Introduction
Nous étudions d’abord les catégories triangulées et la localisation dans les catégories triangulées. Nous démontrons ensuite que la catégorie d’homotopie des complexes d’une catégorie additive est une catégorie triangulée. Cela fait, nous définissons la catégorie dérivée d’une catégorie abélienne comme la localisation de la catégorie d’homotopie relativement aux quasi-isomorphismes. La thèse de Verdier [Verdier] constitue une bonne référence.
Catégories triangulées
Les catégories triangulées sont un outil commode pour décrire le type de structure inhérent à la catégorie dérivée d’une catégorie abélienne. On pourra consulter [Verdier], [KS] et [Neeman].
Définition d’une catégorie triangulée
Nous rassemblons dans cette section la plupart des définitions relatives aux catégories triangulées et prétriangulées.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie additive. Soit \([1] : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\), \(E \mapsto E[1]\), un foncteur additif qui est une autoéquivalence de \(\mathcal{D}\).
Un triangle est un sextuple \((X, Y, Z, f, g, h)\) où \(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{D})\) et où \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\) et \(h : Z \to X[1]\) sont des morphismes de \(\mathcal{D}\).
Un morphisme de triangles \((X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\) est la donnée de morphismes \(a : X \to X'\), \(b : Y \to Y'\) et \(c : Z \to Z'\) de \(\mathcal{D}\) tels que \(b \circ f = f' \circ a\), \(c \circ g = g' \circ b\) et \(a[1] \circ h = h' \circ c\).
Un morphisme de triangles se représente par le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^a & Y \ar[r] \ar[d]^b & Z \ar[r] \ar[d]^c & X[1] \ar[d]^{a[1]} \\ X' \ar[r] & Y' \ar[r] & Z' \ar[r] & X'[1] }\] Dans la situation de la définition 0144, on écrit \([0] = \text{id}\) ; pour \(n > 0\), on note \([n]\) le composé \(n\) fois de \([1]\) ; on choisit un quasi-inverse \([-1]\) de \([1]\) et l’on pose que \([-n]\) est le composé \(n\) fois de \([-1]\). Ainsi, \(\{[n]\}_{n \in \mathbf{Z}}\) est une famille d’autoéquivalences additives de \(\mathcal{D}\) indexée par \(n \in \mathbf{Z}\), munie d’isomorphismes de foncteurs \([n] \circ [m] \cong [n + m]\).
Voici la définition d’une catégorie triangulée donnée dans la thèse de Verdier.
Définition
Une catégorie triangulée est un triplet \((\mathcal{D}, \{[n]\}_{n\in \mathbf{Z}}, \mathcal{T})\) où
\(\mathcal{D}\) est une catégorie additive,
\([1] : \mathcal{D} \to \mathcal{D}\), \(E \mapsto E[1]\), est une autoéquivalence additive et \([n]\), pour \(n \in \mathbf{Z}\), est défini comme ci-dessus, et
\(\mathcal{T}\) est un ensemble de triangles (définition 0144), appelés les triangles distingués,
soumis aux conditions suivantes :
Tout triangle isomorphe à un triangle distingué est distingué. Tout triangle de la forme \((X, X, 0, \text{id}, 0, 0)\) est distingué. Pour tout morphisme \(f : X \to Y\) de \(\mathcal{D}\), il existe un triangle distingué de la forme \((X, Y, Z, f, g, h)\).
Le triangle \((X, Y, Z, f, g, h)\) est distingué si et seulement si le triangle \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) l’est.
Étant donné un diagramme aux flèches pleines \[\xymatrix{ X \ar[r]^f \ar[d]^a & Y \ar[r]^g \ar[d]^b & Z \ar[r]^h \ar@{-->}[d] & X[1] \ar[d]^{a[1]} \\ X' \ar[r]^{f'} & Y' \ar[r]^{g'} & Z' \ar[r]^{h'} & X'[1] }\] dont les lignes sont des triangles distingués et qui satisfait \(b \circ f = f' \circ a\), il existe un morphisme \(c : Z \to Z'\) tel que \((a, b, c)\) soit un morphisme de triangles.
Étant donnés des objets \(X\), \(Y\), \(Z\) de \(\mathcal{D}\), des morphismes \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\), et des triangles distingués \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1)\), \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\) et \((Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\), il existe des morphismes \(a : Q_1 \to Q_2\) et \(b : Q_2 \to Q_3\) tels que
\((Q_1, Q_2, Q_3, a, b, p_1[1] \circ d_3)\) soit un triangle distingué,
le triplet \((\text{id}_X, g, a)\) soit un morphisme de triangles \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1) \to (X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\), et
le triplet \((f, \text{id}_Z, b)\) soit un morphisme de triangles \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2) \to (Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\).
Nous dirons que \((\mathcal{D}, [\ ], \mathcal{T})\) est une catégorie prétriangulée si TR1, TR2 et TR3 sont vérifiés.1
L’idée sous-jacente à TR4 est la suivante : si l’on considère \(Q_1\) comme \(Y/X\), \(Q_2\) comme \(Z/X\) et \(Q_3\) comme \(Z/Y\), alors TR4(a) exprime l’isomorphisme \((Z/X)/(Y/X) \cong Z/Y\), tandis que TR4(b) et TR4(c) expriment que l’on peut comparer les triangles \(X \to Y \to Q_1 \to X[1]\), etc., par des morphismes de triangles. Pour une reformulation plus précise de cette idée, voir la démonstration du lemme 014R.
Le signe dans TR2 signifie que, si \((X, Y, Z, f, g, h)\) est un triangle distingué, alors chaque suite de quatre termes dans la suite longue [05QL]\[\begin{equation} \ldots \to Z[-1] \xrightarrow{-h[-1]} X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} X[1] \xrightarrow{-f[1]} Y[1] \xrightarrow{-g[1]} Z[1] \to \ldots \end{equation}\] donne un triangle distingué.
Comme d’ordinaire, nous abusons de la notation et parlons simplement d’une catégorie (pré)triangulée \(\mathcal{D}\), sans introduire explicitement de notation pour les données supplémentaires. La notion de catégorie prétriangulée est utile pour trouver des énoncés équivalents à TR4.
Nous avons la définition suivante d’un foncteur triangulé.
Définition
Soient \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) des catégories prétriangulées. Un foncteur exact, ou un foncteur triangulé, de \(\mathcal{D}\) dans \(\mathcal{D}'\) est un foncteur \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) muni d’isomorphismes fonctoriels \(\xi_X : F(X[1]) \to F(X)[1]\) tels que, pour tout triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\) de \(\mathcal{D}\), le triangle \((F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), \xi_X \circ F(h))\) soit distingué dans \(\mathcal{D}'\).
Un foncteur exact est additif ; voir le lemme 05QY. Lorsque nous disons que deux catégories triangulées sont équivalentes, nous entendons qu’elles sont équivalentes dans la \(2\)-catégorie des catégories triangulées. Un \(2\)-morphisme \(a : (F, \xi) \to (F', \xi')\) dans cette \(2\)-catégorie est simplement une transformation de foncteurs \(a : F \to F'\) compatible avec \(\xi\) et \(\xi'\), c’est-à-dire que le diagramme \[\xymatrix{ F \circ [1] \ar[r]_\xi \ar[d]_{a \star 1} & [1] \circ F \ar[d]^{1 \star a} \\ F' \circ [1] \ar[r]^{\xi'} & [1] \circ F' }\] est commutatif.
Définition
Soit \((\mathcal{D}, [\ ], \mathcal{T})\) une catégorie prétriangulée. Une sous-catégorie prétriangulée2 est un couple \((\mathcal{D}', \mathcal{T}')\) tel que
\(\mathcal{D}'\) soit une sous-catégorie additive de \(\mathcal{D}\), stable par \([1]\), et que \([1] : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}'\) soit une autoéquivalence,
\(\mathcal{T}' \subset \mathcal{T}\) soit un sous-ensemble tel que, pour tout \((X, Y, Z, f, g, h) \in \mathcal{T}'\), on ait \(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{D}')\) et \(f, g, h \in \text{Flèches}(\mathcal{D}')\), et
\((\mathcal{D}', [\ ], \mathcal{T}')\) soit une catégorie prétriangulée.
Si \(\mathcal{D}\) est une catégorie triangulée, nous disons que \((\mathcal{D}', \mathcal{T}')\) est une sous-catégorie triangulée si c’est une sous-catégorie prétriangulée et si \((\mathcal{D}', [\ ], \mathcal{T}')\) est une catégorie triangulée.
Dans cette situation, le foncteur d’inclusion \(\mathcal{D}' \to \mathcal{D}\) est exact, avec \(\xi_X : X[1] \to X[1]\) donné par l’identité de \(X[1]\).
Nous verrons au lemme 0146 que, pour un triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\) d’une catégorie prétriangulée, le composé \(g \circ f : X \to Z\) est nul. La suite (05QL) est donc un complexe. Un foncteur homologique est un foncteur qui transforme ce complexe en une suite exacte longue.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée et soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un foncteur additif \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) est dit homologique si, pour tout triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\), la suite \[H(X) \to H(Y) \to H(Z)\] est exacte dans la catégorie abélienne \(\mathcal{A}\). Un foncteur additif \(H : \mathcal{D}^{opp} \to \mathcal{A}\) est dit cohomologique si le foncteur correspondant \(\mathcal{D} \to \mathcal{A}^{opp}\) est homologique.
Si \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) est un foncteur homologique, nous écrivons souvent \(H^n(X) = H(X[n])\), de sorte que \(H(X) = H^0(X)\). La discussion de TR2 ci-dessus montre qu’un triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\) détermine une suite exacte longue [0148]\[\begin{equation} \xymatrix@C=3pc{ H^{-1}(Z) \ar[r]^{H(h[-1])} & H^0(X) \ar[r]^{H(f)} & H^0(Y) \ar[r]^{H(g)} & H^0(Z) \ar[r]^{H(h)} & H^1(X) } \end{equation}\] Nous l’appellerons la suite exacte longue associée au triangle distingué et au foncteur homologique. Comme l’indique la notation, nous n’introduirons aucun signe dans les morphismes de cette suite exacte longue. Il en résulte que les applications de la suite exacte longue associée à la rotation (TR2) d’un triangle distingué diffèrent parfois, par des signes, des applications de la suite ci-dessus.
Définition
Soient \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Un \(\delta\)-foncteur de \(\mathcal{A}\) dans \(\mathcal{D}\) est la donnée d’un foncteur \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\) et d’une règle qui associe à toute suite exacte courte \[0 \to A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C \to 0\] un morphisme \(\delta = \delta_{A \to B \to C} : G(C) \to G(A)[1]\) tel que
le triangle \((G(A), G(B), G(C), G(a), G(b), \delta_{A \to B \to C})\) soit un triangle distingué de \(\mathcal{D}\) pour toute suite exacte courte comme ci-dessus, et
pour tout morphisme \((A \to B \to C) \to (A' \to B' \to C')\) de suites exactes courtes, le diagramme \[\xymatrix{ G(C) \ar[d] \ar[rr]_{\delta_{A \to B \to C}} & & G(A)[1] \ar[d] \\ G(C') \ar[rr]^{\delta_{A' \to B' \to C'}} & & G(A')[1] }\] soit commutatif.
Dans cette situation, nous appelons \((G(A), G(B), G(C), G(a), G(b), \delta_{A \to B \to C})\) l’image de la suite exacte courte par le \(\delta\)-foncteur donné.
On remarquera qu’un \(\delta\)-foncteur est muni d’une structure supplémentaire. À strictement parler, il n’est pas correct de dire qu’un foncteur donné \(\mathcal{A} \to \mathcal{D}\) est un \(\delta\)-foncteur ; nous le ferons néanmoins souvent.
Résultats élémentaires sur les catégories triangulées
La plupart des résultats de cette section sont démontrés pour les catégories prétriangulées et sont donc, a fortiori, valables dans toute catégorie triangulée.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle distingué. Alors \(g \circ f = 0\), \(h \circ g = 0\) et \(f[1] \circ h = 0\).
Démonstration
Par TR1, \((X, X, 0, 1, 0, 0)\) est un triangle distingué. Appliquons TR3 à \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^1 & X \ar[r] \ar[d]^f & 0 \ar[r] \ar@{-->}[d] & X[1] \ar[d]^{1[1]} \\ X \ar[r]^f & Y \ar[r]^g & Z \ar[r]^h & X[1] }\] Bien entendu, la flèche pointillée est le morphisme nul. La commutativité du diagramme implique donc \(g \circ f = 0\). Pour les autres cas, on effectue une rotation du triangle, c’est-à-dire que l’on applique TR2.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Pour tout objet \(W\) de \(\mathcal{D}\), le foncteur \(\Hom_\mathcal{D}(W, -)\) est homologique et le foncteur \(\Hom_\mathcal{D}(-, W)\) est cohomologique.
Démonstration
Considérons un triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\). Nous avons déjà vu que \(g \circ f = 0\) ; voir le lemme 0146. Supposons que \(a : W \to Y\) soit un morphisme tel que \(g \circ a = 0\). On obtient alors le diagramme commutatif \[\xymatrix{ W \ar[r]_1 \ar@{..>}[d]^b & W \ar[r] \ar[d]^a & 0 \ar[r] \ar[d]^0 & W[1] \ar@{..>}[d]^{b[1]} \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z \ar[r] & X[1] }\] Les deux lignes sont des triangles distingués (utiliser TR1 pour la ligne supérieure). On peut donc compléter la flèche pointillée \(b\) (on effectue d’abord une rotation par TR2, puis on applique TR3, et enfin on effectue la rotation inverse). Cela démontre le lemme.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \[(a, b, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\] un morphisme de triangles distingués. Si deux des morphismes \(a, b, c\) sont des isomorphismes, alors le troisième l’est également.
Démonstration
Supposons que \(a\) et \(c\) soient des isomorphismes. Pour tout objet \(W\) de \(\mathcal{D}\), écrivons \(H_W( - ) = \Hom_\mathcal{D}(W, -)\). On obtient un diagramme commutatif de groupes abéliens \[\xymatrix{ H_W(Z[-1]) \ar[r] \ar[d] & H_W(X) \ar[r] \ar[d] & H_W(Y) \ar[r] \ar[d] & H_W(Z) \ar[r] \ar[d] & H_W(X[1]) \ar[d] \\ H_W(Z'[-1]) \ar[r] & H_W(X') \ar[r] & H_W(Y') \ar[r] & H_W(Z') \ar[r] & H_W(X'[1]) }\] Par hypothèse, les deux flèches verticales de droite et les deux flèches verticales de gauche sont bijectives. Comme \(H_W\) est homologique par le lemme 0149, le lemme des cinq (Homologie, lemme 05QB) montre que la flèche verticale du milieu est un isomorphisme. Le lemme de Yoneda, voir Catégories, lemme 001P, montre donc que \(b\) est un isomorphisme. On en déduit les autres cas par rotation (en utilisant TR2).
Remarque
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie additive munie de foncteurs de translation \([n]\) comme dans la définition 0144. Disons qu’un triangle \((X, Y, Z, f, g, h)\) est spécial3 si, pour tout objet \(W\) de \(\mathcal{D}\), la suite longue de groupes abéliens \[\ldots \to \Hom_\mathcal{D}(W, X) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Y) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Z) \to \Hom_\mathcal{D}(W, X[1]) \to \ldots\] est exacte. La démonstration du lemme 014A montre que, si \[(a, b, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\] est un morphisme de triangles spéciaux et si deux des morphismes \(a, b, c\) sont des isomorphismes, alors le troisième l’est aussi. On dispose d’un énoncé dual pour les triangles cospéciaux, c’est-à-dire les triangles que le foncteur \(\Hom_\mathcal{D}(-, W)\) transforme en suites exactes longues. Ainsi, les triangles distingués sont spéciaux et cospéciaux, mais il existe en général beaucoup plus de triangles (co)spéciaux que de triangles distingués.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soient \[(0, b, 0), (0, b', 0) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X, Y, Z, f, g, h)\] des endomorphismes d’un triangle distingué. Alors \(bb' = 0\).
Démonstration
Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^0 & Y \ar[r] \ar[d]^{b, b'} \ar@{..>}[ld]^\alpha & Z \ar[r] \ar[d]^0 \ar@{..>}[ld]^\beta & X[1] \ar[d]^0 \\ X \ar[r] & Y \ar[r] & Z \ar[r] & X[1] }\] En appliquant le lemme 0149, on trouve des flèches pointillées \(\alpha\) et \(\beta\) telles que \(b' = f \circ \alpha\) et \(b = \beta \circ g\). Ainsi, \(bb' = \beta \circ g \circ f \circ \alpha = 0\), puisque \(g \circ f = 0\) par le lemme 0146.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle distingué. Si \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_c & X[1] \ar[d]^{a[1]} \\ Z \ar[r]^h & X[1] }\] est commutatif et si \(a^2 = a\), \(c^2 = c\), alors il existe un morphisme \(b : Y \to Y\) tel que \(b^2 = b\) et que \((a, b, c)\) soit un endomorphisme du triangle \((X, Y, Z, f, g, h)\).
Démonstration
Par TR3, il existe un morphisme \(b'\) tel que \((a, b', c)\) soit un endomorphisme de \((X, Y, Z, f, g, h)\). Alors \((0, (b')^2 - b', 0)\) est également un endomorphisme. Le lemme 05QP montre que \((b')^2 - b'\) est de carré nul. Posons \(b = b' - (2b' - 1)((b')^2 - b') = 3(b')^2 - 2(b')^3\). Un calcul montre que \((a, b, c)\) est un endomorphisme et que \(b^2 - b = (4(b')^2 - 4b' - 3)((b')^2 - b')^2 = 0\).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{D}\). Il existe un triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\), unique à isomorphisme (non unique) de triangles près. Plus précisément, étant donné un second triangle distingué de cette forme \((X, Y, Z', f, g', h')\), il existe un isomorphisme \[(1, 1, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \longrightarrow (X, Y, Z', f, g', h')\]
Démonstration
L’existence résulte de TR1. L’unicité à isomorphisme près résulte de TR3 et du lemme 014A.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \[(a, b, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h')\] un morphisme de triangles distingués. Si l’une des conditions suivantes est vérifiée :
\(\Hom(Y, X') = 0\),
\(\Hom(Z, Y') = 0\),
\(\Hom(X, X') = \Hom(Z, X') = 0\),
\(\Hom(Z, X') = \Hom(Z, Z') = 0\), ou
\(\Hom(X[1], Z') = \Hom(Z, X') = 0\),
alors \(b\) est l’unique morphisme \(Y \to Y'\) tel que \((a, b, c)\) soit un morphisme de triangles.
Démonstration
S’il existe un second morphisme de triangles \((a, b', c)\), alors \((0, b - b', 0)\) est un morphisme de triangles. Il suffit donc de montrer que le seul morphisme \(b : Y \to Y'\) tel que les composés \(X \to Y \to Y'\) et \(Y \to Y' \to Z'\) soient nuls est \(0\). Nous utiliserons sans autre mention le lemme 0149. En particulier, la condition (3) implique (1). Sous l’hypothèse (1), si le composé \(g' \circ b : Y \to Y' \to Z'\) est nul, alors \(b\) se relève en un morphisme \(Y \to X'\), qui est nécessairement nul. Cela démontre (1).
Les démonstrations de (2) et de (4) sont duales de cet argument.
Supposons (5). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[r]_f \ar[d]^0 & Y \ar[r]_g \ar[d]^b & Z \ar[r]_h \ar[d]^0 \ar@{..>}[ld]^\epsilon & X[1] \ar[d]^0 \\ X' \ar[r]^{f'} & Y' \ar[r]^{g'} & Z' \ar[r]^{h'} & X'[1] }\] On peut choisir \(\epsilon\) de telle sorte que \(b = \epsilon \circ g\). Alors \(g' \circ \epsilon \circ g = 0\), ce qui implique \(g' \circ \epsilon = \delta \circ h\) pour un certain \(\delta \in \Hom(X[1], Z')\). Puisque \(\Hom(X[1], Z') = 0\), on en déduit \(g' \circ \epsilon = 0\). Ainsi, \(\epsilon = f' \circ \gamma\) pour un certain \(\gamma \in \Hom(Z, X')\). Comme \(\Hom(Z, X') = 0\), on obtient \(\epsilon = 0\), et donc \(b = 0\), comme voulu.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{D}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(f\) est un isomorphisme,
\((X, Y, 0, f, 0, 0)\) est un triangle distingué, et
pour tout triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\), on a \(Z = 0\).
Démonstration
Par TR1, le triangle \((X, X, 0, 1, 0, 0)\) est distingué. Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle distingué. Par TR3, il existe un morphisme de triangles distingués \((1, f, 0) : (X, X, 0) \to (X, Y, Z)\). Si \(f\) est un isomorphisme, alors \((1, f, 0)\) est un isomorphisme de triangles par le lemme 014A, et \(Z = 0\). Réciproquement, si \(Z = 0\), alors \((1, f, 0)\) est encore un isomorphisme de triangles, et \(f\) est donc un isomorphisme.
Lemme
Soient \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée et \((X, Y, Z, f, g, h)\), \((X', Y', Z', f', g', h')\) des triangles. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\((X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h')\) est un triangle distingué,
les deux triangles \((X, Y, Z, f, g, h)\) et \((X', Y', Z', f', g', h')\) sont distingués.
Démonstration
Supposons (2). Par TR1, on peut choisir un triangle distingué \((X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h'')\). Par TR3, on peut trouver des morphismes de triangles distingués \((X, Y, Z, f, g, h) \to (X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h'')\) et \((X', Y', Z', f', g', h') \to (X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h'')\). En prenant la somme directe de ces morphismes, on obtient un morphisme de triangles \[\xymatrix{ (X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h') \ar[d]^{(1, 1, c)} \\ (X \oplus X', Y \oplus Y', Q, f \oplus f', g'', h''). }\] Selon la terminologie de la remarque 09WA, c’est un morphisme de triangles spéciaux (car une somme directe de triangles spéciaux est spéciale), et l’on en déduit que \(c\) est un isomorphisme. Ainsi, (1) est vérifiée.
Supposons (1). Montrons que \((X, Y, Z, f, g, h)\) est un triangle distingué. Remarquons d’abord que \((X, Y, Z, f, g, h)\) est un triangle spécial (terminologie de la remarque 09WA), puisqu’il est un facteur direct du triangle distingué, donc spécial, \((X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h')\). Par TR1, choisissons un triangle distingué \((X, Y, Q, f, g'', h'')\). Par TR3, il existe un morphisme de triangles distingués \((X \oplus X', Y \oplus Y', Z \oplus Z', f \oplus f', g \oplus g', h \oplus h') \to (X, Y, Q, f, g'', h'')\). En le composant avec l’inclusion, on obtient un morphisme de triangles \[(1, 1, c) : (X, Y, Z, f, g, h) \longrightarrow (X, Y, Q, f, g'', h'')\] La remarque 09WA montre que \(c\) est un isomorphisme, d’où (2).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle distingué.
Si \(h = 0\), alors il existe un inverse à droite \(s : Z \to Y\) de \(g\).
Pour tout inverse à droite \(s : Z \to Y\) de \(g\), l’application \(f \oplus s : X \oplus Z \to Y\) est un isomorphisme.
Pour tous objets \(X', Z'\) de \(\mathcal{D}\), le triangle \((X', X' \oplus Z', Z', (1, 0), (0, 1), 0)\) est distingué.
Démonstration
Pour (1), on utilise l’exactitude de \(\Hom_\mathcal{D}(Z, Y) \to \Hom_\mathcal{D}(Z, Z) \to \Hom_\mathcal{D}(Z, X[1])\), donnée par le lemme 0149. De même, si \(s\) est comme dans (2), alors \(h = 0\) et la suite \[0 \to \Hom_\mathcal{D}(W, X) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Y) \to \Hom_\mathcal{D}(W, Z) \to 0\] est exacte scindée (par \(s : Z \to Y\)). Le lemme de Yoneda montre donc que \(X \oplus Z \to Y\) est un isomorphisme. La dernière assertion résulte de TR1 et du lemme 05QS.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{D}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(f\) possède un noyau,
\(f\) possède un conoyau,
\(f\) est isomorphe à une composée \(K \oplus Z \to Z \to Z \oplus Q\) d’une projection et d’une coprojection, pour certains objets \(K, Z, Q\) de \(\mathcal{D}\).
Démonstration
Tout morphisme isomorphe à une application de la forme \(X' \oplus Z \to Z \oplus Y'\) possède à la fois un noyau et un conoyau. Ainsi (3) \(\Rightarrow\) (1), (2). Montrons ensuite que (1) \(\Rightarrow\) (3). Supposons d’abord que \(f : X \to Y\) soit un monomorphisme, c’est-à-dire que son noyau soit nul. Par TR1, il existe un triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\). D’après le lemme 0146, la composée \(f \circ h[-1] = 0\). Comme \(f\) est un monomorphisme, on a \(h[-1] = 0\), et donc \(h = 0\). Le lemme 05QT entraîne alors \(Y = X \oplus Z\) ; la condition (3) est donc satisfaite. Supposons maintenant que \(f\) possède un noyau \(K\). Comme \(K \to X\) est un monomorphisme, on obtient \(X = K \oplus X'\) et \(f|_{X'} : X' \to Y\) est un monomorphisme. Ainsi \(Y = X' \oplus Y'\), ce qui conclut la démonstration. L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est duale.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(I\) un ensemble.
Soit \(X_i\), \(i \in I\), une famille d’objets de \(\mathcal{D}\).
Si \(\prod X_i\) existe, alors \((\prod X_i)[1] = \prod X_i[1]\).
Si \(\bigoplus X_i\) existe, alors \((\bigoplus X_i)[1] = \bigoplus X_i[1]\).
Soit \(X_i \to Y_i \to Z_i \to X_i[1]\) une famille de triangles distingués de \(\mathcal{D}\).
Si \(\prod X_i\), \(\prod Y_i\), \(\prod Z_i\) existent, alors \(\prod X_i \to \prod Y_i \to \prod Z_i \to \prod X_i[1]\) est un triangle distingué.
Si \(\bigoplus X_i\), \(\bigoplus Y_i\), \(\bigoplus Z_i\) existent, alors \(\bigoplus X_i \to \bigoplus Y_i \to \bigoplus Z_i \to \bigoplus X_i[1]\) est un triangle distingué.
Démonstration
La partie (1) résulte de ce que \([1]\) est une autoéquivalence de \(\mathcal{D}\) et de ce que les sommes directes et les produits sont définis par la structure de catégorie. Démontrons (2)(a). Choisissons un triangle distingué \(\prod X_i \to \prod Y_i \to Z \to \prod X_i[1]\). Pour chaque \(j\), TR3 permet de choisir un morphisme \(p_j : Z \to Z_j\) qui, avec les projections \(\prod X_i \to X_j\) et \(\prod Y_i \to Y_j\), forme un morphisme de triangles distingués. Par la définition des produits, on obtient une application \(\prod p_i : Z \to \prod Z_i\) qui complète un morphisme du triangle distingué vers le triangle formé par les produits. Remarquons que le triangle « produit » \(\prod X_i \to \prod Y_i \to \prod Z_i \to \prod X_i[1]\) est spécial au sens de la remarque 09WA, car les produits de suites exactes de groupes abéliens sont exacts. La remarque 09WA montre donc que le morphisme de triangles est un isomorphisme, et l’on conclut par TR1. La démonstration de (2)(b) est duale.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Si \(\mathcal{D}\) admet les produits dénombrables, alors \(\mathcal{D}\) est karoubienne. Si \(\mathcal{D}\) admet les coproduits dénombrables, alors \(\mathcal{D}\) est karoubienne.
Démonstration
Supposons que \(\mathcal{D}\) admette les produits dénombrables. D’après Algèbre homologique, lemme 05QV, il suffit de vérifier que les morphismes possédant un inverse à droite ont un noyau. Tout morphisme possédant un inverse à droite est un épimorphisme et possède donc un noyau d’après le lemme 05QU. La seconde assertion est duale de la première.
Le lemme suivant simplifie légèrement la démonstration du fait qu’une catégorie prétriangulée est triangulée.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Pour démontrer TR4, il suffit de montrer que, pour toute paire de morphismes composables \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\), il existe
des isomorphismes \(i : X' \to X\), \(j : Y' \to Y\) et \(k : Z' \to Z\), puis, en posant \(f' = j^{-1}fi : X' \to Y'\) et \(g' = k^{-1}gj : Y' \to Z'\), il existe
des triangles distingués \((X', Y', Q_1, f', p_1, d_1)\), \((X', Z', Q_2, g' \circ f', p_2, d_2)\) et \((Y', Z', Q_3, g', p_3, d_3)\), pour lesquels l’assertion de TR4 est satisfaite.
Démonstration
Le remplacement de \(X, Y, Z\) par \(X', Y', Z'\) est inoffensif, par notre définition des triangles distingués et de leurs isomorphismes. Le lemme résulte du fait que les triangles distingués \((X', Y', Q_1, f', p_1, d_1)\), \((X', Z', Q_2, g' \circ f', p_2, d_2)\) et \((Y', Z', Q_3, g', p_3, d_3)\) sont uniques à isomorphisme près, d’après le lemme 014B.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Supposons que \(\mathcal{D}'\) soit une sous-catégorie additive pleine de \(\mathcal{D}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
il existe un ensemble de triangles \(\mathcal{T}'\) tel que \((\mathcal{D}', \mathcal{T}')\) soit une sous-catégorie prétriangulée de \(\mathcal{D}\),
\(\mathcal{D}'\) est stable par \([1]\), \([1] : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}'\) est une autoéquivalence, et pour tout morphisme \(f : X \to Y\) de \(\mathcal{D}'\), il existe un triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\) dans \(\mathcal{D}\) tel que \(Z\) soit isomorphe à un objet de \(\mathcal{D}'\).
Dans ce cas, \(\mathcal{T}'\) dans (1) est l’ensemble des triangles distingués \((X, Y, Z, f, g, h)\) de \(\mathcal{D}\) tels que \(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{D}')\). Enfin, si \(\mathcal{D}\) est une catégorie triangulée, alors (1) et (2) sont également équivalentes à
\(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie triangulée.
Démonstration
Démonstration omise.
Lemme
Un foncteur exact entre catégories prétriangulées est additif.
Démonstration
Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact entre catégories prétriangulées. Puisque \((0, 0, 0, 1_0, 1_0, 0)\) est un triangle distingué de \(\mathcal{D}\), le triangle \[(F(0), F(0), F(0), 1_{F(0)}, 1_{F(0)}, F(0))\] est distingué dans \(\mathcal{D}'\). Il en résulte que \(1_{F(0)} \circ 1_{F(0)}\) est nul ; voir le lemme 0146. Ainsi \(F(0)\) est l’objet nul de \(\mathcal{D}'\). Cela montre également que \(F\) envoie tout morphisme nul sur zéro (car un morphisme d’une catégorie additive est nul si et seulement s’il se factorise par l’objet nul). Ensuite, le lemme 05QT, partie (3), affirme que \((X, X \oplus Y, Y, (1, 0), (0, 1), 0)\) est un triangle distingué ; par conséquent, \((F(X), F(X \oplus Y), F(Y), F(1, 0), F(0, 1), 0)\) en est également un. Le lemme 05QT, partie (2), montre alors que l’application \(F(X) \oplus F(Y) \to F(X \oplus Y)\) est un isomorphisme. Pour conclure, on applique Algèbre homologique, lemme 0DLP.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact pleinement fidèle entre catégories prétriangulées. Alors un triangle \((X, Y, Z, f, g, h)\) de \(\mathcal{D}\) est distingué si et seulement si \((F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), F(h))\) est distingué dans \(\mathcal{D}'\).
Démonstration
Le sens direct est clair. Supposons \((F(X), F(Y), F(Z))\) distingué dans \(\mathcal{D}'\). Choisissons un triangle distingué \((X, Y, Z', f, g', h')\) dans \(\mathcal{D}\). D’après le lemme 014B, il existe un isomorphisme de triangles \[(1, 1, c') : (F(X), F(Y), F(Z)) \longrightarrow (F(X), F(Y), F(Z')).\] Comme \(F\) est pleinement fidèle, il existe un morphisme \(c : Z \to Z'\) tel que \(F(c) = c'\). Alors \((1, 1, c)\) est un isomorphisme entre \((X, Y, Z)\) et \((X, Y, Z')\). Par TR1, \((X, Y, Z)\) est donc distingué.
Lemme
Soient \(\mathcal{D}, \mathcal{D}', \mathcal{D}''\) des catégories prétriangulées. Soient \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) et \(F' : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}''\) des foncteurs exacts. Alors \(F' \circ F\) est un foncteur exact.
Démonstration
Démonstration omise.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique.
Soit \(\mathcal{D}'\) une catégorie prétriangulée. Soit \(F : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}\) un foncteur exact. Alors la composée \(H \circ F\) est aussi un foncteur homologique.
Soit \(\mathcal{A}'\) une catégorie abélienne. Soit \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) un foncteur exact. Alors \(G \circ H\) est aussi un foncteur homologique.
Démonstration
Démonstration omise.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\) un \(\delta\)-foncteur.
Soit \(\mathcal{D}'\) une catégorie triangulée. Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact. Alors la composée \(F \circ G\) est aussi un \(\delta\)-foncteur.
Soit \(\mathcal{A}'\) une catégorie abélienne. Soit \(H : \mathcal{A}' \to \mathcal{A}\) un foncteur exact. Alors \(G \circ H\) est aussi un \(\delta\)-foncteur.
Démonstration
Démonstration omise.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(G : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\) un \(\delta\)-foncteur. Soit \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{B}\) un foncteur homologique. Supposons que \(H^{-1}(G(A)) = 0\) pour tout \(A\) dans \(\mathcal{A}\). Alors la famille \[\{H^n \circ G, H^n(\delta_{A \to B \to C})\}_{n \geq 0}\] est un \(\delta\)-foncteur de \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) ; voir Algèbre homologique, définition 010Q.
Démonstration
La notation signifie ce qui suit. Si \(0 \to A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C \to 0\) est une suite exacte courte dans \(\mathcal{A}\), alors \[\delta = \delta_{A \to B \to C} : G(C) \to G(A)[1]\] est un morphisme de \(\mathcal{D}\) tel que \((G(A), G(B), G(C), a, b, \delta)\) soit un triangle distingué ; voir la définition 0150. Alors \(H^n(\delta) : H^n(G(C)) \to H^n(G(A)[1]) = H^{n + 1}(G(A))\) dépend manifestement fonctoriellement de la suite exacte courte. Enfin, la longue suite exacte de cohomologie (0148), combinée à l’annulation de \(H^{-1}(G(C))\), donne une suite exacte longue \[0 \to H^0(G(A)) \to H^0(G(B)) \to H^0(G(C)) \xrightarrow{H^0(\delta)} H^1(G(A)) \to \ldots\] dans \(\mathcal{B}\), comme voulu.
La démonstration du résultat suivant utilise TR4.
Proposition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ X' \ar[r] & Y' }\] se complète en un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[r] \ar[d] & X[1] \ar[d] \\ X' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[r] \ar[d] & X'[1] \ar[d] \\ X'' \ar[r] \ar[d] & Y'' \ar[r] \ar[d] & Z'' \ar[r] \ar[d] & X''[1] \ar[d] \\ X[1] \ar[r] & Y[1] \ar[r] & Z[1] \ar[r] & X[2] }\] où tous les carrés sont commutatifs, sauf le carré inférieur droit qui est anticommutatif. De plus, chacune des lignes et des colonnes est un triangle distingué. Enfin, les morphismes de la ligne inférieure (respectivement de la colonne de droite) s’obtiennent à partir de ceux de la ligne supérieure (respectivement de la colonne de gauche) par application de \([1]\).
Démonstration
Dans cette démonstration, nous n’indiquons pas les flèches afin de préserver la lisibilité. Choisissons des triangles distingués \((X, Y, Z)\), \((X', Y', Z')\), \((X, X', X'')\), \((Y, Y', Y'')\) et \((X, Y', A)\). Remarquons que le morphisme \(X \to Y'\) est à la fois égal à la composée \(X \to Y \to Y'\) et à la composée \(X \to X' \to Y'\). On peut donc trouver des morphismes
\(a : Z \to A\) et \(b : A \to Y''\), et
\(a' : X'' \to A\) et \(b' : A \to Z'\),
comme dans TR4. Notons \(c : Y'' \to Z[1]\) la composée \(Y'' \to Y[1] \to Z[1]\), et \(c' : Z' \to X''[1]\) la composée \(Z' \to X'[1] \to X''[1]\). Notre application de TR4 donne :
\((Z, A, Y'', a, b, c)\), \((X'', A, Z', a', b', c')\) sont des triangles distingués,
\((X, Y, Z) \to (X, Y', A)\), \((X, Y', A) \to (Y, Y', Y'')\), \((X, X', X'') \to (X, Y', A)\), \((X, Y', A) \to (X', Y', Z')\) sont des morphismes de triangles.
En utilisant d’abord que \((X, X', X'') \to (X, Y', A)\) et \((X, Y', A) \to (Y, Y', Y'')\) sont des morphismes de triangles, on voit que le premier des diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] \\ X'' \ar[r]^{b \circ a'} \ar[d] & Y'' \ar[d] \\ X[1] \ar[r] & Y[1] } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[d]^{b' \circ a} \ar[r] & X[1] \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Z' \ar[r] & X'[1] } }\] est commutatif. Le second l’est également, puisque \((X, Y, Z) \to (X, Y', A)\) et \((X, Y', A) \to (X', Y', Z')\) sont des morphismes de triangles. Choisissons à présent un triangle distingué \((X'', Y'' , Z'')\) commençant par l’application \(b \circ a' : X'' \to Y''\).
Appliquons encore une fois TR4 aux morphismes \(X'' \to A \to Y''\) et aux triangles \((X'', A, Z', a', b', c')\), \((X'', Y'', Z'')\), et \((A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\), afin d’obtenir des morphismes \(a'' : Z' \to Z''\) et \(b'' : Z'' \to Z[1]\). Alors \((Z', Z'', Z[1], a'', b'', - b'[1] \circ a[1])\) est un triangle distingué, donc \((Z, Z', Z'', -b' \circ a, a'', -b'')\) l’est aussi, et par conséquent \((Z, Z', Z'', b' \circ a, a'', b'')\) également. De plus, \((X'', A, Z') \to (X'', Y'', Z'')\) et \((X'', Y'', Z'') \to (A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\) sont des morphismes de triangles. Nous avons maintenant défini tous les triangles distingués et tous les morphismes ; il ne reste qu’à vérifier quelques relations de commutativité.
Pour voir que le carré central du diagramme commute, remarquons que la flèche \(Y' \to Z'\) se factorise en \(Y' \to A \to Z'\), car \((X, Y', A) \to (X', Y', Z')\) est un morphisme de triangles. De même, le morphisme \(Y' \to Y''\) se factorise en \(Y' \to A \to Y''\), car \((X, Y', A) \to (Y, Y', Y'')\) est un morphisme de triangles. Le carré central commute donc : le carré de côtés \((A, Z', Z'', Y'')\) commute puisque \((X'', A, Z') \to (X'', Y'', Z'')\) est un morphisme de triangles (par TR4). Le carré de côtés \((Y'', Z'', Y[1], Z[1])\) commute parce que \((X'', Y'', Z'') \to (A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\) est un morphisme de triangles et que \(c : Y'' \to Z[1]\) est la composée \(Y'' \to Y[1] \to Z[1]\). Le carré de côtés \((Z', X'[1], X''[1], Z'')\) est commutatif parce que \((X'', A, Z') \to (X'', Y'', Z'')\) est un morphisme de triangles et que \(c' : Z' \to X''[1]\) est la composée \(Z' \to X'[1] \to X''[1]\). Enfin, il faut montrer que le carré de côtés \((Z'', X''[1], Z[1], X[2])\) est anticommutatif. Cela résulte du fait que \((X'', Y'', Z'') \to (A, Y'', Z[1], b, c , -a[1])\) est un morphisme de triangles, ce qui conclut.
Localisation des catégories triangulées
Pour construire la catégorie dérivée à partir de la catégorie homotopique des complexes, nous utiliserons un procédé de localisation.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. On dit qu’un système multiplicatif \(S\) est compatible avec la structure triangulée si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
Pour tout morphisme \(f\) de \(\mathcal{D}\), on a \(f \in S \Leftrightarrow f[1] \in S\)4.
Étant donné un carré commutatif plein \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^s & Y \ar[r] \ar[d]^{s'} & Z \ar[r] \ar@{-->}[d] & X[1] \ar[d]^{s[1]} \\ X' \ar[r] & Y' \ar[r] & Z' \ar[r] & X'[1] }\] dont les lignes sont des triangles distingués et où \(s, s' \in S\), il existe un morphisme \(s'' : Z \to Z'\) appartenant à \(S\) tel que \((s, s', s'')\) soit un morphisme de triangles.
Il s’avère que ces axiomes ne sont pas indépendants des axiomes définissant les systèmes multiplicatifs.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(S \subset \text{Flèches}(\mathcal{D})\).
Démonstration
Supposons que \(S\) contienne toutes les identités et que MS6 soit satisfaite. Soit \(f : X \to Y\) un isomorphisme de \(\mathcal{D}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] \ar[d]^1 & X \ar[r]_1 \ar[d]^1 & X \ar[r] \ar@{-->}[d] & 0[1] \ar[d]^{1[1]} \\ 0 \ar[r] & X \ar[r]^f & Y \ar[r] & 0[1] }\] Les lignes sont des triangles distingués d’après le lemme 05QR. Par MS6, la flèche pointillée existe et appartient à \(S\) ; ainsi \(f\) appartient à \(S\).
Supposons MS1, MS5 et MS6 satisfaites. Soient \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{D}\) et \(t : X \to X'\) un élément de \(S\). Choisissons un triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\). Choisissons ensuite un triangle distingué \((X', Y', Z, f', g', t[1] \circ h)\) (on utilise ici TR1 et TR2). Par MS5 et MS6 (après une rotation par TR2), on peut trouver la flèche pointillée du diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^t & Y \ar[r] \ar@{..>}[d]^{s'} & Z \ar[r] \ar[d]^1 & X[1] \ar[d]^{t[1]} \\ X' \ar[r] & Y' \ar[r] & Z \ar[r] & X'[1] }\] avec, de plus, \(s' \in S\). Cela démontre LMS2. La démonstration de RMS2 est duale.
Remarque
En présence de MS1 et MS6, la condition MS5 équivaut à demander que \(s[n] \in S\) pour tous \(s \in S\) et \(n \in \mathbf{Z}\). Supposons par exemple MS5 satisfaite, soit \(s \in S\), et montrons que \(s[-1] \in S\). Ce n’est pas immédiat, car \(s[-1][1]\) n’est pas égal à \(s\), mais est seulement isomorphe à \(s\) comme flèche de \(\mathcal{D}\). Cela implique néanmoins que \(s[-1][1] = f \circ s \circ g\) pour certains isomorphismes \(f\), \(g\). Le lemme 05R3, partie (1), donne \(f, g \in S\), puis MS1 donne \(s[-1][1] \in S\), et enfin MS5 donne \(s[-1] \in S\). Nous laissons la démonstration complète en exercice au lecteur.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact entre catégories prétriangulées. Posons \[S = \{f \in \text{Flèches}(\mathcal{D}) \mid F(f)\text{ est un isomorphisme}\}\] Alors \(S\) est un système multiplicatif saturé (voir Catégories, définition 05Q8), compatible avec la structure triangulée de \(\mathcal{D}\).
Démonstration
Il faut démontrer les axiomes MS1 – MS6 ; voir Catégories, définitions 04VC et 05Q8, ainsi que la définition 05R2. MS1, MS4 et MS5 résultent directement des définitions. MS6 résulte de TR3 et du lemme 014A. Le lemme 05R3 donne alors MS2. Pour achever la démonstration, il reste à établir MS3. Soient donc \(f, g : X \to Y\) des morphismes de \(\mathcal{D}\) et \(t : Z \to X\) un élément de \(S\) tel que \(f \circ t = g \circ t\). Comme \(\mathcal{D}\) est additive, cela signifie simplement que \(a \circ t = 0\), où \(a = f - g\). Par TR1, choisissons un triangle distingué \((Z, X, Q, t, d, h)\). Puisque \(a \circ t = 0\), le lemme 0149 fournit un morphisme \(i : Q \to Y\) tel que \(i \circ d = a\). Enfin, une nouvelle application de TR1 permet de choisir un triangle \((Q, Y, W, i, j, k)\). Voici la situation : \[\xymatrix{ Z \ar[r]_t & X \ar[r]_d \ar[d]^1 & Q \ar[r] \ar[d]^i & Z[1] \\ & X \ar[r]_a & Y \ar[d]^j \\ & & W }\] Appliquons maintenant le foncteur \(F\) à ce diagramme. Comme \(t \in S\), on a \(F(Q) = 0\) ; voir le lemme 05QR. Le même lemme montre donc que \(F(j)\) est un isomorphisme, c’est-à-dire que \(j \in S\). Enfin, \(j \circ a = j \circ i \circ d = 0\), puisque \(j \circ i = 0\). Ainsi \(j \circ f = j \circ g\), ce qui établit LMS3. La démonstration de RMS3 est duale.
Lemme
Soit \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique d’une catégorie prétriangulée vers une catégorie abélienne. Posons \[S = \{f \in \text{Flèches}(\mathcal{D}) \mid H^i(f)\text{ est un isomorphisme pour tout }i \in \mathbf{Z}\}\] Alors \(S\) est un système multiplicatif saturé (voir Catégories, définition 05Q8), compatible avec la structure triangulée de \(\mathcal{D}\).
Démonstration
Il faut démontrer les axiomes MS1 – MS6 ; voir Catégories, définitions 04VC et 05Q8, ainsi que la définition 05R2. MS1, MS4 et MS5 résultent directement des définitions. MS6 résulte de TR3 et de la longue suite exacte de cohomologie (0148). Le lemme 05R3 donne alors MS2. Pour achever la démonstration, il reste à établir MS3. Soient donc \(f, g : X \to Y\) des morphismes de \(\mathcal{D}\) et \(t : Z \to X\) un élément de \(S\) tel que \(f \circ t = g \circ t\). Comme \(\mathcal{D}\) est additive, cela signifie simplement que \(a \circ t = 0\), où \(a = f - g\). Par TR1 et TR2, choisissons un triangle distingué \((Z, X, Q, t, u, v)\). Puisque \(a \circ t = 0\), le lemme 0149 fournit un morphisme \(i : Q \to Y\) tel que \(i \circ g = a\). Enfin, une nouvelle application de TR1 permet de choisir un triangle \((Q, Y, W, i, j, k)\). Voici la situation : \[\xymatrix{ Z \ar[r]_t & X \ar[r]_u \ar[d]^1 & Q \ar[r]_v \ar[d]^i & Z[1] \\ & X \ar[r]_a & Y \ar[d]^j \\ & & W }\] Appliquons maintenant les foncteurs \(H^i\) à ce diagramme. Comme \(t \in S\), la longue suite exacte de cohomologie (0148) donne \(H^i(Q) = 0\). Le même argument montre donc que \(H^i(j)\) est un isomorphisme pour tout \(i\), c’est-à-dire que \(j \in S\). Enfin, \(j \circ a = j \circ i \circ u = 0\), puisque \(j \circ i = 0\). Ainsi \(j \circ f = j \circ g\), ce qui établit LMS3. La démonstration de RMS3 est duale.
Proposition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(S\) un système multiplicatif compatible avec la structure triangulée. Il existe alors une unique structure de catégorie prétriangulée sur \(S^{-1}\mathcal{D}\) telle que \([1] \circ Q = Q \circ [1]\) et telle que le foncteur de localisation \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) soit exact. De plus, si \(\mathcal{D}\) est une catégorie triangulée, alors \(S^{-1}\mathcal{D}\) l’est aussi.
Démonstration
Nous avons vu dans Algèbre homologique, lemme 05QE, que \(S^{-1}\mathcal{D}\) est une catégorie additive et que le foncteur de localisation \(Q\) est additif. Il résulte de MS5 qu’il existe une unique autoéquivalence additive \([1] : S^{-1}\mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) telle que \(Q \circ [1] = [1] \circ Q\) (égalité de foncteurs) ; nous omettons les détails. On dit qu’un triangle de \(S^{-1}\mathcal{D}\) est distingué s’il est isomorphe à l’image par le foncteur de localisation \(Q\) d’un triangle distingué.
Démonstration de TR1. Le seul point à établir est que, si \(a : Q(X) \to Q(Y)\) est un morphisme de \(S^{-1}\mathcal{D}\), alors \(a\) s’insère dans un triangle distingué. Écrivons \(a = Q(s)^{-1} \circ Q(f)\), où \(s : Y \to Y'\) appartient à \(S\) et \(f : X \to Y'\). Choisissons un triangle distingué \((X, Y', Z, f, g, h)\) dans \(\mathcal{D}\). Alors \((Q(X), Q(Y), Q(Z), a, Q(g) \circ Q(s), Q(h))\) est un triangle distingué de \(S^{-1}\mathcal{D}\).
Démonstration de TR2. Elle résulte immédiatement des définitions.
Démonstration de TR3. Remarquons que l’existence de la flèche pointillée requise peut être démontrée après remplacement des deux triangles par des triangles isomorphes. On peut donc supposer donnés des triangles distingués \((X, Y, Z, f, g, h)\) et \((X', Y', Z', f', g', h')\) de \(\mathcal{D}\), ainsi qu’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Q(X) \ar[r]_{Q(f)} \ar[d]_a & Q(Y) \ar[d]^b \\ Q(X') \ar[r]^{Q(f')} & Q(Y') }\] dans \(S^{-1}\mathcal{D}\). Appliquons maintenant Catégories, lemme 05Q3, pour trouver un morphisme \(f'' : X'' \to Y''\) de \(\mathcal{D}\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_k & X'' \ar[d]^{f''} & X' \ar[d]^{f'} \ar[l]^s \\ Y \ar[r]^l & Y'' & Y' \ar[l]_t }\] dans \(\mathcal{D}\), avec \(s, t \in S\) et \(a = s^{-1}k\), \(b = t^{-1}l\). On peut alors appliquer TR3 dans \(\mathcal{D}\) et MS6 pour obtenir un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^k & Y \ar[r] \ar[d]^l & Z \ar[r] \ar[d]^m & X[1] \ar[d]^{g[1]} \\ X'' \ar[r] & Y'' \ar[r] & Z'' \ar[r] & X''[1] \\ X' \ar[r] \ar[u]_s & Y' \ar[r] \ar[u]_t & Z' \ar[r] \ar[u]_r & X'[1] \ar[u]_{s[1]} }\] avec \(r \in S\). En posant \(c = Q(r)^{-1}Q(m)\), on obtient donc le morphisme de triangles recherché \[\xymatrix{ (Q(X), Q(Y), Q(Z), Q(f), Q(g), Q(h)) \ar[d]^{(a, b, c)} \\ (Q(X'), Q(Y'), Q(Z'), Q(f'), Q(g'), Q(h')) }\]
Cela démontre la première assertion du lemme. Si \(\mathcal{D}\) est en outre une catégorie triangulée, il reste à démontrer TR4 pour conclure que \(S^{-1}\mathcal{D}\) est aussi triangulée. Le lemme 014C ramène cela à l’énoncé suivant : étant donnés des morphismes composables \(a : Q(X) \to Q(Y)\) et \(b : Q(Y) \to Q(Z)\), il faut construire un octaèdre, quitte à remplacer \(Q(X), Q(Y), Q(Z)\) par des objets isomorphes. On peut d’abord remplacer \(Y\) par un objet tel que \(a = Q(f)\) pour un morphisme \(f : X \to Y\) de \(\mathcal{D}\). (Plus précisément, écrivons \(a = s^{-1}f\), avec \(s : Y \to Y'\) dans \(S\) et \(f : X \to Y'\), puis remplaçons \(Y\) par \(Y'\).) De même, remplaçons ensuite \(Z\) par un objet tel que \(b = Q(g)\) pour un morphisme \(g : Y \to Z\). On peut alors trouver des triangles distingués \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1)\), \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\) et \((Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\) dans \(\mathcal{D}\) (par TR1), ainsi que des morphismes \(a : Q_1 \to Q_2\) et \(b : Q_2 \to Q_3\) comme dans TR4. Il est alors immédiat que l’application du foncteur \(Q\) à toutes ces données fournit la structure correspondante dans \(S^{-1}\mathcal{D}\).
La propriété universelle de la localisation d’une catégorie triangulée est la suivante (nous la formulons pour les catégories prétriangulées ; elle vaut donc a fortiori pour les catégories triangulées).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(S\) un système multiplicatif compatible avec la structure triangulée. Soit \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) le foncteur de localisation ; voir la proposition 05R6.
Si \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) est un foncteur homologique à valeurs dans une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) tel que \(H(s)\) soit un isomorphisme pour tout \(s \in S\), alors l’unique factorisation \(H' : S^{-1}\mathcal{D} \to \mathcal{A}\) telle que \(H = H' \circ Q\) (voir Catégories, lemme 04VG) est aussi un foncteur homologique.
Si \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) est un foncteur exact à valeurs dans une catégorie prétriangulée \(\mathcal{D}'\) tel que \(F(s)\) soit un isomorphisme pour tout \(s \in S\), alors l’unique factorisation \(F' : S^{-1}\mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) telle que \(F = F' \circ Q\) (voir Catégories, lemme 04VG) est aussi un foncteur exact.
Démonstration
Le lemme est immédiat. Nous omettons les détails.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée et soit \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie pleine prétriangulée. Soit \(S\) un système multiplicatif saturé de \(\mathcal{D}\), compatible avec la structure triangulée. Supposons que, pour tout \(X\) dans \(\mathcal{D}\), il existe un \(s : X' \to X\) dans \(S\) tel que \(X'\) soit un objet de \(\mathcal{D}'\). Alors \(S' = S \cap \text{Flèches}(\mathcal{D}')\) est un système multiplicatif saturé compatible avec la structure triangulée, et le foncteur \[(S')^{-1}\mathcal{D}' \longrightarrow S^{-1}\mathcal{D}\] est une équivalence de catégories prétriangulées.
Démonstration
Considérons le foncteur quotient \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) de la proposition 05R6. Comme \(S\) est saturé, un morphisme \(f : X \to Y\) appartient à \(S\) si et seulement si \(Q(f)\) est inversible ; voir Catégories, lemme 05Q9. Ainsi \(S'\) est la famille des flèches que la composée \(\mathcal{D}' \to \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) transforme en isomorphismes. Le lemme 05R4 montre donc que \(S'\) est un système multiplicatif saturé compatible avec la structure triangulée. Le lemme 05R7 fournit le foncteur exact \((S')^{-1}\mathcal{D}' \to S^{-1}\mathcal{D}\) entre catégories prétriangulées. Par hypothèse, ce foncteur est essentiellement surjectif. Soient \(X', Y'\) des objets de \(\mathcal{D}'\). D’après Catégories, remarque 05Q4, on a \[\Mor_{S^{-1}\mathcal{D}}(X', Y') = \colim_{s : X \to X'\text{ dans }S} \Mor_\mathcal{D}(X, Y')\] Notre hypothèse implique que, pour tout \(s : X \to X'\) dans \(S\), il existe un morphisme \(s' : X'' \to X\) dans \(S\) avec \(X''\) dans \(\mathcal{D}'\). Alors \(s \circ s' : X'' \to X'\) appartient à \(S'\). La colimite ci-dessus est donc égale à \[\colim_{s'' : X'' \to X'\text{ dans }S'} \Mor_{\mathcal{D}'}(X'', Y') = \Mor_{(S')^{-1}\mathcal{D}'}(X', Y')\] Cela montre que notre foncteur est aussi pleinement fidèle et achève la démonstration.
Le lemme suivant décrit le noyau (voir la définition 05RF) du foncteur de localisation.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(S\) un système multiplicatif compatible avec la structure triangulée. Soit \(Z\) un objet de \(\mathcal{D}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(Q(Z) = 0\) dans \(S^{-1}\mathcal{D}\),
il existe \(Z' \in \Ob(\mathcal{D})\) tel que \(0 : Z \to Z'\) appartienne à \(S\),
il existe \(Z' \in \Ob(\mathcal{D})\) tel que \(0 : Z' \to Z\) appartienne à \(S\), et
il existe un objet \(Z'\) et un triangle distingué \((X, Y, Z \oplus Z', f, g, h)\) tels que \(f \in S\).
Si \(S\) est saturé, ces conditions sont aussi équivalentes à
le morphisme \(0 \to Z\) appartient à \(S\),
le morphisme \(Z \to 0\) appartient à \(S\),
il existe un triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\) tel que \(f \in S\).
Démonstration
L’équivalence de (1), (2) et (3) est donnée par Algèbre homologique, lemme 05QF. Si (2) est satisfaite, alors \((Z'[-1], Z'[-1] \oplus Z, Z, (1, 0), (0, 1), 0)\) est un triangle distingué (voir le lemme 05QT) avec « \(0 \in S\) ». Une rotation montre donc que (4) est satisfaite. Si \((X, Y, Z \oplus Z', f, g, h)\) est un triangle distingué avec \(f \in S\), alors \(Q(f)\) est un isomorphisme, donc \(Q(Z \oplus Z') = 0\), et donc \(Q(Z) = 0\). Ainsi (1) – (4) sont toutes équivalentes.
Supposons maintenant \(S\) saturé. Chacune des conditions (5), (6), (7) implique l’une des conditions équivalentes (1) – (4). Supposons que \(Q(Z) = 0\). Alors \(0 \to Z\) est un morphisme de \(\mathcal{D}\) qui devient un isomorphisme dans \(S^{-1}\mathcal{D}\). D’après Catégories, lemme 05Q9, la saturation de \(S\) implique que \(0 \to Z\) appartient à \(S\). Ainsi (1) \(\Rightarrow\) (5). Par dualité, (1) \(\Rightarrow\) (6). Enfin, si \(0 \to Z\) appartient à \(S\), alors le triangle \((0, Z, Z, 0, \text{id}_Z, 0)\) est distingué par TR1 et TR2, et c’est un triangle comme dans (7).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Soit \(S\) un système multiplicatif saturé de \(\mathcal{D}\), compatible avec la structure triangulée. Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle distingué de \(\mathcal{D}\). Considérons la catégorie des morphismes de triangles \[\mathcal{I} = \{(s, s', s'') : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X', Y', Z', f', g', h') \mid s, s', s'' \in S\}\] Alors \(\mathcal{I}\) est une catégorie filtrante, et les foncteurs \(\mathcal{I} \to X/S\), \(\mathcal{I} \to Y/S\) et \(\mathcal{I} \to Z/S\) sont cofinaux.
Démonstration
Nous conseillons vivement au lecteur de sauter cette démonstration et de la retrouver plutôt sur un coin de table.
La première observation est que la rotation des triangles distingués (TR2) donne une équivalence de catégories entre \(\mathcal{I}\) et la catégorie correspondante au triangle distingué \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\). On voit ainsi, par exemple, que si le foncteur \(\mathcal{I} \to X/S\) est cofinal, il en va de même des foncteurs \(\mathcal{I} \to Y/S\) et \(\mathcal{I} \to Z/S\).
Remarquons que si \(s : X \to X'\) est un morphisme de \(S\), alors MS2 permet de trouver \(s' : Y \to Y'\) et \(f' : X' \to Y'\) tels que \(f' \circ s = s' \circ f\) ; MS6 permet ensuite de compléter ces données en un objet de \(\mathcal{I}\). Le foncteur \(\mathcal{I} \to X/S\) est donc surjectif sur les objets. Par rotation comme ci-dessus, il en va de même des foncteurs \(\mathcal{I} \to Y/S\) et \(\mathcal{I} \to Z/S\).
Soient \(s_1 : X \to X_1\) et \(s_2 : X \to X_2\) des objets de \(X/S\), et soit \(a : X_1 \to X_2\) un morphisme de \(X/S\). Puisque \(S\) est saturé, on a \(a \in S\) ; voir Catégories, lemme 05Q9. Par l’argument du paragraphe précédent, on peut compléter \(s_1 : X \to X_1\) en un objet \((s_1, s'_1, s''_1) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) de \(\mathcal{I}\). En répétant l’argument, on trouve \((a, b, c) : (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1) \to (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\) avec \(a, b, c \in S\), complétant le morphisme donné \(a : X_1 \to X_2\). Alors \((a, b, c)\) est un morphisme de \(\mathcal{I}\). On en déduit que le foncteur \(\mathcal{I} \to X/S\) est également surjectif sur les flèches. Par rotation, il en va de même des foncteurs \(\mathcal{I} \to Y/S\) et \(\mathcal{I} \to Z/S\).
La catégorie \(\mathcal{I}\) est non vide, car l’identité en fournit un objet. Cela établit la condition (1) de la définition d’une catégorie filtrante ; voir Catégories, définition 002V.
Vérifions la condition (2) de Catégories, définition 002V, pour la catégorie \(\mathcal{I}\). Soient donnés des objets \((s_1, s'_1, s''_1) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) et \((s_2, s'_2, s''_2) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\) de \(\mathcal{I}\). Nous cherchons un objet de \(\mathcal{I}\) qui soit la cible d’une flèche issue à la fois de \((X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) et de \((X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\). D’après Catégories, remarque 05Q0, les catégories \(X/S\), \(Y/S\), \(Z/S\) sont filtrantes. On peut donc trouver \(X \to X_3\) dans \(X/S\) et des morphismes \(s : X_2 \to X_3\) et \(a : X_1 \to X_3\). D’après ce qui précède, il existe un morphisme \((s, s', s'') : (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2) \to (X_3, Y_3, Z_3, f_3, g_3, h_3)\) avec \(s', s'' \in S\). Après remplacement de \((X_2, Y_2, Z_2)\) par \((X_3, Y_3, Z_3)\), on peut supposer qu’il existe un morphisme \(a : X_1 \to X_2\) dans \(X/S\). En répétant l’argument pour \(Y\) et \(Z\) (par rotation comme ci-dessus), on peut supposer qu’il existe des morphismes \(a : X_1 \to X_2\) dans \(X/S\), \(b : Y_1 \to Y_2\) dans \(Y/S\), et \(c : Z_1 \to Z_2\) dans \(Z/S\). Ces morphismes ne définissent cependant pas nécessairement un morphisme de triangles distingués. En revanche, les diagrammes requis commutent dans \(S^{-1}\mathcal{D}\). On voit donc, par exemple, qu’il existe un morphisme \(s'_2 : Y_2 \to Y_3\) dans \(S\) tel que \(s'_2 \circ f_2 \circ a = s'_2 \circ b \circ f_1\). Un nouveau remplacement de \((X_2, Y_2, Z_2)\) comme ci-dessus nous ramène alors au cas où \(f_2 \circ a = b \circ f_1\). Après deux autres rotations et applications du même argument, on peut supposer que \((a, b, c)\) est un morphisme de triangles. Cela établit la condition (2).
Vérifions ensuite la condition (3) de Catégories, définition 002V. Supposons que \((s_1, s_1', s_1'') : (X, Y, Z) \to (X_1, Y_1, Z_1)\) et \((s_2, s_2', s_2'') : (X, Y, Z) \to (X_2, Y_2, Z_2)\) soient des objets de \(\mathcal{I}\), et que \((a, b, c), (a', b', c')\) soient deux morphismes entre eux. Comme \(a \circ s_1 = a' \circ s_1\), il existe un morphisme \(s_3 : X_2 \to X_3\) tel que \(s_3 \circ a = s_3 \circ a'\). Par la surjectivité démontrée ci-dessus, on peut le compléter en un morphisme de triangles \((s_3, s_3', s_3'') : (X_2, Y_2, Z_2) \to (X_3, Y_3, Z_3)\) avec \(s_3, s_3', s_3'' \in S\). Ainsi \((s_3 \circ s_2, s_3' \circ s_2', s_3'' \circ s_2'') : (X, Y, Z) \to (X_3, Y_3, Z_3)\) est aussi un objet de \(\mathcal{I}\) ; en composant \((a, b, c), (a', b', c')\) avec \((s_3, s_3', s_3'')\), on obtient \(a = a'\). Par rotation, on peut procéder de même pour obtenir \(b = b'\) et \(c = c'\).
Enfin, vérifions que \(\mathcal{I} \to X/S\) est cofinal ; voir Catégories, définition 04E6. La première condition est satisfaite puisque le foncteur est surjectif. Supposons donné un objet \(s : X \to X'\) de \(X/S\), ainsi que deux objets \((s_1, s'_1, s''_1) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1)\) et \((s_2, s'_2, s''_2) : (X, Y, Z, f, g, h) \to (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2)\) de \(\mathcal{I}\), ainsi que des morphismes \(t_1 : X' \to X_1\) et \(t_2 : X' \to X_2\) de \(X/S\). D’après la propriété (2) de \(\mathcal{I}\) démontrée ci-dessus, on peut trouver des morphismes \((s_3, s'_3, s''_3) : (X_1, Y_1, Z_1, f_1, g_1, h_1) \to (X_3, Y_3, Z_3, f_3, g_3, h_3)\) et \((s_4, s'_4, s''_4) : (X_2, Y_2, Z_2, f_2, g_2, h_2) \to (X_3, Y_3, Z_3, f_3, g_3, h_3)\) dans \(\mathcal{I}\). La démonstration serait achevée si les composées \(X' \to X_1 \to X_3\) et \(X' \to X_2 \to X_3\) étaient égales (voir l’équation affichée de Catégories, définition 04E6). Sinon, puisque \(X/S\) est filtrante, on peut choisir un morphisme \(X_3 \to X_4\) dans \(X/S\) tel que les composées \(X' \to X_1 \to X_3 \to X_4\) et \(X' \to X_2 \to X_3 \to X_4\) soient égales. Enfin, on complète \(X_3 \to X_4\) en un morphisme \((X_3, Y_3, Z_3) \to (X_4, Y_4, Z_4)\) de \(\mathcal{I}\), puis on compose avec ce morphisme pour obtenir le résultat.
Quotients de catégories triangulées
Étant données une catégorie triangulée et une sous-catégorie triangulée, on peut construire une autre catégorie triangulée en prenant leur « quotient ». La construction utilise une localisation. Elle est analogue au quotient d’une catégorie abélienne par une sous-catégorie de Serre ; voir Algèbre homologique, section 02MN. Avant de procéder à la construction proprement dite, examinons brièvement les noyaux des foncteurs exacts.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie prétriangulée. Une sous-catégorie prétriangulée pleine \(\mathcal{D}'\) de \(\mathcal{D}\) est dite saturée si, dès que \(X \oplus Y\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{D}'\), alors \(X\) et \(Y\) sont tous deux isomorphes à des objets de \(\mathcal{D}'\).
Une sous-catégorie triangulée saturée est parfois appelée une sous-catégorie triangulée épaisse. Dans certaines références, cette expression n’est employée que pour les sous-catégories triangulées strictement pleines (et la définition est parfois formulée de manière à impliquer cette propriété). On rencontre aussi la notion de sous-catégorie triangulée épaisse définie par la condition suivante : pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ & S \ar[rd] \\ X \ar[ru] \ar[rr] & & Y \ar[r] & T \ar[r] & X[1] }\] dont la seconde ligne est un triangle distingué et où \(S\) et \(T\) sont isomorphes à des objets de \(\mathcal{D}'\), les objets \(X\) et \(Y\) sont également isomorphes à des objets de \(\mathcal{D}'\). Cette condition équivaut à la saturation (c’est élémentaire ; voir [Rickard-derived]), et la notion de catégorie saturée est plus commode à manier.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact entre catégories prétriangulées. Soit \(\mathcal{D}''\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{D}\) dont les objets sont \[\Ob(\mathcal{D}'') = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid F(X) = 0\}\] Alors \(\mathcal{D}''\) est une sous-catégorie prétriangulée strictement pleine et saturée de \(\mathcal{D}\). Si \(\mathcal{D}\) est une catégorie triangulée, alors \(\mathcal{D}''\) est une sous-catégorie triangulée.
Démonstration
Il est clair que \(\mathcal{D}''\) est stable par \([1]\) et \([-1]\). Si \((X, Y, Z, f, g, h)\) est un triangle distingué de \(\mathcal{D}\) et si \(F(X) = F(Y) = 0\), alors \(F(Z) = 0\) également, puisque \((F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), F(h))\) est distingué. On peut donc appliquer le lemme 05QX pour voir que \(\mathcal{D}''\) est une sous-catégorie prétriangulée (respectivement une sous-catégorie triangulée si \(\mathcal{D}\) est triangulée). La saturation résulte enfin de \(F(X) \oplus F(Y) = 0 \Rightarrow F(X) = F(Y) = 0\).
Lemme
Soit \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique d’une catégorie prétriangulée vers une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{D}'\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{D}\) dont les objets sont \[\Ob(\mathcal{D}') = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ pour tout }n \in \mathbf{Z}\}\] Alors \(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie prétriangulée strictement pleine et saturée de \(\mathcal{D}\). Si \(\mathcal{D}\) est une catégorie triangulée, alors \(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie triangulée.
Démonstration
Il est clair que \(\mathcal{D}'\) est stable par \([1]\) et \([-1]\). Si \((X, Y, Z, f, g, h)\) est un triangle distingué de \(\mathcal{D}\) et si \(H(X[n]) = H(Y[n]) = 0\) pour tout \(n\), alors \(H(Z[n]) = 0\) pour tout \(n\) également, d’après la longue suite exacte (0148). On peut donc appliquer le lemme 05QX pour voir que \(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie prétriangulée (respectivement une sous-catégorie triangulée si \(\mathcal{D}\) est triangulée). La saturation résulte de \[\begin{align*} H((X \oplus Y)[n]) = 0 & \Rightarrow H(X[n] \oplus Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) \oplus H(Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) = H(Y[n]) = 0 \end{align*}\] pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).
Lemme
Soit \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique d’une catégorie prétriangulée vers une catégorie abélienne. Soient \(\mathcal{D}_H^{+}, \mathcal{D}_H^{-}, \mathcal{D}_H^b\) les sous-catégories pleines de \(\mathcal{D}\) dont les objets sont \[\begin{matrix} \Ob(\mathcal{D}_H^{+}) = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ pour tout }n \ll 0\} \\ \Ob(\mathcal{D}_H^{-}) = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ pour tout }n \gg 0\} \\ \Ob(\mathcal{D}_H^b) = \{X \in \Ob(\mathcal{D}) \mid H(X[n]) = 0\text{ pour tout }|n| \gg 0\} \end{matrix}\] Chacune est une sous-catégorie prétriangulée strictement pleine et saturée de \(\mathcal{D}\). Si \(\mathcal{D}\) est une catégorie triangulée, chacune est une sous-catégorie triangulée.
Démonstration
Démontrons-le pour \(\mathcal{D}_H^{+}\). Il est clair que cette sous-catégorie est stable par \([1]\) et \([-1]\). Si \((X, Y, Z, f, g, h)\) est un triangle distingué de \(\mathcal{D}\) et si \(H(X[n]) = H(Y[n]) = 0\) pour tout \(n \ll 0\), alors \(H(Z[n]) = 0\) pour tout \(n \ll 0\) également, d’après la longue suite exacte (0148). On peut donc appliquer le lemme 05QX pour voir que \(\mathcal{D}_H^{+}\) est une sous-catégorie prétriangulée (respectivement une sous-catégorie triangulée si \(\mathcal{D}\) est triangulée). La saturation résulte de \[\begin{align*} H((X \oplus Y)[n]) = 0 & \Rightarrow H(X[n] \oplus Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) \oplus H(Y[n]) = 0 \\ & \Rightarrow H(X[n]) = H(Y[n]) = 0 \end{align*}\] pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie (pré)triangulée.
Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact. Le noyau de \(F\) est la sous-catégorie (pré)triangulée strictement pleine et saturée décrite dans le lemme 05RC.
Soit \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique. Le noyau de \(H\) est la sous-catégorie (pré)triangulée strictement pleine et saturée décrite dans le lemme 05RD.
On les note parfois \(\Ker(F)\) ou \(\Ker(H)\).
La démonstration du lemme suivant utilise TR4.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie triangulée pleine. Posons [05RH]\[\begin{equation} S = \left\{ \begin{matrix} f \in \text{Flèches}(\mathcal{D}) \text{ tel qu'il existe un triangle distingué }\\ (X, Y, Z, f, g, h) \text{ de }\mathcal{D}\text{ avec } Z\text{ isomorphe à un objet de }\mathcal{D}' \end{matrix} \right\} \end{equation}\] Alors \(S\) est un système multiplicatif compatible avec la structure triangulée de \(\mathcal{D}\). Dans cette situation, les conditions suivantes sont équivalentes :
\(S\) est un système multiplicatif saturé,
\(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie triangulée saturée.
Démonstration
Pour démontrer la première assertion, il faut établir MS1, MS2, MS3, MS5 et MS6.
Démonstration de MS1. Il est clair que les identités appartiennent à \(S\), car \((X, X, 0, 1, 0, 0)\) est distingué pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{D}\) et que \(0\) est un objet de \(\mathcal{D}'\). Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes composables appartenant à \(S\). Choisissons des triangles distingués \((X, Y, Q_1, f, p_1, d_1)\), \((X, Z, Q_2, g \circ f, p_2, d_2)\) et \((Y, Z, Q_3, g, p_3, d_3)\). Par hypothèse, \(Q_1\) et \(Q_3\) sont isomorphes à des objets de \(\mathcal{D}'\). TR4 fournit un triangle distingué \((Q_1, Q_2, Q_3, a, b, c)\). Comme \(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie triangulée, \(Q_2\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{D}'\). Ainsi \(g \circ f \in S\).
Démonstration de MS3. Soient \(a : X \to Y\) un morphisme et \(t : Z \to X\) un élément de \(S\) tel que \(a \circ t = 0\). Pour démontrer LMS3, il suffit de trouver \(s \in S\) tel que \(s \circ a = 0\) ; comparer avec la démonstration du lemme 05R4. Par TR1 et TR2, choisissons un triangle distingué \((Z, X, Q, t, g, h)\). Puisque \(a \circ t = 0\), le lemme 0149 fournit un morphisme \(i : Q \to Y\) tel que \(i \circ g = a\). Enfin, une nouvelle application de TR1 permet de choisir un triangle \((Q, Y, W, i, s, k)\). Voici la situation : \[\xymatrix{ Z \ar[r]_t & X \ar[r]_g \ar[d]^1 & Q \ar[r] \ar[d]^i & Z[1] \\ & X \ar[r]_a & Y \ar[d]^s \\ & & W }\] Comme \(t \in S\), l’objet \(Q\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{D}'\). Ainsi \(s \in S\). Enfin, \(s \circ a = s \circ i \circ g = 0\), puisque \(s \circ i = 0\) d’après le lemme 0146. On en conclut que LMS3 est satisfaite. La démonstration de RMS3 est duale.
Démonstration de MS5. Elle résulte de ce que les triangles distingués et \(\mathcal{D}'\) sont stables par translation.
Démonstration de MS6. Supposons donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]^s & Y \ar[d]^{s'} \\ X' \ar[r] & Y' }\] avec \(s, s' \in S\). La proposition 05R0 permet de le compléter en un diagramme à neuf carrés. Comme \(s, s'\) appartiennent à \(S\), les objets \(X'', Y''\) sont isomorphes à des objets de \(\mathcal{D}'\). Puisque \(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie triangulée pleine, \(Z''\) est lui aussi isomorphe à un objet de \(\mathcal{D}'\). Le morphisme \(Z \to Z'\) appartient donc à \(S\). Cela démontre MS6.
MS2 est une conséquence formelle de MS1, MS5 et MS6 ; voir le lemme 05R3. Cela achève la démonstration de la première assertion du lemme.
Supposons \(S\) saturé. (Dans ce qui suit, nous utiliserons les rotations de triangles distingués sans autre mention.) Soit \(X \oplus Y\) un objet isomorphe à un objet de \(\mathcal{D}'\). Considérons le morphisme \(f : 0 \to X\). La composée \(0 \to X \to X \oplus Y\) appartient à \(S\), car \((0, X \oplus Y, X \oplus Y, 0, 1, 0)\) est un triangle distingué. La composée \(Y[-1] \to 0 \to X\) appartient à \(S\), car \((X, X \oplus Y, Y, (1, 0), (0, 1), 0)\) est un triangle distingué ; voir le lemme 05QT. Ainsi \(0 \to X\) appartient à \(S\) (puisque \(S\) est saturé). Par conséquent, \(X\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{D}'\), comme voulu.
Supposons enfin que \(\mathcal{D}'\) soit une sous-catégorie triangulée saturée. Soient \[W \xrightarrow{h} X \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{f} Z\] des morphismes composables de \(\mathcal{D}\) tels que \(fg, gh \in S\). Nous allons construire progressivement un diagramme d’objets de la forme suivante. \[\xymatrix{ & & Q_{12} \ar[rd] & & Q_{23} \ar[rd] \\ & Q_1 \ar[ld]_{\! + \! 1} \ar[ru] & & Q_2 \ar[ld]_{\! + \! 1} \ar[ll]_{\! + \! 1} \ar[ru] & & Q_3 \ar[ld]_{\! + \! 1} \ar[ll]_{\! + \! 1} \\ W \ar[rr] & & X \ar[lu] \ar[rr] & & Y \ar[lu] \ar[rr] & & Z \ar[lu] }\] Choisissons d’abord des triangles distingués \((W, X, Q_1)\), \((X, Y, Q_2)\), \((Y, Z, Q_3)\), \((W, Y, Q_{12})\) et \((X, Z, Q_{23})\). Notons \(s : Q_2 \to Q_1[1]\) la composée \(Q_2 \to X[1] \to Q_1[1]\). Notons \(t : Q_3 \to Q_2[1]\) la composée \(Q_3 \to Y[1] \to Q_2[1]\). En appliquant TR4 aux composées \(W \to X \to Y\) et \(X \to Y \to Z\), on obtient des triangles distingués \((Q_1, Q_{12}, Q_2)\) et \((Q_2, Q_{23}, Q_3)\) utilisant les morphismes \(s\) et \(t\). Les objets \(Q_{12}\) et \(Q_{23}\) sont isomorphes à des objets de \(\mathcal{D}'\), puisque \(W \to Y\) et \(X \to Z\) appartiennent par hypothèse à \(S\). Ainsi \(s[1]t\) appartient aussi à \(S\), car \(S\) est stable par composition et par décalage. Remarquons que \(s[1]t = 0\), puisque \(Y[1] \to Q_2[1] \to X[2]\) est nul ; voir le lemme 0146. Le lemme 05QT montre donc que \(Q_3[1] \oplus Q_1[2]\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{D}'\). Par l’hypothèse sur \(\mathcal{D}'\), les objets \(Q_3\) et \(Q_1\) sont isomorphes à des objets de \(\mathcal{D}'\). Le triangle distingué \((Q_1, Q_{12}, Q_2)\) montre alors que \(Q_2\) est lui aussi isomorphe à un objet de \(\mathcal{D}'\). Enfin, le triangle distingué \((X, Y, Q_2)\) montre que \(g \in S\). (Il en résulte aussi que \(h, f \in S\), mais nous n’en avons pas besoin.)
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{B}\) une sous-catégorie triangulée pleine. On définit la catégorie quotient \(\mathcal{D}/\mathcal{B}\) par la formule \(\mathcal{D}/\mathcal{B} = S^{-1}\mathcal{D}\), où \(S\) est le système multiplicatif de \(\mathcal{D}\) associé à \(\mathcal{B}\) par le lemme 05RG. Le foncteur de localisation \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\) est appelé dans ce cas le foncteur quotient.
Remarquons que le foncteur quotient \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\) est un foncteur exact entre catégories triangulées ; voir la proposition 05R6. La propriété universelle de cette construction est la suivante.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{B}\) une sous-catégorie triangulée pleine de \(\mathcal{D}\). Soit \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\) le foncteur quotient.
Si \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) est un foncteur homologique à valeurs dans une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) tel que \(\mathcal{B} \subset \Ker(H)\), alors il existe une unique factorisation \(H' : \mathcal{D}/\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) telle que \(H = H' \circ Q\), et \(H'\) est lui aussi un foncteur homologique.
Si \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) est un foncteur exact à valeurs dans une catégorie prétriangulée \(\mathcal{D}'\) tel que \(\mathcal{B} \subset \Ker(F)\), alors il existe une unique factorisation \(F' : \mathcal{D}/\mathcal{B} \to \mathcal{D}'\) telle que \(F = F' \circ Q\), et \(F'\) est lui aussi un foncteur exact.
Démonstration
Ce lemme résulte du lemme 05R7. En effet, si \(f : X \to Y\) est un morphisme de \(\mathcal{D}\) tel que, pour un certain triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\), l’objet \(Z\) soit isomorphe à un objet de \(\mathcal{B}\), alors \(H(f)\), respectivement \(F(f)\), est un isomorphisme sous les hypothèses de (1), respectivement de (2). Détails omis.
Le noyau du foncteur quotient se décrit comme suit.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{B}\) une sous-catégorie triangulée pleine. Le noyau du foncteur quotient \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\) est la sous-catégorie strictement pleine de \(\mathcal{D}\) dont les objets sont \[\Ob(\Ker(Q)) = \left\{ \begin{matrix} Z \in \Ob(\mathcal{D}) \text{ tel qu'il existe }Z' \in \Ob(\mathcal{D}) \\ \text{ tel que }Z \oplus Z'\text{ soit isomorphe à un objet de }\mathcal{B} \end{matrix} \right\}\] Autrement dit, c’est la plus petite sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(\mathcal{D}\) contenant \(\mathcal{B}\).
Démonstration
Remarquons d’abord que le noyau est automatiquement une sous-catégorie triangulée strictement pleine contenant tout facteur direct de chacun de ses objets ; voir le lemme 05RC. La description de ses objets résulte des définitions et du lemme 05R8, partie (4).
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Nous disposons maintenant de constructions qui induisent des applications croissantes entre
l’ensemble ordonné des systèmes multiplicatifs \(S\) de \(\mathcal{D}\) compatibles avec la structure triangulée, et
l’ensemble ordonné des sous-catégories triangulées pleines \(\mathcal{B} \subset \mathcal{D}\).
Ces constructions sont \(S \mapsto \mathcal{B}(S) = \Ker(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D})\) et \(\mathcal{B} \mapsto S(\mathcal{B})\), où \(S(\mathcal{B})\) est l’ensemble multiplicatif de (05RH), c’est-à-dire \[S(\mathcal{B}) = \left\{ \begin{matrix} f \in \text{Flèches}(\mathcal{D}) \text{ tel qu'il existe un triangle distingué }\\ (X, Y, Z, f, g, h) \text{ de }\mathcal{D}\text{ avec } Z\text{ isomorphe à un objet de }\mathcal{B} \end{matrix} \right\}\] Ces opérations ne sont pas mutuellement inverses en général.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Les opérations décrites ci-dessus ont les propriétés suivantes :
\(S(\mathcal{B}(S))\) est la « saturation » de \(S\), c’est-à-dire le plus petit système multiplicatif saturé de \(\mathcal{D}\) contenant \(S\), et
\(\mathcal{B}(S(\mathcal{B}))\) est la « saturation » de \(\mathcal{B}\), c’est-à-dire la plus petite sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(\mathcal{D}\) contenant \(\mathcal{B}\).
En particulier, les constructions définissent des applications mutuellement inverses entre l’ensemble ordonné des systèmes multiplicatifs saturés de \(\mathcal{D}\) compatibles avec la structure triangulée de \(\mathcal{D}\) et l’ensemble ordonné des sous-catégories triangulées strictement pleines et saturées de \(\mathcal{D}\).
Démonstration
Partons d’abord d’une sous-catégorie triangulée pleine \(\mathcal{B}\). Alors \(\mathcal{B}(S(\mathcal{B})) = \Ker(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B})\) ; l’assertion (2) est donc exactement le contenu du lemme 05RK.
Supposons ensuite que \(S\) soit un système multiplicatif de \(\mathcal{D}\), compatible avec la triangulation de \(\mathcal{D}\). Alors \(\mathcal{B}(S) = \Ker(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D})\). Par conséquent (en utilisant le lemme 05QR dans la catégorie localisée), \[\begin{align*} S(\mathcal{B}(S)) & = \left\{ \begin{matrix} f \in \text{Flèches}(\mathcal{D}) \text{ tel qu'il existe un}\\ \text{triangle distingué }(X, Y, Z, f, g, h) \text{ de }\mathcal{D}\text{ avec }Q(Z) = 0 \end{matrix} \right\}. \\ & = \{f \in \text{Flèches}(\mathcal{D}) \mid Q(f)\text{ est un isomorphisme}\} \\ & = \hat S = S' \end{align*}\] avec les notations de Catégories, lemme 05Q9. La dernière assertion de ce lemme achève la démonstration.
Lemme
Soit \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique d’une catégorie triangulée \(\mathcal{D}\) vers une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) ; voir la définition 0147. La sous-catégorie \(\Ker(H)\) de \(\mathcal{D}\) est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(\mathcal{D}\), et le système multiplicatif saturé correspondant (voir le lemme 05RL) est l’ensemble \[S = \{f \in \text{Flèches}(\mathcal{D}) \mid H^i(f)\text{ est un isomorphisme pour tout }i \in \mathbf{Z}\}.\] Le foncteur \(H\) se factorise par le foncteur quotient \(Q : \mathcal{D} \to \mathcal{D}/\Ker(H)\).
Démonstration
La catégorie \(\Ker(H)\) est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(\mathcal{D}\) d’après le lemme 05RD. L’ensemble \(S\) est un système multiplicatif saturé compatible avec la structure triangulée, d’après le lemme 05R5. Rappelons que le système multiplicatif correspondant à \(\Ker(H)\) est l’ensemble \[\left\{ \begin{matrix} f \in \text{Flèches}(\mathcal{D}) \text{ tel qu'il existe un triangle distingué }\\ (X, Y, Z, f, g, h)\text{ avec } H^i(Z) = 0 \text{ pour tout }i \end{matrix} \right\}.\] D’après la longue suite exacte de cohomologie (0148), il est clair que \(f\) appartient à cet ensemble si et seulement si \(f\) appartient à \(S\). Enfin, la factorisation de \(H\) par \(Q\) résulte du lemme 05RJ.
Adjoints des foncteurs exacts
Résultats sur les foncteurs adjoints entre catégories triangulées.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact entre catégories triangulées. Si \(F\) admet un adjoint à droite \(G: \mathcal{D'} \to \mathcal{D}\), alors \(G\) est lui aussi un foncteur exact.
Démonstration
Soit \(\xi_X : F(X[1]) \to F(X)[1]\) comme dans la définition 014V. Soit \(\epsilon_A : F(G(A)) \to A\) le morphisme d’adjonction. Considérons la composée \[F(G(A)[1]) \xrightarrow{\xi_{G(A)}} F(G(A))[1] \xrightarrow{\epsilon_A[1]} A[1]\] Son morphisme adjoint est une application \(G(A)[1] \to G(A[1])\), dont nous affirmons qu’elle est un isomorphisme. Pour le voir, le lemme de Yoneda ramène la question à montrer que l’application de \(\Mor_\mathcal{D}(X[1], -)\) donne une bijection pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{D}\). Or tout morphisme \(f : X[1] \to G(A)[1]\) est de la forme \(g[1]\) pour un unique \(g : X \to G(A)\), tout \(g\) est adjoint à un unique \(h : F(X) \to A\), et \(h[1] \circ \xi_X\) est à son tour adjoint à un unique \(i : X[1] \to G(A[1])\). La règle qui envoie \(f\) sur \(i\) définit une bijection entre \(\Mor_\mathcal{D}(X[1], G(A)[1])\) et \(\Mor_\mathcal{D}(X[1], G(A[1]))\). Le fait que cette bijection soit induite par le morphisme ci-dessus résulte de la discussion de Catégories, section 0036, et du calcul suivant : \[\begin{align*} \epsilon_A[1] \circ \xi_{G(A)} \circ F(f) & = \epsilon_A[1] \circ \xi_{G(A)} \circ F(g[1]) \\ & = \epsilon_A[1] \circ F(g)[1] \circ \xi_X \\ & = (\epsilon_A \circ F(g))[1] \circ \xi_X \\ & = h[1] \circ \xi_X \end{align*}\] Nous omettons certains détails. Nous allons montrer que \(G\) est un foncteur exact en utilisant les inverses des isomorphismes \(G(A)[1] \to G(A[1])\). Ces isomorphismes sont fonctoriels en \(A\) (détails omis).
Soit \(A \to B \to C \to A[1]\) un triangle distingué de \(\mathcal{D}'\). Choisissons un triangle distingué \[G(A) \to G(B) \to X \to G(A)[1]\] dans \(\mathcal{D}\). Alors \(F(G(A)) \to F(G(B)) \to F(X) \to F(G(A))[1]\) est un triangle distingué de \(\mathcal{D}'\). Par TR3, on peut choisir un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ F(G(A)) \ar[r] \ar[d]^{\epsilon_A} & F(G(B)) \ar[r] \ar[d]^{\epsilon_B} & F(X) \ar[r] \ar[d] & F(G(A))[1] \ar[d]^{\epsilon_A[1]} \\ A \ar[r] & B \ar[r] & C \ar[r] & A[1] }\] Rappelons que la flèche \(F(X) \to F(G(A))[1]\) est la composée de \(F(X) \to F(G(A)[1])\) avec \(\xi_{G(A)}\). Comme \(G\) est l’adjoint à droite de \(F\), la discussion ci-dessus fournit un morphisme \(X \to G(C)\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ G(A) \ar[r] \ar[d] & G(B) \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar[d] & G(A)[1] \ar[d] \\ G(A) \ar[r] & G(B) \ar[r] & G(C) \ar[r] & G(A[1]) }\] commute et que la flèche verticale de droite soit le morphisme construit ci-dessus. En appliquant le foncteur homologique \(\Hom_{\mathcal{D}'}(W, -)\) à un objet \(W\) de \(\mathcal{D}'\), le \(5\)-lemme montre que \[\Hom_{\mathcal{D}'}(W, X) \to \Hom_{\mathcal{D}'}(W, G(C))\] est une bijection. Une nouvelle application du lemme de Yoneda montre que \(X \to G(C)\) est un isomorphisme. Par conséquent, \(G(A) \to G(B) \to G(C) \to G(A)[1]\) est un triangle distingué, ce qu’il fallait démontrer.
Lemme
Soient \(\mathcal{D}\), \(\mathcal{D}'\) des catégories triangulées. Soient \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) et \(G : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}\) des foncteurs. Supposons que
\(F\) et \(G\) soient des foncteurs exacts,
\(F\) soit pleinement fidèle,
\(G\) soit un adjoint à droite de \(F\), et
le noyau de \(G\) soit nul.
Alors \(F\) est une équivalence de catégories.
Démonstration
Comme \(F\) est pleinement fidèle, le morphisme d’adjonction \(\text{id} \to G \circ F\) est un isomorphisme (Catégories, lemme 07RB). Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{D}'\). Choisissons un triangle distingué \[F(G(X)) \to X \to Y \to F(G(X))[1]\] dans \(\mathcal{D}'\). En appliquant \(G\) et en utilisant \(G(F(G(X))) = G(X)\), on obtient un triangle distingué \[G(X) \to G(X) \to G(Y) \to G(X)[1]\] Ainsi \(G(Y) = 0\). Donc \(Y = 0\), et \(F(G(X)) \to X\) est un isomorphisme.
La catégorie homotopique
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. La catégorie homotopique \(K(\mathcal{A})\) de \(\mathcal{A}\) est la catégorie des complexes de \(\mathcal{A}\) dont les morphismes sont les morphismes de complexes pris à homotopie près. En voici la définition formelle.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive.
On pose \(\text{Comp}(\mathcal{A}) = \text{CoCh}(\mathcal{A})\) ; c’est la catégorie des complexes (cohomologiques).
Un complexe \(K^\bullet\) est dit borné inférieurement si \(K^n = 0\) pour tout \(n \ll 0\).
Un complexe \(K^\bullet\) est dit borné supérieurement si \(K^n = 0\) pour tout \(n \gg 0\).
Un complexe \(K^\bullet\) est dit borné si \(K^n = 0\) pour tout \(|n| \gg 0\).
On note \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Comp}^{-}(\mathcal{A})\), respectivement \(\text{Comp}^b(\mathcal{A})\), les sous-catégories pleines de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\) dont les objets sont les complexes bornés inférieurement, bornés supérieurement, respectivement bornés.
On note \(K(\mathcal{A})\) la catégorie ayant les mêmes objets que \(\text{Comp}(\mathcal{A})\), mais dont les morphismes sont les classes d’homotopie d’applications de complexes (voir Algèbre homologique, lemme 0112).
On note \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), respectivement \(K^b(\mathcal{A})\), les sous-catégories pleines de \(K(\mathcal{A})\) dont les objets sont les complexes de \(\mathcal{A}\) bornés inférieurement, bornés supérieurement, respectivement bornés.
Nous verrons que les catégories \(K(\mathcal{A})\), \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) et \(K^b(\mathcal{A})\) sont triangulées. Pour le démontrer, nous développons d’abord quelques outils relatifs aux cônes et aux suites exactes scindées.
Cônes et suites scindées terme à terme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive, et notons \(K(\mathcal{A})\) la catégorie des complexes de \(\mathcal{A}\) dont les morphismes sont les morphismes de complexes pris à homotopie près. Les foncteurs de décalage \([n]\) sur les complexes (voir Algèbre homologique, définition 011G) induisent des foncteurs \([n] : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{A})\) tels que \([n] \circ [m] = [n + m]\) et \([0] = \text{id}\).
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(f : K^\bullet \to L^\bullet\) un morphisme de complexes de \(\mathcal{A}\). Le cône de \(f\) est le complexe \(C(f)^\bullet\) défini par \(C(f)^n = L^n \oplus K^{n + 1}\) et par la différentielle \[d_{C(f)}^n = \left( \begin{matrix} d^n_L & f^{n + 1} \\ 0 & -d_K^{n + 1} \end{matrix} \right)\] Il est muni de morphismes canoniques de complexes \(i : L^\bullet \to C(f)^\bullet\) et \(p : C(f)^\bullet \to K^\bullet[1]\) induits par les applications évidentes \(L^n \to C(f)^n \to K^{n + 1}\).
Autrement dit, \((K, L, C(f), f, i, p)\) forme un triangle : \[K^\bullet \to L^\bullet \to C(f)^\bullet \to K^\bullet[1]\] La formation de ce triangle est fonctorielle au sens suivant.
Lemme
Supposons que \[\xymatrix{ K_1^\bullet \ar[r]_{f_1} \ar[d]_a & L_1^\bullet \ar[d]^b \\ K_2^\bullet \ar[r]^{f_2} & L_2^\bullet }\] soit un diagramme de morphismes de complexes commutatif à homotopie près. Alors il existe un morphisme \(c : C(f_1)^\bullet \to C(f_2)^\bullet\) qui donne un morphisme de triangles \((a, b, c) : (K_1^\bullet, L_1^\bullet, C(f_1)^\bullet, f_1, i_1, p_1) \to (K_2^\bullet, L_2^\bullet, C(f_2)^\bullet, f_2, i_2, p_2)\) de \(K(\mathcal{A})\).
Démonstration
Soit \(h^n : K_1^n \to L_2^{n - 1}\) une famille de morphismes telle que \(b \circ f_1 - f_2 \circ a= d \circ h + h \circ d\). Définissons \(c^n\) par la matrice \[c^n = \left( \begin{matrix} b^n & h^{n + 1} \\ 0 & a^{n + 1} \end{matrix} \right) : L_1^n \oplus K_1^{n + 1} \to L_2^n \oplus K_2^{n + 1}\] Un calcul matriciel montre que \(c\) est un morphisme de complexes. Il est immédiat que \(c \circ i_1 = i_2 \circ b\), et tout aussi immédiat que \(p_2 \circ c = a \circ p_1\).
Le morphisme \(c : C(f_1)^\bullet \to C(f_2)^\bullet\) construit dans la démonstration du lemme 014F dépend en général de l’homotopie \(h\) choisie entre \(f_2 \circ a\) et \(b \circ f_1\).
Lemme
Supposons que \(f: K^\bullet \to L^\bullet\) et \(g : L^\bullet \to M^\bullet\) soient des morphismes de complexes tels que \(g \circ f\) soit homotope à zéro. Alors
\(g\) se factorise par un morphisme \(C(f)^\bullet \to M^\bullet\), et
\(f\) se factorise par un morphisme \(K^\bullet \to C(g)^\bullet[-1]\).
Démonstration
Les hypothèses signifient que le diagramme \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_f \ar[d] & L^\bullet \ar[d]^g \\ 0 \ar[r] & M^\bullet }\] commute à homotopie près. Comme le cône de \(0 \to M^\bullet\) est \(M^\bullet\), l’application \(C(f)^\bullet \to C(0 \to M^\bullet) = M^\bullet\) du lemme 014F est l’application de (1). Le cône de \(K^\bullet \to 0\) est \(K^\bullet[1]\), et l’application du lemme 014F donne un morphisme \(K^\bullet[1] \to C(g)^\bullet\). En appliquant \([-1]\), on obtient le morphisme de (2).
Les morphismes \(C(f)^\bullet \to M^\bullet\) et \(K^\bullet \to C(g)^\bullet[-1]\) construits dans la démonstration du lemme 08RI dépendent en général de l’homotopie choisie.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Une injection scindée terme à terme \(\alpha : A^\bullet \to B^\bullet\) est un morphisme de complexes tel que chaque \(A^n \to B^n\) soit isomorphe à l’inclusion d’un facteur direct. Une surjection scindée terme à terme \(\beta : B^\bullet \to C^\bullet\) est un morphisme de complexes tel que chaque \(B^n \to C^n\) soit isomorphe à la projection sur un facteur direct.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[r]_f \ar[d]_a & B^\bullet \ar[d]^b \\ C^\bullet \ar[r]^g & D^\bullet }\] un diagramme de morphismes de complexes commutatif à homotopie près. Si \(f\) est une injection scindée terme à terme, alors \(b\) est homotope à un morphisme qui rend le diagramme commutatif. Si \(g\) est une surjection scindée terme à terme, alors \(a\) est homotope à un morphisme qui rend le diagramme commutatif.
Démonstration
Soit \(h^n : A^n \to D^{n - 1}\) une famille de morphismes telle que \(bf - ga = dh + hd\). Supposons que les morphismes \(\pi^n : B^n \to A^n\) scindent les morphismes \(f^n\). Prenons \(b' = b - dh\pi - h\pi d\). Supposons que les morphismes \(s^n : D^n \to C^n\) scindent les morphismes \(g^n : C^n \to D^n\). Prenons \(a' = a + dsh + shd\). Calculs omis.
Le lemme suivant permet de remplacer un morphisme de complexes par un morphisme qui est, en chaque degré, l’inclusion d’un facteur direct.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) un morphisme de complexes de \(\mathcal{A}\). Il existe une factorisation \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]^{\tilde \alpha} \ar@/_1pc/[rr]_\alpha & \tilde L^\bullet \ar[r]^\pi & L^\bullet }\] telle que
\(\tilde \alpha\) soit une injection scindée terme à terme (voir la définition 014G),
il existe une application de complexes \(s : L^\bullet \to \tilde L^\bullet\) telle que \(\pi \circ s = \text{id}_{L^\bullet}\) et telle que \(s \circ \pi\) soit homotope à \(\text{id}_{\tilde L^\bullet}\).
De plus, si \(K^\bullet\) et \(L^\bullet\) appartiennent tous deux à \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) ou \(K^b(\mathcal{A})\), alors \(\tilde L^\bullet\) y appartient aussi.
Démonstration
Posons \[\tilde L^n = L^n \oplus K^n \oplus K^{n + 1}\] et définissons \[d^n_{\tilde L} = \left( \begin{matrix} d^n_L & 0 & 0 \\ 0 & d^n_K & \text{id}_{K^{n + 1}} \\ 0 & 0 & -d^{n + 1}_K \end{matrix} \right)\] Autrement dit, \(\tilde L^\bullet = L^\bullet \oplus C(1_{K^\bullet})\). Posons en outre \[\tilde \alpha = \left( \begin{matrix} \alpha \\ \text{id}_{K^n} \\ 0 \end{matrix} \right)\] qui est manifestement une injection scindée. Il est également clair que cette matrice définit un morphisme de complexes. Définissons \[\pi = \left( \begin{matrix} \text{id}_{L^n} & 0 & 0 \end{matrix} \right)\] de sorte que \(\pi \circ \tilde \alpha = \alpha\). Posons \[s = \left( \begin{matrix} \text{id}_{L^n} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] de sorte que \(\pi \circ s = \text{id}_{L^\bullet}\). Enfin, soit \(h^n : \tilde L^n \to \tilde L^{n - 1}\) l’application qui envoie le facteur \(K^n\) de \(\tilde L^n\) par l’identité sur le facteur \(K^n\) de \(\tilde L^{n - 1}\). Il est alors immédiat (voir les calculs de la remarque ci-dessous) que \[\text{id}_{\tilde L^\bullet} - s \circ \pi = d \circ h + h \circ d\] ce qui achève la démonstration du lemme.
Remarque
On peut vérifier la dernière égalité affichée de la démonstration précédente en raisonnant avec des éléments. On a \(s\pi(l, k, k^{+}) = (l, 0, 0)\). Le morphisme du membre de gauche envoie donc \((l, k, k^{+})\) sur \((0, k, k^{+})\). D’autre part, \(h(l, k, k^{+}) = (0, 0, k)\) et \(d(l, k, k^{+}) = (dl, dk + k^{+}, -dk^{+})\). Ainsi \((dh + hd)(l, k, k^{+}) = d(0, 0, k) + h(dl, dk + k^{+}, -dk^{+}) = (0, k, -dk) + (0, 0, dk + k^{+}) = (0, k, k^{+})\), comme voulu.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) un morphisme de complexes de \(\mathcal{A}\). Il existe une factorisation \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]^i \ar@/_1pc/[rr]_\alpha & \tilde K^\bullet \ar[r]^{\tilde \alpha} & L^\bullet }\] telle que
\(\tilde \alpha\) soit une surjection scindée terme à terme (voir la définition 014G),
il existe une application de complexes \(s : \tilde K^\bullet \to K^\bullet\) telle que \(s \circ i = \text{id}_{K^\bullet}\) et telle que \(i \circ s\) soit homotope à \(\text{id}_{\tilde K^\bullet}\).
De plus, si \(K^\bullet\) et \(L^\bullet\) appartiennent tous deux à \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) ou \(K^b(\mathcal{A})\), alors \(\tilde K^\bullet\) y appartient aussi.
Démonstration
C’est l’énoncé dual du lemme 013N. Prenons \[\tilde K^n = K^n \oplus L^{n - 1} \oplus L^n\] et définissons \[d^n_{\tilde K} = \left( \begin{matrix} d^n_K & 0 & 0 \\ 0 & - d^{n - 1}_L & \text{id}_{L^n} \\ 0 & 0 & d^n_L \end{matrix} \right)\] autrement dit, \(\tilde K^\bullet = K^\bullet \oplus C(1_{L^\bullet[-1]})\). Posons en outre \[\tilde \alpha = \left( \begin{matrix} \alpha & 0 & \text{id}_{L^n} \end{matrix} \right)\] qui est manifestement une surjection scindée. Il est également clair que cette matrice définit un morphisme de complexes. Définissons \[i = \left( \begin{matrix} \text{id}_{K^n} \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\] de sorte que \(\tilde \alpha \circ i = \alpha\). Posons \[s = \left( \begin{matrix} \text{id}_{K^n} & 0 & 0 \end{matrix} \right)\] de sorte que \(s \circ i = \text{id}_{K^\bullet}\). Enfin, soit \(h^n : \tilde K^n \to \tilde K^{n - 1}\) l’application qui envoie le facteur \(L^{n - 1}\) de \(\tilde K^n\) par l’identité sur le facteur \(L^{n - 1}\) de \(\tilde K^{n - 1}\). Il est alors immédiat que \[\text{id}_{\tilde K^\bullet} - i \circ s = d \circ h + h \circ d\] ce qui achève la démonstration du lemme.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Une suite exacte de complexes de \(\mathcal{A}\) scindée terme à terme est un complexe de complexes \[0 \to A^\bullet \xrightarrow{\alpha} B^\bullet \xrightarrow{\beta} C^\bullet \to 0\] muni de décompositions en sommes directes \(B^n = A^n \oplus C^n\) compatibles avec \(\alpha^n\) et \(\beta^n\). On note souvent \(s^n : C^n \to B^n\) et \(\pi^n : B^n \to A^n\) les applications induites par ces décompositions en sommes directes. D’après Algèbre homologique, lemme 011J, on obtient un morphisme de complexes associé \[\delta : C^\bullet \longrightarrow A^\bullet[1]\] qui est, en degré \(n\), l’application \(\pi^{n + 1} \circ d_B^n \circ s^n\). Autrement dit, \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) forme un triangle \[A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to A^\bullet[1]\] Ce sera le triangle associé à la suite exacte de complexes scindée terme à terme.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) une suite exacte scindée terme à terme comme dans la définition 014I. Soient \((\pi')^n\), \((s')^n\) une seconde famille de scindages. Notons \(\delta' : C^\bullet \longrightarrow A^\bullet[1]\) le morphisme associé à cette seconde famille de scindages. Alors \[(1, 1, 1) : (A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta) \longrightarrow (A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta')\] est un isomorphisme de triangles dans \(K(\mathcal{A})\).
Démonstration
L’énoncé signifie simplement que \(\delta\) et \(\delta'\) sont des applications de complexes homotopes. C’est Algèbre homologique, lemme 011L.
Remarque
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soient \(0 \to A_i^\bullet \to B_i^\bullet \to C_i^\bullet \to 0\), \(i = 1, 2\), des suites exactes scindées terme à terme. Supposons que \(a : A_1^\bullet \to A_2^\bullet\), \(b : B_1^\bullet \to B_2^\bullet\) et \(c : C_1^\bullet \to C_2^\bullet\) soient des morphismes de complexes tels que \[\xymatrix{ A_1^\bullet \ar[d]_a \ar[r] & B_1^\bullet \ar[r] \ar[d]_b & C_1^\bullet \ar[d]_c \\ A_2^\bullet \ar[r] & B_2^\bullet \ar[r] & C_2^\bullet }\] commute dans \(K(\mathcal{A})\). En général, il n’existe pas de morphisme \(b' : B_1^\bullet \to B_2^\bullet\) homotope à \(b\) pour lequel le diagramme ci-dessus commute dans la catégorie des complexes. Considérons en effet Exemples, équation (087K). Si l’on pouvait y remplacer l’application centrale par une application homotope rendant le diagramme commutatif, on obtiendrait l’additivité des traces, qui est fausse.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soient \(0 \to A_i^\bullet \to B_i^\bullet \to C_i^\bullet \to 0\), \(i = 1, 2, 3\), des suites exactes de complexes scindées terme à terme. Soient \(b : B_1^\bullet \to B_2^\bullet\) et \(b' : B_2^\bullet \to B_3^\bullet\) des morphismes de complexes tels que \[\vcenter{ \xymatrix{ A_1^\bullet \ar[d]_0 \ar[r] & B_1^\bullet \ar[r] \ar[d]_b & C_1^\bullet \ar[d]_0 \\ A_2^\bullet \ar[r] & B_2^\bullet \ar[r] & C_2^\bullet } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A_2^\bullet \ar[d]^0 \ar[r] & B_2^\bullet \ar[r] \ar[d]^{b'} & C_2^\bullet \ar[d]^0 \\ A_3^\bullet \ar[r] & B_3^\bullet \ar[r] & C_3^\bullet } }\] commutent dans \(K(\mathcal{A})\). Alors \(b' \circ b = 0\) dans \(K(\mathcal{A})\).
Démonstration
Le lemme 014H permet de remplacer \(b\) et \(b'\) par des applications homotopes de sorte que le carré droit du diagramme de gauche et le carré gauche du diagramme de droite commutent. Autrement dit, \(\Im(b^n) \subset \Im(A_2^n \to B_2^n)\) et \(\Ker((b')^n) \supset \Im(A_2^n \to B_2^n)\). Alors \(b' \circ b = 0\) comme application de complexes.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soient \(f_1 : K_1^\bullet \to L_1^\bullet\) et \(f_2 : K_2^\bullet \to L_2^\bullet\) des morphismes de complexes. Soit \[(a, b, c) : (K_1^\bullet, L_1^\bullet, C(f_1)^\bullet, f_1, i_1, p_1) \longrightarrow (K_2^\bullet, L_2^\bullet, C(f_2)^\bullet, f_2, i_2, p_2)\] un morphisme quelconque de triangles de \(K(\mathcal{A})\). Si \(a\) et \(b\) sont des équivalences d’homotopie, alors \(c\) l’est aussi.
Démonstration
Soit \(a^{-1} : K_2^\bullet \to K_1^\bullet\) un morphisme de complexes inverse de \(a\) dans \(K(\mathcal{A})\). Soit \(b^{-1} : L_2^\bullet \to L_1^\bullet\) un morphisme de complexes inverse de \(b\) dans \(K(\mathcal{A})\). Soit \(c' : C(f_2)^\bullet \to C(f_1)^\bullet\) le morphisme fourni par le lemme 014F appliqué à \(f_1 \circ a^{-1} = b^{-1} \circ f_2\). Si l’on montre que \(c \circ c'\) et \(c' \circ c\) sont des isomorphismes dans \(K(\mathcal{A})\), la démonstration est achevée. Il suffit donc d’établir l’assertion suivante : étant donné un morphisme de triangles \((1, 1, c) : (K^\bullet, L^\bullet, C(f)^\bullet, f, i, p)\) dans \(K(\mathcal{A})\), le morphisme \(c\) est un isomorphisme dans \(K(\mathcal{A})\). Par hypothèse, les deux carrés du diagramme \[\xymatrix{ L^\bullet \ar[r] \ar[d]_1 & C(f)^\bullet \ar[r] \ar[d]_c & K^\bullet[1] \ar[d]_1 \\ L^\bullet \ar[r] & C(f)^\bullet \ar[r] & K^\bullet[1] }\] commutent à homotopie près. Par construction de \(C(f)^\bullet\), les lignes forment des suites de complexes scindées terme à terme. Le lemme 086L donne donc \((c - 1)^2 = 0\) dans \(K(\mathcal{A})\). Ainsi \(c\) est un isomorphisme de \(K(\mathcal{A})\), d’inverse \(2 - c\).
Ainsi, si \(a\) et \(b\) sont des équivalences d’homotopie, le morphisme de triangles qui en résulte est un isomorphisme de triangles dans \(K(\mathcal{A})\). Il s’avère que la famille des triangles de \(K(\mathcal{A})\) définis par les cônes et celle des triangles de \(K(\mathcal{A})\) définis par les suites exactes de complexes scindées terme à terme coïncident à isomorphisme près, au moins à un signe près !
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive.
Étant donnée une suite de complexes scindée terme à terme \((\alpha : A^\bullet \to B^\bullet, \beta : B^\bullet \to C^\bullet, s^n, \pi^n)\), il existe une équivalence d’homotopie \(C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[d] \ar[r] & C(\alpha)^\bullet \ar[r]_{-p} \ar[d] & A^\bullet[1] \ar[d] \\ A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r]^\delta & A^\bullet[1] }\] définisse un isomorphisme de triangles dans \(K(\mathcal{A})\).
Étant donné un morphisme de complexes \(f : K^\bullet \to L^\bullet\), il existe un isomorphisme de triangles \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] \ar[d] & \tilde L^\bullet \ar[d] \ar[r] & M^\bullet \ar[r]_{\delta} \ar[d] & K^\bullet[1] \ar[d] \\ K^\bullet \ar[r] & L^\bullet \ar[r] & C(f)^\bullet \ar[r]^{-p} & K^\bullet[1] }\] où le triangle supérieur est celui qui est associé à une suite exacte scindée terme à terme \(K^\bullet \to \tilde L^\bullet \to M^\bullet\).
Démonstration
Démonstration de (1). On a \(C(\alpha)^n = B^n \oplus A^{n + 1}\), et l’on définit simplement \(C(\alpha)^n \to C^n\) comme la projection sur \(B^n\) suivie de \(\beta^n\). C’est un morphisme de complexes, car les composées \(A^{n + 1} \to B^{n + 1} \to C^{n + 1}\) sont nulles. Pour obtenir un inverse à homotopie près, on prend \(C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet\) défini par \((s^n , -\delta^n)\) en degré \(n\). C’est un morphisme de complexes, car \(\delta^n\) se caractérise comme l’unique morphisme \(C^n \to A^{n + 1}\) tel que \(d \circ s^n - s^{n + 1} \circ d = \alpha \circ \delta^n\) ; voir la démonstration d’Algèbre homologique, lemme 011J. La composée \(C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet\) est l’identité. La composée \(C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet\) est égale au morphisme \[\left( \begin{matrix} s^n \circ \beta^n & 0 \\ -\delta^n \circ \beta^n & 0 \end{matrix} \right)\] Pour voir qu’il est homotope à l’identité, utilisons l’homotopie \(h^n : C(\alpha)^n \to C(\alpha)^{n - 1}\) définie par la matrice \[\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi^n & 0 \end{matrix} \right) : C(\alpha)^n = B^n \oplus A^{n + 1} \to B^{n - 1} \oplus A^n = C(\alpha)^{n - 1}\] On vérifie immédiatement que \[\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} s^n \\ -\delta^n \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \beta^n & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d & \alpha^n \\ 0 & -d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi^n & 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ \pi^{n + 1} & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} d & \alpha^{n + 1} \\ 0 & -d \end{matrix} \right)\] Pour achever la démonstration de (1), il faut montrer que les morphismes \(-p : C(\alpha)^\bullet \to A^\bullet[1]\) (voir la définition 014E) et \(C(\alpha)^\bullet \to C^\bullet \to A^\bullet[1]\) coïncident à homotopie près. C’est clair d’après ce qui précède. On peut en effet utiliser l’inverse à homotopie près \((s, -\delta) : C^\bullet \to C(\alpha)^\bullet\) et vérifier à la place que les deux applications \(C^\bullet \to A^\bullet[1]\) coïncident. Or \(p \circ (s, -\delta) = -\delta\), comme voulu.
Démonstration de (2). Soient \(\tilde f : K^\bullet \to \tilde L^\bullet\), \(s : L^\bullet \to \tilde L^\bullet\) et \(\pi : \tilde L^\bullet \to L^\bullet\) comme dans le lemme 013N. D’après les lemmes 014F et 014K, les triangles \((K^\bullet, L^\bullet, C(f), i, p)\) et \((K^\bullet, \tilde L^\bullet, C(\tilde f), \tilde i, \tilde p)\) sont isomorphes. On peut composer les isomorphismes de triangles. Ainsi, on peut remplacer \(L^\bullet\) par \(\tilde L^\bullet\) et \(f\) par \(\tilde f\). Autrement dit, on peut supposer que \(f\) est une injection scindée terme à terme. Dans ce cas, le résultat découle de la partie (1).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(A_1^\bullet \to A_2^\bullet \to \ldots \to A_n^\bullet\) une suite de morphismes composables de complexes. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A_1^\bullet \ar[r] & A_2^\bullet \ar[r] & \ldots \ar[r] & A_n^\bullet \\ B_1^\bullet \ar[r] \ar[u] & B_2^\bullet \ar[r] \ar[u] & \ldots \ar[r] & B_n^\bullet \ar[u] }\] tel que chaque morphisme \(B_i^\bullet \to B_{i + 1}^\bullet\) soit une injection scindée terme à terme, et que chaque \(B_i^\bullet \to A_i^\bullet\) soit une équivalence d’homotopie. De plus, si tous les \(A_i^\bullet\) appartiennent à \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) ou \(K^b(\mathcal{A})\), alors il en va de même des \(B_i^\bullet\).
Démonstration
Le cas \(n = 1\) est vide. Le lemme 013N est le cas \(n = 2\). Supposons le diagramme construit, à l’exception de \(B_n^\bullet\). Appliquons le lemme 013N à la composée \(B_{n - 1}^\bullet \to A_{n - 1}^\bullet \to A_n^\bullet\). On obtient la factorisation \(B_{n - 1}^\bullet \to B_n^\bullet \to A_n^\bullet\) recherchée.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \((\alpha : A^\bullet \to B^\bullet, \beta : B^\bullet \to C^\bullet, s^n, \pi^n)\) une suite de complexes scindée terme à terme. Soit \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) le triangle associé. Alors le triangle \((C^\bullet[-1], A^\bullet, B^\bullet, \delta[-1], \alpha, \beta)\) est isomorphe au triangle \((C^\bullet[-1], A^\bullet, C(\delta[-1])^\bullet, \delta[-1], i, p)\).
Démonstration
Écrivons \(B^n = A^n \oplus C^n\) et identifions \(\alpha^n\) et \(\beta^n\) aux applications naturelles d’inclusion et de projection. Par construction de \(\delta\), on a \[d_B^n = \left( \begin{matrix} d_A^n & \delta^n \\ 0 & d_C^n \end{matrix} \right)\] D’autre part, le cône de \(\delta[-1] : C^\bullet[-1] \to A^\bullet\) est donné par \(C(\delta[-1])^n = A^n \oplus C^n\), avec une différentielle identique à la matrice ci-dessus. D’où le lemme.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \(f : K^\bullet \to L^\bullet\) un morphisme de complexes. Le triangle \((L^\bullet, C(f)^\bullet, K^\bullet[1], i, p, f[1])\) est le triangle associé à la suite scindée terme à terme \[0 \to L^\bullet \to C(f)^\bullet \to K^\bullet[1] \to 0\] qui provient de la définition du cône de \(f\).
Démonstration
Cela résulte immédiatement des définitions.
Triangles distingués dans la catégorie d’homotopie
Comme nous voulons que, dans les suites exactes longues de cohomologie, nos morphismes de bord soient donnés sans signe par les morphismes du lemme du serpent, nous définissons comme suit les triangles distingués dans la catégorie d’homotopie.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Un triangle \((X, Y, Z, f, g, h)\) de \(K(\mathcal{A})\) est appelé un triangle distingué de \(K(\mathcal{A})\) s’il est isomorphe au triangle associé à une suite exacte de complexes scindée terme à terme, voir la définition 014I. Même définition pour \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) et \(K^b(\mathcal{A})\).
Notons que, d’après le lemme 014L, un triangle de la forme \((K^\bullet, L^\bullet, C(f)^\bullet, f, i, -p)\) est un triangle distingué. Cela donne bien une catégorie triangulée, voir la proposition 014S. Avant de pouvoir démontrer cette proposition, il nous faut encore un lemme afin de pouvoir démontrer TR4.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Supposons que \(\alpha : A^\bullet \to B^\bullet\) et \(\beta : B^\bullet \to C^\bullet\) soient des injections scindées de complexes. Alors il existe des triangles distingués \((A^\bullet, B^\bullet, Q_1^\bullet, \alpha, p_1, d_1)\), \((A^\bullet, C^\bullet, Q_2^\bullet, \beta \circ \alpha, p_2, d_2)\) et \((B^\bullet, C^\bullet, Q_3^\bullet, \beta, p_3, d_3)\) pour lesquels l’axiome TR4 est satisfait.
Démonstration
Notons \(\pi_1^n : B^n \to A^n\) et \(\pi_3^n : C^n \to B^n\) les rétractions. Alors \(A^\bullet \to C^\bullet\) est aussi une injection scindée, de rétractions \(\pi_2^n = \pi_1^n \circ \pi_3^n\). Notons \(Q_1^\bullet\), \(Q_2^\bullet\) et \(Q_3^\bullet\) les complexes « quotients ». Autrement dit, \(Q_1^n = \Ker(\pi_1^n)\), \(Q_3^n = \Ker(\pi_3^n)\) et \(Q_2^n = \Ker(\pi_2^n)\). Notons que ces noyaux existent. On a alors \(B^n = A^n \oplus Q_1^n\) et \(C^n = B^n \oplus Q_3^n\), où l’on considère \(A^n\) comme un sous-objet de \(B^n\), et ainsi de suite. Il s’ensuit que \(C^n = A^n \oplus Q_1^n \oplus Q_3^n\). Notons que \(\pi_2^n = \pi_1^n \circ \pi_3^n\) est nulle tant sur \(Q_1^n\) que sur \(Q_3^n\). Ainsi, \(Q_2^n = Q_1^n \oplus Q_3^n\). Considérons le diagramme commutatif \[\begin{matrix} 0 & \to & A^\bullet & \to & B^\bullet & \to & Q_1^\bullet & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & A^\bullet & \to & C^\bullet & \to & Q_2^\bullet & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \to & B^\bullet & \to & C^\bullet & \to & Q_3^\bullet & \to & 0 \end{matrix}\] Les lignes de ce diagramme sont des suites exactes scindées terme à terme et définissent donc, par définition, des triangles distingués. En outre, les flèches descendantes du diagramme ci-dessus sont compatibles avec les scindages choisis et définissent donc des morphismes de triangles \[(A^\bullet \to B^\bullet \to Q_1^\bullet \to A^\bullet[1]) \longrightarrow (A^\bullet \to C^\bullet \to Q_2^\bullet \to A^\bullet[1])\] et \[(A^\bullet \to C^\bullet \to Q_2^\bullet \to A^\bullet[1]) \longrightarrow (B^\bullet \to C^\bullet \to Q_3^\bullet \to B^\bullet[1]).\] Notons que les sections \(Q_3^n \to C^n\) de la suite scindée inférieure du diagramme fournissent une section de la suite scindée \(0 \to Q_1^\bullet \to Q_2^\bullet \to Q_3^\bullet \to 0\) après composition avec \(C^n \to Q_2^n\). On en déduit aisément que le morphisme \(\delta : Q_3^\bullet \to Q_1^\bullet[1]\) du triangle distingué correspondant \[(Q_1^\bullet \to Q_2^\bullet \to Q_3^\bullet \to Q_1^\bullet[1])\] est égal à la composée \(Q_3^\bullet \to B^\bullet[1] \to Q_1^\bullet[1]\). On obtient ainsi une configuration comme celle de la conclusion de l’axiome TR4.
Proposition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. La catégorie \(K(\mathcal{A})\) des complexes à homotopie près, munie de ses foncteurs de translation naturels et des triangles distingués définis ci-dessus, est une catégorie triangulée.
Démonstration
Démonstration de TR1. Par définition, tout triangle isomorphe à un triangle distingué est distingué. De plus, tout triangle \((A^\bullet, A^\bullet, 0, 1, 0, 0)\) est distingué, puisque \(0 \to A^\bullet \to A^\bullet \to 0 \to 0\) est une suite de complexes scindée terme à terme. Enfin, pour tout morphisme de complexes \(f : K^\bullet \to L^\bullet\), le triangle \((K, L, C(f), f, i, -p)\) est distingué d’après le lemme 014L.
Démonstration de TR2. Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle. Supposons que \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) soit distingué. Il existe alors une suite de complexes scindée terme à terme \(A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet\) telle que le triangle associé \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) soit isomorphe à \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\). En faisant tourner en sens inverse, on voit que \((X, Y, Z, f, g, h)\) est isomorphe à \((C^\bullet[-1], A^\bullet, B^\bullet, -\delta[-1], \alpha, \beta)\). Il résulte du lemme 014N que le triangle \((C^\bullet[-1], A^\bullet, B^\bullet, \delta[-1], \alpha, \beta)\) est isomorphe à \((C^\bullet[-1], A^\bullet, C(\delta[-1])^\bullet, \delta[-1], i, p)\). En précomposant l’isomorphisme de triangles précédent par \(-1\) sur \(Y\), on en déduit que \((X, Y, Z, f, g, h)\) est isomorphe à \((C^\bullet[-1], A^\bullet, C(\delta[-1])^\bullet, \delta[-1], i, -p)\). Il est donc distingué d’après le lemme 014L. Réciproquement, supposons que \((X, Y, Z, f, g, h)\) soit distingué. D’après le lemme 014L, cela signifie qu’il est isomorphe à un triangle de la forme \((K^\bullet, L^\bullet, C(f), f, i, -p)\) pour un certain morphisme de complexes \(f\). Le triangle obtenu par rotation \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) est alors isomorphe à \((L^\bullet, C(f), K^\bullet[1], i, -p, -f[1])\), qui est isomorphe au triangle \((L^\bullet, C(f), K^\bullet[1], i, p, f[1])\). D’après le lemme 014O, ce triangle est distingué. Ainsi, \((Y, Z, X[1], g, h, -f[1])\) est distingué, comme voulu.
Démonstration de TR3. Soient \((X, Y, Z, f, g, h)\) et \((X', Y', Z', f', g', h')\) des triangles distingués de \(K(\mathcal{A})\), et soient \(a : X \to X'\) et \(b : Y \to Y'\) des morphismes tels que \(f' \circ a = b \circ f\). D’après le lemme 014L, on peut supposer que \((X, Y, Z, f, g, h) = (X, Y, C(f), f, i, -p)\) et \((X', Y', Z', f', g', h') = (X', Y', C(f'), f', i', -p')\). Il suffit alors d’appliquer le lemme 014F au diagramme commutatif donné par \(f, f', a, b\).
Démonstration de TR4. Nous savons à présent que \(K(\mathcal{A})\) est une catégorie prétriangulée. Nous pouvons donc utiliser le lemme 014C. Soient \(A^\bullet \to B^\bullet\) et \(B^\bullet \to C^\bullet\) des morphismes composables de \(K(\mathcal{A})\). D’après le lemme 014M, on peut supposer que \(A^\bullet \to B^\bullet\) et \(B^\bullet \to C^\bullet\) sont des morphismes injectifs scindés. Dans ce cas, le résultat découle du lemme 014R.
Remarque
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Exactement la même démonstration que celle de la proposition 014S montre que les catégories \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) et \(K^b(\mathcal{A})\) sont des catégories triangulées. En effet, le cône d’un morphisme entre complexes bornés (supérieurement, inférieurement) est borné (supérieurement, inférieurement). Nous démontrons toutefois ci-dessous que ce sont des sous-catégories triangulées de \(K(\mathcal{A})\), ce qui fournit une autre démonstration.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Les catégories \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) et \(K^b(\mathcal{A})\) sont des sous-catégories triangulées pleines de \(K(\mathcal{A})\).
Démonstration
Chacune des catégories mentionnées est une sous-catégorie additive pleine. Nous utilisons le critère du lemme 05QX pour montrer que ce sont des sous-catégories triangulées. Il est clair que chacune des catégories \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) et \(K^b(\mathcal{A})\) est préservée par les foncteurs de décalage \([1], [-1]\). Enfin, supposons que \(f : A^\bullet \to B^\bullet\) soit un morphisme dans \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) ou \(K^b(\mathcal{A})\). Alors \((A^\bullet, B^\bullet, C(f)^\bullet, f, i, -p)\) est un triangle distingué de \(K(\mathcal{A})\), avec \(C(f)^\bullet \in K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) ou \(K^b(\mathcal{A})\), comme il ressort clairement de la construction du cône. Le lemme est donc démontré. (Une autre démonstration consiste à remarquer que \(K^\bullet \to L^\bullet\) est isomorphe, dans \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\) ou \(K^b(\mathcal{A})\), à une injection de complexes scindée terme à terme, voir le lemme 013N; on peut alors prendre directement le triangle distingué associé.)
Lemme
Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) des catégories additives. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif. Les foncteurs induits \[\begin{matrix} F : K(\mathcal{A}) \longrightarrow K(\mathcal{B}) \\ F : K^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{B}) \\ F : K^{-}(\mathcal{A}) \longrightarrow K^{-}(\mathcal{B}) \\ F : K^b(\mathcal{A}) \longrightarrow K^b(\mathcal{B}) \end{matrix}\] sont des foncteurs exacts de catégories triangulées.
Démonstration
Supposons que \(A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet\) soit une suite de complexes de \(\mathcal{A}\) scindée terme à terme, de scindages \((s^n, \pi^n)\) et de morphisme associé \(\delta : C^\bullet \to A^\bullet[1]\), voir la définition 014I. Alors \(F(A^\bullet) \to F(B^\bullet) \to F(C^\bullet)\) est une suite de complexes scindée terme à terme, de scindages \((F(s^n), F(\pi^n))\) et de morphisme associé \(F(\delta) : F(C^\bullet) \to F(A^\bullet)[1]\). Ainsi, \(F\) transforme les triangles distingués en triangles distingués.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive. Soit \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, a, b, c)\) un triangle distingué de \(K(\mathcal{A})\). Il existe alors un triangle distingué isomorphe \((A^\bullet, (B')^\bullet, C^\bullet, a', b', c)\) tel que \(0 \to A^n \to (B')^n \to C^n \to 0\) soit une suite exacte courte scindée pour tout \(n\).
Démonstration
Nous utiliserons le fait que \(K(\mathcal{A})\) est une catégorie triangulée, d’après la proposition 014S. Soit \(W^\bullet\) le cône de \(c : C^\bullet \to A^\bullet[1]\), muni de ses morphismes \(i : A^\bullet[1] \to W^\bullet\) et \(p : W^\bullet \to C^\bullet[1]\). Le triangle \((C^\bullet, A^\bullet[1], W^\bullet, c, i, -p)\) est alors distingué d’après le lemme 014L. Après deux rotations en sens inverse, on voit que \((A^\bullet, W^\bullet[-1], C^\bullet, -i[-1], p[-1], c)\) est un triangle distingué. Par TR3, il existe un morphisme de triangles distingués \((\text{id}, \beta, \text{id}) : (A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, a, b, c) \to (A^\bullet, W^\bullet[-1], C^\bullet, -i[-1], p[-1], c)\), qui est nécessairement un isomorphisme d’après le lemme 014A. Cela achève la démonstration, puisque \(0 \to A^\bullet \to W^\bullet[-1] \to C^\bullet \to 0\) est une suite exacte courte de complexes scindée terme à terme, par la construction même des cônes dans la section 014D.
Remarque
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie additive admettant les sommes directes dénombrables. Notons \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) la catégorie des complexes doubles de \(\mathcal{A}\), voir Homologie, section 0FNB. Cette catégorie permet de construire deux catégories triangulées.
On peut considérer un objet \(A^{\bullet, \bullet}\) de \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) comme un complexe de complexes de la manière suivante : \[\ldots \to A^{\bullet, -1} \to A^{\bullet, 0} \to A^{\bullet, 1} \to \ldots\] et prendre la catégorie d’homotopie \(K_{first}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A}))\), munie de la structure triangulée correspondante donnée par la proposition 014S. D’après Homologie, remarque 0G6A, le foncteur \[\text{Tot} : K_{first}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})) \longrightarrow K(\mathcal{A})\] est un foncteur exact de catégories triangulées.
On peut considérer un objet \(A^{\bullet, \bullet}\) de \(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})\) comme un complexe de complexes de la manière suivante : \[\ldots \to A^{-1, \bullet} \to A^{0, \bullet} \to A^{1, \bullet} \to \ldots\] et prendre la catégorie d’homotopie \(K_{second}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A}))\), munie de la structure triangulée correspondante donnée par la proposition 014S. D’après Homologie, remarque 0G6B, le foncteur \[\text{Tot} : K_{second}(\text{DoubleComp}(\mathcal{A})) \longrightarrow K(\mathcal{A})\] est un foncteur exact de catégories triangulées.
Remarque
Soient \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{C}\) des catégories additives et supposons que \(\mathcal{C}\) admette les sommes directes dénombrables. Supposons que \[\otimes : \mathcal{A} \times \mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{C}, \quad (X, Y) \longmapsto X \otimes Y\] soit un foncteur bilinéaire sur les morphismes. Il détermine un foncteur \[\text{Comp}(\mathcal{A}) \times \text{Comp}(\mathcal{B}) \longrightarrow \text{DoubleComp}(\mathcal{C}), \quad (X^\bullet, Y^\bullet) \longmapsto X^\bullet \otimes Y^\bullet\] Voir Homologie, exemple 0A5J.
Pour un objet fixé \(X^\bullet\) de \(\text{Comp}(\mathcal{A})\), le foncteur \[K(\mathcal{B}) \longrightarrow K(\mathcal{C}), \quad Y^\bullet \longmapsto \text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet)\] est un foncteur exact de catégories triangulées.
Pour un objet fixé \(Y^\bullet\) de \(\text{Comp}(\mathcal{B})\), le foncteur \[K(\mathcal{A}) \longrightarrow K(\mathcal{C}), \quad X^\bullet \longmapsto \text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet)\] est un foncteur exact de catégories triangulées.
Cela résulte de la remarque 0G6D, puisque les foncteurs \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to \text{DoubleComp}(\mathcal{C})\), \(Y^\bullet \mapsto X^\bullet \otimes Y^\bullet\) et \(\text{Comp}(\mathcal{B}) \to \text{DoubleComp}(\mathcal{C})\), \(X^\bullet \mapsto X^\bullet \otimes Y^\bullet\) sont manifestement compatibles aux homotopies et aux suites exactes courtes scindées terme à terme et induisent donc des foncteurs exacts de catégories triangulées \[K(\mathcal{B}) \to K_{first}(\text{DoubleComp}(\mathcal{C})) \quad\text{et}\quad K(\mathcal{A}) \to K_{second}(\text{DoubleComp}(\mathcal{C}))\] Observons que, pour le premier des deux, l’isomorphisme \[\text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet[1]) \cong \text{Tot}(X^\bullet \otimes Y^\bullet)[1]\] fait intervenir des signes (cela provient des signes choisis dans Homologie, remarque 0FLG).
Catégories dérivées
Dans cette section, nous construisons la catégorie dérivée d’une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) en inversant les quasi-isomorphismes dans \(K(\mathcal{A})\). Avant cela, rappelons que les foncteurs \(H^i : \text{Comp}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) se factorisent par \(K(\mathcal{A})\), voir Homologie, lemme 0116. En outre, dans Homologie, définition 011H, nous avons défini des identifications \(H^i(K^\bullet[n]) = H^{i + n}(K^\bullet)\). Il est désormais judicieux de redéfinir \[H^i(K^\bullet) = H^0(K^\bullet[i])\] afin d’éviter toute confusion et d’éventuelles erreurs de signe.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Le foncteur \[H^0 : K(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}\] est homologique.
Démonstration
Comme \(H^0\) est un foncteur, la définition de nos triangles distingués montre qu’il suffit de prouver que, pour toute suite exacte courte de complexes scindée terme à terme \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\), la suite \(H^0(A^\bullet) \to H^0(B^\bullet) \to H^0(C^\bullet)\) est exacte. Cela résulte de Homologie, lemme 0117.
En particulier, ce lemme implique qu’un triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\) de \(K(\mathcal{A})\) donne naissance à une suite exacte longue de cohomologie [05ST]\[\begin{equation} \xymatrix{ \ldots \ar[r] & H^i(X) \ar[r]^{H^i(f)} & H^i(Y) \ar[r]^{H^i(g)} & H^i(Z) \ar[r]^{H^i(h)} & H^{i + 1}(X) \ar[r] & \ldots } \end{equation}\] voir (0148). De plus, cette suite est compatible avec la suite exacte longue de cohomologie associée à une suite exacte courte de complexes (insérer ici une référence ultérieure). Par exemple, si \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) est le triangle distingué associé à une suite exacte de complexes scindée terme à terme (voir la définition 014I), alors la suite de cohomologie ci-dessus coïncide avec celle définie au moyen du lemme du serpent, voir Homologie, lemme 0117; pour la coïncidence des suites, voir Homologie, lemme 011K.
Rappelons qu’un complexe \(K^\bullet\) est acyclique si \(H^i(K^\bullet) = 0\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). Rappelons aussi qu’un morphisme de complexes \(f : K^\bullet \to L^\bullet\) est un quasi-isomorphisme si et seulement si \(H^i(f)\) est un isomorphisme pour tout \(i\). Voir Homologie, définition 0115.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. La sous-catégorie pleine \(\text{Ac}(\mathcal{A})\) de \(K(\mathcal{A})\) formée des complexes acycliques est une sous-catégorie triangulée strictement pleine, saturée, de \(K(\mathcal{A})\). Le système multiplicatif saturé correspondant (voir le lemme 05RL) de \(K(\mathcal{A})\) est l’ensemble \(\text{Qis}(\mathcal{A})\) des quasi-isomorphismes. En particulier, le noyau du foncteur de localisation \(Q : K(\mathcal{A}) \to \text{Qis}(\mathcal{A})^{-1}K(\mathcal{A})\) est \(\text{Ac}(\mathcal{A})\), et le foncteur \(H^0\) se factorise par \(Q\).
Démonstration
Le lemme 05RS montre que \(H^0\) est un foncteur homologique. Le présent lemme est donc un cas particulier du lemme 05RM.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(\text{Ac}(\mathcal{A})\) et \(\text{Qis}(\mathcal{A})\) comme dans le lemme 05RT. La catégorie dérivée de \(\mathcal{A}\) est la catégorie triangulée \[D(\mathcal{A}) = K(\mathcal{A})/\text{Ac}(\mathcal{A}) = \text{Qis}(\mathcal{A})^{-1} K(\mathcal{A}).\] Notons \(H^0 : D(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) l’unique foncteur dont la composée avec le foncteur quotient redonne le foncteur \(H^0\) défini ci-dessus. À l’aide du lemme 05RE, introduisons les sous-catégories triangulées strictement pleines et saturées \(D^{+}(\mathcal{A}), D^{-}(\mathcal{A}), D^b(\mathcal{A})\), dont les ensembles d’objets sont \[\begin{matrix} \Ob(D^{+}(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) = 0\text{ pour tout }n \ll 0\} \\ \Ob(D^{-}(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) = 0\text{ pour tout }n \gg 0\} \\ \Ob(D^b(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) = 0\text{ pour tout }|n| \gg 0\} \end{matrix}\] La catégorie \(D^b(\mathcal{A})\) est appelée la catégorie dérivée bornée de \(\mathcal{A}\).
Si \(K^\bullet\) et \(L^\bullet\) sont des complexes de \(\mathcal{A}\), nous disons parfois que « \(K^\bullet\) est quasi-isomorphe à \(L^\bullet\) » pour indiquer que \(K^\bullet\) et \(L^\bullet\) sont des objets isomorphes de \(D(\mathcal{A})\).
Remarque
Dans ce chapitre, nous travaillons systématiquement avec des catégories abéliennes « petites » (comme c’est la convention dans le projet Champs). Pour une « grande » catégorie abélienne \(\mathcal{A}\), l’existence de la catégorie dérivée \(D(\mathcal{A})\) n’est pas évidente, car il n’est pas clair que ses morphismes forment des ensembles. En fait, ce n’est généralement pas le cas, voir Exemples, lemme 07JT. Cependant, si \(\mathcal{A}\) est une catégorie abélienne de Grothendieck et si \(K^\bullet, L^\bullet\) appartiennent à \(K(\mathcal{A})\), alors, d’après Injectifs, théorème 079P, il existe un quasi-isomorphisme \(L^\bullet \to I^\bullet\) vers un complexe K-injectif \(I^\bullet\), et le lemme 070I montre que \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, L^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\] est un ensemble. La catégorie des modules sur un anneau, ou plus généralement la catégorie des faisceaux de modules sur un site annelé, sont des exemples de catégories abéliennes de Grothendieck.
Chacune des variantes \(D^{+}(\mathcal{A}), D^{-}(\mathcal{A}), D^b(\mathcal{A})\) peut être construite comme une localisation de la catégorie d’homotopie correspondante. Cela repose sur le lemme élémentaire suivant.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe.
Si \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour tout \(n \ll 0\), il existe un quasi-isomorphisme \(K^\bullet \to L^\bullet\), avec \(L^\bullet\) borné inférieurement.
Si \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour tout \(n \gg 0\), il existe un quasi-isomorphisme \(M^\bullet \to K^\bullet\), avec \(M^\bullet\) borné supérieurement.
Si \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour tout \(|n| \gg 0\), il existe un diagramme commutatif de morphismes de complexes \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] & L^\bullet \\ M^\bullet \ar[u] \ar[r] & N^\bullet \ar[u] }\] où toutes les flèches sont des quasi-isomorphismes, \(L^\bullet\) est borné inférieurement, \(M^\bullet\) est borné supérieurement et \(N^\bullet\) est un complexe borné.
Démonstration
Choisissons \(a \ll 0 \ll b\) et posons \(M^\bullet = \tau_{\leq b}K^\bullet\), \(L^\bullet = \tau_{\geq a}K^\bullet\) et \(N^\bullet = \tau_{\leq b}L^\bullet = \tau_{\geq a}M^\bullet\). Voir Homologie, section 0118, pour les foncteurs de troncation.
Pour énoncer le lemme suivant, notons \(\text{Ac}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Ac}^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(\text{Ac}^b(\mathcal{A})\), l’intersection de \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(K^b(\mathcal{A})\), avec \(\text{Ac}(\mathcal{A})\). Notons \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Qis}^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(\text{Qis}^b(\mathcal{A})\), l’intersection de \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(K^b(\mathcal{A})\), avec \(\text{Qis}(\mathcal{A})\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Les sous-catégories \(\text{Ac}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Ac}^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(\text{Ac}^b(\mathcal{A})\), sont des sous-catégories triangulées strictement pleines et saturées de \(K^{+}(\mathcal{A})\), \(K^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(K^b(\mathcal{A})\). Les systèmes multiplicatifs saturés correspondants (voir le lemme 05RL) sont les ensembles \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Qis}^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(\text{Qis}^b(\mathcal{A})\).
Le noyau du foncteur \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) est \(\text{Ac}^{+}(\mathcal{A})\), et cela induit une équivalence de catégories triangulées \[K^{+}(\mathcal{A})/\text{Ac}^{+}(\mathcal{A}) = \text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{A})\]
Le noyau du foncteur \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{A})\) est \(\text{Ac}^{-}(\mathcal{A})\), et cela induit une équivalence de catégories triangulées \[K^{-}(\mathcal{A})/\text{Ac}^{-}(\mathcal{A}) = \text{Qis}^{-}(\mathcal{A})^{-1}K^{-}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{-}(\mathcal{A})\]
Le noyau du foncteur \(K^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\) est \(\text{Ac}^b(\mathcal{A})\), et cela induit une équivalence de catégories triangulées \[K^b(\mathcal{A})/\text{Ac}^b(\mathcal{A}) = \text{Qis}^b(\mathcal{A})^{-1}K^b(\mathcal{A}) \longrightarrow D^b(\mathcal{A})\]
Démonstration
Les premières assertions résultent du lemme 05RM, appliqué à la restriction du foncteur homologique \(H^0\). L’assertion sur les noyaux dans (1), (2), (3) est, dans chaque cas, une conséquence des définitions. Chacun des foncteurs est essentiellement surjectif d’après le lemme 05RV. Pour achever la démonstration, il reste à montrer que ces foncteurs sont pleinement fidèles. Commençons par la version bornée inférieurement.
Supposons que \(K^\bullet, L^\bullet\) soient des complexes bornés inférieurement. Un morphisme entre eux dans \(D(\mathcal{A})\) est de la forme \(s^{-1}f\) pour une paire \(f : K^\bullet \to (L')^\bullet\), \(s : L^\bullet \to (L')^\bullet\), où \(s\) est un quasi-isomorphisme. Il en résulte que la cohomologie de \((L')^\bullet\) est bornée inférieurement. D’après le lemme 05RV, on peut donc choisir un quasi-isomorphisme \(s' : (L')^\bullet \to (L'')^\bullet\), avec \((L'')^\bullet\) borné inférieurement. La paire \((s' \circ f, s' \circ s)\) définit alors un morphisme dans \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A})\). Le foncteur est donc « plein ». Enfin, supposons que la paire \(f : K^\bullet \to (L')^\bullet\), \(s : L^\bullet \to (L')^\bullet\) définisse un morphisme dans \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A})\) qui est nul dans \(D(\mathcal{A})\). Cela signifie qu’il existe un quasi-isomorphisme \(s' : (L')^\bullet \to (L'')^\bullet\) tel que \(s' \circ f = 0\). En appliquant encore une fois le lemme 05RV, on obtient un quasi-isomorphisme \(s'' : (L'')^\bullet \to (L''')^\bullet\), avec \((L''')^\bullet\) borné inférieurement. On voit donc que \(s'' \circ s' \circ f = 0\), ce qui implique que \(s^{-1}f\) est nul dans \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\mathcal{A})\). Cela achève la preuve que le foncteur de (1) est une équivalence.
La démonstration de (2) est duale de celle de (1). Pour démontrer (3), nous pouvons utiliser le résultat de (2). Il suffit donc de montrer que le foncteur \(\text{Qis}^b(\mathcal{A})^{-1}K^b(\mathcal{A}) \to \text{Qis}^{-}(\mathcal{A})^{-1}K^{-}(\mathcal{A})\) est pleinement fidèle. L’argument du paragraphe précédent s’applique directement, en travaillant systématiquement avec des complexes déjà bornés supérieurement.
Le foncteur delta canonique
La catégorie dérivée devrait être le réceptacle du foncteur de cohomologie universel. Pour énoncer le résultat, nous utilisons la notion de \(\delta\)-foncteur d’une catégorie abélienne vers une catégorie triangulée, voir la définition 0150.
Considérons le foncteur \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{A})\). Ce foncteur n’est pas, en général, un \(\delta\)-foncteur. Le moyen le plus simple de le voir consiste à considérer une suite exacte courte non scindée \(0 \to A \to B \to C \to 0\) d’objets de \(\mathcal{A}\). Comme \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(C[0], A[1]) = 0\), tout triangle distingué provenant de cette suite exacte serait de la forme \((A[0], B[0], C[0], a, b, 0)\). Mais l’existence d’un tel triangle distingué dans \(K(\mathcal{A})\) implique que l’extension est scindée, ce qui est une contradiction.
Il se trouve que le foncteur \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\) est un \(\delta\)-foncteur. Pour le voir, nous devons définir les morphismes \(\delta\) associés à une suite exacte courte \[0 \to A^\bullet \xrightarrow{a} B^\bullet \xrightarrow{b} C^\bullet \to 0\] de complexes de la catégorie abélienne \(\mathcal{A}\). Considérons le cône \(C(a)^\bullet\) du morphisme \(a\). On a \(C(a)^n = B^n \oplus A^{n + 1}\), et nous définissons \(q^n : C(a)^n \to C^n\) comme la projection sur \(B^n\) suivie de \(b^n\). On obtient ainsi un morphisme de complexes \[q : C(a)^\bullet \longrightarrow C^\bullet.\] Il est clair que \(q \circ i = b\), où \(i\) est comme dans la définition 014E. Notons que, puisque \(a^\bullet\) est injectif en chaque degré, le noyau de \(q\) s’identifie au cône de \(\text{id}_{A^\bullet}\), qui est acyclique. Ainsi, \(q\) est un quasi-isomorphisme. D’après le lemme 014L, le triangle \[(A, B, C(a), a, i, -p)\] est un triangle distingué de \(K(\mathcal{A})\). Comme le foncteur de localisation \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\) est exact, \((A, B, C(a), a, i, -p)\) est un triangle distingué de \(D(\mathcal{A})\). Puisque \(q\) est un quasi-isomorphisme, \(q\) est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{A})\). On en déduit donc que \[(A, B, C, a, b, -p \circ q^{-1})\] est un triangle distingué de \(D(\mathcal{A})\). Cela suggère le lemme suivant.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Le foncteur \(\text{Comp}(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\) défini ci-dessus possède une structure naturelle de \(\delta\)-foncteur, avec \[\delta_{A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet} = - p \circ q^{-1}\] où \(p\) et \(q\) sont comme ci-dessus. La même construction munit les foncteurs \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{Comp}^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{A})\) et \(\text{Comp}^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A})\) de structures de \(\delta\)-foncteurs.
Démonstration
Nous avons déjà vu que ce choix produit un triangle distingué pour toute suite exacte courte de complexes. Nous devons montrer que, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r]_a \ar[d]_f & B^\bullet \ar[r]_b \ar[d]_g & C^\bullet \ar[r] \ar[d]_h & 0 \\ 0 \ar[r] & (A')^\bullet \ar[r]^{a'} & (B')^\bullet \ar[r]^{b'} & (C')^\bullet \ar[r] & 0 }\] nous obtenons le diagramme commutatif voulu de la définition 0150 (2). D’après le lemme 014F, la paire \((f, g)\) induit un morphisme canonique \(c : C(a)^\bullet \to C(a')^\bullet\). Un calcul simple montre que \(q' \circ c = h \circ q\) et \(f[1] \circ p = p' \circ c\). Le résultat en découle immédiatement.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[r] \ar[d] & C^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & D^\bullet \ar[r] & E^\bullet \ar[r] & F^\bullet \ar[r] & 0 }\] un diagramme commutatif de morphismes de complexes tel que ses lignes soient des suites exactes courtes de complexes et que ses flèches verticales soient des quasi-isomorphismes. Le \(\delta\)-foncteur du lemme 0152 envoie les suites exactes courtes \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) et \(0 \to D^\bullet \to E^\bullet \to F^\bullet \to 0\) sur des triangles distingués isomorphes.
Démonstration
Cela résulte immédiatement du fait que \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})\) transforme les quasi-isomorphismes en isomorphismes et que les triangles distingués associés sont fonctoriels.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & 0 }\] une suite exacte courte de complexes. Supposons que cette suite exacte courte soit scindée terme à terme. Soit \((A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta)\) le triangle distingué de \(K(\mathcal{A})\) associé à cette suite. Le \(\delta\)-foncteur du lemme 0152 envoie la suite exacte courte \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) sur un triangle isomorphe au triangle distingué \[(A^\bullet, B^\bullet, C^\bullet, \alpha, \beta, \delta).\]
Démonstration
Cela résulte du lemme 014L.
Remarque
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\) et soit \(a \in \mathbf{Z}\). Nous affirmons qu’il existe un triangle distingué canonique \[\tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet \to (\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] dans \(D(\mathcal{A})\). Nous avons utilisé ici les foncteurs de troncation canoniques \(\tau\) d’Homologie, section 0118. Prenons d’abord le triangle distingué associé par notre \(\delta\)-foncteur (lemme 0152) à la suite exacte courte de complexes \[0 \to \tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet \to K^\bullet/\tau_{\leq a}K^\bullet \to 0\] Ensuite, la description des groupes de cohomologie dans Homologie, section 0118, montre que le morphisme \(K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet\) se factorise par un quasi-isomorphisme \(K^\bullet/\tau_{\leq a}K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet\). De façon analogue, on obtient les triangles distingués canoniques \[\tau_{\leq a}K^\bullet \to \tau_{\leq a + 1}K^\bullet \to H^{a + 1}(K^\bullet)[-a-1] \to (\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] et \[H^a(K^\bullet)[-a] \to \tau_{\geq a}K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet \to H^a(K^\bullet)[-a + 1]\]
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \[K_0^\bullet \to K_1^\bullet \to \ldots \to K_n^\bullet\] des morphismes de complexes tels que
\(H^i(K_0^\bullet) = 0\) pour \(i > 0\),
\(H^{-j}(K_j^\bullet) \to H^{-j}(K_{j + 1}^\bullet)\) soit nul.
Alors la composée \(K_0^\bullet \to K_n^\bullet\) se factorise par \(\tau_{\leq -n}K_n^\bullet \to K_n^\bullet\) dans \(D(\mathcal{A})\). Dualement, soient des morphismes de complexes \[K_n^\bullet \to K_{n - 1}^\bullet \to \ldots \to K_0^\bullet\] tels que
\(H^i(K_0^\bullet) = 0\) pour \(i < 0\),
\(H^j(K_{j + 1}^\bullet) \to H^j(K_j^\bullet)\) soit nul.
Alors la composée \(K_n^\bullet \to K_0^\bullet\) se factorise par \(K_n^\bullet \to \tau_{\geq n}K_n^\bullet\) dans \(D(\mathcal{A})\).
Démonstration
Traitons le cas \(n = 1\). Comme \(\tau_{\leq 0}K_0^\bullet = K_0^\bullet\) dans \(D(\mathcal{A})\), on peut remplacer \(K_0^\bullet\) par \(\tau_{\leq 0}K_0^\bullet\) et \(K_1^\bullet\) par \(\tau_{\leq 0}K_1^\bullet\). Considérons le triangle distingué \[\tau_{\leq -1}K_1^\bullet \to K_1^\bullet \to H^0(K_1^\bullet)[0] \to (\tau_{\leq -1}K_1^\bullet)[1]\] (remarque 08J5). La composée \(K_0^\bullet \to K_1^\bullet \to H^0(K_1^\bullet)[0]\) est nulle, car elle est égale à \(K_0^\bullet \to H^0(K_0^\bullet)[0] \to H^0(K_1^\bullet)[0]\), qui est nulle par hypothèse. Le fait que \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(K_0^\bullet, -)\) soit un foncteur homologique (lemme 0149) permet de trouver la factorisation voulue. Pour \(n = 2\), nous obtenons une factorisation \(K_0^\bullet \to \tau_{\leq -1}K_1^\bullet\) par le cas \(n = 1\), et nous pouvons appliquer le cas \(n = 1\) au morphisme de complexes \(\tau_{\leq -1}K_1^\bullet \to \tau_{\leq -1}K_2^\bullet\) pour obtenir une factorisation \(\tau_{\leq -1}K_1^\bullet \to \tau_{\leq -2}K_2^\bullet\). Le cas général se démontre exactement de la même manière.
Catégories dérivées filtrées
Une référence pour cette section est [cotangent, I, chapitre V]. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Dans cette section, nous allons définir la catégorie dérivée filtrée \(DF(\mathcal{A})\) de \(\mathcal{A}\). En bref, nous la définirons comme la catégorie dérivée de la catégorie exacte des objets de \(\mathcal{A}\) munis d’une filtration finie. (Notre construction est donc un cas particulier d’une construction plus générale de la catégorie dérivée d’une catégorie exacte ; voir, par exemple, [Buhler], [Keller].) La catégorie dérivée filtrée d’Illusie est la sous-catégorie pleine de la nôtre formée des objets dont la filtration est finie. (Dans notre catégorie, la filtration est encore finie en chaque degré, mais peut ne pas être uniformément bornée.) La raison de notre choix est que cette construction n’est pas plus difficile et nous permet d’appliquer la discussion aux suites spectrales du lemme 015J ; voir aussi la remarque 015K.
Nous emploierons les notations relatives aux objets filtrés introduites dans Homologie, section 0120. La catégorie des objets filtrés de \(\mathcal{A}\) est notée \(\text{Fil}(\mathcal{A})\). Toutes les filtrations seront, par convention, décroissantes.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. La catégorie des objets filtrés finis de \(\mathcal{A}\) est la catégorie des objets filtrés \((A, F)\) de \(\mathcal{A}\) dont la filtration \(F\) est finie. Nous la notons \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\).
Ainsi, \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) est une sous-catégorie pleine de \(\text{Fil}(\mathcal{A})\). Pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), il existe un foncteur \(\text{gr}^p : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\). Il existe un foncteur \[\text{gr} = \bigoplus\nolimits_{p \in \mathbf{Z}} \text{gr}^p : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to \text{Gr}(\mathcal{A})\] où \(\text{Gr}(\mathcal{A})\) est la catégorie des objets gradués de \(\mathcal{A}\) ; voir Homologie, définition 0125. Enfin, il existe un foncteur \[(\text{oubli de }F) : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A}\] qui associe à l’objet filtré \((A, F)\) l’objet sous-jacent de \(\mathcal{A}\). La catégorie \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) est additive, mais elle n’est pas abélienne en général ; voir Homologie, exemple 0108.
Comme les foncteurs \(\text{gr}^p\), \(\text{gr}\) et \((\text{oubli de }F)\) sont additifs, ils induisent des foncteurs exacts de catégories triangulées \[\text{gr}^p, (\text{oubli de }F) : K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \to K(\mathcal{A}) \quad\text{et}\quad \text{gr} : K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \to K(\text{Gr}(\mathcal{A}))\] d’après le lemme 014X. Par analogie avec le cas de la catégorie d’homotopie d’une catégorie abélienne, posons les définitions suivantes.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.
Soit \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) un morphisme de \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\). Nous disons que \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme filtré si le morphisme \(\text{gr}(\alpha)\) est un quasi-isomorphisme.
Soit \(K^\bullet\) un objet de \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\). Nous disons que \(K^\bullet\) est filtré acyclique si le complexe \(\text{gr}(K^\bullet)\) est acyclique.
Notons que \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) est un quasi-isomorphisme filtré si et seulement si chaque \(\text{gr}^p(\alpha)\) est un quasi-isomorphisme. De même, un complexe \(K^\bullet\) est filtré acyclique si et seulement si chaque \(\text{gr}^p(K^\bullet)\) est acyclique.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.
Le foncteur \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow \text{Gr}(\mathcal{A})\), \(K^\bullet \longmapsto H^0(\text{gr}(K^\bullet))\) est homologique.
Le foncteur \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \rightarrow \mathcal{A}\), \(K^\bullet \longmapsto H^0(\text{gr}^p(K^\bullet))\) est homologique.
Le foncteur \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow \mathcal{A}\), \(K^\bullet \longmapsto H^0((\text{oubli de }F)K^\bullet)\) est homologique.
Démonstration
Cela résulte du fait que \(H^0 : K(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\) est homologique, voir le lemme 05RS, et du fait que les foncteurs \(\text{gr}, \text{gr}^p, (\text{oubli de }F)\) sont des foncteurs exacts de catégories triangulées. Voir le lemme 05QZ.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. La sous-catégorie pleine \(\text{FAc}(\mathcal{A})\) de \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\), formée des complexes filtrés acycliques, est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\). Le système multiplicatif saturé correspondant (voir le lemme 05RL) de \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) est l’ensemble \(\text{FQis}(\mathcal{A})\) des quasi-isomorphismes filtrés. En particulier, le noyau du foncteur de localisation \[Q : K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow \text{FQis}(\mathcal{A})^{-1}K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\] est \(\text{FAc}(\mathcal{A})\), et le foncteur \(H^0 \circ \text{gr}\) se factorise par \(Q\).
Démonstration
Le lemme 05S0 montre que \(H^0 \circ \text{gr}\) est un foncteur homologique. Le présent lemme est donc un cas particulier du lemme 05RM.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(\text{FAc}(\mathcal{A})\) et \(\text{FQis}(\mathcal{A})\) comme dans le lemme 05S1. La catégorie dérivée filtrée de \(\mathcal{A}\) est la catégorie triangulée \[DF(\mathcal{A}) = K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))/\text{FAc}(\mathcal{A}) = \text{FQis}(\mathcal{A})^{-1} K(\text{Fil}^f(\mathcal{A})).\]
Lemme
Les foncteurs \(\text{gr}^p, \text{gr}, (\text{oubli de }F)\) induisent des foncteurs exacts canoniques \[\text{gr}^p, (\text{oubli de }F): DF(\mathcal{A}) \longrightarrow D(\mathcal{A})\] et \[\text{gr}: DF(\mathcal{A}) \longrightarrow D(\text{Gr}(\mathcal{A}))\] qui commutent aux foncteurs de localisation.
Démonstration
Cela résulte de la propriété universelle de la localisation, voir le lemme 05R7, pourvu que chacun des foncteurs \(\text{gr}^p, \text{gr}, (\text{oubli de }F)\) transforme un quasi-isomorphisme filtré en un quasi-isomorphisme. C’est vrai par définition pour les deux premiers. Pour le dernier, il faut fournir un petit argument. Soit \(f : K^\bullet \to L^\bullet\) un quasi-isomorphisme filtré dans \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\). Choisissons un triangle distingué \((K^\bullet, L^\bullet, M^\bullet, f, g, h)\) contenant \(f\). Alors \(M^\bullet\) est filtré acyclique, voir le lemme 05S1. Le lemme correspondant pour \(K(\mathcal{A})\) montre donc qu’il suffit de prouver qu’un complexe filtré acyclique est un complexe acyclique après oubli de la filtration. Cela résulte d’Homologie, lemme 05QH.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. La catégorie dérivée filtrée bornée \(DF^b(\mathcal{A})\) est la sous-catégorie pleine de \(DF(\mathcal{A})\) dont les objets sont les \(X\) tels que \(\text{gr}(X) \in D^b(\mathcal{A})\). On définit de même la catégorie dérivée filtrée bornée inférieurement \(DF^{+}(\mathcal{A})\) et la catégorie dérivée filtrée bornée supérieurement \(DF^{-}(\mathcal{A})\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\).
Si \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\) pour tout \(n < a\), il existe un quasi-isomorphisme filtré \(K^\bullet \to L^\bullet\) tel que \(L^n = 0\) pour tout \(n < a\).
Si \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\) pour tout \(n > b\), il existe un quasi-isomorphisme filtré \(M^\bullet \to K^\bullet\) tel que \(M^n = 0\) pour tout \(n > b\).
Si \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\) pour tout \(|n| \gg 0\), il existe un diagramme commutatif de morphismes de complexes \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] & L^\bullet \\ M^\bullet \ar[u] \ar[r] & N^\bullet \ar[u] }\] où toutes les flèches sont des quasi-isomorphismes filtrés, \(L^\bullet\) est borné inférieurement, \(M^\bullet\) est borné supérieurement et \(N^\bullet\) est un complexe borné.
Démonstration
Supposons que \(H^n(\text{gr}(K^\bullet)) = 0\) pour tout \(n < a\). D’après Homologie, lemme 05QH, la suite \[K^{a - 2} \xrightarrow{d^{a - 2}} K^{a - 1} \xrightarrow{d^{a - 1}} K^a\] est une suite exacte d’objets de \(\mathcal{A}\), et les morphismes \(d^{a - 2}\) et \(d^{a - 1}\) sont stricts. Ainsi, \(\Coim(d^{a - 1}) = \Im(d^{a - 1})\) dans \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\), et le morphisme \(\text{gr}(\Im(d^{a - 1})) \to \text{gr}(K^a)\) est injectif, d’image égale à celle de \(\text{gr}(K^{a - 1}) \to \text{gr}(K^a)\) ; voir Homologie, lemme 0127. Cela signifie que le morphisme \(K^\bullet \to \tau_{\geq a}K^\bullet\) vers le complexe tronqué \[\tau_{\geq a}K^\bullet = (\ldots \to 0 \to K^a/\Im(d^{a - 1}) \to K^{a + 1} \to \ldots)\] est un quasi-isomorphisme filtré. Cela démontre (1). La démonstration de (2) est duale de celle de (1). La partie (3) résulte formellement de (1) et (2).
Pour énoncer le lemme suivant, notons \(\text{FAc}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{FAc}^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(\text{FAc}^b(\mathcal{A})\), l’intersection de \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), \(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), resp. \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), avec \(\text{FAc}(\mathcal{A})\). Notons \(\text{FQis}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{FQis}^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(\text{FQis}^b(\mathcal{A})\), l’intersection de \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), \(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), resp. \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), avec \(\text{FQis}(\mathcal{A})\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Les sous-catégories \(\text{FAc}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{FAc}^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(\text{FAc}^b(\mathcal{A})\), sont des sous-catégories triangulées strictement pleines et saturées de \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), \(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})\), resp. \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})\). Les systèmes multiplicatifs saturés correspondants (voir le lemme 05RL) sont les ensembles \(\text{FQis}^{+}(\mathcal{A})\), \(\text{FQis}^{-}(\mathcal{A})\), resp. \(\text{FQis}^b(\mathcal{A})\).
Le noyau du foncteur \(K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \to DF^{+}(\mathcal{A})\) est \(\text{FAc}^{+}(\mathcal{A})\), et cela induit une équivalence de catégories triangulées \[K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A})/\text{FAc}^{+}(\mathcal{A}) = \text{FQis}^{+}(\mathcal{A})^{-1}K^{+}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \longrightarrow DF^{+}(\mathcal{A})\]
Le noyau du foncteur \(K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \to DF^{-}(\mathcal{A})\) est \(\text{FAc}^{-}(\mathcal{A})\), et cela induit une équivalence de catégories triangulées \[K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A})/\text{FAc}^{-}(\mathcal{A}) = \text{FQis}^{-}(\mathcal{A})^{-1}K^{-}(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \longrightarrow DF^{-}(\mathcal{A})\]
Le noyau du foncteur \(K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \to DF^b(\mathcal{A})\) est \(\text{FAc}^b(\mathcal{A})\), et cela induit une équivalence de catégories triangulées \[K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A})/\text{FAc}^b(\mathcal{A}) = \text{FQis}^b(\mathcal{A})^{-1}K^b(\text{Fil}^f\mathcal{A}) \longrightarrow DF^b(\mathcal{A})\]
Démonstration
Cela résulte des résultats précédents, en particulier du lemme 05S5, exactement par les mêmes arguments que ceux de la démonstration du lemme 05RW.
Foncteurs dérivés en général
Une référence pour cette section est l’exposé XVII de Deligne dans [SGA4]. Il existe une notion très générale de foncteurs dérivés droits et gauches lorsque l’on dispose d’un foncteur exact entre catégories triangulées et d’un système multiplicatif dans la catégorie source, et que l’on cherche la « bonne » extension du foncteur exact à la catégorie localisée.
Situation
Dans cette situation, \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) est un foncteur exact de catégories triangulées, et \(S\) est un système multiplicatif saturé de \(\mathcal{D}\) compatible avec la structure de catégorie triangulée de \(\mathcal{D}\).
Soit \(X \in \Ob(\mathcal{D})\). Rappelons, d’après Catégories, remarque 05Q0, la catégorie filtrante \(X/S\) des flèches \(s : X \to X'\) de \(S\) de source \(X\). Dualement, dans Catégories, remarque 05Q4, nous avons défini la catégorie cofiltrante \(S/X\) des flèches \(s : X' \to X\) de \(S\) de but \(X\).
Définition
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{D})\).
Nous disons que le foncteur dérivé droit \(RF\) est défini en \(X\) si l’ind-objet \[(X/S) \longrightarrow \mathcal{D}', \quad (s : X \to X') \longmapsto F(X')\] est essentiellement constant5 ; dans ce cas, la valeur \(Y\) dans \(\mathcal{D}'\) est appelée la valeur de \(RF\) en \(X\).
Nous disons que le foncteur dérivé gauche \(LF\) est défini en \(X\) si le pro-objet \[(S/X) \longrightarrow \mathcal{D}', \quad (s: X' \to X) \longmapsto F(X')\] est essentiellement constant ; dans ce cas, la valeur \(Y\) dans \(\mathcal{D}'\) est appelée la valeur de \(LF\) en \(X\).
Par abus de notation, nous notons souvent ces valeurs simplement \(RF(X)\) ou \(LF(X)\).
Nous verrons que la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{D}\) formée des objets en lesquels \(RF\) est défini est une sous-catégorie triangulée, et que \(RF\) définit sur celle-ci un foncteur qui transforme les morphismes de \(S\) en isomorphismes.
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{D}\).
Si \(RF\) est défini en \(X\) et en \(Y\), il existe entre les valeurs un unique morphisme \(RF(f) : RF(X) \to RF(Y)\) tel que, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_s & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^{s'} & Y' }\] avec \(s, s' \in S\), le diagramme \[\xymatrix{ F(X) \ar[d] \ar[r] & F(X') \ar[d] \ar[r] & RF(X) \ar[d] \\ F(Y) \ar[r] & F(Y') \ar[r] & RF(Y) }\] soit commutatif.
Si \(LF\) est défini en \(X\) et en \(Y\), il existe entre les valeurs un unique morphisme \(LF(f) : LF(X) \to LF(Y)\) tel que, pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_s & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^{s'} & Y }\] avec \(s, s'\) dans \(S\), le diagramme \[\xymatrix{ LF(X) \ar[d] \ar[r] & F(X') \ar[d] \ar[r] & F(X) \ar[d] \\ LF(Y) \ar[r] & F(Y') \ar[r] & F(Y) }\] soit commutatif.
Démonstration
La partie (1) reste valable si l’on suppose seulement que les colimites \[RF(X) = \colim_{s : X \to X'} F(X') \quad\text{et}\quad RF(Y) = \colim_{s' : Y \to Y'} F(Y')\] existent. En effet, se donner un morphisme \(RF(X) \to RF(Y)\) entre les colimites revient à se donner, pour chaque \(s : X \to X'\) dans \(\Ob(X/S)\), un morphisme \(F(X') \to RF(Y)\) compatible aux morphismes de la catégorie \(X/S\). Pour obtenir ce morphisme, choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_s & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^{s'} & Y' }\] avec \(s, s'\) dans \(S\), ce qui est possible par MS2, et prenons pour \(F(X') \to RF(Y)\) la composée \(F(X') \to F(Y') \to RF(Y)\). Pour voir que ce choix ne dépend pas du diagramme ci-dessus, on utilise MS3. Les détails sont omis. La démonstration de (2) est duale.
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. Soit \(s : X \to Y\) un élément de \(S\).
\(RF\) est défini en \(X\) si et seulement s’il est défini en \(Y\). Dans ce cas, le morphisme \(RF(s) : RF(X) \to RF(Y)\) entre les valeurs est un isomorphisme.
\(LF\) est défini en \(X\) si et seulement s’il est défini en \(Y\). Dans ce cas, le morphisme \(LF(s) : LF(X) \to LF(Y)\) entre les valeurs est un isomorphisme.
Démonstration
Omis.
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. Soient \(X\) un objet de \(\mathcal{D}\) et \(n \in \mathbf{Z}\).
\(RF\) est défini en \(X\) si et seulement s’il est défini en \(X[n]\). Dans ce cas, il existe entre les valeurs un isomorphisme canonique \(RF(X)[n]= RF(X[n])\).
\(LF\) est défini en \(X\) si et seulement s’il est défini en \(X[n]\). Dans ce cas, il existe entre les valeurs un isomorphisme canonique \(LF(X)[n] \to LF(X[n])\).
Démonstration
Omis.
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle distingué de \(\mathcal{D}\). Si \(RF\) est défini en deux des trois objets \(X, Y, Z\), alors il est défini en le troisième. De plus, dans ce cas, \[(RF(X), RF(Y), RF(Z), RF(f), RF(g), RF(h))\] est un triangle distingué de \(\mathcal{D}'\). De même pour \(LF\).
Démonstration
Supposons que \(RF\) soit défini en \(X, Y\), de valeurs \(A, B\). Soit \(RF(f) : A \to B\) le morphisme induit, voir le lemme 05SA. On peut choisir un triangle distingué \((A, B, C, RF(f), b, c)\) dans \(\mathcal{D}'\). Nous affirmons que \(C\) est une valeur de \(RF\) en \(Z\).
Pour le voir, choisissons \(s : X \to X'\) dans \(S\) tel qu’il existe un morphisme \(\alpha : A \to F(X')\) comme dans Catégories, définition 05PU. On peut choisir par MS2 un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_s & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r]^{s'} & Y' }\] avec \(s' \in S\). Comme \(Y/S\) est filtrante, on peut, après avoir remplacé \(s'\) par un certain \(s'' : Y \to Y''\) dans \(S\), supposer qu’il existe un morphisme \(\beta : B \to F(Y')\) comme dans Catégories, définition 05PU. Représentons la situation : \[\xymatrix{ A \ar[d]_{RF(f)} \ar[r]_-\alpha & F(X') \ar[r] \ar[d]^{F(f')} & A \ar[d]^{RF(f)} \\ B \ar[r]^-\beta & F(Y') \ar[r] & B }\] Il se peut que le carré gauche ne soit pas commutatif, mais le rectangle extérieur et le carré droit le sont. L’hypothèse selon laquelle l’ind-objet \(\{F(Y')\}_{s' : Y' \to Y}\) est essentiellement constant signifie qu’il existe \(s'' : Y \to Y''\) dans \(S\) et un morphisme \(h : Y' \to Y''\) tels que \(s'' = h \circ s'\) et que \(F(h)\) soit égal à la composée \(F(Y') \to B \to F(Y') \to F(Y'')\). Ainsi, après avoir remplacé \(Y'\) par \(Y''\) et \(\beta\) par \(F(h) \circ \beta\), le diagramme est commutatif (par un calcul direct sur les flèches).
À l’aide de MS6, choisissons un morphisme de triangles \[(s, s', s'') : (X, Y, Z, f, g, h) \longrightarrow (X', Y', Z', f', g', h')\] avec \(s'' \in S\). Par TR3, choisissons un morphisme de triangles \[(\alpha, \beta, \gamma) : (A, B, C, RF(f), b, c) \longrightarrow (F(X'), F(Y'), F(Z'), F(f'), F(g'), F(h'))\]
D’après le lemme 05SB, il suffit de montrer que \(RF(Z')\) est défini et que la flèche \(\gamma : C \to F(Z')\) induit un isomorphisme \(C \to RF(Z')\). En effet, on obtiendra alors un isomorphisme \[(A, B, C, RF(f), b, c) \longrightarrow (RF(X'), RF(Y'), RF(Z'), RF(f'), RF(g'), RF(h'))\] de triangles, et TR1 permettra de conclure que le triangle but est distingué. Considérons la catégorie \(\mathcal{I}\) du lemme 05R9, formée des triangles \[\mathcal{I} = \{(t, t', t'') : (X', Y', Z', f', g', h') \to (X'', Y'', Z'', f'', g'', h'') \mid (t, t', t'') \in S\}\] Montrer que le système \(F(Z'')\) est essentiellement constant sur la catégorie \(Z'/S\) équivaut à montrer que le système \(F(Z'')\) est essentiellement constant sur \(\mathcal{I}\), puisque \(\mathcal{I} \to Z'/S\) est cofinal ; voir Catégories, lemme 0A1S (la cofinalité est démontrée dans le lemme 05R9). Pour tout objet \(W\) de \(\mathcal{D}'\), considérons le diagramme \[\xymatrix{ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(X'')) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, A) \ar[l] \ar[d] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Y'')) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, B) \ar[d] \ar[l] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Z'')) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, C) \ar[d] \ar[l] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(X''[1])) \ar[d] & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, A[1]) \ar[d] \ar[l] \\ \colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Y''[1])) & \Mor_{\mathcal{D}'}(W, B[1]) \ar[l] }\] où les flèches horizontales sont données par composition avec \((\alpha, \beta, \gamma)\). Comme les colimites filtrantes sont exactes (Algèbre, lemme 00DB), la colonne gauche est une suite exacte. Le lemme \(5\) (Homologie, lemme 05QB) montre donc que le morphisme \[\colim_\mathcal{I} \Mor_{\mathcal{D}'}(W, F(Z'')) \longrightarrow \Mor_{\mathcal{D}'}(W, C)\] est bijectif. On conclut que \(F(Z'')\) est essentiellement constant sur \(\mathcal{I}\), de valeur \(C\), par la partie (4) de Catégories, lemme 05PY.
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. Soient \(X, Y\) des objets de \(\mathcal{D}\).
Si \(RF\) est défini en \(X\) et en \(Y\), alors \(RF\) est défini en \(X \oplus Y\).
Si \(\mathcal{D}'\) est karoubienne et si \(RF\) est défini en \(X \oplus Y\), alors \(RF\) est défini à la fois en \(X\) et en \(Y\).
Dans les deux cas, on a \(RF(X \oplus Y) = RF(X) \oplus RF(Y)\). De même pour \(LF\).
Démonstration
Si \(RF\) est défini en \(X\) et en \(Y\), le triangle distingué \(X \to X \oplus Y \to Y \to X[1]\) (lemme 05QT) et le lemme 05SC montrent que \(RF\) est défini en \(X \oplus Y\) et que l’on a un triangle distingué \(RF(X) \to RF(X \oplus Y) \to RF(Y) \to RF(X)[1]\). En appliquant encore une fois le lemme 05QT, on trouve \(RF(X \oplus Y) = RF(X) \oplus RF(Y)\). Cela démontre (1) et l’assertion finale.
Réciproquement, supposons que \(RF\) soit défini en \(X \oplus Y\) et que \(\mathcal{D}'\) soit karoubienne. Comme \(S\) est un système saturé, \(S\) est l’ensemble des flèches qui deviennent inversibles sous le foncteur additif de localisation \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) ; voir Catégories, lemme 05Q9. Ainsi, pour \(s : X \to X'\) et \(s' : Y \to Y'\) dans \(S\), le morphisme \(s \oplus s' : X \oplus Y \to X' \oplus Y'\) appartient à \(S\). On obtient de cette manière un foncteur \[X/S \times Y/S \longrightarrow (X \oplus Y)/S\] Rappelons que les catégories \(X/S, Y/S, (X \oplus Y)/S\) sont filtrantes (Catégories, remarque 05Q0). D’après Catégories, lemme 0A2C, \(X/S \times Y/S\) est filtrante, et \(F|_{X/S} : X/S \to \mathcal{D}'\) (resp. \(G|_{Y/S} : Y/S \to \mathcal{D}'\)) est essentiellement constant si et seulement si \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1 : X/S \times Y/S \to \mathcal{D}'\) (resp. \(G|_{Y/S} \circ \text{pr}_2 : X/S \times Y/S \to \mathcal{D}'\)) est essentiellement constant. Nous montrerons ci-dessous que le foncteur affiché est cofinal ; ainsi, d’après Catégories, lemme 0A1S, si \(F|_{(X \oplus Y)/S}\) est essentiellement constant, alors \[F|_{X/S} \circ \text{pr}_1 \oplus F|_{Y/S} \circ \text{pr}_2 : X/S \times Y/S \to \mathcal{D}'\] est essentiellement constant. D’après Homologie, lemme 0A2G (et c’est ici que nous utilisons que \(\mathcal{D}'\) est karoubienne), le fait que \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1 \oplus F|_{Y/S} \circ \text{pr}_2\) soit essentiellement constant implique que \(F|_{X/S} \circ \text{pr}_1\) et \(F|_{Y/S} \circ \text{pr}_2\) sont essentiellement constants, ce qui prouve que \(RF\) est défini en \(X\) et en \(Y\).
Démontrons que le foncteur affiché est cofinal. Choisissons pour cela un \(t : X \oplus Y \to Z\) dans \(S\). À l’aide de MS2, on peut trouver des morphismes \(Z \to X'\), \(Z \to Y'\) et des morphismes \(s : X \to X'\), \(s' : Y \to Y'\) dans \(S\) tels que le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d]^s & X \oplus Y \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d]_{s'} \\ X' & Z \ar[l] \ar[r] & Y' }\] soit commutatif. Cela montre qu’il existe un morphisme \(Z \to X' \oplus Y'\) dans \((X \oplus Y)/S\), autrement dit que la partie (1) de Catégories, définition 04E6, est satisfaite. Pour démontrer la partie (2), il suffit de montrer que, étant donnés \(t : X \oplus Y \to Z\) et des morphismes \(s_i \oplus s'_i : Z \to X'_i \oplus Y'_i\), \(i = 1, 2\), dans \((X \oplus Y)/S\), on peut trouver des morphismes \(a : X'_1 \to X'\), \(b : X'_2 \to X'\), \(c : Y'_1 \to Y'\), \(d : Y'_2 \to Y'\) dans \(S\) tels que \(a \circ s_1 = b \circ s_2\) et \(c \circ s'_1 = d \circ s'_2\). Pour cela, choisissons d’abord des \(X'\) et \(Y'\) quelconques et des morphismes \(a, b, c, d\) dans \(S\) ; c’est possible puisque \(X/S\) et \(Y/S\) sont filtrantes. Les deux morphismes \(a \circ s_1, b \circ s_2 : Z \to X'\) deviennent alors égaux dans \(S^{-1}\mathcal{D}\). On peut donc trouver un morphisme \(X' \to X''\) dans \(S\) qui les égalise. De même, on trouve un morphisme \(Y' \to Y''\) dans \(S\) qui égalise \(c \circ s'_1\) et \(d \circ s'_2\). En remplaçant \(X'\) par \(X''\) et \(Y'\) par \(Y''\), on obtient \(a \circ s_1 = b \circ s_2\) et \(c \circ s'_1 = d \circ s'_2\).
La démonstration des assertions correspondantes pour \(LF\) est duale.
Proposition
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8.
La sous-catégorie pleine \(\mathcal{E}\) de \(\mathcal{D}\) formée des objets en lesquels \(RF\) est défini est une sous-catégorie triangulée strictement pleine de \(\mathcal{D}\).
On obtient un foncteur exact de catégories triangulées \(RF : \mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{D}'\).
Les éléments de \(S\) dont la source ou le but appartient à \(\mathcal{E}\) sont des morphismes de \(\mathcal{E}\).
Tout élément de \(S_\mathcal{E} = \text{Flèches}(\mathcal{E}) \cap S\) est envoyé par \(RF\) sur un isomorphisme.
L’ensemble \(S_\mathcal{E}\) est un système multiplicatif saturé de \(\mathcal{E}\) compatible avec la structure triangulée.
Le foncteur \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \to S^{-1}\mathcal{D}\) est un foncteur exact pleinement fidèle de catégories triangulées.
On obtient un foncteur exact \[RF : S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \longrightarrow \mathcal{D}'.\]
Si \(\mathcal{D}'\) est karoubienne, alors \(\mathcal{E}\) est une sous-catégorie triangulée saturée de \(\mathcal{D}\).
Un résultat analogue vaut pour \(LF\).
Démonstration
Comme \(S\) est saturé, il contient tous les isomorphismes (voir la remarque qui suit Catégories, définition 05Q8). Ainsi, (1) résulte des lemmes 05SB, 05SC et 05SU. L’assertion (2) résulte des lemmes 05SA, 05SU et 05SC. L’assertion (3) résulte du lemme 05SB. La partie (4) résulte du lemme 05SB. La partie (5) résulte des définitions et de la partie (3). La pleine fidélité de (6) résulte de (3) et des définitions. Le fait que \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \to S^{-1}\mathcal{D}\) soit exact résulte du fait qu’un triangle de \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E}\) est distingué si et seulement s’il est isomorphe à l’image d’un triangle distingué de \(\mathcal{E}\) ; voir la démonstration de la proposition 05R6. La factorisation de \(RF : \mathcal{E} \to \mathcal{D}'\) par un foncteur exact \(S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \to \mathcal{D}'\) résulte du lemme 05R7. Enfin, la partie (8) résulte du lemme 05SD.
La proposition 05SE nous dit que \(RF\) vit sur une sous-catégorie triangulée strictement pleine maximale de \(S^{-1}\mathcal{D}\) et qu’il est exact sur cette catégorie triangulée. Voici le diagramme : \[\xymatrix{ \mathcal{D} \ar[d]_Q \ar[rrr]_F & & & \mathcal{D}' \\ S^{-1}\mathcal{D} & & S_\mathcal{E}^{-1}\mathcal{E} \ar[ll]_{\text{pleinement fidèle}}^{\text{exact}} \ar[ur]_{RF} }\]
Définition
Dans la situation 05S8, nous disons que \(F\) est dérivable à droite, ou que \(RF\) est défini partout, si \(RF\) est défini en tout objet de \(\mathcal{D}\). Nous disons que \(F\) est dérivable à gauche, ou que \(LF\) est défini partout, si \(LF\) est défini en tout objet de \(\mathcal{D}\).
Dans ce cas, on obtient un foncteur dérivé droit (resp. gauche) [05SW]\[\begin{equation} RF : S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}', \quad\text{(resp. } LF : S^{-1}\mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{D}'), \end{equation}\] voir la proposition 05SE. Dans la plupart des situations intéressantes, \(RF \circ Q\) n’est pas égal à \(F\). Il peut même arriver que le morphisme canonique \(F(X) \to RF(X)\) ne soit jamais un isomorphisme. En pratique, cela ne se produit pas, car, en pratique, la seule façon dont nous savons démontrer que \(F\) est dérivable à droite consiste à montrer que \(RF\) peut être calculé en évaluant \(F\) sur des objets judicieusement choisis de la catégorie triangulée \(\mathcal{D}\). Cela motive la définition suivante.
Définition
Dans la situation 05S8 :
Un objet \(X\) de \(\mathcal{D}\) calcule \(RF\) si \(RF\) est défini en \(X\) et si le morphisme canonique \(F(X) \to RF(X)\) est un isomorphisme.
Un objet \(X\) de \(\mathcal{D}\) calcule \(LF\) si \(LF\) est défini en \(X\) et si le morphisme canonique \(LF(X) \to F(X)\) est un isomorphisme.
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. Soient \(X\) un objet de \(\mathcal{D}\) et \(n \in \mathbf{Z}\).
\(X\) calcule \(RF\) si et seulement si \(X[n]\) calcule \(RF\).
\(X\) calcule \(LF\) si et seulement si \(X[n]\) calcule \(LF\).
Démonstration
Omis.
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle distingué de \(\mathcal{D}\). Si \(X, Y\) calculent \(RF\), alors \(Z\) le calcule aussi. De même pour \(LF\).
Démonstration
D’après le lemme 05SC, \(RF\) est défini en \(Z\), et l’application de \(RF\) au triangle produit un triangle distingué. Considérons le morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ (F(X), F(Y), F(Z), F(f), F(g), F(h)) \ar[d] \\ (RF(X), RF(Y), RF(Z), RF(f), RF(g), RF(h)) }\] Deux des trois morphismes sont des isomorphismes ; le troisième l’est donc aussi.
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. Soient \(X, Y\) des objets de \(\mathcal{D}\). Si \(X \oplus Y\) calcule \(RF\), alors \(X\) et \(Y\) calculent \(RF\). De même pour \(LF\).
Démonstration
Si \(X \oplus Y\) calcule \(RF\), alors \(RF(X \oplus Y) = F(X) \oplus F(Y)\). Dans la démonstration du lemme 05SD, nous avons vu que le foncteur \(X/S \times Y/S \to (X \oplus Y)/S\), \((s, s') \mapsto s \oplus s'\) est cofinal. Ainsi, d’après Catégories, lemme 0A1S, et d’après la caractérisation (4) de Catégories, lemme 05PY, pour tout objet \(W\) de \(\mathcal{D}'\), le morphisme \[\Hom_{\mathcal{D}'}(F(X \oplus Y), W) \longrightarrow \colim_{s : X \to X', s' : Y \to Y'} \Hom_{\mathcal{D}'}(F(X' \oplus Y'), W)\] est bijectif. Comme cette flèche est manifestement compatible avec les décompositions en somme directe des deux côtés, on en conclut que le morphisme \[\Hom_{\mathcal{D}'}(F(X), W) \longrightarrow \colim_{s : X \to X'} \Hom_{\mathcal{D}'}(F(X'), W)\] est bijectif (un détail mineur est omis). Ainsi, d’après Catégories, lemme 05PY, \(RF\) est défini en \(X\), de valeur \(F(X)\). De même pour \(Y\).
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8.
Si, pour tout objet \(X \in \Ob(\mathcal{D})\), il existe une flèche \(s : X \to X'\) de \(S\) telle que \(X'\) calcule \(RF\), alors \(RF\) est défini partout.
Si, pour tout objet \(X \in \Ob(\mathcal{D})\), il existe une flèche \(s : X' \to X\) de \(S\) telle que \(X'\) calcule \(LF\), alors \(LF\) est défini partout.
Démonstration
C’est clair d’après les définitions.
Lemme
Hypothèses et notations comme dans la situation 05S8. S’il existe un sous-ensemble \(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{D})\) tel que
pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{D})\), il existe \(s : X \to X'\) dans \(S\) avec \(X' \in \mathcal{I}\), et
pour toute flèche \(s : X \to X'\) dans \(S\) avec \(X, X' \in \mathcal{I}\), le morphisme \(F(s) : F(X) \to F(X')\) est un isomorphisme,
alors \(RF\) est défini partout, et tout \(X \in \mathcal{I}\) calcule \(RF\). Dualement, s’il existe un sous-ensemble \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{D})\) tel que
pour tout \(X \in \Ob(\mathcal{D})\), il existe \(s : X' \to X\) dans \(S\) avec \(X' \in \mathcal{P}\), et
pour toute flèche \(s : X \to X'\) dans \(S\) avec \(X, X' \in \mathcal{P}\), le morphisme \(F(s) : F(X) \to F(X')\) est un isomorphisme,
alors \(LF\) est défini partout, et tout \(X \in \mathcal{P}\) calcule \(LF\).
Démonstration
Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{D}\). L’hypothèse (1) implique que les flèches \(s : X \to X'\) de \(S\) avec \(X' \in \mathcal{I}\) sont cofinales dans la catégorie \(X/S\). L’hypothèse (2) implique que \(F\) est constant sur cette sous-catégorie cofinale. Cela implique clairement que \(F : (X/S) \to \mathcal{D}'\) est essentiellement constant, de valeur \(F(X')\), pour toute flèche \(s : X \to X'\) de \(S\) avec \(X' \in \mathcal{I}\).
Lemme
Soient \(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\) des catégories triangulées. Soient \(S\), resp. \(S'\), des systèmes multiplicatifs saturés de \(\mathcal{A}\), resp. \(\mathcal{B}\), compatibles avec la structure triangulée. Soient \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des foncteurs exacts. Notons \(F' : \mathcal{A} \to (S')^{-1}\mathcal{B}\) la composée de \(F\) avec le foncteur de localisation.
Si \(RF'\), \(RG\), \(R(G \circ F)\) sont définis partout, il existe une transformation canonique de foncteurs \(t : R(G \circ F) \longrightarrow RG \circ RF'\).
Si \(LF'\), \(LG\), \(L(G \circ F)\) sont définis partout, il existe une transformation canonique de foncteurs \(t : LG \circ LF' \to L(G \circ F)\).
Démonstration
Dans cette démonstration, nous nous efforçons d’être précis. Considérons donc les foncteurs dérivés comme les foncteurs \[RF' : S^{-1}\mathcal{A} \to (S')^{-1}\mathcal{B}, \quad R(G \circ F) : S^{-1}\mathcal{A} \to \mathcal{C}, \quad RG : (S')^{-1}\mathcal{B} \to \mathcal{C}.\] Notons \(Q_A : \mathcal{A} \to S^{-1}\mathcal{A}\) et \(Q_B : \mathcal{B} \to (S')^{-1}\mathcal{B}\) les foncteurs de localisation. Alors \(F' = Q_B \circ F\). Notons que, pour tout objet \(Y\) de \(\mathcal{B}\), il existe un morphisme canonique \[G(Y) \longrightarrow RG(Q_B(Y))\] autrement dit, une transformation de foncteurs \(t' : G \to RG \circ Q_B\). Soit \(X\) un objet de \(\mathcal{A}\). On a \[\begin{align*} R(G \circ F)(Q_A(X)) & = \colim_{s : X \to X' \in S} G(F(X')) \\ & \xrightarrow{t'} \colim_{s : X \to X' \in S} RG(Q_B(F(X'))) \\ & = \colim_{s : X \to X' \in S} RG(F'(X')) \\ & = RG(\colim_{s : X \to X' \in S} F'(X')) \\ & = RG(RF'(X)). \end{align*}\] Le système \(F'(X')\) est essentiellement constant dans la catégorie \((S')^{-1}\mathcal{B}\). On peut donc faire passer la colimite à l’intérieur du foncteur \(RG\) dans la troisième égalité du diagramme ci-dessus ; voir Catégories, lemme 05SH, et sa démonstration. Nous omettons la démonstration que cela définit une transformation de foncteurs. Le cas des foncteurs dérivés gauches est analogue.
Foncteurs dérivés sur les catégories dérivées
En pratique, les foncteurs dérivés apparaissent le plus souvent à partir d’un foncteur additif entre catégories abéliennes.
Situation
Dans cette situation, \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est un foncteur additif entre catégories abéliennes. Il induit des foncteurs exacts \[F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).\] Voir le lemme 014X. Nous notons aussi \(F\) les composées \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\), \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) et \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})\) de \(F\) avec le foncteur de localisation \(K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})\), etc. Cette situation conduit aux quatre foncteurs dérivés suivants.
Le foncteur dérivé droit de \(F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) relativement au système multiplicatif \(\text{Qis}(\mathcal{A})\).
Le foncteur dérivé droit de \(F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) relativement au système multiplicatif \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\).
Le foncteur dérivé gauche de \(F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) relativement au système multiplicatif \(\text{Qis}(\mathcal{A})\).
Le foncteur dérivé gauche de \(F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})\) relativement au système multiplicatif \(\text{Qis}^-(\mathcal{A})\).
Chacun de ces cas est un exemple de la situation 05S8.
Le lemme suivant lève une partie de l’ambiguïté qui pourrait survenir.
Lemme
Dans la situation 05T4 :
Soit \(X\) un objet de \(K^{+}(\mathcal{A})\). Le foncteur dérivé droit de \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) est défini en \(X\) si et seulement si le foncteur dérivé droit de \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) est défini en \(X\). De plus, leurs valeurs sont canoniquement isomorphes.
Soit \(X\) un objet de \(K^{+}(\mathcal{A})\). Alors \(X\) calcule le foncteur dérivé droit de \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) si et seulement si \(X\) calcule le foncteur dérivé droit de \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\).
Soit \(X\) un objet de \(K^{-}(\mathcal{A})\). Le foncteur dérivé gauche de \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) est défini en \(X\) si et seulement si le foncteur dérivé gauche de \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})\) est défini en \(X\). De plus, leurs valeurs sont canoniquement isomorphes.
Soit \(X\) un objet de \(K^{-}(\mathcal{A})\). Alors \(X\) calcule le foncteur dérivé gauche de \(K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) si et seulement si \(X\) calcule le foncteur dérivé gauche de \(K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})\).
Démonstration
Soit \(X\) un objet de \(K^{+}(\mathcal{A})\). Considérons un quasi-isomorphisme \(s : X \to X'\) dans \(K(\mathcal{A})\). D’après le lemme 05RV, il existe un quasi-isomorphisme \(X' \to X''\) avec \(X''\) borné inférieurement. Ainsi, \(X/\text{Qis}^+(\mathcal{A})\) est cofinal dans \(X/\text{Qis}(\mathcal{A})\). L’assertion (1) est donc claire. La partie (2) résulte directement de la partie (1). Les parties (3) et (4) sont duales des parties (1) et (2).
À tout objet \(A\) d’une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\), on associe le complexe \[A[0] = ( \ldots \to 0 \to A \to 0 \to \ldots )\] où \(A\) est placé en degré zéro. On obtient ainsi un foncteur \(\mathcal{A} \to K(\mathcal{A})\), \(A \mapsto A[0]\). Disons provisoirement qu’un foncteur partiel est un foncteur défini sur une sous-catégorie.
Définition
Dans la situation 05T4 :
Les foncteurs dérivés droits de \(F\) sont les foncteurs partiels \(RF\) associés aux cas (1) et (2) de la situation 05T4.
Les foncteurs dérivés gauches de \(F\) sont les foncteurs partiels \(LF\) associés aux cas (3) et (4) de la situation 05T4.
Un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) est dit acyclique à droite pour \(F\), ou acyclique pour \(RF\), si \(A[0]\) calcule \(RF\).
Un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) est dit acyclique à gauche pour \(F\), ou acyclique pour \(LF\), si \(A[0]\) calcule \(LF\).
Les quelques lemmes suivants donnent des critères d’existence d’assez d’objets acycliques.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{A})\) un sous-ensemble contenant \(0\), tel que tout objet de \(\mathcal{A}\) soit quotient d’un élément de \(\mathcal{P}\). Soit \(a \in \mathbf{Z}\).
Étant donné \(K^\bullet\) tel que \(K^n = 0\) pour \(n > a\), il existe un quasi-isomorphisme \(P^\bullet \to K^\bullet\) tel que \(P^n \in \mathcal{P}\) et \(P^n \to K^n\) soit surjectif pour tout \(n\), et tel que \(P^n = 0\) pour \(n > a\).
Étant donné \(K^\bullet\) tel que \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour \(n > a\), il existe un quasi-isomorphisme \(P^\bullet \to K^\bullet\) tel que \(P^n \in \mathcal{P}\) pour tout \(n\) et \(P^n = 0\) pour \(n > a\).
Démonstration
Démonstration de la partie (1). Considérons l’hypothèse de récurrence suivante \(IH_n\) : il existe des \(P^j \in \mathcal{P}\), \(j \geq n\), avec \(P^j = 0\) pour \(j > a\), des morphismes \(d^j : P^j \to P^{j + 1}\) pour \(j \geq n\), et des morphismes surjectifs \(\alpha^j : P^j \to K^j\) pour \(j \geq n\), tels que le diagramme \[\xymatrix{ & & P^n \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 2} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & K^{n - 1} \ar[r] & K^n \ar[r] & K^{n + 1} \ar[r] & K^{n + 2} \ar[r] & \ldots }\] soit commutatif, que \(d^{j + 1} \circ d^j = 0\) pour \(j \geq n\), que \(\alpha\) induise des isomorphismes \(\Ker(d^j)/\Im(d^{j - 1}) \to H^j(K^\bullet)\) pour \(j > n\), et que \(\alpha : \Ker(d^n) \to \Ker(d_K^n)\) soit surjectif. Choisissons alors une surjection \[P^{n - 1} \longrightarrow K^{n - 1} \times_{K^n} \Ker(d^n) = K^{n - 1} \times_{\Ker(d_K^n)} \Ker(d^n)\] avec \(P^{n - 1}\) dans \(\mathcal{P}\). Cela permet de prolonger le diagramme ci-dessus en \[\xymatrix{ & P^{n - 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^n \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 1} \ar[d]^\alpha \ar[r] & P^{n + 2} \ar[d]^\alpha \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & K^{n - 1} \ar[r] & K^n \ar[r] & K^{n + 1} \ar[r] & K^{n + 2} \ar[r] & \ldots }\] Le lecteur vérifie aisément que \(IH_{n - 1}\) est satisfait avec ce choix.
Achevons la démonstration de (1). Remarquons d’abord que \(IH_n\) est vrai pour \(n = a + 1\), puisqu’on peut simplement prendre \(P^j = 0\) pour \(j > a\). En procédant par récurrence descendante, on construit donc un complexe \(P^\bullet\), avec \(P^n = 0\) pour \(n > a\), formé d’objets de \(\mathcal{P}\), et un quasi-isomorphisme terme à terme surjectif \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\), comme voulu.
Démonstration de la partie (2). L’hypothèse implique que le morphisme \(\tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet\) (Homologie, section 0118) est un quasi-isomorphisme. Appliquons la partie (1) pour trouver \(P^\bullet \to \tau_{\leq a}K^\bullet\). La composée \(P^\bullet \to K^\bullet\) est le quasi-isomorphisme recherché.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{A})\) un sous-ensemble contenant \(0\), tel que tout objet de \(\mathcal{A}\) soit un sous-objet d’un élément de \(\mathcal{I}\). Soit \(a \in \mathbf{Z}\).
Étant donné \(K^\bullet\) tel que \(K^n = 0\) pour \(n < a\), il existe un quasi-isomorphisme \(K^\bullet \to I^\bullet\) tel que \(K^n \to I^n\) soit injectif et \(I^n \in \mathcal{I}\) pour tout \(n\), et tel que \(I^n = 0\) pour \(n < a\).
Étant donné \(K^\bullet\) tel que \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour \(n < a\), il existe un quasi-isomorphisme \(K^\bullet \to I^\bullet\) tel que \(I^n \in \mathcal{I}\) et \(I^n = 0\) pour \(n < a\).
Démonstration
Ce lemme est dual du lemme 05T7.
Lemme
Dans la situation 05T4, soit \(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{A})\) un sous-ensemble possédant les propriétés suivantes :
tout objet de \(\mathcal{A}\) est un sous-objet d’un élément de \(\mathcal{I}\) ;
pour toute suite exacte courte \(0 \to P \to Q \to R \to 0\) de \(\mathcal{A}\) avec \(P, Q \in \mathcal{I}\), on a \(R \in \mathcal{I}\) et la suite \(0 \to F(P) \to F(Q) \to F(R) \to 0\) est exacte.
Alors tout objet de \(\mathcal{I}\) est acyclique pour \(RF\).
Démonstration
Choisissons \(A \in \mathcal{I}\). Soit \(A[0] \to K^\bullet\) un quasi-isomorphisme avec \(K^\bullet\) borné inférieurement. On peut trouver un quasi-isomorphisme \(K^\bullet \to I^\bullet\), avec \(I^\bullet\) borné inférieurement et chaque \(I^n \in \mathcal{I}\) ; voir le lemme 05T66. Ces résolutions sont ainsi cofinales dans la catégorie \(A[0]/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\). Pour achever la démonstration, il suffit donc de montrer que, pour tout quasi-isomorphisme \(A[0] \to I^\bullet\) avec \(I^\bullet\) borné inférieurement et \(I^n \in \mathcal{I}\), le morphisme \(F(A)[0] \to F(I^\bullet)\) est un quasi-isomorphisme. Supposons pour cela que \(I^n = 0\) pour \(n < n_0\). On peut évidemment supposer que \(n_0 < 0\). À partir de \(n = n_0\), on démontre par récurrence que \(\Im(d^{n - 1}) = \Ker(d^n)\) et \(\Im(d^{-1})\) sont des éléments de \(\mathcal{I}\), en utilisant la propriété (2) et les suites exactes \[0 \to \Ker(d^n) \to I^n \to \Im(d^n) \to 0.\] La propriété (2) garantit en outre l’exactitude du complexe \[0 \to F(I^{n_0}) \to F(I^{n_0 + 1}) \to \ldots \to F(I^{-1}) \to F(\Im(d^{-1})) \to 0\] La suite exacte \(0 \to \Im(d^{-1}) \to I^0 \to I^0/\Im(d^{-1}) \to 0\) implique que \(I^0/\Im(d^{-1})\) appartient à \(\mathcal{I}\). La suite exacte \(0 \to A \to I^0/\Im(d^{-1}) \to \Im(d^0) \to 0\) implique alors que \(\Im(d^0) = \Ker(d^1)\) appartient à \(\mathcal{I}\) ; on poursuit ensuite comme précédemment pour montrer que \(\Im(d^{n - 1}) = \Ker(d^n)\) appartient à \(\mathcal{I}\) pour tout \(n > 0\). En appliquant \(F\) à chacune des suites exactes courtes mentionnées ci-dessus et en utilisant (2), on constate que
\(F(A)[0] \to F(I^\bullet)\) est un isomorphisme, comme voulu.
Lemme
Dans la situation 05T4, soit \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{A})\) un sous-ensemble possédant les propriétés suivantes :
tout objet de \(\mathcal{A}\) est un quotient d’un élément de \(\mathcal{P}\) ;
pour toute suite exacte courte \(0 \to P \to Q \to R \to 0\) de \(\mathcal{A}\) avec \(Q, R \in \mathcal{P}\), on a \(P \in \mathcal{P}\) et la suite \(0 \to F(P) \to F(Q) \to F(R) \to 0\) est exacte.
Alors tout objet de \(\mathcal{P}\) est acyclique pour \(LF\).
Démonstration
La démonstration est duale de celle du lemme 05T8.
Foncteurs dérivés supérieurs
Le lemme élémentaire suivant montre que les foncteurs dérivés droits « se déplacent vers la droite ».
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif entre catégories abéliennes. Soient \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\) et \(a \in \mathbf{Z}\).
Si \(H^i(K^\bullet) = 0\) pour tout \(i < a\) et si \(RF\) est défini en \(K^\bullet\), alors \(H^i(RF(K^\bullet)) = 0\) pour tout \(i < a\).
Si \(RF\) est défini en \(K^\bullet\) et en \(\tau_{\leq a}K^\bullet\), alors \(H^i(RF(\tau_{\leq a}K^\bullet)) = H^i(RF(K^\bullet))\) pour tout \(i \leq a\).
Démonstration
Supposons que \(K^\bullet\) satisfasse les hypothèses de (1). Soit \(s : K^\bullet \to L^\bullet\) un quasi-isomorphisme quelconque. Alors \(K^\bullet \to \tau_{\geq a}L^\bullet\) est aussi un quasi-isomorphisme, par l’hypothèse sur \(K^\bullet\). Ainsi, dans la catégorie \(K^\bullet/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\), les quasi-isomorphismes \(s : K^\bullet \to L^\bullet\) avec \(L^n = 0\) pour \(n < a\) sont cofinaux. D’après Catégories, lemme 0A1S, on en déduit que \(RF\) est la valeur de l’ind-objet essentiellement constant \(F(L^\bullet)\) pour ces \(s\). Cela signifie que \(\text{id} : RF(K^\bullet) \to RF(K^\bullet)\) se factorise par \(F(L^\bullet)\) pour un certain complexe \(L^\bullet\) tel que \(L^n = 0\) pour \(n < a\). Il s’ensuit que \(H^i(RF(K^\bullet)) = 0\) pour \(i < a\).
Pour démontrer (2), utilisons le triangle distingué \[\tau_{\leq a}K^\bullet \to K^\bullet \to \tau_{\geq a + 1}K^\bullet \to (\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] de la remarque 08J5. Le lemme 05SC montre que \(RF\) est aussi défini en \(\tau_{\geq a + 1}K^\bullet\) et que l’on a un triangle distingué \[RF(\tau_{\leq a}K^\bullet) \to RF(K^\bullet) \to RF(\tau_{\geq a + 1}K^\bullet) \to RF(\tau_{\leq a}K^\bullet)[1]\] dans \(D(\mathcal{B})\). La partie (1) montre que la cohomologie de \(RF(\tau_{\geq a + 1}K^\bullet)\) s’annule en degrés \(< a + 1\). La suite exacte longue de cohomologie de ce triangle distingué donne alors le résultat voulu.
Définition
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif entre catégories abéliennes. Supposons que \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) soit défini partout. Soit \(i \in \mathbf{Z}\). Le \(i\)-ième foncteur dérivé droit \(R^iF\) de \(F\) est le foncteur \[R^iF = H^i \circ RF : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}\]
Le lemme suivant montre qu’il n’est vraiment guère pertinent de prendre le foncteur dérivé droit si le foncteur n’est pas exact à gauche.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif entre catégories abéliennes, et supposons que \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) soit défini partout.
On a \(R^iF = 0\) pour \(i < 0\) ;
\(R^0F\) est exact à gauche ;
le morphisme \(F \to R^0F\) est un isomorphisme si et seulement si \(F\) est exact à gauche.
Démonstration
Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\). D’après le lemme 05TC, on a \(H^i(RF(A[0]) = 0\) pour \(i < 0\). Cela démontre (1).
Soit \(0 \to A \to B \to C \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{A}\). D’après le lemme 0152, on obtient un triangle distingué \((A[0], B[0], C[0], a, b, c)\) dans \(D^{+}(\mathcal{A})\). La suite exacte longue de cohomologie (et l’annulation pour \(i < 0\) démontrée ci-dessus) montre que \(0 \to R^0F(A) \to R^0F(B) \to R^0F(C)\) est exacte. Ainsi, \(R^0F\) est exact à gauche. Cela démontre aussi, bien sûr, que si \(F \to R^0F\) est un isomorphisme, alors \(F\) est exact à gauche.
Supposons \(F\) exact à gauche. Rappelons que \(RF(A[0])\) est la valeur du système essentiellement constant \(F(K^\bullet)\), où \(s : A[0] \to K^\bullet\) parcourt les quasi-isomorphismes. Il s’ensuit que \(R^0F(A)\) est la valeur du système essentiellement constant \(H^0(F(K^\bullet))\) lorsque \(s : A[0] \to K^\bullet\) parcourt ces mêmes quasi-isomorphismes ; voir Catégories, lemme 05SH. Mais, si \(s : A[0] \to K^\bullet\) est un quasi-isomorphisme, alors \(A[0] \to \tau_{\geq 0}K^\bullet\) est un quasi-isomorphisme. Ainsi, dans la catégorie \(A[0]/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\), les quasi-isomorphismes \(s : A[0] \to K^\bullet\) avec \(K^n = 0\) pour \(n < 0\) sont cofinaux. D’après Catégories, lemme 0A1S, on peut donc se restreindre à ces \(s\). De plus, pour un tel \(s\), la suite \[0 \to A \to K^0 \to K^1\] est exacte. Comme \(F\) est exact à gauche, la suite \(0 \to F(A) \to F(K^0) \to F(K^1)\) est également exacte. Il s’ensuit que \(F(A) \to H^0(F(K^\bullet))\) est un isomorphisme et que le système est en fait constant, de valeur \(F(A)\). On conclut que \(R^0F = F\), comme voulu.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif entre catégories abéliennes, et supposons que \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) soit défini partout. Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\).
\(A\) est acyclique à droite pour \(F\) si et seulement si \(F(A) \to R^0F(A)\) est un isomorphisme et \(R^iF(A) = 0\) pour tout \(i > 0\) ;
si \(F\) est exact à gauche, alors \(A\) est acyclique à droite pour \(F\) si et seulement si \(R^iF(A) = 0\) pour tout \(i > 0\).
Démonstration
Si \(A\) est acyclique à droite pour \(F\), alors \(RF(A[0]) = F(A)[0]\) ; en particulier, \(F(A) \to R^0F(A)\) est un isomorphisme et \(R^iF(A) = 0\) pour \(i \not = 0\). Réciproquement, si \(F(A) \to R^0F(A)\) est un isomorphisme et \(R^iF(A) = 0\) pour tout \(i > 0\), alors \(F(A[0]) \to RF(A[0])\) est un quasi-isomorphisme d’après la partie (1) du lemme 05TD ; ainsi, \(A\) est acyclique. Si \(F\) est exact à gauche, alors \(F = R^0F\), voir le lemme 05TD.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche entre catégories abéliennes, et supposons que \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) soit défini partout. Soit \(0 \to A \to B \to C \to 0\) une suite exacte courte de \(\mathcal{A}\).
Si \(A\) et \(C\) sont acycliques à droite pour \(F\), alors \(B\) l’est aussi.
Si \(A\) et \(B\) sont acycliques à droite pour \(F\), alors \(C\) l’est aussi.
Si \(B\) et \(C\) sont acycliques à droite pour \(F\) et si \(F(B) \to F(C)\) est surjectif, alors \(A\) est acyclique à droite pour \(F\).
Dans chacun des trois cas, \[0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0\] est une suite exacte courte de \(\mathcal{B}\).
Démonstration
D’après le lemme 0152, on obtient un triangle distingué \((A[0], B[0], C[0], a, b, c)\) dans \(D^{+}(\mathcal{A})\). Comme \(RF\) est un foncteur exact, et comme \(R^iF = 0\) pour \(i < 0\) et \(R^0F = F\) (lemme 05TD), on obtient une suite exacte de cohomologie \[0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to R^1F(A) \to \ldots\] dans la catégorie abélienne \(\mathcal{B}\). Le lemme résulte alors de la caractérisation des objets acycliques donnée par le lemme 015C.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif entre catégories abéliennes, et supposons que \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) soit défini partout.
Les foncteurs \(R^iF\), \(i \geq 0\), sont munis d’une structure canonique de \(\delta\)-foncteur \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) ; voir Homologie, définition 010Q.
Si tout objet de \(\mathcal{A}\) est un sous-objet d’un objet acyclique à droite pour \(F\), alors \(\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}\) est un \(\delta\)-foncteur universel ; voir Homologie, définition 010S.
Démonstration
Le foncteur \(\mathcal{A} \to \text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\), \(A \mapsto A[0]\), est exact. Le foncteur \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) est un \(\delta\)-foncteur, voir le lemme 0152. Le foncteur \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) est exact. Enfin, le foncteur \(H^0 : D^{+}(\mathcal{B}) \to \mathcal{B}\) est homologique, voir la définition 05RU. La structure de \(\delta\)-foncteur résulte donc du lemme 05SR et du lemme 0151. La partie (2) résulte d’Homologie, lemme 010T, et de la description des objets acycliques donnée par le lemme 015C.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif entre catégories abéliennes. Soit \(A^\bullet\) un complexe borné inférieurement d’objets acycliques à droite pour \(F\), tel que \(RF\) soit défini en \(A^\bullet\)7. Le morphisme canonique \[F(A^\bullet) \longrightarrow RF(A^\bullet)\] est un isomorphisme dans \(D^{+}(\mathcal{B})\), autrement dit \(A^\bullet\) calcule \(RF\).
Démonstration
Soit d’abord \(A^\bullet\) un complexe borné d’objets acycliques à droite pour \(F\). Nous affirmons que \(RF\) est défini en \(A^\bullet\) et que \(F(A^\bullet) \to RF(A^\bullet)\) est un isomorphisme dans \(D^+(\mathcal{B})\). C’est vrai pour les complexes ayant au plus un objet acyclique à droite pour \(F\) non nul, d’après la définition 0157. Supposons ensuite que \(A^n = 0\) pour \(n \not \in [a, b]\). Les troncations « brutales » donnent une suite exacte courte de complexes scindée terme à terme \[0 \to \sigma_{\geq a + 1} A^\bullet \to A^\bullet \to \sigma_{\leq a} A^\bullet \to 0\] voir Homologie, section 0118. On obtient donc un triangle distingué \((\sigma_{\geq a + 1} A^\bullet, A^\bullet, \sigma_{\leq a} A^\bullet)\). Par hypothèse de récurrence, \(RF\) est défini sur les deux complexes extrêmes et ceux-ci calculent \(RF\). Le complexe du milieu possède alors la même propriété d’après le lemme 05SZ.
Supposons maintenant que \(A^\bullet\) soit un complexe borné inférieurement d’objets acycliques, tel que \(RF\) soit défini en \(A^\bullet\). Pour montrer que \(F(A^\bullet) \to RF(A^\bullet)\) est un isomorphisme dans \(D^{+}(\mathcal{B})\), il suffit de montrer que \(H^i(F(A^\bullet)) \to H^i(RF(A^\bullet))\) est un isomorphisme pour tout \(i\). Fixons \(i\). Considérons la suite exacte courte de complexes scindée terme à terme \[0 \to \sigma_{\geq i + 2} A^\bullet \to A^\bullet \to \sigma_{\leq i + 1} A^\bullet \to 0.\] Elle induit une suite exacte courte scindée terme à terme \[0 \to \sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet) \to F(A^\bullet) \to \sigma_{\leq i + 1} F(A^\bullet) \to 0.\] On obtient donc des triangles distingués \[(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet, A^\bullet, \sigma_{\leq i + 1} A^\bullet) \quad\text{et}\quad (\sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet), F(A^\bullet), \sigma_{\leq i + 1} F(A^\bullet))\] Comme \(RF\) est défini en \(A^\bullet\) (par hypothèse) et en \(\sigma_{\leq i + 1}A^\bullet\) (d’après le premier paragraphe), on voit que \(RF\) est défini en \(\sigma_{\geq i + 2}A^\bullet\), et l’on obtient un triangle distingué \[(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet), RF(A^\bullet), RF(\sigma_{\leq i + 1} A^\bullet))\] Voir le lemme 05SC. À l’aide de ces triangles distingués, on obtient un morphisme de suites exactes \[\xymatrix{ H^i(\sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet)) \ar[r] \ar[d] & H^i(F(A^\bullet)) \ar[r] \ar[d]^\alpha & H^i(\sigma_{\leq i + 1} F(A^\bullet)) \ar[r] \ar[d]^\beta & H^{i + 1}(\sigma_{\geq i + 2} F(A^\bullet)) \ar[d] \\ H^i(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) \ar[r] & H^i(RF(A^\bullet)) \ar[r] & H^i(RF(\sigma_{\leq i + 1} A^\bullet)) \ar[r] & H^{i + 1}(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) }\] D’après les résultats du premier paragraphe, le morphisme \(\beta\) est un isomorphisme. Par inspection, les objets supérieur gauche et supérieur droit sont nuls. Pour achever la démonstration, il suffit donc de montrer que \(H^i(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) = 0\) et \(H^{i + 1}(RF(\sigma_{\geq i + 2} A^\bullet)) = 0\). Cela résulte immédiatement du lemme 05TC.
Proposition
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif de catégories abéliennes.
Si tout objet de \(\mathcal{A}\) s’injecte dans un objet acyclique pour \(RF\), alors \(RF\) est défini sur tout \(K^{+}(\mathcal{A})\) et l’on obtient un foncteur exact \[RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})\] voir (05SW). De plus, tout complexe borné inférieurement \(A^\bullet\) dont les termes sont acycliques pour \(RF\) calcule \(RF\).
Si tout objet de \(\mathcal{A}\) est quotient d’un objet acyclique pour \(LF\), alors \(LF\) est défini sur tout \(K^{-}(\mathcal{A})\) et l’on obtient un foncteur exact \[LF : D^{-}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{-}(\mathcal{B})\] voir (05SW). De plus, tout complexe borné supérieurement \(A^\bullet\) dont les termes sont acycliques pour \(LF\) calcule \(LF\).
Démonstration
Supposons que tout objet de \(\mathcal{A}\) s’injecte dans un objet acyclique pour \(RF\). Soit \(\mathcal{I}\) l’ensemble des objets acycliques pour \(RF\). Soit \(K^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{A}\). D’après le lemme 05T6, il existe un quasi-isomorphisme \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\), où \(I^\bullet\) est borné inférieurement et \(I^n \in \mathcal{I}\). Ainsi, pour démontrer (1), il suffit de montrer que \(F(I^\bullet) \to F((I')^\bullet)\) est un quasi-isomorphisme lorsque \(s : I^\bullet \to (I')^\bullet\) est un quasi-isomorphisme de complexes bornés inférieurement d’objets de \(\mathcal{I}\) ; voir le lemme 06XN. Notons que le cône \(C(s)^\bullet\) est un complexe acyclique borné inférieurement dont tous les termes appartiennent à \(\mathcal{I}\). Il suffit donc de montrer que, pour tout complexe acyclique borné inférieurement \(I^\bullet\) dont tous les termes appartiennent à \(\mathcal{I}\), le complexe \(F(I^\bullet)\) est acyclique.
Supposons \(I^n = 0\) pour \(n < n_0\). En posant \(J^n = \Im(d^n)\), on décompose \(I^\bullet\) en suites exactes courtes \(0 \to J^n \to I^{n + 1} \to J^{n + 1} \to 0\) pour \(n \geq n_0\). Ces suites induisent des triangles distingués \((J^n, I^{n + 1}, J^{n + 1})\) dans \(D^+(\mathcal{A})\), d’après le lemme 0152. Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), notons \(H_k\) l’assertion suivante : pour tout \(n \leq k\), l’objet \(J^n\) appartient à \(\mathcal{I}\). Alors \(H_k\) est trivialement vraie pour \(k < n_0\). Si \(H_n\) est vraie, le lemme 05SZ montre que \(J^{n + 1}\) appartient à \(\mathcal{I}\), et l’on obtient \(H_{n + 1}\). D’après la proposition 05SE, on a un triangle distingué \((RF(J^n), RF(I^{n + 1}), RF(J^{n + 1}))\). Comme \(J^n, I^{n + 1}, J^{n + 1}\) appartiennent à \(\mathcal{I}\), la suite exacte longue de cohomologie (05ST) associée à ce triangle distingué se réduit à une suite exacte \[0 \to F(J^n) \to F(I^{n + 1}) \to F(J^{n + 1}) \to 0\] Cela montre à son tour que \(F(I^\bullet)\) est exact.
La démonstration dans le cas de \(LF\) est duale.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact de catégories abéliennes. Alors :
tout objet de \(\mathcal{A}\) est acyclique à droite pour \(F\) ;
\(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) est défini partout ;
\(RF : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) est défini partout ;
tout complexe calcule \(RF\), autrement dit le morphisme canonique \(F(K^\bullet) \to RF(K^\bullet)\) est un isomorphisme pour tout complexe ;
\(R^iF = 0\) pour \(i \not = 0\).
Démonstration
C’est vrai parce que \(F\) transforme les complexes acycliques en complexes acycliques et les quasi-isomorphismes en quasi-isomorphismes. Les détails sont omis.
Sous-catégories triangulées de la catégorie dérivée
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Dans cette section, nous étudions certaines sous-catégories triangulées strictement pleines et saturées \(\mathcal{D}' \subset D(\mathcal{A})\).
Soit \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) une sous-catégorie de Serre faible, voir Homologie, définition 02MO et lemme 0754. Notons \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) la sous-catégorie pleine de \(D(\mathcal{A})\) dont les objets sont \[\Ob(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})) = \{X \in \Ob(D(\mathcal{A})) \mid H^n(X) \text{ est un objet de }\mathcal{B}\text{ pour tout }n\}\] Définissons aussi \(D^{+}_\mathcal{B}(\mathcal{A}) = D^{+}(\mathcal{A}) \cap D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\), et de même pour les autres variantes bornées.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) une sous-catégorie de Serre faible. La catégorie \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) est une sous-catégorie triangulée strictement pleine et saturée de \(D(\mathcal{A})\). Il en va de même pour les variantes bornées.
Démonstration
Il est clair que \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) est une sous-catégorie additive préservée par les foncteurs de translation. Si \(X \oplus Y\) appartient à \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\), alors \(H^n(X)\) et \(H^n(Y)\) sont des noyaux de morphismes entre des morphismes d’objets de \(\mathcal{B}\), puisque \(H^n(X \oplus Y) = H^n(X) \oplus H^n(Y)\). Ainsi, \(X\) et \(Y\) appartiennent tous deux à \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\). D’après le lemme 05QX, il suffit donc de montrer que, pour tout triangle distingué \((X, Y, Z, f, g, h)\) tel que \(X\) et \(Y\) appartiennent à \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\), l’objet \(Z\) appartient à \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\). La suite exacte longue de cohomologie (05ST) et la définition d’une sous-catégorie de Serre faible (voir Homologie, définition 02MO) montrent que \(H^n(Z)\) est un objet de \(\mathcal{B}\) pour tout \(n\). Ainsi, \(Z\) appartient à \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\).
Nous continuons de supposer que \(\mathcal{B}\) est une sous-catégorie de Serre faible de la catégorie abélienne \(\mathcal{A}\). Alors \(\mathcal{B}\) est une catégorie abélienne et le foncteur d’inclusion \(\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) est exact. On obtient donc un foncteur dérivé \(D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\), voir le lemme 015F. Le foncteur \(D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\) se factorise manifestement par un foncteur exact canonique [06UR]\[\begin{equation} D(\mathcal{B}) \longrightarrow D_\mathcal{B}(\mathcal{A}) \end{equation}\] En effet, un complexe formé d’objets de \(\mathcal{B}\) donne certainement un objet de \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) ; et, comme les triangles distingués de \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) sont exactement les triangles distingués de \(D(\mathcal{A})\) dont les sommets appartiennent à \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\), le foncteur est exact puisque \(D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\) l’est. On obtient de même les foncteurs \(D^+(\mathcal{B}) \to D^+_\mathcal{B}(\mathcal{A})\), \(D^-(\mathcal{B}) \to D^-_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) et \(D^b(\mathcal{B}) \to D^b_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) pour les variantes bornées. Dans de nombreux cas, une question essentielle est de savoir si le foncteur affiché est une équivalence.
Supposons maintenant que \(\mathcal{B}\) soit une sous-catégorie de Serre de \(\mathcal{A}\). On dispose alors du foncteur quotient \(\mathcal{A} \to \mathcal{A}/\mathcal{B}\), voir Homologie, lemme 02MS. Dans ce cas, \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) est le noyau du foncteur \(D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\). Le lemme 05RJ fournit donc un foncteur canonique \[D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A}) \longrightarrow D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\] Il en va de même pour les variantes bornées.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) une sous-catégorie de Serre. Alors \(D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\) est essentiellement surjectif.
Démonstration
Nous utiliserons la description de la catégorie \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) donnée dans la démonstration d’Homologie, lemme 02MS. Soit \((X^\bullet, d^\bullet)\) un complexe de \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\). Cela signifie que \(X^i\) est un objet de \(\mathcal{A}\) et que \(d^i : X^i \to X^{i + 1}\) est un morphisme de \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) tel que \(d^i \circ d^{i - 1} = 0\) dans \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\).
Pour \(i \geq 0\), on peut écrire \(d^i = (s^i, f^i)\), où \(s^i : Y^i \to X^i\) est un morphisme de \(\mathcal{A}\) dont le noyau et le conoyau appartiennent à \(\mathcal{B}\) (de façon équivalente, \(s^i\) devient un isomorphisme dans la catégorie quotient), et où \(f^i : Y^i \to X^{i + 1}\) est un morphisme de \(\mathcal{A}\). Par récurrence, nous construirons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & (X')^1 \ar@{..>}[r] & (X')^2 \ar@{..>}[r] & \ldots \\ X^0 \ar@{..>}[ru] & X^1 \ar@{..>}[u] & X^2 \ar@{..>}[u] & \ldots \\ Y^0 \ar[u]_{s^0} \ar[ru]_{f^0} & Y^1 \ar[u]_{s^1} \ar[ru]_{f^1} & Y^2 \ar[u]_{s^2} \ar[ru]_{f^2} & \ldots }\] où les flèches verticales \(X^i \to (X')^i\) deviennent des isomorphismes dans la catégorie quotient. Posons d’abord \((X')^1 = \Coker(Y^0 \to X^0 \oplus X^1)\) (ou plutôt, prenons le cocarré du diagramme de flèches \(s^0\) et \(f^0\)), ce qui fournit le premier diagramme commutatif. Prenons ensuite \((X')^2 = \Coker(Y^1 \to (X')^1 \oplus X^2)\), et ainsi de suite. En posant en outre \((X')^n = X^n\) pour \(n \leq 0\), on voit que le morphisme \((X^\bullet, d^\bullet) \to ((X')^\bullet, (d')^\bullet)\) est un isomorphisme de complexes dans \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\). On peut donc supposer que \(d^n : X^n \to X^{n + 1}\) est donné par un morphisme \(X^n \to X^{n + 1}\) de \(\mathcal{A}\) pour \(n \geq 0\).
Dualement, pour \(i < 0\), on peut écrire \(d^i = (g^i, t^{i + 1})\), où \(t^{i + 1} : X^{i + 1} \to Z^{i + 1}\) est un isomorphisme dans la catégorie quotient et où \(g^i : X^i \to Z^{i + 1}\) est un morphisme. Par récurrence, nous construirons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \ldots & Z^{-2} & Z^{-1} & Z^0 \\ \ldots & X^{-2} \ar[u]_{t_{-2}} \ar[ru]_{g_{-2}} & X^{-1} \ar[u]_{t_{-1}} \ar[ru]_{g_{-1}} & X^0 \ar[u]_{t^0} \\ \ldots & (X')^{-2} \ar@{..>}[u] \ar@{..>}[r] & (X')^{-1} \ar@{..>}[u] \ar@{..>}[ru] }\] où les flèches verticales \((X')^i \to X^i\) deviennent des isomorphismes dans la catégorie quotient. Prenons \((X')^{-1} = X^{-1} \times_{Z^0} X^0\), puis \((X')^{-2} = X^{-2} \times_{Z^{-1}} (X')^{-1}\), et ainsi de suite. En posant en outre \((X')^n = X^n\) pour \(n \geq 0\), on voit que le morphisme \(((X')^\bullet, (d')^\bullet) \to (X^\bullet, d^\bullet)\) est un isomorphisme de complexes dans \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\). On peut donc supposer que \(d^n : X^n \to X^{n + 1}\) est donné par un morphisme \(d^n : X^n \to X^{n + 1}\) de \(\mathcal{A}\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).
Dans ce cas, on sait que les composées \(d^n \circ d^{n - 1}\) sont nulles dans \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\). Si, pour \(n > 0\), on remplace \(X^n\) par \[(X')^n = X^n/\sum\nolimits_{0 < k \leq n} \Im(\Im(X^{k - 2} \to X^k) \to X^n)\] alors les composées \(d^n \circ d^{n - 1}\) sont nulles pour \(n \geq 0\). (Comme dans le deuxième paragraphe ci-dessus, on obtient un isomorphisme de complexes \((X^\bullet, d^\bullet) \to ((X')^\bullet, (d')^\bullet)\).) Enfin, pour \(n < 0\), on remplace \(X^n\) par \[(X')^n = \bigcap\nolimits_{n \leq k < 0} (X^n \to X^k)^{-1}\Ker(X^k \to X^{k + 2})\] et on raisonne de la même manière pour obtenir un complexe de \(\mathcal{A}\) dont l’image dans \(\mathcal{A}/\mathcal{B}\) est isomorphe au complexe donné.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) une sous-catégorie de Serre. Supposons que le foncteur \(v : \mathcal{A} \to \mathcal{A}/\mathcal{B}\) possède un adjoint à gauche \(u : \mathcal{A}/\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) tel que \(vu \cong \text{id}\). Alors \[D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A}) = D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\] et de même pour les variantes bornées.
Démonstration
Le foncteur \(D(v) : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\) est essentiellement surjectif d’après le lemme 06XL. Pour un objet \(X\) de \(D(\mathcal{A})\), le morphisme d’adjonction \(c_X : uvX \to X\) est envoyé sur un isomorphisme dans \(D(\mathcal{A}/\mathcal{B})\), puisque \(vuv \cong v\) par l’hypothèse \(vu \cong \text{id}\). Ainsi, dans un triangle distingué \((uvX, X, Z, c_X, g, h)\), l’objet \(Z\) appartient à \(D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\), comme le montre la suite exacte longue de cohomologie. Par conséquent, \(c_X\) appartient au système multiplicatif utilisé pour définir la catégorie quotient \(D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\). Ainsi, \(uvX \cong X\) dans \(D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\). Pour \(X, Y \in \Ob(\mathcal{A}))\), le morphisme \[\Hom_{D(\mathcal{A})/D_\mathcal{B}(\mathcal{A})}(X, Y) \longrightarrow \Hom_{D(\mathcal{A}/\mathcal{B})}(vX, vY)\] est bijectif, car \(u\) fournit un inverse (d’après les remarques précédentes).
Pour certaines sous-catégories de Serre \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\), on peut démontrer que le foncteur \(D(\mathcal{B}) \to D_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) est pleinement fidèle.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{B} \subset \mathcal{A}\) une sous-catégorie de Serre. Supposons que, pour toute surjection \(X \to Y\) avec \(X \in \Ob(\mathcal{A})\) et \(Y \in \Ob(\mathcal{B})\), il existe \(X' \subset X\), \(X' \in \Ob(\mathcal{B})\), qui se surjecte sur \(Y\). Alors le foncteur \(D^-(\mathcal{B}) \to D^-_\mathcal{B}(\mathcal{A})\) de (06UR) est une équivalence.
Démonstration
Soit \(X^\bullet\) un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{A}\) tel que \(H^i(X^\bullet) \in \Ob(\mathcal{B})\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). Supposons en outre donnés \(B^i \subset X^i\), \(B^i \in \Ob(\mathcal{B})\), pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). Affirmation : il existe un sous-complexe \(Y^\bullet \subset X^\bullet\) tel que
\(Y^\bullet \to X^\bullet\) soit un quasi-isomorphisme ;
\(Y^i \in \Ob(\mathcal{B})\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\) ;
\(B^i \subset Y^i\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).
Pour démontrer l’affirmation, choisissons d’abord, grâce à l’hypothèse du lemme, des sous-objets \(C^i \subset \Ker(d^i : X^i \to X^{i + 1})\), \(C^i \in \Ob(\mathcal{B})\), se surjectant sur \(H^i(X^\bullet)\). En posant \(D^i = C^i + d^{i - 1}(B^{i - 1}) + B^i\), on obtient un sous-complexe \(D^\bullet\) qui satisfait (2) et (3) et tel que \(H^i(D^\bullet) \to H^i(X^\bullet)\) soit surjectif pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). Pour tout choix de \(E^i \subset X^i\) avec \(E^i \in \Ob(\mathcal{B})\) et \(d^i(E^i) \subset D^{i + 1} + E^{i + 1}\), poser \(Y^i = D^i + E^i\) donne un sous-complexe dont les termes appartiennent à \(\mathcal{B}\) et dont la cohomologie se surjecte sur celle de \(X^\bullet\). Il est clair que, si \(d^i(E^i) = (D^{i + 1} + E^{i + 1}) \cap \Im(d^i)\), le morphisme en cohomologie est aussi injectif. Pour \(n \gg 0\), on peut prendre \(E^n\) égal à \(0\). Par récurrence descendante, on peut choisir \(E^i\) pour tout \(i\) avec la propriété voulue. En effet, étant donnés \(E^{i + 1}, E^{i + 2}, \ldots\), choisissons \(E^i \subset X^i\) tel que \(d^i(E^i) = (D^{i + 1} + E^{i + 1}) \cap \Im(d^i)\). C’est possible par l’hypothèse du lemme, combinée au fait que \((D^{i + 1} + E^{i + 1}) \cap \Im(d^i)\) appartient à \(\mathcal{B}\), puisque \(\mathcal{B}\) est une sous-catégorie de Serre de \(\mathcal{A}\).
L’affirmation ci-dessus implique le lemme. La surjectivité essentielle en résulte immédiatement. Démontrons la fidélité. Supposons donné un morphisme \(f : U^\bullet \to V^\bullet\) de complexes bornés supérieurement de \(\mathcal{B}\) dont l’image dans \(D(\mathcal{A})\) est nulle. Il existe alors un quasi-isomorphisme \(s : V^\bullet \to X^\bullet\) vers un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{A}\) tel que \(s \circ f\) soit homotope à zéro. Choisissons une homotopie \(h^i : U^i \to X^{i - 1}\) entre \(0\) et \(s \circ f\). Appliquons l’affirmation avec \(B^i = h^{i + 1}(U^{i + 1}) + s^i(V^i)\). Le morphisme obtenu \(s' : V^\bullet \to Y^\bullet\) est encore un quasi-isomorphisme, et \(s' \circ f\) est homotope à zéro, comme le montre le fait que \(h^i\) se factorise par \(Y^{i - 1}\). Cela démontre la fidélité. La pleine fidélité se démontre exactement de la même manière.
Résolutions injectives
Dans cette section, nous démontrons quelques lemmes sur l’existence de résolutions injectives dans les catégories abéliennes ayant assez d’injectifs.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A \in \Ob(\mathcal{A})\). Une résolution injective de \(A\) est un complexe \(I^\bullet\) muni d’un morphisme \(A \to I^0\) tel que :
On a \(I^n = 0\) pour \(n < 0\).
Chaque \(I^n\) est un objet injectif de \(\mathcal{A}\).
Le morphisme \(A \to I^0\) est un isomorphisme sur \(\Ker(d^0)\).
On a \(H^i(I^\bullet) = 0\) pour \(i > 0\).
Ainsi, \(A[0] \to I^\bullet\) est un quasi-isomorphisme. Autrement dit, le complexe \[\ldots \to 0 \to A \to I^0 \to I^1 \to \ldots\] est acyclique. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\). Une résolution injective de \(K^\bullet\) est un complexe \(I^\bullet\) muni d’un morphisme de complexes \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) tel que
On a \(I^n = 0\) pour \(n \ll 0\), c’est-à-dire que \(I^\bullet\) est borné inférieurement.
Chaque \(I^n\) est un objet injectif de \(\mathcal{A}\).
Le morphisme \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.
Autrement dit, une résolution injective \(K^\bullet \to I^\bullet\) donne lieu à un diagramme \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & K^{n - 1} \ar[d] \ar[r] & K^n \ar[d] \ar[r] & K^{n + 1} \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & I^{n - 1} \ar[r] & I^n \ar[r] & I^{n + 1} \ar[r] & \ldots }\] qui induit un isomorphisme sur les objets de cohomologie en chaque degré. Une résolution injective d’un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\) est presque la même chose qu’une résolution injective du complexe \(A[0]\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\).
Si \(K^\bullet\) possède une résolution injective, alors \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour \(n \ll 0\).
Si \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour tout \(n \ll 0\), alors il existe un quasi-isomorphisme \(K^\bullet \to L^\bullet\) tel que \(L^\bullet\) soit borné inférieurement.
Démonstration
La démonstration est omise. Pour la seconde assertion, prendre \(L^\bullet = \tau_{\geq n}K^\bullet\) pour un certain \(n \ll 0\). Voir Homologie, section 0118, pour la définition de la troncation \(\tau_{\geq n}\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) ait assez d’injectifs.
Tout objet de \(\mathcal{A}\) possède une résolution injective.
Si \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour tout \(n \ll 0\), alors \(K^\bullet\) possède une résolution injective.
Si \(K^\bullet\) est un complexe tel que \(K^n = 0\) pour \(n < a\), alors il existe une résolution injective \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) telle que \(I^n = 0\) pour \(n < a\) et que chaque \(\alpha^n : K^n \to I^n\) soit injectif.
Démonstration
Démonstration de (1). Choisissons d’abord une injection \(A \to I^0\) de \(A\) dans un objet injectif de \(\mathcal{A}\). Choisissons ensuite une injection
\(I_0/A \to I^1\) dans un objet injectif de \(\mathcal{A}\). Notons \(d^0\) le morphisme induit \(I^0 \to I^1\). Choisissons ensuite une injection \(I^1/\Im(d^0) \to I^2\) dans un objet injectif de \(\mathcal{A}\). Notons \(d^1\) le morphisme induit \(I^1 \to I^2\), et ainsi de suite. D’après la partie (2) du lemme 013J, la partie (2) résulte de la partie (3). La partie (3) est un cas particulier du lemme 05T6.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe acyclique. Soit \(I^\bullet\) un complexe borné inférieurement dont les termes sont injectifs. Tout morphisme \(K^\bullet \to I^\bullet\) est homotope à zéro.
Démonstration
Soit \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) un morphisme de complexes. Remarquons que \(\alpha^j = 0\) pour \(j \ll 0\), puisque \(I^\bullet\) est borné inférieurement. On peut donc trouver un \(n\) tel qu’il existe des morphismes \(h^j : K^j \to I^{j - 1}\) pour \(j \leq n\) vérifiant \(\alpha^j = d^{j - 1} \circ h^j + h^{j + 1} \circ d^j\) pour \(j < n\). Nous allons montrer qu’il existe un morphisme \(h^{n + 1} : K^{n + 1} \to I^n\) tel que \(\alpha^n = d^{n - 1} \circ h^n + h^{n + 1} \circ d^n\). Remarquons que \[\begin{align*} (\alpha^n - d^{n - 1} \circ h^{n - 1}) \circ d^{n - 1} & = \alpha^{n - 1} \circ d^{n - 1} - d^{n - 1} \circ h^{n - 1} \circ d^{n - 1} \\ & = d^{n - 1} \circ \alpha^{n - 1} - d^{n - 1} \circ h^{n - 1} \circ d^{n - 1} \\ & = d^{n - 1} \circ (d^{n - 2} \circ h^{n - 1} + h^n \circ d^{n - 1}) - d^{n - 1} \circ h^{n - 1} \circ d^{n - 1} \\ & = 0 \end{align*}\] Puisque \(K^\bullet\) est acyclique, on a \(d^{n - 1}(K^{n - 1}) = \Ker(K^n \to K^{n + 1})\). On peut donc considérer \(\alpha^n - d^{n - 1} \circ h^{n - 1}\) comme un morphisme à valeurs dans \(I^n\), défini sur le sous-objet \(\Im(K^n \to K^{n + 1})\) de \(K^{n + 1}\). Comme l’objet \(I^n\) est injectif, on peut le prolonger en un morphisme \(h^{n + 1} : K^{n + 1} \to I^n\). Avec ce choix, le lecteur vérifie que l’on a bien \(\alpha^n = d^{n - 1} \circ h^n + h^{n + 1} \circ d^n\).
Par récurrence sur \(n\), on conclut que l’on peut trouver \(h = (h^j)_{j \in \mathbf{Z}}\) qui constitue une homotopie entre \(\alpha\) et \(0\), comme voulu.
Remarque
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. En utilisant le fait que \(K(\mathcal{A})\) est une catégorie triangulée, le lemme 013R permet d’obtenir des démonstrations de certains des lemmes ci-dessous qui se prouvent habituellement par chasse au diagramme. Plus précisément, supposons que \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) soit un quasi-isomorphisme de complexes. Alors \[(K^\bullet, L^\bullet, C(\alpha)^\bullet, \alpha, i, -p)\] est un triangle distingué de \(K(\mathcal{A})\) (lemme 014L), et \(C(\alpha)^\bullet\) est un complexe acyclique (lemme 05RT). Soit ensuite \(I^\bullet\) un complexe borné inférieurement d’objets injectifs. Alors \[\xymatrix{ \Hom_{K(\mathcal{A})}(C(\alpha)^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet) \ar[lld] \\ \Hom_{K(\mathcal{A})}(C(\alpha)^\bullet[-1], I^\bullet) }\] est une suite exacte de groupes abéliens, voir le lemme 0149. Le lemme 013R garantit alors que les deux groupes extrêmes sont nuls, et donc que \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Considérons un diagramme dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^\beta \\ I^\bullet }\] où \(I^\bullet\) est borné inférieurement et formé d’objets injectifs, et où \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme.
Il existe un morphisme de complexes \(\beta\) qui rend le diagramme commutatif à homotopie près.
Si \(\alpha\) est injectif en chaque degré, on peut trouver un \(\beta\) qui rend le diagramme commutatif.
Démonstration
La démonstration « correcte » de la partie (1) est expliquée dans la remarque 05TF. Nous donnons aussi ici une démonstration directe.
Montrons d’abord que (2) implique (1). Soient \(\tilde \alpha : K \to \tilde L^\bullet\), \(\pi\), \(s\) comme dans le lemme 013N. Puisque \(\tilde \alpha\) est injectif, la partie (2) fournit un morphisme \(\tilde \beta : \tilde L^\bullet \to I^\bullet\) tel que \(\gamma = \tilde \beta \circ \tilde \alpha\). Posons \(\beta = \tilde \beta \circ s\). On a alors \[\beta \circ \alpha = \tilde \beta \circ s \circ \pi \circ \tilde \alpha \sim \tilde \beta \circ \tilde \alpha = \gamma\] comme voulu.
Supposons que \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) soit injectif. Supposons \(\beta\) déjà défini en tous les degrés \(\leq n - 1\), de manière compatible avec les différentielles et de sorte que \(\gamma^j = \beta^j \circ \alpha^j\) pour tout \(j \leq n - 1\). Considérons le diagramme commutatif dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ K^{n - 1} \ar[r] \ar@/_2pc/[dd]_\gamma \ar[d]^\alpha & K^n \ar@/^2pc/[dd]^\gamma \ar[d]^\alpha \\ L^{n - 1} \ar[r] \ar[d]^\beta & L^n \ar@{-->}[d] \\ I^{n - 1} \ar[r] & I^n }\] La flèche en pointillés est donc prescrite sur les sous-objets \(\alpha(K^n)\) et \(d^{n - 1}(L^{n - 1})\). De plus, ces deux morphismes coïncident sur \(\alpha(d^{n - 1}(K^{n - 1}))\). Par conséquent, si [013Q]\[\begin{equation} \alpha(d^{n - 1}(K^{n - 1})) = \alpha(K^n) \cap d^{n - 1}(L^{n - 1}) \end{equation}\] alors ces morphismes se recollent en un morphisme \(\alpha(K^n) + d^{n - 1}(L^{n - 1}) \to I^n\) et, par injectivité de \(I^n\), on peut le prolonger en un morphisme défini sur tout \(L^n\) à valeurs dans \(I^n\). Une récurrence fournit alors le morphisme \(\beta\) simultanément pour tout \(n\) (on peut poser \(\beta^n = 0\) pour tout \(n \ll 0\), puisque \(I^\bullet\) est borné inférieurement, ce qui amorce la récurrence).
Il reste à démontrer l’égalité (013Q). Le lecteur est invité à le faire lui-même par une chasse au diagramme appropriée. Voici néanmoins notre argument. L’inclusion \(\alpha(d^{n - 1}(K^{n - 1})) \subset \alpha(K^n) \cap d^{n - 1}(L^{n - 1})\) est évidente. Soit \(T\) un objet de \(\mathcal{A}\) et soit \(x : T \to L^n\) un morphisme dont l’image est contenue dans le sous-objet \(\alpha(K^n) \cap d^{n - 1}(L^{n - 1})\). Puisque \(\alpha\) est injectif, on a \(x = \alpha \circ x'\) pour un certain \(x' : T \to K^n\). En outre, comme \(x\) appartient à \(d^{n - 1}(L^{n - 1})\), on a \(d^n \circ x = 0\). En utilisant de nouveau l’injectivité de \(\alpha\), on obtient donc \(d^n \circ x' = 0\). Ainsi, \(x'\) fournit un morphisme \([x'] : T \to H^n(K^\bullet)\). D’autre part, le morphisme correspondant \([x] : T \to H^n(L^\bullet)\) induit par \(x\) est nul par hypothèse. Comme \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme, on conclut que \([x'] = 0\). Cela signifie exactement que l’image de \(x'\) est contenue dans \(d^{n - 1}(K^{n - 1})\), ce qui conclut.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Considérons un diagramme dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^{\beta_i} \\ I^\bullet }\] où \(I^\bullet\) est borné inférieurement et formé d’objets injectifs, et où \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme. Deux morphismes quelconques \(\beta_1, \beta_2\) qui rendent le diagramme commutatif à homotopie près sont homotopes.
Démonstration
Cela résulte de la remarque 05TF. Nous donnons également un argument direct.
Soient \(\tilde \alpha : K \to \tilde L^\bullet\), \(\pi\), \(s\) comme dans le lemme 013N. Si l’on peut montrer que \(\beta_1 \circ\pi\) est homotope à \(\beta_2 \circ \pi\), alors on en déduit que \(\beta_1 \sim \beta_2\), puisque \(\pi \circ s\) est l’identité. On peut donc supposer que \(\alpha^n : K^n \to L^n\) est l’inclusion d’un facteur direct pour tout \(n\). On obtient ainsi une suite exacte courte de complexes \[0 \to K^\bullet \to L^\bullet \to M^\bullet \to 0\] scindée terme à terme, telle que \(M^\bullet\) soit acyclique. Choisissons des scindages \(L^n = K^n \oplus M^n\) ; on a donc \(\beta_i^n : K^n \oplus M^n \to I^n\) et \(\gamma^n : K^n \to I^n\). Dans ce cas, la condition imposée à \(\beta_i\) signifie qu’il existe des morphismes \(h_i^n : K^n \to I^{n - 1}\) tels que \[\gamma^n - \beta_i^n|_{K^n} = d \circ h_i^n + h_i^{n + 1} \circ d\] On voit donc que \[\beta_1^n|_{K^n} - \beta_2^n|_{K^n} = d \circ (h_1^n - h_2^n) + (h_1^{n + 1} - h_2^{n + 1}) \circ d\] Considérons le morphisme \(h^n : K^n \oplus M^n \to I^{n - 1}\) égal à \(h_1^n - h_2^n\) sur le premier facteur et nul sur le second. Alors \[\beta_1^n - \beta_2^n - (d \circ h^n + h^{n + 1}) \circ d\] est un morphisme de complexes \(L^\bullet \to I^\bullet\) identiquement nul sur le sous-complexe \(K^\bullet\). Il se factorise donc en \(L^\bullet \to M^\bullet \to I^\bullet\). Le résultat du lemme découle alors du lemme 013R.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(I^\bullet\) un complexe borné inférieurement dont les termes sont injectifs. Soit \(L^\bullet \in K(\mathcal{A})\). Alors \[\Mor_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) = \Mor_{D(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet).\]
Démonstration
Soit \(a\) un élément du membre de droite. On peut représenter \(a = \gamma\alpha^{-1}\), où \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) est un quasi-isomorphisme et \(\gamma : K^\bullet \to I^\bullet\) un morphisme de complexes. D’après le lemme 013P, on peut trouver un morphisme \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\) tel que \(\beta \circ \alpha\) soit homotope à \(\gamma\). Cela démontre la surjectivité du morphisme. Soit \(b\) un élément du membre de gauche dont l’image dans le membre de droite est nulle. Alors \(b\) est la classe d’homotopie d’un morphisme \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\) tel qu’il existe un quasi-isomorphisme \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) pour lequel \(\beta \circ \alpha\) est homotope à zéro. Le lemme 013S montre alors que \(\beta\) est lui aussi homotope à zéro, c’est-à-dire que \(b = 0\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) ait assez d’injectifs. Pour toute suite exacte courte \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) de \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\), il existe dans \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[r] \ar[d] & C^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I_1^\bullet \ar[r] & I_2^\bullet \ar[r] & I_3^\bullet \ar[r] & 0 }\] où les flèches verticales sont des résolutions injectives et les lignes des suites exactes courtes de complexes. En outre,
étant donnée une résolution injective quelconque \(A^\bullet \to I^\bullet\), on peut supposer que \(I_1^\bullet = I^\bullet\) ;
si \(A^n = B^n = C^n = 0\) pour \(n < 0\), on peut supposer que \(I_j^n = 0\) pour \(n < 0\) ;
on peut combiner (1) et (2) si l’on a également \(I^n = 0\) pour \(n < 0\), et
ajouter davantage ici.
Démonstration
Étape 1. Choisissons une résolution injective \(A^\bullet \to I^\bullet\) (voir le lemme 013K) ou utilisons celle qui est donnée. Rappelons que \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) est une catégorie abélienne, voir Homologie, lemme 0114. On peut donc former le cocarré le long du morphisme \(A^\bullet \to I^\bullet\) et obtenir \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] \ar[d] & B^\bullet \ar[r] \ar[d] & C^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^\bullet \ar[r] & E^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & 0 }\] D’après le lemme \(5\) et la dernière assertion d’Homologie, lemme 0117, le morphisme \(B^\bullet \to E^\bullet\) est un quasi-isomorphisme. Remarquons que la suite exacte courte inférieure est scindée terme à terme, voir Homologie, lemme 0136. Il suffit donc de démontrer le lemme lorsque \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) est scindée terme à terme.
Étape 2. Choisissons des scindages. Autrement dit, écrivons \(B^n = A^n \oplus C^n\). Notons \(\delta : C^\bullet \to A^\bullet[1]\) le morphisme d’Homologie, lemme 011J. Choisissons des résolutions injectives \(f_1 : A^\bullet \to I_1^\bullet\) et \(f_3 : C^\bullet \to I_3^\bullet\). (Si \(A^\bullet\) est un complexe d’injectifs, prendre \(I_1^\bullet = A^\bullet\). Si \(A^n = C^n = 0\) pour \(n < 0\), les choisir de sorte que \(I_1^n = I_3^n = 0\) pour \(n < 0\), voir le lemme 013K.) On peut supposer que \(f_3\) est injectif en chaque degré. D’après le lemme 013P, on peut trouver un morphisme \(\delta' : I_3^\bullet \to I_1^\bullet[1]\) tel que \(\delta' \circ f_3 = f_1[1] \circ \delta\) (égalité de morphismes de complexes). Posons \(I_2^n = I_1^n \oplus I_3^n\). Définissons \[d_{I_2}^n = \left( \begin{matrix} d_{I_1}^n & (\delta')^n \\ 0 & d_{I_3}^n \end{matrix} \right)\] et définissons les morphismes \(B^n \to I_2^n\) comme la somme des morphismes \(A^n \to I_1^n\) et \(C^n \to I_3^n\). Tout est clair.
Résolutions projectives
Cette section est duale de la section 013G. Nous donnons les définitions et énonçons les résultats, sans redémontrer les lemmes.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A \in \Ob(\mathcal{A})\). Une résolution projective de \(A\) est un complexe \(P^\bullet\) muni d’un morphisme \(P^0 \to A\) tel que :
On a \(P^n = 0\) pour \(n > 0\).
Chaque \(P^n\) est un objet projectif de \(\mathcal{A}\).
Le morphisme \(P^0 \to A\) induit un isomorphisme \(\Coker(d^{-1}) \to A\).
On a \(H^i(P^\bullet) = 0\) pour \(i < 0\).
Ainsi, \(P^\bullet \to A[0]\) est un quasi-isomorphisme. Autrement dit, le complexe \[\ldots \to P^{-1} \to P^0 \to A \to 0 \to \ldots\] est acyclique. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\). Une résolution projective de \(K^\bullet\) est un complexe \(P^\bullet\) muni d’un morphisme de complexes \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\) tel que
On a \(P^n = 0\) pour \(n \gg 0\), c’est-à-dire que \(P^\bullet\) est borné supérieurement.
Chaque \(P^n\) est un objet projectif de \(\mathcal{A}\).
Le morphisme \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\) est un quasi-isomorphisme.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\).
Si \(K^\bullet\) possède une résolution projective, alors \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour \(n \gg 0\).
Si \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour \(n \gg 0\), alors il existe un quasi-isomorphisme \(L^\bullet \to K^\bullet\) tel que \(L^\bullet\) soit borné supérieurement.
Démonstration
Cela est dual du lemme 013J.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) ait assez de projectifs.
Tout objet de \(\mathcal{A}\) possède une résolution projective.
Si \(H^n(K^\bullet) = 0\) pour tout \(n \gg 0\), alors \(K^\bullet\) possède une résolution projective.
Si \(K^\bullet\) est un complexe tel que \(K^n = 0\) pour \(n > a\), alors il existe une résolution projective \(\alpha : P^\bullet \to K^\bullet\) telle que \(P^n = 0\) pour \(n > a\) et que chaque \(\alpha^n : P^n \to K^n\) soit surjectif.
Démonstration
Cela est dual du lemme 013K.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe acyclique. Soit \(P^\bullet\) un complexe borné supérieurement dont les termes sont projectifs. Tout morphisme \(P^\bullet \to K^\bullet\) est homotope à zéro.
Démonstration
Cela est dual du lemme 013R.
Remarque
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) soit un quasi-isomorphisme de complexes. Soit \(P^\bullet\) un complexe borné supérieurement d’objets projectifs. Alors \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) \longrightarrow \Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, L^\bullet)\] est un isomorphisme. Cela est dual de la remarque 05TF.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Considérons un diagramme dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ K^\bullet & L^\bullet \ar[l]^\alpha \\ P^\bullet \ar[u] \ar@{-->}[ru]_\beta }\] où \(P^\bullet\) est borné supérieurement et formé d’objets projectifs, et où \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme.
Il existe un morphisme de complexes \(\beta\) qui rend le diagramme commutatif à homotopie près.
Si \(\alpha\) est surjectif en chaque degré, on peut trouver un \(\beta\) qui rend le diagramme commutatif.
Démonstration
Cela est dual du lemme 013P.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Considérons un diagramme dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ K^\bullet & L^\bullet \ar[l]^\alpha \\ P^\bullet \ar[u] \ar@{-->}[ru]_{\beta_i} }\] où \(P^\bullet\) est borné supérieurement et formé d’objets projectifs, et où \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme. Deux morphismes quelconques \(\beta_1, \beta_2\) qui rendent le diagramme commutatif à homotopie près sont homotopes.
Démonstration
Cela est dual du lemme 013S.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(P^\bullet\) un complexe borné supérieurement dont les termes sont projectifs. Soit \(L^\bullet \in K(\mathcal{A})\). Alors \[\Mor_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, L^\bullet) = \Mor_{D(\mathcal{A})}(P^\bullet, L^\bullet).\]
Démonstration
Cela est dual du lemme 05TG.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) ait assez de projectifs. Pour toute suite exacte courte \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) de \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\), il existe dans \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & P_1^\bullet \ar[r] \ar[d] & P_2^\bullet \ar[r] \ar[d] & P_3^\bullet \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A^\bullet \ar[r] & B^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & 0 }\] où les flèches verticales sont des résolutions projectives et les lignes des suites exactes courtes de complexes. En fait, étant donnée une résolution projective quelconque \(P^\bullet \to C^\bullet\), on peut supposer que \(P_3^\bullet = P^\bullet\).
Démonstration
Cela est dual du lemme 013T.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(P^\bullet\), \(K^\bullet\) des complexes. Soit \(n \in \mathbf{Z}\). Supposons que
\(P^\bullet\) soit un complexe borné dont les termes sont projectifs ;
\(P^i = 0\) pour \(i < n\) ;
\(H^i(K^\bullet) = 0\) pour \(i \geq n\).
Alors \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(P^\bullet, K^\bullet) = 0\).
Démonstration
La première égalité résulte du lemme 064B. Remarquons qu’il existe un triangle distingué \[(\tau_{\leq n - 1}K^\bullet, K^\bullet, \tau_{\geq n}K^\bullet, f, g, h)\] d’après la remarque 08J5. Par le lemme 0149, il suffit donc de démontrer \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, \tau_{\leq n - 1}K^\bullet) = 0\) et \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet, \tau_{\geq n} K^\bullet) = 0\). La première annulation est évidente, et la seconde résulte du lemme 0647.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(\beta : P^\bullet \to L^\bullet\) et \(\alpha : E^\bullet \to L^\bullet\) des morphismes de complexes. Soit \(n \in \mathbf{Z}\). Supposons que
\(P^\bullet\) soit un complexe borné d’objets projectifs et que \(P^i = 0\) pour \(i < n\) ;
\(H^i(\alpha)\) soit un isomorphisme pour \(i > n\) et surjectif pour \(i = n\).
Alors il existe un morphisme de complexes \(\gamma : P^\bullet \to E^\bullet\) tel que \(\alpha \circ \gamma\) et \(\beta\) soient homotopes.
Démonstration
Considérons le cône \(C^\bullet = C(\alpha)^\bullet\), muni du morphisme \(i : L^\bullet \to C^\bullet\). D’après le lemme 064D, \(i \circ \beta\) est nul. Le lemme 0149 permet donc de relever \(\beta\) à \(E^\bullet\).
Foncteurs dérivés droits et résolutions injectives
Nous pouvons maintenant utiliser les résultats précédents pour définir les foncteurs dérivés droits d’un foncteur additif d’une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs vers une catégorie abélienne quelconque.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(I \in \Ob(\mathcal{A})\) un objet injectif. Soit \(I^\bullet\) un complexe borné inférieurement d’objets injectifs de \(\mathcal{A}\).
\(I^\bullet\) calcule \(RF\) relativement à \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) pour tout foncteur exact \(F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}\) à valeurs dans une catégorie triangulée quelconque \(\mathcal{D}\).
\(I\) est acyclique à droite pour tout foncteur additif \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) à valeurs dans une catégorie abélienne quelconque \(\mathcal{B}\).
Démonstration
La partie (2) est une conséquence directe de la partie (1) et de la définition 0157. Pour prouver (1), soit \(\alpha : I^\bullet \to K^\bullet\) un quasi-isomorphisme vers un complexe. D’après le lemme 013P, \(\alpha\) admet un inverse à gauche. La catégorie \(I^\bullet/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) est donc essentiellement constante, de valeur \(\text{id} : I^\bullet \to I^\bullet\). Par suite, l’ind-objet \[I^\bullet/\text{Qis}^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}, \quad (I^\bullet \to K^\bullet) \longmapsto F(K^\bullet)\] est lui aussi essentiellement constant, de valeur \(F(I^\bullet)\). Cela prouve (1), voir les définitions 05S9 et 05SX.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs.
Pour tout foncteur exact \(F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}\) à valeurs dans une catégorie triangulée \(\mathcal{D}\), le foncteur dérivé droit \[RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}\] est défini partout.
Pour tout foncteur additif \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) à valeurs dans une catégorie abélienne \(\mathcal{B}\), le foncteur dérivé droit \[RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})\] est défini partout.
Démonstration
Pour la seconde assertion, combiner le lemme 05TH et la proposition 05TA. Pour la première, combiner le lemme 013K, le lemme 05TH, le lemme 05T1 et l’équation (05SW).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif.
Le foncteur \(RF\) est un foncteur exact \(D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\).
Le foncteur \(RF\) induit un foncteur exact \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\).
Le foncteur \(RF\) induit un \(\delta\)-foncteur \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\).
Le foncteur \(RF\) induit un \(\delta\)-foncteur \(\mathcal{A} \to D^{+}(\mathcal{B})\).
Démonstration
Ce lemme ne fait que récapituler certains des résultats obtenus jusqu’ici. Notons que, d’après le lemme 05TI, \(RF\) est défini partout. Voici quelques références :
Le foncteur dérivé est exact : cela se ramène au lemme 05SC.
Cela résulte du fait que \(K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) est exact et qu’un composé de foncteurs exacts est exact.
Cela résulte du fait que \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) est un \(\delta\)-foncteur, voir le lemme 0152.
Cela résulte du fait que \(\mathcal{A} \to \text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) est exact et que la précomposition d’un \(\delta\)-foncteur par un foncteur exact donne un \(\delta\)-foncteur.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche.
À toute suite exacte courte \(0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0\) de complexes dans \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\) est associée une suite exacte longue \[\ldots \to H^i(RF(A^\bullet)) \to H^i(RF(B^\bullet)) \to H^i(RF(C^\bullet)) \to H^{i + 1}(RF(A^\bullet)) \to \ldots\]
Les foncteurs \(R^iF : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) sont nuls pour \(i < 0\). De plus, \(R^0F = F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\).
On a \(R^iF(I) = 0\) pour \(i > 0\) et \(I\) injectif.
La suite \((R^iF, \delta)\) forme un \(\delta\)-foncteur universel (voir Homologie, définition 010S) de \(\mathcal{A}\) vers \(\mathcal{B}\).
Démonstration
Ce lemme ne fait que récapituler certains des résultats obtenus jusqu’ici. Notons que, d’après le lemme 05TI, \(RF\) est défini partout. Voici quelques références :
Résolutions de Cartan–Eilenberg
Cette section peut être développée. Les résultats peuvent être généralisés et s’appliquer dans davantage de cas. Les résolutions ne doivent pas nécessairement être formées d’injectifs, et la méthode fonctionne aussi dans certaines situations non bornées.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe borné inférieurement. Une résolution de Cartan–Eilenberg de \(K^\bullet\) est la donnée d’un complexe double \(I^{\bullet, \bullet}\) et d’un morphisme de complexes \(\epsilon : K^\bullet \to I^{\bullet, 0}\) ayant les propriétés suivantes :
Il existe \(i \ll 0\) tel que \(I^{p, q} = 0\) pour tout \(p < i\) et tout \(q\).
On a \(I^{p, q} = 0\) si \(q < 0\).
Le complexe \(I^{p, \bullet}\) est une résolution injective de \(K^p\).
Le complexe \(\Ker(d_1^{p, \bullet})\) est une résolution injective de \(\Ker(d_K^p)\).
Le complexe \(\Im(d_1^{p, \bullet})\) est une résolution injective de \(\Im(d_K^p)\).
Le complexe \(H^p_I(I^{\bullet, \bullet})\) est une résolution injective de \(H^p(K^\bullet)\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Soit \(K^\bullet\) un complexe borné inférieurement. Il existe une résolution de Cartan–Eilenberg de \(K^\bullet\).
Démonstration
Supposons que \(K^p = 0\) pour \(p < n\). Décomposons \(K^\bullet\) en suites exactes courtes comme suit : posons \(Z^p = \Ker(d^p)\), \(B^p = \Im(d^{p - 1})\), \(H^p = Z^p/B^p\), et considérons \[\begin{matrix} 0 \to Z^n \to K^n \to B^{n + 1} \to 0 \\ 0 \to B^{n + 1} \to Z^{n + 1} \to H^{n + 1} \to 0 \\ 0 \to Z^{n + 1} \to K^{n + 1} \to B^{n + 2} \to 0 \\ 0 \to B^{n + 2} \to Z^{n + 2} \to H^{n + 2} \to 0 \\ \ldots \end{matrix}\] Posons \(I^{p, q} = 0\) pour \(p < n\). Nous choisissons par récurrence des résolutions injectives de la manière suivante :
Choisissons une résolution injective \(Z^n \to J_Z^{n, \bullet}\) telle que \(J_Z^{n, m} = 0\) pour \(m < 0\), voir le lemme 013K.
En utilisant le lemme 013T, choisissons des résolutions injectives \(K^n \to I^{n, \bullet}\) et \(B^{n + 1} \to J_B^{n + 1, \bullet}\) telles que \(I^{n, m} = 0\) pour \(m < 0\) et \(J_B^{n + 1, m} = 0\) pour \(m < 0\), ainsi qu’une suite exacte de complexes \(0 \to J_Z^{n, \bullet} \to I^{n, \bullet} \to J_B^{n + 1, \bullet} \to 0\) compatible avec la suite exacte courte \(0 \to Z^n \to K^n \to B^{n + 1} \to 0\).
En utilisant le lemme 013T, choisissons des résolutions injectives \(Z^{n + 1} \to J_Z^{n + 1, \bullet}\) et \(H^{n + 1} \to J_H^{n + 1, \bullet}\) telles que \(J_Z^{n + 1, m} = 0\) pour \(m < 0\) et \(J_H^{n + 1, m} = 0\) pour \(m < 0\), ainsi qu’une suite exacte de complexes \(0 \to J_B^{n + 1, \bullet} \to J_Z^{n + 1, \bullet} \to J_H^{n + 1, \bullet} \to 0\) compatible avec la suite exacte courte \(0 \to B^{n + 1} \to Z^{n + 1} \to H^{n + 1} \to 0\).
Et ainsi de suite.
En prenant pour applications \(d_1^\bullet : I^{p, \bullet} \to I^{p + 1, \bullet}\) les composées \(I^{p, \bullet} \to J_B^{p + 1, \bullet} \to J_Z^{p + 1, \bullet} \to I^{p + 1, \bullet}\), tout est clair.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche entre catégories abéliennes. Soit \(K^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{A}\). Soit \(I^{\bullet, \bullet}\) une résolution de Cartan–Eilenberg de \(K^\bullet\). Les suites spectrales \(({}'E_r, {}'d_r)_{r \geq 0}\) et \(({}''E_r, {}''d_r)_{r \geq 0}\) associées au complexe double \(F(I^{\bullet, \bullet})\) vérifient les relations \[{}'E_1^{p, q} = R^qF(K^p) \quad \text{et} \quad {}''E_2^{p, q} = R^pF(H^q(K^\bullet))\] De plus, ces suites spectrales sont bornées, convergent vers \(H^*(RF(K^\bullet))\), et les filtrations induites correspondantes sur \(H^n(RF(K^\bullet))\) sont finies.
Démonstration
Nous utiliserons sans autre mention les observations suivantes :
Puisque \(I^{p, \bullet}\) est une résolution injective de \(K^p\), le foncteur \(RF\) est défini en \(K^p[0]\), de valeur \(F(I^{p, \bullet})\).
Puisque \(H^p_I(I^{\bullet, \bullet})\) est une résolution injective de \(H^p(K^\bullet)\), le foncteur dérivé \(RF\) est défini en \(H^p(K^\bullet)[0]\), de valeur \(F(H^p_I(I^{\bullet, \bullet}))\).
D’après Homologie, lemme 0133, le complexe total \(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\) est une résolution injective de \(K^\bullet\). Ainsi, \(RF\) est défini en \(K^\bullet\), de valeur \(F(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet}))\).
Considérons les deux suites spectrales associées au complexe double \(L^{\bullet, \bullet} = F(I^{\bullet, \bullet})\), voir Homologie, lemme 0130. Elles sont toutes deux bornées, convergent vers \(H^*(\text{Tot}(L^{\bullet, \bullet}))\) et induisent des filtrations finies sur \(H^n(\text{Tot}(L^{\bullet, \bullet}))\), voir Homologie, lemme 0132. Comme \(\text{Tot}(L^{\bullet, \bullet}) = \text{Tot}(F(I^{\bullet, \bullet})) = F(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet}))\) calcule \(RF(K^\bullet)\), la dernière assertion du lemme en résulte.
Calcul de la première suite spectrale. On a \({}'E_1^{p, q} = H^q(L^{p, \bullet})\), autrement dit \[{}'E_1^{p, q} = H^q(F(I^{p, \bullet})) = R^qF(K^p)\] comme voulu. Notons pour la suite que les applications \({}'d_1^{p, q} : {}'E_1^{p, q} \to {}'E_1^{p + 1, q}\) sont les applications \(R^qF(K^p) \to R^qF(K^{p + 1})\) induites par \(K^p \to K^{p + 1}\) et par le fait que \(R^qF\) est un foncteur.
Calcul de la seconde suite spectrale. On a \({}''E_1^{p, q} = H^q(L^{\bullet, p}) = H^q(F(I^{\bullet, p}))\). Notons que le complexe \(I^{\bullet, p}\) est borné inférieurement, qu’il est formé d’objets injectifs, et que le noyau, l’image et la cohomologie de chacun de ses différentiels sont en outre des objets injectifs de \(\mathcal{A}\). Nous pouvons donc scinder les différentiels : chaque différentiel est une surjection scindée sur un facteur direct. Il en est de même après application de \(F\). Ainsi, \({}''E_1^{p, q} = F(H^q(I^{\bullet, p})) = F(H^q_I(I^{\bullet, p}))\). Les différentielles sur ce terme sont \((-1)^q\) fois l’image par \(F\) de la différentielle du complexe \(H^p_I(I^{\bullet, \bullet})\), qui est une résolution injective de \(H^p(K^\bullet)\). On en déduit la description des termes \(E_2\).
Remarque
Les suites spectrales du lemme 015J sont fonctorielles en \(K^\bullet\). Cela résulte des propriétés de fonctorialité des résolutions de Cartan–Eilenberg. D’autre part, elles sont toutes deux des exemples d’une suite spectrale plus générale que l’on peut associer à un complexe filtré de \(\mathcal{A}\). Sa construction entraînera la fonctorialité. Nous y reviendrons dans la section consacrée à la catégorie dérivée filtrée, voir la remarque 015X.
Composition de foncteurs dérivés droits
Il est parfois possible de calculer le foncteur dérivé droit d’un composé. Supposons que \(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\) soient des catégories abéliennes. Soient \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des foncteurs exacts à gauche. Supposons que les foncteurs dérivés droits \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\), \(RG : D^{+}(\mathcal{B}) \to D^{+}(\mathcal{C})\) et \(R(G \circ F) : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{C})\) soient définis partout. Il existe alors une transformation canonique \[t : R(G \circ F) \longrightarrow RG \circ RF\] de foncteurs de \(D^{+}(\mathcal{A})\) vers \(D^{+}(\mathcal{C})\), voir le lemme 05T2. Cette transformation n’est pas toujours un isomorphisme.
Lemme
Soient \(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}\) des catégories abéliennes. Soient \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des foncteurs exacts à gauche. Supposons que \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) aient assez d’injectifs. Les assertions suivantes sont équivalentes :
\(F(I)\) est acyclique à droite pour \(G\), pour tout objet injectif \(I\) de \(\mathcal{A}\) ;
l’application canonique \[t : R(G \circ F) \longrightarrow RG \circ RF.\] est un isomorphisme de foncteurs de \(D^{+}(\mathcal{A})\) vers \(D^{+}(\mathcal{C})\).
Démonstration
Si (2) est satisfaite, alors (1) s’obtient en évaluant l’isomorphisme \(t\) sur \(RF(I) = F(I)\). Réciproquement, supposons (1) satisfaite. Soit \(A^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{A}\). Choisissons une résolution injective \(A^\bullet \to I^\bullet\). L’application \(t\) est donnée (voir la preuve du lemme 05T2) par les applications \[R(G \circ F)(A^\bullet) = (G \circ F)(I^\bullet) = G(F(I^\bullet))) \to RG(F(I^\bullet)) = RG(RF(A^\bullet))\] où la flèche est un isomorphisme d’après le lemme 015E.
Lemme
Sous les hypothèses du lemme 015M, supposons que les conditions équivalentes (1) et (2) soient satisfaites. Soit \(X\) un objet de \(D^{+}(\mathcal{A})\). Il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) formée d’objets bigradués \(E_r\) de \(\mathcal{C}\), où \(d_r\) est de bidegré \((r, - r + 1)\), et telle que \[E_2^{p, q} = R^pG(H^q(RF(X)))\] De plus, cette suite spectrale est bornée, converge vers \(H^*(R(G \circ F)(X))\) et induit une filtration finie sur chaque \(H^n(R(G \circ F)(X))\).
Pour un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\), on obtient \(E_2^{p, q} = R^pG(R^qF(A))\), qui converge vers \(R^{p + q}(G \circ F)(A)\).
Démonstration
Nous pouvons représenter \(X\) par un complexe borné inférieurement \(A^\bullet\). Choisissons une résolution injective \(A^\bullet \to I^\bullet\). Choisissons une résolution de Cartan–Eilenberg \(F(I^\bullet) \to I^{\bullet, \bullet}\) à l’aide du lemme 015I. Appliquons la seconde suite spectrale du lemme 015J.
Foncteurs de résolution
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Notons \(\mathcal{I}\) la sous-catégorie additive pleine de \(\mathcal{A}\) dont les objets sont les objets injectifs de \(\mathcal{A}\). Dans ce cas, \(K^{+}(\mathcal{I})\) et \(D^{+}(\mathcal{A})\) sont équivalentes (voir la proposition 013V). Il est donc souvent naturel d’identifier mentalement \(D^{+}(\mathcal{A})\) à la catégorie \(K^{+}(\mathcal{I})\), plus facile à appréhender dans ce cas.
Proposition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) ait assez d’injectifs. Notons \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) la sous-catégorie additive strictement pleine dont les objets sont les objets injectifs de \(\mathcal{A}\). Le foncteur \[K^{+}(\mathcal{I}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{A})\] est exact, pleinement fidèle et essentiellement surjectif, c’est-à-dire que c’est une équivalence de catégories triangulées.
Démonstration
Il est clair que le foncteur est exact. Il est essentiellement surjectif d’après le lemme 013K. La pleine fidélité résulte du lemme 05TG.
La proposition 013V implique que nous pouvons construire des foncteurs de résolution. On peut en fait prouver leur existence même dans certains cas où la catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) est une catégorie « grande », c’est-à-dire qu’elle possède une classe d’objets.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Un foncteur de résolution8 pour \(\mathcal{A}\) est la donnée des objets et morphismes suivants :
pour tout \(K^\bullet \in \Ob(K^{+}(\mathcal{A}))\), un complexe \(j(K^\bullet)\) d’injectifs borné inférieurement ;
pour tout \(K^\bullet \in \Ob(K^{+}(\mathcal{A}))\), un quasi-isomorphisme \(i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet)\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Étant donné un foncteur de résolution \((j, i)\), il existe une unique façon de faire de \(j\) un foncteur et de \(i\) un \(2\)-isomorphisme donnant un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ K^{+}(\mathcal{A}) \ar[rd] \ar[rr]_j & & K^{+}(\mathcal{I}) \ar[ld] \\ & D^{+}(\mathcal{A}) }\] où \(\mathcal{I}\) est la sous-catégorie additive pleine de \(\mathcal{A}\) formée des objets injectifs.
Démonstration
Pour tout morphisme \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) de \(K^{+}(\mathcal{A})\), il existe un unique morphisme \(j(\alpha) : j(K^\bullet) \to j(L^\bullet)\) dans \(K^{+}(\mathcal{I})\) tel que \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_{i_{K^\bullet}} & L^\bullet \ar[d]^{i_{L^\bullet}} \\ j(K^\bullet) \ar[r]^{j(\alpha)} & j(L^\bullet) }\] soit commutatif dans \(K^{+}(\mathcal{A})\). Pour le voir, on peut utiliser les lemmes 013P et 013S, ou le lemme équivalent 05TG. L’unicité implique que \(j\) est un foncteur, et la commutativité du diagramme implique que \(i\) donne un \(2\)-morphisme témoignant de la \(2\)-commutativité du diagramme de catégories de l’énoncé.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) ait assez d’injectifs. Il existe alors un foncteur de résolution \(j\), unique à un unique isomorphisme de foncteurs près.
Démonstration
Considérons l’ensemble de tous les objets \(K^\bullet\) de \(K^{+}(\mathcal{A})\). (Rappelons que, selon nos conventions, toute catégorie possède un ensemble d’objets, sauf mention contraire.) D’après le lemme 013K, tout objet admet une résolution injective. L’axiome du choix nous permet donc de choisir, pour chaque \(K^\bullet\), une résolution injective \(i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet)\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Tout foncteur de résolution \(j : K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\) est exact.
Démonstration
Notons \(i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet)\) les applications canoniques de la définition 013W. Commençons par établir l’existence de l’isomorphisme fonctoriel \(j(K^\bullet[1]) \to j(K^\bullet)[1]\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ K^\bullet[1] \ar[d]^{i_{K^\bullet[1]}} \ar@{=}[rr] & & K^\bullet[1] \ar[d]^{i_{K^\bullet}[1]} \\ j(K^\bullet[1]) \ar@{..>}[rr]^{\xi_{K^\bullet}} & & j(K^\bullet)[1] }\] D’après les lemmes 013P et 013S, il existe une unique flèche en pointillé \(\xi_{K^\bullet}\) dans \(K^{+}(\mathcal{I})\) rendant le diagramme commutatif dans \(K^{+}(\mathcal{A})\). Nous omettons la vérification que l’on obtient ainsi un isomorphisme fonctoriel. (Indication : utiliser de nouveau le lemme 013S.)
Soit \((K^\bullet, L^\bullet, M^\bullet, f, g, h)\) un triangle distingué de \(K^{+}(\mathcal{A})\). Nous devons montrer que \((j(K^\bullet), j(L^\bullet), j(M^\bullet), j(f), j(g), \xi_{K^\bullet} \circ j(h))\) est un triangle distingué de \(K^{+}(\mathcal{I})\). Notons que nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_f \ar[d] & L^\bullet \ar[r]_g \ar[d] & M^\bullet \ar[rr]_h \ar[d] & & K^\bullet[1] \ar[d] \\ j(K^\bullet) \ar[r]^{j(f)} & j(L^\bullet) \ar[r]^{j(g)} & j(M^\bullet) \ar[rr]^{\xi_{K^\bullet} \circ j(h)} & & j(K^\bullet)[1] }\] dans \(K^{+}(\mathcal{A})\), dont les flèches verticales sont les quasi-isomorphismes \(i_K, i_L, i_M\). Ainsi, l’image de \((j(K^\bullet), j(L^\bullet), j(M^\bullet), j(f), j(g), \xi_{K^\bullet} \circ j(h))\) dans \(D^{+}(\mathcal{A})\) est isomorphe à un triangle distingué, donc est elle-même un triangle distingué d’après TR1. Le lemme 05SQ montre alors que \((j(K^\bullet), j(L^\bullet), j(M^\bullet), j(f), j(g), \xi_{K^\bullet} \circ j(h))\) est un triangle distingué dans \(K^{+}(\mathcal{I})\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Soit \(j\) un foncteur de résolution. Notons \(Q : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{A})\) le foncteur naturel. Alors \(j = j' \circ Q\) pour un unique foncteur \(j' : D^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\), quasi-inverse du foncteur canonique \(K^{+}(\mathcal{I}) \to D^{+}(\mathcal{A})\).
Démonstration
Le foncteur \(Q\) est une localisation d’après le lemme 05RW. Pour prouver l’existence de \(j'\), il suffit de montrer que tout élément de \(\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})\) est envoyé sur un isomorphisme par le foncteur \(j\), voir le lemme 05R7. Considérons le carré commutatif de la preuve du lemme 014W. Dans ce carré, si \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme, alors \(i_{L^\bullet}\circ\alpha=j(\alpha)\circ i_{K^\bullet}\) est aussi un quasi-isomorphisme, et il en est donc de même de \(j(\alpha)\). Ainsi, d’après la proposition 013V, le morphisme \(j(\alpha)\) est un isomorphisme dans \(K^+(\mathcal{I})\). Nous omettons de vérifier que \(j'\) est quasi-inverse de \(K^{+}(\mathcal{I}) \to D^{+}(\mathcal{A})\).
Remarque
Supposons que \(\mathcal{A}\) soit une « grande » catégorie abélienne ayant assez d’injectifs, par exemple la catégorie des groupes abéliens. Dans ce cas, nous devons construire notre foncteur de résolution avec un peu plus de soin, car nous ne pouvons pas utiliser l’axiome du choix avec un quantificateur portant sur une classe. Remarquons cependant que la preuve du lemme montre que deux foncteurs de localisation quelconques sont canoniquement isomorphes. En effet, étant donné des quasi-isomorphismes \(i : K^\bullet \to I^\bullet\) et \(i' : K^\bullet \to J^\bullet\) d’un complexe borné inférieurement \(K^\bullet\) vers des complexes d’injectifs bornés inférieurement, il existe un unique (!) morphisme \(a : I^\bullet \to J^\bullet\) dans \(K^{+}(\mathcal{I})\) tel que \(i' = i \circ a\) comme morphismes dans \(K^{+}(\mathcal{I})\). La seule difficulté est donc l’existence, et nous verrons dans la section suivante comment la traiter.
Plongements fonctoriels dans des injectifs et foncteurs de résolution
Dans cette section, nous reprenons la construction d’un foncteur de résolution \(K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\) lorsque la catégorie \(\mathcal{A}\) possède des plongements fonctoriels dans des objets injectifs. Il y a deux raisons à cela : (1) la preuve est plus simple et (2) la construction fonctionne aussi lorsque \(\mathcal{A}\) est une « grande » catégorie abélienne. Voir la remarque 0142 ci-dessous.
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Comme précédemment, notons \(\mathcal{I}\) la sous-catégorie additive pleine de \(\mathcal{A}\) formée des objets injectifs. Considérons la catégorie \(\text{InjRes}(\mathcal{A})\) des flèches \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\), où \(K^\bullet\) est un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{A}\), \(I^\bullet\) est un complexe borné inférieurement d’objets injectifs de \(\mathcal{A}\), et \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme. Autrement dit, \(\alpha\) est une résolution injective et \(K^\bullet\) est borné inférieurement. Il existe un foncteur évident \[s : \text{InjRes}(\mathcal{A}) \longrightarrow \text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\] défini par \((\alpha : K^\bullet \to I^\bullet) \mapsto K^\bullet\). Il existe aussi un foncteur \[t : \text{InjRes}(\mathcal{A}) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] défini par \((\alpha : K^\bullet \to I^\bullet) \mapsto I^\bullet\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) possède des plongements fonctoriels dans des objets injectifs, voir Homologie, définition 0139.
Il existe un foncteur \(inj : \text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to \text{InjRes}(\mathcal{A})\) tel que \(s \circ inj = \text{id}\).
Tout foncteur \(inj : \text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \to \text{InjRes}(\mathcal{A})\) tel que \(s \circ inj = \text{id}\) fournit un foncteur de résolution, voir la définition 013W.
Démonstration
Soit \(A \mapsto (A \to J(A))\) un plongement fonctoriel dans des objets injectifs, voir Homologie, définition 0139. Remarquons d’abord que nous pouvons supposer \(J(0) = 0\). En effet, dans le cas contraire, pour tout objet \(A\) nous avons \(0 \to A \to 0\), ce qui donne une décomposition en somme directe \(J(A) = J(0) \oplus \Ker(J(A) \to J(0))\). Notons que le morphisme fonctoriel \(A \to J(A)\) est nécessairement à valeurs dans le second facteur. Nous pouvons donc, au besoin, remplacer notre foncteur par \(J'(A) = \Ker(J(A) \to J(0))\).
Soit \(K^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{A}\). Disons que \(K^p = 0\) si \(p < B\). Nous allons construire un complexe double \(I^{\bullet, \bullet}\) d’injectifs, ainsi qu’une application \(\alpha : K^\bullet \to I^{\bullet, 0}\) telle que \(\alpha\) induise un quasi-isomorphisme de \(K^\bullet\) vers le complexe total associé à \(I^{\bullet, \bullet}\). Posons d’abord \(I^{p, q} = 0\) lorsque \(q < 0\). Posons ensuite \(I^{p, 0} = J(K^p)\), et prenons pour \(\alpha^p : K^p \to I^{p, 0}\) le plongement fonctoriel. Comme \(J\) est un foncteur, \(I^{\bullet, 0}\) est un complexe et \(\alpha\) est un morphisme de complexes. Chaque \(\alpha^p\) est injectif. De plus, \(I^{p, 0} = 0\) pour \(p < B\), car \(J(0) = 0\). Posons ensuite \(I^{p, 1} = J(\Coker(K^p \to I^{p, 0}))\). La fonctorialité montre de nouveau que \(I^{\bullet, 1}\) est un complexe. Nous obtenons aussi \(I^{p, 1} = 0\) pour \(p < B\). Il est en outre clair que \(K^p\) s’envoie isomorphiquement sur \(\Ker(I^{p, 0} \to I^{p, 1})\). Dans une troisième étape, prenons \(I^{p, 2} = J(\Coker(I^{p, 0} \to I^{p, 1}))\), et ainsi de suite.
Nous pouvons maintenant appliquer Homologie, lemme 0133, pour conclure que l’application \[\alpha : K^\bullet \longrightarrow \text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\] est un quasi-isomorphisme. Pour prouver que l’on obtient un foncteur \(inj\), il reste à montrer que la construction précédente est fonctorielle. Nous omettons cette vérification.
Supposons donné un foncteur \(inj\) tel que \(s \circ inj = \text{id}\). Pour tout objet \(K^\bullet\) de \(\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})\), nous pouvons écrire \[inj(K^\bullet) = (i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet))\] Nous obtenons ainsi un foncteur de résolution au sens de la définition 013W.
Remarque
Supposons que \(inj\) soit un foncteur tel que \(s \circ inj = \text{id}\), comme dans la partie (2) du lemme 0141. Écrivons \(inj(K^\bullet) = (i_{K^\bullet} : K^\bullet \to j(K^\bullet))\), comme dans la preuve de ce lemme. Soit \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) une application entre complexes bornés inférieurement. Considérons l’application \(inj(\alpha)\) dans la catégorie \(\text{InjRes}(\mathcal{A})\). Elle induit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[rr]^-{\alpha} \ar[d]_{i_K} & & L^\bullet \ar[d]^{i_L} \\ j(K)^\bullet \ar[rr]^-{inj(\alpha)} & & j(L)^\bullet }\] de morphismes de complexes. En examinant la preuve du lemme 05TJ, nous voyons donc que le foncteur \(j : K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I})\) est donné par la règle \[j(\alpha\text{ à homotopie près}) = inj(\alpha)\text{ à homotopie près}\in \Hom_{K^{+}(\mathcal{I})}(j(K^\bullet), j(L^\bullet))\] Nous voyons ainsi que \(j\) coïncide avec \(t \circ inj\) dans ce cas, c’est-à-dire que le diagramme \[\xymatrix{ \text{Comp}^{+}(\mathcal{A}) \ar[rr]_{t \circ inj} \ar[rd] & & K^{+}(\mathcal{I}) \\ & K^{+}(\mathcal{A}) \ar[ru]_j }\] est commutatif.
Remarque
Soit \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules sur un espace annelé \((X, \mathcal{O}_X)\) (ou, plus généralement, sur un site annelé). Nous verrons plus loin que \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\) a assez d’injectifs et possède même des plongements fonctoriels dans des injectifs, voir Injectifs, théorème 01DU. Notons que la preuve du lemme 013X ne s’applique pas à \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\), mais que celle du lemme 0141 s’applique à \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Nous obtenons donc \[j : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})\] qui est un foncteur de résolution, où \(\mathcal{I}\) est la catégorie additive des \(\mathcal{O}_X\)-modules injectifs. Le même argument s’applique dans les cas suivants :
La catégorie \(\text{Mod}_R\) des \(R\)-modules sur un anneau \(R\).
La catégorie \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\) des préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules sur un site muni d’un préfaisceau d’anneaux.
La catégorie \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\) des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules sur un site annelé.
Ajouter davantage ici selon les besoins.
Foncteurs dérivés droits au moyen de foncteurs de résolution
Le contenu du lemme suivant est que nous pouvons simplement poser \(RF(K^\bullet) = F(j(K^\bullet))\) lorsqu’un foncteur de résolution \(j\) est donné.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur additif à valeurs dans une catégorie abélienne. Soit \((i, j)\) un foncteur de résolution, voir la définition 013W. Le foncteur dérivé droit \(RF\) de \(F\) s’insère dans le diagramme \(2\)-commutatif suivant : \[\xymatrix{ D^{+}(\mathcal{A}) \ar[rd]_{RF} \ar[rr]^{j'} & & K^{+}(\mathcal{I}) \ar[ld]^F \\ & D^{+}(\mathcal{B}) }\] où \(j'\) est le foncteur du lemme 05TK.
Démonstration
D’après le lemme 05TH, on a \(RF(K^\bullet) = F(j(K^\bullet))\).
Remarque
Dans la situation du lemme 05TN, nous voyons que nous avons en fait relevé le foncteur dérivé droit en un foncteur exact \(F \circ j' : D^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B})\). Il est parfois utile de recourir à une telle factorisation.
Catégorie dérivée filtrée et résolutions injectives
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Dans cette section, nous allons montrer que, si \(\mathcal{A}\) a assez d’injectifs, il en est de même en un certain sens de la catégorie \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Cette observation permet d’effectuer des calculs dans la catégorie dérivée filtrée de \(\mathcal{A}\).
La catégorie \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) est un exemple de catégorie exacte, voir Injectifs, remarque 05SF. Les morphismes stricts jouent un rôle particulier, voir Homologie, définition 0123 ; ce sont les morphismes \(f\) tels que \(\Coim(f) = \Im(f)\). Nous dirons qu’un complexe \(A \to B \to C\) dans \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) est exact si la suite \(\text{gr}(A) \to \text{gr}(B) \to \text{gr}(C)\) est exacte dans \(\mathcal{A}\). Il en résulte que \(A \to B\) et \(B \to C\) sont des morphismes stricts, voir Homologie, lemme 05QH.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Nous disons qu’un objet \(I\) de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) est injectif filtré si chaque \(\text{gr}^p(I)\) est un objet injectif de \(\mathcal{A}\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un objet \(I\) de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) est injectif filtré si et seulement s’il existe \(a \leq b\), des objets injectifs \(I_n\), \(a \leq n \leq b\), de \(\mathcal{A}\), et un isomorphisme \(I \cong \bigoplus_{a \leq n \leq b} I_n\) tels que \(F^pI = \bigoplus_{n \geq p} I_n\).
Démonstration
Cela résulte du fait que tout monomorphisme \(J \to M\) de \(\mathcal{A}\) est scindé lorsque \(J\) est injectif. Nous omettons les détails.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Tout monomorphisme strict \(u : I \to A\) de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\), où \(I\) est un objet injectif filtré, est un monomorphisme scindé.
Démonstration
Soit \(p\) le plus grand entier tel que \(F^pI \not = 0\). En particulier, \(\text{gr}^p(I) = F^pI\). Soit \(I'\) l’objet de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) dont l’objet sous-jacent de \(\mathcal{A}\) est \(F^pI\) et dont la filtration est donnée par \(F^nI' = 0\) pour \(n > p\) et \(F^nI' = I' = F^pI\) pour \(n \leq p\). Notons que \(I' \to I\) est aussi un monomorphisme strict. Le fait que \(u\) soit un monomorphisme strict implique que \(F^pI \to A/F^{p + 1}(A)\) est injectif, voir Homologie, lemme 0127. Choisissons une rétraction \(s : A/F^{p + 1}A \to F^pI\) dans \(\mathcal{A}\). Le morphisme induit \(s' : A \to I'\) est un morphisme strict d’objets filtrés qui scinde la composée \(I' \to I \to A\). Nous pouvons donc écrire \(A = I' \oplus \Ker(s')\) et \(I = I' \oplus \Ker(s'|_I)\). Notons que \(\Ker(s'|_I) \to \Ker(s')\) est un monomorphisme strict et que \(\Ker(s'|_I)\) est un objet injectif filtré. Par récurrence sur la longueur de la filtration de \(I\), l’application \(\Ker(s'|_I) \to \Ker(s')\) est un monomorphisme scindé. Cela conclut la preuve.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(u : A \to B\) un monomorphisme strict de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) et \(f : A \to I\) un morphisme de \(A\) vers un objet injectif filtré de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Alors il existe un morphisme \(g : B \to I\) tel que \(f = g \circ u\).
Démonstration
Le morphisme \(f' : I \to I \amalg_A B\) obtenu en poussant \(f\) le long de \(u\) est un monomorphisme strict, voir Homologie, lemme 05SM. Le résultat découle donc formellement du lemme 05TQ.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Pour tout objet \(A\) de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\), il existe un monomorphisme strict \(A \to I\), où \(I\) est un objet injectif filtré.
Démonstration
Choisissons \(a \leq b\) tels que \(\text{gr}^p(A) = 0\) sauf si \(p \in \{a, a + 1, \ldots, b\}\). Pour chaque \(n \in \{a, a + 1, \ldots, b\}\), choisissons un monomorphisme \(u_n : A/F^{n + 1}A \to I_n\), où \(I_n\) est un objet injectif. Posons \(I = \bigoplus_{a \leq n \leq b} I_n\), muni de la filtration \(F^pI = \bigoplus_{n \geq p} I_n\), et prenons pour \(u : A \to I\) la somme directe des applications \(u_n\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Pour tout objet \(A\) de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\), il existe un quasi-isomorphisme filtré \(A[0] \to I^\bullet\), où \(I^\bullet\) est un complexe d’objets injectifs filtrés tel que \(I^n = 0\) pour \(n < 0\).
Démonstration
Choisissons d’abord un monomorphisme strict \(u_0 : A \to I^0\) de \(A\) vers un objet injectif filtré, voir le lemme 05TS. Choisissons ensuite un monomorphisme strict \(u_1 : \Coker(u_0) \to I^1\) vers un objet injectif filtré de \(\mathcal{A}\). Notons \(d^0\) l’application induite \(I^0 \to I^1\). Choisissons ensuite un monomorphisme strict \(u_2 : \Coker(u_1) \to I^2\) vers un objet injectif filtré de \(\mathcal{A}\). Notons \(d^1\) l’application induite \(I^1 \to I^2\), et ainsi de suite. Cette construction fonctionne parce que chacune des suites \[0 \to \Coker(u_n) \to I^{n + 1} \to \Coker(u_{n + 1}) \to 0\] est exacte courte, c’est-à-dire qu’elle induit une suite exacte courte après application de \(\text{gr}\). Pour le voir, utiliser Homologie, lemme 0127.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Soit \(f : A \to B\) un morphisme de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Étant donné des quasi-isomorphismes filtrés \(A[0] \to I^\bullet\) et \(B[0] \to J^\bullet\), où \(I^\bullet, J^\bullet\) sont des complexes d’objets injectifs filtrés tels que \(I^n = J^n = 0\) pour \(n < 0\), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A[0] \ar[r] \ar[d] & B[0] \ar[d] \\ I^\bullet \ar[r] & J^\bullet }\]
Démonstration
Puisque \(A[0] \to I^\bullet\) et \(C[0] \to J^\bullet\) sont des quasi-isomorphismes filtrés, nous concluons que \(a : A \to I^0\), \(b : B \to J^0\) et tous les morphismes \(d_I^n\), \(d_J^n\) sont stricts, voir Homologie, lemme 05QH. Nous allons construire par récurrence les applications \(f^n\) du diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ A \ar[r]_a \ar[d]_f & I^0 \ar[r] \ar[d]^{f^0} & I^1 \ar[r] \ar[d]^{f^1} & I^2 \ar[r] \ar[d]^{f^2} & \ldots \\ B \ar[r]^b & J^0 \ar[r] & J^1 \ar[r] & J^2 \ar[r] & \ldots }\] Comme \(A \to I^0\) est un monomorphisme strict et que \(J^0\) est injectif filtré, nous pouvons trouver un morphisme \(f^0 : I^0 \to J^0\) tel que \(f^0 \circ a = b \circ f\), voir le lemme 05TR. La composée \(d_J^0 \circ b \circ f\) est nulle ; ainsi, \(d_J^0 \circ f^0 \circ a = 0\), et \(d_J^0 \circ f^0\) se factorise donc par un unique morphisme \[\Coker(a) = \Coim(d_I^0) = \Im(d_I^0) \longrightarrow J^1.\] Comme \(\Im(d_I^0) \to I^1\) est un monomorphisme strict, nous pouvons prolonger la flèche affichée en un morphisme \(f^1 : I^1 \to J^1\) en appliquant de nouveau le lemme 05TR, et ainsi de suite.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Soit \(0 \to A \to B \to C \to 0\) une suite exacte courte dans \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Étant donné des quasi-isomorphismes filtrés \(A[0] \to I^\bullet\) et \(C[0] \to J^\bullet\), où \(I^\bullet, J^\bullet\) sont des complexes d’objets injectifs filtrés tels que \(I^n = J^n = 0\) pour \(n < 0\), il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A[0] \ar[r] \ar[d] & B[0] \ar[r] \ar[d] & C[0] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I^\bullet \ar[r] & M^\bullet \ar[r] & J^\bullet \ar[r] & 0 }\] dont la ligne inférieure est une suite de complexes scindée terme à terme.
Démonstration
Puisque \(A[0] \to I^\bullet\) et \(C[0] \to J^\bullet\) sont des quasi-isomorphismes filtrés, nous concluons que \(a : A \to I^0\), \(c : C \to J^0\) et tous les morphismes \(d_I^n\), \(d_J^n\) sont stricts, voir Homologie, lemme 05S1. Nous allons construire pas à pas les flèches orientées vers le sud-est et vers le sud dans le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ B \ar[r]_\beta \ar[rd]^b & C \ar[r]_c \ar[rd]^{\overline{b}} & J^0 \ar[d]^{\delta^0} \ar[r] & J^1 \ar[d]^{\delta^1} \ar[r] & \ldots \\ A \ar[u]^\alpha \ar[r]^a & I^0 \ar[r] & I^1 \ar[r] & I^2 \ar[r] & \ldots }\] Comme \(A \to B\) est un monomorphisme strict, il existe un morphisme \(b : B \to I^0\) tel que \(b \circ \alpha = a\), voir le lemme 05TR. Comme \(A\) est le noyau du morphisme strict \(I^0 \to I^1\) et que \(\beta = \Coker(\alpha)\), nous obtenons un unique morphisme \(\overline{b} : C \to I^1\) s’insérant dans le diagramme. Comme \(c\) est un monomorphisme strict et que \(I^1\) est injectif filtré, il existe \(\delta^0 : J^0 \to I^1\), voir le lemme 05TR. Puisque \(B \to C\) est un épimorphisme strict et que \(B \to I^0 \to I^1 \to I^2\) est nul, nous voyons que \(C \to I^1 \to I^2\) est nul. Ainsi, \(d_I^1 \circ \delta^0\) est nul sur \(C \cong \Im(c)\). Par conséquent, \(d_I^1 \circ \delta^0\) se factorise par un unique morphisme \[\Coker(c) = \Coim(d_J^0) = \Im(d_J^0) \longrightarrow I^2.\] Comme \(I^2\) est injectif filtré et que \(\Im(d_J^0) \to J^1\) est un monomorphisme strict, nous pouvons prolonger le morphisme affiché en un morphisme \(\delta^1 : J^1 \to I^2\), voir le lemme 05TR, et ainsi de suite. Posons \(M^\bullet = I^\bullet \oplus J^\bullet\), muni de la différentielle \[d_M^n = \left( \begin{matrix} d_I^n & (-1)^{n + 1}\delta^n \\ 0 & d_J^n \end{matrix} \right)\] Enfin, l’application \(B[0] \to M^\bullet\) est donnée par \(b \oplus c \circ \beta : M \to I^0 \oplus J^0\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Pour tout \(K^\bullet \in K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\), il existe un quasi-isomorphisme filtré \(K^\bullet \to I^\bullet\) tel que \(I^\bullet\) soit borné inférieurement, que chaque \(I^n\) soit un objet injectif filtré et que chaque \(K^n \to I^n\) soit un monomorphisme strict.
Démonstration
Après avoir remplacé \(K^\bullet\) par un décalé, ce qui est sans conséquence pour la preuve, nous pouvons supposer que \(K^n = 0\) pour \(n < 0\). Considérons les suites exactes courtes \[\begin{matrix} 0 \to \Ker(d_K^0) \to K^0 \to \Coim(d_K^0) \to 0 \\ 0 \to \Ker(d_K^1) \to K^1 \to \Coim(d_K^1) \to 0 \\ 0 \to \Ker(d_K^2) \to K^2 \to \Coim(d_K^2) \to 0 \\ \ldots \end{matrix}\] de la catégorie exacte \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\), et les applications \(u_i : \Coim(d_K^i) \to \Ker(d_K^{i + 1})\). Pour chaque \(i \geq 0\), nous pouvons choisir des quasi-isomorphismes filtrés \[\begin{matrix} \Ker(d_K^i)[0] \to I_{ker, i}^\bullet \\ \Coim(d_K^i)[0] \to I_{coim, i}^\bullet \end{matrix}\] où \(I_{ker, i}^n, I_{coim, i}^n\) sont injectifs filtrés et nuls pour \(n < 0\), voir le lemme 05TT. D’après le lemme 05TU, nous pouvons relever \(u_i\) en un morphisme de complexes \(u_i^\bullet : I_{coim, i}^\bullet \to I_{ker, i + 1}^\bullet\). Enfin, pour chaque \(i \geq 0\), nous pouvons compléter les diagrammes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \Ker(d_K^i)[0] \ar[r] \ar[d] & K^i[0] \ar[r] \ar[d] & \Coim(d_K^i)[0] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & I_{ker, i}^\bullet \ar[r]^{\alpha_i} & I_i^\bullet \ar[r]^{\beta_i} & I_{coim, i}^\bullet \ar[r] & 0 }\] de sorte que la suite inférieure soit une suite exacte scindée terme à terme, voir le lemme 05TV. Pour \(i \geq 0\), posons \(d_i : I_i^\bullet \to I_{i + 1}^\bullet\) égal à \(d_i = \alpha_{i + 1} \circ u_i^\bullet \circ \beta_i\). Notons que \(d_i \circ d_{i - 1} = 0\), car \(\beta_i \circ \alpha_i = 0\). Nous avons donc construit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ I_0^\bullet \ar[r] & I_1^\bullet \ar[r] & I_2^\bullet \ar[r] & \ldots \\ K^0[0] \ar[r] \ar[u] & K^1[0] \ar[r] \ar[u] & K^2[0] \ar[r] \ar[u] & \ldots }\] Ici, les flèches verticales sont des quasi-isomorphismes filtrés. La ligne supérieure est un complexe de complexes, et chacun de ces complexes est formé d’objets injectifs filtrés sans objet non nul en degré \(< 0\). Nous obtenons donc un complexe double en posant \(I^{a, b} = I_a^b\), en prenant pour \[d_1^{a, b} : I^{a, b} = I_a^b \to I_{a + 1}^b = I^{a + 1, b}\] l’application \(d_a^b\), et pour \[d_2^{a, b} : I^{a, b} = I_a^b \to I_a^{b + 1} = I^{a, b + 1}\] l’application \(d_{I_a}^b\). Notons \(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\) le complexe total associé à ce complexe double, voir Homologie, définition 012Z. Remarquons que les applications \(K^n[0] \to I_n^\bullet\) proviennent d’applications \(K^n \to I^{n, 0}\) qui donnent une application de complexes \[K^\bullet \longrightarrow \text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\] Nous affirmons que c’est un quasi-isomorphisme filtré. Comme \(\text{gr}(-)\) est un foncteur additif, on a \(\text{gr}(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})) = \text{Tot}(\text{gr}(I^{\bullet, \bullet}))\). Nous pouvons donc utiliser Homologie, lemme 0133, pour conclure que \(\text{gr}(K^\bullet) \to \text{gr}(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet}))\) est un quasi-isomorphisme, comme voulu.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(K^\bullet, I^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\). Supposons que \(K^\bullet\) soit filtré acyclique et que \(I^\bullet\) soit borné inférieurement et formé d’objets injectifs filtrés. Tout morphisme \(K^\bullet \to I^\bullet\) est homotope à zéro : \(\Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(K^\bullet, I^\bullet) = 0\).
Démonstration
Soit \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) un morphisme de complexes. Supposons que \(\alpha^j = 0\) pour \(j < n\). Nous allons montrer qu’il existe un morphisme \(h : K^{n + 1} \to I^n\) tel que \(\alpha^n = h \circ d\). Ainsi, \(\alpha\) sera homotope au morphisme de complexes \(\beta\) défini par \[\beta^j = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & j \leq n \\ \alpha^{n + 1} - d \circ h & \text{si} & j = n + 1 \\ \alpha^j & \text{si} & j > n + 1 \end{matrix} \right.\] Cela prouvera clairement le lemme par récurrence. Pour montrer l’existence de \(h\), notons que \(\alpha^n \circ d_K^{n - 1} = 0\), puisque \(\alpha^{n - 1} = 0\). Comme \(K^\bullet\) est filtré acyclique, \(d_K^{n - 1}\) et \(d_K^n\) sont stricts, et \[0 \to \Im(d_K^{n - 1}) \to K^n \to \Im(d_K^n) \to 0\] est une suite exacte de la catégorie exacte \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\), voir Homologie, lemme 05QH. Nous pouvons donc considérer \(\alpha^n\) comme une application vers \(I^n\) définie sur \(\Im(d_K^n)\). Comme \(\Im(d_K^n) \to K^{n + 1}\) est un monomorphisme strict et que \(I^n\) est injectif filtré, nous pouvons prolonger cette application en une application \(h : K^{n + 1} \to I^n\), comme voulu, voir le lemme 05TR.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(I^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) un complexe borné inférieurement formé d’objets injectifs filtrés.
Soit \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) dans \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) un quasi-isomorphisme filtré. Alors l’application \[\Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(L^\bullet, I^\bullet) \to \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(K^\bullet, I^\bullet)\] est bijective.
Pour tout \(L^\bullet \in K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\), on a \[\Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(L^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{DF(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet).\]
Démonstration
Preuve de (1). Notons que \[(K^\bullet, L^\bullet, C(\alpha)^\bullet, \alpha, i, -p)\] est un triangle distingué dans \(K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) (lemme 014L) et que \(C(\alpha)^\bullet\) est un complexe filtré acyclique (lemme 05S1). Alors \[\xymatrix{ \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(C(\alpha)^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(L^\bullet, I^\bullet) \ar[r] & \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(K^\bullet, I^\bullet) \ar[lld] \\ \Hom_{K(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))}(C(\alpha)^\bullet[-1], I^\bullet) }\] est une suite exacte de groupes abéliens, voir le lemme 0149. Le lemme 05TX garantit alors que les deux groupes extérieurs sont nuls, et par conséquent \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(L^\bullet, I^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\).
Preuve de (2). Soit \(a\) un élément du membre de droite. Nous pouvons représenter \(a = \gamma\alpha^{-1}\), où \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) est un quasi-isomorphisme filtré et \(\gamma : K^\bullet \to I^\bullet\) est une application de complexes. D’après la partie (1), il existe un morphisme \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\) tel que \(\beta \circ \alpha\) soit homotope à \(\gamma\). Cela prouve la surjectivité de l’application. Soit \(b\) un élément du membre de gauche qui s’envoie sur zéro dans le membre de droite. Alors \(b\) est la classe d’homotopie d’un morphisme \(\beta : L^\bullet \to I^\bullet\) tel qu’il existe un quasi-isomorphisme filtré \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) pour lequel \(\beta \circ \alpha\) est homotope à zéro. La partie (1) montre alors que \(\beta\) est lui aussi homotope à zéro, c’est-à-dire que \(b = 0\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs. Notons \(\mathcal{I}^f \subset \text{Fil}^f(\mathcal{A})\) la sous-catégorie additive strictement pleine dont les objets sont les objets injectifs filtrés. Le foncteur canonique \[K^{+}(\mathcal{I}^f) \longrightarrow DF^{+}(\mathcal{A})\] est exact, pleinement fidèle et essentiellement surjectif, c’est-à-dire que c’est une équivalence de catégories triangulées. En outre, les diagrammes \[\xymatrix{ K^{+}(\mathcal{I}^f) \ar[d]_{\text{gr}^p} \ar[r] & DF^{+}(\mathcal{A}) \ar[d]_{\text{gr}^p} \\ K^{+}(\mathcal{I}) \ar[r] & D^{+}(\mathcal{A}) } \quad \xymatrix{ K^{+}(\mathcal{I}^f) \ar[d]^{\text{oubli de }F} \ar[r] & DF^{+}(\mathcal{A}) \ar[d]^{\text{oubli de }F} \\ K^{+}(\mathcal{I}) \ar[r] & D^{+}(\mathcal{A}) }\] sont commutatifs, où \(\mathcal{I} \subset \mathcal{A}\) est la sous-catégorie additive strictement pleine dont les objets sont les objets injectifs.
Démonstration
Le foncteur \(K^{+}(\mathcal{I}^f) \to DF^{+}(\mathcal{A})\) est essentiellement surjectif d’après le lemme 05TW. Il est pleinement fidèle d’après le lemme 05TY. Il est exact par nos définitions relatives aux triangles distingués. La commutativité des carrés est immédiate.
Remarque
Nous ne pouvons inverser la flèche du lemme que si \(\mathcal{A}\) est une catégorie au sens de nos conventions, c’est-à-dire si elle possède un ensemble d’objets. Supposons cependant donnée une grande catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) ayant assez d’injectifs, par exemple \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)\). Pour tout ensemble donné d’objets \(\{A_i\}_{i\in I}\), il existe alors une sous-catégorie abélienne \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) qui les contient tous et qui a assez d’injectifs, voir Ensembles, lemme 0010. Nous pouvons donc appliquer le lemme précédent à \(\mathcal{A}'\). Cela signifie essentiellement que, tant que nous utilisons une collection ensembliste de diagrammes, etc., l’application du lemme ne pose jamais de problème.
Soient \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche. (Nous ne pouvons pas noter ce foncteur \(F\), car cette lettre entre trop en conflit avec notre notation \(F\) pour les filtrations.) Notons que \(T\) induit un foncteur additif \[T : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to \text{Fil}^f(\mathcal{B})\] par la règle \(T(A, F) = (T(A), F)\), où \(F^pT(A) = T(F^pA)\) ; cette définition a un sens puisque \(T\) est exact à gauche. (Attention : il n’est pas nécessaire que \(\text{gr}(T(A)) = T(\text{gr}(A))\).) Cela induit des foncteurs de catégories triangulées [05TZ]\[\begin{equation} T : K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \longrightarrow K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{B})) \end{equation}\] Le foncteur dérivé droit filtré de \(T\) est le foncteur dérivé droit de la définition 05S9 appliqué au composé de ce foncteur exact avec le foncteur exact \(K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{B})) \to DF^{+}(\mathcal{B})\), relativement au système multiplicatif \(\text{FQis}^{+}(\mathcal{A})\). Supposons que \(\mathcal{A}\) ait assez d’injectifs. Nous pouvons alors reprendre la discussion de la section 0156 pour définir les foncteurs dérivés droits filtrés [015S]\[\begin{equation} RT : DF^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow DF^{+}(\mathcal{B}) \end{equation}\] de notre foncteur \(T\).
Nous suivrons toutefois plutôt la méthode de la section 05TM, et nous verrons qu’il est même possible de définir \(RT\) lorsque \(T\) est seulement additif. Choisissons d’abord un quasi-inverse \(j' : DF^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{I}^f)\) de l’équivalence du lemme 015Q. D’après le lemme 05SQ, \(j'\) est un foncteur exact de catégories triangulées. Notons ensuite que, pour tout objet injectif filtré \(I\), il existe une décomposition non canonique [015T]\[\begin{equation} I \cong \bigoplus\nolimits_{p \in \mathbf{Z}} I_p, \quad\text{avec}\quad F^pI = \bigoplus\nolimits_{q \geq p} I_q \end{equation}\] d’après le lemme 05TP. Par conséquent, si \(T\) est un foncteur additif quelconque \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\), nous obtenons un foncteur additif [05U0]\[\begin{equation} T_{ext} : \mathcal{I}^f \to \text{Fil}^f(\mathcal{B}) \end{equation}\] en posant \(T_{ext}(I) = \bigoplus T(I_p)\), avec \(F^pT_{ext}(I) = \bigoplus_{q \geq p} T(I_q)\). Par construction, nous avons la propriété \(\text{gr}(T_{ext}(I)) = T(\text{gr}(I))\). Nous obtenons donc un foncteur [05U1]\[\begin{equation} T_{ext} : K^{+}(\mathcal{I}^f) \to K^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{B})) \end{equation}\] qui commute à \(\text{gr}\). Nous définissons alors le foncteur de (015S) par la composée [05U2]\[\begin{equation} RT = T_{ext} \circ j'. \end{equation}\] Comme le foncteur dérivé ordinaire \(RT : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) se calcule lui aussi au moyen de résolutions injectives, voir le lemme 05TH, la commutation de \(T\) à \(\text{gr}\) et les diagrammes commutatifs du lemme 015Q impliquent que [015U]\[\begin{equation} \text{gr}^p \circ RT \cong RT \circ \text{gr}^p \end{equation}\] et [015V]\[\begin{equation} (\text{oubli de }F) \circ RT \cong RT \circ (\text{oubli de }F) \end{equation}\] comme foncteurs \(DF^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\).
Le foncteur dérivé filtré \(RT\) (015S) induit des foncteurs \[\begin{matrix} RT : \text{Fil}^f(\mathcal{A}) \to DF^{+}(\mathcal{B}), \\ RT : \text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A})) \to DF^{+}(\mathcal{B}), \\ RT : KF^{+}(\mathcal{A}) \to DF^{+}(\mathcal{B}). \end{matrix}\] Comme \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) et \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\) ne sont plus abéliennes, cela n’a pas de sens d’affirmer que la restriction de \(RT\) à ces catégories est un \(\delta\)-foncteur. (On peut y remédier en considérant ces catégories comme des catégories exactes et en formulant la notion de \(\delta\)-foncteur d’une catégorie exacte vers une catégorie triangulée.) En revanche, il est pertinent d’affirmer, et il résulte de la construction, que \(RT\) est un foncteur exact sur la catégorie triangulée \(KF^{+}(\mathcal{A})\).
Lemme
Soient \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soit \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche. Supposons que \(\mathcal{A}\) ait assez d’injectifs. Soit \((K^\bullet, F)\) un objet de \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\). Il existe une suite spectrale \((E_r, d_r)_{r\geq 0}\) formée d’objets bigradués \(E_r\) de \(\mathcal{B}\), où \(d_r\) est de bidegré \((r, - r + 1)\), et telle que \[E_1^{p, q} = R^{p + q}T(\text{gr}^p(K^\bullet))\] De plus, cette suite spectrale est bornée, converge vers \(R^*T(K^\bullet)\) et induit une filtration finie sur chaque \(R^nT(K^\bullet)\). La construction de cette suite spectrale est fonctorielle en l’objet \(K^\bullet\) de \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\), et les termes \((E_r, d_r)\) pour \(r \geq 1\) ne dépendent d’aucun choix.
Démonstration
Choisissons un quasi-isomorphisme filtré \(K^\bullet \to I^\bullet\), où \(I^\bullet\) est un complexe borné inférieurement d’objets injectifs filtrés, voir le lemme 05TW. Considérons le complexe \(RT(K^\bullet) = T_{ext}(I^\bullet)\), voir (05U2). Nous pouvons donc considérer la suite spectrale \((E_r, d_r)_{r \geq 0}\) associée à ce complexe filtré de \(\mathcal{B}\), voir Homologie, section 012K. D’après Homologie, lemme 012M, nous avons \(E_1^{p, q} = H^{p + q}(\text{gr}^p(T(I^\bullet)))\). D’après l’équation (015T), nous avons \(E_1^{p, q} = H^{p + q}(T(\text{gr}^p(I^\bullet)))\), et, par définition d’une résolution injective filtrée, l’application \(\text{gr}^p(K^\bullet) \to \text{gr}^p(I^\bullet)\) est une résolution injective. Par conséquent, \(E_1^{p, q} = R^{p + q}T(\text{gr}^p(K^\bullet))\).
D’autre part, chaque \(I^n\) possède une filtration finie, et il en est donc de même de chaque \(T(I^n)\). Nous pouvons ainsi appliquer Homologie, lemme 012W, pour conclure que la suite spectrale est bornée, converge vers \(H^n(T(I^\bullet)) = R^nT(K^\bullet)\) et induit en outre des filtrations finies sur chacun des termes.
Supposons que \(K^\bullet \to L^\bullet\) soit un morphisme de \(\text{Comp}^{+}(\text{Fil}^f(\mathcal{A}))\). Choisissons un quasi-isomorphisme filtré \(L^\bullet \to J^\bullet\), où \(J^\bullet\) est un complexe borné inférieurement d’objets injectifs filtrés, voir le lemme 05TW. D’après les résultats précédents, par exemple le lemme 05TY, il existe un diagramme \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] \ar[d] & L^\bullet \ar[d] \\ I^\bullet \ar[r] & J^\bullet }\] commutatif à homotopie près. Nous obtenons ainsi un morphisme de complexes filtrés \(T(I^\bullet) \to T(J^\bullet)\) qui donne le morphisme de suites spectrales, voir Homologie, lemme 012O. La dernière assertion en résulte.
Remarque
Comme annoncé dans la remarque 015K, examinons le lien entre le lemme précédent et les constructions utilisant les résolutions de Cartan–Eilenberg. Soit donc \(T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche entre catégories abéliennes ; supposons que \(\mathcal{A}\) ait assez d’injectifs, et soit \(K^\bullet\) un complexe borné inférieurement de \(\mathcal{A}\). Nous donnons une autre construction des suites spectrales \({}'E\) et \({}''E\) du lemme 015J.
Première suite spectrale. Considérons sur \(K^\bullet\) la filtration « bête » définie par \(F^p(K^\bullet) = \sigma_{\geq p}(K^\bullet)\), voir Homologie, section 0118. Cette filtration est bête au sens où \(d(F^p(K^\bullet)) \subset F^{p + 1}(K^\bullet)\), comparer Homologie, lemme 012N. Pour cette filtration, \(\text{gr}^p(K^\bullet) = K^p[-p]\). D’après le lemme 015W, il existe une suite spectrale dont le terme \(E_1\) est \[E_1^{p, q} = R^{p + q}T(K^p[-p]) = R^qT(K^p)\] comme dans la suite spectrale \({}'E_r\). Notons en outre que les différentielles \(E_1^{p, q} \to E_1^{p + 1, q}\) coïncident avec celles de \('{}E_1\), voir Homologie, lemme 012N, partie (2), et la description de \({}'d_1\) dans la preuve du lemme 015J.
Seconde suite spectrale. Considérons sur le complexe \(K^\bullet\) la filtration définie par \(F^p(K^\bullet) = \tau_{\leq -p}(K^\bullet)\), voir Homologie, section 0118. Le signe moins est nécessaire pour obtenir une filtration décroissante. Pour cette filtration, \(\text{gr}^p(K^\bullet)\) est quasi-isomorphe à \(H^{-p}(K^\bullet)[p]\). D’après le lemme 015W, il existe une suite spectrale dont le terme \(E_1\) est \[E_1^{p, q} = R^{p + q}T(H^{-p}(K^\bullet)[p]) = R^{2p + q}T(H^{-p}(K^\bullet)) = {}''E_2^{i, j}\] avec \(i = 2p + q\) et \(j = -p\). (Cette expression paraît peu naturelle, mais nous aurions tout aussi bien pu développer toute la théorie des complexes filtrés avec des filtrations croissantes ; le résultat aurait alors paru naturel ici, mais pas pour l’autre suite.) Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que les différentielles coïncident.
En fait, étant donnée une résolution de Cartan–Eilenberg \(K^\bullet \to I^{\bullet, \bullet}\), le morphisme induit \(K^\bullet \to \text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\) vers le complexe total associé est une résolution injective filtrée pour chacune des deux filtrations, si l’on munit \(\text{Tot}(I^{\bullet, \bullet})\) d’une filtration appropriée. On peut s’en servir pour identifier exactement les suites spectrales.
Groupes d’extensions
Dans cette section, nous commençons à décrire les groupes d’extensions des objets d’une catégorie abélienne. Nous avons d’abord la définition très générale suivante.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(i \in \mathbf{Z}\). Soient \(X, Y\) des objets de \(D(\mathcal{A})\). Le \(i\)-ième groupe d’extensions de \(X\) par \(Y\) est le groupe \[\Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(X, Y[i]) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(X[-i], Y).\] Si \(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\), nous posons \(\Ext^i_\mathcal{A}(A, B) = \text{Ext}^i_\mathcal{A}(A[0], B[0])\).
Comme \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(X, -)\), respectivement \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(-, Y)\), est un foncteur homologique, respectivement cohomologique, voir le lemme 0149, un triangle distingué \((Y, Y', Y'')\), respectivement \((X, X', X'')\), donne lieu à une suite exacte longue \[\ldots \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y') \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y'') \to \Ext^{i + 1}_\mathcal{A}(X, Y) \to \ldots\] respectivement \[\ldots \to \Ext^i_\mathcal{A}(X'', Y) \to \Ext^i_\mathcal{A}(X', Y) \to \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) \to \Ext^{i + 1}_\mathcal{A}(X'', Y) \to \ldots\] Notons que, puisque \(D^+(\mathcal{A})\), \(D^-(\mathcal{A})\) et \(D^b(\mathcal{A})\) sont des sous-catégories pleines, nous pouvons calculer les groupes d’extensions comme des groupes de morphismes dans ces catégories, pourvu que \(X\) et \(Y\) y appartiennent.
Lorsque la catégorie \(\mathcal{A}\) a assez d’injectifs ou assez de projectifs, nous pouvons calculer les groupes d’extensions au moyen de résolutions injectives ou projectives. Pour éviter toute confusion, rappelons que l’existence d’une résolution injective, respectivement projective, implique l’annulation de l’homologie en tout degré suffisamment petit, respectivement suffisamment grand, voir les lemmes 013J et 0645.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(X^\bullet, Y^\bullet \in \Ob(K(\mathcal{A}))\).
Soit \(Y^\bullet \to I^\bullet\) une résolution injective (définition 013I). Alors \[\Ext^i_\mathcal{A}(X^\bullet, Y^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(X^\bullet, I^\bullet[i]).\]
Soit \(P^\bullet \to X^\bullet\) une résolution projective (définition 0644). Alors \[\Ext^i_\mathcal{A}(X^\bullet, Y^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{A})}(P^\bullet[-i], Y^\bullet).\]
Démonstration
Dans la suite de cette section, nous étudions les extensions d’objets de la catégorie abélienne elle-même. Commençons par l’observation suivante.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne.
Soient \(X\), \(Y\) des objets de \(D(\mathcal{A})\). Étant donné \(a, b \in \mathbf{Z}\) tels que \(H^i(X) = 0\) pour \(i > a\) et \(H^j(Y) = 0\) pour \(j < b\), on a \(\Ext^n_\mathcal{A}(X, Y) = 0\) pour \(n < b - a\) et \[\Ext^{b - a}_\mathcal{A}(X, Y) = \Hom_\mathcal{A}(H^a(X), H^b(Y))\]
Soient \(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\). Pour \(i < 0\), on a \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A) = 0\). On a \(\Ext^0_\mathcal{A}(B, A) = \Hom_\mathcal{A}(B, A)\).
Démonstration
Choisissons des complexes \(X^\bullet\) et \(Y^\bullet\) représentant \(X\) et \(Y\). Comme \(Y^\bullet \to \tau_{\geq b}Y^\bullet\) est un quasi-isomorphisme, nous pouvons supposer que \(Y^j = 0\) pour \(j < b\). Soit \(L^\bullet \to X^\bullet\) un quasi-isomorphisme quelconque. Alors \(\tau_{\leq a}L^\bullet \to X^\bullet\) est un quasi-isomorphisme. Un morphisme \(X \to Y[n]\) dans \(D(\mathcal{A})\) peut donc se représenter sous la forme \(fs^{-1}\), où \(s : L^\bullet \to X^\bullet\) est un quasi-isomorphisme, \(f : L^\bullet \to Y^\bullet[n]\) un morphisme, et \(L^i = 0\) pour \(i < a\). Notons que \(f\) envoie \(L^i\) dans \(Y^{i + n}\). Ainsi, \(f = 0\) si \(n < b - a\), car l’un au moins de \(L^i\) et de \(Y^{i + n}\) est toujours nul. Si \(n = b - a\), alors \(f\) correspond exactement à un morphisme \(H^a(X) \to H^b(Y)\). La partie (2) est un cas particulier de (1).
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(0 \to A \to A' \to A'' \to 0\) soit une suite exacte courte d’objets de \(\mathcal{A}\). Alors \(0 \to A[0] \to A'[0] \to A''[0] \to 0\) donne lieu à un triangle distingué dans \(D(\mathcal{A})\) (voir le lemme 0152), donc à une suite exacte longue de groupes d’extensions \[0 \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A) \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A') \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A'') \to \Ext^1_\mathcal{A}(B, A) \to \ldots\] De même, étant donnée une suite exacte courte \(0 \to B \to B' \to B'' \to 0\), nous obtenons une suite exacte longue de groupes d’extensions \[0 \to \Ext^0_\mathcal{A}(B'', A) \to \Ext^0_\mathcal{A}(B', A) \to \Ext^0_\mathcal{A}(B, A) \to \Ext^1_\mathcal{A}(B'', A) \to \ldots\] Nous pouvons voir ces groupes d’extensions comme une application de la construction de la catégorie dérivée. Cette construction montre que l’on peut définir les groupes d’extensions et construire leur suite exacte longue sans supposer l’existence d’assez d’injectifs ou de projectifs. Une autre construction des groupes d’extensions, due à Yoneda, évite le recours à la catégorie dérivée, voir [Yoneda].
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(A, B \in \Ob(\mathcal{A})\). Pour \(i \geq 1\), une extension de Yoneda de degré \(i\) de \(B\) par \(A\) est une suite exacte \[E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] dans \(\mathcal{A}\). Nous disons que deux extensions de Yoneda \(E\) et \(E'\) de même degré sont équivalentes s’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] & Z_{i - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & Z_0 \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[u]^{\text{id}} \ar[d]_{\text{id}} & Z''_{i - 1} \ar[r] \ar[u] \ar[d] & \ldots \ar[r] & Z''_0 \ar[r] \ar[u] \ar[d] & B \ar[r] \ar[u]_{\text{id}} \ar[d]^{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & Z'_{i - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & Z'_0 \ar[r] & B \ar[r] & 0 }\] où la ligne du milieu est elle aussi une extension de Yoneda.
Il n’est pas immédiat que l’équivalence de la définition soit une relation d’équivalence. Il est instructif de le prouver directement, mais cela résultera aussi du lemme 06XU ci-dessous.
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne possédant des objets \(A\), \(B\). Étant donnée une extension de Yoneda \(E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\), nous définissons un élément associé \(\delta(E) \in \Ext^i_\mathcal{A}(B, A)\) comme le morphisme \(\delta(E) = fs^{-1} : B[0] \to A[i]\), où \(s\) est le quasi-isomorphisme \[(\ldots \to 0 \to A \to Z_{i - 1} \to \ldots \to Z_0 \to 0 \to \ldots) \longrightarrow B[0]\] et \(f\) le morphisme de complexes \[(\ldots \to 0 \to A \to Z_{i - 1} \to \ldots \to Z_0 \to 0 \to \ldots) \longrightarrow A[i]\] Nous appelons \(\delta(E) = fs^{-1}\) la classe de l’extension de Yoneda. Cette classe caractérise en fait la classe d’équivalence de l’extension de Yoneda.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne possédant des objets \(A\), \(B\), et soit \(i \geq 1\). Tout élément de \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A)\) est de la forme \(\delta(E)\) pour une extension de Yoneda de degré \(i\) de \(B\) par \(A\). Étant donné deux extensions de Yoneda \(E\), \(E'\) de même degré, \(E\) est équivalente à \(E'\) si et seulement si \(\delta(E) = \delta(E')\).
Démonstration
Soit \(\xi : B[0] \to A[i]\) un élément de \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A)\). Nous pouvons écrire \(\xi = f s^{-1}\) pour un quasi-isomorphisme \(s : L^\bullet \to B[0]\) et un morphisme \(f : L^\bullet \to A[i]\). Après avoir remplacé \(L^\bullet\) par \(\tau_{\leq 0}L^\bullet\), nous pouvons supposer que \(L^j = 0\) pour \(j > 0\). Représentons la situation par le diagramme \[\xymatrix{ L^{- i - 1} \ar[r] & L^{-i} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & L^0 \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ & A }\] En posant alors \(Z_{i - 1} = (L^{- i + 1} \oplus A)/L^{-i}\) et \(Z_j = L^{-j}\) pour \(j = i - 2, \ldots, 0\), nous obtenons une extension de degré \(i\), notée \(E\), de \(B\) par \(A\), dont la classe \(\delta(E)\) est égale à \(\xi\).
Il résulte immédiatement des définitions que deux extensions de Yoneda équivalentes ont la même classe. Supposons que \(E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\) et \(E' : 0 \to A \to Z'_{i - 1} \to Z'_{i - 2} \to \ldots \to Z'_0 \to B \to 0\) soient des extensions de Yoneda de même classe. Par construction de \(D(\mathcal{A})\) comme localisation de \(K(\mathcal{A})\) par rapport à l’ensemble des quasi-isomorphismes, cela signifie qu’il existe un complexe \(L^\bullet\) et des quasi-isomorphismes \[t : L^\bullet \to (\ldots \to 0 \to A \to Z_{i - 1} \to \ldots \to Z_0 \to 0 \to \ldots)\] et \[t' : L^\bullet \to (\ldots \to 0 \to A \to Z'_{i - 1} \to \ldots \to Z'_0 \to 0 \to \ldots)\] tels que \(s \circ t = s' \circ t'\) et \(f \circ t = f' \circ t'\); voir Catégories, section 04VB. Soit \(E''\) l’extension de degré \(i\) de \(B\) par \(A\) construite à partir de la paire \(L^\bullet \to B[0]\) et \(L^\bullet \to A[i]\) dans le premier paragraphe de la preuve. Le lecteur constate alors aisément qu’il existe des « morphismes » d’extensions de Yoneda de degré \(i\), \(E'' \to E\) et \(E'' \to E'\), comme dans la définition de l’équivalence des extensions de Yoneda (détails omis). Cela achève la preuve.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(A\), \(B\) des objets de \(\mathcal{A}\). Alors \(\Ext^1_\mathcal{A}(B, A)\) est le groupe \(\Ext_\mathcal{A}(B, A)\) construit dans Homologie, Définition 010K.
Démonstration
C’est le cas \(i = 1\) du Lemme 06XU.
Étant donnés une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\) et des objets \(X, Y, Z\) de \(D(\mathcal{A})\), il existe des lois de composition bilinéaires et associatives \[\Ext^j_\mathcal{A}(Y, Z) \times \Ext^i_\mathcal{A}(X, Y) \longrightarrow \Ext^{i + j}_\mathcal{A}(X, Z),\quad (\eta, \xi) \longmapsto \eta \circ \xi\] En effet, si \(\xi : X \to Y[i]\) et \(\eta : Y \to Z[j]\), nous définissons \(\eta \circ \xi\) comme la composée de \(\xi\) avec \(\eta[i] : Y[i] \to Z[i + j]\). Si \(A, B, C\) sont des objets de \(\mathcal{A}\) et \(i, j \geq 1\), cette loi de composition \[\Ext^j_\mathcal{A}(B, C) \times \Ext^i_\mathcal{A}(A, B) \longrightarrow \Ext^{i + j}_\mathcal{A}(A, C)\] se décrit à l’aide d’extensions de Yoneda comme suit : la composée de \[0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] et de \[0 \to B \to Z'_{j - 1} \to Z'_{j - 2} \to \ldots \to Z'_0 \to C \to 0\] est l’extension de Yoneda \[0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to Z'_{j - 1} \to Z'_{j - 2} \to \ldots \to Z'_0 \to C \to 0\]
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(0 \to A \to Z \to B \to 0\) et \(0 \to B \to Z' \to C \to 0\) des suites exactes courtes dans \(\mathcal{A}\). Notons \([Z] \in \Ext^1_\mathcal{A}(B, A)\) et \([Z'] \in \Ext^1_\mathcal{A}(C, B)\) leurs classes. Alors \([Z] \circ [Z'] \in \Ext^2_\mathcal{A}(C, A)\) est égal à \(0\) si et seulement s’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d]^1 & Z \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & W \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ & & C \ar[r]^1 \ar[d]& C \ar[d]\\ & & 0 & 0 }\] dont les lignes et les colonnes sont exactes dans \(\mathcal{A}\).
Démonstration
Omis. Indications : on peut raisonner à l’aide du résultat du Lemme 06XU et expliciter ce que signifie la nullité d’une classe de \(2\)-extension. On peut aussi remarquer que, si \([Z] \circ [Z'] \in \Ext^2_\mathcal{A}(C, A)\) est nul, alors la suite exacte longue de cohomologie de \(\Ext\) montre que l’élément \([Z] \in \Ext^1_\mathcal{A}(B, A)\) est l’image d’un élément de \(\Ext^1_\mathcal{A}(Z', A)\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne et soit \(p \geq 0\). Si \(\Ext^p_\mathcal{A}(B, A) = 0\) pour toute paire d’objets \(A\), \(B\) de \(\mathcal{A}\), alors \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A) = 0\) pour \(i \geq p\) et toute paire d’objets \(A\), \(B\) de \(\mathcal{A}\).
Démonstration
Pour \(i > p\), écrivons toute classe \(\xi\) sous la forme \(\delta(E)\), où \(E\) est une extension de Yoneda \[E : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] C’est possible d’après le Lemme 06XU. Posons \(C = \Ker(Z_{p - 1} \to Z_{p - 2}) = \Im(Z_p \to Z_{p - 1})\). Alors \(\delta(E)\) est la composée de \(\delta(E')\) et de \(\delta(E'')\), où \[E' : 0 \to C \to Z_{p - 1} \to \ldots \to Z_0 \to B \to 0\] et \[E'' : 0 \to A \to Z_{i - 1} \to Z_{i - 2} \to \ldots \to Z_p \to C \to 0\] Comme \(\delta(E') \in \Ext^p_\mathcal{A}(B, C) = 0\), nous concluons.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K\) un objet de \(D^b(\mathcal{A})\) tel que \(\Ext^p_\mathcal{A}(H^i(K), H^j(K)) = 0\) pour tous \(p \geq 2\) et \(i > j\). Alors \(K\) est isomorphe à la somme directe de ses cohomologies : \(K \cong \bigoplus H^i(K)[-i]\).
Démonstration
Choisissons \(a, b\) tels que \(H^i(K) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\). Nous allons démontrer le lemme par récurrence sur \(b - a\). Si \(b - a \leq 0\), le résultat est clair. Si \(b - a > 0\), considérons le triangle distingué de troncations \[\tau_{\leq b - 1}K \to K \to H^b(K)[-b] \to (\tau_{\leq b - 1}K)[1]\] voir Remarque 08J5. D’après le Lemme 05QT, si la dernière flèche est nulle, alors \(K \cong \tau_{\leq b - 1}K \oplus H^b(K)[-b]\), et nous concluons par récurrence. En utilisant encore l’hypothèse de récurrence, nous obtenons \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(H^b(K)[-b], (\tau_{\leq b - 1}K)[1]) = \bigoplus\nolimits_{i < b} \Ext_\mathcal{A}^{b - i + 1}(H^b(K), H^i(K))\] Par hypothèse, cette somme directe est nulle, ce qui achève la preuve.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\Ext^2_\mathcal{A}(B, A) = 0\) pour toute paire d’objets \(A\), \(B\) de \(\mathcal{A}\). Alors tout objet \(K\) de \(D^b(\mathcal{A})\) est isomorphe à la somme directe de ses cohomologies : \(K \cong \bigoplus H^i(K)[-i]\).
Démonstration
L’hypothèse implique que \(\Ext^i_\mathcal{A}(B, A) = 0\) pour \(i \geq 2\) et toute paire d’objets \(A, B\) de \(\mathcal{A}\), d’après le Lemme 0EWW. Le présent lemme est donc un cas particulier du Lemme 0GM4.
Groupes de K-théorie
Quelques mots sur \(K_0\) d’une catégorie triangulée.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Nous notons \(K_0(\mathcal{D})\) le groupe de \(K\)-théorie d’indice zéro de \(\mathcal{D}\). C’est le groupe abélien construit comme suit. On prend le groupe abélien libre sur les objets de \(\mathcal{D}\) et, pour tout triangle distingué \(X \to Y \to Z\), on impose la relation \([Y] - [X] - [Z] = 0\).
Remarquons que cela entraîne \([X[n]] = (-1)^n[X]\), puisque nous avons le triangle distingué \((X, 0, X[1], 0, 0, -\text{id}[1])\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Il existe alors une identification canonique \(K_0(D^b(\mathcal{A})) = K_0(\mathcal{A})\) des groupes de \(K\)-théorie d’indice zéro.
Démonstration
Étant donné un objet \(A\) de \(\mathcal{A}\), notons \(A[0]\) l’objet \(A\) considéré comme un complexe concentré en degré \(0\). Si \(0 \to A \to A' \to A'' \to 0\) est une suite exacte courte, nous obtenons un triangle distingué \(A[0] \to A'[0] \to A''[0] \to A[1]\); voir section 014Z. Cela montre que nous obtenons une application \(K_0(\mathcal{A}) \to K_0(D^b(\mathcal{A}))\) envoyant \([A]\) sur \([A[0]]\), en priant le lecteur d’excuser cette notation épouvantable.
D’autre part, étant donné un objet \(X\) de \(D^b(\mathcal{A})\), nous pouvons considérer l’élément \[c(X) = \sum (-1)^i[H^i(X)] \in K_0(\mathcal{A})\] Étant donné un triangle distingué \(X \to Y \to Z\), la suite exacte longue de cohomologie (05ST) et les relations dans \(K_0(\mathcal{A})\) montrent que \(c(Y) = c(X) + c(Z)\). Ainsi, \(c\) se factorise en une application \(c : K_0(D^b(\mathcal{A})) \to K_0(\mathcal{A})\).
Nous voulons montrer que les deux applications ci-dessus sont inverses l’une de l’autre. Il est clair que la composée \(K_0(\mathcal{A}) \to K_0(D^b(\mathcal{A})) \to K_0(\mathcal{A})\) est l’identité. Supposons que \(X^\bullet\) soit un complexe borné de \(\mathcal{A}\). L’existence des triangles distingués associés aux « troncations bêtes » (voir Homologie, section 0118) \[\sigma_{\geq n}X^\bullet \to \sigma_{\geq n - 1}X^\bullet \to X^{n - 1}[-n + 1] \to (\sigma_{\geq n}X^\bullet)[1]\] et une récurrence montrent que \[[X^\bullet] = \sum (-1)^i[X^i[0]]\] dans \(K_0(D^b(\mathcal{A}))\) (en priant à nouveau le lecteur d’excuser la notation). Il s’ensuit que l’application \(K_0(\mathcal{A}) \to K_0(D^b(\mathcal{A}))\) est surjective, ce qui achève la preuve.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact entre catégories triangulées. Alors \(F\) induit un homomorphisme de groupes \(K_0(\mathcal{D}) \to K_0(\mathcal{D}')\).
Démonstration
Omis.
Lemme
Soit \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique d’une catégorie triangulée vers une catégorie abélienne. Supposons que, pour tout \(X\) dans \(\mathcal{D}\), seul un nombre fini des objets \(H(X[i])\) soient non nuls dans \(\mathcal{A}\). Alors \(H\) induit un homomorphisme de groupes \(K_0(\mathcal{D}) \to K_0(\mathcal{A})\) envoyant \([X]\) sur \(\sum (-1)^i[H(X[i])]\).
Démonstration
Omis.
Lemme
Soit \(\mathcal{B}\) une sous-catégorie de Serre faible de la catégorie abélienne \(\mathcal{A}\). Il existe un isomorphisme canonique \[K_0(\mathcal{B}) \longrightarrow K_0(D^b_\mathcal{B}(\mathcal{A})),\quad [B] \longmapsto [B[0]]\] L’isomorphisme inverse envoie la classe \([X]\) de \(X\) sur l’élément \(\sum (-1)^i[H^i(X)]\).
Démonstration
Nous omettons la vérification que la règle donnée pour l’inverse définit bien une application \(K_0(D^b_\mathcal{B}(\mathcal{A})) \to K_0(\mathcal{B})\). Il est immédiat que la composée \(K_0(\mathcal{B}) \to K_0(D^b_\mathcal{B}(\mathcal{A})) \to K_0(\mathcal{B})\) est l’identité. D’autre part, en utilisant les triangles distingués de la Remarque 08J5 et un raisonnement par récurrence, le lecteur peut montrer que la flèche affichée dans l’énoncé du lemme est surjective (détails omis). Le lemme en résulte.
Lemme
Soient \(\mathcal{D}\), \(\mathcal{D}'\), \(\mathcal{D}''\) des catégories triangulées. Soit \[\otimes : \mathcal{D} \times \mathcal{D}' \longrightarrow \mathcal{D}''\] un foncteur tel que, pour \(X\) fixé dans \(\mathcal{D}\), le foncteur \(X \otimes - : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}''\) soit exact et que, pour \(X'\) fixé dans \(\mathcal{D}'\), le foncteur \(- \otimes X' : \mathcal{D} \to \mathcal{D}''\) soit exact. Alors \(\otimes\) induit une application bilinéaire \(K_0(\mathcal{D}) \times K_0(\mathcal{D}') \to K_0(\mathcal{D}'')\) qui envoie \(([X], [X'])\) sur \([X \otimes X']\).
Démonstration
Omis.
Complexes non bornés
La référence pour les résultats de cette section est [Spaltenstein]. Le lemme suivant est utile pour trouver de « bonnes » résolutions à gauche de complexes non bornés.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{A})\) un sous-ensemble. Supposons que \(\mathcal{P}\) contienne \(0\), soit stable par sommes directes (finies), et que tout objet de \(\mathcal{A}\) soit un quotient d’un élément de \(\mathcal{P}\). Soit \(K^\bullet\) un complexe. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ P_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & P_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}K^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}K^\bullet \ar[r] & \ldots }\] dans la catégorie des complexes, tel que
les flèches verticales soient des quasi-isomorphismes surjectifs terme à terme,
\(P_n^\bullet\) soit un complexe borné à droite dont les termes appartiennent à \(\mathcal{P}\),
les flèches \(P_n^\bullet \to P_{n + 1}^\bullet\) soient des injections scindées terme à terme et chaque conoyau \(P^i_{n + 1}/P^i_n\) soit un élément de \(\mathcal{P}\).
Démonstration
Nous allons utiliser le fait que la catégorie homotopique \(K(\mathcal{A})\) est une catégorie triangulée; voir Proposition 014S. D’après le Lemme 05T7, nous pouvons trouver un morphisme de complexes \(P_1^\bullet \to \tau_{\leq 1}K^\bullet\), surjectif terme à terme et qui soit un quasi-isomorphisme, tel que les termes de \(P_1^\bullet\) appartiennent à \(\mathcal{P}\). Par récurrence, il suffit, étant donnés \(P_1^\bullet, \ldots, P_n^\bullet\), de construire \(P_{n + 1}^\bullet\) et les morphismes \(P_n^\bullet \to P_{n + 1}^\bullet\) et \(P_{n + 1}^\bullet \to \tau_{\leq n + 1}K^\bullet\).
Choisissons un triangle distingué \(P_n^\bullet \to \tau_{\leq n + 1}K^\bullet \to C^\bullet \to P_n^\bullet[1]\) dans \(K(\mathcal{A})\). En appliquant le Lemme 05T7, choisissons un morphisme de complexes \(Q^\bullet \to C^\bullet\) qui soit un quasi-isomorphisme et tel que les termes de \(Q^\bullet\) appartiennent à \(\mathcal{P}\). D’après les axiomes des catégories triangulées, nous pouvons insérer la composée \(Q^\bullet \to C^\bullet \to P_n^\bullet[1]\) dans un triangle distingué \(P_n^\bullet \to P_{n + 1}^\bullet \to Q^\bullet \to P_n^\bullet[1]\) de \(K(\mathcal{A})\). D’après le Lemme 0G6C, nous pouvons supposer, et nous supposerons, que \(0 \to P_n^\bullet \to P_{n + 1}^\bullet \to Q^\bullet \to 0\) est une suite exacte courte scindée terme à terme. Il en résulte que les termes de \(P_{n + 1}^\bullet\) appartiennent à \(\mathcal{P}\) et que \(P_n^\bullet \to P_{n + 1}^\bullet\) est une injection scindée terme à terme dont les conoyaux appartiennent à \(\mathcal{P}\). Les axiomes des catégories triangulées fournissent un morphisme de triangles distingués \[\xymatrix{ P_n^\bullet \ar[r] \ar[d] & P_{n + 1}^\bullet \ar[r] \ar[d] & Q^\bullet \ar[r] \ar[d] & P_n^\bullet[1] \ar[d] \\ P_n^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq n + 1}K^\bullet \ar[r] & C^\bullet \ar[r] & P_n^\bullet[1] }\] dans la catégorie triangulée \(K(\mathcal{A})\). Choisissons un véritable morphisme de complexes \(f : P_{n + 1}^\bullet \to \tau_{\leq n + 1}K^\bullet\). Le carré de gauche du diagramme ci-dessus commute à homotopie près, mais, comme \(P_n^\bullet \to P_{n + 1}^\bullet\) est une injection scindée terme à terme, nous pouvons relever l’homotopie et modifier notre choix de \(f\) de façon à rendre ce carré commutatif. Enfin, \(f\) est un quasi-isomorphisme, puisque \(P_n^\bullet \to P_n^\bullet\) et \(Q^\bullet \to C^\bullet\) le sont.
À ce stade, nous avons toutes les propriétés voulues, sauf que nous ne savons pas si le morphisme \(f : P_{n + 1}^\bullet \to \tau_{\leq n + 1}K^\bullet\) est surjectif terme à terme. Comme nous disposons du diagramme commutatif de complexes \[\xymatrix{ P_n^\bullet \ar[d] \ar[r] & P_{n + 1}^\bullet \ar[d] \\ \tau_{\leq n}K^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq n + 1}K^\bullet }\] l’hypothèse de récurrence montre que \(f\) est surjectif sur les termes de tous les degrés, à l’exception possible de \(n\) et \(n + 1\). Choisissons un objet \(P \in \mathcal{P}\) et une surjection \(q : P \to K^n\). Considérons le morphisme \[g : P^\bullet = (\ldots \to 0 \to P \xrightarrow{1} P \to 0 \to \ldots) \longrightarrow \tau_{\leq n + 1}K^\bullet\] où la première copie de \(P\) est placée en degré \(n\) et où les morphismes sont donnés par \(q\) en degré \(n\) et par \(d_K \circ q\) en degré \(n + 1\). Ce morphisme est surjectif en degré \(n\), et son conoyau en degré \(n + 1\) est \(H^{n + 1}(\tau_{\leq n + 1}K^\bullet)\); pour le voir, rappelons que \(\tau_{\leq n + 1}K^\bullet\) a \(\Ker(d_K^{n + 1})\) en degré \(n + 1\). Cependant, puisque \(f\) est un quasi-isomorphisme, nous savons que \(H^{n + 1}(f)\) est surjectif. Par conséquent, après avoir remplacé \(f : P_{n + 1}^\bullet \to \tau_{\leq n + 1}K^\bullet\) par \(f \oplus g : P_{n + 1}^\bullet \oplus P^\bullet \to \tau_{\leq n + 1}K^\bullet\), nous avons terminé.
Dans certains cas, le lemme précédent permet de montrer qu’un foncteur dérivé à gauche est défini partout.
Proposition
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à droite entre catégories abéliennes. Soit \(\mathcal{P} \subset \Ob(\mathcal{A})\) un sous-ensemble. Supposons que
\(\mathcal{P}\) contienne \(0\), soit stable par sommes directes (finies), et que tout objet de \(\mathcal{A}\) soit un quotient d’un élément de \(\mathcal{P}\),
pour tout complexe acyclique borné à droite \(P^\bullet\) de \(\mathcal{A}\) tel que \(P^n \in \mathcal{P}\) pour tout \(n\), le complexe \(F(P^\bullet)\) soit exact,
\(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) possèdent les colimites des systèmes indexés par \(\mathbf{N}\),
les colimites indexées par \(\mathbf{N}\) soient exactes dans \(\mathcal{A}\) et dans \(\mathcal{B}\), et
\(F\) commute aux colimites indexées par \(\mathbf{N}\).
Alors \(LF\) est défini sur tout \(D(\mathcal{A})\).
Démonstration
D’après (1) et le Lemme 05T7, pour tout complexe borné à droite \(K^\bullet\), il existe un quasi-isomorphisme \(P^\bullet \to K^\bullet\), où \(P^\bullet\) est borné à droite et \(P^n \in \mathcal{P}\) pour tout \(n\). Supposons que \(s : P^\bullet \to (P')^\bullet\) soit un quasi-isomorphisme entre complexes bornés à droite formés d’objets de \(\mathcal{P}\). Alors \(F(P^\bullet) \to F((P')^\bullet)\) est un quasi-isomorphisme, car \(F(C(s)^\bullet)\) est acyclique par l’hypothèse (2). Cela montre déjà que \(LF\) est défini sur \(D^{-}(\mathcal{A})\) et qu’un complexe borné à droite formé d’objets de \(\mathcal{P}\) calcule \(LF\); voir Lemme 06XN.
Soit ensuite \(K^\bullet\) un complexe arbitraire de \(\mathcal{A}\). Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ P_1^\bullet \ar[d] \ar[r] & P_2^\bullet \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \tau_{\leq 1}K^\bullet \ar[r] & \tau_{\leq 2}K^\bullet \ar[r] & \ldots }\] comme dans le Lemme 06XX. Remarquons que le morphisme \(\colim P_n^\bullet \to K^\bullet\) est un quasi-isomorphisme, car les colimites indexées par \(\mathbf{N}\) sont exactes dans \(\mathcal{A}\) et \(H^i(P_n^\bullet) = H^i(K^\bullet)\) pour \(n > i\). Nous affirmons que \[F(\colim P_n^\bullet) = \colim F(P_n^\bullet)\] (colimites terme à terme) est \(LF(K^\bullet)\), c’est-à-dire que \(\colim P_n^\bullet\) calcule \(LF\). Pour le voir, d’après le Lemme 06XN, il suffit de démontrer l’affirmation suivante. Supposons que \[\colim Q_n^\bullet = Q^\bullet \xrightarrow{\ \alpha\ } P^\bullet = \colim P_n^\bullet\] soit un quasi-isomorphisme de complexes, tel que chacun des complexes \(P_n^\bullet\), \(Q_n^\bullet\) soit borné à droite, ait ses termes dans \(\mathcal{P}\), et que les morphismes \(P_n^\bullet \to \tau_{\leq n}P^\bullet\) et \(Q_n^\bullet \to \tau_{\leq n}Q^\bullet\) soient des quasi-isomorphismes. Affirmation : \(F(\alpha)\) est un quasi-isomorphisme.
La difficulté vient de ce que nous ne supposons pas que \(\alpha\) soit donné comme colimite de morphismes entre les complexes \(P_n^\bullet\) et \(Q_n^\bullet\). Cependant, pour chaque \(n\), nous savons que les flèches pleines du diagramme \[\xymatrix{ & R^\bullet \ar@{..>}[d] \\ P_n^\bullet \ar[d] & L^\bullet \ar@{..>}[l] \ar@{..>}[r] & Q_n^\bullet \ar[d] \\ \tau_{\leq n}P^\bullet \ar[rr]^{\tau_{\leq n}\alpha} & & \tau_{\leq n}Q^\bullet }\] sont des quasi-isomorphismes. Comme les quasi-isomorphismes forment un système multiplicatif dans \(K(\mathcal{A})\) (voir Lemme 05RT), nous pouvons trouver un quasi-isomorphisme \(L^\bullet \to P_n^\bullet\) et un morphisme de complexes \(L^\bullet \to Q_n^\bullet\) tels que le diagramme ci-dessus commute à homotopie près. Alors \(\tau_{\leq n}L^\bullet \to L^\bullet\) est un quasi-isomorphisme. Par conséquent (d’après la première partie de la preuve), nous pouvons trouver un complexe borné à droite \(R^\bullet\), dont les termes appartiennent à \(\mathcal{P}\), et un quasi-isomorphisme \(R^\bullet \to L^\bullet\) (comme indiqué dans le diagramme). Le résultat du premier paragraphe de la preuve montre que \(F(R^\bullet) \to F(P_n^\bullet)\) et \(F(R^\bullet) \to F(Q_n^\bullet)\) sont des quasi-isomorphismes. Nous obtenons donc un isomorphisme \(H^i(F(P_n^\bullet)) \to H^i(F(Q_n^\bullet))\) s’insérant dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ H^i(F(P_n^\bullet)) \ar[r] \ar[d] & H^i(F(Q_n^\bullet)) \ar[d] \\ H^i(F(P^\bullet)) \ar[r] & H^i(F(Q^\bullet)) }\] Le même raisonnement montre que ces morphismes sont aussi compatibles lorsque \(n\) varie. Puisque, d’après (4) et (5), nous avons \[H^i(F(P^\bullet)) = H^i(F(\colim P_n^\bullet)) = H^i(\colim F(P_n^\bullet)) = \colim H^i(F(P_n^\bullet))\] et de même pour \(Q^\bullet\), nous concluons que \(H^i(\alpha) : H^i(F(P^\bullet) \to H^i(F(Q^\bullet)\) est un isomorphisme, d’où l’affirmation.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{I} \subset \Ob(\mathcal{A})\) un sous-ensemble. Supposons que \(\mathcal{I}\) contienne \(0\), soit stable par produits (finis), et que tout objet de \(\mathcal{A}\) soit un sous-objet d’un élément de \(\mathcal{I}\). Soit \(K^\bullet\) un complexe. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \tau_{\geq -2}K^\bullet \ar[r] \ar[d] & \tau_{\geq -1}K^\bullet \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & I_2^\bullet \ar[r] & I_1^\bullet }\] dans la catégorie des complexes, tel que
les flèches verticales soient des quasi-isomorphismes injectifs terme à terme,
\(I_n^\bullet\) soit un complexe borné à gauche dont les termes appartiennent à \(\mathcal{I}\),
les flèches \(I_{n + 1}^\bullet \to I_n^\bullet\) soient des surjections scindées terme à terme et que \(\Ker(I^i_{n + 1} \to I^i_n)\) soit un élément de \(\mathcal{I}\).
Démonstration
Ce lemme est dual du Lemme 06XX.
Dérivation de foncteurs adjoints
Soient \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) et \(G : \mathcal{D}' \to \mathcal{D}\) des foncteurs exacts entre catégories triangulées. Soient \(S\), respectivement \(S'\), un système multiplicatif de \(\mathcal{D}\), respectivement de \(\mathcal{D}'\), compatible avec la structure triangulée. Notons \(Q : \mathcal{D} \to S^{-1}\mathcal{D}\) et \(Q' : \mathcal{D}' \to (S')^{-1}\mathcal{D}'\) les foncteurs de localisation. Dans cette situation, par abus de notation, on note souvent \(RF\) le foncteur dérivé à droite partiellement défini associé à \(Q' \circ F : \mathcal{D} \to (S')^{-1}\mathcal{D}'\) et au système multiplicatif \(S\). De même, on note \(LG\) le foncteur dérivé à gauche partiellement défini associé à \(Q \circ G : \mathcal{D}' \to S^{-1}\mathcal{D}\) et au système multiplicatif \(S'\). On a les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{D} \ar[r]_F \ar[d]_Q & \mathcal{D}' \ar[d]^{Q'} \\ S^{-1}\mathcal{D} \ar@{..>}[r]^{RF} & (S')^{-1}\mathcal{D}' } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{D}' \ar[r]_G \ar[d]_{Q'} & \mathcal{D} \ar[d]^Q \\ (S')^{-1}\mathcal{D}' \ar@{..>}[r]^{LG} & S^{-1}\mathcal{D} } }\]
Lemme
Dans la situation ci-dessus, supposons que \(F\) soit adjoint à droite de \(G\). Soient \(K \in \Ob(\mathcal{D})\) et \(M \in \Ob(\mathcal{D}')\). Si \(RF\) est défini en \(K\) et \(LG\) est défini en \(M\), il existe un isomorphisme canonique \[\Hom_{(S')^{-1}\mathcal{D}'}(M, RF(K)) = \Hom_{S^{-1}\mathcal{D}}(LG(M), K)\] Cet isomorphisme est fonctoriel en les deux variables sur les sous-catégories triangulées de \(S^{-1}\mathcal{D}\) et \((S')^{-1}\mathcal{D}'\) où \(RF\) et \(LG\) sont définis.
Démonstration
Puisque \(RF\) est défini en \(K\), la règle qui associe à un \(s : K \to I\) dans \(S\) l’objet \(F(I)\) est essentiellement constante comme ind-objet de \((S')^{-1}\mathcal{D}'\), de valeur \(RF(K)\). De même, la règle qui associe à un \(t : P \to M\) dans \(S'\) l’objet \(G(P)\) est essentiellement constante comme pro-objet de \(S^{-1}\mathcal{D}\), de valeur \(LG(M)\). Ainsi, \[\begin{align*} \Hom_{(S')^{-1}\mathcal{D}'}(M, RF(K)) & = \colim_{s : K \to I} \Hom_{(S')^{-1}\mathcal{D}'}(M, F(I)) \\ & = \colim_{s : K \to I} \colim_{t : P \to M} \Hom_{\mathcal{D}'}(P, F(I)) \\ & = \colim_{t : P \to M} \colim_{s : K \to I} \Hom_{\mathcal{D}'}(P, F(I)) \\ & = \colim_{t : P \to M} \colim_{s : K \to I} \Hom_{\mathcal{D}}(G(P), I) \\ & = \colim_{t : P \to M} \Hom_{S^{-1}\mathcal{D}}(G(P), K) \\ & = \Hom_{S^{-1}\mathcal{D}}(LG(M), K) \end{align*}\] La première égalité résulte de Catégories, Lemme 05PY. La deuxième égalité résulte de la définition des morphismes dans \(D(\mathcal{B})\); voir Catégories, Remarque 05Q4. La troisième égalité résulte de Catégories, Lemme 002M. La quatrième égalité résulte de l’adjonction de \(F\) et \(G\). La cinquième égalité résulte de la définition des morphismes dans \(D(\mathcal{A})\); voir Catégories, Remarque 05Q0. La sixième égalité résulte de Catégories, Lemme 05PZ. Nous omettons la preuve de la fonctorialité.
Lemme
Soient \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) des foncteurs entre catégories abéliennes, tels que \(F\) soit adjoint à droite de \(G\). Soient \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\) et \(M^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{B}\). Si \(RF\) est défini en \(K^\bullet\) et \(LG\) est défini en \(M^\bullet\), il existe un isomorphisme canonique \[\Hom_{D(\mathcal{B})}(M^\bullet, RF(K^\bullet)) = \Hom_{D(\mathcal{A})}(LG(M^\bullet), K^\bullet)\] Cet isomorphisme est fonctoriel en les deux variables sur les sous-catégories triangulées de \(D(\mathcal{A})\) et \(D(\mathcal{B})\) où \(RF\) et \(LG\) sont définis.
Démonstration
C’est un cas particulier du très général Lemme 0FND.
Le lemme suivant illustre pourquoi il est plus commode de travailler avec des catégories dérivées non bornées. En effet, sans les foncteurs dérivés non bornés, il serait même impossible d’énoncer le lemme.
Lemme
Soient \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(G : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) des foncteurs entre catégories abéliennes, tels que \(F\) soit adjoint à droite de \(G\). Si les foncteurs dérivés \(RF : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) et \(LG : D(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{A})\) existent, alors \(RF\) est adjoint à droite de \(LG\).
Démonstration
Cela résulte immédiatement du Lemme 0DVC.
Complexes K-injectifs
Les types de complexes suivants permettent de calculer les foncteurs dérivés à droite sur la catégorie dérivée non bornée.
Définition
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Un complexe \(I^\bullet\) est K-injectif si, pour tout complexe acyclique \(M^\bullet\), nous avons \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(M^\bullet, I^\bullet) = 0\).
Dans la situation de la définition, nous avons en fait \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(M^\bullet[i], I^\bullet) = 0\) pour tout \(i\), puisque le translaté d’un complexe acyclique est acyclique.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(I^\bullet\) un complexe. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(I^\bullet\) est K-injectif,
pour tout quasi-isomorphisme \(M^\bullet \to N^\bullet\), l’application \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(N^\bullet, I^\bullet) \to \Hom_{K(\mathcal{A})}(M^\bullet, I^\bullet)\] est bijective, et
pour tout complexe \(N^\bullet\), l’application \[\Hom_{K(\mathcal{A})}(N^\bullet, I^\bullet) \to \Hom_{D(\mathcal{A})}(N^\bullet, I^\bullet)\] est un isomorphisme.
Démonstration
Supposons (1). Alors (2) est vérifiée, car le foncteur \(\Hom_{K(\mathcal{A})}( - , I^\bullet)\) est cohomologique et le cône d’un quasi-isomorphisme est acyclique.
Supposons (2). Un morphisme \(N^\bullet \to I^\bullet\) dans \(D(\mathcal{A})\) est de la forme \(fs^{-1} : N^\bullet \to I^\bullet\), où \(s : M^\bullet \to N^\bullet\) est un quasi-isomorphisme et \(f : M^\bullet \to I^\bullet\) un morphisme. D’après (2), cela correspond à un unique morphisme \(N^\bullet \to I^\bullet\) dans \(K(\mathcal{A})\); autrement dit, (3) est vérifiée.
Supposons (3). Si \(M^\bullet\) est acyclique, alors \(M^\bullet\) est isomorphe au complexe nul dans \(D(\mathcal{A})\), donc \(\Hom_{D(\mathcal{A})}(M^\bullet, I^\bullet) = 0\), et par conséquent \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(M^\bullet, I^\bullet) = 0\) d’après (3); autrement dit, (1) est vérifiée.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \((K, L, M, f, g, h)\) un triangle distingué de \(K(\mathcal{A})\). Si deux des complexes \(K\), \(L\), \(M\) sont K-injectifs, alors le troisième l’est aussi.
Démonstration
Cela résulte de la définition, du Lemme 0149 et du fait que \(K(\mathcal{A})\) est une catégorie triangulée (Proposition 014S).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Tout complexe borné à gauche d’objets injectifs est K-injectif.
Démonstration
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(T\) un ensemble et, pour chaque \(t \in T\), soit \(I_t^\bullet\) un complexe K-injectif. Si \(I^n = \prod_t I_t^n\) existe pour tout \(n\), alors \(I^\bullet\) est un complexe K-injectif. De plus, \(I^\bullet\) représente le produit des objets \(I_t^\bullet\) dans \(D(\mathcal{A})\).
Démonstration
Soit \(K^\bullet\) un complexe. Remarquons que le complexe \[C : \prod\nolimits_b \Hom(K^{-b}, I^{b - 1}) \to \prod\nolimits_b \Hom(K^{-b}, I^b) \to \prod\nolimits_b \Hom(K^{-b}, I^{b + 1})\] a pour cohomologie \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet)\) au terme central. De même, le complexe \[C_t : \prod\nolimits_b \Hom(K^{-b}, I_t^{b - 1}) \to \prod\nolimits_b \Hom(K^{-b}, I_t^b) \to \prod\nolimits_b \Hom(K^{-b}, I_t^{b + 1})\] calcule \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I_t^\bullet)\). Remarquons ensuite que \[C = \prod\nolimits_{t \in T} C_t\] comme complexes de groupes abéliens, par notre choix de \(I\). La formation des produits est un foncteur exact sur la catégorie des groupes abéliens. Ainsi, si \(K^\bullet\) est acyclique, alors \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I_t^\bullet) = 0\), donc \(C_t\) est acyclique, donc \(C\) est acyclique, et par conséquent \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet) = 0\). Nous trouvons ainsi que \(I^\bullet\) est K-injectif. Ceci étant établi, nous pouvons utiliser le Lemme 070I pour conclure que \[\Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, I^\bullet) = \prod\nolimits_{t \in T} \Hom_{D(\mathcal{A})}(K^\bullet, I_t^\bullet)\] et \(I^\bullet\) représente bien le produit dans la catégorie dérivée.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(F : K(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact entre catégories triangulées. Alors \(RF\) est défini en tout complexe de \(K(\mathcal{A})\) qui est quasi-isomorphe à un complexe K-injectif. En fait, tout complexe K-injectif calcule \(RF\).
Démonstration
D’après le Lemme 05SB, il suffit de montrer que \(RF\) est défini en un complexe K-injectif, c’est-à-dire qu’il suffit de montrer qu’un complexe K-injectif \(I^\bullet\) calcule \(RF\). Considérons un quasi-isomorphisme \(I^\bullet \to N^\bullet\). D’après le Lemme 070I, il possède un inverse à gauche. Ainsi, \(I^\bullet \to I^\bullet\) est un objet final de \(I^\bullet/\text{Qis}(\mathcal{A})\), ce qui conclut la preuve.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que tout complexe possède un quasi-isomorphisme vers un complexe K-injectif. Alors tout foncteur exact \(F : K(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}'\) entre catégories triangulées possède un foncteur dérivé à droite \[RF : D(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}'\] et \(RF(I^\bullet) = F(I^\bullet)\) pour les complexes K-injectifs \(I^\bullet\).
Démonstration
Pour le voir, appliquons le Lemme 06XN à la collection \(\mathcal{I}\) des complexes K-injectifs. Comme (1) est vérifiée par hypothèse, il suffit de prouver que, si \(I^\bullet \to J^\bullet\) est un quasi-isomorphisme de complexes K-injectifs, alors \(F(I^\bullet) \to F(J^\bullet)\) est un isomorphisme. Cela est clair, car \(I^\bullet \to J^\bullet\) est une équivalence d’homotopie, c’est-à-dire un isomorphisme dans \(K(\mathcal{A})\), d’après le Lemme 070I.
Le lemme suivant se généralise aux limites indexées par des ordinaux plus grands.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[\ldots \to I_3^\bullet \to I_2^\bullet \to I_1^\bullet\] un système projectif de complexes. Supposons que
chaque \(I_n^\bullet\) soit \(K\)-injectif,
chaque morphisme \(I_{n + 1}^m \to I_n^m\) soit une surjection scindée,
les limites \(I^m = \lim I_n^m\) existent.
Alors le complexe \(I^\bullet\) est K-injectif.
Démonstration
Nous invitons vivement le lecteur à sauter la preuve de ce lemme. Soit \(M^\bullet\) un complexe acyclique. Abrégeons \(H_n(a, b) = \Hom_\mathcal{A}(M^a, I_n^b)\). Avec cette notation, \(\Hom_{K(\mathcal{A})}(M^\bullet, I^\bullet)\) est la cohomologie du complexe \[\prod_m \lim\limits_n H_n(m, m - 2) \to \prod_m \lim\limits_n H_n(m, m - 1) \to \prod_m \lim\limits_n H_n(m, m) \to \prod_m \lim\limits_n H_n(m, m + 1)\] au troisième terme à partir de la gauche. Nous pouvons permuter \(\prod\) et \(\lim\), et chacun des complexes \[\prod_m H_n(m, m - 2) \to \prod_m H_n(m, m - 1) \to \prod_m H_n(m, m) \to \prod_m H_n(m, m + 1)\] est exact d’après l’hypothèse (1). D’après l’hypothèse (2), les morphismes des systèmes \[\ldots \to \prod_m H_3(m, m - 2) \to \prod_m H_2(m, m - 2) \to \prod_m H_1(m, m - 2)\] sont surjectifs. Le lemme résulte donc de Homologie, Lemme 070B.
Il semble qu’une combinaison des Lemmes 070F, 070J et 070L produise « assez de complexes K-injectifs » pour toute catégorie abélienne possédant assez d’injectifs et des produits dénombrables. En réalité, cela peut ne pas fonctionner! Voir le Lemme 070M pour une explication.
Lemme
Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) des catégories abéliennes. Soient \(u : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(v : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) des foncteurs additifs. Supposons que
\(u\) soit adjoint à droite de \(v\), et
\(v\) soit exact.
Alors \(u\) transforme les complexes K-injectifs en complexes K-injectifs.
Démonstration
Soit \(I^\bullet\) un complexe K-injectif de \(\mathcal{A}\). Soit \(M^\bullet\) un complexe acyclique de \(\mathcal{B}\). Comme \(v\) est exact, \(v(M^\bullet)\) est un complexe acyclique. Par adjonction, nous obtenons \[0 = \Hom_{K(\mathcal{A})}(v(M^\bullet), I^\bullet) = \Hom_{K(\mathcal{B})}(M^\bullet, u(I^\bullet))\] d’où le lemme.
Dimension cohomologique bornée
Il existe un autre cas où le foncteur dérivé non borné existe : celui où le foncteur est de dimension cohomologique bornée.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(d : \Ob(\mathcal{A}) \to \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}\) une fonction. Supposons que
tout objet de \(\mathcal{A}\) soit un sous-objet d’un objet \(A\) tel que \(d(A) = 0\),
\(d(A \oplus B) \leq \max \{d(A), d(B)\}\) pour \(A, B \in \mathcal{A}\), et
si \(0 \to A \to B \to C \to 0\) est exacte courte, alors \(d(C) \leq \max\{d(A) - 1, d(B)\}\).
Soit \(K^\bullet\) un complexe tel que \(n + d(K^n)\) tende vers \(-\infty\) lorsque \(n \to -\infty\). Il existe alors un quasi-isomorphisme \(K^\bullet \to L^\bullet\) tel que \(d(L^n) = 0\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).
Démonstration
D’après le Lemme 05T6, nous pouvons trouver un quasi-isomorphisme \(\sigma_{\geq 0}K^\bullet \to M^\bullet\) tel que \(M^n = 0\) pour \(n < 0\) et \(d(M^n) = 0\) pour \(n \geq 0\). Alors \(K^\bullet\) est quasi-isomorphe au complexe \[\ldots \to K^{-2} \to K^{-1} \to M^0 \to M^1 \to \ldots\] Nous pouvons donc supposer que \(d(K^n) = 0\) pour \(n \gg 0\). Remarquons que ce remplacement ne détruit pas la condition \(n + d(K^n) \to -\infty\) lorsque \(n \to -\infty\).
Nous allons améliorer \(K^\bullet\) par une suite (infinie) de remplacements élémentaires. Un remplacement élémentaire est l’opération suivante. Choisissons un indice \(n\) tel que \(d(K^n) > 0\). Choisissons une injection \(K^n \to M\) avec \(d(M) = 0\). Posons \(M' = \Coker(K^n \to M \oplus K^{n + 1})\). Considérons le morphisme de complexes \[\xymatrix{ K^\bullet : \ar[d] & K^{n - 1} \ar[d] \ar[r] & K^n \ar[d] \ar[r] & K^{n + 1} \ar[d] \ar[r] & K^{n + 2} \ar[d] \\ (K')^\bullet : & K^{n - 1} \ar[r] & M \ar[r] & M' \ar[r] & K^{n + 2} }\] Il est clair que \(K^\bullet \to (K')^\bullet\) est un quasi-isomorphisme. De plus, il est clair que \(d((K')^n) = 0\) et \[d((K')^{n + 1}) \leq \max\{d(K^n) - 1, d(M \oplus K^{n + 1})\} \leq \max\{d(K^n) - 1, d(K^{n + 1})\}\] et que les autres valeurs ne changent pas.
Pour achever la preuve, choisissons soigneusement l’ordre des remplacements élémentaires, de façon que, pour tout entier \(m\), le complexe \(\sigma_{\geq m}K^\bullet\) ne soit modifié qu’un nombre fini de fois. Pour cela, posons \[\xi(K^\bullet) = \max \{n + d(K^n) \mid d(K^n) > 0\}\] et \[I = \{n \in \mathbf{Z} \mid \xi(K^\bullet) = n + d(K^n) \text{ et } d(K^n) > 0\}\] Notre hypothèse selon laquelle \(n + d(K^n)\) tend vers \(-\infty\) lorsque \(n \to -\infty\), jointe au fait que \(d(K^n) = 0\) pour \(n >> 0\), entraîne \(\xi(K^\bullet) < +\infty\) et la finitude de \(I\). Il est clair que \(\xi((K')^\bullet) \leq \xi(K^\bullet)\) pour un remplacement élémentaire comme ci-dessus. Un remplacement élémentaire modifie le complexe en degrés \(\leq \xi(K^\bullet) + 1\). Il suffit donc de trouver une suite finie de remplacements élémentaires qui diminue \(\xi(K^\bullet)\). Or, si nous effectuons un remplacement élémentaire en partant du plus petit élément \(n \in I\), soit nous diminuons le cardinal de \(I\), soit nous augmentons \(\min I\). Comme tout élément de \(I\) est \(\leq \xi(K^\bullet)\), le procédé aboutit après un nombre fini d’étapes.
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à gauche entre catégories abéliennes. Supposons que
tout objet de \(\mathcal{A}\) soit un sous-objet d’un objet acyclique à droite pour \(F\),
il existe un entier \(n \geq 0\) tel que \(R^nF = 0\).
Alors
\(RF : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) existe,
tout complexe formé d’objets acycliques à droite pour \(F\) calcule \(RF\),
tout complexe est la source d’un quasi-isomorphisme vers un complexe formé d’objets acycliques à droite pour \(F\),
pour \(E \in D(\mathcal{A})\),
\(H^i(RF(\tau_{\leq a}E) \to H^i(RF(E))\) est un isomorphisme pour \(i \leq a\),
\(H^i(RF(E)) \to H^i(RF(\tau_{\geq b - n + 1}E))\) est un isomorphisme pour \(i \geq b\),
si \(H^i(E) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\), où \(-\infty \leq a \leq b \leq \infty\), alors \(H^i(RF(E)) = 0\) pour \(i \not \in [a, b + n - 1]\).
Démonstration
Remarquons que la première hypothèse entraîne l’existence de \(RF : D^+(\mathcal{A}) \to D^+(\mathcal{B})\); voir Proposition 05TA. Soit \(A\) un objet de \(\mathcal{A}\). Choisissons une injection \(A \to A'\) avec \(A'\) acyclique. La suite exacte longue de cohomologie montre alors que \(R^{n + 1}F(A) = R^nF(A'/A) = 0\). Nous concluons donc que \(R^{n + 1}F = 0\). En poursuivant de la même manière par récurrence, nous trouvons que \(R^mF = 0\) pour tout \(m \geq n\).
Nous allons utiliser le Lemme 07K6 avec la fonction \(d : \Ob(\mathcal{A}) \to \{0, 1, 2, \ldots \}\) donnée par \(d(A) = \max \{0\} \cup \{i \mid R^iF(A) \not = 0\}\). La première hypothèse du Lemme 07K6 est notre hypothèse (1). La deuxième hypothèse du Lemme 07K6 résulte de l’égalité \(RF(A \oplus B) = RF(A) \oplus RF(B)\). La troisième hypothèse du Lemme 07K6 résulte de la suite exacte longue de cohomologie. Par conséquent, pour tout complexe \(K^\bullet\), il existe un quasi-isomorphisme \(K^\bullet \to L^\bullet\) vers un complexe d’objets acycliques à droite pour \(F\). Cela prouve l’assertion (3).
Nous affirmons que, si \(L^\bullet \to M^\bullet\) est un quasi-isomorphisme de complexes d’objets acycliques à droite pour \(F\), alors \(F(L^\bullet) \to F(M^\bullet)\) est un quasi-isomorphisme. Une fois cette affirmation établie, les assertions (1) et (2) du lemme résultent du Lemme 06XN. Pour prouver l’affirmation, choisissons un entier \(i \in \mathbf{Z}\). Considérons le triangle distingué \[\sigma_{\geq i - n - 1}L^\bullet \to \sigma_{\geq i - n - 1}M^\bullet \to Q^\bullet,\] c’est-à-dire que \(Q^\bullet\) est le cône du premier morphisme. Remarquons que \(Q^\bullet\) est borné à gauche et que \(H^j(Q^\bullet)\) est nul, sauf peut-être pour \(j = i - n - 1\) ou \(j = i - n - 2\). Nous pouvons appliquer \(RF\) à \(Q^\bullet\). En utilisant la deuxième suite spectrale du Lemme 015J et l’annulation de la cohomologie postulée en (2), nous concluons que \(H^j(RF(Q^\bullet))\) est nul, sauf peut-être pour \(j \in \{i - n - 2, \ldots, i - 1\}\). Ainsi, \(RF(\sigma_{\geq i - n - 1}L^\bullet) \to RF(\sigma_{\geq i - n - 1}M^\bullet)\) induit un isomorphisme sur les objets de cohomologie en degrés \(\geq i\). D’après la Proposition 05TA, nous savons que \(RF(\sigma_{\geq i - n - 1}L^\bullet) = \sigma_{\geq i - n - 1}F(L^\bullet)\) et \(RF(\sigma_{\geq i - n - 1}M^\bullet) = \sigma_{\geq i - n - 1}F(M^\bullet)\). Nous concluons que \(F(L^\bullet) \to F(M^\bullet)\) induit un isomorphisme en degré \(i\), comme voulu.
L’assertion (4)(a) résulte du Lemme 05TC.
Pour l’assertion (4)(b), représentons \(E\) par le complexe \(L^\bullet\) d’objets acycliques à droite pour \(F\). D’après (2), \(RF(E)\) est représenté par le complexe \(F(L^\bullet)\), et \(RF(\sigma_{\geq c}L^\bullet)\) est représenté par \(\sigma_{\geq c}F(L^\bullet)\). Considérons le triangle distingué \[H^{b - n}(L^\bullet)[n - b] \to \tau_{\geq b - n}L^\bullet \to \tau_{\geq b - n + 1}L^\bullet\] de la Remarque 08J5. L’annulation établie ci-dessus montre que \(H^i(RF(\tau_{\geq b - n}L^\bullet))\) coïncide avec \(H^i(RF(\tau_{\geq b - n + 1}L^\bullet))\) pour \(i \geq b\). Considérons la suite exacte courte de complexes \[0 \to \Im(L^{b - n - 1} \to L^{b - n})[n - b] \to \sigma_{\geq b - n}L^\bullet \to \tau_{\geq b - n}L^\bullet \to 0\] En utilisant le triangle distingué associé (voir section 014Z) et l’annulation précédente, nous concluons que \(H^i(RF(\tau_{\geq b - n}L^\bullet))\) coïncide avec \(H^i(RF(\sigma_{\geq b - n}L^\bullet))\) pour \(i \geq b\). Comme le morphisme \(RF(\sigma_{\geq b - n}L^\bullet) \to RF(L^\bullet)\) est représenté par \(\sigma_{\geq b - n}F(L^\bullet) \to F(L^\bullet)\), nous concluons que ce dernier coïncide à son tour avec \(H^i(RF(L^\bullet))\) pour \(i \geq b\), comme voulu.
Démonstration de (4)(c). Sous l’hypothèse faite sur \(E\), nous avons \(\tau_{\leq a - 1}E = 0\), et l’assertion (4)(a) donne l’annulation de \(H^i(RF(E))\) pour \(i \leq a - 1\). De même, nous avons \(\tau_{\geq b + 1}E = 0\); l’assertion (4)(b) donne donc l’annulation de \(H^i(RF(E))\) pour \(i \geq b + n\).
Lemme
Soit \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un foncteur exact à droite entre catégories abéliennes. Si
tout objet de \(\mathcal{A}\) est un quotient d’un objet acyclique à gauche pour \(F\),
il existe un entier \(n \geq 0\) tel que \(L^nF = 0\),
alors
\(LF : D(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})\) existe,
tout complexe formé d’objets acycliques à gauche pour \(F\) calcule \(LF\),
tout complexe est la cible d’un quasi-isomorphisme provenant d’un complexe formé d’objets acycliques à gauche pour \(F\),
pour \(E \in D(\mathcal{A})\),
\(H^i(LF(\tau_{\leq a + n - 1}E) \to H^i(LF(E))\) est un isomorphisme pour \(i \leq a\),
\(H^i(LF(E)) \to H^i(LF(\tau_{\geq b}E))\) est un isomorphisme pour \(i \geq b\),
si \(H^i(E) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\), où \(-\infty \leq a \leq b \leq \infty\), alors \(H^i(LF(E)) = 0\) pour \(i \not \in [a - n + 1, b]\).
Démonstration
C’est le dual du Lemme 07K7.
Colimites dérivées
Dans une catégorie triangulée, on dispose d’une notion de colimite dérivée.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \((K_n, f_n)\) un système d’objets de \(\mathcal{D}\). On dit qu’un objet \(K\) est une colimite dérivée, ou une colimite homotopique, du système \((K_n)\) si la somme directe \(\bigoplus K_n\) existe et s’il existe un triangle distingué \[\bigoplus K_n \to \bigoplus K_n \to K \to \bigoplus K_n[1]\] où le morphisme \(\bigoplus K_n \to \bigoplus K_n\) est donné par \(1 - f_n\) en degré \(n\). Dans ce cas, nous l’indiquons parfois par la notation \(K = \text{hocolim} K_n\).
D’après TR3, une colimite dérivée, si elle existe, est unique à isomorphisme (non unique) près. De plus, d’après TR1, une colimite dérivée des \(K_n\) existe dès que \(\bigoplus K_n\) existe. La catégorie dérivée \(D(\textit{Ab})\) de la catégorie des groupes abéliens est un exemple de catégorie triangulée dans laquelle toutes les colimites homotopiques existent.
Cette absence d’unicité rend difficile la détermination précise de la colimite dérivée. Dans Algèbre complémentaire, Lemme 0CQX, le lecteur trouvera une suite exacte \[0 \to R^1\lim \Hom(K_n, L[-1]) \to \Hom(\text{hocolim} K_n, L) \to \lim \Hom(K_n, L) \to 0\] qui décrit les \(\Hom\) issus d’une colimite homotopique à l’aide des \(\Hom\) usuels.
Remarque
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \((K_n, f_n)\) un système d’objets de \(\mathcal{D}\). Nous pouvons considérer une colimite dérivée comme un objet \(K\) de \(\mathcal{D}\) muni de morphismes \(i_n : K_n \to K\) tels que \(i_{n + 1} \circ f_n = i_n\), et tel qu’il existe un morphisme \(c : K \to \bigoplus K_n[1]\) pour lequel \[\bigoplus K_n \xrightarrow{1 - f_n} \bigoplus K_n \xrightarrow{i_n} K \xrightarrow{c} \bigoplus K_n[1]\] est un triangle distingué. Si \((K', i'_n, c')\) est une deuxième colimite dérivée, il existe un isomorphisme \(\varphi : K \to K'\) tel que \(\varphi \circ i_n = i'_n\) et \(c' \circ \varphi = c\). L’existence de \(\varphi\) est donnée par TR3 et le fait que \(\varphi\) soit un isomorphisme résulte du Lemme 014A.
Remarque
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \((a_n) : (K_n, f_n) \to (L_n, g_n)\) un morphisme de systèmes d’objets de \(\mathcal{D}\). Soit \((K, i_n, c)\) une colimite dérivée du premier système et soit \((L, j_n, d)\) une colimite dérivée du second système, avec les notations de la Remarque 0CRH. Il existe alors un morphisme \(a : K \to L\) tel que \(a \circ i_n = j_n\) et \(d \circ a = (a_n[1]) \circ c\). Cela résulte de TR3 appliqué aux triangles distingués qui les définissent.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \((K_n, f_n)\) un système d’objets de \(\mathcal{D}\). Soit \(n_1 < n_2 < n_3 < \ldots\) une suite d’entiers. Supposons que \(\bigoplus K_n\) et \(\bigoplus K_{n_i}\) existent. Il existe alors un isomorphisme \(\text{hocolim} K_{n_i} \to \text{hocolim} K_n\) tel que \[\xymatrix{ K_{n_i} \ar[r] \ar[d]_{\text{id}} & \text{hocolim} K_{n_i} \ar[d] \\ K_{n_i} \ar[r] & \text{hocolim} K_n }\] commute pour tout \(i\).
Démonstration
Soit \(g_i : K_{n_i} \to K_{n_{i + 1}}\) la composée \(f_{n_{i + 1} - 1} \circ \ldots \circ f_{n_i}\). Construisons les diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ \bigoplus\nolimits_i K_{n_i} \ar[r]_{1 - g_i} \ar[d]_b & \bigoplus\nolimits_i K_{n_i} \ar[d]^a \\ \bigoplus\nolimits_n K_n \ar[r]^{1 - f_n} & \bigoplus\nolimits_n K_n } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \bigoplus\nolimits_n K_n \ar[r]_{1 - f_n} \ar[d]_d & \bigoplus\nolimits_n K_n \ar[d]^c \\ \bigoplus\nolimits_i K_{n_i} \ar[r]^{1 - g_i} & \bigoplus\nolimits_i K_{n_i} } }\] comme suit. Soit \(a_i = a|_{K_{n_i}}\) l’inclusion de \(K_{n_i}\) dans la somme directe. Autrement dit, \(a\) est l’inclusion naturelle. Soit \(b_i = b|_{K_{n_i}}\) le morphisme \[K_{n_i} \xrightarrow{1,\ f_{n_i},\ f_{n_i + 1} \circ f_{n_i}, \ \ldots,\ f_{n_{i + 1} - 2} \circ \ldots \circ f_{n_i}} K_{n_i} \oplus K_{n_i + 1} \oplus \ldots \oplus K_{n_{i + 1} - 1}\] Si \(n_{i - 1} < j \leq n_i\), nous définissons \(c_j = c|_{K_j}\) comme le morphisme \[K_j \xrightarrow{f_{n_i - 1} \circ \ldots \circ f_j} K_{n_i}\] Nous prenons \(d_j = d|_{K_j}\) nul si \(j \not = n_i\) pour tout \(i\), et nous prenons pour \(d_{n_i}\) l’inclusion naturelle de \(K_{n_i}\) dans la somme directe. Autrement dit, \(d\) est la projection naturelle. D’après TR3, ces diagrammes définissent des morphismes \[\varphi : \text{hocolim} K_{n_i} \to \text{hocolim} K_n \quad\text{et}\quad \psi : \text{hocolim} K_n \to \text{hocolim} K_{n_i}\] Comme \(c \circ a\) et \(d \circ b\) sont les morphismes identiques, le Lemme 014A montre que \(\varphi \circ \psi\) est un isomorphisme. Dans l’autre sens, nous obtenons les morphismes \(a \circ c\) et \(b \circ d\). Considérons le morphisme \(h = (h_j) : \bigoplus K_n \to \bigoplus K_n\) défini par la règle suivante : pour \(n_{i - 1} < j < n_i\), nous posons \[h_j : K_j \xrightarrow{1,\ f_j,\ f_{j + 1} \circ f_j, \ \ldots,\ f_{n_i - 1} \circ \ldots \circ f_j} K_j \oplus \ldots \oplus K_{n_i}\] Le lecteur vérifie alors que \((1 - f) \circ h = \text{id} - a \circ c\) et \(h \circ (1 - f) = \text{id} - b \circ d\). Cela signifie que \(\text{id} - \psi \circ \varphi\) est de carré nul d’après le Lemme 05QP (petit argument omis). Autrement dit, \(\psi \circ \varphi\) diffère de l’identité par un endomorphisme nilpotent; c’est donc un isomorphisme. Ainsi, \(\varphi\) et \(\psi\) sont des isomorphismes, comme voulu.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Si \(\mathcal{A}\) possède des sommes directes dénombrables exactes, alors \(D(\mathcal{A})\) possède des sommes directes dénombrables. Plus précisément, étant donnée une famille de complexes \(K_i^\bullet\) indexée par un ensemble dénombrable \(I\), la somme directe terme à terme \(\bigoplus K_i^\bullet\) est la somme directe des \(K_i^\bullet\) dans \(D(\mathcal{A})\).
Démonstration
Soit \(L^\bullet\) un complexe. Supposons donnés des morphismes \(\alpha_i : K_i^\bullet \to L^\bullet\) dans \(D(\mathcal{A})\). Cela signifie qu’il existe des quasi-isomorphismes \(s_i : M_i^\bullet \to K_i^\bullet\) de complexes et des morphismes de complexes \(f_i : M_i^\bullet \to L^\bullet\) tels que \(\alpha_i = f_is_i^{-1}\). Par hypothèse, le morphisme de complexes \[s : \bigoplus M_i^\bullet \longrightarrow \bigoplus K_i^\bullet\] est un quasi-isomorphisme. En posant \(f = \bigoplus f_i\), nous voyons donc que \(\alpha = fs^{-1}\) est un morphisme de \(D(\mathcal{A})\) dont la composée avec la coprojection \(K_i^\bullet \to \bigoplus K_i^\bullet\) est \(\alpha_i\). Nous omettons la vérification de l’unicité de \(\alpha\).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que les colimites indexées par \(\mathbf{N}\) existent et soient exactes. Alors les sommes directes dénombrables existent et sont exactes. De plus, si \((A_n, f_n)\) est un système indexé par \(\mathbf{N}\), il existe une suite exacte courte \[0 \to \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n \to \colim A_n \to 0\] où le premier morphisme est donné en degré \(n\) par \(1 - f_n\).
Démonstration
La première assertion résulte de \(\bigoplus A_n = \colim (A_1 \oplus \ldots \oplus A_n)\). Pour la seconde, remarquons que, pour chaque \(n\), nous avons la suite exacte courte \[0 \to A_1 \oplus \ldots \oplus A_{n - 1} \to A_1 \oplus \ldots \oplus A_n \to A_n \to 0\] où le premier morphisme est donné par les morphismes \(1 - f_i\), et le second est la somme des morphismes de transition. Prenons la colimite pour obtenir la suite du lemme.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(L_n^\bullet\) un système de complexes de \(\mathcal{A}\). Supposons que les colimites indexées par \(\mathbf{N}\) existent et soient exactes dans \(\mathcal{A}\). Alors la colimite terme à terme \(L^\bullet = \colim L_n^\bullet\) est une colimite homotopique du système dans \(D(\mathcal{A})\).
Démonstration
Nous avons une suite exacte de complexes \[0 \to \bigoplus L_n^\bullet \to \bigoplus L_n^\bullet \to L^\bullet \to 0\] d’après le Lemme 093W. Les sommes directes sont des sommes directes dans \(D(\mathcal{A})\) d’après le Lemme 0A5L. Le résultat découle donc de la définition des colimites dérivées donnée dans la Définition 090Z, et du fait qu’une suite exacte courte de complexes donne un triangle distingué (Lemme 0152).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant des sommes directes dénombrables. Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne dans laquelle les colimites indexées par \(\mathbf{N}\) sont exactes. Soit \(H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique commutant aux sommes directes dénombrables. Alors \(H(\text{hocolim} K_n) = \colim H(K_n)\) pour tout système d’objets de \(\mathcal{D}\).
Démonstration
Écrivons \(K = \text{hocolim} K_n\). Appliquons \(H\) au triangle distingué qui le définit. Nous obtenons \[\bigoplus H(K_n) \to \bigoplus H(K_n) \to H(K) \to \bigoplus H(K_n[1]) \to \bigoplus H(K_n[1])\] où le premier morphisme est donné par \(1 - H(f_n)\) et le dernier par \(1 - H(f_n[1])\). Le Lemme 093W montre que cela prouve le lemme.
Le lemme suivant nous dit que la formation des morphismes issus d’un objet compact (qui sera défini plus loin) commute aux colimites dérivées.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant des sommes directes dénombrables. Soit \(K \in \mathcal{D}\) un objet tel que, pour toute famille dénombrable d’objets \(E_n \in \mathcal{D}\), l’application canonique \[\bigoplus \Hom_\mathcal{D}(K, E_n) \longrightarrow \Hom_\mathcal{D}(K, \bigoplus E_n)\] soit bijective. Alors, pour tout système \(L_n\) de \(\mathcal{D}\) indexé par \(\mathbf{N}\) dont la colimite dérivée \(L = \text{hocolim} L_n\) existe, l’application \[\colim \Hom_\mathcal{D}(K, L_n) \longrightarrow \Hom_\mathcal{D}(K, L)\] est bijective.
Démonstration
D’après le Lemme 0149, c’est un cas particulier du Lemme 0CRK.
Limites dérivées
Dans une catégorie triangulée, on dispose d’une notion de limite dérivée.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \((K_n, f_n)\) un système projectif d’objets de \(\mathcal{D}\). On dit qu’un objet \(K\) est une limite dérivée, ou une limite homotopique, du système \((K_n)\) si le produit \(\prod K_n\) existe et s’il existe un triangle distingué \[K \to \prod K_n \to \prod K_n \to K[1]\] où le morphisme \(\prod K_n \to \prod K_n\) est donné par \((k_n) \mapsto (k_n - f_{n + 1}(k_{n + 1}))\). Dans ce cas, nous l’indiquons parfois par la notation \(K = R\lim K_n\).
D’après TR3, une limite dérivée, si elle existe, est unique à isomorphisme (non unique) près. De plus, d’après TR1, une limite dérivée \(R\lim K_n\) existe dès que \(\prod K_n\) existe. La catégorie dérivée \(D(\textit{Ab})\) de la catégorie des groupes abéliens est un exemple de catégorie triangulée dans laquelle toutes les limites dérivées existent.
Cette absence d’unicité rend difficile la détermination précise de la limite dérivée. Dans Algèbre complémentaire, Lemme 0919, le lecteur trouvera une suite exacte \[0 \to R^1\lim \Hom(L, K_n[-1]) \to \Hom(L, R\lim K_n) \to \lim \Hom(L, K_n) \to 0\] qui décrit les \(\Hom\) à valeurs dans une limite dérivée à l’aide des \(\Hom\) usuels.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne dont les produits dénombrables sont exacts. Alors
\(D(\mathcal{A})\) possède des produits dénombrables,
les produits dénombrables \(\prod K_i\) dans \(D(\mathcal{A})\) s’obtiennent en prenant les produits terme à terme de complexes quelconques représentant les \(K_i\), et
\(H^p(\prod K_i) = \prod H^p(K_i)\).
Démonstration
Soit \(K_i^\bullet\) un complexe représentant \(K_i\) dans \(D(\mathcal{A})\). Soit \(L^\bullet\) un complexe. Supposons donnés des morphismes \(\alpha_i : L^\bullet \to K_i^\bullet\) dans \(D(\mathcal{A})\). Cela signifie qu’il existe des quasi-isomorphismes \(s_i : K_i^\bullet \to M_i^\bullet\) de complexes et des morphismes de complexes \(f_i : L^\bullet \to M_i^\bullet\) tels que \(\alpha_i = s_i^{-1}f_i\). Par hypothèse, le morphisme de complexes \[s : \prod K_i^\bullet \longrightarrow \prod M_i^\bullet\] est un quasi-isomorphisme. En posant \(f = \prod f_i\), nous voyons donc que \(\alpha = s^{-1}f\) est un morphisme de \(D(\mathcal{A})\) dont la composée avec la projection \(\prod K_i^\bullet \to K_i^\bullet\) est \(\alpha_i\). Nous omettons la vérification de l’unicité de \(\alpha\).
Il faudrait énoncer et démontrer ici les énoncés duaux des Lemmes 093W, 0949 et 094A. Nous n’en connaissons toutefois aucune application pour le moment.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne possédant des produits dénombrables et assez d’injectifs. Soit \((K_n)\) un système projectif d’objets de \(D^+(\mathcal{A})\). Alors \(R\lim K_n\) existe.
Démonstration
Il suffit de montrer que \(\prod K_n\) existe dans \(D(\mathcal{A})\). Pour tout \(n\), nous pouvons représenter \(K_n\) par un complexe borné à gauche \(I_n^\bullet\) d’objets injectifs (Lemme 013K). Alors \(\prod K_n\) est représenté par \(\prod I_n^\bullet\); voir Lemme 0BK6.
Remarque
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soient \((K_n)\) et \((L_n)\) des systèmes projectifs d’objets de \(\mathcal{D}\), de limites dérivées \(K\) et \(L\). Supposons donné un morphisme \(a : (K_n) \to (L_n)\) de pro-objets; voir Catégories, Exemple 0G2W. Cela signifie que des morphismes \(a_n : K_{m(n)} \to L_n\) nous sont donnés. Nous pouvons supposer que \(m(1) < m(2) < m(3) < \ldots\) et que les morphismes \(a_n\) sont compatibles avec les morphismes de transition des systèmes. Nous pouvons alors considérer les morphismes \[a', a'' : \prod K_n \longrightarrow \prod L_n\] définis par les règles \(a'((k_n)) = (a_n(k_{m(n)}))\) et \[a''((k_n)) = (a_n(k_{m(n)} + f(k_{m(n) + 1}) + \ldots + f(k_{m(n + 1) - 1})))\] où chaque occurrence de \(f\) désigne un morphisme de transition approprié du système projectif \((K_n)\). Le diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ K \ar[r] \ar@{..>}[d] & \prod K_n \ar[r] \ar[d]^{a'} & \prod K_n \ar[d]^{a''} \\ L \ar[r] & \prod L_n \ar[r] & \prod L_n }\] est commutatif et, d’après TR3, nous obtenons la flèche en pointillé qui en fait un morphisme de triangles distingués. Nous avertissons le lecteur que le morphisme \(K \to L\) n’est pas unique. Nous verrons plus loin que, si \(a\) est un pro-isomorphisme, alors \(K \to L\) est un isomorphisme; voir Algèbre complémentaire, Lemme 0H9L.
Remarque
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\mathcal{A}\). Les complexes \(\tau_{\geq -n}K^\bullet\) forment un système projectif de complexes, et déterminent en particulier un système projectif dans \(D(\mathcal{A})\). Supposons que \(R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet\) existe. Les morphismes canoniques \(c_n : K^\bullet \to \tau_{\geq -n}K^\bullet\) sont alors compatibles avec les morphismes de transition de notre système projectif. Le triangle distingué de la Définition 08TC et le Lemme 0149 montrent qu’il existe un morphisme \[c : K^\bullet \longrightarrow R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet\] dans \(D(\mathcal{A})\) tel que la composée de \(c\) avec la projection \(R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet \to \tau_{\geq -m}K^\bullet\) soit égale à \(c_m\). Le morphisme \(c\) peut ne pas être unique, mais nous affirmons que le fait que \(c\) soit ou non un isomorphisme est indépendant du choix de \(c\) (et de notre choix de la limite homotopique). En effet, pour \(i \in \mathbf{Z}\) et \(m > -i\), la composée \[H^i(K^\bullet) \xrightarrow{H^i(c)} H^i(R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet) \to H^i(\tau_{\geq -m}K^\bullet) = H^i(K^\bullet)\] est l’identité. Ainsi, \(H^i(c)\) est un isomorphisme si et seulement si le second morphisme est un isomorphisme. Cette propriété est indépendante de \(c\), ainsi que du choix de la limite homotopique (car deux choix quelconques sont isomorphes).
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne possédant des produits dénombrables et assez d’injectifs. Soit \(K^\bullet\) un complexe. Soit \(I_n^\bullet\) le système projectif de complexes bornés à gauche d’objets injectifs produit par le Lemme 070F. Alors \(I^\bullet = \lim I_n^\bullet\) existe, est K-injectif, représente \(R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet\) dans \(D(\mathcal{A})\), et les conditions suivantes sont équivalentes :
le morphisme \(K^\bullet \to I^\bullet\) (voir la preuve) est un quasi-isomorphisme,
le morphisme \(K^\bullet \to R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet\) de la Remarque 0H72 est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{A})\).
Démonstration
L’énoncé du lemme a un sens, car \(R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet\) existe d’après le Lemme 0BK7. Chaque complexe \(I_n^\bullet\) est K-injectif d’après le Lemme 070J. Choisissons des décompositions en somme directe \(I_{n + 1}^p = C_{n + 1}^p \oplus I_n^p\) pour tout \(n \geq 1\). Posons \(C_1^p = I_1^p\). Le complexe \(I^\bullet = \lim I_n^\bullet\) existe, car nous pouvons prendre \(I^p = \prod_{n \geq 1} C_n^p\). Fixons \(p \in \mathbf{Z}\). Nous affirmons qu’il existe une suite exacte courte scindée \[0 \to I^p \to \prod I_n^p \to \prod I_n^p \to 0\] d’objets de \(\mathcal{A}\). Ici, le premier morphisme est donné par les projections \(I^p \to I_n^p\), et le second par \((x_n) \mapsto (x_n - f^p_{n + 1}(x_{n + 1}))\), où \(f^p_n : I_n^p \to I_{n - 1}^p\) sont les morphismes de transition. Le scindage provient du morphisme \(\prod I_n^p \to \prod C_n^p = I^p\). Nous obtenons une suite exacte courte de complexes, scindée terme à terme, \[0 \to I^\bullet \to \prod I_n^\bullet \to \prod I_n^\bullet \to 0\] et donc un triangle distingué associé dans \(K(\mathcal{A})\) et dans \(D(\mathcal{A})\). D’après le Lemme 0BK6, les produits sont K-injectifs et représentent les produits correspondants dans \(D(\mathcal{A})\). Il s’ensuit que \(I^\bullet\) représente \(R\lim I_n^\bullet\) (Définition 08TC). Comme \(R\lim I_n^\bullet \cong R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet\), puisque les limites dérivées sont définies au niveau de la catégorie dérivée, nous voyons que \(I^\bullet\) représente \(R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet\). De plus, le complexe \(I^\bullet\) est K-injectif d’après le Lemme 090X. Le diagramme commutatif du Lemme 070F et l’égalité \(K^i = (\tau_{\geq -n}K^\bullet)^i\) pour \(n \gg 0\) montrent que nous obtenons un unique morphisme \(\gamma : K^\bullet \to I^\bullet\) tel que les diagrammes \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r] \ar[d]_\gamma & \tau_{\geq -n} K^\bullet \ar[d] \\ I^\bullet \ar[r] & I_n^\bullet }\] commutent. Il s’ensuit que \(\gamma\) est un morphisme de complexes qui représente le morphisme \(c : K^\bullet \to R\lim \tau_{\geq -n}K^\bullet\) de la Remarque 0H72 dans \(D(\mathcal{A})\). Autrement dit, le diagramme \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_-c \ar[d]_\gamma & R\lim \tau_{\geq -n} K^\bullet \ar[d]^{\cong} \\ I^\bullet \ar[r]^-{\cong} & R\lim I_n^\bullet }\] est commutatif dans \(D(\mathcal{A})\). Le lemme en résulte.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne possédant assez d’injectifs et dont les produits dénombrables sont exacts. Alors, pour tout complexe, il existe un quasi-isomorphisme vers un complexe K-injectif.
Démonstration
D’après le Lemme 070M, il suffit de montrer que \(K \to R\lim\tau_{\geq -n}K\) est un isomorphisme pour tout \(K\) dans \(D(\mathcal{A})\). Considérons le triangle distingué qui le définit : \[R\lim\tau_{\geq -n}K \to \prod \tau_{\geq -n}K \to \prod \tau_{\geq -n}K \to (R\lim\tau_{\geq -n}K)[1]\] D’après le Lemme 07KC, nous avons \[H^p(\prod \tau_{\geq -n}K) = \prod\nolimits_{p \geq -n} H^p(K)\] La suite exacte longue de cohomologie du triangle distingué affiché montre alors immédiatement que \(H^p(R\lim \tau_{\geq -n}K) = H^p(K)\).
Opérations sur les sous-catégories pleines
Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée. Nous identifierons les sous-catégories pleines de \(\mathcal{T}\) aux sous-ensembles de \(\Ob(\mathcal{T})\). Étant données des sous-catégories pleines \(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \ldots\), nous notons
\(\mathcal{A}[a, b]\), pour \(-\infty \leq a \leq b \leq \infty\), la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{T}\) formée de tous les objets \(A[-i]\) avec \(i \in [a, b] \cap \mathbf{Z}\) et \(A \in \Ob(\mathcal{A})\) (attention au signe moins!),
\(smd(\mathcal{A})\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{T}\) formée de tous les objets isomorphes à des facteurs directs d’objets de \(\mathcal{A}\),
\(add(\mathcal{A})\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{T}\) formée de tous les objets isomorphes à des sommes directes finies d’objets de \(\mathcal{A}\),
\(\mathcal{A} \star \mathcal{B}\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{T}\) formée de tous les objets \(X\) de \(\mathcal{T}\) qui s’insèrent dans un triangle distingué \(A \to X \to B\), avec \(A \in \Ob(\mathcal{A})\) et \(B \in \Ob(\mathcal{B})\),
\(\mathcal{A}^{\star n} = \mathcal{A} \star \ldots \star \mathcal{A}\), avec \(n \geq 1\) facteurs (nous verrons ci-dessous que \(\star\) est associative),
\(smd(add(\mathcal{A})^{\star n}) = smd(add(\mathcal{A}) \star \ldots \star add(\mathcal{A}))\), avec \(n \geq 1\) facteurs.
Si \(E\) est un objet de \(\mathcal{T}\), nous considérons parfois aussi \(E\) comme la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{T}\) dont l’unique objet est \(E\). Nous pouvons alors considérer des expressions telles que \(add(E[-1, 2])\), et ainsi de suite. Nous avertissons le lecteur que cette notation n’est pas universellement admise.
Lemme
Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée. Étant données des sous-catégories pleines \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{C}\), nous avons \((\mathcal{A} \star \mathcal{B}) \star \mathcal{C} = \mathcal{A} \star (\mathcal{B} \star \mathcal{C})\).
Démonstration
Si nous avons des triangles distingués \(A \to X \to B\) et \(X \to Y \to C\), l’Axiome TR4 fournit des triangles distingués \(A \to Y \to Z\) et \(B \to Z \to C\).
Lemme
Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée. Étant données des sous-catégories pleines \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), nous avons \(smd(\mathcal{A}) \star smd(\mathcal{B}) \subset smd(\mathcal{A} \star \mathcal{B})\) et \(smd(smd(\mathcal{A}) \star smd(\mathcal{B})) = smd(\mathcal{A} \star \mathcal{B})\).
Démonstration
Supposons donné un triangle distingué \(A_1 \to X \to B_1\), où \(A_1 \oplus A_2 \in \Ob(\mathcal{A})\) et \(B_1 \oplus B_2 \in \Ob(\mathcal{B})\). Nous obtenons alors un triangle distingué \(A_1 \oplus A_2 \to A_2 \oplus X \oplus B_2 \to B_1 \oplus B_2\), ce qui prouve que \(X\) appartient à \(smd(\mathcal{A} \star \mathcal{B})\). Cela prouve l’inclusion. L’égalité s’en déduit immédiatement.
Lemme
Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée. Étant données des sous-catégories pleines \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\), les sous-catégories pleines \(add(\mathcal{A}) \star add(\mathcal{B})\) et \(smd(add(\mathcal{A}))\) sont stables par sommes directes.
Démonstration
En effet, si \(A \to X \to B\) et \(A' \to X' \to B'\) sont des triangles distingués, avec \(A, A' \in add(\mathcal{A})\) et \(B, B' \in add(\mathcal{B})\), alors \(A \oplus A' \to X \oplus X' \to B \oplus B'\) est un triangle distingué, avec \(A \oplus A' \in add(\mathcal{A})\) et \(B \oplus B' \in add(\mathcal{B})\). Le résultat pour \(smd(add(\mathcal{A}))\) est immédiat.
Lemme
Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée. Étant donnée une sous-catégorie pleine \(\mathcal{A}\), pour \(n \geq 1\) la sous-catégorie \[\mathcal{C}_n = smd(add(\mathcal{A})^{\star n}) = smd(add(\mathcal{A}) \star \ldots \star add(\mathcal{A}))\] définie ci-dessus est une sous-catégorie strictement pleine de \(\mathcal{T}\), stable par sommes directes et facteurs directs, et \(\mathcal{C}_{n + m} = smd(\mathcal{C}_n \star \mathcal{C}_m)\) pour tous \(n, m \geq 1\).
Démonstration
Remarque
Soit \(F : \mathcal{T} \to \mathcal{T}'\) un foncteur exact entre catégories triangulées. Étant donnée une sous-catégorie pleine \(\mathcal{A}\) de \(\mathcal{T}\), nous notons \(F(\mathcal{A})\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{T}'\) dont les objets sont tous les objets \(F(A)\), avec \(A \in \Ob(\mathcal{A})\). Nous avons \[F(\mathcal{A}[a, b]) = F(\mathcal{A})[a, b]\] \[F(smd(\mathcal{A})) \subset smd(F(\mathcal{A})),\] \[F(add(\mathcal{A})) \subset add(F(\mathcal{A})),\] \[F(\mathcal{A} \star \mathcal{B}) \subset F(\mathcal{A}) \star F(\mathcal{B}),\] \[F(\mathcal{A}^{\star n}) \subset F(\mathcal{A})^{\star n}.\] Nous omettons les vérifications immédiates.
Remarque
Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée. Étant données des sous-catégories pleines \(\mathcal{A}_1 \subset \mathcal{A}_2 \subset \mathcal{A}_3 \subset \ldots\) et \(\mathcal{B}\) de \(\mathcal{T}\), nous avons \[\left(\bigcup \mathcal{A}_i\right)[a, b] = \bigcup \mathcal{A}_i[a, b]\] \[smd\left(\bigcup \mathcal{A}_i\right) = \bigcup smd(\mathcal{A}_i),\] \[add\left(\bigcup \mathcal{A}_i\right) = \bigcup add(\mathcal{A}_i),\] \[\left(\bigcup \mathcal{A}_i\right) \star \mathcal{B} = \bigcup \mathcal{A}_i \star \mathcal{B},\] \[\mathcal{B} \star \left(\bigcup \mathcal{A}_i\right) = \bigcup \mathcal{B} \star \mathcal{A}_i,\] \[\left(\bigcup \mathcal{A}_i\right)^{\star n} = \bigcup \mathcal{A}_i^{\star n}.\] Nous omettons les vérifications immédiates.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\mathcal{D} = D(\mathcal{A})\). Soit \(\mathcal{E} \subset \Ob(\mathcal{A})\) un sous-ensemble, que nous considérons aussi comme un sous-ensemble de \(\Ob(\mathcal{D})\). Soit \(K\) un objet de \(\mathcal{D}\).
Soit \(b \geq a\) et supposons que \(H^i(K)\) soit nul pour \(i \not \in [a, b]\) et que \(H^i(K) \in \mathcal{E}\) si \(i \in [a, b]\). Alors \(K\) appartient à \(smd(add(\mathcal{E}[a, b])^{\star (b - a + 1)})\).
Soit \(b \geq a\) et supposons que \(H^i(K)\) soit nul pour \(i \not \in [a, b]\) et que \(H^i(K) \in smd(add(\mathcal{E}))\) si \(i \in [a, b]\). Alors \(K\) appartient à \(smd(add(\mathcal{E}[a, b])^{\star (b - a + 1)})\).
Soit \(b \geq a\) et supposons que \(K\) puisse être représenté par un complexe \(K^\bullet\) tel que \(K^i = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\) et \(K^i \in \mathcal{E}\) pour \(i \in [a, b]\). Alors \(K\) appartient à \(smd(add(\mathcal{E}[a, b])^{\star (b - a + 1)})\).
Soit \(b \geq a\) et supposons que \(K\) puisse être représenté par un complexe \(K^\bullet\) tel que \(K^i = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\) et \(K^i \in smd(add(\mathcal{E}))\) pour \(i \in [a, b]\). Alors \(K\) appartient à \(smd(add(\mathcal{E}[a, b])^{\star (b - a + 1)})\).
Démonstration
Nous utiliserons le Lemme 0FX4 sans autre mention. Nous allons démontrer (2), qui entraîne immédiatement (1). Raisonnons par récurrence sur \(b - a\). Si \(b - a = 0\), alors \(K\) est isomorphe à \(H^i(K)[-a]\) dans \(\mathcal{D}\), et le résultat est immédiat. Si \(b - a > 0\), considérons le triangle distingué \[\tau_{\leq b - 1}K^\bullet \to K^\bullet \to K^b[-b]\] et concluons par récurrence sur \(b - a\). Nous omettons la preuve de (3) et (4).
Lemme
Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée. Soit \(H : \mathcal{T} \to \mathcal{A}\) un foncteur homologique à valeurs dans une catégorie abélienne \(\mathcal{A}\). Soient \(a \leq b\) et \(\mathcal{E} \subset \Ob(\mathcal{T})\) un sous-ensemble tel que \(H^i(E) = 0\) pour \(E \in \mathcal{E}\) et \(i \not \in [a, b]\). Alors, pour \(X \in smd(add(\mathcal{E}[-m, m])^{\star n})\), nous avons \(H^i(X) = 0\) pour \(i \not \in [-m + na, m + nb]\).
Démonstration
Omis. Agréable exercice sur les définitions.
Générateurs de catégories triangulées
Dans cette section, nous introduisons brièvement quelques-unes des différentes notions de générateur d’une catégorie triangulée. Notre terminologie est tirée de [BvdB] (si ce n’est que nous employons « saturée » là où les auteurs disent « épaisse »; voir Définition 05RB; notre définition de \(add(\mathcal{A})\) est également différente).
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(E\) un objet de \(\mathcal{D}\). Notons \(\langle E \rangle_1\) la sous-catégorie strictement pleine de \(\mathcal{D}\) formée des objets de \(\mathcal{D}\) isomorphes à des facteurs directs de sommes directes finies \[\bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} E[n_i]\] de translatés de \(E\). Il est clair qu’avec les notations de la section 0FX0, nous avons \[\langle E \rangle_1 = smd(add(E[-\infty, \infty]))\] Pour \(n > 1\), notons \(\langle E \rangle_n\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{D}\) formée des objets de \(\mathcal{D}\) isomorphes à des facteurs directs d’objets \(X\) qui s’insèrent dans un triangle distingué \[A \to X \to B \to A[1]\] où \(A\) est un objet de \(\langle E \rangle_1\) et \(B\) un objet de \(\langle E \rangle_{n - 1}\). Avec les notations de la section 0FX0, nous avons \[\langle E \rangle_n = smd(\langle E \rangle_1 \star \langle E \rangle_{n - 1})\] Chacune des catégories \(\langle E \rangle_n\) est une sous-catégorie additive strictement pleine (d’après le Lemme 0FX3) de \(\mathcal{D}\), stable par translations et par passage aux facteurs directs. Toutefois, \(\langle E \rangle_n\) n’est pas nécessairement stable par « formation des cônes » ou par « extensions »; ce n’est donc pas nécessairement une sous-catégorie triangulée. Cela sera en revanche vrai pour la sous-catégorie \[\langle E \rangle = \bigcup\nolimits_n \langle E \rangle_n\] comme le montreront les lemmes ci-dessous.
Lemme
Soit \(\mathcal{T}\) une catégorie triangulée. Soit \(E\) un objet de \(\mathcal{T}\). Pour \(n \geq 1\), nous avons \[\langle E \rangle_n = smd(\langle E \rangle_1 \star \ldots \star \langle E \rangle_1) = smd({\langle E \rangle_1}^{\star n}) = \bigcup\nolimits_{m \geq 1} smd(add(E[-m, m])^{\star n})\] Pour \(n, n' \geq 1\), nous avons \(\langle E \rangle_{n + n'} = smd(\langle E \rangle_n \star \langle E \rangle_{n'})\).
Démonstration
L’égalité de gauche dans la formule affichée résulte des Lemmes 0FX1 et 0FX2, ainsi que d’une récurrence. L’égalité du milieu est une question de notation. Comme \(\langle E \rangle_1 = smd(add(E[-\infty, \infty])])\) et \(E[-\infty, \infty] = \bigcup_{m \geq 1} E[-m, m]\), la Remarque 0FX6 et le Lemme 0FX2 donnent l’égalité de droite. La dernière assertion découle alors de cette remarque et de l’assertion correspondante du Lemme 0FX4.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(E\) un objet de \(\mathcal{D}\). La sous-catégorie \[\langle E \rangle = \bigcup\nolimits_n \langle E \rangle_n = \bigcup\nolimits_{n, m \geq 1} smd(add(E[-m, m])^{\star n})\] est une sous-catégorie triangulée, saturée et strictement pleine de \(\mathcal{D}\); c’est la plus petite sous-catégorie de ce type de \(\mathcal{D}\) qui contienne l’objet \(E\).
Démonstration
L’égalité de droite résulte du Lemme 0FX9. Il est clair que \(\langle E \rangle = \bigcup \langle E \rangle_n\) contient \(E\) et est stable par translations, sommes directes et facteurs directs. Si \(A \in \langle E \rangle_a\) et \(B \in \langle E \rangle_b\), et si \(A \to X \to B \to A[1]\) est un triangle distingué, alors \(X \in \langle E \rangle_{a + b}\) d’après le Lemme 0FX9. Ainsi, \(\bigcup \langle E \rangle_n\) est aussi stable par extensions; il s’ensuit que c’est une sous-catégorie triangulée.
Enfin, soit \(\mathcal{D}' \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie triangulée, saturée et strictement pleine de \(\mathcal{D}\) qui contienne \(E\). Alors \(\mathcal{D}'[-\infty, \infty] \subset \mathcal{D}'\), \(add(\mathcal{D}) \subset \mathcal{D}'\), \(smd(\mathcal{D}') \subset \mathcal{D}'\) et \(\mathcal{D}' \star \mathcal{D}' \subset \mathcal{D}'\). Autrement dit, toutes les opérations dont nous nous sommes servis pour construire \(\langle E \rangle\) à partir de \(E\) préservent \(\mathcal{D}'\). Par conséquent, \(\langle E \rangle \subset \mathcal{D}'\), ce qui achève la preuve.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(E\) un objet de \(\mathcal{D}\).
On dit que \(E\) est un générateur classique de \(\mathcal{D}\) si la plus petite sous-catégorie triangulée, saturée et strictement pleine de \(\mathcal{D}\) qui contienne \(E\) est égale à \(\mathcal{D}\); autrement dit, si \(\langle E \rangle = \mathcal{D}\).
On dit que \(E\) est un générateur fort de \(\mathcal{D}\) si \(\langle E \rangle_n = \mathcal{D}\) pour un certain \(n \geq 1\).
On dit que \(E\) est un générateur faible, ou un générateur, de \(\mathcal{D}\) si, pour tout objet non nul \(K\) de \(\mathcal{D}\), il existe un entier \(n\) et un morphisme non nul \(E \to K[n]\).
Cette définition se généralise au cas d’une famille d’objets.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soient \(E, K\) des objets de \(\mathcal{D}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(\Hom(E, K[i]) = 0\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\),
\(\Hom(E', K) = 0\) pour tout \(E' \in \langle E \rangle\).
Démonstration
L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est immédiate. Réciproquement, supposons (1). Alors \(\Hom(X, K) = 0\) pour tout \(X\) dans \(\langle E \rangle_1\). En raisonnant par récurrence sur \(n\) et en utilisant le Lemme 0149, nous voyons que \(\Hom(X, K) = 0\) pour tout \(X\) dans \(\langle E \rangle_n\).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(E\) un objet de \(\mathcal{D}\). Si \(E\) est un générateur classique de \(\mathcal{D}\), alors \(E\) est un générateur.
Démonstration
Supposons que \(E\) soit un générateur classique. Soit \(K\) un objet de \(\mathcal{D}\) tel que \(\Hom(E, K[i]) = 0\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\). D’après le Lemme 09SK, \(\Hom(E', K) = 0\) pour tout \(E'\) dans \(\langle E \rangle\). Or, puisque \(\mathcal{D} = \langle E \rangle\), nous concluons que \(\text{id}_K = 0\), c’est-à-dire que \(K = 0\).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant un générateur fort. Soit \(E\) un objet de \(\mathcal{D}\). Si \(E\) est un générateur classique de \(\mathcal{D}\), alors \(E\) est un générateur fort.
Démonstration
Soit \(E'\) un objet de \(\mathcal{D}\) tel que \(\mathcal{D} = \langle E' \rangle_n\). Comme \(\mathcal{D} = \langle E \rangle\), nous avons \(E' \in \langle E \rangle_m\) pour un certain \(m \geq 1\), d’après le Lemme 0ATG. Alors \(\langle E' \rangle_1 \subset \langle E \rangle_m\), donc \[\mathcal{D} = \langle E' \rangle_n = smd( \langle E' \rangle_1 \star \ldots \star \langle E' \rangle_1) \subset smd( \langle E \rangle_m \star \ldots \star \langle E \rangle_m) = \langle E \rangle_{nm}\] comme voulu. Nous avons utilisé ici le Lemme 0FX9.
Remarque
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(E\) un objet de \(\mathcal{D}\). Soit \(T\) une propriété des objets de \(\mathcal{D}\). Supposons que
si \(K_i \in \mathcal{D}\), \(i = 1, \ldots, r\), et si \(T(K_i)\) pour \(i = 1, \ldots, r\), alors \(T(\bigoplus K_i)\),
si \(K \to L \to M \to K[1]\) est un triangle distingué et que \(T\) est vraie pour deux de ces objets, alors \(T\) est vraie pour le troisième,
si \(T(K \oplus L)\), alors \(T(K)\) et \(T(L)\), et
\(T(E[n])\) est vraie pour tout \(n\).
Alors \(T\) est vraie pour tous les objets de \(\langle E \rangle\).
Objets compacts
Voici la définition.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie additive possédant des sommes directes arbitraires. Un objet compact de \(\mathcal{D}\) est un objet \(K\) tel que l’application \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \Hom_{\mathcal{D}}(K, E_i) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{D}}(K, \bigoplus\nolimits_{i \in I} E_i)\] soit bijective pour tout ensemble \(I\) et tous objets \(E_i \in \Ob(\mathcal{D})\) paramétrés par \(i \in I\).
Cette notion s’avère très utile en géométrie algébrique. C’est une condition intrinsèque sur les objets qui les force à être, précisément, compacts.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie (pré-)triangulée possédant des sommes directes. Alors les objets compacts de \(\mathcal{D}\) sont les objets d’une sous-catégorie (pré-)triangulée, karoubienne, saturée et strictement pleine \(\mathcal{D}_c\) de \(\mathcal{D}\).
Démonstration
Soit \((X, Y, Z, f, g, h)\) un triangle distingué de \(\mathcal{D}\) tel que \(X\) et \(Y\) soient compacts. Le Lemme 0149 et le lemme des cinq (Homologie, Lemme 05QB) montrent alors que \(Z\) est lui aussi un objet compact. Il est clair que, si \(X \oplus Y\) est compact, alors \(X\), \(Y\) sont eux aussi des objets compacts. Ainsi, \(\mathcal{D}_c\) est une sous-catégorie triangulée saturée. Comme \(\mathcal{D}\) est karoubienne d’après le Lemme 05QW, nous concluons qu’il en est de même de \(\mathcal{D}_c\).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant des sommes directes. Soit \(E_i\), \(i \in I\), une famille d’objets compacts de \(\mathcal{D}\) telle que \(\bigoplus E_i\) engendre \(\mathcal{D}\). Alors tout objet \(X\) de \(\mathcal{D}\) peut s’écrire \[X = \text{hocolim} X_n\] où \(X_1\) est une somme directe de translatés des \(E_i\), et où chaque morphisme de transition s’insère dans un triangle distingué \(Y_n \to X_n \to X_{n + 1} \to Y_n[1]\), où \(Y_n\) est une somme directe de translatés des \(E_i\).
Démonstration
Posons \(X_1 = \bigoplus_{(i, m, \varphi)} E_i[m]\), où la somme directe porte sur tous les triplets \((i, m, \varphi)\) tels que \(i \in I\), \(m \in \mathbf{Z}\) et \(\varphi : E_i[m] \to X\). Alors \(X_1\) est muni d’un morphisme canonique \(X_1 \to X\). Étant donné \(X_n \to X\), posons \(Y_n = \bigoplus_{(i, m, \varphi)} E_i[m]\), où la somme directe porte sur tous les triplets \((i, m, \varphi)\) tels que \(i \in I\), \(m \in \mathbf{Z}\) et que \(\varphi : E_i[m] \to X_n\) soit un morphisme tel que \(E_i[m] \to X_n \to X\) soit nul. Choisissons un triangle distingué \(Y_n \to X_n \to X_{n + 1} \to Y_n[1]\) et prenons pour \(X_{n + 1} \to X\) un morphisme quelconque tel que \(X_n \to X_{n + 1} \to X\) soit le morphisme donné; un tel morphisme existe par notre choix de \(Y_n\). Nous obtenons un morphisme \(\text{hocolim} X_n \to X\) par construction à partir des morphismes \(X_n \to X\). Choisissons un triangle distingué \[C \to \text{hocolim} X_n \to X \to C[1]\] Soit \(E_i[m] \to C\) un morphisme. Comme \(E_i\) est compact, le Lemme 094A implique que la composée \(E_i[m] \to C \to \text{hocolim} X_n\) se factorise par \(X_n\) pour un certain \(n\), disons par \(E_i[m] \to X_n\). La construction de \(Y_n\) montre alors que la composée \(E_i[m] \to X_n \to X_{n + 1}\) est nulle. Autrement dit, la composée \(E_i[m] \to C \to \text{hocolim} X_n\) est nulle. Cela signifie que notre morphisme \(E_i[m] \to C\) provient d’un morphisme \(E_i[m] \to X[-1]\). La construction de \(X_1\) montre alors qu’un tel morphisme se relève à \(\text{hocolim} X_n\), et nous concluons que notre morphisme \(E_i[m] \to C\) est nul. L’hypothèse selon laquelle \(\bigoplus E_i\) engendre \(\mathcal{D}\) entraîne que \(C\) est nul, ce qui achève la preuve.
Lemme
Sous les hypothèses et avec les notations du Lemme 09SN, si \(C\) est un objet compact et \(C \to X_n\) un morphisme, alors il existe une factorisation \(C \to E \to X_n\), où \(E\) est un objet de \(\langle E_{i_1} \oplus \ldots \oplus E_{i_t} \rangle\) pour certains \(i_1, \ldots, i_t \in I\).
Démonstration
Raisonnons par récurrence sur \(n\). Le cas initial \(n = 1\) est clair. Si \(n > 1\), considérons la composée \(C \to X_n \to Y_{n - 1}[1]\). Elle se factorise par un morphisme \(E'[1] \to Y_{n - 1}[1]\), où \(E'\) est une somme directe finie de translatés des \(E_i\). Soit \(I' \subset I\) l’ensemble fini des indices qui interviennent dans cette somme directe. Nous obtenons ainsi \[\xymatrix{ E' \ar[r] \ar[d] & C' \ar[r] \ar[d] & C \ar[r] \ar[d] & E'[1] \ar[d] \\ Y_{n - 1} \ar[r] & X_{n - 1} \ar[r] & X_n \ar[r] & Y_{n - 1}[1] }\] Par récurrence, le morphisme \(C' \to X_{n - 1}\) se factorise par \(E'' \to X_{n - 1}\), avec \(E''\) objet de \(\langle \bigoplus_{i \in I''} E_i \rangle\) pour un certain sous-ensemble fini \(I'' \subset I\). Choisissons un triangle distingué \[E' \to E'' \to E \to E'[1]\] Alors \(E\) est un objet de \(\langle \bigoplus_{i \in I' \cup I''} E_i \rangle\). Par construction et d’après les axiomes d’une catégorie triangulée, nous pouvons choisir des morphismes \(C \to E\) et \(E \to X_n\) qui s’insèrent dans des morphismes de triangles \((E', C', C) \to (E', E'', E)\) et \((E', E'', E) \to (Y_{n - 1}, X_{n - 1}, X_n)\). La composée \(C \to E \to X_n\) peut ne pas être égale au morphisme donné \(C \to X_n\), mais leurs composées vers \(Y_{n - 1}\) sont égales. Soit \(C \to X_{n - 1}\) un morphisme qui relève leur différence. Par hypothèse de récurrence, nous pouvons le factoriser par un morphisme \(E''' \to X_{n - 1}\), où \(E''\) est un objet de \(\langle \bigoplus_{i \in I'''} E_i \rangle\) pour un certain sous-ensemble fini \(I' \subset I\). Nous obtenons donc une solution en considérant \(E \oplus E''' \to X_n\), car \(E \oplus E'''\) est un objet de \(\langle \bigoplus_{i \in I' \cup I'' \cup I'''} E_i \rangle\).
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant des sommes directes arbitraires. On dit que \(\mathcal{D}\) est compactement engendrée s’il existe un ensemble d’objets compacts \(E_i\), \(i \in I\), tel que \(\bigoplus E_i\) engendre \(\mathcal{D}\).
La proposition suivante précise la relation entre générateurs classiques et générateurs faibles.
Proposition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant des sommes directes. Soit \(E\) un objet compact de \(\mathcal{D}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(E\) est un générateur classique de \(\mathcal{D}_c\) et \(\mathcal{D}\) est compactement engendrée, et
\(E\) est un générateur de \(\mathcal{D}\).
Démonstration
Si \(E\) est un générateur classique de \(\mathcal{D}_c\), alors \(\mathcal{D}_c = \langle E \rangle\). L’hypothèse que \(\mathcal{D}\) est compactement engendrée et le Lemme 09SK entraînent formellement que \(E\) est un générateur de \(\mathcal{D}\).
La réciproque est plus intéressante. Supposons que \(E\) soit un générateur de \(\mathcal{D}\). Soit \(X\) un objet compact de \(\mathcal{D}\). Appliquons le Lemme 09SN avec \(I = \{1\}\) et \(E_1 = E\) pour écrire \[X = \text{hocolim} X_n\] comme dans le lemme. Puisque \(X\) est compact, nous trouvons que \(X \to \text{hocolim} X_n\) se factorise par \(X_n\) pour un certain \(n\) (Lemme 094A). Ainsi, \(X\) est un facteur direct de \(X_n\). D’après le Lemme 09SP, \(X\) est un objet de \(\langle E \rangle\), ce qui prouve le lemme.
Représentabilité de Brown
La référence pour les résultats de cette section est [Neeman-Grothendieck].
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant des sommes directes et compactement engendrée. Soit \(H : \mathcal{D} \to \textit{Ab}\) un foncteur cohomologique contravariant qui transforme les sommes directes en produits. Alors \(H\) est représentable.
Démonstration
Soit \(E_i\), \(i \in I\), un ensemble d’objets compacts tel que \(\bigoplus_{i \in I} E_i\) engendre \(\mathcal{D}\). Nous pouvons supposer, et nous supposerons, que l’ensemble d’objets \(\{E_i\}\) est stable par translations. Considérons les paires \((i, a)\), où \(i \in I\) et \(a \in H(E_i)\), et posons \[X_1 = \bigoplus\nolimits_{(i, a)} E_i\] Comme \(H(X_1) = \prod_{(i, a)} H(E_i)\), nous voyons que \((a)_{(i, a)}\) définit un élément \(a_1 \in H(X_1)\). Posons \(H_1 = \Hom_\mathcal{D}(- , X_1)\). D’après le lemme de Yoneda (Catégories, Lemme 001P), l’élément \(a_1\) définit une transformation naturelle \(H_1 \to H\).
Nous allons construire par récurrence des \(X_n\) et des transformations \(a_n : H_n \to H\), où \(H_n = \Hom_\mathcal{D}(-, X_n)\). Plus précisément, appliquons le procédé précédent au foncteur \(\Ker(H_n \to H)\) pour obtenir un objet \[K_{n + 1} = \bigoplus\nolimits_{(i, k),\ k \in \Ker(H_n(E_i) \to H(E_i))} E_i\] et une transformation \(\Hom_\mathcal{D}(-, K_{n + 1}) \to \Ker(H_n \to H)\). D’après le lemme de Yoneda, la composée \(\Hom_\mathcal{D}(-, K_{n + 1}) \to H_n\) donne un morphisme \(K_{n + 1} \to X_n\). Choisissons un triangle distingué \[K_{n + 1} \to X_n \to X_{n + 1} \to K_{n + 1}[1]\] dans \(\mathcal{D}\). Par construction, l’élément \(a_n \in H(X_n)\) a une image nulle dans \(H(K_{n + 1})\). Comme \(H\) est cohomologique, nous pouvons le relever en un élément \(a_{n + 1} \in H(X_{n + 1})\).
Nous affirmons que \(X = \text{hocolim} X_n\) représente \(H\). En appliquant \(H\) au triangle distingué qui définit cette colimite, \[\bigoplus X_n \to \bigoplus X_n \to X \to \bigoplus X_n[1]\] nous obtenons une suite exacte \[\prod H(X_n) \leftarrow \prod H(X_n) \leftarrow H(X)\] Il existe donc un élément \(a \in H(X)\) qui s’envoie sur \((a_n)\) dans \(\prod H(X_n)\). Nous obtenons ainsi une transformation naturelle \(\Hom_\mathcal{D}(- , X) \to H\) telle que le diagramme \[\Hom_\mathcal{D}(-, X_1) \to \Hom_\mathcal{D}(-, X_2) \to \Hom_\mathcal{D}(-, X_3) \to \ldots \to \Hom_\mathcal{D}(-, X) \to H\] commute. Pour chaque \(i\), l’application \(\Hom_\mathcal{D}(E_i, X) \to H(E_i)\) est surjective, par construction de \(X_1\). D’autre part, par construction de \(X_n \to X_{n + 1}\), le noyau de \(\Hom_\mathcal{D}(E_i, X_n) \to H(E_i)\) est annulé par l’application \(\Hom_\mathcal{D}(E_i, X_n) \to \Hom_\mathcal{D}(E_i, X_{n + 1})\). Comme \[\Hom_\mathcal{D}(E_i, X) = \colim \Hom_\mathcal{D}(E_i, X_n)\] d’après le Lemme 094A, nous voyons que \(\Hom_\mathcal{D}(E_i, X) \to H(E_i)\) est injective.
Pour achever la preuve, considérons la sous-catégorie \[\mathcal{D}' = \{Y \in \Ob(\mathcal{D}) \mid \Hom_\mathcal{D}(Y[n], X) \to H(Y[n]) \text{ est un isomorphisme pour tout }n\}\] Comme \(\Hom_\mathcal{D}(-, X) \to H\) est une transformation entre foncteurs cohomologiques, la sous-catégorie \(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie triangulée, saturée et strictement pleine de \(\mathcal{D}\) (détails omis; voir la preuve du Lemme 05RD). De plus, comme \(H\) et \(\Hom_\mathcal{D}(-, X)\) transforment tous deux les sommes directes en produits, les sommes directes d’objets de \(\mathcal{D}'\) appartiennent à \(\mathcal{D}'\). Ainsi, les colimites dérivées d’objets de \(\mathcal{D}'\) appartiennent à \(\mathcal{D}'\). Puisque \(\{E_i\}\) est stable par translations, nous voyons que \(E_i\) est un objet de \(\mathcal{D}'\) pour tout \(i\). Le Lemme 09SN entraîne que \(\mathcal{D}' = \mathcal{D}\), ce qui achève la preuve.
Proposition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant des sommes directes et compactement engendrée. Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact entre catégories triangulées qui transforme les sommes directes en sommes directes. Alors \(F\) possède un adjoint à droite exact.
Démonstration
Pour un objet \(Y\) de \(\mathcal{D}'\), considérons le foncteur contravariant \[\mathcal{D} \to \textit{Ab},\quad W \mapsto \Hom_{\mathcal{D}'}(F(W), Y)\] C’est un foncteur cohomologique puisque \(F\) est exact, et il transforme les sommes directes en produits puisque \(F\) transforme les sommes directes en sommes directes. Le Lemme 0A8F fournit donc un objet \(X\) de \(\mathcal{D}\) tel que \(\Hom_\mathcal{D}(W, X) = \Hom_{\mathcal{D}'}(F(W), Y)\). L’existence de l’adjoint résulte de Catégories, Lemme 0A8B. Son exactitude résulte du Lemme 0A8D.
Représentabilité de Brown, bis
Dans cette section, nous exposons une version de la représentabilité de Brown pour les catégories triangulées qui possèdent un ensemble convenable de générateurs; pour d’autres versions, voir [Franke], [Neeman] et [Krause].
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant des sommes directes. Supposons donné un ensemble \(\mathcal{E}\) d’objets de \(\mathcal{D}\) tel que
si \(X\) est un objet non nul de \(\mathcal{D}\), alors il existe un \(E \in \mathcal{E}\) et un morphisme non nul \(E \to X\), et
étant donnés des objets \(X_n\), \(n \in \mathbf{N}\), de \(\mathcal{D}\), un objet \(E \in \mathcal{E}\) et un morphisme \(\alpha : E \to \bigoplus X_n\), il existe des \(E_n \in \mathcal{E}\), des \(\beta_n : E_n \to X_n\) et un morphisme \(\gamma : E \to \bigoplus E_n\) tels que \(\alpha = (\bigoplus \beta_n) \circ \gamma\).
Soit \(H : \mathcal{D} \to \textit{Ab}\) un foncteur cohomologique contravariant qui transforme les sommes directes en produits. Alors \(H\) est représentable.
Démonstration
Cette preuve est très semblable à celle du Lemme 0A8F. Nous pouvons remplacer \(\mathcal{E}\) par \(\bigcup_{i \in \mathbf{Z}} \mathcal{E}[i]\) et supposer que \(\mathcal{E}\) est stable par translations. Considérons les paires \((E, a)\), où \(E \in \mathcal{E}\) et \(a \in H(E)\), et posons \[X_1 = \bigoplus\nolimits_{(E, a)} E\] Comme \(H(X_1) = \prod_{(E, a)} H(E)\), nous voyons que \((a)_{(E, a)}\) définit un élément \(a_1 \in H(X_1)\). Posons \(H_1 = \Hom_\mathcal{D}(- , X_1)\). D’après le lemme de Yoneda (Catégories, Lemme 001P), l’élément \(a_1\) définit une transformation naturelle \(H_1 \to H\).
Nous allons construire par récurrence des \(X_n\) et des transformations \(a_n : H_n \to H\), où \(H_n = \Hom_\mathcal{D}(-, X_n)\). Plus précisément, appliquons le procédé précédent au foncteur \(\Ker(H_n \to H)\) pour obtenir un objet \[K_{n + 1} = \bigoplus\nolimits_{(E, k),\ k \in \Ker(H_n(E) \to H(E))} E\] et une transformation \(\Hom_\mathcal{D}(-, K_{n + 1}) \to \Ker(H_n \to H)\). D’après le lemme de Yoneda, la composée \(\Hom_\mathcal{D}(-, K_{n + 1}) \to H_n\) donne un morphisme \(K_{n + 1} \to X_n\). Choisissons un triangle distingué \[K_{n + 1} \to X_n \to X_{n + 1} \to K_{n + 1}[1]\] dans \(\mathcal{D}\). Par construction, l’élément \(a_n \in H(X_n)\) a une image nulle dans \(H(K_{n + 1})\). Comme \(H\) est cohomologique, nous pouvons le relever en un élément \(a_{n + 1} \in H(X_{n + 1})\).
Posons \(X = \text{hocolim} X_n\). En appliquant \(H\) au triangle distingué qui le définit, \[\bigoplus X_n \to \bigoplus X_n \to X \to \bigoplus X_n[1]\] nous obtenons une suite exacte \[\prod H(X_n) \leftarrow \prod H(X_n) \leftarrow H(X)\] Il existe donc un élément \(a \in H(X)\) qui s’envoie sur \((a_n)\) dans \(\prod H(X_n)\). Nous obtenons ainsi une transformation naturelle \(\Hom_\mathcal{D}(- , X) \to H\) telle que le diagramme \[\Hom_\mathcal{D}(-, X_1) \to \Hom_\mathcal{D}(-, X_2) \to \Hom_\mathcal{D}(-, X_3) \to \ldots \to \Hom_\mathcal{D}(-, X) \to H\] commute. Nous affirmons que \(\Hom_\mathcal{D}(-, X) \to H(-)\) est un isomorphisme.
Soit \(E \in \mathcal{E}\). Montrons que \[\Hom_\mathcal{D}(E, \bigoplus X_n) \to \Hom_\mathcal{D}(E, \bigoplus X_n)\] est injective. Soit donc \(\alpha : E \to \bigoplus X_n\). L’hypothèse (2) fournit une factorisation \(\alpha = (\bigoplus \beta_n) \circ \gamma\). Comme \(E_n \to X_n \to X_{n + 1}\) est nul par construction, la composée \(\bigoplus E_n \to \bigoplus X_n \to \bigoplus X_n\) est égale à \(\bigoplus \beta_n\). Par conséquent, la composée \(E \to \bigoplus X_n \to \bigoplus X_n\) est elle aussi égale à \(\alpha\). Cela prouve l’injectivité annoncée, et donc également l’injectivité de \[\Hom_\mathcal{D}(E, \bigoplus X_n[1]) \to \Hom_\mathcal{D}(E, \bigoplus X_n[1])\] Il s’ensuit que nous avons une suite exacte \[\Hom_\mathcal{D}(E, \bigoplus X_n) \to \Hom_\mathcal{D}(E, \bigoplus X_n) \to \Hom_\mathcal{D}(E, X) \to 0\] pour tout \(E \in \mathcal{E}\).
Soit \(E \in \mathcal{E}\) et soit \(f : E \to X\) un morphisme. D’après le paragraphe précédent, nous pouvons choisir un \(\alpha : E \to \bigoplus X_n\) qui relève \(f\). L’hypothèse (2) fournit alors une factorisation \(\alpha = (\bigoplus \beta_n) \circ \gamma\). Pour chaque \(n\), il existe un morphisme \(\delta_n : E_n \to X_1\) tel que \(\delta_n\) et \(\beta_n\) aient la même image dans \(H(E_n)\). Alors les composées \[E_n \to X_n \to X_{n + 1} \quad\text{et}\quad E_n \to X_1 \to X_{n + 1}\] sont égales par construction de \(X_n \to X_{n + 1}\). Il s’ensuit que \[\bigoplus E_n \to \bigoplus X_n \to X \quad\text{et}\quad \bigoplus E_n \to \bigoplus X_1 \to X\] sont elles aussi égales. En remarquant que \(\bigoplus X_1 \to X\) se factorise en \(\bigoplus X_1 \to X_1 \to X\), nous concluons que \[\Hom_\mathcal{D}(E, X_1) \to \Hom_\mathcal{D}(E, X)\] est surjective. Comme, par construction, l’application \(\Hom_\mathcal{D}(E, X_1) \to H(E)\) est surjective et que le noyau de cette application est annulé par \(\Hom_\mathcal{D}(E, X_1) \to \Hom_\mathcal{D}(E, X)\), nous concluons que \(\Hom_\mathcal{D}(E, X) \to H(E)\) est une bijection pour tout \(E \in \mathcal{E}\).
Pour achever la preuve, considérons la sous-catégorie \[\mathcal{D}' = \{Y \in \Ob(\mathcal{D}) \mid \Hom_\mathcal{D}(Y[n], X) \to H(Y[n]) \text{ est un isomorphisme pour tout }n\}\] Comme \(\Hom_\mathcal{D}(-, X) \to H\) est une transformation entre foncteurs cohomologiques, la sous-catégorie \(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie triangulée, saturée et strictement pleine de \(\mathcal{D}\) (détails omis; voir la preuve du Lemme 05RD). De plus, comme \(H\) et \(\Hom_\mathcal{D}(-, X)\) transforment tous deux les sommes directes en produits, les sommes directes d’objets de \(\mathcal{D}'\) appartiennent à \(\mathcal{D}'\). Ainsi, les colimites dérivées d’objets de \(\mathcal{D}'\) appartiennent à \(\mathcal{D}'\). Puisque \(\mathcal{E}\) est stable par translations, le résultat du paragraphe précédent donne \(\mathcal{E} \subset \Ob(\mathcal{D}')\). Pour achever la preuve, il reste à montrer que \(\mathcal{D}' = \mathcal{D}\).
Soit \(Y\) un objet de \(\mathcal{D}\) et posons \(H(-) = \Hom_\mathcal{D}(-, Y)\). Alors \(H\) est un foncteur cohomologique qui transforme les sommes directes en produits. La construction de la première partie de la preuve fournit un morphisme \(\colim X_n = X \to Y\) tel que \(\Hom_\mathcal{D}(E, X) \to \Hom_\mathcal{D}(E, Y)\) soit bijectif pour tout \(E \in \mathcal{E}\). L’hypothèse (1) nous dit alors que \(X \to Y\) est un isomorphisme! D’autre part, par construction, \(X_1, X_2, \ldots\) appartiennent à \(\mathcal{D}'\), et il en est donc de même de \(X\). Ainsi, \(Y \in \mathcal{D}'\), ce qui achève la preuve.
Proposition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée possédant des sommes directes. Supposons qu’il existe un ensemble \(\mathcal{E}\) d’objets de \(\mathcal{D}\) satisfaisant aux conditions (1) et (2) du Lemme 0GYG. Soit \(F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) un foncteur exact entre catégories triangulées qui transforme les sommes directes en sommes directes. Alors \(F\) possède un adjoint à droite exact.
Démonstration
Pour un objet \(Y\) de \(\mathcal{D}'\), considérons le foncteur contravariant \[\mathcal{D} \to \textit{Ab},\quad W \mapsto \Hom_{\mathcal{D}'}(F(W), Y)\] C’est un foncteur cohomologique puisque \(F\) est exact, et il transforme les sommes directes en produits puisque \(F\) transforme les sommes directes en sommes directes. Le Lemme 0GYG fournit donc un objet \(X\) de \(\mathcal{D}\) tel que \(\Hom_\mathcal{D}(W, X) = \Hom_{\mathcal{D}'}(F(W), Y)\). L’existence de l’adjoint résulte de Catégories, Lemme 0A8B. Son exactitude résulte du Lemme 0A8D.
Sous-catégories admissibles
La référence pour cette section est [Bondal-Kapranov, section 1].
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie additive. Soit \(\mathcal{A} \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie pleine. L’orthogonal à droite \(\mathcal{A}^\perp\) de \(\mathcal{A}\) est la sous-catégorie pleine formée des objets \(X\) de \(\mathcal{D}\) tels que \(\Hom(A, X) = 0\) pour tout \(A \in \Ob(\mathcal{A})\). L’orthogonal à gauche \({}^\perp\mathcal{A}\) de \(\mathcal{A}\) est la sous-catégorie pleine formée des objets \(X\) de \(\mathcal{D}\) tels que \(\Hom(X, A) = 0\) pour tout \(A \in \Ob(\mathcal{A})\).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{A} \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie pleine stable par toutes les translations. Considérons un triangle distingué \[X \to Y \to Z \to X[1]\] de \(\mathcal{D}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(Z\) appartient à \(\mathcal{A}^\perp\), et
\(\Hom(A, X) = \Hom(A, Y)\) pour tout \(A \in \Ob(\mathcal{A})\).
Démonstration
D’après le Lemme 0149, le foncteur \(\Hom(A, -)\) est homologique; nous obtenons donc une suite exacte longue comme dans (0148). Supposons (1) et soit \(A \in \Ob(\mathcal{A})\). Considérons alors la suite exacte \[\Hom(A[1], Z) \to \Hom(A, X) \to \Hom(A, Y) \to \Hom(A, Z)\] Comme \(A[1] \in \Ob(\mathcal{A})\), le premier et le dernier groupe sont nuls. Nous obtenons donc (2). Supposons (2) et soit \(A \in \Ob(\mathcal{A})\). Considérons alors la suite exacte \[\Hom(A, X) \to \Hom(A, Y) \to \Hom(A, Z) \to \Hom(A[-1], X) \to \Hom(A[-1], Y)\] et concluons que \(\Hom(A, Z) = 0\), comme voulu.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{B} \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie pleine stable par toutes les translations. Considérons un triangle distingué \[X \to Y \to Z \to X[1]\] de \(\mathcal{D}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(X\) appartient à \({}^\perp\mathcal{B}\), et
\(\Hom(Y, B) = \Hom(Z, B)\) pour tout \(B \in \Ob(\mathcal{B})\).
Démonstration
C’est le dual du Lemme 0CQQ.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{A} \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie pleine stable par toutes les translations. Alors l’orthogonal à droite \(\mathcal{A}^\perp\) et l’orthogonal à gauche \({}^\perp\mathcal{A}\) de \(\mathcal{A}\) sont des sous-catégories triangulées, saturées9 et strictement pleines de \(\mathcal{D}\).
Démonstration
Il résulte immédiatement des définitions que les orthogonaux sont stables par translations, sommes directes et facteurs directs. Considérons un triangle distingué \[X \to Y \to Z \to X[1]\] de \(\mathcal{D}\). D’après le Lemme 05QX, il suffit de montrer que, si \(X\) et \(Y\) appartiennent à \(\mathcal{A}^\perp\), alors \(Z\) appartient à \(\mathcal{A}^\perp\). Cela résulte immédiatement du Lemme 0CQQ.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{A}\) une sous-catégorie triangulée pleine de \(\mathcal{D}\). Pour un objet \(X\) de \(\mathcal{D}\), considérons la propriété \(P(X)\) : il existe un triangle distingué \(A \to X \to B \to A[1]\) dans \(\mathcal{D}\), avec \(A\) dans \(\mathcal{A}\) et \(B\) dans \(\mathcal{A}^\perp\).
Si \(X_1 \to X_2 \to X_3 \to X_1[1]\) est un triangle distingué et que \(P\) est vraie pour deux de ces trois objets, alors elle est vraie pour le troisième.
Si \(P\) est vraie pour \(X_1\) et \(X_2\), alors elle est vraie pour \(X_1 \oplus X_2\).
Démonstration
Soit \(X_1 \to X_2 \to X_3 \to X_1[1]\) un triangle distingué et supposons que \(P\) soit vraie pour \(X_1\) et \(X_2\). Choisissons des triangles distingués \[A_1 \to X_1 \to B_1 \to A_1[1] \quad\text{et}\quad A_2 \to X_2 \to B_2 \to A_2[1]\] comme dans la condition \(P\). Puisque \(\Hom(A_1, A_2) = \Hom(A_1, X_2)\) d’après le Lemme 0CQQ, il existe un unique morphisme \(A_1 \to A_2\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ A_1 \ar[d] \ar[r] & X_1 \ar[d] \\ A_2 \ar[r] & X_2 }\] commute. Prolongeons-le en un diagramme \[\xymatrix{ A_1 \ar[r] \ar[d] & X_1 \ar[r] \ar[d] & Q_1 \ar[r] \ar[d] & A_1[1] \ar[d] \\ A_2 \ar[r] \ar[d] & X_2 \ar[r] \ar[d] & Q_2 \ar[r] \ar[d] & A_2[1] \ar[d] \\ A_3 \ar[r] \ar[d] & X_3 \ar[r] \ar[d] & Q_3 \ar[r] \ar[d] & A_3[1] \ar[d] \\ A_1[1] \ar[r] & X_1[1] \ar[r] & Q_1[1] \ar[r] & A_1[2] }\] comme dans la Proposition 05R0. D’après TR3, nous avons \(Q_1 \cong B_1\) et \(Q_2 \cong B_2\), donc \(Q_1, Q_2 \in \Ob(\mathcal{A}^\perp)\). Comme \(Q_1 \to Q_2 \to Q_3 \to Q_1[1]\) est un triangle distingué, nous avons \(Q_3 \in \Ob(\mathcal{A}^\perp)\) d’après le Lemme 0FXC. Puisque \(\mathcal{A}\) est une sous-catégorie triangulée pleine, nous voyons que \(A_3\) est isomorphe à un objet de \(\mathcal{A}\). Ainsi, \(X_3\) satisfait \(P\). Les autres cas de (1) s’en déduisent par translation. L’assertion (2) est un cas particulier de (1), par le Lemme 05QT.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{B}\) une sous-catégorie triangulée pleine de \(\mathcal{D}\). Pour un objet \(X\) de \(\mathcal{D}\), considérons la propriété \(P(X)\) : il existe un triangle distingué \(A \to X \to B \to A[1]\) dans \(\mathcal{D}\), avec \(B\) dans \(\mathcal{B}\) et \(A\) dans \({}^\perp\mathcal{B}\).
Si \(X_1 \to X_2 \to X_3 \to X_1[1]\) est un triangle distingué et que \(P\) est vraie pour deux de ces trois objets, alors elle est vraie pour le troisième.
Si \(P\) est vraie pour \(X_1\) et \(X_2\), alors elle est vraie pour \(X_1 \oplus X_2\).
Démonstration
C’est le dual du Lemme 0CQR.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{A} \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie triangulée pleine. Les conditions suivantes sont équivalentes :
le foncteur d’inclusion \(\mathcal{A} \to \mathcal{D}\) possède un adjoint à droite, et
pour tout \(X\) dans \(\mathcal{D}\), il existe un triangle distingué \[A \to X \to B \to A[1]\] dans \(\mathcal{D}\), avec \(A \in \Ob(\mathcal{A})\) et \(B \in \Ob(\mathcal{A}^\perp)\).
Si ces conditions sont vérifiées, alors \(\mathcal{A}\) est saturée (Définition 05RB); et si \(\mathcal{A}\) est strictement pleine dans \(\mathcal{D}\), alors \(\mathcal{A} = {}^\perp(\mathcal{A}^\perp)\).
Démonstration
Supposons (1) et notons \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) l’adjoint à droite. Soit \(X \in \Ob(\mathcal{D})\). Posons \(A = v(X)\). Nous pouvons prolonger le morphisme d’adjonction \(A \to X\) en un triangle distingué \(A \to X \to B \to A[1]\). Puisque \[\Hom_\mathcal{A}(A', A) = \Hom_\mathcal{A}(A', v(X)) = \Hom_\mathcal{D}(A', X)\] pour \(A' \in \Ob(\mathcal{A})\), nous concluons que \(B \in \Ob(\mathcal{A}^\perp)\) d’après le Lemme 0CQQ.
Supposons (2). Construisons explicitement l’adjoint \(v\). Soit \(X \in \Ob(\mathcal{D})\). Choisissons \(A \to X \to B \to A[1]\) comme en (2). Posons \(v(X) = A\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de \(\mathcal{D}\). Choisissons \(A' \to Y \to B' \to A'[1]\) comme en (2). Puisque \(\Hom(A, A') = \Hom(A, Y)\) d’après le Lemme 0CQQ, il existe un unique morphisme \(f' : A \to A'\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ A \ar[d]_{f'} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ A' \ar[r] & Y }\] commute. Nous pouvons donc poser \(v(f) = f'\) et obtenir ainsi un foncteur. Pour voir que \(v\) est adjoint au foncteur d’inclusion, appliquons de nouveau le Lemme 0CQQ.
Démontrons la dernière assertion. Pour prouver que \(\mathcal{A}\) est saturée, nous pouvons remplacer \(\mathcal{A}\) par la sous-catégorie strictement pleine ayant les mêmes classes d’isomorphie que \(\mathcal{A}\); détails omis. Supposons \(\mathcal{A}\) strictement pleine. Si nous montrons que \(\mathcal{A} = {}^\perp(\mathcal{A}^\perp)\), alors \(\mathcal{A}\) sera saturée d’après le Lemme 0FXC. Puisque l’inclusion \(\mathcal{A} \subset {}^\perp(\mathcal{A}^\perp)\) est claire, il suffit de démontrer l’inclusion opposée. Soit \(X\) un objet de \({}^\perp(\mathcal{A}^\perp)\). Choisissons un triangle distingué \(A \to X \to B \to A[1]\) comme en (2). Comme \(\Hom(X, B) = 0\) par hypothèse, nous avons \(A \cong X \oplus B[-1]\) d’après le Lemme 05QT. Puisque \(\Hom(A, B[-1]) = 0\), car \(B \in \mathcal{A}^\perp\), cela entraîne \(B[-1] = 0\) et \(A \cong X\), comme voulu.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(\mathcal{B} \subset \mathcal{D}\) une sous-catégorie triangulée pleine. Les conditions suivantes sont équivalentes :
le foncteur d’inclusion \(\mathcal{B} \to \mathcal{D}\) possède un adjoint à gauche, et
pour tout \(X\) dans \(\mathcal{D}\), il existe un triangle distingué \[A \to X \to B \to A[1]\] dans \(\mathcal{D}\), avec \(B \in \Ob(\mathcal{B})\) et \(A \in \Ob({}^\perp\mathcal{B})\).
Si ces conditions sont vérifiées, alors \(\mathcal{B}\) est saturée (Définition 05RB); et si \(\mathcal{B}\) est strictement pleine dans \(\mathcal{D}\), alors \(\mathcal{B} = ({}^\perp\mathcal{B})^\perp\).
Démonstration
C’est le dual du Lemme 0CQS.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Une sous-catégorie admissible à droite de \(\mathcal{D}\) est une sous-catégorie triangulée strictement pleine qui satisfait aux conditions équivalentes du Lemme 0CQS. Une sous-catégorie admissible à gauche de \(\mathcal{D}\) est une sous-catégorie triangulée strictement pleine qui satisfait aux conditions équivalentes du Lemme 0CQT. Une sous-catégorie admissible des deux côtés est admissible à droite et à gauche.
Soit \(\mathcal{A}\) une sous-catégorie admissible à droite de la catégorie triangulée \(\mathcal{D}\). Remarquons que, pour \(X \in \mathcal{D}\), le triangle distingué \[A \to X \to B \to A[1]\] avec \(A \in \mathcal{A}\) et \(B \in \mathcal{A}^\perp\) est canonique au sens suivant : pour tout autre triangle distingué \(A' \to X \to B' \to A'[1]\), avec \(A' \in \mathcal{A}\) et \(B' \in \mathcal{A}^\perp\), il existe un isomorphisme \((\alpha, \text{id}_X, \beta) : (A, X, B) \to (A', X, B')\) de triangles. La proposition suivante résume ce qui précède.
Proposition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soient \(\mathcal{A} \subset \mathcal{D}\) et \(\mathcal{B} \subset \mathcal{D}\) des sous-catégories. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\(\mathcal{A}\) est admissible à droite et \(\mathcal{B} = \mathcal{A}^\perp\),
\(\mathcal{B}\) est admissible à gauche et \(\mathcal{A} = {}^\perp\mathcal{B}\),
\(\Hom(A, B) = 0\) pour tous \(A \in \mathcal{A}\) et \(B \in \mathcal{B}\), et, pour tout \(X\) dans \(\mathcal{D}\), il existe un triangle distingué \(A \to X \to B \to A[1]\) dans \(\mathcal{D}\), avec \(A \in \mathcal{A}\) et \(B \in \mathcal{B}\).
Si ces conditions sont vérifiées, alors \(\mathcal{A} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B} \to \mathcal{D}/\mathcal{A}\) sont des équivalences de catégories triangulées; l’adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(\mathcal{A} \to \mathcal{D}\) est \(\mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{B} \to \mathcal{A}\), et l’adjoint à gauche du foncteur d’inclusion \(\mathcal{B} \to \mathcal{D}\) est \(\mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{A} \to \mathcal{B}\).
Démonstration
L’équivalence entre (1), (2) et (3) résulte immédiatement des Lemmes 0CQS et 0CQT (un petit détail est omis). Notons \(v : \mathcal{D} \to \mathcal{A}\) l’adjoint à droite du foncteur d’inclusion \(i : \mathcal{A} \to \mathcal{D}\). Il est immédiat que \(\Ker(v) = \mathcal{A}^\perp = \mathcal{B}\). La propriété universelle du quotient permet donc de factoriser \(v\) en un foncteur \(\overline{v} : \mathcal{D}/\mathcal{B} \to \mathcal{A}\). Comme \(v \circ i = \text{id}_\mathcal{A}\) d’après Catégories, Lemme 07RB, nous voyons que \(\overline{v}\) est un quasi-inverse à gauche de \(\overline{i} : \mathcal{A} \to \mathcal{D}/\mathcal{B}\). Nous affirmons que la composée \(\overline{i} \circ \overline{v}\) est elle aussi isomorphe à \(\text{id}_{\mathcal{D}/\mathcal{B}}\). En effet, supposons que \(X\) s’insère dans un triangle distingué \(A \to X \to B \to A[1]\) comme en (3). Alors \(v(X) = A\), comme nous l’avons vu dans la preuve du Lemme 0CQS. En considérant \(X\) comme un objet de \(\mathcal{D}/\mathcal{B}\), nous avons \(\overline{i}(\overline{v}(X)) = A\), et il existe un isomorphisme fonctoriel \(\overline{i}(\overline{v}(X)) = A \to X\) dans \(\mathcal{D}/\mathcal{B}\). Nous trouvons donc bien que \(\overline{v} : \mathcal{D}/\mathcal{B} \to \mathcal{A}\) est une équivalence. L’assertion selon laquelle \(\mathcal{B} \to \mathcal{D}/\mathcal{A}\) est une équivalence et l’adjoint à gauche du foncteur d’inclusion \(\mathcal{B} \to \mathcal{D}\) est \(\mathcal{D} \to \mathcal{D}/\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) est duale de ce que nous venons de démontrer.
Systèmes de Postnikov
Une référence pour cette section est [Orlov-K3]. Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_0\] un complexe de \(\mathcal{D}\). Dans cette section, nous étudions le problème de construire une « totalisation » de ce complexe.
Définition
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_0\] un complexe de \(\mathcal{D}\). Un système de Postnikov est défini par récurrence comme suit.
Si \(n = 0\), c’est un isomorphisme \(Y_0 \to X_0\).
Si \(n = 1\), c’est le choix d’un isomorphisme \(Y_0 \to X_0\) et le choix d’un triangle distingué \[Y_1 \to X_1 \to Y_0 \to Y_1[1]\] tel que le composé de \(X_1 \to Y_0\) avec \(Y_0 \to X_0\) soit le morphisme donné \(X_1 \to X_0\).
Si \(n > 1\), c’est le choix d’un système de Postnikov pour \(X_{n - 1} \to \ldots \to X_0\) et le choix d’un triangle distingué \[Y_n \to X_n \to Y_{n - 1} \to Y_n[1]\] tel que le composé du morphisme \(X_n \to Y_{n - 1}\) avec \(Y_{n - 1} \to X_{n - 1}\) soit le morphisme donné \(X_n \to X_{n - 1}\).
Étant donné un morphisme [0D80]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X_n \ar[r] \ar[d] & X_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & X_0 \ar[d] \\ X'_n \ar[r] & X'_{n - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & X'_0 } } \end{equation}\] entre des complexes de même longueur dans \(\mathcal{D}\), on dispose d’une notion évidente de morphisme de systèmes de Postnikov.
Voici un exemple fondamental.
Exemple
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\ldots \to A_2 \to A_1 \to A_0\) un complexe de chaînes de \(\mathcal{A}\). Nous pouvons alors considérer les objets \[X_n = A_n \quad\text{et}\quad Y_n = (A_n \to A_{n - 1} \to \ldots \to A_0)[-n]\] de \(D(\mathcal{A})\). Munis des morphismes canoniques évidents \(Y_n \to X_n\) et \(Y_0 \to Y_1[1] \to Y_2[2] \to \ldots\), les triangles distingués \(Y_n \to X_n \to Y_{n - 1} \to Y_n[1]\) définissent un système de Postnikov, au sens de la Définition 0D7Z, pour \(\ldots \to X_2 \to X_1 \to X_0\). Nous utilisons ici l’extension évidente de la notion de système de Postnikov à un complexe infini de \(D(\mathcal{A})\). Enfin, si les limites inductives indexées par \(\mathbf{N}\) existent et sont exactes dans \(\mathcal{A}\), alors \[\text{hocolim} Y_n[n] = (\ldots \to A_2 \to A_1 \to A_0 \to 0 \to \ldots)\] dans \(D(\mathcal{A})\). Cela résulte immédiatement du Lemme 0949.
Étant donnés un complexe \(X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_0\) et un système de Postnikov comme dans la Définition 0D7Z, nous pouvons considérer les morphismes \[Y_0 \to Y_1[1] \to \ldots \to Y_n[n]\] Ces morphismes s’insèrent dans certains triangles distingués et sont compatibles avec les morphismes donnés entre les \(X_i\). Voici le diagramme correspondant lorsque \(n = 3\) : \[\xymatrix{ Y_0 \ar[rr] & & Y_1[1] \ar[dl] \ar[rr] & & Y_2[2] \ar[dl] \ar[rr] & & Y_3[3] \ar[dl] \\ & X_1[1] \ar[lu]_{+1} & & X_2[2] \ar[ll]_{+1} \ar[lu]_{+1} & & X_3[3] \ar[ll]_{+1} \ar[lu]_{+1} }\] Nous invitons le lecteur à voir \(Y_n[n]\) comme construit à partir de \(X_0, X_1[1], \ldots, X_n[n]\) ; par exemple, si les morphismes \(X_i \to X_{i - 1}\) sont nuls, nous pouvons prendre \(Y_n[n] = \bigoplus_{i = 0, \ldots, n} X_i[i]\). Les systèmes de Postnikov n’existent pas toujours. Voici un lemme élémentaire pour les petites valeurs de \(n\).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Considérons les systèmes de Postnikov associés à des complexes de longueur \(n\).
Pour \(n = 0\), les systèmes de Postnikov existent toujours et tout morphisme de complexes (0D80) se prolonge de manière unique en un morphisme de systèmes de Postnikov.
Pour \(n = 1\), les systèmes de Postnikov existent toujours et tout morphisme de complexes (0D80) se prolonge en un morphisme, non nécessairement unique, de systèmes de Postnikov.
Pour \(n = 2\), les systèmes de Postnikov existent toujours, mais les morphismes de complexes (0D80) ne se prolongent pas, en général, en morphismes de systèmes de Postnikov.
Pour \(n > 2\), les systèmes de Postnikov n’existent pas toujours.
Démonstration
Le cas \(n = 0\) est immédiat puisque les isomorphismes sont inversibles. Le cas \(n = 1\) résulte immédiatement de TR1 (existence des triangles) et de TR3 (prolongement des morphismes aux triangles). Pour le cas \(n = 2\), raisonnons comme suit. Posons \(Y_0 = X_0\). D’après le cas \(n = 1\), nous pouvons choisir un système de Postnikov \[Y_1 \to X_1 \to Y_0 \to Y_1[1]\] Comme le composé \(X_2 \to X_1 \to X_0\) est nul, le morphisme \(X_2 \to X_1\) se factorise, de manière non unique, sous la forme \(X_2 \to Y_1 \to X_1\), d’après le Lemme 0149. Il suffit alors d’insérer le morphisme \(X_2 \to Y_1\) dans un triangle distingué \[Y_2 \to X_2 \to Y_1 \to Y_2[1]\] pour obtenir le système de Postnikov lorsque \(n = 2\). Pour \(n > 2\), nous ne pouvons pas raisonner de la même manière, car nous ne savons pas si le composé \(X_n \to X_{n - 1} \to Y_{n - 1}\) est nul dans \(\mathcal{D}\).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Étant donné un morphisme (0D80), considérons la condition [0DW1]\[\begin{equation} \Hom(X_i[i - j - 1], X'_j) = 0 \text{ pour }i > j + 1 \end{equation}\] Alors :
si nous disposons d’un système de Postnikov pour \(X'_n \to X'_{n - 1} \to \ldots \to X'_0\), la propriété (0DW1) implique que \[\Hom(X_i[i - j - 1], Y'_j) = 0 \text{ pour }i > j + 1\]
si nous disposons de systèmes de Postnikov pour les deux complexes et si (0DW1) est satisfaite, alors le morphisme se prolonge en un morphisme, non nécessairement unique, de systèmes de Postnikov.
Démonstration
Démontrons d’abord (1) par récurrence sur \(j\). Pour le cas initial \(j = 0\), il n’y a rien à démontrer puisque \(Y'_0 \to X'_0\) est un isomorphisme. Supposons le résultat démontré pour \(j - 1\). Considérons le triangle distingué \[Y'_j \to X'_j \to Y'_{j - 1} \to Y'_j[1]\] La suite exacte longue du Lemme 0149 fournit une suite exacte \[\Hom(X_i[i - j - 1], Y'_{j - 1}[-1]) \to \Hom(X_i[i - j - 1], Y'_j) \to \Hom(X_i[i - j - 1], X'_j)\] L’hypothèse de récurrence et (0DW1) montrent que les groupes extrêmes sont nuls, d’où le résultat.
Démonstration de (2). Pour \(n = 1\), l’existence des morphismes a été établie dans le Lemme 0D81. Pour \(n > 1\), nous pouvons supposer, par récurrence, que le morphisme de systèmes de Postnikov de longueur \(n - 1\) est donné. Le problème est que nous ne savons pas si le diagramme \[\xymatrix{ X_n \ar[r] \ar[d] & Y_{n - 1} \ar[d] \\ X'_n \ar[r] & Y'_{n - 1} }\] est commutatif. Notons \(\alpha : X_n \to Y'_{n - 1}\) la différence. Nous savons toutefois que le composé de \(\alpha\) avec \(Y'_{n - 1} \to X'_{n - 1}\) est nul (par définition d’un morphisme de systèmes de Postnikov de longueur \(n - 1\)). Le triangle distingué \(Y'_{n - 1} \to X'_{n - 1} \to Y'_{n - 2} \to Y'_{n - 1}[1]\) montre alors que \(\alpha\) est le composé de \(Y'_{n - 2}[-1] \to Y'_{n - 1}\) avec un morphisme \(\alpha' : X_n \to Y'_{n - 2}[-1]\). La propriété (0DW1) assure, par la partie (1) du lemme, que \(\alpha'\) est nul. Ainsi, \(\alpha\) est nul. Pour achever la démonstration de l’existence, la commutativité permet de choisir la flèche pointillée qui complète le diagramme \[\xymatrix{ Y_{n - 1}[-1] \ar[d] \ar[r] & Y_n \ar[r] \ar@{..>}[d] & X_n \ar[r] \ar[d] & Y_{n - 1} \ar[d] \\ Y'_{n - 1}[-1] \ar[r] & Y'_n \ar[r] & X'_n \ar[r] & Y'_{n - 1} }\] en vertu de TR3.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Étant donné un morphisme (0D80), supposons choisis des systèmes de Postnikov pour les deux complexes. Si l’une des conditions suivantes est satisfaite :
\(\Hom(X_i[i], Y'_n[n]) = 0\) pour \(i = 1, \ldots, n\), ou
\(\Hom(Y_n[n], X'_{n - i}[n - i]) = 0\) pour \(i = 1, \ldots, n\), ou
\(\Hom(X_{j - i}[-i + 1], X'_j) = 0\) et \(\Hom(X_j, X'_{j - i}[-i]) = 0\) pour \(j \geq i > 0\),
alors il existe au plus un morphisme entre ces systèmes de Postnikov.
Démonstration
Démonstration de (1). Considérons le diagramme suivant : \[\xymatrix{ Y_0 \ar[r] \ar[d] & Y_1[1] \ar[r] \ar[ld] & Y_2[2] \ar[r] \ar[lld] & \ldots \ar[r] & Y_n[n] \ar[lllld] \\ Y'_n[n] }\] Les flèches sont les composés du morphisme \(Y_n[n] \to Y'_n[n]\) avec les morphismes \(Y_i[i] \to Y_n[n]\). La flèche \(Y_0 \to Y'_n[n]\) est déterminée, car elle est le composé \(Y_0 = X_0 \to X'_0 = Y'_0 \to Y'_n[n]\). Comme nous avons le triangle distingué \(Y_0 \to Y_1[1] \to X_1[1]\), l’égalité \(\Hom(X_1[1], Y'_n[n]) = 0\) assure l’unicité de la deuxième flèche verticale. De même, le triangle distingué \(Y_1[1] \to Y_2[2] \to X_2[2]\) montre que l’égalité \(\Hom(X_2[2], Y'_n[n]) = 0\) assure l’unicité de la troisième flèche verticale, et ainsi de suite.
Démonstration de (2). Le composé \(Y_n[n] \to Y'_n[n] \to X_n[n]\) est égal au composé \(Y_n[n] \to X_n[n] \to X'_n[n]\), et il est donc unique. Le triangle distingué \(Y'_{n - 1}[n - 1] \to Y'_n[n] \to X'_n[n]\) montre alors qu’il suffit de prouver que \(\Hom(Y_n[n], Y'_{n - 1}[n - 1]) = 0\). À l’aide des triangles distingués \[Y'_{n - i - 1}[n - i - 1] \to Y'_{n - i}[n - i] \to X'_{n - i}[n - i]\] nous déduisons cette annulation de notre hypothèse. Nous omettons les détails élémentaires.
Démonstration de (3). En reprenant la démonstration du Lemme 0D82 et en raisonnant par récurrence sur \(n\), il suffit de montrer l’unicité de la flèche pointillée dans le morphisme de triangles \[\xymatrix{ Y_{n - 1}[-1] \ar[d] \ar[r] & Y_n \ar[r] \ar@{..>}[d] & X_n \ar[r] \ar[d] & Y_{n - 1} \ar[d] \\ Y'_{n - 1}[-1] \ar[r] & Y'_n \ar[r] & X'_n \ar[r] & Y'_{n - 1} }\] D’après la partie (5) du Lemme 0FWZ, il suffit de montrer que \(\Hom(Y_{n - 1}, X'_n) = 0\) et \(\Hom(X_n, Y'_{n - 1}[-1]) = 0\). Pour la première annulation, nous utilisons les triangles distingués \(Y_{n - i - 1}[-i] \to Y_{n - i}[-(i - 1)] \to X_{n - i}[-(i - 1)]\) pour \(i > 0\) et raisonnons par récurrence sur \(i\) ; l’annulation supposée de \(\Hom(X_{n - i}[-i + 1], X'_n)\) suffit. Pour la seconde, nous utilisons de même les triangles distingués \(Y'_{n - i - 1}[-i - 1] \to Y'_{n - i}[-i] \to X'_{n - i}[-i]\) pour voir que l’annulation supposée de \(\Hom(X_n, X'_{n - i}[-i])\) suffit également.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \(X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_0\) un complexe de \(\mathcal{D}\). Si \[\Hom(X_i[i - j - 2], X_j) = 0 \text{ pour }i > j + 2\] alors il existe un système de Postnikov. Si \[\Hom(X_i[i - j - 1], X_j) = 0 \text{ pour }i > j + 1\] alors deux systèmes de Postnikov quelconques sont isomorphes.
Démonstration
Nous raisonnons par récurrence sur \(n\). Les cas \(n = 0, 1, 2\) résultent du Lemme 0D81. Supposons \(n > 2\). Supposons donné un système de Postnikov pour le complexe \(X_{n - 1} \to X_{n - 2} \to \ldots \to X_0\). Le seul obstacle à son prolongement en un système de Postnikov de longueur \(n\) est la nécessité de trouver un morphisme \(X_n \to Y_{n - 1}\) tel que le composé \(X_n \to Y_{n - 1} \to X_{n - 1}\) soit égal au morphisme donné \(X_n \to X_{n - 1}\). Considérons le triangle distingué \[Y_{n - 1} \to X_{n - 1} \to Y_{n - 2} \to Y_{n - 1}[1]\] et la suite exacte longue qui lui est associée par le foncteur \(\Hom(X_n, -)\) (voir le Lemme 0149). Il suffit alors de montrer que le composé \(X_n \to X_{n - 1} \to Y_{n - 2}\) est nul. Comme nous savons que \(X_n \to X_{n - 1} \to X_{n - 2}\) est nul, nous pouvons appliquer le triangle distingué \[Y_{n - 2} \to X_{n - 2} \to Y_{n - 3} \to Y_{n - 2}[1]\] pour voir qu’il suffit que \(\Hom(X_n, Y_{n - 3}[-1]) = 0\). En raisonnant exactement comme dans la partie (1) de la démonstration du Lemme 0D82, le lecteur vérifiera aisément que cette annulation résulte de la condition énoncée dans le lemme.
L’assertion sur les isomorphismes résulte de l’existence d’un morphisme entre les systèmes de Postnikov prolongeant l’identité du complexe, établie dans la partie (2) du Lemme 0D82, et du Lemme 014A, qui montre que tous les morphismes ainsi obtenus sont des isomorphismes.
Systèmes essentiellement constants
Quelques lemmes préliminaires sur les systèmes essentiellement constants dans les catégories triangulées.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \((A_i)\) un système projectif de \(\mathcal{D}\). Alors \((A_i)\) est essentiellement constant (voir Catégories, Définition 05PU) si et seulement s’il existe un \(i\) tel que, pour tout \(j \geq i\), on ait une décomposition en somme directe \(A_j = A \oplus Z_j\) vérifiant les propriétés suivantes : (a) les morphismes \(A_{j'} \to A_j\) sont compatibles avec les décompositions en somme directe et induisent l’identité sur \(A\) ; (b) pour tout \(j \geq i\), il existe un \(j' \geq j\) tel que \(Z_{j'} \to Z_j\) soit nul.
Démonstration
Supposons \((A_i)\) essentiellement constant de valeur \(A\). Alors \(A = \lim A_i\), et il existe un \(i\) et un morphisme \(A_i \to A\) tels que (1) le composé \(A \to A_i \to A\) soit l’identité de \(A\) et (2), pour tout \(j \geq i\), il existe un \(j' \geq j\) tel que \(A_{j'} \to A_j\) se factorise sous la forme \(A_{j'} \to A_i \to A \to A_j\). D’après (1), pour \(j \geq i\), les morphismes \(A \to A_j\) et \(A_j \to A_i \to A\) ont pour composé l’identité de \(A\). Il s’ensuit que \(A_j \to A\) possède un noyau \(Z_j\) et que le morphisme \(A \oplus Z_j \to A_j\) est un isomorphisme ; voir les Lemmes 05QU et 05QT. Ces décompositions en somme directe satisfont manifestement (a). D’après (2), pour tout \(j\), il existe un \(j' \geq j\) tel que \(Z_{j'} \to Z_j\) soit nul ; ainsi, (b) est satisfaite. Nous omettons la démonstration de la réciproque.
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \[A_n \to B_n \to C_n \to A_n[1]\] un système projectif de triangles distingués de \(\mathcal{D}\). Si \((A_n)\) et \((C_n)\) sont essentiellement constants, alors \((B_n)\) est essentiellement constant et leurs valeurs s’insèrent dans un triangle distingué \(A \to B \to C \to A[1]\) tel que, pour un certain \(n \geq 1\), il existe un morphisme \[\xymatrix{ A_n \ar[d] \ar[r] & B_n \ar[d] \ar[r] & C_n \ar[d] \ar[r] & A_n[1] \ar[d] \\ A \ar[r] & B \ar[r] & C \ar[r] & A[1] }\] de triangles distingués qui induit un isomorphisme \(\lim_{n' \geq n} A_{n'} \to A\), et de même pour \(B\) et \(C\).
Démonstration
Après renumérotation, nous pouvons supposer que \(A_n = A \oplus A'_n\) et \(C_n = C \oplus C'_n\), où les systèmes projectifs \((A'_n)\) et \((C'_n)\) sont essentiellement nuls ; voir le Lemme 0G39. En particulier, le morphisme \[C \oplus C'_n \to (A \oplus A'_n)[1]\] envoie le facteur direct \(C\) dans le facteur direct \(A[1]\), pour tout \(n\), par un morphisme \(\delta : C \to A[1]\) indépendant de \(n\). Choisissons un triangle distingué \[A \to B \to C \xrightarrow{\delta} A[1]\] Choisissons ensuite un morphisme de triangles distingués \[(A_1 \to B_1 \to C_1 \to A_1[1]) \to (A \to B \to C \to A[1])\] ce qui est possible d’après TR3. Pour tout objet \(D\) de \(\mathcal{D}\), il induit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \Hom_\mathcal{D}(C, D) \ar[r] \ar[d] & \Hom_\mathcal{D}(B, D) \ar[r] \ar[d] & \Hom_\mathcal{D}(A, D) \ar[r] \ar[d] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & \colim \Hom_\mathcal{D}(C_n, D) \ar[r] & \colim \Hom_\mathcal{D}(B_n, D) \ar[r] & \colim \Hom_\mathcal{D}(A_n, D) \ar[r] & \ldots }\] Les flèches verticales de gauche et de droite sont des isomorphismes, de même que celles placées immédiatement à leur gauche et à leur droite. Le lemme des cinq montre donc que la flèche médiane est un isomorphisme. Il s’ensuit que \((B_n)\) est isomorphe au système projectif constant de valeur \(B\), d’après la discussion de Catégories, Remarque 0G2X. Comme ceci équivaut à dire que \((B_n)\) est essentiellement constant de valeur \(B\), d’après Catégories, Remarque 05PX, la démonstration est achevée.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(A_n\) un système projectif d’objets de \(D(\mathcal{A})\). Supposons que :
il existe des entiers \(a \leq b\) tels que \(H^i(A_n) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\) ;
les systèmes projectifs \(H^i(A_n)\) de \(\mathcal{A}\) sont essentiellement constants pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).
Alors \(A_n\) est un système essentiellement constant de \(D(\mathcal{A})\) dont la valeur \(A\) est telle que \(H^i(A)\) soit la valeur du système constant \(H^i(A_n)\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).
Démonstration
D’après la Remarque 08J5, nous obtenons un système projectif de triangles distingués \[\tau_{\leq a}A_n \to A_n \to \tau_{\geq a + 1}A_n \to (\tau_{\leq a}A_n)[1]\] Bien entendu, \(\tau_{\leq a}A_n = H^a(A_n)[-a]\) dans \(D(\mathcal{A})\). Par hypothèse, ces objets forment donc un système essentiellement constant. Une récurrence sur \(b - a\) montre que le système projectif \(\tau_{\geq a + 1}A_n\) est essentiellement constant, disons de valeur \(A'\). Le Lemme 0G3A montre alors que \(A_n\) est un système essentiellement constant. Nous omettons la démonstration de l’assertion sur les cohomologies (indication : utiliser la dernière partie du Lemme 0G3A).
Lemme
Soit \(\mathcal{D}\) une catégorie triangulée. Soit \[A_n \to B_n \to C_n \to A_n[1]\] un système projectif de triangles distingués. Si le système \(C_n\) est pro-nul (essentiellement constant de valeur \(0\)), alors les morphismes \(A_n \to B_n\) déterminent un pro-isomorphisme entre le pro-objet \((A_n)\) et le pro-objet \((B_n)\).
Démonstration
Pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{D}\), considérons la suite exacte \[\colim \Hom(C_n, X) \to \colim \Hom(B_n, X) \to \colim \Hom(A_n, X) \to \colim \Hom(C_n[-1], X) \to\] L’exactitude résulte du Lemme 0149, combiné avec Algèbre, Lemme 00DB. Par hypothèse, le premier et le dernier terme sont nuls. Par conséquent, le morphisme \(\colim \Hom(B_n, X) \to \colim \Hom(A_n, X)\) est un isomorphisme pour tout \(X\). Le lemme résulte de ce fait et de Catégories, Remarque 0G2X.
Lemme
Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \[A_n \to B_n\] un système projectif de morphismes de \(D(\mathcal{A})\). Supposons que :
il existe des entiers \(a \leq b\) tels que \(H^i(A_n) = 0\) et \(H^i(B_n) = 0\) pour \(i \not \in [a, b]\) ;
le système projectif de morphismes \(H^i(A_n) \to H^i(B_n)\) de \(\mathcal{A}\) définit un isomorphisme de pro-objets de \(\mathcal{A}\) pour tout \(i \in \mathbf{Z}\).
Alors les morphismes \(A_n \to B_n\) déterminent un pro-isomorphisme entre le pro-objet \((A_n)\) et le pro-objet \((B_n)\).
Démonstration
Nous pouvons, par récurrence, prolonger les morphismes \(A_n \to B_n\) en un système projectif de triangles distingués \(A_n \to B_n \to C_n \to A_n[1]\) à l’aide de l’axiome TR3. D’après le Lemme 0G3C, il suffit de montrer que \(C_n\) est pro-nul. D’après le Lemme 0G3B, il suffit de montrer que \(H^p(C_n)\) est pro-nul pour tout \(p\). Cela résulte de l’hypothèse (2) et des suites exactes longues \[H^p(A_n) \xrightarrow{\alpha_n} H^p(B_n) \xrightarrow{\beta_n} H^p(C_n) \xrightarrow{\delta_n} H^{p + 1}(A_n) \xrightarrow{\epsilon_n} H^{p + 1}(B_n)\] En effet, pour tout \(n\), nous pouvons trouver un \(m > n\) tel que \(\Im(\beta_m)\) s’envoie sur zéro dans \(H^p(C_n)\) : il suffit de choisir \(m\) de telle sorte que \(H^p(B_m) \to H^p(B_n)\) se factorise par \(\alpha_n : H^p(A_n) \to H^p(B_n)\). Pour une raison analogue, nous pouvons ensuite choisir \(k > m\) tel que \(\Im(\delta_k)\) s’envoie sur zéro dans \(H^{p + 1}(A_m)\). Alors \(H^p(C_k) \to H^p(C_n)\) est nul, car \(H^p(C_k) \to H^p(C_m)\) prend ses valeurs dans \(\Ker(\delta_m)\) et \(H^p(C_m) \to H^p(C_n)\) annule \(\Ker(\delta_m) = \Im(\beta_m)\).
Nous employons \([\ ]\) comme abréviation de la famille \(\{[n]\}_{n\in \mathbf{Z}}\).↩︎
Cette définition n’est peut-être pas standard. Si \(\mathcal{D}'\) est une sous-catégorie pleine, alors \(\mathcal{T}'\) est l’intersection de l’ensemble des triangles de \(\mathcal{D}'\) avec \(\mathcal{T}\) ; voir le lemme 05QX. Dans ce cas, nous omettons \(\mathcal{T}'\) de la notation.↩︎
Cette notation n’est pas standard.↩︎
Pour une discussion des conditions sous lesquelles un ind-objet ou un pro-objet d’une catégorie est essentiellement constant, nous renvoyons à Catégories, section 05PT.↩︎
D’après (1), \(\mathcal{I}\) n’est pas vide. Choisissons \(P\) dans \(\mathcal{I}\). La suite exacte courte \(0 \to P \to P \to 0 \to 0\) et l’hypothèse (2) montrent alors que \(0\) appartient à \(\mathcal{I}\). Le lemme s’applique donc.↩︎
C’est par exemple le cas si \(RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})\) est défini partout.↩︎
Cette terminologie n’est vraisemblablement pas standard.↩︎