Obsolète

Introduction

Dans ce chapitre, nous rassemblons certains lemmes devenus « obsolètes » (voir [Miller]).

Préliminaires

Remarque

Les informations qui figuraient auparavant dans cette remarque sont désormais contenues dans la combinaison des lemmes 07RB et 0FWV du chapitre Catégories.

Algèbre homologique

Remarque

Les remarques suivantes sont obsolètes, car leur contenu est désormais couvert par les lemmes 012W et 0132 du chapitre Homologie. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) une sous-catégorie de Serre faible (voir la définition 02MO du chapitre Homologie). Supposons que \(K^{\bullet, \bullet}\) soit un bicomplexe auquel le lemme 0132 du chapitre Homologie s’applique et que, pour un certain \(r \geq 0\), tous les objets \({}'E_r^{p, q}\) appartiennent à \(\mathcal{C}\). Alors tous les objets de cohomologie \(H^n(sK^\bullet)\) appartiennent à \(\mathcal{C}\). En effet, les hypothèses entraînent que les noyaux et les images des \({}'d_r^{p, q}\) appartiennent à \(\mathcal{C}\). On en déduit que chaque \({}'E_{r + 1}^{p, q}\) appartient à \(\mathcal{C}\). Par récurrence, chaque \({}'E_\infty^{p, q}\) appartient à \(\mathcal{C}\). Par conséquent, chaque \(H^n(sK^\bullet)\) possède une filtration finie dont les sous-quotients appartiennent à \(\mathcal{C}\). Comme \(\mathcal{C}\) est stable par extensions, on conclut que \(H^n(sK^\bullet)\) appartient à \(\mathcal{C}\), comme annoncé. Le même résultat vaut pour la seconde suite spectrale associée à \(K^{\bullet, \bullet}\). De même, si \((K^\bullet, F)\) est un complexe filtré auquel le lemme 012W du chapitre Homologie s’applique et si, pour un certain \(r \geq 0\), tous les objets \(E_r^{p, q}\) appartiennent à \(\mathcal{C}\), alors chaque \(H^n(K^\bullet)\) est un objet de \(\mathcal{C}\).

Lemmes d’algèbre obsolètes

Lemme

Soit \(M\) un \(R\)-module de présentation finie. Pour toute surjection \(\alpha : R^{\oplus n} \to M\), le noyau de \(\alpha\) est un \(R\)-module de type fini.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0519 du chapitre Algèbre.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Si

1. pour tout \(x \in S\), il existe \(n > 0\) tel que \(x^n\) appartienne à l’image de \(\varphi\), et

2. pour tout \(x \in \Ker(\varphi)\), il existe \(n > 0\) tel que \(x^n = 0\),

alors \(\varphi\) induit un homéomorphisme sur les spectres. Soit \(p\) un nombre premier tel que

1. \(S\) soit engendrée comme \(R\)-algèbre par des éléments \(x\) pour lesquels il existe \(n > 0\) tel que \(x^{p^n} \in \varphi(R)\) et \(p^nx \in \varphi(R)\), et

2. le noyau de \(\varphi\) soit engendré par des éléments nilpotents.

Alors (1) et (2) sont satisfaites et, pour tout homomorphisme d’anneaux \(R \to R'\), l’homomorphisme \(R' \to R' \otimes_R S\) satisfait aussi (a), (b), (1) et (2) ; en particulier, il induit un homéomorphisme sur les spectres.

Démonstration

Cela résulte de la combinaison des lemmes 0BR8 et 0BRA du chapitre Algèbre.

Le lemme technique suivant affirme que l’on peut relever à la situation globale, en un sens convenable, toute suite de relations donnée sur une fibre d’un homomorphisme d’anneaux essentiellement de type fini.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier. Soit \(\mathfrak q \subset S\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak p\). Supposons que \(S_{\mathfrak q}\) soit essentiellement de type fini sur \(R_\mathfrak p\). Supposons donnés

1. un entier \(n \geq 0\),

2. un idéal premier \(\mathfrak a \subset \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\),

3. un homomorphisme surjectif de \(\kappa(\mathfrak p)\)-algèbres \[\psi : (\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n])_{\mathfrak a} \longrightarrow S_{\mathfrak q}/\mathfrak p S_{\mathfrak q},\] et

4. des éléments \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_e\) de \(\Ker(\psi)\).

Il existe alors

1. un entier \(m \geq 0\),

2. un élément \(g \in S\), \(g \not\in \mathfrak q\),

3. un homomorphisme \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m}] \longrightarrow S_g,\] et

4. des éléments \(f_1, \ldots, f_e, f_{e + 1}, \ldots, f_{e + m}\) de \(\Ker(\Psi)\)

tels que

1. le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ R[x_1, \ldots, x_{n + m}] \ar[d]_\Psi \ar[rr]_-{x_{n + j} \mapsto 0} & & (\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n])_{\mathfrak a} \ar[d]^\psi \\ S_g \ar[rr] & & S_{\mathfrak q}/\mathfrak p S_{\mathfrak q} },\]

2. pour \(i \leq n\), l’élément \(f_i\) ait pour image un multiple de \(\overline{f}_i\) par une unité dans l’anneau local \[(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}])_{ (\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})},\]

3. l’élément \(f_{e + j}\) ait pour image un multiple de \(x_{n + j}\) par une unité dans le même anneau local, et

4. l’homomorphisme induit \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{\mathfrak b} \to S_{\mathfrak q}\) soit surjectif, où \(\mathfrak b = \Psi^{-1}(\mathfrak qS_g)\).

Démonstration

Nous affirmons qu’il suffit de démontrer le lemme lorsque \(R\) et \(S\) sont locaux, d’idéaux maximaux respectifs \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak q\). Supposons en effet avoir construit \[\Psi' : R_{\mathfrak p}[x_1, \ldots, x_{n + m}] \longrightarrow S_{\mathfrak q}\] et \(f_1', \ldots, f_{e + m}' \in R_{\mathfrak p}[x_1, \ldots, x_{n + m}]\) possédant toutes les propriétés requises. Il existe alors un élément \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\), tel que chacun des \(ff_k'\) provienne d’un élément \(f_k \in R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\). De plus, pour un \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\), convenable, les éléments \(\Psi'(x_i)\) sont les images d’éléments \(y_i \in S_g\). Soit \(\Psi\) l’homomorphisme de \(R\)-algèbres défini par la règle \(\Psi(x_i) = y_i\). Puisque \(\Psi(f_i)\) est nul dans le localisé \(S_{\mathfrak q}\), nous pouvons, quitte à remplacer \(g\), supposer que \(\Psi(f_i) = 0\). L’affirmation est démontrée.

Nous pouvons donc supposer \(R\) et \(S\) locaux, d’idéaux maximaux \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak q\). Choisissons \(y_1, \ldots, y_n \in S\) tels que \(y_i \bmod \mathfrak pS = \psi(x_i)\). Soient \(y_{n + 1}, \ldots, y_{n + m} \in S\) des éléments qui engendrent une \(R\)-algèbre dont \(S\) est une localisation. Ils existent puisque \(S\) est essentiellement de type fini sur \(R\). Comme \(\psi\) est surjectif, on peut écrire \(y_{n + j} \bmod \mathfrak pS = \psi(h_j)\) pour un certain \(h_j \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak a}\). Écrivons \(h_j = g_j/d\), avec \(g_j \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\) et un dénominateur commun \(d \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\), \(d \not \in \mathfrak a\). Choisissons des relèvements \(G_j, D \in R[x_1, \ldots, x_n]\) de \(g_j\) et \(d\). Posons \(y_{n + j}' = D(y_1, \ldots, y_n) y_{n + j} - G_j(y_1, \ldots, y_n)\). Par construction, \(y_{n + j}' \in \mathfrak p S\). Il est clair que \(y_1, \ldots, y_n, y_n', \ldots, y_{n + m}'\) engendrent une \(R\)-sous-algèbre de \(S\) dont \(S\) est une localisation. On définit \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_{n + m}] \to S\] comme l’homomorphisme qui envoie \(x_i\) sur \(y_i\) pour \(i = 1, \ldots, n\) et \(x_{n + j}\) sur \(y'_{n + j}\) pour \(j = 1, \ldots, m\). Les propriétés (1) et (4) sont immédiates par construction. De plus, l’idéal \(\mathfrak b\) s’envoie sur l’idéal \((\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})\) de l’anneau de polynômes \(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}]\).

Notons \(J = \Ker(\Psi)\). On a une suite exacte courte \[0 \to J_{\mathfrak b} \to R[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{\mathfrak b} \to S_{\mathfrak q} \to 0.\] La surjectivité résulte du choix fait ci-dessus de \(y_1, \ldots, y_n, y_n', \ldots, y_{n + m}'\). Il en résulte que la suite \[J_{\mathfrak b}/ \mathfrak pJ_{\mathfrak b} \to \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{ (\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})} \to S_{\mathfrak q}/\mathfrak pS_{\mathfrak q} \to 0\] est exacte. Par construction, \(x_i\) s’envoie sur \(\psi(x_i)\) et \(x_{n + j}\) sur zéro par le dernier homomorphisme. On choisit alors aisément les \(f_i\) comme en (2) et (3) du lemme.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie. Si, pour une présentation \(\alpha\) de \(S\) sur \(R\), le complexe cotangent naïf \(\NL(\alpha)\) est quasi-isomorphe à un \(S\)-module projectif de type fini placé en degré \(0\), il en va de même pour toute présentation.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 00S1 du chapitre Algèbre.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Pour tout ensemble \(S\), notons \(F(S)\) le \(R\)-module libre de base \(S\). Tout \(R\)-module à gauche possède alors la résolution en deux étapes suivante : \[F(M \times M) \oplus F(R \times M) \to F(M) \to M \to 0.\] Le premier homomorphisme est donné par la règle \[[m_1, m_2] \oplus [r, m] \mapsto [m_1 + m_2] - [m_1] - [m_2] + [rm] - r[m].\]

Lemme

Soit \(S\) une partie multiplicative de \(A\). Alors l’homomorphisme \[f: \Spec(S^{-1}A)\longrightarrow \Spec(A)\] induit par l’homomorphisme canonique d’anneaux \(A \to S^{-1}A\) est un homéomorphisme sur son image et \(\Im(f) = \{ \mathfrak p \in \Spec(A) : \mathfrak p\cap S = \emptyset \}\).

Démonstration

C’est un doublon du lemme 00E3 du chapitre Algèbre.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux plat de type fini, où \(A\) est intègre. Alors \(B\) est une \(A\)-algèbre de présentation finie.

Démonstration

C’est un cas particulier de la proposition 053G du chapitre Compléments sur la platitude.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre de corps des fractions \(K\). Soit \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) un anneau de polynômes sur \(R\). Soit \(M\) un \(S\)-module de type fini. Supposons que \(M\) soit plat sur \(R\). Si, pour tout sous-anneau \(R \subset R' \subset K\), \(R \not = R'\), le module \(M \otimes_R R'\) est de présentation finie sur \(S \otimes_R R'\), alors \(M\) est de présentation finie sur \(S\).

Démonstration

Ce lemme est vrai parce que \(M\) est de présentation finie même sans l’hypothèse selon laquelle \(M \otimes_R R'\) est de présentation finie pour tout \(R'\) comme dans l’énoncé. Cela résulte de la proposition 053G du chapitre Compléments sur la platitude. À l’origine, ce lemme comportait une preuve erronée (nous remercions Ofer Gabber d’en avoir repéré la lacune) et servait dans une autre preuve de la proposition citée. Pour rétablir ce lemme, il nous faut un argument correct lorsque \(R\) est un anneau intègre local normal, n’utilisant que des résultats des chapitres d’algèbre commutative ; si vous connaissez un tel argument, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(f \in B\). Supposons que

1. \(A \to B\) soit plat,

2. \(f\) soit un non-diviseur de zéro, et

3. \(A \to B/fB\) soit plat.

Alors, pour tout idéal \(I \subset A\), l’homomorphisme \(f : B/IB \to B/IB\) est injectif.

Démonstration

Remarquons que \(IB = I \otimes_A B\) et \(I(B/fB) = I \otimes_A B/fB\) par platitude de \(B\) et de \(B/fB\) sur \(A\). En particulier, \(IB/fIB \cong I \otimes_A B/fB\) s’injecte dans \(B/fB\). Le résultat découle donc du lemme du serpent appliqué au diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I \otimes_A B \ar[r] \ar[d]^f & B \ar[r] \ar[d]^f & B/IB \ar[r] \ar[d]^f & 0 \\ 0 \ar[r] & I \otimes_A B \ar[r] & B \ar[r] & B/IB \ar[r] & 0 }\] dont les lignes sont exactes.

Lemme

Si \(R \to S\) est un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat, alors, pour tout \(R\)-module \(M\), l’homomorphisme \(M \to S \otimes_R M\), \(x \mapsto 1 \otimes x\), est injectif.

Démonstration

Ce lemme est un doublon du lemme 05CK du chapitre Algèbre.

Remarque

Cette référence et cette étiquette renvoyaient autrefois à une section du chapitre Lissage des homomorphismes d’anneaux, mais son contenu a depuis été repris dans la section 00QL du chapitre Algèbre.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien réduit de dimension \(1\), et soit \(x \in \mathfrak m\) un non-diviseur de zéro. Soient \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\) les idéaux premiers minimaux de \(R\). Alors \[\text{length}_R(R/(x)) = \sum\nolimits_i \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(x)\]

Démonstration

C’est un cas particulier (très simple) du lemme 02QG du chapitre Homologie de Chow.

Lemme

Soit \(A\) un anneau intègre local noethérien normal de dimension \(2\). Pour \(f \in \mathfrak m\) non nul, notons \(\text{div}(f) = \sum n_i (\mathfrak p_i)\) le diviseur associé à \(f\) sur le spectre épointé de \(A\). Posons \(|f| = \sum n_i\). Il existe des entiers \(N\) et \(M\) tels que \(|f + g| \leq M\) pour tout \(g \in \mathfrak m^N\).

Démonstration

Choisissons \(h \in \mathfrak m\) tel que \(f, h\) soit une suite régulière dans \(A\) (cela résulte des lemmes 031S et 090R du chapitre Algèbre). Nous allons démontrer le lemme avec \(M = \text{length}_A(A/(f, h))\) et avec n’importe quel entier \(N\) tel que \(\mathfrak m^N \subset (f, h)\). Un tel entier \(N\) existe puisque \(\sqrt{(f, h)} = \mathfrak m\). Remarquons que \(M = \text{length}_A(A/(f + g, h))\) pour tout \(g \in \mathfrak m^N\) car \((f, h) = (f + g, h)\). Cela entraîne en outre que \(f + g, h\) est encore une suite régulière dans \(A\) ; voir le lemme 02JN du chapitre Algèbre. Supposons maintenant que \(\text{div}(f + g ) = \sum m_j (\mathfrak q_j)\). Considérons alors l’homomorphisme \[c : A/(f + g) \longrightarrow \prod A/\mathfrak q_j^{(m_j)},\] où \(\mathfrak q_j^{(m_j)}\) est la puissance symbolique ; voir la section 05G9 du chapitre Algèbre. Comme \(A\) est normal, \(A_{\mathfrak q_i}\) est un anneau de valuation discrète et \[A_{\mathfrak q_i}/(f + g) = A_{\mathfrak q_i}/\mathfrak q_i^{m_i} A_{\mathfrak q_i} = (A/\mathfrak q_i^{(m_i)})_{\mathfrak q_i}\] Puisque \(V(f + g, h) = \{\mathfrak m\}\), il en résulte que \(c\) devient un isomorphisme après inversion de \(h\) (nous omettons un détail mineur). Comme \(h\) est un non-diviseur de zéro sur \(A/(f + g)\), la longueur de \(A/(f + g, h)\) est égale au quotient de Herbrand \(e_A(A/(f + g), 0, h)\) défini dans la section 02PF du chapitre Homologie de Chow. De même, la longueur de \(A/(h, \mathfrak q_j^{(m_j)})\) est égale à \(e_A(A/\mathfrak q_j^{(m_j)}, 0, h)\). On a alors \[\begin{align*} M & = \text{length}_A(A/(f + g, h) \\ & = e_A(A/(f + g), 0, h) \\ & = \sum\nolimits_i e_A(A/\mathfrak q_j^{(m_j)}, 0, h) \\ & = \sum\nolimits_i \sum\nolimits_{m = 0, \ldots, m_j - 1} e_A(\mathfrak q_j^{(m)}/\mathfrak q_j^{(m + 1)}, 0, h). \end{align*}\] Les égalités résultent des lemmes 0EA7 et 0EA8 du chapitre Homologie de Chow, en utilisant notamment le fait que le conoyau de \(c\) est de longueur finie, comme expliqué ci-dessus. Le lemme de Nakayama permet de vérifier directement que \(e_A(\mathfrak q^{(m)}/\mathfrak q^{(m + 1)}, 0, h)\) est au moins égal à \(1\). Cela achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens. Si \(A\) et \(B/\mathfrak m_A B\) sont de Gorenstein, alors \(B\) est de Gorenstein.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0BJL du chapitre Complexes dualisants.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(s\) un entier. Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\) et \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\), alors \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > s\).

Il existe alors un entier \(n > 0\) et un idéal \(J \subset A\) tels que \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\) et que \(JI^n\) annule \(H^i_\mathfrak m(M)\) pour \(i \leq s\).

Démonstration

D’après le lemme 0DWZ du chapitre Cohomologie locale, il suffit de le démontrer pour le \(A\)-module de type fini \(E^i = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)\) pour \(i \leq s\). Le support \(Z\) de \(E^0 \oplus \ldots \oplus E^s\) est fermé dans \(\Spec(A)\) et ne contient aucun idéal premier comme en (2). Il est donc contenu dans \(V(JI^n)\) pour un certain \(J\) comme dans l’énoncé du lemme.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soient \(s\) et \(d\) des entiers. Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant,

2. \(\text{cd}(A, I) \leq d\),

3. si \(\mathfrak p \not \in V(I)\), alors \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\) ou \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\).

Alors les hypothèses du lemme 0EFR du chapitre Géométrie algébrique et formelle sont satisfaites pour \(A, I, \mathfrak m, M\), et l’homomorphisme \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\) est un isomorphisme pour \(i \leq s\) ; ces modules sont en outre annulés par une puissance de \(I\).

Démonstration

Les hypothèses du lemme 0EFR du chapitre Géométrie algébrique et formelle découlent du lemme plus général 0EFW du même chapitre. La conclusion du lemme 0EFR donne alors la seconde assertion.

Lemme

Dans la situation 0EFU du chapitre Géométrie algébrique et formelle, on a \(H^s_\mathfrak a(M) = \lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du théorème 0EIE du chapitre Géométrie algébrique et formelle. La version originale de ce lemme, qui comportait des hypothèses supplémentaires, a été remplacée par ce théorème.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(f \in \mathfrak a\) un élément d’un idéal de \(A\). Soit \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\). Supposons que

1. \(A\) possède un complexe dualisant et soit complet pour la topologie \(f\)-adique,

2. \(A_f\) soit \((S_2)\) et que, pour tout idéal premier minimal \(\mathfrak p \subset A\), on ait \(f \not \in \mathfrak p\) et, pour tout \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\), \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \geq 3\).

Alors le foncteur de complétion \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] est pleinement fidèle sur la sous-catégorie pleine des objets localement libres de type fini.

Démonstration

Ce lemme est un cas particulier du lemme 0EKT du chapitre Géométrie algébrique et formelle.

Lemmes relatifs au théorème principal de Zariski

Les lemmes de cette section servaient initialement dans la démonstration de la version algébrique du théorème principal de Zariski, Algèbre, Théorème 00Q9.

Lemme

Soient \(R\) un anneau et \(\varphi : R[x] \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(t \in S\). Si \(t\) est entier sur \(R[x]\), alors il existe un entier \(\ell \geq 0\) tel que, pour tout \(a \in R\), l’élément \(\varphi(a)^\ell t\) soit entier relativement à \(\varphi_a : R[y] \to S\), défini par \(y \mapsto \varphi(ax)\) et \(r \mapsto \varphi(r)\) pour \(r\in R\).

Démonstration

Écrivons \(t^d + \sum_{i < d} \varphi(f_i)t^i = 0\) avec \(f_i \in R[x]\). Soit \(\ell\) le maximum des degrés en \(x\) de tous les \(f_i\). En multipliant l’équation par \(\varphi(a)^\ell\), on obtient \(\varphi(a)^\ell t^d + \sum_{i < d} \varphi(a^\ell f_i)t^i = 0\). Observons que chaque \(\varphi(a^\ell f_i)\) appartient à l’image de \(\varphi_a\). Le résultat découle alors de Algèbre, Lemme 00PQ.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Supposons que \(t \in S\) vérifie la relation \(\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_n) t^n = 0\). Posons \(u_n = \varphi(a_n)\), \(u_{n-1} = u_n t + \varphi(a_{n-1})\), et ainsi de suite jusqu’à \(u_1 = u_2 t + \varphi(a_1)\). Alors les éléments \(u_n, u_{n-1}, \ldots, u_1\) ainsi que \(u_nt, u_{n-1}t, \ldots, u_1t\) sont entiers sur \(R\), et les idéaux \((\varphi(a_0), \ldots, \varphi(a_n))\) et \((u_n, \ldots, u_1)\) de \(S\) sont égaux.

Démonstration

Nous raisonnons par récurrence sur \(n\). Comme \(u_n = \varphi(a_n)\), il résulte d’Algèbre, Lemme 00PQ, que \(u_nt\) est entier sur \(R\). Bien entendu, \(u_n = \varphi(a_n)\) est entier sur \(R\). Par conséquent, \(u_{n - 1} = u_n t + \varphi(a_{n - 1})\) est entier sur \(R\) (voir Algèbre, Lemme 00GO) et l’on a \[\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_{n - 1})t^{n - 1} + u_{n - 1}t^{n - 1} = 0.\] L’hypothèse de récurrence, appliquée à l’homomorphisme \(S' \to S\), où \(S'\) est la clôture intégrale de \(R\) dans \(S\), et à l’équation affichée, montre donc que \(u_{n-1}, \ldots, u_1\) et \(u_{n-1}t, \ldots, u_1t\) appartiennent eux aussi tous à \(S'\). L’assertion concernant les idéaux découle immédiatement de la forme des éléments et du fait que \(u_1t + \varphi(a_0) = 0\).

Lemme

Soit \(\varphi : R \to S\) un homomorphisme d’anneaux. Supposons que \(t \in S\) vérifie la relation \(\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_n) t^n = 0\). Soit \(J \subset S\) un idéal tel qu’il existe au moins un \(i\) pour lequel \(\varphi(a_i) \not \in J\). Alors il existe un élément \(u \in S\), \(u \not\in J\), tel que \(u\) et \(ut\) soient tous deux entiers sur \(R\).

Démonstration

Cela découle immédiatement du Lemme 00PR, car l’un des éléments \(u_i\) n’appartient pas à \(J\).

Les deux lemmes suivants permettent de décrire les sous-schémas fermés de \(\mathbf{P}^1_R\) définis par une seule équation (non dégénérée).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(F(X, Y) \in R[X, Y]\) un polynôme homogène de degré \(d\). Supposons que, pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), au moins un coefficient de \(F\) n’appartienne pas à \(\mathfrak p\). Munissons \(S = R[X, Y]/(F)\) de sa structure d’anneau gradué. Alors, pour tout \(n \geq d\), le \(R\)-module \(S_n\) est localement libre de type fini, de rang \(d\).

Démonstration

Le \(R\)-module \(S_n\) admet une présentation \[R[X, Y]_{n-d} \to R[X, Y]_n \to S_n \to 0.\] D’après Algèbre, Lemme 00O0, il suffit donc de montrer que la multiplication par \(F\) induit une application injective \(\kappa(\mathfrak p)[X, Y] \to \kappa(\mathfrak p)[X, Y]\) pour tout idéal premier \(\mathfrak p\). Cela résulte aussitôt de l’hypothèse selon laquelle l’image de \(F\) modulo \(\mathfrak p\) n’est pas le polynôme nul. L’assertion concernant les rangs en découle elle aussi.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(F, G \in k[X, Y]\) des polynômes homogènes de degrés respectifs \(d, e\). Supposons que \(F, G\) soient premiers entre eux. Alors la multiplication par \(G\) est injective sur \(S = k[X, Y]/(F)\).

Démonstration

C’est une manière de définir l’expression \og premiers entre eux \fg. Si l’on adopte une autre définition, on peut montrer qu’elle lui est équivalente.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(F(X, Y) \in R[X, Y]\) homogène de degré \(d\). Munissons \(S = R[X, Y]/(F)\) de sa structure d’anneau gradué. Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier tel qu’un coefficient de \(F\) n’appartienne pas à \(\mathfrak p\). Il existe un élément \(f \in R\), \(f \not\in \mathfrak p\), un entier \(e\) et un élément \(G \in R[X, Y]_e\) tels que la multiplication par \(G\) induise des isomorphismes \((S_n)_f \to (S_{n + e})_f\) pour tout \(n \geq d\).

Démonstration

Au cours de la démonstration, nous pourrons remplacer \(R\) par \(R_f\) pour un \(f\in R\), \(f\not\in \mathfrak p\) (un nombre fini de fois). Dans un premier temps, effectuons un tel remplacement de sorte qu’un coefficient de \(F\) soit inversible dans \(R\). En particulier, les modules \(S_n\) sont dès lors localement libres de rang \(d\) pour \(n \geq d\), d’après le Lemme 00Q4. Choisissons un élément \(G \in R[X, Y]_e\) tel que les images de \(G\) dans \(\kappa(\mathfrak p)[X, Y]\) et de \(F(X, Y)\) soient premières entre elles (un tel choix est possible pour un certain \(e\)). Appliquons Algèbre, Lemme 00O0, à l’application induite par la multiplication par \(G\) de \(S_d \to S_{d + e}\). Le choix de \(G\) et le Lemme 00Q5 montrent que \(S_d \otimes \kappa(\mathfrak p) \to S_{d + e} \otimes \kappa(\mathfrak p)\) est bijective. Ainsi, après avoir remplacé \(R\) par \(R_f\) pour un \(f\) convenable, nous pouvons supposer que \(G : S_d \to S_{d + e}\) est bijective. Il s’ensuit que l’image de \(G\) dans \(\kappa(\mathfrak p')[X, Y]\) et celle de \(F\) sont premières entre elles, pour tout idéal premier \(\mathfrak p'\) de \(R\). En appliquant de nouveau Algèbre, Lemme 00O0, on voit alors que toutes les applications \(G : S_d \to S_{d + e}\), \(n \geq d\), sont des isomorphismes.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Supposons donnés \(F \in R[X, Y]_d\) et \(G \in R[X, Y]_e\) tels que, si l’on pose \(S = R[X, Y]/(F)\), on ait (1) \(S_n\) localement libre de type fini, de rang \(d\), pour tout \(n \geq d\), et (2) que la multiplication par \(G\) définisse des isomorphismes \(S_n \to S_{n + e}\) pour tout \(n \geq d\). Dans ce cas, on peut définir une \(R\)-algèbre finie et localement libre \(A\) de la manière suivante :

1. comme \(R\)-module, \(A = S_{ed}\) ;

2. la multiplication \(A \times A \to A\) est donnée par la règle suivante : \(H_1 H_2 = H_3\) si et seulement si \(G^d H_3 = H_1 H_2\) dans \(S_{2ed}\).

Cette définition est licite, car la multiplication par \(G^d\) induit une application bijective \(S_{de} \to S_{2de}\). On vérifie aisément qu’elle définit une structure d’anneau. Notons le fait déconcertant que l’élément \(G^d\) définit l’élément unité de l’anneau \(A\).

Lemme

Soient \(R\) un anneau et \(f \in R\). Supposons donnés \(S\), \(S'\) et les flèches pleines formant le diagramme commutatif d’anneaux suivant : \[\xymatrix{ & S'' \ar@{-->}[rd] \ar@{-->}[dd] & \\ R \ar[rr] \ar@{-->}[ru] \ar[d] & & S \ar[d] \\ R_f \ar[r] & S' \ar[r] & S_f }\] Supposons que \(R_f \to S'\) soit fini. Alors on peut trouver un homomorphisme d’anneaux fini \(R \to S''\) et des flèches pointillées comme dans le diagramme, de sorte que \(S' = (S'')_f\).

Démonstration

En effet, supposons que \(S'\) soit engendrée par les \(x_i\) sur \(R_f\), \(i = 1, \ldots, w\). Soit \(P_i(t) \in R_f[t]\) un polynôme unitaire tel que \(P_i(x_i) = 0\). Le polynôme \(P_i\) est de degré \(d_i > 0\). Écrivons \(P_i(t) = t^{d_i} + \sum_{j < d_i} (a_{ij}/f^n) t^j\) pour un même entier \(n\). Écrivons aussi l’image de \(x_i\) dans \(S_f\) sous la forme \(g_i / f^n\) avec un élément convenable \(g_i \in S\). On sait alors que l’élément \(\xi_i = f^{nd_i} g_i^{d_i} + \sum_{j < d_i} f^{n(d_i - j)} a_{ij} g_i^j\) de \(S\) est annulé par une puissance de \(f\). En remplaçant \(n\) par un entier \(n'\) plus grand, ce qui revient à remplacer \(g_i\) par \(f^{n' - n}g_i\), on peut donc supposer que \(\xi_i = 0\). L’algèbre \(S'\) est alors engendrée par les éléments \(f^n x_i\), chacun étant un zéro du polynôme unitaire \(Q_i(t) = t^{d_i} + \sum_{j < d_i} f^{n(d_i - j)} a_{ij} t^j\) à coefficients dans \(R\). Par construction, on a aussi \(Q_i(f^ng_i) = 0\) dans \(S\). On obtient ainsi une \(R\)-algèbre finie \(S'' = R[z_1, \ldots, z_w]/(Q_1(z_1), \ldots, Q_w(z_w))\) qui s’insère dans un diagramme commutatif comme ci-dessus. L’homomorphisme \(\alpha : S'' \to S\) envoie \(z_i\) sur \(f^ng_i\), et l’homomorphisme \(\beta : S'' \to S'\) envoie \(z_i\) sur \(f^nx_i\). Il se peut que \(\beta\) n’induise pas encore un isomorphisme \((S'')_f \cong S'\). Pour l’instant, on sait seulement que cette application est surjective. Le problème est qu’il pourrait exister des éléments \(h/f^n \in (S'')_f\) qui s’envoient sur zéro dans \(S'\) sans être eux-mêmes nuls. Dans ce cas, \(\beta(h)\) est un élément de \(S\) tel que \(f^N \beta(h) = 0\) pour un certain \(N\). Ainsi, \(f^N h\) appartient à l’idéal \(J = \{h \in S'' \mid \alpha(h) = 0 \text{ et } \beta(h) = 0\}\) de \(S''\). Il est alors facile de voir que \(S''/J\) convient.

Homomorphismes formellement lisses

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S\) une \(R\)-algèbre. Si \(S\) est de présentation finie et formellement lisse sur \(R\), alors \(S\) est lisse sur \(R\).

Démonstration

Voir Algèbre, Proposition 00TN.

Remarque

Cette ètiquette renvoyait à une èquation de la démonstration de la Proposition 0GAT d’Algébrisation des espaces formels. Après réorganisation du contenu, cette ètiquette n’est plus utilisée.

Remarque

Cette ètiquette renvoyait à une èquation de la démonstration de la Proposition 0GAT d’Algébrisation des espaces formels. Après réorganisation du contenu, cette ètiquette n’est plus utilisée.

Remarque

Cette ètiquette renvoyait à une èquation de la démonstration de la Proposition 0GAT d’Algébrisation des espaces formels. Après réorganisation du contenu, cette ètiquette n’est plus utilisée.

Remarque

Cette ètiquette renvoyait à une èquation de la démonstration de la Proposition 0GAT d’Algébrisation des espaces formels. Après réorganisation du contenu, cette ètiquette n’est plus utilisée.

Remarque

Cette ètiquette renvoyait à une èquation de la démonstration du Lemme 0ALT d’Algébrisation des espaces formels. Après réorganisation du contenu, cette ètiquette n’est plus utilisée.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal. Soit \(t\) le nombre minimum de générateurs de \(I\). Soit \(C\) une \(A\)-algèbre noethérienne \(I\)-adiquement complète. Il existe un entier \(d \geq 0\) ne dépendant que de \(I \subset A \to C\) et possédant la propriété suivante : ètant donnés

1. un entier \(c \geq 0\) et l’algèbre \(B\) de l’Èquation (0AL4) d’Algébrisation des espaces formels, tels que, pour tout \(a \in I^c\), la multiplication par \(a\) sur \(\NL_{B/A}^\wedge\) soit nulle dans \(D(B)\),

2. un entier \(n > 2t\max(c, d)\),

3. un homomorphisme de \(A/I^n\)-algèbres \(\psi_n : B/I^nB \to C/I^nC\),

il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\varphi : B \to C\) tel que \(\psi_n \bmod I^{m - c} = \varphi \bmod I^{m - c}\), où \(m = \lfloor \frac{n}{t} \rfloor\).

Démonstration

Ce lemme est devenu obsolète en raison du résultat plus fort d’Algébrisation des espaces formels, Lemme 0GAQ. Nous allons en fait l’en déduire.

Soit \(I \subset A \to C\) comme dans l’énoncé ci-dessus. Notons \(d(\text{Gr}_I(C))\) et \(q(\text{Gr}_I(C))\) les entiers obtenus dans Cohomologie locale, section 0GA6. Remarquons que \(t\) majore le nombre minimum de générateurs de \(IC\); on a donc \(d(\text{Gr}_I(C)) + 1 \leq t\), voir la discussion de Cohomologie locale, section 0GA6. Nous pouvons supposer, et nous supposerons, que \(t \geq 1\), car sinon le lemme n’affirme rien. Nous affirmons que le lemme est vrai en prenant \[d = q(\text{Gr}_I(C))\] En effet, supposons que \(c\), \(B\), \(n\) et \(\psi_n\) soient comme dans l’énoncé ci-dessus. On a alors \[n > 2t\max(c, d) \Rightarrow n \geq 2tc + 1 \Rightarrow n \geq 2(d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c + 1\] D’autre part, \[n > 2t\max(c, d) \Rightarrow n > t(c + d) \Rightarrow n \geq q(C) + tc \geq q(\text{Gr}_I(C)) + (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c\] Les hypothèses du Lemme 0GAQ d’Algébrisation des espaces formels sont donc satisfaites, et nous obtenons un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\varphi : B \to C\) congru à \(\psi_n\) modulo \(I^{n - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c}C\). Comme \[\begin{align*} n - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c & = \frac{n}{t} + \frac{(t - 1)n}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & \geq \frac{n}{t} + \frac{(d(\text{Gr}_I(C))n}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & > \frac{n}{t} + \frac{d(\text{Gr}_I(C))2tc}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & = \frac{n}{t} + 2d(\text{Gr}_I(C))c - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & = \frac{n}{t} + d(\text{Gr}_I(C))c - c \\ & \geq m - c \end{align*}\] on voit que \(\varphi\) et \(\psi_n\) sont congrus modulo \(I^{m - c}C\), comme voulu.

Sites et faisceaux

Remarque

Soit \(U\) un objet d’un site \(\mathcal{C}\). Pour tout faisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(\mathcal{C}/U\), on peut se demander s’il existe un morphisme canonique \[c : j_{U!}\mathcal{G} \longrightarrow j_{U*}\mathcal{G}\] Construire un tel morphisme revient à construire un morphisme \(j_U^{-1}j_{U!}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\). Remarquons que la restriction commute au passage au faisceau associé. Nous pouvons donc utiliser le préfaisceau du lemme Modules sur les sites, lemme 03DI. Il suffit ainsi de définir, pour \(V/U\), un morphisme \[\bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U) \longrightarrow \mathcal{G}(V/U)\] compatible aux restrictions. Il semble que l’on puisse prendre le morphisme nul sur tous les facteurs directs, sauf sur celui pour lequel \(\varphi\) est le morphisme structural \(\varphi_0 : V \to U\), où l’on prend \(1\). Cependant, ce morphisme n’est pas compatible aux applications de restriction. En effet, si \(\alpha : V' \to V\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), notons \(V'/U\) l’objet de \(\mathcal{C}/U\) dont le morphisme structural est \(\varphi'_0 = \varphi_0 \circ \alpha\). Il nous faut vérifier que le diagramme \[\xymatrix{ \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{G}(V/U) \ar[d] \\ \bigoplus\nolimits_{\varphi' \in \Mor_\mathcal{C}(V', U)} \mathcal{G}(V' \xrightarrow{\varphi'} U) \ar[r] & \mathcal{G}(V'/U) }\] est commutatif. Le problème est qu’il peut exister un morphisme \(\varphi : V \to U\), distinct de \(\varphi_0\), tel que \(\varphi \circ \alpha = \varphi'_0\). La flèche verticale de gauche envoie alors le facteur direct correspondant à \(\varphi\) dans celui sur lequel la flèche horizontale inférieure est égale à \(1\), et il est presque certain que le diagramme ne commute pas.

Cohomologie

Lemmes devenus obsolètes concernant la cohomologie.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(X\) un schéma sur \(\Spec(A)\). Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Supposons que \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^1(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] satisfasse la condition de chaîne croissante en tant que \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-module gradué. Alors le système projectif \(M_n = \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) satisfait la condition de Mittag-Leffler.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme plus général Cohomologie, lemme 0GYK.

Lemme

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). Soit \(X\) un schéma sur \(\Spec(A)\). Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Pour tout \(n\), posons \[H^1_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^1(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^1(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] Si \(\bigoplus H^1_n\) satisfait la condition de chaîne croissante en tant que \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-module gradué, alors le système projectif \(M_n = \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) satisfait la condition de Mittag-Leffler.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme plus général Cohomologie, lemme 0GYL.

Lemme

Soit \(I\) un idéal de type fini d’un anneau \(A\). Soit \(X\) un schéma sur \(\Spec(A)\). Soit \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] un système projectif de \(\mathcal{O}_X\)-modules tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\). Supposons que \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] satisfasse la condition de chaîne croissante en tant que \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-module gradué. Alors la topologie limite sur \(M = \lim \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) est la topologie \(I\)-adique.

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme plus général Cohomologie, lemme 0GYM.

Lemme

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\) un topos annelé. Pour tout complexe de \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-modules \(\mathcal{G}^\bullet\), il existe un quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) tel que \(f^*\mathcal{K}^\bullet\) soit un complexe K-plat de \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-modules pour tout morphisme de topos annelés \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\).

Démonstration

Cela résulte de Cohomologie sur les sites, lemmes 06YS et 0G7E.

Remarque

Cette remarque examinait autrefois ce que l’on savait du caractère K-plat, ou non, des images réciproques de complexes K-plats; elle est désormais rendue obsolète par Cohomologie sur les sites, lemme 0G7E.

Le lemme suivant calcule, dans un cas particulier, les faisceaux de cohomologie de la limite dérivée.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \((K_n)\) un système projectif d’objets de \(D(\mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) un sous-ensemble. Soit \(d \in \mathbf{N}\). Supposons que

1. \(K_n\) soit un objet de \(D^+(\mathcal{O})\) pour tout \(n\),

2. pour tout \(q \in \mathbf{Z}\), il existe \(n(q)\) tel que \(H^q(K_{n + 1}) \to H^q(K_n)\) soit un isomorphisme pour \(n \geq n(q)\),

3. tout objet de \(\mathcal{C}\) admette un recouvrement dont les membres appartiennent à \(\mathcal{B}\),

4. pour tout \(U \in \mathcal{B}\), on ait \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\) pour \(p > d\) et tout \(q\).

Alors \(H^m(R\lim K_n) = \lim H^m(K_n)\) pour tout \(m \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Posons \(K = R\lim K_n\). Soit \(U \in \mathcal{B}\). Pour chaque \(n\), il existe une suite spectrale \[H^p(U, H^q(K_n)) \Rightarrow H^{p + q}(U, K_n)\] qui converge puisque \(K_n\) est borné inférieurement; voir Catégories dérivées, lemme 015J. Fixons \(m \in \mathbf{Z}\). L’hypothèse (4) montre que seuls les groupes \(H^p(U, H^q(K_n))\) contribuent à \(H^m(U, K_n)\) pour \(0 \leq p \leq d\) et \(m - d \leq q \leq m\). L’hypothèse (2) implique donc que \(H^m(U, K_{n + 1}) \to H^m(U, K_n)\) est un isomorphisme dès que \(n \geq \max{n(m), \ldots, n(m - d)}\). Le foncteur \(R\Gamma(U, -)\) commute aux limites dérivées d’après Injectifs, lemme 08U1. Ainsi, \[H^m(U, K) = H^m(R\lim R\Gamma(U, K_n))\] D’autre part, nous venons de voir que les groupes de cohomologie des complexes \(R\Gamma(U, K_n)\) sont stationnaires à partir d’un certain rang. Il résulte donc de Compléments d’algèbre, remarque 08U5, que \(H^m(U, K)\) est égal à \(H^m(U, K_n)\) pour tout \(n \gg 0\), avec une borne indépendante de \(U \in \mathcal{B}\). Fixons un tel \(n\). Enfin, rappelons que \(H^m(K)\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^m(U, K)\), tandis que \(H^m(K_n)\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^m(U, K_n)\). Sur les éléments de \(\mathcal{B}\), ces préfaisceaux prennent les mêmes valeurs. L’hypothèse (3) garantit donc que les faisceaux associés sont eux aussi identiques. Le lemme en résulte.

Lemme

Dans la situation de Espaces simpliciaux, 09WE, soit \(a_0\) une augmentation vers un site \(\mathcal{D}\), comme dans Espaces simpliciaux, remarque 0D6Z. Supposons données des sous-catégories de Serre faibles strictement pleines \[\mathcal{A} \subset \textit{Ab}(\mathcal{D}),\quad \mathcal{A}_n \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_n)\] Alors

1. la collection des faisceaux abéliens \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}_{total}\) dont la restriction à \(\mathcal{C}_n\) appartient à \(\mathcal{A}_n\) pour tout \(n\) est une sous-catégorie de Serre faible strictement pleine \(\mathcal{A}_{total} \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\).

Si \(a_n^{-1}\) envoie \(\mathcal{A}\) dans \(\mathcal{A}_n\) pour tout \(n\), alors

1. \(a^{-1}\) envoie \(\mathcal{A}\) dans \(\mathcal{A}_{total}\), et

2. \(a^{-1}\) envoie \(D_\mathcal{A}(\mathcal{D})\) dans \(D_{\mathcal{A}_{total}}(\mathcal{C}_{total})\).

Si \(R^qa_{n, *}\) envoie \(\mathcal{A}_n\) dans \(\mathcal{A}\) pour tous \(n, q\), alors

1. \(R^qa_*\) envoie \(\mathcal{A}_{total}\) dans \(\mathcal{A}\) pour tout \(q\), et

2. \(Ra_*\) envoie \(D_{\mathcal{A}_{total}}^+(\mathcal{C}_{total})\) dans \(D_\mathcal{A}^+(\mathcal{D})\).

Démonstration

Les seules assertions qui demandent une explication sont (4) et (5). L’assertion (4) résulte de la suite spectrale de Espaces simpliciaux, lemme 0D7A, et de Homologie, lemme 012W. L’assertion (5) s’en déduit en considérant la suite spectrale associée à la filtration canonique par les troncations d’un objet \(K\) de \(D_{\mathcal{A}_{total}}^+(\mathcal{C}_{total})\). Nous omettons les détails.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois à une section du chapitre consacré à la cohomologie qui énumérait les sujets restant à traiter.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois à une section du chapitre consacré à la cohomologie qui énumérait les sujets restant à traiter.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZA, dans la situation décrite par Cohomologie sur les sites, lemme 0EZI.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZB, dans la situation décrite par Cohomologie sur les sites, lemme 0EZI.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZE, dans la situation décrite par Cohomologie sur les sites, lemme 0EZI.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZA, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0H.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZB, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0H.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZE, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0H.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZA, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0I.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZB, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0I.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZC, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0I.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZD, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0I.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZE, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0I.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZA, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0J.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZB, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0J.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZC, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0J.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois au cas particulier de Cohomologie sur les sites, lemme 0EZE, dans la situation décrite par Cohomologie étale, lemme 0F0J.

Remarque

Ce tag se trouvait autrefois dans le chapitre consacré à la cohomologie étale, mais une réorganisation fait qu’il n’y a désormais plus sa place. Son contenu était le suivant : Cohomologie étale, lemme 03TT, permet de prouver que, si \(f : X \to Y\) est un morphisme de schémas séparé et de type fini et si \(Y\) est noethérien, alors \(Rf_!\) induit un foncteur \(D_{ctf}(X_\etale, \Lambda) \to D_{ctf}(Y_\etale, \Lambda)\). Un exemple de cet argument, lorsque \(Y\) est le spectre d’un corps et que \(X\) est une courbe, est donné dans La formule des traces, proposition 03TV.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Il existe un unique foncteur \(f^! : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\) tel que

1. pour toute immersion ouverte \(j : U \to X\) telle que \(f \circ j\) soit séparé, il existe un isomorphisme canonique \(j^! \circ f^! = (f \circ j)^!\), et

2. ces isomorphismes, pour \(U \subset U' \subset X\), soient compatibles avec ceux de Compléments de cohomologie étale, lemme 0F5B.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate de Compléments de cohomologie étale, lemmes 0F59 et 0F5B.

Proposition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme localement quasi-fini. Il existe des foncteurs adjoints \(f_! : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) et \(f^! : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\) ayant les propriétés suivantes :

1. le foncteur \(f^!\) est celui construit dans Compléments de cohomologie étale, lemme 0F59,

2. pour toute immersion ouverte \(j : U \to X\) telle que \(f \circ j\) soit séparé, il existe un isomorphisme canonique \(f_! \circ j_! = (f \circ j)_!\), et

3. ces isomorphismes, pour \(U \subset U' \subset X\), sont compatibles avec ceux de Compléments de cohomologie étale, lemme 0F50.

Démonstration

Voir Compléments de cohomologie étale, sections 0F6E et 0F58.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement quasi-fini. Pour un groupe abélien \(A\) et un point géométrique \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\), on a \(f^!(\overline{y}_*A) = \prod\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \overline{x}_*A\).

Démonstration

Cela résulte de l’assertion correspondante de Compléments de cohomologie étale, lemme 0F59.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes de schémas localement quasi-finis et composables. Alors \(g_! \circ f_! = (g \circ f)_!\) et \(f^! \circ g^! = (g \circ f)^!\).

Démonstration

Cela résulte de la combinaison des lemmes de Compléments de cohomologie étale 0F6T et 0F5B.

Algèbre différentielle graduée

Lemme

Soient \((A, \text{d})\) et \((B, \text{d})\) des algèbres différentielles graduées. Soit \(N\) un \((A, B)\)-bimodule différentiel gradué possédant la propriété (P). Soit \(M\) un \(A\)-module différentiel gradué possédant la propriété (P). Alors \(Q = M \otimes_A N\) est un \(B\)-module différentiel gradué qui représente \(M \otimes_A^\mathbf{L} N\) dans \(D(B)\) et qui admet une filtration \[0 = F_{-1}Q \subset F_0Q \subset F_1Q \subset \ldots \subset Q\] par des sous-modules différentiels gradués telle que \(Q = \bigcup F_pQ\), que les inclusions \(F_iQ \to F_{i + 1}Q\) soient des monomorphismes admissibles, et que les quotients \(F_{i + 1}Q/F_iQ\) soient isomorphes, comme \(B\)-modules différentiels gradués, à une somme directe de modules de la forme \((A \otimes_R B)[k]\).

Démonstration

Choisissons des filtrations \(F_\bullet\) sur \(M\) et \(N\). Considérons alors la filtration de \(Q = M \otimes_A N\) définie par \[F_n(Q) = \sum\nolimits_{i + j = n} F_i(M) \otimes_A F_j(N)\] Il s’agit manifestement d’un \(B\)-sous-module différentiel gradué. On a \[F_n(Q)/F_{n - 1}(Q) = \bigoplus\nolimits_{i + j = n} F_i(M)/F_{i - 1}(M) \otimes_A F_j(N)/F_{j - 1}(N)\] par exemple parce que la filtration de \(M\) est scindée dans la catégorie des \(A\)-modules gradués. Par hypothèse, les quotients du membre de droite sont isomorphes à des sommes directes de décalés de \(A\) et de \(A \otimes_R B\); comme \(A \otimes_A (A \otimes_R B) = A \otimes_R B\), on en conclut que le membre de gauche est une somme directe de décalés de \(A \otimes_R B\) comme \(B\)-module différentiel gradué. (Attention : \(Q\) n’est pas muni d’une structure de \((A, B)\)-bimodule.) Cela établit l’assertion relative à la filtration. L’assertion relative au produit tensoriel dérivé résulte immédiatement de la définition du foncteur dans Algèbre différentielle graduée, lemme 09LS.

Méthodes simpliciales

Lemme

Sous les hypothèses et avec les notations de Méthodes simpliciales, lemme 01A6, il existe une section \(g : U \to V\) du morphisme \(f\), et le composé \(g \circ f\) est homotope à l’identité de \(V\). En particulier, le morphisme \(f\) est une équivalence d’homotopie.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Méthodes simpliciales, lemmes 01A6 et 08NS.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie admettant des sommes finies et des limites finies. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\). Soit \(k \geq 0\). Le morphisme canonique \[\Hom(\Delta[k], X) \longrightarrow \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)\] est un isomorphisme.

Démonstration

Pour tout objet simplicial \(V\), on a \[\begin{eqnarray*} \Mor(V, \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)) & = & \Mor(\text{sk}_1 V, \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)) \\ & = & \Mor(i_{1!} \text{sk}_1 V, \Hom(\Delta[k], X)) \\ & = & \Mor(i_{1!} \text{sk}_1 V \times \Delta[k], X) \end{eqnarray*}\] La première égalité résulte de l’adjonction entre \(\text{sk}\) et \(\text{cosk}\), la deuxième de l’adjonction entre \(i_{1!}\) et \(\text{sk}_1\), et la troisième de Méthodes simpliciales, définition 017I, où le dernier \(X\) désigne l’objet simplicial constant de valeur \(X\). D’après Méthodes simpliciales, lemme 018H, un élément de cet ensemble ne dépend que des composantes de degrés \(0\) et \(1\) de \(i_{1!} \text{sk}_1 V \times \Delta[k]\). Celles-ci coïncident avec les composantes de degrés \(0\) et \(1\) de \(V \times \Delta[k]\); voir Méthodes simpliciales, lemme 018N. L’ensemble ci-dessus s’identifie donc à \(\Mor(V \times \Delta[k], X) = \Mor(V, \Hom(\Delta[k], X))\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{C}\) dont les puissances cartésiennes \(X \times \ldots \times X\) existent. Soit \(k \geq 0\), et soit \(C[k]\) l’objet défini dans Méthodes simpliciales, exemple 0B13. Avec les notations de Méthodes simpliciales, lemme 017M, le morphisme canonique \[\Hom(C[k], X)_1 \longrightarrow (\text{cosk}_0 \text{sk}_0 \Hom(C[k], X))_1\] s’identifie à l’application \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} X \longrightarrow X \times X\] qui est la projection sur les facteurs correspondant aux applications constantes \(\alpha\).

Démonstration

C’est établi dans la démonstration de Hyperrecouvrements, lemme 01GJ.

Résultats sur les schémas

Lemmes qui paraissent superflus.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local. Soit \(X \subset \mathbf{P}^n_R\) un sous-schéma fermé. Supposons que \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Alors la fibre spéciale \(X_k\) est géométriquement connexe.

Démonstration

C’est un cas particulier de Compléments sur les morphismes, théorème 03H2.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(Z_0 \subset X\) une partie fermée irréductible de point générique \(\xi\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\) telle que

1. Pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents, si deux des trois termes possèdent la propriété \(\mathcal{P}\), alors le troisième la possède aussi.

2. Si une somme directe de deux faisceaux cohérents possède la propriété \(\mathcal{P}\), alors chacun des deux la possède.

3. Pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset Z_0 \subset X\), \(Z \not = Z_0\), et tout faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\), la propriété \(\mathcal{P}\) est satisfaite par \((Z \to X)_*\mathcal{I}\).

4. Il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(X\) tel que

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\), et

   3. la propriété \(\mathcal{P}\) soit satisfaite par \(\mathcal{G}\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est satisfaite par tout faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) dont le support est contenu dans \(Z_0\).

Démonstration

La démonstration est une variante de celle de Cohomologie des schémas, lemme 01YH. Exactement comme dans cette démonstration, on voit que tout faisceau cohérent dont le support est strictement contenu dans \(Z_0\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Considérons un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) comme en (3). D’après Cohomologie des schémas, lemme 01YE, il existe un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) sur \(Z_0\) et une suite exacte courte \[0 \to \left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] où le support de \(\mathcal{Q}\) est strictement contenu dans \(Z_0\). En particulier, \(r > 0\) et \(\mathcal{I}\) est non nul, car le support de \(\mathcal{G}\) est égal à \(Z\). Puisque \(\mathcal{Q}\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), on en conclut que \(\left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r}\) possède également la propriété \(\mathcal{P}\). D’après (2), on en déduit que la propriété \(\mathcal{P}\) est satisfaite par \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\). En insérant ce fait au point voulu dans la démonstration de Cohomologie des schémas, lemme 01YH, on obtient le lemme. Nous omettons quelques détails.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des faisceaux cohérents sur \(X\) telle que

1. Pour toute suite exacte courte de faisceaux cohérents, si deux des trois termes possèdent la propriété \(\mathcal{P}\), alors le troisième la possède aussi.

2. Si une somme directe de deux faisceaux cohérents possède la propriété \(\mathcal{P}\), alors chacun des deux la possède.

3. Pour tout sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) de point générique \(\xi\), il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) tel que

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\) soit annulé par \(\mathfrak m_\xi\), et

   3. la propriété \(\mathcal{P}\) soit satisfaite par \(\mathcal{G}\).

Alors la propriété \(\mathcal{P}\) est satisfaite par tout faisceau cohérent sur \(X\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 01YJ exactement de la même manière que Cohomologie des schémas, lemme 01YI résulte de Cohomologie des schémas, lemme 01YH.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) une section. Soient \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Supposons que

1. \(X\) soit quasi-compact,

2. \(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

3. \(\mathcal{F}'|_{X_s} = \mathcal{F}|_{X_s}\).

Alors il existe un entier \(n \geq 0\) tel que la multiplication par \(s^n\) sur \(\mathcal{F}\) se factorise par \(\mathcal{F}'\).

Démonstration

Autrement dit, nous affirmons que \(s^n\mathcal{F} \subset \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) pour un certain \(n \geq 0\). Autrement dit, nous affirmons que le morphisme quotient \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathcal{F}'\) devient nul après multiplication par une puissance de \(s\). Cela résulte de Propriétés, lemme 01XQ.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que

1. \(X\) et \(Y\) soient des schémas intègres,

2. \(f\) soit localement de type fini et dominant,

3. \(f\) soit quasi-compact ou séparé,

4. \(f\) soit génériquement fini, c’est-à-dire que l’une des conditions (1) – (5) de Morphismes, lemme 02NX, soit satisfaite.

Alors il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini localement libre de degré \(\deg(X/Y)\). En particulier, les degrés des fibres de \(f^{-1}(V) \to V\) sont majorés par \(\deg(X/Y)\).

Démonstration

On peut choisir \(V\) de sorte que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini. Quitte à restreindre \(V\), on peut alors supposer que \(f^{-1}(V) \to V\) est plat et de présentation finie, d’après le théorème de platitude générique (Morphismes, proposition 052A). Le morphisme est alors fini localement libre d’après Morphismes, lemme 02KB. Comme \(V\) est irréductible, le morphisme est de degré constant. La dernière assertion en résulte avec Morphismes, lemme 0CC2.

Catégories dérivées des variétés

Un lemme qui figurait initialement dans le chapitre consacré aux catégories dérivées des variétés, mais qui n’est désormais plus nécessaire.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma séparé de type fini sur \(k\) qui est régulier. Soit \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) un foncteur exact \(k\)-linéaire. Supposons que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\), il existe un isomorphisme d’espaces vectoriels sur \(k\) \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = \Hom_X(\mathcal{F}, F(M))\] fonctoriel en \(M\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Alors il existe un automorphisme \(f : X \to X\) sur \(k\) qui induit l’identité sur l’espace sous-jacent¹ et un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) tels que \(F\) et \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\) soient apparentés.

Démonstration

Le Lemme 0G02 de Catégories dérivées des variétés montre que, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) dont le support est un point fermé, il existe des isomorphismes \[H^0(X, M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) = H^0(X, F(M) \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\] fonctoriels en \(M\).

Soit \(x \in X\) un point fermé et appliquons ce qui précède à \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_x\), le faisceau gratte-ciel de fibre \(\kappa(x)\) en \(x\). On obtient \[\dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_p(M_x, \kappa(x)) = \dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_p(F(M)_x, \kappa(x))\] pour tout \(p \in \mathbf{Z}\). En particulier, si \(H^i(M) = 0\) pour \(i > 0\), alors \(H^i(F(M)) = 0\) pour \(i > 0\), d’après le Lemme 0G03 de Catégories dérivées des variétés.

Si \(\mathcal{E}\) est localement libre de rang \(r\), alors \(F(\mathcal{E})\) est localement libre de rang \(r\). En effet, un complexe parfait \(K\) sur \(\mathcal{O}_{X, x}\) tel que \[\dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_i(K, \kappa(x)) = \left\{ \begin{matrix} r & \text{si} & i = 0 \\ 0 & \text{si} & i \not = 0 \end{matrix} \right.\] est isomorphe à un module libre de rang \(r\) placé en degré \(0\). Voir, par exemple, Algèbre, compléments, Lemme 0BCD.

Si \(M\) est supporté sur un sous-schéma fermé \(Z \subset X\), alors \(F(M)\) est également supporté sur \(Z\). En effet, \(M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x = 0\) pour \(x \not \in Z\) ; il en va donc de même pour \(F(M)\), et la conclusion résulte du Lemme 0G03 de Catégories dérivées des variétés.

En particulier, \(F(\mathcal{O}_x)\) est supporté sur \(\{x\}\). Soit \(i \in \mathbf{Z}\) le plus petit entier tel que \(H^i(\mathcal{O}_x) \not = 0\). On sait que \(i \leq 0\). Si \(i < 0\), il existe alors un morphisme \(\mathcal{O}_x[-i] \to F(\mathcal{O}_x)\), ce qui contredit le fait que tous les morphismes \(\mathcal{O}_x[-i] \to \mathcal{O}_x\) sont nuls. Ainsi \(F(\mathcal{O}_x) = \mathcal{H}[0]\), où \(\mathcal{H}\) est un faisceau gratte-ciel en \(x\).

Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{G})) = 0\). Il existe alors une filtration \[0 = \mathcal{G}_0 \subset \mathcal{G}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{G}_n = \mathcal{G}\] telle que, pour \(n \geq i \geq 1\), le quotient \(\mathcal{G}_i/\mathcal{G}_{i - 1}\) soit isomorphe à \(\mathcal{O}_{x_i}\) pour un certain point fermé \(x_i \in X\). On obtient alors des triangles distingués \[F(\mathcal{G}_{i - 1}) \to F(\mathcal{G}_i) \to F(\mathcal{O}_{x_i})\] et une récurrence montre que \(F(\mathcal{G}_i)\) est un faisceau cohérent placé en degré \(0\).

Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Nous savons que \(H^i(F(\mathcal{G})) = 0\) pour \(i > 0\). Supposons, en vue d’une contradiction, que \(H^i(F(\mathcal{G}))\) soit non nul pour un certain \(i < 0\). Choisissons \(i\) minimal avec cette propriété, de sorte que nous disposons d’un morphisme \(H^i(F(\mathcal{G}))[-i] \to F(\mathcal{G})\) dans \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Choisissons un point fermé \(x \in X\) dans le support de \(H^i(F(\mathcal{G}))\). D’après Algèbre, compléments, Lemme 0EGV, il existe un \(n > 0\) tel que \[H^i(F(\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \longrightarrow \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n)\] soit non nul. Prenons ensuite \(m \geq 1\) et considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathfrak m_x^m \mathcal{G} \to \mathcal{G} \to \mathcal{G}/\mathfrak m_x^m\mathcal{G} \to 0\] D’après ce qui précède, \(F(\mathcal{G}/\mathfrak m_x^m\mathcal{G})\) est un faisceau placé en degré \(0\). Par conséquent, \(H^i(F(\mathfrak m_x^m \mathcal{G})) \to H^i(F(\mathcal{G}))\) est un isomorphisme. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ H^i(F(\mathfrak m_x^m\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \ar[r] \ar[d] & \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathfrak m_x^m\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) \ar[d] \\ H^i(F(\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \ar[r] & \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) }\] Puisque la flèche verticale de gauche est un isomorphisme et que la flèche horizontale du bas est non nulle, la flèche verticale de droite est non nulle pour tout \(m \geq 1\). D’autre part, le premier paragraphe de la démonstration montre que cette flèche s’identifie à la flèche \[\text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(\mathfrak m_x^m\mathcal{G}_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) \longrightarrow \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(\mathcal{G}_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n)\] Cependant, cette flèche est nulle pour \(m \gg n\) d’après Algèbre, compléments, Lemme 0FXN, ce qui donne la contradiction cherchée.

Nous savons donc que \(F\) préserve les modules cohérents. D’après le Lemme 0G00 de Catégories dérivées des variétés, \(F\) est apparenté au foncteur de Fourier–Mukai \(F'\) défini par un \(\mathcal{O}_{X \times X}\)-module cohérent \(\mathcal{K}\), plat sur \(X\) via \(\text{pr}_1\) et fini sur \(X\) via \(\text{pr}_2\). Comme \(F(\mathcal{O}_X)\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) placé en degré \(0\), on a \[\mathcal{L} \cong F(\mathcal{O}_X) \cong F'(\mathcal{O}_X) \cong \text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\] Le Lemme 0FZP de Foncteurs et morphismes fournit donc un morphisme \(s : X \to X \times X\) tel que \(\text{pr}_2 \circ s = \text{id}_X\) et \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{L}\). Posons \(f = \text{pr}_1 \circ s\). On a alors \[\begin{align*} F'(M) & = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*K \otimes \mathcal{K}) \\ & = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*M \otimes s_*\mathcal{L}) \\ & = R\text{pr}_{2, *}(Rs_*(Lf^*M \otimes \mathcal{L})) \\ & = Lf^*M \otimes \mathcal{L} \end{align*}\] Dans la troisième étape, nous avons utilisé Catégories dérivées des schémas, Lemme 08EU. Comme, pour tout point fermé \(x \in X\), le module \(F(\mathcal{O}_x)\) est supporté en \(x\), on voit que \(f\) induit l’identité sur l’espace sous-jacent de \(X\). Il reste à montrer que \(f\) est un isomorphisme ; c’est l’objet du paragraphe suivant.

Soit \(x \in X\) un point fermé. Pour \(n \geq 1\), notons \(\mathcal{O}_{x, n}\) le faisceau gratte-ciel en \(x\) de fibre \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n\). Nous avons \[\Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, \mathcal{O}_{x, n}) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, F(\mathcal{O}_{x, n})) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, f^*\mathcal{O}_{x, n} \otimes \mathcal{L})\] fonctoriellement par rapport aux homomorphismes de \(\mathcal{O}_X\)-modules entre les \(\mathcal{O}_{x, n}\). (Le premier isomorphisme existe par hypothèse, et le second parce que \(F\) et \(F'\) sont apparentés.) Pour \(m \geq n\), l’action sur \(\mathcal{O}_{x, n}\) donne \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m^n = \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, \mathcal{O}_{x, n})\) ; on en déduit que \(f^\sharp : \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \to \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n\) est bijectif pour tout \(n\). Ainsi, \(f\) induit des isomorphismes sur les anneaux locaux complétés aux points fermés et est donc étale (Morphismes étales, Lemme 039M). En considérant les points fermés, on voit que \(\Delta_f : X \to X \times_{f, X, f} X\) (qui est une immersion ouverte puisque \(f\) est étale) est bijective, donc est un isomorphisme. Par suite, \(f\) est un monomorphisme. Enfin, nous concluons que \(f\) est un isomorphisme, car Descente, Lemme 06NC nous dit que c’est une immersion ouverte.

Représentabilité dans le cas propre et régulier

Cette section est obsolète : le Théorème 0FYH de Catégories dérivées des variétés a été amélioré de sorte qu’il s’applique à tous les schémas propres sur un corps (alors qu’auparavant nous ne l’avions démontré que pour les schémas projectifs sur un corps).

Lemme

Soit \(f : X' \to X\) un morphisme propre et birationnel entre schémas noethériens intègres, avec \(X\) régulier. Le morphisme \(\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_{X'}\) admet canoniquement une rétraction dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Posons \(E = Rf_*\mathcal{O}_{X'}\) dans \(D(\mathcal{O}_X)\). Remarquons que \(E\) appartient à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) d’après Catégories dérivées des schémas, Lemme 08E2. D’après Catégories dérivées des schémas, Lemme 0FDC, \(E\) est donc un objet parfait de \(D(\mathcal{O}_X)\). Comme \(\mathcal{O}_{X'}\) est un faisceau d’algèbres, le cup-produit relatif fournit le morphisme \(\mu : E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E \to E\) de Cohomologie, Remarque 0B68. Soit \(\sigma : E \otimes E^\vee \to E^\vee \otimes E\) la contrainte de commutativité de la catégorie monoïdale symétrique \(D(\mathcal{O}_X)\) (Cohomologie, Lemme 0FPB). Notons \(\eta : \mathcal{O}_X \to E \otimes E^\vee\) et \(\epsilon : E^\vee \otimes E \to \mathcal{O}_X\) les morphismes construits dans Cohomologie, Exemple 0FPC. Nous pouvons alors considérer le morphisme \[E \xrightarrow{\eta \otimes 1} E \otimes E^\vee \otimes E \xrightarrow{\sigma \otimes 1} E^\vee \otimes E \otimes E \xrightarrow{1 \otimes \mu} E^\vee \otimes E \xrightarrow{\epsilon} \mathcal{O}_X\] Nous affirmons que ce morphisme est un inverse à gauche du morphisme figurant dans l’énoncé du lemme. Pour le vérifier, il suffit de montrer que le composé \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\) est l’identité. Il suffit de le vérifier au point générique de \(X\) (ou sur un sous-schéma ouvert de \(X\) au-dessus duquel \(f\) est un isomorphisme). Dans ce cas, \(E = \mathcal{O}_X\) et \(\mu\) est le morphisme de multiplication usuel, d’où l’assertion.

Lemme

Soit \(X\) un schéma régulier, propre sur un corps \(k\). Soit \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) ;

2. \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\) pour tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

L’égalité de (1) résulte de Catégories dérivées des schémas, Lemme 0FDC. L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte de Catégories dérivées des variétés, Lemme 0FYC. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte de Compléments sur les morphismes, Lemme 0GET.

Lemme

Soit \(X\) un schéma régulier, propre sur un corps \(k\).

1. Soit \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X)^{opp} \to \text{Vect}_k\) un foncteur cohomologique \(k\)-linéaire tel que \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k F(E[n]) < \infty\] pour tout \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Alors \(F\) est isomorphe à un foncteur de la forme \(E \mapsto \Hom_X(E, K)\), où \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\).

2. Soit \(G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \text{Vect}_k\) un foncteur homologique \(k\)-linéaire tel que \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k G(E[n]) < \infty\] pour tout \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\). Alors \(G\) est isomorphe à un foncteur de la forme \(E \mapsto \Hom_X(K, E)\), où \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Cela résulte de Catégories dérivées des variétés, Théorème 0FYH, et du Lemme 0H4A. Nous donnons également une autre démonstration ci-dessous.

Démonstration de (1). La catégorie dérivée \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) admet les sommes directes, est compactement engendrée, et \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) en est la sous-catégorie pleine des objets compacts ; voir Catégories dérivées des schémas, Lemme 08DT, Théorème 09IS, et Proposition 09M1. Le lemme de Catégories dérivées des variétés 0FYG permet de supposer que \(F(E) = \Hom_X(E, K)\) pour un certain \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\). \(K\) appartient alors à \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) d’après le Lemme 0FYK.

Démonstration de (2). Considérons le foncteur contravariant \(E \mapsto E^\vee\) sur \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) ; voir Cohomologie, Lemme 08DQ. C’est une anti-équivalence exacte de \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) sur elle-même. On peut donc appliquer (1) au foncteur \(F(E) = G(E^\vee)\) : il existe \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) tel que \(G(E^\vee) = \Hom_X(E, K)\). Il s’ensuit que \(G(E) = \Hom_X(E^\vee, K) = \Hom_X(K^\vee, E)\) ; ainsi, \(K^\vee\) convient.

Foncteur des quotients

Lemme

Soit \(S = \Spec(R)\) un schéma affine. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soient \(q_i : \mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i\), \(i = 1, 2\), des morphismes surjectifs de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Supposons \(\mathcal{Q}_1\) plat sur \(S\). Soit \(T \to S\) un morphisme quasi-compact de schémas tel qu’il existe une factorisation \[\xymatrix{ & \mathcal{F}_T \ar[rd]^{q_{2, T}} \ar[ld]_{q_{1, T}} \\ \mathcal{Q}_{1, T} & & \mathcal{Q}_{2, T} \ar@{..>}[ll] }\] Il existe alors un sous-schéma fermé \(Z \subset S\) tel que (a) \(T \to S\) se factorise par \(Z\) et (b) \(q_{1, Z}\) se factorise par \(q_{2, Z}\). Si \(\Ker(q_2)\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et si \(X\) est quasi-compact, on peut choisir \(Z \to S\) de présentation finie.

Démonstration

On applique Platitude sur les espaces, Lemme 083K, au morphisme \(\Ker(q_2) \to \mathcal{Q}_1\).

Espaces et recouvrements fpqc

Le contenu de cette section a été rendu obsolète par l’argument de Gabber, qui montre que les espaces algébriques vérifient la condition de faisceau pour les recouvrements fpqc. Voir Propriétés des espaces, section 03W8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de schémas sur \(S\). Alors l’application \[\Mor_S(T, X) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_S(T_i, X)\] est injective.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate de la Proposition 0APL de Propriétés des espaces.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(X = \bigcup_{j \in J} X_j\) un recouvrement de Zariski; voir Espaces, Définition 02YY. Si chacun des \(X_j\) vérifie la condition de faisceau pour la topologie fpqc, alors \(X\) vérifie la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

Cela résulte du fait que tous les espaces algébriques vérifient la condition de faisceau pour la topologie fpqc; voir Propriétés des espaces, Proposition 0APL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Si \(X\) est localement quasi-séparé sur \(S\) pour la topologie de Zariski, alors \(X\) vérifie la condition de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate de la Proposition générale 0APL de Propriétés des espaces.

Remarque

Cette remarque examinait autrefois dans quelle mesure la démonstration originelle du Lemme 03WB (datée du 18 décembre 2009) se généralise.

Espaces algébriques très raisonnables

Éléments quelque peu obsolètes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique raisonnable au-dessus de \(S\). Alors \(|X|\) est un espace de Kolmogorov (voir Topologie, Définition 004X).

Démonstration

Cela résulte des définitions et du Lemme 03K3 d’Espaces décents.

Dans la suite de cette section, nous formulons quelques remarques sur les espaces algébriques très raisonnables. S’il existe un schéma \(U\) et un morphisme surjectif, étale et quasi-compact \(U \to X\), alors \(X\) est très raisonnable ; voir Lemme 03IH d’Espaces décents.

Lemme

Tout schéma est très raisonnable.

Démonstration

Cela tient à ce que le morphisme identité est étale, quasi-compact et surjectif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique au-dessus de \(S\). S’il existe un recouvrement ouvert de Zariski \(X = \bigcup X_i\) tel que chaque \(X_i\) soit très raisonnable, alors \(X\) est très raisonnable.

Démonstration

C’est le cas \((\epsilon)\) du Lemme 03KE d’Espaces décents.

Lemme

Tout espace algébrique localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski est très raisonnable. En particulier, tout espace algébrique quasi-séparé est très raisonnable.

Démonstration

C’est l’une des implications du Lemme 03JX d’Espaces décents.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(Y \to X\) un morphisme représentable. Si \(X\) est très raisonnable, alors \(Y\) l’est aussi.

Démonstration

C’est le cas \((\epsilon)\) du Lemme 03KF d’Espaces décents.

Remarque

Les espaces algébriques très raisonnables forment une classe strictement plus grande que celle des espaces algébriques localement quasi-séparés pour la topologie de Zariski. Considérons un espace algébrique de la forme \(X = [U/G]\) (voir Espaces, Définition 02Z3), où \(G\) est un groupe fini agissant sans points fixes sur un schéma \(U\) non quasi-séparé. En effet, dans ce cas, \(U \times_X U = U \times G\), et les deux projections vers \(U\) sont manifestement quasi-compactes ; ainsi, \(X\) est très raisonnable. En revanche, la diagonale \(U \times_X U \to U \times U\) n’est pas quasi-compacte ; cet espace algébrique n’est donc pas quasi-séparé. Prenons maintenant pour \(U\) l’espace affine de dimension infinie sur un corps \(k\) de caractéristique \(\not = 2\), dont l’origine est dédoublée ; voir Schémas, Exemple 01KL. Notons \(0_1, 0_2\) les deux origines de \(U\). Soit \(G = \{+1, -1\}\) et faisons agir \(-1\) par multiplication par \(-1\) sur toutes les coordonnées, tout en échangeant \(0_1\) et \(0_2\). Alors \([U/G]\) est très raisonnable, mais n’est pas localement quasi-séparé pour la topologie de Zariski (détails omis).

Avertissement : le lemme suivant doit être utilisé avec prudence, car les schémas \(U_i\) qui y interviennent ne sont pas nécessairement séparés, ni même quasi-séparés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique très raisonnable au-dessus de \(S\). Il existe une famille de schémas \(U_i\) et des morphismes \(U_i \to X\) tels que

1. chaque \(U_i\) soit un schéma quasi-compact,

2. chaque \(U_i \to X\) soit étale,

3. les deux projections \(U_i \times_X U_i \to U_i\) soient quasi-compactes, et

4. le morphisme \(\coprod U_i \to X\) soit surjectif (et étale).

Démonstration

La Définition 03I8 d’Espaces décents assure l’existence de \(U_i \to X\) satisfaisant (2), (3) et (4). Fixons \(i\), posons \(R_i = U_i \times_X U_i\) et notons \(s, t : R_i \to U_i\) les projections. Pour tout ouvert affine \(W \subset U_i\), l’ouvert \(W' = t(s^{-1}(W)) \subset U_i\) est quasi-compact et invariant par \(R_i\) (voir Groupoïdes, Lemme 03LO). Ainsi, \(W'\) est un schéma quasi-compact, \(W' \to X\) est étale et \(W' \times_X W' = s^{-1}(W') = t^{-1}(W')\) ; les deux projections \(W' \times_X W' \to W'\) sont donc quasi-compactes. La famille des \(W' \to X\), où \(W \subset U_i\) parcourt les membres de recouvrements ouverts affines des \(U_i\), possède par conséquent les propriétés voulues.

Lemmes obsolètes sur les espaces algébriques

Lemmes qui semblent superflus ou ne sont plus utilisés dans le texte.

Lemme

Dans la Situation 07UY de Cohomologie des espaces, le morphisme \(p : X \to \Spec(A)\) est surjectif.

Démonstration

Ce lemme intervenait à l’origine dans la démonstration de la Proposition 07V6 de Cohomologie des espaces, mais il en est désormais une conséquence.

Lemme

Dans la Situation 07UY de Cohomologie des espaces, le morphisme \(p : X \to \Spec(A)\) est universellement fermé.

Démonstration

Ce lemme intervenait à l’origine dans la démonstration de la Proposition 07V6 de Cohomologie des espaces, mais il en est désormais une conséquence.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois à une équation de la démonstration du Lemme 0AKT d’Espaces formels.

Remarque

Ce tag renvoyait autrefois à une équation de la démonstration du Lemme 0AKT d’Espaces formels.

Lemmes obsolètes sur les champs algébriques

Lemmes qui semblent superflus ou ne sont plus utilisés dans le texte.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{X}\) une catégorie fibrée en groupoïdes au-dessus de \((\Sch/S)_{fppf}\) vérifiant (RS*). Soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma affine \(U\) de type fini sur \(S\). Soient \(u_n \in U\), \(n \geq 1\), des points de type fini deux à deux distincts tels que \(x\) ne soit versel en \(u_n\) pour tout \(n\). Après avoir remplacé \(u_n\) par une sous-suite, il existe des morphismes \[x \to x_1 \to x_2 \to \ldots \quad\text{dans }\mathcal{X}\text{, au-dessus de}\quad U \to U_1 \to U_2 \to \ldots\] sur \(S\) tels que

1. pour tout \(n\), le morphisme \(U \to U_n\) est un épaississement du premier ordre,

2. pour tout \(n\), on a une suite exacte courte \[0 \to \kappa(u_n) \to \mathcal{O}_{U_n} \to \mathcal{O}_{U_{n - 1}} \to 0\] où \(U_0 = U\) lorsque \(n = 1\),

3. pour tout \(n\), il n’existe aucun couple \((W, \alpha)\) formé d’un voisinage ouvert \(W \subset U_n\) de \(u_n\) et d’un morphisme \(\alpha : x_n|_W \to x\) tel que le composé \[x|_{U \cap W} \xrightarrow{\text{restriction de }x \to x_n} x_n|_W \xrightarrow{\alpha} x\] soit le morphisme canonique \(x|_{U \cap W} \to x\).

Démonstration

À l’origine, ce lemme intervenait dans la preuve d’un critère d’ouverture de la versalité (Axiomes d’Artin, lemme 0CXU), mais il a été remplacé par Axiomes d’Artin, lemme 0G2S, dont il découle immédiatement. En effet, quitte à remplacer \(u_n\), \(n \geq 1\), par une sous-suite, nous pouvons supposer qu’il n’existe aucune relation de spécialisation entre ces points ; voir Properties, lemme 0CXG. Il suffit alors d’appliquer Axiomes d’Artin, lemme 0G2S pour achever la preuve.

Variantes du complexe cotangent pour les schémas

Cette section donne une autre construction du complexe cotangent d’un morphisme de schémas. Elle figure actuellement dans le chapitre obsolète, car, pour les applications, la version plus élémentaire étudiée dans Complexe cotangent, section 08V7 suffit.

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{C}_{X/Y}\) la catégorie dont les objets sont les diagrammes commutatifs [08T6]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_i & A \ar[ld] \\ Y & V \ar[l] } } \end{equation}\] de schémas tels que

1. \(U\) soit un sous-schéma ouvert de \(X\),

2. \(V\) soit un sous-schéma ouvert de \(Y\), et

3. il existe un isomorphisme \(A = V \times \Spec(P)\) au-dessus de \(V\), où \(P\) est une algèbre de polynômes sur \(\mathbf{Z}\) (en un ensemble quelconque de variables).

Autrement dit, \(A\) est un espace affine (de dimension éventuellement infinie) sur \(V\). Les morphismes sont donnés par des diagrammes commutatifs.

Notation. Un objet de \(\mathcal{C}_{X/Y}\), c’est-à-dire un diagramme (08T6), sera souvent noté \(U \to A\), étant entendu que (a) \(U\) est un sous-schéma ouvert de \(X\), (b) \(U \to A\) est un morphisme au-dessus de \(Y\), (c) l’image du morphisme structural \(A \to Y\) est un ouvert \(V \subset Y\), et (d) le morphisme \(A \to V\) présente sa source comme un espace affine sur sa base. Nous écrirons \(U \to A/V\) pour indiquer que \(V \subset Y\) est l’image de \(A \to Y\). Rappelons que \(X_{Zar}\) désigne le petit site de Zariski de \(X\). Il existe des foncteurs d’oubli \[\mathcal{C}_{X/Y} \to X_{Zar},\ (U \to A) \mapsto U \quad\text{et}\quad \mathcal{C}_{X/Y} \mapsto Y_{Zar},\ (U \to A/V) \mapsto V.\]

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme de schémas.

1. La catégorie \(\mathcal{C}_{X/Y}\) est fibrée sur \(X_{Zar}\).

2. La catégorie \(\mathcal{C}_{X/Y}\) est fibrée sur \(Y_{Zar}\).

3. La catégorie \(\mathcal{C}_{X/Y}\) est fibrée sur la catégorie des couples \((U, V)\), où \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) sont ouverts et où \(f(U) \subset V\).

Démonstration

Pour (1). Étant donnés un objet \(U \to A\) de \(\mathcal{C}_{X/Y}\) et un morphisme \(U' \to U\) de \(X_{Zar}\), considérons l’objet \(i' : U' \to A\) de \(\mathcal{C}_{X/Y}\), où \(i'\) est le composé de \(i\) et de \(U' \to U\). Le morphisme \((U' \to A) \to (U \to A)\) de \(\mathcal{C}_{X/Y}\) est fortement cartésien au-dessus de \(X_{Zar}\).

Pour (2). Étant donnés un objet \(U \to A/V\) et un morphisme \(V' \to V\), posons \(U' = U \cap f^{-1}(V')\) et \(A' = V' \times_V A\); on obtient ainsi un morphisme fortement cartésien \((U' \to A') \to (U \to A)\) au-dessus de \(V' \to V\).

Pour (3). Notons \((X/Y)_{Zar}\) la catégorie de (3). Étant donnés \(U \to A/V\) et un morphisme \((U', V') \to (U, V)\) dans \((X/Y)_{Zar}\), considérons \(A' = V' \times_V A\). Alors le morphisme \((U' \to A'/V') \to (U \to A/V)\) est fortement cartésien dans \(\mathcal{C}_{X/Y}\) au-dessus de \((X/Y)_{Zar}\).

Nous obtenons une topologie \(\tau_X\) sur \(\mathcal{C}_{X/Y}\) en prenant la topologie induite par celle de \(X_{Zar}\) (voir Champs, section 06NT). Sauf mention contraire, c’est cette topologie sur \(\mathcal{C}_{X/Y}\) que nous considérerons. Précisément, une famille de morphismes \(\{(U_i \to A_i) \to (U \to A)\}\) est couvrante dans \(\mathcal{C}_{X/Y}\) si et seulement si

1. \(U = \bigcup U_i\), et

2. \(A_i = A\) pour tout \(i\).

On obtient la même catégorie de faisceaux si l’on autorise \(A_i \cong A\) dans (2). Le foncteur \(u\) définit un morphisme de topos \(\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) \to \Sh(X_{Zar})\).

Le site \(\mathcal{C}_{X/Y}\) est muni de plusieurs faisceaux d’anneaux.

1. Le faisceau \(\mathcal{O}\) défini par la règle \((U \to A) \mapsto \mathcal{O}(A)\).

2. Le faisceau \(\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X\) défini par la règle \((U \to A) \mapsto \mathcal{O}(U)\).

3. Le faisceau \(\underline{\mathcal{O}}_Y\) défini par la règle \((U \to A/V) \mapsto \mathcal{O}(V)\).

Nous en déduisons des morphismes de topos annelés [08T8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] Le morphisme \(i\) est l’identité sur les topos sous-jacents, et \(i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X\) est le morphisme évident. Le morphisme \(\pi\) est un cas particulier de Cohomologie sur les sites, Situation 08P8. Les foncteurs dérivés \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)\), adjoint à gauche de \(Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})\), et \(L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\), adjoint à gauche de \(\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)\), joueront un rôle important dans la suite.

Remarque

Nous obtenons une deuxième topologie \(\tau_Y\) sur \(\mathcal{C}_{X/Y}\) en prenant la topologie induite par celle de \(Y_{Zar}\). Il existe une troisième topologie \(\tau_{X \to Y}\), pour laquelle une famille de morphismes \(\{(U_i \to A_i) \to (U \to A)\}\) est couvrante si et seulement si \(U = \bigcup U_i\), \(V = \bigcup V_i\) et \(A_i \cong V_i \times_V A\). C’est la topologie induite par celle du site \((X/Y)_{Zar}\), dont la catégorie sous-jacente est la catégorie des couples \((U, V)\) du Lemme 08T7, partie (3). Les familles couvrantes de \((X/Y)_{Zar}\) sont les familles \(\{(U_i, V_i) \to (U, V)\}\) telles que \(U = \bigcup U_i\) et \(V = \bigcup V_i\). Il existe des morphismes de topos \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) = \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_X) & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y}) \ar[l] \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_Y) }\] (rappelons que \(\tau_X\) est notre topologie « par défaut »). Les foncteurs d’image inverse associés à ces flèches sont donnés par le passage au faisceau associé, tandis que l’image directe est l’identité sur les préfaisceaux sous-jacents. Le diagramme de topos \[\xymatrix{ \Sh(X_{Zar}) \ar[d]^f & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) \ar[l]^\pi & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y}) \ar[l] \ar[d] \\ \Sh(Y_{Zar}) & & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_Y) \ar[ll] }\] n’est pas commutatif. En effet, l’image inverse d’un faisceau abélien non nul sur \(Y\) est un faisceau abélien non nul sur \((\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y})\), mais il existe certainement des exemples où son image inverse sur \(X\) est nulle. Notons que tout préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(Y_{Zar}\) définit un faisceau \(\underline{\mathcal{F}}\) sur \(\mathcal{C}_{Y/X}\) par la règle qui associe à \((U \to A/V)\) l’ensemble \(\mathcal{F}(V)\). Même lorsque \(\mathcal{F}\) est un faisceau, on n’a pas en général \(\underline{\mathcal{F}} = \pi^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\). Cela tient à la non-commutativité du diagramme ci-dessus, car \(\underline{\mathcal{F}}\) est l’image directe de l’image inverse de \(\mathcal{F}\) sur \(\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y})\) par les flèches horizontale inférieure et verticale droite. Le faisceau \(\underline{\mathcal{O}}_Y\) en est un exemple. En revanche, il existe un morphisme \(\underline{\mathcal{F}} \to \pi^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\) qui, comme nous le verrons plus loin, devient un isomorphisme après application de \(\pi_!\).

Déformations et obstructions des modules plats

Dans cette section, nous esquissons la construction d’une théorie des déformations du champ des faisceaux cohérents sur un espace algébrique \(X\) quelconque au-dessus d’un anneau \(\Lambda\). Ce développement est obsolète en raison de l’exposé amélioré de Quot, section 08WB.

Nous nous placerons dans le cadre suivant. On se donne

1. un anneau \(\Lambda\),

2. un espace algébrique \(X\) sur \(\Lambda\),

3. une \(\Lambda\)-algèbre \(A\); posons \(X_A = X \times_{\Spec(\Lambda)} \Spec(A)\), et

4. un \(\mathcal{O}_{X_A}\)-module \(\mathcal{F}\) de présentation finie, plat sur \(A\).

Dans cette situation, nous considérerons toutes les surjections possibles \[0 \to I \to A' \to A \to 0\] où \(A'\) est une \(\Lambda\)-algèbre dont le noyau \(I\) est un idéal de carré nul dans \(A'\). Pour tout \(A'\), on obtient un épaississement du premier ordre \(X_A \to X_{A'}\) d’espaces algébriques au-dessus de \(\Spec(\Lambda)\). Pour chacun de ces épaississements, nous considérons le problème du relèvement de \(\mathcal{F}\) en un module \(\mathcal{F}'\) de présentation finie sur \(X_{A'}\), plat sur \(A'\). Nous voudrions retrouver dans ce cadre les résultats de Théorie des déformations, Lemme 08VW.

Plus précisément, notons \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) la catégorie des couples \((\mathcal{F}', \alpha)\), où \(\mathcal{F}'\) est un module de présentation finie sur \(X_{A'}\), plat sur \(A'\), et où \(\alpha : \mathcal{F}'|_{X_A} \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme. Les morphismes \((\mathcal{F}'_1, \alpha_1) \to (\mathcal{F}'_2, \alpha_2)\) sont les isomorphismes \(\mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F}'_2\) compatibles avec \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\). L’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) est noté \(\text{Lift}(\mathcal{F}, A')\).

Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A\)-modules sur \(X_\etale\), plat sur \(A\). Nous introduisons la catégorie \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\) des couples \((\mathcal{G}', \beta)\), où \(\mathcal{G}'\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A'\)-modules plat sur \(A'\) et \(\beta\) est un isomorphisme \(\mathcal{G}' \otimes_{A'} A \to \mathcal{G}\).

Lemme

Notations et hypothèses comme ci-dessus. Soit \(p : X_A \to X\) la projection. Pour tout \(A'\), notons \(p' : X_{A'} \to X\) la projection. Le foncteur \(p'_*\) induit une équivalence de catégories entre

1. la catégorie \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\), et

2. la catégorie \(\textit{Lift}(p_*\mathcal{F}, A')\).

Démonstration

FIXME.

Soit \(\mathcal{H}\) un faisceau de \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-modules sur \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\), plat sur \(A\). Nous introduisons la catégorie \(\textit{Lift}_\mathcal{O}(\mathcal{H}, A')\) dont les objets sont les couples \((\mathcal{H}', \gamma)\), où \(\mathcal{H}'\) est un faisceau de \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A'\)-modules plat sur \(A'\), et où \(\gamma : \mathcal{H}' \otimes_A A' \to \mathcal{H}\) est un isomorphisme de \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-modules.

Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A\)-modules sur \(X_\etale\), plat sur \(A\). Considérons les morphismes \(i\) et \(\pi\) de Complexe cotangent, Équation (08VK). Notons \(\underline{\mathcal{G}} = \pi^{-1}(\mathcal{G})\). Il est simplement donné par la règle \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{G}(U)\); c’est donc un faisceau de \(\underline{\mathcal{O}}_X \otimes_\Lambda A\)-modules. Notons \(i_*\underline{\mathcal{G}}\) le même faisceau, considéré comme un faisceau de \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-modules.

Lemme

Notations et hypothèses comme ci-dessus. Le foncteur \(\pi_!\) induit une équivalence de catégories entre

1. la catégorie \(\textit{Lift}_\mathcal{O}(i_*\underline{\mathcal{G}}, A')\), et

2. la catégorie \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\).

Démonstration

FIXME.

Lemme

Notations et hypothèses du Lemme 08W1. Considérons l’objet \[L = L(\Lambda, X, A, \mathcal{G}) = L\pi_!(Li^*(i_*(\underline{\mathcal{G}})))\] de \(D(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A)\). Pour toute surjection \(A' \to A\) de \(\Lambda\)-algèbres dont le noyau \(I\) est de carré nul, on a

1. La catégorie \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\) est non vide si et seulement si une certaine classe \(\xi \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\) est nulle.

2. Si \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\) est non vide, alors \(\text{Lift}(\mathcal{G}, A')\) est un ensemble principal homogène sous \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\).

3. Étant donné un relèvement \(\mathcal{G}'\), l’ensemble des automorphismes de \(\mathcal{G}'\) dont l’image inverse est \(\text{id}_\mathcal{G}\) est canoniquement isomorphe à \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\).

Démonstration

FIXME.

Enfin, rassemblons ces résultats comme suit.

Proposition

Pour \(\Lambda\), \(X\), \(A\) et \(\mathcal{F}\) comme ci-dessus, il existe un objet canonique \(L = L(\Lambda, X, A, \mathcal{F})\) de \(D(X_A)\) tel que, pour toute surjection \(A' \to A\) de \(\Lambda\)-algèbres dont le noyau \(I\) est de carré nul, on ait

1. La catégorie \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) est non vide si et seulement si une certaine classe \(\xi \in \Ext^2_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\) est nulle.

2. Si \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) est non vide, alors \(\text{Lift}(\mathcal{F}, A')\) est un ensemble principal homogène sous \(\Ext^1_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\).

3. Étant donné un relèvement \(\mathcal{F}'\), l’ensemble des automorphismes de \(\mathcal{F}'\) dont l’image inverse est \(\text{id}_\mathcal{F}\) est canoniquement isomorphe à \(\Ext^0_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\).

Démonstration

FIXME.

Lemme

Dans la situation de la Proposition 08W3, si \(X \to \Spec(\Lambda)\) est localement de type fini et si \(\Lambda\) est noethérien, alors \(L\) est pseudo-cohérent.

Démonstration

FIXME.

Le champ des faisceaux cohérents dans le cas non plat

Dans Quot, théorème 08WC, l’hypothèse selon laquelle \(f : X \to B\) est plat n’est pas nécessaire. Dans cette section, nous modifions la méthode de démonstration, en nous appuyant sur des idées issues de la géométrie algébrique dérivée, afin de nous affranchir de l’hypothèse de platitude. Une méthode entièrement différente est employée dans Quot, section 08WB pour obtenir exactement le même résultat ; c’est pourquoi la méthode de la présente section est obsolète.

La seule étape de la démonstration de Quot, théorème 08WC qui utilise la platitude est l’application de Quot, lemme 08WA. Ce lemme sert à construire une théorie de l’obstruction comme dans Axiomes d’Artin, section 07YV. Sa démonstration repose sur Théorie des déformations, lemmes 08VW et 08VY de Théorie des déformations, section 08VV. C’est ainsi qu’apparaît l’hypothèse de platitude de \(f\). Avant de poursuivre, remarquons que les résultats (2) et (3) de Théorie des déformations, lemmes 08VW restent valables sans supposer \(f\) plat, puisqu’ils reposent sur Théorie des déformations, lemmes 08MU et 08MR, qui ne comportent aucune hypothèse de platitude.

Avant d’entrer dans les détails, motivons la construction provenant de la géométrie algébrique dérivée, car elle éclairera, nous semble-t-il, la suite. Soit \(A\) une algèbre de type fini sur la base localement noethérienne \(S\). Notons \(X \otimes^\mathbf{L} A\) un « changement de base dérivé » de \(X\) à \(A\), et notons \(i : X_A \to X \otimes^\mathbf{L} A\) le morphisme d’inclusion canonique. L’objet \(X \otimes^\mathbf{L} A\) n’est pas (encore) défini dans le Projet Champs ; on peut le concevoir comme l’espace algébrique \(X_A\) muni d’un faisceau simplicial d’anneaux \(\mathcal{O}_{X \otimes^\mathbf{L} A}\) dont les faisceaux d’homologie sont \[H_i(\mathcal{O}_{X \otimes^\mathbf{L} A}) = \text{Tor}^{\mathcal{O}_S}_i(\mathcal{O}_X, A).\] Le morphisme \(X \otimes^\mathbf{L} A \to \Spec(A)\) est plat (les termes du faisceau simplicial d’anneaux étant plats sur \(A\)), de sorte que les résultats usuels sur les déformations de modules plats lui sont applicables. On obtient ainsi une théorie de l’obstruction faisant intervenir les groupes \[\Ext^i_{X \otimes^\mathbf{L} A}(i_*\mathcal{F}, i_*\mathcal{F} \otimes_A M)\] où \(i = 0, 1, 2\) correspondent respectivement aux automorphismes infinitésimaux, aux déformations infinitésimales et aux obstructions. Remarquons que toute déformation plate de \(i_*\mathcal{F}\) sur \(X \otimes^\mathbf{L} A'\) est nécessairement de la forme \(i'_*\mathcal{F}'\), où \(\mathcal{F}'\) est une déformation plate de \(\mathcal{F}\). Par adjonction entre les foncteurs \(Li^*\) et \(i_* = Ri_*\), ces groupes d’Ext sont égaux à \[\Ext^i_{X_A}(Li^*(i_*\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] Nous obtenons donc des groupes d’obstruction exactement de la même forme que dans la démonstration de Quot, lemme 08WA, à ceci près que la première occurrence de \(\mathcal{F}\) est remplacée par le complexe \(Li^*(i_*\mathcal{F})\).

Nous démontrons ci-dessous la version non plate du lemme en construisant « directement » \(E(\mathcal{F}) = Li^*(i_*\mathcal{F})\), puis en établissant directement son lien avec la théorie des déformations de \(\mathcal{F}\). En fait, il suffit de construire \(\tau_{\geq -2}E(\mathcal{F})\), puisque seuls nous intéressent les groupes d’Ext \(\Ext^i_{X_A}(Li^*(i_*\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\) pour \(i = 0, 1, 2\). On peut même déterminer les faisceaux de cohomologie \[H^i(E(\mathcal{F})) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si }i > 0 \\ \mathcal{F} & \text{si } i = 0 \\ 0 & \text{si } i = -1 \\ \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_S}(\mathcal{O}_X, A) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} & \text{si } i = -2 \end{matrix} \right.\] Cette observation guidera notre construction de \(E(\mathcal{F})\) dans les remarques qui suivent.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(U\) un autre espace algébrique sur \(B\). Notons \(q : X \times_B U \to U\) la seconde projection. Considérons le triangle distingué \[Lq^*L_{U/B} \to L_{X \times_B U/B} \to E \to Lq^*L_{U/B}[1]\] de Cotangent, section 09DJ. Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}_{X \times_B U}\)-modules, on dispose de la classe d’Atiyah \[\mathcal{F} \to L_{X \times_B U/B} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\] voir Cotangent, section 09DF. Composons-la avec le morphisme vers \(E\), puis choisissons un triangle distingué \[E(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} E[1] \to E(\mathcal{F})[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_{X \times_B U})\). Par construction, la classe d’Atiyah se relève en un morphisme \[e_\mathcal{F} : E(\mathcal{F}) \longrightarrow Lq^*L_{U/B} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\] qui s’inscrit dans un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} Lq^*L_{U/B}[1] \ar[r] & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} L_{X \times_B U/B}[1] \ar[r] & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} E[1] \\ E(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^{e_\mathcal{F}} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[u]^{Atiyah} & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} E[1] \ar[u]^{=} }\] Une fois donnés \(S, B, X, f, U, \mathcal{F}\), nous fixons un choix de \(E(\mathcal{F})\) et de \(e_\mathcal{F}\).

Remarque

Avec les notations de la remarque 09DN, soit \(i : U \to U'\) un épaississement du premier ordre de \(U\) sur \(B\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{U'}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(B\) dans \(B'\). Le triangle fondamental \[Li^*L_{U'/B} \to L_{U/B} \to L_{U/U'} \to Li^*L_{U'/B}[1]\] et le morphisme \(L_{U/U'} \to \mathcal{I}[1]\) définissent ensemble un morphisme \(e_{U'} : L_{U/B} \to \mathcal{I}[1]\). En le combinant au morphisme \(e_\mathcal{F}\) de la remarque précédente, on obtient \[(\text{id}_\mathcal{F} \otimes Lq^*e_{U'}) \cup e_\mathcal{F} : E(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}} q^*\mathcal{I}[2]\] (on a en outre composé avec le morphisme du produit tensoriel dérivé vers le produit tensoriel usuel). Autrement dit, on obtient un élément \[\xi_{U'} \in \Ext^2_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}( E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}} q^*\mathcal{I})\]

Lemme

Dans la situation de la remarque 09DP, supposons que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(U\). Alors l’annulation de la classe \(\xi_{U'}\) est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un \(\mathcal{O}_{X \times_B U'}\)-module \(\mathcal{F}'\), plat sur \(U'\), tel que \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\).

Démonstration

Nous utiliserons le critère de Théorie des déformations, lemme 08MV. Pour abréger, nous écrirons \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{X \times_B U}\) et \(\mathcal{O}' = \mathcal{O}_{X \times_B U'}\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{U'} \to \mathcal{O}_U \to 0.\] Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}'\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux définissant \(X \times_B U\). D’après ce qui précède, on obtient une suite exacte \[\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U) \to q^*\mathcal{I} \to \mathcal{J} \to 0\] où \(\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U)\) est une abréviation de \[\text{Tor}_1^{h^{-1}\mathcal{O}_B}(p^{-1}\mathcal{O}_X, q^{-1}\mathcal{O}_U) \otimes_{(p^{-1}\mathcal{O}_X\otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_B}q^{-1}\mathcal{O}_U)} \mathcal{O}.\] En tensorisant par \(\mathcal{F}\), on obtient la suite exacte \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U) \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} q^*\mathcal{I} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J} \to 0\] (Remarquons que les rôles des lettres \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}\) sont intervertis par rapport aux notations de Théorie des déformations, lemme 08MV.) La condition (1) du lemme affirme que le dernier morphisme ci-dessus est un isomorphisme, autrement dit que le premier morphisme est nul. L’annulation de ce morphisme peut se vérifier sur les fibres en des points géométriques \(\overline{z} = (\overline{x}, \overline{u}) : \Spec(k) \to X \times_B U\). Posons \(R = \mathcal{O}_{B, \overline{b}}\), \(A = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), \(B = \mathcal{O}_{U, \overline{u}}\) et \(C = \mathcal{O}_{\overline{z}}\). D’après Cotangent, lemme 09DM et le triangle qui définit \(E(\mathcal{F})\), on a \[H^{-2}(E(\mathcal{F}))_{\overline{z}} = \mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes \text{Tor}_1^R(A, B)\] Le morphisme \(\xi_{U'}\) induit donc un morphisme \[\mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes \text{Tor}_1^R(A, B) \longrightarrow \mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes_B \mathcal{I}_{\overline{u}}\] Nous affirmons que ce morphisme coïncide avec la fibre en ce point du morphisme décrit ci-dessus (démonstration omise : il s’agit d’un énoncé purement algébrique). La condition (1) de Théorie des déformations, lemme 08MV équivaut donc à l’annulation de \(H^{-2}(\xi_{U'}) : H^{-2}(E(\mathcal{F})) \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\).

Pour achever la démonstration, montrons que, sous l’hypothèse que la condition (1) est satisfaite, la condition (2) équivaut à l’annulation de \(\xi_{U'}\). Dans la suite de la démonstration, nous écrivons \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\) pour désigner \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} q^*\mathcal{I} = \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J}\). L’examen de la suite spectrale \[\Ext^i(H^{-j}(E(\mathcal{F})), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \Rightarrow \Ext^{i + j}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\] et les égalités \(H^0(E(\mathcal{F})) = \mathcal{F}\) et \(H^{-1}(E(\mathcal{F})) = 0\) montrent que l’on a une suite exacte \[0 \to \Ext^2(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \to \Ext^2(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \to \Hom(H^{-2}(E(\mathcal{F})), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\] Ainsi, notre élément \(\xi_{U'}\) appartient à \(\Ext^2(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\). Il reste à montrer qu’il coïncide avec l’élément de Théorie des déformations, lemme 08MV ; nous omettons cette vérification.

Lemme

Dans Quot, situation 08KB, supposons que \(S\) soit un schéma localement noethérien et que \(S = B\). Posons \(\mathcal{X} = \textit{Coh}_{X/B}\). Alors la versalité est ouverte pour \(\mathcal{X}\) (voir Axiomes d’Artin, définition 07XQ).

Démonstration

Soit \(U \to S\) un morphisme de schémas de type fini, soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), et soit \(u_0 \in U\) un point de type fini tel que \(x\) soit versel en \(u_0\). En rétrécissant \(U\), on peut supposer que \(u_0\) est un point fermé (Morphismes, lemme 01TA) et que \(U = \Spec(A)\), le morphisme \(U \to S\) se factorisant par un ouvert affine \(\Spec(\Lambda)\) de \(S\). Nous appliquerons Axiomes d’Artin, lemme 07YZ pour démontrer le lemme. Soit \(\mathcal{F}\) le module cohérent sur \(X_A = \Spec(A) \times_S X\), plat sur \(A\), qui correspond à l’objet \(x\).

Choisissons \(E(\mathcal{F})\) et \(e_\mathcal{F}\) comme dans la remarque 09DN. La description des faisceaux de cohomologie de \(E(\mathcal{F})\) montre que \[\Ext^1(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M) = \Ext^1(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] pour tout \(A\)-module \(M\). D’après cette égalité et Théorie des déformations, lemme 08MU, on dispose d’un isomorphisme de foncteurs \[T_x(M) = \Ext^1_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] D’après le lemme 09DQ, toute surjection \(A' \to A\) de \(\Lambda\)-algèbres dont le noyau \(I\) est de carré nul fournit une classe d’obstruction \[\xi_{A'} \in \Ext^2_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A I)\] Appliquons Catégories dérivées des espaces, lemme 08JR au calcul des groupes d’Ext \(\Ext^i_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\) pour \(i \leq m\), où \(m = 2\). Nous omettons la vérification que \(E(\mathcal{F})\) appartient à \(D^-_{\textit{Coh}}\) ; indication : appliquer Cotangent, lemme 08PZ. On obtient un objet parfait \(K \in D(A)\) et des isomorphismes fonctoriels \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M) \longrightarrow \Ext^i_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] pour \(i \leq m\), compatibles aux morphismes de bord. Cet objet \(K\), muni des identifications affichées ci-dessus, fournit une donnée comme dans Axiomes d’Artin, situation 07YX. Enfin, la condition (iv) de Axiomes d’Artin, lemme 07YY résulte d’une variante de Théorie des déformations, lemme 08VY, dont nous omettons l’énoncé et la démonstration. Ainsi, Axiomes d’Artin, lemme 07YZ s’applique, ce qui démontre le lemme.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(f\) soit de présentation finie et séparé. Alors \(\textit{Coh}_{X/B}\) est un champ algébrique sur \(S\).

Démonstration

Ce théorème reproduit Quot, théorème 09DS. Nous le reprenons ici parce que le contenu de la présente section en fournit une seconde démonstration (comme nous l’avons expliqué au début de la section). En effet, nous raisonnons exactement comme dans la démonstration de Quot, théorème 08WC, si ce n’est que nous y substituons le lemme 09DR à Quot, lemme 08WA.

Modifications

Voici un résultat désormais obsolète concernant la catégorie de Algébrisation des espaces formels, équation (0AS2). On trouvera le traitement actuel dans Algébrisation des espaces formels, section 0AS1.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. La catégorie de Algébrisation des espaces formels, équation (0AS2) pour \(A\) est équivalente à la catégorie donnée par Algébrisation des espaces formels, équation (0AS2) pour l’hensélisé \(A^h\) de \(A\).

Démonstration

C’est un cas particulier d’Algébrisation des espaces formels, lemme 0AF7.

Le lemme suivant sur les singularités rationnelles n’est plus nécessaire dans le chapitre consacré à la résolution des singularités de surfaces.

Lemme

Plaçons-nous dans Résolution des surfaces, situation 0B4W. Soit \(M\) un \(A\)-module réflexif fini. Notons \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\) l’image réciproque du \(\mathcal{O}_S\)-module associé. Alors le morphisme canonique de \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\) vers son bidual est surjectif.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F} = (M \otimes_A \mathcal{O}_X)^{**}\) le bidual, et soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) l’image du morphisme d’évaluation \(M \otimes_A \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\). On dispose alors d’une suite exacte \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] Puisque \(X\) est normal, les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) sont des anneaux de valuation discrète aux points de codimension \(1\) (voir Propriétés, lemme 0345). Par conséquent, \(\mathcal{Q}_x = 0\) en ces points, d’après Compléments d’algèbre, lemme 0B36. Ainsi, \(\mathcal{Q}\) est supporté par un nombre fini de points fermés et est engendré par ses sections globales, d’après Cohomologie des schémas, lemme 0B3J. On obtient la suite exacte \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}') \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(X, \mathcal{Q}) \to 0\] parce que \(\mathcal{F}'\) est engendré par ses sections globales (Résolution des surfaces, lemme 0B4X). Comme \(X \to \Spec(A)\) est un isomorphisme au-dessus du complémentaire du point fermé et que \(M\) est réflexif, les morphismes \[M \to H^0(X, \mathcal{F}') \to H^0(X, \mathcal{F})\] induisent des isomorphismes après localisation en tout idéal premier non maximal de \(A\). Ces morphismes sont donc des isomorphismes, d’après Compléments d’algèbre, lemme 0AV8, et le fait que les modules réflexifs sur les anneaux normaux vérifient la condition \((S_2)\) (Compléments d’algèbre, lemme 0AVB). On conclut donc, comme voulu, que \(\mathcal{Q} = 0\).

Théorie de l’intersection

Lemme

Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement d’un schéma projectif lisse sur un corps \(k\) le long d’un sous-schéma fermé lisse \(Z \subset X\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_\pi & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X }\] Supposons qu’il existe un élément de \(K_0(X)\) dont la restriction à \(Z\) est égale à la classe de \(\mathcal{C}_{Z/X}\) dans \(K_0(Z)\). Alors \([Lb^*\mathcal{O}_Z] = [\mathcal{O}_E] \cdot \alpha''\) dans \(K_0(X')\) pour un certain \(\alpha'' \in K_0(X')\).

Démonstration

Les schémas \(X\), \(X'\), \(E\), \(Z\) sont projectifs et lisses sur \(k\) et nous avons donc \(K'_0(X) = K_0(X) = K_0(\textit{Vect}(X)) = K_0(D^b_{\textit{Coh}}(X)))\) et de même pour les \(3\) autres. Voir Catégories dérivées des schémas, Lemmes 0FDF, 0FDI et 0FDJ. Nous passerons librement d’une de ces versions à l’autre dans cette démonstration. Considérons la suite exacte \[0 \to \mathcal{F} \to \pi^*\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{E/X'} \to 0\] de \(\mathcal{O}_E\)-modules localement libres de type fini qui définit \(\mathcal{F}\). Remarquons que \(\mathcal{C}_{E/X'} = \mathcal{O}_{X'}(-E)|_E\) est la restriction du \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{O}_{X'}(-E)\). Soit \(\alpha \in K_0(X)\) un élément tel que \(i^*\alpha = [\mathcal{C}_{Z/X}]\) dans \(K_0(Z)\). Posons \(\alpha' = b^*\alpha - [\mathcal{O}_{X'}(-E)]\). Alors \(j^*\alpha' = [\mathcal{F}]\). On en déduit que \(j^*\lambda^i(\alpha') = [\wedge^i(\mathcal{F})]\) d’après Théories cohomologiques de Weil, Lemme 0FIC. Cela signifie que \([\mathcal{O}_E] \cdot \alpha' = [\wedge^i\mathcal{F}]\) dans \(K_0(X)\); voir Catégories dérivées des schémas, Lemme 0FDM. Soit \(r\) la codimension maximale d’une composante irréductible de \(Z\) dans \(X\). Un calcul que nous omettons montre que \(H^{-i}(Lb^*\mathcal{O}_Z) = \wedge^i\mathcal{F}\) pour \(i \geq 0, 1, \ldots, r - 1\) et est nul dans les autres degrés. Il s’ensuit que, dans \(K_0(X)\), on a \[\begin{align*} [Lb^*\mathcal{O}_Z] & = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i[\wedge^i\mathcal{F}] \\ & = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i[\mathcal{O}_E] \lambda^i(\alpha') \\ & = [\mathcal{O}_E] \left(\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i \lambda^i(\alpha')\right) \end{align*}\] Cela démontre le lemme en prenant \(\alpha'' = \sum_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i \lambda^i(\alpha')\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(a \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) une fonction non nulle. Soit \(i : D = Z(a) \to X\) l’immersion fermée du sous-schéma des zéros de \(a\). Soit \(f \in R(X)^*\). Dans ce cas, \(i^*\text{div}_X(f) = 0\) dans \(A_{n - 2}(D)\).

Démonstration

Cas particulier d’Homologie de Chow, Lemme 02TM.

Remarque

Cette remarque disait autrefois que l’on ne savait pas si les flèches de Homologie de Chow, Lemme 02S9, étaient des isomorphismes en général. Nous avons cependant trouvé depuis une démonstration de ce fait.

Lemmes d’éclatement

Dans cette section, nous démontrons quelques lemmes permettant de représenter des diviseurs de Cartier par des diviseurs de Cartier effectifs convenables sur des éclatements. Ces lemmes se trouvent dans [F, section 2.4]. Nous avons adapté leur énoncé afin qu’ils restent valables sans hypothèse de type fini. Il se peut que le morphisme \(b\) du Lemme 02T5 soit un composé d’une infinité d’éclatements, mais, au-dessus de tout ouvert quasi-compact \(W \subset X\) donné, un nombre fini d’éclatements suffit (et c’est le résultat de loc. cit.).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre. Soit \(D \subset Y\) un diviseur de Cartier effectif. Supposons \(X\), \(Y\) intègres, \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\) et que \(f\) soit dominant. Alors \[f_*[f^{-1}(D)]_{n - 1} = [R(X) : R(Y)] [D]_{n - 1}.\] En particulier, si \(f\) est birationnel, alors \(f_*[f^{-1}(D)]_{n - 1} = [D]_{n - 1}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement d’Homologie de Chow, Lemme 02ST, et du fait que \(D\) est le sous-schéma des zéros de la section canonique \(1_D\) de \(\mathcal{O}_X(D)\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre avec \(\dim_\delta(X) = n\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\). Soit \(U \subset X\) le plus grand sous-schéma ouvert tel que \(s\) corresponde à une section de \(\mathcal{L}\) sur \(U\). Il existe un morphisme projectif \[\pi : X' \longrightarrow X\] tel que

1. \(X'\) est intègre,

2. \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) est un isomorphisme,

3. il existe des diviseurs de Cartier effectifs \(D, E \subset X'\) tels que \[\pi^*\mathcal{L} = \mathcal{O}_{X'}(D - E),\]

4. la section méromorphe \(s\) correspond, par l’isomorphisme ci-dessus, à la section méromorphe \(1_D \otimes (1_E)^{-1}\) (voir Diviseurs, Définition 01WX),

5. on a \[\pi_*([D]_{n - 1} - [E]_{n - 1}) = \text{div}_\mathcal{L}(s)\] dans \(Z_{n - 1}(X)\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux des dénominateurs de \(s\); voir Diviseurs, Définition 02P1. D’après Diviseurs, Lemme 0ESL, on obtient (2), (3) et (4). D’après Diviseurs, Lemme 02ND, on obtient (1). D’après Diviseurs, Lemme 02NS, le morphisme \(\pi\) est projectif. Il reste à démontrer (5). D’après Homologie de Chow, Lemme 02ST, on a \[\pi_*(\text{div}_{\mathcal{L}'}(s')) = \text{div}_\mathcal{L}(s).\] Il suffit donc de montrer que \(\text{div}_{\mathcal{L}'}(s') = [D]_{n - 1} - [E]_{n - 1}\). Cela résulte de l’égalité \(s' = 1_D \otimes 1_E^{-1}\) et de l’additivité; voir Diviseurs, Lemme 02SL.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = n\). Soient \(D_1, D_2\) deux diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre avec \(\dim_\delta(Z) = n - 1\). L’invariant \(\epsilon\) de cette situation est \[\epsilon_Z(D_1, D_2) = n_Z \cdot m_Z\] où \(n_Z\), resp. \(m_Z\), est le coefficient de \(Z\) dans le \((n - 1)\)-cycle \([D_1]_{n - 1}\), resp. \([D_2]_{n - 1}\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = n\). Soient \(D_1, D_2\) deux diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Soit \(Z\) un sous-schéma ouvert et fermé du schéma \(D_1 \cap D_2\). Supposons \(\dim_\delta(D_1 \cap D_2 \setminus Z) \leq n - 2\). Alors il existe un morphisme \(b : X' \to X\) et des diviseurs de Cartier \(D_1', D_2', E\) sur \(X'\) ayant les propriétés suivantes :

1. \(X'\) est intègre,

2. \(b\) est projectif,

3. \(b\) est l’éclatement de \(X\) le long du sous-schéma fermé \(Z\),

4. \(E = b^{-1}(Z)\),

5. \(b^{-1}(D_1) = D'_1 + E\), et \(b^{-1}D_2 = D_2' + E\),

6. \(\dim_\delta(D'_1 \cap D'_2) \leq n - 2\), et si \(Z = D_1 \cap D_2\) alors \(D'_1 \cap D'_2 = \emptyset\),

7. pour tout sous-schéma fermé intègre \(W'\) avec \(\dim_\delta(W') = n - 1\), on a

   1. si \(\epsilon_{W'}(D'_1, E) > 0\), alors, en posant \(W = b(W')\), on a \(\dim_\delta(W) = n - 1\) et \[\epsilon_{W'}(D'_1, E) < \epsilon_W(D_1, D_2),\]

   2. si \(\epsilon_{W'}(D'_2, E) > 0\), alors, en posant \(W = b(W')\), on a \(\dim_\delta(W) = n - 1\) et \[\epsilon_{W'}(D'_2, E) < \epsilon_W(D_1, D_2),\]

Démonstration

Remarquons que le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} = \mathcal{I}_{D_1} + \mathcal{I}_{D_2}\) définit l’intersection schématique \(D_1 \cap D_2 \subset X\). Comme \(Z\) est une réunion de composantes connexes de \(D_1 \cap D_2\), on voit que, pour tout \(z \in Z\), le noyau de \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{Z, z}\) est égal à \(\mathcal{I}_z\). Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement de \(X\) le long de \(Z\). (Ainsi, localement pour la topologie de Zariski au voisinage de \(Z\), c’est l’éclatement de \(X\) le long de \(\mathcal{I}\).) Notons \(E = b^{-1}(Z)\) le diviseur de Cartier effectif correspondant; voir Diviseurs, Lemme 02OS. Comme \(Z \subset D_1\), on a \(E \subset f^{-1}(D_1)\) et donc \(D_1 = D_1' + E\) pour un certain diviseur de Cartier effectif \(D'_1 \subset X'\); voir Diviseurs, Lemme 02ON. De même, \(D_2 = D_2' + E\). Cela établit les assertions (1) – (5).

Remarquons que, si \(W'\) est comme en (7) (a) ou (7) (b), alors l’image \(W\) de \(W'\) est contenue dans \(D_1 \cap D_2\). Si \(W\) n’est pas contenue dans \(Z\), alors \(b\) est un isomorphisme au point générique de \(W\) et on voit que \(\dim_\delta(W) = \dim_\delta(W') = n - 1\), ce qui contredit l’hypothèse \(\dim_\delta(D_1 \cap D_2 \setminus Z) \leq n - 2\). Ainsi, \(W \subset Z\). Cela signifie que, pour démontrer (6) et (7), on peut travailler localement au voisinage de \(Z\) sur \(X\).

On peut donc supposer que \(X = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau intègre noethérien, et que \(D_1 = \Spec(A/a)\), \(D_2 = \Spec(A/b)\) et \(Z = D_1 \cap D_2\). Posons \(I = (a, b)\). Comme \(A\) est intègre et \(a, b \not = 0\), on peut recouvrir l’éclatement par deux cartes affines, à savoir \(U = \Spec(A[s]/(as - b))\) et \(V = \Spec(A[t]/(bt -a))\). Ces cartes sont recollées au moyen de l’isomorphisme \(A[s, s^{-1}]/(as - b) \cong A[t, t^{-1}]/(bt - a)\) qui envoie \(s\) sur \(t^{-1}\). Le diviseur de Cartier effectif \(E\) est décrit par \(\Spec(A[s]/(as - b, a)) \subset U\) et \(\Spec(A[t]/(bt - a, b)) \subset V\). Le sous-schéma fermé \(D'_1\) correspond à \(\Spec(A[t]/(bt - a, t)) \subset U\). Le sous-schéma fermé \(D'_2\) correspond à \(\Spec(A[s]/(as -b, s)) \subset V\). Puisque “\(ts = 1\)”, on a \(D'_1 \cap D'_2 = \emptyset\).

Supposons donné un idéal premier \(\mathfrak q \subset A[s]/(as - b)\) de hauteur un tel que \(s, a \in \mathfrak q\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant de \(A\). Remarquons que \(a, b \in \mathfrak p\). D’après la formule des dimensions, on a aussi \(\dim(A_{\mathfrak p}) = 1\). La dernière assertion à démontrer est \[\text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(a) \text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(b) > \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(a) \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(s)\] où \(B = A[s]/(as - b)\). D’après Algèbre, Lemme 02MM, on a \(\text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(x) \geq \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(x)\) pour \(x = a, b\). Puisque \(\text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(s) > 0\), on conclut par additivité de la fonction \(\text{ord}\) et par le fait que \(as = b\).

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\{D_i\}_{i \in I}\) une famille localement finie de diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Supposons donnée une application \(I \to \mathbf{Z}_{\geq 0}\), \(i \mapsto n_i\). La somme des diviseurs de Cartier effectifs \(D = \sum n_i D_i\) est l’unique diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) tel que, pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\), on ait \(D|_U = \sum_{D_i \cap U \not = \emptyset} n_iD_i|_U\), la somme du membre de droite étant celle de Diviseurs, Définition 01WT.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = n\). Soit \(\{D_i\}_{i \in I}\) une famille localement finie de diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Donnons-nous des \(n_i \geq 0\) pour \(i \in I\). Alors \[[D]_{n - 1} = \sum\nolimits_i n_i[D_i]_{n - 1}\] dans \(Z_{n - 1}(X)\).

Démonstration

Puisque nous démontrons une égalité de cycles, nous pouvons raisonner localement sur \(X\). On se ramène ainsi à une somme finie, puis, par récurrence, à une somme de deux diviseurs de Cartier effectifs \(D = D_1 + D_2\). D’après Homologie de Chow, lemme 02SK, on a \(D_1 = \text{div}_{\mathcal{O}_X(D_1)}(1_{D_1})\), où \(1_{D_1}\) désigne la section canonique de \(\mathcal{O}_X(D_1)\). La même assertion vaut bien entendu pour \(D_2\) et \(D\). Comme \(1_D = 1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\) sous l’identification \(\mathcal{O}_X(D) = \mathcal{O}_X(D_1) \otimes \mathcal{O}_X(D_2)\), le résultat découle de Diviseurs, lemme 02SL.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = d\). Soit \(\{D_i\}_{i \in I}\) une famille localement finie de diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Supposons que, pour tout \(\{i, j, k\} \subset I\) tel que \(\#\{i, j, k\} = 3\), on ait \(D_i \cap D_j \cap D_k = \emptyset\). Il existe alors

1. un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(\dim_\delta(X \setminus U) \leq d - 3\),

2. un morphisme \(b : U' \to U\), et

3. des diviseurs de Cartier effectifs \(\{D'_j\}_{j \in J}\) sur \(U'\),

vérifiant les propriétés suivantes :

1. \(b\) est un morphisme propre \(b : U' \to U\),

2. \(U'\) est intègre,

3. \(b\) est un isomorphisme au-dessus du complémentaire de la réunion des intersections deux à deux des \(D_i|_U\),

4. \(\{D'_j\}_{j \in J}\) est une famille localement finie de diviseurs de Cartier effectifs sur \(U'\),

5. \(\dim_\delta(D'_j \cap D'_{j'}) \leq d - 2\) si \(j \not = j'\), et

6. \(b^{-1}(D_i|_U) = \sum n_{ij} D'_j\) pour certains \(n_{ij} \geq 0\).

De plus, si \(X\) est quasi-compact, on peut supposer \(U = X\) ci-dessus.

Démonstration

Commençons par le cas quasi-compact, qui est peut-être le plus intéressant. Dans ce cas, nous construisons par récurrence une suite d’éclatements \[X = X_0 \xleftarrow{b_0} X_1 \xleftarrow{b_1} X_2 \leftarrow \ldots\] et des ensembles finis de diviseurs de Cartier effectifs \(\{D_{n, i}\}_{i \in I_n}\). À chaque étape, ceux-ci auront la propriété que toute intersection triple \(D_{n, i} \cap D_{n, j} \cap D_{n, k}\) est vide. En outre, pour tout \(n \geq 0\), nous aurons \(I_{n + 1} = I_n \amalg P(I_n)\), où \(P(I_n)\) désigne l’ensemble des paires d’éléments de \(I_n\). Enfin, nous aurons \[b_n^{-1}(D_{n, i}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\] On en déduit que, pour tout \(n \geq 0\), \((b_0 \circ \ldots \circ b_n)^{-1}(D_i)\) est une combinaison linéaire à coefficients entiers positifs ou nuls des diviseurs \(D_{n + 1, j}\), \(j \in I_{n + 1}\).

Pour amorcer la récurrence, posons \(X_0 = X\), \(I_0 = I\) et \(D_{0, i} = D_i\).

Étant donné \((X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\), soit \(X_{n + 1}\) l’éclatement de \(X_n\) le long du sous-schéma fermé \(Z_n = \bigcup_{\{i, i'\} \in P(I_n)} D_{n, i} \cap D_{n, i'}\). Remarquons que les sous-schémas fermés \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) sont deux à deux disjoints en raison de notre hypothèse sur les intersections triples. Autrement dit, on peut écrire \(Z_n = \coprod_{\{i, i'\} \in P(I_n)} D_{n, i} \cap D_{n, i'}\). De plus, dans un voisinage de Zariski de \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\), le morphisme \(b_n\) est l’éclatement du schéma \(X_n\) le long du sous-schéma fermé \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\), et les conclusions du lemme 02T2 s’appliquent. En posant donc \(D_{n + 1, \{i, i'\}} = b_n^{-1}(D_i \cap D_{i'})\), on obtient un diviseur de Cartier effectif. Les diviseurs de Cartier \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\) sont deux à deux disjoints. Manifestement, on a \(b_n^{-1}(D_{n, i}) \supset D_{n + 1, \{i, i'\}}\) pour tout \(i' \in I_n\), \(i' \not = i\). Par conséquent, en appliquant Diviseurs, lemme 02ON, on voit que l’on a bien \(b^{-1}(D_{n, i}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\) pour un certain diviseur de Cartier effectif \(D_{n + 1, i}\) sur \(X_{n + 1}\). Au voisinage de \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\), ces diviseurs \(D_{n + 1, i}\) jouent le rôle des diviseurs primés du lemme 02T2. En particulier, on en déduit que \(D_{n + 1, i} \cap D_{n + 1, i'} = \emptyset\) si \(i \not = i'\), \(i, i' \in I_n\), d’après le point (6) du lemme 02T2. Cela implique déjà que les intersections triples des diviseurs \(D_{n + 1, i}\) sont vides.

À ce stade, nous pouvons utiliser la quasi-compacité de \(X\) pour conclure que l’invariant [02T6]\[\begin{equation} \epsilon(X, \{D_i\}_{i \in I}) = \max\{\epsilon_Z(D_i, D_{i'}) \mid Z \subset X, \dim_\delta(Z) = d - 1, \{i, i'\} \in P(I)\} \end{equation}\] est fini, car chaque \(D_i\) n’a en définitive qu’un nombre fini de composantes irréductibles. Nous affirmons que, pour un certain \(n\), l’invariant \(\epsilon(X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\) est nul. En effet, sinon, le lemme 02T2 donnerait une suite strictement décroissante \[\epsilon(X, \{D_i\}_{i \in I}) = \epsilon(X_0, \{D_{0, i}\}_{i \in I_0}) > \epsilon(X_1, \{D_{1, i}\}_{i \in I_1}) > \ldots\] d’entiers strictement positifs, ce qui est contradictoire. Choisissons \(n\) tel que l’invariant \(\epsilon(X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\) soit nul. Cela signifie qu’il n’existe ni sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X_n\), ni paire d’indices \(i, i' \in I_n\) tels que \(\epsilon_Z(D_{n, i}, D_{n, i'}) > 0\). Autrement dit, \(\dim_\delta(D_{n, i}, D_{n, i'}) \leq d - 2\) pour toute paire \(\{i, i'\} \in P(I_n)\), comme souhaité.

Passons maintenant au cas général où l’on ne suppose plus le schéma \(X\) quasi-compact. Le problème que pose la méthode de la première partie de la démonstration est que l’on peut obtenir une suite infinie d’éclatements dont les centres dominent un point fixé de \(X\). Pour éviter cela, nous retirons à chaque étape des sous-ensembles fermés convenables de codimension \(\geq 3\). Plus précisément, nous construirons par récurrence une suite de morphismes de la forme suivante : \[\xymatrix{ X = X_0 \\ U_0 \ar[u]^{j_0} & X_1 \ar[l]_{b_0} \\ & U_1 \ar[u]^{j_1} & X_2 \ar[l]_{b_1} \\ & & U_2 \ar[u]^{j_2} & X_3 \ar[l]_{b_2} }\] Chacun des morphismes \(j_n : U_n \to X_n\) sera une immersion ouverte. Chacun des morphismes \(b_n : X_{n + 1} \to U_n\) sera un morphisme propre birationnel entre schémas intègres. Comme dans le cas quasi-compact, nous aurons des diviseurs de Cartier effectifs \(\{D_{n, i}\}_{i \in I_n}\) sur \(X_n\). À chaque étape, ceux-ci auront la propriété que toute intersection triple \(D_{n, i} \cap D_{n, j} \cap D_{n, k}\) est vide. En outre, pour tout \(n \geq 0\), nous aurons \(I_{n + 1} = I_n \amalg P(I_n)\), où \(P(I_n)\) désigne l’ensemble des paires d’éléments de \(I_n\). Enfin, nous ferons en sorte que \[b_n^{-1}(D_{n, i}|_{U_n}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\]

Amorçons la récurrence en posant \(X_0 = X\), \(I_0 = I\) et \(D_{0, i} = D_i\).

Étant donné \((X_n, \{D_{n, i}\})\), construisons le sous-schéma ouvert \(U_n\) comme suit. Pour toute paire \(\{i, i'\} \in P(I_n)\), considérons le sous-schéma fermé \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\). Ses composantes irréductibles « bonnes » sont celles de \(\delta\)-dimension \(d - 2\), et ses composantes irréductibles « mauvaises » celles de \(\delta\)-dimension \(d - 1\). Posons \[\text{Bad}(i, i') = \bigcup\nolimits_{W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'} \text{ comp.\ irr.\ avec }\dim_\delta(W) = d - 1} W\] et, de même, \[\text{Good}(i, i') = \bigcup\nolimits_{W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'} \text{ comp.\ irr.\ avec }\dim_\delta(W) = d - 2} W.\] Alors \(D_{n, i} \cap D_{n, i'} = \text{Bad}(i, i') \cup \text{Good}(i, i')\) et, de plus, on a \(\dim_\delta(\text{Bad}(i, i') \cap \text{Good}(i, i')) \leq d - 3\). Voici le choix de \(U_n\) : \[U_n = X_n \setminus \bigcup\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} \text{Bad}(i, i') \cap \text{Good}(i, i').\] Notre condition sur les intersections triples des diviseurs \(D_{n, i}\) montre que la réunion est en fait disjointe. De plus, on voit que, comme schéma, \[D_{n, i}|_{U_n} \cap D_{n, i'}|_{U_n} = Z_{n, i, i'} \amalg G_{n, i, i'}\] où \(Z_{n, i, i'}\) est \(\delta\)-équidimensionnel de dimension \(d - 1\) et \(G_{n, i, i'}\) est \(\delta\)-équidimensionnel de dimension \(d - 2\). (Ainsi, topologiquement, \(Z_{n, i, i'}\) est la réunion des composantes mauvaises, privée de ses intersections avec les composantes bonnes.) Enfin, posons \[Z_n = \bigcup\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} Z_{n, i, i'} = \coprod\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} Z_{n, i, i'},\] et soit \(b_n : X_{n + 1} \to X_n\) l’éclatement de centre \(Z_n\). Remarquons que le lemme 02T2 s’applique au morphisme \(b_n : X_{n + 1} \to X_n\), localement au voisinage de chacun des lieux \(D_{n, i}|_{U_n} \cap D_{n, i'}|_{U_n}\). Ainsi, exactement comme dans la première partie de la démonstration, nous obtenons des diviseurs de Cartier effectifs \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\) pour \(\{i, i'\} \in P(I_n)\) et des diviseurs de Cartier effectifs \(D_{n + 1, i}\) pour \(i \in I_n\) tels que \(b_n^{-1}(D_{n, i}|_{U_n}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\). Pour tout \(n\), notons \(\pi_n : X_n \to X\) le morphisme obtenu comme le composé \(j_0 \circ \ldots \circ j_{n - 1} \circ b_{n - 1}\).

Assertion : étant donné un ouvert quasi-compact \(V \subset X\), pour tout \(n\) assez grand, les morphismes \[\pi_n^{-1}(V) \leftarrow \pi_{n + 1}^{-1}(V) \leftarrow \ldots\] sont tous des isomorphismes. En effet, si le morphisme \(\pi_n^{-1}(V) \leftarrow \pi_{n + 1}^{-1}(V)\) n’est pas un isomorphisme, alors \(Z_{n, i, i'} \cap \pi_n^{-1}(V) \not = \emptyset\) pour une certaine paire \(\{i, i'\} \in P(I_n)\). Il existe donc une composante irréductible \(W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) telle que \(\dim_\delta(W) = d - 1\). En particulier, on a \(\epsilon_W(D_{n, i}, D_{n, i'}) > 0\). En appliquant à plusieurs reprises le lemme 02T2, on obtient \[\epsilon_W(D_{n, i}, D_{n, i'}) < \epsilon(V, \{D_i|_V\}) - n\] où \(\epsilon(V, \{D_i|_V\})\) est défini comme dans (02T6). Puisque \(V\) est quasi-compact, on a \(\epsilon(V, \{D_i|_V\}) < \infty\) et, en choisissant \(n > \epsilon(V, \{D_i|_V\})\), on obtient le résultat.

Notons que, par construction, la différence \(X_n \setminus U_n\) vérifie \(\dim_\delta(X_n \setminus U_n) \leq d - 3\). Soit \(T_n = \pi_n(X_n \setminus U_n)\) son image dans \(X\). En remontant le diagramme de morphismes ci-dessus et en utilisant le fait que chaque \(b_n\) est fermé, on obtient que \(T_0 \cup \ldots \cup T_n\) est un sous-ensemble fermé de \(X\) pour tout \(n\). Par construction, tout \(t \in T_n\) vérifie \(\delta(t) \leq d - 3\). Ainsi, \(\overline{T_n} \subset X\) est un sous-ensemble fermé tel que \(\dim_\delta(T_n) \leq d - 3\). D’après l’assertion ci-dessus, pour tout ouvert quasi-compact \(V \subset X\), on a \(T_n \cap V \not = \emptyset\) pour au plus un nombre fini de \(n\). Ainsi, \(\{\overline{T_n}\}_{n \geq 0}\) est une famille localement finie de sous-ensembles fermés, et l’on peut poser \(U = X \setminus \bigcup \overline{T_n}\). Ce sera le \(U\) du lemme.

Par construction de \(U\), on a \(U_n \cap \pi_n^{-1}(U) = \pi_n^{-1}(U)\). Tous les morphismes \[b_n : \pi_{n + 1}^{-1}(U) \longrightarrow \pi_n^{-1}(U)\] sont donc propres. De plus, d’après l’assertion, ils deviennent des isomorphismes à partir d’un certain rang au-dessus de tout ouvert quasi-compact de \(X\). On peut donc définir \[U' = \lim_n \pi_n^{-1}(U).\] Le morphisme induit \(b : U' \to U\) est propre, car la propreté est locale sur \(U\) et, au-dessus de tout ouvert quasi-compact, la limite est stationnaire. De même, posons \(J = \bigcup_{n \geq 0} I_n\) au moyen des inclusions \(I_n \to I_{n + 1}\) issues de la construction. Pour \(j \in J\), choisissons un \(n_0\) tel que \(j\) corresponde à \(i \in I_{n_0}\) et définissons \(D'_j = \lim_{n \geq n_0} D_{n, i}\). Cette définition a encore un sens, car, localement sur \(X\), les morphismes se stabilisent. Les autres assertions du lemme se vérifient comme dans le cas où \(X\) est quasi-compact.

Commutativité de l’intersection des diviseurs

Les résultats de cette section ont été initialement utilisés pour donner une autre démonstration des lemmes de Homologie de Chow, section 02TG, ainsi qu’une version faible de Homologie de Chow, Lemme 0B73.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\{i_j : D_j \to X \}_{j \in J}\) une famille localement finie de diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Soient \(n_j > 0\), \(j\in J\). Posons \(D = \sum_{j \in J} n_j D_j\), et notons \(i : D \to X\) le morphisme d’inclusion. Soit \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\). Alors \[p : \coprod\nolimits_{j \in J} D_j \longrightarrow D\] est propre et \[i^*\alpha = p_*\left(\sum n_j i_j^*\alpha\right)\] dans \(\CH_k(D)\).

Démonstration

La démonstration de ce lemme est un peu plus longue que prévu en raison d’une subtilité concernant les sommes infinies d’équivalences rationnelles. Dans le cas quasi-compact, la famille \(D_j\) est finie et le résultat est tout à fait élémentaire : il découle directement de Homologie de Chow, Lemme 02SK, de Diviseurs, Lemme 02SL, et des définitions.

Le morphisme \(p\) est propre puisque la famille \(\{D_j\}_{j \in J}\) est localement finie. Écrivons \(\alpha = \sum_{a \in A} m_a [W_a]\) avec \(W_a \subset X\) un sous-schéma intègre fermé de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Notons \(i_a : W_a \to X\) l’immersion fermée. Nous supposons que \(m_a \not = 0\) pour tout \(a \in A\) et que \(\{W_a\}_{a \in A}\) est localement finie sur \(X\).

Observons que, d’après Homologie de Chow, Définition 02T8, la classe \(i^*\alpha\) est celle d’un cycle \(\sum m_a\beta_a\) pour certains \(\beta_a \in Z_k(W_a \cap D)\). Plus précisément, si \(W_a \not \subset D\), alors \(\beta_a = [D \cap W_a]_k\), et si \(W_a \subset D\), alors \(\beta_a\) est un cycle représentant \(c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a]\).

Pour chaque \(a \in A\), écrivons \(J = J_{a, 1} \amalg J_{a, 2} \amalg J_{a, 3}\), où

1. \(j \in J_{a, 1}\) si et seulement si \(W_a \cap D_j = \emptyset\),

2. \(j \in J_{a, 2}\) si et seulement si \(W_a \not = W_a \cap D_1 \not = \emptyset\), et

3. \(j \in J_{a, 3}\) si et seulement si \(W_a \subset D_j\).

Puisque la famille \(\{D_j\}\) est localement finie, nous voyons que \(J_{a, 3}\) est un ensemble fini. Pour tous \(a \in A\) et \(j \in J\), nous choisissons un cycle \(\beta_{a, j} \in Z_k(W_a \cap D_j)\) comme suit :

1. si \(j \in J_{a, 1}\), nous posons \(\beta_{a, j} = 0\),

2. si \(j \in J_{a, 2}\), nous posons \(\beta_{a, j} = [D_j \cap W_a]_k\), et

3. si \(j \in J_{a, 3}\), nous choisissons \(\beta_{a, j} \in Z_k(W_a)\) représentant \(c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_j)) \cap [W_j]\).

Nous affirmons que \[\beta_a \sim_{rat} \sum\nolimits_{j \in J} n_j \beta_{a, j}\] dans \(\CH_k(W_a \cap D)\).

Cas I : \(W_a \not \subset D\). Dans ce cas, \(J_{a, 3} = \emptyset\). Il suffit donc de montrer que \([D \cap W_a]_k = \sum n_j [D_j \cap W_a]_k\) comme cycles. C’est le Lemme 02T4.

Cas II : \(W_a \subset D\). Dans ce cas, \(\beta_a\) est un cycle représentant \(c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a]\). Écrivons \(D = D_{a, 1} + D_{a, 2} + D_{a, 3}\) avec \(D_{a, s} = \sum_{j \in J_{a, s}} n_jD_j\). D’après Diviseurs, Lemme 02SL, nous avons \[\begin{eqnarray*} c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a] & = & c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 1})) \cap [W_a] + c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 2})) \cap [W_a] \\ & & + c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 3})) \cap [W_a]. \end{eqnarray*}\] Il est clair que le premier terme de la somme est nul. Comme \(J_{a, 3}\) est fini, nous voyons que le dernier terme coïncide avec \(\sum\nolimits_{j \in J_{a, 3}} n_jc_1(i_a^*\mathcal{L}_j) \cap [W_a]\) ; voir Diviseurs, Lemme 02SL. Ce cycle est représenté par \(\sum_{j \in J_{a, 3}} n_j \beta_{a, j}\). Enfin, le Cas I montre que le terme intermédiaire est représenté par le cycle \(\sum\nolimits_{j \in J_{a, 2}} n_j[D_j \cap W_a]_k = \sum_{j \in J_{a, 2}} n_j\beta_{a, j}\). D’où l’affirmation dans ce cas.

Nous sommes maintenant en mesure d’achever la démonstration du lemme. En effet, nous avons \(i^*D \sim_{rat} \sum m_a\beta_a\) par notre choix de \(\beta_a\). Pour chaque \(a\), nous avons \(\beta_a \sim_{rat} \sum_j \beta_{a, j}\), l’équivalence rationnelle ayant lieu sur \(D \cap W_a\). Comme la famille de sous-schémas fermés \(D \cap W_a\) est localement finie sur \(D\), nous voyons aussi que \(\sum m_a \beta_a \sim_{rat} \sum_{a, j} m_a\beta_{a, j}\) sur \(D\) (voir Homologie de Chow, Remarque 02RZ). Enfin, il est clair que \(\sum_a m_a\beta_{a, j}\) (considéré comme un cycle sur \(D_j\)) représente \(i_j^*\alpha\), et donc \(\sum_{a, j} m_a\beta_{a, j}\) représente \(p_* \sum_j i_j^*\alpha\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = n\). Soient \(D\) et \(D'\) des diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Supposons \(\dim_\delta(D \cap D') = n - 2\). Soient \(i : D \to X\), resp. \(i' : D' \to X\), les immersions fermées correspondantes. Alors

1. il existe un cycle \(\alpha \in Z_{n - 2}(D \cap D')\) dont l’image directe sur \(D\) représente \(i^*[D']_{n - 1} \in \CH_{n - 2}(D)\) et dont l’image directe sur \(D'\) représente \((i')^*[D]_{n - 1} \in \CH_{n - 2}(D')\), et

2. nous avons \[D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\] dans \(\CH_{n - 2}(X)\).

Démonstration

La partie (2) est une conséquence immédiate de la partie (1). Écrivons \([D]_{n - 1} = \sum n_a[Z_a]\) et \([D']_{n - 1} = \sum m_b[Z_b]\), où les \(Z_a\) sont les composantes irréductibles de \(D\) et les \([Z_b]\) les composantes irréductibles de \(D'\). D’après Homologie de Chow, Définition 02T8, nous avons \(i^*D' = \sum m_b i^*[Z_b]\) et \((i')^*D = \sum n_a(i')^*[Z_a]\). Par hypothèse, aucune des composantes irréductibles \(Z_b\) n’est contenue dans \(D\), et donc \(i^*[Z_b] = [Z_b\cap D]_{n - 2}\) par définition. De même, \((i')^*[Z_a] = [Z_a \cap D']_{n - 2}\). Nous cherchons donc à démontrer l’égalité de cycles \[\sum n_a[Z_a \cap D']_{n - 2} = \sum m_b[Z_b \cap D]_{n - 2}\] qui sont bien supportés sur \(D \cap D'\). Soit \(W \subset X\) un sous-schéma intègre fermé tel que \(\dim_\delta(W) = n - 2\). Soit \(\xi \in W\) son point générique. Posons \(R = \mathcal{O}_{X, \xi}\). C’est un anneau local noethérien intègre. Notons que \(\dim(R) = 2\). Soit \(f \in R\), resp. \(f' \in R\), un élément définissant l’idéal de \(D\), resp. de \(D'\). Par hypothèse, \(\dim(R/(f, f')) = 0\). Soient \(\mathfrak q'_1, \ldots, \mathfrak q'_t \subset R\) les idéaux premiers minimaux contenant \((f')\), et \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_s \subset R\) les idéaux premiers minimaux contenant \((f)\). L’égalité ci-dessus se ramène à l’égalité \[\sum_{i = 1, \ldots, s} \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(R_{\mathfrak q_i}/(f)) \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(f') = \sum_{j = 1, \ldots, t} \text{length}_{R_{\mathfrak q'_j}}(R_{\mathfrak q'_j}/(f')) \text{ord}_{R/\mathfrak q'_j}(f).\] D’après Homologie de Chow, Lemme 02QF, appliqué avec \(M = R/(f)\), le membre de gauche de cette égalité est égal à \[\text{length}_R(R/(f, f')) - \text{length}_R(\Ker(f' : R/(f) \to R/(f)))\] Or nous observons que \(\Ker(f' : R/(f) \to R/(f))\) est canoniquement isomorphe à \(((f) \cap (f'))/(ff')\) par l’application \(x \bmod (f) \mapsto f'x \bmod (ff')\). Le membre de gauche vaut donc \[\text{length}_R(R/(f, f')) - \text{length}_R((f) \cap (f')/(ff'))\] Comme cette expression est symétrique en \(f\) et \(f'\), la démonstration est achevée.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = n\). Soit \(\{D_j\}_{j \in J}\) une famille localement finie de diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Soient \(n_j, m_j \geq 0\) des familles d’entiers positifs ou nuls. Posons \(D = \sum n_j D_j\) et \(D' = \sum m_j D_j\). Supposons que \(\dim_\delta(D_j \cap D_{j'}) = n - 2\) pour tous \(j \not = j'\). Alors \(D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\) dans \(\CH_{n - 2}(X)\).

Démonstration

Ce lemme découle immédiatement des Lemmes 02T4 et 02TD lorsque les sommes sont finies, par exemple si \(X\) est quasi-compact. Le lecteur pourra donc omettre la démonstration.

Voici la démonstration dans le cas général. Soient \(i_j : D_j \to X\) les immersions fermées Soit \(p : \coprod D_j \to X\) le coproduit des morphismes \(i_j\). Soit \(\{Z_a\}_{a \in A}\) la famille des composantes irréductibles de \(\bigcup D_j\). Pour chaque \(j\), écrivons \[[D_j]_{n - 1} = \sum d_{j, a}[Z_a].\] D’après le Lemme 02T4, nous avons \[[D]_{n - 1} = \sum n_j d_{j, a} [Z_a], \quad [D']_{n - 1} = \sum m_j d_{j, a} [Z_a].\] D’après le Lemme 02TC, nous avons \[D \cdot [D']_{n - 1} = p_*\left(\sum n_j i_j^*[D']_{n - 1} \right), \quad D' \cdot [D]_{n - 1} = p_*\left(\sum m_{j'} i_{j'}^*[D]_{n - 1} \right).\] Comme dans la définition des homomorphismes de Gysin (voir Homologie de Chow, Définition 02T8), nous choisissons des cycles \(\beta_{a, j}\) sur \(D_j \cap Z_a\) représentant \(i_j^*[Z_a]\). (Notons qu’en fait \(\beta_{a, j} = [D_j \cap Z_a]_{n - 2}\) si \(Z_a\) n’est pas contenu dans \(D_j\), c’est-à-dire qu’il n’y a aucun choix dans ce cas.) Puisque la restriction de \(p\) à chacun des \(D_j\) est une immersion fermée, nous pouvons (et nous allons) considérer \(\beta_{a, j}\) comme un cycle sur \(X\). En substituant les formules pour \([D]_{n - 1}\) et \([D']_{n - 1}\) obtenues ci-dessus, on voit que \[D \cdot [D']_{n - 1} = \sum\nolimits_{j, j', a} n_j m_{j'} d_{j', a} \beta_{a, j}, \quad D' \cdot [D]_{n - 1} = \sum\nolimits_{j, j', a} m_{j'} n_j d_{j, a} \beta_{a, j'}.\] De plus, avec les mêmes conventions, on a aussi \[D_j \cdot [D_{j'}]_{n - 1} = \sum d_{j', a} \beta_{a, j}.\] Avec ces notations, le lemme 02TD (voir aussi sa démonstration) affirme que, pour \(j \not = j'\), les cycles \(\sum d_{j', a} \beta_{a, j}\) et \(\sum d_{j, a} \beta_{a, j'}\) sont égaux en tant que cycles ! On en déduit que \[\begin{eqnarray*} D \cdot [D']_{n - 1} & = & \sum\nolimits_{j, j', a} n_j m_{j'} d_{j', a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j \not = j'} n_j m_{j'} \left(\sum\nolimits_a d_{j', a} \beta_{a, j}\right) + \sum\nolimits_{j, a} n_j m_j d_{j, a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j \not = j'} n_j m_{j'} \left(\sum\nolimits_a d_{j, a} \beta_{a, j'}\right) + \sum\nolimits_{j, a} n_j m_j d_{j, a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j, j', a} m_{j'} n_j d_{j, a} \beta_{a, j'} \\ & = & D' \cdot [D]_{n - 1} \end{eqnarray*}\] ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans Homologie de Chow, situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons que \(X\) soit intègre et que \(\dim_\delta(X) = n\). Soient \(D\) et \(D'\) des diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Alors \[D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\] dans \(\CH_{n - 2}(X)\).

Démonstration

Montrons d’abord l’assertion lorsque \(X\) est quasi-compact. Dans ce cas, appliquons le lemme 02T5 à \(X\) et à l’ensemble à deux éléments \(\{D, D'\}\) de diviseurs de Cartier effectifs. On obtient ainsi un morphisme propre \(b : X' \to X\), une famille finie de diviseurs de Cartier effectifs \(D'_j \subset X'\) dont les intersections deux à deux sont de codimension \(\geq 2\), avec \(b^{-1}(D) = \sum n_j D'_j\), et \(b^{-1}(D') = \sum m_j D'_j\). Notons que \(b_*[b^{-1}(D)]_{n - 1} = [D]_{n - 1}\) dans \(Z_{n - 1}(X)\) et de même pour \(D'\), voir le lemme 02SZ. Par conséquent, d’après Homologie de Chow, lemme 02SU, on a \[D \cdot [D']_{n - 1} = b_*\left(b^{-1}(D) \cdot [b^{-1}(D')]_{n - 1}\right)\] dans \(\CH_{n - 2}(X)\) et de même pour l’autre terme. Le lemme résulte donc de l’égalité \(b^{-1}(D) \cdot [b^{-1}(D')]_{n - 1} = b^{-1}(D') \cdot [b^{-1}(D)]_{n - 1}\) dans \(\CH_{n - 2}(X')\) donnée par le lemme 02TE.

Notons que, dans la démonstration ci-dessus, chacun des lemmes cités s’applique aussi au cas général (où \(X\) n’est pas supposé quasi-compact). La seule modification mineure dans le cas général est que le morphisme \(b : U' \to U\) obtenu en appliquant le lemme 02T5 a pour but un ouvert \(U \subset X\) dont le complémentaire est de codimension \(\geq 3\). D’après Homologie de Chow, lemme 02RX, on voit donc que \(\CH_{n - 2}(U) = \CH_{n - 2}(X)\) et, après avoir remplacé \(X\) par \(U\), le reste de la démonstration s’applique sans changement.

Démonstration

Soient \(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-D)\) et \(\mathcal{I}' = \mathcal{O}_X(-D')\) les faisceaux d’idéaux inversibles de \(D\) et de \(D'\). Posons \(\mathcal{I}_{D'} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{D'}\) et \(\mathcal{I}'_D = \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_D\). On peut restreindre le morphisme d’inclusion \(\mathcal{I} \to \mathcal{O}_X\) à \(D'\) pour obtenir un morphisme \[\varphi : \mathcal{I}_{D'} \longrightarrow \mathcal{O}_{D'}\] et, de même, \[\psi : \mathcal{I}'_D \longrightarrow \mathcal{O}_D\] Il est clair que \[\Coker(\varphi) \cong \mathcal{O}_{D \cap D'} \cong \Coker(\psi)\] et que \[\Ker(\varphi) \cong \frac{\mathcal{I} \cap \mathcal{I}'}{\mathcal{I}\mathcal{I}'} \cong \Ker(\psi).\] On voit donc que \[\gamma = [\mathcal{I}_{D'}] - [\mathcal{O}_{D'}] = [\mathcal{I}'_D] - [\mathcal{O}_D]\] dans \(K_0(\textit{Coh}_{\leq n - 1}(X))\). D’autre part, il est clair que \[[\mathcal{I}'_D]_{n - 1} = [D]_{n - 1}, \quad [\mathcal{I}_{D'}]_{n - 1} = [D']_{n - 1}.\] On a également \[\mathcal{O}_X(D') \otimes \mathcal{I}'_D = \mathcal{O}_D, \quad \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{I}_{D'} = \mathcal{O}_{D'}.\] D’après Homologie de Chow, lemme 02SX (appliqué deux fois), cela signifie que l’élément \(\gamma\) appartient à \(B_{n - 2}(X)\) et a pour image à la fois \(c_1(\mathcal{O}_X(D')) \cap [D]_{n - 1}\) et \(c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap [D']_{n - 1}\), ce qui achève la démonstration (puisque l’application \(B_{n - 2}(X) \to \CH_{n - 2}(X)\) est bien définie – ce qui constitue le point clef de cette démonstration).

Modules dualisants sur les modèles propres réguliers

Dans Réduction semi-stable, situation 0C61, on pose \(\omega_{X/R}^\bullet = f^!\mathcal{O}_{\Spec(R)}\), le complexe dualisant relatif de \(f : X \to \Spec(R)\) introduit dans Dualité pour les schémas, remarque 0B6S. Comme \(f\) est de Gorenstein de dimension relative \(1\), d’après Réduction semi-stable, lemme 0C60, les lemmes 0C08, 0BV8 et 0C06 de Dualité pour les schémas donnent \[\omega_{X/R}^\bullet = \omega_X[1]\] pour un certain \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\omega_X\). Ce module inversible est souvent appelé le module dualisant relatif de \(X\) sur \(R\). Comme \(R\) est régulier (donc de Gorenstein) de dimension \(1\), le complexe \(\omega_R^\bullet = R[1]\) est un complexe dualisant normalisé pour \(R\). Ainsi, \(\omega_X = H^{-2}(f^!\omega_R^\bullet)\) et \(\omega_X\) n’est pas seulement un module dualisant relatif, mais aussi un module dualisant; voir Dualité pour les schémas, exemple 0AWI. Le module \(\omega_X\) représente donc le foncteur \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Ens},\quad \mathcal{F} \mapsto \Hom_R(H^1(X, \mathcal{F}), R)\] d’après Dualité pour les schémas, lemme 0AWP. On obtient ainsi une autre définition du module dualisant relatif dans Réduction semi-stable, situation 0C61. La formation de \(\omega_X\) commute à tout changement de base (pour tout morphisme propre de Gorenstein de dimension relative donnée); cela résulte du fait correspondant pour le complexe dualisant relatif, exposé dans Dualité pour les schémas, remarque 0B6S, qui remonte à Dualité pour les schémas, lemme 0AAB. L’image réciproque de \(\omega_X\) est donc le module dualisant \(\omega_C\) de \(C\) sur \(K\) étudié dans Courbes algébriques, lemme 0BS3. Notons que \(\omega_C\) est isomorphe à \(\Omega_{C/K}\) d’après Courbes algébriques, lemme 0BS2. De même, \(\omega_X|_{X_k}\) est le module dualisant \(\omega_{X_k}\) de \(X_k\) sur \(k\).

Lemme

Dans Réduction semi-stable, situation 0C61, le module dualisant de \(C_i\) sur \(k\) est \[\omega_{C_i} = \omega_X(C_i)|_{C_i}\] où \(\omega_X\) est défini ci-dessus.

Démonstration

Soit \(t : C_i \to X\) l’immersion fermée. Comme \(t\) est l’inclusion d’un diviseur de Cartier effectif, les lemmes 0A9X et 0AA4 de Dualité pour les schémas donnent \(t^!(\mathcal{L}) = \mathcal{L}(C_i)|_{C_i}\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ C_i \ar[r]_t \ar[d]_g & X \ar[d]^f \\ \Spec(k) \ar[r]^s & \Spec(R) }\] La courbe \(C_i\) est de Gorenstein (Réduction semi-stable, lemme 0C60) et son module dualisant inversible \(\omega_{C_i}\) est caractérisé par la propriété \(\omega_{C_i}[0] = g^!\mathcal{O}_{\Spec(k)}\). Voir Courbes algébriques, lemme 0BS2, sa démonstration, ainsi que les lemmes 0BS3 et 0BS6 de Courbes algébriques. D’autre part, \(s^!(R[1]) = k\), donc \[\omega_{C_i}[0] = g^! s^!(R[1]) = t^!f^!(R[1]) = t^!\omega_X\] En combinant ces observations, on obtient l’énoncé du lemme.

Renvois en double ou scindés

Cette section rassemble les doublons ainsi que les renvois qui énonçaient autrefois plusieurs faits simultanément, mais qui sont désormais scindés en leurs différentes composantes.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique.

1. Les épimorphismes (resp. les monomorphismes) dans la catégorie des préfaisceaux sont exactement les morphismes surjectifs (resp. injectifs) de préfaisceaux.

2. Les épimorphismes (resp. les monomorphismes) dans la catégorie des faisceaux sont exactement les morphismes surjectifs (resp. injectifs) de faisceaux, et exactement ceux qui sont surjectifs (resp. injectifs) sur toutes les fibres.

3. Le morphisme de faisceaux associé à un morphisme surjectif (resp. injectif) de préfaisceaux d’ensembles est surjectif (resp. injectif).

Démonstration

On combine les lemmes 0H7H et 0H7I de Faisceaux.

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est la limite inductive filtrante de ses sous-modules quasi-cohérents de type fini.

Démonstration

C’est un doublon de Propriétés, lemme 01PG.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). L’application \(\{\Spec(k) \to X \text{ monomorphisme}\} \to |X|\) est injective.

Démonstration

C’est un doublon de Propriétés des espaces, lemme 03E1.

Théorème

Soit \(S = \Spec(K)\), où \(K\) est un corps. Soit \(\overline{s}\) un point géométrique de \(S\). Notons \(G = \text{Gal}_{\kappa(s)}\) le groupe de Galois absolu. Il existe alors une équivalence de catégories \(\Sh(S_\etale) \to G\textit{-Ens}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\).

Démonstration

C’est un doublon de Cohomologie étale, théorème 03QT.

Remarque

Ce renvoi mène ici en raison d’une étiquette dupliquée. Pour le contenu proprement dit, voir Théorie formelle des déformations, section 06I1.

Lemme

Soit \(X\) un espace localement annelé. Tout facteur direct d’un \(\mathcal{O}_X\)-module libre de type fini est localement libre de type fini.

Démonstration

C’est un doublon de Modules, lemme 0BCI.

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(E\) un \(R\)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(E\) est un \(R\)-module injectif;

2. pour tout idéal \(I \subset R\) et tout morphisme de modules \(\varphi : I \to E\), il existe un prolongement de \(\varphi\) en un morphisme de \(R\)-modules \(R \to E\).

Démonstration

C’est le critère de Baer; voir Injectifs, lemme 05NU.

Lemme

Soit \(R\) un anneau local.

1. Si \((M, N, \varphi, \psi)\) est un complexe \(2\)-périodique tel que \(M\) et \(N\) soient de longueur finie, alors \(e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{longueur}_R(M) - \text{longueur}_R(N)\).

2. Si \((M, \varphi, \psi)\) est un complexe \((2, 1)\)-périodique tel que \(M\) soit de longueur finie, alors \(e_R(M, \varphi, \psi) = 0\).

3. Supposons donnée une suite exacte de complexes \(2\)-périodiques \[0 \to (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) \to (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) \to (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3) \to 0\] Si deux de ces trois complexes ont des modules de cohomologie de longueur finie, il en va de même du troisième, et l’on a \[e_R(M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) = e_R(M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) + e_R(M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3).\]

Démonstration

Cela résulte des lemmes 0EA7 et 0EA8 d’Homologie de Chow.

Lemme

Soient \(A\) un anneau et \(I\) un \(A\)-module.

1. L’ensemble des extensions d’anneaux \(0 \to I \to A' \to A \to 0\) où \(I\) est un idéal de carré nul est en bijection canonique avec \(\Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, I)\).

2. Étant donnés un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), un \(B\)-module \(N\), un homomorphisme de \(A\)-modules \(c : I \to N\), ainsi que les extensions d’anneaux suivantes, à noyaux de carré nul :

   1. \(0 \to I \to A' \to A \to 0\) correspondant à \(\alpha \in \Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, I)\), et

   2. \(0 \to N \to B' \to B \to 0\) correspondant à \(\beta \in \Ext^1_B(\NL_{B/\mathbf{Z}}, N)\),

   alors il existe un homomorphisme \(A' \to B'\) s’inscrivant dans le diagramme de Théorie des déformations, équation (08S4), si et seulement si \(\beta\) et \(\alpha\) ont la même image dans \(\Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, N)\).

Démonstration

Cela résulte de Théorie des déformations, lemmes 0GPT et 0GPV.

Lemme

Soient \((S, \mathcal{O}_S)\) un espace annelé et \(\mathcal{J}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module.

1. L’ensemble des extensions de faisceaux d’anneaux \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S \to 0\) où \(\mathcal{J}\) est un idéal de carré nul est en bijection canonique avec \(\Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\).

2. Étant donnés un morphisme d’espaces annelés \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\), un \(f\)-morphisme \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\), ainsi que les extensions suivantes de faisceaux d’anneaux, à noyaux de carré nul :

   1. \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S \to 0\) correspondant à \(\alpha \in \Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\),

   2. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\) correspondant à \(\beta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\),

   alors il existe un morphisme \(X' \to S'\) s’inscrivant dans le diagramme de Théorie des déformations, équation (08U7), si et seulement si \(\beta\) et \(\alpha\) ont la même image dans \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\).

Démonstration

Cela résulte de Théorie des déformations, lemmes 0GPZ et 0GQ1.

Lemme

Soient \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) un topos annelé et \(\mathcal{J}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-module.

1. L’ensemble des extensions de faisceaux d’anneaux \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{B} \to 0\) où \(\mathcal{J}\) est un idéal de carré nul est en bijection canonique avec \(\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\).

2. Étant donnés un morphisme de topos annelés \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{G}\), un homomorphisme de \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-modules \(c : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\), ainsi que les extensions suivantes de faisceaux d’anneaux, à noyaux de carré nul :

   1. \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{B} \to 0\) correspondant à \(\alpha \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\),

   2. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\) correspondant à \(\beta \in \Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\),

   alors il existe un morphisme \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{B}, \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) s’inscrivant dans le diagramme de Théorie des déformations, équation (08UF), si et seulement si \(\beta\) et \(\alpha\) ont la même image dans \(\Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\).

Démonstration

Cela résulte de Théorie des déformations, lemmes 0GQ5 et 0GQ7.

Remarque

Cette étiquette renvoyait autrefois à une section décrivant plusieurs exemples de problèmes de déformation. Ces exemples ont désormais chacun leur propre section. Voir Problèmes de déformation, sections 0DVN, 0DVR, 0DVU, et 0DVX.

Lemme

Les exemples de Problèmes de déformation 0D3I, 0D3J, 0D3K, et 0D3L satisfont à la condition de Rim–Schlessinger (RS).

Démonstration

Cela résulte de Problèmes de déformation, lemmes 0DVP, 0DVS, 0DVV, et 0DVY.

Lemme

On a les identifications canoniques suivantes d’espaces vectoriels sur \(k\) :

1. Dans Problèmes de déformation, exemple 0D3I, si \(x_0 = (k, V)\), alors \(T_{x_0}\mathcal{F} = (0)\) et \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{End}_k(V)\) sont de dimension finie.

2. Dans Problèmes de déformation, exemple 0D3J, si \(x_0 = (k, V, \rho_0)\), alors \(T_{x_0}\mathcal{F} = \Ext^1_{k[\Gamma]}(V, V) = H^1(\Gamma, \text{End}_k(V))\) et \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\) sont de dimension finie si \(\Gamma\) est engendré par un nombre fini d’éléments.

3. Dans Problèmes de déformation, exemple 0D3K, si \(x_0 = (k, V, \rho_0)\), alors \(T_{x_0}\mathcal{F} = H^1_{cont}(\Gamma, \text{End}_k(V))\) et \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = H^0_{cont}(\Gamma, \text{End}_k(V))\) sont de dimension finie si \(\Gamma\) est topologiquement de type fini.

4. Dans Problèmes de déformation, exemple 0D3L, si \(x_0 = (k, P)\), alors \(T_{x_0}\mathcal{F}\) et \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Der}_k(P, P)\) sont de dimension finie si \(P\) est une \(k\)-algèbre de type fini.

Démonstration

Cela résulte de Problèmes de déformation, lemmes 0DVQ, 0DVT, 0DVW, et 0DVZ.