underline{M^\bullet}^\wedge = \lim \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet} = R\lim \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}\] Soit \(E^\bullet\) le complexe dual de \(M^\bullet\) ; voir Compléments d’algèbre, lemme 07VI ainsi que sa démonstration. Considérons les objets \[H_n = R\SheafHom_{\Lambda/I^n}(\underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}, K_n) = \underline{E^\bullet/I^nE^\bullet} \otimes_{\Lambda/I^n}^\mathbf{L} K_n\] de \(D(X_\proetale, \Lambda/I^n)\). La réduction modulo \(I^n\) définit un morphisme de transition \(H_{n + 1} \to H_n\). Posons \(H = R\lim H_n\). Alors \(H\) est un objet de \(D_{cons}(X, \Lambda)\) (nous omettons les détails) tel que \(H \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n} = H_n\). Choisissons un recouvrement \(\{W_t \to X\}_{t \in T}\) où chaque \(W_t\) est affine et faiblement contractile. Le choix de \(M^\bullet\) montre que \[\begin{align*} H_n|_{W_t} & \cong R\SheafHom_{\Lambda/I^n}(\underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}, \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}) \\ & = \underline{ \text{Tot}(E^\bullet/I^nE^\bullet \otimes_{\Lambda/I^n} M^\bullet/I^nM^\bullet) } \end{align*}\] Nous pouvons donc appliquer le lemme 09C5 à \(H = R\lim H_n\). On conclut que le système \(H^0(W_t, H_n)\) vérifie la condition de Mittag-Leffler. Puisque, pour tout \(n \gg 1\), il existe un élément de \(H^0(W_t, H_n)\) dont l’image est un isomorphisme dans \[H^0(W_t, H_1) = \Hom(\underline{M^\bullet/IM^\bullet}, K_1)\] on obtient dans la limite inverse un élément \((\varphi_{t, n})\) qui fournit un isomorphisme modulo \(I\). Alors \[R\lim \varphi_{t, n} : \underline{M^\bullet}^\wedge|_{W_t} = R\lim \underline{M^\bullet/I^nM^\bullet}|_{W_t} \longrightarrow R\lim K_n|_{W_t} = K|_{W_t}\] est un isomorphisme. Cela achève la démonstration.

Proposition

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal. Soit \(K\) un objet de \(D_{cons}(X, \Lambda)\). Alors \(K\) est adique constructible (définition 09C4).

Démonstration

C’est une conséquence du lemme 09C6 ainsi que du fait qu’un schéma noethérien est localement connexe (Topologie, lemme 04MF), et des définitions.

Changement de base propre

Dans cette section, nous expliquons comment démontrer le théorème de changement de base propre pour les objets complets au sens dérivé sur le site pro-étale, à l’aide du théorème de changement de base propre en cohomologie étale, conformément au principe général selon lequel nous n’utilisons la topologie pro-étale que pour traiter les « problèmes de limite » et faisons appel aux résultats établis pour la topologie étale afin de traiter tout le reste.

Théorème

Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme propre de schémas et que \(g : Y' \to Y\) soit un morphisme de schémas donnant lieu au diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] Soit \(\Lambda\) un anneau noethérien et soit \(I \subset \Lambda\) un idéal tel que \(\Lambda/I\) soit de torsion. Soit \(K\) un objet de \(D(X_\proetale)\) tel que

1. \(K\) est complet au sens dérivé ;

2. \(K \otimes_\Lambda^\mathbf{L} \underline{\Lambda/I^n}\) est borné inférieurement, à faisceaux de cohomologie provenant de \(X_\etale\) ;

3. \(\Lambda/I^n\) est un \(\Lambda\)-module parfait¹⁰.

Alors le morphisme de changement de base \[Lg_{comp}^*Rf_*K \longrightarrow Rf'_*L(g')^*_{comp}K\] est un isomorphisme.

Démonstration

Nous omettons la construction du morphisme de changement de base (elle n’utilise que les propriétés formelles de l’image directe dérivée et de l’image inverse dérivée complétée ; comparer avec Cohomologie sur les sites, remarque 07A7). Posons \(K_n = K \otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n}\). D’après le lemme 099M, on a \(K = R\lim K_n\) parce que \(K\) est complet au sens dérivé. Les lemmes 099N et 099M permettent de réécrire le membre de gauche : \[Lg_{comp}^* Rf_* K = R\lim Lg^*(Rf_*K)\otimes^\mathbf{L}_\Lambda \underline{\Lambda/I^n} = R\lim Lg^* Rf_* K_n\] La dernière égalité résulte du fait que \(\Lambda/I^n\) est un module parfait et de la formule de projection (Cohomologie sur les sites, lemme 0944). Le lemme 099N permet de réécrire le membre de droite : \[Rf'_* L(g')^*_{comp} K = Rf'_* R\lim L(g')^* K_n = R\lim Rf'_* L(g')^* K_n\] La dernière égalité résulte du fait que \(Rf'_*\) commute à \(R\lim\) (Cohomologie sur les sites, lemme 0A07). Il suffit donc de montrer que les morphismes \[Lg^* Rf_* K_n \longrightarrow Rf'_* L(g')^* K_n\] sont des isomorphismes. D’après le lemme 09B1 et la deuxième condition, on peut écrire \(K_n = \epsilon^{-1}L_n\) pour un certain \(L_n \in D^+(X_\etale, \Lambda/I^n)\). D’après le lemme 09A6 et le fait que \(\epsilon^{-1}\) commute aux images inverses, on obtient \[Lg^* Rf_* K_n = Lg^* Rf_* \epsilon^*L_n = Lg^* \epsilon^{-1} Rf_* L_n = \epsilon^{-1} Lg^* Rf_* L_n\] et \[Rf'_* L(g')^* K_n = Rf'_* L(g')^* \epsilon^{-1} L_n = Rf'_* \epsilon^{-1} L(g')^* L_n = \epsilon^{-1} Rf'_* L(g')^* L_n\] (on utilise également ici que \(L_n\) est borné inférieurement). Enfin, d’après le théorème de changement de base propre en cohomologie étale (Cohomologie étale, théorème 095T), on a \[Lg^* Rf_* L_n = Rf'_* L(g')^* L_n\] (en utilisant de nouveau que \(L_n\) est borné inférieurement), ce qui démontre le théorème.

Changement d’univers partiel

Nous conseillons au lecteur de passer cette section : nous montrons ici que la cohomologie des faisceaux pour la topologie pro-étale est indépendante du choix de l’univers partiel. Plus précisément, le foncteur \(g_*\) du lemme 098Y ci-dessous est un plongement de petits topos pro-étales qui ne modifie pas la cohomologie. Pour les grands sites pro-étales, les lemmes 0F4S et 0F4T disent essentiellement la même chose.

Mais d’abord, comme promis dans la section 0988, démontrons que la topologie d’un grand site pro-étale \(\Sch_\proetale\) est, en un certain sens, induite par la topologie pro-étale sur la catégorie de tous les schémas.

Lemme

Soit \(\Sch_\proetale\) un grand site pro-étale comme dans la définition 098G. Soit \(T \in \Ob(\Sch_\proetale)\). Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement pro-étale quelconque de \(T\). Il existe un recouvrement \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\) de \(T\) dans le site \(\Sch_\proetale\) qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\).

Démonstration

Prenons d’abord un recouvrement \(\{V_k \to T\}\) comme dans le lemme 098I. Alors les recouvrements pro-étales \(\{T_i \times_T V_k \to V_k\}\) peuvent chacun être raffinés par un recouvrement fini par des ouverts disjoints \(V_k = V_{k, 1} \amalg \ldots \amalg V_{k, n_k}\), voir le lemme 098F. Alors \(\{V_{k, i} \to T\}\) constitue, dans \(\Sch_\proetale\), un recouvrement de l’objet considéré qui raffine \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\).

Énonçons et démontrons d’abord la comparaison pour les petits sites pro-étales. Notons que nous n’affirmons pas que le petit topos pro-étale d’un schéma soit indépendant du choix de l’univers partiel ; cela est faux, contrairement au cas du petit topos étale (Cohomologie étale, lemme 0958).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(S_\proetale \subset S_\proetale'\) deux petits sites pro-étales de \(S\) construits dans la définition 098K. Alors le foncteur d’inclusion vérifie les hypothèses de Sites, lemme 00XU. Il existe donc des morphismes de topos \[\xymatrix{ \Sh(S_\proetale) \ar[r]^g & \Sh(S_\proetale') \ar[r]^f & \Sh(S_\proetale) }\] dont la composée est isomorphe à l’identité et qui vérifient \(f_* = g^{-1}\). De plus,

1. pour \(\mathcal{F}' \in \textit{Ab}(S_\proetale')\), on a \(H^p(S_\proetale', \mathcal{F}') = H^p(S_\proetale, g^{-1}\mathcal{F}')\),

2. pour \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(S_\proetale)\), on a \[H^p(S_\proetale, \mathcal{F}) = H^p(S_\proetale', g_*\mathcal{F}) = H^p(S_\proetale', f^{-1}\mathcal{F}).\]

Démonstration

Le foncteur d’inclusion est pleinement fidèle et continu. Nous avons vu que \(S_\proetale\) et \(S_\proetale'\) admettent des produits fibrés et des objets finaux, et que notre foncteur commute à ces constructions (lemme 098M). Il résulte du lemme 098J que le foncteur d’inclusion est cocontinu. L’existence de \(f\) et \(g\) résulte donc de Sites, lemme 00XU. L’égalité de (1) résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 03YU. L’assertion (2) découle de (1), car \(\mathcal{F} = g^{-1}g_*\mathcal{F} = g^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\).

Nous démontrons ensuite un résultat analogue pour les grands topos pro-étales.

Lemme

Supposons donnés des grands sites \(\Sch_\proetale\) et \(\Sch'_\proetale\) comme dans la définition 098G. Supposons que \(\Sch_\proetale\) soit contenu dans \(\Sch'_\proetale\). Le foncteur d’inclusion \(\Sch_\proetale \to \Sch'_\proetale\) vérifie les hypothèses de Sites, lemme 00XU. Il existe des morphismes de topos \[\begin{eqnarray*} g : \Sh(\Sch_\proetale) & \longrightarrow & \Sh(\Sch'_\proetale) \\ f : \Sh(\Sch'_\proetale) & \longrightarrow & \Sh(\Sch_\proetale) \end{eqnarray*}\] tels que \(f \circ g \cong \text{id}\). Pour tout objet \(S\) de \(\Sch_\proetale\), le foncteur d’inclusion \((\Sch/S)_\proetale \to (\Sch'/S)_\proetale\) vérifie les hypothèses de Sites, lemme 00XU. On obtient donc de même des morphismes \[\begin{eqnarray*} g : \Sh((\Sch/S)_\proetale) & \longrightarrow & \Sh((\Sch'/S)_\proetale) \\ f : \Sh((\Sch'/S)_\proetale) & \longrightarrow & \Sh((\Sch/S)_\proetale) \end{eqnarray*}\] avec \(f \circ g \cong \text{id}\).

Démonstration

Les hypothèses (b), (c) et (e) du lemme de Sites 00XU sont immédiates pour les foncteurs \(\Sch_\proetale \to \Sch'_\proetale\) et \((\Sch/S)_\proetale \to (\Sch'/S)_\proetale\). La propriété (a) résulte du lemme 098J. La propriété (d) est satisfaite parce que les produits fibrés existent dans les catégories \(\Sch_\proetale\), \(\Sch'_\proetale\) et sont compatibles avec les produits fibrés dans la catégorie des schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \((\Sch/S)_\proetale\) et \((\Sch'/S)_\proetale\) deux grands sites pro-étales de \(S\) comme dans la définition 098K. Supposons que le premier soit contenu dans le second. Alors

1. pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}'\) défini sur \((\Sch'/S)_\proetale\) et tout objet \(U\) de \((\Sch/S)_\proetale\), on a \[H^p(U, \mathcal{F}'|_{(\Sch/S)_\proetale}) = H^p(U, \mathcal{F}')\] Autrement dit, la cohomologie de \(\mathcal{F}'\) sur \(U\) calculée dans le site le plus grand coïncide avec la cohomologie de la restriction de \(\mathcal{F}'\) au site le plus petit sur \(U\).

2. pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \((\Sch/S)_\proetale\), il existe un faisceau abélien \(\mathcal{F}'\) sur \((\Sch/S)_\proetale'\) dont la restriction à \((\Sch/S)_\proetale\) est isomorphe à \(\mathcal{F}\).

Démonstration

D’après le lemme 0F4S, le foncteur d’inclusion \((\Sch/S)_\proetale \to (\Sch'/S)_\proetale\) vérifie les hypothèses de Sites, lemme 00XU. Cela implique (2), tandis que (1) résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 03YU.