Théorie des intersections

Introduction

Dans ce chapitre, nous construisons le produit d’intersection sur les groupes de Chow modulo l’équivalence rationnelle d’une variété projective non singulière sur un corps algébriquement clos. Nos outils sont la formule des Tor de Serre (voir [Serre_algebre_locale, chapitre V]), la réduction à la diagonale et le lemme de déplacement.

Nous rappelons d’abord les cycles et la construction de l’image directe propre et de l’image inverse plate des cycles. Ensuite, nous introduisons l’équivalence rationnelle des cycles, qui nous donne les groupes de Chow \(\CH_*(X)\). L’image directe propre et l’image inverse plate se factorisent par l’équivalence rationnelle et donnent des opérations sur les groupes de Chow. Cela occupe les sections 0AZ9, 0AZA, 0AZB, 0AZC, 0AZE, 0AZG, 0AZH, 0AZJ, et 0AZK. Pour les démonstrations, nous renvoyons principalement au chapitre sur l’homologie de Chow, où ces résultats ont été démontrés dans le cadre des schémas localement de type fini sur une base noethérienne universellement caténaire ; voir Homologie de Chow, section 02QK et suivantes.

Puisque nous travaillons sur une variété projective non singulière \(X\), toute composante irréductible de l’intersection \(V \cap W\) de deux sous-variétés fermées irréductibles est de dimension au moins \(\dim(V) + \dim(W) - \dim(X)\). Nous disons que \(V\) et \(W\) se coupent proprement si l’égalité vaut pour toute composante irréductible \(Z\). Dans ce cas, nous définissons la multiplicité d’intersection \(e_Z = e(X, V \cdot W, Z)\) par la formule \[e_Z = \sum\nolimits_i (-1)^i \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, Z}} \text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{X, Z}}(\mathcal{O}_{W, Z}, \mathcal{O}_{V, Z})\] Nous devons faire un peu d’algèbre commutative pour montrer que ces multiplicités d’intersection concordent avec l’intuition dans les cas simples, c’est-à-dire que, parfois, \[e_Z = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, Z}} \mathcal{O}_{V \cap W, Z},\] autrement dit, seul \(\text{Tor}_0\) contribue. Cela se produit lorsque \(V\) et \(W\) sont de Cohen-Macaulay au point générique de \(Z\), ou lorsque \(W\) est défini par une suite régulière dans \(\mathcal{O}_{X, Z}\) qui définit aussi une suite régulière sur \(\mathcal{O}_{V, Z}\). Toutefois, l’exemple 0B2S montre que les Tor supérieurs sont nécessaires en général. De plus, il existe un lien avec la multiplicité de Samuel. Ces questions sont étudiées dans les sections 0AZL, 0AZR, 0AZU, 0B01, et 0B08.

La réduction à la diagonale affirme que nous pouvons couper \(V\) et \(W\) en coupant \(V \times W\) avec la diagonale dans \(X \times X\). Cet énoncé anodin, évident au niveau des intersections schématiques, ramène l’intersection d’une paire quelconque de sous-schémas fermés au cas où l’un des deux est localement défini par une suite régulière. À la suite de Serre, nous l’utilisons pour obtenir la positivité des multiplicités d’intersection. De plus, la réduction à la diagonale conduit à l’additivité des multiplicités d’intersection, à l’associativité et à une formule de projection. On trouvera cela dans les sections 0B09, 0B0A, 0B1K, 0B0B, et 0B0C.

Enfin, nous abordons les lemmes de déplacement et leurs applications. Le lemme de déplacement comporte deux parties. La première affirme qu’étant données des sous-variétés fermées \[Z \subset X \subset \mathbf{P}^N\] avec \(X\) non singulière, nous pouvons trouver une sous-variété \(C \subset \mathbf{P}^N\) qui coupe \(X\) proprement et telle que \[C \cdot X = [Z] + \sum m_j [Z_j]\] et telle que les autres composantes \(Z_j\) soient « plus générales » que \(Z\). La seconde partie affirme que l’on peut déplacer \(C \subset \mathbf{P}^N\), le long d’une courbe rationnelle, vers une sous-variété en position générale par rapport à toute liste donnée de sous-variétés. Ensemble, ces résultats impliquent qu’il suffit de définir le produit d’intersection des cycles sur \(X\) qui se coupent proprement, ce qui a été fait ci-dessus. Bien entendu, cela ne conduit à un produit d’intersection sur \(\CH_*(X)\) que si l’on montre, comme nous le faisons dans le texte, que ces produits passent au quotient par l’équivalence rationnelle. Cette question et quelques applications sont étudiées dans les sections 0B1N, 0B0D, 0B0F, 0B0G, 0B0H, et 0B0I.

Conventions

Nous fixons un corps de base algébriquement clos \(\mathbf{C}\), de caractéristique quelconque. Tous les schémas et toutes les variétés sont définis sur \(\mathbf{C}\), et tous les morphismes sont des \(\mathbf{C}\)-morphismes. Une variété \(X\) est non singulière si \(X\) est un schéma régulier (voir Propriétés, définition 02IS). Dans notre cas, cela signifie que le morphisme \(X \to \Spec(\mathbf{C})\) est lisse (voir Variétés, lemme 038X).

Cycles

Soit \(X\) une variété. Une sous-variété fermée de \(X\) est un sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\). Un \(k\)-cycle sur \(X\) est une somme formelle finie \(\sum n_i [Z_i]\), où chaque \(Z_i\) est une sous-variété fermée de dimension \(k\). Chaque fois que nous employons la notation \(\alpha = \sum n_i[Z_i]\) pour un \(k\)-cycle, nous supposons toujours que les sous-variétés \(Z_i\) sont deux à deux distinctes et que \(n_i \not = 0\) pour tout \(i\). Dans ce cas, le support de \(\alpha\) est le sous-ensemble fermé \[\text{Supp}(\alpha) = \bigcup Z_i \subset X\] de dimension \(k\). Le groupe des \(k\)-cycles est noté \(Z_k(X)\). Voir Homologie de Chow, section 02QQ.

Cycle associé à un sous-schéma fermé

Supposons que \(X\) soit une variété et que \(Z \subset X\) soit un sous-schéma fermé avec \(\dim(Z) \leq k\). Soient \(Z_i\) les composantes irréductibles de \(Z\) de dimension \(k\), et soit \(n_i\) la multiplicité de \(Z_i\) dans \(Z\), définie par \[n_i = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, Z_i}} \mathcal{O}_{Z, Z_i}\] où \(\mathcal{O}_{X, Z_i}\), resp. \(\mathcal{O}_{Z, Z_i}\), est l’anneau local de \(X\), resp. de \(Z\), au point générique de \(Z_i\). Nous définissons le \(k\)-cycle associé à \(Z\) comme le \(k\)-cycle \[[Z]_k = \sum n_i [Z_i].\] Voir Homologie de Chow, section 02QS.

Cycle associé à un faisceau cohérent

Supposons que \(X\) soit une variété et que \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). Soient \(Z_i\) les composantes irréductibles de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) de dimension \(k\), et soit \(n_i\) la multiplicité de \(Z_i\) dans \(\mathcal{F}\), définie par \[n_i = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, Z_i}} \mathcal{F}_{\xi_i}\] où \(\mathcal{O}_{X, Z_i}\) est l’anneau local de \(X\) au point générique \(\xi_i\) de \(Z_i\), et où \(\mathcal{F}_{\xi_i}\) est le germe de \(\mathcal{F}\) en ce point. Nous définissons le \(k\)-cycle associé à \(\mathcal{F}\) comme le \(k\)-cycle \[[\mathcal{F}]_k = \sum n_i [Z_i].\] Voir Homologie de Chow, section 02QV. Notons que, si \(Z \subset X\) est un sous-schéma fermé avec \(\dim(Z) \leq k\), alors \([Z]_k = [\mathcal{O}_Z]_k\) par définition.

Image directe propre

Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme propre de variétés. Soit \(Z \subset X\) une sous-variété fermée de dimension \(k\). Nous définissons \(f_*[Z]\) comme \(0\) si \(\dim(f(Z)) < k\), et comme \(d \cdot [f(Z)]\) si \(\dim(f(Z)) = k\), où \[d = [\mathbf{C}(Z) : \mathbf{C}(f(Z))] = \deg(Z/f(Z))\] est le degré du morphisme dominant \(Z \to f(Z)\) ; voir Morphismes, définition 02NY. Soit \(\alpha = \sum n_i [Z_i]\) un \(k\)-cycle sur \(X\). L’ image directe de \(\alpha\) est la somme \(f_* \alpha = \sum n_i f_*[Z_i]\), où chaque \(f_*[Z_i]\) est défini comme ci-dessus. Cela définit un homomorphisme \[f_* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(Y)\] Voir Homologie de Chow, section 02R3.

Lemme

Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme propre de variétés. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent tel que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) ; alors \(f_*[\mathcal{F}]_k = [f_*\mathcal{F}]_k\). En particulier, si \(Z \subset X\) est un sous-schéma fermé de dimension \(\leq k\), alors \(f_*[Z]_k = [f_*\mathcal{O}_Z]_k\).

Démonstration

Voir Homologie de Chow, lemme 02R6.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes propres de variétés. Alors \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\) comme applications \(Z_k(X) \to Z_k(Z)\).

Démonstration

Cas particulier de Homologie de Chow, lemme 02R5.

Image inverse plate

Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme plat de variétés. D’après Morphismes, lemme 02JS toute fibre de \(f\) est de dimension \(r = \dim(X) - \dim(Y)\)¹. Soit \(Z \subset Y\) une sous-variété fermée de dimension \(k\). Nous définissons \(f^*[Z]\) comme le \((k + r)\)-cycle associé à l’image inverse schématique : \(f^*[Z] = [f^{-1}(Z)]_{k + r}\). Soit \(\alpha = \sum n_i [Z_i]\) un \(k\)-cycle sur \(Y\). L’image inverse de \(\alpha\) est la somme \(f^* \alpha = \sum n_i f^*[Z_i]\), où chaque \(f^*[Z_i]\) est défini comme ci-dessus. Cela définit un homomorphisme \[f^* : Z_k(Y) \longrightarrow Z_{k + r}(X)\] Voir Homologie de Chow, section 02RA.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de variétés. Posons \(r = \dim(X) - \dim(Y)\). Alors \(f^*[\mathcal{F}]_k = [f^*\mathcal{F}]_{k + r}\) si \(\mathcal{F}\) est un faisceau cohérent sur \(Y\) et si la dimension du support de \(\mathcal{F}\) est au plus \(k\).

Démonstration

Voir Homologie de Chow, lemme 02RE.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes plats de variétés. Alors \(g \circ f\) est plat et \(f^* \circ g^* = (g \circ f)^*\) comme applications \(Z_k(Z) \to Z_{k + \dim(X) - \dim(Z)}(X)\).

Démonstration

Cas particulier de Homologie de Chow, lemme 02RD.

Équivalence rationnelle

Nous allons définir l’équivalence rationnelle d’une manière qui peut, au premier abord, sembler différente de celle qui vous est familière ou de celle de [F, chapitre I] ou de Homologie de Chow, section 02RV. Cependant, nous montrerons dans la section 0AZH que les deux notions coïncident.

Soit \(X\) une variété. Soit \(W \subset X \times \mathbf{P}^1\) une sous-variété fermée de dimension \(k + 1\). Soient \(a, b\) deux points fermés distincts de \(\mathbf{P}^1\). Supposons que \(X \times a\), \(X \times b\) et \(W\) se coupent proprement : \[\dim (W \cap X \times a) \leq k,\quad \dim (W \cap X \times b) \leq k.\] C’est le cas dès que \(W \to \mathbf{P}^1\) est dominant, ou si \(W\) est contenu dans une fibre de la projection au-dessus d’un point fermé distinct de \(a\) et de \(b\) (cas sans intérêt que nous écarterons). Dans cette situation, la fibre schématique \(W_a\) du morphisme \(W \to \mathbf{P}^1\) est égale à l’intersection schématique \(W \cap X \times a\) dans \(X \times \mathbf{P}^1\). En identifiant \(X \times a\) et \(X \times b\) à \(X\), nous pouvons considérer les fibres \(W_a\) et \(W_b\) comme des sous-schémas fermés de \(X\) de dimension \(\leq k\)². Un exemple fondamental d’ équivalence rationnelle est \[[W_a]_k \sim_{rat} [W_b]_k\] Les cycles \([W_a]_k\) et \([W_b]_k\) se calculent facilement en pratique (une fois \(W\) donné), car ils s’obtiennent par intersection propre avec un diviseur de Cartier (nous le verrons dans la section 0B08). Comme le groupe des automorphismes de \(\mathbf{P}^1\) est \(2\)-transitif, nous pouvons envoyer la paire de points fermés \(a, b\) sur toute paire de notre choix. Un choix traditionnel consiste à prendre \(a = 0\) et \(b = \infty\).

Plus généralement, soit \(\alpha = \sum n_i [W_i]\) un \((k + 1)\)-cycle sur \(X \times \mathbf{P}^1\). Soient \(a_i, b_i\) des paires de points fermés distincts de \(\mathbf{P}^1\). Supposons que \(X \times a_i\), \(X \times b_i\) et \(W_i\) se coupent proprement ; autrement dit, chaque triplet \(W_i, a_i, b_i\) vérifie la condition étudiée ci-dessus. Un cycle rationnellement équivalent à zéro est tout cycle de la forme \[\sum n_i([W_{i, a_i}]_k - [W_{i, b_i}]_k).\] Il s’agit bien d’un \(k\)-cycle. L’ensemble des \(k\)-cycles rationnellement équivalents à zéro est un sous-groupe additif du groupe des \(k\)-cycles. Nous disons que deux \(k\)-cycles sont rationnellement équivalents, et nous écrivons \(\alpha \sim_{rat} \alpha'\), si \(\alpha - \alpha'\) est un cycle rationnellement équivalent à zéro.

Nous définissons \[\CH_k(X) = Z_k(X)/ \sim_{rat}\] comme le groupe de Chow des \(k\)-cycles sur \(X\). Nous verrons dans le lemme 0AZI que cela coïncide avec le groupe de Chow défini dans Homologie de Chow, définition 02RW.

Équivalence rationnelle et fonctions rationnelles

Soit \(X\) une variété. Soit \(W \subset X\) une sous-variété de dimension \(k + 1\). Soit \(f \in \mathbf{C}(W)^*\) une fonction rationnelle non nulle sur \(W\). Pour toute sous-variété \(Z \subset W\) de dimension \(k\), on peut définir l’ordre d’annulation \(\text{ord}_{W, Z}(f)\) de \(f\) le long de \(Z\). Si \(f\) appartient à l’anneau local \(\mathcal{O}_{W, Z}\), on a alors \[\text{ord}_{W, Z}(f) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, Z}} \mathcal{O}_{W, Z}/f\mathcal{O}_{W, Z}\] où \(\mathcal{O}_{X, Z}\), resp. \(\mathcal{O}_{W, Z}\), est l’anneau local de \(X\), resp. de \(W\), au point générique de \(Z\). En général, on étend la définition par multiplicativité. Le diviseur principal associé à \(f\) est \[\text{div}_W(f) = \sum \text{ord}_{W, Z}(f)[Z]\] dans \(Z_k(W)\). Comme \(W \subset X\) est une sous-variété fermée, nous pouvons considérer \(\text{div}_W(f)\) comme un cycle sur \(X\). Voir Homologie de Chow, section 02RN.

Lemme

Soit \(X\) une variété. Soit \(W \subset X\) une sous-variété de dimension \(k + 1\). Soit \(f \in \mathbf{C}(W)^*\) une fonction rationnelle non nulle sur \(W\). Alors \(\text{div}_W(f)\) est rationnellement équivalent à zéro sur \(X\). Réciproquement, ces diviseurs principaux engendrent le groupe abélien des cycles rationnellement équivalents à zéro sur \(X\).

Démonstration

La première assertion résulte de Homologie de Chow, lemme 02RQ. Plus précisément, soit \(W' \subset X \times \mathbf{P}^1\) l’adhérence du graphe de \(f\). Alors \(\text{div}_W(f) = [W'_0]_k - [W'_\infty]\) dans \(Z_k(W) \subset Z_k(X)\) ; voir la partie (6) de Homologie de Chow, lemme 02RQ.

Pour la seconde assertion, soit \(W' \subset X \times \mathbf{P}^1\) une sous-variété fermée de dimension \(k + 1\) qui domine \(\mathbf{P}^1\). Nous allons montrer que \([W'_0]_k - [W'_\infty]_k\) est un diviseur principal, ce qui achèvera la démonstration. Soit \(W \subset X\) l’image de \(W'\) par la projection sur \(X\). Alors \(W \subset X\) est une sous-variété fermée et \(W' \to W\) est propre et dominant, à fibres de dimension \(0\) ou \(1\). Si \(\dim(W) = k\), alors \(W' = W \times \mathbf{P}^1\) et nous voyons que \([W'_0]_k - [W'_\infty]_k = [W] - [W] = 0\). Si \(\dim(W) = k + 1\), alors \(W' \to W\) est génériquement fini³. Notons \(f\) la projection \(W' \to \mathbf{P}^1\), considérée comme un élément de \(\mathbf{C}(W')^*\). Soit \(g = \text{Nm}(f) \in \mathbf{C}(W)^*\) la norme. D’après Homologie de Chow, lemme 02RT, nous avons \[\text{div}_W(g) = \text{pr}_{X, *}\text{div}_{W'}(f)\] Comme \(\text{div}_{W'}(f) = [W'_0]_k - [W'_\infty]_k\) d’après Homologie de Chow, lemme 02RQ, la démonstration est achevée.

Image directe propre et équivalence rationnelle

Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme propre de variétés. Soit \(\alpha \sim_{rat} 0\) un \(k\)-cycle sur \(X\) rationnellement équivalent à \(0\). Alors l’image directe de \(\alpha\) est rationnellement équivalente à zéro : \(f_* \alpha \sim_{rat} 0\). Voir le chapitre I de [F] ou Homologie de Chow, lemme 02S2.

Nous obtenons donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z_k(X) \ar[r] \ar[d]_{f_*} & \CH_k(X) \ar[d]^{f_*} \\ Z_k(Y) \ar[r] & \CH_k(Y) }\] de groupes de \(k\)-cycles.

Image inverse plate et équivalence rationnelle

Supposons que \(f : X \to Y\) soit un morphisme plat de variétés. Posons \(r = \dim(X) - \dim(Y)\). Soit \(\alpha \sim_{rat} 0\) un \(k\)-cycle sur \(Y\) rationnellement équivalent à \(0\). Alors l’image inverse de \(\alpha\) est rationnellement équivalente à zéro : \(f^* \alpha \sim_{rat} 0\). Voir le chapitre I de [F] ou Homologie de Chow, lemme 02S1.

Nous obtenons donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z_{k + r}(X) \ar[r] & \CH_{k + r}(X) \\ Z_k(Y) \ar[r] \ar[u]^{f^*} & \CH_k(Y) \ar[u]_{f^*} }\] de groupes de \(k\)-cycles.

La suite exacte courte associée à un ouvert

Soit \(X\) une variété et soit \(U \subset X\) une sous-variété ouverte. Soit \(X \setminus U = \bigcup Z_i\) sa décomposition en composantes irréductibles⁴. Alors, pour tout \(k \geq 0\), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \bigoplus Z_k(Z_i) \ar[r] \ar[d] & Z_k(X) \ar[r] \ar[d] & Z_k(U) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ \bigoplus \CH_k(Z_i) \ar[r] & \CH_k(X) \ar[r] & \CH_k(U) \ar[r] & 0 }\] à lignes exactes. Les flèches verticales sont ici les applications canoniques de passage au quotient. Les flèches horizontales de gauche sont données par l’image directe propre le long des immersions fermées \(Z_i \to X\). Les flèches horizontales de droite sont données par l’image inverse plate le long de l’immersion ouverte \(j : U \to X\). Comme nous avons vu que ces applications se factorisent par l’équivalence rationnelle, les carrés sont commutatifs. La ligne du haut est exacte simplement parce que toute sous-variété de \(X\) est soit contenue dans un des \(Z_i\), soit a une intersection irréductible avec \(U\). La ligne du bas est exacte parce que tout diviseur principal \(\text{div}_W(f)\) sur \(U\) est la restriction d’un diviseur principal sur \(X\). Plus précisément, si \(W \subset U\) est une sous-variété fermée de dimension \((k + 1)\) et si \(f \in \mathbf{C}(W)^*\), notons \(\overline{W}\) l’adhérence de \(W\) dans \(X\). Alors \(W \subset \overline{W}\) est une immersion ouverte, donc \(\mathbf{C}(W) = \mathbf{C}(\overline{W})\), et nous pouvons considérer \(f\) comme une fonction rationnelle non constante sur \(\overline{W}\). Alors, clairement, \[j^*\text{div}_{\overline{W}}(f) = \text{div}_W(f)\] dans \(Z_k(X)\). L’exactitude de la ligne inférieure s’en déduit aisément. Pour les détails, voir Homologie de Chow, lemme 02RX.

Intersections propres

Commençons par quelques lemmes donnant des estimations de dimension.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des variétés. Alors \(X \times Y\) est une variété et \(\dim(X \times Y) = \dim(X) + \dim(Y)\).

Démonstration

Le schéma \(X \times Y = X \times_{\Spec(\mathbf{C})} Y\) est une variété d’après Variétés, lemme 05P3. L’assertion sur la dimension est Variétés, lemme 0B2M.

Rappelons qu’une immersion régulière \(i : X \to Y\) de schémas est une immersion fermée dont le faisceau d’idéaux correspondant est localement engendré par une suite régulière ; voir Diviseurs, section 0638. De plus, le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{X/Y}\) est localement libre de type fini, de rang égal à la longueur de la suite régulière. Nous dirons que \(i\) est une immersion régulière de codimension \(c\) si \(\mathcal{C}_{X/Y}\) est localement libre de rang \(c\).

Plus généralement, rappelons (Morphismes, compléments, section 068E) que \(f : X \to Y\) est un morphisme d’intersection complète locale si l’on peut recouvrir \(X\) par des ouverts \(U\) tels que \(f|_U\) se factorise comme suit : \[\xymatrix{ U \ar[rr]_i \ar[rd] & & \mathbf{A}^n_Y \ar[ld] \\ & Y }\] où \(i\) est une immersion Koszul-régulière (si \(Y\) est localement noethérien, cela revient à demander que \(i\) soit une immersion régulière ; voir Diviseurs, lemme 063L). Nous dirons que \(f\) est un morphisme d’intersection complète locale de dimension relative \(r\) si, pour toute factorisation comme ci-dessus, l’immersion fermée \(i\) a un faisceau conormal de rang \(n - r\) (autrement dit, si \(i\) est une immersion Koszul-régulière de codimension \(n - r\), ce qui, dans le cas noethérien, signifie simplement qu’elle est une immersion régulière de codimension \(n - r\)).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de variétés.

1. Si \(Z \subset Y\) est une sous-variété de dimension \(d\) et si \(f\) est une immersion régulière de codimension \(c\), alors toute composante irréductible de \(f^{-1}(Z)\) est de dimension \(\geq d - c\).

2. Si \(Z \subset Y\) est une sous-variété de dimension \(d\) et si \(f\) est un morphisme d’intersection complète locale de dimension relative \(r\), alors toute composante irréductible de \(f^{-1}(Z)\) est de dimension \(\geq d + r\).

Démonstration

Démonstration de (1). Nous pouvons travailler localement ; nous pouvons donc supposer que \(Y = \Spec(A)\) et \(X = V(f_1, \ldots, f_c)\), où \(f_1, \ldots, f_c\) est une suite régulière dans \(A\). Si \(Z = \Spec(A/\mathfrak p)\), alors nous voyons que \(f^{-1}(Z) = \Spec(A/\mathfrak p + (f_1, \ldots, f_c))\). Si \(V\) est une composante irréductible de \(f^{-1}(Z)\), nous pouvons choisir un point fermé \(v \in V\) qui n’appartient à aucune autre composante irréductible de \(f^{-1}(Z)\). Alors \[\dim(Z) = \dim \mathcal{O}_{Z, v} \quad\text{et}\quad \dim(V) = \dim \mathcal{O}_{V, v} = \dim \mathcal{O}_{Z, v}/(f_1, \ldots, f_c)\] La première égalité résulte par exemple de Algèbre, lemme 00P0, et la seconde de notre choix du point fermé. Le résultat découle alors du fait que le quotient par un élément de l’idéal maximal diminue la dimension d’au plus \(1\) ; voir Algèbre, lemme 00KW.

Démonstration de (2). Choisissons une factorisation comme dans la définition d’une intersection complète locale et appliquons (1). Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Alors la diagonale \(\Delta : X \to X \times X\) est une immersion régulière de codimension \(\dim(X)\).

Démonstration

En fait, toute immersion fermée entre variétés projectives non singulières est une immersion régulière ; voir Diviseurs, lemme 067U.

Le lemme suivant illustre le fonctionnement de la réduction à la diagonale.

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière et soient \(W,V \subset X\) des sous-variétés fermées telles que \(\dim(W) = s\) et \(\dim(V) = r\). Alors toute composante irréductible \(Z\) de \(V \cap W\) est de dimension \(\geq r + s - \dim(X)\).

Démonstration

Comme \(V \cap W = \Delta^{-1}(V \times W)\) (au sens schématique), nous concluons par les lemmes 0B0Q et 0AZN.

Ce lemme suggère la définition suivante.

Définition

Soit \(X\) une variété non singulière.

1. Soient \(W,V \subset X\) des sous-variétés fermées telles que \(\dim(W) = s\) et \(\dim(V) = r\). Nous disons que \(W\) et \(V\) se coupent proprement si \(\dim(V \cap W) \leq r + s - \dim(X)\).

2. Soit \(\alpha = \sum n_i [W_i]\) un \(s\)-cycle et soit \(\beta = \sum_j m_j [V_j]\) un \(r\)-cycle sur \(X\). Nous disons que \(\alpha\) et \(\beta\) se coupent proprement si \(W_i\) et \(V_j\) se coupent proprement quels que soient \(i\) et \(j\).

Multiplicités d’intersection au moyen de la formule des Tor

Un fait fondamental que nous utiliserons souvent est que, pour des faisceaux de modules \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) sur un espace annelé \((X, \mathcal{O}_X)\) et un point \(x \in X\), on a \[\text{Tor}_p^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})_x = \text{Tor}_p^{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\] comme \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules. Cela se voit de plusieurs façons à partir de notre construction des produits tensoriels dérivés dans Cohomologie, section 06Y7; cela résulte par exemple de Cohomologie, lemme 06YB. De plus, si \(X\) est un schéma et si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont quasi-cohérents, alors les modules \(\text{Tor}_p^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) sont eux aussi quasi-cohérents, voir Catégories dérivées des schémas, lemme 08DX. Le résultat suivant importe davantage pour ce qui nous occupe.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien.

1. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, alors \(\text{Tor}_p^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) l’est aussi.

2. Si \(L\) et \(K\) appartiennent à \(D^-_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\), alors il en est de même de \(L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\).

Démonstration

Expliquons comment démontrer (1) de manière plus élémentaire, et la partie (2) à l’aide de la théorie générale développée précédemment.

Démonstration de (1). Comme la formation de \(\text{Tor}\) commute à la localisation, nous pouvons supposer \(X\) affine. Ainsi \(X = \Spec(A)\) pour un anneau noethérien \(A\), et \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) correspondent à des \(A\)-modules de type fini \(M\) et \(N\) (Cohomologie des schémas, lemme 01XZ). D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08DX, nous pouvons calculer les \(\text{Tor}\) en calculant d’abord les \(\text{Tor}\) de \(M\) et \(N\) sur \(A\), puis en prenant le \(\mathcal{O}_X\)-module associé. Comme les modules \(\text{Tor}_p^A(M, N)\) sont de type fini d’après Algèbre, lemme 0AZ4, nous concluons.

D’après Catégories dérivées des schémas, lemme 08E8, l’hypothèse équivaut à demander que \(L\) et \(K\) soient (localement) pseudo-cohérents. Alors \(L \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} K\) est pseudo-cohérent d’après Cohomologie, lemme 09J3.

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Le \(\mathcal{O}_X\)-module \(\text{Tor}_p^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est cohérent, a pour germe en \(x\) \(\text{Tor}_p^{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, \mathcal{G}_x)\), a son support contenu dans \(\text{Supp}(\mathcal{F}) \cap \text{Supp}(\mathcal{G})\), et n’est non nul que pour \(p \in \{0, \ldots, \dim(X)\}\).

Démonstration

Le résultat sur les fibres a été discuté ci-dessus et implique la condition sur le support. Les \(\text{Tor}\) sont cohérents d’après le lemme 0AZS. L’annulation des \(\text{Tor}\) en degrés négatifs résulte immédiatement de la construction. L’annulation de \(\text{Tor}_p\) pour \(p > \dim(X)\) se voit comme suit : les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, x}\) sont réguliers (puisque \(X\) est non singulière) et de dimension \(\leq \dim(X)\) (Algèbre, lemme 00P0); ainsi \(\mathcal{O}_{X, x}\) est de dimension globale finie \(\leq \dim(X)\) (Algèbre, lemme 00OE), ce qui implique que les groupes \(\text{Tor}\) de modules s’annulent au-delà de la dimension (Compléments d’algèbre, lemme 066P).

Soit \(X\) une variété non singulière, et soient \(W, V \subset X\) des sous-variétés fermées telles que \(\dim(W) = s\) et \(\dim(V) = r\). Supposons que \(V\) et \(W\) se coupent proprement. Dans ce cas, le lemme 0AZP nous dit que toutes les composantes irréductibles de \(V \cap W\) ont une dimension égale à \(r + s - \dim(X)\). Les faisceaux \(\text{Tor}_j^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_W, \mathcal{O}_V)\) sont cohérents, à support dans \(V \cap W\), et nuls si \(j < 0\) ou \(j > \dim(X)\) (lemme 0AZT). Nous définissons le produit d’intersection par \[W \cdot V = \sum\nolimits_i (-1)^i [\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_W, \mathcal{O}_V)]_{r + s - \dim(X)}.\] Soulignons que ceci n’a de sens qu’en vertu de notre hypothèse que \(V\) et \(W\) se coupent proprement. Ce fait rendra nécessaire un lemme de déplacement afin de définir le produit d’intersection en général.

Avec cette notation, le cycle \(V \cdot W\) est une combinaison linéaire formelle \(\sum e_Z Z\) des composantes irréductibles \(Z\) de l’intersection \(V \cap W\). Les entiers \(e_Z\) sont appelés les multiplicités d’intersection \[e_Z = e(X, V \cdot W, Z) = \sum\nolimits_i (-1)^i \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, Z}} \text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{X, Z}}(\mathcal{O}_{W, Z}, \mathcal{O}_{V, Z})\] où \(\mathcal{O}_{X, Z}\), resp. \(\mathcal{O}_{W, Z}\), resp. \(\mathcal{O}_{V, Z}\) désigne l’anneau local de \(X\), resp. \(W\), resp. \(V\) au point générique de \(Z\). Ces sommes alternées des longueurs des \(\text{Tor}\) satisfont à de nombreuses bonnes propriétés, comme nous le verrons plus loin.

Dans le cas d’intersections transversales, le nombre d’intersection vaut \(1\).

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Soient \(V, W \subset X\) des sous-variétés fermées qui se coupent proprement. Soit \(Z\) une composante irréductible de \(V \cap W\), et supposons que la multiplicité (au sens de la section 0AZA) de \(Z\) dans le sous-schéma fermé \(V \cap W\) vaille \(1\). Alors \(e(X, V \cdot W, Z) = 1\), et \(V\) et \(W\) sont lisses en un point général de \(Z\).

Démonstration

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa) = (\mathcal{O}_{X, \xi}, \mathfrak m_\xi, \kappa(\xi))\), où \(\xi \in Z\) est le point générique. Alors \(\dim(A) = \dim(X) - \dim(Z)\), voir Variétés, lemme 0A21. Soient \(I, J \subset A\) les idéaux définissant les traces de \(V\) et \(W\) dans \(\Spec(A)\). Posons \(\overline{I} = I + \mathfrak m^2/\mathfrak m^2\). Alors \(\dim_\kappa \overline{I} \leq \dim(X) - \dim(V)\), avec égalité si et seulement si \(A/I\) est régulier (cela résulte du lemme cité ci-dessus et de la définition des anneaux réguliers, voir Algèbre, définition 00KU et la discussion qui la précède). De même pour \(\overline{J}\). Si la multiplicité vaut \(1\), alors \(\text{longueur}_A(A/I + J) = 1\), donc \(I + J = \mathfrak m\), et donc \(\overline{I} + \overline{J} = \mathfrak m/\mathfrak m^2\). On a alors égalité partout (puisque l’intersection est propre). Nous trouvons donc \(f_1, \ldots, f_a \in I\) et \(g_1, \ldots g_b \in J\) tels que \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{g}_b\) soient une base de \(\mathfrak m/\mathfrak m^2\). Alors \(f_1, \ldots, g_b\) est un système régulier de paramètres et une suite régulière (Algèbre, lemme 00NQ). Le même lemme montre que \(A/(f_1, \ldots, f_a)\) est un anneau local régulier de dimension \(\dim(X) - \dim(V)\) ; ainsi \(A/(f_1, \ldots, f_a) \to A/I\) est un isomorphisme (si le noyau est non nul, alors la dimension de \(A/I\) est strictement plus petite, voir Algèbre, lemmes 00NP et 00KW). Nous concluons que \(I = (f_1, \ldots, f_a)\) et \(J = (g_1, \ldots, g_b)\) par symétrie. Ainsi, le complexe de Koszul \(K_\bullet(A, f_1, \ldots, f_a)\) sur \(f_1, \ldots, f_a\) est une résolution de \(A/I\), voir Compléments d’algèbre, lemme 062F. Par conséquent, \[\begin{align*} \text{Tor}_p^A(A/I, A/J) & = H_p(K_\bullet(A, f_1, \ldots, f_a) \otimes_A A/J) \\ & = H_p(K_\bullet(A/J, f_1 \bmod J, \ldots, f_a \bmod J)) \end{align*}\] Puisque nous avons vu ci-dessus que \(f_1 \bmod J, \ldots, f_a \bmod J\) est un système régulier de paramètres de l’anneau local régulier \(A/J\), nous concluons qu’il n’y a qu’un seul groupe de cohomologie, à savoir \(H_0 = A/(I + J) = \kappa\). Ceci achève la démonstration.

Exemple

Dans cet exemple, nous montrons qu’il est nécessaire d’utiliser les Tor supérieurs dans la formule des multiplicités d’intersection ci-dessus. Soit \(X\) une variété non singulière de dimension \(4\). Soit \(p \in X\) un point fermé. Soient \(V, W \subset X\) des sous-variétés fermées de \(X\). Supposons qu’il existe un isomorphisme \[\mathcal{O}_{X, p}^\wedge \cong \mathbf{C}[[x, y, z, w]]\] tel que l’idéal de \(V\) soit \((xz, xw, yz, yw)\) et l’idéal de \(W\) soit \((x - z, y - w)\). Un calcul montre alors que \[\text{longueur}\ \mathbf{C}[[x, y, z, w]]/ (xz, xw, yz, yw, x - z, y - w) = 3\] D’autre part, la multiplicité \(e(X, V \cdot W, p) = 2\), comme on le voit du fait qu’au niveau formel local, \(V\) est la réunion de deux plans lisses \(x = y = 0\) et \(z = w = 0\) en \(p\), dont chacun a une multiplicité d’intersection \(1\) avec le plan \(x - z = y - w = 0\) (lemme 0B1I). Pour obtenir un véritable exemple, prenons un morphisme général \(f : \mathbf{P}^2 \to \mathbf{P}^4\) donné par \(5\) polynômes homogènes de degré \(> 1\). L’image \(V \subset \mathbf{P}^4 = X\) aura des singularités du type décrit ci-dessus, car il existera \(p_1, p_2 \in \mathbf{P}^2\) tels que \(f(p_1) = f(p_2)\). Pour trouver \(W\), prenons un plan général passant par un tel point.

Multiplicités algébriques

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini, et soit \(I \subset A\) un idéal de définition (Algèbre, définition 07DU). Rappelons que la fonction \[\chi_{I, M}(n) = \text{longueur}_A(M/I^nM) = \sum\nolimits_{p = 0, \ldots, n - 1} \text{longueur}_A(I^pM/I^{p + 1}M)\] est un polynôme numérique (Algèbre, proposition 00K8). Le degré de ce polynôme est égal à \(\dim(\text{Supp}(M))\) d’après Algèbre, lemme 00L8.

Définition

Dans la situation ci-dessus, supposons \(d \geq \dim(\text{Supp}(M))\). Dans ce cas, si \(d > \dim(\text{Supp}(M))\), nous posons \(e_I(M, d) = 0\), et si \(d = \dim(\text{Supp}(M))\), nous posons \(e_I(M, d)\) égal à \(d!\) fois le coefficient dominant du polynôme numérique \(\chi_{I, M}\). Ainsi, dans les deux cas, nous avons \[\chi_{I, M}(n) \sim e_I(M, d) \frac{n^d}{d!} + \text{termes d'ordre inférieur}\] La multiplicité de \(M\) pour l’idéal de définition \(I\) est \(e_I(M) = e_I(M, \dim(\text{Supp}(M)))\).

Nous avons les propriétés suivantes pour ces multiplicités.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal de définition. Soit \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) une suite exacte courte de \(A\)-modules de type fini. Soit \(d \geq \dim(\text{Supp}(M))\). Alors \[e_I(M, d) = e_I(M', d) + e_I(M'', d)\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions et de Algèbre, lemme 00KC.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset A\) un idéal de définition. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(d \geq \dim(\text{Supp}(M))\). Alors \[e_I(M, d) = \sum \text{longueur}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) e_I(A/\mathfrak p, d)\] où la somme porte sur les idéaux premiers \(\mathfrak p \subset A\) tels que \(\dim(A/\mathfrak p) = d\).

Démonstration

Le membre de gauche et le membre de droite sont tous deux additifs dans les suites exactes courtes de modules de dimension \(\leq d\), voir le lemme 0AZW et Algèbre, lemme 00IV. Ainsi, d’après Algèbre, lemme 00L0, il suffit de démontrer ceci lorsque \(M = A/\mathfrak q\) pour un idéal premier \(\mathfrak q\) de \(A\) tel que \(\dim(A/\mathfrak q) \leq d\). Ce cas est évident.

Lemme

Soit \(P\) un polynôme de degré \(r\) et de coefficient dominant \(a\). Alors \[r! a = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r} (-1)^i{r \choose i} P(t - i)\] pour tout \(t\).

Démonstration

Notons \(\Delta\) l’opérateur qui, à un polynôme \(P\), associe le polynôme \(\Delta(P) = P(t) - P(t - 1)\). Nous affirmons que \[\Delta^r(P) = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r} (-1)^i {r \choose i} P(t - i)\] C’est vrai pour \(r = 0, 1\) par inspection. Supposons que ce soit vrai pour \(r\). Alors nous calculons \[\begin{align*} \Delta^{r + 1}(P) & = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r} (-1)^i {r \choose i} \Delta(P)(t - i) \\ & = \sum\nolimits_{n = -r, \ldots, 0} (-1)^i {r \choose i} (P(t - i) - P(t - i - 1)) \end{align*}\] L’affirmation résulte donc de l’égalité \[{r + 1 \choose i} = {r \choose i} + {r \choose i - 1}\] Le lemme résulte du fait que \(\Delta(P)\) est de degré \(r - 1\) et de coefficient dominant \(ra\) si le degré de \(P\) est \(r\).

Un fait important est que l’on peut calculer la multiplicité à l’aide du complexe de Koszul. Rappelons que, si \(R\) est un anneau et si \(f_1, \ldots, f_r \in R\), alors \(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)\) désigne le complexe de Koszul, voir Compléments d’algèbre, section 0621.

Théorème

Soit \(A\) un anneau local noethérien. Soit \(I = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\) un idéal de définition. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Alors \[e_I(M, r) = \sum (-1)^i\text{longueur}_A H_i(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r) \otimes_A M)\]

Démonstration

Transformons le complexe de Koszul \(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)\) en un complexe de cochaînes \(K^\bullet\) en posant \(K^n = K_{-n}(f_1, \ldots, f_r)\). Alors \(K^\bullet\) est placé en degrés \(-r, \ldots, 0\) et \(H^i(K^\bullet \otimes_A M) = H_{-i}(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r) \otimes_A M)\). L’énoncé du théorème a un sens, car les modules \(H^i(K^\bullet \otimes M)\) sont annulés par \(f_1, \ldots, f_r\) (Compléments d’algèbre, lemme 0663) et sont donc de longueur finie. Définissons une filtration du complexe \(K^\bullet\) en posant \[F^p(K^n \otimes_A M) = I^{\max(0, p + n)}(K^n \otimes_A M),\quad p \in \mathbf{Z}\] Comme \(f_i I^p \subset I^{p + 1}\), c’est une filtration par sous-complexes. Nous avons ainsi un complexe filtré et obtenons une suite spectrale, voir Homologie, section 012K. Nous avons \[E_0 = \bigoplus\nolimits_{p, q} E_0^{p, q} = \bigoplus\nolimits_{p, q} \text{gr}^p(K^{p + q} \otimes_A M) = \text{Gr}_I(K^\bullet \otimes_A M)\] Comme \(K^n\) est libre de type fini, nous avons \[\text{Gr}_I(K^\bullet \otimes_A M) = \text{Gr}_I(K^\bullet) \otimes_{\text{Gr}_I(A)} \text{Gr}_I(M)\] Remarquons que \(\text{Gr}_I(K^\bullet)\) est le complexe de Koszul sur \(\text{Gr}_I(A)\) associé aux éléments \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r \in I/I^2\). Un calcul simple (omis) montre que la différentielle \(d_0\) sur \(E_0\) coïncide avec la différentielle provenant du complexe de Koszul. Comme \(\text{Gr}_I(M)\) est un \(\text{Gr}_I(A)\)-module de type fini et comme \(\text{Gr}_I(A)\) est noethérien (en tant que quotient de \(A/I[x_1, \ldots, x_r]\) par \(x_i \mapsto \overline{f}_i\)), le module de cohomologie \(E_1 = \bigoplus E_1^{p, q}\) est un \(\text{Gr}_I(A)\)-module de type fini. Toutefois, comme ci-dessus, \(E_1\) est annulé par \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\). Nous concluons que \(E_1\) est de longueur finie. En particulier, nous trouvons que \(\text{Gr}^p_F(K^\bullet \otimes M)\) est acyclique pour \(p \gg 0\).

Vérifions ensuite que la suite spectrale ci-dessus converge en utilisant Homologie, lemme 012V. Les égalités requises résultent aisément du lemme d’Artin-Rees sous la forme énoncée dans Algèbre, lemme 00IO. Nous voyons ainsi que \[\begin{align*} \sum (-1)^i\text{longueur}_A(H^i(K^\bullet \otimes_A M)) & = \sum (-1)^{p + q} \text{longueur}_A(E_\infty^{p, q}) \\ & = \sum (-1)^{p + q} \text{longueur}_A(E_1^{p, q}) \end{align*}\] car, comme nous l’avons vu ci-dessus, la longueur de \(E_1\) est finie (cela utilise bien sûr l’additivité des longueurs). Choisissons \(t\) assez grand pour que \(\text{Gr}^p_F(K^\bullet \otimes M)\) soit acyclique pour \(p \geq t\) (voir ci-dessus). En utilisant de nouveau l’additivité, nous voyons que \[\sum (-1)^{p + q} \text{longueur}_A(E_1^{p, q}) = \sum\nolimits_n \sum\nolimits_{p \leq t} (-1)^n \text{longueur}_A(\text{gr}^p(K^n \otimes_A M))\] Ceci est égal à \[\sum\nolimits_{n = -r, \ldots, 0} (-1)^n{r \choose |n|} \chi_{I, M}(t + n)\] par le choix de la filtration ci-dessus et la définition de \(\chi_{I, M}\) dans Algèbre, section 00K4. Le lemme résulte du lemme 0AZY et de la définition de \(e_I(M, r)\).

Remarque

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(I \subset A\) un idéal. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(I' = I + \text{Ann}(M)\) est un idéal de définition (Algèbre, définition 07DU),

2. l’image \(\overline{I}\) de \(I\) dans \(\overline{A} = A/\text{Ann}(M)\) est un idéal de définition,

3. \(\text{Supp}(M/IM) \subset \{\mathfrak m\}\),

4. \(\dim(\text{Supp}(M/IM)) \leq 0\), et

5. \(\text{longueur}_A(M/IM) < \infty\).

Ceci résulte d’Algèbre, lemme 00L5 (détails omis). Si ces conditions sont satisfaites, on a \(M/I^nM = M/(I')^nM\) pour tout \(n\), et \(M/I^nM = M/\overline{I}^nM\) pour tout \(n\) si l’on considère \(M\) comme un \(\overline{A}\)-module. Nous pouvons donc définir \[\chi_{I, M}(n) = \text{longueur}_A(M/I^nM) = \sum\nolimits_{p = 0, \ldots, n - 1} \text{longueur}_A(I^pM/I^{p + 1}M)\] et nous obtenons \[\chi_{I, M}(n) = \chi_{I', M}(n) = \chi_{\overline{I}, M}(n)\] pour tout \(n\) par les égalités ci-dessus. Tous les résultats d’Algèbre, section 00K4, ainsi que tous les résultats de la présente section, ont des analogues dans ce cadre. En particulier, nous pouvons définir les multiplicités \(e_I(M, d)\) pour \(d \geq \dim(\text{Supp}(M))\), et nous avons \[\chi_{I, M}(n) \sim e_I(M, d) \frac{n^d}{d!} + \text{termes d'ordre inférieur}\] comme dans le cas où \(I\) est un idéal de définition.

Calcul des multiplicités d’intersection

Dans cette section, nous étudions certains cas où les multiplicités d’intersection peuvent se calculer par d’autres moyens. Voici un premier exemple.

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière, et soient \(W, V \subset X\) des sous-variétés fermées qui se coupent proprement. Soit \(Z\) une composante irréductible de \(V \cap W\), de point générique \(\xi\). Supposons que \(\mathcal{O}_{W, \xi}\) et \(\mathcal{O}_{V, \xi}\) soient de Cohen-Macaulay. Alors \[e(X, V \cdot W, Z) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{O}_{V \cap W, \xi})\] où \(V \cap W\) est l’intersection schématique. En particulier, si \(V\) et \(W\) sont toutes deux de Cohen-Macaulay, alors \(V \cdot W = [V \cap W]_{\dim(V) + \dim(W) - \dim(X)}\).

Démonstration

Posons \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\), \(B = \mathcal{O}_{V, \xi}\), et \(C = \mathcal{O}_{W, \xi}\). D’après Auslander-Buchsbaum (Algèbre, proposition 090V), nous pouvons trouver une résolution finie \(F_\bullet \to B\) par des modules libres de type fini, de longueur \[\text{profondeur}(A) - \text{profondeur}(B) = \dim(A) - \dim(B) = \dim(C)\] La première égalité vient de ce que \(A\) et \(B\) sont de Cohen-Macaulay, et la seconde de ce que \(V\) et \(W\) se coupent proprement. Alors \(F_\bullet \otimes_A C\) est un complexe de modules libres de type fini représentant \(B \otimes_A^\mathbf{L} C\); ses modules de cohomologie ont donc leur support dans \(\{\mathfrak m_A\}\). D’après le lemme d’acyclicité (Algèbre, lemme 00N0), qui s’applique puisque \(C\) est de Cohen-Macaulay, nous concluons que \(F_\bullet \otimes_A C\) n’a de cohomologie non nulle qu’en degré \(0\). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien. Soit \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) un idéal engendré par une suite régulière. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Supposons que \(\dim(\text{Supp}(M/IM)) = 0\). Alors \[e_I(M, r) = \sum (-1)^i\text{longueur}_A(\text{Tor}_i^A(A/I, M))\] Ici, \(e_I(M, r)\) est défini comme dans la remarque 0B00.

Démonstration

Puisque \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière, le complexe de Koszul \(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)\) est une résolution de \(A/I\) sur \(A\), voir Compléments d’algèbre, lemme 09CC. Ainsi, le membre de droite est égal à \[\sum (-1)^i\text{longueur}_A H_i(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r) \otimes_A M)\] Le résultat découle alors immédiatement du théorème 0AZZ si \(I\) est un idéal de définition. En général, nous remplaçons \(A\) par \(\overline{A} = A/\text{Ann}(M)\) et \(f_1, \ldots, f_r\) par \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r\), ce qui est permis parce que \[K_\bullet(f_1, \ldots, f_r) \otimes_A M = K_\bullet(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \otimes_{\overline{A}} M\] Puisque \(e_I(M, r) = e_{\overline{I}}(M, r)\), où \(\overline{I} = (\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \subset \overline{A}\) est un idéal de définition, le résultat découle aussi dans ce cas du théorème 0AZZ.

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Soient \(W,V \subset X\) des sous-variétés fermées qui se coupent proprement. Soit \(Z\) une composante irréductible de \(V \cap W\), de point générique \(\xi\). Supposons que l’idéal de \(V\) dans \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) soit défini par une suite régulière \(f_1, \ldots, f_c \in \mathcal{O}_{X, \xi}\). Alors \(e(X, V\cdot W, Z)\) est égal à \(c!\) fois le coefficient dominant du polynôme de Hilbert \[t \mapsto \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{W, \xi}/(f_1, \ldots, f_c)^t,\quad t \gg 0.\] En particulier, ce coefficient est \(> 0\).

Démonstration

L’égalité \[e(X, V\cdot W, Z) = e_{(f_1, \ldots, f_c)}(\mathcal{O}_{W, \xi}, c)\] résulte du lemme plus général 0B03. Pour voir que \(e_{(f_1, \ldots, f_c)}(\mathcal{O}_{W, \xi}, c)\) est \(> 0\), ou, de manière équivalente, que \(e_{(f_1, \ldots, f_c)}(\mathcal{O}_{W, \xi}, c)\) est le coefficient dominant du polynôme de Hilbert, il suffit de montrer que la dimension de \(\mathcal{O}_{W, \xi}\) vaut \(c\), car le degré du polynôme de Hilbert est égal à la dimension d’après Algèbre, proposition 00KQ. Écrivons \(\dim(V) = r\), \(\dim(W) = s\) et \(\dim(X) = n\). Alors \(\dim(Z) = r + s - n\) puisque l’intersection est propre. Ainsi, le degré de transcendance de \(\kappa(\xi)\) sur \(\mathbf{C}\) est \(r + s - n\), voir Algèbre, lemme 00P0. Nous avons \(r + c = n\) parce que \(V\) est défini par une suite régulière dans un voisinage de \(\xi\), voir Diviseurs, lemme 063I, et alors le lemme 0AZN s’applique (par exemple). Ainsi, \[\dim(\mathcal{O}_{W, \xi}) = s - (r + s - n) = s - ((n - c) + s - n) = c\] la première égalité résultant d’Algèbre, lemme 00P1.

Lemme

Dans le lemme 0B04, supposons que \(c = 1\), c’est-à-dire que \(V\) est un diviseur de Cartier effectif. Alors \[e(X, V \cdot W, Z) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} (\mathcal{O}_{W, \xi}/f_1\mathcal{O}_{W, \xi}).\]

Démonstration

Dans ce cas, l’image de \(f_1\) dans \(\mathcal{O}_{W, \xi}\) est non nulle par propreté de l’intersection, donc est un non-diviseur de zéro. De plus, \(\mathcal{O}_{W, \xi}\) est un anneau local noethérien intègre de dimension \(1\). Ainsi, \[\text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} (\mathcal{O}_{W, \xi}/f_1^t\mathcal{O}_{W, \xi}) = t \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} (\mathcal{O}_{W, \xi}/f_1\mathcal{O}_{W, \xi})\] pour tout \(t \geq 1\), voir Algèbre, lemme 02MC. Ceci démontre le lemme.

Lemme

Dans le lemme 0B04, supposons que l’anneau local \(\mathcal{O}_{W, \xi}\) soit de Cohen-Macaulay. Alors nous avons \[e(X, V \cdot W, Z) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} (\mathcal{O}_{W, \xi}/ f_1\mathcal{O}_{W, \xi} + \ldots + f_c\mathcal{O}_{W, \xi}).\]

Démonstration

Ceci résulte immédiatement du lemme 0B02. On peut aussi le déduire du lemme 0B04. En effet, d’après Algèbre, lemme 02JN, nous voyons que \(f_1, \ldots, f_c\) est une suite régulière dans \(\mathcal{O}_{W, \xi}\). Alors Algèbre, lemme 00LN montre que \(f_1, \ldots, f_c\) est une suite quasi-régulière. Ceci implique facilement que la longueur de \(\mathcal{O}_{W, \xi}/(f_1, \ldots, f_c)^t\) vaut \[{c + t \choose c} \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} (\mathcal{O}_{W, \xi}/ f_1\mathcal{O}_{W, \xi} + \ldots + f_c\mathcal{O}_{W, \xi}).\] L’examen du coefficient dominant permet de conclure.

Produit d’intersection à l’aide de la formule des Tor

Soit \(X\) une variété non singulière. Soit \(\alpha = \sum n_i [W_i]\) un \(r\)-cycle et \(\beta = \sum_j m_j [V_j]\) un \(s\)-cycle sur \(X\). Supposons que \(\alpha\) et \(\beta\) se coupent proprement, voir la définition 0AZQ. Dans ce cas, nous posons \[\alpha \cdot \beta = \sum\nolimits_{i,j} n_i m_j W_i \cdot V_j.\] où \(W_i \cdot V_j\) est défini comme à la section 0AZR. Si \(\beta = [V]\), où \(V\) est une sous-variété fermée de dimension \(s\), nous écrivons parfois \(\alpha \cdot \beta = \alpha \cdot V\).

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Soient \(a, b \in \mathbf{P}^1\) deux points fermés distincts. Soit \(k \geq 0\).

1. Si \(W \subset X \times \mathbf{P}^1\) est une sous-variété fermée de dimension \(k + 1\) qui coupe \(X \times a\) proprement, alors

   1. \([W_a]_k = W \cdot X \times a\) comme cycles sur \(X \times \mathbf{P}^1\), et

   2. \([W_a]_k = \text{pr}_{X, *}(W \cdot X \times a)\) comme cycles sur \(X\).

2. Soit \(\alpha\) un \((k + 1)\)-cycle sur \(X \times \mathbf{P}^1\) qui coupe \(X \times a\) et \(X \times b\) proprement. Alors \(pr_{X,*}( \alpha \cdot X \times a - \alpha \cdot X \times b)\) est rationnellement équivalent à zéro.

3. Réciproquement, tout \(k\)-cycle rationnellement équivalent à \(0\) est de cette forme.

Démonstration

Observons d’abord que \(X \times a\) est un diviseur de Cartier effectif de \(X \times \mathbf{P}^1\) et que \(W_a\) est l’intersection schématique de \(W\) avec \(X \times a\). Par conséquent, l’égalité de (1)(a) résulte immédiatement des définitions et du calcul de la multiplicité d’intersection dans le cas d’un diviseur de Cartier donné dans le lemme 0B05. L’assertion (1)(b) est vraie parce que \(W_a \to X \times \mathbf{P}^1 \to X\) envoie isomorphiquement sur son image, ce qui est la manière dont nous avons considéré \(W_a\) comme sous-schéma fermé de \(X\) à la section 0AZG. Les assertions (2) et (3) sont des conséquences formelles de (1) et des définitions.

Pour des intersections transverses de sous-schémas fermés, la multiplicité d’intersection vaut \(1\).

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Soient \(r, s \geq 0\) et \(Y, Z \subset X\) des sous-schémas fermés tels que \(\dim(Y) \leq r\) et \(\dim(Z) \leq s\). Supposons que \([Y]_r = \sum n_i[Y_i]\) et \([Z]_s = \sum m_j[Z_j]\) se coupent proprement. Soit \(T\) une composante irréductible de \(Y_{i_0} \cap Z_{j_0}\) pour certains \(i_0\) et \(j_0\), et supposons que la multiplicité (au sens de la section 0AZA) de \(T\) dans le sous-schéma fermé \(Y \cap Z\) soit \(1\). Alors

1. le coefficient de \(T\) dans \([Y]_r \cdot [Z]_s\) est \(1\),

2. \(Y\) et \(Z\) sont non singuliers au point générique de \(T\),

3. \(n_{i_0} = 1\), \(m_{j_0} = 1\), et

4. \(T\) n’est contenu dans aucun \(Y_i\) ni aucun \(Z_j\) pour \(i \not = i_0\) et \(j \not = j_0\).

Démonstration

Posons \(n = \dim(X)\), \(a = n - r\), \(b = n - s\). Remarquons que \(\dim(T) = r + s - n = n - a - b\) puisque, par hypothèse, les intersections sont propres. Posons \((A, \mathfrak m, \kappa) = (\mathcal{O}_{X, \xi}, \mathfrak m_\xi, \kappa(\xi))\), où \(\xi \in T\) est le point générique. Alors \(\dim(A) = a + b\), voir Variétés, lemme 0A21. Soient \(I_0, I, J_0, J \subset A\) les idéaux qui définissent les traces de \(Y_{i_0}\), \(Y\), \(Z_{j_0}\), \(Z\) dans \(\Spec(A)\). Alors \(\dim(A/I) = \dim(A/I_0) = b\) et \(\dim(A/J) = \dim(A/J_0) = a\) d’après la même référence. Posons \(\overline{I} = I + \mathfrak m^2/\mathfrak m^2\). Alors \(I \subset I_0 \subset \mathfrak m\) et \(J \subset J_0 \subset \mathfrak m\), et \(I + J = \mathfrak m\). Le lemme 0B1I et sa démonstration montrent que \(I_0 = (f_1, \ldots, f_a)\) et \(J_0 = (g_1, \ldots, g_b)\) où \(f_1, \ldots, g_b\) est un système régulier de paramètres de l’anneau local régulier \(A\). Comme \(I + J = \mathfrak m\), l’application \[I \oplus J \to \mathfrak m/\mathfrak m^2 = \kappa f_1 \oplus \ldots \oplus \kappa f_a \oplus \kappa g_1 \oplus \ldots \oplus \kappa g_b\] est surjective. Nous en déduisons que l’on peut trouver \(f_1', \ldots, f_a' \in I\) et \(g'_1, \ldots, g_b' \in J\) dont les classes résiduelles dans \(\mathfrak m/\mathfrak m^2\) sont égales aux classes résiduelles de \(f_1, \ldots, f_a\) et de \(g_1, \ldots, g_b\). Alors \(f'_1, \ldots, g'_b\) est un système régulier de paramètres de \(A\). Le lemme d’algèbre 00NQ montre que \(A/(f'_1, \ldots, f'_a)\) est un anneau local régulier de dimension \(b\). Ainsi, tout quotient non trivial de \(A/(f'_1, \ldots, f'_a)\) est de dimension strictement inférieure (Algèbre, lemmes 00NP et 00KW). Par conséquent, \(I = (f'_1, \ldots, f'_a) = I_0\). Par symétrie, \(J = J_0\). Cela démontre (2), (3) et (4). Enfin, le coefficient de \(T\) dans \([Y]_r \cdot [Z]_s\) est le coefficient de \(T\) dans \(Y_{i_0} \cdot Z_{j_0}\), qui vaut \(1\) d’après le lemme 0B1I.

Produit extérieur

Soient \(X\) et \(Y\) des variétés. Soit \(V\), resp. \(W\), une sous-variété fermée de \(X\), resp. de \(Y\). Le produit \(V\times W\) est une sous-variété fermée de \(X\times Y\) (lemme 0AZM). Pour un \(k\)-cycle \(\alpha = \sum n_i [V_i]\) et un \(l\)-cycle \(\beta = \sum m_j [V_j]\) sur \(Y\), nous définissons le produit extérieur de \(\alpha\) et \(\beta\) comme le cycle \(\alpha \times \beta = \sum n_i m_j [V_i \times W_j]\). Le produit extérieur définit une application \(\mathbf{Z}\)-linéaire \[Z_r(X) \otimes_\mathbf{Z} Z_s(Y) \longrightarrow Z_{r + s}(X \times Y)\] Montrons que le produit extérieur passe au quotient par l’équivalence rationnelle.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des variétés. Soient \(\alpha \in Z_r(X)\) et \(\beta \in Z_s(Y)\). Si \(\alpha \sim_{rat} 0\) ou \(\beta \sim_{rat} 0\), alors \(\alpha \times \beta \sim_{rat} 0\).

Démonstration

Par linéarité et symétrie en \(X\) et \(Y\), il suffit de le démontrer lorsque \(\alpha = [V]\) pour une sous-variété \(V \subset X\) de dimension \(r\), et \(\beta = [W_a]_s - [W_b]_s\) pour une sous-variété fermée \(W \subset Y \times \mathbf{P}^1\) de dimension \(s + 1\) qui coupe \(Y \times a\) et \(Y \times b\) proprement. Dans ce cas, le lemme résulte de l’égalité \[[(V \times W)_a]_{r + s} = [V] \times [W_a]_s\] et de même en remplaçant \(a\) par \(b\). En effet, nous voyons alors que \(\alpha \times \beta = [(V \times W)_a]_{r + s} - [(V \times W)_b]_{r + s}\) comme voulu. Pour établir l’égalité affichée, remarquons l’égalité \[V \times W_a = (V \times W)_a\] de schémas. La projection \(V \times W_a \to W_a\) induit une bijection entre les composantes irréductibles (voir par exemple Variétés, lemme 038F). Soit \(W' \subset W_a\) une composante irréductible de point générique \(\zeta\). Alors \(V \times W'\) est la composante irréductible correspondante de \(V \times W_a\) (voir le lemme 0AZM). Soit \(\xi\) le point générique de \(V \times W'\). Nous devons montrer que \[\text{longueur}_{\mathcal{O}_{Y, \zeta}}(\mathcal{O}_{W_a, \zeta}) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X \times Y, \xi}}( \mathcal{O}_{V \times W_a, \xi})\] Dans cette formule, nous pouvons remplacer \(\mathcal{O}_{Y, \zeta}\) par \(\mathcal{O}_{W_a, \zeta}\) et nous pouvons remplacer \(\mathcal{O}_{X \times Y, \zeta}\) par \(\mathcal{O}_{V \times W_a, \zeta}\) (voir Algèbre, lemme 00IX). Puisque \(\mathcal{O}_{W_a, \zeta} \to \mathcal{O}_{V \times W_a, \xi}\) est plat, le lemme d’algèbre 02M1 montre qu’il suffit de vérifier que \[\text{longueur}_{\mathcal{O}_{V \times W_a, \xi}}( \mathcal{O}_{V \times W_a, \xi}/ \mathfrak m_\zeta\mathcal{O}_{V \times W_a, \xi}) = 1\] C’est vrai, car le quotient de droite est l’anneau local \(\mathcal{O}_{V \times W', \xi}\) d’une variété en un point générique, et est donc égal à \(\kappa(\xi)\).

Nous en concluons que le produit extérieur définit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z_r(X) \otimes_\mathbf{Z} Z_s(Y) \ar[r] \ar[d] & Z_{r + s}(X \times Y) \ar[d] \\ \CH_r(X) \otimes_\mathbf{Z} \CH_s(Y) \ar[r] & \CH_{r + s}(X \times Y) }\] pour toute paire de variétés \(X\) et \(Y\). Pour les variétés non singulières, nous pouvons considérer le produit extérieur comme un produit d’intersection d’images inverses.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des variétés non singulières. Soient \(\alpha \in Z_r(X)\) et \(\beta \in Z_s(Y)\). Alors

1. \(\text{pr}_Y^*(\beta) = [X] \times \beta\) et \(\text{pr}_X^*(\alpha) = \alpha \times [Y]\),

2. \(\alpha \times [Y]\) et \([X]\times \beta\) se coupent proprement sur \(X\times Y\), et

3. on a \(\alpha \times \beta = (\alpha \times [Y])\cdot ([X]\times\beta) = pr_Y^*(\alpha) \cdot pr_X^*(\beta)\) dans \(Z_{r + s}(X \times Y)\).

Démonstration

Par linéarité, nous pouvons supposer que \(\alpha = [V]\) et \(\beta = [W]\). Alors (1) affirme que \(\text{pr}_Y^{-1}(W) = X \times W\) et \(\text{pr}_X^{-1}(V) = V \times Y\). Cela est clair. L’assertion (2) est vraie parce que \(X \times W \cap V \times Y = V \times W\) et \(\dim(V \times W) = r + s\) d’après le lemme 0AZM.

Démonstration de (3). Soit \(\xi\) le point générique de \(V \times W\). Puisque la projection \(X \times W \to W\) est lisse comme changement de base du morphisme \(X \to \Spec(\mathbf{C})\), nous voyons que \(X \times W\) est non singulier en tout point situé au-dessus du point générique de \(W\), en particulier en \(\xi\). Il en va de même pour \(V \times Y\). Ainsi, \(\mathcal{O}_{X \times W, \xi}\) et \(\mathcal{O}_{V \times Y, \xi}\) sont des anneaux locaux de Cohen-Macaulay, et le lemme 0B02 s’applique. Comme \(V \times Y \cap X \times W = V \times W\) schématiquement, cela achève la démonstration.

Réduction à la diagonale

Soit \(X\) une variété non singulière. Nous utiliserons \(\Delta\) pour désigner soit le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times X\), soit l’image \(\Delta \subset X \times X\). La réduction à la diagonale est l’énoncé selon lequel les produits d’intersection sur \(X\) se ramènent aux produits d’intersection des produits extérieurs avec la diagonale dans \(X \times X\).

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière.

1. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents, alors il existe des isomorphismes canoniques \[\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{X \times X}}(\mathcal{O}_\Delta, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) = \Delta_*\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\]

2. Si \(K\) et \(M\) appartiennent à \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), alors il existe un isomorphisme canonique \[L\Delta^* \left( L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*M \right) = K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M\] dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) et un isomorphisme canonique \[\mathcal{O}_\Delta \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_1^*K \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}}^\mathbf{L} L\text{pr}_2^*M = \Delta_*(K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} M)\] dans \(D_\QCoh(X \times X)\).

Démonstration

Expliquons comment démontrer (1) de manière plus élémentaire et (2) à l’aide d’une théorie plus générale. Comme (2) implique (1), le lecteur peut omettre la démonstration de (1).

Démonstration de (1). Choisissons un ouvert affine \(\Spec(A) \subset X\). Alors \(A\) est une \(\mathbf{C}\)-algèbre noethérienne et \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) correspondent aux \(A\)-modules de type fini \(M\) et \(N\) (Cohomologie des schémas, lemme 01XZ). D’après Catégories dérivées de schémas, lemme 08DX, nous pouvons calculer \(\text{Tor}_i\) sur \(\mathcal{O}_X\) en calculant d’abord les \(\text{Tor}\) de \(M\) et \(N\) sur \(A\), puis en prenant le \(\mathcal{O}_X\)-module associé. Pour les \(\text{Tor}_i\) sur \(\mathcal{O}_{X \times X}\), nous calculons les Tor de \(A\) et \(M \otimes_\mathbf{C} N\) sur \(A \otimes_\mathbf{C} A\) puis prenons le \(\mathcal{O}_{X \times X}\)-module associé. Ainsi, sur cet ouvert affine, nous devons démontrer que \[\text{Tor}_i^{A \otimes_\mathbf{C} A}(A, M \otimes_\mathbf{C} N) = \text{Tor}_i^A(M, N)\] Pour le voir, choisissons des résolutions \(F_\bullet \to M\) et \(G_\bullet \to M\) par des \(A\)-modules libres de type fini (Algèbre, lemme 00LP). Remarquons que \(\text{Tot}(F_\bullet \otimes_\mathbf{C} G_\bullet)\) est une résolution de \(M \otimes_\mathbf{C} N\) puisqu’il calcule les groupes de Tor sur \(\mathbf{C}\) ! Bien entendu, les termes de \(F_\bullet \otimes_\mathbf{C} G_\bullet\) sont des \(A \otimes_\mathbf{C} A\)-modules libres de type fini. Ainsi, le membre de gauche de l’égalité affichée est le module \[H_i(A \otimes_{A \otimes_\mathbf{C} A} \text{Tot}(F_\bullet \otimes_\mathbf{C} G_\bullet))\] et le membre de droite est le module \[H_i(\text{Tot}(F_\bullet \otimes_A G_\bullet))\] Comme \(A \otimes_{A \otimes_\mathbf{C} A} (F_p \otimes_\mathbf{C} G_q) = F_p \otimes_A G_q\), nous voyons que ces modules sont égaux. Cela définit un isomorphisme sur l’ouvert affine \(\Spec(A) \times \Spec(A)\) (ce qui suffit pour l’application à l’égalité des nombres d’intersection). Nous omettons la démonstration du recollement de ces isomorphismes.

Démonstration de (2). La seconde assertion résulte de la première par la formule de projection telle qu’énoncée dans Catégories dérivées de schémas, lemme 08EU. Pour établir la première, représentons \(K\) et \(M\) par des complexes K-plats \(\mathcal{K}^\bullet\) et \(\mathcal{M}^\bullet\). Comme l’image inverse et le produit tensoriel préservent les complexes K-plats (Cohomologie, lemmes 079R et 06YC) nous voyons qu’il suffit de montrer \[\Delta^*\text{Tot}( \text{pr}_1^*\mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}} \text{pr}_2^*\mathcal{M}^\bullet) = \text{Tot}( \mathcal{K}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}^\bullet)\] Il suffit donc de voir qu’il existe des isomorphismes canoniques \[\Delta^*(\text{pr}_1^*\mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times X}} \text{pr}_2^*\mathcal{M}) \longrightarrow \mathcal{K} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{M}\] lorsque \(\mathcal{K}\) et \(\mathcal{M}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules (pas nécessairement quasi-cohérents ni plats). Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Soient \(\alpha\) et \(\beta\), respectivement un \(r\)-cycle et un \(s\)-cycle sur \(X\). Supposons que \(\alpha\) et \(\beta\) se coupent proprement. Alors

1. \(\alpha \times \beta\) et \([\Delta]\) se coupent proprement,

2. on a \(\Delta_*(\alpha \cdot \beta) = [\Delta] \cdot \alpha\times\beta\) comme cycles sur \(X \times X\),

3. si \(X\) est propre, alors \(\text{pr}_{1, *}([\Delta] \cdot \alpha\times\beta) = \alpha\cdot\beta\), où \(pr_1 : X\times X \to X\) est la projection.

Démonstration

Par linéarité, il suffit de le démontrer lorsque \(\alpha = [V]\) et \(\beta = [W]\) pour des sous-variétés fermées \(V \subset X\) et \(W \subset Y\) qui se coupent proprement. Rappelons que \(V \times W\) est une sous-variété fermée de dimension \(r + s\). Remarquons que, schématiquement, on a \(V \cap W = \Delta^{-1}(V \times W)\) ainsi que \(\Delta(V \cap W) = \Delta \cap V \times W\). Cela démontre (1).

Démonstration de (2). Soit \(Z \subset V \cap W\) une composante irréductible de point générique \(\xi\). Nous devons montrer que le coefficient de \(Z\) dans \(\alpha \cdot \beta\) est égal au coefficient de \(\Delta(Z)\) dans \([\Delta] \cdot \alpha \times \beta\). Le premier est donné par l’entier \[\sum (-1)^i \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \text{Tor}_i^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W)_\xi\] et le second par l’entier \[\sum (-1)^i \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X \times Y, \Delta(\xi)}} \text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{X \times Y}}( \mathcal{O}_\Delta, \mathcal{O}_{V \times W})_{\Delta(\xi)}\] Cependant, d’après le lemme 0B0T, on a \[\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W)_\xi \cong \text{Tor}_i^{\mathcal{O}_{X \times Y}}( \mathcal{O}_\Delta, \mathcal{O}_{V \times W})_{\Delta(\xi)}\] comme \(\mathcal{O}_{X \times X, \Delta(\xi)}\)-modules. L’égalité des longueurs résulte alors, plus précisément, d’Algèbre, lemme 00IX.

L’assertion (2) implique (3), car \(\text{pr}_{1, *} \circ \Delta_* = \text{id}\) d’après le lemme 0B0N.

Proposition

Soit \(X\) une variété non singulière. Soient \(V \subset X\) et \(W \subset Y\) des sous-variétés fermées qui se coupent proprement. Soit \(Z \subset V \cap W\) une composante irréductible. Alors \(e(X, V \cdot W, Z) > 0\).

Démonstration

D’après le lemme 0B0U, on a \[e(X, V \cdot W, Z) = e(X \times X, \Delta \cdot V \times W, \Delta(Z))\] Puisque \(\Delta : X \to X \times X\) est une immersion régulière (voir le lemme 0B0Q), nous voyons que \(e(X \times X, \Delta \cdot V \times W, \Delta(Z))\) est un entier strictement positif d’après le lemme 0B04.

Le lemme suivant est un lemme clé du développement de la théorie présenté dans ce chapitre. Essentiellement, ce lemme affirme que les nombres d’intersection vérifient une propriété d’additivité convenable.

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux cohérents sur \(X\) tels que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq r\), \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{G})) \leq s\), et \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}) \cap \text{Supp}(\mathcal{G}) ) \leq r + s - \dim X\). Dans ce cas, \([\mathcal{F}]_r\) et \([\mathcal{G}]_s\) se coupent proprement et \[[\mathcal{F}]_r \cdot [\mathcal{G}]_s = \sum (-1)^p [\text{Tor}_p^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})]_{r + s - \dim(X)}.\]

Démonstration

L’assertion selon laquelle \([\mathcal{F}]_r\) et \([\mathcal{G}]_s\) se coupent proprement est immédiate. Comme nous démontrons une égalité de cycles, nous pouvons travailler localement sur \(X\). (Remarquons que la formation du produit d’intersection des cycles, celle des faisceaux de \(\text{Tor}\) et celle du cycle associé à un faisceau cohérent commutent chacune à la restriction aux sous-schémas ouverts.) Nous pouvons donc supposer, et supposons, \(X\) affine.

Posons \[RHS(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = [\mathcal{F}]_r \cdot [\mathcal{G}]_s \quad\text{et}\quad LHS(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \sum (-1)^p [\text{Tor}_p^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})]_{r + s - \dim(X)}\] Considérons une suite exacte \[0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\] de faisceaux cohérents sur \(X\) telle que \(\text{Supp}(\mathcal{F}_i) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\) ; alors \(LHS(\mathcal{F}_i, \mathcal{G})\) et \(RHS(\mathcal{F}_i, \mathcal{G})\) sont définis pour \(i = 1, 2, 3\), et l’on a \[RHS(\mathcal{F}_2, \mathcal{G}) = RHS(\mathcal{F}_1, \mathcal{G}) + RHS(\mathcal{F}_3, \mathcal{G})\] et de même pour LHS. En effet, la condition sur les supports garantit que tout est défini, et la suite exacte ainsi que l’additivité des longueurs donnent \[[\mathcal{F}_2]_r = [\mathcal{F}_1]_r + [\mathcal{F}_3]_r\] (Homologie de Chow, lemme 02QZ), ce qui entraîne l’additivité pour RHS. La suite exacte longue des \(\text{Tor}\) \[\ldots \to \text{Tor}_1(\mathcal{F}_3, \mathcal{G}) \to \text{Tor}_0(\mathcal{F}_1, \mathcal{G}) \to \text{Tor}_0(\mathcal{F}_2, \mathcal{G}) \to \text{Tor}_0(\mathcal{F}_3, \mathcal{G}) \to 0\] et l’additivité des longueurs, comme précédemment, entraînent l’additivité pour LHS.

D’après Algèbre, lemme 00L0, et puisque \(X\) est affine, nous pouvons trouver une filtration de \(\mathcal{F}\) dont les quotients gradués sont des faisceaux structuraux de sous-variétés fermées de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\). L’additivité démontrée au paragraphe précédent montre qu’il suffit de démontrer \(LHS = RHS\) avec \(\mathcal{F}\) remplacé par \(\mathcal{O}_V\), où \(V \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\). Par symétrie, nous pouvons faire de même pour \(\mathcal{G}\). Nous sommes ainsi ramenés à démontrer que

\[LHS(\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W) = RHS(\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W)\] où \(W \subset \text{Supp}(\mathcal{G})\) est une sous-variété fermée. Si \(\dim(V) = r\) et \(\dim(W) = s\), alors cette égalité est la définition de \(V \cdot W\). En revanche, si \(\dim(V) < r\) ou \(\dim(W) < s\), c’est-à-dire si \([V]_r = 0\) ou \([W]_s = 0\), alors nous devons démontrer que \(RHS(\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W) = 0\) ⁵.

Soit \(Z \subset V \cap W\) une composante irréductible de dimension \(r + s - \dim(X)\). C’est la dimension maximale d’une composante, et il suffit de montrer que le coefficient de \(Z\) dans \(RHS\) est nul. Soit \(\xi \in Z\) le point générique. Posons \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\), \(B = \mathcal{O}_{X \times X, \Delta(\xi)}\), et \(C = \mathcal{O}_{V \times W, \Delta(\xi)}\). D’après le lemme 0B0T, on a \[\text{coefficient de }Z\text{ dans } RHS(\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W) = \sum (-1)^i \text{longueur}_B \text{Tor}_i^B(A, C)\] Comme \(\dim(V) < r\) ou \(\dim(W) < s\), on a \(\dim(V \times W) < r + s\), ce qui entraîne \(\dim(C) < \dim(X)\) (on omet un petit détail). De plus, le noyau \(I\) de \(B \to A\) est engendré par une suite régulière de longueur \(\dim(X)\) (lemme 0B0Q). Il y a donc annulation d’après le lemme 0B03, car la fonction de Hilbert de \(C\) relativement à \(I\) est de degré \(\dim(C) < n\) d’après Algèbre, proposition 00KQ.

Remarque

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local régulier. Soient \(M\) et \(N\) des \(A\)-modules de type fini non nuls tels que \(M \otimes_A N\) soit supporté par \(\{\mathfrak m\}\). Alors \[\chi(M, N) = \sum (-1)^i \text{longueur}_A \text{Tor}_i^A(M, N)\] est fini. Posons \(r = \dim(\text{Supp}(M))\) et \(s = \dim(\text{Supp}(N))\). Dans [Serre_algebre_locale], on démontre que \(r + s \leq \dim(A)\) et les conjectures suivantes y sont formulées :

1. si \(r + s < \dim(A)\), alors \(\chi(M, N) = 0\), et

2. si \(r + s = \dim(A)\), alors \(\chi(M, N) > 0\).

Les arguments qui démontrent le lemme 0B0W et la proposition 0B0V peuvent être exploités (comme dans le texte de Serre) pour montrer que (1) et (2) sont vraies si \(A\) contient un corps. À l’heure actuelle, la conjecture (1) est démontrée en général, et l’on sait que \(\chi(M, N) \geq 0\) en général (Gabber). À notre connaissance, la positivité reste un problème ouvert.

Associativité des intersections

Il est clair que les intersections propres définies ci-dessus sont commutatives. À l’aide du lemme clé 0B0W, nous pouvons démontrer que les produits d’intersection (propres) sont associatifs.

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Soient \(U, V, W\) des sous-variétés fermées. Supposons que \(U, V, W\) se coupent proprement deux à deux et que \(\dim(U \cap V \cap W) \leq \dim(U) + \dim(V) + \dim(W) - 2\dim(X)\). Alors \[U \cdot (V \cdot W) = (U \cdot V) \cdot W\] comme cycles sur \(X\).

Démonstration

Nous allons utiliser le lemme 0B0W sans plus le mentionner. Cela implique que \[\begin{align*} V \cdot W & = \sum (-1)^i [\text{Tor}_i(\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W)]_{b + c - n} \\ U \cdot (V \cdot W) & = \sum (-1)^{i + j} [ \text{Tor}_j(\mathcal{O}_U, \text{Tor}_i(\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W)) ]_{a + b + c - 2n} \\ U \cdot V & = \sum (-1)^i [\text{Tor}_i(\mathcal{O}_U, \mathcal{O}_V)]_{a + b - n} \\ (U \cdot V) \cdot W & = \sum (-1)^{i + j} [ \text{Tor}_j(\text{Tor}_i(\mathcal{O}_U, \mathcal{O}_V), \mathcal{O}_W)) ]_{a + b + c - 2n} \end{align*}\] où \(\dim(U) = a\), \(\dim(V) = b\), \(\dim(W) = c\), \(\dim(X) = n\). Les hypothèses du lemme garantissent que les faisceaux cohérents des formules ci-dessus vérifient les majorations requises pour les dimensions des supports, de sorte que ces formules ont un sens. Considérons maintenant l’objet \[K = \mathcal{O}_U \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_V \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_W\] de la catégorie dérivée \(D_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\). Nous affirmons que les expressions obtenues ci-dessus pour \(U \cdot (V \cdot W)\) et \((U \cdot V) \cdot W\) sont égales à \[\sum (-1)^k [H^k(K)]_{a + b + c - 2n}\] Cela démontrera le lemme. Par symétrie, il suffit de démontrer l’une de ces égalités. Pour cela, représentons \(\mathcal{O}_U\) et \(\mathcal{O}_V \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_W\) par des complexes K-plats \(M^\bullet\) et \(L^\bullet\) et utilisons la suite spectrale associée au complexe double \(M^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_X} L^\bullet\) dans Homologie, section 012X. Il s’agit d’une suite spectrale dont la page \(E_2\) est \[E_2^{p, q} = \text{Tor}_{-p}(\mathcal{O}_U, \text{Tor}_{-q}(\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W))\] et qui converge vers \(H^{p + q}(K)\) (détails omis ; comparer à Compléments d’algèbre, exemple 0662). Puisque les longueurs sont additives dans les suites exactes courtes, le résultat en découle.

Image inverse plate et produits d’intersection

Brève discussion de l’interaction entre les intersections et l’image inverse plate.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de variétés non singulières. Posons \(e = \dim(X) - \dim(Y)\). Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux cohérents sur \(Y\) tels que \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq r\), \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{G})) \leq s\) et \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}) \cap \text{Supp}(\mathcal{G}) ) \leq r + s - \dim(Y)\). Alors les cycles \([f^*\mathcal{F}]_{r + e}\) et \([f^*\mathcal{G}]_{s + e}\) se coupent proprement et \[f^*([\mathcal{F}]_r \cdot [\mathcal{G}]_s) = [f^*\mathcal{F}]_{r + e} \cdot [f^*\mathcal{G}]_{s + e}\]

Démonstration

Le fait que \([f^*\mathcal{F}]_{r + e}\) et \([f^*\mathcal{G}]_{s + e}\) se coupent proprement résulte immédiatement de l’hypothèse que \(f\) est de dimension relative \(e\). D’après les lemmes 0B0W et 0AZF, il suffit de montrer que \[f^*\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \text{Tor}_i^{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{F}, f^*\mathcal{G})\] comme \(\mathcal{O}_X\)-modules. Cela résulte de Cohomologie, lemme 079U, et du fait que \(f^*\) est exact, donc \(Lf^*\mathcal{F} = f^*\mathcal{F}\), et de même pour \(\mathcal{G}\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de variétés non singulières. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle sur \(Y\) et \(\beta\) un \(s\)-cycle sur \(Y\). Supposons que \(\alpha\) et \(\beta\) se coupent proprement. Alors \(f^*\alpha\) et \(f^*\beta\) se coupent proprement et \(f^*( \alpha \cdot \beta ) = f^*\alpha \cdot f^*\beta\).

Démonstration

Par linéarité, nous pouvons supposer que \(\alpha = [V]\) et \(\beta = [W]\) pour des sous-variétés fermées \(V, W \subset Y\) de dimensions \(r, s\). Disons que \(f\) est de dimension relative \(e\). Le lemme est alors un cas particulier du lemme 0B0Y, car \([V] = [\mathcal{O}_V]_r\), \([W] = [\mathcal{O}_W]_r\), \(f^*[V] = [f^{-1}(V)]_{r + e} = [f^*\mathcal{O}_V]_{r + e}\) et \(f^*[W] = [f^{-1}(W)]_{s + e} = [f^*\mathcal{O}_W]_{s + e}\).

Formule de projection pour les morphismes plats propres

Brève discussion de la formule de projection pour les morphismes plats propres.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat propre de variétés non singulières. Posons \(e = \dim(X) - \dim(Y)\). Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle sur \(X\) et soit \(\beta\) un \(s\)-cycle sur \(Y\). Supposons que \(\alpha\) et \(f^*(\beta)\) se coupent proprement. Alors \(f_*(\alpha)\) et \(\beta\) se coupent proprement et \[f_*(\alpha) \cdot \beta = f_*( \alpha \cdot f^*\beta)\]

Démonstration

Par linéarité, on se ramène au cas où \(\alpha = [V]\) et \(\beta = [W]\) pour des sous-variétés fermées \(V \subset X\) et \(W \subset Y\) de dimensions \(r\) et \(s\). Alors \(f^{-1}(W)\) est de dimension pure \(s + e\). Nous supposons que les cycles \([V]\) et \(f^*[W]\) se coupent proprement. Nous utiliserons sans autre mention le fait que \(V \cap f^{-1}(W) \to f(V) \cap W\) est surjectif.

Soit \(a\) la dimension de la fibre générique de \(V \to f(V)\). Si \(a > 0\), alors \(f_*[V] = 0\). En particulier, \(f_*\alpha\) et \(\beta\) se coupent proprement. Pour achever ce cas, il faut montrer que \(f_*([V] \cdot f^*[W]) = 0\). Cependant, puisque toute fibre de \(V \to f(V)\) est de dimension \(\geq a\) (voir Morphismes, lemme 02FZ), nous concluons que toute composante irréductible \(Z\) de \(V \cap f^{-1}(W)\) a des fibres de dimension \(\geq a\) au-dessus de \(f(Z)\). Cela donne l’assertion voulue.

Supposons que \(V \to f(V)\) soit génériquement fini. Soit \(Z \subset f(V) \cap W\) une composante irréductible. Soient \(Z_i \subset V \cap f^{-1}(W)\), \(i = 1, \ldots, t\), les composantes irréductibles de \(V \cap f^{-1}(W)\) qui dominent \(Z\). Par hypothèse, chaque \(Z_i\) est de dimension \(r + s + e - \dim(X) = r + s - \dim(Y)\). Par conséquent, \(\dim(Z) \leq r + s - \dim(Y)\). On voit donc que \(f(V)\) et \(W\) se coupent proprement, que \(\dim(Z) = r + s - \dim(Y)\) et que chaque \(Z_i \to Z\) est génériquement fini. Il s’ensuit notamment que \(V \to f(V)\) a une fibre finie au point générique \(\xi\) de \(Z\). Ainsi, \(V \to Y\) est fini au-dessus d’un voisinage ouvert de \(\xi\), voir Cohomologie des schémas, lemme 02OH. En utilisant une formule de projection très générale pour les produits tensoriels dérivés, on obtient \[Rf_*(\mathcal{O}_V \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} Lf^*\mathcal{O}_W) = Rf_*\mathcal{O}_V \otimes_{\mathcal{O}_Y}^\mathbf{L} \mathcal{O}_W\]

voir Catégories dérivées de schémas, lemme 08EU. Comme \(f\) est plat, on a \(Lf^*\mathcal{O}_W = f^*\mathcal{O}_W\). Puisque \(f|_V\) est fini au-dessus d’un voisinage ouvert de \(\xi\), on a

\[(Rf_*\mathcal{F})_\xi = (f_*\mathcal{F})_\xi\] pour tout faisceau cohérent sur \(X\) dont le support est contenu dans \(V\) (voir Cohomologie des schémas, lemme 02OE). Nous en concluons que [0B11]\[\begin{equation} \left( f_*\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_V, f^*\mathcal{O}_W) \right)_\xi = \left(\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_Y}(f_*\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W)\right)_\xi \end{equation}\] pour tout \(i\). Puisque \(f^*[W] = [f^*\mathcal{O}_W]_{s + e}\) d’après le lemme 0AZF, on a \[[V] \cdot f^*[W] = \sum (-1)^i [\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_V, f^*\mathcal{O}_W)]_{r + s - \dim(Y)}\] d’après le lemme 0B0W. En appliquant le lemme 0AZD, on trouve \[f_*([V] \cdot f^*[W]) = \sum (-1)^i [f_*\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_V, f^*\mathcal{O}_W)]_{r + s - \dim(Y)}\] Comme \(f_*[V] = [f_*\mathcal{O}_V]_r\) d’après le lemme 0AZD, on a \[[f_*V] \cdot [W] = \sum (-1)^i [\text{Tor}_i^{\mathcal{O}_X}(f_*\mathcal{O}_V, \mathcal{O}_W)]_{r + s - \dim(Y)}\] à nouveau d’après le lemme 0B0W. En comparant la formule pour \(f_*([V] \cdot f^*[W])\) à la formule pour \(f_*[V] \cdot [W]\) et en comparant, pour le coefficient de \(Z\), les longueurs des germes en \(\xi\), on voit que (0B11) achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X \to P\) une immersion fermée de variétés non singulières. Soit \(C' \subset P \times \mathbf{P}^1\) une sous-variété fermée de dimension \(r + 1\). Supposons que

1. la fibre \(C = C'_0\) soit de dimension \(r\), c’est-à-dire que \(C' \to \mathbf{P}^1\) soit dominant,

2. \(C'\) coupe \(X \times \mathbf{P}^1\) proprement,

3. \([C]_r\) coupe \(X\) proprement.

Alors, en posant \(\alpha = [C]_r \cdot X\), considéré comme cycle sur \(X\), et \(\beta = C' \cdot X \times \mathbf{P}^1\), considéré comme cycle sur \(X \times \mathbf{P}^1\), on a \[\alpha = \text{pr}_{X, *}(\beta \cdot X \times 0)\] comme cycles sur \(X\), où \(\text{pr}_X : X \times \mathbf{P}^1 \to X\) est la projection.

Démonstration

Soit \(\text{pr} : P \times \mathbf{P}^1 \to P\) la projection. Puisque nous démontrons une égalité de cycles, il suffit de considérer \(\alpha\), resp. \(\beta\), comme un cycle sur \(P\), resp. \(P \times \mathbf{P}^1\), et de démontrer le résultat après image directe par \(\text{pr}\). Comme \(\text{pr}^*X = X \times \mathbf{P}^1\) et que \(\text{pr}\) induit un isomorphisme de \(C'_0\) sur \(C\), la formule de projection (lemme 0B10) donne \[\text{pr}_*([C'_0]_r \cdot X \times \mathbf{P}^1) = [C]_r \cdot X = \alpha\] D’autre part, on a \([C'_0]_r = C' \cdot P \times 0\) comme cycles sur \(P \times \mathbf{P}^1\), d’après le lemme 0B07. Par conséquent, \[[C'_0]_r \cdot X \times \mathbf{P}^1 = (C' \cdot P \times 0) \cdot X \times \mathbf{P}^1 = (C' \cdot X \times \mathbf{P}^1) \cdot P \times 0\] par associativité (lemme 0B1L) et commutativité du produit d’intersection. Il reste à montrer que le produit d’intersection de \(C' \cdot X \times \mathbf{P}^1\) avec \(P \times 0\) sur \(P \times \mathbf{P}^1\) est égal, en tant que cycle, au produit d’intersection de \(\beta\) avec \(X \times 0\) sur \(X \times \mathbf{P}^1\). Écrivons \(C' \cdot X \times \mathbf{P}^1 = \sum n_k[E_k]\), et donc \(\beta = \sum n_k[E_k]\), pour certaines sous-variétés \(E_k \subset X \times \mathbf{P}^1 \subset P \times \mathbf{P}^1\). Les deux intersections sont alors égales à \(\sum m_k[E_{k, 0}]\) d’après le lemme 0B07, appliqué deux fois. Cela achève la démonstration.

Projections

Rappelons que nous travaillons sur un corps de base algébriquement clos fixé \(\mathbf{C}\). Si \(V\) est un espace vectoriel de dimension finie sur \(\mathbf{C}\), nous posons \[\mathbf{P}(V) = \text{Proj}(\text{Sym}(V))\] où \(\text{Sym}(V)\) est l’algèbre symétrique de \(V\) sur \(\mathbf{C}\). Voir Constructions, exemple 0FCY. La convention est choisie de telle sorte que \(V = \Gamma(\mathbf{P}(V), \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)}(1))\). Bien entendu, on a \(\mathbf{P}(V) \cong \mathbf{P}^n_{\mathbf{C}}\) si \(\dim(V) = n + 1\). Notons que \(\mathbf{P}(V)\) est une variété projective non singulière.

Soit \(p \in \mathbf{P}(V)\) un point fermé. Le point \(p\) correspond à une surjection \(V \to L_p\) d’espaces vectoriels avec \(\dim(L_p) = 1\), voir Constructions, lemme 01NA. Notons \(W_p = \Ker(V \to L_p)\). La projection de centre \(p\) est le morphisme \[r_p : \mathbf{P}(V) \setminus \{p\} \longrightarrow \mathbf{P}(W_p)\] de Constructions, lemme 01MY. Voici un lemme préliminaire.

Lemme

Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension \(n + 1\). Soit \(X \subset \mathbf{P}(V)\) un sous-schéma fermé. Si \(X \not = \mathbf{P}(V)\), il existe un ouvert de Zariski non vide \(U \subset \mathbf{P}(V)\) tel que, pour tout point fermé \(p \in U\), la restriction de la projection \(r_p\) définisse un morphisme fini \(r_p|_X : X \to \mathbf{P}(W_p)\).

Démonstration

Le lemme vaut, affirmons-nous, avec \(U = \mathbf{P}(V) \setminus X\). Pour tout point fermé \(p\) de \(U\), on obtient en effet un morphisme \(r_p|_X : X \to \mathbf{P}(W_p)\). Ce morphisme est propre, car \(X\) est un schéma propre (Morphismes, lemmes 01WC et 01W6). D’autre part, les fibres de \(r_p\) sont des droites affines, comme le montre un calcul direct. Ainsi, les fibres de \(r_p|X\) sont propres et affines, donc finies (Morphismes, lemme 01WN). Enfin, un morphisme propre à fibres finies est fini (Cohomologie des schémas, lemme 02OG).

Lemme

Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension \(n + 1\). Soit \(X \subset \mathbf{P}(V)\) une sous-variété fermée. Soit \(x \in X\) un point non singulier.

1. Si \(\dim(X) < n - 1\), il existe un ouvert de Zariski non vide \(U \subset \mathbf{P}(V)\) tel que, pour tout point fermé \(p \in U\), le morphisme \(r_p|_X : X \to r_p(X)\) soit un isomorphisme au-dessus d’un voisinage ouvert de \(r_p(x)\).

2. Si \(\dim(X) = n - 1\), il existe un ouvert de Zariski non vide \(U \subset \mathbf{P}(V)\) tel que, pour tout point fermé \(p \in U\), le morphisme \(r_p|_X : X \to \mathbf{P}(W_p)\) soit étale en \(x\).

Démonstration

Démonstration de (1). Notons que si \(x, y \in X\) ont la même image par \(r_p\), alors \(p\) appartient à la droite \(\overline{xy}\). Considérons le schéma de type fini \[T = \{(y, p) \mid y \in X \setminus \{x\},\ p \in \mathbf{P}(V),\ p \in \overline{xy}\}\] et les morphismes \(T \to X\) et \(T \to \mathbf{P}(V)\) donnés par \((y, p) \mapsto y\) et \((y, p) \mapsto p\). Puisque toute fibre de \(T \to X\) est une droite, on voit que la dimension de \(T\) est \(\dim(X) + 1 < \dim(\mathbf{P}(V))\). Ainsi, \(T \to \mathbf{P}(V)\) n’est pas surjectif. D’autre part, considérons le schéma de type fini \[T' = \{p \mid p \in \mathbf{P}(V) \setminus \{x\}, \ \overline{xp}\text{ tangente à }X\text{ en }x\}\] La dimension de \(T'\) est alors \(\dim(X) < \dim(\mathbf{P}(V))\). Ainsi, le morphisme \(T' \to \mathbf{P}(V)\) n’est pas non plus surjectif. Soit \(U \subset \mathbf{P}(V) \setminus X\) un ouvert non vide disjoint de ces images ; un tel \(U\) existe, car les images de \(T\) et de \(T'\) dans \(\mathbf{P}(V)\) sont constructibles d’après Morphismes, lemme 054J. Alors, pour \(p \in U\) fermé, la projection \(r_p|_X : X \to \mathbf{P}(W_p)\) induit une application injective sur l’espace tangent en \(x\) et \(r_p^{-1}(\{r_p(x)\}) = \{x\}\). Cela signifie que \(r_p\) est non ramifié en \(x\) (Variétés, lemme 0B2G), fini d’après le lemme 0B1P, et que \(r_p^{-1}(\{r_p(x)\}) = \{x\}\) ; le lemme de Morphismes étales 04DG s’applique donc, et il existe un voisinage ouvert \(R\) de \(r_p(x)\) dans \(\mathbf{P}(W_p)\) tel que \((r_p|_X)^{-1}(R) \to R\) soit une immersion fermée, ce qui démontre (1).

Démonstration de (2). Dans ce cas, on conclut encore que le morphisme \(T' \to \mathbf{P}(V)\) n’est pas surjectif. En raisonnant comme ci-dessus, on conclut que, pour \(U \subset \mathbf{P}(V)\) évitant \(X\) et l’image de \(T'\), la projection \(r_p|_X : X \to \mathbf{P}(W_p)\) est étale en \(x\) et finie.

Lemme

Soit \(V\) un espace vectoriel. Soient \(Z \subset X \subset \mathbf{P}(V)\) des sous-variétés fermées avec \(Z \not = X \not = \mathbf{P}(V)\). Soit \(x \in Z\) un point non singulier sur \(X\). Il existe alors un ouvert de Zariski non vide \(U \subset \mathbf{P}(V)\) tel que, pour tout point fermé \(p \in U\), le morphisme \(r_p|_Z : Z \to r_p(Z)\) soit un isomorphisme au-dessus d’un voisinage ouvert de \(r_p(x)\).

Démonstration

En raisonnant comme dans la démonstration du lemme 0B1Q, on trouve un ouvert de Zariski non vide \(U\) tel que, pour \(p \in U\), l’application \(r_p|_X : X \to r_p(X)\) soit étale en \(x\) et que \(r_p^{-1}(r_p(\{x\})) \cap Z = \{x\}\). Détails omis. Posons \(Z' = r_p(Z)\), considéré comme sous-variété fermée de \(\mathbf{P}(W_p)\). Alors le morphisme \(\pi : Z \to Z'\) est fini (lemme 0B1P), non ramifié en \(x\) (petit détail omis) et \(\pi^{-1}(\pi(\{x\})) = \{x\}\). Le résultat découle du lemme de Morphismes étales 04DG.

Lemme

Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension \(n + 1\). Soient \(Y, Z \subset \mathbf{P}(V)\) des sous-variétés fermées. Il existe un ouvert de Zariski non vide \(U \subset \mathbf{P}(V)\) tel que, pour tout point fermé \(p \in U\), on ait \[Y \cap r_p^{-1}(r_p(Z)) = (Y \cap Z) \cup E\] où \(E \subset Y\) est fermé et \(\dim(E) \leq \dim(Y) + \dim(Z) + 1 - n\).

Démonstration

Posons \(Y' = Y \setminus Y \cap Z\). Soient \(y \in Y'\), \(z \in Z\) des points fermés tels que \(r_p(y) = r_p(z)\). Alors \(p\) appartient à la droite \(\overline{yz}\) passant par \(y\) et \(z\). Considérons le schéma de type fini \[T = \{(y, z, p) \mid y \in Y', z \in Z, p \in \overline{yz}\}\] et le morphisme \(T \to \mathbf{P}(V)\) donné par \((y, z, p) \mapsto p\). Observons que \(T\) est irréductible et que \(\dim(T) = \dim(Y) + \dim(Z) + 1\). La fibre générale de \(T \to \mathbf{P}(V)\) est donc de dimension au plus \(\dim(Y) + \dim(Z) + 1 - n\) ; plus précisément, il existe un ouvert non vide \(U \subset \mathbf{P}(V) \setminus (Y \cup Z)\) au-dessus duquel la fibre est de dimension au plus \(\dim(Y) + \dim(Z) + 1 - n\) (Variétés, lemme 0B2L). Soit \(p \in U\) un point fermé et soit \(F \subset T\) la fibre de \(T \to \mathbf{P}(V)\) au-dessus de \(p\). Alors \[(Y \cap r_p^{-1}(r_p(Z))) \setminus (Y \cap Z)\] est l’image de \(F \to Y\), \((y, z, p) \mapsto y\). À nouveau d’après Variétés, lemme 0B2L, l’adhérence de l’image de \(F \to Y\) est de dimension au plus \(\dim(Y) + \dim(Z) + 1 - n\).

Lemme

Soit \(V\) un espace vectoriel. Soit \(B \subset \mathbf{P}(V)\) une sous-variété fermée de codimension \(\geq 2\). Soit \(p \in \mathbf{P}(V)\) un point fermé, \(p \not \in B\). Il existe alors une droite \(\ell \subset \mathbf{P}(V)\) avec \(p \in \ell\) et \(\ell \cap B = \emptyset\). De plus, ces droites recouvrent un ouvert de \(\mathbf{P}(V)\).

Démonstration

Considérons l’image de \(B\) par la projection \(r_p : \mathbf{P}(V) \to \mathbf{P}(W_p)\). Puisque \(\dim(W_p) = \dim(V) - 1\), on voit que \(r_p(B)\) est de codimension \(\geq 1\) dans \(\mathbf{P}(W_p)\). Pour tout \(q \in \mathbf{P}(V)\) tel que \(r_p(q) \not \in r_p(B)\), on voit que la droite \(\ell = \overline{pq}\) joignant \(p\) et \(q\) convient.

Lemme

Soit \(V\) un espace vectoriel. Soit \(G = \text{PGL}(V)\). Alors \(G \times \mathbf{P}(V) \to \mathbf{P}(V)\) est doublement transitif.

Démonstration

Omis. Indication : cela résulte du fait que \(\text{GL}(V)\) agit de façon doublement transitive sur les couples de vecteurs linéairement indépendants.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(n \geq 1\) un entier et soient \(x_{ij}, 1 \leq i, j \leq n\) des indéterminées. Alors \[\det \left( \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1n} \\ x_{21} & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{n1} & \ldots & \ldots & x_{nn} \end{matrix} \right)\] est un élément irréductible de l’anneau de polynômes \(k[x_{ij}]\).

Démonstration

Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Géométriquement, le lemme signifie que le lieu \(C\) des applications linéaires non inversibles \(V \to V\) est irréductible (notons que, comme le déterminant est de degré \(1\) en chaque indéterminée, il est sans facteur carré). Soit \(W\) un espace vectoriel de dimension \(n - 1\). Par algèbre linéaire élémentaire, le morphisme \[\Hom(W, V) \times \Hom(V, W) \longrightarrow \Hom(V, V),\quad (\psi, \varphi) \longmapsto \psi \circ \varphi\] a pour image \(C\). Puisque la source est irréductible, l’image l’est aussi. Détails omis.

Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension \(n + 1\). Posons \(E = \text{End}(V)\). Soit \(E^\vee = \Hom(E, \mathbf{C})\) l’espace vectoriel dual. Écrivons \(\mathbf{P} = \mathbf{P}(E^\vee)\). Il existe une application linéaire canonique \[V \longrightarrow V \otimes_\mathbf{C} E^\vee = \Hom(E, V)\] qui envoie \(v \in V\) sur l’application \(g \mapsto g(v)\) de \(\Hom(E, V)\). Rappelons que nous avons une application canonique \(E^\vee \to \Gamma(\mathbf{P}, \mathcal{O}_\mathbf{P}(1))\) qui est un isomorphisme. On obtient donc une application canonique \[\psi : V \otimes \mathcal{O}_\mathbf{P} \to V \otimes \mathcal{O}_\mathbf{P}(1)\] de faisceaux de modules sur \(\mathbf{P}\) qui, sur les sections globales, redonne l’application donnée. Rappelons qu’un fibré projectif \(\mathbf{P}(\mathcal{E})\) est défini comme le Proj relatif de l’algèbre symétrique de \(\mathcal{E}\), voir Constructions, définition 01OB. Nous allons étudier l’application rationnelle entre \(\mathbf{P}(V \otimes \mathcal{O}_\mathbf{P}(1))\) et \(\mathbf{P}(V \otimes \mathcal{O}_\mathbf{P})\) associée à \(\psi\). D’après Constructions, lemme 01O3, nous avons un isomorphisme canonique \[\mathbf{P}(V \otimes \mathcal{O}_\mathbf{P}) = \mathbf{P} \times \mathbf{P}(V)\] D’après Constructions, lemme 02NC, on voit que \[\mathbf{P}(V \otimes \mathcal{O}_\mathbf{P}(1)) = \mathbf{P}(V \otimes \mathcal{O}_\mathbf{P}) = \mathbf{P} \times \mathbf{P}(V)\] En combinant ceci avec Constructions, lemme 07ZG, on obtient [0B2W]\[\begin{equation} \mathbf{P} \times \mathbf{P}(V) \supset U(\psi) \xrightarrow{r_\psi} \mathbf{P} \times \mathbf{P}(V) \end{equation}\] Pour mieux comprendre ceci, étudions ce qui se passe sur les fibres au-dessus de \(\mathbf{P}\). Soit \(g \in E\) non nul. Il définit une application non nulle \(E^\vee \to \mathbf{C}\), donc un point \([g] \in \mathbf{P}\). D’autre part, \(g\) définit une application \(\mathbf{C}\)-linéaire \(g : V \to V\). Ainsi, d’après Constructions, lemme 01MY, on obtient une application \[\mathbf{P}(V) \supset U(g) \xrightarrow{r_g} \mathbf{P}(V)\] Nous utiliserons ci-dessous le fait que \(U(g)\) est la fibre \(U(\psi)_{[g]}\) et que \(r_g\) est la fibre de \(r_\psi\) au-dessus du point \([g]\). Une autre observation que nous utiliserons est que le complémentaire de \(U(g)\) dans \(\mathbf{P}(V)\) est l’image de l’immersion fermée \[\mathbf{P}(\Coker(g)) \longrightarrow \mathbf{P}(V)\] et que l’image de \(r_g\) est l’image de l’immersion fermée \[\mathbf{P}(\Im(g)) \longrightarrow \mathbf{P}(V)\]

Lemme

Avec les notations ci-dessus, soient \(X, Y\) des sous-variétés fermées de \(\mathbf{P}(V)\) qui se coupent proprement, telles que \(X \not = \mathbf{P}(V)\) et \(X \cap Y \not = \emptyset\). Pour une droite générale \(\ell \subset \mathbf{P}\) avec \([\text{id}_V] \in \ell\), on a

1. \(X \subset U_g\) pour tout \([g] \in \ell\),

2. \(g(X)\) coupe \(Y\) proprement pour tout \([g] \in \ell\).

Démonstration

Soit \(B \subset \mathbf{P}\) l’ensemble des points « mauvais », c’est-à-dire des points \([g]\) qui ne vérifient pas (1) ou (2). Notons que \([\text{id}_V] \not \in B\) par hypothèse. De plus, \(B\) est fermé. Il suffit donc de montrer que \(\dim(B) \leq \dim(\mathbf{P}) - 2\) (lemme 0B2T).

Considérons d’abord l’ouvert \(G = \text{PGL}(V) \subset \mathbf{P}\) formé des points \([g]\) tels que \(g : V \to V\) soit inversible. Puisque \(G\) agit doublement transitivement sur \(\mathbf{P}(V)\) (lemme 0B2U), on voit que \[T = \{(x, y, [g]) \mid x \in X, y \in Y, [g] \in G, r_g(x) = y\}\] est une fibration localement triviale sur \(X \times Y\) dont la fibre est égale au stabilisateur d’un point dans \(G\). Ainsi, \(T\) est une variété. Observons que la fibre de \(T \to G\) au-dessus de \([g]\) est \(r_g(X) \cap Y\). Le morphisme \(T \to G\) est surjectif, car toute transformée de \(X\) rencontre \(Y\) (notons que l’hypothèse selon laquelle \(X\) et \(Y\) se coupent proprement et que \(X \cap Y \not = \emptyset\) entraîne \(\dim(X) + \dim(Y) \geq \dim(\mathbf{P}(V))\), puis le lemme de Variétés 0B2R implique que toute transformée de \(X\) rencontre \(Y\)). Puisque les dimensions des fibres d’un morphisme dominant ne sautent pas en codimension \(1\) (Variétés, lemme 0B2L), on conclut que \(B \cap G\) est de codimension \(\geq 2\).

Considérons ensuite le complémentaire \(Z = \mathbf{P} \setminus G\). C’est une variété irréductible, car le déterminant est un polynôme irréductible (lemme 0B2V). Il suffit donc de montrer que \(B\) ne contient pas le point générique de \(Z\). Pour un point général \([g] \in Z\), le conoyau \(V \to \Coker(g)\) est de dimension \(1\), donc \(U(g)\) est le complémentaire d’un point. Comme \(X \not = \mathbf{P}(V)\), on voit que, pour \([g] \in Z\) général, on a \(X \subset U(g)\). De plus, le morphisme \(r_g|_X : X \to r_g(X)\) est fini, donc \(\dim(r_g(X)) = \dim(X)\). D’autre part, pour un tel \(g\), l’image de \(r_g\) est le sous-espace fermé \(H = \mathbf{P}(\Im(g)) \subset \mathbf{P}(V)\) qui est de codimension \(1\). Pour un point général de \(Z\), on voit que \(H \cap Y\) est de dimension \(1\) de moins que \(Y\) (comparer à Variétés, lemme 08A0). On voit ainsi qu’il faut montrer que \(r_g(X)\) et \(H \cap Y\) se coupent proprement dans \(H\). Pour un choix fixé de \(H\), on peut, en composant \(g\) à gauche avec un automorphisme, déplacer \(r_g(X)\) par un automorphisme arbitraire de \(H = \mathbf{P}(\Im(g))\). On peut donc raisonner comme ci-dessus pour conclure que l’intersection de \(H \cap Y\) avec \(r_g(X)\) est propre pour \(g\) général ayant \(H = \mathbf{P}(\Im(g))\). Certains détails sont omis.

Lemme de déplacement

Le lemme de déplacement affirme qu’étant donnés un \(r\)-cycle \(\alpha\) et un \(s\)-cycle \(\beta\), il existe \(\alpha'\), \(\alpha' \sim_{rat} \alpha\), tel que \(\alpha'\) et \(\beta\) se coupent proprement (lemme 0B1U). Voir [Samuel], [ChevalleyI], [ChevalleyII]. Le point clé est le lemme 0B0E ; le lecteur pourra trouver ce lemme sous la forme énoncée dans [F, exemple 11.4.1] et une démonstration dans [Roberts].

Lemme

Soit \(X \subset \mathbf{P}^N\) une sous-variété fermée non singulière. Posons \(n = \dim(X)\) et \(0 \leq d, d' < n\). Soit \(Z \subset X\) une sous-variété fermée de dimension \(d\) et soient \(T_i \subset X\), \(i \in I\), une famille finie de sous-variétés fermées de dimension \(d'\). Il existe alors une sous-variété \(C \subset \mathbf{P}^N\) telle que \(C\) coupe \(X\) proprement et telle que \[C \cdot X = Z + \sum\nolimits_{j \in J} m_j Z_j\] où les \(Z_j \subset X\) sont irréductibles de dimension \(d\), distinctes de \(Z\), et \[\dim(Z_j \cap T_i) \leq \dim(Z \cap T_i)\] avec inégalité stricte si \(Z\) ne rencontre pas \(T_i\) proprement dans \(X\).

Démonstration

Écrivons \(\mathbf{P}^N = \mathbf{P}(V_N)\), de sorte que \(\dim(V_N) = N + 1\). Nous allons choisir une suite de projections depuis des points \[\begin{align*} & r_N : \mathbf{P}(V_N) \setminus \{p_N\} \to \mathbf{P}(V_{N - 1}), \\ & r_{N - 1} : \mathbf{P}(V_{N - 1}) \setminus \{p_{N - 1}\} \to \mathbf{P}(V_{N - 2}), \\ & \ldots,\\ & r_{n + 1} : \mathbf{P}(V_{n + 1}) \setminus \{p_{n + 1}\} \to \mathbf{P}(V_n) \end{align*}\] comme à la section 0B1N. À chaque étape, nous choisirons \(p_N, p_{N - 1}, \ldots, p_{n + 1}\) dans un ouvert de Zariski convenable. Choisissons un point fermé \(x \in Z \subset X\). Pour tout \(i\), choisissons des points fermés \(x_{it} \in T_i \cap Z\), au moins un dans chaque composante irréductible de \(T_i \cap Z\). En prenant la composée, nous obtenons un morphisme \[\pi = (r_{n + 1} \circ \ldots \circ r_N)|_X : X \longrightarrow \mathbf{P}(V_n)\] qui possède les propriétés suivantes :

1. \(\pi\) est fini,

2. \(\pi\) est étale en \(x\) et en tous les \(x_{it}\),

3. \(\pi|_Z : Z \to \pi(Z)\) est un isomorphisme au-dessus d’un voisinage ouvert de \(\pi(x_{it})\),

4. \(T_i \cap \pi^{-1}(\pi(Z)) = (T_i \cap Z) \cup E_i\), où \(E_i \subset T_i\) est fermé et \(\dim(E_i) \leq d + d' + 1 - (n + 1) = d + d' - n\).

Il résulte immédiatement des Lemmes 0B1P, 0B1Q, 0H8A et 0B1R, ainsi que d’une récurrence, que ce choix est possible ; observons que la dernière projection part de \(\mathbf{P}(V_{n + 1})\) et que \(\dim(V_{n + 1}) = n + 2\), ce qui explique l’inégalité de (4). Plus précisément, soient \(X_j, Z_j, T_{i, j} \subset \mathbf{P}(V_j)\) les images de \(X\), \(Z\), \(T_i\) pour \(j = N, \ldots, n\). Alors \(T_{i, j + 1} \cap r_{j + 1}^{-1}(Z_j) = (T_{i, j + 1} \cap Z_{j + 1}) \cup E_{i, j + 1}\), où nous disposons d’une borne sur la dimension de \(E_{i, j + 1}\) d’après le lemme 0B1R. Notons alors que \(T_i \cap \pi^{-1}(\pi(Z))\) est la réunion de \(T_i \cap Z\) et des images inverses des \(E_{i, j}\). Comme les morphismes de transition entre les \(X_j\) sont finis, on obtient la borne de dimension voulue.

Soit \(C \subset \mathbf{P}(V_N)\) l’adhérence schématique de \((r_{n + 1} \circ \ldots \circ r_N)^{-1}(\pi(Z))\). Puisque \(\pi\) est étale au point \(x\) de \(Z\), le sous-schéma fermé \(C \cap X = \pi^{-1}(\pi(Z))\) contient \(Z\) avec multiplicité \(1\) (le calcul local est omis). Le lemme 0B1J donne donc \[C \cdot X = [Z] + \sum m_j[Z_j]\] pour certaines sous-variétés \(Z_j \subset X\) de dimension \(d\). Notons que \[C \cap X = \pi^{-1}(\pi(Z))\] ensemblistement. Par conséquent, \(T_i \cap Z_j \subset T_i \cap \pi^{-1}(\pi(Z)) \subset (T_i \cap Z) \cup E_i\). Pour toute composante irréductible de \(T_i \cap Z_j\) contenue dans \(E_i\), nous avons la borne de dimension voulue. Enfin, soit \(V\) une composante irréductible de \(T_i \cap Z_j\) contenue dans \(T_i \cap Z\). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(V\) ne contient aucun des points \(x_{it}\), car alors \(\dim(V) < \dim(Z \cap T_i)\). Pour cela, il suffit de montrer que \(x_{it} \not \in Z_j\) pour tous \(i, t, j\).

Posons \(Z' = \pi(Z)\) et \(Z'' = \pi^{-1}(Z')\), schématiquement. D’après la condition (3), il existe un ouvert \(U \subset \mathbf{P}(V_n)\) contenant \(\pi(x_{it})\) tel que \(\pi^{-1}(U) \cap Z \to U \cap Z'\) soit un isomorphisme. En particulier, \(Z \to Z'\) est un isomorphisme local en \(x_{it}\). D’autre part, \(Z'' \to Z'\) est étale en \(x_{it}\) d’après la condition (2). L’immersion fermée \(Z \to Z''\) est donc étale en \(x_{it}\) (Morphismes, lemme 02GW). Ainsi \(Z = Z''\) dans un voisinage de Zariski de \(x_{it}\), ce qui démontre l’assertion.

Le déplacement proprement dit s’effectue à l’aide du lemme suivant.

Lemme

Soit \(C \subset \mathbf{P}^N\) une sous-variété fermée. Soit \(X \subset \mathbf{P}^N\) une sous-variété et soient \(T_i \subset X\) une collection finie de sous-variétés fermées. Supposons que \(C\) et \(X\) se coupent proprement. Alors il existe une sous-variété fermée \(C' \subset \mathbf{P}^N \times \mathbf{P}^1\) telle que

1. \(C' \to \mathbf{P}^1\) soit dominant,

2. \(C'_0 = C\) schématiquement,

3. \(C'\) et \(X \times \mathbf{P}^1\) se coupent proprement,

4. \(C'_\infty\) coupe proprement chacun des \(T_i\) donnés.

Démonstration

Si \(C \cap X = \emptyset\), prenons la famille constante \(C' = C \times \mathbf{P}^1\). Nous pouvons donc supposer \(C \cap X \not = \emptyset\).

Écrivons \(\mathbf{P}^N = \mathbf{P}(V)\), de sorte que \(\dim(V) = N + 1\). Soit \(E = \text{End}(V)\). Soit \(E^\vee = \Hom(E, \mathbf{C})\). Posons \(\mathbf{P} = \mathbf{P}(E^\vee)\) comme dans le lemme 0B1S. Choisissons une droite générale \(\ell \subset \mathbf{P}\) passant par \(\text{id}_V\). Définissons \(C' \subset \ell \times \mathbf{P}(V)\) comme le sous-schéma fermé de fibre \(r_g(C)\) au-dessus de \([g] \in \ell\). Plus précisément, \(C'\) est l’image de \[\ell \times C \subset \mathbf{P} \times \mathbf{P}(V)\] par le morphisme (0B2W). D’après le lemme 0B1S, cela a un sens, c’est-à-dire que \(\ell \times C \subset U(\psi)\). Le morphisme \(\ell \times C \to C'\) est fini et \(C'_{[g]} = r_g(C)\) ensemblistement pour tout \([g] \in \ell\). Les parties (1) et (2) sont claires avec \(0 = [\text{id}_V] \in \ell\). La partie (3) résulte du fait que \(r_g(C)\) et \(X\) se coupent proprement pour tout \([g] \in \ell\). La partie (4) résulte du fait qu’un point général \(\infty = [g] \in \ell\) est un point général de \(\mathbf{P}\) et que, pour un tel point, \(r_g(C) \cap T\) est propre pour toute sous-variété fermée \(T\) de \(\mathbf{P}(V)\). Les détails sont omis.

Lemme

Soit \(X\) une variété projective non singulière. Soit \(\alpha\) un \(r\)-cycle et soit \(\beta\) un \(s\)-cycle sur \(X\). Alors il existe un \(r\)-cycle \(\alpha'\) tel que \(\alpha' \sim_{rat} \alpha\) et tel que \(\alpha'\) et \(\beta\) se coupent proprement.

Démonstration

Écrivons \(\beta = \sum n_i[T_i]\) pour certaines sous-variétés \(T_i \subset X\) de dimension \(s\). Par linéarité, nous pouvons supposer que \(\alpha = [Z]\) pour une sous-variété fermée irréductible \(Z \subset X\) de dimension \(r\). Nous démontrerons le lemme par récurrence sur le maximum \(e\) des entiers \[\dim(Z \cap T_i)\] Le cas initial est \(e = r + s - \dim(X)\). Dans ce cas, \(Z\) rencontre \(\beta\) proprement et le lemme est trivial.

Étape de récurrence. Supposons \(e > r + s - \dim(X)\). Choisissons un plongement \(X \subset \mathbf{P}^N\) et appliquons le lemme 0B0E afin de trouver une sous-variété fermée \(C \subset \mathbf{P}^N\) telle que \(C \cdot X = [Z] + \sum m_j[Z_j]\) et telle que l’hypothèse de récurrence s’applique à chaque \(Z_j\). Appliquons ensuite le lemme 0B1T à \(C\), \(X\), \(T_i\) pour trouver \(C' \subset \mathbf{P}^N \times \mathbf{P}^1\). Soit \(\gamma = C' \cdot X \times \mathbf{P}^1\), considéré comme un cycle sur \(X \times \mathbf{P}^1\). D’après le lemme 0B1M, nous avons \[[Z] + \sum m_j[Z_j] = \text{pr}_{X, *}(\gamma \cdot X \times 0)\] D’autre part, le cycle \(\gamma_\infty = \text{pr}_{X, *}(\gamma \cdot X \times \infty)\) est supporté sur \(C'_\infty \cap X\) et rencontre donc \(\beta\) proprement. Ainsi \([Z] \sim_{rat} - \sum m_j[Z_j] + \gamma_\infty\) d’après le lemme 0B07. Comme, par récurrence, chaque \([Z_j]\) est rationnellement équivalent à un cycle qui rencontre \(\beta\) proprement, cela achève la démonstration.

Produits d’intersection et équivalence rationnelle

Avec les définitions précédentes, montrons que le produit d’intersection est bien défini modulo équivalence rationnelle. Traitons d’abord un cas particulier.

Lemme

Soit \(X\) une variété non singulière. Soit \(W \subset X \times \mathbf{P}^1\) une sous-variété de dimension \((s + 1)\) dominant \(\mathbf{P}^1\). Soient \(W_a\), resp. \(W_b\), les fibres de \(W \to \mathbf{P}^1\) au-dessus de \(a\), resp. de \(b\). Soit \(V\) une sous-variété de dimension \(r\) de \(X\) telle que \(V\) coupe proprement \(W_a\) et \(W_b\). Alors \([V] \cdot [W_a]_r \sim_{rat} [V] \cdot [W_b]_r\).

Démonstration

Nous avons \([W_a]_r = \text{pr}_{X,*}(W \cdot X \times a)\) et de même pour \([W_b]_r\), voir le lemme 0B07. Nous nous ramenons donc à démontrer \[V \cdot \text{pr}_{X,*}( W \cdot X \times a) \sim_{rat} V \cdot \text{pr}_{X,*}( W \cdot X\times b).\] En appliquant la formule de projection du lemme 0B10, on obtient \[V \cdot \text{pr}_{X,*}( W \cdot X\times a) = \text{pr}_{X,*}(V \times \mathbf{P}^1 \cdot (W \cdot X\times a))\] et de même pour \(b\). Nous nous ramenons donc à démontrer \[\text{pr}_{X,*}(V \times \mathbf{P}^1 \cdot (W \cdot X\times a)) \sim_{rat} \text{pr}_{X,*}(V \times \mathbf{P}^1 \cdot (W \cdot X\times b))\] Si \(V \times \mathbf{P}^1\) et \(W\) se coupent proprement, alors l’associativité des multiplicités d’intersection (lemme 0B1L) donne \(V \times \mathbf{P}^1 \cdot (W \cdot X\times a) = (V \times \mathbf{P}^1 \cdot W) \cdot X \times a\), et de même pour \(b\). Nous nous ramenons donc à démontrer \[\text{pr}_{X,*}((V \times \mathbf{P}^1 \cdot W) \cdot X\times a) \sim_{rat} \text{pr}_{X,*}((V \times \mathbf{P}^1 \cdot W) \cdot X\times b)\] ce qui est vrai d’après le lemme 0B07.

Le raisonnement précédent ne fonctionne pas tout à fait. L’obstacle est que nous ne savons pas si \(V \times \mathbf{P}^1\) et \(W\) se coupent proprement. Nous savons seulement que \(V\) et \(W_a\), ainsi que \(V\) et \(W_b\), se coupent proprement. Soient \(Z_i\), \(i \in I\), les composantes irréductibles de \(V \times \mathbf{P}^1 \cap W\). Nous savons alors que \(\dim(Z_i) \geq r + 1 + s + 1 - n - 1 = r + s + 1 - n\), où \(n = \dim(X)\), voir le lemme 0AZP. Comme nous avons supposé que \(V\) et \(W_a\) se coupent proprement, on voit que \(\dim(Z_{i, a}) = r + s - n\) ou \(Z_{i, a} = \emptyset\). D’autre part, si \(Z_{i, a} \not = \emptyset\), alors \(\dim(Z_{i, a}) \geq \dim(Z_i) - 1 = r + s - n\). Il s’ensuit que \(\dim(Z_i) = r + s + 1 - n\) si \(Z_i\) rencontre \(X \times a\) et, dans ce cas, \(Z_i \to \mathbf{P}^1\) est surjectif. Nous pouvons donc écrire \(I = I' \amalg I''\), où \(I'\) est l’ensemble des \(i \in I\) tels que \(Z_i \to \mathbf{P}^1\) soit surjectif, et \(I''\) l’ensemble des \(i \in I\) tels que \(Z_i\) soit au-dessus d’un point fermé \(t_i \in \mathbf{P}^1\) avec \(t_i \not = a\) et \(t_i \not = b\). Considérons le cycle \[\gamma = \sum\nolimits_{i \in I'} e_i [Z_i]\] où nous posons \[e_i = \sum\nolimits_p (-1)^p \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X \times \mathbf{P}^1, Z_i}} \text{Tor}_p^{\mathcal{O}_{X \times \mathbf{P}^1, Z_i}}( \mathcal{O}_{V \times \mathbf{P}^1, Z_i}, \mathcal{O}_{W, Z_i})\] Nous montrerons que \(\gamma\) peut remplacer le produit d’intersection de \(V \times \mathbf{P}^1\) et \(W\).

Nous le démontrerons à l’aide de l’associativité des produits d’intersection, exactement comme ci-dessus. Soit \(U = \mathbf{P}^1 \setminus \{t_i, i \in I''\}\). Notons que \(X \times a\) et \(X \times b\) sont contenus dans \(X \times U\). Les sous-variétés \[V \times U,\quad W_U,\quad X \times a\quad\text{de}\quad X \times U\] se rencontrent deux à deux transversalement par notre choix de \(U\) et, de plus, \(\dim(V \times U \cap W_U \cap X \times a) = \dim(V \cap W_a)\) a la dimension attendue. On voit donc que \[V \times U \cdot (W_U \cdot X \times a) = (V \times U \cdot W_U) \cdot X \times a\] comme cycles sur \(X \times U\), d’après le lemme 0B1L. Par construction, \(\gamma\) se restreint au cycle \(V \times U \cdot W_U\) sur \(X \times U\). Trivialement, \(V \times \mathbf{P}^1 \cdot (W \times X \times a)\) se restreint à \(V \times U \cdot (W_U \cdot X \times a)\) sur \(X \times U\). Par conséquent, \[V \times \mathbf{P}^1 \cdot (W \cdot X \times a) = \gamma \cdot X \times a\] comme cycles sur \(X \times \mathbf{P}^1\) (car les deux membres sont contenus dans \(X \times U\) et sont égaux après restriction à \(X \times U\) d’après ce qui précède). Comme on a le même résultat pour \(b\), on conclut que \[\begin{align*} V \cdot [W_a] & = \text{pr}_{X,*}(V \times \mathbf{P}^1 \cdot (W \cdot X\times a)) \\ & = \text{pr}_{X, *}(\gamma \cdot X \times a) \\ & \sim_{rat} \text{pr}_{X, *}(\gamma \cdot X \times b) \\ & = \text{pr}_{X,*}(V \times \mathbf{P}^1 \cdot (W \cdot X\times b)) \\ & = V \cdot [W_b] \end{align*}\] La première et la dernière égalité résultent du premier paragraphe de la démonstration, la deuxième et l’avant-dernière ont été démontrées dans le présent paragraphe, et l’équivalence centrale est donnée par le lemme 0B07.

Théorème

Soit \(X\) une variété projective non singulière. Soient \(\alpha\), resp. \(\beta\), un \(r\)-cycle, resp. un \(s\)-cycle, sur \(X\). Supposons que \(\alpha\) et \(\beta\) se coupent proprement, de sorte que \(\alpha \cdot \beta\) soit défini. Enfin, supposons que \(\alpha \sim_{rat} 0\). Alors \(\alpha \cdot \beta \sim_{rat} 0\).

Démonstration

Choisissons une immersion fermée \(X \subset \mathbf{P}^N\). Par linéarité, il suffit de démontrer le résultat lorsque \(\beta = [Z]\) pour une sous-variété fermée de dimension \(s\), notée \(Z \subset X\), qui rencontre \(\alpha\) proprement. La condition \(\alpha \sim_{rat} 0\) signifie qu’il existe un nombre fini de sous-variétés fermées de dimension \((r + 1)\), \(W_i \subset X \times \mathbf{P}^1\), telles que \[\alpha = \sum [W_{i, a_i}]_r - [W_{i, b_i}]_r\] pour certains couples de points \(a_i, b_i\) de \(\mathbf{P}^1\). Soient \(W_{i, a_i}^t\) et \(W_{i, b_i}^t\) les composantes irréductibles de \(W_{i, a_i}\) et \(W_{i, b_i}\). Nous raisonnons par récurrence sur le maximum \(d\) des entiers \[\dim(Z \cap W_{i, a_i}^t),\quad \dim(Z \cap W_{i, b_i}^t)\] La principale difficulté dans la suite de la démonstration est que, bien que \(Z\) rencontre \(\alpha\) proprement, il se peut que \(Z\) ne rencontre pas les variétés « intermédiaires » \(W_{i, a_i}^t\) et \(W_{i, b_i}^t\) proprement, c’est-à-dire que l’on peut avoir \(d > r + s - \dim(X)\).

Cas initial : \(d = r + s - \dim(X)\). Dans ce cas, toutes les intersections de \(Z\) avec les \(W_{i, a_i}^t\) et les \(W_{i, b_i}^t\) sont propres et le résultat voulu découle du lemme 0B60, car celui-ci montre que \([Z] \cdot [W_{i, a_i}]_r \sim_{rat} [Z] \cdot [W_{i, b_i}]_r\) pour tout \(i\).

Étape de récurrence : \(d > r + s - \dim(X)\). Appliquons le lemme 0B0E à \(Z \subset X\) et à la famille de sous-variétés \(\{W_{i, a_i}^t, W_{i, b_i}^t\}\). On obtient alors une sous-variété fermée \(C \subset \mathbf{P}^N\) qui rencontre \(X\) proprement et telle que \[C \cdot X = [Z] + \sum m_j [Z_j]\] et telle que \[\dim(Z_j \cap W_{i, a_i}^t) \leq \dim(Z \cap W_{i, a_i}^t),\quad \dim(Z_j \cap W_{i, b_i}^t) \leq \dim(Z \cap W_{i, b_i}^t)\] avec inégalité stricte si le membre de droite est \(> r + s - \dim(X)\). Cela implique deux choses : (a) l’hypothèse de récurrence s’applique à chaque \(Z_j\), et (b) \(C \cdot X\) et \(\alpha\) se coupent proprement (car \(\alpha\) est une combinaison linéaire des \([W_{i, a_i}^t]\) et \([W_{i, a_i}^t]\) qui rencontrent \(Z\) proprement). Choisissons ensuite \(C' \subset \mathbf{P}^N \times \mathbf{P}^1\) comme dans le lemme 0B1T, relativement à \(C\), \(X\) et \(W_{i, a_i}^t\), \(W_{i, b_i}^t\). Écrivons \(C' \cdot X \times \mathbf{P}^1 = \sum n_k [E_k]\) pour certaines sous-variétés \(E_k \subset X \times \mathbf{P}^1\) de dimension \(s + 1\). Notons que \(n_k > 0\) pour tout \(k\), d’après la proposition 0B0V. D’après le lemme 0B1M, nous avons \[[Z] + \sum m_j [Z_j] = \sum n_k[E_{k, 0}]_s\] Comme \(E_{k, 0} \subset C \cap X\), on voit que \([E_{k, 0}]_s\) et \(\alpha\) se coupent proprement. D’autre part, le cycle \[\gamma = \sum n_k[E_{k, \infty}]_s\] est supporté sur \(C'_\infty \cap X\) et rencontre donc proprement chaque \(W_{i, a_i}^t\), \(W_{i, b_i}^t\). Par le cas initial et la linéarité, on voit donc que \[\gamma \cdot \alpha \sim_{rat} 0\] Comme nous avons vu que \(E_{k, 0}\) et \(E_{k, \infty}\) coupent \(\alpha\) proprement, le lemme 0B60, appliqué à \(E_k \subset X \times \mathbf{P}^1\) et \(\alpha\), donne \[[E_{k, 0}] \cdot \alpha \sim_{rat} [E_{k, \infty}] \cdot \alpha\] En regroupant le tout, nous avons \[\begin{align*} [Z] \cdot \alpha & = (\sum n_k[E_{k, 0}]_r - \sum m_j[Z_j]) \cdot \alpha \\ & \sim_{rat} \sum n_k [E_{k, 0}] \cdot \alpha \quad (\text{par l'hypothèse de récurrence})\\ & \sim_{rat} \sum n_k [E_{k, \infty}] \cdot \alpha \quad (\text{par le lemme})\\ & = \gamma \cdot \alpha \\ & \sim_{rat} 0 \quad (\text{par le cas initial}) \end{align*}\] Cela achève la démonstration.

Remarque

Le lemme 0B1U et le théorème 0B1V valent aussi pour les variétés quasi-projectives non singulières, avec la même démonstration. La seule modification consiste à démontrer la version suivante du lemme de déplacement 0B0E : soit \(X \subset \mathbf{P}^N\) une sous-variété fermée. Soient \(n = \dim(X)\) et \(0 \leq d, d' < n\). Soit \(X^{reg} \subset X\) l’ouvert des points non singuliers. Soit \(Z \subset X^{reg}\) une sous-variété fermée de dimension \(d\) et soient \(T_i \subset X^{reg}\), \(i \in I\), une collection finie de sous-variétés fermées de dimension \(d'\). Alors il existe une sous-variété \(C \subset \mathbf{P}^N\) telle que \(C\) rencontre \(X\) proprement et que \[(C \cdot X)|_{X^{reg}} = Z + \sum\nolimits_{j \in J} m_j Z_j\] où les \(Z_j \subset X^{reg}\) sont irréductibles de dimension \(d\), distinctes de \(Z\), et \[\dim(Z_j \cap T_i) \leq \dim(Z \cap T_i)\] avec inégalité stricte si \(Z\) ne rencontre pas \(T_i\) proprement dans \(X^{reg}\).

Anneaux de Chow

Soit \(X\) une variété projective non singulière. Nous définissons le produit d’intersection \[\CH_r(X) \times \CH_s(X) \longrightarrow \CH_{r + s - \dim(X)}(X),\quad (\alpha, \beta) \longmapsto \alpha \cdot \beta\] comme suit. Soient \(\alpha \in Z_r(X)\) et \(\beta \in Z_s(X)\). Si \(\alpha\) et \(\beta\) se coupent proprement, nous utilisons la définition donnée à la section 0B08. Sinon, choisissons \(\alpha \sim_{rat} \alpha'\) comme dans le lemme 0B1U et posons \[\alpha \cdot \beta = \text{classe de }\alpha' \cdot \beta \in \CH_{r + s - \dim(X)}(X)\] Ceci est bien défini et passe au quotient par l’équivalence rationnelle d’après le théorème 0B1V. Le produit d’intersection sur \(\CH_*(X)\) est commutatif (c’est clair), associatif (lemme 0B1L) et possède une unité \([X] \in \CH_{\dim(X)}(X)\).

Nous employons souvent \(\CH^c(X) = \CH_{\dim X - c}(X)\) pour désigner le groupe de Chow des cycles de codimension \(c\), voir Homologie de Chow, section 0FE2. Le produit d’intersection définit un produit \[\CH^k(X) \times \CH^l(X) \longrightarrow \CH^{k + l}(X)\] qui est commutatif, associatif et possède une unité \(1 = [X] \in \CH^0(X)\).

Image inverse par un morphisme quelconque

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de variétés projectives non singulières. Nous définissons \[f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k+\dim X - \dim Y}(X)\] par la règle \[f^*(\alpha) = pr_{X, *}(\Gamma_f \cdot pr_Y^*(\alpha))\] où \(\Gamma_f \subset X\times Y\) est le graphe de \(f\). Notons qu’à ce degré de généralité, cette application n’est définie que sur les classes de cycles, et non sur les cycles. Avec la notation \(\CH^*\) introduite à la section 0B0G, on peut considérer l’image inverse comme une application \[f^* : \CH^*(Y) \to \CH^*(X)\] autrement dit, comme une application de groupes abéliens gradués.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de variétés projectives non singulières. L’application d’image inverse sur les groupes de Chow vérifie les propriétés suivantes :

1. \(f^* : \CH^*(Y) \to \CH^*(X)\) est un morphisme d’anneaux,

2. \((g \circ f)^* = f^* \circ g^*\) pour un couple composable \(f, g\),

3. la formule de projection vaut : \(f_*(\alpha) \cdot \beta = f_*( \alpha \cdot f^*\beta)\), et

4. si \(f\) est plat, elle coïncide avec la définition précédente.

Démonstration

Toutes ces assertions résultent immédiatement des résultats précédents.

Pour (1), il suffit de montrer que \(\text{pr}_{X,*}( \Gamma_f \cdot \alpha \cdot \beta) = \text{pr}_{X,*}(\Gamma_f \cdot \alpha) \cdot \text{pr}_{X,*}(\Gamma_f \cdot \beta)\) pour des cycles \(\alpha\), \(\beta\) sur \(X \times Y\). Si \(\alpha\) est un cycle sur \(X \times Y\) qui rencontre \(\Gamma_f\) proprement, alors il est facile de voir que \[\Gamma_f \cdot \alpha = \Gamma_f \cdot \text{pr}_X^*(\text{pr}_{X,*}(\Gamma_f \cdot \alpha))\] comme cycles, puisque \(\Gamma_f\) est un graphe. On obtient ainsi la première égalité dans \[\begin{align*} \text{pr}_{X,*}(\Gamma_f \cdot \alpha \cdot \beta) & = \text{pr}_{X,*}( \Gamma_f \cdot \text{pr}_X^*(\text{pr}_{X,*}(\Gamma_f \cdot \alpha)) \cdot \beta) \\ & = \text{pr}_{X,*}(\text{pr}_X^*(\text{pr}_{X,*}(\Gamma_f \cdot \alpha)) \cdot (\Gamma_f \cdot \beta)) \\ & = \text{pr}_{X,*}(\Gamma_f \cdot \alpha) \cdot \text{pr}_{X,*}(\Gamma_f \cdot \beta) \end{align*}\] la dernière étape résultant de la formule de projection dans le cas plat (lemme 0B10).

Si \(g : Y \to Z\), la propriété (2) résulte formellement de l’observation suivante : \[\Gamma = \text{pr}_{X \times Y}^*\Gamma_f \cdot \text{pr}_{Y \times Z}^*\Gamma_g\] dans \(Z_*(X \times Y \times Z)\), où \(\Gamma = \{(x, f(x), g(f(x))\}\), et s’envoie isomorphiquement sur \(\Gamma_{g \circ f}\) dans \(X \times Z\). L’égalité résulte de l’égalité schématique et du lemme 0B1I.

Pour (3), nous appliquons deux fois la formule de projection pour les applications plates : \[\begin{align*} f_*(\alpha \cdot pr_{X, *}(\Gamma_f \cdot pr_Y^*(\beta))) & = f_*(pr_{X, *}(pr_X^*\alpha \cdot \Gamma_f \cdot pr_Y^*(\beta))) \\ & = pr_{Y, *}(pr_X^*\alpha \cdot \Gamma_f \cdot pr_Y^*(\beta))) \\ & = pt_{Y, *}(pr_X^*\alpha \cdot \Gamma_f) \cdot \beta \\ & = f_*(\alpha) \cdot \beta \end{align*}\] où, dans la dernière égalité, nous utilisons la remarque précédente sur les graphes. Cela démontre (3).

La propriété (4) repose sur l’identification du produit d’intersection \(\Gamma_f \cdot pr_Y^*\alpha\) lorsque \(f\) est plat. Plus précisément, dans ce cas, si \(V \subset Y\) est une sous-variété fermée, tout point générique \(\xi\) du schéma \(f^{-1}(V) \cong \Gamma_f \cap pr_Y^{-1}(V)\) est au-dessus du point générique de \(V\). L’anneau local de \(pr_Y^{-1}(V) = X \times V\) en \(\xi\) est donc de Cohen–Macaulay. Comme \(\Gamma_f \subset X \times Y\) est une immersion régulière (en tant que morphisme de variétés projectives lisses), on obtient \[\Gamma_f \cdot pr_Y^*[V] = [\Gamma_f \cap pr_Y^{-1}(V)]_d\] où \(d\) est la dimension de \(\Gamma_f \cap pr_Y^{-1}(V)\), voir le lemme 0B06. Comme \(\Gamma_f \cap pr_Y^{-1}(V)\) s’envoie isomorphiquement sur \(f^{-1}(V)\), on conclut.

Image inverse des cycles

Supposons que \(X\) et \(Y\) soient des variétés projectives non singulières, et soit \(f : X \to Y\) un morphisme. Supposons que \(Z \subset Y\) soit une sous-variété fermée. Notons \(f^{-1}(Z)\) l’image inverse schématique, de sorte que le diagramme \[\xymatrix{ f^{-1}(Z) \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] est cartésien. En particulier, \(f^{-1}(Z) \subset X\) est un sous-schéma fermé de \(X\). Dans ce cas, on a toujours \[\dim f^{-1}(Z) \geq \dim Z + \dim X - \dim Y.\] Si l’égalité a lieu dans la formule précédente, alors \(f^*[Z] = [f^{-1}(Z)]_{\dim Z + \dim X - \dim Y}\) pourvu que le schéma \(Z\) soit de Cohen–Macaulay aux images des points génériques de \(f^{-1}(Z)\). Cela résulte de l’identification de \(f^{-1}(Z)\) avec l’intersection schématique de \(\Gamma_f\) et \(X \times Z\), puis du lemme 0B06. Les détails sont analogues à la démonstration de la partie (4) du lemme 0B2X ci-dessus.