Réduction semi-stable

Introduction

Dans ce chapitre, nous démontrons le théorème de réduction semi-stable pour les courbes. Nous utiliserons la méthode d’Artin et Winters exposée dans leur article [Artin-Winters].

On peut en fait démontrer le théorème de réduction semi-stable pour les courbes sans aucun résultat de désingularisation. En effet, il existe une méthode pour établir l’existence et la projectivité des espaces de modules de courbes semi-stables au moyen de la théorie géométrique des invariants (GIT) développée par Mumford, voir [GIT]. Cette méthode a été défendue par Gieseker, qui a démontré le résultat complet dans ses notes de cours [Gieseker]¹. C’est là une prouesse assez remarquable : il semble quelque peu contraire à l’intuition que l’on puisse démontrer un tel résultat sans jamais étudier véritablement les familles de courbes sur une base de dimension strictement positive.

Historiquement, la première démonstration du théorème de réduction semi-stable pour les courbes figure dans l’article [DM] de Deligne et Mumford. Elle démontre le théorème en ramenant le problème au cas des variétés abéliennes, déjà connu à l’époque grâce à Grothendieck et à d’autres, voir [SGA7-I] et [SGA7-II]). Le théorème de réduction semi-stable pour les variétés abéliennes utilise la théorie des modèles de Néron, qui repose à son tour sur une étude des lois de groupe birationnelles sur une base.

La méthode de l’article d’Artin et Winters repose sur la désingularisation des surfaces pour obtenir des modèles réguliers. Une fois acquise l’existence de modèles réguliers, la démonstration consiste à analyser les possibilités pour la fibre spéciale, puis à conclure au moyen d’une inégalité sur la torsion du groupe de Picard d’un schéma de dimension \(1\) sur un corps. Un argument analogue figure dans un article [Saito] de Saito, qui utilise directement la cohomologie étale et obtient un résultat plus fort, puisqu’il peut caractériser la réduction semi-stable en termes de l’action de l’inertie sur la cohomologie étale \(\ell\)-adique.

Une autre approche pour démontrer le théorème consiste à utiliser les techniques de géométrie analytique rigide. Nous renvoyons ici le lecteur à [vanderPut] et [Arzdorf-Wewers].

L’article [Temkin] de Temkin utilise des techniques de théorie des valuations (et démontre bien d’autres résultats) ; son appendice A donne également un bon aperçu des différentes démonstrations et de leur rapport avec les désingularisations des schémas de dimension \(2\).

Le lecteur pourra également consulter l’article de synthèse [Abbes-ssr] d’Ahmed Abbes.

Algèbre linéaire

Voici quelques lemmes que nous utiliserons par la suite.

Lemme

Soit \(A = (a_{ij})\) une matrice complexe \(n \times n\).

1. Si \(|a_{ii}| > \sum_{j \not = i} |a_{ij}|\) pour tout \(i\), alors \(\det(A)\) est non nul.

2. S’il existe un vecteur réel \(m = (m_1, \ldots, m_n)\) avec \(m_i > 0\) tel que \(|a_{ii} m_i| > \sum_{j \not = i} |a_{ij}m_j|\) pour tout \(i\), alors \(\det(A)\) est non nul.

Démonstration

Si \(A\) est comme en (1) et \(\det(A) = 0\), il existe un vecteur non nul \(z\) tel que \(Az = 0\). Choisissons \(r\) tel que \(|z_r|\) soit maximal. Alors \[|a_{rr} z_r| = |\sum\nolimits_{k \not = r} a_{rk}z_k| \leq \sum\nolimits_{k \not = r} |a_{rk}||z_k| \leq |z_r| \sum\nolimits_{k \not = r} |a_{rk}| < |a_{rr}||z_r|\] ce qui est contradictoire. Pour démontrer (2), appliquons (1) à la matrice \((a_{ij}m_j)\), dont le déterminant est \(m_1 \ldots m_n \det(A)\).

Lemme

Soit \(A = (a_{ij})\) une matrice réelle \(n \times n\) telle que \(a_{ij} \geq 0\) pour \(i \not = j\). Soit \(m = (m_1, \ldots, m_n)\) un vecteur réel avec \(m_i > 0\). Pour \(I \subset \{1, \ldots, n\}\), soit \(x_I \in \mathbf{R}^n\) le vecteur dont la coordonnée d’indice \(i\) est \(m_i\) si \(i \in I\) et \(0\) sinon. Si [0C5W]\[\begin{equation} -a_{ii}m_i \geq \sum\nolimits_{j \not = i} a_{ij}m_j \end{equation}\] pour tout \(i\), alors \(\Ker(A)\) est l’espace vectoriel engendré par les vecteurs \(x_I\) tels que

1. \(a_{ij} = 0\) pour \(i \in I\), \(j \not \in I\), et

2. on a l’égalité dans (0C5W) pour \(i \in I\).

Démonstration

En remplaçant \(a_{ij}\) par \(a_{ij}m_j\), on peut supposer \(m_i = 1\) pour tout \(i\). Si \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) est tel que (1) et (2) soient vérifiées, un calcul immédiat montre que \(x_I\) appartient au noyau de \(A\). Réciproquement, soit \(x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbf{R}^n\) un vecteur non nul du noyau de \(A\). Nous allons montrer, par récurrence sur le nombre de coordonnées non nulles de \(x\), que \(x\) appartient au sous-espace engendré par les vecteurs \(x_I\) vérifiant (1) et (2). Soit \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) l’ensemble des indices \(r\) pour lesquels \(|x_r|\) est maximal. Pour \(r \in I\), on a \[|a_{rr} x_r| = |\sum\nolimits_{k \not = r} a_{rk}x_k| \leq \sum\nolimits_{k \not = r} a_{rk}|x_k| \leq |x_r| \sum\nolimits_{k \not = r} a_{rk} \leq |a_{rr}||x_r|\] On a donc l’égalité partout. En particulier, on voit que \(a_{rk} = 0\) si \(r \in I\), \(k \not \in I\), et que l’égalité est vérifiée dans (0C5W) pour \(r \in I\). On voit alors que l’on peut retrancher à \(x\) un multiple convenable de \(x_I\) pour diminuer le nombre de coordonnées non nulles.

Lemme

Soit \(A = (a_{ij})\) une matrice réelle symétrique \(n \times n\) telle que \(a_{ij} \geq 0\) pour \(i \not = j\). Soit \(m = (m_1, \ldots, m_n)\) un vecteur réel avec \(m_i > 0\). Supposons que

1. \(Am = 0\),

2. il n’existe aucune partie propre non vide \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) telle que \(a_{ij} = 0\) pour \(i \in I\) et \(j \not \in I\).

Alors \(x^t A x \leq 0\), avec égalité si et seulement si \(x = qm\) pour un certain \(q \in \mathbf{R}\).

Démonstration

En remplaçant \(a_{ij}\) par \(a_{ij}m_im_j\), on peut supposer \(m_i = 1\) pour tout \(i\). La condition (1) signifie que \(-a_{ii} = \sum_{j \not = i} a_{ij}\) pour tout \(i\). Rappelons que \(x^tAx = \sum_{i, j} x_ia_{ij}x_j\). Alors \[\begin{align*} \sum\nolimits_{i \not = j} -a_{ij}(x_j - x_i)^2 & = \sum\nolimits_{i \not = j} -a_{ij}x_j^2 + 2a_{ij}x_ix_i - a_{ij}x_i^2 \\ & = \sum\nolimits_j a_{jj} x_j^2 + \sum\nolimits_{i \not = j} 2a_{ij}x_ix_i + \sum\nolimits_j a_{jj} x_i^2 \\ & = 2x^tAx \end{align*}\] Cette expression est manifestement \(\leq 0\). S’il y a égalité, soit \(I\) l’ensemble des indices \(i\) tels que \(x_i \not = x_1\). Alors \(a_{ij} = 0\) pour \(i \in I\) et \(j \not \in I\). Ainsi \(I = \{1, \ldots, n\}\) par la condition (2), et \(x\) est un multiple de \(m = (1, \ldots, 1)\).

Démonstration

La matrice \(A\) a des valeurs propres réelles, d’après le théorème spectral. Nous affirmons que toutes ses valeurs propres sont \(\leq 0\). En effet, puisque la propriété (1) signifie que \(-a_{ii}m_i = \sum_{j \not = i} a_{ij}m_j\) pour tout \(i\), la matrice \(A' = A - \lambda I\), pour \(\lambda > 0\), vérifie \(|a'_{ii}m_i| > \sum a'_{ij}m_j = \sum |a'_{ij}m_j|\) pour tout \(i\). Ainsi \(A'\) est inversible par le lemme 0C5U. Il en résulte que la forme bilinéaire symétrique \(x^tAy\) est semi-définie négative, c’est-à-dire que \(x^tAx \leq 0\) pour tout \(x\). Le noyau de \(A\) est donc égal à l’ensemble des vecteurs \(x\) tels que \(x^tAx = 0\). La description du noyau dans le lemme 0C5V donne la dernière assertion du lemme.

Lemme

Soit \(L\) un \(\mathbf{Z}\)-module libre de type fini muni d’une forme bilinéaire symétrique entière définie positive \(\langle\ ,\ \rangle : L \times L \to \mathbf{Z}\). Soit \(A \subset L\) un sous-module tel que \(L/A\) soit sans torsion. Posons \(B = \{b \in L \mid \langle a, b\rangle = 0,\ \forall a \in A\}\). On dispose alors d’applications injectives \[A^\#/A \leftarrow L/(A \oplus B) \rightarrow B^\#/B\] dont les conoyaux sont des quotients de \(L^\#/L\). Ici \(A^\# = \{a' \in A \otimes \mathbf{Q} \mid \langle a, a'\rangle \in \mathbf{Z},\ \forall a \in A\}\) et de même pour \(B\) et \(L\).

Démonstration

Observons que \(L \otimes \mathbf{Q} = A \otimes \mathbf{Q} \oplus B \otimes \mathbf{Q}\) car la forme est non dégénérée sur \(A\) (par positivité). On note \(\pi_B : L \otimes \mathbf{Q} \to B \otimes \mathbf{Q}\) la projection. Observons que \(\pi_B(x) \in B^\#\) pour \(x \in L\), car la forme est entière. On obtient ainsi une suite exacte \[0 \to A \to L \xrightarrow{\pi_B} B^\# \to Q \to 0\] où \(Q\) est le conoyau de \(L \to B^\#\). Observons que \(Q\) est un quotient de \(L^\#/L\), car l’application \(L^\# \to B^\#\) est surjective, étant la duale \(\mathbf{Z}\)-linéaire de \(B \to L\), qui est scindée comme application de \(\mathbf{Z}\)-modules. En quotientant par \(A \oplus B\), on obtient une suite exacte courte \[0 \to L/(A \oplus B) \to B^\#/B \to Q \to 0\] Ceci démontre le lemme.

Lemme

Soient \(L_0\), \(L_1\) des \(\mathbf{Z}\)-modules libres de type fini munis de formes bilinéaires symétriques entières définies positives \(\langle\ ,\ \rangle : L_i \times L_i \to \mathbf{Z}\). Soient \(\text{d} : L_0 \to L_1\) et \(\text{d}^* : L_1 \to L_0\) des applications adjointes. Si \(\langle\ ,\ \rangle\) sur \(L_0\) est unimodulaire, il existe un isomorphisme \[\Phi : \Coker(\text{d}^*\text{d})_{torsion} \longrightarrow \Im(\text{d})^\#/\Im(\text{d})\] avec les notations du lemme 0C6V.

Démonstration

Soit \(x \in L_0\) un élément représentant une classe de torsion dans \(\Coker(\text{d}^*\text{d})\). Pour un certain \(a > 0\), on peut donc écrire \(ax = \text{d}^*\text{d}(y)\). Pour tout \(z \in \Im(\text{d})\), disons \(z = \text{d}(y')\), on a \[\langle (1/a)\text{d}(y), z \rangle = \langle (1/a)\text{d}(y), \text{d}(y') \rangle = \langle x, y' \rangle \in \mathbf{Z}\] Ainsi \((1/a)\text{d}(y) \in \Im(\text{d})^\#\). On définit \(\Phi(x) = (1/a)\text{d}(y) \bmod \Im(\text{d})\). Nous omettons la preuve que \(\Phi\) est bien définie, additive et injective.

Pour montrer que \(\Phi\) est surjective, soit \(z \in \Im(\text{d})^\#\). Alors \(z\) définit une application linéaire \(L_0 \to \mathbf{Z}\) par la règle \(x \mapsto \langle z, \text{d}(x)\rangle\). L’accouplement sur \(L_0\) étant unimodulaire par hypothèse, on peut trouver un \(x' \in L_0\) tel que \(\langle x', x \rangle = \langle z, \text{d}(x)\rangle\) pour tout \(x \in L_0\). En particulier, on voit que \(x'\) est orthogonal à \(\Ker(\text{d})\). Puisque \(\Im(\text{d}^*\text{d}) \otimes \mathbf{Q}\) est le supplémentaire orthogonal de \(\Ker(\text{d}) \otimes \mathbf{Q}\), cela signifie que \(x'\) définit une classe de torsion dans \(\Coker(\text{d}^*\text{d})\). Nous affirmons que \(\Phi(x') = z\). En effet, écrivons \(a x' = \text{d}^*\text{d}(y)\) pour certains \(y \in L_0\) et \(a > 0\). Pour tout \(x \in L_0\), on obtient \[\langle z, \text{d}(x)\rangle = \langle x', x \rangle = \langle (1/a)\text{d}^*\text{d}(y), x \rangle = \langle (1/a)\text{d}(y),\text{d}(x) \rangle\] Ainsi \(z = \Phi(x')\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A = (a_{ij})\) une matrice entière symétrique \(n \times n\) telle que \(a_{ij} \geq 0\) pour \(i \not = j\). Soit \(m = (m_1, \ldots, m_n)\) un vecteur entier avec \(m_i > 0\). Supposons que

1. \(Am = 0\),

2. il n’existe aucune partie propre non vide \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) telle que \(a_{ij} = 0\) pour \(i \in I\) et \(j \not \in I\).

Soit \(e\) le nombre de couples \((i, j)\) tels que \(i < j\) et \(a_{ij} > 0\). Alors, pour un nombre premier \(\ell\) premier à tous les \(a_{ij}\) et \(m_i\), on a \[\dim_{\mathbf{F}_\ell}(\Coker(A)[\ell]) \leq 1 - n + e\]

Démonstration

D’après le lemme 0C5X, le rang de \(A\) est \(n - 1\). La composée \[\mathbf{Z}^{\oplus n} \xrightarrow{\text{diag}(m_1, \ldots, m_n)} \mathbf{Z}^{\oplus n} \xrightarrow{(a_{ij})} \mathbf{Z}^{\oplus n} \xrightarrow{\text{diag}(m_1, \ldots, m_n)} \mathbf{Z}^{\oplus n}\] a pour matrice \(a_{ij}m_im_j\). Puisque les conoyaux de la première et de la dernière application sont de torsion d’ordre premier à \(\ell\), par notre condition sur \(\ell\), il suffit de démontrer le lemme pour la matrice de coefficients \(a_{ij}m_im_j\). On peut donc supposer \(m = (1, \ldots, 1)\).

Supposons \(m = (1, \ldots, 1)\). Posons \(V = \{1, \ldots, n\}\) et \(E = \{(i, j) \mid i < j\text{ et }a_{ij} > 0\}\). Pour \(e = (i, j) \in E\), posons \(a_e = a_{ij}\). Définissons des applications \(s, t : E \to V\) en posant \(s(i, j) = i\) et \(t(i, j) = j\). Posons \(\mathbf{Z}(V) = \bigoplus_{i \in V} \mathbf{Z}i\) et \(\mathbf{Z}(E) = \bigoplus_{e \in E} \mathbf{Z}e\). On définit des accouplements symétriques définis positifs à valeurs entières sur \(\mathbf{Z}(V)\) et \(\mathbf{Z}(E)\) en posant \[\langle i, i \rangle = 1\text{ pour }i \in V, \quad \langle e, e \rangle = a_e\text{ pour }e \in E\] et en prenant tous les autres accouplements nuls. Considérons les applications \[\text{d} : \mathbf{Z}(V) \to \mathbf{Z}(E), \quad i \longmapsto \sum\nolimits_{e \in E,\ s(e) = i} e - \sum\nolimits_{e \in E,\ t(e) = i} e\] et \[\text{d}^*(e) = a_e(s(e) - t(e))\] Un calcul montre que \[\langle d(x), y\rangle = \langle x, \text{d}^*(y) \rangle\] autrement dit, \(\text{d}\) et \(\text{d}^*\) sont adjointes. On calcule ensuite \[\begin{align*} \text{d}^*\text{d}(i) & = \text{d}^*( \sum\nolimits_{e \in E,\ s(e) = i} e - \sum\nolimits_{e \in E,\ t(e) = i} e) \\ & = \sum\nolimits_{e \in E,\ s(e) = i} a_e(s(e) - t(e)) - \sum\nolimits_{e \in E,\ t(e) = i} a_e(s(e) - t(e)) \end{align*}\] Le coefficient de \(i\) dans \(\text{d}^*\text{d}(i)\) est \[\sum\nolimits_{e \in E,\ s(e) = i} a_e + \sum\nolimits_{e \in E,\ t(e) = i} a_e = - a_{ii}\] car \(\sum_j a_{ij} = 0\), et le coefficient de \(j \not = i\) dans \(\text{d}^*\text{d}(i)\) est \(-a_{ij}\). Ainsi \(\Coker(A) = \Coker(\text{d}^*\text{d})\).

Considérons l’inclusion \[\Im(\text{d}) \oplus \Ker(\text{d}^*) \subset \mathbf{Z}(E)\] Le membre de gauche est une somme directe orthogonale. Il est clair que \(\mathbf{Z}(E)/\Ker(\text{d}^*)\) est sans torsion. Nous affirmons que \(\mathbf{Z}(E)/\Im(\text{d})\) est également sans torsion. En effet, soient \(x = \sum x_e e \in \mathbf{Z}(E)\) et \(a > 1\) tels que \(ax = \text{d}y\) pour un certain \(y = \sum y_i i \in \mathbf{Z}(V)\). Alors \(a x_e = y_{s(e)} - y_{t(e)}\). La propriété (2) entraîne que tous les \(y_i\) ont la même classe de congruence modulo \(a\). On peut donc écrire \(y = a y' + (y_1, y_1, \ldots, y_1)\). Puisque \(\text{d}(y_1, y_1, \ldots, y_1) = 0\), on en déduit que \(x = \text{d}(y')\), ce qu’il fallait démontrer.

On peut donc appliquer le lemme 0C6V pour obtenir des applications injectives \[\Im(\text{d})^\#/\Im(\text{d}) \leftarrow \mathbf{Z}(E)/(\Im(\text{d}) \oplus \Ker(\text{d}^*)) \rightarrow \Ker(\text{d}^*)^\#/\Ker(\text{d}^*)\] dont les conoyaux sont annulés par le produit des \(a_e\) (qui est premier à \(\ell\)). Puisque \(\Ker(\text{d}^*)\) est un réseau de rang \(1 - n + e\), il suffit, pour achever la démonstration, de montrer qu’il existe un isomorphisme \[\Phi : M_{torsion} \longrightarrow \Im(\text{d})^\#/\Im(\text{d})\] Ceci est démontré dans le lemme 0C6W.

Types numériques

Une partie des arguments fera intervenir la combinatoire des données suivantes.

Définition

Un type numérique \(T\) est donné par \[n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\] où \(n \geq 1\) est un entier et où \(m_i\), \(a_{ij}\), \(w_i\), \(g_i\) sont des entiers, pour \(1 \leq i, j \leq n\), soumis aux conditions suivantes :

1. \(m_i > 0\), \(w_i > 0\), \(g_i \geq 0\),

2. la matrice \(A = (a_{ij})\) est symétrique et \(a_{ij} \geq 0\) pour \(i \not = j\),

3. il n’existe aucune partie propre non vide \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) telle que \(a_{ij} = 0\) pour \(i \in I\), \(j \not \in I\),

4. pour tout \(i\), on a \(\sum_j a_{ij}m_j = 0\), et

5. \(w_i | a_{ij}\).

Cette sorte de structure est certes quelque peu malcommode à manipuler, mais c’est exactement ce qui apparaît dans les fibres spéciales des modèles propres réguliers des courbes lisses géométriquement connexes. Naturellement, ces types ne nous intéressent qu’à permutation des indices près.

Définition

On dit que deux types numériques \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) et \(n', m'_i, a'_{ij}, w'_i, g'_i\) sont des types équivalents s’il existe une permutation \(\sigma\) de \(\{1, \ldots, n\}\) telle que \(m_i = m'_{\sigma(i)}\), \(a_{ij} = a'_{\sigma(i)\sigma(j)}\), \(w_i = w'_{\sigma(i)}\) et \(g_i = g'_{\sigma(i)}\).

Un type numérique possède un genre.

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique. Alors l’expression \[g = 1 + \sum m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2} a_{ii})\] est un entier.

Démonstration

Pour montrer que \(g\) est un entier, il faut montrer que \(\sum a_{ii}m_i\) est pair. On le voit en calculant modulo \(2\) comme suit : \[\begin{align*} \sum\nolimits_i a_{ii} m_i & \equiv \sum\nolimits_{i,\ m_i\text{ impair}} a_{ii}m_i \\ & \equiv \sum\nolimits_{i,\ m_i\text{ impair}} \sum\nolimits_{j \not = i} a_{ij}m_j \\ & \equiv \sum\nolimits_{i,\ m_i\text{ impair}} \sum\nolimits_{j \not = i,\ m_j\text{ impair}} a_{ij}m_j \\ & \equiv \sum\nolimits_{i < j,\ m_i\text{ et }m_j\text{ impairs}} a_{ij}(m_i + m_j) \\ & \equiv 0 \end{align*}\] où l’on a utilisé que \(a_{ij} = a_{ji}\) et que \(\sum_j a_{ij}m_j = 0\) pour tout \(i\).

Définition

On dit que \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) est un type numérique de genre \(g\) si \(g = 1 + \sum m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2} a_{ii})\) est l’entier du lemme 0C71.

Nous démontrerons plus bas (lemme 0C7C) que le genre est presque toujours \(\geq 0\). Il peut toutefois exister des types numériques de genre négatif.

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique de genre \(g\). Si \(n = 1\), alors \(a_{11} = 0\) et \(g = 1 + m_1w_1(g_1 - 1)\). De plus, on peut classifier tous ces types numériques comme suit :

1. Si \(g < 0\), alors \(g_1 = 0\) et il n’y a qu’un nombre fini de types numériques de genre \(g\) avec \(n = 1\), correspondant aux factorisations \(m_1w_1 = 1 - g\).

2. Si \(g = 0\), alors \(m_1 = 1\), \(w_1 = 1\), \(g_1 = 0\), comme dans le lemme 0C8S.

3. Si \(g = 1\), on en déduit \(g_1 = 1\), mais \(m_1, w_1\) peuvent être des entiers strictement positifs arbitraires ; c’est le cas (0C8U) du lemme 0C8T.

4. Si \(g > 1\), alors \(g_1 > 1\) et il n’y a qu’un nombre fini de types numériques de genre \(g\) avec \(n = 1\), correspondant aux factorisations \(m_1w_1(g_1 - 1) = g - 1\).

Démonstration

Le lemme est immédiat.

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique de genre \(g\). Si \(n > 1\), alors \(a_{ii} < 0\) pour tout \(i\).

Démonstration

Le lemme 0C5X s’applique à la matrice \(A\).

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique de genre \(g\). Supposons \(n > 1\). Si \(i\) est tel que la contribution \(m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2} a_{ii})\) au genre \(g\) soit \(< 0\), alors \(g_i = 0\) et \(a_{ii} = -w_i\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0C74 et des relations \(w_i > 0\), \(g_i \geq 0\) et \(w_i | a_{ii}\).

Définition

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique. On dit que \(i\) est un indice \((-1)\) si \(g_i = 0\) et \(a_{ii} = -w_i\).

On peut « contracter » les indices \((-1)\).

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique \(T\). Supposons que \(n\) soit un indice \((-1)\). Il existe alors un type numérique \(T'\) donné par \(n', m'_i, a'_{ij}, w'_i, g'_i\), avec

1. \(n' = n - 1\),

2. \(m'_i = m_i\),

3. \(a'_{ij} = a_{ij} - a_{in}a_{jn}/a_{nn}\),

4. \(w'_i = w_i/2\) si \(a_{in}/w_n\) est pair et \(a_{in}/w_i\) impair, et \(w'_i = w_i\) sinon,

5. \(g'_i = \frac{w_i}{w'_i}(g_i - 1) + 1 + \frac{a_{in}^2 - w_na_{in}}{2w'_iw_n}\).

De plus, on a \(g = g'\).

Démonstration

Observons que \(n > 1\), par exemple d’après le lemme 0C73, et donc que \(n' \geq 1\). Vérifions les conditions (1) – (5) de la définition 0C6Z pour \(n', m'_i, a'_{ij}, w'_i, g'_i\).

La condition (1) est immédiate.

Condition (2). La symétrie de \(A' = (a'_{ij})\) est immédiate et, puisque \(a_{nn} < 0\) d’après le lemme 0C74, on voit que \(a'_{ij} \geq a_{ij} \geq 0\) si \(i \not = j\).

Condition (3). Supposons que \(I \subset \{1, \ldots, n - 1\}\) soit tel que \(a'_{ii'} = 0\) pour \(i \in I\) et \(i' \in \{1, \ldots, n - 1\} \setminus I\). On voit alors que, pour tout \(i \in I\) et tout \(i' \in I'\), on a \(a_{in}a_{i'n} = 0\). Ainsi, ou bien \(a_{in} = 0\) pour tout \(i \in I\), et \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) contredit la propriété (3) pour \(T\), ou bien \(a_{i'n} = 0\) pour tout \(i' \in \{1, \ldots, n - 1\} \setminus I\), et \(I \cup \{n\} \subset \{1, \ldots, n\}\) contredit la propriété (3) de \(T\). La condition (3) est donc vérifiée pour \(T'\).

Condition (4). On calcule \[\sum\nolimits_{j = 1}^{n - 1} a'_{ij}m_j = \sum\nolimits_{j = 1}^{n - 1} (a_{ij}m_j - \frac{a_{in}a_{jn}m_j}{a_{nn}}) = - a_{in}m_n - \frac{a_{in}}{a_{nn}}(-a_{nn}m_n) = 0\] comme voulu.

Condition (5). Il faut montrer que \(w'_i\) divise \(a_{in}a_{jn}/a_{nn}\). C’est clair puisque \(a_{nn} = -w_n\), \(w_n | a_{jn}\) et \(w_i | a_{in}\).

Pour montrer que \(g = g'\), écrivons d’abord \[\begin{align*} g & = 1 + \sum\nolimits_{i = 1}^n m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2}a_{ii}) \\ & = 1 + \sum\nolimits_{i = 1}^{n - 1} m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2}a_{ii}) -\frac{1}{2}m_nw_n \\ & = 1 + \sum\nolimits_{i = 1}^{n - 1} m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2}a_{ii} - \frac{1}{2}a_{in}) \end{align*}\] En comparant avec l’expression de \(g'\), on voit qu’il suffit que \[w'_i(g'_i - 1) - \frac{1}{2}a'_{ii} = w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2}a_{in} - \frac{1}{2}a_{ii}\] pour \(i \leq n - 1\). Autrement dit, on a \[g'_i = \frac{2w_i(g_i - 1) - a_{in} - a_{ii} + a'_{ii} + 2w'_i}{2w'_i} = \frac{w_i}{w'_i}(g_i - 1) + 1 + \frac{a_{in}^2 - w_na_{in}}{2w'_iw_n}\] On vérifie élémentairement qu’il s’agit d’un entier \(\geq 0\) si l’on choisit \(w'_i\) comme en (4).

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique. Soit \(e\) le nombre de couples \((i, j)\) tels que \(i < j\) et \(a_{ij} > 0\). Alors l’expression \(g_{top} = 1 - n + e\) est \(\geq 0\).

Démonstration

Sinon, \(e < n - 1\), ce qui signifie qu’il existe un \(i\) tel que \(a_{ij} = 0\) pour tout \(j \not = i\). Cela contredit l’hypothèse (3) de la définition 0C6Z.

Définition

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique \(T\). Le genre topologique de \(T\) est l’entier positif ou nul \(g_{top} = 1 - n + e\) du lemme 0C78.

Nous voulons minorer le genre par le genre topologique. Toutefois, cela ne sera pas toujours possible, par exemple pour les types numériques avec \(n = 1\) du lemme 0C73. Ce sera cependant le cas pour les types numériques minimaux, définis comme suit.

Définition

On dit que le type numérique \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) de genre \(g\) est minimal s’il n’existe aucun \(i\) tel que \(g_i = 0\) et \(a_{ii} = -w_i\), autrement dit, s’il n’existe aucun indice \((-1)\).

Nous démontrerons que le genre \(g\) d’un type minimal avec \(n > 1\) est supérieur ou égal à \(\max(1, g_{top})\).

Lemme

Si \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) est un type numérique minimal avec \(n > 1\), alors \(g \geq 1\).

Démonstration

Cela résulte de ce que \(g = 1 + \sum \Phi_i\), avec \(\Phi_i = m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2} a_{ii})\) positif ou nul, d’après le lemme 0C75 et la définition des types minimaux.

Lemme

Si \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) est un type numérique minimal avec \(n > 1\), alors \(g \geq g_{top}\).

Démonstration

Le lecteur qui ne s’intéresse qu’aux types numériques associés aux modèles propres réguliers peut omettre cette démonstration, car nous redémontrerons le résultat plus loin dans la situation géométrique. On peut écrire \[g_{top} = 1 - n + \frac{1}{2}\sum\nolimits_{a_{ij} > 0} 1 = 1 + \sum\nolimits_i (-1 + \frac{1}{2}\sum\nolimits_{j \not = i,\ a_{ij} > 0} 1)\] D’autre part, on a \[\begin{align*} g & = 1 + \sum m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2} a_{ii}) \\ & = 1 + \sum m_iw_ig_i - \sum m_iw_i + \frac{1}{2} \sum\nolimits_{i \not = j} a_{ij}m_j \\ & = 1 + \sum\nolimits_i m_iw_i(-1 + g_i + \frac{1}{2} \sum\nolimits_{j \not = i} \frac{a_{ij}}{w_i}) \end{align*}\] La première égalité est la définition, la deuxième utilise que \(\sum a_{ij}m_j = 0\), et la dernière utilise la relation \(a_{ij} = a_{ji}\) ainsi que l’interversion de l’ordre des sommations. En comparant avec la formule pour \(g_{top}\), on conclut que le lemme est vrai si \[\Psi_i = m_iw_i(-1 + g_i + \frac{1}{2} \sum\nolimits_{j \not = i} \frac{a_{ij}}{w_i}) - (-1 + \frac{1}{2}\sum\nolimits_{j \not = i,\ a_{ij} > 0} 1)\] est \(\geq 0\) pour tout \(i\). Ce n’est cependant pas toujours le cas. Examinons pour quels indices on peut avoir \(\Psi_i < 0\). Observons d’abord que \[(-1 + g_i + \frac{1}{2}\sum\nolimits_{j \not = i} \frac{a_{ij}}{w_i}) \geq (-1 + \frac{1}{2}\sum\nolimits_{j \not = i,\ a_{ij} > 0} 1)\] car \(a_{ij}/w_i\) est un entier positif ou nul. Puisque \(m_iw_i\) est un entier strictement positif, on en déduit que \(\Psi_i \geq 0\) dès que \(m_iw_i = 1\) ou que le membre de gauche de l’inégalité est \(\geq 0\), ce qui se produit si \(g_i > 0\), ou si \(a_{ij} > 0\) pour au moins deux indices \(j\), ou s’il existe un \(j\) tel que \(a_{ij} > w_i\). Ainsi \[P = \{i : \Psi_i < 0\}\] est l’ensemble des indices \(i\) tels que \(m_iw_i > 1\), \(g_i = 0\), \(a_{ij} > 0\) pour un unique \(j\) et \(a_{ij} = w_i\) pour ce \(j\). De plus, \[i \in P \Rightarrow \Psi_i = \frac{1}{2}(-m_iw_i + 1)\] La stratégie consiste à montrer que, pour \(i \in P\), on peut prélever une part de \(\Psi_j\), où \(j\) est le voisin de \(i\), c’est-à-dire où \(a_{ij} > 0\). Toutefois, cela ne suffit pas tout à fait, car \(j\) peut être un indice tel que \(\Psi_j = 0\).

Considérons l’ensemble \[Z = \{j : g_j = 0\text{ et } j\text{ a exactement deux voisins }i, k\text{ avec } a_{ij} = w_j = a_{jk}\}\] Pour \(j \in Z\), on a \(\Psi_j = 0\). Nous considérerons des suites \(M = (i, j_1, \ldots, j_s)\) où \(s \geq 0\), \(i \in P\), \(j_1, \ldots, j_s \in Z\), et \(a_{ij_1} > 0, a_{j_1j_2} > 0, \ldots, a_{j_{s - 1}j_s} > 0\). Si notre type numérique est constitué de deux indices appartenant à \(P\), ou, plus généralement, si notre type numérique est constitué de deux indices appartenant à \(P\) et de tous les autres indices dans \(Z\), alors \(g_{top} = 0\) et on conclut par le lemme 0C7B. On peut donc écarter ces cas, ce que nous faisons.

Soit \(M = (i, j_1, \ldots, j_s)\) une suite maximale, et soit \(k\) le second voisin de \(j_s\). (Si \(s = 0\), alors \(k\) est l’unique voisin de \(i\).) Par maximalité, \(k \not \in Z\) et, d’après ce qui précède, \(k \not \in P\). Observons que \(w_i = a_{ij_1} = w_{j_1} = a_{j_1j_2} = \ldots = w_{j_s} = a_{j_sk}\). En examinant la définition d’un type numérique, on voit que \[\begin{align*} m_ia_{ii} + m_{j_1}w_i & = 0,\\ m_iw_i + m_{j_1}a_{j_1j_1} + m_{j_2}w_i & = 0,\\ \ldots & \ldots \\ m_{j_{s - 1}}w_i + m_{j_s}a_{j_sj_s} + m_kw_i & = 0 \end{align*}\] La première égalité entraîne \(m_{j_1} \geq 2m_i\), car le type numérique est minimal. La deuxième égalité entraîne alors \(m_{j_2} \geq 3m_i\), et ainsi de suite. Dans tous les cas, on en déduit que \(m_k \geq 2m_i\) (y compris lorsque \(s = 0\)).

Soit \(k\) un indice pour lequel on dispose d’un \(t > 0\) et de suites maximales deux à deux distinctes \(M_1, \ldots, M_t\) comme ci-dessus, avec \(M_b = (i_b, j_{b, 1}, \ldots, j_{b, s_b})\) telles que \(k\) soit un voisin de \(j_{b, s_b}\) pour \(b = 1, \ldots, t\). Nous montrerons que \(\Phi_j + \sum_{b = 1, \ldots, t} \Phi_{i_b} \geq 0\). Cela achèvera la démonstration du lemme, d’après ce qui précède. Soit \(M\) la réunion des indices figurant dans \(M_b\), \(b = 1, \ldots, t\). Écrivons \[\Psi_k = -\sum\nolimits_{b = 1, \ldots, t} \Psi_{i_b} + \Psi_k'\] où \[\begin{align*} \Psi_k' & = m_kw_k\left(-1 + g_k + \frac{1}{2} \sum\nolimits_{b = 1, \ldots t} (\frac{a_{kj_{b, s_b}}}{w_k} - \frac{m_{i_b}w_{i_b}}{m_kw_k}) + \frac{1}{2} \sum\nolimits_{l \not = k,\ l \not \in M} \frac{a_{kl}}{w_k} \right) \\ & -\left( -1 + \frac{1}{2}\sum\nolimits_{l \not = k,\ l \not \in M,\ a_{kl} > 0} 1 \right) \end{align*}\] Supposons \(\Psi_k' < 0\) pour obtenir une contradiction. Si l’ensemble \(\{l : l \not = k,\ l \not \in M,\ a_{kl} > 0\}\) est vide, alors \(\{1, \ldots, n\} = M \cup \{k\}\) et \(g_{top} = 0\), car \(e = n - 1\) dans ce cas, et le résultat découle du lemme 0C7B. On peut donc supposer qu’il existe au moins un tel \(l\), qui contribue pour \((1/2)a_{kl}/w_k \geq 1/2\) à la somme entre les premières parenthèses. Pour tout \(b = 1, \ldots, t\), on a \[\frac{a_{kj_{b, s_b}}}{w_k} - \frac{m_{i_b}w_{i_b}}{m_kw_k} = \frac{w_{i_b}}{w_k}(1 - \frac{m_{i_b}}{m_k})\] Cette expression est \(\geq \frac{1}{2}\), car \(m_k \geq 2m_{i_b}\) d’après le paragraphe précédent, et elle est \(\geq 1\) si \(w_k < w_{i_b}\). Il s’ensuit que \(\Psi_k' < 0\) entraîne \(g_k = 0\). Si \(t \geq 2\), ou si \(t = 1\) et \(w_k < w_{i_1}\), alors \(\Psi_k' \geq 0\) (on utilise ici l’existence d’un \(l\) établie ci-dessus), ce qui est encore contradictoire. Ainsi \(t = 1\) et \(w_k = w_{i_1}\). S’il y a au moins deux termes non nuls dans la somme sur \(l\), ou s’il existe un tel \(k\) et que \(a_{kl} > w_k\), alors on a également \(\Psi_k' \geq 0\). La dernière possibilité est que \(t = 1\) et qu’il existe un \(l\) tel que \(a_{kl} = w_k\). Ceci est exclu, car cela signifierait que \(k \in Z\), contrairement à la maximalité de \(M_1\).

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique de genre \(g\). Supposons \(n > 1\). Si \(i\) est tel que la contribution \(m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2} a_{ii})\) au genre \(g\) soit \(0\), alors \(g_i = 0\) et \(a_{ii} = -2w_i\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 0C74 et des relations \(w_i > 0\), \(g_i \geq 0\) et \(w_i | a_{ii}\).

Les indices vérifiant cette relation jouent en fait un rôle important dans la structure des types numériques minimaux. Nous leur donnons donc un nom.

Définition

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique de genre \(g\). On dit que \(i\) est un indice \((-2)\) si \(g_i = 0\) et \(a_{ii} = -2w_i\).

Étant donné un type numérique minimal de genre \(g\), les indices \((-2)\) sont exactement ceux dont la contribution au genre n’est pas strictement positive dans la formule \[g = 1 + \sum m_i(w_i(g_i - 1) - \frac{1}{2} a_{ii})\] Il sera donc quelque peu délicat de borner les quantités associées aux indices \((-2)\), comme nous le verrons plus loin.

Remarque

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique minimal avec \(n > 1\). L’égalité \(g = g_{top}\) peut avoir lieu dans le lemme 0C7C. Par exemple, si \(m_i = w_i = 1\) et \(g_i = 0\) pour tout \(i\), et si \(a_{ij} \in \{0, 1\}\) pour \(i < j\).

Le groupe de Picard d’un type numérique

Voici la définition.

Définition

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique \(T\). Le groupe de Picard de \(T\) est le conoyau de la matrice \((a_{ij}/w_i)\), plus précisément \[\Pic(T) = \Coker\left( \mathbf{Z}^{\oplus n} \to \mathbf{Z}^{\oplus n},\quad e_i \mapsto \sum \frac{a_{ij}}{w_j}e_j \right)\] où \(e_i\) désigne le vecteur d’indice \(i\) de la base canonique de \(\mathbf{Z}^{\oplus n}\).

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique \(T\). Le groupe de Picard de \(T\) est un groupe abélien de type fini de rang \(1\).

Démonstration

Si \(n = 1\), alors \(A = (a_{ij})\) est la matrice nulle et le résultat est clair. Pour \(n > 1\), la matrice \(A\) est de rang \(n - 1\) d’après le lemme 0C5V ou le lemme 0C5X. Bien entendu, le rang ne change pas lorsqu’on multiplie les lignes par \(1/w_i\). Ceci démontre le lemme.

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique \(T\). Alors \(\Pic(T) \subset \Coker(A)\), où \(A = (a_{ij})\).

Démonstration

Puisque \(\Pic(T)\) est le conoyau de \((a_{ij}/w_i)\), on dispose d’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathbf{Z}^{\oplus n} \ar[rr]_A & & \mathbf{Z}^{\oplus n} \ar[rr] & & \Coker(A) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathbf{Z}^{\oplus n} \ar[rr]^{(a_{ij}/w_i)} \ar[u]_{\text{id}} & & \mathbf{Z}^{\oplus n} \ar[rr] \ar[u]_{\text{diag}(w_1, \ldots, w_n)} & & \Pic(T) \ar[r] \ar[u] & 0 }\] dont les lignes sont exactes. Le lemme du serpent entraîne que \(\Pic(T) \subset \Coker(A)\).

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique \(T\). Supposons que \(n\) soit un indice \((-1)\). Soit \(T'\) le type numérique construit dans le lemme 0C77. Il existe une application injective \[\Pic(T) \to \Pic(T')\] dont le conoyau est un \(2\)-groupe abélien élémentaire.

Démonstration

Rappelons que \(n' = n - 1\). Soit \(e_i\), resp. \(e'_i\), le vecteur d’indice \(i\) de la base de \(\mathbf{Z}^{\oplus n}\), resp. \(\mathbf{Z}^{\oplus n - 1}\). Notons d’abord \[q : \mathbf{Z}^{\oplus n} \to \mathbf{Z}^{\oplus n - 1}, \quad e_n \mapsto 0\text{ et }e_i \mapsto e'_i\text{ pour }i \leq n - 1\] et posons \[p : \mathbf{Z}^{\oplus n} \to \mathbf{Z}^{\oplus n - 1},\quad e_n \mapsto \sum\nolimits_{j = 1}^{n - 1} \frac{a_{nj}}{w'_j} e'_j \text{ et } e_i \mapsto \frac{w_i}{w'_i} e'_i\text{ pour }i \leq n - 1\] Un calcul (que nous omettons) montre que l’on a un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathbf{Z}^{\oplus n} \ar[rr]_{(a_{ij}/w_i)} \ar[d]_q & & \mathbf{Z}^{\oplus n} \ar[d]^p \\ \mathbf{Z}^{\oplus n'} \ar[rr]^{(a'_{ij}/w'_i)} & & \mathbf{Z}^{\oplus n'} }\] Le conoyau de la flèche supérieure étant \(\Pic(T)\) et celui de la flèche inférieure étant \(\Pic(T')\), on obtient l’homomorphisme voulu entre les groupes de Picard. Puisque \(\frac{w_i}{w'_i} \in \{1, 2\}\), le conoyau de \(\Pic(T) \to \Pic(T')\) est annulé par \(2\) (car \(2e'_i\) appartient à l’image de \(p\) pour tout \(i \leq n - 1\)). Montrons enfin que \(\Pic(T) \to \Pic(T')\) est injective. Soit \(L = (l_1, \ldots, l_n)\) un représentant d’un élément de \(\Pic(T)\) d’image nulle dans \(\Pic(T')\). Puisque \(q\) est surjective, une chasse au diagramme montre que l’on peut supposer \(L\) dans le noyau de \(p\). Cela signifie que \(l_na_{ni}/w'_i + l_iw_i/w'_i = 0\), c’est-à-dire \(l_i = - a_{ni}/w_i l_n\). Ainsi \(L\) est l’image de \(-l_ne_n\) par l’application \((a_{ij}/w_j)\), ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique \(T\). Si le genre \(g\) de \(T\) est \(\leq 0\), alors \(\Pic(T) = \mathbf{Z}\).

Démonstration

On raisonne par récurrence sur \(n\). Si \(n = 1\), l’assertion est claire. Si \(n > 1\), alors \(T\) n’est pas minimal d’après le lemme 0C7B. En remplaçant \(T\) par un type équivalent, on peut supposer que \(n\) est un indice \((-1)\). D’après le lemme 0C7J, on a \(\Pic(T) \subset \Pic(T')\). D’après le lemme 0C77, le genre de \(T'\) est égal à celui de \(T\), et l’on conclut par récurrence.

Classification des sous-graphes propres

Dans cette section, on suppose donné un type numérique \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) de genre \(g\). Nous dresserons une liste complète des « sous-graphes » possibles constitués entièrement d’indices \((-2)\) (définition 0C7E) et, en même temps, nous classifierons tous les types numériques minimaux possibles de genre \(1\). Autrement dit, nous démontrons ici la proposition 0C8Q et le lemme 0C8T

Notre stratégie sera la suivante. Soit \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique de genre \(g\). Soit \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) une partie constituée d’indices \((-2)\) telle qu’il n’existe aucune partie propre non vide \(J \subset I\) avec \(a_{jj'} = 0\) pour \(j \in J\), \(j' \in I \setminus J\). On raisonne par récurrence sur le cardinal \(|I|\) de \(I\). Si \(I = \{i\}\) est constitué de \(1\) indice, les seules contraintes sur \(m_i\), \(a_{ii}\) et \(w_i\) sont \(w_i | a_{ii}\), d’après la définition 0C6Z, et \(a_{ii} < 0\), d’après le lemme 0C74, ce qui fournira le cas initial. Dans l’étape de récurrence, on applique d’abord l’hypothèse de récurrence aux parties \(I' \subset I\) de cardinal \(|I'| < |I|\). On obtient ainsi des contraintes sur les valeurs possibles de \(m_i, a_{ij}, w_i\), \(i, j \in I\). En particulier, puisque \(|I'| < |I| \leq n\), il résultera de \(\sum a_{ij}m_j = 0\) et du lemme 0C5X que les sous-matrices \((a_{ij})_{i, j \in I'}\) sont définies négatives et que leur déterminant est de signe \((-1)^m\). Pour chaque possibilité restante, on calcule le déterminant de \((a_{ij})_{i, j \in I}\). Si ce déterminant est de signe \(-(-1)^{|I|}\), on peut écarter ce cas, car le théorème de Sylvester montre que la matrice \((a_{ij})_{i, j \in I}\) n’est pas semi-définie négative. Si le déterminant est de signe \((-1)^{|I|}\), alors \(|I| < n\), et l’on conclut (provisoirement) que ce cas peut se présenter comme sous-graphe propre et on l’inscrit dans l’un des lemmes de cette section. Si le déterminant est \(0\), on doit avoir \(|I| = n\) (toujours d’après le lemme 0C5X) et \(g = 0\). Dans ces cas, on détermine toutes les valeurs possibles de \(m_i, a_{ij}, w_i\), \(i, j \in I\), et on les énumère dans le lemme 0C8T. Une fois l’argument achevé, on obtient tous les types numériques minimaux possibles de genre \(1\) avec \(n > 1\), car chacun d’eux est nécessairement constitué entièrement d’indices \((-2)\) (et apparaîtra donc au cours de la récurrence), d’après la formule du genre et les remarques de la section précédente. En définitive, le lecteur pourra parcourir la liste des possibilités du lemme 0C8T pour vérifier que toutes les configurations de sous-graphes propres présentées ici comme possibles se réalisent effectivement déjà pour des types numériques de genre \(1\).

Supposons que \(i\) et \(j\) soient des indices \((-2)\) tels que \(a_{ij} > 0\). La matrice \(A = (a_{ij})\) étant semi-définie négative d’après le lemme 0C5X, on voit que la matrice \[\left( \begin{matrix} -2w_i & a_{ij} \\ a_{ij} & -2w_j \end{matrix} \right)\] est définie négative, sauf si \(n = 2\). Le cas \(n = 2\) peut se produire : le déterminant \(4w_1w_2 - a_{12}^2\) est alors nul. En utilisant que \(\text{lcm}(w_1, w_2)\) divise \(a_{12}\), le lecteur trouve aisément que les seules possibilités sont \[(w_1, w_2, a_{12}) = (w, w, 2w), (w, 4w, 4w), \text{ ou }(4w, w, 4w)\] Observons que le cas \((4w, w, 4w)\) s’obtient à partir du cas \((w, 4w, 4w)\) en échangeant les indices \(i, j\). Dans ces cas, \(g = 1\). Cela conduit aux cas (0C8V) et (0C8W) du lemme 0C8T. En supposant \(n > 2\), on voit que le déterminant \(4w_iw_j - a_{ij}^2\) de la matrice ci-dessus est \(> 0\), et l’on en déduit que \(a_{ij}^2/w_iw_j < 4\). D’autre part, on sait que \(\text{lcm}(w_i, w_j) | a_{ij}\), donc \(a_{ij}^2/w_iw_j\) est un entier. Ainsi \(a_{ij}^2/w_iw_j \in \{1, 2, 3\}\) et \(w_i | w_j\) ou inversement. Cela conduit aux possibilités suivantes : \[(w_1, w_2, a_{12}) = (w, w, w), (w, 2w, 2w), (w, 3w, 3w), (2w, w, 2w), \text{ ou }(3w, w, 3w)\] Observons que le cas \((2w, w, 2w)\) s’obtient à partir du cas \((w, 2w, 2w)\) en échangeant les indices \(i, j\), et de même pour les cas \((3w, w, 3w)\) et \((w, 3w, 3w)\). Les trois premières solutions conduisent aux cas (0C7N), (0C7P) et (0C7Q) du lemme 0C7M. Dans ce lemme, on a explicité les conséquences pour les entiers \(m_i\) et \(m_j\), en utilisant que \(\sum_l a_{kl}m_l = 0\) pour tout \(k\) entraîne en particulier \(a_{ii}m_i + a_{ij}m_j \leq 0\) pour \(k = i\) et \(a_{ij}m_i + a_{jj}m_j \leq 0\) pour \(k = j\).

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet }\] Si \(n > 2\), pour une paire \(i, j\) d’indices \((-2)\) telle que \(a_{ij} > 0\), on a, à permutation près, les possibilités suivantes pour les \(m\), les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w \\ w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(w\) arbitraire, \(2m_1 \geq m_2\) et \(2m_2 \geq m_1\), ou

2. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 2w \\ 2w & -4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 2w \end{matrix} \right)\] avec \(w\) arbitraire, \(m_1 \geq m_2\) et \(2m_2 \geq m_1\), ou

3. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 3w \\ 3w & -6w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 3w \end{matrix} \right)\] avec \(w\) arbitraire, \(2m_1 \geq 3m_2\) et \(2m_2 \geq m_1\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons que \(i\), \(j\) et \(k\) soient trois indices \((-2)\) tels que \(a_{ij} > 0\) et \(a_{jk} > 0\). Autrement dit, l’indice \(i\) « rencontre » \(j\), et \(j\) « rencontre » \(k\). Nous utiliserons sans le rappeler que chaque paire \((i, j)\), \((i, k)\) et \((j, k)\) figure dans la liste du lemme 0C7M. Puisque la matrice \(A = (a_{ij})\) est semi-définie négative d’après le lemme 0C5X, la matrice \[\left( \begin{matrix} -2w_i & a_{ij} & a_{ik} \\ a_{ij} & -2w_j & a_{jk} \\ a_{ik} & a_{jk} & -2w_k \end{matrix} \right)\] est définie négative, sauf si \(n = 3\). Le cas \(n = 3\) peut se produire : le déterminant² de la matrice est alors nul, et l’on obtient l’égalité \[4 = \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} + \frac{a_{ik}^2}{w_iw_k} + \frac{a_{ij}a_{ik}a_{jk}}{w_iw_jw_k}\] entre entiers. Le dernier terme du membre de droite de cette égalité est déterminé par les autres, car \[\left(\frac{a_{ij}a_{ik}a_{jk}}{w_iw_jw_k}\right)^2 = \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} \frac{a_{ik}^2}{w_iw_k}\] Puisque nous avons vu ci-dessus que \(\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}\) appartiennent à \(\{1, 2, 3\}\) et que \(\frac{a_{ik}^2}{w_iw_k}\) appartient à \(\{0, 1, 2, 3\}\), on en déduit que les seules possibilités sont \[(\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}, \frac{a_{ik}^2}{w_iw_k}) = (1, 1, 1), (1, 3, 0), (2, 2, 0),\text{ ou } (3, 1, 0)\] Observons que le cas \((3, 1, 0)\) s’obtient à partir du cas \((1, 3, 0)\) en renversant l’ordre des indices \(i, j, k\). Dans chacun de ces cas, \(g = 1\) ; le lecteur les retrouvera aux cas (0C8X), (0C8Y), (0C8Z), (0C90), (0C91), (0C92) du lemme 0C8T, avec un cas correspondant à \((1, 1, 1)\), deux cas correspondant à \((1, 3, 0)\) et trois cas correspondant à \((2, 2, 0)\). En supposant \(n > 3\), on obtient l’inégalité \[4 > \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + \frac{a_{ik}^2}{w_iw_k} + \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} + \frac{a_{ij}a_{ik}a_{jk}}{w_iw_jw_k}\] entre entiers. En utilisant les restrictions sur les nombres données ci-dessus, on voit que les seules possibilités sont \[(\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}, \frac{a_{ik}^2}{w_iw_k}) = (1, 1, 0), (1, 2, 0),\text{ ou }(2, 1, 0)\] en particulier \(a_{ik} = 0\) (rappelons que l’on suppose \(a_{ij} > 0\) et \(a_{jk} > 0\)). Observons que le cas \((2, 1, 0)\) s’obtient à partir du cas \((1, 2, 0)\) en renversant l’ordre des indices \(i, j, k\). Les deux premières solutions conduisent aux cas (0C7S), (0C7T) et (0C7U) du lemme 0C7R, où l’on a aussi explicité les conséquences pour les entiers \(m_i\), \(m_j\) et \(m_k\).

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet }\] Si \(n > 3\), pour un triplet \(i, j, k\) d’indices \((-2)\) dont au moins deux des \(a_{ij}, a_{ik}, a_{jk}\) sont non nuls, on a, à permutation près, les possibilités suivantes pour les \(m\), les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 \\ w & -2w & w \\ 0 & w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2\), ou

2. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 \\ w & -2w & 2w \\ 0 & 2w & -4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ 2w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + 2m_3\), \(2m_3 \geq m_2\), ou

3. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -4w & 2w & 0 \\ 2w & -4w & 2w \\ 0 & 2w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 2w \\ 2w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(m_3 \geq m_2\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons que \(i\), \(j\), \(k\) et \(l\) soient quatre indices \((-2)\) tels que \(a_{ij} > 0\), \(a_{jk} > 0\) et \(a_{kl} > 0\). Autrement dit, l’indice \(i\) « rencontre » \(j\), \(j\) « rencontre » \(k\), et \(k\) « rencontre » \(l\). Le lemme 0C7R donne alors \(a_{ik} = a_{jl} = 0\). La matrice \(A = (a_{ij})\) étant semi-définie négative, on voit que la matrice \[\left( \begin{matrix} -2w_i & a_{ij} & 0 & a_{il} \\ a_{ij} & -2w_j & a_{jk} & 0 \\ 0 & a_{jk} & -2w_k & a_{kl} \\ a_{il} & 0 & a_{kl} & -2w_l \end{matrix} \right)\] est définie négative, sauf si \(n = 4\). Le cas \(n = 4\) peut se produire : le déterminant³ de la matrice est alors nul, et l’on obtient l’égalité \[16 + \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}\frac{a_{il}^2}{w_iw_l} = 4\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + 4\frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} + 4\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + 4\frac{a_{il}^2}{w_iw_l} + 2\frac{a_{ij}a_{il}a_{jk}a_{kl}}{w_iw_jw_kw_l}\] entre entiers positifs ou nuls. Le dernier terme du membre de droite de cette égalité est déterminé par les autres, car \[\left(\frac{a_{ij}a_{il}a_{jk}a_{kl}}{w_iw_jw_kw_l}\right)^2 = \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} \frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} \frac{a_{il}^2}{w_iw_l}\] Puisque nous avons vu ci-dessus que \(\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}, \frac{a_{kl}^2}{w_kw_l}\) appartiennent à \(\{1, 2\}\) et que \(\frac{a_{il}^2}{w_iw_l}\) appartient à \(\{0, 1, 2\}\), on en déduit que les seules solutions possibles sont \[(\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}, \frac{a_{kl}^2}{w_kw_l}, \frac{a_{il}^2}{w_iw_l}) = (1, 1, 1, 1) \text{ ou } (2, 1, 2, 0)\] et que dans ce cas \(g = 1\) ; le lecteur les retrouvera aux cas (0C93), (0C94), (0C95) et (0C96) du lemme 0C8T. En supposant \(n > 4\), on obtient l’inégalité \[16 + \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}\frac{a_{il}^2}{w_iw_l} > 4\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + 4\frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} + 4\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + 4\frac{a_{il}^2}{w_iw_l} + 2\frac{a_{ij}a_{il}a_{jk}a_{kl}}{w_iw_jw_kw_l}\] entre entiers positifs ou nuls. En utilisant les restrictions sur les nombres données ci-dessus, on voit que les seules possibilités sont \[(\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}, \frac{a_{kl}^2}{w_kw_l}, \frac{a_{il}^2}{w_iw_l}) = (1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 0), (1, 2, 1, 0), \text{ ou }(2, 1, 1, 0)\] en particulier \(a_{il} = 0\) (rappelons que les trois autres étaient supposés non nuls). Observons que le cas \((2, 1, 1, 0)\) s’obtient à partir du cas \((1, 1, 2, 0)\) en renversant l’ordre des indices \(i, j, k, l\). Les trois premières solutions conduisent aux cas (0C7W), (0C7X), (0C7Y) et (0C7Z) du lemme 0C7V, où l’on a aussi explicité les conséquences pour les entiers \(m_i\), \(m_j\), \(m_k\) et \(m_l\).

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet }\] Si \(n > 4\), pour quatre indices \((-2)\) \(i, j, k, l\) tels que \(a_{ij}, a_{jk}, a_{kl}\) soient non nuls, on a, à permutation près, les possibilités suivantes pour les \(m\), les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 \\ 0 & w & -2w & w \\ 0 & 0 & w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + m_4\), et \(2m_4 \geq m_3\), ou

2. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 \\ 0 & w & -2w & 2w \\ 0 & 0 & 2w & -4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ 2w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + 2m_4\), et \(2m_4 \geq m_3\), ou

3. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -4w & 2w & 0 & 0 \\ 2w & -4w & 2w & 0 \\ 0 & 2w & -4w & 2w \\ 0 & 0 & 2w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 2w \\ 2w \\ 2w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + m_4\), et \(m_4 \geq m_3\), ou

4. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 \\ w & -2w & 2w & 0 \\ 0 & 2w & -4w & 2w \\ 0 & 0 & 2w & -4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ 2w \\ 2w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + 2m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + m_4\), et \(2m_4 \geq m_3\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons que \(i\), \(j\), \(k\) et \(l\) soient quatre indices \((-2)\) tels que \(a_{ij} > 0\), \(a_{ij} > 0\) et \(a_{il} > 0\). Autrement dit, l’indice \(i\) « rencontre » les indices \(j\), \(k\), \(l\). Le lemme 0C7R donne alors \(a_{jk} = a_{jl} = a_{kl} = 0\). Puisque la matrice \(A = (a_{ij})\) est semi-définie négative, on voit que la matrice \[\left( \begin{matrix} -2w_i & a_{ij} & a_{ik} & a_{il} \\ a_{ij} & -2w_j & 0 & 0 \\ a_{ik} & 0 & -2w_k & 0 \\ a_{il} & 0 & 0 & -2w_l \end{matrix} \right)\] est définie négative, sauf si \(n = 4\). Le cas \(n = 4\) peut se produire : le déterminant⁴ de la matrice est alors nul, et l’on obtient l’égalité \[4 = \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + \frac{a_{ik}^2}{w_iw_k} + \frac{a_{il}^2}{w_jw_l}\] entre entiers positifs ou nuls. Puisque nous avons vu ci-dessus que \(\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{ik}^2}{w_iw_k}, \frac{a_{il}^2}{w_iw_l}\) appartiennent à \(\{1, 2\}\), on en déduit que la seule possibilité est, à permutation près : \(4 = 1 + 1 + 2\). Dans chacun de ces cas, \(g = 1\) ; le lecteur les retrouvera aux cas (0C97) et (0C98) du lemme 0C8T. En supposant \(n > 4\), on obtient l’inégalité \[4 > \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + \frac{a_{ik}^2}{w_iw_k} + \frac{a_{il}^2}{w_jw_l}\] entre entiers positifs ou nuls. Il en résulte que \(\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} = \frac{a_{ik}^2}{w_iw_k} = \frac{a_{il}^2}{w_jw_l} = 1\) et que \(w_i = w_j = w_k = w_l\). Cela conduit au cas (0C81) du lemme 0C80, où l’on a aussi explicité les conséquences pour les entiers \(m_i\), \(m_j\), \(m_k\) et \(m_l\).

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \\ & \bullet }\] Si \(n > 4\), pour quatre indices \((-2)\) \(i, j, k, l\) tels que \(a_{ij}, a_{ik}, a_{il}\) soient non nuls, on a, à permutation près, les possibilités suivantes pour les \(m\), les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & w & w \\ w & -2w & 0 & 0 \\ w & 0 & -2w & 0 \\ w & 0 & 0 & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2 + m_3 + m_4\), \(2m_2 \geq m_1\), \(2m_3 \geq m_1\), \(2m_4 \geq m_1\). Observons que cela entraîne \(m_1 \geq \max(m_2, m_3, m_4)\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons que \(h\), \(i\), \(j\), \(k\) et \(l\) soient cinq indices \((-2)\) tels que \(a_{hi} > 0\), \(a_{ij} > 0\), \(a_{jk} > 0\) et \(a_{kl} > 0\). Autrement dit, l’indice \(h\) « rencontre » \(i\), \(i\) « rencontre » \(j\), \(j\) « rencontre » \(k\) et \(k\) « rencontre » \(l\). On peut alors appliquer les lemmes 0C7R et 0C7V pour voir que \(a_{hj} = a_{hk} = a_{ik} = a_{il} = a_{jl} = 0\) et que les fractions \(\frac{a_{hi}^2}{w_hw_i}, \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}, \frac{a_{kl}^2}{w_kw_l}\) appartiennent à \(\{1, 2\}\), tandis que la fraction \(\frac{a_{hl}^2}{w_hw_l} \in \{0, 1, 2\}\). Puisque la matrice \(A = (a_{ij})\) est semi-définie négative, on voit que la matrice \[\left( \begin{matrix} -2w_h & a_{hi} & 0 & 0 & a_{hl} \\ a_{hi} & -2w_i & a_{ij} & 0 & 0 \\ 0 & a_{ij} & -2w_j & a_{jk} & 0 \\ 0 & 0 & a_{jk} & -2w_k & a_{kl} \\ a_{hl} & 0 & 0 & a_{kl} & -2w_l \end{matrix} \right)\] est définie négative, sauf si \(n = 5\). Le cas \(n = 5\) peut se produire : le déterminant⁵ de la matrice est nul et l’on obtient l’égalité \[\begin{align*} 16 + \frac{a_{hi}^2}{w_hw_i}\frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} + \frac{a_{hi}^2}{w_hw_i}\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + \frac{a_{hl}^2}{w_hw_l}\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + \frac{a_{hl}^2}{w_hw_l}\frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} \\ = 4\frac{a_{hi}^2}{w_hw_i} + 4\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + 4\frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} + 4\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + 4\frac{a_{hl}^2}{w_hw_l} + \frac{a_{hi}a_{ij}a_{jk}a_{kl}a_{hl}}{w_hw_iw_jw_kw_l} \end{align*}\] entre entiers positifs ou nuls. Le dernier terme du membre de droite de cette égalité est déterminé par les autres, car \[\left(\frac{a_{hi}a_{ij}a_{jk}a_{kl}a_{hl}}{w_hw_iw_jw_kw_l} \right)^2 = \frac{a_{hi}^2}{w_hw_i} \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} \frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} \frac{a_{hl}^2}{w_hw_l}\] On conclut que les seules solutions possibles sont \[(\frac{a_{hi}^2}{w_hw_i}, \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}, \frac{a_{kl}^2}{w_kw_l}, \frac{a_{hl}^2}{w_hw_l}) = (1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 1, 0), (1, 2, 1, 1, 0), \text{ ou }(2, 1, 1, 2, 0)\] Observons que le cas \((1, 2, 1, 1, 0)\) s’obtient à partir du cas \((1, 1, 2, 1, 0)\) en renversant l’ordre des indices \(h, i, j, k, l\). Dans ces cas, \(g = 1\) ; le lecteur les retrouvera aux cas (0C99), (0C9A), (0C9B), (0C9C), (0C9D) et (0C9E) du lemme 0C8T, avec un cas correspondant à \((1, 1, 1, 1, 1)\), deux cas correspondant à \((1, 1, 2, 1, 0)\) et trois cas correspondant à \((2, 1, 1, 2, 0)\). En supposant \(n > 5\), on obtient l’inégalité \[\begin{align*} 16 + \frac{a_{hi}^2}{w_hw_i}\frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} + \frac{a_{hi}^2}{w_hw_i}\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + \frac{a_{hl}^2}{w_hw_l}\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + \frac{a_{hl}^2}{w_hw_l}\frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} \\ > 4\frac{a_{hi}^2}{w_hw_i} + 4\frac{a_{ij}^2}{w_iw_j} + 4\frac{a_{jk}^2}{w_jw_k} + 4\frac{a_{kl}^2}{w_kw_l} + 4\frac{a_{hl}^2}{w_hw_l} + \frac{a_{hi}a_{ij}a_{jk}a_{kl}a_{hl}}{w_hw_iw_jw_kw_l} \end{align*}\] entre entiers positifs ou nuls. En utilisant les restrictions données ci-dessus sur ces nombres, on voit que les seules possibilités sont \[(\frac{a_{hi}^2}{w_hw_i}, \frac{a_{ij}^2}{w_iw_j}, \frac{a_{jk}^2}{w_jw_k}, \frac{a_{kl}^2}{w_kw_l}, \frac{a_{hl}^2}{w_hw_l}) = (1, 1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 2, 0), \text{ ou } (2, 1, 1, 1, 0)\] en particulier, \(a_{hl} = 0\) (rappelons que nous avons supposé les quatre autres non nuls). Observons que le cas \((1, 1, 1, 2, 0)\) s’obtient à partir du cas \((2, 1, 1, 1, 0)\) en renversant l’ordre des indices \(h, i, j, k, l\). Les deux premières solutions conduisent aux cas (0C83), (0C84) et (0C85) du lemme 0C82, où l’on a aussi explicité les conséquences pour les entiers \(m_h\), \(m_i\), \(m_j\), \(m_k\) et \(m_l\).

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet }\] Si \(n > 5\), pour cinq indices \((-2)\) \(h, i, j, k, l\) tels que \(a_{hi}, a_{ij}, a_{jk}, a_{kl}\) soient non nuls, on a, à permutation près, les possibilités suivantes pour les \(m\), les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & 0 \\ 0 & 0 & w & -2w & w \\ 0 & 0 & 0 & w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + m_4\), \(2m_4 \geq m_3 + m_5\) et \(2m_5 \geq m_4\), ou

2. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & 0 \\ 0 & 0 & w & -2w & 2w \\ 0 & 0 & 0 & 2w & -4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ 2w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + 2m_4\), \(2m_4 \geq m_3 + m_5\) et \(2m_5 \geq m_4\), ou

3. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -4w & 2w & 0 & 0 & 0 \\ 2w & -4w & 2w & 0 & 0 \\ 0 & 2w & -4w & 2w & 0 \\ 0 & 0 & 2w & -4w & 2w \\ 0 & 0 & 0 & 2w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 2w \\ 2w \\ 2w \\ 2w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + m_4\), \(2m_4 \geq m_3 + m_5\) et \(m_4 \geq m_3\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons que \(h\), \(i\), \(j\), \(k\) et \(l\) soient cinq indices \((-2)\) tels que \(a_{hi} > 0\), \(a_{hj} > 0\), \(a_{hk} > 0\) et \(a_{hl} > 0\). Autrement dit, l’indice \(h\) « rencontre » les indices \(i\), \(j\), \(k\), \(l\). Le lemme 0C7R montre alors que \(a_{ij} = a_{ik} = a_{il} = a_{jk} = a_{jl} = a_{kl} = 0\) et le lemme 0C80 que \(w_h = w_i = w_j = w_k = w_l = w\) pour un entier \(w > 0\) et \(a_{hi} = a_{hj} = a_{hk} = a_{hl} = -2w\). La matrice correspondante \[\left( \begin{matrix} -2w & w & w & w & w \\ w & -2w & 0 & 0 & 0 \\ w & 0 & -2w & 0 & 0 \\ w & 0 & 0 & -2w & 0 \\ w & 0 & 0 & 0 & -2w \end{matrix} \right)\] est singulière. Cela ne peut donc se produire que si \(n = 5\) et \(g = 1\). Le lecteur retrouvera cette possibilité au cas (0C9F) du lemme 0C8T.

Lemme

Non-existence de sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[ld] \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \\ \bullet & \bullet }\] Si \(n > 5\), il n’existe pas cinq indices \((-2)\) \(h\), \(i\), \(j\), \(k\) tels que \(a_{hi} > 0\), \(a_{hj} > 0\), \(a_{hk} > 0\) et \(a_{hl} > 0\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons que \(h\), \(i\), \(j\), \(k\) et \(l\) soient cinq indices \((-2)\) tels que \(a_{hi} > 0\), \(a_{ij} > 0\), \(a_{jk} > 0\) et \(a_{jl} > 0\). Autrement dit, l’indice \(h\) « rencontre » \(i\), et l’indice \(j\) « rencontre » les indices \(i\), \(k\), \(l\). Le lemme 0C80 montre alors que \(a_{ik} = a_{il} = a_{kl} = 0\), \(w_i = w_j = w_k = w_l = w\) et \(a_{ij} = a_{jk} = a_{jl} = w\) pour un entier \(w\). En appliquant le lemme 0C7V aux deux quadruplets \(h, i, j, k\) et \(h, i, j, l\), on voit que \(a_{hj} = a_{hk} = a_{hl} = 0\), que \(w_h = \frac{1}{2}w\), \(w\) ou \(2w\), et que respectivement \(a_{hi} = w\), \(w\) ou \(2w\). Puisque \(A\) est semi-définie négative, on voit que la matrice \[\left( \begin{matrix} -2w_h & a_{hi} & 0 & 0 & 0 \\ a_{hi} & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & w \\ 0 & 0 & w & -2w & 0 \\ 0 & 0 & w & 0 & -2w \end{matrix} \right)\] est définie négative, sauf si \(n = 5\). Le lecteur vérifiera que le déterminant de la matrice vaut \(0\) lorsque \(w_h = \frac{1}{2}w\) ou \(2w\). Cela conduit aux cas (0C9G) et (0C9H) du lemme 0C8T. Pour \(w_h = w\), on obtient le cas (0C88) du lemme 0C87.

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \\ & & \bullet }\] Si \(n > 5\), pour cinq indices \((-2)\) \(h, i, j, k, l\) tels que \(a_{hi}, a_{ij}, a_{jk}, a_{jl}\) soient non nuls, on a, à permutation près, les possibilités suivantes pour les \(m\), les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & w \\ 0 & 0 & w & -2w & 0 \\ 0 & 0 & w & 0 & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + m_4 + m_5\), \(2m_4 \geq m_3\) et \(2m_5 \geq m_3\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons que \(t > 5\) et que \(i_1, \ldots, i_t\) soient \(t\) indices \((-2)\) distincts tels que \(a_{i_ji_{j + 1}}\) soit non nul pour \(j = 1, \ldots, t - 1\). Nous allons montrer par récurrence sur \(t\) que, si \(n = t\), cela conduit aux possibilités (0C9I), (0C9J), (0C9K), (0C9L) du lemme 0C8T, et que, si \(n > t\), cela conduit aux cas (0C8A), (0C8B) et (0C8C) du lemme 0C89. Premièrement, si \(a_{i_1i_t}\) est non nul, il résulte clairement du lemme 0C82 que \(w_{i_1} = \ldots = w_{i_t} = w\), que \(a_{i_ji_{j + 1}} = w\) pour \(j = 1, \ldots, t - 1\) et que \(a_{i_1i_t} = w\). Le vecteur \((1, \ldots, 1)\) appartient alors au noyau de la matrice \(t \times t\) correspondante. On doit donc avoir \(n = t\) ; on voit que le genre vaut \(1\) et que l’on se trouve dans le cas (0C9I) du lemme 0C8T. On peut donc supposer \(a_{i_1i_t} = 0\). L’hypothèse de récurrence (ou le lemme 0C82 si \(t = 6\)) montre que \(a_{i_ji_k} = 0\) si \(k > j + 1\). De plus, on a \(w_{i_1} = \ldots = w_{i_{t - 1}} = w\) pour un entier \(w\), et \(w_{i_1}, w_{i_t} \in \{\frac{1}{2}w, w, 2w\}\). En outre, si \(w_{i_1}\), respectivement \(w_{i_t}\), vaut \(\frac{1}{2}w\), \(w\) ou \(2w\), alors \(a_{i_1i_2}\), respectivement \(a_{i_{t - 1}i_t}\), vaut \(w\), \(w\) ou \(2w\). Cela donne \(9\) possibilités. Dans chaque cas, il est facile de déterminer ce qui se passe :

1. si \((w_{i_1}, w_{i_t}) = (\frac{1}{2}w, \frac{1}{2}w)\), alors on se trouve dans le cas (0C9K) du lemme 0C8T ;

2. si \((w_{i_1}, w_{i_t}) = (\frac{1}{2}w, w)\) ou \((w, \frac{1}{2}w)\), alors on se trouve dans le cas (0C8C) du lemme 0C89 ;

3. si \((w_{i_1}, w_{i_t}) = (\frac{1}{2}w, 2w)\) ou \((2w, \frac{1}{2}w)\), alors on se trouve dans le cas (0C9J) du lemme 0C8T ;

4. si \((w_{i_1}, w_{i_t}) = (w, w)\), alors on se trouve dans le cas (0C8A) du lemme 0C89 ;

5. si \((w_{i_1}, w_{i_t}) = (w, 2w)\) ou \((2w, w)\), alors on se trouve dans le cas (0C8B) du lemme 0C89 ;

6. enfin, si \((w_{i_1}, w_{i_t}) = (2w, 2w)\), alors on se trouve dans le cas (0C9L) du lemme 0C8T.

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{..}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet }\] Soient \(t > 5\) et \(n > t\). Alors, pour \(t\) indices \((-2)\) distincts \(i_1, \ldots, i_t\) tels que \(a_{i_ji_{j + 1}}\) soit non nul pour \(j = 1, \ldots, t - 1\), on a, à renversement près de l’ordre de ces indices, les possibilités suivantes pour les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \(w_{i_1} = w_{i_2} = \ldots = w_{i_t} = w\), \(a_{i_ji_{j + 1}} = w\) et \(a_{i_ji_k} = 0\) si \(k > j + 1\), ou

2. ils sont donnés par \(w_{i_1} = w_{i_2} = \ldots = w_{i_{t - 1}} = w\), \(w_{j_t} = 2w\), \(a_{i_ji_{j + 1}} = w\) pour \(j < t - 1\), \(a_{i_{t - 1}i_t} = 2w\) et \(a_{i_ji_k} = 0\) si \(k > j + 1\), ou

3. ils sont donnés par \(w_{i_1} = w_{i_2} = \ldots = w_{i_{t - 1}} = 2w\), \(w_{j_t} = w\), \(a_{i_ji_{j + 1}} = 2w\) et \(a_{i_{t - 1}i_t} = 2w\), et \(a_{i_ji_k} = 0\) si \(k > j + 1\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons que \(t > 4\) et que \(i_1, \ldots, i_{t + 1}\) soient \(t + 1\) indices \((-2)\) distincts tels que \(a_{i_ji_{j + 1}} > 0\) pour \(j = 1, \ldots, t - 1\) et tels que \(a_{j_{t - 1}j_{t + 1}} > 0\). Voir la figure du lemme 0C8D. Nous allons montrer par récurrence sur \(t\) que, si \(n = t + 1\), cela conduit aux possibilités (0C9M) et (0C9N) du lemme 0C8T, et que, si \(n > t + 1\), cela conduit au cas (0C8E) du lemme 0C8D. L’hypothèse de récurrence (ou le lemme 0C87 lorsque \(t = 5\)) montre que \(a_{i_ji_k}\) est nul en dehors des termes requis non nuls pour \(j, k \geq 2\). De plus, on voit que \(w_2 = \ldots = w_{t + 1} = w\) pour un entier \(w\) et que les \(a_{i_ji_k}\) non nuls pour \(j, k \geq 2\) sont égaux à \(w\). En appliquant le lemme 0C89 (ou le lemme 0C82 si \(t = 5\)) à la suite \(i_1, \ldots, i_t\) et à la suite \(i_1, \ldots, i_{t - 1}, i_{t + 1}\), on conclut que \(a_{i_1 i_j} = 0\) pour \(j \geq 3\), que \(w_1\) vaut \(\frac{1}{2}w\), \(w\) ou \(2w\) et que respectivement \(a_{i_1i_2}\) vaut \(w, w, 2w\). Cela donne \(3\) possibilités. Dans chaque cas, il est facile de déterminer ce qui se passe :

1. Si \(w_1 = \frac{1}{2}w\), alors on se trouve dans le cas (0C9N) du lemme 0C8T.

2. Si \(w_1 = w\), alors on se trouve dans le cas (0C8E) du lemme 0C8D.

3. Si \(w_1 = 2w\), alors on se trouve dans le cas (0C9M) du lemme 0C8T.

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{..}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \\ & & & \bullet }\] Soient \(t > 4\) et \(n > t + 1\). Alors, pour \(t + 1\) indices \((-2)\) distincts \(i_1, \ldots, i_{t + 1}\) tels que \(a_{i_ji_{j + 1}}\) soit non nul pour \(j = 1, \ldots, t - 1\) et que \(a_{i_{t - 1}i_{t + 1}}\) soit non nul, on a les possibilités suivantes pour les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \(w_{i_1} = w_{i_2} = \ldots = w_{i_{t + 1}} = w\), \(a_{i_ji_{j + 1}} = w\) pour \(j = 1, \ldots, t - 1\), \(a_{i_{t - 1}i_{t + 1}} = w\) et \(a_{i_ji_k} = 0\) pour les autres paires \((j, k)\) telles que \(j > k\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons donnés \(6\) indices \((-2)\) distincts \(g, h, i, j, k, l\) tels que \(a_{gh}, a_{hi}, a_{ij}, a_{jk}, a_{il}\) soient non nuls. Voir la figure du lemme 0C8F. On peut alors appliquer le lemme 0C87 pour voir que l’on se trouve nécessairement dans la situation du lemme 0C8F. Comme le déterminant vaut \(3w^6 > 0\), on conclut que, dans ce cas, on n’a jamais \(n = 6\) !

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \\ & & \bullet }\] Soit \(n > 6\). Alors, pour \(6\) indices \((-2)\) distincts \(i_1, \ldots, i_6\) tels que \(a_{12}, a_{23}, a_{34}, a_{45}, a_{36}\) soient non nuls, on a les possibilités suivantes pour les \(m\), les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & 0 & w \\ 0 & 0 & w & -2w & w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w & -2w & 0 \\ 0 & 0 & w & 0 & 0 & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + m_4 + m_6\), \(2m_4 \geq m_3 + m_5\), \(2m_5 \geq m_3\) et \(2m_6 \geq m_3\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons que \(t \geq 4\) et que \(i_0, \ldots, i_{t + 1}\) soient \(t + 2\) indices \((-2)\) distincts tels que \(a_{i_ji_{j + 1}} > 0\) pour \(j = 1, \ldots, t - 1\), \(a_{i_0i_2} > 0\) et \(a_{i_{t - 1}i_{t + 1}} > 0\). Voir la figure du lemme 0C8H. On peut alors appliquer les lemmes 0C87 et 0C8D pour voir que tous les autres \(a_{i_ji_k}\) pour \(j < k\) sont nuls, que \(w_{i_0} = \ldots = w_{i_{t + 1}} = w\) pour un certain entier \(w\) et que les coefficients hors diagonale requis non nuls de \(A\) sont égaux à \(w\). Un calcul montre que le déterminant de la matrice correspondante est nul. Ainsi, \(n = t + 2\) et l’on se trouve dans le cas (0C9P) du lemme 0C8T.

Lemme

Non-existence de sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{..}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & \bullet \\ & \bullet & \bullet }\] Supposons \(t \geq 4\) et \(n > t + 2\). Il n’existe pas \(t + 2\) indices \((-2)\) distincts \(i_0, \ldots, i_{t + 1}\) tels que \(a_{i_ji_{j + 1}} > 0\) pour \(j = 1, \ldots, t - 1\), \(a_{i_0i_2} > 0\) et \(a_{i_{t - 1}i_{t + 1}} > 0\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons donnés \(7\) indices \((-2)\) distincts \(f, g, h, i, j, k, l\) tels que les nombres \(a_{fg}, a_{gh}, a_{ij}, a_{jh}, a_{kl}, a_{lh}\) soient non nuls. Voir la figure du lemme 0C8I. On peut alors appliquer le lemme 0C87 pour voir que la matrice correspondante est \[\left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & 0 & w & 0 & w \\ 0 & 0 & 0 & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w & w & -2w & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2w & w \\ 0 & 0 & w & 0 & 0 & w & -2w \end{matrix} \right)\] Comme le déterminant vaut \(0\), on conclut que nécessairement \(n = 7\) et \(g = 1\), et l’on obtient le cas (0C9Q) du lemme 0C8T.

Lemme

Non-existence de sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \\ & & \bullet \ar@{-}[d] \\ & & \bullet }\] Supposons \(n > 7\). Il n’existe pas \(7\) indices \((-2)\) distincts \(f, g, h, i, j, k, l\) tels que \(a_{fg}, a_{gh}, a_{ij}, a_{jh}, a_{kl}, a_{lh}\) soient non nuls.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons donnés \(7\) indices \((-2)\) distincts \(f, g, h, i, j, k, l\) tels que les nombres \(a_{fg}, a_{gh}, a_{hi}, a_{ij}, a_{jk}, a_{il}\) soient non nuls. Voir la figure du lemme 0C8J. On peut alors appliquer les lemmes 0C87 et 0C8D pour voir que l’on se trouve nécessairement dans la situation du lemme 0C8J. Comme le déterminant vaut \(-8w^7 > 0\), on conclut que, dans ce cas, on n’a jamais \(n = 7\) !

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \\ & & & \bullet }\] Soit \(n > 7\). Alors, pour \(7\) indices \((-2)\) distincts \(i_1, \ldots, i_7\) tels que \(a_{12}, a_{23}, a_{34}, a_{45}, a_{56}, a_{47}\) soient non nuls, on a les possibilités suivantes pour les \(m\), les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w & -2w & w & 0 & w \\ 0 & 0 & 0 & w & -2w & w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & w & -2w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w & 0 & 0 & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + m_4\), \(2m_4 \geq m_3 + m_5 + m_7\), \(2m_5 \geq m_4 + m_6\), \(2m_6 \geq m_5\) et \(2m_7 \geq m_4\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons donnés \(8\) indices \((-2)\) distincts dont la configuration des coefficients non nuls \(a_{ij}\) de la matrice \(A\) est de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \\ & & & & \bullet }\] ou de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \\ & & & \bullet }\] En raisonnant exactement comme dans la démonstration du lemme 0C8J, on voit que la première configuration conduit au cas (0C8M) du lemme 0C8L et ne conduit pas à un nouveau cas dans le lemme 0C8T. En raisonnant exactement comme dans la démonstration du lemme 0C8I, on voit que la seconde configuration ne se présente pas si \(n > 8\), mais qu’elle conduit au cas (0C9R) du lemme 0C8T lorsque \(n = 8\).

Lemme

Classification des sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \\ & & & & \bullet }\] Soit \(n > 8\). Alors, pour \(8\) indices \((-2)\) distincts \(i_1, \ldots, i_8\) tels que \(a_{12}, a_{23}, a_{34}, a_{45}, a_{56}, a_{65}, a_{57}\) soient non nuls, on a les possibilités suivantes pour les \(m\), les \(a\) et les \(w\) :

1. ils sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w & -2w & w & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w & -2w & w & 0 & w \\ 0 & 0 & 0 & 0 & w & -2w & w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & w & -2w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & w & 0 & 0 & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right)\] avec \(2m_1 \geq m_2\), \(2m_2 \geq m_1 + m_3\), \(2m_3 \geq m_2 + m_4\), \(2m_4 \geq m_3 + m_5\), \(2m_5 \geq m_4 + m_6 + m_8\), \(2m_6 \geq m_5 + m_7\), \(2m_7 \geq m_6\) et \(2m_8 \geq m_5\).

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Lemme

Non-existence de sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \\ & & & \bullet }\] Supposons \(n > 8\). Il n’existe pas \(8\) indices \((-2)\) distincts \(e, f, g, h, i, j, k, l\) tels que \(a_{ef}, a_{fg}, a_{gh}, a_{hi}, a_{ij}, a_{jk}, a_{lh}\) soient non nuls.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

Supposons donnés \(9\) indices \((-2)\) distincts dont la configuration des coefficients non nuls \(a_{ij}\) de la matrice \(A\) est de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \\ & & & & & \bullet }\] En raisonnant exactement comme dans la démonstration du lemme 0C8I, on voit que cette configuration ne se présente pas si \(n > 9\), mais qu’elle conduit au cas (0C9S) du lemme 0C8T lorsque \(n = 9\).

Lemme

Non-existence de sous-graphes propres de la forme \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \\ & & & & & \bullet }\] Supposons \(n > 9\). Il n’existe pas \(9\) indices \((-2)\) distincts \(d, e, f, g, h, i, j, k, l\) tels que \(a_{de}, a_{ef}, a_{fg}, a_{gh}, a_{hi}, a_{ij}, a_{jk}, a_{lh}\) soient non nuls.

Démonstration

Voir la discussion ci-dessus.

En réunissant toutes les informations, on obtient le résultat suivant.

Proposition

Soient \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique de genre \(g\). Soit \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) un sous-ensemble strict de cardinal \(\geq 2\) constitué d’indices \((-2)\) et tel qu’il n’existe aucun sous-ensemble strict non vide \(I' \subset I\) avec \(a_{i'i} = 0\) pour \(i' \in I\), \(i \in I \setminus I'\). Alors, à réindexation près, les \(m_i\), les \(a_{ij}\) et les \(w_i\) pour \(i, j \in I\) sont ceux qui figurent dans les lemmes 0C7M, 0C7R, 0C7V, 0C80, 0C82, 0C87, 0C89, 0C8D, 0C8F, 0C8J ou 0C8L.

Démonstration

Cela résulte de la discussion ci-dessus ; voir la discussion au début de la section 0C7L.

Classification des types minimaux de genres zéro et un

Le titre de la section dit tout.

Lemme

Le seul type numérique minimal de genre zéro est \(n = 1\), \(m_1 = 1\), \(a_{11} = 0\), \(w_1 = 1\), \(g_1 = 0\).

Démonstration

Cela résulte des lemmes 0C7B et 0C73.

Lemme

À équivalence près, les types numériques minimaux de genre un sont les suivants :

1. \(n = 1\), \(a_{11} = 0\), \(g_1 = 1\), et \(m_1, w_1 \geq 1\) sont arbitraires ;

2. \(n = 2\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 2w \\ 2w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

3. \(n = 2\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} 2m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 4w \\ 4w & -8w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

4. \(n = 3\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & w \\ w & -2w & w \\ w & w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

5. \(n = 3\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 \\ w & -2w & 3w \\ 0 & 3w & -6w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ 3w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

6. \(n = 3\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ 3m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -6w & 3w & 0 \\ 3w & -6w & 3w \\ 0 & 3w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 3w \\ 3w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

7. \(n = 3\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} 2m \\ 2m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 2w & 0 \\ 2w & -4w & 4w \\ 0 & 4w & -8w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 2w \\ 4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

8. \(n = 3\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 2w & 0 \\ 2w & -4w & 2w \\ 0 & 2w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 2w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

9. \(n = 3\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -4w & 2w & 0 \\ 2w & -2w & 2w \\ 0 & 2w & -4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 2w \\ w \\ 2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

10. \(n = 4\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & w \\ w & -2w & w & 0 \\ 0 & w & -2w & w \\ w & 0 & w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

11. \(n = 4\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} 2m \\ 2m \\ 2m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 2w & 0 & 0 \\ 2w & -4w & 2w & 0 \\ 0 & 2w & -4w & 4w \\ 0 & 0 & 4w & -8w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 2w \\ 2w \\ 4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

12. \(n = 4\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 2w & 0 & 0 \\ 2w & -4w & 2w & 0 \\ 0 & 2w & -4w & 2w \\ 0 & 0 & 2w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 2w \\ 2w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

13. \(n = 4\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ 2m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -4w & 2w & 0 & 0 \\ 2w & -2w & w & 0 \\ 0 & w & -2w & 2w \\ 0 & 0 & 2w & -4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 2w \\ w \\ w \\ 2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

14. \(n = 4\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} 2m \\ m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & w & 2w \\ w & -2w & 0 & 0 \\ w & 0 & -2w & 0 \\ 2w & 0 & 0 & -4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ 2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

15. \(n = 4\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} 2m \\ m \\ m \\ 2m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -4w & 2w & 2w & 2w \\ 2w & -4w & 0 & 0 \\ 2w & 0 & -4w & 0 \\ 2w & 0 & 0 & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 2w \\ 2w \\ 2w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

16. \(n = 5\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ m \\ m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & w \\ w & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & 0 \\ 0 & 0 & w & -2w & w \\ w & 0 & 0 & w & -2w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

17. \(n = 5\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ 3m \\ 2m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & 2w & 0 \\ 0 & 0 & 2w & -4w & 2w \\ 0 & 0 & 0 & 2w & -4w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ 2w \\ 2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

18. \(n = 5\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ 3m \\ 4m \\ 2m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -4w & 2w & 0 & 0 & 0 \\ 2w & -4w & 2w & 0 & 0 \\ 0 & 2w & -4w & 2w & 0 \\ 0 & 0 & 2w & -2w & w \\ 0 & 0 & 0 & w & -2w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 2w \\ 2w \\ 2w \\ w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

19. \(n = 5\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} 2m \\ 2m \\ 2m \\ 2m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 2w & 0 & 0 & 0 \\ 2w & -4w & 2w & 0 & 0 \\ 0 & 2w & -4w & 2w & 0 \\ 0 & 0 & 2w & -4w & 4w \\ 0 & 0 & 0 & 4w & -8w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 2w \\ 2w \\ 2w \\ 4w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

20. \(n = 5\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ m \\ m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 2w & 0 & 0 & 0 \\ 2w & -4w & 2w & 0 & 0 \\ 0 & 2w & -4w & 2w & 0 \\ 0 & 0 & 2w & -4w & 2w \\ 0 & 0 & 0 & 2w & -2w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 2w \\ 2w \\ 2w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

21. \(n = 5\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ 2m \\ 2m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -4w & 2w & 0 & 0 & 0 \\ 2w & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & 0 \\ 0 & 0 & w & -2w & 2w \\ 0 & 0 & 0 & 2w & -4w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 2w \\ w \\ w \\ w \\ 2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

22. \(n = 5\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} 2m \\ m \\ m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & w & w & w \\ w & -2w & 0 & 0 & 0 \\ w & 0 & -2w & 0 & 0 \\ w & 0 & 0 & -2w & 0 \\ w & 0 & 0 & 0 & -2w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

23. \(n = 5\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ 2m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -4w & 2w & 0 & 0 & 0 \\ 2w & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & w \\ 0 & 0 & w & -2w & 0 \\ 0 & 0 & w & 0 & -2w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 2w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

24. \(n = 5\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} 2m \\ 2m \\ 2m \\ m \\ m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & 2w & 0 & 0 & 0 \\ 2w & -4w & 2w & 0 & 0 \\ 0 & 2w & -4w & 2w & 2w \\ 0 & 0 & 2w & -4w & 0 \\ 0 & 0 & 2w & 0 & -4w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ 2w \\ 2w \\ 2w \\ 2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

25. \(n \geq 6\) et l’on a un \(n\)-cycle qui généralise (0C99) :

    1. \(m_1 = \ldots = m_n = m\),

    2. \(a_{12} = \ldots = a_{(n - 1) n} = w\), \(a_{1n} = w\), et, pour les autres \(i < j\), on a \(a_{ij} = 0\),

    3. \(w_1 = \ldots = w_n = w\)

    où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

26. \(n \geq 6\) et l’on a une chaîne qui généralise (0C9C) :

    1. \(m_1 = \ldots = m_{n - 1} = 2m\), \(m_n = m\),

    2. \(a_{12} = \ldots = a_{(n - 2) (n - 1)} = 2w\), \(a_{(n - 1) n} = 4w\), et, pour les autres \(i < j\), on a \(a_{ij} = 0\),

    3. \(w_1 = w\), \(w_2 = \ldots = w_{n - 1} = 2w\), \(w_n = 4w\)

    où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

27. \(n \geq 6\) et l’on a une chaîne qui généralise (0C9D) :

    1. \(m_1 = \ldots = m_n = m\),

    2. \(a_{12} = \ldots = a_{(n - 1) n} = w\), et, pour les autres \(i < j\), on a \(a_{ij} = 0\),

    3. \(w_1 = w\), \(w_2 = \ldots = w_{n - 1} = 2w\), \(w_n = w\)

    où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

28. \(n \geq 6\) et l’on a une chaîne qui généralise (0C9E) :

    1. \(m_1 = w\), \(w_2 = \ldots = m_{n - 1} = 2m\), \(m_n = m\),

    2. \(a_{12} = 2w\), \(a_{23} = \ldots = a_{(n - 2) (n - 1)} = w\), \(a_{(n - 1) n} = 2w\) et, pour les autres \(i < j\), on a \(a_{ij} = 0\),

    3. \(w_1 = 2w\), \(w_2 = \ldots = w_{n - 1} = w\), \(w_n = 2w\)

    où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

29. \(n \geq 6\) et l’on a un type qui généralise (0C9G) :

    1. \(m_1 = m\), \(m_2 = \ldots = m_{n - 3} = 2m\), \(m_{n - 1} = m_n = m\),

    2. \(a_{12} = 2w\), \(a_{23} = \ldots = a_{(n - 2) (n - 1)} = w\), \(a_{(n - 2) n} = w\) et, pour les autres \(i < j\), on a \(a_{ij} = 0\),

    3. \(w_1 = 2w\), \(w_2 = \ldots = w_n = w\)

    où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

30. \(n \geq 6\) et l’on a un type qui généralise (0C9H) :

    1. \(m_1 = \ldots = m_{n - 3} = 2m\), \(m_{n - 1} = m_n = m\),

    2. \(a_{12} = \ldots = a_{(n - 2) (n - 1)} = 2w\), \(a_{(n - 2) n} = 2w\) et, pour les autres \(i < j\), on a \(a_{ij} = 0\),

    3. \(w_1 = w\), \(w_2 = \ldots = w_n = 2w\)

    où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

31. \(n \geq 6\) et l’on a un type qui généralise (0C9F) :

    1. \(m_1 = m_2 = m\), \(m_3 = \ldots = m_{n - 2} = 2m\), \(m_{n - 1} = m_n = m\),

    2. \(a_{13} = w\), \(a_{23} = \ldots = a_{(n - 2) (n - 1)} = w\), \(a_{(n - 2) n} = w\) et, pour les autres \(i < j\), on a \(a_{ij} = 0\),

    3. \(w_1 = \ldots = w_n = w\),

    où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

32. \(n = 7\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ 3m \\ m \\ 2m \\ m \\ 2m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & 0 & w & 0 & w \\ 0 & 0 & 0 & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w & w & -2w & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2w & w \\ 0 & 0 & w & 0 & 0 & w & -2w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

33. \(n = 8\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ 3m \\ 4m \\ 3m \\ 2m \\ m \\ 2m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w & -2w & w & 0 & 0 & w \\ 0 & 0 & 0 & w & -2w & w & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & w & -2w & w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & w & -2w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w & 0 & 0 & 0 & -2w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires ;

34. \(n = 9\), et \(m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) sont donnés par \[\left( \begin{matrix} m \\ 2m \\ 3m \\ 4m \\ 5m \\ 6m \\ 4m \\ 2m \\ 3m \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w & -2w & w & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w & -2w & w & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & w & -2w & w & 0 & w \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & w & -2w & w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & w & -2w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & w & 0 & 0 & -2w \\ \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \\ w \end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] où \(w\) et \(m\) sont arbitraires.

Démonstration

Cela est démontré dans la section 0C7L. Voir la discussion au début de la section 0C7L.

Bornes pour les invariants des types numériques

Dans notre démonstration de la réduction semi-stable pour les courbes, nous utiliserons une borne sur les groupes de Picard des types numériques de genre \(g\), que nous établirons dans cette section.

Lemme

Soient \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) un type numérique de genre \(g\). Pour \(i, j\) tels que \(a_{ij} > 0\), on a \(m_ia_{ij} \leq m_j|a_{jj}|\) et \(m_iw_i \leq m_j|a_{jj}|\).

Démonstration

Pour tout indice \(j\), on a \(m_j a_{jj} + \sum_{i \not = j} m_ia_{ij} = 0\). Ainsi, si l’on dispose d’une borne supérieure pour \(|a_{jj}|\) et \(m_j\), on obtient aussi une borne supérieure pour les \(a_{ij}\) non nuls (donc positifs), ainsi que pour \(m_i\). En rappelant que \(w_i\) divise \(a_{ij}\), le lecteur vérifiera aisément le lemme.

Lemme

Fixons \(g \geq 2\). Pour tout type numérique minimal \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) de genre \(g\) avec \(n > 1\), on a :

1. l’ensemble \(J \subset \{1, \ldots, n\}\) des indices non \((-2)\) possède au plus \(2g - 2\) éléments ;

2. pour \(j \in J\), on a \(g_j < g\) ;

3. pour \(j \in J\), on a \(m_j|a_{jj}| \leq 6g - 6\) ; et

4. pour \(j \in J\) et \(i \in \{1, \ldots, n\}\), on a \(m_ia_{ij} \leq 6g - 6\).

Démonstration

Rappelons que \(g = 1 + \sum m_j(w_j(g_j - 1) - \frac{1}{2} a_{jj})\). Pour \(j \in J\), la contribution \(m_j(w_j(g_j - 1) - \frac{1}{2} a_{jj})\) au genre \(g\) est \(> 0\), donc \(\geq 1/2\). On utilise ici le lemme 0C75, la définition 0C76, la définition 0C7A, le lemme 0C7D et la définition 0C7E ; dans la suite, nous utiliserons ces résultats sans le mentionner davantage. Ainsi, \(J\) possède au plus \(2(g - 1)\) éléments. Cela démontre (1).

Rappelons que \(-a_{ii} > 0\) pour tout \(i\) d’après le lemme 0C74. Par conséquent, pour \(j \in J\), la contribution \(m_j(w_j(g_j - 1) - \frac{1}{2} a_{jj})\) au genre \(g\) est \(> m_jw_j(g_j - 1)\). Ainsi, \[g - 1 > m_jw_j(g_j - 1) \Rightarrow g_j < (g - 1)/m_jw_j + 1\] Cela implique bien \(g_j < g\), ce qui démontre (2).

Pour \(j \in J\), si \(g_j > 0\), alors la contribution \(m_j(w_j(g_j - 1) - \frac{1}{2} a_{jj})\) au genre \(g\) est \(\geq -\frac{1}{2}m_ja_{jj}\), et l’on conclut immédiatement que \(m_j|a_{jj}| \leq 2(g - 1)\). Sinon, \(a_{jj} = -kw_j\) pour un entier \(k \geq 3\) (car \(j \in J\)), et l’on obtient \[m_jw_j(-1 + \frac{k}{2}) \leq g - 1 \Rightarrow m_jw_j \leq \frac{2(g - 1)}{k - 2}\] En reportant ceci dans \(a_{jj} = -km_jw_j\), on obtient \[m_j|a_{jj}| \leq 2(g - 1) \frac{k}{k - 2} \leq 6(g - 1)\] Cela démontre (3).

L’assertion (4) résulte du lemme 0C9U et de (3).

Lemme

Fixons \(g \geq 2\). Pour tout type numérique minimal \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) de genre \(g\), on a \(m_i|a_{ij}| \leq 768g\).

Démonstration

D’après le lemme 0C9U, il suffit de montrer que \(m_i|a_{ii}| \leq 768g\) pour tout \(i\). Soit \(J \subset \{1, \ldots, n\}\) l’ensemble des indices non \((-2)\), comme dans le lemme 0C9V. Observons que \(J\) est non vide puisque \(g \geq 2\). De plus, \(m_j|a_{jj}| \leq 6g\) pour \(j \in J\) d’après ce lemme.

Supposons que l’on ait \(j \in J\) et une suite \(i_1, \ldots, i_7\) d’indices \((-2)\) telle que \(a_{ji_1}\) et \(a_{i_1i_2}\), \(a_{i_2i_3}\), \(a_{i_3i_4}\), \(a_{i_4i_5}\), \(a_{i_5i_6}\) et \(a_{i_6i_7}\) soient non nuls. Le lemme 0C9U montre alors que \(m_{i_1}w_{i_1} \leq 6g\) et \(m_{i_1}a_{ji_1} \leq 6g\). Comme \(i_1\) est un indice \((-2)\), on a \(a_{i_1i_1} = -2w_{i_1}\), et l’on conclut que \(m_{i_1}|a_{i_1i_1}| \leq 12g\). En répétant l’argument, on conclut que \(m_{i_2}w_{i_2} \leq 12g\) et \(m_{i_2}a_{i_1i_2} \leq 12g\). Puis \(m_{i_2}|a_{i_2i_2}| \leq 24g\), et ainsi de suite. Finalement, on conclut que \(m_{i_k}|a_{i_ki_k}| \leq 2^k(6g) \leq 768g\) pour \(k = 1, \ldots, 7\).

Soit \(I \subset \{1, \ldots, n\} \setminus J\) un sous-ensemble connexe maximal. Autrement dit, il n’existe aucun sous-ensemble strict non vide \(I' \subset I\) tel que \(a_{i'i} = 0\) pour \(i' \in I'\) et \(i \in I \setminus I'\), et \(I\) est maximal pour cette propriété. En particulier, puisqu’un type numérique est connexe par définition, on voit qu’il existe \(j \in J\) et \(i \in I\) tels que \(a_{ij} > 0\). En considérant la classification de tels \(I\) dans la proposition 0C8Q et en utilisant le résultat du paragraphe précédent, on voit que \(w_i|a_{ii}| \leq 768g\) pour tout \(i \in I\), sauf si \(I\) est décrit dans le lemme 0C89 ou le lemme 0C8D. On peut donc supposer que le lieu de non-annulation des \(a_{ii'}\), \(i, i' \in I\), a l’une des deux formes suivantes : \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{..}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet }\] (laquelle possède 3 sous-cas détaillés dans le lemme 0C89), ou bien \[\xymatrix{ \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{..}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[d] & \bullet \\ & & & & \bullet }\] Nous allons démontrer la borne pour le premier sous-cas du lemme 0C89 et laisser les autres cas au lecteur (l’argument y est presque exactement le même).

Après réindexation, on peut supposer \(I = \{1, \ldots, t\} \subset \{1, \ldots, n\}\) et qu’il existe un entier \(w\) tel que \[w = w_1 = \ldots = w_t = a_{12} = \ldots = a_{(t - 1) t} = -\frac{1}{2} a_{i_1i_2} = \ldots = -\frac{1}{2} a_{(t - 1) t}\] Les égalités \(a_{ii}m_i + \sum_{j \not = i} a_{ij}m_j = 0\) impliquent que l’on a \[2m_2 \geq m_1 + m_3, \ldots, 2m_{t - 1} \geq m_{t - 2} + m_t\] On a égalité dans \(2m_i \geq m_{i - 1} + m_{i + 1}\) si et seulement si \(i\) ne « rencontre » aucun indice autre que \(i - 1\) et \(i + 1\). Et si \(i\) rencontre effectivement un autre indice, alors cet indice appartient à \(J\) (par maximalité de \(I\)). En particulier, l’application \(\{1, \ldots, t\} \to \mathbf{Z}\), \(i \mapsto m_i\), est concave.

Soit \(m = \max(m_i, i \in \{1, \ldots, t\})\). Alors \(m_i|a_{ii}| \leq 2mw\) pour \(i \leq t\), et notre but est de montrer que \(2mw \leq 768g\). Soient \(s\), respectivement \(s'\), dans \(\{1, \ldots, t\}\), le plus petit, respectivement le plus grand, indice tel que \(m_s = m = m_{s'}\). La concavité montre que \(m_i = m\) pour \(s \leq i \leq s'\). Si \(s > 1\), alors on n’a pas égalité dans \(2m_s \geq m_{s - 1} + m_{s + 1}\), et l’on voit que \(s\) rencontre un indice de \(J\). Dans ce cas, \(2mw \leq 12g\) d’après le résultat du deuxième paragraphe de la démonstration. De même, si \(s' < t\), alors \(s'\) rencontre un indice de \(J\) et l’on obtient également \(2mw \leq 12g\). Mais si \(s = 1\) et \(s' = t\), alors on conclut que \(a_{ij} = 0\) pour tout \(j \in J\) et \(i \in \{2, \ldots, t - 1\}\). Or, puisque nous avons vu qu’il doit exister une paire \((i, j) \in I \times J\) telle que \(a_{ij} > 0\), on conclut que cela se produit soit pour \(i = 1\), soit pour \(i = t\), et l’on conclut \(2mw \leq 12g\) de la même manière qu’auparavant (car \(m_1 = m = m_t\) dans ce cas).

Proposition

Soit \(g \geq 2\). Pour tout type numérique \(T\) de genre \(g\) et tout nombre premier \(\ell > 768g\), on a \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(T)[\ell] \leq g\] où \(\Pic(T)\) est défini dans la définition 0C7H. Si \(T\) est minimal, on a même \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(T)[\ell] \leq g_{top} \leq g\] où \(g_{top}\) est défini dans la définition 0C79.

Démonstration

Supposons que \(T\) soit donné par \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\). Si \(T\) n’est pas minimal, alors il existe un indice \((-1)\). Après avoir remplacé \(T\) par un type équivalent, on peut supposer que \(n\) est un indice \((-1)\). En appliquant le lemme 0C7J, on obtient \(\Pic(T) \subset \Pic(T')\), où \(T'\) est un type numérique de genre \(g\) (lemme 0C77) à \(n - 1\) indices. On conclut donc par récurrence sur \(n\), pourvu que le lemme soit démontré pour les types numériques minimaux.

Supposons que \(T\) soit un type numérique minimal de genre \(\geq 2\). Observons que \(g_{top} \leq g\) d’après le lemme 0C7C. Si \(A = (a_{ij})\), on a \(\Pic(T) \subset \Coker(A)\) d’après le lemme 0CE7. Il suffit donc de démontrer le lemme pour \(\Coker(A)\). Le lemme 0C9W montre que \(m_i|a_{ij}| \leq 768g\) pour tous \(i, j\). Le résultat découle donc du lemme 0C6X.

Modèles

Dans ce chapitre, \(R\) désignera un anneau de valuation discrète et \(K\) son corps des fractions. Si nécessaire, nous noterons \(\pi \in R\) une uniformisante et \(k = R/(\pi)\) son corps résiduel.

Soit \(V\) un \(K\)-schéma algébrique (Variétés, définition 06LG). Par modèle de \(V\), on entendra un morphisme plat de type fini⁶ \(X \to \Spec(R)\) muni d’un isomorphisme \(V \to X_K = X \times_{\Spec(R)} \Spec(K)\). Souvent, nous identifierons \(V\) et la fibre générique \(X_K\) de \(X\), et écrirons simplement \(V = X_K\). La fibre spéciale est \(X_k = X \times_{\Spec(R)} \Spec(k)\). Un morphisme de modèles \(X \to X'\) de \(V\) est un morphisme \(X \to X'\) de schémas sur \(R\) qui induit l’identité sur \(V\).

On dira que \(X\) est un modèle propre de \(V\) si \(X\) est un modèle de \(V\) et si le morphisme structural \(X \to \Spec(R)\) est propre. De même pour les modèles séparés, les modèles lisses et d’autres encore, à ajouter ici. On dira que \(X\) est un modèle régulier de \(V\) si \(X\) est un modèle de \(V\) et si \(X\) est un schéma régulier. De même pour les modèles normaux, les modèles réduits et d’autres encore, à ajouter ici.

Soit \(R \subset R'\) une extension d’anneaux de valuation discrète (Compléments d’algèbre, définition 09E4). Celle-ci induit une extension \(K'/K\) des corps des fractions. Étant donné un schéma algébrique \(V\) sur \(K\), notons \(V'\) le changement de base \(V \times_{\Spec(K)} \Spec(K')\). On a alors un foncteur \[\text{modèles de }V\text{ sur }R \longrightarrow \text{modèles de }V'\text{ sur }R'\] qui envoie \(X\) sur \(X \times_{\Spec(R)} \Spec(R')\).

Lemme

Soit \(V_1 \to V_2\) une immersion fermée de schémas algébriques sur \(K\). Si \(X_2\) est un modèle de \(V_2\), alors l’image schématique de \(V_1 \to X_2\) est un modèle de \(V_1\).

Démonstration

En utilisant Morphismes, lemme 01R8 et l’exemple 056A, on se ramène à l’énoncé algébrique suivant. Soit \(A_1\) une \(R\)-algèbre de type fini, plate sur \(R\). Soit \(A_1 \otimes_R K \to B_2\) une surjection. Alors \(A_2 = A_1 / \Ker(A_1 \to B_2)\) est une \(R\)-algèbre de type fini, plate sur \(R\), telle que \(B_2 = A_2 \otimes_R K\). Nous omettons la démonstration détaillée ; utiliser Compléments d’algèbre, lemme 0AUW, pour montrer que \(A_2\) est plate.

Lemme

Soit \(X\) un modèle d’une variété géométriquement normale \(V\) sur \(K\). Alors la normalisation \(\nu : X^\nu \to X\) est finie et le changement de base de \(X^\nu\) à la complétion \(R^\wedge\) est la normalisation du changement de base de \(X\). De plus, pour tout \(x \in X^\nu\), la complétion de \(\mathcal{O}_{X^\nu, x}\) est normale.

Démonstration

Observons que \(R^\wedge\) est un anneau de valuation discrète (Compléments d’algèbre, lemme 0AP1). Posons \(Y = X \times_{\Spec(R)} \Spec(R^\wedge)\). Puisque \(R^\wedge\) est un anneau de valuation discrète, on voit que \[Y \setminus Y_k = Y \times_{\Spec(R^\wedge)} \Spec(K^\wedge) = V \times_{\Spec(K)} \Spec(K^\wedge)\] où \(K^\wedge\) est le corps des fractions de \(R^\wedge\). Comme \(V\) est géométriquement normale, on trouve qu’il s’agit d’un schéma normal. La première partie du lemme résulte donc de Résolution des surfaces, lemme 0BG9.

Pour démontrer la seconde partie, on peut supposer \(X\) et \(Y\) normaux (par la première partie). Si \(x\) appartient à la fibre générique, alors \(\mathcal{O}_{X, x} = \mathcal{O}_{V, x}\) est un anneau local normal essentiellement de type fini sur un corps. Un tel anneau est excellent (Compléments d’algèbre, proposition 07QW). Si \(x\) est un point de la fibre spéciale d’image \(y \in Y\), alors \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge = \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\) par Résolution des surfaces, lemme 0BG5. Dans ce cas, \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est un domaine local normal excellent, par la même référence que précédemment, puisque \(R^\wedge\) est excellent. Si \(B\) est un domaine local normal excellent, alors la complétion \(B^\wedge\) est normale (car \(B \to B^\wedge\) est régulier et le lemme 0BFK de Compléments d’algèbre s’applique). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un modèle d’une courbe lisse \(C\) sur \(K\). Alors il existe une résolution des singularités de \(X\), et toute résolution est un modèle de \(C\).

Démonstration

Vérifions que la condition (4) du théorème de Lipman (Résolution des surfaces, théorème 0BGP) est satisfaite. Cela découle clairement du lemme 0C2T, à l’exception de l’assertion selon laquelle \(X^\nu\) ne possède qu’un nombre fini de points singuliers. Pour le voir, on peut utiliser le fait que \(R\) est J-2 d’après Compléments d’algèbre, proposition 07PJ, de sorte que le lieu non singulier est ouvert dans \(X^\nu\). Comme \(X^\nu\) est normal de dimension \(\leq 2\), les points singuliers sont fermés ; le fait que le lieu singulier soit fermé signifie donc qu’ils sont en nombre fini (puisque \(X\) est quasi-compact). Observons que toute résolution de \(X\) est une modification de \(X\) (Résolution des surfaces, définition 0BGK). Celle-ci est un isomorphisme au-dessus du lieu normal de \(X\) d’après Variétés, lemme 0BFP. Puisque l’ensemble des points normaux contient \(C = X_K\), on conclut que toute résolution est un modèle de \(C\).

Définition

Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\). Un modèle minimal est un modèle propre régulier \(X\) de \(C\) tel que \(X\) ne contienne aucune courbe exceptionnelle de première espèce (Résolution des surfaces, section 0C2I).

En toute rigueur, un tel objet devrait être appelé modèle propre régulier minimal, voire modèle projectif régulier relativement minimal. Mais tant que nous nous limitons aux modèles sur des anneaux de valuation discrète (comme nous le ferons dans ce chapitre), aucune confusion ne devrait en résulter.

Les modèles minimaux existent toujours (proposition 0C2W) et sont uniques lorsque le genre est \(> 0\) (lemme 0C6B).

Lemme

Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\). Si \(X\) est un modèle propre régulier de \(C\), alors il existe une suite de morphismes \[X = X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0\] de modèles propres réguliers de \(C\), telle que chaque morphisme soit une contraction d’une courbe exceptionnelle de première espèce et que \(X_0\) soit un modèle minimal.

Démonstration

D’après Résolution des surfaces, lemme 0C5P, \(X\) est projectif sur \(R\). Par conséquent, \(X\) possède un faisceau inversible ample d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0B45 (nous l’utiliserons ci-dessous). Soit \(E \subset X\) une courbe exceptionnelle de première espèce. Voir Résolution des surfaces, section 0C2I. D’après Résolution des surfaces, lemme 0C2M, on peut contracter \(E\) par un morphisme \(X \to X'\) tel que \(X'\) soit régulier et projectif sur \(R\). Il est clair que le nombre de composantes irréductibles de \(X'_k\) est inférieur d’une unité au nombre de composantes irréductibles de \(X_k\). On ne peut donc effectuer qu’un nombre fini de ces contractions avant d’obtenir un modèle minimal.

Proposition

Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\). Il existe un modèle minimal.

Démonstration

Choisissons une immersion fermée \(C \to \mathbf{P}^n_K\). Soit \(X\) l’image schématique de \(C \to \mathbf{P}^n_R\). Alors \(X \to \Spec(R)\) est un modèle projectif de \(C\) d’après le lemme 0C2S. D’après le lemme 0C2U, il existe une résolution des singularités \(X' \to X\), et \(X'\) est un modèle de \(C\). Alors \(X' \to \Spec(R)\) est propre comme composé de morphismes propres. On peut alors appliquer le lemme 0CD9 pour obtenir un modèle minimal.

La géométrie d’un modèle régulier

Dans cette section, nous décrivons la géométrie d’un modèle propre régulier \(X\) d’une courbe projective lisse \(C\) sur \(K\) telle que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\).

Lemme

Soit \(X\) un modèle régulier d’une courbe lisse \(C\) sur \(K\).

1. la fibre spéciale \(X_k\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X\),

2. chaque composante irréductible \(C_i\) de \(X_k\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X\),

3. \(X_k = \sum m_i C_i\) (somme de diviseurs de Cartier effectifs), où \(m_i\) est la multiplicité de \(C_i\) dans \(X_k\),

4. \(\mathcal{O}_X(X_k) \cong \mathcal{O}_X\).

Démonstration

Rappelons que \(R\) est un anneau de valuation discrète d’uniformisante \(\pi\) et de corps résiduel \(k = R/(\pi)\). Puisque \(X \to \Spec(R)\) est plat, l’élément \(\pi\) est un non-diviseur de zéro localement sur les ouverts affines de \(X\) (voir Compléments d’algèbre, lemme 0AUW). Ainsi, si \(U = \Spec(A) \subset X\) est un ouvert affine, alors \[X_k \cap U = U_k = \Spec(A \otimes_R k) = \Spec(A/\pi A)\] et \(\pi\) est un non-diviseur de zéro dans \(A\). Par conséquent, \(X_k = V(\pi)\) est un diviseur de Cartier effectif d’après Diviseurs, lemme 01WS. Cela démontre (1).

La discussion précédente montre que la paire \((\mathcal{O}_X(X_k), 1)\) est isomorphe à la paire \((\mathcal{O}_X, \pi)\), ce qui démontre (4).

D’après Diviseurs, lemme 0BCP, il existe des diviseurs de Cartier effectifs intègres deux à deux distincts \(D_i \subset X\) et des entiers \(a_i \geq 0\) tels que \(X_k = \sum a_i D_i\). On peut éliminer les diviseurs \(D_i\) tels que \(a_i = 0\). Il est alors clair (d’après la définition de l’addition des diviseurs de Cartier effectifs) que \(X_k = \bigcup D_i\) ensemblistement. Ainsi, les \(C_i = D_i\) sont les composantes irréductibles de \(X_k\), ce qui démontre (2). Soit \(\xi_i\) le point générique de \(C_i\). Alors \(\mathcal{O}_{X, \xi_i}\) est un anneau de valuation discrète (Diviseurs, lemme 0AG9). L’uniformisante \(\pi_i \in \mathcal{O}_{X, \xi_i}\) est une équation locale de \(C_i\), et l’image de \(\pi\) est une équation locale de \(X_k\). Comme \(X_k = \sum a_i C_i\), on voit que \(\pi\) et \(\pi_i^{a_i}\) engendrent le même idéal dans \(\mathcal{O}_{X, \xi_i}\). D’autre part, la multiplicité de \(C_i\) dans \(X_k\) est \[m_i = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{C_i, \xi_i}} \mathcal{O}_{X_k, \xi_i} = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{C_i, \xi_i}} \mathcal{O}_{X, \xi_i}/(\pi) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{C_i, \xi_i}} \mathcal{O}_{X, \xi_i}/(\pi_i^{a_i}) = a_i\] Voir Homologie de Chow, définition 02QU. Ainsi \(a_i = m_i\), ce qui démontre (3).

Lemme

Soit \(X\) un modèle régulier d’une courbe lisse \(C\) sur \(K\). Alors

1. \(X \to \Spec(R)\) est un morphisme de Gorenstein de dimension relative \(1\),

2. chacune des composantes irréductibles \(C_i\) de \(X_k\) est de Gorenstein.

Démonstration

Comme \(X \to \Spec(R)\) est plat, pour démontrer (1), il suffit de montrer que les fibres sont de Gorenstein (Dualité pour les schémas, lemme 0C05). La fibre générique est une courbe lisse, qui est régulière et donc de Gorenstein (Dualité pour les schémas, lemme 0DWG). Pour la fibre spéciale \(X_k\), on utilise le fait qu’elle est un diviseur de Cartier effectif sur un schéma régulier (donc de Gorenstein), et qu’elle est donc de Gorenstein, par exemple d’après Complexes dualisants, lemme 0BJJ. Les courbes \(C_i\) sont de Gorenstein par le même argument.

Situation

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), de corps résiduel \(k\) et d’uniformisante \(\pi\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\). Soit \(X\) un modèle propre régulier de \(C\). Soient \(C_1, \ldots, C_n\) les composantes irréductibles de la fibre spéciale \(X_k\). Écrivons \(X_k = \sum m_i C_i\) comme dans le lemme 0C5Z.

Lemme

Dans la situation 0C61, la fibre spéciale \(X_k\) est connexe.

Démonstration

C’est une conséquence de Compléments sur les morphismes, lemme 0AY8.

Lemme

Dans la situation 0C61, il existe une suite exacte \[0 \to \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}^{\oplus n} \to \Pic(X) \to \Pic(C) \to 0\] où la première application envoie \(1\) sur \((m_1, \ldots, m_n)\) et la seconde envoie le \(i\)-ème vecteur de base sur \(\mathcal{O}_X(C_i)\).

Démonstration

Observons que \(C \subset X\) est un sous-schéma ouvert. L’application de restriction \(\Pic(X) \to \Pic(C)\) est surjective d’après Diviseurs, lemme 0BD9. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible tel qu’il existe un isomorphisme \(s : \mathcal{O}_C \to \mathcal{L}|_C\). Alors \(s\) est une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\), et l’on voit que \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum a_i C_i\) pour certains \(a_i \in \mathbf{Z}\) (Diviseurs, définition 0BE6). D’après Diviseurs, lemme 0BE8 (et le fait que \(X\) est normal), on conclut que \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(\sum a_iC_i)\). Enfin, supposons que \(\mathcal{O}_X(\sum a_i C_i) \cong \mathcal{O}_X\). Il existe alors un élément \(g\) du corps des fonctions de \(X\) tel que \(\text{div}_X(g) = \sum a_i C_i\). En particulier, la fonction rationnelle \(g\) n’a ni zéro ni pôle sur la fibre générique \(C\) de \(X\). Comme \(C\) est un schéma normal, ceci implique \(g \in H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\). Ainsi \(g = \pi^a u\) pour un certain \(a \in \mathbf{Z}\) et un certain \(u \in R^*\). On conclut que \(\text{div}_X(g) = a \sum m_i C_i\), ce qui achève la démonstration.

Dans la situation 0C61, pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) et tout \(i\), on obtient un entier \[\deg(\mathcal{L}|_{C_i}) = \chi(C_i, \mathcal{L}|_{C_i}) - \chi(C_i, \mathcal{O}_{C_i})\] en prenant le degré de la restriction de \(\mathcal{L}\) à \(C_i\) relativement au corps de base \(k\)⁷, comme dans Variétés, section 0AYQ.

Lemme

Dans la situation 0C61, étant donnés un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) et \(a = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbf{Z}^{\oplus n}\), on définit \[\langle a, \mathcal{L} \rangle = \sum a_i\deg(\mathcal{L}|_{C_i})\] Alors \(\langle , \rangle\) est bilinéaire et, pour \(b = (b_1, \ldots, b_n) \in \mathbf{Z}^{\oplus n}\), on a \[\left\langle a, \mathcal{O}_X(\sum b_i C_i) \right\rangle = \left\langle b, \mathcal{O}_X(\sum a_i C_i) \right\rangle\]

Démonstration

La bilinéarité résulte immédiatement de la définition et de Variétés, lemme 0AYX. Pour démontrer la symétrie, il suffit de supposer que \(a\) et \(b\) sont des vecteurs de la base canonique de \(\mathbf{Z}^{\oplus n}\). Il suffit donc de démontrer que \[\deg(\mathcal{O}_X(C_j)|_{C_i}) = \deg(\mathcal{O}_X(C_i)|_{C_j})\] pour tous \(1 \leq i, j \leq n\). Si \(i = j\), il n’y a rien à démontrer. Si \(i \not = j\), alors la section canonique \(1\) de \(\mathcal{O}_X(C_j)\) se restreint en une section non nulle (donc régulière) de \(\mathcal{O}_X(C_j)|_{C_i}\), dont le schéma des zéros est exactement \(C_i \cap C_j\) (intersection schématique). Autrement dit, \(C_i \cap C_j\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(C_i\), et \[\deg(\mathcal{O}_X(C_j)|_{C_i}) = \deg(C_i \cap C_j)\] d’après Variétés, lemme 0AYY. Par symétrie, on obtient la même (!) formule pour l’autre membre, ce qui achève la démonstration.

Dans la situation 0C61, il est souvent commode de considérer \(\mathbf{Z}^{\oplus n}\) comme le groupe abélien libre sur l’ensemble \(\{C_1, \ldots, C_n\}\). Nous noterons un élément de ce groupe sous la forme \(\sum a_i C_i\) ; nous le considérons ici comme une somme formelle, bien que, de manière équivalente, on puisse (et nous le ferons parfois) considérer une telle somme comme un diviseur de Weil sur \(X\) à support dans la fibre spéciale \(X_k\). Le lemme 0C64 nous permet alors de définir une forme bilinéaire symétrique \((\ \cdot\ )\) sur ce groupe abélien libre par la règle [0C65]\[\begin{equation} \left(\sum a_i C_i \cdot \sum b_j C_j\right) = \left\langle a, \mathcal{O}_X(\sum b_j C_j) \right\rangle = \left\langle b, \mathcal{O}_X(\sum a_i C_i) \right\rangle \end{equation}\] Nous allons établir quelques propriétés de cette forme bilinéaire.

Lemme

Dans la situation 0C61, la forme bilinéaire symétrique (0C65) possède les propriétés suivantes :

1. \((C_i \cdot C_j) \geq 0\) si \(i \not = j\), avec égalité si et seulement si \(C_i \cap C_j = \emptyset\),

2. \((\sum m_i C_i \cdot C_j) = 0\),

3. il n’existe aucun sous-ensemble propre non vide \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) tel que \((C_i \cdot C_j) = 0\) pour \(i \in I\), \(j \not \in I\),

4. \((\sum a_i C_i \cdot \sum a_i C_i) \leq 0\), avec égalité si et seulement s’il existe \(q \in \mathbf{Q}\) tel que \(a_i = qm_i\) pour \(i = 1, \ldots, n\).

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 0C64, nous avons vu que \((C_i \cdot C_j) = \deg(C_i \cap C_j)\) si \(i \not = j\). Ce nombre est \(\geq 0\) et il est \(> 0\) si et seulement si \(C_i \cap C_j \not = \emptyset\). Ceci démontre (1).

Démonstration de (2). Cela résulte du fait que, d’après le lemme 0C5Z, le faisceau inversible associé à \(\sum m_i C_i\) est trivial et que le faisceau trivial est de degré zéro.

Démonstration de (3). Cette assertion exprime le fait que \(X_k\) est connexe (lemme 0C62) au moyen de la description des produits d’intersection donnée dans la démonstration de (1).

La partie (4) résulte de (1), (2) et (3) par le lemme 0C5X.

Lemme

Dans la situation 0C61, posons \(d = \gcd(m_1, \ldots, m_n)\) et soit \(D = \sum (m_i/d)C_i\) considéré comme un diviseur de Cartier effectif. Alors \(\mathcal{O}_X(D)\) est d’ordre divisant \(d\) dans \(\Pic(X)\), et \(\mathcal{C}_{D/X}\) est un \(\mathcal{O}_D\)-module inversible d’ordre divisant \(d\) dans \(\Pic(D)\).

Démonstration

On a \[\mathcal{O}_X(D)^{\otimes d} = \mathcal{O}_X(dD) = \mathcal{O}_X(X_k) = \mathcal{O}_X\] d’après le lemme 0C5Z. On conclut puisque \(\mathcal{C}_{D/X}\) est l’image inverse de \(\mathcal{O}_X(-D)\).

Lemme

Dans la situation 0C61, posons \(d = \gcd(m_1, \ldots, m_n)\). Soit \(D = \sum (m_i/d) C_i\) considéré comme un diviseur de Cartier effectif. Alors il existe une suite de diviseurs de Cartier effectifs \[(X_k)_{red} = Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_m = D\] telle que \(Z_j = Z_{j - 1} + C_{i_j}\) pour un certain \(i_j \in \{1, \ldots, n\}\) pour \(j = 1, \ldots, m\), et telle que \(H^0(Z_j, \mathcal{O}_{Z_j})\) soit un corps fini sur \(k\) pour \(j = 0, \ldots m\).

Démonstration

Le réduit \(D_{red} = (X_k)_{red} = \sum C_i\) est connexe (lemme 0C62) et propre sur \(k\). Par conséquent, \(H^0(D_{red}, \mathcal{O})\) est un corps et une extension finie de \(k\) d’après Variétés, lemme 0BUG. Le résultat est donc vrai pour \(Z_0 = D_{red} = (X_k)_{red}\). Supposons que nous ayons déjà construit \[(X_k)_{red} = Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_t \subset D\] avec \(Z_j = Z_{j - 1} + C_{i_j}\) pour un certain \(i_j \in \{1, \ldots, n\}\) pour \(j = 1, \ldots, t\), et de sorte que \(H^0(Z_j, \mathcal{O}_{Z_j})\) soit un corps fini sur \(k\) pour \(j = 0, \ldots, t\). Écrivons \(Z_t = \sum a_i C_i\) avec \(1 \leq a_i \leq m_i/d\). Si \(a_i = m_i/d\) pour tout \(i\), alors \(Z_t = D\) et le lemme est démontré. Sinon, \(a_i < m_i/d\) pour un certain \(i\), et il s’ensuit que \((Z_t \cdot Z_t) < 0\) d’après le lemme 0C66. Cela signifie que \((D - Z_t \cdot Z_t) > 0\), puisque \((D \cdot Z_t) = 0\) d’après ce lemme. On peut donc trouver un \(i\) tel que \(a_i < m_i/d\) et \((C_i \cdot Z_t) > 0\). Posons \(Z_{t + 1} = Z_t + C_i\) et \(i_{t + 1} = i\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X(-Z_t)|_{C_i} \to \mathcal{O}_{Z_{t + 1}} \to \mathcal{O}_{Z_t} \to 0\] de Diviseurs, lemme 0C4T. Par notre choix de \(i\), on voit que \(\mathcal{O}_X(-Z_t)|_{C_i}\) est un faisceau inversible de degré négatif sur la courbe propre \(C_i\) ; il ne possède donc aucune section globale non nulle (Variétés, lemme 0B40). On conclut que \(H^0(\mathcal{O}_{Z_{t + 1}}) \subset H^0(\mathcal{O}_{Z_t})\) est un corps (cela est clair, mais résulte également de Algèbre, lemme 00GR) et une extension finie de \(k\). Nous avons ainsi prolongé la suite. Comme le procédé doit s’arrêter, par exemple parce que \(t \leq \sum (m_i/d - 1)\), ceci achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation 0C61, posons \(d = \gcd(m_1, \ldots, m_n)\). Soit \(D = \sum (m_i/d) C_i\) considéré comme un diviseur de Cartier effectif sur \(X\). Alors \[1 - g_C = d [\kappa : k] (1 - g_D)\] où \(g_C\) est le genre de \(C\), \(g_D\) le genre de \(D\), et \(\kappa = H^0(D, \mathcal{O}_D)\).

Démonstration

D’après le lemme 0C68, \(\kappa\) est un corps et une extension finie de \(k\). Comme on a aussi \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\), on voit que les genres de \(C\) et de \(D\) sont définis (voir Courbes algébriques, définition 0BY7) et que \(g_C = \dim_K H^1(C, \mathcal{O}_C)\) et \(g_D = \dim_\kappa H^1(D, \mathcal{O}_D)\). D’après Catégories dérivées de schémas, lemme 0B9T, on a \[1 - g_C = \chi(C, \mathcal{O}_C) = \chi(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) = \dim_k H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) - \dim_k H^1(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\] Nous affirmons que \[\chi(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) = d \chi(D, \mathcal{O}_D)\] Cela démontrera le lemme, car \[\chi(D, \mathcal{O}_D) = \dim_k H^0(D, \mathcal{O}_D) - \dim_k H^1(D, \mathcal{O}_D) = [\kappa : k](1 - g_D)\] Observons que \(X_k = dD\) comme diviseur de Cartier effectif. Pour démontrer l’affirmation, montrons par récurrence sur \(1 \leq r \leq d\) que \(\chi(rD, \mathcal{O}_{rD}) = r \chi(D, \mathcal{O}_D)\). Le cas initial \(r = 1\) est trivial. Si \(1 \leq r < d\), considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X(rD)|_D \to \mathcal{O}_{(r + 1)D} \to \mathcal{O}_{rD} \to 0\] de Diviseurs, lemme 0C4T. Par additivité des caractéristiques d’Euler (Variétés, lemme 08AA), il suffit de démontrer que \(\chi(D, \mathcal{O}_X(rD)|_D) = \chi(D, \mathcal{O}_D)\). C’est vrai parce que \(\mathcal{O}_X(rD)|_D\) est un élément de torsion de \(\Pic(D)\) (lemme 0C67) et parce que le degré d’un fibré en droites est additif (Variétés, lemme 0AYX), donc nul pour les faisceaux inversibles de torsion.

Lemme

Dans la situation 0C61, soient deux indices \(i, j\) tels que \(C_i\) et \(C_j\) soient des courbes exceptionnelles de première espèce et que \(C_i \cap C_j \not = \emptyset\). Alors \(n = 2\), \(m_1 = m_2 = 1\), \(C_1 \cong \mathbf{P}^1_k\), \(C_2 \cong \mathbf{P}^1_k\), \(C_1\) et \(C_2\) se rencontrent en un point \(k\)-rationnel, et \(C\) est de genre \(0\).

Démonstration

Choisissons des isomorphismes \(C_i = \mathbf{P}^1_{\kappa_i}\) et \(C_j = \mathbf{P}^1_{\kappa_j}\). Le schéma \(C_i \cap C_j\) est un diviseur de Cartier effectif non vide tant dans \(C_i\) que dans \(C_j\). Ainsi, \[(C_i \cdot C_j) = \deg(C_i \cap C_j) \geq \max([\kappa_i: k], [\kappa_j : k])\] La première égalité a été démontrée dans la preuve du lemme 0C64. D’autre part, l’auto-intersection \((C_i \cdot C_i)\) est égale au degré de \(\mathcal{O}_X(C_i)\) sur \(C_i\), qui vaut \(-[\kappa_i : k]\) puisque \(C_i\) est une courbe exceptionnelle de première espèce. De même pour \(C_j\). D’après le lemme 0C66, \[0 \geq (C_i + C_j)^2 = -[\kappa_i : k] + 2(C_i \cdot C_j) - [\kappa_j : k]\] Ceci implique que \([\kappa_i : k] = \deg(C_i \cap C_j) = [\kappa_j : k]\) et que \((C_i + C_j)^2 = 0\). En appliquant de nouveau le lemme, on conclut que \(n = 2\), \(\{1, 2\} = \{i, j\}\) et \(m_1 = m_2\). De plus, l’intersection schématique \(C_i \cap C_j\) consiste en un unique point \(p\) de corps résiduel \(\kappa\), et \(\kappa_i \to \kappa \leftarrow \kappa_j\) sont des isomorphismes. Soit \(D = C_1 + C_2\) considéré comme un diviseur de Cartier effectif sur \(X\). Observons que \(D\) est la réunion schématique de \(C_1\) et \(C_2\) (Diviseurs, lemme 0C4R) ; on a donc une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_D \to \mathcal{O}_{C_1} \oplus \mathcal{O}_{C_2} \to \mathcal{O}_p \to 0\] d’après Morphismes, lemme 0C4J. Puisque nous connaissons la cohomologie de \(C_i \cong \mathbf{P}^1_\kappa\) (Cohomologie des schémas, lemme 01XT), la suite exacte longue de cohomologie donne \(H^0(D, \mathcal{O}_D) = \kappa\) et \(H^1(D, \mathcal{O}_D) = 0\). D’après le lemme 0C69, on conclut que \[1 - g_C = d[\kappa : k](1 - 0)\] où \(d = m_1 = m_2\). Il s’ensuit que \(g_C = 0\), \(d = m_1 = m_2 = 1\) et \(\kappa = k\).

Unicité du modèle minimal

Si le genre de la fibre générique est positif, les modèles minimaux sont uniques (lemme 0C6B) et possèdent par conséquent une propriété universelle convenable (lemme 0C9Z).

Lemme

Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\) et de genre \(> 0\). Il existe un unique modèle minimal de \(C\).

Démonstration

Nous avons déjà démontré la partie difficile du lemme, à savoir l’existence d’un modèle minimal (dont la preuve repose sur la résolution des singularités de surfaces) ; voir la proposition 0C2W. Pour démontrer l’unicité, supposons que \(X\) et \(Y\) soient deux modèles minimaux. D’après Résolution des surfaces, lemme 0C5S, il existe un diagramme de \(S\)-morphismes \[X = X_0 \leftarrow X_1 \leftarrow \ldots \leftarrow X_n = Y_m \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = Y\] où chaque morphisme est un éclatement en un point fermé. La fibre exceptionnelle du morphisme \(X_n \to X_{n - 1}\) est une courbe exceptionnelle de première espèce \(E\). Nous affirmons que \(E\) est contractée en un point par le morphisme \(X_n = Y_m \to Y\). Si tel est le cas, alors \(X_n \to Y\) se factorise par \(X_{n - 1}\) d’après Résolution des surfaces, lemme 0C5J. Dans ce cas, le morphisme \(X_{n - 1} \to Y\) est encore une suite de contractions de courbes exceptionnelles d’après Résolution des surfaces, lemme 0C5R. On conclut donc par récurrence sur \(n\). (Le cas initial \(n = 0\) signifie qu’il existe une suite de contractions \(X = Y_m \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = Y\) aboutissant à \(Y\). Toutefois, comme \(X\) est un modèle minimal, il ne contient aucune courbe exceptionnelle de première espèce ; ainsi \(m = 0\) et \(X = Y\).)

Démonstration de l’affirmation. Nous allons montrer par récurrence sur \(m\) que toute courbe exceptionnelle de première espèce \(E \subset Y_m\) est envoyée sur un point par le morphisme \(Y_m \to Y\). Si \(m = 0\), c’est clair puisque \(Y\) est un modèle minimal. Si \(m > 0\), alors soit \(Y_m \to Y_{m - 1}\) contracte \(E\) (et nous avons terminé), soit la fibre exceptionnelle \(E' \subset Y_m\) de \(Y_m \to Y_{m - 1}\) est une seconde courbe exceptionnelle de première espèce. Puisque \(E\) et \(E'\) sont toutes deux des composantes irréductibles de la fibre spéciale, et puisque \(g_C > 0\) par hypothèse, on conclut que \(E \cap E' = \emptyset\) d’après le lemme 0C6A. L’image de \(E\) dans \(Y_{m - 1}\) est alors une courbe exceptionnelle de première espèce (cela est clair, car le morphisme \(Y_m \to Y_{m - 1}\) est un isomorphisme au voisinage de \(E\)). Par récurrence, on voit que \(Y_{m - 1} \to Y\) contracte cette courbe, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\) et de genre \(> 0\). Soit \(X\) le modèle minimal de \(C\) (lemme 0C6B). Soit \(Y\) un modèle propre régulier de \(C\). Il existe alors un unique morphisme de modèles \(Y \to X\) qui soit une suite de contractions de courbes exceptionnelles de première espèce.

Démonstration

L’existence et les propriétés du morphisme \(X \to Y\) résultent immédiatement du lemme 0CD9 et de l’unicité du modèle minimal. Le morphisme \(Y \to X\) est unique parce que \(C \subset Y\) est schématiquement dense et que \(X\) est séparé (voir Morphismes, lemme 01RH).

Exemple

Si le genre de \(C\) est \(0\), les modèles minimaux ne sont effectivement pas uniques. Considérons en effet le sous-schéma fermé \[X \subset \mathbf{P}^2_R\] défini par \(T_1T_2 - \pi T_0^2 = 0\). Plus précisément, \(X\) est défini comme \(\text{Proj}(R[T_0, T_1, T_2]/(T_1T_2 - \pi T_0^2))\). La fibre spéciale \(X_k\) est alors la réunion de deux courbes exceptionnelles \(C_1\), \(C_2\), toutes deux isomorphes à \(\mathbf{P}^1_k\) (exactement comme dans le lemme 0C6A). La projection depuis \((0 : 1 : 0)\) définit un morphisme \(X \to \mathbf{P}^1_R\) qui contracte \(C_2\) et induit un isomorphisme de \(C_1\) avec la fibre spéciale de \(\mathbf{P}^1_R\). La projection depuis \((0 : 0 : 1)\) définit un morphisme \(X \to \mathbf{P}^1_R\) qui contracte \(C_1\) et induit un isomorphisme de \(C_2\) avec la fibre spéciale de \(\mathbf{P}^1_R\). Plus précisément, ces morphismes correspondent aux homomorphismes de \(R\)-algèbres graduées \[R[T_0, T_1] \longrightarrow R[T_0, T_1, T_2]/(T_1T_2 - \pi T_0^2) \longleftarrow R[T_0, T_2]\] Nous étudierons ce phénomène dans le lemme 0CDA.

Une formule pour le genre

La structure combinatoire issue d’un modèle propre régulier est soumise à une restriction supplémentaire.

Lemme

Dans la situation 0C61, supposons donnés des diviseurs de Cartier effectifs \(D, D' \subset X\) tels que \(D' = D + C_i\) pour un certain \(i \in \{1, \ldots, n\}\) et \(D' \subset X_k\). Alors \[\chi(X_k, \mathcal{O}_{D'}) - \chi(X_k, \mathcal{O}_D) = \chi(X_k, \mathcal{O}_X(-D)|_{C_i}) = -(D \cdot C_i) + \chi(C_i, \mathcal{O}_{C_i})\]

Démonstration

La seconde égalité résulte de la définition de la forme bilinéaire \((\ \cdot\ )\) dans (0C65) et du lemme 0C64. Pour voir la première égalité, distinguons deux cas. En effet, si \(C_i \not \subset D\), alors \(D'\) est la réunion schématique de \(D\) et \(C_i\) (d’après Diviseurs, lemme 0C4R), et l’on obtient une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_{D'} \to \mathcal{O}_D \times \mathcal{O}_{C_i} \to \mathcal{O}_{D \cap C_i} \to 0\] d’après Morphismes, lemme 0C4J. Comme on a aussi une suite exacte \[0 \to \mathcal{O}_X(-D)|_{C_i} \to \mathcal{O}_{C_i} \to \mathcal{O}_{D \cap C_i} \to 0\] (Diviseurs, remarque 0C6K), on conclut que l’affirmation est vraie par additivité des caractéristiques d’Euler (Variétés, lemme 08AA). D’autre part, si \(C_i \subset D\), alors on obtient une suite exacte \[0 \to \mathcal{O}_X(-D)|_{C_i} \to \mathcal{O}_{D'} \to \mathcal{O}_D \to 0\] d’après Diviseurs, lemme 0C4T, et l’on voit immédiatement que le lemme est vrai.

Lemme

Dans la situation 0C61, on a \[g_C = 1 + \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} m_i\left([\kappa_i : k] (g_i - 1) - \frac{1}{2}(C_i \cdot C_i)\right)\] où \(\kappa_i = H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i})\), \(g_i\) est le genre de \(C_i\), et \(g_C\) le genre de \(C\).

Démonstration

Notre outil fondamental sera Catégories dérivées de schémas, lemme 0B9T, qui montre que \[1 - g_C = \chi(C, \mathcal{O}_C) = \chi(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\] Choisissons une suite de diviseurs de Cartier effectifs \[X_k = D_m \supset D_{m - 1} \supset \ldots \supset D_1 \supset D_0 = \emptyset\] telle que \(D_{j + 1} = D_j + C_{i_j}\) pour tout \(j\). (Il est clair que l’on peut choisir une telle suite en diminuant d’une unité, à chaque étape, une multiplicité non nulle de \(D_{j + 1}\).) En appliquant le lemme 0CA2, en partant de \(\chi(\mathcal{O}_{D_0}) = 0\), on obtient \[\begin{align*} 1 - g_C & = \chi(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) \\ & = \sum\nolimits_j \left(-(D_j \cdot C_{i_j}) + \chi(C_{i_j}, \mathcal{O}_{C_{i_j}})\right) \\ & = - \sum\nolimits_j (C_{i_1} + C_{i_2} + \ldots + C_{i_{j - 1}} \cdot C_{i_j}) + \sum\nolimits_j \chi(C_{i_j}, \mathcal{O}_{C_{i_j}}) \\ & = -\frac{1}{2}\sum\nolimits_{j \not = j'} (C_{i_{j'}} \cdot C_{i_j}) + \sum m_i \chi(C_i, \mathcal{O}_{C_i}) \\ & = \frac{1}{2} \sum m_i(C_i \cdot C_i) + \sum m_i \chi(C_i, \mathcal{O}_{C_i}) \end{align*}\] La dernière égalité mérite peut-être une explication. En effet, puisque \(\sum_j C_{i_j} = \sum m_i C_i\), on a \((\sum_j C_{i_j} \cdot \sum_j C_{i_j}) = 0\) d’après le lemme 0C66. On voit donc que \[0 = \sum\nolimits_{j \not = j'} (C_{i_{j'}} \cdot C_{i_j}) + \sum m_i(C_i \cdot C_i)\] en décomposant ce produit en termes « non diagonaux » et « diagonaux ». Notons que \(\kappa_i\) est un corps fini sur \(k\) d’après Variétés, lemme 04L2. Le genre de \(C_i\) est donc défini et l’on a \(\chi(C_i, \mathcal{O}_{C_i}) = [\kappa_i : k](1 - g_i)\). En réunissant le tout et en réarrangeant les termes, on obtient \[g_C = - \frac{1}{2}\sum m_i(C_i \cdot C_i) + \sum m_i[\kappa_i : k](g_i - 1) + 1\] ce qui est aussi l’assertion du lemme.

Lemme

Dans la situation 0C61, avec \(\kappa_i = H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i})\) et \(g_i\) le genre de \(C_i\), les données \[n, m_i, (C_i \cdot C_j), [\kappa_i : k], g_i\] forment un type numérique de genre égal au genre de \(C\).

Démonstration

(Dans la démonstration du lemme 0CA3, nous avons vu que les quantités utilisées dans l’énoncé du lemme sont bien définies.) Nous devons vérifier les conditions (1) – (5) de la définition 0C6Z.

La condition (1) est immédiate.

Condition (2). La symétrie de la matrice \((C_i \cdot C_j)\) résulte de l’équation (0C65) et du lemme 0C64. La positivité de \((C_i \cdot C_j)\) pour \(i \not = j\) est la partie (1) du lemme 0C66.

La condition (3) est la partie (3) du lemme 0C66.

La condition (4) est la partie (2) du lemme 0C66.

La condition (5) résulte du fait que \((C_i \cdot C_j)\) est le degré d’un module inversible sur \(C_i\), lequel est divisible par \([\kappa_i : k]\) ; voir Variétés, lemme 0C6P.

La formule du genre démontrée dans le lemme 0CA3 nous dit que le type numérique possède le genre annoncé ; voir la définition 0C72.

Définition

Dans la situation 0C61, le type numérique associé à \(X\) est le type numérique décrit dans le lemme 0CA4.

Nous allons maintenant faire correspondre la minimalité du modèle à celle du type.

Lemme

Dans la situation 0C61, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est un modèle minimal, et

2. le type numérique associé à \(X\) est minimal.

Démonstration

Si le type numérique est minimal, il n’existe aucun \(i\) tel que \(g_i = 0\) et \((C_i \cdot C_i) = -[\kappa_i: k]\) ; voir la définition 0C7A. Ceci implique assurément qu’aucune des courbes \(C_i\) n’est une courbe exceptionnelle de première espèce.

Réciproquement, supposons que le type numérique ne soit pas minimal. Il existe alors un \(i\) tel que \(g_i = 0\) et \((C_i \cdot C_i) = -[\kappa_i: k]\). Nous affirmons que ceci implique que \(C_i\) est une courbe exceptionnelle de première espèce. En effet, le faisceau inversible \(\mathcal{O}_X(-C_i)|_{C_i}\) est de degré \(-(C_i \cdot C_i) = [\kappa_i : k]\) lorsque \(C_i\) est vue comme une courbe propre sur \(k\), et est donc de degré \(1\) lorsque \(C_i\) est vue comme une courbe propre sur \(\kappa_i\). En appliquant Courbes algébriques, proposition 0C6U, on conclut que \(C_i \cong \mathbf{P}^1_{\kappa_i}\) comme schémas sur \(\kappa_i\). Comme le groupe de Picard de \(\mathbf{P}^1\) sur un corps est \(\mathbf{Z}\), on voit que le faisceau normal de \(C_i\) dans \(X\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}_{\kappa_i}}(-1)\), ce qui achève la démonstration.

Remarque

Tout type numérique ne provient pas d’un modèle, pour la raison triviale qu’il existe des types numériques dont le genre est négatif. Il existe des types numériques minimaux de genre positif qui ne sont pas le type numérique associé à un modèle (sur un anneau de valuation discrète) d’une courbe projective lisse géométriquement irréductible (sur le corps des fractions de cet anneau). Un exemple simple est \(n = 1\), \(m_1 = 1\), \(a_{11} = 0\), \(w_1 = 6\), \(g_1 = 1\). En effet, dans ce cas, la fibre spéciale \(X_k\) ne serait pas géométriquement connexe, car elle serait définie sur une extension \(\kappa\) de \(k\) de degré \(6\). Cela contredit le fait que la fibre générique est géométriquement connexe (voir Compléments sur les morphismes, lemme 0AY8). De même, \(n = 2\), \(m_1 = m_2 = 1\), \(-a_{11} = -a_{22} = a_{12} = a_{21} = 6\), \(w_1 = w_2 = 6\), \(g_1 = g_2 = 1\) fournirait un exemple pour la même raison (détails omis). Mais si le pgcd des \(w_i\) vaut \(1\), nous ne disposons d’aucun exemple.

Lemme

Dans la situation 0C61, supposons que \(C\) ait un point \(K\)-rationnel. Alors

1. \(X_k\) possède un point \(k\)-rationnel \(x\) qui est un point lisse de \(X_k\) sur \(k\),

2. si \(x \in C_i\), alors \(H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i}) = k\) et \(m_i = 1\), et

3. \(H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) = k\), et \(X_k\) est de genre égal au genre de \(C\).

Démonstration

Puisque \(X \to \Spec(R)\) est propre, le point \(K\)-rationnel se prolonge en un morphisme \(a : \Spec(R) \to X\) par le critère valuatif de propreté (Morphismes, lemme 0BX5). Soit \(x \in X\) l’image par \(a\) du point fermé de \(\Spec(R)\). Alors \(a\) correspond à un homomorphisme de \(R\)-algèbres \(\psi : \mathcal{O}_{X, x} \to R\) (voir Schémas, section 01J5). Il s’ensuit que \(\pi \not \in \mathfrak m_x^2\) (puisque l’image de \(\pi\) dans \(R\) n’appartient pas à \(\mathfrak m_R^2\)). Par conséquent, \(\mathcal{O}_{X_k, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\pi \mathcal{O}_{X, x}\) est régulier (Algèbre, lemme 00NQ). Alors \(X_k \to \Spec(k)\) est lisse en \(x\) d’après Algèbre, lemme 00TV. Il s’ensuit que \(x\) appartient à une unique composante irréductible \(C_i\) de \(X_k\), que \(\mathcal{O}_{C_i, x} = \mathcal{O}_{X_k, x}\) et que \(m_i = 1\). Le fait que \(C_i\) possède un point \(k\)-rationnel implique que le corps \(\kappa_i = H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i})\) (Variétés, lemme 04L2) est égal à \(k\). Ceci démontre (1). On a \(H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) = k\) parce que \(H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k})\) est une extension de corps de \(k\) (lemme 0C68) qui s’envoie dans \(H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i}) = k\). L’égalité des genres résulte du lemme 0C69.

Lemme

Dans la situation 0C61, supposons que \(X\) soit un modèle minimal, que \(\gcd(m_1, \ldots, m_n) = 1\) et que \(H^0((X_k)_{red}, \mathcal{O}) = k\). Alors l’application \[H^1(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) \to H^1((X_k)_{red}, \mathcal{O}_{(X_k)_{red}})\] est surjective et possède un noyau non trivial dès que \((X_k)_{red} \not = X_k\).

Démonstration

Par annulation de la cohomologie en degrés \(\geq 2\) sur \(X_k\) (Cohomologie, proposition 02UZ), toute surjection de faisceaux abéliens sur \(X_k\) induit une surjection sur \(H^1\). Considérons la suite \[(X_k)_{red} = Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_m = X_k\] du lemme 0C68. Puisque les homomorphismes de corps \(H^0(Z_j, \mathcal{O}_{Z_j}) \to H^0((X_k)_{red}, \mathcal{O}_{(X_k)_{red}}) = k\) sont injectifs, on conclut que \(H^0(Z_j, \mathcal{O}_{Z_j}) = k\) pour \(j = 0, \ldots, m\). Il s’ensuit que \(H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) \to H^0(Z_{m - 1}, \mathcal{O}_{Z_{m - 1}})\) est surjectif. Soit \(C = C_{i_m}\). Alors \(X_k = Z_{m - 1} + C\). Soit \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(-Z_{m - 1})|_C\). Alors \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_C\)-module inversible. Comme dans la démonstration du lemme 0C68, il existe une suite exacte \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{O}_{X_k} \to \mathcal{O}_{Z_{m - 1}} \to 0\] de faisceaux cohérents sur \(X_k\). On en déduit une suite exacte courte \[0 \to H^1(C, \mathcal{L}) \to H^1(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) \to H^1(Z_{m - 1}, \mathcal{O}_{Z_{m - 1}}) \to 0\] Le degré de \(\mathcal{L}\) sur \(C\) relativement à \(k\) est \[(C \cdot -Z_{m - 1}) = (C \cdot C - X_k) = (C \cdot C)\] Posons \(\kappa = H^0(C, \mathcal{O}_C)\) et \(w = [\kappa : k]\). Par définition du degré d’un faisceau inversible, on voit que \[\chi(C, \mathcal{L}) = \chi(C, \mathcal{O}_C) + (C \cdot C) = w(1 - g_C) + (C \cdot C)\] où \(g_C\) est le genre de \(C\). Cette expression est \(< 0\) puisque \(X\) est minimal et que, par conséquent, \(C\) n’est pas une courbe exceptionnelle de première espèce (voir la preuve du lemme 0CA6). Ainsi \(\dim_k H^1(C, \mathcal{L}) > 0\), ce qui achève la preuve.

Lemme

Dans la situation 0C61, supposons que \(X_k\) possède un point \(k\)-rationnel \(x\) qui est un point lisse de \(X_k \to \Spec(k)\). Alors \[\dim_k H^1((X_k)_{red}, \mathcal{O}_{(X_k)_{red}}) \geq g_{top} + g_{geom}(X_k/k)\] où \(g_{geom}\) est défini dans Courbes algébriques, section 0CE0, et où \(g_{top}\) est le genre topologique (définition 0C79) du type numérique associé à \(X_k\) (définition 0CA5).

Démonstration

Nous allons démontrer l’inégalité \[\dim_k H^1(D, \mathcal{O}_D) \geq g_{top}(D) + g_{geom}(D/k)\] pour tout diviseur de Cartier effectif réduit connexe \(D \subset (X_k)_{red}\) contenant \(x\), par récurrence sur le nombre de composantes irréductibles de \(D\). Ici \(g_{top}(D) = 1 - m + e\), où \(m\) est le nombre de composantes irréductibles de \(D\) et \(e\) le nombre de paires non ordonnées de composantes de \(D\) qui se rencontrent.

Cas initial : \(D\) possède une seule composante irréductible. Alors \(D = C_i\) est l’unique composante irréductible contenant \(x\). Dans ce cas, \(\dim_k H^1(D, \mathcal{O}_D) = g_i\) et \(g_{top}(D) = 0\). Puisque \(C_i\) possède un point lisse \(k\)-rationnel, elle est géométriquement intègre (Variétés, lemme 0CDW). Il s’ensuit que \(g_i\) est le genre de \(C_{i, \overline{k}}\) (Courbes algébriques, lemme 0BY9). Il s’ensuit aussi que \(g_{geom}(D/k)\) est le genre de la normalisation \(C_{i, \overline{k}}^\nu\) de \(C_{i, \overline{k}}\). En appliquant Courbes algébriques, lemme 0CE4, au morphisme de normalisation \(C_{i, \overline{k}}^\nu \to C_{i, \overline{k}}\), on obtient [0CEB]\[\begin{equation} \text{genre de }C_{i, \overline{k}} \geq \text{genre de }C_{i, \overline{k}}^\nu \end{equation}\] En combinant ce qui précède, on conclut que \(\dim_k H^1(D, \mathcal{O}_D) \geq g_{top}(D) + g_{geom}(D/k)\) dans ce cas.

Étape de récurrence. Supposons que \(D\) possède plus de \(1\) composante irréductible. On peut alors écrire \(D = C_i + D'\), avec \(x \in D'\) et \(D'\) encore connexe. C’est un exercice de théorie des graphes que nous laissons au lecteur (indication : prendre pour \(C_i\) la composante de \(D\) la plus éloignée de \(x\)). Calculons la variation des invariants. Comme \(x \in D'\), on a \(H^0(D, \mathcal{O}_D) = H^0(D', \mathcal{O}_{D'}) = k\). En considérant la suite exacte courte de faisceaux \[0 \to \mathcal{O}_D \to \mathcal{O}_{C_i} \oplus \mathcal{O}_{D'} \to \mathcal{O}_{C_i \cap D'} \to 0\] (Morphismes, lemme 0C4J) et en utilisant l’additivité des caractéristiques d’Euler, on trouve \[\begin{align*} \dim_k H^1(D, \mathcal{O}_D) - \dim_k H^1(D', \mathcal{O}_{D'}) & = -\chi(\mathcal{O}_{C_i}) + \chi(\mathcal{O}_{C_i \cap D'}) \\ & = w_i(g_i - 1) + \sum\nolimits_{C_j \subset D'} a_{ij} \end{align*}\] Comme dans le lemme 0CA4, on pose ici \(w_i = [\kappa_i : k]\), \(\kappa_i = H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i})\) ; \(g_i\) est le genre de \(C_i\), et \(a_{ij} = (C_i \cdot C_j)\). On a \[g_{top}(D) - g_{top}(D') = -1 + \sum\nolimits_{C_j \subset D'\text{ rencontrant }C_i} 1\] On a \[g_{geom}(D/k) - g_{geom}(D'/k) = g_{geom}(C_i/k)\] d’après Courbes algébriques, lemme 0CE1. En combinant ces égalités avec l’hypothèse de récurrence, on conclut qu’il suffit de montrer que \[w_i g_i - g_{geom}(C_i/k) + \sum\nolimits_{C_j \subset D'\text{ rencontrant } C_i} (a_{ij} - 1) - (w_i - 1)\] est positif ou nul. En effet, on a [0CEC]\[\begin{equation} w_i g_i \geq [\kappa_i : k]_s g_i \geq g_{geom}(C_i/k) \end{equation}\] La seconde inégalité résulte de Courbes algébriques, lemme 0CE5. D’autre part, puisque \(w_i\) divise \(a_{ij}\) (Variétés, lemme 0C6P), il est clair que [0CED]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{C_j \subset D'\text{ rencontrant } C_i} (a_{ij} - 1) - (w_i - 1) \geq 0 \end{equation}\] car il existe au moins une composante \(C_j \subset D'\) rencontrant \(C_i\).

Lemme

Si l’égalité a lieu dans le lemme 0CEA, alors

1. l’unique composante irréductible de \(X_k\) contenant \(x\) est une courbe projective lisse géométriquement irréductible sur \(k\) ;

2. si \(C \subset X_k\) est une autre composante irréductible, alors \(\kappa = H^0(C, \mathcal{O}_C)\) est une extension finie séparable de \(k\), \(C\) possède un point \(\kappa\)-rationnel et \(C\) est lisse sur \(\kappa\).

Démonstration

En reprenant la preuve du lemme 0CEA, on voit que, pour obtenir l’égalité, les inégalités (0CEB), (0CEC) et (0CED) doivent être des égalités.

Soit \(C_i\) la composante irréductible contenant \(x\). L’égalité dans (0CEB) montre, par Courbes algébriques, lemme 0CE4, que \(C_{i, \overline{k}}^\nu \to C_{i, \overline{k}}\) est un isomorphisme. Par conséquent, \(C_{i, \overline{k}}\) est lisse et l’assertion (1) est vraie.

Soit ensuite \(C_i \subset X_k\) une autre composante irréductible. On peut alors supposer que \(D = D' + C_i\) comme dans l’étape de récurrence de la preuve du lemme 0CEA. L’égalité dans (0CEC) implique immédiatement que \(\kappa_i/k\) est finie séparable. L’égalité dans (0CED) implique soit que \(a_{ij} = 1\) pour un certain \(j\), soit qu’il existe une unique composante \(C_j \subset D'\) rencontrant \(C_i\) et que \(a_{ij} = w_i\). Dans les deux cas, on trouve que \(C_i\) possède un point \(\kappa_i\)-rationnel \(c\) et que \(c = C_i \cap C_j\) au sens schématique. Puisque \(\mathcal{O}_{X,c}\) est un anneau local régulier, cela implique que les équations locales de \(C_i\) et de \(C_j\) forment un système régulier de paramètres de l’anneau local \(\mathcal{O}_{X,c}\). Alors \(\mathcal{O}_{C_i,c}\) est régulier d’après Algèbre, lemme 00NQ. On conclut que \(C_i \to \Spec(\kappa_i)\) est lisse en \(c\) (Algèbre, lemme 00TV). Il s’ensuit que \(C_i\) est géométriquement intègre sur \(\kappa_i\) (Variétés, lemme 0CDW). Pour conclure, il reste à montrer que \(C_i\) est lisse sur \(\kappa_i\). Observons que \[C_{i, \overline{k}} = C_i \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k}) = \coprod\nolimits_{\kappa_i \to \overline{k}} C_i \times_{\Spec(\kappa_i)} \Spec(\overline{k})\] où il y a \([\kappa_i : k]\) composantes. Ainsi, si \(C_i\) n’est pas lisse sur \(\kappa_i\), chacune de ces courbes n’est pas lisse ; elles ne sont donc pas normales, et le morphisme de normalisation fait baisser le genre (Courbes algébriques, lemme 0CE4). Cela est impossible, car il ferait baisser le genre géométrique de \(C_i/k\), en contradiction avec \([\kappa_i : k]g_i = g_{geom}(C_i/k)\).

Contraction des courbes exceptionnelles

Le lemme suivant décrit la variation des nombres d’intersection lorsque l’on contracte une courbe exceptionnelle de première espèce dans un modèle propre régulier. Nous le plaçons ici surtout pour le comparer aux contractions numériques introduites dans le lemme 0C77. Nous comparerons les contractions géométriques et numériques dans la remarque 0CA9.

Lemme

Dans la situation 0C61, supposons que \(C_n\) soit une courbe exceptionnelle de première espèce. Soit \(f : X \to X'\) la contraction de \(C_n\). Posons \(C'_i = f(C_i)\) et écrivons \(X'_k = \sum m'_iC'_i\). Alors \(X'\), \(C'_i\), \(i = 1, \ldots, n' = n - 1\), et \(m'_i = m_i\) sont comme dans la situation 0C61, et l’on a

1. pour \(i,j<n\), \((C'_i \cdot C'_j) = (C_i \cdot C_j) - (C_i \cdot C_n)(C_j \cdot C_n)/(C_n \cdot C_n)\) ;

2. pour \(i<n\), si \(C_i \cap C_n \not = \emptyset\), il existe des applications \(\kappa_i \leftarrow \kappa'_i \rightarrow \kappa_n\).

Ici \(\kappa_i = H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i})\) et \(\kappa'_i = H^0(C'_i, \mathcal{O}_{C'_i})\).

Démonstration

D’après Résolution des surfaces, lemme 0C2M, on peut contracter \(C_n\) par un morphisme \(f : X \to X'\) tel que \(X'\) soit régulier et projectif sur \(R\). On voit donc que \(X'\) est comme dans la situation 0C61. Soit \(x \in X'\) l’image de \(C_n\). Puisque \(f\) induit un isomorphisme \(X \setminus C_n \to X' \setminus \{x\}\), il est clair que \(m'_i = m_i\) pour \(i<n\).

L’assertion (2) du lemme résulte immédiatement de l’existence des morphismes \(C_i \to C'_i\) et \(C_n \to x \to C'_i\).

D’après Diviseurs, lemme 0809, l’image réciproque \(f^{-1}C'_i\) est définie. D’après Diviseurs, lemme 0BCP, on voit que \(f^{-1}C'_i = C_i + e_iC_n\) pour un certain \(e_i \geq 0\). Puisque \(\mathcal{O}_X(C_i + e_iC_n) = \mathcal{O}_X(f^{-1}C'_i) = f^*\mathcal{O}_{X'}(C'_i)\) (Diviseurs, lemme 0C4U) et que l’image réciproque d’un faisceau inversible se restreint au faisceau inversible trivial sur \(C_n\), on voit que \[0 = \deg_{C_n}(\mathcal{O}_X(C_i + e_iC_n)) = (C_i + e_iC_n \cdot C_n) = (C_i \cdot C_n) + e_i(C_n \cdot C_n)\] Comme \(f_j = f|_{C_j} : C_j \to C_j\) est un morphisme propre birationnel de courbes propres sur \(k\), on voit que \(\deg_{C'_j}(\mathcal{O}_{X'}(C'_i)|_{C'_j})\) est égal à \(\deg_{C_j}(f_j^*\mathcal{O}_{X'}(C'_i)|_{C'_j})\) (Variétés, lemme 0AYU). En considérant le diagramme commutatif \[\xymatrix{ C_j \ar[r] \ar[d]_{f_j} & X \ar[d]^f \\ C'_j \ar[r] & X' }\] et en utilisant Diviseurs, lemme 0C4U, on voit que \[(C'_i \cdot C'_j) = \deg_{C'_j}(\mathcal{O}_{X'}(C'_i)|_{C'_j}) = \deg_{C_j}(\mathcal{O}_X(C_i + e_iC_n)) = (C_i + e_iC_n \cdot C_j)\] En y substituant la formule de \(e_i\) obtenue ci-dessus, on voit que (1) est vraie.

Remarque

Dans la situation du lemme 0C6C, on peut aussi décrire exactement la relation entre le genre \(g_i\) de \(C_i\) et le genre \(g'_i\) de \(C'_i\). La formule est \[g'_i = \frac{w_i}{w'_i}(g_i - 1) + 1 + \frac{(C_i \cdot C_n)^2 - w_n(C_i \cdot C_n)}{2w'_iw_n}\] où \(w_i = [\kappa_i : k]\), \(w_n = [\kappa_n : k]\) et \(w'_i = [\kappa'_i : k]\). Pour le démontrer, considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_{X'}(-C'_i) \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{C'_i} \to 0\] et son image réciproque sur \(X\), qui s’écrit \[0 \to \mathcal{O}_X(-C'_i - e_iC_n) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{C_i + e_iC_n} \to 0\] où \(e_i\) est comme dans la preuve du lemme 0C6C. Comme \(Rf_*f^*\mathcal{L} = \mathcal{L}\) pour tout module inversible \(\mathcal{L}\) sur \(X'\) (détails omis), on conclut que \[Rf_*\mathcal{O}_{C_i + e_iC_n} = \mathcal{O}_{C'_i}\] en tant que complexes de faisceaux cohérents sur \(X'_k\). Les deux membres ont donc la même caractéristique d’Euler, laquelle coïncide avec la caractéristique d’Euler de \(\mathcal{O}_{C_i + e_iC_n}\) sur \(X_k\). En utilisant la suite exacte \[0 \to \mathcal{O}_{C_i + e_iC_n} \to \mathcal{O}_{C_i} \oplus \mathcal{O}_{e_iC_n} \to \mathcal{O}_{C_i \cap e_iC_n} \to 0\] et en filtrant encore \(\mathcal{O}_{e_iC_n}\) (détails omis), on trouve \[\chi(\mathcal{O}_{C'_i}) = \chi(\mathcal{O}_{C_i}) - {e_i + 1 \choose 2}(C_n \cdot C_n) - e_i(C_i \cdot C_n)\] Comme \(e_i = -(C_i \cdot C_n)/(C_n \cdot C_n)\) et \((C_n \cdot C_n) = -w_n\), on en déduit la formule énoncée au début de cette remarque. Si nous en avons un jour besoin, nous la formulerons comme un lemme et en donnerons une preuve détaillée.

Remarque

Soit \(f : X \to X'\) comme dans le lemme 0C6C. Soient \(n, m_i, a_{ij}, w_i, g_i\) le type numérique associé à \(X\), et \(n', m'_i, a'_{ij}, w'_i, g'_i\) celui associé à \(X'\). Il résulte clairement du lemme 0C6C et de la remarque 0CA8 que cela coïncide avec la contraction des types numériques du lemme 0C77, à l’exception de la valeur de \(w'_i\). Dans la situation géométrique, \(w'_i\) est un entier positif divisant à la fois \(w_i\) et \(w_n\). Dans le cas numérique, nous avons choisi pour \(w'_i\) le plus grand entier possible divisant \(w_i\) et tel que \(g'_i\) (donné par la formule) soit entier. Ce choix convient bien dans le cadre numérique, en ce qu’il aide à comparer les groupes de Picard des types numériques ; voir le lemme 0C7J (bien que seule l’injectivité soit utilisée dans la suite, et que celle-ci reste vraie pour des \(w'_i\) plus petits).

Lemme

Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\), avec \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\) et de genre \(0\). S’il existe plus d’un modèle minimal de \(C\), alors la fibre spéciale de tout modèle minimal est isomorphe à \(\mathbf{P}^1_k\).

On peut renforcer ce lemme en affirmant que la transformation birationnelle entre deux modèles minimaux non isomorphes se factorise en une suite de transformations élémentaires comme dans l’exemple 0CA0. Si nous en avons un jour besoin, nous en donnerons ici un énoncé précis et une preuve.

Démonstration

Soit \(X\) un modèle minimal de \(C\). Le type numérique associé à \(X\) est de genre \(0\) et minimal (définition 0CA5 et lemme 0CA6). Le lemme 0C8S montre donc que \(X_k\) est réduit, irréductible, vérifie \(H^0(X_k, \mathcal{O}_{X_k}) = k\) et est de genre \(0\). Soit \(Y\) un second modèle minimal de \(C\), non isomorphe à \(X\). D’après Résolution des surfaces, lemme 0C5S, il existe un diagramme de \(S\)-morphismes \[X = X_0 \leftarrow X_1 \leftarrow \ldots \leftarrow X_n = Y_m \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = Y\] où chaque morphisme est un éclatement en un point fermé. Nous démontrerons le lemme par récurrence sur \(m\). Le cas initial est \(m=0\) ; l’assertion y est vraie puisque nous avons supposé \(Y\) minimal : cela impliquerait \(n=0\), mais \(X\) n’est pas isomorphe à \(Y\), de sorte que ce cas ne se présente pas et qu’il n’y a rien à vérifier.

Avant de poursuivre, remarquons que \(n+1=m+1\) est égal au nombre de composantes irréductibles de la fibre spéciale de \(X_n=Y_m\), puisque \(X_k\) et \(Y_k\) sont toutes deux irréductibles. Nous utiliserons également l’observation suivante : si \(X' \to X''\) est un morphisme de modèles propres réguliers de \(C\), alors \(X' \to X''\) est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert de \(X''\) dont le complément est un ensemble fini de points fermés de la fibre spéciale de \(X''\) ; voir Variétés, lemme 0BFP. En fait, tout morphisme \(X' \to X''\) de ce type est une suite d’éclatements en des points fermés (Résolution des surfaces, lemme 0C5R), et le nombre d’éclatements est la différence entre les nombres de composantes irréductibles des fibres spéciales de \(X'\) et de \(X''\).

Soit \(E_i \subset Y_i\), \(m \geq i \geq 1\), la courbe contractée par le morphisme \(Y_i \to Y_{i-1}\). Soit \(i\) le plus grand indice tel que \(E_i\) soit de multiplicité \(>1\) dans la fibre spéciale de \(Y_i\). Alors les éclatements suivants \(Y_m \to \ldots \to Y_{i+1} \to Y_i\) sont des isomorphismes au-dessus de \(E_i\) ; sinon, un \(E_j\) avec \(j>i\) aurait une multiplicité \(>1\). Soit \(E \subset Y_m\) l’image réciproque de \(E_i\). D’après ce qui précède, \(E \subset Y_m\) est une courbe exceptionnelle de première espèce. Soit \(Y_m \to Y'\) la contraction de \(E\) (elle existe par Résolution des surfaces, lemme 0C2N). Le morphisme \(Y_m \to X\) doit contracter \(E\), puisque \(X_k\) est réduit. Il existe donc des morphismes \(Y' \to Y\) et \(Y' \to X\) (Résolution des surfaces, lemme 0C5J) qui sont des composés d’au plus \(n-1=m-1\) contractions de courbes exceptionnelles (voir la discussion ci-dessus). La récurrence sur \(m\) permet de conclure. En définitive, on peut supposer que les fibres spéciales de tous les \(X_i\) et \(Y_i\) sont réduites.

Puisque les fibres de \(X_i\) et \(Y_i\) sont réduites, les éclatements \(X_i \to X_{i-1}\) et \(Y_i \to Y_{i-1}\) ont nécessairement lieu en des points fermés qui sont des points réguliers des fibres spéciales. En effet, si \(X''\) est un modèle régulier de \(C\), si \(x \in X''\) est un point fermé de la fibre spéciale et si \(\pi \in \mathfrak m_x^2\), alors la fibre exceptionnelle \(E\) de l’éclatement \(X' \to X''\) en \(x\) a une multiplicité au moins \(2\) dans la fibre spéciale de \(X'\) (calcul local omis). Ainsi \(\mathcal{O}_{X''_k,x}=\mathcal{O}_{X'',x}/\pi\) est régulier (Algèbre, lemme 00NQ), comme annoncé. En particulier, \(x\) est un diviseur de Cartier sur l’unique composante irréductible \(Z'\) de \(X''_k\) qui le contient (Variétés, lemme 0B8Y). Il s’ensuit que la transformée stricte \(Z \subset X'\) de \(Z'\) s’envoie isomorphiquement sur \(Z'\) (utiliser Diviseurs, lemmes 080E et 0807). Autrement dit, si une composante irréductible \(Z\) de \(X_i\) n’est pas contractée par \(X_i \to X_j\) (\(i>j\)), elle s’envoie isomorphiquement sur son image.

Nous pouvons maintenant démontrer le lemme. Soit \(E \subset Y_m\) la courbe exceptionnelle de première espèce contractée par \(Y_m \to Y_{m-1}\). Si \(E\) est contractée par le morphisme \(Y_m=X_n \to X\), il existe une factorisation \(Y_{m-1} \to X\) (Résolution des surfaces, lemme 0C5J) ; de plus, \(Y_{m-1} \to X\) est une suite d’éclatements en des points fermés (Résolution des surfaces, lemme 0C5R). Dans ce cas, on diminue \(m\) et l’on conclut par récurrence. Supposons enfin que \(E\) ne soit pas contractée par \(Y_m \to X\). Alors \(E \to X_k\) est surjective puisque \(X_k\) est irréductible ; ce qui précède montre qu’il s’agit d’un isomorphisme. Ainsi \(X_k\) est isomorphe à une droite projective, comme voulu.

Groupes de Picard des modèles

Supposons que \(R,K,k,\pi,C,X,n,C_1,\ldots,C_n,m_1,\ldots,m_n\) soient comme dans la situation 0C61. Dans le lemme 0C63, nous avons obtenu une suite exacte \[0 \to \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}^{\oplus n} \to \Pic(X) \to \Pic(C) \to 0\] Nous voulons utiliser cette suite pour étudier la \(\ell\)-torsion des groupes de Picard pour des nombres premiers \(\ell\) convenables.

Lemme

Dans la situation 0C61, posons \(d=\gcd(m_1,\ldots,m_n)\). Si \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible qui

1. se restreint au module inversible trivial sur \(C\), et

2. est de degré \(0\) sur chaque \(C_i\),

alors \(\mathcal{L}^{\otimes d} \cong \mathcal{O}_X\).

Démonstration

D’après le lemme 0C63, on a \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X(\sum a_iC_i)\) pour certains \(a_i \in \mathbf{Z}\). Le degré de \(\mathcal{L}|_{C_j}\) est \(\sum_j a_j(C_i \cdot C_j)\). En particulier, \((\sum a_iC_i \cdot \sum a_iC_i)=0\). Le lemme 0C66 montre donc que \((a_1,\ldots,a_n)=q(m_1,\ldots,m_n)\) pour un certain \(q\in\mathbf{Q}\). Ainsi \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(lD)\) pour un certain \(l\in\mathbf{Z}\), où \(D=\sum(m_i/d)C_i\) est comme dans le lemme 0C67, et la conclusion en résulte.

Lemme

Dans la situation 0C61, soit \(T\) le type numérique associé à \(X\). Il existe une application canonique \[\Pic(C) \to \Pic(T)\] dont le noyau est exactement constitué des modules inversibles sur \(C\) qui sont les restrictions de modules inversibles \(\mathcal{L}\) sur \(X\) tels que \(\deg_{C_i}(\mathcal{L}|_{C_i})=0\) pour \(i=1,\ldots,n\).

Démonstration

Rappelons que \(w_i=[\kappa_i:k]\), où \(\kappa_i=H^0(C_i,\mathcal{O}_{C_i)})\), et que le degré de tout module inversible sur \(C_i\) est divisible par \(w_i\) (Variétés, lemme 0C6P). On peut donc considérer l’application \[\frac{\deg}{w} : \Pic(X) \to \mathbf{Z}^{\oplus n}, \quad \mathcal{L} \mapsto (\frac{\deg(\mathcal{L}|_{C_1})}{w_1}, \ldots, \frac{\deg(\mathcal{L}|_{C_n})}{w_n})\] L’image de \(\mathcal{O}_X(C_j)\) par cette application est \[((C_j \cdot C_1)/w_1, \ldots, (C_j \cdot C_n)/w_n) = (a_{1j}/w_1, \ldots, a_{nj}/w_n)\] qui est exactement l’image du \(j\)-ième vecteur de la base canonique par l’application \((a_{ij}/w_i):\mathbf{Z}^{\oplus n}\to\mathbf{Z}^{\oplus n}\) définissant le groupe de Picard de \(T\) ; voir la définition 0C7H. Ainsi l’application canonique du lemme provient du diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathbf{Z}^{\oplus n} \ar[r] \ar[d]_{\text{id}} & \Pic(X) \ar[r] \ar[d]^{\frac{\deg}{w}} & \Pic(C) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ \mathbf{Z}^{\oplus n} \ar[r]^{(a_{ij}/w_i)} & \mathbf{Z}^{\oplus n} \ar[r] & \Pic(T) \ar[r] & 0 }\] à lignes exactes (la ligne supérieure l’est par le lemme 0C63). La description du noyau est claire.

Lemme

Dans la situation 0C61, posons \(d=\gcd(m_1,\ldots,m_n)\) et soit \(T\) le type numérique associé à \(X\). Soit \(h\geq1\) un entier premier à \(d\). Il existe une suite exacte \[0 \to \Pic(X)[h] \to \Pic(C)[h] \to \Pic(T)[h]\]

Démonstration

En prenant la \(h\)-torsion dans la suite exacte du lemme 0C63, on obtient l’exactitude de \(0\to\Pic(X)[h]\to\Pic(C)[h]\), car \(h\) est premier à \(d\). L’application du lemme 0CAC donne une application \(\Pic(C)[h]\to\Pic(T)[h]\) qui annule les éléments de \(\Pic(X)[h]\). Réciproquement, si \(\xi\in\Pic(C)[h]\) s’envoie sur zéro dans \(\Pic(T)[h]\), on peut trouver un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) tel que \(\deg(\mathcal{L}|_{C_i})=0\) pour tout \(i\) et dont la restriction à \(C\) est \(\xi\). Alors \(\mathcal{L}^{\otimes h}\) est de \(d\)-torsion d’après le lemme 0CAB. Soit \(d'\) un entier tel que \(dd'\equiv1\bmod h\). Un tel entier existe car \(h\) et \(d\) sont premiers entre eux. Alors \(\mathcal{L}^{\otimes dd'}\) est un faisceau inversible de \(h\)-torsion sur \(X\) dont la restriction à \(C\) est \(\xi\).

Lemme

Dans la situation 0C61, soit \(h\) un entier premier à la caractéristique de \(k\). Alors l’application \[\Pic(X)[h] \longrightarrow \Pic((X_k)_{red})[h]\] est injective.

Démonstration

Observons que \(X\times_{\Spec(R)}\Spec(R/\pi^n)\) est un épaississement d’ordre fini de \((X_k)_{red}\) (cela résulte par exemple de Cohomologie des schémas, lemme 01Y9). Ainsi, l’application canonique \(\Pic(X\times_{\Spec(R)}\Spec(R/\pi^n))\to\Pic((X_k)_{red})\) identifie les sous-groupes de \(h\)-torsion d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0C6S, et notre hypothèse sur \(h\). Par conséquent, si \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible de \(h\)-torsion sur \(X\) dont la restriction à \((X_k)_{red}\) est triviale, alors la restriction de \(\mathcal{L}\) à \(X\times_{\Spec(R)}\Spec(R/\pi^n)\) est triviale pour tout \(n\). On obtient \[\begin{align*} H^0(X, \mathcal{L})^\wedge & = \lim H^0(X \times_{\Spec(R)} \Spec(R/\pi^n), \mathcal{L}|_{X \times_{\Spec(R)} \Spec(R/\pi^n)}) \\ & \cong \lim H^0(X \times_{\Spec(R)} \Spec(R/\pi^n), \mathcal{O}_{X \times_{\Spec(R)} \Spec(R/\pi^n)}) \\ & = R^\wedge \end{align*}\] On utilise ici le théorème des fonctions formelles (Cohomologie des schémas, théorème 02OC) pour la première et la dernière égalité, et, par exemple, Compléments d’algèbre, lemme 09BC, pour l’isomorphisme du milieu. Puisque \(H^0(X,\mathcal{L})\) est un \(R\)-module fini et que \(R\) est un anneau de valuation discrète, cela signifie que \(H^0(X,\mathcal{L})\) est libre de rang \(1\) comme \(R\)-module. Soit \(s\in H^0(X,\mathcal{L})\) un élément de base. En remontant les isomorphismes ci-dessus, on voit alors que \(s|_{X\times_{\Spec(R)}\Spec(R/\pi^n)}\) est une trivialisation pour tout \(n\). Comme le lieu des zéros de \(s\) est fermé dans \(X\) et que \(X\to\Spec(R)\) est propre, on conclut que le lieu des zéros de \(s\) est vide, comme voulu.

Réduction semi-stable

Dans cette section, nous définissons avec soin ce que nous entendons par réduction semi-stable.

Exemple

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète d’uniformisante \(\pi\). Pour \(n\geq0\), considérons le morphisme d’anneaux \[R \longrightarrow A = R[x, y]/(xy - \pi^n)\] Posons \(X=\Spec(A)\) et \(S=\Spec(R)\). Si \(n=0\), le morphisme \(X\to S\) est lisse. Pour tout \(n\), le morphisme \(X\to S\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\), au sens de Courbes algébriques, section 0C58. Si \(n=1\), alors \(X\) est régulier ; mais si \(n>1\), \(X\) n’est pas régulier, car \((x,y)\) n’engendre plus l’idéal maximal \(\mathfrak m=(\pi,x,y)\). Pour améliorer la situation lorsque \(n>1\), considérons l’éclatement \(b:X'\to X\) de \(X\) en \(\mathfrak m\). Voir Diviseurs, section 01OF. Par construction, \(X'\) est recouvert par trois ouverts affines correspondant aux algèbres d’éclatement \(A[\frac{\mathfrak m}{\pi}]\), \(A[\frac{\mathfrak m}{x}]\) et \(A[\frac{\mathfrak m}{y}]\).

L’algèbre \(A[\frac{\mathfrak m}{\pi}]\) possède les générateurs \(x'=x/\pi\) et \(y'=y/\pi\), et \(x'y'=\pi^{n-2}\). Cette partie de \(X'\) est donc le spectre de \(R[x',y'](x'y'-\pi^{n-2})\).

L’algèbre \(A[\frac{\mathfrak m}{x}]\) possède les générateurs \(x\) et \(u=\pi/x\), soumis à la relation \(xu-\pi\). Notons que cet anneau contient \(y/x=\pi^n/x^2=u^2\pi^{n-2}\). Cette partie de \(X'\) est donc régulière.

Par symétrie, le cas de l’algèbre \(A[\frac{\mathfrak m}{y}]\) est identique à celui de \(A[\frac{\mathfrak m}{x}]\).

On voit ainsi que \(X'\to S\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) et que \(X'\) est régulier, sauf en un point qui possède un voisinage ouvert affine exactement comme ci-dessus, mais avec \(n\) remplacé par \(n-2\). Par récurrence sur \(n\), on conclut qu’il existe une suite d’éclatements en des points fermés \[X_{\lfloor n/2 \rfloor} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] telle que \(X_{\lfloor n/2 \rfloor}\to S\) soit à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) et que \(X_{\lfloor n/2 \rfloor}\) soit régulier.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète. Soit \(X\) un schéma à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\). Soit \(x\in X\) un point de la fibre spéciale de \(X\) sur \(R\). Il existe alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[r] \ar[d] \ar[l] & \Spec(A) \ar[dl] \\ \Spec(R) & \Spec(R') \ar[l] }\] où \(R\subset R'\) est une extension étale d’anneaux de valuation discrète, le morphisme \(U\to X\) est étale, le morphisme \(U\to\Spec(A)\) est étale, il existe un point \(x'\in U\) d’image \(x\), et \[A = R'[u, v]/(uv) \quad\text{ou}\quad A = R'[u, v]/(uv - \pi^n)\] où \(n\geq0\) et \(\pi\in R'\) est une uniformisante.

Démonstration

Nous avons déjà démontré ce lemme dans une généralité bien plus grande ; voir Courbes algébriques, lemme 0CBY. Il suffit ici de traduire l’énoncé qui y est donné sous la forme de celui ci-dessus.

Tout d’abord, si \(X\to\Spec(R)\) est lisse en \(x\), on peut trouver un morphisme étale \(U\to\mathbf{A}^1_R=\Spec(R[u])\) pour un voisinage ouvert affine \(U\subset X\) de \(x\). C’est le lemme 054L de Morphismes. Après avoir, si nécessaire, remplacé la coordonnée \(u\) par \(u+1\), on peut supposer que \(x\) s’envoie sur un point de l’ouvert standard \(D(u)\subset\mathbf{A}^1_R\). Alors \(D(u)=\Spec(A)\), avec \(A=R[u,v]/(uv-1)\), et le résultat est vrai dans ce cas.

Supposons ensuite que \(x\) soit un point singulier de la fibre. On peut alors appliquer Courbes algébriques, lemme 0CBY, pour obtenir un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[rr] \ar[l] \ar[rd] & & W \ar[r] \ar[ld] & \Spec(\mathbf{Z}[u, v, a]/(uv - a)) \ar[d] \\ \Spec(R) & & V \ar[ll] \ar[rr] & & \Spec(\mathbf{Z}[a]) }\] ayant toutes les propriétés mentionnées dans l’énoncé du lemme cité. Soit \(x'\in U\) le point d’image \(x\) fourni par ce lemme. Rétrécissons d’abord \(V\) en un voisinage affine de l’image de \(x'\). Écrivons \(V=\Spec(R')\). Alors \(R\to R'\) est étale. Puisque \(R\) est un anneau de valuation discrète, \(R'\) est un produit fini de domaines de Dedekind quasi-locaux (utiliser Compléments d’algèbre, lemme 0AP2). On trouve donc, par exemple à l’aide de l’évitement des idéaux premiers, un ouvert standard \(D(f)\subset V=\Spec(R')\) contenant l’image de \(x'\) et tel que \(R'_f\) soit un anneau de valuation discrète. En remplaçant \(R'\) par \(R'_f\), on se ramène à la situation où \(V=\Spec(R')\), avec \(R\subset R'\) une extension étale d’anneaux de valuation discrète (les extensions d’anneaux de valuation discrète sont définies dans Compléments d’algèbre, définition 09E4).

Le morphisme \(V\to\Spec(\mathbf{Z}[a])\) est déterminé par l’image \(h\) de \(a\) dans \(R'\). Alors \(W=\Spec(R'[u,v]/(uv-h))\). Ainsi le lemme est vrai avec \(A=R'[u,v]/(uv-h)\). Si \(h=0\), on obtient clairement le premier cas du lemme. Si \(h\not = 0\), on peut écrire \(h=\epsilon\pi^n\) pour un certain \(n\geq0\), où \(\epsilon\) est une unité de \(R'\). En effectuant le changement de coordonnées \(u_{new}=\epsilon u\) et \(v_{new}=v\), on obtient le second type d’isomorphisme de \(A\) indiqué dans le lemme.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète. Soit \(X\) un schéma quasi-compact à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\), dont la fibre générique est lisse. Il existe alors \(m\geq0\) et une suite \[X_m \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] tels que

1. \(X_{i+1}\to X_i\) soit l’éclatement d’un point fermé \(x_i\) où \(X_i\) est singulier ;

2. \(X_i\to\Spec(R)\) soit à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) ;

3. \(X_m\) soit régulier.

Un énoncé légèrement plus fort, également vrai, serait que, quelle que soit la manière dont on éclate les points singuliers, on aboutit finalement à une résolution et que tous les éclatements intermédiaires sont à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\).

Démonstration

Comme \(X\) est quasi-compact, la fibre spéciale \(X_k\) est quasi-compacte. Puisque les singularités de \(X_k\) sont au plus nodales, \(X_k\) possède un nombre fini de nœuds et est lisse sur \(k\) ailleurs. Comme \(X\to\Spec(R)\) est plat à fibre générique lisse, il s’ensuit que \(X\) est lisse sur \(R\) hors du nombre fini de nœuds de \(X_k\) (utiliser Morphismes, lemme 01V9). Il s’ensuit que \(X\) est régulier en tout point, sauf éventuellement aux nœuds de sa fibre spéciale (voir Algèbre, lemme 07NF). Soit \(x\in X\) un tel nœud. Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[r] \ar[d] \ar[l] & \Spec(A) \ar[dl] \\ \Spec(R) & \Spec(R') \ar[l] }\] comme dans le lemme 0CDD. Le cas \(A=R'[u,v]/(uv)\) ne peut pas se produire, car il impliquerait que la fibre générique de \(X/R\) est singulière (petit détail omis). Ainsi \(A=R'[u,v]/(uv-\pi^n)\) pour un certain \(n\geq0\). Puisque \(x\) est un point singulier, on a \(n\geq2\) ; voir la discussion de l’exemple 0CDC.

Après avoir rétréci \(U\), on peut supposer qu’il existe un unique point \(u\in U\) d’image \(x\). Soit \(w\in\Spec(A)\) l’image de \(u\). On peut aussi supposer que \(u\) est l’unique point de \(U\) s’envoyant sur \(w\). Puisque les deux flèches horizontales sont étales, on voit que \(u\), considéré comme sous-schéma fermé de \(U\), est l’image réciproque schématique de \(x\in X\) et celle de \(w\in\Spec(A)\). Comme l’éclatement commute au changement de base plat (Diviseurs, lemme 0805), on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[d] & U' \ar[l] \ar[d] \ar[r] & W' \ar[d] \\ X & U \ar[l] \ar[r] & \Spec(A) }\] à carrés cartésiens, où les flèches verticales sont les éclatements de \(x,u,w\) dans \(X,U,\Spec(A)\). Le schéma \(W'\) a été décrit dans l’exemple 0CDC. Nous y avons vu que \(W'\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R'\). Ainsi, \(W'\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\) (Courbes algébriques, lemme 0CD8). Par conséquent, \(U'\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\) (voir Courbes algébriques, lemme 0C5D). Puisque \(X'\to X\) est un isomorphisme au-dessus du complémentaire de \(x\), on conclut que \(X'/R\) possède la même propriété (en appliquant encore Courbes algébriques, lemme 0C5D).

Enfin, il faut montrer qu’après un nombre fini de ces éclatements on atteint un modèle régulier \(X_m\). C’est assez clair, car l’« invariant » \(n\) diminue de \(2\) sous l’éclatement décrit ci-dessus ; voir le calcul de l’exemple 0CDC. Toutefois, pour éviter de définir précisément cet invariant et d’en établir les propriétés, raisonnons comme suit. Si \(n=2\), alors \(W'\) est régulier, donc \(X'\) est régulier en tous les points situés au-dessus de \(x\), et le nombre de points singuliers de \(X\) a diminué de \(1\). Si \(n>2\), l’unique point singulier \(w'\) de \(W'\) situé au-dessus de \(w\) vérifie \(\kappa(w)=\kappa(w')\). Ainsi \(U'\) possède un unique point singulier \(u'\) situé au-dessus de \(u\), avec \(\kappa(u)=\kappa(u')\). Il est clair que cela implique que \(X'\) possède un unique point singulier \(x'\) situé au-dessus de \(x\), à savoir l’image de \(u'\). On peut donc raisonner exactement comme ci-dessus et obtenir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X'' \ar[d] & U'' \ar[l] \ar[d] \ar[r] & W'' \ar[d] \\ X' & U' \ar[l] \ar[r] & W' }\] à carrés cartésiens, où les flèches verticales sont les éclatements de \(x',u',w'\) dans \(X',U',W'\). En poursuivant ainsi, on obtient une suite compatible d’éclatements qui s’arrête après \(\lfloor n/2\rfloor\) étapes. À l’issue de ce processus, le schéma \(X^{(\lfloor n/2\rfloor)}\) possède un point singulier de moins que \(X\). Une récurrence sur le nombre de points singuliers achève la preuve.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète, de corps des fractions \(K\) et de corps résiduel \(k\). Supposons que \(X\to\Spec(R)\) soit à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\). Soit \(X\to X'\) la contraction d’une courbe exceptionnelle de première espèce \(E\subset X\). Alors \(X'\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\).

Démonstration

Soit \(x'\in X'\) l’image de \(E\). Il suffit de voir que \(X'\to\Spec(R)\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) dans un voisinage de \(x'\). La fibre fermée de \(X\to\Spec(R)\) est réduite ; ainsi \(\pi\in R\) s’annule à l’ordre \(1\) sur \(E\). Cela implique immédiatement que \(\pi\), considéré comme élément de \(\mathfrak m_{x'}\subset\mathcal{O}_{X',x'}\), n’appartient pas à \(\mathfrak m_{x'}^2\). Comme \(\mathcal{O}_{X',x'}\) est régulier de dimension \(2\) (par la définition des contractions dans Résolution des surfaces, section 0C2I), il s’ensuit que \(\mathcal{O}_{X'_k,x'}\) est régulier de dimension \(1\) (Algèbre, lemme 00NQ). D’autre part, la courbe \(E\) doit rencontrer au moins une autre composante, disons \(C\), de la fibre fermée \(X_k\). Soit \(x\in E\cap C\). Alors \(x\) est un nœud de la fibre spéciale \(X_k\), donc \(\kappa(x)/k\) est finie séparable ; voir Courbes algébriques, lemme 0C4D. Comme \(x\mapsto x'\), on conclut que \(\kappa(x')/k\) est finie séparable. D’après Algèbre, lemme 00TV, le morphisme \(X'_k\to\Spec(k)\) est donc lisse dans un voisinage ouvert de \(x'\). Combiné à la platitude, cela montre que \(X'\to\Spec(R)\) est lisse dans un voisinage de \(x'\) (Morphismes, lemme 01V9). Ceci achève la preuve, car un morphisme lisse de dimension relative \(1\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) (Courbes algébriques, lemme 0CD7).

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un modèle propre de \(C\) qui est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\) ;

2. il existe un modèle minimal de \(C\) qui est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\) ;

3. tout modèle minimal de \(C\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\).

Démonstration

Pour donner un sens à cet énoncé, rappelons qu’un modèle minimal est, par définition, un modèle propre régulier sans courbes exceptionnelles de première espèce (définition 0C2V), que les modèles minimaux existent (proposition 0C2W), et qu’ils sont uniques si le genre de \(C\) est \(>0\) (lemme 0C6B). Cela étant, les implications (2) \(\Rightarrow\) (1) et (3) \(\Rightarrow\) (2) sont claires.

Supposons (1). Soit \(X\) un modèle propre de \(C\) à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\). En appliquant le lemme 0CDE, on voit que l’on peut en outre supposer \(X\) régulier. Soit \[X = X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0\] comme dans le lemme 0CD9. Le lemme 0CDF et une récurrence montrent alors que \(X_0\) est à singularités au plus nodales de dimension relative \(1\) sur \(R\).

Pour achever la preuve, il reste à montrer que (2) implique (3). Cela est clair si le genre de \(C\) est \(>0\), puisque le modèle minimal est alors unique (voir la discussion ci-dessus). D’autre part, si le modèle minimal n’est pas unique, alors \(X\to\Spec(R)\) est lisse pour tout modèle minimal, car sa fibre spéciale est isomorphe à \(\mathbf{P}^1_k\) d’après le lemme 0CDA.

Définition

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\). On dit que \(C\) a une réduction semi-stable si les conditions équivalentes du lemme 0CDG sont satisfaites.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un modèle propre et lisse de \(C\) ;

2. il existe un modèle minimal de \(C\) qui est lisse sur \(R\) ;

3. tout modèle minimal est lisse sur \(R\).

Démonstration

Si \(X\) est un modèle propre et lisse, sa fibre spéciale est connexe (lemme 0C62) et lisse, donc irréductible. Cela implique immédiatement que ce modèle est minimal. Ainsi (1) implique (2). Pour achever la preuve, il reste à montrer que (2) implique (3). Cela est clair si le genre de \(C\) est \(>0\), puisque le modèle minimal est alors unique (lemme 0C6B). D’autre part, si le modèle minimal n’est pas unique, le morphisme \(X\to\Spec(R)\) est lisse pour tout modèle minimal, car sa fibre spéciale est isomorphe à \(\mathbf{P}^1_k\) d’après le lemme 0CDA.

Définition

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\). On dit que \(C\) a une bonne réduction si les conditions équivalentes du lemme 0CDI sont satisfaites.

Réduction semi-stable en genre zéro

Dans cette section, nous démontrons le théorème de réduction semi-stable (théorème 0CDN) pour les courbes de genre zéro.

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\). Si le genre de \(C\) est \(0\), alors \(C\) est isomorphe à une conique ; voir Courbes algébriques, lemme 0C6N. Il existe donc une extension finie séparable \(K'/K\) de degré au plus \(2\) telle que \(C(K') \not = \emptyset\) ; voir Courbes algébriques, lemme 0CCU. Soit \(R'\subset K'\) la clôture intégrale de \(R\) ; voir la discussion de Compléments d’algèbre, remarque 09E8. Nous montrerons que \(C_{K'}\) a une réduction semi-stable sur \(R'_{\mathfrak m}\) pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R'\) (dans le cas présent, il y en a bien sûr au plus deux). En remplaçant \(R\) par \(R'_{\mathfrak m}\) et \(C\) par \(C_{K'}\), on se ramène au cas du paragraphe suivant.

Dans ce paragraphe, \(R\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), \(C\) est une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\), de genre \(0\), et \(C\) possède un point \(K\)-rationnel. Dans ce cas, \(C\cong\mathbf{P}^1_K\) d’après Courbes algébriques, proposition 0C6U. On peut donc prendre \(\mathbf{P}^1_R\) comme modèle, ce qui montre que \(C\) a à la fois bonne réduction et réduction semi-stable.

Exemple

Soit \(R=\mathbf{R}[[\pi]]\) et considérons le schéma \[X = V(T_1^2 + T_2^2 - \pi T_0^2) \subset \mathbf{P}^2_R\] Le changement de base de \(X\) à \(\mathbf{C}[[\pi]]\) est isomorphe au schéma défini dans l’exemple 0CA0, car on a la factorisation \(T_1^2+T_2^2=(T_1+iT_2)(T_1-iT_2)\) sur \(\mathbf{C}\). Ainsi \(X\) est régulier et sa fibre spéciale est irréductible mais singulière ; par conséquent, \(X\) est l’unique modèle minimal de sa fibre générique (utiliser le lemme 0CDA). Il s’ensuit qu’une extension est nécessaire même en genre \(0\).

Réduction semi-stable en genre un

Dans cette section, nous démontrons le théorème de réduction semi-stable (théorème 0CDN) pour les courbes de genre un. Nous conseillons au lecteur de lire d’abord la preuve dans le cas du genre \(\geq2\) (section 0CEI). Nous utiliserons autant que possible la classification des types numériques minimaux de genre \(1\) donnée dans le lemme 0C8T.

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\). Supposons que le genre de \(C\) soit \(1\). Choisissons un nombre premier \(\ell\geq7\) distinct de la caractéristique de \(k\). Choisissons une extension finie séparable \(K'/K\) telle que \(C(K') \not = \emptyset\) et \(\Pic(C_{K'})[\ell]\cong(\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})^{\oplus2}\). Voir Courbes algébriques, lemme 0CDU. Soit \(R'\subset K'\) la clôture intégrale de \(R\) ; voir la discussion de Compléments d’algèbre, remarque 09E8. On peut remplacer \(R\) par \(R'_{\mathfrak m}\) pour un idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R'\), et \(C\) par \(C_{K'}\). On se ramène ainsi au cas du paragraphe suivant.

Dans le reste de cette section, \(R\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), \(C\) est une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\), de genre \(1\), possédant un point \(K\)-rationnel et telle que \(\Pic(C)[\ell]\cong(\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})^{\oplus2}\) pour un nombre premier \(\ell\geq7\) distinct de la caractéristique de \(k\). Nous allons montrer que \(C\) a une réduction semi-stable.

Soit \(X\) un modèle minimal de \(C\) ; voir la proposition 0C2W. Soit \(T=(n, m_i, (a_{ij}), w_i, g_i)\) le type numérique associé à \(X\) (définition 0CA5). Alors \(T\) est un type numérique minimal (lemme 0CA6). Puisque \(C\) possède un point rationnel, il existe un \(i\) tel que \(m_i=w_i=1\), d’après le lemme 0CE8. En examinant la classification des types numériques minimaux de genre \(1\) du lemme 0C8T, on voit que \(m=w=1\) et que les cas (0C8W), (0C8Z), (0C90), (0C92), (0C94), (0C96), (0C98), (0C9B), (0C9C), (0C9E), (0C9H), (0C9J), (0C9L) et (0C9N) sont exclus (car il n’existe aucun indice pour lequel \(w_i\) et \(m_i\) sont tous deux égaux à \(1\)). Soit \(e\) le nombre de paires \((i,j)\) avec \(i<j\) et \(a_{ij}>0\). Pour les cas restants, on a

1. \(e=n-1\) dans les cas (0C8U), (0C8V), (0C8Y), (0C91), (0C95), (0C97), (0C9A), (0C9D), (0C9F), (0C9G), (0C9K), (0C9M), (0C9P), (0C9Q), (0C9R) et (0C9S) ;

2. \(e=n\) dans les cas (0C8X), (0C93), (0C99) et (0C9I).

Nous traiterons ces deux cas séparément.

Cas (A). Dans ce cas, \(\Pic(T)[\ell]\) est trivial (le groupe de Picard d’un type numérique est défini dans la section 0C7G). Cette annulation résulte de ce que \(\Pic(T)\subset\Coker(A)\) (lemme 0CE7) et de ce que \(\Coker(A)[\ell]=0\) d’après le lemme 0C6X et le fait que \(\ell\) a été choisi premier aux \(a_{ij}\) et aux \(m_i\). D’après les lemmes 0CAD et 0CAE, on conclut qu’il existe un plongement \[(\mathbf{Z}/\ell \mathbf{Z})^{\oplus 2} \subset \Pic((X_k)_{red})[\ell].\] D’après Courbes algébriques, lemme 0CE6, on obtient \[2 \leq \dim_k H^1((X_k)_{red}, \mathcal{O}_{(X_k)_{red}}) + g_{geom}((X_k)_{red}/k)\] D’après Courbes algébriques, lemmes 0CE1 et 0CE5, on a \(g_{geom}((X_k)_{red}/k)\leq\sum w_ig_i\). Les hypothèses du lemme 0CE9 sont satisfaites d’après le lemme 0CE8, et l’on conclut que \(\dim_kH^1((X_k)_{red},\mathcal{O}_{(X_k)_{red}})\leq g=1\). En combinant ces inégalités, on obtient \[2 \leq 1 + \sum w_i g_i\] L’examen de la liste montre que le type numérique est donné par \(n=1\), \(w_1=m_1=g_1=1\). Comme toutes les inégalités sont des égalités, on voit que \(g_{geom}(C_1/k)=1\). D’autre part, on sait que \(C_1\) possède un point \(k\)-rationnel \(x\) tel que \(C_1\to\Spec(k)\) soit lisse en \(x\). Il s’ensuit que \(C_1\) est géométriquement intègre (Variétés, lemme 0CDW). Ainsi \(g_{geom}(C_1/k)=1\) est à la fois égal au genre de la normalisation de \(C_{1,\overline{k}}\) et au genre de \(C_{1,\overline{k}}\). Il s’ensuit que le morphisme de normalisation \(C_{1,\overline{k}}^\nu\to C_{1,\overline{k}}\) est un isomorphisme (Courbes algébriques, lemme 0CE4). On conclut que \(C_1\) est lisse sur \(k\), comme voulu.

Cas (B). Ici, on conclut seulement qu’il existe un plongement \[\mathbf{Z}/\ell \mathbf{Z} \subset \Pic(X_k)[\ell]\] La classification des types montre que \(m_i=w_i=1\) et \(g_i=0\) pour tout \(i\). Chaque \(C_i\) est donc une courbe de genre zéro sur \(k\). De plus, pour tout \(i\), il existe un \(j\) tel que \(C_i\cap C_j\) soit un point \(k\)-rationnel. Par conséquent, \(C_i\cong\mathbf{P}^1_k\) d’après Courbes algébriques, proposition 0C6U. En particulier, puisque \(X_k\) est la réunion schématique des \(C_i\), on voit que \(X_{\overline{k}}\) est la réunion schématique des \(C_{i,\overline{k}}\). Ainsi \(X_{\overline{k}}\) est un schéma propre réduit connexe de dimension \(1\) sur \(\overline{k}\) tel que \(\dim_{\overline{k}}H^1(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})=1\). De plus, d’après Variétés, lemme 0CC5, et ce qui précède, on a encore \[\dim_{\mathbf{F}_\ell}(\Pic(X_{\overline{k}}) \geq 1\] D’après Courbes algébriques, proposition 0C20, on voit que \(X_{\overline{k}}\) n’a que des singularités en croisement multiple. Mais \(X_k\) est de Gorenstein (lemme 0C60), donc \(X_{\overline{k}}\) l’est aussi (Dualité pour les schémas, lemme 0C03). On conclut que les singularités de \(X_{\overline{k}}\) sont au plus nodales d’après Courbes algébriques, lemme 0CDZ. Ceci achève la preuve dans le cas (B).

Exemple

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(Z\) une courbe projective lisse sur \(k\) de genre positif \(g\). Soit \(n\geq1\) un entier premier à la caractéristique de \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_Z\)-module inversible d’ordre \(n\) ; voir Courbes algébriques, lemme 0C1Z. Choisissons un isomorphisme \(\varphi:\mathcal{L}^{\otimes n}\to\mathcal{O}_Z\). Posons \(R=k[[\pi]]\), de corps des fractions \(K=k((\pi))\). Notons \(Z_R\) le changement de base de \(Z\) à \(R\), et \(\mathcal{L}_R\) l’image réciproque de \(\mathcal{L}\) sur \(Z_R\). Considérons le morphisme fini plat \[p : X \longrightarrow Z_R\] tel que \[p_*\mathcal{O}_X = \text{Sym}^*_{\mathcal{O}_{Z_R}}(\mathcal{L}_R)/(\varphi - \pi) = \mathcal{O}_{Z_R} \oplus \mathcal{L}_R \oplus \mathcal{L}_R^{\otimes 2} \oplus \ldots \oplus \mathcal{L}_R^{\otimes n - 1}\] Plus précisément, si \(U=\Spec(A)\subset Z\) est un ouvert affine tel que \(\mathcal{L}|_U\) soit trivialisé par une section \(s\) vérifiant \(\varphi(s^{\otimes n})=f\) (où \(f\) est une unité), alors \[p^{-1}(U_R) = \Spec\left( (A \otimes_R R[[\pi]])[x]/(x^n - \pi f) \right)\] Le lecteur vérifie que le morphisme \(X_K\to Z_K\) entre les fibres génériques est fini étale. La description du faisceau structural montre que \(H^0(X,\mathcal{O}_X)=R\) et \(H^0(X_K,\mathcal{O}_{X_K})=K\). D’après Riemann–Hurwitz (Courbes algébriques, lemme 0C1F), le genre de \(X_K\) est \(n(g-1)+1\). En particulier, \(X_K\) est de genre \(1\) si \(Z\) est de genre \(1\). D’autre part, le schéma \(X\) est régulier d’après l’équation locale ci-dessus, et la fibre spéciale \(X_k\) est, comme diviseur de Cartier effectif, égale à \(n\) fois sa fibre spéciale réduite. Il s’ensuit que toute extension finie \(K'/K\) sur laquelle \(X_K\) acquiert une réduction semi-stable doit être ramifiée avec un indice de ramification au moins \(n\) (certains détails sont omis). Il n’existe donc pas de borne universelle pour le degré d’une extension sur laquelle une courbe de genre \(1\) acquiert une réduction semi-stable.

Réduction semi-stable en genre au moins deux

Dans cette section, nous démontrons le théorème de réduction semi-stable (théorème 0CDN) pour les courbes de genre \(\geq2\). Fixons \(g\geq2\).

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\). Supposons que le genre de \(C\) soit \(g\). Choisissons un nombre premier \(\ell>768g\) distinct de la caractéristique de \(k\). Choisissons une extension finie séparable \(K'/K\) telle que \(C(K') \not = \emptyset\) et \(\Pic(C_{K'})[\ell]\cong(\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})^{\oplus2g}\). Voir Courbes algébriques, lemme 0CDU. Soit \(R'\subset K'\) la clôture intégrale de \(R\) ; voir la discussion de Compléments d’algèbre, remarque 09E8. On peut remplacer \(R\) par \(R'_{\mathfrak m}\) pour un idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R'\), et \(C\) par \(C_{K'}\). On se ramène ainsi au cas du paragraphe suivant.

Dans le reste de cette section, \(R\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), \(C\) est une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\), de genre \(g\), possédant un point \(K\)-rationnel et telle que \(\Pic(C)[\ell]\cong(\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})^{\oplus2g}\) pour un nombre premier \(\ell\geq768g\) distinct de la caractéristique de \(k\). Nous allons montrer que \(C\) a une réduction semi-stable.

Dans le reste de cette section, nous utiliserons sans autre mention le fait que les conclusions du lemme 0CE8 sont vraies.

Soit \(X\) un modèle minimal de \(C\) ; voir la proposition 0C2W. Soit \(T=(n, m_i, (a_{ij}), w_i, g_i)\) le type numérique associé à \(X\) (définition 0CA5). Alors \(T\) est un type numérique minimal de genre \(g\) (lemme 0CA6). D’après la proposition 0C9X, on a \[\dim_{\mathbf{F}_\ell} \Pic(T)[\ell] \leq g_{top}\] D’après les lemmes 0CAD et 0CAE, on conclut qu’il existe un plongement \[(\mathbf{Z}/\ell \mathbf{Z})^{\oplus 2g - g_{top}} \subset \Pic((X_k)_{red})[\ell].\] D’après Courbes algébriques, lemme 0CE6, on obtient \[2g - g_{top} \leq \dim_k H^1((X_k)_{red}, \mathcal{O}_{(X_k)_{red}}) + g_{geom}(X_k/k)\] D’après les lemmes 0CE9 et 0CEA, on a \[g \geq \dim_k H^1((X_k)_{red}, \mathcal{O}_{(X_k)_{red}}) \geq g_{top} + g_{geom}(X_k/k)\] La théorie élémentaire des nombres montre que ces \(3\) inégalités ne peuvent être satisfaites que si elles sont toutes des égalités. L’examen du lemme 0CE9 montre que \(m_i=1\) pour tout \(i\). Celui du lemme 0CEE montre que toute composante irréductible de \(X_k\) est lisse sur \(k\).

En particulier, puisque \(X_k\) est la réunion schématique de ses composantes irréductibles \(C_i\), on voit que \(X_{\overline{k}}\) est la réunion schématique des \(C_{i,\overline{k}}\). Ainsi \(X_{\overline{k}}\) est un schéma propre réduit connexe de dimension \(1\) sur \(\overline{k}\), tel que \(\dim_{\overline{k}}H^1(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})=g\). De plus, d’après Variétés, lemme 0CC5, et ce qui précède, on a encore \[\dim_{\mathbf{F}_\ell}(\Pic(X_{\overline{k}})[\ell]) \geq 2g - g_{top} = \dim_{\overline{k}} H^1(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}}) + g_{geom}(X_{\overline{k}})\] D’après Courbes algébriques, proposition 0C20, on voit que \(X_{\overline{k}}\) n’a que des singularités en croisement multiple. Mais \(X_k\) est de Gorenstein (lemme 0C60), donc \(X_{\overline{k}}\) l’est aussi (Dualité pour les schémas, lemme 0C03). On conclut que les singularités de \(X_{\overline{k}}\) sont au plus nodales d’après Courbes algébriques, lemme 0CDZ. Ceci achève la preuve.

Réduction semi-stable des courbes

Dans cette section, nous achevons la preuve du théorème. Pour \(g\geq2\), soient \(768g<\ell'<\ell\) les deux premiers nombres premiers \(>768g\), et posons [0CEJ]\[\begin{equation} B_g = (2g - 2)(\ell^{2g})! \end{equation}\] La forme précise de \(B_g\) n’a pas d’importance ; le point essentiel est qu’il ne dépend que de \(g\).

Théorème

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=K\). Il existe alors une extension d’anneaux de valuation discrète \(R\subset R'\) qui induit une extension finie séparable \(K'/K\) des corps des fractions et telle que \(C_{K'}\) ait une réduction semi-stable. Plus précisément :

1. Si le genre de \(C\) est zéro, il existe une extension séparable de degré \(2\), notée \(K'/K\), telle que \(C_{K'}\cong\mathbf{P}^1_{K'}\) ; ainsi \(C_{K'}\) est isomorphe à la fibre générique du schéma projectif lisse \(\mathbf{P}^1_{R'}\) sur la clôture intégrale \(R'\) de \(R\) dans \(K'\).

2. Si le genre de \(C\) est un, il existe une extension finie séparable \(K'/K\) telle que \(C_{K'}\) ait une réduction semi-stable sur \(R'_\mathfrak m\) pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de la clôture intégrale \(R'\) de \(R\) dans \(K'\). De plus, la fibre spéciale du modèle minimal (unique) de \(C_{K'}\) sur \(R'_\mathfrak m\) est soit une courbe lisse de genre un, soit un cycle de courbes rationnelles.

3. Si le genre \(g\) de \(C\) est supérieur à un, il existe une extension finie séparable \(K'/K\) de degré au plus \(B_g\) (0CEJ) telle que \(C_{K'}\) ait une réduction semi-stable sur \(R'_\mathfrak m\) pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de la clôture intégrale \(R'\) de \(R\) dans \(K'\).

Démonstration

Pour le cas du genre zéro, voir la section 0CDK. Pour celui du genre un, voir la section 0CEG. Pour celui du genre supérieur à un, voir la section 0CEI. Pour obtenir la borne sur le degré \([K':K]\), on peut utiliser la borne sur le degré de l’extension nécessaire pour rendre visible toute la \(\ell\)-torsion ou toute la \(\ell'\)-torsion, démontrée dans Courbes algébriques, lemme 0CDU. (La raison d’utiliser \(\ell\) et \(\ell'\) est qu’il faut éviter la caractéristique du corps résiduel \(k\).)

Remarque

Les résultats de la littérature suggèrent que l’on peut améliorer la borne donnée dans l’énoncé du théorème 0CDN. Par exemple, [DM] montre que la réduction semi-stable de \(C\) équivaut à celle de sa jacobienne lorsque le corps résiduel est parfait, et cela est vraisemblablement encore vrai pour un corps résiduel quelconque. Une variété abélienne a une réduction semi-stable si l’action de Galois sur sa \(\ell\)-torsion est triviale pour un \(\ell\geq3\) quelconque distinct de la caractéristique résiduelle. On peut donc vraisemblablement choisir \(\ell=5\) dans la formule (0CEJ) définissant \(B_g\) (mais la preuve demanderait beaucoup plus de travail ; si nous en avons un jour besoin, nous donnerons ici un énoncé précis et une preuve).