Diviseurs

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions quelques questions très élémentaires liées à la définition des diviseurs, etc. Une référence de base est [EGA].

Points associés

Soit \(R\) un anneau et soit \(M\) un \(R\)-module. Rappelons qu’un idéal premier \(\mathfrak p \subset R\) est associé à \(M\) s’il existe un élément de \(M\) dont l’annulateur est \(\mathfrak p\). Voir Algèbre, Définition 00LA. Voici la définition des points associés des faisceaux quasi-cohérents sur les schémas telle qu’elle est donnée dans [EGA, IV définition 3.1.1].

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\).

1. On dit que \(x \in X\) est associé à \(\mathcal{F}\) si l’idéal maximal \(\mathfrak m_x\) est associé au \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module \(\mathcal{F}_x\).

2. Nous notons \(\text{Ass}(\mathcal{F})\) ou \(\text{Ass}_X(\mathcal{F})\) l’ensemble des points associés de \(\mathcal{F}\).

3. Les points associés de \(X\) sont les points associés de \(\mathcal{O}_X\).

Ces définitions sont les plus utiles lorsque \(X\) est localement noethérien et \(\mathcal{F}\) de type fini. Par exemple, il peut arriver qu’un point générique d’une composante irréductible de \(X\) ne soit pas associé à \(X\), voir l’exemple 05AI. Dans le cas non noethérien, il peut être plus pratique d’utiliser les points faiblement associés, voir la section 056K. Relions la notion schématique à la notion algébrique sur les ouverts affines; notons que cette correspondance ne fonctionne parfaitement que pour les schémas localement noethériens.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(\Spec(A) = U \subset X\) un ouvert affine, et posons \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\). Soit \(x \in U\), et soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant.

1. Si \(\mathfrak p\) est associé à \(M\), alors \(x\) est associé à \(\mathcal{F}\).

2. Si \(\mathfrak p\) est de type fini, alors la réciproque est également vraie.

En particulier, si \(X\) est localement noethérien, alors l’équivalence \[\mathfrak p \in \text{Ass}(M) \Leftrightarrow x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\] vaut pour toutes les paires \((\mathfrak p, x)\) comme ci-dessus.

Démonstration

Cela découle de Algèbre, Lemme 0310. Mais nous pouvons aussi raisonner directement comme suit. Supposons que \(\mathfrak p\) soit associé à \(M\). Alors il existe un \(m \in M\) dont l’annulateur est \(\mathfrak p\). Comme la localisation est exacte, nous voyons que \(\mathfrak pA_{\mathfrak p}\) est l’annulateur de \(m/1 \in M_{\mathfrak p}\). Comme \(M_{\mathfrak p} = \mathcal{F}_x\) (Schémas, Lemme 01HV), nous concluons que \(x\) est associé à \(\mathcal{F}\).

Inversement, supposons que \(x\) soit associé à \(\mathcal{F}\), et que \(\mathfrak p\) soit de type fini. Comme \(x\) est associé à \(\mathcal{F}\) , il existe un élément \(m' \in M_{\mathfrak p}\) dont l’annulateur est \(\mathfrak pA_{\mathfrak p}\). Écrivons \(m' = m/f\) pour quelque \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\). L’annulateur \(I\) de \(m\) est un idéal de \(A\) tel que \(IA_{\mathfrak p} = \mathfrak pA_{\mathfrak p}\). Par conséquent \(I \subset \mathfrak p\), et \((\mathfrak p/I)_{\mathfrak p} = 0\). Puisque \(\mathfrak p\) est de type fini, il existe un \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak p\) tel que \(g(\mathfrak p/I) = 0\). Ainsi, l’annulateur de \(gm\) est \(\mathfrak p\), d’où le résultat.

Si \(X\) est localement noethérien, alors \(A\) est noethérien (Propriétés, Lemme 01OW) et \(\mathfrak p\) est toujours de type fini.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\).

Démonstration

Cela découle immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) une suite exacte de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\). Alors \(\text{Ass}(\mathcal{F}_2) \subset \text{Ass}(\mathcal{F}_1) \cup \text{Ass}(\mathcal{F}_3)\) et \(\text{Ass}(\mathcal{F}_1) \subset \text{Ass}(\mathcal{F}_2)\).

Démonstration

Pour chaque point \(x \in X\), la suite des germes \(0 \to \mathcal{F}_{1, x} \to \mathcal{F}_{2, x} \to \mathcal{F}_{3, x} \to 0\) est une suite exacte de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules. Par conséquent, le lemme découle de Algèbre, Lemme 02M3.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \cap U\) est fini pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\).

Démonstration

C’est vrai car l’ensemble des idéaux premiers associés d’un module fini sur un anneau noethérien est fini, voir Algèbre, Lemme 00LC. Pour passer des schémas à l’algèbre, utilisons le fait que \(U\) est une réunion finie d’ouverts affines, chacun de ces ouverts est le spectre d’un anneau noethérien (Propriétés, Lemme 01OW), \(\mathcal{F}\) correspond à un module fini sur cet anneau (Cohomologie des schémas, Lemme 01XZ), et enfin le Lemme 02OK.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \[\mathcal{F} = 0 \Leftrightarrow \text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset.\]

Démonstration

Si \(\mathcal{F} = 0\), alors \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset\) par définition. Réciproquement, si \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset\), alors \(\mathcal{F} = 0\) par Algèbre, Lemme 0587. Pour passer des schémas à l’algèbre, restreignons-nous à chaque ouvert affine et appliquons le Lemme 02OK.

Exemple

Soit \(k\) un corps. L’anneau \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2)\) est local avec un idéal maximal localement nilpotent \(\mathfrak m\). Il n’existe aucun élément de \(R\) dont l’annulateur soit \(\mathfrak m\). Donc \(\text{Ass}(R) = \emptyset\), et \(X = \Spec(R)\) est un exemple d’un schéma qui n’a pas de points associés.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(U \subset X\) est ouvert et \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset U\), alors \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) est injectif.

Démonstration

Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) une section qui se restreint à zéro sur \(U\). Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) l’image de l’application \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) définie par \(s\). Alors \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap U = \emptyset\). D’autre part, \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\) d’après le Lemme 05AE. Puisque également \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Supp}(\mathcal{F}')\) (Lemme 05AD), nous concluons \(\text{Ass}(\mathcal{F}') = \emptyset\). Par conséquent, \(\mathcal{F}' = 0\) d’après le Lemme 05AG.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) un point dans le support de \(\mathcal{F}\) qui n’est pas une spécialisation d’un autre point de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\). Alors \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\). En particulier, tout point générique d’une composante irréductible de \(X\) est un point associé de \(X\).

Démonstration

Comme \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) le module \(\mathcal{F}_x\) n’est pas nul. Par conséquent \(\text{Ass}(\mathcal{F}_x) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) n’est pas vide selon Algèbre, Lemme 0587. D’autre part, par hypothèse \(\text{Supp}(\mathcal{F}_x) = \{\mathfrak m_x\}\). Comme \(\text{Ass}(\mathcal{F}_x) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}_x)\) (Algèbre, Lemme 0586) nous voyons que \(\mathfrak m_x\) est associé à \(\mathcal{F}_x\), d’où le résultat.

Le lemme suivant est analogue à Compléments d’algèbre, Lemme 0AV7.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Supposons que, pour chaque \(x \in X\), au moins l’une des conditions suivantes soit vérifiée

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) est injectif, ou

2. \(x \not \in \text{Ass}(\mathcal{F})\).

Alors \(\varphi\) est injectif.

Démonstration

Les hypothèses impliquent que \(\text{Ass}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\) et donc \(\Ker(\varphi) = 0\) par le Lemme 05AG.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Supposons \(\mathcal{F}\) cohérent et que, pour tout \(x \in X\), l’une des situations suivantes se produise

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) est un isomorphisme, ou

2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) et \(x \not \in \text{Ass}(\mathcal{G})\).

Alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Ceci est la traduction de Compléments d’algèbre, Lemme 0AV8, dans le langage des schémas.

Morphismes et points associés

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(s \in S\) est un point, il est souvent commode de noter \(\mathcal{F}_s\) le \(\mathcal{O}_{X_s}\)-module obtenu en prenant l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) par le morphisme \(i_s : X_s \to X\). Ici, \(X_s\) est la fibre au sens des schémas de \(f\) au-dessus de \(s\). Dans une formule \[\mathcal{F}_s = i_s^*\mathcal{F}\] Bien sûr, cette notation entre en conflit avec la notation déjà existante pour la fibre de \(\mathcal{F}\) en un point \(x \in X\) si \(f = \text{id}_X\). Cependant, la notation est souvent pratique, comme dans la formulation du lemme suivant.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\) qui est plat sur \(S\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(S\). Alors nous avons \[\text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \supset \bigcup\nolimits_{s \in \text{Ass}_S(\mathcal{G})} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\] et l’égalité tient si \(S\) est localement noethérien (pour la notation \(\mathcal{F}_s\) voir ci-dessus).

Démonstration

Soit \(x \in X\) et soit \(s = f(x) \in S\). Posons \(B = \mathcal{O}_{X, x}\), \(A = \mathcal{O}_{S, s}\), \(N = \mathcal{F}_x\) et \(M = \mathcal{G}_s\). Remarquez que la fibre de \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\) en \(x\) est égale au \(B\)-module \(M \otimes_A N\). Ainsi \(x \in \text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) si et seulement si \(\mathfrak m_B\) est dans \(\text{Ass}_B(M \otimes_A N)\). De même \(s \in \text{Ass}_S(\mathcal{G})\) et \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) si et seulement si \(\mathfrak m_A \in \text{Ass}_A(M)\) et \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_A B \in \text{Ass}_{B \otimes \kappa(\mathfrak m_A)}(N \otimes \kappa(\mathfrak m_A))\). Ainsi, le lemme découle de Algèbre, Lemme 05C2.

Points immergés

Soit \(R\) un anneau et soit \(M\) un \(R\)-module. Rappelons qu’un idéal premier \(\mathfrak p \subset R\) est un idéal premier associé immergé de \(M\) s’il est un idéal premier associé à \(M\) qui n’est pas minimal parmi les idéaux premiers associés de \(M\). Voir Algèbre, Définition 02M5. Voici la définition des points associés immergés pour les faisceaux quasi-cohérents sur les schémas telle qu’elle est donnée dans [EGA, IV définition 3.1.1].

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\).

1. Un point associé immergé de \(\mathcal{F}\) est un point associé qui n’est pas maximal parmi les points associés de \(\mathcal{F}\), c’est-à-dire qu’il est la spécialisation d’un autre point associé de \(\mathcal{F}\).

2. Un point \(x\) de \(X\) est appelé un point immergé si \(x\) est un point associé immergé de \(\mathcal{O}_X\).

3. Une composante immergée de \(X\) est un sous-ensemble fermé irréductible \(Z = \overline{\{x\}}\) où \(x\) est un point immergé de \(X\).

Dans le cas noethérien lorsque \(\mathcal{F}\) est cohérent, nous avons ce qui suit.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Alors

1. les points génériques des composantes irréductibles de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) sont des points associés de \(\mathcal{F}\), et

2. un point associé de \(\mathcal{F}\) est immergé si et seulement s’il n’est pas un point générique d’une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\).

En particulier un point immergé de \(X\) est un point associé de \(X\) qui n’est pas un point générique d’une composante irréductible de \(X\).

Démonstration

Rappelons que dans ce cas \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\) est fermé, voir Morphismes, Lemme 056J et que les points génériques des composantes irréductibles de \(Z\) sont des points associés de \(\mathcal{F}\), voir le Lemme 05AH. Enfin, nous avons \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset Z\), par le Lemme 05AD. Ces résultats, combinés au fait que \(Z\) est un espace topologique sobre et donc chaque point de \(Z\) est une spécialisation d’un point générique de \(Z\), implique (1) et (2).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes:

1. \(\mathcal{F}\) n’a pas de points associés immergés, et

2. \(\mathcal{F}\) a la propriété \((S_1)\).

Démonstration

Ceci résulte du Lemme 031Q d’Algèbre, combiné au Lemme 02OK ci-dessus.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien de dimension \(\leq 1\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(X\) est de Cohen-Macaulay, et

2. \(X\) n’a pas de points immergés.

Démonstration

Cela découle du lemme 0346 et des définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(U\) est schématiquement dense dans \(X\) (Morphismes, Définition 01RB),

2. \(U\) est dense dans \(X\) et \(U\) contient tous les points immergés de \(X\), et

3. \(U\) contient tous les points associés de \(X\).

Démonstration

La question est locale sur \(X\), par conséquent nous pouvons supposer que \(X = \Spec(A)\) où \(A\) est un anneau noethérien. Alors \(U\) est quasi-compact (Propriétés, Lemme 01OX) donc \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) (Algèbre, Lemme 00F6). Dans cette situation, \(U\) est schématiquement dense dans \(X\) si et seulement si \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) est injectif, voir Morphismes, Exemple 056C. La condition (3) traduite en algèbre signifie que pour chaque idéal premier associé \(\mathfrak p\) à \(A\) il existe un \(i\) avec \(f_i \not \in \mathfrak p\).

Supposons (1), c’est-à-dire que \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) est injectif. Soit \(a \in A\) un élément dont l’annulateur est l’idéal premier \(\mathfrak p\). Puisque \(a\) s’envoie sur un élément non nul de \(A_{f_i}\) pour un certain \(i\) nous voyons que \(f_i \not \in \mathfrak p\). Ainsi, (3) est vérifiée.

Notons que \(U\) est dense dans \(\Spec(A)\) si et seulement s’il contient tous les idéaux premiers minimaux. Comme l’ensemble des idéaux premiers associés à \(A\) est égal à l’union de l’ensemble des idéaux premiers minimaux et de l’ensemble des idéaux premiers associés immergés (voir Algèbre, Proposition 02CE), nous voyons que (2) et (3) sont équivalents.

Supposons (3). Cela signifie que chaque idéal premier associé \(\mathfrak p\) à \(A\) correspond à un idéal premier de \(A_{f_i}\) pour un certain \(i\). Alors \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) est injectif parce que \(A \to \prod_{\mathfrak p \in \text{Ass}(A)} A_\mathfrak p\) est injectif selon Algèbre, Lemme 0311. Ainsi nous voyons que (3) implique (1).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). L’ensemble des sous-faisceaux cohérents \[\{ \mathcal{K} \subset \mathcal{F} \mid \text{Supp}(\mathcal{K})\text{ is nowhere dense in }\text{Supp}(\mathcal{F}) \}\] contient un élément maximal \(\mathcal{K}\). En posant \(\mathcal{F}' = \mathcal{F}/\mathcal{K}\) , nous avons ce qui suit

1. \(\text{Supp}(\mathcal{F}') = \text{Supp}(\mathcal{F})\),

2. \(\mathcal{F}'\) n’a pas de points associés immergés, et

3. il existe un ouvert dense \(U \subset X\) tel que \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\) est dense dans \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) et \(\mathcal{F}'|_U \cong \mathcal{F}|_U\).

Démonstration

Cela découle de l’Algèbre, Lemme 02M6 et 02M7. Notons que \(U\) peut être pris comme le complément de l’adhérence de l’ensemble des points associés immergés de \(\mathcal{F}\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent sans points associés immergés. Posons \[\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})).\] Il s’agit d’un faisceau cohérent d’idéaux qui définit un sous-schéma fermé \(Z \subset X\) sans points immergés. De plus, il existe un faisceau cohérent \(\mathcal{G}\) sur \(Z\) tel que (a) \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{G}\), (b) \(\mathcal{G}\) n’a pas de points associés immergés, et (c) \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\) (comme ensembles).

Démonstration

Certains de ces énoncés ont été vus dans la preuve de Cohomologie des schémas, Lemme 01Y5. Les autres découlent d’Algèbre, Lemme 02M8.

Points faiblement associés

Soit \(R\) un anneau et soit \(M\) un \(R\)-module. Rappelons qu’un idéal premier \(\mathfrak p \subset R\) est faiblement associé à \(M\) s’il existe un élément \(m\) de \(M\) tel que \(\mathfrak p\) soit minimal parmi les idéaux premiers contenant l’annulateur de \(m\). Voir Algèbre, Définition 0547. Si \(R\) est un anneau local avec un idéal maximal \(\mathfrak m\), alors \(\mathfrak m\) est faiblement associé à \(M\) si et seulement s’il existe un élément \(m \in M\) dont l’annulateur a pour radical \(\mathfrak m\), voir Algèbre, Lemme 0566.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\).

1. Nous disons que \(x \in X\) est faiblement associé à \(\mathcal{F}\) si l’idéal maximal \(\mathfrak m_x\) est faiblement associé au \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module \(\mathcal{F}_x\).

2. Nous notons \(\text{WeakAss}(\mathcal{F})\) l’ensemble des points faiblement associés de \(\mathcal{F}\).

3. Les points faiblement associés de \(X\) sont les points faiblement associés de \(\mathcal{O}_X\).

Dans ce cas, sur tout ouvert affine, cela correspond exactement aux idéaux premiers faiblement associés tels que définis ci-dessus. Voici l’énoncé précis.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(\Spec(A) = U \subset X\) un ouvert affine, et posons \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\). Soit \(x \in U\), et soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(\mathfrak p\) est faiblement associé à \(M\), et

2. \(x\) est faiblement associé à \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Cela découle de Algèbre, Lemme 0566.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \[\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}).\]

Démonstration

Cela découle immédiatement des définitions.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) une suite exacte de faisceaux quasi-cohérents sur \(X\). Alors \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_2) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \cup \text{WeakAss}(\mathcal{F}_3)\) et \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_2)\).

Démonstration

Pour chaque point \(x \in X\) la suite des germes \(0 \to \mathcal{F}_{1, x} \to \mathcal{F}_{2, x} \to \mathcal{F}_{3, x} \to 0\) est une suite exacte de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules. Par conséquent, le lemme découle de Algèbre, Lemme 0548.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \[\mathcal{F} = (0) \Leftrightarrow \text{WeakAss}(\mathcal{F}) = \emptyset\]

Démonstration

Découle du Lemme 056M et de Algèbre, Lemme 0588

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(U \subset X\) est ouvert et \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset U\), alors \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) est injectif.

Démonstration

Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) une section qui se restreint à zéro sur \(U\). Soit \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) l’image de l’application \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) définie par \(s\). Alors \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap U = \emptyset\). D’autre part, \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F})\) d’après le Lemme 05AN. Puisque également \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{Supp}(\mathcal{F}')\) (Lemme 05AM), nous concluons \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') = \emptyset\). Par conséquent, \(\mathcal{F}' = 0\) d’après le Lemme 05AP.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) un point dans le support de \(\mathcal{F}\) qui n’est pas une spécialisation d’un autre point de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\). Alors \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\). En particulier, tout point générique d’une composante irréductible de \(X\) est faiblement associé à \(\mathcal{O}_X\).

Démonstration

Puisque \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) le module \(\mathcal{F}_x\) n’est pas nul. Par conséquent, \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_x) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) est non vide d’après Algèbre, Lemme 0588. D’autre part, par hypothèse \(\text{Supp}(\mathcal{F}_x) = \{\mathfrak m_x\}\). Comme \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_x) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}_x)\) (Algèbre, Lemme 0589), nous voyons que \(\mathfrak m_x\) est faiblement associé à \(\mathcal{F}_x\), d’où le résultat.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(\mathfrak m_x\) est un idéal de type fini de \(\mathcal{O}_{X, x}\), alors \[x \in \text{Ass}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F}).\] En particulier, si \(X\) est localement noethérien, alors \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \text{WeakAss}(\mathcal{F})\).

Démonstration

Voir Algèbre, Lemme 058A.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme quasi-compact et quasi-séparé de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(s \in S\) un point qui n’est pas dans l’image de \(f\). Alors \(s\) n’est pas faiblement associé à \(f_*\mathcal{F}\).

Démonstration

Considérons le changement de base \(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) de \(f\) par le morphisme \(g : \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \to S\) et notons \(g' : X' \to X\) l’autre projection. Alors \[(f_*\mathcal{F})_s = (g^*f_*\mathcal{F})_s = (f'_*(g')^*\mathcal{F})_s\] La première égalité parce que \(g\) induit un isomorphisme sur les anneaux locaux en \(s\) et la seconde par changement de base plat (Cohomologie des schémas, Lemme 02KH). Bien sûr, \(s \in \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) n’est pas dans l’image de \(f'\). Ainsi, nous pouvons supposer que \(S\) est le spectre d’un anneau local \((A, \mathfrak m)\) et que \(s\) correspond à \(\mathfrak m\). D’après Schémas, Lemme 01LC , le faisceau \(f_*\mathcal{F}\) est quasi-cohérent, disons correspondant au \(A\)-module \(M\). Comme \(s\) n’est pas dans l’image de \(f\) , nous voyons que \(X = \bigcup_{a \in \mathfrak m} f^{-1}D(a)\) est un recouvrement ouvert. Comme \(X\) est quasi-compact, nous pouvons trouver \(a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak m\) tels que \(X = f^{-1}D(a_1) \cup \ldots \cup f^{-1}D(a_n)\). Il s’ensuit que \[M \to M_{a_1} \oplus \ldots \oplus M_{a_r}\] est injectif. Par conséquent, pour tout élément non nul \(m\) du localisé \(M_\mathfrak p\) , il existe un \(i\) tel que \(a_i^n m\) est non nul pour tout \(n \geq 0\). Ainsi, \(\mathfrak m\) n’est pas faiblement associé à \(M\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Supposons que pour chaque \(x \in X\) au moins l’un des cas suivants se produise

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) est injectif, ou

2. \(x \not \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\).

Alors \(\varphi\) est injectif.

Démonstration

Les hypothèses impliquent que \(\text{WeakAss}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\) et donc \(\Ker(\varphi) = 0\) par le Lemme 05AP.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Soit \(j : U \to X\) un sous-schéma ouvert tel que pour \(x \in X \setminus U\) nous avons \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\). Alors \[\mathcal{F} \longrightarrow j_*(\mathcal{F}|_U)\] est un isomorphisme et par conséquent \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) est également un isomorphisme.

Démonstration

Nous affirmons que le Lemme 0AVM s’applique à l’application affichée dans le lemme. Soit \(x \in X\). Si \(x \in U\), alors l’application est un isomorphisme sur les germes puisque \(j_*(\mathcal{F}|_U)|_U = \mathcal{F}|_U\). Si \(x \in X \setminus U\), alors \(x \not \in \text{Ass}(j_*(\mathcal{F}|_U))\) (Lemmes 0AVN et 05AM). Puisque nous avons supposé \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) , cela termine la preuve.

Lemme

Soit \(X\) un schéma réduit. Alors les points faiblement associés de \(X\) sont exactement les points génériques des composantes irréductibles de \(X\).

Démonstration

Cela découle de Algèbre, Lemme 0EMA.

Morphismes et points faiblement associés

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme affine de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors nous avons \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\]

Démonstration

On peut supposer que \(X\) et \(S\) sont affines, donc \(X \to S\) provient d’une application d’anneaux \(A \to B\). Alors \(\mathcal{F} = \widetilde M\) pour un certain \(B\)-module \(M\). D’après le Lemme 056M , les points faiblement associés de \(\mathcal{F}\) correspondent exactement aux idéaux idéaux premiers faiblement associés de \(M\). De même, les points faiblement associés de \(f_*\mathcal{F}\) correspondent exactement aux idéaux premiers faiblement associés de \(M\) en tant que \(A\)-module. Par conséquent, le lemme découle de Algèbre, Lemme 05C6.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme affine de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(X\) est localement noethérien, alors nous avons \[f(\text{Ass}_X(\mathcal{F})) = \text{Ass}_S(f_*\mathcal{F}) = \text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\]

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(X\) et \(S\) sont affines, donc \(X \to S\) provient d’un morphisme d’anneaux \(A \to B\). Comme \(X\) est localement noethérien, l’anneau \(B\) est noethérien, voir Propriétés, Lemme 01OW. Écrivons \(\mathcal{F} = \widetilde M\) pour un certain \(B\)-module \(M\). D’après le Lemme 02OK , les points associés de \(\mathcal{F}\) correspondent exactement aux idéaux premiers associés de \(M\), et tout idéal premier associé de \(M\) en tant que \(A\)-module est un point associé de \(f_*\mathcal{F}\). Ainsi, l’inclusion \[f(\text{Ass}_X(\mathcal{F})) \subset \text{Ass}_S(f_*\mathcal{F})\] découle du Lemme 05DZ d’Algèbre. Nous avons l’inclusion \[\text{Ass}_S(f_*\mathcal{F}) \subset \text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F})\] d’après le Lemme 05AM. Nous avons l’inclusion \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] d’après le Lemme 05EX. Les ensembles extrêmes sont égaux d’après le Lemme 05AR , donc nous avons l’égalité partout.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme fini de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\text{WeakAss}(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}(\mathcal{F}))\).

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(X\) et \(S\) sont affines, donc \(X \to S\) provient d’un morphisme fini d’anneaux \(A \to B\). Notons \(\mathcal{F} = \widetilde M\) pour un certain \(B\)-module \(M\). D’après le Lemme 056M , les points faiblement associés de \(\mathcal{F}\) correspondent exactement aux idéaux premiers faiblement associés de \(M\). De même, les points faiblement associés de \(f_*\mathcal{F}\) correspondent exactement aux idéaux premiers faiblement associés de \(M\) en tant que \(A\)-module. Ainsi, le lemme découle du Lemme d’Algèbre 05E1.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Soit \(x \in X\) avec \(s = f(x)\). Si \(f\) est plat en \(x\), le point \(x\) est un point générique de la fibre \(X_s\), et \(s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})\), alors \(x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G})\).

Démonstration

Soient \(A = \mathcal{O}_{S, s}\), \(B = \mathcal{O}_{X, x}\), et \(M = \mathcal{G}_s\). Soit \(m \in M\) un élément dont l’annulateur \(I = \{a \in A \mid am = 0\}\) a un radical \(\mathfrak m_A\). Alors \(m \otimes 1\) a pour annulateur \(I B\) car \(A \to B\) est fidèlement plat. Ainsi, il suffit de voir que \(\sqrt{I B} = \mathfrak m_B\). Cela découle du fait que l’idéal maximal de \(B/\mathfrak m_AB\) est localement nilpotent (voir Algèbre, Lemme 00EU) et de l’hypothèse que \(\sqrt{I} = \mathfrak m_A\). Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(K/k\) une extension de corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(y \in X_K\) avec image \(x \in X\). Si \(y\) est un point faiblement associé de l’image réciproque \(\mathcal{F}_K\), alors \(x\) est un point faiblement associé de \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Ceci est la traduction de Algèbre, Lemme 0CUB dans le langage des schémas.

Voici un lemme simple où nous constatons que les images directes ont souvent une profondeur d’au moins 2.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas quasi-compact et quasi-séparé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(s \in S\).

1. Si \(s \not \in f(X)\), alors \(s\) n’est pas faiblement associé à \(f_*\mathcal{F}\).

2. Si \(s \not \in f(X)\) et \(\mathcal{O}_{S, s}\) est noethérien, alors \(s\) n’est pas associé à \(f_*\mathcal{F}\).

3. Si \(s \not \in f(X)\), \((f_*\mathcal{F})_s\) est un \(\mathcal{O}_{S, s}\)-module fini, et \(\mathcal{O}_{S, s}\) est noethérien, alors \(\text{depth}((f_*\mathcal{F})_s) \geq 2\).

4. Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) et \(a \in \mathfrak m_s\) est un non-diviseur de zéro, alors \(a\) est un non-diviseur de zéro dans \((f_*\mathcal{F})_s\).

5. Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) et si \(a, b \in \mathfrak m_s\) forment une suite régulière, alors \(a\) est un non-diviseur de zéro dans \((f_*\mathcal{F})_s\) et \(b\) est un non-diviseur de zéro dans \((f_*\mathcal{F})_s/a(f_*\mathcal{F})_s\).

6. Si \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) et \((f_*\mathcal{F})_s\) est un \(\mathcal{O}_{S, s}\)-module fini, alors \(\text{depth}((f_*\mathcal{F})_s) \geq \min(2, \text{depth}(\mathcal{O}_{S, s}))\).

Démonstration

La partie (1) est le Lemme 0AVN. La partie (2) découle de (1) et du Lemme 05AR.

Preuve de la partie (3). Pour montrer que la profondeur est \(\geq 2\) , il suffit de montrer que \(\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\kappa(s), (f_*\mathcal{F})_s) = 0\) et \(\Ext^1_{\mathcal{O}_{S, s}}(\kappa(s), (f_*\mathcal{F})_s) = 0\), voir Algèbre, Lemme 00LW. En utilisant la suite exacte \(0 \to \mathfrak m_s \to \mathcal{O}_{S, s} \to \kappa(s) \to 0\) , il suffit de prouver que l’application \[\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathcal{O}_{S, s}, (f_*\mathcal{F})_s) \to \Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathfrak m_s, (f_*\mathcal{F})_s)\] est un isomorphisme. Par changement de base plat (Cohomologie des schémas, Lemme 02KH), nous pouvons remplacer \(S\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) et \(X\) par \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \times_S X\). Notons \(\mathfrak m \subset \mathcal{O}_S\) le faisceau d’idéaux de \(s\). Alors nous constatons que \[\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathfrak m_s, (f_*\mathcal{F})_s) = \Hom_{\mathcal{O}_S}(\mathfrak m, f_*\mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathfrak m, \mathcal{F})\] la première égalité car \(S\) est local avec le point fermé \(s\) et la deuxième égalité par adjonction pour \(f^*, f_*\) sur des modules quasi-cohérents. Cependant, puisque \(s \not \in f(X)\) nous voyons que \(f^*\mathfrak m = \mathcal{O}_X\). En revenant sur les arguments, nous obtenons l’égalité désirée.

Pour la preuve de (4), (5) et (6), nous utilisons le changement de base plat (Cohomologie des schémas, Lemme 02KH) pour réduire au cas où \(S\) est le spectre de \(\mathcal{O}_{S, s}\). Alors un non-diviseur de zéro \(a \in \mathcal{O}_{S, s}\) détermine une suite exacte \[0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{a} \mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S/a \mathcal{O}_S \to 0\] Puisque \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\), nous obtenons une suite exacte \[0 \to \mathcal{F} \xrightarrow{a} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/a\mathcal{F} \to 0\] En prenant l’image directe, nous obtenons une suite exacte \[0 \to f_*\mathcal{F} \xrightarrow{a} f_*\mathcal{F} \to f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\] Cela prouve (4) et montre que \(f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F} \subset f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\). Si \(b\) est un diviseur de zéro non nul sur \(\mathcal{O}_{S, s}/a\mathcal{O}_{S, s}\), alors le même argument exact montre que \(b : \mathcal{F}/a\mathcal{F} \to \mathcal{F}/a\mathcal{F}\) est injectif. En prenant l’image directe, nous concluons que \[b : f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F}) \to f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\] est injectif et donc aussi \(b : f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F}\) est injectif. Cela prouve (5). La partie (6) découle de (4) et (5) et des définitions.

Assassin relatif

Soit \(A \to B\) un morphisme d’anneaux. Soit \(N\) un \(B\)-module. Rappelons qu’un idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) est dit appartenir à l’assassin relatif de \(N\) sur \(B/A\) si \(\mathfrak q\) est un idéal premier associé à \(N \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\). Ici \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\). Voir Algèbre, Définition 05GC. Voici la définition de l’assassin relatif pour les faisceaux quasi-cohérents sur un morphisme de schémas.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. L’assassin relatif de \(\mathcal{F}\) dans \(X\) relativement à \(S\) est l’ensemble \[\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\] où \(\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\) est la restriction de \(\mathcal{F}\) à la fibre de \(f\) en \(s\).

Cette notion s’emploie surtout lorsque les fibres de \(f\) sont localement noethériennes et que \(\mathcal{F}\) est de type fini. Dans le cas général, il convient plutôt d’utiliser l’assassin faible relatif (défini dans la section suivante). Relions la notion schématique à la notion algébrique sur les ouverts affines; notons que cette correspondance ne fonctionne parfaitement que pour les morphismes de schémas dont les fibres sont localement noethériennes.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(U \subset X\) et \(V \subset S\) des ouverts affines avec \(f(U) \subset V\). Écrivons \(U = \Spec(A)\), \(V = \Spec(R)\), et posons \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\). Soit \(x \in U\), et soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant. Alors \[\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M) \Rightarrow x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\] Si toutes les fibres \(X_s\) de \(f\) sont localement noethériennes, alors \(\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M) \Leftrightarrow x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) pour toutes les paires \((\mathfrak p, x)\) comme ci-dessus.

Démonstration

L’ensemble \(\text{Ass}_{A/R}(M)\) est défini en Algèbre, Définition 05GC. Fixons une paire \((\mathfrak p, x)\). Soit \(s = f(x)\). Soit \(\mathfrak r \subset R\) l’idéal premier situé sous \(\mathfrak p\), c’est-à-dire l’idéal premier correspondant à \(s\). Soit \(\mathfrak p' \subset A \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) l’idéal premier dont l’image réciproque est \(\mathfrak p\), c’est-à-dire l’idéal premier correspondant à \(x\) considéré comme un point de sa fibre \(X_s\). Alors \(\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M)\) si et seulement si \(\mathfrak p'\) est un idéal premier associé à \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\), voir Algèbre, Lemme 05GB. Notons que l’anneau \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) correspond à \(U_s\) et que le module \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) correspond au faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}_s|_{U_s}\). Ainsi \(x\) est un point associé de \(\mathcal{F}_s\) par le Lemme 02OK. L’implication inverse est valable si \(\mathfrak p'\) est de type fini, ce qui permet de voir que la dernière phrase est vraie.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(g : S' \to S\) un morphisme de schémas. Considérons le diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_{g'} & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] et posons \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\). Soit \(x' \in X'\) un point avec les images \(x \in X\), \(s' \in S'\) et \(s \in S\). Supposons \(f\) localement de type fini. Alors \(x' \in \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\) si et seulement si \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) et \(x'\) correspond à un point générique d’une composante irréductible de \(\Spec(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))\).

Démonstration

Considérons le morphisme \(X'_{s'} \to X_s\) des fibres. Comme \(X_{s'} = X_s \times_{\Spec(\kappa(s))} \Spec(\kappa(s'))\) , il s’agit d’un morphisme plat. De plus, \(\mathcal{F}'_{s'}\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}_s\) via ce morphisme. Comme \(X_s\) est localement de type fini sur le schéma noethérien \(\Spec(\kappa(s))\) , nous avons que \(X_s\) est localement noethérien, voir Morphismes, Lemme 01T6. Ainsi, nous pouvons appliquer le Lemme 05DB et nous voyons que \[\text{Ass}_{X'_{s'}}(\mathcal{F}'_{s'}) = \bigcup\nolimits_{x \in \text{Ass}(\mathcal{F}_s)} \text{Ass}((X'_{s'})_x).\] Ainsi, pour prouver le lemme, il suffit de montrer que les points associés de la fibre \((X'_{s'})_x\) du morphisme \(X'_{s'} \to X_s\) au-dessus de \(x\) sont ses points génériques. Notons que \((X'_{s'})_x = \Spec(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))\) en tant que schémas. D’après Algèbre, Lemme 045M , l’anneau \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\) est un anneau de Cohen-Macaulay noethérien. Par conséquent, ses idéaux premiers associés sont ses idéaux premiers minimaux, voir Algèbre, Proposition 02CE (les idéaux premiers minimaux sont associés) et Algèbre, Lemme 031Q (pas d’idéaux premiers immergés).

Remarque

Avec les notations et hypothèses comme dans le Lemme 05DC , nous voyons qu’on a toujours \((g')^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) \supset \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\). Si le morphisme \(S' \to S\) est quasi-fini localement, alors nous avons en fait \[(g')^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) = \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\] car dans ce cas les extensions de corps \(\kappa(s')/\kappa(s)\) sont toujours finies. En fait, cela est vrai de manière plus générale pour tout morphisme \(g : S' \to S\) tel que toutes les extensions de corps \(\kappa(s')/\kappa(s)\) soient algébriques, car dans ce cas tous les idéaux premiers de \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\) sont des idéaux maximaux (et minimaux), voir Algèbre, Lemme 00GS.

Assassin faible relatif

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. L’assassin faible relatif de \(\mathcal{F}\) dans \(X\) sur \(S\) est l’ensemble \[\text{WeakAss}_{X/S}(\mathcal{F}) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{WeakAss}(\mathcal{F}_s)\] où \(\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\) est la restriction de \(\mathcal{F}\) à la fibre de \(f\) en \(s\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\text{WeakAss}_{X/S}(\mathcal{F}) = \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\).

Démonstration

C’est vrai parce que les fibres de \(f\) sont des schémas localement noethériens, et les points associés et faiblement associés coïncident sur les schémas localement noethériens, voir le Lemme 05AR.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(i : Z \to X\) un morphisme fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent. Alors \(\text{WeakAss}_{X/S}(i_*\mathcal{F}) = i(\text{WeakAss}_{Z/S}(\mathcal{F}))\).

Démonstration

Soit \(i_s : Z_s \to X_s\) le morphisme induit entre les fibres. Alors \((i_*\mathcal{F})_s = i_{s, *}(\mathcal{F}_s)\) d’après Cohomologie des schémas, Lemme 02KG et le fait que \(i\) est affine. Par conséquent, nous pouvons appliquer le Lemme 05EZ pour conclure.

Idéaux de Fitting

Cette section poursuit la discussion de Compléments d’algèbre, section 07Z6. Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent de type fini. Dans cette situation, nous pouvons construire les idéaux de Fitting \[0 = \text{Fit}_{-1}(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_0(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_1(\mathcal{F}) \subset \ldots \subset \mathcal{O}_S\] comme la suite des idéaux quasi-cohérents caractérisés par la propriété suivante: pour tout ouvert affine \(U = \Spec(A)\) de \(S\) , si \(\mathcal{F}|_U\) correspond au \(A\)-module \(M\), alors \(\text{Fit}_i(\mathcal{F})|_U\) correspond à l’idéal \(\text{Fit}_i(M) \subset A\). Cela est bien défini et constitue un faisceau quasi-cohérent d’idéaux parce que si \(f \in A\), alors le \(i\)-ième idéal de Fitting de \(M_f\) sur \(A_f\) est égal à \(\text{Fit}_i(M) A_f\) selon Compléments d’algèbre, Lemme 07ZA.

Alternativement, nous pouvons construire les idéaux de Fitting en termes de présentations locales de \(\mathcal{F}\). À savoir, si \(U \subset X\) est ouvert, et \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U \to 0\] est une présentation de \(\mathcal{F}\) sur \(U\), alors \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})|_U\) est généré par les \((n - r) \times (n - r)\) mineurs de la matrice définissant la première flèche de la présentation. Cela est compatible avec la construction ci-dessus car c’est ainsi que l’idéal de Fitting d’un module sur un anneau est réellement défini. Quelques détails omis.

Lemme

Soit \(f : T \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent de type fini. Alors \(f^{-1}\text{Fit}_i(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \text{Fit}_i(f^*\mathcal{F})\).

Démonstration

Découle immédiatement de Compléments d’algèbre, Lemme 07ZA partie (3).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module de présentation finie. Alors \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\) est un idéal quasi-cohérent de type fini.

Démonstration

Découle immédiatement de Compléments d’algèbre, Lemme 07ZA partie (4).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(Z_0 \subset S\) le sous-schéma fermé défini par \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\). Soit \(Z \subset S\) le support schématique de \(\mathcal{F}\). Alors

1. \(Z \subset Z_0 \subset S\) en tant que sous-schémas fermés,

2. \(Z = Z_0 = \text{Supp}(\mathcal{F})\) en tant que sous-ensembles fermés,

3. il existe un \(\mathcal{O}_{Z_0}\)-module quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{G}_0\) avec \[(Z_0 \to X)_*\mathcal{G}_0 = \mathcal{F}.\]

Démonstration

Rappelons que \(Z\) est localement défini par l’annulateur de \(\mathcal{F}\), voir Morphismes, Définition 05JV (qui utilise Morphismes, Lemme 05JU pour définir \(Z\)). Par conséquent, nous voyons que \(Z \subset Z_0\) schématiquement par Compléments d’algèbre, Lemme 07ZA partie (6). D’autre part, nous avons \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\) ensemblistement par Morphismes, Lemme 05JU et nous avons \(Z_0 = Z\) ensemblistement par Compléments d’algèbre, Lemme 07ZA partie (7). Enfin, pour obtenir \(\mathcal{G}_0\) comme dans la partie (3), nous pouvons soit utiliser le fait que nous avons \(\mathcal{G}\) sur \(Z\) comme dans Morphismes, Lemme 05JU et définir \(\mathcal{G}_0 = (Z \to Z_0)_*\mathcal{G}\) , soit utiliser Morphismes, Lemme 01QY et le fait que \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\) annule \(\mathcal{F}\) selon Compléments d’algèbre, Lemme 07ZA partie (6).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\). Alors \(\mathcal{F}\) peut être généré par \(r\) éléments dans un voisinage de \(s\) si et seulement si \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})_s = \mathcal{O}_{S, s}\).

Démonstration

Découle immédiatement de Compléments d’algèbre, Lemme 07ZC.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(r \geq 0\). Les éléments suivants sont équivalents

1. \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini et de rang \(r\)

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) = 0\) et \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_S\), et

3. \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = 0\) pour \(k < r\) et \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_S\) pour \(k \geq r\).

Démonstration

Découle immédiatement de Compléments d’algèbre, Lemme 07ZD.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent de type fini. Les sous-schémas fermés \[S = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \ldots\] définis par les idéaux de Fitting de \(\mathcal{F}\) ont les propriétés suivantes

1. L’intersection \(\bigcap Z_r\) est vide.

2. Le foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) défini par la règle \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ is locally generated by } \leq r\text{ sections} \\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] est représentable par le sous-schéma ouvert \(S \setminus Z_r\).

3. Le foncteur \(F_r : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ensembles}\) défini par la règle \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ locally free rank }r\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] est représentable par le sous-schéma localement fermé \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\) de \(S\).

Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(Z_r \to S\), \(S \setminus Z_r \to S\) et \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to S\) sont de présentation finie.

Démonstration

La partie (1) est vraie car sur chaque ouvert affine \(U\) , il existe un entier \(n\) tel que \(\text{Fit}_n(\mathcal{F})|_U = \mathcal{O}_U\). À savoir, nous pouvons prendre \(n\) comme étant le nombre de générateurs de \(\mathcal{F}\) sur \(U\), voir Compléments d’algèbre, section 07Z6.

Pour tout morphisme \(g : T \to S\) , nous voyons d’après les lemmes 0C3D et 0C3F que \(\mathcal{F}_T\) est localement engendré par un nombre \(\leq r\) de sections si et seulement si \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T\). Cela prouve (2).

Pour tout morphisme \(g : T \to S\) , nous voyons d’après les lemmes 0C3D et 0C3G que \(\mathcal{F}_T\) est libre de rang \(r\) si et seulement si \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T\) et \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = 0\). Cela prouve (3).

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit de présentation finie. Alors chacun des morphismes \(Z_r \to S\) est de présentation finie puisque \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\) est de type fini (Lemme 0C3E et Morphismes, Lemme 01TV). Cela implique que \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\) est un ouvert rétrocompact dans \(Z_r\) (Propriétés, Lemme 01PH) et donc le morphisme \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to Z_r\) est également de présentation finie.

Malgré le Lemme 05P8, le lemme suivant n’est plus vrai si \(\mathcal{F}\) est un module quasi-cohérent de type fini. À savoir, la stratification existe toujours mais il n’est pas vrai qu’elle représente le foncteur \(F_{flat}\) en général.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_S\)-module de présentation finie. Soit \(S = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots\) comme dans le Lemme 05P8. Posons \(S_r = Z_{r - 1} \setminus Z_r\). Alors \(S' = \coprod_{r \geq 0} S_r\) représente le foncteur \[F_{flat} : \Sch/S \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad\quad T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ flat over }T\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] De plus, \(\mathcal{F}|_{S_r}\) est localement libre de rang \(r\) et les morphismes \(S_r \to S\) et \(S' \to S\) sont de présentation finie.

Démonstration

Supposons que \(g : T \to S\) soit un morphisme de schémas tel que l’image réciproque \(\mathcal{F}_T = g^*\mathcal{F}\) soit plat. Alors \(\mathcal{F}_T\) est un \(\mathcal{O}_T\)-module plat de présentation finie. Par conséquent, \(\mathcal{F}_T\) est localement libre de type fini, voir Propriétés, Lemme 05P2. Ainsi \(T = \coprod_{r \geq 0} T_r\), où \(\mathcal{F}_T|_{T_r}\) est localement libre de rang \(r\). Cela implique que \[F_{flat} = \coprod\nolimits_{r \geq 0} F_r\] dans la catégorie des faisceaux de Zariski sur \(\Sch/S\) où \(F_r\) est comme dans le Lemme 05P8. Il s’ensuit que \(F_{flat}\) est représenté par \(\coprod_{r \geq 0} (Z_{r - 1} \setminus Z_r)\) où \(Z_r\) est comme dans le Lemme 05P8. Les autres énoncés découlent également du lemme.

Exemple

Soit \(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\). Soit \(I \subset R\) l’idéal des éléments \(a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}\) dont presque toutes les composantes sont nulles. Soit \(\mathfrak m\) un idéal maximal contenant \(I\). Alors \(M = R/\mathfrak m\) est un \(R\)-module fini et plat, car \(R\) est absolument plat (Compléments d’algèbre, Lemme 092G). Posons \(S = \Spec(R)\) et \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\). Les sous-schémas fermés du Lemme 05P8 sont \(S = Z_{-1}\), \(Z_0 = \Spec(R/\mathfrak m)\) et \(Z_i = \emptyset\) pour \(i > 0\). Mais \(\text{id} : S \to S\) ne se factorise pas par \((S \setminus Z_0) \amalg Z_0\) car \(\mathfrak m\) est un point non isolé de \(S\). Ainsi, le Lemme 05P9 ne tient pas pour les modules de type fini.

Le lieu singulier d’un morphisme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de type fini de schémas. L’ensemble \(U\) des points où \(f\) est lisse est un ouvert de \(X\) (d’après Morphismes, Définition 01V5). Dans de nombreuses situations, il est utile d’avoir un sous-schéma fermé canonique \(\text{Sing}(f) \subset X\) dont le complémentaire est \(U\) et dont la formation commute avec tout changement de base.

Si \(f\) est de présentation finie, un choix possible consiste à considérer le sous-schéma fermé \(Z\) défini par les fonctions qui sont « strictement standard » localement sur des ouverts affines, au sens de Lissage des morphismes d’anneaux, Définition 07C7. Il découle de Lissage des morphismes d’anneaux, Lemme 07CC que si \(f' : X' \to S'\) est le changement de base de \(f\) par un morphisme \(S' \to S\), alors \(Z' \subset S' \times_S Z\) où \(Z'\) est le sous-schéma fermé de \(X'\) défini par les fonctions qui sont strictement standard localement sur des ouverts affines. Cependant, l’égalité n’est pas claire. La notion d’élément strictement standard a été utile dans le chapitre sur le théorème de Popescu. Le sous-schéma fermé défini par ces éléments n’est (autant que nous le sachions) pas utilisé dans la littérature¹.

Si \(f\) est plat, de présentation finie, et que les fibres de \(f\) sont toutes équidimensionnelles de dimension \(d\), alors l’idéal de Fitting d’indice \(d\) de \(\Omega_{X/S}\) fournit un bon sous-schéma fermé. Pour tout morphisme de type fini, les sous-schémas fermés de \(X\) définis par les idéaux de Fitting de \(\Omega_{X/S}\) définissent une stratification de \(X\) en termes de rang de \(\Omega_{X/S}\) dont la formation commute avec le changement de base. Cela peut être utile; c’est lié aux dimensions d’immersion des fibres, voir Variétés, section 0C2G.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Soit \(X = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots\) les sous-schémas fermés définis par les idéaux de Fitting de \(\Omega_{X/S}\). Alors la formation de \(Z_i\) commute avec tout changement de base.

Démonstration

Remarquez que \(\Omega_{X/S}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini (Morphismes, Lemme 01V2) donc les idéaux de Fitting sont définis. Si \(f' : X' \to S'\) est le changement de base de \(f\) par \(g : S' \to S\), alors \(\Omega_{X'/S'} = (g')^*\Omega_{X/S}\) où \(g' : X' \to X\) est la projection (Morphismes, Lemme 01V0). D’où \((g')^{-1}\text{Fit}_i(\Omega_{X/S}) \cdot \mathcal{O}_{X'} = \text{Fit}_i(\Omega_{X'/S'})\). Cela signifie que \[Z'_i = (g')^{-1}(Z_i) = Z_i \times_X X'\] schématiquement et c’est le sens de l’énoncé du lemme.

Le \(0\)-ième idéal de Fitting de \(\Omega\) définit le « lieu de ramification » du morphisme.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas qui est localement de type fini. Le sous-schéma fermé \(Z \subset X\) défini par le \(0\)-ième idéal de Fitting de \(\Omega_{X/S}\) est exactement l’ensemble des points où \(f\) n’est pas non ramifié.

Démonstration

D’après le Lemme 0CYX , le complément de \(Z\) est exactement le lieu où \(\Omega_{X/S}\) est nul. Il s’agit exactement de l’ensemble des points où \(f\) est non ramifié par les Morphismes, Lemme 02G5.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(d \geq 0\) un entier. Supposons

1. que \(f\) est plat,

2. que \(f\) est localement de présentation finie, et

3. que toute fibre non vide de \(f\) est équidimensionnelle de dimension \(d\).

Soit \(Z \subset X\) le sous-schéma fermé défini par le \(d\)-ième idéal de Fitting de \(\Omega_{X/S}\). Alors \(Z\) est exactement l’ensemble des points où \(f\) n’est pas lisse.

Démonstration

D’après le Lemme 05P8 , le complément de \(Z\) est exactement le lieu où \(\Omega_{X/S}\) peut être engendré par au plus \(d\) éléments. Par conséquent, le lemme découle de Morphismes, Lemme 01V9.

Modules sans torsion

Cette section est l’analogue de Compléments d’algèbre, section 0549 pour les modules quasi-cohérents.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre avec point générique \(\eta\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(U \subset X\) ouvert non vide et \(s \in \mathcal{F}(U)\). Les énoncés suivants sont équivalents

1. pour certains \(x \in U\) l’image de \(s\) dans \(\mathcal{F}_x\) est de torsion,

2. pour tous \(x \in U\) l’image de \(s\) dans \(\mathcal{F}_x\) est de torsion,

3. l’image de \(s\) dans \(\mathcal{F}_\eta\) est nulle,

4. l’image de \(s\) dans \(j_*\mathcal{F}_\eta\) est nulle, où \(j : \eta \to X\) est le morphisme d’inclusion.

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent.

1. On dit qu’une section locale de \(\mathcal{F}\) est de torsion si elle satisfait les conditions équivalentes du Lemme 0AXR.

2. On dit que \(\mathcal{F}\) est sans torsion si chaque section de torsion de \(\mathcal{F}\) est \(0\).

Voici le lemme obligatoire comparant cela à la notion algébrique habituelle.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Les conditions suivantes sont équivalentes

1. \(\mathcal{F}\) est sans torsion,

2. pour \(U \subset X\) ouvert affine, \(\mathcal{F}(U)\) est un \(\mathcal{O}(U)\)-module sans torsion.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Les sections de torsion de \(\mathcal{F}\) forment un \(\mathcal{O}_X\)-sous-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}_{tors} \subset \mathcal{F}\). Le module quotient \(\mathcal{F}/\mathcal{F}_{tors}\) est sans torsion.

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0537 pour l’analogue algébrique.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent plat est sans torsion.

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0538.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de schémas intègres. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent sans torsion. Alors \(f^*\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module sans torsion.

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0AXM pour l’analogue algébrique.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de schémas. Si \(Y\) est intègre et la fibre générique de \(f\) est intègre, alors \(X\) est intègre.

Démonstration

L’analogue algébrique est le suivant: soit \(A\) un domaine avec le corps des fractions \(K\) et soit \(B\) une \(A\)-algèbre plate telle que \(B \otimes_A K\) soit un domaine. Alors \(B\) est un domaine. Ceci est vrai parce que \(B\) est sans torsion selon Compléments d’algèbre, Lemme 0538 et donc \(B \subset B \otimes_A K\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\mathcal{F}\) est sans torsion si et seulement si \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module sans torsion pour tout \(x \in X\).

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0AUT.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Soit \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) une suite exacte de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}''\) sont sans torsion, alors \(\mathcal{F}'\) est sans torsion.

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0AUS pour l’analogue algébrique.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien avec le point générique \(\eta\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent non nul. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(\mathcal{F}\) est sans torsion,

2. \(\eta\) est le seul idéal premier associé de \(\mathcal{F}\),

3. \(\eta\) est dans le support de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}\) possède la propriété \((S_1)\), et

4. \(\eta\) est dans le support de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}\) n’a aucun idéal idéal premier associé immergé.

Démonstration

Ceci est une traduction de Compléments d’algèbre, Lemme 0AUV dans le langage des schémas. Nous omettons la traduction.

Lemme

Soit \(X\) un schéma régulier intègre de dimension \(\leq 1\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(\mathcal{F}\) est sans torsion,

2. \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini.

Démonstration

Il est clair qu’un module localement libre de type fini est sans torsion. Pour la réciproque, nous montrerons que si \(\mathcal{F}\) est sans torsion, alors \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module libre pour tout \(x \in X\). Cela suffit d’après Algèbre, Lemme 00NX et le fait que \(\mathcal{F}\) est cohérent. Si \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\), alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un corps et l’énoncé est clair. Si \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\), alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau de valuation discrète (Algèbre, Lemme 00PD) et \(\mathcal{F}_x\) est sans torsion. Par conséquent, \(\mathcal{F}_x\) est libre d’après Compléments d’algèbre, Lemme 0AUW.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Si \(\mathcal{G}\) est sans torsion et \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est sans torsion.

Démonstration

L’énoncé a du sens car \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est quasi-cohérent selon Schémas, section 01LA. Pour voir que l’énoncé est vrai, voir Compléments d’algèbre, Lemme 0AUX. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit cohérent, que \(\mathcal{G}\) soit sans torsion, et que pour chaque \(x \in X\) , l’une des situations suivantes se produise

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) est un isomorphisme, ou

2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\).

Alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Ceci est une traduction de Compléments d’algèbre, Lemme 0AV9 dans le langage des schémas.

Rangs des modules

Cette section est l’analogue de Compléments d’algèbre, section 0H9T pour les modules quasi-cohérents. Rappelons que si \(X\) est un schéma intègre avec le point générique \(\eta\), alors l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) est égal au corps résiduel \(\kappa(\eta)\), voir Morphismes, Lemme 01RV.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre de point générique \(\eta\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Le rang de \(\mathcal{F}\) est \(\dim_{\kappa(\eta)} \mathcal{F}_\eta\).

Cela ne contredit pas la définition du rang d’un module localement libre (dans le cas où les deux définitions s’appliquent). Il ne semble pas judicieux de définir le rang d’un module quasi-cohérent si le schéma \(X\) n’est pas irréductible ou si l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) au point générique n’est pas un corps²

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(r\) un cardinal. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(\mathcal{F}\) a pour rang \(r\),

2. pour tout ouvert affine non vide \(U \subset X\) , \(\mathcal{F}(U)\) est un \(\mathcal{O}_X(U)\)-module de rang \(r\), et

3. pour un certain \(U \subset X\) ouvert affine non vide \(\mathcal{F}(U)\) est un \(\mathcal{O}_X(U)\)-module de rang \(r\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme dominant de schémas intègres. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent. Alors le rang de \(\mathcal{G}\) sur \(Y\) est égal au rang de \(f^*\mathcal{G}\) sur \(X\).

Démonstration

Utilisons le Lemme 0HAG, Morphismes, Lemme 0CC1, et Compléments d’algèbre, Lemme 0H9Y.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Soit \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) une suite exacte de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Alors le rang de \(\mathcal{F}'\) est la somme des rangs de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}''\).

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0H9W.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents.

1. Le rang de \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) est le produit des rangs de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

2. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors le rang de \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est le produit des rangs de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Démonstration omise. Notons que la partie (2) a du sens car \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est quasi-cohérent selon l’article (10) dans Schémas, section 01LA. La version algébrique de ce lemme est Compléments d’algèbre, Lemme 0H9X.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Alors

1. \(\mathcal{F}\) a un rang \(r \geq 0\), et

2. il existe un ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit libre de rang \(r\).

Démonstration

Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0H9Z pour la version algébrique.

Modules réflexifs

Cette section est l’analogue de Compléments d’algèbre, section 0AUY pour les modules cohérents sur les schémas localement noethériens. La raison de travailler avec des modules cohérents est que \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est cohérent pour chaque paire de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\), voir Modules, Lemme 01CQ.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. L’enveloppe réflexive de \(\mathcal{F}\) est le \(\mathcal{O}_X\)-module \[\mathcal{F}^{**} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}( \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X), \mathcal{O}_X)\] Nous disons que \(\mathcal{F}\) est réflexif si l’application naturelle \(j : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}^{**}\) est un isomorphisme.

Il découle du Lemme 0AY4 que l’enveloppe réflexive est un \(\mathcal{O}_X\)-module réflexif. Vous pouvez utiliser la même définition pour définir des modules réflexifs dans des situations plus générales, mais cela ne semble pas très utile. Voici le lemme obligatoire comparant cela à la notion algébrique habituelle.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(\mathcal{F}\) est réflexif,

2. pour \(U \subset X\) ouvert affine, \(\mathcal{F}(U)\) est un \(\mathcal{O}(U)\)-module réflexif.

Démonstration

Démonstration omise.

Remarque

Si \(X\) est un schéma de type fini sur un corps, alors parfois une notion différente de modules réflexifs est utilisée (voir par exemple [HL, bas de la page 5 et définition 1.1.9]). Cette autre notion utilise \(R\SheafHom\) dans un complexe dualisant \(\omega_X^\bullet\) au lieu de \(\mathcal{O}_X\) et devrait probablement avoir un nom différent car elle peut être différente lorsque \(X\) n’est pas Gorenstein. Par exemple, si \(X = \Spec(k[t^3, t^4, t^5])\), alors un calcul montre que le faisceau dualisant \(\omega_X\) n’est pas réflexif selon notre définition, mais il est réflexif selon l’autre définition car \(\omega_X \to \SheafHom(\SheafHom(\omega_X, \omega_X), \omega_X)\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.

1. Si \(\mathcal{F}\) est réflexif, alors \(\mathcal{F}\) est sans torsion.

2. L’application \(j : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}^{**}\) est injective si et seulement si \(\mathcal{F}\) est sans torsion.

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0AV0.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(\mathcal{F}\) est réflexif,

2. \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module réflexif pour tout \(x \in X\),

3. \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module réflexif pour tous les points fermés \(x \in X\).

Démonstration

Par modules, le lemme 01CP on voit que (1) et (2) sont équivalents. Puisque chaque point de \(X\) se spécialise vers un point fermé (Propriétés, lemme 02IL), on voit que (2) et (3) sont équivalents.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de schémas localement noethériens intégraux. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module réflexif cohérent. Alors \(f^*\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module réflexif cohérent.

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0EB9 pour l’analogue algébrique.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) une suite exacte de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Si \(\mathcal{F}'\) est réflexif et \(\mathcal{F}''\) est sans torsion, alors \(\mathcal{F}\) est réflexif.

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0EB8.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Si \(\mathcal{G}\) est réflexif, alors \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est réflexif.

Démonstration

L’énoncé a un sens car \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) est cohérent selon Cohomologie des schémas, Lemme 01Y2. Pour voir que l’énoncé est vrai, voir Compléments d’algèbre, Lemme 0AV3. Certains détails sont omis.

Remarque

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Grâce au Lemme 0AY4 , nous savons que l’enveloppe réflexive \(\mathcal{F}^{**}\) d’un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent est cohérent réflexif. Considérons la catégorie \(\mathcal{C}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents réflexifs. La prise des enveloppes réflexives donne un adjoint à gauche du foncteur d’inclusion \(\mathcal{C} \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\). Remarquons que \(\mathcal{C}\) est une catégorie additive avec des noyaux et des conoyaux. En effet, étant donné \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) dans \(\mathcal{C}\), le noyau usuel \(\Ker(\varphi)\) est réflexif (Lemme 0EBG) et l’enveloppe réflexive \(\Coker(\varphi)^{**}\) du conoyau usuel est le conoyau dans \(\mathcal{C}\). De plus, \(\mathcal{C}\) hérite d’un produit tensoriel \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G} = (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})^{**}\] qui est associatif et symétrique. Il existe un Hom interne au sens où pour trois objets \(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}\) de \(\mathcal{C}\) , nous avons l’identité \[\Hom_\mathcal{C}(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \Hom_\mathcal{C}(\mathcal{F}, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\] voir Modules, Lemme 01CN. Dans \(\mathcal{C}\) , chaque objet \(\mathcal{F}\) a un objet dual \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\). Sans conditions supplémentaires sur \(X\) , il peut arriver que \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \not \cong \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G} \quad\text{et}\quad \mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \not \cong \mathcal{O}_X\] pour \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) de rang \(1\) dans \(\mathcal{C}\). Pour donner un exemple, soient \(X = \Spec(R)\) où \(R\) est comme dans Compléments d’algèbre, Exemple 0EBB et soient \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) les modules correspondant à \(M\). Calcul omis.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Les énoncés suivants sont équivalents

1. \(\mathcal{F}\) est réflexif,

2. pour chaque \(x \in X\) l’un des cas suivants se produit

   1. \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module réflexif, ou

   2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\).

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0AVA.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent réflexif. Soit \(x \in X\).

1. Si \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\), alors \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\).

2. Si \(X\) est \((S_2)\), alors \(\mathcal{F}\) est \((S_2)\).

Démonstration

Démonstration omise. Voir Compléments d’algèbre, Lemme 0EBA.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(j : U \to X\) un sous-schéma ouvert avec complémentaire \(Z\). Supposons que \(\mathcal{O}_{X, z}\) ait une profondeur \(\geq 2\) pour tous \(z \in Z\). Alors \(j^*\) et \(j_*\) définissent une équivalence de catégories entre la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents réflexifs et la catégorie des \(\mathcal{O}_U\)-modules cohérents réflexifs.

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent réflexif. Pour \(z \in Z\) , la germe \(\mathcal{F}_z\) a une profondeur \(\geq 2\) d’après le Lemme 0EBI. Ainsi, \(\mathcal{F} \to j_*j^*\mathcal{F}\) est un isomorphisme d’après le Lemme 0E9I. Inversement, soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_U\)-module cohérent réflexif. Il suffit de montrer que \(j_*\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent réflexif. Pour le prouver, nous pouvons supposer que \(X\) est affine. D’après les Propriétés, Lemme 0G41 il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) avec \(\mathcal{G} = j^*\mathcal{F}\). Après avoir remplacé \(\mathcal{F}\) par son enveloppe réflexive, nous pouvons supposer que \(\mathcal{F}\) est réflexif (voir la discussion ci-dessus et en particulier le Lemme 0AY4). D’après ce qui précède, \(j_*\mathcal{G} = j_*j^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\) comme désiré.

Si le schéma est normal, alors réflexif est la même chose que sans torsion et \((S_2)\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma normal intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-modèle cohérent. Les énoncés suivants sont équivalents:

1. \(\mathcal{F}\) est réflexif,

2. \(\mathcal{F}\) est sans torsion et possède la propriété \((S_2)\), et

3. il existe un sous-schéma ouvert \(j : U \to X\) tel que

   1. chaque composante irréductible de \(X \setminus U\) a une codimension \(\geq 2\) dans \(X\).

   2. \(j^*\mathcal{F}\) est localement libre de type fini, et

   3. \(\mathcal{F} = j_*j^*\mathcal{F}\).

Démonstration

En utilisant le Lemme 0AY0 , l’équivalence de (1) et (2) découle de Compléments d’algèbre, Lemme 0AVB. Soit \(U \subset X\) comme en (3). Par Propriétés, Lemme 0345 nous voyons que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\) pour \(x \not \in U\). Comme un module localement libre de type fini est réflexif, nous en concluons que (3) implique (1) par le Lemme 0EBJ.

Supposons (1). Soit \(U \subset X\) le sous-schéma ouvert maximal tel que \(j^*\mathcal{F} = \mathcal{F}|_U\) soit localement libre de type fini. Donc (3)(b) est satisfait. Soit \(x \in X\) un point. Si \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module libre, alors \(x \in U\), voir Modules, Lemme 0B8J. Si \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq 1\), alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est soit un corps, soit un anneau de valuation discrète (Propriétés, Lemme 0345) et donc \(\mathcal{F}_x\) est libre (Compléments d’algèbre, Lemme 0AUW). Ainsi \(x \not \in U \Rightarrow \dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\). Ensuite, Propriétés, Lemme 02IZ montre que (3)(a) est satisfait. Par le Lemme déjà utilisé des Propriétés, 0345 , nous voyons également que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\) pour \(x \not \in U\) et donc (3)(c) découle du Lemme 0EBJ.

Lemme

Soit \(X\) un schéma normal localement noethérien intègre de point générique \(\eta\). Soient \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Soit \(T : \mathcal{G}_\eta \to \mathcal{F}_\eta\) une application linéaire. Alors \(T\) se prolonge en une application \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}^{**}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules si et seulement si

• pour tout \(x \in X\) avec \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\) nous avons \[T\left(\Im(\mathcal{G}_x \to \mathcal{G}_\eta)\right) \subset \Im(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}_\eta).\]

Démonstration

Comme \(\mathcal{F}^{**}\) est sans torsion et que \(\mathcal{F}_\eta = \mathcal{F}^{**}_\eta\), un prolongement, s’il existe, est unique. Ainsi, il suffit de prouver le lemme sur les éléments d’un recouvrement ouvert de \(X\), c’est-à-dire que nous pouvons supposer que \(X\) est affine. Dans ce cas, nous posons la question algébrique suivante: Soit \(R\) un anneau normal noethérien de corps des fractions \(K\), soient \(M\), \(N\) des \(R\)-modules finis, soit \(T : M \otimes_R K \to N \otimes_R K\) une application \(K\)-linéaire. Quand \(T\) se prolonge-t-elle en une application \(N \to M^{**}\)? Selon Compléments d’algèbre, Lemme 0AVC cela se produit si et seulement si \(N_\mathfrak p\) s’envoie dans \((M/M_{tors})_\mathfrak p\) pour chaque hauteur \(1\) premier \(\mathfrak p\) de \(R\). C’est exactement la condition \((*)\) du lemme.

Lemme

Soit \(X\) un schéma régulier de dimension \(\leq 2\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Les affirmations suivantes sont équivalentes

1. \(\mathcal{F}\) est réflexif,

2. \(\mathcal{F}\) est localement libre de type fini.

Démonstration

Il est clair qu’un module localement libre de type fini est réflexif. Pour la réciproque, nous montrerons que si \(\mathcal{F}\) est réflexif, alors \(\mathcal{F}_x\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module libre pour tout \(x \in X\). Cela suffit d’après Algèbre, Lemme 00NX et le fait que \(\mathcal{F}\) est cohérent. Si \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\), alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un corps et l’énoncé est clair. Si \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\), alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau de valuation discrète (Algèbre, Lemme 00PD) et \(\mathcal{F}_x\) est sans torsion. Par conséquent, \(\mathcal{F}_x\) est libre d’après Compléments d’algèbre, Lemme 0AUW. Si \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 2\), alors \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un anneau local régulier de dimension \(2\). D’après Compléments d’algèbre, Lemme 0AVB nous voyons que \(\mathcal{F}_x\) a une profondeur \(\geq 2\). Par conséquent, \(\mathcal{F}_x\) est libre d’après Algèbre, Lemme 00NT.

Diviseurs de Cartier effectifs

Nous définissons la notion de diviseur de Cartier effectif avant tout autre type de diviseur.

Définition

Soit \(S\) un schéma.

1. Un sous-schéma fermé localement principal de \(S\) est un sous-schéma fermé dont le faisceau d’idéaux est localement engendré par un seul élément.

2. Un diviseur de Cartier effectif sur \(S\) est un sous-schéma fermé \(D \subset S\) dont le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}_D \subset \mathcal{O}_S\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module inversible.

Ainsi, un diviseur de Cartier effectif est un sous-schéma fermé localement principal, mais la réciproque n’est pas toujours vraie. Les diviseurs de Cartier effectifs sont des sous-schémas fermés de codimension pure \(1\) dans le sens le plus fort possible. En effet, ils sont localement définis par un seul élément qui est un non-diviseur de zéro. En particulier, ils sont nulle part denses.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(D \subset S\) un sous-schéma fermé. Les assertions suivantes sont équivalentes:

1. Le sous-schéma \(D\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(S\).

2. Pour chaque \(x \in D\) , il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset S\) de \(x\) tel que \(U \cap D = \Spec(A/(f))\) avec \(f \in A\) un non-diviseur de zéro.

Démonstration

Supposons (1). Pour chaque \(x \in D\) , il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset S\) de \(x\) tel que \(\mathcal{I}_D|_U \cong \mathcal{O}_U\). En d’autres termes, il existe une section \(f \in \Gamma(U, \mathcal{I}_D)\) qui engendre librement la restriction \(\mathcal{I}_D|_U\). Ainsi \(f \in A\), et l’application de multiplication \(f : A \to A\) est injective. De plus, comme \(\mathcal{I}_D\) est quasi-cohérent, nous voyons que \(D \cap U = \Spec(A/(f))\).

Supposons (2). Soit \(x \in D\). D’après l’hypothèse, il existe un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset S\) de \(x\) tel que \(U \cap D = \Spec(A/(f))\) avec \(f \in A\) un non-diviseur de zéro. Alors \(\mathcal{I}_D|_U \cong \mathcal{O}_U\) puisque c’est égal à \(\widetilde{(f)} \cong \widetilde{A} \cong \mathcal{O}_U\). Bien sûr, \(\mathcal{I}_D\) restreint au sous-schéma ouvert \(S \setminus D\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_{S \setminus D}\). Ainsi \(\mathcal{I}_D\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module inversible.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Z \subset S\) un sous-schéma fermé localement principal. Soit \(U = S \setminus Z\). Alors \(U \to S\) est un morphisme affine.

Démonstration

La question est locale sur \(S\), voir Morphismes, Lemme 01S8. Ainsi nous pouvons supposer \(S = \Spec(A)\) et \(Z = V(f)\) pour un certain \(f \in A\). Dans ce cas, \(U = D(f) = \Spec(A_f)\) est affine donc \(U \to S\) est affine.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(D \subset S\) un diviseur de Cartier effectif. Soit \(U = S \setminus D\). Alors \(U \to S\) est un morphisme affine et \(U\) est schématiquement dense dans \(S\).

Démonstration

L’affinité est le Lemme 07ZT. La question de la densité est locale sur \(S\), voir Morphismes, Lemme 01RE. Ainsi nous pouvons supposer \(S = \Spec(A)\) et \(D\) correspondant au non-diviseur de zéro \(f \in A\), voir Lemme 01WS. Ainsi \(A \subset A_f\) ce qui implique que \(U \subset S\) est schématiquement dense, voir Morphismes, Exemple 056C.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(D \subset S\) un diviseur de Cartier effectif. Soit \(s \in D\). Si \(\dim_s(S) < \infty\), alors \(\dim_s(D) < \dim_s(S)\).

Démonstration

Supposons \(\dim_s(S) < \infty\). Soit \(U = \Spec(A) \subset S\) un voisinage ouvert affine de \(s\) tel que \(\dim(U) = \dim_s(S)\) et tel que \(D = V(f)\) pour un certain non-diviseur de zéro \(f \in A\) (voir le Lemme 01WS). Rappelons que \(\dim(U)\) est la dimension de Krull de l’anneau \(A\) et que \(\dim(U \cap D)\) est la dimension de Krull de l’anneau \(A/(f)\). Alors \(f\) n’est contenu dans aucun idéal premier minimal de \(A\). Ainsi, toute chaîne maximale d’idéaux premiers dans \(A/(f)\), considérée comme une chaîne d’idéaux premiers dans \(A\), peut être étendue en ajoutant un idéal premier minimal.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Étant donné des diviseurs de Cartier effectifs \(D_1\), \(D_2\) sur \(S\) , nous posons \(D = D_1 + D_2\) égal au sous-schéma fermé de \(S\) correspondant au faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I}_{D_1}\mathcal{I}_{D_2} \subset \mathcal{O}_S\). Nous appelons ce sous-schéma la somme des diviseurs de Cartier effectifs \(D_1\) et \(D_2\).

Il est clair que nous pouvons définir la somme \(\sum n_iD_i\) donnée par un nombre fini de diviseurs de Cartier effectifs \(D_i\) sur \(X\) et des entiers non négatifs \(n_i\).

Lemme

La somme de deux diviseurs de Cartier effectifs est un diviseur de Cartier effectif.

Démonstration

Preuve omise. Localement, \(f_1, f_2 \in A\) sont des non-diviseurs de zéro ; alors \(f_1f_2 \in A\) est aussi un non-diviseur de zéro.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(D, D'\) deux diviseurs de Cartier effectifs sur \(X\). Si \(D \subset D'\) (en tant que sous-schémas fermés de \(X\)), alors il existe un diviseur de Cartier effectif \(D''\) tel que \(D' = D + D''\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(Z, Y\) deux sous-schémas fermés de \(X\) avec des faisceaux d’idéaux \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{J}\). Si \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) définit un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\), alors \(Z\) et \(Y\) sont des diviseurs de Cartier effectifs et \(D = Z + Y\).

Démonstration

En appliquant le Lemme 01WS , nous obtenons la situation algébrique suivante: \(A\) est un anneau, \(I, J \subset A\) des idéaux et \(f \in A\) un élément non-diviseur de zéro tel que \(IJ = (f)\). Ainsi, le résultat découle de Algèbre, Lemme 09ME.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(D, D' \subset X\) des diviseurs de Cartier effectifs tels que l’intersection schématique \(D \cap D'\) soit un diviseur de Cartier effectif sur \(D'\). Alors \(D + D'\) est l’union schématique de \(D\) et \(D'\).

Démonstration

Voir Morphismes, Définition 0C4H pour la définition de l’intersection et de l’union schématiques. Pour prouver le lemme en travaillant localement (en utilisant le Lemme 01WS) nous obtenons le problème algébrique suivant: Étant donné un anneau \(A\) et des non-diviseurs de zéro \(f_1, f_2 \in A\) tels que \(f_1\) s’envoie sur un non-diviseur de zéro dans \(A/f_2A\), montrer que \(f_1A \cap f_2A = f_1f_2A\). Nous omettons l’argument direct.

Rappelons que nous avons défini l’image réciproque d’un sous-schéma fermé par tout morphisme de schémas dans Schémas, Définition 01JV.

Lemme

Soit \(f : S' \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Z \subset S\) un sous-schéma fermé localement principal. Alors l’image réciproque \(f^{-1}(Z)\) est un sous-schéma fermé localement principal de \(S'\).

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \(f : S' \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(D \subset S\) un diviseur de Cartier effectif. Nous disons que l’image réciproque de \(D\) par \(f\) est définie si le sous-schéma fermé \(f^{-1}(D) \subset S'\) est un diviseur de Cartier effectif. Dans ce cas, nous le notons soit \(f^*D\) soit \(f^{-1}(D)\) et nous l’appelons l’image réciproque du diviseur de Cartier effectif.

La condition selon laquelle \(f^{-1}(D)\) est un diviseur de Cartier effectif est souvent satisfaite en pratique. Voici un lemme exemple.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(D \subset Y\) un diviseur de Cartier effectif. L’image réciproque de \(D\) par \(f\) est définie dans chacun des cas suivants:

1. \(f(x) \not \in D\) pour tout point faiblement associé \(x\) de \(X\),

2. \(X\), \(Y\) intègre et \(f\) dominant,

3. \(X\) réduit et \(f(\xi) \not \in D\) pour tout point générique \(\xi\) de toute composante irréductible de \(X\),

4. \(X\) est localement noethérien et \(f(x) \not \in D\) pour tout point associé \(x\) de \(X\),

5. \(X\) est localement noethérien, n’a pas de points immergés, et \(f(\xi) \not \in D\) pour tout point générique \(\xi\) d’une composante irréductible de \(X\),

6. \(f\) est plat, et

7. ajouter plus ici si nécessaire.

Démonstration

La question est locale sur \(X\), et nous réduisons donc au cas où \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(R)\), \(f\) est donné par \(\varphi : R \to A\) et \(D = \Spec(R/(t))\) où \(t \in R\) est un non-diviseur de zéro. L’objectif dans chaque cas est de montrer que \(\varphi(t) \in A\) est un non-diviseur de zéro.

Dans le cas (1), cela découle du Lemme d’Algèbre 05C3. Le cas (4) est un cas particulier du (1) par le Lemme 05AR. Le cas (5) découle du (4) et des définitions. Le cas (3) est un cas particulier du (1) par le Lemme 0EME. Le cas (2) est un cas particulier du (3). Si \(R \to A\) est plat, alors \(t : R \to R\) étant injectif montre que \(t : A \to A\) est injectif. Cela prouve (6).

Lemme

Soit \(f : S' \to S\) un morphisme de schémas. Soient \(D_1\), \(D_2\) des diviseurs de Cartier effectifs sur \(S\). Si les images réciproques de \(D_1\) et \(D_2\) sont définies, alors l’image réciproque de \(D = D_1 + D_2\) est définie et \(f^*D = f^*D_1 + f^*D_2\).

Démonstration

Démonstration omise.

Diviseurs de Cartier effectifs et faisceaux inversibles

Puisqu’un diviseur de Cartier effectif possède un faisceau d’idéaux inversible (Définition 01WR), la définition suivante a un sens.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(D \subset S\) un diviseur de Cartier effectif avec le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}_D\).

1. Le faisceau inversible \(\mathcal{O}_S(D)\) associé à \(D\) est défini par \[\mathcal{O}_S(D) = \SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{I}_D, \mathcal{O}_S) = \mathcal{I}_D^{\otimes -1}.\]

2. La section canonique, généralement notée \(1\) ou \(1_D\), est la section globale de \(\mathcal{O}_S(D)\) correspondant à l’application d’inclusion \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{O}_S\).

3. Nous écrivons \(\mathcal{O}_S(-D) = \mathcal{O}_S(D)^{\otimes -1} = \mathcal{I}_D\).

4. Étant donné un second diviseur de Cartier effectif \(D' \subset S\) , nous définissons \(\mathcal{O}_S(D - D') = \mathcal{O}_S(D) \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_S(-D')\).

Quelques commentaires. Nous verrons ci-dessous que l’assignation \(D \mapsto \mathcal{O}_S(D)\) transforme l’addition des diviseurs de Cartier effectifs (Définition 01WT) en addition dans le groupe de Picard de \(S\) (Lemme 02OP). Cependant, l’expression \(D - D'\) dans la définition ci-dessus n’a aucun sens géométrique. Plus précisément, nous pouvons considérer l’ensemble des diviseurs de Cartier effectifs sur \(S\) comme un monoïde commutatif \(\text{EffCart}(S)\) dont l’élément zéro est le diviseur de Cartier effectif vide. Alors l’assignation \((D, D') \mapsto \mathcal{O}_S(D - D')\) définit un homomorphisme de groupes \[\text{EffCart}(S)^{gp} \longrightarrow \Pic(S)\] où le côté gauche est l’achèvement en groupe de \(\text{EffCart}(S)\). En d’autres termes, lorsque nous écrivons \(\mathcal{O}_S(D - D')\) , nous pouvons penser à \(D - D'\) comme un élément de \(\text{EffCart}(S)^{gp}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma et soit \(D \subset S\) un diviseur de Cartier effectif. Alors le faisceau conormal est \(\mathcal{C}_{D/S} = \mathcal{I}_D|_D = \mathcal{O}_S(-D)|_D\) et le faisceau normal est \(\mathcal{N}_{D/S} = \mathcal{O}_S(D)|_D\).

Démonstration

Cela découle de Morphismes, Lemme 01R3.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soient \(D, D' \subset X\) des diviseurs de Cartier effectifs avec \(D \subset D'\) et soit \(C \subset X\) un diviseur de Cartier effectif tel que \(D' = D + C\) (qui existe selon le Lemme 02ON). Alors il existe une suite exacte \[0 \to \mathcal{O}_X(-D)|_C \to \mathcal{O}_{D'} \to \mathcal{O}_D \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Démonstration

Dans l’énoncé du lemme et dans la démonstration, nous utilisons l’équivalence des morphismes, Lemme 01QY , pour penser aux modules quasi-cohérents sur les sous-schémas fermés de \(X\) comme des modules quasi-cohérents sur \(X\). Soit \(\mathcal{I}\) le faisceau d’idéaux de \(D\) dans \(D'\) et soit \(\mathcal{I}_D = \mathcal{O}_X(-D)\) le faisceau d’idéaux de \(D\) dans \(X\). Alors il existe une surjection canonique \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{I}\). Ainsi, il suffit de montrer que le noyau de cette application est égal à \(\mathcal{I}_C\mathcal{I}_D\) (avec la notation évidente). Cela peut être vérifié localement, donc nous pouvons supposer \(X = \Spec(A)\), \(D = \Spec(A/fA)\) et \(C = \Spec(A/gA)\) où \(f, g \in A\) sont des non-diviseurs de zéro (Lemme 01WS). Alors \(\mathcal{I}_D\) correspond à \(fA\), le non-diviseur de zéro \(fg \in A\) génère l’idéal de \(D'\), et \(\mathcal{I}\) correspond à \(I = fA/fgA\). Ainsi, le résultat est clair.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(D_1\), \(D_2\) des diviseurs de Cartier effectifs sur \(S\). Soit \(D = D_1 + D_2\). Alors il existe un isomorphisme unique \[\mathcal{O}_S(D_1) \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_S(D_2) \longrightarrow \mathcal{O}_S(D)\] qui envoie \(1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\) sur \(1_D\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(f : S' \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(D\) un diviseur de Cartier effectif sur \(S\). Si l’image réciproque de \(D\) est définie, alors \(f^*\mathcal{O}_S(D) = \mathcal{O}_{S'}(f^*D)\) et l’image réciproque de la section canonique \(1_D\) est la section canonique \(1_{f^*D}\).

Démonstration

Démonstration omise.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace localement annelé. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Une section globale \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) est appelée section régulière si l’application \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\), \(f \mapsto fs\) est injective.

Lemme

Soit \(X\) un espace localement annelé. Soit \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Les énoncés suivants sont équivalents:

1. \(f\) est une section régulière, et

2. pour tout \(x \in X\) l’image \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\) est un non-diviseur de zéro.

Si \(X\) est un schéma, cela équivaut également à

1. pour tout ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) l’image \(f \in A\) est un non-diviseur de zéro,

2. il existe un recouvrement par ouverts affines \(X = \bigcup \Spec(A_i)\) tel que l’image de \(f\) dans \(A_i\) soit un non-diviseur de zéro pour tout \(i\).

Démonstration

Démonstration omise.

Notez qu’une section globale \(s\) d’un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) peut être vue comme une application de \(\mathcal{O}_X\)-module \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\). Son dual est donc une application \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\). (Voir Modules, Définition 01CU pour la définition du faisceau inversible dual.)

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) une section globale. Le schéma des zéros de \(s\) est le sous-schéma fermé \(Z(s) \subset X\) défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) qui est l’image de l’application \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\).

1. Considérons des immersions fermées \(i : Z \to X\) telles que \(i^*s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L})\) soit ordonné zéro par inclusion. Le schéma des zéros \(Z(s)\) est l’élément maximal de cet ensemble ordonné.

2. Pour tout morphisme de schémas \(f : Y \to X\) , nous avons \(f^*s = 0\) dans \(\Gamma(Y, f^*\mathcal{L})\) si et seulement si \(f\) se factorise par \(Z(s)\).

3. Le schéma des zéros \(Z(s)\) est un sous-schéma fermé localement principal.

4. Le schéma des zéros \(Z(s)\) est un diviseur de Cartier effectif si et seulement si \(s\) est une section régulière de \(\mathcal{L}\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(X\) un schéma.

1. Si \(D \subset X\) est un diviseur de Cartier effectif, alors la section canonique \(1_D\) de \(\mathcal{O}_X(D)\) est régulière.

2. Inversement, si \(s\) est une section régulière du faisceau inversible \(\mathcal{L}\), alors il existe un unique diviseur de Cartier effectif \(D = Z(s) \subset X\) et un unique isomorphisme \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\) qui envoie \(1_D\) sur \(s\).

Les constructions \(D \mapsto (\mathcal{O}_X(D), 1_D)\) et \((\mathcal{L}, s) \mapsto Z(s)\) fournissent des applications mutuellement inverses. \[\left\{ \begin{matrix} \text{effective Cartier divisors on }X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{isomorphism classes of pairs }(\mathcal{L}, s)\\ \text{consisting of an invertible } \mathcal{O}_X\text{-module}\\ \mathcal{L}\text{ et une section globale régulière }s \end{matrix} \right\}\]

Démonstration

Démonstration omise.

Remarque

Soit \(X\) un schéma, \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible, et \(s\) une section régulière de \(\mathcal{L}\). Alors le schéma des zéros \(D = Z(s)\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X\) et il existe des suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \to i_*(\mathcal{L}|_D) \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_D \to 0.\] Étant donné un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) en utilisant les lemmes 01X0 et 0B3P , nous obtenons \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(D) \to i_*(\mathcal{N}_{D/X}) \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to i_*(\mathcal{O}_D) \to 0\]

Diviseurs de Cartier effectifs sur les schémas noethériens

Dans le cadre localement noethérien, la plupart des discussions sur les diviseurs de Cartier effectifs et les sections régulières se simplifient quelque peu.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Alors \(s\) est une section régulière si et seulement si \(s\) ne s’annule pas aux points associés de \(X\).

Démonstration

Preuve omise. Indication : se ramener au cas affine où \(\mathcal{L}\) est trivial, puis utiliser le lemme 01WZ et Algèbre, lemme 00LD.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un sous-schéma fermé correspondant au faisceau d’idéaux quasi-cohérent \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\).

1. Si pour chaque \(x \in D\) l’idéal \(\mathcal{I}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) peut être engendré par un seul élément, alors \(D\) est localement principal.

2. Si pour chaque \(x \in D\) l’idéal \(\mathcal{I}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) peut être engendré par un seul élément non diviseur de zéro, alors \(D\) est un diviseur de Cartier effectif.

Démonstration

Soit \(\Spec(A)\) un voisinage affine d’un point \(x \in D\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(x\). Soit \(I \subset A\) l’idéal définissant la trace de \(D\) sur \(\Spec(A)\). Puisque \(A\) est noethérien (car \(X\) est localement noethérien), l’idéal \(I\) est engendré par un nombre fini d’éléments, disons \(I = (f_1, \ldots, f_r)\). Sous l’hypothèse de (1), nous avons \(I_\mathfrak p = (f)\) pour un certain \(f \in A_\mathfrak p\). Alors \(f_i = g_i f\) pour un certain \(g_i \in A_\mathfrak p\). Écrivons \(g_i = a_i/h_i\) et \(f = f'/h\) pour certains \(a_i, h_i, f', h \in A\), \(h_i, h \not \in \mathfrak p\). Alors \(I_{h_1 \ldots h_r h} \subset A_{h_1 \ldots h_r h}\) est principal, car il est engendré par \(f'\). Cela prouve (1). Pour (2) nous pouvons supposer \(I = (f)\). L’hypothèse implique que l’image de \(f\) dans \(A_\mathfrak p\) est un élément non diviseur de zéro. Alors \(f\) est un élément non diviseur de zéro dans un voisinage de \(x\) par Algèbre, Lemme 061L. Cela prouve (2).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien.

1. Soit \(D \subset X\) un sous-schéma fermé localement principal. Soit \(\xi \in D\) un point générique d’une composante irréductible de \(D\). Alors \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\).

2. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Soit \(\xi \in D\) un point générique d’une composante irréductible de \(D\). Alors \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\).

Démonstration

Preuve de (1). Par hypothèse, nous pouvons supposer \(X = \Spec(A)\) et \(D = \Spec(A/(f))\) où \(A\) est un anneau noethérien et \(f \in A\). Soit \(\xi\) correspondant à l’idéal premier \(\mathfrak p \subset A\). L’hypothèse que \(\xi\) est un point générique d’une composante irréductible de \(D\) signifie que \(\mathfrak p\) est minimal sur \((f)\). Ainsi \(\dim(A_\mathfrak p) \leq 1\) par Algèbre, Lemme 00KV.

Preuve de (2). D’après la partie (1), nous voyons que \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\). D’autre part, l’équation locale \(f\) est un non-diviseur de zéro dans \(A_\mathfrak p\) par le Lemme 01WS ce qui implique que la dimension est au moins \(1\) (parce qu’il doit y avoir un idéal premier dans \(A_\mathfrak p\) ne contenant pas \(f\) selon le Lemme élémentaire de l’Algèbre 00E0).

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(D \subset X\) un sous-schéma fermé intégral qui est aussi un diviseur de Cartier effectif. Alors l’anneau local de \(X\) au point générique de \(D\) est un anneau de valuation discrète.

Démonstration

D’après le Lemme 01WS , nous pouvons supposer que \(X = \Spec(A)\) et \(D = \Spec(A/(f))\) où \(A\) est un anneau noethérien et \(f \in A\) est un non-diviseur de zéro. L’hypothèse que \(D\) est intégral signifie que \((f)\) est premier. Par conséquent, l’anneau local de \(X\) au point générique est \(A_{(f)}\) , qui est un anneau local noethérien dont l’idéal maximal est engendré par un non-diviseur de zéro. Ainsi, c’est un anneau de valuation discrète d’après Algèbre, Lemme 00PD.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Si \(X\) est \((S_k)\), alors \(D\) est \((S_{k - 1})\).

Démonstration

Soit \(x \in D\). Alors \(\mathcal{O}_{D, x} = \mathcal{O}_{X, x}/(f)\) où \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\) est un non-diviseur de zéro. Par hypothèse, nous avons \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq \min(\dim(\mathcal{O}_{X, x}), k)\). Par Algèbre, Lemme 090R nous avons \(\text{depth}(\mathcal{O}_{D, x}) = \text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\) et par Algèbre, Lemme 00KW \(\dim(\mathcal{O}_{D, x}) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\). Il s’ensuit que \(\text{depth}(\mathcal{O}_{D, x}) \geq \min(\dim(\mathcal{O}_{D, x}), k - 1)\) comme désiré.

Lemme

Soit \(X\) un schéma normal localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Alors \(D\) est \((S_1)\).

Démonstration

Par Propriétés, Lemme 0345 nous voyons que \(X\) est \((S_2)\). Ainsi, nous concluons par le Lemme 0B3R.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(D \subset X\) un sous-schéma fermé intègre. Supposons que

1. \(D\) ait une codimension \(1\) dans \(X\), et

2. \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un UFD pour tout \(x \in D\).

Alors \(D\) est un diviseur de Cartier effectif.

Démonstration

Soit \(x \in D\) et soit \(A = \mathcal{O}_{X, x}\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) correspondant au point générique de \(D\). Alors \(A_\mathfrak p\) a une dimension \(1\) par l’assumption (1). Ainsi \(\mathfrak p\) est un idéal premier de hauteur \(1\). Puisque \(A\) est un UFD, cela implique que \(\mathfrak p = (f)\) pour un certain \(f \in A\). Bien sûr, \(f\) est un non-diviseur de zéro et nous concluons par le Lemme 0AG8.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. Supposons qu’il existe

1. une collection de diviseurs de Cartier effectifs intègres \(D_i \subset X\), \(i \in I\)

2. un sous-ensemble fermé \(Z' \subset X\) dont toutes les composantes irréductibles ont une codimension \(\geq 2\) dans \(X\) (Topologie, Définition 02I3)

de sorte que \(Z \subset Z' \cup \bigcup_{i \in I} D_i\) ensemblistement. Alors il existe des entiers \(a_i \geq 0\) avec \(a_i = 0\) pour presque tous les \(i \in I\) de sorte que le diviseur de Cartier effectif \[D = \sum a_i D_i\] est contenu dans \(Z\) et que le morphisme d’inclusion \(D \to Z\) est un isomorphisme hors de la codimension \(2\) dans \(X\) (dans le sens qu’il existe un ouvert \(U \subset Z\) tel que \(D \cap U \to Z \cap U\) est un isomorphisme et que chaque composante irréductible de \(Z \setminus U\) a une codimension \(\geq 2\) dans \(X\)). Lorsque \(Z\) est nulle part dense dans \(X\) , l’existence de \(D_i\), \(i \in I\) et \(Z'\) est garantie si \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un UFD pour tous les \(x \in Z\) ou si \(X\) est régulier.

Démonstration

Soit \(\xi_i \in D_i\) le point générique et soit \(\mathcal{O}_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\) l’anneau local qui est un anneau de valuation discrète d’après le Lemme 0AG9. Soit \(a_i \geq 0\) la valuation minimale d’un élément de \(\mathcal{I}_{Z, \xi_i} \subset \mathcal{O}_i\). Bien sûr \(a_i > 0\) seulement si \(D_i\) est une composante irréductible de \(Z\) et donc \(a_i > 0\) seulement pour un nombre fini de \(i \in I\). Nous affirmons que le diviseur de Cartier effectif \(D = \sum a_i D_i\) convient.

À savoir, supposons que \(x \in X\). Soit \(A = \mathcal{O}_{X, x}\). Soient \(D_1, \ldots, D_n\) les diviseurs mutuellement distincts \(D_i\) tels que \(x \in D_i\) et \(a_i > 0\). Pour \(1 \leq i \leq n\) , soit \(f_i \in A\) une équation locale pour \(D_i\). Alors \(f_i\) est un élément premier de \(A\) et \(\mathcal{O}_i = A_{(f_i)}\). Soit \(I = \mathcal{I}_{Z, x} \subset A\) le germe du faisceau d’idéaux de \(Z\). Par notre choix de \(a_i\) , nous avons \(I A_{(f_i)} = f_i^{a_i}A_{(f_i)}\). Nous affirmons que \(I \subset (\prod_{i = 1, \ldots, n} f_i^{a_i})\).

Preuve de l’assertion. L’application de localisation \(\varphi : A/(f_i) \to A_{(f_i)}/f_iA_{(f_i)}\) est injective puisque l’idéal premier \((f_i)\) est l’image réciproque de l’idéal maximal \(f_iA_{(f_i)}\). Par induction sur \(n\) , nous déduisons que \(\varphi_n : A/(f_i^n)\to A_{(f_i)}/f_i^nA_{(f_i)}\) est également injective. Puisque \(\varphi_{a_i}(I) = 0\), nous avons \(I \subset (f_i^{a_i})\). Ainsi, pour tout \(x \in I\), nous pouvons écrire \(x = f_1^{a_1}x_1\) pour un certain \(x_1 \in A\). Puisque \(D_1, \ldots, D_n\) sont deux à deux distincts, \(f_i\) est une unité dans \(A_{(f_j)}\) pour \(i \not = j\). En comparant \(x\) et \(x_1\) en \(A_{(f_i)}\) pour \(n \geq i > 1\), nous avons encore \(x_1 \in (f_i^{a_i})\). En répétant le processus précédent, nous écrivons par induction \(x_i = f_{i + 1}^{a_{i + 1}}x_{i + 1}\) pour tout \(n > i \geq 1\). En conclusion, \(x \in (\prod_{i = 1, \ldots n} f_i^{a_i})\) pour tout \(x \in I\) comme souhaité.

L’affirmation montre que \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{I}_D\), c’est-à-dire que \(D \subset Z\). De plus, nous voyons également que \(D\) et \(Z\) coïncident aux points \(\xi_i\), ce qui prouve que \(D \to Z\) est un isomorphisme hors d’un fermé dont les composantes irréductibles ont codimension au moins \(2\) dans \(X\).

Pour voir les dernières assertions, nous raisonnons comme suit. Un anneau local régulier est un anneau factoriel (Compléments d’algèbre, Lemme 0AG0), donc il suffit de raisonner dans le cas factoriel. Dans ce cas, soient \(D_i\) les composantes irréductibles de \(Z\) qui ont une codimension \(1\) dans \(X\). Par le Lemme 0AGA , chaque \(D_i\) est un diviseur de Cartier effectif.

Lemme

Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé d’un schéma noethérien. Supposons

1. \(Z\) n’a pas de points immergés,

2. chaque composante irréductible de \(Z\) a une codimension \(1\) dans \(X\).

3. chaque anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\), \(x \in Z\) est un UFD ou \(X\) est régulier.

Alors \(Z\) est un diviseur de Cartier effectif.

Démonstration

Soit \(D = \sum a_i D_i\) comme dans le Lemme 0AGB où \(D_i \subset Z\) sont les composantes irréductibles de \(Z\). Si \(D \to Z\) n’est pas un isomorphisme, alors \(\mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_D\) a un noyau non nul situé en codimension \(\geq 2\). Cela signifierait que \(Z\) a des points immergés, ce qui est interdit par l’hypothèse (1). Ainsi \(D \cong Z\) comme désiré.

Lemme

Soit \(R\) un UFD noethérien. Soit \(I \subset R\) un idéal tel que \(R/I\) n’a pas d’idéaux premiers immergés et tel que chaque idéal premier minimal au-dessus de \(I\) a une hauteur \(1\). Alors \(I = (f)\) pour un certain \(f \in R\).

Démonstration

D’après le Lemme 0BXH , le faisceau d’idéaux \(\tilde I\) est inversible sur \(\Spec(R)\). D’après Compléments d’algèbre, Lemme 0BCH , il est engendré par un seul élément.

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif. Supposons qu’il existe des diviseurs de Cartier effectifs intègres \(D_i \subset X\) tels que \(D \subset \bigcup D_i\) ensemblistement. Alors \(D = \sum a_i D_i\) pour un certain \(a_i \geq 0\). L’existence de \(D_i\) est garantie si \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un UFD pour tout \(x \in D\) ou si \(X\) est régulier.

Démonstration

Choisissons \(a_i\) comme dans le Lemme 0AGB et définissez \(D' = \sum a_i D_i\). Alors \(D' \to D\) est une inclusion de diviseurs de Cartier effectifs qui est un isomorphisme en dehors de la codimension \(2\) sur \(X\). Choisissons \(x \in X\). Posons \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) et soient \(f, f' \in A\) les non-diviseurs de zéro engendrant respectivement les idéaux de \(D, D'\) dans \(A\). Alors \(f = gf'\) pour quelque \(g \in A\). De plus, pour chaque idéal premier \(\mathfrak p\) de hauteur \(\leq 1\) de \(A\) , nous voyons que \(g\) s’envoie sur une unité de \(A_\mathfrak p\). Cela implique que \(g\) est une unité parce que les idéaux premiers minimaux au-dessus de \((g)\) ont une hauteur \(1\) (Algèbre, Lemme 00KV).

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien qui possède un faisceau inversible ample. Alors chaque \(\mathcal{O}_X\)-module inversible est isomorphe à \[\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\] pour certains diviseurs de Cartier effectifs \(D, D'\) dans \(X\). De plus, étant donné un sous-ensemble fini \(E \subset X\) , nous pouvons choisir \(D, D'\) tel que \(E \cap D = \emptyset\) et \(E \cap D' = \emptyset\). Si \(X\) est quasi-affine, alors nous pouvons choisir \(D' = \emptyset\).

Démonstration

Soit \(x_1, \ldots, x_n\) les points associés de \(X\) (Lemme 05AF).

Si \(X\) est quasi-affine et \(\mathcal{N}\) est un module \(\mathcal{O}_X\) inversible quelconque, alors nous pouvons choisir une section \(t\) de \(\mathcal{N}\) qui ne s’annule en aucun des points de \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\), voir Propriétés, Lemme 0F20. Ensuite, \(t\) est une section régulière de \(\mathcal{N}\) selon le Lemme 0AYL. Par conséquent, \(\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X(D)\) où \(D = Z(t)\) est le diviseur de Cartier effectif correspondant à \(t\), voir Lemme 01X0. Puisque \(E \cap D = \emptyset\) par construction, nous avons terminé dans ce cas.

En revenant au cas général, soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible ample sur \(X\). Il existe un \(m > 0\) et une section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m})\) tels que \(X_s\) soit affine et tels que \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\} \subset X_s\) (Propriétés, Lemme 09NV).

Soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible arbitraire. Dans le cas quasi-affine, nous pouvons trouver une section \(t \in \mathcal{N}(X_s)\) qui ne s’annule en aucun point de \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\). D’après les Propriétés, Lemme 01PW , nous voyons que pour un certain \(e \geq 0\) , la section \(s^e|_{X_s} t\) s’étend à une section globale \(\tau\) de \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N}\). Ainsi, \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N}\) et \(\mathcal{L}^{\otimes me}\) sont toutes deux des faisceaux inversibles qui possèdent des sections globales ne s’annulant en aucun point de \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\). Par conséquent, ce sont des sections régulières d’après le Lemme 0AYL. Donc \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X(D)\) et \(\mathcal{L}^{\otimes me} \cong \mathcal{O}_X(D')\) pour certains diviseurs de Cartier effectifs \(D\) et \(D'\), voir le Lemme 01X0. Par construction \(E \cap D = \emptyset\) et \(E \cap D' = \emptyset\) et la démonstration est terminée.

Lemme

Soit \(X\) un schéma régulier intègre de dimension \(2\). Soit \(i : D \to X\) l’immersion d’un diviseur de Cartier effectif. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to i_*\mathcal{G} \to 0\) une suite exacte de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Supposons que

1. \(\mathcal{F}, \mathcal{F}'\) soient localement libres de rang \(r\) sur un ouvert non vide de \(X\),

2. \(D\) est un schéma intègre,

3. \(\mathcal{G}\) est un \(\mathcal{O}_D\)-module localement libre de rang \(s\).

Alors \(\mathcal{L} = (\wedge^r\mathcal{F})^{**}\) et \(\mathcal{L}' = (\wedge^r \mathcal{F}')^{**}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles et \(\mathcal{L}' \cong \mathcal{L}(k D)\) pour un certain \(k \in \{0, \ldots, \min(s, r)\}\).

Démonstration

La première assertion découle du Lemme 0B3N car l’hypothèse (1) implique que \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{L}'\) ont un rang \(1\). Comme prendre \(\wedge^r\) et les doubles duaux sont des foncteurs, nous obtenons donc une application canonique \(\sigma : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) qui est un isomorphisme sur l’ouvert non vide de (1), et donc non nulle. Pour terminer la démonstration, il suffit de voir que \(\sigma\) considéré comme une section globale de \(\mathcal{L}' \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1}\) ne s’annule en aucun point de codimension de \(X\), sauf au point générique de \(D\) et là avec un ordre d’annulation au plus égal à \(\min(s, r)\).

Traduit en algèbre, nous arrivons au problème suivant: Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau de valuation discrète avec corps des fractions \(K\). Soit \(M \to M' \to N \to 0\) une suite exacte de \(A\)-modules finis avec \(\dim_K(M \otimes K) = \dim_K(M' \otimes K) = r\) et avec \(N \cong \kappa^{\oplus s}\). Montrer que l’application induite \(L = \wedge^r(M)^{**} \to L' = \wedge^r(M')^{**}\) s’annule d’ordre au plus \(\min(s, r)\). Nous utiliserons le théorème de structure pour les modules sur \(A\), voir Compléments d’algèbre, Lemme 0ASP ou 0ASV. Diviser un \(A\)-module fini par un sous-module de torsion ne change pas le double dual. Ainsi, nous pouvons remplacer \(M\) par \(M/M_{tors}\) et \(M'\) par \(M'/\Im(M_{tors} \to M')\) et supposer que \(M\) est sans torsion. Alors \(M \to M'\) est injectif et \(M'_{tors} \to N\) est injectif. Par conséquent, nous pouvons remplacer \(M'\) par \(M'/M'_{tors}\) et \(N\) par \(N/M'_{tors}\). Ainsi, nous réduisons au cas où \(M\) et \(M'\) sont libres de rang \(r\) et \(N \cong \kappa^{\oplus s}\). Dans ce cas, \(\sigma\) est le déterminant de \(M \to M'\) et s’annule d’ordre \(s\) , par exemple d’après Algèbre, Lemme 02MI.

Compléments d’ouverts affines

Dans cette section, nous discutons du résultat selon lequel le complémentaire d’un ouvert affine dans une variété a une codimension pure \(1\).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Le spectre ponctué \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) de \(A\) est affine si et seulement si \(\dim(A) \leq 1\).

Démonstration

Si \(\dim(A) = 0\), alors \(U\) est vide et donc affine (égale au spectre de l’anneau \(0\) ). Si \(\dim(A) = 1\), alors nous pouvons choisir un élément \(f \in \mathfrak m\) qui n’est contenu dans aucun des idéaux premiers minimaux, en nombre fini, de \(A\) (Algèbre, Lemme 00FR et 00DS). Alors \(U = \Spec(A_f)\) est affine.

Le cas inverse est plus intéressant. Nous allons donner une preuve quelque peu non standard et discuter de l’argument standard dans une remarque ci-dessous. Supposons que \(U = \Spec(B)\) soit affine. Puisque l’affinité et la dimension ne sont pas affectées en passant à la réduction, nous pouvons remplacer \(A\) par le quotient par son idéal d’éléments nilpotents et supposer que \(A\) est réduit. Posons \(Q = B/A\) considéré comme un \(A\)-module. Le support de \(Q\) est \(\{\mathfrak m\}\) car \(A_\mathfrak p = B_\mathfrak p\) pour tous les idéaux premiers non maximaux \(\mathfrak p\) de \(A\). Nous pouvons supposer \(\dim(A) \geq 1\), donc comme ci-dessus nous pouvons choisir \(f \in \mathfrak m\) qui n’est contenu dans aucun des idéaux minimaux de \(A\). Puisque \(A\) est réduit, cela implique que \(f\) est un non-diviseur de zéro dans \(A\). Le même argument montre que \(f : B \to B\) est injectif car \(\Spec(B)\) est ouvert dans \(\Spec(A)\). Notons que \(\dim(A/fA) = \dim(A) - 1\) d’après Algèbre, Lemme 00KW. En appliquant le lemme du serpent à la multiplication par \(f\) sur la suite exacte \(0 \to A \to B \to Q \to 0\) , nous obtenons \[0 \to Q[f] \to A/fA \to B/fB \to Q/fQ \to 0\] où \(Q[f] = \Ker(f : Q \to Q)\). Cela implique que \(Q[f]\) est un \(A\)-module fini. Puisque le support de \(Q[f]\) est \(\{\mathfrak m\}\) , nous voyons \(l = \text{length}_A(Q[f]) < \infty\) (Algèbre, Lemme 00L5). Posons \(l_n = \text{length}_A(Q[f^n])\). La suite exacte \[0 \to Q[f^n] \to Q[f^{n + 1}] \xrightarrow{f^n} Q[f]\] montre par induction que \(l_n < \infty\) et que \(l_n \leq l_{n + 1}\). En considérant la suite exacte \[0 \to Q[f] \to Q[f^{n + 1}] \xrightarrow{f} Q[f^n] \to Q/fQ\] et nous voyons que l’image de \(Q[f^n]\) dans \(Q/fQ\) a une longueur de \(l_n - l_{n + 1} + l \leq l\). Puisque \(Q = \bigcup Q[f^n]\) nous trouvons que la longueur de \(Q/fQ\) est au plus \(l\), c’est-à-dire bornée. Ainsi \(Q/fQ\) est un \(A\)-module fini. Par conséquent, \(A/fA \to B/fB\) est un morphisme d’anneaux fini, en particulier il induit une application fermée sur les spectres (Algèbre, lemmes 00GU et 00HZ). D’autre part, \(\Spec(B/fB)\) est le spectre ponctué de \(\Spec(A/fA)\). Ceci est une contradiction à moins de \(\Spec(B/fB) = \emptyset\) , ce qui signifie que \(\dim(A/fA) = 0\) comme souhaité.

Remarque

Si \((A, \mathfrak m)\) est un anneau intègre local noethérien normal de dimension \(\geq 2\) et \(U\) est le spectre ponctué de \(A\), alors \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\). Cette version algébrique du théorème de Hartogs découle du fait que \(A = \bigcap_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} A_\mathfrak p\) que nous avons vu en Algèbre, Lemme 031T. Ainsi, dans ce cas, \(U\) ne peut pas être affine (car cela obligerait \(\mathfrak m\) à être un point de \(U\)). Cela est souvent utilisé comme point de départ de la preuve du Lemme 0BCR. Pour réduire le cas d’un anneau local noethérien général à ce cas, nous complétons d’abord (pour obtenir un anneau local de Nagata), puis remplaçons \(A\) par \(A/\mathfrak q\) pour un idéal premier minimal approprié, puis normalisons. Chacune de ces étapes ne change pas la dimension et nous obtenons une contradiction. Vous pouvez sauter l’étape de la complétion, mais alors la normalisation n’est généralement pas un anneau intègre noethérien. Cependant, c’est toujours un anneau de Krull de la même dimension (cela se prouve en utilisant Krull-Akizuki) et on peut appliquer le même argument.

Remarque

Il n’est pas clair comment caractériser les anneaux locaux non noethériens \((A, \mathfrak m)\) dont le spectre ponctué est affine. Un tel anneau possède un idéal de type fini \(I\) avec \(\mathfrak m = \sqrt{I}\). Bien sûr, si nous pouvons prendre \(I\) généré par \(1\) élément, alors \(A\) a un spectre ponctué affine; cela donne de nombreux exemples non noethériens. Inversement, il découle de l’argument dans la démonstration du Lemme 0BCR qu’un tel anneau ne peut pas posséder un non-diviseur de zéro \(f \in \mathfrak m\) avec \(H^0_I(A/fA) = 0\) (donc \(A\) ne peut pas avoir une suite régulière de longueur \(2\)). De plus, il en va de même pour tout anneau \(A'\) qui est la cible d’un homomorphisme local d’anneaux locaux \(A \to A'\) tel que \(\mathfrak m_{A'} = \sqrt{\mathfrak mA'}\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert tel que le morphisme d’inclusion \(U \to X\) soit affine. Pour tout point générique \(\xi\) d’une composante irréductible de \(X \setminus U\) , l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) a une dimension \(\leq 1\). Si \(U\) est dense ou si \(\xi\) se trouve dans l’adhérence de \(U\), alors \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\).

Démonstration

Puisque \(\xi\) est un point générique de \(X \setminus U\), nous voyons que \[U_\xi = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\] est le spectre ponctué de \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) (indication: utiliser Schémas, Lemme 01J7). Comme \(U \to X\) est affine, nous voyons que \(U_\xi \to \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\) est affine (Morphismes, Lemme 01SD) et nous concluons que \(U_\xi\) est affine. Donc \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\) d’après le Lemme 0BCR. Si \(\xi \in \overline{U}\), alors il existe une spécialisation \(\eta \to \xi\) où \(\eta \in U\) (il suffit de prendre \(\eta\) un point générique d’une composante irréductible de \(\overline{U}\) qui contient \(\xi\); puisque \(\overline{U}\) est localement noethérien, donc localement a un nombre fini de composantes irréductibles, nous voyons que \(\eta \in U\)). Alors \(\eta \in \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\) et nous voyons que la dimension ne peut pas être \(0\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma séparé et localement noethérien. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine. Pour chaque point générique \(\xi\) d’une composante irréductible de \(X \setminus U\) , l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) a pour dimension \(\leq 1\). Si \(U\) est dense ou si \(\xi\) est dans l’adhérence de \(U\), alors \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\).

Démonstration

Ceci découle du Lemme 0BCU car le morphisme \(U \to X\) est affine par Morphismes, Lemme 01SG.

Le lemme suivant peut parfois être utilisé pour produire des diviseurs de Cartier effectifs.

Lemme

Soit \(X\) un schéma séparé noethérien. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine dense. Si \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un UFD pour tout \(x \in X \setminus U\), alors il existe un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) avec \(U = X \setminus D\).

Démonstration

Puisque \(X\) est noethérien, le complément \(X \setminus U\) a un nombre fini de composantes irréductibles \(D_1, \ldots, D_r\) (Propriétés, Lemme 0BA8 appliqué à la structure de sous-schéma réduit induite sur \(X \setminus U\)). Chaque \(D_i \subset X\) a une codimension \(1\) d’après le Lemme 0BCV (et Propriétés, Lemme 02IZ). Ainsi, \(D_i\) est un diviseur de Cartier effectif d’après le Lemme 0AGA. Par conséquent, nous pouvons prendre \(D = D_1 + \ldots + D_r\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien avec diagonale affine. Soit \(U \subset X\) un ouvert affine dense. Si \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un UFD pour tout \(x \in X \setminus U\), alors il existe un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) avec \(U = X \setminus D\).

Démonstration

Puisque \(X\) est noethérien, le complément \(X \setminus U\) a un nombre fini de composantes irréductibles \(D_1, \ldots, D_r\) (Propriétés, Lemme 0BA8 appliqué à la structure de sous-schéma réduit induite sur \(X \setminus U\)). Nous considérons \(D_i\) comme un sous-schéma fermé réduit de \(X\). Soit \(X = \bigcup_{j \in J} X_j\) un recouvrement ouvert affine de \(X\). Pour tout \(j\) dans \(J\), posons \(U_j = U \cap X_j\). Puisque \(X\) a une diagonale affine, le schéma \[U_j = X \times_{(X \times X)} (U \times X_j)\] est affine. Par conséquent, comme \(X_j\) est séparé, il s’ensuit du Lemme 0BCW et de sa démonstration que pour tous \(j \in J\) et \(1 \leq i \leq r\) , l’intersection \(D_i \cap X_j\) est soit vide, soit un diviseur de Cartier effectif dans \(X_j\). Ainsi \(D_i \subset X\) est un diviseur de Cartier effectif (car il s’agit d’une propriété locale). Par conséquent, nous pouvons prendre \(D = D_1 + \ldots + D_r\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact, régulier avec diagonale affine. Alors \(X\) possède une famille abondante de modules inversibles (Morphismes, Définition 0FXR).

Démonstration

Remarquons que \(X\) est une réunion finie disjointe de schémas intègres (Propriétés, Lemmes 0569 et 033M). Ainsi, on peut supposer que \(X\) est intégral ainsi que Noethérien, régulier et ayant une diagonale affine. Soit \(x \in X\). Choisissons un voisinage ouvert affine \(U \subset X\) de \(x\). Puisque \(X\) est intégral, \(U\) est dense dans \(X\). D’après Compléments d’algèbre, Lemme 0AG0 , les anneaux locaux de \(X\) sont des UFD. Par conséquent, d’après le Lemme 0EGJ , nous pouvons trouver un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) dont le complément est \(U\). Alors la section canonique \(s = 1_D\) de \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\), voir la Définition 01WX, s’annule exactement le long de \(D\) donc \(U = X_s\). Ainsi, les deux conditions dans Morphismes, Définition 0FXR sont satisfaites et nous avons terminé.

Normes

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini de schémas et soit \(d \geq 1\) un entier. Disons qu’il existe une norme de degré \(d\) pour \(\pi\)³ s’il existe une application multiplicative \[\text{Norm}_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\] de faisceaux telle que

1. la composition \(\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\pi^\sharp} \pi_*\mathcal{O}_X \xrightarrow{\text{Norm}_\pi} \mathcal{O}_Y\) égale \(g \mapsto g^d\), et

2. pour \(V \subset Y\) ouvert, si \(f \in \mathcal{O}_X(\pi^{-1}V)\) s’annule en \(x \in \pi^{-1}(V)\), alors \(\text{Norm}_\pi(f)\) s’annule en \(\pi(x)\).

Nous observons que la condition (1) oblige \(\pi\) à être surjective. Puisque \(\text{Norm}_\pi\) est multiplicatif, il envoie les unités sur des unités; par conséquent, étant donné \(y \in Y\), si \(f\) est une fonction régulière sur \(X\) définie et non nulle en tout \(x \in X\) tel que \(\pi(x) = y\), alors \(\text{Norm}_\pi(f)\) est définie et ne s’annule pas en \(y\). Cela reste vrai sans supposer (2); en fait, les constructions dans cette section ne nécessiteront que la condition (1) et seules certaines propriétés d’annulation (qui sont utilisées en particulier dans la démonstration du Lemme 0BD0) nécessiteront la propriété (2).

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(y \in Y\). Il existe un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(y\) tel que \(\mathcal{L}|_{\pi^{-1}(V)}\) soit trivial.

Démonstration

De toute évidence, nous pouvons supposer que \(Y\) et donc \(X\) sont affines. Puisque \(\pi\) est fini, la fibre \(\pi^{-1}(\{y\})\) au-dessus de \(y\) est finie. Puisque \(X\) est affine, nous pouvons choisir \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) ne s’annulant en aucun point de \(\pi^{-1}(\{y\})\). Cela découle des Propriétés, Lemme 0F20 , mais nous donnons également un argument direct. À savoir, nous pouvons choisir un ensemble fini \(E \subset X\) de points fermés tel que chaque \(x \in \pi^{-1}(\{y\})\) se spécialise en un certain point de \(E\). Pour \(x \in E\) , notons \(i_x : x \to X\) l’immersion fermée. Alors \(\mathcal{L} \to \bigoplus_{x \in E} i_{x, *}i_x^*\mathcal{L}\) est une application surjective de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents, et donc l’application \[\Gamma(X, \mathcal{L}) \to \bigoplus\nolimits_{x \in E} \mathcal{L}_x/\mathfrak m_x\mathcal{L}_x\] est surjective (puisque la prise de sections globales est un foncteur exact sur la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents, voir Schémas, Lemme 01IB). Ainsi, nous pouvons trouver un \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) ne s’annulant en aucun point se spécialisant en un point de \(E\). Alors \(X_s \subset X\) est un voisinage ouvert de \(\pi^{-1}(\{y\})\). Puisque \(\pi\) est fini, donc fermé, nous en concluons qu’il existe un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(y\) dont l’image réciproque est contenue dans \(X_s\) comme souhaité.

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini de schémas. S’il existe une norme de degré \(d\) pour \(\pi\), alors il existe un homomorphisme de groupes abéliens \[\text{Norm}_\pi : \Pic(X) \to \Pic(Y)\] tel que \(\text{Norm}_\pi(\pi^*\mathcal{N}) \cong \mathcal{N}^{\otimes d}\) pour tous les \(\mathcal{O}_Y\)-modules inversibles \(\mathcal{N}\).

Démonstration

Nous utiliserons la correspondance entre les classes d’isomorphisme de modules \(\mathcal{O}_X\) inversibles et les éléments de \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\) donnée dans Cohomologie, Lemme 09NU sans autre mention. Nous expliquons comment prendre la norme d’un module \(\mathcal{O}_X\) inversible \(\mathcal{L}\). À savoir, d’après le Lemme 0BUT , il existe un recouvrement ouvert \(Y = \bigcup V_j\) tel que \(\mathcal{L}|_{\pi^{-1}V_j}\) soit trivial. Choisissons une section génératrice \(s_j \in \mathcal{L}(\pi^{-1}V_j)\) pour chaque \(j\). Sur les intersections \(\pi^{-1}V_j \cap \pi^{-1}V_{j'}\) , nous pouvons écrire \[s_j = u_{jj'} s_{j'}\] pour un \(u_{jj'} \in \mathcal{O}^*_X(\pi^{-1}V_j \cap \pi^{-1}V_{j'})\) unique. Ainsi, nous pouvons considérer les éléments \[v_{jj'} = \text{Norm}_\pi(u_{jj'}) \in \mathcal{O}_Y^*(V_j \cap V_{j'})\] Ces éléments satisfont la condition de cocycle (car \(u_{jj'}\) le fait et \(\text{Norm}_\pi\) est multiplicatif) et définissent donc un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible. Nous omettons la vérification que: cela est bien défini, additif sur les groupes de Picard, et satisfait la propriété \(\text{Norm}_\pi(\pi^*\mathcal{N}) \cong \mathcal{N}^{\otimes d}\) pour tous les \(\mathcal{O}_Y\)-modules inversibles \(\mathcal{N}\).

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini de schémas. Supposons qu’il existe une norme de degré \(d\) pour \(\pi\). Pour tout morphisme \(\mathcal{O}_X\)-linéaire \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles, il existe un morphisme \(\mathcal{O}_Y\)-linéaire \[\text{Norm}_\pi(\varphi) : \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}) \longrightarrow \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\] avec \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\), \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\) comme dans le Lemme 0BCY. De plus, pour \(y \in Y\) , les éléments suivants sont équivalents

1. \(\varphi\) est nul en un point de \(x \in X\) avec \(\pi(x) = y\), et

2. \(\text{Norm}_\pi(\varphi)\) est nul à \(y\).

Démonstration

Nous choisissons un recouvrement ouvert \(Y = \bigcup V_j\) tel que \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{L}'\) soient triviaux sur les ouverts \(\pi^{-1}V_j\). Cela est possible d’après le Lemme 0BUT. Choisissons des sections génératrices \(s_j\) et \(s'_j\) de \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{L}'\) sur les ouverts \(\pi^{-1}V_j\). Alors \(\varphi(s_j) = f_js'_j\) pour certains \(f_j \in \mathcal{O}_X(\pi^{-1}V_j)\). Définissons \(\text{Norm}_\pi(\varphi)\) comme étant la multiplication par \(\text{Norm}_\pi(f_j)\) sur \(V_j\). Un calcul simple impliquant les cocycles utilisés pour construire \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\), \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\) dans la démonstration du Lemme 0BCY montre que cela définit une application comme indiqué dans le lemme. L’énoncé final découle de la condition (2) dans la définition d’une application norme de degré \(d\). Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini de schémas. Supposons que \(X\) possède un faisceau inversible ample et qu’il existe une norme de degré \(d\) pour \(\pi\). Alors \(Y\) possède un faisceau inversible ample.

Démonstration

Soit \(\mathcal{L}\) le faisceau inversible ample sur \(X\) qui nous est donné par hypothèse. Nous prouverons que \(\mathcal{N} = \text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\) est ample sur \(Y\).

Puisque \(X\) est quasi-compact (Propriétés, Définition 01PS) et que \(X \to Y\) est surjectif (par l’existence de \(\text{Norm}_\pi\)), nous voyons que \(Y\) est quasi-compact. Soit \(y \in Y\) un point. Pour terminer la preuve, nous montrerons qu’il existe une section \(t\) d’une certaine puissance tensorielle positive de \(\mathcal{N}\) qui ne s’annule pas en \(y\) de sorte que \(Y_t\) soit affine. Pour ce faire, choisissons un voisinage ouvert affine \(V \subset Y\) de \(y\). Choisissons \(n \gg 0\) et une section \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) telle que \[\pi^{-1}(\{y\}) \subset X_s \subset \pi^{-1}V\] par Propriétés, Lemme 09NV. Ensuite, \(t = \text{Norm}_\pi(s)\) est une section de \(\mathcal{N}^{\otimes n}\) qui ne s’annule pas en \(x\) et avec \(Y_t \subset V\), voir Lemme 0BCZ. Alors \(Y_t\) est affine par Propriétés, Lemme 01PV.

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini de schémas. Supposons que \(X\) soit quasi-affine et qu’il existe une norme de degré \(d\) pour \(\pi\). Alors \(Y\) est quasi-affine.

Démonstration

D’après les Propriétés, Lemme 01QE , nous voyons que \(\mathcal{O}_X\) est un faisceau inversible ample sur \(X\). La démonstration du Lemme 0BD0 montre que \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_Y\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible ample. Par conséquent, les Propriétés, Lemme 01QE montrent que \(Y\) est quasi-affine.

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini localement libre de degré \(d \geq 1\). Alors il existe une norme canonique de degré \(d\) dont la formation commute avec tout changement de base.

Démonstration

Soit \(V \subset Y\) un ouvert affine tel que \((\pi_*\mathcal{O}_X)|_V\) soit libre de rang \(d\). En choisissant une base, nous obtenons un isomorphisme \[\mathcal{O}_V^{\oplus d} \cong (\pi_*\mathcal{O}_X)|_V\] Pour tout \(f \in \pi_*\mathcal{O}_X(V) = \mathcal{O}_X(\pi^{-1}(V))\), la multiplication par \(f\) définit un endomorphisme \(\mathcal{O}_V\)-linéaire \(m_f\) du module libre affiché. Ainsi, nous obtenons une matrice \(d \times d\) \(M_f \in \text{Mat}(d \times d, \mathcal{O}_Y(V))\) et nous pouvons définir \[\text{Norm}_\pi(f) = \det(M_f)\] Comme le déterminant d’une matrice est indépendant du choix d’une base, nous voyons que cela est bien défini, ce qui signifie également que cette construction se recollera pour donner une application globale comme souhaité. La compatibilité avec le changement de base découle directement de la construction.

La propriété (1) découle du fait que le déterminant d’une matrice diagonale \(d \times d\) avec des entrées \(g, g, \ldots, g\) est \(g^d\). Pour voir la propriété (2), nous pouvons changer de base et supposer que \(Y\) est le spectre d’un corps \(k\). Puis \(X = \Spec(A)\) avec \(A\) une \(k\)-algèbre avec \(\dim_k(A) = d\). S’il existe un \(x \in X\) tel que \(f \in A\) s’annule en \(x\), alors il existe une application \(A \to \kappa\) dans un corps telle que \(f\) s’envoie à zéro dans \(\kappa\). Alors \(f : A \to A\) ne peut pas être surjectif, donc \(\det(f : A \to A) = 0\) comme souhaité.

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini et surjectif avec \(X\) et \(Y\) intégraux et \(Y\) normal. Alors il existe une norme de degré \([R(X) : R(Y)]\) pour \(\pi\).

Démonstration

Soit \(\Spec(B) \subset Y\) un ouvert affine et soit \(\Spec(A) \subset X\) son image réciproque. Alors \(A\) et \(B\) sont des domaines. Soit \(K\) le corps des fractions de \(A\) et \(L\) le corps des fractions de \(B\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ L \ar[r] & K \\ B \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] Étant donné que \(K/L\) est une extension finie, il existe une application norme \(\text{Norm}_{K/L} : K^* \to L^*\) de degré \(d = [K : L]\); elle envoie \(f \in K\) sur \(\det_L(f : K \to K)\) comme dans la démonstration du Lemme 0BD2. Observons que le polynôme caractéristique de \(f : K \to K\) est une puissance du polynôme minimal de \(f\) sur \(L\); en particulier \(\text{Norm}_{K/L}(f)\) est une puissance du coefficient constant du polynôme minimal de \(f\) sur \(L\). Par conséquent, d’après l’Algèbre, Lemme 00H7 , \(\text{Norm}_{K/L}\) envoie \(A\) dans \(B\). Cela détermine un système compatible de fonctions sur les sections sur des affines et donc une application norme globale \(\text{Norm}_\pi\) de degré \(d\).

La propriété (1) découle immédiatement de la construction. Pour voir la propriété (2), soit \(f \in A\) contenu dans l’idéal premier \(\mathfrak p \subset A\). Soit \(f^m + b_1 f^{m - 1} + \ldots + b_m\) le polynôme minimal de \(f\) sur \(L\). Par Algèbre, Lemme 00H7 , nous avons \(b_i \in B\). Donc \(b_0 \in B \cap \mathfrak p\). Puisque \(\text{Norm}_{K/L}(f) = b_0^{d/m}\) (voir ci-dessus), nous concluons que la norme s’annule au point image de \(\mathfrak p\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p\mathcal{O}_X = 0\). Alors pour un certain \(e > 0\) , il existe une norme de degré \(p^e\) pour \(X_{red} \to X\) où \(X_{red}\) est la réduction de \(X\).

Démonstration

Soit \(A\) un anneau noethérien avec \(pA = 0\). Soit \(I \subset A\) l’idéal des éléments nilpotents. Alors \(I^n = 0\) pour un certain \(n\) (Algèbre, Lemme 00IM). Choisissons \(e\) tel que \(p^e \geq n\). Alors \[A/I \longrightarrow A,\quad f \bmod I \longmapsto f^{p^e}\] est bien défini. Cela produit une norme de degré \(p^e\) pour \(\Spec(A/I) \to \Spec(A)\). Maintenant, si \(X\) est obtenu en recollant certains schémas affines \(\Spec(A_i)\) alors pour un certain \(e \gg 0\) ces applications se recollent en une application de norme pour \(X_{red} \to X\). Détails omis.

Proposition

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini surjectif de schémas. Supposons que \(X\) ait un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample. Si

1. \(\pi\) est fini et localement libre, soit

2. \(Y\) est un schéma normal intègre, ou

3. \(Y\) est noethérien, \(p\mathcal{O}_Y = 0\), et \(X = Y_{red}\),

alors \(Y\) a un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible ample.

Démonstration

Le cas (1) découle d’une combinaison des lemmes 0BD2 et 0BD0. Le cas (3) découle d’une combinaison des lemmes 0BDZ et 0BD0. Dans le cas (2), nous remplaçons d’abord \(X\) par une composante irréductible de \(X\) qui domine \(Y\) (considéré comme un sous-schéma fermé réduit de \(X\)). Ensuite, nous pouvons appliquer le lemme 0BD3.

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini surjectif de schémas. Supposons que \(X\) soit quasi-affine. Si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

1. \(\pi\) est fini et localement libre, soit

2. \(Y\) est un schéma intègre normal

alors \(Y\) est quasi-affine.

Démonstration

Le cas (1) découle d’une combinaison des lemmes 0BD2 et 0BD1. Dans le cas (2), nous remplaçons d’abord \(X\) par une composante irréductible de \(X\) qui domine \(Y\) (considéré comme un sous-schéma fermé réduit de \(X\)). Ensuite, nous pouvons appliquer le lemme 0BD3.

Diviseurs de Cartier effectifs relatifs

Le lemme suivant montre qu’un diviseur de Cartier effectif plat sur la base est bien une « famille de diviseurs de Cartier effectifs » sur cette base. Par exemple, la restriction à toute fibre est un diviseur de Cartier effectif.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(D \subset X\) un sous-schéma fermé. Supposons

1. \(D\) est un diviseur de Cartier effectif, et

2. \(D \to S\) est un morphisme plat.

Puis, pour tout morphisme de schémas \(g : S' \to S\) , l’image réciproque \((g')^{-1}D\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X' = S' \times_S X\) où \(g' : X' \to X\) est la projection.

Démonstration

En utilisant le Lemme 01WS , nous traduisons ceci comme suit en algèbre. Soit \(A \to B\) une application d’anneaux et \(h \in B\). Supposons que \(h\) soit un non-diviseur de zéro et que \(B/hB\) soit plat sur \(A\). Alors \[0 \to B \xrightarrow{h} B \to B/hB \to 0\] est une suite exacte de \(A\)-modules avec \(B/hB\) plat sur \(A\). D’après le Lemme d’Algèbre 00HL , cette suite reste exacte lors du produit tensoriel sur \(A\) avec n’importe quel module, en particulier avec n’importe quelle \(A\)-algèbre \(A'\).

Ce lemme est la motivation pour la définition suivante.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Un diviseur de Cartier effectif relatif sur \(X/S\) est un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) tel que \(D \to S\) soit un morphisme plat de schémas.

Nous avertissons le lecteur que cela peut être une notation non standard. En particulier, dans [EGA, IV, section 21.15] la notion de diviseur relatif est discutée uniquement lorsque \(X \to S\) est plat et localement de présentation finie. Notre définition est un peu plus générale. Cependant, il s’avère que si \(x \in D\) alors \(X \to S\) est plat à \(x\) dans de nombreux cas (mais pas toujours).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(D_1, D_2 \subset X\) sont des diviseurs de Cartier effectifs relatifs sur \(X/S\) alors il en est de même de \(D_1 + D_2\) (Définition 01WT).

Démonstration

Cela se traduit par le fait algébrique suivant: Soit \(A \to B\) une application d’anneaux et \(h_1, h_2 \in B\). Supposons que les \(h_i\) sont des diviseurs de zéro et que \(B/h_iB\) est plat sur \(A\). Alors \(h_1h_2\) est un non-diviseur de zéro et \(B/h_1h_2B\) est plat sur \(A\). La raison est que nous avons une suite exacte \[0 \to B/h_1B \to B/h_1h_2B \to B/h_2B \to 0\] où la première flèche est donnée par la multiplication par \(h_2\). Comme les deux modules extérieurs sont plats sur \(A\), il en est de même pour le module du milieu, voir Algèbre, Lemme 00HM.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Si \(D_1, D_2 \subset X\) sont des diviseurs de Cartier effectifs relatifs sur \(X/S\) et \(D_1 \subset D_2\) comme sous-schémas fermés, alors le diviseur de Cartier effectif \(D\) tel que \(D_2 = D_1 + D\) (Lemme 02ON) est un diviseur de Cartier effectif relatif sur \(X/S\).

Démonstration

Cela se traduit par le fait algébrique suivant: Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et \(h_1, h_2 \in B\). Supposons que les \(h_i\) soient des diviseurs de zéro non nuls, que \(B/h_iB\) soit plat sur \(A\), et que \((h_2) \subset (h_1)\). Alors nous pouvons écrire \(h_2 = h h_1\) où \(h \in B\) est un diviseur de zéro non nul. Nous obtenons une suite exacte \[0 \to B/hB \to B/h_2B \to B/h_1B \to 0\] où la première flèche est donnée par la multiplication par \(h_1\). Puisque les deux modules de droite sont plats sur \(A\), il en est de même pour celui du milieu, voir Algèbre, Lemme 00HM.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif relatif sur \(X/S\). Si \(x \in D\) et si \(\mathcal{O}_{X, x}\) est noethérien, alors \(f\) est plat en \(x\).

Démonstration

Posons \(A = \mathcal{O}_{S, f(x)}\) et \(B = \mathcal{O}_{X, x}\). Soit \(h \in B\) un élément qui génère l’idéal de \(D\). Alors \(h\) est un non-diviseur de zéro dans \(B\) tel que \(B/hB\) soit une \(A\)-algèbre locale plate. Soit \(I \subset A\) un idéal de type fini. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & B \ar[r]_h & B \ar[r] & B/hB \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & B \otimes_A I \ar[r]^h \ar[u] & B \otimes_A I \ar[r] \ar[u] & B/hB \otimes_A I \ar[r] \ar[u] & 0 }\] La suite inférieure est exacte car \(B/hB\) est plat sur \(A\), voir Algèbre, Lemme 00HL. La flèche verticale de droite est injective car \(B/hB\) est plat sur \(A\), voir Algèbre, Lemme 00HD. Par conséquent, la multiplication par \(h\) est surjective sur le noyau \(K\) de la flèche verticale du milieu. Par le lemme de Nakayama, voir Algèbre, Lemme 00DV , nous concluons que \(K= 0\). Par conséquent, \(B\) est plat sur \(A\), voir Algèbre, Lemme 00HD.

Le lemme suivant repose sur la version algébrique de l’ouverture du lieu plat. La version schématique peut être trouvée dans Compléments sur les morphismes, section 0398.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif relatif. Si \(f\) est localement de présentation finie, alors il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(D \subset U\) et tel que \(f|_U : U \to S\) soit plat.

Démonstration

Choisissons \(x \in D\). Il suffit de trouver un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(f|_U\) soit plat. Ainsi, le lemme se réduit au cas où \(X = \Spec(B)\) et \(S = \Spec(A)\) sont affines et où \(D\) est donné par un élément non diviseur de zéro \(h \in B\). Par hypothèse, \(B\) est une \(A\)-algèbre de présentation finie et \(B/hB\) est une \(A\)-algèbre plate. Nous allons utiliser l’approximation absolue de Noether.

Écrivons \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\). Supposons que \(h\) est l’image de \(h' \in A[x_1, \ldots, x_n]\). Choisissons une \(\mathbf{Z}\)-sous-algèbre de type fini \(A_0 \subset A\) telle que tous les coefficients des polynômes \(h', g_1, \ldots, g_m\) soient dans \(A_0\). Alors nous pouvons définir \(B_0 = A_0[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\) et \(h_0\) l’image de \(h'\) dans \(B_0\). Alors \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\) et \(B/hB = B_0/h_0B_0 \otimes_{A_0} A\). D’après le Lemme 02JO d’Algèbre, nous pouvons, après avoir élargi \(A_0\), supposer que \(B_0/h_0B_0\) est plat sur \(A_0\). Soit \(K_0 = \Ker(h_0 : B_0 \to B_0)\). Comme \(B_0\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\) , nous voyons que \(K_0\) est un idéal de type fini. Soit \(A_1 \subset A\) une \(\mathbf{Z}\)-sous-algèbre de type fini contenant \(A_0\) et notons \(B_1\), \(h_1\), \(K_1\) les objets correspondants sur \(A_1\). D’après Compléments d’algèbre, Lemme 063Q , l’application \(K_0 \otimes_{A_0} A_1 \to K_1\) est surjective. D’autre part, le noyau de \(h : B \to B\) est nul par hypothèse. Ainsi, chaque élément de \(K_0\) s’envoie sur zéro dans \(K_1\) pour des sous-anneaux \(A_1 \subset A\) suffisamment grands. Comme \(K_0\) est de type fini, nous en concluons que \(K_1 = 0\) pour un choix approprié de \(A_1\).

Posons \(f_1 : X_1 \to S_1\) égal à \(\Spec\) de l’application d’anneaux \(A_1 \to B_1\). Posons \(D_1 = \Spec(B_1/h_1B_1)\). Puisque \(B = B_1 \otimes_{A_1} A\), c’est-à-dire \(X = X_1 \times_{S_1} S\), il suffit maintenant de prouver le lemme pour \(X_1 \to S_1\) et le diviseur de Cartier effectif relatif \(D_1\), voir Morphismes, Lemme 01U8. Ainsi, nous avons réduit au cas où \(A\) est un anneau noethérien. Dans ce cas, nous savons que le morphisme d’anneaux \(A \to B\) est plat en chaque idéal premier \(\mathfrak q\) de \(V(h)\) d’après le Lemme 062U. Combiné avec le fait que le lieu de platitude est ouvert dans ce cas, voir Algèbre, Théorème 00RC , nous concluons.

Il y a aussi le lemme suivant (dont l’idée est apparemment due à Michael Artin, voir [Nobile]) qui n’a besoin d’aucune hypothèse de finitude.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(D \subset X\) un diviseur de Cartier effectif relatif sur \(X/S\). Si \(f\) est plat en tous les points de \(X \setminus D\), alors \(f\) est plat.

Démonstration

Cela se traduit par le fait algébrique suivant: Soit \(A \to B\) un morphisme d’anneaux et \(h \in B\). Supposons que \(h\) soit un non-diviseur de zéro, que \(B/hB\) soit plat sur \(A\), et que la localisation \(B_h\) soit plate sur \(A\). Alors \(B\) est plat sur \(A\). La raison est que nous avons une suite exacte \[0 \to B \to B_h \to \colim_n (1/h^n)B/B \to 0\] et que le deuxième et le troisième termes sont plats sur \(A\), ce qui implique que \(B\) est plat sur \(A\) (voir Algèbre, Lemme 00HM). Notez qu’une colimite filtrée de modules plats est plate (voir Algèbre, Lemme 05UT) et que par induction sur \(n\) chaque \((1/h^n)B/B \cong B/h^nB\) est plat sur \(A\) puisqu’il s’insère dans la suite exacte courte \[0 \to B/h^{n - 1}B \xrightarrow{h} B/h^nB \to B/hB \to 0\] Quelques détails omis.

Exemple

Voici un exemple de diviseur de Cartier effectif relatif \(D\) où le schéma ambiant n’est pas plat dans un voisinage de \(D\). À savoir, soit \(A = k[t]\) et \[B = k[t, x, y, x^{-1}y, x^{-2}y, \ldots]/(ty, tx^{-1}y, tx^{-2}y, \ldots)\] Alors \(B\) n’est pas plat sur \(A\) mais \(B/xB \cong A\) est plat sur \(A\). De plus, \(x\) est un non-diviseur de zéro et définit donc un diviseur de Cartier effectif relatif dans \(\Spec(B)\) sur \(\Spec(A)\).

Si le schéma ambiant est plat et localement de présentation finie sur la base, alors nous pouvons caractériser un diviseur de Cartier effectif relatif en termes de ses fibres. Voir aussi Compléments sur les morphismes, Lemme 056Y pour une approche légèrement différente de ce lemme.

Lemme

Soit \(\varphi : X \to S\) un morphisme plat qui est localement de présentation finie. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. Soit \(x \in Z\) avec une image \(s \in S\).

1. Si \(Z_s \subset X_s\) est un diviseur de Cartier dans un voisinage de \(x\), alors il existe un ouvert \(U \subset X\) et un diviseur de Cartier effectif relatif \(D \subset U\) tels que \(Z \cap U \subset D\) et \(Z_s \cap U = D_s\).

2. Si \(Z_s \subset X_s\) est un diviseur de Cartier dans un voisinage de \(x\), que le morphisme \(Z \to X\) est de présentation finie, et que \(Z \to S\) est plat en \(x\), alors nous pouvons choisir \(U\) et \(D\) tels que \(Z \cap U = D\).

3. Si \(Z_s \subset X_s\) est un diviseur de Cartier dans un voisinage de \(x\) et \(Z\) est un sous-schéma fermé localement principal de \(X\) dans un voisinage de \(x\), alors nous pouvons choisir \(U\) et \(D\) tels que \(Z \cap U = D\).

En particulier, si \(Z \to S\) est localement de présentation finie et plat et que toutes les fibres \(Z_s \subset X_s\) sont des diviseurs de Cartier effectifs, alors \(Z\) est un diviseur de Cartier effectif relatif. De même, si \(Z\) est un sous-schéma fermé localement principal de \(X\) tel que toutes les fibres \(Z_s \subset X_s\) sont des diviseurs de Cartier effectifs, alors \(Z\) est un diviseur de Cartier effectif relatif.

Démonstration

Choisissons des voisinages ouverts affines \(\Spec(A)\) de \(s\) et \(\Spec(B)\) de \(x\) tels que \(\varphi(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(s\). Soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(x\). Soit \(I \subset B\) l’idéal correspondant à \(Z\). D’après l’hypothèse initiale du lemme, nous savons que \(A \to B\) est plat et de présentation finie. L’hypothèse en (1) signifie que, après avoir réduit \(\Spec(B)\), nous pouvons supposer que \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) est engendré par un seul élément qui est un diviseur de zéro dans \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\). Disons que \(f \in I\) s’envoie sur ce générateur. Nous affirmons qu’après avoir inversé un élément \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\) le sous-schéma fermé \(D = V(f) \subset \Spec(B_g)\) est un diviseur de Cartier effectif relatif.

D’après Algèbre, Lemme 02JO , nous pouvons trouver un morphisme d’anneaux de type fini plat \(A_0 \to B_0\) d’anneaux noethériens, un élément \(f_0 \in B_0\), un morphisme d’anneaux \(A_0 \to A\) et un isomorphisme \(A \otimes_{A_0} B_0 \cong B\). Si \(\mathfrak p_0 = A_0 \cap \mathfrak p\) alors nous voyons que \[B \otimes_A \kappa(\mathfrak p) = \left(B_0 \otimes_{A_0} \kappa(\mathfrak p_0)\right) \otimes_{\kappa(\mathfrak p_0))} \kappa(\mathfrak p)\] , d’où \(f_0\) est un non-diviseur de zéro dans \(B_0 \otimes_{A_0} \kappa(\mathfrak p_0)\). D’après Algèbre, Lemme 00MF , nous voyons que \(f_0\) est un non-diviseur de zéro dans \((B_0)_{\mathfrak q_0}\) où \(\mathfrak q_0 = B_0 \cap \mathfrak q\) et que \((B_0/f_0B_0)_{\mathfrak q_0}\) est plat sur \(A_0\). Donc d’après Algèbre, Lemme 061L et Théorème d’Algèbre 00RC , il existe un \(g_0 \in B_0\), \(g_0 \not \in \mathfrak q_0\) tel que \(f_0\) est un non-diviseur de zéro dans \((B_0)_{g_0}\) et tel que \((B_0/f_0B_0)_{g_0}\) est plat sur \(A_0\). Par conséquent, nous voyons que \(D_0 = V(f_0) \subset \Spec((B_0)_{g_0})\) est un diviseur de Cartier effectif relatif. Puisque nous savons que cette propriété est préservée par changement de base, voir le Lemme 056Q, nous obtenons l’affirmation mentionnée ci-dessus avec \(g\) égal à l’image de \(g_0\) dans \(B\).

À ce stade, nous avons démontré (1). Pour voir (2), considérons l’immersion fermée \(Z \to D\). L’application d’anneaux surjective \(u : \mathcal{O}_{D, x} \to \mathcal{O}_{Z, x}\) est une application d’algèbres locales plates sur \(\mathcal{O}_{S, s}\), essentiellement de présentation finie, et qui devient un isomorphisme après division par \(\mathfrak m_s\). Par conséquent, c’est un isomorphisme, voir Algèbre, Lemme 046Y. Il s’ensuit que \(Z \to D\) est un isomorphisme dans un voisinage de \(x\), voir Algèbre, Lemme 00QR. Pour voir (3), après avoir éventuellement rétréci \(U\) , nous pouvons supposer que l’idéal de \(D\) est engendré par un seul non-diviseur de zéro \(f\) et que l’idéal de \(Z\) est engendré par un élément \(g\). Alors \(f = gh\). Mais \(g|_{U_s}\) et \(f|_{U_s}\) définissent le même diviseur de Cartier effectif dans un voisinage de \(x\). Par conséquent, \(h|_{X_s}\) est une unité dans \(\mathcal{O}_{X_s, x}\), donc \(h\) est une unité dans \(\mathcal{O}_{X, x}\) et donc \(h\) est une unité dans un voisinage ouvert de \(x\). C.-à-d., \(Z \cap U = D\) après avoir rétréci \(U\).

Les affirmations finales du lemme suivent immédiatement des parties (2) et (3), combinées avec le fait que \(Z \to S\) est localement de présentation finie si et seulement si \(Z \to X\) est de présentation finie, voir Morphismes, Lemme 01TR et 02FV.

Le cône normal d’une immersion

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant. Considérons le faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_X\) donné par \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\). Comme les faisceaux \(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) sont tous annulés par \(\mathcal{I}\), cette algèbre graduée correspond à un faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_Z\) par Morphismes, Lemme 01QY. Ce faisceau d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_Z\) est appelé l’algèbre conormale de \(Z\) dans \(X\) et est souvent simplement noté \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) par l’abus de notation mentionné dans Morphismes, section 01QX.

Soit \(f : Z \to X\) une immersion. Nous définissons l’algèbre conormale de \(f\) comme l’algèbre conormale de l’immersion fermée \(i : Z \to X \setminus \partial Z\), où \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\). Elle est souvent notée \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) où \(\mathcal{I}\) est le faisceau d’idéaux de l’immersion fermée \(i : Z \to X \setminus \partial Z\).

Définition

Soit \(f : Z \to X\) une immersion. L’algèbre conormale \(\mathcal{C}_{Z/X, *}\) de \(Z\) dans \(X\), ou l’algèbre conormale de \(f\), est le faisceau quasi-cohérent d’algèbres graduées sur \(\mathcal{O}_Z\) donné par \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) et décrit ci-dessus.

Ainsi, \(\mathcal{C}_{Z/X, 1} = \mathcal{C}_{Z/X}\) est le faisceau conormal de l’immersion. De plus, \(\mathcal{C}_{Z/X, 0} = \mathcal{O}_Z\) et \(\mathcal{C}_{Z/X, n}\) est un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent caractérisé par la propriété [0631]\[\begin{equation} i_*\mathcal{C}_{Z/X, n} = \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \end{equation}\] où \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) et \(\mathcal{I}\) est le faisceau d’idéaux de \(i\) comme ci-dessus. Enfin, noter qu’il existe un morphisme surjectif canonique [0632]\[\begin{equation} \text{Sym}^*(\mathcal{C}_{Z/X}) \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *} \end{equation}\] d’algèbres \(\mathcal{O}_Z\) graduées quasi-cohérentes qui est un isomorphisme dans les degrés \(0\) et \(1\).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion. L’algèbre conormale de \(i\) possède les propriétés suivantes:

1. Soit \(U \subset X\) un ouvert quelconque tel que \(i(Z)\) est un sous-ensemble fermé de \(U\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau d’idéaux correspondant au sous-schéma fermé \(i(Z) \subset U\). Alors \[\mathcal{C}_{Z/X, *} = i^*\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\right) = i^{-1}\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \right)\]

2. Pour tout ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\) tel que \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) il existe un isomorphisme canonique \(\Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X, *}) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\).

Démonstration

Cela découle essentiellement des définitions. Notons que, pour un anneau \(R\) et un idéal \(I\) de \(R\), nous avons \(I^n/I^{n + 1} = I^n \otimes_R R/I\). Détails omis.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] soit un diagramme commutatif dans la catégorie des schémas. Supposons \(i\), \(i'\) immersions. Il existe un morphisme canonique d’algèbres \(\mathcal{O}_Z\) graduées \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *}\] caractérisé par la propriété suivante: Pour chaque paire d’ouverts affines \((\Spec(R) = U \subset X, \Spec(R') = U' \subset X')\) avec \(g(U) \subset U'\) tels que \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) et \(Z' \cap U' = \Spec(R'/I')\) la flèche induite \[\Gamma(Z' \cap U', \mathcal{C}_{Z'/X', *}) = \bigoplus\nolimits (I')^n/(I')^{n + 1} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1} = \Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X, *})\] est celle induite par le morphisme d’anneaux \(f^\sharp : R' \to R\) qui a la propriété \(f^\sharp(I') \subset I\).

Démonstration

Soient \(\partial Z' = \overline{Z'} \setminus Z'\) et \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\). Ce sont des sous-ensembles fermés de \(X'\) et de \(X\). En remplaçant \(X'\) par \(X' \setminus \partial Z'\) et \(X\) par \(X \setminus \big(g^{-1}(\partial Z') \cup \partial Z\big)\) , nous voyons que nous pouvons supposer que \(i\) et \(i'\) sont des immersions fermées.

Le fait que \(g \circ i\) se factorise par \(i'\) implique que \(g^*\mathcal{I}'\) s’envoie dans \(\mathcal{I}\) par l’application canonique \(g^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_X\), voir Schémas, Lemmes 01HP et 01HQ. Par conséquent, nous obtenons une application induite de faisceaux quasi-cohérents \(g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\). L’image réciproque par \(i\) donne \(i^*g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to i^*(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1})\). Notons que \(i^*(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}) = \mathcal{C}_{Z/X, n}\). D’autre part, \(i^*g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) = f^*(i')^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) = f^*\mathcal{C}_{Z'/X', n}\). Cela donne l’application désirée.

Vérifier que l’application est localement décrite comme l’application donnée \((I')^n/(I')^{n + 1} \to I^n/I^{n + 1}\) est une question de déroulement des définitions et est omis. Une autre observation est que pour tout \(x \in i(Z)\) donné, il existe effectivement des voisinages ouverts affines \(U\), \(U'\) avec \(f(U) \subset U'\) et \(Z \cap U\) ainsi que \(U' \cap Z'\) fermés tels que \(x \in U\). Preuve omise. Par conséquent, l’exigence du lemme caractérise effectivement l’application (et aurait pu être utilisée pour la définir).

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] soit un diagramme de produits fibrés dans la catégorie des schémas avec \(i\), \(i'\) immersions. Alors l’application canonique \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \to \mathcal{C}_{Z/X, *}\) du Lemme 0634 est surjective. Si \(g\) est plat, alors c’est un isomorphisme.

Démonstration

Soit \(R' \to R\) un morphisme d’anneaux, et \(I' \subset R'\) un idéal. Posons \(I = I'R\). Alors \((I')^n/(I')^{n + 1} \otimes_{R'} R \to I^n/I^{n + 1}\) est surjective. Si \(R' \to R\) est plat, alors \(I^n = (I')^n \otimes_{R'} R\) et nous voyons que l’application est un isomorphisme.

Définition

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Le cône normal \(C_ZX\) de \(Z\) dans \(X\) est \[C_ZX = \underline{\Spec}_Z(\mathcal{C}_{Z/X, *})\] voir Constructions, Définitions 062Q et 062R. Le fibré normal de \(Z\) dans \(X\) est le fibré vectoriel \[N_ZX = \underline{\Spec}_Z(\text{Sym}(\mathcal{C}_{Z/X}))\] voir Constructions, Définitions 01M2 et 062M.

Ainsi, \(C_ZX \to Z\) est un cône sur \(Z\) et \(N_ZX \to Z\) est un fibré vectoriel sur \(Z\) (rappelons que dans notre terminologie, cela n’implique pas que le faisceau conormal soit un faisceau localement libre de type fini). De plus, la surjection canonique (0632) des algèbres graduées définit une immersion fermée canonique [0637]\[\begin{equation} C_ZX \longrightarrow N_ZX \end{equation}\] des cônes sur \(Z\).

Faisceaux d’idéaux réguliers

Dans cette section, nous généralisons la notion de diviseur de Cartier effectif à des codimensions supérieures. Rappelons qu’une suite d’éléments \(f_1, \ldots, f_r\) d’un anneau \(R\) est une suite régulière si pour chaque \(i = 1, \ldots, r\) l’élément \(f_i\) est un non-diviseur de zéro dans \(R/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\) et \(R/(f_1, \ldots, f_r) \not = 0\), voir Algèbre, Définition 00LF. Il existe trois conditions plus faibles et étroitement liées que nous pouvons imposer. La première consiste à supposer que \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite Koszul-régulière, c’est-à-dire que \(H_i(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)) = 0\) pour \(i > 0\), voir Compléments d’algèbre, Définition 062E. La suite est appelée une suite \(H_1\)-régulière si \(H_1(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)) = 0\). Une autre condition que nous pouvons imposer est qu’avec \(J = (f_1, \ldots, f_r)\), l’application \[R/J[T_1, \ldots, T_r] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} J^n/J^{n + 1}\] qui associe \(T_i\) à \(f_i \bmod J^2\) est un isomorphisme. Dans ce cas, nous disons que \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite quasi-régulière, voir Algèbre, Définition 061P. Étant donné un \(R\)-module \(M\) , il existe également une notion de \(M\)-séquence régulière et de \(M\)-séquence quasi-régulière.

Nous pouvons généraliser cela au cas des espaces annelés comme suit. Soit \(X\) un espace annelé et soit \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Nous disons que \(f_1, \ldots, f_r\) est une séquence régulière si pour chaque \(i = 1, \ldots, r\) , l’application [0639]\[\begin{equation} f_i : \mathcal{O}_X/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \longrightarrow \mathcal{O}_X/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \end{equation}\] est une application injective de faisceaux. Nous disons que \(f_1, \ldots, f_r\) est une séquence Koszul-régulière si le complexe de Koszul [063A]\[\begin{equation} K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_\bullet), \end{equation}\] voir Modules, Définition 062L, est acyclique dans les degrés \(> 0\). Nous disons que \(f_1, \ldots, f_r\) est une séquence \(H_1\)-régulière si le complexe de Koszul \(K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_\bullet)\) est exact dans le degré \(1\). Enfin, nous disons que \(f_1, \ldots, f_r\) est une séquence quasi-régulière si l’application [063B]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X/\mathcal{J}[T_1, \ldots, T_r] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{J}^d/\mathcal{J}^{d + 1} \end{equation}\] est un isomorphisme de faisceaux où \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) est le faisceau d’idéaux engendré par \(f_1, \ldots, f_r\). (Il existe également une notion de séquence \(\mathcal{F}\)-régulière et \(\mathcal{F}\)-quasi-régulière pour un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) donné que nous introduirons ici si nous en avons besoin.)

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Nous avons les implications suivantes \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite Koszul-régulière \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite \(H_1\)-régulière \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite quasi-régulière.

Démonstration

Puisque nous pouvons vérifier l’exactitude sur les fibres, une suite \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière si et seulement si les applications \[f_i : \mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\] sont injectives pour tout \(x \in X\). Les autres types de régularité peuvent également être vérifiés fibre par fibre (détails omis). Par conséquent, les implications découlent de Compléments d’algèbre, Lemme 062F, 0CEM, et 062I.

Définition

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux.

1. On dit que \(\mathcal{J}\) est régulier si pour chaque \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) il existe un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) et une suite régulière \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) telle que \(\mathcal{J}|_U\) est engendré par \(f_1, \ldots, f_r\).

2. On dit que \(\mathcal{J}\) est Koszul-régulier si pour chaque \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) il existe un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) et une suite Koszul-régulière \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) telle que \(\mathcal{J}|_U\) est engendré par \(f_1, \ldots, f_r\).

3. On dit que \(\mathcal{J}\) est \(H_1\)-régulier si pour chaque \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) il existe un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) et une suite \(H_1\)-régulière \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) telle que \(\mathcal{J}|_U\) est engendré par \(f_1, \ldots, f_r\).

4. Nous disons que \(\mathcal{J}\) est quasi-régulier si pour chaque \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) il existe un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) et une suite quasi-régulière \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) telle que \(\mathcal{J}|_U\) est engendré par \(f_1, \ldots, f_r\).

De nombreuses propriétés de cette notion découlent immédiatement des notions correspondantes pour les suites régulières et quasi-régulières dans les anneaux.

Lemme

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{J}\) un faisceau d’idéaux. Nous avons les implications suivantes: \(\mathcal{J}\) est régulier \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\) est Koszul-régulier \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\) est \(H_1\)-régulier \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\) est quasi-régulier.

Démonstration

Le lemme se réduit immédiatement au Lemme 063C.

Lemme

Soit \(X\) un espace localement annelé. Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux. Alors \(\mathcal{J}\) est quasi-régulier si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites:

1. \(\mathcal{J}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini,

2. \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) est un \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\)-module localement libre de type fini, et

3. les applications canoniques \[\text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X/\mathcal{J}}(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \longrightarrow \mathcal{J}^n/\mathcal{J}^{n + 1}\] sont des isomorphismes pour tout \(n \geq 0\).

Démonstration

Il est clair que si \(U \subset X\) est un ouvert tel que \(\mathcal{J}|_U\) soit engendré par une suite quasi-régulière \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) alors \(\mathcal{J}|_U\) est de type fini, \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\) est libre avec pour base \(f_1, \ldots, f_r\), et les applications de (3) sont des isomorphismes car elles sont une formulation indépendante des coordonnées de la partie de degré \(n\) de (063B). Il en découle qu’il est clair qu’être quasi-régulier implique les conditions (1), (2) et (3).

Inversement, supposons que (1), (2) et (3) soient vérifiés. Choisissons un point \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\). Il existe alors un voisinage \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\) soit libre de rang \(r\) sur \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\). Après avoir éventuellement restreint \(U\) , nous pouvons supposer qu’il existe \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\) qui s’envoient sur une base de \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\) comme \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\)-module. En particulier, nous voyons que les images de \(f_1, \ldots, f_r\) dans \(\mathcal{J}_x/\mathcal{J}^2_x\) engendrent. Par conséquent, d’après le lemme de Nakayama (Algèbre, Lemme 00DV), nous voyons que \(f_1, \ldots, f_r\) engendrent la fibre \(\mathcal{J}_x\). Ainsi, puisque \(\mathcal{J}\) est de type fini, d’après Modules, Lemme 01B8 , après avoir restreint \(U\) , nous pouvons supposer que \(f_1, \ldots, f_r\) engendrent \(\mathcal{J}\). Enfin, à partir de (3) et de l’isomorphisme \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U = \bigoplus \mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U f_i\) , il est clair que \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) est une suite quasi-régulière.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace localement annelé. Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau d’idéaux. Soient \(x \in X\) et \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}_x\) dont les images fournissent une base de l’espace vectoriel \(\kappa(x)\) \(\mathcal{J}_x/\mathfrak m_x\mathcal{J}_x\).

1. Si \(\mathcal{J}\) est quasi-régulier, alors il existe un voisinage ouvert tel que \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) forme une suite quasi-régulière générant \(\mathcal{J}|_U\).

2. Si \(\mathcal{J}\) est \(H_1\)-régulier, alors il existe un voisinage ouvert tel que \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) forme une suite \(H_1\)-régulière générant \(\mathcal{J}|_U\).

3. Si \(\mathcal{J}\) est Koszul-régulier, alors il existe un voisinage ouvert tel que \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) forme une suite Koszul-régulière générant \(\mathcal{J}|_U\).

Démonstration

Tout d’abord, supposons que \(\mathcal{J}\) est quasi-régulier. Nous pouvons choisir un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) et une suite quasi-régulière \(g_1, \ldots, g_s \in \mathcal{O}_X(U)\) qui engendre \(\mathcal{J}|_U\). Notons que cela implique que \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) est libre de rang \(s\) sur \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\) (voir le Lemme 063H et sa démonstration) et donc \(r = s\). Nous pouvons réduire \(U\) et supposer \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\). Ainsi nous pouvons écrire \[f_i = \sum a_{ij} g_j\] pour certains \(a_{ij} \in \mathcal{O}_X(U)\). Par hypothèse, la matrice \(A = (a_{ij})\) s’envoie sur une matrice inversible sur \(\kappa(x)\). Par conséquent, après avoir encore réduit \(U\) , nous pouvons supposer que \((a_{ij})\) est inversible. Ainsi nous voyons que \(f_1, \ldots, f_r\) donnent une base pour \((\mathcal{J}/\mathcal{J}^2)|_U\) ce qui prouve que \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite quasi-régulière sur \(U\).

Notons que pour prouver (2) et (3), nous pouvons, puisque les hypothèses de (2) et (3) sont plus fortes que l’hypothèse de (1), déjà supposer que \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\) et \(f_i = \sum a_{ij}g_j\) avec \((a_{ij})\) inversible comme ci-dessus, où maintenant \(g_1, \ldots, g_r\) est une suite \(H_1\)-régulière ou Koszul-régulière. Puisque le complexe de Koszul sur \(f_1, \ldots, f_r\) est isomorphe au complexe de Koszul sur \(g_1, \ldots, g_r\) via la matrice \((a_{ij})\) (voir Compléments d’algèbre, Lemme 0625), nous concluons que \(f_1, \ldots, f_r\) est \(H_1\)-régulier ou Koszul-régulier comme souhaité.

Lemme

Tout faisceau d’idéaux régulier, Koszul-régulier, \(H_1\)-régulier ou quasi-régulier sur un schéma est un faisceau d’idéaux quasi-cohérent de type fini.

Démonstration

Cela découle du fait qu’un tel faisceau d’idéaux est localement engendré par un nombre fini de sections. Et tout faisceau d’idéaux localement engendré par des sections sur un schéma est quasi-cohérent, voir Schémas, Lemme 01IN.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{J}\) un faisceau d’idéaux. Alors \(\mathcal{J}\) est régulier (resp.  Koszul-régulier, \(H_1\)-régulier, quasi-régulier) si et seulement si pour chaque \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) il existe un voisinage affine ouvert \(x \in U \subset X\), \(U = \Spec(A)\) tel que \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) et tel que \(I\) soit engendré par une suite régulière (resp.  Koszul-régulière, \(H_1\)-régulière, quasi-régulière) \(f_1, \ldots, f_r \in A\).

Démonstration

Par hypothèse, nous pouvons trouver un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) au-dessus duquel \(\mathcal{J}\) est engendré par une suite régulière (resp.  Koszul-régulière, \(H_1\)-régulière, quasi-régulière) \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\). Après avoir restreint \(U\) , nous pouvons supposer que \(U\) est affine, disons \(U = \Spec(A)\). Puisque \(\mathcal{J}\) est quasi-cohérent d’après le Lemme 063F , nous voyons que \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) pour un certain idéal \(I \subset A\). Nous pouvons maintenant utiliser le fait que \[\widetilde{\ } : \text{Mod}_A \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_U)\] est une équivalence de catégories qui préserve l’exactitude. Par exemple, le fait que les fonctions \(f_i\) génèrent \(\mathcal{J}\) signifie que les \(f_i\), vus comme des éléments de \(A\) , génèrent \(I\). Le fait que (0639) soit injectif (resp.  (063A) soit exact, (063A) soit exact en degré \(1\), (063B) soit un isomorphisme) implique la propriété correspondante de l’application \(A/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \to A/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\) (resp.  le complexe \(K_\bullet(A, f_1, \ldots, f_r)\), l’application \(A/I[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus I^n/I^{n + 1}\)). Ainsi, \(f_1, \ldots, f_r \in A\) est une suite régulière (resp.  Koszul-régulière, \(H_1\)-régulière, quasi-régulière) de l’anneau \(A\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux. Soit \(x\) un point du support de \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\). Les assertions suivantes sont équivalentes

1. \(\mathcal{J}_x\) est généré par une suite régulière dans \(\mathcal{O}_{X, x}\),

2. \(\mathcal{J}_x\) est généré par une suite Koszul-régulière dans \(\mathcal{O}_{X, x}\),

3. \(\mathcal{J}_x\) est généré par une suite \(H_1\)-régulière dans \(\mathcal{O}_{X, x}\),

4. \(\mathcal{J}_x\) est généré par une suite quasi-régulière dans \(\mathcal{O}_{X, x}\),

5. il existe un voisinage affine \(U = \Spec(A)\) de \(x\) tel que \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) et \(I\) sont générés par une suite régulière dans \(A\), et

6. il existe un voisinage affine \(U = \Spec(A)\) de \(x\) tel que \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) et \(I\) sont générés par une suite Koszul-régulière dans \(A\), et

7. il existe un voisinage affine \(U = \Spec(A)\) de \(x\) tel que \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) et \(I\) sont générés par une suite \(H_1\)-régulière dans \(A\), et

8. il existe un voisinage affine \(U = \Spec(A)\) de \(x\) tel que \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) et \(I\) soit généré par une suite quasi-régulière dans \(A\),

9. il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que \(\mathcal{J}|_U\) soit régulier, et

10. il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que \(\mathcal{J}|_U\) soit Koszul-régulier, et

11. il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que \(\mathcal{J}|_U\) soit \(H_1\)-régulier, et

12. il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que \(\mathcal{J}|_U\) soit quasi-régulier.

En particulier, sur un schéma localement noethérien, les notions de faisceau d’idéaux régulier, Koszul-régulier, \(H_1\)-régulier, ou quasi-régulier coïncident toutes.

Démonstration

Il résulte du Lemme 063G que (5) \(\Leftrightarrow\) (9), (6) \(\Leftrightarrow\) (10), (7) \(\Leftrightarrow\) (11), et (8) \(\Leftrightarrow\) (12). Il est clair que (5) \(\Rightarrow\) (1), (6) \(\Rightarrow\) (2), (7) \(\Rightarrow\) (3), et (8) \(\Rightarrow\) (4). Nous avons (1) \(\Rightarrow\) (5) par Algèbre, Lemme 061L. Nous avons (9) \(\Rightarrow\) (10) \(\Rightarrow\) (11) \(\Rightarrow\) (12) par le Lemme 063E. Enfin, (4) \(\Rightarrow\) (1) par Algèbre, Lemme 061S. Maintenant, tous les 12 énoncés sont équivalents.

Immersions régulières

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Par définition, cela signifie qu’il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(Z\) soit identifié à un sous-schéma fermé de \(U\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant. Supposons que \(U' \subset X\) soit un second sous-schéma ouvert de ce type, et notons \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{U'}\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant. Alors \(\mathcal{I}|_{U \cap U'} = \mathcal{I}'|_{U \cap U'}\). De plus, le support de \(\mathcal{O}_U/\mathcal{I}\) est \(Z\) qui est contenu dans \(U \cap U'\) et est également le support de \(\mathcal{O}_{U'}/\mathcal{I}'\). Il s’ensuit donc d’après la Définition 063D que \(\mathcal{I}\) est un idéal régulier si et seulement si \(\mathcal{I}'\) est un idéal régulier. De même pour être Koszul-régulier, \(H_1\)-régulier, ou quasi-régulier.

Définition

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Choisissons un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(i\) identifie \(Z\) avec un sous-schéma fermé de \(U\) et désignons par \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant.

1. Nous disons que \(i\) est une immersion régulière si \(\mathcal{I}\) est régulière.

2. Nous disons que \(i\) est une immersion Koszul-régulière si \(\mathcal{I}\) est Koszul-régulière.

3. Nous disons que \(i\) est une immersion \(H_1\)-régulière si \(\mathcal{I}\) est \(H_1\)-régulière.

4. Nous disons que \(i\) est une immersion quasi-régulière si \(\mathcal{I}\) est quasi-régulière.

La discussion ci-dessus montre que cela est indépendant du choix de \(U\). Les conditions sont énumérées dans l’ordre décroissant de force, voir le Lemme 063K. Une immersion fermée de Koszul-régulière est lisse localement une immersion régulière, voir le Lemme 0692. Dans le cas localement noethérien, les quatre notions coïncident, voir le Lemme 063I.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Nous avons les implications suivantes: \(i\) est régulière \(\Rightarrow\) \(i\) est Koszul-régulière \(\Rightarrow\) \(i\) est \(H_1\)-régulière \(\Rightarrow\) \(i\) est quasi-régulière.

Démonstration

Le lemme se réduit immédiatement au Lemme 063E.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Supposons que \(X\) soit localement noethérien. Alors \(i\) est régulier \(\Leftrightarrow\) \(i\) est de Koszul-régulier \(\Leftrightarrow\) \(i\) est \(H_1\)-régulier \(\Leftrightarrow\) \(i\) est quasi-régulier.

Démonstration

Suit immédiatement du Lemme 063K et du Lemme 063I.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion régulière (resp.  de Koszul-régularité, \(H_1\)-régulière, quasi-régulière). Soit \(X' \to X\) un morphisme plat. Alors le changement de base \(i' : Z \times_X X' \to X'\) est une immersion régulière (resp.  de Koszul-régularité, \(H_1\)-régulière, quasi-régulière).

Démonstration

Via le Lemme 063G cela se traduit en les énoncés algébriques dans Algèbre, Lemmes 00LM et 065L et Compléments d’algèbre, Lemme 062H.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion de schémas. Alors \(i\) est une immersion quasi-régulière si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites

1. \(i\) est localement de présentation finie,

2. le faisceau conormal \(\mathcal{C}_{Z/X}\) est localement libre de type fini, et

3. l’application (0632) est un isomorphisme.

Démonstration

Une immersion ouverte est localement de présentation finie. Par conséquent, nous pouvons remplacer \(X\) par un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(i\) identifie \(Z\) avec un sous-schéma fermé de \(U\), c’est-à-dire que nous pouvons supposer que \(i\) est une immersion fermée. Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux quasi-cohérents correspondant. Rappelons, voir Morphismes, Lemme 01TV , que \(\mathcal{I}\) est de type fini si et seulement si \(i\) est localement de présentation finie. Par conséquent, l’équivalence découle du Lemme 063H et du dépliement des définitions.

Lemme

Soient \(Z \to Y \to X\) des immersions de schémas. Supposons que \(Z \to Y\) est \(H_1\)-régulier. Alors la suite canonique de Morphismes, Lemme 062S \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] est exacte et localement scindée.

Démonstration

Puisque \(\mathcal{C}_{Z/Y}\) est localement libre de type fini (voir le Lemme 063M et le Lemme 063E), il suffit de prouver que la suite est exacte. D’après ce qui a été prouvé dans Morphismes, Lemme 062S , il suffit de montrer que la première application est injective. En travaillant localement de manière affine, cela se réduit à la question suivante: Supposons que nous ayons un anneau \(A\) et des idéaux \(I \subset J \subset A\). Supposons que \(J/I \subset A/I\) soit engendré par une suite \(H_1\)-régulière. Cela implique-t-il que \(I/I^2 \otimes_A A/J \to J/J^2\) est injective? Notons que \(I/I^2 \otimes_A A/J = I/IJ\). Par conséquent, nous essayons de prouver que \(I \cap J^2 = IJ\). Ceci est le résultat de Compléments d’algèbre, Lemme 0666.

Une composition d’immersions presque régulières peut ne pas être presque régulière, voir Algèbre, Remarque 065M. Les autres types d’immersions régulières sont préservés par composition.

Lemme

Soient \(i : Z \to Y\) et \(j : Y \to X\) des immersions de schémas.

1. Si \(i\) et \(j\) sont des immersions régulières, il en est de même pour \(j \circ i\).

2. Si \(i\) et \(j\) sont des immersions Koszul-régulières, il en est de même pour \(j \circ i\).

3. Si \(i\) et \(j\) sont des immersions \(H_1\)-régulières, il en est de même pour \(j \circ i\).

4. Si \(i\) est une immersion \(H_1\)-régulière et \(j\) est une immersion quasi-régulière, alors \(j \circ i\) est une immersion quasi-régulière.

Démonstration

La version algébrique de (1) est Algèbre, Lemme 065K. La version algébrique de (2) est Compléments d’algèbre, Lemme 0669. La version algébrique de (3) est Compléments d’algèbre, Lemme 0668. La version algébrique de (4) est Compléments d’algèbre, Lemme 0667.

Lemme

Soient \(i : Z \to Y\) et \(j : Y \to X\) des immersions de schémas. Supposons que \(j\) soit localement de présentation finie et que la séquence \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] des morphismes, le Lemme 062S est exact et localement scindé.

1. Si \(j \circ i\) est une immersion quasi-régulière, il en est de même pour \(i\).

2. Si \(j \circ i\) est une immersion \(H_1\)-régulière, il en est de même pour \(i\).

3. Si \(j\) et \(j \circ i\) sont toutes deux des immersions de Koszul-régulières, il en est de même pour \(i\).

Démonstration

Après avoir restreint \(Y\) et \(X\) , nous pouvons supposer que \(i\) et \(j\) sont des immersions fermées. Notons \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux de \(Y\) et \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux de \(Z\). La suite conormale est \(0 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}\mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{J}/(\mathcal{I} + \mathcal{J}^2) \to 0\). Soient \(z \in Z\) et posons \(y = i(z)\), \(x = j(y) = j(i(z))\). Choisissons \(f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{I}_x\) qui s’envoient sur une base de \(\mathcal{I}_x/\mathfrak m_z\mathcal{I}_x\). Étendons cette famille à \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m \in \mathcal{J}_x\) qui s’envoient sur une base de \(\mathcal{J}_x/\mathfrak m_z\mathcal{J}_x\). Cela est possible car nous avons supposé que la suite des faisceaux conormaux est scindée dans un voisinage de \(z\), donc \(\mathcal{I}_x/\mathfrak m_x\mathcal{I}_x \to \mathcal{J}_x/\mathfrak m_x\mathcal{J}_x\) est injective.

Preuve de (1). D’après le Lemme 067N , nous pouvons trouver un voisinage affine ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) forme une suite quasi-régulière générant \(\mathcal{J}\). Puisque \(i\) est localement de présentation finie, nous pouvons en outre supposer que \(\mathcal{I}\) est engendré par \(f_1, \ldots, f_n\) (utiliser Morphismes, Lemme 01TV, le lemme de Nakayama, et Modules, Lemme 01B8). Ainsi, d’après Algèbre, Lemme 061R , nous voyons que \(g_1, \ldots, g_m\) induit une suite quasi-régulière sur \(Y \cap U\) définissant \(Z\).

Preuve de (2). Exactement la même que la preuve de (1), en utilisant toutefois Compléments d’algèbre, Lemme 068L.

Preuve de (3). D’après le Lemme 067N (appliqué deux fois), nous pouvons trouver un voisinage affine ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(f_1, \ldots, f_n\) forme une suite Koszul-régulière générant \(\mathcal{I}\) et \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) forme une suite Koszul-régulière générant \(\mathcal{J}\). Par conséquent, d’après Compléments d’algèbre, Lemme 068M , nous voyons que \(g_1, \ldots, g_m\) induit une suite Koszul-régulière sur \(Y \cap U\) coupant \(Z\).

Lemme

Soient \(i : Z \to Y\) et \(j : Y \to X\) des immersions de schémas. Choisissons \(z \in Z\) et désignons par \(y \in Y\), \(x \in X\) les points correspondants. Supposons que \(X\) soit localement noethérien. Les conditions suivantes sont équivalentes

1. \(i\) est une immersion régulière dans un voisinage de \(z\) et \(j\) est une immersion régulière dans un voisinage de \(y\).

2. \(i\) et \(j \circ i\) sont des immersions régulières dans un voisinage de \(z\),

3. \(j \circ i\) est une immersion régulière dans un voisinage de \(z\) et la suite conormale \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] est exacte scindée dans un voisinage de \(z\).

Démonstration

Puisque \(X\) (et donc \(Y\)) est localement noethérien, les 4 types d’immersions régulières coïncident, et de plus, nous pouvons vérifier si un morphisme est une immersion régulière au niveau des anneaux locaux, voir le Lemme 063I. L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est le Lemme 067Q. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est le Lemme 063N. Ainsi, il suffit de prouver que (3) implique (1).

Supposons (3). Posons \(A = \mathcal{O}_{X, x}\). Désignons par \(I \subset A\) le noyau de l’application surjective \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) et par \(J \subset A\) le noyau de l’application surjective \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Z, z}\). Notons que toute suite minimale d’éléments générant \(J\) dans \(A\) est une suite quasi-régulière donc régulière, voir le Lemme 067N. Par hypothèse, la suite conormale \[0 \to I/IJ \to J/J^2 \to J/(I + J^2) \to 0\] est exactement scindé en une suite de \(A/J\)-modules. Par conséquent, nous pouvons choisir un système minimal de générateurs \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) de \(J\) avec \(f_1, \ldots, f_n \in I\) un système minimal de générateurs de \(I\). Comme indiqué ci-dessus, \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) est une suite régulière dans \(A\). Il ressort directement de la définition d’une suite régulière que \(f_1, \ldots, f_n\) est une suite régulière dans \(A\) et \(\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_m\) est une suite régulière dans \(A/I\). Ainsi, \(j\) est une immersion régulière en \(y\) et \(i\) est une immersion régulière en \(z\).

Remarque

Dans la situation du Lemme 0690 , les parties (1), (2), (3) sont non équivalentes à « \(j \circ i\) et \(j\) sont des immersions régulières en \(z\) et \(y\) ». Un exemple est \(X = \mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\), \(Y = \Spec(k[x]/(x^2))\) et \(Z = \Spec(k[x]/(x))\).

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée koszul-régulière. Alors il existe un morphisme lisse surjectif \(X' \to X\) tel que le changement de base \(i' : Z \times_X X' \to X'\) de \(i\) soit une immersion régulière.

Démonstration

Nous pouvons supposer que \(X\) est affine et que l’idéal de \(Z\) est engendré par une suite koszul-régulière en remplaçant \(X\) par les éléments d’un recouvrement ouvert affine approprié (ouverts affines comme dans le Lemme 063G). Le cas affine est Développement sur Algèbre, Lemme 068Q.

Lemme

Soit \(i : Z \to X\) une immersion. Si \(Z\) et \(X\) sont des schémas réguliers, alors \(i\) est une immersion régulière.

Démonstration

Soit \(z \in Z\). D’après le Lemme 063I , il suffit de montrer que le noyau de \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{Z, z}\) est engendré par une suite régulière. Cela découle des lemmes d’Algèbre 00NR et 00NQ.

Immersions régulières relatives

Dans cette section, nous considérons la propriété de changement de base pour les immersions régulières. Le lemme suivant ne vaut pas pour les immersions régulières ni pour les immersions Koszul-régulières, voir Exemples, Lemme 0641.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(i : Z \subset X\) une immersion. Supposons

1. \(i\) est un \(H_1\)-régulier (resp. immersion quasi-régulière, et

2. \(Z \to S\) est un morphisme plat.

Alors, pour tout morphisme de schémas \(g : S' \to S\) , le changement de base \(Z' = S' \times_S Z \to X' = S' \times_S X\) est une immersion \(H_1\)-régulière (resp. quasi-régulière)  .

Démonstration

En déroulant les définitions et en utilisant le Lemme 063G , cela se traduit par Compléments d’algèbre, Lemme 0CEP.

Ce lemme est la motivation pour la définition suivante.

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(i : Z \to X\) une immersion.

1. On dit que \(i\) est une immersion quasi-régulière relative si \(Z \to S\) est plate et \(i\) est une immersion quasi-régulière.

2. On dit que \(i\) est une immersion \(H_1\)-régulière relative si \(Z \to S\) est plate et \(i\) est une immersion \(H_1\)-régulière.

Nous avertissons le lecteur que cela peut être une notation non standard. Le lemme 063R garantit que les immersions quasi-régulières relatives (resp.  \(H_1\)-régulières) sont préservées sous tout changement de base. Une immersion relative \(H_1\)-régulière est une immersion quasi-régulière relative, voir le lemme 063K. Voir le lemme 063V (ou le lemme 063U) qui montre que si \(Z \to X\) est une immersion relative \(H_1\)-régulière (ou quasi-régulière) et que le schéma ambiant est (plat et) localement de présentation finie sur \(S\), alors \(Z \to X\) est en fait une immersion régulière et il en reste de même après tout changement de base.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Z \to X\) une immersion quasi-régulière relative. Si \(x \in Z\) et \(\mathcal{O}_{X, x}\) sont noethériens, alors \(f\) est plat en \(x\).

Démonstration

Soit \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_{X, x}\) une suite quasi-régulière définissant l’idéal de \(Z\) en \(x\). D’après le Lemme d’Algèbre 061S , nous savons que \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière. Par conséquent, \(f_r\) est un élément non-diviseur de zéro dans \(\mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) tel que le quotient est un \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-module plat. D’après le Lemme 062U , nous en concluons que \(\mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) est un \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-module plat. En continuant par induction, nous trouvons que \(\mathcal{O}_{X, x}\) est un \(\mathcal{O}_{S, s}\)-module plat.

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Z \to X\) une immersion. Supposons

1. que \(X \to S\) est plat et localement de présentation finie,

2. que \(Z \to X\) est une immersion quasi-régulière relative.

Alors \(Z \to X\) est une immersion régulière et la même chose reste vraie après tout changement de base.

Démonstration

Choisissons \(x \in Z\) avec l’image \(s \in S\). Pour le prouver, il suffit de trouver un voisinage affine de \(x\) contenu dans \(U\) tel que le résultat soit valide sur cet ouvert affine. Ainsi, nous pouvons supposer que \(X\) est affine et qu’il existe une suite quasi-régulière \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) telle que \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\). D’après Compléments d’algèbre, Lemme 0CEP , la suite \(f_1|_{X_s}, \ldots, f_r|_{X_s}\) est une suite quasi-régulière dans \(\Gamma(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\). Comme \(X_s\) est noethérien, cela implique, éventuellement après avoir légèrement réduit \(X\) , que \(f_1|_{X_s}, \ldots, f_r|_{X_s}\) est une suite régulière, voir Algèbre, Lemmes 061S et 061L. D’après le Lemme 062Y , il découle que \(Z_1 = V(f_1) \subset X\) est un diviseur de Cartier effectif relatif, encore après avoir éventuellement un peu rétréci \(X\) . En appliquant à nouveau le même lemme, mais cette fois à \(Z_2 = V(f_1, f_2) \subset Z_1\) , nous voyons que \(Z_2 \subset Z_1\) est un diviseur de Cartier effectif relatif. Et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on atteigne \(Z = Z_n = V(f_1, \ldots, f_n)\). Comme être un diviseur de Cartier effectif relatif se conserve par tout changement de base arbitraire, voir le Lemme 056Q, nous voyons également que l’énoncé final du lemme est vrai.

Remarque

La codimension d’une immersion quasi-régulière relative, si elle est constante, ne change pas après un changement de base. En fait, si nous avons un morphisme d’anneaux \(A \to B\) et une suite quasi-régulière \(f_1, \ldots, f_r \in B\) telle que \(B/(f_1, \ldots, f_r)\) est plate sur \(A\), alors pour tout morphisme d’anneaux \(A \to A'\) nous avons une suite quasi-régulière \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\) dans \(B' = B \otimes_A A'\) selon Compléments d’algèbre, Lemme 0CEP (qui a été utilisé dans la démonstration du Lemme 063R ci-dessus). Maintenant, la démonstration du Lemme 063U montre que si \(A \to B\) est plate et localement de présentation finie, alors pour tout idéal premier \(\mathfrak q' \subset B'\) la suite \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\) est même une suite régulière dans l’anneau local \(B'_{\mathfrak q'}\).

Lemme

Soit \(X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(Z \to X\) une immersion \(H_1\)-régulière relative. Supposons que \(X \to S\) soit localement de présentation finie. Alors

1. il existe un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) tel que \(Z \subset U\) et tel que \(U \to S\) soit plat, et

2. \(Z \to X\) est une immersion régulière et il en reste de même après tout changement de base.

Démonstration

Choisissons \(x \in Z\). Pour prouver (1), il suffit de trouver un voisinage ouvert \(U \subset X\) de \(x\) tel que \(U \to S\) soit plat. Ainsi, le lemme se réduit au cas où \(X = \Spec(B)\) et \(S = \Spec(A)\) sont affines et où \(Z\) est donné par une suite \(H_1\)-régulière \(f_1, \ldots, f_r \in B\). Par hypothèse, \(B\) est une \(A\)-algèbre de présentation finie et \(B/(f_1, \ldots, f_r)B\) est une \(A\)-algèbre plate. Nous allons utiliser l’approximation noethérienne absolue.

Écrivons \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\). Supposons que \(f_i\) soit l’image de \(f_i' \in A[x_1, \ldots, x_n]\). Choisissons une \(\mathbf{Z}\)-sous-algèbre de type fini \(A_0 \subset A\) telle que tous les coefficients des polynômes \(f_1', \ldots, f_r', g_1, \ldots, g_m\) soient dans \(A_0\). Nous définissons \(B_0 = A_0[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\) et nous notons \(f_{i, 0}\) l’image de \(f_i'\) dans \(B_0\). Ensuite \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\) et \[B/(f_1, \ldots, f_r) = B_0/(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}) \otimes_{A_0} A.\] Par Algèbre, Lemme 02JO , nous pouvons, après avoir agrandi \(A_0\), supposer que \(B_0/(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r})\) est plat sur \(A_0\). Il se peut qu’à ce moment le groupe de cohomologie de Koszul \(H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}))\) ne soit pas nul. D’un autre côté, comme \(B_0\) est Noethérien, c’est un \(B_0\)-module de type fini. Soient \(\xi_1, \ldots, \xi_n \in H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}))\) des générateurs. Soit \(A_0 \subset A_1 \subset A\) une \(\mathbf{Z}\)-sous-algèbre de type fini plus grande de \(A\). Notons \(f_{1, i}\) l’image de \(f_{0, i}\) dans \(B_1 = B_0 \otimes_{A_0} A_1\). Par Compléments d’algèbre, Lemme 063Q , l’application \[H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r})) \otimes_{A_0} A_1 \longrightarrow H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\] est surjective. De plus, il est clair que le colimite (sur toutes les choix de \(A_1\) comme ci-dessus) des complexes \(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r})\) est le complexe \(K_\bullet(B, f_1, \ldots, f_r)\) qui est acyclique en degré \(1\). Par conséquent, \[\colim_{A_0 \subset A_1 \subset A} H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r})) = 0\] d’après Algèbre, Lemme 00DB. Ainsi, nous pouvons trouver un choix de \(A_1\) tel que \(\xi_1, \ldots, \xi_n\) s’envoient tous sur zéro dans \(H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\). En d’autres termes, le groupe de cohomologie de Koszul \(H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\) est nul.

Considérons le morphisme de schémas affines \(X_1 \to S_1\) égal à \(\Spec\) du morphisme d’anneaux \(A_1 \to B_1\) et \(Z_1 = \Spec(B_1/(f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\). Puisque \(B = B_1 \otimes_{A_1} A\), c’est-à-dire \(X = X_1 \times_{S_1} S\), et de même \(Z = Z_1 \times_S S_1\), il suffit maintenant de prouver (1) pour \(X_1 \to S_1\) et l’immersion \(H_1\)-relative \(Z_1 \to X_1\)-régulière, voir Morphismes, Lemme 01U8. Nous avons donc réduit au cas où \(X \to S\) est un morphisme de type fini de schémas de Noether. Dans ce cas, nous savons que \(X \to S\) est plat en tout point de \(Z\) d’après le Lemme 063T. Combiné avec le fait que le lieu plat est ouvert dans ce cas, voir Algèbre, Théorème 00RC , nous voyons que (1) est vrai. La partie (2) découle alors d’une application du Lemme 063U.

Si le schéma ambiant est plat et localement de présentation finie sur la base, alors nous pouvons caractériser une immersion quasi-régulière relative en termes de ses fibres.

Lemme

Soit \(\varphi : X \to S\) un morphisme plat qui est localement de présentation finie. Soit \(T \subset X\) un sous-schéma fermé. Soit \(x \in T\) avec une image \(s \in S\).

1. Si \(T_s \subset X_s\) est une immersion quasi-régulière dans un voisinage de \(x\), alors il existe un ouvert \(U \subset X\) et une immersion quasi-régulière relative \(Z \subset U\) tels que \(Z_s = T_s \cap U_s\) et \(T \cap U \subset Z\).

2. Si \(T_s \subset X_s\) est une immersion quasi-régulière dans un voisinage de \(x\), le morphisme \(T \to X\) est de présentation finie, et \(T \to S\) est plat en \(x\), alors nous pouvons choisir \(U\) et \(Z\) comme dans (1) tels que \(T \cap U = Z\).

3. Si \(T_s \subset X_s\) est une immersion quasi-régulière dans un voisinage de \(x\), et \(T\) est définie par \(c\) équations dans un voisinage de \(x\), où \(c = \dim_x(X_s) - \dim_x(T_s)\), alors nous pouvons choisir \(U\) et \(Z\) comme dans (1) de telle sorte que \(T \cap U = Z\).

Dans chaque cas, \(Z \to U\) est une immersion régulière selon le Lemme 063U. En particulier, si \(T \to S\) est localement de présentation finie et plate et que toutes les fibres \(T_s \subset X_s\) sont des immersions quasi-régulières, alors \(T \to X\) est une immersion quasi-régulière relative.

Démonstration

Choisissons des voisinages ouverts affines \(\Spec(A)\) de \(s\) et \(\Spec(B)\) de \(x\) tels que \(\varphi(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\). Soit \(\mathfrak p \subset A\) l’idéal premier correspondant à \(s\). Soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(x\). Soit \(I \subset B\) l’idéal correspondant à \(T\). D’après l’hypothèse initiale du lemme, nous savons que \(A \to B\) est plat et de présentation finie. L’hypothèse en (1) signifie que, après avoir rétréci \(\Spec(B)\), nous pouvons supposer que \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) est engendré par une suite quasi-régulière d’éléments. Après avoir éventuellement localisé \(B\) en certains \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\) , nous pouvons supposer qu’il existe \(f_1, \ldots, f_r \in I\) qui s’envoient sur une suite quasi-régulière dans \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) qui génère \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\). Par l’Algèbre, les lemmes 061S et 061L , nous pouvons supposer qu’après une autre localisation, \(f_1, \ldots, f_r \in I\) forment une suite régulière dans \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\). Selon le lemme 062Y , il s’ensuit que \(Z_1 = V(f_1) \subset \Spec(B)\) est un diviseur de Cartier effectif relatif, encore une fois après avoir éventuellement localisé \(B\). En appliquant à nouveau le même lemme, mais maintenant à \(Z_2 = V(f_1, f_2) \subset Z_1\) , nous voyons que \(Z_2 \subset Z_1\) est un diviseur de Cartier effectif relatif. Et ainsi de suite jusqu’à atteindre \(Z = Z_n = V(f_1, \ldots, f_n)\). Ensuite, \(Z \to \Spec(B)\) est une immersion régulière et \(Z\) est plat sur \(S\), en particulier \(Z \to \Spec(B)\) est une immersion quasi-régulière relative sur \(\Spec(A)\). Cela prouve (1).

Pour voir (2), considérons l’immersion fermée \(Z \to D\). L’application surjective d’anneaux \(u : \mathcal{O}_{D, x} \to \mathcal{O}_{Z, x}\) est une application d’algèbres locales plates \(\mathcal{O}_{S, s}\) qui sont essentiellement de présentation finie, et qui devient un isomorphisme après division par \(\mathfrak m_s\). Par conséquent, c’est un isomorphisme, voir Algèbre, Lemme 046Y. Il s’ensuit que \(Z \to D\) est un isomorphisme dans un voisinage de \(x\), voir Algèbre, Lemme 00QR.

Pour voir (3), après avoir éventuellement restreint \(U\) , nous pouvons supposer que l’idéal de \(Z\) est engendré par une suite régulière \(f_1, \ldots, f_r\) (voir notre construction de \(Z\) ci-dessus) et que l’idéal de \(T\) est engendré par \(g_1, \ldots, g_c\). Nous affirmons que \(c = r\). À savoir, \[\begin{align*} \dim_x(X_s) & = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim_x(T_s) & = \dim(\mathcal{O}_{T_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) & = \dim(\mathcal{O}_{T_s, x}) + r \end{align*}\] les deux premières égalités par l’Algèbre, Lemme 00P1 et la seconde par \(r\) fois en appliquant l’Algèbre, Lemme 00KW. Comme \(T \subset Z\) nous voyons que \(f_i = \sum b_{ij} g_j\). Mais les idéaux de \(Z\) et \(T\) définissent le même sous-schéma fermé quasi-régulier de \(X_s\) dans un voisinage de \(x\). Par conséquent, la matrice \((b_{ij}) \bmod \mathfrak m_x\) est inversible (certains détails omis). Ainsi \((b_{ij})\) est inversible dans un voisinage ouvert de \(x\). En d’autres termes, \(T \cap U = Z\) après avoir restreint \(U\).

Les assertions finales du lemme suivent immédiatement de la partie (2), combinées avec le fait que \(Z \to S\) est localement de présentation finie si et seulement si \(Z \to X\) est de présentation finie, voir Morphismes, Lemme 01TR et 02FV.

Le lemme suivant est une amélioration de Morphismes, Lemme 05D9.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) un morphisme lisse de schémas. Soit \(\sigma : S \to X\) une section de \(f\). Alors \(\sigma\) est une immersion régulière.

Démonstration

D’après Schémas, Lemme 01KS le morphisme \(\sigma\) est une immersion. Après avoir remplacé \(X\) par un voisinage ouvert de \(\sigma(S)\) , nous pouvons supposer que \(\sigma\) est une immersion fermée. Soit \(T = \sigma(S)\) le sous-schéma fermé correspondant de \(X\). Puisque \(T \to S\) est un isomorphisme, il est plat et de présentation finie. De plus, un morphisme lisse est plat et localement de présentation finie, voir Morphismes, Lemme 01VF et 01VE. Ainsi, selon le Lemme 063W, il suffit de montrer que \(T_s \subset X_s\) est un sous-schéma fermé quasi-régulier. Cela découle immédiatement des morphismes, Lemme 05D9 , mais nous pouvons aussi le voir directement comme suit. Soit \(k\) un corps et soit \(A\) une \(k\)-algèbre lisse. Soit \(\mathfrak m \subset A\) un idéal maximal dont le corps résiduel est \(k\). Alors \(\mathfrak m\) est engendré par une suite quasi-régulière, éventuellement après avoir remplacé \(A\) par \(A_g\) pour certains \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak m\). Dans Algèbre, Lemme 00TT nous avons prouvé que \(A_{\mathfrak m}\) est un anneau local régulier, donc \(\mathfrak mA_{\mathfrak m}\) est engendré par une suite régulière. Cela implique en effet que \(\mathfrak m\) est engendré par une suite régulière (après avoir remplacé \(A\) par \(A_g\) pour certains \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak m\)), voir Algèbre, Lemme 061L.

Le lemme suivant a une sorte de réciproque, voir Lemme 0693.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_j \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] soit un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que \(X \to S\) soit lisse, et que \(i\), \(j\) soient des immersions. Si \(j\) est une immersion régulière (resp.  Koszul-régulière, \(H_1\)-régulière, quasi-régulière), alors il en est de même pour \(i\).

Démonstration

Nous pouvons écrire \(i\) comme la composition \[Y \to Y \times_S X \to X\] D’après le Lemme 067R , la première flèche est une immersion régulière. La deuxième flèche est un changement de base plat de \(Y \to S\), par conséquent c’est une immersion régulière (resp.  Koszul-régulière, \(H_1\)-régulière, quasi-régulière), voir Lemme 067P. Nous concluons par une application du Lemme 067Q.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Y \ar[rd] \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que \(Y \to S\) soit syntomique, \(X \to S\) lisse, et \(i\) une immersion. Alors \(i\) est une immersion régulière.

Démonstration

Après avoir remplacé \(X\) par un voisinage ouvert de \(i(Y)\) , nous pouvons supposer que \(i\) est une immersion fermée. Soit \(T = i(Y)\) le sous-schéma fermé correspondant de \(X\). Comme \(T \cong Y\) , le morphisme \(T \to S\) est plat et de présentation finie (Morphismes, Lemmes 01UK et 01UL). De plus, un morphisme lisse est plat et localement de présentation finie (Morphismes, Lemmes 01VF et 01VE). Ainsi, selon le Lemme 063W, il suffit de montrer que \(T_s \subset X_s\) est un sous-schéma fermé quasi-régulier. Comme \(X_s\) est localement de type fini sur un corps, il est noethérien (Morphismes, Lemme 01T6). Ainsi, nous pouvons vérifier que \(T_s \subset X_s\) est une immersion quasi-régulière en les points, voir le Lemme 063I. Prenons \(t \in T_s\). Par Morphismes, Lemme 01UG , l’anneau local \(\mathcal{O}_{T_s, t}\) est une intersection complète locale sur \(\kappa(s)\). L’anneau local \(\mathcal{O}_{X_s, t}\) est régulier, voir Algèbre, Lemme 00TT. Par Algèbre, Lemme 00SF , nous voyons que le noyau de la surjection \(\mathcal{O}_{X_s, t} \to \mathcal{O}_{T_s, t}\) est engendré par une suite régulière, ce que nous devions montrer.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Y \ar[rd] \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons que \(Y \to S\) est lisse, \(X \to S\) lisse, et \(i\) une immersion. Alors \(i\) est une immersion régulière.

Démonstration

Il s’agit d’un cas particulier du Lemme 067T car un morphisme lisse est syntomique, voir Morphismes, Lemme 01VD.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_j \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] un diagramme commutatif de morphismes de schémas. Supposons \(X \to S\) lisse et \(i\) et \(j\) des immersions. Si \(i\) est une immersion de Koszul-régulière (resp.  \(H_1\)-régulière, quasi-régulière), alors il en est de même pour \(j\).

Démonstration

Nous utiliserons le Lemme 063K sans autre mention. Soit \(y \in Y\) un point quelconque. Posons \(x = i(y)\) et posons \(s = j(y)\). Il suffit de prouver le résultat après avoir remplacé \(X\) et \(S\) par des voisinages ouverts \(U\) et \(V\) de \(x\) et \(s\) et \(Y\) par un voisinage ouvert de \(y\) dans \(i^{-1}(U) \cap j^{-1}(V)\).

Nous prouvons d’abord le résultat pour \(X = \mathbf{A}^n_S\). Après avoir remplacé \(S\) par un ouvert affine \(V\) et remplacé \(Y\) par \(j^{-1}(V)\) , nous pouvons supposer que \(j\) est une immersion fermée et que \(S\) est affine. Écrivons \(S = \Spec(A)\). Alors \(j : Y \to S\) définit un isomorphisme de \(Y\) vers le sous-schéma fermé \(\Spec(A/I)\) pour un certain idéal \(I \subset A\). L’application \(i : Y = \Spec(A/I) \to \mathbf{A}^n_S = \Spec(A[x_1, \ldots, x_n])\) correspond à un homomorphisme d’\(A\)-algèbres \(i^\sharp : A[x_1, \ldots, x_n] \to A/I\). Choisissons \(a_i \in A\) dont l’image est \(i^\sharp(x_i)\) dans \(A/I\). Observons que l’idéal de l’immersion fermée \(i\) est \[J = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) + IA[x_1, \ldots, x_n].\] Posons \(K = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)\). Nous affirmons que la suite \[0 \to K/KJ \to J/J^2 \to J/(K + J^2) \to 0\] est exacte scindée. Pour le voir, notons que \(K/K^2\) est libre avec pour base \(x_i - a_i\) sur l’anneau \(A[x_1, \ldots, x_n]/K \cong A\). Par conséquent, \(K/KJ\) est libre avec la même base sur l’anneau \(A[x_1, \ldots, x_n]/J \cong A/I\). D’autre part, l’application différentielle donne une application \[\text{d}_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} : J/J^2 \longrightarrow \Omega_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} \otimes_{A[x_1, \ldots, x_n]} A[x_1, \ldots, x_n]/J\] qui associe les générateurs \(x_i - a_i\) aux éléments de base \(\text{d}x_i\) du module libre de droite. L’affirmation s’ensuit. De plus, notons que \(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n\) est une suite régulière dans \(A[x_1, \ldots, x_n]\) avec un anneau quotient \(A[x_1, \ldots, x_n]/(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \cong A\). Ainsi, nous avons une factorisation \[Y \to V(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \to \mathbf{A}^n_S\] de notre immersion fermée \(i\) où la composition est Koszul-régulière (resp.  \(H_1\)-régulière, quasi-régulière), la deuxième flèche est une immersion régulière, et la suite conormale associée est scindée. Maintenant, le résultat s’ensuit du Lemme 068Z.

Ensuite, nous prouvons que le résultat vaut si \(i\) est \(H_1\)-régulier. À savoir, en rétrécissant comme dans le premier paragraphe de la preuve, nous pouvons supposer que \(Y\), \(X\) et \(S\) sont affines. Dans ce cas, nous pouvons choisir une immersion fermée \(h : X \to \mathbf{A}^n_S\) au-dessus de \(S\) pour un certain \(n\). Notons que \(h\) est une immersion régulière d’après le Lemme 067U. Par conséquent, \(h \circ i\) est une immersion \(H_1\)-régulière, voir le Lemme 067Q (notons que cette étape ne fonctionne pas dans le « cas quasi-régulier »). Ainsi, nous sommes ramenés au cas où \(X = \mathbf{A}^n_S\) et \(S\) est affine, traité ci-dessus.

Enfin, supposons que \(i\) soit quasi-régulier. Après rétrécissement comme dans le premier paragraphe de la démonstration, nous pouvons utiliser le Lemme de Morphismes 054L pour factoriser \(f\) en \(X \to \mathbf{A}^n_S \to S\) où le premier morphisme \(X \to \mathbf{A}^n_S\) est étale. Cela réduit le problème aux deux cas (a) \(X = \mathbf{A}^n_S\) et (b) \(f\) est étale. Le cas (a) a été traité dans le deuxième paragraphe de la démonstration. Le cas (b) est traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(f\) soit étale. Après réduction, nous pouvons supposer \(X\), \(Y\) et \(S\) affines, et \(i\) et \(j\) des immersions fermées (petit détail omis). Écrivons \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\) et \(Y = \Spec(B/J) = \Spec(A/I)\). En rétrécissant encore, nous pouvons supposer que \(J\) est engendré par une suite quasi-régulière. L’application d’anneaux \(A \to B\) est étale, donc formellement étale (Algèbre, Lemme 00UR). Ainsi \(\bigoplus I^n/I^{n + 1} \cong \bigoplus J^n/J^{n + 1}\) par Algèbre, Lemme 0H1D. Comme \(J\) est engendré par une suite quasi-régulière, il en est de même pour \(I\). Cela termine la démonstration.

Fonctions et sections méromorphes

Cette section contient uniquement les définitions générales et quelques résultats élémentaires. Voir [misconceptions] pour certains pièges possibles ⁴.

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace localement annelé. Pour tout ouvert \(U \subset X\) , nous avons défini l’ensemble \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\) des sections régulières de \(\mathcal{O}_X\) sur \(U\), voir la Définition 01WY. La restriction d’une section régulière à un ouvert plus petit est régulière. Ainsi, \(\mathcal{S} : U \mapsto \mathcal{S}(U)\) est un sous-faisceau (d’ensembles) de \(\mathcal{O}_X\). Nous notons parfois \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_X\) si nous voulons indiquer la dépendance à \(X\). De plus, \(\mathcal{S}(U)\) est un sous-ensemble multiplicatif de l’anneau \(\mathcal{O}_X(U)\) pour chaque \(U\). Par conséquent, nous pouvons considérer le préfaisceau d’anneaux \[U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1} \mathcal{O}_X(U),\] voir Modules, Lemme 01D0.

Définition

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace localement annelé. Le faisceau des fonctions méromorphes sur \(X\) est le faisceau \(\mathcal{K}_X\) associé au préfaisceau affiché ci-dessus. Une fonction méromorphe sur \(X\) est une section globale de \(\mathcal{K}_X\).

Comme chaque élément de chaque \(\mathcal{S}(U)\) est un non-diviseur de zéro dans \(\mathcal{O}_X(U)\) , nous voyons que l’application naturelle de faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}_X\) est injective.

Exemple

Soit \(A = \mathbf{C}[x, \{y_\alpha\}_{\alpha \in \mathbf{C}}]/ ((x - \alpha)y_\alpha, y_\alpha y_\beta)\). Tout élément de \(A\) peut être écrit de manière unique comme \(f(x) + \sum \lambda_\alpha y_\alpha\) avec \(f(x) \in \mathbf{C}[x]\) et \(\lambda_\alpha \in \mathbf{C}\). Soit \(X = \Spec(A)\). Dans ce cas, \(\mathcal{O}_X = \mathcal{K}_X\), puisque sur tout ouvert affine \(D(f)\) , l’anneau anneau \(A_f\), tout non-diviseur de zéro est une unité (preuve omise).

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace localement annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Considérons le préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\). Sa faisceautisation est le faisceau \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\), voir Modules, Lemme 01D1.

Définition

Soit \(X\) un espace localement annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

1. Nous notons \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) le faisceau de \(\mathcal{K}_X\)-modules qui est la faisceautisation du préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\). Équivalemment \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\) (voir ci-dessus).

2. Une section méromorphe de \(\mathcal{F}\) est une section globale de \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\).

En particulier, nous avons \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F})_x = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{K}_{X, x} = \mathcal{S}_x^{-1}\mathcal{F}_x\] pour tout point \(x \in X\). Cependant, il faut faire attention car il se peut que \(\mathcal{S}_x\) ne soit pas l’ensemble des non-diviseurs de zéro dans l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\). À savoir, il existe toujours une application injective \[\mathcal{K}_{X, x} \longrightarrow Q(\mathcal{O}_{X, x})\] vers l’anneau total des fractions. Elle est également surjective si et seulement si \(\mathcal{S}_x\) est l’ensemble des non-diviseurs de zéro dans \(\mathcal{O}_{X, x}\). Les faisceaux de sections méromorphes ne sont pas en général des modules quasi-cohérents, mais ils possèdent certaines propriétés en commun avec les modules quasi-cohérents.

Définition

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces localement annelés. Nous disons que les images réciproques de fonctions méromorphes sont définies pour \(f\) si, pour chaque paire d’ouverts \(U \subset X\), \(V \subset Y\) telle que \(f(U) \subset V\), et pour toute section \(s \in \Gamma(V, \mathcal{S}_Y)\), l’image \(f^\sharp(s) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) est un élément de \(\Gamma(U, \mathcal{S}_X)\).

Dans ce cas, il existe une application induite \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{K}_Y \to \mathcal{K}_X\), en d’autres termes, nous obtenons un diagramme commutatif de morphismes d’espaces annelés \[\xymatrix{ (X, \mathcal{K}_X) \ar[r] \ar[d]^f & (X, \mathcal{O}_X) \ar[d]^f \\ (Y, \mathcal{K}_Y) \ar[r] & (Y, \mathcal{O}_Y) }\] Nous notons parfois \(f^*(s) = f^\sharp(s)\) pour une section \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y)\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Dans chacun des cas suivants, les tirés images réciproques des fonctions méromorphes sont définies.

1. chaque point faiblement associé de \(X\) s’envoie sur un point générique d’une composante irréductible de \(Y\),

2. \(X\), \(Y\) sont intègres et \(f\) est dominant,

3. \(X\) est intègre et le point générique de \(X\) s’envoie sur le point générique d’une composante irréductible de \(Y\),

4. \(X\) est réduit et chaque point générique de chaque composante irréductible de \(X\) s’envoie sur le point générique d’une composante irréductible de \(Y\),

5. \(X\) est localement noethérien et tout point associé de \(X\) se projette sur un point générique d’une composante irréductible de \(Y\).

6. \(X\) est localement noethérien, n’a pas de points immergés et tout point générique d’une composante irréductible de \(X\) s’envoie sur le point générique d’une composante irréductible de \(Y\), et

7. \(f\) est plat.

Démonstration

La question est locale sur \(X\) et \(Y\). Nous nous réduisons donc au cas où \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(R)\) et où \(f\) est donné par un morphisme d’anneaux \(\varphi : R \to A\). D’après la caractérisation des sections régulières du faisceau structural dans le Lemme 01WZ , nous devons montrer que \(R \to A\) envoie les non-diviseurs de zéro sur des non-diviseurs de zéro. Soit \(t \in R\) un non-diviseur de zéro.

Si \(R \to A\) est plat, alors l’injectivité de \(t : R \to R\) montre que \(t : A \to A\) est injectif. Cela prouve (7).

Dans les autres cas, nous notons que \(t\) n’est contenu dans aucun des idéaux premiers minimaux de \(R\) (car chaque élément d’un idéal premier minimal dans un anneau est un diviseur de zéro). Ainsi, dans le cas (1), nous voyons que \(\varphi(t)\) n’est contenu dans aucun idéal premier faiblement associé de \(A\). Par conséquent, ce cas découle de Algèbre, Lemme 05C3. Le cas (5) est un cas particulier de (1) selon le Lemme 05AR. Le cas (6) découle de (5) et des définitions. Le cas (4) est un cas particulier de (1) selon le Lemme 0EME. Les cas (2) et (3) sont des cas particuliers du (4).

Lemme

Soit \(X\) un schéma tel que

1. chaque point faiblement associé de \(X\) est un point générique d’une composante irréductible de \(X\), et

2. tout ouvert quasi-compact a un nombre fini de composantes irréductibles.

Soit \(X^0\) l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\). Alors nous avons \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] où \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) est l’application canonique des Schémas, section 01J5. De plus,

1. \(\mathcal{K}_X\) est un faisceau quasi-cohérent d’algèbres \(\mathcal{O}_X\),

2. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) le faisceau \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] de sections méromorphes de \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent,

3. \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) est l’ensemble des non-diviseurs de zéro pour tout \(x \in X\),

4. \(\mathcal{K}_{X, x}\) est l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_{X, x}\) pour tout \(x \in X\),

5. \(\mathcal{K}_X(U)\) est égal à l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_X(U)\) pour tout ouvert affine \(U \subset X\),

6. l’anneau des fonctions rationnelles de \(X\) (Morphismes, Définition 01RT) est l’anneau des fonctions méromorphes sur \(X\), en formule: \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\).

Démonstration

Remarquons qu’une somme directe localement finie de faisceaux de modules est égale au produit, ce que l’on peut par exemple vérifier sur les fibres. Ensuite, puisque \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\) , nous voyons que (2) découle des autres énoncés. De plus, remarquez que la partie (6) découle de l’énoncé initial du lemme et du Morphismes, Lemme 01RV lorsque \(X^0\) est fini; le cas général de (6) découle de cela par recollement (argument omis).

Soit \(j : Y = \coprod\nolimits_{\eta \in X^0} \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) le coproduit des morphismes \(j_\eta\). Nous devons montrer que \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\). Notons d’abord que \(\mathcal{K}_Y = \mathcal{O}_Y\) puisque \(Y\) est une réunion disjointe de spectres d’anneaux locaux de dimension \(0\): dans un anneau local de dimension zéro, tout élément qui n’est pas un diviseur de zéro est une unité. Notons ensuite que les images réciproques de fonctions méromorphes sont définies pour \(j\) d’après le Lemme 02OU. Cela donne une application \[\mathcal{K}_X \longrightarrow j_*\mathcal{O}_Y.\] Soit \(\Spec(A) = U \subset X\) un ouvert affine. Alors \(A\) est un anneau avec un nombre fini de premiers minimaux \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) et chaque idéal premier faiblement associé de \(A\) est l’un des \(\mathfrak q_i\). Nous obtenons \(Q(A) = \prod A_{\mathfrak q_i}\) par Algèbre, Lemme 02LX et 05C3. En d’autres termes, déjà la valeur du préfaisceau \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{O}_X(U)\) coïncide avec \(j_*\mathcal{O}_Y(U)\) sur notre ouvert affine \(U\). Par conséquent, l’application affichée est un isomorphisme, ce qui prouve la première égalité affichée dans l’énoncé du lemme.

Enfin, nous prouvons (1), (3), (4) et (5). Pour la partie (5), nous avons vu au cours de la démonstration que \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\). Le morphisme \(j\) est quasi-compact par notre hypothèse que l’ensemble des composantes irréductibles de \(X\) est localement fini. Ainsi, \(j\) est quasi-compact et quasi-séparé (car \(Y\) est séparé). D’après Schémas, Lemme 01LC , \(j_*\mathcal{O}_Y\) est quasi-cohérent. Cela prouve (1). Soit \(x \in X\). Nous pouvons choisir un voisinage affine ouvert \(U = \Spec(A)\) de \(x\) dont toutes les composantes irréductibles passent par \(x\). Alors \(A \subset A_\mathfrak p\) car chaque idéal premier faiblement associé de \(A\) est contenu dans \(\mathfrak p\) , donc les éléments de \(A \setminus \mathfrak p\) sont des non-diviseurs de zéro d’après Algèbre, Lemme 05C3. Il s’ensuit facilement que tout non-diviseur de zéro de \(A_\mathfrak p\) est l’image d’un non-diviseur de zéro dans un voisinage ouvert affine (possiblement plus petit) de \(x\). Cela prouve (3). La partie (4) découle de la partie (3) par calcul des fibres.

Définition

Soit \(X\) un espace localement annelé. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Une section méromorphe \(s\) de \(\mathcal{L}\) est dite régulière si l’application induite \(\mathcal{K}_X \to \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) est injective. En d’autres termes, \(s\) est une section régulière du \(\mathcal{K}_X\)-module inversible \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\), voir Définition 01WY.

Détaillons quand les sections méromorphes (régulières) peuvent être tirées en arrière.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces localement annelés. Supposons que les images réciproques de fonctions méromorphes soient définies pour \(f\) (voir Définition 02OT).

1. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Il existe une application canonique d’image réciproque \(f^* : \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y(\mathcal{F})) \to \Gamma(X, \mathcal{K}_X(f^*\mathcal{F}))\) pour les sections méromorphes de \(\mathcal{F}\).

2. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible. L’image réciproque d’une section méromorphe régulière \(s\) de \(\mathcal{L}\) est une section méromorphe régulière \(f^*s\) de \(f^*\mathcal{L}\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s\) une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\). Notons \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau d’idéaux défini par la règle \[\mathcal{I}(V) = \{f \in \mathcal{O}_X(V) \mid fs \in \mathcal{L}(V)\}.\] La formule a du sens puisque \(\mathcal{L}(V) \subset \mathcal{K}_X(\mathcal{L})(V)\). Ensuite, \(\mathcal{I}\) est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux et nous avons des applications injectives \[1 : \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{O}_X, \quad s : \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{L}\] dont les conoyaux ont leur support dans des sous-ensembles fermés nulle part denses de \(X\).

Démonstration

La question est locale sur \(X\). Par conséquent, nous pouvons supposer que \(X = \Spec(A)\) et \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\). Après un rétrécissement supplémentaire, nous pouvons supposer que \(s = a/b\) avec \(a, b \in A\) tous deux non-diviseurs de zéro dans \(A\). Posons \(I = \{x \in A \mid x(a/b) \in A\}\).

Pour montrer que \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent, nous devons montrer que \(I_f = \{x \in A_f \mid x(a/b) \in A_f\}\) pour chaque \(f \in A\). Si \(c/f^n \in A_f\), \((c/f^n)(a/b) \in A_f\), alors nous voyons que \(f^mc(a/b) \in A\) pour certains \(m\), donc \(c/f^n \in I_f\). Inversement, il est facile de voir que \(I_f\) est contenu dans \(\{x \in A_f \mid x(a/b) \in A_f\}\). Cela prouve la quasi-cohérence.

Prouvons l’assertion finale. Il est clair que \((b) \subset I\). Par conséquent, \(V(I) \subset V(b)\) est un sous-ensemble nulle part dense puisque \(b\) est un non-diviseur de zéro. Ainsi, le conoyau de \(1\) a son support dans un ensemble fermé nulle part dense. Le même argument fonctionne pour le conoyau de \(s\) puisque \(s(b) = (a) \subset sI \subset A\).

Définition

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s\) une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\). Le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) construit dans le Lemme 02P0 est appelé le faisceau d’idéaux de dénominateurs de \(s\).

Fonctions et sections méromorphes ; cas noethérien

Pour les schémas localement noethériens, nous pouvons prouver certains résultats concernant le faisceau de fonctions méromorphes. Cependant, il existe un exemple dans [misconceptions] montrant que \(\mathcal{K}_X\) n’est pas nécessairement quasi-cohérent pour un schéma noethérien \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un schéma quasi-compact. Soient \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) et \(f \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\) tels que \(f\) se restreigne à zéro sur \(X_h\). Alors \(h^n f = 0\) pour un certain \(n \gg 0\).

Démonstration

Nous pouvons trouver un recouvrement de \(X\) par des ouverts affines \(U\) tels que \(f|_U = s^{-1}a\) avec \(a \in \mathcal{O}_X(U)\) et \(s \in \mathcal{S}(U)\). Comme \(X\) est quasi-compact, nous pouvons le recouvrir par un nombre fini d’ouverts affines de cette forme. Ainsi, il suffit de prouver le lemme lorsque \(X = \Spec(A)\) et \(f = s^{-1}a\). Notons que \(s \in A\) est un non-diviseur de zéro, il suffit donc de prouver le résultat lorsque \(f = a\). La condition \(f|_{X_h} = 0\) implique que \(a\) s’envoie à zéro dans \(A_h = \mathcal{O}_X(X_h)\) comme \(\mathcal{O}_X \subset \mathcal{K}_X\). Ainsi \(h^na = 0\) pour un certain \(n > 0\) comme désiré.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien.

1. Pour tout \(x \in X\), \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) est l’ensemble des non-diviseurs de zéro, et donc \(\mathcal{K}_{X, x}\) est l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_{X, x}\).

2. Pour tout ouvert affine \(U \subset X\) , l’anneau \(\mathcal{K}_X(U)\) est égal à l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_X(U)\).

Démonstration

Pour démontrer ce lemme, nous pouvons supposer que \(X\) est le spectre d’un anneau noethérien \(A\). Disons que \(x \in X\) correspond à \(\mathfrak p \subset A\).

Preuve de (1). Il est clair que \(\mathcal{S}_x\) est contenu dans l’ensemble des non-diviseurs de zéro de \(\mathcal{O}_{X, x} = A_\mathfrak p\). Pour la réciproque, soit \(f, g \in A\), \(g \not \in \mathfrak p\) et supposons que \(f/g\) soit un non-diviseur de zéro dans \(A_{\mathfrak p}\). Soit \(I = \{a \in A \mid af = 0\}\). Alors nous voyons que \(I_{\mathfrak p} = 0\) par l’exactitude de la localisation. Puisque \(A\) est noethérien, nous voyons que \(I\) est de type fini et donc que \(g'I = 0\) pour certains \(g' \in A\), \(g' \not \in \mathfrak p\). Ainsi \(f\) est un non-diviseur de zéro dans \(A_{g'}\), c’est-à-dire dans un voisinage ouvert de Zariski de \(\mathfrak p\). Ainsi \(f/g\) est un élément de \(\mathcal{S}_x\).

Preuve de (2). Soit \(f \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\) une fonction méromorphe. Posons \(I = \{a \in A \mid af \in A\}\). Fixons un idéal premier \(\mathfrak p \subset A\) correspondant au point \(x \in X\). D’après (1), nous pouvons écrire l’image de \(f\) dans la fibre en \(\mathfrak p\) comme \(a/b\), \(a, b \in A_{\mathfrak p}\) avec \(b \in A_{\mathfrak p}\) n’étant pas un diviseur de zéro. Écrivons \(b = c/d\) avec \(c, d \in A\), \(d \not \in \mathfrak p\). Alors \(ad - cf\) est une section de \(\mathcal{K}_X\) qui s’annule dans un voisinage ouvert de \(x\). Disons qu’elle s’annule sur \(D(e)\) avec \(e \in A\), \(e \not \in \mathfrak p\). Alors \(e^n(ad - cf) = 0\) pour un certain \(n \gg 0\) d’après le Lemme 08I7. Ainsi, \(e^nc \in I\) et \(e^nc\) s’envoie sur un non-diviseur de zéro dans \(A_{\mathfrak p}\). Écrivons \(\text{Ass}(A) = \{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\) pour les idéaux premiers associés à \(A\). En regardant \(IA_{\mathfrak q_i}\) et en utilisant Algèbre, Lemme 0310 , ce qui précède dit que \(I \not \subset \mathfrak q_i\) pour chaque \(i\). Par Algèbre, Lemme 00DS , il existe un élément \(z \in I\), \(z \not \in \bigcup \mathfrak q_i\). Par Algèbre, Lemme 00LD , nous voyons que \(z\) n’est pas un diviseur de zéro dans \(A\). Par conséquent, \(f = (zf)/z\) est un élément de l’anneau total des fractions de \(A\). Cela prouve (2).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien n’ayant pas de points immergés. Soit \(X^0\) l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\). Alors nous avons \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] où \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) est l’application canonique des Schémas, section 01J5. De plus,

1. \(\mathcal{K}_X\) est un faisceau quasi-cohérent d’algèbres \(\mathcal{O}_X\),

2. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) le faisceau \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] des sections méromorphes de \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérente, et

3. l’anneau des fonctions rationnelles de \(X\) est l’anneau des fonctions méromorphes sur \(X\), sous une formule: \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\).

Démonstration

Ce lemme est un cas particulier du Lemme 0EMF car, dans le cas localement noethérien, les points faiblement associés sont la même chose que les points associés par le Lemme 05AR.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien n’ayant pas de points immergés. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors \(\mathcal{L}\) possède une section méromorphe régulière.

Démonstration

Pour chaque point générique \(\eta\) de \(X\) , choisissons un générateur \(s_\eta\) du module libre de rang \(1\) \(\mathcal{L}_\eta\) sur l’anneau local artinien \(\mathcal{O}_{X, \eta}\). Il découle immédiatement de la description de \(\mathcal{K}_X\) et \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) dans le Lemme 0EMH que \(s = \prod s_\eta\) est une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\).

Lemme

Supposons données

1. \(X\) un schéma localement noethérien,

2. \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible,

3. \(s\) une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\), et

4. \(\mathcal{F}\) cohérent sur \(X\) sans points associés immergés et \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\).

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) l’idéal des dénominateurs de \(s\). Soit \(T \subset X\) l’union des supports de \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) et \(\mathcal{L}/s(\mathcal{I})\) , qui est un sous-ensemble fermé et nulle part dense \(T \subset X\) selon le Lemme 02P0. Alors, il existe des applications injectives canoniques \[1 : \mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F}, \quad s : \mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}\] dont les conoyaux ont leur support dans \(T\).

Démonstration

Réduisons-nous au cas affine avec \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\), et \(s = a/b\) avec \(a, b \in A\) tous deux non diviseurs de zéro. La preuve de l’étape de réduction est omise. Écrivons \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\). Soit \(I = \{x \in A \mid x(a/b) \in A\}\) de sorte que \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\) (voir la preuve du Lemme 02P0). Notons que \(T = V(I) \cup V((a/b)I)\). Pour tout \(A\)-module \(M\) , considérons l’application \(1 : IM \to M\); c’est l’application qui donne naissance à l’application \(1\) du lemme. Considérons d’autre part l’application \(\sigma : IM \to M_b, x \mapsto ax/b\). Puisque \(b\) n’est pas un diviseur de zéro dans \(A\), et puisque \(M\) a pour support \(\Spec(A)\) et aucun idéal premier associé, nous voyons que \(b\) est également un non-diviseur de zéro sur \(M\) . Par conséquent \(M \subset M_b\). Par définition de \(I\) , nous avons \(\sigma(IM) \subset M\) comme sous-modules de \(M_b\). Ainsi, nous obtenons une application de \(A\)-modules \(s : IM \to M\) (à savoir l’application unique telle que \(s(z)/1 = \sigma(z)\) dans \(M_b\) pour tout \(z \in IM\)). Elle est injective parce que \(a\) est aussi un non-diviseur de zéro (à la fois sur \(A\) et \(M\)). Il est clair que \(M/IM\) est annihilé par \(I\) et que \(M/s(IM)\) est annihilé par \((a/b)I\). Ainsi, le lemme s’ensuit.

Fonctions et sections méromorphes ; cas réduit

Pour un schéma qui est réduit et qui a localement un nombre fini de composantes irréductibles, le faisceau des fonctions méromorphes est quasi-cohérent.

Lemme

Soit \(X\) un schéma réduit tel que tout ouvert quasi-compact possède un nombre fini de composantes irréductibles. Soit \(X^0\) l’ensemble des points génériques des composantes irréductibles de \(X\). Alors nous avons \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\kappa(\eta) = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\kappa(\eta)\] où \(j_\eta : \Spec(\kappa(\eta)) \to X\) est l’application canonique des Schémas, section 01J5. De plus,

1. \(\mathcal{K}_X\) est un faisceau quasi-cohérent d’algèbres \(\mathcal{O}_X\),

2. pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) le faisceau \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] de sections méromorphes de \(\mathcal{F}\) est quasi-cohérent,

3. \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) est l’ensemble des non-diviseurs de zéro pour tout \(x \in X\),

4. \(\mathcal{K}_{X, x}\) est l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_{X, x}\) pour tout \(x \in X\),

5. \(\mathcal{K}_X(U)\) est égal à l’anneau total des fractions de \(\mathcal{O}_X(U)\) pour tout ouvert affine \(U \subset X\),

6. l’anneau des fonctions rationnelles de \(X\) est l’anneau des fonctions méromorphes sur \(X\), sous une formule: \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\).

Démonstration

Ce lemme est un cas particulier du Lemme 0EMF car sur un schéma réduit, les points faiblement associés sont les points génériques selon le Lemme 0EME.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Supposons que \(X\) est réduit et que tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\) ait un nombre fini de composantes irréductibles. Alors le morphisme de normalisation \(\nu : X^\nu \to X\) est le morphisme \[\underline{\Spec}_X(\mathcal{O}') \longrightarrow X\] où \(\mathcal{O}' \subset \mathcal{K}_X\) est la fermeture intégrale de \(\mathcal{O}_X\) dans le faisceau des fonctions méromorphes.

Démonstration

Comparez la définition du morphisme de normalisation \(\nu : X^\nu \to X\) (voir Morphismes, Définition 035N) avec la description de \(\mathcal{K}_X\) dans le Lemme 02OW ci-dessus.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre avec point générique \(\eta\). Nous avons

1. le faisceau des fonctions méromorphes est isomorphe au faisceau constant de valeur le corps des fonctions (voir Morphismes, Définition 01RW) de \(X\).

2. Pour tout faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) , le faisceau \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) est isomorphe au faisceau constant de valeur \(\mathcal{F}_\eta\).

Démonstration

Démonstration omise.

Dans certains cas, nous pouvons montrer que des sections méromorphes régulières existent.

Lemme

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Dans chacun des cas suivants, \(\mathcal{L}\) possède une section méromorphe régulière:

1. \(X\) est intègre,

2. \(X\) est réduit et tout ouvert quasi-compact a un nombre fini de composantes irréductibles,

3. \(X\) est localement noethérien et n’a pas de points immergés.

Démonstration

Dans le cas (1), soit \(\eta \in X\) le point générique. Nous avons vu dans le Lemme 01X5 que \(\mathcal{K}_X\), respectivement  \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) , est le faisceau constant de valeur \(\kappa(\eta)\), respectivement  \(\mathcal{L}_\eta\). Puisque \(\dim_{\kappa(\eta)} \mathcal{L}_\eta = 1\) , nous pouvons choisir un élément non nul \(s \in \mathcal{L}_\eta\). Il est clair que \(s\) est une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\). Dans le cas (2), choisissons \(s_\eta \in \mathcal{L}_\eta\) non nul pour tous les points génériques \(\eta\) de \(X\); cela est possible car \(\mathcal{L}_\eta\) est un espace vectoriel de dimension \(1\) sur \(\kappa(\eta)\). Il découle immédiatement de la description de \(\mathcal{K}_X\) et \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) dans le Lemme 02OW que \(s = \prod s_\eta\) est une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\). Le cas (3) est le Lemme 0EMI.

Diviseurs de Weil

Nous allons introduire les diviseurs de Weil et l’équivalence rationnelle des diviseurs de Weil pour les schémas intègres localement noethériens. Comme nous ne supposons pas que nos schémas sont quasi-compacts, nous devons être un peu prudents lors de la définition des diviseurs de Weil. Nous devons permettre des sommes infinies de diviseurs premiers car une fonction rationnelle peut avoir, par exemple, un nombre infini de pôles. Pour les schémas quasi-compacts, nos diviseurs de Weil sont des sommes finies comme d’habitude. Voici un lemme de base que nous utiliserons souvent pour prouver que des collections de sous-schémas fermés sont localement finies.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. La collection des composantes irréductibles de \(Z\) est localement finie dans \(X\).

Démonstration

Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert quasi-compact. Alors \(U\) est un schéma noethérien, et a donc un espace topologique sous-jacent noethérien (Propriétés, Lemme 01OZ). Par conséquent, chaque sous-espace est noethérien et possède un nombre fini de composantes irréductibles (voir Topologie, Lemme 0052).

Rappelons que si \(Z\) est un sous-ensemble fermé irréductible d’un schéma \(X\), alors la codimension de \(Z\) dans \(X\) est égale à la dimension de l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \xi}\), où \(\xi \in Z\) est le point générique. Voir Propriétés, Lemme 02IZ.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien.

1. Un diviseur premier est un sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\) de codimension \(1\).

2. Un diviseur de Weil est une somme formelle \(D = \sum n_Z Z\) où la somme porte sur les diviseurs premiers de \(X\) et la collection \(\{Z \mid n_Z \not = 0\}\) est localement finie (Topologie, Définition 0BDS).

Le groupe de tous les diviseurs de Weil sur \(X\) est noté \(\text{Div}(X)\).

Notre prochaine tâche est de définir le diviseur de Weil associé à une fonction rationnelle. Pour ce faire, nous utilisons l’ordre d’annulation d’une fonction rationnelle le long d’un diviseur premier, qui est défini comme suit.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(f \in R(X)^*\). Pour chaque diviseur premier \(Z \subset X\) nous définissons l’ordre d’annulation de \(f\) le long de \(Z\) comme l’entier \[\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(f)\] où le membre de droite est la notion d’Algèbre, Définition 02MD, et \(\xi\) est le point générique de \(Z\).

Notons que pour \(f, g \in R(X)^*\) nous avons \[\text{ord}_Z(fg) = \text{ord}_Z(f) + \text{ord}_Z(g).\] Bien sûr, il peut arriver que \(\text{ord}_Z(f) < 0\). Dans ce cas, nous disons que \(f\) a un pôle le long de \(Z\) et que \(-\text{ord}_Z(f) > 0\) est le ordre du pôle de \(f\) le long de \(Z\). Il est important de noter que la condition \(\text{ord}_Z(f) \geq 0\) est pas équivalente à la condition \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\) sauf si l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) est un anneau de valuation discrète.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(f \in R(X)^*\). Alors les collections \[\{Z \subset X \mid Z\text{ est un diviseur premier de point générique }\xi \text{ et }f\text{ n'appartient pas à }\mathcal{O}_{X, \xi}\}\] et \[\{Z \subset X \mid Z \text{ est un diviseur premier et }\text{ord}_Z(f) \not = 0\}\] sont localement finis dans \(X\).

Démonstration

Il existe un sous-schéma ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(f\) corresponde à une section de \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\). Les diviseurs premiers qui peuvent apparaître dans les ensembles du lemme sont tous des composantes irréductibles de \(X \setminus U\). Le Lemme 0BE1 donne donc le résultat souhaité.

Ce lemme nous permet de faire la définition suivante.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(f \in R(X)^*\). Le diviseur de Weil principal associé à \(f\) est le diviseur de Weil \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] où la somme porte sur les diviseurs premiers et \(\text{ord}_Z(f)\) est comme dans la Définition 02RJ. Cette somme est bien définie grâce au Lemme 02RL.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(f, g \in R(X)^*\). Alors \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] comme diviseurs de Weil sur \(X\).

Démonstration

Cela est clair à partir de l’additivité des fonctions \(\text{ord}\) .

Nous voyons d’après le lemme ci-dessus que l’ensemble des diviseurs de Weil principaux forme un sous-groupe du groupe de tous les diviseurs de Weil. Cela conduit à la définition suivante.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Le groupe de classes de diviseurs de Weil de \(X\) est le quotient du groupe des diviseurs de Weil par le sous-groupe des diviseurs de Weil principaux. On le note \(\text{Cl}(X)\).

Par construction, nous obtenons un complexe exact [0BE5]\[\begin{equation} R(X)^* \xrightarrow{\text{div}} \text{Div}(X) \to \text{Cl}(X) \to 0 \end{equation}\] que nous pouvons considérer comme une présentation de \(\text{Cl}(X)\). Notre prochaine tâche est de relier le groupe de classes de diviseurs de Weil au groupe de Picard.

La classe de diviseur de Weil associée à un module inversible

Dans cette section, nous suivons exactement la même progression que dans la section 0BE0 pour définir une application canonique \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) sur un schéma intègre localement noethérien.

Soit \(X\) un schéma. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(\xi \in X\) un point. Si \(s_\xi, s'_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) engendrent \(\mathcal{L}_\xi\) comme \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-module, alors il existe une unité \(u \in \mathcal{O}_{X, \xi}^*\) telle que \(s_\xi = u s'_\xi\). La fibre du faisceau des sections méromorphes \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) de \(\mathcal{L}\) en \(x\) est \(\mathcal{K}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{L}_x\). Ainsi, l’image de toute section méromorphe \(s\) de \(\mathcal{L}\) dans la fibre en \(x\) peut s’écrire comme \(s = fs_\xi\) avec \(f \in \mathcal{K}_{X, x}\). Ci-dessous, nous abrégerons cela en disant \(f = s/s_\xi\). De plus, si \(X\) est intègre, nous avons que \(\mathcal{K}_{X, x} = R(X)\), le corps des fonctions de \(X\), donc \(s/s_\xi \in R(X)\). Si \(s\) est une section méromorphe régulière, alors en fait \(s/s_\xi \in R(X)^*\). Sur un schéma intègre, une section méromorphe régulière est la même chose qu’une section méromorphe non nulle. Enfin, nous voyons que \(s/s_\xi\) est indépendant du choix de \(s_\xi\) à multiplication près par une unité de l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, x}\). Tout ceci montre que la définition suivante est bien définie.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\) une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\). Pour chaque diviseur premier \(Z \subset X\) , nous définissons l’ordre d’annulation de \(s\) le long de \(Z\) comme l’entier \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(s/s_\xi)\] où le membre de droite est la notion d’Algèbre, Définition 02MD, \(\xi \in Z\) est le point générique, et \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) est un générateur.

Comme dans le cas des diviseurs principaux, nous avons le lemme suivant.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) une section méromorphe régulière (c’est-à-dire non nulle) de \(\mathcal{L}\). Alors les ensembles \[\{Z \subset X \mid Z \text{ est un diviseur premier de point générique }\xi \text{ et }s\text{ n'appartient pas à }\mathcal{L}_\xi\}\] et \[\{Z \subset X \mid Z \text{ est un diviseur premier et } \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) \not = 0\}\] sont localement finis dans \(X\).

Démonstration

Il existe un sous-schéma ouvert non vide \(U \subset X\) tel que \(s\) corresponde à une section de \(\Gamma(U, \mathcal{L})\) qui génère \(\mathcal{L}\) sur \(U\). Ainsi, les diviseurs premiers qui peuvent apparaître dans les ensembles du lemme sont tous des composantes irréductibles de \(X \setminus U\). Ainsi, le Lemme 0BE1 donne le résultat souhaité.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soient \(s, s' \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) deux sections méromorphes non nulles de \(\mathcal{L}\). Alors \(f = s/s'\) est un élément de \(R(X)^*\) et \[\sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s)[Z] = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s')[Z] + \text{div}(f)\] comme diviseurs de Weil.

Démonstration

Cela est clair d’après les définitions. Il faut noter que le Lemme 02SG garantit que les sommes sont bien des diviseurs de Weil.

Définition

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.

1. Pour toute section méromorphe non nulle \(s\) de \(\mathcal{L}\) , nous définissons le diviseur de Weil associé à \(s\) comme \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z] \in \text{Div}(X)\] où la somme est effectuée sur les diviseurs premiers.

2. Nous définissons la classe de diviseur de Weil associée à \(\mathcal{L}\) comme l’image de \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\) dans \(\text{Cl}(X)\) où \(s\) est toute section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\) sur \(X\). Cela est bien défini par le Lemme 02SH.

Comme prévu, cette construction est additive dans le module inversible.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Soient \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Soient \(s\), resp.  \(t\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\), resp.  \(\mathcal{N}\). Alors \(st\) est une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\), et \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}_\mathcal{N}(t)\] dans \(\text{Div}(X)\). En particulier, la classe de diviseur de Weil de \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\) est la somme des classes de diviseurs de Weil de \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\).

Démonstration

Soit \(s\), resp.  \(t\) , une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\), resp.  \(\mathcal{N}\). Alors \(st\) est une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\). Soit \(Z \subset X\) un diviseur premier. Soit \(\xi \in Z\) son point générique. Choisissons les générateurs \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) et \(t_\xi \in \mathcal{N}_\xi\). Alors \(s_\xi t_\xi\) est un générateur de \((\mathcal{L} \otimes \mathcal{N})_\xi\). Donc \(st/(s_\xi t_\xi) = (s/s_\xi)(t/t_\xi)\). Ainsi, nous voyons que \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) + \text{ord}_{Z, \mathcal{N}}(t)\] par l’additivité de la fonction \(\text{ord}_Z\) .

De cette manière, nous obtenons un homomorphisme de groupes abéliens [0BE7]\[\begin{equation} \Pic(X) \longrightarrow \text{Cl}(X) \end{equation}\] qui assigne à un module inversible sa classe de diviseur de Weil.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Si \(X\) est normal, alors l’application (0BE7) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) est injective.

Démonstration

Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible dont la classe de diviseur de Weil associée est triviale. Soit \(s\) une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\). L’hypothèse signifie que \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\). Alors nous voyons que \(t = f^{-1}s\) est une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\) avec \(\text{div}_\mathcal{L}(t) = 0\), voir le Lemme 02SH. Nous montrerons que \(t\) définit une trivialisation de \(\mathcal{L}\) , ce qui termine la preuve du lemme. Pour prouver cela, nous pouvons travailler localement sur \(X\). Par conséquent, nous pouvons supposer que \(X = \Spec(A)\) est affine et que \(\mathcal{L}\) est triviale. Alors \(A\) est un anneau noethérien intègre et normal, et \(t\) est un élément de son corps de fractions tel que \(\text{ord}_{A_\mathfrak p}(t) = 0\) pour tout idéal premier de hauteur \(1\), \(\mathfrak p\), de \(A\). Notre objectif est de montrer que \(t\) est une unité de \(A\). Puisque \(A_\mathfrak p\) est un anneau de valuation discrète pour les idéaux premiers de hauteur un de \(A\) (Algèbre, Lemme 031S), la condition signifie que \(t \in A_\mathfrak p^*\) pour tous les idéaux premiers \(\mathfrak p\) de hauteur \(1\). Cela implique \(t \in A\) et \(t^{-1} \in A\) d’après Algèbre, Lemme 031T, et la preuve est complète.

Lemme

Soit \(X\) un schéma intègre localement noethérien. Considérons l’application (0BE7) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\). Les conditions suivantes sont équivalentes

1. les anneaux locaux de \(X\) sont factoriels, et

2. \(X\) est normal et \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) est surjective.

Dans ce cas, \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) est un isomorphisme.

Démonstration

Si (1) est vrai, alors \(X\) est normal d’après Algèbre, Lemme 0AFV. Par conséquent, l’application (0BE7) est injective d’après le Lemme 0BE8. De plus, tout diviseur premier \(D \subset X\) est un diviseur de Cartier effectif d’après le Lemme 0AGA. Dans ce cas, la section canonique \(1_D\) de \(\mathcal{O}_X(D)\) (Définition 01WX) s’annule exactement le long de \(D\) et nous voyons que la classe de \(D\) est l’image de \(\mathcal{O}_X(D)\) sous l’application (0BE7). Ainsi, l’application est également surjective.

Supposons que (2) soit vrai. Choisissons un diviseur premier \(D \subset X\). Puisque (0BE7) est surjective, il existe un faisceau inversible \(\mathcal{L}\), une section méromorphe régulière \(s\), et \(f \in R(X)^*\) tels que \(\text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}(f) = [D]\). En d’autres termes, \(\text{div}_\mathcal{L}(fs) = [D]\). Soit \(x \in X\) et soit \(A = \mathcal{O}_{X, x}\). Ainsi \(A\) est un anneau local noethérien intègre et normal, de corps des fractions \(K = R(X)\). Chaque idéal premier de hauteur \(1\) de \(A\) correspond à un diviseur premier sur \(X\) et chaque \(\mathcal{O}_X\)-module inversible se restreint au module inversible trivial sur \(\Spec(A)\). Il s’ensuit que pour chaque idéal premier de hauteur \(1\), \(\mathfrak p \subset A\), il existe un élément \(f \in K\) tel que \(\text{ord}_{A_\mathfrak p}(f) = 1\) et \(\text{ord}_{A_{\mathfrak p'}}(f) = 0\) pour chaque autre idéal premier \(\mathfrak p'\) de hauteur un. Alors \(f \in A\) par Algèbre, Lemme 031T. En procédant de la même manière, nous voyons que chaque élément \(g \in \mathfrak p\) est de la forme \(g = af\) pour un certain \(a \in A\). Ainsi, nous voyons que chaque idéal premier de hauteur un de \(A\) est principal et \(A\) est un anneau factoriel par Algèbre, Lemme 0AFT.

Compléments sur les modules inversibles

Dans cette section, nous discutons de certaines propriétés des modules inversibles.

Lemme

Soit \(\varphi : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Supposons que

1. \(X\) soit localement noethérien,

2. \(Y\) soit localement noethérien, intègre et normal,

3. \(\varphi\) soit plat à fibres intègres (donc non vides),

4. \(\varphi\) soit soit quasi-compact, soit localement de type fini,

5. \(\mathcal{L}\) soit trivial lorsqu’on le restreint à la fibre générique de \(\varphi\).

Alors \(\mathcal{L} \cong \varphi^*\mathcal{N}\) pour un certain \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible \(\mathcal{N}\).

Démonstration

Soit \(\xi \in Y\) le point générique. Soit \(X_\xi\) la fibre schématique de \(\varphi\) au-dessus de \(\xi\). On note \(\mathcal{L}_\xi\) l’image réciproque de \(\mathcal{L}\) sur \(X_\xi\). L’hypothèse (5) signifie que \(\mathcal{L}_\xi\) est trivial. Choisissons une section trivialisante \(s \in \Gamma(X_\xi, \mathcal{L}_\xi)\). On observe que \(X\) est intègre d’après le Lemme 0BCM. Ainsi, nous pouvons considérer \(s\) comme une section méromorphe régulière de \(\mathcal{L}\). Les images réciproques des fonctions méromorphes sont définies pour \(\varphi\) d’après le Lemme 02OU. Soit \(\mathcal{N} \subset \mathcal{K}_Y\) le \(\mathcal{O}_Y\)-module dont les sections sur un ouvert \(V \subset Y\) sont ces fonctions méromorphes \(g \in \mathcal{K}_Y(V)\) telles que \(\varphi^*(g)s \in \mathcal{L}(\varphi^{-1}V)\). A priori \(\varphi^*(g)s\) est une section de \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) sur \(\varphi^{-1}V\). Nous affirmons que \(\mathcal{N}\) est un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible et que l’application \[\varphi^*\mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{L},\quad g \longmapsto gs\] est un isomorphisme.

Nous prouvons d’abord l’affirmation dans la situation suivante: \(X\) et \(Y\) sont affines et \(\mathcal{L}\) est trivial. Disons que \(Y = \Spec(R)\), \(X = \Spec(A)\), et \(s\) est donné par l’élément \(s \in A \otimes_R K\) où \(K\) est le corps des fractions de \(R\). Nous pouvons écrire \(s = a/r\) pour un certain \(r \in R\) non nul et \(a \in A\). Puisque \(s\) engendre \(\mathcal{L}\) sur la fibre générique, nous voyons qu’il existe un \(s' \in A \otimes_R K\) tel que \(ss' = 1\). Ainsi, nous voyons que \(s = r'/a'\) pour un certain \(r' \in R\) et \(a' \in A\) non nuls. Soit \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset R\) les idéaux premiers minimaux au-dessus de \(rr'\). Chaque \(R_{\mathfrak p_i}\) est un anneau de valuation discrète (Algèbre, Lemmes 00KV et 031S). Par hypothèse, \(\mathfrak q_i = \mathfrak p_i A\) est un idéal premier. Donc \(\mathfrak q_i A_{\mathfrak q_i}\) est engendré par un seul élément et nous trouvons que \(A_{\mathfrak q_i}\) est aussi un anneau de valuation discrète (Algèbre, Lemme 00PD). Bien sûr, \(R_{\mathfrak p_i} \to A_{\mathfrak q_i}\) a un indice de ramification \(1\). Soit \(e_i, e'_i \geq 0\) la valuation de \(a, a'\) dans \(A_{\mathfrak q_i}\). Alors \(e_i + e'_i\) est la valuation de \(rr'\) dans \(R_{\mathfrak p_i}\). Notons que \[\mathfrak p_1^{(e_1 + e'_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n + e'_n)} = (rr')\] dans \(R\) d’après Algèbre, Lemme 031T. Posons \[I = \mathfrak p_1^{(e_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n)} \quad\text{et}\quad I' = \mathfrak p_1^{(e'_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e'_n)}\] de sorte que \(II' \subset (rr')\). Observons que \[IA = (\mathfrak p_1^{(e_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n)})A = (\mathfrak p_1A)^{(e_1)} \cap \ldots \cap (\mathfrak p_i A)^{(e_n)}\] d’après Algèbre, Lemmes 0BC0 et 0BBY. De même pour \(I'A\). D’où \(a \in IA\) et \(a' \in I'A\). Nous concluons que \(IA \otimes_A I'A \to rr'A\) est surjectif. Par la platitude fidèle de \(R \to A\) , nous trouvons que \(I \otimes_R I' \to (rr')\) est également surjectif. Il s’ensuit que \(II' = (rr')\) , \(I\) et \(I'\) sont finis localement libres de rang \(1\), voir Algèbre, Lemme 09ME. Ainsi, localement pour la topologie de Zariski sur \(R\) , nous pouvons écrire \(I = (g)\) et \(I' = (g')\) avec \(gg' = rr'\). Ensuite, \(a = ug\) et \(a' = u'g'\) pour certains \(u, u' \in A\). Nous concluons que \(u, u'\) sont des unités. Ainsi, localement pour la topologie de Zariski sur \(R\) , nous avons \(s = ug/r\) et l’affirmation s’ensuit dans ce cas.

Soit \(y \in Y\) un point. Choisissons \(x \in X\) dont l’image est \(y\). Nous pouvons appliquer le résultat du paragraphe précédent à \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\). Nous en concluons qu’il existe un élément \(g \in R(Y)^*\) bien défini à un facteur près d’un élément de \(\mathcal{O}_{Y, y}^*\) tel que \(\varphi^*(g)s\) génère \(\mathcal{L}_x\). Ainsi, \(\varphi^*(g)s\) génère \(\mathcal{L}\) dans un voisinage \(U\) de \(x\). Supposons que \(x'\) soit un second point au-dessus de \(y\) et que \(g' \in R(Y)^*\) soit tel que \(\varphi^*(g')s\) génère \(\mathcal{L}\) dans un voisinage ouvert \(U'\) de \(x'\). Alors nous pouvons choisir un point \(x''\) dans \(U \cap U' \cap \varphi^{-1}(\{y\})\) car la fibre est irréductible. Par l’unicité pour l’application d’anneaux \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x''}\) , nous trouvons que \(g\) et \(g'\) diffèrent (multiplicativement) par un élément de \(\mathcal{O}_{Y, y}^*\). Ainsi, nous voyons que \(\varphi^*(g)s\) est un générateur pour \(\mathcal{L}\) sur un voisinage ouvert de \(\varphi^{-1}(y)\). Soit \(Z \subset X\) l’ensemble des points \(z \in X\) tels que \(\varphi^*(g)s\) ne génère pas \(\mathcal{L}_z\). Les arguments ci-dessus montrent que \(Z\) est fermé et que \(Z = \varphi^{-1}(T)\) pour un certain sous-ensemble \(T \subset Y\) avec \(y \not \in T\). Si nous pouvons montrer que \(T\) est fermé, alors \(g\) sera un générateur pour \(\mathcal{N}\) en tant que \(\mathcal{O}_Y\)-module dans le voisinage ouvert \(Y \setminus T\) de \(y\) , ce qui achève la preuve (certains détails sont omis).

Si \(\varphi\) est quasi-compact, alors \(T\) est fermé par les morphismes, Lemme 02JY. Si \(\varphi\) est localement de type fini, alors \(\varphi\) est ouvert par les morphismes, Lemme 01UA. Alors \(Y \setminus T\) est ouvert en tant qu’image de l’ouvert \(X \setminus Z\).