Exemples de champs

Introduction

Nous étudions ici des exemples de champs en géométrie algébrique. Certains sont des champs algébriques, d’autres ne le sont pas. Nous déterminerons lesquels sont des champs algébriques dans un chapitre ultérieur. Dans le présent chapitre, nous nous préoccupons donc principalement des conditions de descente. Voir par exemple [Vis2].

Certaines notations, conventions et certains termes de ce chapitre sont peu naturels et pourront sembler inversés au lecteur plus expérimenté. Cela est intentionnel. On trouvera une explication dans Quot, section 05X6.

Notations

Dans ce chapitre, nous fixons un grand site fppf convenable \(\Sch_{fppf}\) comme dans Topologies, définition 021R. Ainsi, sauf indication explicite contraire, tous les schémas seront des objets de \(\Sch_{fppf}\). Nous travaillerons toujours relativement à une base \(S\) contenue dans \(\Sch_{fppf}\). Nous travaillerons alors avec le grand site fppf \((\Sch/S)_{fppf}\), voir Topologies, définition 021S. On retrouve le cas absolu en prenant \(S = \Spec(\mathbf{Z})\).

Exemples de champs

Nous donnons d’abord quelques exemples importants de champs sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Faisceaux quasi-cohérents

Nous définissons une catégorie \(\QCohstack\) comme suit :

1. Un objet de \(\QCohstack\) est un couple \((X, \mathcal{F})\), où \(X/S\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) et \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent ;

2. un morphisme \((f, \varphi) : (Y, \mathcal{G}) \to (X, \mathcal{F})\) est un couple formé d’un morphisme \(f : Y \to X\) de schémas sur \(S\) et d’un \(f\)-morphisme (voir Faisceaux, section 0094) \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) ;

3. le composé des morphismes \[(Z, \mathcal{H}) \xrightarrow{(g, \psi)} (Y, \mathcal{G}) \xrightarrow{(f, \phi)} (X, \mathcal{F})\] est \((f \circ g, \psi \circ \phi)\), où \(\psi \circ \phi\) est le composé des \(f\)-morphismes.

Ainsi, \(\QCohstack\) est une catégorie et \[p : \QCohstack \to (\Sch/S)_{fppf}, \quad (X, \mathcal{F}) \mapsto X\] est un foncteur. Remarquons que la catégorie fibre de \(\QCohstack\) au-dessus d’un schéma \(X\) est l’opposée de la catégorie \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Pour un usage ultérieur, remarquons qu’étant donnés \((X, \mathcal{F}), (Y, \mathcal{G}) \in \Ob(\QCohstack)\), nous avons [04U2]\[\begin{equation} \Mor_{\QCohstack}((Y, \mathcal{G}), (X, \mathcal{F})) = \coprod\nolimits_{f \in \Mor_S(Y, X)} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_Y)}(f^*\mathcal{F}, \mathcal{G}). \end{equation}\] Voir la discussion des \(f\)-morphismes de modules dans Faisceaux, section 0094.

La catégorie \(\QCohstack\) n’est pas un champ sur \((\Sch/S)_{fppf}\), car sa collection d’objets est une classe propre. Nous verrons néanmoins qu’elle satisfait tous les axiomes d’un champ. Nous contournerons la difficulté ensembliste dans la section 0404.

Lemme

Un morphisme \((f, \varphi) : (Y, \mathcal{G}) \to (X, \mathcal{F})\) de \(\QCohstack\) est fortement cartésien si et seulement si le morphisme \(\varphi\) induit un isomorphisme \(f^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\).

Démonstration

Soit \((X, \mathcal{F}) \in \Ob(\QCohstack)\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme de \((\Sch/S)_{fppf}\). Il existe un \(f\)-morphisme canonique \(c : \mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}\) et nous obtenons donc un morphisme \((f, c) : (Y, f^*\mathcal{F}) \to (X, \mathcal{F})\). Nous affirmons que \((f, c)\) est fortement cartésien. En effet, pour tout objet \((Z, \mathcal{H})\) de \(\QCohstack\), nous avons \[\begin{align*} \Mor_{\QCohstack}((Z, \mathcal{H}), (Y, f^*\mathcal{F})) & = \coprod\nolimits_{g \in \Mor_S(Z, Y)} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_Z)}(g^*f^*\mathcal{F}, \mathcal{H}) \\ & = \coprod\nolimits_{g \in \Mor_S(Z, Y)} \Mor_{\QCoh(\mathcal{O}_Z)}((f \circ g)^*\mathcal{F}, \mathcal{H}) \\ & = \Mor_{\QCohstack}((Z, \mathcal{H}), (X, \mathcal{F})) \times_{\Mor_S(Z, X)} \Mor_S(Z, Y), \end{align*}\] où nous avons utilisé deux fois l’équation (04U2). Cela prouve que la condition de Catégories, définition 02XK, est satisfaite pour \((f, c)\), d’où notre assertion. Par Catégories, lemme 02XL, les isomorphismes sont fortement cartésiens et les composés de morphismes fortement cartésiens le sont aussi, ce qui prouve l’implication « si » du lemme. Réciproquement, étant donnés \((X, \mathcal{F})\) et \(f : Y \to X\), s’il existe un morphisme fortement cartésien relevant \(f\) et de but \((X, \mathcal{F})\), alors il est nécessairement isomorphe à \((f, c)\) (voir la discussion qui suit Catégories, définition 02XK). L’implication « seulement si » du lemme en résulte.

Lemme

Le foncteur \(p : \QCohstack \to (\Sch/S)_{fppf}\) satisfait les conditions (1), (2) et (3) de Champs, définition 026F.

Démonstration

Il résulte clairement du lemme 04U3 que \(\QCohstack\) est une catégorie fibrée sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Pour un recouvrement \(\mathcal{U} = \{X_i \to X\}_{i \in I}\) de \((\Sch/S)_{fppf}\), le foncteur \[\QCoh(\mathcal{O}_X) \longrightarrow DD(\mathcal{U})\] est pleinement fidèle et essentiellement surjectif, voir Descente, proposition 023T. Par conséquent, Champs, lemme 02ZF, montre que \(\QCohstack\) satisfait tous les axiomes d’un champ.

Le champ des faisceaux quasi-cohérents de type fini

On peut en fait obtenir un champ de faisceaux quasi-cohérents si l’on ne considère que les modules quasi-cohérents de type fini. Notons \[p_{fg} : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\] la sous-catégorie pleine de \(\QCohstack\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) formée des couples \((T, \mathcal{F})\) tels que \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_T\)-module quasi-cohérent de type fini.

Lemme

Le foncteur \(p_{fg} : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\) satisfait les conditions (1), (2) et (3) de Champs, définition 026F.

Démonstration

Nous allons pour cela vérifier les hypothèses (1), (2) et (3) de Champs, lemme 04TU. D’après le lemme 04U3, un morphisme \((Y, \mathcal{G}) \to (X, \mathcal{F})\) est fortement cartésien si et seulement s’il induit un isomorphisme \(f^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\). D’après Modules, lemme 01B6, l’image inverse d’un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini est de type fini. L’hypothèse (1) de Champs, lemme 04TU, est donc satisfaite. L’hypothèse (2) est immédiate. Enfin, pour prouver l’hypothèse (3), il faut montrer ceci : si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent et si \(\{f_i : X_i \to X\}\) est un recouvrement fppf tel que chaque \(f_i^*\mathcal{F}\) soit de type fini, alors \(\mathcal{F}\) est de type fini. En restreignant \(\mathcal{F}\) à un ouvert affine de \(X\), on se ramène à l’énoncé algébrique suivant : soient \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie et fidèlement plat, et \(M\) un \(R\)-module. Si \(M \otimes_R S\) est un \(S\)-module de type fini, alors \(M\) est un \(R\)-module de type fini. Une forme plus forte de ce fait algébrique se trouve dans Algèbre, lemme 03C4.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé.

1. La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules de type fini possède un ensemble de classes d’isomorphisme.

2. La catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents de type fini possède un ensemble de classes d’isomorphisme.

Démonstration

La partie (2) résulte de la partie (1), car la catégorie de (2) est une sous-catégorie pleine de celle de (1). Considérons un recouvrement ouvert quelconque \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\). Notons \(j_i : U_i \to X\) les morphismes d’inclusion. Considérons une application \(r : I \to \mathbf{N}\). Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module dont la restriction à \(U_i\) est engendrée par au plus \(r(i)\) sections de \(\mathcal{F}(U_i)\), alors \(\mathcal{F}\) est un quotient du faisceau \[\mathcal{H}_{\mathcal{U}, r} = \bigoplus\nolimits_{i \in I} j_{i, !}\mathcal{O}_{U_i}^{\oplus r(i)}.\] Par définition, si \(\mathcal{F}\) est de type fini, il existe un recouvrement ouvert \(\mathcal{U}\) dont l’ensemble d’indices est \(I = X\) et pour lequel cette condition est vérifiée. Il suffit donc de montrer qu’il existe un ensemble de choix possibles pour \(\mathcal{U}\) (c’est évident), un ensemble de choix possibles pour \(r : I \to \mathbf{N}\) (c’est évident) et, pour chaque \(\mathcal{U}\) et chaque \(r\), un ensemble de modules quotients possibles de \(\mathcal{H}_{\mathcal{U}, r}\). Autrement dit, il suffit de montrer que, pour un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{H}\) donné, les quotients ont au plus un ensemble de classes d’isomorphisme. Cette dernière assertion devient évidente si l’on considère les noyaux d’un morphisme quotient \(\mathcal{H} \to \mathcal{F}\) comme paramétrés par une partie de l’ensemble des parties de \(\prod_{U \subset X\text{ ouvert}} \mathcal{H}(U)\).

Lemme

Il existe une sous-catégorie \(\QCohstack_{fg, small} \subset \QCohstack_{fg}\) ayant les propriétés suivantes :

1. le foncteur d’inclusion \(\QCohstack_{fg, small} \to \QCohstack_{fg}\) est pleinement fidèle et essentiellement surjectif ;

2. le foncteur \(p_{fg, small} : \QCohstack_{fg, small} \to (\Sch/S)_{fppf}\) fait de \(\QCohstack_{fg, small}\) un champ sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Nous avons vu dans les lemmes 04U4 et 04U5 que \(p_{fg} : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\) satisfait les conditions (1), (2) et (3) de Champs, définition 026F, ainsi que la condition supplémentaire (4) de Champs, remarque 03ZZ. La discussion de cette remarque fournit donc \(\QCohstack_{fg, small}\).

Nous effectuerons souvent le remplacement \[\QCohstack_{fg} \leadsto \QCohstack_{fg, small}\] sans le signaler davantage et, par abus de notation, nous désignerons simplement ce remplacement par \(\QCohstack_{fg}\).

Remarque

Toute la discussion de cette section reste valable si l’on veut considérer les faisceaux quasi-cohérents qui sont localement engendrés par au plus \(\kappa\) sections, pour un cardinal infini \(\kappa\), par exemple \(\kappa = \aleph_0\).

Revêtements étales finis

Nous définissons une catégorie \(\textit{F\'Et}\) comme suit :

1. Un objet de \(\textit{F\'Et}\) est un morphisme étale fini \(Y \to X\) de schémas (d’après nos conventions, il s’agit d’un morphisme étale fini dans \((\Sch/S)_{fppf}\)) ;

2. un morphisme \((b, a) : (Y \to X) \to (Y' \to X')\) de \(\textit{F\'Et}\) est un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Y \ar[d] \ar[r]_b & Y' \ar[d] \\ X \ar[r]_a & X' }\] dans la catégorie des schémas.

Ainsi, \(\textit{F\'Et}\) est une catégorie et \[p : \textit{F\'Et} \to (\Sch/S)_{fppf}, \quad (Y \to X) \mapsto X\] est un foncteur. La catégorie fibre de \(\textit{F\'Et}\) au-dessus d’un schéma \(X\) est précisément la catégorie \(\textit{F\'Et}_X\) étudiée dans Groupes fondamentaux, section 0BL6.

Lemme

Le foncteur \[p : \textit{F\'Et} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] définit un champ sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

La descente fppf des morphismes étales finis résulte de Descente, lemmes 0245, 02LA et 02VN. Nous omettons les détails.

Espaces algébriques

Nous définissons une catégorie \(\Spacesstack\) comme suit :

1. Un objet de \(\Spacesstack\) est un morphisme \(X \to U\) d’espaces algébriques sur \(S\), où \(U\) est représentable par un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) ;

2. un morphisme \((f, g) : (X \to U) \to (Y \to V)\) est un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_f & Y \ar[d] \\ U \ar[r]^g & V }\] de morphismes d’espaces algébriques sur \(S\).

Ainsi, \(\Spacesstack\) est une catégorie et \[p : \Spacesstack \to (\Sch/S)_{fppf}, \quad (X \to U) \mapsto U\] est un foncteur. La catégorie fibre de \(\Spacesstack\) au-dessus d’un schéma \(U\) est précisément la catégorie \(\textit{Espaces}/U\) des espaces algébriques sur \(U\) (voir Topologies sur les espaces, section 03Y6). Nous considérerons donc parfois un objet de \(\Spacesstack\) comme un couple \(X/U\) formé d’un schéma \(U\) et d’un espace algébrique \(X\) sur \(U\). Pour un usage ultérieur, remarquons qu’étant donnés \((X/U), (Y/V) \in \Ob(\Spacesstack)\), nous avons [04U8]\[\begin{equation} \Mor_{\Spacesstack}(X/U, Y/V) = \coprod\nolimits_{g \in \Mor_S(U, V)} \Mor_{\textit{Espaces}/U}(X, U \times_{g, V} Y). \end{equation}\] La catégorie \(\Spacesstack\) est presque, mais pas tout à fait, un champ sur \((\Sch/S)_{fppf}\). La difficulté est de nature ensembliste, comme nous l’expliquerons ci-dessous.

Lemme

Un morphisme \((f, g) : X/U \to Y/V\) de \(\Spacesstack\) est fortement cartésien si et seulement si le morphisme \(f\) induit un isomorphisme \(X \to U \times_{g, V} Y\).

Démonstration

Soit \(Y/V \in \Ob(\Spacesstack)\). Soit \(g : U \to V\) un morphisme de \((\Sch/S)_{fppf}\). La projection \(p : U \times_{g, V} Y \to Y\) donne un morphisme \((p, g) : U \times_{g, V} Y/U \to Y/V\) de \(\Spacesstack\). Nous affirmons que \((p, g)\) est fortement cartésien. En effet, pour tout objet \(Z/W\) de \(\Spacesstack\), nous avons \[\begin{align*} \Mor_{\Spacesstack}(Z/W, U \times_{g, V} Y/U) & = \coprod\nolimits_{h \in \Mor_S(W, U)} \Mor_{\textit{Espaces}/W}(Z, W \times_{h, U} U \times_{g, V} Y) \\ & = \coprod\nolimits_{h \in \Mor_S(W, U)} \Mor_{\textit{Espaces}/W}(Z, W \times_{g \circ h, V} Y) \\ & = \Mor_{\Spacesstack}(Z/W, Y/V) \times_{\Mor_S(W, V)} \Mor_S(W, U), \end{align*}\] où nous avons utilisé deux fois l’équation (04U8). Cela prouve que la condition de Catégories, définition 02XK, est satisfaite pour \((p, g)\), d’où notre assertion. Par Catégories, lemme 02XL, les isomorphismes sont fortement cartésiens et les composés de morphismes fortement cartésiens le sont aussi, ce qui prouve l’implication « si » du lemme. Réciproquement, étant donnés \(Y/V\) et \(g : U \to V\), s’il existe un morphisme fortement cartésien relevant \(g\) et de but \(Y/V\), alors il est nécessairement isomorphe à \((p, g)\) (voir la discussion qui suit Catégories, définition 02XK). L’implication « seulement si » du lemme en résulte.

Lemme

Le foncteur \(p : \Spacesstack \to (\Sch/S)_{fppf}\) satisfait les conditions (1) et (2) de Champs, définition 026F.

Démonstration

Il résulte du lemme 04U9 que \(\Spacesstack\) est une catégorie fibrée sur \((\Sch/S)_{fppf}\), ce qui prouve (1). Supposons que \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) soit un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soient \(X, Y\) des espaces algébriques sur \(U\). Enfin, supposons donnés des morphismes \(\varphi_i : X_{U_i} \to Y_{U_i}\) de \(\textit{Espaces}/U_i\) tels que les restrictions de \(\varphi_i\) et \(\varphi_j\) soient les mêmes morphismes \(X_{U_i \times_U U_j} \to Y_{U_i \times_U U_j}\) d’espaces algébriques sur \(U_i \times_U U_j\). Pour prouver (2), il faut montrer qu’il existe un unique morphisme \(\varphi : X \to Y\) sur \(U\) dont le changement de base à \(U_i\) est égal à \(\varphi_i\). Comme un morphisme de \(X\) vers \(Y\) équivaut à un morphisme de faisceaux, cela résulte directement de Sites, lemme 04TQ.

Remarque

Si l’on néglige les difficultés ensemblistes¹, \(\Spacesstack\) satisfait aussi la descente des objets et est donc un champ. Il faut en effet montrer qu’étant donnés

1. un recouvrement fppf \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) ;

2. pour chaque \(i \in I\), un espace algébrique \(X_i/U_i\) ;

3. pour chaque \(i, j \in I\), un isomorphisme \(\varphi_{ij} : X_i \times_U U_j \to U_i \times_U X_j\) d’espaces algébriques sur \(U_i \times_U U_j\), satisfaisant la condition de cocycle sur \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\),

il existe un espace algébrique \(X/U\) et des isomorphismes \(X_{U_i} \cong X_i\) sur \(U_i\) qui redonnent les isomorphismes \(\varphi_{ij}\). D’abord, d’après Sites, lemme 04TR, il existe sur \((\Sch/U)_{fppf}\) un faisceau \(X\) qui redonne les \(X_i\) et les \(\varphi_{ij}\). Puis, d’après Amorçage, lemme 04SK, \(X\) est un espace algébrique (si l’on néglige la condition ensembliste de ce lemme). Nous emploierons cet argument dans la section suivante pour montrer que, si l’on ne considère que les espaces algébriques de type fini, on obtient un champ.

Le champ des espaces algébriques de type fini

On peut en fait obtenir un champ d’espaces si l’on ne considère que les espaces de type fini. Notons \[p_{ft} : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\] la sous-catégorie pleine de \(\Spacesstack\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\) formée des couples \(X/U\) tels que \(X \to U\) soit un morphisme de type fini.

Lemme

Le foncteur \(p_{ft} : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\) satisfait les conditions (1), (2) et (3) de Champs, définition 026F.

Démonstration

Nous allons donner tous les détails, jusqu’à l’excès (ce qui risque de masquer l’idée de la démonstration).

Nous avons vu dans le lemme 04U9 qu’un morphisme \((f, g) : X/U \to Y/V\) de \(\Spacesstack\) est fortement cartésien si le morphisme induit \(f : X \to U \times_V Y\) est un isomorphisme. Si \(Y \to V\) est de type fini, alors \(U \times_V Y \to U\) l’est aussi, voir Morphismes d’espaces, lemme 03XH. Ainsi, si \((f, g) : X/U \to Y/V\) dans \(\Spacesstack\) est fortement cartésien dans \(\Spacesstack\) et si \(Y/V\) est un objet de \(\Spacesstack_{ft}\), alors \(X/U\) est automatiquement aussi un objet de \(\Spacesstack_{ft}\) et, bien entendu, \((f, g)\) est également fortement cartésien dans \(\Spacesstack_{ft}\). On en conclut que \(\Spacesstack_{ft}\) est une catégorie fibrée sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Cela prouve (1).

L’argument précédent montre aussi que le foncteur d’inclusion \(\Spacesstack_{ft} \to \Spacesstack\) transforme les morphismes fortement cartésiens en morphismes fortement cartésiens. Autrement dit, \(\Spacesstack_{ft} \to \Spacesstack\) est un \(1\)-morphisme de catégories fibrées sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Soit \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\). Soient \(X, Y\) des espaces algébriques de type fini sur \(U\). D’après Champs, lemme 042V, nous obtenons un morphisme de préfaisceaux \[\mathit{Mor}_{\Spacesstack_{ft}}(X, Y) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\Spacesstack}(X, Y)\] qui est un isomorphisme, puisque \(\Spacesstack_{ft}\) est une sous-catégorie pleine de \(\Spacesstack\). Le membre de gauche est donc un faisceau, car nous avons montré, au lemme 04UA, que celui de droite en est un. Cela prouve (2).

Pour prouver la condition (3) de Champs, définition 026F, il faut montrer ceci : étant donnés

1. un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \((\Sch/S)_{fppf}\) ;

2. pour chaque \(i \in I\), un espace algébrique \(X_i\) de type fini sur \(U_i\) ;

3. pour chaque \(i, j \in I\), un isomorphisme \(\varphi_{ij} : X_i \times_U U_j \to U_i \times_U X_j\) d’espaces algébriques sur \(U_i \times_U U_j\), satisfaisant la condition de cocycle sur \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\),

il existe un espace algébrique \(X\) de type fini sur \(U\) et des isomorphismes \(X_{U_i} \cong X_i\) sur \(U_i\) qui redonnent les isomorphismes \(\varphi_{ij}\). Cela résulte de Amorçage, lemme 0ADV, partie (2). D’après Descente sur les espaces, lemme 041T, le morphisme \(X \to U\) est de type fini, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Il existe une sous-catégorie \(\Spacesstack_{ft, small} \subset \Spacesstack_{ft}\) ayant les propriétés suivantes :

1. le foncteur d’inclusion \(\Spacesstack_{ft, small} \to \Spacesstack_{ft}\) est pleinement fidèle et essentiellement surjectif ;

2. le foncteur \(p_{ft, small} : \Spacesstack_{ft, small} \to (\Sch/S)_{fppf}\) fait de \(\Spacesstack_{ft, small}\) un champ sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Nous avons vu dans le lemme 04UD que \(p_{ft} : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\) satisfait les conditions (1), (2) et (3) de Champs, définition 026F. La condition supplémentaire (4) de Champs, remarque 03ZZ, est satisfaite parce que tout espace algébrique \(X\) sur \(S\) est de la forme \(U/R\), avec \(U, R \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), voir Espaces, lemme 0262. Il n’existe donc qu’un ensemble de classes d’isomorphisme d’objets. La discussion de cette remarque fournit alors \(\Spacesstack_{ft, small}\).

Nous effectuerons souvent le remplacement \[\Spacesstack_{ft} \leadsto \Spacesstack_{ft, small}\] sans le signaler davantage et, par abus de notation, nous désignerons simplement ce remplacement par \(\Spacesstack_{ft}\).

Remarque

Toute la discussion de cette section reste valable si l’on veut considérer les espaces algébriques \(X/U\) qui sont localement de type fini et tels que l’image inverse dans \(X\) d’un ouvert affine de \(U\) puisse être recouverte par un nombre dénombrable d’ouverts affines. Au besoin, on peut aussi introduire la notion de morphisme de \(\kappa\)-type (c’est-à-dire imposer une borne au nombre de générateurs des extensions d’anneaux et une borne au cardinal de la famille d’ouverts affines au-dessus d’un ouvert affine donné de la base), où \(\kappa\) est un cardinal, puis construire un champ \[\Spacesstack_\kappa \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] exactement de la même manière que ci-dessus (à condition de veiller à ce que \(\Sch\) soit assez grande en fonction de \(\kappa\)).

Exemples de champs en groupoïdes

Les exemples précédents sont des champs qui ne sont pas des champs en groupoïdes. Dans le reste de ce chapitre, nous donnons des exemples issus de la géométrie algébrique de champs en groupoïdes.

Le champ associé à un faisceau

Soit \(F : (\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ensembles}\) un préfaisceau. Nous obtenons une catégorie fibrée en ensembles \[p_F : \mathcal{S}_F \to (\Sch/S)_{fppf},\] voir Catégories, exemple 04TM. C’est un champ en ensembles si et seulement si \(F\) est un faisceau, voir Champs, lemme 0432.

Le champ en groupoïdes des faisceaux quasi-cohérents de type fini

Soit \(p : \QCohstack_{fg} \to (\Sch/S)_{fppf}\) le champ introduit à la section 0404 (avec l’abus de notation qui y a été introduit). Nous pouvons le transformer en un champ en groupoïdes \(p' : \QCohstack_{fg}' \to (\Sch/S)_{fppf}\) au moyen du procédé de Catégories, lemme 03WQ, voir Champs, lemme 03YI. Dans ce cas particulier, cela signifie simplement que \(\QCohstack_{fg}'\) a les mêmes objets que \(\QCohstack_{fg}\), mais que ses morphismes sont les couples \((f, g) : (U, \mathcal{F}) \to (U', \mathcal{F}')\) où \(g\) est un isomorphisme \(g : f^*\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\).

Le champ en groupoïdes des espaces algébriques de type fini

Soit \(p : \Spacesstack_{ft} \to (\Sch/S)_{fppf}\) le champ introduit à la section 04UC (avec l’abus de notation qui y a été introduit). Nous pouvons le transformer en un champ en groupoïdes \(p' : \Spacesstack_{ft}' \to (\Sch/S)_{fppf}\) au moyen du procédé de Catégories, lemme 03WQ, voir Champs, lemme 03YI. Dans ce cas particulier, cela signifie simplement que \(\Spacesstack_{ft}'\) a les mêmes objets que \(\Spacesstack_{ft}\), c’est-à-dire les morphismes de type fini \(X \to U\), où \(X\) est un espace algébrique sur \(S\) et \(U\) un schéma sur \(S\). Mais les morphismes \((f, g) : X/U \to Y/V\) sont maintenant les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_f & Y \ar[d] \\ U \ar[r]^g & V }\] qui sont cartésiens.

Champs quotients

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\). Dans ce cas, le champ quotient \[[U/R] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] est par construction un champ en groupoïdes, voir Groupoïdes dans les espaces, définition 044Q. Les faisceaux \(\mathit{Isom}\) sont même représentables par des espaces algébriques, voir Amorçage, lemme 04TB. Ces champs quotients sont d’une importance fondamentale dans la théorie des champs algébriques.

Un cas particulier de la construction précédente est le champ quotient \[[X/G] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] associé à une donnée \((B, G/B, m, X/B, a)\). Ici,

1. \(B\) est un espace algébrique sur \(S\) ;

2. \((G, m)\) est un espace algébrique en groupes sur \(B\) ;

3. \(X\) est un espace algébrique sur \(B\) ;

4. \(a : G \times_B X \to X\) est une action de \(G\) sur \(X\) au-dessus de \(B\).

En effet, d’après Groupoïdes dans les espaces, définition 044Q, le champ en groupoïdes \([X/G]\) est le champ quotient \([X/G \times_B X]\) ci-dessus. Il convient d’expliciter la catégorie \([X/G]\). Nous le ferons à la section 04UV.

Classification des torseurs

Nous allons expliquer avec soin plusieurs variantes de ce que peut signifier l’étude du champ des torseurs sous un espace algébrique en groupes \(G\) ou sous un faisceau de groupes \(\mathcal{G}\).

Torseurs sous un faisceau de groupes

Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de groupes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Pour \(U \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\), nous notons \(\mathcal{G}|_U\) la restriction de \(\mathcal{G}\) à \((\Sch/U)_{fppf}\). Nous définissons une catégorie \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) comme suit :

1. Un objet de \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) est un couple \((U, \mathcal{F})\), où \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) et \(\mathcal{F}\) un torseur sous \(\mathcal{G}|_U\), voir Cohomologie sur les sites, définition 03AH.

2. Un morphisme \((U, \mathcal{F}) \to (V, \mathcal{H})\) est donné par un couple \((f, \alpha)\), où \(f : U \to V\) est un morphisme de schémas sur \(S\), et \(\alpha : f^{-1}\mathcal{H} \to \mathcal{F}\) un isomorphisme de torseurs sous \(\mathcal{G}|_U\).

Ainsi, \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) est une catégorie et \[p : \mathcal{G}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, \mathcal{F}) \longmapsto U\] est un foncteur. La catégorie fibre de \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) au-dessus de \(U\) est la catégorie des torseurs sous \(\mathcal{G}|_U\), qui est un groupoïde.

Lemme

Moyennant un remplacement comme dans Champs, remarque 03ZZ, le foncteur \[p : \mathcal{G}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] définit un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

La partie la plus difficile de la démonstration consiste à montrer l’effectivité de la descente des objets. Soit \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons donné, pour chaque \(i\), un torseur \(\mathcal{F}_i\) sous \(\mathcal{G}|_{U_i}\) et, pour chaque \(i, j \in I\), un isomorphisme \(\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{U_i \times_U U_j} \to \mathcal{F}_j|_{U_i \times_U U_j}\) de torseurs sous \(\mathcal{G}|_{U_i \times_U U_j}\), satisfaisant une condition de cocycle convenable sur \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\). Alors, d’après Sites, section 04TP, nous obtenons sur \((\Sch/U)_{fppf}\) un faisceau \(\mathcal{F}\) dont la restriction à chaque \(U_i\) redonne \(\mathcal{F}_i\) ainsi que la donnée de descente. Par l’équivalence de catégories de Sites, lemme 04TS, les morphismes d’action \(\mathcal{G}|_{U_i} \times \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i\) se recollent en un morphisme \(a : \mathcal{G}|_U \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\). Il reste à montrer que \(a\) est une action et que \(\mathcal{F}\) devient un torseur sous \(\mathcal{G}|_U\). Ces deux propriétés se vérifient localement et résultent donc des propriétés correspondantes des actions \(\mathcal{G}|_{U_i} \times \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i\). Cela prouve l’effectivité de la descente des objets dans \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\). Nous omettons certains détails.

Variante pour les torseurs sous un faisceau

On peut généraliser légèrement la construction de la sous-section 04UJ. Soient en effet \(\mathcal{G} \to \mathcal{B}\) un morphisme de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\) et \[m : \mathcal{G} \times_\mathcal{B} \mathcal{G} \longrightarrow \mathcal{G}\] une loi de groupe sur \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\). Autrement dit, le couple \((\mathcal{G}, m)\) est un objet en groupes du topos \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})/\mathcal{B}\). Voir Sites, section 04GY, pour les localisations de topos. Dans cette situation, nous pouvons définir une catégorie \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) comme suit (nous utilisons le plongement de Yoneda pour considérer les schémas comme des faisceaux) :

1. Un objet de \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) est un triplet \((U, b, \mathcal{F})\), où

   1. \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) ;

   2. \(b : U \to \mathcal{B}\) est une section de \(\mathcal{B}\) sur \(U\) ;

   3. \(\mathcal{F}\) est un torseur sous \(U \times_{b, \mathcal{B}}\mathcal{G}\) sur \(U\).

2. Un morphisme \((U, b, \mathcal{F}) \to (U', b', \mathcal{F}')\) est donné par un couple \((f, g)\), où \(f : U \to U'\) est un morphisme de schémas sur \(S\) tel que \(b = b' \circ f\), et où \(g : f^{-1}\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\) est un isomorphisme de torseurs sous \(U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}\).

Ainsi, \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) est une catégorie et \[p : \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, \mathcal{F}) \longmapsto U\] est un foncteur. La catégorie fibre de \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) au-dessus de \(U\) est la réunion disjointe, lorsque \(b : U \to \mathcal{B}\) varie, des catégories de torseurs sous \(U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}\) ; c’est donc un groupoïde.

Dans le cas particulier \(\mathcal{B} = S\), on retrouve la catégorie \(\mathcal{G}\textit{-Torsors}\) introduite dans la sous-section 04UJ.

Lemme

Moyennant un remplacement comme dans Champs, remarque 03ZZ, le foncteur \[p : \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] définit un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Cette démonstration reprend celle du lemme 04UK. Le lecteur est invité à lire d’abord cette dernière, dont les notations sont moins lourdes. La partie la plus difficile de la démonstration consiste à montrer l’effectivité de la descente des objets. Soit \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\). Supposons donné, pour chaque \(i\), un couple \((b_i, \mathcal{F}_i)\) formé d’un morphisme \(b_i : U_i \to \mathcal{B}\) et d’un torseur \(\mathcal{F}_i\) sous \(U_i \times_{b_i, \mathcal{B}} \mathcal{G}\), et supposons que, pour chaque \(i, j \in I\), on ait \(b_i|_{U_i \times_U U_j} = b_j|_{U_i \times_U U_j}\) et que soit donné un isomorphisme \(\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{U_i \times_U U_j} \to \mathcal{F}_j|_{U_i \times_U U_j}\) de torseurs sous \((U_i \times_U U_j) \times_\mathcal{B} \mathcal{G}\), satisfaisant une condition de cocycle convenable sur \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\). Alors, d’après Sites, section 04TP, nous obtenons sur \((\Sch/U)_{fppf}\) un faisceau \(\mathcal{F}\) dont la restriction à chaque \(U_i\) redonne \(\mathcal{F}_i\) ainsi que la donnée de descente. L’axiome de faisceau pour \(\mathcal{B}\) montre que les morphismes \(b_i\) proviennent d’un unique morphisme \(b : U \to \mathcal{B}\). Par l’équivalence de catégories de Sites, lemme 04TS, les morphismes d’action \((U_i \times_{b_i, \mathcal{B}} \mathcal{G}) \times_{U_i} \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i\) se recollent en un morphisme \((U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}) \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\). Il reste à montrer que c’est une action et que \(\mathcal{F}\) devient un torseur sous \(U \times_{b, \mathcal{B}} \mathcal{G}\). Ces deux propriétés se vérifient localement et résultent donc des propriétés correspondantes des actions sur les \(\mathcal{F}_i\). Cela prouve l’effectivité de la descente des objets dans \(\mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\). Nous omettons certains détails.

Espaces principaux homogènes

Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(B\). Nous définissons une catégorie \(G\textit{-Principal}\) comme suit :

1. Un objet de \(G\textit{-Principal}\) est un triplet \((U, b, X)\), où

   1. \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) ;

   2. \(b : U \to B\) est un morphisme sur \(S\) ;

   3. \(X\) est un espace principal homogène sous \(G_U\) sur \(U\), où \(G_U = U \times_{b, B} G\).

   Voir Groupoïdes dans les espaces, définition 04TY.

2. Un morphisme \((U, b, X) \to (U', b', X')\) est donné par un couple \((f, g)\), où \(f : U \to U'\) est un morphisme de schémas sur \(B\), et \(g : X \to U \times_{f, U'} X'\) un isomorphisme d’espaces principaux homogènes sous \(G_U\).

Ainsi, \(G\textit{-Principal}\) est une catégorie et \[p : G\textit{-Principal} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, X) \longmapsto U\] est un foncteur. La catégorie fibre de \(G\textit{-Principal}\) au-dessus de \(U\) est la réunion disjointe, lorsque \(b : U \to B\) varie, des catégories d’espaces principaux homogènes sous \(U \times_{b, B} G\) ; c’est donc un groupoïde.

Dans le cas particulier \(S = B\), les objets sont simplement les couples \((U, X)\), où \(U\) est un schéma sur \(S\) et \(X\) un espace principal homogène sous \(G_U\) sur \(U\). De plus, les morphismes sont simplement les diagrammes cartésiens \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \\ U \ar[r]^f & U' }\] où \(g\) est \(G\)-équivariant.

Remarque

Nous conjecturons que, moyennant un remplacement comme dans Champs, remarque 03ZZ, le foncteur \[p : G\textit{-Principal} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] définit un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Cela résulterait de l’énoncé suivant : étant donnés

1. un recouvrement \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) de \((\Sch/S)_{fppf}\) ;

2. un espace algébrique en groupes \(H\) sur \(U\) ;

3. pour chaque \(i\), un espace principal homogène \(X_i\) sous \(H_{U_i}\) sur \(U_i\) ;

4. des isomorphismes \(H\)-équivariants \(\varphi_{ij} : X_{i, U_i \times_U U_j} \to X_{j, U_i \times_U U_j}\) satisfaisant la condition de cocycle,

il existe un espace principal homogène \(X\) sous \(H\) sur \(U\) qui redonne \((X_i, \varphi_{ij})\). La méthode employée dans la démonstration de Amorçage, lemme 04U1, ramène ce problème à une question ensembliste ; le lecteur qui néglige les questions ensemblistes « saura » donc que le résultat est vrai. On trouve dans https://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=591 une suggestion pour aborder ce problème.

Variante pour les espaces principaux homogènes

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B = S\). Soit \(G\) un schéma en groupes sur \(B = S\). Dans cette situation, nous pouvons définir une sous-catégorie pleine \(G\textit{-Principal-Schémas} \subset G\textit{-Principal}\) dont les objets sont les couples \((U, X)\), où \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) et \(X \to U\) un espace principal homogène sous \(G\) sur \(U\) qui est représentable, c’est-à-dire un schéma.

En général, \(G\textit{-Principal-Schémas}\) n’est pas un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Cela tient à ce qu’il existe effectivement, en général, des espaces principaux homogènes qui ne sont pas des schémas ; la descente des objets n’est donc pas effective en général.

Torseurs pour la topologie fppf

Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(B\). Nous définissons une catégorie \(G\textit{-Torsors}\) comme suit :

1. Un objet de \(G\textit{-Torsors}\) est un triplet \((U, b, X)\), où

   1. \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) ;

   2. \(b : U \to B\) est un morphisme ;

   3. \(X\) est un \(G_U\)-torseur fppf sur \(U\), où \(G_U = U \times_{b, B} G\).

   Voir Groupoïdes dans les espaces, définition 04TY.

2. Un morphisme \((U, b, X) \to (U', b', X')\) est donné par un couple \((f, g)\), où \(f : U \to U'\) est un morphisme de schémas sur \(B\), et \(g : X \to U \times_{f, U'} X'\) un isomorphisme de \(G_U\)-torseurs.

Ainsi, \(G\textit{-Torsors}\) est une catégorie et \[p : G\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, a, X) \longmapsto U\] est un foncteur. La catégorie fibre de \(G\textit{-Torsors}\) au-dessus de \(U\) est la réunion disjointe, lorsque \(b : U \to B\) varie, des catégories de \(U \times_{b, B} G\)-torseurs fppf ; c’est donc un groupoïde.

Dans le cas particulier \(S = B\), les objets sont simplement les couples \((U, X)\), où \(U\) est un schéma sur \(S\) et \(X\) un \(G_U\)-torseur fppf sur \(U\). De plus, les morphismes sont simplement les diagrammes cartésiens \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r]_g & X' \ar[d] \\ U \ar[r]^f & U' }\] où \(g\) est \(G\)-équivariant.

Lemme

Moyennant un remplacement comme dans Champs, remarque 03ZZ, le foncteur \[p : G\textit{-Torsors} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] définit un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

La partie la plus difficile de la démonstration consiste à montrer l’effectivité de la descente des objets ; c’est le contenu de Amorçage, lemme 04U1. Nous omettons la démonstration des axiomes (1) et (2) de Champs, définition 02ZI.

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(B\). Notons \(\mathcal{G}\), resp. \(\mathcal{B}\), l’espace algébrique \(G\), resp. \(B\), considéré comme un faisceau sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Le foncteur \[G\textit{-Torsors} \longrightarrow \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\] qui associe au triplet \((U, b, X)\) le triplet \((U, b, \mathcal{X})\), où \(\mathcal{X}\) est \(X\) considéré comme un faisceau, est une équivalence de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Nous allons utiliser Champs, lemme 046N, pour le prouver. Le foncteur est pleinement fidèle, puisque la catégorie des espaces algébriques sur \(S\) est une sous-catégorie pleine de la catégorie des faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\). En outre, tous les objets (des deux côtés) sont des torseurs localement triviaux, de sorte que la condition (2) du lemme cité ci-dessus est satisfaite. Le foncteur est donc une équivalence.

Variante pour les torseurs en topologie fppf

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B = S\). Soit \(G\) un schéma en groupes sur \(B = S\). Dans cette situation, nous pouvons définir une sous-catégorie pleine \(G\textit{-Torsors-Schémas} \subset G\textit{-Torsors}\) dont les objets sont les couples \((U, X)\), où \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) et \(X \to U\) un \(G\)-torseur fppf sur \(U\) qui est représentable, c’est-à-dire un schéma.

En général, \(G\textit{-Torsors-Schémas}\) n’est pas un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Cela tient à ce qu’il existe effectivement, en général, des \(G\)-torseurs fppf qui ne sont pas des schémas ; la descente des objets n’est donc pas effective en général.

Quotients par des actions de groupes

Nous avons maintenant introduit assez de notations pour décrire plus précisément les champs \([X/G]\) de la section 04UI.

Situation

Dans cette situation,

1. \(S\) est un schéma contenu dans \(\Sch_{fppf}\) ;

2. \(B\) est un espace algébrique sur \(S\) ;

3. \((G, m)\) est un espace algébrique en groupes sur \(B\) ;

4. \(\pi : X \to B\) est un espace algébrique sur \(B\) ;

5. \(a : G \times_B X \to X\) est une action de \(G\) sur \(X\) au-dessus de \(B\).

Dans cette situation, nous construisons comme suit une catégorie \([[X/G]]\)² :

1. Un objet de \([[X/G]]\) consiste en un quadruplet \((U, b, P, \varphi : P \to X)\), où

   1. \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) ;

   2. \(b : U \to B\) est un morphisme sur \(S\) ;

   3. \(P\) est un \(G_U\)-torseur fppf sur \(U\), où \(G_U = U \times_{b, B} G\) ;

   4. \(\varphi : P \to X\) est un morphisme \(G\)-équivariant qui s’insère dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ P \ar[d] \ar[r]_{\varphi} & X \ar[d] \\ U \ar[r]^b & B }\]

2. Un morphisme de \([[X/G]]\) est un couple \((f, g) : (U, b, P, \varphi) \to (U', b', P', \varphi')\), où \(f : U \to U'\) est un morphisme de schémas sur \(B\) et \(g : P \to P'\) un morphisme \(G\)-équivariant au-dessus de \(f\) qui induit un isomorphisme \(P \cong U \times_{f, U'} P'\) et vérifie \(\varphi = \varphi' \circ g\). Autrement dit, \((f, g)\) s’insère dans le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ P \ar[d] \ar[rrrd]_\varphi \ar[r]^g & P' \ar[d] \ar[rrd]^{\varphi'} \\ U \ar[rrrd]_b \ar[r]^f & U' \ar[rrd]^{b'} & & X \ar[d] \\ & & & B }\]

Ainsi, \([[X/G]]\) est une catégorie et \[p : [[X/G]] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, P, \varphi) \longmapsto U\] est un foncteur. La catégorie fibre de \([[X/G]]\) au-dessus de \(U\) est la réunion disjointe, lorsque \(b \in \Mor_S(U, B)\) varie, des \(U \times_{b, B} G\)-torseurs fppf \(P\) munis d’un morphisme \(G\)-équivariant vers \(X\). Les catégories fibres de \([[X/G]]\) sont donc des groupoïdes.

Remarquons que le foncteur \[[[X/G]] \longrightarrow G\textit{-Torsors}, \quad (U, b, P, \varphi) \longmapsto (U, b, P)\] est un \(1\)-morphisme de catégories sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Lemme

Moyennant un remplacement comme dans Champs, remarque 03ZZ, le foncteur \[p : [[X/G]] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] définit un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

La partie la plus difficile de la démonstration consiste à montrer l’effectivité de la descente des objets. Supposons que \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) soit un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soient \(\xi_i = (U_i, b_i, P_i, \varphi_i)\) des objets de \([[X/G]]\) au-dessus de \(U_i\), et soit \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\) une donnée de descente. En appliquant le foncteur \([[X/G]] \to G\textit{-Torsors}\) ci-dessus, nous obtenons en particulier une donnée de descente sur les triplets \((U_i, b_i, P_i)\) pour le champ en groupoïdes \(G\textit{-Torsors}\). Nous avons vu que \(G\textit{-Torsors}\) est un champ en groupoïdes (lemme 04US). Nous pouvons donc supposer que \(b_i = b|_{U_i}\) pour un morphisme \(b : U \to B\), et que \(P_i = U_i \times_U P\) pour un \(G_U = U \times_{b, B} G\)-torseur fppf \(P\) sur \(U\). Les morphismes \(\varphi_i\) sont compatibles avec la donnée de descente canonique sur les restrictions \(U_i \times_U P\) et définissent donc un morphisme \(\varphi : P \to X\). (On peut par exemple utiliser Sites, lemme 04TS, ou Descente sur les espaces, lemme 04P2, pour obtenir \(\varphi\).) Cela prouve l’effectivité de la descente des objets. Nous omettons la démonstration des axiomes (1) et (2) de Champs, définition 02ZI.

Proposition

Dans la situation 04WL, il existe une équivalence canonique \[[X/G] \longrightarrow [[X/G]]\] de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Nous donnons tous les détails afin de nous assurer que les définitions s’accordent exactement comme il le faut. Rappelons que \([X/G]\) est le champ quotient associé au groupoïde en espaces algébriques \((X, G \times_B X, s, t, c)\), voir Groupoïdes dans les espaces, définition 044Q. Cela signifie que \([X/G]\) est la champification de la catégorie fibrée en groupoïdes \([X/_{\!p}G]\) associée au foncteur \[(\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Groupoïdes}, \quad U \longmapsto (X(U), G(U) \times_{B(U)} X(U), s, t, c),\] où \(s(g, x) = x\), \(t(g, x) = a(g, x)\) et \(c((g, x), (g', x')) = (m(g, g'), x')\). D’après la construction de Catégories, exemple 0049, un objet de \([X/_{\!p}G]\) est un couple \((U, x)\) avec \(x \in X(U)\), et un morphisme \((f, g) : (U, x) \to (U', x')\) de \([X/_{\!p}G]\) est donné par un morphisme de schémas \(f : U \to U'\) et un élément \(g \in G(U)\) tel que \(a(g, x) = x' \circ f\). Nous pouvons donc définir un \(1\)-morphisme de champs en groupoïdes \[F_p : [X/_{\!p}G] \longrightarrow [[X/G]]\] par les règles suivantes : sur les objets, nous posons \[F_p(U, x) = (U, \pi \circ x, G \times_{B, \pi \circ x} U, a \circ (\text{id}_G \times x)).\] Cette définition a un sens, car le diagramme \[\xymatrix{ G \times_{B, \pi \circ x} U \ar[d] \ar[r]_{\text{id}_G \times x} & G \times_{B, \pi} X \ar[r]_-a & X \ar[d]^\pi \\ U \ar[rr]^{\pi \circ x} & & B }\] est commutatif, et les deux flèches horizontales sont \(G\)-équivariantes si l’on considère les produits fibrés comme des \(G\)-torseurs triviaux sur \(U\), resp. sur \(X\). Sur un morphisme \((f, g) : (U, x) \to (U', x')\), nous posons \(F_p(f, g) = (f, R_{g^{-1}})\), où \(R_{g^{-1}}\) désigne la translation à droite par l’inverse de \(g\). Plus précisément, le morphisme \(F_p(f, g) : F_p(U, x) \to F_p(U', x')\) est donné par le diagramme cartésien \[\xymatrix{ G \times_{B, \pi \circ x} U \ar[d] \ar[r]_{R_{g^{-1}}} & G \times_{B, \pi \circ x'} U' \ar[d] \\ U \ar[r]^f & U' }\] où, sur les points à valeurs dans \(T\), \(R_{g^{-1}}\) est défini par \[R_{g^{-1}}(g', u) = (m(g', i(g(u))), f(u)).\] Pour vérifier que cela convient, il faut établir l’égalité \[a \circ (\text{id}_G \times x) = a \circ (\text{id}_G \times x') \circ R_{g^{-1}},\] qui est vraie puisque le membre de droite, appliqué au point à valeurs dans \(T\) \((g', u)\), donne bien l’égalité souhaitée \[\begin{align*} a((\text{id}_G \times x')(m(g', i(g(u))), f(u))) & = a(m(g', i(g(u))), x'(f(u))) \\ & = a(g', a(i(g(u)), x'(f(u)))) \\ & = a(g', x(u)), \end{align*}\] car \(a(g, x) = x' \circ f\) et donc \(a(i(g), x' \circ f) = x\).

La propriété universelle de la champification donnée dans Champs, lemme 0436, fournit une extension canonique \(F : [X/G] \to [[X/G]]\) du \(1\)-morphisme \(F_p\) ci-dessus. Montrons d’abord que \(F\) est pleinement fidèle. Comme la source et le but sont des champs en groupoïdes, il suffit pour cela de montrer que \(F\) identifie les faisceaux \(\mathit{Isom}\). Choisissons un schéma \(U\) et des objets \(\xi, \xi'\) de \([X/G]\) au-dessus de \(U\). Nous voulons montrer que \[F : \mathit{Isom}_{[X/G]}(\xi, \xi') \longrightarrow \mathit{Isom}_{[[X/G]]}(F(\xi), F(\xi'))\] est un isomorphisme de faisceaux. Il suffit de travailler localement sur \(U\) ; nous pouvons donc supposer que \(\xi, \xi'\) proviennent d’objets \((U, x)\), \((U, x')\) de \([X/_{\!p}G]\) au-dessus de \(U\). Cela résulte directement de la construction de la champification et est aussi détaillé dans Groupoïdes dans les espaces, section 04MB. Soit en utilisant directement la description ci-dessus des morphismes de \([X/_{\!p}G]\), soit en appliquant Groupoïdes dans les espaces, lemme 044V, nous voyons que, dans ce cas, \[\mathit{Isom}_{[X/G]}(\xi, \xi') = U \times_{(x, x'), X \times_S X, (s, t)} (G \times_B X).\] Un point à valeurs dans \(T\) de ce produit fibré correspond à un couple \((u, g)\), où \(u \in U(T)\) et \(g \in G(T)\), tel que \(a(g, x \circ u) = x' \circ u\). (Cela implique en particulier \(\pi \circ x \circ u = \pi \circ x' \circ u\).) D’autre part, un point à valeurs dans \(T\) de \(\mathit{Isom}_{[[X/G]]}(F(\xi), F(\xi'))\) correspond par définition à un morphisme \(u : T \to U\) tel que \(\pi \circ x \circ u = \pi \circ x' \circ u : T \to B\), ainsi qu’à un isomorphisme \[R : G \times_{B, \pi \circ x \circ u} T \longrightarrow G \times_{B, \pi \circ x' \circ u} T\] de \(G_T\)-torseurs triviaux compatible avec les morphismes donnés vers \(X\). Puisque les torseurs sont triviaux, on a \(R = R_{g^{-1}}\) (multiplication à droite) pour un certain \(g \in G(T)\). La compatibilité avec les morphismes \(a \circ (1_G, x \circ u), a \circ (1_G, x' \circ u) : G \times_B T \to X\) équivaut à la condition \(a(g, x \circ u) = x' \circ u\). Nous obtenons donc l’égalité voulue des faisceaux \(\mathit{Isom}\).

Sachant maintenant que \(F\) est pleinement fidèle, nous pouvons appliquer Champs, lemme 046N. Pour montrer que \(F\) est une équivalence, il suffit donc de montrer que les objets de \([[X/G]]\) appartiennent localement pour la topologie fppf à l’image essentielle de \(F\). Cela est clair, puisque les torseurs fppf sont localement triviaux pour la topologie fppf, et la conclusion en résulte.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(B\). Alors les champs en groupoïdes \[[B/G],\quad [[B/G]],\quad G\textit{-Torsors},\quad \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\] sont tous canoniquement équivalents. Si \(G \to B\) est plat et localement de présentation finie, ils sont aussi équivalents à \(G\textit{-Principal}\).

Démonstration

L’équivalence \(G\textit{-Torsors} \to \mathcal{G}/\mathcal{B}\textit{-Torsors}\) est donnée au lemme 04UT. L’équivalence \([B/G] \to [[B/G]]\) est donnée par la proposition 04WM. En développant la définition de \([[B/G]]\) donnée à la section 04UV, nous voyons que \([[B//G]] = G\textit{-Torsors}\).

Supposons enfin \(G \to B\) plat et localement de présentation finie. Pour montrer que le foncteur naturel \(G\textit{-Torsors} \to G\textit{-Principal}\) est une équivalence, il suffit de montrer que, pour un schéma \(U\) sur \(B\), un espace principal homogène \(X \to U\) sous \(G_U\) est localement trivial pour la topologie fppf. Par notre définition des espaces principaux homogènes (Groupoïdes dans les espaces, définition 04TY), il existe un recouvrement fpqc \(\{U_i \to U\}\) tel que \(U_i \times_U X \cong G \times_B U_i\) comme espaces algébriques sur \(U_i\). Il en résulte que \(X \to U\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, voir Descente sur les espaces, lemmes 041Q, 041W et 041T. Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to X\). Il résulte alors de ce qui précède que \(\{W \to U\}\) est un recouvrement fppf tel que \(X_W \to W\) admette une section. Ainsi, \(X\) est un \(G_U\)-torseur fppf.

Remarque

Soit \(S\) un schéma. Soit \(G\) un groupe abstrait. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(G \to \text{Aut}_S(X)\) un homomorphisme de groupes. Dans cette situation, nous pouvons définir \([[X/G]]\) de façon analogue à ce qui précède, comme suit :

1. Un objet de \([[X/G]]\) consiste en un triplet \((U, P, \varphi : P \to X)\), où

   1. \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) ;

   2. \(P\) est un faisceau sur \((\Sch/U)_{fppf}\) muni d’une action de \(G\) qui en fait un torseur sous le faisceau constant de valeur \(G\) ;

   3. \(\varphi : P \to X\) est un morphisme \(G\)-équivariant de faisceaux.

2. Un morphisme \((f, g) : (U, P, \varphi) \to (U', P', \varphi')\) est donné par un morphisme de schémas \(f : T \to T'\) et un isomorphisme \(G\)-équivariant \(g : P \to f^{-1}P'\) tel que \(\varphi = \varphi' \circ g\).

Exactement comme ci-dessus, nous obtenons un foncteur \[[[X/G]] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] qui fait de \([[X/G]]\) un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Le faisceau constant \(\underline{G}\) est représentable (pourvu que le cardinal de \(G\) ne soit pas trop grand) par \(G_S\) sur \((\Sch/S)_{fppf}\), et cette version de \([[X/G]]\) est équivalente au champ \([[X/G_S]]\) introduit ci-dessus.

Le champ de Picard

Dans cette section, nous introduisons le champ de Picard en toute généralité. Dans le chapitre sur Quot et Hilb, nous montrerons qu’il s’agit, sous des hypothèses convenables, d’un champ algébrique, voir Quot, section 0D02.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\pi : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Nous définissons une catégorie \(\Picardstack_{X/B}\) comme suit :

1. Un objet est un triplet \((U, b, \mathcal{L})\), où

   1. \(U\) est un objet de \((\Sch/S)_{fppf}\) ;

   2. \(b : U \to B\) est un morphisme sur \(S\) ;

   3. \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible sur le changement de base \(X_U = U \times_{b, B} X\).

2. Un morphisme \((f, g) : (U, b, \mathcal{L}) \to (U', b', \mathcal{L}')\) est donné par un morphisme de schémas \(f : U \to U'\) sur \(B\) et un isomorphisme \(g : f^*\mathcal{L}' \to \mathcal{L}\).

Le composé de \((f, g) : (U, b, \mathcal{L}) \to (U', b', \mathcal{L}')\) avec \((f', g') : (U', b', \mathcal{L}') \to (U'', b'', \mathcal{L}'')\) est \((f' \circ f, g \circ f^*(g'))\). Nous obtenons ainsi une catégorie \(\Picardstack_{X/B}\) et \[p : \Picardstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad (U, b, \mathcal{L}) \longmapsto U\] est un foncteur. La catégorie fibre de \(\Picardstack_{X/B}\) au-dessus de \(U\) est la réunion disjointe, lorsque \(b \in \Mor_S(U, B)\) varie, des catégories de faisceaux inversibles sur \(X_U = U \times_{b, B} X\). Les catégories fibres sont donc des groupoïdes.

Lemme

Moyennant un remplacement comme dans Champs, remarque 03ZZ, le foncteur \[\Picardstack_{X/B} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] définit un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Comme d’habitude, la partie la plus difficile consiste à montrer l’effectivité de la descente des objets. Soit pour cela \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\xi_i = (U_i, b_i, \mathcal{L}_i)\) un objet de \(\Picardstack_{X/B}\) au-dessus de \(U_i\), et soit \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\) une donnée de descente. Elle implique en particulier que les morphismes \(b_i\) sont les restrictions d’un morphisme \(b : U \to B\). Écrivons \(X_U = U \times_{b, B} X\) et \(X_i = U_i \times_{b_i, B} X = U_i \times_U U \times_{b, B} X = U_i \times_U X_U\). Le faisceau \(\mathcal{L}_i\) est un \(\mathcal{O}_{X_i}\)-module inversible. La famille \(\{X_i \to X_U\}\) est elle aussi un recouvrement fppf. De plus, la donnée de descente \(\varphi_{ij}\) fournit une donnée de descente sur les faisceaux inversibles \(\mathcal{L}_i\) relativement au recouvrement fppf \(\{X_i \to X_U\}\). Par conséquent, d’après Descente sur les espaces, proposition 04W8, nous obtenons un unique faisceau inversible \(\mathcal{L}\) sur \(X_U\) qui redonne \(\mathcal{L}_i\) et les données de descente sur \(X_i\). Le triplet \((U, b, \mathcal{L})\) est donc l’objet de \(\Picardstack_{X/B}\) au-dessus de \(U\) que nous cherchions. Nous omettons les détails.

Exemples de champs d’inertie

Voici quelques exemples de champs d’inertie.

Exemple

Soit \(S\) un schéma. Soit \(G\) un groupe commutatif. Soit \(X \to S\) un schéma sur \(S\). Soit \(a : G \times X \to X\) une action de \(G\) sur \(X\). Pour \(g \in G\), nous notons \(g : X \to X\) l’automorphisme correspondant. Dans ce cas, le champ d’inertie de \([X/G]\) (voir remarque 0371) est donné par \[I_{[X/G]} = \coprod\nolimits_{g\in G} [X^g/G],\] où, pour un élément \(g\) de \(G\), le symbole \(X^g\) désigne le schéma \(X^g = \{x \in X \mid g(x) = x\}\). Plus précisément, \(X^g\) est le produit fibré \[X^g = X \times_{(1, 1), X \times_S X, (g, 1)} X.\] En effet, pour tout \(S\)-schéma \(T\), un point à valeurs dans \(T\) du champ d’inertie de \([X/G]\) consiste en un triplet \((P/T, \phi, \alpha)\) formé d’un \(G\)-torseur fppf \(P \to T\), d’un morphisme \(G\)-équivariant \(\phi : P \to X\) et d’un automorphisme \(\alpha\) de \(P\) sur \(T\) tel que \(\phi \circ \alpha = \phi\). Puisque \(G\) est un faisceau de groupes commutatifs, \(\alpha\) est donné, localement pour la topologie fppf sur \(T\), par la multiplication par un élément \(g\) de \(G\). La condition \(\phi \circ \alpha = \phi\) signifie que \(\phi\) se factorise par l’inclusion de \(X^g\) dans \(X\), c’est-à-dire que \(\phi\) est le composé de cette inclusion avec un morphisme \(P \to X^g\). La discussion précédente permet de définir un morphisme de catégories fibrées \(I_{[X/G]} \to \coprod_{g\in G} [X^g/G]\) sur les points à valeurs dans \(T\) comme ci-dessus. Nous omettons la vérification qu’il s’agit d’une équivalence.

Exemple

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Supposons que, pour tout \(T \to S\), le changement de base \(f_T : X_T \to T\) ait la propriété que le morphisme \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) est un isomorphisme. (Cela implique que \(f\) est cohomologiquement plat en dimension \(0\) (insérer ici une référence ultérieure), mais c’est une condition plus forte.) Considérons le champ de Picard \(\Picardstack_{X/S}\), voir section 0372. Les points de son champ d’inertie au-dessus d’un \(S\)-schéma \(T\) sont les couples \((\mathcal{L}, \alpha)\), où \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible sur \(X_T\) et \(\alpha\) un automorphisme de ce faisceau inversible. Autrement dit, nous pouvons considérer \(\alpha\) comme un élément de \(H^0(X_T, \mathcal{O}_{X_T})^\times = H^0(T, \mathcal{O}_T^*)\) d’après notre hypothèse. Or \(H^0(T, \mathcal{O}_T^*) = \mathbf{G}_{m, S}(T)\), voir Groupoïdes, exemple 022U. Le champ d’inertie de \(\Picardstack_{X/S}\) est donc \[I_{\Picardstack_{X/S}} = \mathbf{G}_{m, S} \times_S \Picardstack_{X/S}\] en tant que champ sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Champs de Hilbert finis

Nous formulons ce qui suit dans une généralité peut-être un peu plus grande que strictement nécessaire. Fixons un \(1\)-morphisme \[F : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{Y}\] de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Pour chaque entier \(d \geq 1\), considérons une catégorie \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) définie comme suit :

1. Un objet est un quintuplet \((U, Z, y, x, \alpha)\), où \(U, Z\) sont des objets de \((\Sch/S)_{fppf}\) et où \(Z\) est fini et localement libre de degré \(d\) sur \(U\), avec \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\), \(x \in \Ob(\mathcal{X}_Z)\) et un isomorphisme \(\alpha : y|_Z \to F(x)\)³.

2. Un morphisme \((U, Z, y, x, \alpha) \to (U', Z', y', x', \alpha')\) est donné par un morphisme de schémas \(f : U \to U'\), un morphisme de schémas \(g : Z \to Z'\) qui induit un isomorphisme \(Z \to Z' \times_U U'\), et des isomorphismes \(b : y \to f^*y'\), \(a : x \to g^*x'\) induisant un diagramme commutatif \[\xymatrix{ y|_Z \ar[rr]_\alpha \ar[d]_{b|_Z} & & F(x) \ar[d]^{F(a)} \\ f^*y'|_Z \ar[rr]^{\alpha'} & & F(g^*x') \\ }\]

Les définitions montrent immédiatement qu’il existe un foncteur d’oubli canonique \[p : \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] qui associe au quintuplet \((U, Z, y, x, \alpha)\) le schéma \(U\) et au morphisme \((f, g, b, a) : (U, Z, y, x, \alpha) \to (U', Z', y', x', \alpha')\) le morphisme \(f : U \to U'\).

Lemme

La catégorie \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\), munie du foncteur \(p\) ci-dessus, définit un champ en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\).

Démonstration

Comme d’habitude, la partie la plus difficile consiste à montrer l’effectivité de la descente des objets. Soit pour cela \(\{U_i \to U\}\) un recouvrement de \((\Sch/S)_{fppf}\). Soit \(\xi_i = (U_i, Z_i, y_i, x_i, \alpha_i)\) un objet de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U_i\), et soit \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*\xi_i \to \text{pr}_1^*\xi_j\) une donnée de descente. Remarquons d’abord que \(\varphi_{ij}\) induit une donnée de descente \((Z_i/U_i, \varphi_{ij})\), qui est effective d’après Descente, lemme 0245. On obtient ainsi un schéma \(Z/U\) fini et localement libre de degré \(d\) d’après Descente, lemme 02VO. Désormais, nous identifions \(Z_i\) à \(Z \times_U U_i\). Ensuite, les objets \(y_i\) des catégories fibres \(\mathcal{Y}_{U_i}\) descendent en un objet \(y\) de \(\mathcal{Y}_U\), puisque \(\mathcal{Y}\) est un champ en groupoïdes. De même, les objets \(x_i\) des catégories fibres \(\mathcal{X}_{Z_i}\) descendent en un objet \(x\) de \(\mathcal{X}_Z\), puisque \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes. Enfin, les isomorphismes donnés \[\alpha_i : (y|_Z)_{Z_i} = y_i|_{Z_i} \longrightarrow F(x_i) = F(x|_{Z_i})\] se recollent en un morphisme \(\alpha : y|_Z \to F(x)\), car \(\mathcal{Y}\) est un champ et \(\mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y|_Z, F(x))\) est donc un faisceau. Nous omettons les détails.

Définition

Nous appellerons \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) le champ de Hilbert fini de degré \(d\) de \(\mathcal{X}\) sur \(\mathcal{Y}\) construit ci-dessus. Si \(\mathcal{Y} = S\), nous écrivons \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}) = \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\). Si \(\mathcal{X} = \mathcal{Y} = S\), nous le notons \(\mathcal{H}_d\).

Étant donné \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) comme ci-dessus, nous avons les \(1\)-morphismes naturels suivants de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) : [05WD]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{H}_d(\mathcal{X}) \ar[rd] & \mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \ar[d] \ar[l] \ar[r] & \mathcal{Y} \\ & \mathcal{H}_d } } \end{equation}\] Chacune des flèches est donnée par un « foncteur d’oubli ».

Lemme

Le \(1\)-morphisme \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X})\) est fidèle.

Démonstration

Pour vérifier que \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y}) \to \mathcal{H}_d(\mathcal{X})\) est fidèle, il suffit de le vérifier sur les catégories fibres. Soient \(\xi = (U, Z, y, x, \alpha)\) et \(\xi' = (U, Z', y', x', \alpha')\) deux objets de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus du schéma \(U\). Soient \((g, b, a), (g', b', a') : \xi \to \xi'\) deux morphismes de la catégorie fibre de \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X}/\mathcal{Y})\) au-dessus de \(U\). Les images de ces morphismes dans \(\mathcal{H}_d(\mathcal{X})\) coïncident si et seulement si \(g = g'\) et \(a = a'\). Le diagramme commutatif \[\xymatrix{ y|_Z \ar[rr]_\alpha \ar[d]_{b|_Z, \ b'|_Z} & & F(x) \ar[d]^{F(a) = F(a')} \\ y'|_Z \ar[rr]^-{\alpha'} & & F(g^*x') = F((g')^*x') \\ }\] implique alors que \(b|_Z = b'|_Z\). Puisque \(Z \to U\) est fini et localement libre de degré \(d\), la famille \(\{Z \to U\}\) est un recouvrement fppf ; ainsi \(b = b'\).