Limites de schémas

Introduction

Dans ce chapitre, nous rassemblons des résultats relatifs aux limites de schémas. Nous étudions principalement les limites de systèmes projectifs indexés par des ensembles ordonnés filtrants (Catégories, Définition 00D3) dont les morphismes de transition sont affines. Nous traitons de l’approximation noethérienne absolue. Nous caractérisons les schémas localement de présentation finie sur une base comme ceux dont le foncteur des points associé commute aux limites. Comme application de l’approximation noethérienne absolue, nous démontrons que l’image d’un schéma affine par un morphisme entier est affine. Nous établissons en outre quelques variantes très générales du lemme de Chow. Une référence de base est [EGA].

Limites projectives de schémas à morphismes de transition affines

Dans cette section, nous construisons la limite.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((S_i, f_{ii'})\) un système projectif de schémas indexé par \(I\). Si tous les schémas \(S_i\) sont affines, alors la limite \(S = \lim_i S_i\) existe dans la catégorie des schémas. En fait, \(S\) est affine et \(S = \Spec(\colim_i R_i)\), où \(R_i = \Gamma(S_i, \mathcal{O})\).

Démonstration

Il suffit de poser \(S = \Spec(\colim_i R_i)\). Il résulte de Schémas, Lemme 01I1 que \(S\) est même la limite dans la catégorie des espaces localement annelés.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((S_i, f_{ii'})\) un système projectif de schémas indexé par \(I\). Si tous les morphismes \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\) sont affines, alors la limite \(S = \lim_i S_i\) existe dans la catégorie des schémas. De plus,

1. chacun des morphismes \(f_i : S \to S_i\) est affine,

2. pour un élément \(0 \in I\) et tout sous-schéma ouvert \(U_0 \subset S_0\), on a \[f_0^{-1}(U_0) = \lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_0)\] dans la catégorie des schémas.

Démonstration

Choisissons un élément \(0 \in I\). Remarquons que \(I\) est non vide puisqu’il est filtrant. Pour tout \(i \geq 0\), considérons le faisceau quasi-cohérent d’\(\mathcal{O}_{S_0}\)-algèbres \(\mathcal{A}_i = f_{i0, *}\mathcal{O}_{S_i}\). Rappelons que \(S_i = \underline{\Spec}_{S_0}(\mathcal{A}_i)\) ; voir Morphismes, Lemme 01S8. Posons \(\mathcal{A} = \colim_{i \geq 0} \mathcal{A}_i\). C’est un faisceau quasi-cohérent d’\(\mathcal{O}_{S_0}\)-algèbres ; voir Schémas, section 01LA. Posons \(S = \underline{\Spec}_{S_0}(\mathcal{A})\). Par Morphismes, Lemme 01SA, nous obtenons, pour \(i \geq 0\), des morphismes \(f_i : S \to S_i\) compatibles avec les morphismes de transition. Les morphismes \(f_i\) sont affines, par exemple par Morphismes, Lemme 01SG. D’après le Lemme 01YW ci-dessus, pour tout ouvert affine \(U_0 \subset S_0\), l’image réciproque \(U = f_0^{-1}(U_0) \subset S\) est la limite, dans la catégorie des schémas, du système des ouverts \(U_i = f_{i0}^{-1}(U_0)\), \(i \geq 0\).

Soit \(T\) un schéma. Soit \(g_i : T \to S_i\) un système compatible de morphismes. Pour montrer que \(S = \lim_i S_i\), il faut établir qu’il existe un unique morphisme \(g : T \to S\) tel que \(g_i = f_i \circ g\) pour tout \(i \in I\). Pour tout \(t \in T\), il existe un ouvert affine \(U_0 \subset S_0\) contenant \(g_0(t)\). Soit \(V \subset g_0^{-1}(U_0)\) un voisinage ouvert affine de \(t\). D’après les remarques précédentes, nous obtenons un unique morphisme \(g_V : V \to U = f_0^{-1}(U_0)\) tel que \(f_i \circ g_V = g_i|_{U_i}\) pour tout \(i\). Les ouverts \(V \subset T\) ainsi construits forment une base de la topologie de \(T\). Les morphismes \(g_V\) se recollent en un morphisme \(g : T \to S\) grâce à la propriété d’unicité. On obtient ainsi le morphisme cherché \(g : T \to S\).

La dernière assertion résulte clairement de la construction précédente de la limite.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((S_i, f_{ii'})\) un système projectif de schémas indexé par \(I\). Supposons tous les morphismes \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\) affines. Soit \(S = \lim_i S_i\). Soit \(0 \in I\). Supposons que \(T\) soit un schéma sur \(S_0\). Alors \[T \times_{S_0} S = \lim_{i \geq 0} T \times_{S_0} S_i\]

Démonstration

Le membre de droite est un schéma d’après le Lemme 01YX. L’égalité est formelle ; voir Catégories, Lemme 002M.

Produits infinis

En général, les produits infinis de schémas n’existent pas. Par exemple, il est montré dans Exemples, section 078E, qu’un produit infini de copies de \(\mathbf{P}^1\) n’est même pas un espace algébrique.

En revanche, les produits infinis de schémas affines existent et sont affines. Par Schémas, Lemme 01I1, cela correspond au fait que la catégorie des anneaux admet des coproduits infinis : si \(I\) est un ensemble et si \(R_i\) est un anneau pour tout \(i\), on peut considérer l’anneau \[R = \otimes R_i = \colim_{\{i_1, \ldots, i_n\} \subset I} R_{i_1} \otimes_\mathbf{Z} \ldots \otimes_\mathbf{Z} R_{i_n}\] Étant donné un autre anneau \(A\), une application \(R \to A\) équivaut à une famille d’homomorphismes d’anneaux \(R_i \to A\), pour tout \(i \in I\), comme il résulte de la propriété correspondante des produits tensoriels finis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(I\) un ensemble et, pour tout \(i \in I\), soit \(f_i : T_i \to S\) un morphisme affine. Alors le produit \(T = \prod T_i\) existe dans la catégorie des schémas sur \(S\). En fait, on a \[T = \lim_{\{i_1, \ldots, i_n\} \subset I} T_{i_1} \times_S \ldots \times_S T_{i_n}\] et les morphismes de projection \(T \to T_{i_1} \times_S \ldots \times_S T_{i_n}\) sont affines.

Démonstration

Omis. Indication : raisonner comme dans la discussion qui précède le lemme et utiliser le Lemme 01YX pour l’existence de la limite.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(I\) un ensemble et, pour tout \(i \in I\), soit \(f_i : T_i \to S\) un morphisme affine surjectif. Alors le produit \(T = \prod T_i\) dans la catégorie des schémas sur \(S\) (Lemme 0CNI) se projette surjectivement sur \(S\).

Démonstration

Soit \(s \in S\). Choisissons \(t_i \in T_i\) d’image \(s\). Choisissons une extension de corps suffisamment grande \(K/\kappa(s)\) telle que \(\kappa(s_i)\) se plonge dans \(K\) pour tout \(i\). Nous obtenons alors des morphismes \(\Spec(K) \to T_i\) d’image \(s_i\) qui coïncident comme morphismes vers \(S\). Il en résulte un morphisme \(\Spec(K) \to T\), ce qui prouve qu’il existe un point de \(T\) d’image \(s\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(I\) un ensemble et, pour tout \(i \in I\), soit \(f_i : T_i \to S\) un morphisme entier. Alors le produit \(T = \prod T_i\) dans la catégorie des schémas sur \(S\) (Lemme 0CNI) est entier sur \(S\).

Démonstration

Omis. Indication : sur des morceaux affines, cela se ramène au fait algébrique suivant : si \(A \to B_i\) est entier pour tout \(i\), alors \(A \to \otimes_A B_i\) est entier.

Descente des propriétés

D’abord quelques lemmes élémentaires décrivant la topologie d’une limite.

Lemme

Soit \(S = \lim S_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas dont les morphismes de transition sont affines (Lemme 01YX). Alors \(S_{set} = \lim_i S_{i, set}\), où \(S_{set}\) désigne l’ensemble sous-jacent au schéma \(S\).

Démonstration

Fixons \(i \in I\) et prenons un ouvert affine \(U_i \subset S_i\). Notons \(U_{i'} = f_{i'i}^{-1}(U_i)\) et \(U = f_i^{-1}(U_i)\). Ici, \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) est le morphisme de transition et \(f_i : S \to S_i\) la projection. D’après le Lemme 01YX, on a \(U = \lim_{i' \geq i} U_i\). Supposons que l’on puisse montrer \(U_{set} = \lim_{i' \geq i} U_{i', set}\). Le lemme en résulte alors par un argument simple utilisant un recouvrement affine de \(S_i\). Nous pouvons donc supposer que tous les \(S_i\) et \(S\) sont affines. Cela nous ramène à la question algébrique examinée au paragraphe suivant.

Soit donné un système d’anneaux \((A_i, \varphi_{ii'})\) indexé par \(I\). Posons \(A = \colim_i A_i\), avec les homomorphismes canoniques \(\varphi_i : A_i \to A\). Alors \[\Spec(A) = \lim_i \Spec(A_i)\] En effet, supposons donnés des idéaux premiers \(\mathfrak p_i \subset A_i\) tels que \(\mathfrak p_i = \varphi_{ii'}^{-1}(\mathfrak p_{i'})\) pour tout \(i' \geq i\). Il suffit alors de poser \[\mathfrak p = \{x \in A \mid \exists i, x_i \in \mathfrak p_i \text{ avec }\varphi_i(x_i) = x\}\] Il est clair que c’est un idéal et qu’il vérifie \(\varphi_i^{-1}(\mathfrak p) = \mathfrak p_i\). On en déduit aisément que c’est également un idéal premier.

Lemme

Soit \(S = \lim S_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas dont les morphismes de transition sont affines (Lemme 01YX). Alors \(S_{top} = \lim_i S_{i, top}\), où \(S_{top}\) désigne l’espace topologique sous-jacent au schéma \(S\).

Démonstration

Nous utiliserons le critère de Topologie, Lemme 0A2Q. Nous avons vu que \(S_{set} = \lim_i S_{i, set}\) dans le Lemme 0CUE. Les applications \(f_i : S \to S_i\) sont des morphismes de schémas, donc sont continues. Ainsi, \(f_i^{-1}(U_i)\) est ouvert pour tout ouvert \(U_i \subset S_i\). Enfin, soient \(s \in S\) et \(s \in V \subset S\) un voisinage ouvert. Choisissons \(0 \in I\) et un voisinage ouvert affine \(U_0 \subset S_0\) de l’image de \(s\). Alors \(f_0^{-1}(U_0) = \lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_0)\) ; voir le Lemme 01YX. Les schémas \(f_0^{-1}(U_0)\) et \(f_{i0}^{-1}(U_0)\) sont affines et \[\mathcal{O}_S(f_0^{-1}(U_0)) = \colim_{i \geq 0} \mathcal{O}_{S_i}(f_{i0}^{-1}(U_0))\] soit d’après la démonstration du Lemme 01YX, soit d’après le Lemme 01YW. Choisissons \(a \in \mathcal{O}_S(f_0^{-1}(U_0))\) tel que \(s \in D(a) \subset V\). C’est possible puisque les ouverts principaux forment une base de la topologie du schéma affine \(f_0^{-1}(U_0)\). On peut alors choisir \(i \geq 0\) et \(a_i \in \mathcal{O}_{S_i}(f_{i0}^{-1}(U_0))\) d’image \(a\). Il en résulte que \(D(a_i) \subset f_{i0}^{-1}(U_0) \subset S_i\) est un ouvert dont l’image réciproque dans \(S\) est \(D(a)\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S = \lim S_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas dont les morphismes de transition sont affines (Lemme 01YX). Si tous les schémas \(S_i\) sont non vides et quasi-compacts, alors la limite \(S = \lim_i S_i\) est non vide.

Démonstration

Choisissons \(0 \in I\). Remarquons que \(I\) est non vide puisqu’il est filtrant. Choisissons un recouvrement ouvert affine \(S_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\). Comme \(I\) est filtrant, il existe \(j \in \{1, \ldots, m\}\) tel que \(f_{i0}^{-1}(U_j) \not = \emptyset\) pour tout \(i \geq 0\). Par suite, \(\lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_j)\) n’est pas vide, car une limite inductive filtrante d’anneaux non nuls est non nulle (puisque \(1 \not = 0\)). Comme \(\lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_j)\) est un sous-schéma ouvert de la limite, on conclut.

Lemme

Soit \(S = \lim S_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas dont les morphismes de transition sont affines (Lemme 01YX). Soit \(s \in S\) d’images \(s_i \in S_i\). Alors

1. \(s = \lim s_i\) comme schémas, c’est-à-dire \(\kappa(s) = \colim \kappa(s_i)\),

2. \(\overline{\{s\}} = \lim \overline{\{s_i\}}\) comme ensembles, et

3. \(\overline{\{s\}} = \lim \overline{\{s_i\}}\) comme schémas, où \(\overline{\{s\}}\) et \(\overline{\{s_i\}}\) sont munis de leur structure induite de schéma réduit.

Démonstration

Choisissons \(0 \in I\) et un recouvrement ouvert affine \(S_0 = \bigcup_{j \in J} U_{0, j}\). Pour \(i \geq 0\), posons \(U_{i, j} = f_{i, 0}^{-1}(U_{0, j})\) et \(U_j = f_0^{-1}(U_{0, j})\). Ici, \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) est le morphisme de transition et \(f_i : S \to S_i\) la projection. Pour \(j \in J\), les conditions suivantes sont équivalentes : (a) \(s \in U_j\), (b) \(s_0 \in U_{0, j}\), (c) \(s_i \in U_{i, j}\) pour tout \(i \geq 0\). Soit \(J' \subset J\) l’ensemble des indices pour lesquels (a), (b) et (c) sont vérifiées. Alors \(\overline{\{s\}} = \bigcup_{j \in J'} (\overline{\{s\}} \cap U_j)\), et de même pour \(\overline{\{s_i\}}\) lorsque \(i \geq 0\). Remarquons que \(\overline{\{s\}} \cap U_j\) est l’adhérence de \(\{s\}\) dans l’espace topologique \(U_j\). Il en va de même de \(\overline{\{s_i\}} \cap U_{i, j}\) pour \(i \geq 0\). Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(S\) et \(S_i\) sont affines pour tout \(i\). Cela nous ramène à la question algébrique du paragraphe suivant.

Soit donné un système d’anneaux \((A_i, \varphi_{ii'})\) indexé par \(I\). Posons \(A = \colim_i A_i\), avec les homomorphismes canoniques \(\varphi_i : A_i \to A\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier et posons \(\mathfrak p_i = \varphi_i^{-1}(\mathfrak p)\). Alors \[V(\mathfrak p) = \lim_i V(\mathfrak p_i)\] Cela résulte du Lemme 0CUE, puisque \(A/\mathfrak p = \colim A_i/\mathfrak p_i\). Cette égalité d’anneaux montre aussi la dernière assertion concernant les structures induites de schéma réduit. L’égalité \(\kappa(\mathfrak p) = \colim \kappa(\mathfrak p_i)\) résulte également de cette assertion.

Dans la suite de cette section, nous nous plaçons dans la situation suivante.

Situation

Soit \(S = \lim_{i \in I} S_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas dont les morphismes de transition \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\) sont affines (Lemme 01YX). Nous supposons que \(S_i\) est quasi-compact et quasi-séparé pour tout \(i \in I\). Nous notons \(f_i : S \to S_i\) la projection. Nous choisissons aussi un élément \(0 \in I\).

Dans cette situation, le morphisme \(S \to S_0\) est affine. Il s’ensuit que \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé¹. Le type de résultat que nous recherchons est le suivant : si l’on dispose d’un objet sur \(S\), alors, pour un certain \(i\), il existe un objet analogue sur \(S_i\).

Lemme

Dans la Situation 086P.

1. On a \(S_{set} = \lim_i S_{i, set}\), où \(S_{set}\) désigne l’ensemble sous-jacent au schéma \(S\).

2. On a \(S_{top} = \lim_i S_{i, top}\), où \(S_{top}\) désigne l’espace topologique sous-jacent au schéma \(S\).

3. Si \(s, s' \in S\) et si \(s'\) n’est pas une spécialisation de \(s\), alors, pour un certain \(i \in I\), l’image \(s'_i \in S_i\) de \(s'\) n’est pas une spécialisation de l’image \(s_i \in S_i\) de \(s\).

4. Ajouter ici d’autres faits élémentaires sur la topologie de \(S\). (Exigence : tout ajout doit être facile dans le cas affine.)

Démonstration

L’assertion (1) est un cas particulier du Lemme 0CUE.

L’assertion (2) est un cas particulier du Lemme 0CUF.

L’assertion (3) est un cas particulier du Lemme 0CUG.

Lemme

Dans la Situation 086P. Supposons que \(\mathcal{F}_0\) soit un faisceau quasi-cohérent sur \(S_0\). Posons \(\mathcal{F}_i = f_{i0}^*\mathcal{F}_0\) pour \(i \geq 0\) et \(\mathcal{F} = f_0^*\mathcal{F}_0\). Alors \[\Gamma(S, \mathcal{F}) = \colim_{i \geq 0} \Gamma(S_i, \mathcal{F}_i)\]

Démonstration

Écrivons \(\mathcal{A}_j = f_{i0, *} \mathcal{O}_{S_i}\). C’est un faisceau quasi-cohérent d’\(\mathcal{O}_{S_0}\)-algèbres (voir Morphismes, Lemme 01SA) et \(S_i\) est le spectre relatif de \(\mathcal{A}_i\) sur \(S_0\). Dans la démonstration du Lemme 01YX, nous avons construit \(S\) comme le spectre relatif de \(\mathcal{A} = \colim_{i \geq 0} \mathcal{A}_i\) sur \(S_0\). Posons \[\mathcal{M}_i = \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{A}_i\] et \[\mathcal{M} = \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{A}.\] On a alors \(f_{i0, *} \mathcal{F}_i = \mathcal{M}_i\) et \(f_{0, *}\mathcal{F} = \mathcal{M}\). Comme \(\mathcal{A}\) est la limite inductive des faisceaux \(\mathcal{A}_i\) et que le produit tensoriel commute aux limites inductives filtrantes, on en déduit \(\mathcal{M} = \colim_{i \geq 0} \mathcal{M}_i\). Puisque \(S_0\) est quasi-compact et quasi-séparé, on obtient \[\begin{eqnarray*} \Gamma(S, \mathcal{F}) & = & \Gamma(S_0, \mathcal{M}) \\ & = & \Gamma(S_0, \colim_{i \geq 0} \mathcal{M}_i) \\ & = & \colim_{i \geq 0} \Gamma(S_0, \mathcal{M}_i) \\ & = & \colim_{i \geq 0} \Gamma(S_i, \mathcal{F}_i) \end{eqnarray*}\] voir Faisceaux, Lemme 009F, et Topologie, Lemme 0069, pour l’égalité intermédiaire.

Lemme

Dans la Situation 086P. Supposons donné, pour chaque \(i\), un fermé non vide \(Z_i \subset S_i\) tel que \(f_{i'i}(Z_{i'}) \subset Z_i\) pour tout \(i' \geq i\). Alors il existe un point \(s \in S\) tel que \(f_i(s) \in Z_i\) pour tout \(i\).

Démonstration

Notons encore \(Z_i \subset S_i\) le sous-schéma fermé réduit associé à \(Z_i\) ; voir Schémas, Définition 01J4. Une immersion fermée est affine et une composée de morphismes affines est affine (voir Morphismes, Lemmes 01SE et 01SC) ; par conséquent, \(Z_{i'} \to S_i\) est affine lorsque \(i' \geq i\). On en déduit que le morphisme \(f_{i'i} : Z_{i'} \to Z_i\) est affine par Morphismes, Lemme 01SG. Chacun des schémas \(Z_i\) est quasi-compact, car c’est un sous-schéma fermé d’un schéma quasi-compact. Nous pouvons donc appliquer le Lemme 01Z2 pour voir que \(Z = \lim_i Z_i\) est non vide. Comme il existe un morphisme canonique \(Z \to S\), on conclut.

Lemme

Dans la Situation 086P. Supposons donnés un \(i\) et un morphisme \(T \to S_i\) tels que

1. \(T \times_{S_i} S = \emptyset\), et

2. \(T\) est quasi-compact.

Alors \(T \times_{S_i} S_{i'} = \emptyset\) pour tout \(i'\) assez grand.

Démonstration

D’après le Lemme 01YZ, on a \(T \times_{S_i} S = \lim_{i' \geq i} T \times_{S_i} S_{i'}\). Le résultat découle donc du Lemme 01Z2.

Lemme

Dans la Situation 086P. Supposons donnés un \(i\) et une partie localement constructible \(E \subset S_i\) telle que \(f_i(S) \subset E\). Alors \(f_{i'i}(S_{i'}) \subset E\) pour tout \(i'\) assez grand.

Démonstration

En écrivant \(S_i\) comme réunion finie de sous-schémas ouverts affines, on se ramène au cas où \(S_i\) est affine et \(E\) constructible ; voir le Lemme 01YX et Propriétés, Lemme 054C. Dans ce cas, le complémentaire \(S_i \setminus E\) est lui aussi constructible. Il existe donc un schéma affine \(T\) et un morphisme \(T \to S_i\) dont l’image est \(S_i \setminus E\) ; voir Algèbre, Lemme 00F8. D’après le Lemme 05F3, le schéma \(T \times_{S_i} S_{i'}\) est vide pour tout \(i'\) assez grand, et par conséquent \(f_{i'i}(S_{i'}) \subset E\) pour tout \(i'\) assez grand.

Lemme

Dans la Situation 086P, on a les assertions suivantes :

1. Pour tout ouvert quasi-compact \(V \subset S = \lim_i S_i\), il existe \(i \in I\) et un ouvert quasi-compact \(V_i \subset S_i\) tels que \(f_i^{-1}(V_i) = V\).

2. Étant donnés des ouverts quasi-compacts \(V_i \subset S_i\) et \(V_{i'} \subset S_{i'}\) tels que \(f_i^{-1}(V_i) = f_{i'}^{-1}(V_{i'})\), il existe un indice \(i'' \geq i, i'\) tel que \(f_{i''i}^{-1}(V_i) = f_{i''i'}^{-1}(V_{i'})\).

3. Si \(V_{1, i}, \ldots, V_{n, i} \subset S_i\) sont des ouverts quasi-compacts et si \(S = f_i^{-1}(V_{1, i}) \cup \ldots \cup f_i^{-1}(V_{n, i})\), alors \(S_{i'} = f_{i'i}^{-1}(V_{1, i}) \cup \ldots \cup f_{i'i}^{-1}(V_{n, i})\) pour un certain \(i' \geq i\).

Démonstration

Choisissons \(i_0 \in I\). Remarquons que \(I\) est non vide puisqu’il est filtrant. Pour simplifier les notations, écrivons \(S_0 = S_{i_0}\) et \(i_0 = 0\). Choisissons un recouvrement ouvert affine \(S_0 = U_{1, 0} \cup \ldots \cup U_{m, 0}\). Notons \(U_{j, i} \subset S_i\) l’image réciproque de \(U_{j, 0}\) par le morphisme de transition pour \(i \geq 0\). Notons \(U_j\) l’image réciproque de \(U_{j, 0}\) dans \(S\). Remarquons que \(U_j = \lim_i U_{j, i}\) est une limite de schémas affines.

Nous démontrons d’abord l’assertion d’unicité. Soient des ouverts quasi-compacts \(V_i \subset S_i\) et \(V_{i'} \subset S_{i'}\) tels que \(f_i^{-1}(V_i) = f_{i'}^{-1}(V_{i'})\). Il suffit de montrer que \(f_{i''i}^{-1}(V_i \cap U_{j, i''})\) et \(f_{i''i'}^{-1}(V_{i'} \cap U_{j, i''})\) deviennent égaux pour \(i''\) assez grand. On se ramène ainsi au cas d’une limite de schémas affines. Dans ce cas, écrivons \(S = \Spec(R)\) et \(S_i = \Spec(R_i)\) pour tout \(i \in I\). On peut écrire \(V_i = S_i \setminus V(h_1, \ldots, h_m)\) et \(V_{i'} = S_{i'} \setminus V(g_1, \ldots, g_n)\). L’hypothèse signifie que les idéaux \(\sum g_jR\) et \(\sum h_jR\) ont le même radical dans \(R\). Cela signifie que \(g_j^N = \sum a_{jj'}h_{j'}\) et \(h_j^N = \sum b_{jj'} g_{j'}\) pour un certain \(N \gg 0\) et certains \(a_{jj'}\), \(b_{jj'}\) dans \(R\). Puisque \(R = \colim_i R_i\), nous pouvons choisir un indice \(i'' \geq i\) tel que les égalités \(g_j^N = \sum a_{jj'}h_{j'}\) et \(h_j^N = \sum b_{jj'} g_{j'}\) soient vérifiées dans \(R_{i''}\) pour certains \(a_{jj'}\) et \(b_{jj'}\) dans \(R_{i''}\). Il en résulte que les idéaux \(\sum g_jR_{i''}\) et \(\sum h_jR_{i''}\) ont le même radical dans \(R_{i''}\), comme voulu.

Montrons l’existence. Si \(S_0\) est affine, alors \(S_i = \Spec(R_i)\) pour tout \(i \geq 0\) et \(S = \Spec(R)\), où \(R = \colim R_i\). On a alors \(V = S \setminus V(g_1, \ldots, g_n)\) pour certains \(g_1, \ldots, g_n \in R\). Choisissons \(i\) assez grand pour que chacun des \(g_j\) provienne d’un élément \(g_{j, i} \in R_i\), et prenons \(V_i = S_i \setminus V(g_{1, i}, \ldots, g_{n, i})\). Pour \(S_0\) quelconque, les ouverts \(V \cap U_j\) sont quasi-compacts puisque \(S\) est quasi-séparé. Le cas affine montre donc que, pour chaque \(j = 1, \ldots, m\), il existe \(i_j \in I\) et un ouvert quasi-compact \(V_{i_j} \subset U_{j, i_j}\) dont l’image réciproque dans \(U_j\) est \(V \cap U_j\). Posons \(i = \max(i_1, \ldots, i_m)\) et \(V_i = \bigcup f_{ii_j}^{-1}(V_{i_j})\).

L’assertion sur les recouvrements découle de l’assertion d’unicité appliquée aux ouverts \(V_{1, i} \cup \ldots \cup V_{n, i}\) et \(S_i\) de \(S_i\).

Lemme

Dans la Situation 086P, si \(S\) est quasi-affine, alors, pour un certain \(i_0 \in I\), les schémas \(S_i\) sont quasi-affines pour tout \(i \geq i_0\).

Démonstration

Choisissons \(i_0 \in I\). Remarquons que \(I\) est non vide puisqu’il est filtrant. Pour simplifier les notations, écrivons \(S_0 = S_{i_0}\) et \(i_0 = 0\). Soit \(s \in S\). Nous pouvons choisir un ouvert affine \(U_0 \subset S_0\) contenant \(f_0(s)\). Puisque \(S\) est quasi-affine, nous pouvons choisir \(a \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\) tel que \(s \in D(a) \subset f_0^{-1}(U_0)\) et tel que \(D(a)\) soit affine. D’après le Lemme 01Z0, il existe \(i \geq 0\) tel que \(a\) provienne d’un élément \(a_i \in \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i})\). Pour tout indice \(j \geq i\), notons \(a_j\) l’image de \(a_i\) dans les sections globales du faisceau structural de \(S_j\). Considérons les ouverts \(D(a_j) \subset S_j\) et \(U_j = f_{j0}^{-1}(U_0)\). Remarquons que \(U_j\) est affine et que \(D(a_j)\) est un ouvert quasi-compact de \(S_j\) ; voir par exemple Propriétés, Lemme 01PV. Nous pouvons donc appliquer le Lemme 01Z4 aux ouverts \(U_j\) et \(U_j \cup D(a_j)\) pour conclure que \(D(a_j) \subset U_j\) pour un certain \(j \geq i\). Pour un tel indice \(j\), \(D(a_j) \subset S_j\) est un ouvert affine (car \(D(a_j)\) est un ouvert affine standard de l’ouvert affine \(U_j\)) contenant l’image \(f_j(s)\).

Nous en déduisons que, pour tout \(s \in S\), il existe un indice \(i \in I\) et une section globale \(a \in \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i})\) tels que \(D(a) \subset S_i\) soit un ouvert affine contenant \(f_i(s)\). Comme \(S\) est quasi-compact, nous pouvons choisir un seul indice \(i \in I\) et des sections globales \(a_1, \ldots, a_m \in \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i})\) tels que chaque \(D(a_j) \subset S_i\) soit un ouvert affine et que l’image de \(f_i : S \to S_i\) soit contenue dans la réunion \(W_i = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(a_j)\). Pour \(i' \geq i\), posons \(W_{i'} = f_{i'i}^{-1}(W_i)\). Puisque \(f_i^{-1}(W_i)\) est égal à \(S\), une nouvelle application du Lemme 01Z4 montre que pour un \(i' \geq i\) convenable, on a \(S_{i'} = W_{i'}\). Nous pouvons donc remplacer \(i\) par \(i'\) et supposer \(S_i = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(a_j)\). Il en résulte que \(\mathcal{O}_{S_i}\) est un faisceau inversible ample sur \(S_i\) (voir Propriétés, Définition 01PS) et donc que \(S_i\) est quasi-affine ; voir Propriétés, Lemme 01QE. On conclut.

Lemme

Dans la Situation 086P, si \(S\) est affine, alors, pour un certain \(i_0 \in I\), les schémas \(S_i\) sont affines pour tout \(i \geq i_0\).

Démonstration

D’après le Lemme 01Z5, nous pouvons supposer que \(S_0\) est quasi-affine pour un certain \(0 \in I\). Posons \(R_0 = \Gamma(S_0, \mathcal{O}_{S_0})\). Alors \(S_0\) est un ouvert quasi-compact de \(T_0 = \Spec(R_0)\). Notons \(j_0 : S_0 \to T_0\) l’immersion ouverte quasi-compacte correspondante. Pour \(i \geq 0\), posons \(\mathcal{A}_i = f_{i0, *}\mathcal{O}_{S_i}\). Comme \(f_{i0}\) est affine, on a \(S_i = \underline{\Spec}_{S_0}(\mathcal{A}_i)\). Posons \(T_i = \underline{\Spec}_{T_0}(j_{0, *}\mathcal{A}_i)\). Alors \(T_i \to T_0\) est affine, donc \(T_i\) est affine. Ainsi, \(T_i\) est le spectre de \[R_i = \Gamma(T_0, j_{0, *}\mathcal{A}_i) = \Gamma(S_0, \mathcal{A}_i) = \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i}).\] Écrivons \(S = \Spec(R)\). On a \(R = \colim_i R_i\) d’après le Lemme 01Z0. On a donc aussi \(S = \lim_i T_i\). Comme la formation du spectre relatif commute au changement de base, l’image réciproque de l’ouvert \(S_0 \subset T_0\) dans \(T_i\) est \(S_i\). Soit \(Z_0 = T_0 \setminus S_0\), et soit \(Z_i \subset T_i\) l’image réciproque de \(Z_0\). Puisque \(S_i = T_i \setminus Z_i\), il suffit de montrer que \(Z_i\) est vide pour un certain \(i\). Supposons, en vue d’une contradiction, que \(Z_i\) soit non vide pour tout \(i\). D’après le Lemme 01Z3, il existe un point \(s\) de \(S = \lim T_i\) dont l’image appartient à \(Z_i\) pour tout \(i\). Mais \(S = \lim_i S_i\), ce qui contredit le Lemme 01YY.

Lemme

Dans la Situation 086P, si \(S\) est séparé, alors, pour un certain \(i_0 \in I\), les schémas \(S_i\) sont séparés pour tout \(i \geq i_0\).

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(S_0 = U_{0, 1} \cup \ldots \cup U_{0, m}\). Notons \(U_{i, j} \subset S_i\) et \(U_j \subset S\) les images réciproques de \(U_{0, j}\). Remarquons que \(U_{i, j}\) et \(U_j\) sont affines. Comme \(S\) est séparé, les intersections \(U_{j_1} \cap U_{j_2}\) sont affines. Puisque \(U_{j_1} \cap U_{j_2} = \lim_{i \geq 0} U_{i, j_1} \cap U_{i, j_2}\), on voit que \(U_{i, j_1} \cap U_{i, j_2}\) est affine pour \(i\) assez grand, d’après le Lemme 01Z6. Pour montrer que \(S_i\) est séparé lorsque \(i\) est assez grand, il suffit maintenant de montrer que \[\mathcal{O}_{S_i}(U_{i, j_1}) \otimes_{\mathcal{O}_S(S)} \mathcal{O}_{S_i}(U_{i, j_2}) \longrightarrow \mathcal{O}_{S_i}(U_{i, j_1} \cap U_{i, j_2})\] est surjectif pour \(i\) assez grand (Schémas, Lemme 01KP).

Pour alléger les indices, supposons donnés des ouverts affines \(U, V \subset S_0\) tels que \(U \cap V\) soit également affine. Notons \(U_i, V_i \subset S_i\), resp. \(U, V \subset S\), leurs images réciproques. Il faut montrer que \(\mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_i) \to \mathcal{O}(U_i \cap V_i)\) est surjectif pour \(i\) assez grand, sachant que \(\mathcal{O}(U) \otimes \mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U \cap V)\) est surjectif. Remarquons que \(\mathcal{O}(U_0) \otimes \mathcal{O}(V_0) \to \mathcal{O}(U_0 \cap V_0)\) est de type fini, car le morphisme diagonal \(S_i \to S_i \times S_i\) est une immersion (Schémas, Lemme 01KJ), donc est localement de type fini (Morphismes, Lemmes 01T2 et 01T5). Nous pouvons donc choisir des éléments \(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, n} \in \mathcal{O}(U_0 \cap V_0)\) qui engendrent \(\mathcal{O}(U_0 \cap V_0)\) sur \(\mathcal{O}(U_0) \otimes \mathcal{O}(V_0)\). Observons que, pour \(i \geq 0\), le diagramme de schémas \[\xymatrix{ U_i \cap V_i \ar[r] \ar[d] & U_i \ar[d] \\ U_0 \cap V_0 \ar[r] & U_0 }\] est cartésien. Nous voyons donc que les images \(f_{i, 1}, \ldots, f_{i, n} \in \mathcal{O}(U_i \cap V_i)\) engendrent \(\mathcal{O}(U_i \cap V_i)\) sur \(\mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_0)\) et, a fortiori, sur \(\mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_i)\). Par hypothèse, les images \(f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{O}(U \otimes V)\) appartiennent à l’image de l’application \(\mathcal{O}(U) \otimes \mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U \cap V)\). Puisque \(\mathcal{O}(U) \otimes \mathcal{O}(V) = \colim \mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_i)\) nous voyons qu’elles appartiennent à l’image de l’application à un certain niveau fini, ce qui démontre le lemme.

Lemme

Dans la Situation 086P, soit \(\mathcal{L}_0\) un faisceau inversible de modules sur \(S_0\). Si son image réciproque \(\mathcal{L}\) sur \(S\) est ample, alors, pour un certain \(i \in I\), son image réciproque \(\mathcal{L}_i\) sur \(S_i\) est ample.

Démonstration

L’hypothèse signifie qu’il existe un nombre fini de sections \(s_1, \ldots, s_m \in \Gamma(S, \mathcal{L})\) telles que \(S_{s_j}\) soit affine et que \(S = \bigcup S_{s_j}\) ; voir Propriétés, Définition 01PS. D’après le Lemme 01Z0, nous pouvons trouver \(i \in I\) et des sections \(s_{i, j} \in \Gamma(S_i, \mathcal{L}_i)\) d’images \(s_j\). Après avoir augmenté \(i\), le Lemme 01Z6 permet de supposer que \((S_i)_{s_{i, j}}\) est affine pour \(j = 1, \ldots, m\). Après avoir augmenté \(i\) une dernière fois, le Lemme 01Z4 permet de supposer que \(S_i = \bigcup (S_i)_{s_{i, j}}\). Alors \(\mathcal{L}_i\) est ample par définition.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim X_i\) une limite projective de schémas sur \(S\) dont les morphismes de transition sont affines. Soit \(Y \to X\) un morphisme de schémas sur \(S\).

1. Si \(Y \to X\) est une immersion fermée, si \(X_i\) est quasi-compact et si \(Y\) est localement de type fini sur \(S\), alors \(Y \to X_i\) est une immersion fermée pour \(i\) assez grand.

2. Si \(Y \to X\) est une immersion, si \(X_i\) est quasi-séparé, si \(Y \to S\) est localement de type fini et si \(Y\) est quasi-compact, alors \(Y \to X_i\) est une immersion pour \(i\) assez grand.

3. Si \(Y \to X\) est un isomorphisme, si \(X_i\) est quasi-compact, si \(X_i \to S\) est localement de type fini, si les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) sont des immersions fermées et si \(Y \to S\) est localement de présentation finie, alors \(Y \to X_i\) est un isomorphisme pour \(i\) assez grand.

Démonstration

Démonstration de (1). Choisissons \(0 \in I\) et un recouvrement ouvert affine fini \(X_0 = U_{0, 1} \cup \ldots \cup U_{0, m}\) tel que \(U_{0, j}\) s’envoie dans un ouvert affine \(W_j \subset S\). Soient \(V_j \subset Y\), resp. \(U_{i, j} \subset X_i\), \(i \geq 0\), respectivement \(U_j \subset X\), les images réciproques de \(U_{0, j}\). Il suffit de montrer que \(V_j \to U_{i, j}\) est une immersion fermée pour \(i\) assez grand, et nous savons que \(V_j \to U_j\) est une immersion fermée. On se ramène ainsi au fait algébrique suivant : si \(A = \colim A_i\) est une limite inductive filtrante de \(R\)-algèbres, si \(A \to B\) est une surjection de \(R\)-algèbres et si \(B\) est une \(R\)-algèbre de type fini, alors \(A_i \to B\) est surjectif pour \(i\) assez grand.

Démonstration de (2). Choisissons \(0 \in I\). Choisissons un ouvert quasi-compact \(X'_0 \subset X_0\) tel que \(Y \to X_0\) se factorise par \(X'_0\). Après avoir remplacé \(X_i\) par l’image réciproque de \(X'_0\) pour \(i \geq 0\), nous pouvons supposer tous les \(X_i'\) quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact tel que \(Y \to X\) se factorise par une immersion fermée \(Y \to U\) (un tel \(U\) existe puisque \(Y\) est quasi-compact). D’après le Lemme 01Z4, nous pouvons supposer \(U = \lim U_i\), avec \(U_i \subset X_i\) ouvert quasi-compact. L’assertion (1) montre que \(Y \to U_i\) est une immersion fermée pour un certain \(i\). Ainsi, (2) est vérifiée.

Démonstration de (3). En travaillant localement sur des ouverts affines de \(X_0\), pour un certain \(0 \in I\), comme dans la démonstration de (1), on se ramène au fait algébrique suivant : si \(A = \lim A_i\) est une limite inductive filtrante de \(R\)-algèbres dont les homomorphismes de transition sont surjectifs, et si \(A\) est de présentation finie sur \(A_0\), alors \(A = A_i\) pour un certain \(i\). En effet, écrivons \(A = A_0/(f_1, \ldots, f_n)\). Choisissons \(i\) tel que \(f_1, \ldots, f_n\) aient une image nulle par l’homomorphisme surjectif \(A_0 \to A_i\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim X_i\) une limite projective de schémas sur \(S\) dont les morphismes de transition sont affines. Supposons que

1. \(S\) soit quasi-séparé,

2. \(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

3. \(X \to S\) soit séparé.

Alors \(X_i \to S\) est séparé pour tout \(i\) assez grand.

Démonstration

Soit \(0 \in I\). Remarquons que \(I\) est non vide puisqu’il est filtrant. Comme \(X_0\) est quasi-compact, nous pouvons trouver un nombre fini d’ouverts affines \(U_1, \ldots, U_n \subset S\) tels que l’image de \(X_0 \to S\) soit contenue dans \(U_1 \cup \ldots \cup U_n\). Notons \(h_i : X_i \to S\) le morphisme structural. Il suffit de vérifier que, pour un certain \(i \geq 0\), les morphismes \(h_i^{-1}(U_j) \to U_j\) sont séparés pour \(j = 1, \ldots, n\). Puisque \(S\) est quasi-séparé, les morphismes \(U_j \to S\) sont quasi-compacts. Par conséquent, \(h_i^{-1}(U_j)\) est quasi-compact et quasi-séparé. On se ramène ainsi au cas où \(S\) est affine. Dans ce cas, il faut montrer que \(X_i\) est séparé, sachant que \(X\) l’est. Le lemme résulte donc du Lemme 086Q.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim X_i\) une limite projective de schémas sur \(S\) dont les morphismes de transition sont affines. Supposons que

1. \(S\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

2. \(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

3. \(X \to S\) soit affine.

Alors \(X_i \to S\) est affine pour \(i\) assez grand.

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} V_j\). Notons \(f : X \to S\) et \(f_i : X_i \to S\) les morphismes structuraux. Pour chaque \(j\), le schéma \(f^{-1}(V_j) = \lim_i f_i^{-1}(V_j)\) est affine (car un morphisme fini est affine par définition). D’après le Lemme 01Z6, il existe donc \(i \in I\) tel que chaque \(f_i^{-1}(V_j)\) soit affine. Autrement dit, \(f_i : X_i \to S\) est affine pour \(i\) assez grand ; voir Morphismes, Lemme 01S8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim X_i\) une limite projective de schémas sur \(S\) dont les morphismes de transition sont affines. Supposons que

1. \(S\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

2. \(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

3. les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) soient finis,

4. \(X_i \to S\) soit localement de type fini,

5. \(X \to S\) soit entier.

Alors \(X_i \to S\) est fini pour \(i\) assez grand.

Démonstration

D’après le Lemme 09ZM, nous pouvons supposer que \(X_i \to S\) est affine pour tout \(i\). Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} V_j\). Notons \(f : X \to S\) et \(f_i : X_i \to S\) les morphismes structuraux. Il suffit de montrer qu’il existe \(i\) tel que \(f_i^{-1}(V_j)\) soit fini sur \(V_j\) pour \(j = 1, \ldots, m\) (Morphismes, Lemme 01WI). En effet, pour \(i' \geq i\), la composée \(X_{i'} \to X_i \to S\) sera finie en tant que composée de morphismes finis (Morphismes, Lemme 01WK). On se ramène ainsi au cas affine. Soit \(R\) un anneau et soit \(A = \colim A_i\), avec \(R \to A\) entier et \(A_i \to A_{i'}\) fini pour tout \(i \leq i'\). De plus, \(R \to A_i\) est de type fini pour tout \(i\). Il faut montrer que \(A_i\) est fini sur \(R\) pour un certain \(i\). Pour cela, choisissons \(i \in I\) et des générateurs \(x_1, \ldots, x_m \in A_i\) de \(A_i\) comme \(R\)-algèbre. Puisque \(A\) est entier sur \(R\), nous pouvons trouver des polynômes unitaires \(P_j \in R[T]\) tels que \(P_j(x_j) = 0\) dans \(A\). Il existe donc \(i' \geq i\) tel que \(P_j(x_j) = 0\) dans \(A_{i'}\) pour \(j = 1, \ldots, m\). Alors l’image \(A'_i\) de \(A_i\) dans \(A_{i'}\) est finie sur \(R\) d’après Algèbre, Lemme 02JJ. Comme \(A'_i \subset A_{i'}\) est également fini, on en déduit qu’\(A_{i'}\) est fini sur \(R\) par Algèbre, Lemme 00GL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim X_i\) une limite projective de schémas sur \(S\) dont les morphismes de transition sont affines. Supposons que

1. \(S\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

2. \(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

3. les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) soient des immersions fermées,

4. \(X_i \to S\) soit localement de type fini,

5. \(X \to S\) soit une immersion fermée.

Alors \(X_i \to S\) est une immersion fermée pour \(i\) assez grand.

Démonstration

D’après le Lemme 09ZM, nous pouvons supposer que \(X_i \to S\) est affine pour tout \(i\). Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} V_j\). Notons \(f : X \to S\) et \(f_i : X_i \to S\) les morphismes structuraux. Il suffit de montrer qu’il existe \(i\) tel que \(f_i^{-1}(V_j)\) soit un sous-schéma fermé de \(V_j\) pour \(j = 1, \ldots, m\) (Morphismes, Lemme 01QO). On se ramène ainsi au cas affine. Soit \(R\) un anneau et soit \(A = \colim A_i\), avec \(R \to A\) surjectif et \(A_i \to A_{i'}\) surjectif pour tout \(i \leq i'\). De plus, \(R \to A_i\) est de type fini pour tout \(i\). Il faut montrer que \(R \to A_i\) est surjectif pour un certain \(i\). Pour cela, choisissons \(i \in I\) et des générateurs \(x_1, \ldots, x_m \in A_i\) de \(A_i\) comme \(R\)-algèbre. Puisque \(R \to A\) est surjectif, nous pouvons trouver \(r_j \in R\) tels que \(r_j\) ait pour image \(x_j\) dans \(A\). Il existe donc \(i' \geq i\) tel que \(r_j\) ait pour image celle de \(x_j\) dans \(A_{i'}\) pour \(j = 1, \ldots, m\). Comme \(A_i \to A_{i'}\) est surjectif, il en résulte que \(R \to A_{i'}\) est surjectif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim X_i\) une limite projective de schémas sur \(S\) dont les morphismes de transition sont affines. Supposons que

1. \(S\) soit quasi-séparé,

2. \(X_i\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

3. les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) soient des immersions fermées,

4. \(X_i \to S\) soit localement de type fini, et

5. \(X \to S\) soit une immersion.

Alors \(X_i \to S\) est une immersion pour \(i\) assez grand.

Démonstration

Choisissons un sous-schéma ouvert \(U \subset S\) tel que \(X \to S\) soit la composée d’une immersion fermée \(X \to U\) et du morphisme d’inclusion \(U \to S\). Puisque \(X\) est quasi-compact, nous pouvons rétrécir \(U\) et supposer \(U\) quasi-compact. Notons \(V_i \subset X_i\) l’image réciproque de \(U\). Comme l’image réciproque de \(V_i\) est \(X\), le Lemme 01Z4 montre que \(V_i = X_i\) pour tout \(i\) assez grand. Nous pouvons donc supposer \(X = \lim X_i\) dans la catégorie des schémas sur \(U\). Alors \(X_i \to U\) est une immersion fermée pour \(i\) assez grand, d’après le Lemme 0A0N. Cela démontre le lemme.

Approximation noethérienne absolue

Une bonne référence pour cette section est l’appendice C de l’article de Thomason et Trobaugh [TT]. Pour nos conventions sur les systèmes filtrants, voir Catégories, section 002Z. Nous utiliserons sans autre mention le résultat d’existence et les propriétés de la limite établis à la section 01YV.

Lemme

Soit \(W\) un schéma quasi-affine de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Supposons que \(W \to \Spec(R)\) soit une immersion ouverte dans un schéma affine. Il existe une \(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini \(A \subset R\) qui induit une immersion ouverte \(W \to \Spec(A)\). De plus, \(R\) est la limite inductive filtrante de telles sous-algèbres.

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) tel que chaque \(W_i\) soit un ouvert affine standard de \(\Spec(R)\). Autrement dit, si l’on écrit \(W_i = \Spec(R_i)\), alors \(R_i = R_{f_i}\) pour un certain \(f_i \in R\). Choisissons un nombre fini d’éléments \(x_{ij} \in R_i\) qui engendrent \(R_i\) sur \(\mathbf{Z}\). Prenons \(N \gg 0\) tel que chaque \(f_i^Nx_{ij}\) provienne d’un élément de \(R\), disons \(y_{ij} \in R\). Soit \(A\) la \(\mathbf{Z}\)-algèbre engendrée par les \(f_i\) et les \(y_{ij}\), ainsi que, éventuellement, par un nombre fini d’éléments supplémentaires de \(R\). Alors \(A\) convient. Les détails sont omis.

Lemme

Supposons donné un diagramme cartésien d’anneaux \[\xymatrix{ B \ar[r]_s & R \\ B'\ar[u] \ar[r] & R' \ar[u]_t }\] Soit \(W' \subset \Spec(R')\) un ouvert de la forme \(W' = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) tel que \(t(f_i) = s(g_i)\) pour un certain \(g_i \in B\) et que \(B_{g_i} \cong R_{s(g_i)}\). Alors \(B' \to R'\) induit une immersion ouverte de \(W'\) dans \(\Spec(B')\).

Démonstration

Posons \(h_i = (g_i, f_i) \in B'\). Compléments d’algèbre, Lemme 01Z8, montre que \((B')_{h_i} \cong (R')_{f_i}\), comme voulu.

Le lemme suivant donne un énoncé précis de l’approximation noethérienne.

Lemme

Soit \(S\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(V \subset S\) un ouvert quasi-compact. Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant et soit \((V_i, f_{ii'})\) un système projectif de schémas indexé par \(I\), à morphismes de transition affines, chaque \(V_i\) étant de type fini sur \(\mathbf{Z}\), et tel que \(V = \lim V_i\). Il existe alors

1. un ensemble ordonné filtrant \(J\),

2. un système projectif de schémas \((S_j, g_{jj'})\) indexé par \(J\),

3. une application croissante \(\alpha : J \to I\),

4. des sous-schémas ouverts \(V'_j \subset S_j\), et

5. des isomorphismes \(V'_j \to V_{\alpha(j)}\)

tels que

1. les morphismes de transition \(g_{jj'} : S_j \to S_{j'}\) sont affines,

2. chaque \(S_j\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\),

3. \(g_{jj'}^{-1}(V'_{j'}) = V'_j\),

4. \(S = \lim S_j\) et \(V = \lim V'_j\), et

5. les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ V \ar[d] \ar[rd] \\ V'_j \ar[r] & V_{\alpha(j)} } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ V'_j \ar[r] \ar[d] & V_{\alpha(j)} \ar[d] \\ V'_{j'} \ar[r] & V_{\alpha(j')} } }\] sont commutatifs.

Démonstration

Posons \(Z = S \setminus V\). Choisissons des ouverts affines \(U_1, \ldots, U_m \subset S\) tels que \(Z \subset \bigcup_{l = 1, \ldots, m} U_l\). Considérons les ouverts \[V \subset V \cup U_1 \subset V \cup U_1 \cup U_2 \subset \ldots \subset V \cup \bigcup\nolimits_{l = 1, \ldots, m} U_l = S\] Si nous pouvons démontrer le lemme successivement dans chacun des cas \[V \cup U_1 \cup \ldots \cup U_l \subset V \cup U_1 \cup \ldots \cup U_{l + 1}\] alors le lemme en résultera pour \(V \subset S\). Dans chaque cas, nous ajoutons un seul ouvert affine. Nous pouvons donc supposer que

1. \(S = U \cup V\),

2. \(U\) est un ouvert affine de \(S\),

3. \(V\) est un ouvert quasi-compact de \(S\), et

4. \(V = \lim_i V_i\), où \((V_i, f_{ii'})\) est un système projectif indexé par un ensemble ordonné filtrant \(I\), chaque \(f_{ii'}\) étant affine et chaque \(V_i\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\).

Notons \(f_i : V \to V_i\) les projections. Posons \(W = U \cap V\). Comme \(S\) est quasi-séparé, c’est un ouvert quasi-compact de \(V\). D’après le Lemme 01Z4 (et après avoir restreint \(I\)), nous pouvons supposer qu’il existe des ouverts \(W_i \subset V_i\) tels que \(f_{ii'}^{-1}(W_{i'}) = W_i\) et \(f_i^{-1}(W_i) = W\). Puisque \(W\) est un ouvert quasi-compact de \(U\), il est quasi-affine. Nous pouvons donc supposer, après avoir restreint \(I\) une nouvelle fois, que \(W_i\) est quasi-affine pour tout \(i\) ; voir le Lemme 01Z5.

Écrivons \(U = \Spec(B)\). Posons \(R = \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\) et \(R_i = \Gamma(W_i, \mathcal{O}_{W_i})\). D’après le Lemme 01Z0, on a \(R = \colim_i R_i\). Nous disposons maintenant des homomorphismes d’anneaux \[\xymatrix{ B \ar[r]_s & R \\ & R_i \ar[u]_{t_i} }\] Posons \(B_i = \{(b, r) \in B \times R_i \mid s(b) = t_i(r)\}\), de sorte que nous ayons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ B \ar[r]_s & R \\ B_i \ar[u] \ar[r] & R_i \ar[u]_{t_i} }\] pour chaque \(i\). Les homomorphismes de transition \(R_i \to R_{i'}\) induisent des homomorphismes \(B_i \to B_{i'}\). Il est clair que \(B = \colim_i B_i\). Au paragraphe suivant, nous montrons que, pour tout \(i\) assez grand, la composée \(W_i \to \Spec(R_i) \to \Spec(B_i)\) est une immersion ouverte.

Comme \(W\) est un ouvert quasi-compact de \(U = \Spec(B)\), nous pouvons trouver un nombre fini d’éléments \(g_l \in B\), \(l = 1, \ldots, m\), tels que \(D(g_l) \subset W\) et \(W = \bigcup_{l = 1, \ldots, m} D(g_l)\). Remarquons que cela implique \(D(g_l) = W_{s(g_l)}\) comme ouverts de \(U\), où \(W_{s(g_l)}\) désigne le plus grand ouvert de \(W\) sur lequel \(s(g_l)\) est inversible. Par conséquent, \[B_{g_l} = \Gamma(D(g_l), \mathcal{O}_U) = \Gamma(W_{s(g_l)}, \mathcal{O}_W) = R_{s(g_l)},\] où la dernière égalité découle de Propriétés, Lemme 01P7. Comme \(W_{s(g_l)}\) est affine, cela implique aussi que \(D(s(g_l)) = W_{s(g_l)}\) comme ouverts de \(\Spec(R)\). Puisque \(R = \colim_i R_i\), nous pouvons, après avoir restreint \(I\), supposer qu’il existe des \(g_{l, i} \in R_i\) pour tout \(i \in I\) tels que \(s(g_l) = t_i(g_{l, i})\). Bien entendu, nous choisissons les \(g_{l, i}\) de sorte que \(g_{l, i}\) s’envoie sur \(g_{l, i'}\) par les homomorphismes de transition \(R_i \to R_{i'}\). D’après le Lemme 01Z4, nous pouvons alors, après avoir restreint \(I\) une nouvelle fois, supposer que les ouverts correspondants \(D(g_{l, i}) \subset \Spec(R_i)\) sont contenus dans \(W_i\), pour \(l = 1, \ldots, m\), et recouvrent \(W_i\). Nous en déduisons que le morphisme \(W_i \to \Spec(R_i) \to \Spec(B_i)\) est une immersion ouverte ; voir le Lemme 01Z9.

D’après le Lemme 01Z7, nous pouvons écrire \(B_i\) comme une limite inductive filtrante de sous-algèbres \(A_{i, p} \subset B_i\), \(p \in P_i\), chacune de type fini sur \(\mathbf{Z}\), et telles que \(W_i\) s’identifie à un sous-schéma ouvert de \(\Spec(A_{i, p})\). Soit \(S_{i, p}\) le schéma obtenu en recollant \(V_i\) et \(\Spec(A_{i, p})\) le long de l’ouvert \(W_i\) ; voir Schémas, section 01JA. Voici le diagramme commutatif de schémas qui en résulte : \[\xymatrix{ & & V \ar[lld] \ar[d] & W \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ V_i \ar[d] & W_i \ar[l] \ar[d] & S \ar[lld] & U \ar[lld] \ar[l] \\ S_{i, p} & \Spec(A_{i, p}) \ar[l] }\] Le morphisme \(S \to S_{i, p}\) existe parce que le carré supérieur droit est un coproduit amalgamé dans la catégorie des schémas. Remarquons que \(S_{i, p}\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\) puisqu’il admet un recouvrement ouvert affine fini dont les membres sont les spectres de \(\mathbf{Z}\)-algèbres de type fini. Nous définissons un préordre sur \(J = \coprod_{i \in I} P_i\) par la règle suivante : \((i', p') \geq (i, p)\) si et seulement si \(i' \geq i\) et si l’homomorphisme \(B_i \to B_{i'}\) envoie \(A_{i, p}\) dans \(A_{i', p'}\). C’est exactement la condition requise pour définir un morphisme \(S_{i', p'} \to S_{i, p}\) : on forme en effet un diagramme commutatif comme ci-dessus à l’aide des morphismes de transition \(V_{i'} \to V_i\) et \(W_{i'} \to W_i\), ainsi que du morphisme \(\Spec(A_{i', p'}) \to \Spec(A_{i, p})\) induit par l’homomorphisme d’anneaux \(A_{i, p} \to A_{i', p'}\). Les commutativités nécessaires ont été intégrées aux constructions. Nous affirmons que \(S\) est la limite projective des schémas \(S_{i, p}\). Puisque, par construction, les schémas \(V_i\) ont pour limite \(V\), cela se ramène au fait que \(B\) est la limite des anneaux \(A_{i, p}\), ce qui est vrai par construction. L’application \(\alpha : J \to I\) est donnée par la règle \(j = (i, p) \mapsto i\). Le sous-schéma ouvert \(V'_j\) est simplement l’image de \(V_i \to S_{i, p}\) ci-dessus. La commutativité des diagrammes de (5) résulte clairement de la construction. Cela achève la démonstration du lemme.

Proposition

Soit \(S\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Il existe un ensemble ordonné filtrant \(I\) et un système projectif de schémas \((S_i, f_{ii'})\) indexé par \(I\) tels que

1. les morphismes de transition \(f_{ii'}\) sont affines,

2. chaque \(S_i\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\), et

3. \(S = \lim_i S_i\).

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 07RN, avec \(V = \emptyset\).

Limites et morphismes de présentation finie

Le résultat suivant généralise Algèbre, Lemme 00QO.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est localement de présentation finie.

2. Pour tout ensemble ordonné filtrant \(I\) et tout système projectif \((T_i, f_{ii'})\) de \(S\)-schémas indexé par \(I\), chaque \(T_i\) étant affine, on a \[\Mor_S(\lim_i T_i, X) = \colim_i \Mor_S(T_i, X)\]

3. Pour tout ensemble ordonné filtrant \(I\) et tout système projectif \((T_i, f_{ii'})\) de \(S\)-schémas indexé par \(I\), chaque \(f_{ii'}\) étant affine et chaque \(T_i\) étant quasi-compact et quasi-séparé comme schéma, on a \[\Mor_S(\lim_i T_i, X) = \colim_i \Mor_S(T_i, X)\]

Démonstration

Il est clair que (3) implique (2).

Montrons que (2) implique (1). Supposons (2). Choisissons des ouverts affines \(U \subset X\) et \(V \subset S\) tels que \(f(U) \subset V\). Il faut montrer que \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est de présentation finie. Soit \((A_i, \varphi_{ii'})\) un système inductif filtrant d’\(\mathcal{O}_S(V)\)-algèbres. Posons \(A = \colim_i A_i\). D’après Algèbre, Lemme 00QO, il faut montrer que \[\Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A) = \colim_i \Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A_i)\] Considérons les schémas \(T_i = \Spec(A_i)\). Ils forment un système projectif de \(V\)-schémas indexé par \(I\), dont les morphismes de transition \(f_{ii'} : T_i \to T_{i'}\) sont induits par les homomorphismes d’\(\mathcal{O}_S(V)\)-algèbres \(\varphi_{i'i}\). Posons \(T := \Spec(A) = \lim_i T_i\). En termes d’ensembles de morphismes de schémas, la formule ci-dessus devient \[\Mor_V(\lim_i T_i, U) = \colim_i \Mor_V(T_i, U).\] Observons d’abord que \(\Mor_V(T_i, U) = \Mor_S(T_i, U)\) et \(\Mor_V(T, U) = \Mor_S(T, U)\). Il faut donc montrer que \[\Mor_S(\lim_i T_i, U) = \colim_i \Mor_S(T_i, U)\] et l’on sait que \[\Mor_S(\lim_i T_i, X) = \colim_i \Mor_S(T_i, X).\] Il suffit donc de prouver ceci : étant donné un morphisme \(g_i : T_i \to X\) sur \(S\) tel que la composée \(T \to T_i \to X\) ait son image dans \(U\), il existe \(i' \geq i\) tel que la composée \(g_{i'} : T_{i'} \to T_i \to X\) ait son image dans \(U\). Notons \(Z_{i'} = g_{i'}^{-1}(X \setminus U)\). Supposons tous les \(Z_{i'}\) non vides, en vue d’une contradiction. D’après le Lemme 01Z3, il existe un point \(t\) de \(T\) qui s’envoie dans \(Z_{i'}\) pour tout \(i' \geq i\). Un tel point ne s’envoie pas dans \(U\), contradiction.

Enfin, montrons que (1) implique (3). Supposons (1). Soit donné un système projectif filtrant \((T_i, f_{ii'})\) de \(S\)-schémas. Supposons les morphismes \(f_{ii'}\) affines et chaque \(T_i\) quasi-compact et quasi-séparé comme schéma. Soit \(T = \lim_i T_i\). Notons \(f_i : T \to T_i\) les morphismes de projection. Il faut montrer :

1. étant donnés des morphismes \(g_i, g'_i : T_i \to X\) sur \(S\) tels que \(g_i \circ f_i = g'_i \circ f_i\), il existe \(i' \geq i\) tel que \(g_i \circ f_{i'i} = g'_i \circ f_{i'i}\) ;

2. étant donné tout morphisme \(g : T \to X\) sur \(S\), il existe \(i \in I\) et un morphisme \(g_i : T_i \to X\) tels que \(g = f_i \circ g_i\).

Montrons d’abord l’unicité (a). Soient \(g_i, g'_i : T_i \to X\) des morphismes tels que \(g_i \circ f_i = g'_i \circ f_i\). Pour tout \(i' \geq i\), posons \(g_{i'} = g_i \circ f_{i'i}\) et \(g'_{i'} = g'_i \circ f_{i'i}\). Posons également \(g = g_i \circ f_i = g'_i \circ f_i\). Considérons le morphisme \((g_i, g'_i) : T_i \to X \times_S X\). Posons \[W = \bigcup\nolimits_{U \subset X\text{ ouvert affine}, V \subset S\text{ ouvert affine}, f(U) \subset V} U \times_V U.\] C’est un ouvert de \(X \times_S X\) tel que le morphisme \(\Delta_{X/S}\) se factorise par une immersion fermée dans \(W\) ; voir la démonstration de Schémas, Lemme 01KJ. Remarquons que la composée \((g_i, g'_i) \circ f_i : T \to X \times_S X\) est un morphisme dans \(W\), puisqu’elle se factorise par la diagonale par hypothèse. Posons \(Z_{i'} = (g_{i'}, g'_{i'})^{-1}(X \times_S X \setminus W)\). Si tous les \(Z_{i'}\) sont non vides, le Lemme 01Z3 fournit un point \(t \in T\) qui s’envoie dans \(Z_{i'}\) pour tout \(i' \geq i\). Cela contredit le fait que \(T\) s’envoie dans \(W\). Nous pouvons donc augmenter \(i\) et supposer que \((g_i, g'_i) : T_i \to X \times_S X\) est un morphisme dans \(W\). Par construction de \(W\), et puisque \(T_i\) est quasi-compact, nous pouvons trouver un recouvrement ouvert affine fini \(T_i = T_{1, i} \cup \ldots \cup T_{n, i}\) tel que \((g_i, g'_i)|_{T_{j, i}}\) soit un morphisme dans \(U \times_V U\) pour une certaine paire \((U, V)\) intervenant dans la définition de \(W\) ci-dessus. Comme il suffit de prouver que \(g_{i'}\) et \(g'_{i'}\) coïncident sur chacun des \(f_{i'i}^{-1}(T_{j, i})\), on se ramène au cas affine. Celui-ci résulte d’Algèbre, Lemme 00QO, et du fait que l’homomorphisme d’anneaux \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est de présentation finie (voir Morphismes, Lemme 01TQ).

Enfin, montrons l’existence (b). Soit \(g : T \to X\) un morphisme de schémas sur \(S\). Nous pouvons trouver un recouvrement ouvert affine fini \(T = W_1 \cup \ldots \cup W_n\) tel que, pour tout \(j \in \{1, \ldots, n\}\), il existe des ouverts affines \(U_j \subset X\) et \(V_j \subset S\) avec \(f(U_j) \subset V_j\) et \(g(W_j) \subset U_j\). D’après les Lemmes 01Z4 et 01Z6, et après avoir éventuellement restreint \(I\), nous pouvons supposer qu’il existe des recouvrements ouverts affines \(T_i = W_{1, i} \cup \ldots \cup W_{n, i}\) compatibles aux morphismes de transition et tels que \(W_j = \lim_i W_{j, i}\). Appliquons Algèbre, Lemme 00QO, aux anneaux correspondant aux schémas affines \(U_j\), \(V_j\), \(W_{j, i}\) et \(W_j\), en utilisant que \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_j)\) est de présentation finie (voir Morphismes, Lemme 01TQ). Pour chaque \(j\), nous pouvons ainsi trouver un indice \(i_j \in I\) et un morphisme \(g_{j, i_j} : W_{j, i_j} \to X\) tels que \(g_{j, i_j} \circ f_i|_{W_j} : W_j \to W_{j, i} \to X\) soit égal à \(g|_{W_j}\). Par l’assertion (a) démontrée ci-dessus, et en utilisant la quasi-compacité de \(W_{j_1, i} \cap W_{j_2, i}\), qui résulte de ce que \(T_i\) est quasi-séparé, nous pouvons trouver un indice \(i' \in I\) supérieur à tous les \(i_j\) tel que \[g_{j_1, i_{j_1}} \circ f_{i'i_{j_1}}|_{W_{j_1, i'} \cap W_{j_2, i'}} = g_{j_2, i_{j_2}} \circ f_{i'i_{j_2}}|_{W_{j_1, i'} \cap W_{j_2, i'}}\] pour tous \(j_1, j_2 \in \{1, \ldots, n\}\). Les morphismes \(g_{j, i_j} \circ f_{i'i_j}|_{W_{j, i'}}\) se recollent donc pour donner le morphisme cherché \(T_{i'} \to X\).

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Disons qu’un foncteur \(F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) est compatible aux limites si, pour tout système projectif filtrant \(\{T_i\}_{i \in I}\) de schémas affines de limite \(T\), on a \(F(T) = \colim_i F(T_i)\). Soit \(X\) un schéma sur \(S\) et soit \(h_X : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) son foncteur des points ; voir Schémas, section 01JF. Dans cette terminologie, la Proposition 01ZC affirme qu’un schéma \(X\) est localement de présentation finie sur \(S\) si et seulement si \(h_X\) est compatible aux limites.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si, pour toute limite projective \(T = \lim_{i \in I} T_i\) de schémas affines sur \(S\), l’application \[\colim \Mor_S(T_i, X) \longrightarrow \Mor_S(T, X)\] est surjective, alors \(f\) est localement de présentation finie. Autrement dit, dans les assertions (2) et (3) de la Proposition 01ZC, il suffit de vérifier la surjectivité de l’application.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle de l’implication « (2) implique (1) » dans la Proposition 01ZC. Choisissons des ouverts affines \(U \subset X\) et \(V \subset S\) tels que \(f(U) \subset V\). Il faut montrer que \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) est de présentation finie. Soit \((A_i, \varphi_{ii'})\) un système inductif filtrant d’\(\mathcal{O}_S(V)\)-algèbres. Posons \(A = \colim_i A_i\). D’après Algèbre, Lemme 00QO, il suffit de montrer que \[\colim_i \Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A_i) \to \Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A)\] est surjective. Considérons les schémas \(T_i = \Spec(A_i)\). Ils forment un système projectif de \(V\)-schémas indexé par \(I\), dont les morphismes de transition \(f_{ii'} : T_i \to T_{i'}\) sont induits par les homomorphismes d’\(\mathcal{O}_S(V)\)-algèbres \(\varphi_{i'i}\). Posons \(T := \Spec(A) = \lim_i T_i\). En termes d’ensembles de morphismes de schémas, la formule ci-dessus devient \[\colim_i \Mor_V(T_i, U) \to \Mor_V(\lim_i T_i, U)\] Observons d’abord que \(\Mor_V(T_i, U) = \Mor_S(T_i, U)\) et \(\Mor_V(T, U) = \Mor_S(T, U)\). Il faut donc montrer que \[\colim_i \Mor_S(T_i, U) \to \Mor_S(\lim_i T_i, U)\] est surjective, et l’on sait que \[\colim_i \Mor_S(T_i, X) \to \Mor_S(\lim_i T_i, X)\] est surjective. Il suffit donc de prouver ceci : étant donné un morphisme \(g_i : T_i \to X\) sur \(S\) tel que la composée \(T \to T_i \to X\) ait son image dans \(U\), il existe \(i' \geq i\) tel que la composée \(g_{i'} : T_{i'} \to T_i \to X\) ait son image dans \(U\). Notons \(Z_{i'} = g_{i'}^{-1}(X \setminus U)\). Supposons tous les \(Z_{i'}\) non vides, en vue d’une contradiction. D’après le Lemme 01Z3, il existe un point \(t\) de \(T\) qui s’envoie dans \(Z_{i'}\) pour tout \(i' \geq i\). Un tel point ne s’envoie pas dans \(U\), contradiction.

Voici un exemple d’application de la Proposition 01ZC.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(S\). Supposons que \(Y\) soit localement de présentation finie sur \(S\). Soit \(x \in X\) un point fermé tel que \(U = X \setminus \{x\} \to X\) soit quasi-compact. En posant \(V = \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \setminus \{x\}\), on a une bijection \[\left\{ \begin{matrix} \text{morphismes }X \to Y\text{ sur }S \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a, b)\text{ où } a : U \to Y\text{ et }b : \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to Y\\ \text{ sont des morphismes sur }S \text{ qui coïncident sur }V \end{matrix} \right\}\]

Démonstration

Soit \(W \subset X\) un voisinage ouvert de \(x\). Par recollement des schémas, voir Schémas, section 01JA, le résultat est valable si l’on considère des paires de morphismes \(a : U \to Y\) et \(c : W \to Y\) qui coïncident sur \(U \cap W\). On a \(\mathcal{O}_{X, x} = \colim \mathcal{O}_W(W)\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(x\) dans \(X\). Ainsi, \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = \lim W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). D’après la Proposition 01ZC, tout morphisme \(b : \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to Y\) sur \(S\) provient donc d’un morphisme \(c : W \to Y\) pour un certain \(W\) comme ci-dessus (et \(c\) est unique après un éventuel rétrécissement supplémentaire de \(W\)). Pour tout ouvert affine \(x \in W\), l’ouvert \(U \cap W\) est quasi-compact puisque \(U \to X\) est quasi-compact. Par conséquent, \(V = \lim W \cap U = \lim W \setminus \{x\}\) est une limite de schémas quasi-compacts et quasi-séparés (voir le Lemme 01YX). Ainsi, si \(a\) et \(b\) coïncident sur \(V\), alors, après avoir rétréci \(W\), \(a\) et \(c\) coïncident sur \(U \cap W\) (par la même proposition). Le lemme en résulte.

Approximation relative

Nous examinons des variantes sur une base de la Proposition 01ZA.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas quasi-compacts et quasi-séparés. Il existe alors un ensemble ordonné filtrant \(I\) et un système projectif \((f_i : X_i \to S_i)\) de morphismes de schémas indexé par \(I\), tels que les morphismes de transition \(X_i \to X_{i'}\) et \(S_i \to S_{i'}\) soient affines, que \(X_i\) et \(S_i\) soient de type fini sur \(\mathbf{Z}\), et que \((X \to S) = \lim (X_i \to S_i)\).

Démonstration

Écrivons \(X = \lim_{a \in A} X_a\) et \(S = \lim_{b \in B} S_b\) comme dans la Proposition 01ZA, c’est-à-dire avec \(X_a\) et \(S_b\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et des morphismes de transition affines.

Fixons \(b \in B\). En appliquant la Proposition 01ZC à \(S_b\) et à \(X = \lim X_a\) sur \(\mathbf{Z}\), nous trouvons \(a \in A\) et un morphisme \(f_{a, b} : X_a \to S_b\) rendant commutatif le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & S \ar[d] \\ X_a \ar[r] & S_b }\] Soit \(I\) l’ensemble des triplets \((a, b, f_{a, b})\) ainsi obtenus.

Soient \((a, b, f_{a, b})\) et \((a', b', f_{a', b'})\) dans \(I\). Soit \(b'' \leq \min(b, b')\). Une nouvelle application de la Proposition 01ZC fournit \(a'' \geq \max(a, a')\) tel que les composées \(X_{a''} \to X_a \to S_b \to S_{b''}\) et \(X_{a''} \to X_{a'} \to S_{b'} \to S_{b''}\) soient égales. Munissons \(I\) du préordre \[(a, b, f_{a, b}) \geq (a', b', f_{a', b'}) \Leftrightarrow a \geq a',\ b \geq b',\text{ et } g_{b, b'} \circ f_{a, b} = f_{a', b'} \circ h_{a, a'}\] où \(h_{a, a'} : X_a \to X_{a'}\) et \(g_{b, b'} : S_b \to S_{b'}\) sont les morphismes de transition. Les remarques précédentes montrent que \(I\) est filtrant et que les applications \(I \to A\), \((a, b, f_{a, b}) \mapsto a\), et \(I \to B\), \((a, b, f_{a, b})\), sont cofinales. Si, pour \(i = (a, b, f_{a, b})\), nous posons \(X_i = X_a\), \(S_i = S_b\) et \(f_i = f_{a, b}\), nous obtenons un système projectif de morphismes indexé par \(I\), et nous avons \[\lim_{i \in I} X_i = \lim_{a \in A} X_a = X \quad\text{et}\quad \lim_{i \in I} S_i = \lim_{b \in B} S_b = S\] d’après Catégories, Lemme 002R (rappelons que les limites indexées par \(I\) sont en réalité des limites sur la catégorie opposée associée à \(I\), de sorte que « cofinal » devient « initial »). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que

1. \(X\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et

2. \(S\) soit quasi-séparé.

Alors \(X = \lim X_i\) est la limite d’un système projectif filtrant de schémas \(X_i\) de présentation finie sur \(S\), dont les morphismes de transition sur \(S\) sont affines.

Démonstration

Comme \(f(X)\) est quasi-compact, nous pouvons remplacer \(S\) par un ouvert quasi-compact contenant \(f(X)\). Nous pouvons donc supposer \(S\) quasi-compact. D’après le Lemme 0GS1, on peut écrire \((X \to S) = \lim (X_i \to S_i)\) pour un certain système projectif filtrant de morphismes entre schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\), à morphismes de transition affines. Comme les limites commutent aux limites (Catégories, Lemme 002M), on a \(X = \lim X_i \times_{S_i} S\). Soient \(i \geq i'\) dans \(I\). Le morphisme \(X_i \times_{S_i} S \to X_{i'} \times_{S_{i'}} S\) est affine, car c’est la composée \[X_i \times_{S_i} S \to X_i \times_{S_{i'}} S \to X_{i'} \times_{S_{i'}} S\] où le premier morphisme est une immersion fermée (d’après Schémas, Lemme 01KR) et le second est le changement de base d’un morphisme affine (Morphismes, Lemme 01SD) ; or la composée de morphismes affines est affine (Morphismes, Lemme 01SC). Les morphismes \(f_i\) sont de présentation finie (Morphismes, Lemmes 01TX et 02FV) ; par conséquent, leurs changements de base \(X_i \times_{f_i, S_i} S \to S\) sont de présentation finie (Morphismes, Lemme 01TS).

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme entier, où \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(X = \lim X_i\), avec \(X_i \to S\) fini et de présentation finie.

Démonstration

Considérons le faisceau \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\). C’est un faisceau quasi-cohérent d’\(\mathcal{O}_S\)-algèbres ; voir Schémas, Lemme 01LC. D’après Propriétés, Lemme 0817, nous pouvons écrire \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{A}_i\) comme limite inductive filtrante d’\(\mathcal{O}_S\)-algèbres finies et de présentation finie. Alors \[X_i = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}_i) \longrightarrow S\] est un morphisme de schémas fini et de présentation finie. Par construction, \(X = \lim_i X_i\), ce qui démontre le lemme.

Descente des propriétés des morphismes

Cette section est l’analogue de la section 081A pour les propriétés des morphismes sur \(S\). Nous nous placerons dans la situation suivante.

Situation

Soit \(S = \lim S_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas dont les morphismes de transition sont affines (Lemme 01YX). Soit \(0 \in I\) et soit \(f_0 : X_0 \to Y_0\) un morphisme de schémas sur \(S_0\). Supposons \(S_0\), \(X_0\) et \(Y_0\) quasi-compacts et quasi-séparés. Soit \(f_i : X_i \to Y_i\) le changement de base de \(f_0\) à \(S_i\), et soit \(f : X \to Y\) le changement de base de \(f_0\) à \(S\).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si \(f\) est affine, il existe un indice \(i \geq 0\) tel que \(f_i\) soit affine.

Démonstration

Soit \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, 0}\) un recouvrement ouvert affine fini. Posons \(U_{j, 0} = f_0^{-1}(V_{j, 0})\). Pour \(i \geq 0\), notons \(V_{j, i}\) l’image réciproque de \(V_{j, 0}\) dans \(Y_i\) et \(U_{j, i} = f_i^{-1}(V_{j, i})\). De même, on a \(U_j = f^{-1}(V_j)\). Alors \(U_j = \lim_{i \geq 0} U_{j, i}\) (voir le Lemme 01YX). Comme \(U_j\) est affine par hypothèse, le Lemme 01Z6 montre que chaque \(U_{j, i}\) est affine pour \(i\) assez grand. Puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de \(j\), nous pouvons choisir un \(i\) qui convienne à tous les \(j\). Ainsi, \(f_i\) est affine pour \(i\) assez grand ; voir Morphismes, Lemme 01S8.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est un morphisme fini, et

2. \(f_0\) est localement de type fini,

alors il existe \(i \geq 0\) tel que \(f_i\) soit fini.

Démonstration

Un morphisme fini est affine ; voir Morphismes, Définition 01WH. D’après le Lemme 01ZN ci-dessus, nous pouvons, après avoir augmenté \(0\), supposer que \(f_0\) est affine. En écrivant \(Y_0\) comme réunion finie d’ouverts affines, on se ramène à démontrer le résultat lorsque \(X_0\) et \(Y_0\) sont affines et s’envoient dans un même ouvert affine \(W \subset S_0\). L’énoncé algébrique correspondant résulte d’Algèbre, Lemme 07RG.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est non ramifié, et

2. \(f_0\) est localement de type fini,

alors il existe \(i \geq 0\) tel que \(f_i\) soit non ramifié.

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Y_{j, 0}\) tel que chaque \(Y_{j, 0}\) s’envoie dans un ouvert affine \(S_{j, 0} \subset S_0\). Pour chaque \(j\), soit \(f_0^{-1}Y_{j, 0} = \bigcup_{k = 1, \ldots, n_j} X_{k, 0}\) un recouvrement ouvert affine fini. Comme la propriété d’être non ramifié est locale, il suffit de démontrer le lemme pour les morphismes entre schémas affines \(X_{k, i} \to Y_{j, i} \to S_{j, i}\) obtenus par changement de base de \(X_{k, 0} \to Y_{j, 0} \to S_{j, 0}\) à \(S_i\). On se ramène ainsi au cas où \(X_0, Y_0, S_0\) sont affines.

Dans le cas affine, on se ramène au résultat algébrique suivant. Supposons \(R = \colim_{i \in I} R_i\). Pour un certain \(0 \in I\), supposons donné un homomorphisme de type fini de \(R_0\)-algèbres \(A_i \to B_i\). Si \(R \otimes_{R_0} A_0 \to R \otimes_{R_0} B_0\) est non ramifié, alors, pour un certain \(i \geq 0\), l’homomorphisme \(R_i \otimes_{R_0} A_0 \to R_i \otimes_{R_0} B_0\) est non ramifié. Cela résulte d’Algèbre, Lemme 0C4F.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est une immersion fermée, et

2. \(f_0\) est localement de type fini,

alors il existe \(i \geq 0\) tel que \(f_i\) soit une immersion fermée.

Démonstration

Une immersion fermée est affine ; voir Morphismes, Lemme 01SE. D’après le Lemme 01ZN ci-dessus, nous pouvons, après avoir augmenté \(0\), supposer que \(f_0\) est affine. En écrivant \(Y_0\) comme réunion finie d’ouverts affines, on se ramène à démontrer le résultat lorsque \(X_0\) et \(Y_0\) sont affines et s’envoient dans un même ouvert affine \(W \subset S_0\). L’énoncé algébrique correspondant est une conséquence d’Algèbre, Lemme 07RH.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si \(f\) est séparé, alors \(f_i\) est séparé pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Appliquons le Lemme 01ZP au morphisme diagonal \(\Delta_{X_0/S_0} : X_0 \to X_0 \times_{S_0} X_0\). (C’est permis puisque les morphismes diagonaux sont localement de type fini et que le produit fibré \(X_0 \times_{S_0} X_0\) est quasi-compact et quasi-séparé ; voir Schémas, Lemme 01KJ, Morphismes, Lemme 01T5, et Schémas, Remarque 0816.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est plat,

2. \(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est plat pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Y_{j, 0}\) tel que chaque \(Y_{j, 0}\) s’envoie dans un ouvert affine \(S_{j, 0} \subset S_0\). Pour chaque \(j\), soit \(f_0^{-1}Y_{j, 0} = \bigcup_{k = 1, \ldots, n_j} X_{k, 0}\) un recouvrement ouvert affine fini. Comme la propriété d’être plat est locale, il suffit de démontrer le lemme pour les morphismes entre schémas affines \(X_{k, i} \to Y_{j, i} \to S_{j, i}\) obtenus par changement de base de \(X_{k, 0} \to Y_{j, 0} \to S_{j, 0}\) à \(S_i\). On se ramène ainsi au cas où \(X_0, Y_0, S_0\) sont affines.

Dans le cas affine, on se ramène au résultat algébrique suivant. Supposons \(R = \colim_{i \in I} R_i\). Pour un certain \(0 \in I\), supposons donné un homomorphisme de présentation finie de \(R_0\)-algèbres \(A_i \to B_i\). Si \(R \otimes_{R_0} A_0 \to R \otimes_{R_0} B_0\) est plat, alors, pour un certain \(i \geq 0\), l’homomorphisme \(R_i \otimes_{R_0} A_0 \to R_i \otimes_{R_0} B_0\) est plat. Cela résulte d’Algèbre, Lemme 02JO, assertion (3).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est fini et localement libre (de degré \(d\)),

2. \(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est fini et localement libre (de degré \(d\)) pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

D’après les Lemmes 04AI et 01ZO, il existe \(i\) tel que \(f_i\) soit plat et fini. D’autre part, \(f_i\) est localement de présentation finie. Ainsi, \(f_i\) est fini et localement libre d’après Morphismes, Lemme 02KB. Si, de plus, \(f\) est fini et localement libre de degré \(d\), alors l’image de \(Y \to Y_i\) est contenue dans le lieu ouvert et fermé \(W_d \subset Y_i\) au-dessus duquel \(f_i\) est de degré \(d\). D’après le Lemme 05F4, pour un certain \(i' \geq i\), l’image de \(Y_{i'} \to Y_i\) est contenue dans \(W_d\). Alors \(f_{i'}\) est fini et localement libre de degré \(d\).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est lisse,

2. \(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est lisse pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

La lissité est locale sur la source et sur le but (Morphismes, Lemme 01V6) ; nous pouvons donc supposer \(S_0, X_0, Y_0\) affines (détails omis). Le fait algébrique correspondant est Algèbre, Lemme 0C0B.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est étale,

2. \(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est étale pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

La propriété d’être étale est locale sur la source et sur le but (Morphismes, Lemme 02GJ) ; nous pouvons donc supposer \(S_0, X_0, Y_0\) affines (détails omis). Le fait algébrique correspondant est Algèbre, Lemme 07RI.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est un isomorphisme, et

2. \(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est un isomorphisme pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

D’après les Lemmes 07RP et 01ZP, nous pouvons trouver \(i\) tel que \(f_i\) soit plat et soit une immersion fermée. Alors \(f_i\) identifie \(X_i\) à un sous-schéma ouvert et fermé de \(Y_i\) ; voir Morphismes, Lemme 0819. Par hypothèse, l’image de \(Y \to Y_i\) s’envoie dans \(f_i(X_i)\). Le Lemme 05F4 montre donc que \(Y_{i'}\) s’envoie dans \(f_i(X_i)\) pour un certain \(i' \geq i\). Il en résulte que \(X_{i'} \to Y_{i'}\) est surjectif, et on conclut.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est une immersion ouverte, et

2. \(f_0\) est localement de présentation finie,

alors \(f_i\) est une immersion ouverte pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

D’après le Lemme 07RP, nous pouvons trouver \(i\) tel que \(f_i\) soit étale. Alors \(V_i = f_i(X_i)\) est un sous-schéma ouvert quasi-compact de \(Y_i\) (Morphismes, Lemme 03WT). Soient \(V\) et \(V_{i'}\), pour \(i' \geq i\), les images réciproques de \(V_i\) dans \(Y\) et \(Y_{i'}\). Alors \(f : X \to V\) est un isomorphisme (c’est en effet une immersion ouverte surjective). D’après le Lemme 081E, le morphisme \(X_{i'} \to V_{i'}\) est donc un isomorphisme pour un certain \(i' \geq i\), comme voulu.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est une immersion, et

2. \(f_0\) est localement de type fini,

alors \(f_i\) est une immersion pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Il existe un ouvert \(V \subset Y\) tel que le morphisme \(f\) se factorise en \(X \to V \to Y\) et que \(X \to V\) soit une immersion fermée ; voir la discussion de Schémas, section 01IM. Puisque \(X\) est quasi-compact, nous pouvons et allons supposer que \(V\) est un ouvert quasi-compact de \(Y\). Après avoir augmenté \(0\), le Lemme 01Z4 fournit un ouvert quasi-compact \(V_0 \subset Y_0\) tel que \(V\) soit l’image réciproque de \(V_0\). L’image réciproque de \(V_0\) dans \(X_0\) est alors un ouvert quasi-compact dont l’image réciproque dans \(X\) est \(X\). En appliquant le même lemme à \(X = \lim X_i\), et après avoir augmenté \(0\), nous pouvons donc supposer donnée la factorisation \(X_0 \to V_0 \to Y_0\). Pour \(i \geq 0\) assez grand, le morphisme \(X_i \to V_i\), où \(V_i = Y_i \times_{Y_0} V_0\), est alors une immersion fermée d’après le Lemme 01ZP. La démonstration est achevée.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est un monomorphisme, et

2. \(f_0\) est localement de type fini,

alors \(f_i\) est un monomorphisme pour un certain \(i \geq 0\).

Démonstration

Rappelons qu’un morphisme de schémas \(V \to W\) est un monomorphisme si et seulement si la diagonale \(V \to V \times_W V\) est un isomorphisme (Schémas, Lemme 01L3). Le morphisme \(X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\) est localement de présentation finie d’après Morphismes, Lemme 0818. Puisque \(X_0 \times_{Y_0} X_0\) est quasi-compact et quasi-séparé (Schémas, Remarque 0816), le Lemme 081E montre que \(\Delta_i : X_i \to X_i \times_{Y_i} X_i\) est un isomorphisme pour un certain \(i \geq 0\). Pour cet \(i\), le morphisme \(f_i\) est un monomorphisme.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est surjectif, et

2. \(f_0\) est localement de présentation finie,

alors il existe \(i \geq 0\) tel que \(f_i\) soit surjectif.

Démonstration

Le morphisme \(f_0\) est de présentation finie. Ainsi, \(E = f_0(X_0)\) est une partie constructible de \(Y_0\) ; voir Morphismes, Lemme 054J. Comme \(f_i\) est le changement de base de \(f_0\) par \(Y_i \to Y_0\), l’image de \(f_i\) est l’image réciproque de \(E\) dans \(Y_i\). De plus, nous savons que \(Y \to Y_0\) s’envoie dans \(E\). On conclut donc par le Lemme 05F4.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la Situation 081D. Si

1. \(f\) est syntomique, et

2. \(f_0\) est localement de présentation finie,

alors il existe \(i \geq 0\) tel que \(f_i\) soit syntomique.

Démonstration

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Y_{j, 0}\) tel que chaque \(Y_{j, 0}\) s’envoie dans un ouvert affine \(S_{j, 0} \subset S_0\). Pour chaque \(j\), soit \(f_0^{-1}Y_{j, 0} = \bigcup_{k = 1, \ldots, n_j} X_{k, 0}\) un recouvrement ouvert affine fini. Comme la propriété d’être syntomique est locale, il suffit de démontrer le lemme pour les morphismes entre schémas affines \(X_{k, i} \to Y_{j, i} \to S_{j, i}\) obtenus par changement de base de \(X_{k, 0} \to Y_{j, 0} \to S_{j, 0}\) à \(S_i\). On se ramène ainsi au cas où \(X_0, Y_0, S_0\) sont affines.

Dans le cas affine, on se ramène au résultat algébrique suivant. Supposons \(R = \colim_{i \in I} R_i\). Pour un certain \(0 \in I\), supposons donné un homomorphisme de présentation finie de \(R_0\)-algèbres \(A_i \to B_i\). Si \(R \otimes_{R_0} A_0 \to R \otimes_{R_0} B_0\) est syntomique, alors, pour un certain \(i \geq 0\), l’homomorphisme \(R_i \otimes_{R_0} A_0 \to R_i \otimes_{R_0} B_0\) est syntomique. Cela résulte d’Algèbre, Lemme 0C33.

Immersion fermée d’un morphisme de type fini dans un morphisme de présentation finie

Un résultat de ce type est [Kiehl, Satz 2.10]. Une autre référence est [Conrad-Nagata].

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Faisons les hypothèses suivantes :

1. le morphisme \(f\) est localement de type fini ;

2. le schéma \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Alors il existe un morphisme de présentation finie \(f' : X' \to S\) et une immersion \(X \to X'\) de schémas sur \(S\).

Démonstration

D’après la Proposition 01ZA, on peut écrire \(X = \lim_i X_i\), chaque \(X_i\) étant de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et les morphismes de transition \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\) étant affines. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[rd] & X_{i, S} \ar[r] \ar[d] & X_i \ar[d] \\ & S \ar[r] & \Spec(\mathbf{Z}) }\] Remarquons que \(X_i\) est de présentation finie sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) ; voir Morphismes, Lemme 01TX. Ainsi, le changement de base \(X_{i, S} \to S\) est de présentation finie par Morphismes, Lemme 01TS. Il suffit donc de montrer que la flèche \(X \to X_{i, S}\) est une immersion pour \(i\) assez grand.

Pour cela, choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = V_1 \cup \ldots \cup V_n\) tel que \(f\) envoie chaque \(V_j\) dans un ouvert affine \(U_j \subset S\). Soit \(h_{j, a} \in \mathcal{O}_X(V_j)\) une famille finie d’éléments qui engendrent \(\mathcal{O}_X(V_j)\) comme \(\mathcal{O}_S(U_j)\)-algèbre ; voir Morphismes, Lemme 01T2. D’après les Lemmes 01Z4 et 01Z6, et après avoir éventuellement restreint \(I\), nous pouvons supposer qu’il existe des recouvrements ouverts affines \(X_i = V_{1, i} \cup \ldots \cup V_{n, i}\), compatibles aux morphismes de transition et tels que \(V_j = \lim_i V_{j, i}\). D’après le Lemme 01Z0, nous pouvons choisir \(i\) assez grand pour que chaque \(h_{j, a}\) provienne d’un élément \(h_{j, a, i} \in \mathcal{O}_{X_i}(V_{j, i})\). Ainsi, la flèche dans \[V_j \longrightarrow U_j \times_{\Spec(\mathbf{Z})} V_{j, i} = (V_{j, i})_{U_j} \subset (V_{j, i})_S \subset X_{i, S}\] est une immersion fermée. Puisque \(\bigcup (V_{j, i})_{U_j}\) est un ouvert de \(X_{i, S}\) et que l’image réciproque de \((V_{j, i})_{U_j}\) dans \(X\) est \(V_j\), il en résulte que \(X \to X_{i, S}\) est une immersion.

Remarque

On ne peut améliorer cet énoncé sans hypothèses supplémentaires sur \(S\) et sur le morphisme \(f : X \to S\). Par exemple, il ne sera généralement pas possible de trouver comme dans le lemme une immersion fermée \(X \to X'\). En effet, cela impliquerait que \(f\) soit quasi-compact, ce qui peut ne pas être le cas. On peut prendre pour exemple \(S\) égal à l’espace affine de dimension infinie dont le point \(0\) est dédoublé, et \(X\) égal à l’un des deux espaces affines de dimension infinie.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Faisons les hypothèses suivantes :

1. le morphisme \(f\) est localement de type fini ;

2. le schéma \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé ;

3. le schéma \(S\) est quasi-séparé.

Alors il existe un morphisme de présentation finie \(f' : X' \to S\) et une immersion fermée \(X \to X'\) de schémas sur \(S\).

Démonstration

D’après le Lemme 01ZE ci-dessus, il existe un morphisme de présentation finie \(Y \to S\) et une immersion \(i : X \to Y\) de schémas sur \(S\). Pour tout point \(x \in X\), il existe un ouvert affine \(V_x \subset Y\) tel que \(i^{-1}(V_x) \to V_x\) soit une immersion fermée. Puisque \(X\) est quasi-compact, nous pouvons trouver un nombre fini d’ouverts affines \(V_1, \ldots, V_n \subset Y\) tels que \(i(X) \subset V_1 \cup \ldots \cup V_n\) et que \(i^{-1}(V_j) \to V_j\) soit une immersion fermée. Autrement dit, \(i : X \to X' = V_1 \cup \ldots \cup V_n\) est une immersion fermée de schémas sur \(S\). Comme \(S\) est quasi-séparé et \(Y\) quasi-séparé sur \(S\), on en déduit que \(Y\) est quasi-séparé ; voir Schémas, Lemme 01KU. Ainsi, l’immersion ouverte \(X' = V_1 \cup \ldots \cup V_n \to Y\) est quasi-compacte. Il en résulte que \(X' \to Y\) est de présentation finie ; voir Morphismes, Lemme 01TU. On conclut, car \(X' \to Y \to S\) est alors une composée de morphismes de présentation finie, donc est de présentation finie (voir Morphismes, Lemme 01TR).

Lemme

Soit \(X \to Y\) une immersion fermée de schémas. Supposons \(Y\) quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(X\) peut s’écrire comme une limite projective \(X = \lim X_i\) de schémas sur \(Y\), où \(X_i \to Y\) est une immersion fermée de présentation finie.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux qui définit \(X\) comme sous-schéma fermé de \(Y\). D’après Propriétés, Lemme 01PG, nous pouvons écrire \(\mathcal{I}\) comme limite inductive filtrante \(\mathcal{I} = \colim_{i \in I} \mathcal{I}_i\) de ses faisceaux quasi-cohérents d’idéaux de type fini. Soit \(X_i \subset Y\) le sous-schéma fermé défini par \(\mathcal{I}_i\). Ils forment un système projectif de schémas indexé par \(I\). Les morphismes de transition \(X_i \to X_{i'}\) sont affines parce que ce sont des immersions fermées. Chaque \(X_i\) est quasi-compact et quasi-séparé, puisqu’il est un sous-schéma fermé de \(Y\) et que \(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé par hypothèse. On a \(X = \lim_i X_i\), comme il résulte directement du fait que \(\mathcal{I} = \colim_{i \in I} \mathcal{I}_a\). Chacun des morphismes \(X_i \to Y\) est de présentation finie ; voir Morphismes, Lemme 01TV.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Faisons les hypothèses suivantes :

1. le morphisme \(f\) est localement de type fini ;

2. le schéma \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé ;

3. le schéma \(S\) est quasi-séparé.

Alors \(X = \lim X_i\), où les \(X_i \to S\) sont de présentation finie, les \(X_i\) sont quasi-compacts et quasi-séparés, et les morphismes de transition \(X_{i'} \to X_i\) sont des immersions fermées (ce qui implique que \(X \to X_i\) est une immersion fermée pour tout \(i\)).

Démonstration

D’après le Lemme 01ZG, il existe une immersion fermée \(X \to Y\), où \(Y \to S\) est de présentation finie. Le schéma \(Y\) est alors quasi-séparé par Schémas, Lemme 01KU. Comme \(X\) est quasi-compact, nous pouvons supposer \(Y\) quasi-compact en remplaçant \(Y\) par un ouvert quasi-compact contenant \(X\). On a \(X = \lim X_i\), avec \(X_i \to Y\) immersion fermée de présentation finie, d’après le Lemme 09ZP. Les morphismes \(X_i \to S\) sont de présentation finie par Morphismes, Lemme 01TR.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(f\) est de type fini et séparé, et

2. \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Alors il existe un morphisme séparé de présentation finie \(f' : X' \to S\) et une immersion fermée \(X \to X'\) de schémas sur \(S\).

Démonstration

Appliquons le Lemme 09ZQ et remarquons que \(X_i \to S\) est séparé pour \(i\) assez grand d’après le Lemme 01ZH, puisque nous avons supposé \(X \to S\) séparé.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(f\) est fini, et

2. \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Alors il existe un morphisme \(f' : X' \to S\) fini et de présentation finie, ainsi qu’une immersion fermée \(X \to X'\) de schémas sur \(S\).

Démonstration

Nous pouvons écrire \(X = \lim X_i\) comme dans le Lemme 09ZQ. En appliquant le Lemme 09ZN, nous voyons que \(X_i \to S\) est fini pour \(i\) assez grand.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(f\) est fini, et

2. \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Alors \(X\) est une limite projective \(X = \lim X_i\), dont les morphismes de transition sont des immersions fermées et dont les objets \(X_i\) sont finis et de présentation finie sur \(S\).

Démonstration

Nous pouvons écrire \(X = \lim X_i\) comme dans le Lemme 09ZQ. En appliquant le Lemme 09ZN, nous voyons que \(X_i \to S\) est fini pour \(i\) assez grand.

Descente des objets relatifs

Le lemme suivant est représentatif des résultats de cette section. Nous en donnons intégralement la démonstration « standard ». Il sera peut-être plus rapide de se convaincre du résultat que de lire cette démonstration.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((S_i, f_{ii'})\) un système projectif de schémas indexé par \(I\). Supposons que

1. les morphismes \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\) soient affines,

2. les schémas \(S_i\) soient quasi-compacts et quasi-séparés.

Soit \(S = \lim_i S_i\). On a alors les propriétés suivantes :

1. Pour tout morphisme de présentation finie \(X \to S\), il existe un indice \(i \in I\) et un morphisme de présentation finie \(X_i \to S_i\) tels que \(X \cong X_{i, S}\) comme schémas sur \(S\).

2. Étant donnés un indice \(i \in I\), des schémas \(X_i\), \(Y_i\) de présentation finie sur \(S_i\) et un morphisme \(\varphi : X_{i, S} \to Y_{i, S}\) sur \(S\), il existe un indice \(i' \geq i\) et un morphisme \(\varphi_{i'} : X_{i, S_{i'}} \to Y_{i, S_{i'}}\) dont le changement de base à \(S\) est \(\varphi\).

3. Étant donnés un indice \(i \in I\), des schémas \(X_i\), \(Y_i\) de présentation finie sur \(S_i\) et deux morphismes \(\varphi_i, \psi_i : X_i \to Y_i\) dont les changements de base \(\varphi_{i, S} = \psi_{i, S}\) sont égaux, il existe un indice \(i' \geq i\) tel que \(\varphi_{i, S_{i'}} = \psi_{i, S_{i'}}\).

Autrement dit, la catégorie des schémas de présentation finie sur \(S\) est la colimite, indexée par \(I\), des catégories de schémas de présentation finie sur \(S_i\).

Démonstration

Si tous les schémas \(S_i\) sont affines et si l’on ne considère que les schémas affines de présentation finie sur \(S_i\), resp. \(S\), ce lemme équivaut à Algèbre, Lemme 05N9. Nous affirmons que le cas affine entraîne le cas général.

Démontrons (3). Donnons-nous un indice \(i \in I\), des schémas \(X_i\), \(Y_i\) de présentation finie sur \(S_i\) et deux morphismes \(\varphi_i, \psi_i : X_i \to Y_i\). Supposons leurs changements de base égaux : \(\varphi_{i, S} = \psi_{i, S}\). Nous noterons \(X_{i'} = X_{i, S_{i'}}\) et \(Y_{i'} = Y_{i, S_{i'}}\) pour \(i' \geq i\). Posons aussi \(X = X_{i, S}\) et \(Y = Y_{i, S}\). D’après le Lemme 01YZ, on a \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\), et de même pour \(Y\). Notons en outre \(\varphi_{i'}\) et \(\psi_{i'}\) (resp. \(\varphi\) et \(\psi\)) les changements de base de \(\varphi_i\) et \(\psi_i\) à \(S_{i'}\) (resp. \(S\)). Notre hypothèse signifie donc que \(\varphi = \psi\). Puisque \(Y_i\) et \(X_i\) sont de présentation finie sur \(S_i\) et que \(S_i\) est quasi-compact et quasi-séparé, \(X_i\) et \(Y_i\) sont eux aussi quasi-compacts et quasi-séparés (voir Morphismes, Lemme 01TY). On peut donc choisir un recouvrement ouvert affine fini \(Y_i = \bigcup V_{j, i}\) tel que chaque \(V_{j, i}\) ait son image dans un ouvert affine de \(S_i\). Comme ci-dessus, notons \(V_{j, i'}\) l’image réciproque de \(V_{j, i}\) dans \(Y_{i'}\) et \(V_j\) son image réciproque dans \(Y\). Les immersions \(V_{j, i'} \to Y_{i'}\) sont quasi-compactes, et les images réciproques \(U_{j, i'} = \varphi_i^{-1}(V_{j, i'})\) et \(U_{j, i'}' = \psi_i^{-1}(V_{j, i'})\) sont des ouverts quasi-compacts de \(X_{i'}\). Par hypothèse, les images réciproques de \(V_j\) par \(\varphi\) et \(\psi\) dans \(X\) sont égales. D’après le Lemme 01Z4, il existe donc un indice \(i' \geq i\) tel que \(U_{j, i'} = U_{j, i'}'\) dans \(X_{i'}\). Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(U_{j, i'} = U_{j, i'}' = \bigcup W_{j, k, i'}\) qui induit des recouvrements \(U_{j, i''} = U_{j, i''}' = \bigcup W_{j, k, i''}\) pour tout \(i'' \geq i'\). D’après le cas affine, il existe un indice \(i''\) tel que \(\varphi_{i''}|_{W_{j, k, i''}} = \psi_{i''}|_{W_{j, k, i''}}\) pour tous \(j, k\). Alors \(i''\) vérifie \(\varphi_{i''} = \psi_{i''}\), ce qui démontre (3).

Démontrons (2). Donnons-nous un indice \(i \in I\), des schémas \(X_i\), \(Y_i\) de présentation finie sur \(S_i\) et un morphisme \(\varphi : X_{i, S} \to Y_{i, S}\). Nous noterons \(X_{i'} = X_{i, S_{i'}}\) et \(Y_{i'} = Y_{i, S_{i'}}\) pour \(i' \geq i\). Posons aussi \(X = X_{i, S}\) et \(Y = Y_{i, S}\). D’après le Lemme 01YZ, on a \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\), et de même pour \(Y\). Puisque \(Y_i\) et \(X_i\) sont de présentation finie sur \(S_i\) et que \(S_i\) est quasi-compact et quasi-séparé, \(X_i\) et \(Y_i\) sont eux aussi quasi-compacts et quasi-séparés (voir Morphismes, Lemme 01TY). On peut donc choisir un recouvrement ouvert affine fini \(Y_i = \bigcup V_{j, i}\) tel que chaque \(V_{j, i}\) ait son image dans un ouvert affine de \(S_i\). Comme ci-dessus, notons \(V_{j, i'}\) l’image réciproque de \(V_{j, i}\) dans \(Y_{i'}\) et \(V_j\) son image réciproque dans \(Y\). Les immersions \(V_j \to Y\) sont quasi-compactes, et les images réciproques \(U_j = \varphi^{-1}(V_j)\) sont des ouverts quasi-compacts de \(X\). D’après le Lemme 01Z4, il existe donc un indice \(i' \geq i\) et des ouverts quasi-compacts \(U_{j, i'}\) de \(X_{i'}\) dont l’image réciproque dans \(X\) est \(U_j\). Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(U_{j, i'} = \bigcup W_{j, k, i'}\) qui induit des recouvrements ouverts affines \(U_{j, i''} = \bigcup W_{j, k, i''}\) pour tout \(i'' \geq i'\) et un recouvrement ouvert affine \(U_j = \bigcup W_{j, k}\). D’après le cas affine, il existe un indice \(i''\) et des morphismes \(\varphi_{j, k, i''} : W_{j, k, i''} \to V_{j, i''}\) tels que \(\varphi|_{W_{j, k}} = \varphi_{j, k, i'', S}\) pour tous \(j, k\). D’après (3), démontré ci-dessus, il existe un indice \(i''' \geq i''\) tel que \[\varphi_{j_1, k_1, i'', S_{i'''}}|_{W_{j_1, k_1, i'''} \cap W_{j_2, k_2, i'''}} = \varphi_{j_2, k_2, i'', S_{i'''}}|_{W_{j_1, k_1, i'''} \cap W_{j_2, k_2, i'''}}\] pour tous \(j_1, j_2, k_1, k_2\). Alors \(i'''\) est un indice pour lequel il existe un morphisme \(\varphi_{i'''} : X_{i'''} \to Y_{i'''}\) dont le changement de base à \(S\) est \(\varphi\). Ainsi (2) est établi.

Démontrons (1). Donnons-nous un schéma \(X\) de présentation finie sur \(S\). Puisque \(X\) est de présentation finie sur \(S\) et que \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé, \(X\) est lui aussi quasi-compact et quasi-séparé (voir Morphismes, Lemme 01TY). Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(X = \bigcup U_j\) tel que chaque \(U_j\) ait son image dans un ouvert affine \(V_j \subset S\). Notons \(U_{j_1j_2} = U_{j_1} \cap U_{j_2}\) et \(U_{j_1j_2j_3} = U_{j_1} \cap U_{j_2} \cap U_{j_3}\). D’après les Lemmes 01Z4 et 01Z6, on peut trouver un indice \(i_1\) et des ouverts affines \(V_{j, i_1} \subset S_{i_1}\) tels que chaque \(V_j\) soit leur image réciproque dans \(S\). Soit \(V_{j, i}\) l’image réciproque de \(V_{j, i_1}\) dans \(S_i\) pour \(i \geq i_1\). D’après le cas affine, on peut trouver un indice \(i_2 \geq i_1\) et des schémas affines \(U_{j, i_2} \to V_{j, i_2}\) tels que \(U_j = S \times_{S_{i_2}} U_{j, i_2}\) soit le changement de base. Notons \(U_{j, i} = S_i \times_{S_{i_2}} U_{j, i_2}\) pour \(i \geq i_2\). D’après le Lemme 01Z4, il existe un indice \(i_3 \geq i_2\) et des sous-schémas ouverts \(W_{j_1, j_2, i_3} \subset U_{j_1, i_3}\) dont le changement de base à \(S\) est égal à \(U_{j_1j_2}\). Notons \(W_{j_1, j_2, i} = S_i \times_{S_{i_3}} W_{j_1, j_2, i_3}\) pour \(i \geq i_3\). D’après (2), démontré ci-dessus, il existe un indice \(i_4 \geq i_3\) et des morphismes \(\varphi_{j_1, j_2, i_4} : W_{j_1, j_2, i_4} \to W_{j_2, j_1, i_4}\) dont le changement de base à \(S\) est le morphisme identité \(U_{j_1j_2} = U_{j_2j_1}\) pour tous \(j_1, j_2\). Pour tout \(i \geq i_4\), notons \(\varphi_{j_1, j_2, i} = \text{id}_S \times \varphi_{j_1, j_2, i_4}\) le changement de base. Nous affirmons que, pour un certain \(i_5 \geq i_4\), le système \(((U_{j, i_5})_j, (W_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2}, (\varphi_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2})\) est une donnée de recollement au sens de Schémas, section 01JA. Pour le voir, il faut vérifier que, pour \(i\) assez grand, on a \[\varphi_{j_1, j_2, i}^{-1}(W_{j_2, j_1, i} \cap W_{j_2, j_3, i}) = W_{j_1, j_2, i} \cap W_{j_1, j_3, i}\] et que, pour \(i\) assez grand, la condition de cocycle est satisfaite. La première condition résulte du Lemme 01Z4 et de l’égalité \(U_{j_2j_1j_3} = U_{j_1j_2j_3}\). La seconde résulte de (3), démontré ci-dessus, et du fait que la condition de cocycle est satisfaite par les applications \(\text{id} : U_{j_1j_2} \to U_{j_2j_1}\). On peut donc appliquer Schémas, Lemme 01JC pour recoller le système \(((U_{j, i_5})_j, (W_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2}, (\varphi_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2})\) et obtenir un schéma \(X_{i_5} \to S_{i_5}\). Par construction, le changement de base de \(X_{i_5}\) à \(S\) est obtenu en recollant les ouverts affines \(U_j\) le long des ouverts \(U_{j_1} \leftarrow U_{j_1j_2} \rightarrow U_{j_2}\). Ainsi \(S \times_{S_{i_5}} X_{i_5} \cong X\), comme voulu.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((S_i, f_{ii'})\) un système projectif de schémas indexé par \(I\). Supposons que

1. tous les morphismes \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\) soient affines,

2. tous les schémas \(S_i\) soient quasi-compacts et quasi-séparés.

Soit \(S = \lim_i S_i\). On a alors les propriétés suivantes :

1. Pour tout faisceau de \(\mathcal{O}_S\)-modules \(\mathcal{F}\) de présentation finie, il existe un indice \(i \in I\) et un faisceau de \(\mathcal{O}_{S_i}\)-modules de présentation finie \(\mathcal{F}_i\) tels que \(\mathcal{F} \cong f_i^*\mathcal{F}_i\).

2. Donnons-nous un indice \(i \in I\), des faisceaux de \(\mathcal{O}_{S_i}\)-modules \(\mathcal{F}_i\), \(\mathcal{G}_i\) de présentation finie et un morphisme \(\varphi : f_i^*\mathcal{F}_i \to f_i^*\mathcal{G}_i\) sur \(S\). Il existe alors un indice \(i' \geq i\) et un morphisme \(\varphi_{i'} : f_{i'i}^*\mathcal{F}_i \to f_{i'i}^*\mathcal{G}_i\) dont le changement de base à \(S\) est \(\varphi\).

3. Donnons-nous un indice \(i \in I\), des faisceaux de \(\mathcal{O}_{S_i}\)-modules \(\mathcal{F}_i\), \(\mathcal{G}_i\) de présentation finie et deux morphismes \(\varphi_i, \psi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\). Supposons leurs changements de base égaux : \(f_i^*\varphi_i = f_i^*\psi_i\). Il existe alors un indice \(i' \geq i\) tel que \(f_{i'i}^*\varphi_i = f_{i'i}^*\psi_i\).

Autrement dit, la catégorie des modules de présentation finie sur \(S\) est la colimite, indexée par \(I\), des catégories de modules de présentation finie sur \(S_i\).

Démonstration

Nous esquissons deux démonstrations, en omettant les détails.

Première démonstration. Si \(S\) et les \(S_i\) sont affines, ce lemme équivaut à Algèbre, Lemme 05N7. Dans le cas général, on se ramène au cas affine par recollement de Zariski.

Seconde démonstration. On utilise les faits suivants :

1. il existe une équivalence de catégories entre les \(\mathcal{O}_S\)-modules quasi-cohérents et les fibrés vectoriels sur \(S\) ; voir Constructions, section 01M1,

2. un fibré vectoriel \(\mathbf{V}(\mathcal{F}) \to S\) est de présentation finie sur \(S\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module de présentation finie.

Ceci étant, on peut utiliser le Lemme 01ZM pour montrer que la catégorie des fibrés vectoriels de présentation finie sur \(S\) est la colimite, indexée par \(I\), des catégories de fibrés vectoriels sur \(S_i\).

Lemme

Soit \(S = \lim S_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas quasi-compacts et quasi-séparés \(S_i\), à morphismes de transition affines. Alors

1. tout \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang fini est l’image inverse d’un \(\mathcal{O}_{S_i}\)-module localement libre de rang fini pour un certain \(i\),

2. tout \(\mathcal{O}_S\)-module inversible est l’image inverse d’un \(\mathcal{O}_{S_i}\)-module inversible pour un certain \(i\),

3. tout idéal quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\) est de la forme \(\mathcal{I}_i \cdot \mathcal{O}_S\) pour un certain \(i\) et un idéal quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_{S_i}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang fini. Puisque les modules localement libres de rang fini sont de présentation finie, on peut trouver un \(i\) et un \(\mathcal{O}_{S_i}\)-module \(\mathcal{E}_i\) de présentation finie tels que \(f_i^*\mathcal{E}_i \cong \mathcal{E}\) ; voir Lemme 01ZR. En augmentant \(i\), on peut supposer que \(\mathcal{E}_i\) est un \(\mathcal{O}_{S_i}\)-module plat ; voir Algèbre, Lemme 02JO. (L’emploi de ce lemme n’est pas nécessaire, mais commode.) Alors \(\mathcal{E}_i\) est localement libre de rang fini d’après Algèbre, Lemme 00NX.

Si \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module inversible, ce qui précède fournit un \(i\) et des \(\mathcal{O}_{S_i}\)-modules localement libres de rang fini \(\mathcal{L}_i\) et \(\mathcal{N}_i\) dont les images inverses sont \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\). Après avoir éventuellement augmenté \(i\), l’application \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\) descend en une application \(\mathcal{L}_i \otimes_{\mathcal{O}_{S_i}} \mathcal{N}_i \to \mathcal{O}_{S_i}\). En augmentant encore \(i\), on peut supposer que c’est un isomorphisme. Il s’ensuit que \(\mathcal{L}_i\) est un module inversible (Modules, Lemme 0B8K), ce qui achève la démonstration de (2).

Étant donné \(\mathcal{I}\) comme dans (3), on voit que \(\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S/\mathcal{I}\) est une application de \(\mathcal{O}_S\)-modules de présentation finie. D’après le Lemme 01ZR, c’est donc l’image inverse d’une application \(\mathcal{O}_{S_i} \to \mathcal{F}_i\) de \(\mathcal{O}_{S_i}\)-modules de présentation finie. En augmentant \(i\), on peut supposer cette application surjective (détails omis ; indication : appliquer Algèbre, Lemme 05LI sur un recouvrement ouvert affine). Le noyau de \(\mathcal{O}_{S_i} \to \mathcal{F}_i\) est alors un idéal quasi-cohérent de type fini de \(\mathcal{O}_{S_i}\) dont l’image inverse donne \(\mathcal{I}\).

Lemme

Reprenons les notations et les hypothèses du Lemme 01ZM. Soit \(i \in I\). Supposons que \(\varphi_i : X_i \to Y_i\) soit un morphisme de schémas de présentation finie sur \(S_i\) et que \(\mathcal{F}_i\) soit un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module quasi-cohérent de présentation finie. Si l’image inverse de \(\mathcal{F}_i\) sur \(X_i \times_{S_i} S\) est plate sur \(Y_i \times_{S_i} S\), il existe un indice \(i' \geq i\) tel que l’image inverse de \(\mathcal{F}_i\) sur \(X_i \times_{S_i} S_{i'}\) soit plate sur \(Y_i \times_{S_i} S_{i'}\).

Démonstration

(Ce lemme est l’analogue du Lemme 04AI pour les modules.) Pour \(i' \geq i\), notons \(X_{i'} = S_{i'} \times_{S_i} X_i\), \(\mathcal{F}_{i'} = (X_{i'} \to X_i)^*\mathcal{F}_i\), et de même pour \(Y_{i'}\). Notons \(\varphi_{i'}\) le changement de base de \(\varphi_i\) à \(S_{i'}\). Posons aussi \(X = S \times_{S_i} X_i\), \(Y =S \times_{S_i} X_i\), \(\mathcal{F} = (X \to X_i)^*\mathcal{F}_i\) et notons \(\varphi\) le changement de base de \(\varphi_i\) à \(S\). Soit \(Y_i = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, i}\) un recouvrement ouvert affine fini tel que chaque \(V_{j, i}\) ait son image dans un ouvert affine de \(S_i\). Pour chaque \(j = 1, \ldots m\), soit \(\varphi_i^{-1}(V_{j, i}) = \bigcup_{k = 1, \ldots, m(j)} U_{k, j, i}\) un recouvrement ouvert affine fini. Pour \(i' \geq i\), notons \(V_{j, i'}\) l’image réciproque de \(V_{j, i}\) dans \(Y_{i'}\) et \(U_{k, j, i'}\) celle de \(U_{k, j, i}\) dans \(X_{i'}\). On a de même \(U_{k, j} \subset X\) et \(V_j \subset Y\). Alors \(U_{k, j} = \lim_{i' \geq i} U_{k, j, i'}\) et \(V_j = \lim_{i' \geq i} V_j\) (voir Lemme 01YX). Puisque \(X_{i'} = \bigcup_{k, j} U_{k, j, i'}\) est un recouvrement ouvert fini, il suffit de démontrer le lemme pour chacun des morphismes \(U_{k, j, i} \to V_{j, i}\) et le faisceau \(\mathcal{F}_i|_{U_{k, j, i}}\). On se ramène donc au cas où \(X_i\) et \(Y_i\) sont affines et ont leur image dans un ouvert affine de \(S_i\), c’est-à-dire que l’on peut aussi supposer \(S\) affine.

Dans le cas affine, on se ramène au résultat d’algèbre suivant. Supposons que \(R = \colim_{i \in I} R_i\). Pour un certain \(i \in I\), donnons-nous une application \(A_i \to B_i\) de \(R_i\)-algèbres de présentation finie. Soit \(N_i\) un \(B_i\)-module de présentation finie. Si \(R \otimes_{R_i} N_i\) est plat sur \(R \otimes_{R_i} A_i\), alors, pour un certain \(i' \geq i\), le module \(R_{i'} \otimes_{R_i} N_i\) est plat sur \(R_{i'} \otimes_{R_i} A\). C’est exactement le résultat démontré dans Algèbre, Lemme 02JO (3).

Lemme

Pour un schéma \(T\), notons \(\mathcal{C}_T\) la sous-catégorie pleine des schémas \(W\) sur \(T\) tels que \(W\) soit quasi-compact et quasi-séparé et que le morphisme structural \(W \to T\) soit localement de présentation finie. Soit \(S = \lim S_i\) une limite projective de schémas à morphismes de transition affines. Il existe alors une équivalence de catégories \[\colim \mathcal{C}_{S_i} \longrightarrow \mathcal{C}_S\] donnée par les foncteurs de changement de base.

Attention : n’utilisez pas ce lemme sans comprendre la différence entre celui-ci et le Lemme 01ZM.

Démonstration

Pleine fidélité. Donnons-nous \(i \in I\) et des objets \(X_i\), \(Y_i\) de \(\mathcal{C}_{S_i}\). Notons \(X = X_i \times_{S_i} S\) et \(Y = Y_i \times_{S_i} S\). Donnons-nous un morphisme \(f : X \to Y\) sur \(S\). On peut choisir un recouvrement ouvert affine fini \(Y_i = V_{i, 1} \cup \ldots \cup V_{i, m}\) tel que \(V_{i, j} \to Y_i \to S_i\) ait son image dans un ouvert affine \(W_{i, j}\) de \(S_i\). Notons \(Y = V_1 \cup \ldots \cup V_m\) le recouvrement ouvert affine induit sur \(Y\). Puisque \(f : X \to Y\) est quasi-compact (Schémas, Lemme 03GI), on peut, en augmentant \(i\), supposer qu’il existe un recouvrement ouvert fini \(X_i = U_{i, 1} \cup \ldots \cup U_{i, m}\) par des ouverts quasi-compacts tels que l’image réciproque de \(U_{i, j}\) dans \(Y\) soit \(f^{-1}(V_j)\) ; voir Lemme 01Z4. D’après le Lemme 01ZM appliqué à \(f|_{f^{-1}(V_j)}\) sur \(W_j\), on peut supposer, en augmentant \(i\), qu’il existe un morphisme \(f_{i, j} : V_{i, j} \to U_{i, j}\) sur \(S\) dont le changement de base à \(S\) est \(f|_{f^{-1}(V_j)}\). En augmentant encore \(i\), on peut supposer que \(f_{i, j}\) et \(f_{i, j'}\) coïncident sur l’ouvert quasi-compact \(U_{i, j} \cap U_{i, j'}\). On peut alors recoller ces morphismes pour obtenir le morphisme cherché \(f_i : X_i \to Y_i\). Ce morphisme est unique (quitte à augmenter \(i\)), car c’est le cas des morphismes \(f_{i, j}\).

Pour montrer que le foncteur est essentiellement surjectif, on raisonne exactement de la même manière. Supposons en effet que \(X\) soit un objet de \(\mathcal{C}_S\). Choisissons \(i \in I\). On peut choisir un recouvrement ouvert affine fini \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\) tel que \(U_j \to X \to S \to S_i\) se factorise par un ouvert affine \(W_{i, j} \subset S_i\). Posons \(W_j = W_{i, j} \times_{S_i} S\). C’est un ouvert affine de \(S\). D’après le Lemme 01ZM, on peut, en augmentant \(i\), supposer qu’il existe des morphismes \(U_{i, j} \to W_{i, j}\) de présentation finie dont le changement de base à \(W_j\) est \(U_j\). En augmentant \(i\), on peut supposer qu’il existe des ouverts quasi-compacts \(U_{i, j, j'} \subset U_{i, j}\) dont les changements de base à \(S\) sont égaux à \(U_j \cap U_{j'}\). Nous affirmons qu’en augmentant \(i\), on peut supposer que l’image du morphisme \(U_{i, j, j'} \to U_{i, j} \to W_{i, j}\) est contenue dans \(W_{i, j} \cap W_{i, j'}\). En effet, le complémentaire de \(W_{i, j} \cap W_{i, j'}\) est fermé dans le schéma affine \(W_{i, j}\), donc affine. Puisque \(U_j \cap U_{j'} = \lim U_{i, j, j'}\) a bien son image dans \(W_{i, j} \cap W_{i, j'}\), on peut appliquer le Lemme 05F3 pour obtenir l’assertion. Ainsi, on peut considérer \[U_{i, j, j'} \quad\text{et}\quad U_{i, j', j}\] comme deux schémas sur \(W_{i, j'}\) dont les changements de base à \(W_{j'}\) redonnent \(U_j \cap U_{j'}\). En augmentant \(i\) et en utilisant le Lemme 01ZM, on peut donc supposer qu’il existe des isomorphismes \(U_{i, j, j'} \to U_{i, j', j}\) sur \(W_{i, j'}\), donc sur \(S_i\). En augmentant encore \(i\) (détails omis), on peut supposer que ces isomorphismes satisfont la condition de cocycle mentionnée dans Schémas, section 01JA. En appliquant Schémas, Lemme 01JB, on obtient un objet \(X_i\) de \(\mathcal{C}_{S_i}\) dont le changement de base à \(S\) est isomorphe à \(X\) ; nous omettons certaines vérifications.

Caractérisation des schémas affines

Si \(f : X \to S\) est un morphisme entier surjectif de schémas tel que \(X\) soit affine, alors \(S\) est lui aussi affine. Voir [Conrad-Nagata, A.2]. Notre démonstration repose sur le cas noethérien, énoncé et démontré dans Cohomologie des schémas, Lemme 01YQ. Voir aussi [EGA, II 6.7.1].

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que \(f\) soit surjectif et fini, et que \(X\) soit affine. Alors \(S\) est affine.

Démonstration

Puisque \(f\) est surjectif et \(X\) quasi-compact, \(S\) est quasi-compact. Puisque \(X\) est séparé et \(f\) surjectif et universellement fermé (Morphismes, Lemme 01WM), \(S\) est séparé (Morphismes, Lemme 09MQ).

D’après le Lemme 09YY, on peut écrire \(X = \lim_a X_a\), où \(X_a \to S\) est fini et de présentation finie. D’après le Lemme 01Z6, \(X_a\) est affine pour un certain \(a \in A\). En remplaçant \(X\) par \(X_a\), on peut supposer que \(X \to S\) est surjectif, fini et de présentation finie, et que \(X\) est affine.

D’après la Proposition 01ZA, on peut écrire \(S = \lim_{i \in I} S_i\) comme une limite projective de schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\). D’après le Lemme 01ZM, on peut, en restreignant \(I\), supposer qu’il existe des schémas \(X_i \to S_i\) de présentation finie tels que \(X_{i'} = X_i \times_S S_{i'}\) pour \(i' \geq i\) et que \(X = \lim_i X_i\). D’après le Lemme 01ZO, on peut également supposer que \(X_i \to S_i\) est fini pour tout \(i \in I\). En appliquant de nouveau le Lemme 01Z6, on peut supposer \(X_i\) affine pour tout \(i \in I\). Le résultat découle donc du cas noethérien ; voir Cohomologie des schémas, Lemme 01YQ.

Proposition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(X\) affine et \(f\) surjectif et universellement fermé². Alors \(S\) est affine.

Démonstration

D’après Morphismes, Lemme 09MQ, le schéma \(S\) est séparé. D’après Morphismes, Lemme 01SG, \(f\) est alors affine. Dès lors, d’après Morphismes, Lemme 01WM, \(f\) est entier.

D’après le paragraphe précédent, on peut supposer \(f : X \to S\) surjectif et entier, \(X\) affine et \(S\) séparé. Puisque \(f\) est surjectif et \(X\) quasi-compact, \(S\) est aussi quasi-compact.

D’après le Lemme 09YZ, on peut écrire \(X = \lim_i X_i\), où \(X_i \to S\) est fini. D’après le Lemme 01Z6, pour \(i\) assez grand, le schéma \(X_i\) est affine. De plus, puisque \(X \to S\) se factorise par chaque \(X_i\), \(X_i \to S\) est surjectif. On conclut donc que \(S\) est affine par le Lemme 01ZT.

Lemme

Soit \(X\) un schéma qui est, ensemblistement, réunion d’un nombre fini de sous-schémas fermés affines. Alors \(X\) est affine.

Démonstration

Soient \(Z_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\), des sous-schémas fermés affines tels que \(X = \bigcup Z_i\) ensemblistement. Alors \(\coprod Z_i \to X\) est surjectif et entier, de source affine. Ainsi \(X\) est affine par la Proposition 05YU.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas induisant un homéomorphisme des espaces topologiques sous-jacents. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Alors \(i^*\mathcal{L}\) est ample sur \(Z\) si et seulement si \(\mathcal{L}\) est ample sur \(X\).

Démonstration

Si \(\mathcal{L}\) est ample, alors \(i^*\mathcal{L}\) est ample, par exemple d’après Morphismes, Lemme 0892. Supposons \(i^*\mathcal{L}\) ample. Alors \(Z\) est quasi-compact (Propriétés, Définition 01PS) et séparé (Propriétés, Lemme 09MP). Puisque \(i\) est surjectif, \(X\) est quasi-compact. Puisque \(i\) est universellement fermé et surjectif, \(X\) est séparé (Morphismes, Lemme 09MQ).

D’après la Proposition 01ZA, on peut écrire \(X = \lim X_i\) comme une limite projective de schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\) à morphismes de transition affines. On peut trouver un \(i\) et un faisceau inversible \(\mathcal{L}_i\) sur \(X_i\) dont l’image inverse sur \(X\) est isomorphe à \(\mathcal{L}\) ; voir Lemme 01ZR.

Pour chaque \(i\), soit \(Z_i \subset X_i\) l’image schématique du morphisme \(Z \to X_i\). Si \(\Spec(A_i) \subset X_i\) est un sous-schéma ouvert affine dont l’image réciproque est \(\Spec(A)\) dans \(X\) et si \(Z \cap \Spec(A)\) est défini par l’idéal \(I \subset A\), alors \(Z_i \cap \Spec(A_i)\) est défini par l’idéal \(I_i \subset A_i\), image réciproque de \(I\) dans \(A_i\) par l’homomorphisme \(A_i \to A\) ; voir Morphismes, Exemple 056A. Puisque \(\colim A_i/I_i = A/I\), on en déduit \(\lim Z_i = Z\). D’après le Lemme 09MT, \(\mathcal{L}_i|_{Z_i}\) est ample pour un certain \(i\). Puisque \(Z\), et donc \(X\), a son image dans \(Z_i\) ensemblistement, \(X_{i'} \to X_i\) a son image dans \(Z_i\) ensemblistement pour un certain \(i' \geq i\) ; voir Lemme 05F4. (Comme \(X_i\) est noethérien, toute partie fermée de \(X_i\) est constructible.) Soit \(T \subset X_{i'}\) l’image réciproque schématique de \(Z_i\) dans \(X_{i'}\). Remarquons que \(\mathcal{L}_{i'}|_T\) est l’image inverse de \(\mathcal{L}_i|_{Z_i}\), donc est ample d’après Morphismes, Lemme 0892, car \(T \to Z_i\) est un morphisme affine. Ainsi \(\mathcal{L}_{i'}\) est ample sur \(X_{i'}\) d’après Cohomologie des schémas, Lemme 09MS. En prenant l’image inverse sur \(X\) (à l’aide du même lemme que ci-dessus), on trouve que \(\mathcal{L}\) est ample.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée de schémas induisant un homéomorphisme des espaces topologiques sous-jacents. Alors \(X\) est quasi-affine si et seulement si \(Z\) est quasi-affine.

Démonstration

Rappelons qu’un schéma est quasi-affine si et seulement si son faisceau structural est ample ; voir Propriétés, Lemme 01QE. Ainsi, si \(Z\) est quasi-affine, \(\mathcal{O}_Z\) est ample, donc \(\mathcal{O}_X\) est ample par le Lemme 09MW, et \(X\) est donc quasi-affine. La réciproque, qui se démontre aussi de manière élémentaire, s’obtient en lisant le raisonnement précédent en sens inverse.

Le lemme suivant n’a pas vraiment sa place dans cette section.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible ample sur \(X\). Supposons donnés des morphismes de schémas \[\Spec(k) \leftarrow \Spec(A) \to W \subset X\] où \(k\) est un corps, \(A\) une \(k\)-algèbre entière et \(W\) un ouvert de \(X\). Il existe alors un \(n > 0\) et une section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) tels que \(X_s\) soit affine, \(X_s \subset W\), et que \(\Spec(A) \to W\) se factorise par \(X_s\).

Démonstration

Puisque \(\Spec(A)\) est quasi-compact, on peut remplacer \(W\) par un ouvert quasi-compact contenant encore l’image de \(\Spec(A) \to X\). Rappelons que \(X\) est quasi-séparé et quasi-compact du fait qu’il possède un faisceau inversible ample ; voir Propriétés, Définition 01PS et Lemme 01PY. D’après la Proposition 01ZA, on peut écrire \(X = \lim X_i\) comme la limite d’un système projectif filtrant de schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\) à morphismes de transition affines. Pour un certain \(i\), le faisceau inversible ample \(\mathcal{L}\) sur \(X\) descend en un faisceau inversible ample \(\mathcal{L}_i\) sur \(X_i\), et l’ouvert \(W\) est l’image réciproque d’un ouvert quasi-compact \(W_i \subset X_i\) ; voir Lemmes 09MT, 0B8W et 01Z4. On peut remplacer \(X, W, \mathcal{L}\) par \(X_i, W_i, \mathcal{L}_i\) et supposer \(X\) de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\). Écrivons \(A = \colim A_j\) comme la limite inductive de ses \(k\)-sous-algèbres finies. Pour un certain \(j\), le morphisme \(\Spec(A) \to X\) se factorise alors par un morphisme \(\Spec(A_j) \to X\) ; voir Proposition 01ZC. Puisque \(\Spec(A_j)\) est fini, on est ramené à Propriétés, Lemme 09NV.

Variantes du lemme de Chow

Dans cette section, nous démontrons plusieurs variantes du lemme de Chow. La version la plus intéressante est probablement le cas noethérien, énoncé et démontré dans Cohomologie des schémas, section 02O2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(f : X \to S\) un morphisme séparé de type fini. Il existe alors un \(n \geq 0\) et un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[rd] & X' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] où \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion et \(\pi : X' \to X\) est propre et surjectif.

Démonstration

D’après la Proposition 01ZJ, on peut trouver une immersion fermée \(X \to Y\), où \(Y\) est séparé et de présentation finie sur \(S\). Si l’on démontre l’assertion pour \(Y\), le résultat pour \(X\) s’en déduit immédiatement. On peut donc supposer \(X\) de présentation finie sur \(S\).

Écrivons \(S = \lim_i S_i\) comme une limite projective de schémas noethériens ; voir Proposition 01ZA. D’après le Lemme 01ZM, on peut trouver un indice \(i \in I\) et un schéma \(X_i \to S_i\) de présentation finie tels que \(X = S \times_{S_i} X_i\). D’après le Lemme 01ZQ, on peut supposer \(X_i \to S_i\) séparé. Si l’on démontre l’assertion pour \(X_i\) sur \(S_i\), elle vaut évidemment pour \(X\). Le cas \(X_i \to S_i\) est traité dans Cohomologie des schémas, Lemme 0200.

Remarque

Dans la situation du Lemme de Chow 0202 :

1. Le morphisme \(\pi\) est en fait H-projectif (donc projectif ; voir Morphismes, Lemme 01W9), puisque le morphisme \(X' \to \mathbf{P}^n_S \times_S X = \mathbf{P}^n_X\) est une immersion fermée (utiliser le fait que \(\pi\) est propre ; voir Morphismes, Lemme 01W6).

2. On peut supposer \(X'\) réduit, car on peut remplacer \(X'\) par son réduit sans changer les autres assertions du lemme.

3. On peut supposer \(X' \to X\) de présentation finie sans changer les autres assertions du lemme. Cela se déduit de la démonstration du Lemme 0202, mais on peut aussi le démontrer directement comme suit. D’après (1), on a une immersion fermée \(X' \to \mathbf{P}^n_X\). D’après le Lemme 09ZP, on peut écrire \(X' = \lim X'_i\), où \(X'_i \to \mathbf{P}^n_X\) est une immersion fermée de présentation finie. En particulier, \(X'_i \to X\) est de présentation finie, propre et surjectif. Pour \(i\) assez grand, le morphisme \(X'_i \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion par le Lemme 081B. En remplaçant \(X'\) par \(X'_i\), on obtient le résultat voulu.

Bien entendu, on ne peut pas, en général, obtenir simultanément (2) et (3).

Voici une variante du lemme de Chow dans laquelle on suppose que le schéma source possède un nombre fini de composantes irréductibles.

Lemme

Soit \(S\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(f : X \to S\) un morphisme séparé de type fini. Supposons que \(X\) possède un nombre fini de composantes irréductibles. Il existe alors un \(n \geq 0\) et un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[rd] & X' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] où \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion et \(\pi : X' \to X\) est propre et surjectif. De plus, il existe un sous-schéma ouvert dense \(U \subset X\) tel que \(\pi^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme de schémas.

Démonstration

Soit \(X = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) la décomposition de \(X\) en composantes irréductibles. Soit \(\eta_j \in Z_j\) le point générique.

Il y a au moins deux façons de poursuivre la démonstration. La première consiste à reprendre la démonstration de Cohomologie des schémas, Lemme 0200, en utilisant le résultat général Propriétés, Lemme 01ZX, pour trouver des ouverts affines convenables de \(X\). (C’est la démonstration « standard ».) La seconde consiste à utiliser l’approximation noethérienne absolue, comme dans la démonstration du Lemme 0202 ci-dessus. C’est ce que nous allons faire ici.

D’après la Proposition 01ZJ, on peut trouver une immersion fermée \(X \to Y\), où \(Y\) est séparé et de présentation finie sur \(S\). Écrivons \(S = \lim_i S_i\) comme une limite projective de schémas noethériens ; voir Proposition 01ZA. D’après le Lemme 01ZM, on peut trouver un indice \(i \in I\) et un schéma \(Y_i \to S_i\) de présentation finie tels que \(Y = S \times_{S_i} Y_i\). D’après le Lemme 01ZQ, on peut supposer \(Y_i \to S_i\) séparé. On a le diagramme suivant : \[\xymatrix{ \eta_j \in Z_j \ar[r] & X \ar[r] \ar[rd] & Y \ar[r] \ar[d] & Y_i \ar[d] \\ & & S \ar[r] & S_i }\] Notons \(h : X \to Y_i\) la composée.

Pour \(i' \geq i\), posons \(Y_{i'} = S_{i'} \times_{S_i} Y_i\). Alors \(Y = \lim_{i' \geq i} Y_{i'}\) ; voir Lemme 01YZ. Choisissons \(j, j' \in \{1, \ldots, n\}\), \(j \not = j'\). Remarquons que \(\eta_j\) n’est pas une spécialisation de \(\eta_{j'}\). D’après le Lemme 01YY, on peut remplacer \(i\) par un indice plus grand et supposer que \(h(\eta_j)\) n’est pas une spécialisation de \(h(\eta_{j'})\) pour tous les couples \((j, j')\) ci-dessus. Pour un tel indice, soit \(Y' \subset Y_i\) l’image schématique de \(h : X \to Y_i\) ; voir Morphismes, Définition 01R7. Le morphisme \(h\) est quasi-compact, étant la composée des morphismes quasi-compacts \(X \to Y\) et \(Y \to Y_i\) (ce dernier est affine). D’après Morphismes, Lemme 01R8, le morphisme \(X \to Y'\) est donc dominant. Ainsi, les points génériques de \(Y'\) appartiennent tous à l’ensemble \(\{h(\eta_1), \ldots, h(\eta_n)\}\) ; voir Morphismes, Lemme 01RL. Puisqu’aucun des \(h(\eta_j)\) n’est une spécialisation d’un autre, les points \(h(\eta_1), \ldots, h(\eta_n)\) sont deux à deux distincts et chacun est un point générique de \(Y'\).

Appliquons Cohomologie des schémas, Lemme 0200, au morphisme \(Y' \to S_i\). On obtient un diagramme \[\xymatrix{ Y' \ar[rd] & Y^* \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_{S_i} \ar[dl] \\ & S_i & }\] tel que \(\pi\) soit propre et surjectif, et un isomorphisme au-dessus d’un sous-schéma ouvert dense \(V \subset Y'\). Par le choix de \(i\) ci-dessus, on sait que \(h(\eta_1), \ldots, h(\eta_n) \in V\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar@{=}[r] & X \times_{Y'} Y^* \ar[r] \ar[d] & Y^* \ar[r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_{S_i} \ar[ddl] \\ & X \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] & \\ & S \ar[r] & S_i & }\] Remarquons que \(X' \to X\) est un isomorphisme au-dessus du sous-schéma ouvert \(U = h^{-1}(V)\), qui contient chacun des \(\eta_j\), donc est dense dans \(X\). On conclut que \(X \leftarrow X' \rightarrow \mathbf{P}^n_S\) résout le problème posé dans le lemme.

Applications du lemme de Chow

Voici une première application du lemme de Chow.

Lemme

Reprenons les hypothèses et les notations de la Situation 081D. Si

1. \(f\) est propre,

2. \(f_0\) est localement de type fini,

alors il existe un \(i\) tel que \(f_i\) soit propre.

Démonstration

D’après le Lemme 01ZQ, \(f_i\) est séparé pour un certain \(i \geq 0\). En remplaçant \(0\) par \(i\), on peut supposer \(f_0\) séparé. Remarquons que \(f_0\) est quasi-compact ; voir Schémas, Lemme 03GI. D’après le Lemme 0202, on peut choisir un diagramme \[\xymatrix{ X_0 \ar[rd] & X_0' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_{Y_0} \ar[dl] \\ & Y_0 & }\] où \(X_0' \to \mathbf{P}^n_{Y_0}\) est une immersion et \(\pi : X_0' \to X_0\) est propre et surjectif. Posons \(X' = X_0' \times_{Y_0} Y\) et \(X_i' = X_0' \times_{Y_0} Y_i\). D’après Morphismes, Lemmes 01W3 et 01W4, \(X' \to Y\) est propre. Ainsi \(X' \to \mathbf{P}^n_Y\) est une immersion fermée (Morphismes, Lemme 01W6). D’après Morphismes, Lemme 03GN, il suffit de montrer que \(X'_i \to Y_i\) est propre pour un certain \(i\). D’après le Lemme 01ZP, \(X'_i \to \mathbf{P}^n_{Y_i}\) est une immersion fermée pour \(i\) assez grand. Alors \(X'_i \to Y_i\) est propre, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre, où \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(X = \lim X_i\) est une limite projective de schémas \(X_i\) propres et de présentation finie sur \(S\), telle que tous les morphismes de transition et les morphismes \(X \to X_i\) soient des immersions fermées.

Démonstration

D’après la Proposition 01ZJ, on peut trouver une immersion fermée \(X \to Y\), où \(Y\) est séparé et de présentation finie sur \(S\). D’après le Lemme 0202, on peut trouver un diagramme \[\xymatrix{ Y \ar[rd] & Y' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] où \(Y' \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion et \(\pi : Y' \to Y\) est propre et surjectif. D’après le Lemme 09ZP, on peut écrire \(X = \lim X_i\), où \(X_i \to Y\) est une immersion fermée de présentation finie. Notons \(X'_i \subset Y'\), resp. \(X' \subset Y'\), l’image réciproque schématique de \(X_i \subset Y\), resp. \(X \subset Y\). Alors \(\lim X'_i = X'\). Puisque \(X' \to S\) est propre (Morphismes, Lemmes 01W3), \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion fermée (Morphismes, Lemme 01W6). Pour \(i\) assez grand, \(X'_i \to \mathbf{P}^n_S\) est donc une immersion fermée d’après le Lemme 0A0N. Ainsi \(X'_i\) est propre sur \(S\). Pour un tel \(i\), le morphisme \(X_i \to S\) est propre d’après Morphismes, Lemme 03GN.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme propre, où \(S\) est quasi-compact et quasi-séparé. Il existe alors un ensemble ordonné filtrant \(I\) et un système projectif \((f_i : X_i \to S_i)\) de morphismes de schémas indexé par \(I\), tels que les morphismes de transition \(X_i \to X_{i'}\) et \(S_i \to S_{i'}\) soient affines, que \(f_i\) soit propre, que \(S_i\) soit de type fini sur \(\mathbf{Z}\) et que \((X \to S) = \lim (X_i \to S_i)\).

Démonstration

D’après le Lemme 09ZR, on peut écrire \(X = \lim_{k \in K} X_k\), où \(X_k \to S\) est propre et de présentation finie. Ensuite, par approximation noethérienne absolue (Proposition 01ZA), on peut écrire \(S = \lim_{j \in J} S_j\), où \(S_j\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour chaque \(k\), il existe un \(j\) et un morphisme \(X_{k, j} \to S_j\) de présentation finie tels que \(X_k \cong S \times_{S_j} X_{k, j}\) comme schémas sur \(S\) ; voir Lemme 01ZM. En augmentant \(j\), on peut supposer \(X_{k, j} \to S_j\) propre ; voir Lemme 081F. L’ensemble \(I\) sera constitué de ces couples \((k, j)\), et le morphisme correspondant sera \(X_{k, j} \to S_j\). Pour tout \(k' \geq k\), on peut trouver un \(j' \geq j\) et un morphisme \(X_{j', k'} \to X_{j, k}\) au-dessus de \(S_{j'} \to S_j\) dont le changement de base à \(S\) donne le morphisme \(X_{k'} \to X_k\) (cela découle encore du Lemme 01ZM). Ces morphismes constituent les morphismes de transition du système. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \lim X_i\) une limite projective de schémas sur \(S\) à morphismes de transition affines. Soit \(Y \to X\) un morphisme de schémas sur \(S\). Si \(Y \to X\) est propre, si les \(X_i\) sont quasi-compacts et quasi-séparés et si \(Y\) est localement de type fini sur \(S\), alors \(Y \to X_i\) est propre pour \(i\) assez grand.

Démonstration

Choisissons une immersion fermée \(Y \to Y'\), où \(Y'\) est propre et de présentation finie sur \(X\) ; voir Lemme 09ZR. Choisissons ensuite un \(i\) et un morphisme propre \(Y'_i \to X_i\) tels que \(Y' = X \times_{X_i} Y'_i\). C’est possible d’après les Lemmes 01ZM et 081F. En remplaçant \(i\) par un indice plus grand, \(Y \to Y'_i\) est alors une immersion fermée ; voir Lemme 081B.

Rappelons la notion de support schématique d’un module quasi-cohérent de type fini ; voir Morphismes, Définition 05JV.

Lemme

Reprenons les hypothèses et les notations de la Situation 081D. Soit \(\mathcal{F}_0\) un \(\mathcal{O}_{X_0}\)-module quasi-cohérent. Notons \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}_i\) les images inverses de \(\mathcal{F}_0\) sur \(X\) et \(X_i\). Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(f_0\) est localement de type fini,

2. \(\mathcal{F}_0\) est de type fini,

3. le support schématique de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(Y\).

Alors le support schématique de \(\mathcal{F}_i\) est propre sur \(Y_i\) pour un certain \(i\).

Démonstration

On peut remplacer \(X_0\) par le support schématique de \(\mathcal{F}_0\). D’après Morphismes, Lemme 056J, cela garantit que \(X_i\) est le support de \(\mathcal{F}_i\) et \(X\) le support de \(\mathcal{F}\). Si \(Z \subset X\) désigne le support schématique de \(\mathcal{F}\), alors \(Z \to X\) est un homéomorphisme universel. On conclut que \(X \to Y\) est propre, puisque \(Z \to Y\) l’est par hypothèse ; voir Morphismes, Lemme 03GN. D’après le Lemme 081F, \(X_i \to Y\) est propre pour un certain \(i\). Le support schématique \(Z_i\) de \(\mathcal{F}_i\) est donc propre sur \(Y\) d’après Morphismes, Lemmes 01W5 et 01W3.

Morphismes universellement fermés

Dans cette section, nous étudions quand un morphisme quasi-compact (mais pas nécessairement séparé) est universellement fermé. Nous démontrons d’abord un lemme permettant de tester cette propriété après un changement de base localement de présentation finie.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-compact de schémas. Soit \(g : T \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(t \in T\) un point et \(Z \subset X_T\) un sous-schéma fermé tel que \(Z \cap X_t = \emptyset\). Il existe alors un voisinage ouvert \(V \subset T\) de \(t\), un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] et un sous-schéma fermé \(Z' \subset X_{T'}\) tels que

1. le morphisme \(b : T' \to S\) soit localement de présentation finie,

2. en posant \(t' = a(t)\), on ait \(Z' \cap X_{t'} = \emptyset\),

3. \(Z \cap X_V\) ait son image dans \(Z'\) par le morphisme \(X_V \to X_{T'}\).

De plus, on peut supposer \(V\) et \(T'\) affines.

Démonstration

Posons \(s = g(t)\). Au cours de la démonstration, on peut toujours remplacer \(T\) par un voisinage ouvert de \(t\). On peut donc aussi remplacer \(S\) par un voisinage ouvert de \(s\). On peut ainsi supposer, et l’on suppose, \(T\) et \(S\) affines. Écrivons \(S = \Spec(A)\), \(T = \Spec(B)\) ; soit \(g\) donné par l’homomorphisme \(A \to B\), et soit \(t\) associé à l’idéal premier \(\mathfrak q \subset B\).

Puisque \(X \to S\) est quasi-compact et \(S\) affine, on peut écrire \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\) comme réunion finie d’ouverts affines. Écrivons \(U_i = \Spec(C_i)\). On a en particulier \(X_T = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_{i, T} = \bigcup_{i = 1, \ldots n} \Spec(C_i \otimes_A B)\). Soit \(I_i \subset C_i \otimes_A B\) l’idéal correspondant au sous-schéma fermé \(Z \cap U_{i, T}\). La condition \(Z \cap X_t = \emptyset\) signifie que \(I_i\) engendre l’idéal unité de l’anneau \[C_i \otimes_A \kappa(\mathfrak q) = (B \setminus \mathfrak q)^{-1}\left( C_i \otimes_A B/\mathfrak q C_i \otimes_A B \right)\] Puisque \(I_i (B \setminus \mathfrak q)^{-1}(C_i \otimes_A B) = (B \setminus \mathfrak q)^{-1} I_i\), cela signifie que \(1 = x_i/g_i\) pour certains \(x_i \in I_i\) et \(g_i \in B\), \(g_i \not \in \mathfrak q\). En chassant les dénominateurs, on trouve donc une relation de la forme \[x_i + \sum\nolimits_j f_{i, j}c_{i, j} = g_i\] avec \(x_i \in I_i\), \(f_{i, j} \in \mathfrak q\), \(c_{i, j} \in C_i \otimes_A B\) et \(g_i \in B\), \(g_i \not \in \mathfrak q\). En remplaçant \(B\) par \(B_{g_1 \ldots g_n}\), c’est-à-dire \(T\) par un voisinage affine plus petit de \(t\), on peut supposer les équations de la forme \[x_i + \sum\nolimits_j f_{i, j}c_{i, j} = 1\] avec \(x_i \in I_i\), \(f_{i, j} \in \mathfrak q\), \(c_{i, j} \in C_i \otimes_A B\).

Pour terminer, écrivons \(B\) comme limite inductive de \(A\)-algèbres de présentation finie \(B_\lambda\) indexée par un ensemble ordonné filtrant \(\Lambda\). Pour chaque \(\lambda\), posons \(\mathfrak q_\lambda = (B_\lambda \to B)^{-1}(\mathfrak q)\). Pour \(\lambda \in \Lambda\) assez grand, on peut trouver

1. un élément \(x_{i, \lambda} \in C_i \otimes_A B_\lambda\) d’image \(x_i\),

2. des éléments \(f_{i, j, \lambda} \in \mathfrak q_{i, \lambda}\) d’images \(f_{i, j}\),

3. des éléments \(c_{i, j, \lambda} \in C_i \otimes_A B_\lambda\) d’images \(c_{i, j}\).

En augmentant encore \(\lambda\), l’équation \[x_{i, \lambda} + \sum\nolimits_j f_{i, j, \lambda}c_{i, j, \lambda} = 1\] sera satisfaite. Fixons un tel \(\lambda\) et posons \(T' = \Spec(B_\lambda)\). Alors \(t' \in T'\) est le point associé à l’idéal premier \(\mathfrak q_\lambda\). Enfin, soit \(Z' \subset X_{T'}\) l’image schématique de \(Z \to X_T \to X_{T'}\). Puisque \(X_T \to X_{T'}\) est affine, on peut calculer \(Z'\) sur les ouverts affines \(U_{i, T'}\) comme le sous-schéma fermé associé à \(\Ker(C_i \otimes_A B_\lambda \to C_i \otimes_A B/I_i)\) ; voir Morphismes, Exemple 056A. Ainsi \(x_{i, \lambda}\) appartient à l’idéal définissant \(Z'\). La dernière équation affichée montre donc que \(Z' \cap X_{t'}\) est vide.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-compact de schémas. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement fermé,

2. pour tout morphisme \(S' \to S\) localement de présentation finie, le changement de base \(X_{S'} \to S'\) est fermé,

3. pour tout \(n\), le morphisme \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) est fermé.

Démonstration

Il est clair que (1) entraîne (2). Montrons que (2) entraîne (1). Supposons que le changement de base \(X_T \to T\) ne soit pas fermé pour un certain schéma \(T\) sur \(S\). D’après Schémas, Lemme 01K9, il existe alors une spécialisation \(t_1 \leadsto t\) dans \(T\) et un point \(\xi \in X_T\) d’image \(t_1\) tel que \(\xi\) ne se spécialise en aucun point de la fibre au-dessus de \(t\). Posons \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\). Alors \(Z \cap X_t = \emptyset\). Appliquons le Lemme 05BD. On trouve un voisinage ouvert \(V \subset T\) de \(t\), un diagramme commutatif \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] et un sous-schéma fermé \(Z' \subset X_{T'}\) tels que

1. le morphisme \(b : T' \to S\) soit localement de présentation finie,

2. en posant \(t' = a(t)\), on ait \(Z' \cap X_{t'} = \emptyset\),

3. \(Z \cap X_V\) ait son image dans \(Z'\) par le morphisme \(X_V \to X_{T'}\).

Cela signifie que \(X_{T'} \to T'\) envoie le fermé \(Z'\) sur une partie de \(T'\) contenant \(a(t_1)\) mais non \(t' = a(t)\). Puisque \(a(t_1) \leadsto a(t) = t'\), on conclut que \(X_{T'} \to T'\) n’est pas fermé. Ainsi, si \(X \to S\) n’est pas universellement fermé, \(X_{T'} \to T'\) n’est pas fermé pour un certain \(T' \to S\) localement de présentation finie. Autrement dit, (2) entraîne (1).

Supposons que \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) soit fermé pour tout entier \(n\). Nous voulons montrer que \(X_T \to T\) est fermé pour tout schéma \(T\) localement de présentation finie sur \(S\). On peut bien sûr supposer \(T\) affine et son image contenue dans un ouvert affine \(V\) de \(S\) (car le fait que \(X_T \to T\) soit fermé est local sur \(T\)). Dans ce cas, il existe une immersion fermée \(T \to \mathbf{A}^n \times V\), car \(\mathcal{O}_T(T)\) est une \(\mathcal{O}_S(V)\)-algèbre de présentation finie ; voir Morphismes, Lemme 01TQ. Alors \(T \to \mathbf{A}^n \times S\) est une immersion localement fermée. On obtient donc un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X_T \ar[d]_{f_T} \ar[r] & \mathbf{A}^n \times X \ar[d]^{f_n} \\ T \ar[r] & \mathbf{A}^n \times S }\] de schémas dont les flèches horizontales sont des immersions localement fermées. Toute partie fermée \(Z \subset X_T\) peut donc s’écrire \(X_T \cap Z'\) pour une partie fermée \(Z' \subset \mathbf{A}^n \times X\). Alors \(f_T(Z) = T \cap f_n(Z')\), et si \(f_n\) est fermé, \(f_T\) l’est aussi.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to S\) un morphisme séparé de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est propre.

2. Pour tout morphisme \(S' \to S\) localement de type fini, le changement de base \(X_{S'} \to S'\) est fermé.

3. Pour tout \(n \geq 0\), le morphisme \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) est fermé.

Démonstration

Puisqu’un morphisme propre est exactement un morphisme séparé, de type fini et universellement fermé, ce lemme est un cas particulier du Lemme 05JX.

Démonstration

Il est clair que (1) entraîne (2) et que (2) entraîne (3) ; il suffit donc de montrer que (3) entraîne (1). Ramenons-nous d’abord au cas où \(S\) est affine. Supposons que (3) entraîne (1) lorsque la base est affine. Soit maintenant \(f: X \to S\) un morphisme séparé de type fini. La propreté est locale sur la base (voir Morphismes, Lemme 01W2) ; si \(S = \bigcup_\alpha S_\alpha\) est un recouvrement ouvert affine et si l’on note \(X_\alpha := f^{-1}(S_\alpha)\), il suffit donc de montrer que \(f|_{X_\alpha}: X_\alpha \to S_\alpha\) est propre pour tout \(\alpha\). Puisque \(S_\alpha\) est affine, si l’application \(f|_{X_\alpha}\) satisfait (3), elle satisfera (1) par hypothèse, donc sera propre. Pour achever la réduction au cas où \(S\) est affine, il faut montrer que, si \(f: X \to S\) est séparé de type fini et satisfait (3), alors \(f|_{X_\alpha} : X_\alpha \to S_\alpha\) est séparé de type fini et satisfait (3). Le caractère séparé et le type fini sont clairs. Pour (3), remarquons que \(\mathbf{A}^n \times X_\alpha\) est l’image réciproque ouverte de \(\mathbf{A}^n \times S_\alpha\) par l’application \(1 \times f\). Fixons un fermé \(Z \subset \mathbf A^n \times X_\alpha\). Notons \(\bar Z\) l’adhérence de \(Z\) dans \(\mathbf{A}^n \times X\). Pour des raisons topologiques, on a \[1 \times f(\bar Z) \cap \mathbf{A}^n \times S_\alpha = 1 \times f(Z).\] Ainsi \(1 \times f(Z)\) est fermé, et la démonstration de (3) \(\Rightarrow\) (1) est ramenée au cas affine.

Supposons \(S\) affine et \(f : X \to S\) séparé de type fini. On peut appliquer le Lemme de Chow 0202 pour obtenir \(\pi : X' \to X\) propre surjectif et \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) une immersion. Si \(X\) est propre sur \(S\), alors \(X' \to S\) est propre (Morphismes, Lemme 01W3). Puisque \(\mathbf{P}^n_S \to S\) est séparé, on conclut que \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) est propre (Morphismes, Lemme 01W6), donc est une immersion fermée (Schémas, Lemme 01IQ). Réciproquement, supposons que \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) soit une immersion fermée. Considérons le diagramme : [05LZ]\[\begin{equation} \xymatrix{ X' \ar[r] \ar@{->>}[d]_{\pi} & \mathbf{P}^n_S \ar[d] \\ X \ar[r]^f & S } \end{equation}\] Tous les morphismes sont a priori propres, sauf \(X \to S\). On en conclut que \(X \to S\) est propre par Morphismes, Lemme 03GN. Nous avons donc montré que \(X \to S\) est propre si et seulement si \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion fermée.

Supposons \(S\) affine et (3) satisfaite, et soient \(n, X', \pi\) comme ci-dessus. Puisque le caractère fermé d’un morphisme est local sur la base, l’application \(X \times \mathbf{P}^n \to S \times \mathbf{P}^n\) est fermée : d’après (3), \(X \times \mathbf{A}^n \to S \times \mathbf{A}^n\) est fermée, et l’espace projectif est recouvert par des copies de l’espace affine de dimension \(n\) ; voir Constructions, Lemme 01NG. D’après Morphismes, Lemme 01W4, le morphisme \[X' \times_S \mathbf{P}^n_S \to X \times_S \mathbf{P}^n_S = X \times \mathbf{P}^n\] est propre. Puisque \(\mathbf{P}^n\) est séparé, la projection \[X' \times_S \mathbf{P}^n_S = \mathbf{P}^n_{X'} \to X'\] est séparée, étant simplement un changement de base d’un morphisme séparé. Par conséquent, l’application \(X' \to X' \times_S \mathbf{P}^n_S\) est propre, car elle est une section d’un morphisme séparé (voir Schémas, Lemme 01KT). En composant ces morphismes \[X' \to X' \times_S \mathbf{P}^n_S \to X \times_S \mathbf{P}^n_S = X \times \mathbf{P}^n \to S \times \mathbf{P}^n = \mathbf{P}^n_S\] on trouve que l’immersion \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) est fermée, donc est une immersion fermée.

Critère valuatif noethérien

Si la base est noethérienne, on peut établir le critère valuatif en ne considérant que des anneaux de valuation discrète.

Beaucoup des résultats de cette section peuvent (et devraient peut-être) se démontrer à l’aide du lemme suivant, bien que nous ne l’ayons pas toujours fait.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons \(f\) de type fini et \(Y\) localement noethérien. Soit \(y \in Y\) un point de l’adhérence de l’image de \(f\). Il existe alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète et \(K\) son corps des fractions, envoyant le point fermé de \(\Spec(A)\) sur \(y\). De plus, on peut supposer que le point image de \(\Spec(K) \to X\) est un point générique \(\eta\) d’une composante irréductible de \(X\) et que \(K = \kappa(\eta)\).

Démonstration

D’après la version non noethérienne de ce lemme (Morphismes, Lemme 02JQ), il existe un point \(x \in X\) tel que \(f(x)\) se spécialise en \(y\). On peut remplacer \(x\) par tout point se spécialisant en \(x\) ; on peut donc supposer que \(x\) est un point générique d’une composante irréductible de \(X\). On obtient ainsi un homomorphisme \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \kappa(x)\) (voir Schémas, section 01J5). Soit \(R \subset \kappa(x)\) son image. Alors \(R\) est noethérien comme quotient de l’anneau local noethérien \(\mathcal{O}_{Y, y}\). D’autre part, \(\kappa(x)\) est une extension de type fini du corps des fractions de \(R\), puisque \(f\) est de type fini. Il existe donc un anneau de valuation discrète \(A \subset \kappa(x)\) de corps des fractions \(\kappa(x)\) dominant \(R\), d’après Algèbre, Lemme 00PH. Alors \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[d] \ar[rrr] & & & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(R) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \ar[r] & Y }\] est le diagramme cherché.

Énonçons d’abord le résultat concernant le caractère séparé. Nous utiliserons souvent des diagrammes commutatifs de morphismes de schémas, dont les flèches pleines sont données, de la forme suivante : [0206]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & S } } \end{equation}\] où \(A\) est un anneau de valuation et \(K\) son corps des fractions.

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons \(f\) localement de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est séparé.

2. Pour tout diagramme (0206), il existe au plus une flèche pointillée.

3. Pour tout diagramme (0206) où \(A\) est un anneau de valuation discrète, il existe au plus une flèche pointillée.

4. Pour toute composante irréductible \(X_0\) de \(X\) de point générique \(\eta \in X_0\), tout anneau de valuation discrète \(A \subset K = \kappa(\eta)\) de corps des fractions \(K\) et tout diagramme (0206) tel que le morphisme \(\Spec(K) \to X\) soit le morphisme canonique (voir Schémas, section 01J5), il existe au plus une flèche pointillée.

Démonstration

Il est clair que (1) entraîne (2), que (2) entraîne (3) et que (3) entraîne (4). Il reste à montrer que (4) entraîne (1). Supposons (4). Ramenons-nous d’abord au cas où \(S\) est affine. Le caractère séparé est local sur la base (voir Schémas, Lemme 01KP). Il suffit donc de montrer que, lorsque \(X \to S\) satisfait (4), la restriction \(X_\alpha \to S_\alpha\) satisfait (4), où \(S_\alpha \subset S\) est un ouvert (affine) et \(X_\alpha := f^{-1}(S_\alpha)\). Les points génériques des composantes irréductibles de \(X_\alpha\) sont des points génériques de composantes irréductibles de \(X\), puisque \(X_\alpha\) est ouvert dans \(X\). Deux flèches pointillées distinctes dans le diagramme [05M0]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_\alpha \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & S_\alpha } \end{equation}\] donneraient donc deux flèches distinctes dans le diagramme (0206), par les morphismes \(X_\alpha \to X\) et \(S_\alpha \to S\), ce qui est contradictoire. On est ainsi ramené au cas où \(S\) est affine. Remarquons qu’au cours de cette réduction, nous montrons que, si \(X \to S\) satisfait (4), la restriction \(U \to V\) satisfait (4) pour des ouverts \(U \subset X\) et \(V \subset S\) tels que \(f(U) \subset V\).

Ramenons-nous ensuite au cas où \(X \to S\) est de type fini. Supposons que (4) entraîne (1) lorsque \(X\) est de type fini. Puisque \(S\) est noethérien et \(X\) localement de type fini sur \(S\), \(X\) est lui aussi localement noethérien (voir Morphismes, Lemme 01T6). Ainsi \(X \to S\) est quasi-séparé (voir Propriétés, Lemme 01OY), et l’on peut donc appliquer le critère valuatif pour déterminer si \(X\) est séparé (voir Schémas, Lemme 01L0). Soit \(X = \bigcup_\alpha X_\alpha\) un recouvrement ouvert affine de \(X\). Étant données deux flèches pointillées dans un diagramme (0206), les images du point fermé de \(\Spec A\) appartiennent à deux ouverts \(X_\alpha\) et \(X_\beta\). Puisque \(X_\alpha \cup X_\beta\) est ouvert, il contient, pour des raisons topologiques, l’image de \(\Spec(A)\) par chacune des deux applications. Les deux flèches pointillées se factorisent donc par \(X_\alpha \cup X_\beta \to X\), dont la source est un schéma de type fini sur \(S\). Puisque \(X_\alpha \cup X_\beta\) est un ouvert de \(X\), notre remarque précédente montre que \(X_\alpha \cup X_\beta\) satisfait (4), donc est séparé par hypothèse. Les deux flèches pointillées sont donc égales. On est ainsi ramené au cas où \(X \to S\) est de type fini.

Supposons \(X \to S\) de type fini et (4) satisfaite. Puisque \(X \to S\) est de type fini et \(S\) un schéma affine noethérien, \(X\) est lui aussi noethérien (voir Morphismes, Lemme 01T6). Ainsi \(X \to X \times_S X\) est une immersion quasi-compacte de schémas noethériens. Raisonnons par l’absurde. Supposons que \(X \to X \times_S X\) ne soit pas fermé. Il existe alors un \(y \in X \times_S X\) dans l’adhérence de l’image, mais hors de l’image. Comme \(X\) est noethérien, il possède un nombre fini de composantes irréductibles. Le point \(y\) appartient donc à l’adhérence de l’image d’une composante irréductible \(X_0 \subset X\). Munissons \(X_0\) de la structure réduite induite. La composée \(X_0 \to X \to X \times_S X\) se factorise par le sous-schéma fermé \(X_0 \times_S X_0 \subset X \times_S X\). Notons l’adhérence de \(\Delta(X_0)\) dans \(X_0 \times_S X_0\) par \(\bar X_0\) (encore munie de la structure de sous-schéma fermé réduit). Ainsi \(y \in \bar X_0\). Puisque \(X_0 \to X_0 \times_S X_0\) est une immersion, l’image de \(X_0\) est ouverte dans \(\bar X_0\). Ainsi \(X_0\) et \(\bar X_0\) sont birationnels. Puisque \(\bar{X}_0\) est un sous-schéma fermé d’un schéma noethérien, il est noethérien. L’anneau local \(\mathcal O_{{\bar X_0, y}}\) est donc un anneau local noethérien intègre de corps des fractions \(K\) égal au corps des fonctions de \(X_0\). D’après le théorème de Krull–Akizuki (voir Algèbre, Lemme 00PH), il existe un anneau de valuation discrète \(A\) dominant \(\mathcal O_{{\bar X_0, y}}\) et de corps des fractions \(K\). Cela permet de construire un diagramme : [05M1]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_0 \ar[d]^{\Delta} \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ur]& X_0 \times_S X_0 \\ } \end{equation}\] qui envoie \(\Spec K\) sur le point générique de \(\Delta(X_0)\) et le point fermé de \(A\) sur \(y \in X_0 \times_S X_0\) (utiliser Schémas, section 01J5, pour construire les flèches). Il ne peut même pas exister de flèche pointillée ensembliste, puisque \(y\) n’est pas dans l’image de \(\Delta\), par le choix de \(y\). Par un argument catégorique, l’existence de la flèche pointillée dans le diagramme ci-dessus équivaut à l’unicité de la flèche pointillée dans le diagramme suivant : [05M2]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_0 \ar[d]\\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ur] & S \\ } \end{equation}\] La non-existence dans le premier diagramme donne donc la non-unicité dans ce dernier. Ainsi \(X_0\) ne satisfait pas l’unicité pour les anneaux de valuation discrète ; puisque \(X_0\) est une composante irréductible de \(X\), le morphisme \(X \to S\) ne satisfait pas (4). Nous avons donc montré que (4) entraîne (1).

Lemme

Soit \(S\) un schéma localement noethérien. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme \(f\) est propre.

2. Pour tout diagramme (0206), il existe exactement une flèche pointillée.

3. Pour tout diagramme (0206) où \(A\) est un anneau de valuation discrète, il existe exactement une flèche pointillée.

4. Pour toute composante irréductible \(X_0\) de \(X\) de point générique \(\eta \in X_0\), tout anneau de valuation discrète \(A \subset K = \kappa(\eta)\) de corps des fractions \(K\) et tout diagramme (0206) tel que le morphisme \(\Spec(K) \to X\) soit le morphisme canonique (voir Schémas, section 01J5), il existe exactement une flèche pointillée.

Démonstration

(1) entraîne (2), qui entraîne (3), qui entraîne (4). Montrons maintenant que (4) entraîne (1). Comme dans la démonstration du Lemme 0207, on se ramène au cas où \(S\) est affine : la propreté est locale sur la base, et si \(X \to S\) satisfait (4), alors \(X_\alpha \to S_\alpha\) la satisfait aussi pour un ouvert \(S_\alpha \subset S\) et \(X_\alpha = f^{-1}(S_\alpha)\).

Le schéma \(S\) est maintenant noethérien ; \(X\) l’est donc aussi, puisque \(X \to S\) est de type fini. On peut alors utiliser le lemme de Chow (Cohomologie des schémas, Lemme 0200) pour obtenir un morphisme surjectif, propre et birationnel \(X' \to X\) et une immersion \(X' \to \mathbf{P}^n_S\). Nous voulons montrer que \(X \to S\) est universellement fermé. Comme dans la démonstration du Lemme 0205, il suffit de vérifier que \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion fermée. Raisonnons par l’absurde et supposons que \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) ne soit pas une immersion fermée. Il existe alors un \(y \in \mathbf{P}^n_S\) dans l’adhérence de l’image de \(X'\), mais hors de l’image. Ainsi \(y\) est dans l’adhérence de l’image d’une composante irréductible \(X_0'\) de \(X'\), mais hors de l’image. Soit \(\bar X_0' \subset \mathbf{P}^n_S\) l’adhérence de l’image de \(X_0'\). Puisque \(X' \to \mathbf{P}^n_S\) est une immersion de schémas noethériens, le morphisme \(X'_0 \to \bar X_0'\) est ouvert et dense. D’après Algèbre, Lemme 00PH, ou Propriétés, Lemme 054F, on peut trouver un anneau de valuation discrète \(A\) dominant \(\mathcal{O}_{\bar X_0', y}\) et de même corps des fractions \(K\). Il est clair que \(K\) est le corps résiduel du point générique de \(X_0'\). On obtient donc le diagramme commutatif de flèches pleines [05M3]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec K \ar[r] \ar[d] & X' \ar [r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_S \ar[d] \\ \Spec A \ar@{-->}[r] \ar@{-->}[ru] \ar[urr] & X \ar[r] & S\\ } \end{equation}\] Remarquons que le point fermé de \(A\) a pour image \(y \in \mathbf{P}^n_S\). Par construction, il n’existe pas de relèvement ensembliste à \(X'\). Puisque \(X' \to X\) est birationnel, l’image de \(X'_0\) dans \(X\) est une composante irréductible \(X_0\) de \(X\), et \(K\) s’identifie aussi au corps des fonctions de \(X_0\). Puisque \(X \to S\) satisfait (4) par hypothèse, la flèche pointillée \(\Spec(A) \to X\) existe. Puisque \(X' \to X\) est propre, cette flèche pointillée se relève en une flèche pointillée \(\Spec(A) \to X'\) (utiliser Schémas, Proposition 01KF). En la composant avec l’immersion \(X' \to \mathbf{P}^n_S\), on obtient un autre morphisme (non représenté dans le diagramme) \(\Spec(A) \to \mathbf{P}^n_S\). Puisque \(\mathbf{P}^n_S\) est propre sur \(S\), il satisfait (2), et ces deux morphismes coïncident. C’est une contradiction, car nous avons construit le relèvement interdit de l’application initiale \(\Spec(A) \to \mathbf{P}^n_S\) à \(X'\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien. Les conditions suivantes sont alors équivalentes :

1. \(f\) est universellement fermé,

2. pour tout \(n\), le morphisme \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) est fermé,

3. pour tout diagramme (0206), il existe une flèche pointillée,

4. pour tout diagramme (0206) où \(A\) est un anneau de valuation discrète, il existe une flèche pointillée.

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) est un cas particulier du Lemme 05JX. L’équivalence de (1) et (3) est un cas particulier de Schémas, Proposition 01KF. Il est évident que (3) entraîne (4). Il suffit donc de montrer que (4) entraîne (2). Nous montrerons que \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) est fermé à l’aide du critère de Schémas, Lemme 01K9. Choisissons \(n\), une spécialisation non triviale \(z \leadsto z'\) de points de \(\mathbf{A}^n \times S\) et un point \(y \in \mathbf{A}^n \times X\) au-dessus de \(z\). Remarquons que \(\kappa(y)\) est une extension de corps de type fini de \(\kappa(z)\), puisque \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\) est de type fini. D’après Propriétés, Lemme 054F, ou Algèbre, Lemme 00PH, il existe donc un anneau de valuation discrète \(A \subset \kappa(y)\) de corps des fractions \(\kappa(z)\) dominant l’image de \(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n \times S, z'}\) dans \(\kappa(z)\). Cela donne un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(y)) \ar[r] \ar[d] & \mathbf{A}^n \times X \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathbf{A}^n \times S \ar[r] & S }\] La propriété (4) entraîne alors l’existence d’un morphisme \(\Spec(A) \to X\) s’insérant dans ce diagramme. Puisque la flèche horizontale inférieure gauche fournit déjà le morphisme \(\Spec(A) \to \mathbf{A}^n\), on obtient aussi un morphisme \(\Spec(A) \to \mathbf{A}^n \times X\) s’insérant dans le carré de gauche. L’image \(y' \in \mathbf{A}^n \times X\) du point fermé est donc une spécialisation de \(y\) au-dessus de \(z'\). Cela montre que les spécialisations se relèvent le long de \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\), ce qui conclut.

Critères valuatifs noethériens affinés

Il n’est généralement pas nécessaire de considérer tous les diagrammes possibles avec des anneaux de valuation pour vérifier les critères valuatifs. Un exemple est donné par Morphismes, Lemme 0894. Dans le cadre noethérien, nous l’avons également vu dans les Lemmes 0207 et 0208. Voici une autre variante.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(h : U \to X\) des morphismes de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien, \(f\) et \(h\) de type fini, \(f\) séparé et \(h(U)\) dense dans \(X\). Si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif, alors \(f\) est propre.

Démonstration

On se ramène immédiatement au cas où \(S\) est affine. Alors \(U\) est quasi-compact. Soit \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) un recouvrement ouvert affine. On peut remplacer \(U\) par \(U_1 \amalg \ldots \amalg U_n\) sans changer les hypothèses ; on peut donc supposer \(U\) affine. On peut alors trouver une immersion ouverte \(U \to Y\) sur \(X\), où \(Y\) est propre sur \(X\). (Plonger d’abord \(U\) dans \(\mathbf{A}^n_X\) à l’aide de Morphismes, Lemme 04II, puis prendre l’adhérence dans \(\mathbf{P}^n_X\), ou utiliser directement Morphismes, Lemme 07RM.) On peut supposer \(U\) dense dans \(Y\) (remplacer \(Y\) par l’adhérence schématique de \(U\) si nécessaire ; voir Morphismes, section 01RA). Remarquons que \(g : Y \to X\) est surjectif, car son image est fermée et contient la partie dense \(h(U)\). Nous allons montrer que \(Y \to S\) est propre. Cela entraînera que \(X \to S\) est propre par Morphismes, Lemme 03GN, et achèvera la démonstration. Pour montrer que \(Y \to S\) est propre, nous utiliserons le point (4) du Lemme 0208. Considérons à cet effet un diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_y \ar[d] & Y \ar[d]^{f \circ g} \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{..>}[ru] & S }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\) et où \(y : \Spec(K) \to Y\) est l’inclusion d’un point générique. Il faut montrer qu’il existe une unique flèche pointillée. L’unicité résulte de la réciproque du critère valuatif de séparation (Schémas, Lemme 01KZ), puisque \(Y \to S\) est séparé comme composée des morphismes séparés \(Y \to X\) et \(X \to S\) (Schémas, Lemme 01KU). L’existence se voit comme suit. Puisque \(y\) est un point générique de \(Y\), il appartient à \(U\). L’hypothèse du lemme fournit un morphisme \(a : \Spec(A) \to X\) tel que \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_y \ar[d] & U \ar[r] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar[rru]^a & & S }\] soit commutatif. Puisque \(Y \to X\) est propre, on peut ensuite appliquer le critère valuatif de propreté (Morphismes, Lemme 0BX5) pour trouver un morphisme \(b : \Spec(A) \to Y\) tel que \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_y \ar[d] & Y \ar[d]^g \\ \Spec(A) \ar[r]^a \ar[ru]^b & X }\] soit commutatif. Cela achève la démonstration, puisque \(b\) peut servir de flèche pointillée ci-dessus.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(h : U \to X\) des morphismes de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien, \(f\) localement de type fini, \(h\) de type fini et \(h(U)\) dense dans \(X\). Si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), il existe au plus une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif, alors \(f\) est séparé.

Démonstration

Nous allons appliquer le Lemme 0CM3 aux morphismes \(U \to X\) et \(\Delta : X \to X \times_S X\). Vérifions les conditions. Remarquons que \(\Delta\) est quasi-compact d’après Propriétés, Lemme 01OY (et Schémas, Lemme 01KV). Bien entendu, \(\Delta\) est localement de type fini et séparé (ce qui est vrai de tout morphisme diagonal). Enfin, donnons-nous un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[rr]^{(a, b)} \ar@{-->}[rru] & & X \times_S X }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Alors \(a\) et \(b\) donnent deux flèches pointillées dans le diagramme du lemme et doivent être égales. On peut donc prendre \(a = b\) comme flèche pointillée, ce qui donne l’existence et achève la démonstration.

Lemme

Soient \(f : X \to S\) et \(h : U \to X\) des morphismes de schémas. Supposons \(S\) localement noethérien, \(f\) et \(h\) de type fini et \(h(U)\) dense dans \(X\). Si, pour tout diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), il existe une unique flèche pointillée rendant le diagramme commutatif, alors \(f\) est propre.

Démonstration

Combiner les Lemmes 0CM4 et 0CM3.

Critères valuatifs sur une base de Nagata

Pour les schémas localement de type fini sur une base de Nagata, on peut se limiter aux anneaux de valuation discrète essentiellement de type fini sur la base. Les résultats suivants ne sont que quelques exemples de ce que l’on peut obtenir.

Lemme

Soit \(S\) un schéma de Nagata (donc, en particulier, localement noethérien). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact de schémas localement de type fini sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement fermé,

2. pour tout \(n\), le morphisme \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times Y\) est fermé,

3. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ C \ar[r] \ar@{..>}[ru] & Y }\] de schémas sur \(S\) tel que

   1. \(C\) soit un schéma intègre normal de type fini sur \(S\),

   2. \(U = C \setminus \{c\}\) pour un point fermé \(c \in C\),

   3. \(A = \mathcal{O}_{C, c}\) soit de dimension \(1\)³

   alors, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] où \(K = \text{Frac}(A)\), il existe une flèche pointillée⁴ rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

Nous avons vu l’équivalence de (1) et (2), ainsi que le fait que ces conditions entraînent (3), dans le Lemme 05JY. Il suffit donc de montrer que (3) entraîne (2). Remarquons que, si la condition (3) est satisfaite par \(f : X \to Y\), elle l’est aussi par \(1 \times f : \mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times Y\) (voir l’argument de la démonstration du Lemme 05JY). Il suffit donc de montrer que (3) entraîne que \(f\) est fermé.

Réduction au cas où \(Y\) et \(S\) sont affines ; on peut sauter ce paragraphe. Soit \(S' \subset S\) un ouvert affine et \(Y' \subset Y\) un ouvert affine dont l’image est contenue dans \(S'\). Posons \(X' = f^{-1}(Y')\). Nous affirmons que la restriction \(f' : X' \to Y'\) de \(f\), considérée comme morphisme de schémas sur \(S'\), possède aussi la propriété (3). Nous omettons les détails. Si l’on montre que \(f'\) est fermé pour tous les choix de \(S'\) et \(Y'\), il s’ensuit que \(f\) est fermé. Cela nous ramène au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons \(S\) et \(Y\) affines. Soit \(Z \subset X\) une partie fermée. Munissons \(Z\) de la structure de sous-schéma fermé réduit de \(X\). Il faut montrer que \(E = f(Z)\) est fermé. Choisissons un point fermé \(y \in Y\) dans l’adhérence de \(f(Z)\). Il suffit de montrer \(y \in E\). Supposons \(y \not \in E\) pour obtenir une contradiction. L’image \(s \in S\) de \(y\) est un point de type fini de \(S\) ; voir Morphismes, Lemme 02J3. Rappelons que \(E\) est constructible (Morphismes, Lemme 054J). Considérons l’intersection \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \cap E\). C’est une partie constructible du spectre (Morphismes, Lemme 054I) qui ne contient pas le point fermé. Puisque le spectre épointé \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \setminus \{y\}\) est de Jacobson (Morphismes, Lemme 02J6), on trouve un point fermé \(t \in \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \setminus \{y\}\) tel que \(t \in E\) (voir Topologie, Lemme 005X). Autrement dit, \(t \in E\) est un point de \(Y\) admettant une spécialisation immédiate \(t \leadsto y\). Puisque \(t \in E\), la fibre schématique \(Z_t\) est non vide. Choisissons un point fermé \(x \in Z_t\). On a en particulier \([\kappa(x) : \kappa(t)] < \infty\) par le Nullstellensatz de Hilbert (Morphismes, Lemme 01TF).

Notons \(T = \overline{\{t\}} \subset Y\) le sous-schéma fermé intègre dont l’espace topologique sous-jacent est celui indiqué (Schémas, Définition 01J4). Alors \(t \in T\) est le point générique. Notons \(C \to T\) la normalisation de \(T\) dans \(\kappa(x)\) ; voir Morphismes, section 0BAK (plus précisément, \(C \to T\) est la normalisation de \(T\) dans \(x\), où l’on considère \(x = \Spec(\kappa(x)) \to T\) comme schéma sur \(T\)). Puisque \(S\) est un schéma de Nagata, \(T\) l’est aussi (Morphismes, Lemme 035A). Ainsi \(C \to T\) est fini (Morphismes, Lemme 0AVK). Puisque \(t\) appartient à l’image, \(C \to T\) est surjectif (car l’image est fermée et \(T\) est l’adhérence de \(t\) dans \(Y\)). Choisissons un point \(c \in C\) d’image \(y \in T\). Puisque \(y\) est un point fermé de \(T\), \(c\) est un point fermé de \(C\). Puisque \(\dim(\mathcal{O}_{T, y}) = 1\), on a \(\dim(\mathcal{O}_{C, c}) = 1\) (la dimension est au moins \(1\), car \(c\) n’est pas le point générique de \(C\), et au plus \(1\), car \(C \to T\) est fini). Puisque le corps des fonctions de \(C\) est \(\kappa(x)\) et que \(x\) est un point de \(X\), on a une application rationnelle sur \(Y\) de \(C\) vers \(X\) (voir par exemple Morphismes, Lemme 0BX8). Soit \(C \supset U \to X\) un représentant (en particulier, \(U\) est non vide). On peut supposer \(c \not \in U\) (remplacer \(U\) par \(U \setminus \{c\}\)). Puisque \(c\) est un point fermé de codimension \(1\) du schéma intègre \(C\), on a \(C = U \amalg \{c\} \amalg \Sigma\) pour une partie fermée propre \(\Sigma \subset C\). En remplaçant \(C\) par \(C \setminus \Sigma\), on obtient un diagramme commutatif comme dans (3). D’après la seconde note de bas de page de l’énoncé, l’existence de la flèche pointillée prolonge l’application rationnelle à tout \(C\) ; on obtient une contradiction, car l’image de \(c\) est alors un point de \(Z\) d’image \(y\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma de Nagata (donc, en particulier, localement noethérien). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est séparé,

2. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ C \ar[r] \ar@{..>}[ru] & Y }\] de schémas sur \(S\) tel que

   1. \(C\) soit un schéma intègre normal de type fini sur \(S\),

   2. \(U = C \setminus \{c\}\) pour un point fermé \(c \in C\),

   3. \(A = \mathcal{O}_{C, c}\) soit de dimension \(1\)⁵

   alors, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] où \(K = \text{Frac}(A)\), il existe au plus une flèche pointillée⁶ rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

D’après le Lemme 0207, (1) entraîne (2). Supposons (2). Pour montrer que \(f\) est séparé, il faut montrer que \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est fermé. D’après Morphismes, Lemme 01T7, le morphisme \(\Delta\) est quasi-compact. D’après le Lemme 0GWV, il suffit de montrer que, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d]^\Delta \\ C \ar[rr]^{(a_1, a_2)} \ar@{..>}[rru] & & X \times_Y X }\] de schémas sur \(S\) tel que

1. \(C\) soit un schéma intègre normal de type fini sur \(S\),

2. \(U = C \setminus \{c\}\) pour un point fermé \(c \in C\),

3. \(A = \mathcal{O}_{C, c}\) soit de dimension \(1\),

alors, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & X \times_Y X }\] où \(K = \text{Frac}(A)\), il existe une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif. D’après le Lemme 0GWT, l’existence de la flèche pointillée dans le second diagramme équivaut à celle de la flèche pointillée dans le premier. De plus, cette existence équivaut à demander \(a_1 = a_2\). Or \(a_1|_U = a_2|_U\) ; l’hypothèse d’unicité (2) donne donc cette égalité, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma de Nagata (donc, en particulier, localement noethérien). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme quasi-compact de schémas localement de type fini sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est propre,

2. pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ C \ar[r] \ar@{..>}[ru] & Y }\] de schémas sur \(S\) tel que

   1. \(C\) soit un schéma intègre normal de type fini sur \(S\),

   2. \(U = C \setminus \{c\}\) pour un point fermé \(c \in C\),

   3. \(A = \mathcal{O}_{C, c}\) soit de dimension \(1\)⁷

   alors, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] où \(K = \text{Frac}(A)\), il existe exactement une flèche pointillée⁸ rendant le diagramme commutatif.

Démonstration

Cela découle formellement des Lemmes 0GWV et 0GWW et de la définition d’un morphisme propre : un morphisme de type fini, séparé et universellement fermé.

Limites et dimensions des fibres

Le lemme suivant est le plus souvent utilisé dans la situation du Lemme 01ZM pour garantir que, si les fibres de la limite sont de dimension \(\leq d\), les fibres à un certain étage fini sont aussi de dimension \(\leq d\).

Lemme

Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((f_i : X_i \to S_i)\) un système projectif de morphismes de schémas indexé par \(I\). Faisons les hypothèses suivantes :

1. tous les morphismes \(S_{i'} \to S_i\) sont affines,

2. tous les schémas \(S_i\) sont quasi-compacts et quasi-séparés,

3. les morphismes \(f_i\) sont de type fini,

4. les morphismes \(X_{i'} \to X_i \times_{S_i} S_{i'}\) sont des immersions fermées.

Soit \(f : X = \lim_i X_i \to S = \lim_i S_i\) la limite. Soit \(d \geq 0\). Si toute fibre de \(f\) est de dimension \(\leq d\), alors, pour un certain \(i\), toute fibre de \(f_i\) est de dimension \(\leq d\).

Démonstration

Pour chaque \(i\), soit \(U_i = \{x \in X_i \mid \dim_x((X_i)_{f_i(x)}) \leq d\}\). C’est un ouvert de \(X_i\) ; voir Morphismes, Lemme 02FZ. Posons \(Z_i = X_i \setminus U_i\) (muni de la structure réduite induite). Il faut montrer que \(Z_i = \emptyset\) pour un certain \(i\). Sinon, \(Z = \lim Z_i \not = \emptyset\) ; voir Lemme 01Z2. Soit \(z \in Z\) un point. Remarquons que \(Z \subset X\) est un sous-schéma fermé. Posons \(s = f(z)\). Pour chaque \(i\), soit \(s_i \in S_i\) l’image de \(s\). Remarquons que \(Z_s\) est la limite des schémas \((Z_i)_{s_i}\), et que \(Z_s\) est aussi la limite des schémas \((Z_i)_{s_i}\) après changement de base à \(\kappa(s)\). De plus, tous les morphismes \[Z_s \longrightarrow (Z_{i'})_{s_{i'}} \times_{\Spec(\kappa(s_{i'}))} \Spec(\kappa(s)) \longrightarrow (Z_i)_{s_i} \times_{\Spec(\kappa(s_i))} \Spec(\kappa(s)) \longrightarrow X_s\] sont des immersions fermées par l’hypothèse (4). Ainsi \(Z_s\) est l’intersection schématique des sous-schémas fermés \((Z_i)_{s_i} \times_{\Spec(\kappa(s_i))} \Spec(\kappa(s))\) dans \(X_s\). Puisque toutes les composantes irréductibles des schémas \((Z_i)_{s_i} \times_{\Spec(\kappa(s_i))} \Spec(\kappa(s))\) sont de dimension \(> d\) et contiennent \(z\), on conclut que \(Z_s\) contient une composante irréductible de dimension \(> d\) passant par \(z\), ce qui contredit \(Z_s \subset X_s\) et \(\dim(X_s) \leq d\).

Lemme

Reprenons les notations et les hypothèses de la Situation 081D. Si

1. \(f\) est un morphisme quasi-fini,

2. \(f_0\) est localement de type fini,

alors il existe un \(i \geq 0\) tel que \(f_i\) soit quasi-fini.

Démonstration

Cela découle immédiatement du Lemme 05M5.

Lemme

Reprenons les hypothèses et les notations de la Situation 081D. Soit \(d \geq 0\). Si

1. \(f\) est de dimension relative \(\leq d\) (Morphismes, Définition 02NJ),

2. \(f_0\) est localement de type fini,

alors il existe un \(i\) tel que \(f_i\) soit de dimension relative \(\leq d\).

Démonstration

Cela découle immédiatement du Lemme 05M5.

Lemme

Reprenons les notations et les hypothèses de la Situation 081D. Si

1. \(f\) est de dimension relative \(d\),

2. \(f_0\) est localement de présentation finie,

alors il existe un \(i \geq 0\) tel que \(f_i\) soit de dimension relative \(d\).

Démonstration

D’après le Lemme 05M5, on peut supposer que toutes les fibres de \(f_0\) sont de dimension \(\leq d\). D’après Morphismes, Lemme 02G0, l’ensemble \(U_0 \subset X_0\) des points \(x \in X_0\) tels que la dimension de la fibre de \(X_0 \to Y_0\) en \(x\) soit \(\leq d - 1\) est ouvert et rétrocompact dans \(X_0\). Son complémentaire \(E = X_0 \setminus U_0\) est donc constructible. De plus, l’image de \(X \to X_0\) est contenue dans \(E\) d’après Morphismes, Lemme 02FY. Ainsi, pour \(i \gg 0\), l’image de \(X_i \to X_0\) est contenue dans \(E\) (Lemme 05F4). Toutes les fibres de \(X_i \to Y_i\) sont alors de dimension \(d\) d’après le résultat déjà cité Morphismes, Lemme 02FY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de présentation finie. Soit \(d \geq 0\) un entier. Si \(Z \subset X\) est un sous-schéma fermé tel que \(\dim(Z_s) \leq d\) pour tout \(s \in S\), il existe un sous-schéma fermé \(Z' \subset X\) tel que

1. \(Z \subset Z'\),

2. \(Z' \to X\) soit de présentation finie,

3. \(\dim(Z'_s) \leq d\) pour tout \(s \in S\).

Démonstration

D’après la Proposition 01ZA, on peut écrire \(S = \lim S_i\) comme la limite d’un système projectif filtrant de schémas noethériens à morphismes de transition affines. D’après le Lemme 01ZM, on peut supposer qu’il existe un système de morphismes \(f_i : X_i \to S_i\) de présentation finie tels que \(X_{i'} = X_i \times_{S_i} S_{i'}\) pour tout \(i' \geq i\) et que \(X = X_i \times_{S_i} S\). Soit \(Z_i \subset X_i\) l’image schématique de \(Z \to X \to X_i\). Pour \(i' \geq i\), le morphisme \(X_{i'} \to X_i\) envoie alors \(Z_{i'}\) dans \(Z_i\), et le morphisme induit \(Z_{i'} \to Z_i \times_{S_i} S_{i'}\) est une immersion fermée. D’après le Lemme 05M5, les fibres de \(Z_i \to S_i\) sont toutes de dimension \(\leq d\) pour un indice convenable \(i \in I\). Fixons un tel \(i\) et posons \(Z' = Z_i \times_{S_i} S \subset X\). Puisque \(S_i\) est noethérien, \(X_i\) l’est aussi, et le morphisme \(Z_i \to X_i\) est donc de présentation finie. Son changement de base \(Z' \to X\) est donc lui aussi de présentation finie. De plus, les fibres de \(Z' \to S\) sont des changements de base des fibres de \(Z_i \to S_i\), donc sont de dimension \(\leq d\).

Changement de base en degré maximal

Pour un morphisme propre et un module quasi-cohérent de type fini, l’application de changement de base est un isomorphisme en degré maximal.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(d \geq 0\). Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(X\) et \(Y\) sont quasi-compacts et quasi-séparés,

2. \(R^if_*\mathcal{F} = 0\) pour \(i > d\) et tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\).

On a alors les propriétés suivantes :

1. pour tout diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] on a \(R^if'_*\mathcal{F}' = 0\) pour \(i > d\) et tout \(\mathcal{O}_{X'}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}'\),

2. \(R^df'_*(\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\mathcal{G}') = R^df'_*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}} \mathcal{G}'\) pour tout \(\mathcal{O}_{Y'}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}'\),

3. la formation de \(R^df'_*\mathcal{F}'\) commute à tout changement de base ultérieur (voir l’explication dans la démonstration).

Démonstration

Avant de démontrer ces assertions, expliquons le sens de (c). Supposons qu’un carré cartésien supplémentaire \[\xymatrix{ X'' \ar[d]_{f''} \ar[r]_{h'} & X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^h & Y' \ar[r]^g & Y }\] soit accolé au diagramme donné. Si (a) est satisfaite, il existe une application canonique \(\gamma : h^*R^df'_*\mathcal{F}' \to R^df''_*(h')^*\mathcal{F}'\). En effet, \(\gamma\) est l’application sur les faisceaux de cohomologie de degré \(d\) induite par la composée \[Lh^*Rf'_*\mathcal{F}' \longrightarrow Rf''_*L(h')^*\mathcal{F}' \longrightarrow Rf''_*(h')^*\mathcal{F}'\] Ici, la première flèche est l’application de changement de base (Cohomologie, Remarque 08HY), et la seconde provient de l’application canonique \(L(g')^*\mathcal{F} \to (g')^*\mathcal{F}\). De même, puisque \(Rf'_*\mathcal{F}\) n’a pas de faisceau de cohomologie non nul en degré \(> d\) d’après (a), on a \(H^d(Lh^*Rf_*\mathcal{F}') = h^*R^df_*\mathcal{F}\). L’assertion (c) signifie que \(\gamma\) est un isomorphisme.

Ceci étant, on peut vérifier (a), (b) et (c) localement sur \(Y'\) et \(Y''\). Soit \(V \subset Y\) un sous-schéma ouvert quasi-compact. Nous affirmons que (1) et (2) sont satisfaites par \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\). En effet, (1) est immédiate, et (2) résulte du fait que tout module quasi-cohérent sur \(f^{-1}(V)\) est la restriction d’un module quasi-cohérent sur \(X\) (Propriétés, Lemme 01PE) et que la formation des images directes supérieures commute à la restriction aux ouverts. On peut donc aussi travailler localement sur \(Y\). Autrement dit, on peut supposer \(Y''\), \(Y'\) et \(Y\) affines.

Démonstration de (a) lorsque \(Y'\) et \(Y\) sont affines. Dans ce cas, les morphismes \(g\) et \(g'\) sont affines. Ainsi \(g_* = Rg_*\) et \(g'_* = Rg'_*\) (Cohomologie des schémas, Lemme 01XC), et \(g_*\) s’identifie au foncteur de restriction des scalaires sur les modules (Schémas, Lemme 01I9). Alors \[g_*(R^if'_*\mathcal{F}') = H^i(Rg_*Rf'_*\mathcal{F}') = H^i(Rf_*Rg'_*\mathcal{F}') = H^i(Rf_*g'_*\mathcal{F}') = Rf^i_*g'_*\mathcal{F}'\] est nul par l’hypothèse (2). D’où (a), compte tenu de notre description de \(g_*\).

Démonstration de (b) lorsque \(Y'\) est affine, disons \(Y' = \Spec(R')\). D’après (a), on a \(H^{d + 1}(X', \mathcal{F}') = 0\) pour tout \(\mathcal{O}_{X'}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}'\) ; voir Cohomologie des schémas, Lemme 01XK. Considérons le foncteur \(F\) sur les \(R'\)-modules défini par \[F(M) = H^d(X', \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M})\] D’après Cohomologie, Lemme 01FF, ce foncteur commute aux sommes directes (c’est ici qu’intervient le fait que \(X\), et donc \(X'\), est quasi-compact et quasi-séparé). D’autre part, si \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) est une suite exacte, alors \[\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M}_1 \to \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M}_2 \to \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M}_3 \to 0\] est une suite exacte de modules quasi-cohérents sur \(X'\), et l’annulation de la cohomologie supérieure établie ci-dessus donne une suite exacte \[F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \to 0\] Autrement dit, \(F\) est exact à droite. Tout foncteur \(R'\)-linéaire exact à droite \(F : \text{Mod}_{R'} \to \text{Mod}_{R'}\) qui commute aux sommes directes est donné par le produit tensoriel avec un \(R'\)-module (démonstration omise et laissée en exercice). On obtient ainsi \(F(M) = H^d(X', \mathcal{F}') \otimes_{R'} M\). Puisque \(R^d(f')_*\mathcal{F}'\) et \(R^d(f')_*(\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M})\) sont quasi-cohérents (Cohomologie des schémas, Lemme 01XJ), l’égalité \(F(M) = H^d(X', \mathcal{F}') \otimes_{R'} M\) se traduit par l’énoncé de (b).

Démonstration de (c) lorsque \(Y'' \to Y' \to Y\) sont des morphismes de schémas affines. Écrivons \(Y'' = \Spec(R'')\) et \(Y' = \Spec(R')\). Alors \(R^df''_*(h')^*\mathcal{F}'\) est le module quasi-cohérent sur \(Y'\) associé au \(R''\)-module \(H^d(X'', (h')^*\mathcal{F}')\). Or \(h' : X'' \to X'\) est affine ; ainsi \(H^d(X'', (h')^*\mathcal{F}') = H^d(X, h'_*(h')^*\mathcal{F}')\) d’après le résultat déjà utilisé Cohomologie des schémas, Lemme 089W. On a \[h'_*(h')^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{R''}\] comme on le vérifie sur un recouvrement ouvert affine. Ainsi \(H^d(X'', (h')^*\mathcal{F}') = H^d(X', \mathcal{F}') \otimes_{R'} R''\) d’après (b), appliqué à \(f'\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(y \in Y\). Supposons \(f\) propre et \(\dim(X_y) = d\). Alors

1. pour \(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_X)\), on a \((R^if_*\mathcal{F})_y = 0\) pour tout \(i > d\),

2. il existe un voisinage ouvert affine \(V \subset Y\) de \(y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) et \(d\) satisfassent les hypothèses et les conclusions du Lemme 0EX3.

Démonstration

D’après Morphismes, Lemme 02FZ, et puisque \(f\) est fermé, on peut trouver un voisinage ouvert affine \(V\) de \(y\) tel que les fibres au-dessus des points de \(V\) soient toutes de dimension \(\leq d\). On peut donc supposer que \(X \to Y\) est un morphisme propre dont toutes les fibres sont de dimension \(\leq d\), avec \(Y\) affine. Nous montrerons (2), ce qui entraînera immédiatement (1) pour tout \(y \in Y\).

D’après le Lemme 09ZR, on peut écrire \(X = \lim X_i\) comme une limite projective, où \(X_i \to Y\) est propre et de présentation finie, et où les morphismes \(X \to X_i\) ainsi que les morphismes de transition sont des immersions fermées. Pour un certain \(i\), les fibres de \(X_i \to Y\) sont de dimension \(\leq d\) ; voir Lemme 05M5. Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), on a \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pf_{i, *}(X \to X_i)_*\mathcal{F}\) d’après Cohomologie des schémas, Lemme 01XC, et Leray (Cohomologie, Lemme 01F6). On peut donc remplacer \(X\) par \(X_i\) et se ramener au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons \(Y\) affine et \(f : X \to Y\) propre et de présentation finie, toutes les fibres étant de dimension \(\leq d\). Il suffit de montrer que \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > d\). En effet, d’après Cohomologie des schémas, Lemme 01XK, on a \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^0(Y, R^pf_*\mathcal{F})\). D’autre part, \(R^pf_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent sur \(Y\) d’après Cohomologie des schémas, Lemme 01XJ ; l’annulation de ses sections globales entraîne donc son annulation. Écrivons \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) comme une limite projective de schémas affines, où \(Y_i\) est le spectre d’un anneau noethérien (par exemple d’une \(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini). On peut choisir un élément \(0 \in I\) et un morphisme de type fini \(X_0 \to Y_0\) tels que \(X \cong Y \times_{Y_0} X_0\) ; voir Lemme 01ZM. En augmentant \(0\), on peut supposer \(X_0 \to Y_0\) propre (Lemme 081F) et les fibres de \(X_0 \to Y_0\) de dimension \(\leq d\) (Lemme 05M5). Puisque \(X \to X_0\) est affine, on a \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(X_0, (X \to X_0)_*\mathcal{F})\) d’après Cohomologie des schémas, Lemme 089W. Cela nous ramène au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons \(Y\) affine noethérien et \(f : X \to Y\) propre, toutes les fibres étant de dimension \(\leq d\). Dans ce cas, on peut écrire \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\) comme une limite inductive filtrante de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents ; voir Propriétés, Lemme 01PK. Alors \(H^p(X, \mathcal{F}) = \colim H^p(X, \mathcal{F}_i)\) d’après Cohomologie, Lemme 01FF. On peut donc supposer \(\mathcal{F}\) cohérent. Dans ce cas, on a \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\) pour tout \(y \in Y\) d’après Cohomologie des schémas, Lemme 02V7. Ainsi \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\), donc \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) (voir ci-dessus), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(d \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(f\) est un morphisme propre dont toutes les fibres sont de dimension \(\leq d\),

2. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini.

Alors \(R^df_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini.

Démonstration

Le module \(R^df_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent d’après Cohomologie des schémas, Lemme 01XJ. La question est locale sur \(Y\) ; on peut donc supposer \(Y\) affine. Écrivons \(Y = \Spec(R)\). Il suffit alors de montrer que \(H^d(X, \mathcal{F})\) est un \(R\)-module de type fini.

D’après le Lemme 09ZR, on peut écrire \(X = \lim X_i\) comme une limite projective, où \(X_i \to Y\) est propre et de présentation finie, et où les morphismes \(X \to X_i\) ainsi que les morphismes de transition sont des immersions fermées. Pour un certain \(i\), les fibres de \(X_i \to Y\) sont de dimension \(\leq d\) ; voir Lemme 05M5. On a \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pf_{i, *}(X \to X_i)_*\mathcal{F}\) d’après Cohomologie des schémas, Lemme 01XC, et Leray (Cohomologie, Lemme 01F6). On peut donc remplacer \(X\) par \(X_i\) et se ramener au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons \(Y\) affine et \(f : X \to Y\) propre et de présentation finie, toutes les fibres étant de dimension \(\leq d\). On peut écrire \(\mathcal{F}\) comme quotient d’un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie \(\mathcal{F}'\) ; voir Propriétés, Lemme 086M. L’application \(H^d(X, \mathcal{F}') \to H^d(X, \mathcal{F})\) est surjective, car \(H^{d + 1}(X, \Ker(\mathcal{F}' \to \mathcal{F})) = 0\) d’après l’annulation de la cohomologie supérieure établie dans le Lemme 0E7D (ou sa démonstration). On est ainsi ramené au cas traité au paragraphe suivant.

Supposons \(Y = \Spec(R)\) affine et \(f : X \to Y\) propre et de présentation finie, toutes les fibres étant de dimension \(\leq d\), et \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Écrivons \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) comme une limite projective de schémas affines, où \(Y_i = \Spec(R_i)\) est le spectre d’un anneau noethérien (par exemple d’une \(\mathbf{Z}\)-algèbre de type fini). On peut choisir un élément \(0 \in I\) et un morphisme de type fini \(X_0 \to Y_0\) tels que \(X \cong Y \times_{Y_0} X_0\) ; voir Lemme 01ZM. En augmentant \(0\), on peut supposer \(X_0 \to Y_0\) propre (Lemme 081F) et les fibres de \(X_0 \to Y_0\) de dimension \(\leq d\) (Lemme 05M5). En augmentant \(0\), on peut supposer qu’il existe un \(\mathcal{O}_{X_0}\)-module cohérent \(\mathcal{F}_0\) dont l’image inverse est \(\mathcal{F}\) ; voir Lemme 01ZR. D’après le Lemme 0EX3, on a \[H^d(X, \mathcal{F}) = H^d(X_0, \mathcal{F}_0) \otimes_{R_0} R\] Cela achève la démonstration, puisque le module de cohomologie \(H^d(X_0, \mathcal{F}_0)\) est de type fini d’après Cohomologie des schémas, Lemme 02O6.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(d \geq 0\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Faisons les hypothèses suivantes :

1. \(f\) est un morphisme propre de présentation finie dont toutes les fibres sont de dimension \(\leq d\),

2. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie.

Alors \(R^df_*\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du Lemme 0EX4, à ceci près que l’on peut omettre le troisième paragraphe. Nous omettons les détails.

Recollement au voisinage des fibres fermées

En appliquant la théorie précédente au spectre d’un anneau local, on obtient le résultat de recollement suivant pour les schémas relatifs.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(s \in S\) un point fermé tel que \(U = S \setminus \{s\} \to S\) soit quasi-compact. En posant \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\), on a une équivalence de catégories \[\left\{ \begin{matrix} X \to S\text{ de présentation finie} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & V \ar[l] \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) } } \right\}\] où, à droite, on considère les diagrammes commutatifs dont les carrés sont cartésiens et les flèches verticales de présentation finie.

Démonstration

Soit \(W \subset S\) un voisinage ouvert de \(s\). Par recollement des schémas relatifs, voir Constructions, section 01LG, le foncteur \[\left\{ \begin{matrix} X \to S\text{ de présentation finie} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & W \setminus \{s\} \ar[l] \ar[r] & W } } \right\}\] est une équivalence de catégories. On a \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). Ainsi \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). La catégorie des schémas de présentation finie sur \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) est donc la limite des catégories de schémas de présentation finie sur \(W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\) ; voir Lemme 01ZM. Pour tout ouvert affine \(s \in W\), l’intersection \(U \cap W\) est quasi-compacte, puisque \(U \to S\) est quasi-compact. Ainsi \(V = \lim W \cap U = \lim W \setminus \{s\}\) est une limite de schémas quasi-compacts et quasi-séparés (voir Lemme 01YX). La catégorie des schémas de présentation finie sur \(V\) est donc elle aussi la limite des catégories de schémas de présentation finie sur \(W \cap U\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). Le lemme découle formellement de la combinaison de ces résultats.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(s \in S\) un point fermé tel que \(U = S \setminus \{s\} \to S\) soit quasi-compact. En posant \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\), on a une équivalence de catégories \[\left\{ \mathcal{O}_S\text{-modules }\mathcal{F}\text{ de présentation finie} \right\} \longrightarrow \left\{ (\mathcal{G}, \mathcal{H}, \alpha) \right\}\] où, à droite, on considère les triplets constitués d’un \(\mathcal{O}_U\)-module \(\mathcal{G}\) de présentation finie, d’un \(\mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{S, s})}\)-module \(\mathcal{H}\) de présentation finie et d’un isomorphisme \(\alpha : \mathcal{G}|_V \to \mathcal{H}|_V\) de \(\mathcal{O}_V\)-modules.

Démonstration

On peut démontrer ce résultat en reprenant la démonstration du Lemme 0BPA à l’aide du Lemme 01ZR, ou le déduire du Lemme 0BPA à l’aide de l’équivalence entre les modules quasi-cohérents et les « fibrés vectoriels » de Constructions, section 01M1. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(U \subset S\) un ouvert rétrocompact. Soit \(s \in S\) un point du complémentaire de \(U\). En posant \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \cap U\), on a une équivalence de catégories \[\colim_{s \in U' \supset U\text{ ouvert}} \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] \\ U' } } \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & V \ar[l] \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) } } \right\}\] où, à gauche, la flèche verticale est de présentation finie, et où, à droite, on considère les diagrammes commutatifs dont les carrés sont cartésiens et les flèches verticales de présentation finie.

Démonstration

Soit \(W \subset S\) un voisinage ouvert de \(s\). Par recollement des schémas relatifs, voir Constructions, section 01LG, le foncteur \[\left\{ \begin{matrix} X \to U' = U \cup W \text{ de présentation finie} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & W \cap U \ar[l] \ar[r] & W } } \right\}\] est une équivalence de catégories. On a \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). Ainsi \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). La catégorie des schémas de présentation finie sur \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) est donc la limite des catégories de schémas de présentation finie sur \(W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\) ; voir Lemme 01ZM. Pour tout ouvert affine \(s \in W\), l’intersection \(U \cap W\) est quasi-compacte, puisque \(U \to S\) est quasi-compact. Ainsi \(V = \lim W \cap U\) est une limite de schémas quasi-compacts et quasi-séparés (voir Lemme 01YX). La catégorie des schémas de présentation finie sur \(V\) est donc elle aussi la limite des catégories de schémas de présentation finie sur \(W \cap U\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\). Le lemme découle formellement de la combinaison de ces résultats.

Lemme

Reprenons les notations et les hypothèses du Lemme 0BQ5. Soit \(U \subset U' \subset X\) un ouvert contenant \(s\).

1. Soit \(f' : X \to U'\) correspondant à \(f : X' \to U\) et \(g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) par l’équivalence. Si \(f\) et \(g\) sont séparés, propres, finis ou étales, alors, quitte à rétrécir \(U'\), le morphisme \(f'\) possède la même propriété.

2. Soit \(a : X_1 \to X_2\) un morphisme de schémas de présentation finie sur \(U'\), dont les changements de base sont \(a' : X'_1 \to X'_2\) sur \(U\) et \(b : Y_1 \to Y_2\) sur \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\). Si \(a'\) et \(b\) sont séparés, propres, finis ou étales, alors, quitte à rétrécir \(U'\), le morphisme \(a\) possède la même propriété.

Démonstration

Démonstration de (1). Rappelons que \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) est la limite des voisinages ouverts affines de \(s\) dans \(S\). Puisque \(g\) possède la propriété considérée, la restriction de \(f'\) à l’un de ces voisinages ouverts affines la possède aussi ; voir Lemmes 01ZQ, 081F, 01ZO et 07RP. Puisque \(f'\) possède la propriété donnée sur \(U\), car \(f\) la possède, on conclut en vérifiant cette propriété localement sur la base.

Démonstration de (2). Si l’on écrit \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\), où \(W\) parcourt les voisinages ouverts affines de \(s\) dans \(S\), on a \(Y_i = \lim W \times_S X_i\). On peut donc utiliser exactement les mêmes arguments que dans la démonstration de (1).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(s_1, \ldots, s_n \in S\) des points fermés deux à deux distincts tels que \(U = S \setminus \{s_1, \ldots, s_n\} \to S\) soit quasi-compact. En posant \(S_i = \Spec(\mathcal{O}_{S, s_i})\) et \(U_i = S_i \setminus \{s_i\}\), on a une équivalence de catégories \[FP_S \longrightarrow FP_U \times_{(FP_{U_1} \times \ldots \times FP_{U_n})} (FP_{S_1} \times \ldots \times FP_{S_n})\] où \(FP_T\) est la catégorie des schémas de présentation finie sur le schéma \(T\).

Démonstration

Pour \(n = 1\), c’est le Lemme 0BPA. Pour \(n > 1\), le lemme peut se démontrer exactement de la même manière ou s’en déduire. Supposons par exemple que les \(f_i : X_i \to S_i\) soient des objets de \(FP_{S_i}\), que \(f : X \to U\) soit un objet de \(FP_U\) et que l’on se donne des isomorphismes \(X_i \times_{S_i} U_i = X \times_U U_i\). D’après le Lemme 0BPA, on peut trouver un morphisme \(f' : X' \to U' = S \setminus \{s_1, \ldots, s_{n - 1}\}\) de présentation finie, isomorphe à \(X_i\) sur \(S_i\) et à \(X\) sur \(U\), ces isomorphismes étant compatibles avec l’isomorphisme donné \(X_i \times_{S_n} U_n = X \times_U U_n\). On peut alors appliquer l’hypothèse de récurrence à \(f_i : X_i \to S_i\), \(i \leq n - 1\), \(f' : X' \to U'\) et aux isomorphismes induits \(X_i \times_{S_i} U_i = X' \times_{U'} U_i\), \(i \leq n - 1\). Cela montre la surjectivité essentielle. Nous omettons la démonstration de la pleine fidélité.

Application aux modifications

À l’aide des résultats de la section 0E8P, on peut décrire la catégorie des modifications d’un schéma au-dessus d’un point fermé en termes d’anneau local.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(s \in S\) un point fermé tel que \(U = S \setminus \{s\} \to S\) soit quasi-compact. En posant \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\), le foncteur de changement de base \[\left\{ \begin{matrix} f : X \to S\text{ de présentation finie} \\ f^{-1}(U) \to U\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\text{ de présentation finie} \\ g^{-1}(V) \to V\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\}\] est une équivalence de catégories.

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 0BPA.

Lemme

Reprenons les notations et les hypothèses du Lemme 0B3X. Soit \(f : X \to S\) correspondant à \(g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) par l’équivalence. Alors \(f\) est séparé, propre, fini, étale, et d’autres propriétés à ajouter ici, si et seulement si \(g\) l’est.

Démonstration

Le caractère séparé, propre, entier, fini, etc., est stable par changement de base. Voir Schémas, Lemme 01KU, et Morphismes, Lemmes 01W4 et 01WL. Ainsi, si \(f\) possède la propriété, \(g\) la possède aussi. La réciproque découle du Lemme 0EY3, mais nous en donnons aussi une démonstration directe. En effet, si \(g\) possède la propriété, \(f\) la possède dans un voisinage de \(s\) d’après les Lemmes 01ZQ, 081F, 01ZO et 07RP. Puisque \(f\) possède évidemment la propriété considérée sur \(S \setminus \{s\}\), on conclut en vérifiant cette propriété localement sur la base.

Remarque

Le lemme précédent se généralise comme suit. Soit \(S\) un schéma et soit \(T \subset S\) une partie fermée. Supposons qu’il existe un système cofinal de voisinages ouverts \(T \subset W_i\) tel que (1) \(W_i \setminus T\) soit quasi-compact et (2) \(W_i \subset W_j\) soit un morphisme affine. Alors \(W = \lim W_i\) est un schéma contenant \(T\) comme sous-schéma fermé. Posons \(U = X \setminus T\) et \(V = W \setminus T\). Le foncteur de changement de base \[\left\{ \begin{matrix} f : X \to S\text{ de présentation finie} \\ f^{-1}(U) \to U\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} g : Y \to W\text{ de présentation finie} \\ g^{-1}(V) \to V\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\}\] est alors une équivalence de catégories. Si nous en avons besoin un jour, nous transformerons cette remarque en lemme et en donnerons une démonstration détaillée.

Descente des schémas de type fini

Cette section poursuit le thème de la section 01ZD dans l’esprit des résultats de la section 01ZL.

Situation

Soit \(S = \lim_{i \in I} S_i\) la limite d’un système projectif filtrant de schémas noethériens à morphismes de transition affines \(S_{i'} \to S_i\) pour \(i' \geq i\).

Lemme

Plaçons-nous dans la Situation 0CNM. Soit \(X \to S\) quasi-séparé et de type fini. Il existe alors un \(i \in I\) et un diagramme [0CNP]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ S \ar[r] & S_i } } \end{equation}\] tels que \(W \to S_i\) soit de type fini et que le morphisme induit \(X \to S \times_{S_i} W\) soit une immersion fermée.

Démonstration

D’après le Lemme 01ZG, on peut trouver une immersion fermée \(X \to X'\) sur \(S\), où \(X'\) est un schéma de présentation finie sur \(S\). D’après le Lemme 01ZM, on peut trouver un \(i\) et un morphisme de présentation finie \(X'_i \to S_i\) dont l’image inverse est \(X'\). Posons \(W = X'_i\).

Lemme

Plaçons-nous dans la Situation 0CNM. Soit \(X \to S\) quasi-séparé et de type fini. Étant donnés \(i \in I\) et un diagramme \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ S \ar[r] & S_i } }\] comme dans (0CNP), pour \(i' \geq i\), soit \(X_{i'}\) l’image schématique de \(X \to S_{i'} \times_{S_i} W\). Alors \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\).

Démonstration

Puisque \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, la formation de l’image schématique de \(X \to S_{i'} \times_{S_i} W\) commute à la restriction aux sous-schémas ouverts (Morphismes, Lemme 01R8). On peut donc supposer, et l’on suppose, \(W\) affine et son image contenue dans un ouvert affine \(U_i\) de \(S_i\). Soient \(U \subset S\), \(U_{i'} \subset S_{i'}\) les images réciproques de \(U_i\). Alors \(U\), \(U_{i'}\), \(S_{i'} \times_{S_i} W = U_{i'} \times_{U_i} W\) et \(S \times_{S_i} W = U \times_{U_i} W\) sont tous affines. Il s’ensuit que \(X\) est affine, puisque \(X \to S \times_{S_i} W\) est une immersion fermée. Cela montre aussi que l’homomorphisme \[\mathcal{O}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U_i)} \mathcal{O}(W) \to \mathcal{O}(X)\] est surjectif. Soit \(I\) son noyau. Alors \(X_{i'}\) est le spectre de l’anneau \[\mathcal{O}(X_{i'}) = \mathcal{O}(U_{i'}) \otimes_{\mathcal{O}(U_i)} \mathcal{O}(W)/I_{i'}\] où \(I_{i'}\) est l’image réciproque de l’idéal \(I\) (voir Morphismes, Exemple 056A). Puisque \(\mathcal{O}(U) = \colim \mathcal{O}(U_{i'})\), on a \(I = \colim I_{i'}\), et l’on conclut que \(\colim \mathcal{O}(X_{i'}) = \mathcal{O}(X)\).

Lemme

Plaçons-nous dans la Situation 0CNM. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas quasi-séparés et de type fini sur \(S\). Soient \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ S \ar[r] & S_{i_1} } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ S \ar[r] & S_{i_2} } }\] des diagrammes comme dans (0CNP). Soient \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\) et \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\) les descriptions correspondantes comme limites, données par le Lemme 0CNQ. Il existe alors un \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\) et un morphisme \[(f_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\] de systèmes projectifs sur \((S_i)_{i \geq i_0}\) tel que \(f = \lim_{i \geq i_0} f_i\). Si \((g_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\) est un second morphisme de systèmes projectifs sur \((S_i)_{i \geq i_0}\) tel que \(f = \lim_{i \geq i_0} g_i\), alors \(f_i = g_i\) pour tout \(i \gg i_0\).

Démonstration

Puisque \(V \to S_{i_2}\) est de présentation finie et \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\), on peut appliquer la Proposition 01ZC pour trouver un \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\) et un morphisme \(h : X_{i_0} \to V\) sur \(S_{i_2}\) tels que \(X \to X_{i_0} \to V\) soit égal à \(X \to Y \to V\). Pour \(i \geq i_0\), on obtient un diagramme commutatif de flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & X_i \ar[r] \ar@{..>}[d] \ar@/_2pc/[dd] |!{[d];[ld]}\hole & X_{i_0} \ar[d]^h \\ Y \ar[r] \ar[d] & Y_i \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ S \ar[r] & S_i \ar[r] & S_{i_0} }\] Puisque \(X \to X_i\) a une image schématiquement dense et que \(Y_i\) est l’image schématique de \(Y \to S_i \times_{S_{i_2}} V\), le morphisme \(X_i \to S_i \times_{S_{i_2}} V\) induit par le diagramme se factorise par \(Y_i\) (Morphismes, Lemme 01R9). Cela démontre l’existence.

Unicité. Soit \(E_i \subset X_i\) l’égalisateur de \(f_i\) et \(g_i\) pour \(i \geq i_0\). D’après Schémas, Lemme 01KM, \(E_i\) est un sous-schéma localement fermé de \(X_i\). Puisque \(X_i\) est un sous-schéma fermé de \(S_i \times_{S_{i_0}} X_{i_0}\), et de même pour \(Y_i\), on a \[E_i = X_i \times_{(S_i \times_{S_{i_0}} X_{i_0})} (S_i \times_{S_{i_0}} E_{i_0})\] Pour achever la démonstration, il suffit donc de montrer que \(X_i \to X_{i_0}\) se factorise par \(E_{i_0}\) pour un certain \(i \geq i_0\). Pour cela, on utilise le fait que \(X \to X_{i_0}\) se factorise par \(E_{i_0}\), puisque \(f_{i_0}\) et \(g_{i_0}\) sont tous deux compatibles avec \(f\). Puisque \(X_i\) est noethérien, l’espace topologique sous-jacent \(|E_{i_0}|\) est une partie constructible de \(|X_{i_0}|\) (Topologie, Lemme 005L). Ainsi \(X_i \to X_{i_0}\) se factorise ensemblistement par \(E_{i_0}\) pour \(i\) assez grand, d’après le Lemme 05F4. Pour un tel \(i\), l’image réciproque schématique \((X_i \to X_{i_0})^{-1}(E_{i_0})\) est un sous-schéma fermé de \(X_i\) par lequel \(X\) se factorise ; elle est donc égale à \(X_i\), puisque \(X \to X_i\) a une image schématiquement dense par construction. Cela conclut la démonstration.

Remarque

Dans la Situation 0CNM, les Lemmes 0CNN, 0CNQ et 0CNR montrent que la catégorie des schémas quasi-séparés et de type fini sur \(S\) est équivalente à certains types de systèmes projectifs de schémas sur \((S_i)_{i \in I}\), à savoir ceux obtenus en appliquant le Lemme 0CNQ à un diagramme de la forme (0CNP). Par exemple, étant donné \(X \to S\) de type fini et quasi-séparé, si l’on choisit deux diagrammes différents \(X \to V_1 \to S_{i_1}\) et \(X \to V_2 \to S_{i_2}\) comme dans (0CNP), le Lemme 0CNR appliqué à \(\text{id}_X\) (dans les deux sens) montre que les descriptions correspondantes de \(X\) comme limite sont canoniquement isomorphes (quitte à restreindre l’ensemble ordonné filtrant \(I\)). Et ainsi de suite.

Lemme

Reprenons les notations et les hypothèses du Lemme 0CNR. Si \(f\) est plat et de présentation finie, il existe un \(i_3 \geq i_0\) tel que, pour \(i \geq i_3\), \(f_i\) soit plat, \(X_i = Y_i \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\) et \(X = Y \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\).

Démonstration

D’après le Lemme 01ZM, on peut choisir un \(i \geq i_2\) et un morphisme \(U \to Y_i\) de présentation finie tels que \(X = Y \times_{Y_i} U\) (c’est ici qu’intervient la présentation finie de \(f\)). En augmentant \(i\), on peut supposer \(U \to Y_i\) plat ; voir Lemme 04AI. Comme expliqué dans la Remarque 0CNS, on peut remplacer, et l’on remplace, le diagramme initial définissant le système \((X_i)_{i \geq i_1}\) par le système correspondant à \(X \to U \to S_i\). Ainsi \(X_{i'}\), pour \(i' \geq i\), est défini comme l’image schématique de \(X \to S_{i'} \times_{S_i} U\).

Puisque \(U \to Y_i\) est plat (c’est ici qu’intervient la platitude de \(f\)), que \(X = Y \times_{Y_i} U\) et que l’image schématique de \(Y \to Y_i\) est \(Y_i\), l’image schématique de \(X \to U\) est \(U\) (Morphismes, Lemme 081I). Remarquons que \(Y_{i'} \to S_{i'} \times_{S_i} Y_i\) est une immersion fermée pour \(i' \geq i\), par construction du système des \(Y_j\). Le même argument que ci-dessus montre alors que l’image schématique de \(X \to S_{i'} \times_{S_i} U\) est égale au sous-schéma fermé \(Y_{i'} \times_{Y_i} U\). Ainsi \(X_{i'} = Y_{i'} \times_{Y_i} U\) pour tout \(i' \geq i\), et le lemme est satisfait avec \(i_3 = i\).

Lemme

Reprenons les notations et les hypothèses du Lemme 0CNR. Si \(f\) est lisse, il existe un \(i_3 \geq i_0\) tel que, pour \(i \geq i_3\), le morphisme \(f_i\) soit lisse.

Démonstration

Combiner les Lemmes 0CNT et 0C0C.

Lemme

Reprenons les notations et les hypothèses du Lemme 0CNR. Si \(f\) est propre, il existe un \(i_3 \geq i_0\) tel que, pour \(i \geq i_3\), le morphisme \(f_i\) soit propre.

Démonstration

D’après la discussion de la Remarque 0CNS, le choix de \(i_1\) et de \(W\) s’insérant dans un diagramme comme dans (0CNP) n’influe pas sur la validité du lemme. Choisissons donc \(W\) comme suit. Choisissons d’abord une immersion fermée \(X \to X'\) avec \(X' \to S\) propre et de présentation finie ; voir Lemme 09ZR. Choisissons ensuite un \(i_3 \geq i_2\) et un morphisme propre \(W \to Y_{i_3}\) tels que \(X' = Y \times_{Y_{i_3}} W\). C’est possible puisque \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\), d’après les Lemmes 01ZM et 081F. Avec ce choix de \(W\), la construction montre immédiatement que, pour \(i \geq i_3\), le schéma \(X_i\) est un sous-schéma fermé de \(Y_i \times_{Y_{i_3}} W \subset S_i \times_{S_{i_3}} W\), donc est propre sur \(Y_i\).

Lemme

Dans la Situation 0CNM, supposons donné un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X^1 \ar[r]_p \ar[d]_q & X^3 \ar[d]^a \\ X^2 \ar[r]^b & X^4 }\] de schémas quasi-séparés et de type fini sur \(S\). Pour chaque \(j = 1, 2, 3, 4\), choisissons \(i_j \in I\) et un diagramme \[\xymatrix{ X^j \ar[r] \ar[d] & W^j \ar[d] \\ S \ar[r] & S_{i_j} }\] comme dans (0CNP). Soit \(X^j = \lim_{i \geq i_j} X^j_i\) la description correspondante comme limite, donnée par le Lemme 0CNR. Soient \((a_i)_{i \geq i_5}\), \((b_i)_{i \geq i_6}\), \((p_i)_{i \geq i_7}\) et \((q_i)_{i \geq i_8}\) les morphismes de systèmes correspondants, construits dans le Lemme 0CNR. Il existe alors un \(i_9 \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8)\) tel que, pour \(i \geq i_9\), \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\) et que \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] soit une immersion fermée. Si \(a\) et \(b\) sont plats et de présentation finie, il existe un \(i_{10} \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8, i_9)\) tel que, pour \(i \geq i_{10}\), le dernier morphisme affiché soit un isomorphisme.

Démonstration

D’après la discussion de la Remarque 0CNS, le choix de \(W^1\) s’insérant dans un diagramme comme dans (0CNP) n’influe pas sur la validité du lemme. On peut donc choisir \(W^1 = W^2 \times_{W^4} W^3\). La construction de \(X^1_i\) montre alors immédiatement que \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\) et que \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] est une immersion fermée.

Si \(a\) et \(b\) sont plats et de présentation finie, il en va de même pour \(p\) et \(q\), qui sont des changements de base de \(a\) et \(b\). On peut donc appliquer le Lemme 0CNT à chacun des morphismes \(a\), \(b\), \(p\), \(q\) et \(a \circ p = b \circ q\). Il s’ensuit qu’il existe un \(i_9 \in I\) tel que \[(q_i, p_i) : X^1_i \to X^2_i \times_{X^4_i} X^3_i\] soit le changement de base de \((q_{i_9}, p_{i_9})\) par le morphisme \(X^4_i \to X^4_{i_9}\) pour tout \(i \geq i_9\). On conclut que \((q_i, p_i)\) est un isomorphisme pour tout \(i\) assez grand, d’après le Lemme 081E.