Espaces algébriques formels

Introduction

Les schémas formels ont été introduits dans [EGA]. Une version plus générale des schémas formels a été introduite dans [McQuillan], et une autre dans [Yasuda]. Les espaces algébriques formels ont été introduits dans [Kn]. On trouvera des résultats connexes, ainsi que bien d’autres, dans [Abbes] et [Fujiwara-Kato]. Ce chapitre introduit la notion d’espace algébrique formel que nous utiliserons. Notre définition est assez générale pour que la plupart des classes de schémas ou d’espaces formels considérées dans la littérature en soient des sous-catégories pleines.

Bien que nous comparions certaines de ces théories alternatives à la nôtre, nous ne donnons pas toujours tous les détails lorsqu’ils ne sont pas nécessaires au développement logique de la théorie.

Outre l’introduction des espaces algébriques formels, nous établissons aussi quelques propriétés très élémentaires et étudions plusieurs types de morphismes.

Schémas formels à la EGA

Dans cette section, nous rappelons la construction des schémas formels de [EGA]. Cette notion, bien que très utile en géométrie algébrique, n’est pas toujours celle qu’il convient de considérer. Il serait peut-être plus juste de dire que la mise en place de la théorie comporte un certain nombre de choix, alors que, suivant le but poursuivi, d’autres choix pourraient être préférables. On trouve en effet dans la littérature de nombreuses théories voisines adaptées au problème que les auteurs souhaitent étudier. Néanmoins, l’un des grands avantages de la théorie esquissée ici est qu’elle permet de travailler avec des objets géométriques bien déterminés.

Avant de commencer, signalons une difficulté concernant la condition de faisceau pour les faisceaux d’anneaux topologiques ou, plus généralement, d’espaces topologiques. En effet, les grandes catégories suivantes :

la catégorie des espaces topologiques,
la catégorie des groupes topologiques,
la catégorie des anneaux topologiques,
la catégorie des modules topologiques sur un anneau topologique donné,

munies de leurs foncteurs d’oubli naturels vers \(\textit{Ensembles}\), ne sont pas des exemples de types de structures algébriques au sens de Faisceaux, section 007L. Nous ne pouvons donc pas leur appliquer sans précaution les méthodes développées dans ce chapitre. En revanche, chacune des catégories énumérées ci-dessus admet des limites et des égalisateurs, et le foncteur d’oubli vers les ensembles, les groupes, les anneaux ou les modules commute à ceux-ci (voir Topologie, lemmes 08ZT, 0B20, 0B23, et 0B26). Nous pouvons donc définir la notion de faisceau comme dans Faisceaux, définition 0072, et le préfaisceau sous-jacent d’ensembles, de groupes, d’anneaux ou de modules est un faisceau. La différence essentielle est que, pour un recouvrement ouvert \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\), le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1}) }\] doit être un diagramme égalisateur dans la catégorie des espaces topologiques, des groupes topologiques, des anneaux topologiques ou des modules topologiques, c’est-à-dire que la première application identifie \(\mathcal{F}(U)\) à un sous-espace de \(\prod_{i \in I} \mathcal{F}(U_i)\), ce dernier étant muni de la topologie produit.

La fibre \(\mathcal{F}_x\) d’un faisceau \(\mathcal{F}\) d’espaces topologiques, de groupes topologiques, d’anneaux topologiques ou de modules topologiques en un point \(x \in X\) est définie comme la limite inductive sur les voisinages ouverts \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] dans la catégorie correspondante. Cela revient à prendre la limite inductive au niveau des ensembles, des groupes, des anneaux ou des modules (voir Topologie, lemmes 0B1X, 0B21, 0B24, et 0B27), mais cette limite est munie d’une topologie. Attention : la topologie obtenue dépend de la catégorie dans laquelle on travaille ; voir Exemples, section 0B2Y. On peut associer un faisceau aux préfaisceaux d’espaces topologiques, de groupes topologiques, d’anneaux topologiques ou de modules topologiques, et la prise des fibres commute à cette opération ; voir la remarque 0AI4.

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Il existe un foncteur \(f_*\) de la catégorie des faisceaux d’espaces topologiques, de groupes topologiques, d’anneaux topologiques ou de modules topologiques vers la catégorie correspondante des faisceaux sur \(Y\), défini en posant, comme d’habitude, \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}V)\). (Nous remettons à plus tard l’étude de l’image inverse dans ce cadre.) Nous définissons la notion de \(f\)-application \(\xi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) entre un faisceau d’espaces topologiques \(\mathcal{G}\) sur \(Y\) et un faisceau d’espaces topologiques \(\mathcal{F}\) sur \(X\) exactement de la même manière que dans Faisceaux, définition 008J, avec la condition supplémentaire que \(\xi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V)\) soit continue pour tout ouvert \(V \subset Y\). On a \[\{f\text{-applications de }\mathcal{G}\text{ vers }\mathcal{F}\} = \Mor_{\Sh(Y, \textit{Top})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\] comme dans Faisceaux, lemme 008K. Il en va de même pour les faisceaux de groupes topologiques, d’anneaux topologiques et de modules topologiques. Enfin, soit \(\xi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) une \(f\)-application comme ci-dessus. Étant donné \(x \in X\), d’image \(y = f(x)\), il existe une application continue \[\xi_x : \mathcal{G}_y \longrightarrow \mathcal{F}_x\] entre les fibres, définie exactement de la même manière que dans la discussion qui suit Faisceaux, définition 008L.

La discussion précédente permet de définir une catégorie \(LTRS\) des « espaces localement annelés topologiques ». Un objet est un couple \((X, \mathcal{O}_X)\) formé d’un espace topologique \(X\) et d’un faisceau d’anneaux topologiques \(\mathcal{O}_X\) dont les fibres \(\mathcal{O}_{X, x}\) sont des anneaux locaux (lorsqu’on oublie la topologie). Un morphisme \((X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) dans \(LTRS\) est un couple \((f, f^\sharp)\), où \(f : X \to Y\) est une application continue d’espaces topologiques et \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) est une \(f\)-application telle que, pour tout \(x \in X\), l’application induite \[f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] soit un homomorphisme local d’anneaux locaux (en oubliant les topologies). La composition se définit exactement comme celle des morphismes d’espaces localement annelés.

Supposons maintenant que l’espace topologique \(X\) possède une base formée d’ouverts quasi-compacts. Étant donné un faisceau \(\mathcal{F}\) d’ensembles, de groupes, d’anneaux ou de modules sur un anneau, on peut munir \(\mathcal{F}\) d’une structure de faisceau d’espaces topologiques, de groupes topologiques, d’anneaux topologiques ou de modules topologiques. En effet, si \(U \subset X\) est un ouvert quasi-compact, nous munissons \(\mathcal{F}(U)\) de la topologie discrète. Si \(U \subset X\) est quelconque, nous choisissons un recouvrement ouvert \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) par des ouverts quasi-compacts et munissons \(\mathcal{F}(U)\) de la topologie induite par \(\prod_{i \in I} \mathcal{F}(U_i)\) (comme l’impose la discussion précédente). Le lecteur vérifiera (nous omettons les détails) que l’on obtient ainsi un faisceau d’espaces topologiques, de groupes topologiques, d’anneaux topologiques ou de modules topologiques. Nous dirons qu’un faisceau d’espaces topologiques, de groupes topologiques, d’anneaux topologiques ou de modules topologiques est pseudo-discret si la topologie de \(\mathcal{F}(U)\) est discrète pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\). Alors la construction précédente est adjointe au foncteur d’oubli et induit une équivalence entre la catégorie des faisceaux d’ensembles et celle des faisceaux pseudo-discrets d’espaces topologiques (et de même pour les groupes, les anneaux et les modules).

Grothendieck et Dieudonné définissent d’abord les schémas formels affines. Ceux-ci correspondent aux anneaux topologiques admissibles \(A\) ; voir Compléments d’algèbre, définition 07E8. Plus précisément, étant donné \(A\), on considère un système fondamental \(I_\lambda\) d’idéaux de définition de l’anneau \(A\). (Dans tout anneau topologique admissible, la famille de tous les idéaux de définition forme un système fondamental.) Pour tout \(\lambda\), on peut considérer le schéma \(\Spec(A/I_\lambda)\). Si \(I_\lambda \subset I_\mu\), le morphisme induit \[\Spec(A/I_\mu) \to \Spec(A/I_\lambda)\] est un épaississement, car \(I_\mu^n \subset I_\lambda\) pour un certain \(n\). On peut aussi le voir en remarquant que chacune des applications \[\Spec(A/I_\lambda) \to \Spec(A)\] est un homéomorphisme sur l’ensemble des idéaux premiers ouverts de \(A\). Ceci motive la définition \[\text{Spf}(A) = \{\text{idéaux premiers ouverts }\mathfrak p \subset A\}\] muni de la topologie induite par \(\Spec(A)\). Pour tout \(\lambda\), nous pouvons considérer le faisceau structural \(\mathcal{O}_{\Spec(A/I_\lambda)}\) comme un faisceau sur \(\text{Spf}(A)\). Soit \(\mathcal{O}_\lambda\) le faisceau pseudo-discret d’anneaux topologiques correspondant ; voir ci-dessus. On pose alors \[\mathcal{O}_{\text{Spf}(A)} = \lim \mathcal{O}_\lambda\] où la limite est prise dans la catégorie des faisceaux d’anneaux topologiques. Le couple \((\text{Spf}(A), \mathcal{O}_{\text{Spf}(A)})\) est appelé le spectre formel de \(A\).

Il convient alors de vérifier plusieurs points. Premièrement, les fibres \(\mathcal{O}_{\text{Spf}(A), x}\) sont des anneaux locaux (lorsqu’on oublie la topologie). Deuxièmement, étant donné \(f \in A\), pour l’ouvert correspondant \(D(f) \cap \text{Spf}(A)\), on a \[\Gamma(D(f) \cap \text{Spf}(A), \mathcal{O}_{\text{Spf}(A)}) = A_{\{f\}} = \lim (A/I_\lambda)_f\] comme anneaux topologiques, où \(I_\lambda\) est un système fondamental d’idéaux de définition comme ci-dessus. De plus, l’anneau \(A_{\{f\}}\) est lui aussi admissible, et \((\text{Spf}(A_f), \mathcal{O}_{\text{Spf}(A_{\{f\}})})\) est isomorphe à \((D(f) \cap \text{Spf}(A), \mathcal{O}_{\text{Spf}(A)}|_{D(f) \cap \text{Spf}(A)})\). Enfin, pour une paire d’anneaux topologiques admissibles \(A, B\), on a [0AHZ]\[\begin{equation} \Mor_{LTRS}((\text{Spf}(B), \mathcal{O}_{\text{Spf}(B)}), (\text{Spf}(A), \mathcal{O}_{\text{Spf}(A)})) = \Hom_{cont}(A, B) \end{equation}\] où \(LTRS\) est la catégorie des « espaces localement annelés topologiques » définie ci-dessus.

Cela étant, on définit dans [EGA] un schéma formel comme un couple \((\mathfrak X, \mathcal{O}_\mathfrak X)\) où \(\mathfrak X\) est un espace topologique et \(\mathcal{O}_\mathfrak X\) un faisceau d’anneaux topologiques tel que tout point possède un voisinage ouvert isomorphe (dans \(LTRS\)) à un schéma formel affine. Un morphisme de schémas formels \(f : (\mathfrak X, \mathcal{O}_\mathfrak X) \to (\mathfrak Y, \mathcal{O}_\mathfrak Y)\) est un morphisme de la catégorie \(LTRS\).

Soit \(A\) un anneau muni de la topologie discrète. Alors \(A\) est admissible et le schéma formel \(\text{Spf}(A)\) est égal à \(\Spec(A)\). Le faisceau structural \(\mathcal{O}_{\text{Spf}(A)}\) est le faisceau pseudo-discret d’anneaux topologiques associé à \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}\) ; autrement dit, son faisceau d’anneaux sous-jacent est égal à \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}\), et l’anneau \(\mathcal{O}_{\text{Spf}(A)}(U) = \mathcal{O}_{\Spec(A)}(U)\) sur un ouvert quasi-compact \(U\) est muni de la topologie discrète, mais pas en général. On peut donc associer à tout schéma affine un schéma formel affine. De la même manière, on peut partir d’un schéma quelconque \((X, \mathcal{O}_X)\) et lui associer \((X, \mathcal{O}'_X)\), où \(\mathcal{O}'_X\) est le faisceau pseudo-discret d’anneaux topologiques dont le faisceau d’anneaux sous-jacent est \(\mathcal{O}_X\). Cette construction est compatible aux morphismes et définit un foncteur [0AI0]\[\begin{equation} \textit{Schémas} \longrightarrow \textit{Schémas formels} \end{equation}\] Il résulte immédiatement de (0AHZ) que ce foncteur est pleinement fidèle.

Soit \(\mathfrak X\) un schéma formel. Définissons la taille du schéma formel par la formule \(\text{size}(\mathfrak X) = \max(\aleph_0, \kappa_1, \kappa_2)\), où \(\kappa_1\) est le cardinal de l’ensemble des ouverts formels affines de \(\mathfrak X\) et \(\kappa_2\) le suprémum des cardinaux des \(\mathcal{O}_\mathfrak X(\mathfrak U)\), où \(\mathfrak U \subset \mathfrak X\) est un tel ouvert formel affine.

Lemme

Choisissons une catégorie de schémas \(\Sch_\alpha\) comme dans Ensembles, lemme 000J. À tout schéma formel \(\mathfrak X\), associons \[h_\mathfrak X : (\Sch_\alpha)^{opp} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad h_\mathfrak X(S) = \Mor_{\textit{Schémas formels}}(S, \mathfrak X)\] son foncteur des points. Alors on a \[\Mor_{\textit{Schémas formels}}(\mathfrak X, \mathfrak Y) = \Mor_{\textit{PSh}(\Sch_\alpha)}(h_\mathfrak X, h_\mathfrak Y)\] pourvu que la taille de \(\mathfrak X\) ne soit pas trop grande.

Démonstration

Observons d’abord que \(h_\mathfrak X\) vérifie la condition de faisceau pour la topologie de Zariski, quel que soit le schéma formel \(\mathfrak X\) (voir Schémas, définition 01JI). Cela découle du caractère local des morphismes dans la catégorie des schémas formels. En outre, pour une immersion ouverte \(\mathfrak V \to \mathfrak W\) de schémas formels, la transformation de foncteurs correspondante \(h_\mathfrak V \to h_\mathfrak W\) est injective et représentable par des immersions ouvertes (voir Schémas, définition 01JI). Choisissons un recouvrement ouvert \(\mathfrak X = \bigcup \mathfrak U_i\) d’un schéma formel par des schémas formels affines \(\mathfrak U_i\). La famille de foncteurs \(h_{\mathfrak U_i}\) recouvre alors \(h_\mathfrak X\) (voir Schémas, définition 01JI). Enfin, remarquons que \[h_{\mathfrak U_i} \times_{h_\mathfrak X} h_{\mathfrak U_j} = h_{\mathfrak U_i \cap \mathfrak U_j}\] Par conséquent, la donnée d’une application \(h_\mathfrak X \to h_\mathfrak Y\) équivaut à celle d’une famille d’applications \(h_{\mathfrak U_i} \to h_\mathfrak Y\) qui coïncident sur les intersections. Nous pouvons donc ramener la bijectivité (resp. l’injectivité) de l’application du lemme à la bijectivité (resp. l’injectivité) pour les couples \((\mathfrak U_i, \mathfrak Y)\) et à l’injectivité (resp. aucune condition) pour \((\mathfrak U_i \cap \mathfrak U_j, \mathfrak Y)\). On se ramène ainsi au cas où \(\mathfrak X\) est un schéma formel affine. Écrivons \(\mathfrak X = \text{Spf}(A)\) pour un anneau topologique admissible \(A\). Choisissons aussi un système fondamental d’idéaux de définition \(I_\lambda \subset A\).

Nous pouvons aussi nous localiser sur \(\mathfrak Y\). Supposons en effet que \(\mathfrak V \subset \mathfrak Y\) soit un sous-schéma formel ouvert, et soit \(\varphi : h_\mathfrak X \to h_\mathfrak Y\). Alors \[h_\mathfrak V \times_{h_\mathfrak Y, \varphi} h_\mathfrak X \to h_\mathfrak X\] est représentable par des immersions ouvertes. Après changement de base à \(\Spec(A/I_\lambda)\) pour tout \(\lambda\), on obtient un sous-schéma ouvert \(U_\lambda \subset \Spec(A/I_\lambda)\). Toutefois, si \(I_\lambda \subset I_\mu\), le morphisme \(\Spec(A/I_\lambda) \to \Spec(A/I_\mu)\) transforme par image inverse \(U_\mu\) en \(U_\lambda\). Ceux-ci se recollent donc pour donner un sous-schéma formel ouvert \(\mathfrak U \subset \mathfrak X\). Un argument immédiat (omis) montre que \[h_\mathfrak U = h_\mathfrak V \times_{h_\mathfrak Y} h_\mathfrak X\] On voit ainsi qu’un recouvrement ouvert \(\mathfrak Y = \bigcup \mathfrak V_j\) et une transformation de foncteurs \(\varphi : h_\mathfrak X \to h_\mathfrak Y\) déterminent un recouvrement ouvert correspondant de \(\mathfrak X\). Comme \(\mathfrak X\) est affine, on peut raffiner ce recouvrement en un recouvrement ouvert fini \(\mathfrak X = \mathfrak U_1 \cup \ldots \cup \mathfrak U_n\) par des sous-schémas formels affines. Autrement dit, pour tout \(i\), il existe un \(j\) et une application \(\varphi_i : h_{\mathfrak U_i} \to h_{\mathfrak V_j}\) tels que le diagramme \[\xymatrix{ h_{\mathfrak U_i} \ar[r]_{\varphi_i} \ar[d] & h_{\mathfrak V_j} \ar[d] \\ h_{\mathfrak X} \ar[r]^\varphi & h_\mathfrak Y }\] soit commutatif. Quelques arguments supplémentaires (que nous omettons) montrent alors qu’il suffit d’établir la bijectivité du lemme lorsque \(\mathfrak X\) et \(\mathfrak Y\) sont tous deux des schémas formels affines.

Supposons que \(\mathfrak X\) et \(\mathfrak Y\) soient des schémas formels affines. Écrivons \(\mathfrak X = \text{Spf}(A)\) et \(\mathfrak Y = \text{Spf}(B)\). Soit \(\varphi : h_\mathfrak X \to h_\mathfrak Y\) une transformation de foncteurs. Soit \(I_\lambda \subset A\) un système fondamental d’idéaux de définition. Le morphisme d’inclusion canonique \(i_\lambda : \Spec(A/I_\lambda) \to \mathfrak X\) est envoyé sur un morphisme \(\varphi(i_\lambda) : \Spec(A/I_\lambda) \to \mathfrak Y\). D’après (0AHZ), celui-ci correspond à une application continue \(\chi_\lambda : B \to A/I_\lambda\). Comme \(\varphi\) est une transformation de foncteurs, il s’ensuit que, pour \(I_\lambda \subset I_\mu\), le composé \(B \to A/I_\lambda \to A/I_\mu\) est égal à \(\chi_\mu\). Autrement dit, on obtient un homomorphisme d’anneaux \[\chi = \lim \chi_\lambda : B \longrightarrow \lim A/I_\lambda = A\] C’est un homomorphisme continu, car l’image réciproque de \(I_\lambda\) est ouverte pour tout \(\lambda\) (puisque \(A/I_\lambda\) est muni de la topologie discrète et que \(\chi_\lambda\) est continue). On obtient donc un morphisme \(\text{Spf}(\chi) : \mathfrak X \to \mathfrak Y\) par (0AHZ). Nous omettons la vérification que cette construction est l’inverse de l’application du lemme dans ce cas.

Remarques ensemblistes. Pour que cela fonctionne sur la catégorie donnée de schémas \(\Sch_\alpha\), il suffit de s’assurer que tous les schémas utilisés dans la démonstration ci-dessus sont isomorphes à des objets de \(\Sch_\alpha\). En fait, une analyse attentive montre qu’il suffit que les schémas \(\Spec(A/I_\lambda)\) intervenant ci-dessus soient isomorphes à des objets de \(\Sch_\alpha\). Pour cela, il suffit certainement de supposer que la taille de \(\mathfrak X\) est au plus celle d’un schéma appartenant à \(\Sch_\alpha\).

Lemme

Soit \(\mathfrak X\) un schéma formel. Le foncteur des points \(h_\mathfrak X\) (voir le lemme 0AI1) vérifie la condition de faisceau pour les recouvrements fpqc.

Démonstration

Topologies, lemme 022H nous ramène au cas d’un recouvrement de Zariski et d’un recouvrement \(\{\Spec(S) \to \Spec(R)\}\) où \(R \to S\) est fidèlement plat. Nous avons observé dans la démonstration du lemme 0AI1 que \(h_\mathfrak X\) vérifie la condition de faisceau pour les recouvrements de Zariski.

Supposons que \(R \to S\) soit un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat. Notons \(\pi : \Spec(S) \to \Spec(R)\) le morphisme de schémas correspondant. Il est surjectif et plat. Soit \(f : \Spec(S) \to \mathfrak X\) un morphisme tel que \(f \circ \text{pr}_1 = f \circ \text{pr}_2\) comme applications \(\Spec(S \otimes_R S) \to \mathfrak X\). D’après Descente, lemme 02KI, l’application \(f\) entre les ensembles sous-jacents est de la forme \(f = g \circ \pi\) pour une certaine application (ensembliste) \(g : \Spec(R) \to \mathfrak X\). D’après Morphismes, lemme 02JY, et puisque \(f\) est continue, on voit que \(g\) est continue.

Choisissons \(y \in \Spec(R)\). Prenons un sous-schéma formel ouvert affine \(\mathfrak U \subset \mathfrak X\) contenant \(g(y)\). Écrivons \(\mathfrak U = \text{Spf}(A)\) pour un anneau topologique admissible \(A\). D’après ce qui précède, on peut choisir \(r \in R\) tel que \(y \in D(r) \subset g^{-1}(\mathfrak U)\). La restriction de \(f\) à \(\pi^{-1}(D(r))\), à valeurs dans \(\mathfrak U\), correspond à une application continue d’anneaux \(A \to S_r\) d’après (0AHZ). Les deux homomorphismes d’anneaux induits \(A \to S_r \otimes_{R_r} S_r = (S \otimes_R S)_r\) sont égaux par l’hypothèse sur \(f\). Remarquons que \(R_r \to S_r\) est fidèlement plat. D’après Descente, lemme 023M, l’égalisateur des deux flèches \(S_r \to S_r \otimes_{R_r} S_r\) est \(R_r\). On en déduit que \(A \to S_r\) se factorise de manière unique par une application \(A \to R_r\) qui est également continue, car elle a le même noyau (ouvert) que l’application \(A \to S_r\). Cette application donne à son tour un morphisme \(D(r) \to \mathfrak U\) par (0AHZ).

Qu’avons-nous démontré jusqu’ici ? Pour tout \(y \in \Spec(R)\), il existe un ouvert affine standard \(y \in D(r) \subset \Spec(R)\) tel que le morphisme \(f|_{\pi^{-1}(D(r))} : \pi^{-1}(D(r)) \to \mathfrak X\) se factorise de manière unique par un certain morphisme \(D(r) \to \mathfrak X\). Nous omettons la vérification que ces morphismes se recollent pour donner le morphisme recherché \(\Spec(R) \to \mathfrak X\).

Remarque

Il existe une variante de la construction des schémas formels due à McQuillan ; voir [McQuillan]. Il propose d’affaiblir légèrement la condition d’admissibilité. Rappelons en effet qu’un anneau topologique admissible est un anneau topologique \(A\) complet (et séparé selon nos conventions), linéairement topologisé, qui possède un idéal de définition, c’est-à-dire un idéal ouvert \(I\) tel que tout voisinage de \(0\) contienne \(I^n\) pour un certain \(n \geq 1\). McQuillan travaille avec ce que nous appellerons des anneaux topologiques faiblement admissibles. Un anneau topologique faiblement admissible \(A\) est un anneau topologique complet (et séparé selon nos conventions), linéairement topologisé, qui possède un idéal faible de définition, c’est-à-dire un idéal ouvert \(I\) tel que, pour tout \(f \in I\), on ait \(f^n \to 0\) lorsque \(n \to \infty\). Comme dans le cas admissible, si \(I\) est un idéal faible de définition et si \(J \subset A\) est un idéal ouvert, alors \(I \cap J\) est un idéal faible de définition. Les idéaux faibles de définition forment donc un système fondamental de voisinages ouverts de \(0\), et l’on peut suivre essentiellement la même démarche que ci-dessus pour définir une catégorie plus grande de schémas formels fondée sur cette notion. Les analogues des lemmes 0AI1 et 0AI2 restent valables dans ce cadre (avec la même démonstration).

Remarque

Dans cette remarque, nous étudions brièvement la construction du faisceau associé à un préfaisceau d’espaces topologiques. Les mêmes arguments s’appliquent exactement aux préfaisceaux de groupes abéliens topologiques, d’anneaux topologiques et de modules topologiques (sur un anneau topologique donné). Pour traiter la question dans toute sa généralité, travaillons sur un site \(\mathcal{C}\). Le lecteur qui s’intéresse au cas des (pré)faisceaux sur un espace topologique \(X\) doit voir les objets de \(\mathcal{C}\) comme les ouverts de \(X\), les morphismes de \(\mathcal{C}\) comme les inclusions d’ouverts, et les recouvrements de \(\mathcal{C}\) comme les recouvrements de \(X\) ; voir Sites, exemple 00VJ. Notons \(\Sh(\mathcal{C}, \textit{Top})\) la catégorie des faisceaux d’espaces topologiques sur \(\mathcal{C}\) et \(\textit{PSh}(\mathcal{C}, \textit{Top})\) celle des préfaisceaux d’espaces topologiques sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’espaces topologiques sur \(\mathcal{C}\). Le faisceau associé \(\mathcal{F}^\#\) doit vérifier la formule \[\Mor_{\textit{PSh}(\mathcal{C}, \textit{Top})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(\mathcal{C}, \textit{Top})}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] fonctoriellement en \(\mathcal{G}\) dans \(\Sh(\mathcal{C}, \textit{Top})\). Autrement dit, nous cherchons à construire l’adjoint à gauche du foncteur d’inclusion \(\Sh(\mathcal{C}, \textit{Top}) \to \textit{PSh}(\mathcal{C}, \textit{Top})\). Affirmons d’abord que \(\Sh(\mathcal{C}, \textit{Top})\) admet des limites et que le foncteur d’inclusion commute à celles-ci. En effet, étant donnés une catégorie \(\mathcal{I}\) et un foncteur \(i \mapsto \mathcal{G}_i\) à valeurs dans \(\Sh(\mathcal{C}, \textit{Top})\), nous définissons simplement \[(\lim \mathcal{G}_i)(U) = \lim \mathcal{G}_i(U)\] où la limite est prise dans la catégorie des espaces topologiques (Topologie, lemme 08ZT). Cela définit un faisceau, car les limites commutent aux limites (Catégories, lemme 002M), et en particulier aux produits et aux égalisateurs (qui sont les opérations utilisées dans l’axiome des faisceaux). Enfin, un morphisme de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \lim \mathcal{G}_i\) est manifestement la même chose qu’un système compatible de morphismes \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}_i\). Autrement dit, l’objet \(\lim \mathcal{G}_i\) est la limite dans la catégorie des préfaisceaux d’espaces topologiques, et a fortiori dans la catégorie des faisceaux d’espaces topologiques. Notre seconde affirmation est que tout morphisme de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), où \(\mathcal{G}\) est un objet de \(\Sh(\mathcal{C}, \textit{Top})\), se factorise par un sous-faisceau \(\mathcal{G}' \subset \mathcal{G}\) de taille bornée. Nous définissons ici la taille \(|\mathcal{H}|\) d’un faisceau d’espaces topologiques \(\mathcal{H}\) comme le cardinal \(\sup_{U \in \Ob(\mathcal{C})} |\mathcal{H}(U)|\). Pour démontrer l’affirmation, posons \[\mathcal{G}'(U) = \left\{ \quad s \in \mathcal{G}(U) \quad \middle| \quad \begin{matrix} \text{il existe un recouvrement }\{U_i \to U\}_{i \in I} \\ \text{tel que } s|_{U_i} \in \Im(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{G}(U_i)) \end{matrix} \quad \right\}\] Nous munissons \(\mathcal{G}'(U)\) de la topologie induite. Alors \(\mathcal{G}'\) est un faisceau d’espaces topologiques (détails omis), et \(\mathcal{G}' \to \mathcal{G}\) est un morphisme par lequel l’application donnée \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) se factorise. De plus, la taille de \(\mathcal{G}'\) est bornée par un cardinal \(\kappa\) qui ne dépend que de \(\mathcal{C}\) et du préfaisceau \(\mathcal{F}\) (indication : utiliser le fait que, selon nos conventions, les recouvrements de \(\mathcal{C}\) forment un ensemble). En rassemblant ces observations, on voit que les hypothèses de Catégories, théorème 0AHQ sont vérifiées, et l’on obtient le foncteur faisceau associé comme adjoint à gauche du foncteur d’inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux. Enfin, soit \(p\) un point du site \(\mathcal{C}\) défini par un foncteur \(u : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) ; voir Sites, définition 00Y5. Pour un espace topologique \(M\), le préfaisceau défini par la règle \[U \mapsto \text{Map}(u(U), M) = \prod\nolimits_{x \in u(U)} M\] et muni de la topologie produit est un faisceau d’espaces topologiques. Le même argument que celui donné dans la démonstration de Sites, lemme 00Y8, montre donc que \(\mathcal{F}_p = \mathcal{F}^\#_p\) ; autrement dit, le foncteur faisceau associé commute à la prise de la fibre en un point.

Conventions et notation

Les conventions adoptées désormais seront semblables à celles de Propriétés des espaces algébriques, section 03BQ. Ainsi, nous supposerons toujours que tous les schémas appartiennent à un grand site fppf \(\Sch_{fppf}\). De plus, tout anneau \(A\) considéré aura la propriété que \(\Spec(A)\) est (isomorphe à) un objet de ce grand site. Pour les anneaux topologiques \(A\), nous supposons seulement que tous leurs quotients discrets ont cette propriété (mais nous faisons habituellement des hypothèses plus fortes ; comparer à la remarque 0AIS).

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un « espace » sur \(S\), c’est-à-dire un faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Dans ce chapitre, nous noterons \(X \times_S X\) le produit de \(X\) par lui-même dans la catégorie des faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\), et non \(X \times X\). De plus, si \(X\) et \(Y\) sont des « espaces », nous dirons « soit \(f : X \to Y\) un morphisme » pour indiquer que \(f\) est une transformation naturelle de foncteurs, c’est-à-dire une application de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). De même, si \(U\) est un schéma sur \(S\) et si \(X\) est un « espace » sur \(S\), nous dirons « soit \(f : U \to X\) un morphisme » ou « soit \(g : X \to U\) un morphisme » pour indiquer que \(f\) ou \(g\) est une application de faisceaux \(h_U \to X\) ou \(X \to h_U\), où \(h_U\) est défini dans Catégories, exemple 001O.

Anneaux et modules topologiques

Cette section prolonge Compléments d’algèbre, section 07E7. Soient \(R\) un anneau topologique et \(M\) un \(R\)-module linéairement topologisé. Lorsque nous dirons « soit \(M_\lambda\) un système fondamental de sous-modules ouverts », nous entendrons que tout \(M_\lambda\) est un sous-module ouvert et que tout voisinage de \(0\) contient l’un des \(M_\lambda\). Autrement dit, cela signifie que les \(M_\lambda\) forment un système fondamental de voisinages de \(0\) dans \(M\), constitué de sous-modules. De même, si \(R\) est un anneau linéairement topologisé, nous dirons « soit \(I_\lambda\) un système fondamental d’idéaux ouverts » pour signifier que les \(I_\lambda\) forment un système fondamental de voisinages de \(0\) dans \(R\), constitué d’idéaux.

Exemple

Soient \(R\) un anneau linéairement topologisé et \(M\) un \(R\)-module linéairement topologisé. Soient \(I_\lambda\) un système fondamental d’idéaux ouverts de \(R\) et \(M_\mu\) un système fondamental de sous-modules ouverts de \(M\). La continuité de \(+ : M \times M \to M\) est automatique, et la continuité de \(R \times M \to M\) signifie que \[\forall f, x, \mu\ \exists \lambda, \nu,\ (f + I_\lambda)(x + M_\nu) \subset fx + M_\mu\] Puisque \(fM_\nu + I_\lambda M_\nu \subset M_\mu\) dès que \(M_\nu \subset M_\mu\), on voit que la condition équivaut à \[\forall x, \mu\ \exists \lambda\ I_\lambda x \subset M_\mu\] Cependant, il ne faut pas nécessairement qu’étant donné \(\mu\), il existe \(\lambda\) tel que \(I_\lambda M \subset M_\mu\). Considérons par exemple \(R = k[[t]]\) muni de la topologie \(t\)-adique et \(M = \bigoplus_{n \in \mathbf{N}} R\), avec le système fondamental de sous-modules ouverts donné par \[M_m = \bigoplus\nolimits_{n \in \mathbf{N}} t^{nm}R\] Comme tout \(x \in M\) n’a qu’un nombre fini de coordonnées non nulles, on voit qu’étant donnés \(m\) et \(x\), il existe \(k\) tel que \(t^k x \in M_m\). Ainsi, \(M\) est un \(R\)-module linéairement topologisé, mais il n’est pas vrai qu’étant donné \(m\), il existe \(k\) tel que \(t^kM \subset M_m\). En revanche, si \(R \to S\) est un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés, l’énoncé correspondant est vrai : pour tout idéal ouvert \(J \subset S\), il existe un idéal ouvert \(I \subset R\) tel que \(IS \subset J\) (comme le lecteur le déduira aisément de la continuité de l’homomorphisme \(R \to S\)).

Lemme

Soit \(R\) un anneau topologique. Soient \(M\) un \(R\)-module linéairement topologisé et \(M_\lambda\), \(\lambda \in \Lambda\), un système fondamental de sous-modules ouverts. Soit \(N \subset M\) un sous-module. L’adhérence de \(N\) est \(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} (N + M_\lambda)\).

Démonstration

Comme chaque \(N + M_\lambda\) est ouvert, il est également fermé. Leur intersection est donc fermée. Si \(x \in M\) n’appartient pas à l’adhérence de \(N\), alors \((x + M_\lambda) \cap N = 0\) pour un certain \(\lambda\). Ainsi, \(x \not \in N + M_\lambda\). Cela démontre le lemme.

Sauf mention contraire, nous munissons les sous-modules et les modules quotients de la topologie induite. Soient \(M\) un module linéairement topologisé sur un anneau topologique \(R\), et \(0 \to N \to M \to Q \to 0\) une suite exacte courte de \(R\)-modules. Si les \(M_\lambda\) forment un système fondamental de sous-modules ouverts de \(M\), alors les \(N \cap M_\lambda\) forment un système fondamental de sous-modules ouverts de \(N\). Si \(\pi : M \to Q\) est l’application quotient, les \(\pi(M_\lambda)\) forment un système fondamental de sous-modules ouverts de \(Q\). En particulier, ces topologies induites sont des topologies linéaires.

Lemme

Soit \(R\) un anneau topologique. Soit \(M\) un \(R\)-module linéairement topologisé. Soit \(N \subset M\) un sous-module. Alors :

\(0 \to N^\wedge \to M^\wedge \to (M/N)^\wedge\) est exacte, et

\(N^\wedge\) est l’adhérence de l’image de \(N \to M^\wedge\).

Démonstration

Soient \(M_\lambda\), \(\lambda \in \Lambda\), un système fondamental de sous-modules ouverts. Alors les \(N \cap M_\lambda\) forment un système fondamental de sous-modules ouverts de \(N\), et les \(M_\lambda + N/N\) un système fondamental de sous-modules ouverts de \(M/N\). On voit donc que (1) découle de l’exactitude des suites \[0 \to N/N \cap M_\lambda \to M/M_\lambda \to M/(M_\lambda + N) \to 0\] et du fait que la prise de limites commute aux limites. La seconde assertion en résulte, ainsi que du fait que \(N \to N^\wedge\) est d’image dense et que le noyau de \(M^\wedge \to (M/N)^\wedge\) est fermé.

Lemme

Soit \(R\) un anneau topologique. Soit \(M\) un \(R\)-module complet et linéairement topologisé. Soit \(N \subset M\) un sous-module fermé. Si \(M\) possède un système fondamental dénombrable de voisinages de \(0\), alors \(M/N\) est complet et l’application \(M \to M/N\) est ouverte.

Démonstration

Soient \(M_n\), \(n \in \mathbf{N}\), un système fondamental de sous-modules ouverts de \(M\). Nous pouvons supposer \(M_{n + 1} \subset M_n\) pour tout \(n\). Les \((M_n + N)/N\) forment un système fondamental dans \(M/N\). Il faut donc montrer que \(M/N = \lim M/(M_n + N)\). Considérons les suites exactes courtes \[0 \to N/N \cap M_n \to M/M_n \to M/(M_n + N) \to 0\] Comme les applications de transition du système \(\{N/N\cap M_n\}\) sont surjectives, on voit que \(M = \lim M/M_n\) (puisque \(M\) est complet) se surjecte sur \(\lim M/(M_n + N)\) d’après Algèbre, lemme 0598. Puisque \(N\) est fermé, le noyau de \(M \to \lim M/(M_n + N)\) est \(N\) (voir le lemme 0AMS). Enfin, \(M \to M/N\) est ouverte par définition de la topologie quotient.

Lemme

Soit \(R\) un anneau topologique. Soit \(M\) un \(R\)-module linéairement topologisé. Soit \(N \subset M\) un sous-module. Supposons que \(M\) possède un système fondamental dénombrable de voisinages de \(0\). Alors :

\(0 \to N^\wedge \to M^\wedge \to (M/N)^\wedge \to 0\) est exacte,

\(N^\wedge\) est l’adhérence de l’image de \(N \to M^\wedge\),

\(M^\wedge \to (M/N)^\wedge\) est ouverte.

Démonstration

La suite \(0 \to N^\wedge \to M^\wedge \to (M/N)^\wedge\) est exacte, et l’assertion (2) résulte du lemme 0ARZ. On obtient ainsi une application canonique \(c : M^\wedge/N^\wedge \to (M/N)^\wedge\). Le module \(M^\wedge/N^\wedge\) est complet, et \(M^\wedge \to M^\wedge/N^\wedge\) est ouverte d’après le lemme 0AMT. La propriété universelle du complété donne une application canonique \(b : (M/N)^\wedge \to M^\wedge/N^\wedge\). Alors \(b\) et \(c\) sont inverses l’une de l’autre, puisqu’ils le sont sur un sous-ensemble dense.

Lemme

Soit \(R\) un anneau topologique. Soit \(M\) un \(R\)-module topologique. Soit \(I \subset R\) un idéal de type fini. Supposons que \(M\) possède un sous-module ouvert dont la topologie est \(I\)-adique. Alors \(M^\wedge\) possède un sous-module ouvert dont la topologie est \(I\)-adique, et l’on a \(M^\wedge/I^n M^\wedge = M/I^nM\) pour tout \(n \geq 1\).

Démonstration

Soit \(M' \subset M\) un sous-module ouvert dont la topologie est \(I\)-adique. Alors \(\{I^nM'\}_{n \geq 1}\) est un système fondamental de sous-modules ouverts de \(M\). Ainsi, \(M^\wedge = \lim M/I^nM'\) contient \((M')^\wedge = \lim M'/I^nM'\) comme sous-module ouvert, et la topologie sur \((M')^\wedge\) est \(I\)-adique d’après Algèbre, lemme 05GG. Comme \(I\) est de type fini, \(I^n\) est de type fini ; soit \(f_1, \ldots, f_r\) un système de générateurs. Observons que la surjection \((f_1, \ldots, f_r) : M^{\oplus r} \to I^n M\) est continue et ouverte d’après la description précédente de la topologie sur \(M\). En appliquant le lemme 0AS0 à cette surjection et à la suite exacte courte \(0 \to I^nM \to M \to M/I^nM \to 0\), on conclut que \[(f_1, \ldots, f_r) : (M^\wedge)^{\oplus r} \longrightarrow M^\wedge\] se surjecte sur le noyau de la surjection \(M^\wedge \to M/I^nM\). Comme \(f_1, \ldots, f_r\) engendrent \(I^n\), cela conclut la démonstration.

Définition

Soit \(R\) un anneau topologique. Soient \(M\) et \(N\) des \(R\)-modules linéairement topologisés. Le produit tensoriel de \(M\) et \(N\) est le produit tensoriel (usuel) \(M \otimes_R N\), muni de la topologie linéaire définie en déclarant que les \[\Im(M_\mu \otimes_R N + M \otimes_R N_\nu \longrightarrow M \otimes_R N)\] forment un système fondamental de sous-modules ouverts, lorsque \(M_\mu \subset M\) et \(N_\nu \subset N\) parcourent des systèmes fondamentaux de sous-modules ouverts de \(M\) et de \(N\). Le produit tensoriel complété \[M \widehat{\otimes}_R N = \lim M \otimes_R N/(M_\mu \otimes_R N + M \otimes_R N_\nu) = \lim M/M_\mu \otimes_R N/N_\nu\] est le complété du produit tensoriel.

Observons que la topologie de \(R\) n’intervient pas dans la construction du produit tensoriel ni du produit tensoriel complété. Si \(R \to A\) et \(R \to B\) sont des homomorphismes continus d’anneaux linéairement topologisés, la construction précédente fournit un produit tensoriel \(A \otimes_R B\) et un produit tensoriel complété \(A \widehat{\otimes}_R B\).

Consignons ici les notions introduites dans la remarque 0AI3.

Définition

Soit \(A\) un anneau linéairement topologisé.

Un élément \(f \in A\) est dit topologiquement nilpotent si \(f^n \to 0\) lorsque \(n \to \infty\).

Un idéal faible de définition de \(A\) est un idéal ouvert \(I \subset A\) entièrement constitué d’éléments topologiquement nilpotents.

On dit que \(A\) est faiblement préadmissible si \(A\) possède un idéal faible de définition.

On dit que \(A\) est faiblement admissible si \(A\) est faiblement préadmissible et complet¹.

Étant donnés un idéal faible de définition \(I\) dans un anneau linéairement topologisé \(A\) et un idéal ouvert \(J\), l’intersection \(I \cap J\) est un idéal faible de définition. Par conséquent, s’il existe un idéal faible de définition, il existe un système fondamental d’idéaux ouverts constitué d’idéaux faibles de définition. En particulier, si \(A\) est un anneau topologique faiblement admissible, alors \(A = \lim A/I_\lambda\), où \(\{I_\lambda\}\) est un système fondamental d’idéaux faibles de définition.

Lemme

Soit \(A\) un anneau topologique faiblement admissible. Soit \(I \subset A\) un idéal faible de définition. Alors \((A, I)\) est un couple hensélien.

Démonstration

Soit \(A \to A'\) un homomorphisme d’anneaux étale et soit \(\sigma : A' \to A/I\) un homomorphisme de \(A\)-algèbres. D’après Compléments d’algèbre, lemme 09XI, il suffit de relever \(\sigma\) en un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A' \to A\). Pour cela, comme \(A\) est complet, il suffit de trouver, pour tout idéal ouvert \(J \subset I\), un unique homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A' \to A/J\) relevant \(\sigma\). Comme \(I\) est un idéal faible de définition, l’idéal \(I/J\) est localement nilpotent. On conclut par Compléments d’algèbre, lemme 0ALI.

Lemme

Soit \(B\) un anneau linéairement topologisé. L’ensemble des éléments topologiquement nilpotents de \(B\) est un idéal radical fermé de \(B\). Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés.

Si \(f \in A\) est topologiquement nilpotent, alors \(\varphi(f)\) est topologiquement nilpotent.

Si \(I \subset A\) est constitué d’éléments topologiquement nilpotents, alors l’adhérence de \(\varphi(I)B\) est constituée d’éléments topologiquement nilpotents.

Démonstration

Soit \(\mathfrak b \subset B\) l’ensemble des éléments topologiquement nilpotents. Nous omettons la démonstration du fait que \(\mathfrak b\) est un idéal radical (c’est un bon exercice sur les définitions). Soit \(g\) un élément de l’adhérence de \(\mathfrak b\). Nous voulons montrer que \(g\) est topologiquement nilpotent. Soit \(J \subset B\) un idéal ouvert. Il faut montrer que \(g^e \in J\) pour un certain \(e \geq 1\). On a \(g \in \mathfrak b + J\) d’après le lemme 0AMS. Ainsi, \(g = f + h\) pour certains \(f \in \mathfrak b\) et \(h \in J\). Choisissons \(m \geq 1\) tel que \(f^m \in J\). Alors \(g^{m + 1} \in J\), comme voulu.

Soit \(\varphi : A \to B\) comme dans l’énoncé du lemme. L’assertion (1) est claire, et l’assertion (2) résulte de celle-ci et du fait que \(\mathfrak b\) est un idéal fermé.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés. Soit \(I \subset A\) un idéal. L’adhérence de \(IB\) est le noyau de \(B \to B \widehat{\otimes}_A A/I\).

Démonstration

Soient les \(J_\mu\) un système fondamental d’idéaux ouverts de \(B\). L’adhérence de \(IB\) est \(\bigcap (IB + J_\lambda)\) d’après le lemme 0AMS. Soient les \(I_\mu\) un système fondamental d’idéaux ouverts de \(A\). Alors \[B \widehat{\otimes}_A A/I = \lim (B/J_\lambda \otimes_A A/(I_\mu + I)) = \lim B/(J_\lambda + I_\mu B + I B)\] Comme \(A \to B\) est continu, pour tout \(\lambda\), il existe \(\mu\) tel que \(I_\mu B \subset J_\lambda\) ; voir la discussion de l’exemple 0AMR. La limite peut donc s’écrire \(\lim B/(J_\lambda + IB)\), et le résultat est clair.

Lemme

Soient \(B \to A\) et \(B \to C\) des homomorphismes continus d’anneaux linéairement topologisés.

Si \(A\) et \(C\) sont faiblement préadmissibles, alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est faiblement admissible.

Si \(A\) et \(C\) sont préadmissibles, alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est admissible.

Si \(A\) et \(C\) possèdent un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts, alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts.

Si \(A\) et \(C\) sont préadiques et possèdent des idéaux de définition de type fini, alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est adique et possède un idéal de définition de type fini.

Si \(A\) et \(C\) sont des anneaux noethériens préadiques et si \(B/\mathfrak b \to A/\mathfrak a\) est de type fini, où \(\mathfrak a \subset A\) et \(\mathfrak b \subset B\) sont les idéaux des éléments topologiquement nilpotents, alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est noethérien adique.

Démonstration

Soient \(I_\lambda \subset A\), \(\lambda \in \Lambda\), et \(J_\mu \subset C\), \(\mu \in M\), des systèmes fondamentaux d’idéaux ouverts ; alors, par définition, \[A \widehat{\otimes}_B C = \lim_{\lambda, \mu} A/I_\lambda \otimes_B C/J_\mu\] muni de la topologie limite. Un système fondamental d’idéaux ouverts est donc donné par les noyaux \(K_{\lambda, \mu}\) des applications \(A \widehat{\otimes}_B C \to A/I_\lambda \otimes_B C/J_\mu\). Remarquons que \(K_{\lambda, \mu}\) est l’adhérence de l’idéal \(I_\lambda(A \widehat{\otimes}_B C) + J_\mu(A \widehat{\otimes}_B C)\). Enfin, nous avons un homomorphisme d’anneaux \(\tau : A \otimes_B C \to A \widehat{\otimes}_B C\) d’image dense.

Démonstration de (1). Si \(I_\lambda\) et \(J_\mu\) sont constitués d’éléments topologiquement nilpotents, il en va de même de \(K_{\lambda, \mu}\) d’après le lemme 0AMW. Ainsi, \(A \widehat{\otimes}_B C\) est faiblement admissible par définition.

Démonstration de (2). Supposons que, pour certains \(\lambda_0\) et \(\mu_0\), les idéaux \(I = I_{\lambda_0} \subset A\) et \(J_{\mu_0} \subset C\) soient des idéaux de définition. Alors, pour tout \(\lambda\), il existe \(n\) tel que \(I^n \subset I_\lambda\). Pour tout \(\mu\), il existe \(m\) tel que \(J^m \subset J_\mu\). Par conséquent, \[\left(I(A \widehat{\otimes}_B C) + J(A \widehat{\otimes}_B C)\right)^{n + m} \subset I_\lambda(A \widehat{\otimes}_B C) + J_\mu(A \widehat{\otimes}_B C)\] Il s’ensuit que l’idéal ouvert \(K = K_{\lambda_0, \mu_0}\) vérifie \(K^{n + m} \subset K_{\lambda, \mu}\). Ainsi, \(K\) est un idéal de définition de \(A \widehat{\otimes}_B C\), et \(A \widehat{\otimes}_B C\) est admissible par définition.

Démonstration de (3). Si \(\Lambda\) et \(M\) sont dénombrables, il en va de même de \(\Lambda \times M\).

Démonstration de (4). Supposons \(\Lambda = \mathbf{N}\) et \(M = \mathbf{N}\), et soient \(I \subset A\) et \(J \subset C\) des idéaux de type fini tels que \(I_n = I^n\) et \(J_n = J^n\). Alors \[I(A \widehat{\otimes}_B C) + J(A \widehat{\otimes}_B C)\] est un idéal de type fini, et l’on voit facilement que \(A \widehat{\otimes}_B C\) est le complété de \(A \otimes_B C\) pour cet idéal. L’assertion (4) résulte donc de Algèbre, lemme 05GG.

Démonstration de (5). Soit \(\mathfrak c \subset C\) l’idéal des éléments topologiquement nilpotents. Comme \(A\) et \(C\) sont noethériens adiques, on voit que \(\mathfrak a\) et \(\mathfrak c\) sont des idéaux de définition (détails omis). D’après (4), nous savons déjà que \(A \widehat{\otimes}_B C\) est adique et que \(\mathfrak a(A \widehat{\otimes}_B C) + \mathfrak c(A \widehat{\otimes}_B C)\) est un idéal de définition de type fini. Puisque \[A \widehat{\otimes}_B C / \left(\mathfrak a(A \widehat{\otimes}_B C) + \mathfrak c(A \widehat{\otimes}_B C)\right) = A/\mathfrak a \otimes_{B/\mathfrak b} C/\mathfrak c\] est noethérien, car c’est une algèbre de type fini sur l’anneau noethérien \(C/\mathfrak c\), on conclut par Algèbre, lemme 05GH.

Homomorphismes d’anneaux tendus

Il est commode de donner un nom à la propriété suivante des homomorphismes continus entre anneaux linéairement topologisés.

Définition

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés. On dit que \(\varphi\) est tendu² si, pour tout idéal ouvert \(I \subset A\), l’adhérence de l’idéal \(\varphi(I)B\) est ouverte et si ces adhérences forment un système fondamental d’idéaux ouverts.

Si \(\varphi : A \to B\) est un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés et si les \(I_\lambda\) forment un système fondamental d’idéaux ouverts de \(A\), alors \(\varphi\) est tendu si et seulement si les adhérences des \(I_\lambda B\) sont ouvertes et forment un système fondamental d’idéaux ouverts de \(A\).

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux topologiques faiblement admissibles. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\varphi\) est tendu ;

pour tout idéal faible de définition \(I \subset A\), l’adhérence de \(\varphi(I)B\) est un idéal faible de définition de \(B\), et ces idéaux forment un système fondamental d’idéaux faibles de définition de \(B\).

Démonstration

Les remarques qui suivent la définition 0AMX montrent que (2) implique (1). Réciproquement, supposons \(\varphi\) tendu. Si \(I \subset A\) est un idéal faible de définition, alors l’adhérence de \(\varphi(I)B\) est ouverte par définition du caractère tendu et est constituée d’éléments topologiquement nilpotents d’après le lemme 0AMW. L’adhérence de \(\varphi(I)B\) est donc un idéal faible de définition. En outre, par définition du caractère tendu, ces idéaux forment un système fondamental d’idéaux ouverts ; la condition (2) est donc vérifiée.

Lemme

Soit \(A\) un anneau linéairement topologisé. L’homomorphisme \(A \to A^\wedge\) de \(A\) vers son complété est tendu.

Démonstration

Soient les \(I_\lambda\) un système fondamental d’idéaux ouverts de \(A\). Rappelons que \(A^\wedge = \lim A/I_\lambda\), muni de la topologie limite, ce qui signifie que les noyaux \(J_\lambda = \Ker(A^\wedge \to A/I_\lambda)\) forment un système fondamental d’idéaux ouverts de \(A^\wedge\). Puisque \(J_\lambda\) est l’adhérence de \(I_\lambda A^\wedge\) (comparer au lemme 0AMZ), on conclut.

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(B \to C\) des homomorphismes continus d’anneaux linéairement topologisés. Si \(A \to B\) et \(B \to C\) sont tendus, alors \(A \to C\) est tendu.

Démonstration

Omis. Indication : si \(I \subset A\) est un idéal et si \(J\) est l’adhérence de \(IB\), alors l’adhérence de \(JC\) est égale à celle de \(IC\).

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(B \to C\) des homomorphismes continus d’anneaux linéairement topologisés. Si \(A \to C\) est tendu, alors \(B \to C\) est tendu.

Démonstration

Soit \(J \subset B\) un idéal ouvert d’image réciproque \(I \subset A\). Alors l’adhérence de \(JC\) contient celle de \(IC\). Cette adhérence est donc ouverte, puisque \(A \to C\) est tendu. Soient les \(I_\lambda\) un système fondamental d’idéaux ouverts de \(A\). Soit \(K_\lambda\) l’adhérence de \(I_\lambda C\). Puisque \(A \to C\) est tendu, ils forment un système fondamental d’idéaux ouverts de \(C\). Notons \(J_\lambda \subset B\) l’image réciproque de \(K_\lambda\). Alors l’adhérence de \(J_\lambda C\) est \(K_\lambda\). On voit donc que les adhérences des idéaux \(JC\), lorsque \(J\) parcourt les idéaux ouverts de \(B\), forment un système fondamental d’idéaux ouverts de \(C\).

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(A \to C\) des homomorphismes continus d’anneaux linéairement topologisés. Si \(A \to B\) est tendu, alors \(C \to B \widehat{\otimes}_A C\) est tendu.

Démonstration

Soit \(K \subset C\) un idéal ouvert. Choisissons un idéal ouvert \(I \subset A\) dont l’image dans \(C\) est contenue dans \(J\). Par hypothèse, l’adhérence \(J\) de \(IB\) est ouverte. Comme \(A \to B\) est tendu, on voit que \(B \widehat{\otimes}_A C\) est la limite des anneaux \(B/J \otimes_{A/I} C/K\) pour tous les choix de \(K\) et de \(I\), c’est-à-dire que les idéaux \(J(B \widehat{\otimes}_A C) + K(B \widehat{\otimes}_A C)\) forment un système fondamental d’idéaux ouverts. Or, comme \(B \to B \widehat{\otimes}_A C\) est continu, on voit que \(J\) s’envoie dans l’adhérence de \(K(B \widehat{\otimes}_A C)\) (puisque \(I\) s’envoie dans \(K\)). Cette adhérence est donc égale à \(J(B \widehat{\otimes}_A C) + K(B \widehat{\otimes}_A C)\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés. Si \(\varphi\) est tendu et si \(A\) possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts, alors \(B\) possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés. Si \(\varphi\) est tendu et si \(A\) est faiblement préadmissible, alors \(B\) est faiblement préadmissible.

Démonstration

Soit \(I \subset A\) un idéal faible de définition. Alors l’adhérence \(J\) de \(IB\) est ouverte et constituée d’éléments topologiquement nilpotents d’après le lemme 0AMW. Par conséquent, \(J\) est un idéal faible de définition de \(B\).

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés. Si \(\varphi\) est tendu et si \(A\) est préadmissible, alors \(B\) est préadmissible.

Démonstration

Soit \(I \subset A\) un idéal de définition. Soient les \(I_\lambda \subset A\) un système fondamental d’idéaux ouverts. Alors l’adhérence \(J\) de \(IB\) est ouverte, et les adhérences \(J_\lambda\) des \(I_\lambda B\) sont ouvertes et forment un système fondamental d’idéaux ouverts de \(B\). Pour tout \(\lambda\), il existe \(n\) tel que \(I^n \subset I_\lambda\). Observons que \(J^n\) est contenu dans l’adhérence de \(I^nB\). Ainsi, \(J^n \subset J_\lambda\), et l’on conclut que \(J\) est un idéal de définition.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés. Supposons que :

\(\varphi\) soit tendu et d’image dense ;

\(A\) soit complet et possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts ; et

\(B\) soit séparé.

Alors \(\varphi\) est surjectif et ouvert, \(B\) est complet et \(B = A/K\) pour un certain idéal fermé \(K \subset A\).

Démonstration

En combinant le lemme de l’application ouverte (Compléments d’algèbre, lemme 0CQW) et le caractère tendu de \(\varphi\), on voit que l’application \(\varphi\) est ouverte. Comme l’image de \(\varphi\) est dense, \(\varphi\) est surjectif. Le noyau \(K\) de \(\varphi\) est fermé, puisque \(\varphi\) est continu. Il s’ensuit que \(B = A/K\) est complet ; voir par exemple le lemme 0AMT.

Homomorphismes d’anneaux adiques

Posons la définition suivante.

Définition

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux topologiques préadiques. Un homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\) est dit adique³ s’il existe un idéal de définition \(I \subset A\) tel que la topologie de \(B\) soit la topologie \(I\)-adique.

Si \(\varphi : A \to B\) est un homomorphisme adique d’anneaux préadiques, alors \(\varphi\) est continu et la topologie de \(B\) est la topologie \(I\)-adique pour tout idéal de définition \(I\) de \(A\).

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(B \to C\) des homomorphismes continus d’anneaux préadiques. Si \(A \to B\) et \(B \to C\) sont adiques, alors \(A \to C\) est adique.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(B \to C\) des homomorphismes continus d’anneaux préadiques. Si \(A \to C\) est adique, alors \(B \to C\) est adique.

Démonstration

Choisissons un idéal de définition \(I\) de \(A\). Comme \(A \to C\) est adique, on voit que \(IC\) est un idéal de définition de \(C\). Comme \(B \to C\) est continu, on peut trouver un idéal de définition \(J \subset B\) dont l’image est contenue dans \(IC\). Comme \(A \to B\) est continu, l’image réciproque \(I' \subset I\) de \(J\) dans \(I\) est aussi un idéal de définition de \(A\). Ainsi, \(I'C \subset JC \subset IC\) est compris entre deux idéaux de définition et est donc lui-même un idéal de définition.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu entre anneaux topologiques préadiques. Si \(\varphi\) est adique, alors \(\varphi\) est tendu.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions.

Le lemme suivant affirme deux choses :

la propriété d’être adique monte le long des homomorphismes tendus d’anneaux complets linéairement topologisés ; et
les propriétés « \(\varphi\) est tendu » et « \(\varphi\) est adique » sont équivalentes pour les homomorphismes continus \(\varphi : A \to B\) entre anneaux adiques si \(A\) possède un idéal de définition de type fini.

En raison de (2), on peut dire que le « caractère tendu » généralise le « caractère adique » aux homomorphismes continus entre anneaux linéairement topologisés quelconques. Voir aussi la section 0AQ2.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés. Si \(\varphi\) est tendu, si \(A\) est préadique et possède un idéal de définition de type fini, et si \(B\) est complet, alors \(B\) est adique et possède un idéal de définition de type fini, et l’homomorphisme d’anneaux \(\varphi\) est adique.

Démonstration

Choisissons un idéal de définition de type fini \(I\) de \(A\). Soit \(J_n\) l’adhérence de \(\varphi(I^n)B\) dans \(B\). Comme \(B\) est complet, on a \(B = \lim B/J_n\). Soit \(B' = \lim B/I^nB\) le complété \(I\)-adique de \(B\). D’après Algèbre, lemme 05GG, la topologie \(I\)-adique sur \(B'\) est complète, et \(B'/I^nB' = B/I^nB\). Ainsi, l’homomorphisme d’anneaux \(B' \to B\) est continu et d’image dense, puisque \(B' \to B/I^nB \to B/J_n\) est surjectif pour tout \(n\). Enfin, l’homomorphisme \(B' \to B\) est tendu, car \((I^nB')B = I^nB\) et \(A \to B\) est tendu. D’après le lemme 0APT, \(B' \to B\) est ouvert et surjectif. La topologie de \(B\) est donc la topologie \(I\)-adique, ce qui achève la démonstration.

Anneaux faiblement adiques

Nous conseillons au lecteur de sauter cette section. La notion suivante est une généralisation naturelle des anneaux adiques.

Définition

Soit \(A\) un anneau linéairement topologisé.

On dit que \(A\) est faiblement préadique⁴ s’il existe un idéal \(I \subset A\) tel que l’adhérence de \(I^n\) soit ouverte pour tout \(n \geq 0\) et que ces adhérences forment un système fondamental d’idéaux ouverts.

On dit que \(A\) est faiblement adique si \(A\) est faiblement préadique et complet⁵.

Pour les anneaux complets linéairement topologisés, on a les implications suivantes : \[\xymatrix{ \text{adique + noethérien} \ar@{=>}[d] \\ \text{adique + idéal de définition de type fini} \ar@{=>}[d] \\ \text{adique} \ar@{=>}[d] \\ \text{faiblement adique} \ar@{=>}[d] \\ \text{admissible + à base dénombrable} \ar@{=>}[d] \ar@{=>}[r] & \text{admissible} \ar@{=>}[d] \\ \text{faiblement admissible + à base dénombrable} \ar@{=>}[r] & \text{faiblement admissible} }\] où « à base dénombrable » signifie que notre anneau topologique possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts. On dispose d’un diagramme d’implications analogue pour les anneaux linéairement topologisés non complets (c’est-à-dire en utilisant les notions de préadique, faiblement préadique, préadmissible et faiblement préadmissible). Contrairement à ce qui se passe pour les anneaux préadiques, le complété d’un anneau faiblement préadique est faiblement adique, comme le montre le lemme suivant qui caractérise les anneaux faiblement préadiques.

Lemme

Soit \(A\) un anneau linéairement topologisé. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(A\) est faiblement préadique ;

il existe un homomorphisme continu tendu d’anneaux \(A' \to A\), où \(A'\) est un anneau topologique préadique ;

\(A\) est préadmissible et il existe un idéal de définition \(I\) tel que l’adhérence de \(I^n\) soit ouverte pour tout \(n \geq 1\) ; et

\(A\) est préadmissible et, pour tout idéal de définition \(I\), l’adhérence de \(I^n\) est ouverte pour tout \(n \geq 1\).

Le complété d’un anneau faiblement préadique est faiblement adique. Si \(A\) est faiblement adique, alors \(A\) est admissible et possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts.

Démonstration

Supposons (1). Choisissons un idéal \(I\) tel que l’adhérence de \(I^n\) soit ouverte pour tout \(n\) et que ces adhérences forment un système fondamental d’idéaux ouverts. Notons \(A' = A\) muni de la topologie \(I\)-adique. Alors \(A' \to A\) est tendu par définition, et la condition (2) est vérifiée.

Supposons (2). Soit \(I' \subset A'\) un idéal de définition. Notons \(I\) l’adhérence de \(I'A\). Le caractère tendu de \(A' \to A\) signifie que les adhérences \(I_n\) des \((I')^nA\) sont ouvertes et forment un système fondamental d’idéaux ouverts. Ainsi, \(I = I_1\) est ouvert, et les adhérences de \(I^n\) sont égales à \(I_n\) ; elles sont donc ouvertes et forment un système fondamental d’idéaux ouverts. En particulier, \(I\) est un idéal de définition tel que l’adhérence de \(I^n\) soit ouverte pour tout \(n\). La condition (3) est donc vérifiée.

Si \(I \subset A\) est comme dans (3), alors \(I\) est un idéal comme dans la définition 0GXE, et la condition (1) est vérifiée. De plus, si \(I' \subset A\) est un autre idéal de définition quelconque, alors \(I'\) est ouvert (voir Compléments d’algèbre, définition 07E8) et contient donc \(I^n\) pour un certain \(n \geq 1\). Ainsi, \((I')^m\) contient \(I^{nm}\) pour tout \(m \geq 1\), et l’on conclut que les adhérences de \((I')^m\) sont ouvertes pour tout \(m\). On voit ainsi que (3) implique (4). L’implication (4) \(\Rightarrow\) (3) est triviale.

Soit \(A\) faiblement préadique. Choisissons \(A' \to A\) comme dans (2). D’après les lemmes 0GX2 et 0GX3, le composé \(A' \to A^\wedge\) est tendu. Ainsi, \(A^\wedge\) est faiblement préadique par l’équivalence de (2) et (1). Comme le complété d’un anneau linéairement topologisé \(A\) est complet (Compléments d’algèbre, section 07E7), on voit que \(A^\wedge\) est faiblement adique.

Soit \(A\) faiblement adique. Alors \(A\) est complet et préadmissible par (1) \(\Rightarrow\) (3) ; par conséquent, \(A\) est admissible. Bien entendu, par définition, \(A\) possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts.

Nous donnons deux critères qui garantissent qu’un anneau faiblement adique est adique et possède un idéal de définition de type fini.

Lemme

Soit \(A\) un anneau complet linéairement topologisé. Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini tel que l’adhérence de \(I^n\) soit ouverte pour tout \(n \geq 0\) et que ces adhérences forment un système fondamental d’idéaux ouverts. Alors \(A\) est adique et possède un idéal de définition de type fini.

Démonstration

Notons \(A'\) l’anneau \(A\) muni de la topologie \(I\)-adique. Les hypothèses nous disent que \(A' \to A\) est tendu. On conclut par le lemme 0APU (plus précisément, ce lemme nous dit également que \(I\) est un idéal de définition).

Lemme

Soit \(A\) un anneau topologique faiblement adique. Soit \(I\) un idéal de définition tel que \(I/I_2\) soit un module de type fini, où \(I_2\) est l’adhérence de \(I^2\). Alors \(A\) est adique et possède un idéal de définition de type fini.

Démonstration

Nous utilisons la caractérisation du lemme 0GXF sans autre mention. Choisissons \(f_1, \ldots, f_r \in I\) dont les images engendrent \(I/I_2\). Posons \(I' = (f_1, \ldots, f_r)\). On a \(I' + I_2 = I\). Alors \(I_2\) est l’adhérence de \(I^2 = (I' + I_2)^2 \subset I' + I_3\), où \(I_3\) est l’adhérence de \(I^3\). Par conséquent, \(I' + I_3 = I\). En poursuivant ainsi, on voit que \(I' + I_n = I\) pour tout \(n \geq 2\), où \(I_n\) est l’adhérence de \(I^n\). Autrement dit, l’adhérence de \(I'\) dans \(A\) est \(I\). Par conséquent, l’adhérence de \((I')^n\) est \(I_n\). Les adhérences de \((I')^n\) forment donc un système fondamental d’idéaux ouverts de \(A\). On conclut par le lemme 0GXG.

Une propriété essentielle de la condition « faiblement préadique » est qu’elle se transmet au but par les homomorphismes d’anneaux tendus entre anneaux linéairement topologisés.

Lemme

Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux linéairement topologisés. Si \(\varphi\) est tendu et si \(A\) est faiblement préadique, alors \(B\) est faiblement préadique.

Démonstration

Soit \(I \subset A\) un idéal tel que l’adhérence \(I_n\) de \(I^n\) soit ouverte et que ces adhérences définissent un système fondamental d’idéaux ouverts. Alors l’adhérence de \(I^nB\) est égale à celle de \(I_nB\). Comme \(\varphi\) est tendu, ces adhérences sont ouvertes et forment un système fondamental d’idéaux ouverts de \(B\). Ainsi, \(B\) est faiblement préadique.

Lemme

Soient \(B \to A\) et \(B \to C\) des homomorphismes continus d’anneaux linéairement topologisés. Si \(A\) et \(C\) sont faiblement préadiques, alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est faiblement adique.

Démonstration

Nous utiliserons la caractérisation du lemme 0GXF sans autre mention. D’après le lemme 0GB4, nous savons que \(A \widehat{\otimes}_B C\) est admissible. De plus, la démonstration de ce lemme montre que l’adhérence \(K \subset A \widehat{\otimes}_B C\) est un idéal de définition lorsque \(I \subset A\) et \(J \subset C\) le sont, cette adhérence étant celle de \(I(A \widehat{\otimes}_B C) + J(A \widehat{\otimes}_B C)\). Il suffit alors de montrer que l’adhérence de \(K^n\) est ouverte pour tout \(n \geq 1\). Puisque l’idéal \(K^n\) contient \(I^n(A \widehat{\otimes}_B C) + J^n(A \widehat{\otimes}_B C)\), puisque l’adhérence de \(I^n\) dans \(A\) est ouverte et puisque l’adhérence de \(J^n\) dans \(C\) est ouverte, on voit que l’adhérence de \(K^n\) est ouverte dans \(A \widehat{\otimes}_B C\).

Descente des propriétés

Dans cette section, nous considérons la situation suivante :

\(\varphi : A \to B\) est un homomorphisme continu d’anneaux topologiques linéairement topologisés ;
\(\varphi\) est tendu ; et
pour tout idéal ouvert \(I \subset A\), si \(J \subset B\) désigne l’adhérence de \(IB\), alors l’homomorphisme \(A/I \to B/J\) est fidèlement plat.

Nous allons montrer que, dans cette situation, les propriétés de \(B\) sont héritées par \(A\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(B\) possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts, alors \(A\) possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts.

Démonstration

Choisissons un système fondamental \(B \supset J_1 \supset J_2 \supset \ldots\) d’idéaux ouverts. Puisque \(\varphi\) est tendu, pour tout \(n\), on peut trouver un idéal ouvert \(I_n\) tel que \(J_n \supset I_nB\). Nous affirmons que les \(I_n\) forment un système fondamental d’idéaux ouverts de \(A\). En effet, supposons que \(I \subset A\) soit ouvert. Comme \(\varphi\) est tendu, l’adhérence de \(IB\) est ouverte et contient donc \(J_n\) pour un certain \(n\) assez grand. Ainsi, \(I_nB \subset IB\). Soit \(J\) l’adhérence de \(IB\) dans \(B\). Puisque \(A/I \to B/J\) est fidèlement plat, il est injectif. Par conséquent, comme \(I_n \to A/I \to B/J\) est nul puisque \(I_nB \subset IB \subset J\), on conclut que \(I_n \to A/I\) est nul. Ainsi, \(I_n \subset I\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(B\) est faiblement préadmissible, alors \(A\) est faiblement préadmissible.

Démonstration

Soit \(J \subset B\) un idéal faible de définition. Soit \(I \subset A\) un idéal ouvert tel que \(IB \subset J\). Pour montrer que \(I\) est un idéal faible de définition, il faut montrer que tout \(f \in I\) est topologiquement nilpotent. Soit \(I' \subset A\) un idéal ouvert. Notons \(J' \subset B\) l’adhérence de \(I'B\). Alors \(A/I' \to B/J'\) est fidèlement plat, donc injectif. Ainsi, pour montrer que \(f^n \in I'\), il suffit de montrer que \(\varphi(f)^n \in J'\). C’est le cas pour \(n \gg 0\), puisque \(\varphi(f) \in J\), que l’idéal \(J\) est un idéal faible de définition de \(B\) et que \(J'\) est ouvert dans \(B\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(B\) est préadmissible, alors \(A\) est préadmissible.

Démonstration

Soit \(J \subset B\) un idéal faible de définition. Soit \(I \subset A\) un idéal ouvert tel que \(IB \subset J\). Soit \(I' \subset A\) un idéal ouvert. Pour montrer que \(I\) est un idéal de définition, il faut montrer que \(I^n \subset I'\) pour \(n \gg 0\). Notons \(J' \subset B\) l’adhérence de \(I'B\). Alors \(A/I' \to B/J'\) est fidèlement plat, donc injectif. Ainsi, pour montrer que \(I^n \subset I'\), il suffit de montrer que \(\varphi(I)^n \subset J'\). C’est le cas pour \(n \gg 0\), puisque \(\varphi(I) \subset J\), que l’idéal \(J\) est un idéal de définition de \(B\) et que \(J'\) est ouvert dans \(B\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(B\) est faiblement préadique, alors \(A\) est faiblement préadique.

Démonstration

Nous utiliserons sans autre mention la caractérisation des anneaux faiblement préadiques donnée dans le lemme 0GXF. D’après le lemme 0GXN, l’anneau topologique \(A\) est préadmissible. Soit \(I \subset A\) un idéal de définition. Fixons \(n \geq 1\). Pour démontrer le lemme, il faut montrer que l’adhérence de \(I^n\) est ouverte. Soient les \(I_\lambda \subset A\) un système fondamental d’idéaux ouverts. Notons \(J \subset B\), resp. \(J_\lambda \subset B\), l’adhérence de \(IB\), resp. celle de \(I_\lambda B\). Comme \(B\) est faiblement préadique, l’adhérence de \(J^n\) est ouverte. Il existe donc \(\lambda\) tel que \[J_\lambda \subset \bigcap\nolimits_\mu (J^n + J_\mu)\] car le membre de droite est l’adhérence de \(J^n\) d’après le lemme 0AMS. Cela signifie que l’image de \(J_\lambda\) dans \(B/J_\mu\) est contenue dans l’image de \(J^n\) dans \(B/J_\mu\). Observons que l’image de \(J^n\) dans \(B/J_\mu\) est égale à celle de \(I^nB\) dans \(B/J_\mu\) (puisque tout élément de \(J\) est congru à un élément de \(IB\) modulo \(J_\mu\)). Comme \(A/I_\mu \to B/J_\mu\) est fidèlement plat et que \(I_\lambda B \subset J_\lambda\), on conclut que l’image de \(I_\lambda\) dans \(A/I_\mu\) est contenue dans l’image de \(I^n\). On en déduit que \(I_\lambda\) est contenu dans l’adhérence de \(I^n\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(B\) est adique et possède un idéal de définition de type fini, et si \(A\) est complet, alors \(A\) est adique et possède un idéal de définition de type fini.

Démonstration

Nous savons déjà que \(A\) est faiblement adique, et a fortiori admissible, d’après le lemme 0GXP (et le lemme 0GXF pour voir que les anneaux adiques sont faiblement adiques). Soit \(I \subset A\) un idéal de définition. Soit \(J \subset B\) un idéal de définition de type fini. Comme l’adhérence de \(IB\) est ouverte, on peut trouver \(n > 0\) tel que \(J^n\) soit contenu dans l’adhérence de \(IB\). Après avoir remplacé \(J\) par \(J^n\), on peut donc supposer que \(J\) est un idéal de définition de type fini contenu dans l’adhérence de \(IB\). D’après le lemme 0AMS, cela implique en particulier que \[J \subset IB + J^2\] Considérons le \(A\)-module de type fini \(M = (J + IB)/IB\). L’équation affichée montre que \(JM = M\). D’après le lemme 0DCZ, par exemple, on voit que \(J\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(B\). Le lemme de Nakayama, plus précisément la partie (2) de Algèbre, lemme 00DV, donne donc \(M = 0\). Ainsi, \(J \subset IB\).

Comme \(J\) est de type fini, on peut trouver un idéal de type fini \(I' \subset I\) tel que \(J \subset I'B\). Comme \(A \to B\) est continu, que \(J \subset B\) est ouvert et que \(I\) est un idéal de définition, on peut trouver \(n > 0\) tel que \(I^nB \subset J\). Soit \(J_{n + 1} \subset B\) l’adhérence de \(I^{n + 1}B\). On a \[I^n \cdot (B/J_{n + 1}) \subset J \cdot (B/J_{n + 1}) \subset I' \cdot (B/J_{n + 1})\] Puisque \(A/I^{n + 1} \to B/J_{n + 1}\) est fidèlement plat, cela implique \(I^n \cdot (A/I^{n + 1}) \subset I' \cdot (A/I^{n + 1})\), ce qui signifie à son tour que \[I^n \subset I' + I^{n + 1}\] Cela implique \(I^n \subset I' + I^{n + k}\) pour tout \(k \geq 1\), ce qui implique à son tour \(I^{nm} \subset (I')^m + I^{nm + k}\) pour tous \(k, m \geq 1\). Il s’ensuit que l’adhérence de \((I')^m\) contient \(I^{nm}\). Comme l’adhérence de \(I^{nm}\) est ouverte, puisque \(A\) est faiblement adique, on conclut que l’adhérence de \((I')^m\) est ouverte pour tout \(m\). Comme ces adhérences forment un système fondamental d’idéaux ouverts de \(A\) (puisqu’il en est ainsi des adhérences de \(I^n\)), on conclut par le lemme 0GXG.

Espaces algébriques formels affines

Dans cette section, nous introduisons les espaces algébriques formels affines. Ceux-ci sont en fait les mêmes objets que ceux appelés schémas formels affines dans [BVGD]. Nous les appellerons cependant espaces algébriques formels affines, afin d’éviter toute confusion avec la notion de schéma formel affine définie dans [EGA].

Rappelons qu’un épaississement de schémas est une immersion fermée qui induit une surjection sur les espaces topologiques sous-jacents ; voir Compléments sur les morphismes, définition 04EX.

Définition

Soit \(S\) un schéma. On dit qu’un faisceau \(X\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) est un espace algébrique formel affine s’il existe :

un ensemble ordonné filtrant \(\Lambda\) ;

un système \((X_\lambda, f_{\lambda \mu})\) indexé par \(\Lambda\) dans \((\Sch/S)_{fppf}\) tel que :

chaque \(X_\lambda\) soit affine ;

chaque \(f_{\lambda \mu} : X_\lambda \to X_\mu\) soit un épaississement.

et tels que \[X \cong \colim_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda\] comme faisceaux fppf, et que \(X\) satisfasse une condition ensembliste (voir la remarque 0AIS). Un morphisme d’espaces algébriques formels affines sur \(S\) est une application de faisceaux.

Observons que le système \((X_\lambda, f_{\lambda \mu})\) ne fait pas partie des données. Supposons que \(U\) soit un schéma quasi-compact sur \(S\). Comme les applications de transition sont des monomorphismes, on a \[X(U) = \colim X_\lambda(U)\] d’après Sites, lemme 0738. Ainsi, la construction du faisceau fppf inhérente à la limite inductive de la définition se réduit à la construction du faisceau de Zariski, laquelle ne change rien pour les schémas quasi-compacts.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Si \(X\) est un espace algébrique formel affine sur \(S\), alors le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times_S X\) est représentable et est une immersion fermée.

Démonstration

Supposons donnés \(U \to X\) et \(V \to X\), où \(U, V\) sont des schémas sur \(S\). Montrons que \(U \times_X V\) est représentable. Écrivons \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la définition 0AI7. La discussion précédente montre que, localement pour Zariski sur \(U\) et \(V\), les morphismes se factorisent par un certain \(X_\lambda\). Dans ce cas, \(U \times_X V = U \times_{X_\lambda} V\), qui est un schéma. La diagonale est donc représentable ; voir Espaces, lemme 025W. Étant donné \((a, b) : W \to X \times_S X\), où \(W\) est un schéma sur \(S\), considérons l’application \(X \times_{\Delta, X \times_S X, (a, b)} W \to W\). Comme précédemment, localement sur \(W\), les morphismes \(a\) et \(b\) se factorisent par le schéma affine \(X_\lambda\) pour un certain \(\lambda\) ; on obtient alors le morphisme \(X_\lambda \times_{\Delta_\lambda, X_\lambda \times_S X_\lambda, (a, b)} W \to W\). Il est obtenu par changement de base à partir de \(\Delta_\lambda : X_\lambda \to X_\lambda \times_S X_\lambda\), qui est une immersion fermée puisque \(X_\lambda \to S\) est séparé (car \(X_\lambda\) est affine). Ainsi, \(X \to X \times_S X\) est une immersion fermée.

Un morphisme de schémas \(X \to X'\) est un épaississement s’il est une immersion fermée et induit une surjection sur les ensembles de points sous-jacents ; voir (Compléments sur les morphismes, définition 04EX). Par conséquent, la propriété d’être un épaississement est conservée par tout changement de base et est locale pour la topologie fpqc sur le but ; voir Espaces, section 02WE. Ainsi, Espaces, définition 025V, s’applique à la propriété « être un épaississement », et nous savons ce que signifie, pour une transformation représentable \(F \to G\) de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\), être un épaississement. Observons que cela est compatible avec notre définition (Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, définition 05ZK) des épaississements lorsque \(F\) et \(G\) sont des espaces algébriques.

Lemme

Soient \(X_\lambda, \lambda \in \Lambda\) et \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la définition 0AI7. Alors \(X_\lambda \to X\) est représentable et est un épaississement.

Démonstration

L’énoncé a un sens d’après la discussion de Espaces, section 025U et 02WI. D’après le lemme 0AI8, les morphismes \(X_\lambda \to X\) sont représentables. Étant donné \(U \to X\), où \(U\) est un schéma, la discussion qui suit la définition 0AI7 montre que, localement pour Zariski sur \(U\), le morphisme se factorise par un certain \(X_\mu\) avec \(\lambda \leq \mu\). Dans ce cas, \(U \times_X X_\lambda = U \times_{X_\mu} X_\lambda\), de sorte que \(U \times_X X_\lambda \to U\) est obtenu par changement de base à partir de l’épaississement \(X_\lambda \to X_\mu\).

Lemme

Soient \(X_\lambda, \lambda \in \Lambda\) et \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la définition 0AI7. Si \(Y\) est un espace algébrique quasi-compact sur \(S\), tout morphisme \(Y \to X\) se factorise par un \(X_\lambda\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Le composé \(V \to Y \to X\) se factorise par \(X_\lambda\) pour un certain \(\lambda\), d’après la discussion qui suit la définition 0AI7. Comme \(V \to Y\) est une surjection de faisceaux, on conclut.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Alors \(X\) est un espace algébrique formel affine si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :

tout morphisme \(U \to X\), où \(U\) est un schéma affine sur \(S\), se factorise par un morphisme \(T \to X\) qui est représentable et est un épaississement, avec \(T\) un schéma affine sur \(S\) ; et

une condition ensembliste comme dans la remarque 0AIS.

Démonstration

Il résulte des lemmes 0AI9 et 0AIA qu’un espace algébrique formel affine satisfait (1) et (2). Pour démontrer la réciproque, nous pouvons supposer que \(X\) n’est pas vide. Soit \(\Lambda\) la catégorie des morphismes représentables \(T \to X\) qui sont des épaississements, où \(T\) est un schéma affine sur \(S\). Cette catégorie est filtrante. Puisque \(X\) n’est pas vide, \(\Lambda\) contient au moins un objet. Si \(T \to X\) et \(T' \to X\) appartiennent à \(\Lambda\), on peut factoriser \(T \amalg T' \to X\) par \(T'' \to X\) dans \(\Lambda\). Entre deux objets quelconques de \(\Lambda\), il existe une flèche unique ou aucune. Ainsi, \(\Lambda\) est un ensemble ordonné filtrant et, par hypothèse, \(X = \colim_{T \to X\text{ dans }\Lambda} T\). Pour achever la démonstration, il faut montrer que toute flèche \(T \to T'\) de \(\Lambda\) est un épaississement. C’est vrai parce que \(T' \to X\) est un monomorphisme de faisceaux, de sorte que \(T = T \times_{T'} T' = T \times_X T'\) ; par conséquent, le morphisme \(T \to T'\) est égal à la projection \(T \times_X T' \to T'\), qui est un épaississement puisque \(T \to X\) en est un.

Pour un espace algébrique formel affine général \(X\), rien ne garantit que \(X\) possède assez de fonctions pour séparer les points, par exemple. Voir Exemples, section 0ANY. Pour caractériser ceux qui en possèdent assez, nous proposons le lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un faisceau fppf sur \((\Sch/S)_{fppf}\) qui satisfait la condition ensembliste de la remarque 0AIS. Les conditions suivantes sont équivalentes :

il existe un anneau topologique faiblement admissible \(A\) sur \(S\) (voir la remarque 0AI3) tel que \(X = \colim_{I \subset A\text{ idéal faible de définition}} \Spec(A/I)\) ;

\(X\) est un espace algébrique formel affine et il existe une \(S\)-algèbre \(A\) et une application \(X \to \Spec(A)\) telles que, pour une immersion fermée \(T \to X\) avec \(T\) schéma affine, le composé \(T \to \Spec(A)\) soit une immersion fermée ;

\(X\) est un espace algébrique formel affine et il existe une \(S\)-algèbre \(A\) et une application \(X \to \Spec(A)\) telles que, pour une immersion fermée \(T \to X\) avec \(T\) schéma, le composé \(T \to \Spec(A)\) soit une immersion fermée ;

\(X\) est un espace algébrique formel affine et, pour un choix de \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la définition 0AI7, les projections \(\lim \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}_{X_\lambda}) \to \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}_{X_\lambda})\) sont surjectives ;

\(X\) est un espace algébrique formel affine et, pour tout choix de \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la définition 0AI7, les projections \(\lim \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}_{X_\lambda}) \to \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}_{X_\lambda})\) sont surjectives.

De plus, l’anneau topologique faiblement admissible est \(A = \lim \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}_{X_\lambda})\), muni de sa topologie limite, et les idéaux faibles de définition classifient exactement les morphismes \(T \to X\) qui sont représentables et sont des épaississements.

Démonstration

Il est clair que (5) implique (4).

Supposons (4) pour \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la définition 0AI7. Posons \(A = \lim \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}_{X_\lambda})\). Soit \(T \to X\) une immersion fermée, avec \(T\) un schéma (remarquons que \(T \to X\) est représentable d’après le lemme 0AI8). Puisque \(X_\lambda \to X\) est un épaississement, il en va de même de \(X_\lambda \times_X T \to T\). D’autre part, \(X_\lambda \times_X T \to X_\lambda\) est une immersion fermée ; \(X_\lambda \times_X T\) est donc affine. Par conséquent, \(T\) est affine d’après Limits, Proposition 05YU. Alors \(T \to X\) se factorise par \(X_\lambda\) pour un certain \(\lambda\), d’après le lemme 0AIA. Ainsi, \(A \to \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}) \to \Gamma(T, \mathcal{O})\) est surjectif. La condition (3) est donc vérifiée.

Il est clair que (3) implique (2).

Supposons (2) pour \(A\) et \(X \to \Spec(A)\). Écrivons \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la définition 0AI7. Alors \(A_\lambda = \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O})\) est un quotient de \(A\) par l’hypothèse (2). Ainsi, \(A^\wedge = \lim A_\lambda\) est un anneau topologique complet ; voir la discussion de Compléments d’algèbre, section 07E7. Les applications \(A^\wedge \to A_\lambda\) sont surjectives, puisque \(A \to A_\lambda\) l’est. Nous affirmons que, pour tout \(\lambda\), le noyau \(I_\lambda \subset A^\wedge\) de \(A^\wedge \to A_\lambda\) est un idéal faible de définition. En effet, il est ouvert par définition de la topologie limite. Si \(f \in I_\lambda\), alors, pour tout \(\mu \in \Lambda\), l’image de \(f\) dans \(A_\mu\) est nulle dans tous les corps résiduels des points de \(X_\mu\). C’est donc un élément nilpotent de \(A_\mu\). Par conséquent, une puissance \(f^n \in I_\mu\). Ainsi, \(f^n \to 0\) lorsque \(n \to 0\). L’anneau \(A^\wedge\) est donc faiblement admissible. Enfin, supposons que \(I \subset A^\wedge\) soit un idéal faible de définition. Alors \(I \subset A^\wedge\) est ouvert ; il existe donc \(\lambda\) tel que \(I \supset I_\lambda\). On obtient ainsi un morphisme \(\Spec(A^\wedge/I) \to \Spec(A_\lambda) \to X\). Il s’ensuit que \(X = \colim \Spec(A^\wedge/I)\), où la limite inductive porte maintenant sur tous les idéaux faibles de définition. La condition (1) est donc vérifiée.

Supposons (1). Dans ce cas, il est clair que \(X\) est un espace algébrique formel affine. Soit \(X = \colim X_\lambda\) une présentation quelconque comme dans la définition 0AI7. Pour tout \(\lambda\), on peut trouver un idéal faible de définition \(I \subset A\) tel que \(X_\lambda \to X\) se factorise par \(\Spec(A/I) \to X\) ; voir le lemme 0AIA. Alors \(X_\lambda = \Spec(A/I_\lambda)\) avec \(I \subset I_\lambda\). Réciproquement, pour tout idéal faible de définition \(I \subset A\), le morphisme \(\Spec(A/I) \to X\) se factorise par \(X_\lambda\) pour un certain \(\lambda\), c’est-à-dire que \(I_\lambda \subset I\). Il s’ensuit que chaque \(I_\lambda\) est un idéal faible de définition et qu’ils forment une partie cofinale de l’ensemble des idéaux faibles de définition. Ainsi, \(A = \lim A/I = \lim A/I_\lambda\), et l’on voit que (5) est vraie et, de plus, que \(A = \lim \Gamma(X_\lambda, \mathcal{O}_{X_\lambda})\).

Ce lemme permet de poser la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel affine sur \(S\). On dit que \(X\) est de McQuillan si \(X\) satisfait les conditions équivalentes du lemme 0AIC. Soit \(A\) l’anneau topologique faiblement admissible associé à \(X\). On dit que :

\(X\) est classique si \(X\) est de McQuillan et si \(A\) est admissible (Compléments d’algèbre, définition 07E8) ;

\(X\) est faiblement adique si \(X\) est de McQuillan et si \(A\) est faiblement adique (définition 0GXE) ;

\(X\) est adique si \(X\) est de McQuillan et si \(A\) est adique (Compléments d’algèbre, définition 07E8) ;

\(X\) est adique* si \(X\) est de McQuillan, si \(A\) est adique et si \(A\) possède un idéal de définition de type fini ; et

\(X\) est noethérien si \(X\) est de McQuillan et si \(A\) est à la fois noethérien et adique.

Dans [Fujiwara-Kato], les auteurs emploient la terminologie « de type idéal fini » pour exprimer qu’un anneau topologique adique \(A\) contient un idéal de définition de type fini. Étant donné un espace algébrique formel affine \(X\), voici les implications entre les notions introduites dans la définition : \[\xymatrix{ X\text{ noethérien} \ar@{=>}[r] & X\text{ adique*} \ar@{=>}[r] & X\text{ adique} \ar@{=>}[lld] \\ X\text{ faiblement adique} \ar@{=>}[r] & X\text{ classique} \ar@{=>}[r] & X\text{ de McQuillan} }\] Voir la discussion de la section 0GXD et, pour un énoncé précis, le lemme 0AIK.

Remarque

Les espaces algébriques formels affines classiques correspondent aux schémas formels affines considérés dans EGA ([EGA]). Pour l’expliquer, supposons que notre schéma de base soit \(\Spec(\mathbf{Z})\). Soit \(\mathfrak X = \text{Spf}(A)\) un schéma formel affine. Soit \(h_\mathfrak X\) son foncteur des points comme dans le lemme 0AI1. Alors \(h_\mathfrak X = \colim h_{\Spec(A/I)}\), où la limite inductive porte sur la famille des idéaux de définition de l’anneau topologique admissible \(A\). Cela résulte de (0AHZ) après évaluation sur les schémas affines, et il suffit de vérifier l’égalité sur les schémas affines puisque les deux membres sont des faisceaux fppf ; voir le lemme 0AI2. Ainsi, \(h_\mathfrak X\) est un espace algébrique formel affine. En fait, c’est un espace algébrique formel affine classique d’après la définition 0AID. Le lemme 0AI1 nous dit donc que la catégorie des schémas formels affines est équivalente à celle des espaces algébriques formels affines classiques.

Le lien avec les schémas formels affines étant établi, il est naturel de poser la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(A\) un anneau topologique faiblement admissible sur \(S\) ; voir la définition 0AMV ⁶. Le spectre formel de \(A\) est l’espace algébrique formel affine \[\text{Spf}(A) = \colim \Spec(A/I)\] où la limite inductive est prise sur l’ensemble des idéaux faibles de définition de \(A\) et dans la catégorie \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\).

Un tel spectre formel est de McQuillan par construction et, réciproquement, tout espace algébrique formel affine de McQuillan est isomorphe à un spectre formel. Précisons que notre théorie contient des espaces algébriques formels affines qui ne sont le spectre formel d’aucun anneau topologique faiblement admissible. Suivant [Yasuda], nous pourrions introduire les \(S\)-pro-anneaux comme les pro-objets de la catégorie des \(S\)-algèbres ; voir Catégories, remarque 05PX. Tout espace algébrique formel affine sur \(S\) serait alors le spectre formel d’un tel \(S\)-pro-anneau. Nous ne le ferons pas et travaillerons directement avec les espaces algébriques formels affines correspondants.

La construction du spectre formel est fonctorielle. Pour l’expliquer, soit \(\varphi : B \to A\) un homomorphisme continu d’anneaux topologiques faiblement admissibles sur \(S\). Alors \[\text{Spf}(\varphi) : \text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\] est l’unique morphisme d’espaces algébriques formels affines tel que les diagrammes \[\xymatrix{ \Spec(B/J) \ar[d] \ar[r] & \Spec(A/I) \ar[d] \\ \text{Spf}(B) \ar[r] & \text{Spf}(A) }\] soient commutatifs pour tous les idéaux faibles de définition \(I \subset A\) et \(J \subset B\) tels que \(\varphi(I) \subset J\). Comme la continuité de \(\varphi\) implique que, pour tout idéal faible de définition \(J \subset B\), il existe un idéal faible de définition \(I \subset A\) ayant la propriété requise, on voit que les commutativités demandées déterminent et définissent uniquement \(\text{Spf}(\varphi)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(A\), \(B\) des anneaux topologiques faiblement admissibles sur \(S\). Tout morphisme \(f : \text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) d’espaces algébriques formels affines sur \(S\) est égal à \(\text{Spf}(f^\sharp)\) pour un unique homomorphisme continu de \(S\)-algèbres \(f^\sharp : A \to B\).

Démonstration

Soit \(f : \text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) comme dans le lemme. Soit \(J \subset B\) un idéal faible de définition. D’après le lemme 0AIA, il existe un idéal faible de définition \(I \subset A\) tel que \(\Spec(B/J) \to \text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) se factorise par \(\Spec(A/I)\). D’après Schémas, lemme 01I1, on obtient un homomorphisme de \(S\)-algèbres \(A/I \to B/J\). Ces homomorphismes sont compatibles lorsque \(J\) varie et définissent l’homomorphisme \(f^\sharp : A \to B\). Celui-ci est continu, car, pour tout idéal faible de définition \(J \subset B\), il existe un idéal faible de définition \(I \subset A\) tel que \(f^\sharp(I) \subset J\). L’égalité \(f = \text{Spf}(f^\sharp)\) résulte du choix des homomorphismes d’anneaux \(A/I \to B/J\) qui constituent \(f^\sharp\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) une application de préfaisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Si \(X\) est un espace algébrique formel affine et si \(f\) est représentable par des espaces algébriques et localement quasi-fini, alors \(f\) est représentable (par des schémas).

Démonstration

Soient \(T\) un schéma sur \(S\) et \(T \to Y\) une application. Il faut montrer que l’espace algébrique \(X \times_Y T\) est un schéma. Écrivons \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la définition 0AI7. Soit \(W \subset X \times_Y T\) un sous-espace ouvert quasi-compact. La restriction de la projection \(X \times_Y T \to X\) à \(W\) se factorise par \(X_\lambda\) pour un certain \(\lambda\). Alors \[W \to X_\lambda \times_S T\] est un monomorphisme (donc séparé) et est localement quasi-fini (car \(W \to X \times_Y T \to T\) est localement quasi-fini par l’hypothèse sur \(X \to Y\) ; voir Morphismes d’espaces algébriques, lemme 03XN). Par conséquent, \(W\) est un schéma d’après Morphismes d’espaces algébriques, Proposition 03XX. Ainsi, \(X \times_Y T\) est un schéma d’après Propriétés des espaces algébriques, lemme 03JH.

Espaces algébriques formels affines à indexation dénombrable

Ce sont les espaces algébriques formels affines du lemme suivant.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique formel affine sur \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

il existe un système \(X_1 \to X_2 \to X_3 \to \ldots\) d’épaississements de schémas affines sur \(S\) tel que \(X = \colim X_n\),

il existe une écriture \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7 telle que \(\Lambda\) soit dénombrable.

Démonstration

Ceci résulte de l’observation qu’un ensemble ordonné filtrant dénombrable possède une partie cofinale isomorphe à \((\mathbf{N}, \geq)\). Voir la démonstration de Algèbre, lemme 0597.

Définition

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique formel affine sur \(S\). On dit que \(X\) est à indexation dénombrable si les conditions équivalentes du Lemme 0AII sont satisfaites.

Dans la terminologie de [BVGD], cela s’exprime en disant que \(X\) est un \(\aleph_0\)-ind-schéma.

Lemme

Soit \(X\) un espace algébrique formel affine sur un schéma \(S\).

Si \(X\) est noethérien, alors \(X\) est adique*.

Si \(X\) est adique*, alors \(X\) est adique.

Si \(X\) est adique, alors \(X\) est faiblement adique.

Si \(X\) est faiblement adique, alors \(X\) est classique.

Si \(X\) est faiblement adique, alors \(X\) est à indexation dénombrable.

Si \(X\) est à indexation dénombrable, alors \(X\) est de McQuillan.

Démonstration

Les assertions (1), (2), (3) et (4) résultent de l’écriture \(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est un anneau faiblement admissible (donc complet) linéairement topologisé, et des implications entre les différents types de tels anneaux discutées dans la section 0GXD.

Démonstration de (5). Par définition, il existe un anneau topologique faiblement adique \(A\) tel que \(X = \colim \Spec(A/I)\), où la colimite porte sur les idéaux de définition de \(A\). Comme \(A\) est faiblement adique, il existe en particulier un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts \(I_\lambda\), voir la Définition 0GXE. Alors \(X = \colim \Spec(A/I_n)\) par définition de \(\text{Spf}(A)\). Ainsi, \(X\) est à indexation dénombrable.

Démonstration de (6). Écrivons \(X = \colim X_n\) pour un système \(X_1 \to X_2 \to X_3 \to \ldots\) d’épaississements de schémas affines sur \(S\). Alors \[A = \lim \Gamma(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\] l’homomorphisme canonique vers chacun des \(\Gamma(X_n, \mathcal{O}_{X_n})\) est surjectif, car les applications de transition sont surjectives puisque les morphismes \(X_n \to X_{n + 1}\) sont des immersions fermées. Par conséquent, \(X\) est de McQuillan.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un préfaisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

\(X\) est un espace algébrique formel affine à indexation dénombrable,

\(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est une \(S\)-algèbre topologique faiblement admissible qui possède un système fondamental dénombrable de voisinages de \(0\),

\(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est une \(S\)-algèbre topologique faiblement admissible qui possède un système fondamental \(A \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots\) d’idéaux faibles de définition,

\(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est une \(S\)-algèbre topologique complète ayant pour système fondamental de voisinages ouverts de \(0\) une suite dénombrable \(A \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots\) d’idéaux tels que \(I_n/I_{n + 1}\) soit localement nilpotent, et

\(X = \text{Spf}(A)\), où \(A = \lim B/J_n\), muni de la topologie limite, et où \(B \supset J_1 \supset J_2 \supset J_3 \supset \ldots\) est une suite d’idéaux d’une \(S\)-algèbre \(B\) telle que \(J_n/J_{n + 1}\) soit localement nilpotent.

Démonstration

Supposons (1). D’après le Lemme 0AIK, on peut écrire \(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est une \(S\)-algèbre topologique faiblement admissible. Pour toute présentation \(X = \colim X_n\) comme dans la partie (1) du Lemme 0AII, on voit que \(A = \lim A_n\), avec \(X_n = \Spec(A_n)\) et \(A_n = A/I_n\) pour un idéal faible de définition \(I_n \subset A\). Ceci résulte de la dernière assertion du Lemme 0AIC, qui implique en outre que \(\{I_n\}\) est un système fondamental de voisinages ouverts de \(0\). Nous avons donc une suite \[A \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots\] d’idéaux faibles de définition telle que \(A = \lim A/I_n\). On voit ainsi que la condition (1) implique chacune des conditions (2) – (5).

Supposons (5). Notons d’abord que la topologie limite sur \(A = \lim B/J_n\) est complète et linéairement topologisée, voir Compléments d’algèbre, section 07E7. Si \(f \in A\) s’envoie sur zéro dans \(B/J_1\), une certaine puissance s’envoie sur zéro dans \(B/J_2\), puisque son image dans \(J_1/J_2\) est nilpotente, puis une nouvelle puissance s’envoie sur zéro dans \(J_2/J_3\), et ainsi de suite. On voit ainsi que l’idéal ouvert \(\Ker(A \to B/J_1)\) est un idéal faible de définition. Ainsi, \(A\) est faiblement admissible. On voit donc que (5) implique (2).

Il est clair que (4) est un cas particulier de (5), en prenant \(B = A\). Il est clair que (3) est un cas particulier de (2).

Supposons que \(A\) soit comme en (2). Soit \(E_n\) un système fondamental dénombrable de voisinages de \(0\) dans \(A\). Comme \(A\) est un anneau topologique faiblement admissible, on peut trouver des idéaux ouverts \(I_n \subset E_n\). On peut aussi choisir un idéal faible de définition \(J \subset A\). Les \(J \cap I_n\) forment alors un système fondamental d’idéaux faibles de définition de \(A\), et l’on obtient \(X = \text{Spf}(A) = \colim \Spec(A/(J \cap I_n))\), ce qui montre que \(X\) est un espace algébrique formel affine à indexation dénombrable.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique formel affine. Les assertions suivantes sont équivalentes :

\(X\) est noethérien,

\(X\) est adique* et, pour toute immersion fermée \(T \to X\) où \(T\) est un schéma, \(T\) est noethérien,

\(X\) est adique* et, pour un certain choix de \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7, les schémas \(X_\lambda\) sont noethériens, et

\(X\) est faiblement adique et, pour un certain choix de \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7, les schémas \(X_\lambda\) sont noethériens.

Démonstration

Supposons \(X\) noethérien. Alors \(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est un anneau adique noethérien. Soit \(T \to X\) une immersion fermée, où \(T\) est un schéma. D’après le Lemme 0AIC, on voit que \(T\) est affine et que \(T \to \Spec(A)\) est une immersion fermée. Comme \(A\) est noethérien, on voit que \(T\) est noethérien. On voit ainsi que (1) \(\Rightarrow\) (2).

Les implications (2) \(\Rightarrow\) (3) et (2) \(\Rightarrow\) (4) sont immédiates (voir le Lemme 0AIK).

Pour démontrer (3) \(\Rightarrow\) (1), écrivons \(X = \text{Spf}(A)\) pour un anneau adique \(A\) muni d’un idéal de définition \(I\) de type fini. On sait également que les anneaux \(A/I_\lambda\) sont noethériens pour un certain système fondamental d’idéaux ouverts \(I_\lambda\). Comme \(I\) est ouvert, on peut trouver un \(\lambda\) tel que \(I_\lambda \subset I\). Alors \(A/I\) est noethérien, et l’on conclut que \(A\) est noethérien par Algèbre, lemme 05GH.

Pour démontrer (4) \(\Rightarrow\) (3), écrivons \(X = \text{Spf}(A)\) pour un anneau faiblement adique \(A\). Alors \(A\) est admissible et possède un idéal de définition \(I\), tandis que l’adhérence \(I_2\) de \(I^2\) est ouverte, voir le Lemme 0GXF. On sait également que les anneaux \(A/I_\lambda\) sont noethériens pour un certain système fondamental d’idéaux ouverts \(I_\lambda\). Choisissons un \(\lambda\) tel que \(I_\lambda \subset I_2\). Alors \(A/I_2\) est noethérien en tant que quotient de \(A/I_\lambda\). Par conséquent, \(I/I_2\) est un \(A\)-module de type fini. Ainsi, \(A\) est un anneau adique possédant un idéal de définition de type fini par le Lemme 0GXH. Donc \(X\) est adique* et (3) est satisfaite.

Espaces algébriques formels

Nous dérogeons ici à notre habitude d’introduire les notions nouvelles d’abord pour les anneaux, puis pour les schémas et enfin pour les espaces algébriques, en introduisant les espaces algébriques formels sans avoir d’abord introduit les schémas formels. L’idée générale sera qu’un espace algébrique formel est un faisceau pour la topologie fppf qui, localement pour la topologie étale, est un schéma formel affine au sens de [BVGD]. On trouvera des résultats connexes dans [Yasuda].

Dans la définition d’un espace algébrique formel, nous allons emprunter de la terminologie à Amorçage, sections 02YP et 046E.

Définition

Soit \(S\) un schéma. On dit qu’un faisceau \(X\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) est un espace algébrique formel s’il existe une famille de morphismes \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) de faisceaux telle que

\(X_i\) soit un espace algébrique formel affine,

\(X_i \to X\) soit représentable par des espaces algébriques et étale,

\(\coprod X_i \to X\) soit surjectif en tant que morphisme de faisceaux,

et que \(X\) satisfasse une condition ensembliste (voir la Remarque 0AIS). Un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\) est un morphisme de faisceaux.

Discussion. Contrôle de cohérence : un espace algébrique formel affine est un espace algébrique formel. Dans la situation de la définition, les morphismes \(X_i \to X\) sont représentables (par des schémas), voir le Lemme 0AIG. D’après Amorçage, lemme 04S1, au lieu de demander que \(\coprod X_i \to X\) soit surjectif en tant que morphisme de faisceaux, on pourrait demander qu’il soit surjectif (ce qui a un sens puisqu’il est représentable).

Notre notion d’espace algébrique formel est très générale. En fait, même les espaces algébriques formels affines définis ci-dessus sont des objets très pathologiques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Si \(X\) est un espace algébrique formel sur \(S\), alors le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times_S X\) est représentable, est un monomorphisme, est localement quasi-fini, est localement de type fini et est séparé.

Démonstration

Supposons donnés \(U \to X\) et \(V \to X\), avec \(U, V\) des schémas sur \(S\). Alors \(U \times_X V\) est un faisceau. Choisissons \(\{X_i \to X\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour tout \(i\), le morphisme \[(U \times_X X_i) \times_{X_i} (V \times_X X_i) = (U \times_X V) \times_X X_i \to U \times_X V\] est représentable et étale, car c’est un changement de base de \(X_i \to X\), et sa source est un schéma (utiliser les Lemmes 0AI8 et 0AIG). Ces morphismes forment une famille surjective ; ainsi, \(U \times_X V\) est un espace algébrique par Amorçage, théorème 04S6. Le morphisme \(U \times_X V \to U \times_S V\) est un monomorphisme. Il est également localement quasi-fini, car, en le précomposant par le morphisme affiché ci-dessus, on obtient la composée \[(U \times_X X_i) \times_{X_i} (V \times_X X_i) \to (U \times_X X_i) \times_S (V \times_X X_i) \to U \times_S V\] qui est localement quasi-finie en tant que composée d’une immersion fermée (Lemme 0AI8) et d’un morphisme étale, voir Descente et espaces algébriques, lemme 06F5. On conclut donc que \(U \times_X V\) est un schéma par Morphismes d’espaces algébriques, Proposition 03XX. Ainsi, \(\Delta\) est représentable, voir Espaces, lemme 025W.

En fait, puisque nous avons montré ci-dessus que les morphismes de schémas \(U \times_X V \to U \times_S V\) sont toujours des monomorphismes et sont localement quasi-finis, on conclut que \(\Delta : X \to X \times_S X\) est un monomorphisme et est localement quasi-fini, voir Espaces, lemme 0CB7. On peut ensuite appliquer le principe de Espaces, lemme 02YO pour voir que \(\Delta\) est séparé et localement de type fini. En effet, un monomorphisme de schémas est séparé (Schémas, lemme 01L4) et un morphisme de schémas localement quasi-fini est localement de type fini (ceci résulte de la définition donnée dans Morphismes, section 01TC).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’un espace algébrique sur \(S\) vers un espace algébrique formel sur \(S\). Alors \(f\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Soit \(Z \to Y\) un morphisme, où \(Z\) est un schéma sur \(S\). Il faut montrer que \(X \times_Y Z\) est un espace algébrique. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Alors \(U \times_Y Z \to X \times_Y Z\) est représentable, surjectif et étale (Espaces, lemme 02WL), et \(U \times_Y Z\) est un schéma d’après le Lemme 0AIP. Le résultat en découle par Amorçage, théorème 04S6.

Remarque

À des questions ensemblistes près, la catégorie des schémas formels au sens d’EGA (voir la section 0AHY) est équivalente à une sous-catégorie pleine de la catégorie des espaces algébriques formels. Pour l’expliquer, supposons que notre schéma de base soit \(\Spec(\mathbf{Z})\). D’après le Lemme 0AI2, le foncteur des points \(h_\mathfrak X\) associé à un schéma formel \(\mathfrak X\) est un faisceau pour la topologie fppf. D’après le Lemme 0AI1, le foncteur \(\mathfrak X \mapsto h_\mathfrak X\) est un plongement pleinement fidèle de la catégorie des schémas formels dans la catégorie des faisceaux fppf. Étant donné un schéma formel \(\mathfrak X\), choisissons un recouvrement ouvert \(\mathfrak X = \bigcup \mathfrak X_i\), où les \(\mathfrak X_i\) sont des schémas formels affines. Alors \(h_{\mathfrak X_i}\) est un espace algébrique formel affine d’après la Remarque 0AIE. Les morphismes \(h_{\mathfrak X_i} \to h_\mathfrak X\) sont représentables et sont des immersions ouvertes. Ainsi, \(\{h_{\mathfrak X_i} \to h_\mathfrak X\}\) est une famille comme dans la Définition 0AIM, et l’on voit que \(h_\mathfrak X\) est un espace algébrique formel.

Remarque

Soient \(S\) un schéma et \((\Sch/S)_{fppf}\) un grand site fppf comme dans Topologies, définition 021S. Comme condition ensembliste sur \(X\) dans les Définitions 0AI7 et 0AIM, nous prenons la suivante : il existe des objets \(U, R\) de \((\Sch/S)_{fppf}\), un morphisme \(U \to X\) qui soit une surjection de faisceaux fppf, et un morphisme \(R \to U \times_X U\) qui soit une surjection de faisceaux fppf. Autrement dit, nous demandons que notre faisceau soit le conoyau de deux morphismes entre faisceaux représentables. Voici quelques observations qui impliquent que cette notion se comporte de façon raisonnable :

Supposons \(X = \colim_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda\) et que le système satisfasse les conditions (1) et (2) de la Définition 0AI7. Alors \(U = \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda \to X\) est une surjection de faisceaux fppf. De plus, \(U \times_X U\) est un sous-schéma fermé de \(U \times_S U\) d’après le Lemme 0AI8. Ainsi, si \(U\) est représentable par un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\), alors \(U \times_S U\) l’est aussi (voir Ensembles, lemme 000R), et la condition ensembliste est satisfaite. C’est toujours le cas si \(\Lambda\) est dénombrable, voir Ensembles, lemme 000R.

Contrôle de cohérence. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) comme dans la Définition 0AIM (avec la condition ensembliste formulée ci-dessus), et supposons que chaque \(X_i\) soit en fait un schéma affine. Alors \(X\) est un espace algébrique. En effet, si l’on choisit un grand site fppf \((\Sch'/S)_{fppf}\) plus grand tel que \(U' = \coprod X_i\) et \(R' = \coprod X_i \times_X X_j\) soient représentables par des objets de ce site, alors \(X' = U'/R'\) sera un objet de la catégorie des espaces algébriques pour ce choix. Une application de Espaces, lemme 04W1 montre alors que \(X\) est un espace algébrique pour \((\Sch/S)_{fppf}\).

Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille de morphismes de faisceaux satisfaisant les conditions (1), (2), (3) de la Définition 0AIM. Pour chaque \(i\), on peut choisir \(U_i \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) et \(U_i \to X_i\), qui soit une surjection de faisceaux. Ainsi, si \(I\) n’est pas trop grand (s’il est par exemple dénombrable), \(U = \coprod U_i \to X\) est une surjection de faisceaux et \(U\) est représentable par un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\). Pour obtenir un \(R \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) muni d’une surjection vers \(U \times_X U\), il suffit de supposer que la diagonale \(\Delta : X \to X \times_S X\) n’est pas trop pathologique ; c’est par exemple toujours possible si la diagonale de \(X\) est quasi-compacte, c’est-à-dire si \(X\) est quasi-séparé.

La réduction

Tout espace algébrique formel possède un espace algébrique réduit sous-jacent, comme le montre le lemme suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Il existe un espace algébrique réduit \(X_{red}\) et un morphisme représentable \(X_{red} \to X\) qui est un épaississement. Tout morphisme \(U \to X\), où \(U\) est un espace algébrique réduit, se factorise de manière unique par \(X_{red}\).

Démonstration

Supposons d’abord que \(X\) soit un espace algébrique formel affine. Écrivons \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7. Puisque les morphismes de transition sont des épaississements, les schémas affines \(X_\lambda\) ont tous des réductions isomorphes \(X_{red}\). Le morphisme \(X_{red} \to X\) est représentable et est un épaississement par le Lemme 0AI9 et par le fait que les composés d’épaississements sont des épaississements. Nous omettons la vérification de la propriété universelle (utiliser Schémas, définition 01J4, Schémas, lemme 0356, Propriétés des espaces algébriques, définition 047X, et Propriétés des espaces algébriques, lemme 03JJ).

Soient \(X\) et \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour tout \(i\), soit \(X_{i, red} \to X_i\) la réduction construite ci-dessus. Pour \(i, j \in I\), la projection \(X_{i, red} \times_X X_j \to X_{i, red}\) est un morphisme étale (par hypothèse) de schémas (par le Lemme 0AIG). Ainsi \(X_{i, red} \times_X X_j\) est réduit (voir Descente, lemme 034E). La projection \(X_{i, red} \times_X X_j \to X_j\) se factorise donc par \(X_{j, red}\) en vertu de la propriété universelle. Nous en déduisons que \[R_{ij} = X_{i, red} \times_X X_j = X_{i, red} \times_X X_{j, red} = X_i \times_X X_{j, red}\] car les morphismes \(X_{i, red} \to X_i\) sont des injections de faisceaux. Posons \(U = \coprod X_{i, red}\), posons \(R = \coprod R_{ij}\), et notons \(s, t : R \to U\) les deux projections. En tant que faisceau, \(R = U \times_X U\), et \(s\) et \(t\) sont étales. Alors \((t, s) : R \to U\) définit une relation d’équivalence étale d’après les observations précédentes. Ainsi \(X_{red} = U/R\) est un espace algébrique par Espaces, théorème 02WW. Par construction, le diagramme \[\xymatrix{ \coprod X_{i, red} \ar[r] \ar[d] & \coprod X_i \ar[d] \\ X_{red} \ar[r] & X }\] est cartésien. Puisque la flèche verticale de droite est étale surjective et que la flèche horizontale supérieure est représentable et est un épaississement, nous concluons que \(X_{red} \to X\) est représentable par Amorçage, lemme 046J (pour vérifier les hypothèses du lemme, utiliser qu’un morphisme étale surjectif est surjectif, plat et localement de présentation finie, et que les épaississements sont séparés et localement quasi-finis). Nous pouvons ensuite appliquer Espaces, lemme 03KD pour conclure que \(X_{red} \to X\) est un épaississement (utiliser qu’être un épaississement équivaut à être une immersion fermée surjective).

Enfin, supposons que \(U \to X\) soit un morphisme où \(U\) est un espace algébrique réduit sur \(S\). Alors chaque \(X_i \times_X U\) est étale sur \(U\), donc réduit (d’après notre définition des espaces algébriques réduits dans Propriétés des espaces algébriques, section 03E5). Alors \(X_i \times_X U \to X_i\) se factorise par \(X_{i, red}\). Ainsi \(U \to X\) se factorise par \(X_{red}\), puisque \(\{X_i \times_X U \to U\}\) est un recouvrement étale.

Exemple

Soit \(A\) un anneau topologique faiblement admissible. Dans ce cas, on a \[\text{Spf}(A)_{red} = \Spec(A/\mathfrak a)\] où \(\mathfrak a \subset A\) est l’idéal des éléments topologiquement nilpotents. En effet, \(\mathfrak a\) est un idéal radical (Lemme 0AMW) qui est ouvert puisque \(A\) est faiblement admissible.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\) qui est représentable par des espaces algébriques et lisse (par exemple étale). Alors \(X_{red} = X \times_Y Y_{red}\).

Démonstration

(Le cas étale résulte directement de la construction de l’espace algébrique réduit sous-jacent dans la démonstration du Lemme 0AIN.) Supposons \(f\) lisse. Observons que \(X \times_Y Y_{red} \to Y_{red}\) est un morphisme lisse d’espaces algébriques. Ainsi \(X \times_Y Y_{red}\) est un espace algébrique réduit par Descente et espaces algébriques, lemme 0GB3. La propriété universelle de la réduction montre alors que le morphisme canonique \(X_{red} \to X \times_Y Y_{red}\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\) qui est représentable par des espaces algébriques. Alors \(f\) est surjectif au sens de Amorçage, définition 03XZ si et seulement si \(f_{red} : X_{red} \to Y_{red}\) est un morphisme surjectif d’espaces algébriques.

Démonstration

Omis.

Limites inductives d’espaces algébriques le long d’épaississements

Un type particulier d’espace algébrique formel est celui qui peut s’écrire globalement comme une limite inductive cofiltrante d’espaces algébriques le long d’épaississements, ainsi que dans le lemme suivant. Nous verrons plus loin (à la section 0AJD) que tout espace algébrique formel quasi-compact et quasi-séparé est une telle limite inductive globale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Supposons donnés un ensemble ordonné filtrant \(\Lambda\) et un système d’espaces algébriques \((X_\lambda, f_{\lambda \mu})\) sur \(\Lambda\), où chaque \(f_{\lambda \mu} : X_\lambda \to X_\mu\) est un épaississement. Alors \(X = \colim_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda\) est un espace algébrique formel sur \(S\).

Démonstration

Puisque nous prenons la limite inductive dans la catégorie des faisceaux fppf, nous voyons que \(X\) est un faisceau. Choisissons et fixons \(\lambda \in \Lambda\). Choisissons un recouvrement étale \(\{X_{i, \lambda} \to X_\lambda\}\) où \(X_i\) est un schéma affine sur \(S\), voir Propriétés des espaces algébriques, lemme 03FX. Pour chaque \(\mu \geq \lambda\), il existe un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X_{i, \lambda} \ar[r] \ar[d] & X_{i, \mu} \ar[d] \\ X_\lambda \ar[r] & X_\mu }\] dont les flèches verticales sont étales, voir Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, théorème 05ZH (on utilise aussi qu’un épaississement est une immersion fermée surjective qui satisfait aux conditions du théorème). De plus, ces diagrammes sont uniques à isomorphisme unique près, et donc \(X_{i, \mu} = X_\mu \times_{X_{\mu'}} X_{i, \mu'}\) pour \(\mu' \geq \mu\). Les morphismes \(X_{i, \mu} \to X_{i, \mu'}\) sont des épaississements comme changements de base d’épaississements. Chaque \(X_{i, \mu}\) est un schéma affine par Limits of Espaces, Proposition 07VT et par le fait que \(X_{i, \lambda}\) est affine. Posons \(X_i = \colim_{\mu \geq \lambda} X_{i, \mu}\). Alors \(X_i\) est un espace algébrique formel affine. Le morphisme \(X_i \to X\) est étale car, étant donnés un schéma affine \(U\) et un morphisme \(U \to X\), celui-ci se factorise par \(X_\mu\) pour un certain \(\mu \geq \lambda\) (détails omis). Nous voyons ainsi que \(X\) est un espace algébrique formel.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Comment démontrer ou vérifier que \(X\) est une limite inductive globale comme dans le Lemme 0AIU ? Pour ce faire, nous cherchons des morphismes \(i : Z \to X\) où \(Z\) est un espace algébrique sur \(S\) et où \(i\) est surjectif et une immersion fermée ; autrement dit, \(i\) est un épaississement. Cela a un sens puisque \(i\) est représentable par des espaces algébriques (Lemme 0AIQ) et que nous pouvons appliquer Amorçage, définition 03XZ comme précédemment.

Exemple

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau de valuation qui est complet pour la topologie \((\pi)\)-adique pour un certain \(\pi \in \mathfrak m\) non nul. Supposons aussi que \(\mathfrak m\) ne soit pas de type fini. Un exemple est \(A = \mathcal{O}_{\mathbf{C}_p}\) et \(\pi = p\), où \(\mathcal{O}_{\mathbf{C}_p}\) est l’anneau des entiers du corps des nombres complexes \(p\)-adiques \(\mathbf{C}_p\) (qui est le complété de la clôture algébrique de \(\mathbf{Q}_p\)). Un autre exemple est \[A = \left\{ \sum\nolimits_{\alpha \in \mathbf{Q},\ \alpha \geq 0} a_\alpha t^\alpha \middle| \begin{matrix} a_\alpha \in \kappa \text{ et, pour tout }n\text{, il n'y a qu'un} \\ \text{nombre fini de coefficients non nuls }a_\alpha \text{ tels que }\alpha \leq n \end{matrix} \right\}\] et \(\pi = t\). Alors \(X = \text{Spf}(A)\) est un espace algébrique formel affine, et \(\Spec(\kappa) \to X\) est un épaississement qui correspond à l’idéal faible de définition \(\mathfrak m \subset A\), lequel n’est toutefois pas un idéal de définition.

Remarque

Soit \(\mathfrak X\) un schéma formel au sens de McQuillan, voir Remarque 0AI3. Un idéal faible de définition de \(\mathfrak X\) est un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_\mathfrak X\) tel que, pour tout sous-schéma formel ouvert affine \(\mathfrak U \subset \mathfrak X\), l’idéal \(\mathcal{I}(\mathfrak U) \subset \mathcal{O}_\mathfrak X(\mathfrak U)\) soit un idéal faible de définition de l’anneau topologique faiblement admissible \(\mathcal{O}_\mathfrak X(\mathfrak U)\). Il suffit de vérifier la condition sur les membres d’un recouvrement ouvert affine. Il existe une correspondance biunivoque \[\{\text{idéaux faibles de définition de }\mathfrak X\} \leftrightarrow \{\text{épaississements }i : Z \to h_\mathfrak X\text{ comme ci-dessus}\}\] Cette correspondance associe à \(\mathcal{I}\) le schéma \(Z = (\mathfrak X, \mathcal{O}_\mathfrak X/\mathcal{I})\) muni du morphisme évident vers \(\mathfrak X\). Un système fondamental d’idéaux faibles de définition est une famille d’idéaux faibles de définition \(\mathcal{I}_\lambda\) telle que, sur tout sous-schéma formel ouvert affine \(\mathfrak U \subset \mathfrak X\), les idéaux \[I_\lambda = \mathcal{I}_\lambda(\mathfrak U) \subset A = \Gamma(\mathfrak U, \mathcal{O}_\mathfrak X)\] forment un système fondamental d’idéaux faibles de définition de l’anneau topologique faiblement admissible \(A\). Il suffit de le vérifier sur les membres d’un recouvrement ouvert affine. Nous concluons que l’espace algébrique formel \(h_\mathfrak X\) associé au schéma formel de McQuillan \(\mathfrak X\) est une limite inductive de schémas comme dans le Lemme 0AIU si et seulement s’il existe un système fondamental d’idéaux faibles de définition de \(\mathfrak X\).

Remarque

Soit \(\mathfrak X\) un schéma formel à la EGA. Un idéal de définition de \(\mathfrak X\) est un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_\mathfrak X\) tel que, pour tout sous-schéma formel ouvert affine \(\mathfrak U \subset \mathfrak X\), l’idéal \(\mathcal{I}(\mathfrak U) \subset \mathcal{O}_\mathfrak X(\mathfrak U)\) soit un idéal de définition de l’anneau topologique admissible \(\mathcal{O}_\mathfrak X(\mathfrak U)\). Il suffit de vérifier la condition sur les membres d’un recouvrement ouvert affine. Nous n’obtenons pas la même correspondance entre idéaux de définition et épaississements \(Z \to h_\mathfrak X\) que dans la Remarque 0AIV ; un exemple est donné dans l’Exemple 0CB8. Un système fondamental d’idéaux de définition est une famille d’idéaux de définition \(\mathcal{I}_\lambda\) telle que, sur tout sous-schéma formel ouvert affine \(\mathfrak U \subset \mathfrak X\), les idéaux \[I_\lambda = \mathcal{I}_\lambda(\mathfrak U) \subset A = \Gamma(\mathfrak U, \mathcal{O}_\mathfrak X)\] forment un système fondamental d’idéaux de définition de l’anneau topologique admissible \(A\). Il suffit de le vérifier sur les membres d’un recouvrement ouvert affine. Supposons que \(\mathfrak X\) soit quasi-compact et que \(\{\mathcal{I}_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}\) soit un système fondamental d’idéaux faibles de définition. Si \(A\) est un anneau topologique admissible, alors tous les idéaux ouverts suffisamment petits sont des idéaux de définition (en effet, tout idéal ouvert contenu dans un idéal de définition est un idéal de définition). Puisqu’il suffit donc de vérifier la propriété sur les membres, en nombre fini, d’un recouvrement ouvert affine, nous voyons que \(\mathcal{I}_\lambda\) est un idéal de définition pour \(\lambda\) assez grand. D’après la discussion de la Remarque 0AIV, nous concluons que l’espace algébrique formel \(h_\mathfrak X\) associé au schéma formel quasi-compact \(\mathfrak X\) à la EGA est une limite inductive de schémas comme dans le Lemme 0AIU si et seulement s’il existe un système fondamental d’idéaux de définition de \(\mathfrak X\).

Complété le long d’une partie fermée

Notre notion d’espace algébrique formel se prête bien à la formation du complété le long d’une partie fermée.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un schéma affine sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Alors le foncteur \[(\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad U \longmapsto \{f : U \to X \mid f(|U|) \subset T\}\] est un espace algébrique formel affine de McQuillan.

Démonstration

Écrivons \(X = \Spec(A)\) ; la partie \(T\) correspond à l’idéal radical \(I \subset A\). Soit \(U = \Spec(B)\) un schéma affine sur \(S\) et soit \(f : U \to X\) un élément de \(F(U)\). Alors \(f\) correspond à un homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\) tel que tout idéal premier de \(B\) contienne \(\varphi(I) B\). Ainsi, tout élément de \(\varphi(I)\) est nilpotent dans \(B\) ; voir Algèbre, lemme 00E0. En posant \(J = \Ker(\varphi)\), nous concluons que \(I/J\) est un idéal localement nilpotent de \(A/J\). De manière équivalente, \(V(J) = V(I) = T\). Autrement dit, le foncteur du lemme est égal à \(\colim \Spec(A/J)\), où la limite inductive porte sur la famille des idéaux \(J\) tels que \(V(J) = T\). Notre foncteur est donc un espace algébrique formel affine. Il est de McQuillan (définition 0AID) car les applications \(A \to A/J\) sont surjectives et, par conséquent, \(A^\wedge = \lim A/J \to A/J\) est surjective ; voir le lemme 0AIC.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Alors le foncteur \[(\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad U \longmapsto \{f : U \to X \mid f(|U|) \subset T\}\] est un espace algébrique formel.

Démonstration

Notons \(F\) le foncteur. Soit \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement fppf. Alors \(\coprod |U_i| \to |U|\) est surjectif. Puisque \(X\) est un faisceau fppf, il s’ensuit que \(F\) est un faisceau fppf.

Soit \(\{g_i : X_i \to X\}\) un recouvrement étale tel que \(X_i\) soit affine pour tout \(i\) ; voir Propriétés des espaces algébriques, lemme 03FX. Les morphismes \(F \times_X X_i \to F\) sont étales (voir Espaces, lemme 02WL) et l’application \(\coprod F \times_X X_i \to F\) est une surjection de faisceaux. Il suffit donc de démontrer que \(F \times_X X_i\) est un espace algébrique formel affine. Un point à valeurs dans \(U\) de \(F \times_X X_i\) est un morphisme \(U \to X_i\) dont l’image est contenue dans la partie fermée \(g_i^{-1}(T) \subset |X_i|\). L’assertion résulte donc du lemme 0AIY.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. L’espace algébrique formel du Lemme 0AIZ est appelé le complété de \(X\) le long de \(T\).

Dans [EGA, chapitre I, section 10.8], la notation \(X_{/T}\) sert à désigner le complété, et nous l’emploierons aussi à l’occasion. Soit \(f : X \to X'\) un morphisme d’espaces algébriques sur un schéma \(S\). Supposons que \(T \subset |X|\) et \(T' \subset |X'|\) soient des parties fermées telles que \(|f|(T) \subset T'\). Il est alors clair que \(f\) définit un morphisme d’espaces algébriques formels \[X_{/T} \longrightarrow X'_{/T'}\] entre les complétés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée et posons \(T' = |f|^{-1}(T) \subset |X'|\). Alors \[\xymatrix{ X'_{/T'} \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]^f \\ X_{/T} \ar[r] & X }\] est un diagramme cartésien de faisceaux. En particulier, le morphisme \(X'_{/T'} \to X_{/T}\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

En effet, supposons que \(Y \to X\) soit un morphisme d’un schéma vers \(X\) tel que \(|Y|\) s’envoie dans \(T\). Alors \(Y \times_X X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques tel que \(|Y \times_X X'|\) s’envoie dans \(T'\). Le foncteur \(Y \times_{X_{/T}} X'_{/T'}\) est donc représenté par \(Y \times_X X'\), ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. La réduction \((X_{/T})_{red}\) du complété \(X_{/T}\) de \(X\) le long de \(T\) est le sous-espace fermé induit réduit \(Z\) de \(X\) correspondant à \(T\).

Démonstration

Cela résulte du Lemme 0AIN, Propriétés des espaces algébriques, définition 047X (qui utilise Propriétés des espaces algébriques, lemme 03IQ pour construire \(Z\)), et de la définition de \(X_{/T}\) que \(Z\) et \((X_{/T})_{red}\) sont des espaces algébriques réduits caractérisés par la même propriété d’applications : un morphisme \(g : Y \to X\) dont la source est un espace algébrique réduit se factorise par l’un ou l’autre si et seulement si \(|Y|\) s’envoie dans \(T \subset |X|\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine sur \(S\). Soit \(T \subset X\) une partie fermée. Soit \(X_{/T}\) le complété formel de \(X\) le long de \(T\).

Si \(X \setminus T\) est quasi-compact, c’est-à-dire si \(T\) est constructible, alors \(X_{/T}\) est adique*.

Si \(T = V(I)\) pour un idéal de type fini \(I \subset A\), alors \(X_{/T} = \text{Spf}(A^\wedge)\), où \(A^\wedge\) est le complété \(I\)-adique de \(A\).

Si \(X\) est noethérien, alors \(X_{/T}\) est noethérien.

Démonstration

Si (1) est vérifié, Algèbre, lemme 00F6 fournit un idéal \(I \subset A\) comme en (2). Si (3) est vérifié, nous pouvons également trouver un idéal \(I \subset A\) comme en (2). De plus, les complétés d’anneaux noethériens sont noethériens d’après Algèbre, lemme 0316. Il suffit donc de démontrer (2).

Preuve de (2). Soit \(I = (f_1, \ldots, f_r) \subset A\) un idéal définissant \(T\). Si \(Z = \Spec(B)\) est un schéma affine et si \(g : Z \to X\) est un morphisme tel que \(g(Z) \subset T\) (au sens ensembliste), alors \(g^\sharp(f_i)\) est nilpotent dans \(B\) pour tout \(i\). Ainsi, \(I^n\) s’envoie sur zéro dans \(B\) pour un certain \(n\). Nous voyons donc que \(X_{/T} = \colim \Spec(A/I^n) = \text{Spf}(A^\wedge)\).

Le lemme suivant est dû à Ofer Gabber.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine sur \(S\). Soit \(T \subset X\) un sous-schéma fermé.

Si le complété formel \(X_{/T}\) est à indexation dénombrable et s’il existe une famille dénombrable \(f_1, f_2, f_3, \ldots \in A\) telle que \(T = V(f_1, f_2, f_3, \ldots)\), alors \(X_{/T}\) est adique*.

La conclusion de (1) est fausse si l’on omet l’hypothèse selon laquelle \(T\) peut être défini par une famille dénombrable de fonctions sur \(X\).

Démonstration

L’hypothèse que \(X_{/T}\) est à indexation dénombrable signifie qu’il existe une suite d’idéaux \[A \supset J_1 \supset J_2 \supset J_3 \supset \ldots\] vérifiant \(V(J_n) = T\) et telle que, pour tout idéal \(J \subset A\) avec \(V(J) = T\), il existe un \(n\) tel que \(J \supset J_n\).

Pour construire un exemple pour (2), soit \(\omega_1\) le premier ordinal non dénombrable. Soit \(k\) un corps et soit \(A\) la \(k\)-algèbre engendrée par les \(x_\alpha\), \(\alpha \in \omega_1\), et les \(y_{\alpha \beta}\), où \(\alpha \in \beta \in \omega_1\), soumis aux relations \(x_\alpha = y_{\alpha \beta} x_\beta\). Soit \(T = V(x_\alpha)\). Soit \(J_n = (x_\alpha^n)\). Si \(J \subset A\) est un idéal tel que \(V(J) = T\), alors \(x_\alpha^{n_\alpha} \in J\) pour un certain \(n_\alpha \geq 1\). L’un des ensembles \(\{\alpha \mid n_\alpha = n\}\) doit être non borné dans \(\omega_1\). Les relations impliquent alors que \(J_n \subset J\).

Pour établir (2), il suffit maintenant de montrer que \(A^\wedge = \lim A/J_n\) n’est complet pour la topologie définie par aucun idéal de type fini. Pour \(\gamma \in \omega_1\), soit \(A_\gamma\) le quotient de \(A\) par l’idéal engendré par les \(x_\alpha\), \(\alpha \in \gamma\), et les \(y_{\alpha \beta}\), \(\alpha \in \gamma\). Comme \(A/J_1\) est réduit, tout élément topologiquement nilpotent \(f\) de \(\lim A/J_n\) appartient à \(J_1^\wedge = \lim J_1/J_n\). Cela signifie que \(f\) est une série infinie ne faisant intervenir qu’un nombre dénombrable de générateurs. Ainsi, \(f\) s’annule dans \(A_\gamma^\wedge = \lim A_\gamma/J_nA_\gamma\) pour un certain \(\gamma\). Notons que \(A^\wedge \to A_\gamma^\wedge\) est continu et ouvert d’après le lemme 0AS0. Si la topologie de \(A^\wedge\) était \(I\)-adique pour un idéal de type fini \(I \subset A^\wedge\), alors \(I\) s’enverrait sur zéro dans un certain \(A_\gamma^\wedge\). Cela signifierait que \(A_\gamma^\wedge\) est discret, ce qui n’est pas le cas, puisqu’il existe une application surjective, continue et ouverte (d’après le Lemme 0AS0) \(A_\gamma^\wedge \to k[[t]]\) donnée par \(x_\alpha \mapsto t\), \(y_{\alpha \beta} \mapsto 1\) lorsque \(\gamma = \alpha\) ou \(\gamma \in \alpha\).

Avant de démontrer (1), établissons d’abord l’assertion suivante : si \(I \subset A^\wedge\) est un idéal de type fini dont l’adhérence \(\bar I\) est ouverte, alors \(I = \bar I\). Puisque \(V(J_n^2) = T\), il existe un \(m\) tel que \(J_n^2 \supset J_m\). En passant à une sous-suite, nous pouvons donc supposer que \(J_n^2 \supset J_{n + 1}\) pour tout \(n\). Posons \(J_n^\wedge = \lim_{k \geq n} J_n/J_k \subset A^\wedge\). Comme l’adhérence \(\bar I = \bigcap (I + J_n^\wedge)\) (Lemme 0AMS) est ouverte, il existe un \(m\) tel que \(I + J_n^\wedge \supset J_m^\wedge\) pour tout \(n \geq m\). Fixons un tel \(m\). Nous avons \[J_{n - 1}^\wedge I + J_{n + 1}^\wedge \supset J_{n - 1}^\wedge (I + J_{n + 1}^\wedge) \supset J_{n - 1}^\wedge J_m^\wedge\] pour tout \(n \geq m + 1\). En effet, la première inclusion est triviale et la seconde a été établie ci-dessus. Puisque \(J_{n - 1}J_m \supset J_{n - 1}^2 \supset J_n\), ces inclusions montrent que l’image de \(J_n\) dans \(A^\wedge\) est contenue dans l’idéal \(J_{n - 1}^\wedge I + J_{n + 1}^\wedge\). Comme cet idéal est ouvert, nous concluons que \[J_{n - 1}^\wedge I + J_{n + 1}^\wedge \supset J_n^\wedge.\] Écrivons \(I = (g_1, \ldots, g_t)\). Prenons \(f \in J_{m + 1}^\wedge\). À l’aide de la dernière inclusion affichée, valable pour tout \(n \geq m + 1\), nous pouvons écrire, par récurrence sur \(c \geq 0\), \[f = \sum f_{i, c} g_i \mod J_{m + 1+ c}^\wedge\] avec \(f_{i, c} \in J_m^\wedge\) et \(f_{i, c} \equiv f_{i, c - 1} \bmod J_{m + c}^\wedge\). Il s’ensuit que \(IJ_m^\wedge \supset J_{m + 1}^\wedge\). En combinant ceci avec \(I + J_{m + 1}^\wedge \supset J_m^\wedge\), nous concluons que \(I\) est ouvert.

Preuve de (1). Supposons \(T = V(f_1, f_2, f_3, \ldots)\). Soit \(I_m \subset A^\wedge\) l’idéal engendré par \(f_1, \ldots, f_m\). Distinguons deux cas.

Cas I : pour un certain \(m\), l’adhérence de \(I_m\) est ouverte. Alors \(I_m\) est ouvert d’après le résultat du paragraphe précédent. Pour tout \(n\), nous avons \((J_n)^2 \supset J_{n+1}\) par construction ; par conséquent, l’adhérence de \((J_n^\wedge)^2\) contient \(J_{n+1}^\wedge\) et est donc ouverte. En prenant \(n\) assez grand, il s’ensuit que l’adhérence du produit de deux idéaux ouverts quelconques de \(A^\wedge\) est ouverte. Démontrons que \(I_m^k\) est ouvert pour \(k \ge 1\), par récurrence sur \(k\). Le cas \(k = 1\) est précisément notre hypothèse sur \(m\) dans le cas I. Pour \(k > 1\), supposons \(I_m^{k - 1}\) ouvert. Alors \(I_m^k = I_m^{k - 1} \cdot I_m\) est le produit de deux idéaux ouverts et son adhérence est donc ouverte. Mais comme \(I_m^k\) est de type fini, il s’ensuit que \(I_m^k\) est ouvert d’après le paragraphe précédent (appliqué à \(I = I_m^k\)) ; nous pouvons donc poursuivre la récurrence sur \(k\). Comme tout élément de \(I_m\) est topologiquement nilpotent, nous concluons que \(I_m\) est un idéal de définition, ce qui prouve que \(A^\wedge\) est adique et possède un idéal de définition de type fini, c’est-à-dire que \(X_{/T}\) est adique*.

Cas II. Pour tout \(m\), l’adhérence \(\bar I_m\) de \(I_m\) n’est pas ouverte. La topologie de \(A^\wedge/\bar I_m\) n’est alors pas discrète. Cela signifie que nous pouvons choisir \(\phi(m) \geq m\) tel que \[\Im(J_{\phi(m)} \to A/(f_1, \ldots, f_m)) \not = \Im(J_{\phi(m) + 1} \to A/(f_1, \ldots, f_m))\] Pour le voir, nous avons utilisé l’égalité \(A^\wedge/(\bar I_m + J_n^\wedge) = A/((f_1, \ldots, f_m) + J_n)\). Choisissons des exposants \(e_i > 0\) tels que \(f_i^{e_i} \in J_{\phi(m) + 1}\) pour \(0 < m < i\). Posons \(J = (f_1^{e_1}, f_2^{e_2}, f_3^{e_3}, \ldots)\). Alors \(V(J) = T\). Nous affirmons que \(J \not \supset J_n\) pour tout \(n\), ce qui est une contradiction et montre que le cas II ne se produit pas. En effet, l’image de \(J\) dans \(A/(f_1, \ldots, f_m)\) est contenue dans l’image de \(J_{\phi(m) + 1}\), laquelle est strictement contenue dans l’image de \(J_m\).

Produits fibrés

section obligée sur les produits fibrés d’espaces algébriques formels.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) une famille d’applications de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons (a) que \(X_i\) soit un espace algébrique formel sur \(S\), (b) que \(X_i \to X\) soit représentable par des espaces algébriques et étale, et (c) que \(\coprod X_i \to X\) soit une surjection de faisceaux. Alors \(X\) est un espace algébrique formel sur \(S\).

Démonstration

Pour chaque \(i\), choisissons \(\{X_{ij} \to X_i\}_{j \in J_i}\) comme dans la définition 0AIM. Alors \(\{X_{ij} \to X\}_{i \in I, j \in J_i}\) est une famille comme dans la Définition 0AIM pour \(X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X, Y\) des espaces algébriques formels sur \(S\) et soit \(Z\) un faisceau dont la diagonale est représentable par des espaces algébriques. Soient \(X \to Z\) et \(Y \to Z\) des applications de faisceaux. Alors \(X \times_Z Y\) est un espace algébrique formel.

Démonstration

Choisissons \(\{X_i \to X\}\) et \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la définition 0AIM. Alors \(\{X_i \times_Z Y_j \to X \times_Z Y\}\) est une famille d’applications représentables par des espaces algébriques et étales. Le Lemme 0AJ1 montre donc qu’il suffit d’établir que \(X \times_Z Y\) est un espace algébrique formel lorsque \(X\) et \(Y\) sont des espaces algébriques formels affines.

Supposons que \(X\) et \(Y\) soient des espaces algébriques formels affines. Écrivons \(X = \colim X_\lambda\) et \(Y = \colim Y_\mu\) comme dans la Définition 0AI7. Alors \(X \times_Z Y = \colim X_\lambda \times_Z Y_\mu\). Chaque \(X_\lambda \times_Z Y_\mu\) est un espace algébrique. Pour \(\lambda \leq \lambda'\) et \(\mu \leq \mu'\), le morphisme \[X_\lambda \times_Z Y_\mu \to X_\lambda \times_Z Y_{\mu'} \to X_{\lambda'} \times_Z Y_{\mu'}\] est un épaississement, car c’est un composé de changements de base d’épaississements. Nous concluons donc en appliquant le Lemme 0AIU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. La catégorie des espaces algébriques formels sur \(S\) possède des produits fibrés.

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 0AJ2, car les espaces algébriques formels ont des diagonales représentables ; voir le Lemme 0AIP.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Z\) et \(Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Alors \((X \times_Z Y)_{red} = (X_{red} \times_{Z_{red}} Y_{red})_{red}\).

Démonstration

Cela résulte de la propriété universelle de la réduction du Lemme 0AIN.

Nous avons déjà démontré le lemme suivant (sans savoir que les produits fibrés existent).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Le morphisme diagonal \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est représentable (par des schémas), est un monomorphisme, est localement quasi-fini, localement de type fini et séparé.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to X \times_Y X\) un morphisme. Alors \[T \times_{(X \times_Y X)} X = T \times_{(X \times_S X)} X\] Le résultat découle donc immédiatement du Lemme 0AIP.

Axiomes de séparation pour les espaces algébriques formels

Cette section porte sur les conditions de séparation « absolues » des espaces algébriques formels. Nous étudierons plus loin les conditions de séparation des morphismes d’espaces algébriques formels.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

la réduction de \(X\) (Lemme 0AIN) est un espace algébrique quasi-séparé ;

pour \(U \to X\), \(V \to X\), où \(U\), \(V\) sont des schémas quasi-compacts, le produit fibré \(U \times_X V\) est quasi-compact ;

pour \(U \to X\), \(V \to X\), où \(U\), \(V\) sont affines, le produit fibré \(U \times_X V\) est quasi-compact.

Démonstration

Observons que \(U \times_X V\) est un schéma d’après le Lemme 0AIP. Soient \(U_{red}, V_{red}, X_{red}\) les réductions de \(U, V, X\). Alors \[U_{red} \times_{X_{red}} V_{red} = U_{red} \times_X V_{red} \to U \times_X V\] est un épaississement de schémas. L’équivalence de (1) et (2) en découle clairement, compte tenu du lemme analogue pour les espaces algébriques ; voir Propriétés des espaces algébriques, lemme 0AHR. Nous omettons la démonstration de l’équivalence de (2) et (3).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

la réduction de \(X\) (Lemme 0AIN) est un espace algébrique séparé ;

pour \(U \to X\), \(V \to X\), où \(U\), \(V\) sont affines, le produit fibré \(U \times_X V\) est affine et l’application \[\mathcal{O}(U) \otimes_\mathbf{Z} \mathcal{O}(V) \longrightarrow \mathcal{O}(U \times_X V)\] est surjective.

Démonstration

Si (2) est vérifiée, alors \(X_{red}\) est un espace algébrique séparé : on applique Propriétés des espaces algébriques, lemme 0AHR aux morphismes \(U \to X_{red}\) et \(V \to X_{red}\), avec \(U, V\) affines, et on utilise que \(U \times_{X_{red}} V = U \times_X V\).

Supposons (1). Soient \(U \to X\) et \(V \to X\) comme en (2). Observons que \(U \times_X V\) est un schéma d’après le Lemme 0AIP. Soient \(U_{red}, V_{red}, X_{red}\) les réductions de \(U, V, X\). Alors \[U_{red} \times_{X_{red}} V_{red} = U_{red} \times_X V_{red} \to U \times_X V\] est un épaississement de schémas. Il s’ensuit que \((U \times_X V)_{red} = (U_{red} \times_{X_{red}} V_{red})_{red}\). En particulier, nous voyons que \((U \times_X V)_{red}\) est un schéma affine et que l’application \[\mathcal{O}(U) \otimes_\mathbf{Z} \mathcal{O}(V) \longrightarrow \mathcal{O}((U \times_X V)_{red})\] est surjective ; voir Propriétés des espaces algébriques, lemme 0AHR. Alors \(U \times_X V\) est affine d’après Limits of Espaces, Proposition 07VT. D’autre part, le morphisme \(U \times_X V \to U \times V\) de schémas affines est le composé \[U \times_X V = X \times_{(X \times_S X)} (U \times_S V) \to U \times_S V \to U \times V\] Le premier morphisme est un monomorphisme localement de type fini (lemme 0AIP). Le second morphisme est une immersion (Schémas, lemme 01KR). Le composé est donc un monomorphisme localement de type fini. D’autre part, le composé est entier, car l’application entre les schémas affines réduits sous-jacents est une immersion fermée d’après ce qui précède, donc universellement fermée (utiliser Morphismes, lemme 01WM). Ainsi, l’homomorphisme d’anneaux \[\mathcal{O}(U) \otimes_\mathbf{Z} \mathcal{O}(V) \longrightarrow \mathcal{O}(U \times_X V)\] est un épimorphisme entier de type fini, donc fini, donc surjectif (utiliser Morphismes, lemme 01WJ et Algèbre, lemme 04VT).

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). On dit que

\(X\) est quasi-séparé si les conditions équivalentes du Lemme 0AJ5 sont satisfaites ;

\(X\) est séparé si les conditions équivalentes du Lemme 0AJ6 sont satisfaites.

Le lemme suivant implique en particulier que le produit tensoriel complété d’anneaux topologiques faiblement admissibles est un anneau topologique faiblement admissible.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Z\) et \(Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Supposons \(Z\) séparé.

Si \(X\) et \(Y\) sont des espaces algébriques formels affines, alors \(X \times_Z Y\) l’est aussi ;

si \(X\) et \(Y\) sont des espaces algébriques formels affines de McQuillan, alors \(X \times_Z Y\) l’est aussi ;

si \(X\), \(Y\) et \(Z\) sont des espaces algébriques formels affines de McQuillan correspondant aux \(S\)-algèbres topologiques faiblement admissibles \(A\), \(B\) et \(C\), alors \(X \times_Z Y\) correspond à \(A \widehat{\otimes}_C B\).

Démonstration

Écrivons \(X = \colim X_\lambda\) et \(Y = \colim Y_\mu\) comme dans la Définition 0AI7. Alors \(X \times_Z Y = \colim X_\lambda \times_Z Y_\mu\). Puisque \(Z\) est séparé, les produits fibrés sont affines ; nous voyons donc que (1) est vérifiée. Supposons que \(X\) et \(Y\) correspondent aux \(S\)-algèbres topologiques faiblement admissibles \(A\) et \(B\), et que \(X_\lambda = \Spec(A/I_\lambda)\) et \(Y_\mu = \Spec(B/J_\mu)\). Alors \[X_\lambda \times_Z Y_\mu \to X_\lambda \times Y_\mu \to \Spec(A \otimes B)\] est une immersion fermée. L’une des conditions du Lemme 0AIC est donc satisfaite et nous concluons que \(X \times_Z Y\) est de McQuillan. Si de plus \(Z\) est de McQuillan et correspond à \(C\), alors \[X_\lambda \times_Z Y_\mu = \Spec(A/I_\lambda \otimes_C B/J_\mu)\] nous voyons donc que l’anneau topologique faiblement admissible correspondant à \(X \times_Z Y\) est le produit tensoriel complété (voir Définition 0AMU).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Soit \(U \to X\) un morphisme, où \(U\) est un espace algébrique séparé sur \(S\). Alors \(U \to X\) est séparé.

Démonstration

L’énoncé a un sens, car \(U \to X\) est représentable par des espaces algébriques (Lemme 0AIQ). Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to X\) un morphisme. Nous devons montrer que \(U \times_X T \to T\) est séparé. Puisque \(U \times_X T \to U \times_S T\) est un monomorphisme, il suffit de montrer que \(U \times_S T \to T\) est séparé. Cela résulte du fait qu’il s’agit du changement de base de \(U \to S\). Nous avons utilisé dans l’argument précédent : Morphismes d’espaces algébriques, lemmes 03KL, 03KQ, 042N, et 04ZI.

Espaces algébriques formels quasi-compacts

Voici la caractérisation des espaces algébriques formels quasi-compacts.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

la réduction de \(X\) (Lemme 0AIN) est un espace algébrique quasi-compact ;

on peut trouver \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) comme dans la Définition 0AIM, avec \(I\) fini ;

il existe un morphisme \(Y \to X\) représentable par des espaces algébriques, étale et surjectif, tel que \(Y\) soit un espace algébrique formel affine.

Démonstration

Omis.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). On dit que \(X\) est quasi-compact si les conditions équivalentes du Lemme 0AJ9 sont satisfaites.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

l’application induite \(f_{red} : X_{red} \to Y_{red}\) entre les réductions (Lemme 0AIN) est un morphisme quasi-compact d’espaces algébriques ;

pour tout schéma quasi-compact \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), le produit fibré \(X \times_Y T\) est un espace algébrique formel quasi-compact ;

pour tout schéma affine \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), le produit fibré \(X \times_Y T\) est un espace algébrique formel quasi-compact ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM tel que chaque \(X \times_Y Y_j\) soit un espace algébrique formel quasi-compact.

Démonstration

Omis.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). On dit que \(f\) est quasi-compact si les conditions équivalentes du Lemme 0AJB sont satisfaites.

Cette notion coïncide avec celle qui existe déjà lorsque le morphisme est représentable par des espaces algébriques (et, en particulier, lorsqu’il est représentable).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\), représentable par des espaces algébriques. Alors \(f\) est quasi-compact au sens de la Définition 0AJC si et seulement si \(f\) est quasi-compact au sens de Amorçage, définition 03XZ.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions et du Lemme 0AJB.

Espaces algébriques formels quasi-compacts et quasi-séparés

Le résultat suivant est dû à Yasuda ; voir [Yasuda, Proposition 3.32].

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel quasi-compact et quasi-séparé sur \(S\). Alors \(X = \colim X_\lambda\) pour un système d’espaces algébriques \((X_\lambda, f_{\lambda \mu})\) indexé par un ensemble ordonné filtrant \(\Lambda\), où chaque \(f_{\lambda \mu} : X_\lambda \to X_\mu\) est un épaississement.

Démonstration

D’après le Lemme 0AJ9, nous pouvons choisir un espace algébrique formel affine \(Y\) et un morphisme étale surjectif représentable \(Y \to X\). Écrivons \(Y = \colim Y_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7.

Prenons \(\lambda \in \Lambda\). Alors \(Y_\lambda \times_X Y\) est un schéma d’après le Lemme 0AIG. La réduction (lemme 0AIN) de \(Y_\lambda \times_X Y\) est égale à la réduction de \(Y_{red} \times_{X_{red}} Y_{red}\), laquelle est quasi-compact puisque \(X\) est quasi-séparé et que \(Y_{red}\) est affine. Par conséquent, \(Y_\lambda \times_X Y\) est un schéma quasi-compact. Il existe donc un \(\mu \geq \lambda\) tel que \(\text{pr}_2 : Y_\lambda \times_X Y \to Y\) se factorise par \(Y_\mu\) ; voir le Lemme 0AIA. Soit \(Z_\lambda\) l’image schématique du morphisme \(\text{pr}_2 : Y_\lambda \times_X Y \to Y_\mu\). Celle-ci est indépendante du choix de \(\mu\), et nous pouvons donc considérer \(Z_\lambda \subset Y\) comme l’image schématique du morphisme \(\text{pr}_2 : Y_\lambda \times_X Y \to Y\). Observons que \(Z_\lambda\) est aussi égale à l’image schématique du morphisme \(\text{pr}_1 : Y \times_X Y_\lambda \to Y\), puisque celui-ci est isomorphe au morphisme ayant servi à définir \(Z_\lambda\). Nous affirmons que \(Z_\lambda \times_X Y = Y \times_X Z_\lambda\) comme sous-foncteurs de \(Y \times_X Y\). En effet, puisque \(Y \to X\) est étale, nous voyons que \(Z_\lambda \times_X Y\) est l’image schématique du morphisme \[\text{pr}_{13} = \text{pr}_1 \times \text{id}_Y : Y \times_X Y_\lambda \times_X Y \longrightarrow Y \times_X Y\] d’après Morphismes d’espaces algébriques, lemme 082Z. De même, \(Y \times_X Z_\lambda\) est l’image schématique du morphisme \[\text{pr}_{13} = \text{id}_Y \times \text{pr}_2 : Y \times_X Y_\lambda \times_X Y \longrightarrow Y \times_X Y\] L’affirmation en résulte. Alors \(R_\lambda = Z_\lambda \times_X Y = Y \times_X Z_\lambda\), muni du morphisme \(R_\lambda \to Z_\lambda \times_S Z_\lambda\), définit une relation d’équivalence étale. Nous obtenons ainsi un espace algébrique \(X_\lambda = Z_\lambda/R_\lambda\). Par construction, le diagramme \[\xymatrix{ Z_\lambda \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ X_\lambda \ar[r] & X }\] est cartésien (car \(X\) est le conoyau des deux projections \(R = Y \times_X Y \to Y\), car \(Z_\lambda \subset Y\) est \(R\)-invariant, et car \(R_\lambda\) est la restriction de \(R\) à \(Z_\lambda\)). Ainsi, \(X_\lambda \to X\) est représentable et est une immersion fermée ; voir Espaces, lemme 03I2. D’autre part, puisque \(Y_\lambda \subset Z_\lambda\), nous voyons que \((X_\lambda)_{red} = X_{red}\) ; autrement dit, \(X_\lambda \to X\) est un épaississement. Enfin, nous affirmons que \[X = \colim X_\lambda\] Nous avons \(Y \times_X X_\lambda = Z_\lambda \supset Y_\lambda\). Tout morphisme \(T \to X\), où \(T\) est un schéma sur \(S\), se relève localement pour la topologie étale en un morphisme vers \(Y\), lequel se relève localement pour la topologie étale en un morphisme vers un certain \(Y_\lambda\). Ainsi, \(T \to X\) se relève localement pour la topologie étale sur \(T\) en un morphisme vers \(X_\lambda\). Ceci achève la démonstration.

Remarque

Dans cette remarque, nous traduisons l’énoncé et la démonstration du Lemme 0AJE dans le langage des schémas formels à la EGA. La Remarque 0AIW montre que le lemme se traduit comme suit :

Tout schéma formel quasi-compact et quasi-séparé possède un système fondamental d’idéaux de définition.

Pour le démontrer, nous utilisons d’abord le principe de récurrence (reformulé pour les schémas formels quasi-compacts et quasi-séparés) de Cohomologie des schémas, lemme 08DR pour nous ramener à la situation suivante : \(\mathfrak X = \mathfrak U \cup \mathfrak V\) où \(\mathfrak U\), \(\mathfrak V\) sont des sous-schémas formels ouverts, où \(\mathfrak V\) est affine, et où le résultat est vrai pour \(\mathfrak U\), \(\mathfrak V\) et \(\mathfrak U \cap \mathfrak V\). Choisissons des idéaux de définition quelconques \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_\mathfrak U\) et \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_\mathfrak V\). Par hypothèse, nous disposons d’un système fondamental d’idéaux de définition sur \(\mathfrak U\) et \(\mathfrak V\) ; comme \(\mathfrak U \cap \mathfrak V\) est quasi-compact, nous pouvons trouver des idéaux de définition \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}' \subset \mathcal{J}\) tels que \[\mathcal{I}'|_{\mathfrak U \cap \mathfrak V} \subset \mathcal{J}|_{\mathfrak U \cap \mathfrak V} \quad\text{et}\quad \mathcal{J}'|_{\mathfrak U \cap \mathfrak V} \subset \mathcal{I}|_{\mathfrak U \cap \mathfrak V}\] Soient \(U \to U' \to \mathfrak U\) et \(V \to V' \to \mathfrak V\) les immersions fermées déterminées par les idéaux de définition \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{I} \subset \mathcal{O}_\mathfrak U\) et \(\mathcal{J}' \subset \mathcal{J} \subset \mathcal{O}_\mathfrak V\). Notons \(\mathfrak U \cap V\) le sous-schéma ouvert de \(V\) dont l’espace topologique sous-jacent est celui de \(\mathfrak U \cap \mathfrak V\). Par notre choix de \(\mathcal{I}'\), il existe une factorisation \(\mathfrak U \cap V \to U'\). Nous définissons de même \(U \cap \mathfrak V\), qui se factorise par \(V'\). Considérons alors \[Z_U = \text{image schématique de } U \amalg (\mathfrak U \cap V) \longrightarrow U'\] et \[Z_V = \text{image schématique de } (U \cap \mathfrak V) \amalg V \longrightarrow V'\] Comme la formation de l’image schématique d’un morphisme quasi-compact commute à la restriction aux ouverts (Morphismes, lemme 01R8) on voit que \(Z_U \cap \mathfrak V = \mathfrak U \cap Z_V\). Ainsi, \(Z_U\) et \(Z_V\) se recollent en un schéma \(Z\) muni d’un morphisme \(Z \to \mathfrak X\). Comme dans la discussion de la remarque 0AIV nous voyons que \(Z\) correspond à un idéal faible de définition \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{O}_\mathfrak X\). Notons que \(Z_U \subset U'\) et que \(Z_V \subset V'\). La famille de tous les \(\mathcal{I}_Z\) ainsi construits forme donc un système fondamental d’idéaux faibles de définition. Une sous-famille fournit dès lors un système fondamental d’idéaux de définition ; voir la Remarque 0AIW.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Alors \(X\) est un espace algébrique formel affine si et seulement si sa réduction \(X_{red}\) (Lemme 0AIN) est affine.

Démonstration

Par les Lemmes 0AJ5 et 0AJ9 ainsi que par les Définitions 0AJ7 et 0AJA, nous voyons que \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé. D’après le lemme de Yasuda (Lemme 0AJE), nous pouvons écrire \(X = \colim X_\lambda\) comme une limite inductive filtrante d’épaississements d’espaces algébriques. Cependant, chaque \(X_\lambda\) est affine d’après Limits of Espaces, lemme 07VU car \((X_\lambda)_{red} = X_{red}\). Ainsi, \(X\) est un espace algébrique formel affine par définition.

Morphismes représentables par des espaces algébriques

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels qui est représentable par des espaces algébriques. Pour ce type de morphismes, nous disposons d’une théorie abondante, grâce au travail accompli dans les chapitres consacrés aux espaces algébriques.

Lemme

Le composé de morphismes représentables par des espaces algébriques est représentable par des espaces algébriques. Il en va de même pour les morphismes représentables (par des schémas).

Démonstration

Voir Amorçage, lemme 03Y1.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme représentable par des espaces algébriques est représentable par des espaces algébriques. Il en va de même pour les morphismes représentables (par des schémas).

Démonstration

Voir Amorçage, lemme 03Y0.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Si \(g \circ f : X \to Z\) est représentable par des espaces algébriques, alors \(f : X \to Y\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Notons que la diagonale de \(Y \to Z\) est représentable d’après le Lemme 0AN2. Ainsi, \(X \to Y\) est représentable par des espaces algébriques d’après Amorçage, lemme 0AMN.

La propriété d’être représentable par des espaces algébriques est locale sur la source et sur le but.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

le morphisme \(f\) est représentable par des espaces algébriques ;

il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des espaces algébriques formels, les flèches verticales sont représentables par des espaces algébriques, \(U \to X\) est étale surjectif et \(U \to V\) est représentable par des espaces algébriques ;

pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des espaces algébriques formels et les flèches verticales sont représentables par des espaces algébriques, le morphisme \(U \to V\) est représentable par des espaces algébriques ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour chaque \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM, tels que \(X_{ji} \to Y_j\) soit représentable par des espaces algébriques pour tous \(j\) et \(i\) ;

il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour chaque \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\), où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, où \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques, et telle que \(X_i \to Y_i\) soit représentable par des espaces algébriques ;

en ajouter ici.

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2), car on peut prendre \(U = X\) et \(V = Y\). Réciproquement, (2) implique (1) d’après Amorçage, lemme 0AMP appliqué à \(U \to X \to Y\).

Supposons (1) vraie et considérons un diagramme comme en (3). Alors \(U \to Y\) est représentable par des espaces algébriques (en tant que composé \(U \to X \to Y\) ; voir Amorçage, lemme 03Y1) et se factorise par \(V\). Ainsi, \(U \to V\) est représentable par des espaces algébriques d’après le Lemme 0AQ0.

Il est clair que (3) implique (2). Les conditions (1) – (3) sont donc équivalentes.

Observons que la condition (4) a un sens, car le produit fibré \(Y_j \times_Y X\) est un espace algébrique formel d’après le Lemme 0AJ3. Il est clair que (4) implique (5).

Supposons \(X_i \to Y_i \to Y\) comme en (5). Posons alors \(V = \coprod Y_i\) et \(U = \coprod X_i\) ; on voit que (5) implique (2).

Enfin, supposons (1) – (3) vraies. Nous pouvons donc choisir un recouvrement quelconque \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour chaque \(j\), un recouvrement quelconque \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM. Alors \(X_{ij} \to Y_j\) est représentable par des espaces algébriques d’après (3), et nous voyons que (4) est vraie. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique formel affine sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) une application de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) qui est représentable par des espaces algébriques. Alors \(X\) est un espace algébrique formel.

Démonstration

Écrivons \(Y = \colim Y_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7. Pour chaque \(\lambda\), le produit fibré \(X \times_Y Y_\lambda\) est un espace algébrique. Ainsi, \(X = \colim X \times_Y Y_\lambda\) est un espace algébrique formel d’après le Lemme 0AIU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique formel sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) une application de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) qui est représentable par des espaces algébriques. Alors \(X\) est un espace algébrique formel.

Démonstration

Soit \(\{Y_i \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM. Alors \(X \times_Y Y_i \to X\) est une famille de morphismes représentables par des espaces algébriques, étales et formant une famille surjective. Il suffit donc de montrer que \(X \times_Y Y_i\) est un espace algébrique formel ; voir le Lemme 0AJ1. Cela résulte du Lemme 0AJH.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels affines qui est représentable par des espaces algébriques. Alors \(f\) est représentable (par des schémas) et affine.

Démonstration

Nous allons montrer que \(f\) est affine ; il s’ensuivra alors que \(f\) est représentable et affine d’après Morphismes d’espaces algébriques, lemme 03WG. Écrivons \(Y = \colim Y_\mu\) et \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7. Soit \(T \to Y\) un morphisme, où \(T\) est un schéma sur \(S\). Nous devons montrer que \(X \times_Y T \to T\) est affine ; voir Amorçage, définition 03XZ. Pour ce faire, nous pouvons supposer \(T\) affine et devons démontrer que \(X \times_Y T\) est affine. Dans ce cas, \(T \to Y\) se factorise par \(Y_\mu \to Y\) pour un certain \(\mu\) ; voir le Lemme 0AIA. Puisque \(f\) est quasi-compact, nous voyons que \(X \times_Y T\) est quasi-compact (Lemme 0AJB). Ainsi, \(X \times_Y T \to X\) se factorise par \(X_\lambda\) pour un certain \(\lambda\). De même, \(X_\lambda \to Y\) se factorise par \(Y_\mu\) après avoir augmenté \(\mu\). Alors \(X \times_Y T = X_\lambda \times_{Y_\mu} T\). Nous concluons, car les produits fibrés de schémas affines sont affines.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\varphi : A \to B\) une application continue d’anneaux topologiques faiblement admissibles sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\text{Spf}(\varphi) : \text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) est représentable par des espaces algébriques ;

\(\text{Spf}(\varphi) : \text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) est représentable (par des schémas) ;

\(\varphi\) est tendu ; voir la Définition 0AMX.

Démonstration

Les assertions (1) et (2) sont équivalentes d’après le lemme 0AKN.

Supposons que les conditions équivalentes (1) et (2) soient vérifiées. Si \(I \subset A\) est un idéal faible de définition, alors \(\Spec(A/I) \to \text{Spf}(A)\) est représentable et est un épaississement (cela ressort de la construction du spectre formel, mais résulte aussi du lemme 0AIC). Alors \(\Spec(A/I) \times_{\text{Spf}(A)} \text{Spf}(B) \to \text{Spf}(B)\) est représentable et est un épaississement en tant que changement de base. Ainsi, d’après le lemme 0AIC il existe un idéal faible de définition \(J(I) \subset B\) tel que \(\Spec(A/I) \times_{\text{Spf}(A)} \text{Spf}(B) = \Spec(B/J(I))\) comme sous-foncteurs de \(\text{Spf}(B)\). Nous obtenons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ \Spec(B/J(I)) \ar[d] \ar[r] & \Spec(A/I) \ar[d] \\ \text{Spf}(B) \ar[r] & \text{Spf}(A) }\] Le Lemme 0AN3 montre que \(B/J(I) = B \widehat{\otimes}_A A/I\). Il s’ensuit que \(J(I)\) est l’adhérence de l’idéal \(\varphi(I)B\) ; voir le lemme 0AMZ. Puisque \(\text{Spf}(A) = \colim \Spec(A/I)\), où \(I\) est comme ci-dessus, nous obtenons \(\text{Spf}(B) = \colim \Spec(B/J(I))\). Ainsi, les idéaux \(J(I)\) forment un système fondamental d’idéaux faibles de définition (voir le lemme 0AIC). La condition (3) est donc vérifiée.

Supposons (3) vérifiée. Nous allons essentiellement reprendre en sens inverse les arguments du paragraphe précédent. Soit \(I \subset A\) un idéal faible de définition. D’après le Lemme 0AN3, nous obtenons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ \text{Spf}(B \widehat{\otimes}_A A/I) \ar[d] \ar[r] & \Spec(A/I) \ar[d] \\ \text{Spf}(B) \ar[r] & \text{Spf}(A) }\] Si \(J(I)\) est l’adhérence de \(IB\), alors \(J(I)\) est ouvert dans \(B\) par le caractère tendu de \(\varphi\). Ainsi, si \(J\) est ouvert dans \(B\) et \(J \subset J(B)\), alors \(B/J \otimes_A A/I = B/(IB + J) = B/J(I)\), car \(J(I) = \bigcap_{J \subset B\text{ ouvert}} (IB + J)\) d’après le Lemme 0AMS. Par conséquent, la limite définissant le produit tensoriel complété se stabilise et donne \(B \widehat{\otimes}_A A/I = B/J(I)\). Ainsi, \(\text{Spf}(B \widehat{\otimes}_A A/I) = \Spec(B/J(I))\). Ceci prouve que \(\text{Spf}(B) \times_{\text{Spf}(A)} \Spec(A/I)\) est représentable pour tout idéal faible de définition \(I \subset A\). Puisque tout morphisme \(T \to \text{Spf}(A)\) avec \(T\) quasi-compact se factorise par \(\Spec(A/I)\) pour un certain idéal faible de définition \(I\) (lemme 0AIA) nous concluons que \(\text{Spf}(\varphi)\) est représentable, c’est-à-dire que (2) est vérifiée. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique formel affine. Soit \(f : X \to Y\) une application de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) qui est représentable et affine. Alors

\(X\) est un espace algébrique formel affine ;

si \(Y\) est à indexation dénombrable, alors \(X\) l’est aussi ;

si \(Y\) est à indexation dénombrable et classique, alors \(X\) est à indexation dénombrable et classique ;

si \(Y\) est faiblement adique, alors \(X\) est faiblement adique ;

si \(Y\) est adique*, alors \(X\) est adique* ;

si \(Y\) est noethérien et si \(f\) est (localement) de type fini, alors \(X\) est noethérien.

Démonstration

Preuve de (1). Écrivons \(Y = \colim_{\lambda \in \Lambda} Y_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7. Puisque \(f\) est représentable et affine, les produits fibrés \(X_\lambda = Y_\lambda \times_Y X\) sont affines. De plus, \(X = \colim Y_\lambda \times_Y X\). Ainsi, \(X\) est un espace algébrique formel affine.

Preuve de (2). Si \(Y\) est à indexation dénombrable, alors, dans l’argument précédent, nous pouvons supposer \(\Lambda\) dénombrable. Nous voyons aussitôt que \(X\) est également à indexation dénombrable.

Preuve de (3), (4) et (5). Dans chacun de ces cas, les hypothèses impliquent que \(Y\) est un espace algébrique formel affine à indexation dénombrable (lemme 0AIK) et donc que \(X\) l’est aussi d’après (2). Nous pouvons ainsi écrire \(X = \text{Spf}(A)\) et \(Y = \text{Spf}(B)\) pour des \(S\)-algèbres topologiques faiblement admissibles \(A\) et \(B\) ; voir le Lemme 0AN1. D’après le Lemme 0AN0, le morphisme \(f\) correspond à un homomorphisme continu de \(S\)-algèbres \(\varphi : B \to A\). Le Lemme 0AN5 montre que \(\varphi\) est tendu. Nous concluons que (3) résulte du Lemme 0GX8, (4) résulte du Lemme 0GXI, et (5) résulte du Lemme 0APU.

Preuve de (6). En combinant (3) avec le Lemme 0AIK, nous voyons que \(X\) est adique*. Nous pouvons donc utiliser le critère du Lemme 0AKM. Il nous dit d’abord que les schémas affines \(Y_\lambda\) sont noethériens. Puis \(X_\lambda \to Y_\lambda\) est de type fini, donc \(X_\lambda\) est également noethérien (Morphismes, lemme 01T6). Le critère nous dit alors que \(X\) est noethérien, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels affines, représentable par des espaces algébriques. Alors

si \(Y\) est à indexation dénombrable, alors \(X\) l’est aussi ;

si \(Y\) est à indexation dénombrable et classique, alors \(X\) est à indexation dénombrable et classique ;

si \(Y\) est faiblement adique, alors \(X\) est faiblement adique ;

si \(Y\) est adique*, alors \(X\) est adique* ;

si \(Y\) est noethérien et si \(f\) est (localement) de type fini, alors \(X\) est noethérien.

Démonstration

Combiner les Lemmes 0AKN et 0AKP.

Exemple

Soit \(B\) un anneau topologique faiblement admissible. Soit \(B \to A\) un homomorphisme d’anneaux (sans topologie). Nous pouvons alors considérer \[A^\wedge = \lim A/JA\] où la limite porte sur tous les idéaux faibles de définition \(J\) de \(B\). Alors \(A^\wedge\) (muni de la topologie limite) est un anneau complet linéairement topologisé. Le noyau (ouvert) \(I\) de la surjection \(A^\wedge \to A/JA\) est l’adhérence de \(JA^\wedge\) ; voir le Lemme 0AMS. D’après le lemme 0AMW nous voyons que \(I\) est formé d’éléments topologiquement nilpotents. Ainsi, \(I\) est un idéal faible de définition de \(A^\wedge\), et nous concluons que \(A^\wedge\) est un anneau topologique faiblement admissible. Par conséquent, \(\varphi : B \to A^\wedge\) est une application tendue d’anneaux topologiques faiblement admissibles et \[\text{Spf}(A^\wedge) \longrightarrow \text{Spf}(B)\] est un cas particulier du phénomène étudié dans le Lemme 0AN5.

Remarque

La discussion des Lemmes 0AN5, 0AKP et 0AKQ est optimale aux deux sens suivants :

Si \(A\) et \(B\) sont des anneaux faiblement admissibles et si \(\varphi : A \to B\) est une application continue, alors \(\text{Spf}(\varphi) : \text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) n’est en général pas représentable ;

si \(f : Y \to X\) est un morphisme représentable d’espaces algébriques formels affines et si \(X = \text{Spf}(A)\) est de McQuillan, il n’en résulte pas que \(Y\) soit de McQuillan.

Un exemple pour (1) consiste à prendre \(A = k\), un corps (muni de la topologie discrète), et \(B = k[[t]]\) muni de la topologie \(t\)-adique. Un exemple pour (2) est donné dans Exemples, section 0ANY.

Malgré l’avertissement précédent, nous avons le résultat suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique formel affine de McQuillan sur \(S\), c’est-à-dire \(Y = \text{Spf}(B)\) pour une \(S\)-algèbre topologique faiblement admissible \(B\). Alors il existe une équivalence de catégories entre

la catégorie des morphismes \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques formels affines qui sont représentables par des espaces algébriques et étales ;

la catégorie des \(B\)-algèbres topologiques de la forme \(A^\wedge\), où \(A\) est une \(B\)-algèbre étale et où \(A^\wedge = \lim A/JA\), avec \(J \subset B\) parcourant les idéaux faibles de définition de \(B\).

L’équivalence envoie \(A^\wedge\) sur \(X = \text{Spf}(A^\wedge)\). En particulier, tout \(X\) comme en (1) est de McQuillan.

Démonstration

Soit \(A\) une \(B\)-algèbre étale. Alors \(B/J \to A/JA\) est étale pour tout idéal ouvert \(J \subset B\). Par conséquent, le morphisme \(\text{Spf}(A^\wedge) \to Y\) est représentable et étale. Le foncteur \(\text{Spf}\) est pleinement fidèle d’après le lemme 0AN0. Pour achever la démonstration, nous allons montrer au paragraphe suivant que tout \(X \to Y\) comme en (1) appartient à l’image essentielle.

Choisissons un idéal faible de définition \(J_0 \subset B\). Posons \(Y_0 = \Spec(B/J_0)\) et \(X_0 = Y_0 \times_Y X\). Alors \(X_0 \to Y_0\) est un morphisme étale de schémas affines (voir le lemme 0AKN). Écrivons \(X_0 = \Spec(A_0)\). D’après Algèbre, lemme 04D1, nous pouvons trouver un homomorphisme étale d’algèbres \(B \to A\) tel que \(A_0 \cong A/J_0A\). Considérons un idéal de définition \(J \subset J_0\). Comme ci-dessus, nous pouvons écrire \(\Spec(B/J) \times_Y X = \Spec(\bar A)\) pour un homomorphisme étale d’anneaux \(B/J \to \bar A\). Alors \(B/J \to \bar A\) et \(B/J \to A/JA\) sont tous deux des homomorphismes étales d’anneaux relevant l’homomorphisme étale d’anneaux \(B/J_0 \to A_0\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 0ALI il existe un unique isomorphisme de \(B/J\)-algèbres \(\varphi_J : A/JA \to \bar A\) relevant l’identification modulo \(J_0\). Comme les applications \(\varphi_J\) sont uniques, elles sont compatibles lorsque \(J\) varie. Ainsi, \[X = \colim \Spec(B/J) \times_Y X = \colim \Spec(A/JA) = \text{Spf}(A)\] et nous voyons que le lemme est démontré.

Lemme

Avec les notations et hypothèses du Lemme 0AN8, soit \(f : X \to Y\) correspondant à \(B \to A^\wedge\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f : X \to Y\) est surjectif ;

\(B \to A\) est fidèlement plat ;

pour tout idéal faible de définition \(J \subset B\), l’homomorphisme d’anneaux \(B/J \to A/JA\) est fidèlement plat ;

pour un certain idéal faible de définition \(J \subset B\), l’homomorphisme d’anneaux \(B/J \to A/JA\) est fidèlement plat.

Démonstration

Soit \(J \subset B\) un idéal faible de définition. Comme tout élément de \(J\) est topologiquement nilpotent, nous voyons que tout élément de \(1 + J\) est inversible. Il s’ensuit que \(J\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(B\) (Algèbre, lemme 0AME). Ainsi, un homomorphisme plat d’anneaux \(B \to A\) est fidèlement plat si et seulement si \(B/J \to A/JA\) est fidèlement plat (Algèbre, lemme 00HQ). Nous voyons ainsi que (2) – (4) sont équivalentes. Si (1) est vérifiée, alors, pour tout idéal faible de définition \(J \subset B\), le morphisme \(\Spec(A/JA) = \Spec(B/J) \times_Y X \to \Spec(B/J)\) est surjectif, ce qui implique (3). Réciproquement, supposons (3). Un morphisme \(T \to Y\) avec \(T\) quasi-compact se factorise par \(\Spec(B/J)\) pour un certain idéal de définition \(J\) de \(B\) (lemme 0AIA). Ainsi, \(X \times_Y T = \Spec(A/JA) \times_{\Spec(B/J)} T \to T\) est surjectif en tant que changement de base du morphisme surjectif \(\Spec(A/JA) \to \Spec(B/J)\). La condition (1) est donc vérifiée.

Types d’espaces algébriques formels

Dans cette section, nous définissons les espaces algébriques formels « localement noethériens », « localement adiques* », « localement faiblement adiques », « localement à indexation dénombrable et classiques », et « localement à indexation dénombrable ». Les types « localement adiques », « localement classiques » et « localement de McQuillan » manquent, car nous ne savons pas démontrer l’analogue des lemmes suivants dans ces cas (il suffirait de démontrer l’analogue de ces lemmes pour les recouvrements étales entre espaces algébriques formels affines).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels affines qui est représentable par des espaces algébriques, surjectif et plat. Alors \(X\) est à indexation dénombrable si et seulement si \(Y\) est à indexation dénombrable.

Démonstration

Supposons \(X\) à indexation dénombrable. Écrivons \(X = \colim X_n\) comme dans le Lemme 0AII. Écrivons \(Y = \colim Y_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7. Pour tout \(n\), nous pouvons choisir un \(\lambda_n\) tel que \(X_n \to Y\) se factorise par \(Y_{\lambda_n}\) ; voir le lemme 0AIA. D’autre part, pour tout \(\lambda\), le schéma \(Y_\lambda \times_Y X\) est affine (Lemme 0AKN) et, par conséquent, \(Y_\lambda \times_Y X \to X\) se factorise par \(X_n\) pour un certain \(n\) (Lemme 0AIA). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ Y_\lambda \times_Y X \ar[r] \ar[d] & X_n \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Y_\lambda \ar@{..>}[r] \ar@/_1pc/[rr] & Y_{\lambda_n} \ar[r] & Y }\] Si nous montrons que la flèche pointillée existe, nous concluons que \(Y = \colim Y_{\lambda_n}\) et que \(Y\) est à indexation dénombrable. Pour cela, choisissons un \(\mu\) tel que \(\mu \geq \lambda\) et \(\mu \geq \lambda_n\). Ainsi, \(Y_\lambda \to Y\) et \(Y_{\lambda_n} \to Y\) se factorisent tous deux par \(Y_\mu \to Y\). Écrivons \(Y_\mu = \Spec(B_\mu)\) ; le sous-schéma fermé \(Y_\lambda\) correspond à \(J \subset B_\mu\), et le sous-schéma fermé \(Y_{\lambda_n}\) correspond à \(J' \subset B_\mu\). Nous voulons montrer que \(J' \subset J\). Le diagramme précédent donne \(J'A_\mu \subset JA_\mu\), où \(Y_\mu \times_Y X = \Spec(A_\mu)\). Puisque \(X \to Y\) est surjectif et plat, le morphisme \(Y_\lambda \times_Y X \to Y_\lambda\) est un morphisme fidèlement plat de schémas affines ; ainsi, \(B_\mu \to A_\mu\) est fidèlement plat. Donc \(J' \subset J\), comme voulu.

Supposons \(Y\) à indexation dénombrable. Alors \(X\) est à indexation dénombrable d’après le Lemme 0AKQ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels affines qui est représentable par des espaces algébriques, surjectif et plat. Alors \(X\) est à indexation dénombrable et classique si et seulement si \(Y\) est à indexation dénombrable et classique.

Démonstration

Nous avons déjà vu l’implication dans un sens au Lemme 0AKQ. Dans l’autre sens, notons que, d’après le Lemme 0AKS, nous pouvons supposer \(X\) et \(Y\) tous deux à indexation dénombrable. Ainsi, \(X = \text{Spf}(A)\) et \(Y = \text{Spf}(B)\) pour des \(S\)-algèbres topologiques faiblement admissibles \(A\) et \(B\) ; voir le Lemme 0AN1. D’après le Lemme 0AN0, le morphisme \(X \to Y\) correspond à un homomorphisme continu de \(S\)-algèbres \(\varphi : B \to A\). Le Lemme 0AN5 montre que \(\varphi\) est tendu. Soit \(J \subset B\) un idéal ouvert et soit \(I \subset A\) l’adhérence de \(JA\). D’après les Lemmes 0AN3 et 0AMZ nous voyons que \(\Spec(B/J) \times_Y X = \Spec(A/I)\). Ainsi, \(B/J \to A/I\) est fidèlement plat (puisque \(X \to Y\) est surjectif et plat). Cela signifie que \(\varphi : B \to A\) est comme dans la section 0GXK (les rôles de \(A\) et \(B\) étant échangés). Le lemme résulte donc du Lemme 0GXM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels affines qui est représentable par des espaces algébriques, surjectif et plat. Alors \(X\) est faiblement adique si et seulement si \(Y\) est faiblement adique.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du Lemme 0GXR, sauf qu’à la fin on utilise le Lemme 0GXP.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels affines qui est représentable par des espaces algébriques, surjectif et plat. Alors \(X\) est adique* si et seulement si \(Y\) est adique*.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du Lemme 0GXR, sauf qu’à la fin on utilise le Lemme 0GXQ.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels affines qui est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et (localement) de type fini. Alors \(X\) est noethérien si et seulement si \(Y\) est noethérien.

Démonstration

Observons qu’un espace algébrique formel affine noethérien est adique* ; voir le Lemme 0AIK. Ainsi, d’après le Lemme 0AKT, nous pouvons supposer que \(X\) et \(Y\) sont tous deux adiques*. Nous utiliserons le critère du Lemme 0AKM pour établir le lemme. Écrivons \(Y = \colim Y_n\) comme dans le Lemme 0AII. Pour tout \(n\), posons \(X_n = Y_n \times_Y X\). Alors \(X_n\) est un schéma affine (Lemme 0AKN) et \(X = \colim X_n\). Chacun des morphismes \(X_n \to Y_n\) est fidèlement plat et de type fini. Le lemme résulte donc du fait que, dans cette situation, \(X_n\) est noethérien si et seulement si \(Y_n\) est noethérien ; voir Algèbre, lemme 033E (pour la descente) et Algèbre, lemme 00FN (pour la montée).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \[P \in \left\{ \begin{matrix} countably\ indexed,\\ \text{à indexation dénombrable et classique},\\ weakly\ adic,\ adic*,\ Noetherian \end{matrix} \right\}\] Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

si \(Y\) est un espace algébrique formel affine et si \(f : Y \to X\) est représentable par des espaces algébriques et étale, alors \(Y\) possède la propriété \(P\) ;

pour un certain \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) comme dans la Définition 0AIM, chaque \(X_i\) possède la propriété \(P\).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Supposons (2) et soit \(Y \to X\) comme en (1). Puisque les produits fibrés \(X_i \times_X Y\) sont des espaces algébriques formels (Lemme 0AJ2), nous pouvons choisir des recouvrements \(\{X_{ij} \to X_i \times_X Y\}\) comme dans la Définition 0AIM. Puisque \(Y\) est quasi-compact, il existe \((i_1, j_1), \ldots, (i_n, j_n)\) tels que \[X_{i_1 j_1} \amalg \ldots \amalg X_{i_n j_n} \longrightarrow Y\] soit surjectif et étale. Alors \(X_{i_kj_k} \to X_{i_k}\) est représentable par des espaces algébriques et étale ; ainsi, \(X_{i_kj_k}\) possède la propriété \(P\) d’après le Lemme 0AKQ. Alors \(X_{i_1 j_1} \amalg \ldots \amalg X_{i_n j_n}\) est un espace algébrique formel affine possédant la propriété \(P\) (nous omettons un petit détail concernant les réunions disjointes finies d’espaces algébriques formels affines). Nous concluons donc en appliquant l’un des lemmes 0AKS, 0GXR, 0GXS, 0AKT, et 0AKW.

Le lemme précédent permet de poser la définition suivante.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). On dit que \(X\) est localement à indexation dénombrable, localement à indexation dénombrable et classique, localement faiblement adique, localement adique*, ou localement noethérien si les conditions équivalentes du Lemme 0AKX sont satisfaites pour la propriété correspondante.

Le complété formel d’un espace algébrique localement noethérien le long d’une partie fermée est un espace algébrique formel localement noethérien.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Soit \(X_{/T}\) le complété formel de \(X\) le long de \(T\).

Si \(X \setminus T \to X\) est quasi-compact, alors \(X_{/T}\) est localement adique* ;

si \(X\) est localement noethérien, alors \(X_{/T}\) est localement noethérien.

Démonstration

Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\) avec \(U = \coprod U_i\), réunion disjointe de schémas affines ; voir Propriétés des espaces algébriques, lemme 03FX. Soit \(T_i \subset U_i\) l’image réciproque de \(T\). Nous avons \(X_{/T} \times_X U_i = (U_i)_{/T_i}\) (Lemme 0APV). Ainsi, \(\{(U_i)_{/T_i} \to X_{/T}\}\) est un recouvrement comme dans la Définition 0AIM. De plus, si \(X \setminus T \to X\) est quasi-compact, alors \(U_i \setminus T_i \to U_i\) l’est aussi, et si \(X\) est localement noethérien, \(U_i\) l’est aussi. Le lemme résulte donc du cas affine, qui est le Lemme 0GBA.

Remarque

Supposons \(X = \Spec(A)\) et que \(T \subset X\) soit le lieu des zéros d’un idéal de type fini \(I \subset A\). Soit \(J = \sqrt{I}\) le radical de \(I\). Les définitions montrent alors que \(X_{/T} = \text{Spf}(A^\wedge)\), où \(A^\wedge = \lim A/I^n\) est le complété \(I\)-adique de \(A\). D’autre part, l’application \(A^\wedge \to \lim A/J^n\) du complété \(I\)-adique vers le complété \(J\)-adique peut ne pas être un isomorphisme d’anneaux. À titre d’exemple, posons \[A = \bigcup\nolimits_{n \geq 1} \mathbf{C}[t^{1/n}]\] et \(I = (t)\). Alors \(J = \mathfrak m\) est l’idéal maximal de l’anneau de valuation \(A\) et \(J^2 = J\). Ainsi, le complété \(J\)-adique de \(A\) est \(\mathbf{C}\), tandis que le complété \(I\)-adique est l’anneau de valuation décrit dans l’Exemple 0CB8 (mais il est notamment facile de voir que \(A \subset A^\wedge\)).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to Y\) et \(Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Alors

Si \(X\) et \(Z\) sont localement à indexation dénombrable, alors \(X \times_Y Z\) l’est aussi ;

si \(X\) et \(Z\) sont localement à indexation dénombrable et classiques, alors \(X \times_Y Z\) l’est aussi et est classique ;

si \(X\) et \(Z\) sont faiblement adiques, alors \(X \times_Y Z\) est faiblement adique ;

si \(X\) et \(Z\) sont localement adiques*, alors \(X \times_Y Z\) est localement adique* ;

si \(X\) et \(Z\) sont localement noethériens et si \(X_{red} \to Y_{red}\) est localement de type fini, alors \(X \times_Y Z\) est localement noethérien.

Démonstration

Choisissons un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour chaque \(j\), choisissons un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour chaque \(j\), choisissons un recouvrement \(\{Z_{jk} \to Y_j \times_Y Z\}\) comme dans la Définition 0AIM. Observons que \(X_{ji} \times_{Y_j} Z_{jk}\) est un espace algébrique formel affine d’après le Lemme 0AN3. Ainsi, \[\{X_{ji} \times_{Y_j} Z_{jk} \to X \times_Y Z\}\] est un recouvrement comme dans la Définition 0AIM. Il suffit donc de prouver (1), (2), (3) et (4) lorsque \(X\), \(Y\) et \(Z\) sont des espaces algébriques formels affines.

Supposons \(X\) et \(Z\) à indexation dénombrable. Écrivons \(X = \colim X_n\) et \(Z = \colim Z_m\) comme dans le Lemme 0AII. Écrivons \(Y = \colim_{\lambda \in \Lambda} Y_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7. Pour tous \(n\) et \(m\), nous pouvons trouver \(\lambda_{n, m} \in \Lambda\) tel que \(X_n \to Y\) et \(Z_m \to Y\) se factorisent par \(Y_{\lambda_{n, m}}\) (voir par exemple le Lemme 0AIA). Choisissons \(\lambda_0 \in \Lambda\). Par récurrence sur \(t \geq 1\), choisissons un élément \(\lambda_t \in \Lambda\) tel que \(\lambda_t \geq \lambda_{n, m}\) pour tous \(1 \leq n, m \leq t\) et \(\lambda_t \geq \lambda_{t - 1}\). Posons \(Y' = \colim Y_{\lambda_t}\). Alors \(Y' \to Y\) est un monomorphisme tel que \(X \to Y\) et \(Z \to Y\) se factorisent par \(Y'\). Nous pouvons donc remplacer \(Y\) par \(Y'\), c’est-à-dire supposer \(Y\) à indexation dénombrable.

Supposons \(X\), \(Y\) et \(Z\) à indexation dénombrable. D’après le Lemme 0AN1, nous pouvons écrire \(X = \text{Spf}(A)\), \(Y = \text{Spf}(B)\), \(Z = \text{Spf}(C)\) pour des anneaux topologiques faiblement admissibles \(A\), \(B\) et \(C\). Les morphismes \(X \to Y\) et \(Z \to Y\) sont donnés par des homomorphismes continus d’anneaux \(B \to A\) et \(B \to C\) ; voir le Lemme 0AN0. D’après le Lemme 0AN3, nous voyons que \(X \times_Y Z = \text{Spf}(A \widehat{\otimes}_B C)\) et que \(A \widehat{\otimes}_B C\) est un anneau topologique faiblement admissible. En particulier, nous voyons que \(X \times_Y Z\) est à indexation dénombrable d’après la partie (3) du Lemme 0GB4. Ceci démontre (1).

Preuve de (2). Dans ce cas, \(X\) et \(Z\) sont à indexation dénombrable ; les arguments précédents montrent donc que \(X \times_Y Z\) est le spectre formel de \(A \widehat{\otimes}_B C\), où \(A\) et \(C\) sont admissibles. Alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est admissible d’après la partie (2) du Lemme 0GB4.

Preuve de (3). Comme précédemment, nous concluons que \(X \times_Y Z\) est le spectre formel de \(A \widehat{\otimes}_B C\), où \(A\) et \(C\) sont faiblement adiques. Alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est faiblement adique d’après le Lemme 0GXJ.

Preuve de (4). En raisonnant comme ci-dessus, cela résulte de la partie (4) du Lemme 0GB4.

Preuve de (5). Pour déduire le cas (5) de la partie (5) du Lemme 0GB4, nous devons vérifier que les hypothèses coïncident. Avec les notations du premier paragraphe de la démonstration, si \(X_{red} \to Y_{red}\) est localement de type fini, alors \((X_{ji})_{red} \to (Y_j)_{red}\) est localement de type fini. Cela résulte de Morphismes d’espaces algébriques, lemme 040Y et du fait que, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X_{ji})_{red} \ar[d] \ar[r] & (Y_j)_{red} \ar[d] \\ X_{red} \ar[r] & Y_{red} }\] les morphismes verticaux sont étales. En effet, nous avons \((X_{ji})_{red} = X_{ij} \times_X X_{red}\) et \((Y_j)_{red} = Y_j \times_Y Y_{red}\) par le Lemme 0GB7. Comme ci-dessus, nous nous ramenons donc au cas où \(X\), \(Y\), \(Z\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(X\), \(Z\) sont noethériens et où \(X_{red} \to Y_{red}\) est de type fini. Ensuite, au deuxième paragraphe de la démonstration, nous avons remplacé \(Y\) par \(Y'\) ; mais, par construction, \(Y_{red} = Y'_{red}\), donc l’hypothèse de type fini est préservée par ce remplacement. Nous voyons alors que \(X, Y, Z\) correspondent à \(A, B, C\), et \(X \times_Y Z\) à \(A \widehat{\otimes}_B C\), avec \(A\), \(C\) noethériens adiques. Enfin, prendre la réduction revient à quotienter par l’idéal des éléments topologiquement nilpotents (exemple 0GB6) et le fait que \(X_{red} \to Y_{red}\) soit de type fini signifie bien que \(B/\mathfrak b \to A/\mathfrak a\) est de type fini. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel localement noethérien sur \(S\). Alors \(X = \colim X_n\) pour un système \(X_1 \to X_2 \to X_3 \to \ldots\) d’épaississements d’ordre fini d’espaces algébriques localement noethériens sur \(S\), où \(X_1 = X_{red}\) et où \(X_n\) est le \(n\)-ième voisinage infinitésimal de \(X_1\) dans \(X_m\) pour tout \(m \geq n\).

Démonstration

Nous ne faisons qu’esquisser la démonstration et omettons certains détails. Posons \(X_1 = X_{red}\). Définissons \(X_n \subset X\) comme le sous-foncteur caractérisé par la règle suivante : un morphisme \(f : T \to X\), où \(T\) est un schéma, se factorise par \(X_n\) si et seulement si la \(n\)-ième puissance du faisceau d’idéaux de l’immersion fermée \(X_1 \times_X T \to T\) est nulle. Alors \(X_n \subset X\) est un sous-faisceau, car l’annulation des modules quasi-cohérents se vérifie localement pour la topologie fppf. Nous affirmons que \(X_n \to X\) est représentable par des schémas, est une immersion fermée et que \(X = \colim X_n\) (comme faisceaux fppf). Pour le vérifier, nous pouvons travailler localement pour la topologie étale sur \(X\). Nous pouvons donc supposer que \(X = \text{Spf}(A)\) est un espace algébrique formel affine noethérien. Alors \(X_1 = \Spec(A/\mathfrak a)\), où \(\mathfrak a \subset A\) est l’idéal des éléments topologiquement nilpotents de l’anneau topologique adique noethérien \(A\). Alors \(X_n = \Spec(A/\mathfrak a^n)\), ce qui donne le résultat voulu.

Morphismes et homomorphismes continus d’anneaux

Dans cette section, nous notons \(\textit{WAdm}\) la catégorie des anneaux topologiques faiblement admissibles et des homomorphismes continus d’anneaux. Nous définissons les sous-catégories pleines \[\textit{WAdm} \supset \textit{WAdm}^{count} \supset \textit{WAdm}^{cic} \supset \textit{WAdm}^{weakly\ adic} \supset \textit{WAdm}^{adic*} \supset \textit{WAdm}^{Noeth}\] dont les objets sont les suivants :

\(\textit{WAdm}^{count}\) : les anneaux topologiques faiblement admissibles \(A\) qui possèdent un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts ;
\(\textit{WAdm}^{cic}\) : les anneaux topologiques admissibles \(A\) qui possèdent un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts ;
\(\textit{WAdm}^{weakly\ adic}\) : les anneaux topologiques faiblement adiques (section 0GXD) ;
\(\textit{WAdm}^{adic*}\) : les anneaux topologiques adiques qui possèdent un idéal de définition de type fini ;
\(\textit{WAdm}^{Noeth}\) : les anneaux topologiques adiques qui sont noethériens.

Manifestement, les spectres formels de ces types d’anneaux sont les briques élémentaires des espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable, localement à indexation dénombrable et classiques, localement faiblement adiques, localement adiques* et localement noethériens.

Rappelons brièvement la relation entre les morphismes d’espaces algébriques formels affines à indexation dénombrable et les morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\). Soit \(S\) un schéma. Soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques formels affines à indexation dénombrable. Écrivons \(X = \text{Spf}(A)\) et \(Y = \text{Spf}(B)\) pour des \(S\)-algèbres topologiques \(A\) et \(B\) de \(\textit{WAdm}^{count}\) ; voir le Lemme 0AN1. D’après le Lemme 0AN0, il existe une correspondance biunivoque entre les morphismes \(f : X \to Y\) et les homomorphismes continus \[\varphi : B \longrightarrow A\] de \(S\)-algèbres topologiques. Cette correspondance est donnée par \(f \mapsto f^\sharp\) et \(\varphi \mapsto \text{Spf}(\varphi)\).

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines et où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales. D’après la Définition 0AKY (donc aussi le Lemme 0AKX), \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines à indexation dénombrable. La discussion du paragraphe précédent montre que \(U \to V\) est isomorphe à \(\text{Spf}(\varphi)\) pour un certain homomorphisme continu \[\varphi : B \longrightarrow A\] de \(S\)-algèbres topologiques dans \(\textit{WAdm}^{count}\).

Lemme

Soit \(A \in \Ob(\textit{WAdm})\). Soit \(A \to A'\) un homomorphisme d’anneaux (sans topologie). Soit \((A')^\wedge = \lim_{I \subset A\text{ w.i.d}} A'/IA'\) l’objet de \(\textit{WAdm}\) construit dans l’Exemple 0AN6.

Si \(A\) appartient à \(\textit{WAdm}^{count}\), il en est de même de \((A')^\wedge\).

Si \(A\) appartient à \(\textit{WAdm}^{cic}\), il en est de même de \((A')^\wedge\).

Si \(A\) appartient à \(\textit{WAdm}^{weakly\ adic}\), il en est de même de \((A')^\wedge\).

Si \(A\) appartient à \(\textit{WAdm}^{adic*}\), il en est de même de \((A')^\wedge\).

Si \(A\) appartient à \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) et si \(A'\) est noethérien, alors \((A')^\wedge\) appartient à \(\textit{WAdm}^{Noeth}\).

Démonstration

Rappelons que \(A \to (A')^\wedge\) est tendu ; voir la discussion de l’Exemple 0AN6. Les assertions (1), (2), (3) et (4) résultent donc des Lemmes 0GX6, 0GX8, 0GXI, et 0APU. Enfin, supposons \(A\) noethérien et adique. D’après (4), \((A')^\wedge\) est adique. Algèbre, lemme 0316 montre que \((A')^\wedge\) est noethérien. Ainsi, (5) est vérifié.

Situation

Soit \(P\) une propriété des morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\). Considérons les diagrammes commutatifs [0ANC]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ A \ar[r] & (A')^\wedge \\ B \ar[r] \ar[u]^\varphi & (B')^\wedge \ar[u]_{\varphi'} } } \end{equation}\] qui satisfont aux conditions suivantes :

\(A\) et \(B\) sont des objets de \(\textit{WAdm}^{count}\) ;

\(A \to A'\) et \(B \to B'\) sont des homomorphismes étales d’anneaux ;

\((A')^\wedge = \lim A'/IA'\), resp. \((B')^\wedge = \lim B'/JB'\) où \(I \subset A\), resp. \(J \subset B\), parcourt les idéaux faibles de définition de \(A\), resp. de \(B\) ;

\(\varphi : B \to A\) et \(\varphi' : (B')^\wedge \to (A')^\wedge\) sont continus.

D’après le Lemme 0ANB, les anneaux topologiques \((A')^\wedge\) et \((B')^\wedge\) sont des objets de \(\textit{WAdm}^{count}\). Nous disons que \(P\) est une propriété locale si les axiomes suivants sont vérifiés :

pour tout diagramme (0ANC), on a \(P(\varphi) \Rightarrow P(\varphi')\),

pour tout diagramme (0ANC) où \(A \to A'\) est fidèlement plat, on a \(P(\varphi') \Rightarrow P(\varphi)\),

si \(P(B \to A_i)\) pour \(i = 1, \ldots, n\), alors \(P(B \to \prod_{i = 1, \ldots, n} A_i)\).

L’axiome (0ANF) a un sens puisque \(\textit{WAdm}^{count}\) possède les produits finis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable sur \(S\). Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un morphisme de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui possède la propriété \(P\) ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour tout \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM, tel que chaque \(X_{ji} \to Y_j\) corresponde à un morphisme de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui possède la propriété \(P\) ;

il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour tout \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\) où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, où \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, et où \(X_i \to Y_i\) correspond à un morphisme de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui possède la propriété \(P\).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2) et que (2) implique (3). Supposons \(\{X_i \to X\}\) et \(X_i \to Y_i \to Y\) comme en (3), et donnons-nous un diagramme comme en (1). Puisque \(Y_i \times_Y V\) est un espace algébrique formel (Lemme 0AJ2), nous pouvons choisir des recouvrements \(\{Y_{ij} \to Y_i \times_Y V\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour tout \((i, j)\), nous pouvons de même choisir des recouvrements \(\{X_{ijk} \to Y_{ij} \times_{Y_i} X_i \times_X U\}\) comme dans la Définition 0AIM. Puisque \(U\) est quasi-compact, nous pouvons choisir \((i_1, j_1, k_1), \ldots, (i_n, j_n, k_n)\) tels que \[X_{i_1 j_1 k_1} \amalg \ldots \amalg X_{i_n j_n k_n} \longrightarrow U\] soit surjectif. Pour \(s = 1, \ldots, n\), considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ & & & X_{i_s j_s k_s} \ar[ld] \ar[d] \ar[rd] \\ X \ar[d] & X_{i_s} \ar[l] \ar[d] & X_{i_s} \times_X U \ar[l] \ar[d] & Y_{i_s j_s} \ar[ld] \ar[rd] & X_{i_s} \times_X U \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y & Y_{i_s} \ar[l] & Y_{i_s} \times_Y V \ar[l] & & Y_{i_s} \times_Y V \ar[r] & V \ar[r] & Y }\] Convenons que \(P\) est vérifiée pour un morphisme d’espaces algébriques formels affines à indexation dénombrable si elle est vérifiée pour le morphisme correspondant de \(\textit{WAdm}^{count}\). Remarquons que les morphismes \(X_{i_s j_s k_s} \to X_{i_s}\), \(Y_{i_s j_s} \to Y_{i_s}\) sont donnés par des complétés d’homomorphismes étales d’anneaux ; voir le Lemme 0AN8. Nous voyons donc que \(P(X_{i_s} \to Y_{i_s})\) implique \(P(X_{i_s j_s k_s} \to Y_{i_s j_s})\) par l’axiome (0AND). Remarquons que les morphismes \(Y_{i_s j_s} \to V\) sont donnés par des complétés d’homomorphismes étales d’anneaux (même lemme que précédemment). En appliquant l’axiome (0ANE) au diagramme \[\xymatrix{ X_{i_s j_s k_s} \ar@{=}[r] \ar[d] & X_{i_s j_s k_s} \ar[d] \\ Y_{i_s j_s} \ar[r] & V }\] (cela est permis puisque les identités sont des homomorphismes fidèlement plats d’anneaux), nous concluons que \(P(X_{i_s j_s k_s} \to V)\) est vérifiée. L’axiome (0ANF) montre alors que \(P(\coprod_{s = 1, \ldots, n} X_{i_s j_s k_s} \to V)\) est vérifiée. Comme le morphisme \(\coprod X_{i_s j_s k_s} \to U\) est surjectif par construction, le morphisme correspondant de \(\textit{WAdm}^{count}\) est le complété d’un homomorphisme étale et fidèlement plat d’anneaux ; voir le Lemme 0AN9. Une dernière application de l’axiome (0ANE) (avec \(B' = B\)) implique que \(P(U \to V)\) est vraie, comme voulu.

Remarque

Soit \(P\) une propriété des morphismes de \(\textit{WAdm}^{adic*}\). Nous disons que \(P\) est une propriété locale si les axiomes (0AND), (0ANE), (0ANF) de la Situation 0CBA sont vérifiés pour les morphismes de \(\textit{WAdm}^{adic*}\). De la même manière, nous obtenons une variante du Lemme 0ANG pour les morphismes entre espaces algébriques formels localement adiques* sur \(S\).

Remarque

Soit \(P\) une propriété des morphismes de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). Nous disons que \(P\) est une propriété locale si les axiomes (0AND), (0ANE), (0ANF), de la Situation 0CBA sont vérifiés pour les morphismes de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\). De la même manière, nous obtenons une variante du Lemme 0ANG pour les morphismes entre espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\).

Situation

Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\) ; voir la Situation 0CBA. Nous disons que \(P\) est stable par changement de base si, étant donnés \(B \to A\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{count}\), on a \(P(B \to A) \Rightarrow P(C \to A \widehat{\otimes}_B C)\). Cela a un sens puisque \(A \widehat{\otimes}_B C\) est un objet de \(\textit{WAdm}^{count}\) d’après le Lemme 0GB4.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui est stable par changement de base. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable sur \(S\). Si \(f\) satisfait aux conditions équivalentes du Lemme 0ANG, alors il en est de même de \(\text{pr}_2 : X \times_Y Z \to Z\).

Démonstration

Choisissons un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour tout \(j\), choisissons un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour tout \(j\), choisissons un recouvrement \(\{Z_{jk} \to Y_j \times_Y Z\}\) comme dans la Définition 0AIM. Remarquons que \(X_{ji} \times_{Y_j} Z_{jk}\) est un espace algébrique formel affine à indexation dénombrable ; voir le Lemme 0GBB. Nous voyons alors que \[\{X_{ji} \times_{Y_j} Z_{jk} \to X \times_Y Z\}\] est un recouvrement comme dans la Définition 0AIM. De plus, les morphismes \(X_{ji} \times_{Y_j} Z_{jk} \to Z\) se factorisent par \(Z_{jk}\). Par hypothèse, \(X_{ji} \to Y_j\) correspond à un morphisme \(B_j \to A_{ji}\) de \(\text{WAdm}^{count}\) qui possède la propriété \(P\). Les morphismes \(Z_{jk} \to Y_j\) correspondent à des morphismes \(B_j \to C_{jk}\) dans \(\text{WAdm}^{count}\). Puisque \(X_{ji} \times_{Y_j} Z_{jk} = \text{Spf}(A_{ji} \widehat{\otimes}_{B_j} C_{jk})\) par le Lemme 0AN3, il suffit de montrer que \(C_{jk} \to A_{ji} \widehat{\otimes}_{B_j} C_{jk}\) possède la propriété \(P\), ce que garantit précisément la stabilité de \(P\) par changement de base.

Remarque

Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{adic*}\) ; voir la Remarque 0ANH. Nous disons que \(P\) est stable par changement de base si, étant donnés \(B \to A\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{adic*}\), on a \(P(B \to A) \Rightarrow P(C \to A \widehat{\otimes}_B C)\). Cela a un sens puisque \(A \widehat{\otimes}_B C\) est un objet de \(\textit{WAdm}^{adic*}\) d’après le Lemme 0GB4. De la même manière, nous obtenons une variante du Lemme 0GBD pour les morphismes entre espaces algébriques formels localement adiques* sur \(S\).

Remarque

Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ; voir la Remarque 0ANI. Nous disons que \(P\) est stable par changement de base si, étant donnés \(B \to A\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\), la propriété \(P(B \to A)\) implique à la fois que \(A \widehat{\otimes}_B C\) est adique noethérien⁷ et que \(P(C \to A \widehat{\otimes}_B C)\). De la même manière, nous obtenons une variante du Lemme 0GBD pour les morphismes entre espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\).

Remarque

Soient \(P\) et \(Q\) des propriétés locales des morphismes de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ; voir la Remarque 0ANI. Nous disons que \(P\) est stable par changement de base par \(Q\) si, étant donnés \(B \to A\) et \(B \to C\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) qui satisfont à \(P(B \to A)\) et \(Q(B \to C)\), alors \(A \widehat{\otimes}_B C\) est adique noethérien et \(P(C \to A \widehat{\otimes}_B C)\) est vérifiée. En raisonnant exactement comme dans la démonstration du Lemme 0GBD, nous obtenons l’assertion suivante : étant donnés des morphismes \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) d’espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\) tels que

les conditions équivalentes du Lemme 0ANG soient vérifiées pour \(f\) et \(P\) ;

les conditions équivalentes du Lemme 0ANG soient vérifiées pour \(g\) et \(Q\) ;

alors les conditions équivalentes du Lemme 0ANG sont vérifiées pour \(\text{pr}_2 : X \times_Y Z \to Z\) et \(P\).

Situation

Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\) ; voir la Situation 0CBA. Nous disons que \(P\) est stable par composition si, étant donnés \(B \to A\) et \(C \to B\) dans \(\textit{WAdm}^{count}\), on a \(P(B \to A) \wedge P(C \to B) \Rightarrow P(C \to A)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui est stable par composition. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable sur \(S\). Si \(f\) et \(g\) satisfont aux conditions équivalentes du Lemme 0ANG, alors il en est de même de \(g \circ f : X \to Z\).

Démonstration

Choisissons un recouvrement \(\{Z_k \to Z\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour tout \(k\), choisissons un recouvrement \(\{Y_{kj} \to Z_k \times_Z Y\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour tous \(k\) et \(j\), choisissons un recouvrement \(\{X_{kji} \to Y_{kj} \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM. Si \(f\) et \(g\) satisfont aux conditions équivalentes du Lemme 0ANG, alors \(X_{kji} \to Y_{jk}\) et \(Y_{jk} \to Z_k\) correspondent aux flèches \(B_{kj} \to A_{kji}\) et \(C_k \to B_{kj}\) de \(\text{WAdm}^{count}\) qui possèdent la propriété \(P\). Il en est donc de même de leurs composées, ce qui conclut.

Remarque

Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{adic*}\) ; voir la Remarque 0ANH. Nous disons que \(P\) est stable par composition si, étant donnés \(B \to A\) et \(C \to B\) dans \(\textit{WAdm}^{adic*}\), on a \(P(B \to A) \wedge P(C \to B) \Rightarrow P(C \to A)\). De la même manière, nous obtenons une variante du Lemme 0GBI pour les morphismes entre espaces algébriques formels localement adiques* sur \(S\).

Remarque

Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ; voir la Remarque 0ANI. Nous disons que \(P\) est stable par composition si, étant donnés \(B \to A\) et \(C \to B\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\), on a \(P(B \to A) \wedge P(C \to B) \Rightarrow P(C \to A)\). De la même manière, nous obtenons une variante du Lemme 0GBI pour les morphismes entre espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\).

Situation

Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\) ; voir la Situation 0CBA. Nous disons que \(P\) possède la propriété de simplification si, étant donnés \(B \to A\) et \(C \to B\) dans \(\textit{WAdm}^{count}\), on a \(P(C \to B) \wedge P(C \to A) \Rightarrow P(B \to A)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui possède la propriété de simplification. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable sur \(S\). Si \(g \circ f\) et \(g\) satisfont aux conditions équivalentes du Lemme 0ANG, alors il en est de même de \(f : X \to Y\).

Démonstration

Choisissons un recouvrement \(\{Z_k \to Z\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour tout \(k\), choisissons un recouvrement \(\{Y_{kj} \to Z_k \times_Z Y\}\) comme dans la Définition 0AIM. Pour tous \(k\) et \(j\), choisissons un recouvrement \(\{X_{kji} \to Y_{kj} \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM. Faisons correspondre à \(X_{kji} \to Y_{jk}\) et \(Y_{jk} \to Z_k\) les flèches \(B_{kj} \to A_{kji}\) et \(C_k \to B_{kj}\) de \(\text{WAdm}^{count}\). Si \(g \circ f\) et \(g\) satisfont aux conditions équivalentes du Lemme 0ANG, alors \(C_k \to B_{kj}\) et \(C_k \to A_{kji}\) satisfont à \(P\). Ainsi, \(B_{kj} \to A_{kji}\) y satisfait aussi, ce qui conclut.

Remarque

Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{adic*}\) ; voir la Remarque 0ANH. Nous disons que \(P\) possède la propriété de simplification si, étant donnés \(B \to A\) et \(C \to B\) dans \(\textit{WAdm}^{adic*}\), on a \(P(C \to A) \wedge P(C \to B) \Rightarrow P(B \to A)\). De la même manière, nous obtenons une variante du Lemme 0GBI pour les morphismes entre espaces algébriques formels localement adiques* sur \(S\).

Remarque

Soit \(P\) une propriété locale des morphismes de \(\textit{WAdm}^{Noeth}\) ; voir la Remarque 0ANI. Nous disons que \(P\) possède la propriété de simplification si, étant donnés \(B \to A\) et \(C \to B\) dans \(\textit{WAdm}^{Noeth}\), on a \(P(C \to B) \wedge P(C \to A) \Rightarrow P(C \to B)\). De la même manière, nous obtenons une variante du Lemme 0GBI pour les morphismes entre espaces algébriques formels localement noethériens sur \(S\).

Homomorphismes d’anneaux tendus et représentabilité par des espaces algébriques

Dans cette section, nous montrons brièvement que les morphismes entre espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable correspondent, localement pour la topologie étale, à des homomorphismes continus tendus entre anneaux topologiques faiblement admissibles qui possèdent des systèmes fondamentaux dénombrables d’idéaux ouverts. En fait, cela ressort assez clairement du Lemme 0AN5, et nous invitons le lecteur à sauter cette section.

Lemme

Soit \(B \to A\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{count}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(B \to A\) est tendu (Définition 0AMX) ;

pour \(B \supset J_1 \supset J_2 \supset J_3 \supset \ldots\) étant un système fondamental d’idéaux faibles de définition, il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A \ar[r] & \ldots \ar[r] & A_3 \ar[r] & A_2 \ar[r] & A_1 \\ B \ar[r] \ar[u] & \ldots \ar[r] & B/J_3 \ar[r] \ar[u] & B/J_2 \ar[r] \ar[u] & B/J_1 \ar[u] }\] tel que \(A_{n + 1}/J_nA_{n + 1} = A_n\) et \(A = \lim A_n\) comme anneau topologique.

De plus, ces conditions équivalentes définissent une propriété locale, c’est-à-dire qu’elles satisfont aux axiomes (0AND), (0ANE), (0ANF).

Démonstration

L’équivalence de (a) et (b) est immédiate. Nous donnerons ci-dessous une démonstration algébrique des axiomes, mais il se trouve que nous les avons déjà démontrés. En effet, d’après le Lemme 0AN5, les conditions équivalentes (a) et (b) signifient que le morphisme correspondant d’espaces algébriques formels affines est représentable par des espaces algébriques. Puisque cette condition est « locale sur la source et le but pour la topologie étale » d’après le Lemme 0AN4, nous obtenons immédiatement les axiomes (0AND), (0ANE) et (0ANF).

Démonstration algébrique directe de (0AND), (0ANE), (0ANF). Donnons-nous un diagramme (0ANC) comme dans la Situation 0CBA. D’après l’Exemple 0AN6, les homomorphismes \(A \to (A')^\wedge\) et \(B \to (B')^\wedge\) satisfont à (a) et (b).

Supposons (a) et (b) vérifiées pour \(\varphi\). Soit \(J \subset B\) un idéal faible de définition. Alors l’adhérence de \(JA\), resp. de \(J(B')^\wedge\), est un idéal faible de définition \(I \subset A\), resp. \(J' \subset (B')^\wedge\). L’adhérence de \(I(A')^\wedge\) est alors un idéal faible de définition \(I' \subset (A')^\wedge\). Un argument topologique montre que \(I'\) est aussi l’adhérence de \(J(A')^\wedge\) et de \(J'(A')^\wedge\). Enfin, lorsque \(J\) parcourt un système fondamental d’idéaux faibles de définition de \(B\), les idéaux \(I\) et \(I'\) en font autant dans \(A\) et \((A')^\wedge\). Il s’ensuit que (a) est vérifiée pour \(\varphi'\). Cela démontre (0AND).

Supposons \(A \to A'\) fidèlement plat et (a) et (b) vérifiées pour \(\varphi'\). Soit \(J \subset B\) un idéal faible de définition. En appliquant (a) et (b) aux homomorphismes \(B \to (B')^\wedge \to (A')^\wedge\), nous trouvons que l’adhérence \(I'\) de \(J(A')^\wedge\) est un idéal faible de définition. En particulier, \(I'\) est ouvert, donc l’image réciproque de \(I'\) dans \(A\) est ouverte. Nous avons alors (explication ci-dessous) \[\begin{align*} A \cap I' & = A \cap \bigcap (J(A')^\wedge + \Ker((A')^\wedge \to A'/I_0A')) \\ & = A \cap \bigcap \Ker((A')^\wedge \to A'/JA' + I_0 A') \\ & = \bigcap (JA + I_0) \end{align*}\] qui est l’adhérence de \(JA\) d’après le Lemme 0AMS. Les intersections portent sur les idéaux faibles de définition \(I_0 \subset A\). La première égalité vient du fait qu’un système fondamental de voisinages de \(0\) dans \((A')^\wedge\) est formé des noyaux des homomorphismes \((A')^\wedge \to A'/I_0A'\). La deuxième égalité est triviale. La troisième vient du fait que \(A \to A'\) est fidèlement plat ; voir Algèbre, lemme 05CK. Ainsi, l’adhérence de \(JA\) est ouverte. D’après le Lemme 0AMW, l’adhérence de \(JA\) est un idéal faible de définition de \(A\). Enfin, étant donné un idéal faible de définition \(I \subset A\), nous pouvons trouver \(J\) tel que \(J(A')^\wedge\) soit contenu dans l’adhérence de \(I(A')^\wedge\) d’après la propriété (a) pour \(B \to (B')^\wedge\) et \(\varphi'\). Nous voyons donc que (a) est vérifiée pour \(\varphi\). Cela démontre (0ANE).

Nous omettons la démonstration de (0ANF).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme tendu \(B \to A\) de \(\textit{WAdm}^{count}\) ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour tout \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM, tel que chaque \(X_{ji} \to Y_j\) corresponde à un homomorphisme tendu d’anneaux dans \(\textit{WAdm}^{count}\) ;

il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour tout \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\) où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, où \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, et où \(X_i \to Y_i\) correspond à un homomorphisme tendu d’anneaux dans \(\textit{WAdm}^{count}\) ;

\(f\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Le fait qu’un homomorphisme de \(\textit{WAdm}^{count}\) soit « tendu » est une propriété locale d’après le Lemme 0ANJ. Le Lemme 0ANG nous dit donc exactement que (1), (2) et (3) sont équivalentes. D’autre part, d’après le Lemme 0AN5, le caractère « tendu » des homomorphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\) correspond exactement à la « représentabilité par des espaces algébriques » des morphismes correspondants d’espaces algébriques formels affines à indexation dénombrable. Ainsi, l’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) du Lemme 0AN4 montre que (4) implique (1) du présent lemme. De même, l’implication (4) \(\Rightarrow\) (1) du Lemme 0AN4 montre que (2) implique (4) du présent lemme.

Morphismes adiques

Cette section met en correspondance la notion parfois employée de « morphisme adique » \(f : X \to Y\) entre espaces algébriques formels localement adiques* \(X\) et \(Y\), d’une part avec la représentabilité de \(f\) par des espaces algébriques et, d’autre part, avec notre notion d’ homomorphisme continu tendu d’anneaux. Rappelons d’abord que le caractère tendu équivaut au caractère adique pour les anneaux adiques dont l’idéal de définition est de type fini.

Lemme

Soient \(A\) et \(B\) des anneaux topologiques préadiques. Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux.

Si \(\varphi\) est adique, alors \(\varphi\) est tendu.

Si \(B\) est complet, si \(A\) possède un idéal de définition de type fini et si \(\varphi\) est tendu, alors \(\varphi\) est adique.

En particulier, les conditions « \(\varphi\) est adique » et « \(\varphi\) est tendu » sont équivalentes dans la catégorie \(\textit{WAdm}^{adic*}\).

Démonstration

La partie (1) est le Lemme 0GXC. La partie (2) est le Lemme 0APU. La dernière assertion résulte de (1) et (2).

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement adiques* sur \(S\). D’après le Lemme 0ANK, les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est représentable par des espaces algébriques (autrement dit, les conditions équivalentes du Lemme 0AN4 sont vérifiées) ;
pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un homomorphisme adique⁸ dans \(\textit{WAdm}^{adic*}\).

Dans cette situation, nous dirons que \(f\) est un morphisme adique (la définition formelle figure ci-dessous). Cette notion ou terminologie ne sera définie et employée que pour les morphismes entre espaces algébriques formels localement adiques*, car, autrement, nous ne disposons pas de l’équivalence entre (1) et (2) ci-dessus.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Supposons \(X\) et \(Y\) localement adiques*. Nous disons que \(f\) est un morphisme adique si \(f\) est représentable par des espaces algébriques. Voir la discussion précédente.

Morphismes de type fini

Compte tenu de l’organisation du projet Champs, la définition suivante est véritablement celle qui convient, et les notions plus fortes devraient porter un autre nom.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\).

Nous disons que \(f\) est localement de type fini si \(f\) est représentable par des espaces algébriques et est localement de type fini au sens de Amorçage, définition 03XZ.

Nous disons que \(f\) est de type fini si \(f\) est localement de type fini et quasi-compact (Définition 0AJC).

Nous étudierons la relation entre les morphismes de type fini de certains espaces algébriques formels et les homomorphismes continus d’anneaux \(A \to B\) qui sont topologiquement de type fini à la section 0ALL.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est de type fini ;

\(f\) est représentable par des espaces algébriques et est de type fini au sens de Amorçage, définition 03XZ.

Démonstration

Cela résulte de Amorçage, lemme 0AM1, de l’implication « quasi-compact \(+\) localement de type fini \(\Rightarrow\) de type fini » pour les morphismes d’espaces algébriques, et du Lemme 0AM2.

Lemme

La composée de morphismes de type fini est de type fini. Il en est de même de la propriété « localement de type fini ».

Démonstration

Voir Amorçage, lemme 046G et utiliser Morphismes d’espaces algébriques, lemme 03XG.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme de type fini est de type fini. Il en est de même de la propriété « localement de type fini ».

Démonstration

Voir Amorçage, lemme 046F et utiliser Morphismes d’espaces algébriques, lemme 03XH.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Si \(g \circ f : X \to Z\) est localement de type fini, alors \(f : X \to Y\) est localement de type fini.

Démonstration

Le Lemme 0AQ0 montre que \(f\) est représentable par des espaces algébriques. Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to Z\) un morphisme. Nous pouvons alors appliquer Morphismes d’espaces algébriques, lemme 0462 aux morphismes \(T \times_Z X \to T \times_Z Y \to T\) d’espaces algébriques pour conclure.

La propriété d’être localement de type fini est locale sur la source et sur le but.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

le morphisme \(f\) est localement de type fini ;

il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des espaces algébriques formels, où les flèches verticales sont représentables par des espaces algébriques et étales, où \(U \to X\) est surjectif et où \(U \to V\) est localement de type fini ;

pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\), \(V\) sont des espaces algébriques formels et où les flèches verticales sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) est localement de type fini ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour tout \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM, tels que \(X_{ji} \to Y_j\) soit localement de type fini pour tous \(j\) et \(i\) ;

il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour tout \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\) où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, où \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, telle que \(X_i \to Y_i\) soit localement de type fini ;

ajouter davantage ici.

Démonstration

Dans chacun des cinq cas, le morphisme \(f : X \to Y\) est représentable par des espaces algébriques ; voir le Lemme 0AN4. Nous utiliserons ce fait ci-dessous sans autre mention.

Il est clair que (1) implique (2), car nous pouvons prendre \(U = X\) et \(V = Y\). Réciproquement, donnons-nous un diagramme comme en (2). Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to Y\) un morphisme. Nous pouvons alors considérer \[\xymatrix{ U \times_Y T \ar[d] \ar[r] & V \times_Y T \ar[d] \\ X \times_Y T \ar[r] & T }\] Les flèches verticales sont étales et la flèche horizontale supérieure est localement de type fini comme changement de base d’un tel morphisme. Par conséquent, Morphismes d’espaces algébriques, lemme 040Y montre que \(X \times_Y T \to T\) est localement de type fini. Autrement dit, (1) est vérifiée.

Supposons (1) vraie et considérons un diagramme comme en (3). Alors \(U \to Y\) est localement de type fini (en tant que composée \(U \to X \to Y\) ; voir Amorçage, lemme 046G). Soit \(T\) un schéma et soit \(T \to V\) un morphisme. Alors la projection \(T \times_V U \to T\) se factorise sous la forme \[T \times_V U = (T \times_Y U) \times_{(V \times_Y V)} V \to T \times_Y U \to T\] La seconde flèche est localement de type fini (comme changement de base de la composée \(U \to X \to Y\)), et la première est le changement de base de la diagonale \(V \to V \times_Y V\), qui est localement de type fini d’après le Lemme 0AN2.

Il est clair que (3) implique (2). Ainsi, (1) à (3) sont équivalentes.

Remarquons que la condition de (4) a un sens, puisque le produit fibré \(Y_j \times_Y X\) est un espace algébrique formel d’après le Lemme 0AJ3. Il est clair que (4) implique (5).

Supposons \(X_i \to Y_i \to Y\) comme en (5). Posons alors \(V = \coprod Y_i\) et \(U = \coprod X_i\) pour voir que (5) implique (2).

Enfin, supposons (1) à (3) vraies. Nous pouvons donc choisir un recouvrement quelconque \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour tout \(j\), un recouvrement quelconque \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM. Alors \(X_{ij} \to Y_j\) est localement de type fini d’après (3), et nous voyons que (4) est vraie. Cela achève la démonstration.

Exemple

Soit \(S\) un schéma. Soit \(A\) un anneau topologique faiblement admissible sur \(S\). Soit \(A \to A'\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Alors \[(A')^\wedge = \lim_{I \subset A\ w.i.d.} A'/IA'\] est un anneau faiblement admissible, et le morphisme correspondant \(\text{Spf}((A')^\wedge) \to \text{Spf}(A)\) est représentable ; voir l’Exemple 0AN6. Si \(T \to \text{Spf}(A)\) est un morphisme où \(T\) est un schéma quasi-compact, alors il se factorise par \(\Spec(A/I)\) pour un certain idéal faible de définition \(I \subset A\) (Lemme 0AIA). Alors \(T \times_{\text{Spf}(A)} \text{Spf}((A')^\wedge)\) est égal à \(T \times_{\Spec(A/I)} \Spec(A'/IA')\), et nous voyons que \(\text{Spf}((A')^\wedge) \to \text{Spf}(A)\) est de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Si \(Y\) est localement noethérien et si \(f\) est localement de type fini, alors \(X\) est localement noethérien.

Démonstration

Choisissons \(\{Y_j \to Y\}\) et \(\{X_{ij} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans le Lemme 0ANL. Il résulte alors du Lemme 0AKP que chaque \(X_{ij}\) est noethérien. Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Y\) et \(Z \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Si \(Z\) est localement noethérien et si \(f\) est localement de type fini, alors \(Z \times_Y X\) est localement noethérien.

Démonstration

Le morphisme \(Z \times_Y X \to Z\) est localement de type fini d’après le Lemme 0AQ5. Le résultat découle donc du Lemme 0AQ7.

Morphismes surjectifs

D’après le Lemme 0GB8, la définition suivante n’entre pas en conflit avec les définitions existantes pour les morphismes d’espaces algébriques ou pour les morphismes d’espaces algébriques formels représentables par des espaces algébriques.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme \(f : X \to Y\) d’espaces algébriques formels sur \(S\) est dit surjectif s’il induit un morphisme surjectif \(X_{red} \to Y_{red}\) sur les espaces algébriques réduits sous-jacents.

Lemme

La composée de deux morphismes surjectifs est un morphisme surjectif.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme surjectif est un morphisme surjectif.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est surjectif ;

pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), la projection \(X \times_Y T \to T\) est un morphisme surjectif d’espaces algébriques formels ;

pour tout schéma affine \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), la projection \(X \times_Y T \to T\) est un morphisme surjectif d’espaces algébriques formels ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM, tel que chaque \(X \times_Y Y_j \to Y_j\) soit un morphisme surjectif d’espaces algébriques formels ;

il existe un morphisme surjectif \(Z \to Y\) d’espaces algébriques formels tel que \(X \times_Y Z \to Z\) soit surjectif ;

ajouter davantage ici.

Démonstration

Démonstration omise.

Monomorphismes

Voici la définition.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\) est appelé un monomorphisme s’il est un morphisme injectif de faisceaux.

Voici un exemple. Soit \(X\) un espace algébrique et soit \(T \subset |X|\) une partie fermée. Alors le morphisme \(X_{/T} \to X\) du complété formel de \(X\) le long de \(T\) vers \(X\) est un monomorphisme. En particulier, les monomorphismes d’espaces algébriques formels ne sont généralement pas représentables.

Lemme

La composée de deux monomorphismes est un monomorphisme.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Un changement de base d’un monomorphisme est un monomorphisme.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est un monomorphisme ;

pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), la projection \(X \times_Y T \to T\) est un monomorphisme d’espaces algébriques formels ;

pour tout schéma affine \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), la projection \(X \times_Y T \to T\) est un monomorphisme d’espaces algébriques formels ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM, tel que chaque \(X \times_Y Y_j \to Y_j\) soit un monomorphisme d’espaces algébriques formels ;

il existe une famille de morphismes \(\{Y_j \to Y\}\) telle que \(\coprod Y_j \to Y\) soit une surjection de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) et que chaque \(X \times_Y Y_j \to Y_j\) soit un monomorphisme pour tout \(j\) ;

il existe un morphisme \(Z \to Y\) d’espaces algébriques formels qui est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie, tel que \(X \times_Y Z \to X\) soit un monomorphisme ;

ajouter davantage ici.

Démonstration

Démonstration omise.

Immersions fermées

Voici la définition.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Nous disons que \(f\) est une immersion fermée si \(f\) est représentable par des espaces algébriques et est une immersion fermée au sens de Amorçage, définition 03XZ.

Lors de la lecture de cette section, veuillez sauter les lemmes préliminaires obligés.

Lemme

La composée de deux immersions fermées est une immersion fermée.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Un changement de base d’une immersion fermée est une immersion fermée.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est une immersion fermée ;

pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), la projection \(X \times_Y T \to T\) est une immersion fermée ;

pour tout schéma affine \(T\) et tout morphisme \(T \to Y\), la projection \(X \times_Y T \to T\) est une immersion fermée ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM, tel que chaque \(X \times_Y Y_j \to Y_j\) soit une immersion fermée ;

il existe un morphisme \(Z \to Y\) d’espaces algébriques formels qui est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie, tel que \(X \times_Y Z \to X\) soit une immersion fermée ;

ajouter davantage ici.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel affine de McQuillan sur \(S\). Soit \(f : Y \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques formels sur \(S\). Alors \(Y\) est un espace algébrique formel affine de McQuillan et \(f\) correspond à un homomorphisme continu \(A \to B\) de \(S\)-algèbres topologiques faiblement admissibles qui est tendu, dont le noyau est fermé et dont l’image est dense.

Démonstration

Écrivons \(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est un anneau topologique faiblement admissible. Soit \(I_\lambda\) un système fondamental d’idéaux faiblement admissibles de définition de \(A\). Alors \(Y \times_X \Spec(A/I_\lambda)\) est un sous-schéma fermé de \(\Spec(A/I_\lambda)\), donc affine (Définition 0ANP). Écrivons \(Y \times_X \Spec(A/I_\lambda) = \Spec(B_\lambda)\). L’homomorphisme d’anneaux \(A/I_\lambda \to B_\lambda\) est surjectif. Par conséquent, les projections \[B = \lim B_\lambda \longrightarrow B_\lambda\] sont surjectives, puisque les composées \(A \to B \to B_\lambda\) sont surjectives. Il s’ensuit que \(Y\) est de McQuillan d’après le Lemme 0AIC. L’homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est tendu d’après le Lemme 0AN5. Le noyau est fermé parce que \(B\) est complet et que \(A \to B\) est continu. Enfin, comme \(A \to B_\lambda\) est surjectif pour tout \(\lambda\), nous voyons que l’image de \(A\) dans \(B\) est dense.

Malgré le résultat précédent, nous ne savons pas, en général, comment se comportent les immersions fermées lorsque le but est un espace algébrique formel affine de McQuillan ; voir la Remarque 0AJK.

Exemple

Soit \(S\) un schéma. Soit \(A\) un anneau topologique faiblement admissible sur \(S\). Soit \(K \subset A\) un idéal fermé. En posant \[B = (A/K)^\wedge = \lim_{I \subset A\ w.i.d.} A/(I + K)\] le morphisme \(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) est représentable ; voir l’Exemple 0AN6. Si \(T \to \text{Spf}(A)\) est un morphisme où \(T\) est un schéma quasi-compact, alors il se factorise par \(\Spec(A/I)\) pour un certain idéal faible de définition \(I \subset A\) (Lemme 0AIA). Alors \(T \times_{\text{Spf}(A)} \text{Spf}(B)\) est égal à \(T \times_{\Spec(A/I)} \Spec(A/(K + I))\), et nous voyons que \(\text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A)\) est une immersion fermée. Le noyau de \(A \to B\) est \(K\), puisque \(K\) est fermé, mais il faut prendre garde qu’en général l’homomorphisme d’anneaux \(A \to B = (A/K)^\wedge\) n’est pas nécessairement surjectif.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels. Supposons que

\(f\) soit représentable par des espaces algébriques ;

\(f\) soit un monomorphisme ;

l’inclusion \(Y_{red} \to Y\) se factorise par \(f\) ;

\(f\) soit localement de type fini ou \(Y\) soit localement noethérien.

Alors \(f\) est une immersion fermée.

Démonstration

Les hypothèses (2) et (3) impliquent que \(X_{red} = X \times_Y Y_{red} = Y_{red}\). Nous utiliserons ce fait sans autre mention.

Si \(Y' \to Y\) est un morphisme étale d’espaces algébriques formels sur \(S\), alors le changement de base \(f' : X \times_Y Y' \to Y'\) satisfait aux conditions (1) à (4). D’après le Lemme 0GHY, nous pouvons donc supposer que \(Y\) est un espace algébrique formel affine.

Écrivons \(Y = \colim_{\lambda \in \Lambda} Y_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7. Alors \(X_\lambda = X \times_Y Y_\lambda\) est un espace algébrique muni d’un monomorphisme \(f_\lambda : X_\lambda \to Y_\lambda\) qui induit un isomorphisme \(X_{\lambda, red} \to Y_{\lambda, red}\). Ainsi, \(X_\lambda\) est un schéma affine d’après Limits of Espaces, Proposition 07VT (puisque \(X_{\lambda, red} \to X_\lambda\) est surjectif et entier). Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que \(X_\lambda \to Y_\lambda\) est une immersion fermée, ce que nous ferons au paragraphe suivant.

Soit \(X \to Y\) un monomorphisme de schémas affines tel que \(X_{red} = X \times_Y Y_{red} = Y_{red}\). En général, cela n’implique pas que \(X \to Y\) soit une immersion fermée ; voir Exemples, section 06RH. Cependant, sous notre hypothèse (4), nous savons qu’au paragraphe précédent soit \(X_\lambda \to Y_\lambda\) est de type fini, soit \(Y_\lambda\) est noethérien. Cela signifie que \(X \to Y\) correspond à un homomorphisme d’anneaux \(R \to A\) tel que \(R/I \to A/IA\) soit un isomorphisme, où \(I \subset R\) est le nilradical (c’est-à-dire l’idéal localement nilpotent maximal de \(R\)), et que soit \(R \to A\) est de type fini, soit \(R\) est noethérien. Dans le premier cas, \(R \to A\) est surjectif d’après Algèbre, lemme 07RD, et, dans le second, \(I\) est de type fini, donc nilpotent ; ainsi \(R \to A\) est surjectif par le lemme de Nakayama ; voir Algèbre, lemme 00DV, partie (11).

Séries restreintes

Soit \(A\) un anneau topologique complet pour une topologie linéaire (Compléments d’algèbre, définition 07E8). Soit \(I_\lambda\) un système fondamental d’idéaux ouverts. Soit \(r \geq 0\) un entier. Dans ce contexte, on note souvent par \[A\{x_1, \ldots, x_r\} = \lim_\lambda A/I_\lambda[x_1, \ldots, x_r] = \lim_\lambda (A[x_1, \ldots, x_r]/I_\lambda A[x_1, \ldots, x_r])\] muni de la topologie limite. Autrement dit, il s’agit du complété de l’anneau de polynômes relativement aux idéaux \(I_\lambda\). On peut considérer les éléments de \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\) comme des séries \[f = \sum\nolimits_{E = (e_1, \ldots, e_r)} a_E x_1^{e_1} \ldots x_r^{e_r}\] en \(x_1, \ldots, x_r\) à coefficients \(a_E \in A\) qui tendent vers zéro dans la topologie de \(A\). Autrement dit, pour tout \(\lambda\), tous les \(a_E\), sauf un nombre fini, appartiennent à \(I_\lambda\). Pour cette raison, les éléments de \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\) sont parfois appelés des séries restreintes. On note parfois cet anneau \(A\langle x_1, \ldots, x_r\rangle\) ; nous nous abstiendrons d’employer cette notation.

Remarque

Soit \(A \to C\) un homomorphisme continu d’anneaux complets munis d’une topologie linéaire. Alors tout homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A[x_1, \ldots x_r] \to C\) se prolonge de manière unique en un homomorphisme continu \(A\{x_1, \ldots, x_r\} \to C\) sur les séries restreintes.

Remarque

Soit \(A\) un anneau et soit \(I \subset A\) un idéal. Si \(A\) est complet pour la topologie \(I\)-adique, alors le complété \(I\)-adique \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) de \(A[x_1, \ldots, x_r]\) est, comme anneau, l’anneau des séries restreintes sur \(A\). Cependant, il n’est pas clair que \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) soit complet pour la topologie \(I\)-adique. Nous considérons la topologie sur \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\) comme la topologie limite (qui est toujours complète), tandis que nous considérons souvent la topologie sur \(A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) comme la topologie \(I\)-adique (qui n’est pas toujours complète). Si \(I\) est de type fini, alors \(A\{x_1, \ldots, x_r\} = A[x_1, \ldots, x_r]^\wedge\) comme anneaux topologiques ; voir Algèbre, lemme 05GG.

Algèbres topologiquement de type fini

Voici notre définition. Celle-ci ne fait pas l’objet d’un consensus général. De nombreux auteurs imposent des conditions supplémentaires, souvent parce qu’ils ne s’intéressent qu’à certains types d’anneaux et non au cas le plus général.

Définition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux topologiques (Compléments d’algèbre, définition 07E8). Nous disons que \(B\) est topologiquement de type fini sur \(A\) s’il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) dont l’image est dense dans \(B\).

Si \(A\) est un anneau complet muni d’une topologie linéaire, alors l’anneau des séries restreintes \(A\{x_1, \ldots, x_r\}\) est topologiquement de type fini sur \(A\). Si \(k\) est un corps, alors l’anneau de séries formelles \(k[[x_1, \ldots, x_r]]\) est topologiquement de type fini sur \(k\).

Pour les homomorphismes continus tendus d’anneaux topologiques faiblement admissibles, le fait d’être topologiquement de type fini correspond exactement aux morphismes de type fini entre les espaces algébriques formels affines associés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme continu d’anneaux topologiques faiblement admissibles sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\text{Spf}(\varphi) : Y = \text{Spf}(B) \to \text{Spf}(A) = X\) est de type fini ;

\(\varphi\) est tendu et \(B\) est topologiquement de type fini sur \(A\).

Démonstration

Nous pouvons utiliser le Lemme 0AN5 pour relier le caractère tendu de \(\varphi\) à la représentabilité de \(\text{Spf}(\varphi)\). Nous l’emploierons ci-dessous sans autre mention. Il s’ensuit que \(X = \colim \Spec(A/I)\) et \(Y = \colim \Spec(B/J(I))\), où \(I \subset A\) parcourt les idéaux faibles de définition de \(A\) et où \(J(I)\) est l’adhérence de \(IB\) dans \(B\).

Supposons (2). Choisissons un homomorphisme d’anneaux \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B\) d’image dense. Alors \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B \to B/J(I)\) a lui aussi une image dense, ce qui signifie qu’il est surjectif. Par conséquent, \(B/J(I)\) est de type fini sur \(A/I\). Soit \(T \to X\) un morphisme où \(T\) est un schéma quasi-compact. Alors \(T \to X\) se factorise par \(\Spec(A/I)\) pour un certain \(I\) (Lemme 0AIA). Alors \(T \times_X Y = T \times_{\Spec(A/I)} \Spec(B/J(I))\) ; voir la démonstration du Lemme 0AN5. Par conséquent, \(T \times_Y X \to T\) est de type fini comme changement de base du morphisme \(\Spec(B/J(I)) \to \Spec(A/I)\) qui est de type fini. Ainsi, (1) est vraie.

Supposons (1). Choisissons un \(I \subset A\) quelconque comme ci-dessus. Puisque \(\Spec(A/I) \times_X Y = \Spec(B/J(I))\), nous voyons que \(A/I \to B/J(I)\) est de type fini. Choisissons \(b_1, \ldots, b_r \in B\) dont les images engendrent \(B/J(I)\) sur \(A/I\). Nous affirmons que l’image de l’homomorphisme d’anneaux \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B\) qui envoie \(x_i\) sur \(b_i\) est dense. Pour le montrer, soit \(I' \subset I\) un second idéal faible de définition. Alors nous avons \[B/(J(I') + IB) = B/J(I)\] parce que \(J(I)\) est l’adhérence de \(IB\) et que \(J(I')\) est ouvert. Nous pouvons donc appliquer Algèbre, lemme 07RD pour voir que \((A/I')[x_1, \ldots, x_r] \to B/J(I')\) est surjectif. Ainsi, (2) est vraie, ce qui achève la démonstration.

Soit \(A\) un anneau topologique complet pour une topologie linéaire. Soit \((I_\lambda)\) un système fondamental d’idéaux ouverts. Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des systèmes projectifs \((B_\lambda)\) où

\(B_\lambda\) est une \(A/I_\lambda\)-algèbre de type fini ;
\(B_\mu \to B_\lambda\) est un homomorphisme de \(A/I_\mu\)-algèbres qui induit un isomorphisme \(B_\mu/I_\lambda B_\mu \to B_\lambda\).

Les morphismes de \(\mathcal{C}\) sont donnés par des systèmes compatibles d’homomorphismes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel affine sur \(S\). Supposons \(X\) de McQuillan et soit \(A\) l’anneau topologique faiblement admissible associé à \(X\). Il existe alors une antiéquivalence de catégories entre

la catégorie \(\mathcal{C}\) introduite ci-dessus ;

la catégorie des morphismes \(Y \to X\) de type fini entre espaces algébriques formels affines.

Démonstration

Soit \((I_\lambda)\) un système fondamental d’idéaux faiblement admissibles de définition de \(A\). Considérons \(Y\) comme en (2). Alors \(Y \times_X \Spec(A/I_\lambda)\) est affine (Définition 0AM4 et Lemme 0AKN). Écrivons \(Y \times_X \Spec(A/I_\lambda) = \Spec(B_\lambda)\). L’homomorphisme d’anneaux \(A/I_\lambda \to B_\lambda\) est de type fini parce que \(\Spec(B_\lambda) \to \Spec(A/I_\lambda)\) est de type fini (d’après la Définition 0AM4). Alors \((B_\lambda)\) est un objet de \(\mathcal{C}\).

Réciproquement, étant donné un objet \((B_\lambda)\) de \(\mathcal{C}\), nous pouvons poser \(Y = \colim \Spec(B_\lambda)\). C’est un espace algébrique formel affine. Nous affirmons que \[Y \times_X \Spec(A/I_\lambda) = \left(\colim_\mu \Spec(B_\mu)\right) \times_X \Spec(A/I_\lambda) = \Spec(B_\lambda)\] Pour le montrer, il suffit d’obtenir les mêmes valeurs en évaluant sur un schéma quasi-compact \(U\). Un morphisme \(U \to \left(\colim_\mu \Spec(B_\mu)\right) \times_X \Spec(A/I_\lambda)\) provient d’un morphisme \(U \to \Spec(B_\mu) \times_{\Spec(A/I_\mu)} \Spec(A/I_\lambda)\) pour un certain \(\mu \geq \lambda\) (appliquer deux fois le Lemme 0AIA). Puisque \(\Spec(B_\mu) \times_{\Spec(A/I_\mu)} \Spec(A/I_\lambda) = \Spec(B_\lambda)\) d’après notre seconde hypothèse sur les objets de \(\mathcal{C}\), cela démontre l’assertion. Nous pouvons alors montrer que le morphisme \(Y \to X\) est de type fini. En effet, remarquons que, pour tout morphisme \(U \to X\) où \(U\) est un schéma quasi-compact, nous obtenons une factorisation \(U \to \Spec(A/I_\lambda) \to X\) pour un certain \(\lambda\) (voir le lemme cité ci-dessus). Par conséquent, \[Y \times_X U = Y \times_X \Spec(A/I_\lambda)) \times_{\Spec(A/I_\lambda)} U = \Spec(B_\lambda) \times_{\Spec(A/I_\lambda)} U\] est un schéma de type fini sur \(U\), comme voulu. Ainsi, la construction \((B_\lambda) \mapsto \colim \Spec(B_\lambda)\) fournit bien un foncteur de la catégorie (1) vers la catégorie (2).

Pour achever la démonstration, montrons que les constructions précédentes définissent des foncteurs quasi-inverses entre les catégories (1) et (2). Dans un sens, il faut montrer que \[\left(\colim_\mu \Spec(B_\mu)\right) \times_X \Spec(A/I_\lambda) = \Spec(B_\lambda)\] pour tout objet \((B_\lambda)\) de la catégorie \(\mathcal{C}\). Nous l’avons démontré ci-dessus. Dans l’autre sens, il faut montrer que \[Y = \colim (Y \times_X \Spec(A/I_\lambda))\] pour \(Y\) dans la catégorie (2). Là encore, cela résulte de l’évaluation sur des objets tests quasi-compacts et du fait que \(X = \colim \Spec(A/I_\lambda)\).

Remarque

Soit \(A\) un anneau topologique faiblement admissible et soit \((I_\lambda)\) un système fondamental d’idéaux faibles de définition. Soit \(X = \text{Spf}(A)\) ; autrement dit, \(X\) est un espace algébrique formel affine de McQuillan. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques formels affines. En général, \(Y\) n’est pas nécessairement de McQuillan. Plus précisément, nous pouvons poser les questions suivantes :

Supposons que \(f : Y \to X\) soit une immersion fermée. Alors \(Y\) est de McQuillan et \(f\) correspond à un homomorphisme continu \(\varphi : A \to B\) d’anneaux topologiques faiblement admissibles qui est tendu, dont le noyau \(K \subset A\) est un idéal fermé et dont l’image \(\varphi(A)\) est dense dans \(B\) ; voir le Lemme 0ANQ. Quelles conditions sur \(A\) garantissent que \(B = (A/K)^\wedge\) comme dans l’Exemple 0ANR ?

Quelles conditions sur \(A\) garantissent que les immersions fermées \(f : Y \to X\) correspondent aux quotients \(A/K\) de \(A\) par des idéaux fermés, autrement dit que l’homomorphisme continu correspondant \(\varphi\) est surjectif et ouvert ?

Supposons que \(f : Y \to X\) soit de type fini. Nous obtenons alors \(Y = \colim \Spec(B_\lambda)\), où \((B_\lambda)\) est un objet de \(\mathcal{C}\) d’après le Lemme 0AL1. Dans ce cas, il existe bien un entier fixe \(r\) tel que \(B_\lambda\) soit engendré par \(r\) éléments sur \(A/I_\lambda\) pour tout \(\lambda\) (l’argument est pour l’essentiel déjà donné dans la démonstration de (1) \(\Rightarrow\) (2) du Lemme 0ANT). Cependant, il n’est pas clair que les projections \(\lim B_\lambda \to B_\lambda\) soient surjectives ; autrement dit, il n’est pas clair que \(Y\) soit de McQuillan. Existe-t-il un exemple où \(Y\) n’est pas de McQuillan ?

Supposons que \(f : Y \to X\) soit de type fini et que \(Y\) soit de McQuillan. Alors \(f\) correspond à un homomorphisme continu \(\varphi : A \to B\) d’anneaux topologiques faiblement admissibles. En fait, \(\varphi\) est tendu et \(B\) est topologiquement de type fini sur \(A\) ; voir le Lemme 0ANT. Autrement dit, \(f\) se factorise sous la forme \[Y \longrightarrow \mathbf{A}^r_X \longrightarrow X\] où la première flèche est une immersion fermée d’espaces algébriques formels affines de McQuillan. Cependant, les questions (1) et (2) se posent alors pour \(Y \to \mathbf{A}^r_X\).

Nous répondrons ci-dessous à ces questions lorsque \(X\) est à indexation dénombrable, c’est-à-dire lorsque \(A\) possède un système fondamental dénombrable d’idéaux ouverts. Si vous connaissez des réponses à ces questions dans une plus grande généralité, ou des contre-exemples, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel affine à indexation dénombrable sur \(S\). Soit \(f : Y \to X\) une immersion fermée d’espaces algébriques formels sur \(S\). Alors \(Y\) est un espace algébrique formel affine à indexation dénombrable et \(f\) correspond à \(A \to A/K\), où \(A\) est un objet de \(\textit{WAdm}^{count}\) (section 0ANA) et où \(K \subset A\) est un idéal fermé.

Démonstration

D’après le Lemme 0AN1, nous avons \(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est un objet de \(\textit{WAdm}^{count}\). Comme une immersion fermée est représentable et affine, le Lemme 0AKP montre que \(Y\) est un espace algébrique formel affine à indexation dénombrable. En appliquant de nouveau le Lemme 0AN1, nous voyons donc que \(Y = \text{Spf}(B)\), avec \(B\) objet de \(\textit{WAdm}^{count}\). D’après le Lemme 0ANQ, nous concluons que \(f\) est donné par un morphisme \(A \to B\) de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui est tendu et d’image dense. Pour achever la démonstration, nous appliquons le Lemme 0APT.

Lemme

Soit \(B \to A\) une flèche de \(\textit{WAdm}^{count}\) ; voir la section 0ANA. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(B \to A\) est tendu et \(B/J \to A/I\) est de type fini pour tout idéal faible de définition \(J \subset B\), où l’idéal \(I \subset A\) est l’adhérence de \(JA\) ;

\(B \to A\) est tendu et \(B/J_\lambda \to A/I_\lambda\) est de type fini pour un système cofinal \((J_\lambda)\) d’idéaux faibles de définition de \(B\), où \(I_\lambda \subset A\) est l’adhérence de \(J_\lambda A\) ;

\(B \to A\) est tendu et \(A\) est topologiquement de type fini sur \(B\) ;

\(A\) est isomorphe, comme \(B\)-algèbre topologique, à un quotient de \(B\{x_1, \ldots, x_n\}\) par un idéal fermé.

De plus, ces conditions équivalentes définissent une propriété locale, c’est-à-dire qu’elles satisfont aux axiomes (0AND), (0ANE), (0ANF).

Démonstration

Les implications (a) \(\Rightarrow\) (b), (c) \(\Rightarrow\) (a), (d) \(\Rightarrow\) (c) résultent immédiatement des définitions. Supposons (b) vérifiée et soient \(J \subset B\) et \(I \subset A\) comme en (a). Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A \ar[r] & \ldots \ar[r] & A_3 \ar[r] & A_2 \ar[r] & A_1 \\ B \ar[r] \ar[u] & \ldots \ar[r] & B/J_3 \ar[r] \ar[u] & B/J_2 \ar[r] \ar[u] & B/J_1 \ar[u] }\] tel que \(A_{n + 1}/J_nA_{n + 1} = A_n\) et \(A = \lim A_n\), comme dans le Lemme 0ANJ. Pour tout \(m\), il existe un \(\lambda\) tel que \(J_\lambda \subset J_m\). Comme \(B/J_\lambda \to A/I_\lambda\) est de type fini, il s’ensuit que \(B/J_m \to A/I_m\) est de type fini. Soient \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in A_1\) des générateurs de \(A_1\) sur \(B/J_1\). Puisque \(A\) est la limite dénombrable d’un système à morphismes de transition surjectifs, nous pouvons trouver \(a_1, \ldots, a_n \in A\) dont les images sont \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) dans \(A_1\). D’après la Remarque 0AJM, nous obtenons un homomorphisme continu \(B\{x_1, \ldots, x_n\} \to A\) qui envoie \(x_i\) sur \(a_i\). Cet homomorphisme induit des surjections \((B/J_m)[x_1, \ldots, x_n] \to A_m\) d’après Algèbre, lemme 07RD. Pour \(m \geq 1\), nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to K_m \to (B/J_m)[x_1, \ldots, x_n] \to A_m \to 0\] Les morphismes de transition induits \(K_{m + 1} \to K_m\) sont surjectifs parce que \(A_{m + 1}/J_mA_{m + 1} = A_m\). Par conséquent, la limite projective de ces suites exactes courtes est exacte ; voir Algèbre, lemme 0598. Puisque \(B\{x_1, \ldots, x_n\} = \lim (B/J_m)[x_1, \ldots, x_n]\) et \(A = \lim A_m\), nous concluons que \(B\{x_1, \ldots, x_n\} \to A\) est surjectif et ouvert. Comme \(A\) est complet, le noyau est un idéal fermé. Nous voyons ainsi que (a), (b), (c) et (d) sont équivalentes.

Donnons-nous un diagramme (0ANC) comme dans la Situation 0CBA. D’après l’Exemple 0ANM, les homomorphismes \(A \to (A')^\wedge\) et \(B \to (B')^\wedge\) satisfont à (a), (b), (c) et (d). De plus, d’après le Lemme 0ANJ, pour démontrer les axiomes (0AND) et (0ANE), nous pouvons supposer que \(B \to A\) et \((B')^\wedge \to (A')^\wedge\) sont tous deux tendus. Choisissons un idéal faible de définition \(J \subset B\). Soient \(J' \subset (B')^\wedge\), \(I \subset A\), \(I' \subset (A')^\wedge\) les adhérences de \(J(B')^\wedge\), \(JA\), \(J(A')^\wedge\). D’après ce qui précède, il suffit de considérer le diagramme commutatif \[\xymatrix{ A/I \ar[r] & (A')^\wedge/I' \\ B/J \ar[r] \ar[u]^{\overline{\varphi}} & (B')^\wedge/J' \ar[u]_{\overline{\varphi}'} }\] et de montrer : (1) \(\overline{\varphi}\) est de type fini \(\Rightarrow \overline{\varphi}'\) est de type fini ; (2) si \(A \to A'\) est fidèlement plat, alors \(\overline{\varphi}'\) est de type fini \(\Rightarrow \overline{\varphi}\) est de type fini. Remarquons que \((B')^\wedge/J' = B'/JB'\) et \((A')^\wedge/I' = A'/IA'\) par construction des topologies sur \((B')^\wedge\) et \((A')^\wedge\). En particulier, les homomorphismes horizontaux du diagramme sont étales. La partie (1) résulte alors de Algèbre, lemme 00F4, et la partie (2) de Descente, lemme 0367, puisque l’homomorphisme d’anneaux \(A/I \to (A')^\wedge/I' = A'/IA'\) est fidèlement plat et étale.

Nous omettons la démonstration de l’axiome (0ANF).

Lemme

Dans le Lemme 0ANU, si \(B\) est admissible (par exemple adique), alors les conditions équivalentes (a) à (d) sont aussi équivalentes à la condition suivante :

\(B \to A\) est tendu et \(B/J \to A/I\) est de type fini pour un certain idéal de définition \(J \subset B\), où \(I \subset A\) est l’adhérence de \(JA\).

Démonstration

Il suffit de montrer que (e) implique (a). Soit \(J' \subset B\) un idéal faible de définition et soit \(I' \subset A\) l’adhérence de \(J'A\). Nous devons montrer que \(B/J' \to A/I'\) est de type fini. Si l’assertion correspondante est vraie pour le plus petit idéal faible de définition \(J'' = J' \cap J\), alors elle est vraie pour \(J'\). Nous pouvons donc supposer \(J' \subset J\). Comme \(J\) est un idéal de définition (et non seulement un idéal faible de définition), nous avons \(J^n \subset J'\) pour un certain \(n \geq 1\). Nous pouvons donc considérer le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I/I' \ar[r] & A/I' \ar[r] & A/I \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & J/J' \ar[r] \ar[u] & B/J' \ar[r] \ar[u] & B/J \ar[r] \ar[u] & 0 }\] à lignes exactes. Puisque \(I' \subset A\) est ouvert et que \(I\) est l’adhérence de \(J A\), nous voyons que \(I/I' = (J/J') \cdot A/I'\). Comme \(J/J'\) est un idéal nilpotent et que \(B/J \to A/I\) est de type fini, Algèbre, lemme 0G8U montre que \(A/I'\) est de type fini sur \(B/J'\), comme voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels affines. Supposons \(Y\) à indexation dénombrable. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est localement de type fini ;

\(f\) est de type fini ;

\(f\) correspond à un morphisme \(B \to A\) de \(\textit{WAdm}^{count}\) (section 0ANA) qui satisfait aux conditions équivalentes du Lemme 0ANU.

Démonstration

Puisque \(X\) et \(Y\) sont affines, il est clair que les conditions (1) et (2) sont équivalentes. Dans les cas (1) et (2), le morphisme \(f\) est représentable par des espaces algébriques par définition, donc affine d’après le Lemme 0AKN. Ainsi, si (1) ou (2) est vérifiée, nous voyons que \(X\) est à indexation dénombrable d’après le Lemme 0AKP. Écrivons \(X = \text{Spf}(A)\) et \(Y = \text{Spf}(B)\) pour des \(S\)-algèbres topologiques \(A\) et \(B\) de \(\textit{WAdm}^{count}\) ; voir le Lemme 0AN1. D’après le Lemme 0AN0, nous voyons que \(f\) correspond à un homomorphisme continu \(B \to A\). Le résultat découle alors du Lemme 0ANT.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels localement à indexation dénombrable sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques formels affines, où \(U \to X\) et \(V \to Y\) sont représentables par des espaces algébriques et étales, le morphisme \(U \to V\) correspond à un morphisme de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui est tendu et topologiquement de type fini ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour tout \(j\), un recouvrement \(\{X_{ji} \to Y_j \times_Y X\}\) comme dans la Définition 0AIM, tel que chaque \(X_{ji} \to Y_j\) corresponde à un morphisme de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui est tendu et topologiquement de type fini ;

il existe un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans la Définition 0AIM et, pour tout \(i\), une factorisation \(X_i \to Y_i \to Y\) où \(Y_i\) est un espace algébrique formel affine, où \(Y_i \to Y\) est représentable par des espaces algébriques et étale, et où \(X_i \to Y_i\) correspond à un morphisme de \(\textit{WAdm}^{count}\) qui est tendu et topologiquement de type fini ;

\(f\) est localement de type fini.

Démonstration

D’après le Lemme 0ANU, la propriété \(P(\varphi)=\) « \(\varphi\) est tendu et topologiquement de type fini » est locale sur \(\text{WAdm}^{count}\). Par conséquent, le Lemme 0ANG montre que les conditions (1), (2) et (3) sont équivalentes. D’autre part, d’après le Lemme 0ANV, la condition \(P\) sur les morphismes de \(\textit{WAdm}^{count}\) correspond exactement au fait que les morphismes d’espaces algébriques formels affines à indexation dénombrable soient localement de type fini. Ainsi, l’implication (1) \(\Rightarrow\) (3) du Lemme 0ANL montre que (4) implique (1) du présent lemme. De même, l’implication (4) \(\Rightarrow\) (1) du Lemme 0ANL montre que (2) implique (4) du présent lemme.

Axiomes de séparation pour les morphismes

Cette section est l’analogue de Morphismes d’espaces algébriques, section 03HJ pour les morphismes d’espaces algébriques formels.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Soit \(\Delta_{X/Y} : X \to X \times_Y X\) le morphisme diagonal.

Nous disons que \(f\) est séparé si \(\Delta_{X/Y}\) est une immersion fermée.

Nous disons que \(f\) est quasi-séparé si \(\Delta_{X/Y}\) est quasi-compact.

Puisque \(\Delta_{X/Y}\) est représentable (par des schémas) d’après le Lemme 0AN2, nous pouvons tester ces propriétés en considérant les morphismes \(T \to X \times_Y X\) issus de schémas affines \(T\) et en vérifiant si \[E = T \times_{X \times_Y X} X \longrightarrow T\] est quasi-compact ou une immersion fermée ; voir le Lemme 0AM2 ou la Définition 0ANP. Remarquons que le schéma \(E\) est l’égalisateur de deux morphismes \(a, b : T \to X\) qui coïncident comme morphismes vers \(Y\), et que \(E \to T\) est un monomorphisme localement de type fini.

Lemme

Tous les axiomes de séparation énumérés dans la Définition 0ARN sont stables par changement de base.

Démonstration

Soient \(f : X \to Y\) et \(Y' \to Y\) des morphismes d’espaces algébriques formels. Soit \(f' : X' \to Y'\) le changement de base de \(f\) par \(Y' \to Y\). Alors \(\Delta_{X'/Y'}\) est le changement de base de \(\Delta_{X/Y}\) par le morphisme \(X' \times_{Y'} X' \to X \times_Y X\). Chacune des propriétés de la diagonale employées dans la Définition 0ARN est stable par changement de base. Le lemme est donc vrai.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(f : X \to Z\), \(g : Y \to Z\) et \(Z \to T\) des morphismes d’espaces algébriques formels sur \(S\). Considérons le morphisme induit \(i : X \times_Z Y \to X \times_T Y\). Alors

\(i\) est représentable (par des schémas), localement de type fini, localement quasi-fini, séparé et est un monomorphisme ;

si \(Z \to T\) est séparé, alors \(i\) est une immersion fermée ;

si \(Z \to T\) est quasi-séparé, alors \(i\) est quasi-compact.

Démonstration

Par la théorie générale des catégories, le diagramme suivant \[\xymatrix{ X \times_Z Y \ar[r]_i \ar[d] & X \times_T Y \ar[d] \\ Z \ar[r]^-{\Delta_{Z/T}} \ar[r] & Z \times_T Z }\] est un diagramme de produit fibré. Ainsi, \(i\) est le changement de base du morphisme diagonal \(\Delta_{Z/T}\). Le lemme résulte donc du Lemme 0AN2.

Lemme

Tous les axiomes de séparation énumérés dans la Définition 0ARN sont stables par composition des morphismes.

Démonstration

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces algébriques formels auxquels s’applique l’axiome considéré. La diagonale \(\Delta_{X/Z}\) est la composée \[X \longrightarrow X \times_Y X \longrightarrow X \times_Z X.\] Notre axiome de séparation est défini en exigeant que la diagonale possède une certaine propriété \(\mathcal{P}\). D’après le Lemme 0ARQ ci-dessus, nous voyons que la seconde flèche possède aussi cette propriété. Le lemme en résulte, puisque la composée de morphismes (représentables) possédant la propriété \(\mathcal{P}\) possède encore la propriété \(\mathcal{P}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Soit \(\mathcal{P}\) l’un quelconque des axiomes de séparation de la Définition 0ARN. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) ;

pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) ;

pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) ;

pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le produit \(Z \times_Y X\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) comme espace algébrique formel (voir la Définition 0AJ7) ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM, tel que le changement de base \(Y_j \times_Y X \to Y_j\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) pour tout \(j\).

Démonstration

Nous utiliserons à plusieurs reprises le Lemme 0ARP sans autre mention. En particulier, il est clair que (1) implique (2) et que (2) implique (3).

Supposons (3) et soit \(Z \to Y\) un morphisme où \(Z\) est un schéma affine. Soient \(U\), \(V\) des schémas affines et soient \(a : U \to Z \times_Y X\) et \(b : V \to Z \times_Y X\) des morphismes. Alors \[U \times_{Z \times_Y X} V = (Z \times_Y X) \times_{\Delta, (Z \times_Y X) \times_Z (Z \times_Y X)} (U \times_Z V)\] et nous voyons qu’il est quasi-compact si \(\mathcal{P} =\) « quasi-séparé », ou qu’il s’agit d’un schéma affine muni d’une immersion fermée dans \(U \times_Z V\) si \(\mathcal{P} =\) « séparé ». Ainsi, (4) est vérifiée.

Supposons (4) et soit \(Z \to Y\) un morphisme où \(Z\) est un schéma affine. Soient \(U\), \(V\) des schémas affines et soient \(a : U \to Z \times_Y X\) et \(b : V \to Z \times_Y X\) des morphismes. En lisant l’argument précédent à rebours, nous voyons que \(U \times_{Z \times_Y X} V \to U \times_Z V\) est quasi-compact si \(\mathcal{P} =\) « quasi-séparé », ou une immersion fermée si \(\mathcal{P} =\) « séparé ». Puisque nous pouvons choisir \(U\) et \(V\) comme ci-dessus de façon que \(U\) parcoure un recouvrement étale de \(Z \times_Y X\), nous trouvons que les morphismes correspondants \[U \times_Z V \to (Z \times_Y X) \times_Z (Z \times_Y X)\] forment un recouvrement étale par des affines. Nous concluons donc que \(\Delta : (Z \times_Y X) \to (Z \times_Y X) \times_Z (Z \times_Y X)\) est quasi-compact, resp. une immersion fermée. Ainsi, (3) est vérifiée.

Montrons que (3) implique (5). Supposons (3) et soit \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM. Nous devons montrer que les morphismes \[\Delta_j : Y_j \times_Y X \longrightarrow (Y_j \times_Y X) \times_{Y_j} (Y_j \times_Y X) = Y_j \times_Y X \times_Y X\] possèdent la propriété correspondante (c’est-à-dire sont quasi-compacts ou des immersions fermées). Écrivons \(Y_j = \colim Y_{j, \lambda}\) comme dans la Définition 0AI7. En remplaçant \(Y_j\) par \(Y_{j, \lambda}\) dans la formule ci-dessus, nous obtenons la propriété par notre hypothèse (3). Puisque la flèche affichée est la colimite des flèches \(\Delta_{j, \lambda}\) et que nous pouvons vérifier si \(\Delta_j\) possède la propriété correspondante après changement de base par des schémas affines qui s’envoient dans \(Y_j \times_Y X \times_Y X\), nous concluons par le Lemme 0AIA.

Montrons que (5) implique (1). Soit \(\{Y_j \to Y\}\) comme en (5). Nous avons alors le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ \coprod Y_j \times_Y X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \coprod Y_j \times_Y X \times_Y X \ar[r] & X \times_Y X }\] Par hypothèse, la flèche verticale de gauche est quasi-compacte ou une immersion fermée. Il résulte de Espaces, lemme 03KD que la flèche verticale de droite est, elle aussi, quasi-compacte ou une immersion fermée.

Morphismes propres

Voici la définition que nous utiliserons.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : Y \to X\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Nous disons que \(f\) est propre si \(f\) est représentable par des espaces algébriques et est propre au sens de Amorçage, définition 03XZ.

Il résulte des définitions qu’un morphisme propre est de type fini.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est propre ;

pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) est propre ;

pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le changement de base \(Z \times_Y X \to Z\) de \(f\) est propre ;

pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to Y\), le produit \(Z \times_Y X\) est un espace algébrique propre sur \(Z\) ;

il existe un recouvrement \(\{Y_j \to Y\}\) comme dans la Définition 0AIM, tel que le changement de base \(Y_j \times_Y X \to Y_j\) soit propre pour tout \(j\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Les morphismes propres d’espaces algébriques formels sont préservés par changement de base.

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du Lemme 0ART et de la transitivité du changement de base.

Espaces algébriques formels et recouvrements fpqc

Cette section est l’analogue de Propriétés des espaces algébriques, section 03W8. Veuillez lire cette section au préalable.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Alors \(X\) vérifie la propriété de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

La démonstration est identique à celle de Propriétés des espaces algébriques, Proposition 0APL. Puisque \(X\) est un faisceau pour la topologie de Zariski, il suffit de montrer ce qui suit. Étant donné un morphisme plat surjectif entre schémas affines \(f : T' \to T\), on a : \(X(T)\) est l’égalisateur des deux applications \(X(T') \to X(T' \times_T T')\). Voir Topologies, lemme 022H.

Soient \(a, b : T \to X\) deux morphismes tels que \(a \circ f = b \circ f\). Nous devons montrer que \(a = b\). Considérons le produit fibré \[E = X \times_{\Delta_{X/S}, X \times_S X, (a, b)} T.\] Par le Lemme 0AIP, le morphisme \(\Delta_{X/S}\) est un monomorphisme représentable. Ainsi, \(E \to T\) est un monomorphisme de schémas. Notre hypothèse selon laquelle \(a \circ f = b \circ f\) implique que \(T' \to T\) se factorise (uniquement) par \(E\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ T' \times_T E \ar[r] \ar[d] & E \ar[d] \\ T' \ar[r] \ar@/^5ex/[u] \ar[ru] & T }\] Puisque la projection \(T' \times_T E \to T'\) est un monomorphisme muni d’une section, nous en déduisons qu’elle est un isomorphisme. Ainsi, \(E \to T\) est un isomorphisme d’après Descente, lemme 02L4. Cela signifie que \(a = b\), comme souhaité.

Ensuite, soit \(c : T' \to X\) un morphisme tel que les deux composées \(T' \times_T T' \to T' \to X\) coïncident. Nous devons trouver un morphisme \(a : T \to X\) dont la composée avec \(T' \to T\) est \(c\). Choisissons un schéma formel affine \(U\) et un morphisme étale \(U \to X\) tels que l’image de \(|U| \to |X_{red}|\) contienne l’image de \(|c| : |T'| \to |X_{red}|\). C’est possible d’après la Définition 0AIM, Propriétés des espaces algébriques, lemme 03BX, le fait qu’une réunion finie d’espaces algébriques formels affines est un espace algébrique formel affine, et le fait que \(|T'|\) est quasi-compact (petit argument omis). Le morphisme \(U \to X\) est représentable par des schémas (Lemme 0AIG) et séparé (Lemme 0APX). Ainsi, \[V = U \times_{X, c} T' \longrightarrow T'\] est un morphisme étale et séparé de schémas. Il est également surjectif par notre choix de \(U \to X\) (si l’on ne souhaite pas le démontrer, on peut remplacer \(U\) par une réunion disjointe d’espaces algébriques formels affines afin que \(U \to X\) soit surjectif ; tout le reste fonctionne également). Le fait que \(c \circ \text{pr}_0 = c \circ \text{pr}_1\) signifie que nous obtenons une donnée de descente sur \(V/T'/T\) (Descente, définition 023V) car \[\begin{align*} V \times_{T'} (T' \times_T T') & = U \times_{X, c \circ \text{pr}_0} (T' \times_T T') \\ & = (T' \times_T T') \times_{c \circ \text{pr}_1, X} U \\ & = (T' \times_T T') \times_{T'} V \end{align*}\] Le morphisme \(V \to T'\) est ind-quasi-affine d’après Compléments sur les morphismes, lemme 0AP9 (car les morphismes étales sont localement quasi-finis, voir Morphismes, lemme 03WS). D’après More on Groupoïdes, lemme 0APK, la donnée de descente est effective. Soit \(W \to T\) un morphisme tel qu’il existe un isomorphisme \(\alpha : T' \times_T W \to V\) compatible avec la donnée de descente sur \(V\) et la donnée de descente canonique sur \(T' \times_T W\). Alors \(W \to T\) est surjectif et étale (Descente, lemmes 02KV et 02VN). Considérons la composée \[b' : T' \times_T W \longrightarrow V = U \times_{X, c} T' \longrightarrow U\] Les deux composées \(b' \circ (\text{pr}_0, 1), b' \circ (\text{pr}_1, 1) : (T' \times_T T') \times_T W \to T' \times_T W \to U\) coïncident par notre choix de \(\alpha\) et la propriété correspondante de \(c\) (calcul omis). Ainsi, \(b'\) descend en un morphisme \(b : W \to U\) d’après Descente, lemme 023Q. Le diagramme \[\xymatrix{ T' \times_T W \ar[r] \ar[d] & W \ar[r]_b & U \ar[d] \\ T' \ar[rr]^c & & X }\] est commutatif. Cela signifie que nous avons démontré l’existence de \(a\) localement pour la topologie étale sur \(T\), i.e., nous avons un \(a' : W \to X\). Toutefois, puisque nous avons démontré l’unicité dans le premier paragraphe, cette solution locale pour la topologie étale satisfait la condition de recollement, i.e., nous avons \(\text{pr}_0^*a' = \text{pr}_1^*a'\) dans \(X(W \times_T W)\). Puisque \(X\) est un faisceau étale, il existe un unique \(a \in X(T)\) qui se restreint à \(a'\) sur \(W\).

Morphismes issus de schémas formels affines

Nous démontrons quelques résultats qui seront utiles plus tard. Dans l’article [Bhatt-Algebraize], le lecteur trouvera des résultats très généraux de même nature.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(A\) une algèbre topologique faiblement admissible sur \(S\). Soit \(X\) un schéma affine sur \(S\). Alors l’application naturelle \[\Mor_S(\Spec(A), X) \longrightarrow \Mor_S(\text{Spf}(A), X)\] est bijective.

Démonstration

Si \(X\) est affine, disons \(X = \Spec(B)\), il résulte du Lemme 0AN0 que les morphismes \(\text{Spf}(A) \to \Spec(B)\) correspondent aux homomorphismes continus d’algèbres sur \(S\), \(B \to A\), où \(B\) porte la topologie discrète. Ce sont simplement les homomorphismes d’algèbres sur \(S\), qui correspondent aux morphismes \(\Spec(A) \to \Spec(B)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(A\) une algèbre topologique faiblement admissible sur \(S\) telle que \(A/I\) soit un anneau local pour un certain idéal faible de définition \(I \subset A\). Soit \(X\) un schéma sur \(S\). Alors l’application naturelle \[\Mor_S(\Spec(A), X) \longrightarrow \Mor_S(\text{Spf}(A), X)\] est bijective.

Démonstration

Soit \(\varphi : \text{Spf}(A) \to X\) un morphisme. Puisque \(\Spec(A/I)\) est local, nous voyons que \(\varphi\) envoie \(\Spec(A/I)\) dans un ouvert affine \(U \subset X\). Cela implique alors que \(\Spec(A/J)\) s’envoie dans \(U\) pour tout idéal de définition \(J\). Nous pouvons donc appliquer le Lemme 0AQF pour voir que \(\varphi\) provient d’un morphisme \(\Spec(A) \to X\). Cela démontre la surjectivité de l’application. Nous omettons la démonstration de l’injectivité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(R\) une algèbre locale noethérienne complète sur \(S\). Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Alors l’application naturelle \[\Mor_S(\Spec(R), X) \longrightarrow \Mor_S(\text{Spf}(R), X)\] est bijective.

Démonstration

Soit \(\mathfrak m\) l’idéal maximal de \(R\). Nous devons montrer que \[\Mor_S(\Spec(R), X) \longrightarrow \lim \Mor_S(\Spec(R/\mathfrak m^n), X)\] est bijective pour \(R\) comme ci-dessus.

Injectivité : soient \(x, x' : \Spec(R) \to X\) deux morphismes ayant la même image dans le membre de droite. Considérons le produit fibré \[T = \Spec(R) \times_{(x, x'), X \times_S X, \Delta} X\] Alors \(T\) est un schéma et \(T \to \Spec(R)\) est localement de type fini, est un monomorphisme, est séparé et est localement quasi-fini ; voir Morphismes d’espaces algébriques, lemme 03HK. En particulier, \(T\) est localement noethérien ; voir Morphismes, lemme 01T6. Soit \(t \in T\) l’unique point s’envoyant sur le point fermé de \(\Spec(R)\), qui existe puisque \(x\) et \(x'\) coïncident sur \(R/\mathfrak m\). Alors \(R \to \mathcal{O}_{T, t}\) est un homomorphisme local d’anneaux noethériens tel que \(R/\mathfrak m^n \to \mathcal{O}_{T, t}/\mathfrak m^n\mathcal{O}_{T, t}\) est un isomorphisme pour tout \(n\) (car \(x\) et \(x'\) coïncident sur \(\Spec(R/\mathfrak m^n)\) pour tout \(n\)). Puisque \(\mathcal{O}_{T, t}\) s’injecte dans son complété (voir Algèbre, lemme 00IP) nous concluons que \(R = \mathcal{O}_{T, t}\). Ainsi, \(x\) et \(x'\) coïncident sur \(R\).

Surjectivité : soit \((x_n)\) un élément du membre de droite. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Notons \(x_0 : \Spec(k) \to X\) le morphisme induit sur le corps résiduel \(k = R/\mathfrak m\). Le morphisme de schémas \(U \times_{X, x_0} \Spec(k) \to \Spec(k)\) est étale et surjectif. Ainsi, \(U \times_{X, x_0} \Spec(k)\) est une réunion disjointe non vide de spectres d’extensions finies séparables de \(k\) ; voir Morphismes, lemme 02GL. Nous pouvons donc trouver une extension finie séparable \(k'/k\) et un \(k'\)-point \(u_0 : \Spec(k') \to U\) tels que \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[d] \ar[r]_-{u_0} & U \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r]^-{x_0} & X }\] soit commutatif. Soit \(R \subset R'\) une extension étale finie d’anneaux locaux noethériens complets qui induit \(k'/k\) sur les corps résiduels (voir Algèbre, lemmes 04GK et 04GM). Notons \(x'_n\) la restriction de \(x_n\) à \(\Spec(R'/\mathfrak m^nR')\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, lemme 0616 on peut trouver un élément \((u'_n) \in \lim \Mor_S(\Spec(R'/\mathfrak m^nR'), U)\) qui s’envoie sur \((x'_n)\). D’après le Lemme 0AQG, la famille \((u'_n)\) provient d’un unique morphisme \(u' : \Spec(R') \to U\). Notons \(x' : \Spec(R') \to X\) la composée. Remarquons que \(R' \otimes_R R'\) est un produit fini de spectres d’anneaux locaux noethériens complets auxquels notre discussion s’applique. Ainsi, le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(R' \otimes_R R') \ar[r] \ar[d] & \Spec(R') \ar[d]^{x'} \\ \Spec(R') \ar[r]^{x'} & X }\] est commutatif par l’injectivité démontrée ci-dessus et le fait que \(x'_n\) est la restriction de \(x_n\), qui est défini sur \(R/\mathfrak m^n\). Puisque \(\{\Spec(R') \to \Spec(R)\}\) est un recouvrement fppf, nous concluons que \(x'\) descend en un morphisme \(x : \Spec(R) \to X\). Nous omettons la démonstration du fait que \(x_n\) est la restriction de \(x\) à \(\Spec(R/\mathfrak m^n)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) un sous-ensemble fermé tel que \(X \setminus T \to X\) soit quasi-compact. Soit \(R\) une algèbre locale noethérienne complète sur \(S\). Alors un morphisme adique \(p : \text{Spf}(R) \to X_{/T}\) correspond à un unique morphisme \(g : \Spec(R) \to X\) tel que \(g^{-1}(T) = \{\mathfrak m_R\}\).

Démonstration

L’énoncé a un sens parce que \(X_{/T}\) est adique* d’après le Lemme 0AQ1 (et que nous sommes donc autorisés à employer le terme adique pour les morphismes ; voir la Définition 0AQ3). Soit \(p\) donné. D’après le Lemme 0AQH, nous obtenons un unique morphisme \(g : \Spec(R) \to X\) correspondant à la composée \(\text{Spf}(R) \to X_{/T} \to X\). Soit \(Z \subset X\) le sous-espace fermé induit réduit de support \(T\). Le morphisme d’inclusion \(Z \to X\) correspond à un morphisme \(Z \to X_{/T}\). Puisque \(p\) est adique, il est représentable par des espaces algébriques et nous obtenons \[\text{Spf}(R) \times_{X_{/T}} Z = \text{Spf}(R) \times_X Z\] est un espace algébrique muni d’une immersion fermée dans \(\text{Spf}(R)\). (L’égalité vaut parce que \(X_{/T} \to X\) est un monomorphisme.) Ainsi, ce produit fibré est égal à \(\Spec(R/J)\) pour un certain idéal \(J \subset R\) qui contient \(\mathfrak m_R^{n_0}\) pour un certain \(n_0 \geq 1\). Cela implique que \(\Spec(R) \times_X Z\) est un sous-schéma fermé de \(\Spec(R)\), disons \(\Spec(R) \times_X Z = \Spec(R/I)\), dont l’intersection avec \(\Spec(R/\mathfrak m_R^n)\) pour \(n \geq n_0\) est égale à \(\Spec(R/J)\). En termes algébriques, cela signifie que \(I + \mathfrak m_R^n = J + \mathfrak m_R^n = J\) pour tout \(n \geq n_0\). D’après le théorème d’intersection de Krull, cela implique que \(I = J\), ce qui conclut.

Le petit site étale d’un espace algébrique formel

La motivation de la définition suivante vient des schémas formels classiques : l’espace topologique sous-jacent d’un schéma formel \((\mathfrak X, \mathcal{O}_\mathfrak X)\) est l’espace topologique sous-jacent de la réduction \(\mathfrak X_{red}\).

Une remarque importante est la suivante. Supposons que \(X\) soit un espace algébrique de réduction \(X_{red}\) (Propriétés des espaces algébriques, définition 047X). Alors nous avons \[X_{spaces, \etale} = X_{red, spaces, \etale},\quad X_\etale = X_{red, \etale},\quad X_{affine, \etale} = X_{red, affine, \etale}\] d’après Compléments sur les morphismes d’espaces algébriques, théorème 05ZH et lemme 07VW. Par conséquent, la définition suivante n’entre pas en conflit avec la notion existante lorsque notre espace algébrique formel se trouve être un espace algébrique.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel de réduction \(X_{red}\) (Lemme 0AIN).

Le petit site étale \(X_\etale\) de \(X\) est le site \(X_{red, \etale}\) de Propriétés des espaces algébriques, définition 03ED.

Le site \(X_{spaces, \etale}\) est le site \(X_{red, spaces, \etale}\) de Propriétés des espaces algébriques, définition 03G0.

Le site \(X_{affine, \etale}\) est le site \(X_{red, affine, \etale}\) de Propriétés des espaces algébriques, lemme 04JS.

Dans le Lemme 0DEG, nous verrons que \(X_{spaces, \etale}\) peut se décrire au moyen de morphismes d’espaces algébriques formels qui sont représentables par des espaces algébriques et étales. D’après Propriétés des espaces algébriques, lemmes 03G1 et 04JS nous avons les identifications [0DEB]\[\begin{equation} \Sh(X_\etale) = \Sh(X_{spaces, \etale}) = \Sh(X_{affine, \etale}) \end{equation}\] Nous appellerons cela le (petit) topos étale de \(X\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\).

Il existe un foncteur continu \(Y_{spaces, \etale} \to X_{spaces, \etale}\) qui induit un morphisme de sites \[f_{spaces, \etale} : X_{spaces, \etale} \to Y_{spaces, \etale}.\]

La règle \(f \mapsto f_{spaces, \etale}\) est compatible avec les compositions, autrement dit \((f \circ g)_{spaces, \etale} = f_{spaces, \etale} \circ g_{spaces, \etale}\) (voir Sites, définition 03CC).

Le morphisme de topos associé à \(f_{spaces, \etale}\) induit, via (0DEB), un morphisme de topos \(f_{small} : \Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) dont la construction est compatible aux compositions.

Démonstration

Le seul point est que \(f\) induit un morphisme des réductions \(X_{red} \to Y_{red}\) d’après le Lemme 0AIN. Ce lemme résulte donc immédiatement du lemme correspondant pour les morphismes d’espaces algébriques (Propriétés des espaces algébriques, lemme 03G2).

Si le morphisme d’espaces algébriques formels \(X \to Y\) est étale, alors le morphisme de topos \(\Sh(X_\etale) \to \Sh(Y_\etale)\) est une localisation. Voici un énoncé.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Supposons \(f\) représentable par des espaces algébriques et étale. Dans ce cas, il existe un foncteur cocontinu \(j : X_\etale \to Y_\etale\). Le morphisme de topos \(f_{small}\) est le morphisme de topos associé à \(j\) ; voir Sites, lemme 00XO. De plus, \(j\) est également continu ; ainsi, Sites, lemme 00XR s’applique.

Démonstration

Cela résultera immédiatement du cas des espaces algébriques (Propriétés des espaces algébriques, lemme 03LP) si nous pouvons montrer que le morphisme induit \(X_{red} \to Y_{red}\) est étale. Remarquons que \(X \times_Y Y_{red}\) est un espace algébrique, étale sur l’espace algébrique réduit \(Y_{red}\), et donc lui-même réduit (d’après notre définition des espaces algébriques réduits dans Propriétés des espaces algébriques, section 03E5). Ainsi, \(X_{red} = X \times_Y Y_{red}\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel affine sur \(S\). Alors \(X_{affine, \etale}\) est équivalent à la catégorie dont les objets sont les morphismes \(\varphi : U \to X\) d’espaces algébriques formels tels que

\(U\) est un espace algébrique formel affine,

\(\varphi\) est représentable par des espaces algébriques et étale.

Démonstration

Notons \(\mathcal{C}\) la catégorie introduite dans le lemme. Remarquons que, pour \(\varphi : U \to X\) dans \(\mathcal{C}\), le morphisme \(\varphi\) est représentable (par des schémas) et affine ; voir le Lemme 0AKN. Rappelons que \(X_{affine, \etale} = X_{red, affine, \etale}\). Nous pouvons donc définir un foncteur \[\mathcal{C} \longrightarrow X_{affine, \etale},\quad (U \to X) \longmapsto U \times_X X_{red}\] car \(U \times_X X_{red}\) est un schéma affine.

Pour achever la démonstration, nous allons construire un foncteur quasi-inverse. À savoir, écrivons \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la Définition 0AI7. Pour chaque \(\lambda\), l’inclusion \(X_{red} \subset X_\lambda\) est un épaississement. Ainsi, pour tout \(\lambda\), nous avons une équivalence \[X_{red, affine, \etale} = X_{\lambda, affine, \etale}\] par exemple d’après Compléments d’algèbre, lemme 0ALI. Ainsi, si \(U_{red} \to X_{red}\) est un morphisme étale avec \(U_{red}\) affine, nous obtenons un système de morphismes étales \(U_\lambda \to X_\lambda\) de schémas affines compatibles aux morphismes de transition du système qui définit \(X\). Nous pouvons donc prendre \[U = \colim U_\lambda\] comme espace algébrique formel affine sur \(X\). La construction donne \(U \times_X X_\lambda = U_\lambda\). Cela montre que \(U \to X\) est représentable et étale. Nous omettons la vérification du fait que les constructions sont mutuellement inverses.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel affine sur \(S\). Supposons que \(X\) soit de McQuillan, i.e., égal à \(\text{Spf}(A)\) pour une certaine algèbre topologique faiblement admissible sur \(S\), notée \(A\). Alors \((X_{affine, \etale})^{opp}\) est équivalent à la catégorie suivante :

ses objets sont les \(A\)-algèbres de la forme \(B^\wedge = \lim B/JB\), où \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux étale et \(J\) parcourt les idéaux faibles de définition de \(A\), et

ses morphismes sont les homomorphismes continus de \(A\)-algèbres.

Démonstration

Combiner les Lemmes 0DEE et 0AN8.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Alors \(X_{spaces, \etale}\) est équivalent à la catégorie dont les objets sont les morphismes \(\varphi : U \to X\) d’espaces algébriques formels tels que \(\varphi\) soit représentable par des espaces algébriques et étale.

Démonstration

Notons \(\mathcal{C}\) la catégorie introduite dans le lemme. Rappelons que \(X_{spaces, \etale} = X_{red, spaces, \etale}\). Nous pouvons donc définir un foncteur \[\mathcal{C} \longrightarrow X_{spaces, \etale},\quad (U \to X) \longmapsto U \times_X X_{red}\] car \(U \times_X X_{red}\) est un espace algébrique étale sur \(X_{red}\).

Pour achever la démonstration, nous allons construire un foncteur quasi-inverse. Choisissons un objet \(\psi : V \to X_{red}\) de \(X_{red, spaces, \etale}\). Considérons le foncteur \(U_{V, \psi} : (\Sch/S)_{fppf} \to \textit{Ensembles}\) donné par \[U_{V, \psi}(T) = \{(a, b) \mid a : T \to X, \ b : T \times_{a, X} X_{red} \to V, \ \psi \circ b = a|_{T \times_{a, X} X_{red}}\}\] Nous affirmons que la transformation \(U_{V, \psi} \to X\), \((a, b) \mapsto a\) définit un objet de la catégorie \(\mathcal{C}\). Montrons d’abord que \(U_{V, \psi}\) est un espace algébrique formel. Remarquons que \(U_{V, \psi}\) est un faisceau pour la topologie fppf (certains détails sont omis). Supposons ensuite que \(X_i \to X\) soit un recouvrement étale par des espaces algébriques formels affines comme dans la Définition 0AIM. Posons \(V_i = V \times_{X_{red}} X_{i, red}\) et notons \(\psi_i : V_i \to X_{i, red}\) la projection. Alors nous avons \[U_{V, \psi} \times_X X_i = U_{V_i, \psi_i}\] par un argument formel, car \(X_{i, red} = X_i \times_X X_{red}\) (puisque \(X_i \to X\) est représentable par des espaces algébriques et étale). Il suffit donc de montrer que \(U_{V_i, \psi_i}\) est un espace algébrique formel affine, car nous disposerons alors d’un recouvrement \(U_{V_i, \psi_i} \to U_{V, \psi}\) comme dans la Définition 0AIM. D’autre part, nous avons vu dans la démonstration du Lemme 0DED que \(\psi_i : V_i \to X_i\) est le changement de base d’un morphisme représentable et étale \(U_i \to X_i\) d’espaces algébriques formels affines. Il n’est alors pas difficile de voir que \(U_i = U_{V_i, \psi_i}\), comme souhaité.

Nous omettons la vérification du fait que \(U_{V, \psi} \to X\) est représentable par des espaces algébriques et étale. Nous obtenons ainsi notre foncteur \((V, \psi) \mapsto (U_{V, \psi} \to X)\) dans l’autre sens. Nous omettons la vérification du fait que les constructions sont mutuellement inverses.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Alors \(X_{affine, \etale}\) est équivalent à la catégorie dont les objets sont les morphismes \(\varphi : U \to X\) d’espaces algébriques formels tels que

\(U\) est un espace algébrique formel affine,

\(\varphi\) est représentable par des espaces algébriques et étale.

Démonstration

Cela résulte de la combinaison des Lemmes 0DEG et 0DE8.

Le faisceau structural

Comme dans la section 0DE9, la discussion de la présente section est motivée par les schémas formels classiques. Ceux-ci sont définis comme des couples \((\mathfrak X, \mathcal{O}_\mathfrak X)\) où \(\mathcal{O}_\mathfrak X\) est un faisceau d’anneaux topologiques.

Soit \(X\) un espace algébrique formel. Un faisceau structural de \(X\) est un faisceau d’anneaux topologiques \(\mathcal{O}_X\) sur le site étale \(X_\etale\) (défini dans la section 0DE9) tel que \[\mathcal{O}_X(U_{red}) = \lim \Gamma(U_\lambda, \mathcal{O}_{U_\lambda})\] comme anneaux topologiques chaque fois que

\(\varphi : U \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques formels,
\(U\) est un espace algébrique formel affine,
\(\varphi\) est représentable par des espaces algébriques et étale,
\(U_{red} \to X_{red}\) est l’objet affine correspondant de \(X_\etale\), voir le lemme 0DEH,
\(U = \colim U_\lambda\) est une présentation de \(U\) comme limite inductive au sens de la définition 0AI7.

Les faisceaux structuraux existent, mais peuvent se comporter de façon inattendue.

Lemme

Tout espace algébrique formel possède un faisceau structural.

Démonstration

Soient \(S\) un schéma et \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). D’après (0DEB), il suffit de construire \(\mathcal{O}_X\) comme faisceau d’anneaux topologiques sur \(X_{affine, \etale}\). Notons \(\mathcal{C}\) la catégorie dont les objets sont les morphismes \(\varphi : U \to X\) d’espaces algébriques formels tels que \(U\) soit un espace algébrique formel affine et que \(\varphi\) soit représentable par des espaces algébriques et étale. D’après le lemme 0DEH, le foncteur \(U \mapsto U_{red}\) est une équivalence de catégories \(\mathcal{C} \to X_{affine, \etale}\). La règle donnée avant le lemme fournit donc déjà \(\mathcal{O}_X\) comme préfaisceau d’anneaux topologiques sur \(X_{affine, \etale}\). Il suffit ainsi de vérifier la condition de faisceau.

Par définition de \(X_{affine, \etale}\), un recouvrement correspond à une famille finie \(\{g_i : U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) de morphismes de \(\mathcal{C}\) telle que \(\{U_{i, red} \to U_{red}\}\) soit un recouvrement étale. Les morphismes \(g_i\) sont représentables par des espaces algébriques (lemme 0AQ0), donc affines (lemme 0AKN). Ensuite, \(g_i\) est étale (cela résulte formellement du lemme 03FV de Propriétés des espaces algébriques, puisque \(U_i\) et \(U\) sont étales sur \(X\) au sens de la section 046E de Amorçage). Enfin, écrivons \(U = \colim U_\lambda\) comme dans la définition 0AI7.

Ces préparatifs étant faits, démontrons la propriété de faisceau comme suit. Pour chaque \(\lambda\), posons \(U_{i, \lambda} = U_i \times_U U_\lambda\) et \(U_{ij, \lambda} = (U_i \times_U U_j) \times_U U_\lambda\). Selon ce qui précède, ce sont des schémas affines, \(\{U_{i, \lambda} \to U_\lambda\}\) est un recouvrement étale, et \(U_{ij, \lambda} = U_{i, \lambda} \times_{U_\lambda} U_{j, \lambda}\). De plus, \(U_i = \colim U_{i, \lambda}\) et \(U_i \times_U U_j = \colim U_{ij, \lambda}\). Pour chaque \(\lambda\), on a une suite exacte \[0 \to \Gamma(U_\lambda, \mathcal{O}_{U_\lambda}) \to \prod\nolimits_i \Gamma(U_{i, \lambda}, \mathcal{O}_{U_{i, \lambda}}) \to \prod\nolimits_{i, j} \Gamma(U_{ij, \lambda}, \mathcal{O}_{U_{ij, \lambda}})\] car le faisceau structural sur \(U_\lambda\) vérifie la condition de faisceau pour la topologie étale (voir la proposition de Cohomologie étale 03OG). Comme les limites commutent aux limites, la limite projective de ces suites exactes est une suite exacte \[0 \to \lim \Gamma(U_\lambda, \mathcal{O}_{U_\lambda}) \to \prod\nolimits_i \lim \Gamma(U_{i, \lambda}, \mathcal{O}_{U_{i, \lambda}}) \to \prod\nolimits_{i, j} \lim \Gamma(U_{ij, \lambda}, \mathcal{O}_{U_{ij, \lambda}})\] Cela signifie que \[0 \to \mathcal{O}_X(U_{red}) \to \prod\nolimits_i \mathcal{O}_X(U_{i, red}) \to \prod\nolimits_{i, j} \mathcal{O}_X((U_i \times_U U_j)_{red})\] est exacte en tant que suite de groupes abéliens. Il reste à montrer que la topologie limite sur \(\mathcal{O}_X(U_{red})\) est induite par la topologie limite sur \(\prod_{i = 1, \ldots, n} \mathcal{O}_X(U_{i, red})\). Les noyaux des applications \(\mathcal{O}_X(U_{red}) \to \mathcal{O}_{U_\lambda}(U_\lambda)\) forment un système fondamental de sous-modules ouverts. Comme ils sont les images réciproques des noyaux des applications \(\prod_i \mathcal{O}_X(U_{i, red}) \to \prod_i \mathcal{O}_{U_{i, \lambda}}(U_{i, \lambda})\) et que ces noyaux forment un système fondamental de sous-modules ouverts pour \(\mathcal{O}_X(U_{red}) \to \mathcal{O}_{U_\lambda}(U_\lambda)\), le résultat est acquis.

Remarque

Le faisceau structural ne possède pas toujours « assez de sections ». Dans la section 0ANY de Exemples, nous avons vu qu’il existe des espaces algébriques formels affines qui ne sont pas de McQuillan, et même des exemples dont les points ne sont pas séparés par les fonctions régulières.

Dans le lemme suivant, nous montrons que le faisceau structural d’un schéma formel affine à indexation dénombrable a une cohomologie supérieure nulle. Sans l’hypothèse d’indexation dénombrable, ce résultat est sans doute faux en général.

Lemme

Si \(X\) est un espace algébrique formel affine à indexation dénombrable, alors \(H^n(X_\etale, \mathcal{O}_X) = 0\) pour \(n > 0\).

Démonstration

Nous pouvons travailler avec \(X_{affine, \etale}\), puisque celui-ci donne le même topos. Nous allons appliquer le lemme 03F9 de Cohomologie sur les sites pour établir cette annulation. Comme \(X_{affine, \etale}\) possède les sommes disjointes finies, on est ramené au complexe de Čech d’un recouvrement donné par une seule flèche \(\{U_{red} \to V_{red}\}\) dans \(X_{affine, \etale} = X_{red, affine, \etale}\) (voir Cohomologie étale, lemme 03OZ). Il faut donc montrer que \[0 \to \mathcal{O}_X(V_{red}) \to \mathcal{O}_X(U_{red}) \to \mathcal{O}_X(U_{red} \times_{V_{red}} U_{red}) \to \ldots\] est exacte. Nous le ferons ci-dessous dans le cas \(V_{red} = X_{red}\). Le cas général se démontre exactement de la même manière.

Rappelons que \(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) est un anneau topologique faiblement admissible possédant un système fondamental dénombrable d’idéaux faibles de définition. Nous avons vu dans les lemmes 0DEE et 0DEF que l’objet \(U_{red}\) de \(X_{affine, \etale}\) correspond à un morphisme \(U \to X\) d’espaces algébriques formels affines, représentable par des espaces algébriques et étale, et que \(U = \text{Spf}(B^\wedge)\), où \(B\) est une \(A\)-algèbre étale. La règle définissant le faisceau structural donne \[\mathcal{O}_X(U_{red}) = B^\wedge\] Rappelons que \(B^\wedge = \lim B/JB\), où la limite porte sur les idéaux faibles de définition \(J \subset A\). En développant les définitions, on obtient \[\mathcal{O}_X(U_{red} \times_{X_{red}} U_{red}) = (B \otimes_A B)^\wedge\] et ainsi de suite. Puisque \(U \to X\) est un recouvrement, l’application \(A \to B\) est fidèlement plate, voir le lemme 0AN9. Le complexe \[0 \to A \to B \to B \otimes_A B \to B \otimes_A B \otimes_A B \to \ldots\] est donc universellement exact, voir le lemme 023M de Descente. Notre but est de montrer que \[H^n(0 \to A^\wedge \to B^\wedge \to (B \otimes_A B)^\wedge \to (B \otimes_A B \otimes_A B)^\wedge \to \ldots)\] est nul pour \(n > 0\). Pour comprendre la situation, décomposons notre complexe exact (avant passage au complété) en suites exactes courtes \[0 \to A \to B \to M_1 \to 0,\quad 0 \to M_i \to B^{\otimes_A i + 1} \to M_{i + 1} \to 0\] D’après ce qui précède, ce sont des suites exactes courtes universellement exactes. Ainsi \(JM_i = M_i \cap J(B^{\otimes_A i + 1})\) pour tout idéal \(J\) de \(A\). En particulier, la topologie de \(M_i\) comme sous-module de \(B^{\otimes_A i + 1}\) est identique à celle de \(M_i\) comme module quotient de \(B^{\otimes_A i}\). Comme il existe dans \(A\) un système fondamental dénombrable d’idéaux faibles de définition, les suites \[0 \to A^\wedge \to B^\wedge \to M_1^\wedge \to 0,\quad 0 \to M_i^\wedge \to (B^{\otimes_A i + 1})^\wedge \to M_{i + 1}^\wedge \to 0\] restent exactes d’après le lemme 0AS0. Cela démontre le lemme.

Remarque

Même si le faisceau structural possède de bonnes propriétés, cela ne signifie pas qu’il existe une bonne théorie des modules quasi-cohérents. Par exemple, dans la section 0ALF de Exemples, nous avons vu que, pour presque tout espace algébrique formel affine noethérien, la notion la plus naturelle de module quasi-cohérent conduit à une catégorie de modules qui n’est pas abélienne.

Limites inductives d’espaces algébriques formels

Dans cette section, nous généralisons le résultat de la section 0AIT au cas des systèmes de morphismes d’espaces algébriques formels. Remarquons que, dans les lemmes ci-dessous, la condition « \(f_{\lambda \mu} : X_\lambda \to X_\mu\) est une immersion fermée induisant un isomorphisme \(X_{\lambda, red} \to X_{\mu, red}\) » peut se reformuler ainsi : « \(f_{\lambda \mu}\) est représentable et est un épaississement ».

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Donnons-nous un ensemble ordonné filtrant \(\Lambda\) et un système d’espaces algébriques formels affines \((X_\lambda, f_{\lambda \mu})\) indexé par \(\Lambda\), où chaque \(f_{\lambda \mu} : X_\lambda \to X_\mu\) est une immersion fermée induisant un isomorphisme \(X_{\lambda, red} \to X_{\mu, red}\). Alors \(X = \colim_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda\) est un espace algébrique formel affine sur \(S\).

Démonstration

On peut écrire \(X_\lambda = \colim_{\omega \in \Omega_\lambda} X_{\lambda, \omega}\) comme limite inductive de schémas affines indexée par un ensemble ordonné filtrant \(\Omega_\lambda\), de telle sorte que les morphismes de transition \(X_{\lambda, \omega} \to X_{\lambda, \omega'}\) soient des épaississements. Pour tous \(\lambda, \mu \in \Lambda\) et \(\omega \in \Omega_\lambda\), avec \(\mu \geq \lambda\), il existe un \(\omega' \in \Omega_\mu\) tel que le morphisme \(X_{\lambda, \omega} \to X_\mu\) se factorise par \(X_{\mu, \omega'}\), voir le lemme 0AIA. Le morphisme \(X_{\lambda, \omega} \to X_{\mu, \omega'}\) est alors une immersion fermée induisant un isomorphisme sur les réductions, donc un épaississement. Posons \(\Omega = \coprod_{\lambda \in \Lambda} \Omega_\lambda\) et convenons que \((\lambda, \omega) \leq (\mu, \omega')\) si et seulement si \(\lambda \leq \mu\) et si \(X_{\lambda, \omega} \to X_\mu\) se factorise par \(X_{\mu, \omega'}\). Il résulte de ce qui précède que \(\Omega\) est un ensemble ordonné filtrant et que \(X = \colim_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \colim_{(\lambda, \omega) \in \Omega} X_{\lambda, \omega}\). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Donnons-nous un ensemble ordonné filtrant \(\Lambda\) et un système d’espaces algébriques formels \((X_\lambda, f_{\lambda \mu})\) indexé par \(\Lambda\), où chaque \(f_{\lambda \mu} : X_\lambda \to X_\mu\) est une immersion fermée induisant un isomorphisme \(X_{\lambda, red} \to X_{\mu, red}\). Alors \(X = \colim_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda\) est un espace algébrique formel sur \(S\).

Démonstration

Comme la limite inductive est prise dans la catégorie des faisceaux fppf, \(X\) est un faisceau. Choisissons et fixons \(\lambda \in \Lambda\). Choisissons un recouvrement \(\{X_{i, \lambda} \to X_\lambda\}\) comme dans la définition 0AIM. En particulier, En particulier, \(\{X_{i, \lambda, red} \to X_{\lambda, red}\}\) est un recouvrement étale par des schémas affines. Pour chaque \(\mu \geq \lambda\), il existe un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X_{i, \lambda} \ar[r] \ar[d] & X_{i, \mu} \ar[d] \\ X_\lambda \ar[r] & X_\mu }\] dont les flèches verticales sont étales. En effet, le morphisme étale \(X_{i, \lambda, red} \to X_{\lambda, red} = X_{\mu, red}\) correspond à un morphisme étale \(X_{i, \mu} \to X_\mu\) d’espaces algébriques formels, où \(X_{i, \mu}\) est un espace algébrique formel affine, voir le lemme 0DEE. Le même lemme montre que le changement de base de \(X_{i, \mu}\) à \(X_\lambda\) coïncide avec \(X_{i, \lambda}\). Il en résulte aussi que \(X_{i, \mu} = X_\mu \times_{X_{\mu'}} X_{i, \mu'}\) pour \(\mu' \geq \mu \geq \lambda\). Posons \(X_i = \colim X_{i, \mu}\). Alors \(X_{i, \mu} = X_i \times_X X_\mu\) (comme foncteurs). Comme tout morphisme \(T \to X = \colim X_\mu\) issu d’un schéma affine (ou quasi-compact) \(T\) se factorise par \(X_\mu\) pour un certain \(\mu\), on conclut que \(\colim X_{i, \mu} \to \colim X_\mu\) est étale. Ainsi, s’il est possible de montrer que \(\colim X_{i, \mu}\) est un espace algébrique formel affine, le lemme en résultera. Notons que les morphismes \(X_{i, \mu} \to X_{i, \mu'}\) sont des immersions fermées, car ils s’obtiennent par changement de base de l’immersion fermée \(X_\mu \to X_{\mu'}\). Enfin, le morphisme \(X_{i, \mu, red} \to X_{i, \mu', red}\) est un isomorphisme, puisque \(X_{\mu, red} \to X_{\mu', red}\) en est un. On est donc ramené au cas traité dans le lemme 0GVM.

Recomplétion

Dans cette section, nous définissons le complété d’un espace algébrique formel le long d’une partie fermée de sa réduction. C’est la généralisation naturelle de la section 0AIX.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel affine sur \(S\). Soit \(T \subset |X_{red}|\) une partie fermée. Alors le foncteur \[X_{/T} : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad U \longmapsto \{f : U \to X : f(|U|) \subset T\}\] est un espace algébrique formel affine.

Démonstration

Écrivons \(X = \colim X_\lambda\) comme dans la définition 0AI7. Alors \(X_{\lambda, red} = X_{red}\) et nous considérons \(T\) comme une partie fermée de \(|X_\lambda| = |X_{\lambda, red}|\). D’après le lemme 0AIY, pour chaque \(\lambda\), le complété \((X_\lambda)_{/T}\) est un espace algébrique formel affine. Les morphismes de transition \((X_\lambda)_{/T} \to (X_\mu)_{/T}\) sont des immersions fermées, car ils s’obtiennent par changement de base des morphismes de transition \(X_\lambda \to X_\mu\), voir le lemme 0APV. De plus, les morphismes \(((X_\lambda)_{/T})_{red} \to ((X_\mu)_/T)_{red}\) sont des isomorphismes d’après le lemme 0GB9. Comme \(X_{/T} = \colim (X_\lambda)_{/T}\), on conclut par le lemme 0GVM.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Soit \(T \subset |X_{red}|\) une partie fermée. Alors le foncteur \[X_{/T} : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad U \longmapsto \{f : U \to X \mid f(|U|) \subset T\}\] est un espace algébrique formel.

Démonstration

Le foncteur \(X_{/T}\) est un faisceau fppf, car si \(\{U_i \to U\}\) est un recouvrement fppf, alors \(\coprod |U_i| \to |U|\) est surjectif.

Choisissons un recouvrement \(\{g_i : X_i \to X\}_{i \in I}\) comme dans la définition 0AIM. Les morphismes \(X_i \times_X X_{/T} \to X_{/T}\) sont étales (voir le lemme de Espaces 02WL) et l’application \(\coprod X_i \times_X X_{/T} \to X_{/T}\) est une surjection de faisceaux. Il suffit donc de montrer que \(X_{/T} \times_X X_i\) est un espace algébrique formel affine. Un point à valeurs dans \(U\) de \(X_i \times_X X_{/T}\) est un morphisme \(U \to X_i\) dont l’image est contenue dans la partie fermée \(|g_{i, red}|^{-1}(T) \subset |X_{i, red}|\). Cela résulte donc du lemme 0GVQ.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Soit \(T \subset |X_{red}|\) une partie fermée. L’espace algébrique formel \(X_{/T}\) du lemme 0AIZ est appelé le complété de \(X\) le long de \(T\).

Soit \(f : X \to X'\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur un schéma \(S\). Supposons que \(T \subset |X_{red}|\) et \(T' \subset |X'_{red}|\) soient des parties fermées telles que \(|f_{red}|(T) \subset T'\). Il est alors clair que \(f\) définit un morphisme d’espaces algébriques formels \[X_{/T} \longrightarrow X'_{/T'}\] entre les complétés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques formels sur \(S\). Soit \(T \subset |X_{red}|\) une partie fermée et soit \(T' = |f_{red}|^{-1}(T) \subset |X'_{red}|\). Alors \[\xymatrix{ X'_{/T'} \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]^f \\ X_{/T} \ar[r] & X }\] est un diagramme cartésien d’espaces algébriques formels sur \(S\).

Démonstration

Observons en effet que les flèches horizontales sont des monomorphismes par construction. Il suffit donc de montrer qu’un morphisme \(g : U \to X'\) issu d’un schéma \(U\) définit un point de \(X'_{/T}\) si et seulement si \(f \circ g\) définit un point de \(X_{/T}\). Autrement dit, il faut montrer que \(g(U)\) est contenu dans \(T' \subset |X'_{red}|\) si et seulement si \((f \circ g)(U)\) est contenu dans \(T \subset |X_{red}|\). Cela résulte immédiatement du choix de \(T'\) comme image réciproque de \(T\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Soit \(T \subset |X_{red}|\) une partie fermée. La réduction \((X_{/T})_{red}\) du complété \(X_{/T}\) de \(X\) le long de \(T\) est le sous-espace fermé induit réduit \(Z\) de \(X_{red}\) correspondant à \(T\).

Démonstration

Il résulte du lemme 0AIN, de la définition de Propriétés des espaces algébriques 047X (qui utilise le lemme de Propriétés des espaces algébriques 03IQ pour construire \(Z\)), et de la définition de \(X_{/T}\) que \(Z\) et \((X_{/T})_{red}\) sont des espaces algébriques réduits caractérisés par la même propriété universelle : un morphisme \(g : Y \to X\) dont la source est un espace algébrique réduit se factorise par eux si et seulement si \(|Y|\) s’envoie dans \(T \subset |X|\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel affine sur \(S\). Soit \(T \subset X_{red}\) une partie fermée et soit \(X_{/T}\) le complété formel de \(X\) le long de \(T\). Alors

\(X_{/T}\) est un espace algébrique formel affine,

si \(X\) est de McQuillan, alors \(X_{/T}\) est de McQuillan,

si \(|X_{red}| \setminus T\) est quasi-compact et si \(X\) est à indexation dénombrable, alors \(X_{/T}\) est à indexation dénombrable,

si \(|X_{red}| \setminus T\) est quasi-compact et si \(X\) est adique*, alors \(X_{/T}\) est adique*,

si \(X\) est noethérien, alors \(X_{/T}\) est noethérien.

Démonstration

L’assertion (1) est le lemme 0GVQ. Si \(X\) est de McQuillan, alors \(X = \text{Spf}(A)\) pour un anneau topologique faiblement admissible \(A\). Alors \(X_{/T} \to X \to \Spec(A)\) vérifie la propriété (2) du lemme 0AIC ; par conséquent, \(X_{/T}\) est de McQuillan, voir la définition 0AID.

Supposons \(X\) et \(T\) comme dans (3). Alors \(X = \text{Spf}(A)\), où \(A\) possède un système fondamental \(A \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots\) constitué d’idéaux faibles de définition, voir le lemme 0AN1. D’après le lemme 00F6 de Algèbre, on peut trouver un idéal de type fini \(\overline{J} = (\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_r) \subset A/I_1\) tel que \(T\) soit défini par \(\overline{J}\) dans \(\Spec(A/I_1) = |X_{red}|\). Choisissons des relèvements \(f_i \in A\) de \(\overline{f}_i\). Si \(Z = \Spec(B)\) est un schéma affine et si \(g : Z \to X\) est un morphisme tel que \(g(Z) \subset T\) (au sens ensembliste), alors \(g^\sharp : A \to B\) se factorise par \(A/I_n\) pour un certain \(n\) et \(g^\sharp(f_i)\) est nilpotent dans \(B\) pour tout \(i\). Ainsi, \(J_{m, n} = (f_1, \ldots, f_r)^m + I_n\) s’envoie sur zéro dans \(B\) pour certains \(n, m \geq 1\). Il en résulte que \(X_{/T}\) est le spectre formel de \(\lim_{n, m} A/J_{m, n}\) et est donc à indexation dénombrable. Cela démontre (3).

Démonstration de (4). L’argument est le même que dans (3). Toutefois, on peut ici choisir \(I_n = I^n\) pour un idéal de type fini \(I \subset A\). Il est alors clair que \(X_{/T}\) est le spectre formel de \(\lim A/J^n\), où \(J = (f_1, \ldots, f_r) + I\). Quelques détails sont omis.

Démonstration de (5). Dans ce cas, \(X_{red}\) est le spectre d’un anneau noethérien et l’hypothèse que \(|X_{red}| \setminus T\) est quasi-compact est donc satisfaite. Comme dans la démonstration de (4), on voit alors que \(X_{/T}\) est le spectre de \(\lim A/J^n\), qui est un anneau topologique adique noethérien, voir le lemme 0316 de Algèbre.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique formel sur \(S\). Soit \(T \subset X_{red}\) une partie fermée et soit \(X_{/T}\) le complété formel de \(X\) le long de \(T\). Alors

si \(X_{red} \setminus T \to X_{red}\) est quasi-compact et si \(X\) est localement à indexation dénombrable, alors \(X_{/T}\) l’est aussi,

si \(X_{red} \setminus T \to X_{red}\) est quasi-compact et si \(X\) est localement adique*, alors \(X_{/T}\) l’est aussi, et

si \(X\) est localement noethérien, alors \(X_{/T}\) l’est aussi.

Démonstration

Choisissons un recouvrement \(\{X_i \to X\}\) comme dans la définition 0AIM. Soit \(T_i \subset X_{i, red}\) l’image réciproque de \(T\). On a \(X_i \times_X X_{/T} = (X_i)_{/T_i}\) (lemme 0GVT). Ainsi, \(\{(X_i)_{/T_i} \to X_{/T}\}\) est un recouvrement comme dans la définition 0AIM. De plus, si \(X_{red} \setminus T \to X_{red}\) est quasi-compact, alors \(X_{i, red} \setminus T_i \to X_{i, red}\) l’est aussi ; et si \(X\) est localement à indexation dénombrable, localement adique* ou localement noethérien, alors \(X_i\) est respectivement à indexation dénombrable, adique* ou noethérien. Le lemme résulte donc du cas affine, à savoir le lemme 0GVV.

Complété le long d’un sous-espace fermé

Cette section est l’analogue de la section 0AIX pour les complétés le long d’un sous-espace fermé.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé et notons \(Z_n \subset X\) le \(n\)-ième voisinage infinitésimal. L’espace algébrique formel \[X^\wedge_Z = \colim Z_n\] (voir le lemme 0GVN) est appelé le complété de \(X\) le long de \(Z\).

Par exemple, si \(X = \Spec(A)\) et si \(Z\) est défini par l’idéal \(I \subset A\), alors \[X^\wedge_Z = \colim \Spec(A/I^n) = \text{Spf}(B)\] où \(B = \lim A/I^n\) est muni de la topologie limite. Notons que \(B\) est un anneau topologique faiblement adique, mais n’est pas adique en général.

Revenons au cas général. Si \(T = |Z|\), il existe un morphisme canonique \(X^\wedge_Z \to X_{/T}\) qui compare les complétés le long de \(Z\) et de \(T\) (section 0AIX) et qui n’est pas nécessairement un isomorphisme (voir le lemme 0H8N).

Soit \(f : X \to X'\) un morphisme d’espaces algébriques sur un schéma \(S\). Supposons que \(Z \subset X\) et \(Z' \subset X'\) soient des sous-espaces fermés tels que \(f|_Z\) envoie \(Z\) dans \(Z'\) et induise un morphisme \(Z \to Z'\). Il est alors clair que \(f\) définit un morphisme d’espaces algébriques formels \[X^\wedge_Z \longrightarrow (X')^\wedge_{Z'}\] entre les complétés.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé et soit \(Z' = f^{-1}(Z) = X' \times_X Z\). Alors \[\xymatrix{ (X')^\wedge_{Z'} \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]^f \\ X^\wedge_Z \ar[r] & X }\] est un diagramme cartésien de faisceaux. En particulier, le morphisme \((X')^\wedge_{Z'} \to X^\wedge_Z\) est représentable par des espaces algébriques.

Démonstration

Supposons en effet que \(Y \to X\) soit un morphisme d’un schéma dans \(X\) tel que \(Y \to X\) se factorise par \(Z\). Alors \(Y \times_X X' \to X\) est un morphisme d’espaces algébriques tel que \(Y \times_X X' \to X'\) se factorise par \(Z'\). Puisque \(Z'_n = X' \times_X Z_n\) pour tout \(n \geq 1\), il en va de même pour les voisinages infinitésimaux. Le carré cartésien de foncteurs résulte donc des formules \(X^\wedge_Z = \colim Z_n\) et \((X')^\wedge_{Z'} = \colim Z'_n\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé. La réduction \((X^\wedge_Z)_{red}\) du complété \(X^\wedge_Z\) de \(X\) le long de \(Z\) est \(Z_{red}\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X = \Spec(A)\) un schéma affine sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé correspondant à l’idéal \(I \subset A\). Alors

L’espace algébrique formel affine \(X^\wedge_Z\) est faiblement adique.

Si \(I\) est de type fini, alors \(X^\wedge_Z = \text{Spf}(A^\wedge)\), où \(A^\wedge\) est le complété \(I\)-adique de \(A\).

Si \(Z \to X\) est de présentation finie, c’est-à-dire si \(I\) est de type fini, alors \(X^\wedge_Z\) est adique*.

Si \(X\) est noethérien, alors \(X^\wedge_Z\) est noethérien.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé. Soit \(X^\wedge_Z\) le complété formel de \(X\) le long de \(Z\).

L’espace algébrique formel \(X^\wedge_Z\) est localement faiblement adique.

Si \(Z \to X\) est de présentation finie, alors \(X^\wedge_Z\) est localement adique*.

Si \(X\) est localement noethérien, alors \(X_Z\) est localement noethérien.

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-espace fermé et posons \(T = |Z|\). Le morphisme canonique \(c : X^\wedge_Z \to X_{/T}\) est un isomorphisme si \(Z \to X\) est de présentation finie, mais pas en général.

Démonstration

Les deux constructions commutent à la localisation étale ; il suffit donc de le démontrer lorsque \(X\) est affine. Écrivons \(X = \Spec(A)\) et supposons que \(Z\) corresponde à l’idéal \(I \subset A\). Si \(I\) est de type fini, alors \(X^\wedge_Z\) et \(X_{/T}\) sont tous deux égaux à \(\text{Spf}(A^\wedge)\), où \(A^\wedge\) est le complété \(I\)-adique de \(A\), voir les lemmes 0GBA et 0GXX. Si \(A = \mathbf{Z}[x_1, x_2, \ldots]\) et \(I = (x_1, x_2, \ldots)\), alors \(\Spec(A/(x_n^n, n \geq 1)) \to X\) se factorise par \(X_{/T}\), mais pas par \(X^\wedge_Z\) ; par conséquent, \(c\) n’est pas un isomorphisme.

Selon nos conventions, cela inclut la séparation.↩︎
Cette terminologie n’est pas standard. La définition s’étend aux modules : on dit qu’un \(A\)-module linéairement topologisé \(M\) est \(A\)-tendu si, pour tout idéal ouvert \(I \subset A\), l’adhérence de \(IM\) dans \(M\) est ouverte et si ces adhérences forment un système fondamental de voisinages de \(0\) dans \(M\).↩︎
Cette terminologie n’est peut-être pas standard.↩︎
Dans [Gabber-Ramero], les auteurs disent que \(A\) est \(c\)-adique.↩︎
Selon nos conventions, cela inclut la séparation.↩︎
Voir Compléments d’algèbre, définition 07E8 pour le cas classique, et la remarque 0AI3 pour une discussion des différences.↩︎
Voir le Lemme 0GB4 pour un critère.↩︎
De manière équivalente, tendu d’après le Lemme 0GBS.↩︎