Catégories dérivées des schémas

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions les catégories dérivées de modules sur les schémas. La plupart des résultats présentés ici se trouvent dans [TT], [Bokstedt-Neeman], [BvdB] et [LN]. Il existe bien entendu de nombreuses autres références.

Conventions

Si \(\mathcal{A}\) est une catégorie abélienne et \(M\) un objet de \(\mathcal{A}\), nous notons aussi \(M\) l’objet de \(K(\mathcal{A})\) et/ou de \(D(\mathcal{A})\) correspondant au complexe qui vaut \(M\) en degré \(0\) et qui est nul en tout autre degré.

Pour un anneau \(A\), on note \(K(A)\) la catégorie homotopique des complexes de \(A\)-modules et \(D(A)\) la catégorie dérivée associée. De même, pour un espace annelé \((X, \mathcal{O}_X)\), le symbole \(K(\mathcal{O}_X)\) désigne la catégorie homotopique des complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules et \(D(\mathcal{O}_X)\) la catégorie dérivée associée.

Catégorie dérivée des modules quasi-cohérents

Dans cette section, nous étudions les rapports entre les modules quasi-cohérents et les modules quelconques sur un schéma \(X\). On pourra consulter [TT, appendice B]. D’après la discussion de Schémas, section 01LA, le plongement \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) fait de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) une sous-catégorie de Serre faible de la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules. Notons \[D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \subset D(\mathcal{O}_X)\] la sous-catégorie des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents ; voir Catégories dérivées, section 06UP. Nous obtenons ainsi un foncteur canonique [06VT]\[\begin{equation} D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \end{equation}\] voir Catégories dérivées, équation (06UR).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Alors \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) admet des sommes directes.

Démonstration

D’après Injectifs, lemme 07D9, la catégorie dérivée \(D(\mathcal{O}_X)\) admet des sommes directes, qui se calculent en prenant les sommes directes terme à terme de représentants quelconques. Il est donc clair que le faisceau de cohomologie d’une somme directe est la somme directe des faisceaux de cohomologie, puisque le foncteur somme directe est exact (dans toute catégorie abélienne de Grothendieck). Le lemme en résulte, car une somme directe de faisceaux quasi-cohérents est quasi-cohérente ; voir Schémas, section 01LA.

Nous aurons besoin de quelques résultats sur les limites dérivées. Signalons que, dans le lemme ci-dessous, la limite dérivée ne sera généralement pas un objet de \(D_\QCoh\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \((K_n)\) un système projectif dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), de limite dérivée \(K = R\lim K_n\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Supposons que \(H^q(K_{n + 1}) \to H^q(K_n)\) soit surjectif pour tous \(q \in \mathbf{Z}\) et \(n \geq 1\). Alors

\(H^q(K) = \lim H^q(K_n)\),

\(R\lim H^q(K_n) = \lim H^q(K_n)\), et

pour tout ouvert affine \(U \subset X\), on a \(H^p(U, \lim H^q(K_n)) = 0\) pour \(p > 0\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts affines de \(X\). Puisque \(H^q(K_n)\) est quasi-cohérent, on a \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\) pour \(U \in \mathcal{B}\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XB. De plus, les applications \(H^0(U, H^q(K_{n + 1})) \to H^0(U, H^q(K_n))\) sont surjectives pour \(U \in \mathcal{B}\) d’après Schémas, lemme 01IB. L’assertion (1) résulte de Cohomologie, lemme 0BKU, dont nous venons de vérifier les hypothèses. Les assertions (2) et (3) résultent de Cohomologie, lemme 0BKS.

Le lemme suivant nous aidera à « calculer » un foncteur dérivé à droite sur un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Alors le morphisme \(E \to R\lim \tau_{\geq -n}E\) de Catégories dérivées, remarque 0H72, est un isomorphisme¹.

Démonstration

Notons \(\mathcal{H}^i = H^i(E)\) le \(i\)-ième faisceau de cohomologie de \(E\). Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts affines de \(X\). Alors \(H^p(U, \mathcal{H}^i) = 0\) pour tous \(p > 0\), tous \(i \in \mathbf{Z}\) et tous \(U \in \mathcal{B}\) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XB. Le lemme résulte donc de Cohomologie, lemme 0D64.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Ab}\) un foncteur additif et \(N \geq 0\) un entier. Supposons que

\(F\) commute aux produits directs dénombrables,

\(R^pF(\mathcal{F}) = 0\) pour tout \(p \geq N\) et tout \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent.

Alors, pour \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\),

\(H^i(RF(\tau_{\leq a}E)) \to H^i(RF(E))\) est un isomorphisme pour \(i \leq a\),

\(H^i(RF(E)) \to H^i(RF(\tau_{\geq b - N + 1}E))\) est un isomorphisme pour \(i \geq b\),

si \(H^i(E) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\), où \(-\infty \leq a \leq b \leq \infty\), alors \(H^i(RF(E)) = 0\) pour \(i \not \in [a, b + N - 1]\).

Démonstration

L’assertion (1) est Catégories dérivées, lemme 05TC.

Démontrons l’assertion (2). Posons \(E_n = \tau_{\geq -n}E\). On a \(E = R\lim E_n\) ; voir le lemme 08D3. Par suite, \(RF(E) = R\lim RF(E_n)\) dans \(D(\textit{Ab})\) d’après Injectifs, lemme 08U1. Ainsi, pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), on a une suite exacte courte \[0 \to R^1\lim H^{i - 1}(RF(E_n)) \to H^i(RF(E)) \to \lim H^i(RF(E_n)) \to 0\] voir Compléments sur l’algèbre, remarque 08U5. Pour démontrer (2), nous montrerons que le terme de gauche est nul et que le terme de droite est égal à \(H^i(RF(E_{-b + N - 1}))\) pour tout \(b\) tel que \(i \geq b\).

Pour tout \(n\), on a un triangle distingué \[H^{-n}(E)[n] \to E_n \to E_{n - 1} \to H^{-n}(E)[n + 1]\] (Catégories dérivées, remarque 08J5) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Puisque \(H^{-n}(E)\) est quasi-cohérent, on a \[H^i(RF(H^{-n}(E)[n])) = R^{i + n}F(H^{-n}(E)) = 0\] pour \(i + n \geq N\) et \[H^i(RF(H^{-n}(E)[n + 1])) = R^{i + n + 1}F(H^{-n}(E)) = 0\] pour \(i + n + 1 \geq N\). On en déduit que \[H^i(RF(E_n)) \to H^i(RF(E_{n - 1}))\] est un isomorphisme pour \(n \geq N - i\). Les systèmes \(H^i(RF(E_n))\) vérifient donc tous la condition ML, et le terme en \(R^1\lim\) de notre suite exacte courte est nul (voir la discussion de Compléments sur l’algèbre, section 07KV). De plus, le système \(H^i(RF(E_n))\) est constant à partir de \(n = N - i - 1\), comme voulu.

Démontrons (3). Sous l’hypothèse faite sur \(E\), on a \(\tau_{\leq a - 1}E = 0\), et l’annulation de \(H^i(RF(E))\) pour \(i \leq a - 1\) résulte de (1). De même, on a \(\tau_{\geq b + 1}E = 0\), d’où l’annulation de \(H^i(RF(E))\) pour \(i \geq b + N\) d’après l’assertion (2).

Le lemme suivant joue un rôle essentiel dans nombre des résultats de ce chapitre.

Lemme

Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine. Tous les foncteurs du diagramme \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[rr]_{(\href{perfect.html#perfect-equation-compare}{06VT})} & & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[ld]^{R\Gamma(X, -)} \\ & D(A) \ar[lu]^{\widetilde{\ \ }} }\] sont des équivalences de catégories triangulées. De plus, pour \(E\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \(H^0(X, E) = H^0(X, H^0(E))\).

Démonstration

Le foncteur \(R\Gamma(X, -)\) donne un foncteur \(D(\mathcal{O}_X) \to D(A)\), donc, par restriction, un foncteur [06VU]\[\begin{equation} R\Gamma(X, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(A). \end{equation}\] Nous montrerons que ce foncteur est quasi-inverse de (06VT) moyennant l’équivalence entre les modules quasi-cohérents sur \(X\) et la catégorie des \(A\)-modules.

Précisons ce point. Notons \((Y, \mathcal{O}_Y)\) l’espace réduit à un point, muni du faisceau d’anneaux défini par \(A\). Notons \(\pi : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) le morphisme évident d’espaces annelés. Alors \(R\Gamma(X, -)\) s’identifie à \(R\pi_*\) et le foncteur (06VT), moyennant l’équivalence \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) = \text{Mod}_A = \QCoh(\mathcal{O}_X)\), s’identifie à \(L\pi^* = \pi^* = \widetilde{\ }\) (voir Modules, lemme 01BH et Schémas, lemmes 01I7 et 01IB). Ainsi les foncteurs \[\xymatrix{ D(A) \ar@<1ex>[r] & D(\mathcal{O}_X) \ar@<1ex>[l] }\] sont adjoints (d’après Cohomologie, lemme 079W). En particulier, on obtient des morphismes d’adjonction canoniques \[a : \widetilde{R\Gamma(X, E)} \longrightarrow E\] pour \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\), et \[b : M^\bullet \longrightarrow R\Gamma(X, \widetilde{M^\bullet})\] pour \(M^\bullet\) un complexe de \(A\)-modules.

Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). On peut appliquer le lemme 08D4 au foncteur \(F(-) = \Gamma(X, -)\) avec \(N = 1\), d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XB. Par suite, \[H^0(R\Gamma(X, E)) = H^0(R\Gamma(X, \tau_{\geq 0}E)) = \Gamma(X, H^0(E))\] (la dernière égalité résulte de la définition de la troncature canonique). Nous en déduirons que les morphismes d’adjonction \(a\) et \(b\) induisent des isomorphismes \(H^0(a)\) et \(H^0(b)\). Ainsi \(a\) et \(b\) sont des quasi-isomorphismes (puisque l’énoncé est invariant par décalage), ce qui démontre le lemme.

Dans les deux cas, on utilise l’exactitude du foncteur \(\widetilde{\ }\) (Schémas, lemme 01HV). Elle entraîne en effet que \[H^0\left(\widetilde{R\Gamma(X, E)}\right) = \widetilde{H^0(R\Gamma(X, E))} = \widetilde{\Gamma(X, H^0(E))}\] qui est égal à \(H^0(E)\), car \(H^0(E)\) est quasi-cohérent. Ainsi \(H^0(a)\) est un isomorphisme. Dans l’autre sens, on a \[H^0(R\Gamma(X, \widetilde{M^\bullet})) = \Gamma(X, H^0(\widetilde{M^\bullet})) = \Gamma(X, \widetilde{H^0(M^\bullet)}) = H^0(M^\bullet)\] ce qui prouve que \(H^0(b)\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine. Si \(K^\bullet\) est un complexe K-plat de \(A\)-modules, alors \(\widetilde{K^\bullet}\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 06Y1, \(K^\bullet \otimes_A A_\mathfrak p\) est un complexe K-plat de \(A_\mathfrak p\)-modules pour tout \(\mathfrak p \in \Spec(A)\). On déduit donc de Cohomologie, lemme 06YB (et de Schémas, lemme 01HV) que \(\widetilde{K^\bullet}\) est K-plat.

Lemme

Si \(f : X \to Y\) est un morphisme de schémas affines défini par le morphisme d’anneaux \(A \to B\), le diagramme \[\xymatrix{ D(B) \ar[d] \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(A) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] est commutatif.

Démonstration

Cela résulte du lemme 06Z0, compte tenu de l’égalité \(R\Gamma(Y, Rf_*K) = R\Gamma(X, K)\) donnée par Cohomologie, lemme 0D5W.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas.

Le foncteur \(Lf^*\) envoie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\).

Si \(X\) et \(Y\) sont affines et si \(f\) est défini par le morphisme d’anneaux \(A \to B\), le diagramme \[\xymatrix{ D(B) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \\ D(A) \ar[r] \ar[u]^{- \otimes_A^\mathbf{L} B} & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[u]_{Lf^*} }\] est commutatif.

Démonstration

Montrons d’abord que le diagramme \[\xymatrix{ D(B) \ar[r] & D(\mathcal{O}_Y) \\ D(A) \ar[r] \ar[u]^{- \otimes_A^\mathbf{L} B} & D(\mathcal{O}_X) \ar[u]_{Lf^*} }\] est commutatif. Cela résulte immédiatement du lemme 08DV et de la construction des foncteurs en question. Pour démontrer (1), soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour vérifier que \(Lf^*E\) a des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents, on peut travailler localement sur \(X\). Notons que \(Lf^*\) est compatible à la restriction aux sous-schémas ouverts. On peut donc supposer que \(f\) est un morphisme de schémas affines comme dans (2). Le lemme 06Z0 montre alors que \(E\) provient d’un complexe de \(A\)-modules. La commutativité du premier diagramme de la démonstration donne l’énoncé analogue pour \(Lf^*E\), d’où (1).

Lemme

Soit \(X\) un schéma.

Pour des objets \(K, L\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le produit tensoriel dérivé \(K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} L\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Si \(X = \Spec(A)\) est affine, on a \[\widetilde{M^\bullet} \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \widetilde{K^\bullet} = \widetilde{M^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} K^\bullet}\] pour tout couple de complexes de \(A\)-modules \(K^\bullet\), \(M^\bullet\).

Démonstration

L’égalité (2) résulte immédiatement du lemme 08DV et de la construction du produit tensoriel dérivé. Pour démontrer (1), soient \(K, L\) des objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour vérifier que \(K \otimes^\mathbf{L} L\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on peut travailler localement sur \(X\), donc supposer \(X = \Spec(A)\) affine. D’après le lemme 06Z0, on peut représenter \(K\) et \(L\) par des complexes de \(A\)-modules. L’assertion (2) donne alors le résultat.

Image directe totale

Le lemme suivant est l’analogue de Cohomologie des schémas, lemme 01XJ.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit quasi-séparé et quasi-compact.

Le foncteur \(Rf_*\) envoie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\).

Si \(S\) est quasi-compact, il existe un entier \(N = N(X, S, f)\) tel que, pour tout objet \(E\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) vérifiant \(H^m(E) = 0\) pour \(m > 0\), on ait \(H^m(Rf_*E) = 0\) pour \(m \geq N\).

Plus précisément, si \(S\) est quasi-compact, on peut trouver \(N = N(X, S, f)\) tel que, pour tout morphisme de schémas \(S' \to S\), la même conclusion vaille pour le foncteur \(R(f')_*\), où \(f' : X' \to S'\) est obtenu à partir de \(f\) par changement de base.

Démonstration

Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour démontrer (1), il faut montrer que \(Rf_*E\) a des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents. La question est locale sur \(S\) ; on peut donc supposer \(S\) quasi-compact. Choisissons \(N = N(X, S, f)\) comme dans Cohomologie des schémas, lemme 01XJ. Alors \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) et tout \(p \geq N\), et cela reste vrai après changement de base.

Supposons d’abord \(E\) borné inférieurement. Montrons que (1), (2) et (3) sont vérifiées pour un tel \(E\), avec le choix de \(N\) fait ci-dessus. Dans ce cas, on peut par exemple utiliser la suite spectrale \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E\] (Catégories dérivées, lemme 015J), la quasi-cohérence de \(R^pf_*H^q(E)\) et l’annulation de \(R^pf_*H^q(E)\) pour \(p \geq N\), pour obtenir (1), (2) et (3).

Démontrons ensuite (2) et (3). Supposons \(H^m(E) = 0\) pour \(m > 0\). Soit \(U \subset S\) un ouvert affine. D’après Cohomologie des schémas, lemme 01XK, et le choix de \(N\), on a \(H^p(f^{-1}(U), \mathcal{F}) = 0\) pour \(p \geq N\) et tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). On peut donc appliquer le lemme 08D4 au foncteur \(\Gamma(f^{-1}(U), -)\) pour voir que \[R\Gamma(U, Rf_*E) = R\Gamma(f^{-1}(U), E)\] a une cohomologie nulle en degrés \(\geq N\). Puisque cela vaut pour tout ouvert affine \(U \subset S\), on en déduit que \(H^m(Rf_*E) = 0\) pour \(m \geq N\).

Démontrons maintenant (1) dans le cas général. Rappelons qu’il existe un triangle distingué \[\tau_{\leq -n - 1}E \to E \to \tau_{\geq -n}E \to (\tau_{\leq -n - 1}E)[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\) ; voir Catégories dérivées, remarque 08J5. D’après (2), les faisceaux de cohomologie de \(Rf_*\tau_{\leq -n - 1}E\) sont nuls en degrés \(\geq -n + N\). Ainsi, étant donné un entier \(q\), on voit que \(R^qf_*E\) est égal à \(R^qf_*\tau_{\geq -n}E\) pour un certain \(n\), et le résultat ci-dessus s’applique.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-séparé et quasi-compact de schémas. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents dont chaque terme est acyclique à droite pour \(f_*\). Alors \(f_*\mathcal{F}^\bullet\) représente \(Rf_*\mathcal{F}^\bullet\) dans \(D(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

On dispose toujours d’un morphisme canonique \(f_*\mathcal{F}^\bullet \to Rf_*\mathcal{F}^\bullet\). Il s’agit de montrer qu’il induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie. L’énoncé étant invariant par décalage, il suffit de montrer que \(H^0(f_*(\mathcal{F}^\bullet)) \to R^0f_*\mathcal{F}^\bullet\) est un isomorphisme. L’énoncé est local sur \(S\) ; on peut donc supposer \(S\) affine. D’après le lemme 08D5, on a \(R^0f_*\mathcal{F}^\bullet = R^0f_*\tau_{\geq -n}\mathcal{F}^\bullet\) pour tout \(n\) assez grand. On peut donc supposer \(\mathcal{F}^\bullet\) borné inférieurement. Puisque chaque \(\mathcal{F}^n\) est acyclique à droite pour \(f_*\) par hypothèse, le morphisme \(f_*\mathcal{F}^\bullet \to Rf_*\mathcal{F}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme d’après le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-séparé et quasi-compact. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents dont chaque terme est acyclique à droite pour \(\Gamma(X, -)\). Alors \(\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\) représente \(R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\) dans \(D(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Appliquer le lemme 0G9N au morphisme canonique \(X \to \Spec(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\). Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-séparé et quasi-compact. Pour tout objet \(K\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), la suite spectrale \[E_2^{i, j} = H^i(X, H^j(K)) \Rightarrow H^{i + j}(X, K)\] de Cohomologie, exemple 0BKM, est bornée et converge.

Démonstration

La construction de la suite spectrale donnée dans Cohomologie, lemme 0BKK, à l’aide de la filtration définie par \(\tau_{\leq -p}K\), montre qu’il suffit de vérifier que, pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), on a \[H^n(X, \tau_{\leq -p}K) = 0 \text{ pour } p \gg 0\] et \[H^n(X, K) = H^n(X, \tau_{\leq -p}K) \text{ pour } p \ll 0\] La première assertion résulte du lemme 08D4 appliqué à \(F = \Gamma(X, -)\) et de la borne donnée dans Cohomologie des schémas, lemme 01XJ. La seconde est vérifiée dès que \(-p \leq n\), pour tout espace annelé \((X, \mathcal{O}_X)\) et tout \(K \in D(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-séparé et quasi-compact de schémas. Alors \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) commute aux sommes directes.

Démonstration

Soit \(E_i\) une famille d’objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), et posons \(E = \bigoplus E_i\). Nous voulons montrer que le morphisme \[\bigoplus Rf_*E_i \longrightarrow Rf_*E\] est un isomorphisme. Nous montrerons qu’il induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degré \(0\), ce qui entraînera le lemme. Pour cela, on peut travailler localement sur \(S\), ce qui permet de supposer \(S\) quasi-compact. Choisissons un entier \(N\) comme dans le lemme 08D5. Alors \(R^0f_*E = R^0f_*\tau_{\geq -N}E\) et \(R^0f_*E_i = R^0f_*\tau_{\geq -N}E_i\) d’après le lemme cité. Notons que \(\tau_{\geq -N}E = \bigoplus \tau_{\geq -N}E_i\). On peut donc supposer que tous les \(E_i\) ont des faisceaux de cohomologie nuls en degrés \(< -N\). Utilisons ensuite les suites spectrales \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E \quad\text{et}\quad R^pf_*H^q(E_i) \Rightarrow R^{p + q}f_*E_i\] (Catégories dérivées, lemme 015J) pour nous ramener au cas d’une somme directe de faisceaux quasi-cohérents. Ce cas est traité dans Cohomologie des schémas, lemme 07TB.

Morphismes affines

Dans cette section, nous réunissons quelques résultats sur l’image directe par un morphisme affine de schémas.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme affine de schémas. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Alors \(f_*\mathcal{F}^\bullet = Rf_*\mathcal{F}^\bullet\).

Démonstration

Combiner le lemme 0G9N et Cohomologie des schémas, lemme 01XC. On peut aussi travailler sur les ouverts affines de \(S\) et utiliser le lemme 0DJK.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme affine de schémas. Alors \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) est conservatif.

Démonstration

L’énoncé signifie qu’un morphisme \(\alpha : E \to F\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est un isomorphisme si \(Rf_*\alpha\) est un isomorphisme. On peut le vérifier sur les faisceaux de cohomologie. En particulier, la question est locale sur \(S\). On peut donc supposer \(S\) affine, et il en est alors de même de \(X\). Dans ce cas, l’énoncé résulte immédiatement de la description des catégories dérivées \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) donnée dans le lemme 06Z0. Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme affine de schémas. Pour \(E\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\), on a \(Rf_* Lf^* E = E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} f_*\mathcal{O}_X\).

Démonstration

Puisque \(f\) est affine, le morphisme \(f_*\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_X\) est un isomorphisme (Cohomologie des schémas, lemme 01XC). On dispose d’un morphisme canonique \(E \otimes^\mathbf{L} f_*\mathcal{O}_X = E \otimes^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_X \to Rf_* Lf^* E\) adjoint au morphisme \[Lf^*(E \otimes^\mathbf{L} Rf_*\mathcal{O}_X) = Lf^*E \otimes^\mathbf{L} Lf^*Rf_*\mathcal{O}_X \longrightarrow Lf^* E \otimes^\mathbf{L} \mathcal{O}_X = Lf^* E\] déduit de \(1 : Lf^*E \to Lf^*E\) et du morphisme canonique \(Lf^*Rf_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\). Pour vérifier que le morphisme ainsi construit est un isomorphisme, on peut travailler localement sur \(S\). On peut donc supposer \(S\) affine, et il en est alors de même de \(X\). Dans ce cas, l’énoncé résulte immédiatement de la description des catégories dérivées \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) et du foncteur \(Lf^*\) donnée dans les lemmes 06Z0 et 08DW. Nous omettons quelques détails.

Soit \(Y\) un schéma. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-algèbres. Nous noterons \(D_\QCoh(\mathcal{A})\) l’image réciproque de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) par le foncteur de restriction \(D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{O}_X)\). Autrement dit, \(K \in D(\mathcal{A})\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{A})\) si et seulement si ses faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents en tant que \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{A}\) est lui-même quasi-cohérent, cela revient à demander que les faisceaux de cohomologie soient quasi-cohérents en tant que \(\mathcal{A}\)-modules ; voir Morphismes, lemme 01SB.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine de schémas. Alors \(f_*\) induit une équivalence \[\Phi : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(f_*\mathcal{O}_X)\] dont le composé avec \(D_\QCoh(f_*\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\).

Démonstration

Rappelons que, pour calculer \(Rf_*\) sur un objet \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on choisit un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules représentant \(K\), et l’on prend \(f_*\mathcal{I}^\bullet\). On définit donc \(\Phi(K)\) comme le complexe \(f_*\mathcal{I}^\bullet\) considéré comme un complexe de \(f_*\mathcal{O}_X\)-modules. Notons \(g : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, f_*\mathcal{O}_X)\) le morphisme évident d’espaces annelés. Alors \(g\) est un morphisme plat d’espaces annelés (voir ci-dessous la description des fibres), et \(\Phi\) est la restriction de \(Rg_*\) à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Nous affirmons que \(Lg^*\) en est un quasi-inverse. Observons d’abord que \(Lg^*\) envoie \(D_\QCoh(f_*\mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), car \(g^*\) transforme les modules quasi-cohérents en modules quasi-cohérents (Modules, lemme 01BG). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que les morphismes d’adjonction \[Lg^*\Phi(K) = Lg^*Rg_*K \to K \quad\text{et}\quad M \to Rg_*Lg^*M = \Phi(Lg^*M)\] sont des isomorphismes pour \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(M \in D_\QCoh(f_*\mathcal{O}_X)\). La question étant locale, on peut supposer \(Y\) affine, et donc aussi \(X\).

Supposons \(Y = \Spec(B)\) et \(X = \Spec(A)\). Soit \(\mathfrak p = x \in \Spec(A) = X\) un point dont l’image est \(\mathfrak q = y \in \Spec(B) = Y\). Alors \((f_*\mathcal{O}_X)_y = A_\mathfrak q\) et \(\mathcal{O}_{X, x} = A_\mathfrak p\) ; le morphisme \(g\) est donc plat. Par suite, \(g^*\) est exact et \(H^i(Lg^*M) = g^*H^i(M)\) pour tout \(M\) dans \(D(f_*\mathcal{O}_X)\). Pour \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \[H^i(\Phi(K)) = H^i(Rf_*K) = f_*H^i(K)\] d’après l’annulation des images directes supérieures (Cohomologie des schémas, lemme 01XC) et le lemme 08D4 (un petit détail est omis). Il suffit donc de montrer que \[g^*g_*\mathcal{F} \to \mathcal{F} \quad\text{et}\quad \mathcal{G} \to g_*g^*\mathcal{G}\] sont des isomorphismes, où \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent et \(\mathcal{G}\) un \(f_*\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Cela résulte de Morphismes, lemme 01SB.

Cohomologie à support dans un sous-ensemble fermé

Nous développons, pour les schémas et les modules quasi-cohérents, les résultats de Cohomologie, sections 0A39 et 0G6Y.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Soit \(T \subset X\) une partie fermée. On dit que \(E\) est à support dans \(T\) si les faisceaux de cohomologie \(H^i(E)\) sont à support dans \(T\).

Reprenons une partie de la discussion de Cohomologie, section 0G6Y, dans la situation de la définition. Soit \(X\) un schéma. Soit \(T \subset X\) une partie fermée. La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules dont le support est contenu dans \(T\) est une sous-catégorie de Serre de la catégorie de tous les \(\mathcal{O}_X\)-modules ; voir Homologie, définition 02MO et Modules, lemme 01AU. On peut donc appliquer la discussion de Catégories dérivées, section 06UP, et l’on obtient une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D(\mathcal{O}_X)\), formée des objets à support dans \(T\) ; nous noterons cette catégorie \(D_T(\mathcal{O}_X)\) dans la suite.

Dans la situation de la définition 08DA, notons \(i : T \to X\) l’inclusion. Rappelons que, d’après Cohomologie, section 0G6Y, on dispose dans cette situation d’un foncteur \(R\mathcal{H}_T : D(\mathcal{O}_X) \to D(i^{-1}\mathcal{O}_X)\) adjoint à droite de \(i_* : D(i^{-1}\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(T \subset X\) une partie fermée telle que \(X \setminus T\) soit un ouvert rétrocompact de \(X\). Soit \(i : T \to X\) l’inclusion.

Pour \(E\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \(i_*R\mathcal{H}_T(E)\) dans \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\).

Le foncteur \(i_* \circ R\mathcal{H}_T : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) est adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Posons \(U = X \setminus T\) et notons \(j : U \to X\) l’inclusion. D’après Cohomologie, lemme 0G72, il existe un triangle distingué \[i_*R\mathcal{H}_T(E) \to E \to Rj_*(E|_U) \to i_*R\mathcal{H}_Z(E)[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 08D5, le complexe \(Rj_*(E|_U)\) a des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents (c’est ici que l’on utilise la rétrocompacité de \(U\) dans \(X\)). On obtient ainsi (1). L’assertion (2) en résulte, compte tenu de l’adjonction des foncteurs donnée dans Cohomologie, lemme 0AEF.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(T \subset X\) une partie fermée telle que \(X \setminus T\) soit un ouvert rétrocompact de \(X\). Alors, pour une famille d’objets \(E_i\), \(i \in I\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \(R\mathcal{H}_T(\bigoplus E_i) = \bigoplus R\mathcal{H}_T(E_i)\).

Démonstration

Posons \(U = X \setminus T\) et notons \(j : U \to X\) l’inclusion. D’après Cohomologie, lemme 0G72, il existe un triangle distingué \[i_*R\mathcal{H}_T(E) \to E \to Rj_*(E|_U) \to i_*R\mathcal{H}_Z(E)[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\) pour tout \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Le foncteur \(E \mapsto Rj_*(E|_U)\) commute aux sommes directes sur \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 08DZ. Il en résulte qu’il en est de même du foncteur \(i_* \circ R\mathcal{H}_T\) (nous omettons les détails). Puisque \(i_* : D(i^{-1}\mathcal{O}_X) \to D_T(\mathcal{O}_X)\) est une équivalence (Cohomologie, lemme 0AEF), on conclut.

Remarque

Soit \(X\) un schéma. Soient \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Notons \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé défini par \(f_1, \ldots, f_c\). Pour \(0 \leq p < c\) et \(1 \leq i_0 < \ldots < i_p \leq c\), on note \(U_{i_0 \ldots i_p} \subset X\) le sous-schéma ouvert sur lequel \(f_{i_0} \ldots f_{i_p}\) est inversible. Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\), on pose \[\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p} = (U_{i_0 \ldots i_p} \to X)_*(\mathcal{F}|_{U_{i_0 \ldots i_p}})\] Dans cette situation, le complexe de Čech alterné augmenté est le complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules [0G7J]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{F} \to \bigoplus\nolimits_{i_0} \mathcal{F}_{i_0} \to \ldots \to \bigoplus\nolimits_{i_0 < \ldots < i_p} \mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p} \to \ldots \to \mathcal{F}_{1 \ldots c} \to 0 \end{equation}\] où \(\mathcal{F}\) est placé en degré \(0\). Les morphismes se construisent comme suit. Étant donnés \(1 \leq i_0 < \ldots < i_{p + 1} \leq c\) et \(0 \leq j \leq p + 1\), on dispose du morphisme canonique \[\mathcal{F}_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} \to \mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\] provenant de l’inclusion \(U_{i_0 \ldots i_p} \subset U_{i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}}\). Les différentielles du complexe alterné augmenté sont définies à l’aide de ces morphismes canoniques, affectés du signe \((-1)^j\).

Lemme

Avec \(X\), \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(\mathcal{F}\) comme dans la remarque 0G7I, la restriction du complexe (0G7J) à \(X \setminus Z\) est acyclique.

Signalons que ce lemme vaut plus généralement pour tout complexe de Čech alterné augmenté défini comme dans la remarque 0G7I à partir d’un recouvrement ouvert fini \(X \setminus Z = U_1 \cup \ldots \cup U_c\).

Démonstration

Soit \(W \subset X \setminus Z\) un ouvert. En évaluant le complexe de faisceaux (0G7J) sur \(W\), on obtient le complexe \[\mathcal{F}(W) \to \bigoplus\nolimits_{i_0} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap W) \to \bigoplus\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{F}(U_{i_0i_1} \cap W) \to \ldots\] Autrement dit, on obtient le complexe de Čech ordonné augmenté associé au recouvrement \(W = \bigcup U_i \cap W\) et à l’ordre usuel sur \(\{1, \ldots, c\}\) ; voir Cohomologie, section 01FG. D’après Cohomologie, lemme 0G6T, ce complexe est homotope à zéro dès que \(W\) est contenu dans \(V(f_i)\) pour un certain \(1 \leq i \leq c\). Cela achève la démonstration.

Remarque

Soient \(X\), \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(\mathcal{F}\) comme dans la remarque 0G7I. Notons \(\mathcal{F}^\bullet\) le complexe (0G7J). D’après le lemme 0G7K, les faisceaux de cohomologie de \(\mathcal{F}^\bullet\) sont à support dans \(Z\) ; par suite, \(\mathcal{F}^\bullet\) est un objet de \(D_Z(\mathcal{O}_X)\). D’autre part, l’égalité \(\mathcal{F}^0 = \mathcal{F}\) définit un morphisme canonique \(\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{F}\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Puisque \(i_* \circ R\mathcal{H}_Z\) est adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(D_Z(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\), voir Cohomologie, lemme 0AEF, on obtient un diagramme commutatif canonique \[\xymatrix{ \mathcal{F}^\bullet \ar[rd] \ar[rr] & & \mathcal{F} \\ & i_*R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F}) \ar[ru] }\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\), fonctoriel par rapport au \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\).

Lemme

Soient \(X\), \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(\mathcal{F}\) comme dans la remarque 0G7I. Si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, le complexe (0G7J) représente \(i_* R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) dans \(D_Z(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Notons \(\mathcal{F}^\bullet\) le complexe (0G7J). L’énoncé du lemme signifie que le morphisme \(\mathcal{F}^\bullet \to i_*R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) de la remarque 0G7L est un isomorphisme. Puisque \(\mathcal{F}^\bullet\) appartient à \(D_Z(\mathcal{O}_X)\) (voir la remarque citée), on a \(i_*R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F}^\bullet) = \mathcal{F}^\bullet\) d’après Cohomologie, lemme 0AEF. Le morphisme \(U_{i_0 \ldots i_p} \to X\) est affine, car il est donné, au-dessus des ouverts affines de \(X\), par inversion de la fonction \(f_{i_0} \ldots f_{i_p}\). On a donc \[\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p} = (U_{i_0 \ldots i_p} \to X)_*\mathcal{F}|_{U_{i_0 \ldots i_p}} = R(U_{i_0 \ldots i_p} \to X)_*\mathcal{F}|_{U_{i_0 \ldots i_p}}\] d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XC, et l’hypothèse de quasi-cohérence de \(\mathcal{F}\). On en déduit que \(R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}) = 0\) d’après Cohomologie, lemme 0G73. Ainsi \(i_*R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F}^p) = 0\) pour \(p > 0\). En réunissant ces résultats, on obtient \[\mathcal{F}^\bullet = i_*R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F}^\bullet) = i_*R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\] comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(T \subset X\) une partie fermée qui peut être définie localement par au plus \(c\) éléments du faisceau structural. Alors \(\mathcal{H}^i_Z(\mathcal{F}) = 0\) pour \(i > c\) et tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la description locale de \(R\mathcal{H}_T(\mathcal{F})\) donnée dans le lemme 0G7M.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(Z \subset X\) une partie fermée qui peut être définie localement par une suite régulière au sens de Koszul ayant \(c\) éléments. Alors \(\mathcal{H}^i_Z(\mathcal{F}) = 0\) pour \(i \not = c\) et tout \(\mathcal{O}_X\)-module plat et quasi-cohérent \(\mathcal{F}\).

Démonstration

D’après la description de \(R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) donnée dans le lemme 0G7M, on se ramène à l’énoncé algébrique suivant : étant donnés un anneau \(R\), une suite régulière au sens de Koszul \(f_1, \ldots, f_c \in R\) et un \(R\)-module plat \(M\), le complexe de Čech alterné augmenté \(M \to \bigoplus\nolimits_{i_0} M_{f_{i_0}} \to \bigoplus\nolimits_{i_0 < i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to M_{f_1 \ldots f_c}\) de Compléments sur l’algèbre, section 0G6F, n’a de cohomologie qu’en degré \(c\). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0G6L, on obtient l’annulation voulue pour le complexe de Čech alterné augmenté de \(R\). Puisque le complexe associé à \(M\) s’obtient en tensorisant celui-ci par le \(R\)-module plat \(M\) (Compléments sur l’algèbre, lemme 0G6H), on conclut.

Remarque

Soient \(X\), \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(\mathcal{F}\) comme dans la remarque 0G7I. Il existe un morphisme \(\mathcal{O}_X|_Z\)-linéaire canonique \[c_{f_1, \ldots, f_c} : i^*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{H}^c_Z(\mathcal{F})\] fonctoriel en \(\mathcal{F}\). En effet, si l’on note \(\mathcal{F}^\bullet\) le complexe de Čech alterné augmenté (0G7J), on dispose du morphisme canonique \(\mathcal{F}^\bullet \to i_*R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\) de la remarque 0G7L. Il définit un morphisme canonique \[\Coker\left(\bigoplus \mathcal{F}_{1 \ldots \hat i \ldots c} \to \mathcal{F}_{1 \ldots c}\right) \longrightarrow i_*\mathcal{H}^c_Z(\mathcal{F})\] sur les faisceaux de cohomologie en degré \(c\). Étant donnée une section locale \(s\) de \(\mathcal{F}\), on peut considérer la section locale \[\frac{s}{f_1 \ldots f_c}\] de \(\mathcal{F}_{1 \ldots c}\). La classe de cette section dans le conoyau ci-dessus ne dépend que de \(s\) modulo l’image de \((f_1, \ldots, f_c) : \mathcal{F}^{\oplus c} \to \mathcal{F}\). Puisque \(i_*i^*\mathcal{F}\) est égal au conoyau de \((f_1, \ldots, f_c) : \mathcal{F}^{\oplus c} \to \mathcal{F}\), on obtient un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(i_*i^*\mathcal{F} \to i_*\mathcal{H}_Z^c(\mathcal{F})\). La pleine fidélité de \(i_*\) fournit alors le morphisme \(c_{f_1, \ldots, f_c}\).

Exemple

Soient \(X = \Spec(A)\) affine, \(f_1, \ldots, f_c \in A\) et \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) pour un \(A\)-module \(M\). Le morphisme \(c_{f_1, \ldots, f_c}\) de la remarque 0G7Q se décrit comme le morphisme \[M/(f_1, \ldots, f_c)M \longrightarrow \Coker\left( \bigoplus M_{f_1 \ldots \hat f_i \ldots f_c} \to M_{f_1 \ldots f_c} \right)\] qui envoie la classe de \(s \in M\) sur la classe de \(s/f_1 \ldots f_c\) dans le conoyau.

Lemme

Soient \(X\), \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(\mathcal{F}\) comme dans la remarque 0G7I. Soient \(a_{ji} \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) pour \(1 \leq i, j \leq c\), et posons \(g_j = \sum_{i = 1, \ldots, c} a_{ji}f_i\). Supposons que \(g_1, \ldots, g_c\) définissent \(Z\) comme sous-schéma. Si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, on a \[c_{f_1, \ldots, f_c} = \det(a_{ji}) c_{g_1, \ldots, g_c}\] où \(c_{f_1, \ldots, f_c}\) et \(c_{g_1, \ldots, g_c}\) sont définis dans la remarque 0G7Q.

Démonstration

Nous montrerons que \(c_{f_1, \ldots, f_c}(s) = \det(a_{ij}) c_{g_1, \ldots, g_c}(s)\) en tant que sections globales de \(\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\), pour tout \(s \in \mathcal{F}(X)\). Cela suffit, car on obtient alors le même résultat pour les sections sur tout sous-schéma ouvert de \(X\). Pour cela, pour \(1 \leq i_0 < \ldots < i_p \leq c\) et \(1 \leq j_0 < \ldots < j_q \leq c\), notons \(U_{i_0 \ldots i_p} \subset X\), \(V_{j_0 \ldots j_q} \subset X\) et \(W_{i_0 \ldots i_p, j_0 \ldots j_q} \subset X\) les sous-schémas ouverts où, respectivement, \(f_{i_0} \ldots f_{i_p}\) est inversible, \(g_{j_0} \ldots g_{j_q}\) est inversible, et \(f_{i_0} \ldots f_{i_p}g_{j_0} \ldots g_{j_q}\) est inversible. On note \(\mathcal{F}_{i_0 \ldots i_p}\), resp. \(\mathcal{F}'_{j_0 \ldots j_q}\), \(\mathcal{F}''_{i_0 \ldots i_p, j_0 \ldots j_q}\) l’image directe sur \(X\) de la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_{i_0 \ldots i_p}\), resp. \(V_{j_0 \ldots j_q}\), resp. \(W_{i_0 \ldots i_p, j_0 \ldots j_q}\). On obtient alors trois complexes de Čech alternés augmentés \[\mathcal{F}^\bullet : \mathcal{F} \to \bigoplus\nolimits_{i_0} \mathcal{F}_{i_0} \to \bigoplus\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{F}_{i_0i_1} \to \ldots\] et \[(\mathcal{F}')^\bullet : \mathcal{F} \to \bigoplus\nolimits_{j_0} \mathcal{F}'_{j_0} \to \bigoplus\nolimits_{j_0 < j_1} \mathcal{F}'_{j_0j_1} \to \ldots\] et \[(\mathcal{F}'')^\bullet : \mathcal{F} \to \bigoplus\nolimits_{i_0} \mathcal{F}_{i_0} \oplus \bigoplus\nolimits_{j_0} \mathcal{F}'_{j_0} \to \bigoplus\nolimits_{i_0 < i_1} \mathcal{F}_{i_0i_1} \oplus \bigoplus\nolimits_{i_0, j_0} \mathcal{F}''_{i_0, j_0} \oplus \bigoplus\nolimits_{j_0 < j_1} \mathcal{F}'_{j_0j_1} \to \ldots\] dont les différentielles sont celles qui interviennent dans la définition de (0G7J). On dispose de morphismes de complexes \[(\mathcal{F}'')^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet \quad\text{et}\quad (\mathcal{F}'')^\bullet \to (\mathcal{F}')^\bullet\] donnés terme à terme par les projections (et induisant donc l’identité en degré \(0\)). Notons que, d’après le lemme 0G7M, chacun de ces complexes représente \(i_*R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F})\), et ces morphismes représentent l’identité de cet objet. Il suffit donc de trouver un élément \[\sigma \in H^c((\mathcal{F}'')^\bullet(X))\] dont les images par ces deux morphismes soient \(c_{f_1, \ldots, f_c}(s)\) et \(\det(a_{ji})c_{g_1, \ldots, g_c}(s)\). On peut en fait donner explicitement un cocycle représentant \(\sigma\). On prend \[\sigma_{1 \ldots c} = \frac{s}{f_1 \ldots f_c} \in \mathcal{F}_{1 \ldots c}(X) \quad\text{et}\quad \sigma'_{1 \ldots c} = \frac{\det(a_{ji})s}{g_1 \ldots g_c} \in \mathcal{F}'_{1 \ldots c}(X)\] et l’on prend \[\sigma_{i_0 \ldots i_p, j_0 \ldots j_{c - p - 2}} = \frac{\lambda(i_0 \ldots i_p, j_0 \ldots j_{c - p - 2})s} {f_{i_0} \ldots f_{i_p}g_{j_0} \ldots g_{j_{c - p - 2}}} \in \mathcal{F}''_{i_0 \ldots i_p, j_0 \ldots j_{c - p - 2}}(X)\] où \(\lambda(i_0 \ldots i_p, j_0 \ldots j_{c - p - 2})\) est le coefficient de \(e_1 \wedge \ldots \wedge e_c\) dans l’expression formelle \[e_{i_0} \wedge \ldots \wedge e_{i_p} \wedge (a_{j_01} e_1 + \ldots + a_{j_0c}e_c) \wedge \ldots \wedge (a_{j_{c - p - 2}1} e_1 + \ldots + a_{j_{c - p - 2}c}e_c)\] Pour vérifier que \(\sigma\) est un cocycle, il faut montrer que, pour \(1 \leq i_0 < \ldots < i_p \leq c\) et \(1 \leq j_0 < \ldots < j_{c - p - 1} \leq c\), on a \[\begin{align*} 0 & = \sum\nolimits_{a = 0, \ldots, p} (-1)^a f_{i_a} \lambda(i_0 \ldots \hat i_a \ldots i_p, j_0 \ldots j_{c - p - 1}) \\ & + \sum\nolimits_{b = 0, \ldots, c - p - 1} (-1)^{p + b + 1}g_{j_b} \lambda(i_0 \ldots i_p, j_0 \ldots \hat j_b \ldots j_{c - p - 1}) \end{align*}\] Le plus simple est peut-être d’observer que l’expression formelle \[\xi = e_{i_0} \wedge \ldots \wedge e_{i_p} \wedge (a_{j_01} e_1 + \ldots + a_{j_0c}e_c) \wedge \ldots \wedge (a_{j_{c - p - 1}1} e_1 + \ldots + a_{j_{c - p - 1}c}e_c)\] est égale à \(0\), puisqu’elle appartient à la \((c + 1)\)-ième puissance extérieure du module libre de base \(e_1, \ldots, e_c\), et que l’expression ci-dessus est l’image de \(\xi\) par la différentielle de Koszul qui envoie \(e_i \to f_i\). Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(Z \to X\) une immersion fermée de présentation finie dont le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{Z/X}\) est localement libre de rang \(c\). Il existe alors un morphisme canonique \[c : \wedge^c(\mathcal{C}_{Z/X})^\vee \otimes_{\mathcal{O}_Z} i^*\mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{H}_Z^c(\mathcal{F})\] fonctoriel par rapport au module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Cela résulte de la construction de la remarque 0G7Q et de l’indépendance du choix des générateurs du faisceau d’idéaux établie dans le lemme 0G7S. Nous omettons quelques détails.

Remarque

Soit \(g : X' \to X\) un morphisme de schémas. Soient \(f_1, \ldots, f_c \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Posons \(f'_i = g^\sharp(f_i) \in \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\). Notons \(Z \subset X\), resp. \(Z' \subset X'\), le sous-schéma fermé défini par \(f_1, \ldots, f_c\), resp. \(f'_1, \ldots, f'_c\). Alors \(Z' = Z \times_X X'\). Notons \(h : Z' \to Z\) le morphisme de schémas induit. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Posons \(\mathcal{F}' = g^*\mathcal{F}\). Dans cette situation, si \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, le diagramme \[\xymatrix{ (i')^{-1}\mathcal{O}_{X'} \otimes_{h^{-1}i^{-1}\mathcal{O}_X} h^{-1}\mathcal{H}^c_Z(\mathcal{F}) \ar[r] & \mathcal{H}_{Z'}^c(\mathcal{F}') \\ h^*i^*\mathcal{F} \ar[r] \ar[u]_-{c_{f_1, \ldots, f_c}} & (i')^*\mathcal{F}' \ar[u]^-{c_{f'_1, \ldots, f'_c}} }\] est commutatif ; la flèche horizontale supérieure est le morphisme de Cohomologie, remarque 0G78, sur les faisceaux de cohomologie en degré \(c\). En effet, notons \(\mathcal{F}^\bullet\), resp. \((\mathcal{F}')^\bullet\), le complexe de Čech alterné augmenté construit dans la remarque 0G7I à l’aide de \(\mathcal{F}, f_1, \ldots, f_c\), resp. \(\mathcal{F}', f'_1, \ldots, f'_c\). Notons que \((\mathcal{F}')^\bullet = g^*\mathcal{F}^\bullet\). Alors, sans supposer \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent, le diagramme \[\xymatrix{ i'_* L(g|_{Z'})^* R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F}) \ar[r] \ar@{=}[d] & i'_*R\mathcal{H}_{Z'}(Lg^*\mathcal{F}) \ar[d] \\ Lg^*i_*R\mathcal{H}_Z(\mathcal{F}) & i'_*R\mathcal{H}_{Z'}(\mathcal{F}') \\ Lg^*(\mathcal{F}^\bullet) \ar[u] \ar[r] & (\mathcal{F}')^\bullet \ar[u] }\] est commutatif, où \(g|_{Z'} : (Z', (i')^{-1}\mathcal{O}_{X'}) \to (Z, i^{-1}\mathcal{O}_X)\) est le morphisme induit d’espaces annelés. La flèche horizontale supérieure est donnée dans Cohomologie, remarque 0G78, qui explique aussi le signe d’égalité. Les flèches ascendantes proviennent de la remarque 0G7L. La flèche horizontale inférieure est le morphisme \(Lg^*\mathcal{F}^\bullet \to g^*\mathcal{F}^\bullet = (\mathcal{F}')^\bullet\), et la flèche descendante est induite par \(Lg^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{F} = \mathcal{F}'\). Le diagramme est commutatif, car les deux parcours donnent deux flèches \(Lg^*\mathcal{F}^\bullet \to i'_*R\mathcal{H}_{Z'}(\mathcal{F}')\) dont le composé avec \(i'_*R\mathcal{H}_{Z'}(\mathcal{F}') \to \mathcal{F}'\) est le morphisme canonique \(Lg^*\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{F}'\). Nous omettons quelques détails. La commutativité du premier diagramme s’obtient alors en passant aux faisceaux de cohomologie en degré \(c\) dans ce diagramme et en utilisant la compatibilité à l’image réciproque de la construction du morphisme \(i^*\mathcal{F} \to \Coker(\bigoplus \mathcal{F}_{1 \ldots \hat i \ldots c} \to \mathcal{F}_{1 \ldots c})\) employée dans la remarque 0G7Q.

Le cohérateur

Soit \(X\) un schéma. Le cohérateur est un foncteur \[Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_X)\] adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Il existe pour tout schéma \(X\) ; de plus, le morphisme d’adjonction \(Q_X(\mathcal{F}) \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme pour tout module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) ; voir Propriétés, proposition 077P. Puisque \(Q_X\) est exact à gauche (comme adjoint à droite), on peut considérer son foncteur dérivé à droite \[RQ_X : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\QCoh(\mathcal{O}_X)).\] Puisque \(Q_X\) est adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), le foncteur \(RQ_X\) est adjoint à droite du foncteur canonique \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\) d’après Catégories dérivées, lemme 09T5.

Dans cette section, nous étudierons le foncteur \(RQ_X\). Dans la section 0CQZ, nous étudierons l’adjoint à droite, étroitement lié au précédent, du foncteur d’inclusion \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\) (lorsqu’il existe).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine de schémas. Alors \(f_*\) définit un foncteur dérivé \(f_* : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\). Ce foncteur rend le diagramme \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_{f_*} \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] commutatif.

Démonstration

Le foncteur \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est exact ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XC. Par suite, \(f_*\) définit un foncteur dérivé \(f_* : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) en appliquant simplement \(f_*\) à un complexe représentant quelconque ; voir Catégories dérivées, lemme 015F. Le diagramme est commutatif d’après le lemme 0G9R.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons \(f\) quasi-compact, quasi-séparé et plat. Alors, en notant \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\] le foncteur dérivé à droite de \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\), on a \(RQ_Y \circ Rf_* = \Phi \circ RQ_X\).

Démonstration

Nous le démontrerons en montrant que \(RQ_Y \circ Rf_*\) et \(\Phi \circ RQ_X\) sont adjoints à droite du même foncteur \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\mathcal{O}_X)\).

Puisque \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé, \(f_*\) préserve la quasi-cohérence ; voir Schémas, lemme 01LC. Rappelons que \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie abélienne de Grothendieck (Propriétés, proposition 077P). Par suite, tout \(K\) dans \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) peut être représenté par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ; voir Injectifs, théorème 079P. On peut alors définir \(\Phi(K) = f_*\mathcal{I}^\bullet\).

Puisque \(f\) est plat, le foncteur \(f^*\) est exact. Par suite, \(f^*\) définit \(f^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\) ainsi que \(f^* : D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Le foncteur \(f^* = Lf^* : D(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\) est adjoint à gauche de \(Rf_* : D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_Y)\) ; voir Cohomologie, lemme 079W. De même, le foncteur \(f^* : D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) est adjoint à gauche de \(\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) d’après Catégories dérivées, lemme 09T5.

Soient \(A\) un objet de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) et \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors \[\begin{align*} \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))}(A, RQ_Y(Rf_*E)) & = \Hom_{D(\mathcal{O}_Y)}(A, Rf_*E) \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(f^*A, E) \\ & = \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_X))}(f^*A, RQ_X(E)) \\ & = \Hom_{D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))}(A, \Phi(RQ_X(E))) \end{align*}\] On en déduit l’assertion voulue.

Lemme

Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine. Alors

\(Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) est le foncteur qui envoie \(\mathcal{F}\) sur le \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent associé au \(A\)-module \(\Gamma(X, \mathcal{F})\),

\(RQ_X : D(\mathcal{O}_X) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) est le foncteur qui envoie \(E\) sur le complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents associé à l’objet \(R\Gamma(X, E)\) de \(D(A)\),

restreint à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le foncteur \(RQ_X\) définit un quasi-inverse de (06VT).

Démonstration

Le foncteur \(Q_X\) est le foncteur \[\mathcal{F} \mapsto \widetilde{\Gamma(X, \mathcal{F})}\] d’après Schémas, lemme 01I7. Cela entraîne immédiatement (1) et (2). La troisième assertion résulte de la démonstration du lemme 06Z0.

Nous pouvons maintenant établir un critère pour que le foncteur \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) soit une équivalence.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Supposons que, pour tout ouvert affine \(U \subset X\), le foncteur dérivé à droite \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\] du foncteur exact à gauche \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) s’inscrive dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_U)) \ar[d]_\Phi \ar[r]_{i_U} & D_\QCoh(\mathcal{O}_U) \ar[d]^{Rj_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[r]^{i_X} & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) }\] Alors le foncteur (06VT) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] est une équivalence dont un quasi-inverse est donné par \(RQ_X\).

Démonstration

Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et soit \(A\) un objet de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Il faut montrer que les morphismes d’adjonction \[A \to RQ_X(i_X(A)) \quad\text{et}\quad i_X(RQ_X(E)) \to E\] sont des isomorphismes. Considérons l’hypothèse \(H_n\) : les morphismes d’adjonction ci-dessus sont des isomorphismes dès que \(E\) et \(i_X(A)\) sont à support (définition 08DA) dans une partie fermée de \(X\) contenue dans la réunion de \(n\) ouverts affines de \(X\). Nous démontrerons \(H_n\) par récurrence sur \(n\).

Cas initial : \(n = 0\). Dans ce cas, \(E = 0\), donc le morphisme \(i_X(RQ_X(E)) \to E\) est un isomorphisme. De même, \(i_X(A) = 0\). Les faisceaux de cohomologie de \(i_X(A)\) sont donc nuls. Puisque le foncteur d’inclusion \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) est pleinement fidèle et exact, on en déduit que les objets de cohomologie de \(A\) sont nuls, c’est-à-dire que \(A = 0\) ; le morphisme \(A \to RQ_X(i_X(A))\) est donc lui aussi un isomorphisme.

Étape de récurrence. Supposons que \(E\) et \(i_X(A)\) soient à support dans une partie fermée \(T\) de \(X\) contenue dans \(U_1 \cup \ldots \cup U_n\), où les \(U_i \subset X\) sont des ouverts affines. Posons \(U = U_n\). Considérons les triangles distingués \[A \to \Phi(A|_U) \to A' \to A[1] \quad\text{et}\quad E \to Rj_*(E|_U) \to E' \to E[1]\] où \(\Phi\) est comme dans l’énoncé du lemme. Notons que \(E \to Rj_*(E|_U)\) est un quasi-isomorphisme sur \(U = U_n\). Puisque \(i_X \circ \Phi = Rj_* \circ i_U\) par hypothèse et que \(i_X(A)|_U = i_U(A|_U)\), le morphisme \(i_X(A) \to i_X(\Phi(A|_U))\) est un quasi-isomorphisme sur \(U\). Ainsi \(i_X(A')\) et \(E'\) sont à support dans la partie fermée \(T \setminus U\) de \(X\), contenue dans \(U_1 \cup \ldots \cup U_{n - 1}\). Par hypothèse de récurrence, l’énoncé est vrai pour \(A'\) et \(E'\). D’après Catégories dérivées, lemme 014A, il suffit de montrer que les morphismes \[\Phi(A|_U) \to RQ_X(i_X(\Phi(A|_U))) \quad\text{et}\quad i_X(RQ_X(Rj_*E|_U)) \to Rj_*(E|_U)\] sont des isomorphismes. Par hypothèse et d’après le lemme 08D8 (le morphisme d’inclusion \(j : U \to X\) est plat, quasi-compact et quasi-séparé), on a \[RQ_X(i_X(\Phi(A|_U))) = RQ_X(Rj_*(i_U(A|_U))) = \Phi(RQ_U(i_U(A|_U)))\] et \[i_X(RQ_X(Rj_*(E|_U))) = i_X(\Phi(RQ_U(E|_U))) = Rj_*(i_U(RQ_U(E|_U)))\] Enfin, les morphismes \[A|_U \to RQ_U(i_U(A|_U)) \quad\text{et}\quad i_U(RQ_U(E|_U)) \to E|_U\] sont des isomorphismes d’après le lemme 08D9. Le résultat en découle.

Proposition

Soit \(X\) un schéma quasi-compact à diagonale affine. Alors le foncteur (06VT) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] est une équivalence dont un quasi-inverse est donné par \(RQ_X\).

Démonstration

Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Alors le morphisme \(U \to X\) est affine d’après Morphismes, lemme 01SG. L’hypothèse du lemme 09T6 est donc vérifiée d’après le lemme 08D7, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons \(X\) et \(Y\) quasi-compacts et à diagonale affine. Alors, en notant \[\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\] le foncteur dérivé à droite de \(f_* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_Y)\), le diagramme \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_\Phi \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] est commutatif.

Démonstration

Observons que les flèches horizontales du diagramme sont des équivalences de catégories d’après la proposition 08DB. On peut donc identifier ces catégories (et de même pour les autres schémas quasi-compacts à diagonale affine). L’énoncé du lemme affirme que le morphisme canonique \(\Phi(K) \to Rf_*(K)\) est un isomorphisme pour tout \(K\) dans \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Notons que, si \(K_1 \to K_2 \to K_3 \to K_1[1]\) est un triangle distingué dans \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) et si l’énoncé est vrai pour deux des trois objets, il l’est aussi pour le troisième.

Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Puisque la diagonale de \(X\) est affine, le morphisme d’inclusion \(j : U \to X\) est affine (Morphismes, lemme 01SG). De même, le composé \(g = f \circ j : U \to Y\) est affine. Soit \(\mathcal{I}^\bullet\) un complexe K-injectif dans \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\). Puisque \(j_* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) admet un adjoint à gauche exact \(j^* : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\), le complexe \(j_*\mathcal{I}^\bullet\) est K-injectif dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ; voir Catégories dérivées, lemme 08BJ. Il en résulte que \[\Phi(j_*\mathcal{I}^\bullet) = f_*j_*\mathcal{I}^\bullet = g_*\mathcal{I}^\bullet\] D’après le lemme 08D7, \(j_*\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rj_*\mathcal{I}^\bullet\) et \(g_*\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rg_*\mathcal{I}^\bullet\). D’autre part, on a \(Rf_* \circ Rj_* = Rg_*\). Ainsi \(f_*j_*\mathcal{I}^\bullet\) représente \(Rf_*(j_*\mathcal{I}^\bullet)\). On en déduit que le lemme est vrai pour tout complexe de la forme \(j_*\mathcal{G}^\bullet\), où \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe de modules quasi-cohérents sur \(U\). (Notons que, si \(\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme, alors \(j_*\mathcal{G}^\bullet \to j_*\mathcal{I}^\bullet\) est aussi un quasi-isomorphisme, puisque \(j_*\) est un foncteur exact sur les modules quasi-cohérents.)

Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Soit \(T \subset X\) une partie fermée telle que le support de \(\mathcal{F}^p\) soit contenu dans \(T\) pour tout \(p\). Nous raisonnons par récurrence sur le nombre minimal \(n\) d’ouverts affines \(U_1, \ldots, U_n\) tels que \(T \subset U_1 \cup \ldots \cup U_n\). Le cas initial \(n = 0\) est immédiat. Si \(n \geq 1\), posons \(U = U_1\) et notons \(j : U \to X\) l’immersion ouverte, comme ci-dessus. Considérons le morphisme de complexes \(c : \mathcal{F}^\bullet \to j_*j^*\mathcal{F}^\bullet\). On obtient deux suites exactes courtes de complexes : \[0 \to \Ker(c) \to \mathcal{F}^\bullet \to \Im(c) \to 0\] et \[0 \to \Im(c) \to j_*j^*\mathcal{F}^\bullet \to \Coker(c) \to 0\] Les complexes \(\Ker(c)\) et \(\Coker(c)\) sont à support dans \(T \setminus U \subset U_2 \cup \ldots \cup U_n\), et le résultat est vrai pour eux par récurrence. Il est vrai pour \(j_*j^*\mathcal{F}^\bullet\) d’après la discussion du paragraphe précédent. On conclut en considérant les triangles distingués associés aux suites exactes courtes et en utilisant l’observation faite au début de la démonstration.

Remarque

Soit \(X\) un schéma quasi-compact à diagonale affine. Bien que l’on sache que \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) = D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après la proposition 08DB, des phénomènes inattendus peuvent se produire, et il est facile de se tromper dans ces questions. On se gardera notamment de déduire sans précaution de cette égalité que les foncteurs dérivés coïncident. Par exemple, soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. On peut alors considérer les foncteurs dérivés à droite supérieurs \[R^i(\QCoh)\Gamma(U, -) : \QCoh(\mathcal{O}_X) \to \textit{Ab}\] du foncteur exact à gauche \(\Gamma(U, -)\). Puisqu’ils forment un \(\delta\)-foncteur universel, et puisque les foncteurs \(H^i(U, -)\) (définis pour tous les faisceaux abéliens sur \(X\)), restreints à \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), forment un \(\delta\)-foncteur, on obtient des transformations canoniques \[t^i : R^i(\QCoh)\Gamma(U, -) \to H^i(U, -).\] Ces transformations ne sont pas en général des isomorphismes, même si \(X = \Spec(A)\) est affine ! En effet, on a \(R^1(\QCoh)\Gamma(U, \widetilde{I}) = 0\) si \(I\) est un \(A\)-module injectif, par construction des foncteurs dérivés à droite et par l’équivalence entre \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(\text{Mod}_A\). Mais Exemples, lemme 0CRZ, montre qu’il existe \(A\), \(I\) et \(U\) tels que \(H^1(U, \widetilde{I}) \not = 0\).

Le cohérateur pour les schémas noethériens

Dans le cas des schémas noethériens, on peut utiliser le lemme suivant.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{J}\) un objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Alors \(\mathcal{J}\) est un faisceau flasque de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Soient \(U \subset X\) un ouvert et \(s \in \mathcal{J}(U)\) une section. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant la structure de schéma réduit induite sur \(X \setminus U\) (voir Schémas, définition 01J4). D’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB, la section \(s\) correspond à un morphisme \(\sigma : \mathcal{I}^n \to \mathcal{J}\) pour un certain \(n\). Puisque \(\mathcal{J}\) est un objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on peut prolonger \(\sigma\) en un morphisme \(\tilde s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{J}\). Alors \(\tilde s\) correspond à une section globale de \(\mathcal{J}\) dont la restriction est \(s\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas noethériens. Alors le foncteur \(f_*\) sur les faisceaux quasi-cohérents admet un foncteur dérivé à droite \(\Phi : D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[d]_{\Phi} \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \ar[d]^{Rf_*} \\ D(\QCoh(\mathcal{O}_Y)) \ar[r] & D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) }\] soit commutatif.

Démonstration

Puisque \(X\) et \(Y\) sont des schémas noethériens, le morphisme est quasi-compact et quasi-séparé (voir Propriétés, lemme 01OY et Schémas, remarque 0816). Ainsi \(f_*\) préserve la quasi-cohérence ; voir Schémas, lemme 01LC. Soit maintenant \(K\) un objet de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Puisque \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie abélienne de Grothendieck (Propriétés, proposition 077P), on peut représenter \(K\) par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\) tel que chaque \(\mathcal{I}^n\) soit un objet injectif de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ; voir Injectifs, théorème 079P. Le foncteur \(\Phi\) est donc défini en posant \[\Phi(K) = f_*\mathcal{I}^\bullet\] où le membre de droite est considéré comme un objet de \(D(\QCoh(\mathcal{O}_Y))\). Pour achever la démonstration du lemme, il suffit de montrer que le morphisme canonique \[f_*\mathcal{I}^\bullet \longrightarrow Rf_*\mathcal{I}^\bullet\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_Y)\). Pour cela, d’après le lemme 0G9N, il suffit de montrer que \(\mathcal{I}^n\) est acyclique à droite pour \(f_*\), pour tout \(n \in \mathbf{Z}\). Or \(\mathcal{I}^n\) est flasque d’après le lemme 09T2, et les modules flasques sont acycliques à droite pour \(f_*\) d’après Cohomologie, lemme 09T0.

Proposition

Soit \(X\) un schéma noethérien. Alors le foncteur (06VT) \[D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] est une équivalence dont un quasi-inverse est donné par \(RQ_X\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 09T6 et du lemme 09T3.

Complexes de Koszul

Soit \(A\) un anneau et soit \(f_1, \ldots, f_r\) une suite d’éléments de \(A\). Nous avons défini le complexe de Koszul \(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)\) dans Compléments sur l’algèbre, définition 0623. C’est un complexe de chaînes concentré en degrés \(r, \ldots, 0\). Nous en faisons un complexe de cochaînes \(K^\bullet(f_1, \ldots, f_r)\) en posant \(K^{-n}(f_1, \ldots, f_r) = K_n(f_1, \ldots, f_r)\) et en conservant les mêmes différentielles. Dans la suite de cette section, tous les complexes seront des complexes de cochaînes.

Nous définissons un complexe \(I^\bullet(f_1, \ldots, f_r)\) de sorte que l’on ait un triangle distingué \[I^\bullet(f_1, \ldots, f_r) \to A \to K^\bullet(f_1, \ldots, f_r) \to I^\bullet(f_1, \ldots, f_r)[1]\] dans \(K(A)\). Autrement dit, on pose \[I^i(f_1, \ldots, f_r) = \left\{ \begin{matrix} K^{i - 1}(f_1, \ldots, f_r) & \text{si } i \leq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{matrix} \right.\] et l’on prend l’opposée de la différentielle de \(K^\bullet(f_1, \ldots, f_r)\). Les morphismes du triangle distingué sont les morphismes évidents. Notons que \(I^0(f_1, \ldots, f_r) = A^{\oplus r} \to A\) est donné par la multiplication par \(f_i\) sur le \(i\)-ième facteur. Ainsi \(I^\bullet(f_1, \ldots, f_r) \to A\) se factorise en \[I^\bullet(f_1, \ldots, f_r) \to I \to A\] où \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). On a en fait une suite exacte courte \[0 \to H^{-1}(K^\bullet(f_1, \ldots, f_s)) \to H^0(I^\bullet(f_1, \ldots, f_s)) \to I \to 0\] et, pour tout \(i < 0\), on a \(H^i(I^\bullet(f_1, \ldots, f_r)) = H^{i - 1}(K^\bullet(f_1, \ldots, f_r))\). Notons que, pour une seconde suite \(g_1, \ldots, g_r\) d’éléments de \(A\), on dispose de morphismes canoniques \[I^\bullet(f_1g_1, \ldots, f_rg_r) \to I^\bullet(f_1, \ldots, f_r) \quad\text{et}\quad K^\bullet(f_1g_1, \ldots, f_rg_r) \to K^\bullet(f_1, \ldots, f_r)\] compatibles aux morphismes décrits ci-dessus. Le premier de ces morphismes est donné par la multiplication par \(g_i\) sur le \(i\)-ième facteur de \(I^0(f_1g_1, \ldots, f_rg_r) = A^{\oplus r}\). En particulier, étant donnés \(f_1, \ldots, f_r\), on obtient un système projectif de complexes [08CY]\[\begin{equation} I^\bullet(f_1, \ldots, f_r) \leftarrow I^\bullet(f_1^2, \ldots, f_r^2) \leftarrow I^\bullet(f_1^3, \ldots, f_r^3) \leftarrow \ldots \end{equation}\] qui jouera un rôle important dans la suite. Fixons quelques notations pour énoncer commodément les lemmes suivants.

Situation

Ici \(A\) est un anneau et \(f_1, \ldots, f_r\) une suite d’éléments de \(A\). On pose \(X = \Spec(A)\) et \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r) \subset X\). On note \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i = 1, \ldots, r} D(f_i)\) le recouvrement ouvert ainsi défini de \(U\).

Notre premier lemme montre que les complexes ci-dessus permettent de calculer la cohomologie des faisceaux quasi-cohérents sur \(U\).

Lemme

Dans la situation 08CZ, soit \(M\) un \(A\)-module, et notons \(\mathcal{F}\) le \(\mathcal{O}_X\)-module associé. Alors il existe un isomorphisme canonique de complexes \[\Psi : \colim_e \Hom_A(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e), M) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\] fonctoriel en \(M\), où les différentielles du complexe \(\Hom\) sont les transposées des différentielles de \(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e)\).

Démonstration

Rappelons que le complexe de Čech alterné est le sous-complexe du complexe de Čech usuel formé des cochaînes alternées ; voir Cohomologie, section 01FG. Comme d’habitude, on considère une \(p\)-cochaîne de \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) comme une fonction alternée \(s\) sur \(\{1, \ldots, r\}^{p + 1}\) dont la valeur \(s_{i_0\ldots i_p}\) en \((i_0, \ldots, i_p)\) appartient à \(M_{f_{i_0}\ldots f_{i_p}} = \mathcal{F}(U_{i_0\ldots i_p})\). D’autre part, une \(p\)-cochaîne \(t\) de \(\Hom^\bullet(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e), M)\) est une application \(t : \wedge^{p + 1}(A^{\oplus r}) \to M\). Notons \([i] \in A^{\oplus r}\) le \(i\)-ième vecteur de base et posons \[[i_0, \ldots, i_p] = [i_0] \wedge \ldots \wedge [i_p] \in \wedge^{p + 1}(A^{\oplus r})\] Pour \(t\) comme ci-dessus, on pose \[\Psi(t)_{i_0 \ldots i_p} = (-1)^p \frac{t([i_0, \ldots, i_p])}{f_{i_0}^e\ldots f_{i_p}^e}\] Il est clair que \(\Psi(t)\) est une cochaîne alternée. Cette règle est compatible aux morphismes de transition du système, car le morphisme de transition \[I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e) \leftarrow I^\bullet(f_1^{e + 1}, \ldots, f_r^{e + 1}),\] de (08CY) envoie \([i_0, \ldots, i_p]\) sur \(f_{i_0}\ldots f_{i_p}[i_0, \ldots, i_p]\). La description des localisés \(M_{f_{i_0} \ldots f_{i_p}}\) donnée dans Algèbre, lemme 00CR, montre que la règle \(\Psi\) définit, après passage à la limite inductive, un isomorphisme des modules de cochaînes en degré \(p\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que ce morphisme est compatible aux différentielles. Pour \(t\) comme ci-dessus, on calcule \[\begin{align*} d(\Psi(t))_{i_0 \ldots i_{p + 1}} & = \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j \Psi(t)_{i_0\ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}} \\ & = (-1)^p \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j t([i_0 \ldots \hat i_j \ldots i_{p + 1}]) (f_{i_0} \ldots \hat f_{i_j} \ldots f_{i_p})^{-e} \end{align*}\] Rappelons que les différentielles de \(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e)\) sont les opposées de celles de \(K^\bullet(f_1, \ldots, f_r)\). Ainsi \[\begin{align*} \Psi(d(t))_{i_0 \ldots i_{p + 1}} & = (-1)^{p + 1} d(t)([i_0, \ldots, i_{p + 1}]) (f_{i_0} \ldots f_{i_{p + 1}})^{-e} \\ & = (-1)^{p + 1} t(d([i_0, \ldots, i_{p + 1}])) (f_{i_0} \ldots f_{i_{p + 1}})^{-e} \\ & = (-1)^{p + 1} t(-\sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j f_{i_j}^e [i_0, \ldots, \hat i_j, \ldots i_{p + 1}]) (f_{i_0} \ldots f_{i_{p + 1}})^{-e} \\ & = -(-1)^{p + 1} \sum\nolimits_{j = 0}^{p + 1} (-1)^j t([i_0, \ldots, \hat i_j, \ldots i_{p + 1}]) (f_{i_0} \ldots \hat f_{i_j} \ldots f_{i_p})^{-e} \end{align*}\] Les deux formules coïncident, ce qui achève la démonstration.

Soient un complexe borné \(I^\bullet\) de \(A\)-modules et un complexe de \(A\)-modules \(M^\bullet\). On dispose du complexe Hom correspondant \(\Hom^\bullet(I^\bullet, M^\bullet)\). Son terme en degré \(n\) est \[\bigoplus\nolimits_{p + q = n} \Hom_A(I^{-q}, M^p)\] et sa différentielle est décrite dans Compléments sur l’algèbre, section 0A8H. Puisque le complexe \(I^\bullet\) n’a qu’un nombre fini de termes non nuls, la somme directe ci-dessus est finie. Les conventions pour le complexe total associé au complexe de Čech d’un complexe sont celles de Cohomologie, section 01FP.

Lemme

Dans la situation 08CZ, soit \(M^\bullet\) un complexe de \(A\)-modules, et notons \(\mathcal{F}^\bullet\) le complexe associé de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Alors il existe un isomorphisme canonique de complexes \[\colim_e \Hom^\bullet(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e), M^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet))\] fonctoriel en \(M^\bullet\).

Démonstration

Considérons le complexe double \(F^{\bullet, \bullet}\) de termes \(F^{p, q} = \mathcal{C}_{alt}^p(\mathcal{U}, \mathcal{F}^q)\) étudié dans Cohomologie, section 01FP. Considérons le complexe double \(G^{\bullet, \bullet}\) de termes \(G^{p, q} = \colim_e \Hom_A(I^{-p}(f_1^e, \ldots, f_r^e), M^q)\) et dont les différentielles sont données par fonctorialité (sans intervention de signes). Les morphismes \(\psi^{p, q} : G^{p, q} \to F^{p, q}\) construits dans la démonstration du lemme 08D0 sont des isomorphismes compatibles aux différentielles \(d_1\) (d’après le lemme) et \(d_2\) (ce qui est clair). Cependant, les différentielles \(d\) des complexes figurant à gauche et à droite de la flèche de l’énoncé ont des signes différents. Pour \(g \in G^{p, q}\), on a en effet \[d(g) = d_2(g) - (-1)^{p + q} d_1(g)\] (voir Compléments sur l’algèbre, section 0A8H), tandis que la différentielle, pour \(f \in F^{p, q}\), est donnée par \[d(f) = d_1(f) + (-1)^p d_2(f)\] On peut donc corriger les signes en multipliant \(\psi^{p, q}\) par \((-1)^{pq + p(p - 1)/2}\).

Lemme

Dans la situation 08CZ, soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Alors il existe un isomorphisme canonique \[\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow R\Gamma(U, \mathcal{F}^\bullet)\] dans \(D(A)\), fonctoriel en \(\mathcal{F}^\bullet\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts affines de \(U\). Puisque les groupes de cohomologie supérieure d’un module quasi-cohérent sur un schéma affine sont nuls (Cohomologie des schémas, lemme 01XB), il s’agit d’un cas particulier de Cohomologie, lemme 08C2.

Dans la situation 08CZ, notons \(I_e\) l’objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) correspondant au complexe de \(A\)-modules \(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e)\) par l’équivalence du lemme 06Z0. Les morphismes (08CY) donnent un système \[I_1 \leftarrow I_2 \leftarrow I_3 \leftarrow \ldots\] De plus, on dispose d’un système compatible de morphismes \(I_e \to \mathcal{O}_X\) qui deviennent des isomorphismes après restriction à \(U\). Ainsi, pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), il existe un morphisme canonique [08DC]\[\begin{equation} \colim_e \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(I_e, E) \longrightarrow H^0(U, E) \end{equation}\] obtenu en envoyant un morphisme \(I_e \to E\) sur sa restriction à \(U\) et en utilisant l’égalité \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(\mathcal{O}_U, E|_U) = H^0(U, E)\).

Proposition

Dans la situation 08CZ, pour tout objet \(E\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le morphisme (08DC) est un isomorphisme.

Démonstration

D’après le lemme 06Z0, on peut supposer que \(E\) est donné par un complexe de faisceaux quasi-cohérents \(\mathcal{F}^\bullet\). Soit \(M^\bullet = \Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet)\) le complexe correspondant de \(A\)-modules. D’après les lemmes 08D1 et 08D2, on a des quasi-isomorphismes \[\colim_e \Hom^\bullet(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e), M^\bullet) \longrightarrow \text{Tot}(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet)) \longrightarrow R\Gamma(U, \mathcal{F}^\bullet)\] D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0A66 et équation (0A64), le \(H^0\) du complexe \(\Hom^\bullet(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e), M^\bullet)\) calcule le \(\Hom\) dans \(D(A)\). En prenant \(H^0\) des deux côtés, on obtient donc \[\colim_e \Hom_{D(A)}(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e), M^\bullet) = H^0(U, E)\] Puisque \(\Hom_{D(A)}(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e), M^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(I_e, E)\) d’après le lemme 06Z0, le résultat en découle.

Dans la situation 08CZ, notons \(K_e\) l’objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) correspondant au complexe de \(A\)-modules \(K^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e)\) par l’équivalence du lemme 06Z0. On a ainsi des triangles distingués \[I_e \to \mathcal{O}_X \to K_e \to I_e[1]\] et un système \[K_1 \leftarrow K_2 \leftarrow K_3 \leftarrow \ldots\] compatible au système \((I_e)\). De plus, on dispose d’un système compatible de morphismes \[K_e \to H^0(K_e) = \mathcal{O}_X/(f_1^e, \ldots, f_r^e)\]

Lemme

Dans la situation 08CZ, soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Supposons que \(H^i(E)|_U = 0\) pour \(i = - r + 1, \ldots, 0\). Alors, étant donné \(s \in H^0(X, E)\), il existe un \(e \geq 0\) et un morphisme \(K_e \to E\) tels que \(s\) appartienne à l’image de \(H^0(X, K_e) \to H^0(X, E)\).

Démonstration

Puisque \(U\) est recouvert par \(r\) ouverts affines, on a \(H^j(U, \mathcal{F}) = 0\) pour \(j \geq r\) et tout module quasi-cohérent (Cohomologie des schémas, lemme 01XI). D’après le lemme 08D4, \(H^0(U, E)\) est égal à \(H^0(U, \tau_{\geq -r + 1}E)\). On dispose d’une suite spectrale \[H^j(U, H^i(\tau_{\geq -r + 1}E)) \Rightarrow H^{i + j}(U, \tau_{\geq -N}E)\] voir Catégories dérivées, lemme 015J. Ainsi \(H^0(U, E) = 0\) par l’hypothèse d’annulation des faisceaux de cohomologie de \(E\). On en déduit que \(s|_U = 0\). Considérons \(s\) comme un morphisme \(\mathcal{O}_X \to E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). D’après la proposition 08DD, le composé \(I_e \to \mathcal{O}_X \to E\) est nul pour un certain \(e\). Le triangle distingué \(I_e \to \mathcal{O}_X \to K_e \to I_e[1]\) fournit alors un morphisme \(K_e \to E\) tel que \(s\) soit le composé \(\mathcal{O}_X \to K_e \to E\).

Complexes pseudo-cohérents et parfaits

Dans cette section, nous établissons le lien entre les notions générales définies dans Cohomologie, sections 08C3, 08CA, 08CF et 08CL, et les notions correspondantes pour les complexes de modules, dans Compléments sur l’algèbre, sections 064N, 0651 et 0656.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Si \(E\) est un objet \(m\)-pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_X)\), alors \(H^i(E)\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent pour \(i > m\), et \(H^m(E)\) est un quotient d’un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(E\) est pseudo-cohérent, alors \(E\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Localement sur \(X\), il existe un complexe strictement parfait \(\mathcal{E}^\bullet\) tel que \(H^i(E)\) soit isomorphe à \(H^i(\mathcal{E}^\bullet)\) pour \(i > m\) et que \(H^m(E)\) soit un quotient de \(H^m(\mathcal{E}^\bullet)\). Les faisceaux \(\mathcal{E}^i\) sont des facteurs directs de modules libres de rang fini, donc sont quasi-cohérents. Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine. Soit \(M^\bullet\) un complexe de \(A\)-modules et soit \(E\) l’objet correspondant de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent (resp. pseudo-cohérent) en tant qu’objet de \(D(\mathcal{O}_X)\) si et seulement si \(M^\bullet\) est \(m\)-pseudo-cohérent (resp. pseudo-cohérent) en tant que complexe de \(A\)-modules.

Démonstration

Il résulte immédiatement des définitions que, si \(M^\bullet\) est \(m\)-pseudo-cohérent, il en est de même de \(E\). Pour établir la réciproque, supposons \(E\) \(m\)-pseudo-cohérent. Puisque \(X = \Spec(A)\) est quasi-compact et que les ouverts principaux forment une base de sa topologie, on peut trouver un recouvrement par des ouverts principaux \(X = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\), des complexes strictement parfaits \(\mathcal{E}_i^\bullet\) sur \(D(f_i)\) et des morphismes \(\alpha_i : \mathcal{E}_i^\bullet \to E|_{U_i}\) induisant des isomorphismes sur \(H^j\) pour \(j > m\) et des surjections sur \(H^m\). D’après Cohomologie, lemme 08C9, quitte à raffiner le recouvrement ouvert, on peut supposer que \(\alpha_i\) est donné par un morphisme de complexes \(\mathcal{E}_i^\bullet \to \widetilde{M^\bullet}|_{U_i}\) pour tout \(i\). D’après Modules, lemme 0BCI, les termes \(\mathcal{E}_i^n\) sont des modules localement libres de rang fini. Ainsi, quitte à raffiner le recouvrement ouvert, on peut supposer chaque \(\mathcal{E}_i^n\) libre de rang fini sur \(\mathcal{O}_{U_i}\). Il résulte de la définition que \(M^\bullet_{f_i}\) est un complexe \(m\)-pseudo-cohérent de \(A_{f_i}\)-modules. On conclut en appliquant Compléments sur l’algèbre, lemme 066D.

Le cas « pseudo-cohérent » résulte du fait que \(E\) est pseudo-cohérent si et seulement si \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent pour tout \(m\) (par définition), et qu’il en est de même de \(M^\bullet\) d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 064U.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour \(m \in \mathbf{Z}\), les conditions suivantes sont équivalentes :

\(H^i(E)\) est cohérent pour \(i \geq m\) et nul pour \(i \gg 0\),

\(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent.

En particulier, \(E\) est pseudo-cohérent si et seulement si \(E\) est un objet de \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Puisque \(X\) est quasi-compact, dans chacun des cas (1) et (2), l’objet \(E\) est borné supérieurement. La question est donc locale sur \(X\), et l’on peut supposer \(X\) affine. Écrivons \(X = \Spec(A)\) pour un anneau noethérien \(A\). Dans ce cas, \(E\) correspond à un complexe de \(A\)-modules \(M^\bullet\) d’après le lemme 06Z0. D’après le lemme 08E7, \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent si et seulement si \(M^\bullet\) est \(m\)-pseudo-cohérent. D’autre part, \(H^i(E)\) est cohérent si et seulement si \(H^i(M^\bullet)\) est un \(A\)-module de type fini (Propriétés, lemme 01PB). Le résultat découle donc de Compléments sur l’algèbre, lemme 066E.

Lemme

Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine. Soit \(M^\bullet\) un complexe de \(A\)-modules et soit \(E\) l’objet correspondant de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors

\(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) si et seulement si \(M^\bullet\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\).

\(E\) est de dimension de Tor finie si et seulement si \(M^\bullet\) est de dimension de Tor finie.

Démonstration

L’assertion (2) résulte immédiatement de (1). Pour démontrer (1), nous utiliserons l’équivalence \(D(A) = D_\QCoh(X)\) du lemme 06Z0 sans autre mention. Supposons que \(M^\bullet\) ait une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\). Alors \(K^\bullet\) est isomorphe dans \(D(A)\) à un complexe \(K^\bullet\) de \(A\)-modules plats tel que \(K^i = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\) ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0654. Alors \(E\) est isomorphe à \(\widetilde{K^\bullet}\). Puisque chaque \(\widetilde{K^i}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat, \(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) d’après Cohomologie, lemme 08CI.

Supposons que \(E\) ait une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\). Alors \(E\) est borné, donc \(M^\bullet\) appartient à \(K^-(A)\). On peut ainsi remplacer \(M^\bullet\) par un complexe borné supérieurement de \(A\)-modules. On peut même choisir une résolution projective et supposer que \(M^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(A\)-modules libres. Pour tout \(A\)-module \(N\), on a alors \[E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \widetilde{N} \cong \widetilde{M^\bullet} \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \widetilde{N} \cong \widetilde{M^\bullet \otimes_A N}\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\). L’annulation des faisceaux de cohomologie du membre de gauche entraîne donc que \(M^\bullet\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas affines correspondant au morphisme d’anneaux \(R \to A\). Soit \(M^\bullet\) un complexe de \(A\)-modules et soit \(E\) l’objet correspondant de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors

\(E\), en tant qu’objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\), a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) si et seulement si \(M^\bullet\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) en tant qu’objet de \(D(R)\).

\(E\) est localement de dimension de Tor finie en tant qu’objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\) si et seulement si \(M^\bullet\) est de dimension de Tor finie en tant qu’objet de \(D(R)\).

Démonstration

Considérons un idéal premier \(\mathfrak q \subset A\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset R\). Soient \(x \in X\) et \(s = f(x) \in S\) les points correspondants. Alors \((f^{-1}\mathcal{O}_S)_x = \mathcal{O}_{S, s} = R_\mathfrak p\) et \(E_x = M^\bullet_\mathfrak q\). Compte tenu de ces identifications, on établit l’équivalence comme suit.

Si \(M^\bullet\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) en tant que complexe de \(R\)-modules, il en est de même du localisé de \(M^\bullet\) en tout idéal premier de \(A\). On déduit alors de Cohomologie, lemme 09U9, que \(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) en tant que complexe de faisceaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules. Réciproquement, supposons que \(E\) ait une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) en tant qu’objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\). On en déduit, à l’aide du lemme qui vient d’être cité, que \(M^\bullet_\mathfrak q\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) en tant que complexe de \(R_\mathfrak p\)-modules pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset A\) au-dessus de \(\mathfrak p \subset R\). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0B67, il en résulte que \(M^\bullet\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) en tant que complexe de \(R\)-modules. Cela achève la démonstration de (1).

Puisque \(X\) est quasi-compact, si \(E\) est localement de dimension de Tor finie en tant que complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules, alors \(E\) a en fait une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) pour certains \(a, b\), en tant que complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules. Ainsi (2) résulte de (1).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-séparé. Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Soient \(a \leq b\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\),

pour tout \(\mathcal{F}\) dans \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \(H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\).

Démonstration

Il est clair que (1) entraîne (2). Supposons (2). Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Puisque \(X\) est quasi-séparé, le morphisme \(j : U \to X\) est quasi-compact et séparé ; ainsi \(j_*\) transforme les modules quasi-cohérents en modules quasi-cohérents (Schémas, lemme 01LC). Le foncteur \(\QCoh(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_U)\) est donc essentiellement surjectif. Il en résulte que la condition (2) entraîne l’annulation de \(H^i(E|_U \otimes_{\mathcal{O}_U}^\mathbf{L} \mathcal{G})\) pour \(i \not \in [a, b]\), pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\). Écrivons \(U = \Spec(A)\), et soit \(M^\bullet\) le complexe de \(A\)-modules correspondant à \(E|_U\) d’après le lemme 06Z0. Nous venons de montrer que \(M^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} N\) a des groupes de cohomologie nuls en dehors de l’intervalle \([a, b]\) ; autrement dit, \(M^\bullet\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\). D’après le lemme 08E9, on en déduit que \(E|_U\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\). Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine. Soit \(M^\bullet\) un complexe de \(A\)-modules et soit \(E\) l’objet correspondant de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors \(E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) si et seulement si \(M^\bullet\) est parfait en tant qu’objet de \(D(A)\).

Démonstration

C’est une conséquence formelle des lemmes 08E7 et 08E9, de Cohomologie, lemme 08CQ, et de Compléments sur l’algèbre, lemme 0658.

Notre description des complexes pseudo-cohérents sur les schémas permet de montrer que certains Hom internes sont quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(X\) un schéma.

Si \(L\) appartient à \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et si \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) est pseudo-cohérent, alors \(R\SheafHom(K, L)\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et est localement borné inférieurement.

Si \(L\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et si \(K\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) est parfait, alors \(R\SheafHom(K, L)\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Si \(X = \Spec(A)\) est affine et si \(K, L \in D(A)\), alors \[R\SheafHom(\widetilde{K}, \widetilde{L}) = \widetilde{R\Hom_A(K, L)}\] dans les deux cas suivants :

\(K\) est pseudo-cohérent et \(L\) est borné inférieurement,

\(K\) est parfait et \(L\) est quelconque.

Si \(X = \Spec(A)\) et si \(K, L\) appartiennent à \(D(A)\), le \(n\)-ième faisceau de cohomologie de \(R\SheafHom(\widetilde{K}, \widetilde{L})\) est le faisceau associé au préfaisceau \[X \supset D(f) \longmapsto \Ext^n_{A_f}(K \otimes_A A_f, L \otimes_A A_f)\] pour \(f \in A\).

Démonstration

La construction du Hom interne dans la catégorie dérivée de \(\mathcal{O}_X\) commute à la localisation (voir Cohomologie, section 08DH). Pour démontrer (1) et (2), on peut donc remplacer \(X\) par un ouvert affine. D’après les lemmes 06Z0, 08E7 et 08EB, il suffit alors de démontrer (3).

L’assertion (3) résulte du calcul du Hom interne de Cohomologie, lemme 08I5, en représentant \(K\) par un complexe borné supérieurement (resp. borné) de \(A\)-modules projectifs de type fini et \(L\) par un complexe borné inférieurement (resp. quelconque) de \(A\)-modules.

Pour démontrer (4), rappelons que, sur tout espace annelé, le \(n\)-ième faisceau de cohomologie de \(R\SheafHom(A, B)\) est le faisceau associé au préfaisceau \[U \mapsto \Hom_{D(U)}(A|_U, B|_U[n]) = \Ext^n_{D(\mathcal{O}_U)}(A|_U, B|_U)\] Voir Cohomologie, section 08DH. D’autre part, la restriction de \(\widetilde{K}\) à un ouvert principal \(D(f)\) est l’image de \(K \otimes_A A_f\), et de même pour \(L\). L’assertion (4) résulte donc de l’équivalence de catégories du lemme 06Z0.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(K, L, M\) des objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Le morphisme \[K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} R\SheafHom(M, L) \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] de Cohomologie, lemme 0BYS, est un isomorphisme dans les cas suivants :

\(M\) est parfait, ou

\(K\) est parfait, ou

\(M\) est pseudo-cohérent, \(L \in D^+(\mathcal{O}_X)\), et \(K\) est de dimension de Tor finie.

Démonstration

Le lemme 0A6H ramène les cas (1) et (3) au cas affine, traité dans Compléments sur l’algèbre, lemme 0ATK. (Il faut aussi utiliser les lemmes 08E7, 08EB et 08E9 pour passer à l’énoncé algébrique.) Si \(K\) est parfait, sans autre hypothèse, on ne sait pas si les deux termes de la flèche appartiennent à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), mais le résultat reste vrai, car on peut travailler localement et se ramener au cas où \(K\) est un complexe borné de modules libres de rang fini, auquel cas il est clair.

Catégorie dérivée des modules cohérents

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Dans ce cas, la catégorie \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents est une sous-catégorie de Serre faible ; voir Homologie, section 02MN et Cohomologie des schémas, lemme 01Y0. Notons \[D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \subset D(\mathcal{O}_X)\] la sous-catégorie des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont cohérents ; voir Catégories dérivées, section 06UP. On obtient ainsi un foncteur canonique [08E1]\[\begin{equation} D(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \end{equation}\] voir Catégories dérivées, équation (06UR).

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Alors le foncteur \[D^-(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D^-_{\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)}(\QCoh(\mathcal{O}_X))\] est une équivalence.

Démonstration

Observons que \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \subset \QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une sous-catégorie de Serre ; voir Homologie, définition 02MO et lemme 02MP, ainsi que Cohomologie des schémas, lemmes 01Y0 et 01Y1. D’autre part, si \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est une surjection d’un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent sur un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent, il existe un sous-module cohérent \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) qui s’envoie surjectivement sur \(\mathcal{F}\). En effet, on peut écrire \(\mathcal{G}\) comme réunion filtrante de ses sous-modules cohérents d’après Propriétés, lemme 01PG, et l’un d’entre eux convient alors. Le lemme résulte donc de Catégories dérivées, lemme 0FCL.

Proposition

Soit \(X\) un schéma noethérien. Alors les foncteurs \[D^-(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \quad\text{et}\quad D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\] sont des équivalences.

Démonstration

Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ D^-(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) \ar[r] \ar[d] & D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \ar[d] \\ D^-(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \ar[r] & D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X) }\] D’après le lemme 0FDA, la flèche verticale de gauche est pleinement fidèle. D’après la proposition 09T4, la flèche inférieure est une équivalence. Par construction, la flèche verticale de droite est pleinement fidèle. On en déduit que la flèche horizontale supérieure est pleinement fidèle. Si \(K\) est un objet de \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), l’objet \(K'\) de \(D^-(\QCoh(\mathcal{O}_X))\) qui lui correspond par la proposition 09T4 a des faisceaux de cohomologie cohérents. Ainsi \(K'\) appartient à l’image essentielle de la flèche verticale de gauche, d’après le lemme 0FDA, et la flèche horizontale supérieure est donc essentiellement surjective. Cela achève la démonstration dans le cas borné supérieurement. Le cas borné en découle immédiatement.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(E\) un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) tel que le support de \(H^i(E)\) soit propre sur \(S\) pour tout \(i\). Alors \(Rf_*E\) est un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Considérons la suite spectrale \[R^pf_*H^q(E) \Rightarrow R^{p + q}f_*E\] voir Catégories dérivées, lemme 015J. Par hypothèse et d’après Cohomologie des schémas, lemme 08DS, les faisceaux \(R^pf_*H^q(E)\) sont cohérents. Ainsi \(R^{p + q}f_*E\) est cohérent, c’est-à-dire que \(Rf_*E \in D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_S)\). La bornitude inférieure est immédiate. La bornitude supérieure résulte de Cohomologie des schémas, lemme 01XJ, ou du lemme 08D5.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(E\) un objet de \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) tel que le support de \(H^i(E)\) soit propre sur \(S\) pour tout \(i\). Alors \(Rf_*E\) est un objet de \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

La démonstration est la même que celle du lemme 08E2. On peut aussi le déduire du lemme 08E2 en appliquant le foncteur exact \(Rf_*\) aux triangles distingués \(\tau_{\leq a}E \to E \to \tau_{\geq a + 1}E \to \tau_{\leq a}E[1]\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Si \(L\) appartient à \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et si \(K\) appartient à \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), alors \(R\SheafHom(K, L)\) appartient à \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Il suffit de le démontrer lorsque \(X\) est le spectre d’un anneau noethérien \(A\). D’après le lemme 08E8, \(K\) est pseudo-cohérent. On peut alors utiliser le lemme 0A6H pour ramener la question à l’énoncé algébrique suivant : pour \(L \in D^+_{\textit{Coh}}(A)\) et \(K\) dans \(D^-_{\textit{Coh}}(A)\), \(R\Hom_A(K, L)\) appartient à \(D^+_{\textit{Coh}}(A)\). Puisque \(L\) est borné inférieurement et \(K\) borné supérieurement, on dispose d’une suite spectrale convergente \[\Ext^p_A(K, H^q(L)) \Rightarrow \text{Ext}^{p + q}_A(K, L)\] ainsi que de suites spectrales convergentes \[\Ext^i_A(H^{-j}(K), H^q(L)) \Rightarrow \text{Ext}^{i + j}_A(K, H^q(L))\] Voir Injectifs, remarques 0G1Y et 0G20. Cela achève la démonstration, car les modules \(\Ext^p_A(M, N)\) sont de type fini pour des \(A\)-modules de type fini \(M\), \(N\), d’après Algèbre, lemme 08YR.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) un objet parfait. Alors

\(E\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\),

si \(L\) appartient à \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), alors \(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) et \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E, L)\) appartiennent à \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\),

si \(L\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), alors \(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) et \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E, L)\) appartiennent à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\),

si \(L\) appartient à \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), alors \(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) et \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E, L)\) appartiennent à \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\),

si \(L\) appartient à \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), alors \(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) et \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E, L)\) appartiennent à \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Puisque \(X\) est quasi-compact, chacune de ces assertions se vérifie sur les membres d’un recouvrement ouvert quelconque de \(X\). On peut donc supposer \(E\) représenté par un complexe borné \(\mathcal{E}^\bullet\) de modules libres de rang fini ; voir Cohomologie, lemme 0BCJ. Dans ce cas, chacune des assertions est claire, car \(R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(E, L)\) et \(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) se calculent au niveau des complexes à l’aide de \(\mathcal{E}^\bullet\) ; voir Cohomologie, lemmes 08DM et 06YD. Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(X\) un schéma propre sur \(A\). Pour \(L\) dans \(D^+_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) et \(K\) dans \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), les \(A\)-modules \(\Ext_{\mathcal{O}_X}^n(K, L)\) sont de type fini.

Démonstration

Rappelons que \[\Ext_{\mathcal{O}_X}^n(K, L) = H^n(X, R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, L)) = H^n(\Spec(A), Rf_*R\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(K, L))\] voir Cohomologie, lemme 08DK et Cohomologie, section 01EY. Le résultat découle donc des lemmes 0D0C et 0D0B.

Lemme

Soit \(X\) un schéma régulier. Alors tout objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) est parfait. Si \(X\) est quasi-compact, c’est-à-dire noethérien et régulier, alors, réciproquement, tout objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Soit \(K\) un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\). Pour vérifier que \(K\) est parfait, on peut travailler sur les ouverts affines de \(X\) (voir Cohomologie, section 08CL). Alors \(K\) est parfait d’après le lemme 08EB et Compléments sur l’algèbre, lemme 066Z. La réciproque est le lemme 0FXU.

Descente des propriétés de finitude des complexes

Cette section est l’analogue de Descente, section 05AY, pour les objets de la catégorie dérivée d’un schéma. Le résultat le plus simple de ce type est sans doute le suivant.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme surjectif et plat de schémas (ou, plus généralement, d’espaces localement annelés). Soit \(E \in D(\mathcal{O}_Y)\). Soient \(a, b \in \mathbf{Z}\). Alors \(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) si et seulement si \(Lf^*E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\).

Démonstration

L’image réciproque préserve toujours l’amplitude de Tor ; voir Cohomologie, lemme 09U8. On peut vérifier sur les fibres que l’amplitude de Tor est contenue dans \([a, b]\) ; voir Cohomologie, lemme 09U9. Un homomorphisme local et plat d’anneaux est fidèlement plat d’après Algèbre, lemme 00HR. Le résultat découle donc de Compléments sur l’algèbre, lemme 068S.

Lemme

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}\) un recouvrement fpqc de schémas. Soit \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Soit \(m \in \mathbf{Z}\). Alors \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent si et seulement si chaque \(Lf_i^*E\) est \(m\)-pseudo-cohérent.

Démonstration

L’image réciproque préserve toujours la \(m\)-pseudo-cohérence ; voir Cohomologie, lemme 09U7. Réciproquement, supposons que \(Lf_i^*E\) soit \(m\)-pseudo-cohérent pour tout \(i\). Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Il suffit de démontrer que \(E|_U\) est \(m\)-pseudo-cohérent. Puisque \(\{f_i : X_i \to X\}\) est un recouvrement fpqc, on peut trouver un nombre fini d’ouverts affines \(V_j \subset X_{a(j)}\) tels que \(f_{a(j)}(V_j) \subset U\) et \(U = \bigcup f_{a(j)}(V_j)\). Posons \(V = \coprod V_i\). On peut donc remplacer \(X\) par \(U\) et \(\{f_i : X_i \to X\}\) par \(\{V \to U\}\), et supposer que \(X\) est affine et que le recouvrement est donné par un unique morphisme surjectif et plat \(\{f : Y \to X\}\) de schémas affines. Dans ce cas, le résultat découle de Compléments sur l’algèbre, lemme 068R, à l’aide des lemmes 06Z0 et 08E7.

Lemme

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}\) un recouvrement fppf de schémas. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\). Soit \(m \in \mathbf{Z}\). Alors \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent si et seulement si chaque \(Lf_i^*E\) est \(m\)-pseudo-cohérent.

Démonstration

L’image réciproque préserve toujours la \(m\)-pseudo-cohérence ; voir Cohomologie, lemme 09U7. Réciproquement, supposons que \(Lf_i^*E\) soit \(m\)-pseudo-cohérent pour tout \(i\). Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Il suffit de démontrer que \(E|_U\) est \(m\)-pseudo-cohérent. Puisque \(\{f_i : X_i \to X\}\) est un recouvrement fppf, on peut trouver un nombre fini d’ouverts affines \(V_j \subset X_{a(j)}\) tels que \(f_{a(j)}(V_j) \subset U\) et \(U = \bigcup f_{a(j)}(V_j)\). Posons \(V = \coprod V_i\). On peut donc remplacer \(X\) par \(U\) et \(\{f_i : X_i \to X\}\) par \(\{V \to U\}\), et supposer que \(X\) est affine et que le recouvrement est donné par un unique morphisme surjectif et plat \(\{f : Y \to X\}\) de présentation finie.

Puisque \(f\) est plat, le foncteur dérivé \(Lf^*\) est donné par \(f^*\), et \(f^*\) est exact. Ainsi \(H^i(Lf^*E) = f^*H^i(E)\). Puisque \(Lf^*E\) est \(m\)-pseudo-cohérent, on a \(Lf^*E \in D^-(\mathcal{O}_Y)\). Puisque \(f\) est surjectif et plat, on a \(E \in D^-(\mathcal{O}_X)\). Soit \(i \in \mathbf{Z}\) le plus grand entier tel que \(H^i(E)\) soit non nul. Si \(i < m\), la conclusion est acquise. Sinon, \(f^*H^i(E)\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module de type fini d’après Cohomologie, lemme 08DN. D’après Descente, lemme 09UB, le \(\mathcal{O}_X\)-module \(H^i(E)\) est alors de type fini. Ainsi, quitte à remplacer \(X\) par les membres d’un recouvrement ouvert affine fini, on peut supposer qu’il existe un morphisme \[\alpha : \mathcal{O}_X^{\oplus n}[-i] \longrightarrow E\] tel que \(H^i(\alpha)\) soit surjectif. Soit \(C\) le cône de \(\alpha\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). En prenant l’image réciproque sur \(Y\) et en utilisant Cohomologie, lemme 08CD, on voit que \(Lf^*C\) est \(m\)-pseudo-cohérent. De plus, \(H^j(C) = 0\) pour \(j \geq i\). Par récurrence sur \(i\), on en déduit que \(C\) est \(m\)-pseudo-cohérent. En appliquant de nouveau Cohomologie, lemme 08CD, on conclut.

Lemme

Soit \(\{f_i : X_i \to X\}\) un recouvrement fpqc de schémas. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\). Alors \(E\) est parfait si et seulement si chaque \(Lf_i^*E\) est parfait.

Démonstration

L’image réciproque préserve toujours les complexes parfaits ; voir Cohomologie, lemme 09UA. Réciproquement, supposons que \(Lf_i^*E\) soit parfait pour tout \(i\). Les faisceaux de cohomologie de chaque \(Lf_i^*E\) sont alors quasi-cohérents ; voir le lemme 08E5 et Cohomologie, lemme 08CQ. Puisque les morphismes \(f_i\) sont plats, on a \(H^p(Lf_i^*E) = f_i^*H^p(E)\). Les faisceaux de cohomologie de \(E\) sont donc quasi-cohérents d’après Descente, proposition 023T. Cela étant, le lemme résulte formellement de Cohomologie, lemme 08CQ, et des lemmes 09UD et 09UE.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) un morphisme d’espaces annelés tel que \(i\) soit une immersion fermée des espaces topologiques sous-jacents et que \(i_*\mathcal{O}_Z\) soit pseudo-cohérent en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_Z)\). Alors \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent si et seulement si \(Ri_*E\) est \(m\)-pseudo-cohérent.

Démonstration

Tout au long de cette démonstration, on utilisera l’exactitude du foncteur \(i_*\) et, par suite, l’égalité \(Ri_* = i_*\) ; voir Modules, lemme 01AX.

Supposons \(E\) \(m\)-pseudo-cohérent. Soit \(x \in X\). Nous allons trouver un voisinage de \(x\) sur lequel \(i_*E\) soit \(m\)-pseudo-cohérent. Si \(x \not \in Z\), c’est clair. On peut donc supposer \(x \in Z\). Nous utiliserons le fait que les \(U \cap Z\), pour \(x \in U \subset X\) ouvert, forment un système fondamental de voisinages de \(x\) dans \(Z\). Quitte à restreindre \(X\), on peut supposer \(E\) borné supérieurement. Nous raisonnons par récurrence sur le plus grand entier \(p\) tel que \(H^p(E)\) soit non nul. Si \(p < m\), il n’y a rien à démontrer. Si \(p \geq m\), alors \(H^p(E)\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module de type fini ; voir Cohomologie, lemme 08DN. On peut donc choisir, quitte à restreindre \(X\), un morphisme \(\mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p] \to E\) qui induit une surjection \(\mathcal{O}_Z^{\oplus n} \to H^p(E)\). Choisissons un triangle distingué \[\mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p] \to E \to C \to \mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p + 1]\] On voit que \(H^j(C) = 0\) pour \(j \geq p\) et que \(C\) est \(m\)-pseudo-cohérent d’après Cohomologie, lemme 08CD. Par récurrence, \(i_*C\) est \(m\)-pseudo-cohérent sur \(X\). Puisque \(i_*\mathcal{O}_Z\) est aussi \(m\)-pseudo-cohérent sur \(X\), on déduit du triangle distingué \[i_*\mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p] \to i_*E \to i_*C \to i_*\mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p + 1]\] et de Cohomologie, lemme 08CD, que \(i_*E\) est \(m\)-pseudo-cohérent.

Supposons que \(i_*E\) soit \(m\)-pseudo-cohérent. Soit \(z \in Z\). Nous allons trouver un voisinage de \(z\) sur lequel \(E\) soit \(m\)-pseudo-cohérent. Nous utiliserons le fait que les \(U \cap Z\), pour \(z \in U \subset X\) ouvert, forment un système fondamental de voisinages de \(z\) dans \(Z\). Quitte à restreindre \(X\), on peut supposer \(i_*E\) et donc \(E\) bornés supérieurement. Nous raisonnons par récurrence sur le plus grand entier \(p\) tel que \(H^p(E)\) soit non nul. Si \(p < m\), il n’y a rien à démontrer. Si \(p \geq m\), alors \(H^p(i_*E) = i_*H^p(E)\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini ; voir Cohomologie, lemme 08DN. Choisissons un complexe \(\mathcal{E}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_Z\)-modules représentant \(E\). On peut choisir, quitte à restreindre \(X\), un morphisme \(\alpha : \mathcal{O}_X^{\oplus n}[-p] \to i_*\mathcal{E}^\bullet\) qui induit une surjection \(\mathcal{O}_X^{\oplus n} \to i_*H^p(\mathcal{E}^\bullet)\). Par adjonction, on obtient un morphisme \(\alpha : \mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p] \to \mathcal{E}^\bullet\) qui induit une surjection \(\mathcal{O}_Z^{\oplus n} \to H^p(\mathcal{E}^\bullet)\). Choisissons un triangle distingué \[\mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p] \to E \to C \to \mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p + 1]\] On voit que \(H^j(C) = 0\) pour \(j \geq p\). Du triangle distingué \[i_*\mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p] \to i_*E \to i_*C \to i_*\mathcal{O}_Z^{\oplus n}[-p + 1]\] du fait que \(i_*\mathcal{O}_Z\) est pseudo-cohérent et de Cohomologie, lemme 08CD, on déduit que \(i_*C\) est \(m\)-pseudo-cohérent. Par récurrence, \(C\) est \(m\)-pseudo-cohérent. En appliquant de nouveau Cohomologie, lemme 08CD, on en déduit que \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini de schémas tel que \(f_*\mathcal{O}_X\) soit pseudo-cohérent en tant que \(\mathcal{O}_Y\)-module². Soit \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Alors \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent si et seulement si \(Rf_*E\) est \(m\)-pseudo-cohérent.

Démonstration

Il s’agit de la traduction de Compléments sur l’algèbre, lemme 064Z, dans le langage des schémas. Pour effectuer ce passage, utiliser les lemmes 06Z0 et 08E7.

Relèvement des complexes

Soit \(U \subset X\) un sous-espace ouvert d’un espace annelé, et notons \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Le foncteur \(D(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_U)\) est essentiellement surjectif car \(Rj_*\) est un inverse à droite de la restriction. Dans cette section, nous étendons ce résultat aux complexes dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents, etc.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(j : U \to X\) une immersion ouverte quasi-compacte. Les foncteurs \[D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_U) \quad\text{et}\quad D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D^+_\QCoh(\mathcal{O}_U)\] sont essentiellement surjectifs. Si \(X\) est quasi-compact, les foncteurs \[D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D^-_\QCoh(\mathcal{O}_U) \quad\text{et}\quad D^b_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D^b_\QCoh(\mathcal{O}_U)\] sont essentiellement surjectifs.

Démonstration

L’argument précédant le lemme s’applique au premier cas, car \(Rj_*\) envoie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 08D5. Il est clair que \(Rj_*\) envoie \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) dans \(D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), ce qui donne l’assertion relative aux complexes bornés inférieurement. Enfin, le lemme 08D5 assure que \(Rj_*\) envoie \(D^-_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) dans \(D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) si \(X\) est quasi-compact. La dernière assertion résulte de ces deux faits.

Lemme

Soient \(X\) un schéma noethérien et \(j : U \to X\) une immersion ouverte. Le foncteur \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_U)\) est essentiellement surjectif.

Démonstration

Soit \(K\) un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_U)\). D’après la proposition 0FDB, on peut représenter \(K\) par un complexe borné \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents. Écrivons \(\mathcal{F}^i = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\), avec \(a \leq b\). Puisque \(j\) est quasi-compact et séparé, les termes du complexe borné \(j_*\mathcal{F}^\bullet\) sont des modules quasi-cohérents sur \(X\), voir Schémas, lemme 01LC. Choisissons par récurrence un sous-module cohérent \(\mathcal{G}^i \subset j_*\mathcal{F}^i\) de la façon suivante. Pour \(i = a\), choisissons un sous-module cohérent quelconque \(\mathcal{G}^a \subset j_*\mathcal{F}^a\) dont la restriction à \(U\) soit \(\mathcal{F}^a\). C’est possible d’après Propriétés, lemme 01PF. Pour \(i > a\), choisissons d’abord un sous-module cohérent quelconque \(\mathcal{H}^i \subset j_*\mathcal{F}^i\) dont la restriction à \(U\) soit \(\mathcal{F}^i\), puis posons \(\mathcal{G}^i = \Im(\mathcal{H}^i \oplus \mathcal{G}^{i - 1} \to j_*\mathcal{F}^i)\). Il est clair que \(\mathcal{G}^\bullet \subset j_*\mathcal{F}^\bullet\) est un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents dont la restriction à \(U\) est \(\mathcal{F}^\bullet\), comme voulu.

Lemme

Soient \(X\) un schéma affine et \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert quasi-compact. Pour tout objet pseudo-cohérent \(E\) de \(D(\mathcal{O}_U)\), il existe un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules libres de rang fini dont la restriction à \(U\) est isomorphe à \(E\).

Démonstration

D’après le lemme 08E5, \(E\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). D’après le lemme 08ED, on peut supposer que \(E = E'|U\) pour un objet \(E'\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Écrivons \(X = \Spec(A)\). D’après le lemme 06Z0, on peut trouver un complexe \(M^\bullet\) de \(A\)-modules dont le complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules associé représente \(E'\).

Choisissons \(f_1, \ldots, f_r \in A\) tels que \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r)\). D’après le lemme 08E7, les complexes \(M^\bullet_{f_j}\) sont des complexes pseudo-cohérents de \(A_{f_j}\)-modules. Soit \(n\) un entier. Supposons donné un morphisme de complexes \(\alpha : F^\bullet \to M^\bullet\), où \(F^\bullet\) est borné supérieurement, \(F^i = 0\) pour \(i < n\), et chaque \(F^i\) est un \(R\)-module libre de rang fini, tel que \[H^i(\alpha_{f_j}) : H^i(F^\bullet_{f_j}) \to H^i(M^\bullet_{f_j})\] soit un isomorphisme pour \(i > n\) et soit surjectif pour \(i = n\). On a le diagramme \[\xymatrix{ & F^n \ar[r] \ar[d]^\alpha & F^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \\ M^{n-1} \ar[r] & M^n \ar[r] & M^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] Puisque chaque \(M^\bullet_{f_j}\) a sa cohomologie nulle en degrés assez grands, on peut trouver un tel morphisme pour \(n \gg 0\). Par récurrence sur \(n\), nous allons le prolonger en un morphisme de complexes \(F^\bullet \to M^\bullet\) tel que \(H^i(\alpha_{f_j})\) soit un isomorphisme pour tout \(i\). Le lemme en résultera en prenant \(\widetilde{F^\bullet}\).

L’étape de récurrence consiste à prolonger le diagramme ci-dessus en ajoutant \(F^{n - 1}\). Soit \(C^\bullet\) le cône de \(\alpha\) (Catégories dérivées, définition 014E). La suite exacte longue de cohomologie montre que \(H^i(C^\bullet_{f_j}) = 0\) pour \(i \geq n\). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 064R, \(C^\bullet_{f_j}\) est \((n - 1)\)-pseudo-cohérent. D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 064S, \(H^{n - 1}(C^\bullet_{f_j})\) est un \(A_{f_j}\)-module de type fini. Choisissons un \(A\)-module libre de rang fini \(F^{n - 1}\) et un morphisme de \(A\)-modules \(\beta : F^{n - 1} \to C^{n - 1}\) tels que le composé \(F^{n - 1} \to C^{n - 1} \to C^n\) soit nul et que \(F^{n - 1}_{f_j}\) se surjecte sur \(H^{n - 1}(C^\bullet_{f_j})\). (Certains détails sont omis ; indication : chasser les dénominateurs.) Puisque \(C^{n - 1} = M^{n - 1} \oplus F^n\), on peut écrire \(\beta = (\alpha^{n - 1}, -d^{n - 1})\). La nullité du composé \(F^{n - 1} \to C^{n - 1} \to C^n\) implique que ces applications s’insèrent dans un morphisme de complexes \[\xymatrix{ & F^{n - 1} \ar[d]^{\alpha^{n - 1}} \ar[r]_{d^{n - 1}} & F^n \ar[r] \ar[d]^\alpha & F^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & M^{n - 1} \ar[r] & M^n \ar[r] & M^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] De plus, ces applications définissent un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ (F^n \to \ldots) \ar[r] \ar[d] & (F^{n-1} \to \ldots) \ar[r] \ar[d] & F^{n-1} \ar[r] \ar[d]_\beta & (F^n \to \ldots)[1] \ar[d] \\ (F^n \to \ldots) \ar[r] & M^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & (F^n \to \ldots)[1] }\] Le choix de \(\beta\) implique donc que le morphisme de complexes \((F^{-1} \to \ldots) \to M^\bullet\) induit un isomorphisme sur la cohomologie localisée en \(f_j\) en degrés \(\geq n\) et une surjection en degré \(n - 1\). Ceci achève la démonstration du lemme.

Les deux lemmes suivants devraient probablement être placés ailleurs.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(E \in D^b_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Il existe un entier \(n_0 > 0\) tel que \(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{E}, E) = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang fini \(\mathcal{E}\) et tout \(n \geq n_0\).

Démonstration

Rappelons que \(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{E}, E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{E}, E[n])\). Nous disposons de Mayer-Vietoris pour les morphismes dans la catégorie dérivée, voir Cohomologie, lemme 08BW. Ainsi, si \(X = U \cup V\) et si la conclusion du lemme vaut pour \(E|_U\), \(E|_V\) et \(E|_{U \cap V}\) avec une borne \(n_0\), elle vaut pour \(E\) avec la borne \(n_0 + 1\). Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(X\) est affine, voir Cohomologie des schémas, lemme 08DR.

Supposons que \(X = \Spec(A)\) soit affine. Choisissons un complexe de \(A\)-modules \(M^\bullet\) dont le complexe de modules quasi-cohérents associé représente \(E\), voir le lemme 06Z0. Écrivons \(\mathcal{E} = \widetilde{P}\) pour un \(A\)-module \(P\). Puisque \(\mathcal{E}\) est localement libre de rang fini, \(P\) est un \(A\)-module projectif de type fini. On a \[\begin{align*} \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{E}, E[n]) & = \Hom_{D(A)}(P, M^\bullet[n]) \\ & = \Hom_{K(A)}(P, M^\bullet[n]) \\ & = \Hom_A(P, H^n(M^\bullet)) \end{align*}\] La première égalité résulte du lemme 06Z0, la deuxième de Catégories dérivées, lemme 064B, et la dernière de l’exactitude du foncteur \(\Hom_A(P, -)\). Comme \(E\), et donc \(M^\bullet\), est borné, on obtient zéro pour tout \(n\) assez grand.

On peut renforcer le lemme suivant (l’annulation est uniforme pour tous les \(L\) dont les faisceaux de cohomologie non nuls sont concentrés dans un intervalle fixé).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(K\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors

il existe des entiers \(a \leq b\) tels que, pour tout \(L \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) avec \(H^i(L) = 0\) pour \(i \in [a, b]\), on ait \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = 0\), et

si \(L\) est borné, alors \(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L)\) est nul sauf pour un nombre fini de valeurs de \(n\).

Démonstration

L’assertion (2) résulte de (1), car \(\Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L[n])\). Démontrons (1). Puisque \(K\) est parfait, on a \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L) = H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] où \(K^\vee\) est le complexe parfait « dual » de \(K\), voir Cohomologie, lemme 08DQ. Notons que \(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L\) appartient à \(D_\QCoh(X)\) d’après les lemmes 08DX et 08E5 (ce dernier montre qu’un complexe parfait a des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents). Supposons que \(K^\vee\) ait une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\). Alors la suite spectrale \[E_1^{p, q} = H^p(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} H^q(L)) \Rightarrow H^{p + q}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] montre que \(H^j(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\) est nul si \(H^q(L) = 0\) pour \(q \in [j - b, j - a]\). Soit \(N\) l’entier \(d\) de Cohomologie des schémas, lemme 071L. Alors \(H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\) est nul si les faisceaux de cohomologie \[H^{-N}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), \ H^{-N + 1}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L), \ \ldots, \ H^0(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L)\] sont nuls. En effet, d’après le lemme cité et le lemme 08D4, on a \[H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L) = H^0(X, \tau_{\geq -N}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L))\] et, par annulation des faisceaux de cohomologie, ceci est égal à \(H^0(X, \tau_{\geq 1}(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} L))\), qui est nul d’après Catégories dérivées, lemme 05TC. Il en résulte que \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L)\) est nul si \(H^i(L) = 0\) pour \(i \in [-b - N, -a]\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Pour tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_U)\), il existe un entier \(r\) et un faisceau localement libre de rang fini \(\mathcal{F}\) sur \(U\) tels que \(\mathcal{F}[-r] \oplus E\) soit la restriction d’un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Écrivons \(X = \Spec(A)\). Rappelons qu’un complexe parfait est pseudo-cohérent, voir Cohomologie, lemme 08CQ. D’après le lemme 08EE, on peut trouver un complexe borné supérieurement \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(A\)-modules libres de rang fini tel que \(E\) soit isomorphe à \(\mathcal{F}^\bullet|_U\) dans \(D(\mathcal{O}_U)\). D’après Cohomologie, lemme 08CQ, et puisque \(U\) est quasi-compact, \(E\) est de dimension de Tor finie ; supposons que \(E\) ait une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\). Choisissons \(r < a\) et posons \[\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F}^{r} \to \mathcal{F}^{r + 1}) = \Im(\mathcal{F}^{r - 1} \to \mathcal{F}^r).\] Puisque \(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\), \(\mathcal{F} = \mathcal{K}|_U\) est plat (Cohomologie, lemme 08CH). Ainsi \(\mathcal{F}\) est plat et de présentation finie, donc localement libre de rang fini (Propriétés, lemme 05P2). Il en résulte que \[\mathcal{F} \to \mathcal{F}^r|_U \to \mathcal{F}^{r + 1}|_U \to \ldots\] est un complexe strictement parfait sur \(U\) représentant \(E\). D’autre part, le complexe \(P = (\mathcal{F}^r \to \mathcal{F}^{r + 1} \to \ldots )\) est un complexe parfait sur \(X\). Les troncatures bêtes donnent un triangle distingué \[P|_U \to E \to \mathcal{F}[-r - 1] \to (P|_U)[1]\] Si le morphisme \(E \to \mathcal{F}[-r - 1]\) est nul dans \(D(\mathcal{O}_U)\), alors \(P|_U = \mathcal{F}[-r - 2] \oplus E\), voir Catégories dérivées, lemme 05QT. C’est le cas pour \(r \ll 0\), par exemple d’après le lemme 09M4.

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Soient \(E, E'\) des objets de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), avec \(E\) parfait. Pour tout morphisme \(\alpha : E|_U \to E'|_U\), il existe des morphismes \[E \xleftarrow{\beta} E_1 \xrightarrow{\gamma} E'\] de complexes sur \(X\), avec \(E_1\) parfait, tels que \(\beta : E_1 \to E\) se restreigne en un isomorphisme sur \(U\) et que \(\alpha = \gamma|_U \circ \beta|_U^{-1}\). De plus, on peut supposer que \(E_1 = E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} I\) pour un complexe parfait \(I\) sur \(X\).

Démonstration

Écrivons \(X = \Spec(A)\). Écrivons \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r)\). Choisissons un complexe borné de \(A\)-modules projectifs de type fini \(M^\bullet\) représentant \(E\) (lemme 08EB). Choisissons un complexe de \(A\)-modules \((M')^\bullet\) représentant \(E'\) (lemme 06Z0). Alors le complexe \(H^\bullet = \Hom_A(M^\bullet, (M')^\bullet)\) est un complexe de \(A\)-modules dont le complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents associé représente \(R\SheafHom(E, E')\), voir Cohomologie, lemme 08DM. Le morphisme \(\alpha\) détermine un élément \(s\) de \(H^0(U, R\SheafHom(E, E'))\), voir Cohomologie, lemme 08DK. Il existe un \(e\) et un morphisme \[\xi : I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e) \to \Hom_A(M^\bullet, (M')^\bullet)\] correspondant à \(s\), voir la proposition 08DD. En prenant pour \(E_1\) l’objet correspondant au complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents associé à \[\text{Tot}(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e) \otimes_A M^\bullet)\] on obtient \(E_1 \to E\) à l’aide du morphisme canonique \(I^\bullet(f_1^e, \ldots, f_r^e) \to A\), et \(E_1 \to E'\) à l’aide de \(\xi\) et de Cohomologie, lemme 08DK.

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Pour tout objet parfait \(F\) de \(D(\mathcal{O}_U)\), l’objet \(F \oplus F[1]\) est la restriction d’un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

D’après le lemme 08EG, on peut trouver un objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(E|_U = \mathcal{F}[r] \oplus F\) pour un \(\mathcal{O}_U\)-module localement libre de rang fini \(\mathcal{F}\). D’après le lemme 08EH, on peut trouver un morphisme de complexes parfaits \(\alpha : E_1 \to E\) tel que \((E_1)|_U \cong E|_U\) et que \(\alpha|_U\) soit le morphisme \[\left( \begin{matrix} \text{id}_{\mathcal{F}[r]} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) : \mathcal{F}[r] \oplus F \to \mathcal{F}[r] \oplus F\] Le cône de \(\alpha\) convient alors.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Pour tout morphisme \(\alpha : E \to E'\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) tel que

\(E\) soit parfait, et

\(E'\) soit à support dans \(T = V(f)\),

il existe un \(n \geq 0\) tel que \(f^n \alpha = 0\).

Démonstration

Nous disposons de Mayer-Vietoris pour les morphismes dans la catégorie dérivée, voir Cohomologie, lemme 08BW. Ainsi, si \(X = U \cup V\) et si la conclusion du lemme vaut pour \(f|_U\), \(f|_V\) et \(f|_{U \cap V}\), elle vaut pour \(f\). Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(X\) est affine, voir Cohomologie des schémas, lemme 08DR.

Soit \(X = \Spec(A)\). Alors \(f \in A\). Nous utiliserons l’équivalence \(D(A) = D_\QCoh(X)\) du lemme 06Z0 sans la mentionner davantage. Représentons \(E\) par un complexe borné de \(A\)-modules projectifs de type fini \(P^\bullet\). C’est possible d’après le lemme 08EB. Soit \(t\) le plus grand entier tel que \(P^t\) soit non nul. Le triangle distingué \[P^t[-t] \to P^\bullet \to \sigma_{\leq t - 1}P^\bullet \to P^t[-t + 1]\] montre que, par récurrence sur la longueur du complexe \(P^\bullet\), on peut se ramener au cas où \(P^\bullet\) n’a qu’un seul terme non nul. Ceci, joint au foncteur de décalage, nous ramène au cas où \(P^\bullet\) est constitué d’un seul \(A\)-module projectif de type fini \(P\) en degré \(0\). Représentons \(E'\) par un complexe \(M^\bullet\) de \(A\)-modules. Alors \(\alpha\) correspond à un morphisme \(P \to H^0(M^\bullet)\). Puisque le module \(H^0(M^\bullet)\) est à support dans \(V(f)\) par l’hypothèse (2), tout élément de \(H^0(M^\bullet)\) est annulé par une puissance de \(f\). Comme \(P\) est un \(A\)-module de type fini, le morphisme \(f^n\alpha : P \to H^0(M^\bullet)\) est nul pour un certain \(n\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé tel que \(X \setminus T\) soit quasi-compact. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Pour tout objet parfait \(F\) de \(D(\mathcal{O}_U)\) à support dans \(T \cap U\), l’objet \(F \oplus F[1]\) est la restriction d’un objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) à support dans \(T\).

Démonstration

Écrivons \(T = V(g_1, \ldots, g_s)\). En remplaçant \(g_j\) par une puissance, on peut supposer que la multiplication par \(g_j\) est nulle sur \(F\), voir le lemme 08EJ. Choisissons \(E\) comme dans le lemme 08EI. Notons que \(g_j : E \to E\) se restreint à zéro sur \(U\). Choisissons un triangle distingué \[E \xrightarrow{g_1} E \to C_1 \to E[1]\] D’après Catégories dérivées, lemme 05QT, l’objet \(C_1\) se restreint à \(F \oplus F[1] \oplus F[1] \oplus F[2]\) sur \(U\). De plus, \(g_1 : C_1 \to C_1\) est de carré nul d’après Catégories dérivées, lemme 05QP. En effet, le diagramme \[\xymatrix{ E \ar[r] \ar[d]_0 & C_1 \ar[d]_{g_1} \ar[r] & E[1] \ar[d]_0 \\ E \ar[r] & C_1 \ar[r] & E[1] }\] est commutatif, car les composés \(E \xrightarrow{g_1} E \to C_1\) et \(C_1 \to E[1] \xrightarrow{g_1} E[1]\) sont nuls. En poursuivant, et en prenant pour \(C_{i + 1}\) le cône du morphisme \(g_i : C_i \to C_i\), on obtient un complexe parfait \(C_s\) sur \(X\) à support dans \(T\) dont la restriction à \(U\) est \[F \oplus F[1]^{\oplus s} \oplus F[2]^{\oplus {s \choose 2}} \oplus \ldots \oplus F[s]\] Choisissons des morphismes de complexes parfaits \(\beta : C' \to C_s\) et \(\gamma : C' \to C_s\) comme dans le lemme 08EH, tels que \(\beta|_U\) soit un isomorphisme et que \(\gamma|_U \circ \beta|_U^{-1}\) soit le morphisme \[F \oplus F[1]^{\oplus s} \oplus F[2]^{\oplus {s \choose 2}} \oplus \ldots \oplus F[s] \to F \oplus F[1]^{\oplus s} \oplus F[2]^{\oplus {s \choose 2}} \oplus \ldots \oplus F[s]\] qui est l’identité sur tous les facteurs directs sauf sur \(F\), où il est nul. D’après le lemme 08EH, on a aussi \(C' = C_s \otimes^\mathbf{L} I\) pour un complexe parfait \(I\) sur \(X\). La nullité de \(g_j^2\text{id}_{C_s}\) entraîne donc la même propriété pour \(C'\). Ainsi \(C'\) est également à support dans \(T\). Alors \(\text{Cone}(\gamma)\) convient.

On trouvera un cas particulier du lemme suivant dans [Neeman-Grothendieck].

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé tel que \(X \setminus T\) soit rétrocompact dans \(X\). Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Soit \(\alpha : P \to E|_U\) un morphisme, où \(P\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_U)\) à support dans \(T \cap U\). Il existe alors un morphisme \(\beta : R \to E\), où \(R\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) à support dans \(T\), tel que \(P\) soit facteur direct de \(R|_U\) dans \(D(\mathcal{O}_U)\), de façon compatible avec \(\alpha\) et \(\beta|_U\).

Démonstration

Puisque \(X\) est quasi-compact, il existe un entier \(m\) tel que \(X = U \cup V_1 \cup \ldots \cup V_m\) pour des ouverts affines \(V_j\) de \(X\). Par récurrence sur \(m\), on voit que l’on peut supposer \(m = 1\). Autrement dit, on peut supposer que \(X = U \cup V\), avec \(V\) affine. D’après le lemme 08EK, on peut choisir un objet parfait \(Q\) de \(D(\mathcal{O}_V)\) à support dans \(T \cap V\) et un isomorphisme \(Q|_{U \cap V} \to (P \oplus P[1])|_{U \cap V}\). D’après le lemme 08EH, on peut remplacer \(Q\) par \(Q \otimes^\mathbf{L} I\) (toujours à support dans \(T \cap V\)) et supposer que le morphisme \[Q|_{U \cap V} \to (P \oplus P[1])|_{U \cap V} \longrightarrow P|_{U \cap V} \longrightarrow E|_{U \cap V}\] se relève en \(Q \to E|_V\). D’après Cohomologie, lemme 08DG, on trouve un morphisme \(a : R \to E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(a|_U\) soit isomorphe à \(P \oplus P[1] \to E|_U\) et \(a|_V\) soit isomorphe à \(Q \to E|_V\). Ainsi \(R\) est parfait et à support dans \(T\), comme voulu.

Remarque

La démonstration du lemme 09IM montre que \[R|_U = P \oplus P^{\oplus n_1}[1] \oplus \ldots \oplus P^{\oplus n_m}[m]\] pour des entiers \(m \geq 0\) et \(n_j \geq 0\). Ainsi le faisceau de cohomologie de plus haut degré de \(R|_U\) est celui de \(P\). En répétant la construction pour le morphisme \(P^{\oplus n_1}[1] \oplus \ldots \oplus P^{\oplus n_m}[m] \to R|_U\), en prenant des cônes et en procédant par récurrence, on peut obtenir l’égalité des faisceaux de cohomologie de \(R|_U\) et de \(P\) en tout degré supérieur à une borne donnée.

Approximation par des complexes parfaits

Dans cette section, nous étudions l’observation, due à Neeman et Lipman, selon laquelle un complexe pseudo-cohérent peut être « approché » par des complexes parfaits.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Considérons les triplets \((T, E, m)\) où

\(T \subset X\) est un sous-ensemble fermé,

\(E\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), et

\(m \in \mathbf{Z}\).

On dit que l’approximation est possible pour le triplet \((T, E, m)\) s’il existe un objet parfait \(P\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) à support dans \(T\) et un morphisme \(\alpha : P \to E\) qui induit des isomorphismes \(H^i(P) \to H^i(E)\) pour \(i > m\) et une surjection \(H^m(P) \to H^m(E)\).

L’approximation ne peut pas être possible pour tout triplet. En effet, il est clair que, si l’approximation est possible pour le triplet \((T, E, m)\), alors

\(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent, voir Cohomologie, définition 08CB, et
les faisceaux de cohomologie \(H^i(E)\) sont à support dans \(T\) pour \(i \geq m\).

De plus, le « support » d’un complexe parfait est un sous-schéma fermé dont le complémentaire est rétrocompact dans \(X\) (détails omis). On ne peut donc espérer que l’approximation soit possible sans cette hypothèse sur \(T\). Ceci explique en partie les conditions de la définition suivante.

Définition

Soit \(X\) un schéma. On dit que l’approximation par des complexes parfaits est possible sur \(X\) si, pour tout sous-ensemble fermé \(T \subset X\) tel que \(X \setminus T\) soit rétrocompact dans \(X\), il existe un entier \(r\) tel que, pour tout triplet \((T, E, m)\) comme dans la définition 08EM vérifiant

\(E\) est \((m - r)\)-pseudo-cohérent, et

\(H^i(E)\) est à support dans \(T\) pour \(i \geq m - r\),

l’approximation soit possible.

Nous démontrerons que l’approximation par des complexes parfaits est possible pour les schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Il semble que la deuxième condition soit nécessaire à notre méthode de démonstration. Il est possible que la première condition puisse être affaiblie en « \(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent » par une analyse soigneuse des arguments ci-dessous.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Soit \((T, E, m)\) un triplet comme dans la définition 08EM. Si

\(T \subset U\),

l’approximation est possible pour \((T, E|_U, m)\), et

les faisceaux \(H^i(E)\) pour \(i \geq m\) sont à support dans \(T\),

alors l’approximation est possible pour \((T, E, m)\).

Démonstration

Soit \(j : U \to X\) le morphisme d’inclusion. Si \(P \to E|_U\) est une approximation du triplet \((T, E|_U, m)\) sur \(U\), alors \(j_!P = Rj_*P \to j_!(E|_U) \to E\) est une approximation de \((T, E, m)\) sur \(X\). Voir Cohomologie, lemmes 08DF et 08DP.

Lemme

Soit \(X\) un schéma affine. Alors l’approximation est possible pour tout triplet \((T, E, m)\) comme dans la définition 08EM tel qu’il existe un entier \(r \geq 0\) vérifiant

\(E\) est \(m\)-pseudo-cohérent,

\(H^i(E)\) est à support dans \(T\) pour \(i \geq m - r + 1\),

\(X \setminus T\) est la réunion de \(r\) ouverts affines.

En particulier, l’approximation par des complexes parfaits est possible pour les schémas affines.

Démonstration

Écrivons \(X = \Spec(A)\). Écrivons \(T = V(f_1, \ldots, f_r)\). (Le cas \(r = 0\), c’est-à-dire \(T = X\), résulte immédiatement du lemme 08E7 et des définitions.) Soit \((T, E, m)\) un triplet comme dans le lemme. Soit \(t\) le plus grand entier tel que \(H^t(E)\) soit non nul. Nous procéderons par récurrence sur \(t\). Le cas initial est \(t < m\) ; le résultat est alors trivial. Supposons maintenant que \(t \geq m\). D’après Cohomologie, lemme 08DN, le faisceau \(H^t(E)\) est de type fini. Comme il est quasi-cohérent, il est engendré par un nombre fini de sections (Propriétés, lemme 01PB). Pour tout \(s \in \Gamma(X, H^t(E)) = H^t(X, E)\) (voir la démonstration du lemme 06Z0), on peut trouver un \(e > 0\) et un morphisme \(K_e[-t] \to E\) tels que \(s\) appartienne à l’image de \(H^0(K_e) = H^t(K_e[-t]) \to H^t(E)\), voir le lemme 08E3. Une somme directe finie de ces morphismes donne un morphisme \(P \to E\), où \(P\) est un complexe parfait à support dans \(T\), où \(H^i(P) = 0\) pour \(i > t\), et où \(H^t(P) \to E\) est surjectif. Choisissons un triangle distingué \[P \to E \to E' \to P[1]\] Alors \(E'\) est \(m\)-pseudo-cohérent (Cohomologie, lemme 08CD), \(H^i(E') = 0\) pour \(i \geq t\), et \(H^i(E')\) est à support dans \(T\) pour \(i \geq m - r + 1\). Par récurrence, on trouve une approximation \(P' \to E'\) de \((T, E', m)\). Insérons le composé \(P' \to E' \to P[1]\) dans un triangle distingué \(P \to P'' \to P' \to P[1]\) et prolongeons les morphismes \(P' \to E'\) et \(P[1] \to P[1]\) en un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ P \ar[r] \ar[d] & P'' \ar[d] \ar[r] & P' \ar[d] \ar[r] & P[1] \ar[d] \\ P \ar[r] & E \ar[r] & E' \ar[r] & P[1] }\] à l’aide de TR3. Alors \(P''\) est un complexe parfait (Cohomologie, lemme 08CR) à support dans \(T\). Une chasse au diagramme immédiate montre que \(P'' \to E\) est l’approximation cherchée.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(X = U \cup V\) un recouvrement ouvert, avec \(U\) quasi-compact, \(V\) affine et \(U \cap V\) quasi-compact. Si l’approximation par des complexes parfaits est possible sur \(U\), elle est possible sur \(X\).

Démonstration

Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé tel que \(X \setminus T\) soit rétrocompact dans \(X\). Soit \(r_U\) l’entier de la définition 08EN adapté au couple \((U, T \cap U)\). Posons \(T' = T \setminus U\). Notons que \(T' \subset V\) et que \(V \setminus T' = (X \setminus T) \cap U \cap V\) est quasi-compact par notre hypothèse sur \(T\). Soit \(r'\) le nombre d’ouverts affines nécessaires pour recouvrir \(V \setminus T'\). Nous affirmons que \(r = \max(r_U, r')\) convient pour le couple \((X, T)\).

Pour le voir, choisissons un triplet \((T, E, m)\) tel que \(E\) soit \((m - r)\)-pseudo-cohérent et que \(H^i(E)\) soit à support dans \(T\) pour \(i \geq m - r\). Soit \(t\) le plus grand entier tel que \(H^t(E)|_U\) soit non nul. (Un tel entier existe, car \(U\) est quasi-compact et \(E|_U\) est \((m - r)\)-pseudo-cohérent.) Nous démontrerons que \(E\) peut être approché en procédant par récurrence sur \(t\).

Cas initial : \(t \leq m - r'\). Cela signifie que \(H^i(E)\) est à support dans \(T'\) pour \(i \geq m - r'\). Le lemme 08EQ assure donc l’existence d’une approximation \(P \to E|_V\) de \((T', E|_V, m)\) sur \(V\). En appliquant le lemme 08EP, on voit que \((T', E, m)\) peut être approché. Une telle approximation est aussi une approximation de \((T, E, m)\).

Étape de récurrence. Choisissons une approximation \(P \to E|_U\) de \((T \cap U, E|_U, m)\). Elle donne en particulier une surjection \(H^t(P) \to H^t(E|_U)\). D’après le lemme 08EK, on peut choisir un objet parfait \(Q\) de \(D(\mathcal{O}_V)\) à support dans \(T \cap V\) et un isomorphisme \(Q|_{U \cap V} \to (P \oplus P[1])|_{U \cap V}\). D’après le lemme 08EH, on peut remplacer \(Q\) par \(Q \otimes^\mathbf{L} I\) et supposer que le morphisme \[Q|_{U \cap V} \to (P \oplus P[1])|_{U \cap V} \longrightarrow P|_{U \cap V} \longrightarrow E|_{U \cap V}\] se relève en \(Q \to E|_V\). D’après Cohomologie, lemme 08DG, on trouve un morphisme \(a : R \to E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(a|_U\) soit isomorphe à \(P \oplus P[1] \to E|_U\) et \(a|_V\) soit isomorphe à \(Q \to E|_V\). Ainsi \(R\) est parfait et à support dans \(T\), et le morphisme \(H^t(R) \to H^t(E)\) est surjectif après restriction à \(U\). Choisissons un triangle distingué \[R \to E \to E' \to R[1]\] Alors \(E'\) est \((m - r)\)-pseudo-cohérent (Cohomologie, lemme 08CD), \(H^i(E')|_U = 0\) pour \(i \geq t\), et \(H^i(E')\) est à support dans \(T\) pour \(i \geq m - r\). Par récurrence, on trouve une approximation \(R' \to E'\) de \((T, E', m)\). Insérons le composé \(R' \to E' \to R[1]\) dans un triangle distingué \(R \to R'' \to R' \to R[1]\) et prolongeons les morphismes \(R' \to E'\) et \(R[1] \to R[1]\) en un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & R'' \ar[d] \ar[r] & R' \ar[d] \ar[r] & R[1] \ar[d] \\ R \ar[r] & E \ar[r] & E' \ar[r] & R[1] }\] à l’aide de TR3. Alors \(R''\) est un complexe parfait (Cohomologie, lemme 08CR) à support dans \(T\). Une chasse au diagramme immédiate montre que \(R'' \to E\) est l’approximation cherchée.

Théorème

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Alors l’approximation par des complexes parfaits est possible sur \(X\).

Démonstration

Ceci résulte du principe de récurrence de Cohomologie des schémas, lemme 08DR, et des lemmes 08ER et 08EQ.

Générateurs des catégories dérivées

Dans cette section, nous démontrons que la catégorie dérivée \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’un schéma quasi-compact et quasi-séparé peut être engendrée par un seul objet parfait. Nous invitons vivement le lecteur à lire la démonstration de ce résultat dans le remarquable article de Bondal et van den Bergh, voir [BvdB].

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(U\) un sous-schéma ouvert quasi-compact. Soit \(P\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_U)\). Alors \(P\) est facteur direct de la restriction d’un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 09IM.

Lemme

Dans la situation 08CZ, notons \(j : U \to X\) l’immersion ouverte et soit \(K\) l’objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) correspondant au complexe de Koszul de \(f_1, \ldots, f_r\) sur \(A\). Pour \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), les conditions suivantes sont équivalentes :

\(E = Rj_*(E|_U)\), et

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[n], E) = 0\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Choisissons un triangle distingué \(E \to Rj_*(E|_U) \to N \to E[1]\). Observons que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[n], Rj_*(E|_U)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(K|_U[n], E) = 0\] pour tout \(n\), car \(K|_U = 0\). Il suffit donc de démontrer le résultat pour \(N\). Autrement dit, on peut supposer que \(E\) se restreint à zéro sur \(U\). Observons qu’il existe des triangles distingués \[K^\bullet(f_1^{e_1}, \ldots, f_i^{e'_i}, \ldots, f_r^{e_r}) \to K^\bullet(f_1^{e_1}, \ldots, f_i^{e'_i + e''_i}, \ldots, f_r^{e_r}) \to K^\bullet(f_1^{e_1}, \ldots, f_i^{e''_i}, \ldots, f_r^{e_r}) \to \ldots\] de complexes de Koszul, voir Compléments sur l’algèbre, lemme 062C. Ainsi, si \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[n], E) = 0\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), la même propriété vaut en remplaçant \(K\) par \(K_e\) comme dans le lemme 08E3. Notre lemme résulte donc immédiatement de ce dernier et du fait que \(E\) est déterminé par le complexe de \(A\)-modules \(R\Gamma(X, E)\), voir le lemme 06Z0.

Théorème

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. La catégorie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) peut être engendrée par un seul objet parfait. Plus précisément, il existe un objet parfait \(P\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que, pour \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), les conditions suivantes soient équivalentes :

\(E = 0\), et

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[n], E) = 0\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Nous utiliserons le principe de récurrence de Cohomologie des schémas, lemme 08DR.

Si \(X\) est affine, alors \(\mathcal{O}_X\) est un générateur parfait. Ceci résulte du lemme 06Z0.

Supposons que \(X = U \cup V\) soit un recouvrement ouvert, avec \(U\) quasi-compact, tel que le théorème soit vrai pour \(U\), et que \(V\) soit un ouvert affine. Soit \(P\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_U)\) qui engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). À l’aide du lemme 09IQ, on peut choisir un objet parfait \(Q\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(U\) est une somme directe dont l’un des facteurs est \(P\). Écrivons \(V = \Spec(A)\). Soit \(Z = X \setminus U\). C’est un sous-ensemble fermé de \(V\) tel que \(V \setminus Z\) soit quasi-compact. Choisissons \(f_1, \ldots, f_r \in A\) tels que \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\). Soit \(K \in D(\mathcal{O}_V)\) l’objet parfait correspondant au complexe de Koszul de \(f_1, \ldots, f_r\) sur \(A\). Comme \(K\) est à support dans le fermé \(Z \subset V\), l’image directe \(K' = R(V \to X)_*K\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(V\) est \(K\) (voir Cohomologie, lemme 08DP). Nous affirmons que \(Q \oplus K'\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) tel qu’il n’existe aucun morphisme non nul d’un décalé quelconque de \(Q \oplus K'\) vers \(E\). D’après Cohomologie, lemme 08DF, on a \(K' = R(V \to X)_! K\), et donc \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[n], E|_V)\] D’après le lemme 09IR, l’annulation de ces groupes implique que \(E|_V\) est isomorphe à \(R(U \cap V \to V)_*E|_{U \cap V}\). Il en résulte que \(E = R(U \to X)_*E|_U\) (un petit détail est omis). Dans ce cas, \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U[n], E|_U)\] contient \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(P[n], E|_U)\) comme facteur direct. Par le choix de \(P\), l’annulation de ces groupes implique donc que \(E|_U\) est nul. Par suite, \(E\) est nul.

Le résultat suivant renforce le théorème 09IS et se démontre par exactement les mêmes méthodes. Rappelons que, pour un sous-ensemble fermé \(T\) d’un schéma \(X\), on note \(D_T(\mathcal{O}_X)\) la sous-catégorie strictement pleine, saturée et triangulée de \(D(\mathcal{O}_X)\) formée des objets à support dans \(T\) (définition 08DA). De même, on note \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) la sous-catégorie strictement pleine, saturée et triangulée de \(D(\mathcal{O}_X)\) formée des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents et à support dans \(T\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé tel que \(X \setminus T\) soit quasi-compact. Avec les notations ci-dessus, la catégorie \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) est engendrée par un seul objet parfait.

Démonstration

Nous utiliserons le principe de récurrence de Cohomologie des schémas, lemme 08DR.

Supposons que \(X = \Spec(A)\) soit affine. Il existe alors \(f_1, \ldots, f_r \in A\) tels que \(T = V(f_1, \ldots, f_r)\). Soit \(K\) le complexe de Koszul de \(f_1, \ldots, f_r\) comme dans le lemme 09IR. Alors \(K\) est un objet parfait dont la cohomologie est à support dans \(T\), donc un objet parfait de \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\). D’autre part, si \(E \in D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) et si \(\Hom(K, E[n]) = 0\) pour tout \(n\), le lemme 09IR donne \(E = Rj_*(E|_{X \setminus T}) = 0\). Ainsi \(K\) engendre \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) (selon notre définition des générateurs de catégories triangulées dans Catégories dérivées, définition 09SJ).

Supposons que \(X = U \cup V\) soit un recouvrement ouvert, avec \(V\) affine et \(U\) quasi-compact, tel que le lemme soit vrai pour \(U\). Soit \(P\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_U)\) à support dans \(T \cap U\) qui engendre \(D_{\QCoh, T \cap U}(\mathcal{O}_U)\). À l’aide du lemme 09IM, on peut choisir un objet parfait \(Q\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) à support dans \(T\) dont la restriction à \(U\) est une somme directe dont l’un des facteurs est \(P\). Écrivons \(V = \Spec(B)\). Soit \(Z = X \setminus U\). Alors \(Z\) est un sous-ensemble fermé de \(V\) tel que \(V \setminus Z\) soit quasi-compact. Comme \(X\) est quasi-séparé, il en résulte que \(Z \cap T\) est un sous-ensemble fermé de \(V\) tel que \(W = V \setminus (Z \cap T)\) soit quasi-compact. On peut donc choisir \(g_1, \ldots, g_s \in B\) tels que \(Z \cap T = V(g_1, \ldots, g_r)\). Soit \(K \in D(\mathcal{O}_V)\) l’objet parfait correspondant au complexe de Koszul de \(g_1, \ldots, g_s\) sur \(B\). Comme \(K\) est à support dans le fermé \((Z \cap T) \subset V\), l’image directe \(K' = R(V \to X)_*K\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) dont la restriction à \(V\) est \(K\) (voir Cohomologie, lemme 08DP). Nous affirmons que \(Q \oplus K'\) engendre \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\).

Soit \(E\) un objet de \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) tel qu’il n’existe aucun morphisme non nul d’un décalé quelconque de \(Q \oplus K'\) vers \(E\). D’après Cohomologie, lemme 08DF, on a \(K' = R(V \to X)_! K\), et donc \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[n], E|_V)\] D’après le lemme 09IR, on a donc \(E|_V = Rj_*E|_W\), où \(j : W \to V\) est l’inclusion. On a le diagramme \[\xymatrix{ W \ar[r]_j & V & Z \cap T \ar[l] \ar[d] \\ U \cap V \ar[u]^{j'} \ar[ru]_{j''} & & Z \ar[lu] }\] Puisque \(E\) est à support dans \(T\), \(E|_W\) est à support dans \(T \cap W = T \cap U \cap V\), qui est fermé dans \(W\). On en déduit que \[E|_V = Rj_*(E|_W) = Rj_*(Rj'_*(E|_{U \cap V})) = Rj''_*(E|_{U \cap V})\] où la deuxième égalité résulte de l’assertion (1) de Cohomologie, lemme 08DF. Il en résulte que \(E = R(U \to X)_*E|_U\) (un petit détail est omis). Dans ce cas, \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[n], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U[n], E|_U)\] contient \(\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(P[n], E|_U)\) comme facteur direct. Par le choix de \(P\), l’annulation de ces groupes implique donc que \(E|_U\) est nul. Par suite, \(E\) est nul.

Un exemple de générateur

Dans cette section, nous démontrons que la catégorie dérivée de l’espace projectif sur un anneau est engendrée par un fibré vectoriel, et même par une somme directe de tordus du faisceau structural.

Le lemme suivant affirme que \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes -n}\) est un générateur si \(\mathcal{L}\) est ample.

Lemme

Soient \(X\) un schéma et \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample. Si \(K\) est un objet non nul de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), alors, pour un certain \(n \geq 0\) et un certain \(p \in \mathbf{Z}\), le groupe de cohomologie \(H^p(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}^{\otimes n})\) est non nul.

Démonstration

Rappelons que, puisque \(X\) possède un faisceau inversible ample, il est quasi-compact et séparé (Propriétés, définition 01PS et lemme 01PY). On peut donc appliquer la proposition 08DB et représenter \(K\) par un complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de modules quasi-cohérents. Choisissons un \(p\) tel que \(\mathcal{H}^p = \Ker(\mathcal{F}^p \to \mathcal{F}^{p + 1})/ \Im(\mathcal{F}^{p - 1} \to \mathcal{F}^p)\) soit non nul. Choisissons un point \(x \in X\) tel que la fibre \(\mathcal{H}^p_x\) soit non nulle. Choisissons un \(n \geq 0\) et un \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) tels que \(X_s\) soit un voisinage ouvert affine de \(x\). Choisissons \(\tau \in \mathcal{H}^p(X_s)\) dont l’image soit un élément non nul de la fibre \(\mathcal{H}^p_x\) ; c’est possible, car \(\mathcal{H}^p\) est quasi-cohérent et \(X_s\) est affine. Puisque le foncteur des sections sur \(X_s\) est exact sur les modules quasi-cohérents, on peut trouver une section \(\tau' \in \mathcal{F}^p(X_s)\) d’image nulle dans \(\mathcal{F}^{p + 1}(X_s)\) et d’image \(\tau\) dans \(\mathcal{H}^p(X_s)\). D’après Propriétés, lemme 01PW, il existe un \(m\) tel que \(\tau' \otimes s^{\otimes m}\) soit l’image d’une section \(\tau'' \in \Gamma(X, \mathcal{F}^p \otimes \mathcal{L}^{\otimes mn})\). En appliquant encore une fois le même lemme, on trouve \(l \geq 0\) tel que \(\tau'' \otimes s^{\otimes l}\) ait une image nulle dans \(\mathcal{F}^{p + 1} \otimes \mathcal{L}^{\otimes (m + l)n}\). Alors \(\tau''\) donne une classe non nulle dans \(H^p(X, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{(m + l)n})\), comme voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(X = \mathbf{P}^n_A\). Pour tout \(a \in \mathbf{Z}\), il existe un complexe exact \[0 \to \mathcal{O}_X(a) \to \ldots \to \mathcal{O}_X(a + i)^{\oplus {n + 1 \choose i}} \to \ldots \to \mathcal{O}_X(a + n + 1) \to 0\] de fibrés vectoriels sur \(X\).

Démonstration

Rappelons que \(\mathbf{P}^n_A\) est \(\text{Proj}(A[X_0, \ldots, X_n])\), voir Constructions, définition 01NF. Considérons le complexe de Koszul \[K_\bullet = K_\bullet(A[X_0, \ldots, X_n], X_0, \ldots, X_n)\] sur \(S = A[X_0, \ldots, X_n]\) associé à \(X_0, \ldots, X_n\). Puisque \(X_0, \ldots, X_n\) est manifestement une suite régulière dans l’anneau de polynômes \(S\), on voit (Compléments sur l’algèbre, lemme 062F) que le complexe de Koszul \(K_\bullet\) est exact, sauf en degré \(0\), où la cohomologie est \(S/(X_0, \ldots, X_n)\). Notons que \(K_\bullet\) devient un complexe de modules gradués si l’on place les générateurs de \(K_i\) en degré \(+i\). On obtient donc un complexe exact \[0 \to S(-n - 1) \to \ldots \to S(-n - 1 + i)^{\oplus {n \choose i}} \to \ldots \to S \to S/(X_0, \ldots, X_n) \to 0\] En appliquant le foncteur exact \(\tilde{\ }\) de Constructions, lemme 01M7, et en utilisant le fait que le dernier terme appartient au noyau de ce foncteur, on obtient le complexe exact \[0 \to \mathcal{O}_X(-n - 1) \to \ldots \to \mathcal{O}_X(-n - 1 + i)^{\oplus {n + 1 \choose i}} \to \ldots \to \mathcal{O}_X \to 0\] En tensorisant par les faisceaux inversibles \(\mathcal{O}_X(n + a + 1)\), on obtient les complexes exacts du lemme.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(X = \mathbf{P}^n_A\). Alors \[E = \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{O}_X(-1) \oplus \ldots \oplus \mathcal{O}_X(-n)\] est un générateur (Catégories dérivées, définition 09SJ) de \(D_\QCoh(X)\).

Démonstration

Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Supposons que \(\Hom(E, K[p]) = 0\) pour tout \(p \in \mathbf{Z}\). Nous devons montrer que \(K = 0\). D’après Catégories dérivées, lemme 09SK, \(\Hom(E', K[p])\) est nul pour tout \(E' \in \langle E \rangle\) et tout \(p \in \mathbf{Z}\). D’après le lemme 0BQS appliqué avec \(a = -n - 1\), on a \(\mathcal{O}_X(-n - 1) \in \langle E \rangle\), car ce faisceau est quasi-isomorphe à un complexe borné dont les termes sont des sommes directes finies de facteurs directs de \(E\). En répétant l’argument avec \(a = -n - 2\), on obtient \(\mathcal{O}_X(-n - 2) \in \langle E \rangle\). Par récurrence, on trouve \(\mathcal{O}_X(-m) \in \langle E \rangle\) pour tout \(m \geq 0\). Puisque \[\Hom(\mathcal{O}_X(-m), K[p]) = H^p(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X(m)) = H^p(X, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_X(1)^{\otimes m})\] on en déduit que \(K = 0\) d’après le lemme 0BQR. (On utilise aussi le fait que \(\mathcal{O}_X(1)\) est un faisceau inversible ample sur \(X\), ce qui résulte de Propriétés, lemme 01Q2.)

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) un générateur (voir le théorème 09IS). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

pour \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \(Rf_*K = 0\) si et seulement si \(K = 0\),

\(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est conservatif, et

\(Lf^*E\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

L’équivalence de (1) et (2) est une conséquence formelle du fait que \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est un foncteur exact de catégories triangulées. De même, l’équivalence de (1) et (3) résulte formellement du fait que \(Lf^*\) est adjoint à gauche de \(Rf_*\). Ces conditions sont vérifiées si \(f\) est affine (lemme 08I8), ou si \(f\) est une immersion ouverte, ou si \(f\) est un composé de tels morphismes. On en déduit que

si \(X\) est un schéma quasi-affine, alors \(\mathcal{O}_X\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\),

si \(X \subset \mathbf{P}^n_A\) est un sous-schéma localement fermé quasi-compact, alors \(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{O}_X(-1) \oplus \ldots \oplus \mathcal{O}_X(-n)\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 0A9V.

Objets compacts et parfaits

Soit \(X\) un schéma noethérien de dimension finie. D’après Cohomologie, proposition 02UZ, et Cohomologie sur les sites, lemme 094D, les faisceaux de modules \(j_!\mathcal{O}_U\) sont des objets compacts de \(D(\mathcal{O}_X)\) pour tout ouvert \(U \subset X\). Ces faisceaux ne sont en général pas quasi-cohérents et ne donnent donc pas des objets parfaits de la catégorie dérivée \(D(\mathcal{O}_X)\). Cependant, si l’on se restreint aux complexes dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents, cette situation ne se présente pas. Voici l’énoncé précis.

Proposition

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est compact si et seulement s’il est parfait.

Démonstration

Si \(K\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) de dual \(K^\vee\) (Cohomologie, lemme 08DQ), on a \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, M) = H^0(X, K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] fonctoriellement en \(M\). Puisque \(K^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} -\) commute aux sommes directes et que \(H^0(X, -)\) commute aux sommes directes sur \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 08DZ, on en déduit que \(K\) est compact dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Réciproquement, soit \(K\) un objet compact de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour montrer que \(K\) est parfait, il suffit de montrer que \(K|_U\) est parfait pour tout ouvert affine \(U \subset X\), voir Cohomologie, lemme 08CN. Observons que \(j : U \to X\) est un morphisme quasi-compact et séparé. Par conséquent, \(Rj_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_U) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) commute aux sommes directes, voir le lemme 08DZ. L’adjonction entre la restriction à \(U\) et \(Rj_*\) implique donc que \(K|_U\) est un objet compact de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). On se ramène ainsi au cas où \(X\) est affine.

Supposons que \(X = \Spec(A)\) soit affine. D’après le lemme 06Z0, le problème se traduit en la même question pour \(D(A)\). Pour \(D(A)\), le résultat est Compléments sur l’algèbre, proposition 07LT.

Remarque

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(G\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) qui engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). D’après le théorème 09IS, il en existe au moins un. En combinant le lemme 08DT avec la proposition 09M1 et avec Catégories dérivées, proposition 09SR, on voit que \(G\) est un générateur classique de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\).

Le résultat suivant renforce la proposition 09M1. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé d’un schéma \(X\). Comme précédemment, \(D_T(\mathcal{O}_X)\) désigne la sous-catégorie strictement pleine, saturée et triangulée de \(D(\mathcal{O}_X)\) formée des objets à support dans \(T\) (définition 08DA). Puisque les sommes directes commutent aux faisceaux de cohomologie, il en résulte que \(D_T(\mathcal{O}_X)\) possède des sommes directes, qui coïncident avec celles de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé tel que \(X \setminus T\) soit quasi-compact. Un objet de \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) est compact si et seulement s’il est parfait en tant qu’objet de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Observons que \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) est une catégorie triangulée possédant des sommes directes, d’après la remarque précédant le lemme. D’après la proposition 09M1, les objets parfaits définissent des objets compacts de \(D(\mathcal{O}_X)\), donc a fortiori de toute sous-catégorie stable par sommes directes. Pour la réciproque, nous utiliserons l’existence d’un générateur \(E \in D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) qui est un complexe parfait de \(\mathcal{O}_X\)-modules, voir le lemme 0A9A. D’après ce qui précède, \(E\) est donc compact. Il résulte alors de Catégories dérivées, proposition 09SR, que \(E\) est un générateur classique de la sous-catégorie pleine des objets compacts de \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\). Ainsi, tout objet compact se construit à partir de \(E\) par une suite finie d’opérations consistant à prendre (a) des décalés, (b) des sommes directes finies, (c) des cônes, et (d) des facteurs directs. Chacune de ces opérations conserve la propriété d’être parfait, d’où le résultat.

Remarque

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé tel que \(X \setminus T\) soit quasi-compact. Soit \(G\) un objet parfait de \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) qui engendre \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 0A9A, il en existe au moins un. En combinant l’existence de sommes directes dans \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\) avec le lemme 0A9B et avec Catégories dérivées, proposition 09SR, on voit que \(G\) est un générateur classique de \(D_{perf, T}(\mathcal{O}_X)\).

Le lemme suivant est une application des idées intervenant dans la démonstration du lemme précédent.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé tel que \(U = X \setminus T\) soit quasi-compact. Soit \(\alpha : P \to E\) un morphisme de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) vérifiant l’une des conditions suivantes :

\(P\) est parfait et \(E\) est à support dans \(T\), ou

\(P\) est pseudo-cohérent, \(E\) est à support dans \(T\), et \(E\) est borné inférieurement.

Alors il existe un complexe parfait de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(I\) et un morphisme \(I \to \mathcal{O}_X[0]\) tels que \(I \otimes^\mathbf{L} P \to E\) soit nul et que \(I|_U \to \mathcal{O}_U[0]\) soit un isomorphisme.

Démonstration

Posons \(\mathcal{D} = D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\). Dans les deux cas, le complexe \(K = R\SheafHom(P, E)\) est un objet de \(\mathcal{D}\). Voir le lemme 0A6H pour la quasi-cohérence. Il est clair que \(K\) est à support dans \(T\), car la formation de \(R\SheafHom\) commute à la restriction aux ouverts. Le morphisme \(\alpha\) définit un élément de \(H^0(K) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{O}_X[0], K)\). Il suffit alors de démontrer le résultat pour le morphisme \(\alpha : \mathcal{O}_X[0] \to K\).

Soit \(E \in \mathcal{D}\) un générateur parfait, voir le lemme 0A9A. Écrivons \[K = \text{hocolim} K_n\] comme dans Catégories dérivées, lemme 09SN, en utilisant le générateur \(E\). Puisque le foncteur \(\mathcal{D} \to D(\mathcal{O}_X)\) commute aux sommes directes, on voit que \(K = \text{hocolim} K_n\) vaut dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Puisque \(\mathcal{O}_X\) est un objet compact de \(D(\mathcal{O}_X)\), on trouve un \(n\) et un morphisme \(\alpha_n : \mathcal{O}_X \to K_n\) qui induit \(\alpha\), voir Catégories dérivées, lemme 094A. D’après Catégories dérivées, lemme 09SP, appliqué au morphisme \(\mathcal{O}_X[0] \to K_n\) dans la catégorie ambiante \(D(\mathcal{O}_X)\), on voit que \(\alpha_n\) se factorise en \(\mathcal{O}_X[0] \to Q \to K_n\), où \(Q\) est un objet de \(\langle E \rangle\). On en déduit que \(Q\) est un complexe parfait à support dans \(T\).

Choisissons un triangle distingué \[I \to \mathcal{O}_X[0] \to Q \to I[1]\] Par construction, \(I\) est parfait, le morphisme \(I \to \mathcal{O}_X[0]\) se restreint en un isomorphisme sur \(U\), et le composé \(I \to K\) est nul, car \(\alpha\) se factorise par \(Q\). Ceci démontre le lemme.

Catégories dérivées comme catégories de modules

Dans cette section, nous tirons quelques conséquences de ce qui précède. Nous avons d’abord besoin de quelques lemmes supplémentaires.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents.
Soit \((E, d) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\) l’algèbre différentielle graduée des endomorphismes. Alors le foncteur \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] de Algèbre différentielle graduée, lemme 09LX, a son image contenue dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Soit \(P\) un \(E\)-module différentiel gradué ayant la propriété (P), et soit \(F_\bullet\) une filtration de \(P\) comme dans Algèbre différentielle graduée, section 09KK. On a alors \[P \otimes_E K^\bullet = \text{hocolim}\ F_iP \otimes_E K^\bullet\] Chacun des \(F_iP\) possède une filtration finie dont les quotients successifs sont des sommes directes de \(E[k]\). Le résultat s’ensuit aisément.

Le résultat suivant est tiré de [BvdB].

Théorème

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Il existe alors une algèbre différentielle graduée \((E, \text{d})\) dont seul un nombre fini de groupes de cohomologie \(H^i(E)\) sont non nuls, telle que \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) soit équivalente à \(D(E, \text{d})\).

Démonstration

Soit \(K^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{O}\)-modules qui soit parfait et engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Un tel complexe existe d’après le théorème 09IS et l’existence des résolutions K-injectives. Nous démontrerons que le théorème est vérifié avec \[(E, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\] où \(\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)\) est la catégorie différentielle graduée des complexes de \(\mathcal{O}\)-modules. Voir Algèbre différentielle graduée, section 09LU. Puisque \(K^\bullet\) est K-injectif, on a [09M6]\[\begin{equation} H^n(E) = \Ext^n_{D(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet) \end{equation}\] pour tout \(n \in \mathbf{Z}\). Seul un nombre fini de ces groupes Ext sont non nuls, d’après le lemme 09M4. Considérons le foncteur \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] de Algèbre différentielle graduée, lemme 09LX. Puisque \(K^\bullet\) est parfait, il définit un objet compact de \(D(\mathcal{O}_X)\), voir la proposition 09M1. En combinant ceci avec (09M6), on voit que le foncteur ci-dessus est pleinement fidèle, d’après Algèbre différentielle graduée, lemmes 09LZ. Il possède un adjoint à droite \[R\Hom(K^\bullet, - ) : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(E, \text{d})\] d’après Algèbre différentielle graduée, lemmes 09LY, qui est un foncteur quasi-inverse à gauche par les propriétés générales des foncteurs adjoints. D’autre part, il résulte du lemme 09M3 que l’on obtient \[- \otimes_E^\mathbf{L} K^\bullet : D(E, \text{d}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] et, par le choix de \(K^\bullet\) comme générateur de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le noyau de l’adjoint restreint à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est nul. Un argument formel montre que l’on obtient l’équivalence voulue, voir Catégories dérivées, lemme 09J1.

Remarque

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé tel que \(X \setminus T\) soit quasi-compact. L’analogue du théorème 09M5 est vrai pour \(D_{\QCoh, T}(\mathcal{O}_X)\). Ceci résulte exactement du même argument que dans la démonstration du théorème, en utilisant les lemmes 0A9A et 0A9B et une variante avec supports du lemme 09M3.

Si nous en avons besoin, nous énoncerons ici précisément le résultat et en donnerons une démonstration détaillée.

Remarque

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé sur un anneau \(R\). Par la construction de la démonstration du théorème 09M5, il existe une algèbre différentielle graduée \((A, \text{d})\) sur \(R\) telle que \(D_\QCoh(X)\) soit \(R\)-linéairement équivalente à \(D(A, \text{d})\) comme catégorie triangulée. On peut se demander : dans quelle mesure \((A, \text{d})\) est-elle unique ? La réponse n’est que légèrement plus forte que l’affirmation selon laquelle \((A, \text{d})\) est bien définie à équivalence dérivée près. Supposons en effet que \((B, \text{d})\) soit un second tel couple. On a alors \[(A, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, K^\bullet)\] et \[(B, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(L^\bullet, L^\bullet)\] pour des complexes K-injectifs \(K^\bullet\) et \(L^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules correspondant à des générateurs parfaits de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Posons \[\Omega = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(K^\bullet, L^\bullet) \quad \Omega' = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(L^\bullet, K^\bullet)\] Alors \(\Omega\) est un \(B^{opp} \otimes_R A\)-module différentiel gradué, et \(\Omega'\) est un \(A^{opp} \otimes_R B\)-module différentiel gradué. De plus, l’équivalence \[D(A, \text{d}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(B, \text{d})\] est donnée par le foncteur \(- \otimes_A^\mathbf{L} \Omega'\), et il en va de même pour le quasi-inverse. Nous sommes donc dans la situation d’Algèbre différentielle graduée, remarque 09ST. Si nous avons besoin de cette remarque, nous donnerons ici un énoncé précis et une démonstration détaillée.

Caractérisation des complexes pseudo-cohérents, I

Les méthodes précédentes permettent de caractériser les objets pseudo-cohérents comme limites inductives homotopiques d’approximations par des objets parfaits.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(K \in D(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(K\) est pseudo-cohérent, et

\(K = \text{hocolim} K_n\), où \(K_n\) est parfait et \(\tau_{\geq -n}K_n \to \tau_{\geq -n}K\) est un isomorphisme pour tout \(n\).

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est vraie sur tout espace annelé. Supposons en effet (2) vérifiée. Rappelons qu’un objet parfait de la catégorie dérivée est pseudo-cohérent, voir Cohomologie, lemme 08CQ. Il résulte alors des définitions que \(\tau_{\geq -n}K_n\) est \((-n + 1)\)-pseudo-cohérent, donc que \(\tau_{\geq -n}K\) est \((-n + 1)\)-pseudo-cohérent, et par suite que \(K\) est \((-n + 1)\)-pseudo-cohérent. Ceci est vrai pour tout \(n\), donc \(K\) est pseudo-cohérent, voir Cohomologie, définition 08CB.

Supposons (1) vérifiée. Commençons par choisir une approximation \(K_1 \to K\) de \((X, K, -2)\) par un complexe parfait \(K_1\), voir les définitions 08EM et 08EN et le théorème 08ES. Supposons avoir construit par récurrence \[K_1 \to K_2 \to \ldots \to K_n \to K\] avec \(K_i\) parfait et tel que \(\tau_{\geq -i}K_i \to \tau_{\geq -i}K\) soit un isomorphisme pour tout \(1 \leq i \leq n\). Choisissons alors \(a \leq b\) comme dans le lemme 09M4 pour l’objet parfait \(K_n\). Choisissons une approximation \(K_{n + 1} \to K\) de \((X, K, \min(a - 1, -n - 1))\). Choisissons un triangle distingué \[K_{n + 1} \to K \to C \to K_{n + 1}[1]\] On voit alors que \(C \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) vérifie \(H^i(C) = 0\) pour \(i \geq a\). Par le choix de \(a, b\), on a donc \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K_n, C) = 0\). Le composé \(K_n \to K \to C\) est donc nul. D’après Catégories dérivées, lemme 0149, on peut donc factoriser \(K_n \to K\) par \(K_{n + 1}\), ce qui démontre l’étape de récurrence.

Il reste à démontrer que \(K = \text{hocolim} K_n\). Ceci résulte de l’application de Catégories dérivées, lemme 0CRK, aux foncteurs \(H^i( - ) : D(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) et du choix des \(K_n\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(T \subset X\) un sous-ensemble fermé tel que \(X \setminus T\) soit quasi-compact. Soit \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) à support dans \(T\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(K\) est pseudo-cohérent, et

\(K = \text{hocolim} K_n\), où \(K_n\) est parfait, à support dans \(T\), et \(\tau_{\geq -n}K_n \to \tau_{\geq -n}K\) est un isomorphisme pour tout \(n\).

Démonstration

La démonstration de ce lemme est exactement celle du lemme 0DJN, à ceci près que, pour choisir les approximations, on utilise les triplets \((T, K, m)\).

Un exemple d’équivalence

Dans la section 0BQQ, nous avons démontré que la catégorie dérivée de l’espace projectif \(\mathbf{P}^n_A\) sur un anneau \(A\) est engendrée par un fibré vectoriel, et même par une somme directe de tordus du faisceau structural. Dans cette section, nous démontrons que ceci détermine une équivalence entre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A})\) et la catégorie dérivée d’une \(A\)-algèbre.

Avant d’énoncer le résultat, nous avons besoin de quelques notations. Soit \(A\) un anneau. Soit \(X = \mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(S)\), où \(S = A[X_0, \ldots, X_n]\). D’après le lemme 0A9V, nous savons que [0CS8]\[\begin{equation} P = \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{O}_X(-1) \oplus \ldots \oplus \mathcal{O}_X(-n) \end{equation}\] est un générateur parfait de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Considérons la \(A\)-algèbre (non commutative) [0CS9]\[\begin{equation} R = \Hom_{\mathcal{O}_X}(P, P) = \left( \begin{matrix} S_0 & S_1 & S_2 & \ldots & \ldots \\ 0 & S_0 & S_1 & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & S_0 & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots & \ldots & S_0 \end{matrix} \right) \end{equation}\] munie de la multiplication et de l’addition évidentes. Si l’on considère \(P\) comme un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules de la manière habituelle (c’est-à-dire avec \(P\) en degré \(0\) et zéro dans tous les autres degrés), on a \[R = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)}(P, P)\] où, dans le membre de droite, on considère \(R\) comme une algèbre différentielle graduée sur \(A\) à différentielle nulle (c’est-à-dire avec \(R\) en degré \(0\) et zéro dans tous les autres degrés). D’après la discussion de Algèbre différentielle graduée, section 09LU, on obtient un foncteur dérivé \[- \otimes_R^\mathbf{L} P : D(R) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X),\] voir en particulier Algèbre différentielle graduée, lemme 09LX. D’après le lemme 09M3, l’image essentielle de ce foncteur est contenue dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(X = \mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(S)\), où \(S = A[X_0, \ldots, X_n]\). Avec \(P\) comme dans (0CS8) et \(R\) comme dans (0CS9), le foncteur \[- \otimes_R^\mathbf{L} P : D(R) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] est une équivalence \(A\)-linéaire de catégories triangulées envoyant \(R\) sur \(P\).

Autrement dit, la catégorie dérivée des modules quasi-cohérents sur l’espace projectif est équivalente à la catégorie dérivée des modules sur une algèbre (non commutative). Cette propriété de l’espace projectif semble assez exceptionnelle parmi tous les schémas projectifs sur \(A\).

Démonstration

Pour démontrer que notre foncteur est pleinement fidèle, il suffit de démontrer que \(\Ext^i_X(P, P)\) est nul pour \(i \not = 0\) et égal à \(R\) pour \(i = 0\), voir Algèbre différentielle graduée, lemme 09LZ. Comme dans la démonstration du lemme 09M4, on voit que \[\Ext^i_X(P, P) = H^i(X, P^\wedge \otimes P) = \bigoplus\nolimits_{0 \leq a, b \leq n} H^i(X, \mathcal{O}_X(a - b))\] Le calcul de la cohomologie de l’espace projectif (Cohomologie des schémas, lemme 01XT) montre que ces groupes \(\Ext\) sont nuls sauf si \(i = 0\). Pour \(i = 0\), on retrouve \(R\), puisque c’est ainsi que nous avons défini \(R\) dans (0CS9). D’après Algèbre différentielle graduée, lemme 09LY, notre foncteur possède un adjoint à droite, à savoir \(R\Hom(P, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(R)\). Puisque \(P\) engendre \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 0A9V, on voit que le noyau de \(R\Hom(P, -)\) est nul. Notre foncteur est donc une équivalence de catégories triangulées, d’après Catégories dérivées, lemme 09J1.

Nouvelle étude du cohérateur

Dans la section 08D6, nous avons construit et étudié l’adjoint à droite \(RQ_X\) du foncteur canonique \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\). Il a été construit comme le prolongement dérivé à droite du cohérateur \(Q_X : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\). Dans cette section, nous étudions quand le foncteur d’inclusion \[D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\] possède un adjoint à droite. Si cet adjoint à droite existe, nous le noterons³ \[DQ_X : D(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\] Il se trouve que les schémas quasi-compacts et quasi-séparés possèdent un tel adjoint à droite.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Le foncteur d’inclusion \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(\mathcal{O}_X)\) possède un adjoint à droite \(DQ_X\).

Démonstration

Nous utiliserons le principe de récurrence de Cohomologie des schémas, lemme 08DR, pour démontrer ceci. Si \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est une équivalence, le lemme est vrai, car le foncteur \(RQ_X\) de la section 08D6 est adjoint à droite du foncteur \(D(\QCoh(\mathcal{O}_X)) \to D(\mathcal{O}_X)\). En particulier, notre lemme est vrai pour les schémas affines, voir le lemme 08D9. Il suffit donc de montrer que, si \(X = U \cup V\) est une réunion de deux ouverts quasi-compacts et si le lemme est vrai pour \(U\), \(V\) et \(U \cap V\), alors il est vrai pour \(X\).

L’adjoint existe si et seulement si, pour tout objet \(K\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), on peut trouver un triangle distingué \[E' \to E \to K \to E'[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(E'\) appartienne à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et que \(\Hom(M, K) = 0\) pour tout \(M\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Voir Catégories dérivées, lemme 0CQS. Considérons le triangle distingué \[E \to Rj_{U, *}E|_U \oplus Rj_{V, *}E|_V \to Rj_{U \cap V, *}E|_{U \cap V} \to E[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\) de Cohomologie, lemme 08BV. D’après Catégories dérivées, lemme 0CQR, il suffit de construire les triangles distingués voulus pour \(Rj_{U, *}E|_U\), \(Rj_{V, *}E|_V\) et \(Rj_{U \cap V, *}E|_{U \cap V}\). Ceci nous ramène à l’assertion étudiée dans le paragraphe suivant.

Soit \(j : U \to X\) l’immersion ouverte correspondant à un ouvert quasi-compact \(U\) pour lequel le lemme est vrai. Soit \(L\) un objet de \(D(\mathcal{O}_U)\). Il existe alors un triangle distingué \[E' \to Rj_*L \to K \to E'[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(E'\) appartienne à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et que \(\Hom(M, K) = 0\) pour tout \(M\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Pour le voir, choisissons un triangle distingué \[L' \to L \to Q \to L'[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_U)\) tel que \(L'\) appartienne à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) et que \(\Hom(N, Q) = 0\) pour tout \(N\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). C’est possible, car l’énoncé de Catégories dérivées, lemme 0CQS, est une équivalence. On obtient un triangle distingué \[Rj_*L' \to Rj_*L \to Rj_*Q \to Rj_*L'[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Observons que \(Rj_*L'\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 08D5. D’autre part, si \(M\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), alors \[\Hom(M, Rj_*Q) = \Hom(Lj^*M, Q) = 0\] car \(Lj^*M\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_U)\) d’après le lemme 08DW. Ceci achève la démonstration.

Démonstration

L’adjoint existe d’après Catégories dérivées, proposition 0A8G. Les hypothèses sont vérifiées : tout d’abord, \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) possède des sommes directes, et celles-ci commutent au foncteur d’inclusion (lemme 08DT). D’autre part, \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) est engendrée par des objets compacts, car elle possède un générateur parfait d’après le théorème 09IS, et les objets parfaits sont compacts d’après la proposition 09M1.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Si les adjoints à droite \(DQ_X\) et \(DQ_Y\) des foncteurs d’inclusion \(D_\QCoh \to D\) existent pour \(X\) et \(Y\), alors \[Rf_* \circ DQ_X = DQ_Y \circ Rf_*\]

Démonstration

L’énoncé a un sens, car \(Rf_*\) envoie \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) d’après le lemme 08D5. Il est vrai, car \(Lf^*\) envoie de même \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) (lemme 08DW), de sorte que \(Rf_* \circ DQ_X\) et \(DQ_Y \circ Rf_*\) sont tous deux adjoints à droite de \(Lf^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_Y) \to D(\mathcal{O}_X)\).

Remarque

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(X = U \cup V\), avec \(U\) et \(V\) ouverts quasi-compacts. D’après le lemme 0CR0, les foncteurs \(DQ_X\), \(DQ_U\), \(DQ_V\), \(DQ_{U \cap V}\) existent. De plus, il existe un triangle distingué canonique \[DQ_X(K) \to Rj_{U, *}DQ_U(K|_U) \oplus Rj_{V, *}DQ_V(K|_V) \to Rj_{U \cap V, *}DQ_{U \cap V}(K|_{U \cap V}) \to\] pour tout \(K \in D(\mathcal{O}_X)\). Ceci résulte de l’application du foncteur exact \(DQ_X\) au triangle distingué de Cohomologie, lemme 08BV, et de trois applications du lemme 0CR1.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Le foncteur \(DQ_X\) du lemme 0CR0 possède la propriété de bornitude suivante : il existe un entier \(N = N(X)\) tel que, si \(K\) appartient à \(D(\mathcal{O}_X)\) et vérifie \(H^i(U, K) = 0\) pour \(U\) ouvert affine de \(X\) et \(i \not \in [a, b]\), alors les faisceaux de cohomologie \(H^i(DQ_X(K))\) sont nuls pour \(i \not \in [a, b + N]\).

Démonstration

Nous utiliserons le principe de récurrence de Cohomologie des schémas, lemme 08DR.

Si \(X\) est affine, le lemme est vrai avec \(N = 0\), car alors \(RQ_X = DQ_X\) s’obtient en prenant le complexe de faisceaux quasi-cohérents associé à \(R\Gamma(X, K)\). Voir les lemmes 06Z0 et 08D9.

Supposons que \(U, V\) soient des ouverts quasi-compacts de \(X\) et que le lemme soit vrai pour \(U\), \(V\) et \(U \cap V\), avec des entiers \(N(U)\), \(N(V)\) et \(N(U \cap V)\). Supposons maintenant que \(K\) appartienne à \(D(\mathcal{O}_X)\) et vérifie \(H^i(W, K) = 0\) pour tout ouvert affine \(W \subset X\) et tout \(i \not \in [a, b]\). Alors \(K|_U\), \(K|_V\), \(K|_{U \cap V}\) ont la même propriété. On voit donc que \(RQ_U(K|_U)\), \(RQ_V(K|_V)\) et \(RQ_{U \cap V}(K|_{U \cap V})\) ont leurs faisceaux de cohomologie nuls hors de l’intervalle \([a, b + \max(N(U), N(V), N(U \cap V))\). Puisque les foncteurs \(Rj_{U, *}\), \(Rj_{V, *}\), \(Rj_{U \cap V, *}\) sont de dimension cohomologique finie sur \(D_\QCoh\) d’après le lemme 08D5, il existe un \(N\) tel que \(Rj_{U, *}DQ_U(K|_U)\), \(Rj_{V, *}DQ_V(K|_V)\) et \(Rj_{U \cap V, *}DQ_{U \cap V}(K|_{U \cap V})\) aient leurs faisceaux de cohomologie nuls hors de l’intervalle \([a, b + N]\). On conclut alors à l’aide du triangle distingué de la remarque 0CR2.

Exemple

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \((\mathcal{F}_n)\) un système projectif de faisceaux quasi-cohérents. Puisque \(DQ_X\) est un adjoint à droite, il commute aux produits, donc aux limites dérivées. On a donc \[DQ_X(R\lim \mathcal{F}_n) = (R\lim\text{ dans }D_\QCoh(\mathcal{O}_X))(\mathcal{F}_n)\] où la première limite \(R\lim\) est prise dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Posons \(K = R\lim \mathcal{F}_n\) pour celle-ci. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\), on a \[H^i(U, K) = H^i(R\Gamma(U, R\lim \mathcal{F}_n)) = H^i(R\lim R\Gamma(U, \mathcal{F}_n)) = H^i(R\lim \Gamma(U, \mathcal{F}_n))\] car la cohomologie commute aux limites dérivées et les faisceaux quasi-cohérents \(\mathcal{F}_n\) n’ont pas de cohomologie supérieure sur les affines. Le calcul de \(R\lim\) dans la catégorie des groupes abéliens montre que \(H^i(U, K) = 0\) sauf si \(i \in [0, 1]\). On en déduit finalement que la limite \(R\lim\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), qui est \(DQ_X(K)\) d’après ce qui précède, appartient à \(D^b_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 0CSA.

Cohomologie et changement de base, IV

Cette section poursuit la discussion de Cohomologie des schémas, section 07VJ. Nous disposons d’abord d’une version très générale de la formule de projection pour les morphismes quasi-compacts et quasi-séparés de schémas et les complexes dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Pour \(E\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(K\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), le morphisme \[Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} K \longrightarrow Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*K)\] défini dans Cohomologie, équation (0B53), est un isomorphisme.

Démonstration

Pour vérifier que ce morphisme est un isomorphisme, on peut travailler localement sur \(Y\). On se ramène donc au cas où \(Y\) est affine.

Supposons que \(K = \bigoplus K_i\) soit une somme directe de complexes \(K_i \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Si l’énoncé est vrai pour chaque \(K_i\), il est vrai pour \(K\). En effet, les foncteurs \(Lf^*\) et \(\otimes^\mathbf{L}\) conservent les sommes directes par construction, et \(Rf_*\) commute aux sommes directes (pour les complexes dont les faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents) d’après le lemme 08DZ. De plus, supposons que \(K \to L \to M \to K[1]\) soit un triangle distingué dans \(D_\QCoh(Y)\). Si l’énoncé du lemme est vrai pour deux des objets \(K, L, M\), il est vrai pour le troisième (car les foncteurs considérés sont des foncteurs exacts de catégories triangulées).

Supposons \(Y\) affine, et écrivons \(Y = \Spec(A)\). Le foncteur \(\widetilde{\ } : D(A) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\) est une équivalence (lemme 06Z0). Soit \(T\) la propriété, pour \(K \in D(A)\), selon laquelle l’énoncé du lemme est vrai pour \(\widetilde{K}\). La discussion ci-dessus et Compléments sur l’algèbre, remarque 09PB, montrent qu’il suffit de démontrer que \(T\) est vraie pour \(A[k]\). Ceci achève la démonstration, car l’énoncé du lemme est clair pour les décalés du faisceau structural.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\), \(Y\) des schémas sur \(S\). On dit que \(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(S\) si, pour tous \(x \in X\) et \(y \in Y\) d’image commune \(s \in S\), les anneaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) et \(\mathcal{O}_{Y, y}\) sont Tor-indépendants sur \(\mathcal{O}_{S, s}\) (voir Compléments sur l’algèbre, définition 0660).

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) des morphismes de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(S\), et

pour tous ouverts affines \(U \subset X\), \(V \subset Y\), \(W \subset S\) avec \(f(U) \subset W\) et \(g(V) \subset W\), les anneaux \(\mathcal{O}_X(U)\) et \(\mathcal{O}_Y(V)\) sont Tor-indépendants sur \(\mathcal{O}_S(W)\) ;

il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup W_i\) et, pour chaque \(i\), des recouvrements ouverts affines \(f^{-1}(W_i) = \bigcup U_{ij}\) et \(g^{-1}(W_i) = \bigcup V_{ik}\) tels que les anneaux \(\mathcal{O}_X(U_{ij})\) et \(\mathcal{O}_Y(V_{ik})\) soient Tor-indépendants sur \(\mathcal{O}_S(W_i)\) pour tous \(i, j, k\).

Démonstration

Omise. Indication : utiliser Compléments sur l’algèbre, lemme 08HX.

Lemme

Soient \(X \to S\) et \(Y \to S\) des morphismes de schémas. Soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas et notons \(X' = X \times_S S'\) et \(Y' = Y \times_S S'\). Si \(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(S\) et si \(S' \to S\) est plat, alors \(X'\) et \(Y'\) sont Tor-indépendants sur \(S'\).

Démonstration

Omise. Indication : utiliser le lemme 0FXV et, sur les ouverts affines, Compléments sur l’algèbre, lemme 0FXF.

Lemme

Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(f : X \to S\) quasi-compact et quasi-séparé. Considérons le diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] Si \(X\) et \(S'\) sont Tor-indépendants sur \(S\), alors, pour tout \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), la flèche canonique \(Lg^*Rf_*E \to Rf'_*L(g')^*E\) est un isomorphisme.

Démonstration

Pour tout objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), on peut utiliser Cohomologie, remarque 08HY, pour obtenir un morphisme canonique de changement de base \(Lg^*Rf_*E \to Rf'_*L(g')^*E\). Pour vérifier qu’il est un isomorphisme, on peut travailler localement sur \(S'\). On peut donc supposer que \(g : S' \to S\) est un morphisme de schémas affines. En particulier, \(g\) est affine, et il suffit de montrer que \[Rg_*Lg^*Rf_*E \to Rg_*Rf'_*L(g')^*E = Rf_*(Rg'_* L(g')^* E)\] est un isomorphisme, voir le lemme 08I8 (et utiliser les lemmes 08DW, 08DX et 08D5 pour voir que les objets \(Rf'_*L(g')^*E\) et \(Lg^*Rf_*E\) ont des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents). Notons que \(g'\) est également affine (Morphismes, lemme 01SD). D’après le lemme 08I9, le morphisme s’identifie à \[Rf_*E \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} g_*\mathcal{O}_{S'} \longrightarrow Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] Observons que \(g'_*\mathcal{O}_{X'} = f^*g_*\mathcal{O}_{S'}\) (par changement de base affine, voir Cohomologie des schémas, lemme 02KG). Ainsi, d’après le lemme 08EU, il suffit de démontrer que \(Lf^*g_*\mathcal{O}_{S'} = f^*g_*\mathcal{O}_{S'}\). Ceci résulte de notre hypothèse que \(X\) et \(S'\) sont Tor-indépendants sur \(S\). En effet, pour le vérifier, on peut travailler localement sur \(X\), donc aussi supposer \(X\) affine. Écrivons \(X = \Spec(A)\), \(S = \Spec(R)\) et \(S' = \Spec(R')\). Notre hypothèse implique que \(A\) et \(R'\) sont Tor-indépendants sur \(R\) (Compléments sur l’algèbre, lemme 08HX), c’est-à-dire que \(\text{Tor}_i^R(A, R') = 0\) pour \(i > 0\). Autrement dit, \(A \otimes_R^\mathbf{L} R' = A \otimes_R R'\), ce qui signifie exactement que \(Lf^*g_*\mathcal{O}_{S'} = f^*g_*\mathcal{O}_{S'}\) (utiliser le lemme 08DW).

Le lemme suivant sera utilisé dans le chapitre sur les complexes dualisants.

Lemme

Considérons un carré cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] de schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Supposons que \(g\) et \(f\) soient Tor-indépendants et que \(S = \Spec(R)\), \(S' = \Spec(R')\) soient affines. Pour \(M, K \in D(\mathcal{O}_X)\), le morphisme canonique \[R\Hom_X(M, K) \otimes^\mathbf{L}_R R' \longrightarrow R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*K)\] dans \(D(R')\) est un isomorphisme dans les deux cas suivants :

\(M \in D(\mathcal{O}_X)\) est parfait et \(K \in D_\QCoh(X)\), ou

\(M \in D(\mathcal{O}_X)\) est pseudo-cohérent, \(K \in D_\QCoh^+(X)\), et \(R'\) est de dimension de Tor finie sur \(R\).

Démonstration

Il existe un morphisme canonique \(R\Hom_X(M, K) \to R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*K)\) dans \(D(\Gamma(X, \mathcal{O}_X))\) entre complexes Hom globaux, voir Cohomologie, section 0B6A. Par restriction des scalaires, on peut le considérer comme un morphisme dans \(D(R)\). On utilise alors l’adjonction entre la restriction et \(- \otimes_R^\mathbf{L} R'\) pour obtenir le morphisme affiché dans le lemme. Ce morphisme étant défini, il suffit de démontrer que c’est un isomorphisme dans la catégorie dérivée des groupes abéliens.

Le membre de droite est égal à \[R\Hom_X(M, R(g')_*L(g')^*K) = R\Hom_X(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] d’après le lemme 08I9. Dans les deux cas, le complexe \(R\SheafHom(M, K)\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) d’après le lemme 0A6H. Il existe un morphisme naturel \[R\SheafHom(M, K) \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'} \longrightarrow R\SheafHom(M, K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] qui est un isomorphisme dans les deux cas d’après le lemme 0ATN. Pour voir que ce lemme s’applique dans le cas (2), notons que \(g'_*\mathcal{O}_{X'} = Rg'_*\mathcal{O}_{X'} = Lf^*g_*\mathcal{O}_{S'}\), la deuxième égalité résultant du lemme 08IB. En utilisant le lemme 08E9 et Cohomologie, lemme 09U8, on en déduit que \(g'_*\mathcal{O}_{X'}\) est de dimension de Tor finie. Ainsi, dans les deux cas, en remplaçant \(K\) par \(R\SheafHom(M, K)\), on se ramène à démontrer que \[R\Gamma(X, K) \otimes^\mathbf{L}_A A' \longrightarrow R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} g'_*\mathcal{O}_{X'})\] est un isomorphisme. Notons que le membre de gauche est égal à \(R\Gamma(X', L(g')^*K)\) d’après le lemme 08I9. Le résultat découle donc du lemme 08IB.

Remarque

Reprenons les notations du lemme 0AA7. Le diagramme \[\xymatrix{ R\Hom_X(M, Rg'_*L) \otimes_R^\mathbf{L} R' \ar[r] \ar[d]_\mu & R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L(g')^*Rg'_*L) \ar[d]^a \\ R\Hom_X(M, R(g')_*L) \ar@{=}[r] & R\Hom_{X'}(L(g')^*M, L) }\] est commutatif ; la flèche horizontale supérieure est le morphisme du lemme, \(\mu\) est le morphisme de multiplication, et \(a\) provient du morphisme d’adjonction \(L(g')^*Rg'_*L \to L\). Le morphisme de multiplication est le morphisme d’adjonction \(K' \otimes_R^\mathbf{L} R' \to K'\) pour tout \(K' \in D(R')\).

Lemme

Considérons un carré cartésien de schémas \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] Supposons que \(g\) et \(f\) soient Tor-indépendants.

Si \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) en tant que complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules, alors \(L(g')^*E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) en tant que complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}\)-modules.

Si \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module plat sur \(S\), alors \(L(g')^*\mathcal{G} = (g')^*\mathcal{G}\).

Démonstration

On peut calculer la dimension de Tor sur les fibres, voir Cohomologie, lemme 09U9. Si \(x' \in X'\) a pour image \(x \in X\), alors \[(L(g')^*E)_{x'} = E_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', x'}\] Soient \(s' \in S'\) et \(s \in S\) les images de \(x'\) et \(x\). Puisque \(X\) et \(S'\) sont Tor-indépendants sur \(S\), on peut appliquer Compléments sur l’algèbre, lemme 0661, pour voir que le membre de droite de la formule affichée est égal à \(E_x \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S', s'}\) dans \(D(\mathcal{O}_{S', s'})\). L’assertion (1) résulte donc de Compléments sur l’algèbre, lemme 066L. Pour voir (2), observons que la platitude de \(\mathcal{G}\) équivaut à la condition que \(\mathcal{G}[0]\) ait une amplitude de Tor contenue dans \([0, 0]\). On conclut en appliquant (1).

Lemme

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ Z' \ar[r]_{i'} \ar[d]_g & X' \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^i & X }\] où \(i\) est une immersion fermée. Si \(Z\) et \(X'\) sont Tor-indépendants sur \(X\), alors \(Ri'_* \circ Lg^* = Lf^* \circ Ri_*\) comme foncteurs \(D(\mathcal{O}_Z) \to D(\mathcal{O}_{X'})\).

Démonstration

Notons que le lemme doit être vrai pour tout \(K \in D(\mathcal{O}_Z)\). Observons que \(i_*\) et \(i'_*\) sont des foncteurs exacts ; par conséquent, \(Ri_*\) et \(Ri'_*\) se calculent en appliquant \(i_*\) et \(i'_*\) à des représentants quelconques. Ainsi le morphisme de changement de base \[Lf^*(Ri_*(K)) \longrightarrow Ri'_*(Lg^*(K))\] sur les fibres en un point \(z' \in Z'\) d’image \(z \in Z\) est donné par \[K_z \otimes_{\mathcal{O}_{X, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', z'} \longrightarrow K_z \otimes_{\mathcal{O}_{Z, z}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{Z', z'}\] Ce morphisme est un isomorphisme d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0661, et la Tor-indépendance supposée.

Formule de Künneth, II

Pour le cas où la base est un corps, voir Variétés, section 0BEC. Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ & X \times_S Y \ar[ld]^p \ar[rd]_q \ar[dd]^f \\ X \ar[rd]_a & & Y \ar[ld]^b \\ & S }\] Soient \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) et \(M \in D(\mathcal{O}_Y)\). Il existe un morphisme canonique [0FLP]\[\begin{equation} Ra_*K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*M \longrightarrow Rf_*(Lp^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^*M) \end{equation}\] En effet, on peut utiliser les morphismes \(Ra_*K \to Ra_*Rp_* Lp^*K = Rf_*Lp^*K\) et \(Rb_*M \to Rb_*Rq_* Lq^*M = Rf_*Lq^*M\), puis le cup-produit relatif (Cohomologie, remarque 0B68).

Posons \(A = \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\). Il existe un morphisme de Künneth global [0G7V]\[\begin{equation} R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, M) \longrightarrow R\Gamma(X \times_S Y, Lp^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^*M) \end{equation}\] dans \(D(A)\). Ce morphisme se construit à l’aide des morphismes de rappel \(R\Gamma(X, K) \to R\Gamma(X \times_S Y, Lp^*K)\) et \(R\Gamma(Y, M) \to R\Gamma(X \times_S Y, Lq^*M)\) et du cup-produit construit dans Cohomologie, section 0FKU.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(a\) et \(b\) sont quasi-compacts et quasi-séparés et si \(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(S\), alors (0FLP) est un isomorphisme pour \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(M \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\). Si de plus \(S = \Spec(A)\) est affine, alors le morphisme (0G7V) est un isomorphisme.

Démonstration

Cela résulte de la suite d’isomorphismes suivante \[\begin{align*} Rf_*(Lp^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^*M) & = Ra_*Rp_*(Lp^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^*M) \\ & = Ra_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Rp_*Lq^*M) \\ & = Ra_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} La^*Rb_*M) \\ & = Ra_*K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*M \end{align*}\] La première égalité vaut parce que \(f = a \circ p\). La deuxième égalité résulte du lemme 08EU. La troisième, du lemme 08IB. La quatrième, du lemme 08EU. Nous omettons la vérification que la composée de ces isomorphismes est le morphisme (0FLP). Si \(S\) est affine, alors la source et le but de la flèche (0G7V) s’obtiennent en appliquant \(R\Gamma(S, -)\) à la source et au but de (0FLP), ce qui donne la dernière assertion ; nous omettons les détails.

Démonstration

La construction de la flèche (0FLP) est compatible avec la restriction aux sous-schémas ouverts de \(S\), comme il ressort immédiatement de la construction du cup-produit relatif. Il suffit donc de montrer que (0FLP) est un isomorphisme lorsque \(S\) est affine.

Supposons \(S = \Spec(A)\) affine. Par Leray, on a \(R\Gamma(S, Rf_*K) = R\Gamma(X, K)\), et de même dans les autres cas. D’après Cohomologie, lemme 0FP6, le morphisme (0FLP) induit le morphisme (0G7V) après application de \(R\Gamma(S, -)\). D’autre part, d’après les lemmes 08D5 et 08DX, la source et le but du morphisme (0FLP) appartiennent à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\). Ainsi, d’après le lemme 06Z0, il suffit de montrer que (0G7V) est un isomorphisme.

Supposons \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\) et \(Y = \Spec(C)\) tous affines. Nous utiliserons le lemme 06Z0 sans autre mention. Dans ce cas, on peut choisir un complexe K-plat \(K^\bullet\) de \(B\)-modules dont les termes sont plats et tel que \(K\) soit représenté par \(\widetilde{K}^\bullet\). De même, on peut choisir un complexe K-plat \(M^\bullet\) de \(C\)-modules dont les termes sont plats et tel que \(M\) soit représenté par \(\widetilde{M}^\bullet\). Voir Compléments sur l’algèbre, lemme 06Y4. Alors \(\widetilde{K}^\bullet\) est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_X\)-modules, et de même pour \(\widetilde{M}^\bullet\) ; voir le lemme 08DV. Ainsi, \(La^*K\) est représenté par \[a^*\widetilde{K}^\bullet = \widetilde{K^\bullet \otimes_A C}\] et de même pour \(Lb^*M\). À son tour, c’est un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-modules d’après le lemme cité ci-dessus et Compléments sur l’algèbre, lemme 06Y1. On voit donc finalement que le complexe de \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-modules associé à \[\text{Tot}((K^\bullet \otimes_A C) \otimes_{B \otimes_A C} (B \otimes_A M^\bullet)) = \text{Tot}(K^\bullet \otimes_A M^\bullet)\] représente \(La^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lb^*M\) dans la catégorie dérivée de \(X \times_S Y\). En prenant les sections globales, on obtient \(\text{Tot}(K^\bullet \otimes_A M^\bullet)\), qui est bien entendu également le complexe représentant \(R\Gamma(X, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, M)\). Le fait que l’isomorphisme soit donné par le cup-produit résulte de la relation entre le véritable cup-produit et le cup-produit naïf dans Cohomologie, section 0FKU (et en particulier de Cohomologie, lemme 0FP3, ainsi que de la discussion qui le suit).

Supposons \(S = \Spec(A)\) et \(Y\) affines. Nous allons utiliser le principe d’induction de Cohomologie des schémas, lemme 08DR, pour démontrer l’assertion. Pour cela, il suffit de montrer ceci : si \(X = U \cup V\) est un recouvrement ouvert avec \(U\) et \(V\) quasi-compacts et si le morphisme (0G7V) \[R\Gamma(U, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, M) \longrightarrow R\Gamma(U \times_S Y, Lp^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^*M)\] pour \(U\) et \(Y\) sur \(S\), le morphisme (0G7V) \[R\Gamma(V, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, M) \longrightarrow R\Gamma(V \times_S Y, Lp^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^*M)\] pour \(V\) et \(Y\) sur \(S\), et le morphisme (0G7V) \[R\Gamma(U \cap V, K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, M) \longrightarrow R\Gamma((U \cap V) \times_S Y, Lp^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^*M)\] pour \(U \cap V\) et \(Y\) sur \(S\) sont des isomorphismes, alors le morphisme (0G7V) pour \(X\) et \(Y\) sur \(S\) en est aussi un. Cependant, d’après Cohomologie, lemme 0G6X, ces morphismes s’insèrent dans un morphisme de triangles distingués dont (0G7V) est la dernière branche ; on conclut donc par Catégories dérivées, lemme 014A.

Supposons \(S = \Spec(A)\) affine. Pour achever la démonstration, on peut appliquer le principe d’induction de Cohomologie des schémas, lemme 08DR, à \(Y\). En effet, ce qui précède montre déjà que notre morphisme est un isomorphisme lorsque \(Y\) est affine. La suite de l’argument est exactement la même que dans le paragraphe précédent, en échangeant les rôles de \(X\) et \(Y\).

Lemme

Soit \(a : X \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe localement borné de \(a^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules. Supposons que, pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), le faisceau \(\mathcal{F}^n\) soit un \(a^{-1}\mathcal{O}_S\)-module plat et que \(\mathcal{F}^n\) possède une structure de \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent compatible avec la structure de \(a^{-1}\mathcal{O}_S\)-module donnée (mais les différentielles du complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) ne sont pas nécessairement \(\mathcal{O}_X\)-linéaires). Alors les assertions suivantes sont vraies :

\(Ra_*\mathcal{F}^\bullet\) est localement borné,

\(Ra_*\mathcal{F}^\bullet\) appartient à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\),

\(Ra_*\mathcal{F}^\bullet\) est localement de dimension de Tor finie,

\(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Ra_*\mathcal{F}^\bullet = Ra_*(a^{-1}\mathcal{G} \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_S} \mathcal{F}^\bullet)\) pour \(\mathcal{G} \in \QCoh(\mathcal{O}_S)\), et

\(K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Ra_*\mathcal{F}^\bullet = Ra_*(a^{-1}K \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F}^\bullet)\) pour \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Les parties (1), (2) et (3) sont locales sur \(S\) ; on peut donc supposer, et l’on suppose, que \(S\) est affine. Puisque \(a\) est quasi-compact, on en déduit que \(X\) est quasi-compact. Comme \(\mathcal{F}^\bullet\) est localement borné, on en déduit que \(\mathcal{F}^\bullet\) est borné.

Pour (1) et (2), on peut utiliser la première suite spectrale \(R^pa_*\mathcal{F}^q \Rightarrow R^{p + q}a_*\mathcal{F}^\bullet\) de Catégories dérivées, lemme 015J. En combinant Cohomologie des schémas, lemme 01XJ, et Homologie, lemme 012W, on conclut.

Démontrons (3) au moyen du principe d’induction de Cohomologie des schémas, lemme 08DR. Plus précisément, pour un ouvert quasi-compact \(U\) de \(X\), considérons la condition que \(R(a|_U)_*(\mathcal{F}^\bullet|_U)\) soit de dimension de Tor finie. Si \(U, V\) sont des ouverts quasi-compacts de \(X\), alors on dispose d’un triangle distingué de Mayer–Vietoris relatif \[R(a|_{U \cup V})_*\mathcal{F}^\bullet|_{U \cup V} \to R(a|_U)_*\mathcal{F}^\bullet|_U \oplus R(a|_V)_*\mathcal{F}^\bullet|_V \to R(a|_{U \cap V})_*\mathcal{F}^\bullet|_{U \cap V} \to\] d’après Cohomologie, lemme 08HZ. Le comportement de l’amplitude de Tor dans les triangles distingués (voir Cohomologie, lemme 08CJ) montre que, si le résultat est connu pour \(U\), \(V\) et \(U \cap V\), alors il vaut pour \(U \cup V\). Cela nous ramène au cas où \(X\) est affine. Dans ce cas, on a \[Ra_*\mathcal{F}^\bullet = a_*\mathcal{F}^\bullet\] d’après le lemme d’acyclicité de Leray (Catégories dérivées, lemme 015E) et l’annulation des images directes supérieures des modules quasi-cohérents par un morphisme affine (Cohomologie des schémas, lemme 01XC). Puisque \(\mathcal{F}^n\) est plat sur \(S\) par hypothèse et que \(X\) est affine, les modules \(a_*\mathcal{F}^n\) sont plats pour tout \(n\). Par conséquent, \(a_*\mathcal{F}^\bullet\) est un complexe borné de \(\mathcal{O}_S\)-modules plats, donc il est de dimension de Tor finie.

Démonstration de la partie (5). Notons \(a' : (X, a^{-1}\mathcal{O}_S) \to (S, \mathcal{O}_S)\) le morphisme plat évident d’espaces annelés. La partie (5) affirme que \[K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Ra'_*\mathcal{F}^\bullet = Ra'_*(L(a')^*K \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F}^\bullet)\] Ainsi, Cohomologie, équation (0B53), fournit un morphisme fonctoriel du membre de gauche vers celui de droite, et nous voulons montrer que ce morphisme est un isomorphisme. Cette question est locale sur \(S\) ; on peut donc supposer, et l’on suppose, que \(S\) est affine. Le reste de la démonstration est exactement identique à la démonstration du lemme 08EU, sauf qu’il faut montrer que le foncteur \(K \mapsto Ra'_*(L(a')^*K \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F}^\bullet)\) commute aux sommes directes. C’est ici que nous utilisons le fait que \(\mathcal{F}^n\) possède une structure de \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. En effet, observons que \(K \mapsto L(a')^*K \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F}^\bullet\) commute aux sommes directes arbitraires. Ensuite, si \(\mathcal{F}^\bullet\) consiste en un seul \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}^\bullet = \mathcal{F}^n[-n]\), alors \(L(a')^*G \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F}^\bullet = La^*K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{F}^n[-n]\) ; voir Cohomologie, lemme 08DE. Dans ce cas, la commutation aux sommes directes résulte donc du lemme 08DZ. Dans le cas général, puisque \(S\) est affine (donc \(X\) quasi-compact) et que \(\mathcal{F}^\bullet\) est localement borné, on voit que \[\mathcal{F}^\bullet = (\mathcal{F}^a \to \ldots \to \mathcal{F}^b)\] est borné. En raisonnant par récurrence sur \(b - a\) et en considérant le triangle distingué \[\mathcal{F}^b[-b] \to (\mathcal{F}^a \to \ldots \to \mathcal{F}^b) \to (\mathcal{F}^a \to \ldots \to \mathcal{F}^{b - 1}) \to \mathcal{F}^b[-b + 1]\] on achève la démonstration de cette partie. Certains détails sont omis.

Démonstration de la partie (4). Soit \(a' : (X, a^{-1}\mathcal{O}_S) \to (S, \mathcal{O}_S)\) comme ci-dessus. Puisque \(\mathcal{F}^\bullet\) est un complexe localement borné de \(a^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules plats, on voit que le complexe \(a^{-1}\mathcal{G} \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_S} \mathcal{F}^\bullet\) représente \(L(a')^*\mathcal{G} \otimes_{a^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F}^\bullet\) dans \(D(a^{-1}\mathcal{O}_S)\). L’assertion (4) résulte donc de (5).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas, avec \(Y = \Spec(A)\) affine. Soit \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert affine fini tel que toutes les intersections finies \(U_{i_0 \ldots i_p} = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\) soient affines. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné de \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-modules. Supposons que, pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), le faisceau \(\mathcal{F}^n\) soit un \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-module plat et que \(\mathcal{F}^n\) possède une structure de \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent compatible avec la structure de \(p^{-1}\mathcal{O}_Y\)-module donnée (mais les différentielles du complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) ne sont pas nécessairement \(\mathcal{O}_X\)-linéaires). Alors le complexe \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}^\bullet))\) est K-plat comme complexe de \(A\)-modules.

Démonstration

On peut écrire \[\mathcal{F}^\bullet = (\mathcal{F}^a \to \ldots \to \mathcal{F}^b)\] En raisonnant par récurrence sur \(b - a\) et en considérant le triangle distingué \[\mathcal{F}^b[-b] \to (\mathcal{F}^a \to \ldots \to \mathcal{F}^b) \to (\mathcal{F}^a \to \ldots \to \mathcal{F}^{b - 1}) \to \mathcal{F}^b[-b + 1]\] et en utilisant Compléments sur l’algèbre, lemme 06Y2, on se ramène au cas où \(\mathcal{F}^\bullet\) consiste en un seul \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) placé en degré \(0\). Dans ce cas, le complexe de Čech de \(\mathcal{F}\) relativement à \(\mathcal{U}\) est homotopiquement équivalent au complexe de Čech alterné ; voir Cohomologie, lemme 01FM. Comme \(U_{i_0 \ldots i_p}\) est toujours affine, on voit que \(\mathcal{F}(U_{i_0 \ldots i_p})\) est plat sur \(A\). Par conséquent, \(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est un complexe borné de \(A\)-modules plats, donc K-plat d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 064K.

Soient \(X, Y, S, a, b, p, q, f\) comme dans l’introduction de cette section. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module. Posons \(A = \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\). Considérons le morphisme [0G49]\[\begin{equation} R\Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \mathcal{G}) \longrightarrow R\Gamma(X \times_S Y, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}) \end{equation}\] dans \(D(A)\). Ce morphisme se construit à l’aide des morphismes de rappel \(R\Gamma(X, \mathcal{F}) \to R\Gamma(X \times_S Y, p^*\mathcal{F})\) et \(R\Gamma(Y, \mathcal{G}) \to R\Gamma(X \times_S Y, q^*\mathcal{G})\), du cup-produit construit dans Cohomologie, section 0FKU, et du morphisme canonique \(p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} q^*\mathcal{G} \to p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le morphisme (0G49) est un isomorphisme si \(S\) est affine, si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont plats sur \(S\) et quasi-cohérents, et si \(X\) et \(Y\) sont quasi-compacts à diagonale affine.

Démonstration

Nous recommandons vivement au lecteur de lire d’abord la démonstration de Variétés, lemme 0BED. Choisissons des recouvrements ouverts affines finis \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\) et \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{j \in J} V_j\). Ils déterminent un recouvrement ouvert affine \(\mathcal{W} : X \times_S Y = \bigcup_{(i, j) \in I \times J} U_i \times_S V_j\). Notons que \(\mathcal{W}\) raffine \(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{U}\) et \(\text{pr}_2^{-1}\mathcal{V}\). Ainsi, d’après la discussion de Cohomologie, section 01FP, on obtient des morphismes \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, p^*\mathcal{F}) \quad\text{et}\quad \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, q^*\mathcal{G})\] bien définis à homotopie près et compatibles avec les morphismes de rappel en cohomologie. Dans Cohomologie, équation (07MB), nous avons construit un morphisme de complexes \[\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, p^*\mathcal{F}) \otimes_A \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, q^*\mathcal{G})) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G})\] qui est compatible avec le cup-produit en cohomologie d’après Cohomologie, lemme 0FKV. En combinant ce qui précède, on obtient un morphisme de complexes [0FLU]\[\begin{equation} \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}) \end{equation}\] Nous affirmons qu’il s’agit du morphisme de l’énoncé du lemme, c’est-à-dire que la source et le but de cette flèche s’identifient à la source et au but de (0G49). En effet, d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XB, et Cohomologie, lemme 0FLH, les morphismes canoniques \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to R\Gamma(X, \mathcal{F}), \quad \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \to R\Gamma(Y, \mathcal{G})\] et \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}) \to R\Gamma(X \times_S Y, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G})\] sont des isomorphismes. D’autre part, le complexe \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) est K-plat d’après le lemme 0FMQ, et on en déduit que \(\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}))\) représente le produit tensoriel dérivé \(R\Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \mathcal{G})\), comme annoncé.

Il reste à montrer que (0FLU) est un quasi-isomorphisme. Nous allons le faire par décalage de dimension. Posons \(d(\mathcal{F}) = \max \{d \mid H^d(X, \mathcal{F}) \not = 0\}\). Supposons \(d(\mathcal{F}) > 0\). Posons \(U = \coprod\nolimits_{i \in I} U_i\). C’est un schéma affine puisque \(I\) est fini. Notons \(j : U \to X\) le morphisme qui est l’inclusion \(U_i \to X\) sur chaque \(U_i\). Comme la diagonale de \(X\) est affine, le morphisme \(j\) est affine ; voir Morphismes, lemme 01SG. Il s’ensuit que \(\mathcal{F}' = j_*j^*\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) ; voir Morphismes, lemme 0FLM. Il s’ensuit aussi que \(d(\mathcal{F}') = 0\) en combinant Cohomologie des schémas, lemmes 089W et 01XB. Pour tout \(x \in X\), le morphisme \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}'_x\) est l’inclusion d’un facteur direct : si \(x \in U_i\), alors \(\mathcal{F}' \to (U_i \to X)_*\mathcal{F}|_{U_i}\) fournit une rétraction. On en déduit que \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) est injectif et que \(\mathcal{F}'' = \mathcal{F}'/\mathcal{F}\) est lui aussi plat sur \(S\). La suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents plats donne une suite exacte courte de complexes \[0 \to \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \to \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}') \otimes_A \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \to \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}'') \otimes_A \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \to 0\] et une suite exacte courte de complexes \[0 \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, p^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, p^*\mathcal{F}'' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}) \to 0\] De plus, les morphismes (0FLU) entre celles-ci sont compatibles avec ces suites exactes courtes. Il suffit donc de montrer que (0FLU) est un isomorphisme pour \(\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{F}''\). Enfin, on a \(d(\mathcal{F}'') < d(\mathcal{F})\). On se ramène ainsi au cas \(d(\mathcal{F}) = 0\).

En raisonnant de la même manière pour \(\mathcal{G}\), on voit que l’on peut supposer que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) n’ont de cohomologie non nulle qu’en degré \(0\). Observons que cela signifie que \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) est quasi-isomorphe au complexe \(K\)-plat \(\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F})\) de \(A\)-modules situé en degrés \(\geq 0\). Il s’ensuit que \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) est un \(A\)-module plat (car on peut calculer les Tor supérieurs contre ce module en tensorisant par le complexe de Čech). Soit \(V \subset Y\) un ouvert affine. Considérons le recouvrement ouvert affine \(\mathcal{U}_V : X \times_S V = \bigcup_{i \in I} U_i \times_S V\). Il est immédiat que \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A \mathcal{G}(V) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}_V, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} q^*\mathcal{G})\] (égalité de complexes). Comme \(\mathcal{G}(V)\) est plat sur \(A\), on voit que \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_A \mathcal{G}(V) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes_A \mathcal{G}(V)\) est un quasi-isomorphisme. Puisque le faisceau associé à \(V \mapsto \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}_V, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} q^*\mathcal{G})\) représente \(Rq_*(p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} q^*\mathcal{G})\) d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XL, on en déduit que \[Rq_*(p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} q^*\mathcal{G}) \cong \Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_A \mathcal{G}\] sur \(Y\), où la notation du membre de droite désigne le module \[b^*\widetilde{\Gamma(X, \mathcal{F})} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G}\] En utilisant la suite spectrale de Leray pour \(q\), on obtient \[H^n(X \times_S Y, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} q^*\mathcal{G}) = H^n(Y, b^*\widetilde{\Gamma(X, \mathcal{F})} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{G})\] En appliquant le lemme 08EU au morphisme \(b : Y \to S = \Spec(A)\) et en utilisant le fait que \(\Gamma(X, \mathcal{F})\) est plat sur \(A\), on conclut que \(H^n(X \times_S Y, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} q^*\mathcal{G})\) est nul pour \(n > 0\) et isomorphe à \(H^0(X, \mathcal{F}) \otimes_A H^0(Y, \mathcal{G})\) pour \(n = 0\). Bien entendu, nous utilisons ici aussi le fait que \(\mathcal{G}\) n’a de cohomologie qu’en degré \(0\). Cela achève la démonstration (à ceci près qu’il faudrait vérifier que l’isomorphisme est bien donné par le cup-produit en degré \(0\) ; nous omettons cette vérification).

Remarque

Soit \(S = \Spec(A)\) un schéma affine. Soient \(a : X \to S\) et \(b : Y \to S\) des morphismes de schémas. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents, et soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Soit \(\xi \in H^i(X, \mathcal{G})\), dont le rappel est \(p^*\xi \in H^i(X \times_S Y, p^*\mathcal{G})\). Alors le diagramme suivant est commutatif \[\xymatrix{ R\Gamma(X, \mathcal{F})[-i] \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \mathcal{E}) \ar[d] \ar[rr]_-{\xi \otimes \text{id}} & & R\Gamma(X, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \mathcal{E}) \ar[d] \\ R\Gamma(X \times_S Y, p^*\mathcal{F} \otimes q^*\mathcal{E})[-i] \ar[rr]^-{p^*\xi} & & R\Gamma(X \times_S Y, p^*(\mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) \otimes q^*\mathcal{E}) }\] où les produits tensoriels non décorés sont pris sur \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\). Les flèches horizontales proviennent de Cohomologie, remarque 0G6W, et les flèches verticales sont (0G7V) ; elles sont donc données par le rappel suivi du cup-produit sur \(X \times_S Y\). Le diagramme commute parce que le cup-produit global (sur \(X \times_S Y\) avec les faisceaux \(p^*\mathcal{G}\), \(p^*\mathcal{F}\) et \(q^*\mathcal{E}\)) est associatif ; voir Cohomologie, lemme 0FP4.

Formule de Künneth, III

Soient \(X, Y, S, a, b, p, q, f\) comme dans l’introduction de la section 0FLN. Dans cette section, étant donnés un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module \(\mathcal{G}\), posons \[\mathcal{F} \boxtimes \mathcal{G} = p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}} q^*\mathcal{G}\] Notons que, contrairement à ce qui se produira dans une section ultérieure, nous prenons ici le produit tensoriel non dérivé.

Sur \(X\), soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe de faisceaux de groupes abéliens dont les termes sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents et tel que les différentielles \(d^i_\mathcal{F} : \mathcal{F}^i \to \mathcal{F}^{i + 1}\) soient des opérateurs différentiels sur \(X/S\) d’ordre fini ; voir Morphismes, section 0G43. De même, sur \(Y\), soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe de faisceaux de groupes abéliens dont les termes sont des \(\mathcal{O}_Y\)-modules quasi-cohérents et tel que les différentielles \(d^j_\mathcal{G} : \mathcal{G}^j \to \mathcal{G}^{j + 1}\) soient des opérateurs différentiels sur \(Y/S\) d’ordre fini. En appliquant la construction de Morphismes, lemme 0G45, on obtient un complexe double \[\xymatrix{ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{F}^i \boxtimes \mathcal{G}^{j + 1} \ar[r]^{d_1^{i, j + 1}} \ar[u] & \mathcal{F}^{i + 1} \boxtimes \mathcal{G}^{j + 1} \ar[r] \ar[u] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{F}^i \boxtimes \mathcal{G}^j \ar[r]^{d_1^{i, j}} \ar[u]^{d_2^{i, j}} & \mathcal{F}^{i + 1} \boxtimes \mathcal{G}^j \ar[r] \ar[u]_{d_2^{i + 1, j}} & \ldots \\ \ldots & \ldots \ar[u] & \ldots \ar[u] & \ldots }\] de modules quasi-cohérents dont les morphismes sont des opérateurs différentiels d’ordre fini sur \(X \times_S Y / S\). Voir la discussion de Morphismes, remarque 0G46, et Homologie, exemple 0A5J. Explicitement, on pose \[d_1^{i, j} = d^i_\mathcal{F} \boxtimes 1 \quad\text{et}\quad d_2^{i, j} = 1 \boxtimes d^j_\mathcal{G}\] Dans la discussion ci-dessous, la notation \[\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \boxtimes \mathcal{G}^\bullet)\] désigne le complexe total associé à ce complexe double. Les termes de ce complexe sont des \(\mathcal{O}_{X \times_S Y}\)-modules quasi-cohérents, et ses différentielles sont des opérateurs différentiels d’ordre fini sur \(X \times_S Y / S\).

Dans la situation ci-dessus, il existe un morphisme de « cup-produit relatif » [0G4B]\[\begin{equation} Ra_*(\mathcal{F}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*(\mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow Rf_*\left(\text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \boxtimes \mathcal{G}^\bullet)\right) \end{equation}\] On peut en effet construire ce morphisme en combinant

\(Ra_*(\mathcal{F}^\bullet) \to Rf_*(p^{-1}\mathcal{F}^\bullet)\),
\(Rb_*(\mathcal{G}^\bullet) \to Rf_*(q^{-1}\mathcal{G}^\bullet)\),
\(Rf_*(p^{-1}\mathcal{F}^\bullet) \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rf_*(q^{-1}\mathcal{G}^\bullet) \to Rf_*(p^{-1}\mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} q^{-1}\mathcal{G}^\bullet)\),
\(p^{-1}\mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} q^{-1}\mathcal{G}^\bullet \to \text{Tot}(p^{-1}\mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{G}^\bullet)\)
\(\text{Tot}(p^{-1}\mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{G}^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \boxtimes \mathcal{G}^\bullet)\).

Les morphismes (1) et (2) sont des morphismes de rappel, le morphisme (3) est le cup-produit relatif ; voir Cohomologie, remarque 0B68 ; le morphisme (4) compare les produits tensoriels dérivé et non dérivé, et le morphisme (5) est donné par les morphismes évidents \(p^{-1}\mathcal{F}^i \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{G}^j \to \mathcal{F}^i \boxtimes \mathcal{G}^j\) sur les complexes doubles sous-jacents.

Posons \(A = \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\). Il existe un morphisme de « cup-produit global » [0FLR]\[\begin{equation} R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow R\Gamma(X \times_S Y, \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \boxtimes \mathcal{G}^\bullet)) \end{equation}\] dans \(D(A)\). Ce morphisme se construit comme le cup-produit relatif ci-dessus, en utilisant

\(R\Gamma(X, \mathcal{F}^\bullet) \to R\Gamma(X \times_S Y, p^{-1}\mathcal{F}^\bullet)\)
\(R\Gamma(Y, \mathcal{G}^\bullet) \to R\Gamma(X \times_S Y, q^{-1}\mathcal{G}^\bullet)\),
\(R\Gamma(X \times_S Y, p^{-1}\mathcal{F}^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(X \times_S Y, q^{-1}\mathcal{G}^\bullet) \to R\Gamma(X \times_S Y, p^{-1}\mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} q^{-1}\mathcal{G}^\bullet)\),
\(p^{-1}\mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} q^{-1}\mathcal{G}^\bullet \to \text{Tot}(p^{-1}\mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{G}^\bullet)\)
\(\text{Tot}(p^{-1}\mathcal{F}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} q^{-1}\mathcal{G}^\bullet) \to \text{Tot}(\mathcal{F}^\bullet \boxtimes \mathcal{G}^\bullet)\).

Ici, les morphismes (1) et (2) sont les morphismes de rappel, et le morphisme (3) est le cup-produit construit dans Cohomologie, section 0FKU. Les morphismes (4) et (5) sont ceux indiqués au paragraphe précédent.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le cup-produit (0FLR) est un isomorphisme dans \(D(A)\) si les hypothèses suivantes sont satisfaites :

\(S = \Spec(A)\) est affine,

\(X\) et \(Y\) sont quasi-compacts à diagonale affine,

\(\mathcal{F}^\bullet\) est borné,

\(\mathcal{G}^\bullet\) est borné inférieurement,

\(\mathcal{F}^n\) est plat sur \(S\), et

\(\mathcal{G}^m\) est plat sur \(S\).

Démonstration

Nous utiliserons les notations \(\mathcal{A}_{X/S}\) et \(\mathcal{A}_{Y/S}\) introduites dans Morphismes, remarque 0G46. Supposons que l’on ait des morphismes de complexes \[\mathcal{F}_1^\bullet \to \mathcal{F}_2^\bullet \to \mathcal{F}_3^\bullet \to \mathcal{F}_1^\bullet[1]\] dans la catégorie \(\mathcal{A}_{X/S}\). La fonctorialité du cup-produit fournit alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ R\Gamma(X, \mathcal{F}_1^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \mathcal{G}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(X \times_S Y, \text{Tot}(\mathcal{F}_1^\bullet \boxtimes \mathcal{G}^\bullet)) \ar[d] \\ R\Gamma(X, \mathcal{F}_2^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \mathcal{G}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(X \times_S Y, \text{Tot}(\mathcal{F}_2^\bullet \boxtimes \mathcal{G}^\bullet)) \ar[d] \\ R\Gamma(X, \mathcal{F}_3^\bullet) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \mathcal{G}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & R\Gamma(X \times_S Y, \text{Tot}(\mathcal{F}_3^\bullet \boxtimes \mathcal{G}^\bullet)) \ar[d] \\ R\Gamma(X, \mathcal{F}_1^\bullet[1]) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \mathcal{G}^\bullet) \ar[r] & R\Gamma(X \times_S Y, \text{Tot}(\mathcal{F}_1^\bullet[1] \boxtimes \mathcal{G}^\bullet)) }\] Si les morphismes initiaux forment un triangle distingué dans la catégorie homotopique de \(\mathcal{A}_{X/S}\), alors les colonnes de ce diagramme forment des triangles distingués dans \(D(A)\).

Dans la situation du lemme, supposons \(\mathcal{F}^n = 0\) pour \(n < i\). On peut alors considérer la suite exacte courte de complexes, scindée terme à terme, \[0 \to \sigma_{\geq i + 1}\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{F}^i[-i] \to 0\] où la troncature est celle de Homologie, section 0118. Elle donne le triangle distingué \[\sigma_{\geq i + 1}\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{F}^i[-i] \to (\sigma_{\geq i + 1}\mathcal{F}^\bullet)[1]\] dans la catégorie homotopique de \(\mathcal{A}_{X/S}\), où la dernière flèche est donnée par le morphisme de bord \(\mathcal{F}^i \to \mathcal{F}^{i + 1}\). La discussion qui précède montre qu’il suffit de démontrer le lemme pour \(\mathcal{F}^i[-i]\) et \(\sigma_{\geq i + 1}\mathcal{F}^\bullet\). Puisque \(\sigma_{\geq i + 1}\mathcal{F}^\bullet\) a moins de termes non nuls, une récurrence montre que, si l’on peut démontrer le lemme lorsque \(\mathcal{F}^\bullet\) n’est non nul qu’en un seul degré, alors le lemme en résulte. On peut donc supposer que \(\mathcal{F}^\bullet\) n’est non nul qu’en un seul degré.

Supposons que \(\mathcal{F}^\bullet\) soit le complexe ayant pour terme, plat sur \(S\), le \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) placé en degré \(0\), et nul dans les autres degrés. Observons que \(R\Gamma(X, \mathcal{F})\) est de dimension de Tor finie, par exemple d’après le lemme 0FML. Disons que son amplitude de Tor est contenue dans \([i, j]\). Choisissons \(N \gg 0\) et considérons le triangle distingué \[\sigma_{\geq N + 1}\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet \to \sigma_{\leq N}\mathcal{G}^\bullet \to (\sigma_{\geq N + 1}\mathcal{G}^\bullet)[1]\] dans la catégorie homotopique de \(\mathcal{A}_{Y/S}\). Observons maintenant que les deux complexes \[R\Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma(Y, \sigma_{\geq N + 1}\mathcal{G}^\bullet) \quad\text{et}\quad R\Gamma(X \times_S Y, \text{Tot}(\mathcal{F} \boxtimes \sigma_{\geq N + 1}\mathcal{G}^\bullet))\] ont une cohomologie nulle en degrés \(\leq N + i\). Ainsi, en utilisant les arguments donnés ci-dessus, si l’on veut démontrer notre assertion en un degré donné, on peut supposer que \(\mathcal{G}^\bullet\) est borné. En répétant encore une fois les arguments précédents, on peut aussi supposer que \(\mathcal{G}^\bullet\) n’est non nul qu’en un seul degré. Ce cas est traité par le lemme 0FU4.

Formule de Künneth pour Ext

Considérons un diagramme cartésien de schémas \[\xymatrix{ & X \times_S Y \ar[ld]^p \ar[rd]_q \ar[dd]^f \\ X \ar[rd]_a & & Y \ar[ld]^b \\ & S }\] Pour \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) et \(M \in D(\mathcal{O}_Y)\), posons dans cette section \[K \boxtimes M = Lp^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^*M\] Nous affirmons qu’il existe un morphisme canonique [0FXY]\[\begin{equation} Ra_*R\SheafHom(K, K') \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_*R\SheafHom(M, M') \longrightarrow Rf_*(R\SheafHom(K \boxtimes M, K' \boxtimes M')) \end{equation}\] pour \(K, K' \in D(\mathcal{O}_X)\) et \(M, M' \in D(\mathcal{O}_Y)\). On peut en effet prendre le morphisme adjoint au morphisme \[\begin{matrix} Lf^*\left(Ra_*R\SheafHom(K, K') \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} Rb_* R\SheafHom(M, M')\right) = \\ Lf^* Ra_* R\SheafHom(K, K') \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lf^* Rb_* R\SheafHom(M, M') = \\ Lp^* La^* Ra_* R\SheafHom(K, K') \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^* Lb^* Rb_* R\SheafHom(M, M') \to \\ Lp^* R\SheafHom(K, K') \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} Lq^* R\SheafHom(M, M') \to \\ R\SheafHom(Lp^*K, Lp^*K') \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_S Y}}^\mathbf{L} R\SheafHom(Lq^*M, Lq^*M') \to \\ R\SheafHom(K \boxtimes M, K' \boxtimes M') \end{matrix}\] Ici, la première égalité exprime la compatibilité des rappels avec les produits tensoriels, Cohomologie, lemme 079U. La deuxième égalité utilise \(f = a \circ p = b \circ q\) et la composition des rappels, Cohomologie, lemme 0D5S. La première flèche est donnée par les morphismes d’adjonction \(La^* Ra_* \to \text{id}\) et \(Lb^* Rb_* \to \text{id}\), car l’image directe et le rappel sont adjoints, Cohomologie, lemme 079W. La deuxième flèche est donnée par Cohomologie, remarque 08I3. La troisième et dernière flèche est celle de Cohomologie, remarque 0FXP. Le résultat suivant en est un cas particulier simple.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que \(a\) et \(b\) soient quasi-compacts et quasi-séparés et que \(X\) et \(Y\) soient Tor-indépendants sur \(S\). Si \(K\) est parfait, \(K' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), \(M\) est parfait, et si \(M' \in D_\QCoh(\mathcal{O}_Y)\), alors (0FXY) est un isomorphisme.

Démonstration

Dans ce cas, on a \(R\SheafHom(K, K') = K' \otimes^\mathbf{L} K^\vee\), \(R\SheafHom(M, M') = M' \otimes^\mathbf{L} M^\vee\), et \[R\SheafHom(K \boxtimes M, K' \boxtimes M') = (K' \otimes^\mathbf{L} K^\vee) \boxtimes (M' \otimes^\mathbf{L} M^\vee)\] Voir Cohomologie, lemme 08DQ ; on utilise également le fait que la perfection est préservée par rappel et par produit tensoriel. Ce cas résulte donc du lemme 0FLQ. (Nous omettons de vérifier que ces identifications donnent le même morphisme.)

Cohomologie et changement de base, V

Dans la section 08ET, nous avons vu qu’un théorème de changement de base vaut lorsque les morphismes sont Tor-indépendants. Même dans le cas affine, il ne peut exister de théorème de changement de base sans une telle condition ; voir Compléments sur l’algèbre, section 065Y. Dans cette section, nous analysons quand on peut obtenir un résultat de changement de base « un complexe à la fois ».

Pour que cela fonctionne, supposons donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] de schémas (en général, nous supposerons qu’il est cartésien). Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), et soit \(L(g')^*K \to K'\) un morphisme dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\). Pour un point \(x' \in X'\), posons \(x = g'(x') \in X\), \(s' = f'(x') \in S'\) et \(s = f(x) = g(s')\). On peut alors considérer les morphismes \[K_x \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S', s'} \to K_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', x'} \to K'_{x'}\] où la première flèche est celle de Compléments sur l’algèbre, équation (065Z), et la seconde provient de \((L(g')^*K)_{x'} = K_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X', x'}\) et du morphisme donné \(L(g')^*K \to K'\). Pour chaque \(i \in \mathbf{Z}\), on obtient une structure de \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S', s'}\)-module sur \(H^i(K_x \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S', s'})\). En rassemblant le tout, on obtient des morphismes canoniques [0DJ7]\[\begin{equation} H^i(K_x \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S', s'}) \otimes_{(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S', s'})} \mathcal{O}_{X', x'} \longrightarrow H^i(K'_{x'}) \end{equation}\] de \(\mathcal{O}_{X', x'}\)-modules.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] un diagramme cartésien de schémas. Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), et soit \(L(g')^*K \to K'\) un morphisme dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

pour tous \(x' \in X'\) et \(i \in \mathbf{Z}\), le morphisme (0DJ7) est un isomorphisme,

si \(U \subset X\) et \(V' \subset S'\) sont des ouverts affines dont les images sont contenues dans l’ouvert affine \(V \subset S\), et si \(U' = V' \times_V U\), la composée \[R\Gamma(U, K) \otimes_{\mathcal{O}_S(U)}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S'}(V') \to R\Gamma(U, K) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X'}(U') \to R\Gamma(U', K')\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_{S'}(V'))\), et

il existe un ensemble \(I\) de quadruplets \(U_i, V_i', V_i, U_i'\), \(i \in I\), comme en (2), tels que \(X' = \bigcup U'_i\).

Démonstration

La deuxième flèche de (2) provient de l’égalité \[R\Gamma(U, K) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X'}(U') = R\Gamma(U', L(g')^*K)\] du lemme 08DW et du morphisme donné \(L(g')^*K \to K'\). La première flèche de (2) est celle de Compléments sur l’algèbre, équation (065Z). Il est clair que (2) implique (3). Observons que (1) est local sur \(X'\). Il suffit donc de montrer que, si \(X\), \(S\), \(S'\) et \(X'\) sont affines, alors (1) équivaut à la condition que \[R\Gamma(X, K) \otimes_{\mathcal{O}_S(S)}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{S'}(S') \to R\Gamma(X, K) \otimes_{\mathcal{O}_X(X)}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X'}(X') \to R\Gamma(X', K')\] soit un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_{S'}(S'))\). Écrivons \(S = \Spec(R)\), \(X = \Spec(A)\), \(S' = \Spec(R')\), \(X' = \Spec(A')\), et supposons que \(K\) corresponde au complexe \(M^\bullet\) de \(A\)-modules, et que \(K'\) corresponde au complexe \(N^\bullet\) de \(A'\)-modules. Notons que \(A' = A \otimes_R R'\). La condition ci-dessus signifie que la composée \[M^\bullet \otimes_R^\mathbf{L} R' \to M^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} A' \to N^\bullet\] est un isomorphisme dans \(D(R')\). De manière équivalente, pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), le morphisme \[H^i(M^\bullet \otimes_R^\mathbf{L} R') \to H^i(M^\bullet \otimes_A^\mathbf{L} A') \to H^i(N^\bullet)\] est un isomorphisme. Observons qu’il s’agit d’un morphisme de \(A \otimes_R R'\)-modules, c’est-à-dire de \(A'\)-modules. D’autre part, (1) exige que, pour des idéaux premiers compatibles \(\mathfrak q' \subset A'\), \(\mathfrak q \subset A\), \(\mathfrak p' \subset R'\), \(\mathfrak p \subset R\), la composée \[H^i(M^\bullet_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p}^\mathbf{L} R'_{\mathfrak p'}) \otimes_{(A_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} R'_{\mathfrak p'})} A'_{\mathfrak q'} \to H^i(M^\bullet_{\mathfrak q} \otimes_{A_\mathfrak q}^\mathbf{L} A'_{\mathfrak q'}) \to H^i(N^\bullet_{\mathfrak q'})\] soit un isomorphisme. Comme \[H^i(M^\bullet_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p}^\mathbf{L} R'_{\mathfrak p'}) \otimes_{(A_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} R'_{\mathfrak p'})} A'_{\mathfrak q'} = H^i(M^\bullet \otimes_R^\mathbf{L} R') \otimes_{A'} A'_{\mathfrak q'}\] est la localisation en \(\mathfrak q'\), on voit que ces deux conditions sont équivalentes d’après Algèbre, lemme 00HN.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] un diagramme cartésien de schémas. Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), et soit \(L(g')^*K \to K'\) un morphisme dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\). Si

les conditions équivalentes du lemme 0DJ8 sont satisfaites, et

\(f\) est quasi-compact et quasi-séparé,

alors la composée \(Lg^*Rf_*K \to Rf'_*L(g')^*K \to Rf'_*K'\) est un isomorphisme.

Démonstration

On pourrait le démontrer par la même méthode que dans la démonstration du lemme 08IB, mais nous allons plutôt utiliser le principe d’induction et Mayer–Vietoris relatif.

Pour vérifier que le morphisme est un isomorphisme, on peut travailler localement sur \(S'\). On peut donc supposer que \(g : S' \to S\) est un morphisme de schémas affines. En particulier, \(X\) est un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Nous utiliserons le principe d’induction de Cohomologie des schémas, lemme 08DR, pour démontrer que, pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\), le morphisme construit de la même manière \(Lg^*R(U \to S)_*K|_U \to R(U' \to S')_*K'|_{U'}\) est un isomorphisme. Ici \(U' = (g')^{-1}(U)\).

Si \(U \subset X\) est un ouvert affine, alors le résultat est vrai par hypothèse ; voir le lemme 0DJ8, partie (2), et la traduction algébrique fournie par les lemmes 06Z0 et 08DW.

L’étape d’induction. Supposons que \(X = U \cup V\) soit un recouvrement ouvert avec \(U\), \(V\) et \(U \cap V\) quasi-compacts, tel que le résultat soit vrai pour \(U\), \(V\) et \(U \cap V\). Notons \(a = f|_U\), \(b = f|_V\) et \(c = f|_{U \cap V}\). Soient \(a' : U' \to S'\), \(b' : V' \to S'\) et \(c' : U' \cap V' \to S'\) les changements de base de \(a\), \(b\) et \(c\). En utilisant les triangles distingués de Mayer–Vietoris relatif (Cohomologie, lemme 08HZ), on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Lg^*Rf_*K \ar[r] \ar[d] & Rf'_* K' \ar[d] \\ Lg^*Ra_* K|_U \oplus Lg^*Rb_* K|_V \ar[r] \ar[d] & Ra'_* K'|_{U'} \oplus Rb'_* K'|_{V'} \ar[d] \\ Lg^*Rc_* K|_{U \cap V} \ar[r] \ar[d] & Rc'_* K'|_{U' \cap V'} \ar[d] \\ Lg^*Rf_* K[1] \ar[r] & Rf'_* K'[1] }\] Puisque les deuxième et troisième flèches horizontales sont des isomorphismes, la première l’est aussi (Catégories dérivées, lemme 014A), ce qui achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] un diagramme cartésien de schémas. Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), et soit \(L(g')^*K \to K'\) un morphisme dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{X'})\). Si les conditions équivalentes du lemme 0DJ8 sont satisfaites, alors

pour \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), les conditions équivalentes du lemme 0DJ8 sont satisfaites pour \(L(g')^*(E \otimes^\mathbf{L} K) \to L(g')^*E \otimes^\mathbf{L} K'\),

si \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) est parfait, les conditions équivalentes du lemme 0DJ8 sont satisfaites pour \(L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\), et

si \(K\) est borné inférieurement et si \(E\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\) est pseudo-cohérent, les conditions équivalentes du lemme 0DJ8 sont satisfaites pour \(L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\).

Démonstration

L’énoncé a un sens, car les complexes en jeu ont des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents d’après les lemmes 08DW, 08DX et 0A6H, ainsi que les lemmes de Cohomologie 09U7 et 09UA. Ceci étant dit, on peut vérifier que les morphismes (0DJ7) sont des isomorphismes dans le cas (1) en calculant la source et le but de (0DJ7) au moyen de la transitivité du produit tensoriel ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0BYJ. Le morphisme dans (2) et (3) est la composée \[L(g')^*R\SheafHom(E, K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, L(g')^*K) \to R\SheafHom(L(g')^*E, K')\] où la première flèche est celle de la remarque de Cohomologie 08I3, et la seconde provient du morphisme donné \(L(g')^*K \to K'\). Pour démontrer que les morphismes (0DJ7) sont des isomorphismes, on représente \(E_x\) par un complexe borné de \(\mathcal{O}_{X. x}\)-modules projectifs de type fini dans le cas (2), ou par un complexe borné supérieurement de modules libres de type fini dans le cas (3), et l’on calcule la source et le but de la flèche. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents et plats sur \(S\). Alors la formation de \[Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet)\] commute aux changements de base arbitraires (voir la démonstration pour un énoncé précis).

Démonstration

L’énoncé signifie ce qui suit. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas et considérons le diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] autrement dit \(X' = S' \times_S X\). Le lemme affirme que \[Lg^*Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow Rf'_*\left( L(g')^*E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{X'}} (g')^*\mathcal{G}^\bullet \right)\] est un isomorphisme. Observons que, dans le membre de droite, nous n’utilisons pas l’image inverse dérivée pour \(\mathcal{G}^\bullet\). Pour le démontrer, appliquons les lemmes 0DJ9 et 0DJA : il suffit alors de démontrer que le morphisme canonique \[L(g')^*\mathcal{G}^\bullet \to (g')^*\mathcal{G}^\bullet\] satisfait les conditions équivalentes du lemme 0DJ8. Cela résulte de la vérification de la condition sur les fibres, où l’assertion découle immédiatement du fait que \(\mathcal{G}^\bullet_x \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S', s'}\) calcule le produit tensoriel dérivé, par les hypothèses faites sur le complexe \(\mathcal{G}^\bullet\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(E\) un objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Si

\(E\) est parfait, \(\mathcal{G}^\bullet\) est borné supérieurement, et \(\mathcal{G}^n\) est plat sur \(S\), ou bien

\(E\) est pseudo-cohérent, \(\mathcal{G}^\bullet\) est borné, et \(\mathcal{G}^n\) est plat sur \(S\),

alors la formation de \[Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet)\] commute aux changements de base arbitraires (voir la démonstration pour un énoncé précis).

Démonstration

L’énoncé signifie ce qui suit. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas et considérons le diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] autrement dit \(X' = S' \times_S X\). Le lemme affirme que \[Lg^*Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet) \longrightarrow R(f')_*R\SheafHom(L(g')^*E, (g')^*\mathcal{G}^\bullet)\] est un isomorphisme. Observons que, dans le membre de droite, nous n’utilisons pas l’image inverse dérivée pour \(\mathcal{G}^\bullet\). Pour le démontrer, appliquons les lemmes 0DJ9 et 0DJA : il suffit alors de démontrer que le morphisme canonique \[L(g')^*\mathcal{G}^\bullet \to (g')^*\mathcal{G}^\bullet\] satisfait les conditions équivalentes du lemme 0DJ8. Cela a été démontré dans la démonstration du lemme 0A1D.

Production de complexes parfaits

Le lemme suivant est notre principal outil technique pour produire des complexes parfaits. Des versions ultérieures de ce résultat s’y ramèneront par approximation noethérienne ; voir la section 0A1G.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) tel que

\(E \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\),

le support de \(H^i(E)\) est propre sur \(S\) pour tout \(i\), et

\(E\) est de dimension Tor finie comme objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\).

Alors \(Rf_*E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Le lemme 08E2 montre que \(Rf_*E\) est un objet de \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_S)\). Ainsi \(Rf_*E\) est pseudo-cohérent (lemme 08E8). Il suffit donc de montrer que \(Rf_*E\) est de dimension Tor finie ; voir Cohomologie, lemme 08CQ. D’après le lemme 08EA, il suffit de vérifier que \(Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F}\) est à cohomologie uniformément bornée pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(S\). Le fait d’être borné supérieurement est clair puisque \(Rf_*(E)\) est borné supérieurement. Soit \(T \subset X\) la réunion des supports des \(H^i(E)\) pour tous les \(i\). Alors \(T\) est propre sur \(S\) en vertu des hypothèses (1) et (2) ; voir Cohomologie des schémas, lemme 0CYR. En particulier, il existe un ouvert quasi-compact \(X' \subset X\) contenant \(T\). En posant \(f' = f|_{X'}\), on a \(Rf_*(E) = Rf'_*(E|_{X'})\), car la restriction de \(E\) à \(X \setminus T\) est nulle. On peut donc remplacer \(X\) par \(X'\) et supposer \(f\) quasi-compact. De plus, \(f\) est quasi-séparé d’après Morphismes, lemme 01T7. Or \[Rf_*(E) \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F} = Rf_*\left(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F}\right) = Rf_*\left(E \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F}\right)\] d’après le lemme 08EU et le lemme de Cohomologie 08DE. Par l’hypothèse (3), le complexe \(E \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F}\) a ses faisceaux de cohomologie dans un intervalle fini fixé, disons \([a, b]\). Son image par \(Rf_*\) a donc sa cohomologie dans l’intervalle \([a, \infty)\), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, plats sur \(S\) et à support propre sur \(S\). Alors \(K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

L’objet \(K\) est parfait d’après le lemme 08EV. Vérifions que ce lemme s’applique. Localement, \(E\) est isomorphe à un complexe fini de \(\mathcal{O}_X\)-modules libres de type fini. Ainsi, localement, \(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet\) est isomorphe à un complexe fini dont les termes sont de la forme \[\bigoplus\nolimits_{i = a, \ldots, b} (\mathcal{G}^i)^{\oplus r_i}\] pour certains entiers \(a, b, r_a, \ldots, r_b\). Il en résulte immédiatement que les faisceaux de cohomologie \(H^i(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})\) sont cohérents. L’hypothèse sur la dimension Tor est également satisfaite puisque \(\mathcal{G}^i\) est plat sur \(f^{-1}\mathcal{O}_S\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, plats sur \(S\) et à support propre sur \(S\). Alors \(K = Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet)\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Puisque \(E\) est un complexe parfait, il existe un complexe parfait dual \(E^\vee\) ; voir Cohomologie, lemme 08DQ. Observons que \(R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet) = E^\vee \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet\). Le caractère parfait de \(K\) résulte donc du lemme 0DJQ.

Nous généraliserons le lemme suivant aux morphismes plats et propres sur des bases quelconques dans le lemme 0B91, et aux morphismes parfaits propres dans Compléments sur les morphismes, lemme 0B6G.

Lemme

Soit \(S\) un schéma noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme plat et propre de schémas. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Alors \(Rf_*E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\).

Démonstration

Affirmons que le lemme 08EV s’applique. Les conditions (1) et (2) sont immédiates. La condition (3) est locale sur \(X\). On peut donc supposer \(X\) et \(S\) affines et \(E\) représenté par un complexe strictement parfait de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Puisque \(\mathcal{O}_X\) est plat comme faisceau de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-modules, la condition (3) est satisfaite.

Une formule de projection pour Ext

Le lemme 08IF (ou des résultats analogues dans la littérature) est parfois utilisé pour vérifier l’un des critères d’Artin pour les foncteurs de Quot, les schémas de Hilbert et d’autres problèmes de modules. Supposons que \(f : X \to S\) soit un morphisme propre, plat et de présentation finie de schémas et que \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) soit parfait. Le lemme affirme alors que \[\Ext^i_X(E, f^*\mathcal{F}) = \Ext^i_S((Rf_*E^\vee)^\vee, \mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(S\). Sous cette forme, l’énoncé ressemble à une formule de projection pour Ext ; de fait, le résultat découle assez facilement du lemme 08EU.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 0DJQ, il existe des isomorphismes fonctoriels \[H^i(S, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}) \longrightarrow H^i(X, E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}))\] pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(S\), compatibles aux morphismes de connexion (voir la démonstration).

Démonstration

On a \[\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} f^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S} f^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}\] où la première égalité résulte du lemme de Cohomologie 08DE, la deuxième de ce que \(\mathcal{G}^n\) est un \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-module plat, et la troisième de la définition des images inverses. On obtient donc \[\begin{align*} H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})) & = H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F}) \\ & = H^i(S, Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} Lf^*\mathcal{F})) \\ & = H^i(S, Rf_*(E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}^\bullet) \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}) \\ & = H^i(S, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}) \end{align*}\] La première égalité résulte de ce qui précède, la deuxième de Leray (Cohomologie, lemme 01EZ), et la troisième du lemme 08EU. L’assertion relative aux morphismes de connexion signifie ce qui suit. Étant donnée une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) de \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents, les isomorphismes s’insèrent dans des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ H^i(S, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_3) \ar[r] \ar[d]_\delta & H^i(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3)) \ar[d]^\delta \\ H^{i + 1}(S, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_1) \ar[r] & H^{i + 1}(X, E \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1)) }\] où les morphismes de connexion proviennent du triangle distingué \[K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_1 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_2 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_3 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_1[1]\] et du triangle distingué de \(D(\mathcal{O}_X)\) associé à la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_2 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3 \to 0\] de complexes de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Cette suite est exacte parce que \(\mathcal{G}^n\) est plat sur \(S\). Nous omettons la vérification de la commutativité du diagramme affiché.

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations du lemme 0DJR, il existe des isomorphismes fonctoriels \[H^i(S, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(S\), compatibles aux morphismes de connexion (voir la démonstration).

Démonstration

Comme dans la démonstration du lemme 0DJR, soit \(E^\vee\) le complexe parfait dual et rappelons que \(K = Rf_*(E^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\). Puisque l’on a aussi \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) = H^i(X, E^\vee \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} (\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}))\] par construction de \(E^\vee\), l’existence des isomorphismes résulte du lemme 0A1F appliqué à \(E^\vee\) et \(\mathcal{G}^\bullet\). L’assertion relative aux morphismes de connexion signifie ce qui suit. Étant donnée une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\), les isomorphismes s’insèrent dans des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ H^i(S, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_3) \ar[r] \ar[d]_\delta & \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3) \ar[d]^\delta \\ H^{i + 1}(S, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_1) \ar[r] & \Ext^{i + 1}_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1) }\] où les morphismes de connexion proviennent du triangle distingué \[K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_1 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_2 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_3 \to K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F}_1[1]\] et du triangle distingué de \(D(\mathcal{O}_X)\) associé à la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_1 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_2 \to \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}_3 \to 0\] de complexes. Cette suite est exacte parce que \(\mathcal{G}\) est plat sur \(S\). Nous omettons la vérification de la commutativité du diagramme affiché.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) un morphisme de schémas, \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) et \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Supposons que

\(S\) soit noethérien,

\(f\) soit localement de type fini,

\(E \in D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\),

\(\mathcal{G}^\bullet\) soit un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, plats sur \(S\) et à support propre sur \(S\).

Alors les deux assertions suivantes sont vraies :

pour tout \(m \in \mathbf{Z}\), il existe un objet parfait \(K\) de \(D(\mathcal{O}_S)\) et des morphismes fonctoriels \[\alpha^i_\mathcal{F} : \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \longrightarrow H^i(S, K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(S\), compatibles aux morphismes de connexion (voir la démonstration), tels que \(\alpha^i_\mathcal{F}\) soit un isomorphisme pour \(i \leq m\) ;

il existe un \(L \in D(\mathcal{O}_S)\) pseudo-cohérent et des isomorphismes fonctoriels \[\Ext^i_{\mathcal{O}_S}(L, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] pour \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(S\), compatibles aux morphismes de connexion.

Démonstration

Démonstration de (A). Supposons \(\mathcal{G}^i\) non nul seulement pour \(i \in [a, b]\). On peut remplacer \(X\) par un voisinage ouvert quasi-compact de la réunion des supports des \(\mathcal{G}^i\). On peut donc supposer \(X\) noethérien. Dans ce cas, \(X\) et \(f\) sont quasi-compacts et quasi-séparés. Choisissons une approximation \(P \to E\) par un complexe parfait \(P\) de \((X, E, -m - 1 + a)\) (ce qui est possible d’après le théorème 08ES). Alors le morphisme induit \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(P, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] est un isomorphisme pour \(i \leq m\). En effet, le noyau, resp. le conoyau, de ce morphisme est un quotient, resp. un sous-module, de \[\Ext^i_{\mathcal{O}_X}(C, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \quad\text{resp.}\quad \Ext^{i + 1}_{\mathcal{O}_X}(C, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F})\] où \(C\) est le cône de \(P \to E\). Puisque les faisceaux de cohomologie de \(C\) sont nuls en degrés \(\geq -m - 1 + a\), ces groupes \(\Ext\) sont nuls pour \(i \leq m + 1\) d’après Catégories dérivées, lemme 06XS. On est ainsi ramené au cas où \(E\) est un complexe parfait, qui est le lemme 08ID. L’assertion relative aux morphismes de connexion est expliquée dans la démonstration du lemme 08ID.

Démonstration de (B). Comme dans la démonstration de (A), on peut supposer \(X\) noethérien. Observons que \(E\) est pseudo-cohérent d’après le lemme 08E8. D’après le lemme 0DJN, on peut écrire \(E = \text{hocolim} E_n\), où \(E_n\) est parfait et où \(E_n \to E\) induit un isomorphisme sur les troncatures \(\tau_{\geq -n}\). Soit \(E_n^\vee\) le complexe parfait dual (Cohomologie, lemme 08DQ). On obtient un système projectif \(\ldots \to E_3^\vee \to E_2^\vee \to E_1^\vee\) d’objets parfaits. Celui-ci donne à son tour un système projectif \[\ldots \to K_3 \to K_2 \to K_1\quad\text{avec}\quad K_n = Rf_*(E_n^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] d’objets parfaits sur \(S\) ; voir le lemme 0DJQ. D’après le lemme 08ID et sa démonstration, ainsi que les arguments du paragraphe précédent (avec \(P = E_n\)), pour tout \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(S\), on dispose de morphismes canoniques fonctoriels \[\xymatrix{ & \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(E, \mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{F}) \ar[ld] \ar[rd] \\ H^i(S, K_{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F}) \ar[rr] & & H^i(S, K_n \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \mathcal{F}) }\] qui sont des isomorphismes pour \(i \leq n + a\). Soit \(L_n = K_n^\vee\) le complexe parfait dual. On voit alors que \(L_1 \to L_2 \to L_3 \to \ldots\) est un système d’objets parfaits de \(D(\mathcal{O}_S)\) tel que, pour tout \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(S\), les morphismes \[\Ext^i_{\mathcal{O}_S}(L_{n + 1}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_S}(L_n, \mathcal{F})\] sont des isomorphismes pour \(i \leq n + a - 1\). Il en résulte que \(L_n \to L_{n + 1}\) induit un isomorphisme sur les troncatures \(\tau_{\geq -n - a + 2}\) (indication : prendre le cône de \(L_n \to L_{n + 1}\) et considérer son dernier faisceau de cohomologie non nul). Ainsi \(L = \text{hocolim} L_n\) est pseudo-cohérent ; voir le lemme 0DJN. La propriété universelle des colimites homotopiques donne \(\Ext^i_{\mathcal{O}_S}(L, \mathcal{F}) = \Ext^i_{\mathcal{O}_S}(L_n, \mathcal{F})\) pour \(i \leq n + a - 3\), ce qui achève la démonstration.

Remarque

Le complexe pseudo-cohérent \(L\) de la partie (B) du lemme 08IF est canoniquement associé à la situation. Par exemple, la formation de \(L\) comme en (B) est compatible au changement de base. Autrement dit, étant donné un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] de schémas, on dispose d’isomorphismes canoniques fonctoriels \[\Ext^i_{\mathcal{O}_{S'}}(Lg^*L, \mathcal{F}') \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(L(g')^*E, (g')^*\mathcal{G}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\mathcal{F}')\] pour \(\mathcal{F}'\) quasi-cohérent sur \(S'\). Observons que nous n’utilisons pas l’image inverse dérivée de \(\mathcal{G}^\bullet\) dans le membre de droite. Si nous avons un jour besoin de ce fait, nous formulerons ici un résultat précis et en donnerons une démonstration détaillée.

Limites et catégories dérivées

Dans cette section, nous rassemblons quelques résultats sur la catégorie dérivée d’un schéma qui est la limite d’un système projectif de schémas. Plus précisément, nous travaillerons dans la situation suivante.

Situation

Soit \(S = \lim_{i \in I} S_i\) la limite d’un système filtrant de schémas dont les morphismes de transition \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) sont affines. Nous supposons que \(S_i\) est quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i \in I\). Nous notons \(f_i : S \to S_i\) la projection. Fixons également un élément \(0 \in I\).

Lemme

Dans la situation 09RD, soient \(E_0\) et \(K_0\) des objets de \(D(\mathcal{O}_{S_0})\). Posons \(E_i = Lf_{i0}^*E_0\) et \(K_i = Lf_{i0}^*K_0\) pour \(i \geq 0\), et posons \(E = Lf_0^*E_0\) et \(K = Lf_0^*K_0\). Alors le morphisme \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{S_i})}(E_i, K_i) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_S)}(E, K)\] est un isomorphisme dans chacun des deux cas suivants :

\(E_0\) est parfait et \(K_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{S_0})\) ;

\(E_0\) est pseudo-cohérent et \(K_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{S_0})\) est de dimension Tor finie.

Démonstration

Pour tout ouvert \(U_0 \subset S_0\), considérons la condition \(P\) selon laquelle le morphisme canonique \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{U_i})}(E_i|_{U_i}, K_i|_{U_i}) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(E|_U, K|_U)\] est un isomorphisme, où \(U = f_0^{-1}(U_0)\) et \(U_i = f_{i0}^{-1}(U_0)\). Nous allons démontrer que \(P\) est satisfaite pour tout ouvert quasi-compact \(U_0\) par le principe d’induction de Cohomologie des schémas, lemme 08DR. La condition (2) de ce lemme résulte immédiatement de Mayer–Vietoris pour les Hom de la catégorie dérivée ; voir Cohomologie, lemme 08BW. Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(S_0\) est affine.

Supposons \(S_0\) affine. Écrivons \(S_0 = \Spec(A_0)\), \(S_i = \Spec(A_i)\) et \(S = \Spec(A)\). Nous utiliserons le lemme 06Z0 sans le mentionner davantage.

Dans le cas (1), l’objet \(E_0^\bullet\) correspond à un complexe fini de \(A_0\)-modules projectifs de type fini ; voir le lemme 08EB. On peut représenter l’objet \(K_0\) par un complexe K-plat \(K_0^\bullet\) de \(A_0\)-modules. Dans cette situation, il s’agit de démontrer que \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(A_i)}(E_0^\bullet \otimes_{A_0} A_i, K_0^\bullet \otimes_{A_0} A_i) \longrightarrow \Hom_{D(A)}(E_0^\bullet \otimes_{A_0} A, K_0^\bullet \otimes_{A_0} A)\] est un isomorphisme. Comme \(E_0^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de modules projectifs, on peut réécrire ce morphisme sous la forme \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{K(A_0)}(E_0^\bullet, K_0^\bullet \otimes_{A_0} A_i) \longrightarrow \Hom_{K(A_0)}(E_0^\bullet, K_0^\bullet \otimes_{A_0} A)\] Puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de modules non nuls \(E_0^n\) et que ceux-ci sont tous de présentation finie, ce morphisme est un isomorphisme.

Dans le cas (2), l’objet \(E_0\) correspond à un complexe borné supérieurement \(E_0^\bullet\) de \(A_0\)-modules libres de type fini ; voir le lemme 08E7. On peut représenter \(K_0\) par un complexe fini \(K_0^\bullet\) de \(A_0\)-modules plats ; voir le lemme 08E9 et Compléments sur l’algèbre, lemme 0654. En particulier, \(K_0^\bullet\) est K-plat, et l’on peut raisonner comme précédemment pour obtenir le morphisme \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{K(A_0)}(E_0^\bullet, K_0^\bullet \otimes_{A_0} A_i) \longrightarrow \Hom_{K(A_0)}(E_0^\bullet, K_0^\bullet \otimes_{A_0} A)\] Il est clair que ce morphisme est un isomorphisme (seul un nombre fini de termes intervient puisque \(K_0^\bullet\) est borné).

Lemme

Dans la situation 09RD, la catégorie des objets parfaits de \(D(\mathcal{O}_S)\) est la colimite des catégories d’objets parfaits de \(D(\mathcal{O}_{S_i})\).

Démonstration

Pour tout ouvert \(U_0 \subset S_0\), considérons la condition \(P\) selon laquelle le foncteur \[\colim_{i \geq 0} D_{perf}(\mathcal{O}_{U_i}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_U)\] est une équivalence, où \({}_{perf}\) désigne la sous-catégorie pleine des objets parfaits et où \(U = f_0^{-1}(U_0)\) et \(U_i = f_{i0}^{-1}(U_0)\). Nous allons démontrer que \(P\) est satisfaite pour tout ouvert quasi-compact \(U_0\) par le principe d’induction de Cohomologie des schémas, lemme 08DR. D’abord, observons que le foncteur est déjà pleinement fidèle d’après le lemme 09RE. Il suffit donc de démontrer qu’il est essentiellement surjectif.

Vérifions d’abord la condition (2) du principe d’induction. Supposons donc que \(S_0 = U_0 \cup V_0\) et que \(P\) soit satisfaite pour \(U_0\), \(V_0\) et \(U_0 \cap V_0\). Soit \(E\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\). On peut trouver \(i \geq 0\), un objet \(E_{U, i}\) parfait sur \(U_i\) et un objet \(E_{V, i}\) parfait sur \(V_i\), dont les images inverses sur \(U\) et \(V\) sont isomorphes à \(E|_U\) et \(E|_V\). Notons \[a : E_{U, i} \to (Rf_{i, *}E)|_{U_i} \quad\text{et}\quad b : E_{V, i} \to (Rf_{i, *}E)|_{V_i}\] les morphismes adjoints aux isomorphismes \(Lf_i^*E_{U, i} \to E|_U\) et \(Lf_i^*E_{V, i} \to E|_V\). Par pleine fidélité, quitte à augmenter \(i\), on peut trouver un isomorphisme \(c : E_{U, i}|_{U_i \cap V_i} \to E_{V, i}|_{U_i \cap V_i}\) qui, par image inverse, donne les identifications \[Lf_i^*E_{U, i}|_{U \cap V} \to E|_{U \cap V} \to Lf_i^*E_{V, i}|_{U \cap V}.\] Appliquons Cohomologie, lemme 08DG, pour obtenir un objet \(E_i\) sur \(S_i\) et un morphisme \(d : E_i \to Rf_{i, *}E\) dont les restrictions sont les morphismes \(a\) et \(b\) sur \(U_i\) et \(V_i\). Il est alors clair que \(E_i\) est parfait et que \(d\) est adjoint à un isomorphisme \(Lf_i^*E_i \to E\).

Enfin, vérifions la condition (1) du principe d’induction, autrement dit vérifions le lemme lorsque \(S_0\) est affine. Écrivons \(S_0 = \Spec(A_0)\), \(S_i = \Spec(A_i)\) et \(S = \Spec(A)\). Les lemmes 06Z0 et 08EB montrent qu’il faut établir que \[D_{perf}(A) = \colim D_{perf}(A_i)\] Cela résulte du fait que les complexes parfaits sur des anneaux sont donnés par des complexes finis de modules projectifs de type fini (donc de présentation finie). Voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0BC7, pour les détails.

Cohomologie et changement de base, VI

Une dernière section sur la cohomologie et le changement de base, qui poursuit la discussion des sections 08ET, 0DJ6 et 0A1E. Un cas particulier facile à saisir est donné dans la remarque 0A1I.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de présentation finie. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) un objet parfait. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie, plats sur \(S\) et à support propre sur \(S\). Alors \[K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

L’assertion relative au changement de base est le lemme 0A1D. Il suffit donc de montrer que \(K\) est un objet parfait. Si \(S\) est noethérien, cela résulte du lemme 0DJQ. Nous allons nous ramener à ce cas par approximation noethérienne. Nous conseillons au lecteur de sauter le reste de cette démonstration.

La question est locale sur \(S\) ; on peut donc supposer \(S\) affine. Écrivons \(S = \Spec(R)\). Écrivons \(R = \colim R_i\) comme colimite filtrante d’anneaux noethériens \(R_i\). D’après Limites, lemme 01ZM, il existe un \(i\) et un schéma \(X_i\) de présentation finie sur \(R_i\) dont le changement de base à \(R\) est \(X\). D’après Limites, lemme 01ZR, quitte à augmenter \(i\), on peut supposer qu’il existe un complexe borné de \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules de présentation finie \(\mathcal{G}_i^\bullet\) dont l’image inverse sur \(X\) est \(\mathcal{G}^\bullet\). Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer \(\mathcal{G}_i^n\) plat sur \(R_i\) ; voir Limites, lemme 05LY. Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer que le support de \(\mathcal{G}_i^n\) est propre sur \(R_i\) ; voir Limites, lemme 081G, et Cohomologie des schémas, lemme 0CYS. Enfin, d’après le lemme 09RF, quitte à augmenter \(i\), on peut supposer qu’il existe un objet parfait \(E_i\) de \(D(\mathcal{O}_{X_i})\) dont l’image inverse sur \(X\) est \(E\). En appliquant le lemme 0DJQ à \(X_i \to \Spec(R_i)\), \(E_i\), \(\mathcal{G}_i^\bullet\), et en utilisant la propriété de changement de base déjà démontrée, on obtient le résultat.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soit \(X\) un schéma de présentation finie sur \(R\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(R\) et à support propre sur \(R\). D’après le lemme 0A1H, il existe un complexe fini de \(R\)-modules projectifs de type fini \(M^\bullet\) tel que l’on ait \[R\Gamma(X_{R'}, \mathcal{G}_{R'}) = M^\bullet \otimes_R R'\] fonctoriellement en la \(R\)-algèbre \(R'\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de présentation finie. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) un objet pseudo-cohérent. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie, plats sur \(S\) et à support propre sur \(S\). Alors \[K = Rf_*(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] est un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_S)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

L’assertion relative au changement de base est le lemme 0A1D. Il suffit donc de montrer que \(K\) est un objet pseudo-cohérent. Cela résultera du lemme 0A1H par approximation par des complexes parfaits. Nous conseillons au lecteur de sauter le reste de la démonstration.

La question est locale sur \(S\) ; on peut donc supposer \(S\) affine. Alors \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé. De plus, il existe un entier \(N\) tel que l’image directe totale \(Rf_* : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\) soit de dimension cohomologique \(N\), comme expliqué dans le lemme 08D5. Choisissons un entier \(b\) tel que \(\mathcal{G}^i = 0\) pour \(i > b\). Il suffit de montrer que \(K\) est \(m\)-pseudo-cohérent pour tout \(m\). Choisissons une approximation \(P \to E\) par un complexe parfait \(P\) de \((X, E, m - N - 1 - b)\). Cela est possible d’après le théorème 08ES. Choisissons un triangle distingué \[P \to E \to C \to P[1]\] dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les faisceaux de cohomologie de \(C\) sont nuls en degrés \(\geq m - N - 1 - b\). Les faisceaux de cohomologie de \(C \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet\) sont donc nuls en degrés \(\geq m - N - 1\). Ainsi, les faisceaux de cohomologie de \(Rf_*(C \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\) sont nuls en degrés \(\geq m - 1\). Par conséquent, \[Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet) \to Rf_*(E \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] est un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(\geq m\). Supposons ensuite que \(H^i(P) = 0\) pour \(i > a\). Alors \(P \otimes^\mathbf{L} \sigma_{\geq m - N - 1 - a}\mathcal{G}^\bullet \longrightarrow P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet\) est un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(\geq m - N - 1\). On trouve donc, de nouveau, que \[Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \sigma_{\geq m - N - 1 - a}\mathcal{G}^\bullet) \to Rf_*(P \otimes^\mathbf{L} \mathcal{G}^\bullet)\] est un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(\geq m\). D’après le lemme 0A1H, la source est un complexe parfait. On conclut que \(K\) est \(m\)-pseudo-cohérent, comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre de présentation finie.

Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait et supposons \(f\) plat. Alors \(Rf_*E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(S\). Alors \(Rf_*\mathcal{G}\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

Ce sont des cas particuliers du lemme 0A1H, appliqué avec (1) \(\mathcal{G}^\bullet\) égal à \(\mathcal{O}_X\) placé en degré \(0\) et (2) \(E = \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{G}^\bullet\) constitué de \(\mathcal{G}\) placé en degré \(0\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) un morphisme plat et propre de présentation finie. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) pseudo-cohérent. Alors \(Rf_*E\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_S)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Plus généralement, si \(f : X \to S\) est propre et si \(E\) sur \(X\) est pseudo-cohérent relativement à \(S\) (Compléments sur les morphismes, définition 09UI), alors \(Rf_*E\) est pseudo-cohérent (mais sa formation ne commute pas au changement de base dans cette généralité). Voir [Kiehl].

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0CSC, appliqué avec \(\mathcal{G}^\bullet\) égal à \(\mathcal{O}_X\) placé en degré \(0\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(X\) un schéma, et soit \(f : X \to \Spec(R)\) un morphisme propre, plat et de présentation finie. Soit \((M_n)\) un système projectif de \(R\)-modules dont les morphismes de transition sont surjectifs. Alors le morphisme canonique \[\mathcal{O}_X \otimes_R (\lim M_n) \longrightarrow \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n\] induit un isomorphisme de la source vers l’image du but par \(DQ_X\).

Démonstration

L’énoncé signifie que, pour tout objet \(E\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), le morphisme induit \[\Hom(E, \mathcal{O}_X \otimes_R (\lim M_n)) \longrightarrow \Hom(E, \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n)\] est un isomorphisme. Puisque \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) possède un générateur parfait (théorème 09IS), il suffit de le vérifier pour \(E\) parfait. D’après le lemme 0A0J, on a \(\lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n = R\lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n\). Le foncteur exact \(R\Hom_X(E, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(R)\) de Cohomologie, section 0B6A, commute aux produits et donc aux limites dérivées, d’où \[R\Hom_X(E, \lim \mathcal{O}_X \otimes_R M_n) = R\lim R\Hom_X(E, \mathcal{O}_X \otimes_R M_n)\] Soit \(E^\vee\) le complexe parfait dual ; voir Cohomologie, lemme 08DQ. On a \[R\Hom_X(E, \mathcal{O}_X \otimes_R M_n) = R\Gamma(X, E^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*M_n) = R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} M_n\] d’après le lemme 08EU. Le lemme 0B91 montre que \(R\Gamma(X, E^\vee)\) est un complexe parfait de \(R\)-modules. En particulier, c’est un complexe pseudo-cohérent, et le lemme de Compléments sur l’algèbre 0D2L donne \[R\lim R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} M_n = R\Gamma(X, E^\vee) \otimes_R^\mathbf{L} \lim M_n\] comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de présentation finie. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) un objet parfait. Soit \(\mathcal{G}^\bullet\) un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules de présentation finie, plats sur \(S\) et à support propre sur \(S\). Alors \[K = Rf_*R\SheafHom(E, \mathcal{G}^\bullet)\] est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\) et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

L’assertion relative au changement de base est le lemme 08IE. Il suffit donc de montrer que \(K\) est un objet parfait. Si \(S\) est noethérien, cela résulte du lemme 0DJR. Nous allons nous ramener à ce cas par approximation noethérienne. Nous conseillons au lecteur de sauter le reste de cette démonstration.

La question est locale sur \(S\) ; on peut donc supposer \(S\) affine. Écrivons \(S = \Spec(R)\). Écrivons \(R = \colim R_i\) comme colimite filtrante d’anneaux noethériens \(R_i\). D’après Limites, lemme 01ZM, il existe un \(i\) et un schéma \(X_i\) de présentation finie sur \(R_i\) dont le changement de base à \(R\) est \(X\). D’après Limites, lemme 01ZR, quitte à augmenter \(i\), on peut supposer qu’il existe un complexe borné de \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules de présentation finie \(\mathcal{G}_i^\bullet\) dont l’image inverse sur \(X\) est \(\mathcal{G}^\bullet\). Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer \(\mathcal{G}_i^n\) plat sur \(R_i\) ; voir Limites, lemme 05LY. Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer que le support de \(\mathcal{G}_i^n\) est propre sur \(R_i\) ; voir Limites, lemme 081G, et Cohomologie des schémas, lemme 0CYS. Enfin, d’après le lemme 09RF, quitte à augmenter \(i\), on peut supposer qu’il existe un objet parfait \(E_i\) de \(D(\mathcal{O}_{X_i})\) dont l’image inverse sur \(X\) est \(E\). En appliquant le lemme 0DJR à \(X_i \to \Spec(R_i)\), \(E_i\), \(\mathcal{G}_i^\bullet\), et en utilisant la propriété de changement de base déjà démontrée, on obtient le résultat.

Complexes parfaits

Nous parlons d’abord des lieux de saut des nombres de Betti des complexes parfaits. Étant donnés un complexe \(E\) sur un schéma \(X\) et un point \(x\) de \(X\), nous écrivons souvent \(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \kappa(x)\) au lieu de l’expression plus correcte \(Li_x^*E\), où \(i_x : x \to X\) est le morphisme canonique.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) pseudo-cohérent (par exemple parfait). Pour tout \(i \in \mathbf{Z}\), considérons la fonction \[\beta_i : X \longrightarrow \{0, 1, 2, \ldots\},\quad x \longmapsto \dim_{\kappa(x)} H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \kappa(x))\] Alors :

la formation de \(\beta_i\) commute à tout changement de base ;

les fonctions \(\beta_i\) sont semi-continues supérieurement ;

les ensembles de niveau de \(\beta_i\) sont localement constructibles dans \(X\).

Démonstration

Considérons un morphisme de schémas \(f : Y \to X\) et un point \(y \in Y\). Soit \(x\) l’image de \(y\), et considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ y \ar[r]_j \ar[d]_g & Y \ar[d]^f \\ x \ar[r]^i & X }\] On voit que \(Lg^* \circ Li^* = Lj^* \circ Lf^*\). Il en résulte que la fonction \(\beta'_i\) associée au complexe pseudo-cohérent \(Lf^*E\) est l’image inverse de la fonction \(\beta_i\), c’est-à-dire \(\beta'_i = \beta_i \circ f\). Tel est le sens de (1).

Fixons \(i\) et soit \(x \in X\). Il suffit de démontrer (2) et (3) dans un voisinage ouvert de \(x\) ; on peut donc supposer \(X\) affine. On peut alors représenter \(E\) par un complexe borné supérieurement \(\mathcal{F}^\bullet\) de modules libres de type fini (lemme 08EE). Alors \(P = \sigma_{\geq i - 1}\mathcal{F}^\bullet\) est un objet parfait, et \(P \to E\) induit un isomorphisme \[H^i(P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \kappa(x')) \to H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \kappa(x'))\] pour tout \(x' \in X\). On peut donc supposer \(E\) parfait. Dans ce cas, d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0BCD, il existe un voisinage ouvert affine \(U\) de \(x\) et \(a \leq b\) tels que \(E|_U\) soit représenté par un complexe \[\ldots \to 0 \to \mathcal{O}_U^{\oplus \beta_a(x)} \to \mathcal{O}_U^{\oplus \beta_{a + 1}(x)} \to \ldots \to \mathcal{O}_U^{\oplus \beta_{b - 1}(x)} \to \mathcal{O}_U^{\oplus \beta_b(x)} \to 0 \to \ldots\] (On utilise également ici des résultats antérieurs pour ramener le problème à l’algèbre, par exemple les lemmes 06Z0 et 08EB.) Il en résulte immédiatement que \(\beta_i(x') \leq \beta_i(x)\) pour tout \(x' \in U\). Cela démontre que \(\beta_i\) est semi-continue supérieurement.

Pour démontrer (3), on peut supposer que \(X\) est affine et que \(E\) est donné par un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules libres de type fini (par exemple en raisonnant comme au paragraphe précédent, ou en utilisant Cohomologie, lemme 0BCJ). Il faut donc montrer qu’étant donné un complexe \[\mathcal{O}_X^{\oplus a} \to \mathcal{O}_X^{\oplus b} \to \mathcal{O}_X^{\oplus c}\] la fonction qui associe à un point \(x \in X\) la dimension de la cohomologie au milieu de \(\kappa_x^{\oplus a} \to \kappa_x^{\oplus b} \to \kappa_x^{\oplus c}\) a des ensembles de niveau constructibles. Soit \(A \in \text{Mat}(a \times b, \Gamma(X, \mathcal{O}_X))\) la matrice de la première flèche. Le rang de l’image de \(A\) dans \(\text{Mat}(a \times b, \kappa(x))\) est égal à \(r\) si tous les mineurs \((r + 1) \times (r + 1)\) de \(A\) s’annulent en \(x\) et s’il existe un mineur \(r \times r\) de \(A\) qui ne s’annule pas en \(x\). L’ensemble des points où le rang vaut \(r\) est donc un ensemble localement fermé constructible. En raisonnant de même pour la seconde flèche et en réunissant le tout, on obtient le résultat voulu.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. La fonction \[\chi_E : X \longrightarrow \mathbf{Z},\quad x \longmapsto \sum (-1)^i \dim_{\kappa(x)} H^i(E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \kappa(x))\] est localement constante sur \(X\).

Démonstration

D’après Cohomologie, lemme 0BCJ, on peut, localement sur \(X\), représenter \(E\) par un complexe fini \(\mathcal{E}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules libres de type fini. Sur un tel ouvert, la fonction \(\chi_E\) est constante de valeur \(\sum (-1)^i \text{rank}(\mathcal{E}^i)\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Étant donnés \(i, r \in \mathbf{Z}\), il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) caractérisé par les propriétés suivantes :

\(E|_U \cong H^i(E|_U)[-i]\) et \(H^i(E|_U)\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module localement libre de rang \(r\) ;

un morphisme \(f : Y \to X\) se factorise par \(U\) si et seulement si \(Lf^*E\) est isomorphe à un module localement libre de rang \(r\) placé en degré \(i\).

Démonstration

Soient \(\beta_j : X \to \{0, 1, 2, \ldots\}\), pour \(j \in \mathbf{Z}\), les fonctions du lemme 0BDI. Alors l’ensemble \[W = \{x \in X \mid \beta_j(x) \leq 0\text{ pour tout }j \not = i\}\] est ouvert dans \(X\), et sa formation commute à l’image inverse sur tout \(Y\) au-dessus de \(X\). Cela résulte du lemme et du fait que, a priori, dans un voisinage de tout point, seul un nombre fini des \(\beta_j\) est non nul. On peut donc remplacer \(X\) par \(W\) et supposer que \(\beta_j(x) = 0\) pour tout \(x \in X\) et tout \(j \not = i\). Dans ce cas, \(H^i(E)\) est un module localement libre de type fini et \(E \cong H^i(E)[-i]\) ; voir par exemple Compléments sur l’algèbre, lemme 0BCD. Ainsi, \(X\) est la réunion disjointe des sous-schémas ouverts sur lesquels le rang de \(H^i(E)\) est fixé, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait d’amplitude Tor contenue dans \([a, b]\) pour certains \(a, b \in \mathbf{Z}\). Soit \(r \geq 0\). Alors il existe un sous-schéma localement fermé \(j : Z \to X\) caractérisé par les propriétés suivantes :

\(H^a(Lj^*E)\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module localement libre de rang \(r\) ;

un morphisme \(f : Y \to X\) se factorise par \(Z\) si et seulement si, pour tout morphisme \(g : Y' \to Y\), le \(\mathcal{O}_{Y'}\)-module \(H^a(L(f \circ g)^*E)\) est localement libre de rang \(r\).

De plus, \(j : Z \to X\) est de présentation finie, et l’on a :

si \(f : Y \to X\) se factorise sous la forme \(Y \xrightarrow{g} Z \to X\), alors \(H^a(Lf^*E) = g^*H^a(Lj^*E)\) ;

si \(\beta_a(x) \leq r\) pour tout \(x \in X\), alors \(j\) est une immersion fermée et, pour tout \(f : Y \to X\), les assertions suivantes sont équivalentes :

\(f : Y \to X\) se factorise par \(Z\) ;

\(H^a(Lf^*E)\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module localement libre de rang \(r\) ;

et, si \(r = 1\), elles sont encore équivalentes à

\(\mathcal{O}_Y \to \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(H^a(Lf^*E), H^a(Lf^*E))\) est injectif.

Démonstration

Tout d’abord, soit \(U \subset X\) le sous-schéma ouvert localement constructible où la fonction \(\beta_a\) du lemme 0BDI prend des valeurs \(\leq r\). Soit \(f : Y \to X\) comme en (2). Alors, pour tout \(y \in Y\), on a \(\beta_a(Lf^*E) = r\) ; le point \(y\) est donc envoyé dans \(U\) d’après le lemme 0BDI. Par conséquent, \(f\) comme en (2) se factorise par \(U\). On peut ainsi remplacer \(X\) par \(U\) et supposer que \(\beta_a(x) \in \{0, 1, \ldots, r\}\) pour tout \(x \in X\). Nous allons montrer que, dans ce cas, il existe un sous-schéma fermé \(Z \subset X\) défini par un idéal quasi-cohérent de type fini, caractérisé par l’équivalence de (4)(a), (b), et de (4)(c) si \(r = 1\), et que (3) est satisfaite. Cela achèvera la démonstration, car il en résultera a fortiori que les morphismes comme en (2) se factorisent par \(Z\).

Si \(x \in X\) et \(\beta_a(x) < r\), il existe un voisinage ouvert de \(x\) sur lequel \(\beta_a < r\) (lemme 0BDI). On voit ainsi que, au moins ensemblistement, \(Z\) est un sous-ensemble fermé.

Pour obtenir une structure schématique, considérons un point \(x \in X\) tel que \(\beta_a(x) = r\). Posons \(\beta = \beta_{a + 1}(x)\). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0BCD, il existe un voisinage ouvert affine \(U\) de \(x\) tel que \(K|_U\) soit représenté par un complexe \[\ldots \to 0 \to \mathcal{O}_U^{\oplus r} \xrightarrow{(f_{ij})} \mathcal{O}_U^{\oplus \beta} \to \ldots \to \mathcal{O}_U^{\oplus \beta_{b - 1}(x)} \to \mathcal{O}_U^{\oplus \beta_b(x)} \to 0 \to \ldots\] (On utilise également ici des résultats antérieurs pour ramener le problème à l’algèbre, par exemple les lemmes 06Z0 et 08EB.) Or, si \(g : Y \to U\) est un morphisme quelconque de schémas tel que \(g^\sharp(f_{ij})\) soit non nul pour un certain couple \(i, j\), alors \(H^a(Lg^*E)\) n’est pas un \(\mathcal{O}_Y\)-module localement libre de rang \(r\). Voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0EWY. Il est immédiat que \(H^a(Lg^*E)\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module localement libre si \(g^\sharp(f_{ij}) = 0\) pour tous \(i, j\). On voit donc que, sur \(U\), le sous-schéma fermé défini par tous les \(f_{ij}\) satisfait (3), et que l’on a l’équivalence de (4)(a) et (b). La caractérisation de \(Z\) montre que les morceaux construits localement se recollent (détails omis). Enfin, si \(r = 1\), alors (4)(c) équivaut à (4)(b), car dans ce cas, localement, \(H^a(Lg^*E) \subset \mathcal{O}_Y\) est l’annulateur de l’idéal engendré par les éléments \(g^\sharp(f_{ij})\).

Applications

Principalement des applications de la cohomologie et du changement de base. À l’avenir, nous pourrons généraliser ces résultats à la situation examinée dans le lemme 0A1H.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(S\). Pour \(i \in \mathbf{Z}\) fixé, considérons la fonction \[\beta_i : S \to \{0, 1, 2, \ldots\},\quad s \longmapsto \dim_{\kappa(s)} H^i(X_s, \mathcal{F}_s)\] Alors :

la formation de \(\beta_i\) commute à tout changement de base ;

les fonctions \(\beta_i\) sont semi-continues supérieurement ;

les ensembles de niveau de \(\beta_i\) sont localement constructibles dans \(S\).

Démonstration

D’après la cohomologie et le changement de base (plus précisément d’après le lemme 0B91), l’objet \(K = Rf_*\mathcal{F}\) est un objet parfait de la catégorie dérivée de \(S\), dont la formation commute à tout changement de base. En particulier, on a \[H^i(X_s, \mathcal{F}_s) = H^i(K \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \kappa(s))\] Le lemme résulte donc du lemme 0BDI.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(S\). La fonction \[s \longmapsto \chi(X_s, \mathcal{F}_s)\] est localement constante sur \(S\). La formation de cette fonction commute au changement de base.

Démonstration

D’après la cohomologie et le changement de base (plus précisément d’après le lemme 0B91), l’objet \(K = Rf_*\mathcal{F}\) est un objet parfait de la catégorie dérivée de \(S\), dont la formation commute à tout changement de base. Il faut donc montrer que l’application \[s \longmapsto \sum (-1)^i \dim_{\kappa(s)} H^i(K \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_S} \kappa(s))\] est localement constante sur \(S\). C’est le lemme 0BDJ.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(S\). Fixons \(i, r \in \mathbf{Z}\). Alors il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset S\) ayant la propriété suivante : un morphisme \(T \to S\) se factorise par \(U\) si et seulement si \(Rf_{T, *}\mathcal{F}_T\) est isomorphe à un module localement libre de type fini de rang \(r\) placé en degré \(i\).

Démonstration

D’après la cohomologie et le changement de base (plus précisément d’après le lemme 0B91), l’objet \(K = Rf_*\mathcal{F}\) est un objet parfait de la catégorie dérivée de \(S\), dont la formation commute à tout changement de base. Ce lemme résulte donc immédiatement du lemme 0BDK.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(S\), dont le support est propre sur \(S\). Si \(R^if_*\mathcal{F} = 0\) pour \(i > 0\), alors \(f_*\mathcal{F}\) est localement libre et sa formation commute à tout changement de base (voir la démonstration pour une explication).

Démonstration

D’après le lemme 0A1H, l’objet \(E = Rf_*\mathcal{F}\) de \(D(\mathcal{O}_S)\) est parfait et sa formation commute à tout changement de base, au sens où \(Rf'_*(g')^*\mathcal{F} = Lg^*E\) pour tout diagramme cartésien \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] de schémas. Puisqu’il n’y a jamais de cohomologie en degrés \(< 0\), on voit que \(E\) a (localement) une amplitude de Tor contenue dans \([0, b]\) pour un certain \(b\). Si \(H^i(E) = R^if_*\mathcal{F} = 0\) pour \(i > 0\), alors \(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([0, 0]\). Par conséquent, \(E = H^0(E)[0]\). On en déduit que \(H^0(E) = f_*\mathcal{F}\) est localement libre de type fini d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0658 (et la caractérisation des modules projectifs de type fini donnée dans Algèbre, lemme 00NX). La commutation au changement de base signifie que \(g^*f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^*\mathcal{F}\) pour un diagramme comme ci-dessus, et elle résulte de la commutation au changement de base déjà établie pour \(E\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que

\(f\) soit propre, plat et de présentation finie ;

pour tout \(s \in S\), on ait \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\).

Alors :

\(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), et cela reste vrai après tout changement de base ;

localement sur \(S\), on a \[Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S \oplus P\] dans \(D(\mathcal{O}_S)\), où \(P\) est parfait d’amplitude de Tor contenue dans \([1, \infty)\).

Démonstration

D’après la cohomologie et le changement de base (lemme 0B91), le complexe \(E = Rf_*\mathcal{O}_X\) est parfait et sa formation commute à tout changement de base. Cela implique d’abord que \(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([0, \infty)\). Ensuite, cela implique que, pour \(s \in S\), on a \(H^0(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(s)) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) = \kappa(s)\). Il en résulte que l’application \(\mathcal{O}_S \to Rf_*\mathcal{O}_X = E\) induit un isomorphisme \(\mathcal{O}_S \otimes \kappa(s) \to H^0(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(s))\). Ainsi, \(H^0(E) \otimes \kappa(s) \to H^0(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(s))\) est surjective, et l’on peut appliquer Compléments sur l’algèbre, lemme 0A1U, pour voir qu’après avoir remplacé \(S\) par un voisinage ouvert affine de \(s\), on a une décomposition \(E = H^0(E) \oplus \tau_{\geq 1}E\) où \(\tau_{\geq 1}E\) est parfait d’amplitude de Tor contenue dans \([1, \infty)\). Puisque \(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([0, \infty)\), on trouve que \(H^0(E)\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module plat. Il en résulte que \(H^0(E)\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module plat et parfait, donc localement libre de type fini ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0658 (ainsi que le fait que les modules projectifs de type fini sont localement libres de type fini d’après Algèbre, lemme 00NX). Il en résulte que l’application \(\mathcal{O}_S \to H^0(E)\) est un isomorphisme, puisque cela se vérifie après tensorisation par les corps résiduels (Algèbre, lemme 00O0).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que

\(f\) soit propre, plat et de présentation finie ;

les fibres géométriques de \(f\) soient réduites et connexes.

Alors \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), et cela reste vrai après tout changement de base.

Démonstration

D’après le lemme 0E62, il suffit de montrer que \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) pour tout \(s \in S\). Cela résulte de Variétés, lemme 0BUG, et du fait que \(X_s\) est géométriquement connexe et géométriquement réduit.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre de schémas. Soit \(s \in S\), et soit \(e \in H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) un idempotent. Alors \(e\) appartient à l’image de l’application \((f_*\mathcal{O}_X)_s \to H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\).

Démonstration

Soit \(X_s = T_1 \amalg T_2\) la décomposition en union disjointe où \(T_1\) et \(T_2\) sont non vides, ouverts et fermés dans \(X_s\), correspondant à \(e\), c’est-à-dire telle que \(e\) soit identiquement égal à \(1\) sur \(T_1\) et identiquement égal à \(0\) sur \(T_2\).

Supposons \(S\) noethérien. Nous utiliserons le théorème des fonctions formelles sous la forme de Cohomologie des schémas, lemme 02OD. Il nous dit que \[(f_*\mathcal{O}_X)_s^\wedge = \lim_n H^0(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\] où \(X_n\) est le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(X_s\). Puisque l’espace topologique sous-jacent à \(X_n\) est égal à celui de \(X_s\), on obtient pour tout \(n\) une décomposition de schémas en union disjointe \(X_n = T_{1, n} \amalg T_{2, n}\) où l’espace topologique sous-jacent à \(T_{i, n}\) est \(T_i\) pour \(i = 1, 2\). Cela signifie que \(H^0(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\) contient un idempotent non trivial \(e_n\), à savoir la fonction identiquement égale à \(1\) sur \(T_{1, n}\) et identiquement égale à \(0\) sur \(T_{2, n}\). Il est clair que \(e_{n + 1}\) se restreint en \(e_n\) sur \(X_n\). Ainsi, \(e_\infty = \lim e_n\) est un idempotent non trivial de la limite. Par conséquent, \(e_\infty\) est un élément du complété de \((f_*\mathcal{O}_X)_s\) qui s’envoie sur \(e\) dans \(H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\). Puisque l’application \((f_*\mathcal{O}_X)_s^\wedge \to H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) se factorise par \((f_*\mathcal{O}_X)^\wedge_s / \mathfrak m_s (f_*\mathcal{O}_X)_s^\wedge = (f_*\mathcal{O}_X)_s / \mathfrak m_s (f_*\mathcal{O}_X)_s\) (Algèbre, lemme 05GG), on en déduit que \(e\) appartient à l’image de l’application \((f_*\mathcal{O}_X)_s \to H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\), comme désiré.

Cas général : on ramène le cas général au cas noethérien par des arguments de limites. Nous invitons le lecteur à omettre la démonstration. On peut remplacer \(S\) par un voisinage ouvert affine de \(s\). On peut donc supposer, et l’on suppose, que \(S\) est affine. D’après Limites, lemme 0A0P, on peut écrire \((f : X \to S) = \lim (f_i : X_i \to S_i)\), avec \(f_i\) propre et \(S_i\) noethérien. Notons \(s_i \in S_i\) l’image de \(s\). Alors \(s = \lim s_i\) ; voir Limites, lemme 0CUG. Alors \(X_s = X \times_S s = \lim X_i \times_{S_i} s_i = \lim X_{i, s_i}\), car les limites commutent aux limites (Catégories, lemme 002M). Ainsi, \(e\) est l’image d’un certain idempotent \(e_i \in H^0(X_{i, s_i}, \mathcal{O}_{X_{i, s_i}})\) d’après Limites, lemme 01Z0. D’après le cas noethérien, il existe un élément \(\tilde e_i\) de la fibre \((f_{i, *}\mathcal{O}_{X_i})_{s_i}\) qui s’envoie sur \(e_i\). En prenant l’image inverse de \(\tilde e_i\), on obtient un élément \(\tilde e\) de \((f_*\mathcal{O}_X)_s\) qui s’envoie sur \(e\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(s \in S\). Supposons que

\(f\) soit propre, plat et de présentation finie ;

la fibre \(X_s\) soit géométriquement réduite.

Alors, après avoir remplacé \(S\) par un voisinage ouvert de \(s\), il existe une décomposition en somme directe \(Rf_*\mathcal{O}_X = f_*\mathcal{O}_X \oplus P\) dans \(D(\mathcal{O}_S)\), où \(f_*\mathcal{O}_X\) est une algèbre finie étale sur \(\mathcal{O}_S\), et \(P\) est parfait d’amplitude de Tor contenue dans \([1, \infty)\).

Démonstration

La démonstration de ce lemme est analogue à celle du lemme 0E62, que nous suggérons au lecteur de lire d’abord. D’après la cohomologie et le changement de base (lemme 0B91), le complexe \(E = Rf_*\mathcal{O}_X\) est parfait et sa formation commute à tout changement de base. Cela implique d’abord que \(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([0, \infty)\).

Nous affirmons qu’après avoir remplacé \(S\) par un voisinage ouvert de \(s\), on peut trouver une décomposition en somme directe \(E = H^0(E) \oplus \tau_{\geq 1}E\) dans \(D(\mathcal{O}_S)\) où \(\tau_{\geq 1}E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([1, \infty)\). Admettons cette assertion pour le moment et supposons le remplacement effectué, de sorte que l’on dispose de la décomposition en somme directe. Puisque \(E\) a une amplitude de Tor contenue dans \([0, \infty)\), on trouve que \(H^0(E)\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module plat. Ainsi, \(H^0(E)\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module plat et parfait, donc localement libre de type fini ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0658 (ainsi que le fait que les modules projectifs de type fini sont localement libres de type fini d’après Algèbre, lemme 00NX). Bien entendu, \(H^0(E) = f_*\mathcal{O}_X\) est une \(\mathcal{O}_S\)-algèbre. D’après la cohomologie et le changement de base, on obtient \(H^0(E) \otimes \kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\). D’après Variétés, lemme 0BUG, et l’hypothèse que \(X_s\) est géométriquement réduit, on voit que \(\kappa(s) \to H^0(E) \otimes \kappa(s)\) est finie étale. D’après Morphismes, lemme 0476, appliqué au morphisme fini localement libre \(\underline{\Spec}_S(H^0(E)) \to S\), on en déduit qu’après avoir rétréci \(S\), la \(\mathcal{O}_S\)-algèbre \(H^0(E)\) est finie étale.

Il reste à démontrer l’assertion. Pour cela, il suffit de montrer que l’application \[(f_*\mathcal{O}_X)_s \longrightarrow H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) = H^0(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(s))\] est surjective ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0A1U. Choisissons un homomorphisme local plat d’anneaux \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\) tel que le corps résiduel \(k\) de \(A\) soit algébriquement clos ; voir Algèbre, lemme 03C3. D’après le changement de base plat (Cohomologie des schémas, lemme 02KH), on obtient \(H^0(X_A, \mathcal{O}_{X_A}) = (f_*\mathcal{O}_X)_s \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} A\) et \(H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) \otimes_{\kappa(s)} k\). Il suffit donc de montrer que \(H^0(X_A, \mathcal{O}_{X_A}) \to H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\) est surjective. Puisque \(X_k\) est un schéma propre réduit sur \(k\) et que \(k\) est algébriquement clos, on voit que \(H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\) est un produit fini de copies de \(k\) d’après Variétés, lemme déjà utilisé, 0BUG. Puisque, d’après le lemme 0G7X, les idempotents de cette \(k\)-algèbre sont dans l’image de \(H^0(X_A, \mathcal{O}_{X_A}) \to H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\), on conclut.

Autres applications

Dans cette section, nous énonçons et démontrons quelques résultats qui se déduisent de la théorie développée ci-dessus.

Lemme

Soit \(R\) un anneau cohérent. Soit \(X\) un schéma de présentation finie sur \(R\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(R\), dont le support est propre sur \(R\). Alors \(H^i(X, \mathcal{G})\) est un \(R\)-module cohérent.

Démonstration

On combine le lemme 0A1H avec les lemmes de Compléments sur l’algèbre 0EWZ et 0658.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(K\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) tel que les faisceaux de cohomologie \(H^i(K)\) aient des ensembles dénombrables de sections sur les ouverts affines. Alors, pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\) et tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), les ensembles \[H^i(U, K \otimes^\mathbf{L} E),\quad \Ext^i(E|_U, K|_U)\] sont dénombrables.

Démonstration

En utilisant Cohomologie, lemme 08DQ, on voit qu’il suffit de démontrer le résultat pour les groupes \(H^i(U, K \otimes^\mathbf{L} E)\). Nous utiliserons le principe d’induction pour démontrer le lemme ; voir Cohomologie des schémas, lemme 08DR.

Montrons d’abord que l’assertion vaut lorsque \(U = \Spec(A)\) est affine. En effet, on peut représenter \(K\) par un complexe de \(A\)-modules \(K^\bullet\), et \(E\) par un complexe fini de \(A\)-modules projectifs de type fini \(P^\bullet\). Voir les lemmes 06Z0 et 08EB, ainsi que notre définition des complexes parfaits de \(A\)-modules (Compléments sur l’algèbre, définition 0657). Alors \((E \otimes^\mathbf{L} K)|_U\) est représenté par le complexe total associé au complexe double \(P^\bullet \otimes_A K^\bullet\) (lemme 08DX). En raisonnant par récurrence sur la longueur du complexe \(P^\bullet\) (ou en utilisant une suite spectrale appropriée), on voit qu’il suffit de montrer que \(H^i(P^a \otimes_A K^\bullet)\) est dénombrable pour tout \(a\). Puisque \(P^a\) est un facteur direct de \(A^{\oplus n}\) pour un certain \(n\), cela résulte de l’hypothèse que le groupe de cohomologie \(H^i(K^\bullet)\) est dénombrable.

Pour achever la démonstration, il suffit de montrer ceci : si \(U = V \cup W\) et si le résultat vaut pour \(V\), \(W\) et \(V \cap W\), alors il vaut pour \(U\). C’est une conséquence immédiate de la suite de Mayer-Vietoris ; voir Cohomologie, lemme 08BX.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé tel que les ensembles de sections de \(\mathcal{O}_X\) sur les ouverts affines soient dénombrables. Soit \(K\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(K = \text{hocolim} E_n\), où \(E_n\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) ;

les faisceaux de cohomologie \(H^i(K)\) ont des ensembles dénombrables de sections sur les ouverts affines.

Démonstration

Si (1) est vraie, alors (2) l’est, car les colimites homotopiques commutent à la prise des faisceaux de cohomologie (d’après Catégories dérivées, lemme 0CRK) et parce qu’un complexe parfait est localement isomorphe à un complexe fini de \(\mathcal{O}_X\)-modules libres de type fini et satisfait donc (2) d’après l’hypothèse sur \(X\).

Supposons (2). Choisissons un complexe K-injectif \(\mathcal{K}^\bullet\) représentant \(K\). Choisissons un générateur parfait \(E\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et représentons-le par un complexe K-injectif \(\mathcal{I}^\bullet\). D’après le théorème 09M5 et sa démonstration, il existe une équivalence de catégories triangulées \(F : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A, \text{d})\), où \((A, \text{d})\) est l’algèbre différentielle graduée \[(A, \text{d}) = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)} (\mathcal{I}^\bullet, \mathcal{I}^\bullet)\] qui envoie \(K\) sur le module différentiel gradué \[M = \Hom_{\text{Comp}^{dg}(\mathcal{O}_X)} (\mathcal{I}^\bullet, \mathcal{K}^\bullet)\] Notons que \(H^i(A) = \Ext^i(E, E)\) et \(H^i(M) = \Ext^i(E, K)\). De plus, puisque \(F\) est une équivalence, elle et son quasi-inverse commutent aux colimites homotopiques. Il suffit donc d’écrire \(M\) comme une colimite homotopique d’objets compacts de \(D(A, \text{d})\). D’après Algèbre différentielle graduée, lemme 0CRM, il suffit de montrer que \(\Ext^i(E, E)\) et \(\Ext^i(E, K)\) sont dénombrables pour tout \(i\). Cela résulte du lemme 0CRP.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(X\) un schéma de présentation finie sur \(A\). Soit \(f : U \to X\) un morphisme plat de présentation finie. Alors

il existe un système projectif d’objets parfaits \(L_n\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \[R\Gamma(U, Lf^*K) = \text{hocolim}\ R\Hom_X(L_n, K)\] dans \(D(A)\), fonctoriellement en \(K\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ;

il existe un système d’objets parfaits \(E_n\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \[R\Gamma(U, Lf^*K) = \text{hocolim}\ R\Gamma(X, E_n \otimes^\mathbf{L} K)\] dans \(D(A)\), fonctoriellement en \(K\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

D’après le lemme 08EU, on a \[R\Gamma(U, Lf^*K) = R\Gamma(X, Rf_*\mathcal{O}_U \otimes^\mathbf{L} K)\] fonctoriellement en \(K\). Observons que \(R\Gamma(X, -)\) commute aux colimites homotopiques, car il commute aux sommes directes d’après le lemme 08DZ. De même, \(- \otimes^\mathbf{L} K\) commute aux colimites dérivées, car \(- \otimes^\mathbf{L} K\) commute aux sommes directes (puisque les sommes directes dans \(D(\mathcal{O}_X)\) sont données par les sommes directes des complexes qui les représentent). Ainsi, pour démontrer (2), il suffit d’écrire \(Rf_*\mathcal{O}_U = \text{hocolim} E_n\) pour un système d’objets parfaits \(E_n\) de \(D(\mathcal{O}_X)\). Cela fait, on obtient (1) en posant \(L_n = E_n^\vee\) ; voir Cohomologie, lemme 08DQ.

Écrivons \(A = \colim A_i\), où \(A_i\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\). D’après Limites, lemme 01ZM, on peut trouver un \(i\) et des morphismes \(U_i \to X_i \to \Spec(A_i)\) de présentation finie dont le changement de base à \(\Spec(A)\) redonne \(U \to X \to \Spec(A)\). Après avoir augmenté \(i\), on peut supposer que \(f_i : U_i \to X_i\) est plat ; voir Limites, lemme 04AI. D’après le lemme 08IB, l’image inverse dérivée de \(Rf_{i, *}\mathcal{O}_{U_i}\) par \(g : X \to X_i\) est égale à \(Rf_*\mathcal{O}_U\). Puisque \(Lg^*\) commute aux colimites dérivées, il suffit de démontrer ce que l’on veut pour \(f_i\). On peut donc supposer que \(U\) et \(X\) sont de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Supposons que \(f : U \to X\) soit un morphisme entre des schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour achever la démonstration, nous allons montrer que \(Rf_*\mathcal{O}_U\) est une colimite homotopique de complexes parfaits. Pour le voir, appliquons le lemme 0CRQ. Il suffit donc de montrer que \(R^if_*\mathcal{O}_U\) a des ensembles dénombrables de sections sur les ouverts affines. Cela résulte du lemme 0CRP appliqué au faisceau structural.

Caractérisation des complexes pseudo-cohérents, II

Cette section prolonge la section 0DJM. Nous y examinons des caractérisations des complexes pseudo-cohérents en termes de cohomologie. On trouvera d’autres résultats de cette nature dans Compléments sur les morphismes, section 0CSI.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(R\) une \(A\)-algèbre (éventuellement non commutative) qui est libre de type fini comme \(A\)-module. Alors tout objet \(M\) de \(D(R)\) qui est pseudo-cohérent dans \(D(A)\) peut être représenté par un complexe borné supérieurement de \(R\)-modules (à droite) libres de type fini.

Démonstration

Choisissons un complexe \(M^\bullet\) de \(R\)-modules à droite représentant \(M\). Puisque \(M\) est pseudo-cohérent, on a \(H^i(M) = 0\) pour \(i\) assez grand. Soit \(m\) le plus petit indice tel que \(H^m(M)\) soit non nul. Alors \(H^m(M)\) est un \(A\)-module de type fini d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 064S. On peut donc choisir un \(R\)-module libre de type fini \(F^m\) et une application \(F^m \to M^m\) tels que \(F^m \to M^m \to M^{m + 1}\) soit nulle et que \(F^m \to H^m(M)\) soit surjective. Diagramme : \[\xymatrix{ & F^m \ar[d]^\alpha \ar[r] & 0 \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ M^{m - 1} \ar[r] & M^m \ar[r] & M^{m + 1} \ar[r] & \ldots }\] Par récurrence descendante sur \(n \leq m\), nous allons construire des \(R\)-modules libres de type fini \(F^i\) pour \(i \geq n\), des différentielles \(d^i : F^i \to F^{i + 1}\) pour \(i \geq n\), et des applications \(\alpha : F^i \to K^i\) compatibles aux différentielles, telles que (1) \(H^i(\alpha)\) soit un isomorphisme pour \(i > n\) et une surjection pour \(i = n\), et (2) \(F^i = 0\) pour \(i > m\). Diagramme : \[\xymatrix{ & F^n \ar[r] \ar[d]^\alpha & F^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \ar[r] & F^i \ar[d]^\alpha \ar[r] & 0 \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ M^{n - 1} \ar[r] & M^n \ar[r] & M^{n + 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & M^i \ar[r] & M^{i + 1} \ar[r] & \ldots }\] Le cas initial \(n = m\) a été traité ci-dessus. Étape de récurrence. Soit \(C^\bullet\) le cône de \(\alpha\) (Catégories dérivées, définition 014E). La suite exacte longue de cohomologie montre que \(H^i(C^\bullet) = 0\) pour \(i \geq n\). Observons que \(F^\bullet\) est pseudo-cohérent comme complexe de \(A\)-modules, car \(R\) est libre de type fini comme \(A\)-module. Par conséquent, d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 064R, on voit que \(C^\bullet\) est \((n - 1)\)-pseudo-cohérent comme complexe de \(A\)-modules. D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 064S, on voit que \(H^{n - 1}(C^\bullet)\) est un \(A\)-module de type fini. Choisissons un \(R\)-module libre de type fini \(F^{n - 1}\) et une application \(\beta : F^{n - 1} \to C^{n - 1}\) tels que la composée \(F^{n - 1} \to C^{n - 1} \to C^n\) soit nulle et que \(F^{n - 1}\) se surjecte sur \(H^{n - 1}(C^\bullet)\). Puisque \(C^{n - 1} = M^{n - 1} \oplus F^n\), on peut écrire \(\beta = (\alpha^{n - 1}, -d^{n - 1})\). L’annulation de la composée \(F^{n - 1} \to C^{n - 1} \to C^n\) implique que ces applications s’insèrent dans un morphisme de complexes \[\xymatrix{ & F^{n - 1} \ar[d]^{\alpha^{n - 1}} \ar[r]_{d^{n - 1}} & F^n \ar[r] \ar[d]^\alpha & F^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & M^{n - 1} \ar[r] & M^n \ar[r] & M^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] De plus, ces applications définissent un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ (F^n \to \ldots) \ar[r] \ar[d] & (F^{n - 1} \to \ldots) \ar[r] \ar[d] & F^{n - 1} \ar[r] \ar[d]_\beta & (F^n \to \ldots)[1] \ar[d] \\ (F^n \to \ldots) \ar[r] & M^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & (F^n \to \ldots)[1] }\] Notre choix de \(\beta\) implique donc que le morphisme de complexes \((F^{n - 1} \to \ldots) \to M^\bullet\) induit un isomorphisme en cohomologie dans les degrés \(\geq n\) et une surjection en degré \(n - 1\). Cela achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(n \geq 0\). Soit \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A})\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(K\) est pseudo-cohérent ;

\(R\Gamma(\mathbf{P}^n_A, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(A)\) pour tout objet pseudo-cohérent \(E\) de \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A})\) ;

\(R\Gamma(\mathbf{P}^n_A, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(A)\) pour tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A})\) ;

\(R\Hom_{\mathbf{P}^n_A}(E, K)\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(A)\) pour tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A})\) ;

\(R\Gamma(\mathbf{P}^n_A, K \otimes^\mathbf{L} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d))\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(A)\) pour \(d = 0, 1, \ldots, n\).

Démonstration

Rappelons que \[R\Hom_{\mathbf{P}^n_A}(E, K) = R\Gamma(\mathbf{P}^n_A, R\SheafHom_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}}(E, K))\] par définition ; voir Cohomologie, section 0B6A. Ainsi, les assertions (4) et (3) sont équivalentes d’après Cohomologie, lemme 08DQ.

Puisque tout complexe parfait est pseudo-cohérent, il est clair que (2) implique (3).

Supposons (1). Alors \(E \otimes^\mathbf{L} K\) est pseudo-cohérent pour tout \(E\) pseudo-cohérent ; voir Cohomologie, lemme 09J3. D’après le lemme 0CSD, l’image directe d’un tel complexe pseudo-cohérent est pseudo-cohérente, et l’on voit que (2) est vraie.

L’assertion (3) implique (5), car on peut prendre \(E = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\) pour \(d = 0, 1, \ldots, n\).

Pour achever la démonstration, il faut montrer que (5) implique (1). Soit \(P\) comme dans (0CS8), et \(R\) comme dans (0CS9). D’après le lemme 0BQU, on a une équivalence \[- \otimes^\mathbf{L}_R P : D(R) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A})\] Soit \(M \in D(R)\) un objet tel que \(M \otimes^\mathbf{L} P = K\). D’après Algèbre différentielle graduée, lemme 0CS6, il existe un isomorphisme \[R\Hom(R, M) = R\Hom_{\mathbf{P}^n_A}(P, K)\] dans \(D(A)\). En raisonnant comme ci-dessus, on obtient \[R\Hom_{\mathbf{P}^n_A}(P, K) = R\Gamma(\mathbf{P}^n_A, R\SheafHom_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}}(E, K)) = R\Gamma(\mathbf{P}^n_A, P^\vee \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}} K).\] Puisque \(P^\vee\) est la somme directe des \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\) pour \(d = 0, 1, \ldots, n\), il résulte de (5) que \(R\Hom(R, M)\) est pseudo-cohérent comme complexe de \(A\)-modules. Bien entendu, \(M = R\Hom(R, M)\) dans \(D(A)\). Ainsi, \(M\) est pseudo-cohérent comme complexe de \(A\)-modules. D’après le lemme 0CSF, on peut représenter \(M\) par un complexe borné supérieurement \(F^\bullet\) de \(R\)-modules libres de type fini. Alors \(F^\bullet = \bigcup_{p \geq 0} \sigma_{\geq p}F^\bullet\) est une filtration qui montre que \(F^\bullet\) est un module différentiel gradué sur \(R\) ayant la propriété (P) ; voir Algèbre différentielle graduée, section 09KK. Par conséquent, \(K = M \otimes^\mathbf{L}_R P\) est représenté par \(F^\bullet \otimes_R P\) (cela résulte de la construction du foncteur de produit tensoriel dérivé ; voir, par exemple, la démonstration de Algèbre différentielle graduée, lemme 09LX). Puisque \(F^\bullet \otimes_R P\) est un complexe borné supérieurement dont les termes sont des sommes directes de copies de \(P\), on en déduit que le lemme est vrai.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé sur \(A\). Soit \(K \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Si \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est pseudo-cohérent dans \(D(A)\) pour tout \(E\) parfait dans \(D(\mathcal{O}_X)\), alors \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est pseudo-cohérent dans \(D(A)\) pour tout \(E\) pseudo-cohérent dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Il existe un entier \(N\) tel que \(R\Gamma(X, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A)\) soit de dimension cohomologique \(N\), comme expliqué dans le lemme 08D5. Soit \(b \in \mathbf{Z}\) tel que \(H^i(K) = 0\) pour \(i > b\). Soit \(E\) pseudo-cohérent sur \(X\). Il suffit de montrer que \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est \(m\)-pseudo-cohérent pour tout \(m\). Choisissons une approximation \(P \to E\) par un complexe parfait \(P\) de \((X, E, m - N - 1 - b)\). Cela est possible d’après le théorème 08ES. Choisissons un triangle distingué \[P \to E \to C \to P[1]\] dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les faisceaux de cohomologie de \(C\) sont nuls dans les degrés \(\geq m - N - 1 - b\). Par conséquent, les faisceaux de cohomologie de \(C \otimes^\mathbf{L} K\) sont nuls dans les degrés \(\geq m - N - 1\). Ainsi, les groupes de cohomologie de \(R\Gamma(X, C \otimes^\mathbf{L} K)\) sont nuls dans les degrés \(\geq m - 1\). Par conséquent, \[R\Gamma(X, P \otimes^\mathbf{L} K) \to R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\] est un isomorphisme sur la cohomologie dans les degrés \(\geq m\). Par hypothèse, la source est pseudo-cohérente. On en déduit que \(R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K)\) est \(m\)-pseudo-cohérent, comme désiré.

Objets relativement parfaits

Dans cette section, nous introduisons une notion tirée de [lieblich-complexes].

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. Un objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) est parfait relativement à \(S\) ou \(S\)-parfait si \(E\) est pseudo-cohérent (Cohomologie, définition 08CB) et si \(E\) a localement une dimension de Tor finie comme objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\) (Cohomologie, définition 08CG).

Voir la remarque 0DI9 pour une discussion.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma de présentation finie sur \(k\) (en particulier, \(X\) est quasi-compact). Alors un objet \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) est \(k\)-parfait si et seulement s’il est borné et pseudo-cohérent (par définition), c’est-à-dire si et seulement s’il appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(X)\) (d’après le lemme 08E8). Ainsi, être relativement parfait ne signifie pas « parfait sur les fibres ».

La notion algébrique correspondante est étudiée dans Compléments sur l’algèbre, section 0DHR. On peut relier la notion pour les schémas à la notion algébrique comme suit.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. Soit \(E\) un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(E\) est \(S\)-parfait ;

pour tout ouvert affine \(U \subset X\) qui s’envoie dans un ouvert affine \(V \subset S\), le complexe \(R\Gamma(U, E)\) est \(\mathcal{O}_S(V)\)-parfait ;

il existe un recouvrement ouvert affine \(S = \bigcup V_i\) et, pour tout \(i\), un recouvrement ouvert affine \(f^{-1}(V_i) = \bigcup U_{ij}\) tels que le complexe \(R\Gamma(U_{ij}, E)\) soit \(\mathcal{O}_S(V_i)\)-parfait.

Démonstration

La pseudo-cohérence est une propriété locale, et « avoir localement une dimension de Tor finie » est une propriété locale. Le lemme se ramène donc immédiatement à l’énoncé suivant : si \(X\) et \(S\) sont affines, alors \(E\) est \(S\)-parfait si et seulement si \(K = R\Gamma(X, E)\) est \(\mathcal{O}_S(S)\)-parfait. Écrivons \(X = \Spec(A)\), \(S = \Spec(R)\), et supposons que \(E\) corresponde à \(K \in D(A)\), c’est-à-dire que \(K = R\Gamma(X, E)\) ; voir le lemme 06Z0.

Observons que \(K\) est \(R\)-parfait si et seulement si \(K\) est pseudo-cohérent et a une dimension de Tor finie comme complexe de \(R\)-modules (Compléments sur l’algèbre, définition 0DHS). D’après le lemme 08E7, on voit que \(E\) est pseudo-cohérent si et seulement si \(K\) est pseudo-cohérent. D’après le lemme 0DHY, on voit que \(E\) a une dimension de Tor finie sur \(f^{-1}\mathcal{O}_S\) si et seulement si \(K\) a une dimension de Tor finie comme complexe de \(R\)-modules.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. La sous-catégorie pleine de \(D(\mathcal{O}_X)\) formée des objets \(S\)-parfaits est une sous-catégorie triangulée saturée⁴.

Démonstration

Cela résulte de Cohomologie, lemmes 08CD, 08CE, 08CJ et 08CK.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. Tout objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) est \(S\)-parfait. Si \(K, M \in D(\mathcal{O}_X)\), alors \(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\) est \(S\)-parfait si \(K\) est parfait et \(M\) est \(S\)-parfait.

Démonstration

Première démonstration : on se ramène au cas affine à l’aide du lemme 0DI2, puis on applique Compléments sur l’algèbre, lemme 0DHU.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas. Posons \(X' = S' \times_S X\) et notons \(g' : X' \to X\) la projection. Si \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) est \(S\)-parfait, alors \(L(g')^*K\) est \(S'\)-parfait.

Démonstration

Première démonstration : on se ramène au cas affine à l’aide du lemme 0DI2, puis on applique Compléments sur l’algèbre, lemme 0DHW.

Deuxième démonstration : \(L(g')^*K\) est pseudo-cohérent d’après Cohomologie, lemme 09U7, et la propriété de dimension de Tor bornée résulte du lemme 0C0V.

Situation

Soit \(S = \lim_{i \in I} S_i\) la limite d’un système filtrant de schémas dont les morphismes de transition affines sont \(g_{i'i} : S_{i'} \to S_i\). On suppose que \(S_i\) est quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i \in I\). On note \(g_i : S \to S_i\) la projection. On fixe un élément \(0 \in I\) et un morphisme plat de présentation finie \(X_0 \to S_0\). On pose \(X_i = S_i \times_{S_0} X_0\) et \(X = S \times_{S_0} X_0\), et l’on note les morphismes de transition \(f_{i'i} : X_{i'} \to X_i\) et les projections \(f_i : X \to X_i\).

Lemme

Dans la situation 0DI6, soient \(K_0\) et \(L_0\) des objets de \(D(\mathcal{O}_{X_0})\). Posons \(K_i = Lf_{i0}^*K_0\) et \(L_i = Lf_{i0}^*L_0\) pour \(i \geq 0\), et posons \(K = Lf_0^*K_0\) et \(L = Lf_0^*L_0\). Alors l’application \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{X_i})}(K_i, L_i) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K, L)\] est un isomorphisme si \(K_0\) est pseudo-cohérent et si \(L_0 \in D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_0})\) a (localement) une dimension de Tor finie comme objet de \(D((X_0 \to S_0)^{-1}\mathcal{O}_{S_0})\).

Démonstration

Pour tout ouvert quasi-compact \(U_0 \subset X_0\), considérons la condition \(P\) selon laquelle \[\colim_{i \geq 0} \Hom_{D(\mathcal{O}_{U_i})}(K_i|_{U_i}, L_i|_{U_i}) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(K|_U, L|_U)\] est un isomorphisme, où \(U = f_0^{-1}(U_0)\) et \(U_i = f_{i0}^{-1}(U_0)\). Si \(P\) vaut pour \(U_0\), \(V_0\) et \(U_0 \cap V_0\), alors elle vaut pour \(U_0 \cup V_0\) par Mayer-Vietoris pour les Hom dans la catégorie dérivée ; voir Cohomologie, lemme 08BW.

Notons \(\pi_0 : X_0 \to S_0\) le morphisme donné. On peut d’abord considérer \(U_0 = \pi_0^{-1}(W_0)\) avec \(W_0 \subset S_0\) ouvert quasi-compact. En appliquant le principe d’induction de Cohomologie des schémas, lemme 08DR, aux ouverts quasi-compacts de \(S_0\) et en utilisant la remarque ci-dessus, on constate qu’il suffit de démontrer \(P\) pour \(U_0 = \pi_0^{-1}(W_0)\) avec \(W_0\) affine. Autrement dit, on s’est ramené au cas où \(S_0\) est affine. Ensuite, on applique de nouveau le principe d’induction, cette fois à tous les ouverts quasi-compacts et quasi-séparés de \(X_0\), pour se ramener également au cas où \(X_0\) est affine.

Si \(X_0\) et \(S_0\) sont affines, le résultat découle de Compléments sur l’algèbre, lemme 0DHX. En effet, d’après les lemmes 08E5 et 06Z0, l’énoncé se traduit en calculs de morphismes dans les catégories dérivées de modules. Puis le lemme 08E7 montre que le complexe de modules correspondant à \(K_0\) est pseudo-cohérent. Et le lemme 0DHY montre que le complexe de modules correspondant à \(L_0\) a une dimension de Tor finie sur \(\mathcal{O}_{S_0}(S_0)\). Les hypothèses de Compléments sur l’algèbre, lemme 0DHX, sont donc satisfaites, et l’on conclut.

Lemme

Dans la situation 0DI6, la catégorie des objets \(S\)-parfaits de \(D(\mathcal{O}_X)\) est la colimite des catégories d’objets \(S_i\)-parfaits de \(D(\mathcal{O}_{X_i})\).

Démonstration

Pour tout ouvert quasi-compact \(U_0 \subset X_0\), considérons la condition \(P\) selon laquelle le foncteur \[\colim_{i \geq 0} D_{S_i\text{-parfait}}(\mathcal{O}_{U_i}) \longrightarrow D_{S\text{-parfait}}(\mathcal{O}_U)\] est une équivalence, où \(U = f_0^{-1}(U_0)\) et \(U_i = f_{i0}^{-1}(U_0)\). Observons que nous savons déjà que ce foncteur est pleinement fidèle d’après le lemme 0DI7. Il suffit donc de démontrer la surjectivité essentielle.

Supposons que \(P\) vaille pour des ouverts quasi-compacts \(U_0\), \(V_0\) de \(X_0\). Nous affirmons que \(P\) vaut pour \(U_0 \cup V_0\). Nous utiliserons les notations \(U_i = f_{i0}^{-1}U_0\), \(U = f_0^{-1}U_0\), \(V_i = f_{i0}^{-1}V_0\), et \(V = f_0^{-1}V_0\), et nous emploierons abusivement le symbole \(f_i\) pour tous les morphismes \(U \to U_i\), \(V \to V_i\), \(U \cap V \to U_i \cap V_i\) et \(U \cup V \to U_i \cup V_i\). Soit \(E\) un objet \(S\)-parfait de \(D(\mathcal{O}_{U \cup V})\). But : montrer que \(E\) appartient à l’image essentielle du foncteur. Par hypothèse, on peut trouver \(i \geq 0\), un objet \(S_i\)-parfait \(E_{U, i}\) sur \(U_i\), un objet \(S_i\)-parfait \(E_{V, i}\) sur \(V_i\), et des isomorphismes \(Lf_i^*E_{U, i} \to E|_U\) et \(Lf_i^*E_{V, i} \to E|_V\). Soient \[a : E_{U, i} \to (Rf_{i, *}E)|_{U_i} \quad\text{et}\quad b : E_{V, i} \to (Rf_{i, *}E)|_{V_i}\] les morphismes adjoints aux isomorphismes \(Lf_i^*E_{U, i} \to E|_U\) et \(Lf_i^*E_{V, i} \to E|_V\). Par pleine fidélité, après avoir augmenté \(i\), on peut trouver un isomorphisme \(c : E_{U, i}|_{U_i \cap V_i} \to E_{V, i}|_{U_i \cap V_i}\) dont l’image inverse donne les identifications \[Lf_i^*E_{U, i}|_{U \cap V} \to E|_{U \cap V} \to Lf_i^*E_{V, i}|_{U \cap V}.\] Appliquons Cohomologie, lemme 08DG, pour obtenir un objet \(E_i\) sur \(U_i \cup V_i\) et un morphisme \(d : E_i \to Rf_{i, *}E\) qui se restreint aux morphismes \(a\) et \(b\) sur \(U_i\) et \(V_i\). Il est alors clair que \(E_i\) est \(S_i\)-parfait (car être relativement parfait est une propriété locale) et que \(d\) est adjoint à un isomorphisme \(Lf_i^*E_i \to E\).

Par exactement le même argument que dans la démonstration du lemme 0DI7, en utilisant le principe d’induction (Cohomologie des schémas, lemme 08DR), on se ramène au cas où \(X_0\) et \(S_0\) sont tous deux affines. (On travaille d’abord avec les ouverts de \(S_0\) pour se ramener à \(S_0\) affine, puis avec les ouverts de \(X_0\) pour se ramener à \(X_0\) affine.) Dans le cas affine, le résultat découle de Compléments sur l’algèbre, lemme 0DHX. La traduction en algèbre est donnée par le lemme 0DI2.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat, propre et de présentation finie. Soit \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) un objet \(S\)-parfait. Alors \(Rf_*E\) est un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_S)\), et sa formation commute à tout changement de base.

Démonstration

L’énoncé sur le changement de base est le lemme 08IB. Il suffit donc de montrer que \(Rf_*E\) est un objet parfait. Nous allons nous ramener au cas où \(S\) est noethérien affine par un argument de limites.

La question est locale sur \(S\) ; on peut donc supposer \(S\) affine. Écrivons \(S = \Spec(R)\). Écrivons \(R = \colim R_i\) comme colimite filtrante d’anneaux noethériens \(R_i\). D’après Limites, lemme 01ZM, il existe un \(i\) et un schéma \(X_i\) de présentation finie sur \(R_i\) dont le changement de base à \(R\) est \(X\). D’après Limites, lemmes 081F et 04AI, on peut supposer \(X_i\) propre et plat sur \(R_i\). D’après le lemme 0DI8, on peut supposer qu’il existe un objet \(R_i\)-parfait \(E_i\) de \(D(\mathcal{O}_{X_i})\) dont l’image inverse sur \(X\) est \(E\). En appliquant le lemme 08EV à \(X_i \to \Spec(R_i)\) et à \(E_i\), puis en utilisant la propriété de changement de base déjà démontrée, on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(E, K \in D(\mathcal{O}_X)\). Supposons que

\(S\) soit quasi-compact et quasi-séparé ;

\(f\) soit propre, plat et de présentation finie ;

\(E\) soit \(S\)-parfait ;

\(K\) soit pseudo-cohérent.

Alors il existe un \(L \in D(\mathcal{O}_S)\) pseudo-cohérent tel que \[Rf_*R\SheafHom(K, E) = R\SheafHom(L, \mathcal{O}_S)\] et il en va de même après tout changement de base : étant donné \[\vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S } } \quad\quad \begin{matrix} \text{cartésien, alors on a } \\ Rf'_*R\SheafHom(L(g')^*K, L(g')^*E) \\ = R\SheafHom(Lg^*L, \mathcal{O}_{S'}) \end{matrix}\]

Démonstration

Puisque \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé, il en va de même de \(X\). D’après le lemme 0DJN, on peut écrire \(K = \text{hocolim} K_n\), où \(K_n\) est parfait et où \(K_n \to K\) induit un isomorphisme sur les troncatures \(\tau_{\geq -n}\). Soit \(K_n^\vee\) le complexe parfait dual (Cohomologie, lemme 08DQ). On obtient un système projectif \(\ldots \to K_3^\vee \to K_2^\vee \to K_1^\vee\) d’objets parfaits. D’après le lemme 0DI4, on voit que \(K_n^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} E\) est \(S\)-parfait. On peut donc appliquer le lemme 0DJT à \(K_n^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} E\), et l’on obtient un système projectif \[\ldots \to M_3 \to M_2 \to M_1\] de complexes parfaits sur \(S\), avec \[M_n = Rf_*(K_n^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = Rf_*R\SheafHom(K_n, E)\] De plus, la formation de ces complexes commute à tout changement de base, à savoir \(Lg^*M_n = Rf'_*((L(g')^*K_n)^\vee \otimes_{\mathcal{O}_{X'}}^\mathbf{L} L(g')^*E) = Rf'_*R\SheafHom(L(g')^*K_n, L(g')^*E)\).

Puisque \(K_n \to K\) induit un isomorphisme sur \(\tau_{\geq -n}\), on voit que \(K_n \to K_{n + 1}\) induit un isomorphisme sur \(\tau_{\geq -n}\). Il en résulte que \(K_{n + 1}^\vee \to K_n^\vee\) induit un isomorphisme sur \(\tau_{\leq n}\), car \(K_n^\vee = R\SheafHom(K_n, \mathcal{O}_X)\). Supposons que \(E\) ait une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) comme complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-modules. Il en va alors de même après tout changement de base ; voir le lemme 0C0V. On constate que \(K_{n + 1}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} E \to K_n^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} E\) induit un isomorphisme sur \(\tau_{\leq n + a}\), et il en va de même après tout changement de base. En appliquant le foncteur dérivé droit \(Rf_*\), on en déduit que les morphismes \(M_{n + 1} \to M_n\) induisent des isomorphismes sur \(\tau_{\leq n + a}\), et il en va de même après tout changement de base. Choisissons un triangle distingué \[M_{n + 1} \to M_n \to C_n \to M_{n + 1}[1]\] Prenons pour \(S'\) le spectre du corps résiduel en un point \(s \in S\) et effectuons l’image inverse pour voir que \(C_n \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \kappa(s)\) n’a de cohomologie non nulle que dans les degrés \(\geq n + a\). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0BCD, on voit que le complexe parfait \(C_n\) a une amplitude de Tor contenue dans \([n + a, m_n]\) pour un certain entier \(m_n\). En particulier, le complexe parfait dual \(C_n^\vee\) a une amplitude de Tor contenue dans \([-m_n, -n - a]\).

Soit \(L_n = M_n^\vee\) le complexe parfait dual. La conclusion de la discussion du paragraphe précédent est que \(L_n \to L_{n + 1}\) induit des isomorphismes sur \(\tau_{\geq -n - a}\). Ainsi, \(L = \text{hocolim} L_n\) est pseudo-cohérent ; voir le lemme 0DJN. Puisque l’on a \[R\SheafHom(K, E) = R\SheafHom(\text{hocolim} K_n, E) = R\lim R\SheafHom(K_n, E) = R\lim K_n^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} E\] (Cohomologie, lemme 0DJI) et puisque \(R\lim\) commute à \(Rf_*\), on trouve que \[Rf_*R\SheafHom(K, E) = R\lim M_n = R\lim R\SheafHom(L_n, \mathcal{O}_S) = R\SheafHom(L, \mathcal{O}_S)\] Cela démontre la formule sur \(S\). Puisque la construction de \(M_n\) est compatible au changement de base, la formule reste vraie après tout changement de base.

Remarque

Le lecteur aura peut-être remarqué la similitude entre le lemme 0DJU et le lemme 08IF. En effet, le complexe pseudo-cohérent \(L\) du lemme 0DJU peut être caractérisé comme l’unique complexe pseudo-cohérent sur \(S\) tel qu’il existe des isomorphismes fonctoriels \[\Ext^i_{\mathcal{O}_S}(L, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_{\mathcal{O}_X}(K, E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{F})\] compatibles aux morphismes de bord, lorsque \(\mathcal{F}\) parcourt \(\QCoh(\mathcal{O}_S)\). Si cela nous est un jour nécessaire, nous formulerons ici un résultat précis et en donnerons une démonstration détaillée.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas plat et localement de présentation finie. Soit \(E\) un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(E\) est \(S\)-parfait ;

\(E\) est localement borné inférieurement et, pour tout point \(s \in S\), l’objet \(L(X_s \to X)^*E\) de \(D(\mathcal{O}_{X_s})\) est localement borné inférieurement.

Démonstration

Puisque tout est local, on se ramène immédiatement au cas où \(X\) et \(S\) sont affines ; voir le lemme 0DI2. Supposons que \(X \to S\) corresponde à \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) et que \(E\) corresponde à \(K\) dans \(D(A)\). Si \(s\) correspond à l’idéal premier \(\mathfrak p \subset R\), alors \(L(X_s \to X)^*E\) correspond à \(K \otimes_R^\mathbf{L} \kappa(\mathfrak p)\), car \(R \to A\) est plat ; voir, par exemple, le lemme 08IB. On voit donc que notre lemme résulte du résultat algébrique correspondant ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0GHJ.

Remarque

Notre définition 0DI0 d’un complexe relativement parfait est équivalente à celle donnée dans [lieblich-complexes] chaque fois que notre définition s’applique⁵. Supposons maintenant que \(f : X \to S\) soit seulement localement de type fini (sans être nécessairement plat ni localement de présentation finie). La définition de l’article cité ci-dessus est que \(E \in D(\mathcal{O}_X)\) est relativement parfait si

localement sur \(X\), l’objet \(E\) est quasi-isomorphe à un complexe fini de modules plats sur \(S\) et de présentation finie comme \(\mathcal{O}_X\)-modules.

D’autre part, la généralisation naturelle de notre définition 0DI0 est la suivante :

\(E\) est pseudo-cohérent relativement à \(S\) (Compléments sur les morphismes, définition 09UI) et \(E\) a localement une dimension de Tor finie comme objet de \(D(f^{-1}\mathcal{O}_S)\) (Cohomologie, définition 08CG).

L’avantage de la condition (B) est qu’elle définit manifestement une sous-catégorie triangulée de \(D(\mathcal{O}_X)\), tandis que nous soupçonnons que ce n’est pas le cas de la condition (A). L’avantage de la condition (A) est qu’elle est plus facile à manier, en particulier en ce qui concerne les limites.

La propriété de résolution

Cette notion est étudiée dans l’article [totaro_resolution] ; la discussion se poursuit dans [Gross-thesis], [Gross-surface] et [Gross-stack]. On ignore actuellement si tout schéma propre sur un corps possède toujours la propriété de résolution ou si cela est faux. Si vous connaissez la réponse à cette question, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com.

On peut donner la définition suivante, bien qu’il ne soit guère pertinent de la considérer pour des schémas généraux.

Définition

Soit \(X\) un schéma. On dit que \(X\) possède la propriété de résolution si tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini est quotient d’un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini.

Si \(X\) est un schéma quasi-compact et quasi-séparé, il suffit de vérifier que tout \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie (automatiquement quasi-cohérent) est quotient d’un module localement libre de type fini sur \(\mathcal{O}_X\) ; voir Propriétés, lemme 086M. Si \(X\) est un schéma noethérien, les modules quasi-cohérents de type fini sont exactement les \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XZ.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Si \(X\) possède un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample, alors \(X\) possède la propriété de résolution.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate de Propriétés, proposition 01Q3.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que

\(Y\) soit quasi-compact et quasi-séparé et possède la propriété de résolution ;

il existe un module inversible \(f\)-ample sur \(X\).

Alors \(X\) possède la propriété de résolution.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(\mathcal{L}\) un module inversible \(f\)-ample. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(Y = V_1 \cup \ldots \cup V_m\). Posons \(U_j = f^{-1}(V_j)\). D’après Propriétés, proposition 01Q3, pour tout \(j\), on sait qu’il existe un nombre fini de morphismes \(s_{j, i} : \mathcal{L}^{\otimes n_{j, i}}|_{U_j} \to \mathcal{F}|_{U_j}\) qui sont conjointement surjectifs. Considérons les \(\mathcal{O}_Y\)-modules quasi-cohérents \[\mathcal{H}_n = f_*(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n})\] On peut considérer \(s_{j, i}\) comme une section sur \(V_j\) du faisceau \(\mathcal{H}_{-n_{j, i}}\). Supposons que l’on puisse trouver des \(\mathcal{O}_Y\)-modules localement libres de type fini \(\mathcal{E}_{i, j}\) et des morphismes \(\mathcal{E}_{i, j} \to \mathcal{H}_{-n_{j, i}}\) tels que \(s_{j, i}\) appartienne à leur image. Alors les morphismes correspondants \[f^*\mathcal{E}_{i, j} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n_{i, j}} \longrightarrow \mathcal{F}\] seront conjointement surjectifs, ce qui démontrera le lemme. D’après Propriétés, lemme 01PG, pour tout \(i, j\), on peut trouver un sous-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{H}'_{i, j} \subset \mathcal{H}_{-n_{j, i}}\) qui contient la section \(s_{i, j}\) sur \(V_j\). La propriété de résolution de \(Y\) fournit donc des surjections \(\mathcal{E}_{i, j} \to \mathcal{H}'_{j, i}\), et l’on conclut.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine ou quasi-affine de schémas, où \(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé. Si \(Y\) possède la propriété de résolution, alors \(X\) la possède aussi.

Démonstration

D’après Morphismes, lemme 0891, c’est un cas particulier du lemme 0FDD.

Voici un cas où l’on peut démontrer que la propriété de résolution descend.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas surjectif et fini localement libre. Si \(X\) possède la propriété de résolution, alors \(Y\) la possède aussi.

Démonstration

La condition signifie que \(f\) est affine et que \(f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module localement libre de type fini et de rang positif. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent de type fini. Par hypothèse, il existe une surjection \(\mathcal{E} \to f^*\mathcal{G}\) pour un certain \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{E}\) localement libre de type fini. Puisque \(f_*\) est exact sur les modules quasi-cohérents (Cohomologie des schémas, lemme 01XC), on obtient une surjection \[f_*\mathcal{E} \longrightarrow f_*f^*\mathcal{G} = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_Y} f_*\mathcal{O}_X\] En prenant les duaux, on obtient une surjection \[f_*\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \SheafHom_{\mathcal{O}_Y}(f_*\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y) \longrightarrow \mathcal{G}\] Puisque \(f_*\mathcal{E}\) est localement libre de type fini⁶, on conclut.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons donnés

un recouvrement ouvert affine fini \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\) ;

des idéaux quasi-cohérents de type fini \(\mathcal{I}_j\) tels que \(V(\mathcal{I}_j) = X \setminus U_j\).

Alors \(X\) possède la propriété de résolution si et seulement si \(\mathcal{I}_j\) est quotient d’un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini pour \(j = 1, \ldots, m\).

Démonstration

Une implication du lemme est triviale. Pour l’autre, supposons que \(\mathcal{E}_j \to \mathcal{I}_j\) soit une surjection, avec \(\mathcal{E}_j\) localement libre de type fini. Dans le paragraphe suivant, nous nous ramenons au cas noethérien ; nous suggérons au lecteur de l’omettre.

La première observation est que \(U_j \cap U_{j'}\) est quasi-compact, car c’est le complémentaire du schéma des zéros de l’idéal quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{I}_{j'}|{U_j}\) sur le schéma affine \(U_j\) ; voir Propriétés, lemme 01PH. Ainsi, \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé ; voir Schémas, lemme 01KO. D’après Limites, proposition 01ZA, on peut écrire \(X = \lim X_i\) comme limite d’un système inductif de schémas noethériens à morphismes de transition affines. Pour tout \(j\), on peut trouver un \(i\) et un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}_{i, j}\) dont l’image inverse est \(\mathcal{E}_j\) ; voir Limites, lemme 0B8W. Après avoir augmenté \(i\), on peut supposer que la composée \(\mathcal{E}_j \to \mathcal{I}_j \to \mathcal{O}_X\) est l’image inverse d’un morphisme \(\mathcal{E}_{i, j} \to \mathcal{O}_{X_i}\) ; voir Limites, lemme 01ZR. Notons \(\mathcal{I}_{i, j} \subset \mathcal{O}_{X_i}\) l’image de ce morphisme ; c’est un faisceau d’idéaux quasi-cohérent sur le schéma noethérien \(X_i\), dont l’image inverse sur \(X\) est \(\mathcal{I}_j\). En notant \(U_{i, j} \subset X_i\) les ouverts complémentaires, on peut supposer qu’ils sont affines pour tous \(i, j\) ; voir Limites, lemme 01Z6. Si l’on peut démontrer le lemme pour les ouverts \(U_{i, j}\) et les faisceaux d’idéaux \(\mathcal{I}_{i, j}\) sur \(X_i\), alors \(X\), étant affine sur \(X_i\), possédera la propriété de résolution d’après le lemme 0F88. De cette manière, on se ramène au cas d’un schéma noethérien.

Supposons \(X\) noethérien. Pour tout module cohérent \(\mathcal{F}\), on peut choisir une liste finie de sections \(s_{jk} \in \mathcal{F}(U_j)\), \(k = 1, \ldots, e_j\), qui engendrent la restriction de \(\mathcal{F}\) à \(U_j\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 01YB, on peut prolonger \(s_{jk}\) en un morphisme \(s'_{jk} : \mathcal{I}_i^{n_{jk}} \to \mathcal{F}\) pour un certain \(n_{jk} \geq 1\). On peut alors considérer les composées \[\mathcal{E}_j^{\otimes n_{jk}} \to \mathcal{I}_j^{n_{jk}} \to \mathcal{F}\] pour conclure.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Si \(X\) possède une famille ample de modules inversibles (Morphismes, définition 0FXR), alors \(X\) possède la propriété de résolution.

Démonstration

Puisque \(X\) est quasi-compact, il existe un \(n\) et des couples \((\mathcal{L}_i, s_i)\), \(i = 1, \ldots, n\), où \(\mathcal{L}_i\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible et \(s_i \in \Gamma(X, \mathcal{L}_i)\) est une section tels que l’ensemble des points \(U_i \subset X\) où \(s_i\) ne s’annule pas soit affine et que \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\). Soit \(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_X\) l’image de \(s_i : \mathcal{L}_i^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\). En appliquant le lemme 0F89, on constate que \(X\) possède la propriété de résolution.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact régulier à diagonale affine. Alors \(X\) possède la propriété de résolution.

Démonstration

On combine Diviseurs, lemme 0GML, et le lemme 0GMM ci-dessus.

Lemme

Soit \(X = \lim X_i\) la limite d’un système inductif de schémas quasi-compacts et quasi-séparés à morphismes de transition affines. Alors \(X\) possède la propriété de résolution si et seulement si \(X_i\) possède la propriété de résolution pour un certain \(i\).

Démonstration

Si \(X_i\) possède la propriété de résolution, alors \(X\) la possède d’après le lemme 0F88. Supposons que \(X\) possède la propriété de résolution. Choisissons \(i \in I\). Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X_i = U_{i, 1} \cup \ldots \cup U_{i, m}\). Pour tout \(j\), choisissons un faisceau quasi-cohérent de type fini d’idéaux \(\mathcal{I}_{i, j} \subset \mathcal{O}_{X_i}\) tel que \(X_i \setminus V(\mathcal{I}_{i, j}) = U_{i, j}\) ; voir Propriétés, lemme 01PH. Notons \(U_j \subset X\) l’image inverse de \(U_{i, j}\), et notons \(\mathcal{I}_j \subset \mathcal{O}_X\) l’image inverse de \(\mathcal{I}_{i, j}\). Puisque \(X\) possède la propriété de résolution, on peut choisir des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini \(\mathcal{E}_j\) et des surjections \(\mathcal{E}_j \to \mathcal{I}_j\). D’après Limites, lemmes 0B8W et 01ZR, après avoir augmenté \(i\), on peut trouver des \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules localement libres de type fini \(\mathcal{E}_{i, j}\) et des morphismes \(\mathcal{E}_{i, j} \to \mathcal{O}_{X_i}\) dont les changements de base à \(X\) redonnent les composées \(\mathcal{E}_j \to \mathcal{I}_j \to \mathcal{O}_X\), \(j = 1, \ldots, m\). Les images inverses des \(\mathcal{O}_{X_i}\)-modules de présentation finie \(\Coker(\mathcal{E}_{i, j} \to \mathcal{O}_{X_i})\) et \(\mathcal{O}_{X_i}/\mathcal{I}_{i, j}\) sur \(X\) coïncident comme quotients de \(\mathcal{O}_X\). Par conséquent, d’après Limites, lemme 01ZR, on peut supposer qu’ils coïncident, autrement dit que l’image de \(\mathcal{E}_{i, j} \to \mathcal{O}_{X_i}\) est égale à \(\mathcal{I}_{i, j}\). On en déduit que \(X_i\) possède la propriété de résolution d’après le lemme 0F89.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé possédant la propriété de résolution. Alors \(X\) a une diagonale affine.

Démonstration

En combinant Limites, proposition 01ZA, et le lemme 0F8B, on se ramène au cas où \(X\) est noethérien (un petit détail est omis). Supposons \(X\) noethérien. Rappelons que \(X \times X\) est recouvert par les ouverts affines \(U \times V\), où \(U\), \(V\) sont des ouverts affines de \(X\) ; voir Schémas, section 01JO. Ainsi, pour montrer que la diagonale \(\Delta : X \to X \times X\) est affine, il suffit de montrer que \(U \cap V = \Delta^{-1}(U \times V)\) est affine pour tous ouverts affines \(U\), \(V\) de \(X\) ; voir Morphismes, lemme 01S8. En particulier, il suffit de montrer que le morphisme d’inclusion \(j : U \to X\) est affine si \(U\) est un ouvert affine de \(X\). D’après Cohomologie des schémas, lemme 0F83, il suffit de montrer que \(R^1j_*\mathcal{G} = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\). D’après la proposition 09T4 (c’est ici que l’on utilise la réduction au cas noethérien), on peut représenter \(Rj_*\mathcal{G}\) par un complexe \(\mathcal{H}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Supposons que \[H^1(\mathcal{H}^\bullet) = \Ker(\mathcal{H}^1 \to \mathcal{H}^2)/\Im(\mathcal{H}^0 \to \mathcal{H}^1)\] soit non nul, afin d’obtenir une contradiction. On peut alors trouver un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) et un morphisme \[\mathcal{F} \longrightarrow \Ker(\mathcal{H}^1 \to \mathcal{H}^2)\] tel que sa composée avec la projection sur \(H^1(\mathcal{H}^\bullet)\) soit non nulle. En effet, on peut écrire \(\Ker(\mathcal{H}^1 \to \mathcal{H}^2)\) comme réunion filtrante de ses sous-modules cohérents d’après Propriétés, lemme 01PG, et l’un d’eux conviendra. Ensuite, on choisit un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\) et une surjection \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\) en utilisant la propriété de résolution de \(X\). Cela fournit un morphisme dans la catégorie dérivée \[\mathcal{E}[-1] \longrightarrow Rj_*\mathcal{G}\] qui est non nul sur les faisceaux de cohomologie et donc non nul dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Par adjonction, cela revient à un morphisme \[j^*\mathcal{E}[-1] \to \mathcal{G}\] non nul dans \(D(\mathcal{O}_U)\). Puisque \(\mathcal{E}\) est localement libre de type fini, cela revient à un élément non nul de \[H^1(U, j^*\mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_U} \mathcal{G})\] où \(\mathcal{E}^\vee = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\) est le module localement libre de type fini dual. Cependant, ce groupe est nul d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XB, ce qui est la contradiction recherchée. (En cas de doute sur l’étape utilisant les duaux, voir le résultat plus général Cohomologie, lemme 08DQ.)

La propriété de résolution et les complexes parfaits

Dans cette section, nous examinons la relation entre les complexes parfaits et les complexes strictement parfaits sur les schémas qui possèdent la propriété de résolution.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé possédant la propriété de résolution. Soit \(\mathcal{F}^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents représentant un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors il existe un complexe borné \(\mathcal{E}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini et un quasi-isomorphisme \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\).

Démonstration

Soient \(a, b \in \mathbf{Z}\) des entiers tels que \(\mathcal{F}^\bullet\) ait une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) et tels que \(\mathcal{F}^n = 0\) pour \(n < a\). L’existence d’un tel couple d’entiers résulte de Cohomologie, lemme 08CQ, et du fait que \(X\) est quasi-compact. Si \(b < a\), alors \(\mathcal{F}^\bullet\) est nul dans la catégorie dérivée et le lemme en résulte. Nous allons démontrer par récurrence sur \(b - a \geq 0\) qu’il existe un complexe \(\mathcal{E}^a \to \ldots \to \mathcal{E}^b\) où chaque \(\mathcal{E}^i\) est localement libre de type fini, et un quasi-isomorphisme \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\).

Le cas initial est celui où \(b - a = 0\). Dans ce cas, \(H^b(\mathcal{F}^\bullet) = H^a(\mathcal{F}^\bullet) = \Ker(\mathcal{F}^a \to \mathcal{F}^{a + 1})\) est localement libre de type fini. En effet, c’est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, ayant une dimension de Tor égale à \(0\), donc localement libre de type fini. Voir Cohomologie, lemmes 08CQ et 08DN, ainsi que Propriétés, lemme 05P2. Ainsi, on peut prendre pour \(\mathcal{E}^\bullet\) le complexe \(H^b(\mathcal{F}^\bullet)\) placé en degré \(b\). Le reste de la démonstration est consacré à l’étape de récurrence.

Supposons \(b > a\). Observons que \[H^b(\mathcal{F}^\bullet) = \Ker(\mathcal{F}^b \to \mathcal{F}^{b + 1})/ \Im(\mathcal{F}^{b - 1} \to \mathcal{F}^b)\] est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini ; voir Cohomologie, lemmes 08CQ et 08DN. On peut alors trouver un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{F}\) et un morphisme \[\mathcal{F} \longrightarrow \Ker(\mathcal{F}^b \to \mathcal{F}^{b + 1})\] tel que sa composée avec la projection sur \(H^b(\mathcal{F}^\bullet)\) soit surjective. En effet, on peut écrire \(\Ker(\mathcal{F}^b \to \mathcal{F}^{b + 1})\) comme la réunion filtrante de ses sous-modules quasi-cohérents de type fini d’après Propriétés, lemme 01PG, et l’un d’eux conviendra. Ensuite, on choisit un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}^b\) et une surjection \(\mathcal{E}^b \to \mathcal{F}\) en utilisant la propriété de résolution de \(X\). Considérons le morphisme de complexes \[\alpha : \mathcal{E}^b[-b] \to \mathcal{F}^\bullet\] et son cône \(C(\alpha)^\bullet\) ; voir Catégories dérivées, définition 014E. Observons que \(C(\alpha)^\bullet\) n’est non nul qu’en degrés \(\geq a\), a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b]\) d’après Cohomologie, lemme 08CJ, et vérifie \(H^b(C(\alpha)^\bullet) = 0\) par construction. Ainsi, on trouve en fait que \(C(\alpha)^\bullet\) a une amplitude de Tor contenue dans \([a, b - 1]\). L’hypothèse de récurrence s’applique donc à \(C(\alpha)^\bullet\) et l’on obtient un morphisme de complexes \[(\mathcal{E}^a \to \ldots \to \mathcal{E}^{b - 1}) \longrightarrow C(\alpha)^\bullet\] ayant les propriétés énoncées dans l’hypothèse de récurrence. En explicitant la définition du cône, on obtient le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \mathcal{E}^{b - 2} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E}^{b - 1} \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{F}^{b - 2} \ar[r] & \mathcal{F}^{b - 1} \oplus \mathcal{E}^b \ar[r] & \mathcal{F}^b \ar[r] & \ldots }\] Il est clair que l’on obtient un morphisme de complexes \((\mathcal{E}^a \to \ldots \to \mathcal{E}^b) \to \mathcal{F}^\bullet\). Nous omettons de vérifier que ce morphisme est un quasi-isomorphisme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé possédant la propriété de résolution. Alors tout objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) peut être représenté par un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini.

Démonstration

Soit \(E\) un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\). D’après le lemme 0F8C, on voit que \(X\) a une diagonale affine. Par conséquent, d’après la proposition 08DB, on peut représenter \(E\) par un complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Observons que \(E\) appartient à \(D^b(\mathcal{O}_X)\) parce que \(X\) est quasi-compact. Par conséquent, \(\tau_{\geq n}\mathcal{F}^\bullet\) est un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents qui représente \(E\) si \(n \ll 0\). On peut donc appliquer le lemme 0F8E pour conclure.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé possédant la propriété de résolution. Soient \(\mathcal{E}^\bullet\) et \(\mathcal{F}^\bullet\) des complexes finis de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Alors tout \(\alpha \in \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{E}^\bullet, \mathcal{F}^\bullet)\) peut être représenté par un diagramme \[\mathcal{E}^\bullet \leftarrow \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\] où \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe borné dont chaque terme est localement libre de type fini en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module et où \(\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{E}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.

Démonstration

D’après le lemme 0F8C, on voit que \(X\) a une diagonale affine. Par conséquent, d’après la proposition 08DB, on peut représenter \(\alpha\) par un diagramme \[\mathcal{E}^\bullet \leftarrow \mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\] où \(\mathcal{H}^\bullet\) est un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents et où \(\mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{E}^\bullet\) est un quasi-isomorphisme. Pour \(n \ll 0\), les morphismes \(\mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{E}^\bullet\) et \(\mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\) se factorisent par le quasi-isomorphisme \(\mathcal{H}^\bullet \to \tau_{\geq n}\mathcal{H}^\bullet\) simplement parce que \(\mathcal{E}^\bullet\) et \(\mathcal{F}^\bullet\) sont des complexes bornés. On peut donc remplacer \(\mathcal{H}^\bullet\) par \(\tau_{\geq n}\mathcal{H}^\bullet\) et supposer que \(\mathcal{H}^\bullet\) est borné inférieurement. On peut alors appliquer le lemme 0F8E pour conclure.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé possédant la propriété de résolution. Soient \(\mathcal{E}^\bullet\) et \(\mathcal{F}^\bullet\) des complexes finis de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Soient \(\alpha^\bullet, \beta^\bullet :\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\) deux morphismes de complexes définissant le même morphisme dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Alors il existe un quasi-isomorphisme \(\gamma^\bullet : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{E}^\bullet\) où \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe borné dont chaque terme est localement libre de type fini en tant que \(\mathcal{O}_X\)-module, tel que \(\alpha^\bullet \circ \gamma^\bullet\) et \(\beta^\bullet \circ \gamma^\bullet\) soient des morphismes de complexes homotopes.

Démonstration

D’après le lemme 0F8C, on voit que \(X\) a une diagonale affine. Par conséquent, d’après la proposition 08DB (et la définition de la catégorie dérivée), il existe un quasi-isomorphisme \(\gamma^\bullet : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{E}^\bullet\) où \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents, tel que \(\alpha^\bullet \circ \gamma^\bullet\) et \(\beta^\bullet \circ \gamma^\bullet\) soient des morphismes de complexes homotopes. Choisissons une homotopie \(h^i : \mathcal{G}^i \to \mathcal{F}^{i - 1}\) attestant ce fait. Choisissons \(n \ll 0\). Le morphisme \(\gamma^\bullet\) se factorise alors canoniquement par le morphisme quotient \(\mathcal{G}^\bullet \to \tau_{\geq n}\mathcal{G}^\bullet\) puisque \(\mathcal{E}^\bullet\) est borné inférieurement. Pour exactement la même raison, les morphismes \(h^i\) se factorisent par les surjections \(\mathcal{G}^i \to (\tau_{\geq n}\mathcal{G})^i\). On voit donc que l’on peut remplacer \(\mathcal{G}^\bullet\) par \(\tau_{\geq n}\mathcal{G}^\bullet\). On peut alors appliquer le lemme 0F8E pour conclure.

Proposition

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé possédant la propriété de résolution. Notons

\(\mathcal{A}\) la catégorie additive des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini,

\(K^b(\mathcal{A})\) la catégorie homotopique des complexes bornés de \(\mathcal{A}\) ; voir Catégories dérivées, section 05RN, et

\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) la sous-catégorie strictement pleine, saturée et triangulée de \(D(\mathcal{O}_X)\) formée des objets parfaits.

Avec ces notations, le foncteur évident \[K^b(\mathcal{A}) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_X)\] est un foncteur exact de catégories triangulées qui se factorise par une équivalence \(S^{-1}K^b(\mathcal{A}) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) de catégories triangulées, où \(S\) est le système multiplicatif saturé des quasi-isomorphismes de \(K^b(\mathcal{A})\).

Démonstration

Si vous parvenez à analyser l’énoncé de la proposition, sautez donc ce premier paragraphe. Pour certaines des définitions employées, voir Catégories dérivées, définition 05QM (sous-catégorie triangulée), Catégories dérivées, définition 05RB (sous-catégorie triangulée saturée), Catégories dérivées, définition 05R2 (système multiplicatif compatible avec la structure triangulée), et Catégories, définition 05Q8 (système multiplicatif saturé). Observons que \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) est une sous-catégorie triangulée saturée de \(D(\mathcal{O}_X)\) d’après Cohomologie, lemmes 08CR et 08CS. Notons également que \(K^b(\mathcal{A})\) est une catégorie triangulée ; voir Catégories dérivées, lemme 05RQ.

Il est clair que le foncteur transforme les triangles distingués en triangles distingués, c’est-à-dire qu’il est exact. Alors \(S\) est un système multiplicatif saturé compatible avec la structure triangulée de \(K^b(\mathcal{A})\) d’après Catégories dérivées, lemme 05R4. Par conséquent, la localisation \(S^{-1}K^b(\mathcal{A})\) existe et est une catégorie triangulée d’après Catégories dérivées, proposition 05R6. On obtient une factorisation par le foncteur exact \(S^{-1}K^b(\mathcal{A}) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) d’après Catégories dérivées, lemme 05R7. D’après les lemmes 0F8F, 0F8G et 0F8H, ce foncteur est une équivalence. Enfin, le foncteur \(S^{-1}K^b(\mathcal{A}) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) est une équivalence de catégories triangulées (au sens où les triangles distingués se correspondent) d’après Catégories dérivées, lemme 05SQ.

Groupes K

Quelques mots au sujet de \(K_0\) des diverses catégories associées aux schémas. On trouvera des résultats antérieurs dans Algèbre, section 00JC, Homologie, section 02MT, Catégories dérivées, section 0FCM, et Compléments sur l’algèbre, lemme 0FCU.

Par analogie avec Algèbre, section 00JC, nous définirons deux groupes de \(K\)-théorie, \(K'_0(X)\) et \(K_0(X)\), pour tout schéma noethérien \(X\). Le premier fera intervenir les \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents et le second les \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Alors \[K_0(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) = K_0(D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) = K_0(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X))\]

Démonstration

La première égalité est donnée par Catégories dérivées, lemme 0FCP. On a \(K_0(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) = K_0(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X))\) d’après Catégories dérivées, lemme 0FCS. Ceci démontre le lemme. (On peut aussi utiliser l’égalité \(D^b(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)) = D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) de la proposition 0FDB pour obtenir la seconde égalité.)

Voici la définition.

Définition

Soit \(X\) un schéma.

On note \(K_0(X)\) le groupe de Grothendieck de \(X\). C’est le groupe de K-théorie d’indice zéro de la sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) formée des objets parfaits. Autrement dit, \[K_0(X) = K_0(D_{perf}(\mathcal{O}_X))\]

Si \(X\) est localement noethérien, on note \(K'_0(X)\) le groupe de Grothendieck des faisceaux cohérents sur \(X\). C’est le groupe \(K\) d’indice zéro de la catégorie abélienne des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Autrement dit, \[K'_0(X) = K_0(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X))\]

Nous montrerons que notre définition de \(K_0(X)\) coïncide avec la définition couramment utilisée en termes de modules localement libres de type fini si \(X\) possède la propriété de résolution (par exemple si \(X\) possède un module inversible ample). Voir le lemme 0FDJ.

Lemme

Soit \(X = \Spec(R)\) un schéma affine. Alors \(K_0(X) = K_0(R)\) et, si \(R\) est noethérien, \(K'_0(X) = K'_0(R)\).

Démonstration

Rappelons que \(K'_0(R)\) et \(K_0(R)\) ont été définis dans Algèbre, section 00JC.

D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0FCU, on a \(K_0(R) = K_0(D_{perf}(R))\). D’après les lemmes 08EB et 06Z0, on a \(D_{perf}(R) = D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Ceci démontre l’égalité \(K_0(R) = K_0(X)\).

L’égalité \(K'_0(R) = K'_0(X)\) résulte du fait que \(\textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) est équivalente à la catégorie des \(R\)-modules finis d’après Cohomologie des schémas, lemme 01XZ. De plus, les définitions montrent immédiatement que \(K'_0(R)\) est le groupe de K-théorie d’indice zéro de la catégorie des \(R\)-modules finis.

Soit \(X\) un schéma noethérien. Alors \(K'_0(X)\) et \(K_0(X)\) sont tous deux définis. Dans ce cas, il existe une application canonique \[K_0(X) = K_0(D_{perf}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K_0(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)) = K'_0(X)\] En effet, les complexes parfaits appartiennent à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) (d’après le lemme 08E8), le foncteur d’inclusion \(D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) induit un homomorphisme entre les groupes \(K\) d’indice zéro (Catégories dérivées, lemme 0FCQ), et l’égalité de droite est donnée par le lemme 0FDF.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien régulier. Alors l’application \(K_0(X) \to K'_0(X)\) est un isomorphisme.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0FDC et de la construction ci-dessus de l’application \(K_0(X) \to K'_0(X)\).

Soit \(X\) un schéma. Notons \(\textit{Vect}(X)\) la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Bien que \(\textit{Vect}(X)\) ne soit pas en général une catégorie abélienne, la notion de suite exacte courte dans \(\textit{Vect}(X)\) est claire. Notons \(K_0(\textit{Vect}(X))\) l’unique groupe abélien ayant les propriétés suivantes⁷ :

Pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\), un élément \([\mathcal{E}]\) de \(K_0(\textit{Vect}(X))\) est donné,
pour toute suite exacte courte \(0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, on a la relation \([\mathcal{E}] = [\mathcal{E}'] + [\mathcal{E}'']\) dans \(K_0(\textit{Vect}(X))\),
le groupe \(K_0(\textit{Vect}(X))\) est engendré par les éléments \([\mathcal{E}]\), et
toutes les relations dans \(K_0(\textit{Vect}(X))\) entre les générateurs \([\mathcal{E}]\) sont des combinaisons \(\mathbf{Z}\)-linéaires des relations provenant des suites exactes comme ci-dessus.

Nous omettons la construction détaillée de \(K_0(\textit{Vect}(X))\). Il existe une application naturelle \[K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow K_0(X)\] En effet, étant donné un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\), notons \(\mathcal{E}[0]\) le complexe parfait sur \(X\) dans lequel \(\mathcal{E}\) est placé en degré \(0\) et dont les autres termes sont nuls. Étant donnée une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E}'' \to 0\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, on obtient un triangle distingué \(\mathcal{E}[0] \to \mathcal{E}'[0] \to \mathcal{E}''[0] \to \mathcal{E}[1]\) ; voir Catégories dérivées, section 014Z. Cela montre que l’on obtient une application \(K_0(\textit{Vect}(X)) \to K_0(D_{perf}(\mathcal{O}_X)) = K_0(X)\) en envoyant \([\mathcal{E}]\) sur \([\mathcal{E}[0]]\), en priant le lecteur d’excuser cette notation épouvantable.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé possédant la propriété de résolution. Alors l’application \(K_0(\textit{Vect}(X)) \to K_0(X)\) est un isomorphisme.

Démonstration

Ce lemme résulte directement des lemmes 0F8F, 0F8G et 0F8H, dont nous utiliserons les résultats sans autre mention. Construisons une application réciproque \[c : K_0(X) = K_0(D_{perf}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K_0(\textit{Vect}(X))\] Tout objet de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) peut être représenté par un complexe borné \(\mathcal{E}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. On pose alors \[c([\mathcal{E}^\bullet]) = \sum (-1)^i[\mathcal{E}^i]\] Bien entendu, il faut montrer que cette définition est indépendante du choix. Pour l’instant, nous considérons \(c\) comme une application définie sur les complexes bornés de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini.

Supposons que \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\) soit une application surjective de complexes bornés de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. Soit \(\mathcal{K}^\bullet\) son noyau. On obtient alors des suites exactes courtes de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[0 \to \mathcal{K}^n \to \mathcal{E}^n \to \mathcal{F}^n \to 0\] qui sont scindées localement parce que \(\mathcal{F}^n\) est localement libre de type fini. Ainsi, \(\mathcal{K}^\bullet\) est lui aussi un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, et l’on a \(c(\mathcal{E}^\bullet) = c(\mathcal{K}^\bullet) + c(\mathcal{F}^\bullet)\) dans \(K_0(\textit{Vect}(X))\).

Supposons donné un complexe borné \(\mathcal{E}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini qui soit acyclique. Supposons que \(\mathcal{E}^n = 0\) pour \(n \not \in [a, b]\). On peut alors décomposer \(\mathcal{E}^\bullet\) en suites exactes courtes \[\begin{matrix} 0 \to \mathcal{E}^a \to \mathcal{E}^{a + 1} \to \mathcal{F}^{a + 1} \to 0,\\ 0 \to \mathcal{F}^{a + 1} \to \mathcal{E}^{a + 2} \to \mathcal{F}^{a + 3} \to 0, \\ \ldots \\ 0 \to \mathcal{F}^{b - 3} \to \mathcal{E}^{b - 2} \to \mathcal{F}^{b - 2} \to 0, \\ 0 \to \mathcal{F}^{b - 2} \to \mathcal{E}^{b - 1} \to \mathcal{E}^b \to 0 \end{matrix}\] En raisonnant par récurrence descendante, on voit que \(\mathcal{F}^{b - 2}, \ldots, \mathcal{F}^{a + 1}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini et que \[c(\mathcal{E}^\bullet) = \sum (-1)[\mathcal{E}^n] = \sum (-1)^n([\mathcal{F}^{n - 1}] + [\mathcal{F}^n]) = 0\] Ainsi, notre construction donne zéro sur les complexes acycliques.

Il résulte des deux paragraphes précédents que \(c\) est bien définie. En effet, supposons que les complexes bornés \(\mathcal{E}^\bullet\) et \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini représentent le même objet de \(D(\mathcal{O}_X)\). On peut alors trouver des quasi-isomorphismes \(a : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{E}^\bullet\) et \(b : \mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\), où \(\mathcal{G}^\bullet\) est un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. On obtient une suite exacte courte de complexes \[0 \to \mathcal{E}^\bullet \to C(a)^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet[1] \to 0\] voir Catégories dérivées, définition 014E. Puisque \(a\) est un quasi-isomorphisme, le cône \(C(a)^\bullet\) est acyclique (cela résulte par exemple de la discussion dans Catégories dérivées, section 014Z). Par conséquent, \[0 = c(C(f)^\bullet) = c(\mathcal{E}^\bullet) + c(\mathcal{G}^\bullet[1]) = c(\mathcal{E}^\bullet) - c(\mathcal{G}^\bullet)\] comme voulu. Le même raisonnement appliqué à \(b\) montre que \(0 = c(\mathcal{F}^\bullet) - c(\mathcal{G}^\bullet)\). On obtient donc \(c(\mathcal{E}^\bullet) = c(\mathcal{F}^\bullet)\), et \(c\) est bien définie.

Un raisonnement analogue utilisant le cône d’une application \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\) de complexes bornés de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini montre que \(c(Y) = c(X) + c(Z)\) si \(X \to Y \to Z\) est un triangle distingué dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Les détails sont omis. On obtient ainsi l’homomorphisme souhaité de groupes abéliens \(c : K_0(X) \to K_0(\textit{Vect}(X))\).

Il est clair que la composée \(K_0(\textit{Vect}(X)) \to K_0(X) \to K_0(\textit{Vect}(X))\) est l’identité. D’autre part, soit \(\mathcal{E}^\bullet\) un complexe borné de \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini. L’existence des triangles distingués associés aux « troncatures bêtes » (voir Homologie, section 0118) \[\sigma_{\geq n}\mathcal{E}^\bullet \to \sigma_{\geq n - 1}\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{E}^{n - 1}[-n + 1] \to (\sigma_{\geq n}\mathcal{E}^\bullet)[1]\] et une récurrence montrent que \[[\mathcal{E}^\bullet] = \sum (-1)^i[\mathcal{E}^i[0]]\] dans \(K_0(X) = K_0(D_{perf}(\mathcal{O}_X))\), en priant le lecteur d’excuser la notation. Ainsi, l’application \(K_0(\textit{Vect}(X)) \to K_0(D_{perf}(\mathcal{O}_X)) = K_0(X)\) est surjective, ce qui achève la preuve.

Remarque

Soit \(X\) un schéma. Le groupe de K-théorie \(K_0(X)\) est canoniquement un anneau commutatif. En effet, le produit tensoriel dérivé \[\otimes = \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \times D_{perf}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D_{perf}(\mathcal{O}_X)\] et Catégories dérivées, lemme 0FCT, donnent une multiplication bilinéaire. Comme \(K \otimes L \cong L \otimes K\), ce produit est commutatif. Comme \((K \otimes L) \otimes M = K \otimes (L \otimes M)\), ce produit est associatif. Enfin, l’unité de \(K_0(X)\) est l’élément \(1 = [\mathcal{O}_X]\).

Si \(\textit{Vect}(X)\) et \(K_0(\textit{Vect}(X))\) sont comme ci-dessus, alors il est clair que \(K_0(\textit{Vect}(X))\) possède lui aussi une structure d’anneau : si \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{F}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules localement libres de type fini, on pose \[[\mathcal{E}] \cdot [\mathcal{F}] = [\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}]\] Le lecteur vérifie aisément que cela définit bien un produit bilinéaire, commutatif et associatif. Les détails sont omis. L’application \[K_0(\textit{Vect}(X)) \longrightarrow K_0(X)\] construite ci-dessus est un homomorphisme d’anneaux pour ces définitions.

Supposons maintenant \(X\) noethérien. Le produit tensoriel dérivé fournit aussi une application \[\otimes = \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \times D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\] En utilisant de nouveau Catégories dérivées, lemme 0FCT, on obtient une multiplication bilinéaire \(K_0(X) \times K'_0(X) \to K'_0(X)\), car \(K'_0(X) = K_0(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X))\) d’après le lemme 0FDF. Le lecteur montre aisément que cela munit \(K'_0(X)\) d’une structure de module sur l’anneau \(K_0(X)\).

Remarque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre de schémas localement noethériens. Il existe une application \[f_* : K'_0(X) \longrightarrow K'_0(Y)\] qui envoie \([\mathcal{F}]\) sur \[[\bigoplus\nolimits_{i \geq 0} R^{2i}f_*\mathcal{F}] - [\bigoplus\nolimits_{i \geq 0} R^{2i + 1}f_*\mathcal{F}]\] Cette application est bien définie parce que les faisceaux \(R^if_*\mathcal{F}\) sont cohérents (Cohomologie des schémas, proposition 02O5), parce que localement seul un nombre fini d’entre eux sont non nuls, et parce qu’une suite exacte courte de faisceaux cohérents sur \(X\) donne une suite exacte longue de \(R^if_*\) sur \(Y\). Si \(Y\) est quasi-compact (le seul cas généralement utilisé en pratique), on peut réécrire ce qui précède sous la forme \[f_*[\mathcal{F}] = \sum (-1)^i[R^if_*\mathcal{F}] = [Rf_*\mathcal{F}]\] où l’on a utilisé l’égalité \(K'_0(Y) = K_0(D^b_{\textit{Coh}}(Y))\) du lemme 0FDF.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre de schémas localement noethériens. Alors \(f_*(\alpha \cdot f^*\beta) = f_*\alpha \cdot \beta\) pour \(\alpha \in K'_0(X)\) et \(\beta \in K_0(Y)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 08EU, de la discussion de la remarque 0FDL et de la définition du produit \(K'_0(X) \times K_0(X) \to K'_0(X)\) dans la remarque 0FDK.

Remarque

Soit \(X\) un schéma. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. Considérons la sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée \[D_{Z, perf}(\mathcal{O}_X) \subset D(\mathcal{O}_X)\] formée des complexes parfaits de \(\mathcal{O}_X\)-modules dont les faisceaux de cohomologie sont à support ensembliste dans \(Z\). Le groupe \(K\) d’indice zéro \(K_0(D_{Z, perf}(\mathcal{O}_X))\) de cette catégorie triangulée est parfois noté \(K_Z(X)\) ou \(K_{0, Z}(X)\). En utilisant le produit tensoriel dérivé exactement comme dans la remarque 0FDK, on voit que \(K_0(D_{Z, perf}(\mathcal{O}_X))\) possède une multiplication associative et commutative, mais qu’en général \(K_0(D_{Z, perf}(\mathcal{O}_X))\) n’a pas d’unité.

Déterminants des complexes

Cette section fait suite à Compléments sur l’algèbre, section 0FJI. Pour tout espace annelé \((X, \mathcal{O}_X)\), il existe un foncteur \[\det : \left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des complexes parfaits} \\ \text{les morphismes sont les isomorphismes} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des modules inversibles} \\ \text{les morphismes sont les isomorphismes} \end{matrix} \right\}\] De plus, si \((L, F)\) est un objet de la catégorie dérivée filtrée \(DF(\mathcal{O}_X)\) dont la filtration est finie et dont les gradués sont des complexes parfaits, il existe un isomorphisme canonique \(\det(\text{gr}L) \to \det(L)\). Voir [determinant] pour l’exposé original. Nous ajouterons ces développements ultérieurement (insérer une référence future).

Pour le moment, nous présentons une construction ad hoc dans le cas où \(X\) est un schéma et où nous considérons des objets parfaits \(L\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) d’amplitude de Tor contenue dans \([-1, 0]\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Il existe un foncteur \[\det : \left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des complexes parfaits} \\ \text{d'amplitude de Tor contenue dans }[-1, 0] \\ \text{les morphismes sont les isomorphismes} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{catégorie des modules inversibles} \\ \text{les morphismes sont les isomorphismes} \end{matrix} \right\}\] De plus, si l’on se donne un objet parfait de rang \(0\), noté \(L\), de \(D(\mathcal{O}_X)\), d’amplitude de Tor contenue dans \([-1, 0]\), il existe un élément canonique \(\delta(L) \in \Gamma(X, \det(L))\) tel que, pour tout isomorphisme \(a : L \to K\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\), on ait \(\det(a)(\delta(L)) = \delta(K)\). De plus, la construction est donnée localement sur les ouverts affines par celle de Compléments sur l’algèbre, section 0FJI.

Démonstration

Soit \(L\) un objet de la catégorie figurant à gauche. Si \(\Spec(A) = U \subset X\) est un ouvert affine, alors \(L|_U\) correspond à un complexe parfait \(L^\bullet\) de \(A\)-modules d’amplitude de Tor contenue dans \([-1, 0]\), voir les lemmes 06Z0, 08E9 et 08EB. On peut alors considérer le \(A\)-module inversible \(\det(L^\bullet)\) construit dans Compléments sur l’algèbre, lemme 0FJM. Si \(\Spec(B) = V \subset U\) est un autre ouvert affine contenu dans \(U\), alors \(\det(L^\bullet) \otimes_A B = \det(L^\bullet \otimes_A B)\), et cette construction est donc compatible avec les applications de restriction (voir le lemme 08DW et noter que \(A \to B\) est plat). Ainsi, nous pouvons recoller ces modules inversibles pour obtenir un module inversible \(\det(L)\) sur \(X\). La fonctorialité et les sections canoniques se construisent exactement de la même manière. Détails omis.

Remarque

La construction du lemme 0FJX est compatible avec les images inverses. Plus précisément, soient un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas et un objet parfait \(K\) de \(D(\mathcal{O}_Y)\) d’amplitude de Tor contenue dans \([-1, 0]\). Alors \(Lf^*K\) est un objet parfait \(K\) de \(D(\mathcal{O}_X)\) d’amplitude de Tor contenue dans \([-1, 0]\) et nous avons une identification canonique \[f^*\det(K) \longrightarrow \det(Lf^*K)\] De plus, si \(K\) est de rang \(0\), alors l’image réciproque de \(\delta(K)\) s’identifie à \(\delta(Lf^*K)\) par ce morphisme. Cela résulte immédiatement de la construction du déterminant sur les ouverts affines.

Détection de la bornitude

Dans cette section, nous montrons que les générateurs compacts de \(D_\QCoh\) d’un schéma quasi-compact et quasi-séparé, tels qu’ils sont construits dans la section 09IP, possèdent une propriété particulière. Nous recommandons de lire d’abord cette dernière section, car elle est très semblable à celle-ci.

Lemme

Dans la situation 08CZ, notons \(j : U \to X\) l’immersion ouverte et soit \(K\) l’objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) correspondant au complexe de Koszul de \(f_1, \ldots, f_r\) sur \(A\). Soient \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(a \in \mathbf{Z}\). Considérons les conditions suivantes :

Le morphisme canonique \(\tau_{\geq a}E \to \tau_{\geq a} Rj_*(E|_U)\) est un isomorphisme.

On a \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[-n], E) = 0\) pour tout \(n \geq a\).

Alors (2) implique (1), et (1) implique (2) lorsque \(a\) est remplacé par \(a + 1\).

Démonstration

Choisissons un triangle distingué \(N \to E \to Rj_*(E|_U) \to N[1]\). Alors (1) implique \(\tau_{\geq a + 1} N = 0\), tandis que \(\tau_{\geq a}N = 0\) implique (1). Observons que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[-n], Rj_*(E|_U)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(K|_U[-n], E) = 0\] pour tout \(n\), puisque \(K|_U = 0\). Ainsi (2) équivaut à \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[-n], N) = 0\) pour tout \(n \geq a\). Observons qu’il existe des triangles distingués \[K^\bullet(f_1^{e_1}, \ldots, f_i^{e'_i}, \ldots, f_r^{e_r}) \to K^\bullet(f_1^{e_1}, \ldots, f_i^{e'_i + e''_i}, \ldots, f_r^{e_r}) \to K^\bullet(f_1^{e_1}, \ldots, f_i^{e''_i}, \ldots, f_r^{e_r}) \to \ldots\] de complexes de Koszul, voir Compléments sur l’algèbre, lemme 062C. Par conséquent, \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[-n], N) = 0\) pour tout \(n \geq a\) équivaut à \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K_e[-n], N) = 0\) pour tout \(n \geq a\) et tout \(e \geq 1\), avec \(K_e\) comme dans le lemme 08E3. Puisque \(N|_U = 0\), ce lemme implique que cette condition équivaut à son tour à \(H^n(X, N) = 0\) pour \(n \geq a\). Nous en concluons que (2) équivaut à \(\tau_{\geq a}N = 0\), puisque \(N\) est déterminé par le complexe de \(A\)-modules \(R\Gamma(X, N)\), voir le lemme 06Z0. Cela démontre le lemme.

Lemme

Dans la situation 08CZ, notons \(j : U \to X\) l’immersion ouverte et soit \(K\) l’objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\) correspondant au complexe de Koszul de \(f_1, \ldots, f_r\) sur \(A\). Soient \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et \(a \in \mathbf{Z}\). Considérons les conditions suivantes :

Le morphisme canonique \(\tau_{\leq a}E \to \tau_{\leq a} Rj_*(E|_U)\) est un isomorphisme, et

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[-n], E) = 0\) pour tout \(n \leq a\).

Alors (2) implique (1), et (1) implique (2) lorsque \(a\) est remplacé par \(a - 1\).

Démonstration

Choisissons un triangle distingué \(E \to Rj_*(E|_U) \to N \to E[1]\). Alors (1) implique \(\tau_{\leq a - 1}N = 0\), tandis que \(\tau_{\leq a}N = 0\) implique (1). Observons que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[-n], Rj_*(E|_U)) = \Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(K|_U[-n], E) = 0\] pour tout \(n\), puisque \(K|_U = 0\). Ainsi (2) équivaut à \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[-n], N) = 0\) pour tout \(n \leq a\). Observons qu’il existe des triangles distingués \[K^\bullet(f_1^{e_1}, \ldots, f_i^{e'_i}, \ldots, f_r^{e_r}) \to K^\bullet(f_1^{e_1}, \ldots, f_i^{e'_i + e''_i}, \ldots, f_r^{e_r}) \to K^\bullet(f_1^{e_1}, \ldots, f_i^{e''_i}, \ldots, f_r^{e_r}) \to \ldots\] de complexes de Koszul, voir Compléments sur l’algèbre, lemme 062C. Par conséquent, \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K[-n], N) = 0\) pour tout \(n \leq a\) équivaut à \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K_e[-n], N) = 0\) pour tout \(n \leq a\) et tout \(e \geq 1\), avec \(K_e\) comme dans le lemme 08E3. Puisque \(N|_U = 0\), ce lemme implique que cette condition équivaut à son tour à \(H^n(X, N) = 0\) pour \(n \leq a\). Nous en concluons que (2) équivaut à \(\tau_{\leq a}N = 0\), puisque \(N\) est déterminé par le complexe de \(A\)-modules \(R\Gamma(X, N)\), voir le lemme 06Z0. Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soient \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) et \(E \in D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\). Soit \(a \in \mathbf{Z}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], E) = 0\) pour \(i \gg 0\), et

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{\geq a} E) = 0\) pour \(i \gg 0\).

Démonstration

En utilisant le triangle \(\tau_{< a} E \to E \to \tau_{\geq a} E \to\), on voit qu’il suffit, pour obtenir l’équivalence, de montrer que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{< a} E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, (\tau_{< a} E)[i]) = 0\] pour \(i \gg 0\). Comme \(P\) est parfait, cela résulte du lemme 09M4.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soient \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) et \(E \in D_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\). Soit \(a \in \mathbf{Z}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], E) = 0\) pour \(i \ll 0\), et

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{\leq a} E) = 0\) pour \(i \ll 0\).

Démonstration

En utilisant le triangle \(\tau_{\leq a} E \to E \to \tau_{> a} E \to\), on voit qu’il suffit, pour obtenir l’équivalence, de montrer que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P[-i], \tau_{> a} E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(P, (\tau_{> a} E)[i]) = 0\] pour \(i \ll 0\). Comme \(P\) est parfait, cela résulte du lemme 09M4.

Proposition

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(G \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) un complexe parfait qui engendre \(D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\). Soit \(E \in D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(E \in D^-_\QCoh (\mathcal{O}_X)\),

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = 0\) pour \(i \gg 0\),

\(\Ext^i_X(G, E) = 0\) pour \(i \gg 0\),

\(R\Hom_X(G, E)\) appartient à \(D^-(\mathbf{Z})\),

\(H^i(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\) pour \(i \gg 0\),

\(R\Gamma(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\) appartient à \(D^-(\mathbf{Z})\),

pour tout objet parfait \(P\) de \(D(\mathcal{O}_X)\),

les assertions (2), (3), (4) sont vraies lorsque \(G\) est remplacé par \(P\), et

\(H^i(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\) pour \(i \gg 0\),

\(R\Gamma(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\) appartient à \(D^-(\mathbf{Z})\).

Démonstration

Supposons (1).
Puisque \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G, E[i])\), ce groupe est nul pour \(i \gg 0\) d’après le lemme 09M4. Ceci démontre que (1) implique (2).

Les parties (2), (3), (4) sont équivalentes d’après la discussion de Cohomologie, section 0B6A. Les parties (5) et (6) sont équivalentes, puisque \(H^i(X, -) = H^i(R\Gamma(X, -))\) par définition. Les conditions équivalentes (2), (3), (4) sont équivalentes aux conditions équivalentes (5), (6) d’après Cohomologie, lemme 08DQ, et le fait que \((G[-i])^\vee = G^\vee[i]\).

Il est clair que (7) implique (2). Réciproquement, démontrons que les conditions équivalentes (2) – (6) impliquent (7). Rappelons que \(G\) est un générateur classique de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) d’après la remarque 0GEF. Pour \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\), notons \(T(P)\) l’assertion selon laquelle \(R\Hom_X(P, E)\) appartient à \(D^-(\mathbf{Z})\). Il est clair que \(T\) est stable par sommes directes, vérifie la propriété des deux sur trois pour les triangles distingués, et est stable par facteurs directs et par décalages. Par conséquent, d’après Catégories dérivées, remarque 0ATH, on voit que (4) implique que \(T\) vaut sur tout \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Le même argument vaut pour toutes les autres propriétés, si ce n’est que, pour les propriétés (7)(b) et (7)(c), on utilise aussi que \(P \mapsto P^\vee\) est une autoéquivalence de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Un petit détail est omis.

Nous allons démontrer que les conditions équivalentes (2) – (7) impliquent (1) en utilisant le principe de récurrence de Cohomologie des schémas, lemme 08DR.

D’abord, démontrons que (2) – (7) \(\Rightarrow\) (1) si \(X\) est affine. Posons \(P = \mathcal{O}_X[0]\). La condition (7) donne \(H^i (X, E) = 0\) pour \(i \gg 0\). Ainsi (1) en résulte, puisque \(E\) est déterminé par \(R\Gamma (X, E)\), voir le lemme 06Z0.

Supposons maintenant \(X = U \cup V\), où \(U\) est un ouvert quasi-compact de \(X\) et \(V\) un ouvert affine, et supposons que l’implication (2) – (7) \(\Rightarrow\) (1) soit connue pour les schémas \(U\), \(V\) et \(U \cap V\). Supposons que \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) satisfasse aux conditions (2) – (7). D’après le lemme 09IQ et le théorème 09IS, il existe un complexe parfait \(Q\) sur \(X\) tel que \(Q|_U\) engendre \(D_\QCoh (\mathcal{O}_U)\). Soient \(f_1, \dots , f_r \in \Gamma (V, \mathcal{O}_V)\) tels que \(V \setminus U = V(f_1, \dots , f_r)\) comme sous-ensembles de \(V\). Soit \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_V)\) l’objet correspondant au complexe de Koszul de \(f_1, \dots , f_r\). Soit \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) défini par [0GEP]\[\begin{equation} K' = R (V \to X)_* K = R (V \to X)_! K, \end{equation}\] voir Cohomologie, lemmes 08DF et 08DP. C’est un complexe parfait sur \(X\) à support dans le fermé \(X \setminus U \subset V\) et isomorphe à \(K\) sur \(V\). Par hypothèse, nous savons que \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(Q, E)\) et \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(K', E)\) sont bornés supérieurement.

D’après la seconde description de \(K'\) dans (0GEP), on a \[\Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[-i], E|_V) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[-i], E) = 0\] pour \(i \gg 0\). Nous pouvons donc appliquer le lemme 0GEJ à \(E|_V\) pour obtenir un entier \(a\) tel que \(\tau_{\geq a}(E|_V) = \tau_{\geq a} R (U \cap V \to V)_* (E|_{U \cap V})\). Alors \(\tau_{\geq a} E = \tau_{\geq a} R (U \to X)_* (E |_U)\) (vérifier que le morphisme canonique est un isomorphisme après restriction à \(U\) et à \(V\)). Par conséquent, en appliquant deux fois le lemme 0GEL, on voit que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U [-i], E|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[-i], R (U \to X)_* (E|_U)) = 0\] pour \(i \gg 0\). Puisque la proposition est vraie pour \(U\) et le générateur \(Q|_U\), on a \(E|_U \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_U)\). Mais alors, puisque le foncteur \(R (U \to X)_*\) préserve \(D^-_\QCoh\) (d’après le lemme 08D5), on obtient \(\tau_{\geq a}E \in D^-_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Ainsi \(E \in D^-_\QCoh (\mathcal{O}_X)\).

Proposition

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(G \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) un complexe parfait qui engendre \(D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\). Soit \(E \in D_\QCoh (\mathcal{O}_X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(E \in D^+_\QCoh (\mathcal{O}_X)\),

\(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = 0\) pour \(i \ll 0\),

\(\Ext^i_X(G, E) = 0\) pour \(i \ll 0\),

\(R\Hom_X(G, E)\) appartient à \(D^+(\mathbf{Z})\),

\(H^i(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\) pour \(i \ll 0\),

\(R\Gamma(X, G^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\) appartient à \(D^+(\mathbf{Z})\),

pour tout objet parfait \(P\) de \(D(\mathcal{O}_X)\),

les assertions (2), (3), (4) sont vraies lorsque \(G\) est remplacé par \(P\), et

\(H^i(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E) = 0\) pour \(i \ll 0\),

\(R\Gamma(X, P \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E)\) appartient à \(D^+(\mathbf{Z})\).

Démonstration

Supposons (1).
Puisque \(\Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G[-i], E) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(G, E[i])\), ce groupe est nul pour \(i \ll 0\) d’après le lemme 09M4. Ceci démontre que (1) implique (2).

Les parties (2), (3), (4) sont équivalentes d’après la discussion de Cohomologie, section 0B6A. Les parties (5) et (6) sont équivalentes, puisque \(H^i(X, -) = H^i(R\Gamma(X, -))\) par définition. Les conditions équivalentes (2), (3), (4) sont équivalentes aux conditions équivalentes (5), (6) d’après Cohomologie, lemme 08DQ, et le fait que \((G[-i])^\vee = G^\vee[i]\).

Il est clair que (7) implique (2). Réciproquement, démontrons que les conditions équivalentes (2) – (6) impliquent (7). Rappelons que \(G\) est un générateur classique de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) d’après la remarque 0GEF. Pour \(P \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\), notons \(T(P)\) l’assertion selon laquelle \(R\Hom_X(P, E)\) appartient à \(D^+(\mathbf{Z})\). Il est clair que \(T\) est stable par sommes directes, vérifie la propriété des deux sur trois pour les triangles distingués, et est stable par facteurs directs et par décalages. Par conséquent, d’après Catégories dérivées, remarque 0ATH, on voit que (4) implique que \(T\) vaut sur tout \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Le même argument vaut pour toutes les autres propriétés, si ce n’est que, pour les propriétés (7)(b) et (7)(c), on utilise aussi que \(P \mapsto P^\vee\) est une autoéquivalence de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Un petit détail est omis.

Nous allons démontrer que les conditions équivalentes (2) – (7) impliquent (1) en utilisant le principe de récurrence de Cohomologie des schémas, lemme 08DR.

D’abord, démontrons que (2) – (7) \(\Rightarrow\) (1) si \(X\) est affine. Posons \(P = \mathcal{O}_X[0]\). La condition (7) donne \(H^i (X, E) = 0\) pour \(i \ll 0\). Ainsi (1) en résulte, puisque \(E\) est déterminé par \(R\Gamma (X, E)\), voir le lemme 06Z0.

Supposons maintenant \(X = U \cup V\), où \(U\) est un ouvert quasi-compact de \(X\) et \(V\) un ouvert affine, et supposons que l’implication (2) – (7) \(\Rightarrow\) (1) soit connue pour les schémas \(U\), \(V\) et \(U \cap V\). Supposons que \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) satisfasse aux conditions (2) – (7). D’après le lemme 09IQ et le théorème 09IS, il existe un complexe parfait \(Q\) sur \(X\) tel que \(Q|_U\) engendre \(D_\QCoh (\mathcal{O}_U)\). Soient \(f_1, \dots , f_r \in \Gamma (V, \mathcal{O}_V)\) tels que \(V \setminus U = V(f_1, \dots , f_r)\) comme sous-ensembles de \(V\). Soit \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_V)\) l’objet correspondant au complexe de Koszul de \(f_1, \dots , f_r\). Soit \(K' \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) défini par [0GER]\[\begin{equation} K' = R (V \to X)_* K = R (V \to X)_! K, \end{equation}\] voir Cohomologie, lemmes 08DF et 08DP. C’est un complexe parfait sur \(X\) à support dans le fermé \(X \setminus U \subset V\) et isomorphe à \(K\) sur \(V\). Par hypothèse, nous savons que \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(Q, E)\) et \(R\Hom_{\mathcal{O}_X}(K', E)\) sont bornés inférieurement.

D’après la seconde description de \(K'\) dans (0GER), on a \[\Hom_{D(\mathcal{O}_V)}(K[-i], E|_V) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(K'[-i], E) = 0\] pour \(i \ll 0\). Nous pouvons donc appliquer le lemme 0GEK à \(E|_V\) pour obtenir un entier \(a\) tel que \(\tau_{\leq a}(E|_V) = \tau_{\leq a} R(U \cap V \to V)_*(E|_{U \cap V})\). Alors \(\tau_{\leq a} E = \tau_{\leq a} R(U \to X)_*(E|_U)\) (vérifier que le morphisme canonique est un isomorphisme après restriction à \(U\) et à \(V\)). Par conséquent, en appliquant deux fois le lemme 0GEM, on voit que \[\Hom_{D(\mathcal{O}_U)}(Q|_U [-i], E|_U) = \Hom_{D(\mathcal{O}_X)}(Q[-i], R (U \to X)_* (E|_U)) = 0\] pour \(i \ll 0\). Puisque la proposition est vraie pour \(U\) et le générateur \(Q|_U\), on a \(E|_U \in D^+_\QCoh (\mathcal{O}_U)\). Mais alors, puisque le foncteur \(R(U \to X)_*\) préserve les objets bornés inférieurement (voir Cohomologie, section 0716), on obtient \(\tau_{\leq a} E \in D^+_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). Ainsi \(E \in D^+_\QCoh (\mathcal{O}_X)\).

Objets quasi-cohérents dans la catégorie dérivée

Soit \(X\) un schéma. Rappelons que \(X_{affine, Zar}\) désigne la catégorie des ouverts affines de \(X\) munie de la topologie donnée par les recouvrements de Zariski standards ; voir Topologies, définition 020T. Rappelons au lecteur que le topos de \(X_{affine, Zar}\) est le petit topos de Zariski de \(X\) ; voir Topologies, lemme 0F1B. Le site \(X_{affine, Zar}\) est muni d’un faisceau structural \(\mathcal{O}\) et il existe une équivalence de topos annelés \[(\Sh(X_{affine, Zar}), \mathcal{O}) \longrightarrow (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O})\] Voir Descente, équation (0GZW), ainsi que la discussion qui l’entoure dans Descente, section 0GZT, où une notation légèrement différente est employée.

Dans cette section, nous notons \(X_{affine}\) la catégorie sous-jacente à \(X_{affine, Zar}\), munie de la topologie chaotique, de sorte que les faisceaux coïncident avec les préfaisceaux. En particulier, le faisceau structural \(\mathcal{O}\) devient également un faisceau sur \(X_{affine}\). Nous obtenons un morphisme de sites annelés \[\epsilon : (X_{affine, Zar}, \mathcal{O}) \longrightarrow (X_{affine}, \mathcal{O})\] comme dans Cohomologie sur les sites, section 0EWK. Dans cette section, nous identifierons \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) à la catégorie \(\mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O})\) introduite dans Cohomologie sur les sites, section 0GYU.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, il existe des équivalences exactes canoniques entre les catégories triangulées suivantes :

\(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\),

\(D_\QCoh(X_{Zar}, \mathcal{O})\),

\(D_\QCoh(X_{affine, Zar}, \mathcal{O})\),

\(D_\QCoh(X_{affine}, \mathcal{O}_X)\), et

\(\mathit{QC}(X_{affine}, \mathcal{O})\).

Démonstration

Si \(U \subset V \subset X\) sont des ouverts affines, alors le morphisme d’anneaux \(\mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U)\) est plat. Par conséquent, l’équivalence entre (4) et (5) est un cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0GZR (la démonstration éclaire également l’énoncé).

Le site annelé \((X_{Zar}, \mathcal{O})\) et l’espace annelé \((X, \mathcal{O}_X)\) ont la même catégorie de modules d’après Descente, remarque 03FG. Par cette équivalence, les modules quasi-cohérents se correspondent d’après Descente, proposition 03DX. On obtient donc une équivalence exacte canonique entre les catégories triangulées de (1) et (2).

La discussion précédant le lemme montre que nous avons une équivalence de topos annelés \((\Sh(X_{affine, Zar}), \mathcal{O}) \to (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O})\) et donc une équivalence entre les catégories abéliennes de modules. Comme la notion de module quasi-cohérent est intrinsèque (Modules sur les sites, lemme 03DM), nous voyons que cette équivalence préserve les sous-catégories de modules quasi-cohérents. Ainsi, nous obtenons une équivalence exacte canonique entre les catégories triangulées de (2) et (3).

Pour obtenir une équivalence exacte entre les catégories triangulées de (3) et (4), nous allons appliquer Cohomologie sur les sites, lemme 07A8, au morphisme \(\epsilon : (X_{affine, Zar}, \mathcal{O}) \to (X_{affine}, \mathcal{O})\) ci-dessus. Nous prenons \(\mathcal{B} = \Ob(X_{affine})\) et nous prenons pour \(\mathcal{A} \subset \textit{PMod}(X_{affine}, \mathcal{O})\) la sous-catégorie pleine des préfaisceaux \(\mathcal{F}\) tels que \(\mathcal{F}(V) \otimes_{\mathcal{O}(V)} \mathcal{O}(U) \to \mathcal{F}(U)\) soit un isomorphisme. Observons que, d’après Descente, lemme 0GZX, les objets de \(\mathcal{A}\) sont exactement les faisceaux pour la topologie de Zariski qui sont des modules quasi-cohérents sur \((X_{affine, Zar}, \mathcal{O})\). D’autre part, d’après Modules sur les sites, lemme 0GZN, les objets de \(\mathcal{A}\) sont exactement les modules quasi-cohérents sur \((X_{affine}, \mathcal{O})\), c’est-à-dire pour la topologie chaotique. Ainsi, si nous montrons que Cohomologie sur les sites, lemme 07A8, s’applique, alors nous obtenons bien l’équivalence canonique entre les catégories de (3) et (4) au moyen de \(\epsilon^*\) et \(R\epsilon_*\).

Nous devons vérifier quatre conditions :

Tout objet de \(\mathcal{A}\) est un faisceau pour la topologie de Zariski. Nous l’avons vu ci-dessus.

\(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie de Serre faible de \(\textit{Mod}(X_{affine, Zar}, \mathcal{O})\). Nous avons vu ci-dessus que \(\mathcal{A} = \QCoh(X_{affine, Zar}, \mathcal{O})\) et nous avons également vu que ses objets, par l’équivalence \(\textit{Mod}(X_{affine, Zar}, \mathcal{O}) = \textit{Mod}(X, \mathcal{O}_X)\), correspondent aux modules quasi-cohérents sur \(X\). Le résultat découle donc de la discussion de Schémas, section 01LA.

Tout objet de \(X_{affine}\) possède un recouvrement pour la topologie chaotique dont les membres sont des éléments de \(\mathcal{B}\). C’est le cas car \(\mathcal{B}\) contient tous les objets.

Pour tout objet \(U\) de \(X_{affine}\) et tout \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{A}\), nous avons \(H^p_{Zar}(U, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 0\). Cela résulte de l’annulation de la cohomologie des modules quasi-cohérents sur les schémas affines ; voir Cohomologie des schémas, lemme 01XB.

Ceci achève la démonstration.

Remarque

Soit \(S\) un schéma.
Nous montrerons plus loin que \(\mathit{QC}((\textit{Aff}/S), \mathcal{O})\) est également canoniquement équivalente à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_S)\). Voir Faisceaux sur les champs, proposition 0H0K.

En particulier, \(E\) admet un représentant K-injectif d’après Catégories dérivées, lemme 070M.↩︎
Cela signifie que \(f\) est pseudo-cohérent ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 0AVX.↩︎
Cette notation est probablement inhabituelle. Cependant, nous avons déjà employé \(Q_X\) pour le cohérateur et \(RQ_X\) pour son prolongement dérivé.↩︎
Catégories dérivées, définition 05RB.↩︎
Pour le voir, utiliser le lemme 0DI2 et Compléments sur l’algèbre, lemme 0DHV.↩︎
En effet, si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux fini localement libre et si \(N\) est un \(B\)-module localement libre de type fini, alors \(N\) est un \(A\)-module localement libre de type fini. Pour le voir, notons d’abord que le fait que \(N\) soit localement libre de type fini sur \(B\) implique que \(N\) est plat et de présentation finie comme \(B\)-module ; voir Algèbre, lemme 00NX. Ensuite, \(N\) est un \(A\)-module de présentation finie d’après Algèbre, lemme 0564, et un \(A\)-module plat d’après Algèbre, lemme 00HC. On conclut alors en appliquant Algèbre, lemme 00NX, sur \(A\).↩︎
Le cadre général correct serait ici de définir \(K_0\) pour toute catégorie exacte ; voir Injectifs, remarque 05SF.↩︎