Schémas en groupoïdes

Introduction

Ce chapitre est consacré aux généralités sur les schémas en groupoïdes. Voir par exemple le bel article [K-M] de Keel et Mori.

Notations

Soit \(S\) un schéma. Si \(U\) et \(T\) sont des schémas sur \(S\), nous notons \(U(T)\) l’ensemble des points à valeurs dans \(T\) du schéma \(U\) au-dessus de \(S\). En formule : \(U(T) = \Mor_S(T, U)\). Nous nous efforçons de réserver la lettre \(T\) pour désigner un “schéma test” sur \(S\), comme dans la discussion qui suit. Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur \(S\), et soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). Pour tout schéma \(T\) sur \(S\), on obtient une application induite entre ensembles \[f : X(T) \longrightarrow Y(T)\] que, comme indiqué, nous notons aussi \(f\). En fait, cette construction est fonctorielle en \(T/S\). Le lemme de Yoneda, voir Catégories, lemme 001P, affirme que \(f\) détermine et est déterminé par cette transformation de foncteurs \(f : h_X \to h_Y\). Plus généralement, nous employons la même notation pour les applications entre produits fibrés. Par exemple, si \(X\), \(Y\) et \(Z\) sont des schémas sur \(S\), et si \(m : X \times_S Y \to Z \times_S Z\) est un morphisme de schémas sur \(S\), alors nous considérons \(m\) comme correspondant à une famille d’applications entre les ensembles de points à valeurs dans \(T\) \[X(T) \times Y(T) \longrightarrow Z(T) \times Z(T).\] Et ainsi de suite.

Nous conservons notre convention consistant à indexer les morphismes de projection à partir de l’indice \(0\); on a donc \(\text{pr}_0 : X \times_S Y \to X\) et \(\text{pr}_1 : X \times_S Y \to Y\).

Relations d’équivalence

Rappelons qu’une relation \(R\) sur un ensemble \(A\) est simplement un sous-ensemble \(R \subset A \times A\). On écrit habituellement \(a R b\) pour indiquer que \((a, b) \in R\). On dit que la relation est transitive si \(a R b, b R c \Rightarrow a R c\). On dit que la relation est réflexive si \(a R a\) pour tout \(a \in A\). On dit que la relation est symétrique si \(a R b \Rightarrow b R a\). Une relation est appelée relation d’équivalence si elle est transitive, réflexive et symétrique.

Dans le cadre des schémas, nous allons assouplir quelque peu la notion de relation et exiger seulement que \(R \to A \times A\) soit un morphisme. Voici la définition.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un schéma sur \(S\).

1. Une prérelation sur \(U\) relativement à \(S\) est un morphisme quelconque de schémas \(j : R \to U \times_S U\). Dans ce cas, on pose \(t = \text{pr}_0 \circ j\) et \(s = \text{pr}_1 \circ j\), de sorte que \(j = (t, s)\).

2. Une relation sur \(U\) relativement à \(S\) est un monomorphisme de schémas \(j : R \to U \times_S U\).

3. Une prérelation d’équivalence est une prérelation \(j : R \to U \times_S U\) telle que l’image de \(j : R(T) \to U(T) \times U(T)\) est une relation d’équivalence pour tout \(T/S\).

4. On dit qu’un morphisme de schémas \(R \to U \times_S U\) est une relation d’équivalence sur \(U\) relativement à \(S\) si et seulement si, pour tout schéma \(T\) sur \(S\), les points à valeurs dans \(T\) du schéma \(R\) définissent une relation d’équivalence sur l’ensemble des points à valeurs dans \(T\) du schéma \(U\).

Autrement dit, une relation d’équivalence est une prérelation d’équivalence telle que \(j\) soit une relation.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un schéma sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_S U\) une prérelation. Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas. Enfin, posons \[R' = (U' \times_S U')\times_{U \times_S U} R \xrightarrow{j'} U' \times_S U'\] Alors \(j'\) est une prérelation sur \(U'\) relativement à \(S\). Si \(j\) est une relation, alors \(j'\) est une relation. Si \(j\) est une prérelation d’équivalence, alors \(j'\) est une prérelation d’équivalence. Si \(j\) est une relation d’équivalence, alors \(j'\) est une relation d’équivalence.

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(U\) un schéma sur \(S\). Soit \(j : R \to U \times_S U\) une prérelation. Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas. La prérelation \(j' : R' \to U' \times_S U'\) est appelée la restriction, ou l’image réciproque, de la prérelation \(j\) sur \(U'\). Dans cette situation, nous écrivons parfois \(R' = R|_{U'}\).

Lemme

Soit \(j : R \to U \times_S U\) une prérelation. Considérons la relation sur les points du schéma \(U\) définie par la règle \[x \sim y \Leftrightarrow \exists\ r \in R : t(r) = x, s(r) = y.\] Si \(j\) est une prérelation d’équivalence, alors la relation ainsi définie est une relation d’équivalence.

Démonstration

Supposons que \(x \sim y\) et que \(y \sim z\). Choisissons \(r \in R\) tel que \(t(r) = x\), \(s(r) = y\) et choisissons \(r' \in R\) tel que \(t(r') = y\), \(s(r') = z\). Choisissons un corps \(K\) s’insérant dans le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ \kappa(r) \ar[r] & K \\ \kappa(y) \ar[u] \ar[r] & \kappa(r') \ar[u] }\] Désignons par \(x_K, y_K, z_K : \Spec(K) \to U\) les morphismes \[\begin{matrix} \Spec(K) \to \Spec(\kappa(r)) \to \Spec(\kappa(x)) \to U \\ \Spec(K) \to \Spec(\kappa(r)) \to \Spec(\kappa(y)) \to U \\ \Spec(K) \to \Spec(\kappa(r')) \to \Spec(\kappa(z)) \to U \end{matrix}\] Par construction, \((x_K, y_K) \in j(R(K))\) et \((y_K, z_K) \in j(R(K))\). Comme \(j\) est une prérelation d’équivalence, on a aussi \((x_K, z_K) \in j(R(K))\). Cela implique clairement que \(x \sim z\).

La démonstration du fait que \(\sim\) est réflexive et symétrique est omise.

Lemme

Soit \(j : R \to U \times_S U\) une prérelation. Supposons que

1. \(s, t\) soient non ramifiés,

2. pour tout corps algébriquement clos \(k\) sur \(S\) l’application \(R(k) \to U(k) \times U(k)\) définisse une relation d’équivalence,

3. il existe des morphismes \(e : U \to R\), \(i : R \to R\), \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) tels que \[\xymatrix@C-1pc{ U \ar[r]_e \ar[d]_\Delta & R \ar[d]_j & R \ar[d]^j \ar[r]_i & R \ar[d]^j & R \times_{s, U, t} R \ar[d]^{j \times j} \ar[r]_c & R \ar[d]^j \\ U \times_S U \ar[r] & U \times_S U & U \times_S U \ar[r]^{flip} & U \times_S U & U \times_S U \times_S U \ar[r]^{\text{pr}_{02}} & U \times_S U }\] sont commutatifs.

Alors \(j\) est une relation d’équivalence.

Démonstration

D’après la condition (1) et le lemme 02GG de Morphismes, on voit que \(j\) est non ramifié. Ainsi, \(\Delta_j : R \to R \times_{U \times_S U} R\) est une immersion ouverte d’après le lemme 02GE de Morphismes. Or la condition (2) affirme que \(\Delta_j\) est bijective sur les points à valeurs dans \(k\), donc \(\Delta_j\) est un isomorphisme, donc \(j\) est un monomorphisme. Il découle alors aisément des diagrammes commutatifs que \(R(T) \subset U(T) \times U(T)\) est une relation d’équivalence pour tout schéma \(T\) sur \(S\).

Schémas en groupes

Rappelons qu’un groupe est un couple \((G, m)\), où \(G\) est un ensemble et \(m : G \times G \to G\) est une application d’ensembles possédant les propriétés suivantes :

1. (associativité) \(m(g, m(g', g'')) = m(m(g, g'), g'')\) pour tous \(g, g', g'' \in G\),

2. (élément neutre) il existe un unique élément \(e \in G\) (appelé élément neutre, unité, ou \(1\) de \(G\)) tel que \(m(g, e) = m(e, g) = g\) pour tout \(g \in G\), et

3. (inverse) pour tout \(g \in G\) il existe un élément \(i(g) \in G\) tel que \(m(g, i(g)) = m(i(g), g) = e\), où \(e\) est l’élément neutre.

Nous obtenons ainsi une application \(e : \{*\} \to G\) et une application \(i : G \to G\) de sorte que le quadruplet \((G, m, e, i)\) satisfait les axiomes énumérés ci-dessus.

Un homomorphisme de groupes \(\psi : (G, m) \to (G', m')\) est une application d’ensembles \(\psi : G \to G'\) telle que \(m'(\psi(g), \psi(g')) = \psi(m(g, g'))\). Il s’ensuit automatiquement que \(\psi(e) = e'\) et \(i'(\psi(g)) = \psi(i(g))\). (Notations évidentes.) Nous nous en servirons ci-dessous.

Définition

Soit \(S\) un schéma.

1. Un schéma en groupes sur \(S\) est un couple \((G, m)\), où \(G\) est un schéma sur \(S\) et \(m : G \times_S G \to G\) est un morphisme de schémas sur \(S\) vérifiant la propriété suivante : Pour tout schéma \(T\) sur \(S\), le couple \((G(T), m)\) est un groupe.

2. Un morphisme \(\psi : (G, m) \to (G', m')\) de schémas en groupes sur \(S\) est un morphisme \(\psi : G \to G'\) de schémas sur \(S\) tel que, pour tout \(T/S\), l’application induite \(\psi : G(T) \to G'(T)\) soit un homomorphisme de groupes.

Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur le schéma \(S\). D’après la discussion ci-dessus (et celle de la section 022N) nous obtenons des morphismes de schémas sur \(S\) : (élément neutre) \(e : S \to G\) et (inverse) \(i : G \to G\) tels que pour tout \(T\), le quadruplet \((G(T), m, e, i)\) satisfait les axiomes d’un groupe énumérés ci-dessus.

Soient \((G, m)\) et \((G', m')\) des schémas en groupes sur \(S\). Soit \(f : G \to G'\) un morphisme de schémas sur \(S\). Il résulte de la définition que \(f\) est un morphisme de schémas en groupes sur \(S\) si et seulement si le diagramme suivant est commutatif : \[\xymatrix{ G \times_S G \ar[r]_-{f \times f} \ar[d]_m & G' \times_S G' \ar[d]^{m'} \\ G \ar[r]^f & G' }\]

Lemme

Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(S\). Soit \(S' \to S\) un morphisme de schémas. Le changement de base \((G_{S'}, m_{S'})\) est un schéma en groupes sur \(S'\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(S\).

1. Un sous-schéma en groupes fermé de \(G\) est un sous-schéma fermé \(H \subset G\) tel que \(m|_{H \times_S H}\) se factorise par \(H\) et induise sur \(H\) une structure de schéma en groupes sur \(S\).

2. Un sous-schéma en groupes ouvert de \(G\) est un sous-schéma ouvert \(G' \subset G\) tel que \(m|_{G' \times_S G'}\) se factorise par \(G'\) et induise sur \(G'\) une structure de schéma en groupes sur \(S\).

On pourrait également dire que \(H\) est un sous-schéma en groupes fermé de \(G\) si c’est un schéma en groupes sur \(S\) muni d’un morphisme de schémas en groupes \(i : H \to G\) sur \(S\) qui identifie \(H\) à un sous-schéma fermé de \(G\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((G, m, e, i)\) un schéma en groupes sur \(S\).

1. Un sous-schéma fermé \(H \subset G\) est un sous-schéma en groupes fermé si et seulement si \(e : S \to G\), \(m|_{H \times_S H} : H \times_S H \to G\), et \(i|_H : H \to G\) se factorisent par \(H\).

2. Un sous-schéma ouvert \(H \subset G\) est un sous-schéma en groupes ouvert si et seulement si \(e : S \to G\), \(m|_{H \times_S H} : H \times_S H \to G\), et \(i|_H : H \to G\) se factorisent par \(H\).

Démonstration

En considérant les points à valeurs dans \(T\), cela se traduit par les conditions bien connues caractérisant les parties d’un groupe qui en sont des sous-groupes.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(S\).

1. On dit que \(G\) est un schéma en groupes lisse si son morphisme structural \(G \to S\) est lisse.

2. On dit que \(G\) est un schéma en groupes plat si son morphisme structural \(G \to S\) est plat.

3. On dit que \(G\) est un schéma en groupes séparé si son morphisme structural \(G \to S\) est séparé.

On pourra compléter cette liste au besoin.

Exemples de schémas en groupes

Exemple

Considérons le foncteur qui associe à tout schéma \(T\) le groupe \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\) des unités de l’anneau des sections globales du faisceau structural. Ce foncteur est représentable par le schéma \[\mathbf{G}_m = \Spec(\mathbf{Z}[x, x^{-1}])\] Le morphisme définissant la structure de groupe est le morphisme \[\begin{eqnarray*} \mathbf{G}_m \times \mathbf{G}_m & \to & \mathbf{G}_m \\ \Spec(\mathbf{Z}[x, x^{-1}] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x, x^{-1}]) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x, x^{-1}]) \\ \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x, x^{-1}] & \leftarrow & \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \\ x \otimes x & \leftarrow & x \end{eqnarray*}\] On voit donc que \(\mathbf{G}_m\) est un schéma en groupes sur \(\mathbf{Z}\). Pour tout schéma \(S\), le changement de base \(\mathbf{G}_{m, S}\) est un schéma en groupes sur \(S\) dont le foncteur des points est \[T/S \longmapsto \mathbf{G}_{m, S}(T) = \mathbf{G}_m(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\] comme précédemment.

Exemple

Soit \(n \in \mathbf{N}\). Considérons le foncteur qui associe à tout schéma \(T\) le sous-groupe de \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\) formé des racines \(n\)-ièmes de l’unité. Ce foncteur est représentable par le schéma \[\mu_n = \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^n - 1)).\] Le morphisme définissant la structure de groupe est le morphisme \[\begin{eqnarray*} \mu_n \times \mu_n & \to & \mu_n \\ \Spec( \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1)) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^n - 1)) \\ \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) & \leftarrow & \mathbf{Z}[x]/(x^n - 1) \\ x \otimes x & \leftarrow & x \end{eqnarray*}\] On voit donc que \(\mu_n\) est un schéma en groupes sur \(\mathbf{Z}\). Pour tout schéma \(S\), le changement de base \(\mu_{n, S}\) est un schéma en groupes sur \(S\) dont le foncteur des points est \[T/S \longmapsto \mu_{n, S}(T) = \mu_n(T) = \{f \in \Gamma(T, \mathcal{O}_T^*) \mid f^n = 1\}\] comme précédemment.

Exemple

Considérons le foncteur qui associe à tout schéma \(T\) le groupe \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\) des sections globales du faisceau structural. Ce foncteur est représentable par le schéma \[\mathbf{G}_a = \Spec(\mathbf{Z}[x])\] Le morphisme définissant la structure de groupe est le morphisme \[\begin{eqnarray*} \mathbf{G}_a \times \mathbf{G}_a & \to & \mathbf{G}_a \\ \Spec(\mathbf{Z}[x] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x]) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x]) \\ \mathbf{Z}[x] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x] & \leftarrow & \mathbf{Z}[x] \\ x \otimes 1 + 1 \otimes x & \leftarrow & x \end{eqnarray*}\] On voit donc que \(\mathbf{G}_a\) est un schéma en groupes sur \(\mathbf{Z}\). Pour tout schéma \(S\), le changement de base \(\mathbf{G}_{a, S}\) est un schéma en groupes sur \(S\) dont le foncteur des points est \[T/S \longmapsto \mathbf{G}_{a, S}(T) = \mathbf{G}_a(T) = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\] comme précédemment.

Exemple

Soit \(n \geq 1\). Considérons le foncteur qui associe à tout schéma \(T\) le groupe \[\text{GL}_n(\Gamma(T, \mathcal{O}_T))\] des matrices inversibles \(n \times n\) à coefficients dans l’anneau des sections globales du faisceau structural. Ce foncteur est représentable par le schéma \[\text{GL}_n = \Spec(\mathbf{Z}[\{x_{ij}\}_{1 \leq i, j \leq n}][1/d])\] où \(d = \det((x_{ij}))\) et où \((x_{ij})\) est la matrice \(n \times n\) ayant pour coefficient \(x_{ij}\) en position \((i, j)\). Le morphisme définissant la structure de groupe est le morphisme \[\begin{eqnarray*} \text{GL}_n \times \text{GL}_n & \to & \text{GL}_n \\ \Spec(\mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d]) & \to & \Spec(\mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d]) \\ \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] & \leftarrow & \mathbf{Z}[x_{ij}, 1/d] \\ \sum x_{ik} \otimes x_{kj} & \leftarrow & x_{ij} \end{eqnarray*}\] Ainsi, on voit que \(\text{GL}_n\) est un schéma en groupes sur \(\mathbf{Z}\). Pour tout schéma \(S\), le changement de base \(\text{GL}_{n, S}\) est un schéma en groupes sur \(S\) dont le foncteur des points est donné par \[T/S \longmapsto \text{GL}_{n, S}(T) = \text{GL}_n(T) =\text{GL}_n(\Gamma(T, \mathcal{O}_T))\] comme précédemment.

Exemple

Le déterminant définit un morphisme de schémas en groupes \[\det : \text{GL}_n \longrightarrow \mathbf{G}_m\] sur \(\mathbf{Z}\). Par changement de base, il donne un morphisme de schémas en groupes \(\text{GL}_{n, S} \to \mathbf{G}_{m, S}\) sur tout schéma de base \(S\).

Exemple

Soit \(G\) un groupe abstrait. Considérons le foncteur qui associe à tout schéma \(T\) le groupe des applications localement constantes \(T \to G\) (où \(T\) est muni de la topologie de Zariski et \(G\) de la topologie discrète). Ce foncteur est représentable par le schéma \[G_{\Spec(\mathbf{Z})} = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(\mathbf{Z}).\] Le morphisme définissant la structure de groupe est le morphisme \[G_{\Spec(\mathbf{Z})} \times_{\Spec(\mathbf{Z})} G_{\Spec(\mathbf{Z})} \longrightarrow G_{\Spec(\mathbf{Z})}\] qui envoie la composante correspondant au couple \((g, g')\) sur la composante correspondant à \(gg'\). Pour tout schéma \(S\), le changement de base \(G_S\) est un schéma en groupes sur \(S\) dont le foncteur des points est donné par \[T/S \longmapsto G_S(T) = \{f : T \to G \text{ localement constante}\}\] comme précédemment.

Propriétés des schémas en groupes

Dans cette section, nous rassemblons quelques propriétés élémentaires des schémas en groupes qui sont valables sur toute base.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(G\) un schéma en groupes sur \(S\). Alors \(G \to S\) est séparé (resp. quasi-séparé) si et seulement si le morphisme unité \(e : S \to G\) est une immersion fermée (resp. quasi-compact).

Démonstration

Rappelons que, d’après le lemme 01KT de Schémas, \(e\) est une immersion, laquelle est fermée (resp. quasi-compacte) si \(G \to S\) est séparé (resp. quasi-séparé). Pour la réciproque, considérons le diagramme \[\xymatrix{ G \ar[r]_-{\Delta_{G/S}} \ar[d] & G \times_S G \ar[d]^{(g, g') \mapsto m(i(g), g')} \\ S \ar[r]^e & G }\] Montrer que ce diagramme est cartésien est un exercice d’application du point de vue fonctoriel en géométrie algébrique. Autrement dit, on voit que \(\Delta_{G/S}\) s’obtient à partir de \(e\) par changement de base. Ainsi, si \(e\) est une immersion fermée (resp. quasi-compact), il en est de même de \(\Delta_{G/S}\), voir Schémas, lemme 01JY (resp. Schémas, Lemme 01K5).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(G\) un schéma en groupes sur \(S\). Soit \(T\) un schéma sur \(S\) et soit \(\psi : T \to G\) un morphisme sur \(S\). Si \(T\) est plat sur \(S\), alors le morphisme \[T \times_S G \longrightarrow G, \quad (t, g) \longmapsto m(\psi(t), g)\] est plat. En particulier, si \(G\) est plat sur \(S\), alors \(m : G \times_S G \to G\) est plat.

Démonstration

Considérons le diagramme \[\xymatrix{ T \times_S G \ar[rrr]_{(t, g) \mapsto (t, m(\psi(t), g))} & & & T \times_S G \ar[r]_{\text{pr}} \ar[d] & G \ar[d] \\ & & & T \ar[r] & S }\] La flèche horizontale supérieure gauche est un isomorphisme et le carré est cartésien. Le lemme résulte donc de Morphismes, Lemme 01U9.

Lemme

Soit \((G, m, e, i)\) un schéma en groupes sur le schéma \(S\). Notons \(f : G \to S\) le morphisme structural. Il existe alors des isomorphismes canoniques \[\Omega_{G/S} \cong f^*\mathcal{C}_{S/G} \cong f^*e^*\Omega_{G/S}\] où \(\mathcal{C}_{S/G}\) désigne le faisceau conormal de l’immersion \(e\). En particulier, si \(S\) est le spectre d’un corps, alors \(\Omega_{G/S}\) est un \(\mathcal{O}_G\)-module libre.

Démonstration

D’après Morphismes, Lemme 01V0, nous avons \[\Omega_{G \times_S G/G} = \text{pr}_0^*\Omega_{G/S}\] où, dans le membre de gauche, nous considérons \(G \times_S G\) comme un schéma sur \(G\) au moyen de \(\text{pr}_1\). Soit \(\tau : G \times_S G \to G \times_S G\) l’application dite “de cisaillement” donnée sur les points par \((g, h) \mapsto (m(g, h), h)\). Cette application est un automorphisme de \(G \times_S G\) considéré comme un schéma sur \(G\) via la projection \(\text{pr}_1\). En combinant ces deux remarques, nous obtenons un isomorphisme \[\tau^*\text{pr}_0^*\Omega_{G/S} \to \text{pr}_0^*\Omega_{G/S}\] Puisque \(\text{pr}_0 \circ \tau = m\), celui-ci peut se réécrire sous la forme \[m^*\Omega_{G/S} \to \text{pr}_0^*\Omega_{G/S}\] En tirant cet isomorphisme en arrière par \((e \circ f, \text{id}_G) : G \to G \times_S G\) et en utilisant que \(m \circ (e \circ f, \text{id}_G) = \text{id}_G\) et que \(\text{pr}_0 \circ (e \circ f, \text{id}_G) = e \circ f\), nous obtenons un isomorphisme \[\Omega_{G/S} \to f^*e^*\Omega_{G/S}\] comme souhaité. D’après Morphismes, Lemme 0474, nous avons \(\mathcal{C}_{S/G} \cong e^*\Omega_{G/S}\). Si \(S\) est le spectre d’un corps, alors tout \(\mathcal{O}_S\)-module sur \(S\) est libre, d’où la dernière assertion.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(G\) un schéma en groupes sur \(S\). Soit \(s \in S\). Alors la composée \[T_{G/S, e(s)} \oplus T_{G/S, e(s)} = T_{G \times_S G/S, (e(s), e(s))} \rightarrow T_{G/S, e(s)}\] est l’addition des vecteurs tangents. Ici, le signe \(=\) provient de Variétés, Lemme 0BEB, et la flèche de droite est induite par \(m : G \times_S G \to G\) via Variétés, Lemme 0B2F.

Démonstration

Nous utiliserons Variétés, Équation (0BEA) et travaillerons avec les vecteurs tangents dans les fibres. Un élément \(\theta\) du premier facteur \(T_{G_s/s, e(s)}\) est l’image de \(\theta\) par l’application \(T_{G_s/s, e(s)} \to T_{G_s \times G_s/s, (e(s), e(s))}\) provenant de \((1, e) : G_s \to G_s \times G_s\). Puisque \(m \circ (1, e) = 1\), nous voyons que \(\theta\) s’envoie sur \(\theta\) par fonctorialité. Comme l’application est linéaire, nous voyons que \((\theta_1, \theta_2)\) s’envoie sur \(\theta_1 + \theta_2\).

Propriétés des schémas en groupes sur un corps

Dans cette section, nous rassemblons quelques propriétés des schémas en groupes sur un corps. Dans le cas des schémas en groupes qui sont (localement) algébriques sur un corps, nous pouvons en dire beaucoup plus, voir section 0BF6.

Lemme

Si \((G, m)\) est un schéma en groupes sur un corps \(k\), alors le morphisme de multiplication \(m : G \times_k G \to G\) est ouvert.

Démonstration

Le morphisme de multiplication est isomorphe au morphisme de projection \(\text{pr}_0 : G \times_k G \to G\) car le diagramme \[\xymatrix{ G \times_k G \ar[d]^m \ar[rrr]_{(g, g') \mapsto (m(g, g'), g')} & & & G \times_k G \ar[d]^{(g, g') \mapsto g} \\ G \ar[rrr]^{\text{id}} & & & G }\] est commutatif, les flèches horizontales étant des isomorphismes. La projection est ouverte d’après Morphismes, Lemme 0383.

Lemme

Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur un corps \(k\). Soit \(U \subset G\) un ouvert et soit \(T \to G\) un morphisme de schémas. Alors l’image de la composée \(T \times_k U \to G \times_k G \to G\) est ouverte.

Démonstration

Pour toute extension de corps \(K/k\), le morphisme \(G_K \to G\) est ouvert (Morphismes, Lemme 0383). Tout point \(\xi\) de \(T \times_k U\) est l’image d’un morphisme \((t, u) : \Spec(K) \to T \times_k U\) pour un certain \(K\). Alors l’image de \(T_K \times_K U_K = (T \times_k U)_K \to G_K\) contient le translaté \(t \cdot U_K\), qui est ouvert. En combinant ces faits, nous voyons que l’image de \(T \times_k U \to G\) contient un voisinage ouvert de l’image de \(\xi\). Comme \(\xi\) était arbitraire, le résultat s’ensuit.

Lemme

Soit \(G\) un schéma en groupes sur un corps. Alors \(G\) est un schéma séparé.

Démonstration

Posons \(S = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps, et soit \(G\) un schéma en groupes sur \(S\). D’après le Lemme 047G, nous devons montrer que \(e : S \to G\) est une immersion fermée. D’après Morphismes, Lemme 01TE, l’image de \(e : S \to G\) est un point fermé de \(G\). Il est clair que \(\mathcal{O}_G \to e_*\mathcal{O}_S\) est surjectif, puisque \(e_*\mathcal{O}_S\) est un faisceau gratte-ciel supporté en l’élément neutre de \(G\), de valeur \(k\). Nous concluons que \(e\) est une immersion fermée d’après Schémas, Lemme 01LD.

Lemme

Soit \(G\) un schéma en groupes sur un corps \(k\). Alors

1. tout anneau local \(\mathcal{O}_{G, g}\) de \(G\) possède un unique idéal premier minimal,

2. il existe exactement une composante irréductible \(Z\) de \(G\) passant par \(e\), et

3. \(Z\) est géométriquement irréductible sur \(k\).

Démonstration

Pour tout point \(g \in G\), il existe une extension de corps \(K/k\) et un point \(K\)-rationnel \(g' \in G(K)\) dont l’image est \(g\). Si l’on considère \(g'\) comme un point \(K\)-rationnel du schéma en groupes \(G_K\), nous voyons alors que \(\mathcal{O}_{G, g} \to \mathcal{O}_{G_K, g'}\) est un homomorphisme local d’anneaux fidèlement plat (puisque \(G_K \to G\) est plat et qu’un homomorphisme local plat est fidèlement plat, voir Algèbre, Lemme 00HR). Le résultat pour \(\mathcal{O}_{G_K, g'}\) entraîne le résultat pour \(\mathcal{O}_{G, g}\), voir Algèbre, Lemme 00FK. Ainsi, pour démontrer (1), il suffit de le démontrer pour les points \(k\)-rationnels \(g\) de \(G\). Dans ce cas, la translation par \(g\) définit un automorphisme \(G \to G\) qui envoie \(e\) sur \(g\). Ainsi \(\mathcal{O}_{G, g} \cong \mathcal{O}_{G, e}\). On voit de cette façon que (2) implique (1), puisque les composantes irréductibles passant par \(e\) correspondent bijectivement aux idéaux premiers minimaux de \(\mathcal{O}_{G, e}\).

Pour démontrer (2) et (3), il suffit de démontrer (2) lorsque \(k\) est algébriquement clos. Dans ce cas, soient \(Z_1\), \(Z_2\) deux composantes irréductibles de \(G\) passant par \(e\). Puisque \(k\) est algébriquement clos, le sous-schéma fermé \(Z_1 \times_k Z_2 \subset G \times_k G\) est lui aussi irréductible, voir Variétés, Lemme 038F. Par conséquent, \(m(Z_1 \times_k Z_2)\) est contenu dans une composante irréductible de \(G\). D’autre part, il contient \(Z_1\) et \(Z_2\) puisque \(m|_{e \times G} = \text{id}_G\) et \(m|_{G \times e} = \text{id}_G\). Nous concluons que \(Z_1 = Z_2\), comme souhaité.

Remarque

Attention : le résultat du Lemme 047M ne signifie pas que toute composante irréductible de \(G/k\) soit géométriquement irréductible. Par exemple, le schéma en groupes \(\mu_{3, \mathbf{Q}} = \Spec(\mathbf{Q}[x]/(x^3 - 1))\) sur \(\mathbf{Q}\) possède deux composantes irréductibles correspondant à la factorisation \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\). Le premier facteur correspond à la composante irréductible passant par l’élément neutre, tandis que la seconde composante irréductible n’est pas géométriquement irréductible sur \(\Spec(\mathbf{Q})\).

Lemme

Soit \(G\) un schéma en groupes sur un corps parfait \(k\). Alors le réduit \(G_{red}\) de \(G\) est un sous-schéma en groupes fermé de \(G\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : utiliser le fait que \(G_{red} \times_k G_{red}\) est réduit d’après Variétés, Lemmes 020I et 035Z.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(\psi : G' \to G\) un morphisme de schémas en groupes sur \(k\). Si \(\psi(G')\) est ouvert dans \(G\), alors \(\psi(G')\) est fermé dans \(G\).

Démonstration

Posons \(U = \psi(G') \subset G\). Soit \(Z = G \setminus \psi(G') = G \setminus U\), muni de la structure réduite induite de sous-schéma fermé. D’après le Lemme 0B7N, l’image de \[Z \times_k G' \longrightarrow Z \times_k U \longrightarrow G\] est ouverte (la première flèche est surjective). D’autre part, puisque \(\psi\) est un homomorphisme de schémas en groupes, l’image de \(Z \times_k G' \to G\) est contenue dans \(Z\) (car la translation par \(\psi(g')\) préserve \(U\) pour tout point \(g'\) de \(G'\) ; un petit détail est omis). Par conséquent, \(Z \subset G\) est un ouvert (mais pas nécessairement un sous-schéma ouvert). Ainsi \(U = \psi(G')\) est fermé.

Lemme

Soit \(i : G' \to G\) une immersion de schémas en groupes sur un corps \(k\). Alors \(i\) est une immersion fermée, c’est-à-dire que \(i(G')\) est un sous-schéma en groupes fermé de \(G\).

Démonstration

Pour montrer que \(i\) est une immersion fermée, il suffit de montrer que \(i(G')\) est un sous-ensemble fermé de \(G\). Soit \(k \subset k'\) une inclusion dans un corps parfait qui est une extension de \(k\). Si \(i(G'_{k'}) \subset G_{k'}\) est fermé, alors \(i(G') \subset G\) est fermé d’après Morphismes, Lemme 02JY (puisque \(G_{k'} \to G\) est plat, quasi-compact et surjectif). Nous pouvons donc supposer, et supposons, que \(k\) est parfait. Nous utiliserons sans autre mention le fait que les produits de schémas réduits sur \(k\) sont réduits. Nous pouvons remplacer \(G'\) et \(G\) par leurs réduits, voir le Lemme 047R. Soit \(\overline{G'} \subset G\) l’adhérence de \(i(G')\), considérée comme un sous-schéma fermé réduit. D’après Variétés, Lemme 047B, nous concluons que \(\overline{G'} \times_k \overline{G'}\) est l’adhérence de l’image de \(G' \times_k G' \to G \times_k G\). Par conséquent \[m\Big(\overline{G'} \times_k \overline{G'}\Big) \subset \overline{G'}\] puisque \(m\) est continu. Il s’ensuit que \(\overline{G'} \subset G\) est un sous-schéma en groupes fermé (réduit). D’après le Lemme 047S, nous voyons que \(i(G') \subset \overline{G'}\) est également fermé, ce qui implique que \(i(G') = \overline{G'}\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(G\) un schéma en groupes sur un corps \(k\). Si \(G\) est irréductible, alors \(G\) est quasi-compact.

Démonstration

Supposons que \(K/k\) soit une extension de corps. Si \(G_K\) est quasi-compact, alors \(G\) l’est aussi puisque \(G_K \to G\) est surjectif. D’après le Lemme 047M, nous voyons que \(G_K\) est irréductible. Il suffit donc de démontrer le lemme après avoir remplacé \(k\) par une extension. Choisissons comme \(K\) un corps algébriquement clos, de très grand cardinal. Alors, d’après Variétés, Lemme 0479, nous voyons que \(G_K\) est un schéma de Jacobson dont tous les points fermés ont un corps résiduel égal à \(K\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(G\) est un schéma de Jacobson dont tous les points fermés ont pour corps résiduel \(k\).

Soit \(U \subset G\) un ouvert affine non vide. Soit \(g \in G(k)\). Alors \(gU \cap U \not = \emptyset\). Nous voyons donc que \(g\) appartient à l’image du morphisme \[U \times_{\Spec(k)} U \longrightarrow G, \quad (u_1, u_2) \longmapsto u_1u_2^{-1}\] Puisque l’image de ce morphisme est ouverte (Lemme 047K), nous voyons que cette image est \(G\) tout entier (car \(G\) est un schéma de Jacobson dont tous les points fermés sont \(k\)-rationnels). Puisque \(U\) est affine, \(U \times_{\Spec(k)} U\) l’est aussi. Ainsi \(G\) est l’image d’un schéma quasi-compact, et est donc quasi-compact.

Lemme

Soit \(G\) un schéma en groupes sur un corps \(k\). Si \(G\) est connexe, alors \(G\) est irréductible.

Démonstration

D’après Variétés, Lemme 04KV, nous voyons que \(G\) est géométriquement connexe. Si nous montrons que \(G_K\) est irréductible pour une extension de corps \(K/k\), alors le lemme en découle. Nous pouvons donc appliquer Variétés, Lemme 0479, pour nous ramener au cas où \(k\) est algébriquement clos, \(G\) est un schéma de Jacobson et tous les points fermés sont \(k\)-rationnels.

Soit \(Z \subset G\) l’unique composante irréductible de \(G\) qui contient l’élément neutre, voir le Lemme 047M. Munissons \(Z\) de la structure réduite induite de sous-schéma fermé ; nous voyons que \(Z \times_k Z\) est réduit et irréductible (Variétés, Lemmes 035Z et 038F). Nous en concluons que \(m|_{Z \times_k Z} : Z \times_k Z \to G\) se factorise par \(Z\). Ainsi, \(Z\) devient un sous-schéma en groupes fermé de \(G\).

Pour obtenir une contradiction, supposons qu’il existe une autre composante irréductible \(Z' \subset G\). Alors \(Z \cap Z' = \emptyset\) d’après le Lemme 047M. D’après le Lemme 0B7P, nous voyons que \(Z\) est quasi-compact. Nous pouvons donc choisir un ouvert quasi-compact \(U \subset G\) tel que \(Z \subset U\) et \(U \cap Z' = \emptyset\). L’image \(W\) de \(Z \times_k U \to G\) est ouverte dans \(G\) d’après le Lemme 0B7N. D’autre part, \(W\) est quasi-compact en tant qu’image d’un espace quasi-compact. Nous affirmons que \(W\) est fermé.

Preuve de l’affirmation. Puisque \(W\) est quasi-compact et \(G\) est séparé (Lemme 047L), l’inclusion \(W \to G\) est quasi-compacte d’après Schémas, Lemme 03GI. Nous en concluons que les points de l’adhérence de \(W\) sont des spécialisations de points de \(W\) (Morphismes, Lemme 02JQ). Ainsi, nous devons montrer que toute composante irréductible \(Z'' \subset G\) de \(G\) qui rencontre \(W\) est contenue dans \(W\). Comme \(G\) est un schéma de Jacobson et que ses points fermés sont rationnels, \(Z'' \cap W\) contient un point rationnel \(g \in Z''(k) \cap W(k)\), et donc \(Z'' = Zg\). Mais \(W = m(Z \times_k W)\) par construction, donc \(Z'' \cap W \not = \emptyset\) implique \(Z'' \subset W\).

D’après l’affirmation, \(W \subset G\) est un sous-ensemble ouvert et fermé de \(G\). Or \(W \cap Z' = \emptyset\), car sinon, d’après l’argument donné dans le paragraphe précédent, nous aurions \(Z' = Zg\) pour un certain \(g \in W(k)\). Alors, puisque \(Z\) est un sous-groupe, nous pourrions même choisir \(g \in U(k)\), ce qui contredirait \(Z' \cap U = \emptyset\). Ainsi, \(W \subset G\) est un sous-ensemble propre, ouvert et fermé, ce qui contredit l’hypothèse que \(G\) est connexe.

Proposition

Soit \(G\) un schéma en groupes sur un corps \(k\). Il existe un sous-schéma en groupes fermé canonique \(G^0 \subset G\) ayant les propriétés suivantes

1. \(G^0 \to G\) est une immersion fermée plate,

2. \(G^0 \subset G\) est la composante connexe neutre,

3. \(G^0\) est géométriquement irréductible, et

4. \(G^0\) est quasi-compact.

Démonstration

Soit \(G^0\) la composante connexe neutre, munie de sa structure canonique de schéma (Morphismes, Définition 04PX). Pour montrer que \(G^0\) est un sous-schéma en groupes fermé, nous utiliserons le critère du Lemme 0G8L. Le morphisme \(e : \Spec(k) \to G\) se factorise par \(G^0\) puisque nous avons choisi \(G^0\) comme la composante connexe de \(G\) qui contient \(e\). Puisque \(i : G \to G\) est un automorphisme fixant \(e\), nous voyons que \(i\) envoie \(G^0\) dans lui-même. D’après Variétés, Lemme 056R, le schéma \(G^0\) est géométriquement connexe sur \(k\). Ainsi, \(G^0 \times_k G^0\) est connexe (Variétés, Lemme 0385). Ainsi, \(m(G^0 \times_k G^0) \subset G^0\) ensemblistement. Ainsi, \(m|_{G^0 \times_k G^0} : G^0 \times_k G^0 \to G\) se factorise par \(G^0\) d’après Morphismes, Lemme 04PW. Par conséquent, \(G^0\) est un sous-schéma en groupes fermé de \(G\). D’après le Lemme 0B7Q, nous voyons que \(G^0\) est irréductible. D’après le Lemme 047M, nous voyons que \(G^0\) est géométriquement irréductible. D’après le Lemme 0B7P, nous voyons que \(G^0\) est quasi-compact.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(T = \Spec(A)\), où \(A\) est une colimite filtrante d’algèbres qui sont des produits finis de copies de \(k\). Pour tout schéma \(X\) sur \(k\), on a \(|T \times_k X| = |T| \times |X|\) comme espaces topologiques.

Démonstration

En prenant un recouvrement par des ouverts affines, on se ramène au cas où \(X\) est affine. Écrivons \(X = \Spec(B)\). Écrivons \(A = \colim A_i\) avec \(A_i = \prod_{t \in T_i} k\) et \(T_i\) fini. Alors \(T_i = |\Spec(A_i)|\) muni de la topologie discrète, et les morphismes de transition \(A_i \to A_{i'}\) sont donnés par des applications \(T_{i'} \to T_i\). Ainsi, \(|T| = \lim T_i\) comme espace topologique, voir Limites, Lemme 01YY. De même, nous avons \[\begin{align*} |T \times_k X| & = |\Spec(A \otimes_k B)| \\ & = |\Spec(\colim A_i \otimes_k B)| \\ & = \lim |\Spec(A_i \otimes_k B)| \\ & = \lim |\Spec(\prod\nolimits_{t \in T_i} B)| \\ & = \lim T_i \times |X| \\ & = (\lim T_i) \times |X| \\ & = |T| \times |X| \end{align*}\] d’après le lemme précédent et le fait que les limites commutent entre elles.

Le lemme suivant affirme qu’en fait on peut placer une “famille profinie algébrique de points” dans un ouvert affine. Nous invitons le lecteur à lire d’abord le Lemme 0B7S.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(G\) un schéma en groupes sur \(k\). Supposons que \(G\) soit un schéma de Jacobson et que tous ses points fermés soient \(k\)-rationnels. Soit \(T = \Spec(A)\), où \(A\) est une colimite filtrante d’algèbres qui sont des produits finis de copies de \(k\). Pour tout morphisme \(f : T \to G\), il existe un ouvert affine \(U \subset G\) contenant \(f(T)\).

Démonstration

Soit \(G^0 \subset G\) le sous-schéma en groupes fermé obtenu dans la Proposition 0B7R. Les deux premiers paragraphes servent à se ramener au cas \(G = G^0\).

Remarquons que \(T\) est une limite projective filtrante d’espaces topologiques finis (Limites, Lemme 01YY), donc profini comme espace topologique (Topologie, Définition 08ZX). Soit \(W \subset G\) un ouvert quasi-compact contenant l’image de \(T \to G\). Après avoir remplacé \(W\) par l’image de \(G^0 \times W \to G \times G \to G\), on peut supposer que \(W\) est invariant sous l’action de \(G^0\) par translations à gauche, voir le Lemme 0B7N. Considérons la composée \[\psi = \pi \circ f : T \xrightarrow{f} W \xrightarrow{\pi} \pi_0(W)\] L’espace \(\pi_0(W)\) est profini (Topologie, Lemme 0906 et Propriétés, Lemme 094L). Soit \(F_\xi \subset T\) la fibre de \(T \to \pi_0(W)\) au-dessus de \(\xi \in \pi_0(W)\). Supposons que, pour tout \(\xi \in \pi_0(W)\), nous ayons trouvé un ouvert affine \(U_\xi \subset W\) tel que \(f(F_\xi) \subset U_\xi\). Comme \(\psi\) est fermée d’après Topologie, Lemme 08YD, \(\psi(T \setminus f^{-1}(U_\xi))\) est un sous-ensemble fermé de \(\pi_0(W)\) qui ne contient pas \(\xi\). Son complémentaire \(V_\xi\) est donc un voisinage ouvert de \(\xi\), et \(\psi^{-1}(V_\xi) \subseteq f^{-1}(U_\xi)\). Le recouvrement ouvert de \(\pi_0(W)\) par les \(V_\xi\) peut être raffiné en un recouvrement fini \(\pi_0(W) = V_1 \amalg \ldots \amalg V_n\) par des sous-ensembles ouverts et fermés deux à deux disjoints (Topologie, Lemme 08ZZ). Pour tout \(i = 1, \ldots, n\), choisissons \(\xi_i \in \pi_0(W)\) tel que \(V_i \subset V_{\xi_i}\). Comme \(V_i\) est fermé et \(U_{\xi_i}\) affine, \(U_{\xi_i} \cap \pi^{-1}(V_i)\) est également affine. Ainsi, en remplaçant \(U_{\xi_i}\) par \(U_{\xi_i} \cap \pi^{-1}(V_i)\), nous avons \(\psi^{-1}(V_i) = f^{-1}(U_{\xi_i})\). Comme les \(V_i\) recouvrent \(\pi_0(W)\), les \(f^{-1}(U_{\xi_i})\) recouvrent \(T\), et donc \(f(T) \subseteq U = \bigcup_i U_{\xi_i}\). Alors \(U\) est la réunion disjointe d’un nombre fini d’ouverts affines et est donc affine, comme souhaité.

Soit \(Z\) une composante connexe de \(G\) qui rencontre \(f(T)\). Alors \(Z\) possède un point \(k\)-rationnel \(z\) (car tous les corps résiduels du schéma \(T\) sont isomorphes à \(k\)). Ainsi, \(Z = G^0 z\). Par notre choix de \(W\), nous voyons que \(Z \subset W\). L’argument du paragraphe précédent nous ramène au problème de trouver un voisinage ouvert affine de \(f(T) \cap Z\) dans \(W\). Après translation par un point rationnel, nous pouvons supposer que \(Z = G^0\) (détails omis). Remarquons que l’image réciproque schématique \(T' = f^{-1}(G^0) \subset T\) est un sous-schéma fermé, qui est du même type. Après avoir remplacé \(T\) par \(T'\), nous pouvons supposer que \(f(T) \subset G^0\). Choisissons un voisinage ouvert affine \(U \subset G\) de \(e \in G\), de sorte qu’en particulier \(U \cap G^0\) soit non vide. Nous allons montrer qu’il existe \(g \in G^0(k)\) tel que \(f(T) \subset g^{-1}U\). Cela achèvera la preuve, car \(g^{-1}U \subset W\) en vertu de l’invariance de \(W\) sous les translations à gauche par \(G^0\).

Les arguments des deux paragraphes précédents permettent de passer à \(G^0\) et de ramener le problème au suivant : Supposons que \(G\) soit irréductible et que \(U \subset G\) soit un voisinage ouvert affine de \(e\). Montrons que \(f(T) \subset g^{-1}U\) pour un certain \(g \in G(k)\). Considérons le morphisme \[U \times_k T \longrightarrow G \times_k T,\quad (t, u) \longrightarrow (uf(t)^{-1}, t)\] qui est une immersion ouverte (car le prolongement de ce morphisme à \(G \times_k T \to G \times_k T\) est un isomorphisme). D’après notre hypothèse sur \(T\), nous avons \(|U \times_k T| = |U| \times |T|\) et de même pour \(G \times_k T\), voir le Lemme 0B7T. L’image de l’immersion ouverte affichée est donc une réunion finie de rectangles \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i \times V_i\), avec \(V_i \subset T\) et \(U_i \subset G\) ouverts quasi-compacts. Cela signifie que les ouverts possibles \(Uf(t)^{-1}\), pour \(t \in T\), sont en nombre fini, disons \(Uf(t_1)^{-1}, \ldots, Uf(t_r)^{-1}\). Puisque \(G\) est irréductible, l’intersection \[Uf(t_1)^{-1} \cap \ldots \cap Uf(t_r)^{-1}\] est non vide et, puisque \(G\) est un schéma de Jacobson à points fermés \(k\)-rationnels, nous pouvons choisir dans cette intersection un point \(k\)-rationnel \(g \in G(k)\). Nous voyons alors que \(g \in Uf(t)^{-1}\) pour tout \(t \in T\), ce qui signifie que \(f(t) \in g^{-1}U\), comme souhaité.

Remarque

Si \(G\) est un schéma en groupes sur un corps, existe-t-il toujours un sous-schéma en groupes quasi-compact, ouvert et fermé ? D’après la Proposition 0B7R, cette question n’est intéressante que si \(G\) possède une infinité de composantes connexes (géométriquement).

Lemme

Soit \(G\) un schéma en groupes sur un corps. Il existe un sous-schéma ouvert et fermé \(G' \subset G\) qui est une réunion dénombrable d’ouverts affines.

Démonstration

Soit \(e \in U(k)\) un voisinage ouvert quasi-compact de l’élément neutre. En remplaçant \(U\) par \(U \cap i(U)\), nous pouvons supposer que \(U\) est invariant par l’application d’inversion. Comme \(G\) est séparé, c’est encore un ensemble quasi-compact. Posons \[G' = \bigcup\nolimits_{n \geq 1} m_n(U \times_k \ldots \times_k U)\] où \(m_n : G \times_k \ldots \times_k G \to G\) est l’application de multiplication à \(n\) facteurs suivante \((g_1, \ldots, g_n) \mapsto m(m(\ldots (m(g_1, g_2), g_3), \ldots ), g_n)\). Chacune de ces applications est ouverte (voir Lemme 047K) ; ainsi, \(G'\) est un sous-schéma en groupes ouvert. D’après le Lemme 047S, c’est aussi un sous-schéma en groupes fermé.

Propriétés des schémas en groupes algébriques

Rappelons qu’un schéma sur un corps \(k\) est (localement) algébrique s’il est (localement) de type fini sur \(\Spec(k)\), voir Variétés, Définition 06LG. C’est dans ce sens que nous employons le terme algébrique dans le titre de cette section.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(G\) un schéma en groupes localement algébrique sur \(k\). Alors \(G\) est équidimensionnel et \(\dim(G) = \dim_g(G)\) pour tout \(g \in G\). Pour tout point fermé \(g \in G\), on a \(\dim(G) = \dim(\mathcal{O}_{G, g})\).

Démonstration

Montrons d’abord que \(\dim_g(G) = \dim_{g'}(G)\) pour tout couple de points \(g, g' \in G\). D’après Morphismes, Lemme 02FY, nous pouvons étendre à volonté le corps de base. Nous pouvons donc supposer que \(g\) et \(g'\) sont tous deux définis sur \(k\). Il existe alors un automorphisme de \(G\) envoyant \(g\) sur \(g'\), d’où l’égalité. D’après Morphismes, Lemme 02FX, on a \(\dim_g(G) = \dim(\mathcal{O}_{G, g}) + \text{trdeg}_k(\kappa(g))\). D’autre part, la dimension de \(G\) (ou de tout ouvert de \(G\)) est la borne supérieure des dimensions des anneaux locaux de \(G\), voir Propriétés, Lemme 02IZ. Il est clair que cette borne supérieure est atteinte aux points fermés \(g\), auquel cas \(\text{trdeg}_k(\kappa(g)) = 0\) (par le théorème des zéros de Hilbert, voir Morphismes, section 01T9). Le lemme en résulte.

Le résultat suivant est parfois appelé théorème de Cartier.

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(0\). Soit \(G\) un schéma en groupes localement algébrique sur \(k\). Alors le morphisme structural \(G \to \Spec(k)\) est lisse, c’est-à-dire que \(G\) est un schéma en groupes lisse.

Démonstration

D’après le Lemme 047I, le module des différentielles de \(G\) sur \(k\) est libre. La lissité résulte donc de Variétés, Lemme 04QN.

Remarque

Tout schéma en groupes sur un corps de caractéristique \(0\) est réduit, voir [Perrin-thesis, I, théorème 1.1 et I, corollaire 3.9, et II, théorème 2.4] ainsi que [Perrin, Proposition 4.2.8]. Cette question avait été posée dans [Oort, page 80]. Nous avons vu dans le Lemme 047N que cela est vrai lorsque le schéma en groupes est localement de type fini.

Lemme

Soit \(k\) un corps parfait de caractéristique \(p > 0\) (voir le Lemme 047N pour le cas de caractéristique nulle). Soit \(G\) un schéma en groupes localement algébrique sur \(k\). Si \(G\) est réduit, alors le morphisme structural \(G \to \Spec(k)\) est lisse, c’est-à-dire que \(G\) est un schéma en groupes lisse.

Démonstration

D’après le Lemme 047I, le faisceau \(\Omega_{G/k}\) est libre. Le lemme résulte donc de Variétés, Lemme 04QP.

Remarque

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(\alpha \in k\) un élément qui n’est pas une puissance \(p\)-ième. Le sous-schéma en groupes fermé \[G = V(x^p + \alpha y^p) \subset \mathbf{G}_{a, k}^2\] est réduit et irréductible, mais non lisse (pas même normal).

Le lemme suivant est un cas particulier du Lemme 0B7U, avec une démonstration un peu plus simple.

Lemme

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(G\) un schéma en groupes localement algébrique sur \(k\). Soient \(g_1, \ldots, g_n \in G(k)\) des points \(k\)-rationnels. Alors il existe un ouvert affine \(U \subset G\) contenant \(g_1, \ldots, g_n\).

Démonstration

Nous raisonnons d’abord par récurrence sur \(n\) pour nous ramener au cas où tous les \(g_i\) appartiennent à la même composante connexe de \(G\). En effet, sinon, nous pouvons trouver une décomposition \(G = W_1 \amalg W_2\), où les \(W_i\) sont ouverts dans \(G\), et (après une éventuelle renumérotation) \(g_1, \ldots, g_r \in W_1\) et \(g_{r + 1}, \ldots, g_n \in W_2\) pour un certain \(0 < r < n\). Par récurrence, nous pouvons trouver des ouverts affines \(U_1\) et \(U_2\) de \(G\) tels que \(g_1, \ldots, g_r \in U_1\) et \(g_{r + 1}, \ldots, g_n \in U_2\). Alors \[g_1, \ldots, g_n \in (U_1 \cap W_1) \cup (U_2 \cap W_2)\] fournit une solution au problème. Nous pouvons donc supposer que \(g_1, \ldots, g_n\) appartiennent tous à la même composante connexe de \(G\). En translatant par \(g_1^{-1}\), nous pouvons supposer que \(g_1, \ldots, g_n \in G^0\), où \(G^0 \subset G\) est comme dans la Proposition 0B7R. Choisissons un voisinage ouvert affine \(U\) de \(e\) ; en particulier, \(U \cap G^0\) est non vide. Comme \(G^0\) est irréductible, on voit que \[G^0 \cap (Ug_1^{-1} \cap \ldots \cap Ug_n^{-1})\] est non vide. Comme \(G \to \Spec(k)\) est localement de type fini, il en va de même de \(G^0 \to \Spec(k)\) ; par conséquent, tout ouvert non vide possède un point \(k\)-rationnel. Nous pouvons donc choisir \(g \in G^0(k)\) tel que \(g \in Ug_i^{-1}\) pour tout \(i\). Alors \(g_i \in g^{-1}U\) pour tout \(i\), et \(g^{-1}U\) est l’ouvert affine recherché.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(G\) un schéma en groupes algébrique sur \(k\). Alors \(G\) est quasi-projectif sur \(k\).

Démonstration

D’après Variétés, Lemme 0BDC, nous pouvons supposer que \(k\) est algébriquement clos. Soit \(G^0 \subset G\) la composante connexe neutre de \(G\) comme dans la proposition 0B7R. Alors toute autre composante connexe de \(G\) possède un point \(k\)-rationnel et est donc isomorphe à \(G^0\) comme schéma. Comme \(G\) est quasi-compact et noethérien, il ne possède qu’un nombre fini de composantes connexes. Nous nous ramenons ainsi au cas considéré au paragraphe suivant.

Soit \(G\) un schéma en groupes algébrique connexe sur un corps algébriquement clos \(k\). Si \(k\) est de caractéristique nulle, alors \(G\) est lisse sur \(k\) d’après le Lemme 047N. Si \(k\) est de caractéristique \(p > 0\), soit \(H = G_{red}\) la réduction de \(G\). D’après Diviseurs, proposition 0BD4, il suffit de montrer que \(H\) possède un faisceau inversible ample. (Pour un schéma algébrique sur \(k\), posséder un faisceau inversible ample équivaut à être quasi-projectif sur \(k\) ; voir par exemple le résultat très général Plus sur les morphismes, Lemme 0B42.) D’après le Lemme 047R, on voit que \(H\) est un schéma en groupes sur \(k\). D’après le Lemme 047P, on voit que \(H\) est lisse sur \(k\). Cela nous ramène à la situation considérée au paragraphe suivant.

Soit \(G\) un schéma en groupes lisse, irréductible et quasi-compact sur un corps algébriquement clos \(k\). Observons que les anneaux locaux de \(G\) sont réguliers et donc factoriels (Variétés, Lemme 056S et Plus sur l’algèbre, Lemme 0AG0). Le complémentaire d’un ouvert affine non vide de \(G\) est le support d’un diviseur de Cartier effectif \(D\). Cela résulte de Diviseurs, Lemme 0BCW. (Observons que \(G\) est séparé d’après le Lemme 047L.) Nous en concluons qu’il existe un diviseur de Cartier effectif \(D \subset G\) tel que \(G \setminus D\) soit affine. Nous utiliserons ci-dessous que, pour tout \(n \geq 1\) et tous \(g_1, \ldots, g_n \in G(k)\), le complémentaire \(G \setminus \bigcup D g_i\) est affine. En effet, c’est l’intersection des ouverts affines \(G \setminus Dg_i \cong G \setminus D\) dans le schéma séparé \(G\).

Nous pouvons choisir la ligne supérieure du diagramme \[\xymatrix{ G & U \ar[l]_j \ar[r]^\pi & \mathbf{A}^d_k \\ & W \ar[r]^{\pi'} \ar[u] & V \ar[u] }\] de telle sorte que \(U \not = \emptyset\), que \(j : U \to G\) soit une immersion ouverte et que \(\pi\) soit étale, voir Morphismes, Lemme 054L. Il existe un ouvert affine non vide \(V \subset \mathbf{A}^d_k\) tel que, si \(W = \pi^{-1}(V)\), le morphisme \(\pi' = \pi|_W : W \to V\) soit fini étale. En particulier, \(\pi'\) est fini localement libre, disons de degré \(n\). Considérons le diviseur de Cartier effectif \[\mathcal{D} = \{(g, w) \mid m(g, j(w)) \in D\} \subset G \times W\] (Il s’agit de la restriction à \(G \times W\) de l’image réciproque de \(D \subset G\) par le morphisme plat \(m : G \times G \to G\).) Considérons le fermé¹ \(T = (1 \times \pi')(\mathcal{D}) \subset G \times V\). Comme \(\pi'\) est fini localement libre, toute composante irréductible de \(T\) est de codimension \(1\) dans \(G \times V\). Comme \(G \times V\) est lisse sur \(k\), nous en concluons que ces composantes sont des diviseurs de Cartier effectifs (Diviseurs, Lemme 0AGA et les lemmes cités ci-dessus), et donc que \(T\) est le support d’un diviseur de Cartier effectif \(E\) dans \(G \times V\). Si \(v \in V(k)\), alors \((\pi')^{-1}(v) = \{w_1, \ldots, w_n\} \subset W(k)\) et l’on voit que \[E_v = \bigcup\nolimits_{i = 1, \ldots, n} D j(w_i)^{-1}\] dans \(G\), du point de vue ensembliste. En particulier, on voit que \(G \setminus E_v\) est un ouvert affine (voir ci-dessus). De plus, si \(g \in G(k)\), il existe \(v \in V\) tel que \(g \not \in E_v\). En effet, l’ensemble \(W'\) des \(w \in W\) tels que \(g \not \in Dj(w)^{-1}\) est un ouvert non vide, et il suffit de choisir \(v\) tel que la fibre de \(W' \to V\) au-dessus de \(v\) possède \(n\) éléments.

Considérons le faisceau inversible \(\mathcal{M} = \mathcal{O}_{G \times V}(E)\) sur \(G \times V\). D’après Variétés, Lemme 0BEH, la classe d’isomorphisme \(\mathcal{L}\) de la restriction \(\mathcal{M}_v = \mathcal{O}_G(E_v)\) est indépendante de \(v \in V(k)\). D’autre part, pour tout \(g \in G(k)\), nous pouvons trouver \(v\) tel que \(g \not \in E_v\) et que \(G \setminus E_v\) soit affine. Ainsi, la section canonique (Diviseurs, Définition 01WX) de \(\mathcal{O}_G(E_v)\) correspond à une section \(s_v\) de \(\mathcal{L}\) qui ne s’annule pas en \(g\) et telle que \(G_{s_v}\) soit affine. Cela signifie que \(\mathcal{L}\) est ample par définition (Propriétés, Définition 01PS).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(G\) un schéma en groupes localement algébrique sur \(k\). Alors le centre de \(G\) est un sous-schéma en groupes fermé de \(G\).

Démonstration

Notons \(\text{Aut}(G)\) le foncteur contravariant sur la catégorie des schémas sur \(k\) qui associe à \(S/k\) l’ensemble des automorphismes du schéma \(G_S\) obtenu par changement de base, en tant que schéma en groupes sur \(S\). Il existe une transformation naturelle \[G \longrightarrow \text{Aut}(G),\quad g \longmapsto \text{inn}_g\] qui, pour tout \(S\), associe à un point \(g\) de \(G\) à valeurs dans ce schéma l’automorphisme intérieur de \(G\) déterminé par \(g\). Le centre \(C\) de \(G\) est, par définition, le noyau de cette transformation, c’est-à-dire le foncteur qui associe à \(S\) les \(g \in G(S)\) dont l’automorphisme intérieur associé est trivial. L’énoncé du lemme affirme que ce foncteur est représentable par un sous-schéma en groupes fermé de \(G\).

Choisissons un entier \(n \geq 1\). Soit \(G_n \subset G\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de l’élément neutre \(e\) de \(G\). Pour tout schéma \(S/k\), le changement de base \(G_{n, S}\) est le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(e_S : S \to G_S\). Nous voyons ainsi qu’il existe une transformation naturelle \(\text{Aut}(G) \to \text{Aut}(G_n)\), où le membre de droite est le foncteur des automorphismes de \(G_n\) comme schéma (\(G_n\) n’est pas, en général, un schéma en groupes). Observons que \(G_n\) est le spectre d’un anneau local artinien \(A_n\), de corps résiduel \(k\) et de dimension finie comme espace vectoriel sur \(k\) (Variétés, Lemme 06LH). Comme tout automorphisme de \(G_n\) induit en particulier une application linéaire inversible \(A_n \to A_n\), nous obtenons des transformations de foncteurs \[G \to \text{Aut}(G) \to \text{Aut}(G_n) \to \text{GL}(A_n)\] Le dernier foncteur à valeurs dans les groupes est représentable, voir Exemple 022W, et la dernière flèche est manifestement injective. Ainsi, pour tout \(n\), nous obtenons un sous-schéma en groupes fermé \[H_n = \Ker(G \to \text{Aut}(G_n)) = \Ker(G \to \text{GL}(A_n)).\] En première approximation, posons \(H = \bigcap_{n \geq 1} H_n\) (intersection schématique). C’est un sous-schéma en groupes fermé qui contient le centre \(C\).

Soit \(h\) un \(S\)-point de \(H\), où \(S\) est localement noethérien. Alors l’automorphisme \(\text{inn}_h\) induit l’identité sur tous les sous-schémas fermés \(G_{n, S}\). Considérons le noyau \(K = \Ker(\text{inn}_h : G_S \to G_S)\). C’est un sous-schéma en groupes fermé de \(G_S\) sur \(S\) contenant les sous-schémas fermés \(G_{n, S}\) pour \(n \geq 1\). Cela implique que \(K\) contient un voisinage ouvert de \(e(S) \subset G_S\), voir Algèbre, Remarque 00IR. Soit \(G^0 \subset G\) comme dans la proposition 0B7R. Comme \(G^0\) est géométriquement irréductible, nous en concluons que \(K\) contient \(G^0_S\) (pour tout ouvert non vide \(U \subset G^0_{k'}\) et toute extension de corps \(k'/k\), on a \(U \cdot U^{-1} = G^0_{k'}\) ; voir la démonstration du Lemme 0B7P). En appliquant ceci avec \(S = H\), nous constatons que \(G^0\) et \(H\) sont des sous-schémas en groupes de \(G\) dont les points commutent : pour tout schéma \(S\) et tous les points à valeurs dans \(S\), \(g \in G^0(S)\) et \(h \in H(S)\), on a \(gh = hg\) dans \(G(S)\).

Supposons que \(k\) soit algébriquement clos. Nous pouvons alors choisir un point à valeurs dans \(k\), noté \(g_i\), dans chaque composante irréductible \(G_i\) de \(G\). Observons que, dans ce cas, les composantes connexes de \(G\) sont les composantes irréductibles de \(G\), lesquelles sont les translatées de \(G^0\) par nos \(g_i\). Nous affirmons que \[C = H \cap \bigcap\nolimits_i \Ker(\text{inn}_{g_i} : G \to G) \quad (\text{intersection schématique})\] En effet, \(C\) est contenu dans le membre de droite. Réciproquement, tout point à valeurs dans \(S\), noté \(h\), du membre de droite commute avec \(G^0\) et avec les \(g_i\), donc avec tout élément de \(G = \bigcup G^0g_i\).

Le cas d’un corps de base quelconque \(k\) découle du résultat pour la clôture algébrique \(\overline{k}\) par descente. En effet, soit \(A \subset G_{\overline{k}}\) le sous-schéma en groupes fermé représentant le centre de \(G_{\overline{k}}\). Alors on a \[A \times_{\Spec(k)} \Spec(\overline{k}) = \Spec(\overline{k}) \times_{\Spec(k)} A\] comme sous-schémas fermés de \(G_{\overline{k} \otimes_k \overline{k}}\), par fonctorialité du centre. On voit donc que \(A\) descend en un sous-schéma en groupes fermé \(Z \subset G\) d’après Descente, Lemme 03I0 (et Descente, Lemme 02L6). Alors \(Z\) représente \(C\) (nous omettons un petit argument), ce qui achève la démonstration.

Variétés abéliennes

Une excellente référence pour ce sujet est le livre de Mumford sur les variétés abéliennes, voir [AVar]. Nous encourageons le lecteur à le consulter. Il existe de nombreuses définitions équivalentes ; en voici une.

Définition

Soit \(k\) un corps. Une variété abélienne est un schéma en groupes sur \(k\) qui est aussi une variété propre et géométriquement intègre sur \(k\)².

Nous démontrons quelques lemmes sur cette notion, puis nous rassemblons tous les résultats dans la proposition 03RP.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\). Alors \(A\) est projective.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 0BF7 et de Plus sur les morphismes, Lemme 0B45.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\). Pour toute extension de corps \(K/k\), le changement de base \(A_K\) est une variété abélienne sur \(K\).

Démonstration

Démonstration omise. Notons que c’est la raison pour laquelle nous avons exigé que \(A\) soit géométriquement intègre ; sans cette condition, ce lemme (et beaucoup d’autres ci-dessous) serait faux.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\). Alors \(A\) est lisse sur \(k\).

Démonstration

Si \(k\) est parfait, cela résulte du Lemme 047N (caractéristique nulle) et du Lemme 047P (caractéristique positive). Nous pouvons nous ramener à ce cas dans la situation générale par descente de la lissité (Descente, Lemme 02VL) et en passant à la clôture parfaite grâce au Lemme 0BFB.

Lemme

Une variété abélienne est un schéma en groupes commutatif, c’est-à-dire que la loi de groupe est commutative.

Démonstration

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\). D’après le Lemme 0BFB, nous pouvons remplacer \(k\) par sa clôture algébrique. Considérons le morphisme \[h : A \times_k A \longrightarrow A \times_k A,\quad (x, y) \longmapsto (x, xyx^{-1}y^{-1})\] C’est un morphisme au-dessus de \(A\) pour la première projection de chaque côté. Soit \(e \in A(k)\) l’élément neutre. Alors on voit que \(h|_{e \times A}\) est constant de valeur \((e, e)\). D’après Plus sur les morphismes, Lemme 0AH8, il existe un voisinage ouvert \(U \subset A\) de \(e\) tel que \(h|_{U \times A}\) se factorise par un certain \(Z \subset U \times A\) fini sur \(U\). Cela signifie que, pour \(x \in U(k)\), le morphisme \(A \to A\), \(y \mapsto xyx^{-1}y^{-1}\), ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Bien entendu, cela signifie qu’il est constant de valeur \(e\). Ainsi, \((x, y) \mapsto xyx^{-1}y^{-1}\) est constant de valeur \(e\) sur \(U \times A\), ce qui implique que la loi de groupe sur \(A\) est commutative.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_A\)-module inversible. Il existe alors un isomorphisme \[m_{1, 2, 3}^*\mathcal{L} \otimes m_1^*\mathcal{L} \otimes m_2^*\mathcal{L} \otimes m_3^*\mathcal{L} \cong m_{1, 2}^*\mathcal{L} \otimes m_{1, 3}^*\mathcal{L} \otimes m_{2, 3}^*\mathcal{L}\] de modules inversibles sur \(A \times_k A \times_k A\), où \(m_{i_1, \ldots, i_t} : A \times_k A \times_k A \to A\) est le morphisme \((x_1, x_2, x_3) \mapsto \sum x_{i_j}\).

Démonstration

Appliquons le théorème du cube (Plus sur les morphismes, Théorème 0BF4) à la différence \[\mathcal{M} = m_{1, 2, 3}^*\mathcal{L} \otimes m_1^*\mathcal{L} \otimes m_2^*\mathcal{L} \otimes m_3^*\mathcal{L} \otimes m_{1, 2}^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes m_{1, 3}^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes m_{2, 3}^*\mathcal{L}^{\otimes -1}\] Cela s’applique car la restriction de \(\mathcal{M}\) à \(A \times A \times e = A \times A\) est égale à \[n_{1, 2}^*\mathcal{L} \otimes n_1^*\mathcal{L} \otimes n_2^*\mathcal{L} \otimes n_{1, 2}^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes n_1^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \otimes n_2^*\mathcal{L}^{\otimes -1} \cong \mathcal{O}_{A \times_k A}\] où \(n_{i_1, \ldots, i_t} : A \times_k A \to A\) est le morphisme \((x_1, x_2) \mapsto \sum x_{i_j}\). Il en va de même pour \(A \times e \times A\) et \(e \times A \times A\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_A\)-module inversible. Alors \[[n]^*\mathcal{L} \cong \mathcal{L}^{\otimes n(n + 1)/2} \otimes ([-1]^*\mathcal{L})^{\otimes n(n - 1)/2}\] où \([n] : A \to A\) envoie \(x\) sur \(x + x + \ldots + x\), somme de \(n\) termes, et où \([-1] : A \to A\) est l’application d’inversion de \(A\).

Démonstration

Considérons le morphisme \(A \to A \times_k A \times_k A\), \(x \mapsto (x, x, -x)\), où \(-x = [-1](x)\). En prenant l’image réciproque de la relation du Lemme 0BFE, nous obtenons \[\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes [-1]^*\mathcal{L} \cong [2]^*\mathcal{L}\] ce qui démontre le résultat pour \(n = 2\). Supposons par récurrence que le résultat vaille pour \(1, 2, \ldots, n\). Considérons alors le morphisme \(A \to A \times_k A \times_k A\), \(x \mapsto (x, x, [n - 1]x)\). En prenant l’image réciproque de la relation du Lemme 0BFE, nous obtenons \[[n + 1]^*\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes [n - 1]^*\mathcal{L} \cong [2]^*\mathcal{L} \otimes [n]^*\mathcal{L} \otimes [n]^*\mathcal{L}\] et le résultat découle d’un calcul élémentaire.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\). Soit \([d] : A \to A\) la multiplication par \(d\). Alors \([d]\) est fini localement libre de degré \(d^{2\dim(A)}\).

Démonstration

D’après le Lemme 0BFA (et Plus sur les morphismes, Lemme 0B45), on voit que \(A\) possède un module inversible ample \(\mathcal{L}\). Comme \([-1] : A \to A\) est un automorphisme, on voit que \([-1]^*\mathcal{L}\) est lui aussi un \(\mathcal{O}_A\)-module inversible ample. Ainsi, \(\mathcal{N} = \mathcal{L} \otimes [-1]^*\mathcal{L}\) est ample, voir Propriétés, Lemme 0890. Comme \(\mathcal{N} \cong [-1]^*\mathcal{N}\), on voit que \([d]^*\mathcal{N} \cong \mathcal{N}^{\otimes d^2}\) d’après le Lemme 0BFF.

Pour obtenir une contradiction, soit \(C\) une courbe propre contenue dans une fibre de \([d]\). Alors \(\mathcal{N}^{\otimes d^2}|_C \cong \mathcal{O}_C\) est un \(\mathcal{O}_C\)-module inversible ample de degré \(0\), ce qui contredit par exemple Variétés, Lemme 0B5X. (On peut aussi utiliser Variétés, Lemme 0BEV.) Ainsi, toute fibre de \([d]\) est de dimension \(0\), et \([d]\) est donc fini, par exemple d’après Cohomologie des schémas, Lemme 02OG. De plus, comme \(A\) est lisse sur \(k\) d’après le Lemme 0BFC, on voit que \([d] : A \to A\) est plat d’après Algèbre, Lemme 00R4 (on utilise aussi que les schémas lisses sur un corps sont réguliers et que les anneaux réguliers sont des anneaux de Cohen-Macaulay, voir Variétés, lemme 056S et Algèbre, lemme 00NQ). Ainsi, \([d]\) est fini et plat, donc fini localement libre d’après Morphismes, lemme 02KB.

Enfin, venons-en à la formule du degré. D’après Variétés, lemme 0BEX, on voit que \[\deg_{\mathcal{N}^{\otimes d^2}}(A) = \deg([d]) \deg_\mathcal{N}(A)\] Puisque le degré de \(A\) relativement à \(\mathcal{N}^{\otimes d^2}\), respectivement à \(\mathcal{N}\), est le coefficient de \(n^{\dim(A)}\) dans le polynôme \[n \longmapsto \chi(A, \mathcal{N}^{\otimes nd^2}),\quad \text{respectivement}\quad n \longmapsto \chi(A, \mathcal{N}^{\otimes n})\] on voit que \(\deg([d]) = d^{2 \dim(A)}\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une variété abélienne non nulle sur \(k\). Alors \([d] : A \to A\) est étale si et seulement si \(d\) est inversible dans \(k\).

Démonstration

Observons que \([d](x + y) = [d](x) + [d](y)\). Comme la translation par un point est un automorphisme de \(A\), on voit que le lieu où \([d] : A \to A\) est étale est soit vide, soit égal à \(A\) (certains détails sont omis). Il suffit donc de déterminer si \([d]\) est étale en l’élément neutre \(e \in A(k)\). Puisque l’on sait que \([d]\) est fini localement libre (lemme 0BFG), dire qu’il est étale en \(e\) équivaut à montrer que \(\text{d}[d] : T_{A/k, e} \to T_{A/k, e}\) est injective. Voir Variétés, lemme 0B2G et Morphismes, lemme 02GV. Le lemme 0BF5 montre que \(\text{d}[d]\) est donnée par la multiplication par \(d\) sur \(T_{A/k, e}\).

Lemme

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\). Soit \(A\) une variété abélienne de dimension \(g\) sur \(k\). La fibre de \([p] : A \to A\) au-dessus de \(0\) possède au plus \(p^g\) points distincts.

Démonstration

Pour le démontrer, on peut remplacer \(k\) par sa clôture algébrique, ce que l’on fait. D’après le lemme 0BF5, la différentielle de \([p]\) est la multiplication par \(p\) en tant qu’application \(T_{A/k, e} \to T_{A/k, e}\) et est donc nulle (comparer avec la démonstration du lemme 0BFH). Comme \([p]\) commute aux translations, on en conclut que la différentielle de \([p]\) est nulle partout, c’est-à-dire que l’application induite \([p]^*\Omega_{A/k} \to \Omega_{A/k}\) est nulle. En passant aux points génériques, on voit que l’homomorphisme correspondant \([p]^* : k(A) \to k(A)\) entre corps de fonctions induit l’application nulle sur \(\Omega_{k(A)/k}\). Soit \(t_1, \ldots, t_g\) une p-base de \(k(A)\) sur \(k\) (Compléments d’algèbre, définition 07P1 et lemme 07P2). Alors \([p]^*(t_i)\) possède une racine \(p\)-ième d’après Algèbre, lemme 031W. On en conclut que \(k(A)[x_1, \ldots, x_g]/(x_1^p - t_1, \ldots, x_g^p - t_g)\) est une sous-extension de celle définie par \([p]^* : k(A) \to k(A)\). On peut donc trouver un ouvert affine \(U \subset A\) tel que \(t_i \in \mathcal{O}_A(U)\) et \(x_i \in \mathcal{O}_A([p]^{-1}(U))\). On obtient une factorisation \[[p]^{-1}(U) \xrightarrow{\pi_1} \Spec(\mathcal{O}(U)[x_1, \ldots, x_g]/(x_1^p - t_1, \ldots, x_g^p - t_g)) \xrightarrow{\pi_2} U\] de \([p]\) au-dessus de \(U\). Quitte à rétrécir \(U\), on peut supposer que \(\pi_1\) est fini localement libre (par exemple par platitude générique – en fait, il est déjà fini localement libre dans notre cas). D’après le lemme 0BFG, on voit que \([p]\) est de degré \(p^{2g}\). Comme \(\pi_2\) est de degré \(p^g\), on voit que \(\pi_1\) est également de degré \(p^g\). Le morphisme \(\pi_2\) est un homéomorphisme universel ; ses fibres sont donc réduites à un point. On en conclut que les fibres ensemblistes de \([p]^{-1}(U) \to U\) sont les fibres de \(\pi_1\). Elles ont donc au plus \(p^g\) éléments. Comme \([p]\) est un homomorphisme de schémas en groupes sur \(k\), la fibre de \([p] : A(k) \to A(k)\) possède le même cardinal pour tout \(a \in A(k)\), ce qui achève la démonstration.

Proposition

Soit \(A\) une variété abélienne sur un corps \(k\). Alors

1. \(A\) est projective sur \(k\),

2. \(A\) est un schéma en groupes commutatif,

3. le morphisme \([n] : A \to A\) est surjectif pour tout \(n \geq 1\),

4. si \(k\) est algébriquement clos, alors \(A(k)\) est un groupe abélien divisible,

5. \(A[n] = \Ker([n] : A \to A)\) est un schéma en groupes fini de degré \(n^{2\dim A}\) sur \(k\),

6. \(A[n]\) est étale sur \(k\) si et seulement si \(n \in k^*\),

7. si \(n \in k^*\) et si \(k\) est algébriquement clos, alors \(A(k)[n] \cong (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^{\oplus 2\dim(A)}\),

8. si \(k\) est algébriquement clos de caractéristique \(p > 0\), alors il existe un entier \(0 \leq f \leq \dim(A)\) tel que \(A(k)[p^m] \cong (\mathbf{Z}/p^m\mathbf{Z})^{\oplus f}\) pour tout \(m \geq 1\).

Démonstration

L’assertion (1) découle du lemme 0BFA. L’assertion (2) découle du lemme 0BFD. L’assertion (3) découle du lemme 0BFG. Si \(k\) est algébriquement clos, les morphismes surjectifs de variétés sur \(k\) induisent des applications surjectives sur les points \(k\)-rationnels, donc (4) découle de (3). L’assertion (5) découle du lemme 0BFG et du fait qu’un changement de base d’un morphisme fini localement libre de degré \(N\) est un morphisme fini localement libre de degré \(N\). L’assertion (6) découle du lemme 0BFH. En effet, si \(n\) est inversible dans \(k\), alors \([n]\) est étale et donc \(A[n]\) est étale sur \(k\). D’autre part, si \(n\) n’est pas inversible dans \(k\), alors \([n]\) n’est pas étale en \(e\) et il en résulte que \(A[n]\) n’est pas étale sur \(k\) en \(e\) (utiliser Morphismes, lemmes 02GV et 0475).

Supposons \(k\) algébriquement clos. Posons \(g = \dim(A)\). Démonstration de (7). Soit \(\ell\) un nombre premier inversible dans \(k\). On voit alors que \[A[\ell](k) = A(k)[\ell]\] est un groupe abélien fini, annulé par \(\ell\), d’ordre \(\ell^{2g}\). Il s’ensuit qu’il est isomorphe à \((\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z})^{2g}\) d’après le théorème de structure des groupes abéliens finis. Considérons ensuite la suite exacte courte \[0 \to A(k)[\ell] \to A(k)[\ell^2] \xrightarrow{\ell} A(k)[\ell] \to 0\] En raisonnant de la même manière que ci-dessus, nous concluons que \(A(k)[\ell^2] \cong (\mathbf{Z}/\ell^2\mathbf{Z})^{2g}\). Par récurrence sur l’exposant, nous obtenons \(A(k)[\ell^m] \cong (\mathbf{Z}/\ell^m\mathbf{Z})^{2g}\). Pour les entiers composés \(n\) premiers à la caractéristique de \(k\), nous considérons les composantes primaires et obtenons la forme correcte de la \(n\)-torsion de \(A(k)\). La démonstration de (8) procède exactement de la même manière, en utilisant que le lemme 0C0Y donne \(A(k)[p] \cong (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^{\oplus f}\) pour un certain \(0 \leq f \leq g\).

Remarque

Soit \(k\) un corps. Il existe \(2 \times 4 \times 2 = 16\) définitions équivalentes des variétés abéliennes. Soient

• projectif, propre,

• géométriquement irréductible, irréductible, géométriquement connexe, connexe,

• lisse, géométriquement réduit

trois ensembles de propriétés ; choisissons-en une dans chacun d’eux, et soit \(A\) un schéma en groupes sur \(k\) possédant les propriétés choisies sur \(k\). Alors \(A\) est une variété abélienne. Si nous choisissons « propre, géométriquement irréductible, géométriquement réduit », nous retrouvons la définition 03RO (utiliser Variétés, lemme 038K). Les choix les plus faibles possibles seraient « propre, connexe et géométriquement réduit », voir par exemple Morphismes, lemme 01WC et Variétés, lemme 056T. Supposons donc que \(A\) soit un schéma en groupes propre, connexe et géométriquement réduit sur \(k\). Alors \(A\) est géométriquement irréductible d’après les lemmes 0B7Q et 047M, et est donc une variété abélienne. Enfin, si \(A/k\) est une variété abélienne, alors elle est projective et lisse sur \(k\) (proposition 03RP) ; elle satisfait donc les choix les plus forts possibles « projectif, géométriquement irréductible, lisse ».

Actions de schémas en groupes

Soient \((G, m)\) un groupe et \(V\) un ensemble. Rappelons qu’une action (à gauche) de \(G\) sur \(V\) est donnée par une application \(a : G \times V \to V\) telle que

1. (associativité) \(a(m(g, g'), v) = a(g, a(g', v))\) pour tous \(g, g' \in G\) et \(v \in V\), et

2. (élément neutre) \(a(e, v) = v\) pour tout \(v \in V\).

On dit également que \(V\) est un \(G\)-ensemble (cela signifie en général que nous omettons \(a\) de la notation — ce qui constitue un abus de notation). Un morphisme de \(G\)-ensembles \(\psi : V \to V'\) est une application telle que \(\psi(a(g, v)) = a(g, \psi(v))\) pour tout \(v \in V\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(S\).

1. Une action de \(G\) sur le schéma \(X/S\) est un morphisme \(a : G \times_S X \to X\) sur \(S\) tel que pour tout \(T/S\), l’application \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\) définit la structure d’un \(G(T)\)-ensemble sur \(X(T)\).

2. Supposons que \(X\), \(Y\) soient des schémas sur \(S\), chacun muni d’une action de \(G\). Un morphisme équivariant, ou plus précisément un morphisme \(G\)-équivariant \(\psi : X \to Y\), est un morphisme de schémas sur \(S\) tel que pour tout \(T/S\), l’application \(\psi : X(T) \to Y(T)\) soit un morphisme de \(G(T)\)-ensembles.

Dans la situation (1), cela signifie que les diagrammes [03LD]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ G \times_S G \times_S X \ar[r]_-{1_G \times a} \ar[d]_{m \times 1_X} & G \times_S X \ar[d]^a \\ G \times_S X \ar[r]^a & X } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ G \times_S X \ar[r]_-a & X \\ X\ar[u]^{e \times 1_X} \ar[ru]_{1_X} } } \end{equation}\] sont commutatifs. Dans la situation (2), cela signifie simplement que le diagramme \[\xymatrix{ G \times_S X \ar[r]_-{\text{id} \times \psi} \ar[d]_a & G \times_S Y \ar[d]^a \\ X \ar[r]^\psi & Y }\] est commutatif.

Définition

Soient \(S\), \(G \to S\) et \(X \to S\) comme dans la définition 022Z. Soit \(a : G \times_S X \to X\) une action de \(G\) sur \(X/S\). Nous disons que l’action est libre si, pour tout schéma \(T\) sur \(S\), l’action \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\) est une action libre du groupe \(G(T)\) sur l’ensemble \(X(T)\).

Lemme

Dans la situation de la définition 07S1, l’action \(a\) est libre si et seulement si \[G \times_S X \to X \times_S X, \quad (g, x) \mapsto (a(g, x), x)\] est un monomorphisme.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Torseurs et espaces homogènes principaux

Dans Cohomologie sur les sites, définition 03AH, nous avons défini un torseur sous un faisceau de groupes sur un site. Supposons que \(\tau \in\allowbreak \{Zariski,\allowbreak \etale,\allowbreak smooth,\allowbreak syntomic,\allowbreak fppf\}\) soit une topologie et que \((G, m)\) soit un schéma en groupes sur \(S\). Puisque \(\tau\) est plus fine que la topologie canonique (voir Descente, lemme 023Q), nous voyons que \(\underline{G}\) (voir Sites, définition 00WR) est un faisceau de groupes sur \((\Sch/S)_\tau\). Nous savons donc déjà ce que signifie être un torseur sous \(\underline{G}\) sur \((\Sch/S)_\tau\). Une situation particulière se présente lorsque ce faisceau est représentable. Dans les définitions suivantes, nous définissons directement ce que signifie, pour le schéma qui le représente, être un torseur sous \(G\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(S\). Soit \(X\) un schéma sur \(S\), et soit \(a : G \times_S X \to X\) une action de \(G\) sur \(X\).

1. Nous disons que \(X\) est un pseudo-torseur sous \(G\) ou que \(X\) est formellement homogène principal sous \(G\) si le morphisme induit de schémas \(G \times_S X \to X \times_S X\), \((g, x) \mapsto (a(g, x), x)\) est un isomorphisme de schémas sur \(S\).

2. Un pseudo-torseur \(X\) sous \(G\) est dit trivial s’il existe un isomorphisme \(G\)-équivariant \(G \to X\) sur \(S\), où \(G\) agit sur \(G\) par multiplication à gauche.

Il est clair que, si \(S' \to S\) est un morphisme de schémas, alors le changement de base \(X_{S'}\) d’un pseudo-torseur sous \(G\) sur \(S\) est un pseudo-torseur sous \(G_{S'}\) sur \(S'\).

Lemme

Dans la situation de la définition 0498.

1. Le schéma \(X\) est un pseudo-torseur sous \(G\) si et seulement si, pour tout schéma \(T\) sur \(S\), l’ensemble \(X(T)\) est vide ou l’action du groupe \(G(T)\) sur \(X(T)\) est simplement transitive.

2. Un pseudo-torseur \(X\) sous \(G\) est trivial si et seulement si le morphisme \(X \to S\) possède une section.

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(S\). Soit \(X\) un pseudo-torseur sous \(G\) sur \(S\).

1. Nous disons que \(X\) est un espace homogène principal ou un torseur sous \(G\) s’il existe un recouvrement fpqc³ \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) tel que chaque \(X_{S_i} \to S_i\) possède une section (c’est-à-dire qu’il est un pseudo-torseur trivial sous \(G_{S_i}\)).

2. Soit \(\tau \in\allowbreak \{Zariski,\allowbreak \etale,\allowbreak smooth,\allowbreak syntomic,\allowbreak fppf\}\). Nous disons que \(X\) est un torseur sous \(G\) pour la topologie \(\tau\), ou un \(\tau\)-torseur sous \(G\), ou simplement un \(\tau\)-torseur, s’il existe un recouvrement \(\tau\) \(\{S_i \to S\}_{i \in I}\) tel que chaque \(X_{S_i} \to S_i\) possède une section.

3. Si \(X\) est un torseur sous \(G\), nous disons qu’il est quasi-isotrivial s’il est un torseur pour la topologie étale.

4. Si \(X\) est un torseur sous \(G\), nous disons qu’il est localement trivial s’il est un torseur pour la topologie de Zariski.

Nous disons parfois « soit \(X\) un torseur sous \(G\) sur \(S\) » pour indiquer que \(X\) est un schéma sur \(S\) muni d’une action de \(G\) qui en fait un espace homogène principal sur \(S\). Montrons maintenant que cela concorde avec la terminologie introduite plus haut lorsque les deux s’appliquent.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(S\). Soit \(X\) un schéma sur \(S\), et soit \(a : G \times_S X \to X\) une action de \(G\) sur \(X\). Soit \(\tau \in\allowbreak \{Zariski,\allowbreak \etale,\allowbreak smooth,\allowbreak syntomic,\allowbreak fppf\}\). Alors \(X\) est un torseur sous \(G\) pour la topologie \(\tau\) si et seulement si \(\underline{X}\) est un torseur sous \(\underline{G}\) sur \((\Sch/S)_\tau\).

Démonstration

Démonstration omise.

Remarque

Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur le schéma \(S\). Dans cette situation, les types naturels de questions suivants se posent :

1. Si \(X \to S\) est un pseudo-torseur sous \(G\) et si \(X \to S\) est surjectif, alors \(X\) est-il nécessairement un torseur sous \(G\) ?

2. Tout torseur sous \(\underline{G}\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) est-il représentable ? Autrement dit, tout torseur sous \(\underline{G}\) provient-il d’un torseur fppf sous \(G\) ?

3. Tout torseur sous \(G\) est-il un torseur fppf (resp. lisse, resp. étale, resp. de Zariski) ?

En général, les réponses à ces questions sont négatives. Pour obtenir une réponse positive, nous devons imposer des conditions supplémentaires à \(G \to S\). Par exemple : si \(S\) est le spectre d’un corps, alors la réponse à (1) est affirmative car \(\{X \to S\}\) est alors un recouvrement fpqc qui trivialise \(X\). Si \(G \to S\) est affine, alors la réponse à (2) est affirmative (cela résulte de Descente, lemme 0245). Si \(G = \text{GL}_{n, S}\), alors la réponse à (3) est affirmative et, en fait, tout torseur sous \(\text{GL}_{n, S}\) est localement trivial (cela résulte de Descente, lemme 05B2).

Faisceaux quasi-cohérents équivariants

Nous considérons les « fonctions » comme duales de l’« espace ». Ainsi, pour un morphisme d’espaces, l’application induite sur les fonctions va dans le sens opposé. De plus, nous considérons les sections d’un faisceau de modules comme des « fonctions ». Cela nous conduit naturellement au sens des flèches choisi dans la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma, soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(S\), et soit \(a : G \times_S X \to X\) une action du schéma en groupes \(G\) sur \(X/S\). Un module \(G\)-équivariant quasi-cohérent sur \(\mathcal{O}_X\), ou simplement un module quasi-cohérent équivariant sur \(\mathcal{O}_X\), est une paire \((\mathcal{F}, \alpha)\), où \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent sur \(\mathcal{O}_X\), et \(\alpha\) est un morphisme de \(\mathcal{O}_{G \times_S X}\)-modules donné par \[\alpha : a^*\mathcal{F} \longrightarrow \text{pr}_1^*\mathcal{F}\] où \(\text{pr}_1 : G \times_S X \to X\) est la projection, tel que

1. le diagramme \[\xymatrix{ (1_G \times a)^*\text{pr}_1^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_{12}^*\alpha} & \text{pr}_2^*\mathcal{F} \\ (1_G \times a)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]^{(1_G \times a)^*\alpha} \ar@{=}[r] & (m \times 1_X)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]_{(m \times 1_X)^*\alpha} }\] soit commutatif dans la catégorie des \(\mathcal{O}_{G \times_S G \times_S X}\)-modules, et

2. le tiré en arrière \[(e \times 1_X)^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] soit l’identité.

Pour une explication, comparer avec les diagrammes correspondants de l’équation (03LD).

Notons que la commutativité du premier diagramme garantit que \((e \times 1_X)^*\alpha\) est un endomorphisme idempotent de \(\mathcal{F}\), de sorte que la condition (2) signifie simplement que c’est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(G\) un schéma en groupes sur \(S\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme \(G\)-équivariant entre des \(S\)-schémas munis d’actions de \(G\). La règle \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, (1_G \times f)^*\alpha)\) définit un foncteur de la catégorie des modules quasi-cohérents \(G\)-équivariants sur \(\mathcal{O}_X\) vers la catégorie des modules quasi-cohérents \(G\)-équivariants sur \(\mathcal{O}_Y\).

Démonstration

Démonstration omise.

Donnons un exemple.

Exemple

Soit \(A\) un anneau \(\mathbf{Z}\)-gradué, c’est-à-dire que \(A\) est muni d’une décomposition en somme directe \(A = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} A_n\) et que \(A_n \cdot A_m \subset A_{n + m}\). Posons \(X = \Spec(A)\). Nous obtenons alors une action de \(\mathbf{G}_m\) \[a : \mathbf{G}_m \times X \longrightarrow X\] à partir de l’homomorphisme d’anneaux \(\mu : A \to A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}]\), \(f \mapsto f \otimes x^{\deg(f)}\). En effet, pour le vérifier, nous devons vérifier que \[\xymatrix{ A \ar[r]_\mu \ar[d]_\mu & A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \ar[d]^{\mu \otimes 1} \\ A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \ar[r]^-{1 \otimes m} & A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] }\] où \(m(x) = x \otimes x\), voir l’exemple 022U. Cela est immédiatement clair en évaluant sur un élément homogène. Supposons que \(M\) soit un \(A\)-module gradué. Nous obtenons alors un module quasi-cohérent \(\mathbf{G}_m\)-équivariant sur \(\mathcal{O}_X\) \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) en prenant \(\alpha\) comme dans la définition 03LF, correspondant au morphisme de \(A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}]\)-modules \[M \otimes_{A, \mu} (A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}]) \longrightarrow M \otimes_{A, \text{id}_A \otimes 1} (A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}])\] qui envoie \(m \otimes 1 \otimes 1\) sur \(m \otimes 1 \otimes x^{\deg(m)}\) pour \(m \in M\) homogène.

Lemme

Soit \(a : \mathbf{G}_m \times X \to X\) une action sur un schéma affine. Alors \(X\) est le spectre d’un anneau \(\mathbf{Z}\)-gradué et l’action est celle de l’exemple 0EKJ.

Démonstration

Soit \(f \in A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Alors nous pouvons écrire \[a^\sharp(f) = \sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} f_n \otimes x^n \quad\text{dans}\quad A \otimes \mathbf{Z}[x, x^{-1}] = \Gamma(\mathbf{G}_m \times X, \mathcal{O}_{\mathbf{G}_m \times X})\] sous la forme d’une somme finie, les \(f_n\) de \(A\) étant déterminés de façon unique. Nous obtenons ainsi des applications \(A \to A\), \(f \mapsto f_n\). Puisque \(a\) est une action, en évaluant en \(x = 1\), nous obtenons \(f = \sum f_n\). Puisque \(a\) est une action, nous trouvons que \[\sum (f_n)_m \otimes x^m \otimes x^n = \sum f_n x^n \otimes x^n\] (comparer avec le calcul de l’exemple 0EKJ). Ainsi \((f_n)_m = 0\) si \(n \not = m\) et \((f_n)_n = f_n\). Ainsi, si nous posons \[A_n = \{f \in A \mid f_n = f\}\] alors nous obtenons \(A = \sum A_n\). En revanche, la somme est nécessairement directe puisque \(f = 0\) implique \(f_n = 0\) dans la situation ci-dessus.

Lemme

Soit \(A\) un anneau gradué. Soit \(X = \Spec(A)\) muni de l’action \(a : \mathbf{G}_m \times X \to X\) de l’exemple 0EKJ. Soit \(\mathcal{F}\) un module quasi-cohérent \(\mathbf{G}_m\)-équivariant sur \(\mathcal{O}_X\). Alors \(M = \Gamma(X, \mathcal{F})\) possède une graduation canonique qui en fait un \(A\)-module gradué et telle que l’isomorphisme \(\widetilde{M} \to \mathcal{F}\) (Schémas, lemme 01IA) soit un isomorphisme de modules \(\mathbf{G}_m\)-équivariants, où la structure \(\mathbf{G}_m\)-équivariante sur \(\widetilde{M}\) est celle de l’exemple 0EKJ.

Démonstration

On peut soit démontrer ceci en répétant les arguments du lemme 0EKK pour le module \(M\). On peut aussi considérer le schéma \((X', \mathcal{O}_{X'}) = (X, \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F})\), où \(\mathcal{F}\) est considéré comme un idéal de carré nul. Il existe une action naturelle \(a' : \mathbf{G}_m \times X' \to X'\) définie à l’aide de l’action sur \(X\) et sur \(\mathcal{F}\). Appliquons alors le lemme 0EKK à \(X'\) et concluons. (L’intérêt de cet argument est qu’il montre immédiatement que les graduations de \(A\) et de \(M\) sont compatibles, c’est-à-dire que \(M\) est un \(A\)-module gradué.) Détails omis.

Groupoïdes

Rappelons qu’un groupoïde est une catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme ; voir Catégories, définition 0018. Ainsi, un groupoïde possède un ensemble d’objets \(\text{Ob}\), un ensemble de flèches \(\text{Arrows}\), des applications source et but \(s, t : \text{Arrows} \to \text{Ob}\), ainsi qu’une loi de composition \(c : \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \to \text{Arrows}\). Ces applications satisfont exactement aux axiomes suivants :

1. (associativité) \(c \circ (1, c) = c \circ (c, 1)\) comme applications \(\text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \to \text{Arrows}\),

2. (identité) il existe une application \(e : \text{Ob} \to \text{Arrows}\) telle que

   1. \(s \circ e = t \circ e = \text{id}\) comme applications \(\text{Ob} \to \text{Ob}\),

   2. \(c \circ (1, e \circ s) = c \circ (e \circ t, 1) = 1\) comme applications \(\text{Arrows} \to \text{Arrows}\),

3. (inverse) il existe une application \(i : \text{Arrows} \to \text{Arrows}\) telle que

   1. \(s \circ i = t\), \(t \circ i = s\) comme applications \(\text{Arrows} \to \text{Ob}\), et

   2. \(c \circ (1, i) = e \circ t\) et \(c \circ (i, 1) = e \circ s\) comme applications \(\text{Arrows} \to \text{Arrows}\).

Dans ce cas, les applications \(e\) et \(i\) sont déterminées de manière unique et \(i\) est une bijection. Notons que si \((\text{Ob}', \text{Arrows}', s', t', c')\) est une seconde catégorie groupoïde, alors un foncteur \(f : (\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c) \to (\text{Ob}', \text{Arrows}', s', t', c')\) est défini par un couple d’applications d’ensembles \(f : \text{Ob} \to \text{Ob}'\) et \(f : \text{Arrows} \to \text{Arrows}'\) telles que \(s' \circ f = f \circ s\), \(t' \circ f = f \circ t\) et \(c' \circ (f, f) = f \circ c\). La compatibilité avec l’identité et l’inverse est automatique. Nous utiliserons ce fait ci-dessous. (Attention : la compatibilité avec l’identité doit être imposée dans le cas des catégories générales.)

Définition

Soit \(S\) un schéma.

1. Un schéma en groupoïdes sur \(S\), ou simplement un groupoïde sur \(S\), est un quintuplet \((U, R, s, t, c)\), où \(U\) et \(R\) sont des schémas sur \(S\) et \(s, t : R \to U\) et \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) sont des morphismes de schémas sur \(S\) ayant la propriété suivante : pour tout schéma \(T\) sur \(S\), le quintuplet \[(U(T), R(T), s, t, c)\] est une catégorie groupoïde au sens décrit ci-dessus.

2. Un morphisme \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\) de schémas en groupoïdes sur \(S\) est défini par des morphismes de schémas \(f : U \to U'\) et \(f : R \to R'\) ayant la propriété suivante : pour tout schéma \(T\) sur \(S\), les applications \(f\) définissent un foncteur de la catégorie groupoïde \((U(T), R(T), s, t, c)\) vers la catégorie groupoïde \((U'(T), R'(T), s', t', c')\).

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\). Notons que, d’après les remarques précédant la définition et le lemme de Yoneda, il existe d’uniques morphismes de schémas \(e : U \to R\) et \(i : R \to R\) sur \(S\) tels que, pour tout schéma \(T\) sur \(S\), l’application induite \(e : U(T) \to R(T)\) soit l’application des identités et que \(i : R(T) \to R(T)\) soit l’application des inverses de la catégorie groupoïde. Le septuplet \((U, R, s, t, c, e, i)\) satisfait aux diagrammes commutatifs correspondant à chacun des axiomes (1), (2)(a), (2)(b), (3)(a) et (3)(b) ci-dessus et, réciproquement, étant donné un septuplet ayant cette propriété, le quintuplet \((U, R, s, t, c)\) est un schéma en groupoïdes. Notons que \(i\) est un isomorphisme et que \(e\) est une section à la fois de \(s\) et de \(t\). En outre, étant donné un schéma en groupoïdes sur \(S\), on note \[j = (t, s) : R \longrightarrow U \times_S U\] ce qui est compatible avec nos conventions de la section 022O ci-dessus. On dit parfois « soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un groupoïde sur \(S\) » pour souligner l’existence des identités et des inverses.

Lemme

Étant donné un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) sur \(S\), le morphisme \(j : R \to U \times_S U\) est une prérelation d’équivalence.

Démonstration

La preuve est omise. C’est un joli exercice sur les définitions.

Lemme

Étant donné une relation d’équivalence \(j : R \to U \times_S U\) sur \(S\), il existe une unique manière de l’étendre en un groupoïde \((U, R, s, t, c)\) sur \(S\).

Démonstration

La preuve est omise. C’est un joli exercice sur les définitions.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\). Dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U }\] les deux carrés inférieurs sont des carrés cartésiens. De plus, le triangle supérieur (qui est en réalité un carré) est lui aussi cartésien.

Démonstration

La preuve est omise. C’est un exercice sur les définitions et le point de vue fonctoriel en géométrie algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un groupoïde sur \(S\). Le diagramme [03C7]\[\begin{equation} \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{(\text{pr}_0, c \circ (i, 1))} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } \end{equation}\] est commutatif. Les deux lignes supérieures sont isomorphes au moyen des applications verticales indiquées. Les deux carrés inférieurs de gauche sont cartésiens.

Démonstration

La commutativité du diagramme résulte des axiomes d’un groupoïde. Notons qu’en termes de groupoïdes, la flèche verticale supérieure gauche associe à une paire de morphismes \((\alpha, \beta)\) de même but la paire de morphismes \((\alpha, \alpha^{-1} \circ \beta)\). Dans tout groupoïde, ceci définit une bijection entre \(\text{Arrows} \times_{t, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\) et \(\text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\). D’où la deuxième assertion du lemme. La dernière assertion résulte du lemme 02YE.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur le schéma \(S\). Soit \(S' \to S\) un morphisme. Alors les changements de base \(U' = S' \times_S U\), \(R' = S' \times_S R\), munis des changements de base \(s'\), \(t'\), \(c'\) des morphismes \(s, t, c\), forment un schéma en groupoïdes \((U', R', s', t', c')\) sur \(S'\), et les projections déterminent un morphisme \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) de schémas en groupoïdes sur \(S\).

Démonstration

La preuve est omise. Indication : \(R' \times_{s', U', t'} R' = S' \times_S (R \times_{s, U, t} R)\).

Faisceaux quasi-cohérents sur les groupoïdes

Voir l’introduction de la section 03LE pour nos choix concernant le sens des flèches.

Définition

Soit \(S\) un schéma et soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Un module quasi-cohérent sur \((U, R, s, t, c)\) est une paire \((\mathcal{F}, \alpha)\), où \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent, et \(\alpha\) est un homomorphisme de \(\mathcal{O}_R\)-modules donné par \[\alpha : t^*\mathcal{F} \longrightarrow s^*\mathcal{F}\] tel que

1. le diagramme \[\xymatrix{ & \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_1^*\alpha} & \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[rd] & \\ \text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[ru] & & & c^*s^*\mathcal{F} \\ & \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \ar[lu]^{\text{pr}_0^*\alpha} \ar@{=}[r] & c^*t^*\mathcal{F} \ar[ru]_{c^*\alpha} }\] soit commutatif dans la catégorie des \(\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}\)-modules, et

2. l’image inverse \[e^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] soit l’identité.

Comparer avec les diagrammes commutatifs du lemme 02YE.

La commutativité du premier diagramme force l’opérateur \(e^*\alpha\) à être idempotent. La seconde condition peut donc être reformulée en disant que \(e^*\alpha\) est un isomorphisme. En fait, cette condition implique que \(\alpha\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Si \((\mathcal{F}, \alpha)\) est un module quasi-cohérent sur \((U, R, s, t, c)\), alors \(\alpha\) est un isomorphisme.

Démonstration

Prenons l’image inverse du diagramme commutatif de la définition 03LI par le morphisme \((i, 1) : R \to R \times_{s, U, t} R\). On voit alors que \(i^*\alpha \circ \alpha = s^*e^*\alpha\). En prenant l’image inverse par le morphisme \((1, i)\), on obtient la relation \(\alpha \circ i^*\alpha = t^*e^*\alpha\). D’après la seconde hypothèse, ces morphismes sont l’identité. Ainsi, \(i^*\alpha\) est un inverse de \(\alpha\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un morphisme \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\) de schémas en groupoïdes sur \(S\). Alors l’image inverse \(f^*\) donnée par \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, f^*\alpha)\] définit un foncteur de la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \((U', R', s', t', c')\) vers la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\).

Démonstration

La preuve est omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un morphisme \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\) de schémas en groupoïdes sur \(S\). Supposons que

1. \(f : U \to U'\) soit quasi-compact et quasi-séparé,

2. le carré \[\xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] soit cartésien, et

3. \(s'\) et \(t'\) soient plats.

Alors l’image directe \(f_*\) donnée par \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f_*\mathcal{F}, f_*\alpha)\] définit un foncteur de la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\) vers la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur \((U', R', s', t', c')\), adjoint à droite de l’image inverse définie dans le lemme 03LJ.

Démonstration

Puisque \(U \to U'\) est quasi-compact et quasi-séparé, on voit que \(f_*\) transforme les faisceaux quasi-cohérents en faisceaux quasi-cohérents (Schémas, lemme 01LC). De plus, puisque les carrés \[\vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' } }\] sont cartésiens, on obtient \((t')^*f_*\mathcal{F} = f_*t^*\mathcal{F}\) et \((s')^*f_*\mathcal{F} = f_*s^*\mathcal{F}\), voir Cohomologie des schémas, lemme 02KH. Il est donc légitime de considérer \(f_*\alpha\) comme un homomorphisme \((t')^*f_*\mathcal{F} \to (s')^*f_*\mathcal{F}\). Un argument semblable montre que \(f_*\alpha\) satisfait à la condition de cocycle. Ce foncteur est adjoint au foncteur image inverse, car les foncteurs image inverse et image directe sur les modules d’espaces annelés sont adjoints. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). La catégorie des modules quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\) admet des colimites.

Démonstration

Soit \(i \mapsto (\mathcal{F}_i, \alpha_i)\) un diagramme sur la catégorie d’indices \(\mathcal{I}\). On peut former la colimite \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\), qui est un faisceau quasi-cohérent sur \(U\), voir Schémas, section 01LA. Puisque l’image inverse commute aux colimites, on a \(s^*\mathcal{F} = \colim s^*\mathcal{F}_i\) et, de même, \(t^*\mathcal{F} = \colim t^*\mathcal{F}_i\). On peut donc poser \(\alpha = \colim \alpha_i\). Nous omettons la preuve que \((\mathcal{F}, \alpha)\) est la colimite du diagramme dans la catégorie des modules quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Si \(s\) et \(t\) sont plats, alors la catégorie des modules quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\) est abélienne.

Démonstration

Soit \(\varphi : (\mathcal{F}, \alpha) \to (\mathcal{G}, \beta)\) un homomorphisme de modules quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\). Puisque \(s\) est plat, on voit que \[0 \to s^*\Ker(\varphi) \to s^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{G} \to s^*\Coker(\varphi) \to 0\] est exacte, de même que son analogue obtenu après image inverse par \(t\). Ainsi, \(\alpha\) et \(\beta\) induisent des isomorphismes \(\kappa : t^*\Ker(\varphi) \to s^*\Ker(\varphi)\) et \(\lambda : t^*\Coker(\varphi) \to s^*\Coker(\varphi)\) qui satisfont à la condition de cocycle. Il est alors immédiat de vérifier que \((\Ker(\varphi), \kappa)\) et \((\Coker(\varphi), \lambda)\) sont respectivement un noyau et un conoyau dans la catégorie des modules quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\). En outre, la relation \(\Coim(\varphi) = \Im(\varphi)\) résulte du fait qu’elle est satisfaite sur \(U\).

Colimites de modules quasi-cohérents

Dans cette section, nous démontrons quelques résultats techniques affirmant que, sous des hypothèses convenables, tout module quasi-cohérent sur un groupoïde est une colimite filtrante de « petits » modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(s, t\) soient plats, quasi-compacts et quasi-séparés. Pour tout module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(U\), il existe un isomorphisme canonique \(\alpha : t^*s_*t^*\mathcal{G} \to s^*s_*t^*\mathcal{G}\) qui fait de \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\) un module quasi-cohérent sur \((U, R, s, t, c)\). Cette construction définit un foncteur \[\QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(U, R, s, t, c)\] qui est adjoint à droite du foncteur d’oubli \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\).

Démonstration

L’image directe d’un module quasi-cohérent par un morphisme quasi-compact et quasi-séparé est quasi-cohérente, voir Schémas, lemme 01LC. Ainsi, \(s_*t^*\mathcal{G}\) est quasi-cohérent. Avec les notations du lemme 02YE, on a \[t^*s_*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}\text{pr}_0^*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}c^*t^*\mathcal{G} = s^*s_*t^*\mathcal{G}\] L’égalité du milieu vient de ce que \(t \circ c = t \circ \text{pr}_0\) comme morphismes \(R \times_{s, U, t} R \to U\), tandis que les première et dernière égalités viennent de ce que l’on sait que le changement de base et l’image directe commutent à ces étapes, d’après Cohomologie des schémas, lemme 02KH.

Pour vérifier la condition de cocycle de la définition 03LI pour \(\alpha\), ainsi que la propriété d’adjonction, décrivons la construction \(\mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\) d’une autre manière. Considérons le schéma en groupoïdes \((R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_{02})\) associé à la relation d’équivalence \(R \times_{t, U, t} R\) sur \(R\), voir le lemme 0233. Il existe un morphisme \[f : (R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02}) \longrightarrow (U, R, s, t, c)\] de schémas en groupoïdes donné par \(s : R \to U\) et par l’application \(R \times_{t, U, t} R \to R\) qui est définie par \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\) ; nous omettons la vérification de la commutativité des diagrammes voulus. Puisque \(t, s : R \to U\) sont quasi-compacts, quasi-séparés et plats, et puisque l’on a un carré cartésien \[\xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar[d]_{\text{pr}_0} \ar[rr]_-{(r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1} & & R \ar[d]^t \\ R \ar[rr]^s & & U }\] Le lemme 03C6 montre que ce carré est cartésien ; par conséquent, le lemme 09VH s’applique à \(f\). Ainsi, les foncteurs image directe et image inverse des modules quasi-cohérents associés à \(f\) sont adjoints. Pour terminer la preuve, nous allons identifier ces foncteurs aux foncteurs décrits ci-dessus. Pour cela, notons que \[t^* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\] est une équivalence d’après la théorie de la descente des faisceaux quasi-cohérents, car \(\{t : R \to U\}\) est un recouvrement fpqc, voir Descente, proposition 023T.

L’image directe par \(f\), précomposée par l’équivalence \(t^*\), envoie \(\mathcal{G}\) sur \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\) ; nous omettons la vérification que l’isomorphisme \(\alpha\) obtenu de cette manière est le même que celui construit ci-dessus.

L’image inverse par \(f\), postcomposée par l’inverse de l’équivalence \(t^*\), envoie \((\mathcal{F}, \beta)\) sur la descente relativement à \(\{t : R \to U\}\) du module \(s^*\mathcal{F}\) muni de la donnée de descente \(\gamma\) sur \(R \times_{t, U, t} R\), cette donnée étant l’image inverse de \(\beta\) par \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\). Considérons l’isomorphisme \(\beta : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\). La donnée de descente canonique (Descente, définition 023D) sur \(t^*\mathcal{F}\) relativement à \(\{t : R \to U\}\) se traduit, via \(\beta\), par l’application \[\text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\beta^{-1}} \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{can} \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_1^*\beta} \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F}\] Puisque \(\beta\) satisfait à la condition de cocycle, cette application est égale à l’image inverse de \(\beta\) par \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\). Pour le voir, prenons la relation de cocycle proprement dite dans la définition 03LI et prenons son image inverse par le morphisme \((\text{pr}_0, c \circ (i, 1)) : R \times_{t, U, t} R \to R \times_{s, U, t} R\) qui intervient également dans le diagramme commutatif du lemme 03C6. Il en résulte que \((s^*\mathcal{F}, \gamma)\) est isomorphe à \((t^*\mathcal{F}, can)\). En définitive, nous concluons que l’image inverse par \(f\), postcomposée par l’inverse de l’équivalence \(t^*\), est isomorphe au foncteur d’oubli \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\).

Remarque

Dans la situation du lemme 07TR, notons \[F : \QCoh(U, R, s, t, c) \to \QCoh(\mathcal{O}_U),\quad (\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\] le foncteur d’oubli, et notons \[G : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(U, R, s, t, c),\quad \mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\] l’adjoint à droite construit dans le lemme. Alors l’unité \(\eta : \text{id} \to G \circ F\) de l’adjonction, évaluée en \((\mathcal{F}, \beta)\), est donnée par l’application \[\mathcal{F} \to s_*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta^{-1}} s_*t^*\mathcal{F}\] Nous omettons la vérification.

Lemme

Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent et soit \(\varphi : \mathcal{G} \to f^*\mathcal{F}\) un homomorphisme de modules. Supposons que

1. \(\varphi\) soit injectif,

2. \(f\) soit quasi-compact, quasi-séparé, plat et surjectif,

3. \(X\) et \(Y\) soient localement noethériens, et

4. \(\mathcal{G}\) soit un \(\mathcal{O}_Y\)-module cohérent.

Alors \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\), défini comme le produit fibré \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & f_*f^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G} \ar[u] \ar[r] & f_*\mathcal{G} \ar[u] }\] est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.

Démonstration

Nous utiliserons librement la caractérisation des modules cohérents de Cohomologie des schémas, lemme 01XZ, ainsi que le fait que les modules cohérents forment une sous-catégorie de Serre de \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\), voir Cohomologie des schémas, lemme 01Y1. Si \(f\) possède une section \(\sigma\), on voit que \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\) est contenu dans l’image de \(\sigma^*\mathcal{G} \to \sigma^*f^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\), donc est cohérent. En général, pour montrer que \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\) est cohérent, il suffit de montrer que \(f^*(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G})\) est cohérent (voir Descente, lemme 05AZ). Puisque \(f\) est plat, ce module est égal à \(f^*\mathcal{F} \cap f^*f_*\mathcal{G}\). Puisque \(f\) est plat, quasi-compact et quasi-séparé, on a \(f^*f_*\mathcal{G} = p_*q^*\mathcal{G}\), où \(p, q : Y \times_X Y \to Y\) sont les projections, voir Cohomologie des schémas, lemme 02KH. Puisque \(p\) possède une section, on conclut.

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(U\) soit localement noethérien. Dans le lemme ci-dessous, un faisceau quasi-cohérent \((\mathcal{F}, \alpha)\) sur \((U, R, s, t, c)\) est dit cohérent si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que

1. \(U\), \(R\) soient noethériens,

2. \(s, t\) soient plats, quasi-compacts et quasi-séparés.

Alors tout module quasi-cohérent \((\mathcal{F}, \beta)\) sur \((U, R, s, t, c)\) est une colimite filtrante de modules cohérents.

Démonstration

Nous utiliserons sans plus ample mention la caractérisation donnée dans Cohomologie des schémas, lemme 01XZ, des modules cohérents sur un schéma localement noethérien. On peut écrire \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{H}_i\) comme colimite filtrante de sous-modules cohérents \(\mathcal{H}_i \subset \mathcal{F}\), voir Cohomologie des schémas, lemme 0GN6. Étant donné un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{H}\) sur \(U\), on note \((s_*t^*\mathcal{H}, \alpha)\) le faisceau quasi-cohérent sur \((U, R, s, t, c)\) du lemme 07TR. Considérons le morphisme d’adjonction \((\mathcal{F}, \beta) \to (s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)\) dans \(\QCoh(U, R, s, t, c)\), voir remarque 0GNF. Posons \[(\mathcal{F}_i, \beta_i) = (\mathcal{F}, \beta) \times_{(s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)} (s_*t^*\mathcal{H}_i, \alpha)\]

dans \(\QCoh(U,\allowbreak R,\allowbreak s,\allowbreak t,\allowbreak c)\). Puisque la restriction à \(U\) est un foncteur exact sur \(\QCoh(U,\allowbreak R,\allowbreak s,\allowbreak t,\allowbreak c)\) d’après la démonstration du lemme 077S, on obtient un diagramme cartésien

\[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*t^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] autrement dit \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap s_*t^*\mathcal{H}_i\). D’après la description du morphisme d’adjonction dans la remarque 0GNF, ce diagramme est isomorphe au diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*s^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] où la flèche verticale de droite s’obtient en appliquant \(s_*\) au morphisme \[t^*\mathcal{H}_i \to t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta} s^*\mathcal{F}\] Cette flèche est injective puisque \(t\) est un morphisme plat. Il s’ensuit que \(\mathcal{F}_i\) est cohérent par le lemme 07TT. Enfin, puisque \(s\) est quasi-compact et quasi-séparé, on voit que \(s_*\) commute aux colimites (voir Cohomologie des schémas, lemme 07TB). Ainsi \(s_*t^*\mathcal{F} = \colim s_*t^*\mathcal{H}_i\) et donc \((\mathcal{F}, \beta) = \colim (\mathcal{F}_i, \beta_i)\), comme voulu.

Voici un lemme curieux, utile lorsqu’on travaille avec des groupoïdes sur des corps. C’est en fait l’argument usuel pour démontrer que toute représentation d’un groupe algébrique est une colimite de représentations de dimension finie.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que

1. \(U\), \(R\) soient affines,

2. il existe des \(e_i \in \mathcal{O}_R(R)\) tels que tout élément \(g \in \mathcal{O}_R(R)\) s’écrive de manière unique sous la forme \(\sum s^*(f_i)e_i\) avec des \(f_i \in \mathcal{O}_U(U)\).

Alors tout module quasi-cohérent \((\mathcal{F}, \alpha)\) sur \((U, R, s, t, c)\) est une colimite filtrante de modules quasi-cohérents de type fini.

Démonstration

L’hypothèse signifie que \(\mathcal{O}_R(R)\) est un \(\mathcal{O}_U(U)\)-module libre via \(s\), de base \(e_i\). Ainsi, pour tout \(\mathcal{O}_U\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\), on a \(s^*\mathcal{G}(R) = \bigoplus_i \mathcal{G}(U)e_i\). On écrira \(s(-)\) pour désigner l’image réciproque des sections par \(s\), et de même pour les autres morphismes. Soit \((\mathcal{F}, \alpha)\) un module quasi-cohérent sur \((U, R, s, t, c)\). Soit \(\sigma \in \mathcal{F}(U)\). D’après ce qui précède, on peut écrire

\[\alpha(t(\sigma)) = \sum s(\sigma_i) e_i\] pour des \(\sigma_i \in \mathcal{F}(U)\) uniques (tous sauf un nombre fini sont bien entendu nuls). On peut aussi écrire \[c(e_i) = \sum \text{pr}_1(f_{ij}) \text{pr}_0(e_j)\] en tant que fonctions sur \(R \times_{s, U, t}R\). Alors la commutativité du diagramme de la définition 03LI signifie que \[\sum \text{pr}_1(\alpha(t(\sigma_i))) \text{pr}_0(e_i) = \sum \text{pr}_1(s(\sigma_i)f_{ij}) \text{pr}_0(e_j)\] (calcul omis). En identifiant les coefficients de \(\text{pr}_0(e_l)\), on voit que \(\alpha(t(\sigma_l)) = \sum s(\sigma_i)f_{il}\). Ainsi, le sous-module \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) engendré par les éléments \(\sigma_i\) définit un module quasi-cohérent de type fini préservé par \(\alpha\). C’est donc un sous-objet de \(\mathcal{F}\) dans \(\QCoh(U, R, s, t, c)\). Ce sous-module contient \(\sigma\) (comme on le voit en prenant l’image réciproque de la première relation par \(e\)). D’où le résultat.

Nous suggérons au lecteur de sauter le reste de cette section. Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(\kappa\) un cardinal. Dans la suite, on dira qu’un faisceau quasi-cohérent \((\mathcal{F}, \alpha)\) sur \((U, R, s, t, c)\) est \(\kappa\)-engendré si \(\mathcal{F}\) est \(\kappa\)-engendré comme \(\mathcal{O}_U\)-module, voir Propriétés, définition 077L.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(\kappa\) un cardinal. Il existe un ensemble \(T\) et une famille \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)_{t \in T}\) de modules quasi-cohérents \(\kappa\)-engendrés sur \((U, R, s, t, c)\) telle que tout module quasi-cohérent \(\kappa\)-engendré sur \((U, R, s, t, c)\) soit isomorphe à l’un des \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)\).

Démonstration

Pour tout module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(U\), il existe un ensemble (éventuellement vide) de morphismes \(\alpha : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\) tels que \((\mathcal{F}, \alpha)\) soit un module quasi-cohérent sur \((U, R, s, t, c)\). D’après Propriétés, lemme 077M, il existe un ensemble de classes d’isomorphisme d’objets \(\kappa\)-engendrés qui sont des \(\mathcal{O}_U\)-modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(s, t\) soient plats. Il existe un cardinal \(\kappa\) tel que tout module quasi-cohérent \((\mathcal{F}, \alpha)\) sur \((U, R, s, t, c)\) soit la colimite filtrante de ses sous-modules \(\kappa\)-engendrés quasi-cohérents.

Démonstration

Dans l’énoncé du lemme et dans cette démonstration, un sous-module d’un module quasi-cohérent \((\mathcal{F}, \alpha)\) est un sous-module quasi-cohérent \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) tel que \(\alpha(t^*\mathcal{G}) = s^*\mathcal{G}\) comme sous-faisceaux de \(s^*\mathcal{F}\). Cela a un sens car, \(s, t\) étant plats, les images réciproques \(s^*\) et \(t^*\) sont exactes, c’est-à-dire préservent les sous-faisceaux. La démonstration reprendra celle de Propriétés, lemme 077N. Nous invitons vivement le lecteur à lire d’abord cette démonstration.

Choisissons un recouvrement ouvert affine \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\). Pour chaque paire \(i, j\), choisissons des recouvrements ouverts affines \[U_i \cap U_j = \bigcup\nolimits_{k \in I_{ij}} U_{ijk} \quad\text{et}\quad s^{-1}(U_i) \cap t^{-1}(U_j) = \bigcup\nolimits_{k \in J_{ij}} W_{ijk}.\] Écrivons \(U_i = \Spec(A_i)\), \(U_{ijk} = \Spec(A_{ijk})\), \(W_{ijk} = \Spec(B_{ijk})\). Soit \(\kappa\) un cardinal infini qui soit \(\geq\) la cardinalité de chacun des ensembles \(I\), \(I_{ij}\), \(J_{ij}\).

Soit \((\mathcal{F}, \alpha)\) un module quasi-cohérent sur \((U, R, s, t, c)\). Posons \(M_i = \mathcal{F}(U_i)\), \(M_{ijk} = \mathcal{F}(U_{ijk})\). Notons que \[M_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = M_{ijk} = M_j \otimes_{A_j} A_{ijk}\] et que \(\alpha\) donne des isomorphismes \[\alpha|_{W_{ijk}} : M_i \otimes_{A_i, t} B_{ijk} \longrightarrow M_j \otimes_{A_j, s} B_{ijk}\] voir Schémas, lemme 01I9. Au moyen de l’axiome du choix, choisissons une application \[(i, j, k, m) \mapsto S(i, j, k, m)\] qui associe à tous \(i, j \in I\), \(k \in I_{ij}\) ou \(k \in J_{ij}\) et \(m \in M_i\) une partie finie \(S(i, j, k, m) \subset M_j\) telle que l’on ait \[m \otimes 1 = \sum\nolimits_{m' \in S(i, j, k, m)} m' \otimes a_{m'} \quad\text{ou}\quad \alpha(m \otimes 1) = \sum\nolimits_{m' \in S(i, j, k, m)} m' \otimes b_{m'}\] dans \(M_{ijk}\) pour certains \(a_{m'} \in A_{ijk}\) ou \(b_{m'} \in B_{ijk}\). Convenons en outre que \(S(i, i, k, m) = \{m\}\) pour tous \(i, j = i, k, m\) lorsque \(k \in I_{ij}\). Fixons une telle famille \(S(i, j, k, m)\).

Étant donnée une famille \(\mathcal{S} = (S_i)_{i \in I}\) de parties \(S_i \subset M_i\) de cardinalité au plus \(\kappa\), posons \(\mathcal{S}' = (S'_i)\), où \[S'_j = \bigcup\nolimits_{(i, j, k, m)\text{ tel que }m \in S_i} S(i, j, k, m)\] Notons que \(S_i \subset S'_i\). Notons que \(S'_i\) est de cardinalité au plus \(\kappa\), car c’est une réunion, indexée par un ensemble de cardinalité au plus \(\kappa\), de parties finies. Posons \(\mathcal{S}^{(0)} = \mathcal{S}\), \(\mathcal{S}^{(1)} = \mathcal{S}'\) et, par récurrence, \(\mathcal{S}^{(n + 1)} = (\mathcal{S}^{(n)})'\). Posons ensuite \(\mathcal{S}^{(\infty)} = \bigcup_{n \geq 0} \mathcal{S}^{(n)}\). En écrivant \(\mathcal{S}^{(\infty)} = (S^{(\infty)}_i)\), on voit que, pour tout élément \(m \in S^{(\infty)}_i\), l’image de \(m\) dans \(M_{ijk}\) peut s’écrire comme une somme finie \(\sum m' \otimes a_{m'}\) avec \(m' \in S_j^{(\infty)}\). Ainsi, en posant \[N_i = A_i\text{-sous-module de }M_i\text{ engendré par }S^{(\infty)}_i\] on a \[N_i \otimes_{A_i} A_{ijk} = N_j \otimes_{A_j} A_{ijk} \quad\text{et}\quad \alpha(N_i \otimes_{A_i, t} B_{ijk}) = N_j \otimes_{A_j, s} B_{ijk}\] comme sous-modules de \(M_{ijk}\) ou de \(M_j \otimes_{A_j, s} B_{ijk}\). Il existe donc un sous-module quasi-cohérent \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) avec \(\mathcal{G}(U_i) = N_i\) tel que \(\alpha(t^*\mathcal{G}) = s^*\mathcal{G}\) comme sous-modules de \(s^*\mathcal{F}\). Autrement dit, \((\mathcal{G}, \alpha|_{t^*\mathcal{G}})\) est un sous-module de \((\mathcal{F}, \alpha)\). De plus, par construction, \(\mathcal{G}\) est \(\kappa\)-engendré.

Soit \(\{(\mathcal{G}_t, \alpha_t)\}_{t \in T}\) l’ensemble des sous-modules quasi-cohérents \(\kappa\)-engendrés de \((\mathcal{F}, \alpha)\). Si \(t, t' \in T\), alors \(\mathcal{G}_t + \mathcal{G}_{t'}\) est encore un sous-module quasi-cohérent \(\kappa\)-engendré, car il est l’image du morphisme \(\mathcal{G}_t \oplus \mathcal{G}_{t'} \to \mathcal{F}\). Le système, ordonné par inclusion, est donc filtrant. Les arguments précédents montrent que toute section de \(\mathcal{F}\) sur \(U_i\) appartient à l’un des \(\mathcal{G}_t\) (car on peut partir de \(\mathcal{S}\) tel que la section donnée soit un élément de \(S_i\)). Par conséquent, \(\colim_t \mathcal{G}_t \to \mathcal{F}\) est à la fois injectif et surjectif, comme voulu.

Groupoïdes et schémas en groupes

Il existe de nombreuses façons de construire un groupoïde à partir d’une action \(a\) d’un groupe \(G\) sur un ensemble \(V\). Nous choisissons celle où l’on considère un élément \(g \in G\) comme une flèche de source \(v\) et de but \(a(g, v)\). Cela conduit à la construction suivante pour les actions de schémas en groupes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un schéma sur \(S\). Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(Y\), de section unité \(e_G\) et de morphisme d’inversion \(i_G\). Soit \(X/Y\) un schéma sur \(Y\) et soit \(a : G \times_Y X \to X\) une action de \(G\) sur \(X/Y\). On obtient alors un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c, e, i)\) sur \(S\) de la manière suivante :

1. On pose \(U = X\), et \(R = G \times_Y X\).

2. On prend \(s : R \to U\) égal à \((g, x) \mapsto x\).

3. On prend \(t : R \to U\) égal à \((g, x) \mapsto a(g, x)\).

4. On prend \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) égal à \(((g, x), (g', x')) \mapsto (m(g, g'), x')\).

5. On prend \(e : U \to R\) égal à \(x \mapsto (e_G(x), x)\).

6. On prend \(i : R \to R\) égal à \((g, x) \mapsto (i_G(g), a(g, x))\).

Démonstration

Omis. Indication : il suffit de vérifier que cela fonctionne au niveau des ensembles. Pour cela, utiliser la description précédant le lemme, qui voit \(g\) comme une flèche de \(v\) vers \(a(g, v)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un schéma sur \(S\). Soit \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(Y\). Soit \(X\) un schéma sur \(Y\) et soit \(a : G \times_Y X \to X\) une action de \(G\) sur \(X\) au-dessus de \(Y\). Soit \((U, R, s, t, c)\) le schéma en groupoïdes construit dans le lemme 0234. La règle \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (\mathcal{F}, \alpha)\) définit une équivalence de catégories entre les objets \(G\)-équivariants qui sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules et la catégorie des modules quasi-cohérents sur \((U, R, s, t, c)\).

Démonstration

L’assertion a un sens puisque \(t = a\) et \(s = \text{pr}_1\) comme morphismes \(R = G \times_Y X \to X\), voir les définitions 03LF et 03LI. En utilisant la traduction donnée dans le lemme 0234, les conditions de commutativité des deux définitions coïncident exactement.

Le schéma en groupes stabilisateur

À partir d’un schéma en groupoïdes, on obtient un schéma en groupes comme suit.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\). Le schéma \(G\) défini par le carré cartésien \[\xymatrix{ G \ar[r] \ar[d] & R \ar[d]^{j = (t, s)} \\ U \ar[r]^-{\Delta} & U \times_S U }\] est un schéma en groupes sur \(U\), dont la loi de composition \(m\) est induite par la loi de composition \(c\).

Démonstration

Cela résulte du fait que, dans une catégorie groupoïde, l’ensemble des endomorphismes de tout objet forme un groupe.

Puisque \(\Delta\) est une immersion, on voit que \(G = j^{-1}(\Delta_{U/S})\) est un sous-schéma localement fermé de \(R\). De ce point de vue, le morphisme structural \(j^{-1}(\Delta_{U/S}) \to U\) est induit par \(s\) ou par \(t\) (c’est le même), et \(m\) est induit par \(c\).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\). Le schéma en groupes \(j^{-1}(\Delta_{U/S})\to U\) est appelé le stabilisateur du schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\).

Dans la littérature, le schéma en groupes stabilisateur est souvent noté \(S\) (sans doute parce que le mot stabilisateur commence par un “s”); nous ne pouvons le faire, puisque nous avons déjà employé \(S\) pour le schéma de base.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\), et soit \(G/U\) son stabilisateur. Notons \(R_t/U\) le schéma \(R\) considéré comme schéma sur \(U\) via le morphisme \(t : R \to U\). Il existe une action à gauche canonique \[a : G \times_U R_t \longrightarrow R_t\] induite par la loi de composition \(c\).

Démonstration

En termes de points au-dessus de \(T/S\), on définit \(a(g, r) = c(g, r)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(G\) le schéma en groupes stabilisateur de \(R\). Soit \[G_0 = G \times_{U, \text{pr}_0} (U \times_S U) = G \times_S U\] comme schéma en groupes sur \(U \times_S U\). L’action de \(G\) sur \(R\) du lemme 0237 induit une action de \(G_0\) sur \(R\) au-dessus de \(U \times_S U\) qui fait de \(R\) un pseudo-torseur sous \(G_0\) sur \(U \times_S U\).

Démonstration

Cela résulte du fait que, dans une catégorie groupoïde \(\mathcal{C}\), l’ensemble \(\Mor_\mathcal{C}(x, y)\) est un espace homogène principal sous le groupe \(\Mor_\mathcal{C}(y, y)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(p \in U \times_S U\) un point. Notons \(R_p\) la fibre schématique de \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\). Si \(R_p \not = \emptyset\), alors l’action \[G_{0, \kappa(p)} \times_{\kappa(p)} R_p \longrightarrow R_p\] (voir lemme 04Q2) fait de \(R_p\) un torseur sous \(G_{\kappa(p)}\) sur \(\kappa(p)\).

Démonstration

On a un pseudo-torseur d’après le lemme cité dans l’énoncé. Et si \(R_p\) n’est pas le schéma vide, alors \(\{R_p \to p\}\) est un recouvrement fpqc qui trivialise le pseudo-torseur.

Restriction des groupoïdes

Considérons un groupoïde (ordinaire) \(\mathcal{C} = (\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c)\). Supposons donnée une application d’ensembles \(g : \text{Ob}' \to \text{Ob}\). On peut alors construire un groupoïde \(\mathcal{C}' = (\text{Ob}', \text{Arrows}', s', t', c')\) en considérant un morphisme entre des éléments \(x', y'\) de \(\text{Ob}'\) comme un morphisme dans \(\mathcal{C}\) entre \(g(x'), g(y')\). Autrement dit, on pose \[\text{Arrows}' = \text{Ob}' \times_{g, \text{Ob}, t} \text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, g} \text{Ob}'.\] On fait les choix évidents pour \(s'\), \(t'\) et \(c'\). Il existe un foncteur canonique \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\) qui est pleinement fidèle, mais pas nécessairement essentiellement surjectif. Ce groupoïde \(\mathcal{C}'\), muni du foncteur \(\mathcal{C}' \to \mathcal{C}\), est appelé la restriction du groupoïde \(\mathcal{C}\) à \(\text{Ob}'\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas. Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U }\] où tous les carrés sont cartésiens. Il existe alors une loi de composition canonique \(c' : R' \times_{s', U', t'} R' \to R'\) telle que \((U', R', s', t', c')\) soit un schéma en groupoïdes sur \(S\) et que \(U' \to U\), \(R' \to R\) définissent un morphisme \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) de groupoïdes en schémas sur \(S\). De plus, pour tout schéma \(T\) sur \(S\), le foncteur de groupoïdes \[(U'(T), R'(T), s', t', c') \to (U(T), R(T), s, t, c)\] est la restriction (voir ci-dessus) de \((U(T), R(T), s, t, c)\) par l’application \(U'(T) \to U(T)\).

Démonstration

Omis.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas. Le morphisme de groupoïdes \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) construit dans le lemme 02VB est appelé la restriction de \((U, R, s, t, c)\) à \(U'\). On utilise parfois la notation \(R' = R|_{U'}\) dans ce cas.

Lemme

Les notions de restriction des groupoïdes et des relations de (pré-)équivalence définies dans les définitions 02VC et 02V9 coïncident via les constructions des lemmes 0232 et 0233.

Démonstration

Ce que nous affirmons ici est que le \(R'\) du lemme 02VB est également égal à \[R' = (U' \times_S U')\times_{U \times_S U} R \longrightarrow U' \times_S U'\] En fait, c’eût peut-être été une manière plus claire d’énoncer ce lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas. Soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(g\). Soit \(G\) le stabilisateur de \((U, R, s, t, c)\) et soit \(G'\) le stabilisateur de \((U', R', s', t', c')\). Alors \(G'\) est le changement de base de \(G\) par \(g\), c’est-à-dire qu’il existe une identification canonique \(G' = U' \times_{g, U} G\).

Démonstration

Omis.

Sous-schémas invariants

Dans cette section, nous examinons brièvement la notion de sous-schéma invariant.

Définition

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur le schéma de base \(S\).

1. Une partie \(W \subset U\) est \(R\)-invariante au sens ensembliste si \(t(s^{-1}(W)) \subset W\).

2. Un ouvert \(W \subset U\) est \(R\)-invariant si \(t(s^{-1}(W)) \subset W\).

3. Un sous-schéma fermé \(Z \subset U\) est dit \(R\)-invariant si \(t^{-1}(Z) = s^{-1}(Z)\). On utilise ici l’image réciproque schématique, voir Schémas, définition 01JV.

4. Un monomorphisme de schémas \(T \to U\) est \(R\)-invariant si \(T \times_{U, t} R = R \times_{s, U} T\) comme schémas sur \(R\).

Pour les parties et les sous-schémas ouverts \(W \subset U\), l’\(R\)-invariance équivaut aussi à demander que \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\) comme parties de \(R\). Si \(W \subset U\) est un sous-schéma ouvert \(R\)-équivariant, alors la restriction de \(R\) à \(W\) est simplement \(R_W = s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\). De même, si \(Z \subset U\) est un sous-schéma fermé \(R\)-invariant, alors la restriction de \(R\) à \(Z\) est simplement \(R_Z = s^{-1}(Z) = t^{-1}(Z)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\).

1. Pour toute partie \(W \subset U\), la partie \(t(s^{-1}(W))\) est \(R\)-invariante au sens ensembliste.

2. Si \(s\) et \(t\) sont ouverts, alors, pour tout ouvert \(W \subset U\), l’ouvert \(t(s^{-1}(W))\) est un sous-schéma ouvert \(R\)-invariant.

3. Si \(s\) et \(t\) sont ouverts et quasi-compacts, alors \(U\) possède un recouvrement ouvert formé de sous-schémas ouverts quasi-compacts \(R\)-invariants.

Démonstration

La partie (1) résulte des Lemmes 022Q et 0232, à savoir que \(t(s^{-1}(W))\) est l’ensemble des points de \(U\) équivalents à un point de \(W\). Supposons ensuite \(s\) et \(t\) ouverts, et \(W \subset U\) ouvert. Comme \(s\) est ouvert, l’ensemble \(W' = t(s^{-1}(W))\) est un ouvert de \(U\). Supposons enfin que \(s\), \(t\) soient tous deux ouverts et quasi-compacts. Alors, si \(W \subset U\) est un ouvert quasi-compact, \(W' = t(s^{-1}(W))\) est lui aussi un ouvert quasi-compact et il est invariant d’après la discussion précédente. En faisant parcourir à \(W\) tous les ouverts affines de \(U\), on obtient (3).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons \(s\) et \(t\) quasi-compacts et plats, et \(U\) quasi-séparé. Soit \(W \subset U\) un ouvert quasi-compact. Alors \(t(s^{-1}(W))\) est l’intersection d’une famille non vide d’ouverts quasi-compacts de \(U\).

Démonstration

Notons que \(s^{-1}(W)\) est un ouvert quasi-compact de \(R\). En tant qu’application continue, \(t\) envoie le sous-ensemble quasi-compact \(s^{-1}(W)\) sur un sous-ensemble quasi-compact \(t(s^{-1}(W))\). Comme \(t\) est plat et que \(s^{-1}(W)\) est stable par générisation, il en va de même de \(t(s^{-1}(W))\), voir (Morphismes, Lemme 03HV et Topologie, Lemme 0065). Choisissons un ouvert quasi-compact \(W' \subset U\) contenant \(t(s^{-1}(W))\). D’après Propriétés, Lemme 094L, on voit que \(W'\) est un espace spectral (c’est ici que l’on utilise que \(U\) est quasi-séparé). Le lemme résulte alors de Topologie, Lemme 0A31, appliqué à \(t(s^{-1}(W)) \subset W'\).

Lemme

Hypothèses et notations comme dans le Lemme 0APA. Il existe un ouvert \(R\)-invariant \(V \subset U\) et un ouvert quasi-compact \(W'\) tels que \(W \subset V \subset W' \subset U\).

Démonstration

Posons \(E = t(s^{-1}(W))\). Rappelons que \(E\) est \(R\)-invariant au sens ensembliste (Lemme 03LO). D’après le Lemme 0APA, il existe un ouvert quasi-compact \(W'\) contenant \(E\). Posons \(Z = U \setminus W'\) et considérons \(T = t(s^{-1}(Z))\). Observons que \(Z \subset T\) et que \(E \cap T = \emptyset\), car \(s^{-1}(E) = t^{-1}(E)\) est disjoint de \(s^{-1}(Z)\). Puisque \(T\) est l’image du sous-ensemble fermé \(s^{-1}(Z) \subset R\) par le morphisme quasi-compact \(t : R \to U\), on voit que tout point \(\xi\) de l’adhérence \(\overline{T}\) est une spécialisation d’un point de \(T\), voir Morphismes, Lemme 02JQ (et Morphismes, Lemme 01R8 pour voir que l’image schématique est l’adhérence de l’image). Écrivons \(\xi' \leadsto \xi\) avec \(\xi' \in T\). Supposons que \(r \in R\) et \(s(r) = \xi\). Comme \(s\) est plat, on peut trouver une spécialisation \(r' \leadsto r\) dans \(R\) telle que \(s(r') = \xi'\) (Morphismes, Lemme 03HV). Alors \(t(r') \leadsto t(r)\). On conclut que \(t(r') \in T\), puisque \(T\) est invariant au sens ensembliste d’après le Lemme 03LO. Ainsi, \(\overline{T}\) est un sous-ensemble fermé \(R\)-invariant au sens ensembliste et \(V = U \setminus \overline{T}\) est l’ouvert que nous cherchions. Il est contenu dans \(W'\), ce qui achève la démonstration.

Faisceaux quotients

Soit \(\tau \in\allowbreak \{Zariski,\allowbreak \etale,\allowbreak fppf,\allowbreak smooth,\allowbreak syntomic\}\). Soit \(S\) un schéma. Soit \(j : R \to U \times_S U\) une prérelation sur \(S\). Supposons que \(U, R, S\) soient des objets d’un \(\tau\)-site \(\Sch_\tau\) (voir Topologies, section 020M). On peut alors considérer les foncteurs \[h_U, h_R : (\Sch/S)_\tau^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}.\] Ce sont des faisceaux, voir Descente, Lemme 023Q. Le morphisme \(j\) induit une application \(j : h_R \to h_U \times h_U\). Pour tout objet \(T \in \Ob((\Sch/S)_\tau)\), on peut prendre la relation d’équivalence \(\sim_T\) engendrée par \(j(T) : R(T) \to U(T) \times U(T)\) et considérer le quotient. On obtient ainsi un préfaisceau [02VF]\[\begin{equation} (\Sch/S)_\tau^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles}, \quad T \longmapsto U(T)/\sim_T \end{equation}\]

Définition

Soient \(\tau\), \(S\) et la prérelation \(j : R \to U \times_S U\) comme ci-dessus. Dans cette situation, le faisceau quotient \(U/R\) associé à \(j\) est le faisceau associé au préfaisceau (02VF) pour la topologie \(\tau\). Si \(j : R \to U \times_S U\) provient de l’action d’un schéma en groupes \(G/S\) sur \(U\) comme dans le Lemme 0234, on note parfois le faisceau quotient \(U/G\).

Cela signifie exactement que le diagramme \[\xymatrix{ h_R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & h_U \ar[r] & U/R }\] est un diagramme coégalisateur dans la catégorie des faisceaux d’ensembles sur \((\Sch/S)_\tau\). Au moyen du plongement de Yoneda, on peut considérer \((\Sch/S)_\tau\) comme une sous-catégorie pleine des faisceaux sur \((\Sch/S)_\tau\) et ainsi identifier les schémas aux foncteurs représentables. Par cet abus de notation, nous représenterons souvent le diagramme ci-dessus simplement par \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U \ar[r] & U/R }\] Nous travaillerons le plus souvent avec la topologie fppf lorsque nous considérerons les faisceaux quotients de groupoïdes ou de relations d’équivalence.

Définition

Dans la situation de la Définition 02VG. On dit que la prérelation \(j\) admet un quotient représentable si le faisceau \(U/R\) est représentable. On dira qu’un groupoïde \((U, R, s, t, c)\) admet un quotient représentable si le quotient \(U/R\) correspondant à \(j = (t, s)\) est représentable.

Le lemme suivant caractérise les schémas \(M\) qui représentent le quotient. Il s’applique par exemple si \(\tau = fppf\), si \(U \to M\) est plat, de présentation finie et surjectif, et si \(R \cong U \times_M U\).

Lemme

Dans la situation de la Définition 02VG. Supposons qu’il existe un schéma \(M\) et un morphisme \(U \to M\) tels que

1. le morphisme \(U \to M\) égalise \(s, t\),

2. le morphisme \(U \to M\) induit une surjection de faisceaux \(h_U \to h_M\) pour la topologie \(\tau\), et

3. l’application induite \((t, s) : R \to U \times_M U\) induit une surjection de faisceaux \(h_R \to h_{U \times_M U}\) pour la topologie \(\tau\).

Alors \(M\) représente le faisceau quotient \(U/R\).

Démonstration

La condition (1) dit que \(h_U \to h_M\) se factorise par \(U/R\). La condition (2) dit que \(U/R \to h_M\) est surjectif comme morphisme de faisceaux. La condition (3) dit que \(U/R \to h_M\) est injectif comme morphisme de faisceaux. Le lemme en résulte.

Le lemme suivant est faux si l’on n’exige pas que \(j\) soit une prérelation d’équivalence (mais seulement, disons, une prérelation).

Lemme

Soit \(\tau \in\allowbreak \{Zariski,\allowbreak \etale,\allowbreak fppf,\allowbreak smooth,\allowbreak syntomic\}\). Soit \(S\) un schéma. Soit \(j : R \to U \times_S U\) une prérelation d’équivalence sur \(S\). Supposons que \(U, R, S\) soient des objets d’un \(\tau\)-site \(\Sch_\tau\). Pour \(T \in \Ob((\Sch/S)_\tau)\) et \(a, b \in U(T)\), les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(a\) et \(b\) ont la même image dans \((U/R)(T)\), et

2. il existe un \(\tau\)-recouvrement \(\{f_i : T_i \to T\}\) de \(T\) et des morphismes \(r_i : T_i \to R\) tels que \(a \circ f_i = s \circ r_i\) et \(b \circ f_i = t \circ r_i\).

Autrement dit, dans ce cas, le morphisme de \(\tau\)-faisceaux \[h_R \longrightarrow h_U \times_{U/R} h_U\] est surjectif.

Démonstration

Omis. Indication : cela fonctionne parce que, dans ce cas, le préfaisceau (02VF) est en réalité donné par \(T \mapsto U(T)/j(R(T))\), puisque \(j(R(T)) \subset U(T) \times U(T)\) est une relation d’équivalence, voir Définition 022P.

Lemme

Soit \(\tau \in\allowbreak \{Zariski,\allowbreak \etale,\allowbreak fppf,\allowbreak smooth,\allowbreak syntomic\}\). Soit \(S\) un schéma. Soit \(j : R \to U \times_S U\) une prérelation d’équivalence sur \(S\) et \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas sur \(S\). Soit \(j' : R' \to U' \times_S U'\) la restriction de \(j\) à \(U'\). Supposons que \(U, U', R, S\) soient des objets d’un \(\tau\)-site \(\Sch_\tau\). Le morphisme de faisceaux quotients \[U'/R' \longrightarrow U/R\] est injectif. Si \(g\) définit une surjection \(h_{U'} \to h_U\) de faisceaux pour la topologie \(\tau\) (par exemple, si \(\{g : U' \to U\}\) est un \(\tau\)-recouvrement), alors \(U'/R' \to U/R\) est un isomorphisme.

Démonstration

Supposons que \(\xi, \xi' \in (U'/R')(T)\) soient des sections dont les images dans \(U/R\) sont égales. On peut alors trouver un \(\tau\)-recouvrement \(\mathcal{T} = \{T_i \to T\}\) de \(T\) tel que \(\xi|_{T_i}, \xi'|_{T_i}\) soient données par \(a_i, a_i' \in U'(T_i)\). D’après le Lemme 045Y et les axiomes d’un site, on peut, après avoir raffiné \(\mathcal{T}\), supposer qu’il existe des morphismes \(r_i : T_i \to R\) tels que \(g \circ a_i = s \circ r_i\), \(g \circ a_i' = t \circ r_i\). Puisque, par construction, \(R' = R \times_{U \times_S U} (U' \times_S U')\), on voit que \((r_i, (a_i, a_i')) \in R'(T_i)\), ce qui montre que \(a_i\) et \(a_i'\) définissent la même section de \(U'/R'\) au-dessus de \(T_i\). La condition de faisceau implique alors \(\xi = \xi'\).

Si \(h_{U'} \to h_U\) est une surjection de faisceaux, alors, bien sûr, \(U'/R' \to U/R\) est également surjectif. Si \(\{g : U' \to U\}\) est un \(\tau\)-recouvrement, alors le morphisme de faisceaux \(h_{U'} \to h_U\) est surjectif, voir Sites, Lemme 00WT. Ainsi, \(U'/R' \to U/R\) est également surjectif dans ce cas.

Lemme

Soit \(\tau \in\allowbreak \{Zariski,\allowbreak \etale,\allowbreak fppf,\allowbreak smooth,\allowbreak syntomic\}\). Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas sur \(S\). Soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \((U, R, s, t, c)\) à \(U'\). Supposons que \(U, U', R, S\) soient des objets d’un \(\tau\)-site \(\Sch_\tau\). Le morphisme de faisceaux quotients \[U'/R' \longrightarrow U/R\] est injectif. Si la composée \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar@/^3ex/[rr]^h & R \ar[r]_s & U }\] définit une surjection de faisceaux pour la topologie \(\tau\), alors le morphisme est bijectif. Cela vaut par exemple si \(\{h : U' \times_{g, U, t} R \to U\}\) est un \(\tau\)-recouvrement, ou si \(U' \to U\) définit une surjection de faisceaux pour la topologie \(\tau\), ou si \(\{g : U' \to U\}\) est un recouvrement pour la topologie \(\tau\).

Démonstration

L’injectivité résulte de la combinaison des Lemmes 0232 et 045Z. Pour établir la surjectivité (voir Sites, section 00WL, pour une caractérisation des morphismes surjectifs de faisceaux), raisonnons comme suit. Supposons que \(T\) soit un schéma et que \(\sigma \in U/R(T)\). Il existe un recouvrement \(\{T_i \to T\}\) tel que \(\sigma|_{T_i}\) soit l’image d’un élément \(f_i \in U(T_i)\). On peut donc supposer que \(\sigma\) est l’image de \(f \in U(T)\). Comme, par hypothèse, \(h\) est une surjection de faisceaux, on peut trouver un \(\tau\)-recouvrement \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\) et des morphismes \(f_i : T_i \to U' \times_{g, U, t} R\) tels que \(f \circ \varphi_i = h \circ f_i\). Notons \(f'_i = \text{pr}_0 \circ f_i : T_i \to U'\). Alors on voit que \(f'_i \in U'(T_i)\) s’envoie sur \(g \circ f'_i \in U(T_i)\) et que \(g \circ f'_i \sim_{T_i} h \circ f_i = f \circ \varphi_i\), avec les notations de (02VF). Plus précisément, un élément de \(R(T_i)\) donnant la relation est \(\text{pr}_1 \circ f_i\). Cela signifie que la restriction de \(\sigma\) à \(T_i\) appartient à l’image de \(U'/R'(T_i) \to U/R(T_i)\), comme voulu.

Si \(\{h\}\) est un \(\tau\)-recouvrement, il induit une surjection de faisceaux, voir Sites, Lemme 00WT. Si \(U' \to U\) est surjectif, alors \(h\) l’est aussi, car \(s\) possède une section (à savoir l’élément neutre \(e\) du schéma en groupoïdes).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : (U, R, j) \to (U', R', j')\) un morphisme entre des relations d’équivalence sur \(S\). Supposons que \[\xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] soit cartésien. Pour tout \(\tau \in\allowbreak \{Zariski,\allowbreak \etale,\allowbreak fppf,\allowbreak smooth,\allowbreak syntomic\}\), le diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U/R \ar[d]^f \\ U' \ar[r] & U'/R' }\] est un carré cartésien de \(\tau\)-faisceaux.

Démonstration

D’après le Lemme 045Y, les faisceaux quotients admettent une description simple, que nous utiliserons ci-dessous sans autre mention. Montrons d’abord que \[U \longrightarrow U' \times_{U'/R'} U/R\] est injectif. En effet, supposons que \(a, b \in U(T)\) aient la même image dans le membre de droite. Alors \(f(a) = f(b)\). Après avoir remplacé \(T\) par les membres d’un \(\tau\)-recouvrement, on peut supposer qu’il existe \(r \in R(T)\) tel que \(a = s(r)\) et \(b = t(r)\). Alors \(r' = f(r)\) est un \(T\)-point de \(R'\) tel que \(s'(r') = t'(r')\). Ainsi, \(r' = e'(f(a))\) (où \(e'\) est l’identité du groupoïde associé à \(j'\), voir le Lemme 0233). Comme le premier diagramme du lemme est cartésien, cela implique nécessairement que \(r\) est égal à \(e(a)\). Ainsi, \(a = b\).

Enfin, montrons que la flèche affichée est surjective. Soit \(T\) un schéma sur \(S\) et soit \((a', \overline{b})\) une section du faisceau \(U' \times_{U'/R'} U/R\) au-dessus de \(T\). Après avoir remplacé \(T\) par les membres d’un \(\tau\)-recouvrement, on peut supposer que \(\overline{b}\) est la classe d’un élément \(b \in U(T)\). Après avoir remplacé \(T\) par les membres d’un \(\tau\)-recouvrement, on peut supposer qu’il existe \(r' \in R'(T)\) tel que \(a' = t(r')\) et \(s'(r') = f(b)\). Comme le premier diagramme du lemme est cartésien, on peut trouver \(r \in R(T)\) tel que \(s(r) = b\) et \(f(r) = r'\). Il est alors clair que \(a = t(r) \in U(T)\) est une section qui s’envoie sur \((a', \overline{b})\).

Descente en termes de groupoïdes

Les morphismes cartésiens sont définis comme suit.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) un morphisme de schémas en groupoïdes sur \(S\). On dit que \(f\) est cartésien, ou que \((U', R', s', t', c')\) est cartésien au-dessus de \((U, R, s, t, c)\), si le diagramme \[\xymatrix{ R' \ar[r]_f \ar[d]_{s'} & R \ar[d]^s \\ U' \ar[r]^f & U }\] est un carré cartésien dans la catégorie des schémas. Un morphisme de schémas en groupoïdes cartésien au-dessus de \((U, R, s, t, c)\) est un morphisme de schémas en groupoïdes compatible avec les morphismes structuraux vers \((U, R, s, t, c)\).

Les morphismes cartésiens sont reliés aux données de descente. Nous démontrons d’abord un lemme général décrivant la catégorie des schémas en groupoïdes cartésiens au-dessus d’un schéma en groupoïdes fixé.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). La catégorie des schémas en groupoïdes cartésiens au-dessus de \((U, R, s, t, c)\) est équivalente à la catégorie des couples \((V, \varphi)\), où \(V\) est un schéma sur \(U\) et où \[\varphi : V \times_{U, t} R \longrightarrow R \times_{s, U} V\] est un isomorphisme au-dessus de \(R\) tel que \(e^*\varphi = \text{id}_V\) et tel que \[c^*\varphi = \text{pr}_1^*\varphi \circ \text{pr}_0^*\varphi\] comme morphismes de schémas au-dessus de \(R \times_{s, U, t} R\).

Démonstration

Dans le lemme, la notation de tiré en arrière désigne le changement de base. La formule affichée a un sens parce que \[(R \times_{s, U, t} R) \times_{\text{pr}_1, R, \text{pr}_1} (V \times_{U, t} R) = (R \times_{s, U, t} R) \times_{\text{pr}_0, R, \text{pr}_0} (R \times_{s, U} V)\] comme schémas au-dessus de \(R \times_{s, U, t} R\).

Étant donné \((V, \varphi)\), posons \(U' = V\) et \(R' = V \times_{U, t} R\). On prend pour \(t' : R' \to U'\) la projection \(V \times_{U, t} R \to V\). On prend pour \(s'\) le composé de \(\varphi\) et de la projection \(R \times_{s, U} V \to V\). On prend pour \(c'\) le composé \[\begin{align*} R' \times_{s', U', t'} R' & \xrightarrow{\varphi, 1} (R \times_{s, U} V) \times_V (V \times_{U, t} R) \\ & \xrightarrow{} R \times_{s, U} V \times_{U, t} R \\ & \xrightarrow{\varphi^{-1}, 1} V \times_{U, t} (R \times_{s, U, t} R) \\ & \xrightarrow{1, c} V \times_{U, t} R = R' \end{align*}\] Un calcul, que nous omettons, montre que l’on obtient un schéma en groupoïdes au-dessus de \((U, R, s, t, c)\). Il est clair que ce schéma en groupoïdes est cartésien au-dessus de \((U, R, s, t, c)\).

Réciproquement, étant donné \(f : (U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) cartésien, les morphismes \[U' \times_{U, t} R \xleftarrow{t', f} R' \xrightarrow{f, s'} R \times_{s, U} U'\] sont des isomorphismes; on peut donc poser \(V = U'\) et prendre pour \(\varphi\) le composé \((f, s') \circ (t', f)^{-1}\). Nous omettons la démonstration du fait que \(\varphi\) satisfait aux conditions du lemme. Nous omettons la démonstration du fait que ces constructions sont inverses l’une de l’autre.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). On obtient alors un schéma en groupoïdes \((X, X \times_Y X, \text{pr}_1, \text{pr}_0, c)\) sur \(S\). En effet, \(j : X \times_Y X \to X \times_S X\) est une relation d’équivalence et l’on peut prendre le groupoïde associé, voir le Lemme 0233.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(S\). La construction du Lemme 0APE détermine une équivalence \[\begin{matrix} \text{catégorie des schémas en groupoïdes} \\ \text{cartésiens au-dessus de } (X, X \times_Y X, \ldots) \end{matrix} \longrightarrow \begin{matrix} \text{ catégorie des données de descente} \\ \text{ relatives à } X/Y \end{matrix}\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 0APE et de la définition des données de descente sur les schémas dans Descente, Définition 023V.

Conditions de séparation

Il s’agit en réalité de conditions sur le morphisme \(j : R \to U \times_S U\) lorsque l’on se donne un groupoïde \((U, R, s, t, c)\) sur \(S\). Comme dans la section précédente, nous formulons d’abord le diagramme correspondant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\). Soit \(G \to U\) le schéma en groupes stabilisateur. Le diagramme commutatif \[\xymatrix{ R \ar[d]^{\Delta_{R/U \times_S U}} \ar[rrr]_{f \mapsto (f, s(f))} & & & R \times_{s, U} U \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ R \times_{(U \times_S U)} R \ar[rrr]^{(f, g) \mapsto (f, f^{-1} \circ g)} & & & R \times_{s, U} G \ar[r] & G }\] possède deux flèches horizontales de gauche qui sont des isomorphismes, et son carré de droite est cartésien.

Démonstration

Omis. Exercice sur les définitions et le point de vue fonctoriel en géométrie algébrique.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\). Soit \(G \to U\) le schéma en groupes stabilisateur.

1. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(j : R \to U \times_S U\) est séparé,

   2. \(G \to U\) est séparé, et

   3. \(e : U \to G\) est une immersion fermée.

2. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(j : R \to U \times_S U\) est quasi-séparé,

   2. \(G \to U\) est quasi-séparé, et

   3. \(e : U \to G\) est quasi-compact.

Démonstration

Le schéma en groupes \(G \to U\) est le changement de base de \(R \to U \times_S U\) par le morphisme diagonal \(U \to U \times_S U\), voir le Lemme 0235. Par conséquent, si \(j\) est séparé (resp. quasi-séparé), alors \(G \to U\) est séparé (resp. quasi-séparé). (Voir Schémas, Lemme 01KU). Ainsi, (a) \(\Rightarrow\) (b) dans (1) comme dans (2).

Si \(G \to U\) est séparé (resp. quasi-séparé), alors le morphisme \(U \to G\), en tant que section du morphisme structural \(G \to U\), est une immersion fermée (resp. quasi-compact), voir Schémas, Lemme 01KT. Ainsi, (b) \(\Rightarrow\) (a) dans (1) comme dans (2).

D’après le résultat du Lemme 02YH (et Schémas, Lemmes 01JY et 01K5), on voit que, si \(e\) est une immersion fermée (resp. quasi-compact), \(\Delta_{R/U \times_S U}\) est une immersion fermée (resp. quasi-compact). Ainsi, (c) \(\Rightarrow\) (a) dans (1) comme dans (2).

Groupoïdes finis plats, cas affine

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(U = \Spec(A)\) et \(R = \Spec(B)\) soient affines. Dans ce cas, on obtient deux homomorphismes d’anneaux \(s^\sharp, t^\sharp : A \longrightarrow B\). Soit \(C\) l’égalisateur de \(s^\sharp\) et \(t^\sharp\). En formule, [03BF]\[\begin{equation} C = \{a \in A \mid t^\sharp(a) = s^\sharp(a) \}. \end{equation}\] Nous l’appellerons parfois anneau des fonctions \(R\)-invariantes sur \(U\). Quelles propriétés \(M = \Spec(C)\) possède-t-il ? La première observation est que le diagramme \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d] \\ U \ar[r] & M }\] est commutatif, c’est-à-dire que le morphisme \(U \to M\) égalise \(s, t\). De plus, si \(T\) est un schéma affine quelconque, et si \(U \to T\) est un morphisme qui égalise \(s, t\), alors \(U \to T\) se factorise par \(U \to M\). Autrement dit, \(U \to M\) est un coégalisateur dans la catégorie des schémas affines.

Nous aimerions trouver des conditions garantissant que le morphisme \(U \to M\) est véritablement un “quotient” dans la catégorie des schémas. Nous en discuterons longuement ailleurs (insérer ici une référence ultérieure) ; ici, nous examinons seulement quelques cas particuliers. Plus précisément, nous nous concentrerons sur le cas où \(s, t\) sont finis localement libres.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Soit \(U = \text{GL}_{2, k}\). Soit \(B \subset \text{GL}_2\) le sous-schéma en groupes fermé des matrices triangulaires supérieures. Alors le faisceau quotient \(\text{GL}_{2, k}/B\) (pour la topologie de Zariski, étale ou fppf, voir la Définition 02VG) est représentable par la droite projective : \(\mathbf{P}^1 = \text{GL}_{2, k}/B\). (Détails omis.) En revanche, l’anneau des fonctions invariantes dans ce cas est simplement \(k\). Notons que, dans ce cas, les morphismes \(s, t : R = \text{GL}_{2, k} \times_k B \to \text{GL}_{2, k} = U\) sont lisses de dimension relative \(3\).

Rappelons que, dans Exercices, Exercices 02DU et 02DV, nous avons défini le déterminant et la norme pour les modules finis localement libres et les extensions d’anneaux finies localement libres. Si \(\varphi : A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux fini localement libre, alors nous noterons \(\text{Norm}_\varphi(b) \in A\) la norme de \(b \in B\). Dans le cas d’un morphisme de schémas fini localement libre, la norme a été construite dans Diviseurs, Lemme 0BD2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(U = \Spec(A)\) et \(R = \Spec(B)\) soient affines et que \(s, t : R \to U\) soient finis localement libres. Soit \(C\) comme dans (03BF). Soit \(f \in A\). Alors \(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f)) \in C\).

Démonstration

Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U }\]

Il s’agit du diagramme du lemme 02YE. Considérons \(f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\). La commutativité de la partie supérieure du diagramme montre que \(\text{pr}_0^\sharp(t^\sharp(f)) = c^\sharp(t^\sharp(f))\) comme éléments de \(\Gamma(R \times_{S, U, t} R, \mathcal{O})\). En examinant le carré cartésien inférieur droit, la compatibilité de la construction de la norme avec le changement de base montre que \(s^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f))) = \text{Norm}_{\text{pr}_1^\sharp}(c^\sharp(t^\sharp(f)))\). De même, nous obtenons \(t^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f))) = \text{Norm}_{\text{pr}_1^\sharp}(\text{pr}_0^\sharp(t^\sharp(f)))\). Par conséquent, la première égalité de cette preuve donne \(s^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f))) = t^\sharp(\text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(f)))\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(s, t : R \to U\) soient finis localement libres. Alors \[U = \coprod\nolimits_{r \geq 1} U_r\] est une réunion disjointe d’ouverts invariants par \(R\) telle que la restriction \(R_r\) de \(R\) à \(U_r\) soit telle que \(s, t : R_r \to U_r\) soient finis localement libres de rang \(r\).

Démonstration

D’après Morphismes, Lemme 04MH, il existe une décomposition \(U = \coprod\nolimits_{r \geq 0} U_r\) telle que \(s : s^{-1}(U_r) \to U_r\) soit fini localement libre de rang \(r\). Comme \(s\) est surjectif, on voit que \(U_0 = \emptyset\). Notons que \(u \in U_r \Leftrightarrow\) la fibre schématique \(s^{-1}(u)\) est de degré \(r\) sur \(\kappa(u)\). Maintenant, si \(z \in R\) avec \(s(z) = u\) et \(t(z) = u'\), alors, avec les notations du Lemme 02YE, \[\text{pr}_1^{-1}(z) \to \Spec(\kappa(z))\] est à la fois le changement de base de \(s^{-1}(u) \to \Spec(\kappa(u))\) et de \(s^{-1}(u') \to \Spec(\kappa(u'))\) d’après le lemme cité. Ainsi \(u \in U_r \Leftrightarrow u' \in U_r\) ; autrement dit, les ouverts \(U_r\) sont invariants par \(R\). En particulier, la restriction de \(R\) à \(U_r\) est simplement \(s^{-1}(U_r)\) et \(s : R_r \to U_r\) est fini localement libre de rang \(r\). Comme \(t : R_r \to U_r\) est isomorphe à \(s\) par l’inversion de \(R_r\), on voit qu’il est également de rang \(r\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(U = \Spec(A)\) et \(R = \Spec(B)\) soient affines et que \(s, t : R \to U\) soient finis localement libres. Soit \(C \subset A\) comme dans (03BF). Alors \(A\) est entier sur \(C\).

Démonstration

Tout d’abord, le Lemme 03BI nous apprend que \((U, R, s, t, c)\) est une réunion disjointe de schémas en groupoïdes \((U_r, R_r, s, t, c)\) tels que chaque \(s, t : R_r \to U_r\) soit de rang constant \(r\). Comme \(U\) est quasi-compact, on a \(U_r = \emptyset\) pour presque tout \(r\). Il suffit de démontrer le lemme pour chaque \((U_r, R_r, s, t, c)\) ; nous pouvons donc supposer que \(s, t\) sont finis localement libres de rang \(r\).

Supposons que \(s, t\) soient finis localement libres de rang \(r\). Soit \(f \in A\). Considérons l’élément \(x - f \in A[x]\), où nous regardons \(x\) comme la coordonnée sur \(\mathbf{A}^1\). Puisque \[(U \times \mathbf{A}^1, R \times \mathbf{A}^1, s \times \text{id}_{\mathbf{A}^1}, t \times \text{id}_{\mathbf{A}^1}, c \times \text{id}_{\mathbf{A}^1})\] est lui aussi un schéma en groupoïdes dont la source et le but sont finis, nous pouvons lui appliquer le Lemme 03BH et nous voyons que \(P(x) = \text{Norm}_{s^\sharp}(t^\sharp(x - f))\) est un élément de \(C[x]\). Puisque \(s^\sharp : A \to B\) est fini localement libre de rang \(r\), on voit que \(P\) est unitaire de degré \(r\). De plus, \(P(f) = 0\) d’après Cayley-Hamilton (Algèbre, Lemme 00DX). Plus précisément, Cayley-Hamilton affirme que le polynôme \(s^\sharp(P) \in B[x]\) annule l’élément \(t^\sharp(f)\). Puisque les coefficients de \(P\) appartiennent à \(C\), nous obtenons \(t^\sharp(P(f)) = 0\) dans \(B\). Comme \(t\) est fidèlement plat, nous obtenons \(P(f) = 0\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(U = \Spec(A)\) et \(R = \Spec(B)\) soient affines et que \(s, t : R \to U\) soient finis localement libres. Soit \(C \subset A\) comme dans (03BF). Soit \(C \to C'\) un homomorphisme d’anneaux, et posons \(U' = \Spec(A \otimes_C C')\), \(R' = \Spec(B \otimes_C C')\). Alors

1. Les applications \(s, t, c\) donnent des applications \(s', t', c'\). Celles-ci font de \((U', R', s', t', c')\) un schéma en groupoïdes. Soit \(C^1 \subset A'\) l’anneau des fonctions \(R'\)-invariantes sur \(U'\).

2. L’application canonique \(\varphi : C' \to C^1\) satisfait aux propriétés suivantes :

   1. pour tout \(f \in C^1\), il existe un \(n > 0\) et un polynôme \(P \in C'[x]\) dont l’image dans \(C^1[x]\) est \((x - f)^n\), et

   2. pour tout \(f \in \Ker(\varphi)\), il existe un \(n > 0\) tel que \(f^n = 0\).

3. Si \(C \to C'\) est plat, alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

La preuve de la partie (1) est omise. Notons \(A' = A \otimes_C C'\) et \(B' = B \otimes_C C'\). Alors nous avons \[C^1 = \{a \in A' \mid (t')^\sharp(a) = (s')^\sharp(a) \} = \{a \in A \otimes_C C' \mid t^\sharp \otimes 1(a) = s^\sharp \otimes 1(a) \}.\] Autrement dit, \(C^1\) est le noyau de l’application différence \((t^\sharp - s^\sharp) \otimes 1\), qui est précisément le changement de base de l’application \(C\)-linéaire \(t^\sharp - s^\sharp : A \to B\) par \(C \to C'\). Ainsi, (3) en résulte.

Preuve de la partie (2)(b). Puisque \(C \to A\) est entier (Lemme 03BJ) et injectif, on voit que \(\Spec(A) \to \Spec(C)\) est surjectif, voir Algèbre, Lemme 00GQ. Ainsi, \(\Spec(A') \to \Spec(C')\) est également surjectif comme changement de base d’un morphisme surjectif (Morphismes, Lemme 01S1). Par conséquent, \(\Spec(C^1) \to \Spec(C')\) est lui aussi surjectif. Cela implique (2)(b), par exemple d’après Algèbre, Lemme 00FL.

Preuve de la partie (2)(a). D’après le Lemme 03BI, notre schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) se décompose en une réunion disjointe finie de schémas en groupoïdes \((U_r, R_r, s, t, c)\) tels que \(s, t : R_r \to U_r\) soient finis localement libres de rang \(r\). En tirant en arrière par \(U' = \Spec(C') \to U\), nous obtenons une décomposition analogue de \(U'\) et de \(U^1 = \Spec(C^1)\). Nous montrerons dans le paragraphe suivant que (2)(a) vaut pour le système correspondant d’anneaux \(A_r, B_r, C_r, C'_r, C^1_r\), avec \(n = r\). Étant donné \(f \in C^1\), soit alors \(P_r \in C_r[x]\) le polynôme dont l’image dans \(C^1_r[x]\) est l’image de \((x - f)^r\). En choisissant un entier \(n\) suffisamment divisible, on voit qu’il existe un polynôme \(P \in C'[x]\) dont l’image dans \(C^1[x]\) est \((x - f)^n\) ; à savoir, nous prenons pour \(P\) l’unique élément de \(C'[x]\) dont l’image dans \(C'_r[x]\) est \(P_r^{n/r}\).

Dans ce paragraphe, nous démontrons (2)(a) lorsque les homomorphismes d’anneaux \(s^\sharp, t^\sharp : A \to B\) sont finis localement libres d’un rang fixé \(r\). Soit \(f \in C^1 \subset A' = A \otimes_C C'\). Choisissons une \(C\)-algèbre plate \(D\) et une surjection \(D \to C'\). Choisissons un relèvement \(g \in A \otimes_C D\) de \(f\). Considérons le polynôme \[P = \text{Norm}_{s^\sharp \otimes 1}(t^\sharp \otimes 1(x - g))\] dans \((A \otimes_C D)[x]\). D’après le Lemme 03BH et la partie (3) du présent lemme, les coefficients de \(P\) appartiennent à \(D\) (comparer avec la preuve du Lemme 03BJ). D’autre part, l’image de \(P\) dans \((A \otimes_C C')[x]\) est \((x - f)^r\), car \(t^\sharp \otimes 1(x - f) = s^\sharp(x - f)\) et \(s^\sharp\) est fini localement libre de rang \(r\). Cela démontre l’assertion avec \(P\) comme dans l’énoncé (2)(a), donné par l’image de notre \(P\) par l’application \(D[x] \to C'[x]\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(U = \Spec(A)\) et \(R = \Spec(B)\) soient affines et que \(s, t : R \to U\) soient finis localement libres. Soit \(C \subset A\) comme dans (03BF). Alors \(U \to M = \Spec(C)\) possède les propriétés suivantes :

1. l’application sur les points \(|U| \to |M|\) est surjective et \(u_0, u_1 \in |U|\) ont la même image si et seulement s’il existe un \(r \in |R|\) tel que \(t(r) = u_0\) et \(s(r) = u_1\), ce qui donne la formule \[|M| = |U|/|R|\]

2. pour tout corps algébriquement clos \(k\), on a \[M(k) = U(k)/R(k)\]

Démonstration

Puisque \(C \to A\) est entier (Lemme 03BJ) et injectif, on voit que \(\Spec(A) \to \Spec(C)\) est surjectif, voir Algèbre, Lemme 00GQ. Ainsi, \(|U| \to |M|\) est surjectif.

Soit \(k\) un corps algébriquement clos et soit \(C \to k\) un homomorphisme d’anneaux. Puisque les morphismes surjectifs sont préservés par changement de base (Morphismes, Lemme 01S1), on voit que \(A \otimes_C k\) n’est pas nul. Or \(k \subset A \otimes_C k\) est une extension entière non nulle. Ainsi, tout corps résiduel de \(A \otimes_C k\) est une extension algébrique de \(k\), donc est égal à \(k\). Nous voyons donc que \(U(k) \to M(k)\) est surjectif.

Soient \(a_0, a_1 : A \to k\) deux homomorphismes d’anneaux. S’il existe un homomorphisme d’anneaux \(b : B \to k\) telle que \(a_0 = b \circ t^\sharp\) et \(a_1 = b \circ s^\sharp\), alors on voit par définition que \(a_0|_C = a_1|_C\). Ainsi, l’application \(U(k) \to M(k)\) égalise les deux applications \(R(k) \to U(k)\). Réciproquement, supposons que \(a_0|_C = a_1|_C\). Notons cette application d’algèbres \(c : C \to k\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ & & B \ar@{-->}[lld] \\ k & & A \ar@<0.5ex>[ll]^{a_0} \ar@<-0.5ex>[ll]_{a_1} \ar@<1ex>[u] \ar@<-1ex>[u] \\ & & C \ar[u] \ar[llu]^c }\] Si nous pouvons construire une flèche pointillée rendant le diagramme commutatif, alors la preuve de la partie (2) du lemme est achevée. Puisque \(s : A \to B\) est fini, il existe un nombre fini d’homomorphismes d’anneaux \(b_1, \ldots, b_n : B \to k\) telles que \(b_i \circ s^\sharp = a_1\). Si la flèche pointillée n’existe pas, nous voyons qu’aucune des \(a'_i = b_i \circ t^\sharp\), \(i = 1, \ldots, n\), n’est égale à \(a_0\). Par conséquent, les idéaux maximaux \[\mathfrak m'_i = \Ker(a_i' \otimes 1 : A \otimes_C k \to k)\] de \(A \otimes_C k\) sont distincts de \(\mathfrak m = \Ker(a_0 \otimes 1 : A \otimes_C k \to k)\). D’après Algèbre, Lemme 00DS, nous obtiendrions un élément \(f \in A \otimes_C k\) tel que \(f \in \mathfrak m\), mais que \(f \not \in \mathfrak m_i'\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Considérons la norme \[g = \text{Norm}_{s^\sharp \otimes 1}(t^\sharp \otimes 1(f)) \in A \otimes_C k\] D’après le Lemme 03BH, celle-ci appartient à l’anneau des invariants \(C^1 \subset A \otimes_C k\) du schéma en groupoïdes obtenu par changement de base (au moyen de l’application \(c : C \to k\)). D’une part, \(a_1(g) \in k^*\), puisque la valeur de \(t^\sharp(f)\) en tous les points (qui correspondent à \(b_1, \ldots, b_n\)) situés au-dessus de \(a_1\) est inversible (insérer ici une référence ultérieure à cette propriété du déterminant). D’autre part, puisque \(f \in \mathfrak m\), nous voyons que \(f\) n’est pas une unité, et donc que \(t^\sharp(f)\) n’est pas une unité (car \(t^\sharp \otimes 1\) est fidèlement plat), et donc que sa norme n’est pas une unité (insérer ici une référence ultérieure à cette propriété du déterminant). Nous concluons que \(C^1\) contient un élément qui n’est ni nilpotent ni une unité. Nous allons maintenant montrer que cela conduit à une contradiction. En effet, appliquons le Lemme 03BK à l’application \(c : C \to C' = k\) ; alors nous voyons que l’application de \(k\) dans l’anneau des invariants \(C^1\) est injective et que, de plus, pour tout élément \(x \in C^1\), il existe un entier \(n > 0\) tel que \(x^n \in k\). Ainsi, tout élément de \(C^1\) est soit une unité, soit nilpotent.

Il nous reste à achever la preuve de (1). Nous savons déjà que \(|U| \to |M|\) est surjectif. Il est clair que \(|U| \to |M|\) est invariante par \(|R|\). Enfin, supposons que \(u_0, u_1 \in U\) aient la même image \(m \in M\). Alors les extensions de corps induites \(\kappa(u_0)/\kappa(m)\) et \(\kappa(u_1)/\kappa(m)\) sont algébriques (car \(A\) est entier sur \(C\), comme utilisé ci-dessus). Par conséquent, si \(k\) est une clôture algébrique de \(\kappa(m)\), nous pouvons trouver des \(\kappa(m)\)-plongements \(\overline{u}_0 : \kappa(u_0) \to k\) et \(\overline{u}_1 : \kappa(u_1) \to k\). Ceux-ci déterminent des points à valeurs dans \(k\), \(\overline{u}_0, \overline{u}_1 \in U(k)\), ayant la même image dans \(M(k)\). D’après la partie (2), il existe un point \(\overline{r} \in R(k)\) tel que \(s(\overline{r}) = \overline{u}_0\) et \(t(\overline{r}) = \overline{u}_1\). L’image \(r \in R\) de \(\overline{r}\) est un point tel que \(s(r) = u_0\) et \(t(r) = u_1\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : (U', R', s', t') \to (U, R, s, t, c)\) un morphisme de schémas en groupoïdes sur \(S\). Supposons que

1. \(U\), \(R\), \(U'\), \(R'\) soient affines,

2. \(s, t, s', t'\) soient finis localement libres,

3. les diagrammes \[\xymatrix{ R' \ar[d]_{s'} \ar[r]_f & R \ar[d]^s \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ R' \ar[d]_{t'} \ar[r]_f & R \ar[d]^t \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ G' \ar[d] \ar[r]_f & G \ar[d] \\ U' \ar[r]^f & U }\] soient cartésiens, où \(G\) et \(G'\) sont les schémas en groupes stabilisateurs, et

4. \(f : U' \to U\) soit étale.

Alors l’application \(C \to C'\) de l’anneau des fonctions \(R\)-invariantes sur \(U\) vers l’anneau des fonctions \(R'\)-invariantes sur \(U'\) est étale et \(U' = \Spec(C') \times_{\Spec(C)} U\).

Démonstration

Posons \(M = \Spec(C)\) et \(M' = \Spec(C')\). Écrivons \(U = \Spec(A)\), \(U' = \Spec(A')\), \(R = \Spec(B)\) et \(R' = \Spec(B')\). Nous utiliserons les résultats des Lemmes 03BJ, 03BK et 03BL sans autre mention.

Supposons que \(C\) soit un anneau local strictement hensélien. Soit \(p \in M\) le point fermé et soit \(p' \in M'\) un point au-dessus de \(p\). Affirmation : dans ce cas, il existe une décomposition en réunion disjointe \((U', R', s', t', c') = (U, R, s, t, c) \amalg (U'', R'', s'', t'', c'')\) au-dessus de \((U, R, s, t, c)\) telle que, pour la décomposition en réunion disjointe correspondante \(M' = M \amalg M''\) au-dessus de \(M\), le point \(p'\) corresponde à \(p \in M\).

L’affirmation implique le lemme. Supposons que \(M_1 \to M\) soit un morphisme plat de schémas affines. Nous pouvons alors tout changer de base vers \(M_1\) sans modifier les hypothèses (1) – (4). Le Lemme 03BK montre que \(M_1\), resp. \(M_1'\), est le spectre de l’anneau des fonctions \(R_1\)-invariantes sur \(U_1\), resp. des fonctions \(R'_1\)-invariantes sur \(U'_1\). Supposons que \(p' \in M'\) ait pour image \(p \in M\). Soit \(M_1\) le spectre de l’hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{M, p}\), de point fermé \(p_1 \in M_1\). Choisissons un point \(p'_1 \in M'_1\) au-dessus de \(p_1\) et de \(p'\). L’affirmation donne \[(U'_1, R'_1, s'_1, t'_1, c'_1) = (U_1, R_1, s_1, t_1, c_1) \amalg (U''_1, R''_1, s''_1, t''_1, c''_1)\] et, de manière correspondante, \(M'_1 = M_1 \amalg M''_1\) comme schéma au-dessus de \(M_1\). Écrivons \(M_1 = \Spec(C_1)\) et \(C_1 = \colim C_i\) comme une limite inductive filtrante de \(C\)-algèbres étales. Posons \(M_i = \Spec(C_i)\). Alors \(M_1 = \lim M_i\), et de même pour les autres schémas. D’après Limites, Lemmes 01Z4 et 081E, nous pouvons trouver un \(i\) tel que \[(U'_i, R'_i, s'_i, t'_i, c'_i) = (U_i, R_i, s_i, t_i, c_i) \amalg (U''_i, R''_i, s''_i, t''_i, c''_i)\] Nous concluons que \(M'_i = M_i \amalg M''_i\). En particulier, \(M' \to M\) devient étale en un point au-dessus de \(p'\) après un changement de base étale. Cela implique que \(M' \to M\) est étale en \(p'\) (par exemple d’après Morphismes, Lemme 0476). Nous démontrerons \(U' \cong M' \times_M U\) après avoir prouvé l’affirmation.

Preuve de l’affirmation. Observons que \(U_p\) et \(U'_{p'}\) ont un nombre fini de points. Pour \(u \in U_p\), l’extension \(\kappa(u)/\kappa(p)\) est algébrique ; ainsi, \(\kappa(u)\) est séparablement clos. Comme \(U' \to U\) est étale, nous concluons que le morphisme \(U'_{p'} \to U_p\) induit des isomorphismes de corps résiduels. Soit \(u' \in U'_{p'}\) d’image \(u \in U_p\). Par l’hypothèse (3), les morphismes de fibres schématiques \((s')^{-1}(u') \to s^{-1}(u)\), \((t')^{-1}(u') \to t^{-1}(u)\) et \(G'_{u'} \to G_u\) sont des isomorphismes. Comme \(U_p = t(s^{-1}(u))\) (ensemblistement), nous concluons que l’application de l’ensemble des points de \(U'_{p'}\) dans l’ensemble des points de \(U_p\) est surjective. Supposons que \(u'_1\) et \(u'_2\) soient des points de \(U'_{p'}\) ayant la même image \(u\) dans \(U_p\). Il existe alors un point \(r' \in R'_{p'}\) tel que \(s'(r') = u'_1\) et \(t'(r') = u'_2\). Considérons les deux tours de corps \[\kappa(r')/\kappa(u'_1)/\kappa(u)/\kappa(p) \quad \kappa(r')/\kappa(u'_2)/\kappa(u)/\kappa(p)\] dont les “extrémités” sont les mêmes que les deux “extrémités” des deux tours \[\kappa(r')/\kappa(u'_1)/\kappa(p')/\kappa(p) \quad \kappa(r')/\kappa(u'_2)/\kappa(p')/\kappa(p)\]

Ces deux tours induisent les mêmes applications \(\kappa(p') \to \kappa(r')\), puisque \((U'_{p'}, R'_{p'}, s', t', c')\) est un schéma en groupoïdes sur \(p'\). Puisque \(\kappa(u)/\kappa(p)\) est purement inséparable, nous concluons que les deux applications induites \(\kappa(u) \to \kappa(r')\) sont les mêmes. Par conséquent, \(r'\) s’envoie sur un point de la fibre \(G_u\). Par l’hypothèse (3), nous concluons que \(r' \in (G')_{u'_1}\). En effet, nous pouvons considérer \(G\) comme un sous-schéma fermé de \(R\), vu comme un schéma sur \(U\) au moyen de \(s\), et utiliser le fait que son changement de base à \(U'\) donne \(G' \subset R'\). En particulier, nous avons \(u'_1 = u'_2\). Nous concluons que \(U'_{p'} \to U_p\) est une application bijective sur les points et qu’elle induit des isomorphismes sur les corps résiduels. Il s’ensuit que \(U'_{p'}\) est un ensemble fini de points fermés (Algèbre, Lemme 00GA) et donc que \(U'_{p'}\) est fermé dans \(U'\). Soit \(J' \subset A'\) l’idéal radical définissant \(U'_{p'}\) ensemblistement.

Seconde partie de la preuve de l’affirmation. Soit \(\mathfrak m \subset C\) l’idéal maximal. Observons que \((A, \mathfrak m A)\) est un couple hensélien d’après Compléments d’algèbre, Lemme 09XK. Soit \(J = \sqrt{\mathfrak m A}\). Alors \((A, J)\) est un couple hensélien (Compléments d’algèbre, Lemme 09XJ) et l’homomorphisme d’anneaux étale \(A \to A'\) induit un isomorphisme \(A/J \to A'/J'\) d’après nos considérations ci-dessus. Nous concluons que \(A' = A \times A''\) d’après Compléments d’algèbre, Lemme 09XI. Considérons la décomposition en réunion disjointe correspondante \(U' = U \amalg U''\). L’ouvert \((s')^{-1}(U)\) est l’ensemble des points de \(R'\) qui se spécialisent en un point de \(R'_{p'}\). Il en va de même pour \((t')^{-1}(U)\). De même, nous avons \((s')^{-1}(U'') = (t')^{-1}(U'')\), car il s’agit de l’ensemble des points qui ne se spécialisent pas dans \(R'_{p'}\). Nous obtenons donc une décomposition en réunion disjointe \[(U', R', s', t', c') = (U, R, s, t, c) \amalg (U'', R'', s'', t'', c'')\] Celle-ci donne immédiatement \(M' = M \amalg M''\), et la preuve de l’affirmation est achevée.

Il nous reste à montrer que l’application canonique \(U' \to M' \times_M U\) est un isomorphisme. C’est un morphisme étale (Morphismes, Lemme 02GW). D’autre part, en effectuant des changements de base vers des anneaux locaux strictement henséliens (comme dans le troisième paragraphe de la preuve) et en utilisant la bijectivité \(U'_{p'} \to U_p\) établie au cours de la preuve de l’affirmation, nous voyons que \(U' \to M' \times_M U\) est universellement bijectif (certains détails sont omis). Or un morphisme universellement bijectif et étale est un isomorphisme (Descente, Lemme 02LC), ce qui achève la preuve.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que

1. \(U = \Spec(A)\) et \(R = \Spec(B)\) soient affines, et qu’

2. il existe des éléments \(x_i \in A\), \(i \in I\), tels que \(B = \bigoplus_{i \in I} s^\sharp(A)t^\sharp(x_i)\).

Alors \(A = \bigoplus_{i\in I} Cx_i\) et \(B \cong A \otimes_C A\), où \(C \subset A\) est l’anneau des fonctions \(R\)-invariantes sur \(U\), comme dans (03BF).

Démonstration

Dans cette preuve, nous écrirons \(s, t : A \to B\) au lieu de \(s^\sharp, t^\sharp\), et de même \(c : B \to B \otimes_{s, A, t} B\). Nous écrivons \(p_0 : B \to B \otimes_{s, A, t} B\), \(b \mapsto b \otimes 1\) et \(p_1 : B \to B \otimes_{s, A, t} B\), \(b \mapsto 1 \otimes b\). D’après le Lemme 03C6 et la définition de \(C\), nous avons le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ B \otimes_{s, A, t} B & B \ar@<-1ex>[l]_-c \ar@<1ex>[l]^-{p_0} & A \ar[l]^t \\ B \ar[u]^{p_1} & A \ar@<-1ex>[l]_s \ar@<1ex>[l]^t \ar[u]_s & C \ar[u] \ar[l] }\] De plus, les deux carrés de gauche sont cocartésiens dans la catégorie des anneaux, et la ligne supérieure est isomorphe au diagramme \[\xymatrix{ B \otimes_{t, A, t} B & B \ar@<-1ex>[l]_-{p_1} \ar@<1ex>[l]^-{p_0} & A \ar[l]^t }\] qui est un diagramme égalisateur d’après Descente, Lemme 023M, car la condition (2) implique en particulier que \(s\) (et donc aussi la flèche \(t\) qui lui est isomorphe) est fidèlement plat. La ligne inférieure est un diagramme égalisateur par définition de \(C\). Nous pouvons utiliser les \(x_i\) et obtenir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ B \otimes_{s, A, t} B & B \ar@<-1ex>[l]_-c \ar@<1ex>[l]^-{p_0} & A \ar[l]^t \\ \bigoplus_{i \in I} B x_i \ar[u]^{p_1} & \bigoplus_{i \in I} A x_i \ar@<-1ex>[l]_s \ar@<1ex>[l]^t \ar[u]_s & \bigoplus_{i \in I} C x_i \ar[u] \ar[l] }\] où la flèche verticale de droite envoie \(x_i\) sur \(x_i\), la flèche verticale du milieu envoie \(x_i\) sur \(t(x_i)\) et la flèche verticale de gauche envoie \(x_i\) sur \(c(t(x_i)) = t(x_i) \otimes 1 = p_0(t(x_i))\) (égalité résultant de la commutativité de la partie supérieure du diagramme du lemme 02YE). Le diagramme est alors commutatif. De plus, la flèche verticale du milieu est un isomorphisme par hypothèse. Les deux carrés de gauche étant cocartésiens, on en conclut que la flèche verticale de gauche est elle aussi un isomorphisme. D’autre part, les lignes horizontales sont exactes (c’est-à-dire que ce sont des égalisateurs). On en conclut donc que la flèche verticale de droite est elle aussi un isomorphisme.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que

1. \(U = \Spec(A)\) et \(R = \Spec(B)\) soient affines,

2. \(s, t : R \to U\) soient finis localement libres, et

3. \(j = (t, s)\) soit une relation d’équivalence.

Dans ce cas, soit \(C \subset A\) comme dans (03BF). Alors \(U \to M = \Spec(C)\) est fini localement libre et \(R = U \times_M U\). De plus, \(M\) représente le faisceau quotient \(U/R\) pour la topologie fppf (voir la définition 02VG).

Démonstration

Dans cette démonstration, on utilise la notation \(s, t : A \to B\) au lieu de la notation \(s^\sharp, t^\sharp\). D’après le lemme 03C5, il suffit de montrer que \(C \to A\) est fini localement libre et que l’application \[t \otimes s : A \otimes_C A \longrightarrow B\] est un isomorphisme. Notons d’abord que \(j\) est un monomorphisme, et qu’il est aussi fini (puisque \(s\) et \(t\) sont déjà finis). On voit donc que \(j\) est une immersion fermée d’après Morphismes, lemme 03BB. Ainsi, \(A \otimes_C A \to B\) est surjective.

On effectuera des changements de base par des homomorphismes plats d’anneaux \(C \to C'\), comme dans le lemme 03BK, et l’on utilisera le fait que la formation des invariants commute au changement de base plat, voir la partie (3) du lemme cité. On montrera ci-dessous que, pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset C\), il existe un homomorphisme local plat d’anneaux \(C_{\mathfrak p} \to C_{\mathfrak p}'\) tel que le résultat soit vrai après changement de base à \(C_{\mathfrak p}'\). Cela implique immédiatement que \(A \otimes_C A \to B\) est injective (utiliser Algèbre, lemme 00HN). Cela implique aussi que \(C \to A\) est plat, en combinant Algèbre, lemmes 00HR, 00HT et 00HJ. Puisque \(U \to \Spec(C)\) est également surjectif (lemme 03BL), on en conclut que \(C \to A\) est fidèlement plat. L’isomorphisme \(B \cong A \otimes_C A\) implique alors que \(A\) est un \(C\)-module de présentation finie, voir Algèbre, lemme 03C4. Ainsi, \(A\) est fini localement libre sur \(C\), voir Algèbre, lemme 00NX.

D’après le lemme 03BI, on sait que \(A\) est un produit fini d’anneaux \(A_r\) et que \(B\) est un produit fini d’anneaux \(B_r\), de sorte que le schéma en groupoïdes se décompose de façon correspondante (voir la démonstration du lemme 03BJ). Alors \(C\) est lui aussi un produit d’anneaux \(C_r\), et \(C'\) se décompose de façon correspondante en un produit. On peut donc, et l’on va, supposer que les homomorphismes d’anneaux \(s, t : A \to B\) sont finis localement libres d’un rang fixé \(r\).

Les homomorphismes locaux d’anneaux \(C_{\mathfrak p} \to C_{\mathfrak p}'\) que l’on va utiliser sont des morphismes locaux plats quelconques tels que le corps résiduel de \(C_{\mathfrak p}'\) soit infini. D’après Algèbre, lemme 03C3, de tels morphismes locaux existent.

Supposons que \(C\) soit un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak m\) et de corps résiduel infini, et que \(s, t : A \to B\) soient finis localement libres de rang constant \(r > 0\). Comme l’extension \(C \subset A\) est entière (lemme 03BJ), tous les idéaux premiers au-dessus de \(\mathfrak m\) sont maximaux, et tous les idéaux maximaux de \(A\) sont au-dessus de \(\mathfrak m\). Il en va de même pour \(C \subset B\). Choisissons un idéal maximal \(\mathfrak m'\) de \(A\) au-dessus de \(\mathfrak m\) (il en existe d’après le lemme 03BL). Comme \(t : A \to B\) est fini localement libre, il n’existe qu’un nombre fini d’idéaux maximaux de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak m'\). On en conclut (de nouveau par le lemme 03BL) que \(A\) a un nombre fini d’idéaux maximaux, c’est-à-dire que \(A\) est semi-local. Cela implique à son tour que \(B\) est également semi-local. Or, puisque \(t \otimes s : A \otimes_C A \to B\) est surjective, on peut appliquer Algèbre, lemme 03C1 à l’homomorphisme d’anneaux \(C \to A\), au \(A\)-module \(M = B\) (considéré comme un \(A\)-module via \(t\)) et au \(C\)-sous-module \(s(A) \subset B\). Ce lemme implique qu’il existe \(x_1, \ldots, x_r \in A\) tels que \(M\) soit libre sur \(A\) de base \(s(x_1), \ldots, s(x_r)\). On en conclut que \(C \to A\) est fini libre et que \(B \cong A \otimes_C A\), en appliquant le lemme 03C8.

Groupoïdes finis plats

Dans cette section, on démontre un lemme qui aidera à montrer que le quotient d’un schéma par une relation d’équivalence finie plate est un schéma, pourvu que chaque classe d’équivalence soit contenue dans un ouvert affine. Voir Propriétés des espaces, proposition 07S6.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(s\), \(t\) soient finis localement libres. Soit \(u \in U\) un point tel que \(t(s^{-1}(\{u\}))\) soit contenu dans un ouvert affine de \(U\). Alors il existe un voisinage ouvert affine \(R\)-invariant de \(u\) dans \(U\).

Démonstration

Puisque \(s\) est fini localement libre, ses fibres sont finies. Ainsi, \(t(s^{-1}(\{u\})) = \{u_1, \ldots, u_n\}\) est un ensemble fini. Notons que \(u \in \{u_1, \ldots, u_n\}\). Soit \(W \subset U\) un ouvert affine contenant \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) ; en particulier, \(u \in W\). Considérons \(Z = R \setminus s^{-1}(W) \cap t^{-1}(W)\). C’est un fermé de \(R\). L’image \(t(Z)\) est un fermé de \(U\) que l’on peut décrire informellement comme l’ensemble des points de \(U\) qui sont \(R\)-équivalents à un point de \(U \setminus W\). Ainsi, \(W' = U \setminus t(Z)\) est un sous-schéma ouvert \(R\)-invariant de \(U\) contenu dans \(W\), et \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset W'\). La situation est la suivante : \[\{u_1, \ldots, u_n\} \subset W' \subset W \subset U.\] Soit \(f \in \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\) un élément tel que \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset D(f) \subset W'\). Un tel \(f\) existe d’après Algèbre, lemme 00DS. Par notre choix de \(W'\), on a \(s^{-1}(W') \subset t^{-1}(W)\), et l’on obtient donc un diagramme \[\xymatrix{ s^{-1}(W') \ar[d]_s \ar[r]_-t & W \\ W' }\] La flèche verticale est finie localement libre par hypothèse. Posons \[g = \text{Norm}_s(t^\sharp f) \in \Gamma(W', \mathcal{O}_{W'})\] Par construction, \(g\) est une fonction sur \(W'\) qui est non nulle en \(u\), car \(t^\sharp(f)\) est non nulle en chacun des points de \(R\) au-dessus de \(u\), puisque \(f\) est non nulle en \(u_1, \ldots, u_n\). De même, \(D(g) \subset W'\) est égal à l’ensemble des points \(w\) tels que \(f\) ne s’annule en aucun des points équivalents à \(w\). Cela signifie que \(D(g)\) est un ouvert affine \(R\)-invariant de \(W'\). La situation finale est \[\{u_1, \ldots, u_n\} \subset D(g) \subset D(f) \subset W' \subset W \subset U\] et l’on obtient donc le résultat souhaité.

Descente des schémas quasi-projectifs

On peut utiliser le lemme 03JE pour montrer qu’un certain type de donnée de descente est effectif.

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme surjectif fini localement libre. Soit \(d\) un entier strictement positif. Supposons que, pour tout point géométrique \(\bar{y} : \mathrm{Spec}(k) \to Y\), la fibre \(X_{\bar{y}}\) ait au plus \(d\) points. Soit \(V\) un schéma sur \(X\) tel que, pour tout \((y, v_1, \ldots, v_d)\) où \(y \in Y\) et \(v_1, \ldots, v_d \in V_y\), il existe un ouvert affine \(U \subset V\) tel que \(v_1, \ldots, v_d \in U\). Alors toute donnée de descente sur \(V/X/Y\) est effective.

Démonstration

Soit \(\varphi\) une donnée de descente au sens de Descente, définition 023V. Rappelons que le foncteur des schémas sur \(Y\) vers les données de descente relatives à \(\{X \to Y\}\) est pleinement fidèle, voir Descente, lemme 02W0. Ainsi, en utilisant Constructions, lemme 01LH, il suffit de démontrer le lemme dans le cas où \(Y\) est affine. Certains détails sont omis (on peut éviter cet argument si \(Y\) est séparé ou possède une diagonale affine, car tout morphisme d’un schéma affine vers \(X\) est alors affine).

Supposons que \(Y\) soit affine. Si \(V\) est lui aussi affine, on a l’effectivité d’après Descente, lemme 0245. Ainsi, d’après Descente, lemme 0AP4, il suffit de démontrer que tout point \(v\) de \(V\) possède un voisinage ouvert affine \(\varphi\)-invariant. Considérons le groupoïde \((X, X \times_Y X, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\). D’après le lemme 0APF, la donnée de descente \(\varphi\) détermine, et est déterminée par, un morphisme cartésien de schémas en groupoïdes \[(V, R, s, t, c) \longrightarrow (X, X \times_Y X, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\] sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Puisque \(X \to Y\) est fini localement libre, on voit que \(\text{pr}_i : X \times_Y X \to X\), et donc \(s\) et \(t\), sont finis localement libres, et leurs fibres géométriques ont au plus \(d\) points. En particulier, la \(R\)-orbite \(t(s^{-1}(\{v\}))\) de notre point \(v \in V\) a au plus \(d\) points. En utilisant encore une fois l’équivalence de catégories du lemme 0APF, on voit que les ouverts \(\varphi\)-invariants de \(V\) sont exactement les ouverts \(R\)-invariants de \(V\). Notre hypothèse montre qu’il existe un ouvert affine de \(V\) contenant l’orbite \(t(s^{-1}(\{v\}))\), car tous les points de cette orbite ont la même image dans \(Y\). Le lemme 03JE fournit donc un ouvert affine \(R\)-invariant contenant \(v\).

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme surjectif fini localement libre. Soit \(V\) un schéma sur \(X\) tel que, pour tout \((y, v_1, \ldots, v_d)\) où \(y \in Y\) et \(v_1, \ldots, v_d \in V_y\), il existe un ouvert affine \(U \subset V\) tel que \(v_1, \ldots, v_d \in U\). Alors toute donnée de descente sur \(V/X/Y\) est effective.

Démonstration

Comme dans la démonstration du lemme 0H8K, on peut supposer que \(Y\) est affine, donc en particulier quasi-compact. Il existe alors un entier \(d\) tel que toutes les fibres géométriques de \(X \to Y\) aient au plus \(d\) points, voir la discussion dans Morphismes, section 03J3. Notre hypothèse sur \(V\) implique trivialement que l’on peut appliquer le lemme 0H8K, ce qui termine la démonstration.

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme surjectif fini localement libre. Soit \(V\) un schéma sur \(X\) tel que l’une des conditions suivantes soit satisfaite :

1. \(V \to X\) est projectif,

2. \(V \to X\) est quasi-projectif,

3. il existe un faisceau inversible ample sur \(V\),

4. il existe un faisceau inversible \(X\)-ample sur \(V\),

5. il existe un faisceau inversible \(X\)-très ample sur \(V\).

Alors toute donnée de descente sur \(V/X/Y\) est effective.

Démonstration

Vérifions la condition du lemme 0CCI. Soient \(y \in Y\) et \(v_1, \ldots, v_d \in V\) des points au-dessus de \(y\). Le cas (1) est un cas particulier de (2), voir Morphismes, lemme 07RL. Le cas (2) est un cas particulier de (4), voir Morphismes, définition 01VW. S’il existe un faisceau inversible ample sur \(V\), alors il existe un ouvert affine contenant \(v_1, \ldots, v_d\) d’après Propriétés, lemme 01ZY. Ainsi, la condition (3) est satisfaite. Dans les cas (4) et (5), on peut sans inconvénient remplacer \(Y\) par un voisinage ouvert affine de \(y\). Alors \(X\) est lui aussi affine. Dans le cas (4), on voit que \(V\) possède un faisceau inversible ample d’après Morphismes, définition 01VH, et le résultat découle du cas (3). Dans le cas (5), on peut remplacer \(V\) par un ouvert quasi-compact contenant \(v_1, \ldots, v_d\), et l’on se ramène au cas (4) par Morphismes, lemme 01VN.

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme surjectif fini localement libre qui est radiciel. Soit \(V\) un schéma sur \(X\). Alors toute donnée de descente sur \(V/X/Y\) est effective.

Démonstration

Appliquer le lemme 0H8K avec \(d = 1\).