Problèmes de déformation

Introduction

Le but de ce chapitre est de traiter des exemples de la théorie générale développée dans les chapitres Théorie formelle des déformations, Théorie des déformations et Le complexe cotangent.

La section 3 de l’article [Sch] de Schlessinger étudie elle aussi quelques exemples.

Exemples de problèmes de déformation

Liste des sujets qui devraient figurer ici :

1. Déformations de schémas :

   1. La condition de Rim-Schlessinger.

   2. Calcul de l’espace tangent.

   3. Calcul des déformations infinitésimales.

   4. La catégorie de déformations d’une hypersurface affine.

2. Déformations de faisceaux (par exemple, fixer \(X/S\), un point \(s\) de type fini de \(S\) et un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}_s\) sur \(X_s\)).

3. Déformations d’espaces algébriques (très semblables aux déformations de schémas ; peut-être même plus faciles ?).

4. Déformations d’applications (par exemple de morphismes de schémas ; on peut fixer à la fois la source et le but, ou seulement l’un des deux).

5. Ajouter d’autres sujets ici.

Plan général

Cette section expose la démarche suivie pour étudier les exemples qui viennent.

Étape I. Dans chaque section, on fixe un anneau noethérien \(\Lambda\) et un morphisme fini d’anneaux \(\Lambda \to k\), où \(k\) est un corps. Comme d’habitude, on prend \(\mathcal{C}_\Lambda = \mathcal{C}_{\Lambda, k}\) pour catégorie de base ; voir Théorie formelle des déformations, définition 06GC.

Étape II. Dans chaque section, on définit une catégorie \(\mathcal{F}\) cofibrée en groupoïdes sur \(\mathcal{C}_\Lambda\). Il nous arrivera de considérer à la place un foncteur \(F : \mathcal{C}_\Lambda \to \textit{Ensembles}\).

Étape III. On explique dans quelle mesure \(\mathcal{F}\) satisfait la condition de Rim-Schlessinger (RS) étudiée dans Théorie formelle des déformations, section 06J1. De même, on pourra étudier dans quelle mesure \(\mathcal{F}\) satisfait (S1) et (S2), ou dans quelle mesure \(F\) satisfait les conditions correspondantes (H1) et (H2) de Schlessinger. Voir Théorie formelle des déformations, section 06HV.

Étape IV. Soit \(x_0\) un objet de \(\mathcal{F}(k)\), autrement dit un objet de \(\mathcal{F}\) sur \(k\). Dans ce chapitre, on emploiera la notation \[\Deformationcategory_{x_0} = \mathcal{F}_{x_0}\] pour désigner la catégorie de prédéformations construite dans Théorie formelle des déformations, remarque 06GU. Si \(\mathcal{F}\) satisfait (RS), alors \(\Deformationcategory_{x_0}\) est une catégorie de déformations (Théorie formelle des déformations, lemme 06JC) et satisfait (S1) et (S2) (Théorie formelle des déformations, lemme 06J7). Si (S1) et (S2) sont satisfaites, une question importante est de savoir si l’espace tangent \[T\Deformationcategory_{x_0} = T_{x_0}\mathcal{F} = T\mathcal{F}_{x_0}\] (voir Théorie formelle des déformations, remarque 06IK et définition 06IG) est de dimension finie. En effet, cela garantit que \(\Deformationcategory_{x_0}\) possède un objet formel versel (Théorie formelle des déformations, lemme 06IW).

Étape V. Si \(\mathcal{F}\) franchit l’étape IV, la question suivante est de savoir si le \(k\)-espace vectoriel \[\text{Inf}(\Deformationcategory_{x_0}) = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\] des automorphismes infinitésimaux de \(x_0\) est de dimension finie. Dans l’affirmative, cela implique que \(\Deformationcategory_{x_0}\) admet une présentation par un groupoïde lisse proreprésentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) ; voir Théorie formelle des déformations, théorème 06L8.

Modules projectifs de type fini

Cette section n’est qu’un échauffement. Bien entendu, les modules projectifs de type fini ne devraient avoir aucun « module » de paramètres.

Exemple

Soit \(\mathcal{F}\) la catégorie définie comme suit :

1. un objet est un couple \((A, M)\) formé d’un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’un \(A\)-module projectif de type fini \(M\) ;

2. un morphisme \((f, g) : (B, N) \to (A, M)\) est formé d’un morphisme \(f : B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’une application \(g : N \to M\) qui est \(f\)-linéaire et induit un isomorphisme \(N \otimes_{B, f} A \cong M\).

Le foncteur \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) envoie \((A, M)\) sur \(A\) et \((f, g)\) sur \(f\). Il est clair que \(p\) est cofibré en groupoïdes. Étant donné un \(k\)-espace vectoriel de dimension finie \(V\), soit \(x_0 = (k, V)\) l’objet correspondant de \(\mathcal{F}(k)\). On pose \[\Deformationcategory_V = \mathcal{F}_{x_0}\]

Puisque tout module projectif de type fini sur un anneau local est libre de type fini (Algèbre, lemme 00NX), on a \[\begin{matrix} \text{classes d'isomorphisme} \\ \text{des objets de }\mathcal{F}(A) \end{matrix} = \coprod\nolimits_{n \geq 0} \{*\}\] Bien que cela signifie que la théorie des déformations de \(\mathcal{F}\) est essentiellement triviale, on parcourt néanmoins les étapes décrites à la section 0DVM afin de donner un exemple simple.

Lemme

L’exemple 0D3I satisfait la condition de Rim-Schlessinger (RS). En particulier, \(\Deformationcategory_V\) est une catégorie de déformations pour tout espace vectoriel \(V\) de dimension finie sur \(k\).

Démonstration

Soient \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\) des morphismes de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons \(A_2 \to A\) surjectif. D’après Théorie formelle des déformations, lemme 06J5 il suffit de montrer que le foncteur \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) est une équivalence de catégories.

Il faut donc montrer que la catégorie des modules projectifs de type fini sur \(A_1 \times_A A_2\) est équivalente au produit fibré des catégories des modules projectifs de type fini sur \(A_1\) et \(A_2\) au-dessus de la catégorie des modules projectifs de type fini sur \(A\). C’est un cas particulier de Compléments d’algèbre, lemme 0D2J. Rappelons que le foncteur inverse envoie le triplet \((M_1, M_2, \varphi)\), où \(M_1\) est un \(A_1\)-module projectif de type fini, \(M_2\) est un \(A_2\)-module projectif de type fini et \(\varphi : M_1 \otimes_{A_1} A \to M_2 \otimes_{A_2} A\) est un isomorphisme de \(A\)-modules, sur le \(A_1 \times_A A_2\)-module projectif de type fini \(M_1 \times_\varphi M_2\).

Lemme

Dans l’exemple 0D3I, soit \(V\) un \(k\)-espace vectoriel de dimension finie. Alors \[T\Deformationcategory_V = (0) \quad\text{et}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_V) = \text{End}_k(V)\] sont de dimension finie.

Démonstration

Avec \(\mathcal{F}\) comme dans l’exemple 0D3I, posons \(x_0 = (k, V) \in \Ob(\mathcal{F}(k))\). Rappelons que \(T\Deformationcategory_V = T_{x_0}\mathcal{F}\) est l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples \((x, \alpha)\) formés d’un objet \(x\) de \(\mathcal{F}\) sur l’anneau des nombres duaux \(k[\epsilon]\) et d’un morphisme \(\alpha : x \to x_0\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(k[\epsilon] \to k\).

À isomorphisme près, il existe un unique couple \((M, \alpha)\) formé d’un module projectif de type fini \(M\) sur \(k[\epsilon]\) et d’une application \(k[\epsilon]\)-linéaire \(\alpha : M \to V\) qui induit un isomorphisme \(M \otimes_{k[\epsilon]} k \to V\). Par exemple, si \(V = k^{\oplus n}\), on prend \(M = k[\epsilon]^{\oplus n}\) muni de l’application évidente \(\alpha\).

De même, \(\text{Inf}(\Deformationcategory_V) = \text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) est l’ensemble des automorphismes de la déformation triviale \(x'_0\) de \(x_0\) sur \(k[\epsilon]\). Voir Théorie formelle des déformations, définition 06JQ pour plus de détails.

Pour \((M, \alpha)\) comme au deuxième paragraphe, on voit qu’un élément de \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F})\) est un automorphisme \(\gamma : M \to M\) tel que \(\gamma \bmod \epsilon = \text{id}\). On peut donc écrire \(\gamma = \text{id}_M + \epsilon \psi\), où \(\psi : M/\epsilon M \to M/\epsilon M\) est \(k\)-linéaire. Au moyen de \(\alpha\), on peut voir \(\psi\) comme un élément de \(\text{End}_k(V)\), ce qui achève la démonstration.

Représentations d’un groupe

La théorie des déformations des représentations peut être très intéressante.

Exemple

Soit \(\Gamma\) un groupe. Soit \(\mathcal{F}\) la catégorie définie comme suit :

1. un objet est un triplet \((A, M, \rho)\) formé d’un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\), d’un \(A\)-module projectif de type fini \(M\) et d’un homomorphisme \(\rho : \Gamma \to \text{GL}_A(M)\) ;

2. un morphisme \((f, g) : (B, N, \tau) \to (A, M, \rho)\) est formé d’un morphisme \(f : B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’une application \(g : N \to M\) qui est \(f\)-linéaire, \(\Gamma\)-équivariante et induit un isomorphisme \(N \otimes_{B, f} A \cong M\).

Le foncteur \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) envoie \((A, M, \rho)\) sur \(A\) et \((f, g)\) sur \(f\). Il est clair que \(p\) est cofibré en groupoïdes. Étant donné un \(k\)-espace vectoriel de dimension finie \(V\) et une représentation \(\rho_0 : \Gamma \to \text{GL}_k(V)\), soit \(x_0 = (k, V, \rho_0)\) l’objet correspondant de \(\mathcal{F}(k)\). On pose \[\Deformationcategory_{V, \rho_0} = \mathcal{F}_{x_0}\]

Puisque tout module projectif de type fini sur un anneau local est libre de type fini (Algèbre, lemme 00NX), on a \[\begin{matrix} \text{classes d'isomorphisme} \\ \text{des objets de }\mathcal{F}(A) \end{matrix} = \coprod\nolimits_{n \geq 0}\quad \begin{matrix} \text{GL}_n(A)\text{-orbites de conjugaison des}\\ \text{homomorphismes }\rho : \Gamma \to \text{GL}_n(A) \end{matrix}\] C’est déjà plus intéressant que l’étude menée à la section 0DVN.

Lemme

L’exemple 0D3J satisfait la condition de Rim-Schlessinger (RS). En particulier, \(\Deformationcategory_{V, \rho_0}\) est une catégorie de déformations pour toute représentation de dimension finie \(\rho_0 : \Gamma \to \text{GL}_k(V)\).

Démonstration

Soient \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\) des morphismes de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons \(A_2 \to A\) surjectif. D’après Théorie formelle des déformations, lemme 06J5 il suffit de montrer que le foncteur \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) est une équivalence de catégories.

Considérons un objet \[((A_1, M_1, \rho_1), (A_2, M_2, \rho_2), (\text{id}_A, \varphi))\] de la catégorie \(\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\). Alors, comme on l’a vu dans la démonstration du lemme 0DVP, on peut considérer le \(A_1 \times_A A_2\)-module projectif de type fini \(M_1 \times_\varphi M_2\). Puisque \(\varphi\) est compatible aux actions données, on obtient \[\rho_1 \times \rho_2 : \Gamma \longrightarrow \text{GL}_{A_1 \times_A A_2}(M_1 \times_\varphi M_2)\] Alors \((M_1 \times_\varphi M_2, \rho_1 \times \rho_2)\) est un objet de \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2)\). Cette construction détermine un quasi-inverse de notre foncteur.

Lemme

Dans l’exemple 0D3J, soit \(\rho_0 : \Gamma \to \text{GL}_k(V)\) une représentation de dimension finie. Alors \[T\Deformationcategory_{V, \rho_0} = \Ext^1_{k[\Gamma]}(V, V) = H^1(\Gamma, \text{End}_k(V)) \quad\text{et}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_{V, \rho_0}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\] Ainsi, \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{V, \rho_0})\) est toujours de dimension finie, et \(T\Deformationcategory_{V, \rho_0}\) est de dimension finie si \(\Gamma\) est de type fini.

Démonstration

Traitons d’abord les automorphismes infinitésimaux. Soit \(M = V \otimes_k k[\epsilon]\), muni de l’action induite \(\rho_0' : \Gamma \to \text{GL}_n(M)\). Un automorphisme infinitésimal, c’est-à-dire un élément de \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{V, \rho_0})\), est alors donné par un automorphisme \(\gamma = \text{id} + \epsilon \psi : M \to M\) comme dans la démonstration du lemme 0DVQ, où, de plus, \(\psi\) doit commuter à l’action de \(\Gamma\) (donnée par \(\rho_0\)). On voit donc que \[\text{Inf}(\Deformationcategory_{V, \rho_0}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\] comme l’affirme le lemme.

Ensuite, soit \((k[\epsilon], M, \rho)\) un objet de \(\mathcal{F}\) sur \(k[\epsilon]\), et soit \(\alpha : M \to V\) une application \(\Gamma\)-équivariante induisant un isomorphisme \(M/\epsilon M \to V\). Puisque \(M\) est libre comme \(k[\epsilon]\)-module, on obtient une extension de \(\Gamma\)-modules \[0 \to V \to M \xrightarrow{\alpha} V \to 0\] On omet la construction détaillée de l’application de gauche. Réciproquement, si l’on dispose d’une extension de \(\Gamma\)-modules comme ci-dessus, on peut l’utiliser pour définir une structure de \(k[\epsilon]\)-module sur \(M\) et obtenir un objet de \(\mathcal{F}(k[\epsilon])\) ainsi qu’une application \(\alpha\) comme ci-dessus. Il s’ensuit que \[T\Deformationcategory_{V, \rho_0} = \Ext^1_{k[\Gamma]}(V, V)\] comme l’affirme le lemme. Cet espace est égal à \(H^1(\Gamma, \text{End}_k(V))\) d’après Cohomologie étale, lemme 0DVE.

L’assertion sur les dimensions résulte de Cohomologie étale, lemme 0DVF.

Dans l’exemple 0D3J, si \(\Gamma\) est de type fini et si \((V, \rho_0)\) est une représentation de dimension finie de \(\Gamma\) sur \(k\), alors \(\Deformationcategory_{V, \rho_0}\) admet une présentation par un groupoïde lisse proreprésentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) et possède a fortiori un objet formel versel (minimal). Cela résulte des lemmes 0DVS et 0DVT ainsi que de la discussion générale de la section 0DVM.

Lemme

Dans l’exemple 0D3J, supposons \(\Gamma\) de type fini. Soit \(\rho_0 : \Gamma \to \text{GL}_k(V)\) une représentation de dimension finie. Supposons que \(\Lambda\) soit un anneau local complet de corps résiduel \(k\) (cas classique). Alors le foncteur \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_{V, \rho_0}(A))/\cong\] des classes d’isomorphisme d’objets possède une enveloppe. Si \(H^0(\Gamma, \text{End}_k(V)) = k\), alors \(F\) est proreprésentable.

Démonstration

L’existence d’une enveloppe résulte des lemmes 0DVS et 0DVT et Théorie formelle des déformations, lemme 06J7 et remarque 06IZ.

Supposons \(H^0(\Gamma, \text{End}_k(V)) = k\). Pour voir que \(F\) est proreprésentable, il suffit de montrer que \(F\) est un foncteur de déformations ; voir Théorie formelle des déformations, théorème 06JM. Autrement dit, il faut montrer que \(F\) satisfait (RS). On peut pour cela utiliser le critère de Théorie formelle des déformations, lemme 06J8. La surjectivité requise des groupes d’automorphismes résultera de ce que l’on montre que \[A \cdot \text{id}_M = \text{End}_{A[\Gamma]}(M)\] pour tout objet \((A, M, \rho)\) de \(\mathcal{F}\) tel que \(M \otimes_A k\) soit isomorphe à \(V\) comme représentation de \(\Gamma\). Puisque le membre de gauche est contenu dans celui de droite, il suffit de montrer \(\text{length}_A \text{End}_{A[\Gamma]}(M) \leq \text{length}_A A\). Choisissons des idéaux deux à deux distincts \((0) = I_n \subset \ldots \subset I_1 \subset A\) avec \(n = \text{length}(A)\). En filtrant \(M\) de façon correspondante, on voit qu’il suffit de prouver que \(\Hom_{A[\Gamma]}(M, I_tM/I_{t + 1}M)\) est de longueur \(1\). Puisque \(I_tM/I_{t + 1}M \cong M \otimes_A k\) et que toute application de \(A[\Gamma]\)-modules \(M \to M \otimes_A k\) se factorise de manière unique par l’application quotient \(M \to M \otimes_A k\) et donne ainsi un élément de \[\text{End}_{A[\Gamma]}(M \otimes_A k) = \text{End}_{k[\Gamma]}(V) = k\] on conclut.

Représentations continues

Une démarche particulièrement intéressante consiste à prendre un groupe de Galois infini et à étudier la théorie des déformations de ses représentations ; voir [Mazur-deforming].

Exemple

Soit \(\Gamma\) un groupe topologique. Soit \(\mathcal{F}\) la catégorie définie comme suit :

1. un objet est un triplet \((A, M, \rho)\) formé d’un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\), d’un \(A\)-module projectif de type fini \(M\) et d’un homomorphisme continu \(\rho : \Gamma \to \text{GL}_A(M)\), où \(\text{GL}_A(M)\) est muni de la topologie discrète¹ ;

2. un morphisme \((f, g) : (B, N, \tau) \to (A, M, \rho)\) est formé d’un morphisme \(f : B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’une application \(g : N \to M\) qui est \(f\)-linéaire, \(\Gamma\)-équivariante et induit un isomorphisme \(N \otimes_{B, f} A \cong M\).

Le foncteur \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) envoie \((A, M, \rho)\) sur \(A\) et \((f, g)\) sur \(f\). Il est clair que \(p\) est cofibré en groupoïdes. Étant donné un \(k\)-espace vectoriel de dimension finie \(V\) et une représentation continue \(\rho_0 : \Gamma \to \text{GL}_k(V)\), soit \(x_0 = (k, V, \rho_0)\) l’objet correspondant de \(\mathcal{F}(k)\). On pose \[\Deformationcategory_{V, \rho_0} = \mathcal{F}_{x_0}\]

Puisque tout module projectif de type fini sur un anneau local est libre de type fini (Algèbre, lemme 00NX), on a \[\begin{matrix} \text{classes d'isomorphisme} \\ \text{des objets de }\mathcal{F}(A) \end{matrix} = \coprod\nolimits_{n \geq 0}\quad \begin{matrix} \text{GL}_n(A)\text{-orbites de conjugaison des}\\ \text{homomorphismes continus }\rho : \Gamma \to \text{GL}_n(A) \end{matrix}\]

Lemme

L’exemple 0D3K satisfait la condition de Rim-Schlessinger (RS). En particulier, \(\Deformationcategory_{V, \rho_0}\) est une catégorie de déformations pour toute représentation continue de dimension finie \(\rho_0 : \Gamma \to \text{GL}_k(V)\).

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du lemme 0DVS.

Lemme

Dans l’exemple 0D3K, soit \(\rho_0 : \Gamma \to \text{GL}_k(V)\) une représentation continue de dimension finie. Alors \[T\Deformationcategory_{V, \rho_0} = H^1(\Gamma, \text{End}_k(V)) \quad\text{et}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_{V, \rho_0}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\] Ainsi, \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{V, \rho_0})\) est toujours de dimension finie, et \(T\Deformationcategory_{V, \rho_0}\) est de dimension finie si \(\Gamma\) est topologiquement de type fini.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du lemme 0DVT.

Dans l’exemple 0D3K, si \(\Gamma\) est topologiquement de type fini et si \((V, \rho_0)\) est une représentation continue de dimension finie de \(\Gamma\) sur \(k\), alors \(\Deformationcategory_{V, \rho_0}\) admet une présentation par un groupoïde lisse proreprésentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) et possède a fortiori un objet formel versel (minimal). Cela résulte des lemmes 0DVV et 0DVW ainsi que de la discussion générale de la section 0DVM.

Lemme

Dans l’exemple 0D3K, supposons que \(\Gamma\) soit topologiquement de type fini. Soit \(\rho_0 : \Gamma \to \text{GL}_k(V)\) une représentation de dimension finie. Supposons que \(\Lambda\) soit un anneau local complet de corps résiduel \(k\) (cas classique). Alors le foncteur \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_{V, \rho_0}(A))/\cong\] des classes d’isomorphisme d’objets possède une enveloppe. Si \(H^0(\Gamma, \text{End}_k(V)) = k\), alors \(F\) est proreprésentable.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du lemme 0ET1.

Algèbres graduées

Nous utiliserons l’exemple de cette section dans la démonstration que le champ des schémas propres polarisés est un champ algébrique. Pour cette raison, nous considérerons des algèbres graduées commutatives dont les composantes homogènes sont des modules projectifs de type fini (parfois dits « localement finis »).

Exemple

Soit \(\mathcal{F}\) la catégorie définie comme suit :

1. un objet est un couple \((A, P)\) formé d’un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’une \(A\)-algèbre graduée \(P\) tel que \(P_d\) soit un \(A\)-module projectif de type fini pour tout \(d \geq 0\) ;

2. un morphisme \((f, g) : (B, Q) \to (A, P)\) est formé d’un morphisme \(f : B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’une application \(g : Q \to P\) qui est \(f\)-linéaire et induit un isomorphisme \(Q \otimes_{B, f} A \cong P\).

Le foncteur \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) envoie \((A, P)\) sur \(A\) et \((f, g)\) sur \(f\). Il est clair que \(p\) est cofibré en groupoïdes. Étant donnée une \(k\)-algèbre graduée \(P\) telle que \(\dim_k(P_d) < \infty\) pour tout \(d \geq 0\), soit \(x_0 = (k, P)\) l’objet correspondant de \(\mathcal{F}(k)\). On pose \[\Deformationcategory_P = \mathcal{F}_{x_0}\]

Lemme

L’exemple 0D3L satisfait la condition de Rim-Schlessinger (RS). En particulier, \(\Deformationcategory_P\) est une catégorie de déformations pour toute \(k\)-algèbre graduée \(P\).

Démonstration

Soient \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\) des morphismes de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons \(A_2 \to A\) surjectif. D’après Théorie formelle des déformations, lemme 06J5 il suffit de montrer que le foncteur \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) est une équivalence de catégories.

Considérons un objet \[((A_1, P_1), (A_2, P_2), (\text{id}_A, \varphi))\] de la catégorie \(\mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\). Considérons alors \(P_1 \times_\varphi P_2\). Comme \(\varphi : P_1 \otimes_{A_1} A \to P_2 \otimes_{A_2} A\) est un isomorphisme d’algèbres graduées, on voit que les composantes homogènes de \(P_1 \times_\varphi P_2\) sont des \(A_1 \times_A A_2\)-modules projectifs de type fini ; voir la démonstration du lemme 0DVP. Ainsi, \(P_1 \times_\varphi P_2\) est un objet de \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2)\). Cette construction détermine un quasi-inverse de notre foncteur, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Dans l’exemple 0D3L, soit \(P\) une \(k\)-algèbre graduée. Alors \[T\Deformationcategory_P \quad\text{et}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_P) = \text{Der}_k(P, P)\] sont de dimension finie si \(P\) est de type fini sur \(k\).

Démonstration

Traitons d’abord les automorphismes infinitésimaux. Soit \(Q = P \otimes_k k[\epsilon]\). Un élément de \(\text{Inf}(\Deformationcategory_P)\) est alors donné par un automorphisme \(\gamma = \text{id} + \epsilon \delta : Q \to Q\) comme ci-dessus, où maintenant \(\delta : P \to P\). Le fait que \(\gamma\) soit gradué implique que \(\delta\) est homogène de degré \(0\). Le fait que \(\gamma\) soit \(k\)-linéaire implique que \(\delta\) est \(k\)-linéaire. Le fait que \(\gamma\) soit multiplicatif implique que \(\delta\) est une \(k\)-dérivation. Réciproquement, toute \(k\)-dérivation \(\delta : P \to P\) homogène de degré \(0\) fournit un automorphisme \(\gamma = \text{id} + \epsilon \delta\) comme ci-dessus. On voit donc que \[\text{Inf}(\Deformationcategory_P) = \text{Der}_k(P, P)\] comme l’affirme le lemme. Manifestement, si \(P\) est engendrée par les composantes \(P_i\) de degrés \(0 \leq i \leq N\), alors \(\delta\) est déterminée par les applications linéaires \(\delta_i : P_i \to P_i\) pour \(0 \leq i \leq N\), et l’on voit que \[\dim_k \text{Der}_k(P, P) < \infty\] comme voulu.

Pour achever la démonstration du lemme, montrons que l’espace des déformations est de dimension finie. À cette fin, choisissons une présentation \[k[X_1, \ldots, X_n]/(F_1, \ldots, F_m) \longrightarrow P\] de \(k\)-algèbres graduées, où \(\deg(X_i) = d_i\) et où \(F_j\) est homogène de degré \(e_j\). Soit \(Q\) une \(k[\epsilon]\)-algèbre graduée quelconque, libre de type fini en chaque degré, munie d’un isomorphisme \(\alpha : Q/\epsilon Q \to P\) tel que \((Q, \alpha)\) définisse un élément de \(T\Deformationcategory_P\). Choisissons un élément homogène \(q_i \in Q\) de degré \(d_i\) dont l’image est celle de \(X_i\) dans \(P\). On obtient alors \[k[\epsilon][X_1, \ldots, X_n] \longrightarrow Q,\quad X_i \longmapsto q_i\] et, puisque \(P = Q/\epsilon Q\), cette application est surjective d’après le lemme de Nakayama. Une chasse au diagramme élémentaire montre que l’on peut choisir des éléments homogènes \(F_{\epsilon, j} \in k[\epsilon][X_1, \ldots, X_n]\) de degré \(e_j\) dont l’image dans \(Q\) est nulle et dont l’image est \(F_j\) dans \(k[X_1, \ldots, X_n]\). Alors \[k[\epsilon][X_1, \ldots, X_n]/(F_{\epsilon, 1}, \ldots, F_{\epsilon, m}) \longrightarrow Q\] est une présentation de \(Q\), par platitude de \(Q\) sur \(k[\epsilon]\). Écrivons \[F_{\epsilon, j} = F_j + \epsilon G_j\] Le vecteur \((G_1, \ldots, G_m)\) comporte une certaine ambiguïté. D’abord, en choisissant autrement les \(F_{\epsilon, j}\), on peut modifier \(G_j\) par un élément arbitraire de degré \(e_j\) du noyau de \(k[X_1, \ldots, X_n] \to P\). Ainsi, au lieu de \((G_1, \ldots, G_m)\), nous retenons l’élément \[(g_1, \ldots, g_m) \in P_{e_1} \oplus \ldots \oplus P_{e_m}\] où \(g_j\) est l’image de \(G_j\) dans \(P_{e_j}\). En outre, si l’on remplace le choix de \(q_i\) par \(q_i + \epsilon p_i\), où \(p_i\) est de degré \(d_i\), un calcul (omis) montre que \(g_j\) devient \[g_j^{new} = g_j - \sum\nolimits_{i = 1}^n p_i \partial F_j / \partial X_i\] On conclut que la classe d’isomorphisme de \(Q\) est déterminée par l’image du vecteur \((G_1, \ldots, G_m)\) dans le \(k\)-espace vectoriel \[W = \Coker(P_{d_1} \oplus \ldots \oplus P_{d_n} \xrightarrow{(\frac{\partial F_j}{\partial X_i})} P_{e_1} \oplus \ldots \oplus P_{e_m})\] On obtient ainsi une injection \[T\Deformationcategory_P \longrightarrow W\] Puisque \(W\) est manifestement de dimension finie, le lemme en résulte.

Dans l’exemple 0D3L, si \(P\) est une \(k\)-algèbre graduée de type fini, alors \(\Deformationcategory_P\) admet une présentation par un groupoïde lisse proreprésentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) et possède a fortiori un objet formel versel (minimal). Cela résulte des lemmes 0DVY et 0DVZ ainsi que de la discussion générale de la section 0DVM.

Lemme

Dans l’exemple 0D3L, supposons que \(P\) soit une \(k\)-algèbre graduée de type fini. Supposons que \(\Lambda\) soit un anneau local complet de corps résiduel \(k\) (cas classique). Alors le foncteur \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_P(A))/\cong\] des classes d’isomorphisme d’objets possède une enveloppe.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 0DVY et 0DVZ ainsi que de Théorie formelle des déformations, lemme 06J7 et remarque 06IZ.

Anneaux

La théorie des déformations des anneaux est la même que celle des schémas affines. Pour les anneaux et les schémas, lorsque nous parlons de déformations, nous entendons des déformations plates.

Exemple

Soit \(\mathcal{F}\) la catégorie définie comme suit :

1. un objet est un couple \((A, P)\) formé d’un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’une \(A\)-algèbre plate \(P\) ;

2. un morphisme \((f, g) : (B, Q) \to (A, P)\) est formé d’un morphisme \(f : B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’une application \(g : Q \to P\) qui est \(f\)-linéaire et induit un isomorphisme \(Q \otimes_{B, f} A \cong P\).

Le foncteur \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) envoie \((A, P)\) sur \(A\) et \((f, g)\) sur \(f\). Il est clair que \(p\) est cofibré en groupoïdes. Étant donnée une \(k\)-algèbre \(P\), soit \(x_0 = (k, P)\) l’objet correspondant de \(\mathcal{F}(k)\). On pose \[\Deformationcategory_P = \mathcal{F}_{x_0}\]

Lemme

L’exemple 0DY1 satisfait la condition de Rim-Schlessinger (RS). En particulier, \(\Deformationcategory_P\) est une catégorie de déformations pour toute \(k\)-algèbre \(P\).

Démonstration

Soient \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\) des morphismes de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons \(A_2 \to A\) surjectif. D’après Théorie formelle des déformations, lemme 06J5 il suffit de montrer que le foncteur \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) est une équivalence de catégories. C’est un cas particulier de Compléments sur l’algèbre, lemme 08KQ.

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre. Alors \[T\Deformationcategory_P = \text{Ext}^1_P(\NL_{P/k}, P) \quad\text{et}\quad \text{Inf}(\Deformationcategory_P) = \text{Der}_k(P, P)\]

Démonstration

Rappelons que \(\text{Inf}(\Deformationcategory_P)\) est l’ensemble des automorphismes de la déformation triviale \(P[\epsilon] = P \otimes_k k[\epsilon]\) de \(P\) sur \(k[\epsilon]\) qui sont égaux à l’identité modulo \(\epsilon\). D’après Théorie des déformations, lemme 08S5, cet ensemble est égal à \(\Hom_P(\Omega_{P/k}, P)\), qui est à son tour égal à \(\text{Der}_k(P, P)\) d’après Algèbre, lemme 00RO.

Rappelons que \(T\Deformationcategory_P\) est l’ensemble des classes d’isomorphisme des déformations plates \(Q\) de \(P\) sur \(k[\epsilon]\), plus précisément l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\Deformationcategory_P(k[\epsilon])\). Rappelons qu’une \(k[\epsilon]\)-algèbre \(Q\) telle que \(Q/\epsilon Q = P\) est plate sur \(k[\epsilon]\) si et seulement si \[0 \to P \xrightarrow{\epsilon} Q \to P \to 0\] est exacte. Cela est démontré dans Compléments sur les morphismes, lemme 063Y, et, plus généralement, dans Théorie des déformations, lemme 08LI. Nous pouvons donc appliquer Théorie des déformations, lemme 08S7, pour voir que l’ensemble des classes d’isomorphisme de telles déformations est égal à \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k}, P)\).

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre lisse. Alors \(T\Deformationcategory_P = (0)\).

Démonstration

D’après le lemme 0DY3, il faut montrer que \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k}, P) = (0)\). Puisque \(k \to P\) est lisse, \(\NL_{P/k}\) est quasi-isomorphe au complexe constitué d’un \(P\)-module projectif de type fini placé en degré \(0\).

Lemme

Dans le lemme 0DY3, si \(P\) est une \(k\)-algèbre de type fini, alors

1. \(\text{Inf}(\Deformationcategory_P)\) est de dimension finie si et seulement si \(\dim(P) = 0\) ;

2. \(T\Deformationcategory_P\) est de dimension finie si \(\Spec(P) \to \Spec(k)\) est lisse sauf en un nombre fini de points.

Démonstration

Preuve de (1). Considérons \(\text{Der}_k(P, P)\) comme un \(P\)-module. S’il est de dimension finie sur \(k\), il est alors de longueur finie comme \(P\)-module ; son support est donc contenu dans un nombre fini de points fermés de \(\Spec(P)\) (Algèbre, lemme 00J3). Puisque \(\text{Der}_k(P, P) = \Hom_P(\Omega_{P/k}, P)\), nous voyons que \(\text{Der}_k(P, P)_\mathfrak p = \text{Der}_k(P_\mathfrak p, P_\mathfrak p)\) pour tout idéal premier \(\mathfrak p \subset P\) (cela utilise Algèbre, lemmes 00RT, 00RY, et 0583). Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier minimal de \(P\) correspondant à une composante irréductible de dimension \(d > 0\). Alors \(P_\mathfrak p\) est un anneau local artinien essentiellement de type fini sur \(k\), avec corps résiduel, et \(\Omega_{P_\mathfrak p/k}\) est non nul, par exemple d’après Algèbre, lemme 00TT. Tout module fini non nul sur un anneau local artinien possède à la fois un sous-module et un module quotient isomorphes au corps résiduel. Nous trouvons ainsi que \(\text{Der}_k(P_\mathfrak p, P_\mathfrak p) = \Hom_{P_\mathfrak p}(\Omega_{P_\mathfrak p/k}, P_\mathfrak p)\) est lui aussi non nul. En combinant tout ce qui précède, nous obtenons (1).

Preuve de (2). Pour un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(P\), nous utiliserons l’égalité \(\NL_{P_\mathfrak p/k} = (\NL_{P/k})_\mathfrak p\) (Algèbre, lemme 00S7) ainsi que l’égalité \(\text{Ext}_P^1(\NL_{P/k}, P)_\mathfrak p = \text{Ext}_{P_\mathfrak p}^1(\NL_{P_\mathfrak p/k}, P_\mathfrak p)\) (Compléments sur l’algèbre, lemme 087R). Étant donné un idéal premier \(\mathfrak p \subset P\), le morphisme \(k \to P\) est lisse en \(\mathfrak p\) si et seulement si \((\NL_{P/k})_\mathfrak p\) est quasi-isomorphe à un module projectif de type fini placé en degré \(0\) (cela résulte immédiatement de la définition d’un homomorphisme d’anneaux lisse, mais aussi du résultat plus fort d’Algèbre, lemme 07BU).

Supposons que \(P\) soit lisse sur \(k\) en dehors d’un nombre fini d’idéaux premiers. Ces idéaux premiers « mauvais » sont alors les idéaux maximaux \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n \subset P\), d’après Algèbre, lemme 0ALW, et parce que les idéaux premiers « mauvais » forment un fermé de \(\Spec(P)\). Pour \(\mathfrak p \not \in \{\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n\}\), nous avons \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k}, P)_\mathfrak p = 0\) d’après ce qui précède. Ainsi, \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k}, P)\) est un \(P\)-module fini dont le support est contenu dans \(\{\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\}\). D’après Algèbre, proposition 02CE par exemple, nous trouvons que la dimension sur \(k\) de \(\text{Ext}^1_P(\NL_{P/k}, P)\) est une combinaison linéaire entière finie des \(\dim_k \kappa(\mathfrak m_i)\) ; elle est donc finie d’après le théorème des zéros de Hilbert (Algèbre, théorème 00FV).

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre de type fini. Alors \(\Deformationcategory_P\) admet une présentation par un groupoïde lisse proreprésentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) si et seulement si \(\dim(P) = 0\). De plus, \(\Deformationcategory_P\) possède un objet formel versel si \(\Spec(P) \to \Spec(k)\) n’a qu’un nombre fini de points singuliers. Cela résulte des lemmes 0DY2 et 0DY4, ainsi que de la discussion générale de la section 0DVM.

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, supposons que \(P\) soit une \(k\)-algèbre de type fini telle que \(\Spec(P) \to \Spec(k)\) soit lisse sauf en un nombre fini de points. Supposons que \(\Lambda\) soit un anneau local complet de corps résiduel \(k\) (cas classique). Alors le foncteur \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_P(A))/\cong\] des classes d’isomorphisme d’objets possède une enveloppe.

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 0DY2 et 0DY4, ainsi que de Théorie formelle des déformations, lemme 06J7 et remarque 06IZ.

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre. Soit \(S \subset P\) une partie multiplicative. Il existe un foncteur naturel \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{S^{-1}P}\] de catégories de déformations.

Démonstration

Étant donnée une déformation de \(P\), nous pouvons la localiser pour obtenir une déformation de la localisation ; cela est clair, et nous invitons le lecteur à omettre la démonstration. Plus précisément, soit \((A, Q) \to (k, P)\) un morphisme de \(\mathcal{F}\), c’est-à-dire un objet de \(\Deformationcategory_P\). Soit \(S_Q \subset Q\) l’image réciproque de \(S\). Alors Ainsi, \((A, S_Q^{-1}Q) \to (k, S^{-1}P)\) est l’objet recherché de \(\Deformationcategory_{S^{-1}P}\).

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre. Soit \(J \subset P\) un idéal. Notons \((P^h, J^h)\) l’hensélisation du couple \((P, J)\). Il existe un foncteur naturel \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^h}\] de catégories de déformations.

Démonstration

Étant donnée une déformation de \(P\), nous pouvons en prendre l’hensélisation pour obtenir une déformation de l’hensélisé ; cela est clair, et nous invitons le lecteur à omettre la démonstration. Plus précisément, soit \((A, Q) \to (k, P)\) un morphisme de \(\mathcal{F}\), c’est-à-dire un objet de \(\Deformationcategory_P\). Notons \(J_Q \subset Q\) l’image réciproque de \(J\) dans \(Q\). Soit \((Q^h, J_Q^h)\) l’hensélisation du couple \((Q, J_Q)\). Rappelons que \(Q \to Q^h\) est plat (Compléments sur l’algèbre, lemme 0AGU) et que \(Q^h\) est donc plat sur \(A\). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0DYE, nous voyons que l’application \(Q^h \to P^h\) induit un isomorphisme \(Q^h \otimes_A k = Q^h \otimes_Q P = P^h\). Ainsi, \((A, Q^h) \to (k, P^h)\) est l’objet recherché de \(\Deformationcategory_{P^h}\).

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre. Supposons que \(P\) soit un anneau local et soit \(P^{sh}\) un hensélisé strict de \(P\). Il existe un foncteur naturel \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^{sh}}\] de catégories de déformations.

Démonstration

Étant donnée une déformation de \(P\), nous pouvons en prendre l’hensélisé strict pour obtenir une déformation de l’hensélisé strict ; cela est clair, et nous invitons le lecteur à omettre la démonstration. Plus précisément, soit \((A, Q) \to (k, P)\) un morphisme de \(\mathcal{F}\), c’est-à-dire un objet de \(\Deformationcategory_P\). Puisque le noyau de la surjection \(Q \to P\) est nilpotent, nous trouvons que \(Q\) est un anneau local de même corps résiduel que \(P\). Soit \(Q^{sh}\) l’hensélisé strict de \(Q\). Rappelons que \(Q \to Q^{sh}\) est plat (Compléments sur l’algèbre, lemme 07QM) et que \(Q^{sh}\) est donc plat sur \(A\). D’après Algèbre, lemme 05WS, nous voyons que l’application \(Q^{sh} \to P^{sh}\) induit un isomorphisme \(Q^{sh} \otimes_A k = Q^{sh} \otimes_Q P = P^{sh}\). Ainsi, \((A, Q^{sh}) \to (k, P^{sh})\) est l’objet recherché de \(\Deformationcategory_{P^{sh}}\).

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre. Supposons \(P\) noethérien et soit \(J \subset P\) un idéal. Notons \(P^\wedge\) le complété \(J\)-adique. Il existe un foncteur naturel \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^\wedge}\] de catégories de déformations.

Démonstration

Étant donnée une déformation de \(P\), nous pouvons en prendre le complété pour obtenir une déformation du complété ; cela est clair, et nous invitons le lecteur à omettre la démonstration. Plus précisément, soit \((A, Q) \to (k, P)\) un morphisme de \(\mathcal{F}\), c’est-à-dire un objet de \(\Deformationcategory_P\). Observons que \(Q\) est un anneau noethérien : le noyau de l’homomorphisme surjectif d’anneaux \(Q \to P\) est nilpotent et de type fini, et \(P\) est noethérien ; appliquons Algèbre, lemme 05GH. Notons \(J_Q \subset Q\) l’image réciproque de \(J\) dans \(Q\). Soit \(Q^\wedge\) le complété \(J_Q\)-adique de \(Q\). Rappelons que \(Q \to Q^\wedge\) est plat (Algèbre, lemme 00MB) et que \(Q^\wedge\) est donc plat sur \(A\). L’application induite \(Q^\wedge \to P^\wedge\) induit un isomorphisme \(Q^\wedge \otimes_A k = Q^\wedge \otimes_Q P = P^\wedge\) d’après Algèbre, lemme 00MA, par exemple. Ainsi, \((A, Q^\wedge) \to (k, P^\wedge)\) est l’objet recherché de \(\Deformationcategory_{P^\wedge}\).

Lemme

Dans le lemme 0DY3, si \(P = k[[x_1, \ldots, x_n]]/(f)\) pour un certain \(f \in (x_1, \ldots, x_n)^2\) non nul, alors

1. \(\text{Inf}(\Deformationcategory_P)\) est de dimension finie si et seulement si \(n = 1\) ;

2. \(T\Deformationcategory_P\) est de dimension finie si \[\sqrt{(f, \partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)} = (x_1, \ldots, x_n)\]

Démonstration

Preuve de (1). Considérons les dérivations \(\partial/\partial x_i\) de \(k[[x_1, \ldots, x_n]]\) sur \(k\). Posons \(f_i = \partial f/\partial x_i\). La dérivation \[\theta = \sum h_i \partial/\partial x_i\] de \(k[[x_1, \ldots, x_n]]\) induit une dérivation de \(P = k[[x_1, \ldots, x_n]]/(f)\) si et seulement si \(\sum h_i f_i \in (f)\). De plus, la dérivation induite de \(P\) est nulle si et seulement si \(h_i \in (f)\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Nous obtenons ainsi \[\Ker((f_1, \ldots, f_n) : P^{\oplus n} \longrightarrow P) \subset \text{Der}_k(P, P)\] Le membre de gauche n’est un \(k\)-espace vectoriel de dimension finie que si \(n = 1\) ; nous omettons la démonstration. Nous laissons aussi au lecteur le soin de voir que le membre de droite est de dimension finie si \(n = 1\). Cela démontre (1).

Preuve de (2). Soit \(Q\) une déformation plate de \(P\) sur \(k[\epsilon]\), comme dans la démonstration du lemme 0DY3. Choisissons des relèvements \(q_i \in Q\) de l’image de \(x_i\) dans \(P\). Alors \(Q\) est un anneau local complet dont l’idéal maximal est engendré par \(q_1, \ldots, q_n\) et \(\epsilon\) (nous omettons un court argument). Nous obtenons ainsi une surjection \[k[\epsilon][[x_1, \ldots, x_n]] \longrightarrow Q,\quad x_i \longmapsto q_i\] Choisissons un élément de la forme \(f + \epsilon g \in k[\epsilon][[x_1, \ldots, x_n]]\) qui s’envoie sur zéro dans \(Q\). Observons que \(g\) est bien défini modulo \((f)\). Puisque \(Q\) est plat sur \(k[\epsilon]\), nous obtenons \[Q = k[\epsilon][[x_1, \ldots, x_n]]/(f + \epsilon g)\] Enfin, modifier le choix de \(q_i\) revient à remplacer les coordonnées \(x_i\) par \(x_i + \epsilon h_i\) pour certains \(h_i \in k[[x_1, \ldots, x_n]]\). Alors \(f + \epsilon g\) devient \(f + \epsilon (g + \sum h_i f_i)\), où \(f_i = \partial f/\partial x_i\). Nous voyons donc que la classe d’isomorphisme de la déformation \(Q\) est déterminée par un élément de \[k[[x_1, \ldots, x_n]]/ (f, \partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)\] Ce quotient est de dimension finie sur \(k\) si et seulement si son support est le point fermé de \(k[[x_1, \ldots, x_n]]\), si et seulement si \(\sqrt{(f, \partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)} = (x_1, \ldots, x_n)\).

Schémas

La théorie des déformations des schémas.

Exemple

Soit \(\mathcal{F}\) la catégorie définie comme suit :

1. un objet est un couple \((A, X)\) formé d’un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’un schéma \(X\) plat sur \(A\) ;

2. un morphisme \((f, g) : (B, Y) \to (A, X)\) est formé d’un morphisme \(f : B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’un morphisme \(g : X \to Y\) tel que \[\xymatrix{ X \ar[r]_g \ar[d] & Y \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r]^f & \Spec(B) }\] soit un diagramme commutatif cartésien de schémas.

Le foncteur \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) envoie \((A, X)\) sur \(A\) et \((f, g)\) sur \(f\). Il est clair que \(p\) est cofibré en groupoïdes. Étant donné un schéma \(X\) sur \(k\), soit \(x_0 = (k, X)\) l’objet correspondant de \(\mathcal{F}(k)\). On pose \[\Deformationcategory_X = \mathcal{F}_{x_0}\]

Lemme

L’exemple 0DY7 satisfait la condition de Rim-Schlessinger (RS). En particulier, \(\Deformationcategory_X\) est une catégorie de déformations pour tout schéma \(X\) sur \(k\).

Démonstration

Soient \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\) des morphismes de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons \(A_2 \to A\) surjectif. D’après Théorie formelle des déformations, lemme 06J5 il suffit de montrer que le foncteur \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) est une équivalence de catégories. Observons que \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_2) \ar[d] \\ \Spec(A_1) \ar[r] & \Spec(A_1 \times_A A_2) }\] est un diagramme cocartésien comme dans Compléments sur les morphismes, lemme 07RT. Le lemme est donc un cas particulier de Compléments sur les morphismes, lemme 07RX.

Lemme

Dans l’exemple 0DY7, soit \(X\) un schéma sur \(k\). Alors \[\text{Inf}(\Deformationcategory_X) = \text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\] et \[T\Deformationcategory_X = \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\]

Démonstration

Rappelons que \(\text{Inf}(\Deformationcategory_X)\) est l’ensemble des automorphismes de la déformation triviale \(X' = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon])\) de \(X\) sur \(k[\epsilon]\) qui sont égaux à l’identité modulo \(\epsilon\). D’après Théorie des déformations, lemme 0D14, cet ensemble est égal à \(\text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\). L’égalité \(\text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X)\) résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 0D0J. L’égalité \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) résulte de Morphismes, lemme 01UR.

Rappelons que \(T_{x_0}\Deformationcategory_X\) est l’ensemble des classes d’isomorphisme des déformations plates \(X'\) de \(X\) sur \(k[\epsilon]\), plus précisément l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\Deformationcategory_X(k[\epsilon])\). La seconde assertion du lemme résulte donc de Théorie des déformations, lemme 0D14.

Lemme

Dans le lemme 0DY9, si \(X\) est propre sur \(k\), alors \(\text{Inf}(\Deformationcategory_X)\) et \(T\Deformationcategory_X\) sont de dimension finie.

Démonstration

D’après le lemme, il faut montrer que \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\) et \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\) sont de dimension finie. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0D0K et le fait que \(X\) est noethérien, nous voyons que \(\NL_{X/k}\) a des faisceaux de cohomologie cohérents, nuls sauf en degrés \(0\) et \(-1\). D’après Catégories dérivées de schémas, lemme 0D0D, les groupes \(\Ext\) affichés sont des \(k\)-espaces vectoriels de dimension finie, ce qui achève la démonstration.

Dans l’exemple 0DY7, si \(X\) est un schéma propre sur \(k\), alors \(\Deformationcategory_X\) admet une présentation par un groupoïde lisse proreprésentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) et possède a fortiori un objet formel versel (minimal). Cela résulte des lemmes 0DY8 et 0DYA, ainsi que de la discussion générale de la section 0DVM.

Lemme

Dans l’exemple 0DY7, supposons que \(X\) soit un \(k\)-schéma propre. Supposons que \(\Lambda\) soit un anneau local complet de corps résiduel \(k\) (cas classique). Alors le foncteur \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_X(A))/\cong\] des classes d’isomorphisme d’objets possède une enveloppe. Si \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\), alors \(F\) est proreprésentable.

Démonstration

L’existence d’une enveloppe résulte immédiatement des lemmes 0DY8 et 0DYA, ainsi que de Théorie formelle des déformations, lemme 06J7 et remarque 06IZ.

Supposons \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\). Alors \(\Deformationcategory_X\) et \(F\) sont équivalents d’après Théorie formelle des déformations, lemme 06K0. Ainsi, \(F\) est un foncteur de déformations (car \(\Deformationcategory_X\) est une catégorie de déformations) d’espace tangent de dimension finie, et nous pouvons appliquer Théorie formelle des déformations, théorème 06JM.

Lemme

Dans l’exemple 0DY7, soit \(X\) un schéma sur \(k\). Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Il existe un foncteur naturel \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_U\] de catégories de déformations.

Démonstration

Étant donnée une déformation de \(X\), nous pouvons en prendre l’ouvert correspondant pour obtenir une déformation de \(U\). Nous omettons les détails.

Lemme

Dans l’exemple 0DY7, soit \(X = \Spec(P)\) un schéma affine sur \(k\). Avec \(\Deformationcategory_P\) comme dans l’exemple 0DY1, il existe une équivalence naturelle \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_P\] de catégories de déformations.

Démonstration

Le foncteur envoie \((A, Y)\) sur \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\). Cette construction convient parce que toute déformation de \(X\) est affine d’après Compléments sur les morphismes, lemme 06AD.

Lemme

Dans l’exemple 0DY7, soit \(X\) un schéma sur \(k\). Soit \(p \in X\) un point. Avec \(\Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p}}\) comme dans l’exemple 0DY1, il existe un foncteur naturel \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p}}\] de catégories de déformations.

Démonstration

Choisissons un ouvert affine \(U = \Spec(P) \subset X\) contenant \(p\). Alors \(\mathcal{O}_{X, p}\) est une localisation de \(P\). Composons les foncteurs des lemmes 0DYW, 0DYX et 0DYS.

Situation

Soit \(\Lambda \to k\) comme dans la section 0DVM. Soit \(X\) un schéma sur \(k\) qui possède un recouvrement ouvert affine \(X = U_1 \cup U_2\), où \(U_{12} = U_1 \cap U_2\) est lui aussi affine. Écrivons \(U_1 = \Spec(P_1)\), \(U_2 = \Spec(P_2)\) et \(U_{12} = \Spec(P_{12})\). Soient \(\Deformationcategory_X\), \(\Deformationcategory_{U_1}\), \(\Deformationcategory_{U_2}\) et \(\Deformationcategory_{U_{12}}\) comme dans l’exemple 0DY7, et soient \(\Deformationcategory_{P_1}\), \(\Deformationcategory_{P_2}\) et \(\Deformationcategory_{P_{12}}\) comme dans l’exemple 0DY1.

Lemme

Dans la situation 0DYY, il existe une équivalence \[\Deformationcategory_X = \Deformationcategory_{P_1} \times_{\Deformationcategory_{P_{12}}} \Deformationcategory_{P_2}\] de catégories de déformations ; voir les exemples 0DY7 et 0DY1.

Démonstration

Il suffit de montrer que les foncteurs du lemme 0DYW définissent une équivalence \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_1} \times_{\Deformationcategory_{U_{12}}} \Deformationcategory_{U_2}\] car nous pouvons alors appliquer le lemme 0DYX pour passer aux anneaux. Pour cela, construisons un quasi-inverse. Notons \(F_i : \Deformationcategory_{U_i} \to \Deformationcategory_{U_{12}}\) le foncteur du lemme 0DYW. Un objet du membre de droite est donné par un \(A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), des objets \((A, V_1) \to (k, U_1)\) et \((A, V_2) \to (k, U_2)\), et un morphisme \[g : F_1(A, V_1) \to F_2(A, V_2)\] Ici, \(F_i(A, V_i) = (A, V_{i, 3 - i})\), où \(V_{i, 3 - i} \subset V_i\) est le sous-schéma ouvert dont le changement de base à \(k\) est \(U_{12} \subset U_i\). Le morphisme \(g\) définit un isomorphisme \(V_{1, 2} \to V_{2, 1}\) de schémas sur \(A\), compatible avec \(\text{id} : U_{12} \to U_{12}\) sur \(k\). Ainsi, \((\{1, 2\}, V_i, V_{i, 3 - i}, g, g^{-1})\) est une donnée de recollement comme dans Schémas, section 01JA. Soit \(Y\) le schéma recollé ; voir Schémas, lemme 01JB. Alors \(Y\) est un schéma sur \(A\), et les compatibilités mentionnées ci-dessus montrent qu’il existe un isomorphisme canonique \(Y \times_{\Spec(A)} \Spec(k) = X\). Ainsi, \((A, Y) \to (k, X)\) est un objet de \(\Deformationcategory_X\). Nous omettons de vérifier que cette construction définit un foncteur quasi-inverse de celui qui était donné.

Morphismes de schémas

La théorie des déformations des morphismes de schémas. Il ne s’agit bien sûr que d’un exemple de déformations de diagrammes de schémas.

Exemple

Soit \(\mathcal{F}\) la catégorie définie comme suit :

1. un objet est un couple \((A, X \to Y)\) formé d’un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’un morphisme \(X \to Y\) de schémas sur \(A\), où \(X\) et \(Y\) sont tous deux plats sur \(A\) ;

2. un morphisme \((f, g, h) : (A', X' \to Y') \to (A, X \to Y)\) est formé d’un morphisme \(f : A' \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et de morphismes de schémas \(g : X \to X'\) et \(h : Y \to Y'\) tels que \[\xymatrix{ X \ar[r]_g \ar[d] & X' \ar[d] \\ Y \ar[r]_h \ar[d] & Y' \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r]^f & \Spec(A') }\] soit un diagramme commutatif de schémas dont les deux carrés sont cartésiens.

Le foncteur \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) envoie \((A, X \to Y)\) sur \(A\) et \((f, g, h)\) sur \(f\). Il est clair que \(p\) est cofibré en groupoïdes. Étant donné un morphisme de schémas \(X \to Y\) sur \(k\), soit \(x_0 = (k, X \to Y)\) l’objet correspondant de \(\mathcal{F}(k)\). On pose \[\Deformationcategory_{X \to Y} = \mathcal{F}_{x_0}\]

Lemme

L’exemple 0E3T satisfait la condition de Rim-Schlessinger (RS). En particulier, \(\Deformationcategory_{X \to Y}\) est une catégorie de déformations pour tout morphisme de schémas \(X \to Y\) sur \(k\).

Démonstration

Soient \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\) des morphismes de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons \(A_2 \to A\) surjectif. D’après Théorie formelle des déformations, lemme 06J5 il suffit de montrer que le foncteur \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) est une équivalence de catégories. Observons que \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_2) \ar[d] \\ \Spec(A_1) \ar[r] & \Spec(A_1 \times_A A_2) }\] est un diagramme cocartésien comme dans Compléments sur les morphismes, lemme 07RT. Le lemme résulte donc immédiatement de Compléments sur les morphismes, lemme 07RX car ce résultat décrit la catégorie des schémas plats sur \(A_1 \times_A A_2\) comme le produit fibré de la catégorie des schémas plats sur \(A_1\) et de la catégorie des schémas plats sur \(A_2\) au-dessus de la catégorie des schémas plats sur \(A\).

Lemme

Dans l’exemple 0DY7, soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(k\). Il existe une suite exacte canonique de \(k\)-espaces vectoriels \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \text{Inf}(\Deformationcategory_{X \to Y}) \ar[r] & \text{Inf}(\Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y) \ar[r] & \text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, f_*\mathcal{O}_X) \ar[lld] \\ & T\Deformationcategory_{X \to Y} \ar[r] & T(\Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y) \ar[r] & \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{Y/k}, \mathcal{O}_X) }\]

Démonstration

Le morphisme évident de catégories de déformations \(\Deformationcategory_{X \to Y} \to \Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y\) donne deux des flèches de la suite exacte du lemme. Rappelons que \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{X \to Y})\) est l’ensemble des automorphismes de la déformation triviale \[f' : X' = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon]) \xrightarrow{f \times \text{id}} Y' = Y \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon])\] de \(X \to Y\) sur \(k[\epsilon]\) qui sont égaux à l’identité modulo \(\epsilon\). Il s’agit clairement des couples \((\alpha, \beta) \in \text{Inf}(\Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y)\) d’automorphismes infinitésimaux de \(X\) et \(Y\) compatibles avec \(f'\), c’est-à-dire tels que \(f' \circ \alpha = \beta \circ f'\). D’après Théorie des déformations, lemme 08U8, pour un couple arbitraire \((\alpha, \beta)\), la différence entre le morphisme \(f' : X' \to Y'\) et le morphisme \(\beta^{-1} \circ f' \circ \alpha : X' \to Y'\) définit un élément de \[\text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, f_*\mathcal{O}_X) = \Hom_{\mathcal{O}_Y}(\Omega_{Y/k}, f_*\mathcal{O}_X)\] L’égalité résulte de Compléments sur les morphismes, lemme 0D0J. Cela définit la dernière flèche horizontale supérieure et montre l’exactitude aux deux premières places. Pour l’application \[\text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, f_*\mathcal{O}_X) \to T\Deformationcategory_{X \to Y}\] interprétons les éléments de la source comme des morphismes \(f_\epsilon : X' \to Y'\) sur \(\Spec(k[\epsilon])\) égaux à \(f\) modulo \(\epsilon\), à l’aide de Théorie des déformations, lemme 08U8. Nous envoyons \(f_\epsilon\) sur la classe d’isomorphisme de \((f_\epsilon : X' \to Y')\) dans \(T\Deformationcategory_{X \to Y}\). Notons que \((f_\epsilon : X' \to Y')\) est isomorphe à la déformation triviale \((f' : X' \to Y')\) exactement lorsque \(f_\epsilon = \beta^{-1} \circ f \circ \alpha\) pour un certain couple \((\alpha, \beta)\), ce qui implique l’exactitude à la troisième place. Clairement, si une déformation du premier ordre \((f_\epsilon : X_\epsilon \to Y_\epsilon)\) s’envoie sur zéro dans \(T(\Deformationcategory_X \times \Deformationcategory_Y)\), nous pouvons alors choisir des isomorphismes \(X' \to X_\epsilon\) et \(Y' \to Y_\epsilon\) et nous concluons que nous sommes dans l’image de la flèche sud-ouest. Nous avons donc l’exactitude à la quatrième place. Enfin, étant données deux déformations du premier ordre \(X_\epsilon\), \(Y_\epsilon\) de \(X\), \(Y\), il existe une obstruction dans \[ob(X_\epsilon, Y_\epsilon) \in \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{Y/k}, \mathcal{O}_X)\] qui s’annule si et seulement si \(f : X \to Y\) se relève en \(X_\epsilon \to Y_\epsilon\) ; voir Théorie des déformations, lemme 08U8. Cela achève la démonstration.

Lemme

Dans le lemme 0E3V, si \(X\) et \(Y\) sont tous deux propres sur \(k\), alors \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{X \to Y})\) et \(T\Deformationcategory_{X \to Y}\) sont de dimension finie.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : raisonner comme dans le lemme 0DYA et utiliser la suite exacte du lemme.

Dans l’exemple 0E3T, si \(X \to Y\) est un morphisme de schémas propres sur \(k\), alors \(\Deformationcategory_{X \to Y}\) admet une présentation par un groupoïde lisse proreprésentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) et possède a fortiori un objet formel versel (minimal). Cela résulte des lemmes 0E3U et 0E3W, ainsi que de la discussion générale de la section 0DVM.

Lemme

Dans l’exemple 0E3T, supposons que \(X \to Y\) soit un morphisme de \(k\)-schémas propres. Supposons que \(\Lambda\) soit un anneau local complet de corps résiduel \(k\) (cas classique). Alors le foncteur \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_{X \to Y}(A))/\cong\] des classes d’isomorphisme d’objets possède une enveloppe. Si \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) = 0\), alors \(F\) est proreprésentable.

Démonstration

L’existence d’une enveloppe résulte immédiatement des lemmes 0E3U et 0E3W, ainsi que de Théorie formelle des déformations, lemme 06J7 et remarque 06IZ.

Supposons \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) = 0\). Alors la suite exacte du lemme 0E3V, combinée au lemme 0DY9, montre que \(\text{Inf}(\Deformationcategory_{X \to Y}) = 0\). Alors \(\Deformationcategory_{X \to Y}\) et \(F\) sont équivalents d’après Théorie formelle des déformations, lemme 06K0. Ainsi, \(F\) est un foncteur de déformations (car \(\Deformationcategory_{X \to Y}\) est une catégorie de déformations) d’espace tangent de dimension finie, et nous pouvons appliquer Théorie formelle des déformations, théorème 06JM.

Lemme

Dans l’exemple 0DY7, soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas sur \(k\). Si \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) et \(R^1f_*\mathcal{O}_X = 0\), alors le morphisme de catégories de déformations \[\Deformationcategory_{X \to Y} \to \Deformationcategory_X\] est une équivalence.

Démonstration

Construisons un quasi-inverse du foncteur d’oubli du lemme. Plus précisément, supposons que \((A, U)\) soit un objet de \(\Deformationcategory_X\). L’application donnée \(X \to U\) est un épaississement d’ordre fini, que nous pouvons utiliser pour identifier les espaces topologiques sous-jacents à \(U\) et \(X\) ; voir Compléments sur les morphismes, section 04EW. Nous pouvons donc considérer, et considérerons, \(\mathcal{O}_U\) comme un faisceau de \(A\)-algèbres sur \(X\) ; de plus, la platitude de \(U \to \Spec(A)\) signifie que \(\mathcal{O}_U\) est plat comme faisceau de \(A\)-modules. En particulier, nous avons une filtration \[0 = \mathfrak m_A^n\mathcal{O}_U \subset \mathfrak m_A^{n - 1}\mathcal{O}_U \subset \ldots \subset \mathfrak m_A^2\mathcal{O}_U \subset \mathfrak m_A\mathcal{O}_U \subset \mathcal{O}_U\] dont les sous-quotients sont égaux à \(\mathcal{O}_X \otimes_k \mathfrak m_A^i/\mathfrak m_A^{i + 1}\) par platitude ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 063Y, ou, plus généralement, Théorie des déformations, lemme 08LI. Posons \[\mathcal{O}_V = f_*\mathcal{O}_U\] considéré comme un faisceau de \(A\)-algèbres sur \(Y\). Puisque \(R^1f_*\mathcal{O}_X = 0\), la description ci-dessus montre que \(R^1f_*(\mathfrak m_A^i\mathcal{O}_U/\mathfrak m_A^{i + 1}\mathcal{O}_U) = 0\) pour tout \(i\). Il s’ensuit que les suites \[0 \to (f_*\mathcal{O}_X) \otimes_k \mathfrak m_A^i/\mathfrak m_A^{i + 1} \to f_*(\mathcal{O}_U/\mathfrak m_A^{i + 1}\mathcal{O}_U) \to f_*(\mathcal{O}_U/\mathfrak m_A^i\mathcal{O}_U) \to 0\] sont exactes pour tout \(i\). En parcourant en sens inverse les références données ci-dessus (et en raisonnant par récurrence), nous trouvons que \(\mathcal{O}_V\) est un faisceau plat de \(A\)-algèbres tel que \(\mathcal{O}_V/\mathfrak m_A\mathcal{O}_V = \mathcal{O}_Y\). À l’aide de Compléments sur les morphismes, lemme 05YV nous trouvons que \((Y, \mathcal{O}_V)\) est un schéma, que nous notons \(V\). L’égalité \(\mathcal{O}_V = f_*\mathcal{O}_U\) définit un morphisme d’espaces annelés \(U \to V\) dont on voit aisément qu’il est un morphisme de schémas. La platitude déjà établie achève la démonstration.

Espaces algébriques

La théorie des déformations des espaces algébriques.

Exemple

Soit \(\mathcal{F}\) la catégorie définie comme suit :

1. un objet est un couple \((A, X)\) formé d’un objet \(A\) de \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’un espace algébrique \(X\) plat sur \(A\) ;

2. un morphisme \((f, g) : (B, Y) \to (A, X)\) est formé d’un morphisme \(f : B \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et d’un morphisme \(g : X \to Y\) d’espaces algébriques sur \(\Lambda\) tel que \[\xymatrix{ X \ar[r]_g \ar[d] & Y \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r]^f & \Spec(B) }\] soit un diagramme commutatif cartésien d’espaces algébriques.

Le foncteur \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) envoie \((A, X)\) sur \(A\) et \((f, g)\) sur \(f\). Il est clair que \(p\) est cofibré en groupoïdes. Étant donné un espace algébrique \(X\) sur \(k\), soit \(x_0 = (k, X)\) l’objet correspondant de \(\mathcal{F}(k)\). On pose \[\Deformationcategory_X = \mathcal{F}_{x_0}\]

Lemme

L’exemple 0E3Z satisfait la condition de Rim-Schlessinger (RS). En particulier, \(\Deformationcategory_X\) est une catégorie de déformations pour tout espace algébrique \(X\) sur \(k\).

Démonstration

Soient \(A_1 \to A\) et \(A_2 \to A\) des morphismes de \(\mathcal{C}_\Lambda\). Supposons \(A_2 \to A\) surjectif. D’après Théorie formelle des déformations, lemme 06J5 il suffit de montrer que le foncteur \(\mathcal{F}(A_1 \times_A A_2) \to \mathcal{F}(A_1) \times_{\mathcal{F}(A)} \mathcal{F}(A_2)\) est une équivalence de catégories. Observons que \[\xymatrix{ \Spec(A) \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_2) \ar[d] \\ \Spec(A_1) \ar[r] & \Spec(A_1 \times_A A_2) }\] est un diagramme cocartésien comme dans Sommes amalgamées d’espaces, lemme 07VX. Le lemme est donc un cas particulier de Sommes amalgamées d’espaces, lemme 07W3.

Lemme

Dans l’exemple 0E3Z, soit \(X\) un espace algébrique sur \(k\). Alors \[\text{Inf}(\Deformationcategory_X) = \text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\] et \[T\Deformationcategory_X = \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\]

Démonstration

Rappelons que \(\text{Inf}(\Deformationcategory_X)\) est l’ensemble des automorphismes de la déformation triviale \(X' = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon])\) de \(X\) sur \(k[\epsilon]\) qui sont égaux à l’identité modulo \(\epsilon\). D’après Théorie des déformations, lemme 0D17, cet ensemble est égal à \(\text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\). L’égalité \(\text{Ext}^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X)\) résulte de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0D0Y. L’égalité \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X) = \text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)\) résulte de Compléments sur les morphismes d’espaces, définition 04CT, et de Modules sur les sites, définition 04BN.

Rappelons que \(T_{x_0}\Deformationcategory_X\) est l’ensemble des classes d’isomorphisme des déformations plates \(X'\) de \(X\) sur \(k[\epsilon]\), plus précisément l’ensemble des classes d’isomorphisme de \(\Deformationcategory_X(k[\epsilon])\). La seconde assertion du lemme résulte donc de Théorie des déformations, lemme 0D17.

Lemme

Dans le lemme 0E41, si \(X\) est propre sur \(k\), alors \(\text{Inf}(\Deformationcategory_X)\) et \(T\Deformationcategory_X\) sont de dimension finie.

Démonstration

D’après le lemme, il faut montrer que \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\) et \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/k}, \mathcal{O}_X)\) sont de dimension finie. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0D0Z et le fait que \(X\) est noethérien, nous voyons que \(\NL_{X/k}\) a des faisceaux de cohomologie cohérents, nuls sauf en degrés \(0\) et \(-1\). D’après Catégories dérivées d’espaces, lemme 0D0T, les groupes \(\Ext\) affichés sont des \(k\)-espaces vectoriels de dimension finie, ce qui achève la démonstration.

Dans l’exemple 0E3Z, si \(X\) est un espace algébrique propre sur \(k\), alors \(\Deformationcategory_X\) admet une présentation par un groupoïde lisse proreprésentable en foncteurs sur \(\mathcal{C}_\Lambda\) et possède a fortiori un objet formel versel (minimal). Cela résulte des lemmes 0E40 et 0E42, ainsi que de la discussion générale de la section 0DVM.

Lemme

Dans l’exemple 0E3Z, supposons que \(X\) soit un espace algébrique propre sur \(k\). Supposons que \(\Lambda\) soit un anneau local complet de corps résiduel \(k\) (cas classique). Alors le foncteur \[F : \mathcal{C}_\Lambda \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad A \longmapsto \Ob(\Deformationcategory_X(A))/\cong\] des classes d’isomorphisme d’objets possède une enveloppe. Si \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\), alors \(F\) est proreprésentable.

Démonstration

L’existence d’une enveloppe résulte immédiatement des lemmes 0E40 et 0E42, ainsi que de Théorie formelle des déformations, lemme 06J7 et remarque 06IZ.

Supposons \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\). Alors \(\Deformationcategory_X\) et \(F\) sont équivalents d’après Théorie formelle des déformations, lemme 06K0. Ainsi, \(F\) est un foncteur de déformations (car \(\Deformationcategory_X\) est une catégorie de déformations) d’espace tangent de dimension finie, et nous pouvons appliquer Théorie formelle des déformations, théorème 06JM.

Déformations des complétés

Dans cette section, nous comparons les problèmes de déformation posés par une algèbre et par son complété. Nous discutons d’abord de la « possibilité de relèvement ».

Lemme

Soit \(A' \to A\) une surjection d’anneaux de noyau nilpotent. Soit \(A' \to P'\) un homomorphisme d’anneaux plat. Posons \(P = P' \otimes_{A'} A\). Soit \(M\) un module plat sur \(A\), muni d’une structure de \(P\)-module. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. il existe un module plat sur \(A'\), muni d’une structure de \(P'\)-module, noté \(M'\), tel que \(M' \otimes_{P'} P = M\) ;

2. il existe un objet \(K' \in D^-(P')\) tel que \(K' \otimes_{P'}^\mathbf{L} P = M\).

Démonstration

Supposons que \(M'\) soit comme dans (1). Alors \[M = M' \otimes_P P' = M' \otimes_{A'} A = M' \otimes_A^\mathbf{L} A' = M' \otimes_{P'}^\mathbf{L} P\] Les deux premières égalités sont claires, la troisième vaut parce que \(M'\) est plat sur \(A'\), et la quatrième résulte de Compléments sur l’algèbre, lemme 0661. Ainsi, (2) est vérifiée. Réciproquement, supposons \(K'\) comme dans (2). Nous pouvons supposer, et supposons, \(M\) non nul. Soit \(t\) le plus grand entier tel que \(H^t(K')\) soit non nul (il existe puisque \(M\) est non nul). Alors \(H^t(K') \otimes_{P'} P = H^t(K' \otimes_{P'}^\mathbf{L} P)\) est nul si \(t > 0\). Comme le noyau de \(P' \to P\) est nilpotent, cela implique \(H^t(K') = 0\) par le lemme de Nakayama, contradiction. Ainsi, \(t = 0\) (le cas \(t < 0\) est lui aussi absurde). Alors \(M' = H^0(K')\) est un \(P'\)-module tel que \(M = M' \otimes_{P'} P\), et la suite spectrale de Tor donne une application injective \[\text{Tor}_1^{P'}(M', P) \to H^{-1}(M' \otimes_{P'}^\mathbf{L} P) = 0\] Par la référence ci-dessus sur le changement de base dérivé, \(0 = \text{Tor}_1^{P'}(M', P) = \text{Tor}_1^{A'}(M', A)\). Nous concluons que \(M'\) est plat sur \(A'\) d’après Algèbre, lemme 051C.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif d’anneaux noethériens \[\xymatrix{ A' \ar[d] \ar[r] & P' \ar[d] \ar[r] & Q' \ar[d] \\ A \ar[r] & P \ar[r] & Q }\] dont les carrés sont cartésiens, les flèches horizontales plates et les flèches verticales surjectives, de noyaux nilpotents. Soit \(J' \subset P'\) un idéal tel que \(P'/J' = Q'/J'Q'\). Soit \(M\) un module plat sur \(A\), muni d’une structure de \(P\)-module. Supposons que, pour tout \(g \in J'\), il existe un module plat sur \(A'\) muni d’une structure de \((P')_g\)-module relevant \(M_g\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(M\) possède un relèvement plat sur \(A'\) muni d’une structure de \(P'\)-module ;

2. \(M \otimes_P Q\) possède un relèvement plat sur \(A'\) muni d’une structure de \(Q'\)-module.

Démonstration

Soit \(I = \Ker(A' \to A)\). Par récurrence sur l’entier \(n > 1\) tel que \(I^n = 0\), nous nous ramenons au cas où \(I\) est un idéal de carré nul ; nous omettons les détails. Nous traduisons la condition de possibilité de relèvement de \(M\) en le problème de trouver un objet de \(D^-(P')\) comme dans le lemme 0DZ1. L’obstruction à cette construction est l’élément \[\omega(M) \in \text{Ext}^2_P(M, M \otimes_P^\mathbf{L} IP) = \text{Ext}^2_P(M, M \otimes_P IP)\] construit dans Théorie des déformations, lemme 0DYR. L’égalité dans la formule affichée vaut car \(M \otimes_P^\mathbf{L} IP = M \otimes_P IP\) puisque \(M\) et \(P\) sont plats sur \(A\)². De même, l’obstruction au relèvement de \(M \otimes_P Q\) est l’élément \[\omega(M \otimes_P Q) \in \text{Ext}^2_Q(M \otimes_P Q, (M \otimes_P Q) \otimes_Q IQ)\] qui est l’image de \(\omega(M)\) par la fonctorialité de la construction \(\omega(-)\) de Théorie des déformations, lemme 0DYR. D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0A6A, nous avons \[\text{Ext}^2_Q(M \otimes_P Q, (M \otimes_P Q) \otimes_Q IQ) = \text{Ext}^2_P(M, M \otimes_P IP) \otimes_P Q\] où nous utilisons le fait que \(P\) est noethérien et \(M\) fini. Notre hypothèse sur \(P' \to Q'\) garantit que, pour un \(P\)-module \(E\), l’application \(E \to E \otimes_P Q\) est bijective sur la partie annulée par une puissance de \(J'\) ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 05EC. Nous concluons donc qu’il suffit de montrer que \(\omega(M)\) est annulé par une puissance de \(J'\). Autrement dit, il suffit de montrer que \(\omega(M)\) s’annule dans \[\text{Ext}^2_P(M, M \otimes_P IP)_g = \text{Ext}^2_{P_g}(M_g, M_g \otimes_{P_g} IP_g)\] pour tout \(g \in J'\). Cependant, par la compatibilité de la formation de \(\omega(M)\) au changement de base, nous concluons à nouveau que cela est vrai puisque \(M_g\) est supposé posséder un relèvement (il faut bien sûr utiliser de nouveau toute la chaîne d’équivalences).

Lemme

Soit \(A' \to A\) un homomorphisme surjectif d’anneaux noethériens de noyau nilpotent. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux plat de type fini. Soit \(\mathfrak b \subset B\) un idéal tel que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) soit syntomique sur le complémentaire de \(V(\mathfrak b)\). Alors \(B\) possède un relèvement plat sur \(A'\) si et seulement si le complété \(\mathfrak b\)-adique \(B^\wedge\) possède un relèvement plat sur \(A'\).

Démonstration

Choisissons une surjection de \(A\)-algèbres \(P = A[x_1, \ldots, x_n] \to B\). Soit \(\mathfrak p \subset P\) l’image réciproque de \(\mathfrak b\). Posons \(P' = A'[x_1, \ldots, x_n]\) et notons \(\mathfrak p' \subset P'\) l’image réciproque de \(\mathfrak p\). (Bien sûr, \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak p'\) ne désignent pas ici des idéaux premiers.) Nous noterons \(P^\wedge\) et \((P')^\wedge\) les complétés respectifs.

Supposons que \(A' \to B'\) soit un relèvement plat de \(A \to B\), autrement dit que \(A' \to B'\) soit plat et qu’il existe un isomorphisme de \(A\)-algèbres \(B = B' \otimes_{A'} A\). Nous pouvons alors choisir un homomorphisme de \(A'\)-algèbres \(P' \to B'\) relevant la surjection donnée \(P \to B\). Par le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), nous trouvons que \(B'\) est un quotient de \(P'\). En particulier, nous trouvons que nous pouvons rendre \(B'\) plat sur \(A'\) comme \(P'\)-module, relevant \(B\), qui est plat sur \(A\), comme \(P\)-module. Réciproquement, si nous pouvons relever \(B\) en un \(P'\)-module \(M'\) plat sur \(A'\), alors \(M'\) est un module cyclique \(M' \cong P'/J'\) (en utilisant de nouveau Nakayama), et, en posant \(B' = P'/J'\), nous obtenons un relèvement plat de \(B\) comme algèbre.

Posons \(C = B^\wedge\) et \(\mathfrak c = \mathfrak bC\). Supposons que \(A' \to C'\) soit un relèvement plat de \(A \to C\). Alors \(C'\) est complet pour l’image réciproque \(\mathfrak c'\) de \(\mathfrak c\) (Algèbre, lemme 0DYC). Choisissons un homomorphisme de \(A'\)-algèbres \(P' \to C'\) relevant l’homomorphisme de \(A\)-algèbres \(P \to C\). Ces homomorphismes se prolongent aux complétés et donnent des surjections \(P^\wedge \to C\) et \((P')^\wedge \to C'\) (pour la seconde, en utilisant de nouveau le lemme de Nakayama). En particulier, nous trouvons que \(C'\) est plat sur \(A'\) et peut être muni d’une structure de \((P')^\wedge\)-module relevant \(C\), plat sur \(A\), comme \(P^\wedge\)-module. Réciproquement, si nous pouvons relever \(C\) en un \((P')^\wedge\)-module \(N'\) plat sur \(A'\), alors \(N'\) est un module cyclique \(N' \cong (P')^\wedge/\tilde J\) (en utilisant de nouveau Nakayama) et, en posant \(C' = (P')^\wedge/\tilde J\), nous obtenons un relèvement plat de \(C\) comme algèbre.

Observons que \(P' \to (P')^\wedge\) est un homomorphisme d’anneaux plat qui induit un isomorphisme \(P'/\mathfrak p' = (P')^\wedge/\mathfrak p'(P')^\wedge\). Nous concluons que notre lemme résulte du lemme 0DZ2, pourvu que nous puissions montrer que \(B_g\) se relève en un module plat sur \(A'\) muni d’une structure de \(P'_g\)-module pour \(g \in \mathfrak p'\). Or l’homomorphisme d’anneaux \(A \to B_g\) est syntomique et se relève donc en une \(A'\)-algèbre plate \(B'\) d’après Lissage des homomorphismes d’anneaux, proposition 07M8. Puisque \(A' \to P'_g\) est lisse, nous pouvons relever \(P_g \to B_g\) en une application surjective \(P'_g \to B'\) comme ci-dessus, ce qui donne le résultat voulu.

Notation. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(N\) un \(B\)-module. Nous notons \(\text{Exal}_A(B, N)\) l’ensemble des classes d’isomorphisme des extensions \[0 \to N \to C \to B \to 0\] de \(A\)-algèbres telles que \(N\) soit un idéal de carré nul dans \(C\). Étant donnée une seconde extension \(0 \to N \to C' \to B \to 0\) de ce type, un isomorphisme est un isomorphisme de \(A\)-algèbres \(C \to C'\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] \ar[d]_{\text{id}} & C \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d]_{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[r] & C' \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] soit commutatif. La correspondance \(N \mapsto \text{Exal}_A(B, N)\) est un foncteur qui transforme les produits en produits. C’est donc un foncteur additif, et \(\text{Exal}_A(B, N)\) possède une structure naturelle de \(B\)-module. En fait, d’après Théorie des déformations, lemme 08S7, nous avons \(\text{Exal}_A(B, N) = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/A}, N)\).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(B\) une \(k\)-algèbre de type fini. Soit \(J \subset B\) un idéal tel que \(\Spec(B) \to \Spec(k)\) soit lisse sur le complémentaire de \(V(J)\). Soit \(N\) un \(B\)-module fini. Alors il existe une bijection canonique \[\text{Exal}_k(B, N) \to \text{Exal}_k(B^\wedge, N^\wedge)\] Ici, \(B^\wedge\) et \(N^\wedge\) sont les complétés \(J\)-adiques.

Démonstration

L’application est donnée par complétion : étant donné \(0 \to N \to C \to B \to 0\) dans \(\text{Exal}_k(B, N)\), nous l’envoyons sur le complété \(C^\wedge\) de \(C\) pour l’image réciproque de \(J\). Comparer avec la démonstration du lemme 0DYV.

Puisque \(k \to B\) est de présentation finie, le complexe \(\NL_{B/k}\) peut être représenté par un complexe \(N^{-1} \to N^0\), où \(N^i\) est un \(B\)-module fini ; voir Algèbre, section 00S0, et en particulier Algèbre, lemme 00S1. Comme \(B\) est noethérien, cela signifie que \(\NL_{B/k}\) est pseudo-cohérent. Pour \(g \in J\), la \(k\)-algèbre \(B_g\) est lisse et donc \((\NL_{B/k})_g = \NL_{B_g/k}\) est quasi-isomorphe à un \(B\)-module projectif de type fini placé en degré \(0\). Ainsi, \(\text{Ext}^i_B(\NL_{B/k}, N)_g = 0\) pour \(i \geq 1\) et tout \(B\)-module \(N\). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0DYJ, nous concluons que \[\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \longrightarrow \lim_n \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N/J^n N)\] est un isomorphisme pour tout \(B\)-module fini \(N\).

Injectivité de l’application. Supposons que \(0 \to N \to C \to B \to 0\) appartienne à \(\text{Exal}_k(B, N)\) et s’envoie sur zéro dans \(\text{Exal}_k(B^\wedge, N^\wedge)\). Choisissons un scindage \(C^\wedge = B^\wedge \oplus N^\wedge\). Alors l’application induite \(C \to C^\wedge \to N^\wedge\) donne des applications \(C \to N/J^nN\) pour tout \(n\). Nous voyons donc que notre élément appartient au noyau des applications \[\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \to \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N/J^n N)\] pour tout \(n\). Le paragraphe précédent montre que notre élément est nul.

Surjectivité de l’application. Soit \(0 \to N^\wedge \to C' \to B^\wedge \to 0\) un élément de \(\text{Exal}_k(B^\wedge, N^\wedge)\). Par image réciproque selon \(B \to B^\wedge\), nous obtenons un élément \(0 \to N^\wedge \to C'' \to B \to 0\) dans \(\text{Exal}_k(B, N^\wedge)\). nous avons \[\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N^\wedge) = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \otimes_B B^\wedge = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N)\] La première égalité vaut puisque \(N^\wedge = N \otimes_B B^\wedge\) (Algèbre, lemme 00MA) et d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 087Q. La seconde égalité vaut parce que \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N)\) est annulé par une puissance de \(J\) (voir ci-dessus), que \(B \to B^\wedge\) est plat et induit un isomorphisme \(B/J \to B^\wedge/JB^\wedge\), et d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 05EC. Nous pouvons donc trouver un \(C \in \text{Exal}_k(B, N)\) s’envoyant sur \(C''\) dans \(\text{Exal}_k(B, N^\wedge)\). Ainsi, \[0 \to N^\wedge \to C' \to B^\wedge \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to N^\wedge \to C^\wedge \to B^\wedge \to 0\] ces suites sont deux éléments de \(\text{Exal}_k(B^\wedge, N^\wedge)\) qui s’envoient sur le même élément de \(\text{Exal}_k(B, N^\wedge)\). En prenant leur différence, nous obtenons un élément \(0 \to N^\wedge \to C' \to B^\wedge \to 0\) de \(\text{Exal}_k(B^\wedge, N^\wedge)\) dont l’image dans \(\text{Exal}_k(B, N^\wedge)\) est nulle. Cela signifie qu’il existe \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N^\wedge \ar[r] & C' \ar[r] & B^\wedge \ar[r] & 0 \\ & & B \ar[u]^\sigma \ar[ru] }\] Soit \(J' \subset C'\) l’image réciproque de \(JB^\wedge \subset B^\wedge\). Pour achever la démonstration, il suffit de noter que \(\sigma\) est continue pour la topologie \(J\)-adique sur \(B\) et la topologie \(J'\)-adique sur \(C'\), et que \(C'\) est complet pour la topologie \(J'\)-adique d’après Algèbre, lemme 0DYC (nous utilisons aussi ici que \(C'\) est noethérien ; un petit détail est omis). En effet, cela signifie que \(\sigma\) se factorise par le complété \(B^\wedge\) et que \(C' = 0\) dans \(\text{Exal}_k(B^\wedge, N^\wedge)\).

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre. Soit \(J \subset P\) un idéal. Notons \(P^\wedge\) le complété \(J\)-adique. Si

1. \(k \to P\) est de type fini ;

2. \(\Spec(P) \to \Spec(k)\) est lisse sur le complémentaire de \(V(J)\).

alors le foncteur entre catégories de déformations du lemme 0DYV \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^\wedge}\] est lisse et induit un isomorphisme sur les espaces tangents.

Démonstration

Nous savons que \(\Deformationcategory_P\) et \(\Deformationcategory_{P^\wedge}\) sont des catégories de déformations d’après le lemme 0DY2. Il suffit donc de vérifier que notre foncteur identifie les espaces tangents et les possibilités de relèvement ; voir Théorie formelle des déformations, lemme 0DYP. La propriété concernant les possibilités de relèvement est démontrée dans le lemme 0DZ3, et l’isomorphisme sur les espaces tangents est le cas particulier du lemme 0DZ4 où \(N = B\).

Déformations des localisations

Dans cette section, nous comparons les problèmes de déformation posés par une algèbre et par sa localisation en une partie multiplicative. Nous discutons d’abord de la « possibilité de relèvement ».

Lemme

Soit \(A' \to A\) un homomorphisme surjectif d’anneaux noethériens de noyau nilpotent. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux plat de type fini. Soit \(S \subset B\) une partie multiplicative telle que, si \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) n’est pas syntomique en \(\mathfrak q\), alors \(S \cap \mathfrak q = \emptyset\). Alors \(B\) possède un relèvement plat sur \(A'\) si et seulement si \(S^{-1}B\) possède un relèvement plat sur \(A'\).

Démonstration

Cette démonstration est la même que celle du lemme 0DZ3, mais plus facile. Nous suggérons au lecteur de l’omettre. Choisissons une surjection de \(A\)-algèbres \(P = A[x_1, \ldots, x_n] \to B\). Soit \(S_P \subset P\) l’image réciproque de \(S\). Posons \(P' = A'[x_1, \ldots, x_n]\) et notons \(S_{P'} \subset P'\) l’image réciproque de \(S_P\).

Supposons que \(A' \to B'\) soit un relèvement plat de \(A \to B\), autrement dit que \(A' \to B'\) soit plat et qu’il existe un isomorphisme de \(A\)-algèbres \(B = B' \otimes_{A'} A\). Nous pouvons alors choisir un homomorphisme de \(A'\)-algèbres \(P' \to B'\) relevant la surjection donnée \(P \to B\). Par le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), nous trouvons que \(B'\) est un quotient de \(P'\). En particulier, nous trouvons que nous pouvons rendre \(B'\) plat sur \(A'\) comme \(P'\)-module, relevant \(B\), qui est plat sur \(A\), comme \(P\)-module. Réciproquement, si nous pouvons relever \(B\) en un \(P'\)-module \(M'\) plat sur \(A'\), alors \(M'\) est un module cyclique \(M' \cong P'/J'\) (en utilisant de nouveau Nakayama), et, en posant \(B' = P'/J'\), nous obtenons un relèvement plat de \(B\) comme algèbre.

Posons \(C = S^{-1}B\). Supposons que \(A' \to C'\) soit un relèvement plat de \(A \to C\). Les éléments de \(C'\) dont l’image dans \(C\) est inversible sont inversibles. Choisissons un homomorphisme de \(A'\)-algèbres \(P' \to C'\) relevant l’homomorphisme de \(A\)-algèbres \(P \to C\). D’après la remarque précédente, ces homomorphismes se prolongent aux localisations et donnent des surjections \(S_P^{-1}P \to C\) et \(S_{P'}^{-1}P' \to C'\) (pour la seconde, utiliser le lemme de Nakayama). En particulier, nous trouvons que \(C'\) est plat sur \(A'\) et peut être muni d’une structure de \(S_{P'}^{-1}P'\)-module relevant \(C\), plat sur \(A\), comme \(S_P^{-1}P\)-module. Réciproquement, si nous pouvons relever \(C\) en un \(S_{P'}^{-1}P'\)-module \(N'\) plat sur \(A'\), alors \(N'\) est un module cyclique \(N' \cong S_{P'}^{-1}P'/\tilde J\) (en utilisant de nouveau Nakayama) et, en posant \(C' = S_{P'}^{-1}P'/\tilde J\), nous obtenons un relèvement plat de \(C\) comme algèbre.

Le lieu syntomique d’un morphisme de schémas est ouvert par définition. Soit \(J_B \subset B\) un idéal définissant l’ensemble des points de \(\Spec(B)\) où \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) n’est pas syntomique. Notons \(J_P \subset P\) et \(J_{P'} \subset P'\) les idéaux correspondants. Observons que \(P' \to S_{P'}^{-1}P'\) est un homomorphisme d’anneaux plat qui induit un isomorphisme \(P'/J_{P'} = S_{P'}^{-1}P'/J_{P'}S_{P'}^{-1}P'\) grâce à notre hypothèse sur \(S\) dans le lemme ; plus précisément, l’hypothèse du lemme signifie exactement que \(B/J_B = S^{-1}(B/J_B)\). Nous concluons que notre lemme résulte du lemme 0DZ2, pourvu que nous puissions montrer que \(B_g\) se relève en un module plat sur \(A'\) muni d’une structure de \(P'_g\)-module pour \(g \in J_B\). Or l’homomorphisme d’anneaux \(A \to B_g\) est syntomique et se relève donc en une \(A'\)-algèbre plate \(B'\) d’après Lissage des homomorphismes d’anneaux, proposition 07M8. Puisque \(A' \to P'_g\) est lisse, nous pouvons relever \(P_g \to B_g\) en une application surjective \(P'_g \to B'\) comme ci-dessus, ce qui donne le résultat voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(B\) une \(k\)-algèbre de type fini. Soit \(S \subset B\) une partie multiplicative telle que, si \(\Spec(B) \to \Spec(k)\) n’est pas lisse en \(\mathfrak q\), alors \(S \cap \mathfrak q = \emptyset\). Soit \(N\) un \(B\)-module fini. Alors il existe une bijection canonique \[\text{Exal}_k(B, N) \to \text{Exal}_k(S^{-1}B, S^{-1}N)\]

Démonstration

Cette démonstration est la même que celle du lemme 0DZ4, mais plus facile. Nous suggérons au lecteur de l’omettre. L’application est donnée par localisation : étant donné \(0 \to N \to C \to B \to 0\) dans \(\text{Exal}_k(B, N)\), nous l’envoyons sur la localisation \(S_C^{-1}C\) de \(C\) en l’image réciproque \(S_C \subset C\) de \(S\). Comparer avec la démonstration du lemme 0DYS.

Le lieu de lissité d’un morphisme de schémas est ouvert par définition. Soit \(J \subset B\) un idéal définissant l’ensemble des points de \(\Spec(B)\) où \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) n’est pas lisse. Puisque \(k \to B\) est de présentation finie, le complexe \(\NL_{B/k}\) peut être représenté par un complexe \(N^{-1} \to N^0\), où \(N^i\) est un \(B\)-module fini ; voir Algèbre, section 00S0, et en particulier Algèbre, lemme 00S1. Comme \(B\) est noethérien, cela signifie que \(\NL_{B/k}\) est pseudo-cohérent. Pour \(g \in J\), la \(k\)-algèbre \(B_g\) est lisse et donc \((\NL_{B/k})_g = \NL_{B_g/k}\) est quasi-isomorphe à un \(B\)-module projectif de type fini placé en degré \(0\). Ainsi, \(\text{Ext}^i_B(\NL_{B/k}, N)_g = 0\) pour \(i \geq 1\) et tout \(B\)-module \(N\). Enfin, nous avons \[\text{Ext}^1_{S^{-1}B}(\NL_{S^{-1}B/k}, S^{-1}N) = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \otimes_B S^{-1}B = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N)\] La première égalité résulte de Compléments sur l’algèbre, lemme 0A6A, et d’Algèbre, lemme 00S7. La seconde vaut parce que \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N)\) est annulé par une puissance de \(J\) et que les éléments de \(S\) agissent inversiblement sur les modules annulés par une puissance de \(J\). Cela achève la démonstration grâce à la description de \(\text{Exal}_A(B, N)\) comme \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/A}, N)\) donnée juste avant le lemme 0DZ4.

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre. Soit \(S \subset P\) une partie multiplicative. Si

1. \(k \to P\) est de type fini ;

2. \(\Spec(P) \to \Spec(k)\) est lisse en tout point de \(V(g)\) pour tout \(g \in S\).

alors le foncteur entre catégories de déformations du lemme 0DYS \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{S^{-1}P}\] est lisse et induit un isomorphisme sur les espaces tangents.

Démonstration

Nous savons que \(\Deformationcategory_P\) et \(\Deformationcategory_{S^{-1}P}\) sont des catégories de déformations d’après le lemme 0DY2. Il suffit donc de vérifier que notre foncteur identifie les espaces tangents et les possibilités de relèvement ; voir Théorie formelle des déformations, lemme 0DYP. La propriété concernant les possibilités de relèvement est démontrée dans le lemme 0DZ7, et l’isomorphisme sur les espaces tangents est le cas particulier du lemme 0DZ8 où \(N = B\).

Déformations des hensélisés

Dans cette section, nous comparons les problèmes de déformation posés par une algèbre et par son complété. Nous discutons d’abord de la « possibilité de relèvement ».

Lemme

Soit \(A' \to A\) un homomorphisme surjectif d’anneaux noethériens de noyau nilpotent. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux plat de type fini. Soit \(\mathfrak b \subset B\) un idéal tel que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) soit syntomique sur le complémentaire de \(V(\mathfrak b)\). Soit \((B^h, \mathfrak b^h)\) l’hensélisation du couple \((B, \mathfrak b)\). Alors \(B\) possède un relèvement plat sur \(A'\) si et seulement si \(B^h\) possède un relèvement plat sur \(A'\).

Démonstration

Cette démonstration triche quelque peu. En effet, si \(B\) possède un relèvement plat \(B'\), alors, en prenant l’hensélisé \((B')^h\), nous obtenons un relèvement plat de \(B^h\) (comparer avec la démonstration du lemme 0DYT). Réciproquement, supposons que \(C'\) soit un relèvement plat sur \(A'\) de \((B')^h\). Soit alors \(\mathfrak c' \subset C'\) l’image réciproque de l’idéal \(\mathfrak b^h\). Le complété \((C')^\wedge\) de \(C'\) pour \(\mathfrak c'\) est alors un relèvement de \(B^\wedge\) (détails omis). Nous voyons donc que \(B\) possède un relèvement plat d’après le lemme 0DZ3.

Démonstration

Choisissons une surjection de \(A\)-algèbres \(P = A[x_1, \ldots, x_n] \to B\). Soit \(\mathfrak p \subset P\) l’image réciproque de \(\mathfrak b\). Posons \(P' = A'[x_1, \ldots, x_n]\) et notons \(\mathfrak p' \subset P'\) l’image réciproque de \(\mathfrak p\). (Bien sûr, \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak p'\) ne désignent pas ici des idéaux premiers.) Nous noterons \(P^h\) et \((P')^h\) les hensélisés respectifs. Nous utiliserons la fonctorialité de l’hensélisation ainsi que le fait que l’hensélisé d’un quotient est le quotient correspondant de l’hensélisé ; voir Compléments sur l’algèbre, lemmes 09Y6 et 0DYE.

Supposons que \(A' \to B'\) soit un relèvement plat de \(A \to B\), autrement dit que \(A' \to B'\) soit plat et qu’il existe un isomorphisme de \(A\)-algèbres \(B = B' \otimes_{A'} A\). Nous pouvons alors choisir un homomorphisme de \(A'\)-algèbres \(P' \to B'\) relevant la surjection donnée \(P \to B\). Par le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), nous trouvons que \(B'\) est un quotient de \(P'\). En particulier, nous trouvons que nous pouvons rendre \(B'\) plat sur \(A'\) comme \(P'\)-module, relevant \(B\), qui est plat sur \(A\), comme \(P\)-module. Réciproquement, si nous pouvons relever \(B\) en un \(P'\)-module \(M'\) plat sur \(A'\), alors \(M'\) est un module cyclique \(M' \cong P'/J'\) (en utilisant de nouveau Nakayama), et, en posant \(B' = P'/J'\), nous obtenons un relèvement plat de \(B\) comme algèbre.

Posons \(C = B^h\) et \(\mathfrak c = \mathfrak bC\). Supposons que \(A' \to C'\) soit un relèvement plat de \(A \to C\). Alors \(C'\) est hensélien pour l’image réciproque \(\mathfrak c'\) de \(\mathfrak c\) (d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0DYD, et parce que le noyau de \(C' \to C\) est nilpotent). Choisissons un homomorphisme de \(A'\)-algèbres \(P' \to C'\) relevant l’homomorphisme de \(A\)-algèbres \(P \to C\). Ces homomorphismes se prolongent aux hensélisés et donnent des surjections \(P^h \to C\) et \((P')^h \to C'\) (pour la seconde, en utilisant de nouveau le lemme de Nakayama). En particulier, nous trouvons que \(C'\) est plat sur \(A'\) et peut être muni d’une structure de \((P')^h\)-module relevant \(C\), plat sur \(A\), comme \(P^h\)-module. Réciproquement, si nous pouvons relever \(C\) en un \((P')^h\)-module \(N'\) plat sur \(A'\), alors \(N'\) est un module cyclique \(N' \cong (P')^h/\tilde J\) (en utilisant de nouveau Nakayama) et, en posant \(C' = (P')^h/\tilde J\), nous obtenons un relèvement plat de \(C\) comme algèbre.

Observons que \(P' \to (P')^h\) est un homomorphisme d’anneaux plat qui induit un isomorphisme \(P'/\mathfrak p' = (P')^h/\mathfrak p'(P')^h\) (Compléments sur l’algèbre, lemme 0AGU). Nous concluons que notre lemme résulte du lemme 0DZ2, pourvu que nous puissions montrer que \(B_g\) se relève en un module plat sur \(A'\) muni d’une structure de \(P'_g\)-module pour \(g \in \mathfrak p'\). Or l’homomorphisme d’anneaux \(A \to B_g\) est syntomique et se relève donc en une \(A'\)-algèbre plate \(B'\) d’après Lissage des homomorphismes d’anneaux, proposition 07M8. Puisque \(A' \to P'_g\) est lisse, nous pouvons relever \(P_g \to B_g\) en une application surjective \(P'_g \to B'\) comme ci-dessus, ce qui donne le résultat voulu.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(B\) une \(k\)-algèbre de type fini. Soit \(J \subset B\) un idéal tel que \(\Spec(B) \to \Spec(k)\) soit lisse sur le complémentaire de \(V(J)\). Soit \(N\) un \(B\)-module fini. Alors il existe une bijection canonique \[\text{Exal}_k(B, N) \to \text{Exal}_k(B^h, N^h)\] Ici, \((B^h, J^h)\) est l’hensélisation de \((B, J)\) et \(N^h = N \otimes_B B^h\).

Démonstration

Cette démonstration est la même que celle du lemme 0DZ4, mais plus facile. Nous suggérons au lecteur de l’omettre. L’application est donnée par hensélisation : étant donné \(0 \to N \to C \to B \to 0\) dans \(\text{Exal}_k(B, N)\), nous l’envoyons sur l’hensélisé \(C^h\) de \(C\) pour l’image réciproque \(J_C \subset C\) de \(J\). Comparer avec la démonstration du lemme 0DYT.

Puisque \(k \to B\) est de présentation finie, le complexe \(\NL_{B/k}\) peut être représenté par un complexe \(N^{-1} \to N^0\), où \(N^i\) est un \(B\)-module fini ; voir Algèbre, section 00S0, et en particulier Algèbre, lemme 00S1. Comme \(B\) est noethérien, cela signifie que \(\NL_{B/k}\) est pseudo-cohérent. Pour \(g \in J\), la \(k\)-algèbre \(B_g\) est lisse et donc \((\NL_{B/k})_g = \NL_{B_g/k}\) est quasi-isomorphe à un \(B\)-module projectif de type fini placé en degré \(0\). Ainsi, \(\text{Ext}^i_B(\NL_{B/k}, N)_g = 0\) pour \(i \geq 1\) et tout \(B\)-module \(N\). Enfin, nous avons \[\begin{align*} \text{Ext}^1_{B^h}(\NL_{B^h/k}, N^h) & = \text{Ext}^1_{B^h}(\NL_{B/k} \otimes_B B^h, N \otimes_B B^h) \\ & = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \otimes_B B^h \\ & = \text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N) \end{align*}\] La première égalité résulte de Compléments sur l’algèbre, lemme 0D08 (ou plutôt de son analogue pour les hensélisations de couples). La deuxième résulte de Compléments sur l’algèbre, lemme 0A6A. La troisième vaut parce que \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/k}, N)\) est annulé par une puissance de \(J\), que l’application \(B \to B^h\) est plate et induit un isomorphisme \(B/J \to B^h/JB^h\) (Compléments sur l’algèbre, lemme 0AGU), et d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 05EC. Cela achève la démonstration grâce à la description de \(\text{Exal}_A(B, N)\) comme \(\text{Ext}^1_B(\NL_{B/A}, N)\) donnée juste avant le lemme 0DZ4.

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre. Soit \(J \subset P\) un idéal. Notons \((P^h, J^h)\) l’hensélisation du couple \((P, J)\). Si

1. \(k \to P\) est de type fini ;

2. \(\Spec(P) \to \Spec(k)\) est lisse sur le complémentaire de \(V(J)\),

alors le foncteur entre catégories de déformations du lemme 0DYT \[\Deformationcategory_P \longrightarrow \Deformationcategory_{P^h}\] est lisse et induit un isomorphisme sur les espaces tangents.

Démonstration

Nous savons que \(\Deformationcategory_P\) et \(\Deformationcategory_{P^h}\) sont des catégories de déformations d’après le lemme 0DY2. Il suffit donc de vérifier que notre foncteur identifie les espaces tangents et les possibilités de relèvement ; voir Théorie formelle des déformations, lemme 0DYP. La propriété concernant les possibilités de relèvement est démontrée dans le lemme 0DZB, et l’isomorphisme sur les espaces tangents est le cas particulier du lemme 0DZC où \(N = B\).

Application aux singularités isolées

Nous appliquons la discussion précédente à l’étude de la théorie des déformations d’une algèbre de type fini qui ne possède qu’un nombre fini de points singuliers.

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une \(k\)-algèbre. Supposons que \(k \to P\) soit de type fini et que \(\Spec(P) \to \Spec(k)\) soit lisse sauf aux idéaux maximaux \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n\) de \(P\). Soient \(P_{\mathfrak m_i}\), \(P_{\mathfrak m_i}^h\), \(P_{\mathfrak m_i}^\wedge\) l’anneau local, l’hensélisé et le complété. Alors les applications de catégories de déformations \[\Deformationcategory_P \to \prod \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}} \to \prod \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}^h} \to \prod \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}^\wedge}\] sont lisses et induisent des isomorphismes sur leurs espaces tangents de dimension finie.

Démonstration

L’espace tangent est de dimension finie d’après le lemme 0DY4. Les foncteurs entre les catégories sont construits dans les lemmes 0DYS, 0DYT et 0DYV (nous omettons certaines vérifications du type : le complété de l’hensélisé est le complété).

Posons \(J = \mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_n\) et appliquons le lemme 0DZ5 pour obtenir que \(\Deformationcategory_P \to \Deformationcategory_{P^\wedge}\) est lisse et induit un isomorphisme sur les espaces tangents, où \(P^\wedge\) est le complété \(J\)-adique de \(P\). Cependant, puisque \(P^\wedge = \prod P_{\mathfrak m_i}^\wedge\), nous voyons que l’application \(\Deformationcategory_P \to \prod \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}^\wedge}\) est lisse et induit un isomorphisme sur les espaces tangents.

Soit \((P^h, J^h)\) l’hensélisation du couple \((P, J)\). Alors \(P^h = \prod P_{\mathfrak m_i}^h\) (considérer les idempotents et utiliser Compléments sur l’algèbre, lemme 09XI). Nous pouvons donc appliquer le lemme 0DZD et conclure comme dans le cas du complété.

Pour obtenir le dernier cas, il suffit de montrer que \(\Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}} \to \Deformationcategory_{P_{\mathfrak m_i}^\wedge}\) est lisse et induit des isomorphismes sur les espaces tangents pour chaque \(i\) séparément. Pour cela, nous pouvons remplacer \(P\) par une localisation principale dont l’unique point singulier est un idéal maximal \(\mathfrak m\) (correspondant à \(\mathfrak m_i\) dans le \(P\) initial). Nous pouvons alors appliquer le lemme 0DZ9 à la partie multiplicative \(S = P \setminus \mathfrak m\) pour conclure. Les détails mineurs sont omis.

Problèmes de déformation non obstrués

Soit \(p : \mathcal{F} \to \mathcal{C}_\Lambda\) une catégorie cofibrée en groupoïdes. Rappelons que nous disons que \(\mathcal{F}\) est lisse ou non obstruée si \(p\) est lisse. Cela signifie qu’étant données une surjection \(\varphi : A' \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\) et \(x \in \Ob(\mathcal{F}(A))\), il existe un morphisme \(f : x' \to x\) dans \(\mathcal{F}\) tel que \(p(f) = \varphi\). Voir Théorie formelle des déformations, section 0DYK. Dans cette section, nous donnons quelques exemples géométriquement significatifs.

Lemme

Dans l’exemple 0DY1, soit \(P\) une intersection complète locale sur \(k\) (Algèbre, définition 00S9). Alors \(\Deformationcategory_P\) est non obstruée.

Démonstration

Soit \((A, Q) \to (k, P)\) un objet de \(\Deformationcategory_P\). Alors nous voyons que \(A \to Q\) est un homomorphisme d’anneaux syntomique d’après Algèbre, définition 00SL. Ainsi, pour toute surjection \(A' \to A\) dans \(\mathcal{C}_\Lambda\), nous voyons qu’il existe un morphisme \((A', Q') \to (A, Q)\) relevant \(A' \to A\) d’après Lissage des homomorphismes d’anneaux, proposition 07M8. Cela démontre le lemme.

Lemme

Dans la situation 0DYY, si \(U_{12} \to \Spec(k)\) est lisse, alors le morphisme \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_1} \times \Deformationcategory_{U_2} = \Deformationcategory_{P_1} \times \Deformationcategory_{P_2}\] est lisse. Si, de plus, \(U_1\) est une intersection complète locale sur \(k\), alors \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_2} = \Deformationcategory_{P_2}\] est lisse.

Démonstration

Les signes d’égalité sont justifiés par le lemme 0DYX. Considérons \(\mathcal{C}_\Lambda\) comme une catégorie de déformations sur \(\mathcal{C}_\Lambda\), comme dans Théorie formelle des déformations, section 0DYK. Alors \[\Deformationcategory_{P_1} \times \Deformationcategory_{P_2} = \Deformationcategory_{P_1} \times_{\mathcal{C}_\Lambda} \Deformationcategory_{P_2},\] voir Théorie formelle des déformations, remarques 06GK (0DZJ). En utilisant le lemme 0DYZ, la première assertion revient à dire que le foncteur \[\Deformationcategory_{P_1} \times_{\Deformationcategory_{P_{12}}} \Deformationcategory_{P_2} \longrightarrow \Deformationcategory_{P_1} \times_{\mathcal{C}_\Lambda} \Deformationcategory_{P_2}\] est lisse. Cela résulte de Théorie formelle des déformations, lemme 0DYN, pourvu que nous puissions montrer que \(T\Deformationcategory_{P_{12}} = (0)\). Cette annulation résulte du lemme 0DZL, puisque \(P_{12}\) est lisse sur \(k\). Pour la seconde assertion, il suffit de montrer que \(\Deformationcategory_{P_1} \to \mathcal{C}_\Lambda\) est lisse ; voir Théorie formelle des déformations, lemme 06HM. Autrement dit, il faut montrer que \(\Deformationcategory_{P_1}\) est non obstruée, ce qui est le lemme 0DZH.

Lemme

Dans l’exemple 0DY7, soit \(X\) un schéma sur \(k\). Supposons que

1. \(X\) soit séparé, de type fini sur \(k\) et \(\dim(X) \leq 1\) ;

2. \(X \to \Spec(k)\) soit lisse sauf aux points fermés \(p_1, \ldots, p_n \in X\).

Soient \(\mathcal{O}_{X, p_1}\), \(\mathcal{O}_{X, p_1}^h\), \(\mathcal{O}_{X, p_1}^\wedge\) l’anneau local, l’hensélisé et le complété. Considérons les applications de catégories de déformations \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \prod \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p_i}} \longrightarrow \prod \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p_i}^h} \longrightarrow \prod \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p_i}^\wedge}\] La première flèche est lisse, et les deuxième et troisième flèches sont lisses et induisent des isomorphismes sur les espaces tangents.

Démonstration

Choisissons un ouvert affine \(U_2 \subset X\) contenant \(p_1, \ldots, p_n\) et le point générique de toute composante irréductible de \(X\). Cela est possible d’après Variétés, lemme 0A25, et Propriétés, lemme 01ZY. Alors \(X \setminus U_2\) est fini, et nous pouvons choisir un ouvert affine \(U_1 \subset X \setminus \{p_1, \ldots, p_n\}\) tel que \(X = U_1 \cup U_2\). Posons \(U_{12} = U_1 \cap U_2\). Alors \(U_1\) et \(U_{12}\) sont des schémas affines lisses sur \(k\). Nous concluons que \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_2}\] est lisse d’après le lemme 0DZN. Le résultat découle des lemmes 0DYX et 0DZF.

Lemme

Dans l’exemple 0DY7, soit \(X\) un schéma sur \(k\). Supposons que

1. \(X\) soit séparé, de type fini sur \(k\) et \(\dim(X) \leq 1\) ;

2. \(X\) soit une intersection complète locale sur \(k\) ;

3. \(X \to \Spec(k)\) soit lisse sauf en un nombre fini de points.

Alors \(\Deformationcategory_X\) est non obstruée.

Démonstration

Soient \(p_1, \ldots, p_n \in X\) les points où \(X \to \Spec(k)\) n’est pas lisse. Choisissons un ouvert affine \(U_2 \subset X\) contenant \(p_1, \ldots, p_n\) et le point générique de toute composante irréductible de \(X\). Cela est possible d’après Variétés, lemme 0A25, et Propriétés, lemme 01ZY. Alors \(X \setminus U_2\) est fini, et nous pouvons choisir un ouvert affine \(U_1 \subset X \setminus \{p_1, \ldots, p_n\}\) tel que \(X = U_1 \cup U_2\). Posons \(U_{12} = U_1 \cap U_2\). Alors \(U_1\) et \(U_{12}\) sont des schémas affines lisses sur \(k\). Nous concluons que \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \Deformationcategory_{U_2}\] est lisse d’après le lemme 0DZN. Le résultat découle des lemmes 0DYX et 0DZH.

Lissages

Soit donné un schéma ou espace algébrique de type fini \(X\) sur un corps \(k\). Il est souvent utile de trouver un morphisme plat de type fini \(Y \to \Spec(k[[t]])\) dont la fibre générique est lisse et la fibre spéciale isomorphe à \(X\). Un tel objet est appelé un lissage de \(X\). Dans cette section, nous trouverons un lissage en dimension \(1\) pour un espace séparé \(X\) qui possède des singularités isolées d’intersection complète locale.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Posons \(S = \Spec(k[[t]])\) et \(S_n = \Spec(k[t]/(t^n))\). Soit \(Y \to S\) un morphisme propre et plat de schémas dont la fibre spéciale \(X\) est de Cohen-Macaulay et équidimensionnelle de dimension \(d\). Notons \(X_n = Y \times_S S_n\). Si, pour un certain \(n \geq 1\), le \(d\)-ième idéal de Fitting de \(\Omega_{X_n/S_n}\) contient \(t^{n - 1}\), alors la fibre générique de \(Y \to S\) est lisse.

Démonstration

D’après Compléments sur les morphismes, lemme 045U nous voyons que \(Y \to S\) est un morphisme de Cohen-Macaulay. D’après Morphismes, lemme 02NM nous voyons que \(Y \to S\) est de dimension relative \(d\). D’après Diviseurs, lemme 0C3K, le \(d\)-ième idéal de Fitting \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) de \(\Omega_{Y/S}\) définit le lieu singulier du morphisme \(Y \to S\). Autrement dit, \(V(\mathcal{I}) \subset Y\) est le sous-ensemble fermé des points où \(Y \to S\) n’est pas lisse. D’après Diviseurs, lemme 0C3I, la formation de cet idéal de Fitting commute au changement de base. Par hypothèse, nous voyons que \(t^{n - 1}\) est une section de \(\mathcal{I} + t^n\mathcal{O}_Y\). Ainsi, pour tout \(x \in X = V(t) \subset Y\), nous concluons que \(t^{n - 1} \in \mathcal{I}_x\), où \(\mathcal{I}_x\) est le germe en \(x\). Cela implique que \(V(\mathcal{I}) \subset V(t)\) dans un voisinage ouvert de \(X\) dans \(Y\). Puisque \(Y \to S\) est propre, il s’ensuit que \(V(\mathcal{I}) \subset V(t)\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soient \(1 \leq c \leq n\) des entiers. Soient \(f_1, \ldots, f_c \in k[x_1, \ldots x_n]\) des éléments. Soient \(a_{ij}\), \(0 \leq i \leq n\), \(1 \leq j \leq c\) des indéterminées. Considérons \[g_j = f_j + a_{0j} + a_{1j}x_1 + \ldots + a_{nj}x_n \in k[a_{ij}][x_1, \ldots, x_n]\] Notons \(Y \subset \mathbf{A}^{n + c(n + 1)}_k\) le sous-schéma fermé défini par \(g_1, \ldots, g_c\). Notons \(\pi : Y \to \mathbf{A}^{c(n + 1)}_k\) la projection sur l’espace affine d’indéterminées \(a_{ij}\). Alors il existe un ouvert de Zariski non vide de \(\mathbf{A}^{c(n + 1)}_k\) au-dessus duquel \(\pi\) est lisse.

Démonstration

Rappelons que l’ensemble des points où \(\pi\) est lisse est ouvert. Son complémentaire, c’est-à-dire le lieu singulier, est donc fermé. D’après le théorème de Chevalley (sous la forme de Morphismes, lemme 054J), l’image du lieu singulier est constructible. Par conséquent, si le point générique de \(\mathbf{A}^{c(n + 1)}_k\) n’appartient pas à l’image du lieu singulier, alors le lemme en découle (par exemple d’après Topologie, lemme 005K). Il faut donc montrer qu’il n’existe aucun point \(y \in Y\) où \(\pi\) ne soit pas lisse et qui s’envoie sur le point générique de \(\mathbf{A}^{c(n + 1)}_k\). Considérons la matrice des dérivées partielles \[(\frac{\partial g_j}{\partial x_i}) = (\frac{\partial f_j}{\partial x_i} + a_{ij})\] L’image de cette matrice dans \(\kappa(y)\) doit être de rang \(< c\), car sinon \(\pi\) serait lisse en \(y\) ; voir la discussion dans Lissage des homomorphismes d’anneaux, section 07C4. Nous pouvons donc trouver \(\lambda_1, \ldots, \lambda_c \in \kappa(y)\), non tous nuls, tels que le vecteur \((\lambda_1, \ldots, \lambda_c)\) appartienne au noyau de cette matrice. Après renumérotation, nous pouvons supposer \(\lambda_1 \not = 0\). En divisant par \(\lambda_1\), nous pouvons supposer que notre vecteur est de la forme \((1, \lambda_2, \ldots, \lambda_c)\). Nous obtenons alors \[a_{i1} = - \frac{\partial f_j}{\partial x_1} - \sum\nolimits_{j = 2, \ldots, c} \lambda_j(\frac{\partial f_j}{\partial x_i} + a_{ij})\] dans \(\kappa(y)\) pour \(i = 1, \ldots, n\). De plus, puisque \(y \in Y\), nous avons aussi l’égalité \[a_{0j} = -f_j - a_{1j}x_1 - \ldots - a_{nj}x_n\] dans \(\kappa(y)\). Cela signifie que le sous-corps de \(\kappa(y)\) engendré par \(a_{ij}\) est contenu dans le sous-corps de \(\kappa(y)\) engendré par les images de \(x_1, \ldots, x_n, \lambda_2, \ldots, \lambda_c\), et par les \(a_{ij}\) autres que \(a_{i1}\) et \(a_{0j}\). En comptant, nous voyons que son degré de transcendance est au plus \(c(n + 1) - 1\). Ainsi, \(y\) ne peut pas s’envoyer sur le point générique, comme souhaité.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une intersection complète globale sur \(k\). Il existe un homomorphisme d’anneaux plat de type fini \(k[[t]] \to B\) tel que \(B/tB \cong A\) et que \(B[1/t]\) soit lisse sur \(k((t))\).

Démonstration

Écrivons \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\) comme dans Algèbre, définition 00S9. Nous allons choisir \(a_{ij} \in (t) \subset k[[t]]\) et poser \[g_j = f_j + a_{0j} + a_{1j}x_1 + \ldots + a_{nj}x_n \in k[[t]][x_1, \ldots, x_n]\] Après ce choix, nous prenons \(B = k[[t]][x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_c)\). Nous affirmons que \(k[[t]] \to B\) est plat en tout idéal premier au-dessus de \((t)\). En effet, les éléments \(f_1, \ldots, f_c\) forment une suite régulière dans l’anneau local en tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(k[x_1, \ldots, x_n]\) contenant \(f_1, \ldots, f_c\) (Algèbre, lemme 00SC). Ainsi, \(g_1, \ldots, g_c\) est localement un relèvement d’une suite régulière, et nous pouvons appliquer Algèbre, lemme 00MG. La platitude aux idéaux premiers au-dessus de \((0) \subset k[[t]]\) est automatique, car \(k((t)) = k[[t]]_{(0)}\) est un corps. Ainsi, \(B\) est plat sur \(k[[t]]\).

Il reste seulement à montrer que, pour des choix convenables des \(a_{ij}\), la fibre générique \(B_{(0)}\) est lisse sur \(k((t))\). Pour cela, nous devons montrer que nous pouvons choisir nos \(a_{ij}\) de sorte que le morphisme induit \[(a_{ij}) : \Spec(k[[t]]) \longrightarrow \mathbf{A}^{c(n + 1)}_k\] s’envoie dans l’ouvert de Zariski non vide du lemme 0E7U. Cela est clair, car aucun polynôme non nul en les \(a_{ij}\) ne s’annule sur \((t)^{\oplus c(n + 1)}\). (Nous laissons cela en exercice au lecteur.)

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une \(k\)-algèbre de dimension finie qui est une intersection complète locale sur \(k\). Alors il existe une \(k[[t]]\)-algèbre finie et plate \(B\) telle que \(B/tB \cong A\) et \(B[1/t]\) soit étale sur \(k((t))\).

Démonstration

Puisque \(A\) est artinien (Algèbre, lemme 00J6), nous pouvons écrire \(A\) comme un produit d’anneaux locaux artiniens (Algèbre, lemme 00JB). Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(A\) est local (nous utilisons ici que la propriété d’être une intersection complète locale est préservée par localisation principale ; voir Algèbre, lemme 00SA). Dans ce cas, \(A\) est une intersection complète globale. Considérons l’algèbre \(B\) construite dans le lemme 0E7V. Alors \(k[[t]] \to B\) est quasi-fini en l’unique idéal premier de \(B\) au-dessus de \((t)\) (Algèbre, définition 00PL). Observons que \(k[[t]]\) est un anneau local hensélien (Algèbre, lemme 04GM). Ainsi, \(B = B' \times C\), où \(B'\) est fini sur \(k[[t]]\) et \(C\) n’a aucun idéal premier au-dessus de \((t)\) ; voir Algèbre, lemme 04GG. Alors \(B'\) est l’anneau recherché (rappelons que étale signifie la même chose que lisse de dimension relative \(0\)).

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(A\) une \(k\)-algèbre. Supposons que

1. \(A\) soit un anneau local essentiellement de type fini sur \(k\) ;

2. \(A\) soit une intersection complète sur \(k\) (Algèbre, définition 00SD).

Posons \(d = \dim(A) + \text{trdeg}_k(\kappa)\), où \(\kappa\) est le corps résiduel de \(A\). Alors il existe un entier \(n\) et un homomorphisme d’anneaux plat, essentiellement de type fini, \(k[[t]] \to B\) tel que \(B/tB \cong A\) et que \(t^n\) appartienne au \(d\)-ième idéal de Fitting de \(\Omega_{B/k[[t]]}\).

Démonstration

D’après Algèbre, lemme 00SF, nous pouvons écrire \(A\) comme la localisation en un idéal premier \(\mathfrak p\) d’une intersection complète globale \(P\) sur \(k\). Observons que \(\dim(P) = d\) d’après Algèbre, lemme 00P1. D’après le lemme 0E7V, nous pouvons trouver un homomorphisme d’anneaux plat de type fini \(k[[t]] \to Q\) tel que \(P \cong Q/tQ\) et tel que \(k((t)) \to Q[1/t]\) soit lisse. Il résulte de la construction de \(Q\) dans le lemme que \(k[[t]] \to Q\) est un morphisme d’intersection complète globale, de dimension relative \(d\) ; autrement dit, Algèbre, lemme 00SY, nous dit que \(Q\) ou une localisation principale convenable de \(Q\) est une telle intersection complète globale. Ainsi, d’après Diviseurs, lemme 0C3K, le \(d\)-ième idéal de Fitting \(I \subset Q\) de \(\Omega_{Q/k[[t]]}\) définit le lieu singulier de \(\Spec(Q) \to \Spec(k[[t]])\). Ainsi, \(t^n \in I\) pour un certain \(n\). Soit \(\mathfrak q \subset Q\) l’image réciproque de \(\mathfrak p\). Posons \(B = Q_\mathfrak q\). Le lemme est démontré.

Lemme

Soit \(X\) un schéma sur un corps \(k\). Supposons que

1. \(X\) soit propre sur \(k\) ;

2. \(X\) soit une intersection complète locale sur \(k\) ;

3. \(X\) soit de dimension \(\leq 1\) ;

4. \(X \to \Spec(k)\) soit lisse sauf en un nombre fini de points.

Alors il existe un morphisme projectif plat \(Y \to \Spec(k[[t]])\) dont la fibre générique est lisse et la fibre spéciale est isomorphe à \(X\).

Démonstration

Observons que \(X\) est de Cohen-Macaulay ; voir Algèbre, lemme 00SB. Ainsi, \(X = X' \amalg X''\) avec \(\dim(X') = 0\), et \(X''\) est équidimensionnel de dimension \(1\) ; voir Morphismes, lemme 02NM. Puisque \(X'\) est fini sur \(k\) (Variétés, lemme 06LH) nous pouvons trouver \(Y' \to \Spec(k[[t]])\) dont la fibre spéciale est \(X'\) et la fibre générique est lisse d’après le lemme 0E7W. Il suffit donc de démontrer le lemme pour \(X''\). Après avoir remplacé \(X\) par \(X''\), le schéma \(X\) est de Cohen-Macaulay et équidimensionnel de dimension \(1\).

Nous allons utiliser la théorie des déformations dans la situation \(\Lambda = k \to k\). Soient \(p_1, \ldots, p_r \in X\) les points singuliers fermés de \(X\), c’est-à-dire les points où \(X \to \Spec(k)\) n’est pas lisse. Pour chaque \(i\), choisissons un entier \(n_i\) et un homomorphisme d’anneaux plat, essentiellement de type fini, \[k[[t]] \longrightarrow B_i\] tel que \(B_i/tB_i \cong \mathcal{O}_{X, p_i}\) et que \(t^{n_i}\) appartienne au \(1\)er idéal de Fitting de \(\Omega_{B_i/k[[t]]}\). Cela est possible d’après le lemme 0E7X. Observons que le système \((B_i/t^nB_i)\) définit un objet formel de \(\Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p_i}}\) sur \(k[[t]]\). D’après le lemme 0DZP, l’application \[\Deformationcategory_X \longrightarrow \prod\nolimits_{i = 1, \ldots, r} \Deformationcategory_{\mathcal{O}_{X, p_i}}\] est une application lisse entre catégories de déformations. Ainsi, d’après Théorie formelle des déformations, lemme 06HN il existe un objet formel \((X_n)\) dans \(\Deformationcategory_X\) qui s’envoie sur l’objet formel \(\prod_i (B_i/t^n)\) par la flèche ci-dessus. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0E7R il existe un schéma projectif \(Y\) sur \(k[[t]]\) et des isomorphismes compatibles \(Y \times_{\Spec(k[[t]])} \Spec(k[t]/(t^n)) \cong X_n\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0D4G nous voyons que \(Y \to \Spec(k[[t]])\) est plat. Puisque \(X\) est de Cohen-Macaulay et équidimensionnel de dimension \(1\), nous pouvons appliquer le lemme 0E7T pour vérifier que \(Y\) a une fibre générique lisse³. Choisissons \(n\) strictement supérieur au maximum des entiers \(n_i\) trouvés ci-dessus. Si nous pouvons montrer que \(t^{n - 1}\) appartient au premier idéal de Fitting de \(\Omega_{X_n/S_n}\), où \(S_n = \Spec(k[t]/(t^n))\), la démonstration est achevée. Pour cela, il suffit de le démontrer dans chacun des anneaux locaux de \(X_n\) aux points fermés \(p\). Cependant, si \(p\) correspond à un point lisse de \(X \to \Spec(k)\), alors \(\Omega_{X_n/S_n, p}\) est libre de rang \(1\) et le premier idéal de Fitting est égal à l’anneau local. Si \(p = p_i\) pour un certain \(i\), alors \[\Omega_{X_n/S_n, p_i} = \Omega_{(B_i/t^nB_i)/(k[t]/(t^n))} = \Omega_{B_i/k[[t]]}/t^n\Omega_{B_i/k[[t]]}\] Puisque la formation des idéaux de Fitting commute au changement de base (nous avons déjà utilisé ce fait, mais, dans ce cadre algébrique, il résulte de Compléments sur l’algèbre, lemme 07ZA), et puisque \(n - 1 \geq n_i\), nous voyons que \(t^{n - 1}\) appartient à l’idéal de Fitting de ce module sur \(B_i/t^nB_i\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(k\) un corps et soit \(X\) un schéma sur \(k\). Supposons que

1. \(X\) soit séparé, de type fini sur \(k\) et \(\dim(X) \leq 1\) ;

2. \(X\) soit une intersection complète locale sur \(k\) ;

3. \(X \to \Spec(k)\) soit lisse sauf en un nombre fini de points.

Alors il existe un morphisme plat, séparé et de type fini \(Y \to \Spec(k[[t]])\) dont la fibre générique est lisse et la fibre spéciale est isomorphe à \(X\).

Démonstration

Si \(X\) est réduit, nous pouvons choisir une immersion \(X \subset \overline{X}\) comme dans Variétés, lemme 0BXW. En écrivant \(X = \overline{X} \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}\), nous voyons que \(\mathcal{O}_{\overline{X}, x_i}\) est un anneau de valuation discrète, donc en particulier une intersection complète locale (Algèbre, définition 00SD). Ainsi, \(\overline{X}\) est une intersection complète locale sur \(k\), car cette propriété vaut sur l’ouvert \(X\) et aux points \(x_i\) d’après Algèbre, lemme 00SF. Nous pouvons donc appliquer le lemme 0E7Y pour trouver un morphisme projectif plat \(\overline{Y} \to \Spec(k[[t]])\) dont la fibre générique est lisse et la fibre spéciale est \(\overline{X}\). Nous retirons alors \(x_1, \ldots, x_n\) de \(\overline{Y}\) pour obtenir \(Y\).

Dans le cas général, écrivons \(X = X' \amalg X''\), où \(\dim(X') = 0\) et \(X''\) est équidimensionnel de dimension \(1\). Alors \(X''\) est réduit et le premier paragraphe s’y applique. D’autre part, \(X'\) peut être traité comme dans la démonstration du lemme 0E7Y. Certains détails sont omis.