Théorie des déformations

Introduction

Le but de ce chapitre est de donner une introduction (relativement) élémentaire à la théorie des déformations des modules, des morphismes, etc. Nous y traitons les résultats que l’on peut démontrer au moyen du complexe cotangent naïf. Dans le chapitre consacré au complexe cotangent, nous étendrons un peu ces résultats. Le lecteur averti pourra consulter le traité d’Illusie sur ce sujet ; voir [cotangent].

Déformations d’anneaux et complexe cotangent naïf

Dans cette section, nous utilisons le complexe cotangent naïf pour faire un peu de théorie des déformations. Partons d’un homomorphisme surjectif d’anneaux \(A' \to A\) dont le noyau est un idéal \(I\) de carré nul. Supposons en outre donnés un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), un \(B\)-module \(N\) et une application \(A\)-linéaire \(c : I \to N\). Nous cherchons dans cette section à déterminer le point d’interrogation qui complète le diagramme suivant : [08S4]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & {?} \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[u]^c \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] et à mesurer en outre l’unicité de la solution (si elle existe). Plus précisément, nous cherchons une surjection de \(A'\)-algèbres \(B' \to B\) dont le noyau soit un idéal de carré nul identifié à \(N\), telle que \(A' \to B'\) induise l’application donnée \(c\). Nous dirons que \(B'\) est une solution de (08S4).

Lemme

Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & N_2 \ar[r] & B'_2 \ar[r] & B_2 \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & I_2 \ar[u]_{c_2} \ar[r] & A'_2 \ar[u] \ar[r]|\hole & A_2 \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N_1 \ar[ruu] \ar[r] & B'_1 \ar[r] & B_1 \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u]^{c_1} \ar[r] & A'_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & A_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] dont les faces avant et arrière sont des solutions de (08S4), on a :

1. Il existe un élément canonique de \(\Ext^1_{B_1}(\NL_{B_1/A_1}, N_2)\) dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un homomorphisme d’anneaux \(B'_1 \to B'_2\) complétant le diagramme.

2. S’il existe un homomorphisme \(B'_1 \to B'_2\) complétant le diagramme, l’ensemble de tous ces homomorphismes est un espace principal homogène sous \(\Hom_{B_1}(\Omega_{B_1/A_1}, N_2)\).

Démonstration

Soit \(E = B_1\) considéré comme un ensemble. Considérons la surjection \(A_1[E] \to B_1\), de noyau \(J\), utilisée pour définir le complexe cotangent naïf par la formule \[\NL_{B_1/A_1} = (J/J^2 \to \Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes_{A_1[E]} B_1)\] dans Algèbre, section 00S0. Puisque \(\Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes B_1\) est un \(B_1\)-module libre, on a \[\Ext^1_{B_1}(\NL_{B_1/A_1}, N_2) = \frac{\Hom_{B_1}(J/J^2, N_2)} {\Hom_{B_1}(\Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes B_1, N_2)}\] Nous allons construire une obstruction dans le module de droite. Soit \(J' = \Ker(A'_1[E] \to B_1)\). Remarquons qu’il existe une surjection \(J' \to J\) dont le noyau est \(I_1A'_1[E]\). Pour tout \(e \in E\), notons \(x_e \in A_1[E]\) la variable correspondante. Choisissons un relèvement \(y_e \in B'_1\) de l’image de \(x_e\) dans \(B_1\) et un relèvement \(z_e \in B'_2\) de l’image de \(x_e\) dans \(B_2\). Ces choix déterminent des homomorphismes de \(A'_1\)-algèbres \[A'_1[E] \to B'_1 \quad\text{et}\quad A'_1[E] \to B'_2\] Le premier donne une application \(J' \to N_1\), \(f' \mapsto f'(y_e)\), et le second une application \(J' \to N_2\), \(f' \mapsto f'(z_e)\). Un calcul montre que ces applications annulent \((J')^2\). Comme le carré gauche du diagramme (où interviennent \(c_1\) et \(c_2\)) est commutatif, ces applications coïncident sur \(I_1A'_1[E]\) comme applications à valeurs dans \(N_2\). Remarquons que \(B'_1\) est la somme amalgamée de \(J' \to A'_1[E]\) et \(J' \to N_1\). Ainsi, si les applications \(J' \to N_1 \to N_2\) et \(J' \to N_2\) coïncident, on obtient un homomorphisme \(B'_1 \to B'_2\) complétant le diagramme. On définit donc l’obstruction comme la classe de l’application \[J/J^2 \to N_2,\quad f \mapsto f'(z_e) - \nu(f'(y_e))\] où \(\nu : N_1 \to N_2\) est l’application donnée et où \(f' \in J'\) est un relèvement de \(f\). Les remarques précédentes montrent que cette application est bien définie. Nous sommes libres de remplacer nos choix de \(z_e\) par \(z_e + \delta_{2, e}\) et de \(y_e\) par \(y_e + \delta_{1, e}\), pour certains \(\delta_{i, e} \in N_i\). Cela remplace l’application précédente par \[f \mapsto f'(z_e + \delta_{2, e}) - \nu(f'(y_e + \delta_{1, e})) = f'(z_e) - \nu(f'(z_e)) + \sum (\delta_{2, e} - \nu(\delta_{1, e}))\frac{\partial f}{\partial x_e}\] Cela signifie exactement que l’on modifie l’application \(J/J^2 \to N_2\) par la composée \(J/J^2 \to \Omega_{A_1[E]/A_1} \otimes B_1 \to N_2\), où la seconde application envoie \(\text{d}x_e\) sur \(\delta_{2, e} - \nu(\delta_{1, e})\). Notre obstruction est donc bien définie et elle est nulle si et seulement s’il existe un relèvement.

L’assertion (2) résulte de l’observation suivante : étant donnés deux homomorphismes \(\varphi, \psi : B'_1 \to B'_2\) complétant le diagramme, \(\varphi - \psi\) se factorise par une application \(D : B_1 \to N_2\) qui est une \(A_1\)-dérivation : \[\begin{align*} D(fg) & = \varphi(f'g') - \psi(f'g') \\ & = \varphi(f')\varphi(g') - \psi(f')\psi(g') \\ & = (\varphi(f') - \psi(f'))\varphi(g') + \psi(f')(\varphi(g') - \psi(g')) \\ & = gD(f) + fD(g) \end{align*}\] Ainsi, \(D\) correspond à une unique application \(B_1\)-linéaire \(\Omega_{B_1/A_1} \to N_2\). Réciproquement, une telle application linéaire donne une dérivation \(D\) et, étant donné un homomorphisme d’anneaux \(\psi : B'_1 \to B'_2\) complétant le diagramme, l’application \(\psi + D\) est un autre homomorphisme d’anneaux qui le complète.

Lemme

S’il existe une solution de (08S4), l’ensemble des classes d’isomorphisme de solutions est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\).

Démonstration

Remarquons d’emblée que, pour deux solutions \(B'_1\) et \(B'_2\) de (08S4), le lemme 08S5 fournit un élément d’obstruction \(o(B'_1, B'_2) \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\) à l’existence d’un homomorphisme \(B'_1 \to B'_2\). Cet élément est clairement l’obstruction à l’existence d’un isomorphisme et distingue donc les classes d’isomorphisme. Pour achever la démonstration, il suffit alors de montrer qu’étant donnés une solution \(B'\) et un élément \(\xi \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\), on peut trouver une seconde solution \(B'_\xi\) telle que \(o(B', B'_\xi) = \xi\).

Soit \(E = B\) considéré comme un ensemble. Considérons la surjection \(A[E] \to B\) de noyau \(J\) utilisée pour définir le complexe cotangent naïf par la formule \[\NL_{B/A} = (J/J^2 \to \Omega_{A[E]/A} \otimes_{A[E]} B)\] dans Algèbre, section 00S0. Puisque \(\Omega_{A[E]/A} \otimes B\) est un \(B\)-module libre, on a \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N) = \frac{\Hom_B(J/J^2, N)} {\Hom_B(\Omega_{A[E]/A} \otimes B, N)}\] On peut donc représenter \(\xi\) par la classe d’un morphisme \(\delta : J/J^2 \to N\).

Pour tout \(e \in E\), notons \(x_e \in A[E]\) la variable correspondante. Choisissons un relèvement \(y_e \in B'\) de l’image de \(x_e\) dans \(B\). Ces choix déterminent un homomorphisme de \(A'\)-algèbres \(\varphi : A'[E] \to B'\). Soit \(J' = \Ker(A'[E] \to B)\). Remarquons que \(\varphi\) induit une application \(\varphi|_{J'} : J' \to N\) et que \(B'\) est la somme amalgamée, comme dans le diagramme suivant : \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & J' \ar[u]^{\varphi|_{J'}} \ar[r] & A'[E] \ar[u] \ar[r] & B \ar[u]_{=} \ar[r] & 0 }\] Soit \(\psi : J' \to N\) la somme de l’application \(\varphi|_{J'}\) et de la composée \[J' \to J'/(J')^2 \to J/J^2 \xrightarrow{\delta} N.\] La somme amalgamée suivant \(\psi\) est alors une autre extension d’anneaux \(B'_\xi\) qui s’insère dans un diagramme comme ci-dessus. Un calcul montre que \(o(B', B'_\xi) = \xi\), comme voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre. Soit \(N\) un \(B\)-module. L’ensemble des classes d’isomorphisme d’extensions de \(A\)-algèbres \[0 \to N \to B' \to B \to 0\] où \(N\) est un idéal de carré nul est canoniquement en bijection avec \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\).

Démonstration

Pour le démontrer, appliquons les résultats précédents au cas où (08S4) est donné par le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & {?} \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r]^{\text{id}} & A \ar[u] \ar[r] & 0 }\] Le lemme résulte donc du lemme 08S7 et du fait qu’il existe une solution, à savoir \(N \oplus B\). (Voir la remarque ci-dessous pour une construction directe de la bijection.)

Remarque

Soient \(A \to B\) et \(N\) comme dans le lemme 0GPT. Soit \(\alpha : P \to B\) une présentation de \(B\) sur \(A\) ; voir Algèbre, section 00S0. Pour \(J = \Ker(\alpha)\), le complexe cotangent naïf \(\NL(\alpha)\) associé à \(\alpha\) est le complexe \(J/J^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B\). On a \[\Ext^1_B(\NL(\alpha), N) = \Coker\left(\Hom_B(\Omega_{P/A} \otimes_P B, N) \to \Hom_B(J/J^2, N)\right)\] car \(\Omega_{P/A}\) est un module libre. Considérons une extension \(0 \to N \to B' \to B \to 0\) comme dans le lemme. Puisque \(P\) est une algèbre polynomiale sur \(A\), on peut relever \(\alpha\) en un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\alpha' : P' \to B'\). Alors \(\alpha'|_J : J \to N\) se factorise sous la forme \(J \to J/J^2 \to N\) car \(N\) est de carré nul dans \(B'\). Le lemme envoie notre extension sur la classe de cette application \(J/J^2 \to N\) dans le conoyau affiché.

Lemme

Soient des homomorphismes d’anneaux \(A \to B \to C\), un \(B\)-module \(M\), un \(C\)-module \(N\), une application \(B\)-linéaire \(c : M \to N\), et des extensions de \(A\)-algèbres à noyaux de carré nul

1. \(0 \to M \to B' \to B \to 0\) correspondant à \(\xi \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, M)\), et

2. \(0 \to N \to C' \to C \to 0\) correspondant à \(\zeta \in \Ext^1_C(\NL_{C/A}, N)\).

Voir le lemme 0GPT. Il existe alors un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(B' \to C'\) compatible avec \(B \to C\) et \(c\) si et seulement si \(\xi\) et \(\zeta\) s’envoient sur le même élément de \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\).

Démonstration

L’énoncé a un sens car on dispose des applications \[\Ext^1_B(\NL_{B/A}, M) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\] induites par l’application \(M \to N\), ainsi que de \[\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\] où la première flèche utilise le foncteur de restriction \(D(C) \to D(B)\) et la seconde l’application canonique de complexes \(\NL_{B/A} \to \NL_{C/A}\). L’énoncé du lemme se déduit du lemme 08S5 appliqué au diagramme \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & N \ar[r] & C' \ar[r] & C \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & 0 \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r]|\hole & A \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M \ar[ruu] \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & A \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & A \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] et d’une compatibilité entre les constructions des démonstrations des lemmes 0GPT et 08S5, dont nous omettons l’énoncé et la démonstration. (Voir la remarque ci-dessous pour un argument direct.)

Remarque

Soient \(A \to B \to C\), \(M\), \(N\), \(c : M \to N\), \(0 \to M \to B' \to B \to 0\), \(\xi \in \Ext^1_B(\NL_{B/A}, M)\), \(0 \to N \to C' \to C \to 0\) et \(\zeta \in \Ext^1_C(\NL_{C/A}, N)\) comme dans le lemme 0GPV. En prenant la somme amalgamée le long de \(c : M \to N\), on construit une extension \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & B'_1 \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M \ar[u]^c \ar[r] & B' \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] \ar[r] & 0 }\] en posant \(B'_1 = (N \times B')/M\), où \(M\) est plongé antidiagonalement. En prenant le produit fibré le long de \(B \to C\), on construit une extension \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & C' \ar[r] & C \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & N \ar[u] \ar[r] & B'_2 \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] \ar[r] & 0 }\] en posant \(B'_2 = C' \times_C B\) (produit fibré d’anneaux). Une chasse au diagramme élémentaire montre qu’il existe un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(B' \to C'\) compatible avec \(B \to C\) et \(c\) si et seulement si \(B'_1\) est isomorphe à \(B'_2\) comme extension de \(A\)-algèbres de \(B\) par \(N\). Pour vérifier le lemme 0GPV, il suffit donc de montrer que \(B'_1\) correspond, par la bijection du lemme 0GPT, à l’image de \(\xi\) par l’application \(\Ext^1_B(\NL_{B/A}, M) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\), et que \(B'_2\) correspond à l’image de \(\zeta\) par l’application \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\). La première de ces assertions résulte immédiatement de la construction de la classe dans la remarque 0GPU. Pour la seconde, choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Q \ar[r]_\beta & C \\ P \ar[u]^\varphi \ar[r]^\alpha & B \ar[u] }\] de \(A\)-algèbres, tel que \(\alpha\) soit une présentation de \(B\) sur \(A\) et \(\beta\) une présentation de \(C\) sur \(A\). Voir la remarque 0GPU et les références qui y sont données. Posons \(J = \Ker(\alpha)\) et \(K = \Ker(\beta)\). L’application \(\varphi\) induit une application de complexes \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\) et, en particulier, \(\bar\varphi : J/J^2 \to K/K^2\). Choisissons un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\beta' : Q \to C'\) qui relève \(\beta\). Alors \(\alpha' = (\beta' \circ \varphi, \alpha) : P \to B'_2 = C' \times_C B\) est un relèvement de \(\alpha\). Pour ces choix, la composée de l’application \(K/K^2 \to N\) induite par \(\beta'\) et de l’application \(\bar\varphi : J/J^2 \to K/K^2\) est la restriction de \(\alpha'\) à \(J/J^2\). En explicitant les constructions de nos classes dans la remarque 0GPU, on voit bien que \(B'_2\) correspond à l’image de \(\zeta\) par l’application \(\Ext^1_C(\NL_{C/A}, N) \to \Ext^1_B(\NL_{B/A}, N)\).

Lemme

Soient \(0 \to I \to A' \to A \to 0\), \(A \to B\) et \(c : I \to N\) comme dans (08S4). Notons \(\xi \in \Ext^1_A(\NL_{A/A'}, I)\) l’élément correspondant à l’extension \(A'\) de \(A\) par \(I\) par le lemme 0GPT. L’ensemble des classes d’isomorphisme de solutions est canoniquement en bijection avec la fibre de \[\Ext^1_B(\NL_{B/A'}, N) \to \Ext^1_A(\NL_{A/A'}, N)\] au-dessus de l’image de \(\xi\).

Démonstration

D’après le lemme 0GPT appliqué à \(A' \to B\) et au \(B\)-module \(N\), les éléments \(\zeta\) de \(\Ext^1_B(\NL_{B/A'}, N)\) paramètrent les extensions \(0 \to N \to B' \to B \to 0\) de \(A'\)-algèbres. D’après le lemme 0GPV appliqué à \(A' \to A \to B\) et \(c : I \to N\), il existe un homomorphisme de \(A'\)-algèbres \(A' \to B'\) compatible avec \(c\) et \(A \to B\) si et seulement si \(\zeta\) s’envoie sur \(\xi\). Cela revient bien sûr à dire que \(B'\) est une solution de (08S4).

Remarque

Remarquons que, dans la situation du lemme 0GPX, on a \[\Ext^1_A(\NL_{A/A'}, N) = \Ext^1_B(\NL_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N) = \Ext^1_B(\NL_{A/A'} \otimes_A B, N)\] La première égalité résulte de Compléments d’algèbre, lemme 0GMT, et la seconde de Compléments d’algèbre, lemme 0FUY. On dispose d’applications de complexes \[\NL_{A/A'} \otimes_A B \to \NL_{B/A'} \to \NL_{B/A}\] qui forment presque un triangle distingué ; voir Algèbre, lemme 00S2. Si elles formaient un triangle distingué, on conclurait que l’image de \(\xi\) dans \(\Ext^2_B(\NL_{B/A}, N)\) serait l’obstruction à l’existence d’une solution de (08S4).

Si notre homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est d’intersection complète locale, il existe une solution. Il s’agit d’un résultat de relèvement ; remarquons que, pour les homomorphismes syntomiques, nous avons démontré un résultat de relèvement assez fort dans Lissage des morphismes d’anneaux, Proposition 07M8.

Lemme

Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux d’intersection complète locale, alors il existe une solution de (08S4).

Démonstration

Écrivons \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/J\). D’après Compléments d’algèbre, définition 07D0, l’idéal \(J\) est Koszul-régulier. Il s’ensuit que \(J\) est \(H_1\)-régulier et quasi-régulier ; voir Compléments d’algèbre, section 07CU. Soit \(J' \subset A'[x_1, \ldots, x_n]\) l’image réciproque de \(J\). Notons \(I[x_1, \ldots, x_n]\) le noyau de \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to A[x_1, \ldots, x_n]\). D’après Compléments d’algèbre, lemme 07CX, on a \(I[x_1, \ldots, x_n] \cap (J')^2 = J'I[x_1, \ldots, x_n] = JI[x_1, \ldots, x_n]\). On obtient donc une suite exacte courte \[0 \to I \otimes_A B \to J'/(J')^2 \to J/J^2 \to 0\] Puisque \(J/J^2\) est projectif (Compléments d’algèbre, lemme 08RK), on peut choisir un scindage de cette suite \[J'/(J')^2 = I \otimes_A B \oplus J/J^2\] Soit \((J')^2 \subset J'' \subset J'\) l’ensemble des éléments qui s’envoient dans le second facteur de la décomposition précédente. Alors \[0 \to I \otimes_A B \to A'[x_1, \ldots, x_n]/J'' \to B \to 0\] est une solution de (08S4) avec \(N = I \otimes_A B\). Le cas général s’obtient en prenant la somme amalgamée le long de l’application donnée \(I \otimes_A B \to N\).

Démonstration

Veuillez lire la remarque 0GPY avant cette démonstration. D’après Compléments d’algèbre, lemme 07D4, les applications \(\NL_{A/A'} \otimes_A B \to \NL_{B/A'} \to \NL_{B/A}\) forment bien un triangle distingué dans \(D(B)\). Il suffit donc de montrer que \(\Ext^2_B(\NL_{B/A}, N)\) s’annule. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0FV0, le complexe \(\NL_{B/A}\) est parfait, d’amplitude de Tor contenue dans \([-1, 0]\). Il s’ensuit que notre \(\Ext^2\) s’annule, par exemple d’après Compléments d’algèbre, lemme 0BCG, partie (1).

Épaississements d’espaces annelés

Dans les quelques sections qui suivent, nous utiliserons les notions suivantes :

1. Un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) sur un espace annelé \((X', \mathcal{O}_{X'})\) est localement nilpotent si toute section locale de \(\mathcal{I}\) est localement nilpotente. Comparer avec Algèbre, Item 0543.

2. Un épaississement d’espaces annelés est un morphisme \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) d’espaces annelés tel que

   1. \(i\) induise un homéomorphisme \(X \to X'\) ;

   2. l’application \(i^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to i_*\mathcal{O}_X\) soit surjective ; et

   3. le noyau de \(i^\sharp\) soit un faisceau d’idéaux localement nilpotent.

3. Un épaississement du premier ordre d’espaces annelés est un épaississement \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) d’espaces annelés tel que \(\Ker(i^\sharp)\) soit de carré nul.

4. Il est clair comment définir les morphismes d’épaississements, les morphismes d’épaississements au-dessus d’un espace annelé de base, etc.

Si \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) est un épaississement d’espaces annelés, nous identifions les espaces topologiques sous-jacents et considérons \(\mathcal{O}_X\), \(\mathcal{O}_{X'}\) et \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\) comme des faisceaux sur \(X = X'\). On obtient une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules. D’après Modules, lemme 08KS, la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules est équivalente à la catégorie des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules annulés par \(\mathcal{I}\). En particulier, si \(i\) est un épaississement du premier ordre, \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module.

Situation

Un morphisme d’épaississements \((f, f')\) est donné par un diagramme commutatif [08L0]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (X, \mathcal{O}_X) \ar[r]_i \ar[d]_f & (X', \mathcal{O}_{X'}) \ar[d]^{f'} \\ (S, \mathcal{O}_S) \ar[r]^t & (S', \mathcal{O}_{S'}) } } \end{equation}\] d’espaces annelés, dont les flèches horizontales sont des épaississements. Dans cette situation, on pose \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp) \subset \mathcal{O}_{X'}\) et \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp) \subset \mathcal{O}_{S'}\). Puisque \(f = f'\) sur les espaces topologiques sous-jacents, nous identifierons les foncteurs images réciproques (topologiques) \(f^{-1}\) et \((f')^{-1}\). Remarquons que \((f')^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_{X'}\) induit en particulier une application \(f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{I}\) et donc une application de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules \[(f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\] Si \(i\) et \(t\) sont des épaississements du premier ordre, alors \((f')^*\mathcal{J} = f^*\mathcal{J}\) et l’application précédente devient une application \(f^*\mathcal{J} \to \mathcal{I}\).

Définition

Dans la situation 08KZ, on dit que \((f, f')\) est un morphisme strict d’épaississements si l’application \((f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\) est surjective.

Le lemme suivant montre en particulier qu’un morphisme \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) d’épaississements de schémas est strict si et seulement si \(X = S \times_{S'} X'\).

Lemme

Dans la situation 08KZ, le morphisme \((f, f')\) est un morphisme strict d’épaississements si et seulement si (08L0) est cartésien dans la catégorie des espaces annelés.

Démonstration

Omis.

Modules sur les épaississements du premier ordre d’espaces annelés

Dans cette section, nous présentons quelques préliminaires à la théorie des déformations des modules. Soit \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) un épaississement du premier ordre d’espaces annelés. Nous utiliserons librement la notation introduite dans la section 08KY ; en particulier, nous identifierons les espaces topologiques sous-jacents. Dans cette section, nous considérons des suites exactes courtes [08L4]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \end{equation}\] de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules, où \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules et \(\mathcal{F}'\) un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module. Dans cette situation, on dispose d’une application canonique de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[c_{\mathcal{F}'} : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{K}\] où \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\). En effet, pour des sections locales \(f\) de \(\mathcal{I}\) et \(s\) de \(\mathcal{F}\), on pose \(c_{\mathcal{F}'}(f \otimes s) = fs'\), où \(s'\) est une section locale de \(\mathcal{F}'\) relevant \(s\).

Lemme

Soit \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) un épaississement du premier ordre d’espaces annelés. Supposons données des extensions \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] comme dans (08L4), ainsi que des applications \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) et \(\psi : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\).

1. S’il existe une application de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) compatible avec \(\varphi\) et \(\psi\), alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] est commutatif.

2. L’ensemble des applications de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) compatibles avec \(\varphi\) et \(\psi\) est, s’il est non vide, un espace principal homogène sous \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte immédiatement de la description des applications. Pour (2), si \(\varphi'\) et \(\varphi''\) sont deux applications \(\mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) compatibles avec \(\varphi\) et \(\psi\), alors \(\varphi' - \varphi''\) se factorise sous la forme \[\mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}'\] L’application du milieu provient d’un unique élément de \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\), d’après Modules, lemme 08KS. Réciproquement, étant donné un élément \(\alpha\) de ce groupe, on peut ajouter la composée (affichée ci-dessus avec \(\alpha\) au milieu) à \(\varphi'\). Nous omettons certains détails.

Lemme

Soit \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) un épaississement du premier ordre d’espaces annelés. Supposons données des extensions \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] comme dans (08L4), ainsi que des applications \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) et \(\psi : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\). Supposons le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] commutatif. Il existe alors un élément \[o(\varphi, \psi) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une application \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) compatible avec \(\varphi\) et \(\psi\).

Démonstration

On peut construire explicitement une extension \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{H} \to \mathcal{F} \to 0\] en prenant pour \(\mathcal{H}\) la cohomologie au milieu du complexe \[\mathcal{K} \xrightarrow{1, - \psi} \mathcal{F}' \oplus \mathcal{G}' \xrightarrow{\varphi, 1} \mathcal{G}\] (avec les notations évidentes). Un calcul sur les sections locales, utilisant l’hypothèse de commutativité du diagramme du lemme, montre que \(\mathcal{H}\) est annulé par \(\mathcal{I}\). Par conséquent, \(\mathcal{H}\) définit une classe dans \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{L}) \subset \Ext^1_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] Enfin, la classe de \(\mathcal{H}\) est la différence entre la somme amalgamée de l’extension \(\mathcal{F}'\) suivant \(\psi\) et l’image réciproque de l’extension \(\mathcal{G}'\) suivant \(\varphi\) (calculs omis). L’annulation de la classe de \(\mathcal{H}\) équivaut donc à l’existence d’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d]_{\psi} & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d]_{\varphi'} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_\varphi & 0\\ 0 \ar[r] & \mathcal{L} \ar[r] & \mathcal{G}' \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & 0 }\] comme voulu.

Lemme

Soit \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) un épaississement du premier ordre d’espaces annelés. Supposons donnés des \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}\) et une application \(\mathcal{O}_X\)-linéaire \(c : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\). S’il existe une suite (08L4) telle que \(c_{\mathcal{F}'} = c\), alors l’ensemble des classes d’isomorphisme de ces extensions est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\).

Démonstration

Supposons données des extensions \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] telles que \(c_{\mathcal{F}'_1} = c_{\mathcal{F}'_2} = c\). Leur différence (dans le groupe des extensions ; voir Homology, section 010I) est une extension \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] où \(\mathcal{E}\) est annulé par \(\mathcal{I}\) (on omet le calcul local). La suite est donc une extension de \(\mathcal{O}_X\)-modules ; voir Modules, lemme 08KS. Réciproquement, étant donnée une telle extension \(\mathcal{E}\), on peut ajouter l’extension \(\mathcal{E}\) à l’extension de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules \(\mathcal{F}'\) sans modifier l’application \(c_{\mathcal{F}'}\). Nous omettons certains détails.

Lemme

Soit \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) un épaississement du premier ordre d’espaces annelés. Supposons donnés des \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}\) et une application \(\mathcal{O}_X\)-linéaire \(c : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\). Il existe alors un élément \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une suite (08L4) telle que \(c_{\mathcal{F}'} = c\).

Démonstration

Montrons d’abord que, si \(\mathcal{K}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif, il existe bien une suite (08L4) telle que \(c_{\mathcal{F}'} = c\). Pour cela, choisissons un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module plat \(\mathcal{H}'\) et une surjection \(\mathcal{H}' \to \mathcal{F}\) (Modules, lemme 05NI). Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{H}'\) le noyau. Comme \(\mathcal{H}'\) est plat, on a \[\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{H}' = \mathcal{I}\mathcal{H}' \subset \mathcal{J} \subset \mathcal{H}'\] Remarquons que l’application \[\mathcal{I}\mathcal{H}' = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{H}' \longrightarrow \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} \mathcal{F} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] annule \(\mathcal{I}\mathcal{J}\). En effet, si \(f\) est une section locale de \(\mathcal{I}\) et \(s\) une section locale de \(\mathcal{H}\), alors \(fs\) s’envoie sur \(f \otimes \overline{s}\), où \(\overline{s}\) est l’image de \(s\) dans \(\mathcal{F}\). On obtient ainsi \[\xymatrix{ \mathcal{I}\mathcal{H}'/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & \mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{..>}[d]_\gamma \\ \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-c & \mathcal{K} }\] un diagramme de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Si \(\mathcal{K}\) est injectif comme \(\mathcal{O}_X\)-module, on obtient la flèche pointillée. Notons \(\gamma' : \mathcal{J} \to \mathcal{K}\) la composée de \(\gamma\) avec \(\mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J}\). Un calcul local montre que la somme amalgamée \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[r] \ar[d]_{\gamma'} & \mathcal{H}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] est une solution au problème posé par le lemme.

Cas général. Choisissons un plongement \(\mathcal{K} \subset \mathcal{K}'\), où \(\mathcal{K}'\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif. Soit \(\mathcal{Q}\) le quotient, de sorte que l’on ait une suite exacte \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{K}' \to \mathcal{Q} \to 0\] Notons \(c' : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}'\) la composée. Le paragraphe précédent fournit une suite \[0 \to \mathcal{K}' \to \mathcal{E}' \to \mathcal{F} \to 0\] comme dans (08L4), telle que \(c_{\mathcal{E}'} = c'\). Remarquons que la composée de \(c'\) avec l’application \(\mathcal{K}' \to \mathcal{Q}\) est nulle ; la somme amalgamée de \(\mathcal{E}'\) suivant \(\mathcal{K}' \to \mathcal{Q}\) est donc une extension \[0 \to \mathcal{Q} \to \mathcal{D}' \to \mathcal{F} \to 0\] comme dans (08L4), telle que \(c_{\mathcal{D}'} = 0\). Cela signifie exactement que \(\mathcal{D}'\) est annulé par \(\mathcal{I}\) ; autrement dit, \(\mathcal{D}'\) est une extension de \(\mathcal{O}_X\)-modules, c’est-à-dire qu’il définit un élément \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{Q}) = \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] (l’égalité résulte de la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte précédente et de l’annulation des groupes Ext supérieurs à valeurs dans le module injectif \(\mathcal{K}'\)). Si \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) = 0\), on peut choisir un scindage \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{D}'\) et poser \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{E}' \to \mathcal{D}'/s(\mathcal{F}))\] ce qui donne le diagramme suivant \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}' \ar[r] & \mathcal{E}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] à lignes exactes, qui montre que \(c_{\mathcal{F}'} = c\). Réciproquement, si \(\mathcal{F}'\) existe, alors la somme amalgamée de \(\mathcal{F}'\) suivant l’application \(\mathcal{K} \to \mathcal{K}'\) est isomorphe à \(\mathcal{E}'\), d’après le lemme 08L7 et l’annulation des groupes Ext supérieurs à valeurs dans le module injectif \(\mathcal{K}'\). On obtient ainsi un diagramme comme ci-dessus, ce qui implique que \(\mathcal{D}'\) est scindée comme extension, c’est-à-dire que la classe \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c)\) est nulle.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Un épaississement du premier ordre \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) est dit trivial s’il existe un morphisme d’espaces annelés \(\pi : (X', \mathcal{O}_{X'}) \to (X, \mathcal{O}_X)\) qui soit un inverse à gauche de \(i\). Le choix d’un tel morphisme \(\pi\) est appelé une trivialisation de l’épaississement du premier ordre. Étant donné \(\pi\), on obtient un scindage [08LA]\[\begin{equation} \mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{I} \end{equation}\] comme faisceaux d’algèbres sur \(X\), en utilisant \(\pi^\sharp\) pour scinder la surjection \(\mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X\). Réciproquement, un tel scindage détermine un morphisme \(\pi\). La catégorie des épaississements du premier ordre trivialisés de \((X, \mathcal{O}_X)\) est équivalente à la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Remarque

Soit \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) un épaississement trivial du premier ordre d’espaces annelés, et soit \(\pi : (X', \mathcal{O}_{X'}) \to (X, \mathcal{O}_X)\) une trivialisation. Pour tout triplet \((\mathcal{F}, \mathcal{K}, c)\) formé d’une paire de \(\mathcal{O}_X\)-modules et d’une application \(c : \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\), on peut poser \[\mathcal{F}'_{c, triv} = \mathcal{F} \oplus \mathcal{K}\] et utiliser le scindage (08LA) associé à \(\pi\) ainsi que l’application \(c\) pour définir la structure de \(\mathcal{O}_{X'}\)-module et obtenir une extension (08L4). On appellera \(\mathcal{F}'_{c, triv}\) l’extension triviale de \(\mathcal{F}\) par \(\mathcal{K}\) correspondant à \(c\) et à la trivialisation \(\pi\). Pour toute extension \(\mathcal{F}'\) comme dans (08L4), on peut utiliser \(\pi^\sharp : \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'}\) pour considérer \(\mathcal{F}'\) comme une extension de \(\mathcal{O}_X\)-modules, et donc comme une classe \(\xi_{\mathcal{F}'}\) dans \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\). Le lemme 08L7 assure que \(\mathcal{F}' \mapsto \xi_{\mathcal{F}'}\) induit une bijection \[\left\{ \begin{matrix} \text{isomorphism classes of extensions}\\ \mathcal{F}'\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) avec }c = c_{\mathcal{F}'} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] De plus, l’extension triviale \(\mathcal{F}'_{c, triv}\) s’envoie sur la classe nulle.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soient \((X, \mathcal{O}_X) \to (X'_i, \mathcal{O}_{X'_i})\), \(i = 1, 2\), des épaississements du premier ordre, de faisceaux d’idéaux \(\mathcal{I}_i\). Soit \(h : (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2})\) un morphisme d’épaississements du premier ordre de \((X, \mathcal{O}_X)\). On a le diagramme \[\xymatrix{ & (X, \mathcal{O}_X) \ar[ld] \ar[rd] & \\ (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \ar[rr]^h & & (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) }\] Remarquons que \(h^\sharp : \mathcal{O}_{X'_2} \to \mathcal{O}_{X'_1}\) induit en particulier une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Soit \((\mathcal{K}_i, c_i)\), pour \(i = 1, 2\), une paire formée d’un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{K}_i\) et d’une application \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\). Supposons en outre donnée une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] soit commutatif. On dispose alors d’une fonctorialité canonique \[\left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_2\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) avec }\\ c_2 = c_{\mathcal{F}'_2}\text{ et }\mathcal{K} = \mathcal{K}_2 \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_1\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) avec }\\ c_1 = c_{\mathcal{F}'_1}\text{ et }\mathcal{K} = \mathcal{K}_1 \end{matrix} \right\}\] En effet, en considérant tous les faisceaux \(\mathcal{O}_X\), \(\mathcal{O}_{X'_i}\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}_i\), etc., comme des faisceaux sur \(X\), on associe à \(\mathcal{F}'_2\) le faisceau \(\mathcal{F}'_1\) défini comme la somme amalgamée, c’est-à-dire s’insérant dans le diagramme d’extensions suivant : \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_1 \ar[r] & \mathcal{F}'_1 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] Nous omettons la construction de la structure de \(\mathcal{O}_{X'_1}\)-module sur la somme amalgamée (elle utilise la commutativité du diagramme faisant intervenir \(c_1\) et \(c_2\)).

Remarque

Soient \((X, \mathcal{O}_X)\), \((X, \mathcal{O}_X) \to (X'_i, \mathcal{O}_{X'_i})\), \(\mathcal{I}_i\), et \(h : (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2})\) comme dans la remarque 08LC. Supposons données des trivialisations \(\pi_i : X'_i \to X\) telles que \(\pi_1 = h \circ \pi_2\). Autrement dit, supposons que \(h\) soit un morphisme d’épaississements du premier ordre trivialisés de \((X, \mathcal{O}_X)\). Soit \((\mathcal{K}_i, c_i)\), pour \(i = 1, 2\), une paire formée d’un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{K}_i\) et d’une application \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\). Supposons en outre donnée une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] soit commutatif. Dans cette situation, la construction de la remarque 08LB induit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \{\mathcal{F}'_2\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) avec } c_2 = c_{\mathcal{F}'_2}\text{ et }\mathcal{K} = \mathcal{K}_2\} \ar[d] \ar[rr] & & \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2) \ar[d] \\ \{\mathcal{F}'_1\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension}{08L4}) avec } c_1 = c_{\mathcal{F}'_1}\text{ et }\mathcal{K} = \mathcal{K}_1\} \ar[rr] & & \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) }\] où l’application verticale de droite est donnée par la fonctorialité de \(\Ext\) et l’application \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\), tandis que l’application verticale de gauche est celle de la remarque 08LC.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. On dit qu’une suite de morphismes d’épaississements du premier ordre \[(X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\] de \((X, \mathcal{O}_X)\) est un complexe si les applications correspondantes entre les faisceaux d’idéaux \(\mathcal{I}_i\) forment un complexe de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1\) (c’est-à-dire si la composée est nulle). Dans ce cas, la composée \((X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X_3', \mathcal{O}_{X'_3})\) se factorise par \((X, \mathcal{O}_X) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\) ; autrement dit, l’épaississement du premier ordre \((X'_1, \mathcal{O}_{X'_1})\) de \((X, \mathcal{O}_X)\) est trivial et muni d’une trivialisation canonique \(\pi : (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X, \mathcal{O}_X)\).

On dit qu’une suite de morphismes d’épaississements du premier ordre \[(X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\] de \((X, \mathcal{O}_X)\) est une suite exacte courte si les applications correspondantes entre les faisceaux d’idéaux forment une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1 \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Remarque

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Soit \[(X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \to (X'_3, \mathcal{O}_{X'_3})\] un complexe d’épaississements du premier ordre de \((X, \mathcal{O}_X)\), voir Remarque 08LE. Soient \((\mathcal{K}_i, c_i)\), \(i = 1, 2, 3\), des couples formés d’un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{K}_i\) et d’une application \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\). Supposons donnée une suite exacte courte de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[0 \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \to 0\] telle que \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_3} \ar[d] & \mathcal{K}_3 \ar[d] \\ \mathcal{I}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_2} & \mathcal{K}_2 } }\] soient commutatifs. Supposons enfin donnée une extension \[0 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] comme dans (08L4), avec \(\mathcal{K} = \mathcal{K}_2\), de \(\mathcal{O}_{X'_2}\)-modules telle que \(c_{\mathcal{F}'_2} = c_2\). Dans cette situation, nous pouvons appliquer la fonctorialité de la Remarque 08LC pour obtenir une extension \(\mathcal{F}'_1\) sur \(X'_1\) (nous décrirons ci-dessous \(\mathcal{F}'_1\) dans ce cas particulier). Par la Remarque 08LB, en utilisant le scindage canonique \(\pi : (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X, \mathcal{O}_X)\) de la Remarque 08LE, nous obtenons \(\xi_{\mathcal{F}'_1} \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1)\). Enfin, nous avons l’obstruction \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] du Lemme 08L8. Dans cette situation, nous affirmons que l’application canonique \[\partial : \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) \longrightarrow \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] provenant de la suite exacte courte \(0 \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \to 0\) envoie \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\) sur la classe d’obstruction \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3)\).

Pour démontrer cette affirmation, choisissons un plongement \(j : \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}\), où \(\mathcal{K}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module injectif. Nous pouvons relever \(j\) en une application \(j' : \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}\). Posons \(\mathcal{E}'_2 = j'_*\mathcal{F}'_2\), égal à la somme amalgamée de \(\mathcal{F}'_2\) par \(j'\), de sorte que \(c_{\mathcal{E}'_2} = j' \circ c_2\). Voici le diagramme : \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d]_{j'} & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{E}'_2 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] Posons \(\mathcal{E}'_3 = \mathcal{E}'_2\), mais considérons-le comme un \(\mathcal{O}_{X'_3}\)-module au moyen de \(\mathcal{O}_{X'_3} \to \mathcal{O}_{X'_2}\). Alors \(c_{\mathcal{E}'_3} = j \circ c_3\). La démonstration du Lemme 08L8 construit \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3)\) comme le cobord de la classe de l’extension de \(\mathcal{O}_X\)-modules \[0 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] D’autre part, remarquons que \(\mathcal{F}'_1 = \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3\) ; ainsi, la classe \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\) est la classe de l’extension \[0 \to \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] considérée comme une suite de \(\mathcal{O}_X\)-modules au moyen de \(\pi^\sharp\), où \(\pi : (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \to (X, \mathcal{O}_X)\) est le scindage canonique. Ainsi, l’affirmation résulte finalement de l’existence du diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] qui est \(\mathcal{O}_X\)-linéaire (pour les structures de \(\mathcal{O}_X\)-modules données ci-dessus).

Déformations infinitésimales de modules sur des espaces annelés

Soit \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) un épaississement du premier ordre d’espaces annelés. Nous employons librement les notations introduites à la section 08KY. Soit \(\mathcal{F}'\) un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\). Dans cette situation, nous avons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}\mathcal{F}' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules. Puisque \(\mathcal{I}^2 = 0\), la structure de \(\mathcal{O}_{X'}\)-module sur \(\mathcal{I}\mathcal{F}'\) provient d’une unique structure de \(\mathcal{O}_X\)-module. Ainsi, la suite ci-dessus est une extension comme dans (08L4). Dans le cas particulier où \(\mathcal{F}' = \mathcal{O}_{X'}\), nous avons \(i^*\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{I}\), et nous retrouvons la suite des faisceaux structuraux \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\]

Lemme

Soit \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) un épaississement du premier ordre d’espaces annelés. Soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules. Posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application \(\mathcal{O}_X\)-linéaire. L’ensemble des relèvements de \(\varphi\) en une application \(\mathcal{O}_{X'}\)-linéaire \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) est, s’il est non vide, un espace principal homogène sous \(\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}')\).

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 08L5, mais nous en donnons aussi une démonstration directe. Nous avons des suites exactes courtes de modules \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{I}\mathcal{G}' \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] et de même pour \(\mathcal{F}'\). Comme \(\mathcal{I}\) est de carré nul, les structures de \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules sur \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{I}\mathcal{G}'\) proviennent d’uniques structures de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Il s’ensuit que \[\Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}') \quad\text{et}\quad \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] Le lemme résulte alors de la suite exacte \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G})\] voir Homology, lemme 05AA.

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre d’espaces annelés comme dans la Situation 08KZ. Soit \(\mathcal{F}'\) un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\). Supposons que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) et que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements (Définition 08L1). Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}'\) est plat sur \(S'\) ;

2. l’application canonique \(f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\) est un isomorphisme.

De plus, dans ce cas, les applications \[f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\] sont des isomorphismes.

Démonstration

L’application \(f^*\mathcal{J} \to \mathcal{I}\) est surjective, car \((f, f')\) est un morphisme strict d’épaississements. La dernière assertion résulte donc de (2).

Démontrons l’équivalence de (1) et (2). Nous pouvons vérifier ces conditions sur les germes. Soit \(x \in X \subset X'\) un point d’image \(s = f(x) \in S \subset S'\). Posons \(A' = \mathcal{O}_{S', s}\), \(B' = \mathcal{O}_{X', x}\), \(A = \mathcal{O}_{S, s}\) et \(B = \mathcal{O}_{X, x}\). Alors \(A = A'/J\) et \(B = B'/I\) pour certains idéaux de carré nul. Puisque \((f, f')\) est un morphisme strict d’épaississements, nous avons \(I = JB'\). Soient \(M' = \mathcal{F}'_x\) et \(M = \mathcal{F}_x\). Alors \(M'\) est un \(B'\)-module et \(M\) est un \(B\)-module. Comme \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\), le noyau de la surjection \(M' \to M\) est \(IM' = JM'\). Nous avons donc une suite exacte courte \[0 \to JM' \to M' \to M \to 0\] En utilisant Faisceaux, lemme 0098 et Modules, lemme 01CB pour identifier les germes des images réciproques et des produits tensoriels, nous voyons que le germe en \(x\) de l’application canonique de la lemme est l’application \[(J \otimes_A B) \otimes_B M = J \otimes_A M = J \otimes_{A'} M' \longrightarrow JM'\] L’hypothèse que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) signifie que \(M\) est un \(A\)-module plat.

Supposons (1). La platitude implique \(\text{Tor}_1^{A'}(M', A) = 0\) d’après Algèbre, lemme 00M5. Cela signifie que \(J \otimes_{A'} M' \to M'\) est injective d’après Algèbre, remarque 00M6. Ainsi, \(J \otimes_A M \to JM'\) est un isomorphisme.

Supposons (2). Alors \(J \otimes_{A'} M' \to M'\) est injective. Donc \(\text{Tor}_1^{A'}(M', A) = 0\) d’après Algèbre, remarque 00M6. Ainsi, \(M'\) est plat sur \(A'\) d’après Algèbre, lemme 051C.

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre comme dans la Situation 08KZ. Soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application \(\mathcal{O}_X\)-linéaire. Supposons que \(\mathcal{G}'\) soit plat sur \(S'\) et que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements. L’ensemble des relèvements de \(\varphi\) en une application \(\mathcal{O}_{X'}\)-linéaire \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) est, s’il est non vide, un espace principal homogène sous \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J})\]

Démonstration

Il suffit de combiner les Lemmes 08LH et 08LI.

Lemme

Soit \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) un épaississement du premier ordre d’espaces annelés. Soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application \(\mathcal{O}_X\)-linéaire. Il existe un élément \[o(\varphi) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un relèvement de \(\varphi\) en une application \(\mathcal{O}_{X'}\)-linéaire \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\).

Démonstration

Il ressort de la démonstration du Lemme 08LH que l’annulation du cobord de \(\varphi\) par l’application \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] est une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un relèvement. Nous concluons puisque \[\Ext^1_{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] par l’adjonction de \(i_* = Ri_*\) et \(Li^*\) dans la catégorie dérivée (Cohomologie, lemme 079W).

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre comme dans la Situation 08KZ. Soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application \(\mathcal{O}_X\)-linéaire. Supposons que \(\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G}'\) soient plats sur \(S'\) et que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements. Il existe un élément \[o(\varphi) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J})\] dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un relèvement de \(\varphi\) en une application \(\mathcal{O}_{X'}\)-linéaire \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\).

Démonstration

Cela résulte du Lemme 08LK, car nous affirmons que, sous les hypothèses de la lemme, nous avons \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J})\] En effet, nous avons \(\mathcal{I}\mathcal{G}' = \mathcal{G} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{J}\) d’après le Lemme 08LI. D’autre part, remarquons que \[H^{-1}(Li^*\mathcal{F}') = \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_{X'}}(\mathcal{F}', \mathcal{O}_X)\] (nous omettons le calcul local). En utilisant la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] nous voyons que ce \(\text{Tor}_1\) est calculé par le noyau de l’application \(\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\), qui est nul d’après la dernière assertion du Lemme 08LI. Ainsi, \(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\). D’autre part, nous avons \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] par le dual de Catégories dérivées, lemme 05TC.

Démonstration

Nous pouvons appliquer le Lemme 08L6 comme suit. Remarquons que \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) et \(\mathcal{L} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) d’après le Lemme 08LI, que \(c_{\mathcal{F}'} = 1 \otimes 1\) et \(c_{\mathcal{G}'} = 1 \otimes 1\), et qu’en prenant \(\psi = 1 \otimes \varphi\), le diagramme de la lemme est commutatif. Ainsi, \(o(\varphi) = o(\varphi, 1 \otimes \varphi)\) convient.

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre comme dans la Situation 08KZ. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Supposons que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements et que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\). S’il existe un couple \((\mathcal{F}', \alpha)\) formé d’un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module \(\mathcal{F}'\) plat sur \(S'\) et d’un isomorphisme \(\alpha : i^*\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\), alors l’ensemble des classes d’isomorphisme de tels couples est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\).

Démonstration

Si nous supposons qu’il existe un tel module, alors l’application canonique \[f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\] est un isomorphisme d’après le Lemme 08LI. Appliquons le Lemme 08L7 avec \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) et \(c = 1\). D’après le Lemme 08LI, les extensions \(\mathcal{F}'\) correspondantes sont toutes plates sur \(S'\).

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre comme dans la Situation 08KZ. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Supposons que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements et que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\). Il existe un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module \(\mathcal{F}'\) plat sur \(S'\) tel que \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\), si et seulement si

1. l’application canonique \(f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\) est un isomorphisme ;

2. la classe \(o(\mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) du Lemme 08L8 est nulle.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la caractérisation des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules plats sur \(S'\) donnée par la Lemme 08LI et de la Lemme 08L8.

Application aux modules plats sur les épaississements plats d’espaces annelés

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X, \mathcal{O}_X) \ar[r]_i \ar[d]_f & (X', \mathcal{O}_{X'}) \ar[d]^{f'} \\ (S, \mathcal{O}_S) \ar[r]^t & (S', \mathcal{O}_{S'}) }\] d’espaces annelés dont les flèches horizontales sont des épaississements du premier ordre, comme dans la Situation 08KZ. Posons \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp) \subset \mathcal{O}_{X'}\) et \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp) \subset \mathcal{O}_{S'}\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Supposons que

1. \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements ;

2. \(f'\) soit plat ;

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\).

Remarquons que (1) \(+\) (2) impliquent que \(\mathcal{I} = f^*\mathcal{J}\) (appliquer le Lemme 08LI à \(\mathcal{O}_{X'}\)). La théorie de la section précédente prend une forme particulièrement simple sous ces hypothèses. Nous résumons dans la lemme suivante les résultats déjà obtenus.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, on a les assertions suivantes.

1. Il existe un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module \(\mathcal{F}'\) plat sur \(S'\) tel que \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\), si et seulement si la classe \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) du Lemme 08L8 est nulle.

2. S’il existe un tel module, alors l’ensemble des classes d’isomorphisme des relèvements est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\).

3. Étant donné un relèvement \(\mathcal{F}'\), l’ensemble des automorphismes de \(\mathcal{F}'\) dont l’image réciproque est \(\text{id}_\mathcal{F}\) est canoniquement isomorphe à \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte du Lemme 08LN, car nous avons vu ci-dessus que \(\mathcal{I} = f^*\mathcal{J}\). L’assertion (2) résulte du Lemme 08LM. L’assertion (3) résulte du Lemme 08LJ.

Situation

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) un morphisme d’espaces annelés. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (X'_1, \mathcal{O}'_1) \ar[r]_h \ar[d]_{f'_1} & (X'_2, \mathcal{O}'_2) \ar[r] \ar[d]_{f'_2} & (X'_3, \mathcal{O}'_3) \ar[d]_{f'_3} \\ (S'_1, \mathcal{O}_{S'_1}) \ar[r] & (S'_2, \mathcal{O}_{S'_2}) \ar[r] & (S'_3, \mathcal{O}_{S'_3}) }\] où (a) la ligne supérieure est une suite exacte courte d’épaississements du premier ordre de \(X\), (b) la ligne inférieure est une suite exacte courte d’épaississements du premier ordre de \(S\), (c) chaque \(f'_i\) induit \(f\) par restriction, (d) chaque couple \((f, f_i')\) est un morphisme strict d’épaississements et (e) chaque \(f'_i\) est plat. Enfin, soit \(\mathcal{F}'_2\) un \(\mathcal{O}'_2\)-module plat sur \(S'_2\), et posons \(\mathcal{F} = \mathcal{F}'_2|_X\). Soit \(\pi : X'_1 \to X\) le scindage canonique (Remarque 08LE).

Lemme

Dans la Situation 08VS, les modules \(\pi^*\mathcal{F}\) et \(h^*\mathcal{F}'_2\) sont des \(\mathcal{O}'_1\)-modules plats sur \(S'_1\) et dont la restriction est \(\mathcal{F}\) sur \(X\). Leur différence (Lemme 08VR) est un élément \(\theta\) de \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) dont le cobord dans \(\Ext^2_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\) est égal à l’obstruction (Lemme 08VR) au relèvement de \(\mathcal{F}\) en un \(\mathcal{O}'_3\)-module plat sur \(S'_3\).

Démonstration

Remarquons que \(\pi^*\mathcal{F}\) et \(h^*\mathcal{F}'_2\) ont tous deux pour restriction \(\mathcal{F}\) à \(X\) et que les noyaux de \(\pi^*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) et \(h^*\mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F}\) sont donnés par \(f^*\mathcal{J}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}\). Ils sont donc plats d’après le Lemme 08LI. Prendre le cobord a un sens, car la suite de modules \[0 \to f^*\mathcal{J}_3 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_2 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to 0\] est exacte courte par les hypothèses de la Situation 08VS et le fait que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\). L’assertion sur la classe d’obstruction est une traduction directe du résultat de la Remarque 08LF dans cette situation particulière.

Déformations d’espaces annelés et complexe cotangent naïf

Dans cette section, nous utilisons le complexe cotangent naïf pour faire un peu de théorie des déformations. Nous partons d’un épaississement du premier ordre \(t : (S, \mathcal{O}_S) \to (S', \mathcal{O}_{S'})\) d’espaces annelés. Nous notons \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\) et identifions les espaces topologiques sous-jacents à \(S\) et \(S'\). Nous nous donnons en outre un morphisme d’espaces annelés \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\) et une \(f\)-application \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\) de faisceaux de modules (Faisceaux, Définition 008J et section 0094). Dans cette section, nous cherchons à savoir si l’on peut trouver le point d’interrogation qui complète le diagramme suivant [08U7]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & \mathcal{O}_{S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] (où les flèches verticales sont des \(f\)-applications), et aussi dans quelle mesure la solution est unique (lorsqu’elle existe). Plus précisément, nous cherchons un épaississement du premier ordre \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) et un morphisme d’épaississements \((f, f')\) comme dans (08L0), où \(\Ker(i^\sharp)\) est identifié à \(\mathcal{G}\), tels que \((f')^\sharp\) induise l’application donnée \(c\). Nous dirons que \(X'\) est une solution de (08U7).

Lemme

Supposons donné un diagramme commutatif de morphismes d’espaces annelés [08U9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & (X_2, \mathcal{O}_{X_2}) \ar[r]_{i_2} \ar[d]_{f_2} \ar[ddl]_g & (X'_2, \mathcal{O}_{X'_2}) \ar[d]^{f'_2} \\ & (S_2, \mathcal{O}_{S_2}) \ar[r]^{t_2} \ar[ddl]|\hole & (S'_2, \mathcal{O}_{S'_2}) \ar[ddl] \\ (X_1, \mathcal{O}_{X_1}) \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{f_1} & (X'_1, \mathcal{O}_{X'_1}) \ar[d]^{f'_1} \\ (S_1, \mathcal{O}_{S_1}) \ar[r]^{t_1} & (S'_1, \mathcal{O}_{S'_1}) } } \end{equation}\] dont les flèches horizontales sont des épaississements du premier ordre. Posons \(\mathcal{G}_j = \Ker(i_j^\sharp)\) et supposons donnée une \(g\)-application \(\nu : \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) de modules donnant lieu au diagramme commutatif [08UA]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G}_2 \ar[r] & \mathcal{O}_{X'_2} \ar[r] & \mathcal{O}_{X_2} \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & \mathcal{J}_2 \ar[u]_{c_2} \ar[r] & \mathcal{O}_{S'_2} \ar[u] \ar[r]|\hole & \mathcal{O}_{S_2} \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G}_1 \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}_{X'_1} \ar[r] & \mathcal{O}_{X_1} \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{J}_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u]^{c_1} \ar[r] & \mathcal{O}_{S'_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{S_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] dont les faces avant et arrière sont des solutions de (08U7).

1. Il existe un élément canonique de \(\Ext^1_{\mathcal{O}_{X_2}}(Lg^*\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2)\) dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un morphisme d’espaces annelés \(X'_2 \to X'_1\) complétant (08U9) de façon compatible à \(\nu\).

2. S’il existe un morphisme \(X'_2 \to X'_1\) complétant (08U9) de façon compatible à \(\nu\), l’ensemble de tous ces morphismes est un espace principal homogène sous \[\Hom_{\mathcal{O}_{X_1}}(\Omega_{X_1/S_1}, g_*\mathcal{G}_2) = \Hom_{\mathcal{O}_{X_2}}(g^*\Omega_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2) = \Ext^0_{\mathcal{O}_{X_2}}(Lg^*\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2).\]

Démonstration

Le complexe cotangent naïf \(\NL_{X_1/S_1}\) est défini dans Modules, Définition 08TN. Les égalités de la dernière assertion de la lemme résultent de ce que \(g^*\) est adjoint à \(g_*\), de l’égalité \(H^0(\NL_{X_1/S_1}) = \Omega_{X_1/S_1}\) (par construction du complexe cotangent naïf) et du fait que \(Lg^*\) est le foncteur dérivé à gauche de \(g^*\). Nous travaillerons donc, dans la suite de la démonstration, avec les groupes \(\Ext^k_{\mathcal{O}_{X_2}}(Lg^*\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\). Montrons d’abord que l’on peut se ramener au cas où les espaces topologiques sous-jacents à tous les espaces annelés de la lemme sont les mêmes.

Pour cela, remarquons que \(g^{-1}\NL_{X_1/S_1}\) est égal au complexe cotangent naïf de l’homomorphisme de faisceaux d’anneaux \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{S_1} \to g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}\) ; voir Modules, Lemme 08TM. De plus, le terme de degré \(0\) de \(\NL_{X_1/S_1}\) est un \(\mathcal{O}_{X_1}\)-module plat ; l’application canonique \[Lg^*\NL_{X_1/S_1} \longrightarrow g^{-1}\NL_{X_1/S_1} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}} \mathcal{O}_{X_2}\] induit donc un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(0\) et \(-1\). On peut ainsi remplacer les groupes Ext de la lemme par \[\Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}}(g^{-1}\NL_{X_1/S_1}, \mathcal{G}_2) = \Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_{X_1}/g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{S_1}}, \mathcal{G}_2)\] L’ensemble des morphismes d’espaces annelés \(X'_2 \to X'_1\) complétant (08U9) de façon compatible à \(\nu\) est en bijection avec l’ensemble des homomorphismes de \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{S'_1}\)-algèbres \(g^{-1}\mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\) compatibles avec \(f^\sharp\) et \(\nu\). Nous voyons ainsi que nous pouvons supposer donné un diagramme (08UA) de faisceaux sur \(X\) et chercher un homomorphisme de faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\) qui le complète.

Dans la suite de la démonstration, nous supposons que tous les espaces topologiques sous-jacents sont identiques, c’est-à-dire que nous disposons d’un diagramme (08UA) de faisceaux sur un espace \(X\) et cherchons les homomorphismes de faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\) qui le complètent. Comme groupes Ext, nous utiliserons \(\Ext^k_{\mathcal{O}_{X_1}}( \NL_{\mathcal{O}_{X_1}/\mathcal{O}_{S_1}}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\).

Étape 1. Construction de la classe d’obstruction. Considérons le faisceau d’ensembles \[\mathcal{E} = \mathcal{O}_{X'_1} \times_{\mathcal{O}_{X_2}} \mathcal{O}_{X'_2}\] Il est muni d’une application surjective \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_{X_1}\) ; nous pouvons donc employer \(\NL(\alpha)\) à la place de \(\NL_{\mathcal{O}_{X_1}/\mathcal{O}_{S_1}}\) ; voir Modules, Lemme 08TL. Posons \[\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X_1}) \quad\text{et}\quad \mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X_1})\] Il existe une surjection \(\mathcal{I}' \to \mathcal{I}\) dont le noyau est \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\). Nous obtenons deux homomorphismes de \(\mathcal{O}_{S'_1}\)-algèbres \[a : \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'_1} \quad\text{et}\quad b : \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'_2}\] qui induisent des applications \(a|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_1\) et \(b|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_2\). Les deux applications \(a\) et \(b\) annulent \((\mathcal{I}')^2\). De plus, \(a\) et \(b\) coïncident sur \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\) en tant qu’applications à valeurs dans \(\mathcal{G}_2\), car le carré de gauche de (08UA) est commutatif. Par conséquent, la différence \(b|_{\mathcal{I}'} - \nu \circ a|_{\mathcal{I}'}\) induit une application \(\mathcal{O}_{X_1}\)-linéaire bien définie \[\xi : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \mathcal{G}_2\] qui envoie la classe d’une section locale \(f\) de \(\mathcal{I}\) sur \(\nu(a(f')) - b(f')\), où \(f'\) est un relèvement de \(f\) en une section locale de \(\mathcal{I}'\). Nous notons \([\xi] \in \Ext^1_{\mathcal{O}_{X_1}}(\NL(\alpha), \mathcal{G}_2)\) son image (voir ci-dessous).

Étape 2. L’annulation de \([\xi]\) est nécessaire. Écrivons \(\Omega = \Omega_{\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}]/\mathcal{O}_{S_1}} \otimes_{\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_{X_1}\). Remarquons que \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega)\) s’insère dans un triangle distingué \[\Omega[0] \to \NL(\alpha) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2[1] \to \Omega[1]\] On voit donc que \([\xi]\) est nul si et seulement si \(\xi\) est un composé \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega \to \mathcal{G}_2\) pour une certaine application \(\Omega \to \mathcal{G}_2\). Supposons qu’il existe un homomorphisme de faisceaux d’anneaux \(\varphi : \mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\) complétant (08UA). Considérons alors l’application \(\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\), \(f' \mapsto b(f') - \varphi(a(f'))\). Un calcul montre qu’elle annule \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\) et induit une dérivation \(\mathcal{O}_{S_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\). L’application linéaire \(\Omega \to \mathcal{G}_2\) ainsi obtenue atteste que \([\xi] = 0\) dans ce cas.

Étape 3. L’annulation de \([\xi]\) est suffisante. Soit \(\theta : \Omega \to \mathcal{G}_2\) une application \(\mathcal{O}_{X_1}\)-linéaire telle que \(\xi\) soit égal à \(\theta \circ (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega)\). Un calcul montre alors que \[b + \theta \circ d : \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'_2}\] restreint à \(\mathcal{I}'\) coïncide avec \(\nu \circ a : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_2\). Comme \(\mathcal{O}_{X'_1}\) est la somme amalgamée de \(\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_{S'_1}[\mathcal{E}]\) et \(\mathcal{I}' \to \mathcal{G}_1\), les applications \(b + \theta \circ d\) et \(a\) définissent une application \(\mathcal{O}_{X'_1} \to \mathcal{O}_{X'_2}\) complétant (08UA).

Démonstration de (2) dans le cas particulier ci-dessus. Omise. Indication : c’est exactement la même que la démonstration de (2) de la Lemme 08S5.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{B}\)-module. Soit \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{B}(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}, \mathcal{G})\). Il existe une application de faisceaux d’ensembles \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\) telle que \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{B}(\NL(\alpha), \mathcal{G})\) soit la classe d’une application \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\) (voir la démonstration pour les notations).

Démonstration

Rappelons que, si \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\) est telle que \(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B}\) soit surjective, de noyau \(\mathcal{I}\), le complexe \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B})\) est canoniquement isomorphe à \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) ; voir Modules, Lemme 08TL. Remarquons de plus que \(\Omega = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \bigoplus_{e \in \mathcal{E}(U)} \mathcal{B}(U)\). Autrement dit, \(\Omega\) est le \(\mathcal{B}\)-module libre sur le faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}\) et il existe en particulier une application canonique \(\mathcal{E} \to \Omega\).

Cela étant, choisissons un \(\mathcal{E}\) (par exemple \(\mathcal{E} = \mathcal{B}\) comme dans la définition du complexe cotangent naïf). L’obstruction à l’écriture de \(\xi\) comme classe d’une application \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\) est un élément de \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega, \mathcal{G})\). Supposons qu’il soit représenté par l’extension \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \Omega \to 0\) de \(\mathcal{B}\)-modules. Considérons le faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \times_\Omega \mathcal{H}\), muni de l’application induite \(\alpha' : \mathcal{E}' \to \mathcal{B}\). Posons \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}'] \to \mathcal{B})\) et \(\Omega' = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']} \mathcal{B}\). L’image réciproque de \(\xi\) par le quasi-isomorphisme \(\NL(\alpha') \to \NL(\alpha)\) s’envoie sur zéro dans \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega', \mathcal{G})\), car l’image réciproque de l’extension \(\mathcal{H}\) par l’application \(\Omega' \to \Omega\) est scindée : en effet, \(\Omega'\) est le \(\mathcal{B}\)-module libre sur le faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}'\) et, par construction, il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{E}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E} \ar[d] \\ \mathcal{H} \ar[r] & \Omega }\] Cela termine la démonstration.

Lemme

S’il existe une solution de (08U7), l’ensemble des classes d’isomorphisme de solutions est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\).

Démonstration

Remarquons tout de suite qu’étant données deux solutions \(X'_1\) et \(X'_2\) de (08U7), la Lemme 08U8 fournit un élément d’obstruction \(o(X'_1, X'_2) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\) à l’existence d’une application \(X'_1 \to X'_2\). Manifestement, cet élément est l’obstruction à l’existence d’un isomorphisme, et sépare donc les classes d’isomorphisme. Pour achever la démonstration, il suffit par conséquent de montrer qu’étant donnés une solution \(X'\) et un élément \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\), on peut trouver une seconde solution \(X'_\xi\) telle que \(o(X', X'_\xi) = \xi\).

Choisissons \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_X\) comme dans la Lemme 08UB pour la classe \(\xi\). Considérons la surjection \(f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_X\) de noyau \(\mathcal{I}\) et le complexe cotangent naïf correspondant \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]/f^{-1}\mathcal{O}_S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_X)\). D’après la lemme, \(\xi\) est la classe d’un morphisme \(\delta : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\). Après avoir remplacé \(\mathcal{E}\) par \(\mathcal{E} \times_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X'}\), nous pouvons également supposer que \(\alpha\) se factorise par une application \(\alpha' : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_{X'}\).

Ces choix déterminent un homomorphisme de \(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}\)-algèbres \(\varphi : f^{-1}\mathcal{O}_{S'}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'}\). Posons \(\mathcal{I}' = \Ker(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_X)\). Remarquons que \(\varphi\) induit une application \(\varphi|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}\) et que \(\mathcal{O}_{X'}\) est la somme amalgamée, comme dans le diagramme suivant \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}' \ar[u]^{\varphi|_{\mathcal{I}'}} \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{S'}[\mathcal{E}] \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[u]_{=} \ar[r] & 0 }\] Soit \(\psi : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}\) la somme de l’application \(\varphi|_{\mathcal{I}'}\) et du composé \[\mathcal{I}' \to \mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \xrightarrow{\delta} \mathcal{G}.\] La somme amalgamée suivant \(\psi\) est alors une autre extension d’anneaux \(\mathcal{O}_{X'_\xi}\) qui s’insère dans un diagramme comme ci-dessus. Un calcul (omis) montre que \(o(X', X'_\xi) = \xi\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. L’ensemble des classes d’isomorphisme des extensions de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres \[0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] où \(\mathcal{G}\) est un idéal de carré nul¹ est canoniquement en bijection avec \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\).

Démonstration

Pour le démontrer, appliquons les résultats précédents au cas où (08U7) est donné par le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r]^{\text{id}} & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 }\] Le lemme résulte donc du Lemme 08UC et de l’existence d’une solution, à savoir \(\mathcal{G} \oplus \mathcal{O}_X\). (Voir la remarque ci-dessous pour une construction directe de la bijection.)

Remarque

Soient \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) et \(\mathcal{G}\) comme dans la Lemme 0GPZ. Considérons une extension \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\) comme dans la lemme. On peut choisir un faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X }\] tels que \(f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_X\) soit surjective, de noyau \(\mathcal{J}\). (On peut par exemple prendre n’importe quel faisceau d’ensembles se surjectant sur \(\mathcal{O}_{X'}\).) Alors \[\NL_{X/S} \cong \NL(\alpha) = \left( \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]/f^{-1}\mathcal{O}_S} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_X\right)\] Voir Modules, section 08TG, et en particulier Lemme 08TL. Bien entendu, \(\alpha'\) détermine une application \(f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_{X'}\), qui détermine à son tour une application \[\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \mathcal{G}\] laquelle détermine à son tour l’élément de \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL(\alpha), \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\) correspondant à \(\mathcal{O}_{X'}\) par la bijection de la lemme.

Lemme

Soient \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) et \(g : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (X, \mathcal{O}_X)\) des morphismes d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module. Soit \(c : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une \(g\)-application. Enfin, considérons

1. \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\), une extension de \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres, correspondant à \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{F})\), et

2. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \to 0\), une extension de \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres, correspondant à \(\zeta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(\NL_{Y/S}, \mathcal{G})\).

Voir le Lemme 0GPZ. Il existe alors un \(S\)-morphisme \(g' : Y' \to X'\) compatible avec \(g\) et \(c\) si et seulement si \(\xi\) et \(\zeta\) ont la même image dans \(\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\).

Démonstration

L’énoncé a bien un sens, car nous disposons des applications \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, Lg^*\mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\] obtenues à l’aide de l’application \(Lg^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{F} \xrightarrow{c} \mathcal{G}\), ainsi que de l’application \[\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(\NL_{Y/S}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\] obtenue à l’aide de \(Lg^*\NL_{X/S} \to \NL_{Y/S}\). L’énoncé de la lemme se déduit de la Lemme 08U8 appliquée au diagramme \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_Y \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & 0 \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r]|\hole & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] et d’une compatibilité entre les constructions des démonstrations des Lemmes 0GPZ et 08U8, dont nous omettons l’énoncé et la démonstration. (Voir la remarque ci-dessous pour un argument direct.)

Remarque

Soient \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), \(g : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (X, \mathcal{O}_X)\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(c : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\), \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\), \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{F})\), \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \to 0\) et \(\zeta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(\NL_{Y/S}, \mathcal{G})\) comme dans la Lemme 0GQ1. En prenant la somme amalgamée suivant \(c : g^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), on construit une extension \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}'_1 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{F} \ar[u]^c \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_{X'} \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X \ar@{=}[u] \ar[r] & 0 }\] En prenant l’image réciproque suivant \(g^\sharp : g^{-1}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\), on construit une extension \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_Y \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar@{=}[u] \ar[r] & \mathcal{O}'_2 \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X \ar[u] \ar[r] & 0 }\] Une chasse au diagramme montre qu’il existe un \(S\)-morphisme \(Y' \to X'\) compatible avec \(g\) et \(c\) si et seulement si \(\mathcal{O}'_1\) est isomorphe à \(\mathcal{O}'_2\) comme extension de \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S\)-algèbres de \(g^{-1}\mathcal{O}_X\) par \(\mathcal{G}\). D’après la Lemme 0GPZ, ces extensions sont classifiées par le membre de gauche de \[\Ext^1_{g^{-1}\mathcal{O}_X}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}(Lg^*\NL_{X/S}, \mathcal{G})\] Ici, l’égalité provient de l’adjonction tensor-hom et des égalités \[\NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S} = g^{-1}\NL_{X/S} \quad\text{et}\quad Lg^*\NL_{X/S} = g^{-1}\NL_{X/S} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_Y\] Pour la première, voir Modules, Lemme 08TM ; la seconde résulte de la définition de l’image réciproque dérivée. Ainsi, pour voir que la Lemme 0GQ1 est vraie, il suffit de montrer que \(\mathcal{O}'_1\) correspond à l’image de \(\xi\) et que \(\mathcal{O}'_2\) correspond à l’image de \(\zeta\). La correspondance entre \(\xi\) et \(\mathcal{O}'_1\) résulte immédiatement de la construction de la classe \(\xi\) dans la Remarque 0GQ0. Pour la correspondance entre \(\zeta\) et \(\mathcal{O}'_2\), choisissons d’abord un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} \ar[rd]^\beta \\ \mathcal{O}_{Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_Y }\] tel que \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_Y\) soit surjective, de noyau \(\mathcal{K}\). Choisissons ensuite un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} & \mathcal{E}' \ar[l]^\varphi \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}_{Y'} & \mathcal{O}'_2 \ar[l] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_X }\] tel que \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S[\mathcal{E}'] \to g^{-1}\mathcal{O}_X\) soit surjective, de noyau \(\mathcal{J}\). (Il suffit par exemple de prendre \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \amalg \mathcal{O}'_2\) comme faisceau d’ensembles.) L’application \(\varphi\) induit une application de complexes \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\) (notations de Modules, section 08TG) et en particulier \(\bar\varphi : \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\). On a alors \(\NL(\alpha) \cong \NL_{Y/S}\) et \(\NL(\beta) \cong \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_X/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_S}\), et l’application de complexes \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\) représente l’application \(Lg^*\NL_{X/S} \to \NL_{Y/S}\) employée dans l’énoncé de la Lemme 0GQ1 (voir la première partie de sa démonstration). Or \(\zeta\) correspond à la classe de l’application \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2 \to \mathcal{G}\) induite par \(\beta'\) ; voir la Remarque 0GQ0. De même, l’extension \(\mathcal{O}'_2\) correspond à l’application \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{G}\) induite par \(\alpha'\). Le diagramme commutatif ci-dessus montre que cette application est le composé de l’application \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2 \to \mathcal{G}\) induite par \(\beta'\) et de l’application \(\bar\varphi : \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\). C’est la compatibilité recherchée.

Lemme

Soient \(t : (S, \mathcal{O}_S) \to (S', \mathcal{O}_{S'})\), \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\), \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), \(\mathcal{G}\) et \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\) comme dans (08U7). Notons \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/S'}, \mathcal{J})\) l’élément correspondant, par la Lemme 0GPZ, à l’extension \(\mathcal{O}_{S'}\) de \(\mathcal{O}_S\) par \(\mathcal{J}\). L’ensemble des classes d’isomorphisme de solutions est canoniquement en bijection avec la fibre de \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S'}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/S'}, \mathcal{G})\] au-dessus de l’image de \(\xi\).

Démonstration

D’après le Lemme 0GPZ, appliqué à \(X \to S'\) et au \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\), les éléments \(\zeta\) de \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S'}, \mathcal{G})\) paramètrent les extensions \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\) de \(f^{-1}\mathcal{O}_{S'}\)-algèbres. D’après la Lemme 0GQ1, appliquée à \(X \to S \to S'\) et à \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\), il existe un \(S'\)-morphisme \(X' \to S'\) compatible avec \(c\) et \(f : X \to S\) si et seulement si \(\zeta\) s’envoie sur \(\xi\). Bien entendu, cela revient à dire que \(\mathcal{O}_{X'}\) est une solution de (08U7).

Remarque

Dans la situation de la Lemme 0GQ3, nous avons des applications de complexes \[Lf^*\NL_{S'/S} \to \NL_{X/S'} \to \NL_{X/S}\] Ces applications sont proches de former un triangle distingué ; voir Modules, Lemme 0E1Z. Si elles formaient un triangle distingué, on en conclurait que l’image de \(\xi\) dans \(\Ext^2_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, \mathcal{G})\) serait l’obstruction à l’existence d’une solution de (08U7).

Déformations de schémas

Dans cette section, nous explicitons la signification des résultats de la section 08U6 pour les déformations de schémas.

Lemme

Soit \(S \subset S'\) un épaississement du premier ordre de schémas. Soit \(f : X \to S\) un morphisme plat de schémas. S’il existe un morphisme plat \(f' : X' \to S'\) de schémas et un isomorphisme \(a : X \to X' \times_{S'} S\) au-dessus de \(S\), alors

1. l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples \((f' : X' \to S', a)\) est un ensemble principal homogène sous \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, f^*\mathcal{C}_{S/S'})\), et

2. l’ensemble des automorphismes \(\varphi : X' \to X'\) au-dessus de \(S'\) qui se réduisent à l’identité sur \(X' \times_{S'} S\) est \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/S}, f^*\mathcal{C}_{S/S'})\).

Démonstration

Observons d’abord que les épaississements de schémas tels qu’ils sont définis dans Morphismes, section 04EW, ne sont autres que les morphismes de schémas qui sont des épaississements au sens de la section 08KY. Nous pouvons considérer \(X\) comme un sous-schéma fermé de \(X'\) de sorte que \((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) soit un morphisme d’épaississements du premier ordre. Il résulte alors de Morphismes, Lemme 063Y (ou du Lemme 08LI, plus général) que le faisceau d’idéaux de \(X\) dans \(X'\) est égal à \(f^*\mathcal{C}_{S/S'}\). Nous avons donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\mathcal{C}_{S/S'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{S/S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 }\] où les flèches verticales sont des \(f\)-applications ; comparer avec (08U7). La partie (1) découle donc du Lemme 08UC, et la partie (2), de la partie (2) du Lemme 08U8. (Notons que \(\NL_{X/S}\), tel qu’il est défini pour un morphisme de schémas dans Morphismes, section 0D0G, coïncide avec \(\NL_{X/S}\) tel qu’il est employé dans la section 08U6.)

Épaississements de topos annelés

Cette section est l’analogue de la section 08KY pour les topos annelés. Dans les quelques sections qui suivent, nous utiliserons les notions suivantes :

1. Un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}'\) sur un topos annelé \((\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) est localement nilpotent si toute section locale de \(\mathcal{I}\) est localement nilpotente.

2. Un épaississement de topos annelés est un morphisme \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) de topos annelés tel que

   1. \(i_*\) soit une équivalence \(\Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{D})\),

   2. l’application \(i^\sharp : \mathcal{O}' \to i_*\mathcal{O}\) soit surjective, et

   3. le noyau de \(i^\sharp\) soit un faisceau d’idéaux localement nilpotent.

3. Un épaississement du premier ordre de topos annelés est un épaississement \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) de topos annelés tel que \(\Ker(i^\sharp)\) soit de carré nul.

4. On voit clairement comment définir les morphismes d’épaississements de topos annelés, les morphismes d’épaississements de topos annelés au-dessus d’un topos annelé de base, etc.

Si \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) est un épaississement de topos annelés, nous identifions les topos sous-jacents et considérons \(\mathcal{O}\), \(\mathcal{O}'\) et \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\) comme des faisceaux sur \(\mathcal{C}\). Nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] de \(\mathcal{O}'\)-modules. D’après Modules sur les sites, Lemme 08M3, la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules est équivalente à la catégorie des \(\mathcal{O}'\)-modules annulés par \(\mathcal{I}\). En particulier, si \(i\) est un épaississement du premier ordre, alors \(\mathcal{I}\) est un \(\mathcal{O}\)-module.

Situation

Un morphisme d’épaississements de topos annelés \((f, f')\) est donné par un diagramme commutatif [08M8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[r]_i \ar[d]_f & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \ar[d]^{f'} \\ (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \ar[r]^t & (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}) } } \end{equation}\] de topos annelés dont les flèches horizontales sont des épaississements. Dans cette situation, nous posons \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp) \subset \mathcal{O}'\) et \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp) \subset \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\). Comme \(f = f'\) sur les topos sous-jacents, nous identifierons les foncteurs image réciproque \(f^{-1}\) et \((f')^{-1}\). Observons que \((f')^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}'\) induit en particulier une application \(f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{I}\), et donc une application de \(\mathcal{O}'\)-modules \[(f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\] Si \(i\) et \(t\) sont des épaississements du premier ordre, alors \((f')^*\mathcal{J} = f^*\mathcal{J}\) et l’application ci-dessus devient une application \(f^*\mathcal{J} \to \mathcal{I}\).

Définition

Dans la Situation 08M7, nous disons que \((f, f')\) est un morphisme strict d’épaississements si l’application \((f')^*\mathcal{J} \longrightarrow \mathcal{I}\) est surjective.

Modules sur les épaississements du premier ordre de topos annelés

Dans cette section, nous présentons quelques préliminaires à la théorie des déformations des modules. Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}, \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un épaississement du premier ordre de topos annelés. Nous utiliserons librement les notations introduites dans la section 08M6 ; en particulier, nous identifierons les topos sous-jacents. Dans cette section, nous considérons des suites exactes courtes [08MB]\[\begin{equation} 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \end{equation}\] de \(\mathcal{O}'\)-modules, où \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{K}\) sont des \(\mathcal{O}\)-modules, et \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}'\)-module. Dans cette situation, nous avons une application canonique de \(\mathcal{O}\)-modules \[c_{\mathcal{F}'} : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{K}\] où \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp)\). En effet, étant données des sections locales \(f\) de \(\mathcal{I}\) et \(s\) de \(\mathcal{F}\), nous posons \(c_{\mathcal{F}'}(f \otimes s) = fs'\), où \(s'\) est une section locale de \(\mathcal{F}'\) relevant \(s\).

Lemme

Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un épaississement du premier ordre de topos annelés. Supposons données des extensions \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] comme dans (08MB), ainsi que des applications \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) et \(\psi : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\).

1. S’il existe une application de \(\mathcal{O}'\)-modules \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) compatible avec \(\varphi\) et \(\psi\), alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] est commutatif.

2. L’ensemble des applications de \(\mathcal{O}'\)-modules \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) compatibles avec \(\varphi\) et \(\psi\) est, s’il est non vide, un espace principal homogène sous \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\).

Démonstration

La partie (1) résulte immédiatement de la description des applications. Pour (2), si \(\varphi'\) et \(\varphi''\) sont deux applications \(\mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) compatibles avec \(\varphi\) et \(\psi\), alors \(\varphi' - \varphi''\) se factorise sous la forme \[\mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}'\] L’application du milieu provient d’un unique élément de \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\), d’après Modules sur les sites, Lemme 08M3. Réciproquement, étant donné un élément \(\alpha\) de ce groupe, nous pouvons ajouter la composée affichée ci-dessus, avec \(\alpha\) au milieu, à \(\varphi'\). Nous omettons certains détails.

Lemme

Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un épaississement du premier ordre de topos annelés. Supposons données des extensions \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] comme dans (08MB), ainsi que des applications \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) et \(\psi : \mathcal{K} \to \mathcal{L}\). Supposons le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_{\mathcal{F}'}} \ar[d]_{1 \otimes \varphi} & \mathcal{K} \ar[d]^\psi \\ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G} \ar[r]^-{c_{\mathcal{G}'}} & \mathcal{L} }\] commutatif. Il existe alors un élément \[o(\varphi, \psi) \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une application \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) compatible avec \(\varphi\) et \(\psi\).

Démonstration

Nous pouvons construire explicitement une extension \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{H} \to \mathcal{F} \to 0\] en prenant pour \(\mathcal{H}\) la cohomologie au milieu du complexe \[\mathcal{K} \xrightarrow{1, - \psi} \mathcal{F}' \oplus \mathcal{G}' \xrightarrow{\varphi, 1} \mathcal{G}\] (avec les notations évidentes). Un calcul sur les sections locales utilisant l’hypothèse de commutativité du diagramme du lemme montre que \(\mathcal{H}\) est annulé par \(\mathcal{I}\). Par conséquent, \(\mathcal{H}\) définit une classe dans \[\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{L}) \subset \Ext^1_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}, \mathcal{L})\] Enfin, la classe de \(\mathcal{H}\) est la différence entre la somme amalgamée de l’extension \(\mathcal{F}'\) suivant \(\psi\) et l’image réciproque de l’extension \(\mathcal{G}'\) suivant \(\varphi\) (calculs omis). L’annulation de la classe de \(\mathcal{H}\) équivaut donc à l’existence d’un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d]_{\psi} & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d]_{\varphi'} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_\varphi & 0\\ 0 \ar[r] & \mathcal{L} \ar[r] & \mathcal{G}' \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & 0 }\] comme voulu.

Lemme

Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un épaississement du premier ordre de topos annelés. Supposons donnés des \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}\) et une application \(\mathcal{O}\)-linéaire \(c : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\). S’il existe une suite (08MB) telle que \(c_{\mathcal{F}'} = c\), alors l’ensemble des classes d’isomorphisme de ces extensions est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\).

Démonstration

Supposons données des extensions \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F} \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] telles que \(c_{\mathcal{F}'_1} = c_{\mathcal{F}'_2} = c\). Leur différence (dans le groupe des extensions ; voir Homologie, section 010I) est une extension \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] où \(\mathcal{E}\) est annulé par \(\mathcal{I}\) (on omet le calcul local). La suite est donc une extension de \(\mathcal{O}\)-modules ; voir Modules sur les sites, Lemme 08M3. Réciproquement, étant donnée une telle extension \(\mathcal{E}\), nous pouvons ajouter l’extension \(\mathcal{E}\) à l’extension de \(\mathcal{O}'\)-modules \(\mathcal{F}'\) sans modifier l’application \(c_{\mathcal{F}'}\). Nous omettons certains détails.

Lemme

Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un épaississement du premier ordre de topos annelés. Supposons donnés des \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}\) et une application \(\mathcal{O}\)-linéaire \(c : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\). Il existe alors un élément \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une suite (08MB) telle que \(c_{\mathcal{F}'} = c\).

Démonstration

Montrons d’abord que, si \(\mathcal{K}\) est un \(\mathcal{O}\)-module injectif, il existe bien une suite (08MB) telle que \(c_{\mathcal{F}'} = c\). Pour cela, choisissons un \(\mathcal{O}'\)-module plat \(\mathcal{H}'\) et une surjection \(\mathcal{H}' \to \mathcal{F}\) (Modules sur les sites, Lemme 03EW). Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{H}'\) le noyau. Comme \(\mathcal{H}'\) est plat, nous avons \[\mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{H}' = \mathcal{I}\mathcal{H}' \subset \mathcal{J} \subset \mathcal{H}'\] Observons que l’application \[\mathcal{I}\mathcal{H}' = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{H}' \longrightarrow \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}'} \mathcal{F} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\] annule \(\mathcal{I}\mathcal{J}\). En effet, si \(f\) est une section locale de \(\mathcal{I}\) et \(s\) une section locale de \(\mathcal{H}\), alors \(fs\) s’envoie sur \(f \otimes \overline{s}\), où \(\overline{s}\) est l’image de \(s\) dans \(\mathcal{F}\). Nous obtenons ainsi \[\xymatrix{ \mathcal{I}\mathcal{H}'/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & \mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J} \ar@{..>}[d]_\gamma \\ \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-c & \mathcal{K} }\] un diagramme de \(\mathcal{O}\)-modules. Si \(\mathcal{K}\) est injectif comme \(\mathcal{O}\)-module, nous obtenons la flèche pointillée. Notons \(\gamma' : \mathcal{J} \to \mathcal{K}\) la composée de \(\gamma\) avec \(\mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{I}\mathcal{J}\). Un calcul local montre que la somme amalgamée \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[r] \ar[d]_{\gamma'} & \mathcal{H}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{F}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] est une solution au problème posé par le lemme.

Cas général. Choisissons un plongement \(\mathcal{K} \subset \mathcal{K}'\), où \(\mathcal{K}'\) est un \(\mathcal{O}\)-module injectif. Soit \(\mathcal{Q}\) le quotient, de sorte que nous ayons une suite exacte \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{K}' \to \mathcal{Q} \to 0\] Notons \(c' : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}'\) la composée. Le paragraphe précédent fournit une suite \[0 \to \mathcal{K}' \to \mathcal{E}' \to \mathcal{F} \to 0\] comme dans (08MB), telle que \(c_{\mathcal{E}'} = c'\). Remarquons que la composée de \(c'\) avec l’application \(\mathcal{K}' \to \mathcal{Q}\) est nulle ; la somme amalgamée de \(\mathcal{E}'\) suivant \(\mathcal{K}' \to \mathcal{Q}\) est donc une extension \[0 \to \mathcal{Q} \to \mathcal{D}' \to \mathcal{F} \to 0\] comme dans (08MB), telle que \(c_{\mathcal{D}'} = 0\). Cela signifie exactement que \(\mathcal{D}'\) est annulé par \(\mathcal{I}\) ; autrement dit, \(\mathcal{D}'\) est une extension de \(\mathcal{O}\)-modules, c’est-à-dire qu’il définit un élément \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{Q}) = \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] (l’égalité résulte de la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte précédente et de l’annulation des groupes Ext supérieurs à valeurs dans le module injectif \(\mathcal{K}'\)). Si \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c) = 0\), nous pouvons choisir un scindage \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{D}'\) et poser \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{E}' \to \mathcal{D}'/s(\mathcal{F}))\] de sorte que nous obtenions le diagramme suivant \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}' \ar[r] & \mathcal{E}' \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] à lignes exactes, qui montre que \(c_{\mathcal{F}'} = c\). Réciproquement, si \(\mathcal{F}'\) existe, alors la somme amalgamée de \(\mathcal{F}'\) suivant l’application \(\mathcal{K} \to \mathcal{K}'\) est isomorphe à \(\mathcal{E}'\), d’après le Lemme 08ME et l’annulation des groupes Ext supérieurs à valeurs dans le module injectif \(\mathcal{K}'\). Nous obtenons ainsi un diagramme comme ci-dessus, ce qui implique que \(\mathcal{D}'\) est scindée comme extension, c’est-à-dire que la classe \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}, c)\) est nulle.

Remarque

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Un épaississement du premier ordre \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) est dit trivial s’il existe un morphisme de topos annelés \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) qui soit un inverse à gauche de \(i\). Le choix d’un tel morphisme \(\pi\) est appelé une trivialisation de l’épaississement du premier ordre. Étant donné \(\pi\), nous obtenons un scindage [08MH]\[\begin{equation} \mathcal{O}' = \mathcal{O} \oplus \mathcal{I} \end{equation}\] comme faisceaux d’algèbres sur \(\mathcal{C}\), en utilisant \(\pi^\sharp\) pour scinder la surjection \(\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\). Réciproquement, un tel scindage détermine un morphisme \(\pi\). La catégorie des épaississements du premier ordre trivialisés de \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est équivalente à la catégorie des \(\mathcal{O}\)-modules.

Remarque

Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un épaississement trivial du premier ordre de topos annelés, et soit \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) une trivialisation. Pour tout triplet \((\mathcal{F}, \mathcal{K}, c)\) formé d’une paire de \(\mathcal{O}\)-modules et d’une application \(c : \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}\), nous pouvons poser \[\mathcal{F}'_{c, triv} = \mathcal{F} \oplus \mathcal{K}\] et utiliser le scindage (08MH) associé à \(\pi\), ainsi que l’application \(c\), pour définir la structure de \(\mathcal{O}'\)-module et obtenir une extension (08MB). Nous appellerons \(\mathcal{F}'_{c, triv}\) l’extension triviale de \(\mathcal{F}\) par \(\mathcal{K}\) correspondant à \(c\) et à la trivialisation \(\pi\). Pour toute extension \(\mathcal{F}'\) comme dans (08MB), nous pouvons utiliser \(\pi^\sharp : \mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) pour considérer \(\mathcal{F}'\) comme une extension de \(\mathcal{O}\)-modules, et donc comme une classe \(\xi_{\mathcal{F}'}\) dans \(\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\). Le Lemme 08ME assure que \(\mathcal{F}' \mapsto \xi_{\mathcal{F}'}\) induit une bijection \[\left\{ \begin{matrix} \text{isomorphism classes of extensions}\\ \mathcal{F}'\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) avec } c = c_{\mathcal{F}'} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K})\] De plus, l’extension triviale \(\mathcal{F}'_{c, triv}\) s’envoie sur la classe nulle.

Remarque

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Soient \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i)\), \(i = 1, 2\), des épaississements du premier ordre de faisceaux d’idéaux \(\mathcal{I}_i\). Soit \(h : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2)\) un morphisme d’épaississements du premier ordre de \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\). Voici le diagramme \[\xymatrix{ & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[ld] \ar[rd] & \\ (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \ar[rr]^h & & (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) }\] Remarquons que \(h^\sharp : \mathcal{O}'_2 \to \mathcal{O}'_1\) induit en particulier une application de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Soit \((\mathcal{K}_i, c_i)\), \(i = 1, 2\), une paire formée d’un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{K}_i\) et d’une application \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\). Supposons en outre donnée une application de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] soit commutatif. Nous disposons alors d’une fonctorialité canonique \[\left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_2\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) avec }\\ c_2 = c_{\mathcal{F}'_2}\text{ et }\mathcal{K} = \mathcal{K}_2 \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \mathcal{F}'_1\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) avec }\\ c_1 = c_{\mathcal{F}'_1}\text{ et }\mathcal{K} = \mathcal{K}_1 \end{matrix} \right\}\] En effet, en considérant tous les faisceaux \(\mathcal{O}\), \(\mathcal{O}'_i\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{K}_i\), etc., comme des faisceaux sur \(\mathcal{C}\), nous associons à \(\mathcal{F}'_2\) le faisceau \(\mathcal{F}'_1\) défini comme la somme amalgamée, c’est-à-dire s’insérant dans le diagramme d’extensions suivant \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar@{=}[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_1 \ar[r] & \mathcal{F}'_1 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] Nous omettons la construction de la structure de \(\mathcal{O}'_1\)-module sur la somme amalgamée (elle utilise la commutativité du diagramme faisant intervenir \(c_1\) et \(c_2\)).

Remarque

Soient \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i)\), \(\mathcal{I}_i\), et \(h : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2)\) comme dans la Remarque 08MJ. Supposons données des trivialisations \(\pi_i : (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) telles que \(\pi_1 = h \circ \pi_2\). Autrement dit, supposons que \(h\) soit un morphisme d’épaississements du premier ordre trivialisés de \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\). Soit \((\mathcal{K}_i, c_i)\), \(i = 1, 2\), une paire formée d’un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{K}_i\) et d’une application \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\). Supposons en outre donnée une application de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] soit commutatif. Dans cette situation, la construction de la Remarque 08MI induit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \{\mathcal{F}'_2\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) avec } c_2 = c_{\mathcal{F}'_2}\text{ et }\mathcal{K} = \mathcal{K}_2\} \ar[d] \ar[rr] & & \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2) \ar[d] \\ \{\mathcal{F}'_1\text{ comme dans (\href{defos.html#defos-equation-extension-ringed-topoi}{08MB}) avec } c_1 = c_{\mathcal{F}'_1}\text{ et }\mathcal{K} = \mathcal{K}_1\} \ar[rr] & & \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) }\] où l’application verticale de droite est donnée par la fonctorialité de \(\Ext\) et l’application \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\), tandis que l’application verticale de gauche est celle de la Remarque 08MJ.

Remarque

Soient \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_i), \mathcal{O}'_i)\), \(\mathcal{I}_i\), et \(h : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2)\) comme dans la Remarque 08MJ. Observons que \(h^\sharp : \mathcal{O}'_2 \to \mathcal{O}'_1\) induit en particulier une application de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Soit \((\mathcal{K}_i, c_i)\), \(i = 1, 2\), une paire formée d’un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{K}_i\) et d’une application \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\). Supposons en outre donnée une application de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1\) telle que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 }\] soit commutatif. Nous affirmons alors que l’application \[\Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2) \longrightarrow \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1)\] envoie \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2, c_2)\) sur \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1, c_1)\).

Pour démontrer cette affirmation, choisissons un plongement \(j_2 : \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_2'\), où \(\mathcal{K}_2'\) est un \(\mathcal{O}\)-module injectif. Comme dans la démonstration du Lemme 08MF, nous pouvons choisir une extension de \(\mathcal{O}_2\)-modules \[0 \to \mathcal{K}_2' \to \mathcal{E}_2 \to \mathcal{F} \to 0\] telle que \(c_{\mathcal{E}_2} = j_2 \circ c_2\). La démonstration du Lemme 08MF construit \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_2, c_2)\) comme la classe de l’extension de Yoneda (au sens de Catégories dérivées, section 06XP) associée à la suite exacte de \(\mathcal{O}\)-modules \[0 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_2' \to \mathcal{E}_2/\mathcal{K}_2 \to \mathcal{F} \to 0\] Soit \(\mathcal{K}_1'\) le conoyau de \(\mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \oplus \mathcal{K}_2'\). Il existe une injection \(j_1 : \mathcal{K}_1 \to \mathcal{K}_1'\) et une application \(\mathcal{K}_2' \to \mathcal{K}_1'\) formant un carré commutatif. Nous formons la somme amalgamée \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_1' \ar[r] & \mathcal{E}_1 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] Il existe une structure canonique de \(\mathcal{O}_1\)-module sur \(\mathcal{E}_1\), et, pour cette structure, nous avons \(c_{\mathcal{E}_1} = j_1 \circ c_1\) (cela utilise la commutativité du diagramme ci-dessus faisant intervenir \(c_1\) et \(c_2\)). Le procédé du Lemme 08MF nous dit que \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1, c_1)\) est la classe de l’extension de Yoneda associée à la suite exacte de \(\mathcal{O}\)-modules \[0 \to \mathcal{K}_1 \to \mathcal{K}_1' \to \mathcal{E}_1/\mathcal{K}_1 \to \mathcal{F} \to 0\] Puisque nous avons des applications de suites exactes \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \ar[r] & \mathcal{K}_2' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{E}_2/\mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] & \mathcal{K}_2' \ar[r] & \mathcal{E}_2/\mathcal{K}_2 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] nous concluons que l’affirmation est vraie.

Remarque

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Nous disons qu’une suite de morphismes d’épaississements du premier ordre \[(\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\] de \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est un complexe si les applications correspondantes entre les faisceaux d’idéaux \(\mathcal{I}_i\) forment un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1\) (c’est-à-dire si la composée est nulle). Dans ce cas, la composée \((\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\) se factorise par \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\) ; autrement dit, l’épaississement du premier ordre \((\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1)\) de \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est trivial et muni d’une trivialisation canonique \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\).

Nous disons qu’une suite de morphismes d’épaississements du premier ordre \[(\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\] de \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est une suite exacte courte si les applications correspondantes entre les faisceaux d’idéaux forment une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}_3 \to \mathcal{I}_2 \to \mathcal{I}_1 \to 0\] de \(\mathcal{O}\)-modules.

Remarque

Soit \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) un topos annelé. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Soit \[(\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{D}_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{D}_3), \mathcal{O}'_3)\] un complexe d’épaississements du premier ordre de \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) ; voir la Remarque 08ML. Soient \((\mathcal{K}_i, c_i)\), \(i = 1, 2, 3\), des couples formés d’un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{K}_i\) et d’une application \(c_i : \mathcal{I}_i \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{K}_i\). Supposons donnée une suite exacte courte de \(\mathcal{O}\)-modules \[0 \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \to 0\] telle que \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_2} \ar[d] & \mathcal{K}_2 \ar[d] \\ \mathcal{I}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_1} & \mathcal{K}_1 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{I}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]_-{c_3} \ar[d] & \mathcal{K}_3 \ar[d] \\ \mathcal{I}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r]^-{c_2} & \mathcal{K}_2 } }\] soient commutatifs. Supposons enfin donnée une extension \[0 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F} \to 0\] comme dans (08MB), avec \(\mathcal{K} = \mathcal{K}_2\), de \(\mathcal{O}'_2\)-modules telle que \(c_{\mathcal{F}'_2} = c_2\). Dans cette situation, nous pouvons appliquer la fonctorialité de la Remarque 08MJ pour obtenir une extension \(\mathcal{F}'_1\) de \(\mathcal{O}'_1\)-modules (nous décrirons ci-dessous \(\mathcal{F}'_1\) dans ce cas particulier). D’après la Remarque 08MI, en utilisant le scindage canonique \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) de la Remarque 08ML, nous obtenons \(\xi_{\mathcal{F}'_1} \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1)\). Enfin, nous avons l’obstruction \[o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3) \in \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] du Lemme 08MF. Dans cette situation, nous affirmons que l’application canonique \[\partial : \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_1) \longrightarrow \Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3)\] provenant de la suite exacte courte \(0 \to \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}_1 \to 0\) envoie \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\) sur la classe d’obstruction \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3)\).

Pour démontrer cette affirmation, choisissons un plongement \(j : \mathcal{K}_3 \to \mathcal{K}\), où \(\mathcal{K}\) est un \(\mathcal{O}\)-module injectif. Nous pouvons relever \(j\) en une application \(j' : \mathcal{K}_2 \to \mathcal{K}\). Posons \(\mathcal{E}'_2 = j'_*\mathcal{F}'_2\), égal à la somme amalgamée de \(\mathcal{F}'_2\) par \(j'\), de sorte que \(c_{\mathcal{E}'_2} = j' \circ c_2\). Voici le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2 \ar[r] \ar[d]_{j'} & \mathcal{F}'_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] & \mathcal{E}'_2 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] Posons \(\mathcal{E}'_3 = \mathcal{E}'_2\), mais considérons-le comme un \(\mathcal{O}'_3\)-module au moyen de \(\mathcal{O}'_3 \to \mathcal{O}'_2\). Alors \(c_{\mathcal{E}'_3} = j \circ c_3\). La démonstration du Lemme 08MF construit \(o(\mathcal{F}, \mathcal{K}_3, c_3)\) comme le cobord de la classe de l’extension de \(\mathcal{O}\)-modules \[0 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] D’autre part, remarquons que \(\mathcal{F}'_1 = \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3\) ; ainsi, la classe \(\xi_{\mathcal{F}'_1}\) est la classe de l’extension \[0 \to \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \to \mathcal{F} \to 0\] considérée comme une suite de \(\mathcal{O}\)-modules au moyen de \(\pi^\sharp\), où \(\pi : (\Sh(\mathcal{D}_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) est le scindage canonique. Ainsi, l’affirmation résulte finalement de l’existence du diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{K}_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}'_2/\mathcal{K}_3 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{E}'_3/\mathcal{K}_3 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[r] & 0 }\] qui est \(\mathcal{O}\)-linéaire (pour les structures de \(\mathcal{O}\)-modules données ci-dessus).

Déformations infinitésimales de modules sur des topos annelés

Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un épaississement du premier ordre de topos annelés. Nous employons librement les notations introduites dans la section 08M6. Soit \(\mathcal{F}'\) un \(\mathcal{O}'\)-module et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\). Dans cette situation, nous avons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I}\mathcal{F}' \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] de \(\mathcal{O}'\)-modules. Puisque \(\mathcal{I}^2 = 0\), la structure de \(\mathcal{O}'\)-module sur \(\mathcal{I}\mathcal{F}'\) provient d’une unique structure de \(\mathcal{O}\)-module. Ainsi, la suite ci-dessus est une extension comme dans (08MB). Dans le cas particulier où \(\mathcal{F}' = \mathcal{O}'\), nous avons \(i^*\mathcal{O}' = \mathcal{O}\) et \(\mathcal{I}\mathcal{O}' = \mathcal{I}\), et nous retrouvons la suite des faisceaux structuraux \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\]

Lemme

Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un épaississement du premier ordre de topos annelés. Soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) des \(\mathcal{O}'\)-modules. Posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application \(\mathcal{O}\)-linéaire. L’ensemble des relèvements de \(\varphi\) en une application \(\mathcal{O}'\)-linéaire \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) est, s’il est non vide, un espace principal homogène sous \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}')\).

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 08MC, mais nous en donnons aussi une démonstration directe. Nous avons des suites exactes courtes de modules \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0 \quad\text{et}\quad 0 \to \mathcal{I}\mathcal{G}' \to \mathcal{G}' \to \mathcal{G} \to 0\] et de même pour \(\mathcal{F}'\). Comme \(\mathcal{I}\) est de carré nul, les structures de \(\mathcal{O}'\)-modules sur \(\mathcal{I}\) et \(\mathcal{I}\mathcal{G}'\) proviennent d’uniques structures de \(\mathcal{O}\)-modules. Il s’ensuit que \[\Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{I}\mathcal{G}') \quad\text{et}\quad \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) = \Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] Le lemme résulte alors de la suite exacte \[0 \to \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G}') \to \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G})\] voir Homologie, Lemme 05AA.

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre de topos annelés comme dans la Situation 08M7. Soit \(\mathcal{F}'\) un \(\mathcal{O}'\)-module et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\). Supposons que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) et que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements (Définition 08M9). Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}'\) est plat sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\), et

2. l’application canonique \(f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\) est un isomorphisme.

De plus, dans ce cas, les applications \[f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\] sont des isomorphismes.

Démonstration

L’application \(f^*\mathcal{J} \to \mathcal{I}\) est surjective, car \((f, f')\) est un morphisme strict d’épaississements. La dernière assertion résulte donc de (2).

Démontrons l’équivalence de (1) et (2). Par définition, la platitude sur \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) signifie la platitude sur \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\). De même pour la platitude sur \(f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\). Remarquons que la stricte compatibilité de \((f, f')\) et l’hypothèse \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) impliquent que \[\mathcal{F} = \mathcal{F}'/(f^{-1}\mathcal{J})\mathcal{F}'\] comme faisceaux sur \(\mathcal{C}\). En outre, observons que \(f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} = f^{-1}\mathcal{J} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} \mathcal{F}\). L’équivalence de (1) et (2) résulte donc de Modules sur les sites, Lemme 08M4.

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre de topos annelés comme dans la Situation 08M7. Soit \(\mathcal{F}'\) un \(\mathcal{O}'\)-module et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\). Supposons que \(\mathcal{F}'\) soit plat sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) et que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{F}'\) est un \(\mathcal{O}'\)-module de présentation finie, et

2. \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}\)-module de présentation finie.

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte de Modules sur les sites, Lemme 03DO. Pour la réciproque, supposons \(\mathcal{F}\) de présentation finie. Nous pouvons et allons supposer que \(\mathcal{C} = \mathcal{C}'\). D’après le Lemme 08MQ, nous avons une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to 0\] Soit \(U\) un objet de \(\mathcal{C}\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) admette une présentation \[\mathcal{O}_U^{\oplus m} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U \to 0\] Quitte à remplacer \(U\) par les membres d’un recouvrement, nous pouvons supposer que l’application \(\mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U\) se relève en une application \((\mathcal{O}'_U)^{\oplus n} \to \mathcal{F}'|_U\). L’application induite \(\mathcal{I}^{\oplus n} \to \mathcal{I} \otimes \mathcal{F}\) est surjective par exactitude à droite de \(\otimes\). Ainsi, quitte à remplacer encore \(U\) par les membres d’un recouvrement, nous pouvons trouver un relèvement \((\mathcal{O}'|_U)^{\oplus m} \to (\mathcal{O}'|_U)^{\oplus n}\) de l’application donnée \(\mathcal{O}_U^{\oplus m} \to \mathcal{O}_U^{\oplus n}\) tel que \[(\mathcal{O}'_U)^{\oplus m} \to (\mathcal{O}'_U)^{\oplus n} \to \mathcal{F}'|_U \to 0\] soit un complexe. Une nouvelle application de l’exactitude à droite de \(\otimes\) montre que ce complexe est exact.

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre comme dans la Situation 08M7. Soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) des \(\mathcal{O}'\)-modules et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application \(\mathcal{O}\)-linéaire. Supposons que \(\mathcal{G}'\) soit plat sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) et que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements. L’ensemble des relèvements de \(\varphi\) en une application \(\mathcal{O}'\)-linéaire \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) est, s’il est non vide, un espace principal homogène sous \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J})\]

Démonstration

Combiner les Lemmes 08MP et 08MQ.

Lemme

Soit \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}')\) un épaississement du premier ordre de topos annelés. Soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) des \(\mathcal{O}'\)-modules et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application \(\mathcal{O}\)-linéaire. Il existe un élément \[o(\varphi) \in \Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un relèvement de \(\varphi\) en une application \(\mathcal{O}'\)-linéaire \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\).

Démonstration

Il ressort de la démonstration du Lemme 08MP que l’annulation du cobord de \(\varphi\) par l’application \[\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Hom_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] est une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un relèvement. Nous concluons puisque \[\Ext^1_{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] par l’adjonction de \(i_* = Ri_*\) et \(Li^*\) dans la catégorie dérivée (Cohomologie sur les sites, Lemme 07A6).

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre comme dans la Situation 08M7. Soient \(\mathcal{F}'\), \(\mathcal{G}'\) des \(\mathcal{O}'\)-modules et posons \(\mathcal{F} = i^*\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{G}'\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application \(\mathcal{O}\)-linéaire. Supposons que \(\mathcal{F}'\) et \(\mathcal{G}'\) soient plats sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) et que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements. Il existe un élément \[o(\varphi) \in \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J})\] dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un relèvement de \(\varphi\) en une application \(\mathcal{O}'\)-linéaire \(\varphi' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\).

Démonstration

Cela résulte du Lemme 08MS, car nous affirmons que, sous les hypothèses du lemme, nous avons \[\Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J})\] En effet, nous avons \(\mathcal{I}\mathcal{G}' = \mathcal{G} \otimes_\mathcal{O} f^*\mathcal{J}\) d’après le Lemme 08MQ. D’autre part, observons que \[H^{-1}(Li^*\mathcal{F}') = \text{Tor}_1^{\mathcal{O}'}(\mathcal{F}', \mathcal{O})\] (nous omettons le calcul local). En utilisant la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] nous voyons que ce \(\text{Tor}_1\) est calculé par le noyau de l’application \(\mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I}\mathcal{F}'\), qui est nul d’après la dernière assertion du Lemme 08MQ. Ainsi, \(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}\). D’autre part, nous avons \[\Ext^1_\mathcal{O}(Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}') = \Ext^1_\mathcal{O}(\tau_{\geq -1}Li^*\mathcal{F}', \mathcal{I}\mathcal{G}')\] par le dual de Catégories dérivées, Lemme 05TC.

Démonstration

Nous pouvons appliquer le Lemme 08MD comme suit. Remarquons que \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) et \(\mathcal{L} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{G}\) d’après le Lemme 08MQ, que \(c_{\mathcal{F}'} = 1 \otimes 1\) et \(c_{\mathcal{G}'} = 1 \otimes 1\), et qu’en prenant \(\psi = 1 \otimes \varphi\), le diagramme du lemme est commutatif. Ainsi, \(o(\varphi) = o(\varphi, 1 \otimes \varphi)\) convient.

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre comme dans la Situation 08M7. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Supposons que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements et que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\). S’il existe un couple \((\mathcal{F}', \alpha)\) formé d’un \(\mathcal{O}'\)-module \(\mathcal{F}'\) plat sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) et d’un isomorphisme \(\alpha : i^*\mathcal{F}' \to \mathcal{F}\), alors l’ensemble des classes d’isomorphisme de tels couples est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_\mathcal{O}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\).

Démonstration

Si nous supposons qu’il existe un tel module, alors l’application canonique \[f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\] est un isomorphisme d’après le Lemme 08MQ. Appliquons le Lemme 08ME avec \(\mathcal{K} = \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) et \(c = 1\). D’après le Lemme 08MQ, les extensions \(\mathcal{F}'\) correspondantes sont toutes plates sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\).

Lemme

Soit \((f, f')\) un morphisme d’épaississements du premier ordre comme dans la Situation 08M7. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Supposons que \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements et que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\). Il existe un \(\mathcal{O}'\)-module \(\mathcal{F}'\) plat sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) tel que \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\) si et seulement si

1. l’application canonique \(f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\) est un isomorphisme, et

2. la classe \(o(\mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, \mathcal{I} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) du Lemme 08MF est nulle.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la caractérisation des \(\mathcal{O}'\)-modules plats sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) donnée par le Lemme 08MQ et du Lemme 08MF.

Application aux modules plats sur les épaississements plats de topos annelés

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \ar[r]_i \ar[d]_f & (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}') \ar[d]^{f'} \\ (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \ar[r]^t & (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}) }\] de topos annelés dont les flèches horizontales sont des épaississements du premier ordre, comme dans la Situation 08M7. Posons \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp) \subset \mathcal{O}'\) et \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp) \subset \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module. Supposons que

1. \((f, f')\) soit un morphisme strict d’épaississements,

2. \(f'\) soit plat, et

3. \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\).

Remarquons que (1) \(+\) (2) impliquent que \(\mathcal{I} = f^*\mathcal{J}\) (appliquer le Lemme 08MQ à \(\mathcal{O}'\)). La théorie de la section précédente prend une forme particulièrement simple sous ces hypothèses. Nous résumons les résultats déjà obtenus dans le lemme suivant.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, les assertions suivantes valent.

1. Il existe un \(\mathcal{O}'\)-module \(\mathcal{F}'\) plat sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) tel que \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\) si et seulement si la classe \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1) \in \Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) du Lemme 08MF est nulle.

2. S’il existe un tel module, alors l’ensemble des classes d’isomorphisme des relèvements est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\).

3. Étant donné un relèvement \(\mathcal{F}'\), l’ensemble des automorphismes de \(\mathcal{F}'\) dont l’image inverse est \(\text{id}_\mathcal{F}\) est canoniquement isomorphe à \(\Ext^0_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\).

Démonstration

La partie (1) résulte du Lemme 08MV, car nous avons vu ci-dessus que \(\mathcal{I} = f^*\mathcal{J}\). La partie (2) résulte du Lemme 08MU. La partie (3) résulte du Lemme 08MR.

Situation

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) un morphisme de topos annelés. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \ar[r]_h \ar[d]_{f'_1} & (\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \ar[d]_{f'_2} \\ (\Sh(\mathcal{B}'_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{B}'_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}) }\] où \(h\) est un morphisme d’épaississements du premier ordre de \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), la flèche horizontale inférieure est un morphisme d’épaississements du premier ordre de \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), chaque \(f'_i\) se restreint à \(f\), les deux couples \((f, f_i')\) sont des morphismes stricts d’épaississements, et les deux \(f'_i\) sont plats. Enfin, soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}\)-module plat sur \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\).

Lemme

Dans la Situation 0CYD, la classe d’obstruction \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1)\) s’envoie sur la classe d’obstruction \(o(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}, 1)\) par l’application canonique \[\Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}) \to \Ext^2_\mathcal{O}( \mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\]

Démonstration

Cela résulte de la Remarque 0CYC.

Situation

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) un morphisme de topos annelés. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \ar[r]_h \ar[d]_{f'_1} & (\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \ar[r] \ar[d]_{f'_2} & (\Sh(\mathcal{C}'_3), \mathcal{O}'_3) \ar[d]_{f'_3} \\ (\Sh(\mathcal{B}'_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{B}'_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}) \ar[r] & (\Sh(\mathcal{B}'_3), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_3}) }\] où (a) la ligne supérieure est une suite exacte courte d’épaississements du premier ordre de \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), (b) la ligne inférieure est une suite exacte courte d’épaississements du premier ordre de \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), (c) chaque \(f'_i\) se restreint à \(f\), (d) chaque couple \((f, f_i')\) est un morphisme strict d’épaississements et (e) chaque \(f'_i\) est plat. Enfin, soit \(\mathcal{F}'_2\) un \(\mathcal{O}'_2\)-module plat sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}\) et posons \(\mathcal{F} = \mathcal{F}'_2 \otimes \mathcal{O}\). Soit \(\pi : (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\) le scindage canonique (Remarque 08ML).

Lemme

Dans la Situation 08VX, les modules \(\pi^*\mathcal{F}\) et \(h^*\mathcal{F}'_2\) sont des \(\mathcal{O}'_1\)-modules plats sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}\) qui se restreignent à \(\mathcal{F}\) sur \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\). Leur différence (Lemme 08VW) est un élément \(\theta\) de \(\Ext^1_\mathcal{O}(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) dont le cobord dans \(\Ext^2_\mathcal{O}(\mathcal{F}, f^*\mathcal{J}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F})\) est égal à l’obstruction (Lemme 08VW) au relèvement de \(\mathcal{F}\) en un \(\mathcal{O}'_3\)-module plat sur \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_3}\).

Démonstration

Remarquons que \(\pi^*\mathcal{F}\) et \(h^*\mathcal{F}'_2\) se restreignent tous deux à \(\mathcal{F}\) sur \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O})\), et que les noyaux de \(\pi^*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\) et \(h^*\mathcal{F}'_2 \to \mathcal{F}\) sont donnés par \(f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F}\). Ils sont donc plats d’après le Lemme 08MQ. Prendre le cobord a un sens, car la suite de modules \[0 \to f^*\mathcal{J}_3 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_2 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to f^*\mathcal{J}_1 \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \to 0\] est exacte courte par les hypothèses de la Situation 08VX et le fait que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\). L’assertion sur la classe d’obstruction est une traduction directe du résultat de la Remarque 08MM dans cette situation particulière.

Déformations de topos annelés et complexe cotangent naïf

Dans cette section, nous utilisons le complexe cotangent naïf pour faire un peu de théorie des déformations. Nous partons d’un épaississement du premier ordre \(t : (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) de topos annelés. Nous notons \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\) et identifions les topos sous-jacents de \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}'\). Supposons en outre donnés un morphisme de topos annelés \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), un \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{G}\) et une application \(f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\) de faisceaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-modules. Dans cette section, nous nous demandons si nous pouvons trouver le point d’interrogation qui complète le diagramme suivant [08UF]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f^{-1}\mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] et, de plus, à quel point la solution est unique (si elle existe). Plus précisément, nous cherchons un épaississement du premier ordre \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) et un morphisme d’épaississements \((f, f')\) comme dans (08M8), où \(\Ker(i^\sharp)\) est identifié à \(\mathcal{G}\), tels que \((f')^\sharp\) induise l’application donnée \(c\). Nous dirons que \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) est une solution de (08UF).

Lemme

Supposons donné un diagramme commutatif de morphismes de topos annelés [08UH]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2) \ar[r]_{i_2} \ar[d]_{f_2} \ar[ddl]_g & (\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \ar[d]^{f'_2} \\ & (\Sh(\mathcal{B}_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}_2}) \ar[r]^{t_2} \ar[ddl]|\hole & (\Sh(\mathcal{B}'_2), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}) \ar[ddl] \\ (\Sh(\mathcal{C}_1), \mathcal{O}_1) \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{f_1} & (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1) \ar[d]^{f'_1} \\ (\Sh(\mathcal{B}_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}) \ar[r]^{t_1} & (\Sh(\mathcal{B}'_1), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}) } } \end{equation}\] dont les flèches horizontales sont des épaississements du premier ordre. Posons \(\mathcal{G}_j = \Ker(i_j^\sharp)\) et supposons donnée une application de \(g^{-1}\mathcal{O}_1\)-modules \(\nu : g^{-1}\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) qui donne lieu au diagramme commutatif [08UI]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G}_2 \ar[r] & \mathcal{O}'_2 \ar[r] & \mathcal{O}_2 \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & f_2^{-1}\mathcal{J}_2 \ar[u]_{c_2} \ar[r] & f_2^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2} \ar[u] \ar[r]|\hole & f_2^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_2} \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G}_1 \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}'_1 \ar[r] & \mathcal{O}_1 \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f_1^{-1}\mathcal{J}_1 \ar[ruu]|\hole \ar[u]^{c_1} \ar[r] & f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] dont les faces avant et arrière sont des solutions de (08UF). (Les flèches vers le nord-nord-ouest sont des applications sur \(\mathcal{C}_2\) après application de \(g^{-1}\) à la source.)

1. Il existe un élément canonique de \(\Ext^1_{\mathcal{O}_2}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\) dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un morphisme de topos annelés \((\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1)\) s’insérant dans (08UH) de façon compatible avec \(\nu\).

2. S’il existe un morphisme \((\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1)\) s’insérant dans (08UH) de façon compatible avec \(\nu\), l’ensemble de tous ces morphismes est un espace principal homogène sous \[\Hom_{\mathcal{O}_1}( \Omega_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, g_*\mathcal{G}_2) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( g^*\Omega_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2) = \Ext^0_{\mathcal{O}_2}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2).\]

Démonstration

La démonstration de ce lemme est identique à celle du Lemme 08U8. Nous conseillons vivement au lecteur de lire cette dernière plutôt que celle qui suit. Nous identifierons les topos sous-jacents de tous les épaississements considérés (nous avons déjà employé cette convention dans l’énoncé). Les égalités de la dernière assertion du lemme résultent immédiatement des définitions. Nous travaillerons donc avec les groupes \(\Ext^k_{\mathcal{O}_2}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\) dans la suite de la démonstration. Montrons d’abord que nous pouvons nous ramener au cas où le topos sous-jacent de tous les topos annelés du lemme est le même.

Pour cela, observons que \(g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}\) est égal au complexe cotangent naïf de l’homomorphisme de faisceaux d’anneaux \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1} \to g^{-1}\mathcal{O}_1\) ; voir Modules sur les sites, Lemme 08TQ. De plus, le terme de degré \(0\) de \(\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}\) est un \(\mathcal{O}_1\)-module plat ; l’application canonique \[Lg^*\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}} \longrightarrow g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_1} \mathcal{O}_2\] induit donc un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(0\) et \(-1\). Nous pouvons ainsi remplacer les groupes Ext du lemme par \[\Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_1}( g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2) = \Ext^k_{g^{-1}\mathcal{O}_1}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_1/g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\] L’ensemble des morphismes de topos annelés \((\Sh(\mathcal{C}'_2), \mathcal{O}'_2) \to (\Sh(\mathcal{C}'_1), \mathcal{O}'_1)\) s’insérant dans (08UH) de façon compatible avec \(\nu\) est en bijection avec l’ensemble des homomorphismes de \(g^{-1}f_1^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}\)-algèbres \(g^{-1}\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\) compatibles avec \(f^\sharp\) et \(\nu\). Nous voyons ainsi que nous pouvons supposer donné un diagramme (08UI) de faisceaux sur un site \(\mathcal{C}\) (avec \(f_1 = f_2 = \text{id}\) sur les topos sous-jacents) et chercher un homomorphisme de faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\) qui s’y insère.

Dans la suite de la démonstration du lemme, nous supposons que tous les topos sous-jacents sont les mêmes, c’est-à-dire que nous avons un diagramme (08UI) de faisceaux sur un site \(\mathcal{C}\) (avec \(f_1 = f_2 = \text{id}\) sur les topos sous-jacents) et que nous cherchons des homomorphismes de faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\) s’y insérant. Comme groupes Ext, nous utiliserons \(\Ext^k_{\mathcal{O}_1}( \NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}, \mathcal{G}_2)\), \(k = 0, 1\).

Étape 1. Construction de la classe d’obstruction. Considérons le faisceau d’ensembles \[\mathcal{E} = \mathcal{O}'_1 \times_{\mathcal{O}_2} \mathcal{O}'_2\] Il est muni d’une application surjective \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{O}_1\) ; nous pouvons donc employer \(\NL(\alpha)\) au lieu de \(\NL_{\mathcal{O}_1/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}}\) ; voir Modules sur les sites, Lemme 08TY. Posons \[\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_1) \quad\text{et}\quad \mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_1)\] Il existe une surjection \(\mathcal{I}' \to \mathcal{I}\) dont le noyau est \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}]\). Nous obtenons deux homomorphismes de \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_2}\)-algèbres \[a : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'_1 \quad\text{et}\quad b : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'_2\] qui induisent des applications \(a|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_1\) et \(b|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}_2\). Les deux applications \(a\) et \(b\) annulent \((\mathcal{I}')^2\). De plus, \(a\) et \(b\) coïncident sur \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}]\) comme applications à valeurs dans \(\mathcal{G}_2\), car le carré de gauche de (08UI) est commutatif. La différence \(b|_{\mathcal{I}'} - \nu \circ a|_{\mathcal{I}'}\) induit donc une application \(\mathcal{O}_1\)-linéaire bien définie \[\xi : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \longrightarrow \mathcal{G}_2\] qui envoie la classe d’une section locale \(f\) de \(\mathcal{I}\) sur \(a(f') - \nu(b(f'))\), où \(f'\) est un relèvement de \(f\) en une section locale de \(\mathcal{I}'\). Nous notons \([\xi] \in \Ext^1_{\mathcal{O}_1}(\NL(\alpha), \mathcal{G}_2)\) son image (voir ci-dessous).

Étape 2. L’annulation de \([\xi]\) est nécessaire. Écrivons \(\Omega = \Omega_{\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}]/\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}]} \mathcal{O}_1\). Observons que \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega)\) s’insère dans un triangle distingué \[\Omega[0] \to \NL(\alpha) \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2[1] \to \Omega[1]\] Nous voyons donc que \([\xi]\) est nul si et seulement si \(\xi\) est une composée \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega \to \mathcal{G}_2\) pour une certaine application \(\Omega \to \mathcal{G}_2\). Supposons qu’il existe un homomorphisme de faisceaux d’anneaux \(\varphi : \mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\) s’insérant dans (08UI). Considérons alors l’application \(\mathcal{O}'_1[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\), \(f' \mapsto b(f') - \varphi(a(f'))\). Un calcul montre qu’elle annule \(\mathcal{J}_1\mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}]\) et induit une dérivation \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}_1}[\mathcal{E}] \to \mathcal{G}_2\). L’application linéaire \(\Omega \to \mathcal{G}_2\) ainsi obtenue témoigne de l’égalité \([\xi] = 0\) dans ce cas.

Étape 3. L’annulation de \([\xi]\) est suffisante. Soit \(\theta : \Omega \to \mathcal{G}_2\) une application \(\mathcal{O}_1\)-linéaire telle que \(\xi\) soit égale à \(\theta \circ (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega)\). Un calcul montre alors que \[b + \theta \circ d : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'_1}[\mathcal{E}] \longrightarrow \mathcal{O}'_2\] annule \(\mathcal{I}'\) et définit donc une application \(\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\) s’insérant dans (08UI).

Démonstration de (2) dans le cas particulier ci-dessus. Omise. Indication : c’est exactement la même démonstration que celle de la partie (2) du Lemme 08S5.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{B}\)-module. Soit \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{B}(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}, \mathcal{G})\). Il existe une application de faisceaux d’ensembles \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\) telle que \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{B}(\NL(\alpha), \mathcal{G})\) soit la classe d’une application \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\) (voir les notations dans la démonstration).

Démonstration

Rappelons qu’étant donnée \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{B}\) telle que \(\mathcal{A}[\mathcal{E}] \to \mathcal{B}\) soit surjective de noyau \(\mathcal{I}\), le complexe \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B})\) est canoniquement isomorphe à \(\NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) ; voir Modules sur les sites, Lemme 08TY. Observons en outre que \(\Omega = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}]} \mathcal{B}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \bigoplus_{e \in \mathcal{E}(U)} \mathcal{B}(U)\). Autrement dit, \(\Omega\) est le \(\mathcal{B}\)-module libre sur le faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}\) ; il existe en particulier une application canonique \(\mathcal{E} \to \Omega\).

Ceci étant dit, choisissons un \(\mathcal{E}\) (par exemple \(\mathcal{E} = \mathcal{B}\) comme dans la définition du complexe cotangent naïf). L’obstruction à écrire \(\xi\) comme la classe d’une application \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\) est un élément de \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega, \mathcal{G})\). Supposons qu’il soit représenté par l’extension \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \Omega \to 0\) de \(\mathcal{B}\)-modules. Considérons le faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \times_\Omega \mathcal{H}\), muni d’une application induite \(\alpha' : \mathcal{E}' \to \mathcal{B}\). Posons \(\mathcal{I}' = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{E}'] \to \mathcal{B})\) et \(\Omega' = \Omega_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{A}[\mathcal{E}']} \mathcal{B}\). L’image inverse de \(\xi\) par le quasi-isomorphisme \(\NL(\alpha') \to \NL(\alpha)\) s’envoie sur zéro dans \(\Ext^1_\mathcal{B}(\Omega', \mathcal{G})\), car l’image inverse de l’extension \(\mathcal{H}\) par l’application \(\Omega' \to \Omega\) est scindée : en effet, \(\Omega'\) est le \(\mathcal{B}\)-module libre sur le faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}'\) et, par construction, il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{E}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{E} \ar[d] \\ \mathcal{H} \ar[r] & \Omega }\] Cela achève la démonstration.

Lemme

S’il existe une solution de (08UF), alors l’ensemble des classes d’isomorphisme de solutions est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\).

Démonstration

Observons d’emblée qu’étant données deux solutions \(\mathcal{O}'_1\) et \(\mathcal{O}'_2\) de (08UF), le Lemme 08UG fournit un élément d’obstruction \(o(\mathcal{O}'_1, \mathcal{O}'_2) \in \Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) à l’existence d’une application \(\mathcal{O}'_1 \to \mathcal{O}'_2\). Cet élément est manifestement l’obstruction à l’existence d’un isomorphisme ; il sépare donc les classes d’isomorphisme. Pour achever la démonstration, il suffit par conséquent de montrer qu’étant donnés une solution \(\mathcal{O}'\) et un élément \(\xi \in \Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\), nous pouvons trouver une seconde solution \(\mathcal{O}'_\xi\) telle que \(o(\mathcal{O}', \mathcal{O}'_\xi) = \xi\).

Choisissons \(\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{O}\) comme dans le Lemme 08UJ pour la classe \(\xi\). Considérons la surjection \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}\) de noyau \(\mathcal{I}\) et le complexe cotangent naïf correspondant \(\NL(\alpha) = (\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]/ f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]} \mathcal{O})\). D’après le lemme, \(\xi\) est la classe d’un morphisme \(\delta : \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \to \mathcal{G}\). Après avoir remplacé \(\mathcal{E}\) par \(\mathcal{E} \times_\mathcal{O} \mathcal{O}'\), nous pouvons aussi supposer que \(\alpha\) se factorise par une application \(\alpha' : \mathcal{E} \to \mathcal{O}'\).

Ces choix déterminent un homomorphisme de \(f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)-algèbres \(\varphi : \mathcal{O}_{\mathcal{B}'}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'\). Posons \(\mathcal{I}' = \Ker(\varphi)\). Observons que \(\varphi\) induit une application \(\varphi|_{\mathcal{I}'} : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}\) et que \(\mathcal{O}'\) est la somme amalgamée, comme dans le diagramme suivant \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}' \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}' \ar[u]^{\varphi|_{\mathcal{I}'}} \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}[\mathcal{E}] \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O} \ar[u]_{=} \ar[r] & 0 }\] Soit \(\psi : \mathcal{I}' \to \mathcal{G}\) la somme de l’application \(\varphi|_{\mathcal{I}'}\) et de la composée \[\mathcal{I}' \to \mathcal{I}'/(\mathcal{I}')^2 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \xrightarrow{\delta} \mathcal{G}.\] La somme amalgamée suivant \(\psi\) est alors une autre extension d’anneaux \(\mathcal{O}'_\xi\) s’insérant dans un diagramme comme ci-dessus. Un calcul (omis) montre que \(o(\mathcal{O}', \mathcal{O}'_\xi) = \xi\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) un morphisme de topos annelés. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}\)-module. L’ensemble des classes d’isomorphisme d’extensions de \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-algèbres \[0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\] où \(\mathcal{G}\) est un idéal de carré nul² est canoniquement en bijection avec \(\Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\).

Démonstration

Pour le démontrer, nous appliquons les résultats précédents au cas où (08UF) est donné par le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r]^{\text{id}} & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 }\] Notre lemme résulte donc du Lemme 08UK et du fait qu’il existe une solution, à savoir \(\mathcal{G} \oplus \mathcal{O}\). (Voir la remarque ci-dessous pour une construction directe de la bijection.)

Remarque

Soient \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\mathcal{B}, \mathcal{O}_\mathcal{B})\) et \(\mathcal{G}\) comme dans le Lemme 0GQ5. Considérons une extension \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\) comme dans le lemme. Nous pouvons choisir un faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}' \ar[r] & \mathcal{O} }\] tels que \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}\) soit surjective de noyau \(\mathcal{J}\). (On peut par exemple prendre n’importe quel faisceau d’ensembles se surjectant sur \(\mathcal{O}'\).) Alors \[\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \cong \NL(\alpha) = \left( \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \Omega_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]/ f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}]} \mathcal{O}\right)\] Voir Modules sur les sites, section 08TT, et en particulier le Lemme 08TY. Bien entendu, \(\alpha'\) détermine une application \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}'\), qui détermine à son tour une application \[\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \longrightarrow \mathcal{G}\] qui détermine à son tour l’élément de \(\Ext^1_\mathcal{O}(\NL(\alpha), \mathcal{G}) = \Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) correspondant à \(\mathcal{O}'\) par la bijection du lemme.

Lemme

Soient \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) et \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\) des morphismes de topos annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-module. Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-module. Soit \(c : g^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-linéaire. Considérons enfin

1. \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{C} \to 0\), une extension de \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-algèbres correspondant à \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{F})\), et

2. \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{D} \to 0\), une extension de \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-algèbres correspondant à \(\zeta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\).

Voir le Lemme 0GQ5. Il existe alors un morphisme \[g' : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'})\] de topos annelés au-dessus de \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), compatible avec \(g\) et \(c\), si et seulement si \(\xi\) et \(\zeta\) s’envoient sur le même élément de \(\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\).

Démonstration

L’énoncé a un sens, car nous disposons des applications \[\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, Lg^*\mathcal{F}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}} (Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] au moyen de l’application \(Lg^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{F} \xrightarrow{c} \mathcal{G}\), et \[\Ext^1_{\mathcal{O}_Y}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_Y}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] au moyen de l’application \(Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \to \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\). L’énoncé du lemme se déduit du Lemme 08UG, appliqué au diagramme \[\xymatrix{ & 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{D} \ar[r] & 0 \\ & 0 \ar[r]|\hole & 0 \ar[u] \ar[r] & g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r]|\hole & g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F} \ar[ruu] \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[ruu] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[ruu]|\hole \ar[u] \ar[r] & 0 }\] ainsi que d’une compatibilité entre les constructions des démonstrations des Lemmes 0GQ5 et 08UG, dont nous omettons l’énoncé et la démonstration. (Voir la remarque ci-dessous pour un argument direct.)

Remarque

Soient \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), \(g : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(c : g^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{C} \to 0\), \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{F})\), \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{D} \to 0\), et \(\zeta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\) comme dans le Lemme 0GQ7. En prenant la somme amalgamée suivant \(c : g^{-1}\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), nous pouvons construire une extension \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}'_1 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & g^{-1}\mathcal{F} \ar[u]^c \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{C}'} \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar@{=}[u] \ar[r] & 0 }\] En prenant l’image réciproque suivant \(g^\sharp : g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \to \mathcal{O}_\mathcal{D}\), nous pouvons construire une extension \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{D} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar@{=}[u] \ar[r] & \mathcal{O}'_2 \ar[u] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} \ar[u] \ar[r] & 0 }\] Une chasse au diagramme montre qu’il existe un morphisme \(g' : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_{\mathcal{D}'}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_{\mathcal{C}'})\) au-dessus de \((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), compatible avec \(g\) et \(c\), si et seulement si \(\mathcal{O}'_1\) est isomorphe à \(\mathcal{O}'_2\) comme extension de \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-algèbres de \(g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\) par \(\mathcal{G}\). D’après le Lemme 0GQ5, ces extensions sont classifiées par le membre de gauche de \[\Ext^1_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}}( \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{D}}( Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] Ici, l’égalité résulte de l’adjonction entre produit tensoriel et Hom, et des égalités \[\NL_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}} = g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \quad\text{et}\quad Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} = g^{-1}\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \otimes_{g^{-1}\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_Y\] Pour la première, voir Modules sur les sites, Lemme 08TZ ; la seconde résulte de la définition de l’image réciproque dérivée. Ainsi, pour voir que le Lemme 0GQ7 est vrai, il suffit de montrer que \(\mathcal{O}'_1\) correspond à l’image de \(\xi\) et que \(\mathcal{O}'_2\) correspond à l’image de \(\zeta\). La correspondance entre \(\xi\) et \(\mathcal{O}'_1\) résulte immédiatement de la construction de la classe \(\xi\) dans la Remarque 0GQ6. Pour la correspondance entre \(\zeta\) et \(\mathcal{O}'_2\), choisissons d’abord un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} \ar[rd]^\beta \\ \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} \ar[r] & \mathcal{O}_\mathcal{D} }\] tel que \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}] \to \mathcal{O}_\mathcal{D}\) soit surjective de noyau \(\mathcal{K}\). Choisissons ensuite un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{E} \ar[d]_{\beta'} & \mathcal{E}' \ar[l]^\varphi \ar[d]_{\alpha'} \ar[rd]^\alpha \\ \mathcal{O}_{\mathcal{D}'} & \mathcal{O}'_2 \ar[l] \ar[r] & g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C} }\] tel que \(g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}[\mathcal{E}'] \to g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}\) soit surjective de noyau \(\mathcal{J}\). (On peut par exemple prendre simplement \(\mathcal{E}' = \mathcal{E} \amalg \mathcal{O}'_2\) comme faisceau d’ensembles.) L’application \(\varphi\) induit une application de complexes \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\) (notations de Modules, section 08TG), et en particulier \(\bar\varphi : \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\). Alors \(\NL(\alpha) \cong \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\) et \(\NL(\beta) \cong \NL_{g^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{C}/g^{-1}f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}}\), et l’application de complexes \(\NL(\alpha) \to \NL(\beta)\) représente l’application \(Lg^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{B}} \to \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{D}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\) employée dans l’énoncé du Lemme 0GQ7 (voir la première partie de sa démonstration). Or \(\zeta\) correspond à la classe de l’application \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2 \to \mathcal{G}\) induite par \(\beta'\) ; voir la Remarque 0GQ6. De même, l’extension \(\mathcal{O}'_2\) correspond à l’application \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{G}\) induite par \(\alpha'\). Le diagramme commutatif ci-dessus montre que cette application est la composée de l’application \(\mathcal{K}/\mathcal{K}^2 \to \mathcal{G}\) induite par \(\beta'\) avec l’application \(\bar\varphi : \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\). C’est la compatibilité recherchée.

Lemme

Soient \(t : (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\), \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\), \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), \(\mathcal{G}\) et \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\) comme dans (08UF). Notons \(\xi \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{J})\) l’élément correspondant à l’extension \(\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\) de \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\) par \(\mathcal{J}\) au moyen du Lemme 0GQ5. L’ensemble des classes d’isomorphisme de solutions est canoniquement en bijection avec la fibre de \[\Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\to \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\] au-dessus de l’image de \(\xi\).

Démonstration

D’après le Lemme 0GQ5, appliqué à \(t \circ f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) et au \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{G}\), les éléments \(\zeta\) de \(\Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\) paramètrent les extensions \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\) de \(f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}\)-algèbres. D’après le Lemme 0GQ7, appliqué à \[(\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \xrightarrow{f} (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \xrightarrow{t} (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\] et à \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\), il existe un morphisme \[f' : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}') \longrightarrow (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\] au-dessus de \((\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\), compatible avec \(c\) et \(f\), si et seulement si \(\zeta\) s’envoie sur \(\xi\). Bien entendu, cela revient à dire que \(\mathcal{O}'\) est une solution de (08UF).

Déformations d’espaces algébriques

Dans cette section, nous explicitons la signification des résultats de la section 08UE pour les déformations d’espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(i : Z \to Z'\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(i\) est un épaississement d’espaces algébriques tel qu’il est défini dans Compléments sur les morphismes d’espaces, section 05ZJ, et

2. le morphisme associé \(i_{small} : (\Sh(Z_\etale), \mathcal{O}_Z) \to (\Sh(Z'_\etale), \mathcal{O}_{Z'})\) de topos annelés (Propriétés des espaces, Lemme 03G8) est un épaississement au sens de la section 08M6.

Démonstration

Soulignons qu’il ne s’agit pas d’une trivialité.

Supposons (1). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 05ZS, le morphisme \(i\) induit une équivalence des petits sites étales, et donc en particulier des topos. Bien entendu, \(i^\sharp\) est surjective à noyau localement nilpotent par définition des épaississements.

Supposons (2). (Cette implication est moins importante et relève davantage de la curiosité.) Pour tout morphisme étale \(Y' \to Z'\), nous voyons que \(Y = Z \times_{Z'} Y'\) a le même topos étale que \(Y'\). En particulier, \(Y'\) est quasi-compact si et seulement si \(Y\) est quasi-compact, car la quasi-compacité est une notion toposique (Sites, Lemme 0D06). Ceci étant dit, nous voyons que \(Y'\) est quasi-compact et quasi-séparé si et seulement si \(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé (car on peut caractériser la quasi-séparation de \(Y'\) en demandant que, pour tous espaces algébriques quasi-compacts \(Y'_1, Y'_2\) étales sur \(Y'\), le produit \(Y'_1 \times_{Y'} Y'_2\) soit quasi-compact). Prenons \(Y'\) affine. Alors l’espace algébrique \(Y\) est quasi-compact et quasi-séparé. Pour tout \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\), nous avons \(H^q(Y, \mathcal{F}) = H^q(Y', (Y \to Y')_*\mathcal{F})\), car les topos étales sont les mêmes. Ensuite, \(H^q(Y', (Y \to Y')_*\mathcal{F}) = 0\), car l’image directe est quasi-cohérente (Morphismes d’espaces, Lemme 03M9) et \(Y\) est affine. Il s’ensuit que \(Y'\) est affine d’après Cohomologie des espaces, Proposition 07V6 (il existe sûrement une démonstration de cette implication qui évite cette référence). Ainsi, \(i\) est un morphisme affine. Dans le cas affine, les conditions de la section 08M6 entraînent aisément que \(i\) est un épaississement d’espaces algébriques.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y \subset Y'\) un épaississement du premier ordre d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). S’il existe un morphisme plat \(f' : X' \to Y'\) d’espaces algébriques au-dessus de \(S\) et un isomorphisme \(a : X \to X' \times_{Y'} Y\) au-dessus de \(Y\), alors

1. l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples \((f' : X' \to Y', a)\) est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/Y}, f^*\mathcal{C}_{Y/Y'})\), et

2. l’ensemble des automorphismes \(\varphi : X' \to X'\) au-dessus de \(Y'\) qui se réduisent à l’identité sur \(X' \times_{Y'} Y\) est \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/Y}, f^*\mathcal{C}_{Y/Y'})\).

Démonstration

Nous appliquerons les résultats sur les déformations de topos annelés aux petits topos étales des espaces algébriques du lemme. Nous pouvons considérer \(X\) comme un sous-espace fermé de \(X'\) de sorte que \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) soit un morphisme d’épaississements du premier ordre. D’après le Lemme 0D16, cela se traduit par un morphisme d’épaississements de topos annelés. Il résulte alors de Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 06BH (ou du Lemme 08MQ, plus général) que le faisceau d’idéaux de \(X\) dans \(X'\) est égal à \(f^*\mathcal{C}_{Y'/Y}\), et ceci équivaut en fait à la platitude de \(X'\) sur \(Y'\). Nous avons donc un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[u] \ar[r] & 0 }\] Comparer avec (08UF). Observons que les automorphismes \(\varphi\) de (2) donnent des automorphismes \(\varphi^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{X'}\) qui s’insèrent dans le diagramme ci-dessus. Réciproquement, un automorphisme \(\alpha : \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_{X'}\) s’insérant dans le diagramme de faisceaux ci-dessus est égal à \(\varphi^\sharp\) pour un certain automorphisme \(\varphi\) de (2), d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 05ZN. Enfin, d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 05ZT, si nous trouvons un autre faisceau d’anneaux \(\mathcal{A}\) sur \(X_\etale\) s’insérant dans le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & f^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] & \mathcal{A} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[u] \ar[r] & f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[u] \ar[r] & 0 }\] alors il existe un épaississement du premier ordre \(X \subset X''\) tel que \(\mathcal{O}_{X''} = \mathcal{A}\) et, en appliquant encore Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 05ZN, nous obtenons un morphisme \((f, f'') : (X \subset X'') \to (Y \subset Y')\) ayant toutes les propriétés voulues. La partie (1) résulte donc du Lemme 08UK, et la partie (2), de la partie (2) du Lemme 08UG. (Notons que \(\NL_{X/Y}\), tel qu’il est défini pour un morphisme d’espaces algébriques dans Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0D0U, coïncide avec \(\NL_{X/Y}\) tel qu’il est employé dans la section 08UE.)

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules (non nécessairement quasi cohérents). Considérons le foncteur \[F : \left\{ \begin{matrix} \text{extensions of }f^{-1}\mathcal{O}_B\text{ algebras}\\ 0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_X \to 0\\ \text{où }\mathcal{F}\text{ est un idéal de carré nul} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{extensions of }f^{-1}\mathcal{O}_B\text{ algebras}\\ 0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_X \to 0\\ \text{où }\mathcal{G}\text{ est un idéal de carré nul} \end{matrix} \right\}\] défini par somme amalgamée.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que \(X\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et que \(DQ_X(\mathcal{F}) \to DQ_X(\mathcal{G})\) (Catégories dérivées des espaces, section 0CR3) soit un isomorphisme. Alors le foncteur \(F\) est une équivalence de catégories.

Démonstration

Rappelons que \(\NL_{X/B}\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 0D0Y. Notre hypothèse implique donc que les applications \[\Ext^i_X(\NL_{X/B}, \mathcal{F}) \longrightarrow \Ext^i_X(\NL_{X/B}, \mathcal{G})\] sont des isomorphismes pour tout \(i\). Le Lemme 08UG implique que notre foncteur est pleinement fidèle. D’autre part, le foncteur est essentiellement surjectif par le Lemme 08UK, car nous avons les solutions \(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F}\) et \(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{G}\) dans les deux catégories.

Soit \(S\) un schéma. Soit \(B \subset B'\) un épaississement du premier ordre d’espaces algébriques au-dessus de \(S\), de faisceau d’idéaux \(\mathcal{J}\), que nous considérons soit comme un \(\mathcal{O}_B\)-module quasi-cohérent, soit comme un faisceau quasi-cohérent d’idéaux sur \(B'\) ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces, section 05ZJ. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques au-dessus de \(S\). Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules (non nécessairement quasi cohérents). Soit \(c : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{F}\) une application de \(f^{-1}\mathcal{O}_B\)-modules, et notons \(c' : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\) la composée. Considérons le foncteur \[FT : \{\text{solutions de }(\href{defos.html#defos-equation-to-solve-ringed-topoi}{08UF}) \text{ pour }\mathcal{F}\text{ et }c\} \longrightarrow \{\text{solutions de }(\href{defos.html#defos-equation-to-solve-ringed-topoi}{08UF}) \text{ pour }\mathcal{G}\text{ et }c'\}\] défini par somme amalgamée.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, supposons que \(X\) soit quasi-compact et quasi-séparé, et que \(DQ_X(\mathcal{F}) \to DQ_X(\mathcal{G})\) (Catégories dérivées des espaces, section 0CR3) soit un isomorphisme. Alors le foncteur \(FT\) est une équivalence de catégories.

Démonstration

Une solution de (08UF) pour \(\mathcal{F}\) donne en particulier une extension de \(f^{-1}\mathcal{O}_{B'}\)-algèbres \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O}_X \to 0\] où \(\mathcal{F}\) est un idéal de carré nul. De même pour \(\mathcal{G}\). De plus, une telle extension fournit une application \(c_{\mathcal{O}'} : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{F}\). Nous considérons donc la sous-catégorie pleine de ces extensions de \(f^{-1}\mathcal{O}_{B'}\)-algèbres telles que \(c = c_{\mathcal{O}'}\). Manifestement, si \(\mathcal{O}'' = F(\mathcal{O}')\), où \(F\) est l’équivalence du Lemme 0D3P (appliqué cette fois à \(X \to B'\)), alors \(c_{\mathcal{O}''}\) est la composée de \(c_{\mathcal{O}'}\) et de l’application \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\). Cela démontre le lemme.

Déformations de complexes

Cette section sert de préparation à la suivante. Nous utiliserons autant que possible les résultats des chapitres consacrés à l’algèbre commutative.

Lemme

Soit \(R' \to R\) une surjection d’anneaux dont le noyau est un idéal \(I\) de carré nul. Pour tout \(K \in D^-(R)\), il existe une application canonique \[\omega(K) : K \longrightarrow K \otimes_R^\mathbf{L} I[2]\] dans \(D(R)\) possédant les propriétés suivantes :

1. \(\omega(K) = 0\) si et seulement s’il existe \(K' \in D(R')\) tel que \(K' \otimes_{R'}^\mathbf{L} R = K\),

2. étant donnée une application \(K \to L\) dans \(D^-(R)\), le diagramme \[\xymatrix{ K \ar[d] \ar[rr]_-{\omega(K)} & & K \otimes^\mathbf{L}_R I[2] \ar[d] \\ L \ar[rr]^-{\omega(L)} & & L \otimes^\mathbf{L}_R I[2] }\] est commutatif, et

3. la formation de \(\omega(K)\) est compatible aux homomorphismes d’anneaux \(R' \to S'\) (voir la démonstration pour un énoncé précis).

Démonstration

Choisissons un complexe \(K^\bullet\) de \(R\)-modules libres, borné supérieurement, représentant \(K\). Nous pouvons alors choisir des \(R'\)-modules libres \((K')^n\) relevant \(K^n\). Nous pouvons choisir des applications de \(R'\)-modules \((d')^n_K : (K')^n \to (K')^{n + 1}\) relevant les différentielles \(d^n_K : K^n \to K^{n + 1}\) de \(K^\bullet\). Bien que les composées \[(d')^{n + 1}_K \circ (d')^n_K : (K')^n \to (K')^{n + 2}\] ne soient pas nécessairement nulles, elles se factorisent sous la forme \[(K')^n \to K^n \xrightarrow{\omega^n_K} K^{n + 2} \otimes_R I = I(K')^{n + 2} \to (K')^{n + 2}\] car \(d^{n + 1} \circ d^n = 0\). Un calcul montre que \(\omega^n_K\) définit une application de complexes. Cette application de complexes définit \(\omega(K)\).

Montrons que cette construction est compatible avec une application de complexes \(\alpha^\bullet : K^\bullet \to L^\bullet\) de \(R\)-modules libres bornés supérieurement et avec des choix de relèvements \((K')^n, (L')^n, (d')^n_K, (d')^n_L\). Choisissons pour cela \((\alpha')^n : (K')^n \to (L')^n\) relevant les composantes \(\alpha^n : K^n \to L^n\). Comme ci-dessus, nous obtenons une factorisation \[(K')^n \to K^n \xrightarrow{h^n} L^{n + 1} \otimes_R I = I(L')^{n + 1} \to (L')^{n + 2}\] de \((d')^n_L \circ (\alpha')^n - (\alpha')^{n + 1} \circ (d')_K^n\). Un calcul agréable montre alors que \[\omega^n_L \circ \alpha^n = (d_L^{n + 1} \otimes \text{id}_I) \circ h^n + h^{n + 1} \circ d_K^n + (\alpha^{n + 2} \otimes \text{id}_I) \circ \omega^n_K\] Cela démontre la commutativité du diagramme de la partie (2) du lemme dans ce cas particulier. En appliquant ceci à deux choix différents de complexes libres bornés supérieurement représentant \(K\), nous voyons que \(\omega(K)\) est bien définie. Bien entendu, (2) vaut alors aussi en général.

Si \(K\) se relève en \(K'\) dans \(D^-(R')\), nous pouvons représenter \(K'\) par un complexe de \(R'\)-modules libres borné supérieurement et voyons immédiatement que \(\omega(K) = 0\). Réciproquement, revenons à nos choix \(K^\bullet\), \((K')^n\), \((d')^n_K\). Si \(\omega(K) = 0\), nous pouvons trouver \(g^n : K^n \to K^{n + 1} \otimes_R I\) tel que \[\omega^n = (d_K^{n + 1} \otimes \text{id}_I) \circ g^n + g^{n + 1} \circ d_K^n\] En prenant comme différentielles \((d')^n_K - g^n : (K')^n \to (K')^{n + 1}\), nous obtenons donc un complexe de \(R'\)-modules libres relevant \(K^\bullet\). Cela démontre (1).

Enfin, la partie (3) signifie ce qui suit. Soit \(R' \to S'\) un homomorphisme d’anneaux. Posons \(S = S' \otimes_{R'} R\) et notons \(J = IS' \subset S'\) le noyau de carré nul de \(S' \to S\). Étant donné \(K \in D^-(R)\), l’assertion est que nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ K \otimes_R^\mathbf{L} S \ar[d] \ar[rr]_-{\omega(K) \otimes \text{id}} & & (K \otimes^\mathbf{L}_R I[2]) \otimes_R^\mathbf{L} S \ar[d] \\ K \otimes_R^\mathbf{L} S \ar[rr]^-{\omega(K \otimes_R^\mathbf{L} S)} & & (K \otimes_R^\mathbf{L} S) \otimes^\mathbf{L}_S J[2] }\] Ici, la flèche verticale de droite provient de \[(K \otimes^\mathbf{L}_R I[2]) \otimes_R^\mathbf{L} S = (K \otimes_R^\mathbf{L} S) \otimes_S^\mathbf{L} (I \otimes_R^\mathbf{L} S)[2] \longrightarrow (K \otimes_R^\mathbf{L} S) \otimes_S^\mathbf{L} J[2]\] Choisissons \(K^\bullet\), \((K')^n\) et \((d')^n_K\) comme ci-dessus. Nous pouvons alors employer \(K^\bullet \otimes_R S\), \((K')^n \otimes_{R'} S'\) et \((d')^n_K \otimes \text{id}_{S'}\) pour la construction de \(\omega(K \otimes_R^\mathbf{L} S)\). Avec ces choix, la commutativité se vérifie immédiatement au niveau des applications de complexes.

Déformations de complexes sur des topos annelés

Ce matériau est tiré de [lieblich-complexes].

Les résultats de cette section valent dans le cadre d’un épaississement du premier ordre de topos annelés tel qu’il est défini dans la section 08M6. Cependant, afin de simplifier les notations, nous supposerons que les sites sous-jacents \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{D}\) sont les mêmes. De plus, l’homomorphisme surjectif \(\mathcal{O}' \to \mathcal{O}\) de faisceaux d’anneaux sera noté \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\), conformément à l’usage sans doute plus courant dans la littérature.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) une surjection de faisceaux d’anneaux. Supposons données les informations suivantes :

1. des \(\mathcal{O}\)-modules plats \(\mathcal{G}^n\),

2. des applications de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{G}^{n + 1}\),

3. un complexe \(\mathcal{K}_0^\bullet\) de \(\mathcal{O}_0\)-modules,

4. des applications de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{K}_0^n\)

telles que

1. \(H^n(\mathcal{K}_0^\bullet) = 0\) pour \(n \gg 0\),

2. \(\mathcal{G}^n = 0\) pour \(n \gg 0\),

3. en posant \(\mathcal{G}^n_0 = \mathcal{G}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\), les applications induites déterminent un complexe \(\mathcal{G}_0^\bullet\) et une application de complexes \(\mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\).

Il existe alors

1. des \(\mathcal{O}\)-modules plats \(\mathcal{F}^n\),

2. des applications de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\),

3. des applications de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n\),

4. des applications de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{F}^n\),

tels que \(\mathcal{F}^n = 0\) pour \(n \gg 0\), que les diagrammes \[\xymatrix{ \mathcal{G}^n \ar[r] \ar[d] & \mathcal{G}^{n + 1} \ar[d] \\ \mathcal{F}^n \ar[r] & \mathcal{F}^{n + 1} }\] soient commutatifs pour tout \(n\), que la composée \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n\) soit l’application donnée \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{K}_0^n\), et qu’en posant \(\mathcal{F}^n_0 = \mathcal{F}^n \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\), nous obtenions un complexe \(\mathcal{F}_0^\bullet\) et une application de complexes \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\) qui soit un quasi-isomorphisme.

Démonstration

Nous allons démontrer par récurrence descendante sur \(e\) que nous pouvons trouver \(\mathcal{F}^n\), \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{F}^n\) et \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\) pour \(n \geq e\), s’insérant dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & \mathcal{G}^{e - 1} \ar[r] \ar@/_2pc/[dd] & \mathcal{G}^e \ar[d] \ar[r] \ar@/_2pc/[dd] & \mathcal{G}^{e + 1} \ar[d] \ar[r] \ar@/_2pc/[dd]|\hole & \ldots \\ & & \mathcal{F}^e \ar[d] \ar[r] & \mathcal{F}^{e + 1} \ar[d] \ar[r] & \ldots \\ \ldots \ar[r] & \mathcal{K}_0^{e - 1} \ar[r] & \mathcal{K}_0^e \ar[r] & \mathcal{K}_0^{e + 1} \ar[r] & \ldots }\] tel que \(\mathcal{F}_0^\bullet\) soit un complexe et que l’application induite \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\) induise un isomorphisme sur \(H^n\) pour \(n > e\) et une surjection pour \(n = e\). Pour \(e \gg 0\), ceci est vrai, car les hypothèses (a) et (b) permettent de prendre \(\mathcal{F}^n = 0\) pour \(n \geq e\).

Étape de récurrence. Nous devons construire \(\mathcal{F}^{e - 1}\) et les applications \(\mathcal{G}^{e - 1} \to \mathcal{F}^{e - 1}\), \(\mathcal{F}^{e - 1} \to \mathcal{F}^e\) et \(\mathcal{F}^{e - 1} \to \mathcal{K}_0^{e - 1}\). Nous choisirons \(\mathcal{F}^{e - 1} = A \oplus B \oplus C\) comme somme directe de trois morceaux.

Pour le premier, nous prenons \(A = \mathcal{G}^{e - 1}\) et choisissons pour \(\mathcal{G}^{e - 1} \to \mathcal{F}^{e - 1}\) l’inclusion du premier facteur. Les applications \(A \to \mathcal{K}^{e - 1}_0\) et \(A \to \mathcal{F}^e\) seront les applications évidentes.

Pour choisir \(B\), considérons la surjection (par hypothèse de récurrence) \[\gamma : \Ker(\mathcal{F}^e_0 \to \mathcal{F}^{e + 1}_0) \longrightarrow \Ker(\mathcal{K}^e_0 \to \mathcal{K}^{e + 1}_0)/ \Im(\mathcal{K}^{e - 1}_0 \to \mathcal{K}^e_0)\] Nous pouvons choisir un ensemble \(I\), pour chaque \(i \in I\) un objet \(U_i\) de \(\mathcal{C}\), et des sections \(s_i \in \mathcal{F}^e(U_i)\), \(t_i \in \mathcal{K}^{e - 1}_0(U_i)\) telles que

1. \(s_i\) s’envoie sur une section de \(\Ker(\gamma) \subset \Ker(\mathcal{F}^e_0 \to \mathcal{F}^{e + 1}_0)\),

2. \(s_i\) et \(t_i\) s’envoient sur la même section de \(\mathcal{K}^e_0\),

3. les sections \(s_i\) engendrent \(\Ker(\gamma)\) comme \(\mathcal{O}_0\)-module.

Nous omettons la justification complète ; on utilise le fait que \(\mathcal{F}^e \to \mathcal{F}^e_0\) est une application surjective de faisceaux d’ensembles. Nous posons alors \[B = \bigoplus\nolimits_{i \in I} j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\] et définissons les applications \(B \to \mathcal{F}^e\) et \(B \to \mathcal{K}_0^{e - 1}\) en utilisant \(s_i\) et \(t_i\) pour déterminer où envoyer le facteur \(j_{U_i!}\mathcal{O}_{U_i}\).

Avec \(\mathcal{F}^{e - 1} = A \oplus B\) et les applications ci-dessus, nous obtenons un diagramme du type précédent pour \(e - 1\), tel que \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\) induise un isomorphisme sur \(H^n\) pour \(n \geq e\). Pour que l’application soit surjective sur \(H^{e - 1}\), nous choisissons le facteur \(C\) comme suit. Choisissons un ensemble \(J\), pour chaque \(j \in J\) un objet \(U_j\) de \(\mathcal{C}\) et une section \(t_j\) de \(\Ker(\mathcal{K}^{e - 1}_0 \to \mathcal{K}^e_0)\) au-dessus de \(U_j\), de sorte que ces sections engendrent ce noyau sur \(\mathcal{O}_0\). Posons alors \[C = \bigoplus\nolimits_{j \in J} j_{U_j!}\mathcal{O}_{U_j}\] et prenons l’application nulle \(C \to \mathcal{F}^e\) ainsi que l’application \(C \to \mathcal{K}_0^{e - 1}\) définie en utilisant \(s_j\) pour déterminer où envoyer le facteur \(j_{U_j!}\mathcal{O}_{U_j}\). Ceci achève l’étape de récurrence en prenant \(\mathcal{F}^{e - 1} = A \oplus B \oplus C\) et les applications indiquées.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) une surjection de faisceaux d’anneaux dont le noyau est un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) de carré nul. Pour tout objet \(K_0\) de \(D^-(\mathcal{O}_0)\), il existe une application canonique \[\omega(K_0) : K_0 \longrightarrow K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}[2]\] dans \(D(\mathcal{O}_0)\) telle que, pour toute application \(K_0 \to L_0\) dans \(D^-(\mathcal{O}_0)\), le diagramme \[\xymatrix{ K_0 \ar[d] \ar[rr]_-{\omega(K_0)} & & (K_0 \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \ar[d] \\ L_0 \ar[rr]^-{\omega(L_0)} & & (L_0 \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] }\] soit commutatif.

Démonstration

Représentons \(K_0\) par un complexe quelconque \(\mathcal{K}_0^\bullet\) de \(\mathcal{O}_0\)-modules. Appliquons le Lemme 0DIT avec \(\mathcal{G}^n = 0\) pour tout \(n\). Notons \(d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\) les applications produites par le lemme. Nous voyons alors que \(d \circ d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 2}\) est nul modulo \(\mathcal{I}\). Comme \(\mathcal{F}^n\) est plat, nous voyons que \(\mathcal{I}\mathcal{F}^n = \mathcal{F}^n \otimes_{\mathcal{O}} \mathcal{I} = \mathcal{F}^n_0 \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}\). Nous obtenons donc une application canonique de complexes \[d \circ d : \mathcal{F}_0^\bullet \longrightarrow (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2]\] Puisque \(\mathcal{F}_0^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}_0\)-modules plats, il est K-plat et peut servir à calculer le produit tensoriel dérivé. De plus, l’application de complexes \(\mathcal{F}_0^\bullet \to \mathcal{K}_0^\bullet\) est un quasi-isomorphisme par construction. La source et le but de l’application que nous venons de construire représentent donc \(K_0\) et \(K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}[2]\) ; nous obtenons ainsi notre application \(\omega(K_0)\).

Montrons que ce procédé est compatible avec les applications de complexes. Soit \(\mathcal{L}_0^\bullet\) un complexe représentant un autre objet de \(D^-(\mathcal{O}_0)\), et supposons que \[\mathcal{K}_0^\bullet \longrightarrow \mathcal{L}_0^\bullet\] soit une application de complexes. Appliquons le Lemme 0DIT au complexe \(\mathcal{L}_0^\bullet\), aux modules plats \(\mathcal{F}^n\), aux applications \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\) et aux composées \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n \to \mathcal{L}_0^n\) (nous nous excusons de l’inversion des lettres employées). Nous obtenons des modules plats \(\mathcal{G}^n\), des applications \(\mathcal{F}^n \to \mathcal{G}^n\), des applications \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{G}^{n + 1}\) et des applications \(\mathcal{G}^n \to \mathcal{L}_0^n\) possédant toutes les propriétés du lemme. Il est alors clair que \[\xymatrix{ \mathcal{F}_0^\bullet \ar[d] \ar[r] & (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \ar[d] \\ \mathcal{G}_0^\bullet \ar[r] & (\mathcal{G}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] }\] est un diagramme commutatif de complexes.

Pour voir que \(\omega(K_0)\) est bien définie, supposons que nous disposions de deux complexes \(\mathcal{K}_0^\bullet\) et \((\mathcal{K}'_0)^\bullet\) de \(\mathcal{O}_0\)-modules représentant \(K_0\), et de deux systèmes \((\mathcal{F}^n, d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}, \mathcal{F}^n \to \mathcal{K}_0^n)\) et \(((\mathcal{F}')^n, d : (\mathcal{F}')^n \to (\mathcal{F}')^{n + 1}, (\mathcal{F}')^n \to \mathcal{K}_0^n)\) comme ci-dessus. Nous pouvons choisir un complexe \((\mathcal{K}''_0)^\bullet\) et des quasi-isomorphismes \(\mathcal{K}_0^\bullet \to (\mathcal{K}''_0)^\bullet\) et \((\mathcal{K}'_0)^\bullet \to (\mathcal{K}''_0)^\bullet\) réalisant le fait que les deux complexes représentent \(K_0\) dans la catégorie dérivée. Appliquons ensuite le résultat du paragraphe précédent à \[(\mathcal{K}_0)^\bullet \oplus (\mathcal{K}'_0)^\bullet \longrightarrow (\mathcal{K}''_0)^\bullet\] Nous obtenons ainsi un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{F}_0^\bullet \oplus (\mathcal{F}'_0)^\bullet \ar[d] \ar[r] & (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \oplus ((\mathcal{F}'_0)^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] \ar[d] \\ \mathcal{G}_0^\bullet \ar[r] & (\mathcal{G}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2] }\] Puisque les flèches verticales donnent des quasi-isomorphismes sur les facteurs, nous en déduisons la commutativité voulue dans \(D(\mathcal{O}_0)\).

La bonne définition étant établie, l’assertion de compatibilité aux applications découle du résultat du deuxième paragraphe.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) un site annelé. Soit \(\alpha : K \to L\) une application dans \(D^-(\mathcal{O})\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(n \in \mathbf{Z}\).

1. Si \(H^i(\alpha)\) est un isomorphisme pour \(i \geq n\), alors \(H^i(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) est un isomorphisme pour \(i \geq n\).

2. Si \(H^i(\alpha)\) est un isomorphisme pour \(i > n\) et surjectif pour \(i = n\), alors \(H^i(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) est un isomorphisme pour \(i > n\) et surjectif pour \(i = n\).

Démonstration

Choisissons un triangle distingué \[K \to L \to C \to K[1]\] Dans le cas (2), nous voyons que \(H^i(C) = 0\) pour \(i \geq n\). Par conséquent, \(H^i(C \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{F}) = 0\) pour \(i \geq n\) d’après le dual de Catégories dérivées, Lemme 05TC. Cela montre à son tour que \(H^i(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) est un isomorphisme pour \(i > n\) et surjectif pour \(i = n\). Dans le cas (1), nous voyons en outre que \(H^{n - 1}(L) \to H^{n - 1}(C)\) est surjectif. En considérant le diagramme \[\xymatrix{ H^{n - 1}(L) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & H^{n - 1}(C) \otimes_\mathcal{O} \mathcal{F} \ar@{=}[d] \\ H^{n - 1}(L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{F}) \ar[r] & H^{n - 1}(C \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{F}) }\] nous concluons que la flèche horizontale inférieure est surjective. Combiné à ce qui précède, cela implique que \(H^n(\alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{F})\) est un isomorphisme.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) une surjection de faisceaux d’anneaux dont le noyau est un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) de carré nul. Pour tout objet \(K_0\) de \(D^-(\mathcal{O}_0)\), les assertions suivantes sont équivalentes :

1. la classe \(\omega(K_0) \in \Ext^2_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})\) construite dans le Lemme 0DIU est nulle,

2. il existe \(K \in D^-(\mathcal{O})\) tel que \(K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 = K_0\) dans \(D(\mathcal{O}_0)\).

Démonstration

Soit \(K\) comme dans (2). Nous pouvons représenter \(K\) par un complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules plats, borné supérieurement. Alors \(\mathcal{F}_0^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_{\mathcal{O}} \mathcal{O}_0\) représente \(K_0\) dans \(D(\mathcal{O}_0)\). Puisque \(d_{\mathcal{F}^\bullet} \circ d_{\mathcal{F}^\bullet} = 0\), car \(\mathcal{F}^\bullet\) est un complexe, la construction même de \(\omega(K_0)\) montre que cette classe est nulle.

Supposons (1). Soient \(\mathcal{F}^n\) et \(d : \mathcal{F}^n \to \mathcal{F}^{n + 1}\) comme dans la construction de \(\omega(K_0)\). La nullité de \(\omega(K_0)\) implique que l’application \[\omega = d \circ d : \mathcal{F}_0^\bullet \longrightarrow (\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I})[2]\] est nulle dans \(D(\mathcal{O}_0)\). Par définition de la catégorie dérivée comme localisation de la catégorie homotopique des complexes de \(\mathcal{O}_0\)-modules, il existe un quasi-isomorphisme \(\alpha : \mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) et des applications de \(\mathcal{O}_0\)-modules \(h^n : \mathcal{G}_0^n \to \mathcal{F}_0^{n + 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}\) telles que \[\omega \circ \alpha = d_{\mathcal{F}_0^\bullet \otimes \mathcal{I}} \circ h + h \circ d_{\mathcal{G}_0^\bullet}\] Posons \[\mathcal{H}^n = \mathcal{F}^n \times_{\mathcal{F}^n_0} \mathcal{G}_0^n\] et définissons \[d' : \mathcal{H}^n \longrightarrow \mathcal{H}^{n + 1},\quad (f^n, g_0^n) \longmapsto (d(f^n) - h^n(g_0^n), d(g_0^n))\] avec les notations évidentes, en utilisant \(\mathcal{F}_0^{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} = \mathcal{F}^{n + 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I} = \mathcal{I}\mathcal{F}^{n + 1} \subset \mathcal{F}^{n + 1}\). On vérifie alors que \(d' \circ d' = 0\) grâce au choix de \(h^n\) et à la définition de \(\omega\). Ainsi, \(\mathcal{H}^\bullet\) définit un objet de \(D(\mathcal{O})\). D’autre part, il existe une suite exacte courte de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules \[0 \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} \to \mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{G}_0^\bullet \to 0\] Il reste à montrer que \(\mathcal{H}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\) est isomorphe à \(K_0\). Choisissons un quasi-isomorphisme \(\mathcal{E}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\), où \(\mathcal{E}^\bullet\) est un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}\)-modules plats. Nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I} \ar[d]^\beta \ar[r] & \mathcal{E}^\bullet \ar[d]^\gamma \ar[r] & \mathcal{E}_0^\bullet \ar[d]^\delta \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} \ar[r] & \mathcal{H}^\bullet \ar[r] & \mathcal{G}_0^\bullet \ar[r] & 0 }\] Nous affirmons que \(\delta\) est un quasi-isomorphisme. Comme \(H^i(\delta)\) est un isomorphisme pour \(i \gg 0\), nous pouvons procéder par récurrence descendante sur \(n\), en supposant que \(H^i(\delta)\) est un isomorphisme pour \(i \geq n\). Observons que \(\mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}\) représente \(\mathcal{E}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}\), que \(\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}\) représente \(\mathcal{G}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I}\), et que \(\beta = \delta \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \text{id}_\mathcal{I}\) comme applications dans \(D(\mathcal{O}_0)\). Cela est vrai parce que \(\beta = (\alpha \otimes \text{id}_\mathcal{I}) \circ (\delta \otimes \text{id}_\mathcal{I})\). Supposons que \(H^i(\delta)\) soit un isomorphisme en degrés \(\geq n\). Il en est alors de même pour \(\beta\), d’après ce que nous venons de dire et le Lemme 0DIV. Nous pouvons ensuite considérer le diagramme \[\xymatrix{ H^{n - 1}(\mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] \ar[d]^{H^{n - 1}(\beta)} & H^{n - 1}(\mathcal{E}^\bullet) \ar[r] \ar[d] & H^{n - 1}(\mathcal{E}_0^\bullet) \ar[r] \ar[d]^{H^{n - 1}(\delta)} & H^n(\mathcal{E}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] \ar[d]^{H^n(\beta)} & H^n(\mathcal{E}^\bullet) \ar[d] \\ H^{n - 1}(\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] & H^{n - 1}(\mathcal{H}^\bullet) \ar[r] & H^{n - 1}(\mathcal{G}_0^\bullet) \ar[r] & H^n(\mathcal{F}_0^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I}) \ar[r] & H^n(\mathcal{H}^\bullet) }\] D’après Homologie, Lemme 05QA, nous voyons que \(H^{n - 1}(\delta)\) est surjectif. Cela implique à son tour que \(H^{n - 1}(\beta)\) est surjectif, d’après le Lemme 0DIV. En appliquant de nouveau Homologie, Lemme 05QA, nous voyons que \(H^{n - 1}(\delta)\) est un isomorphisme. L’affirmation résulte par récurrence ; ainsi, \(\delta\) est un quasi-isomorphisme, comme nous voulions le montrer.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) une surjection de faisceaux d’anneaux. Supposons données les informations suivantes :

1. un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}^\bullet\),

2. un complexe \(\mathcal{K}_0^\bullet\) de \(\mathcal{O}_0\)-modules,

3. un quasi-isomorphisme \(\mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\),

Il existe alors un quasi-isomorphisme \(\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\) tel que l’application de complexes \(\mathcal{G}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0 \to \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\) se factorise par \(\mathcal{K}_0^\bullet\) dans la catégorie homotopique des complexes de \(\mathcal{O}_0\)-modules.

Démonstration

Posons \(\mathcal{F}_0^\bullet = \mathcal{F}^\bullet \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0\). D’après Catégories dérivées, Lemme 0642, il existe une factorisation \[\mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{L}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\] de l’application donnée, telle que la première flèche admette un inverse à homotopie près et que la seconde soit surjective et scindée terme à terme. Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) est surjective terme à terme. Dans ce cas, nous prenons \[\mathcal{G}^n = \mathcal{F}^n \times_{\mathcal{F}^n_0} \mathcal{K}_0^n\] et tout est clair.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) une surjection de faisceaux d’anneaux dont le noyau est un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) de carré nul. Soient \(K, L \in D^-(\mathcal{O})\). Posons \(K_0 = K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\) et \(L_0 = L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\) dans \(D^-(\mathcal{O}_0)\). Étant donnée \(\alpha_0 : K_0 \to L_0\) dans \(D(\mathcal{O}_0)\), il existe un élément canonique \[o(\alpha_0) \in \Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, L_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une application \(\alpha : K \to L\) dans \(D(\mathcal{O})\) telle que \(\alpha_0 = \alpha \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \text{id}\).

Démonstration

Trouver une application \(\alpha : K \to L\) relevant \(\alpha_0\) revient à trouver \(\alpha : K \to L\) telle que la composée \(K \xrightarrow{\alpha} L \to L_0\) soit égale à la composée \(K \to K_0 \xrightarrow{\alpha_0} L_0\). La suite exacte courte \(0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}_0 \to 0\) donne lieu à un triangle distingué canonique \[L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I} \to L \to L_0 \to (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\] dans \(D(\mathcal{O})\). D’après Catégories dérivées, Lemme 0149, la composée \[K \to K_0 \xrightarrow{\alpha_0} L_0 \to (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\] est nulle si et seulement si nous pouvons trouver \(\alpha : K \to L\) relevant \(\alpha_0\). Cette composée est un élément de \[\Hom_{D(\mathcal{O})}(K, (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]) = \Hom_{D(\mathcal{O}_0)}(K_0, (L \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]) = \Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, L_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] par adjonction.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}_0\) une surjection de faisceaux d’anneaux dont le noyau est un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}\) de carré nul. Soit \(K_0 \in D^-(\mathcal{O})\). Un relèvement de \(K_0\) est un couple \((K, \alpha_0)\) formé d’un objet \(K\) de \(D^-(\mathcal{O})\) et d’un isomorphisme \(\alpha_0 : K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 \to K_0\) dans \(D(\mathcal{O}_0)\).

1. Étant donné un relèvement \((K, \alpha)\), le groupe des automorphismes du couple est canoniquement le conoyau d’une application \[\Ext^{-1}_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0) \longrightarrow \Hom_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\]

2. S’il existe un relèvement, alors l’ensemble des classes d’isomorphisme de relèvements est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\).

Démonstration

Un automorphisme de \((K, \alpha)\) est une application \(\varphi : K \to K\) dans \(D(\mathcal{O})\) telle que \(\varphi \otimes_\mathcal{O} \text{id}_{\mathcal{O}_0} = \text{id}\). Cela revient à dire que \[K \xrightarrow{\varphi - \text{id}} K \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\] est nulle. Nous en concluons que le groupe des automorphismes est le conoyau d’une application \[\Hom_\mathcal{O}(K, K_0[-1]) \longrightarrow \Hom_\mathcal{O}(K, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\] en vertu du triangle distingué \[K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I} \to K \to K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 \to (K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\] dans \(D(\mathcal{O})\) et de Catégories dérivées, Lemme 0149. Pour traduire ceci dans les groupes du lemme, nous utilisons l’adjonction entre le foncteur de restriction \(D(\mathcal{O}_0) \to D(\mathcal{O})\) et \(- \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}_0 : D(\mathcal{O}) \to D(\mathcal{O}_0)\). Cela démontre (1).

Démonstration de (2). Supposons que \(K_0 = K \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0\) dans \(D(\mathcal{O})\). D’après le Lemme 0DIY, l’application qui associe à un relèvement \((K', \alpha_0)\) l’obstruction \(o(\alpha_0)\) au relèvement de \(\alpha_0\) définit une injection canonique de l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples dans \(\Ext^1_{\mathcal{O}_0}(K_0, K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})\). Pour achever la démonstration, montrons qu’elle est surjective. Choisissons \(\xi : K_0 \to (K_0 \otimes_{\mathcal{O}_0}^\mathbf{L} \mathcal{I})[1]\) dans le groupe \(\Ext^1\) du lemme. Choisissons un complexe \(\mathcal{F}^\bullet\) de \(\mathcal{O}\)-modules plats, borné supérieurement, représentant \(K\). L’application \(\xi\) peut être représentée sous la forme \(t \circ s^{-1}\), où \(s : \mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) est un quasi-isomorphisme et \(t : \mathcal{K}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}[1]\) est une application de complexes. D’après le Lemme 0DIX, nous pouvons supposer qu’il existe un quasi-isomorphisme \(\mathcal{G}^\bullet \to \mathcal{F}^\bullet\) de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules tel que \(\mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\) se factorise par \(s\) à homotopie près. Nous pouvons et allons remplacer \(\mathcal{G}^\bullet\) par un complexe borné supérieurement de \(\mathcal{O}\)-modules plats (en choisissant un quasi-isomorphisme d’un tel complexe vers \(\mathcal{G}^\bullet\), puis en effectuant le remplacement). Nous voyons alors que \(\xi\) est représenté par une application de complexes \(t : \mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I}[1]\) et par le quasi-isomorphisme \(\mathcal{G}_0^\bullet \to \mathcal{F}_0^\bullet\). Posons \[\mathcal{H}^n = \mathcal{F}^n \times_{\mathcal{F}_0^n} \mathcal{G}_0^n\] avec les différentielles \[\mathcal{H}^n \to \mathcal{H}^{n + 1},\quad (f^n, g_0^n) \mapsto (d(f^n) + t(g_0^n), d(g_0^n))\] Cela a un sens, car \(\mathcal{F}_0^{n + 1} \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} = \mathcal{F}^{n + 1} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{I} = \mathcal{I}\mathcal{F}^{n + 1} \subset \mathcal{F}^{n + 1}\). Nous omettons le calcul montrant que \(\mathcal{H}^\bullet\) est un complexe de \(\mathcal{O}\)-modules. Par construction, il existe une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{F}_0^\bullet \otimes_{\mathcal{O}_0} \mathcal{I} \to \mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{G}_0^\bullet \to 0\] de complexes de \(\mathcal{O}\)-modules. Exactement comme dans la démonstration du Lemme 0DIW, on montre que cette suite induit un isomorphisme \(\alpha_0 : \mathcal{H}^\bullet \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \mathcal{O}_0 \to \mathcal{G}_0^\bullet\) dans \(D(\mathcal{O}_0)\). Autrement dit, nous avons construit un couple \((\mathcal{H}^\bullet, \alpha_0)\). Nous omettons la vérification de \(o(\alpha_0) = \xi\) ; indication : \(o(\alpha_0)\) peut être calculé explicitement dans ce cas, car nous avons des applications \(\mathcal{H}^n \to \mathcal{F}^n\) (non compatibles aux différentielles) relevant les composantes de \(\alpha_0\). Cela achève la démonstration.